Transferencia Calor y Masa Convección 2022 Documento: en revisión Objetivo OBJETIVO: Se busca producir transferencia de energía, enfriando o calentando superficies o fluidos mediante transferencia de calor y transporte de masa , esa puede ser natural o forzada Convección ΔT ϱ (T ) (ΔT , Δ P) Debido a factores no térmicos Convección Natural La convección natural es el mecanismo que se produce en los fluidos cuando el calor es transportado desde zonas de mayor temperatura a otras con temperatura menor debido a los cambios en la densidad del fluido . m ϱ (T ) ϱ (T ) = V (T ) La transferencia de energía comienza cuando una porción de materia se calienta y al dilatarse asciende desde los puntos más calientes a los más fríos. El proceso contrario tiene lugar cuando al enfriarse un material aumenta su densidad y desciende por efecto de la gravedad. VALORES TÍPICOS DE “h” ρ cp ( ∂T ∂T ∂T 3 + u i ) = ∂ (k )+Θ+ q̇ (w /m ) ∂t ∂ xi ∂ xi ∂ xi Q̇=h.A(T p−T ∞) (w) A : Área que moja el fluido h : coeficiente pelicular TP : Temperatura pared T00 : Temperatura fluido No perturbada Marco teórico 1. Ecuaciones básicas: de continuidad de cantidad de movimiento de energía 2. Grupos adimensionales 3. Ecuaciones para la capa límite Marco teórico Los problemas de transferencia de calor de interés práctico son complejos de resolver y por ende encontrar una solución exacta al sistema de ecuaciones que representa el fenómeno, muchas veces prácticamente es inviable. El fenómeno deberá ser representado mediante las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía y las de los gases . De no encontrase una solución analítica al problema se utilizaran dos estrategias 1. Atacar el problema en forma semi-experimental utilizando correlaciones que representan el coeficiente h como funciones, de grupos adimensionales, estos valores serán particulares para una dada geometría y una determinada configuración fluidodinamica (Re) y de transferencia de calor (Pr). 2. Técnicas de simulación numérica en ambiente computacional (CFD) Clasificación de los flujos a) De acuerdo al comportamiento respecto al tiempo a.1) Estacionario (las características del flujo en cualquier punto de la corriente no dependen del tiempo). a.2) No estacionario (existe dependencia con el tiempo ) b) De acuerdo al mecanismo que genera el movimiento b.1) Natural: movimiento asociado a la diferencia de temperaturas (densidades) b.2) Forzado: bomba o ventilador que impulsa el fluido c) De acuerdo a la ubicación del fluido c.1) Interno o confinado c.2) Externo e) De acuerdo a las coordenadas a considerar para analizar el campo fluidodinamico d.1) unidimensional - bidimensional -tridimensional Clasificación de los flujos e) De acuerdo a la condición de compresibilidad del fluido e.1) Incompresible (líquidos o gases con pequeños