MECANICA DE FLUIDOS NOTA TECNICA

MECÁNICA DE FLUIDOS
NOTA TÉCNICA 5
1.
Análisis dimensional y ley de homogeneidad dimensional
Debido a que son pocos los flujos reales que pueden ser resueltos con exactitud sólo mediante
métodos analíticos, el desarrollo de la mecánica de fluidos ha dependido de manera
importante de los resultados experimentales. Las soluciones de los problemas reales
generalmente involucran una combinación del análisis y la información experimental. De esta
forma, es común inicialmente desarrollar un modelo matemático del problema a estudiar y
resolverlo.
Paralelamente, se prepara el experimento del problema a analizar y se comparan los
resultados analíticos con aquellos experimentales. Sin embargo, el trabajo experimental en el
laboratorio consume tiempo y es costoso, aunado a esto, existen ocasiones en las que la
prueba experimental de un prototipo de tamaño natural es imposible o prohibitivamente
costosa. En estos casos la prueba de modelos de laboratorio es la única solución factible.
Si se va a predecir el comportamiento del prototipo a partir de mediciones en el modelo, es
necesario establecer cuidadosamente las pruebas que van a ser efectuadas. El flujo sobre el
modelo y el prototipo deben de relacionarse por las leyes de escalamiento conocidas.
La mayoría de los fenómenos de mecánica de fluidos mantienen una relación compleja con la
geometría y las propiedades del fluido. Por ejemplo, si se quiere estudiar la fuerza de arrastre,
F, ejercida por un flujo uniforme a su paso sobre una esfera estacionaria es necesario
especificar los parámetros que son importantes en la determinación de la fuerza de arrastre.
Es de esperarse que la fuerza de arrastre dependa del tamaño de la esfera, que puede ser
caracterizado por su diámetro, D, por la velocidad y viscosidad del fluido V y μ,
respectivamente. Además, la densidad del fluido, ρ, podría ser también importante. Así, se
puede establecer, de forma simbólica, que la fuerza de arrastre puede expresarse por
Aunque se han ignorado parámetros de los cuales depende la fuerza de arrastre, tales como
la rugosidad de la superficie (o se han incluido algunos que no influyen en ella), se ha
formulado el problema de la determinación de la fuerza de arrastre en términos de cantidades
que son tanto controlables como adecuadas para medición en el laboratorio. Suponiendo que
se requiere determinar la dependencia de F sobre las variables D, V, μ y ρ, después de construir
una instalación experimental adecuada podría dar el inicio a los experimentos. Para obtener
una curva de F contra V para valores fijos de los otros tres parámetros probablemente sería
necesario hacer unas 10 pruebas para diferentes valores de V. Para explorar el efecto del
diámetro cada prueba se repetiría para 10 esferas de diferentes diámetros. Si el
procedimiento se repitiera para 10 valores de la densidad y la viscosidad se llegaría a requerir
de 104 pruebas para llevar al cabo el experimento. Aunado a eso aparecería la dificultad de
hacer un enorme número de gráficas para cada caso. Una opción para evitar este problema
de dimensiones gigantes y obtener los resultados adecuados es el empleo del análisis
dimensional. Como se muestra un poco más adelante, todos los datos para la fuerza de
arrastre sobre una esfera lisa pueden graficarse como una relación funcional entre dos
parámetros no dimensionales de la forma
La forma de la función necesita aún ser determinada experimentalmente. Sin embargo, en
lugar de requerirse 104 experimentos, se puede establecer la naturaleza de la función con
efectuar unas 10 pruebas.
El análisis dimensional es un método de análisis que parte de la premisa que debe existir una
relación dimensionalmente homogénea entre las variables involucradas en la descripción de
un fenómeno físico. Es un proceso mediante el cual se examinan las dimensiones de los
fenómenos físicos y de las ecuaciones asociadas, para tener una nueva visión de sus
soluciones. A partir de este análisis surge la importancia que tiene el uso de distintos
parámetros adimensionales. El método presenta:
Ventajas:
✔
✔
✔
✔
✔
Reducir el número de variables.
Permite abordar problemas complejos.
Requiere de información mínima.
Simplifica la investigación, reduciendo la experimentación.
Dar una guía de cómo realizar experiencias sobre modelos a escala.
Desventajas:
✔ Entrega una solución incompleta del problema en estudio
✔ No se gana un conocimiento respecto al mecanismo del fenómeno estudiado. Para
describir cualquier fenómeno físico, necesitamos referirnos a ciertos conceptos o
entidades físicas, tales como fuerza, masa, velocidad, aceleración, tiempo,
temperatura, etc. Para cada una de estas entidades físicas se ha aceptado una unidad
de medida.
