Unidad 5: Flexión y cortante Resistencia de Materiales Ingeniería Civil Análisis a fuerza cortante Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Análisis a fuerza cortante Análisis a fuerza cortante Para analizar los efectos que produce la fuerza cortante, tomamos una viga sometida a cargas transversales, y analizamos los esfuerzos que se producen en un diferencial de área de la sección. y (Eje de simetría) y (Eje de simetría) EN xy.dA EN z x xz.dA x.dA y x M V z z Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Análisis a fuerza cortante Establecemos las ecuaciones de equivalencia de fuerzas y momentos: Sistema II = Sistema I y (Eje de simetría) y (Eje de simetría) EN EN xy.dA Fx: z x xz.dA x.dA y x Fy: M V z Sistema I z Sistema II Fz: x.dA = 0 A xy.dA = - V A xz.dA = 0 A Mx: z.xy.dA = 0 y.xz.dA A My: A z.x.dA = 0 A Mz: -y.x.dA = M A Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Análisis a fuerza cortante Fx: Fy: Fz: x.dA = 0 A xy.dA = - V A xz.dA = 0 A Mx: A My: y (eje de simetría) z.xy.dA = 0 y.xz.dA - xy.dA A z z xy.dA xz.dA xz.dA z.x.dA = 0 A Mz: y -y.x.dA = M A z Eje neutro Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Análisis a fuerza cortante Ahora consideramos un elemento cúbico ubicado en el plano vertical de simetría (en donde xz es cero) y evaluamos los esfuerzos ejercidos sobre sus caras y (Eje de simetría) x x Aparece esfuerzo cortante longitudinal xy xy x z Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Análisis a fuerza cortante Se concluye que cuando una viga es sometida a cargas transversales, aparecerá un esfuerzo cortante longitudinal además del esfuerzo cortante transversal. y x xy x Aparece esfuerzo cortante longitudinal xy xy x Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Análisis a fuerza cortante Para entender la presencia del esfuerzo cortante longitudinal en una viga, se comparan las siguientes situaciones: a) Tablones sin estar adheridos b) Tablones adheridos entre sí Para la situación a), en donde los tablones no están adheridos, se observa que los tablones resbalan entre sí al aplicarse la carga P, y existe un desplazamiento longitudinal relativo entre tablones. En cambio, este desplazamiento longitudinal relativo no ocurre en la situación b), cuando los tablones son adheridos entre sí, porque la viga actuará como una unidad, y sus secciones permanecerán planas durante la deformación. Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Análisis a fuerza cortante Esto nos hace pensar, que en la situación b), existe un esfuerzo cortante longitudinal que previene el desplazamiento longitudinal relativo entre tablones. xy a) Tablones sin estar adheridos b) Tablones adheridos entre sí Universidad de Piura Cortante en la cara horizontal de una viga Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga Cortante en la cara horizontal de una viga (ΔH) Consideramos una viga prismática AB con un plano vertical de simetría que soporta cargas transversales. A una distancia x del extremo A, tomaremos un elemento CDD’C’ con longitud Δx que se extiende a través del ancho de la viga, desde la superficie superior de la viga hasta un plano horizontal localizado a una distancia “y1” del eje neutro. y P1 A P2 (eje de simetría) w B z Sección Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga w P1 P2 Δx w B A y1 Δx P2 C D C’ D’ EN x P1 a = Área de la sección del elemento CDD’C’ y y1 x z EN x Las fuerzas ejercidas sobre el elemento CDD’C’ son: w ✓ Fuerzas cortantes verticales VC y VD. A M V x ✓ Fuerza cortante horizontal ΔH ejercida sobre la cara inferior del elemento CDD’C’. ✓ Fuerzas normales horizontales C.dA y D.dA producidas por los momentos flectores que actúan en la viga. ✓ Carga w.Δx generada por la carga distribuida externa. Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga w a = Área de la sección del elemento CDD’C’ Δx y1 C D C’ D’ EN y y1 x EN z x Δx w D C C.dA VD VC D’ C’ y1 D.dA ΔH EN x Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga Δx w D C C.dA a = Área de la sección del elemento CDD’C’ VD VC D.dA D’ C’ y1 y y1 ΔH x EN EN z Planteando el equilibrio de fuerzas en x: Fx = 0: ΔH + (C - D).dA = 0 a ΔH = (D - C).dA a Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga Usando = M.y/I : ΔH = (D - C).dA a ΔH = (MD – MC) y.dA I a Además, Q = Primer momento respecto al eje neutro de la porción “a” de la sección transversal de la viga que se localiza por encima de la línea y1. dM dx (MD – MC) = ΔX (MD – MC) = V.