ALGEBRA 2 (MAT 1103)
Ing. JULIO MAMANI GUAYGUA
Capítulo 1 VECTORES EN
ℝn Y
ℂn
1.1 VECTORES EN ℝn .- Un vector es un ente matemático que se caracteriza por tener: dirección, sentido y
módulo. Un vector se representa por una letra y una pequeña flecha en la parte superior de la letra “u
⃗ ” o también
⃗⃗⃗⃗⃗
en geometría mediante un segmento de recta orientado. 𝐴𝐵
MODULO.- Es el número de unidades correspondientes a una magnitud que se le asigna al vector.
DIRECCION.- Es la línea de acción de un vector, su orientación respecto del sistema de coordenadas en el plano , se
define mediante el ángulo que forma la recta con el eje positivo en posición normal y en sistema de tres dimensiones
por tres ángulos que forma la recta con los ejes positivos “x”, “y” y “z” respetivamente.
SENTIDO.- Gráficamente se representa por una cabeza de una flecha, indica hacia qué lado de la dirección (línea de
acción) actúa el vector)
DEFINICIÓN.- Se denomina vector de dimensión “n” a una n-upla ordenada de números reales (componentes del
vector)
El conjunto de los vectores de dimensión “n” se denota por: ℝ𝑛 (Se denomina n-espacio real)
Un vector en ℝ𝑛 se denota: ⃗u = (u
⏟ 1 , u2 , u3 , … , un ) ∀i ∈ I; ui ∈ ℝ ; I = {1, 2, 3, … , n}
Ejemplo 1.- Si: ⃗u = (8, 4, −1) ∈ ℝ3 (Vector que pertenece al espacio o de dimensión 3)
1
Ejemplo 2.- Si: ⃗u = (2 , √2, e, π, 5,7) ∈ ℝ6 (Vector que pertenece al espacio de dimensión 6)
OPERACIONES CON VECTORES EN ℝ𝐧
a) SUMA DE VECTORES.- Sean: ⃗u = (u1 , u2 , u3 , … , un ) ∈ ℝn y v
⃗ = (v1 , v2 , v3 , … , vn ) ∈ ℝn
Se define:
⃗u + v
⃗ = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 , … , un + vn ) ∈ ℝn
b) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.- Sea: ⃗u = (u1 , u2 , u3 , … , un ) ∈ ℝn ^ α ∈ ℝ
Se define: 𝛼u
⃗ = (αu1 , αu2 , α u3 , … , αun ) ∈ ℝn
PROPIEDADES.- ∀ ⃗u, v
⃗ ,w
⃗⃗⃗ ∈ ℝn ; ∀ α, β ∈ ℝ
i) ⃗u + v
⃗ =v
⃗ + ⃗u (Conmutatividad)
ii) ⃗u + (v
⃗ + w
⃗⃗⃗ ) = (u
⃗ + v
⃗)+ w
⃗⃗⃗
(Asociatividad)
iii) (α + β)⃗u = αu
⃗ + βu
⃗ (Distributividad del producto de escalares por vectores respecto de la suma de
escalares)
iv) α( ⃗u + v
⃗ ) = αu
⃗ + αv
⃗ (Distributividad del producto respecto de la suma de vectores)
2
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v) Si: 0̅ = n
⃗ = (0, 0, 0, … , 0) ∈ ℝn entonces ⃗u + 0̅ = 0̅ + ⃗u = ⃗u (Vector nulo o elemento neutro de la
