TRIGONOMETRÍA_SECTOR CIRCULAR

Llamamos desarrollo de una superficie lateral
al conjunto de puntos de la superficie imaginaria
que envuelve a un sólido y que es extendida sobre
un plano. En principio toda superficie lateral puede representarse sobre una superficie plana.
En el caso de un cono su desarrollo está formado por un sector circular cuyo radio es la
generatriz de la superficie cónica y cuyo arco es
la circunferencia de la base.
Obsérvese que tanto la superficie lateral como
la base del cono son figuras relacionadas por un
mismo concepto: el sector circular.
Sector Circular
1.2.1. Sector Circular
Es la región plana de un círculo definida por dos radios y el arco comprendido entre estos.
En el ejemplo de la figura, el sector circular AOB, está definido por los radios OA y OB , y por
 comprendido entre éstos. Obsérvese que, según la definición dada, estos dos radios
el arco AB
producen una partición en el círculo y cualquiera de las dos partes en que éste ha quedado
dividido puede ser considerado como sector circular. Asimismo los radios definen el ángulo
central AOB como en (a) o en (b), cuya medida puede variar desde «O» hasta 2 rad.
1.2.2. Longitud de Arco
1.2.2A. Definición.- Se llama longitud de arco a la medida lineal de la extensión subtendida
sobre una circunferencia por un ángulo central.
Sea  la medida del ángulo central expresada en radianes y trazada en una circunferencia de
radio r, entonces la longitud s del arco subtendido por éste viene dado por: s = r.
Und. 1 Introducción a la Trigonometría
33
Esta es la condición de no deslizamiento entre dos discos en contacto. En la práctica se recurre
a un par de discos dentados.
1.2.3B. Discos unidos por un eje común
En este caso los ángulos que giran cada uno de los
discos son iguales.
1 = 2
El movimiento giratorio del eje hace que los discos
soldados a él giren del mismo modo.
1.2.2B. Propiedades
1ra. Dos ángulos centrales diferentes ubicados en una misma circunferencia subtienden arcos
de longitudes proporcionales a las medidas (en radianes) de dichos ángulos.
1 s1

2 s2
2da. Para dos arcos subtendidos por un mismo ángulo central, en dos circunferencias
concéntricas, se verifica que las longitudes de arco, en cada circunferencia, son proporcionales a
los radios de los círculos correspondientes.
r1 s1

r2 s2
Observaciones:
a) Si  = 0, el arco del sector circular es un punto, luego: L  0  r

b) Si  = 2 el arco es toda la circunferencia, luego:
L  2r  r  2r  2
De estas observaciones se concluye que: 0   2
Ejemplo 1.- Calculemos la longitud del arco que subtiende un ángulo central cuya medida es de
0,5 rad si la circunferencia tiene por radio r = 6 m.
Si L = · r, entonces: L = (0,5)(6 m)  L = 3 m
Obsérvese que al sustituir  por su medida, ésta se ha anotado sin unidades.
Ejemplo 2.- Determinemos la medida del ángulo central, en una circunferencia de radio «r»:
a) Para un cuadrante de longitud:
L =  · r   · r = · r  =  rad
2
2
2
b) Para media circunferencia de longitud:
L = · r
· r = · r  =rad

c) Para una circunferencia de longitud:
L = 2· r  2· r = · r  =2rad
1.2.3. Aplicaciones de la Longitud de Arco
1.2.3A. Dos engranajes en contacto
1.2.3C. Correa de transmisión
En este caso las longitudes de arco que barren las poleas son iguales.
L1 = L2
Esta es la condición de no deslizamiento entre la correa
y las poleas. La correa debe estar lo suficientemente tensa.
1.2.3D. Rodadura
«El número de vueltas nv que da una rueda sobre un
piso se calcula dividiendo la distancia recorrida d por el
centro entre su perímetro (2r)».
nv  d
2 r
Ejemplo 1.- Dos poleas de 15 cm y 6 cm de radio, respectivamente, están en contacto por sus
bordes. ¿Cuántas vueltas ha dado la pequeña cuando la grande ha efectuado 60?
Para conocer la relación entre las vueltas () y los radios (R) de las poleas aplicamos la propiedad
de los arcos iguales:
L1 = L2
34
Trigonometría
R1· 1 = R2· 2
 15cm· 60 v = 6 cm· 2

