Topología del Espacio Euclídeo: Apuntes de Cálculo II

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1
Tema 1
Topología del Espacio Euclídeo
En este curso de Cálculo II realizaremos la extensión de los conocimientos estudiados en
Cálculo I, generalizando para funciones de varias variables, lo que significa trabajar con espacios de
dimensiones superiores.
Trabajaremos con conjuntos de vectores de componentes reales, en especial con la recta, el
plano y el espacio tridimensional, ya que son los que podemos visualizar. Dedicaremos este primer
capítulo a dar una síntesis sobre los conceptos básicos que nos permitirán determinar las características
topológicas necesarias para el desarrollo de los temas posteriores.
 En versiones anteriores a Mathematica 6, no olvide de dar entrada a estos "paquetes", antes de
comenzar a trabajar.
In[1]:=
 Graphics`Arrow`
Needs"Graphics`FilledPlot`"
 Recordando conceptos de Álgebra Lineal
 Espacio Vectorial Real de dimensión "n":
Consideraremos el conjunto de vectores de "n" componentes reales:
Rn  R x R x ... x R
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El conjunto Rn , junto con las operaciones de adición de vectores y multiplicación de vector
por escalar, forman un Espacio Vectorial de dimensión "n".
Por ejemplo:
R3  R x R x R = { (x,y,z) / x, y, z  R} es el espacio tridimensional
Recordemos que en un espacio vectorial se puede introducir el concepto de combinación lineal:
Combinación Lineal de Vectores

Consideremos dos vectores Linealmente Independientes 
a y b , por ejemplo pertenecientes a R2 :
In[3]:=
a  3, 10;
b  4, 6;
Efectuamos combinaciones
cualesquiera:
lineales
con
coeficientes
m
y
n
v = m a + n b
Evalúe la siguiente celda varias veces y observe distintos resultados.

Los vectores iniciales 
a y b aparecen gráficamente en color rojo y negro, respectivamente. Los
vectores resultantes de la combinación lineal aparecen en color azul:
(Hemos utilizado la generación aleatoria de números reales en el intervalo [-2,2])
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3
In[45]:=
m  RandomReal, 2, 2; n  RandomReal, 2, 2; v1  m a  n b;
m  RandomReal, 2, 2; n  RandomReal, 2, 2; v2  m a  n b;
m  RandomReal, 2, 2; n  RandomReal, 2, 2; v3  m a  n b;
m  RandomReal, 2, 2; n  RandomReal, 2, 2; v4  m a  n b;
m  RandomReal, 2, 2; n  RandomReal, 2, 2; v5  m a  n b;
ShowGraphicsArrow0, 0, b, Hue.6, Arrow0, 0, v1,
Arrow0, 0, v2, Arrow0, 0, v3, Arrow0, 0, v4,
Arrow0, 0, v5, Hue0, Arrow0, 0, a;
Como caso especial de combinación lineal nos interesa recordar las combinaciones lineales
convexas, por su aplicación en algunos conceptos de Cálculo. Preste particular atención a su
significado geométrico.
Combinación Lineal Convexa
Ahora efectuamos combinaciones lineales convexas.
v = m a + n b
los coeficientes m y n son no negativos y su
uno:
m  0  n  0  m + n = 1 (n = 1
La expresión del vector puede escribirse
v = m a + (1-m) b
Es decir que en:
suma es igual a
- m).
como:
Nuevamente evalúe la siguiente celda varias veces y observe los resultados:
(Hemos utilizado para "m" la generación aleatoria de números reales en el intervalo [0,1])
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In[11]:=
m  RandomReal, 0, 1; v1  m a  1  m b;
m  RandomReal, 0, 1; v2  m a  1  m b;
m  RandomReal, 0, 1; v3  m a  1  m b;
m  RandomReal, 0, 1; v4  m a  1  m b;
m  RandomReal, 0, 1; v5  m a  1  m b;
clc  ShowGraphicsArrow0, 0, b, Hue.6, Arrow0, 0, v1,
Arrow0, 0, v2, Arrow0, 0, v3, Arrow0, 0, v4,
Arrow0, 0, v5, Hue0, Arrow0, 0, a;
Comparando
las
representaciones gráficas de ambos
expresar alguna conclusión?
casos,
¿puede
Si usted creyó encontrar algo especial podrá verificarlo en el siguiente gráfico. En él se representan
puntos obtenidos utilizando la expresión de la combinación lineal convexa (CLC):
In[17]:=
puntos  Tablem a  1  mb, m, 0, 1, 0.1;
re  ListPlotpuntos, PlotStyle  PointSize0.02, Hue.6,
DisplayFunction  Identity;
Showclc, re, DisplayFunction  $DisplayFunction;
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Conclusión:
  Rn
Dados x
  Rn si efectuamos la Combinación Lineal Convexa
y

