ANEXO 2 Estimación incertidumbre fuente por fuente Fósforo

Revista de Ciencias Biológicas y de la Salud
www.biotecnia.uson.mx
Universidad de Sonora
“El saber de mis hijos hará
mi grandeza”
ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LA CUANTIFICACIÓN DE
FÓSFORO POR ESPECTROFOTOMETRÍA ULTRAVIOLETA-VISIBLE
UNCERTAINTY ESTIMATION IN THE PHOSPHORUS QUANTIFICATION BY ULTRAVIOLET-VISIBLE
SPECTROPHOTOMETRY
María Guadalupe Cáñez Carrasco*, Alejandro Monserrat García Alegría
Departamento de Ciencias Químico Biológicas. Universidad de Sonora. Luis Encinas y Rosales s/n. Colonia Centro.
Hermosillo, Sonora, México. CP 83000. Tel y fax: (662) 2592163 y 64
RESUMEN
La incertidumbre es un parámetro no negativo asociado al resultado de una medición, que caracteriza la dispersión de los valores que podrían razonablemente, atribuirse a
una magnitud particular sometida a medición (mensurando).
El objetivo de este trabajo fue estimar la incertidumbre de un
método analítico validado para cuantificar fósforo mediante
espectrofotometría UV-Visible. Se establecieron las fuentes
de incertidumbre elaborando un diagrama de Ishikawa (causa-efecto). Posteriormente se estimaron las incertidumbres,
entre las cuales se encuentra la incertidumbre de la masa
considerando la curva de calibración, masa, pureza, masa
molar, factor de dilución y la concentración del mensurando.
A partir de estos datos se estimó la incertidumbre estándar
combinada (uCP= 1.506 mgL-1), la incertidumbre estándar relativa (urcp = 1.331 x 10-2) y la incertidumbre expandida (UCP =
3.01 mgL-1). En el proceso de validación del método analítico
se cuantificó la concentración de fósforo en un refresco de
cola, por lo que a ese valor se debe agregar el resultado de
la incertidumbre expandida (UCP). Por lo tanto, el resultado
final fue 113.15 ± 3.01 mgL-1 de fósforo.
Palabras clave: Fósforo, espectrofotometría UV/Vis, incertidumbre expandida, refrescos de cola.
ABSTRACT
Uncertainty is a non-negative parameter associated
with the result of a measurement that characterizes dispersion of the values that could reasonably be attributed
to a particular magnitude subjected to measurement
(measurand). The objective of this study was to estimate
the uncertainty of a validated analytical method to quantify
phosphorus in a cola beverage, using UV-Visible spectrophotometry. The sources of uncertainty were estimated with an
Ishikawa diagram (cause-effect). Subsequently, the uncertainties were estimated, among which the mass uncertainty
is, considering the calibration curve , weight, purity, molar
mass, dilution factor and the concentration of the measurand. From these data, the combined standard uncertainty
(uCP = 1.506 mgL-1), the relative standard uncertainty (urcp =
1.331 x 10-2) and the expanded uncertainty (UCP = 3.01 mgL-1)
were estimated. In the process of validation of the analytical
method, the phosphorus concentration in a cola drink was
quantified, so that expanded uncertainty (UCP) value should
34
Volumen XVII, Número 3
be added to the results. Therefore, the final result was 113.15
± 3.01 mg L-1 of phosphorus.
Keywords: Phosphorus, spectrophotometry UV/Vis, expanded uncertainty, cola drink.
INTRODUCCIÓN
Actualmente hay una necesidad o requerimiento
formal, por parte de los laboratorios que realizan mediciones
químicas, de implementar medidas que permitan asegurar
la capacidad de proporcionar datos con la calidad requerida
por los usuarios o clientes. La metrología es la ciencia de la
medida cuyos objetivos más importantes son el resultado
de la medición y la incertidumbre de medida. Es importante
señalar que el resultado de una medición conlleva siempre
un error de medida y una incertidumbre, y que por lo tanto
son dos conceptos que no se deben confundir. El error de
medida es la diferencia entre un valor medido de una magnitud y un valor de referencia, que engloba a los errores de
medida sistemáticos y a los errores de medida aleatorios
(ISO Guide 99, 2007). En tanto que, la incertidumbre es un
“parámetro no negativo asociado al resultado de una medición, que caracteriza la dispersión de los valores que podrían
razonablemente, ser atribuidos al mensurando” (NMX-CH152-IMNC-2005; CENAM-ema, 2008a). Por su parte, mensurando es por definición una “magnitud particular sometida a
medición” (CENAM-ema, 2008b) y que se engloba de manera
objetiva en el parámetro de incertidumbre.
En relación a esto, la normatividad vigente establece
que los métodos validados deben de incluir la estimación de
la incertidumbre (CENAM-ema, 2009a; EURACHEM/CITAC,
2012). De tal manera que los resultados obtenidos a partir de
la cuantificación de un mensurando deberán estar acompañados de la incertidumbre correspondiente. La estimación de
la incertidumbre del resultado final de una medición deberá
considerar las contribuciones de incertidumbre significativas
y que no se encuentren incluidas en el diseño de la validación, para ello se utiliza de manera elemental, la elaboración
de un diagrama de causa-efecto (Diagrama de Ishikawa) que
permita visualizar las fuentes de incertidumbre involucradas.
Por todos estos antecedentes, el objetivo del presente trabajo de investigación fue estimar la incertidumbre expandida
de un método analítico validado para cuantificar fósforo en
refrescos de cola, por espectrofotometría UV-Visible.
*Autor para correspondencia: María Guadalupe Cáñez Carrasco
Correo electrónico: [email protected]
Recibido: 25 de septiembre de 2015
Aceptado: 07 de diciembre de 2015
Cáñez-Carrasco et al: Estimación de la Incertidumbre en la Cuantificación de / XVII (3): 34-41(2015)
MATERIALES Y MÉTODOS
ción (1.2, 1.6, 2.0, 4.0 y 8.0 mgL-1). Se utilizó la ecuación típica
de la línea recta que maneja
𝛾𝛾𝐶𝐶𝐶𝐶 = la𝛾𝛾𝑃𝑃técnica
∗ 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑛𝑛de espectrofotometría
ultravioleta-visible (Technical
𝛾𝛾𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝛾𝛾𝑃𝑃 Guide,
∗ 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑛𝑛 2005).
(2)
𝛼𝛼 = 𝑏𝑏 𝛾𝛾 + 𝑏𝑏
Especificación del mensurando
1
El objetivo de este paso fue describir de manera
clara
1
(1
el proceso de medición y al mensurando. En esta2 etapa se
1 𝑃𝑃
0
describe la preparación de la muestra, la medición
y la re2
𝛼𝛼 = 𝑏𝑏1 𝛾𝛾𝑃𝑃 + 𝑏𝑏0
De2laseecuación
se despejó
componente
codespejó la 2componente
quelacorresponde
a la que
concentración
de fós
lación entre el mensurando y las magnitudes de 3las cuales De la ecuación
rresponde
la concentración
deque
fósforo:
3
De la ecuación
2 seadespejó
la componente
corresponde a la concentración de fósfo
depende. Se empleó el método del azul de molibdeno,
ya
(𝛼𝛼 − 𝑏𝑏0 )
4 la sensi𝛾𝛾𝑃𝑃 =
que por ser un método espectrofotométrico, ofrece
(𝛼𝛼 − 𝑏𝑏𝑏𝑏01)
(3)
4
𝛾𝛾𝑃𝑃 =
bilidad adecuada para trabajar con las bajas concentraciones
𝑏𝑏1
Donde:
de fósforo presente en las bebidas de cola. El método para
2
(𝛾𝛾 − 𝛾𝛾̅ ) (P mgL-1) resulγP= concentración de
𝑆𝑆 masa
1 mensurando
cuantificar la concentración de fósforo (P) fue validado
√1 + del
5
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 =
+(𝛾𝛾 −𝑃𝑃 𝛾𝛾̅ )𝑀𝑀𝑀𝑀2
𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥
tado de la curva de
𝑆𝑆 𝑏𝑏calibración.
1 𝑛𝑛
recientemente por Cáñez-Carrasco y García-Alegría
(2015) y
√1 1 𝜌𝜌𝛾𝛾
5 1
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 =
+ =+𝛾𝛾𝑃𝑃 ∗𝑃𝑃 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑏𝑏1 𝜌𝜌 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑛𝑛
𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑛𝑛
α = absorbancia.
como lo establece la ISO/IEC 17025:2005, una vez validado el
b0= ordenada al origen.
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃
método, se procede a la estimación de la incertidumbre.
62
𝛼𝛼𝑢𝑢𝑟𝑟=𝛾𝛾𝑃𝑃𝑢𝑢=𝑏𝑏1 𝛾𝛾
𝑃𝑃 + 𝑏𝑏0
b1= pendiente calculada.
A partir de fosfato de potasio monobásico (KH2PO4)
𝛾𝛾𝑃𝑃𝛾𝛾𝑃𝑃
6
𝑢𝑢
=
𝑟𝑟𝛾𝛾𝑃𝑃
𝛾𝛾𝑃𝑃
se preparó una disolución madre de 100 mgL-1 de pentóxido
De la ecuación 𝑢𝑢2 se despejó
la
componente
corresponde2 a la concentración de f
2 que
(𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶ó𝑛𝑛)
(𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅)
73
=
√
𝑚𝑚
𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃
2
4
La incertidumbre
estándar +de
la concentración de
de fósforo (P2O5) y posteriormente se prepararon las diso2
7
+ (𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅)2
√ (𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶ó𝑛𝑛)
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 =mediante
− 𝑏𝑏𝑢𝑢0 )
masa de𝑢𝑢fósforo
la (𝛼𝛼
respuesta
del instrumento se
luciones de trabajo. El mensurando es la concentración
de
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
4
𝛾𝛾
=
𝑃𝑃
𝑟𝑟m𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑢𝑢𝑏𝑏=1 𝑚𝑚
calculó con la siguiente 𝑢𝑢ecuación:
fósforo, la cual depende de la absorbancia de la 8muestra y
𝑃𝑃𝑃𝑃
2
4 𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃24 4
8
𝑢𝑢𝑟𝑟m
=
de la absorbancia y concentración del patrón de
referencia.
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑢𝑢
2
(4)
Se realizaron cinco réplicas con ocho repeticiones9cada una,
(𝛾𝛾 − 𝛾𝛾̅ 𝑀𝑀𝑀𝑀 )
𝑆𝑆
1 𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻21𝑃𝑃𝑃𝑃4 =
𝑢𝑢 √3 𝑃𝑃
√
5
𝑢𝑢
=
+
+
𝛾𝛾𝑃𝑃
9
(8
obteniéndose 40 lecturas.
𝑏𝑏1 𝑢𝑢𝜌𝜌𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4𝑛𝑛=
𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥
10
(𝑢𝑢𝑟𝑟P
√3
)
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
Identificación y análisis de las fuentes de incertidumbre
10
(𝑢𝑢𝑟𝑟P Donde:
)
𝑢𝑢𝛾𝛾
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
6
𝑢𝑢𝑟𝑟𝛾𝛾 mensurando
= 𝑃𝑃 𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃 (P) obtenida por el
uγP = incertidumbre del
El propósito de esta etapa es listar todas las fuentes
2 4
11
𝑢𝑢𝑟𝑟P 𝑃𝑃 𝛾𝛾𝑃𝑃=
instrumento calibrado. 𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻𝑃𝑃2𝐾𝐾𝐻𝐻𝑃𝑃𝑃𝑃24𝑃𝑃𝑃𝑃4
de incertidumbre para cada una de las magnitudes que
11
𝑢𝑢𝑟𝑟P
=
2
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃42del
S = desviación
estándar
residual
cálculo de regresión
7
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2𝑃𝑃𝑃𝑃
= 𝐾𝐾𝐾𝐾
+ (𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅)
√ (𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶ó𝑛𝑛)
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
afectan el valor del mensurando. Se elaboró un diagrama
de
4
12
lineal.
causa-efecto (Ishikawa), para mostrar las fuentes potenciales
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
12
2 4
b1 = pendiente calculada.
𝑢𝑢𝑟𝑟m
=
de incertidumbre que podrían contribuir al valor
de8la incer𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
2 estudio.
2
2
ρ = número𝑢𝑢de
réplicas de la+muestra
tidumbre asociada al valor medido de la concentración
del
13
𝑢𝑢𝐻𝐻 + 𝑢𝑢en
+ 𝑢𝑢𝑂𝑂 2
(10
𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 = √𝑢𝑢𝐾𝐾
𝑃𝑃
2
2
2
2
𝑢𝑢
n = número
disoluciones
(i)
empleados
en
la
curva
de
mensurando (Figura 1).
√
13 9
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻de
=
𝑢𝑢
+
𝑢𝑢
+
𝑢𝑢
+
𝑢𝑢
(10)
𝐾𝐾 𝑢𝑢 𝐻𝐻 = 𝑃𝑃
𝑂𝑂
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
√3 de réplicas (j) de cada
calibración multiplicado por el𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻número
Modelo matemático
1
𝛾𝛾
=
𝛾𝛾
∗
𝑓𝑓𝑑𝑑
𝐶𝐶𝐶𝐶 (i*j). 𝑃𝑃
𝑛𝑛
disolución
(total de datos)
14
En tanto
que la incertidumbre
estándar
relativa (𝑢𝑢
Para cuantificar la masa y calcular la incertidumbre
𝑟𝑟M𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃 ) de la masa molar fue:
10
(𝑢𝑢𝑟𝑟P
)
2
4
-1
𝑃𝑃𝑃𝑃
γP𝐾𝐾𝐾𝐾
de P (mgL
) en
la fue:
2=
4 incertidumbre estándar
14 en la guía
En tanto
que
laconcentración
relativa
(𝑢𝑢𝑟𝑟Mel punto
) demedio
la masade
molar
asociada se utilizaron las ecuaciones descritas
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑃𝑃𝑃𝑃
2
4
2
𝛼𝛼 = 𝑏𝑏1 𝛾𝛾𝑃𝑃2012).
+ 𝑏𝑏0
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
curva
de
calibración
(Cuéllar,
técnica de espectrofotometría UV-Vis (CENAM-ema,
2008b).
2 4
𝑢𝑢
_
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻=𝑃𝑃𝑃𝑃
15
𝑢𝑢
11
𝑢𝑢𝑟𝑟P 𝑟𝑟M𝐾𝐾𝐾𝐾2=𝑃𝑃𝑃𝑃4 𝑢𝑢𝑀𝑀2 𝐾𝐾𝐻𝐻𝑀𝑀42𝐾𝐾𝐻𝐻
γ = promedio de las concentraciones
de
de las diso4
𝑃𝑃𝑃𝑃24𝑃𝑃𝑃𝑃masa
El cálculo involucrado en la medición de la concentración
𝑃𝑃
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
15 3
𝑢𝑢𝐾𝐾𝐾𝐾
=𝐾𝐾𝐻𝐻
De laMRecuación 2 se despejó la componente
que
fó
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4corresponde a la concentración de (1
𝑟𝑟M𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃
2
4
2 4
luciones empleadas en la curva de calibración.
de masa de fósforo (P) estuvo dado por el siguiente modelo
(𝛼𝛼 −residuales
𝑏𝑏 )
Sxx = Suma de cuadrados de los
de las concentra𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
12
matemático:
𝛾𝛾𝑃𝑃𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
= = 0
16 4
𝑏𝑏
√6
1
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
ciones(1)
obtenidas.
(1)
𝛾𝛾𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝛾𝛾𝑃𝑃 ∗ 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑛𝑛
16
𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 =
(
√6
Donde:
2 + 𝑢𝑢 2 𝑆𝑆+ 𝑢𝑢 2 + 𝑢𝑢 2
√
13
𝑢𝑢
=
𝑢𝑢
(1
𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐾𝐾
𝑂𝑂
17
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 =𝐻𝐻relativa
𝑃𝑃 2
La(2)incertidumbre
estándar
√𝑛𝑛 − 𝛾𝛾̅ )(u
rγP) de la conγCp = concentración𝛼𝛼de
del𝑏𝑏0mensurando (fósforo, P).
