Libro Diseno de Estructuras de Acero

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DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO
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Proyecto Editorial: Instituto Chileno del Acero
Autor:
Rodrigo Silva M. Ingeniero Civil, PhD.
Equipo Profesional:
Francisca de la Hoz, Ingeniero Civil
Camila Aravena, Ingeniero Civil
Shantal River, Ingeniero Civil
Revisión Técnica:
Luis Leiva A. Ingeniero Civil, M.Sc.
Pablo Matthews Z. Ingeniero Civil, PhD(c).
Miguel Medalla R. Ingeniero Civil, M.Eng., PhD.(c)
Ramón Montecinos C. Ingeniero Civil
Marlena Murillo S. Ingeniero Civil, M.Eng.
Carlos Peña L. Ingeniero Civil, M.Eng., PhD.(c).
Cristian Urzúa A. Ingeniero Civil, M.Sc.
Diseño y Diagramación: Tandem Estrategia
Nueva Tajamar 481, Torre Norte, oficina 803, Las Condes, Santiago
+56232626803 www.icha.cl
Queda rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de la Corporación Instituto Chileno del
Acero –ICHA-, bajo las sanciones establecidas por las leyes, la reproducción total o parcial de esta
obra, por cualquier medio o procedimiento incluidos la reprografía y el tratamiento informático, así
como la distribución de ejemplares de la misma mediante alquiler o préstamos públicos.
Derechos reservados ®Copyright 2021
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Índice
1
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
Introducción al diseño estructural en acero
Introducción
Tipos de aceros
Perfiles de acero
Elementos estructurales básicos de acero
Trayectorias de carga gravitacional y lateral
Aspectos generales del diseño y construcción en acero
11
12
12
14
18
19
20
2
2.1.
2.2.
2.3.
Aspectos fundamentales del método de factores de carga y resistencia
Método LRFD
Combinaciones de carga
Factores de resistencia
24
25
25
27
3
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
Miembros en tracción
Introducción
Resistencia de miembros en tensión
Área neta
Área neta efectiva
Bloque de corte
Miembros conectados por pasadores
Ejemplos de miembros en tracción
28
29
29
30
31
34
35
37
4
4.1.
4.2.
4.2.1.
4.2.2.
4.2.3.
4.2.4.
4.2.5.
4.2.6.
4.2.7.
4.3.
4.3.1.
4.3.2.
4.3.3.
4.3.4.
4.3.5.
4.3.6.
4.4.
Conexiones apernadas y soldadas
Introducción
Conexiones apernadas
Tipos de pernos
Tipos de juntas
Tipos de orificios
Espaciamiento requerido de orificios
Resistencia de pernos
Corte excéntrico en pernos
Efecto palanca en pernos en tracción
Conexiones soldadas
Clasificación de las soldaduras
Simbología de soldadura
Resistencia de conexiones soldadas
Requerimientos para soldaduras de filete
Resistencia de soldadura de filete
Resistencia a la rotura del elemento conector en soldaduras de filete
Ejemplos de conexiones apernadas y soldadas
46
47
47
47
48
51
52
53
56
57
59
59
61
63
65
66
69
70
5
5.1.
5.2.
5.2.1.
Conexiones especiales y detalles
Introducción
Conexiones de corte de vigas
Conexión de doble ángulo
89
90
90
92
5
5.2.2.
5.3.
5.3.1.
5.3.2.
5.3.3.
5.4.
5.4.1.
5.4.2.
5.5.
Conexiones con placa de corte
Conexiones de momento y empalmes
Conexiones de momento de viga a columna
Empalmes de vigas
Consideraciones sismorresistentes para conexiones de momento
Conexiones de arriostramientos
Diseño de placa gusset
Distribución de fuerzas en interfaces de gusset
Ejemplos de conexiones
93
95
95
100
101
102
102
108
112
6
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
Miembros en Compresión
Introducción
Carga crítica de pandeo de Euler en columnas
Longitud efectiva
Tensiones residuales en la resistencia de columnas
Resistencia de columnas con secciones compactas
Pandeo local de columnas
Gráficos de alineación o Nomogramas
Ejemplos de miembros en compresión
135
136
136
137
142
145
146
151
157
7
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.5.1.
7.5.2.
7.5.3.
7.6.
7.7.
7.7.1.
7.7.2.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
Miembros en Flexión
Introducción
Tensiones de flexión
Módulo plástico y factor de forma
Clasificación de secciones de vigas
Resistencia de vigas con secciones compactas
Comportamiento plástico (zona 1)
Pandeo inelástico (zona 2)
Pandeo elástico (zona 3)
Resistencia de vigas con secciones no compactas y esbeltas
Corte en vigas
Resistencia en miembros con almas no atiesadas y atiesadas
Acción del campo de tracciones
Vigas sometidas a cargas concentradas
Diseño de atiesador de carga
Serviciabilidad en vigas
Ejemplos de verificación y diseño de vigas
169
170
170
171
174
176
178
179
183
183
184
184
188
190
196
197
201
8
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.7.1.
Vigas Compuestas
Introducción
Sistemas de piso
Acción compuesta
Resistencia nominal de secciones compuestas
Ancho efectivo
Espesor de la losa
Conectores de corte
Resistencia nominal de los conectores de corte
221
222
222
223
224
224
225
226
227
6
8.7.2.
8.7.3.
8.8.
8.9.
8.10.
8.11.
Número requerido de conectores de corte
Especificaciones de diseño
Resistencia a flexión positiva
Alzaprimado
Deflexiones
Ejemplos de vigas compuestas
228
231
232
236
237
241
9
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
Flexo-compresión y efectos de segundo orden
Introducción
Ecuaciones de diseño
Ecuación diferencial para compresión axial y flexión
Efectos P-delta y amplificadores de momento B1 y B2
Ejemplos análisis de segundo orden y flexo-compresión
256
257
257
258
260
264
7
8
Prólogo
El Instituto Chileno del Acero, ICHA, es una institución sin fines de lucro, cuya misión es actuar como
un Centro de Transferencia Tecnológica, promoviendo y desarrollando el uso y aplicación del acero
en todas las actividades donde pueda ofrecer ventajas competitivas. En el cumplimiento de sus
objetivos, el ICHA desarrolla diversos programas que incluyen la actualización y preparación de
normas, la prestación de asesorías, la organización de cursos, seminarios y reuniones técnicas, la
publicación de especificaciones de diseño, manuales y textos.
En este contexto, el propósito del presente libro es proporcionar un material actualizado y aplicado
a la realidad nacional con los procedimientos de diseño de los elementos principales encontrados
en un edificio de acero, en un formato práctico, conciso y con el desarrollo paso a paso de diversos
ejemplos de cálculo. Lo distintivo del presente texto es su carácter práctico, con un desarrollo breve
de los tópicos teóricos necesarios para la compresión de los ejemplos de cálculo, la referencia
continua a la norma chilena vigente, manuales y guías de diseño actualizadas, y detalles realísticos
de conexiones típicas en los capítulos correspondientes. Este libro está orientado tanto a
estudiantes de un primer curso de estructura de acero como a ingenieros estructurales, arquitectos
y otros profesionales del área de la construcción que busquen una guía simple, y práctica de diseño
de elementos de acero. Se asume que el lector posee un manejo suficiente de estática, resistencia
de materiales y análisis de estructuras.
El desarrollo del presente texto estuvo a cargo por el Profesor Dr. Rodrigo Silva Muñoz, Ingeniero
Civil y académico de la Universidad de Concepción. El autor agradece en primer lugar el patrocinio
brindado por la Facultad de Ingeniería de la misma casa de estudios, así como también a su equipo
colaborador formado por las ingenieros civiles Francisca de la Hoz, Camila Aravena y Shantal River.
También agradece el apoyo del Comité Técnico del ICHA en la revisión exhaustiva del documento.
El Instituto Chileno del Acero declara que este documento solo constituye una referencia y ayuda
en materia de cálculo y no puede, bajo ningún concepto, asumir responsabilidad alguna por los
resultados que de su aplicación puedan derivarse.
9
10
11
1.1.
Introducción
El propósito de este texto es presentar los procedimientos de diseño de los elementos principales
encontrados en un edificio de acero, en un formato práctico, conciso y con el desarrollo paso a paso
de diversos ejemplos de cálculo. En Chile, la normativa vigente para este tipo de estructuras es la
norma chilena NCh427/1: Requisitos para el cálculo de estructuras de acero para edificios, edición
2016 [Ref. 28], la cual corresponde a una adaptación del manual AISC 360-10, “Specification for
Structural Steel Buildings” [Ref. 12], que conserva la misma numeración de capítulos y secciones. Si
bien la norma presenta los métodos de diseño por esfuerzos admisibles (ASD) y por factores de
carga y resistencia (LRFD), en el desarrollo de los ejercicios del presente texto se ha adoptado el
último método. Además, los ejemplos presentados en el texto corresponden principalmente a
perfiles soldados o laminados, cuyo diseño se rige por el primer volumen de la norma, dejando de
lado el caso de perfiles conformados en frío. De esta forma, el alcance de este libro son los tópicos
enseñados comúnmente en un curso de nivel de pregrado de estructuras de acero.
Nota del autor: En el presente texto, se adopta la terminología comúnmente aceptada en la práctica nacional
relativa a los términos tensión y tracción. En rigor, en la mecánica de sólidos se entiende por esfuerzo (“stress”
en inglés) una fuerza interna por unidad de área, que puede ser normal (tensión o compresión) o cortante,
mientras que se entiende por tensión (“tension” en inglés) una fuerza que estira un cuerpo. Estos términos,
esfuerzo y tensión, son los internacionalmente adoptados en la literatura latinoamericana; sin embargo, en la
práctica nacional e incluso en las normas de diseño estructural, se usan los términos tensión y tracción
refiriéndose a esfuerzo y tensión, respectivamente, que históricamente provienen de traducciones españolas
de textos de resistencia de materiales.
1.2.
Tipos de aceros
Los aceros estructurales que corresponden a barras y perfiles, tubos y planchas que se utilizan en
Chile para los distintos elementos que conforman una edificación, se listan en el capítulo A.3 de la
norma NCh427/1. Los aceros de normas ASTM, se presentan en la Tabla 1.1, mientras que los aceros
de normas nacionales se muestran en la Tabla 1.2. En estas tablas se especifican la tensión de
fluencia 𝐹𝑦 y la resistencia a la tracción 𝐹𝑢 .
Se recomienda el uso de los aceros de la norma ASTM A36 y ASTM A572 Grado 50 y de la norma
chilena NCh203 en la calidad A250ESP y A345ESP, ya que son de uso habitual en las construcciones
sismorresistentes, que son la mayoría en Chile. Debe señalarse que la norma NCh203 es obligatoria
en todo el territorio nacional, por ende, los aceros de normas ASTM deben ser certificados bajo la
norma NCh203 por un organismo acreditado.
12
Tabla 1.1. Tensión de fluencia y resistencia a tracción de aceros estructurales de las normas ASTM.
𝑭𝒚
ksi (MPa)
32 (220)
ksi (MPa)
58-80 (400-550)
Sobre 200
36 (248)
58-80 (400-550)
Hasta 200
35 (240)
60 (415)
42 (290)
63 (435)
40 a 100
46 (317)
67 (462)
20 a 40
50 (345)
70 (482)
Hasta 20
Grado A
33 (228)
45 (310)
Grado B
42 (290)
58 (400)
Grado C
Designación ASTM
A36
A53
Grado B
A242
A500
𝑭𝒖
Espesor o diámetro (mm)
46 (317)
62 (427)
A510
36 (248)
58 (400)
A514
90 (620)
100-130 (690-896)
65 a 150
100 (690)
110-130 (758-896)
Hasta 65
Grado 50
50 (345)
65-100 (448-690)
Hasta 13
Grado 55
55 (379)
70-100 (482-690)
Hasta 25
Grado 42
42 (290)
60 (415)
Hasta 150
Grado 50
50 (345)
65 (448)
Hasta 100
Grado 60
60 (415)
75 (517)
Hasta 32
Grado 65
65 (448)
80 (552)
Hasta 32
42 (290)
63 (435)
125 a 200
46 (317)
67 (462)
100 a 125
50 (345)
70 (482)
Hasta 100
45 (310)
65 (448)
50 (345)
70 (482)
Grado I y II
50 (345)
70 (482)
Grado III
50 (345)
65 (448)
Grado 36
36 (248)
58-80 (400-550)
Hasta 100
Grado 50
50 (345)
65 (448)
Hasta 100
70 (482)
90-110 (620-758)
Hasta 100
Grado 50
50 (345)
60 (415)
Grado 60
60 (415)
75 (517)
Grado 65
65 (448)
80 (552)
Grado 70
70 (482)
90 (620)
50 (345)
65 (448)
Grado 40
40 (276)
55 (380)
Grado 45
45 (310)
60 (415)
Grado 50
50 (345)
65 (448)
A529
A572
A588
A606
A618
A709
A852
A913
A992
A1011
Hasta 19,1
Adaptado de Ref. 34, Tabla 2.1.1.
13
Nota: El valor indicado en la tabla de tensión de fluencia para el acero A36 no fue tomado directamente del
estándar ASTM A36 vigente, el cual indica un valor de 250 MPa, sino que corresponde al valor, redondeado al
entero más cercano, de la conversión de una tensión de 36 ksi. Este valor es usualmente considerado en los
programas comerciales de análisis y diseño estructural, y será el utilizado a lo largo de los ejemplos del
presente texto.
Tabla 1.2. Tensión de fluencia y resistencia a tracción para aceros estructurales de la norma NCh203.
Denominación NCh
𝑭𝒚
𝑭𝒖
MPa
MPa
A240ES
240
360 a 460
A270ES
270
410 a 510
A345ES
345
510 a 610
M345ES
345
510 a 610
Y345ES
345
480 mín.
A250ESP
250 a 350
400 a 550
A345ESP
345 a 450
459 mín.
Adaptado de Norma NCh203 Of.2006 [Ref. 25], Tabla 2 y Tabla 3.
La norma NCh203 indica dos categorías de aceros estructurales: de usos generales y los de
aplicaciones sismo resistentes. Los primeros tienen la denominación ES y los segundos ESP.
1.3.
Perfiles de acero
Los perfiles de acero pueden ser de tres tipos: laminados en caliente, conformados en frío y
soldados. Generalmente se designan por la forma de sus secciones transversales.
Los perfiles laminados se obtienen mediante el proceso de laminación en caliente de una palanquilla
de acero previamente calentada a una temperaturas de 1.100 °C, que permite una conformación
del perfil. Las palanquillas se laminan a través de una cadena de rodillos a presión hasta obtener la
forma final. Los perfiles laminados en caliente de la serie ASTM se muestran en la Figura 1.1. Se
realiza una distinción entre los perfiles W y S ya que, si bien ambos tienen forma de I, el perfil S tiene
una pendiente mayor en la superficie interior de sus alas.
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W
(a) perfil de ala ancha
S
(b) viga estándar
americana
C
(c) canal estándar
americano
(f) sección de tubería
(g) tubo estructural
L
(d) ángulo
(h) barras
WT o ST
(e) T estructural
(i) planchas
Figura 1.1. Perfiles laminados según normas ASTM (Adaptado de Ref. 34, Figura 1.5.1).
Los perfiles conformados en frío generalmente son de espesores menores que los laminados en
caliente. El proceso de fabricación consiste en una serie de rodillos por los que pasa la plancha y va
tomando forma hasta que termina con la geometría deseada, sin aporte de calor (de ahí el nombre
de conformado en frío). Su característica geométrica principal es que los cantos son vivos y los
vértices son redondeados. También se incluyen en este tipo los perfiles plegados, que se fabrican
en una máquina plegadora similar a las usadas por los hojalateros, con distintos radios de curvaturas
que en el método anterior, y con limitaciones de longitud muchas veces, por no ser un proceso
continuo. Algunas secciones típicas se muestran en la Figura 1.2.
(a) canales
(b) zetas
(c) I formado por
doble canal
(e) secciones sombrero
(d) ángulo
Figura 1.2. Perfiles conformados en frío (Adaptado de Ref. 34, Figura 1.5.2).
Los perfiles soldados permiten obtener otras formas, geometrías y espesores que el diseñador
pueda requerir, a partir de la combinación de placas y perfiles laminados sometidos a un proceso
de corte, armado y empalme mediante soldadura. Por eso es que también se les llama perfiles
armados.
15
Los perfiles de las series nacionales se presentan en la Tabla 1.3. Para los perfiles de sección doble
T, denominados a lo largo del presente texto como I, en concordancia con la norma NCh 427/1, se
debe hacer una distinción. El Manual ICHA del año 1976 entregaba cuatro series de perfiles en forma
de doble T soldados: las series IN (serie normal de vigas), IP (serie plástica), HN (serie normal de
columnas) y PH (serie pilotes). En la práctica nacional actual sigue siendo común especificar los
perfiles soldados I en base a dicha versión del Manual. Por otra parte, la versión más reciente del
Manual ICHA [Ref. 22] unifica las series IN, IP y HN bajo la designación H. En los ejemplos de este
texto para la designación de los perfiles, identificación de sus dimensiones y propiedades de diseño
se referirá a esta última versión del Manual, sin implicar que esta sea la designación que deba usarse
en la práctica.
En la norma NCh427/1 se presentan los requisitos orientados al diseño con secciones laminadas y
soldadas, por lo cual este texto se enfoca en el uso de estos tipos de perfiles.
16
Tabla 1.3. Perfiles de acero de las series nacionales según definición del Manual ICHA (Ref22).
Secciones
Designación en mm
H
PH
HR
T
Soldado
Representan perfiles doble T de alas iguales. A
partir de una altura menor o igual a 500 mm, se
encuentran perfiles de igual altura y ancho de ala.
Soldado
Representan perfiles doble T de alas iguales,
recomendados para ser usados como pilotes
Soldado
Representan perfiles doble T de reemplazo de
perfiles laminados W de la serie AISC
Soldado
H x Altura x Ancho de ala x Peso en kgf/m
H x Altura x espesor del alma x ancho del ala x
espesor del ala
PH x Altura x Ancho de ala x Peso en kgf/m
HR x Altura x Ancho de ala x Peso en kgf/m
T x Altura x Ancho de ala x Peso en kgf/m
T x Altura x Espesor del alma x Ancho del ala x
Espesor del ala
C
Plegado
Representan perfiles canal de alas no atiesadas
C x Altura x Ancho de ala x Peso en kgf/m
C x Altura x Ancho de ala x Espesor
CA
Plegado
Representan perfiles canal de alas atiesadas
CA x Altura x Ancho del ala x Peso en kgf/m
CA x Altura x Ancho de ala x Espesor del alma x
espesor del ala
L
Plegado
Representan perfiles ángulos de alas iguales
L x Ancho del ala x Ancho del ala x Espesor
L
Laminado
Representan perfiles ángulos de alas iguales
Soldado o laminado
Representan perfiles tubulares cuadrados y
rectangulares, fabricados por formado en frio,
soldadura continua y post formado a las sección
definitiva
L x Ancho del ala x Ancho del ala x Espesor
Perfiles circulares de diámetro menor, soldados
por resistencia eléctrica de diámetro normal en
pulgadas de acuerdo con las dimensiones
normales norteamericanas. En EE.UU. se
producen hasta 14” de diámetro nominal y en
Chile hasta 5”.
O x Diámetro en pulgadas x Peso en kgf/m
Perfiles circulares de diámetro mayor, desde 250
a 1600 mm soldados al arco sumergido ya sea con
soldaduras rectas o espirales
O x Diámetro interior x Espesor
O
O
x Altura x Ancho del ala x Peso en kgf/m
x Altura x Ancho del ala x Espesor
O x Diámetro en pulgadas x Espesor
17
1.4.
Elementos estructurales básicos de acero
Los elementos estructurales de acero que se utilizan para resistir cargas gravitacionales y laterales
en edificios de acero se muestran en la Figura 1.3.
Costanera (tipo enrejada)
Plancha de techo
Columna
Losa con placa
colaborante
Vigas principales o
maestras
Viga de piso o
vigueta
Diagonal o arriostramiento
Figura 1.3. Elementos estructurales básicos en un edificio de acero (Adaptado de Ref. 1, Figura 1-13).
Las vigas de piso o viguetas soportan la losa de piso, que puede ser una losa sólida de hormigón o
una losa con placa colaborante. Estas viguetas se apoyan sobre las vigas principales o maestras. Las
vigas que soportan las planchas de techo y planchas laterales en el caso de galpones, se denominan
costaneras, y generalmente son de sección C, aunque como se muestra en la figura, en caso de
poseer una luz mayor a lo común, también pueden ser del tipo enrejadas. Las losas con placa
colaborante y planchas de techo generalmente se orientan con su dirección más resistente
perpendicular a las viguetas y costaneras. Las vigas generalmente son perfiles de sección I laminados
o soldados. Las vigas maestras a su vez descargan en las columnas, las que usualmente son perfiles
de sección I o tubulares. En estructuras arriostradas, las columnas soportan principalmente cargas
de compresión, y sus apoyos son rotulados, es decir, no transmiten momentos. En estructuras de
marcos rígidos, las columnas soportan tanto cargas axiales como momentos, y puede ser necesario
que las columnas posean apoyos empotrados. Finalmente, las diagonales o arriostramientos son los
elementos encargados de proveer estabilidad ante cargas laterales y pueden ser concéntricas o
excéntricas.
18
1.5.
Trayectorias de carga gravitacional y lateral
La trayectoria de carga es el camino que sigue la carga desde su punto de aplicación en la estructura
hasta que llega a la fundación. Cualquier deficiencia en la integridad de la trayectoria de carga puede
llevar una estructura a la falla o colapso. Estas deficiencias usualmente provienen más de
conexiones inadecuadas que de la falla de un elemento estructural. La típica trayectoria de cargas
gravitacionales consiste en que la carga aplicada sobre el techo o losa de piso se transmite
horizontalmente a las viguetas o costaneras, las cuales a su vez transfieren la carga horizontalmente
a las vigas principales. Las vigas en los ejes estructurales transfieren la carga como reacciones
verticales a las columnas, las cuales transmiten la carga de manera segura a la fundación y al suelo.
Es decir, la carga viaja desde el techo o piso → viguetas o costaneras → vigas → columnas →
fundaciones. Esto se ilustra en la Figura 1.4.
(1) La carga gravitacional se
aplica y se transfiere a la losa de
piso
(4) La carga se transfiere
de las vigas principales a
las columnas
(2) La carga se transfiere de
la losa de piso a las vigas de
piso
(3) La carga se transfiere de las
vigas de piso a las vigas
principales
(5) La carga se transfiere de las
columnas a la fundación
Figura 1.4. Trayectoria de cargas gravitacionales. (Adaptado de Ref.1, Figura 1-18).
Para la trayectoria de cargas laterales de viento, la carga de viento se aplica en la superficie del muro
vertical, el cual transfiere las reacciones horizontales a los diafragmas horizontales de techo o de
piso. El diafragma horizontal luego transfiere la carga lateral al sistema resistente de cargas laterales
paralelo a la fuerza lateral, el que puede consistir en marcos de momento, marcos arriostrados o
muros de corte, y este sistema luego transmite la carga lateral a la fundación y al suelo. Es decir, la
carga lateral viaja desde las paredes → diafragma de techo o piso → sistema resistente de cargas
laterales → fundaciones. Esto se ilustra en la Figura 1.5.
19
La trayectoria de cargas sísmicas comienza con el movimiento de suelo debido a un sismo, lo que
produce fuerzas de inercia que se aplican sobre la estructura del edificio. Estas fuerzas se asumen
concentradas en los niveles de piso y techo, o en general, donde se concentren masas importantes.
Las fuerzas laterales son transmitidas desde los diafragmas de piso y techo al sistema resistente de
cargas laterales paralelo a la fuerza lateral, y este transmite la carga a la fundación y luego al suelo.
(1) La carga lateral se aplica y se
transfiere a los diafragmas de
piso y techo
(2) La carga se transfiere de la
losa de piso a las vigas de
apoyo a lo largo de los ejes
arriostrados
(3) La carga se transfiere de las vigas a los
arriostramientos (en marcos arriostrados)
(4) La carga se transfiere de
los arriostramientos a las
columnas
(5) La carga se transfiere de las
columnas a la fundación
Figura 1.5. Trayectorias de cargas laterales. (Adaptado de Ref.1, Figura 1-19)
1.6.
Aspectos generales del diseño y construcción en acero
En la presente sección se explican brevemente las etapas, entidades y documentos más relevantes
en el diseño y construcción en acero. Los conceptos aquí presentados son consistentes con la
práctica nacional y la norma chilena de Ejecución de Construcciones de Acero, NCh 428 [Ref. 29].
Las cuatro etapas principales dentro de un proyecto de acero son el diseño, detallamiento,
fabricación y montaje. El diseño estructural corresponde al dimensionamiento de las partes de una
estructura una vez que se han calculado las fuerzas y desplazamientos, de manera que la estructura
soporte satisfactoriamente (es decir se cumpla los estados límites de resistencia y serviciabilidad)
las cargas a que estará sometida. Quien ejecuta el diseño es la entidad denominada como Ingeniería
de Diseño. El detallador es la entidad encargada de realizar los planos de fabricación requeridos
para el acero estructural y los planos de montaje para la construcción del sistema estructural, a
20
partir de los planos de diseño. El detallador puede ser parte del staff del fabricante. El fabricante es
la entidad encargada de realizar la fabricación de la estructura de acero, y el montajista se encarga
de realizar la instalación de los componentes de la estructura de acuerdo con lo indicado en los
planos de montaje. A su vez, de estas etapas y entidades se generan principalmente los siguientes
documentos:
Planos de diseño estructural:
Son los documentos gráficos preparados por la Ingeniería de Diseño que muestran el diseño,
ubicación y dimensiones de la estructura y sus componentes. Deben incluir plantas, elevaciones,
secciones, detalles y notas. Estos planos deben estar identificados por un mismo número por todo
el tiempo que dure la ejecución del proyecto. Usualmente se ocupa una letra correlativa (Rev. A, B,
C, etc.) mientras se encuentran en etapa de revisión del mandante o de otras disciplinas, y cuando
ya están aprobados para fabricar, la letra cambia a un número correlativo (Rev. 0, 1, 2, etc.),
indicando que con dichos planos ya puede comenzar la etapa de fabricación. Según la sección 4 de
la norma NCh 428, los planos de diseño deben mostrar al menos la siguiente información:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Tamaño, sección, calidad y grado del material.
Ubicación de los elementos.
Tipos de uniones.
Dimensiones y puntos de trabajo necesarios para el trazado de la estructura.
Contraflechas requeridas.
Detalle de placas bases y pernos de anclaje.
Detalles de atiesadores de columnas y vigas, aberturas para otras especialidades, y
cualquier otro detalle especial requerido para realizar el detallamiento.
Memoria de cálculo estructural:
Es el documento escrito preparado por la Ingeniería de Diseño que explica el proceso de análisis y
diseño estructural presentado en los planos de diseño. Debe incluir una descripción de la estructura,
un resumen de los criterios, normas de diseño y materiales, las cargas consideradas, los principales
resultados del análisis estructural (reacciones de apoyo, diagramas de esfuerzos, desplazamientos,
propiedades dinámicas si corresponde), la verificación de capacidad de los elementos estructurales,
la verificación de estados límites de serviciabilidad y desplazamientos sísmicos si corresponde, y el
cálculo de las conexiones más importantes que se presenten en los planos de diseño. Este
documento acompaña a los planos de diseño y de manera similar se enumeran con letras o números
según la etapa en que se encuentre.
Planos de fabricación y planos de montaje:
Los planos de fabricación son los documentos gráficos que proporcionan todos los antecedentes
necesarios para la confección de las piezas de acero mostradas en los planos de diseño y
especificaciones, tales como: plantas, elevaciones, secciones y detalles de cada elemento; la
ubicación, tipo y tamaño de las perforaciones, pernos y soldadura; y finalmente una lista de
materiales. Por otra parte, los planos de montaje proporcionan toda la información necesaria para
el montaje en terreno del acero estructural, incluyendo elevaciones y plantas mostradas en los
planos de diseño con marcas de todos los elementos principales y secundarios de la estructura,
21
además de los detalles de placas bases y conexiones más relevantes. Para la confección de estos
planos, el mandante debe proporcionar todos los planos de diseño y especificaciones requeridas
para la construcción. Estos planos deben ser revisados y aprobados por la Ingeniería de Diseño.
Diseño y cálculo de conexiones:
Es bien sabido que un buen diseño y construcción de las conexiones en una estructura de acero son
fundamentales para asegurar su buen comportamiento. Por un lado, las conexiones deben proveer
las condiciones de borde de cada elemento y de la estructura, y por otra parte se deben diseñar
para lograr una falla dúctil de la conexión o del elemento estructural. De acuerdo con la norma NCh
428 [Ref. 29], existen tres modalidades de diseño y cálculo de las conexiones, las que se eligen en
función de las capacidades del diseñador, detallador y fabricante:
a) Diseño y cálculo proporcionado por la Ingeniería de Diseño: En este caso se deben mostrar en los
planos de diseño las conexiones diseñadas y calculadas, y el fabricante se debe ajustar a lo
establecido. Los planos de diseño deben contener la siguiente información:
-
-
Ubicación de los puntos de trabajo.
Para conexiones apernadas: geometría de la conexión; espesores de plancha; cantidad,
diámetro y ubicación de perforaciones; calidad y tipo de materiales de planchas, pernos, tuercas
y golillas; y tipo de superficie en conexiones de deslizamiento crítico.
Para conexiones soldadas: detalle del tipo de unión (de tope, con o sin bisel, de solape, de filete,
de talón, de tapón, penetración completa o parcial, entre otras); longitud y dimensión de los
filetes, hombro, abertura de raíz y ángulo de los biseles para soldaduras de tope; y calidad del
material de aporte.
En esta modalidad, el fabricante, detallador y montajista pueden solicitar a la Ingeniería de Diseño
que modifiquen las conexiones cuando se produzcan interferencias o queden inaccesibles al
momento de ejecutar el montaje.
b) Diseño y cálculo por el fabricante o detallador:
Cuando el diseño de las conexiones se subcontrata con el fabricante o un detallador, la Ingeniería
de Diseño debe entregar la siguiente información:
-
-
22
Método de diseño (ASD o LRFD)
Conexiones típicas: Si se incluye un plano estándar con conexiones típicas, el fabricante o
detallador puede definir el tipo de conexión a emplear en cada caso. Cuando no se incluya plano
estándar y los planos de diseño tampoco se pronuncien sobre ellas, el fabricante o detallador
debe proponer la conexión para la aprobación de Ingeniería de Diseño.
Conexiones especiales: Cuando se requieran conexiones de deslizamiento crítico, conexiones
de momento y conexiones deslizantes, estas se deben indicar en los planos de diseño.
Criterio de diseño para conexiones: La Ingeniería de Diseño debe definir las condiciones de carga
para diseñar cada conexión, ya sea indicando las cargas (corte, momento, axial, torsión) para
cada elemento, o indicando los porcentajes de carga respecto a la resistencia admisible o
nominal de cada elemento. Es responsabilidad de la Ingeniería de Diseño asegurar que estos
criterios cumplen las normas vigentes.
En esta modalidad, el fabricante o detallador deben preparar memorias de cálculo de las conexiones
para su aprobación por la Ingeniería de Diseño.
c) Diseño compartido:
También es posible que las conexiones más importantes y especiales, por ejemplo, conexiones de
momento o de diagonales sísmicas sean diseñadas y calculadas por la Ingeniería de Diseño sin
necesariamente detallarla por completo. Es decir, en los planos de diseño se puede mostrar detalles
estándar indicando número de pernos, espesores de planchas y gusset, tipo de soldadura, sin
describir completamente la geometría de la conexión. Por otra parte, las conexiones más típicas
tales como uniones de corte de viga y arriostramientos secundarios, son diseñadas y calculadas por
el detallador, de acuerdo con lo indicado en la modalidad previamente explicada. Es posible también
que en los planos de diseño se sugiera mediante un detalle estándar o en las notas que tipo de
conexión de corte utilizar, en caso de haber restricciones, por ejemplo, con el uso de conexiones de
corte con plancha simple.
23
24
2.1.
Método LRFD
En el capítulo B.3 de la norma NCh427/1, se presentan tanto el diseño por resistencia usando diseño
en base a factores de carga y resistencia (LRFD), como el diseño por resistencia en base a resistencias
admisibles (ASD). Ambos emplean los mismos métodos de análisis estructural y consideran los
mismos estados límites y ecuaciones para determinar la resistencia nominal. Para el método LRFD,
la resistencia nominal se multiplica por el factor reducción de resistencia, obteniéndose la
resistencia de diseño, mientras que para el método ASD, la resistencia nominal se divide por el factor
de seguridad, con lo que obtiene la resistencia admisible. En el presente texto los ejemplos de
cálculo se desarrollan aplicando el método de diseño LRFD.
El método de los factores de carga y resistencia (LRFD) se puede representar por la siguiente
expresión:
∑𝛾𝑖 𝑄𝑖 ≤ 𝜙𝑅𝑛
(2.1)
En el lado izquierdo de la desigualdad se define la resistencia requerida como la suma de los efectos
de los diversos tipos de carga 𝑄𝑖 multiplicadas por sus respectivos factores de carga 𝛾𝑖 . En el lado
derecho se define la resistencia de diseño 𝜙𝑅𝑛 , como la resistencia nominal 𝑅𝑛 , multiplicada por un
factor de resistencia 𝜙, de acuerdo con el tipo de esfuerzo para el cual se diseña.
El método de factores de carga y resistencia dimensiona las estructuras de modo tal que no se
sobrepase ningún estado limite aplicable cuando la estructura queda sujeta a las combinaciones de
carga mayoradas.
Los estados límites pueden ser de resistencia o de servicio. Los estados límites de resistencia definen
la capacidad de la estructura para resistir una carga, considerando la fluencia excesiva, la fractura,
el pandeo, la fatiga y el volcamiento. Los estados límites de servicio definen el comportamiento de
la estructura bajo condiciones normales o de uso, incluyendo la deflexión, agrietamiento,
deslizamientos y vibración.
2.2.
Combinaciones de carga
La resistencia de la estructura y sus elementos debe ser determinada por la combinación crítica de
cargas mayoradas. El caso crítico puede ocurrir cuando una o más cargas no están actuando. En el
capítulo B.2 de la norma NCh427/1 se indica que las cargas y combinaciones de carga se definen por
la normativa aplicable vigente. En el caso de las combinaciones de carga, para el diseño de una
estructura, sus elementos componentes y fundaciones, según el método de factores de carga y
resistencias, se aplica la sección 9.1 de la NCh3171 [Ref. 27], cuyas combinaciones se presentan a
continuación:
1)
2)
3a)
3b)
4)
5)
6)
7)
1,4𝐷
1,2 𝐷 + 1,6𝐿 + 0,5 (𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅)
1,2𝐷 +1,6(𝐿𝑟 𝑜𝑆𝑜𝑅) + 𝐿
1,2𝐷 + 1,6 (𝐿𝑟 𝑜𝑆𝑜𝑅) + 0,8𝑊
1,2𝐷 + 1,6𝑊 + 𝐿 + 0,5 (𝐿𝑟 𝑜𝑆𝑜𝑅)
1,2𝐷 + 1,4𝐸 + 𝐿 +0,2𝑆
0,9𝐷 + 1,6𝑊
0,9𝐷 + 1,4𝐸
25
Una excepción importante de la NCh3171 es la siguiente: En los casos que la carga de viento W no
ha sido reducida por un factor de direccionalidad se permite usar 1,3𝑊 en lugar de 1,6𝑊.
Estas combinaciones se aplican a todo tipo de edificación. Sin embargo, para considerar el diseño
sísmico de estructuras e instalaciones industriales, se deben aplicar las combinaciones que se
especifican en la norma NCh2369 Of2003 [Ref. 24], indicadas a continuación:
8)
9)
1,2𝐷 + 𝑎 𝐿𝑐 + 𝐿𝑎 + 𝐿𝑜 ± 1,1 𝐸ℎ ± 1,1 𝐸𝑣
0,9𝐷 + 𝐿𝑎 ± 1,1 𝐸ℎ ±0,3 𝐸𝑣
Donde:
𝑎
Factor que toma en cuenta la probabilidad de ocurrencia simultanea de 𝐿𝑐 y 𝐸, según
NCh2369. Vale normalmente 1.0, pero tiene los siguientes mínimos:
Bodegas y en general zonas de acopio con baja tasa de rotación
Zonas de uso normal, plataformas de operación
Diagonales que soportan cargas verticales
Pasarelas de mantención y techos
𝐷
𝐸
𝐸ℎ
𝐸𝑣
𝐿
𝐿𝑎
𝐿𝑐
𝐿𝑜
𝐿𝑟
𝑅
𝑆
𝑊
0,50
0,25
1,00
0
Peso propio de los elementos estructurales y otras cargas permanentes de la estructura;
Carga sísmica, según NCh433;
Carga sísmica horizontal, según NCh2369;
Carga sísmica vertical, según NCh2369;
Sobrecarga de uso, según NCh1537. En las ecuaciones 2, 3a, 4 y 5, 𝐿 también representa
a (𝐿𝑐 + 𝐿𝑜 );
Sobrecarga accidental de operación en estructuras industriales: explosiones,
sobrellenados y cortocircuitos, según NCh2369;
Sobrecarga normal de operación en estructuras industriales, según NCh2369;
Sobrecarga especial de operación en estructuras industriales: frenajes, impactos, efectos
térmicos, según NCh2369;
Sobrecarga de techo, según NCh1537;
Carga de lluvia, según ASCE/SEI 07, capítulo 8;
Carga de nieve, según NCh431;
Carga de viento, según NCh432;
También, se debe considerar la aplicación de cargas de impacto, es decir, cargas vivas aplicadas
repentinamente sobre la estructura que producen efectos dinámicos sobre ella. Para ello se
aumenta la sobrecarga de uso en las combinaciones anteriores. Los valores de coeficientes de
impacto que se usan en Chile se obtienen de la norma chilena NCh1537 [Ref. 26] y se muestran en
la Tabla 2.1.
Se debe tener en consideración las excepciones explicadas en las normas respectivas.
26
Tabla 2.1. Coeficientes de impacto vertical.
Impacto vertical de:
Coeficiente (%)
Máquinas de ascensores
100%
Maquinaria liviana (Apoyos de maquinaria liviana o ejes)
20%
Unidades motrices (Apoyos de maquinaria)
50%
Colgadores para pisos y balcones
33%
Cabinas de puentes grúa, vigas soportantes y uniones
25%
Grúas colgantes de operación manual, vigas soportantes y uniones
10%
Adaptado de Norma NCh1537 Of.2009 [Ref. 26]. Sección 6 y 9.
2.3.
Factores de resistencia
Los factores de resistencia que se especifican en el método LRFD están basados en investigaciones
sobre un gran universo de muestras de aceros norteamericanos, pero se ha considerado apropiado
hacerlos extensivos a los aceros que se utilizan en Chile , para los cuales se especifica satisfacer la
norma NCh203. Los valores de los factores de resistencia, que se usan en los capítulos del B al K de
la norma NCh427/1, son los siguientes:
Tabla 2.2. Factores de resistencia por el método LRFD de la Noma NCh427/1.
Factor de resistencia
Modo de falla
𝜙𝑡 = 0,90
Para fluencia en tracción
𝜙𝑡 = 0,75
Para rotura en tracción
𝜙𝑐 = 0,90
Para compresión
𝜙𝑏 = 0,90
Para flexión
𝜙𝑣 = 0,90
Para corte
𝜙= 1,00
Para fluencia en corte de elementos en conexiones
𝜙= 0,75
Para rotura en corte de elementos en conexiones
𝜙 𝑇 = 0,90
Para torsión
27
28
3.1.
Introducción
La tracción es un tipo de solicitación que se presenta normalmente acompañado de flexión y corte,
lo que en rigor significa diseñar para el efecto de varias solicitaciones actuando simultáneamente.
Sin embargo, en aquellos elementos en los cuales la tensión normal de tracción es predominante,
por ejemplo, diagonales de arriostramiento o tensores de techo, se acostumbra a diseñar
despreciando los efectos de flexión y corte (producto del peso propio, excentricidades en los
vínculos, etc.). Seleccionar un perfil o elemento que actúe como elemento sometido a tracción es
un problema de diseño sencillo ya que no hay riesgo de pandeo, por lo cual, sólo se necesita
determinar la carga que dicho elemento debe soportar.
Los miembros en tracción más usuales en estructuras de acero son las diagonales y cuerdas de
enrejados (normalmente las inferiores), arriostramientos, colgadores de costaneras, barras y
planchas de empalmes.
Se propone un límite de esbeltez para elementos traccionados que permite establecer dimensiones
mínimas que reducen los efectos secundarios de vibraciones, deformaciones de peso propio,
defectos de fabricación e impactos generados por solicitaciones generalmente de tipo eventual, así
como también posibles inversiones de signo. La normativa recomienda un límite máximo de
esbeltez (𝐾𝐿⁄𝑟) de 300, el cual es sólo una limitación empírica, aplicable a todos los elementos
sometidos a tracción exceptuando las barras redondas y colgadores.
3.2.
Resistencia de miembros en tensión
La resistencia nominal 𝑃𝑛 , de miembros sometidos a tracción se determina considerando los
siguientes modos de falla o estados límites: fluencia en la sección bruta, rotura en el área neta
efectiva y rotura del bloque de corte a través de los orificios de los pernos. La resistencia de diseño
𝜙𝑃𝑛 , de un miembro en tracción, es el menor valor entre ellos.
La fluencia en la sección bruta ocurre cuando la tensión en el área bruta de la sección transversal es
suficientemente grande como para causar una gran deformación antes que ocurra la falla. La
resistencia nominal se determina por la siguiente expresión:
Ec. D2-1 de NCh427/1:
𝑃𝑛 = 𝐹𝑦 𝐴𝑔
(3.1)
𝜙𝑡 = 0,9 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 1.67 (𝐴𝑆𝐷)
Donde:
𝐹𝑦 =Tensión de fluencia mínima especificada (MPa)
𝐴𝑔 =Área bruta del miembro en tracción (mm2)
La rotura en el área neta efectiva ocurre cuando la tensión en el área efectiva de la sección es
suficientemente grande para causar que el miembro se fracture en dicha área (antes que se
produzca la falla por fluencia del elemento), lo cual sucede generalmente a través de una línea de
pernos donde el miembro en tracción es más débil. La resistencia nominal se determina por la
siguiente expresión:
Ec. D2-2 de NCh427/1:
(3.2)
𝑃𝑛 = 𝐹𝑢 𝐴𝑒
𝜙𝑡 = 0,75 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 2 (𝐴𝑆𝐷)
29
Donde:
𝐹𝑢 = Tensión última mínima especificada (MPa)
𝐴𝑒 = Área neta efectiva del miembro en tracción (mm2)
3.3.
Área neta
El área bruta 𝐴𝑔 , de un miembro en tracción es simplemente el área total de la sección transversal,
mientras que el área neta 𝐴𝑛 de un miembro en tracción toma en cuenta el efecto de las
perforaciones en el elemento, lo cual reduce la sección.