suma de vectores)
vi) 1u
⃗ = ⃗u ; 1 ∈ ℝ (Elemento neutro del producto de un escalar por un vector)
vi) ⃗u + (−u
⃗ ) = (−u
⃗ ) + ⃗u = 0̅ (Elemento inverso o simétrico de la suma de vectores)
Ejemplo 3.- Sean los vectores: 𝑢
⃗ = (1,3,5,2) y 𝑣 = (2, −2,4,1) ∈ ℝ4 Calcular: a) 𝑢
⃗ + 𝑣 b) 4𝑢
⃗
SOLUCION.a) 𝑢
⃗ + 𝑣 = (1,3,5,2) + (2, −2,4,1)
𝑢
⃗ + 𝑣 = (3,1,9,3) ∈ ℝ4
b) 4𝑢
⃗ = 4(1,3,5,2)
4𝑢
⃗ = (4,12,20,8) ∈ ℝ4
c) PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES.- (Producto interno o Producto punto) Sean los vectores:
⃗u = (u1 , u2 , u3 , … , un ) ∈ ℝn y
⃗ = (v1 , v2 , v3 , … , vn ) ∈ ℝn
v
n
Se define: ⃗u · v
⃗ = ∑ (ui · vi ) Desarrollando:
i=1
⃗u · v
⃗ = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3 + … + un · vn ∈ ℝ
PROPIEDADES.-
∀ ⃗u, v
⃗,w
⃗⃗⃗ ∈ ℝn ; ∀ α, β ∈ ℝ
i) ⃗u · v
⃗ =v
⃗ · ⃗u
(Conmutatividad)
ii) ⃗u · (v
⃗ + ⃗w
⃗⃗ ) = ⃗u · v
⃗ + ⃗u · w
⃗⃗⃗
(Distributividad)
iii) (α · ⃗u)v
⃗ = α(⃗u · v
⃗ ) + ⃗u(α · v
⃗)
(Asociatividad)
iv) ⃗u · ⃗u = 0 ⇔ ⃗u = o
⃗
v) Si: ⃗u · v
⃗ = 0 entonces ⃗u 𝑦 v
⃗ son ortogonales) o ( ⃗u ⊥ v
⃗)
v) Si: ⃗u = α · v
⃗ ⇒ ⃗u ∥ v
⃗ (α ≠ 0) (Condición de paralelismo)
Ejemplo 4.- Si: ⃗u = (2, −3, 4, 2x, −2, 1) ∈ ℝ6 y v
⃗ = (x, 3x, 2, 4, 1, −2) ∈ ℝ6 Hallar “x” para que
⃗u y v
⃗ sean perpendiculares
3
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SOLUCION:
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⃗u · v
⃗ =0
(Condición de perpendicularidad)
(2, −3, 4, 2x, −2, 1)(x, 3x, 2, 4, 1, −2) = 0
2x − 9x + 8 + 8x − 2 − 2 = 0
x=−4
IGUALDAD DE VECTORES.-
Sol.
𝑢1 = 𝑣1
𝑢2 = 𝑣2
n
⃗u, ⃗v ∈ ℝ ; ⃗u = ⃗v ⇔ 𝑢3 = 𝑣3
…………
{ 𝑢𝑛 = 𝑣𝑛
1.2 NORMA, MODULO O LONGITUD DE UN VECTOR.- Es la longitud del segmento orientado, es un
número real siempre positivo y solo el vector nulo tiene modulo cero.
Si: ⃗u = (u1 , u2 , u3 , u4 , … , un ) ∈ ℝn
Se define:
‖u
⃗ ‖ = √u
⃗ · ⃗u
Módulo o norma
PROPIEDADES.- ∀ ⃗u = (u1 , u2 , u3 , u4 , … , un ) ∈ ℝn ; ∀ α ∈ ℝ
1°) ‖u
⃗ ‖2 = ⃗u · ⃗u
2°) ‖𝛼u
⃗ ‖ = |𝛼|‖u
⃗‖
Ejemplo 5.- Si: v
⃗ = (−4, −12, 2, 4, 1, −2) Hallar: ‖v
⃗‖
SOLUCIÓN:
⃗ ·v
v
⃗ = (−4)2 + (−12)2 + (2)2 + (4)2 + (1)2 + (−2)2
⃗ ·v
v
⃗ = 16 + 144 + 4 + 16 + 1 + 4
⃗ ·v
v
⃗ = 185
‖v
⃗ ‖ = √185 (u)
1.3 DISTANCIA ENTRE VECTORES.- La distancia entre dos puntos es igual al del vector que tiene de
extremos dichos puntos.