2 = 150 v
Ejemplo 2.- Un cilindro recto rueda hasta completar una vuelta. ¿Qué distancia recorrió su centro,
con relación al piso, si su radio mide 1 m?
Haciendo un esquema, y despejando «d» de la relación dada para el número de vueltas en una
rodadura, tendremos:
nv = d/2r
Para los bordes de cada engranaje se cumple que las longitudes de arco que cada uno recorre son iguales.
L1 = L2

d = 2r· nv
d = 2(1 m) (1)

d = 2 m
Und. 1 Introducción a la Trigonometría
35
1.2.4. Área del Sector Circular
El área de un sector circular está determinado por la medida del radio del círculo al que
pertenece y del ángulo central que lo subtiende.
2
Para establecer la relación entre el área «S» del sector circular y el ángulo central  utilizaremos el siguiente cuadro de valores, extraído de un
experimento real. Se muestra la medida del área de un sector de radio r = 2
m, para distintas medidas del ángulo central. Si se observa con atención se
logra descubrir la siguiente proporción:
S  2  4  6  8 4
 0,5 1,0 1,5 2,0
S (m )
01.- Identifica los sectores circulares AOB de la siguiente
lista de figuras y dibújalos en el casillero vacío:
c.
...... .....
04.- En el siguiente sector circular, calcular «r»
Se puede reconocer que entre el ángulo central y el área del sector circular existe una correspondencia directa, es decir:
S = constante

S dp 

(dp significa directamente proporcional)
Esto permite establecer que a mayor ángulo  mayor es el valor de S. Recordando la fórmula del
área de un círculo, podemos aplicar la siguiente regla de tres simple:
área
S

r 2
05.- En el siguiente sector circular, calcular «x»
ángulo central
2

 S
 r
2
2

S  r
2
02.- En cada caso, calcula y anota el valor de «L».
2
Recordando que la longitud de arco está dada por: L = r, la expresión obtenida se puede
presentar de varias formas equivalentes:
SECTOR CIRCULAR
a.
........... .
06.- Visualiza los gráficos, analiza y determina la medida de «x» en cada caso:
b.
........... .
a.
x = .............
b.
x = .............
c.
x = .............
TRAPECIO CIRCULAR
03.- En los siguientes casos , calcular «»
a.
.... ....... .
b.
.... ....... .
Ejemplo.- Calculemos el área del sector circular de ángulo central 36º y radio 10 m.
Convertimos 36º a radianes, así:
36
Trigonometría
36º  rad   rad    
180º 5
5
Und. 1 Introducción a la Trigonometría
37
07.- Determina el número de vueltas que da la polea
«1» si la polea «2» da 12 vueltas. Además se sabe que:
R1 = 4R2 .
b.
d = .......... ; nV = ..........
Prob. 01
n1 = ..................
08.- Determina el número de vueltas que da la polea
«2» cuando la polea «1» gira 45°. Además se sabe
que: R1 = 200 cm; R2 = 10 cm.
n1 = ..................
c.
d = .......... ; nV = ..........
d.
En el gráfico: L1 + L2 = 16  m
3
Si además se sabe que:  +  = 120º; calcular la
longitud del radio.
d = .......... ; nV = ..........
De los datos del problema:
x + 9 = x2 + x
S
r
L
L=R
x + 9 = x (x + 1)

