1-MEDICION

@
ffi
Wrupww"{rruerztta
lV#'edde,üdsa
OtsJET¡VO
ftlii${i$.¡$.{I$
ffilx.i$i,1.,.,Wii
p.
ii,h¡'s'iriiiffi
D'espués coja un puñado normal y cuente
Las partes de este exPerimento son:
1.
y
Medición
error experimentai en una
muestra discreta
2.
3.
1.
Medición
y
propagación de errores
EXP ERI
fvl
y
ERROR
(lN c E RTI
EMAL
D Utvl E R
E)
OEJETIVOS
Determinar la curva de distribución normal
en un proceso de medición, correspondiente
al número de frijoles que caben en un puñado
normal.
Determinar
la
incertidumbre
en
este
proceso de medición.
2.
Determine la INCERTIDUMBiIE NOHMAL
o
desviación estándar, A(nmP),
puñado ni muy apretado ni muy suelto).
)
MANUAl DE LABoRAToRto oe rÍstcn GENIERAL
los
de
ias
100
(1 .1)
(Nu-nmp)
'
-2
k=1
Un Iazón mediano de Plástico
hasta lograr su puñado normal
la
Sea N¡ el número <je granos obtenidos en
la k-ésima operación. Halle la media
.+=
Iz,
lnn
Dos hoias de PaPel milimetrado
de
medición anterior. Para ello proceda así:
1
La raíz cuadrada posltiva de esta rnedia
Deposite los frijoles en el tazón' Coja un
puñado cle frijoles del recipiente una y otra
l
cÁLCULOS Y RESULTADOS
1. Determine la media aritmética de los 100
números obtenidos. Esta media aritmética
es el número más Probable, nmP de
frijoles que caben en un pr-rñado normal'
cuadracios
que
será:
ññF,
Nk
diferencias
PROCEDIMIEÍ\¡TO
)
número de muestras (puñados) es 20'
Un tazón de frijoles
vez
el
resultado y repita la operación, por lo menos
aritmética cie
MATERIALES
.
o
u
de granos obtenido' Apunte
100 veces, llenando una tabla como la
indicacla en el ejemplo siguiente, donde el
Gráfica de los resultados experimentales,
curvas de ajuste
lVlEOlC¡ór'¡
el
'núnrero
aritmética es el número A(nmp), br"lscado;
en general:
(un
^(nmp)
("
=
i#
t
- 1/t
1oo
'I
k=1
(Nr.-nmp)
'zl')
(2)
r$
ol
¡l
t
,l,f+
fuIEDICIÓN
3.
Grafique la posibilidad de que un puñado
normal contenga tantos granos de fiijoles.
Sean, por otra parte, f, s dos números
naturales. Diremos que un puñado de frijoles
es de clase [r, s) si tal puñado contiene x
frijolesysecumpleque r< x<s.Sea N el
número de veces que se realiza el
experimento . consistente en extraer un
puñado normal de frijoles, y sea n(r, s) el
núrnero de veces que se obtiene un puñado
de clase [r, s), a este número n(r, s) se
conoce como frecuencia de la clase [r, s). Al
cociente de dichos números (cuando N es
suficientemente grande) lo llamaremos
PROBABILIDAD n(r, s) DE QUE AL
EXTRAER UN PUÑADO, ÉSTE SEA DE
CLASE [n , r); es decir
rr [r,
s)
n [r, s)
,
N muy grande
La probabilidad así determinada quedará
mejor definida cuando más grarrde sea el
^,',*^-^
tru¡ilctu
Nt
F+
,f.*
,"*
t{.
Grafique tanto la probabilidad nIr, r + 1)
como la probabilidad n[r , r + 2)
A
continuación damos un ejemplo, con
N = 20, a fin de aclarar conceptos.
(Atención: este es un ejemplo artificial,
pues N = 20 es demasiado pequeño)
Nk : es el número de granos en
,t+
(G+
,cl
,¡rf
,F+
(o'+
rlrf
I
el
k-ésimo puñado.
rr.f
(aÉ
(l+
CÉ
(}*
-+
c.F
- 4,75
22,56
- 2,75
7,56
1,25
1,56
- 1,75
3,06
- 3,75
14,06
- o,75
0,56
2,25
5,06
5,25
27,55
(F
(¡t
1,75
3,06
{};
- 2,75
7,56
- 0,75
0,56
(É
2,25
5,06
'!Flt
4,25
18,08
0,25
0,06
- 1.75
3,06
,lp
- 1,75
3,06
'atF
0,75
0,56
3,25
10,56
0,25
0,06
1,25
r,cb
I
e+
(}+
(i
.f
Git
,ü
jü
IF
!+
.#
.+
.#
= 135,21
*
.J'
.r
c+
I
ü1ANUAL DE LABo,qAToRto
nr, rislcn
GENEFTAL
I
Crir
FACULTAD DE CIENCIAS-UNI
3. Después de realizar los experimentos'
de
¿qué ventaja le ve a la representación
1)?'