Para describir cualquier fenómeno físico, necesitamos referirnos a ciertos conceptos o
entidades físicas, tales como fuerza, masa, velocidad, aceleración, tiempo, temperatura, etc.
Para cada una de estas entidades físicas se ha aceptado una unidad de medida. Una forma de
homogeneidad dimensional es transformar en adimensional las ecuaciones utilizadas, lo cual
quiere decir que la ecuación se transforma en una serie de parámetros sin dimensiones. Otra
técnica importante para realizar ensayos de laboratorio es la similitud, que consiste en
estudiar modelos con el fin de predecir lo que va a ocurrir en los prototipos. En este caso el
estudio se realiza en modelos ya sea porque el prototipo tenga dimensiones demasiado
grandes, como en el caso del flujo alrededor de un conjunto de edificios, en una represa, etc.
O porque las dimensiones del prototipo sean demasiado pequeñas para obtener un resultado
suficientemente preciso como el caso de un flujo en un tubo capilar, alrededor de un alabe de
turbina, o incluso de un microorganismo.
2.
Ley de homogeneidad dimensional
Todos hemos escuchado el refrán: “No puedes sumar manzanas con naranjas”. En realidad,
es una expresión simplificada más global y fundamental para ecuaciones, la ley de
homogeneidad dimensional, que se define como:
“todo termino aditivo en una ecuación debe tener las mismas dimensiones”
Tomando como ejemplo el cambio en energía total de un sistema cerrado compresible simple
de un estado y/o tiempo 1 a 2. El cambio en energía total del sistema (∆E está dado por:
∆E = ∆U + ∆EC + ∆EP
Donde E tiene 3 componentes: energía interna (U), energía cinética (EC) y energía potencial
(EP). Dichos componentes se pueden escribir en términos de masa del sistema (m); las
cantidades mensurables y las propiedades termodinámicas en cada uno de los dos estados,
como la velocidad (v), elevación (h) y la energía interna especifica (u), y la conocida constante
de aceleración gravitacional (g):
∆U = m (𝑢2 – 𝑢1)
1
2
2
∆EC = 2m (v2 – v 1)
∆EP = mg (h2 – h1)
Es sencillo verificar las dimensiones de la ecuación del cambio de energía total del sistema y a
su vez, los tres términos aditivos que conforman dicha ecuación, en dimensiones primarias:
Si en alguna etapa de un análisis se encuentra una situación donde los términos aditivos
poseen diferentes dimensiones, esto sería una indicación clara de que se ha cometido un error
en el proceso. Otro ejemplo para la comprobación de la homogeneidad dimensional, es la
famosa y muy conocida en la mecánica de fluidos “la ecuación de Bernoulli” para flujo de
fluidos irrotacional incompresible:
1
C = P + 2⍴ν2 + ⍴gh
Verificamos que las dimensiones en los términos aditivos sean las mismas, y con ello conocer
las dimensiones de la constante C.
Como podemos comprobar, las dimensiones de los términos aditivos tienen las mismas
dimensiones, por lo tanto, la constante C, tendrá las mismas dimensiones:
La ley de la homogeneidad dimensional establece que las ecuaciones deducidas
analíticamente son correctas para cualquier sistema de unidades y en consecuencia cada
grupo de términos en la ecuación debe tener la misma representación dimensional.
3.
Dimensiones y unidades
Una dimensión es una medida de una cantidad física que no posee valor numérico, mientras
que una unidad es una manera de asignar un valor numérico a dicha dimensión. Existen 7
dimensiones primarias (dimensiones fundamentales o básicas): masa, longitud, tiempo,
temperatura, corriente eléctrica, cantidad de luz y cantidad de materia. A su vez existen
muchas dimensiones no-primarias que provienen de la combinación de éstas 7dimensiones
primarias.