cambios en la presión) e.2) Compresible (gases con cambios en la presión de moderados a importantes) f) De acuerdo al régimen de flujo f.1) Laminar: líneas de corriente completamente definidas, efectos viscosos significativos, movimiento altamente ordenado. f.2) Turbulento: movimiento completamente desordenado, caracterizado por la presencia de remolinos. Ejemplo: humo de un cigarrillo, laminar en el primer tramo luego turbulento. Clasificación según configuración del flujo Clasificación según configuración del flujo Fluido-dinámica Marco Teórico 1. Ecuaciones básicas (2D): ∂(ρ) ∂(ρ ui ) + =0 ∂t ∂ xi ∂(ρ) ∂ u ∂ v ∂ρ ∂ρ +ρ +ρ +u +v =0 ∂t ∂ x ∂ y ∂x ∂ y de continuidad ∂u ∂u ∂u ∂p ∂2 u ∂2 u ∂ ( 2 μ ∇ (⃗ ρ +u +v =F x − +μ + + V )) (2) 2 2 ∂t ∂x ∂y ∂x ∂ x 3 ∂x ∂y ( ( ( ) ) ) de cantidad de movimiento ∂v ∂v ∂v ∂p ∂2 v ∂2 v ∂ ( 2 μ ∇ (⃗ ρ +u +v =F y − +μ + + V )) (2') 2 2 ∂t ∂ x ∂ y ∂y ∂y 3 ∂x ∂ y ( ) 2 2 ∂ T ∂ T ∂T ∂ T ∂ T ρ Cp +u +v =k + + μΦ (3) 2 2 ∂t ∂x ∂y ∂x ∂ y ) [ ] ∂u ∂v ∂ ( u) ∂ ( v ) Φ= 2 ( ) +2 ( ) +( [ ∂ x ∂ y ∂ y + ∂x ) ] ( 2 2 2 de energía Adiemensionalizacion Adimensionalizando la ecuaciones las ecuaciones básicas (1), (2), (3) (movimiento, energía y continuidad ) aparecen lo siguientes números adimensionales (4), (5),(6) que sirven para caracterizar el acoplamiento térmico y fluidodinamico (4) (5) del fluido (6) Pequeños valores del número de Prandtl , Pr << 1 , significa que domina la difusividad térmica. Mientras que con valores grandes, Pr >> 1 , la difusividad de momento domina el comportamiento. Pr= αν Coeficiente de expansión térmica En los análisis de transferencia de calor la variable principal es la temperatura y resulta conveniente expresar la fuerza neta de empuje en termino de la diferencia de temperatura, por tal motivo se requiere de una propiedad que represente la variación de la densidad de un fluido/gas con la temperatura a presión constante, este termino es el coeficiente de expansión volumétrico β Matemáticamente definido como: 1 ∂V ol 1 ∂P 1 β= ( ) =( ϱ )( ) ≈ para gases V ol− 0 ∂T p ∂T p T 1 Δ ρ 1 ρ0 −ρ β= ρ =( ) Δ T ρ T −T 0 Variación relativa del volumen con la temperatura Tratamiento de la densidad La densidad no es constate sino ρ(T ,P) Tenemos que encontrar una función que contemple la variación de la densidad con la temperatura, la estrategia es linealizar la densidad en función T alrededor de un valor de referencia ρ∞ , para ello aplicamos la serie de Tylor hasta el primer termino. ρ(T ) = ρ∞ + recordando que 1 ∂ρ β (T) = ρ ( ) (2) ∂ T P=cte ∂ρ (T−T ∞ ) (1) ∂T β (T)ρ = ( ∂ρ ) (3) ∂ T P=cte reemplazando (3) en (1) llegamos a, ρ(T ) = ρ∞+β∗ρ∞(T−T ∞ ) (4) ρ(T)= ρ∞(1+β∗(T−T ∞)) (5) * Hipótesis de Boussinesq ( 1842-1929) Propuso simplificaciones basadas en el empirismo o sea pruebas de laboratorio. Llego a la conclusión que se