El área neta de un miembro en tracción con orificios que están en una línea (línea ABDE en la Figura
3.1), corresponde a la diferencia entre el área bruta y el área de los orificios de los pernos, expresada
como se muestra a continuación:
𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − 𝐴ℎ
(3.3)
A su vez, el área de los orificios se obtiene según la siguiente expresión:
𝐴ℎ = 𝑛𝑑ℎ 𝑡
Donde:
𝐴ℎ = Área de orificios (mm2)
𝑛 = Número de orificios de pernos a lo largo del plano de falla
𝑑ℎ =Diámetro del orificio (mm)
𝑡 =Espesor del material (mm)
(3.4)
Al momento de fabricar las estructuras de acero, se perforan orificios con un diámetro más grande
que el diámetro del perno, esto es 1/16 pulgadas o 2 mm más grande para facilitar el montaje, de
acuerdo con la sección J.3-2 de la norma NCh427/1 (ver Tabla 4.3). Además, debido al daño
alrededor del agujero que producen las operaciones de perforación o punzonamiento, se agrega al
tamaño nominal del orificio 1/16 de pulgada o 2 mm cuando se calcula el área neta. Por lo tanto, el
diámetro del orificio, para efectos de cálculo es 𝑑ℎ = 𝑑𝑏 + 1/8 pulgadas o 𝑑ℎ = 𝑑𝑏 + 4 mm, con
𝑑𝑏 = diámetro del perno entregado en pulgadas y milímetros respectivamente. En caso de utilizar
la primera forma se debe transformar a las unidades compatibles con las ecuaciones. En la práctica
nacional se utilizan pernos con medidas en pulgadas.
A
B
C
D
E
Figura 3.1. Miembro en tracción con orificios en línea y en diagonal.
30
Si el miembro en tracción tiene una serie de orificios en diagonal o zigzag, pueden existir varios
planos de falla que requieren ser analizados, por ejemplo, la línea ABCDE de la Figura 3.1. Cuando
uno o más planos de falla tienen una línea diagonal, entonces se agrega el siguiente término,
formulado por Cochrane [Ref. 19], al ancho neto del miembro por cada cambio diagonal que se
presente a lo largo de la falla (sección B4.3 de NCh 427/1). Se debe usar el plano que genere el
menor valor de área neta.
𝑠2
4𝑔
(3.5)
Donde:
𝑠 =Espaciamiento longitudinal (paso) centro a centro entre dos orificios consecutivos (mm)
𝑔 = Espaciamiento transversal (gramil) centro a centro entre dos orificios consecutivos (mm)
La expresión para el ancho neto a lo largo de una sección en zigzag es:
𝑤𝑛 = 𝑤𝑔 − ∑𝑑ℎ + ∑
𝑠2
4𝑔
(3.6)
Donde:
𝑤𝑛 =Ancho neto
𝑤𝑔 = Ancho bruto
𝑑ℎ = Diámetro del orificio
Multiplicando la Ecuación (3.6) por el espesor del miembro se obtiene la siguiente expresión de área
neta:
𝑠2
(3.7)
𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − ∑𝑑ℎ 𝑡 + ∑
𝑡
4𝑔
Se debe notar que para un miembro en tracción conectado a otro por soldadura, el área neta es
igual al área bruta (𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 ), y si el miembro se trata de una plancha de empalme apernada, se
considera𝐴𝑛 ≤ 0,85𝐴𝑔 , de acuerdo con la sección J.4-1 de la norma NCh427/1.
3.4.
Área neta efectiva
Cuando la fuerza de tensión se transmite sólo a algunos de los elementos del miembro, se utiliza un
área neta reducida llamada área neta efectiva 𝐴𝑒 . Según la sección D.3 de la norma NCh427/1, se
representa con la siguiente expresión:
𝐴𝑒 = 𝐴𝑛 𝑈
(3.8)
Donde:
𝑈= factor de corte diferido.
El factor de corte diferido toma en cuenta la distribución no uniforme de la tensión que se produce
en el miembro cuando alguno de sus elementos no se conecta directamente. Esto ocurre
usualmente en ángulos o secciones T, como se muestra en la Figura 3.2. El área sombreada no está
31
conectada directamente por la soldadura, por lo que la tensión en esa zona es menor. La mayor
parte de la carga es soportada por el ala conectada.
En la Tabla 3.1 se entregan valores del factor de corte diferido para varias configuraciones de
conexiones. Se debe notar que el valor de 𝑈 calculado con la expresión del caso 2 debe ser mayor
que 0,60 para todas las configuraciones de conexiones, a no ser que se presenten efectos de
excentricidad, produciéndose momentos que ocasionan esfuerzos adicionales en la vecindad de la
conexión, para lo cual se debe aplicar la sección H.1-2 o H.2 de la NCh427/1.
Para planchas de empalme apernadas 𝐴𝑒 = 𝐴𝑛 ≤ 0,85𝐴𝑔 (𝑈 = 1,0 según Caso 1 de la Tabla 3.1).
𝑃𝑢
Figura 3.2. Efecto del corte diferido (Ref. 1 Figura 4-4).
Tabla 3.1. Factor de corte diferido para conexiones de miembros en tracción.
Caso
Descripción del elemento
1
Todos los miembros en tracción donde la
carga es transmitida directamente a cada
uno de los elementos de la sección
transversal mediante conectores o
soldaduras (excepto en los Casos 3, 4, 5 y
6).
2
32
Todos los miembros en tracción, excepto
las planchas y tubos, donde la carga es
transmitida por sólo algunos de los
elementos de la sección transversal
mediante conectores o soldaduras.
(Alternativamente, para secciones W, M,
S y HP, se puede usar el Caso 7. Para los
ángulos, se puede usar el Caso 8).
Factor de
corte diferido,𝑼
Ejemplo
𝑈 = 1.0
𝑈 = 1−
𝑥̅
𝑙
4
Todos los miembros en tracción donde la
carga es transmitida por soldaduras
transversales a sólo algunos de los
elementos de la sección transversal.
Planchas donde la carga de tracción es
transmitida solamente por soldaduras
longitudinales.
𝑈 = 1.0
y
𝐴𝑛 = área de los elementos
conectados directamente
𝑙 ≥ 2𝑤 … 𝑈 = 1,0
2𝑤 > 𝑙 ≥ 1,5𝑤 … 𝑈
= 0,87
1,5𝑤 > 𝑙 ≥ 𝑤 … 𝑈 = 0,75
𝑤
.
3
.
𝑙
𝑙 ≥ 1,3𝐷 … 𝑈 = 1,0
𝐷 ≤ 𝑙 < 1,3𝐷 … 𝑈
= 1−
𝑥̅ =
6
Tubo
rectangular
𝐷
𝜋
Con sólo una
placa
gusset concéntrica
𝑙 ≥ 𝐻…𝑈 = 1 −
2
𝑥̅ =
𝐵 + 2𝐵𝐻
4(𝐵 + 𝐻)
.
Tubos circulares con sólo una placa
gusset concéntrica.
𝑥̅
𝑙
.
𝑙
𝑥̅
𝑙
𝐻
.
.
𝐵
𝑙
𝑙 ≥ 𝐻…𝑈 = 1 −
2
𝑥̅ =
𝐵
4(𝐵 + 𝐻)
𝑥̅
𝑙
𝐻
.
Con dos placas gusset
concéntricas
.
.
𝐵
𝑙
Perfiles W,
M, S o HP o T
cortadas a
partir
de
estos
perfiles. (Si 𝑈
es calculado
según Caso 2,
se permite
utilizar
el
mayor
valor).
Con ala conectada con 3
o más conectores por
línea en la dirección de
carga
2
𝑑 … 𝑈 = 0,90
3
2
𝑏𝑓 < 𝑑 … 𝑈 = 0,85
3
𝑑
𝑏𝑓 ≥
.
7
𝐷
.
5
.
𝑏𝑓
Con alma conectada con
4 o más conectores por
línea en la dirección de la
carga
𝑈 = 0,70
33
8
Ángulos
simples (si 𝑈
es calculado
según Caso 2,
se permite
utilizar
el
mayor valor).
Con 4 o más conectores
por línea en la dirección
de la carga
𝑈 = 0,80
Con 2 o 3 conectores por
línea en la dirección de la
carga
𝑈 = 0,60
̅= excentricidad de
𝒍= longitud de conexión en la dirección de la carga, mm; 𝒘= ancho plancha, mm; 𝒙
conexión, mm; 𝑩=ancho total del tubo rectangular, medido a 90° con respecto al plano de conexión, mm;
𝑯= altura total del tubo rectangular, medido en el plano de conexión, mm.
Adaptado de Norma NCh427/1 [Ref. 28], Tabla D3. Figuras adaptadas de Ref. 1, Tabla 4-1.
3.5.
Bloque de corte
En las secciones anteriores se definieron los estados límites para elementos sometidos sólo a
tracción pura, pero, dependiendo de la configuración de la conexión, el elemento puede quedar
sometido a tracción en una cara y a corte en la cara perpendicular. El estado límite de rotura del
bloque de corte puede controlar la resistencia de tracción, por lo que se debe verificar los extremos
del miembro. El plano de falla usualmente ocurre a lo largo de los centros de los orificios de los
pernos en conexiones apernadas y a lo largo del perímetro de conexiones soldadas. Para este modo
de falla, se supone que el miembro en tracción se rompe debido al corte y la tracción, por lo cual,
tanto el plano de falla de corte como el de tracción contribuyen a la resistencia del miembro.
La resistencia nominal a la fractura en el bloque de corte se representa por la siguiente expresión
(Ec. J4-5 de NCh427/1):
𝑃𝑛 = 0,6𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 ≤ 0,6𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡
𝜙𝑡 = 0,75 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 2 (𝐴𝑆𝐷)
(3.9)
Donde:
𝐴𝑔𝑣 = Área bruta solicitada a corte (mm2)
𝐴𝑛𝑣 = Área neta solicitada a corte (mm2)
𝐴𝑛𝑡 =Área neta solicitada a tracción (mm2)
𝑈𝑏𝑠 =1,0 para tensión de tracción uniforme y 0,5 para tensión de tracción no uniforme.
El término 𝑈𝑏𝑠 es un factor de reducción que toma en cuenta la distribución uniforme o no uniforme
de la tensión. El caso más frecuente es tener una distribución de tensiones uniformes, para lo cual
𝑈𝑏𝑠 = 1,0. En la Figura 3.3 se muestran algunos ejemplos de este factor.
34
Ángulo soldado
Conexiones de viga
de una fila
Extremos de ángulos
Placas gusset
(a) Casos para cuando 𝑈𝑏𝑠 = 1,0
Conexiones de viga de múltiples filas
(b) Casos para cuando 𝑈𝑏𝑠 = 0,5
Figura 3.3. Factor 𝑼𝒃𝒔 para distintas distribuciones de tensiones en el bloque de corte (Adaptado de Ref. 12,
Figura C-J4.2).
Se debe notar que cuando la resistencia por bloque de corte es insuficiente, ésta se puede
incrementar alargando la conexión, ya sea aumentando la distancia del orificio hasta el borde, la
separación de los pernos (paso) o el número de éstos.
3.6.
Miembros conectados por pasadores
Es posible conectar perfiles tubulares que trabajan en tracción por medio de pasadores individuales,
ya sea por razones estéticas o de funcionamiento, cuando se desea que la unión tenga capacidad de
rotar. Este tipo de conexión se utiliza ocasionalmente en miembros en tracción con grandes cargas
muertas, y no se recomienda cuando la variación de la carga viva es de tal magnitud que pueda
causar desgaste del pasador. El diseño a tracción de la placa conectora en este tipo de unión se rige
por la sección D5 de la norma NCh 427/1.
La resistencia nominal en tracción de miembros conectados por pasadores debe ser el menor valor
determinado de acuerdo con los estados límites de fractura por tracción, fractura por corte,
aplastamiento y fluencia.
Fractura en tracción en el área neta efectiva (Ec. D5-1 de NCh427/1):
𝑃𝑛 = 𝐹𝑢 (2𝑡𝑏𝑒 )
𝜙𝑡 = 0,75 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω𝑡 = 2 (𝐴𝑆𝐷)
Fractura en corte en el área efectiva (Ec. D5-2 de NCh427/1):
𝑃𝑛 = 0,6𝐹𝑢 𝐴𝑠𝑡
(3.10)
(3.11)
35
𝜙𝑠𝑡 = 0,75 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω𝑠𝑡 = 2 (𝐴𝑆𝐷)
Donde:
𝐴𝑠𝑡 = Area de la superficie de falla por corte = 2𝑡(𝑎 + 𝑑⁄2)
a = distancia más corta desde el borde de la perforación del pasador hasta el borde del miembro
medido paralelamente a la dirección de la fuerza
𝑏𝑒 = 2𝑡 + 16 , mm, pero no más que la distancia entre el borde de la perforación y el borde de la
parte medida en la dirección normal a la fuerza aplicada.
d = diámetro del pasador
t = espesor de la plancha
Para aplastamiento en el área proyectada del pasador, se aplica la sección J7 de la norma, mientras
que para fluencia en la sección bruta, se usa la sección D2.a. Los requisitos dimensionales de la
sección D5.2 de la norma y las dimensiones indicadas previamente se ilustran en la Figura 3.4.
𝑎 ≥ 1,33𝑏𝑒
𝑤 ≥ 2𝑏𝑒 + 𝑑
𝑐 ≥𝑎
Figura 3.4. Requerimientos dimensionales para miembros conectados por pasadores (Ref. 12, Figura CD5.1).
36
3.7.
Ejemplos de miembros en tracción
Ejemplo 3.1
Para el miembro apernado en tracción mostrado en la Figura 3.5, para el cual se especifica un acero
estructural para construcciones generales, determinar la resistencia de diseño 𝜙𝑃𝑛 .
4 pernos de 3/4
pulgadas
L100x100x12 Acero A270ES
𝑃𝑢
18
75mm
18
75mm
18
75mm
Figura 3.5. Detalles para Ejemplo 3.1.
SOLUCIÓN
Propiedades de la sección L100x100x12mm obtenidas de la Tabla 2.1.8 del Manual ICHA [Ref. 22].
𝑥̅ = 29 𝑚𝑚
𝐴𝑔 = 2271 𝑚𝑚2
De acuerdo con la Tabla 3-1-a del Manual ICHA, el gramil de un perfil L laminado, de 100 mm de lado, es:
𝑔 = 55𝑚𝑚
Factor de corte diferido:
𝑥̅
29
𝑈 = 1− =1−
= 0,871
𝑙
75 𝑥 3
Alternativamente, 𝑈 = 0,80 de la Tabla 3.1. El valor más grande de 𝑈 = 0,871se puede usar.
Área neta del ángulo:
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − 𝐴ℎ = 2271 − (1 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 12 = 2004,3 𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
Área neta efectiva del ángulo:
𝐴𝑒 = 𝐴𝑛 𝑈 = 2004,3 𝑥 0,871 = 1745,7 𝑚𝑚2
De la Ecuación(3.1), la resistencia por fluencia en el área bruta es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐴𝑔 = 0,9 𝑥 270 𝑥 2271 = 551853 𝑁 = 551,9 𝑘𝑁
De la Ecuación(3.2), la resistencia por rotura en el área neta efectiva es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑢 𝐴𝑒 = 0,75 𝑥 410 𝑥 1745,7 = 536803 𝑁 = 536,8 𝑘𝑁
Dimensiones del bloque de corte del ángulo:
𝐴𝑔𝑣 = (50 + 75 𝑥 3)𝑥 12 = 3300 𝑚𝑚2
𝐴𝑔𝑡 = 45 𝑥 12 = 540 𝑚𝑚2
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑣 = 𝐴𝑔𝑣 − ∑𝐴ℎ = 3300 − (3,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 12 = 2366,6𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
37
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑡 = 𝐴𝑔𝑡 − ∑𝐴ℎ = 540 − (0,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 12 = 406,7𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑈𝑏𝑠 = 1,0
15
𝑃𝑢
18
50 mm
18
75mm
18
75mm
45 mm
18
75mm
Figura 3.6. Bloque de corte del ángulo.
De la Ecuación(3.9), la resistencia por bloque de corte es:
𝜙𝑃𝑛 = 𝜙(0,60𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 ) ≤ 𝜙(0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 )
𝜙𝑃𝑛 = 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 410 𝑥2366,6 + 1,0 𝑥 410 𝑥 406,7) = 561698 𝑁 = 561,7 𝑘𝑁
≤ 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 270 𝑥3300 + 1,0 𝑥410 𝑥406,7) = 526010 𝑁 = 526,0 𝑘𝑁
El valor más pequeño controla, por lo tanto 𝜙𝑃𝑛 = 526,0 𝑘𝑁
Resumen
Modo de falla por fluencia:
𝜙𝑃𝑛 = 551,9 𝑘𝑁
Modo de falla por rotura:
𝜙𝑃𝑛 = 536,8 𝑘𝑁
Modo de falla por bloque de corte: 𝜙𝑃𝑛 = 526,0 𝑘𝑁
Finalmente, la resistencia de diseño es 𝜙𝑃𝑛 = 526,0 𝑘𝑁
38
Ejemplo 3.2
Para el miembro soldado en tracción mostrado en la Figura 3.7, determinar el factor de corte diferido 𝑈, el
área neta 𝐴𝑛 , el área neta efectiva 𝐴𝑒 y la resistencia de diseño 𝜙𝑃𝑛 .
120mm
36
𝑃𝑢
L100x100x12 Acero A270ES
24
80mm
Figura 3.7. Detalles para Ejemplo 3.2.
SOLUCIÓN
Propiedades de la sección L100x100x12 obtenidas de la Tabla 2.1.8 del Manual ICHA
𝑥̅ = 29𝑚𝑚; 𝐴𝑔 = 2271𝑚𝑚2
Factor de corte diferido: Para soldaduras de largos desiguales, según el comentario de la sección D3 de
AISC 360-10, se usa el largo promedio (Ver Figura C-D3.4 Ref. 12). Por lo tanto 𝑙 = 100 𝑚𝑚.
𝑥̅
29
𝑈 = 1− = 1−
= 0,71
𝑙
100
No hay un valor alternativo de ángulos soldados para usar en la Tabla 3.1, por lo tanto 𝑈 = 0,71.
Dado que no hay orificios 𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 = 2271 𝑚𝑚2
Área neta efectiva del ángulo:
𝐴𝑒 = 𝐴𝑛 𝑈 = 2271 𝑥 0,71 = 1612,4 𝑚𝑚2
De la Ecuación(3.1), la resistencia por fluencia en el área bruta es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐴𝑔 = 0,9 𝑥 270 𝑥 2271 = 551853 𝑁 = 551,9 𝑘𝑁
De la Ecuación(3.2), la resistencia por rotura en el área neta efectiva es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑢 𝐴𝑒 = 0,75 𝑥 410 𝑥 1612,4 = 495813 𝑁 = 495,8 𝑘𝑁
Dado que los elementos se conectan por medio de soldadura, no se produce bloque de corte en el ángulo.
Finalmente, la resistencia de diseño es 𝜙𝑃𝑛 = 495,8 𝑘𝑁
39
Ejemplo 3.3
Determinar la máxima carga en tracción que puede ser aplicada en el ángulo mostrado en la Figura 3.8. El
ángulo es de acero ASTM A36, conectado con cuatro pernos de 3/4 pulgadas de diámetro.
L152x102x9,5
Acero ASTM A36
102 mm
̅
𝒙
38,5 mm
𝑃𝑢
g = 75 mm
38,5 mm
Placa gusset 𝑡=12 mm
3 @ 38 mm
Figura 3.8. Detalles para Ejemplo 3.3.
SOLUCIÓN
Propiedades de la sección L152x102x9,5 obtenidas de la Tabla 2.2.5 del Manual ICHA.
𝑥̅ = 24,1 𝑚𝑚
𝐴𝑔 = 2320 𝑚𝑚2
𝑡 = 9,5 𝑚𝑚
Factor de corte diferido:
𝑥̅
24,1
𝑈 = 1− =1−
= 0,789
𝑙
3 𝑥 38
Alternativamente, 𝑈 = 0,60 de la Tabla 3.1. El valor más grande de 𝑈 = 0,789 se puede usar.
Área neta del ángulo:
𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − ∑𝑑ℎ 𝑡 + ∑
𝑠2
𝑡
4𝑔
Para el plano de falla ABC (Figura 3.9)
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛 = 2320 − (1 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 9,5 + 0 = 2108,9 𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
Para el plano de falla ABDE:
3 1
𝑚𝑚
382
𝐴𝑛 = 2320 − (2 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 9,5 +
𝑥 9,5 = 1943, 5 𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
4 𝑥 75
40
A
B
D
E
C
38
Figura 3.9. Planos de falla del ángulo.
𝑠
El plano de falla a lo largo de la línea ABDE controla, ya que tiene un área neta más pequeña.
Área neta efectiva del ángulo:
𝐴𝑒 = 𝐴𝑛 𝑈 = 1943,5 𝑥 0,789 = 1533,4 𝑚𝑚2
De la Ecuación(3.1), la resistencia por fluencia en el área bruta es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐴𝑔 = 0,9 𝑥 248 𝑥 2320 = 517824 𝑁 = 517,8 𝑘𝑁
De la Ecuación(3.2), la resistencia por rotura en el área neta efectiva es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑢 𝐴𝑒 = 0,75 𝑥 400 𝑥 1533,4 = 460020 𝑁 = 460,0 𝑘𝑁
Dimensiones del bloque de corte del ángulo:
Se selecciona el mismo plano de falla ABDE (Figura 3.10) que controló el área neta.
𝐴𝑔𝑣 = (40 + 76 + 38)𝑥 9,5 = 1463 𝑚𝑚2
𝐴𝑔𝑡 = (75 + 38,5) 𝑥 9,5 = 1078,3 𝑚𝑚2
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑣 = 𝐴𝑔𝑣 − ∑𝐴ℎ = 1463 − (1,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 9,5 = 1146,3𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
3 1
𝑚𝑚
382
𝐴𝑛𝑡 = 𝐴𝑔𝑡 − ∑𝐴ℎ = 1078,3 − (1,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 9,5 +
𝑥 9,5
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
4 𝑥 75
= 807,3𝑚𝑚2
Se desarrolla el bloque de corte para el plano ABC (Figura 3.10), a modo de comparación. Las áreas 𝐴𝑔𝑣 ,
𝐴𝑔𝑡 y 𝐴𝑛𝑣 son iguales al caso anterior.
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑡 = 𝐴𝑔𝑡 − ∑𝐴ℎ = 1078,3 − (0,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 9,5 = 972,7𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
El área neta en tracción 𝐴𝑛𝑡 para el plano de falla ABC es mayor que el ABDE, por lo tanto se verifica que el
plano de falla diagonal controla.
𝑈𝑏𝑠 = 1,0
41
75mm
75mm
38,5mm
38,5mm
40mm
76mm
38mm
40mm
76mm
Figura 3.10. Bloques de corte para distintos planos de falla del ángulo.
De la Ecuación(3.9), la resistencia por bloque de corte es:
𝜙𝑃𝑛 = 𝜙(0,60𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 ) ≤ 𝜙(0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 )
𝜙𝑃𝑛 = 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 400 𝑥1146,3 + 1,0 𝑥 400 𝑥 807,3)
≤ 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 248 𝑥1463 + 1,0 𝑥400 𝑥807,3)
𝜙𝑃𝑛 = 448524 𝑁 ≥ 405460,8 𝑁 = 448,5 𝑘𝑁 ≥ 405,5 𝑘𝑁
El valor más pequeño controla, por lo tanto 𝜙𝑃𝑛 = 405,5 𝑘𝑁
Resumen
Modo de falla por fluencia:
𝜙𝑃𝑛 = 517,8 𝑘𝑁
Modo de falla por rotura:
𝜙𝑃𝑛 = 460,0 𝑘𝑁
Modo de falla por bloque de corte:𝜙𝑃𝑛 = 405,5 𝑘𝑁
Finalmente, la resistencia de diseño es 𝜙𝑃𝑛 = 405,5 𝑘𝑁
42
38mm
Ejemplo 3.4
Determinar si el canal es adecuado para la carga en tracción aplicada mostrada en la Figura 3.11. El canal
está conectado con cuatro pernos de 5/8 pulgadas de diámetro.
40mm
100mm
40mm
𝑥̅
50 mm
103 mm
𝑃𝑢 = 330kN
50 mm
C200x17,1
A36
Acero ASTM
Placa gusset 𝑡=10mm
Figura 3.11. Detalles para Ejemplo 3.4.
SOLUCIÓN
Propiedades de la sección C200x17,1 obtenidas de la Tabla 2.2.4 del Manual ICHA.
𝑥̅ = 14,4 𝑚𝑚
𝐴𝑔 = 2170 𝑚𝑚2
𝑡𝑤 = 5,6 𝑚𝑚
Factor de corte diferido:
𝑥̅
14,4
𝑈 = 1− =1−
= 0,856
𝑙
100
No hay un valor alternativo de canales para usar en la Tabla 3.1, por lo tanto 𝑈 = 0,856.
Área neta del canal:
5 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − 𝐴ℎ = 2170 − (2 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥25,4
𝑥5,6 = 1956,6𝑚𝑚2
8 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
Área neta efectiva del canal:
𝐴𝑒 = 𝐴𝑛 𝑈 = 1956,6𝑥0,856 = 1674,9𝑚𝑚2
De la Ecuación(3.1), la resistencia por fluencia en el área bruta es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐴𝑔 = 0,9𝑥248𝑥2170 = 484344𝑁 = 484,3𝑘𝑁 > 𝑃𝑢 = 330 𝑘𝑁
De la Ecuación(3.2), la resistencia por rotura en el área neta efectiva es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑢 𝐴𝑒 = 0,75𝑥400𝑥1674,9 = 502470𝑁 = 502,5𝑘𝑁 > 𝑃𝑢 = 330 𝑘𝑁
Dimensiones del bloque de corte del canal:
𝐴𝑔𝑣 = (2𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠) 𝑥(100 + 40)𝑥5,6 = 1568𝑚𝑚2
𝐴𝑔𝑡 = 103𝑥5,6 = 576, 8 𝑚𝑚2
43
5 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑣 = 𝐴𝑔𝑣 − ∑𝐴ℎ = 1568 − (2𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠)𝑥(1,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥25,4
𝑥5,6 = 1248𝑚𝑚2
8 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
5 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑡 = 𝐴𝑔𝑡 − ∑𝐴ℎ = 576,8 − (1𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜)𝑥 ( + ) 𝑥25,4
𝑥5,6 = 470,1𝑚𝑚2
8 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑈𝑏𝑠 = 1,0
De la Ecuación(3.9), la resistencia por bloque de corte es:
𝜙𝑃𝑛 = 𝜙(0,60𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 ) ≤ 𝜙(0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 )
𝜙𝑃𝑛 = 0,75𝑥 (0,60𝑥400𝑥1248 + 1,0𝑥400𝑥470,1)
≤ 0,75𝑥 (0,60𝑥248𝑥1568 + 1,0𝑥400𝑥470,1)
𝜙𝑃𝑛 = 365670𝑁 ≥ 316018,8𝑁 = 365,7 𝑘𝑁 ≥ 316,0 𝑘𝑁
40mm
100mm
50 mm
103 mm
𝑃𝑢 = 330 kN
50 mm
Figura 3.12. Bloque de corte para el canal.
El valor más pequeño controla la resistencia del canal por bloque de corte. Finalmente, la capacidad de la
conexión es 𝜙𝑃𝑛 = 316,0 𝑘𝑁.
Para completar la verificación, se puede calcular la resistencia del bloque de corte de la placa gusset. Las
dimensiones del bloque de corte se muestran en la Figura 3.13. Figura 3.13. Ya que para este ejemplo las
dimensiones son las mismas que las del bloque de corte del canal, y sólo cambia el espesor de la placa, no
es necesario repetir todos los cálculos y la resistencia simplemente se puede calcular amplificando la
resistencia del bloque de corte del canal por la razón entre espesores, 10/5,6. Así, la resistencia de la placa
gusset por bloque de corte es 𝜙𝑃𝑛 = 564,3 𝑘𝑁. De todas formas, dependiendo de la configuración
geométrica del gusset, es posible que otros modos de falla distintos al bloque de corte controlen su
resistencia.
44
100mm 40mm
103 mm
𝑃𝑢 = 330 kN
Figura 3.13. Bloque de corte para la placa gusset.
45
46
4.1.
Introducción
Las conexiones apernadas y soldadas son muy comunes en la actualidad, y reemplazaron totalmente
el uso de las conexiones remachadas. Estas dos últimas requieren trabajadores especializados tanto
para su instalación como su inspección. Además, las conexiones remachadas son más peligrosas, ya
que para instalarlas necesitan ser calentadas a temperaturas muy altas. Por su parte, los pernos
como material y el proceso de fabricación de la conexión apernada (debido a la precisión geométrica
requerida) tienen un costo más elevado, pero resulta ser un mecanismo más fácil y rápido de
instalar, debido a la utilización de mano de obra menos especializada. Esto va acompañado de un
amplio margen de seguridad en su ejecución y la posibilidad de reemplazar partes de la estructura
que puedan estar dañadas.
En este capítulo se presentan los principales conceptos de uniones apernadas y soldadas. Se explican
los tipos de uniones apernadas y soldadas, disposiciones básicas de detallamiento y las ecuaciones
de diseño para corte y tracción.
4.2.
Conexiones apernadas
4.2.1. Tipos de pernos
Existen varios tipos de pernos que se utilizan para conectar elementos de acero. Por una parte, se
encuentran los pernos ordinarios o comunes, que se usan generalmente en estructuras secundarias
livianas sometidas a cargas estáticas y miembros secundarios tales como costaneras, riostras,
plataformas, enrejados pequeños, entre otros. Estos poseen una baja capacidad de carga y se
designan como pernos A307. Por otro lado, se presentan los pernos de alta resistencia, los cuales
tienen el doble o más de la capacidad de los pernos ordinarios y son aptos para todo tipo de
estructuras sometidas tanto a cargas estáticas como dinámicas. Así, según la sección 8.5.1 de la
norma NCh2369Of.2003 [Ref. 24], los pernos de conexiones sismorresistentes deben ser de alta
resistencia. El uso de pernos de alta resistencia, de acuerdo con la sección J3.1 de la norma NCh
427/1, debe satisfacer las disposiciones de la Especificación RCSC (Specification for Structural Joints
Using High Strength Bolts, Ref. 32). Los pernos de alta resistencia se agrupan de acuerdo con la
resistencia del material según lo siguiente:
Grupo A: ASTM A325, A325M, F1852, A354 Grado BC y A449.
Grupo B: ASTM A490, A490M, F2280, A354 Grado BD.
En la Tabla 4.1 se presentan las tensiones nominales de corte y tracción de los pernos A325 y A490,
que son los más utilizados en la práctica.
Tabla 4.1. Tensiones nominales de pernos de alta resistencia.
Tipo de perno
Esfuerzo de corte nominal 𝑭𝒏𝒗 MPa
Esfuerzo de tracción nominal 𝑭𝒏𝒕 MPa
A325N
372
620
A325X
469
620
A490N
469
780
A490X
579
780
N: el hilo no está excluido del plano de corte, X: el hilo está excluido del plano de corte.
Adaptado de norma NCh427/1, Tabla J3.2.
47
Cabe señalar que en conexiones que consisten en pocos pernos y de largo que no exceda
aproximadamente 400 mm, los efectos de la deformación diferencial en el corte de los pernos son
despreciables (ver Comentarios Sección J3.6 Ref.12). En conexiones más largas la deformación
diferencial produce una distribución dispareja de la carga entre los pernos, por lo que se reduce la
resistencia máxima por perno. La norma NCh 427/1 no limita el largo, pero establece en el pie de la
Tabla J3.2 que para conexiones de largo mayor que 965 mm, la resistencia al corte debe reducirse a
un 83.3% de los valores tabulados.
Cuando los requisitos para pernos no se pueden cumplir de acuerdo con las limitaciones de la
Especificación RCSC, debido a que la longitud requerida excede 12 diámetros o los diámetros
exceden de 38 mm, se permite utilizar pernos o barras roscadas de material conforme al Grupo A o
B. En cuanto a los pernos de anclaje, preferentemente se deben usar los pernos F1554 (sección A.35 de la norma NCh427/1).
4.2.2. Tipos de juntas
Existen tres tipos de juntas apernadas de alta resistencia: de apriete ajustado, pretensionada y de
fricción o deslizamiento crítico. Se diferencian en la cantidad de fuerza de apriete que se les aplica
y la resistencia al desplazamiento que presentan. El área de contacto entre las partes conectadas se
llama superficie de ajuste.
La junta de apriete ajustado, según la sección J.3-1 de la norma NCh427/1, se refiere a la condición
de apriete para llevar los elementos conectados a un contacto firme. Este tipo de junta permite, en
cierto grado, el desplazamiento de tales elementos (producto del incremento del diámetro del
agujero con respecto al del perno), lo que produce un aplastamiento en el vástago de los pernos
que los atraviesan. Cuando esto ocurre se definen planos de corte según el número de secciones de
traspaso de carga, donde se tiene corte simple si existe un plano de traspaso de carga y corte
múltiple si existen varios. Se puede observar este efecto en la Figura 4.1, la cual muestra una
conexión apernada en cortante doble. Es importante notar que cuando se presentan juntas con más
de tres miembros, la resistencia se calcula considerando a lo más un cortante doble ya que es poco
probable que la falla se produzca en todos los planos. Esta junta se puede utilizar en conexiones de
corte y conexiones sometidas solo a tracción, pero no se permite cuando se utilizan pernos A490
sometidos a tracción. Se puede obtener mediante un apriete manual con una llave de cola o con
unos cuantos golpes con una llave de impacto y no necesita una inspección detallada, visualmente
basta.
𝑃
2
𝑃
𝑃
2
Aplastamiento
Figura 4.1. Cortante doble para conexión tipo aplastamiento.
48
La junta pretensionada consiste en la aplicación de un esfuerzo de tracción en los pernos igual al
70% de la tensión de tracción nominal, como mínimo. Los valores de la tracción aplicada de acuerdo
con tamaño del perno se muestran en la Tabla 4.2.
La pretensión que se suministra hace que los elementos queden fuertemente conectados entre sí,
permitiendo que se genere fricción entre ellos, lo cual se traduce en una considerable resistencia al
deslizamiento. Este tipo de junta se utiliza en conexiones sometidas a cargas sísmicas (que involucra
inversión de las cargas) y fatiga por tracción (donde no hay inversión de cargas). Cuando se utilicen
pernos A490, éstos se deben pretensionar si están sometidos a tracción o a una combinación de
tracción y corte, aun cuando no se presente fatiga. Para obtener esta junta, primero se debe
alcanzar la condición de apriete ajustado y luego aplicar un método de apriete para llegar a la
pretensión deseada.
Se definen cuatro métodos de apriete de pernos de alta resistencia: método del giro de la tuerca,
método de la llave calibrada, indicador de tracción directa y pernos de tensión controlada. Estos
métodos se describen en la sección 4.5 de la Referencia 34 y en la sección 8.2 de la Referencia 33.
Tabla 4.2. Pretensión mínima de pernos de alta resistencia.
A325 A490 kN
Diámetro del perno pulgadas
kN
1⁄
53
67
2
5⁄
8
3⁄
4
7⁄
8
85
107
125
156
173
218
1
227
285
1 1⁄8
249
356
1 1⁄4
316
454
1 3⁄8
378
538
1 1⁄2
458
658
Pretensión mínima = 0,70𝐹𝑛𝑡 𝐴𝑏
Adaptado de norma NCh427/1, Tabla J3.1.
La junta de deslizamiento crítico es similar a la pretensionada, ya que la instalación de los pernos se
realiza de la misma manera, es decir, sometidos a pretensión (valores indicados en la Tabla). La
diferencia radica en el tratamiento de la superficie de contacto de los elementos o de empalme, de
manera que se provea un coeficiente de fricción adecuado.
𝑃
𝑃
Figura 4.2. Perno en conexión tipo fricción.
49
Cuando se tiene una junta de apriete ajustado, la conexión se denomina tipo aplastamiento (ver
Figura 4.1), ya que es posible que los elementos se desplacen, aplastando a los pernos que los
conectan. En cambio, cuando se tiene una junta pretensionada o de deslizamiento crítico, se habla
de conexión tipo fricción (ver Figura 4.2), ya que se presenta resistencia al deslizamiento debido a
la fricción producida. Sin embargo, la resistencia de diseño de la junta pretensionada se calcula de
la misma manera que la de apriete ajustado, suponiendo que con el tiempo la fricción se pierde o la
fuerza de fricción es excedida. La junta de deslizamiento crítico tiene una expresión propia que no
se enseña en este texto por la misma razón anterior y además porque se recomienda diseñar la
mayor parte de las conexiones como si fueran de tipo aplastamiento, pero teniendo en cuenta que
se deben instalar con la pretensión indicada para conexiones tipo deslizamiento crítico (sección
8.5.6 de la norma NCh2369Of.2003 [Ref. 24]).
La aplicabilidad de cada tipo de unión apernada se explica a continuación. En primer lugar, según la
sección 4.3 de la Especificación RCSC, se requiere de uniones críticas al deslizamiento en los
siguientes casos que involucren corte o combinación de tracción y corte:
- Uniones sometidas a cargas de fatiga con inversión de la dirección de la carga.
- Uniones con agujeros sobredimensionados
- Uniones con agujeros ovalados, excepto cuando la dirección de la carga es perpendicular a
la dirección del lado largo del agujero.
- Uniones es que el deslizamiento en las superficies de contacto afecte al rendimiento de la
estructura.
Los requerimientos de la superficie de contacto para uniones de deslizamiento crítico se describen
en la sección 3.2.2 de la Especificación RCSC.
Por otra parte, según la sección 4.2 de la Especificación RCSC se requieren conexiones
pretensionadas pero no de deslizamiento crítico en los siguientes casos:
- Uniones sometidas a inversión de carga significativa, uniones con fatiga sin inversión de
carga.
- Uniones con pernos A325 sometidos a fatiga en tracción.
- Uniones con pernos A490 sometidos a tracción o tracción-corte con o sin fatiga.
- Además, en la sección J1.10 de la norma NCh 427/1 se establece que en los siguientes casos
debe utilizarse conexiones pretensionadas:
- Empalmes de columnas en estructuras de pisos múltiples por sobre 38 m de altura
- Conexiones de todas las vigas a columnas y a cualquier otra viga que fije un arriostramiento
de columna en estructuras por sobre los 38 m de altura.
- En varias conexiones de estructuras que soporten grúas sobre 50 kN de capacidad.
- En conexiones para soporte de maquinaria y otras cargas vivas que produzcan cargas de
impacto o cargas reversibles.
En la práctica nacional para el diseño y montaje de conexiones apernadas se considera que todos
los pernos en conexiones sometidas a cargas sísmicas deben ser pretensionados.
Finalmente, se permite que los pernos sean instalados con apriete ajustado en conexiones tipo
aplastamiento excepto por lo indicado en la sección E6 y J1.10 de la norma NCh 427/1, y en
aplicaciones de tracción o combinación de corte-tracción, para pernos del grupo A, donde la pérdida
de apriete o fatiga no se consideren en el diseño.
50
4.2.3. Tipos de orificios
El tipo de orificio más usado en conexiones es el de tamaño estándar (STD), es decir, 1/16 pulgadas
más grande que el diámetro del perno expresado también en pulgadas. Además de éste, existen
otros tres tipos de orificios: sobretamaño (OVS), de ranura corta (SSL) y de ranura larga (LSL). El uso
de cada uno de ellos se detalla en la sección J.3-2 de la norma NCh427/1. Los tipos de orificios
anteriormente mencionados se muestran en la Figura 4.3, y el detalle de sus dimensiones, de
acuerdo con el tamaño del perno utilizado, se presenta en la Tabla 4.3. Se debe recordar, del
capítulo de miembros en tracción, que se adiciona 1/16 pulgadas (o 2 mm) al tamaño nominal del
orificio por efectos de punzonamiento del perno sobre él.
a) Estándar (STD)
b) Sobretamaño (OVS)
c) Ranura corta (SSL)
c) Ranura larga (LSL)
Figura 4.3. Tipos de orificios para conexiones apernadas.
Tabla 4.3. Dimensiones de agujero nominal.
Diámetro
del
perno
pulgadas
Dimensiones agujero
Estándar
(Dia.)
9⁄
16
11⁄
16
13⁄
16
15⁄
16
1
1 ⁄16
1
≥ 1 1⁄8
𝑑𝑏 + 1⁄16
Norma NCh427/1, Tabla J3.3.
1⁄
2
5⁄
8
3⁄
4
7⁄
8
Sobretamaño
(Dia.)
5⁄
8
13⁄
16
15⁄
16
1
1 ⁄16
1 1⁄4
𝑑𝑏 + 5⁄16
Ranura corta
(Ancho x Largo)
Ranura larga
(Ancho x Largo)
9⁄ 𝑥 11⁄
16
16
11⁄ 𝑥 7⁄
16
8
13⁄ x 1
16
15⁄ 𝑥 1 1⁄
16
8
5
1
1 ⁄16 𝑥 1 ⁄16
(𝑑𝑏 + 1⁄16)𝑥(𝑑𝑏 + 3⁄8)
9⁄ 𝑥 1 1⁄
16
4
11⁄ 𝑥 1 9⁄
16
16
13⁄ 𝑥 1 7⁄
16
8
15⁄ 𝑥 2 3⁄
16
16
1
1
1 ⁄16 𝑥 2 ⁄2
(𝑑𝑏 + 1⁄16)𝑥(2,5 𝑑𝑏 )
Para placas base de columnas las perforaciones son más grandes, ya que se debe generar mayor
tolerancia para el proceso de montaje de los pernos de anclaje. En la Parte 14 del Manual AISC [Ref.
9] se recomiendan los valores presentados en la Tabla 4.4.
51
Tabla 4.4. Tamaño recomendado del orificio para placas base de columnas.
Diámetro del perno de anclaje pulgadas
Diámetro del orificio pulgadas
3⁄
4
7⁄
8
1 5⁄16
1
1 13⁄16
1 1⁄4
2 1⁄16
1 1⁄2
2 5⁄16
1 3⁄4
2 3⁄4
2
3 1⁄4
2 1⁄2
3 3⁄4
1 9⁄16
Adaptado de Ref. 9,Tabla 14-2.
4.2.4. Espaciamiento requerido de orificios
El espaciamiento de los orificios entre sí, según la sección J.3-3 de la norma NCh427/1, es como
mínimo 2 2/3 veces el diámetro del perno (𝑑𝑏 ) para prevenir fallas por tracción en el miembro, pero
se recomienda utilizar una distancia de 3𝑑𝑏 . Esto es válido para todos los tipos de orificios.
Por otro lado, la distancia desde el centro de un orificio estándar hasta cualquier borde del
elemento, de acuerdo con la sección J.3-4 de la norma NCh427/1, deber ser la que se especifica en
la Tabla 4.5, teniendo en cuenta que se cumpla con la resistencia al aplastamiento. Para los otros
tipos de agujeros se debe incrementar esta distancia según lo que indica la Tabla J3.5 de la misma
norma. Es importante respetar el espaciamiento recomendado por la norma para evitar la rotura
del miembro y el desgarramiento en los extremos.