x2 = 9

x=3
Finalmente, la longitud del arco AB mide:
11.- Un sector circular de área S (en cm 2) es subtendido por un ángulo trigonométrico positivo  (en
radianes) de radio r (en cm) y que subtiende un arco
de longitud L (en cm). Se pide completar el cuadro:
09.- Indicar, vistos desde arriba, en qué sentido gira la
polea «2» en cada caso:
L=x+9=3+9
L = 12
Prob. 03
Expresamos la suma de ángulos en radianes:
 +  = 120º· 
180º

a.
En el sector circular se cumple:
 +  =
..................
2
3
. . . (1)
Aplicando la ecuación que define la longitud
de arco, se tiene:
12.- Determina la medida del área limitada por el trapecio circular, en cada caso:
L1  L2       R
La medida de un ángulo inscrito de una circunferencia es 90/ (x + 1)º y contiene un arco cuya
longitud es (2x + 1)m. Calcular «x» si el radio de
la circunferencia es 4/3 m.
Graficando el enunciado del problema:
. . . (2)
Reemplazando el dato y la ecuación (1) en (2),
se obtiene:
b.
..................
a.
 
R 2   16 
3
3
10.- En los siguientes casos se muestra un disco de
radio r = 2 cm, que rueda sin deslizar sobre una superficie áspera desde «A» hasta «B». Se pide determinar
la longitud «d» que recorre el centro del disco y el
número de vueltas «nV» que realiza el disco en toda la
trayectoria. Utiliza:  = 22/7
a.
d = .......... ; nV = ..........

R=8m
Prob. 02
b.
En la figura mostrada, calcula la longitud del arco
AB.
Convirtiendo a radianes el ángulo central del
sector circular sombreado, se cumplirá que:
L = · r
2x + 1 =
c.
180

4
(x + 1)° .
.

180 3
3(2x + 1) = 4(x + 1)  6x + 3 = 4x + 4
2x = 1
38
Trigonometría
Und. 1 Introducción a la Trigonometría
 x = 1/2
39
Si calculamos  en cada sector se tiene:
Prob. 04
Del gráfico mostrado calcular:
9
= x
12
 = x2
9
12
= x2
x
BOC:
a b
a b
AOD:
Igualando:
r
2r = · 2

 x=6
Prob. 06
Nos ayudamos de 
Reemplazando (2) en (1):
A partir del sector circular, calcular:
2
+ 
 11 cm = 7° ·
  = 4
11 cm =
El ángulo central se ha cuadruplicado

·x
180
7
22
·
·x
7
180
180(11 cm)
22
Prob. 08

x=
Calcular, a partir de la posición mostrada en la figura, la longitud que recorre el extremo A de la cuerda
AB hasta que envuelva todo el cuadrado BCDE.

x = 90 cm
Prob. 10
Calcular el perímetro del trapecio circular sombreado.
En cada sector se cumple:
3
a) 3 = · b  b =

4
b) 4 = · a  a =

4 3

ab

Finalmente:
= 4 

3
ab

 

Aplicando en el gráfico: L = · r, tendremos:
Graficando el recorrido, se tiene:
7
ab
= 1
ab

ab
=7
a b
Prob. 05
Donde:
Nos ayudamos de «» y calculamos las
longitudes de los arcos CD y BE.
L =  (a + a)  L = a
 a =  (a + a)  a = a ( + 2)
 2 +  = 1
Finalmente:
En el sector circular mostrado, calcular «x».
En la figura mostrada, observamos que:
Prob. 07
¿Cómo debe variar la medida del ángulo de un
sector circular cuando el radio disminuya a la
mitad y la longitud de arco se duplique?.
LTOTAL = L1 + L2 + L3 + L4




LTOTAL =   (8) +   (6) +   (4) +   (2)
2
2
2
2

Sector original
Nuevo sector
Nos ayudamos de  como se muestra en la figura.
L = · r
Trigonometría
. . . (1)
Se cumple:
r
2L = · 2 . . . (2)
Perímetro (2p):
2p = 2 + 3 + 3 + 5 = 7 + 6
. . . ()
En el sector circular AOF se cumple que:
Prob. 09
Un péndulo oscila, describiendo un ángulo de 7°
y un arco de 11cm. Calcular la longitud del péndulo (22/7)
Se cumple:
40
LTOTAL = 10 m
2
· 7 = 2   = 7
Reemplazando en ():
2
2p = 7· 7 + 6
Graficando el enunciado del problema, así:
L = · r
Und. 1 Introducción a la Trigonometría