Para distinguir la diferencia entre dimensión y unidades: “la masa es una dimensión que se
mide en unidades de gramos (g), libras (lb), etc.” Por ejemplo, según la segunda ley de Newton
la fuerza tiene las mismas dimensiones que el producto entre la masa y la aceleración”. En
consecuencia, en términos dimensionales primarias:
Donde los corchetes indican las dimensiones y las abreviaturas se toman de la siguiente tabla:
Dimensiones primarias y sus unidades en
Dimensión
Símbolo
Unidad SI (Sistema Internacional)
Unidad Inglesa
Masa
m
kg (kilogramo)
lbm (libra-masa)
Longitud
L
m (metro)
ft (pie)
Tiempo
t
s (segundo)
s (segundo)
Temperatura
T
K (kelvin)
R (Rankine)
Corriente eléctrica
I
A (ampere)
A (ampere)
Cantidad de luz
C
cd (candela)
cd (candela)
Cantidad de materia
N
mol (mole)
mol (mole)
Ejemplo:
Escriba las dimensiones primarias de la constante universal del gas ideal Ru
Según la Ley del gas ideal “PV= nRuT”, donde: P es presión, V es volumen, n representa el
número de moles y T es temperatura absoluta.
4.
Teorema Pi П de Buckingham
Dado un problema de ingeniería donde se desea conocer el comportamiento de flujo e
identificar las fuerzas aplicadas, a través de un análisis experimental, es necesario definir un
número considerable de pruebas, sin embargo, existe una herramienta útil y poderosa que
agrupa en parámetros dimensionales las variables que intervienen en el problema. Esta
herramienta se conoce como el teorema П de Buckingham. La aplicación de este teorema
implica seguir las siguientes etapas:
1.
2.
3.
4.
1.
5.
2.
6.
Hacer una lista de los parámetros involucrados.
Seleccionar las dimensiones básicas (MLt).
Representar los parámetros en función de sus dimensiones básicas.
Seleccionar de la lista de parámetros un número de ellos igual al número de las
dimensiones básicas (r = 3).
Combinar los parámetros seleccionados con los restantes para formar los números
adimensionales.
Comprobar que son adimensionales los números П obtenidos.
Después de obtener los parámetros П, se puede aplicar las siguientes relaciones:
1. Si una magnitud es adimensional se constituye un número П.
2. Si dos magnitudes físicas tienen las mismas dimensiones, su cociente es un número
П.
3. Cualquier número П se puede sustituir por una potencia del mismo, esto es, П =
П-1 ó П2.
4. Cualquier número П se puede sustituir por su producto por cualquier constante,
esto es, П = 2П ó aП
5. Cualquier número П puede expresarse en función de otros números П´s, esto es,
П1 = (П2, П3)
5.
Grupos adimensionales
La ley de homogeneidad dimensional garantiza que los términos aditivos de una ecuación
tienen las mismas dimensiones. En consecuencia, si cada termino de dicha ecuación se divide
entre un conjunto de variables y constantes cuyo producto tenga las mismas dimensiones,
dicha ecuación queda sin dimensiones. Si, además, los términos adimensionales en la ecuación
son de orden de magnitud de 1, la ecuación se denomina normalizada. Por lo tanto, la
normalización es más restrictiva que la adimensionalización, aun cuando los dos términos se
usen erróneamente.
En el proceso de adimensionalidad en una ecuación de movimiento, con frecuencia aparecen
parámetros adimensionales, la mayoría de los cuales reciben su hombre a un científico o
ingeniero notable (ejemplo: Número de Reynolds y Número de Froude). A este proceso
algunos autores lo llaman análisis por inspección.
Las variables dimensionales se definen como cantidades dimensionales que cambian en el
problema. Para la ecuación diferencial de movimiento
𝑑2𝑧
𝑑𝑡2
= - g existen 2 variables
dimensionales: z (dimensión de longitud) y t (dimensión de tiempo).
Las variables adimensionales se definen como cantidades que cambia en el problema, pero
que no tienen dimensiones; ejemplo es el ángulo de rotación que se mide en unidades
adimensionales.
La constante gravitacional g, aunque es dimensional, permanece constante y se denomina
constante dimensional.
El termino parámetro se usa para el conjunto combinado de variables dimensionales, variables
adimensionales y constantes dimensionales en el problema.
𝑑2𝑧
La ecuación diferencial de movimiento “ 𝑑𝑡2 = - g” se resuelve fácilmente al integrar dos veces
y aplicando las condiciones iniciales. El resultado es una expresión para la elevación en
cualquier tiempo:
1
La constante 2 y el exponente 2 en la ecuación obtenida son resultados adimensionales de
proceso de integración. A dichas constantes se las denomina constantes puras (otros ejemplos
comunes son π y e)
𝑑2𝑧
Para eliminar las dimensiones de la ecuación 𝑑𝑡2 = - g, es necesario seleccionar parámetros de
escalamiento con base en las dimensiones primarias contenidas en la ecuación original. En
esta ecuación solo existen 2 dimensiones primarias (longitud y tiempo), por lo tanto, solo 2
parámetros de escalamiento. Existen algunas opciones en la selección de los parámetros de
escalamiento porque se tiene 3 constantes dimensionales (zo, wo, g). Se eligen zo y wo, se
recomienda repetir el análisis con zo y g pero también con g y wo. Con estos dos parámetros
de escalamiento se eliminan las dimensiones de las variables dimensionales.