Tabla 4.5. Distancia mínima de un orificio estándar a un borde del elemento.
Diámetro del perno pulgadas
Distancia mínima al borde pulgadas
3⁄
1⁄
2
4
7⁄
5⁄
8
8
3⁄
1
4
7⁄
1 1⁄8
8
1
1 1⁄4
1 1⁄8
1 1⁄2
1 1⁄4
1 5⁄8
> 1 1⁄4
1 1⁄4 𝑑𝑏
Norma NCh427/1, Tabla J3.4.
También en la norma NCh427/1, sección J.3-5, se establece un límite superior para el espaciamiento
de los pernos con el fin de evitar el ingreso de humedad entre los elementos conectados, impidiendo
a su vez, que se genere corrosión. La distancia máxima desde el centro de los pernos hasta un borde
52
es el mínimo entre 12 veces el espesor del elemento conectado y 150 mm. Por otro lado, la distancia
longitudinal entre pernos es de 24 veces el espesor de la plancha más delgada pero no más de 305
mm para miembros pintados o sin pintar no sujetos a corrosión, y de 14 veces el espesor de la
plancha más delgada pero no más de 180 mm para miembros sin pintar resistentes a la corrosión
atmosférica.
4.2.5. Resistencia de pernos
La resistencia nominal 𝑅𝑛 de pernos, se determina considerando los siguientes modos de falla: corte,
tracción y aplastamiento, de los pernos o de los orificios de los miembros conectados, según
corresponda.
Las resistencias nominales de rotura en corte y rotura en tracción del perno 𝑅𝑛 , se determinan por
medio de las siguientes expresiones:
Ec. J3-1 de NCh427/1:
𝑅𝑛 = 𝐹𝑛 𝐴𝑏
𝑅𝑛𝑣 = 𝐹𝑛𝑣 𝐴𝑏
𝑅𝑛𝑡 = 𝐹𝑛𝑡 𝐴𝑏
𝜙 = 0,75 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 2 (𝐴𝑆𝐷)
(4.1)
(4.2)
Donde:
𝑅𝑛𝑣 = Resistencia nominal a la rotura por corte por el método LRFD (𝜙 = 0,75)
𝑅𝑛𝑡 = Resistencia nominal a la rotura por tracción por el método LRFD (𝜙 = 0,75)
𝐹𝑛𝑣 = Esfuerzo de corte nominal del perno, según Tabla 4.1 (MPa)
𝐹𝑛𝑡 = Esfuerzo de tracción nominal del perno, según Tabla 4.1 (MPa)
𝐴𝑏 = Área bruta del perno o parte roscada (mm2)
La resistencia nominal al aplastamiento de la perforación de un perno, con orificio estándar,
sobretamaño y de ranura corta independiente de la dirección de la carga, o con orificio de ranura
larga paralelo a la dirección de la carga, se representa por las siguientes expresiones, teniendo en
cuenta que en la primera se considera la deformación de la perforación del perno para el diseño y
en la segunda no. Se recomienda utilizar la primera ecuación(4.3), dada la importancia de limitar la
deformación alrededor de los orificios.
𝑅𝑛 = 1,2𝐿𝑐 𝑡𝐹𝑢 ≤ 2,4𝑑𝑏 𝑡𝐹𝑢
(4.3)
𝑅𝑛 = 1,5𝐿𝑐 𝑡𝐹𝑢 ≤ 3,0𝑑𝑏 𝑡𝐹𝑢
(4.4)
𝜙 = 0,75 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 2 (𝐴𝑆𝐷)
La resistencia nominal al aplastamiento de la perforación de un perno, con un orificio de ranura
larga perpendicular a la dirección de la carga, se representa por la siguiente expresión:
Ec. J3-6a de NCh427/1:
Ec. J3-6b de NCh427/1:
Ec. J3-6c de NCh427/1:
𝑅𝑛 = 1,0𝐿𝑐 𝑡𝐹𝑢 ≤ 2,0𝑑𝑏 𝑡𝐹𝑢
(4.5)
Donde:
𝐿𝑐 = Distancia libre, en la dirección de la carga, entre el borde de un orificio al borde de un orificio
adyacente o borde del material (mm)
𝑡 = Espesor del material conectado (mm)
𝑑𝑏 = Diámetro del perno (mm)
53
𝐹𝑢 = Esfuerzo último mínimo del material conectado (MPa)
La resistencia nominal al corte, tracción y aplastamiento de la conexión es la suma de las resistencias
de cada perno (u orificio) individualmente. Además, si un perno se encuentra sometido a cizalle
doble, se considera que su resistencia al cortante es igual al doble de su valor en cizalle simple, lo
que permite en principio reducir a la mitad el número de pernos requeridos. No obstante, con
menor cantidad de pernos los estados límites de bloque de corte y aplastamiento en las planchas
conectoras, cuando estas son relativamente delgadas, pueden controlar la resistencia de la
conexión.
Pernos en corte
Pernos en combinación
de corte y tensión
Figura 4.4. Pernos en combinación de corte y tracción.
Cuando los pernos están sometidos a una combinación de corte y tracción, como en el caso
mostrado en la Figura 4.4, se requiere una ecuación de interacción para el diseño. Los resultados de
ensayos, según la Guía de Diseño de Uniones Apernadas y Remachadas del AISC [Ref. 4], indican que
la curva de interacción se puede representar por la siguiente ecuación:
𝑥2
+ 𝑦 2 = 1,0
(0,62)2
(4.6)
Donde:
𝑥 = Razón entre la tensión de corte en el plano de corte y la resistencia a tracción
𝑦 = Razón entre la tensión de tracción y la resistencia a tracción
La ecuación anterior se representa gráficamente en la Figura 4.5, de manera que cualquier
combinación que ocurra bajo la curva es aceptable. Para efecto de diseño, en la sección J3.7 de la
norma NCh427/1, se presenta la siguiente expresión aproximada para resistencia en tracción
modificada para incluir los efectos de la tensión de corte:
Ecuación J3-3a de NCh427/1:
54
′
𝐹𝑛𝑡
= 1,3𝐹𝑛𝑡 −
𝐹𝑛𝑡
𝑓 ≤ 𝐹𝑛𝑡
𝜙𝐹𝑛𝑣 𝑟𝑣
(4.7)
′
𝐹𝑛𝑡
= 1,3𝐹𝑛𝑡 −
Ecuación J3-3b de NCh427/1:
Ω𝐹𝑛𝑡
𝑓 ≤ 𝐹𝑛𝑡
𝐹𝑛𝑣 𝑟𝑣
(4.8)
Donde:
𝐹𝑛𝑡 = Esfuerzo de tracción nominal, según Tabla 4.1 (MPa)
𝐹𝑛𝑣 = Esfuerzo de corte nominal, según Tabla 4.1 (MPa)
𝑓𝑟𝑣 = Esfuerzo de corte requerido usando combinaciones de carga LRFD o ASD (MPa)
De esta forma, la resistencia nominal a tracción de un perno solicitado a combinación de tracción y
corte se representa por la siguiente expresión:
Ec. J3-2 de NCh427/1:
′
𝑅𝑛𝑡 = 𝐹𝑛𝑡
𝐴𝑏
𝜙 = 0,75 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 2 (𝐴𝑆𝐷)
(4.9)
Donde:
𝐴𝑏 = Área bruta del perno o parte roscada (mm2)
Se debe mencionar que cuando la tensión aplicada tanto en corte como en tracción es menor que
el 30% de la resistencia correspondiente, el efecto combinado no necesita ser considerado.
Esfuerzo de tensión
𝜙𝐹𝑛𝑡
𝜙𝐹𝑛𝑣
Esfuerzo cortante
Figura 4.5. Interacción de tensiones de corte y tracción en pernos (Adaptado de Ref. 32, Figura 13.14).
Con respecto al efecto de una fuerza de tracción aplicada a un perno pretensado, dado que la
pretensión es aproximadamente igual al 70% de su capacidad, es natural pensar que esta carga
pueda incrementar la tensión del perno ocasionando la falla. Sin embargo, cuando se aplican cargas
de tracción externas a conexiones con pernos pretensados, en general la variación en la tensión es
mínima. Los pernos pretensados pre-esfuerzan la unión comprimiendo las placas conectadas. Si se
aplica una tracción a esta conexión en la superficie de contacto, no habrá carga adicional en los
pernos hasta que las placas comiencen a separarse, lo cual ocurrirá cuando la carga aplicada sea
mayor que la pretensión total en los pernos de la unión. En esa condición que ya puede considerarse
55
extrema puesto que se estaría aplicando una tracción superior al 70% de la capacidad de los pernos,
el incremento de fuerza en estos sería muy ligero, porque la carga irá a la placa y a los conectores
en proporción aproximada a sus rigideces. En la sección 4.13 de la Referencia 34, se presenta una
deducción del incremento de fuerza en el perno en función de la carga aplicada y las áreas de las
placas conectadas y del perno. Se puede comprobar que el aumento de tracción será no mayor a
aproximadamente un 10%.
4.2.6. Corte excéntrico en pernos
Un grupo de pernos se encuentra cargado excéntricamente, en el plano de la superficie de falla,
cuando la fuerza actuante no se aplica en su centro de gravedad. Esto es equivalente a decir que,
además de la fuerza cortante 𝑃 aplicada en su centroide, los pernos deben resistir un momento 𝑀
debido a la excentricidad 𝑒 (ver Figura 4.6), generando un corte adicional en los pernos.
𝑃
𝑃
𝑒
𝑀 = 𝑃𝑒
=
+
Centroide
del grupo de
pernos
Figura 4.6. Grupo de pernos cargados excéntricamente en el plano de la superficie de falla.
Para calcular la resistencia del grupo de pernos, existen dos aproximaciones: el método elástico y el
método del centro instantáneo de rotación. En el método elástico, los pernos resisten una
proporción de igual magnitud de la fuerza cortante 𝑃 y un corte adicional producido por el momento
𝑀, proporcional a la distancia de cada perno al centro de gravedad del grupo. Para este método, los
elementos de la conexión (perfiles y gussets) se consideran completamente rígidos, ignorando la
fricción entre ellos y, además, se asume comportamiento elástico-lineal de los pernos.
En el método del centro instantáneo de rotación se propone determinar un punto llamado centro
instantáneo tal que la rotación producida alrededor de él sea equivalente al efecto combinado de
traslación y rotación debido a la fuerza concéntrica 𝑃y el momento𝑀 descritos anteriormente. Este
punto se localiza a una distancia 𝑒 ′ del centro de gravedad del grupo de pernos y se determina de
acuerdo con la disposición geométrica de los pernos y la dirección de la carga. Este método entrega
resultados más precisos que el primero, el cual subestima la resistencia, pero se requiere un proceso
de iteración para encontrar el centro de rotación adecuado. Precisamente este método es el que se
utiliza para generar las tablas de diseño de conexiones apernadas excéntricamente que aparecen
en el Manual ICHA [Ref. 22] y en el Manual AISC [Ref. 9]. En esas tablas se presenta el coeficiente C
56
(para una disposición de pernos y condición de excentricidad definidas), el cual puede interpretarse
como el número de pernos que efectivamente resisten la fuerza de corte excéntrica. Así, la
resistencia de diseño del grupo de pernos se representa por la siguiente expresión:
𝜙𝑅𝑛 = 𝐶 𝜙𝑟𝑛
(4.10)
Donde:
𝐶 =Coeficiente para un grupo de pernos cargados excéntricamente presentado en las Tablas 4-11
a 4-18 del Manual ICHA.
𝜙𝑟𝑛 = Resistencia de diseño de un pernopor el método LRFD (𝜙 = 0,75).
El desarrollo de los métodos nombrados anteriormente, junto a sus ejemplos de cálculo respectivos,
se pueden encontrar en la sección 4.12 de la Referencia 34.
4.2.7. Efecto palanca en pernos en tracción
El efecto palanca (o más conocido como prying action) es un fenómeno donde la deformación del
elemento conector sometido a tracción aumenta la fuerza en el perno debida solamente a la fuerza
externa, lo que puede ocurrir en situaciones como las indicadas en la Figura 4.7.
Conector L
Conector T
(a) conexión de momento semi-rígida
(b) conexión de colgador
Figura 4.7. Conexiones con acción separadora.
Considerando la conexión colgante de la Figura 4.8, si las alas del elemento conector (sección T o
ángulo) son suficientemente rígidas, la fuerza de tracción en los pernos es igual a la fuerza aplicada
𝑇. Sin embargo, si la rigidez en insuficiente, debido a la acción separadora aparecen fuerzas de
compresión cerca de los extremos de las alas, lo que incrementa la fuerza en el perno de 𝑇 a 𝑇 + 𝑞.
En un diseño adecuado el espesor de los elementos conectores debe ser tal que no se necesite la
verificación del efecto palanca, es decir, que la fuerza adicional en el perno, q, sea prácticamente
cero. De acuerdo con lo especificado en la Parte 9 del Manual AISC [Ref. 9], el espesor requerido del
elemento con una sección 𝑇 o ángulo usado en estas conexiones para eliminar el efecto palanca,
𝑡𝑚𝑖𝑛 , se puede determinar con la siguiente expresión:
57
𝑡𝑚𝑖𝑛 = √
4.44𝑇𝑏 ′
𝑝𝐹𝑢
(4.11)
Donde:
𝑇 = Fuerza aplicada en el perno
𝑑𝑏
𝑏′ = 𝑏 −
2
𝑏 = Para elemento conector de sección 𝑇, distancia desde el ℄ (centerline) del perno a la cara del
alma
= Para elemento conector 𝐿, distancia desde el ℄ del perno al ℄ del ala
𝑑𝑏 = diámetro del perno
𝑝 = Largo tributario del perno (en la dirección longitudinal del elemento), el cual debe ser
preferentemente menor que 𝑔)
𝐹𝑢 = Esfuerzo ultimo mínimo en tracción del elemento conector
Alternativamente, en la Parte 9 del Manual AISC [Ref. 9], se presenta una forma más compleja y
menos conservadora de considerar el efecto palanca (también se puede consultar el Capítulo 9 de
la Referencia 1), diseñando la conexión para una carga q mayor que cero. Esto puede ser
conveniente cuando se diseñan conexiones donde hay holgura en la cantidad de pernos, lo que
ocurre por ejemplo, en conexiones de arrostramientos verticales con placa de cabeza extendida.
Para este tema, el lector puede consultar los ejemplos de la Guía de Diseño 29 de AISC [Ref. 14]. De
acuerdo con el comportamiento esperado en conexiones a tracción sometidas a cargas cíclicas (Guía
de Diseño de Uniones Apernadas y Remachadas del AISC [Ref. 4] y León y Swanson, 2000 [Ref. 31])
se recomienda que para el diseño de conexiones se provea un espesor suficiente de acuerdo con la
Ecuación (4.11) y utilizar el método más complejo sólo para la verificación de conexiones existentes
que no tengan un espesor adecuado.
𝑞
𝑔
𝑔
𝑞
𝑞
𝑇+𝑞
𝑇+𝑞
𝑇+𝑞
2𝑇
𝑏′
𝑎′
𝑏′
𝑎′
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑇
Figura 4.8. Variables para el cálculo del efecto palanca (Ref. 9, Figura 9-4).
58
4.3.
Conexiones soldadas
Se tiene una conexión soldada cuando dos o más miembros de acero se fusionan mediante el
calentamiento de sus superficies, con o sin presencia de metal de soldadura (electrodo), el cual debe
ser compatible con el metal base. Las soldaduras y electrodos deben cumplir con la sección J.2 de la
norma NCh427/1, la cual adopta las disposiciones de la especificación AWS D1.1/D1.1M (American
Welding Society).
4.3.1. Clasificación de las soldaduras
Para comprender la soldadura se describen tres aspectos importantes: el tipo de junta que se desea
lograr, el tipo de soldadura que se aplica para unir los miembros y la posición de la soldadura. Existen
varias formas en que se pueden unir miembros de acero mediante el uso de soldaduras. Los tipos
de juntas soldadas que se encuentran con mayor frecuencia son las juntas a tope, traslapadas, en T,
de canto y de esquina, las cuales se muestran en la Figura 4.9.
Por su parte, los tipos de soldadura que se pueden utilizar son las soldaduras de filete, de tope, de
tapón y de ranura, que se muestran en la Figura 4.10. Sus requisitos y limitantes se definen en las
secciones J.2-1 a la J.2-3 de la norma NCh427/1. La soldadura de filete se usa cuando los miembros
se traslapan uno sobre otro y también en juntas T o de esquina. Este tipo de conexión soldada es el
más común en la práctica nacional. La soldadura de tope es aquella que se emplea entre los
extremos de los elementos a conectar y puede ser de penetración completa (a través de todo el
espesor) o parcial (se extiende sólo en parte del espesor).Sin embargo, para conexiones
sismorresistentes se debe aplicar soldadura de tope con penetración completa, según la sección
8.5.5 de la norma NCh2369Of.2003 [Ref. 24]. Ésta es la unión más resistente, pero tiene desventajas
constructivas en comparación con la de filete, ya que se usa cuando los miembros se encuentran en
el mismo plano, necesitando gran precisión para ensamblar los elementos. Finalmente, las
soldaduras de tapón y ranura se forman al rellenar un agujero circular y alargado respectivamente
que atraviesa un miembro, hasta llegar al otro. Estas son las menos usadas en la práctica.
Además, las soldaduras se pueden realizar en distintas posiciones dentro de la conexión,
clasificándose como planas, horizontales, verticales y en alto (ver Figura 4.11). De acuerdo con la
sección 8.5.8 de la norma NCh2369Of.2003 [Ref. 24], en terreno sólo se permiten las soldaduras en
posición plana, vertical y horizontal.
59
De esquina
Traslapada
A tope
En T
De canto
Figura 4.9. Tipos de juntas en conexiones soldadas.
Tapón
Filete
De tope
Ranura
Figura 4.10. Tipos de soldadura.
En alto
Horizontal
Vertical
Plana
Figura 4.11. Posición de las soldaduras.
60
4.3.2. Simbología de soldadura
Para definir la soldadura en los planos de ingeniería de detalle y al mismo tiempo lograr un lenguaje
común entre los profesionales del área, se establece una simbología, la cual esta estandarizada por
la AWS, que proporciona la información necesaria para identificar las propiedades de la soldadura
requerida.
El símbolo estándar es una flecha apuntando hacia la soldadura o junta, seguido de una línea
horizontal, sobre la cual se dibujan los símbolos y se escribe la información, como se presenta en la
Figura 4.12. Si esta información se escribe debajo de la línea, la junta soldada esta por el lado
cercano a la flecha, y si está por arriba, entonces la soldadura esta por el lado opuesto. La forma
triangular indica una soldadura de filete, que es la más común. El lado vertical del símbolo se utiliza
para todas las soldaduras y se ubica siempre en el lado izquierdo. El tamaño de la soldadura se
escribe al lado izquierdo del símbolo de soldadura, mientras que la longitud y el espaciamiento se
escriben al lado derecho. El círculo en la intersección de la flecha con la línea horizontal indica que
la soldadura se debe efectuar alrededor de toda la junta. La bandera en esta misma posición indica
que la soldadura se hace en terreno y cuando no se dibuja quiere decir que se hace en taller. La línea
horizontal termina con una cola compuesta de dos líneas, en ella se realizan notas descriptivas
acerca del proceso de soldadura, tipo de junta, entre otras características que se definen en la Tabla
4.6, las cuales también tienen una nomenclatura establecida. Si no se necesitan las notas se puede
omitir la cola. Para información más detallada se puede consultar la tabla 8-2 del Manual AISC [Ref.
9].
61
Filete
Tapón o Ranura
Cuadrado
V
Bisel
U
J
Surco en V
Bisel acampanado
Plancha de respaldo
Soldadura de taller
Soldadura de campo
Soldadura
alrededor
en
todo
Figura 4.12. Simbología básica de soldadura (Ref.1, Figura 10-6).
62
Tabla 4.6. Símbolos de juntas soldadas precalificadas.
Característica
Símbolo
Definición
Tipo de junta
B
Junta a tope
C
Junta de esquina
T
Junta en T
BC
Junta a tope o de esquina
TC
Junta en T o de esquina
BTC
Junta a tope, en T o de esquina
L
Espesor limitado, junta de penetración completa
U
Espesor no limitado, junta de penetración completa
P
Junta de penetración parcial
1
Ranura cuadrada
2
Ranura en V
3
Ranura en V doble
4
Ranura en Bisel
5
Ranura en Bisel doble
6
Ranura en U
7
Ranura en U doble
8
Ranura en J
9
Ranura en J doble
10
Ranura con Ensanchamiento en bisel
11
Ranura con Ensanchamiento en bisel doble
12
Filete
S
SAW (soldadura por arco sumergido)
G
GMAW (soldadura de arco metálico con gas)
F
FCAW (soldadura de arco con núcleo fundente)
F
Plana
H
Horizontal
V
Vertical
OH
En alto
Espesor del metal base y
penetración
Tipo de soldadura
Proceso de soldadura
Posición de la soldadura
Adaptado de Ref. 9, Table 8-2.
4.3.3. Resistencia de conexiones soldadas
La resistencia nominal de las conexiones soldadas, según la sección J.2-4 de la norma NCh427/1,
debe ser el menor valor entre la resistencia del metal base y la resistencia del metal de soldadura,
las cuales se representan por las siguientes expresiones:
Ec. J2-2 de NCh427/1:
𝑅𝑛 = 𝐹𝑛𝐵𝑀 𝐴𝐵𝑀
(4.12)
63
Ec. J2-3 de NCh427/1:
𝑅𝑛 = 𝐹𝑛𝑤 𝐴𝑤𝑒
𝜙 𝑦 Ω se determinan de la Tabla J2.5 de la norma NCh427/1
(4.13)
Donde:
𝐹𝑛𝐵𝑀 =Esfuerzo nominal del metal base (MPa)
𝐹𝑛𝑤 = Esfuerzo nominal del metal de soldadura (MPa)
𝐴𝐵𝑀 = Área de la sección transversal del metal base (mm2)
𝐴𝑤𝑒 = Área efectiva de la soldadura (mm2)
Estas expresiones genéricas se desglosan en una serie de ecuaciones, considerando los modos de
falla de los elementos que se desean conectar en el caso del metal base y el tipo de soldadura que
se debe utilizar en el caso del metal de soldadura. En la tabla J2.5 de la norma NCh427/1 se entrega
la resistencia disponible de todas las juntas soldadas de acuerdo con el tipo y dirección de la carga
aplicada.
Para determinar la resistencia del metal base, se aplica la sección J.4 de la norma NCh427/1, en la
cual se consideran los elementos de miembros en conexiones y elementos conectores, tales como
placas conectoras, placas gusset, ángulos y soportes. A continuación, se resumen las expresiones de
los modos de falla que presentan, tanto en las conexiones soldadas como apernadas.
Del capítulo 3 de miembros en tracción se tienen las siguientes expresiones:
La resistencia nominal de un elemento a la fluencia por tracción en el área bruta es:
𝑅𝑛 = 𝐹𝑦 𝐴𝑔
(Ec. 3.1)
La resistencia nominal de un elemento a la rotura por tracción en el área neta efectiva es:
𝑅𝑛 = 𝐹𝑢 𝐴𝑒
(Ec. 3.2)
La resistencia nominal de un elemento a la rotura en el bloque de corte es:
𝑅𝑛 = (0,6𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 ) ≤ (0,6𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 )
(Ec. 3.9)
Adicionalmente, se presentan dos modos de falla para los elementos conectados, estos son fluencia
y rotura por corte. Las resistencias nominales del elemento a la fluencia por corte y rotura por corte,
respectivamente, se calculan con las siguientes expresiones:
Ec. J4-3 de NCh427/1:
𝑅𝑛 = 0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣
𝜙 = 1 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 1,5 (𝐴𝑆𝐷)
(4.14)
Ec. J4-4 de NCh427/1:
𝑅𝑛 = 0,60𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣
𝜙 = 0,75 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 2 (𝐴𝑆𝐷)
(4.15)
Donde:
𝐹𝑦 =Tensión de fluencia mínima especificada (MPa)
𝐹𝑢 = Tensión última mínima especificada (MPa)
𝐴𝑔𝑣 = Área bruta solicitada a corte (mm2)
𝐴𝑛𝑣 = Área neta solicitada a corte (mm2)
64
4.3.4. Requerimientos para soldaduras de filete
La soldadura de filete generalmente tiene forma de triángulo y el tamaño de la soldadura de filete
𝑤𝑓 , corresponde al valor del lado de la soldadura cuando ésta forma un ángulo de 45° con respecto
a la superficie del miembro. Con un ángulo distinto a éste, se requiere determinar ambos lados de
la soldadura, razón por la cual se prefiere los 45°. El tamaño máximo y mínimo se establece en
función del espesor del miembro conectado más delgado. En la Tabla 4.7 y Tabla 4.8 se entregan
estos límites, de acuerdo con la sección J.2-2b de la norma NCh427/1.
Tabla 4.7. Tamaño mínimo de la soldadura de filete.
Espesor
del
miembro
conectado 𝒕, mm
Tamaño
mínimo
soldadura𝒘𝒇 ,mm
𝑡 ≤6
3
6< 𝑡 ≤ 13
5
13< 𝑡 ≤ 19
6
𝑡 ≥ 19
8
de
Norma NCh427/1, Tabla J2.4.
Tabla 4.8. Tamaño máximo de la soldadura de filete.
Espesor
del
miembro
conectado 𝒕, mm
Tamaño
máximo
soldadura𝒘𝒇 ,mm
𝑡 ≤6
𝑤𝑓 = 𝑡
𝑡>6
𝑤𝑓 = 𝑡 − 2
de
Los requerimientos de tamaño mínimo de soldadura no se basan en consideraciones de resistencia,
sino más bien en el efecto de templado. El enfriamiento muy rápido de la soldadura puede provocar
una pérdida de ductilidad, y, por otra parte, la restricción provista por un material más grueso a la
retracción del metal de soldadura puede generar grietas en la soldadura. A su vez, se limita el
tamaño máximo, ya que para uniones traslapadas de miembros más gruesos, es posible que el
soldador derrita la esquina superior, lo que puede resultar en una soldadura que pareciera ser del
tamaño correcto pero que en realidad es de menor garganta efectiva. Para mayor claridad se
recomienda consultar el comentario de la sección J2.2b de la especificación AISC 360-10 [Ref. 12].
Con respecto a la longitud mínima de soldaduras de filete, en la sección J.2-2b de la norma se
establece que la longitud efectiva mínima de las soldaduras de filete diseñadas por resistencia no
debe ser menor que cuatro veces el tamaño de la soldadura, en caso contrario, para efectos de
cálculo, se debe considerar que el tamaño de la soldadura no exceda un cuarto de su longitud
efectiva. Además, cuando se usa soldadura en el extremo de un miembro en tracción, como en la
Figura 4.13, la longitud de la soldadura tiene que ser mayor que el ancho del elemento que se
necesita conectar (para evitar el corte diferido).
65
𝑏
𝐿≥𝑏
𝐿
Figura 4.13. Largo mínimo de soldadura longitudinal.
Por otro lado, la longitud máxima sólo se limita en esta última situación, en el extremo de un
miembro en tracción, donde se permite que la longitud sea 100 veces el tamaño de la soldadura. Si
se supera este valor, se aplica el factor de reducción 𝛽 (Ecuación J2-1 de la norma NCh427/1) para
obtener una longitud efectiva a partir de la siguiente expresión:
𝐿
𝛽 = 0,60 < 1,2 − 0,002 ( ) ≤ 1,0
(4.16)
𝑤𝑓
Donde:
𝛽 = Factor de reducción de la resistencia para soldadura de filete
𝐿 = Longitud de la soldadura (mm)
𝑤𝑓 = Tamaño de la soldadura de filete (mm)
4.3.5. Resistencia de soldadura de filete
La resistencia del metal de soldadura es diferente para cada tipo de soldadura, ya que ellas tienen
distintas áreas efectivas que resistan las cargas aplicadas. En esta sección se presenta la resistencia
de la soldadura de filete por ser la más utilizada. La soldadura de filete se diseña para resistir
principalmente tensiones de corte, ya que es más débil sometida a este tipo de esfuerzo. Presenta
mayor resistencia a tracción y compresión. El área efectiva del metal de soldadura es el producto de
la garganta efectiva (plano de falla en corte) por la longitud de soldadura. Esta garganta efectiva es
la distancia más corta que atraviesa la soldadura en un ángulo aproximado de 45° (Ver Figura 4.14).
El área efectiva se representa por la siguiente expresión:
𝐴𝑤𝑒 =
Donde:
𝐴𝑤𝑒 = Área efectiva de la soldadura (mm2)
𝐿 = Longitud de la soldadura (mm)
𝑤𝑓 = Tamaño de la soldadura de filete (mm)
66
√2
𝑤 𝐿
2 𝑓
(4.17)
Garganta efectiva
Área de soldadura que se
ignora en la resistencia
𝑤𝑓
Plano de falla
𝑤𝑓
𝐿
Figura 4.14. Dimensiones de la soldadura de filete.
La tensión nominal del metal de soldadura 𝐹𝑛𝑤 depende del tipo de electrodo que se utilice y se
representa por la siguiente expresión:
𝐹𝑛𝑤 = 0,60𝐹EXX
(4.18)
Donde:
𝐹𝑛𝑤 = Esfuerzo nominal del metal de soldadura (MPa)
𝐹EXX =Resistencia del electrodo, según Tabla 4.9 (MPa)
Los electrodos disponibles en el mercado son E60, E70, E80, E90, E100 y E110, pero los más usados
son E60 y E70. En la designación anterior, la letra E corresponde a un electrodo y los dígitos (60, 70,
etc.) indican la resistencia del electrodo𝐹𝐸𝑋𝑋 , en ksi. La Tabla 4.9 presenta los valores para cada tipo
de electrodo. De forma alternativa, los electrodos se pueden denominar como E60XX, E70XX, etc.,
donde la primera X indica la posición de la soldadura y la segunda X el proceso de soldado u otras
propiedades distintas a la resistencia. Se prefiere la primera forma porque en el cálculo sólo se
requiere conocer la resistencia.
Los electrodos deben ser compatibles con el metal base, por lo cual en la sección J.2-6 de la
NCh427/1 se asignan algunos electrodos a ciertos tipos de aceros. Para los aceros recomendados
en el diseño, como el A36, A572.Gr50 y E270ES, se utilizan electrodos grado E70.
67
Tabla 4.9. Resistencia a la rotura de electrodos.
Tipo
electrodo
de
Resistencia del electrodo 𝑭𝐄𝐗𝐗
ksi (MPa)
E60
60 (414)
E70
70 (482)
E80
80 (551)
E90
90 (620)
E100
100 (690)
E110
110 (758)
Al reemplazar las expresiones del área efectiva y resistencia del metal de soldadura en la ecuación
(4.13), se obtiene la siguiente expresión para la resistencia nominal de una soldadura de filete:
√2
𝑤 𝐿
2 𝑓
𝜙 = 0,75 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 2 (𝐴𝑆𝐷)
𝑅𝑛 = 0,60𝐹EXX
(4.19)
En la ecuación (4.18) se asume que la falla se produce por corte a lo largo de la soldadura (por
presentar la resistencia más pequeña, considerando un ángulo 𝜃 = 0). Sin embargo, cuando un grupo
de soldadura es cargado por una fuerza con un ángulo 𝜃 con respecto a su eje longitudinal, como se
muestra en la Figura 4.15, su resistencia puede aumentar hasta en un 50%, debido a que las
soldaduras presentan mejor comportamiento cuando se cargan perpendicularmente al lograr una
distribución más homogénea de la fuerza. Si se considera este efecto, la tensión nominal del metal
de soldadura 𝐹𝑛𝑤 (Ecuación J2-5 de la norma NCh427/1) y la resistencia nominal se representan por
las siguientes expresiones:
𝐹𝑛𝑤 = 0,60𝐹EXX (1 + 0,5𝑠𝑒𝑛1,5 𝜃)
√2
𝑅𝑛 = 0,60𝐹EXX (1 + 0,5𝑠𝑒𝑛1,5 𝜃)
𝑤 𝐿
2 𝑓
(4.20)
(4.21)
Por otro lado, si en la conexión se presenta un grupo de soldadura que se dispone tanto longitudinal
como transversalmente a la dirección de aplicación de la carga (ver Figura 4.15 considerando 𝜃 = 0),
la resistencia combinada se debe determinar como el mayor valor de las siguientes expresiones
(ecuaciones J2-10a y J2-10b respectivamente de la norma NCh427/1):
𝑅𝑛 = 𝑅𝑤𝑙 + 𝑅𝑤𝑡
𝑅𝑛 = 0,85𝑅𝑤𝑙 + 1,5𝑅𝑤𝑡
(4.22)
(4.23)
Donde:
𝑅𝑤𝑙 = Resistencia nominal de la soldadura de filete cargada longitudinalmente
𝑅𝑤𝑡 =Resistencia nominal de la soldadura de filete cargada transversalmente, sin la alternativa de
la sección J2.4(a), es decir, sin aumentar por efecto del ángulo de carga.
68
𝜃
Soldadura transversal
Soldadura longitudinal
Figura 4.15. Soldadura longitudinal y transversal, con una fuerza aplicada en un ángulo 𝜽.
4.3.6. Resistencia a la rotura del elemento conector en soldaduras de filete
En muchos casos, la trayectoria de carga desde la soldadura al elemento conector es tal que la
resistencia de éste puede evaluarse directamente. Sin embargo, en algunos casos, esto no es
posible. Por ejemplo, la resistencia de la soldadura en el alma de la viga de una conexión con doble
ángulo soldado/apernado se puede calcular directamente, no obstante, la resistencia del alma de la
viga en la soldadura no se puede calcular fácilmente. En estos casos, es a menudo conveniente
calcular el espesor mínimo del metal base que iguale la resistencia a fractura por corte del metal
base con la resistencia a fractura por corte de la(s) soldadura(s). En la Parte 9 del Manual AISC [Ref.
9] se proponen expresiones para determinar este espesor mínimo, las cuales se presentan a
continuación, adaptadas al sistema de unidades S.I.:
Para filete de soldadura en ambos lados del elemento conector:
𝑡𝑚𝑖𝑛 =
0,60𝐹EXX
√2
𝑤 2𝐿
2 𝑓
0,60𝐹𝑢 𝐿
=
√2𝐹EXX 𝑤𝑓
𝐹u
(4.24)
Para filete de soldadura en un lado del elemento conector:
𝑡𝑚𝑖𝑛
(√2⁄2) 𝐹EXX 𝑤𝑓
=
𝐹u
(4.25)
69
4.4.
Ejemplos de conexiones apernadas y soldadas
Ejemplo 4.1
Determine el número de pernos y el espaciamiento requeridos para la conexión de la diagonal sísmica que
se muestra en la Figura 4.16. Luego, verifique la resistencia del ángulo y del gusset. Utilice pernos A325N
de 3/4 pulgadas y orificios tamaño estándar.
Placa gusset 𝑡= 6mm Acero
ASTM A36
L80x80x6 Acero A250ESP
𝑃𝑢
Figura 4.16. Detalles para Ejemplo 4.1.
SOLUCIÓN
Propiedades de la sección L80x80x6 obtenidas de la Tabla 2.1.8 del Manual ICHA.
𝐴𝑔 = 935 𝑚𝑚2
𝑥̅ = 21,7 𝑚𝑚
De acuerdo con la Tabla 3-1-a del Manual ICHA, el gramil de un perfil L laminado, de 80 mm de lado, es:
𝑔 = 45 𝑚𝑚
Diseño de la conexión
La carga de diseño en las diagonales sísmicas, de acuerdo con la sección 8.5.2 de la norma NCh2369
Of.2003, equivale al 100% de la resistencia de diseño en tracción para el estado límite de fluencia en el área
bruta. De la Ecuación(3.1), se tiene:
𝑃𝑢 = 𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐴𝑔 = 0,9 𝑥 250 𝑥 935 = 210375 𝑁 = 210,4 𝑘𝑁
3
El área de un perno de pulgada es:
4
2
3
𝑚𝑚
𝐴𝑏 = 𝜋 𝑥 (0,5 𝑥 𝑥 25,4
) = 285 𝑚𝑚2
4
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
De la Ecuación(4.1), la resistencia al corte de un perno es:
𝜙𝑅𝑛𝑣 = 𝜙𝐹𝑛𝑣 𝐴𝑏 = 0,75 𝑥 372 𝑥 285 = 79521,4 𝑁 = 79,5 𝑘𝑁
El número de pernos requerido 𝑛𝑟𝑒𝑞 es:
𝑃𝑢
210,4
𝑛𝑟𝑒𝑞 =
=
= 2,65 ∴ 𝑛 = 3
𝜙𝑅𝑛𝑣
79,5
El espaciamiento mínimo y máximo entre pernos es:
3
𝑚𝑚
𝑠𝑚𝑖𝑛 = 3𝑑𝑏 = 3 𝑥 ( 𝑥 25,4
) = 57,1 𝑚𝑚
4
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛{14 𝑡, 180 𝑚𝑚} = 𝑚𝑖𝑛{14 𝑥 6, 180 𝑚𝑚} = 84 𝑚𝑚
70
Se utiliza un espaciamiento de 75 mm, común en la práctica nacional para ángulos con pernos de 3/4
pulgada.
El espaciamiento mínimo (según la Tabla 4.5) y máximo hasta el borde del ángulo es:
𝑚𝑚
𝐿𝑣𝑎_𝑚𝑖𝑛 = 1 𝑥 25,4
= 25,4 𝑚𝑚
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝐿𝑣𝑎_𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛{12 𝑡, 150 𝑚𝑚} = 𝑚𝑖𝑛{12 𝑥 6, 150 𝑚𝑚} = 72 𝑚𝑚
Se utiliza una distancia hasta el borde de 50 mm. Con esto, además de estar dentro del rango establecido
por los límites correspondientes, se cumple con el requisito de aplastamiento (al controlar el lado derecho
de la Ecuación (4.3)) que se desarrolla más adelante.
El diseño de la conexión se muestra en la Figura 4.17.
Verificación de resistencia de los pernos
La resistencia al corte del grupo de pernos es:
𝜙𝑅𝑛 = 3 𝑥 79,5 = 238,6 𝑘𝑁
De la Ecuación (4.3), la resistencia al aplastamiento del orificio del perno, donde la deformación es una
consideración de diseño, es:
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙1,2𝐿𝑐 𝑡𝐹𝑢 ≤ 𝜙2,4𝑑𝑏 𝑡𝐹𝑢
35 mm
50 mm
75 mm
Placa gusset 𝑡= 6mm Acero
ASTM A36
75 mm
L80x80x6mm Acero
A250ESP
Figura 4.17.Dimensiones de la conexión.
Para el perno del borde:
3 1
𝑚𝑚
𝐿𝑐_1 = 50 − (0,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
= 38,9 𝑚𝑚
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
3
𝑚𝑚
𝜙𝑅𝑛_1 = 0,75 𝑥 1,2 𝑥 38,9 𝑥 6 𝑥 400 ≤ 0,75 𝑥 2,4 𝑥 ( 𝑥 25,4
) 𝑥 6 𝑥 400
4
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝜙𝑅𝑛_1 = 84024 𝑁 ≥ 82296 𝑁 = 84,0 𝑘𝑁 ≥ 82,3 𝑘𝑁
𝜙𝑅𝑛_1 = 82,3 𝑘𝑁
Para los pernos interiores:
3 1
𝑚𝑚
𝐿𝑐_2 = 75 − (1 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
= 52,8 𝑚𝑚
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
3
𝑚𝑚
𝜙𝑅𝑛_2 = 0,75 𝑥 1,2 𝑥 52,8 𝑥 6 𝑥 400 ≤ 0,75 𝑥 2,4 𝑥 ( 𝑥 25,4
) 𝑥 6 𝑥 400
4
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝜙𝑅𝑛_2 = 114048 𝑁 ≥ 82296 𝑁 = 114,0 𝑘𝑁 ≥ 82,3 𝑘𝑁
71
𝜙𝑅𝑛_2 = 82,3 𝑘𝑁
La resistencia total al aplastamiento de la conexión es:
𝜙𝑅𝑛 = 3 𝑥 82,3 = 246,9 𝑘𝑁
Como la resistencia por aplastamiento es mayor que la resistencia al corte, es correcto determinar el
número de pernos a partir de la resistencia al corte de un perno.
Verificación de resistencia del ángulo
Factor de corte diferido
𝑥̅
21,7
𝑈 = 1− =1−
= 0,855
𝑙
75 𝑥 2
Alternativamente, 𝑈 = 0,80 de la Tabla 3.1. El valor más grande de 𝑈 = 0,855 se puede usar.
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − 𝐴ℎ = 935 − (1 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 6 = 801,7 𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝐴𝑒 = 𝐴𝑛 𝑈 = 801,7 𝑥 0,855 = 685,7 𝑚𝑚2
De la Ecuación(3.2), la resistencia por rotura en el área neta efectiva es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑢 𝐴𝑒 = 0,75 𝑥 400 𝑥 685,7 = 205703,4 𝑁 = 205,7 𝑘𝑁
Dimensiones del bloque de corte del ángulo:
𝐴𝑔𝑣 = (50 + 75 𝑥 2)𝑥 6 = 1200 𝑚𝑚2
𝐴𝑔𝑡 = 35 𝑥 6 = 210 𝑚𝑚2
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑣 = 𝐴𝑔𝑣 − ∑𝐴ℎ = 1200 − (2,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 6 = 866,6𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑡 = 𝐴𝑔𝑡 − ∑𝐴ℎ = 210 − (0,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 6 = 143,3𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑈𝑏𝑠 = 1,0
De la Ecuación(3.9), la resistencia por bloque de corte es:
𝜙𝑃𝑛 = 𝜙(0,60𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 ) ≤ 𝜙(0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 )
𝜙𝑃𝑛 = 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 400 𝑥866,6 + 1,0 𝑥 400 𝑥 143,3)
≤ 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 250 𝑥1200 + 1,0 𝑥400 𝑥143,3)
𝜙𝑃𝑛 = 199,0 𝑘𝑁 ≥ 178,0 𝑘𝑁
𝜙𝑃𝑛 = 178,0 𝑘𝑁
Se puede notar que la capacidad de bloque de corte de la diagonal es insuficiente, por lo que se debe
aumentar el espaciamiento entre pernos o agregar un perno extra. Esta situación es común en elementos
de espesores relativamente pequeños, por lo que se debe poner atención a este estado límite. Además,
con estas recomendaciones es posible incrementar la resistencia a la rotura del ángulo, que también es
insuficiente, debido a que aumenta el factor de corte diferido 𝑈.
Verificación de resistencia de la placa gusset
Las ecuaciones para calcular la resistencia a tracción de placas gusset se presentan en la sección 5.4.1 de
este texto. Para completitud del presente ejercicio, se verifica la resistencia a fluencia y rotura en el área
efectiva de Whitmore.
