TMH 2P PROBLEMAS CON PERDIDAS

Por efecto de la gravedad y a presión atmosférica, se conduce agua desde un reservorio A hasta
otro B, con un caudal Q = 0.125 (m3 /s) y a temperatura T = 20 (°C) mediante una tubería de
longitud L = 30 (m), de acero comercial con diámetro interior D = 0.2545 (m), y rugosidad interior
Ɛ = 4.572 X 10-5 (m). La conexión bajo el nivel del espejo de agua, tiene entrada de borde cuadrado
con K1 = 0.5 y salida idéntica con K2 = 1, además de 2 codos de 90° cuya L/D Codo = 30 c/u y para
controlar el flujo una válvula de globo con un valor para L/D Valv = 340 (Estos datos se encuentran en
tablas). Si se mantiene constante el desnivel H entre los espejos de agua de los reservorios.
Determinar:
1)
2)
3)
4)
5)
La velocidad promedio v (m/s) del agua en la tubería
Número de Reynolds Re (Adimensional)
Factor de fricción f (Adimensional)
La perdida por fricción Hf (m)
La altura H (m) para tener el caudal especificado
DATOS
Q
T
1
ρ a 20°C
µ a 20°C
H
LTUB
A
D
2
Ɛ
V. GLOBO
K1
L/D CODO
K2
K1
B
L/D válvula
L/D codos
Hf
L/D CODO
H
K2
0.125 (m3 /s)
20
°C
998
Kg/m3
1.01 x 10-3
Kg/m.s
30
m
0.2545
m
4.572 X 10-5
m
1
ΣK = 1.5
0.5
340
Σ L/D = 400
30 + 30 = 60
m
m
1) La velocidad promedio v del agua en la tubería
𝜋
𝑄 = 𝑣. 𝐴 = 𝑣. ( 4 . 𝐷2 )
𝑣=
𝑄
𝜋
( .𝐷2 )
4
𝑣=
(0.125)
𝜋
( (0.2545)2 )
4
𝑚
= 2.4572 ( 𝑠 )
2) Número de Reynolds Re
𝑅𝑒 =
𝜌.𝑣.𝐷
µ
𝑅𝑒 =
(998)(2.4572)(0.2545)
1.01∗10−3
= 617 927.4111
3) Factor de fricción f
CONSIDERACIONES DEL FLUJO:
Ɛ𝑅 =
Si
Ɛ
𝐷
Ɛ𝑅 =
0.00004572
= 1.7965 ∗ 10−4
0.2545
Ɛ𝑅 = 0.00017965
𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 ≤ Ɛ𝑹 ≤ 𝟎. 𝟎𝟏 ; 𝟓𝟎𝟎𝟎 ≤ 𝑹𝒆 ≤ 𝟏𝟎𝟖 Podemos usar La Ecuacion de Swamee
Ecuación de Swamee para obtener el factor de fricción f:
𝑓=
𝑓=
𝐿𝑇 = 30 (𝑚)
;
0.25
Ɛ𝑅
5.79 2
(𝐿𝑜𝑔(3.7
+
)
(𝑅𝑒)0.9
0.25
1.7965 ∗
(𝐿𝑜𝑔(
3.7
10−4
5.79
+
)2
(617 927.4111)0.9
𝐿𝐴𝐶𝐶
= 340 + 30 + 30 = 400 Que corresponden, a la valvula y 2 codos
𝐷
Ecuación de Darcy para obtener la pérdida por fricción
𝐻𝑓 =
= 0.0151
𝑣2
𝐿𝑇 𝐿𝐴𝐶𝐶
(𝑓. ( +
) + 𝐾)
2. 𝑔
𝐷
𝐷
𝐻𝑓 =
Hf (m):
(2.4572)2
30
(0.0151 (
+ 400) + 1.5) = 2.8681 (𝑚)
2(9.81)
0.2545
4) La altura H para tener el caudal especificado
Usando la ecuación de Bernoulli
𝑃1
𝑣1 2
𝑃2
𝑣2 2
+
+ 𝐻1 + 𝐻𝐵 − 𝐻𝑇 − 𝐻𝑓 =
+
+ 𝐻2
𝜌. 𝑔 2. 𝑔
𝜌. 𝑔 2. 𝑔
CONSIDERACIONES EN BERNOULLI:
- Como las Presiones P1 y P2 son iguales, o sea, presión atmosférica; se eliminan.