𝑆𝑆(𝛾𝛾
= masa
𝑏𝑏1 𝛾𝛾𝑃𝑃 +
𝑆𝑆
1
1
𝑃𝑃
𝑀𝑀𝑀𝑀
17 5
𝑢𝑢
=
(1
√
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑢𝑢
=
+
+
centración de masa
del
mensurando
𝛾𝛾𝑃𝑃
√𝑛𝑛 a𝑆𝑆partir de la curva de
γP = concentración del mensurando (P) que se mide en el
𝑏𝑏1 𝜌𝜌
𝑛𝑛
𝑥𝑥𝑥𝑥
De lainstrumento.
ecuación 2 se despejó la componente que corresponde a la concentracióncalibración
de fósforo: se obtuvo de la siguiente ecuación:
14
En tanto que la incertidumbre estándar relativa (𝑢𝑢𝑟𝑟M
) de la masa molar fue:
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
fdn = factor de dilución con n =1, 2, 3... n.
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃
(𝛼𝛼 − 𝑏𝑏0 )
6
𝑢𝑢𝑟𝑟𝛾𝛾 =
(5)
𝛾𝛾𝑃𝑃 =
(3)
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝛾𝛾
𝑃𝑃
𝑏𝑏1
2 4
15
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑃𝑃M
=
Donde:
𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
Cuantificación de los componentes de incertidumbre
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
2 +de
2
(𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅)
urγ = Incertidumbre
relativa
la concentración
de
7
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2𝑃𝑃𝑃𝑃4 =estándar
√ (𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶ó𝑛𝑛)
Una vez identificadas las fuentes de
incertidumbre
P
2
(𝛾𝛾
−
𝛾𝛾
̅
)
𝑆𝑆
1
1
la
masa
del
fósforo.
𝑃𝑃incertidumbre
asociadas a la
medición,
se
estimó
la
estándar
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
√ + +
𝑢𝑢𝛾𝛾 =
(4)
𝑢𝑢 𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
==
2 4
𝑏𝑏1magnitudes
𝜌𝜌
𝑛𝑛
𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥
uγP = Incertidumbre estándar
la 𝑚𝑚concentración
de masa
8
𝑢𝑢𝑟𝑟m𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 de
para cada una 𝑃𝑃de las
de influencia
que16
afectan
a
√6
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
del fósforo.
cada uno de los componentes de la ecuación 1.
𝑆𝑆
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 debida al cálculo de
γP = Concentración de fósforo𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
(mensurando).
17 la con=𝑢𝑢
Incertidumbre 𝑢𝑢estándar
√𝑛𝑛
9
𝑢𝑢
=
=
(5)
𝑃𝑃
𝑟𝑟𝛾𝛾𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝛾𝛾𝑃𝑃de la curva de calibración
√3
centración de fósforo a partir
Incertidumbre de la masa del KH2PO4
El mensurando fue la concentración
de fósforo, que se
(𝑢𝑢𝑟𝑟P
)(6)
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2𝑃𝑃𝑃𝑃4 = √ (𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶ó𝑛𝑛)2 + (𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅)2 10
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4Se utilizó una balanza analítica marca Vibra modelo
obtuvo mediante
la curva de calibración. El rango de trabajo
AF-R220E 220/0.0001 g (max/DS), previamente
calibrada con
fue de 1.2 a 8.0 mgL-1 de P2O5, realizándose
ocho repeticiones
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝑢𝑢𝑟𝑟m
= 𝑚𝑚 2 4
(7)
11
𝑢𝑢𝑟𝑟P
=
para los cinco niveles seleccionados
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐾𝐾𝐻𝐻2de
𝑃𝑃𝑃𝑃4 la curva de calibra𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
(𝑢𝑢𝑟𝑟P
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
)
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 =
𝑢𝑢
√3
12
13
(8)
Volumen XVII, Número 3
2
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 = √𝑢𝑢𝐾𝐾 + 𝑢𝑢𝐻𝐻 + 𝑢𝑢𝑃𝑃 + 𝑢𝑢𝑂𝑂
2
2
2
35
(1
𝛼𝛼𝛾𝛾 = =
𝑏𝑏1 𝛾𝛾𝛾𝛾𝑃𝑃 +∗ 𝑏𝑏𝑓𝑓𝑑𝑑
0
𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑃𝑃
𝑟𝑟P𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
2
4
𝑛𝑛
(1) (2)
𝑢𝑢𝑟𝑟m
8
De la ecuación 2 se despejó la componente que corresponde
a la concentración de fósforo:
11
𝛼𝛼 = 𝑏𝑏1 𝛾𝛾𝑃𝑃 + 𝑏𝑏0
𝑢𝑢𝑟𝑟P
(2)
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
=
(7)
(9)
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻
2 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 𝑃𝑃𝑃𝑃
4 4
=
𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
Cáñez-Carrasco et al: Biotecnia / XVII (3): 34-41
(2015)
𝑢𝑢
9
𝛾𝛾𝑃𝑃 =
De la ecuación 2 se despejó la componente
12 a la concentración de fósforo:(3)
𝑏𝑏1que corresponde
(𝛼𝛼 − 𝑏𝑏0 )
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 =
(8)
√3
un set de masas patrón de laboratorio (0.2, 0.5, 1.0 y 100.0
trico , repetibilidad del volumen medido por el analista (Rep)
10
(𝑢𝑢
)
(𝛼𝛼 − 𝑏𝑏0 )
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 y efecto
g) marca Rice Lake, 𝛾𝛾certificadas
por la Entidad
Mexicana𝑟𝑟Pde
de la temperatura
con respecto a la
(3)de la variación
2
𝑃𝑃 =
2
𝑏𝑏1
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 = √𝑢𝑢𝐾𝐾 2 + 𝑢𝑢𝐻𝐻 2 + 𝑢𝑢𝑃𝑃 + 𝑢𝑢𝑂𝑂 2
(10)
(𝛾𝛾𝑃𝑃 del
− 𝛾𝛾̅ 𝑀𝑀𝑀𝑀material
)13
𝑆𝑆 La
1 calibración
1
Acreditación𝑢𝑢(ema
ac).
volumétritemperatura
de
calibración
del
material
volumétrico,
que se
√
𝑢𝑢
=
+
+
(4)
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝛾𝛾𝑃𝑃
𝜌𝜌
𝑛𝑛 realizó𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥
11
𝑢𝑢𝑟𝑟P factor=de
(9)
1
co y de la balanza 𝑏𝑏analítica
se
utilizando
10 réplicas
estima a partir del
del agua (∆T) .
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻expansión
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
2
(𝛾𝛾
−
𝛾𝛾
̅
)
𝑆𝑆 𝛾𝛾1𝐶𝐶𝐶𝐶 = 1𝛾𝛾(Ruiz-Morer,
y cada una por triplicado
(1)Tolerancia. Se tomó de la especificación del material
𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑀𝑀𝑀𝑀 2006). Entonces, la
√ + 𝑢𝑢 𝑃𝑃+∗ 𝑓𝑓𝑑𝑑
14
En tanto que la incertidumbre
estándar relativa (𝑢𝑢𝑟𝑟M
) de la masa molar fue:
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 =
(4)
𝛾𝛾𝜌𝜌𝑢𝑢𝐶𝐶𝐶𝐶 ==del
∗ 𝑓𝑓𝑑𝑑
(1)
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑛𝑛𝛾𝛾𝛾𝛾𝑃𝑃
𝑆𝑆𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥se calculó
𝑃𝑃KH
12
incertidumbre
de𝑏𝑏la
PO
mediante la
volumétrico
(Tolerancia) correspondiente
que proporciona
1 masa
2
4
(5)
𝑟𝑟𝛾𝛾𝑃𝑃
𝛾𝛾
siguiente ecuación:
el proveedor
y para convertir a𝑢𝑢𝑀𝑀incertidumbre
estándar se
𝛼𝛼 = 𝑏𝑏1 𝛾𝛾𝑃𝑃 +𝑃𝑃 𝑏𝑏0
(2)
𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
15
𝑢𝑢𝑟𝑟M rectangular
= 𝑀𝑀 2 2 4 dividiendo entre √6
(11)
𝛼𝛼 = 𝑏𝑏1 𝑢𝑢𝛾𝛾𝛾𝛾𝑃𝑃𝑃𝑃+ 𝑏𝑏0 2
(2)
(6)
asumió
una
distribución
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑃𝑃𝑃𝑃
2
2
2
2
𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃
2
4
(𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶ó𝑛𝑛)
𝑢𝑢 𝐾𝐾𝐻𝐻2𝑃𝑃𝑃𝑃4 =𝑢𝑢√
+ (𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅)
13
𝑢𝑢𝑀𝑀(6)
= √𝑢𝑢𝐾𝐾 + 𝑢𝑢𝐻𝐻 + 𝑢𝑢𝑃𝑃 2 +4 𝑢𝑢𝑂𝑂
(10)
= 𝛾𝛾
(5)
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝛾𝛾𝑃𝑃
De la ecuación 2 se 𝑚𝑚despejó
la𝑟𝑟componente
que
corresponde
a
la
concentración
de
fósforo:
(EURACHEM/CITAC, 2012; Valcan, 2013).
𝑃𝑃
De la ecuación
despejó la componente
que
corresponde
a lamasa
concentración
de fósforo:
𝑢𝑢𝑚𝑚relativa
La2 se
incertidumbre
estándar
de
la
del
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
(𝛼𝛼 − 𝑏𝑏20 )=
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
2
𝑢𝑢
(𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶ó𝑛𝑛)
(𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅)
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2𝑃𝑃𝑃𝑃4 = √ 𝛾𝛾 =𝑟𝑟m𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃 + 𝑚𝑚
(6)
16ecuación:
𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 =
(12)
(3)(7)
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
2de4 la
𝑃𝑃
KH2PO4 (u
siguiente
rmKH PO ) se generó
(𝛼𝛼
𝑏𝑏−
1 𝑏𝑏0 )
14
En tanto que la incertidumbre estándar relativa√6
(𝑢𝑢
) de la masa molar(12)
fue:
2
4
𝑆𝑆
𝛾𝛾𝑃𝑃 =
𝑏𝑏1 𝑢𝑢𝑚𝑚
𝐾𝐾𝐻𝐻𝑢𝑢𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑢𝑢𝑟𝑟m 𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻 =𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑚𝑚= 2 4
1
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 2
1
4 𝐾𝐾𝐻𝐻√3
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
(𝛾𝛾𝑃𝑃 − 𝛾𝛾̅
2
(7)
17
) 15
𝑀𝑀𝑀𝑀 2
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 = 𝑆𝑆 √
+ 𝛾𝛾1𝑃𝑃+∗ 𝑓𝑓𝑑𝑑
𝛾𝛾𝐶𝐶𝐶𝐶
(𝛾𝛾𝑃𝑃𝑛𝑛𝑆𝑆−
𝛾𝛾̅ 𝑀𝑀𝑀𝑀 )
1=
𝑢𝑢
𝑏𝑏
𝜌𝜌
𝑛𝑛
1
𝑥𝑥𝑥𝑥
𝛾𝛾
=
𝛾𝛾
∗
𝑓𝑓𝑑𝑑
(𝑢𝑢𝑟𝑟PIncertidumbre
)
pureza
del
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 =de
𝐶𝐶𝐶𝐶 la√
𝑃𝑃𝑢𝑢+
𝑛𝑛= KH2PO4
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃 +
𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
2
𝑏𝑏
4
𝜌𝜌
2
𝑛𝑛
4
𝑆𝑆
√3
𝑟𝑟M𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
(3)
2
4
𝑆𝑆
(7)
(8)
Repetibilidad. Esta
fuente
incertidumbre se estimó
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
= 𝑢𝑢𝑀𝑀de
√𝑛𝑛 𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑢𝑢𝑟𝑟M (n = =
realizando
30
mediciones
de
masa de agua (g) con𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 30)
𝑃𝑃𝑃𝑃la
2
4
(4)
(1)
(1) (8)en
tenida
(4) el volumen asignando del material volumétrico. La
(13)
(11)
1
Según el proveedor
(Fermont),𝑥𝑥𝑥𝑥la pureza del KH2PO4
repetibilidad
se estimó a través
del cálculo de la desviación
1
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
𝛼𝛼 = 𝑏𝑏1 𝛾𝛾𝑃𝑃𝑢𝑢 + 𝑏𝑏0 𝑢𝑢
(2)
16
𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 =
(12)
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻
𝛾𝛾
𝛼𝛼
=
𝑏𝑏
𝛾𝛾
+
𝑏𝑏
(2) (5)(9)
0.5
%.
es químicamente
estándar
(s) de las mediciones
2 𝑃𝑃𝑃𝑃Esto
4
𝑃𝑃
1 𝑢𝑢𝑃𝑃𝑢𝑢99.9
0±
√6de la masa del volumen asig(𝑢𝑢𝑟𝑟P que)se utilizó fue de
=
=
𝑟𝑟P𝐾𝐾𝐾𝐾𝛾𝛾
𝑟𝑟𝛾𝛾𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝛾𝛾
𝑃𝑃 4
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4P. No se consideró otra
equivalente
a la pureza
del𝑢𝑢2𝑃𝑃P
O y𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻
del
nado. (5)
De la ecuación
2 se despejó
la𝑢𝑢componente
𝑟𝑟𝛾𝛾𝑃𝑃 = 𝛾𝛾 2 5 que corresponde a la concentración de fósforo:
𝑆𝑆
𝑃𝑃que corresponde a la concentración de fósforo:
De la ecuación
2
se
despejó
la
componente
17
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 =
(13)
𝑢𝑢
fuente de incertidumbre
ya
que
el
procedimiento
de
secado
(13)
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃
2
2
2
4
√𝑛𝑛
(𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅)
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2𝑃𝑃𝑃𝑃4 = √
+
(6)
𝑢𝑢𝑟𝑟(𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶ó𝑛𝑛)
=
(9)
(𝛼𝛼 − 𝑏𝑏
)
P
0
𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑃𝑃𝑃𝑃
se realizó de
acuerdo
especificaciones
del2 proveedor.
𝐾𝐾𝐻𝐻22 𝑃𝑃𝑃𝑃4 (𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅)
2 las
(3)
(𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶ó𝑛𝑛)
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻
= √𝛾𝛾con
+
(6)
− 𝑏𝑏04)
𝑃𝑃(𝛼𝛼=
2 𝑃𝑃𝑃𝑃𝛾𝛾
4
𝑏𝑏1
= datos
(3) Variación de temperatura. Es la incertidumbre debido
𝑃𝑃 los
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
La distribución de
de pureza
tiene un comporta𝑏𝑏1
2 4
𝑢𝑢𝑟𝑟m√𝑢𝑢 2 +=𝑢𝑢𝑢𝑢𝑚𝑚2 + 𝑢𝑢 2 + 𝑢𝑢 2
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃
=la
(10)(7)
𝑚𝑚 𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐾𝐾2𝐾𝐾𝑃𝑃𝑃𝑃4
miento triangular.
Así
a la diferencia
entre la temperatura de especificación (20oC) y
1
𝑂𝑂 se obtiene:
4 4estándar
𝑃𝑃
4
𝑢𝑢𝑟𝑟incertidumbre
= 𝐻𝐻𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃
(7)
m𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
2
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
2
4
la de trabajo (25oC). La variación de temperatura está dentro
(𝛾𝛾𝑢𝑢𝑃𝑃 −2 𝛾𝛾̅ 𝑀𝑀𝑀𝑀 )
𝑆𝑆
1
1
𝑢𝑢𝛾𝛾 𝑆𝑆= 1 √ 1 +
(4)
(𝛾𝛾+− 𝛾𝛾̅ 𝑀𝑀𝑀𝑀 ) 2
(8)
de(10)
los(8)
límites
de ± 5ºC y se trató como una distribución rec𝑏𝑏1=
+𝑆𝑆𝑢𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥𝑃𝑃 + 𝑢𝑢𝑂𝑂 2
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 =𝑢𝑢𝑃𝑃𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻√
+ 𝜌𝜌√𝑢𝑢𝑢𝑢𝐾𝐾+2𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻𝑛𝑛+2𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑢𝑢4 𝐻𝐻=2√3
(4)
𝑢𝑢
2 𝑃𝑃𝑃𝑃𝜌𝜌
4
𝑏𝑏
𝑛𝑛
𝑆𝑆
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃relativa
=𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑢𝑢𝑟𝑟M
(8) (EURACHEM/CITAC, 2012; Valcan, 2013).