2p = 2 + 6
41
Reemplazando (1) en (2), así:
Prob. 11
Dado el gráfico, determinar L1 + L2.
De la figura mostrada: L
3 ,1416 cm
2
=
x
9
= L1 + L2 + L3
A continuación calculamos cada longitud
indicada, así:
Con la ayuda de la gráfica podemos deducir:
L1 =
60
2
· 2R =
180
3
L2 =
30
5
· 5R =
R
180
6
L3 =
45
· 8 R = 2R
180
Luego:

Prob. 15

Del sistema mostrado, determinar cuántas vueltas gira la rueda «C» cuando la rueda «A» de
12 vueltas.

2
cm =
cm
x
9
9
cm
2

x=

x = 4,5 cm
Prob. 14
L
=
2
5
R+
+ 2R
3
6
L
=
7 R
2
Calcular la longitud de arco recorrido por «A», si
la longitud de arco recorrido por C es 12.
RA = 1; RB = 4; RC = 3
L1 = 2
y

Luego:
a) De acuerdo al sistema de engranajes, B y C
tiene un mismo eje, luego:
36
L2 = 180 (10)
(C) = (B)
L2 = 2
L1 + L2 = 4

a) De las poleas en contacto se verifica:
Calcular la longitud de la carretera curva AB.
. . . (1)
b) De las poleas unidas por el eje, se verifica:
42
Trigonometría
R(C)
=
L(B)
R(B)
. . . (1)
Prob. 16
Calcular el número de vueltas que da la rueda de
radio «r» al recorrer internamente el diámetro de la
semicircunferencia, si se sabe que: R = ( 17 + 1)r..
Reemplazando este dato y los valores de los
radios correspondientes en (1), así:
2
(3)· (3) =
(1)
3
2
Luego:
(3) =
9

L(C)
n(C) = 30 vueltas
L(C) = 12
 (3) · r (3) = (1)· r(1)
(x) = (3)
n(B) = 30 vueltas
Por dato del problema:
Lpolea (3) = Lpolea (1)
Prob. 12
12 (5) = n(B)· (2)
b) Finalmente el número de vueltas dada por C
es igual al que da B por tener el mismo eje.
Finalmente: L1 + L2 = 2 + 2

(A)· R(A) = (B)· R(B)
12 v· R(A) = n(B)· R(B)
La menor polea gira un ángulo de 2/3 rad. ¿Cuál
será el radio «x» de la polea que recorre una longitud de arco de 3,1416 cm?
y
L(A) = L(B)

Prob. 13
18
L1 = 180 . (20)
a) En relación a las poleas A y B, observamos
que por estar unidas mediante una faja:
L(x)
r(x) = (3)
. . . (2)
12  =
3
Luego:
L(B)
4
4  L(B) = 12· 3
L(B) = 16 
b) A continuación, como los engranajes (A) y (B)
poseen una correa de transmisión, se verifica:
L(A) = L(B)
 L(A) = 16
Und. 1 Introducción a la Trigonometría
Se puede apreciar que la rueda inicia y termina
su recorrido de manera tangente a la semicircunferencia. Así la distancia recorrida por su centro no coincide con la longitud del diámetro de
aquella. Luego, elaboramos la siguiente figura:
43
2e
e . e
2 R 2 r = 2  x

e
2e
= 2 x
2  Rr
Prob. 18
2
2
17 r  (R – r) = 17r
Calcular el número de vueltas que da una rueda de
radio 1 m al recorrer el perímetro de un triángulo,
si el perímetro de éste es de 44 m. (Usar:  22/7).
Aplicamos el teorema de Pitágoras en el
triángulo sombreado:
(R – r)2 = r2 + x2  17r2 = r2 + x2