- Como las velocidades de los espejos de agua en los recipientes A y B son despreciables, o sea
tienden a valores insignificantes, o sea cercanos a cero, se eliminan
- Tampoco existe instalación de Bomba o Turbina, entonces HB y HT se eliminan
𝑃1
𝑣1 2
𝑃2
𝑣2 2
+
+ 𝐻1 + 𝐻𝐵 − 𝐻𝑇 − 𝐻𝑓 =
+
+ 𝐻2
𝜌. 𝑔 2. 𝑔
𝜌. 𝑔 2. 𝑔
𝑄𝑢𝑒𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜
( 𝐻1 − 𝐻2 ) = 𝐻 = 𝐻𝑓
CONCLUSIÓN DEL RESULTADO:
Como
Entonces
𝐻 = 𝐻𝑓
𝑯 = 𝟐. 𝟖𝟔𝟖𝟏 (𝒎)
es la altura requerida entre el desnivel de los espejos de agua
Este problema ha sido resuelto y chequeado. Por lo que está bien resuelto
Problema # 2
RESOLVER EL MISMO PROBLEMA # 1.
Pero conociendo H y deseamos determinar Q
Por efecto de la gravedad y a presión atmosférica, se conduce agua desde un reservorio A hasta
otro B que mantienen una diferencia de altura entre sus niveles H = 2.8681 (m), con un caudal
Q = ? (m3 /s) y a temperatura T = 20 (°C) mediante una tubería de longitud L = 30 (m), de acero
comercial con un diámetro interior D = 0.2545 (m), y rugosidad interior Ɛ = 4.572 X 10-5 (m). La
conexión bajo el nivel del espejo de agua, tiene entrada de borde cuadrado en A con K1 = 0.5 y salida
idéntica en B con K2 = 1, además 2 codos de 90° cuya L/D Codo = 30 c/u y para controlar el flujo
una válvula de globo con un valor para L/D Valv = 340 (Estos datos se encuentran en tablas).
Determinar:
1) Tantee dando el valor anteriormente calculado en el problema # 1 O sea, f = 0.0151 Pero,
justamente este valor hay que calcularlo. Por lo tanto, itere con otros valores hasta que f se
iguale. O sea, f tendrá valores cercanos a f = 0.0151 y la v = 2.4572 (m/s)
2) El caudal Q (m3 /s)
(Los resultados de los diferentes parámetros deben ser similares a los del problema #1)
1
H=2.8681
(m H
A
2
V. GLOBO
L/D CODO
K1
B
3
L/D CODO
K2
DATOS
Q
T
ρ a 20°C
µ a 20°C
LTUB
D
Ɛ
Ka
Kb
L/D válvula
L/D codos
Hf
H
20
998
1.01 x 10-3
30
0.2545
4.572 X 10-5
1
0.5
340
60
2.8681
(m3 /s)
°C
Kg/m3
Kg/m.s
m
m
m
1.5
400
m
m
1) Tantee dando el valor anteriormente calculado en el problema # 1 O sea, f = 0.0151 Pero,
justamente este valor hay que calcularlo. Por lo tanto, itere con otros valores hasta que f se
iguale. O sea, f tendrá valores cercanos a f = 0.0151 y la v = 2.4572 (m/s)
PROCEDIMIENTO:
El valor de f buscado, es el mismo que actúa en este sistema hidráulico. Para determinarlo,
asumimos un valor inicial de tanteo f y mediante iteración y comparación obtenemos finalmente el