El ancho efectivo de Whitmore es:
𝐿𝑤 = 2𝑙𝑤 𝑡𝑎𝑛 30° = (2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠) 𝑥 (2 𝑥 75) 𝑥 𝑡𝑎𝑛 30° = 173,2 𝑚𝑚
De la Ecuación(5.8), la resistencia por fluencia en el área efectiva de Whitmore es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐿𝑤 𝑡 = 0,9 𝑥 248 𝑥 173,2 𝑥 6 = 231949,4 𝑁 = 231,9 𝑘𝑁
72
De la Ecuación(5.9), la resistencia por rotura en el área efectiva de Whitmore es:
3 1
𝑚𝑚
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑢 (𝐿𝑤 − 𝑛𝑑ℎ )𝑡 = 0,75 𝑥 400 𝑥 (173,2 − (1 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
)𝑥 6
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
= 271755 𝑁 = 271,8 𝑘𝑁
Con respecto al aplastamiento en la placa gusset, al ser del mismo espesor que el ángulo y considerando
una distancia de 50 mm del centro del perno hasta su borde, se tiene la misma resistencia al aplastamiento.
𝐿𝑤
2@75 mm
30°
30°
Figura 4.18. Ancho efectivo de Whitmore en la placa gusset.
73
Ejemplo 4.2
Determinar la resistencia de diseño al corte del grupo de pernos de la conexión de cizalle con placa de corte
mostrada en la Figura 4.19, con pernos A325N de 3/4 pulgadas de diámetro cargados excéntricamente.
Usar tablas de diseño del Manual ICHA.
125 mm
50 mm
50 mm
2 @ 75 mm
50 mm
75 mm
Figura 4.19.Detalles para Ejemplo 4.2.
SOLUCIÓN
2
3
𝑚𝑚
𝐴𝑏 = 𝜋 𝑥 (0,5 𝑥 𝑥 25,4
) = 285 𝑚𝑚2
4
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
De la Ecuación(4.1), la resistencia por rotura al corte de un perno es:
𝜙𝑟𝑛 = 𝜙𝑅𝑛𝑣 = 𝜙𝐹𝑛𝑣 𝐴𝑏 = 0,75 𝑥 372 𝑥 285 = 79515 𝑁 = 79,5 𝑘𝑁
De la Tabla 4-12 del Manual ICHA, con ángulo = 0°, 𝑛 = 3, 𝑠 = 75 𝑚𝑚 y 𝑒𝑥 = 125 𝑚𝑚, se obtiene 𝐶 =
2,59∴ De la ecuacion (4.10), la resistencia al corte del grupo de pernos es:
𝜙𝑅𝑛 = 𝐶𝜙𝑟𝑛 = 2,59 𝑥 79,5 = 205,9 𝑘𝑁
74
Ejemplo 4.3
Diseñe el empalme axial apernado con cizalle doble en alas y alma de la columna mostrada en la Figura
4.20, de manera que sea capaz de transmitir el 100% de la resistencia de diseño en tracción de la sección
en el área bruta. Utilice pernos A325N de 3/4 pulgadas y orificios tamaño estándar.
H400x200x49,3 Acero ASTM
A36
Placas de empalme Acero
ASTM A36
𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑎
𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑚𝑎
𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑎
Figura 4.20. Detalle de empalme apernado de columna.
SOLUCIÓN
Dimensiones de la sección H 400x200x49,3 obtenidas de la Tabla 2.1.1 del Manual ICHA.
𝐻 = 400 𝑚𝑚
𝐵 = 200 𝑚𝑚
𝑒 = 10 𝑚𝑚
𝑡 = 6 𝑚𝑚
De la Ecuación (3.1), la resistencia por fluencia en el área bruta es 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐴𝑔 , por lo tanto, las fuerzas que
deben transmitir las alas y el alma son:
𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑎 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐵𝑒 = 0,9 𝑥 248 𝑥 200 𝑥 10 = 446400 𝑁 = 446,4 𝑘𝑁
𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑚𝑎 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 (𝐻 − 2𝑒)𝑡 = 0,9 𝑥 248 𝑥 (400 − 2 𝑥 10) 𝑥 6 = 508896 𝑁 = 508,9 𝑘𝑁
Diseño de conexión del ala:
El área de un perno de 3/4 pulgadas es:
2
3
𝑚𝑚
𝐴𝑏 = 𝜋 𝑥 (0,5 𝑥 𝑥 25,4
) = 285 𝑚𝑚2
4
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
De la Ecuación (4.1), la resistencia al corte de un perno es:
𝜙𝑅𝑛𝑣 = 𝜙𝐹𝑛𝑣 𝐴𝑏 = 0,75 𝑥 372 𝑥 285 = 79515 𝑁 = 79,5 𝑘𝑁
El número de pernos requerido nreq por cortante doble es:
𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑎
446,4
𝑛𝑟𝑒𝑞 =
=
= 2,81
2𝜙𝑅𝑛𝑣 2 𝑥 79,5
75
De la Ecuación (4.3), si 𝐿𝑐 ≥ 2𝑑𝑏 , la resistencia al aplastamiento del orificio del perno en el ala es:
3
𝑚𝑚
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙2,4𝑑𝑏 𝑡𝐹𝑢 = 0,75 𝑥 2,4 𝑥 ( 𝑥 25,4
) 𝑥 10 𝑥 400 = 137160 𝑁 = 137,2 𝑘𝑁
4
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
El número de pernos requerido nreq por aplastamiento en el ala es:
𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑎 446,4
𝑛𝑟𝑒𝑞 =
=
= 3,25
𝜙𝑅𝑛
137,2
En los empalmes apernados con cizalle doble en alas y almas, se recomienda que el espesor de las placas
sea mayor que la mitad del espesor del elemento a conectar. Así, se utiliza un espesor de 6 mm para las
placas interior y exterior de las alas. Para verificar aplastamiento en estas placas se puede utilizar la
Ecuación (4.3), considerando un espesor 𝑡 = 6 + 6 = 12 mm, por lo que la resistencia al aplastamiento en la
placa del ala es mayor que la resistencia al aplastamiento en el ala.
De lo anterior, el número de pernos requeridos 𝑛𝑟𝑒𝑞 = 3,25. Se utilizan dos filas con dos pernos cada una,
por lo tanto, el número de pernos en el ala 𝑛𝑎𝑙𝑎 = 4.
El espaciamiento mínimo y máximo entre pernos, asumiendo que la placa tiene un espesor de 6 mm, es:
3
𝑚𝑚
𝑠𝑚𝑖𝑛 = 3𝑑𝑏 = 3 ( 𝑥 25,4
) = 57,1 𝑚𝑚
4
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛{14 𝑡, 180 𝑚𝑚} = 𝑚𝑖𝑛{14 𝑥 6, 180 𝑚𝑚} = 84 𝑚𝑚
Se utiliza un espaciamiento de 75 mm, común en la práctica nacional para pernos de 3/4 pulgadas.
El espaciamiento mínimo (según la Tabla 4.5) y máximo hasta el borde de la placa es:
𝑚𝑚
𝐿𝑣𝑎_𝑚𝑖𝑛 = 1 𝑥 25,4
= 25,4 𝑚𝑚
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝐿𝑣𝑎_𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛{12 𝑡, 150 𝑚𝑚} = 𝑚𝑖𝑛{12 𝑥 6, 150 𝑚𝑚} = 72 𝑚𝑚
Se utiliza una distancia hasta el borde longitudinal de 50 mm, de manera que 𝐿𝑐 en la Ecuación (4.3) sea
mayor que 2𝑑𝑏 y así controle el lado derecho de dicha ecuación. Además, se considera gramil de 110 mm.
50 mm
75 mm 50 mm
45 mm
𝑔 = 110 mm
45 mm
Figura 4.21. Espaciamiento de pernos en el ala.
Se debe verificar el bloque de corte en el ala que se muestra en la Figura 4.22.
Dimensiones del bloque de corte:
𝐴𝑔𝑣 = (2 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠) 𝑥 (50 + 75)𝑥 10 = 2500 𝑚𝑚2
𝐴𝑔𝑡 = (2 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠) 𝑥 45 𝑥 10 = 900 𝑚𝑚2
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑣 = 𝐴𝑔𝑣 − ∑𝐴ℎ = 2500 − (2 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠) 𝑥 (1,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 10
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
= 1833,2𝑚𝑚2
76
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑡 = 𝐴𝑔𝑡 − ∑𝐴ℎ = 900 − (2 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠) 𝑥 (0,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 10 = 677,8𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑈𝑏𝑠 = 1,0
De la Ecuación (3.9), la resistencia por bloque de corte es:
𝜙𝑃𝑛 = 𝜙(0,60𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 ) ≤ 𝜙(0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 )
𝜙𝑃𝑛 = 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 400 𝑥 1833,2 + 1,0 𝑥 400 𝑥 677,8)
≤ 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 248 𝑥 2500 + 1,0 𝑥 400 𝑥 677,8)
𝜙𝑃𝑛 = 533,3 𝑘𝑁 ≥ 482,3 𝑘𝑁
𝜙𝑃𝑛 = 482,3 𝑘𝑁 > 𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑎 = 446,4 𝑘𝑁
Figura 4.22. Bloque de corte del ala.
Figura 4.23. Bloque de corte de la placa en el ala.
Se debe verificar la capacidad de tracción de la placa superior del ala. Para la placa se utiliza el mismo ancho
del ala de la columna. Además, para placas de empalme apernadas, según la sección J.4-1 de la norma
NCh427/1, 𝐴𝑛 ≤ 0,85𝐴𝑔 . Por otra parte, como el diseño del empalme se hace por separado para ala y alma,
las placas conectoras transmiten la tensión de tracción directamente entre los miembros, por lo tanto,
según el caso 1 de la Tabla 3.1, el factor de corte diferido 𝑈 = 1.
𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − 𝐴ℎ ≤ 0,85𝐴𝑔
3 1
𝑚𝑚
= 200 𝑥 6 − (2 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 6 ≤ 0,85 𝑥 200 𝑥 6
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
= 933,3 𝑚𝑚2 ≤ 1020 𝑚𝑚2
𝐴𝑒 = 𝐴𝑛 𝑈 = 933,3 𝑚𝑚2
De la Ecuación (3.1), la resistencia por fluencia en el área bruta es:
𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑎
= 223,2 𝑘𝑁
2
De la Ecuación (3.2), la resistencia por rotura en el área neta efectiva es:
𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑎
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑢 𝐴𝑒 = 0,75 𝑥 400 𝑥 933,3 = 279990 𝑁 = 278 𝑘𝑁 >
= 223,2 𝑘𝑁
2
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐵𝑝 𝑒𝑝 = 0,9 𝑥 248 𝑥 200 𝑥 6 = 267840 𝑁 = 267,8 𝑘𝑁 >
Dimensiones del bloque de corte (Figura 4.23):
𝐴𝑔𝑣 = (2 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠) 𝑥 (50 + 75)𝑥 6 = 1500 𝑚𝑚2
𝐴𝑔𝑡 = 110 𝑥 6 = 660 𝑚𝑚2
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑣 = 𝐴𝑔𝑣 − ∑𝐴ℎ = 1500 − (2 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠) 𝑥 (1,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 6 = 1100 𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑡 = 𝐴𝑔𝑡 − ∑𝐴ℎ = 660 − (1 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 6 = 526,7𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑈𝑏𝑠 = 1,0
De la Ecuación (3.9), la resistencia por bloque de corte es:
𝜙𝑃𝑛 = 𝜙(0,60𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 ) ≤ 𝜙(0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 )
𝜙𝑃𝑛 = 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 400 𝑥 1100 + 1,0 𝑥 400 𝑥 526,7)
77
≤ 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 248 𝑥 1500 + 1,0 𝑥 400 𝑥 526,7)
𝜙𝑃𝑛 = 356,0 𝑘𝑁 ≥ 325,4 𝑘𝑁
𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑎
𝜙𝑃𝑛 = 325,4 𝑘𝑁 >
= 223,2 𝑘𝑁
2
Con respecto a la placa inferior del ala, se debe verificar la fluencia en el área bruta y rotura en el área neta,
considerando que tiene un ancho menor a la mitad del ancho de la sección y el mismo espesor que la placa
𝑃
superior. Se puede asumir un ancho de 90 mm. La fuerza solicitante en una de las placas es 𝑢_𝑎𝑙𝑎.
4
Diseño de conexión del alma
De la Ecuación (4.1), la resistencia al corte de un perno es:
𝜙𝑅𝑛𝑣 = 𝜙𝐹𝑛𝑣 𝐴𝑏 = 0,75 𝑥 372 𝑥 285 = 79515 𝑁 = 79,5 𝑘𝑁
El número de pernos requerido nreq por cortante doble es:
𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑚𝑎
508,9
𝑛𝑟𝑒𝑞 =
=
= 3,20
2𝜙𝑅𝑛𝑣
2 𝑥 79,5
De la Ecuación (4.3), se 𝐿𝑐 ≥ 2𝑑𝑏 , la resistencia al aplastamiento del orificio del perno en el alma es:
3
𝑚𝑚
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙2,4𝑑𝑏 𝑡𝐹𝑢 = 0,75 𝑥 2,4 𝑥 ( 𝑥 25,4
) 𝑥 6 𝑥 400 = 82296 𝑁 = 82,3 𝑘𝑁
4
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
El número de pernos requerido nreq por aplastamiento del alma es:
𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑚𝑎 508,9
𝑛𝑟𝑒𝑞 =
=
= 6,18
𝜙𝑅𝑛
82,3
Por otra parte, si el espesor de las placas del alma es mayor que la mitad del espesor del alma, como ya se
ha considerado el aplastamiento del alma (en el cálculo del número de pernos), no es necesario volver a
verificar el aplastamiento en las placas. Por lo demás, se recomienda utilizar espesores no menores a 5 mm
en los elementos de conexión. De esta forma, para este diseño se utilizan placas en el alma de 5 mm.
De lo anterior, el número de pernos requeridos 𝑛𝑟𝑒𝑞 = 6,18. Se utilizan dos filas con cinco pernos cada
una, por lo tanto, el número de pernos en el alma es 𝑛𝑎𝑙𝑚𝑎 = 10. Si bien por resistencia al corte de los
pernos es suficiente poner ocho pernos, para que cumpla con la resistencia al bloque de corte se utilizan
10, cuya verificación se muestra a continuación. El detalle de la conexión del alma se presenta en la Figura
4.24.
78
30 mm
4 @ 75 mm
30 mm
50 mm
75 mm
50 mm
Figura 4.24. Espaciamiento de pernos en el alma.
Se debe verificar la resistencia del bloque de corte en el alma que se muestra en la Figura 4.25.
Dimensiones del bloque de corte:
𝐴𝑔𝑣 = (2 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠) 𝑥 (50 + 75)𝑥 6 = 1500 𝑚𝑚2
𝐴𝑔𝑡 = (4 𝑥 75) 𝑥 6 = 1800 𝑚𝑚2
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑣 = 𝐴𝑔𝑣 − ∑𝐴ℎ = 1500 − (2 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠) 𝑥 (1,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 6 = 1100𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑡 = 𝐴𝑔𝑡 − ∑𝐴ℎ = 1800 − (4 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 6 = 1266,6𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑈𝑏𝑠 = 1,0
De la Ecuación (3.9), la resistencia por bloque de corte es:
𝜙𝑃𝑛 = 𝜙(0,60𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 ) ≤ 𝜙(0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 )
𝜙𝑃𝑛 = 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 400 𝑥 1100 + 1,0 𝑥 400 𝑥 1266,6)
≤ 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 248 𝑥 1500 + 1,0 𝑥 400 𝑥 1266,6)
𝜙𝑃𝑛 = 578,0 𝑘𝑁 ≥ 547,4 𝑘𝑁
𝜙𝑃𝑛 = 547,4 𝑘𝑁 > 𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑚𝑎 = 508,9 𝑘𝑁
79
Figura 4.25. Bloque de corte del alma.
Figura 4.26. Bloque de corte de la placa del alma.
Se debe verificar la capacidad en tracción de la placa del alma. No se presenta el cálculo de capacidad del
bloque de corte, ya que dicho bloque en las placas es similar al del alma (ver Figura 4.26), y el espesor total
de ambas planchas es mayor que el espesor del alma. Para la placa del alma se utiliza un ancho de 360 mm
(el ancho disponible es 364 mm). Además, para placas de empalme apernadas, 𝐴𝑛 ≤ 0,85𝐴𝑔 . El factor de
corte diferido es 𝑈 = 1.
𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − 𝐴ℎ ≤ 0,85𝐴𝑔
3 1
mm
= 360 x 5 − (5 orificio)x ( + ) x 25,4
x 5 ≤ 0,85 x 360 x 5
4 8
pulgada
= 1244,4 mm2 ≤ 1530 mm2
𝐴𝑒 = 𝐴𝑛 𝑈 = 1244,4 𝑚𝑚2
De la Ecuación (3.1), la resistencia por fluencia en el área bruta es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐵𝑝 𝑒𝑝 = 0,9 𝑥 248 𝑥 360 𝑥 5 = 401760 𝑁 = 401,8 𝑘𝑁 >
𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑚𝑎
= 254,5 𝑘𝑁
2
De la Ecuación (3.2), la resistencia por rotura en el área neta efectiva es:
𝑃𝑢_𝑎𝑙𝑚𝑎
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑢 𝐴𝑒 = 0,75 𝑥 400 𝑥 1244,4 = 373320 𝑁 = 373,3 𝑘𝑁 >
= 254,5 𝑘𝑁
2
El detalle final del empalme se muestra en la Figura 4.27.
80
H400x200x49,3 Acero ASTM
A36
Placa del alma
PL350x360 mm
𝑡 = 5 mm Acero ASTM
A36
Placa inferior del ala
PL350x90 mm 𝑡 = 6 mm
Acero ASTM A36
Placa superior del ala
PL350x200 m 𝑡 = 6 mm
Acero ASTM A36
Figura 4.27. Empalme de columna.
81
Ejemplo 4.4
Determinar si los pernos de la conexión sometida a corte y tracción de la Figura 4.28 son adecuados. Utilice
pernos A490N de 7/8 pulgadas y orificios tamaño estándar. Asuma que las fuerzas se reparten igualmente
en cada perno.
Figura 4.28. Detalle para Ejemplo 4.4
SOLUCIÓN
La fuerza aplicada se separa en componentes horizontal y vertical. Notar que la línea de acción de la fuerza
de la diagonal pasa por el centro de la conexión, por lo que no se genera momento flector.
𝑃𝑢_𝐻 = 800 𝑥 (𝑐𝑜𝑠 30°) = 692.82 𝑘𝑁
𝑃𝑢_𝑉 = 800 (𝑠𝑖𝑛 30°) = 400 𝑘𝑁
El área de un perno de 7/8 pulgadas es:
2
7
𝑚𝑚
𝐴𝑏 = 𝜋 𝑥 (0,5 𝑥 𝑥 25,4
) = 388 𝑚𝑚2
8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
La tensión de corte y tracción respectivamente en cada perno es:
𝑃𝑉
400000
𝑓𝑣 =
=
= 171.84 𝑀𝑃𝑎
𝐴𝑏 𝑛 388 𝑥 6
𝑃𝐻
692820
𝑓𝑡 =
=
= 297.64 𝑀𝑃𝑎
𝐴𝑏 𝑛 388 𝑥 6
La resistencia a corte y tracción para un perno, con las tensiones correspondientes obtenidos de la Tabla
4.1, es:
𝜙𝑅𝑛𝑣 = 𝜙𝐹𝑛𝑣 𝐴𝑏 = 0,75 𝑥 469 𝑥 388 = 136461 𝑁 = 136,5 𝑘𝑁
𝜙𝑅𝑛𝑡 = 𝜙𝐹𝑛𝑡 𝐴𝑏 = 0,75 𝑥 780 𝑥 388 = 226950 𝑁 = 227 𝑘𝑁
𝑓𝑣
171.84
=
= 0.49
𝜙𝐹𝑛𝑣 0.75 𝑥 469
𝑓𝑡
297.64
=
= 0.51
𝜙𝐹𝑛𝑡 0.75 𝑥 780
Como la razón entre la tensión y la resistencia es mayor a 0.3, se debe considerar la combinación de
tensiones de acuerdo con la ecuación J3-3a de la norma NCh427/1.
De la Ecuación (4.7), la tensión de tracción nominal modificado es:
𝐹𝑛𝑡
′
𝐹𝑛𝑡
= 1,3𝐹𝑛𝑡 −
𝑓 ≤ 𝐹𝑛𝑡
𝜙𝐹𝑛𝑣 𝑟𝑣
780
′
𝐹𝑛𝑡
= 1,3 𝑥 780 −
𝑥 171,84 = 632,95 𝑀𝑃𝑎 ≤ 780 𝑀𝑃𝑎
0,75 𝑥 496
82
Finalmente, la tensión de diseño a tracción es:
′
𝜙𝐹𝑛𝑡
= 0,75 𝑥 632,95 = 474,71 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑡 = 297,64 𝑀𝑃𝑎
Por lo tanto, la conexión es adecuada.
83
Ejemplo 4.5
Determinar la capacidad de la conexión mostrada en la Figura 4.29, basada sólo en la resistencia de la
soldadura. El electrodo es E70XX.
Figura 4.29. Detalles para Ejemplo 4.5.
SOLUCIÓN
Primero, se debe verificar el tamaño de soldadura de filete de acuerdo con la sección J2.2b de la norma
NCh427/1.
Según la Tabla 4.7 el tamaño mínimo de la soldadura de filete es 5 mm y el tamaño máximo, según la
Tabla 4.8, es:
𝑡 − 2 mm = 8 mm.
Por lo tanto, un filete de 6 mm cumple con los requerimientos.
Además, L = 100 mm = b= 100 mm, por lo cual la longitud de soldadura es suficiente.
Utilizando la Ecuación (4.19), la resistencia de la soldadura es:
√2
√2
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙0,60𝐹𝐸70
𝑤 𝐿 = 0,75 𝑥 0,6 𝑥 482 𝑥
𝑥 6 𝑥 (2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑥 100) = 184.05 𝑘𝑁
2 𝑓
2
84
Ejemplo 4.6
Determinar la capacidad de la conexion mostrada en la Figura 4.30, basada solo en la resistencia de la
soldadura. El electrodo es E70XX.
Figura 4.30. Detalles para Ejemplo 4.6.
SOLUCIÓN
Del ejemplo anterior, se cumplen los requerimientos de espesor de filete. Además, como el filete
longitudinal está acompañado de soldadura de filete transversal, no se exige que el largo sea mayor o igual
a la distancia entre filetes longitudinales.
La resistencia de la soldadura longitudinal, calculada en ejercicio anterior, es:
𝜙𝑅𝑤𝑙 = 184,05 𝑘𝑁
De la Ecuación (4.19), la resistencia de la soldadura transversal es:
√2
√2
𝜙𝑅𝑤𝑡 = 𝜙0,60𝐹𝐸70
𝑤 𝐿 = 0,75 𝑥 0,6 𝑥 482 𝑥
𝑥 6 𝑥 150 = 138,03 𝑘𝑁
2 𝑓
2
La resistencia de la combinación de las soldaduras longitudinal y transversal es la mayor entre las
Ecuaciones J2-10a y J2-10b de la norma:
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙𝑅𝑤𝑙 + 𝜙𝑅𝑤𝑡 = 184,05 + 138,03 = 322,1 𝑘𝑁
𝜙𝑅𝑛 = 0,85𝜙𝑅𝑤𝑙 + 1,5𝜙𝑅𝑤𝑡 = 0,85 𝑥 184,05 + 1,5 𝑥 138,03 = 363,5 𝑘𝑁
Por lo tanto, la resistencia de la soldadura de la conexión es 𝜙𝑅𝑛 = 363,5 𝑘𝑁
85
Ejemplo 4.7
Diseñar la conexión apernada de la Figura 4.31. En particular, se debe calcular el espesor del ala del
conector T, el número de pernos y el largo de soldadura requeridos. También se debe verificar la capacidad
en tracción de los ángulos y la resistencia del alma del conector. Considerar acero calidad ASTM A992 para
el conector y la viga, y acero A270ES para los ángulos. Los pernos son de calidad ASTM A325N y soldadura
electrodo E70XX.
Figura 4.31. Detalles para Ejemplo 4.7.
SOLUCIÓN
Este tipo de conexión es interesante debido a que involucra efecto palanca tanto en el elemento conector
como en el miembro soportante, y además porque posee una trayectoria de carga particular. La carga pasa
desde los ángulos a través de la soldadura (o pernos si los ángulos estuvieran apernados) al elemento
conector, que en este caso son dos planchas soldadas que forman una T, y luego a través de pernos en
tracción a la viga soportante. Los pernos se ubican de manera tal la línea de acción de la fuerza cruce el
centroide de la conexión, de manera de no provocar tracción adicional en los pernos debido a momento.
Dimensiones de la sección H 600x250x121,3 obtenidas de la Tabla 2.1.1 del Manual ICHA.
𝐻 = 600 𝑚𝑚
𝑏𝑓 = 250 𝑚𝑚
𝑡𝑓 = 22 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 8 𝑚𝑚
Propiedades de la sección L80x80x8mm obtenidas de la Tabla 2.1.8 del Manual ICHA.
𝐴𝑔 = 1227 𝑚𝑚2
𝑥̅ = 26,2 𝑚𝑚
Resistencia de los ángulos y largo de soldadura
De la Ecuación (3.1), la resistencia a la fluencia por tracción en el área bruta del ángulo es:
𝑃𝑢
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐴𝑔 = 0,9 𝑥 250 𝑥 1227 = 276075 𝑁 = 276,1 𝑘𝑁 >
= 180 𝑘𝑁
2
86
El tamaño mínimo de soldadura de filete que se permite, de acuerdo con la Tabla 4.7, considerando el
espesor más pequeño entre el ángulo (8 mm) y la plancha (10 mm), es 5 mm y el tamaño máximo es 8– 2 =
6 𝑚𝑚. Por lo tanto, se elige un tamaño de filete de soldadura de 6 mm.
El largo total de soldadura requerido se obtiene re-ordenando la Ecuación (4.18), donde la resistencia que
se desea proveer es igual a 𝑃u .
𝑃u
360000
𝐿𝑚𝑖𝑛 =
=
= 391 𝑚𝑚
√2
√2
𝜙0,60𝐹𝐸70 𝑤𝑓 0,75 𝑥 0,6 𝑥 482 𝑥
𝑥6
2
2
Se utilizan cuatro filetes de soldadura de 100 mm de largo (dos por cada ángulo). Además 𝐿 = 100 mm >
𝑏 = 80 mm. Por lo tanto, la longitud de soldadura es suficiente.
El factor de corte diferido del ángulo es:
𝑥̅
26,2
𝑈 = 1− =1−
= 0.739
𝑙
100
De la Ecuación (3.2), la resistencia a la rotura en tracción en el área neta del ángulo es:
𝐴𝑒 = 𝐴𝑛 𝑈 = 1227 𝑥 0,739 = 906,8 𝑚𝑚2
𝑃𝑢
𝜙𝑃𝑛 = 𝜙𝐹𝑢 𝐴𝑒 = 0,75 𝑥 400 𝑥906,8 = 272040 𝑁 = 272 𝑘𝑁 > = 180 𝑘𝑁
2
Pernos en tracción y efecto palanca (prying action):
De la Ecuación (4.2), la resistencia a tracción de un perno, considerando su esfuerzo en tracción de acuerdo
con la Tabla 4.1, es:
𝜙𝑅𝑛𝑡 = 𝜙𝐹𝑛𝑡 𝐴𝑏 = 0,75 𝑥 620 𝑥 285 = 132525 𝑁 = 132,5 𝑘𝑁
El número de pernos requeridos es el que se muestra a continuación. Se utilizan tres pernos por cada
ángulo, en total la conexión tiene seis pernos.
𝜙𝑡 𝑃𝑛 273,9
𝑛𝑟𝑒𝑞 =
=
= 2,1
𝜙𝑅𝑛𝑡 132,5
Para determinar el espesor requerido del conector de manera que el efecto de la acción separadora sea
insignificante, según la Ecuación (4.11), se calculan los siguientes parámetros:
𝑔 − 𝑡𝑤_𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 100 − 10
𝑏=
=
= 45 𝑚𝑚
2
2
3
𝑚𝑚
𝑥 25,4
𝑑𝑏
4
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑏′ = 𝑏 −
= 45 −
= 35,5 𝑚𝑚
2
2
𝑝 = 75 𝑚𝑚
𝑡𝑚𝑖𝑛 = √
4,44𝑇𝑏 ′
4,44 𝑥 60000 𝑥 35,5
=√
= 16.8 𝑚𝑚
𝑝𝐹𝑢
75 𝑥 448
Se elige un espesor de plancha para el ala del conector de 18 mm.
Resistencia a tracción del alma de elemento conector
Las ecuaciones para calcular la resistencia a tracción de plancha se presentan en la sección 5.4.1 de este
texto.
El ancho efectivo de Whitmore es:
𝐿𝑤 = 𝑏á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 + (2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠)𝑙𝑤 tan 30° = 80 + (2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠) 𝑥 100 𝑥 tan 30° = 195,5 𝑚𝑚
De la Ecuación(5.8), la resistencia por fluencia en el área efectiva de Whitmore es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐿𝑤 𝑡 = 0,9 𝑥 345 𝑥 195.5 𝑥 10 = 607027,5 𝑁 = 607 𝑘𝑁 > 𝑃𝑢 = 360 𝑘𝑁
De la Ecuación (5.9), la resistencia por rotura en el área efectiva de Whitmore es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑢 (𝐿𝑤 − 𝑛𝑑ℎ )𝑡 = 0,75 𝑥 448 𝑥 (195,5 − 0) 𝑥 10 = 656880 𝑁 = 656,9 𝑘𝑁 > 𝑃𝑢 = 360 𝑘𝑁
87
Fractura por corte del metal base en la soldadura, según la Ecuación (4.24):
√2𝐹𝐸70 𝑤𝑓 √2 𝑥 482 𝑥 6
𝑡𝑚𝑖𝑛 =
=
= 9,13 𝑚𝑚 < 10 𝑚𝑚
𝐹u
448
Como el espesor requerido es menor al espesor real del conector, la resistencia a la fractura por corte del
metal base es mayor que la resistencia a la fractura de la soldadura, y por ende, mayor que la fuerza
solicitante.
Bloque de corte en alma elemento conector:
𝐴𝑔𝑣 = (2 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠)𝑥 100 𝑥 10 = 2000 𝑚𝑚2
𝐴𝑛𝑡 = 𝐴𝑔𝑡 = 80 𝑥 10 = 800 𝑚𝑚2
𝑈𝑏𝑠 = 1,0
Ya que los ángulos están soldados a la plancha, controla la fluencia por corte en el área bruta de corte:
𝜙𝑃𝑛 = 𝜙(0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 )
= 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 345 𝑥 2000 + 1,0 𝑥 448 𝑥 800) = 579300 𝑁 = 579.3 𝑘𝑁 > 𝑃𝑢 = 360 𝑘𝑁
88
89
5.1.
Introducción
En el capítulo previo se presentaron los conceptos y métodos de diseño de las conexiones básicas
apernadas y soldadas. Se incluyeron los principales estados límites y ecuaciones de resistencia
asociados, tales como corte y tracción en los pernos, aplastamiento, corte excéntrico en pernos,
acción separadora, resistencia de filetes de soldadura y del metal base. En este capítulo se aplican
estos conceptos al detalle de conexiones más elaboradas que se presentan comúnmente en
estructuras de acero, cuyas verificaciones incluyen varios de los estados límites estudiados en forma
individual.
5.2.
Conexiones de corte de vigas
Las conexiones de corte de vigas son las más comunes en un edificio de acero. De acuerdo con la
Parte 10 del Manual AISC [Ref. 9], existen siete tipos de conexiones simples de corte: doble ángulo,
plancha extrema de corte, asiento no atiesado, asiento atiesado, placa de corte, ángulo simple y
planchas en T. Estas conexiones se muestran esquemáticamente en la Figura 5.1. Los elementos
conectores pueden ser soldados o apernados, aunque se prefieren las conexiones apernadas debido
a la menor mano de obra, tiempo requerido y la facilidad de inspección.
(a) Doble ángulo doblemente apernado
(b) Doble ángulo soldado a la viga soportada
(c) Plancha extrema
(d) Asiento no atiesado
90
(e) Asiento atiesado
(f) Placa de corte
a
(g) Ángulo simple
(h) Planchas en T
Figura 5.1. Uniones de corte típicas (Adaptado de Ref. 9)
De acuerdo con la sección J.1-2 de la Norma NCh427/1, las conexiones simples de vigas se deben
diseñar como flexibles y se permite dimensionarlas solamente para reacciones de corte, excepto que
se indique lo contrario en los documentos de diseño. Las conexiones flexibles de vigas deben ser
capaces de soportar las rotaciones de las vigas en sus extremos. Según la Parte 9 del Manual AISC,
las conexiones simples de corte proveen la ductilidad rotacional requerida de la siguiente forma:
•
•
•
Para conexiones con doble ángulo, plancha extrema, ángulo simple y sección T, la geometría y
espesor de los elementos conectores se configura de manera que la flexión de estos elementos
acomode la rotación de la viga.
Para conexiones de asiento no atiesado y atiesado, la geometría y espesor del ángulo
estabilizador superior se configura de manera que la flexión del ángulo acomode la rotación de
la viga.
Para conexiones con placa de corte, la geometría y espesor de la placa se configura de manera
que la placa fluya, el grupo de pernos rote, y/o que los agujeros de los pernos se elonguen antes
que ocurra la falla de las soldaduras o pernos.
91
A continuación, se explican las principales ventajas de las conexiones de corte simple mencionadas:
•
•
•
Conexiones por dos lados (doble ángulo y plancha extrema): Son apropiadas cuando la reacción
de apoyo es grande; son conexiones compactas, que usualmente caben dentro de las alas de la
viga soportada; y la excentricidad perpendicular al eje de la viga no necesita considerarse para
los gramiles establecidos. Este tipo de conexiones pueden requerir consideraciones adicionales
para el montaje, las que se discuten en la Parte 10 del Manual AISC.
Conexiones de asiento: Los asientos pueden conectarse al miembro de apoyo en taller,
simplificando el montaje; proveen mayor holgura y seguridad para el montaje; y es fácil
mantener el largo de vano de la estructura. Sin embargo, las conexiones con asiento pueden
causar interferencias en el montaje cuando los pisos están cercanos, las vigas son altas, o los
asientos sobresalen excesivamente de la cara de las columnas.
Conexiones por un lado (placa de corte, ángulo simple y sección T): Los elementos conectores se
pueden instalar en taller, simplificando el montaje; se reducen materiales y mano de obra; y
proveen mayor holgura y seguridad para el montaje.
En el presente texto, se desarrolla brevemente la metodología de diseño de conexiones con doble
ángulo y con placa de corte, debido a que son las más utilizadas en la práctica nacional.
Cabe señalar que a pesar de que las vigas transmitan y resistan cargas esencialmente gravitacionales,
no es extraño que deban traspasar también cargas axiales-horizontales ante solicitaciones sísmicas.
En el caso de cargas axiales pequeñas la conexión de corte común puede ser capaz de tolerar la
exigencia. En el caso de vigas correspondientes a marcos sísmicos, arriostrados principalmente, estas
cargas axiales que deben transmitirse por las conexiones pueden ser tan elevadas que impidan el uso
de una conexión de corte tradicional.
5.2.1. Conexión de doble ángulo
En esta conexión se utiliza un ángulo a cada lado del alma de una viga, los que pueden ir soldados o
apernados a la viga que se desea conectar o a la viga receptora. Usualmente se prefiere utilizar la
opción de ángulos doblemente apernados con el fin de disminuir el trabajo en taller, aunque la
configuración de ángulos soldados al elemento a conectar puede tener la ventaja de que los
elementos conectores no estén dispersos en la obra. La opción de que los ángulos vayan soldados al
miembro receptor es menos común, ya que la flexibilidad de la unión puede quedar restringida y
además puede dificultar el montaje.
De acuerdo con el Manual AISC con el fin de proveer estabilidad durante el montaje, el largo de los
ángulos de conexión como mínimo debe ser igual la mitad de la dimensión 𝑇 de la viga a conectar,
donde 𝑇 corresponde a la altura total menos el espesor de las alas y el filete de soldadura (𝑇 = 𝐻 −
𝑡𝑓 − 2𝑤𝑓 ). A su vez, para proveer flexibilidad, el máximo espesor de los ángulos debe limitarse a 16
mm (5/8 pulgadas), a menos que se realice la verificación de ductilidad indicada en la Parte 9 del
Manual AISC.
Los modos de falla que se deben considerar en este tipo de conexiones son: 1) corte en los pernos;
2) aplastamiento del alma y los ángulos; 3) corte directo (fluencia y rotura) y bloque de corte en los
ángulos; y 4) corte directo y bloque de corte en el alma de la viga conectada en el caso de vigas
destajadas. Para conexiones con ángulos soldados a la viga se debe verificar la resistencia de la
92
soldadura, controlando usualmente la resistencia del alma en el filete de soldadura. Además, en vigas
con destajes es necesario verificar el pandeo local por flexión en el alma (un análisis detallado de este
estado límite se presenta en el Capítulo 11 de la Referencia 1). Con el fin de facilitar el diseño, en el
Manual ICHA [Ref. 22] se presentan tablas de capacidad de conexiones con ángulos doblemente
apernados, la cuales están limitadas a pernos de 3/4, 7/8 y 1 pulgadas de diámetro; aceros con
esfuerzo de fluencia 𝐹𝑦 similares en resistencia al A36 y A572 Gr.50; 2, 3, 4, 6, 8 o 10 filas de pernos;
y espesores de ángulos de 1/4, 5/16, 3/8 y 1/2 pulgadas. Estas tablas han sido extraídas y adaptadas
del Manual AISC (Table 10-1 All – Bolted Double – Angle Connections). No obstante, es común en la
práctica nacional que las oficinas de detallamiento posean planillas de cálculo para calcular la
capacidad de conexiones no consideradas en las tablas de diseño.
Es importante señalar que en la práctica es usual diseñar las conexiones de corte de vigas con una
solicitación equivalente a un porcentaje de la capacidad de corte de la viga sin considerar pandeo por
corte del alma, es decir, 𝑉𝑢 = % (𝜙𝑣 0,6𝐹𝑦 ℎ𝑡𝑤 ). Dicho porcentaje puede ser especificado en los
criterios de diseño de un proyecto o también puede ser indicado por el ingeniero calculista en los
planos de diseño. De esta manera, el detallador no requiere el modelo estructural o la memoria de
cálculo para definir la reacción de corte de cada viga en su extremo, y el detalle de la conexión será
similar para todas las vigas de una misma sección independiente de la carga que reciban. Usualmente
se especifica un porcentaje entre el 50% y 75% de la capacidad de corte del alma, lo que para vigas
de piso corrientes cuyo diseño está controlado por flexión, es en general suficiente. Sin embargo, en
estructuras industriales es posible encontrar casos de vigas con cargas concentradas en que estos
porcentajes sean insuficientes. En la sección J10.10 de la norma NCh 427/1 se establece que las
conexiones de corte deben resistir como mínimo un 50% de la capacidad del alma sin reducción por
esbeltez. Además, se sugieren criterios para determinar el corte de diseño cuando las cargas o
reacciones no se indiquen en los planos.
Se presenta en el Ejemplo 5.1 el diseño de una unión con ángulo doblemente apernado utilizando las
tablas de diseño y verificando los estados límites más relevantes.
5.2.2. Conexiones con placa de corte
En estas conexiones, la placa siempre va soldada al apoyo en ambos lados y apernada a la viga
soportada. La resistencia se determina a partir de los estados límites aplicables para los pernos,
soldadura y elemento conector. Las conexiones con placa de corte se clasifican en dos
configuraciones: convencional y extendida, siendo la primera lo más deseable, ya que su método de
diseño es más simple. Los límites dimensionales establecidos en la Parte 10 del Manual AISC [Ref. 9],
para que la conexión clasifique como convencional, son los siguientes:
•
•
•
•
•
Sólo se permite una fila de pernos verticales, con un mínimo de 2 pernos y máximo de 12.
La distancia del ℄ de los pernos a la soldadura, a, debe ser menor o igual a 90 mm (3,5 pulgadas).
La distancia horizontal al borde, 𝐿𝑒ℎ , debe ser mayor o igual a 2𝑑𝑏 para la placa y el alma de la
viga.
La distancia vertical al borde, 𝐿𝑒𝑣 , debe satisfacer los requerimientos de la Tabla J3.4 de la Norma
NCh427/1.
𝑑
Para proporcionar ductilidad, el espesor de la placa o de la viga debe ser menor o igual que 2𝑏 +
1
16
(en pulgadas).
93
𝑎
𝑎
𝐿𝑒ℎ
Atiesador
opcional
𝐿𝑒ℎ
𝐿𝑒𝑣
𝐿𝑒𝑣
𝑛 − 1@75𝑚𝑚
𝐿
𝐿
𝐿𝑒𝑣
𝐿𝑒𝑣
(a) Placa de corte convencional
(b) Placa de corte extendida
Figura 5.2. Configuraciones de conexiones con placa de corte (Adaptado de Ref. 9)
Con el fin de facilitar el diseño, en el Manual ICHA [Ref. 2] se presentan tablas de capacidad de
conexiones con placa de corte, las cuales consideran los estados límites de corte en los pernos,
aplastamiento de la placa en los agujeros, fluencia por corte, rotura por corte y bloque de corte de
la placa. Estas tablas (Tablas 4-37, 4-38 y 4-39) están limitadas a pernos de 3/4, 7/8 y 1 pulgadas de
diámetro; aceros con 𝐹𝑦 similar en resistencia al A36; de 2 a 9 pernos; y espesores de placa de 6 mm
hasta 14 mm. Los valores de las tablas fueron calculados considerando 𝑎 = 75 mm, 𝐿𝑒𝑣 = 𝐿𝑒ℎ = 40
mm, y un tamaño de soldadura de 0,75 veces el espesor de la placa. Además, se recomienda un
espesor mínimo de placa para evitar el pandeo local, 𝑡𝑝_𝑚𝑖𝑛 = 𝐿⁄64 ≥ 6 mm.
En estas tablas se incorpora además la condición de nudo rígido o flexible, que depende de la rigidez
al giro del miembro que soporta la conexión de corte. Un apoyo flexible permite que las rotaciones
en el extremo de la viga sean acomodadas vía rotación de la columna, por ejemplo, en el caso de
vigas relativamente altas conectadas a columnas más pequeñas o en conexiones al alma de una
columna de una sola viga concurrente al nudo. Por el contrario, un apoyo en un miembro que posee
una rigidez al giro elevada, que obliga a que las rotaciones en los extremos de la viga simplemente
apoyada ocurran principalmente en la conexión, como en el caso de conexiones a las alas de
columnas relativamente rígidas o uniones al alma de vigas concurrentes al nudo por ambos lados, se
considera como rígido.
Se presenta en el Ejemplo 5.2 el diseño de una unión con placa de corte utilizando las tablas de
diseño.
94
5.3.