El primer paso es hacer una lista de las dimensiones primarias de todas las variables
dimensionales y constantes dimensionales en el problema:
[z] = [L] ; [t] = [t] ; [zo] = [L] ; [wo] = [L/t] ; [g] = [L/t2]
El segundo paso es usar los parámetros de escalamiento para eliminar dimensiones z y t (por
inspección) y convertirlas en variables adimensionales z* y t*
Despejando:
Sustituyendo en la ecuación diferencial de movimiento:
= ecuación adimensional deseada.
El agrupamiento de las constantes adimensionales es esta ecuación es el cuadro de un
conocido parámetro o grupo adimensional llamado Número de Froude:
El número de Froude aparece como un parámetro adimensional en flujos de superficie libre y
se puede considerar como la razón de la fuerza de inercia a la fuerza gravitacional.
Sustituyendo en la ecuación adimensional obtenida tenemos:
En forma sin dimensión, solo permanece un parámetro a saber, el número de Froude. La
ecuación obtenida se resuelve fácilmente al integrar dos veces y aplicando las condiciones
iniciales. El resultado es una expresión para la elevación sin dimensiones z* en cualquier
tiempo sin dimensión t*:
Existen dos ventajas clave de la eliminación de dimensiones. Primera, aumenta la
comprensión acerca de las relaciones entre los parámetros claves. Segunda, reduce el número
de parámetros en el problema.
En la mayor parte de los fenómenos fluidos donde puede ignorarse la transferencia de calor,
las variables siguientes pueden ser importantes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Cambio de presión, ΔP.
Longitud, L.
Viscosidad, µ.
Tensión superficial, σ.
Velocidad del sonido, c.
Aceleración de la gravedad, g.
Densidad, ⍴.
Velocidad, V.
Utilizando estas variables pueden formarse los siguientes grupos adimensionales principales:
Similaridad
Los tres propósitos del análisis dimensional son:
1. Generar parámetros adimensionales que ayuden en el diseño de experimentos y en el
análisis de los resultados obtenidos.
2. Determinar leyes de escalamiento para observar el comportamiento del prototipo que se
pueda predecir del modelo a escala.
3. Predecir la tendencia del comportamiento de los parámetros adimensionales obtenidos.
Entonces, en la mayoría de los experimentos para ahorrar tiempo y dinero, es necesario
desarrollar modelos de laboratorio que deben cumplir con las tres condiciones que se
establecen en la similaridad para analizar fenómenos que se tiene bajo condiciones reales y
que se comparan con los modelos de laboratorio, éstas son: similaridad geométrica,
similaridad cinemática y similaridad dinámica.
Similaridad geométrica
La forma geométrica del modelo debe ser igual a la del prototipo, pero a un factor de escala.
Similaridad cinemática
Establece que la velocidad en cualquier punto del campo de flujo en el modelo debe ser
proporcional (de acuerdo con el factor de escala) a la velocidad del punto correspondiente en
el campo de flujo de prototipo. La similaridad geométrica es un prerequisito para la similaridad
cinemática.
Similaridad dinámica
Esta similaridad se alcanza cuando todas las fuerzas aplicadas en el modelo a escala
corresponden a las fuerzas (de acuerdo con el factor de escala) desarrolladas en el prototipo.
La similaridad completa se logra cuando se cumplen las tres similaridades descritas
anteriormente.
Las fuerzas que actúan sobre un campo de flujo se definen como:
1.
2.
3.
4.
Fuerzas de presión
Fuerzas de inercia
Fuerzas de gravedad
Fuerzas de viscosidad
Fp = (Δp)A
FI = ⍴ u2 L2
Fg = ⍴ L3 g
Fµ = µuL
CUADRO INFORMATIVO
UNIDAD
LINKS
1
Análisis Dimensional - Ejercicios Resueltos Introducción - YouTube
Análisis dimensional: Método Pi o Buckingham YouTube
BIBLIOGRAFÍA
elibrocom - Mecánica de los
fluidos
elibrocom - Mecánica de
fluidos
elibrocom - Fundamentos de
mecánica de fluidos