valor de f Para lo cual, aplicamos el siguiente procedimiento:
Deseamos determinar la velocidad promedio en la tubería
valor de f en este sistema hidráulico:
V3
para lo cual hay que determinar el
a) Se plantea la ecuación de Hf
𝑣2
𝐿𝑇 𝐿𝐴𝐶𝐶
𝐻𝑓 =
(𝑓. ( +
) + 𝐾)
2. 𝑔
𝐷
𝐷
b) Se plantea Bernoulli y en la que se reemplaza Hf de la ecuación anterior
𝑃1
𝑣1 2
𝑃2
𝑣2 2
+
+ 𝐻1 + 𝐻𝐵 − 𝐻𝑇 − 𝐻𝑓 =
+
+ 𝐻1
𝜌. 𝑔 2. 𝑔
𝜌. 𝑔 2. 𝑔
𝑃1
𝑣1 2
𝑃2
𝑣2 2
+
+ 𝐻1 + 𝐻𝐵 − 𝐻𝑇 − 𝐻𝑓 =
+
+ 𝐻2
𝜌. 𝑔 2. 𝑔
𝜌. 𝑔 2. 𝑔
𝑄𝑢𝑒𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜
( 𝐻1 − 𝐻2 ) = 𝐻 = 2.8681 = 𝐻𝑓
𝑃𝑒𝑟𝑜
𝑜 𝑠𝑒𝑎
( 𝐻1 − 𝐻2 ) = 𝐻 = 𝐻𝑓
𝐻𝑓 = 2.8681
𝑣2
𝐿𝑇 𝐿𝐴𝐶𝐶
(𝑓. ( +
) + 𝐾)
2. 𝑔
𝐷
𝐷
𝐻𝑓 =
2. 𝑔. 𝐻𝑓
= 𝑣2
𝐿𝑇 𝐿𝐴𝐶𝐶
(𝑓. ( +
) + 𝐾)
𝐷
𝐷
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑏𝑑𝑜
𝑣= √
2. 𝑔. 𝐻𝑓
𝐿
𝐿
(𝑓. ( 𝑇 + 𝐴𝐶𝐶 ) + 𝐾)
𝐷
𝐷
c) Se asume un valor para f y la velocidad obtenida V = V3 se reemplaza en Reynolds
𝑅𝑒 =
2. 𝑔. 𝐻𝑓
𝜌. 𝑣. 𝐷
𝜌. 𝐷
=
√
𝐿
𝐿
µ
µ
(𝑓. ( 𝐷𝑇 + 𝐴𝐶𝐶
𝐷 ) + 𝐾)
Se observa la característica de Re y en base a ello, se determina la ecuación para calcular f
d) El valor de Re obtenido, se reemplaza en la ecuación determinada para obtener f Seguimos
iterando, hasta que el f de tanteo se iguale al f final obtenido. En este caso usamos Swamee
𝑓=
0.25
Ɛ𝑅
5.79 2
(𝐿𝑜𝑔(3.7
+
)
(𝑅𝑒)0.9
=
0.25
Ɛ𝑅
( 𝐿𝑜𝑔(3.7
+
5.79
)2
2. 𝑔. 𝐻𝑓
𝜌. 𝐷
( µ √
)0.9
𝐿𝑇 𝐿𝐴𝐶𝐶
(𝑓. ( 𝐷 + 𝐷 ) + 𝐾)
Para iterar, es conveniente usar la secuencia siguiente:
V Para usar en Reynolds,
Re Nos permite visualizar el tipo de flujo y por ende la ecuación a emplear para determinar f
en nuestro caso, podemos emplear la ecuación de Swamee
f
Podemos usar, luego de estar seguro de la ecuación correcta, en nuestro caso Swamee,
una ecuación estructurada para programar la iteración
𝑓=
0.25
Ɛ𝑅
5.79 2
(𝐿𝑜𝑔(3.7
+
)
(𝑅𝑒)0.9
0.25
=
2
Ɛ𝑅
𝐿𝑜𝑔(3.7
+
5.79
0.9
𝜌. 𝐷
[ µ √
[
2. 𝑔. 𝐻𝑓
)]
𝐿𝑇 𝐿𝐴𝐶𝐶
(𝑓. ( 𝐷 + 𝐷 ) + 𝐾)
]
e) Se continua iterando, hasta que el valor de f propuesto, sea similar al obtenido al aplicar en
este caso la ecuación de Swamee
Observación: Así como, H = 2.8581 (m) para el sistema hidráulico que se ha propuesto. Así mismo,
el factor f es el mismo. O sea, se ha partido de un supuesto f para obtener el correspondiente a
este sistema hidráulico
CALCULO PARA DETERMINAR EL CAUDAL Y VELOCIDAD EN LA TUBERÍA:
Se desconoce el caudal Q, conociendo
características de la tubería
H
y las
Se ha determinado que:
𝑣= √
2. 𝑔. 𝐻𝑓
𝐿
𝐿
(𝑓. ( 𝐷𝑇 + 𝐴𝐶𝐶
𝐷 ) + 𝐾)
Reemplazando los valores establecidos en la ecuación y el
valor asumido para f determinamos el valor de v