Si: ⃗u, v
⃗ ∈ ℝn ; se define:
d(⃗u, v
⃗ ) = ‖u
⃗ −v
⃗‖
Ejemplo 6.- Si: ⃗u = (3,4, −2, 1) ∈ R4 ; v
⃗ = (7, 6, π, 4) ∈ R4
SOLUCIÓN:
⃗u − v
⃗ = ⃗u + (−1)v
⃗ = (3,4, −2, 1) + (−1)(7, 6, π, 4)
4
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= (3,4, −2, 1) + (−7, −6, −π, −4)
= (−4, −2, −2 − π, −3)
Distancia: d(⃗u, v
⃗ ) = ‖u
⃗ −v
⃗‖
‖u
⃗ −v
⃗ ‖ = √(−4)2 + (−2)2 + (−2 − π)2 + (−3)2
= √(16 + 4 + 4 + 4π + π2 + 9)
= √4π + π2 + 33
La distancia es: d(⃗u, v
⃗ ) = √4π + π2 + 33 = 7,44 (u)
1.4 VECTOR UNITARIO.- Los vectores unitarios tienen de modulo la unidad. Cuando se tienen un vector ⃗u y se
desea normalizar, debemos hallar el vector unitario que tenga el mismo sentido y la misma dirección que el vector
en cuestión. Luego multiplicamos el vector por el reciproco de su módulo, El vector resultante es un vector
unitario con igual dirección y sentido.
Si: ⃗u = (u1 , u2 , u3 , … , un ) ∈ ℝn ; Se define: eu⃗ (vector unitario a partir de ⃗u)
⃗
u
eu⃗ = ‖u⃗‖ cuya caracteristica es: ‖eu⃗ ‖ = 1
Ejemplo 7.- Si: u
⃗ = (6, 8, −4, 2, 5) Hallar: eu⃗
SOLUCIÓN:
‖u
⃗ ‖ = √u
⃗ · ⃗u
‖u
⃗ ‖ = √62 + 82 + (−4)2 + 22 + 52
‖u
⃗ ‖ = √36 + 64 + 16 + 4 + 25
‖u
⃗ ‖ = √145 (u)
⃗
u
⃗
u
eu⃗ = ‖u⃗‖ =
eu⃗ = (
6
=
√145
8
,
,
1
√145
−4
,
(6, 8, −4, 2, 5)
2
,
5
√145 √145 √145 √145 √145
‖e⃗‖u⃗ = √(
6
√145
2
) +(
8
√145
2
) +(
)
Sol.
−4
√145
2
) +(
2
√145
2
) +(
5
√145
2
) =1
1.6 ANGULO ENTRE VECTORES.- Si: ⃗u, v
⃗ ∈ ℝn se define:
⃗ ·v
⃗
u
Cos α
̂ = ‖u⃗‖·‖v⃗‖
5
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OBSERVACIONES:
1°) Si: ⃗u · v
⃗ > 0 ⇒ 0° < α
̂ < 90° (Angulo agudo)
2°) Si: ⃗u · v
⃗ =0 ⇒α
̂ = 90° (Angulo recto)
3°) Si: ⃗u · v
⃗ < 0 ⇒ 90° < α
̂ < 180° (Angulo obtuso)
Ejemplo 8.- Si: ⃗u = (7, −4,9,5) ∈ ℝ4 ; v
⃗ = (−2,8, −10,16) ∈ ℝ4 ; Hallar el ángulo entre ⃗u y v
⃗
SOLUCIÓN:
Producto interno:
⃗u · v
⃗ = −14 − 32 − 90 + 80
⃗u · v
⃗ = −56
Hallando los módulos:
‖u
⃗ ‖ = √72 + 42 + 92 + 52 = √171
‖v
⃗ ‖ = √(−2)2 + 82 + (−10)2 + 162 = 2√106
α
̂ = cos−1 (
−56
√171·√424
)
α
̂ = 102°0′12,94′′
d) PRODUCTO VECTORIAL EN
𝑖
𝑢𝑥𝑣 = |𝑢1
𝑣1
𝑗
𝑢2
𝑣2
𝑢2
𝑢𝑥𝑣 == |𝑣
2
.- Si:
⃗u = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) ∈ ℝ3 y v
⃗ = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) ∈ ℝ3 se define:
𝑘
𝑢3 | Por el desarrollo de Laplace.