Conexiones de momento y empalmes
5.3.1. Conexiones de momento de viga a columna
Una conexión de momento es capaz de transferir un momento interno o reacción externa a través
de la unión o al apoyo. En la práctica, todas las conexiones de acero tienen cierto grado de
empotramiento de manera que no son ni perfectamente rotuladas ni empotradas. Por simplicidad,
las conexiones diseñadas para transmitir solamente corte se consideran rotuladas aunque limiten en
cierto grado la rotación, y las conexiones diseñadas para resistir momento se consideran empotradas,
aunque pueda ocurrir un pequeño nivel de rotación en la unión. En la sección B.3-6b de la norma
NCh427/1se identifican dos tipos de conexiones de momento:
•
•
Conexiones completamente restringidas (FR): Transmiten momento con una rotación
despreciable entre los miembros conectados, y se puede suponer en el análisis de la estructura
que la conexión no permite la rotación relativa. Esta conexión debe tener suficiente resistencia y
rigidez para mantener el ángulo entre los miembros conectados en los estados límites
resistentes.
Conexiones parcialmente restringidas (PR): Transmiten momento, pero la rotación entre los
miembros conectados no es despreciable. Para el análisis se deben incluir curvas fuerzadeformación debidamente documentadas. Los elementos componentes de la conexión deben
tener suficiente resistencia, rigidez y capacidad de deformación en los estados límites
resistentes.
Es importante señalar que en la práctica nacional, según lo establecido en la sección 8.4.1 de la norma
NCh2369 Of.2003 [Ref. 24], no se permite usar conexiones del tipo PR en marcos rígidos
sismorresistentes.
Las principales disposiciones de diseño, así como también recomendaciones de detallamiento y
montaje de conexiones de momento completamente restringidas se presentan en la Parte 12 del
Manual AISC. En primer lugar, se establece que el momento que soporta la conexión se puede
descomponer en un par de fuerzas axiales actuando en las alas, las que se obtienen dividiendo la
solicitación de momento por el brazo entre estas fuerzas. Por otra parte, el corte se transfiere a
través de la conexión del alma. Ya que, por definición, el ángulo entre la viga y columna en una
conexión de momento tipo FR permanece constante bajo la acción de la carga, la excentricidad puede
despreciarse en la conexión de corte. La resistencia de una conexión de momento FR se determina a
partir de los estados límites aplicables para pernos, soldaduras y elementos conectores, estudiados
en los capítulos anteriores. Adicionalmente, debe verificarse la resistencia de la columna soportante,
y por lo tanto, la necesidad de atiesadores para cargas concentradas y posibles refuerzos de zonas
panel.
Las conexiones de momento transmiten fuerzas concentradas al ala de las columnas que deben ser
consideradas en el diseño de la columna y de la zona de panel, de acuerdo con la sección J.10 de la
norma NCh427/1. Se puede seleccionar tanto la sección de la columna con un espesor de alas y alma
adecuado para eliminar la necesidad de atiesadores, o proveer atiesadores transversales. Para más
información, referirse a la Guía de Diseño N°13 del AISC [Ref. 3].
Los detalles más comunes para conexiones de momento de viga empotrada a una columna de sección
I se pueden obtener del Capítulo 3 del Manual ICHA [Ref. 22], los que se muestran simplificados en
95
la Figura 5.3. Cabe destacar que los detalles (a), (b) y (d) de la Figura 5.3 están reconocidos en la Parte
12 del Manual AISC [Ref. 9].
En la Figura 5.3(a) se presenta una viga conectada directamente a la columna. Esta conexión de
momento consiste en una conexión de corte y soldaduras de tope de penetración completa para
conectar directamente las alas de la viga a la columna. El detalle de unión y procedimiento de
soldadura debe materializarse para minimizar la distorsión y la posibilidad de desgarramiento
laminar. Una breve discusión de este fenómeno y las formas de evitarlo se puede encontrar en la
Guía de Diseño N°21 de AISC [Ref.10]. Una soldadura típica de penetración completa en un ala
soldada directamente puede provocar contracciones cercanas a los 2 mm. Esta contracción puede
causar problemas de montaje al ubicar las columnas entre vigas continuas. En caso de realizar este
tipo de unión en terreno, la soldadura debe realizarse en posición plana u horizontal y debe preferirse
soldadura de filete por sobre soldadura de tope, cuando sea posible.
(a) Ala de la viga soldada con penetración completa
directamente al ala de la columna
(b) Ala de la viga apernada a planchas soldadas con
filete al ala de la columna.
(c) Plancha extrema extendida soldada al ala y alma de
la viga, y apernada al ala de la columna
(d) Viga apernada con silla a columna
Figura 5.3. Conexiones de momento totalmente restringidas (FR).
96
La conexión con planchas apernadas a las alas mostrada en la Figura 5.3(b) es bastante común, y
consiste en una conexión de corte y en placas soldadas a la columna que conectan las alas de la viga
soportada, las que pueden a su vez ir soldadas o apernadas a las placas. Para conexiones
sismorresistentes, las placas de las alas se conectan con soldadura de tope de penetración completa.
En este tipo de conexión, las planchas usualmente se instalan con respecto al ℄ del alma de la
columna. Se pueden encontrar dificultades durante el montaje debido a los descuadres producidos
por las tolerancias de fabricación de columnas y vigas, por lo que recomienda fijar en taller planchas
más largas, utilizar perforaciones con sobre-tamaño, o enviar las planchas sueltas para ser soldadas
en terreno.
La conexión con plancha extrema extendida de la Figura 5.3(c) consiste en una placa de mayor largo
que la altura de la viga, perpendicular al eje longitudinal de la viga soportada, que va siempre soldada
al alma y alas de la viga, y apernada al miembro soportante. La principal ventaja de este tipo de
conexión es que toda la soldadura se realiza en taller, por lo tanto, el montaje se hace más rápido y
económico. En la Figura 5.4 se muestran tres casos comúnmente utilizados, y su designación AISC. Se
puede observar que estas conexiones se clasifican de acuerdo con el número de pernos en el ala en
tracción y a la presencia de atiesadores. Los procedimientos de diseño, además de ejemplos de
cálculo de este tipo de conexiones se encuentran en la Guía de Diseño N° 4 del AISC [Ref. 6].Además,
para conexiones con placa extrema con otras configuraciones, como por ejemplo otros números de
pernos o placa no extendida, se puede consultar la Guía de Diseño N° 16 del AISC [Ref. 5].
Coloquialmente se refiere a este tipo de conexión como “plancha de cabeza”.
Finalmente, en la Figura 5.3(d) se muestra una conexión de momento con las alas apernadas a placas
soldadas a la columna y con silla de apoyo para transmitir el esfuerzo de corte a la columna.
a) Cuatro pernos no atiesada, 4E
b) Cuatro pernos atiesada, 4ES
c) Ocho pernos atiesada, 8ES
Figura 5.4. Configuraciones de conexiones de momento con placa extrema extendida.
Puede observarse en los detalles de la Figura 5.3 la presencia de atiesadores en las columnas,
llamados también planchas de continuidad. En la práctica nacional es común incorporar estos
refuerzos en las conexiones de momento de estructuras sismorresistentes de manera prescriptiva.
Para verificar si se requieren estos atiesadores, se debe verificar los estados de límites
correspondientes a cargas puntuales en secciones I descritos en la sección J.10 de la norma NCh
97
427/1, tales como flexión local del ala, fluencia local del alma, aplastamiento del alma, pandeo del
alma comprimida y corte en la zona panel del alma. Los primeros tres estados límites se presentan
en el capítulo 7 del presente texto, ya que corresponden también a estados límites aplicables a vigas.
Los últimos dos mencionados se describen a continuación, ya que son aplicables sólo para uniones
de momento.
Pandeo del alma comprimida (sección J10.5):
Esta sección se aplica sólo cuando para un par de cargas concentradas simples de compresión o las
componentes de compresión de un par de cargas concentradas dobles, aplicadas en ambas alas del
miembro en la misma sección, como en el caso del ala inferior de un par de conexiones de momento,
bajo cargas gravitacionales, que llegan por ambos lados a una columna. En estas condiciones, la
esbeltez del alma debe limitarse para evitar la posibilidad de pandeo. La resistencia nominal al
pandeo del alma comprimida se determina con la Ecuación (5.1).
La resistencia nominal al pandeo del alma comprimida se determina con la Ecuación(5.1), cuando
𝐿𝑏 ⁄𝑑 es aproximadamente menor que 1.
Ec. J10-8 de NCh427/1:
𝑅𝑛 =
3
24𝑡𝑤
√𝐸𝐹𝑦
(5.1)
ℎ
𝜙 = 0,9 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 1,67 (𝐴𝑆𝐷)
Corte en la zona panel del alma (sección J10.6):
Esta sección se aplica para las cargas concentradas dobles aplicadas a una o ambas alas de un
miembro en la misma sección. Las tensiones de corte en el alma de una columna pueden ser
importantes en la zona de panel de conexiones rígidas de dos o más miembros con sus almas en un
plano común. Estas almas deben reforzarse cuando la demanda Σ𝑅𝑢 (5.2) a lo largo del plano A-A de
la Figura 5.5 exceda la resistencia del alma de la columna.
Figura 5.5. Fuerzas para método LRFD en zona de panel (Fig. C-J10.3 Ref.12)
98
Σ𝑅𝑢 =
𝑀𝑢1 𝑀𝑢2
+
− 𝑉𝑢
𝑑𝑚1 𝑑𝑚2
(5.2)
Donde:
𝑀𝑢1 = 𝑀𝑢1𝐿 + 𝑀𝑢1𝐺
= Suma de momentos debido a las cargas laterales (𝑀𝑢1𝐿 ) y gravitacionales (𝑀𝑢1𝐺 ) mayoradas,
en el lado de barlovento de la conexión.
𝑀𝑢2 = 𝑀𝑢2𝐿 − 𝑀𝑢2𝐺
= Diferencia de momentos debido a las cargas laterales (𝑀𝑢2𝐿 ) y gravitacionales (𝑀𝑢2𝐺 )
mayoradas, en el lado de sotavento de la conexión.
𝑑𝑚1 , 𝑑𝑚2 = distancia entre las fuerzas en las alas en la conexión de momento, que e considera 0.95
veces la altura de la viga.
Cuando el efecto de la deformación en la zona panel en la estabilidad del marco no se
considera en el análisis, que es el caso más común, la resistencia nominal se determina se determina
por medio de las siguientes ecuaciones:
Para
𝑃𝑟 ≤ 0,4𝑃𝑐
Ec. J10-9 de NCh427/1:
Para
𝑅𝑛 = 0,6𝐹𝑦 𝑑𝑐 𝑡𝑤
(5.3)
𝑃𝑟 > 0,4𝑃𝑐
Ec. J10-10 de NCh427/1:
𝑃𝑟
)
𝑃𝑐
𝜙 = 0,9 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 1,67 (𝐴𝑆𝐷)
𝑅𝑛 = 0,6𝐹𝑦 𝑑𝑐 𝑡𝑤 (1,4 −
(5.4)
Donde:
𝑑𝑐 =Altura de la columna (mm)
𝑃𝑟 = Solicitación axial en la columna, consistente con los momentos evaluados en la conexión, usando
combinaciones de carga ASD o LRFD (N)
𝑃𝑐 = 𝑃𝑦 (LRFD) o 0,6𝑃𝑦 (ASD), (N)
𝑃𝑦 = 𝐹𝑦 𝐴𝑔 = Resistencia axial de fluencia de la columna (N)
Si la demanda excede la resistencia del alma, se debe reforzar el alma ya sea con planchas o con un
par de atiesadores diagonales dentro de los límites de la conexión rígida cuyas almas yacen en un
plano común. Sin embargo, dado que en la práctica nacional es común utilizar perfiles soldados, una
alternativa conveniente puede ser el recambio de la plancha del alma en la zona panel por una de
mayor espesor, incluso de acero más resistente. Además, la inclusión de planchas paralelas o
diagonales puede ser impracticable cuando ocurren interferencias con vigas que llegan por el eje
débil de la columna en la zona panel.
Estas ecuaciones limitan el comportamiento de la zona panel al rango elástico. Si bien esta conexión
posee una gran capacidad residual más allá de la fluencia por corte, la correspondiente deformación
inelástica de la unión puede afectar adversamente la resistencia y estabilidad del marco (ver
Comentarios Sección J10.6 Ref.12), y los efectos de segundo orden pueden ser significativos. Si se
99
provee adecuada ductilidad a la conexión y el análisis considera la deformación inelástica de la zona
panel, la resistencia adicional al corte se puede obtener por medio de las ecuaciones J10-11 y J10-12
de la norma.
5.3.2. Empalmes de vigas
Se entiende por empalme una unión que mantiene la continuidad, es decir, que permite traspasar
toda la capacidad de la sección de un miembro a otro. Es común referirse a empalmes axiales o de
columnas, y de momento o de vigas, en función del esfuerzo principal cuya continuidad se desee
garantizar. Los empalmes de vigas también caen dentro de la categoría de conexiones de momento
completamente restringidas, y su diseño se presenta en la Parte 12 del Manual AISC [Ref. 9]. Los
detalles comúnmente utilizados para empalmes de vigas de sección I se pueden obtener del Capítulo
3 del Manual ICHA [Ref. 22], los que se muestran simplificados en la Figura 5.6. Estos detalles están
reconocidos en la Parte 12 del Manual AISC.
(a) Empalme con planchas apernadas o soldadas
(b) Empalme soldado
Figura 5.6. Empalmes de vigas.
100
(c) Empalme con placa extrema extendida
El empalme con planchas apernadas se utiliza frecuentemente ya que evita toda soldadura en
terreno. Existen las opciones de empalmes a cizalle simple o doble en las alas y alma de la viga. La
opción de cizalle doble permite disminuir el número de pernos y espesores de planchas, obteniendo
una conexión más compacta, siempre y cuando el espesor de los elementos de la viga sea suficiente
para que no controle el aplastamiento ni el bloque de corte. El diseño se realiza de manera similar al
empalme de columna presentado en el Ejemplo 4.3 del presente texto, considerando como demanda
en las alas la fuerza asociada a la resistencia de diseño a flexión de la viga. En el caso de empalmes
soldados, la plancha superior es más angosta y la plancha inferior es más ancha que el ala de la viga,
permitiendo el depósito de metal de soldadura. En los empalmes soldados directamente se utilizan
soldaduras de tope de penetración completa para unir las alas, y la conexión del alma puede ser
apernada o soldada. En empalmes sometidos a cargas sísmicas o de fatiga, se debe remover las
planchas de respaldo, limpiar la raíz y agregar soldadura de sello. Finalmente, los empalmes con placa
extrema extendida se diseñan de manera similar a una conexión de momento del mismo tipo, aunque
cabe señalar que no es muy común en la práctica nacional realizar empalmes de vigas con planchas
de cabeza.
Con respecto a la ubicación del empalme de vigas, históricamente se recomendaba ubicarlo cerca
del punto de inflexión para cargas gravitacionales, a una distancia de un sexto del vano, y se debía
dimensionar para resistir como mínimo un sexto de la capacidad flexural de la viga. Sin embargo, este
punto puede moverse debido a la variabilidad de las cargas, y además es diferente para cargas
laterales, por lo tanto, su ubicación se define principalmente por razones constructivas teniendo en
cuenta que debe diseñarse para transmitir toda la resistencia de diseño flexural de la viga.
5.3.3. Consideraciones sismorresistentes para conexiones de momento
Tal como se indicó previamente, las disposiciones del capítulo 8 de la norma NCh 2369 establecen
que las uniones de momento de marcos rígidos sismorresistentes deben ser del tipo totalmente
rígidas, y no se permite usar conexiones del tipo parcialmente rígidas. Además, se indica que las
uniones de momento del tipo FR se deben diseñar de manera que la rótula plástica se desarrolle en
la viga a una distancia suficiente de la columna, lo que se puede obtener reforzando la conexión o
debilitando en la posición deseada.
Al respecto, el documento ANSI/AISC 358-16 “Prequalified Connections for Special and Intermediate
Steel Moment Frames for Seismic Applications” (Ref. 15), presenta varias opciones precalificadas de
conexión para aplicaciones sísmicas, de acuerdo con el estándar AISC 341 [Ref. 11]. Entre estas se
encuentran la conexión con viga apernada a planchas soldadas (Figura 5.3b) y con placa extrema
extendida (Figura 5.3c). También se incluyen las conexiones con vigas de sección reducida, y varias
conexiones patentadas. Sin embargo, la práctica nacional permite la relajación de algunos requisitos
expuestos en este documento basada en el comportamiento exhibido por estructuras de acero
durante sismos severos pasados, donde se ha observado que los giros inelásticos en rótulas plásticas
tienden a ser limitados.
La solución más usada en nuestro país para la unión de momento de viga de sección I a una columna
se ilustra en la Figura 5.7. Esta conexión se materializa soldando en taller un segmento (popularmente
llamado “choco”) de la misma sección de la viga, por medio de soldadura de penetración completa,
lo que se puede realizar con los controles de calidad adecuados. Luego se realiza un empalme flexural
apernado en terreno. De esta forma, se transporta una pieza consistente de la columna completa y
un “choco” de viga debidamente soldado. Esta unión presenta ventajas de montaje que hacen que
101
sea preferida frente a otras. Aunque esta solución no está incluida en el documento ANSI/AISC 35816, puede utilizarse en la medida que cumpla con los requisitos establecidos en la norma NCh 2369.
Además, en su funcionamiento es bastante similar a la conexión de momento con placa soldada a la
columna y apernada al ala de la viga (Bolted Flange Plate, BFP) del documento en referencia.
Figura 5.7. Solución para conexión de momento mediante conector soldado y empalme apernado.
5.4.
Conexiones de arriostramientos
5.4.1. Diseño de placa gusset
Una conexión frecuente en estructuras de acero corresponde a una diagonal de sección tubo, cajón,
L o XL, unida a la columna y/o viga mediante una placa gusset, situación que ocurre en la unión de
una diagonal a un encuentro viga-columna, en la unión de miembros en la zona panel de enrejados,
en la base de una columna, y en la unión de diagonales en V. Se pueden identificar dos conexiones
que deben detallarse: la conexión de la diagonal al gusset (la que puede ser directa o a través de una
plancha conectora), y la conexión del gusset al o a los miembros soportantes.
En la Figura 5.8 se muestran algunos detalles de conexiones de arriostramientos propuestos en el
Capítulo 3 del Manual ICHA [Ref. 22]. En el caso de diagonales de sección L o C es común conectarlas
directamente al gusset mediante pernos o soldaduras. Las diagonales de sección HSS se pueden
conectar al gusset mediante una placa conectora. Si se acepta realizar soldadura en terreno, también
se pueden soldar directamente la diagonal HSS al gusset, pero se requiere para eso realizar un destaje
de la sección. La ventaja en este caso es que se obtiene una conexión más compacta. Las diagonales
de sección I se pueden conectar al gusset mediante ángulos, o pueden ir soldadas directamente al
nudo. En la Guía de Diseño 29 del AISC [Ref. 14] se presentan detalles para esta última conexión. En
el diseño de la conexión de la diagonal al gusset se deben evaluar los estados límites estudiados en
102
capítulos previos, principalmente: resistencia de los pernos en corte, aplastamiento en metal base, y
fluencia, fractura y bloque de corte de la diagonal.
Gusset apernado
sólo a columna
Gusset soldado
sólo a viga
(a) Conexión independiente de diagonales a viga y
columna
(b) Conexión de arriostramiento a placa base, al ala de
columna
(c) Conexión soldada o apernada de diagonal a viga o columna
Figura 5.8. Detalles típicos de conexiones de arriostramientos.
Por otra parte, los gussets ayudan a transmitir fuerzas de un miembro a otro. En particular, para
cargas laterales los gusset sirven para transferir las fuerzas laterales de los diafragmas desde las vigas
a los arriostramientos y luego a la columna contigua. Los gusset pueden ser apernados o soldados a
la estructura. A su vez, pueden estar conectados sólo a la viga, a la columna o a ambos miembros. La
principal ventaja de que se conecten a un solo elemento es evitar soldaduras en terreno, soldando
el gusset en taller al miembro soportante. Si se requiere conectar a ambos elementos, la manera más
sencilla de materializar la conexión es soldando en terreno el gusset. Sin embargo, también se puede
103
materializar una conexión apernada fabricando en taller el gusset con placas perpendiculares
soldadas, las que luego se apernan a la estructura.
Varias interfaces deben diseñarse: la conexión diagonal-gusset, conexión gusset–viga, conexión
gusset-columna y conexión viga-columna. En la práctica se elige la geometría de la unión de manera
que los ejes centroidales de los miembros a conectar coincidan en un punto, llamado punto de
trabajo (PT), con el fin de minimizar los momentos flectores derivados de las excentricidades tanto
en los miembros como en la placa gusset. En caso de que no sea posible definir un punto común, se
producen momentos flectores sobre tales elementos, adicionales a otros esfuerzos.
Para tensiones de tracción o compresión se define una sección transversal sobre la cual éstos actúan,
determinada por el espesor de la placa y el ancho efectivo de Whitmore 𝐿𝑤 , que se extiende a ambos
lados de la última línea de pernos o el fin de la soldadura longitudinal. Esta distancia se calcula al
proyectar líneas de 30° con respecto a la primera línea de pernos o el inicio de la soldadura (ver Figura
5.9b).
Los gusset se diseñan de acuerdo con la Parte 9 del Manual AISC [Ref. 9], y si son parte del sistema
sismo-resistente también deben satisfacer las disposiciones sísmicas de la normativa
correspondiente, por ejemplo la norma NCh 2369 o el estándar AISC 341-10 [Ref. 11]. Aunque los
gusset puedan parecer elementos estructurales pequeños e insignificantes, es importante que sean
adecuadamente diseñados, detallados y protegidos contra la corrosión para evitar fallas en la
conexión que podrían llevar al colapso de la estructura. Se sugiere al lector interesado en comprender
de mejor manera el comportamiento ante cargas estáticas y sísmicas de placas gusset que consulte
en Astaneh-Asl (1998) [Ref. 17].
En el caso de conexiones de diagonales sismorresistentes de marcos arriostrados con placa gusset,
resulta conveniente cuidar que la geometría del gusset sea capaz de acomodar el giro plástico
derivado del pandeo fuera del plano de la diagonal sin presentar fallas frágiles. Para ello se
recomienda dejar una distancia de al menos 2𝑡 entre el extremo del miembro diagonal y la esquina
reentrante de la placa en los encuentros con otros elementos [Ref. 17], como se indica en la Figura
5.9, de manera de desarrollar una rótula recta dentro del gusset. Esta disposición también está
establecida en la especificación AISC 341-10 (Ver Comentario F2.6c(3) de Ref.11). No obstante, la
práctica nacional presenta una fuerte tendencia al usar gusset rectangulares y extender el perfil hasta
el fondo del gusset, restringiendo su capacidad de girar, lo que podría causar fractura ante cargas
cíclicas. Reconociendo la situación de que la rótula recta de gusset (2t) va en contra de la práctica
nacional tradicional, la norma NCh 2369 en su nueva versión recomienda preferir una rótula elíptica
(8t), la cuál puede ser fácilmente adaptada al estándar nacional.
104
PT
𝐿𝑓𝑔
𝐿𝑔
𝐿𝑔
2𝑡(min)4𝑡(
max)
𝐿𝑓𝑔
a) Unión de una diagonal en un encuentro viga-columna (Adaptado de Ref.1, Figura 11-34)
𝐿𝑓𝑔
𝑙𝑤
30°
𝐿𝑓𝑔
2𝑡(min)4𝑡(
max)
𝐿𝑔
𝐿𝑤
𝐿𝑓𝑔
PT
b) Unión de miembros en la zona panel de enrejados (Adaptado de Ref.1, Figura 11-35a).
Figura 5.9. Ancho efectivo de Whitmore y distancias requeridas en placas gusset en distintas uniones.
Los modos de falla que se consideran en el diseño de las placas gusset [Ref.1] son:
1.- Pandeo fuera del plano debido a la aplicación de una fuerza de compresión axial. La resistencia
nominal a compresión de una placa gusset se determina según la Ecuación (5.5) si la razón de esbeltez
del elemento 𝐾𝐿𝑔 ⁄𝑟 es estrictamente mayor a 25. En este caso rige el capítulo E de la norma
NCh427/1. Al contrario, si la razón de esbeltez es menor o igual a 25, la resistencia nominal
corresponde a la resistencia de fluencia en tracción de la placa (𝐹𝑐𝑟 = 𝐹𝑦 en la Ecuación(5.5)). Para
calcular la razón de esbeltez, se define una longitud no arriostrada en la placa 𝐿𝑔 , representada en la
Figura 5.9, la cual se toma como la mayor longitud entre la distancia desde el final del arriostramiento
105
diagonal o miembro de enrejado hasta el borde de la placa gusset a través de los ejes centroidales
de dichos elementos, y la distancia entre líneas de pernos adyacentes, paralelas a la dirección de la
carga de compresión. El gusset se pandeará fuera del plano alrededor de su eje débil, y se asume que
el pandeo ocurre sobre un ancho de placa igual al ancho de Whitmore. Además, se utiliza un factor
de longitud efectiva de acuerdo con la configuración geométrica que presente la placa gusset (Ver
Figura 5.10). Los valores de 𝐾 que se utilizan en la Guía de Diseño 29 del AISC [Ref. 14] se muestran
en la Tabla 5.1. Por último, el radio de giro de una placa es 𝑟 = 𝑡⁄√12.
(5.5)
𝑃𝑐𝑟 = 𝐹𝑐𝑟 𝐿𝑤 𝑡
𝜙 = 0,9 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 1,67 (𝐴𝑆𝐷)
a) Esquina Compacta
b) Esquina no compacta
d) Diagonal simple
c) Esquina Extendida
e) Chevron
Figura 5.10. Configuraciones de placas gusset (Ref. 14, Fig. C-2).
Tabla 5.1. Factor de longitud efectiva de placas gusset.
Configuración del gusset
Factor de longitud efectiva 𝑲
Esquina compacta
-a
Esquina no compacta
1,0
Esquina extendida
0,6
Diagonal simple
0,7
Chevron
0,65
a
El estado límite aplicable para placas gusset de esquina compacta es la fluencia, por lo
tanto, el factor de longitud efectiva no se aplica.
Adaptado de Ref.14, Table C-1.
Nota: la definición de configuraciones de la tabla se puede encontrar en el artículo de Dowswell
(2006) [Ref. 20, lo que se resumen brevemente a continuación:
106
•
•
•
•
•
Esquina compacta: Los bordes libres del gusset son paralelos a bordes conectados y el
arriostramiento llega cerca de la unión.
Esquina no-compactos: Los bordes libres del gusset son paralelos a bordes conectados y el
arriostramiento no llega cerca de la unión.
Esquina extendida: los bordes libres del gusset forman un ángulo con los bordes conectados. Esta
configuración se usa principalmente donde se esperan grandes solicitaciones sísmicas, con el fin
de asegurar comportamiento dúctil en eventos sísmicos extremos permitiendo el desarrollo de
una rótula plástica en el largo libre entre el final del miembro y los bordes conectados.
Diagonal simple: El gusset se conecta sólo en un borde.
Diagonal Chevron: Dos arriostramientos llegan al gusset, el que se conecta en sólo un borde.
2.- Pandeo del borde libre. Este modo de falla se puede prevenir al especificar un espesor mínimo
para la placa gusset. En Astaneh-Asl (1998) [Ref. 17] se proponen dos espesores mínimos: para cargas
estáticas la Ecuación (5.6) y para gussets sometidos a cargas sísmicas la Ecuación (5.7). Se debe
considerar la longitud de borde libre más grande. Esta disposición no está exigida en la especificación
AISC 341-10 (Ver Comentario F2.6c de Ref. 11)
𝐹𝑦
𝑡 ≥ 0,5𝐿𝑓𝑔 √
𝐸
(5.6)
𝐹𝑦
𝑡 ≥ 1,33𝐿𝑓𝑔 √
𝐸
(5.7)
Donde:
𝐿𝑓𝑔 = Distancia del borde libre de la placa gusset, ver Figura 5.9 (mm)
𝐹𝑦 =Esfuerzo de fluencia de la placa gusset (MPa)
𝐸 =Módulo de elasticidad del acero (200.000 MPa)
Se pueden incorporar también atiesadores de gusset en caso de requerir un espesor excesivo.
3.- Fluencia por tracción o compresión en el área efectiva de Whitmore. La resistencia nominal se
determina por medio de la siguiente expresión:
𝑃n = 𝐹𝑦 𝐿𝑤 𝑡
𝜙 = 0,9 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 1,67 (𝐴𝑆𝐷)
(5.8)
Donde:
𝐹𝑦 =Esfuerzo de fluencia de la placa gusset (MPa)
𝐿𝑤 = Ancho efectivo de Whitmore de la placa gusset (mm)
𝑡 =Espesor de la placa gusset (mm)
4.- Rotura por tracción en el área efectiva de Whitmore. La resistencia nominal se determina por
medio de la siguiente expresión:
(5.9)
𝑃n = 𝐹𝑢 (𝐿𝑤 − 𝑛𝑑ℎ )𝑡
𝜙 = 0,75 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 2 (𝐴𝑆𝐷)
Donde:
𝐹𝑢 = Esfuerzo último de la placa gusset (MPa)
𝐿𝑤 =Ancho efectivo de Whitmore de la placa gusset (mm)
𝑛 = Número de orificios de pernos en la sección de Whitmore
𝑑ℎ = Diámetro del orificio, definido en capitulo 3 (mm)
107
𝑡 = Espesor de la placa gusset (mm).
5.- Rotura por bloque de corte. La resistencia de diseño debido al bloque de corte se define en el
capítulo 3.
6.- Fluencia por combinación de fuerzas solicitantes de tracción o compresión 𝑷𝒖 , momento flector
𝑴𝒖 y corte 𝑽𝒖. Las cargas aplicadas sobre el miembro diagonal actúan sobre una sección crítica de
la placa gusset. Estas fuerzas se determinan mediante un diagrama de cuerpo libre usando los
principios de equilibrio de fuerzas. De la teoría de la plasticidad, se recomienda la siguiente ecuación
de interacción:
2
4
𝑀𝑢
𝑃𝑢
𝑉𝑢
+(
) +(
) ≤ 1,0
𝜙𝑀𝑝
𝜙𝑃𝑦
𝜙𝑉𝑦
𝑡𝐿2𝑔,𝑐𝑟
𝜙𝑀𝑝 = 𝜙
𝐹
4 𝑦
𝜙𝑃𝑦 = 𝜙𝐴𝑔,𝑐𝑟 𝐹𝑦
𝜙𝑉𝑦 = 𝜙(0,6𝐴𝑔,𝑐𝑟 𝐹𝑦 )
(5.10)
(5.11)
(5.12)
(5.13)
Donde:
𝜙𝑀𝑝 , 𝜙𝑃𝑦 , 𝜙𝑉𝑦 = Capacidad de momento plástico, fluencia axial (tracción o compresión) y fluencia
al corte de la placa gusset en la sección crítica, por el método LRFD (𝜙 =0,9)
𝑡 =Espesor de la placa gusset (mm)
𝐿𝑔,𝑐𝑟 = Longitud de la placa gusset en la sección crítica (mm)
𝐴𝑔,𝑐𝑟 = Área de la placa gusset en la sección crítica = 𝑡𝐿𝑔,𝑐𝑟 (mm2)
𝐹𝑦 =Esfuerzo de fluencia de la placa gusset (MPa)
5.4.2. Distribución de fuerzas en interfaces de gusset
En las conexiones de arriostramientos mostradas en la Figura 5.8, en que el diagonal se conecta a un
solo miembro o en conexiones centrales (chevron), la distribución de fuerzas se puede determinar
por estática, por lo que es única. Sin embargo, en las conexiones de esquina cuando el gusset se
conecta a la viga y columna, la situación se hace más compleja, porque es una conexión
estáticamente indeterminada, y ha habido controversia acerca de la correcta distribución de fuerzas
que se debe asumir para el diseño.
En la Guía de Diseño 29 del AISC [Ref. 14], se presentan algunos métodos para el cálculo de fuerzas
en las interfaces de una conexión de esquina. De acuerdo con esta guía, para que un método de
distribución de fuerzas sea apropiado, debe cumplir con el Teorema del Límite Inferior, LBT por sus
siglas en inglés (Lower Bound Theorem), el cual establece que dado un campo de fuerzas aplicadas y
el cumplimiento de todos los estados límites aplicables, la carga externa en equilibrio con el campo
de fuerzas interno es menor o igual que la capacidad de la conexión. Este teorema es importante
porque permite al ingeniero estructural tener confianza que sus supuestos sobre el campo de fuerzas
internas no van a sobreestimar la resistencia de una estructura estáticamente indeterminada, y que
diferentes métodos para determinar el campo admisible de fuerzas, aunque puedan predecir valores
muy diferentes de resistencia, son igualmente válidos. Este teorema es válido para estados límites
dúctiles, y en general los estados límites en conexiones presentan algún grado de ductilidad.
108
Gracias a este teorema, se reconoce que si bien no hay una solución única para la distribución en una
conexión, ya que sólo satisface dos de los tres principios fundamentales del análisis estructural
(equilibrio y leyes constitutivas/estados límites, no cumple las ecuaciones de compatibilidad),
cualquier solución que involucre una distribución de fuerzas internas admisible y satisfaga los estados
límites de la configuración (considerando aquellos de menor ductilidad) es una solución aceptable.
Así, es razonable que, basado en el LBT, el método más eficiente para diseñar una conexión de
esquina sea el que produce la máxima capacidad para una conexión dada.
Existen cuatro métodos en la literatura para distribuir fuerzas en conexiones de esquina: 1) Método
KISS o de descomposición simple; 2) Método de la fuerza paralela; 3) Método del enrejado análogo;
y 4) Método de la Fuerza uniforme. De estos métodos, el primero y el último son los más utilizados
en la práctica nacional.
El método KISS (“keep it simple-stupid” por sus siglas en inglés) ha sido utilizado por mucho tiempo,
pero fue formalizado en 1991. El método es tan simple como descomponer trigonométricamente la
fuerza del arriostramiento, y que las componentes horizontal y vertical de la fuerza sean soportadas
por la conexión del gusset a la viga y del gusset a la columna, respectivamente (Figura 5.11). Es
importante notar que este método las fuerzas en los bordes del gusset no son una función de su
tamaño. Por otro lado, cuando se usa este método, muchas veces se omiten los momentos en los
bordes del gusset. Si bien esta práctica es común, a menos que se incluyan estos momentos, ni el
gusset ni la viga y columna estarán en equilibrio. Así, esta práctica invalida el método, ya que no
provee un campo de fuerzas admisible y no es aplicable el LBT. Se ha demostrado que el método KISS
no entrega una solución de mayor límite inferior, y por lo tanto es menos eficiente que otros
métodos. De esta forma, el método KISS es aceptable en su forma completa (considerando los
momentos en las interfaces) pero no provee el diseño más económico.
Figura 5.11.Campo de fuerzas admisibles del método KISS (Ref.14).
El Método de la Fuerza Uniforme (UFM por sus siglas en inglés), cuyo campo de fuerzas admisibles
se presenta en la Figura 5.12, produce diseños económicos y seguros, y es ampliamente usado en la
industria. La esencia del método es que se selecciona una geometría de la conexión que no produzca
momentos en sus interfaces (gusset-viga, gusset-columna y viga-columna), es decir, el campo
admisible de fuerzas provee desde su formulación fuerzas coincidentes en el gusset, viga y columna.
En ausencia de momentos, estas conexiones se diseñan sólo para fuerzas de corte y normales
uniformes; de ahí proviene el nombre del método. Para que se cumpla esta condición, el UFM
requiere que se satisfagan las siguientes condiciones:
109
Donde:
𝛼 − 𝛽 tan 𝜃 = 0,5𝑑𝑏 tan 𝜃 − 0,5𝑑𝑐
𝑟 = √(𝛼 + 0,5𝑑𝑐 )2 + (𝛽 + 0,5𝑑𝑏 )2
0,5𝑑𝑏
𝑉𝑏 =
𝑃𝑏
𝑟
𝛼
𝐻𝑏 = 𝑃𝑏
𝑟
𝛽
𝑉𝑐 = 𝑃𝑏
𝑟
0,5𝑑𝑐
𝐻𝑐 =
𝑃𝑏
𝑟
(5.14)
(5.15)
(5.16)
(5.17)
(5.18)
(5.19)
𝜃 = Ángulo entre el arriostramiento diagonal y el plano vertical
𝛼 = Distancia ideal desde la cara del ala o alma de la columna hasta el centroide de la conexión vigagusset
𝛽 = Distancia ideal desde la cara del ala de la viga hasta el centroide de la conexión columna-gusset
(cuando la viga se conecte al alma de la columna, se fija 𝛽 = 0)
𝑑𝑏 = Profundidad de la viga
𝑑𝑐 = Profundidad de la columna (cuando el arriostramiento diagonal no se conecta al ala de la
columna, se fija 0,5𝑑𝑐 ≈ 0 y 𝐻𝑐 = 0)
𝑉𝑏 , 𝐻𝑏 = Fuerzas vertical y horizontal en la interfaz de la conexión viga-gusset
𝑉𝑐 , 𝐻𝑐 = Fuerza vertical y horizontal en la interfaz de la conexión columna-gusset
𝑋 = Longitud horizontal de la placa gusset = 2(𝛼 −desfase)
𝑌 = Longitud vertical de la placa gusset = 2𝛽
En la Figura 5.12 se indican además las siguientes fuerzas:
𝑅𝑏 = Reacción de apoyo en la viga
𝑅𝑐 = Reacción en la columna
𝐴𝑏 = Fuerza axial proveniente de un vano adyacente
El procedimiento para diseñar una conexión de gusset de esquina de acuerdo con el UFM consiste
en lo siguiente:
1. Conocidos el tamaño de la viga y columna y la geometría del arriostramiento, determinar 0,5𝑑𝑏 ,
0,5𝑑𝑐 y 𝜃. Si la diagonal se conecta al alma de la columna, fijar 𝑑𝑐 = 0 y 𝐻𝑐 = 0. Si el gusset se conecta
sólo a la viga y no a la columna, fijar 𝑑𝑐 = 0, 𝛽 = 0 y 𝑉𝑐 = 𝐻𝑐 = 0.
2. Seleccionar un valor para 𝑌 y determinar 𝛽 = 0,5𝑌.
3. Sustituir 𝛽, 𝜃,0,5𝑑𝑏 y 0,5𝑑𝑐 en la Ecuación (5.14) para determinar 𝛼.
4. Conocido 𝛼, asumiendo que el centroide de la interfaz gusset-viga está en la mitad, el largo
horizontal del gusset se determina como 𝛼 = 𝑋⁄2 más el desfase indicado.
5. Determinar las fuerzas 𝑉𝑏 , 𝐻𝑏 ,𝑉𝑐 y 𝐻𝑐 por medio de las Ecuaciones (5.16) a (5.19).
110
a) Fuerzas aplicadas en conexión de esquina
b) Diagrama de cuerpo libre del gusset
c) Diagrama de cuerpo libre de la columna
d) Diagrama de cuerpo libre de la viga
Figura 5.12. Fuerzas de interfaces en conexión de gusset del Método de la Fuerza Uniforme (Adaptado de
Ref.1
En la etapa de diseño de una conexión es relativamente simple seleccionar una geometría de gusset
con valores de 𝑋 e 𝑌 o 𝛼 y 𝛽 que satisfagan la Ecuación (5.14) y que así aseguren que no hay
momentos en las interfaces del gusset. Sin embargo, para conexiones existentes o cuando hay
restricciones en las dimensiones del gusset, puede no ser posible satisfacer dicha ecuación, y por lo
tanto, pueden haber momentos en alguna de las interfaces. Usualmente en estos casos se asume en
la práctica que la interfaz más rígida resiste todo el momento para satisfacer el equilibrio, aunque
también se puede distribuir el momento en ambas interfaces del gusset en base a sus rigideces
relativas. En la Guía de Diseño 29 del AISC [Ref. 14] se presenta el procedimiento para analizar estos
casos especiales, así como ejemplos detallados de cálculo. Por otra parte, en la Parte 9 del Manual
AISC [Ref. 9], se presentan los siguientes casos especiales del UFM: 1) PT se ubica en la esquina del
gusset; 2) la fuerza de la diagonal es de compresión; 3) Cuando el gusset se conecta sólo a la viga. Es
el presente texto, de manera introductoria, se presenta en el Ejemplo 5.5 el dimensionamiento de
un gusset y el cálculo de fuerzas en las interfaces utilizando el método UFM tradicional, es decir,
configurándolo de manera que no ocurran momentos.
111
5.5.
Ejemplos de conexiones
Ejemplo 5.1
Diseñar una conexión de corte con doble clip apernado-apernado para una viga de sección H 500x200x73,6,
de acero A36, con pernos A325N de 3/4 pulgadas de diámetro, al 75% de la resistencia de corte de diseño
del perfil. Considerar los casos de viga sin recorte (conectada a una columna, por ejemplo) y con recorte sólo
en el ala superior. Los ángulos son de acero A270ES.
Figura 5.13. Dimensiones de la conexión.
SOLUCIÓN
Las dimensiones de la sección transversal de la viga son:
H=500 mm, bf=200 mm, tf=14 mm, tw= 6 mm
La solicitación de corte se calcula como:
𝑉𝑢 = % (𝜙𝑣 0,6𝐹𝑦 ℎ𝑡𝑤 ) = 0,75 (0,9 𝑥 0,6 𝑥 248 𝑥 472 𝑥 6) = 284446 𝑁 = 284,5 𝑘𝑁
Con dicho valor se puede elegir de las tablas 4-19 a 4-36 del Manual ICHA la conexión adecuada. Se
reproduce a continuación la tabla seleccionada inicialmente (Tabla 4-23a).
Se selecciona la configuración con tres filas de pernos y espesor de ángulo 6,4 mm. Sin embargo, para
ajustarse a la realidad nacional, se utiliza un ángulo con dimensiones comerciales, en este caso, una sección
laminada L80x80x6.
Corte en los pernos:
De ejemplos anteriores, la resistencia al corte de un perno A325N de 3/4 pulgadas de diámetro es 79,5 kN
Considerando que los pernos en el alma de la viga trabajan a cizalle doble, la resistencia de la conexión por
corte directo en los pernos es:
𝜙𝑅𝑛𝑣 = 79,5 𝑥 6 = 477 𝑘𝑁
Se puede observar de la tabla que para espesores 6,4 y 7,9 mm la resistencia de la conexión depende del
espesor del ángulo, es decir, la resistencia de la conexión está controlada por alguno de los estados límites
de fluencia al corte, fractura al corte o bloque de corte de los ángulos.
112
Aplastamiento:
Se verifica el aplastamiento en el alma de la viga conectada, ya que el espesor en conjunto de los dos ángulos
es mayor que el espesor del alma de la viga. Se considera un valor de 𝐿𝑒𝑣 = 50 mm.