  1  m _y
z  m x
  
se obtiene un punto del vector diferencia x
y .
e
 Espacio Euclídeo:
Un espacio euclídeo es un espacio vectorial en el que se ha definido un producto escalar.
Si x, y pertenecen a Rn , definiremos el producto escalar (o producto interior) de x por y de la
siguiente manera:
xt .y =   xi yi ) = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn
con x = x1 , x2 , ..., xn ) e y =  y1 , y2 , ..., yn ).
El producto escalar así definido se llama producto euclídeo.
Aclaración: Se utiliza xt , que indica el vector x traspuesto, para expresar al vector como vector fila , pues se asume que
la expresión de los vectores, matemáticamente, corresponde a vector columna.
En el programa Mathematica no es necesario hacer esta distinción, pues calcula el producto euclídeo trabajando todos los
vectores como fila.
Por ejemplo:
 2 
 
v =  1 ;
 
3
 1 
 
u =  2 
 
2
 1 
 
t
v . u =  2 1 3  .  2  = 2 . 1 + 1 . 2 + 3 . 2 = 10
 
2
Con Mathematica resolvemos el producto escalar de la siguiente manera:
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In[20]:=
v  2, 1, 3; u  1, 2, 2; u.v
Out[20]=
10
Ejercicios:
Si a = (0,1,4,5,6); b = (2,1,3,0,2); c = (1,3,6):
a) Calcule a.b y b.a, y dé una conclusión.
b) Diga si su conclusión anterior es válida en general para todo Rn . Justifique.
c) ¿Es posible calcular a.c?. Justifique.
 Espacio Normado:
Un espacio normado es un espacio vectorial en el que se ha definido una norma.
Entonces el conjunto Rn con una norma vectorial || . || se convierte en un espacio normado que
denotamos con: (Rn , || . ||)
Se llama norma de un vector a la longitud del mismo. Usaremos generalmente la norma usual" o
norma euclídea, que es la que proviene del producto escalar definido anteriormente y está dada por la
siguiente fórmula:
|| a || =
 
a.a = a1 2  a2 2  ...  an 2
 
Por ejemplo: si u = (1,2,2);
|| u || = 12  22  22 = 9 = 3

si v = (2,-3);
|| v || = 13 = 3.60555
 Espacio Métrico:
Un espacio métrico es un espacio vectorial en el que se ha definido una métrica o distancia.
Así, el espacio Rn junto con una distancia d definida sobre él, se denomina espacio métrico, que
indicaremos:
(Rn , d)
Se define la distancia entre dos puntos P y Q, como la norma de la diferencia entre los vectores p
y q que ubican, con sus extremos, a dichos puntos:
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d (p,q) = || q - p || =

q1  p1 2  q2  p2 2  ...  qn  pn 2
En un espacio métrico se puede definir una Topología. Como el conjunto Rn ya está caracterizado
como un espacio métrico, ahora estamos en condiciones de definir los conceptos topológicos que
necesitaremos posteriormente.
 Entorno
Dado un punto a = a1 , a2 , ..., an ) perteneciente a Rn y un número real r > 0 , se define como
entorno de centro a y radio r al conjunto de puntos del espacio Rn que se encuentran a una distancia de
a , menor que el radio r. Se indica :
Ea, r = { x / x  Rn y d(x , a) < r }
Ea, r = { x / x  Rn y || x - a || < r }
En el segundo renglón la distancia ha sido expresada como la norma del vector diferencia x  a. Esto
ayuda a recordar la fórmula que debe emplearse, y que será válida en cualquier espacio de dimensión n.
De este modo, un entorno en R2 de centro a = a1 , a2 ) y radio r está dado por:
Ea , r ={ x  x1 , x2   x  R2 