𝑣3
𝑢3
𝑢1
|
𝑖
−
|
𝑣3
𝑣1
𝑢3
𝑢1
|
𝑗
+
|
𝑣3
𝑣1
𝑢2
𝑣2 | 𝑘
Geométricamente el producto vectorial de ⃗u y v
⃗ es un vector perpendicular al plano que contiene a ⃗u y v
⃗
⃗u𝑥v
⃗
M
⃗
v
⃗u
P
Donde: 𝑖 = (1,0,0); 𝑗 = (0,1,0); 𝑘 = (0,0,1) Vectores unitarios
6
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1.7 PROYECCION ESCALAR Y VECTORIAL.- Sean: ⃗u, v
⃗ ∈ ℝ se definen:
n
a) PROYECCION ESCALAR.- La proyección escalar del vector v
⃗ sobre el vector ⃗u se define:
Demostración: De la figura: 𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
⃗u
𝑃𝑟𝑜𝑦 v
⃗⃗
‖v
⃗‖
Entonces: 𝑃𝑟𝑜𝑦 v
⃗ u⃗ = ‖v
⃗ ‖𝐶𝑜𝑠 𝛼 .. 1)
⃗ ·v
⃗
u
De la expresion: Cos α
̂ = ‖u⃗‖·‖v⃗‖ ...2)
⃗ ·v
⃗
u
Sustituyendo 2) en 1) se tiene: 𝑃𝑟𝑜𝑦 v
⃗ u⃗ = ‖v
⃗ ‖ ‖u⃗‖·‖v⃗‖
⃗ ·v
⃗
u
Finalmente: 𝑃𝑟𝑜𝑦 v
⃗ u⃗ = ‖u⃗‖
b) PROYECCION VECTORIAL.- La proyección vectorial del vector v
⃗ sobre el vector ⃗u se define:
⃗ ·v
⃗
u
⃗
u
Demostración: De la expresión: 𝑃𝑟𝑜𝑦 v
⃗ u⃗ = ‖u⃗‖ Multiplicamos por un vector unitario eu⃗ = ‖u⃗‖
⃗u · v
⃗ ⃗u
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑟𝑜𝑦 v
⃗ u⃗ =
(
)
‖u
⃗ ‖ ‖u
⃗‖
⃗u · v
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑟𝑜𝑦 v
⃗ u⃗ =
⃗u
‖u
⃗ ‖2
PROPIEDAD.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1°) ‖𝑃𝑟𝑜𝑦
⃗ u⃗ ‖ = |𝑃𝑟𝑜𝑦 v
v
⃗ u⃗ |
7
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1.8 VECTORES LOCALIZADOS, HIPERPLANOS Y RECTAS EN ℝ .n
VECTORES LOCALIZADOS.- Sean los puntos de ℝ𝐧 : P(a1, a2, a3, a4, ….. an) ∈ ℝn y Q(b1, b2, b3, b4, ….. bn) ∈ ℝn
Q
⃗u
P
Se define un vector localizado ⃗u de punto inicio P y punto final Q de la forma:
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑄 − 𝑃 = (b1 − 𝑎1 , b2 − 𝑎2 , b3 − 𝑎3 , b4 − 𝑎4 , … … … . , b𝑛 − 𝑎𝑛 )
⃗u = 𝑃𝑄
HIPERPLANOS.- Un hiperplano “H” que pertenece a ℝ𝐧 es el conjunto de puntos 𝑋(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , … . , 𝑥𝑛 )
que satisface una ecuación lineal:
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎3 𝑥3 + ⋯ … + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏
Donde: n
⃗ = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … … , 𝑎𝑛 ) Vector normal al hiperplano 𝑎𝑖 ∈ ℝ (∀𝑖 = 1,2,3, . . , 𝑛)
𝑏 ∈ ℝ (Denominado termino independiente)
⃗
n
M
90°
P
OBSERVACIONES.1°) En ℝ2 el hiperplano se denomina recta
2°) En ℝ3 el hiperplano se denomina plano propiamente dicho
3°) Si: 𝑏 = 0 Los hiperplanos pasan por el origen de coordenadas
RECTA EN ℝ𝐧 .- La recta “ℓ” en ℝn que pasa por el punto: P(a1, a2, a3, a4, ….. an) en la dirección del vector no nulo
⃗u = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , … … , 𝑢𝑛 ) está constituido por los puntos X(x1, x2, x3, x4, …., xn) que satisfacen:
𝑥1 = 𝑎1 + 𝑢1 𝑡
𝑥2 = 𝑎2 + 𝑢2 𝑡
𝑋 = 𝑃 + 𝑡u
⃗ 𝑜 ℓ: 𝑥3 = 𝑎3 + 𝑢3 𝑡 (Ecuación paramétrica de la recta ℓ) Despejando 𝑡 e igualando se tiene:
……………..
{𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑢𝑛 𝑡
𝑥1 −𝑎1
𝑢1
=
𝑥2 −𝑎2
𝑢2
=
𝑥3 −𝑎3
𝑢3
=⋯=
𝑥𝑛 −𝑎𝑛
𝑢𝑛
= 𝑡 (Ecuación canónica de ℓ)
8
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1.9 VECTORES EN ℂ𝑛 .NÚMEROS COMPLEJOS.- El conjunto de números complejos se define: ℂ = {(a, b)⁄a ∈ ℝ ∧ b ∈ ℝ}
Un numero complejo: 𝑧 = (a, b) tiene dos partes 𝑅𝑒(z) = a (Parte real de 𝑧)
Im(z) = b (Parte imaginaria de z)
O también: ℂ = {a + bi/ a ∈ ℝ ∧ b ∈ ℝ ∧ i = √−1}: 𝑧 = a + bi
OPERACIONES CON COMPLEJOS.- Si: z1 = (a, b) ∈ ℂ y z2 = (c, d) ∈ ℂ se define la suma y el
producto:
z1 + z2 = (a + c, b + d)
z1 · z2 = (a · c − b · d, a · d + b · c)
COMPLEJO CONJUGADO.- Si: 𝑧 = (a, b) se define: 𝑧̅ = (a, −b) (Complejo conjugado de z) o también en
forma de binomio se tiene: 𝑧 = a + bi , entonces: 𝑧̅ = a − bi
Ejemplo 9.- Si: z1 = (2, −1) y z2 = (3, 2) Hallar: a) z1 + z2 b) z1 · z2 c) z̅2 d) Re(z2 ) e) Im(z1 )
SOLUCION:
a) z1 + z2 = (5, 1) o también: z1 + z2 = 5 + 𝑖
b) z1 · z2 = (6 + 2,4 − 3) = (8,1) o también: z1 · z2 = 8 + 𝑖
c) z̅2 = (3, −2) ó también: z̅2 = 3 − 2i
d)Re(z2 ) = 3
e) Im(z1 ) = −1
VALOR ABSOLUTO.- Si: 𝑧 = (a, b) ∈ ℂ (forma de par ordenado) o 𝑧 = a + bi ∈ ℂ (forma de binomio)
Se define:
|𝑧| = √a2 + b 2
Ejemplo 10.- Si: 𝑧1 = (2, 3); z2 = (5, −3) Hallar a) 𝑧1 + z2 b) z1 · z2 c) |𝑧1 |
9
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SOLUCION:
a) 𝑧1 + z21 = 2 + 3i + 5 − 3i = 7
b) z1 · z2 = (2 + 3i)(5 − 3i) = 10 − 6i + 15i − 9i2 = 19 + 9i
c)|z1 | = √22 + 32 = √13
DEFINICION.- Un vector que pertenece a ℂ𝑛 se define como una n-upla ordenada de números complejos:
⃗u = (z1 , 𝑧2 , 𝑧3 , … , 𝑧n )
1.10 OPERACIONES CON VECTORES EN ℂ𝑛 .- Si: u
⃗ = (z1 , 𝑧2 , 𝑧3 , … , 𝑧n ) ∈ ℂ𝑛 y v
⃗ =
𝑛
(w1 , 𝑤2 , 𝑤3 , … , 𝑤n ) ∈ ℂ ; 𝑧 ∈ ℂ
a) SUMA.- Se define: ⃗u + v
⃗ = (z1 , 𝑧2 , 𝑧3 , … , 𝑧n ) + (w1 , 𝑤2 , 𝑤3 , … , 𝑤n )
⃗u + v
⃗ = (z1 + 𝑤1 , 𝑧2 + 𝑤2 , 𝑧3 + 𝑤3 , … , 𝑧n + 𝑤𝑛 )
b) PRODUCTO EN UN COMPLEJO POR UN VECTOR.- Se define: 𝑧u
⃗ = z(z1 , 𝑧2 , 𝑧3 , … , 𝑧n )
𝑧u
⃗ = (z · z1 , z · 𝑧2 , z · z3 , … , z · zn ) ∈ ℂ𝑛
c) PRODUCTO INTERNO O PRODUCTO PUNTO.- Se define:
⃗u · v
⃗ = (z1 , 𝑧2 , 𝑧3 , … , 𝑧n ) · (w1 , 𝑤2 , 𝑤3 , … , 𝑤n )
⃗u · v
⃗ = z1 · 𝑤
̅1 + 𝑧2 · 𝑤
̅2 + 𝑧3 · 𝑤
̅3 + ⋯ + 𝑧n · 𝑤
̅n 𝜖 ℂ
PROPIEDAD.1°) ⃗u · v
⃗ =v
⃗̅̅̅̅̅̅
· ⃗u
NORMA O MÓDULO.- Si: ⃗u = (z1 , 𝑧2 , 𝑧3 , … , 𝑧n ) ∈ ℂ𝑛 se define:
‖u
⃗ ‖ = √⃗u · u
⃗
Ejemplo 11.- Si:⃗⃗⃗u = (3 , 1 + i , 2 − 4i) ∈ ℂ3 ; v
⃗ = (2 − i , 4i , 1 + 2i) ∈ ℂ3 . Hallar: a) ⃗u + v
⃗
b) (2 − 3i)⃗u c) ⃗u · v
⃗ d) ‖v
⃗‖
SOLUCION.a) u
⃗ +v
⃗ = (3 , 1 + i , 2 − 4i) + (2 − i , 4i , 1 + 2i)
⃗u + v
⃗ = (5 − i , 1 + 5i , 3 − 2i)
10
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b) (2 − 3i)⃗u = (2 − 3i)(3 , 1 + i , 2 − 4i)
(2 − 3i)⃗u = [(2 − 3i)3 , (2 − 3i)(1 + i), (2 − 3i)(2 − 4i)]
(2 − 3i)⃗u = (6 − 9i , 5 − i , −8 − 14i)
c) u
⃗ ·v
⃗ = (3 , 1 + i , 2 − 4i) · (2 − i , 4i , 1 + 2i)
⃗u · v
⃗ = 3 (2 − i) + (1 + i)(4i) + (2 − 4i)(1 + 2i)
⃗u · v
⃗ = 3 (2 + i) + (1 + i)(−4i) + (2 − 4i)(1 − 2𝑖)
⃗u · v
⃗ = 6 + 3i − 4i + 4 + 2 − 4i − 4i − 8
⃗u · v
⃗ = 4 − 9i
d) ‖v
⃗ ‖ = √v
⃗ ·v
⃗
⃗ ·v
v
⃗ = (2 − i , 4i , 1 + 2i) · (2 − i , 4i , 1 + 2i)
⃗ ·v
v
⃗ = (2 − i)(2 − i) + 4i (4i) + (1 + 2i)(1 + 2i)
⃗ ·v
v
⃗ = (2 − i)(2 + i) + 4i (−4i) + (1 + 2i)(1 − 2i)
⃗ ·v
v
⃗ = 4 + 2i − 2i − i2 − 16i2 + 1 − 2i + 2i − 4i2
⃗ ·v
v
⃗ = 4 + 1 + 16 + 1 + 4
⃗ ·v
v
⃗ = 26
∴ ‖v
⃗ ‖ = √26
Ejemplo 12) Hallar los valores de “𝑥”e”𝑦”; si se sabe que: (x , x + y) = (y − 2 , 6)
SOLUCIÓN: (Por igualdad de vectores)
x=y−2
x − y = −2
{
; Ordenando: {
x+y=6
x+y=6
Resolviendo: (sumando las ecuaciones) 2x = 4 → x = 2
Sustituyendo en la primera ecuación: 2 = y − 2 → y = 4
Ejemplo 13.- Hallar “𝑥”e”𝑦”; si ⃗u y v
⃗ son ortogonales: ⃗u = (2x , −1 , 3y , 4) ; v
⃗ = (1 , 2 , 0 , −4)
SOLUCIÓN:
⃗u · v
⃗ = 0 (Condición de perpendicularidad)
11
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(2x , −1 , 3y , 4) · (1 , 2 , 0 , −4) = 0
2x (1) + (−1)(2) + (3y)(0) + 4(−4) = 0
2x − 2 − 16 = 0
x = 9 ; y = a (∀ a ∈ ℝ)
Ejemplo 14.- Sean: ⃗u = (1, −2,3,0) y v
⃗ = (2,5,4,1) Hallar la proyección escalar y vectorial de ⃗u sobre v
⃗
SOLUCION:
Hallamos el producto escalar: ⃗u · v
⃗ = 1 · 2 + (−2)5 + 3 · 4 + 0 · 1 = 4
⃗ ·v
⃗
u