+
Á¡r, r+ 2) frente a la de'nlr,r
m = puñado más Pequeño
¡l = puñado más grande
nmp =
1265
-ff
=
O¿-'
de
4. ¿Qué sucedería si los'frijoles fuesen
ümaños apreciablemente diferentes?'
to
tr
1
A(nmP) =
35, 21
20
Dibuje en un plano la frecuencia versus
número de f rijoles; trace a su criterio, la mejor
curva normal. A2l3 de la altura máxima trace
una
recta horizontal, generándose
el
segmento AB.
En el ejemplo mostrado se debía contar
alrededor cle 60 frijoles por puñado'¿Sería
ventajoso colocar sólo 100 f rijoles en el
el
recipiente, y de esta manera calcular
número cle frijoles en un Puñado'
contando los frijoles que quedan en el
recipiente?.
6. ¿Qué sucedería si en el caso
anterior
colocara sólo, digamos, 75 frijoles en
el
reciPiente?.
n(r, s)
que exige
"más paciencia" es ei proceso de coniar'
Para clistribuir esta tarea entre tres
7. La parte de este experimento
4.
personas ¿Cuál
3.4
J
2'
a.
1
I.lx
F¡gura
tompare
el
1
semi ancho Eá
_ IABI
2
participante cuenta 33 o
con
lABl=Zsa = 64,9 - 60,1 = 4,8
A(nmp)
)
=2,6 i sa=2,4'
I
Como usualmente l(nmp) y sa tienen
valores cercanos, entonces el semi ancho
puede ser eonsiderado aproximadanrente
l
como la desviación standard'
l
)
)
)
)
)
)
)
)
t:
br
FREGUI.¡TAS
'!. En vez de medir Puñados, ¿Podría
2.
medirse el número de frijoles que caben
en un vaso, en una cuchara, eic'?'
Según Ud. ¿a qué se debe la diferencia
entre su Puñado normal Y el de sus
comPañeros?..
CacJa participante realiza
extracciones Y cuenta los
co rresPondientes f rijoles'
33 ó
34
b. Uno de los participantes realiza las
100 extracciones Pero cada
A(nmp)
I
sugerencias
proponclría Ud.?. ¿Por qrré?'
2.26
I
de las
r
MI\I.]UAL DE LA9ORIITORIC NT TÍSICA GEN¡ERAL
34 puñados'
8. Mencione tres posibles hechos que
observarían si en vez de 100 puñados
9.
extrajeran 1 000 Puñados?'
de las
¿Cuál es el promedio aritmético
desviacion€s o¡ - nmP ?'
razón para haber
A(ñmP) en vez de tomar
10.¿Cuál cree Ud. es
áefinido
simPlemente
la
el Promedio de
las
desviaciones?.
ii.Después cie reaiizar ei experimenio coja
Ud. un puñado de frijoles' ¿Qué puede
Ud. afirmar sobre el número de friioles
contenido en tal Puñado (antes de
contar)?
'
12.Si Ud. considera necesario' compare-los
y
valores obtenidos por ud' para a(nmp)
resultados
Para sa; comPare con los
o,
gl
¿
MEDICIÓN
obtenidos por sus compañeros. ¿Qué
conclusión importante puede Ud. obtener
de tal comparación?.
'13.
Mencione Ud. alguna ventaja
o
desventaja de emplear pallares en vez de
frijoles en el presente experimento.
G
MATER¡AL
O'l
r
r
o
Un paralelepípedo de metal
.G
Una regla graduadá en milímetros
oi
or
Un pie de rey
C
ef
CRITERIO PRINC¡PAL
2"
PROPAGAC¡Oil¡ DEL ERROR
EXPERIMEN¡TAL
Designado con u la unidad de la menor
escala del instrumento de medición, entonces
la incertidumbre en esta escala será igual a
OEJET¡VOS
+0,5u.
c Expresar los errores al
medir
directarnente longitudes con escalas en
milímetros y en 1120 de milímetro.
Ejemplo: Si al medir dos longitudes se
obtuviera las líneas mostradas en las figuras
2a y 2b donde las unidades u son las
o Determinar magnitudes derivadas
unidades de me,nor escala.
o
C
Ji
ell
!
G
er
G
G
or
indirectas, calculando la propagación de las
incertidumbres.
G
Ctr
or
(F
J
G
G
En la figura
indica: (78,2
escala.