podría seguir aplicando la teoría de flujo incompresible a pesar de que la densidad variara, el impacto de esta variación de densidad con la temperatura se podía considera como una fuerza de masa adicional (fuerza de flotación) por lo tanto en lo que respecta a las fuerzas de inercia se podría seguir considerando la hipótesis flujo incompresible dado que las velocidades involucradas son de valores bajo ρ = ρ (T ,P)≠cte ∇(V⃗ )≈ 0 Fuerza de flotación de origen térmico Tratamiento de la densidad Ecuación de Navier Stoke Hipótesis por Boussinesq ρ∞ ∇ ( V⃗ ) = 0 ( ∂ui ∂t +u j ∂ui ∂ xj ) = ρ(T ,P)g− ∂u2i () ∂p +μ 2 ∂ x i ∂x j (6) Ecuación de la energía Despreciando el termino de disipación viscosa ф=0, porque en la convención natural se da velocidades bajas Hipótesis de convención natural Φ = 0 ∂T ∂T ∂T +ui =α (7) ∂t ∂ xi ∂ x 2i ( ) Ecuación de continuidad Hipótesis por Boussinesq ∂u i ∂ xi =0 (8) Como se dijo el efecto de la variación de la densidad con la temperatura incide en las fuerzas gravitatorias introduciendo una fuerza adicional de flotación de origen térmico, y se considerara el fenómeno incompresible por lo tanto la densidad no varia con la presión, luego la densidad es constante en el termino izquierdo de la ecuación de Navier Stoke. Ecuaciones representativas ∂ ui ∂ ui ∂ u2i ∂p ρ∞ +u j = ρ∞ + β∗ρ∞ (T −T ∞ )g i− +μ ∂t ∂ xj ∂ xi ∂ x 2j (9) Introduciendo (4) en (6) queda , ( ( ) ) como estamos en convención natural podes simplificar en la ecuación (9) la variación de presión . ∂p ≃0 ∂ xi ρ∞ ρ∞ ( ∂ ui ∂t ( ∂ ui ∂t +u j +u j ∂ ui ∂ xj ∂ ui ∂ xj ) =(ρ∞ + β∗ρ∞ (T −T ∞ ))g i +μ ) =ρ∞ gi + ( T −T ∞ ) ρ βgi +μ ∂ u2i ( ) ∂ x 2j ∂ u2i ( ) ∂ x 2j (10) (10) Despreciando la fuerzas gravitacionales para la demostración (caso particular), ρ g i≈0 2 ∂ ui ∂ u2i U ∂u i U ρ∞ +u =( T −T ∞ ) ρ∞ βg i +μ 2 (11) L ∂t j ∂xj L ∂ x 2j ( ) ( ) Adimensionalizando,y reemplazando en (11) ů = u → ∂ u=U ∂ ů U x x̊ = → ∂ x=L ∂ x̊ L t̊ = tU L → ∂ t= ∂ t̊ L U P̊ = PL μU θ= T −T ∞ → T −T ∞= θ (T −T ∞ ) T h−T ∞ Ecuaciones representativas ˚2 ∂ ů i U 2 L2 ∂ ůi L2 U L2 ∂ ui ρ + ů = T −T 0 ) ρβgi +μ 2 (12) L Uμ ∂ t̊ j ∂ x˚ j ( Uμ L Uμ ∂ x˚2 j ( ( ) ) 2 L Uμ Multiplico ambos lados por Y por simplicidad ů = u x̊ = x 2 2 2 2 2 ∂ ui U L ∂ ui L U L ∂ ui ρ +u j =( T −T 0 ) ρβg i +μ 2 (13) L Uμ ∂ t ∂ xj Uμ L Uμ ∂ x 2j ( Recordando, Re = ( ) ) ULρ μ t̊ = t ojo sin dimensión Numero de Reynolds 2 2 L ∂u i Re +u j =( T −T 0 ) U ρβgi + 2 (14) ∂t ∂ xj Uμ ∂ x j ( ∂ ui ∂ ui ( ) ) 2 μ L ρ Multiplicando el termino térmico en (14) por L μ2 ρ 2 2 2 L L μ ρ ∂u i Re +u j =( T −T 0 ) U ρβgi + (15) ∂t ∂ xj Uμ L μ 2 ρ ∂ x 2j ( ∂ ui ∂ ui ) ecuación desnacionalizada Re ( ∂ ui ∂t +u j ∂ ui ∂ xj ( ) )( ) = ∂u 2i ∂ x 2j +θ Gr (16) Re Fuerza de flotación Ecuaciones representativas 2 ∂T ∂T ∂ T +ui =α 2 (7) ∂t ∂ xi ∂ xi Ecuación