Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
375-281 - Estadı́stica y probabilidad
Ejercicios de vectores aletorios
Jefferson Steven Vanegas Sanabria - 20232375012
Hilleily Tatiana Rodrı́guez Cruz - 20232375008
Ejercicios
1. Una empresa de bombillos asegura que una de sus referencias bombillas de 100 vatios tiene
un brillo promedio de 1640 lúmenes, con una desviación estándar de 62 lúmenes.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un foco de 100 watts tenga un brillo menor a 1550
lúmenes?
Desarrollo: De acuerdo con los datos dados en el problema para una distribución
normal se tiene un valor de µ “ 1640 y para σ “ 62 para lo que desarrollándolo en R
da como resultado X „ N p1640, 62q
1 x´µ 2
1
e´ 2 p σ q
f pxq “ ?
2πσ 2
1 1550´1640 2
1
f p1550q “ ?
e´ 2 p 62 q “ 0.07330
2
2π ˚ 62
P pX ă 1550q “ 0.07330
(b) Ante las constantes quejas de los consumidores, el equipo de control de calidad muestra
que la desviación estándar es de hecho mayor. Determine cuál es el aumento de la
desviación si la probabilidad de que un foco de 100 watts tenga un brillo menor a 1550,
lúmenes aumenta en 0,0165.
Desarrollo: Para establecer la diferencia que se nombra una nueva variable a evaluar
X1 „ N p1640, 62 ` aq, ahora bien, se entiende que hay un aumento en la desviación, el
cual da una probabilidad de 0.0165, por ello se puede interpretar que P pX1 ă 1550q “
0.07330 ` 0.0165 “ 0.0898, para analizar este aumento, se tiene que estandarizar de la
siguiente manera:
´1640
ă
P p X162`a
1550´1640
q
62`a
P pz ă dq “ 0.0898 nombramos d como el valor que se necesita, luego vamos a la
distribución normal estándar en la aplicación y se coloca N p0, 1q donde tenemos la
probabilidad, x ă x “ 0.0898 luego la aplicación nos da el valor para x “ ´1.34199
entonces realizamos el siguiente procedimiento para evaluar cuál fue el aumento en la
desviación estándar.
´1.34199 “
1550´1640
62`a
1
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a“
1550´1640
´1.34199
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´ 62 “ 5.064
Esto quiere decir que el aumento en la desviación estándar es de 67.064 lúmenes
2. Una investigación sobre los gastos para el control de la contaminación incurridos por empresas
industriales reveló, que el porcentaje anual del cierre de la capacidad de planta atribuible
a la reglamentación ambiental y de seguridad, tiene una distribución beta aproximada con
α “ 1 y β “ 25
(a) Calcular la media y la varianza del porcentaje anual de cierre de la capacidad de planta
atribuible a la reglamentación ambiental y de seguridad.
Desarrollo:Se procede a hacer el cálculo de la media y la varianza con las ecuaciones
que tiene la distribución beta
X „ Bp1, 25q
µ “ EpXq “
σ 2 “ V arpXq “
1
1
α
“
“
“ 0.03846
α`β
25 ` 1
26
αβ
1 ˚ 25
25
“
“
“ 0.00137.
pα ` βq2 ` pα ` β ` 1q
p1 ` 25q2 p1 ` 25 ` 1q
18252
(b) Calcular la probabilidad de que más del 1% del cierre de la capacidad de planta sea
atribuible a la reglamentación ambiental y de seguridad
X „ Bp1, 25q
Desarrollo:El cálculo se hizo son R y con la app, pero se realizó de la siguiente manera
también
P px ą 0.01q “ 1 ´ P px ă 0.01q “ 1 ´ 0.22217 “ 0.77782
Es decir, la probabilidad de que sea atribuible el cierre de la planta a la reglamentación
ambiental y de seguridad es de 77,78%
3. Suponga que se lanza un dado corriente dos veces consecutivas. Sean X: máximo valor
obtenido e Y: suma de los valores obtenidos. Calcular el valor esperado de g(X, Y) = XY
ÿ
Ergpx, yqs “ rgpx, yq ˚ P px, yqs
Ergpx, yqs “ r11{18s “ 0.6111
gpx, yq “ 0.611
4. La estatura de los hombres colombianos es una variable aleatoria con distribución normal de
media 167 cm y desviación estándar de 3 cm.