+
2a
diremos que la flecha
0,5 ) unidades de la menor
Queriendo decir que
la longitud medida
estáentre(78,2 - 0,5)u y (7E,2+0,5)u
En la figura 2b diremos que la flecha
indica (78,
escala.
I + 0, 5) unidades de la menor
Esto indica que esta longitud esiá
comprendidaentre(78,8 - 0,5)u y (78,8
+ 0,5)u
Fn ei apéndice A.1 se
indica
brevernente cómo se lee una medición con
pie de rey.
hlü"f'ér:
c
Figura 2b
Fíqura 2a
(}!
FUq{DAMET\¡TO TEéRICO
En ei proceso de medición, el tratamiento
de errores (también llamados errores) nos
lleva al tema de la propagación de éstos, al
buscar expresar el valor de magnitudes que
se determinan indirectamente.
Teniendo
y que Ax
G
(t
J
J
(1.3)
'ü
x, es
aproximación.
Ax=dx
(F
de
Ax;
en cuenta que el error
medición directa, de una magnitud
G
G
G
Así, para cualquier magnitud indirecta
que se mide indirectamente) por ejemplo:
(o
e
e
G
(F
oi
J
V = V,(x, y)
(j,
cuya expresión diferencial es:
Jl
JI
't
{i
MA¡ruAL DE LABoRAToBTo
nr
11
rÍslc.q ciE¡\i€RAl
G
¡
at
i$.r
ffi
&
t
{
{
¡
{
ü
ü
ü
ü
t
t
{
a
a
s
FACULTAD DE CIENCIAS. UNI
crv =
flox .
Procediendo
#ou
(1.4)
poclremos calcular el error de V si se conoce
explíciiamente V = V(x, y) y se hace las
aproximaciones
suma
Ax =dx
resta
=
Ay=dy
{
{
ü
t
{
ü
ü
*
ó
s
Ejemplo cle aplicación:
Calcular el volumen de un cono recto de
cociente
radior yalturah.
Solución:
o
error.
teniendo en cuenta la aproximación (ya
indicada)
AV=dV
Á$
= x - y - (Ax + AY) valor mínimo
resta = x - y +(Ax+AY) valormáximo
resta
TAREA:
(1.7)
Ar =dr
Ah=dh
Dadas las siguientes relaciones:
x+y
ff= x-y
Q*
se obtiene la expresión correspondiente a
la incertidumbre en el cálculo del volumen V.
Así, el valor del volumen se
(1.8)
expresa
como:
Volumen= V +
AV
donde:
v = ¿ nr't',
o
ü,
^v)
-lv)
(1.6)
I{OTA: En este casa se requieren además,
11 2n'
que los valores ,
i I .tengan suficientes
dígitos como paÁ ev¡lar introdttcir errores
mayores que las correspandientes a las
nteciicior¡es de r y de h.
a
n
)
ou=Snrhdr *fin,2an
ü
ü
¡L
v
(1.5)
ou=Snrhar*[t2ltn
fl,
$'
* llx
= Iv +-l-+
-yIx
+-Ay
v = ]r,r2rr
fl
fl
ü
ü
*
t -t IT
(1.10)
NOTA: Las valores Ax Y AY no se restan
como se hubiera hecho en la resta y el
cociente, por cuanio en la mediciórt ía
inceftidumbre esta entre el mínimo y máximo
{
t,
= X*y t (ax+ay)
= x -y t (Ax+Ay)
producto= xy
ó
fl
diferenciales) se obtiene que, para los casos
en que se tenga la suma, resta, multiplicación
o cociente de dos magnitudes x e y, el valor
experimental incluyendo los respectivos
errores son:
dV
AV
de esta manera (con
fulANU,qL DE LABORATOBIO DE F¡SICA GEI\IERAL
(1.s)
D_
l-
xy
Q=
I
v
Verifique los resultados
anteriores
mediante diferenciales considerando que:
Ax =dx
t,' - L¡Y
A',
Ay
-
PROCED!MIENTO
Tome el paralelepípedo de metal
sus tres dimensiones con:
a. LJna regla graduada
b. Un pie de rey
en milímetros
y
mida
o
,a\
MEDICIÓN
$
N0TA: Eslas mediciones deben estar
provistas de /as incertidumbres, mencionadas en el Criterio Principat.
CÁLcULOS
Y RESU¡.TADoS
Deterrnine el área total A y el volumen V
del paralelepípedo.
ü
]
}
paralelepípedo, para éste determine:
a.
b.
el área total Al se
el volumen
total
J
V1s9
Todas estas mediciones se reoistrarán en
la siguiente tabla.