de la energía Φ = 0 θ= T −T ∞ T h−T ∞ Adimensionlizando la temperatura mediante Ɵ (7),de destaca que por simplicidad se obviaron en la escritura de las ecuaciones el símbolo '0', que deberían estar afectados todos los términos de la misma luego, U ( T h −T 0 ) ∂θ α ( T h −T 0 ) ∂2 θ ∂θ +ui = (17) 2 2 L ∂t ∂ xi L ∂ xi ( ( ) ) UL ∂ θ ∂θ ∂2 θ +u = (19) α ∂t i ∂ x i ∂ x 2i UL 2 ∂θ ∂θ ∂2 θ +ui = 2 (18) αL ∂ t ∂ x i ∂ xi ( )( ) dividiendo y multiplicando por la viscosidad dinámica UL ν ∂θ ∂θ ∂2 θ +u = 2 (20) α ν ∂ t i ∂ xi ∂ xi ( )( ) )( ) ( ν= μ ρ 1 ∂θ ∂θ ∂2 θ +u i = 2 (21) R e Pr ∂t ∂ xi ∂ xi ( )( ) ecuación adimensionalizada Adiemensionalizacion Gr F flotacion = θ Re θ= β T −T ∞ T p −T ∞ Q̇ = h(x i) A (T s−T ∞ ) Coeficiente de expansión térmica h = F (x , v , μ , ε , P ...) N U = F ( R e , Pr ) → h Flujo Externo - Numero de Nusselt θ= (T s−T ( δ T )) = 95 % T s−T ∞ Flujo externo Numero de Nusselt (adimensional) ∂T Q̇=(−kA ) =h A (T s −T ∞ ) ∂ y y=0 k ∂T h= ( ) T ∞ −T p ∂ y y=0 Multiplicando y dividiendo por (para sacar la dimensión a la relación) T s−T ∂( ) T s −T ∞ hl = =( ∂ θ ) k y ∂ y y =0 ∂( ) l Ts T∞ k l l y (T s−T ∞) Temperatura pared (interfase solido-liquido -gas) local hx x Nusselt=Nux = k promedio ¯ Nusselt= Nu= Temperatura no perturbada del fluido Conductividad térmica del fluido (condición de adherencia v=0) Longitud característica Ra=Gr∗Pr Numero de Rayleigh h̄ L k Capa limite térmica fluidodinamica 5 ReL <5.10 ReC =5.10 5 5.10 5 <R eT <10 7 Capa limites Coeficiente de transferencia pelicular h Determinación del coeficiente de trasferencia de calor por convección h: Mediante el Análisis dimensional + Experimentos- Teorema PI (Buckinghan). Se determinan correlaciones que caracterizaran la trasferencia de calor para diferentes geometrías, de superficies de interfase y diferentes configuraciones fluidodinámicas. Correccionales Teorema Pi Este teorema se basa en el principio de homogeneidad dimensional: toda ley física que se exprese analíticamente debe cumplir que sea dimensionalmente homogénea. Se expresara la el comportamiento físico de un fenómeno mediante monomios debidamente interrelacionados con sus variables independientes representadas por sus números adimensionales. Cuando hablamos de magnitudes fundamentales, nos referimos a aquellas que generan a todas las demás, es decir magnitudes de masa (M), tiempo (T), longitud (L) y temperatura. Placa plana VL Re L ≡ ν ν Pr ≡ α h̄= q A s (T s−T ∞ ) h̄ L N̄ u = = f 5 ( Re L , Pr ) Análisis adimensional kf N¯u L n = C Pr ReL m n N¯uL =C. R eL Pr h̄= log ( N̄ u L n ) = log (C Pr ) R eL q A S (t S −T ∞ ) C, n,m Como las propiedades varían con la temperatura Tf = T s + T∞ 2 α ν y =x 0+ m Δ ( y i+1− y i) Δ(x i+1− x i) ln (C Pnr ) = b → C Pnr = e b Correccionales Teorema Pi Ejemplo: Encontrar una ecuación en