FACTORIZACIÓN La factorización o descomposición factorial es el proceso de presentar una expresión matemática o un número en forma de multiplicación. Recordemos que los factores son los elementos de la multiplicación y el resultado se conoce como producto. Sugerencia de método: Observar si hay un factor común, esto es, si hay un factor que se repita en los diferentes términos. Ordenar la expresión: a veces al arreglar la expresión nos percatamos de las posibilidades de factorización. Averiguar si la expresión es factorizable: en ocasiones estamos en presencia de expresiones que no pueden ser descompuestas en factores. Verificar si los factores hallados son a su vez factorizables. CASOS DE FACTORIZACIÓN. 1. CASO 1: FACTOR COMÚN. Se aplica en polinomios. No aplica para monomios. El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos. Puede ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión algebraica (encerrada en paréntesis) o combinaciones de todo lo anterior. Cómo realizar la factorización. De los coeficientes de los términos, se extrae el MCD (Máximo Común Divisor) de ellos. De las letras o expresiones en paréntesis repetidas, se extrae la de menor exponente. o EJEMPLO 1 𝟑𝟓𝒎𝒙 + 𝟏𝟖𝒙𝟐 𝒚 = 𝟕𝟔𝟓𝒙𝟑 𝒚𝟑 35𝑚𝑥 + 18𝑥 2 𝑦 − 765𝑥 3 𝑦 3 = 0 𝑥(35𝑚 + 18𝑥𝑦 − 765𝑥 2 𝑦 3 ) = 0 o EJEMPLO 2 𝟏𝟐𝒂𝒙𝟒 − 𝟑𝒂𝒙𝟑 + 𝟐𝟒𝒂𝒙𝟐 − 𝟔𝒂𝒙 + 𝟏𝟐𝒂𝟐 𝒙 = 𝟎 𝑥(12𝑎𝑥 3 − 3𝑎𝑥 2 + 24𝑎𝑥 − 6𝑎 + 12𝑎2 ) = 0 𝒙𝒂(𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 − 𝟔 + 𝟏𝟐𝒂) = 𝟎 3𝑎𝑥 (4𝑥 3 − 𝑥 2 + 8𝑥 − 2 + 4𝑎) = 0 1 1 1 12𝑎𝑥 (𝑥 3 − 𝑥 2 + 2𝑥 − + 𝑎) = 0 4 2 2. CASO 2: FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS. Se aplica en polinomios que tienen más de 4 términos (siempre que el número sea par) y donde ya se ha verificado que no hay factor común. Se forman grupos de igual número de términos, buscando que exista alguna familiaridad entre los términos agrupados. ¡CUIDADO! Deben cambiarse los signos de los términos encerrados en el paréntesis si éste queda precedido por signo negativo. Se extrae factor común de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresión encerrada en paréntesis). Por último, se extrae factor común de toda la expresión (es decir, nuevamente se aplica el caso 1; en esta ocasión, el factor común es una expresión encerrada en paréntesis) o EJEMPLO 1 𝟑𝒎 − 𝟐𝒏 − 𝟐𝒏𝒙𝟒 + 𝟑𝒎𝒙𝟒 = 𝟎 𝑚(3 + 3𝑥 4 ) + 𝑛(−2 − 2𝑥 4 ) = 0 𝑥 4 (3𝑚 − 2𝑛) + (3𝑚 − 2𝑛) = 0 (3𝑚 − 2𝑛)(𝑥 4 + 1) = 0 o EJEMPLO 2 𝒏𝟐 𝒙 − 𝟓𝒂𝟐 𝒚𝟐 − 𝒏𝟐 𝒚𝟐 + 𝟓𝒂𝟐 𝒙 = 𝟎 5𝑎2 𝑥 − 5𝑎2 𝑦 2 − 𝑛2 𝑦 2 + 𝑛2 𝑥 = 0 5𝑎2 (𝑥 − 𝑦 2 ) + 𝑛2 (−𝑦 2 + 𝑥 ) = 0 (𝑥 − 𝑦 2 )(5𝑎2 + 𝑛2 ) = 0 3. CASO 3: DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS. Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo término es negativo. Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cuadrados perfectos. Se extrae la raíz cuadrada de cada término: Al coeficiente se le extrae la raíz cuadrada normalmente. Se abren dos grupos de paréntesis. Las raíces cuadradas que se obtuvieron de cada término se anotan dentro de cada paréntesis: en el primero van sumando y en el segundo van restando. o EJEMPLO 1. 𝟖𝟏 − 𝒙𝟐 = 𝟎 (√81 + √𝑥 2 ) (√81 − √𝑥 2 ) = 0 2 (9 + 𝑥 )(9 − 𝑥 ) = 0 o EJEMPLO 2. 𝟏𝟔 =𝟎 𝟐𝟓 4 4 (7𝑥 2 + ) (7𝑥 𝟐 − ) = 𝟎 5 5 𝟒𝟗𝒙𝟒 − 4. CASO 4. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. El trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente. Tanto el primero como el tercer término deben ser positivos. Asimismo, esos dos términos deben ser cuadrados perfectos. Realizamos el doble producto de las raíces obtenidas y comparamos con el segundo término. La factorización de un TCP es un binomio al cuadrado, que se construye anotando las raíces cuadradas del primer y tercer término, y entre ellas el signo del segundo término. o EJEMPLO 1 𝟏 + 𝟒𝟎𝟎𝒙𝟏𝟎 = −𝟒𝟎𝒙𝟓 400𝑥 10 + 40𝑥 2 + 1 = 0 20𝑥 5 ; 1 (20𝑥 5 + 1)2 = 0 2 202 𝑥 5 + 2 ∗ 20𝑥 5 ∗ 1 + 12 = 0 400 𝑥 10 + 40𝑥 5 + 1 = 0 o EJEMPLO 2 𝟒𝟗𝒎𝟔 − 𝟕𝟎𝒂𝒎𝟑 𝒏𝟐 + 𝟐𝟓𝒂𝟐 𝒏𝟒 = 𝟎 (7𝑚3 − 5𝑎𝑛2 )2 = 0 o EJEMPLO 3 𝟗(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 ) + (𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝒚)(𝒙 + 𝒚) + 𝟒(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 ) = 𝟎 9𝑥 − 18𝑥𝑦 + 9𝑦 2 + 12𝑥 2 + 12𝑥𝑦 − 12𝑥𝑦 − 12𝑦 2 + 4𝑥 2 + 8𝑥𝑦 + 4𝑦 2 = 0 25𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥𝑦 = 0 25𝑥 2 − 10𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 0 (5𝑥 − 𝑦)2 = 0 2 3