1
En tanto que la incertidumbre
estándar
) de la masa molar fue:
tangular
4
√3
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
relativa de la pureza
(𝑢𝑢𝑟𝑟P
) La incertidumbre 𝑢𝑢estándar
𝛾𝛾
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑟𝑟𝛾𝛾𝛾𝛾𝑃𝑃con
= 𝛾𝛾 𝑃𝑃la siguiente
(5) V𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 ∗ ∆𝑇𝑇 ∗ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑡𝑡é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
)la incertidumbre
2 4
𝑟𝑟P𝐾𝐾𝐾𝐾
(u2que
)
se
determinó
ecuación:
(14)
𝑃𝑃
En(𝑢𝑢tanto
estándar
relativa
(𝑢𝑢
) de la masa molar fue: (5)
r𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑃𝑃
𝑢𝑢
=
PKH
𝑢𝑢
=
𝑟𝑟M𝐾𝐾𝐾𝐾
PO
𝑟𝑟
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 (11)
=
(14)
4 2
𝑟𝑟𝛾𝛾𝑃𝑃
M𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
4
𝑃𝑃𝑃𝑃4 18
V
∗ ∆𝑇𝑇 ∗ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 √3
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑡𝑡é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑀𝑀
𝛾𝛾𝑃𝑃
2
𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃
2
4
2 4
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
18
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣
(14)
(9)
2 4
√3
𝑢𝑢𝑟𝑟P
= 𝑢𝑢2𝑃𝑃
(9)
2
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻
𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
(𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅)
𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃 = √ (𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶ó𝑛𝑛)
+
(6)
2 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 𝑃𝑃𝑃𝑃
4𝑢𝑢4𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
Por
lo anterior,
la volúmenes
contribución
de los
volúmenes
se ecuación:
2 4 2
𝑢𝑢𝑟𝑟P 2𝑢𝑢 24 +=(𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅)
(9)
19
Por lo anterior,
la
contribución
de los
se estimó
mediante
la siguiente
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2𝑃𝑃𝑃𝑃4 =2 √4 (𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶ó𝑛𝑛)
(6)
=
(11)
𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑟𝑟
𝑃𝑃𝑃𝑃
19
Por
lo
anterior,
la contribución
de los volúmenes
se estimó mediante la siguiente ecuación:
𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃
4
M𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
2 4𝑀𝑀
V𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚la
∗ ∆𝑇𝑇 ∗ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑡𝑡é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
estimó mediante
ecuación:
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣siguiente
𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 2= 𝑢𝑢4𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
(12)
18
𝑢𝑢
=
(14)
∆𝑇𝑇
2√64
√3
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻=𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑢𝑢𝑟𝑟m
(7)
2 2+ 𝑢𝑢 22 + 𝑢𝑢 22
(15)
2 𝑚𝑚
4
20
𝑢𝑢
=
𝑢𝑢
(15)
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑃𝑃𝑃𝑃
√
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
20
𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
(15)
𝑉𝑉𝑛𝑛𝑢𝑢𝑉𝑉 = √𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
∆T
𝑢𝑢𝑟𝑟m
=2 𝑚𝑚4
(7)
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝑢𝑢∆T
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐾𝐾𝐻𝐻𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 del𝑆𝑆 KH PO
Incertidumbre de la
masa
molar
19
Por lo anterior, la contribución de los volúmenes se estimó mediante la siguiente ecuación:
4
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 2𝑢𝑢=
(13)
𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇2 =
(12)
2 2
2
√𝑛𝑛
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 = √𝑢𝑢de
𝑢𝑢=𝐻𝐻 √6
+molar
𝑢𝑢𝑃𝑃 +del
𝑢𝑢𝑂𝑂compuesto
(10)(8)
La incertidumbre
la+𝑢𝑢masa
se
La estimación de la incertidumbre relativa del Vn, se
𝑢𝑢𝐾𝐾𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻
21
2 2+
2 + 𝑢𝑢 2 + 𝑢𝑢 21
2
𝑃𝑃𝑃𝑃4
2
2
2
√3
√
𝑢𝑢
=
𝑢𝑢
𝑢𝑢
(10) combinando
𝑢𝑢
=
(8)
20
𝑢𝑢𝑉𝑉 en
= √𝑢𝑢forma
𝑀𝑀
𝐾𝐾
𝐻𝐻
𝑂𝑂
𝑃𝑃
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝑢𝑢cuadrática
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝑢𝑢∆T
determinó mediante
la𝐾𝐾𝐻𝐻combinación
estimó
relativa, las tres (15)
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑃𝑃 la incertidumbre de
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑆𝑆 de
√3
𝑢𝑢
=
(13)
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
atómicos de sus elementos
fuentes de incertidumbres2 que𝑢𝑢 afectan
la medición
del volu√𝑛𝑛 constitutivos (Wieser,
2
2
(𝑢𝑢𝑟𝑟P los pesos
)
𝑢𝑢
𝑢𝑢
1 𝑢𝑢 = √
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 2
2
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑢𝑢siguiente
2221 molar fue:
) + (𝑢𝑢∆𝑇𝑇
(16)
( 𝑉𝑉𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇2) + 𝑢𝑢(𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
2 𝑃𝑃𝑃𝑃
4
que
la
incertidumbre
relativa (𝑢𝑢
de) corresponla masa
(𝑢𝑢𝑟𝑟P En tanto
)2011).
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
∆𝑇𝑇)
𝑟𝑟= a√
Para
calcular laestándar
incertidumbre
estándar
men
de
acuerdo
la
expresión:
𝑟𝑟M𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃 )(u
𝑚𝑚
𝑉𝑉
22
𝑢𝑢
)
+
(
)
+
(
)
(16)
(
𝑛𝑛
𝑚𝑚
𝑛𝑛
x
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑟𝑟
2
4
𝑉𝑉𝑛𝑛
𝑉𝑉𝑛𝑛
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑉𝑉𝑛𝑛
En tanto
que
la
incertidumbre
estándar
relativa
(𝑢𝑢
)
de
la
masa
molar
fue:
𝑟𝑟
M
diente a cada elemento se dividió
reportada
(16)
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻la𝑃𝑃𝑃𝑃incertidumbre
2 4
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻=𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑢𝑢𝑟𝑟P
(9)
2
2
1
𝑢𝑢𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 2
4
𝑢𝑢
𝑢𝑢
4
2322 Para
(17)
(u) entre √3, Tabla1
2011).
𝐾𝐾𝐾𝐾=
𝑃𝑃𝑃𝑃4 2 𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐻𝐻22008b;
𝑃𝑃𝑃𝑃
2𝑢𝑢
=4 𝑀𝑀𝑢𝑢𝑀𝑀 2 Wieser,
𝑢𝑢𝑟𝑟P (CENAM-ema
(9) (11)
𝑉𝑉
𝑢𝑢𝑟𝑟 = √( 𝑉𝑉𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇)𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛+=(𝑉𝑉𝑚𝑚
) + ( 𝑉𝑉∆𝑇𝑇 )
(16)
𝑓𝑓
𝑟𝑟M𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
23
𝑓𝑓𝑓𝑓
=
(17)
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻
𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑛𝑛
𝑚𝑚
𝑛𝑛
𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃
4
𝑛𝑛
22 44
2 𝑃𝑃𝑃𝑃24
𝑉𝑉
𝑖𝑖
(11)
la incertidumbre estándar𝑢𝑢combinada
𝑟𝑟M𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑀𝑀 del KH2PO4 se utilizó
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
2
4
2
la siguiente ecuación:
Donde:
24
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 = √∑𝑛𝑛1 (𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑉𝑉 )
(18)
23
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 2
(17)
𝑉𝑉
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
24
𝑢𝑢
= √∑𝑛𝑛1 (𝑢𝑢
(18)
urVn = Incertidumbre
estándar
relativa
del volumen.
𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑛𝑛 )
𝑛𝑛
𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
(12)
√6
25
La
incertidumbre
estándar
relativa
derivada
del
factor
de
dilución
se
estimó
de
acuerdo
a
la
2
(10)
Vn(10)
= Volumen
nominal del material
2 +=𝑢𝑢 2 + 𝑢𝑢
2volumétrico.
(12)
𝑢𝑢
= √𝑢𝑢𝑢𝑢𝐾𝐾𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑢𝑢𝑂𝑂 2
𝐻𝐻 2√6 𝑃𝑃 +
24
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 = √∑𝑛𝑛1 (𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 )
(18)a la
4 𝑢𝑢 2 + 𝑢𝑢 2 + 𝑢𝑢
𝑛𝑛
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑀𝑀4 𝐾𝐾𝐻𝐻=2 𝑃𝑃𝑃𝑃√
+ 𝑢𝑢𝑂𝑂 2
(10)
25
La incertidumbre
estándar relativa
derivada
factor
de dilución
se estimó de acuerdo
𝐾𝐾
𝐻𝐻
uTol = Incertidumbre
debida
a ladeltolerancia
del material.
𝑃𝑃 𝑆𝑆
26
siguiente
ecuación:
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑆𝑆
(13) V𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 ∗ ∆𝑇𝑇 ∗ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑡𝑡é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
√𝑛𝑛
uRep
=𝑢𝑢Incertidumbre
de la derivada
repetibilidad
de las pesadas.
18 25
(14)
∆𝑇𝑇
La
incertidumbre
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 =
(13)= estándar relativa
√3 del factor de dilución se estimó de acuerdo a la
26
siguiente ecuación:
√𝑛𝑛
2
tanto que laestándar
incertidumbre
relativa
m
=
Masa
promedio
del
volumen.
𝑢𝑢
En tanto que laEn
incertidumbre
relativa (𝑢𝑢estándar
)
de
la
masa
molar
fue:
𝑓𝑓𝑓𝑓
m
𝑟𝑟
√∑𝑛𝑛1 ( 𝑛𝑛se
𝑃𝑃𝑃𝑃4la masa molar
𝑢𝑢𝑟𝑟los =
) estimó mediante la siguiente ecuación:
(19)
siguiente
ecuación:
En tanto que la incertidumbre
relativa
(𝑢𝑢𝑟𝑟Mfue: M𝐾𝐾𝐾𝐾) 2de
19 2726 fue:
Por lo∆T
anterior,
la contribución de
volúmenes
(urMKH PO )estándar
de la masa
molar
= Incertidumbre
debido
a la𝑓𝑓𝑓𝑓diferencia
de temperatura.
𝑛𝑛
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
2
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑉𝑉𝑛𝑛
𝑓𝑓
𝑖𝑖
𝑉𝑉𝑛𝑛
𝑓𝑓
𝑛𝑛
𝑖𝑖
𝑛𝑛
2
4
𝑢𝑢𝑟𝑟M
=
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 𝑀𝑀
4
𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑟𝑟M𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃 2 𝑀𝑀4
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
2
4
𝑢𝑢
=
27
20
27
28
21
(11)
Incertidumbre del volumen del
material volumétrico
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
28
𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
=
√6
Este parámetro
el método
gravi𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇se=evaluó utilizando
2928
√6
métrico (Ruiz-Morer, 2006), empleando
10 repeticiones
por
22 30
𝑆𝑆
𝑆𝑆 =
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
triplicado en cada caso.𝑢𝑢Para𝑢𝑢la
estimación
de la incertidumbre
√𝑛𝑛
=
29
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
3129
de la medición de Vi y de Vf del√𝑛𝑛material volumétrico
utiliza30 23 30
do, se identificaron tres principales fuentes de incertidumbre
32
que afectan esta medición: tolerancia del material
31 24volumé31
36
Volumen XVII, Número 3
32
33
25 32
26
33
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓
∑𝑛𝑛1 ( 2𝑛𝑛)
𝑢𝑢 𝑓𝑓𝑓𝑓 = √
2
2 2
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓+ 𝑢𝑢
𝑛𝑛𝑢𝑢
𝑢𝑢𝑉𝑉𝑛𝑛 =𝑟𝑟√
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇2 + 𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑛𝑛
𝑛𝑛
2 ∆T
(15)
2
√𝑢𝑢∑dilución
Incertidumbre
𝑢𝑢𝑟𝑟 =de
(11)
𝑢𝑢
𝑢𝑢𝛾𝛾 2 del𝑢𝑢 factor
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 2
1 ( 𝑓𝑓𝑓𝑓 )
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 = √( 𝑃𝑃 ) + (
) + ( 𝑃𝑃
)𝑛𝑛 + ( 𝑀𝑀
) + ( 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 )
𝛾𝛾
𝑚𝑚
𝑃𝑃
El factor de dilución se usó debido a que la concentra2
2
2
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻-1)
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃 2
𝑢𝑢fue
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 2 (mgL
𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑢𝑢 intervalo
ción
de√(masa
mensurando
4
4
2 𝑃𝑃𝑃𝑃del
2 4
2 mayor
2+ (al𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
2 ( 𝑢𝑢
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 = (12)
)
+
(
(
)
+
)
)2
2
𝑢𝑢 ) + 2
𝑢𝑢
𝑢𝑢
𝑢𝑢
𝛾𝛾
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
𝛾𝛾𝑃𝑃 √
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑃𝑃 𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 = del
( 𝛾𝛾 método
) + ( 𝑚𝑚 𝑢𝑢(EURACHEM/CITAC,
) =+ 𝐶𝐶
( 𝑃𝑃 * 𝑢𝑢 ) + ( 𝑀𝑀
) + ( 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
)
de(12)
trabajo
2012).
El modelo
𝑃𝑃
P 2 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 2𝐶𝐶P 𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 2
√(dilución
matemático𝑢𝑢𝑟𝑟de =
una
estuvo
dado
por:
)
+
(
)
+
(
)
𝑉𝑉𝑛𝑛
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑉𝑉𝑛𝑛
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑓𝑓𝑓𝑓
2 4 𝑛𝑛
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
(13)
(13)
6.08 𝑥𝑥 10−3
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑢𝑢𝐶𝐶P 𝑢𝑢=U 𝐶𝐶
=P𝑢𝑢𝐶𝐶* 𝑢𝑢
𝑢𝑢
=
**𝑟𝑟k𝑐𝑐𝑐𝑐
𝐶𝐶
1
𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑓𝑓𝑓𝑓P𝑛𝑛 =
1
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑉𝑉𝑛𝑛
𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝑉𝑉𝐶𝐶𝑓𝑓PP
(17)
𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑉𝑉𝑖𝑖
1
(20)
(20)
(21)
(16)
(21)
(21)
(22)
(17)
(23)
(22)
(18) (22)
Y  𝐶𝐶P  U
2
k
𝑛𝑛 𝑢𝑢=
=U
𝑢𝑢*Pk*
√∑
𝐶𝐶𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 = U
P 𝐶𝐶)
1 (𝑢𝑢
1
(19)
(19)
(20)
𝑛𝑛
(2.0 − 3.36)2
√ + Y +
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 =
= 2.544 x 10-2 mgL-1
P 𝐶𝐶factor
 U de dilución
PU
(23)
0.1314relativa
5 derivada
25 Y𝐶𝐶
31.84
La incertidumbre
estándar
del
se estimó de acuerdo a la (23)
siguiente ecuación:
3433
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛
1
(11)1
6.08 𝑥𝑥 10−3
𝑢𝑢𝛾𝛾6.08
= 𝑥𝑥 10−3
𝑃𝑃
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 =
√
0.1314
0.1314
2
(2.0 − 3.36)
1 0.02544
1
-2
(2.0
− 3.36)
= 1.272
x 102-2
2.544 x 10-2
mgL-1
2.0
25
+ + 31.84 ==2.544
x 10 mgL-1
1𝑢𝑢𝑟𝑟√
1
=+
𝛾𝛾
5
𝑃𝑃5
+
25
√∑𝑛𝑛2
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑛𝑛
31.84
2
2
−5
18
18
19
19
20
20
21
21
22
22
23
23
24
824
25
925
26
26
0
27
18
127
19
228
28
20
18
3
29
21
29
1930
30
4
31
22
20
831
5
32
9632
23
21
033
33
24
7
22
134
25
34
23
26
8
235
35
24
27
39
25
0
26
41
28
52
27
29
6
30
3
28
31
7
4
32
29
85
30
33
31
9
34
32
0
35
1
33
2
34
3
35
4
5
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =
V𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 ∗ ∆𝑇𝑇 ∗ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑡𝑡é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
V𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 ∗ ∆𝑇𝑇 ∗ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑡𝑡é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
√3
√3
(14)
(14)
Cáñez-Carrasco et al: Estimación de la Incertidumbre en la Cuantificación de / XVII (3): 34-41(2015)
Por lo anterior, la contribución de los volúmenes se estimó mediante la siguiente ecuación:
Por lo anterior, la contribución de los volúmenes se estimó mediante la siguiente ecuación:
18
𝑢𝑢
𝑢𝑢 22 + 𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 22 + 𝑢𝑢∆T 22
Donde:
𝑢𝑢𝑉𝑉𝑉𝑉 == √
√𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝑢𝑢∆T
fdn = Factor de dilución.