término de los números adimensionales del coeficiente de convección natural h: Encontrar h f ( números dimensionales, cantidad y cuales son) Procedimiento I = N−R 2 = 6−4 h=F ( v,d,k,μ,c p ,ρ )⇒ N= 6 J → 1 =a3 +a 5 h = C V a 1 d a 2 k a 3 μ a 4 c Pa 5 ρ a 6 a4 kg a4 a4 J m a1 a2 J a3 = m m2 s K k 0g s a1 ma3 s a3 0 k a3 s m a6 J a5 k g 0 a5 k a5 k m 3a6 g Elijo a1 y a5 s → −1=−a 1 −a 3 −a 4 m → −2 =a1 +a2 −a 4 −3a 6 k → −1=−a3 −a5 a 2 =−1 +a1 a 3 =1−a5 a 4 =−a1 +a 5 a 6 =a1 k g → 0 =a 4 −a 5 +a6 reemplazando en a1 a2 a3 a4 a5 h = C V d k μ cP ρ a6 reagrupando a1 N u =C . Re Pr a5 Nu= hd Kf h Correlaciones Cilindros Incropera N̄ u = h̄ Lch K N̄ u =C. RmeL . P1/3 r ch Recomendado para Pr < 0.7 también se pude utilizar para secciones no circulares en función del Reynolds. Las propiedades son evaluadas a temperatura promedio (Tf film temperatura- promedio) T s+T ∞ Tf= 2 Pr= αν V .D ReD = ν μ ∞ 1/4 Nu¯ D =C R P .( μ ) s m eD n r 0.7⩽P r⩽500 1⩽R eD ⩽10 6 Rango de validez Correlaciones Cilindros Corrección por temperatura Las propiedades son evaluadas a temperatura del fluido sin perturbar (T00). Correlaciones Nu promedio q= Q̇ = h̄(T s−T ∞ ) Af Las propiedades so evaluadas a temperatura promedio ( Tf film temperatura) Correlaciones Nu promedio Correlaciones: Cilindro horizontal convección natural ¯ Nu=0.36+ 0.516 R1/4 aD (9/16 ) (4/9) [(1+0.559/P r ) ] Autores: Churchill y Chu RaD ≤10 9 Ra =Gr∗Pr Numero de Rayleigh T f= T s +T ∞ Para el calculo de los parámetros térmicos 2 Correlaciones placa isotérmica h̄/ N̄ u promedio Ts =cte T f= T s +T ∞ 2 Las propiedades de los números adimensionales evaluadas a la temperatura promedio T s=T ∞ + q s (x )=q conv =h(x )(T s−T ∞ ) k 1/ 2 1/ 3 h x = .0.332 R ex P r x L L 1/2 q s (x) hx 1 /2 L 1 0.332 k U ∞ 0.332 1/ 3 U ∞ 1/ 2 1 /3 h¯L = ∫ h x dx= ( ( ν ) x Pr dx)= k Pr ( ν ) ∫ L0 L 0 x L ∫ ( x11/ 2 )dx 0 ¯ L= Nu 0.664 1 / 3 1/ 2 h¯L = k P r R eL L k 0.8 1 /3 h x = 0.0296 R ex Pr x x x 0.8 b Recordando función promedio 1 f (c)= ∫ f ( x)dx (b−a) a Laminar Pr > 0.6 0.8 x 1 0.0296 k U ∞ 0.0296 1/ 3 U ∞ h¯L = ∫ h x dx= ( ( ν ) x 0.8 P 1/r 3 dx)= k Pr ( ν ) ∫ L0 L 0 x L ∫ ( x11/ 5 )dx 0 0.0296 1 /3 4 /5 h¯L = k Pr R eL L h¯x L 1/ 2 1/ 3 =0.664 R eL P r k 0.8= ¯ L= Nu 4 5 h¯x L 4/5 1/3 =0.036 R eL Pr k Turbulento Pr > 0.6 Correlaciones placa isotérmica T= cte zona de transición h̄/ N̄ u promedio xc L 1 1 h¯L = ∫ h x−laminar dx + ∫ h x−turbulento dx L0 Lx c xc L 1/ 2 0.8 k U dx U dx ∞ ∞ h¯L = [0.332( ν ) ∫( 1/ 2 ) + 0.0296( ν ) ∫ ( 1 /5 )] P1/3 r L 0 x x x c Solución 0.8 eL 1/3 5 N̄ u =(0.037R −A)P → 0.6≤Pr ≤60 5.10 5≤R eL ⩽108 A=(0.037 R 0.8xc −0.664 R 1/2 xc ) N̄ u k h̄ = L q=h̄ A placa (T (x)s−T ∞ ) Correlaciones placa flujo constante, q =cte q s = q conv = cte ¯ ) q conv = h̄ (T s−T ∞ T s≠cte q s = h x (T (x) s−T ∞ ) qs T (x)s =T ∞ + hx