(a) ¿cuál es el porcentaje de hombres colombianos que tienen i) una estatura mayor que
167 cm, ii) mayor que 170 cm, iii) entre 161 cm y 173 cm?
Desarrollo: Para esto se tiene que X „ N p167, 3q
i) P pX ą 167q “ 0, 5 esto es deducible, ya que se supone que la media es 167 cm,
eso quiere decir que hay un 50 % de probabilidad de que tengan esta estatura.
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ii)
1 3´167 2
1
f p170q “ ?
e´ 2 p 3 q “ 0.1586.
2π ˚ 32
P pX ą 170q “ 0.1586
Para hallar las personas que están entre 161 y 173 cm de altura debemos sumar las
probabilidades de ocurrencia de este evento para los menores a 161 cm y los mayores
de 173cm, luego de esto se le resta al área total de la siguiente manera.
P p161 ă X ă 173q “ 1 ´ rP pX ă 161q ` P pX ą 173qs
P p161 ă X ă 173q “ 1 ´ r0.02275 ` 0.02275s “ 0.9545
Esto nos resulta en que la probabilidad de que haya personas de esa estatura es de 95.45
(b) En una muestra aleatoria de cuatro hombres colombianos, ¿cuál es la probabilidad de
que todos tengan una estatura mayor de 170 cm?, ¿dos de ellos tengan una estatura
menor que la media?
Desarrollo: En el desarrollo se tiene que evaluar que ya al tener una muestra la
podemos multiplicar por la probabilidad de que estas cuatro personas tengan estatura
mayor a 170 cm X:= personas con estatura mayor a 170, de la siguiente manera lo
desarrollamos
4 ˚ P pX ą 170q “ 4 ˚ 0.1587 “ 0.6348
4!
“6
Ahora usamos la fórmula de combinatoria Cp4, 2q “
2! ˚ p4 ´ 2q!
Entonces la probabilidad de que dos hombres tengan estaturas por debajo de la media
se traduce en este cálculo p0.5q2 ˚ p0.5q2 “ 0.0625 Con ello tenemos que al multiplicar
esta probabilidad con la combinatoria que nos dio 0.0625 ˚ 6 “ 0.375 lo que quiere decir
que tiene una probabilidad del 37.5%
5. (10 points) Sea X una variable aleatoria con función de densidad dada por:
(a) La función de distribución acumulativa FX pxq.
Desarrollo: El procedimiento para realizar este punto es hallando el área acumulada
hasta x de tal manera que Fx pxq se desenvuelva evaluando la integral de la función para
cada caso según los lı́mites de integración que se plantean en el gráfico.
$
0
’
’
’
4
’
’
& x
2
Fx pxq “
1
’
’
p1 ´ pp2 ´ xq4 ´ 1qq
’
’
’
% 2
1
żx
0 ă X ď 1 Ñ“
0
Estadı́stica y Probabilidad
t4
2t dt “
2
ȷ0
3
“
x
para x ď 0
para 0 ă x ď 1
(1)
para 1 ă X ď 2
para x ě 2
x4
2
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ż1
żx
3
1 ă X ď 2 Ñ“
2t dt `
0
1
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1
2p2 ´ tq3 dt “ p1 ´ pp2 ´ xq4 ´ 1qq
2
Xě2Ñ1
(b) ¿Cuál es la probabilidad de qué Y “ 2X ` 1 esté en r 21 , 32 s?
Desarrollo: P p1{2 ă Y ă 3{2q
P p1{2 ă 2X ` 1 ă 3{2q
P p´1{4 ă X ă 1{4q “ F p1{4q ´ F p´1{4q Se puede hacer mediante integrales y teniendo en cuenta que de -1/4 a 0 el área acumulada es 0, entonces se hace la integral
para la primera parte de la gráfica, ya que no pasa de 1
ż 1{4
2x3 dx “ 0.00195 La probabilidad es de 0.195%
0
(c) Calcular µ :“ EX y σ 2 :“ V arpXq
ż1
ş
ż2
3
Desarrollo: se tiene que µ “ ErXs “ X ˚ f pxqdx
x ˚ 2p2 ´ xq3 dx “ 1
x ˚ 2x dx `
0
1
ahora se tiene que σ 2 “ V arrXs “ ErX 2 s ´ pErXsq
ż1
ż2
16 2
2
3
16
2
σ “ 1` 15
“ 2.0667 Ñ σ “ 1.437
Para ErX s “
x ˚2x dx` x2 ˚2p2´xq3 dx “
15
0
1
(d) Hallar P pµ ´ 2σ ă X ă µ ` 2σq
P p1 ´ 2 ˚ 1.437 ă X ă 1 ` 2 ˚ 1.437q
P p´1.874 ă X ă 3.874q
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Como se puede ver la probabilidad de -1.874 a 0 es cero, la probabilidad de 2 a 3.874
es cero, entonces el área restante es la probabilidad que resulta y esta probabilidad es
de 100%
6. Una caja contiene tres puntillas, cuatro tachuelas y dos tornillos. Se extraen, al azar, tres
objetos(sin reemplazo). Sea X el número de tachuelas y Y el número de puntillas extraı́das.