𝑃𝑟𝑜𝑦 ⃗uv⃗ = ‖v⃗‖ Proyección escalar
⃗ ·v
⃗
u
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑟𝑜𝑦 ⃗uv⃗ = ‖v⃗‖2 v
⃗ Proyección vectorial
Modulo de v
⃗ : ‖v
⃗ ‖ = √22 + 52 + 42 + 12 = √4 + 25 + 16 + 1 = √46
Sustituyendo: 𝑃𝑟𝑜𝑦 ⃗uv⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑟𝑜𝑦 v
⃗ u⃗ =
4
4
√46
Proyección escalar
8
√46
2
20 16
4
(2,5,4,1) = ( , , , )
46 46 46 46
4 10 8 2
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑟𝑜𝑦 v
⃗ u⃗ = (23 , 23 , 23 , 23) = 23 (2,5,4,1)
Ejemplo 15.- Hallar la ecuación del hiperplano que pasa por el punto: 𝑃(1,3, −4,2) y es normal al vector:
⃗u = (4, −2,5,6)
SOLUCION:
La ecuación tiene la forma: 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎3 𝑥3 + ⋯ … + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏
4𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 + 6𝑥4 = 𝑏
Para hallar “𝑏 ” sustituimos 𝑃(1,3, −4,2) en la ecuación: 4 · 1 − 2 · 3 + 5(−4) + 6 · 2 = 𝑏
𝑏 = −10
Finalmente la ecuación del hiperplano es: 4𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 + 6𝑥4 = −10
12
ALGEBRA 2 (MAT 1103)
Ing. JULIO MAMANI GUAYGUA
PRACTICA NRO. 1
𝟏
𝟏
1.- Si: 𝒖, 𝒗 𝝐 ℝ𝑛 Demostrar: 𝒖°𝒗 = 𝟒 ‖𝒖 + 𝒗‖𝟐 − 𝟒 ‖𝒖 − 𝒗‖𝟐
SOLUCION:
2.- Hallar el valor de “𝑚” si: 𝒖 = (2 + 𝑖, 1 – 𝑖, 3 – 2𝑖) ; 𝒗 = (2 – 𝑖 , 𝑚 , 3 – 2𝑖); y
𝒖°𝒗 = 2 + 3𝑖
SOLUCION:
𝑚=−
13
2
+
15
2
𝑖
3.- Sea: 𝑢 = (−1,2,4); 𝑣 = (−1,0,2) y 𝑤 = (−3,4,5) Hallar: a) 𝑢 – 3𝑣 + 7𝑤
b) 𝑢. (2𝑣 + 𝑤) c) El Angulo que forman 𝑢 y 𝑣 d) La distancia entre los vectores 𝑣 y 𝑤 e) La proyección
escalar de 𝑢 sobre 𝑣 f) La proyección vectorial de 𝑤 sobre 𝑣 g) Hallar un vector unitario a partir de 𝑢
SOLUCION:
a) 𝑢 – 3𝑣 + 7𝑤 = (−19,30,33) b) 𝑢. (2𝑣 + 𝑤) = −13 c) 𝛼̂ = 28°33′ 97"
d) 𝑑 (𝑣, 𝑤) = √22 (u) e) 𝑃𝑟𝑜𝑦 ⃗uv⃗ =
9
√5
f) 𝑃𝑟𝑜𝑦 w
⃗⃗⃗ v⃗ = (−
13
5
26
, 0, 5 ) g) 𝑒u⃗ = (−
1
2
,
4
√21 √21 √21
)
4.- a) Si 𝑢 = (6, − 7, 𝑥) Hallar 𝑥 para que ‖𝑢‖ = 10
b) Si: 𝑢 = (6, 2,4) ; 𝑣 = (𝑥, 0,1) Hallar 𝑥 para que formen un ángulo: 𝜑̂ = 60°
c) Si: 𝑢 = (3, −2, 𝑥) ; 𝑣 = (0,3,1) hallar 𝑥 si 𝑢 y 𝑣 son ortogonales
d) Si: 𝑢 = (−1,2,5) ; 𝑣 = (2, −4, 𝑥) hallar 𝑥 si 𝑢 es paralelo a 𝑣