hx x 1/ 2 1/ 3 Nux = =0.453 R ex P r Nusselt medio flujo laminar k hx x 0.8 1/ 3 =0.0308 R ex P r Nusselt medio flujo turbulento k 0.6<P r⩾60 Pr ⩾0.6 Ej turbulento L Nux = L ¯ ∞ )= 1 ∫ (T −T ∞ )dx= qs ∫ x dx (T s−T L0 s L 0 kNux qs L ¯ (T s−T ∞ )= ¯L k Nu h¯x L 1/2 1/ 3 Nu¯ L = =0.664 R eL P r k Correlaciones baterías de tubos Correlaciones placas Correlaciones cilindros Análisis Temporal T 0=T (0) A s= area esfera (suferficie que moja el fluido) E˙out = Ėit La perdida de energía a través de la superficie es igual a la variación de la energía interna y suponiendo la temperatura interior de la esfera es homogénea en el tiempo, luego dT θ =T −T ∞ θi =T 0 −T ∞ definiendo −h A s (T s −T ∞ )=ρ V ol C dt t ρ V ol C θ d θ ∫ dt =− h A ∫θ ( θ )→ 0 s ρ V ol C d θ θ =− h A s dt t= i h As ) ol C θ = T −T ∞ =e(− ρ V θi T i−T ∞ ρ V ol C θ ln ( i ) θ h̄ A s Si se sabe el tiempo t en que se tarda en alcanzar la relación de temperatura θi θ h̄= ρ V ol C θi ln ( θ ) t As Ejemplo Perdida de calor en una tubería: La superficie externa de una tubería de vapor horizontal de 30 cm de diámetro exterior se encuentra expuesta al aire en un gran galpón de una fabrica, con lo cual se puede considera que el aire esta calmo, el aire tiene una temperatura de T00 = 300 K, asimismo se considera que la temperatura de la tubería de encuentra a Ts =500K promedio constante. Determine la perdida de calor por convección por unidad de cañeria Ejemplo Perdida de calor en una tubería: La superficie externa de una tubería de vapor horizontal de 30 cm de diámetro exterior se encuentra expuesta al aire en un gran galpón de una fabrica, con lo cual se puede considera que el aire esta calmo, el aire tiene una temperatura de T00 = 300 K, asimismo se considera que la temperatura de la tubería de encuentra a Ts =500K promedio constante. Determine la perdida de calor por convección por unidad de cañeria Solución Datos: Convención natural tubería horizontal Calcular : Q Lógica de calculo N̄ u correlación N̄ u =0.36+ h̄ 0.516 R 1/aD4 (9/ 16) (4 / 9) [(1+0.559/ Pr ) ] ¯ Nu= h̄ L → h̄ k RaD ≤10 9 Q̇= h̄ A (T s −T ∞ ) Evaluamos la propiedades del aire usando la temperatura de película, de tabla: Tf= K =0.0331(W /mK ) ν =25.5 10−6 (m2 /s ) ν Pr =0.69 Pr = α 0.0025 x 200∗9.81 x (0.3)3 β Δ T D3 8 RaD =Gr P r= Pr = =1.41.10 ν −6 (24.5 x 10 ) ² cumple β=0.0025 K 0.516 R 1/aD4 8 (1 / 4) 0.518 x(1.41 x10 ) N¯U =0.36+ =0.36+ =42.9 (9 / 16) (4 / 9) [(1+0.559/ Pr ) ] [1+(0.559 /0.69)(9 /16) ]4 /9 T s+T ∞ 500+ 300 = =400 K 2 2 Ejemplo 0.516 R 1/aD4 8 (1/ 4) 0.518 x(1.41 x10 ) N̄ u =0.36+ =0.36+ =42.9 (9/ 16) (4 / 9) (9 /16) 4 / 9 [(1+0.559/ Pr ) ] [1+(0.559 /0.69) ] ¯ Nu= h̄ l k 0.00331 2 ¯ → h̄= Nu =42.9 x ( )=4.73 (w / m K ) ¿ k D 0.3 Q̇= h̄ A (T s −T ∞ )=h̄ π D L (T s−T ∞ ) → Q̇ =4.73 x 3.1416 x 0.3 x (500−300)=892(W /m) L