Para el perno superior:
3 1
𝐿𝑐 = 50 − (0,5) 𝑥 ( + ) 𝑥 25,4 = 38,9 𝑚𝑚 > 2𝑑𝑏 = 38.1 𝑚𝑚
4 8
Por lo tanto, la resistencia al aplastamiento para un perno se calcula como:
3
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙2,4𝑑𝑏 𝑡𝐹𝑢 = 0,75 𝑥 2,4 𝑥 ( 𝑥 25,4) 𝑥 6 𝑥 400 = 82,3 𝑘𝑁
4
La resistencia total al aplastamiento de la conexión es:
𝜙𝑅𝑛 = 3 𝑥 82,3 = 246,9 𝑘𝑁
Este valor es menor que la solicitación de diseño, lo que ocurre usualmente en el caso de espesores
relativamente pequeños. Ya que no se puede cambiar el espesor del alma, y aunque se pudiera no sería útil
ya que la solicitación (75% de la capacidad del perfil) aumentaría proporcionalmente con el espesor, es
necesario aumentar el número de pernos. Se presenta la tabla correspondiente para conexiones con cuatro
filas de pernos (Tabla 4-22a). El largo del ángulo de conexión será en este caso La = 325 mm, lo cual cabe
dentro del alma de la viga.
En este caso, la resistencia al aplastamiento será:
𝜙𝑅𝑛 = 4 𝑥 82,3 = 329,2 𝑘𝑁 > 𝑉𝑢
En caso de no haber recortes en la viga, este valor sería la resistencia de diseño del alma, ya que en ese caso
no aplica el estado límite de bloque de corte en el alma. Por otra parte, en la Tabla 4-22a se indica el valor
de resistencia del alma por mm de espesor (encerrado en círculo) para el caso de viga sin recortes. La
resistencia del alma sería entonces:
𝜙𝑅𝑛 = 57,6 𝑥 6 = 345,6 𝑘𝑁
La diferencia se explica en que el diámetro de perno considerado en la tabla es de 20mm. Así, este valor se
puede ajustar al diámetro real del perno:
19,05
𝜙𝑅𝑛 = 57,6 𝑥 6 𝑥
= 329,2 𝑘𝑁
20
Se obtiene finalmente el mismo valor calculado previamente.
Bloque de corte en el alma:
Se debe verificar cuando se realizan destajes. Se considera un valor 𝐿𝑒ℎ = 45 mm. Para los cálculos, esta
distancia se reduce en 6 mm para considerar posibles variaciones en el largo de la viga (Parte 10 del Manual
AISC).
113
Bloque de corte en alma de la viga
Bloque de corte en ángulo
Dimensiones del bloque de corte del ángulo:
𝐴𝑔𝑣 = (50 + 75 𝑥 3) 𝑥 6 = 1650 𝑚𝑚2
𝐴𝑔𝑡 = (45 − 6) 𝑥 6 = 234 𝑚𝑚2
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑣 = 𝐴𝑔𝑣 − ∑𝐴ℎ = 1650 − (3,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠) 𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 6 = 1183,3 𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑡 = 𝐴𝑔𝑡 − ∑𝐴ℎ = 234 − (0,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 6 = 167,3 𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑈𝑏𝑠 = 1,0
La resistencia por bloque de corte es:
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙(0,60𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 ) ≤ 𝜙(0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 )
𝜙𝑅𝑛 = 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 400 𝑥 1183,3 + 1,0 𝑥 400 𝑥 167,3)
≤ 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 248 𝑥 1650 + 1,0 𝑥 400 𝑥 167,3)
𝜙𝑅𝑛 = 263,18 𝑘𝑁 ≥ 234,33 𝑘𝑁
𝜙𝑅𝑛 = 234,3 𝑘𝑁
Este valor es menor que la solicitación, por lo tanto, es necesario aumentar el largo de la conexión. Una
posibilidad es ajustar el espaciamiento entre pernos, sin embargo, se prefiere en la práctica mantener en lo
posible el espaciamiento entre pernos en 75mm incluso para pernos de diámetro ¾ pulgadas. En este caso,
la solución sugerida es aumentar nuevamente la cantidad de pernos utilizando cinco filas de pernos. El largo
del ángulo sería 𝐿𝑎 = 400 mm, lo cual aún cabe dentro del alma de la viga.
No se presentan los nuevos cálculos del diseño final de la conexión. Más bien a continuación, se pretende
verificar algunos datos de la tabla de diseño que pueden ser útiles de revisar.
En la Tabla 4-22a se indica el valor de resistencia del alma por mm de espesor para el caso con recorte en
ala superior y en ambas alas. La resistencia (con sólo un recorte) del alma sería entonces:
𝜙𝑅𝑛 = 41,7 𝑥 6 = 250,2 𝑘𝑁
Este valor en similar al calculado previamente.
Resistencia ángulos:
Considerando una conexión con cuatro filas de pernos y 𝐿𝑒𝑣 = 50 mm, el largo de los ángulos es 𝐿𝑎 =325
mm. Se calcula la resistencia al corte de un ángulo de acuerdo con la sección J4.2 de la Norma NCh427/1.
Fluencia en corte:
𝜙𝑅𝑛 = 1,0 𝑥 0,6𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 = 0,6 𝑥 270 𝑥 325 𝑥 6 = 315,9 𝑘𝑁
114
Fractura en corte:
3 1
𝜙𝑅𝑛 = 0,75 𝑥 0,6𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣 = 0,75 𝑥 0,6 𝑥 410 𝑥 (325 − 4 𝑥 ( + ) 𝑥 25,4) 𝑥 6 = 261,4 𝑘𝑁
4 8
Bloque de corte en un ángulo:
𝐴𝑔𝑣 = (50 + 75 𝑥 3) 𝑥 6 = 1650 𝑚𝑚2
Considerando un gramil 𝑔 = 45 mm para ángulos laminados (según Tabla 3-1-a del Manual ICHA),
𝐴𝑔𝑡 = (80 − 45) 𝑥 6 = 210 𝑚𝑚2
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑣 = 𝐴𝑔𝑣 − ∑𝐴ℎ = 1650 − (3,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 6 = 1183,3𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
3 1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑡 = 𝐴𝑔𝑡 − ∑𝐴ℎ = 210 − (0,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 ( + ) 𝑥 25,4
𝑥 6 = 143,3𝑚𝑚2
4 8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑈𝑏𝑠 = 1,0
La resistencia por bloque de corte es:
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙(0,60𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 ) ≤ 𝜙(0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 )
𝜙𝑅𝑛 = 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 410 𝑥1183.3 + 1,0 𝑥 410 𝑥 143,3) = 262,4 𝑘𝑁
≤ 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 270 𝑥1650 + 1,0 𝑥410 𝑥143,3) = 244,5 𝑘𝑁
𝜙𝑅𝑛 = 244,5 𝑘𝑁
Controla este último valor. La resistencia por lo tanto de la conexión debido a la resistencia del ángulo es:
𝜙𝑅𝑛 = 244,5 𝑥 2 = 489,1 𝑘𝑁
Este valor difiere levemente del indicado en la tabla de diseño (458 kN), ya que en dicha tabla se considera
Fy = 250 MPa y Fu = 400 MPa. El lector pude comprobar que si para los ángulos se hubieran considerado tales
valores, se obtendría un resultado muy similar al mostrado en la tabla.
Comentarios:
1) En el Manual de ejemplos Versión 14.2 del AISC, Parte II, [Ref.13] se presentan varios ejercicios de
conexiones de corte con ángulos, por ejemplo, para casos con fuerzas de corte y tracción, para ángulos
soldados y vigas con destajes. En estos ejercicios se puede encontrar además la verificación del pandeo local
del alma por flexión.
2) Puede concluirse que en muchos casos de vigas con almas relativamente delgadas, la dimensión de la
conexión queda controlada por la resistencia del alma, ya sea al aplastamiento, corte o bloque de corte. Se
puede comprobar que si la solicitación de corte fuera del 100% de la capacidad de corte, en muchos casos
se hace difícil dimensionar la conexión de manera que quepa dentro del espacio disponible.
3) Se plantea el siguiente razonamiento, para comprender que una fuerza de corte de diseño de incluso 50%
de la resistencia de diseño de la sección puede en muchos casos ser suficiente para cubrir las solicitaciones
provenientes del análisis estructural. Para la viga del ejercicio, el módulo plástico es Z=1806000 mm3, el
momento plástico es Mp=ZFy= 447,9 kN-m y la resistencia de diseño a flexión (sin considerar pandeo lateral
torsional) es 403.1 kN-m. Suponiendo un largo de 10 m y una condición de viga simplemente apoyada, la
carga última que generaría este momento es qu=32.2 kN/m. Esta es la máxima carga que puede soportar la
viga. Con este valor de carga, la reacción de corte sería Vu= 0.5quL= 161.2 kN, lo que equivale a un 42% de la
capacidad de corte de la sección. En casos de vigas más esbeltas la holgura será mayor.
4) Se recomienda en lo posible diseñar las conexiones de corte puro con cierta holgura entre su resistencia
y demanda de corte, para permitir el traspaso de posibles cargas axiales, aunque sean pequeñas.
115
116
117
Ejemplo 5.2
Diseñar la conexión del ejemplo 5.1 con placa de corte, con el mismo tipo de pernos, utilizando tablas de
diseño.
SOLUCION
En este tipo de conexión, los pernos trabajan a cizalle simple. Ya que la resistencia a corte directo de un
perno es 79,5 kN, se requieren 284,5/79,5 = 3,6 pernos, por lo tanto, se elige de manera preliminar cuatro
pernos, siendo la resistencia de la conexión por corte en los pernos igual a:
𝜙𝑅𝑛𝑣 = 79,5 𝑥 4 = 318 𝑘𝑁
En caso de no haber recortes en el ala de la viga, es decir, que no se requiera verificar bloque de corte en el
alma, del ejemplo anterior se tiene una resistencia de la conexión por aplastamiento en el alma igual a
𝜙𝑅𝑛 = 329,2 𝑘𝑁
De la Tabla 4-37b del Manual ICHA, para cuatro pernos A325N con hilo incluido en el plano de corte, se
observan diferentes resistencias dependiendo del espesor de la placa y de la condición del nudo de flexible
o rígido. Se observa que la resistencia es menor para el caso de nudo flexible. Asumiendo para este ejercicio
un nudo rígido, se requiere un espesor de placa de corte de 8 mm, lo que provee una resistencia de 301 kN.
A su vez con espesores de 10 o 12 mm, la resistencia no varía, lo que se debe a que para dichos espesores
controla la resistencia a corte de los pernos, 312 kN, valor similar al calculado manualmente de 318 kN. Cabe
señalar que para pernos de 3/4 pulgadas no se indican espesores de 14 mm con el fin de cumplir los
requerimientos de ductilidad.
Por otro lado, si la viga lleva recorte en el ala superior, del ejemplo anterior, se obtuvo que la resistencia
quedaba controlada por bloque de corte del alma. La resistencia para estado límite sería muy similar al
calculado previamente de 234,3 𝑘𝑁, lo que podría variar levemente dependiendo de las distancias utilizadas
𝐿𝑒ℎ y 𝐿𝑒𝑣 . De todas maneras, se comprueba que para este caso se requiere mayor largo de conexión, por lo
que se elige la configuración de cinco pernos, con un largo de conexión aún posible de materializar dentro
de la viga. La resistencia en este caso, según la tabla, aumenta a 366 kN para espesores entre 8 y 12 mm de
placa.
118
119
Ejemplo 5.3
Diseñe la conexión de la diagonal sísmica y la columna (Figura 5.14), materializada a través de una placa
gusset conectada al eje débil de la columna. El ángulo de inclinación de la diagonal es de 35°. Utilice pernos
A325N de 1 pulgada, orificios tamaño estándar, electrodo E70XX para la soldadura y acero ASTM A36 para
las placas.
H400x250x22x8mm Acero
ASTM A36
35°
O200x6
Acero ASTM A36
Placa base PL500x400 mm
𝑡 = 25 mm
Figura 5.14. Detalle para Ejemplo 5.3
SOLUCIÓN
Propiedades de la sección O200x6 obtenidas de la Tabla 2.1.11 del Manual ICHA.
𝐷𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 200 𝑚𝑚
𝑡 = 6 𝑚𝑚
𝐴𝑔 = 3883 𝑚𝑚2
La carga de diseño de la diagonal corresponde al 100% de la resistencia de diseño en tracción (fluencia en el
área bruta). De la Ecuación (3.1), la capacidad es:
𝑃𝑢 = 𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐴𝑔 = 0,9 𝑥 248 𝑥 3883 = 866685,6 𝑁 = 866,7 𝑘𝑁
Diseño de soldadura entre el perfil HSS circular y placa conectora (ver Figura 5.15 ):
Para lograr la menor longitud de soldadura se utiliza el tamaño de soldadura máximo permitido según la
Tabla 4.8, el cual se determinar con el menor espesor entre el perfil circular (6 mm) y la placa conectora (16
mm). Por lo tanto, el tamaño de soldadura es:
𝑤𝑓 = 𝑡 = 6 𝑚𝑚
De la Ecuación (4.19), la resistencia de la soldadura de filete es:
√2
√2
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙0,60𝐹𝐸70
𝑤 𝐿 = 0,75 𝑥 0,60 𝑥 482 𝑥
𝑥 6 𝑥 𝐿 = 920.2𝐿 𝑁
2 𝑓
2
Dado que la soldadura se realiza por ambos lados de la placa conectora, se tienen cuatro cordones de
soldadura, por lo tanto, el largo requerido de soldadura se determina como sigue:
𝑃𝑢 = 4𝜙𝑅𝑛
866685,6 = 4 𝑥 (920.2 𝐿𝑟𝑒𝑞 )
𝐿𝑟𝑒𝑞 = 235.5 𝑚𝑚
120
El largo propuesto es 𝐿 = 250 𝑚𝑚
Diseño de conexión de la placa conectora
El área de un perno de 1 pulgada es:
2
𝑚𝑚
𝐴𝑏 = 𝜋 𝑥 (0,5 𝑥 1 𝑥 25,4
) = 506,7 𝑚𝑚2
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
De la Ecuación (4.1), la resistencia al corte de un perno es:
𝜙𝑅𝑛𝑣 = 𝜙𝐹𝑛𝑣 𝐴𝑏 = 0,75 𝑥 372 𝑥 506,7 = 141371,4 𝑁 = 141,4 𝑘𝑁
El número de pernos requerido 𝑛𝑟𝑒𝑞 es:
𝑃𝑢
866,7
𝑛𝑟𝑒𝑞 =
=
= 6,13
𝜙𝑅𝑛𝑣 141,4
Por geometría se utiliza tres filas de tres pernos cada una, por lo tanto, el número de pernos es 𝑛 = 9.
La resistencia al corte del grupo de pernos es:
𝜙𝑅𝑛 = 9 𝑥 141,4 = 1272,6 𝑘𝑁
El espaciamiento mínimo y máximo entre pernos es:
𝑚𝑚
𝑠𝑚𝑖𝑛 = 3𝑑𝑏 = 3 𝑥 (1𝑥 25,4
) = 76,2 𝑚𝑚
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛{14𝑡, 180 𝑚𝑚} = min{14 𝑥 16, 180 𝑚𝑚} = 180 𝑚𝑚
El espaciamiento mínimo (según la Tabla 4.5) y máximo hasta el borde de la placa conectora es:
1
𝑚𝑚
𝐿𝑣𝑎_𝑚𝑖𝑛 = 1 𝑥 25,4
= 31,8 𝑚𝑚
4
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝐿𝑣𝑎_𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛{12𝑡, 150 𝑚𝑚} = min{12 𝑥 16, 150 𝑚𝑚} = 150 𝑚𝑚
Se utiliza un espaciamiento entre pernos de 80 mm y una distancia longitudinal hasta el borde de 70 mm.
Con estas distancias, además de estar dentro del rango establecido por los límites correspondientes, se
cumple que, de acuerdo con la Ecuación (4.3), la resistencia al aplastamiento alrededor del orificio no
dependa de la distancia al borde 𝐿𝑐 , controlando el lado derecho de la ecuación y otorgando así la misma
resistencia al aplastamiento a todos los pernos.
70 mm
2 @ 80 mm
6 mm
300 mm
60 mm
2 @ 80 mm
O200x6 Acero
ASTM A36
60 mm
550 mm
Placa conectora 𝑡 =
16 mm
Acero ASTM A36
Figura 5.15. Espaciamiento de pernos y longitud de soldadura entre la placa y el perfil HSS circular.
Verificación de resistencia del perfil HSS circular
Factor de corte diferido
121
Como 𝐿 = 250 𝑚𝑚 < 1,3𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 275,6 𝑚𝑚, según el caso 5 de la Tabla 3.1, el factor de corte diferido
es 𝑈 = 1 − 𝑥̅⁄𝐿 = 0,6817, con 𝑥̅ = 𝐷⁄𝜋 = 76,6 𝑚𝑚
𝐴𝑒 = 𝑈𝐴𝑛 = 𝑈𝐴𝑔 = 2647 𝑚𝑚2
De la Ecuación (3.2), la resistencia por rotura en el área neta efectiva es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑢 𝐴𝑒 = 0,75 𝑥 400 𝑥 2647 = 794101 𝑁 = 794,1 𝑘𝑁 < 𝑃𝑢 = 866,7 𝑘𝑁
Como la resistencia es insuficiente debido al bajo valor del factor U, se debe ajustar el largo de la soldadura
de manera que U sea igual a 1, para lo que se debe cumplir que 𝐿 ≥ 1,3𝐷𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 . Se utiliza una longitud de
L=300 mm, manteniendo el filete de soldadura.
Una vez definido el largo de la soldadura, se debe además verificar la resistencia en el metal base, por medio
de las ecuaciones 4.14 y 4.15 (J4-3 y J4-4 de la norma).
Fluencia al corte en área bruta:
ϕRn = 1x0,60Fy Agv = 1x0,6x248x300x16x2=1428,48 kN> Pu OK
Ruptura al corte en área neta:
ϕRn = 0,75x0,60Fu Anv = 0,75x0,60x400x300x16x2=1728 kN> Pu OK
Verificación de resistencia de la placa conectora
Se considera un espesor de placa de 16 mm, de manera que como una estimación preliminar, el área de la
placa conectora sea mayor que el área del perfil.
𝐴𝑔 = 280 𝑥 16 = 4480 𝑚𝑚2
1
𝑚𝑚
𝐴𝑒 = 𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − 𝐴ℎ = 4480 − (3 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜)𝑥 (1 + ) 𝑥 25,4
𝑥 16 = 3108,4 𝑚𝑚2
8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
De la Ecuación (3.1), la resistencia por fluencia en el área bruta es:
𝑃𝑢 = 𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐴𝑔 = 0,9 𝑥 248 𝑥 4480 = 999936 𝑁 = 999,9 𝑘𝑁
De la Ecuación(3.2),la resistencia por rotura en el área neta efectiva es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑢 𝐴𝑒 = 0,75 𝑥 400 𝑥3108,4 = 932520 𝑁 = 932,5 𝑘𝑁
Dimensiones del bloque de corte de la placa conectora:
𝐴𝑔𝑣 = (2 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠) 𝑥 (70 + 80 𝑥 2)𝑥 16 = 7360 𝑚𝑚2
𝐴𝑔𝑡 = (80 𝑥 2) 𝑥 16 = 2560 𝑚𝑚2
1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑣 = 𝐴𝑔𝑣 − ∑𝐴ℎ = 7360 − (2 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠) 𝑥 (2,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 (1 + ) 𝑥 25,4
𝑥 16 = 5074𝑚𝑚2
8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑡 = 𝐴𝑔𝑡 − ∑𝐴ℎ = 2560 − (2 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 (1 + ) 𝑥 25,4
𝑥 16 = 1645, 6 𝑚𝑚2
8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑈𝑏𝑠 = 1,0
De la Ecuación(3.9), la resistencia por bloque de corte es:
𝜙𝑃𝑛 = 𝜙(0,60𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 ) ≤ 𝜙(0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 )
𝜙𝑃𝑛 = 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 400 𝑥5074 + 1,0 𝑥 400 𝑥 1645,6)
≤ 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 248 𝑥7360 + 1,0 𝑥400 𝑥1645,6)
𝜙𝑃𝑛 = 1407 𝑘𝑁 ≥ 1315,1 𝑘𝑁
𝜙𝑃𝑛 = 1315,1 𝑘𝑁
De la Ecuación(4.3), la resistencia al aplastamiento del orificio del perno en la placa conectora, donde la
deformación es una consideración de diseño, es:
122
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙1,2𝐿𝑐 𝑡𝐹𝑢 ≤ 𝜙2,4𝑑𝑏 𝑡𝐹𝑢
Para el perno del borde:
1
𝑚𝑚
𝐿𝑐_1 = 70 − (0,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜) 𝑥 (1 + ) 𝑥 25,4
= 55,7 𝑚𝑚
8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑚𝑚
𝜙𝑅𝑛_1 = 0,75 𝑥 1,2 𝑥 55,7 𝑥 16 𝑥 400 ≤ 0,75 𝑥 2,4 𝑥 (1 𝑥 25,4
) 𝑥 16 𝑥 400
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝜙𝑅𝑛_1 = 320,8 𝑘𝑁 ≥ 292,6 𝑘𝑁
𝜙𝑅𝑛_1 = 292,6 𝑘𝑁
Para los pernos interiores
1
𝑚𝑚
𝐿𝑐_2 = 80 − (1 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜) 𝑥 (1 + ) 𝑥 25,4
= 51,4 𝑚𝑚
8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝜙𝑅𝑛_2 = 0,75 𝑥 1,2 𝑥 51,4 𝑥 16 𝑥 400 ≤ 0,75 𝑥 2,4 𝑥 (1 𝑥 25,4
𝑚𝑚
) 𝑥 16 𝑥 400
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝜙𝑅𝑛_2 = 296,1 𝑘𝑁 ≥ 292,6 𝑘𝑁
𝜙𝑅𝑛_2 = 292,6 𝑘𝑁
La resistencia total de la conexión considerando todos los pernos en aplastamiento es:
𝜙𝑅𝑛 = 9 𝑥 292,6 = 2633,4 𝑘𝑁
Como la resistencia por aplastamiento es mayor que la resistencia al corte, es correcto determinar el número
de pernos a partir de la resistencia al corte de un perno. Se debe notar que los espaciamientos indicados
entre pernos y hasta el borde de la placa conectora no son los que se utilizan usualmente en la práctica
nacional por los detalladores. Generalmente se prefiere usar espaciamientos de 75 mm entre centros para
diámetros de pernos de 3/4 y 1 pulgadas, y 40 mm hasta el borde. Se puede comprobar que si se utilizan
estos espaciamientos en el presente ejemplo, la resistencia al aplastamiento dada por 𝜙1,2𝐿𝑐 𝑡𝐹𝑢 es aun
mayor que la resistencia al corte de pernos. Sin embargo, para espaciamientos menores de planchas
conectoras esta condición no se cumple.
Verificación de resistencia de la placa gusset
Se considera un espesor de placa gusset de 16 mm. El ancho efectivo de Whitmore es:
𝐿𝑤 = 2𝑔 + 2𝑙𝑤 tan 𝜃 = (2 𝑥 80) + (2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠) 𝑥 (2 𝑥 80) 𝑥 tan 30° = 344,8 𝑚𝑚
De la Ecuación (5.8), la resistencia por fluencia en el área efectiva de Whitmore es:
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐿𝑤 𝑡 = 0,9 𝑥 248 𝑥 344,8 𝑥 16 = 1231,4 𝑘𝑁
De la Ecuación (5.9), la resistencia por rotura en el área efectiva de Whitmore es:
1
𝑚𝑚
𝜙𝑡 𝑃𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑢 (𝐿𝑤 − 𝑛𝑑ℎ )𝑡 = 0,75 𝑥 400 𝑥 (344,8 − (3 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜)𝑥 (1 + ) 𝑥 25,4
) 𝑥 20
8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
= 1243,6 𝑘𝑁
Dimensiones del bloque de corte de la placa gusset:
𝐴𝑔𝑣 = (2 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠) 𝑥 (70 + 80 𝑥 2)𝑥 16 = 7360 𝑚𝑚2
𝐴𝑔𝑡 = (80 𝑥 2) 𝑥 20 = 2560 𝑚𝑚2
1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑣 = 𝐴𝑔𝑣 − ∑𝐴ℎ = 7360 − (2 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠) 𝑥 (2,5 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 (1 + ) 𝑥 25,4
𝑥 16 = 5074 𝑚𝑚2
8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
1
𝑚𝑚
𝐴𝑛𝑡 = 𝐴𝑔𝑡 − ∑𝐴ℎ = 2560 − (2 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠)𝑥 (1 + ) 𝑥 25,4
𝑥 16 = 1645,6 𝑚𝑚2
8
𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑈𝑏𝑠 = 1,0
De la Ecuación(3.9), la resistencia por bloque de corte es:
𝜙𝑃𝑛 = 𝜙(0,60𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 ) ≤ 𝜙(0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 + 𝑈𝑏𝑠 𝐹𝑢 𝐴𝑛𝑡 )
123
𝜙𝑃𝑛 = 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 400 𝑥5074 + 1,0 𝑥 400 𝑥 1645,6)
≤ 0,75 𝑥 (0,60 𝑥 248 𝑥7360 + 1,0 𝑥400 𝑥 1645,6)
𝜙𝑃𝑛 = 1407 𝑘𝑁 ≥ 1315,1 𝑘𝑁
𝜙𝑃𝑛 = 1315,1 𝑘𝑁
70 mm
2 @ 80 mm
30°
𝐿𝑤
30°
Placa gusset 𝑡 = 16 mm
ASTM A36
Acero
Figura 5.16. Ancho efectivo de Whitmore de la placa gusset.
La resistencia al aplastamiento de los orificios en la placa gusset se verifica automáticamente ya que el
espesor de la placa gusset es igual al espesor de la placa conectora (16 mm), considerando el mismo
espaciamiento de pernos.
Se supone una fuerza a compresión conservadoramente igual a 𝑃𝑢 = 866,7 𝑘𝑁.
Se verifica el criterio de esbeltez de la placa, considerando que el factor de longitud efectiva es 𝐾 = 0,6
según la Tabla 5.1 y 𝐿𝑔 se muestra en la la Figura 5.17.
𝐾𝐿𝑔 0,6 𝑥 260
=
= 33,7 < 25
16
𝑟
√12
Como la razón de esbeltez es mayor a 25, la resistencia a compresión se debe calcular mediante la sección
E3 de la norma, ecuación E3-2:𝐹𝑒 =
4,71√
𝜋2 𝐸
𝐾𝐿 2
( )
𝑟
=
𝜋2 200000
(33,77)2
= 1730,4 𝑀𝑃𝑎
𝐸
200000
= 4,71√
= 133,76
𝐹𝑦
248
𝐹𝑦
248
𝐹𝑐𝑟 = [0,658 𝐹𝑒 ] 𝐹𝑦 = [0,658 1730,4 ] 248 = 233,6 𝑀𝑃𝑎
𝜙𝑐 𝑃𝑛 = 𝜙𝑐 𝐹𝑐𝑟 𝐿𝑤 𝑡 = 0,9 𝑥 233,6 𝑥 344,8𝑥16 = 1159,7 𝑘𝑁 > 866,7 𝑘𝑁 𝑂𝐾
En la Figura 5.17 se puede apreciar el detalle del gusset, donde la distancia desde el borde de la placa
conectora hasta el borde de la placa gusset en encuentro con la columna (situación más desfavorable
geométricamente) es la distancia mínima recomendada, 2𝑡 = 40 mm.
124
𝐿𝑔 = 80 mm
40 mm
𝐿𝑔 = 260 mm
Figura 5.17. Longitud no arriostrada 𝑳𝒈 de la placa gusset.
El procedimiento para diseñar la conexión entre la placa gusset y la columna con placa base, orientada en
su eje débil, se obtiene del ejemplo 5.12.2 de la Guía de Diseño 29 del AISC (Ref.14. Para el caso en que se
conecte la placa gusset a la columna en su eje fuerte, se puede consultar el ejemplo 5.12.1 de la misma guía.
Distribución de fuerzas
La fuerza 𝑃𝑢 se descompone en las siguientes fuerzas por eje:
Eje horizontal: 𝑃𝑢_𝑥 = 𝑃𝑢 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 866685,6 𝑥 cos(35°) = 709947,3 𝑁 = 709,9 𝑘𝑁
Eje vertical : 𝑃𝑢_𝑦 = 𝑃𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 866685,6 𝑥 𝑠𝑒𝑛(35°) = 497110,4 𝑁 = 497,1 𝑘𝑁
En este ejemplo, para adecuar geométricamente la placa gusset debido al ángulo de inclinación de la
diagonal, se considera una excentricidad de 150 mm sobre la placa base, como se observa en la Figura 5.18.
Esto es una práctica común de detallamiento cuando se desea mantener parte o la totalidad del
arriostramiento por sobre el nivel de piso terminado, si bien lo más recomendable en ubicar el PT en el nivel
superior de la placa base. Cuando el punto de trabajo (PT) se ubica en la intersección de los ejes centroidales
de todos los elementos, es posible determinar las fuerzas que actúan en las interfaces placa gusset –
columna y placa gusset – placa base, mediante una descomposición simple de la fuerza solicitante 𝑃𝑢 . Sin
embargo, cuando esto no ocurre, se debe realizar una descomposición de fuerzas que considere la
excentricidad generada. Para ello, en este ejemplo particular, se define el parámetro 𝛽̅ y se calculan
adicionalmente las componentes de fuerzas 𝑃𝑢_𝑥𝑝 y 𝑃𝑢_𝑥𝑐 , correspondientes a las fuerzas horizontales en la
placa base y columna respectivamente. Con estas fuerzas, se verifica la capacidad al corte y tracción de la
placa gusset conectada a la columna y la capacidad de la soldadura entre el gusset y la columna, siendo ésta
sometida a fuerzas longitudinales y perpendiculares.
125
𝑃𝑢_𝑦 = 497,1 𝑘𝑁
𝑃𝑢 = 866,7 𝑘𝑁
35°
𝑃𝑢_𝑥 = 709,9 𝑘𝑁
415 mm
𝑃𝑢_𝑦
𝑃𝑢_𝑥𝑐 = 513,2 𝑘𝑁
PT
𝛽̅
𝑒 = 150 mm
𝑃𝑢_𝑥𝑝 = 196,7 𝑘𝑁
196 mm
Figura 5.18. Fuerzas actuantes en las interfaces de la placa gusset.
415
= 207,5 𝑚𝑚
2
𝑃𝑢_𝑥 (𝛽̅ − 𝑒) 709947,3 𝑥 (207,5 − 150)
𝑃𝑢_𝑥𝑝 =
=
= 196732,4 𝑁 = 196,7 𝑘𝑁
207,5
𝛽̅
𝑃𝑢_𝑥 𝑒 709947,3 𝑥 150
𝑃𝑢_𝑥𝑐 =
=
= 513214,9 𝑁 = 513,2 𝑘𝑁
207,5
𝛽̅
𝛽̅ =
Las tres fuerzas ilustradas corresponden al campo de fuerzas admisibles del Método de la Fuerza Uniforme
para el caso de conexiones de arriostramientos a la base de columnas. Se asume en principio que el alma de
la columna es lo suficientemente rígida y resistente para traspasar y soportar la carga 𝑃𝑢_𝑥𝑐 , lo cual será
discutido al final del ejemplo.
Conexión placa gusset – columna
Se debe verificar la resistencia por fluencia en tracción y corte de la placa gusset.
De la Ecuación (3.1), la resistencia por fluencia en tracción es:
𝜙𝑡 𝑅𝑛 = 𝜙𝑡 𝐹𝑦 𝐴𝑔 = 0,9 𝑥 248 𝑥 (20 𝑥 415) = 1852560 𝑁 = 1852,6 𝑘𝑁 > 𝑃𝑢𝑥𝑐
De la Ecuación (4.14), la resistencia por fluencia en corte es:
𝜙𝑣 𝑅𝑛 = 𝜙𝑣 0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 = 1,0 𝑥 0,60 𝑥 248 𝑥 (20 𝑥 415) = 1235040 𝑁 = 1235 𝑘𝑁 > 𝑃𝑢_𝑦
Para diseñar la soldadura, se determina la fuerza resultante y el ángulo de aplicación de las fuerzas 𝑃𝑢_𝑦 y
𝑃𝑢_𝑥𝑐 , de acuerdo con las siguientes expresiones:
𝑃𝑢_𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 = √𝑃𝑢_𝑦 2 +𝑃𝑢_𝑥𝑐 2 = √497110,4 2 + 513214,92 = 714498,6 𝑁 = 714,5 𝑘𝑁
𝜃𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 = tan−1 (
126
𝑃𝑢_𝑥𝑐
513214,9
) = tan−1 (
) = 45,9°
𝑃𝑢_𝑦
497110,4
Así, de la Ecuación (4.21), la resistencia de la soldadura de filete sometida a carga inclinada es:
√2
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙0,60𝐹𝐸70 (1 + 0,5𝑠𝑒𝑛1,5 𝜃𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 )
𝑤𝐿
2 𝑓
√2
= 0,75 𝑥 0,60 𝑥 482 𝑥 (1 + 0,5 𝑥𝑠𝑒𝑛1,5 45,9°) 𝑥
𝑥 𝑤𝑓 𝑥 415 = 83016,2 𝑥 𝑤𝑓 𝑁
2
Igualando las siguientes expresiones se obtiene el tamaño de filete de soldadura requerido. Considere que
se utilizan dos cordones de soldadura.
𝑃𝑢_𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 = 2𝜙𝑅𝑛
714498,6 = 2 𝑥 83016,2 𝑥 𝑤𝑓
𝑤𝑓_𝑟𝑒𝑞 = 4,30 𝑚𝑚
Al considerar que el elemento más delgado (alma de la columna) tiene 8 mm de espesor, el tamaño mínimo
de la soldadura de filete, según la Tabla 4.7, es de 5 mm y el tamaño máximo, según la Tabla 4.8, es 6 mm.
Por requerimiento el tamaño de soldadura es menor al límite inferior, por lo tanto, el tamaño de soldadura
de filete que se elige es 𝑤𝑓 = 5 mm.
Conexión placa gusset – placa base
En este caso, solo se debe verificar la resistencia por fluencia en corte de la placa gusset.
De la Ecuación (4.14), la resistencia por fluencia en corte es:
𝜙𝑣 𝑅𝑛 = 𝜙𝑣 0,60𝐹𝑦 𝐴𝑔𝑣 = 1,0 𝑥 0,60 𝑥 248 𝑥 (20 𝑥 196) = 583296 𝑁 = 583,3 𝑘𝑁 > 𝑃𝑢𝑥𝑝
De la Ecuación (4.19), la resistencia de la soldadura de filete es:
√2
√2
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙0,60𝐹𝐸70
𝑤 𝐿 = 0,75 𝑥 0,60 𝑥 482 𝑥
𝑥 𝑤𝑓 𝑥 196 = 30060,9 𝑥 𝑤𝑓 𝑁
2 𝑓
2
Igualando las siguientes expresiones se obtiene el tamaño de filete de soldadura requerido. Considere que
se utilizan dos cordones de soldadura.
𝑃𝑢_𝑥𝑝 = 2𝜙𝑅𝑛
196732,4 = 2 𝑥 30060,9 𝑥 𝑤𝑓
𝑤𝑓_𝑟𝑒𝑞 = 3,27 𝑚𝑚
Al considerar que el elemento más delgado (placa gusset) tiene 20 mm de espesor, el tamaño mínimo de la
soldadura de filete, según la Tabla 4.7, es de 8 mm y el tamaño máximo, según laTabla 4.8, es 18 mm. Por
requerimiento el tamaño de soldadura es menor al límite inferior, por lo tanto, el tamaño de soldadura de
filete que se elige es 𝑤𝑓 = 8 mm.
El detalle final de la conexión diagonal se muestra en la Figura 5.19 .
127
Placa conectora
𝑡 = 16 mm
Acero ASTM A36
H400x250x22x8
ASTM A36
5 mm
Acero
O200x6 Acero
ASTM A36
415 mm
4 mm
300 mm
9 pernos de 1 pulgada
PT
Placa base PL500x400
mm 𝑡 = 25 mm
Placa gusset 𝑡 = 16 mm Acero ASTM
A36
8 mm
196 mm
Figura 5.19. Disposición final de la conexión diagonal.
En este punto, cabe realizar la siguiente reflexión. En primer lugar, se debe tener en cuenta que el método
de la fuerza uniforme asume que en los bordes del gusset hay resistencia y rigidez suficiente para que las
cargas normales y de corte pasen por los bordes. Al realizar el diseño del gusset y la soldadura a la columna
la resistencia va a ser provista de todas maneras tal como se presentó en el ejemplo. Sin embargo, en un
caso como el analizado, en que el alma de la columna trabaja a flexión fuera de su plano, es muy posible que
ésta no tenga rigidez suficiente para traspasar la totalidad de la carga normal (𝑃𝑢_𝑥𝑐 ), lo que provocaría una
considerable redistribución de tensiones que a priori es desconocida. Por diferencia de rigidez, es claro que
la mayor cantidad de la fuerza horizontal se traspasará por la placa base y no por el alma. Lo contrario ocurre
con las cargas de corte, ya que el borde vertical del gusset posee una rigidez en el plano suficiente para
traspasarlas.
En la sección 4.3 de la Guía de Diseño 29 del AISC se proponen expresiones para calcular el momento y corte
que puede tomar el alma de la columna, según un análisis de líneas de fluencia. Para método LRFD se tiene:
𝐻𝑐 ≤ 𝜙 (
𝑘 1⁄4 𝐹𝑦 𝑡𝑤2 𝐿
𝑘𝑚𝑝 𝐿
) = 𝜙(
)
𝛽̅
𝛽̅
Con 𝑘 = 4 + 2√2 + 6(𝐿⁄ℎ) + (ℎ⁄𝐿)
La máxima fuerza 𝐻𝑐 (=𝑃𝑢_𝑥𝑐 ) que puede traspasar el alma trabajando a flexión es:
𝑘 = 4 + 2√2 + 6(415⁄356) + (356⁄415) = 14,7
14,7 𝑥 1⁄4 𝑥 248 𝑥 82 𝑥 415
𝐻𝑐 ≤ 0,9 (
) = 114,3 𝑘𝑁
207,5
128
Este valor es bastante menor que la carga 𝑃𝑢_𝑥𝑐 = 513,2 𝑘𝑁 calculada previamente, quedando en evidencia
que al menos del punto de vista de resistencia, el alma no puede traspasar la carga calculada por el método
de la fuerza uniforme. En lugar de un análisis más detallado, se proponen dos alternativas:
1) Rigidizar el alma por medio de atiesadores (opción 1 Figura 5.20). Esta solución, en el caso común de una
columna rotulada con silla de anclaje y pernos por dentro de las alas, quedaría implementada por defecto
2) Incorporar un atiesador de continuidad del mismo espesor del gusset (opción 2 Figura 5.20). De esta
manera se pueden llevar las cargas directamente a la placa base sin necesidad de depender de la rigidez del
alma fuera de su plano.
Opción1
Opción2
Figura 5.20. Incorporación de atiesadores.
129
Ejemplo 5.4
Para el gusset del enrejado de la Figura 5.21, de acero ASTM A572 Gr. 50, solicitado por las cargas mayoradas
indicadas, se pide:
1. Determinar la combinación de momento, corte y fuerza axial (M u, Vu y Pu) actuando en el gusset en el
punto C’, justo debajo del punto de trabajo, a lo largo de la sección crítica C-C.
2. Utilizando la fórmula de interacción de la teoría de la plasticidad, determinar si la plancha gusset es
adecuada para resistir las fuerzas combinadas.
3. Verificar el pandeo de borde libre del gusset.
2500 mm
Cuerda de
enrejado
𝑉𝑢
𝑃𝑢
PT
𝐶′
350 mm
𝐶
𝐶
6400 kN
𝑀𝑢
5500 kN
1500 kN
50°
Placa gusset
Acero A572 Gr.50
𝑡 = 20 mm
45°
𝐿𝑓𝑔 =760 mm
Figura 5.21. Detalle para Ejemplo 5.4.
El corte en la placa gusset considerando las fuerzas en la dirección horizontal es:
6400 cos 50° + 5500 cos 45° − 𝑉𝑢 = 0
𝑉𝑢 = 8003 𝑘𝑁
La resistencia al corte de la placa es:
𝜙𝑉𝑦 = 𝜙(0,6𝐴𝑔,𝑐𝑟 𝐹𝑦 ) = 0,9 𝑥 0,6 𝑥 (2500 𝑥 20) 𝑥 345 = 9315000 𝑁 = 9315 𝑘𝑁
La fuerza de tracción perpendicular a la placa gusset considerando las fuerzas en la dirección vertical es:
−1500 + 6400 sin 50° − 5500 sin 45° + 𝑃𝑢 = 0
𝑃𝑢 = 486 𝑘𝑁
La resistencia en tracción de la placa es:
𝜙𝑃𝑦 = 𝜙(𝐴𝑔,𝑐𝑟 𝐹𝑦 ) = 0,9 𝑥 (2500 𝑥 20) 𝑥 345 = 15525000 𝑁 = 15525 𝑘𝑁
El momento en el punto 𝐶 ′ , en la sección crítica justo debajo del punto de trabajo es:
(6400 sin 50°) (0,350/ tan 50°) + (5500 sin 45°)(0,350/ tan 45°) − 𝑀𝑢 = 0
𝑀𝑢 = 2801 𝑘𝑁 − 𝑚
130
El momento resistente de la placa es:
𝑡𝐿2𝑔,𝑐𝑟
20 𝑥 25002
𝜙𝑀𝑝 = 𝜙
𝐹𝑦 = 0,9 𝑥
𝑥 345 = 9703125000 𝑁 − 𝑚𝑚 = 9703 𝑘𝑁 − 𝑚
4
4
La ecuación de interacción para una placa gusset bajo cargas combinadas es:
2
4
𝑀𝑢
𝑃𝑢
𝑉𝑢
+(
) +(
) ≤ 1,0
𝜙𝑀𝑝
𝜙𝑃𝑦
𝜙𝑉𝑦
2801
486 2
8003 4
+(
) +(
) = 0,289 + 0,001 + 0,545 = 0,834 ≤ 1,0
9703
15525
9315
La máxima longitud no arriostrada del borde libre de la placa gusset es 𝐿𝑓𝑔 = 760 mm. El espesor mínimo,
según la ecuación (5.6), para prevenir el pandeo del lado no soportado es:
𝐹𝑦
345
= 0,5 𝑥 760 √
= 15,8 𝑚𝑚
𝐸
200000
El espesor de 20 mm es adecuado, sin embargo, si la placa gusset se somete a cargas sísmicas, el espesor
mínimo debe ser 42 mm, según la ecuación (5.7).
𝑡 ≥ 0,5𝐿𝑓𝑔 √
Cabe señalar que la aplicación de estas expresiones para determinar un espesor mínimo de gusset basado
en limitar el pandeo de borde libre, si bien corresponde a recomendaciones encontradas en la literatura, no
es requerida en la normativa nacional.
131
Ejemplo 5.5
Determinar las dimensiones del gusset y las fuerzas en las interfaces de la conexión para el detalle de la
Figura 5.22.
Figura 5.22.Conexión Ejemplo 5.5.
SOLUCIÓN
0.5𝑑𝑐 = 175 𝑚𝑚 ; 0.5𝑑𝑏 = 300 𝑚𝑚
Se asume una distancia Y=450 mm. Esta distancia puede estimarse de acuerdo con el detalle inicial de la
conexión, conocido ya el largo de la conexión de la diagonal al gusset (es decir, establecido el número de
pernos y espaciamiento). Para el caso de la figura, por ejemplo, se puede considerar que los ángulos que
conforman el perfil XL se conectan cada uno con tres pernos A325 de ¾”, espaciados a 75 mm.