x1  a1 2  x2  a2 2 < r }
Ea , r ={ x1 , x2   x1  a1 2  x2  a2 2  r 2 }
o también:
Ejemplos:
1) el entorno de centro a = (0,0) y radio r =1 es el conjunto:
E(a,1) ={ x = x1 , x2 ) / x  R2 y

x1 2  x2 2 < 1 }
2) el entorno de centro b = (-1,2) y radio r =1 es el conjunto:
E(b,1) ={ x = x1 , x2 ) / x  R2 y

x1  12  x2  22 < 1 }
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En dimensiones superiores a 2 estos entornos reciben el nombre de bola.
Así es, por ejemplo, para n=3:
3) el entorno o bola de centro c = (0,-3,1) y radio r =2 es el conjunto:
E(c,2) ={ x = x1 , x2 , x3 ) / x  R3 y


x1 2  x2  32  x3  12 < 2 }
Veamos gráficamente los entornos de R2 . El primero corresponde al ejemplo 1):
In[21]:=
a1  0; a2  0; r  1;

x21  a2  r2  x1  a12 ;
x22  a2 


r2  x1  a12 ;
FilledPlotx21, x22, x1, a1  r, a1  r,
PlotStyle  Dashing.02, AspectRatio  Automatic
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Out[24]=
Graphics
Para graficar el entorno del ejemplo 2) con centro en el punto b = (-1,2) basta copiar y pegar la
celda anterior cambiando los valores del centro:
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In[25]:=
b1  1; b2  2; r  1;

x21  b2  r2  x1  b12 ;


r2  x1  b12 ;
x22  b2 
FilledPlotx21, x22, x1, b1  r, b1  r,
PlotStyle  Dashing.02, AspectRatio  Automatic,
AxesOrigin  0, 0, PlotRange  0, 3;
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-2
-1.5
-1
-0.5
 Entorno reducido
Se denomina así al entorno que no contiene al centro.Es decir que el centro no pertenece al
conjunto.Lo indicaremos con una comilla: E'
En símbolos:
E'a, r = { x / x  Rn , x a y d(x , a) < r }
E'a, r = { x / x  Rn y
Observemos que, como xa, la norma no puede ser 0.
0 < || x - a || < r }
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De este modo, un entorno reducido en R2 de centro a  a1 , a2  y radio r está dado por:
E 'a, r { x = x1 , x2  / x  R2  0 
o bien:

x1  a1 2  x2  a2 2 < r }
E 'a, r ={  x1 , x2 ) / 0  x1  a1 2 + x2  a2 2 < r 2 }
 Puntos de un conjunto
Sea C un conjunto incluído en Rn .
Sea p un punto perteneciente a Rn .
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 Punto Interior
p es punto interior a C si y sólo si:
· p pertenece a C y
· existe un entorno del punto p incluído en C
 Punto Exterior
p es punto exterior a C si y sólo si:
· existe un entorno del punto p que no tiene ningún punto común con C ( intersección vacía )
 Punto Aislado
p es punto aislado de C si y sólo si:
· p pertenece a C y
· existe un entorno reducido del punto p que no tiene ningún punto
común con C ( intersección vacía )
 Punto Frontera
p es punto frontera de C si y sólo si:
· p no es punto interior de C y
· p no es punto exterior de C
 Punto de Acumulación
p es punto de acumulación de C si y sólo si:
· para todo entorno reducido del punto p existe algún punto común con C (intersección no
vacía )
Ejemplos:
1) Consideremos el conjunto C = {(x,y)/ (x,y)  R2 e y > x-1}  {(4,2)} que se grafica a
continuación.
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In[29]:=
g
FilledPlotx  1, 5, x, 5, 5, PlotStyle  Dashing0.02,
Dashing, RGBColor0.000, 1.000, 1.000,
DisplayFunction  Identity;
In[30]:=
p  ListPlot4, 2,
PlotStyle  RGBColor0.133, 0.694, 0.859, PointSize.02,
DisplayFunction  Identity;
In[31]:=
Showg, p, DisplayFunction  $DisplayFunction;
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
-6
·
·
·
·
(-2,0)
(2,1)
(4,2)
(0,-4)
es punto interior y de acumulación
es punto frontera y también de acumulación
es punto aislado
es punto exterior
2) El conjunto T es la superficie elíptica de ecuación
grafica a continuación (es un subconjunto de R3 ).
2
2
2
y
x
z