Hallar la distribución conjunta de X e Y. ¿Cuál es la probabilidad de que P pX ă 2, Y ě 2q ?
Desarrollo:Dado que estamos extrayendo tres objetos sin reemplazo, el número total de
formas diferentes de seleccionar tres objetos `de˘ la caja, que contiene 3 puntillas, 4 tachuelas
y 2 tornillos, es igual al coeficiente binomial 93 , que representa el número de combinaciones
de 9 objetos tomados de 3 en 3. Esto se calcula como:
`9 ˘
3
9!
3!p9´3q!
“
“
9ˆ8ˆ7
3ˆ2ˆ1
“ 84
Ahora, para calcular la probabilidad de pP pX ă 2, Y ě 2qq, sumamos las probabilidades de
los casos en los que pX ă 2qypY ě 2q:
P pX ă 2, Y ě 2q “ P pX “ 0, Y “ 2q ` P pX “ 1, Y “ 2q ` P pX “ 0, Y “ 3q ` P pX “
1, Y “ 3q ` P pX “ 0, Y “ 4q ` P pX “ 1, Y “ 4q
22
q dividido por el número total de formas de
La probabilidad de que pP pX ă 2, Y ě 2qq es p 84
extraer tres objetos
22
84
P pX ă 2, Y ě 2q “
7. Sean X e Y variables aleatorias con función de densidad de probabilidad conjunta dada por:
Hallar las funciones de densidad marginales de X y Y
P pX “ 1q “ 0.4,
marginal de x:
P pX “ 2q “ 0.3,
P pY “ 0q “ 0.2,
ş8
P pY “ 2q “ 0.6 Solución: Función
f px, yq dy
´8
ş0
px
1
` yq dy
ş0
x dy ` 1 y dy
1
ş0
Función marginal para X: “ x ` 1{2
Función marginal de Y:
ş8
f px, yq dx
´8
ş0
px
1
` yq dx
ş0
ş0
x dx ` 1 y dx
1
Función marginal para Y: “ y ` 1{2
8. Sean X e Y variables aleatorias con función de densidad de probabilidad conjunta dada por
"
f px, yq “
Estadı́stica y Probabilidad
expr´px ` yqs si x ą 0
o
C.O.C.
(2)
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Figure 1: Gráfica punto 8-a
(a) P p1 ă X ` Y ă 2q
Desarrollo P p1 ă X ` Y ă 2q
P p´X ` 1 ă Y ă ´X ` 2q
ż 2 ż ´X`2
ż
ż 1 ż ´X`2
´x´y
´x´y
e´x´y dydx “ 0.329754
e
dydx `
e
dA “
0
0
1
´X`1
(b) P pX ă Y |X ą 2Y q
Figure 2: Gráfica punto 8-b
P pX ă Y |X ą 2Y q
P pA{Bq “
P pA{Bq “
P pA{Bq “
P pAXBq
P pBq
P pX ă Y, X2 ą Y q
P p X2 ą Y q
ż8ż8
ż8ż
´x´y
e
dydx `
0
X
0
ż8ż
X
2
e
0
´x´y
X
2
e´x´y dydx
0
“ 5{2
dydx
0
(c) P pX ą 1q
ż8ż8
1
“
e´x´y dydx “
e
1
0
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Figure 3: Gráfica punto 8-c
9. Suponga que X e Y son variables aleatorias con distribución conjunta dada por:
Figure 4: Distribución conjunta
Determinar valores para α, β, γ, δ, η, κ de tal manera que: P pX “ 1q “ 0.4,
0.3, P pY “ 0q “ 0.2, P pY “ 2q “ 0.6
P pX “ 2q “
Desarrollo:La solución de cada variable se puede encontrar por medio de las ecuaciones, sin
embargo, es necesario hallar las probabilidades marginales y con ello encontrar las variables