19
Vf = Volumen final (de aforo).
18
Vi = Volumen inicial (alícuota).
20
2
2
2
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 2
En el proceso√de
dilución
se
identificaron
dos
𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇una
𝑢𝑢
∆𝑇𝑇
2
2
𝑢𝑢𝑟𝑟 = √(𝑢𝑢𝑉𝑉𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇) + (𝑢𝑢𝑚𝑚𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 ) + (𝑢𝑢𝑉𝑉∆𝑇𝑇 )
19
𝑢𝑢𝑟𝑟 = ( 𝑉𝑉𝑛𝑛 ) el+volumen
( 𝑚𝑚𝑚𝑚 ) + (de
)
fuentes de incertidumbre,
𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛 la alícuota,21Vi y el
𝑛𝑛
𝑚𝑚
volumen de aforo, Vf. El modelo 𝑉𝑉matemático para el20cálculo
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 = 𝑉𝑉
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 = 𝑉𝑉 de dilución fue:
de la incertidumbre de los factores
𝑉𝑉
22
(18)
2
21
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑉𝑉𝑛𝑛
𝑉𝑉𝑛𝑛
𝑓𝑓
𝑓𝑓
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =
2
∑𝑛𝑛1𝑛𝑛 (𝑢𝑢
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 = √
𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑛𝑛 )
V𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 ∗ ∆𝑇𝑇 ∗ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛
𝑡𝑡é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 = √∑𝑑𝑑𝑑𝑑
1 (𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 )
𝑛𝑛
V
(14)
√3
DISCUSIÓN
Laslaprincipales
fuentes
de incertidumbre
enlalasiguiente
cuanti-ecuación:
Por lo anterior,
contribución de
los volúmenes
se estimó mediante
ficación de P Vpor
espectrofotometría
UV-Vis se muestran en
∗ ∆𝑇𝑇 ∗ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑡𝑡é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 2 + 𝑢𝑢 2 + 𝑢𝑢 2
la Figura
1.
√3
√ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑉𝑉
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
∆T
𝑛𝑛
(14)
(15)
Por(16)
lo anterior, la contribución de los volúmenes se estimó mediante la siguiente ecuación:
(16)
(17)
(17)
(18)
(18)
(14)
23
18
La incertidumbre estándar relativa derivada del factor de dilución se estimó de acuerdo a la
estándar
relativa
derivada
del
factor
de
dilución
se
estimó
de acuerdo
a la
22
PorLaloincertidumbre
anterior,
la
contribución
de
los
volúmenes
se
estimó
mediante
la
siguiente
ecuación:
La incertidumbre estándar relativa derivada del factor
√3
∗ ∆𝑇𝑇 ∗ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑡𝑡é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣
(15)
RESULTADOS
Y
(15)
𝑢𝑢𝑉𝑉𝑛𝑛 = √𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 2 + 𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 2 + 𝑢𝑢∆T 2
=
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉𝑛𝑛
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =
(15)
2
2
2
𝑢𝑢
√(𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇) + ( 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 ) + (𝑢𝑢∆𝑇𝑇 )
𝑉𝑉𝑛𝑛
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑉𝑉𝑛𝑛
(16)
𝑉𝑉
(17)
(14)
(16)
V𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 ∗ ∆𝑇𝑇 ∗ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 =𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑡𝑡é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑉𝑉
2
𝑢𝑢 √3𝑖𝑖 2
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉𝑛𝑛 =
+ ( 𝑚𝑚𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅) + (𝑢𝑢𝑉𝑉∆𝑇𝑇)
𝑛𝑛
𝑚𝑚
𝑛𝑛
2
la contribución𝑢𝑢de
volúmenes
∑𝑛𝑛1 (𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 ) se estimó
= √
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 los
2
√(𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇)
𝑉𝑉
19
Por lo anterior,
mediante la siguiente ecuación:
24
(18)
siguientede
ecuación:
dilución se estimó de acuerdo a la siguiente ecuación:
𝑛𝑛
siguiente ecuación:
𝑉𝑉
𝑢𝑢𝑉𝑉𝑛𝑛 = √𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 2 + 𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 2 + 𝑢𝑢∆T 2
23 (19) (15)
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 = 𝑓𝑓
(17)
𝑉𝑉𝑖𝑖 2
2
20
+ 𝑢𝑢∆T
(15)a la
25
La incertidumbre estándar 𝑢𝑢
relativa
derivada
de2 dilución se estimó de acuerdo
𝑉𝑉𝑛𝑛 = √𝑢𝑢
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝑢𝑢del
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 factor
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 2
𝑛𝑛 2
𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑
V𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 ∗ ∆𝑇𝑇 𝑢𝑢
∗ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛
𝑡𝑡é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓
√
∑
=
)
(19)
(
𝑛𝑛
𝑛𝑛
1
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =
(14)
2
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑟𝑟𝑓𝑓𝑓𝑓
(19)
𝑛𝑛 = √∑1 ( 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 )
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛
√3
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛
24
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 = √∑𝑛𝑛1 (𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 )
(18)
26
siguiente ecuación:
𝑛𝑛
21
de las fuentes
de incertidumbre
PorCombinación
lo anterior, la contribución
de los volúmenes
se estimó mediante
la siguiente ecuación:
2
2
22
2
2
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑢𝑢
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃 2
incertidumbre estándar relativa derivada𝑢𝑢del
factor
de dilución se estimó de acuerdo a la
2
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2𝑃𝑃𝑃𝑃2relativa
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 25
𝑢𝑢 2𝑃𝑃𝑃𝑃estándar
𝑢𝑢∆𝑇𝑇
𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑛𝑛
4 2
4 2
4 combinada
2 la
2
incertidumbre
y
son La
𝑢𝑢𝑚𝑚(𝐾𝐾𝐻𝐻𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑢𝑢𝑃𝑃𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻
√(𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝛾𝛾𝛾𝛾𝑟𝑟𝑃𝑃𝑃𝑃 )2=
√
)
+
+
(
)
(16)
𝑢𝑢𝑟𝑟La
=
+
(
)
+
(
+
(
(20)
𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐾𝐾𝐻𝐻2)
𝑃𝑃𝑃𝑃4 )
𝑃𝑃𝑃𝑃4 ) + (𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 )
2
2
∑𝑛𝑛1 (𝑢𝑢 fuentes
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑓𝑓𝑓𝑓𝑢𝑢 = 2√
)2
(19)
2
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻𝑚𝑚2𝑃𝑃𝑃𝑃4 2) + (𝑉𝑉𝑀𝑀
𝑃𝑃
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 27
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐
= √( 𝛾𝛾𝛾𝛾𝑃𝑃𝑉𝑉𝑛𝑛) + ( 𝑚𝑚
(20) 1. Diagrama causa-efecto
𝑛𝑛 4 ) +
𝑛𝑛 𝐾𝐾𝐻𝐻
𝐾𝐾𝐻𝐻𝑉𝑉
𝑢𝑢∆𝑇𝑇
Figura
de
incertidumbre
para la
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
4 ) + ( 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 )
2 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 (
2 2 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑛𝑛𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 de las𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑛𝑛
𝑚𝑚
𝑃𝑃
𝑀𝑀
√
𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑢𝑢
=
𝑢𝑢
+
𝑢𝑢
+
𝑢𝑢
(15)
22
𝑢𝑢
=
)
+
(
)
+
(
)
(16)
(
√
4
las incertidumbres 𝑉𝑉obtenidas
a 2𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
partir
de
2 4 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
2 4 incertidumbres
∆T las
𝑛𝑛
26
siguiente ecuación:
𝑛𝑛
𝑉𝑉espectrofotometría
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑉𝑉
𝑛𝑛
𝑛𝑛
cuantificación de P𝑟𝑟𝑉𝑉mediante
UV-Vis.
V
∗
∆𝑇𝑇
∗
𝑐𝑐𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛
𝑡𝑡é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑉𝑉
estándares
a las magnitudes de entra- (17)
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =individuales asociadas
(14)
Figure 1. Cause and effect diagram of the sources of uncertainty
for quanti𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 = √3𝑓𝑓
2
𝑉𝑉 2
2
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃 2
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃spectrophotometry.
𝑢𝑢𝐶𝐶P =(EURACHEM/CITAC,
𝐶𝐶 𝑉𝑉𝑖𝑖* 𝑢𝑢
(21) P by UV-Vis
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 2
fying
da del modelo de medición
2012).
𝑢𝑢2𝑓𝑓𝑓𝑓 4𝑓𝑓 2
2 4
2 4
23
𝑓𝑓𝑓𝑓
(17)
√
𝑛𝑛𝑛𝑛 =
𝑢𝑢𝐶𝐶P = 𝐶𝐶PP * 𝑢𝑢𝑟𝑟𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐
(21)
𝑛𝑛
𝑢𝑢
28
=
(
)
+
(
)
+
(
)
+
(
)
+
(
)
(20)
𝑉𝑉𝑖𝑖
𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑐𝑐𝑐𝑐
27
𝑢𝑢2𝑟𝑟𝑃𝑃𝑃𝑃
= √∑𝑃𝑃1𝐾𝐾𝐻𝐻( 2𝑓𝑓𝑓𝑓
(19)
𝛾𝛾𝑃𝑃
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑃𝑃𝑃𝑃4 )
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛
4
Por lo anterior, la contribución de los volúmenes
2 se estimó mediante la siguiente ecuación:
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 = √∑1 (𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 )
(18)
2
2
2 relativa
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑛𝑛 estándar
𝑛𝑛
Estimación de
la incertidumbre
𝑢𝑢𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 2
Incertidumbre
estándar
al cálculo de la
∆𝑇𝑇
24
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 = √∑debida
(18)
√∗(𝑐𝑐𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
U+=(𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑢𝑢𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛
*)2 k + (𝑢𝑢𝑡𝑡é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
(22)
V𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
∗ ∆𝑇𝑇
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
1 (𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑛𝑛 )
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉𝑛𝑛𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣=
)
)
(16)
2
2
P
U
=
𝑢𝑢
*
k
(22)
𝑢𝑢𝑉𝑉𝑛𝑛 = √𝑉𝑉𝑢𝑢𝑛𝑛estándar
+ 𝑢𝑢∆T𝑉𝑉𝑛𝑛
(15)
𝑚𝑚𝐶𝐶𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
2
𝑢𝑢La
=
(14)
𝑚𝑚
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝑢𝑢
2
2
∆𝑇𝑇 incertidumbre
P relativa
2
2calibra29
𝑢𝑢
=
𝐶𝐶
*
𝑢𝑢
(21)
𝑢𝑢
𝑢𝑢
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻
es la incertidumbre
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 de fósforo
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐶𝐶P
𝑃𝑃partir
𝑢𝑢de
a
la
P 2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 de
La incertidumbre estándar relativa derivada √3
del factor de dilución
se estimó de acuerdo aconcentración
la
𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃curva
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
4
4
2
2
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 = √( ) + (
28
) +(
) +(
) + (
)
(20)
𝛾𝛾𝑃𝑃
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 derivada
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓estimó de acuerdo a la
30
25
Lación
incertidumbre
estándar
relativa
del
factor𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻
de2𝑃𝑃𝑃𝑃dilución
se
Y  𝐶𝐶𝑉𝑉P𝑓𝑓  U estándares individua(23)
4
4
obtenida a partir de las incertidumbres
Y =𝐶𝐶P  se
U estimó mediante la siguiente ecuación:
(23)
Por
lo
anterior,
la
contribución
de
los
volúmenes
𝑓𝑓𝑓𝑓
(17)
𝑛𝑛
siguiente ecuación:
𝑉𝑉𝑖𝑖
les considerando la concentración
de masa del P a partir
de
La incertidumbre estándar
31
U = 𝑢𝑢𝐶𝐶P * k de la concentración de
(22)
26
siguiente ecuación:
−3
2
(2.0
− 3.36)
6.08
𝑥𝑥
10
1
1
−3
2
2del
22 =
-2 29 -1 del
la curva
de6.08
calibración,
KH
PO
,
la
pureza
(2.0
−
3.36)
𝑥𝑥 10𝑢𝑢 =
1 𝑢𝑢+la 1masa
masa
del
fósforo
mediante
del instrumento se (21)
2
√
𝑢𝑢
= la
𝐶𝐶Prespuesta
* 𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 =
+
2.544
x
10
mgL
+
𝑢𝑢
+
𝑢𝑢
(15)
√
2
4
𝐶𝐶
-2
-1
2
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 2
∆T
P
𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 =
+
=
2.544
x
10
mgL
√∑
0.1314 𝑉𝑉𝑛𝑛 √𝑢𝑢𝑢𝑢
5𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛+
31.84
2 25
2
(𝑢𝑢
=
)
(18)
𝑛𝑛 𝑛𝑛
𝑓𝑓𝑓𝑓
0.1314
∑𝑛𝑛1((1𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
=) √25
) 31.84
KH2PO4, la masa
del
KH
PO
y el𝑢𝑢∆𝑇𝑇
factor de dilución.