𝛽 = 𝑌⁄2 = 225 𝑚𝑚
Utilizando la ecuación 5.10, se tiene:
𝛼 − 𝛽 tan 𝜃 = 0,5𝑑𝑏 tan 𝜃 − 0,5𝑑𝑐
𝛼 − 225 tan 45° = 300 tan 45° − 175 → 𝛼 = 350 𝑚𝑚
132
Luego, el largo horizontal del gusset, X, se obtiene como:
𝛼 = 𝑋⁄2 + 12 → 𝑋 = 2 𝑥 (350 − 12) = 676 𝑚𝑚. Se elige 𝑋 = 680 𝑚𝑚
De la ecuación 5.11,
𝑟 = √(𝛼 + 0,5𝑑𝑐 )2 + (𝛽 + 0,5𝑑𝑏 )2 = √(350 + 175)2 + (225 + 300)2 = 742.5 𝑚𝑚
Finalmente, las fuerzas en las interfaces del gusset se determinan con las ecuaciones 5.13 a 5.15:
0,5𝑑𝑏
300
𝑉𝑏 =
𝑃𝑏𝑟 =
𝑥 500 = 202.0 𝑘𝑁
𝑟
742.5
𝛼
350
𝑃𝑏𝑟 =
𝑥 500 = 235.7 𝑘𝑁
𝑟
742.5
𝛽
225
𝑉𝑐 = 𝑃𝑏𝑟 =
𝑥 500 = 151.5 𝑘𝑁
𝑟
742.5
0,5𝑑𝑐
175
𝐻𝑐 =
=
𝑥 500 = 117.8 𝑘𝑁𝑃𝑏𝑟
𝑟
742.5
𝐻𝑏 =
Para comprobar que el método de la fuerza uniforme (MFU) conduce a un diseño más económico que el
método de descomposición simple (método KISS), se calcula el ancho de filete de soldadura requerido para
cada método en la unión del gusset a la viga. Se asume un electrodo E70 (FEXX= 482 MPa).
Para método KISS, la soldadura del gusset a la viga queda sometida a una fuerza directa longitudinal de corte
igual a 500kN(cos45°), más, siendo rigurosos, un momento causado por la excentricidad de dicha fuerza.
Similar al caso de corte excéntrico sobre un grupo de pernos, se puede aplicar el método elástico de análisis,
el cual es más conservador, o recurrir al método inelástico basado en el centro instantáneo de rotación. En
el Capítulo 10 de la Referencia 1 se puede encontrar el desarrollo de las ecuaciones y ejemplos de ambos
métodos. En el presente ejemplo se utiliza el método inelástico, para lo que se requiere disponer de la tabla
de coeficientes C para grupo de soldadura cargada excéntricamente, la que se puede encontrar en el
Capítulo 4 del Manual ICHA (Tabla 4-74). El ancho de filete requerido se determina por medio de la siguiente
ecuación:
𝑃𝑢
𝑤𝑚𝑖𝑛 =
𝐶𝐶1 𝑞𝐿
Donde q=0.1097, L=680 mm, C1=1 para electrodo E70 y C se determina de la tabla mencionada considerando
una excentricidad ex=db/2= 300 mm. Entrando a la tabla con a=300/680=0.44 y k≈0 se obtiene C≈1.89. Así,
353.55
𝑤𝑚𝑖𝑛 =
= 2.51 𝑚𝑚.
1.89 𝑥 1 𝑥 0.1097 𝑥 680
Cabe señalar que si no se hubiera considerado la excentricidad de la carga, el ancho de filete se calcularía a
partir de la ecuación 4.18 como:
√2
√2
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙0,60𝐹EXX
𝑤𝑓 𝐿 = 0,75 𝑥 0,6 𝑥 482 𝑥
𝑥 𝑤𝑓 𝑥 (2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑥 680) = 500𝑘𝑁 𝑥 cos 45°
2
2
= 353553 𝑁
𝑤𝑓,𝑟𝑒𝑞 = 1.7 𝑚𝑚
Para el MFU, la soldadura del gusset a la viga queda sometida a la resultante de las fuerzas Vb y Hb, inclinada
en un ángulo 𝜃. El ancho de filete requerido se determina por medio de la ecuación 4.20.
202.0
𝜃 = tan−1
= 40.6°
235.7
133
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙0,60𝐹EXX (1 + 0,5𝑠𝑒𝑛1,5 𝜃)
√2
𝑤𝐿
2 𝑓
= 0,75 𝑥 0,6 𝑥 482 𝑥 (1 + 0,5𝑠𝑒𝑛1,5 𝜃)
= 310417 𝑁
√2
𝑥 𝑤𝑓 𝑥 (2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑥 680) = √(𝑉𝑏 2 + 𝐻𝑏 2 )
2
𝑤𝑓,𝑟𝑒𝑞 = 1.18 𝑚𝑚
Si bien ambos anchos de filete son pequeños, menores que los mínimos establecidos, se comprueba que el
MFU puede generar un diseño más económico. De todas formas, es interesante notar que generalmente las
dimensiones mínimas de estos gusset, establecidas por la geometría de la conexión, son lo suficientemente
grandes como para que en muchos casos se requiera sólo una soldadura mínima.
134
135
6.1.
Introducción
En este capítulo se estudian los miembros sometidos sólo a tensiones de compresión de manera
concéntrica, es decir, cuando las cargas se aplican uniformemente en la sección del miembro de tal
forma que el centro de aplicación de la carga coincida con el centro de gravedad del miembro. Los
elementos de una estructura de acero que pueden estar sometidos a compresión son los montantes
y cuerdas de enrejados, arriostramientos y principalmente, columnas. Estas últimas son más críticas
que las vigas o un miembro en tracción, ya que pequeñas imperfecciones del material o de sus
dimensiones pueden causar problemas de estabilidad. Para enrejados es usual usar perfiles canal,
mientras que para arriostramientos se usan ángulos simples (L), dobles (TL o XL), perfiles tubulares
perfiles HSS. Por su parte, las columnas generalmente son perfiles I o HSS.
6.2.
Carga crítica de pandeo de Euler en columnas
Las columnas largas o esbeltas son las más propensas a sufrir el fenómeno de pandeo, es decir,
inclinación fuera de su plano o deformación en sentido lateral. Mientras más esbelta es la columna,
mayor es su tendencia a pandearse y por ende menor es la carga que puede soportar. A continuación,
se explica cómo determinar la carga de pandeo.
Considérese un miembro inicialmente recto, cargado de forma concéntrica, con todas sus fibras en
el rango elástico hasta que ocurre el pandeo, deflectándose levemente como se muestra en la Figura
6.1. En cualquier ubicación 𝑧, el momento flector 𝑀𝑧 con respecto al eje principal es 𝑀𝑧 = 𝑃𝑦, y
𝑑2 𝑦
𝑀
teniendo en cuenta la relación entre momento y curvatura de la teoría clásica de vigas, 𝑑𝑧2 = − 𝐸𝐼𝑧,
se obtiene la siguiente ecuación diferencial:
𝑑2 𝑦
𝑃
+
𝑦=0
2
𝑑𝑧
𝐸𝐼
(6.1)
𝑃
𝑃
𝑧
𝑥 e 𝑦 son ejes principales de la sección
transversal
𝑧
𝐿
Posición levemente
flexionada
𝑦
Figura 6.1. Columna de Euler
Definiendo 𝑘 2 = 𝑃 ⁄𝐸𝐼 , la solución de la ecuación diferencial anterior puede expresarse como 𝑦 = 𝐴 sin 𝑘𝑧 +
𝐵 cos 𝑘𝑧. Si se aplican las condiciones de borde, 𝑦 = 0 en 𝑧 = 0, 𝑦 = 0 en 𝑧 = 𝐿, se obtiene 𝐵 = 0 y
𝐴 sin 𝑘𝐿 = 0. Luego, la ecuación (6.1) se satisface de tres maneras: 𝐴 = 0, que corresponde a la
solución trivial (sin deflexión); 𝑘𝐿 = 0, situación sin carga aplicada y 𝑘𝐿 = 𝑁𝜋, que es el requisito
para que ocurra pandeo. Por lo tanto, la carga de pandeo es:
𝑁 2 𝜋 2 𝐸𝐼
𝑁𝜋 2
𝑃
o
𝑃=
( ) =
𝐿2
𝐿
𝐸𝐼
136
El primer modo de pandeo ocurre con 𝑁 = 1 y define una deformada con curvatura simple
𝜋𝑍
(𝑦 = 𝐴 sin ). Por lo tanto, la carga crítica de pandeo de Euler, que corresponde a la fuerza axial
𝐿
que produce que un miembro en compresión pura comience a pandearse, se representa por la
siguiente expresión:
𝜋 2 𝐸𝐼
(6.2)
𝑃𝑒 = 2
𝐿
Donde:
𝑃𝑒 =Carga de pandeo crítica de Euler (N)
𝐸 =Módulo de elasticidad del acero (200.000 MPa)
𝐼 =Momento de inercia (mm4)
𝐿 =Longitud de la columna entre puntos de arriostramientos (mm)
La ecuación anterior es válida bajo las siguientes condiciones: 1) las propiedades de esfuerzodeformación son las mismas en toda la sección; 2) no hay tensiones internas iniciales, como los
debidos al enfriamiento después del laminado y soldadura; 3) la columna es perfectamente recta y
prismática; 4) la carga actúa a través del eje centroidal de la columna hasta que ésta comienza a
flectarse; 5) la columna se encuentra idealmente rotulada en sus extremos; 6) la teoría de pequeños
desplazamientos es válida y las deformaciones de corte se pueden despreciar; 7) no ocurre torsión o
distorsión de la sección transversal durante la flexión.
Además, si se considera que la tensión de compresión es 𝑃⁄𝐴𝑔 y que𝐼 = 𝐴𝑔 𝑟 2 , la tensión crítica de
pandeo de Euler, en función de la relación de esbeltez (𝐿⁄𝑟), se representa por la siguiente
expresión:
𝜋2𝐸
𝐹𝑒 =
(6.3)
𝐿 2
(𝑟 )
Donde:
𝐹𝑒 =Tensión critica de pandeo de Euler (MPa)
𝐴𝑔 =Área bruta de la sección transversal (mm2)
𝑟 =Radio de giro (mm)
6.3.
Longitud efectiva
Las condiciones de las columnas que se encuentran en terreno distan bastante de las idealizaciones
en las que se basa Euler al definir su fórmula. No es posible encontrar una columna con extremos
idealmente rotulados con la posibilidad de girar libremente, ya que sus bordes están conectados a
otros miembros mediante conexiones apernadas o soldadas, las cuales en cierto grado impiden que
ocurra una rotación libre. Por esta razón, se hace necesario extender su aplicabilidad a columnas con
condiciones de apoyo diferentes. Para ello se utiliza el factor 𝐾, llamado factor de longitud efectiva,
que modifica el largo 𝐿 del elemento de acuerdo con tipo de apoyo que presente, otorgando
tensiones de pandeo más realistas y acordes con la situación. Así, la tensión crítica de pandeo de
Euler (Ecuación E3-4 de la norma NCh427/1), en forma generalizada, se representa por la siguiente
expresión:
𝜋2𝐸
𝐹𝑒 =
(6.4)
𝐾𝐿 2
(𝑟)
137
Donde:
𝐾𝐿 = Longitud efectiva
𝐾𝐿
= Relación de esbeltez efectiva
𝑟
La longitud efectiva se define como la distancia entre puntos de momento nulo en una columna, en
otras palabras, se refiere a la distancia entre puntos de inflexión de la deformada de la columna y se
denomina 𝐾𝐿. Ésta es una expresión que permite capturar el esfuerzo real que se produce en una
columna para condiciones de apoyo de los extremos distinto a la rótula, donde se debe multiplicar la
longitud real por el factor de longitud efectiva 𝐾. En definitiva, lo que se hace es reemplazar una
columna con cualquier condición de extremo por una columna equivalente con extremos rotulados
de manera que se produzca el mismo esfuerzo crítico.
Para la mayoría de las situaciones reales, hay una reacción de momento en los extremos de los
miembros que causan que los puntos con momento cero (puntos de inflexión), se alejen de los
apoyos, y así el largo efectivo se ve modificado. En general es difícil determinar de manera precisa el
grado de empotramiento que proveen a una columna las vigas adyacentes o la fundación.
Independiente del nivel de certeza con que pueda determinarse el grado de empotramiento, el
diseñador debe comprender los conceptos de marcos arriostrados y no arriostrados, explicados a
continuación, para definir adecuadamente el factor de longitud efectiva.
Un marco arriostrado se define como aquel en que la estabilidad lateral es provista por
arriostramientos diagonales, muros de corte o medios equivalentes. El sistema de arriostramientos
debe ser adecuado para prevenir el pandeo de la estructura y mantener la estabilidad lateral. Una
columna en un marco arriostrado no sufre movimientos laterales de su extremo superior con
respecto al inferior. En la Figura 6.2 se muestran los largos efectivos para columnas en un marco
arriostrado. Una vez que se determina que un marco es arriostrado, se asume que los nodos no se
desplazan lateralmente, y así la columna puede diseñarse como un miembro aislado una vez que se
determine el factor de longitud efectiva 𝐾. En la parte a) y b) de la Figura 6.3, se presentan el primer
modo de pandeo y la longitud efectiva de columnas de marcos arriostrados en el caso que la viga se
encuentre rígidamente conectada a las columnas. Se puede observar que en marcos arriostrados el
factor 𝐾 será siempre menor que 1. En el caso más usual en que la viga se conecta con uniones de
corte, es decir, se encuentra rotulada en sus extremos, la forma de pandeo es similar y la longitud
efectiva es simplemente el largo del miembro.
138
a) ambos extremos con
rotación no restringida
b) ambos extremos
con rotación
totalmente restringida
c) un extremo con
rotación restringida y
otro no restringida
d) rotación parcialmente
restringida
en
ambos
extremos
Figura 6.2. Largo efectivo KL en columnas sin traslación lateral (Adaptado de Ref. 34)
Por otra parte, se define un marco no arriostrado o de momento como aquel cuya estabilidad lateral
depende de la rigidez flexural de las vigas y columnas conectadas rígidamente. El pandeo de un marco
no arriostrado es hacia el lado donde el extremo superior de una columna se desplaza con respecto
a su apoyo. En la parte c) y d) de la Figura 6.3 se muestra un marco no arriostrado que se pandea
lateralmente, con columnas rotuladas y empotradas en su base, respectivamente. La forma de
pandeo y por tanto el largo efectivo de las columnas depende de la rigidez de los miembros en flexión.
El largo efectivo puede obtenerse comparando el modo de pandeo de una columna con la porción
del modo de pandeo de una columna rotulada. Como se muestra, 𝐾 es siempre mayor a 1.
139
𝑃
𝑃
𝑃
𝑃
0,65𝐿
0,8𝐿
a) marco arriostrado con base rotulada
b) marco arriostrado con base empotrada
𝑃
𝑃
𝛥
𝑃
𝑃
2𝐿
1,2𝐿
𝛥
c) marco no arriostrado con base rotulada
d) marco no arriostrado con base empotrada
Figura 6.3. Longitud efectiva de una columna en un marco arriostrado y un marco no arriostrado (Adaptado
de Ref. 34)
El factor 𝐾 se puede obtener a partir de dos métodos. Para situaciones simples como columnas
aisladas o en una etapa de pre-diseño, se pueden utilizar los valores propuestos en el manual AISC,
los cuales se reproducen en la Figura 6.4. En ella se presentan dos grupos de valores, el teórico y el
que se recomienda para el diseño. En general, se debe aplicar el valor recomendado ya que en la
realidad no es posible replicar las condiciones de empotramiento o rotulado perfectamente. Se
puede observar que los casos (a) hasta (c) representan columnas de un marco arriostrado, y el valor
teórico de 𝐾 varía entre 0,5 y 1,0. Por su parte, los casos (d) hasta (f) representan columnas de un
marco rígido, y el factor 𝐾 es mayor que 1,0.
Por otro lado, en caso de que las columnas formen parte de marcos continuos, donde las vigas
proveen cierto grado de restricción a sus extremos, es mejor utilizar un método más detallado que
tome en cuenta este aspecto en la determinación del factor de longitud efectiva 𝐾. Para ello se
cuenta con gráficos de alineación, más conocidos como nomogramas, los cuales se desarrollan en
extenso en la Sección 6.7 de este texto.
140
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Valor 𝑲 teórico
0,50
0,70
1,0
1,0
2,0
2,0
Valores recomendados
de diseño cuando las
condiciones reales son
aproximadas
0,65
0,80
1,0
1,2
2,1
2,0
Las líneas punteadas
muestran
la
forma
pandeada de la columna
Rotación fija y traslación fija
Símbolos
para
las
condiciones de extremo
Rotación libre y traslación fija
Rotación fija y traslación libre
Rotación libre y traslación libre
Figura 6.4. Coeficientes de longitud efectiva de pandeo, K (Ref. 12, Table C-A-7.1 – Approximate values of
effective length factor, K).
En el Anexo 7.2 de la norma NCh427/1 se indica cómo debe determinarse el factor 𝐾. En sistemas de
marcos arriostrados el factor de longitud efectiva 𝐾 debe ser tomado como 1,0 a menos que un
análisis racional indique que un valor menor sea apropiado. Por otra parte, para marcos de momento
el factor 𝐾 de las columnas cuya rigidez sea considerada que contribuya a la estabilidad lateral y
resistencia a cargas laterales debe ser determinado a través de un análisis de pandeo lateral de la
estructura, y 𝐾 debe tomarse como 1,0 para columnas que no contribuyan a la estabilidad lateral.
Además, se permite usar 𝐾 =1,0 en el diseño de todas las columnas si la razón entre las derivas
máximas de segundo y primer orden, determinadas para combinaciones de carga LRFD, en todos los
pisos es menor o igual que 1,1.
141
Eje
-X
Y-Y
X
Eje
Columna con 𝑟𝑥 y
𝑟𝑦
𝐿𝑦
𝐿𝑥
𝐿𝑦
Vigas que proveen puntos de
arriostramientos para la columna
Figura 6.5. Longitud efectiva y relación de esbeltez de una columna (Adaptado de Ref.1
Es usual que en estructuras tridimensionales la distancia entre puntos arriostrados lateralmente de
las columnas pueda ser diferente en direcciones perpendiculares. En la Figura 6.5 se presenta el caso
de una columna de sección I en que la distancia entre apoyos laterales que restringen la flexión
alrededor del eje fuerte es mayor que la distancia entre apoyos para flexión en el eje débil del perfil.
En este caso, la razón de esbeltez 𝐾𝐿/𝑟 de la Ecuación (6.4) debe ser evaluada para ambas
direcciones, donde se debe elegir el menor valor.
Cabe señalar que para miembros en compresión, en la sección E.2 de la norma NCh427/1, se
establece un límite de esbeltez (𝐾𝐿⁄𝑟) de 200. Por otra parte, para columnas, diagonales y puntales
sismorresistentes que trabajan en compresión la esbeltez debe ser menor que 1,5π√𝐸 ⁄𝐹𝑦 , según lo
indicado en la norma NCh2369.Of2003 (secciones 8.3.3 y 8.7.3.1).
6.4.
Tensiones residuales en la resistencia de columnas
Los miembros en compresión largos tienden a fallar por pandeo elástico, es decir, se pandean antes
de que las fibras de su sección transversal fluyan, mientras que miembros más robustos pueden ser
cargados hasta que el material entre en fluencia o incluso hasta el rango de endurecimiento. Sin
142
embargo, en la mayoría de los casos, la falla ocurre por pandeo después que una parte de la sección
transversal ha fluido. Esto se conoce como pandeo inelástico. En realidad, el pandeo bajo carga axial
ocurre solo cuando las condiciones 1) a la 7), detalladas en la sección 6.2 de este texto, son válidas.
Las columnas son usualmente una parte integral de una estructura y este tipo de falla no puede
ocurrir independientemente. El uso práctico del término pandeo es que marca el límite entre
deflexión estable e inestable, en vez de una condición instantánea que ocurre en una barra aislada.
Durante mucho tiempo la determinación teórica de resistencia de columnas no coincidía con
resultados experimentales. En estos ensayos se incluían los efectos de imperfecciones del elemento,
excentricidad accidental de la carga, pandeo lateral o local, condiciones de apoyo y tensiones
residuales. Las fórmulas de diseño, ya sea lineales, parabólicas o más complejas, se han desarrollado
para concordar con la curva resultado de los ensayos, para diferentes valores de relación de esbeltez.
Una curva típica de resistencia usada en diseño se muestra en la Figura 6.6. En ella se puede apreciar
que para grandes esbelteces (columnas largas) la fórmula de Euler es una buena aproximación. Sin
embargo, para columnas cortas e intermedias, se requiere hacer una modificación en la fórmula,
debido a la zona no lineal en el modelo de esfuerzo-deformación del acero. Se propuso utilizar un
módulo de elasticidad variable con la tracción en la zona plástica, que se denomina módulo tangente
𝐸𝑡 .
Esta teoría es aplicable, pero no todas las fibras en la sección transversal se pueden considerar con
el mismo nivel de esfuerzo. El módulo tangente Et en una fibra no es el mismo que en una fibra
adyacente, debido a la presencia de tensiones residuales en la sección, los cuales pueden alcanzar
valores cercanos a la mitad de la tensión de fluencia del acero A36.
𝑃𝑐𝑟
𝑃𝑒 =
𝜋 2𝐸
𝐴
(𝐾𝐿⁄𝑟)2 𝑔
𝑃𝑦
Rango de resultados de los
ensayos
𝐾𝐿⁄𝑟
Figura 6.6. Carga promedio v/s relación de esbeltez (Ref. 34)
Las tensiones residuales son las tensiones que permanecen en un miembro después que ha sido
fabricado. Estas tensiones resultan de deformaciones plásticas, que en el acero estructural pueden
resultar de varias fuentes: 1) enfriado no uniforme que ocurre durante el proceso de laminación o
durante la soldadura de secciones armadas; 2) contraflecha durante fabricación; y 3) perforaciones
y cortes en las planchas. En condiciones normales, las tensiones residuales debido a enfriado y
soldadura son los más importantes. En perfiles de sección I de alas anchas, después de laminarse, las
143
alas, que son las partes más gruesas, se enfrían más lentamente que el alma. Además, las puntas de
las alas que están más expuestas al aire se enfrían más rápido que la región cerca del alma.
Consecuentemente, aparecen tensiones residuales de compresión en las puntas de las alas y en el
centro del alma (las zonas que se enfrían más rápido), mientras que en la zona de unión de alas y
alma aparecen tensiones residuales de tracción. En la Figura 6.7 se muestra una distribución de
tensiones residuales típica en vigas laminadas y soldadas. Se puede esperar mucha variabilidad ya
que esta distribución depende de las dimensiones de la sección.
Esfuerzo máximo de compresión
~83MPa
Compresión (−)
(−)~84MPa
(+)~140MPa
(+)
(−)
(+)Tensión
~240MPa
(−)
(+) Tensión
(−)
(+)
Compresión
~140MPa
(a) perfil I laminado
(b) perfil I soldado
Figura 6.7. Patrón típico de tensiones residuales en perfiles laminados y soldados de sección I (Ref. 34)
Mientras se creía alguna vez que la porción no lineal de la curva esfuerzo-deformación promedio
para miembros en compresión era debido sólo a la curvatura inicial y excentricidad accidental, se
verificó posteriormente que las tensiones residuales son la primera causa. Las tensiones residuales
son independientes de la tensión de fluencia, dependiendo eso sí de las dimensiones de la sección
transversal y configuración, ya que estos factores controlan la velocidad de enfriado. El proceso de
soldadura en perfiles armados genera tensiones residuales mayores que en perfiles laminados. Las
planchas por sí mismas generalmente tienen pequeñas tensiones residuales por el enfriado
relativamente uniforme. Sin embargo, después que el calor se aplica para soldar, el enfriado no
uniforme y restricciones contra la distorsión causan grandes tensiones residuales. Al ser las tensiones
residuales de compresión en las puntas de las alas más altos en perfiles soldados que laminados, la
resistencia de columna de este tipo será más baja que en perfiles laminados.
En un perfil laminado la influencia de las tensiones residuales se muestra en la curva esfuerzodeformación de la Figura 6.8, usando tensiones promedio en el área bruta. La resistencia de una
columna puede decirse que está basada en pandeo inelástico porque la curva esfuerzo-deformación
promedio es no lineal cuando se alcanza la máxima resistencia de la columna.
144
𝑔
Tensión promedio 𝐴
𝑃
Curva ideal que no contiene
esfuerzos residuales
𝐹𝑦
2
𝐹𝑝
3
Máximo esfuerzo de compresión
residual
1
1
Miembros con esfuerzos
residuales
2
3
La parte achurada indica el área
que ha alcanzado la tensión de
fluencia 𝐹𝑦
Deformación media en compresión ε
Figura 6.8. Influencia de las tensiones residuales en la curva media tensión-deformación (Ref. 34).
Si se conoce o asume una distribución de tensiones residuales en una sección, es posible establecer
analíticamente la curva de resistencia a compresión de una columna considerando los efectos de la
fluencia temprana debido a tensiones residuales. En la sección 6.6 de la Referencia 34 se presentan
ejemplos de desarrollo de curvas de resistencia de columnas de sección I, considerando pandeo en
su eje débil, para diversas distribuciones de tensiones residuales. El procedimiento indicado es la
base para el desarrollo de las ecuaciones de diseño.
6.5.
Resistencia de columnas con secciones compactas
La resistencia nominal para el estado límite de pandeo por flexión en miembros sometidos a
compresión, considerando los efectos de imperfecciones iniciales, tensiones residuales y condiciones
de apoyo, según el capítulo E.3 de la norma NCh427/1, se representa por la siguiente expresión:
Ec. E3-1 de NCh427/1:
𝑃𝑛 = 𝐹𝑐𝑟 𝐴𝑔
(6.5)
𝜙𝑐 = 0,9 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω𝑐 = 1,67 (𝐴𝑆𝐷)
Donde:
𝐹𝑐𝑟 =Esfuerzo de pandeo por flexión (MPa)
𝐴𝑔 =Área de la sección transversal de la columna (mm2)
La tensión de pandeo por flexión 𝐹𝑐𝑟 en rango inelástico (Ec. E3-2 de NCh427/1) y elástico (Ec. E3-3
de NCh427/1) se representan por las siguientes expresiones respectivamente:
Cuando
𝐾𝐿
𝐸
≤ 4,71√
𝑟
𝐹𝑦
(o
𝐹𝑦
≤ 2,25)
𝐹𝑒
𝐹𝑐𝑟 = [0,658
𝐹𝑦
𝐹𝑒
] 𝐹𝑦
(6.6)
145
Cuando
𝐾𝐿
𝐸
> 4,71√
𝑟
𝐹𝑦
(o
𝐹𝑦
> 2,25)
𝐹𝑒
𝐹𝑐𝑟 = 0,877𝐹𝑒
(6.7)
Existe otro modo de falla en columnas con secciones compactas que se denomina pandeo torsional
o pandeo flexo-torsional, el cual puede controlar la resistencia en secciones de baja rigidez torsional,
como por ejemplo, los ángulos, las secciones T y canales. Las ecuaciones de diseño para este estado
limite se presentan en la sección E.4 de la norma NCh427/1. El desarrollo analítico de la carga elástica
de pandeo torsional se puede encontrar en la sección 8.12 de la Referencia 34 en la sección 5.4 de la
Referencia 35.
6.6.
Pandeo local de columnas
Hasta ahora se ha estudiado la resistencia de columnas considerando sólo la posibilidad de pandeo
basada en la razón de esbeltez de la sección transversal completa, sin preocuparse de los elementos
que la conforman. Puede ocurrir primero que uno de los elementos de placa sufra pandeo local, lo
que significa que el elemento pandeado no podrá seguir tomando carga adicional. Así, el pandeo
local conlleva a una reducción de la resistencia a compresión y no permite que el miembro desarrolle
totalmente su capacidad.
𝑃
Pandeo localizado en el
ala de la columna bajo
esfuerzos de compresión
𝑃
Figura 6.9. Pandeo local en una columna bajo cargas de compresión
Para prevenir este modo de falla se establecen límites para la razón ancho-espesor de los elementos,
los cuales se presentan en la Tabla 6.1(Tabla B4.1a de la norma NCh427/1). En ella se puede apreciar
que los límites definen si los elementos son esbeltos o no esbeltos. Un elemento esbelto es aquel
146
que tiene una razón ancho-espesor que excede 𝜆𝑟 , por el contrario, si la razón es menor que este
parámetro, el elemento es no esbelto. Así, en una sección con elementos esbeltos, la sección
transversal no fluye y la resistencia del miembro queda limitada por el pandeo local, mientras que en
una sección sin elementos esbeltos, la sección puede alcanzar la fluencia sin pandeo local.
Además, dependiendo de la disposición de los elementos dentro de la sección transversal se
clasifican en atiesados y no atiesados. Un elemento atiesado se apoya en dos bordes paralelos a la
dirección de la fuerza de compresión. Un ejemplo de esto es el alma de una columna de sección I,
donde ambos extremos del alma se conectan a las alas. Por otra parte, un elemento no atiesado se
encuentra apoyado en sólo un borde paralelo a la dirección de la fuerza de compresión, por ejemplo,
el ala de una columna de sección I que se conecta al alma en un borde y queda libre a lo largo del
otro borde. En la Figura 6.10 se muestran ejemplos de elementos atiesados y no atiesados en
secciones comúnmente utilizadas.
a) elemento atiesado
b) elemento no atiesado
Figura 6.10. Elementos en compresión atiesados y no atiesados
Para comprender mejor el origen de los requerimientos de esbeltez local, se debe profundizar en los
conceptos de estabilidad y resistencia de placas, los cuales se pueden encontrar en la sección 6.14
de la Referencia 34. Sin embargo, puede ser suficiente simplemente entender que los componentes
de una sección de columna tales como alas, almas, ángulos y placas en general pueden pandearse
localmente antes que la sección completa alcance su máxima capacidad. Los modos de pandeo de
placas sometidas a compresión uniforme en condición no atiesada y atiesada se muestran en la
Figura 6.11. Las placas en compresión se comportan de manera similar a una columna y la expresión
básica para la resistencia al pandeo elástico es análoga a la ecuación de Euler, como se presenta en
la Ecuación (6.8).
𝐹𝑐𝑟 = 𝑘
𝜋2𝐸
𝑏 2
12(1 − 𝜇 2 ) ( 𝑡 )
(6.8)
Donde:
𝑘 = Constante que depende del tipo de esfuerzo, condiciones de apoyo y relación ancho/largo
147
𝜇 = Coeficiente de Poisson
𝑏
=Razón de esbeltez
𝑡
Para valores bajos de 𝑏/𝑡 se puede alcanzar el endurecimiento sin que ocurra pandeo local, para
valores medios de 𝑏/𝑡 las tensiones residuales e imperfecciones originan pandeo inelástico y para
valores grandes de 𝑏/𝑡 ocurre pandeo elástico. La resistencia real en este último caso es mayor que
la resistencia al pandeo elástico debido a la resistencia post-pandeo. Para establecer requerimientos
de diseño, se busca prevenir el pandeo local antes que la columna alcance su resistencia basada en
su propia razón de esbeltez 𝐾𝐿⁄𝑟. Sin embargo, para simplificar la determinación de estos límites
generalmente se busca asegurar que la sección fluya en compresión sin pandeo local, aunque la
esbeltez del miembro sea tal que no pueda alcanzar la fluencia. En otras palabras, se busca que 𝐹𝑐𝑟
de la Ecuación (6.8) sea mayor a 𝐹𝑦 . De esta forma, las razones ancho-espesor (𝜆 = 𝑏⁄𝑡) que logran
prevenir el pandeo local antes de la fluencia de la sección son los valores 𝜆𝑟 presentados en la Tabla
6.1 (Tabla B4.1a de la norma NCh427/1).
𝑡 =Espesor
a) elemento no atiesado
(placa con un borde libre)
b) elemento atiesado
(placa soportada en ambos bordes)
Figura 6.11. Modos de pandeo de placas sometidas a compresión uniforme.
En base en lo anterior, si un miembro a compresión está formado sólo por elementos no esbeltos, la
resistencia nominal se determina de acuerdo con la sección E.3 de la norma NCh427/1, que considera
únicamente el estado límite de pandeo a flexión. Ahora bien, si el miembro presenta al menos un
elemento esbelto, la resistencia nominal se determina según la sección E.7 de la norma NCh427/1, la
cual reduce la eficiencia de la sección debido al pandeo local mediante los factores de reducción por
pandeo local.
La tensión de pandeo por flexión 𝐹𝑐𝑟 , para columnas de sección esbelta, se representan por las
siguientes expresiones (ecuaciones E7-2 y E7-3 de la norma NCh427/1 respectivamente):
Cuando
148
𝐾𝐿
𝐸
≤ 4,71√
𝑟
𝑄𝐹𝑦
(o
𝑄𝐹𝑦
≤ 2,25)
𝐹𝑒
𝐹𝑐𝑟 = 𝑄 [0,658
Cuando
𝐾𝐿
𝐸
> 4,71√
𝑟
𝑄𝐹𝑦
(o
𝑄𝐹𝑦
𝐹𝑒
] 𝐹𝑦
(6.9)
𝑄𝐹𝑦
> 2,25)
𝐹𝑒
𝐹𝑐𝑟 = 0,877𝐹𝑒
(6.10)
Donde:
𝑄 = 𝑄𝑠 𝑄𝑎 para miembros con elementos esbeltos
𝑄 = 1,0 para miembros con elementos no esbeltos
𝑄𝑠 = Factor de reducción para elementos no atiesados (ver sección E.7-1 de NCh427/1)
𝑄𝑎 = Factor de reducción para elementos atiesados (ver sección E.7-2 de NCh427/1)
149
Tabla 6.1. Razones ancho-espesor de elementos en compresión de miembros sometidos a compresión axial.
Caso
Descripción
elemento
del
Razón anchoespesor
1 Alas
de
perfiles
laminados,
planchas
conectadas a perfiles
laminados, alas de pares
de ángulos conectados
continuamente, alas de
canales y alas de
secciones T.
Elementos No Atiesados
2 Alas de perfiles I soldados
y planchas y ángulos
conectados a secciones
soldadas.
3 Alas de perfiles ángulo
laminados, alas de pares
de
ángulos
con
separadores y todo tipo
de
elementos
no
atiesados.
4 Almas de secciones T.
Elementos Atiesados
5 Almas de secciones I con
doble
simetría
y
secciones canal
150
6 Paredes de secciones HSS
rectangulares y cajones
de espesor uniforme.
𝑏
𝑡
𝑏
𝑡
Límite anchoespesor 𝝀𝒓 (No
Esbelto/
Esbelto)
0,56√
0,64√
𝐸
𝐹𝑦
𝑘𝑐 𝐸
𝐹𝑦
𝑏
𝑡
0,45√
𝐸
𝐹𝑦
𝑑
𝑡
0,75√
𝐸
𝐹𝑦
ℎ
𝑡𝑤
1,49√
𝐸
𝐹𝑦
𝑏
𝑡
1,40√
𝐸
𝐹𝑦
Ejemplos
7 Alas de sobre-planchas y
planchas diafragma entre
líneas de conectores o
soldadura.
𝑏
𝑡
1,40√
𝐸
𝐹𝑦
𝑏
𝑡
1,49√
𝐸
𝐹𝑦
𝐷
𝑡
0,11
8 Todo elemento atiesador
9 Tubos circulares
𝐸
𝐹𝑦
𝒌𝒄 = 𝟒⁄√𝒉⁄𝒕𝒘 , para efectos de cálculo se debe considerar un rango de 0,35 a 0,76.
Norma NCh427/1, Tabla B4.1a – Razones ancho-espesor: Elementos en compresión – miembros
sujetos a compresión axial.
6.7.
Gráficos de alineación o Nomogramas
Una forma alternativa para determinar el factor de longitud efectiva 𝐾, es el uso de ábacos conocidos
como gráficos de alineación o nomogramas. Éstos toman en cuenta las restricciones de
desplazamiento y giro provistas por las vigas en los extremos de las columnas que forman parte de
marcos continuos. Los nomogramas entregan resultados más precisos, pero requiere conocer las
secciones de vigas y columnas, por lo que en una etapa de diseño puede ser dificultoso su uso. Para
derivarlos se han utilizado los siguientes supuestos:
• Los miembros tienen comportamiento elástico, sección transversal constante y están
conectados por nudos rígidos.
• Para marcos arriostrados, los giros en los extremos opuestos de cada viga son de igual
magnitud y distinta dirección, produciendo una curvatura de flexión simple.
• Para marcos rígidos, los giros en los extremos opuestos de cada viga son de igual magnitud y
dirección, produciendo curvatura de flexión doble.
• El parámetro de rigidez, 𝐿√𝑃/𝐸𝐼, de todas las columnas es igual.
• La restricción rotacional en la unión se distribuye a la columna superior e inferior
proporcionalmente a 𝐸𝐼/𝐿 de las dos columnas.
• Todas las columnas se pandean simultáneamente.
• Las fuerzas axiales de compresión en las vigas son despreciables.
En el Comentario del Apéndice 7 del AISC 360-10 (Ref.12) se presentan dos nomogramas, los cuales
se reproducen en la Figura 6.12 para marcos arriostrados (o desplazamiento impedido) y en la Figura
151
6.13 para marcos rígidos (o desplazamiento no impedido).Ambos gráficos de alineación se basan en
una ecuación particular, donde se debe despejar el valor de 𝐾.
Para un marco arriostrado se tiene la siguiente expresión (Ecuación C-A-7-1 del Comentario del AISC,
2010):
𝐺𝐴 𝐺𝐵
𝐺𝐴 + 𝐺𝐵
𝜋 ⁄𝐾
2 tan (𝜋⁄2𝐾 )
(6.11)
(𝜋⁄𝐾 )2 + (
) (1 −
−1 = 0
)+
(𝜋⁄𝐾 )
4
2
tan (𝜋⁄𝐾 )
Figura 6.12. Nomograma para determinar K en un marco arriostrado (Ref.12 Figura C-A-7.1.).
Para un marco rígido se tiene la siguiente expresión (Ecuación C-A-7-2 del Comentario del AISC 36010):
(𝜋⁄𝐾 )
𝐺𝐴 𝐺𝐵 (𝜋⁄𝐾 )2 − 36
−
=0
6(𝐺𝐴 + 𝐺𝐵 )
tan (𝜋⁄𝐾 )
152
(6.12)
Figura 6.13. Nomograma para determinar K en un marco rígido. (Ref.12, Figura C-A-7.2.).
Tanto para resolver las ecuaciones anteriores como para leer los nomogramas, y así obtener 𝐾, es
necesario primero determinar el grado de empotramiento 𝐺 de un nudo, que describe la rigidez
relativa de la o las columnas comparada con la de las vigas que llegan a un nudo en cada extremo de
la columna. Para esto, es importante tener información sobre el tamaño de los elementos
involucrados (si no se conocen se debe realizar un diseño preliminar). El grado de empotramiento se
representa por la siguiente expresión:
𝐺=
∑ 𝐸𝑐 𝐼𝑐 ⁄𝐿𝑐 ∑(𝐸𝐼 ⁄𝐿)𝑐
=
∑ 𝐸𝑔 𝐼𝑔 ⁄𝐿𝑔 ∑(𝐸𝐼 ⁄𝐿)𝑔
(6.13)
Donde:
𝐸𝑐 , 𝐸𝑔 = Módulo de elasticidad de columnas y vigas respectivamente
𝐼𝑐 = Momento de inercia de la columna en el plano de flexión del marco
𝐼𝑔 = Momento de inercia de la viga en el plano de flexión de la columna
𝐿𝑐 ,𝐿𝑔 =Longitud no arriostrada de columnas y vigas respectivamente
Para estructuras de acero, el módulo de elasticidad es igual para ambos elementos, por lo que se
puede eliminar de la Ecuación (6.13). Así, la expresión queda en términos de la inercia y longitud de
los elementos que concurren a un nudo. Los subíndices 𝐴 y 𝐵, que acompañan a 𝐺 en las Ecuaciones
(6.11) y (6.12), se refieren a cada uno de los nudos de una columna. Por convención, en este texto,
𝐴 se designa al extremo inferior y 𝐵 al extremo superior.
153
Es importante recordar que los nomogramas se basan en supuestos de condiciones ideales que rara
vez se presentan en estructuras reales, por lo tanto, se requieren ajustes, como los que se indican en
el Comentario del Apéndice 7 del AISC360-10, que tomen en cuanta por ejemplo, que las columnas
y vigas tengan diferentes condiciones de apoyo, vigas con gran carga axial, inelasticidad de columnas
y flexibilidad de la conexión. El caso más frecuente corresponde a los ajustes para columnas con
diferentes condiciones de borde. Cuando el apoyo de la columna a la fundación es rotulado, 𝐺 es
teóricamente infinito, pero se puede considerar igual a 10 ya que no se produce una rótula perfecta.
Por otro lado, cuando la columna esta empotrada a la fundación 𝐺 tiende a 0, pero se recomienda
utilizar un valor de 1, debido a que ninguna conexión es perfectamente rígida. Las vigas también
cuentan con ajustes de acuerdo con la condición de borde del lado lejano al nudo. Cuando el extremo
lejano de la viga está empotrado, se debe multiplicar (𝐸𝐼 ⁄𝐿)𝑔 por 2, mientras que, si está rotulado
se debe multiplicar por 1,5.
Los nomogramas asumen conexiones de momento totalmente rígidas y por lo tanto, son utilizados
principalmente en columnas de marcos no arriostrados. Las uniones de viga-columna en marcos
arriostrados, por otro lado, son generalmente conexiones de corte, es decir, no transmiten
momento. De esta manera, para una columna rotulada en la base de un marco arriostrado, el factor
𝐺 sería 10 para ambos extremos y usando el nomograma de la Figura 6.12, se obtendría un valor de
𝐾 = 0,96, lo que es prácticamente igual al valor indicado en la Figura 6.4. Consecuentemente, en la
práctica los nomogramas se utilizan solo para marcos de momento, donde siempre se tienen valores
de 𝐾 mayores a 1,0 que se deben determinar.
En cualquiera de las dos situaciones, se debe tener cuidado al momento de determinar los factores
de longitud efectiva para cada eje de flexión de la sección, ya que se pueden dar condiciones de
arriostramiento diferentes para cada dirección. Por ejemplo, en una configuración típica de un
galpón, como la que se muestra en la Figura 6.14, la dirección longitudinal posee marcos arriostrados
y la dirección transversal, marcos rígidos. Por ende, en el caso común de utilizar secciones I para vigas
y columnas, el eje fuerte de las columnas se orienta en la dirección transversal. Así, el coeficiente 𝐾
para pandeo flexural del eje débil de la sección será 1,0 y para pandeo flexural alrededor del eje
fuerte será mayor que 1,0 y se deberá determinar por medio del nomograma para marcos de
momento.