con el uso de la iteración
P pX “ 1q “ 0.4 “ 0.2P pyq ` αP pyq ` βP pyq
P pX “ 2q “ 0.3 “ γP pyq ` 0.1P pyq ` δP pyq
P pX “ 3q “ P pxq “ ηP pyq ` κP pyq ` 0.3P pyq
0.4 “ 0.2 ` α ` β
0.3 “ γ ` 0.1 ` δ
x “ η ` κ ` 0.3
Por medio de probabilidades marginales desarrollamos lo siguiente:
P pX “ 0q “ P pX “ 1, Y “ 0q ` P pX “ 2, Y “ 0q ` P pX “ 3, Y “ 0q “ 0, 2 ` 0 ` 0 “ 0, 2
P pX “ 1q “ P pX “ 1, Y “ 1q ` P pX “ 2, Y “ 1q ` P pX “ 3, Y “ 1q “ 0, 1 ` 0, 1 ` 0 “ 0, 2
P pX “ 2q “ P pX “ 2, Y “ 0q ` P pX “ 2, Y “ 1q ` P pX “ 2, Y “ 2q “ 0, 3
Con estos resultados se puede generar una iteración y encontrar los valores necesarios
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10. (10 points) Sean X e Y variables aleatorias con función de densidad de probabilidad conjunta
dada por
" c
senpx ` yq si 0x π2 , 0y π2
(3)
f px, yq “ 2
o
C.O.C.
(a) El valor de c
żπż
2
F px, yq “
0
π
2
0
C
senpx ` yqdydx=1
2
C=1
(b) Las funciones de densidad marginales de X y Y
?
ż
żπ
2 1
2senpy ` π4 q
Fx pxq “ px, yqdx “
senpx ` yqdx “
2
0 2
?
2senpy` π4 q
2
“ 0 ď x ď π2
?
ż
żπ
2 1
2senpy ` π4 q
Fy pyq “ px, yqdy “
senpx ` yqdy “
2
0 2
F pyqt
Fx pxq “
(c)
?
2senpy ` π4 q 2“0ďxď π
2
(d) P p0 ă x ă π4 , 0 ă y ă π4 q
?
żπżπ
4
4 1
2 1
senpx ` yqdydx “
´
F px, yq “
2
2
0
0 2
11. Sean X e Y variables aleatorias discretas con distribución conjunta dada por:
Figure 5: Distribución conjunta
Calcular Cov(X, Y ) y correlación (X, Y )
Solución:
1
18
rErXY s “
¨ 1 ¨ p´1q `
3
18
CovpX, Y q “ ErXY s ´ ErXs ¨ ErY s
¨ 2 ¨ p´1q ` 91 ¨ 3 ¨ p´1q ` 19 ¨ 1 ¨ 0 ` 0 ` 61 ¨ 2 ¨ 0 ` 0 ` 92 ¨ 3 ¨ 0 ` 0 ` 61 ¨ 1s
ErXY s “ ´5{2
rErXs “
1
18
¨1`
3
18
¨ 2 ` 19 ¨ 3 ` 19 ¨ 1 ` 0 ` 16 ¨ 2 ` 0 ` 29 ¨ 3 ` 0 ` 16 ¨ 1s
ErXs “ 1{6
rErY s “
1
18
¨ p´1q `
3
18
1
9
¨ p´1q ` ¨ p´1q ` 19 ¨ 0 ` 0 ` 61 ¨ 0 ` 0 ` 29 ¨ 0 ` 0 ` 61 ¨ 2s
ErY s “ ´1{18
Resultado de la covarianza:
Covpx, yq “ ´53{108
Correlación de pearson:
En primer lugar encontrar:
VarpXq “ ErX 2 s ´ pErXsq2
VarpY q “ ErY 2 s ´ pErY sq2
Para la varianza en X:
ErX 2 s “
1
18
` 23 ` 3 ` 19 ` 0 ` 43 ` 0 ` 2 ` 0 `
Estadı́stica y Probabilidad
1
6
“
50
9
Vanegas Jefferson, Rodriguez Hilleily
Universidad Distrital Francisco José de Caldas 9
50
9
V arpXq “ ErX 2 s ´ pErXsq2 “
` 1 ˘2
´
6
“
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
50
9
´
1
36
´
1
324
“
200
36
´
1
36
199
36
“
Para la varianza en Y:
ErY 2 s “
1
6
`
1
3
“
1
2
V arpY q “ ErY 2 s ´ pErY sq2 “
1
2
` 1 ˘2
“
´ ´ 18
Correlación de pearson: ρpX, Y q “ ?