Suponga que coloca 100 paralelepípedos,
apoyando uno sobre otro, formando un gran
ü
J
J
J
J
J
j
TABLA DE MEDICIONES Y RESULTADOS
C
J
J
J
C
J
largo a
C
BREG[,Ifl\ITAS
1" ¿Las dimensiones de un paralelepípedo
se pueden determinar con una sola
rneciición? Si ño, ¿cuál es ei
o Determinar la relación entre el período y
la longitud / del péndulo.
o Coirstruir funciones
polinómicas que
representen a dicha función.
3.
,J
¿Qué es rnás conveniente para calcular el
volurnen del paralelepípedo: una regla en
milínietros o un pie de rey?.
GMÁF¡CA DE RESUTTADOS DE
e
.C
e
e
e
tJÍ\{Á.
nfiE0gütó[.t
J
ffF,tETIVelS
,,
Deternniila.i' las condiciarre6 para qLle un
pérrdr.rlo simpie
irrdepenciiente
(0 < 12")
e
J
procedimiento más apropiado?.
2.
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
cie
tenga-r sll
C
j
perícrtf o
su amplitud angular
0.
C
Figuana 3
C
J
M.AhiuAr" DE lAEoR,AToil¡c,
or
pis¡ca
GENTET¡AL
;¡l
J
C
i&,
W
W
FACULTAD DE CIENCIAS. UI:I
@
I
s
$
e,
s
0
e
T
s
e
0
s
s
n
s
s
oscilación (o 10 oscilaciones) no
MATERIALÉS
o
o
*
o
Una regla graduada en mm.
2'
Un cronómetro
02 hojas cle PaPel milimetrado
pFr0cEDla,l!EsüTO
1'
Sostenga el pénclulo cle manera que el
hilo de soporte forme un ángulo 0 con la
vertical. Suéltelo y mida el tiempo que
demoran 10 oscilaciones completas,
(cada oscilación es una ida y vuelta
cornpleta). Ahora determine el significado
de "para ángulos 0 ' suficientemente
pequeños el tiemPo que dura una
¡9
s
0
*
p
0
s
s
¡$
i&
{
{
s
0
t
e
ü
ó
tu
fl
{
T
s
*
o
o
c
@
depende del valor de 0". En lo que sigue
supondremos que tr.abajamos con valores
de 0 suficientemente Pequeños.
Un péndulo simple de 1,5 m de longitud
MAi{uAL Di: L.'],;lol?/\To¡:lo
o;
¡-íslcA
(;[fii:liAl
Fije una cierta longitud {¡para el péndulo
(10 cm < /¡ < 150 cm), Y midiendo 10
oscilaciones completas determine
el
período T¡1 de dicho péndulo' Repita ésto
5 veces, obteniendo Tr,Z "' Tr5' Luego
cletermine el período más probable T¡ de
dicho pénduto como media aritmética Ce
las cinco mediciones a-nteriores'
Realice todo lo anterior para [( = 1,2, "''
10 ; obteníendo así 10 Puntos (Tt , h)'
(Tlo , ho) , llenando la
'(T.z , [z),
sigúiente tabla:
3
I
rdEDrc¡ÓN
EALCULOS
1.
I
Y
RESULTADOS
{,r,,
rr
); (Tz,t2);...;(Tro,i.,ol}
F
6.
¿Dependen los coeficierrtes a, F, ^( de la
terna cie puntos por donde pasa t?.
7.
}
}
Para determinar s,9, T se eligieron tres
punios. ¿Por qué no dos? ¿O cuati'o?.
Calcule la incertidumbre Af
I
ot=
¡ 1/2
'10
l* k-1r[a-t trr)]
t.
2l
8. En general, según como elija 0, B, y
obtendrá un cierto valor para Af. ¿ Podría
Ud. elegir rx, P, y de rnanera que Af sea
nrínima (aunque f no pase por ninguno de
los puntos de la función discreta)?
¿Puede elegir o, 0, y de manera qLie
(1.13)
|
t
3.
1r.rr¡
)
Grafique una nueva función discreta:
Af=6r.
{i
t?, tt ); (r3, b);...; ( t?o,
r,o
l}
(1.r4)
4. Elija una curva de ajuste polinómica
de
segundo orden y deternrine los
coeficientes c{,p y T de la funciórr
g(T) = 0 + gT + y T2 de manera que
pase por tres puntos "convenientemente"
elegidos de esta seguiida función.
9. ¿Quá puede afirmarse, en el
presente
experimento, con respecto al coeficiente y
de la función g(T)?.
'N
0.
¿Opina Ud. que, por ejemplo usando un
trozo cle hilo de coser y una tuerca, puede
repetir estos experimentos en su casa?.
'!2"¿Tiene Ud. idea de cuántas oscilaciones
puede cJar
para
medir el periodo deje caer la "rnasa" del
péndulo. ¿Qué sucede si en '¡ez de ello
LJd. lanza la "masa"?.
que
tenga la "masa"?. Explique.
