APLICACIÓN DE VECTORES FISICA BASICA CATEDRATICO: ING. RODOLFO QUIROA EJEMPLO # 1 Un avión vuela desde la base hacia un lago A que se encuentra ubicado a 280 km de distancia en la dirección 20.0° al noreste. Después de soltar los suministros vuela a un lago B que esta a 190 km a 30.0° al noroeste del lago A. Determine la distancia y la dirección desde el lago B a la base. 1) Grafico N O 𝜽 E LAGO “B” 𝑩 (𝟏𝟗𝟎 𝒌𝒎) N N 𝑪 =¿ ? S O 3𝟎. 𝟎° LAGO “A” 𝑨 (𝟐𝟖𝟎 𝒌𝒎) S O BASE S 𝟐𝟎. 𝟎° E E 2) OPERAR 𝑨 = 𝑨 𝝀𝑨 𝑨 = (𝟐𝟖𝟎 𝒌𝒎)(𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟎. 𝟎° 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝟎. 𝟎° 𝒋) 𝑨+𝑩+𝑪=𝟎 𝑪 = −𝑨 − 𝑩 𝑨 = 𝟐𝟔𝟑𝒊 + 𝟗𝟔. 𝟎𝒋 𝒌𝒎 𝑩 = 𝑩 𝝀𝑩 𝑩 = (𝟏𝟗𝟎 𝒌𝒎)(𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟓𝟎° 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟓𝟎° 𝒋) 𝑩 = −𝟏𝟔𝟒𝒊 + 𝟗𝟓. 𝟎𝒋 𝒌𝒎 3) MAGNITUD Y DIRECCION DEL VECTOR 𝐶 𝑪 = − 𝟐𝟔𝟑𝒊 + 𝟗𝟔. 𝟎𝒋 − −𝟏𝟔𝟒𝒊 + 𝟗𝟓. 𝟎𝒋 𝑪 = −𝟐𝟔𝟑𝒊 − 𝟗𝟔. 𝟎𝒋 + 𝟏𝟔𝟒𝒊 − 𝟗𝟓. 𝟎𝒋 𝑪 = −𝟗𝟗. 𝟎𝒊 − 𝟏𝟗𝟏𝒋 𝒌𝒎 MAGNITUD DIRECCION 𝑪 = 𝜽= −𝟗𝟗. 𝟎 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝟐 + −𝟏𝟗𝟏 𝟐 = 𝟐𝟏𝟓 𝒌𝒎 −𝟏𝟗𝟏 = 𝟔𝟐. 𝟔° 𝑺𝒖𝒓𝒐𝒆𝒔𝒕𝒆 −𝟗𝟗 EJEMPLO # 2 Para los vectores 𝐴 = −3𝑖 + 7𝑗 − 4𝑘 y 𝐵 = 6𝑖 − 10𝑗 + 9𝑘, encuentre a) el producto escalar 𝐴 ⋅ 𝐵 b) el producto vectorial 𝐴 × 𝐵 c) el ángulo entre 𝐴 𝑦 𝐵 a) PRODUCTO ESCALAR 𝐴 ⋅ 𝐵 𝑨 ⋅ 𝑩 = 𝑨𝒙 ⋅ 𝑩𝒙 + 𝑨𝒚 ⋅ 𝑩𝒚 + 𝑨𝒛 ⋅ 𝑩𝒛 𝑨 ⋅ 𝑩 = −𝟑 𝟔 + 𝟕 −𝟏𝟎 + (−𝟒)(𝟗) 𝑨 ⋅ 𝑩 = −𝟏𝟖 − 𝟕𝟎 − 𝟑𝟔 𝑨 ⋅ 𝑩 = −𝟏𝟐𝟒 b) PRODUCTO VECTORIAL 𝐴 × 𝐵 𝒊 𝑨 × 𝑩 = −𝟑 𝟔 𝑨×𝑩= 𝑨×𝑩= 𝒋 𝒌 𝟕 −𝟒 −𝟏𝟎 𝟗 𝟕 −𝟒 −𝟑 𝒊− −𝟏𝟎 𝟗 𝟔 −𝟒 −𝟑 𝟕 𝒋+ 𝒌 𝟗 𝟔 −𝟏𝟎 𝟕 𝟗 − −𝟒 −𝟏𝟎 𝒊 − −𝟑 𝟗 − −𝟒 𝟔 𝒋 + −𝟑 −𝟏𝟎 − 𝟕 𝟔 𝒌 𝑨 × 𝑩 = 𝟐𝟑𝒊 + 𝟑𝒋 − 𝟏𝟐𝒌 b) PRODUCTO VECTORIAL 𝐴 × 𝐵 𝒊 𝒋 −𝟑 𝟕 𝟔 −𝟏𝟎 𝟒𝟐𝒌 𝟒𝟎𝒊 𝒊 −𝟑 −𝟐𝟕𝒋 (𝟒𝟎𝒊 − 𝟐𝟕𝒋 + 𝟒𝟐𝒌)(−𝟏) 𝒋 𝟕 𝒌 −𝟒 𝟗 𝒌 −𝟒 𝟔𝟑𝒊 𝟑𝟎𝒌 −𝟐𝟒𝒋 𝟔𝟑𝒊 − 𝟐𝟒𝒋 + 𝟑𝟎𝒌 𝑨 × 𝑩 = 𝟔𝟑 − 𝟒𝟎 𝒊 + −𝟐𝟒 + 𝟐𝟕 𝒋 + 𝟑𝟎 − 𝟒𝟐 𝒌 𝑨 × 𝑩 = 𝟐𝟑𝒊 + 𝟑𝒋 − 𝟏𝟐𝒌 c) Angulo 𝜃𝐴𝐵 𝑨 ⋅ 𝑩 = 𝑨 𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝑨⋅𝑩 𝑨 𝑩 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝜽𝑨𝑩 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏 𝑨 = 𝑩 = 𝑨𝟐𝒙 + 𝑨𝟐𝒚 + 𝑨𝟐𝒛 = 𝑩𝟐𝒙 + 𝑩𝟐𝒚 + 𝑩𝟐𝒛 = −𝟑 𝟔 𝟐 𝟐 + 𝟕 𝟐 + −𝟏𝟎 + −𝟒 𝟐 + 𝟗 𝟐 𝟐 = 𝟖. 𝟔𝟎 = 𝟏𝟒. 𝟕 𝜽𝑨𝑩 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏 𝑨⋅𝑩 𝑨 𝑩 −𝟏𝟐𝟒 = 𝟏𝟔𝟗° (𝟖. 𝟔𝟎)(𝟏𝟒. 𝟕) EJEMPLO # 3 Le dan los vectores 𝐴 = 5.0𝑖 − 6.5𝑗 𝑦 𝐵 = 3.5𝑖 − 7.0𝑗 Un tercer vector 𝐶 esta en el plano “x-y” y es perpendicular a 𝐴 y el producto escalar de 𝐶 𝑐𝑜𝑛 𝐵 es 15.0 Con esta información, obtenga las componentes del vector 𝐶. 1) GRAFICA 𝒚 𝑩 ⋅ 𝑪 = 𝟏𝟓. 𝟎 𝟗𝟎° 𝒙 𝜷 𝜽 𝑨 𝑪 𝑩 2) DETERMINAR q 𝒚 𝟗𝟎° 𝒙 𝜶 𝜷 𝜸 𝜽 𝑪 𝑩 𝑨 𝜶= 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝟔. 𝟓 = 𝟓𝟐. 𝟒° 𝟓. 𝟎 𝜸= 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝟕. 𝟎 = 𝟔𝟑. 𝟒° 𝟑. 𝟓 𝜷 = 𝜸 − 𝜶 = 𝟔𝟑. 𝟒° − 𝟓𝟐. 𝟒° = 𝟏𝟏. 𝟎° 𝜽 = 𝟗𝟎° − 𝜷 = 𝟗𝟎° − 𝟏𝟏° = 𝟕𝟗. 𝟎° 3) DETERMINAR LA MAGNITUD DE 𝐶 𝒚 𝑩 ⋅ 𝑪 = 𝑩 𝑪 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟗𝟎° 𝒙 𝜶 𝜷 𝜸 𝜽 𝑪 𝑩 𝑨 𝑩 = 𝑩⋅𝑪 𝟑. 𝟓 𝟐 + −𝟕. 𝟎 𝟐 = 𝟕. 𝟖𝟑 𝟏𝟓. 𝟎 𝑪 = = = 𝟏𝟎. 𝟎 𝟕. 𝟖𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟕𝟗. 𝟎° 𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝜽 4) DETERMINAR LAS COMPONENTES DE 𝐶 𝒚 𝜹 = 𝟑𝟔𝟎° − 𝜸 + 𝜽 = 𝟑𝟔𝟎° − 𝟔𝟑. 𝟒° + 𝟕𝟗. 𝟎° = 𝟐𝟏𝟖° 𝜹 𝑪 = 𝑪 𝝀𝑪 𝟗𝟎° 𝒙 𝜶 𝜷 𝑪 = (𝟏𝟎. 𝟎)(𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟏𝟖° 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝟏𝟖° 𝒋) 𝜸 𝜽 𝑪 𝑩 𝑨 𝑪 = −𝟕. 𝟗𝒊 − 𝟔. 𝟐𝒋