1
2
CovpX,Y q
162
324
“
´
1
324
“
161
324
“ ´0, 2960
VarpXq¨VarpY q
12. Sean X e Y variables aleatorias independientes. Si pXBp3, 1{3qq y pY Bp2, 1{2qq, calcule
pP pX “ Y qq.
P pX “ 0q “
`3˘`1˘0 `2˘3
P pX “ 1q “
`3˘`1˘1 `2˘2
P pX “ 2q “
`3˘`1˘2 `2˘1
P pX “ 3q “
`3˘`1˘3 `2˘0
P pY “ 0q “
`2˘`1˘0 `1˘2
0
1
2
3
0
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
“
8
27
“
12
27
“
6
27
“
1
27
“
1
4
`2˘`1˘`1˘
P pY “ 1q “ 1 2 2 “ 12
` ˘` ˘2 ` ˘0
P pY “ 2q “ 22 12 12 “ 41
` ˘` ˘2 ` ˘0
P pY “ 3q “ 23 12 12 “ 14
Probabilidades conjuntas:
P pX “ 0, Y “ 0q “ P pX “ 0q ˚ P pY “ 0q “
P pX “ 1, Y “ 1q “ P pX “ 1q ˚ P pY “ 1q “
P pX “ 2, Y “ 2q “ P pX “ 2q ˚ P pY “ 2q “
P pX “ 3, Y “ 3q “ P pX “ 3q ˚ P pY “ 3q “
2
27
6
27
6
108
1
108
Sumatoria de probabilidades:
P pX “ Y q “
6
27
`
6
27
`
6
108
`
1
108
“
64
108
13. Un profesor desea determinar los efectos de ver televisión en los resultados de un examen,
para esto toma siguientes datos, que representan la cantidad de horas que 12 estudiantes
vieron televisión durante el fin de semana y las calificaciones que cada unos de ellos tuvo en
una prueba el lunes siguiente.
Graficar el diagrama de dispersión.
ř
X̄ “
Xi
N
“
54
12
Covarianza:
ř
covpX, Y q “
Xi˚Y i
N
´ X̄ ˚ Ȳ “
3724
12
´ 4.5 ˚ 5, 66 “ ´30, 16
Varianza:
σ2 “
σ2 “
X2
N
ř 2
Y
N
ř
´ X̄ 2 “
332
12
´ Y¯2 “
70836
12
Estadı́stica y Probabilidad
´ 4, 52 “ 7, 41
´ 75, 6662 “ 177, 55
Vanegas Jefferson, Rodriguez Hilleily
Universidad Distrital Francisco José de Caldas 10
ρpX, Y q “ ?
CovpX,Y q
VarpXq¨VarpY q
“
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
? ´30,167
7,41˚177,56
¿Qué tipo de relación hay entre las variables?
La relación entre las horas vistas en la televisión por estudiante y las calificaciones es inversamente proporcional, esto se puede evidenciar por el signo de la covarianza y la gráfica
de dispersión, además, el coeficiente de Pearson demuestra el mismo comportamiento al ser
negativo.
Encuentre la recta de regresión.
y “ mpx ´ x̄q ` ȳ
y “ mx ´ x̄m ` ȳ
m“
σxy
σ 2 xy
“
´30,16
7,41
“ ´4, 06
´x̄m ` ȳ “ 93, 97
Recta de regresión:
y “ ´4, 06774x ` 93, 97
1
ANEXOS
Estadı́stica y Probabilidad
Vanegas Jefferson, Rodriguez Hilleily
Universidad Distrital Francisco José de Caldas 11
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Figure 6: punto 5, Matlab
Figure 7: punto 8, Matlab
Figure 8: punto 10, Matlab
Figure 9: Cálculos R-studio
Estadı́stica y Probabilidad
Vanegas Jefferson, Rodriguez Hilleily