3.
4.
5.
¿Depende el período del material que
constituye la "masa". (p.e.: una pesa de
metal, una bola de papel, etc)?.
Supongamos que se mide el período con
0 = 5o y con 0 =10o. ¿ En cual de los dos
casos resulta mayor el período?
Para deterrninar ei periodo (duración de
una oscilación completa), se ha pedido
rnedir ia duración de J 0 osciiaciones r¡ de
allí
determinar
la duración de
oscilación. ¿,Por qué no es
ei péndulo
ernpleado, con
tk= 100 cm, antes de cietenerse?.
1. Anteriormente se le ha pedido que
2" ¿Depende el período del tamaño
¿Cuántos cceficientes debería tener la
función g para estar seguros de Ag = 0?.
't1.
Ver teoría de ajustes en el apéndice B
PREGUNITAS
una
convenie¡-rÍe
;
medir la duración de una sola oscilación?.
¿Qué sucedería si rnidiela el tiempo
necesario para 50 oscilaciones?.
Grafique la función discreta
f(T¡) =
2.
,l
lS.Observe que al soiiar el péndulo es muy
difícil evitar que la masa "rote". ¿Modifica
tal rotación el valor del período?. ¿Qué
propondría Ud. para elirninar le. citada
APÉN!DICE A
EE'ICIOF! ES Ctr!\{ \i
F
F
,*d
F
J
G
ú
rv
}
;
!
!i
G
G
J
J
J
;
j
G
G
}|
G
G
roia.ciórr?.
M
!
|C,
EEqFJ
!
('
Effi
El vernier o ple de rey es un instrumento
empleado para medir longitudes exteriores o
profundidades con escala desde cm. hasia
fracciones de milímetros (i/r0 de milímetros
ó lrasta 1120 de milímeiro).
l-a siguiente {igiri'a rnuestra urr pie de rey
con escala hasia cie 1/.20 cle rnilímetro.
(i,i r'rn = 0,05 rrryr1
J
ü
ú
J
ü
ü
't|
C
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I\,1J1I.IIJAL i:JE LAEOFIATORIO
DE FíSIC¿. GE¡IEI:'I,AL
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FACULTAD DE CIENCIAS . UNI
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ü
ü
s
s
iÜ
I
s
s
s
¡{D
FiEuna 4
Para leer la longitucl inclicacia ya sea de
prof uncliclacl o exterior se procede como
sigue:
a" La lectu¡'a es de 26 mm más una fracción
cle rnilímetro. El número de milímetros se
lee a la izqr-riercla clel CERO del nonio' Se
lee 26 mm en la regla.
b. La
fracción cle milímetros
se lee a
s
ü
s
*
s
s
I = x t Ax=26,i mm+0,5u'
con
con
(ver
siguienie figura) 26,1 mm, pues la iercera
rnarca del nonio coincide con una marca
de la regla de los mm. (la marca 30 mm)
= 26,1 mm + 0,025mm
et valor 0,025 mm corresPonde a
instrumento se exPresará
/=xl-FtrTl+O,O25mm
s
s
*
ü
a
É
ü
ü
{
ln
0
{
c
s
#'
Figura
h'l
/i ll
Ll
A
L
!,!
íi
l- /.. li:
r)
Fi
:\Tr,r R I,-¡ n C i'is;l
r:A c'ú Il
É Fl
AL
ia
incertidumbre de este pie de rey' Por esta
razón toda longitud medida con este
i5
fl
{l
u = 0,05mm
{,
la
derecha del CEHO del nonio en su escala,
buscando la división que coincide
alguna de la regla. Aquí leemos
Por consiguiente la longiiud / se expresat'
cle la siguriente manera, teniendo en cuenta el
criterio princiPal:
5
o
a
o
MEDTCtÓ¡t
CIFRAS SIGN¡FICATIVAS
Ejemplos:
El número de cifras significativas de un
número se cuenia a partir de la primera cifra
(de la izquierda) diferente de cero hasta la
última (sea cero o no) de la derecha.
Ejemplos:
0,234
c
C
x 4,5 = 5,60 = S,o
98 x 95=93x102
Jl{z = 6,22 (3 cifras sígnificativas)
ü
ü
ü
1,24
Ejemplo aclaratorio
tiene
3 cifras significativas
Q,0234 tiene 3 cifras significativas
2,340
Demostrar que el producto de los
números 3,74 y 2,8, que son resultados de
tiene 4 cifras significativas
234,000 tiene 6 cifras significativas
sendas medíciones, no puede ser "exacto" en
más de dos cifras significativas.