e) Obtener un vector unitario ortogonal a: 𝑢 = (1, −1, 3) y 𝑣 = (2,4,3)
SOLUCION:
a) 𝑥 = ±√15
b) 𝑥 =
−12+√133
11
c) 𝑥 = 6
d) 𝑥 = −10 e) 𝑤
⃗⃗ = (−
5
√
,
30
1
√
,
30
2
√30
)
5.- Determine 𝑥 e 𝑦 en la igualdad de vectores: a) (𝑥, 𝑥 + 𝑦) = (𝑦 − 2, 6) b) 𝑥(2, 𝑦) = 𝑦(1, −2)
c) 𝑥(1,2) = 𝑦 (1, −2)
SOLUCION:
a) 𝑥 = 2; 𝑦 = 4
b) 𝑥1 = 0; 𝑦1 = 0 ; 𝑥2 = −2; 𝑦2 = −4
c) 𝑥 = 0; 𝑦 = 0
6.- Hallar 𝑥, 𝑦 , 𝑧 si: (−1,3,3) = 𝑥(1,1,0) + 𝑦(0,0, −1) + 𝑧(0,1,1)
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ALGEBRA 2 (MAT 1103)
Ing. JULIO MAMANI GUAYGUA
SOLUCION:
𝒙 = −𝟏; 𝒚 = 𝟏; 𝒛 = 𝟒
7.- Determinar el valor de 𝑘 tal que: 2𝑥 – 𝑘𝑦 + 4𝑧 – 5𝑤 = 11 es perpendicular al hiperplano
7𝑥 + 2𝑦 – 𝑧 + 2𝑤 = 8 (Dos hiperplanos son perpendiculares si sus vectores normales son ortogonales)
SOLUCION:
𝑘=0
8.- Sean los vectores 𝑢 = (2𝑥 + 𝑦 − 3 , 5 𝑦 − 𝑥 − 8) y
𝑣 = (𝑥 + 3𝑦 − 11 , 2𝑥 + 3𝑦 + 4); si 𝑢 = 𝑣, hallar el valor de 𝑆 = 4𝑥 + 5𝑦
SOLUCION:
𝑆=−
75
2
9.- Si: 𝑢 = (2 , 3 ) ; 𝑣 = (3 , −2) ; 𝑤 = (4 , −1), hallar 𝑥 si:
1
2𝑢 – 3[2 (𝑣 – 3𝑤) +
SOLUCION:
3
4
𝑥] =
1
4
𝑥 + 3𝑤
46 6
𝑥 = ( 5 , 5)
10.- Si: 𝑢 = (5,1) ; 𝑣 = (2,3) a) Graficar 𝑢 y 𝑣 b) Hallar 𝑢 + 𝑣 c) 𝑢 – 𝑣 d) El ángulo entre 𝑢 y 𝑣
𝒆) 2𝑣 – 𝑢 (Resolver manualmente y con asistente matemático “GEOGEBRA”)
SOLUCION:
̂ = 𝟒𝟓° 𝒆) 2𝑣 – 𝑢 = (−1,5)
b) 𝑢 + 𝑣 = (7,4) c) 𝑢 – 𝑣 = (3, −2) d) 𝜶
11) Encontrar la ecuación del hiperplano en ℝ3 que: a) Contiene a 𝑃(1, −5,2) y es paralelo a:
3𝑥 – 7𝑦 + 4𝑧 = 5
b) Contiene a: 𝐴(1,2,3); 𝐵(−1,4, −2) 𝑦 𝐶(1,1, −1)
c) Determinar la ecuación paramétrica y canónica de la recta que pasa por: 𝑃(1, −2,3, −4) 𝑦 𝑄(2, −3,4,5)
SOLUCION:
a) 3𝑥 − 7𝑦 + 4𝑧 = 46
𝑥 =1+𝑡
𝑦 = −2 − 𝑡
b) 13𝑥 + 8𝑦 − 2𝑧 = 22 c) 𝑙: {
𝑧 =3+𝑡
𝑤 = −4 + 9𝑡
𝑥−1 𝑦+2 𝑧−3 𝑤+4
=
=
=
1
−1
1
9
12.- Si: 𝐻1 ∶ 2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 + 𝑤 = 1 ; 𝐻2 ∶ 𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 + 3𝑤 = −1
a) Hallar el ángulo entre los hiperplanos b) Determinar un punto 𝑃 que pertenezca a la recta definida por los
hiperplanos c) 𝑄(−1,2,1, −3) ∈ (𝐻1 ∩ 𝐻2 )?
SOLUCION:
1
a) 𝛼̂ = 81°14´27,86" b) 𝑃(0, 3 , 0,0) c) 𝑄 ∉ (𝐻1 ∩ 𝐻2 )
14