Aplicando:
2
2
x = 16r

a) Cálculo de las vueltas n(1) que da la rueda al
recorrer los lados del triángulo:
x = 4r
2x
2 r
nv =
d
2 r

nv =
nv =
4r
r

nv = 4

n(1) =
perím  del 
 n(1) =
2 (1)
44
= 7
 22 
2 
 7 
12
n(1) = 12
Encontremos el n(T) a partir de:
x = 2 Rr

Del dato: R – r =
Otro Método
n(T) =
d
2 r
n(T) =
(a  b  c)
( a  b  c )  2 r
 n(T) =
+1
2 r
2 r
n(T) =
44
+1
2  22  1
7
 n(T) =
 lados   e
2 r
 n(1) = 1
b) Desde «B» hasta «C» .
 n(T) = 8
Prob. 19
En el gráfico, la rueda de radio 3 se desplaza del
punto «A» hasta «D».
n(2)
2
(30  3)
27
 n(2) = 3
= 9 =3
2  (3)
d
= 2
2 r
c) Desde «C» hasta «D».
b) Cálculo de las vueltas n(2) que da la rueda en
cada uno de los vértices del triángulo:
– –   – 
Prob. 17
Dos ruedas de radios diferentes ruedan recorriendo una misma distancia. Calcular el radio de
una tercera rueda, tal que al recorrer una distancia igual al doble de la recorrida por las anteriores, de un número de vueltas igual a la media
geométrica de los números de vueltas que dieron
las otras dos ruedas.
La suma de éstos giros nos da las vueltas
adicionales que buscamos:
n(2) = ( – ) + ( – ) + ( – )
n(2) = 3 – ( +  + ) = 3 – 
 n(2) = 1 vuelta
Calcular el número de vueltas que ha dado en
total desde «A» hasta «D», si:
n(3) =
4  ( 12  3 )
 n(3) = 3 2  ( 3 )
d3
2 r
OB = 9, BO1 = 30 y DO2 = 12
n(3) =
Calculando por partes, así:
En este tipo de problema es conveniente, utilizar
un cuadro para relacionar radios, distancias y
número de vueltas de cada rueda. Veamos:
Finalmente:
4(9)
=2
18
n(T) = n(1) + n(2) + n(3)
n(T) = 1 + 3 + 2
a) Desde «A» hasta «B».

n(T) = 6
Prob. 20
Calcular el área de la región sombreada:
Finalmente, el número total de vueltas que da la
rueda al recorrer el perímetro del triángulo, será:
n(T) = n(1) + n(2)
A continuación reemplazamos los valores de a
y b en la última relación, obteniendo:
44
Trigonometría
 n(T) = 8
Aplicando: n(1) =
d1
2 r
 ( 3  9)
 n(1) = 22  ( 3 )
Und. 1 Introducción a la Trigonometría
45
Si llamamos «» al ángulo central, podemos
establecer que:
L  · r    L
r
En los dos sectores circulares calculamos :
=
x
10
=
3
10
Pero:

2  R2  r 2
  2  S  9
9
2
Prob. 24
2
2
 S   (R  r )
9
2
2
2
2
2
R r 3  R r 9
A continuación, recordemos que:
. . . (III)
S1 =
2
. . . (2)
Y según condiciones del problema, igualando
ambas áreas, obtenemos:
S 9
9
 S= m
(   ) a 2
3 a
=
2
2
2
 –  = 3
S = 4,5 u2

(   ) a
2
En la figura mostrada, determinar el valor de «L»,
si el trapecio circular ABCD tiene 20 m2 de área.
Reemplazamos (III) en (II):
3(3)
9
S=
=
2
2
S = l· r 
2
S1 = S2
. . . (II)
Aplicando el teorema de Pitágoras en el
triángulo OBC, tendremos:
x=3


Prob. 22
Prob. 21
En la figura mostrada se tienen los sectores AOB y
COD. Si:  = 2/9 y CB = 3m, determinar el área
(en m2) de la región sombreada.