REDOI,üDEO DH CIFRAS
Fiesoluc!ón:
Si la cifra o fracción decimal que se va a
anular es mayor que 5, se agrega 1 a la cifra
precedente; de lo contrario no se agrega
nada.
63,7
63,2
8,19
8,14
redondeada hasta la cifra entera
más próxima es 64
redondeada hasia la cifra entera
más próxima es 63
redondeada hasta la décima máb
próxima es 8,2
redondeada hasta
próxima es 8,1
la décima más
Cuando la cifra final es 5 se acostumbra
redondearla hacia arriba.
=
10,.472 donde no todas las
cifras son significativas. Para determinar
cuántas cifras son significativas, observamos
que 3,74 incluye a todos los números
comprendidos entre 3,735 y 3,745 mientras
que 2,8 incluye a todos los números entre
2,75 y 2,85. De modo que el menor valor
posible del producto es 1 0,27125 y el mayor
valor posible es 10,67325, lo que nos hace
ver que no más de dos cif ras de este
producto son significativas;
es decir el
resultado que podemos aceptar es 10.
APÉISD¡CE B
redondeada
redondeada
a décimos es 17,s
a décimos es 17,4
OPERAEIOilIES CON VATORES
Consideremos que los siguientes puntos
(xl, yr), (xz, yz),...,(xn, yn) son resultados de
una medición en el laboratorio. Estos valores
corresponden a las relaciones funcionales
entre las magnitudes medidas del fenómeno
en análisis. Las
Cuando se efectúan las operaciones
fundamentales: multiplicación, división y
radicación de valores de mediciones, el
resultado deberá tener un número de cifras
significativas igual al del valor con menor
número de cifras significativas, de entre los
magnitudes se representan en el plano X - Y.
Aquí se buscará determinar la ecuación que
mejor se "ajusta" al conjunto de valores
medidos que representa a la relación entre
operación.
(Recuérdese que trabajamos con núrneros
que son el resultado de mediciones, es decir
con números que representan
aproximadamente el valor cle la medición).
Por ejemplo, en los siguientes casos las
mejores curvas serían una recta y una
que intervienen en la
las
magnitudes
relaciones entre dos
que intervienen en
G
CF
CC
Ct
C
C
ü?
(rl
C
(f
ú
(r
ü
APMOXI¡\fiADES
.
ú
ü
(}
G
AJI.ISTE DE CURVAS
Ejemplo:
17,45
17,35
3,74 x 2,8
G
G
G
G
el
fenómeno que nos interesa.
parábola respectivamente.
G
(c
r.c
'!f
G
,C
e
(f
'f,1f
(f
f
,'f
f
(f
r.C
1fi
III'IANU¿1.1.
iJH LAi:ORATORIO DE FÍSICA GEFIERAL
,f
,j
,$
/.
p
0
FACULTAD DE CIENCIAS. UNI
s
9
9
)
9"
,
9
9
t
I'
t
)
ü
D
I
p
I
v
I
5
fl
ü
o
ü
n
c
s
T
fl
&
T
[,]OT,A: Como en estos casos, los eies no
siempre son X - Y; pueden ser, t - X. Note que
en física el área baio la curva tiene medidas
diferentes a m2,
t
{
á
¿
dr
il
s
$
*
,
ia relación
matemática que más se aiuste a los
Determinar con mayor precisión
resultados del fenómeno medido se conoce
como el AJUSTE DE CURVAS.
Para hacer este aiuste se eliie entre las
siguientes curvas que son las más
comunes en los fenómenos físicos a nivel
f
undamental.
Si la configuración de puntos se parece
una recta, se hará el ajuste a una recta,
a.
a
Reeta
V = áo *á1X
(1 .15)
Según el caso puede hacerse el ajuste a
las siguieiltes cu rvas:
Una vez elegido el tipo de currra para el
"ajuste" se tiene que determinar las
constantes de tal manera que individualicen a
la "mejor" curva dentro de este tip9. Por
ejemplo si se tuviera que ajustar una parábola
debemos determinar con los constantes áe' á1
y az que mejor "coincicla" con los resultados
obtenidos experimentalmente.
Esto requiere resolver un sistema de
ecuaciones como veremos a coniinuación, en
que el ajuste se hárá por el método de los
mínimos cuadrados.
MÉToDos DE Los rvlí¡n¡lmos
CU,ADRADOS
Consicierando los r¡aloi'es experimentales
(xl, Yr ), (xe, Yz), , (Xn, Yn) queremos
construir una función F(x) de manera que los
puntos (x1, F(x1)), (xz, F(xz)), ... , (xn, F(xn))
gasj-Agjlgl-dgcon os pu ntos anterio res.
I
Si denotamos con
s.