La (19)
32
(23)
30
calculó con la ecuación 4: Y 𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑢𝑢P𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 U2
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉𝑛𝑛 molar
= √𝑢𝑢(𝑟𝑟𝑓𝑓𝑓𝑓5𝑉𝑉𝑛𝑛𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
+
(16)
2𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 ) 4 + ( 𝑉𝑉 )
𝑚𝑚
𝑛𝑛
𝑚𝑚
𝑛𝑛
27
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑓𝑓𝑓𝑓 = √∑1 (
)
(19)
ecuación
empleada
fue
la
siguiente:
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛
𝑛𝑛
0.02544
La incertidumbre estándar relativa
del1.272
factor
de-2 dilución se estimó
0.02544 =
𝑢𝑢𝑟𝑟𝛾𝛾 =derivada
x 10
31 de acuerdo a la
U
= 𝑢𝑢𝐶𝐶P(2.0
* k− 3.36)2
(22)
−3
-2
6.08
𝑥𝑥
10
1
1
𝑢𝑢𝑟𝑟𝛾𝛾𝑃𝑃 = 2.0 =
𝑉𝑉𝑓𝑓 1.272 x 10
(20) (17) 𝑢𝑢 =
2
√ +
=
2
2.0
+
= 2.544 x 10-2 mgL-1
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 2 𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑢𝑢𝑛𝑛𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑢𝑢𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝛾𝛾𝑃𝑃
𝑢𝑢𝛾𝛾 2
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 2 33
𝑉𝑉
𝑃𝑃𝑃𝑃
0.1314
5
25
31.84
2 4
siguiente ecuación:
2
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 = √( 𝑃𝑃 ) + (
) 2+ ( 𝑃𝑃 𝑢𝑢 2 4𝑖𝑖 )2 + ( 𝑀𝑀 2 24 ) + ( 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 ) 32
(20)
2 Y
2
2
𝑢𝑢
𝑢𝑢
𝑢𝑢
𝐶𝐶

U
(23)
𝛾𝛾𝑃𝑃
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑢𝑢
𝑚𝑚
𝑃𝑃
𝑀𝑀
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 2
𝑢𝑢
𝑢𝑢
𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝛾𝛾
2 2𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
2 =2 4.123
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐾𝐾𝐻𝐻P
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
4
4
4
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
(0.00004)
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑥𝑥10−5
√√(0.00001)
−5 g
𝑢𝑢𝑟𝑟2𝑉𝑉𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃4==
) +2(+
) +
(2 𝑉𝑉∆𝑇𝑇
)4.123
(16)
( 𝑉𝑉𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 = √( 𝑃𝑃 ) + (
28
)
+
(
)
+
(
)
+ ( 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 )
(20)
(0.00004)
√(0.00001)
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻
=
+
=
𝑥𝑥10
g
2
𝑚𝑚
𝛾𝛾𝑃𝑃 que𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻
𝑃𝑃
𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑛𝑛
𝑚𝑚
𝑛𝑛
En
tanto
la
incertidumbre
estándar
relativa
de
la
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
4 0.02544𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑛𝑛
2 𝑃𝑃𝑃𝑃
√
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛 = ∑1 (𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 )2
(18)
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑛𝑛
34
𝑢𝑢𝑟𝑟𝛾𝛾 =
= 1.272 x 102-2
−3
𝑛𝑛
𝑛𝑛
(2.0 − 3.36)
6.08 𝑥𝑥 de
10 fósforo
1𝑃𝑃
12.0 obtuvo
concentración
sustituyendo
valores en
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑓𝑓𝑓𝑓 = √∑1 ( 𝑉𝑉 )
(19)
√ + se
𝑓𝑓𝑓𝑓
33
+
= 2.544 x 10-2 mgL-1
𝑢𝑢𝑛𝑛𝐶𝐶 =
(21) 22 𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 =
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛𝐶𝐶P
= * 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑛𝑛𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐
(17)
0.1314
5
25
31.84
de la incertidumbre
estándar
combinada
𝑉𝑉
la
ecuación
5:
LaEstimación
incertidumbre estándar
relativa Pderivada
del
factor de dilución
se estimó
de
acuerdo
a
la
𝑖𝑖
29
𝑢𝑢 = 𝐶𝐶 * 𝑢𝑢
(21)
P
𝑐𝑐𝑐𝑐
35
𝑢𝑢𝑚𝑚
= √(0.00001)
+ (0.00004)
= 4.123 𝑥𝑥10 g
La incertidumbre estándar combinada
de la concen30
2
0.02544
22
2
2
2
𝑢𝑢
𝑢𝑢
𝑢𝑢
𝑢𝑢𝛾𝛾
𝑛𝑛
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 34
√=∑
𝑢𝑢𝑟𝑟𝛾𝛾 =
= 1.272 x 10-2
(𝑢𝑢
𝑢𝑢obtuvo
=U+
(18)
tración
partir
𝑓𝑓𝑓𝑓 )
𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑢𝑢
* 𝑛𝑛k)) +de
(22)
1 𝐶𝐶
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐de
= √fósforo
( 𝛾𝛾 𝑃𝑃 ) + (se
(a
( 𝑀𝑀la siguiente
) + ( 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 ecuación
)
(20)
𝑃𝑃
2.0
𝑚𝑚
𝑃𝑃 P
𝑃𝑃
31
U
=
𝑢𝑢
*k
𝐶𝐶
(EURACHEM/CITAC, 2012).
P
2
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 factor
La incertidumbre estándar relativa
de dilución se estimó
acuerdo(23)
a la
𝑛𝑛)U
2 + (0.00004)2 = 4.123 𝑥𝑥10−5 g
√(0.00001)
35 de(21)
𝑢𝑢
=
𝑢𝑢𝑟𝑟 derivada
= √Y∑𝑛𝑛1 𝐶𝐶
(19)
( Pdel
𝑚𝑚
Incertidumbre de la masa del
KH PO4
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛
32
Y  𝐶𝐶P  U2
𝑢𝑢𝐶𝐶P = 𝐶𝐶P * 𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐
(21)
Se
pesaron
en
promedio
0.01919 g de KH2PO4. Cada
siguiente ecuación:
−3
2
(2.0 − 3.36)
6.08 𝑥𝑥 10
1
1
-2
-1
√ +2 +
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 =
= 2.544
−3 estuvo
2
una
de
las
pesadas
sujeta
a−la
repetibilidad
de la ba2 x 10 mgL
(2.0
2
3.36)
6.08
𝑥𝑥
10
1
1
0.1314
25 𝑢𝑢
31.84 𝑢𝑢
𝑢𝑢 5
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 2
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 2
√ +
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 =
+
= 2.544 x 10-2 mgL-1
2 +(
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 = √( de
) la
+ (incertidumbre
) + ( 𝑃𝑃 𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓 )expandida
) + ( 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
) 33
(20)
Estimación
0.1314
5
25
31.84
lanza
y
a
la
incertidumbre
de
la
calibración.
Sustituyendo
en
𝛾𝛾𝑃𝑃
𝑚𝑚
𝑀𝑀
𝑛𝑛
𝑛𝑛
U
=
𝑢𝑢
*
k
(22)
𝑢𝑢𝑟𝑟 = √∑1 ( 𝐶𝐶P )
(19)
0.02544 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛
La incertidumbre
se obtuvo multiplila ecuación 6 y en la ecuación 7 se obtiene la incertidumbre
𝑢𝑢𝑟𝑟𝛾𝛾 = expandida
= 1.272 x(U)
10-2
0.02544
𝑃𝑃
2.0Y  𝐶𝐶  U
(23)
P
cando la incertidumbre
estándar
combinada (por el34factor
=la masa=del
1.272P,x respectivamente:
10-2
estándar y la relativa𝑢𝑢𝑟𝑟de
𝛾𝛾𝑃𝑃
2.0
𝑢𝑢
=
𝐶𝐶
*
𝑢𝑢
(21)
2
𝐶𝐶2P
P
𝑟𝑟2𝑐𝑐𝑐𝑐
2
2
𝑢𝑢
𝑢𝑢
𝑢𝑢
𝑢𝑢
de cobertura
nivel
de 2(confianza
de
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓aproxima−5
𝛾𝛾 k = 2, con un
2 +
(0.00004)
𝑢𝑢𝑚𝑚
=−3
= 24.123
g )
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 = √
( 𝛾𝛾 𝑃𝑃 )𝑥𝑥 10
+
( √(0.00001)
) −+3.36)
) 𝑥𝑥10
+ ( 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
(20)
6.08
1 ) +1( 𝑃𝑃 (2.0
𝑚𝑚
𝑀𝑀
𝑃𝑃
damente
35-1
𝑢𝑢𝑚𝑚
= √(0.00001)2 + (0.00004)2 = 4.123 𝑥𝑥10−5 g
√ +
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 = 95%.
+
= 2.544 x 10-2 mgL
0.1314
5
25
31.84
U = 𝑢𝑢𝐶𝐶P * k
(22) (22)2
siguiente ecuación:
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝑛𝑛
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
2.0
resultado
𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
36
determinación
0.02544
= 1.272 x 10-2
𝑟𝑟𝛾𝛾𝑃𝑃
36
38
2.0
(2.0 − 3.36)
10−3se 1deben
1 agregar
Por6.08
lo 𝑥𝑥que
las2 unidades -2correspon-1
√ +
+
= 2.544 x 10
mgL
𝑃𝑃
0.1314
5
252 P, así
31.84
dientes
a la
como
de la
incertidumbre
−5
2 = 4.123
𝑢𝑢𝑚𝑚concentración
= √(0.00001)de
+ (0.00004)
𝑥𝑥10
g
39
expandida dentro del rango
de
±
U
(Chacón,
2010).
0.02544
37
𝑢𝑢𝑟𝑟𝛾𝛾 =
𝑃𝑃
2
(22)
2.0
(23)
2
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
−5
2
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
Finalmente, el
de la
de la
concentración de
P en refrescos
de
cola
se
expresó
en la
−3
−5
2
2
2
(2.0
6.08
𝑥𝑥 10 = √(0.00001)
1
1 +
𝑢𝑢
𝑢𝑢𝐶𝐶(0.00004)
* k − 3.36)= 4.123 𝑥𝑥10 g-2
P
√ + U =+
𝑢𝑢𝛾𝛾𝑃𝑃 = 𝑚𝑚
= 2.544 x 10 mgL-1
forma:
0.1314
5
25
31.84
37
(23)
Y  𝐶𝐶P  U
𝑃𝑃
𝑢𝑢𝛾𝛾 =
𝑟𝑟
𝑀𝑀𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝑢𝑢 0.02544
= 𝐶𝐶 * 𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑢𝑢𝑟𝑟𝛾𝛾 =𝐶𝐶P Y P𝐶𝐶=P 1.272
 U x 10-2
=
P
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2 4
𝑢𝑢
2
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑛𝑛
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
= 1.272 x 10-2
40
𝑢𝑢𝑚𝑚𝐾𝐾𝐻𝐻2𝑃𝑃𝑃𝑃4 = √(0.00001)2 + (0.00004)2 = 4.123 𝑥𝑥10
38 −5 g
(21)
(23)
𝑢𝑢𝑟𝑟m
(22)
M𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃4
0.01919
2
= 2.149 𝑥𝑥 10−3
= 39.0983 + 2 x 1.00794 +0.005
30.973762 + 4 x 15.9994 = 136.085542 gmol–1
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2𝑃𝑃𝑃𝑃4 =
= 2.887 x 10−3
√3x 10−5 )2 + (1.1547 x 10−6 )2 + (6.9284 x 10−4 )2
uM𝐾𝐾𝐾𝐾22𝑃𝑃𝑃𝑃4 = √(5.7737 x 10−5 )2 + (8.0831
2
42
4.123 𝑥𝑥 10−5
0.005
Incertidumbre de𝑢𝑢la
pureza
del= KH
4
2.8872PO
x 10−3
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 =
La pureza de KH2PO4 √3
fue de 99.9 ± 0.5 % (Fermont), se
(23)2
−5
4.123
𝑥𝑥x10
consideró como
distribución
La incertidum2.887
10−3rectangular.
−3−3
𝑢𝑢𝑟𝑟m una
2.149x 𝑥𝑥1010
𝑢𝑢𝑟𝑟P𝑃𝑃𝑃𝑃 = = 0.01919
== 2.890
𝐾𝐾𝐾𝐾
0.999
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑃𝑃𝑃𝑃
2
4
2 sustituyendo
4
bre estándar se obtuvo
en la ecuación 8:
𝑢𝑢𝑟𝑟P
41
39
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
=
M𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑢𝑢 2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
2.887 x 10−3
=
= 2.890 x 10
−4
−1
Volumen
XVII,
3
0.999 x 10
= 6.9993
gmolNúmero
M𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
−3
37
= 39.0983 + 2 x 1.00794 + 30.973762
+ 4 x 15.9994 = 136.085542 gmol–1
−4
𝑢𝑢𝑟𝑟M
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
−5 2
=
6.9993 x 10
= 5.1433 x 10−6 gmol−1
136.085542
−5 2
−6 2
−4 2
2.887 x 10
0.01919
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑢𝑢𝑢𝑢
==
= 2.149 𝑥𝑥 10−3
𝑟𝑟𝐾𝐾𝐾𝐾
m𝑟𝑟𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
0.01919 = 2.890 x 10
4
P 2
36
38
𝑢𝑢𝑟𝑟m
=
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
4.123 𝑥𝑥 10−5
0.01919
37
= 2.149 𝑥𝑥3910−3
M𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑢𝑢
=
0.005
0.999
= 2.887 x 10−3
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
√3
= 39.0983 + 2𝑃𝑃𝑢𝑢𝐾𝐾𝐻𝐻
x 1.00794
+ 0.005
30.973762 + 4 x 15.9994
= 136.085542 gmol–1
=
= 2.887 x 10−3
37
Cáñez-Carrasco
et al: Biotecnia / XVII (3): 34-41
(2015)
𝑃𝑃
38
40
0.005
En tanto𝑢𝑢que
la incertidumbre
estándar
38 relativa
= 2.887
x 10−3
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 =
√3
pureza se determinó a partir de la ecuación 9: 3639
𝐾𝐾𝐻𝐻 𝑃𝑃𝑃𝑃
2
4
√3
2.887 x 10−3
𝑢𝑢𝑟𝑟P 2
= 0.999 =−52.890
x 10−3
) 2+
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑃𝑃𝑃𝑃4(8.0831
uM𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃4 = √(5.7737 x 10−5
x 10 −3)2 + (1.1547 x 10−6 )2 + (6.9284 x 10−4 )2
2.887ex 10
Tabla
1.
Valores
de
pesos
atómicos
incertidumbres
del KH2PO4 (Wieser,
de la
−5 2.890 x 10−3
𝑢𝑢𝑟𝑟P
= 4.123
𝑥𝑥 10=
0.999
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 =
=
2.149
𝑥𝑥 10−3 gmol–1
M2011).
x 𝑟𝑟1.00794
+ 4 x 15.9994
= 136.085542
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 = 39.0983 + 2 𝑢𝑢
m𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃+ 30.973762
0.01919
2 weights
4
Table 1. Values of atomic
and
uncertainties
of KH2PO4 (Wieser,
𝑢𝑢M𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃
= 6.9993
x 10−4 gmol−1
4
–1
2011).
−5
2
−5
2
−6
M
=
39.0983
+
2
x
1.00794
+
30.973762
+
4
x
15.9994
= 136.085542
√(5.7737
uM𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
x 10 ) + (8.0831 x 10 ) + (1.1547 x 10 )2 + (6.9284
x 10−4 )2gmol
𝐾𝐾𝐾𝐾2=𝑃𝑃𝑃𝑃
4
41
39 40
2
4
𝑢𝑢𝑟𝑟P
=
= 2.890 x 10−3
0.005
0.999
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
37
= 2.887 ux 10−3
𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4 = u−4
uKH2 PO4
Elemento
Peso𝑢𝑢6.9993
(x)
−5 )2 +
−5 )2 + (1.1547
−6 )2 (6.9284
x 10
√3
√(5.7737
(8.0831
40
u
=
x
10
x
10
x 10
x 10−4 )2
−4
4.123 𝑥𝑥 10−5
M
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑢𝑢M𝐾𝐾𝐾𝐾
gmol−1 x 10−6
𝑢𝑢𝑟𝑟M Atómico
=2𝑃𝑃𝑃𝑃4 = 6.9993 x 10= 5.1433
gmol−1+
36
𝑢𝑢𝑟𝑟m
= 0.01919 = 2.149 𝑥𝑥 10−3 42 41
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑃𝑃𝑃𝑃
2
4
136.085542
2
4
Incertidumbre de la masa molar KH
PO4
2.887 x 10−3
M𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃4 = 39.0983 + 2 x 1.00794 + 30.973762
+ 24 x 15.9994
= 136.085542 gmol–1
−5
38
𝑢𝑢𝑟𝑟P
=
= 2.890 x 10−3
4.123 𝑥𝑥 10el
En la Tabla𝑢𝑢𝑟𝑟1 se presenta
resumen
−3 del cálculo de la
−4
0.999
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑃𝑃𝑃𝑃
-5
36
=
=
2.149
𝑥𝑥
10
−4
2 x 10
4
6.9993
0.005
K
39.0983
±
0.0001
5.7737
10
5.7737 x 10-5
m𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
41
𝑢𝑢
=
6.9993
x
10
gmolx−1
0.01919
−3
−1
2
4
37
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻
= la masa
= 2.887
x 10
4
42
𝑢𝑢𝑟𝑟M
= M𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃
0.080
𝑚𝑚𝑚𝑚= 5.1433 x 10−6 gmol
incertidumbre
estándar
molar
del
KH
PO
.