2
De la figura, observamos que: mCOD = 1 rad
4 = 
  = /4
Si las área S1 y S2 son iguales, evaluar «» en
radianes.
Prob. 23
En la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada.
Luego el área del trapecio circular (ST):
ST = S(COD) – S(BOA)
Nos ayudamos del gráfico:
a) Trabajando en el sector circular COD:
S2 = S(COD) – S(BOE)
Tenemos que:
S = S(COD) – S(AOB) . . . (1)
Luego, sabemos que: S =  r
2
2
Aplicamos en (1):
S=
46
R
2
2
–
r
2
2
Trigonometría
2

S=
2
 (R  r )
2

S2 =
 (2 a)
2

S2 =
3  a2
2
2
–
a
2
2
b) Trabajando en el sector circular AOE.
20 =
Trazamos la diagonal del cuadrado:

40 = x2 + 8x + 16 – x2
El área S se calcula así:

8x = 24
S=

x=3
Finalmente, la longitud de L será:
–
L=x+4=3+4
22
1 
S = 2 · 2 22 –
2
Otro método:
S=–2
Sabiendo que:
Entonces el área total será:
. . . (1)
( x  4 )( x  4 )
xx
–
2
2

2S = 2( – 2)
 2S = 2 – 4
Und. 1 Introducción a la Trigonometría
 L=7
 L  L2 
ST =  1
h
 2 
Sustituyendo datos:
xx4
20 = 
4
2


 2x + 4 = 10
47
2x = 6  x = 3

De donde:
Luego:
2
2r – 8r + 8 = 0
(r – 2)2 = 0
L=x+4  L=3+4=7
Prob. 25
2
 r – 4r + 4 = 0
 r=2m
Prob. 27
Calcular el área del trapecio circular sombreado.
Para calcular «M» necesitamos calcular cada
una de las áreas de los sectores circulares S1 y
S2 , para lo cual elaboramos el siguiente gráfico:
Luego, como las áreas del sector inicial y final
son iguales, tendremos:
   20
5 2
2
De donde:
De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada. O es el centro de circunferencia.
2

=   · r
 20  2

80 = r
20
2
r2 = 1600

r = 40
El radio del sector circular aumentó en 20 cm.
Prob. 30
Calcular el área del trapecio circular ABCD.
2
a) S1 =
De los datos del
problema deducimos
que el ángulo central
mide 1 rad:
Elaboramos la figura adjunta para determinar
el área «S» solicitada:
5θ(2 r )
 S1 = 5 θ· 4 r
2
2
b) S2 = 4 θ· r
2
21
 25
ST = 
3 =
2
 2 
M=
 S1 = 10r2
 S2 = 2 r2
2
Luego:
Usando la fórmula del área de un trapecio
circular tendremos:
2
10θ r  3(2 r )
2
10θ r  2 θ r
2
2
M=
16 θ r
2
8 θr
 M=2
 ST = 10,5 cm2
Prob. 29
Prob. 26
El área de un sector circular es de 4 m2, su perímetro es de 8 m, determinar el radio del círculo.
S = SS – S
9 3
 9
S= 3 · 2 – 4
2
Área del sector circular: S = 4 m
(3)2
32 3
 S = 60 ·
– 4
180
2
 3

 9 3  cm2
 S= 
4 
 2
Perímetro = 8 m
¿En cuántos centímetros deberá variar el radio de
un sector circular con ángulo central de 36° y
radio de 20 cm, para que al disminuir el ángulo a
su cuarta parte, el área se conserve?
Graficando el sector inicial y el sector final,
obtenemos:
Prob. 28
Del gráfico: Perímetro = 2 R + L
En el esquema mostrado, calcule el valor de:
S  3S2
M= 1
S1  S 2
De donde deducimos que:
L = 8 – 2r
2
2
. . . (1)
INICIAL = 36° =

rad 
5
Resulta importante determinar las medidas de
los arcos BC y AD que a su vez son las bases
del trapecio circular:
60º = 
3
LBC 