ü
a
Figura 7
Figurra 6
t'aral]ota
-J!-
V=áo+a1 ){ +
c.
a2X2
(1 .1 6)
l-tipérbota
t2
x-Y.
¿¿ al
ao
D¡
las desviaciones
(Ver figura 8).
-g--
I
(1.17)
en. eurva exponencial
V=abx
(1.18)
En todos esios r;asos x é t¡ representan
variables, mientras que las otras letras denr:tan
cotrstantes o parárnetros a determinar.
El aju.ete por rnínimos cuadrados consiste
en hallar la curva F(x) tal que haga mínima la
sunta de los cuadrados de las tlesviaciones.
Esto es, se busca que:
22_2
s = Dí + Di + ... D; sea un mínimo(1'19)
(Si se curnpliese S = 0, es decir D1= D2 =
... = Dn = O se tendría que F pasa por todos
los puntos experimentales. Pero eso es pedir
demasiadc).
t
a
É
i\1r-1NUA.L OE
1,ltOÍ::i;fOR¡O DE FIS¡CÁ GEI'jERAL
1'fl
ü
{:l
MEDICIÓN
6'
qf
C
Dl = Yl 'Yt
C
C
C
;
C
]
(xo, vs)
,61
(xl , yl)
DJ
Dn61xn,
yn¡
C
Figura
I
Una curva que ajusta los datos en el
"sentido mínimo cuadrático" será llamada
"curya mínima cuadrática".
Para obtener el mínimo de S igualamos a
cero las derivadas parciales de S con
respecto a los coeficientes so y á1.
Un buen ajuste de curvas permite hacer
buenas extrapolaciones en cierto intervalo
fuera del rango de los valores rnedidos (Ver
= 2 [(ao * a1x1 - yr)+ (ao + a1x2 -y)
;|
udo
figura anterior).
... + (ao*á1X¡ -yn)l =
0
AS
- yl )xl +
RECT'A
NNíNU¡N¡O
=2
fl:
ud1
CUADRÁTICA
La recta mínimo c¡adrática que ajusta el
conjunto de puntos (11, ii), (xz, y2), ... , (xn,
yn) tiene por ecuación:
F(x) = áo
* á1x
[(ao
nn
A) IV¡=aon+a1 Ioi
i=1
á1X1
I
y¡ x¡ = ao
i=1
I
x.+a1
n
ao+a1
["
lIo¡ l-I
i=1
i=1
A continuacién se muestra la deducción
de las fórmulas anteriores:
Se establece la suma de ias desviaciones.
d1x2
-
(1.26)
l'-.
\-v
LI
""I i=1
Y¡
(1.27)
=o
I
J
I
"
t
,l
l*ur I I *; l- I
j ¡-
I
l
n
¿l
L'=,
I
l_
¡lI
0
I
(1. 8)
. (1.2
Nótese que los valores en tre corrchet ES
lcOS
dat OS
pueden ser calculados de
e;<perimentales.
Con estas ecuaciones es posible obtener
áo V dl , luego de reemplazar los valores de
x¡ e
Y¡.
(1.23)
i=1
g=(aor-
- yl )2 + (ao + ai x2 - y2)2 +
+ (ao + alxn -yn)2
(1.24)
á.¡)(1
C
C
C
C
C
J
G
|"F
C
C
ü
C;
J
t
n
$= TD:
L¿l
rF
G
I
L'-'
L
I *? (.22)
*
C
C
C
C
C
nnn
B)
(ao
De donde obtenemos:
n
(1 .21)
*
+
(1.25)
yüxz +... + (ao -F d1X¡ - yn)xnl = 0
(1.20)
donde las constantes ás, 31 se pueden
determinar resolviendo las dos siguientes
ecuaciones llamadas "ecuaciones ncrmales".
i=1
AS
C
C
C
C
C
C
HJENIFLO:
ü
Ajuste una recta míniqno cuadrática a los
siguientes datos (1;2), (2;3), (5;5), (6;5),
Cil
(7;6), (8;7)
v (2;e).
ü
'G
,#
,.C
(ú
IJ¿
MANUAL DE LABoRATonto oe
ríslc¡r cEI\EFAL
a
(ct
,1{$
¡ih
FACULTAD DE CIENCIAS. UNI
,{&
g
)y
g
SOLUCIÓN: Es útil considerar el siguiente
cuadro:
i::: lll
:.