Esto
se
2 𝑃𝑃𝑃𝑃de
4
−2
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
136.085542
√3
2
4
43 x 10−6 )2 + (6.9284 x 10−4 )2
𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 =
= 3.266 x 10 mL
uM𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃4 = √(5.7737 x 10−5 )2 + (8.0831 x 10−5 )2 + (1.1547
–1
√6
39consecuenM𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃
+ 2 x 1.00794
+ 30.9737624.0416
+ 4 x 15.9994
obtuvo sustituyendo datos2.887
enx 10la−3 ecuación 10. En
-5
0.005
H4 = 39.0983
1.00794
± 0.00007
x 10-5 = 136.085542
8.0831 x 10gmol
2.887 x 10−3
3738
= 2.887 x 10−3 −3
= 0.999 = 2.890 x 10
𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
cia, la masa molar 𝑢𝑢e𝑟𝑟Pincertidumbre
del KH2PO
√3
43
424 fue:
3839
M𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑢𝑢
𝐾𝐾𝐻𝐻2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
=
−4
44
−1 40
2.887 x 10 x 10
𝑢𝑢M+𝐾𝐾𝐾𝐾
==+6.9993
= 39.0983
1.00794
30.973762
+ 4−5
x 15.9994
= 136.085542 gmol–1
4.123
𝑥𝑥 10
𝑢𝑢2𝑟𝑟 2x 𝑃𝑃𝑃𝑃
=
2.890
xgmol
10−3
4
𝑢𝑢𝑟𝑟
=
P𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
2
4
0.999
−3
= 2.149 𝑥𝑥 10−3
m𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
44
0.01919
−4 2
uM𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃4 = √(5.7737 x 10−52)2 +4(8.0831 x 10−5 )2 + (1.1547 x 10−6 )2 + (6.9284 x 10–1
41 gmol )
M𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃4 = 39.0983 + 2 x 1.00794 + 30.973762 + 4 x 15.9994 = 43
136.085542
−4
6.9993 x 10
45−6
−1
5.1433
10
𝑢𝑢 M
= )2M + (8.0831
2 −4
−6 )2 +gmol
= 6.9993
x=
gmol−1 xx10
0.005
)10
(6.9284 x 10−4 )2
uM𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃4 = 𝑟𝑟√(5.7737
x 10−5
+ (1.1547
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4x 10−5𝑢𝑢
136.085542
−3 45
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻
=
=
2.887
x
10
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
44
40
39
4041
−4
6.9993
0.080
𝑚𝑚𝑚𝑚x 10−1
== 1.894 x 10
= 3.266
10−2 mLx 10−6 gmol−1
=x5.1433
𝑢𝑢𝑟𝑟M 𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 −5
2
−6 )2 + (6.9284 x 10−4 )2
2 𝑃𝑃𝑃𝑃
)21.1547
√(5.7737𝐾𝐾𝐾𝐾𝑢𝑢x30.973762
uM𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃4 = P
104 =) 136.085542
+√6(8.0831
x 10
+ (1.1547
=−53.458
x 10x−2
-6x 10
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
±
0.000002
10mL
1.1247 x 10-6
√30
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
M𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
2
4
4243
𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑢𝑢 =
2.887
=x 10
3.266
x 10−2 mL
1.894 x 10
−2
incertidumbres (tolerancia, repetibilidad
y variación de tem𝑚𝑚𝑚𝑚 2−4
100
∗ (0.03458)
50.080
∗ 2.1𝑥𝑥10
2 +
2 = 7.705 x 10-2 mL
−2
𝑢𝑢𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚 = √(0.03266)
+ 3.266
(0.06062)
peratura)
que
afectan
la
medición
del
volumen
𝑢𝑢
=
mL
=
x
10
𝑢𝑢
=
=
6.062
x
10−2
-2 de acuerdo
2
2
2
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
∆𝑇𝑇
𝑢𝑢𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚 = √(0.03266) + (0.03458) + (0.06062) = 7.705
x 10mL
mL
√6
√3
a la ecuación 16:
= 2.890 x 10
𝑟𝑟P𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃
√6=x𝑚𝑚𝑚𝑚
10−40.999
2 6.9993
4 4.123
𝑥𝑥 10−5 −2 −6 47
0.080
45−14347
5.1433
10
mL gmol
x=
10x2.149
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑟𝑟𝑟𝑟mM𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡4 == 136.085542
= √6 = =3.266
𝑥𝑥 10−3
0.01919
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
−1
−3
−2
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
mL = 136.085542 gmol–1
= 3.458
= 39.0983
+ 2=x 1.00794
+ 4xx10
15.9994
1.894 x+1030.973762
46
𝑢𝑢
= 0.080 𝑚𝑚𝑚𝑚 del
= 3.458
x 10 mLvolumétrico
Incertidumbre
del
volumen
material
M𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃4
1.894 x 10−1
= 3.458 x 10 mL
0.080± 𝑚𝑚𝑚𝑚
√30
−1-4
−2
15.9994
0.0003
1.7321
x 10
6.9284 x 10-4
𝑢𝑢=M𝐾𝐾𝐾𝐾
=
6.9993
x 10
gmol
𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡100
mL
= −4
3.266
x−410
∗ 25𝑃𝑃𝑃𝑃√6
∗4 2.1𝑥𝑥10
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =
= 6.062 x 10−2 mL
√3 −4
100 ∗ 5 ∗ 2.1𝑥𝑥10
−1= 6.062 x 10−2 mL
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =
1.894
x 10
6.9993
x 10−4= 3.458
−2
√3
La incertidumbre
relativa
Vx100
segmol
estimó
commL
10
−1
=del
5.1433
x mL
10,−6
𝑢𝑢𝑟𝑟M𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = =
√30𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
136.085542
binando en forma cuadrática
𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚 relativa, las tres fuentes de
O
√3
La estimación de la incertidumbre
estándar
relativa,
46 42
6.9993=x 6.9993
10−4 x 10−4 gmol−6
−1
−1
𝑢𝑢M
=
5.1433
x
10
𝑢𝑢
=
gmol
46
𝑟𝑟
se determinó con la ecuación
0.080
𝑚𝑚𝑚𝑚 11: −3
136.085542
4142
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 =
−1
1.894 x 10−1
−2
𝑉𝑉100
−2
2 𝑚𝑚𝑚𝑚= 3.458
2
2x 10
√30
44
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
=x 10x−2102−2
−2 2mL
−2 2
= 3.266 x 10−2 mL
√30
3.266
6.062
x 10−2
3.266
3.4583.458
x 10−2 x 10 6.062 x 10
√30
√6
0.005
√
√
(
48
𝑢𝑢
=
)
+
(
)
+
(
Se estimó𝑢𝑢la incertidumbre
estándar
correspondiente
−3
48
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑟𝑟𝑉𝑉𝑉𝑉100
= (
)
+ (
)
+ ( )
)
100 𝑚𝑚𝑚𝑚
=
=
2.887
x
10
100100
99.72199.721
100
−5 𝑃𝑃2𝐾𝐾𝐻𝐻
100
2 𝑃𝑃𝑃𝑃
4
−1
)2 + (6.9284 x 10−4 )2𝑚𝑚𝑚𝑚
(8.0831
uM
=al√(5.7737
+100
x −4
10−5 )2 + −2(1.1547
x 10−6estuvo
1.894
10
√3
volumenx 10
del𝑢𝑢 𝑢𝑢)material
volumétrico.
El mLvolumen
∗ 5 ∗ x2.1𝑥𝑥10
4445 𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
47
𝑢𝑢𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚 = √(0.03266)2 + (0.03458)2 +−4(0.06062)2 = 7.705 x 10-2 mL
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
= =
=3.458
6.062x x10
10−2mL
100
∗ 5 ∗√30
2.1𝑥𝑥10=−4
∆𝑇𝑇
100 ∗ 5 ∗ 2.1𝑥𝑥10
√3
sujeto a la𝑢𝑢∆𝑇𝑇
influencia
de fuentes
de=incertidumbre
como Tol,
=
6.062 x 10−2
4549mL
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =
= −4
6.062 x 10−2 mL
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 7.705 x 10
2.887 x 10−3
−3
√3
49
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉√3
= 7.705 x 10−4
𝑢𝑢
=
=
2.890
x
10
Rep, ∆T.
46
𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚−4
100 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑟𝑟P𝐾𝐾𝐾𝐾 100
−4
−1
0.999
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4∗ 5 ∗=2.1𝑥𝑥10
𝑢𝑢 =𝐾𝐾𝐾𝐾
6.9993
x 10 gmol
0.010 𝑚𝑚𝑚𝑚
2
2
2
45
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 M
= 6.062 x 10−2 mL
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
−3
𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 =3.266 x 10−2
mLx 10−2
= 𝑉𝑉
4.083
x 10
3.458
6.062 x 10−2
√3𝑉𝑉
4650
100
𝑚𝑚𝑚𝑚
0.010
𝑚𝑚𝑚𝑚
100
𝑚𝑚𝑚𝑚
Incertidumbre
de
la
pipeta
volumétrica
de
2
mL
√6
√
−3
-2
2
2
2
48
𝑢𝑢
=
)
+
(
)
+
(
)
(
−5
47
𝑢𝑢
=
+
(0.03458)
+
(0.06062)
=
7.705
x
10
mL
𝑟𝑟𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚
matraz
volumétrico
100
mL
50
𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 =
= 4.083 x 10 mL
–1
𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚 √(0.03266)
4.123
𝑥𝑥 10
M𝐾𝐾𝐾𝐾Incertidumbre
= 39.0983
+𝑢𝑢 2del
x 1.00794
30.973762
+ 4 x de
15.9994
99.721
−3 = 136.085542 gmol
46
𝑉𝑉100𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚
2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
= +4.123
Tolerancia.8.020
En x100
la10√6
especificación
del fabricante, la100
tole−3
10−5 = 2.149 𝑥𝑥 10−3
𝑟𝑟m𝐾𝐾𝐾𝐾La
𝑚𝑚𝑚𝑚
−4
Tolerancia.
tolerancia
del=matraz
de
4
𝑢𝑢𝑟𝑟m 2 𝑃𝑃𝑃𝑃
= x0.01919
2.149 𝑥𝑥 10volumétrico
6.9993
10
51
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 =
= 1.464
x 10−3 mL 2
−6
−1
-2 mL
0.01919
2
2
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
rancia
para
una
pipeta
volumétrica
de
2
mL
es
de
0.010
47
𝑢𝑢
=
+
(0.03458)
+
(0.06062)
=
7.705
x
10
mL
√(0.03266)
−3
=
5.1433
x
10
𝑢𝑢
=
gmol
√30
2
2
2
𝑉𝑉
𝑟𝑟
100
𝑚𝑚𝑚𝑚
−2
−2
−2
-2
8.020 x 10 𝑚𝑚𝑚𝑚
mL
es Mde
0.080
(Chacón,
se2 utilizó
la−6
ecuación
2 2010),
2 = 7.705
−4
𝐾𝐾𝐾𝐾2
𝑃𝑃𝑃𝑃)42 2 mL
3.266
x 10 x 10
3.458
x 10
x 10
−5
𝑢𝑢=100
= √(0.03266)
+
+)2 (0.06062)
x 10
mL x 10−4 )2
136.085542
2 (0.03458)
2 −5
)2 +
√(5.7737
(1.1547
(6.9284
𝑉𝑉100
+
49x6.062
𝑢𝑢𝑟𝑟
==7.705
51
𝑢𝑢
=
1.464xx10
10−3 mL
𝑚𝑚𝑚𝑚
47uM
𝑢𝑢 x 10
= √(0.03266)
+ (0.03458)
+ (0.06062)
= 7.705
x10
10-2 mL
√+ (8.0831
44
43
48
49
48
50
49
51
50
51
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅sustituyendo
(Harris, 2006),
𝑉𝑉 en la ecuación 12:
√30100 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑉𝑉 𝑢𝑢𝑟𝑟
= (
) + (
) + (
)
12 para obtener
la incertidumbre
estándar
de la tolerancia:
100 0.005
99.721
100
−3
0.005
100 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2𝑃𝑃𝑃𝑃4 =
= 2.887 x 10−3
𝑢𝑢𝑃𝑃𝐾𝐾𝐻𝐻2𝑃𝑃𝑃𝑃4 = √3 = 2.887 x 10
√3
2
−4−2 2
0.080
−2𝑚𝑚𝑚𝑚
−2 2
𝑢𝑢10
= 7.705
50
𝑟𝑟𝑉𝑉6.9993
−2 6.062
3.266 x=
3.458
x1010gmol
100 𝑚𝑚𝑚𝑚2
2 x 10
𝑢𝑢
10x−4
=
=
x )10−1
mL
M√
−2
−2 2
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑢𝑢=
)x +
(−3x 3.266
+−2(48
)
(2 𝑃𝑃𝑃𝑃x4 10
2.887
10−3
3.266
3.458
x
10
−3
2.887 x 10 =99.721
100
100 6.062 x 10
√6
−3
𝑢𝑢
=
2.890
x
10
0.010
= 𝑚𝑚𝑚𝑚)
x 10 ) + (
= √(𝑟𝑟𝑢𝑢P𝑟𝑟𝐾𝐾𝐾𝐾
)
−3
0.999+ (= 2.890
P 2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚
0.010
𝑚𝑚𝑚𝑚
−2
−2
3.266
x 10
3.458
x 10
6.062 x 10−2 3
= 4.083
x 10−3
mL
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚 =𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡√(=
)
+
(
)
+
(
)
√6
100
2
99.721
2
100
2
Repetibilidad.
Para
se realiza𝑚𝑚𝑚𝑚 la repetibilidad
8.020
x 10estimar
100
100
√6
Repetibilidad. La
repetibilidad
se99.721
debe51
a la variabilidad
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 =
= 1.464 x 10−3
−4−1
1.894
10
−4mL
𝑢𝑢x𝑟𝑟x10
= 7.705 x 10−4
6.9993
−2
ron
30
repeticiones
y
se
obtuvo
una
desviación
estándar
(S)
49
𝑢𝑢
=
7.705
x
10
√30
−3
–1
𝑟𝑟
−6
−1
𝑢𝑢
=
mL
=
3.458
x
10
–1
𝑉𝑉
el aforo;
para
se usó
el método
𝑚𝑚𝑚𝑚parámetro
8.020 x+este
10
100 𝑚𝑚𝑚𝑚
Men
=4 39.0983
+ 2+ =
x2evaluar
1.00794
++ 44x x10
= 136.085542
136.085542
gmol
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
= 5.1433
𝑢𝑢
gmol
M2𝑃𝑃𝑃𝑃
=𝑟𝑟39.0983
x 1.00794
+30.973762
30.973762
x 15.9994
15.9994
gmol
−3 x 10 =
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐾𝐾𝐾𝐾42 𝑃𝑃𝑃𝑃
M𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 =
mL
= 1.464
2
4
√30
136.085542
de
0.008020
mL.