·
3
3
LAD

· 
3
El área del trapecio circular ABCD se calcula así:
ST 
Usando la relación:
S=
LR
=4
2
 r· L = 8
Reemplazando (1) en (2) obtenemos:
r(8 – 2r) = 8
48

Trigonometría
. . . (2)

FINAL = 36º
=
rad
4
20
8r – 2r2 = 8

Und. 1 Introducción a la Trigonometría
 LAD  LBC   BA
2
ST =
 
3
·2
2
ST =
4
3
49
A) 10 m
A) 
B) 15 m
B) /2
C) 20 m
C) /3
D) 25 m
D) /4
E) 30 m
01.- Dos ángulos en el centro de un círculo son suplementarios y las longitudes de los arcos que subtienden suman 12. Calcular la longitud del radio.
A) 10
B) 12
C) 14
D) 6
E) 24
02.- Del gráfico mostrado, calcular .
A) 1
B) 0,5
C) 1,5
D) 2,5
E) 2
03.- En la figura mostrada, calcular el diámetro de la
circunferencia.
07.- Si la longitud de la circunferencia es 24 , calcular la longitud del arco AB .
E) /6
C) 12 
12.- El tramo de una carretera está formado por
dos arcos de circunferencia, el primero tiene un
radio de 18 km y un ángulo central de 40º, el segundo tiene un radio de 36 km y un ángulo central
de 50º, calcular (en km) la longitud total de este
tramo. Considerar:  = 22/7.
D) 15 
A) 12
E) 24 
13.- En la figura mostrada, determinar la longitud de
la faja que rodea las tres poleas, en función de R.
C) 30°
A) 3R (2+ 3)
E) 40°
B) 2R (+ 3)
18.- Calcular la altura del punto «P» luego que la
rueda ha dado 2/3 de vuelta.
A) 6 
B) 9 
08.- En una circunferencia de radio (2x + 5) m, para
un ángulo central de 72° le corresponde un arco de
longitud (x + 1) m. Calcula el radio de dicha circunferencia.
A) 5 m
B) 9 m
C) 10 m
D) 15 m
E) 21 m
B) 14
C) 33
D) 22
E) 44
C) R ( + 3)
09.- A partir de la figura, calcular (x – y).
B) 40 m
A) a/2
C) 160 m
B) a/4
D) 90 m
C) a
14.- Evaluar el perímetro de la región sombreada en
el gráfico mostrado, si el lado del cuadrado ABCD
-1
mide (+ 3) unidades.
D) 3a/2
A) 1/2
E) 2a
A) 1
10.- Del gráfico, determinar: E = 3 + 2
(O: centro del sector circular AOB)
C) 1,5
D) 2,5
E) 1,8
05.- Se tiene un sector circular de 6 cm de radio y
12 cm de longitud de arco. Si el radio aumenta en
2 cm, calcular cuánto medirá (en cm) la nueva longitud del arco, si el ángulo central no varía.
A) 16
B) 14
C) 12
D) 10
E) 8
06.- Dado un sector circular, de ángulo central
rad; si triplicamos el radio y aumentamos el ángulo
central en /3 rad, se obtiene un nuevo sector cuya
longitud de arco es el cuádruple de la longitud del
sector inicial. Obtener (en rad) el ángulo inicial.
A) /2
50
B) /3
C) 2/3
Trigonometría
D) 
E) 4/3
B) 3
C) 2/3
E) 4/3
D) 9
E) 10
A)
11.- Un péndulo se mueve como indica la figura,
calcular la longitud del péndulo si su extremo recorre 9 m, para ir de A a C.
16.- En el siguiente tren de engranajes, el disco de
radio 2 gira 60°, ¿qué ángulo (en rad) gira el engranaje de radio 1?
2
45
E) 8
A) 270
D) 1/3