DATOS
Q
T
ρ a 20°C
µ a 20°C
LTUB
D
Ɛ
Ka
Kb
L/D válvula
L/D codos
Hf
H
20
998
1.01 x 10-3
30
0.2545
4.572 X 10-5
1
0.5
340
60
2.8681
(m3 /s)
°C
Kg/m3
Kg/m.s
m
m
m
1.5
400
m
m
En nuestro caso vamos a asumir un valor de f = 0.02 (Sabemos por el problema # 1 que el valor
de f = 0.0151 y la v = 2.4572 (m/s) Pero en este problema lo desconocemos)
ITERACIÓN #1
𝑣= √
2. 𝑔. 𝐻𝑓
2(9.81)(2.8681)
𝑚
= √
= 2.7185 ( )
𝐿𝑇 𝐿𝐴𝐶𝐶
30
𝑠
(𝑓. ( 𝐷 + 𝐷 ) + 𝐾)
((0.02) (
+ 400) + 1.5)
𝟎. 𝟐𝟓𝟒𝟓
Reemplazamos en Reynolds
𝑅𝑒 =
𝜌. 𝑣. 𝐷
(998)(2.7185)(0.2545)
=
= 683 638.15
µ
(𝟏. 𝟎𝟏 𝐱 𝟏𝟎 − 𝟑)
Reemplazamos en Swamee
𝑓=
0.25
Ɛ𝑅
5.79 2
(𝐿𝑜𝑔(3.7
+
)
(𝑅𝑒)0.9
=
0.25
1.7965 ∗
(𝐿𝑜𝑔(
3.7
10−4
5.79
+
)2
(683 638.15)0.9
= 0.01491
ITERACIÓN # 2 Asumimos que el valor es f = 0.15
𝑣= √
2. 𝑔. 𝐻𝑓
2(9.81)(2.8681)
𝑚
= √
= 2.7185 ( )
𝐿
𝐿
30
𝑠
(𝑓. ( 𝐷𝑇 + 𝐴𝐶𝐶
)
+
𝐾)
((0.015)
(
+ 400) + 1.5)
𝐷
𝟎. 𝟐𝟓𝟒𝟓
Reemplazamos en Reynolds
𝑅𝑒 =
𝜌. 𝑣. 𝐷
(998)(2.4641)(0.2545)
=
= 625 846.6198
µ
(𝟏. 𝟎𝟏 𝐱 𝟏𝟎 − 𝟑)
Reemplazamos en Swamee
𝑓=
0.25
Ɛ𝑅
5.79 2
(𝐿𝑜𝑔(3.7
+
)
(𝑅𝑒)0.9
=
0.25
1.7965 ∗
(𝐿𝑜𝑔(
3.7
10−4
5.79
+
)2
(625 846.6198)0.9
= 0.01491
Como el f asumido, es muy similar al resultado obtenido para f Podemos concluir, que el factor
de fricción f = 0.015
Con el valor obtenido para f = 0.015 podemos determinar, los parámetros solicitados
Hemos determinado que la velocidad en la tuberías es:
V = 2.7185 (m/s)
Que el factor de fricción es f = 0.015
Con estos valores determinamos el caudal Q
𝜋
𝑄 = 𝑣. 𝐴 = 𝑣. ( 4 . 𝐷2 )
𝜋
𝑄 = (2.7185) ( 4 . (0.2545)2 ) = 0.1382 (
𝑚3
𝑠
)
OBSERVACIÓN: Si reemplazamos f = 0.0151 en la iteración, entonces vamos a determinar que
la velocidad del flujo es V = 2.4572 (m/s)
Problema # 3
En el problema #1 se ha obtenido H = 2.8681 (m). Pero, se ha determinado que es necesario triplicar
el caudal obtenido solamente por gravedad y manteniendo el mismo H. Para lo cual se debe colocar
una bomba. Determinar:
1) La potencia de la bomba
2) La potencia de la bomba, si el rendimiento de ella es 92%
1
H=2.8681
(m H
A
2
V. GLOBO
L/D CODO
K1
B
Bomba
L/D CODO
K2
DATOS
Q
T
ρ a 20°C
µ a 20°C
LTUB
D
Ɛ
Ka
Kb
L/D válvula
L/D codos
Hf
H
P BOMBA
0.375 (m3 /s)
20
°C
998 Kg/m3
1.01 x 10-3 Kg/m.s
30
m
0.2545
m
4.572 X 10-5
m
1
1.5
0.5
340
400
60
m
2.8681
m
w
Problema # 4
En el problema # 3 se ha obtenido la potencia de la bomba con la gravedad a favor. Ahora deseamos
pasar el líquido desde B a A, manteniendo el caudal triplicado, o sea, Q = 375 (m3/s). Determinar:
1) La potencia de la bomba