Esta
incertidumbre
es
tipo
A,
y
la
incerti−4
√30
0.010
𝑚𝑚𝑚𝑚
gravimétrico (Ruiz-Morer,
2006) realizándose
= 7.705
x 10 30 repeticiones
𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚= 4.083
x 10−3 mL
0.010 𝑚𝑚𝑚𝑚
estándar
se=obtiene
sustituyendo
√6
2 +(8.0831
−5))22 + (1.1547
−6
−4−4
−5−5
−6))2de
2++(6.9284
)2dumbre
(8.0831
(1.1547 xx 10
𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
mL valores en la
= 4.083 x 10−3estos
uM𝑃𝑃𝑃𝑃
= √(5.7737
x 10
10−5
x x1010
)2 )+
)2
(6.9284
uM𝐾𝐾𝐾𝐾
= √(5.7737
xx10
+ estándar
1050
(aforos)
y sex 10
obtuvo
una
desviación
(S)
0.1894
2 𝐾𝐾𝐾𝐾42 𝑃𝑃𝑃𝑃4
√6
ecuación
13:
−3
−4
0.080
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑚𝑚𝑚𝑚
8.020
x
10
100
∗
5
∗
2.1𝑥𝑥10
mL. Esta incertidumbre
es tipo A, y 1.464
la incertidumbre
estándar
−3 −2
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅=
= 0.010 𝑚𝑚𝑚𝑚 = =3.266
mL x
1010
mL
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
−3
𝑢𝑢∆𝑇𝑇𝑢𝑢𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
=
=xx6.062
10−2 mL
3
√30
= la ecuación
mL
= 4.083
8.020 x 10−3 𝑚𝑚𝑚𝑚
√6
−4 x 10−1
se obtiene utilizando
13:
−4
−1
𝑢𝑢
=
6.9993
x
10
gmol
√3
M
𝑢𝑢 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃√6
= 6.9993 x 10 gmol
51
𝑢𝑢
=
= 1.464 x 10−3 mL
𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝐾𝐾𝐾𝐾=2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
= 4.083 x 10
0.999
𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚
mL
2
4
M𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃
4
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
1.894 x 10−1
8.020 x 10−3𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 =
3.458 x 10−2−3mL
𝑚𝑚𝑚𝑚
−4 =
6.9993
x 10100
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
= =6.9993
mL
1.464 x 10gmol
√30
−1
x 10−4 ==
5.1433 x 10−6
𝑢𝑢𝑟𝑟M
√30
= 5.1433 x 10−6 gmol−1
𝑢𝑢𝑟𝑟M 𝐾𝐾𝐾𝐾2𝑃𝑃𝑃𝑃=
4
136.085542
−3
√30
Variación de temperatura. La incertidumbre de la variación
de
la temperatura para la pipeta de 2 mL, se obtiene a
Variación de temperatura. Para la estimación de la
−4
2 ∗+5(0.03458)
2 + (0.06062)2 = 7.705 x 10-2 mLpartir de la ecuación 14:
𝑢𝑢
=
√(0.03266)
100
∗
2.1𝑥𝑥10
𝑉𝑉
incertidumbre
de la variación de la temperatura se utilizó la
𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝑃𝑃𝑃𝑃4
100 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 = 𝑢𝑢
136.085542
=
0.080 𝑚𝑚𝑚𝑚
−2
= 6.062
10
= 3.266
x 10−2xmL
3
mL
0.080 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
ecuación 14. El𝑢𝑢coeficiente
√3
√6 de=expansión
mL agua se tomó
3.266 x 10−2del
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 =
2 ∗ 5 ∗ 2.1𝑥𝑥10−4
52
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =
= 1.212 x 10−3 mL
√6
de http://physchem.kfunigraz.ac.at/sm/Service/Water/
√3
3
−1
1.894 x𝑉𝑉10 2
2 ∗ 5 ∗ 2.1𝑥𝑥10−4
2
2
−2
−2
−1 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅3.266
=H1.894
mL−2
=Expansion
3.458
x 10 x 10
100
52[Úl- x 10−2
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =
= 1.212 x 10−3 mL
H2Othermexp.htm.
O xThermal
Coefficient.
x 10
10
3.458
53 6.062
16:
√3−4
√30
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
= 2
=+3.458
x 10−2 mL ) +
2 ∗ 5 ∗ 2.1𝑥𝑥10
La
incertidumbre
estándar
combinada
se obtuvo de
√
𝑢𝑢
=
)
(
(
)
(
timo 𝑟𝑟acceso:
17 julio 2015].
𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚
√30
5299.721
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =
= 1.212 x 10−3 mL
100
100acuerdo a ecuación
53
16:
15.
√3
2
2
2
−3
−3
−3
4.083 x 10
1.464 x 10
1.212 x 10
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉2 𝑚𝑚𝑚𝑚 = √(
2 = 7.70554
5 ∗ 2.1𝑥𝑥102−4+ (0.06062)−2
𝑢𝑢𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚 = √(0.03266)2100
+ ∗(0.03458)
x 10-2 mL
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =
𝑢𝑢∆𝑇𝑇
= 6.062 x 10
mL
100 ∗ 5 ∗√3
2.1𝑥𝑥10−4
53
16:
−2
=
mL
=
𝑢𝑢
=6.062
7.705x 10
x 10−4
√3𝑟𝑟𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚
55
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉2 𝑚𝑚𝑚𝑚 = √(
54
) + (
) + (
1.9562
1.464 x 10−3 2
2
4.083 x 10−3 2
) = 2.257 x 10−3
2
1.212 x 10−3 2
) + (
) + (
) = 2.257 x 10−3
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓50 =2 √(7.705 𝑥𝑥 10−21.9562
)2 + (4.504 𝑥𝑥 10−3 )2 =27.7181 x 10-2
𝑉𝑉100
La incertidumbre estándar
2 𝑚𝑚𝑚𝑚combinada−2V100
2 mL para se
2
−2 )2 2
−3 𝑢𝑢2𝑓𝑓𝑓𝑓 = √(7.705
−3 2 x 10-2
55
10−3
+ (4.504
𝑥𝑥 10−3para
)x2 10
= 7.7181
1.464estándar
x𝑥𝑥10
1.212
2
3.2660.010
x 10−2
3.458 x 10
6.062
x 10−2 4.083Lax 10
incertidumbre
la)pipeta
2 −3
10−2 relativa
𝑉𝑉
𝑚𝑚𝑚𝑚
-3
100
𝑚𝑚𝑚𝑚
obtuvo
en la ecuación
15:54
(
)
+
(
+
(
= 2.257dex 10
√(7.7181 𝑥𝑥 )
56 𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉2 𝑚𝑚𝑚𝑚 = √
𝑢𝑢
=
)
=
1.5436
x
10
−3 ) + (
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉100sustituyendo
= √
)
+
(
)
(
𝑟𝑟
𝑓𝑓𝑓𝑓
2 16:
50 a la ecuación
𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 100
= 4.083
x 10 mL
𝑚𝑚𝑚𝑚
de1.9562
acuerdo
2
99.721
100 mL, V2mL2, se obtuvo 50
−2
-2
2
2
2
7.7181 𝑥𝑥 10
50
𝑢𝑢𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚 = √(0.03266) + (0.03458)
+ (0.06062) = 7.705 x 10 mL
√6
56
𝑢𝑢𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚 =
38
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑓𝑓𝑓𝑓 = √(
50
2
50
) = 1.5436 x 10-3
2
−5
−4
2 + (4.504
−3 )2 x=
4.123 𝑥𝑥 10𝑥𝑥
𝑥𝑥 10−3 𝑥𝑥 10
6.9993
107.7181
+
+
= 7.705 x 10 mL
55
= √(7.705
x7.7181
10-2 x 10−2
10−2 )2.887
50
57
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 = √(
) +(
) +(
) +(
) + (
)
8.020 x 10−3 𝑚𝑚𝑚𝑚
−4
2
−3
=
7.705
x
10
2.0
136.085542
0.01919
0.999
50
2
2
2
𝑟𝑟
−2
−5
−3
−4
−2 2
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 =
mL
= 1.464 x 10
2
2
2
𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚
3.266 x√30
10−2
3.458 x 10−2
6.06257
x 10−2𝑢𝑢𝑟𝑟 = √(2.544 𝑥𝑥 10 ) + (4.123 𝑥𝑥 10 ) + (2.887 𝑥𝑥 10 ) + (6.9993 x 10 ) + (7.7181 x 10 )
2
𝑐𝑐𝑐𝑐
−2
√
2.0
136.085542
0.01919 7.7181 𝑥𝑥 10
0.999
50
= (
) + (
) + (
)
√(0.03266)2
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚
(0.03458)2
𝑢𝑢
(0.06062)2
-2
2
100
99.721
56
0.010
𝑚𝑚𝑚𝑚2
Volumen
XVII,
33.458
3.266
xNúmero
10−2
x 10−2
𝑢𝑢
=
= 4.083 x 10−3 mL
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚 = √
𝑢𝑢𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
100√6
) + (
99.721
100
58 x 10−2
6.062
) + (
100
58
−2
2.544 𝑥𝑥 𝑢𝑢
10𝑓𝑓𝑓𝑓
)
2
2
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑓𝑓𝑓𝑓 = √(𝑢𝑢𝑟𝑟
50
𝑐𝑐𝑐𝑐
2
)−2 = 1.5436 x 10-3
= 1.331
50 x 10
𝑢𝑢
−2
=
-1 1.331 x 10 -2
2
𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑢𝑢𝐶𝐶P = 113.15 mgL
59
* 1.331 x 10 = 1.506 mgL
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉100 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 7.705 x 10−4
2
−2 2
−5 2
−3 2
−3
-1
-1
2.544
𝑥𝑥
10
4.123
𝑥𝑥
10
2.887
𝑥𝑥
10
10−4
7.7181 x 10−2
8.020 x 10 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑢𝑢
59
=
113.15
mgL
* 1.331 x 10-26.9993
= 1.506xmgL
-1
𝐶𝐶3
−3
P= 1.506 mgL * 2 = 3.01 mgL-1
−4
√
60
𝑈𝑈
57
= (
𝐶𝐶P) + (
) +(
) +(
) + (
)
=
1.464
x 10𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐mL
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉 𝑚𝑚𝑚𝑚 = =
7.705
x 10
0.010
100 𝑚𝑚𝑚𝑚
-1
Cáñez-Carrasco et al: Estimación de la Incertidumbre en la Cuantificación de / XVII (3): 34-41(2015)
En la Tabla 2 se muestra el resumen del cálculo de la
incertidumbre estándar y relativa para el material volumétrico utilizado en el ensayo. El valor de incertidumbre se obtuvo
de una serie de 30 repeticiones, por lo que corresponde a
una evaluación de Tipo A y distribución normal.
Tabla 2. Incertidumbre estándar (uVn) y relativa (uVn ⁄vn) para el material
volumétrico utilizado en las diluciones para la elaboración de la curva de
calibración.
Table 2. Standard (uVn) and relative (uVn ⁄vn) uncertainty for the volumetric
instruments used in preparing dilutions for the calibration curve.
utol
Magnitud V(mL)
uRep
u∆T
uVn
urVn
Pipeta
2
4.082 x 10-3 1.464 x 10-3 1.212 x 10-3 4.502 x 10-3 2.251 x 10-3
Matraz
100
3.266 x 10-2 3.458x 10-2 6.062 x 10-2 7.705 x 10-2 7.710 x 10-4
Incertidumbre del factor de dilución
A partir del KH2PO4 se preparó una disolución madre
de P2O5 de 100 mgL-1 y de ahí se preparó el estándar del pun−4 de calibración. El factor de
to medio (2.0 mgL2-1∗) 5de
la curva
∗ 2.1𝑥𝑥10
−3
mL
= 1.212
1050).
∆𝑇𝑇 =
dilución se 𝑢𝑢obtuvo
de la√3ecuación
17 (fdx =
Aquí se involucra la incertidumbre del volumen del matraz volumétrico
−4
2 ∗ 5 ∗ 2.1𝑥𝑥10correspondiente
de 100 mL y𝑢𝑢la incertidumbre
al volumen de
= 1.212 x 10−3 mL
∆𝑇𝑇 =
la pipeta volumétrica de√32 mL, con los cuales se prepararon
2 obtiene la
las4.083
diluciones.
−3 se
52x 1018
x 10−3 2 Sustituyendo
1.464 x 10−3en2 la ecuación
1.212
= √incertidumbre
(
) estándar
+ ( 1.9562
) +de( dilución:
) = 2.257 x 10−3
del factor
2
2
En la Tabla 3 se muestra el resumen de los valores e
incertidumbres estimadas en la cuantificación de fósforo
(mensurando) por espectrofotometría UV/Vis.
Tabla 3. Valores e incertidumbres estimadas en la cuantificación de fósforo
(mensurando) por espectrofotometría UV-Vis.
Table 3. Values ​​and estimated uncertainties in phosphorus quantification
(measurand) by UV-Vis spectrophotometry.
Descripción
Valor
x
Incertidumbre
Estándar
u(x)
Incertidumbre
estándar relativa
u(x)/x
Concentración
de P en el punto
medio de la
curva de la
calibración
2.0
2.544 x 10-2
1.272 x 10-2
mKH2 PO4
masa
0.01919
2.149 x 10-3
2.149 x 10-3
pKH2 PO4
Pureza
0.999
2.890 x 10-3
2.890 x 10-3
Masa molar
136.085542
5.143 x 10-6
5.143 x 10-6
fd
Factor de
dilución
50
7.7181 x 10-2
1.544 x 10-1
CP
Concentración
de mensurando
en muestra
113.15
1.506
1.331 x 10-2
γP
MKH2 PO4
𝑢𝑢
=
2 ∗ 5 ∗ 2.1𝑥𝑥10−4
= 1.212 x 10−3 mL
Estimación de ∆𝑇𝑇
la incertidumbre
expandida
√3
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉2 𝑚𝑚𝑚𝑚
Aunque la incertidumbre estándar combinada puede
53
16:
utilizarse universalmente para expresar
la incertidumbre de
−3 2
4.083 x 10−3 2
1.464
1.212 x 10−3 2
−2x)10
2 + (4.504 𝑥𝑥 10
10-2 x 10−3
2 ∗ 5 ∗ 2.1𝑥𝑥10−4
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉2 𝑚𝑚𝑚𝑚 = √( 𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓502 = √(7.705
) + (𝑥𝑥 101.9562
) + ( −3 )22 = 7.7181
) = x2.257
−3
un
resultado
de
medida,
frecuentemente
en
52
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =
mL
= 1.212 es
x 10necesario,
2
−3 reglamen4.083
x 10−3 2
1.464 x √3
10−3 2 industriales
1.212 x 10o
ciertas
aplicaciones
comerciales,
54 19 se obtiene
𝑢𝑢𝑟𝑟la
= √(
) + ( 1.9562 ) + (
) = 2.257 x 10−3
Sustituyendo valores
en−2la 2ecuación
7.7181 𝑥𝑥 10
𝑉𝑉2 𝑚𝑚𝑚𝑚
−3 )2 = 7.7181
2 los campos de
2
tarias, o en
la salud o la seguridad,
dar una
𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓50 =𝑢𝑢√(7.705
𝑥𝑥= 10
= √𝑥𝑥(10−2 )2 + (4.504
)
1.5436
x 10-316: x 10-2
𝑟𝑟
53
𝑓𝑓𝑓𝑓
incertidumbre 50
estándar relativa
del factor de dilución:
50
medida de la incertidumbre que defina, alrededor del resul55
= √(7.705
𝑥𝑥 10−2 )2 +en
(4.504
𝑥𝑥 10−3 )2del
= 7.7181
x 10-2
tado de𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓medida,
un intervalo
el interior
cual
pueda
50
7.7181 𝑥𝑥 10−2 2
−3 2
−3 2
−3 2
2√(
2 = 1.5436 x 10-3 −4 2
2
4.083
x
10
1.464
x
10
1.212
x
10
𝑢𝑢
=
)
−2 2
−5
−3
−2
𝑓𝑓𝑓𝑓50
2.544 𝑥𝑥 10
4.123 𝑥𝑥 𝑟𝑟10
2.88750𝑥𝑥 10
6.9993 x 10
x=10√(
encontrar
de)la +
distribución
de
𝑢𝑢7.7181 esperarse
) +gran
( parte
(
) valores
= 2.257 x 10−3
5 ∗ 2.1𝑥𝑥10−4 ) + ( 54−3
1.9562
2
2
) +(
) 2+∗ (
) + ( 𝑟𝑟𝑉𝑉2 𝑚𝑚𝑚𝑚
)
(
2
7.7181 𝑥𝑥 10−2
𝑢𝑢∆𝑇𝑇 =
10 mL
que podrían ser
razonablemente
atribuidos
al
mensurando.
2.0
136.085542
0.01919
0.999 = 1.212 x56
50
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑓𝑓𝑓𝑓 = √(
) = 1.5436 x 10-3
Combinación de las fuentes
de incertidumbre
√3
50 la incertidumbre expandida
50
2
2
Este
intervalo
lo
proporciona
2 ∗ 5 ∗ 2.1𝑥𝑥10−3 2
−2 2
−5 2
−4
−2
−2 )2 +
55
𝑢𝑢
=
𝑥𝑥
10
(4.504
𝑥𝑥 10−3 )2 = 7.7181 x 10-2
√(7.705
2.544 𝑥𝑥 1052
4.123
𝑥𝑥 10
𝑥𝑥 10 = 1.212
xy
10relativa se
7.7181 x 10
𝑢𝑢 2.887
= estándar
mL
x 106.9993
La incertidumbre
combinada
𝑓𝑓𝑓𝑓50
√3
U, que)se obtiene
multiplicando la incertidumbre estándar
(
) +(
) +(
) +(
) + (
a0.01919
partir de
las=incertidumbres
2.0 53 obtuvo
136.085542individua0.999
50 2
2
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐
1.331
x 10−2 estándares
2
16:
−2
−3 2 k, habitualmente
por
un−5factor
de cobertura
2.544 𝑥𝑥 10combinada
4.123
𝑥𝑥 10
2.887
6.9993 x 10−4 en- 7.7181 x 10
7.7181𝑥𝑥𝑥𝑥10
10−2 2
les.