H*ffi
i,i,i:tt..ir.l
r, .:ti'':,::
I
*
ó
1
i
¿
2
'1
¿
2
.)
t)
4
,1tr
30
42
56
108
25
36
49
64
144
269
o¿\)
J
4
s
*
5
6
7
o
U
7
12
le
s
g
I
út
9
'{
g
p
I
9
Y
Y
I
I
7
Ii=1 xi=41 ,
(1.2e)
ZV¡=37
i=
l=
1
n=
7
(número de daios)
= 0,6111 y ál=
F(x)
= 3.q *
á1 x:
+
(1.32)
a2x2
Para obtener las ecuaciones normales
que permitan calcular los coeficientes ao, a1 y
a2 se procede cle manera similar que para el
caso de la recta mínimo cuadrática, tratando
que S - D', + D2z + ... {- D24 tome su valor
mínimo. Así resulta
nnn-.
i=1
= 0,631 + 0,795x
-
i=
nn
(1.33)
¡-1
x.+a,
1
I
i=
*l*uz
1
nn
,t
I 'l
I
+á1
i=1
='i
loi
..(1,94)
i_4
lxj+a, Iri
i=
1
l.:ti..ul
(1.31)
La siguiente gráfíca mr.¡estra los Catos y la
recta que más se ajusta a los valores x, y.
v
I 't*¡ y¡=ao I
Txlv.=a^Txl
U /)
¿¿
0,795
EJEMFI.O:
Para los siguientes datos experimentales
haga el ajuste a una parábola mínimo
cuadrática
l
X
1,5
/1
v
J
L)
j
4,8
o
5,7
8,2
9,1
8,6
12
7
I
10,3
i
i
)
)
t
Los cálculos necesarios para expresar las
ecuaciones normales se muestran
enseguida:
)
)
)
Figura
9
I
I
En este caso el ajuste se hará en la forma
de la ecuación de la parábola
nnn
¡
)
)
)
I
- cL,ADHÁTloA
(1.30)
Por tanto la ecuación de la recta es:
F(x)
Rníil¡l$,/to
-1
Reemplaz¡ndo estos resultados en las
ecuaciones nclrmales y resolviendo el
sistema se obtiene.
ao
PARÁEoLA
IVi =aon+a1 f x.+a, 2"i
1
n
I
i=
7
x,y,=269, In?=SeS
r
0
.5
0
7
a part¡r del cual se obtiene:
s
0
s
¿-J
L=41
*
{
valores de y para x cercanos y externos al
intervalo de valores medidos.
.il:::¡,
l:'l-i¿ :tj:,ir
Al extrapolar (extender la gráf ica a
ambos lados), es posible determinar los
tuiÁNiJAL DE LAtsofiAToRío DE Fislc/.\
cEr{EfiaL
i
G¡
ff)
MEDICION
€,
i;!Í.jjlÉ¡i
j;i#fÍt;:
::i'i;{t!ü,fi
*,il-5:r::¡'inlf Í¡."¡1k:::r:.';
':.;rlj*XV¡.,:+
i|i;,il!¡';li:iilg
f ,i¡: Y..i,'iil
!:'¿
il,T 'x
I ¿r:XiJrI
lliifi+li:r ffiffifie}$
[l.ffi--W
;¡l:q!!
!irfq:!l
ao
a1
d2
ffi#tffiffi
.rl
1
1,5
3,0
4,50
oDq
2
4,0
6,0
24,A0
16,00
.)
4,8
8,6
A1 aO
+t-Lo
23,O4
1
98,1 4
110,59
530,84
A
.+
6,0
12,Q
72,00
36,00
432,00
216,00
1296,00
5
5,7
7,O
39,90
32,49
227,43
185,1 9
1055,60
b
8,2
9,0
73,80
67,24
605,1 6
551,37
4521,22
7
9,1
10,3
93,73
82,81
852,94
753,57
6857,50
ct
39,3
55,9
349,21
¿cY,óó
2418,43
Resolviendo las ecuaciones simultáneas
se tiene:
-
0,71
t
6,75
3,38
5,06
96,00
64,00
256,00
;"f
G
1
884,1 0
CF
}
}
}
C
J
G
G
14522,22
Con estos valores, la ecuación de
la
parábola mínimo cuadrática será:
F(x)
2,59
€'
lF
=
-o
,77 +
2, 58
x
- o, 16
}
x2
(1.36)
la cual se muestra en la figura 10:
0,16
C
or
C'
C!
}
C
C
J!'
12
C
C
C
11
10
I
iU
7
.(F
o
ü
ü
5
4
{F
e
.f
tr
¿
1
1 2 3 4 5 6 7 8 I
10
Filgurra 10
#
d
#
CT
Nota: El trabajo hecho en el proceso de ajuste de estos ejernplos es el que hace la calculadora o la
cornputadora al elegir la opción de ajuste por nríniiros cuadrados. Estos ejemplos han sido desarrollados
para que se eniienda an que consiste el rnétodo y cuai es el trabajo que hace la computadora.
'14
MA;\iUAL DE LABORA.|ORIC DE F¡SICA GENEIi¡1L