Δx Al sustituir en la expresión de ΔH: ΔH = V.Δx.Q I ΔH = V.Q Δx I Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga P1 P2 Δx w B A a = Área de la sección del elemento CDD’C’ y1 Δx C D C’ D’ ΔH y1 x EN z t y EN x Δx ΔH = V.Q I Δx C’ ΔH D’ t Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga Si se hubiera analizado el elemento inferior de la sección (C’D’D’’C’’), en lugar del elemento CDD’C’, se obtendría el mismo resultado de ΔH pero en sentido contrario. a = Área de la sección y P1 P2 del elemento CDD’C’ Δx w ΔH B A y1 C’ Δx t D’ EN C’’ x y1 x z EN D’’ a’ = Área de la sección del elemento C’D’D’’C’’ Por consiguiente: y.dA = a y.dA a’ Qa = - Qa’ En conclusión, para obtener la magnitud de ΔH se puede tomar la porción de la sección que se encuentra por encima o por debajo del plano en donde actúa ΔH. Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga Cortante horizontal por unidad de longitud El cortante horizontal por unidad de longitud se denota con la letra q, que se obtiene al dividir el ΔH / Δx. El cortante horizontal por unidad de longitud se le conoce como flujo cortante. ΔH q= Δx q= como ΔH = V.Q Δx I V.Q Δx I ΔH q Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga q= V.Q I Donde: q = Flujo cortante. V = Fuerza cortante actuando en la sección. Q = Primer momento respecto al eje neutro, de la porción de la sección localizada por encima o por debajo del plano horizontal en donde se desea calcular el flujo cortante. I = Momento de inercia de la sección transversal calculada con respecto al eje neutro. Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga ¿Para qué sirve el flujo cortante? El flujo cortante sirve para determinar el espaciamiento longitudinal y la fuerza cortante en los elementos de sujeción (clavos, pernos, tornillos, etc). Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga Por ejemplo si se tienen dos piezas de madera clavadas de la forma mostrada en la figura, se puede determinar el cortante actuando en los clavos “ΔH” conociendo la separación “s” entre clavos. s s ΔH =? V Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga Para encontrar la fuerza cortante “ΔH” en el clavo, se realiza un corte con un plano horizontal que involucre las secciones transversales de los clavos. s s A y Plano horizontal de corte EN V Luego se calcula el primer momento, Q, con respecto al eje neutro, de la porción desprendida de la sección. Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga s s A y Plano horizontal de corte EN V Q = y.A El flujo cortante q, actuando en el plano horizontal de corte en la unión, es: q= V.Q I Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga Para determinar la fuerza cortante en cada clavo, se toma el espaciamiento longitudinal “s” entre clavos: s ΔH = q.s ΔH s Plano horizontal de corte V Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga Por otra parte, si el plano horizontal de corte, corta a varias uniones con el mismo valor de flujo cortante, el flujo cortante total debe ser dividido entre el número de uniones para el cálculo de cortante horizontal ΔH. Plano horizontal de corte A1 Q1 = y1.A1 EN + y1 qunión = V.Q1 I EN Plano horizontal de corte A2 V Q2 = y2.A2 + y2 EN q2 = qunión = V.Q2 I q2 2 Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga Ejercicio La viga compuesta de madera que se muestra en la figura se somete a una fuerza cortante vertical de 1200 lb. Si se sabe que la fuerza cortante permisible en cada clavo es de 75 lb, determine el máximo espaciamiento permisible “s” entre los clavos. Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga Desarrollo V = 1200 lb ΔHperm = 75 lb (en cada clavo) Smax = ? 