√
-3
5756 −3
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐2 = (
) +(
)función
(1.5436 x 10requerido
) + (
𝑢𝑢𝑟𝑟en
=+√(( del
2
nivel))de+=confianza
2 4.083 x 101.464
1.464
x 10 2 2
1.212 x 10 x 2
−3
𝑓𝑓𝑓𝑓50
2.0 tre 2 y 3, elegido
136.085542
0.01919
0.999
50
4.083 𝑢𝑢x𝑟𝑟10−3
50
-2
(
) + x-1
(10
) x
+ ( 1.212
)10
= 2.257mgL
x 10 -1
𝑢𝑢𝐶𝐶P ==)√113.15
*1.9562
1.331
2( mgL
2= 1.506 )
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑉𝑉2 𝑚𝑚𝑚𝑚 =54 √(
+
)
+
(
=
2.257 x 10−3 para un intervalo en torno al resultado de la medida. Por lo
−210
𝑢𝑢
=
1.331
x
10
1.9562
2
2
𝑟𝑟
𝑐𝑐𝑐𝑐
Estimación de la𝑢𝑢 incertidumbre
estándar relativa
55
= √(7.705 𝑥𝑥 10 ) + (4.504 𝑥𝑥 10 ) = 7.7181 x 10
antes 2mencionado, sustituyendo
en la ecuación
22 se estimó
2
2
-1
-1 estimó sustitu−2
−5 2
−3
La𝑈𝑈incertidumbre
estándar
relativa
se
=
1.506
mgL
*
2
=
3.01
mgL
−2
4.123 𝑥𝑥 10
2.887
𝑥𝑥xun
10
6.9993
x 10−4de 2, 7.7181 x 1
𝐶𝐶P
-2 2.544 𝑥𝑥 10
-1
-2
-1
−2
2
−3
2
𝑢𝑢
58
=
1.331
10
2
la
incertidumbre
expandida
con
factor
de
cobertura
𝑟𝑟
𝑢𝑢
=
𝑥𝑥
10
)
+
(4.504
𝑥𝑥
10
)
=
7.7181
x
10
√(7.705
7.7181
𝑥𝑥 10
√
𝑢𝑢
=
113.15
mgL
*
1.331
x
10
=
1.506
mgL
𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑓𝑓𝑓𝑓
𝐶𝐶
57
=
+
+
+
+ (
𝑢𝑢
(
)
(
)
(
)
(
)
√
50
56 yendo valores
𝑢𝑢𝑟𝑟
= (
) = 1.5436 x 10
P
en la ecuación
20:
𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐
50
2.0 que representa
136.085542
0.01919
0.999
50
un nivel de confianza
de aproximadamente
-1
-2
-1
-1
-1
2
𝑢𝑢
59
=
113.15
mgL
*
1.331
x
10
=
1.506
mgL
el
95%
(CENAM-ema,
2009a).
−2
𝐶𝐶P
-1
mgL
*3.01
2𝑥𝑥 =10 3.01
mgLx 10 ) +-3 (7.7181 x 10 )
2.544𝑈𝑈
𝑥𝑥𝐶𝐶
10 = 1.506
4.123 𝑥𝑥 10
6.9993
10
113.15
±(𝑥𝑥2.887
P 𝑌𝑌) =
57
𝑢𝑢𝑟𝑟 = √(
+ (=
) +
) +
√(7.7181
)mgL
=(1.5436
x 10
2.0𝑢𝑢𝑟𝑟𝑓𝑓𝑓𝑓
0.01919
136.085542
50
50 0.999
50
−2
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐mgL
= 1.331
-1
6058
𝑈𝑈𝐶𝐶P = 1.506
* 2 x=10
3.01 mgL-1
−2
𝑢𝑢𝑟𝑟 = 1.331 x 10
58
2
𝑌𝑌 = 113.15
± 3.01
mgL-1
2
2
2
−3 2
2.544 𝑥𝑥 1059−2
4.123 𝑥𝑥 10−5 𝑢𝑢𝐶𝐶 = 113.15
2.887
𝑥𝑥 10
6.9993
7.7181 x 10−2
𝑢𝑢𝐶𝐶P = 113.15 mgL-1 * 1.331 x 10-2 = 1.506 mgL-1
59mgL x 10−4
mgL
* 1.331 x 10 = 1.506
Finalmente,
el resultado de la cuantificación
de la con+(
+(
+(
+ (
(
)
)
)
)
)
-1
de la incertidumbre
combinada
2.0 60 Estimación
136.085542
0.01919
0.999 estándar
50
𝑌𝑌 = 113.15
± 3.01de
mgL
𝑈𝑈𝐶𝐶 = 1.506 mgL-1* 2 = 3.01 mgL-161
centración de fósforo
(P) se expresó
acuerdo
a
la
ecuación
Por lo tanto la incertidumbre estándar
60 combinada de
𝑈𝑈𝐶𝐶P = 1.506 mgL-1* 2 = 3.01 mgL-1
23:
(mensurando)
se obtuvo sustitu61 la concentración de fósforo
𝑌𝑌 = 113.15
± 3.01 mgL-1
𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐
= 1.33121:
x 10−2
yendo valores en la
ecuación
61
𝑌𝑌 = 113.15 ± 3.01 mgL-1
−4
∆𝑇𝑇
−3
𝑉𝑉2 𝑚𝑚𝑚𝑚
−3
−5 2
2
P
-1
-2
-3
−3 2
𝑐𝑐𝑐𝑐
−3
−3 2
−2
𝑓𝑓𝑓𝑓50
−2
−3
−2 2
𝑓𝑓𝑓𝑓50
𝑐𝑐𝑐𝑐
−3
2
−4
-2
−2 2
-1
P
𝑢𝑢𝐶𝐶P = 113.15 mgL-1 * 1.331 x 10-2 = 1.506 mgL-1
𝑈𝑈𝐶𝐶P = 1.506 mgL-1* 2 = 3.01 mgL-1
𝑌𝑌 = 113.15 ± 3.01 mgL-1
Volumen XVII, Número 3
39
Cáñez-Carrasco et al: Biotecnia / XVII (3): 34-41 (2015)
En el proceso de cuantificación de fósforo, pudiera no
importar tanto qué técnica o qué metodología se ha utilizado
para obtener un valor determinado, lo más importante, en
todo caso, será saber si se ha realizado y cumplido con el
proceso de validación del método y si a partir de la validación
se ha realizado la estimación de la incertidumbre (Kristiansen,
2003; Iyengar, 2007). Ambas situaciones (validación e incertidumbre) deberán haber cumplido un proceso riguroso desde
el punto de vista analítico (Vesper y Thienpont, 2009; Farrance y Frenkel, 2012). Para ello siempre será relevante apegarse
a la normatividad vigente internacional y a las guías que para
tal efecto se han elaborado y que aplican independientemente del mensurando que se está evaluando (IUPAC, 2014).
De tal manera que el resultado de una medición no es un
valor puntual aislado, es un valor que deberá llevar implícito
una incertidumbre como resultado de todos los pasos que
se siguieron y de los materiales y/o equipos que se utilizaron
a lo largo del método (Galbán et al., 2007). Particularmente
en el caso de la cuantificación de fósforo mediante espectrofotometría UV-Vis, se han realizado procesos de validación
del método para cuantificar su concentración en refrescos de
cola (Cánez-Carrasco y García-Alegría, 2015), en hueso (Sabi-
do et al., 2010; Hovde, 2013), en aguas naturales y/o efluentes
residuales (Gong et al., 2011; Dimitrova et al., 2013; Ionescu,
et al., 2014), en alimentos o granos (Jastrzębska, 2009), entre
otros. Independientemente de cual sea el tipo de muestra, en
todos y cada uno de los procesos de validación y estimación
de la incertidumbre se ha seguido un procedimiento similar
al que se utilizó en este trabajo de investigación y los resultados son similares y consistentes a los obtenidos por otros
investigadores (Rius, 2007; Rodríguez y Jhovany, 2008).
Con respecto a la contribución de las fuentes de incertidumbre estimadas, en la Figura 2 se puede apreciar que
la mayor contribución corresponde a la determinación de
la concentración de fósforo obtenido a partir de la curva de
calibración y de la determinación de fósforo obtenido de la
muestra (refresco de cola), lo que se demuestra que ésta es la
operación que es necesario mejorar para aumentar la calidad
de los resultados de este ensayo. La masa molar prácticamente no contribuye con incertidumbre, en tanto que la pureza
del KH2PO4, la masa del KH2PO4 y el factor de dilución contribuyen, pero de manera menos significativa. Estos resultados
son similares a los obtenidos por EURACHEM/CITAC (2012) y
Morales-Ramírez et al., (2012).
Figura 2. Contribución gráfica de las fuentes de incertidumbre en la cuantificación de fósforo (mensurando).
Figure 2. Graphicall contribution of uncertainty sources in phosphorus quantification (measurand).
CONCLUSIONES
A partir de un método analítico validado para cuantificar fósforo en refrescos de cola, mediante espectrofotometría
UV/Vis, se establecieron las fuentes de incertidumbre y con
ellas se estimó la incertidumbre estándar combinada (uCP =
1.506 mgL-1), la incertidumbre estándar relativa (urcp = 1.331
x10-2) y la incertidumbre expandida (UCP = 3.01 mgL-1). Por lo
que la concentración de fósforo en refresco de cola se debe
de representar de la siguiente manera: 113.15 ± 3.01 mgL-1.
Las fuentes de incertidumbre que más contribuyen en este
análisis es la determinación de la concentración de fósforo a
partir de la curva de calibración y de la muestra.
40
Volumen XVII, Número 3
REFERENCIAS
Cáñez-Carrasco, M.G. y García-Alegría, A.M. 2015. Validación de
un método analítico para la determinación de fósforo por
espectrofotometría ultravioleta-visible. Biotecnia, XVII(1):
32-39.
CENAM–ema. 2008a. Guía para la validación y la verificación de
los procedimientos de examen cuantitativos empleados por
el laboratorio clínico. México, D.F.
CENAM- ema. 2008b. Guía técnica sobre trazabilidad e
incertidumbre en las mediciones analíticas que emplea
la técnica de espectrofotometría de ultravioleta-visible.
México, D.F.
Cáñez-Carrasco et al: Estimación de la Incertidumbre en la Cuantificación de / XVII (3): 34-41(2015)
CENAM-ema. 2009a. Guía de trazabilidad metrológica de los
valores asignados a los calibradores y material de control
empleados por el laboratorio clínico. México, D.F.
CENAM-ema. 2009b. Guía técnica sobre trazabilidad e
incertidumbre en los servicios de calibración de recipientes
volumétricos por el método gravimétrico. México, D.F.
Chacón, S.J. 2010. Prácticas recomendadas para determinar y
reportar la incertidumbre de las mediciones en química
analítica. Editorial UCR. Primera edición. Costa Rica.
Cuéllar, G.O.A. 2012. Validación, Determinación de la
Trazabilidad y Estimación de la Incertidumbre del Método
del Ácido Ascórbico para la Determinación de Fósforo Total
y Disponible Total en el Laboratorio de Química Ambiental
de la Universidad Tecnológica de Pereira. Tesis de grado.
Universidad Tecnológica de Pereira. Colombia.
Dimitrova, S., Taneva, N., Bojilova, K., Zaharieva, V., Lazarova,
S., Koleva, M., Arsov, R. y Venelinov, T. 2013. Comparison
of spectrophotometric methods using cuvette tests and
national standard methods for analysis of wastewater
samples. International Journal of Water Resources and
Environmental Engineering. 5(8): 482-488.
[En
línea].
Available:http://physchem.kfunigraz.ac.at/sm/
Service/Water/H2Othermexp.htm. H2O Thermal Expansion
Coefficient. [Último acceso: 17 julio 2015].
EURACHEM/CITAC Guide CG 4. 2012. Quantifying uncertainty in
analytical measurement. Editor. Ellison, S.L.R. and Williams,
A. Third edition. United Kingdom. pp. 1-113.
Farrance, I. y Frenkel, R. 2012. Uncertainty of measurement: A
review of the rules for calculating uncertainty components
through functional relationships. Clin. Biochem. 33:48-75.
Galbán, J., de Marcos, S., Sanz, I., Ubide, C. y Zuriarrain, J. 2007.
Uncertainty in modern spectrophotometers. An up-to-date
view of UV–vis molecular absorption instruments and
measurements. Analytical Chemistry. 4763-4767.
Gong, Y., Shen, Z., Hong, Q., Liu, R. y Qian, L. 2011. Parameter
uncertainty analysis in watershed total phosphorus
modeling using the GLUE methodology. Agriculture,
Ecosystems and Environment 142: 246-255.
Harris, D.C. 2006. Análisis Químico Cuantitativo. Editorial
Reverté. Tercera edición. España.
Hovde, G. 2013. Validation of a methods for analysis soluble
of phosphorus by Use of Alkaline Extraction and
Spectrophotometric Determination. Nofima. Report 17.
1-22.
Ionescu, P., Diacu, E. y Radu, V.M. 2014. Evaluation of
measurement uncertainty to phosphorus determination by
molecular spectrometry in water samples. U.P.B. Sci. Bull.,
Series B. 76(2): 23-32.
ISO Guide 99. 2007. International vocabulary of metrology. Basic
and general concepts and associated terms (IVM).
IUPAC. 2014. Harmonized guidelines for the use of recovery
information in analytical measurement, Pure and Appl.
Chem. 71:337-34.
Iyengar, V. 2007. Metrology in physics, chemistry and biology.
Biol. Trace Elem. Res6. 116(1): 1-4.
Jastrzębska, A. 2009. Modifications of spectrophotometric
methods for total phosphorus determination in meat
samples. Chemical Papers. 63(1): 47–54.
Kristiansen, J. 2003. The guide to of expression uncertainty in
measurement approach for estimating uncertainty: An
Appraisal. Clin. Chem. 49(11): 1822-1829.
Morales-Ramírez, A.J., Rangel-Salinas, E., Ramírez-López, A. y
Dorantes-Rosales, H.J. 2012. Metodología para el cálculo
de la incertidumbre en la determinación de cobre por
espectroscopia de absorción atómica. Av. cien. ing.: 3(4):
143-155.
Norma Mexicana. NMX-EC-17025-IMNC-2006 “Requisitos
generales para la competencia de los laboratorios de ensayo
y de calibración”, México, D.F.
Rius, F.X. 2007. Cálculo de la incertidumbre en los resultados
analíticos. Cuaderno Tecnológico Nº 1 SEGEMAR.
Rodríguez, A. y Jhovany, E. 2008. Estimación de la incertidumbre
de medición en el ensayo de alcalinidad de acuerdo a la
Guía GTC 51. Scientia et Technica. 15(38): 375-380.
Ruiz-Morer, R. 2006. Recomendaciones para la calibración de
material volumétrico en el laboratorio clínico. Química
Clínica. 25(2): 104-110.
Sabido C.C.R., Rosado R.J.G., Castellanos R.A.F., Betancur
A.D.A., Chel G.A. y Acereto E.P.O.M. 2010. Adaptación de un
micrométodo espectrofotométrico para determinación de
fósforo en hueso. Rev. Latinoamer. Quím. 38(2): 113-122.
Technical Guide. 2005. UV/Vis spectrophotometers calibration
procedures. International Accreditation New Zealand.
Vesper, H.W. y Thienpont, L.M. 2009. Traceability in laboratory
medicine. Clin. Chem. 55(6):1067-1075.
Valcan, A. 2013. Evaluation of the uncertainty of measurement.
Global journal of science frontier research chemistry. 13(6):
1-6.
Wieser, M.E. 2011. Atomic weights of the elements. IUPAC
Technical report. Pure Appl. Chem. 83(2): 359–396
Volumen XVII, Número 3
41