15.- Dos engranajes de radios 3 y 4 cm, están en
contacto en un punto. Si el mayor gira un ángulo de
24°, ¿qué ángulo (en rad) girará el menor?
C) 6
D) 7
19.- Se tiene dos poleas A y B unidas por una correa
de transmisión. Si los radios de las poleas miden 18 y
12 cm, ¿qué velocidad angular (en rev/min) tendrá la
menor, si la mayor se mueve a razón de 180 rpm?
B) 3/2
A) 1
D) 60°
C) 6
2
B) 2
B) 20°
B) 5
E) 3R (+ 2)
04.- El perímetro de un sector circular es el triple del
radio, calcular (en rad) la medida del ángulo central.
A) 10°
A) 4
D) 2R (3+ 1)
A) 80 m
E) 70 m
17.- En el gráfico mostrado se tiene un sistema de
engranajes y poleas. La polea «A» de radio 4 gira
un ángulo de 30º ¿qué ángulo gira la polea «C», si el
radio de la polea «B» es de longitud 6?
B)
4
45
C)
6
45
D)
8
45
E)
Und. 1 Introducción a la Trigonometría
2
9
B) 360
C) 280
D) 540
E) 450
20.- En el esquema mostrado se tiene que al hacer
girar la faja las ruedas A y C giran longitudes que
suman 28. Determinar cuántas vueltas dará la rueda mayor.
A) 1
B) 1,5
C) 2
D) 2,5
E) 3
51
21.- Los radios de las ruedas de una bicicleta son
entre sí como 2 es a 5. Calcular el número de vueltas
que da la rueda mayor cuando la rueda menor barre
un ángulo de 1840  rad.
27.- En la figura O y O1 son centros. Evaluar (en
2
cm ) el área del sector circular AOB, si R = 12 cm.
A) 360
B) 24 
B) 362
C) 364
D) 366
E) 368
22.- Dos ruedas de radio R y r (R > r) recorre la
misma distancia, dando diferente número de vueltas. Calcular el radio de una tercera rueda tal que al
recorrer el doble de la distancia anterior, de un número de vueltas igual a la suma de las vueltas que
dieron las otras ruedas.
A) R · r
Rr
B)
Rr
Rr
D)
Rr
2R  r
E)
Rr
2Rr
C)
Rr
A) 12 
C) 36 
D) 48 
E) 60 
28.- Calcular (en rad) la medida de «» en la figura,
si las áreas de los sectores son iguales:
A) /2
B) /3
C) /4
23.- Calcular el número de vueltas que da la rueda
de radio «r» al recorrer el circuito desde A hasta B.
D) /5
A) 2r/R
E) /9
B) r/2R
29.- Calcular la relación entre el área de la región
sombreada y la no sombreada.
C) R/2r
D) 2R/r
E) R/ 2 r
A)
5 /4
B)
5 /3
C)
5 /2
2
24.- El área de un sector circular es 48 m , su perímetro es 28 m. Calcular la medida de su ángulo central en radianes.
A) 2/3
B) 1
C) 4/3
D) 2
D) ( 5 + 1)/ 2
E) ( 5 – 1)/ 2
E) 8/3
25.- El área de un sector circular de 18 m de radio, es
equivalente a un cuadrado cuyo lado es igual a la
2
longitud del arco del sector. Calcular (en m ) el área del
sector.
A) 16
B) 25
C) 36
D) 49
E) 81
26.- Determine el área del sector AOB en la figura
mostrada:
01
B
02
A
03
C
04
A
05
A
06
D
07
C
08
D
09
A
10
D
11
C
12
E
13
B
14
D
15
D
16
B
17
C
18
C
19
A
20
C
21
E
22
C
23
E
24
E
25
E
26
B
27
D
28
D
29
D
2
A) 2 u
2
B) 4 u
2
C) 6 u
2
D) 8 u
2
E) 10 u
52
Trigonometría