2 in 2 in 2 in 2 in q= 3 in EN 3 in V.Q I ΔH = q.s 2 in V = 1200 lb Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga 2 in 2 in 2 in 2 in 3 in EN 3 in 2 in Cálculo de la inercia respecto al EN: V = 1200 lb I= 1 (2) (10)3 + 4 1 (2) (2)3 + (2x2) (4)2 12 12 I = 428 in4 Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga Haciendo un corte en una unión con clavos: 2 in 2 in 2 in 2 in Corte 2 in 2 in 3 in 3 in EN 3 in 3 in 2 in 2 in V = 1200 lb 2 in Q 2 in y EN V = 1200 lb Cálculo del primer momento de la porción desprendida del corte: Q = y.A Q = 4 (2x2) Q = 16 in3 Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Cortante en la cara horizontal de una viga Aplicando la formulación del flujo cortante: q= V.Q I (1200) (16) q= 428 q = 44.86 lb/in Flujo cortante en el plano horizontal de corte. Limitando la fuerza cortante en cada clavo con su cortante permisible: ΔH ≤ ΔHperm q.s ≤ ΔHperm 44.86 (s) ≤ 75 s ≤ 1.67 in smax = 1.67 in Rpta Universidad de Piura Esfuerzo cortante en vigas Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas Esfuerzo cortante en vigas Del elemento C’D’D’’C’’ se puede determinar el esfuerzo cortante en viga. P1 y P2 Δx w ΔH B A y C’ Δx x t D’ EN C’’ y x z EN D’’ Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas ΔA ΔH C’ Q Calculando el esfuerzo cortante promedio prom en la cara sombreada: D’ P t D’’ V Δx prom = prom = ΔH ΔA donde: ΔA = t.Δx V.Q.Δx I (t.Δx) prom = V.Q I.t Ecuación del esfuerzo cortante siendo: t = Ancho de la sección en el corte prom = VAQUITA Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas El prom calculado es en realidad el yx; y como xy es igual a yx se tendría lo siguiente: prom Q xy = yx = prom V.Q = I.t yx prom D’ P V xy Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas Por otra parte, la distribución real del esfuerzo cortante no es uniforme, tal como se aprecia en la figura. max prom Q yx prom max D’ max P max El máximo valor del esfuerzo cortante max de la distribución dependerá de la relación ancho y peralte de la sección transversal. V xy Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas Para una viga de sección rectangular, la relación max/prom sería: max y h/2 h/2 b/h 0.25 0.50 1.00 2.00 max/prom 1.008 1.033 1.126 1.396 V b Para proporciones normales de vigas b/h ≤ 0.5, la fórmula del prom sería aceptable para calcular el esfuerzo cortante en cualquier fibra ubicada a una distancia “y” al eje neutro. Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas Es preciso indicar que en la superficie libre de la sección, el yx es igual a cero. Por consiguiente, en los bordes superior e inferior de la sección, el xy sería también igual a cero. yx = 0 xy = 0 V xy = 0 yx = 0 Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas Distribución de esfuerzos cortantes en secciones comunes de vigas a) Viga de sección rectangular delgada Para determinar la distribución del esfuerzo cortante en una viga de sección rectangular delgada, se puede emplear la expresión: h V.Q xy = prom = I.t V b Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas Tomamos una fibra de la sección, ubicada a una distancia “y” del eje neutro, y calculamos su esfuerzo cortante xy. y Fibra h/2 = c Fibra EN y xy EN h/2 = c h/2 = c h/2 = c V V b b A + xy = prom V.Q = I.t Donde: y y Fibra EN h/2 = c h/2 = c t = Ancho de la viga V b Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas A + y y Fibra EN h/2 = c V.Q xy = prom = I.t h/2 = c V xy = b xy = V.(A.y) 1 b.h3 b 12 V. b.(c-y) . (c-y) + y 2 1 b.(2c)3 12 b Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas xy = xy = xy = xy = V. b.(c-y) . (c-y) + y 2 1 b.(2c)3 b 12 V. b.(c-y) . (c+y) 2 1 b.(8c3) 12 b V. b. (c2-y2) 2 2 3 3 4 b.c3 b V.(c2-y2) b.c3 Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas xy = 3 4 V.(c2-y2) xy = 3 2 y2 V 1- 2 c A Pero b.c3 A = b.(2c) Distribución parabólica de esfuerzo cortante y c EN y xy c Sección max Elevación Para y = c xy = 0 Para y = 0 xy = max = 3 2 V A Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas y2 V 1- 2 c A 3 2 xy = y c EN y V A xy c Sección 3 2 max = Elevación max es 50% mayor al valor V/A que se hubiera obtenido suponiendo erróneamente una distribución uniforme de esfuerzo cortante en toda la sección. Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas b) Perfiles estandarizados Para las vigas con perfiles estandarizados, también se puede emplear la fórmula del prom para calcular los esfuerzos cortantes en la sección. V.Q xy = prom = I.t y max xy V Análisis en las alas V Análisis en el alma Distribución del xy Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas Ejercicio 200 mm 20 mm 15 mm 50 mm Una viga de ala ancha tiene las dimensiones mostradas en la figura. Si está sometida a un cortante V = 100 kN, se pide: EN 50 mm 20 mm a) Trazar el diagrama de esfuerzo cortante actuando en la sección. b) Determinar la fuerza cortante que soporta el alma V = 100 kN IEN = 3.032x10-5 m4 Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas Desarrollo IEN = 3.032x10-5 m4 Distribución Valma = ? 200 mm 20 mm 15 mm EN A A’ 50 mm B 50 mm 20 mm Distribución del Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas V.Q xy = prom = I.t Cálculo del A Fibra QA = (0.2x0.02).(0.05+0.02/2) A = (100x103).(2.4x10-4) (3.032x10-5).(0.2) QA = 2.4x10-4 m3 A = 3.96 MPa Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas 3.96 MPa Cálculo del A’ Fibra QA’ = QA = 2.4x10-4 m3 3 -4) A’ = (100x10 ).(2.4x10 -5 (3.032x10 ).(0.015) A’ = 52.77 MPa Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas 3.96 MPa 52.77 MPa Cálculo del B QB = QA + (0.05x0.015).(0.05/2) QB = 2.4x10-4 + (0.05x0.015).(0.05/2) QB = 2.59x10-4 m3 Fibra 3 -4) B = max = (100x10 ).(2.59x10 -5 (3.032x10 ).(0.015) B = max = 56.89 MPa Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas 3.96 MPa 52.77 MPa 56.89 MPa 52.77 MPa 3.96 MPa Distribución del Rpta a) Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas Cálculo de la fuerza cortante en el alma Tomamos una fibra en el ala superior, a una distancia “y” del eje neutro, y calculamos su esfuerzo cortante. Posteriormente, determinamos la fuerza que soporta cada ala, para obtener la fuerza que soporta el alma. Vala Vala + Valma + Vala = V Valma Valma = 100 – 2 Vala Vala Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas dy Fibra y Q = (0.2).(0.07 – y) (0.07 – y) +y 2 Vala = .dA 0.07 (0.07 + y) Q = (0.2).(0.07 – y) 2 .(0.2 dy) Vala = 0.05 0.07 Q = 0.1 (0.072 – y2) Vala = V. 0.1(0.072 – y2) 0.05 (0.2 dy) I (0.2) Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Esfuerzo cortante en vigas 0.07 Vala = V. 0.1(0.072 – y2) (0.2 dy) I (0.2) 0.05 0.07 Vala = Vala = v I v I 0.1(0.072 – y2) dy 0.05 (0.1) 0.072 y - y3 3 Siendo : V = 100 kN y 0.07 0.05 I = 3.032x10-5 m4 Vala = 8.36 kN Valma = 100 – 2 Vala Valma = 83.29 kN Rpta b) Universidad de Piura Flujo cortante en elementos de pared delgada Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada Flujo cortante en elementos de pared delgada Hasta el momento sabemos como determinar xy. Sin embargo en un elemento de pared delgada, el esfuerzo cortante se calcula en la dirección de la línea media de la sección. xy xz xy xy xy xz Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada Para calcular el xz consideramos un segmento de un elemento de pared delgada con longitud Δx, y sometida a una fuerza cortante V en su sección transversal. De este segmento se tomará el elemento ABB’A’, y se calculará el esfuerzo cortante en su cara cortada. y A A’ A B B’ B t A’ ΔH Δx B’ t prom = prom = ΔH ΔA V.Q.Δx I (t.Δx) prom = V.Q x I.t z V Δx Donde: t = Espesor de pared delgada Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada A B A’ t B’ ΔH En este caso, el prom corresponde al zx. V.Q Δx xz =zx = prom = I.t A B A’ zx Δx B’ xz t Recordar que el xy se obtiene también con la fórmula del prom. Fibra En conclusión, se puede aplicar la fórmula del prom para determinar el esfuerzo cortante en cualquier fibra perpendicular a la línea media de la sección transversal del elemento de pared delgada. Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada A B A’ zx B’ t xz Fibra Δx Para calcular el flujo cortante q en la sección transversal, se multiplica el esfuerzo cortante por el espesor t de pared delgada. A B A’ q Δx B’ t xz = zx = q Fibra xz = zx = V.Q I.t q t q = xz.t = zx.t Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada Por otra parte, se puede obtener directamente el flujo cortante con la fórmula: q= V.Q I Pero como “V” e “I” son constantes para una sección de análisis, se aprecia que “q” es directamente proporcional a “Q”. Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada q= q=0 q1 V.Q I q1 Q q=0 2q1 Fibra Q Fibra qmax EN 2q1 q=0 q1 q1 V q=0 Análisis en las alas Análisis en el alma Flujo cortante Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada q= V.Q I q1 q=0 q1 q1 2q1 q=0 2q1 qmax qmax EN 2q1 q=0 q1 q1 V Flujo cortante q=0 2q1 q1 Distribución del flujo cortante Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada 1 = q1/t q1 21 =2q1/t 2q1 max =qmax/t qmax 2q1 q1 Distribución del flujo cortante 21 =2q1/t 1 = q1/t Distribución del esfuerzo cortante Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada Cálculo del flujo cortante en las alas: q= V.Q I b/2 z t V. Q d/2 b -z t.d 2 2 qala = I Fibra EN t d/2 V qala = V. t.d 2I b -z 2 Variación lineal con z b Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada V. t.d qala = 2I b -z 2 Cuando z = b/2, qala = 0 Cuando z = 0, qala = q1 = 1 = V.t.d.b 4I V.d.b 4I EN Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada Cálculo del flujo cortante en el alma: q= V.Q I t Q d/2 qalma V = I d -y b.t. d + t 2 2 V = I b.t.d + 2 Fibra y d -y 2 2 +y EN t d/2 qalma d -y t 2 V b qalma V.t = 2I b.d + d +y 2 2 d2 - y2 4 Variación parabólica con y Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada qalma V.t = 2I b.d + Cuando y = d/2, Cuando y = 0, d2 - y2 4 qalma = V.t.b.d 2I qalma = qmax = 2q1 V.t = 2I d2 b.d + 4 Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada EN EN Distribución de flujo cortante EN Distribución de esfuerzo cortante Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada Cálculo de la inercia de la sección t 0 I=2 d/2 1 12 b.t3 + (d/2)2.(b.t) + 1 12 t.d3 EN t d/2 V I = 2 (d/2)2.(b.t) + 1 12 t.d3 t.d2 (6b + d) I= 12 b Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada ¿Si se desea calcular la fuerza que actúa en el alma? d/2 qalma.dy Valma = 2 0 d/2 dy qalma Valma = 2 0 V Valma V.t =2 2I V.t 2I b.d + d2 - y2 .dy 4 d2 y y3 b.d.y + 4 3 d/2 0 V.t.d2 (6b + d) Valma = 12 I Valma = V Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada Distribución del flujo cortante en otras secciones q1 V O s q1 EN q=0 qmax EN EN q1 O = Centro cortante q1 Diagrama de flujo cortante Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Flujo cortante en elementos de pared delgada q=0 V q1 q=0 q1 q1 EN q1 qmax qmax EN q1 q=0 q1 q=0 q1 q1 Diagrama de flujo cortante Universidad de Piura Centro cortante Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Centro cortante Centro cortante Hasta ahora, se ha visto que si se tiene un elemento con un plano vertical de simetría, y con cargas aplicadas en ese plano, el elemento se flexionará en dicho plano. V Plano de corte M P Sección Eje simetría V.Q = I.t = -M.y I Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Centro cortante Si las cargas están aplicadas en un plano que no es el plano de simetría, se produciría torsión en la sección. Plano de corte V M P Sección V.Q = I.t = -M.y I Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Centro cortante Se genera flexión. Carga P aplicada en el plano de simetría Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Centro cortante Se genera torsión, además de la flexión. Carga P aplicada en un plano que no es el plano de simetría Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Centro cortante Para entender por qué se tuerce la sección, verificamos el equilibrio de momento torsor en la sección B s F A B q EN c h V =P q.ds F= ds d A EN C c q.ds V= B C Mc: F D F.h +V.d 0 No hay equilibrio de momento torsor. Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Centro cortante ¿Es posible aplicar la carga vertical P en un plano que no es el plano de simetría, de tal manera que el elemento se flexione sin torsión? Sí es posible, siempre que la carga P esté aplicada en el centro cortante de la sección. P O EN V.Q = I.t = -M.y I O = Centro cortante Universidad de Piura Elaborado por: Danny Yong Centro cortante La ubicación del centro cortante se determina haciendo equilibrio de momento torsor en la sección F P O EN V =P h EN c O e F O = Centro cortante Mo = 0: -V.e + F.h = 0 e= F.h V Universidad de Piura