16  
36  
49 = 1 que se
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13
In[32]:=
ParametricPlot3D4 Cost Sinu, 6 Sint Sinu, 7 Cosu,
t, 0, 2 , u, 0, , AxesLabel  x eje, y eje, z eje,
ViewPoint  2.966, 1.366, 0.889;
eje x
0 -2-4
4 2
5
eje z
0
-5
-5
0
eje y
5
· No tiene puntos interiores pues todos sus puntos tienen entornos que son bolas en R3
y, por lo tanto, no pueden estar incluídas en el conjunto ya que éste es una superficie.
· Todos sus puntos son puntos frontera.
· Los puntos exteriores son todos los que se encuentran fuera del elipsoide (como por ejemplo el (5,5,5)) y dentro del
mismo (como por ejemplo el (0,0,0))
Ejercicios
1) Considere el conjunto C definido recientemente por
C = {(x,y)/ (x,y)  R2 e y> x-1}  {(4,2)}
y responda:
a) ¿Es (4,2) punto interior de C?. ¿Es exterior?
b) ¿Podemos decir que todos los puntos de la recta x-1 = y son puntos frontera?.
¿Por qué?
c) ¿Existen puntos de que no pertenecen a C y son de acumulación?. Si los hay,
nombre algunos.
2) En el conjunto S = {(x,y)/ (x,y)  R2 y x  32  y  22  1} {(-3,2)} graficado a
continuación, responda:
a) Los puntos de la recta y = 0, ¿son puntos exteriores o interiores?
b) ¿Cómo clasificaría al centro del círculo?
c) Nombre 3 puntos de acumulación y 2 puntos frontera.
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d) ¿Puede encontrar puntos de acumulación que no pertenezcan al conjunto?
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-1
 Conjuntos
 Conjunto Abierto
Un conjunto C es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores.
Ejemplos: · Un entorno es un conjunto abierto
· R2 , R3 son conjuntos abiertos.
· El conjunto vacío es un conjunto abierto.
 Conjunto Cerrado
Un conjunto C es cerrado si y sólo si le pertenecen todos sus puntos de acumulación.
Ejemplos: · Un círculo o un polígono son conjuntos cerrados de R2 .
· Una curva en R2 , una superficie en R3 , son conjuntos cerrados.
· Los espacios R, R2 , R3 , ... son conjuntos cerrados.
· El conjunto vacío es un conjunto cerrado.
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 Conjunto Acotado
Un conjunto C es acotado si y sólo puede estar incluído en un entorno del origen de coordenadas.
Ejemplos:
· El conjunto de puntos de un cuadrado es un conjunto acotado en el plano, porque si
tomamos las distancias de todos sus puntos al (0,0) y llamamos "r" a la mayor de ellas, el cuadrado
está incluído en un entorno con centro en (0,0) y radio mayor que "r".
· Cualquier figura limitada del plano es un conjunto acotado.
· Una esfera es un conjunto acotado en R3 .
 Conjunto Compacto
Un conjunto C es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
Ejemplos:
. Los polígonos son conjuntos compactos.
. Los poliedros son conjuntos compactos.
Ejercicios:
Clasifique los siguientes conjuntos (abierto, cerrado, acotado, compacto) justificando la respuesta:
1) El triángulo graficado a continuación es un subconjunto de R2 .
2) La superficie elíptica T graficada es un subconjunto de R3 .
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16
eje x
-2-4
420
5
eje z 0
-5
-5
0
eje y
5

¡Usted ha terminado el estudio del primer tema!
Conviene que imagine otros ejemplos para practicar.
Es importante que domine estos conceptos pues serán utilizados en los desarrollos
de los temas que estudiará a continuación.