2) Que comparación con la potencia obtenida en el problema # 3
3) La potencia de la bomba, si el rendimiento de ella es 92%
1
H=2.8681
(m H
A
2
V. GLOBO
L/D CODO
K1
B
Bomba
L/D CODO
K2
DATOS
Q
T
ρ a 20°C
µ a 20°C
LTUB
D
Ɛ
Ka
Kb
L/D válvula
L/D codos
Hf
H
P Bomba
375 (m3 /s)
20
°C
998 Kg/m3
1.01 x 10-3 Kg/m.s
30
m
0.2545
m
4.572 X 10-5
m
1
1.5
0.5
340
400
60
m
2.8681
m
w
Problema # 5
RESOLVER EL MISMO PROBLEMA # 4. Sabiendo la potencia de la bomba, Pero desconociendo
el caudal Q
Por efecto de la gravedad y a presión atmosférica, se conduce agua desde un reservorio A hasta
otro B que mantienen una diferencia de altura entre sus niveles H = 2.8681 (m), con un caudal
Q = ? (m3 /s) y a temperatura T = 20 (°C) mediante una tubería de longitud L = 30 (m), de acero
comercial con diámetro interior D = 0.2545 (m), con rugosidad interior Ɛ = 4.572 X 10 -5 (m). La
conexión bajo el nivel del espejo de agua, tiene entrada de borde cuadrado en A con K1 = 0.5 y
salida idéntica en B con K2 = 1, además 2 codos de 90° cuya L/D Codo = 30 c/u y para controlar el
flujo una válvula de globo con un valor para LValv/D = 340 (Estos datos se encuentran en tablas).
Determinar:
1) El caudal Q (m3 /s). Obs.: Iterar, hasta que f se iguale
(Los resultados de los diferentes parámetros deben ser similares a los del problema # 4)
1
H=2.8681
(m H
A
2
V. GLOBO
L/D CODO
K1
B
Bomba
L/D CODO
K2
DATOS
Q
T
ρ a 20°C
µ a 20°C
LTUB
D
Ɛ
Ka
Kb
L/D válvula
L/D codos
Hf
H
P Bomba
20
998
1.01 x 10-3
30
0.2545
4.572 X 10-5
1
0.5
340
60
2.8681
(m3 /s)
°C
Kg/m3
Kg/m.s
m
m
m
1.5
400
m
m
w
Problema # 6
Por efecto de la gravedad y a presión atmosférica, se conduce agua desde un reservorio A hasta
otro B que mantienen una diferencia de altura entre sus niveles H = 1.5 (m), con un caudal
Q = ? (m3 /s) y a temperatura T = 15 (°C) mediante una tubería de longitud L = 28 (m), de acero
comercial con diámetro interior D = 0.2545 (m), con rugosidad interior Ɛ = 4.572 X 10 -5 (m). La
conexión bajo el nivel del espejo de agua, tiene entrada de borde cuadrado en A con K1 = 0.5 y
salida idéntica en B con K2 = 1, además 4 codos de 90° cuya L/D Codo = 32 c/u y para controlar el
flujo una válvula de globo con un valor para LValv/D = 420 (Estos datos se encuentran en tablas). Si
se usa una bomba de 2 500 (w) a favor del flujo por gravedad. Determinar:
a) El caudal en la tubería
b) Que tiempo se hace para trasladar 250 (m3)
1
H=1.5 (m
H
A
2
V. GLOBO
L/D CODO
K1
B
L/D CODO
Bomba
K2