Figura 6.14. Vista tridimensional de una estructura metálica, con arriostramiento longitudinal y marcos
transversales rígidos.
154
Cabe señalar que cuando no se cumplen las condiciones necesarias para utilizar los nomogramas, es
necesario recurrir a algún método más general. En la literatura se pueden encontrar expresiones, por
ejemplo, para columnas escalonadas de edificios industriales (Ref. 16) y para columnas de alma llena
de sección variable (Ref. 2). En general, las expresiones para el coeficiente K dependen de las
solicitaciones de momento y axial, lo que puede hacer complejo el análisis.
Por otro lado, un método más preciso y general para calcular el coeficiente de longitud efectiva es
utilizar un análisis de pandeo general del sistema estructural. En este método, K se encuentra
igualando la carga crítica en una columna, es decir, la carga en el momento que se inicia el pandeo
global del marco, con la carga de pandeo de una columna de las mismas características, biarticulada,
de largo KL. Así, K puede obtenerse para marcos irregulares, con distintos tipos de miembros, con
bastante aproximación, incluso siendo posible incorporar efectos de inelasticidad. Este tipo de
análisis es posible de realizar con programas comerciales convencionales de análisis estructural.
A modo de ejemplo, se presenta el cálculo del coeficiente K para un marco rígido de un piso. La
solución teórica para la carga crítica o de pandeo Pcr de un marco rígido con apoyos rotulados o
empotrados puede encontrarse en textos de estabilidad elástica (Ref. 35). Cuando la altura y longitud
son iguales, y las vigas y columnas poseen la misma rigidez flexural EI, la carga Pcr para cada caso se
indica en la Figura 6.15. Estos valores son sencillos de comprobar por métodos matriciales como los
utilizados en programas de análisis estructural. Igualando la carga de pandeo de una columna del
marco con apoyos rotulados con la carga de pandeo de una columna birotulada de longitud efectiva
KL, se obtiene:
1.82𝐸𝐼
𝜋 2 𝐸𝐼
𝜋2
√
=
→
𝐾
=
= 2.33
(𝐾𝐿)2
𝐿2
1.82
De manera similar, para el marco con apoyos empotrados, se obtiene K=1.16. Puede fácilmente
comprobarse que al ingresar al nomograma correspondiente (Figura 6.13) con valores teóricos de
GA=∞ para apoyo rotulado y GA=0 para apoyo empotrado, y con GB=1, se obtienen valores muy
similares.
𝑃𝑐𝑟 =
1.82𝐸𝐼
𝐿2
Figura 6.15. Carga de pandeo de marcos no arriostrados.
𝑃𝑐𝑟 =
7.38𝐸𝐼
𝐿2
155
Cabe señalar que la especificación AISC 360-10, y por ende, la norma NCh427/1, establecen en su
Capítulo C el método de Análisis Directo para el diseño por estabilidad. Este método considera la
reducción de rigidez de los componentes estructurales y la incorporación de efectos de segundo
orden globales y locales (P∆-Pδ), de manera que no se requiere establecer valores de K para las
columnas. El uso de este método es adecuado para estructuras sometidas a solicitaciones de viento
u otras cuya magnitud y sentido son fundamentalmente independientes de la respuesta dinámica de
la estructura. Por otra parte, la solicitación sísmica depende fuertemente de la respuesta dinámica
de la estructura, por lo que la reducción de rigidez de los componentes puede conducir a una
subestimación de la demanda. Luego, no se recomienda el uso del Análisis Directo en el contexto del
diseño estructural sismorresistente nacional, así como no resulta adecuado realizar el diseño a
compresión de todos los elementos considerando un factor de longitud efectiva unitario (K=1.0). Se
recomienda para la práctica nacional diseñar las columnas por medio de un análisis de primer orden,
siempre y cuando los desplazamientos laterales debido a solicitaciones sísmicas se encuentren en el
rango permitido por la normativa vigente, utilizando factores K provenientes de un análisis de pandeo
o de los nomogramas presentados en este capítulo.
156
6.8.
Ejemplos de miembros en compresión
Ejemplo 6.1
Determinar la resistencia a la compresión de la columna de sección H 250x150x43,4 mostrada en la Figura
6.16, la cual forma parte de un marco arriostrado en ambas direcciones. Considere los casos: a) Existe un
puntal intermedio que restringe el pandeo en el eje débil, 𝐿𝑦 = 3 m; b) No existe puntal intermedio 𝐿𝑦 =
6 m.
H250x150x43,4
Acero ASTM A36
𝐿𝑦 =3 m
𝑦
𝐿𝑥 =6 m
𝐿𝑦 =3 m
𝑥
Figura 6.16. Detalles para Ejemplo 6.1.
SOLUCIÓN
Dimensiones y propiedades de la sección H 250x150x43,4, obtenidas de la Tabla 2.1.1 del Manual ICHA.
𝐻 = 250 𝑚𝑚
𝐵 = 150 𝑚𝑚
𝑡𝑓 = 14 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 6 𝑚𝑚
𝐴𝑔 = 5532 𝑚𝑚2
𝑟𝑥 = 108 𝑚𝑚
𝑟𝑦 = 37,7 𝑚𝑚
Según la Figura 6.4, para una columna de un marco arriostrado, el factor de longitud efectiva es 𝐾 = 1,0.
Caso a)
Para el eje 𝑋(eje fuerte)
𝐾𝑥 𝐿𝑥 1,0 𝑥 6000
=
= 55,56
𝑟𝑥
108
Para el eje 𝑌 (eje débil)
157
𝐾𝑦 𝐿𝑦 1,0 𝑥 3000
=
= 79,58
𝑟𝑦
37,7
Ambos ejes de la columna cumplen con el criterio de esbeltez global, es decir, 𝐾𝐿⁄𝑟 ≤ 200. Ahora, se debe
utilizar el mayor valor de esbeltez para calcular la resistencia del perfil (situación más desfavorable).
Verificación del criterio de esbeltez local
4
4
𝑘𝑐 =
=
= 0,66; 0,35 < 𝑘𝑐 < 0,76
ℎ
250−2 𝑥 14
√𝑡
√
6
𝑤
La esbeltez local de ala (elemento no atiesado) de acuerdo con el caso 2 de la Tabla 6.1 es:
150
𝑏
𝑘𝑐 𝐸
0,66 𝑥 200000
= 2 = 5,36 < 𝜆𝑟 = 0,64√
= 0,64√
= 14,76
𝑡𝑓
14
𝐹𝑦
248
La esbeltez local de alma (elemento atiesado) de acuerdo con el caso 5 de la Tabla 6.1es:
ℎ
250 − 2 𝑥 14
𝐸
200000
=
= 37 < 𝜆𝑟 = 1,49√ = 1,49√
= 42,31
𝑡𝑤
6
𝐹𝑦
248
Ambos elementos tienen razón ancho espesor menor al valor límite, por lo tanto el perfil se considera no
esbelto y rige la sección E.3 de la norma NCh427/1 para calcular la resistencia a la compresión.
Resistencia a la compresión
De la Ecuación (6.4), la tensión crítica de pandeo de Euler (Ecuación E3-4 de NCh427/1) es:
𝜋 2𝐸
𝜋 2 200000
𝐹𝑒 =
=
= 311,69 𝑀𝑃𝑎
𝐾𝐿 2
(79,58)2
( )
𝑟
Límite que define si la columna presenta pandeo elástico o inelástico:
4,71√
𝐸
200000
= 4,71√
= 133,76
𝐹𝑦
248
Como 𝐾𝑦 𝐿𝑦 ⁄𝑟𝑦 = 79,58 ≤ 133,76 la tensión de pandeo por flexión 𝐹𝑐𝑟 , según la Ecuación (6.6), es:
𝐹𝑦
248
𝐹𝑐𝑟 = [0,658 𝐹𝑒 ] 𝐹𝑦 = [0,658 311,69 ] 248 = 177,75 𝑀𝑃𝑎
Finalmente, de la Ecuación (6.5), la resistencia de diseño de la columna sometida a tensiones de compresión
es:
𝜙𝑐 𝑃𝑛 = 𝜙𝑐 𝐹𝑐𝑟 𝐴𝑔 = 0,9 𝑥 177,75 𝑥 5532 = 884981,7 𝑁 = 885 𝑘𝑁
Caso b)
Para el eje X (eje fuerte)
𝐾𝑥 𝐿𝑥 1,0 𝑥 6000
=
= 55,56
𝑟𝑥
108
Para el eje 𝑌 (eje débil)
𝐾𝑦 𝐿𝑦 1,0 𝑥 6000
=
= 159,15
𝑟𝑦
37,7
Sin el puntal intermedio, la columna también cumple con el criterio de esbeltez global, es decir,
𝐾𝐿⁄𝑟 ≤ 200. Además, la sección no ha cambiado, por lo tanto, según el criterio de esbeltez local del caso
a), la columna es no esbelta.
Resistencia a la compresión
De la Ecuación (6.4), la tensión crítica de pandeo de Euler (Ecuación E3-4 de NCh427/1) es:
158
𝐹𝑒 =
𝜋 2𝐸
𝐾𝐿 2
=
𝜋 2 200000
= 77,93 𝑀𝑃𝑎
(159,15)2
( )
𝑟
Luego, como 𝐾𝑦 𝐿𝑦 ⁄𝑟𝑦 = 159,15 ≥ 133,76, la tensión de pandeo por flexión 𝐹𝑐𝑟 , según la Ecuación (6.7),
es:
𝐹𝑐𝑟 = 0,877𝐹𝑒 = 0,877 𝑥 77,93 = 68,35 𝑀𝑃𝑎
Finalmente, de la Ecuación (6.5), la resistencia de diseño de la columna sometida a tensiones de compresión
es:
𝜙𝑐 𝑃𝑛 = 𝜙𝑐 𝐹𝑐𝑟 𝐴𝑔 = 0,9 𝑥 68,35 𝑥 5532 = 340301 𝑁 = 340,3 𝑘𝑁
159
Ejemplo 6.2
Determinar la resistencia a la compresión de la columna mostrada en la Figura 6.17. La columna pertenece
a un marco no arriostrado. En su base se encuentra empotrada y en su extremo superior el giro se
encuentra restringido en ambas direcciones de flexión. Se pide además considerar el pandeo torsional.
H400x300x80,5
ASTM A572 Gr50
Acero
𝑥
𝐿 =6 m
𝑦
Figura 6.17. Detalles para Ejemplo 6.2.
SOLUCIÓN
Dimensiones y propiedades de la sección H 400x300x80,5, obtenidas de la Tabla 2.1.1 del Manual ICHA.
𝐻 = 400 𝑚𝑚
𝐵 = 300 𝑚𝑚
𝑡𝑓 = 14 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 5 𝑚𝑚
𝐴𝑔 = 10260 𝑚𝑚2
𝑟𝑥 = 181 𝑚𝑚
𝑟𝑦 = 78,4 𝑚𝑚
𝐼𝑥 = 334 𝑥 106 𝑚𝑚4
𝐼𝑦 = 63 𝑥 106 𝑚𝑚4
𝐽 = 56,5 𝑥 104 𝑚𝑚4
𝐶𝑤 = 2,347 𝑥 1012 𝑚𝑚6
El módulo de corte del acero, según la NCh427/1 es: 𝐺 = 77200 𝑀𝑃𝑎
De la Figura 6.4, caso d), el factor de longitud efectiva 𝐾 = 1,20.
Para el eje 𝑋(eje fuerte)
𝐾𝑥 𝐿𝑥 1,20 𝑥 6000
=
= 39,78
𝑟𝑥
181
Para el eje 𝑌 (eje débil)
𝐾𝑦 𝐿𝑦 1,20 𝑥 6000
=
= 91,84
𝑟𝑦
78,4
Ambos ejes de la columna cumplen con el criterio de esbeltez global, es decir, 𝐾𝐿⁄𝑟 ≤ 200.Se debe utilizar
el mayor valor de esbeltez para calcular la resistencia del perfil. En este caso, ambas longitudes no
160
arriostradas y factores 𝐾 son iguales, por lo que basta elegir el menor radio de giro para calcular la esbeltez
(situación más desfavorable).
Verificación del criterio de esbeltez local
4
4
𝑘𝑐 =
=
= 0,464; 0,35 < 𝑘𝑐 < 0,76
ℎ
400−2 𝑥 14
√
√𝑡
𝑤
5
La esbeltez local de ala (elemento no atiesado) de acuerdo con el caso 2 de la Tabla 6.1es:
300
𝑏
𝑘𝑐 𝐸
0,464 𝑥 200000
= 2 = 10,71 > 𝜆𝑟 = 0,64√
= 0,64√
= 10,49
𝑡𝑓
14
𝐹𝑦
345
La esbeltez local de alma (elemento atiesado) de acuerdo con el caso 5 de la Tabla 6.1 es:
ℎ
400 − 2 𝑥 14
𝐸
200000
=
= 74,40 > 𝜆𝑟 = 1,49√ = 1,49√
= 35,87
𝑡𝑤
5
𝐹𝑦
345
Tanto las alas como el alma de la columna se definen como elementos esbeltos, por lo tanto, rige la sección
E.7 de la norma NCh427/1para calcular la resistencia a la compresión.
Factores de reducción para elementos esbeltos
Para un miembro con elementos esbeltos se aplica el factor de reducción 𝑄 = 𝑄𝑠 𝑄𝑎 . En este caso se debe
determinar ambos factores de reducción.
Factor 𝑄𝑠 para el elemento no atiesado (ala), según caso b.ii) de la sección E.7-1:
0,64√
𝑘𝑐 𝐸
0,464 𝑥 200000
= 0,64√
= 10,49
𝐹𝑦
345
1,17√
𝑘𝑐 𝐸
0,464 𝑥 200000
= 1,17√
= 19,19
𝐹𝑦
345
10,49 <
𝑏
= 10,71 < 19,19
𝑡𝑓
𝐹𝑦
𝑏
345
𝑄𝑠 = 1,415 − 0,65 ( ) √
= 1,415 − 0,65 𝑥 10,71 𝑥 √
= 0,990
𝑡𝑓
𝑘𝑐 𝐸
0,464 𝑥 200000
Factor 𝑄𝑎 para elemento atiesado (alma), según caso a) de la sección E.7-2:
𝑓 = 𝐹𝑐𝑟 (𝑄 = 1,0)
De la Ecuación(6.4), la tensión crítica de pandeo de Euler (Ecuación E3-4 de NCh427/1) es:
𝜋 2𝐸
𝜋 2 200000
𝐹𝑒 =
=
= 234,03 𝑀𝑃𝑎
2
𝐾𝐿
(91,84)2
( )
𝑟
Límite que define si la columna presenta pandeo elástico o inelástico:
4,71√
𝐸
200000
= 4,71√
= 113,40
𝑄𝐹𝑦
1,0 𝑥 345
Como 𝐾𝑦 𝐿𝑦 ⁄𝑟𝑦 = 91,84 < 113,40 la tensión de pandeo por flexión 𝐹𝑐𝑟 (Ecuación E7-2 de NCh427/1), según
la Ecuación(6.9), es:
𝐹𝑐𝑟 = 𝑄 [0,658
𝑄𝐹𝑦
𝐹𝑒
] 𝐹𝑦 = 1,0 [0,658
1,0 𝑥 345
234,03
] 345 = 186,15 𝑀𝑃𝑎
161
Se verifica la condición para que cumpla el caso a) de la sección E.7-2:
ℎ
𝐸
200000
= 74,40 > 1,49√ = 1,49√
= 48,84
𝑡𝑤
𝐹𝑐𝑟
186,15
El ancho efectivo del alma, según la Ecuación E7-17 de la norma NCh427/1, es:
𝐸
0,34 𝐸
√ ]≤ℎ
ℎ𝑒 = 1,92𝑡𝑤 √ [1 −
(ℎ⁄𝑡𝑤 ) 𝑓
𝑓
ℎ𝑒 = 1,92 𝑥 5 𝑥√
200000
0,34
200000
√
[1 −
] ≤ 400 − 2𝑥14
186,15
(400 − 2𝑥14)⁄5 186,15
ℎ𝑒 = 267,53 ≤ 372
El área efectiva de la columna es:
𝐴𝑒 = ℎ𝑒 𝑡𝑤 + 2𝑏𝑡𝑓 = 267,56 𝑥 5 + 2 𝑥 300 𝑥 14 = 9737,8 𝑚𝑚2
𝑄𝑎 =
𝐴𝑒 9737,8
=
= 0,949
𝐴𝑔 10260
𝑄 = 𝑄𝑠 𝑄𝑎 = 0,990 𝑥 0,949 = 0,9395
Observación: De acuerdo con lo indicado en la nota de la sección E.7-2, 𝑓 puede tomarse igual a 𝐹𝑦 , para
simplificar los cálculos, lo que resulta en una estimación levemente conservadora de la capacidad. El lector
puede comprobar que el factor 𝑄𝑎 calculado considerando 𝑓 = 𝐹𝑦 es igual a 0,919, valor muy similar al
indicado en la Tabla 2.1.1 del Manual ICHA para acero con 𝐹𝑦 = 310 MPa.
Resistencia a la compresión
La tensión crítica de pandeo de Euler calculado anteriormente es:
𝐹𝑒 = 234,03 𝑀𝑃𝑎
De la EcuaciónE4-4 de la norma NCh427/1, la tensión critica de pandeo torsional o flexo-torsional es:
𝜋 2 𝐸𝐶𝑤
1
𝜋 2 𝑥 200000 𝑥 2,347𝑥1012
1
𝐹𝑒 = [
+
𝐺𝐽]
=
[
+ 77200 𝑥 56,5𝑥104 ]
(𝐾𝑧 𝐿)2
(1,0 𝑥 6000)2
(334 + 63)𝑥106
𝐼𝑥 + 𝐼𝑦
= 434,02 𝑀𝑃𝑎
Se elige el menor valor de esfuerzo crítico, por lo tanto 𝐹𝑒 = 234,03 𝑀𝑃𝑎
Límite que define si la columna presenta pandeo elástico o inelástico:
4,71√
𝐸
200000
= 4,71√
= 117
𝑄𝐹𝑦
0,9395 𝑥 345
Como 𝐾𝑦 𝐿𝑦 ⁄𝑟𝑦 = 91,84 < 117 la tensión de pandeo por flexión 𝐹𝑐𝑟 (Ecuación E7-2 de NCh427/1), según la
Ecuación(6.9), es:
𝐹𝑐𝑟 = 𝑄 [0,658
𝑄𝐹𝑦
𝐹𝑒
] 𝐹𝑦 = 0,9395 [0,658
0,9395 𝑥 345
234,03
] 345 = 181,54 𝑀𝑃𝑎
Finalmente, de la Ecuación(6.5), la resistencia de diseño de la columna sometida a tensiones de compresión
es:
𝜙𝑐 𝑃𝑛 = 𝜙𝑐 𝐹𝑐𝑟 𝐴𝑔 = 0,9 𝑥 181,54 𝑥 10260 = 1676340 𝑁 = 1676,3 𝑘𝑁
162
Ejemplo 6.3
Determine el factor de longitud efectiva de cada una de las columnas del marco rígido mostrado en la Figura
6.18. Use el nomograma de la Figura 6.13 o la Ecuación (6.12).
F
C
I
3m
E
B
H
3,5 m
A
D
3m
G
4m
Figura 6.18. Detalles para Ejemplo 6.3.
SOLUCIÓN
En la siguiente tabla se resumen las propiedades de vigas y columnas que se utilizan en el marco rígido. La
inercia se obtiene de la Tabla 2.1.1 del Manual ICHA.
Columnas
Miembro
Perfil
𝐼𝑥 (mm4)
𝐿 (mm)
AB
H200x150x35,2
34,1 x106
3500
𝐼𝑥
𝐿
9742
BC
H200x150x35,2
34,1 x106
3000
11366
DE
H200x200x66,8
62,8 x106
3500
17942
H200x200x66,8
6
3000
20933
6
EF
GH
H200x150x35,2
34,1 x10
3500
9742
HI
H200x150x35,2
34,1 x106
3000
11366
BE
H450x200x70,5
316 x106
3000
105333
H400x150x50,5
182 x10
6
3000
60666
6
4000
180250
4000
78000
CF
Vigas
62,8 x10
EH
H450x300x142,9
721 x10
FI
H400x200x79,8
312 x106
El módulo de elasticidad es el mismo para todos los elementos, 𝐸 = 200000 MPa, por lo que se puede
eliminar de la Ecuación(6.13). Factores 𝐺 para cada nudo:
163
∑ 𝐼𝑐 ⁄𝐿𝑐
∑ 𝐼𝑔 ⁄𝐿𝑔
Nudo
A
𝐺
Columna articulada
10
B
9742 + 11366
105333
0,200
C
11366
60666
0,187
D
Columna articulada
10
E
17942 + 20933
105333 + 180250
0,136
F
20933
60666 + 78000
0,151
G
Columna empotrada
1
H
9742 + 11366
180250
0,117
I
11366
78000
0,146
El factor 𝐾 para cada columna, según la Ecuación (6.12) y con la ayuda de la herramienta Solver de Excel,
es:
(𝜋⁄𝐾 )
𝐺𝐴 𝐺𝐵 (𝜋⁄𝐾 )2 − 36
−
=0
6(𝐺𝐴 + 𝐺𝐵 )
tan (𝜋⁄𝐾 )
𝐺𝐴
Columna
164
𝐺𝐵
𝐾𝑥
AB
10
0,200
1,719
BC
0,200
0,187
1,064
DE
10
0,136
1,704
EF
0,136
0,151
1,048
GH
1
0,117
1,176
HI
0,117
0,146
1,044
Ejemplo 6.4
Calcular el factor de longitud efectiva 𝐾, para las columnas AB y FG que se muestran en la Figura 6.19.
Considere para todas las columnas 𝐼𝑥 = 118,6 x 106mm4.
SOLUCIÓN
Para la columna AB, la cual se encuentra no arriostrada, 𝐺𝐴 = 10 ya que está articulada en su base. 𝐺𝐵 se
determina según la Ecuación (6.13).
𝐺𝐵 =
118,6 𝑥106 ⁄670
= 0,2937
645,0 𝑥106 ⁄1070
Del nomograma de la Figura 6.13, 𝐾 ≈ 1,8
De la Ecuación (6.12), 𝐾 = 1,74
H
E
𝐼𝑥 = 1702x 106mm4
3,65 m
D
B
I
G
𝐼𝑥 = 645x 106mm4
𝐼𝑥 = 1190x 106mm4
6,7 m
A
F
C
10,7 m
12,0 m
9,0 m
Figura 6.19. Detalles para Ejemplo 6.4.
Para la columna FG, 𝐺𝐴 = 10 debido a que su base está articulada y 𝐺𝐵 se determina según la Ecuación
(6.13). En este caso la viga GI provee arriostramiento a la columna y se incluye un factor de ajuste para
determinar el grado de empotramiento en B. Para una viga con el extremo lejano articulado, el factor es
1,5 como se indica en la Sección 0 de este texto.
𝐺𝐵 =
118,6 𝑥106 ⁄670 + 118,6 𝑥106 ⁄365
= 0,2531
(1190,0 𝑥106 ⁄900) 𝑥 1,5
Del nomograma de la Figura 6.12, 𝐾 ≈ 0,76
De la Ecuación (6.11)(6.12), 𝐾 = 0,769
165
Ejemplo 6.5
Calcular la resistencia de diseño en compresión del perfil XL 20x18.5 (laminado), el cual corresponde a un
arriostramiento con longitud de pandeo de 4 m. Considere acero calidad A36.
SOLUCIÓN
Dimensiones y propiedades de la sección XL20x18,5 obtenidas de la Tabla 2.4 del Manual de Diseño para
Ángulos Estructurales L-AZA [Ref. 36].
𝐻 = 200 𝑚𝑚
𝐵 = 200 𝑚𝑚
𝑡 = 6 𝑚𝑚
𝐴 = 23,6𝑥102 𝑚𝑚2
𝐽 = 3,23𝑥104 𝑚𝑚4
𝐶𝑤 = 128𝑥105 𝑚𝑚4
𝑟𝑢 = 38,6 𝑚𝑚
𝑟𝑣 = 47,4 𝑚𝑚, para 𝑑 = 8 𝑚𝑚
𝐼𝑢 = 352𝑥104 𝑚𝑚4
𝐼𝑣 = 422𝑥104 𝑚𝑚4
El módulo de corte del acero, según la NCh427/1 es: 𝐺 = 77200 𝑀𝑃𝑎
De la Figura 6.4, caso c), el factor de longitud efectiva 𝐾 = 1,0.
Para el eje u
𝐾𝐿 1,0 𝑥 4000
=
= 103,63
𝑟𝑢
38,6
Para el eje 𝑣
𝐾𝐿 1,0 𝑥 4000
=
= 84,39
𝑟𝑣
47,4
Ambos ejes principales de la columna cumplen con el criterio de esbeltez global, es decir, 𝐾𝐿⁄𝑟 ≤ 200.
Los miembros armados se rigen por la sección E.6 de la norma NCh427/1.
Conectores intermedios
Según la sección E.6-2, los componentes individuales de miembros en compresión compuestos de dos o
más secciones deben ser conectadas a intervalos 𝑎, de manera tal que la esbeltez efectiva de cada sección
componente no exceda 3/4 veces la esbeltez global del miembro armado. Se debe usar el radio de giro
menor para el cálculo de la esbeltez de cada componente.
𝐾𝑎 3 𝐾𝐿
≤ ( )
𝑟𝑖
4 𝑟 𝑚á𝑥
Donde 𝑟𝑖 corresponde al menor radio de giro de un ángulo simple, el cual se obtiene de la Tabla 2.2 del
mismo manual.
166
3𝑟𝑖 𝐾𝐿
( )
4𝐾 𝑟 𝑚á𝑥
3 𝑥 19,8
𝑎≤
𝑥 103,63 = 1538,9 𝑚𝑚
4 𝑥 1,0
Los conectores intermedios, que pueden ser pernos o soldadura, se deben disponer a no más de 1539 mm.
Se propone utilizar tres conectores equi-espaciados, es decir 𝑎 = 1000 𝑚𝑚. En este tipo de perfiles lo más
habitual es utilizar soldadura para los conectores intermedios
𝑎≤
Verificación del criterio de esbeltez local
La resistencia de un miembro en compresión constituido por secciones interconectadas se determina con
la sección E.6-1, la cual deriva a la sección correspondiente según la esbeltez local del perfil.
De acuerdo con el caso 3 de la Tabla 6.1 (Tabla B4.1a de la norma) se tiene:
𝑏 100
𝐸
200000
=
= 16,67 > 𝜆𝑟 = 0,45√ = 0,45√
= 12,77
𝑡
6
𝐹𝑦
248
La sección contiene sólo elementos esbeltos no atiesados, por lo tanto, la resistencia a la compresión se
determina con las expresiones de la sección E.7.
Factor de reducción para elementos esbeltos
Para un miembro con elementos esbeltos se aplica el factor de reducción 𝑄 = 𝑄𝑠 𝑄𝑎 . En este caso se debe
determinar solo 𝑄𝑠 , ya que 𝑄𝑎 = 1,0 debido a que no hay elementos atiesados.
Factor 𝑄𝑠 para el elemento no atiesado (ala), según caso c) de la sección E.7-1:
0,91√
Como
𝐸
200000
= 0,91√
= 25,84
𝐹𝑦
248
𝑏
𝑡
< 0,91√
𝐸
𝐹𝑦
, se tiene:
𝑏 𝐹𝑦
248
𝑄 = 𝑄𝑠 = 1,34 − 0,76 ( ) √ = 1,34 − 0,76 𝑥 16,67 𝑥 √
= 0,894
𝑡
𝐸
200000
Resistencia a la compresión
Modificación de la esbeltez para miembros armados con conectores intermedios soldados o con pernos
pretensionados, según caso b.ii) de la sección E.6-1.
𝑎 1000
=
= 50,5 > 40
𝑟𝑖
19,8
𝐾𝐿
𝐾𝐿 2
𝐾𝑖 𝑎 2
0,86 𝑥 1000 2
( ) = √( ) + (
) = √103,632 + (
) = 112.36
𝑟 𝑚
𝑟 𝑜
𝑟𝑖
19,8
De la Ecuación (6.4), la tensión crítica de pandeo de Euler (Ecuación E3-4 de NCh427/1) es:
𝜋 2𝐸
𝜋 2 𝑥 200000
𝐹𝑒 =
=
= 156,34 𝑀𝑃𝑎
2
𝐾𝐿
112.362
( )
𝑟
𝑚
De la Ecuación E4-4 de la norma NCh427/1, la tensión critica de pandeo torsional o flexo-torsional es:
𝜋 2 𝐸𝐶𝑤
1
𝐹𝑒 = [
+ 𝐺𝐽]
(𝐾𝑧 𝐿)2
𝐼𝑢 + 𝐼𝑣
𝜋 2 𝑥 200000 𝑥 (128𝑥105 )
1
=[
+ 77200 𝑥 (3,23𝑥104 )]
2
4
(1,0 𝑥 4000)
(352𝑥10 ) + (422𝑥104 )
= 322,37 𝑀𝑃𝑎
Se elige el menor valor de esfuerzo crítico, por lo tanto 𝐹𝑒 = 156.34𝑀𝑃𝑎
167
Límite que define si la columna presenta pandeo elástico o inelástico:
4,71√
𝐸
200000
= 4,71√
= 141,46
𝑄𝐹𝑦
0,981 𝑥 248
𝐾𝐿
Como ( ) = 112,36 < 141,46 la tensión de pandeo por flexión 𝐹𝑐𝑟 (Ecuación E7-2 de NCh427/1), según
𝑟
𝑚
la Ecuación (6.9), es:
𝑄𝐹𝑦
𝐹𝑐𝑟 = 𝑄 [0,658 𝐹𝑒 ] 𝐹𝑦 = 0,894 [0,658
0,894 𝑥 248
156,34
] 248 = 122,46 𝑀𝑃𝑎
Finalmente, de la Ecuación (6.5), la resistencia de diseño de la diagonal XL sometida a tensiones de
compresión es:
𝜙𝑐 𝑃𝑛 = 𝜙𝑐 𝐹𝑐𝑟 𝐴𝑔 = 0,9 𝑥 122,46 𝑥 (23,6𝑥102 ) = 260113 𝑁 = 260,1 𝑘𝑁
COMPARACION CON TABLAS DE DISEÑO
En la Tabla 3.2.4 del Manual de Diseño para Ángulos Estructurales L-AZA se presentan valores de carga axial
admisible de perfiles XL de acero A36, con espesor de plancha espaciadora de 8 mm. El lector puede
identificar un valor de 19.6 Ton para un largo efectivo de 4 m, el cual multiplicándolo por 1.67x0.9 para
pasar de método ASD a LRFD y luego transformándolo a kN, queda como 𝜙𝑃𝑛 =288.9 kN. Este valor es
levemente mayor al calculado en el presente ejercicio, ya que los valores tabulados consideran una
distancia entre conectores intermedios tal que la esbeltez modificada sea igual a la esbeltez del miembro
armado actuando como una unidad, según caso b.i.) de la sección E.6-1, es decir:
𝑎
𝑟𝑖
< 40 → 𝑎 < 40 𝑥 19,8 = 792 mm
En este caso, se establece por razones constructivas una distancia entre conectores 𝑎 = 500 mm. De esta
forma,
𝐾𝐿
𝐾𝐿
( ) = ( ) = 103.63
𝑟 𝑚
𝑟 𝑜
Luego se calcula el nuevo valor de esfuerzo crítico de pandeo de Euler:
𝜋 2𝐸
𝜋 2 𝑥 200000
𝐹𝑒 =
=
= 183.81 𝑀𝑃𝑎
𝐾𝐿 2
103.632
( )
𝑟
𝑚
La tensión de pandeo por flexión 𝐹𝑐𝑟 es:
𝑄𝐹𝑦
𝐹𝑐𝑟 = 𝑄 [0,658 𝐹𝑒 ] 𝐹𝑦 = 0,894 [0,658
0,894 𝑥 248
183.81
] 248 = 133,82 𝑀𝑃𝑎
Finalmente, la resistencia de diseño es:
𝜙𝑐 𝑃𝑛 = 𝜙𝑐 𝐹𝑐𝑟 𝐴𝑔 = 0,9 𝑥 133,82 𝑥 (23,6𝑥102 ) = 284241 𝑁 = 284,2 𝑘𝑁
Este valor es bastante similar al deducido de las tablas de diseño. La leve diferencia se debe a que el manual
indicado fue desarrollado utilizando las especificaciones AISC ASD-1989, y las ecuaciones de resistencia a
compresión para pandeo flexural son diferentes.
168
169
7.1.
Introducción
Una viga es un elemento estructural que se encuentra sometido a carga transversal generalmente
proveniente de cargas gravitacionales, viento o de momentos aplicados en los extremos del
elemento. Según su función, las vigas en general pueden recibir diversos nombres, tales como vigas
de piso o viguetas; costaneras (vigas que soportan planchas de techo o laterales en un galpón); vigas
maestras (las que soportan vigas de piso y descargan sobre las columnas principales); dinteles (vigas
que soportan un muro sobre aberturas de puertas o ventanas).
Al resistir la sección transversal el momento flector por medio de tensiones de tracción y de
compresión, las vigas pueden sufrir pandeo local o pandeo lateral torsional. Una vez que se
dimensiona la sección transversal de una viga para resistir los estados límites de flexión, también se
debe verificar la resistencia al corte, a cargas puntuales en caso de existir y finalmente se debe
verificar la condición de serviciabilidad.
Los perfiles más comunes utilizados como vigas son las secciones I, debido a que concentran su área
de acero en las alas, lo que otorga mayor inercia a menor peso. También es común utilizar sección
C en el caso de costaneras.
7.2.
Tensiones de flexión
Cuando una sección está sometida a un momento flector, la tensión de flexión en cualquier fibra
dentro de la sección transversal de una viga, siempre que sea menor que la tensión de fluencia
(límite elástico) y considerando que el ala en compresión está completamente soportada contra el
pandeo lateral, se puede determinar con la fórmula de flexión que se expresa a continuación:
𝑀𝑐 𝑀
(7.1)
𝑓𝑏 =
=
𝐼
𝑆
Donde:
𝑀 = Momento flexionante (N-mm)
𝑐 = Distancia desde el eje neutro hacia la fibra extrema (mm)
𝐼 = Momento de inercia (mm4)
𝑆 = Módulo de la sección (mm3)
En la ecuación anterior, el módulo de la sección 𝑆 representa el valor de 𝐼 ⁄𝑐, ambos referidos a la
geometría, lo cual es constante para una sección particular. Por lo tanto, la tensión de flexión
depende directamente del momento solicitante y como se aprecia en la Figura 7.1a, varía
linealmente desde el eje neutro hacia las fibras extremas. Esto se cumple hasta que la fibra extrema
alcanza la tensión de fluencia, punto en el cual se desarrolla el momento de fluencia 𝑀𝑦 , cuyo
diagrama se presenta en la Figura 7.1b. El momento de fluencia de una sección transversal se define
como el momento de inicio de la tensión de fluencia en las fibras extremas y se calcula como:
𝑀𝑦 = 𝐹𝑦 𝑆
(7.2)
Donde:
𝑀𝑦 = Momento de fluencia de la sección (N-mm)
𝐹𝑦 = Tensión de fluencia mínima especificada (MPa)
𝑆 = Módulo de la sección (mm3)
170
Incremento del momento hasta que toda
la sección fluya
Momento elástico
𝑓𝑏 < 𝐹𝑦
𝑥
𝑓𝑏 = 𝐹𝑦
𝐹𝑦
Momento
plástico
𝐹𝑦
𝐹𝑦
𝑥
𝑓𝑏 < 𝐹𝑦
(a)
𝑓𝑏 = 𝐹𝑦
(b)
𝐹𝑦
(c)
𝐹𝑦
𝐹𝑦
(d)
(e)
Figura 7.1. Distribución de tensiones en un miembro en flexión.
Luego, si aumenta el momento flector en la sección, las fibras que están más cerca del extremo
comienzan a fluir, aumentando la profundidad de la porción en fluencia, como se muestra en la
Figura 7.1c y d, hasta llegar a la condición en que toda la sección fluya, como en la Figura 7.1e. El
momento que produce una plastificación completa de la sección se llama momento plástico 𝑀𝑝 y
se representa por la Ecuación (7.3). Una vez que se ha alcanzado el momento plástico, la sección no
puede ofrecer resistencia adicional a la rotación, comportándose como una rótula pero con
momento constante igual a 𝑀𝑝 , es decir, cualquier momento adicional que se aplique, provoca una
rotación en la viga sin un aumento significativo de la tensión en la sección. Esta condición se conoce
como rótula plástica. Para que se desarrolle una rotula plástica la sección debe ser compacta, tal
que no ocurra pandeo local, y la viga debe tener un adecuado soporte lateral de modo que se impida
el pandeo lateral. Se debe notar que la rótula plástica se extiende sobre una porción de viga, pero
para el análisis, se supone que está concentrada sobre una sola sección.
𝑀𝑝 = 𝐹𝑦 𝑍
(7.3)
Donde:
𝑀𝑝 = Momento plástico de la sección (N-mm)
𝑍 = Módulo plástico de la sección (mm3)
En una viga estáticamente determinada, la formación de una rótula plástica hará que la estructura
sea inestable. Por ejemplo, en una viga simplemente apoyada, una rótula real en cada extremo y
una rótula plástica en el centro del vano generan una situación inestable conocida como mecanismo
de colapso. Por otro lado, en estructuras estáticamente indeterminadas puede ocurrir
redistribución de momentos cuando se carga más allá del rango elástico. En este caso, el diagrama
de momento después que se forma la rótula plástica no será proporcional al diagrama de momento
elástico.
7.3.
Módulo plástico y factor de forma
El módulo plástico, 𝑍, corresponde a la suma del momento estático de las áreas a tracción y a
compresión con respecto al eje neutro plástico, el cual puede ser distinto al eje neutro elástico
cuando la sección es asimétrica. En otras palabras, la tracción interna total debe ser igual a la
compresión interna total, y como en este estado todas las fibras están en fluencia, entonces el área
171
arriba y abajo del eje neutro plástico deben ser iguales. La siguiente expresión permite determinar
el módulo plástico de forma sencilla:
𝑍 = 𝐴 𝑇 𝑦𝑇 + 𝐴𝐶 𝑦𝐶
(7.4)
Donde:
𝐴 𝑇 = Área en tracción (mm2)
𝑦𝑇 = Distancia desde el eje neutro plástico al centroide del área en tracción (mm)
𝐴𝐶 = Área en compresión (mm2)
𝑦𝐶 = Distancia desde el eje neutro plástico al centroide del área en compresión (mm)
La razón entre el momento plástico y el momento elástico de una sección específica(𝑀𝑝 ⁄𝑀𝑦 ) o la
razón entre el módulo plástico y el módulo de la sección (𝑍⁄𝑆), se denomina factor de forma.
Usualmente este factor varía entre 1,10 y 1,25 para secciones I en torno al eje fuerte y entre 1,50 y
1,60 en el eje débil. Las secciones rectangulares por su parte tienen un factor de forma de 1,50 en
su eje fuerte. A continuación, se muestra el procedimiento para obtener el factor de forma de una
sección rectangular y una sección I.
Para una sección rectangular, el momento de inercia, medido desde el centroide es 𝐼 = 𝑏𝑑3 ⁄12 y
la distancia a la fibra más extrema es 𝑐 = 𝑑⁄2, por lo tanto 𝑆 = 𝐼 ⁄𝑐 = 𝑏𝑑2 /6. De este modo, el
momento de fluencia es 𝑀𝑦 = 𝐹𝑦 𝑏𝑑2 /6. Esto se puede corroborar a partir del par interno resistente
que se muestra en la Figura 7.2. Aquí, el momento resistente es igual a 𝐶 o 𝑇 multiplicado por el
brazo de palanca entre ellos:
𝑀𝑦 = 𝑇
𝐹𝑦 𝑏𝑑 2𝑑
𝐹𝑦 𝑏𝑑2
2𝑑
2𝑑
=𝐶
=(
)( ) =
3
3
4
3
6
𝐹𝑦
𝑑
2
𝑥
𝐶=
2
𝑑
3
𝑑
𝑑
2
𝑏
1 𝑑
𝐹 𝑏
2 𝑦2
𝑥
1 𝑑
𝑇 = 𝐹𝑦 𝑏
2 2
𝐹𝑦
Figura 7.2. Diagrama de tensiones en rango elástico de una sección rectangular.
Por otra parte, el módulo plástico 𝑍, según la Ecuación (7.4), considerando que el eje neutro plástico
es 𝑑⁄2 al igual que el eje neutro elástico, es:
𝑑 𝑑
𝑑 𝑑
𝑏𝑑2
𝑍 = (𝑏 ) ( ) + (𝑏 ) ( ) =
2 4
2 4
4
Entonces el momento plástico de la sección es 𝑀𝑝 = 𝐹𝑦 𝑏𝑑2 /4. Este resultado se verifica a partir del
par interno resistente que se muestra en la Figura 7.3, que se calcula de la misma manera, 𝑇 o 𝐶
veces el brazo de palanca entre ellos:
172
𝑀𝑝 = 𝑇
𝐹𝑦 𝑏𝑑 𝑑
𝐹𝑦 𝑏𝑑 2
𝑑
𝑑
=𝐶 =(
)( ) =
2
2
2
2
4
𝐹𝑦
𝑑
2
𝑥
𝑑
𝑏
2
𝑑
𝑥
2
𝑑
𝑇 = 𝐹𝑦 𝑏
2
𝐶 = 𝐹𝑦
𝑑
𝑑
2
𝑏
𝐹𝑦
Figura 7.3. Diagrama de tensiones en rango plástico de una sección rectangular.
𝑀
3
Finalmente, el factor de forma para una sección rectangular es 𝑀𝑝 = 2 = 1,5
𝑦
Ahora, se desarrolla un ejemplo numérico para una sección I. Se considera una sección H
300x300x197,0, donde, por simetría, el eje neutro elástico y plástico es 150 mm de una fibra
extrema. A continuación, se calcula el momento de inercia alrededor del eje fuerte 𝑥, el módulo de
la sección y el módulo plástico según la ecuación (7.4):
300 𝑥 323
32 2
25 𝑥 2363
𝐼𝑥 = [
+ 300 𝑥 32 𝑥 (118 + ) ] 𝑥 2 +
= 373777467 𝑚𝑚4
12
2
12
𝐼𝑥 373777466
=
= 2491850 𝑚𝑚3
𝑐
150
32
118
𝑍𝑥 = [300 𝑥 32 𝑥 (118 + ) + 25 𝑥 118 𝑥
] 𝑥 2 = 2920900 𝑚𝑚3
2
2
𝑆𝑥 =
Así, el factor de forma de la sección I es 1,17 en torno al eje fuerte, lo cual coincide con el rango
mencionado con anterioridad.
𝑍𝑥 2920900
=
= 1,17
𝑆𝑥 2491850
A modo de comprobación, se obtiene el momento plástico de la sección a partir del diagrama de
tensiones de la Figura 7.4 , obteniendo el mismo valor para el módulo plástico.
𝐶1 = 𝑇1 = 32 𝑥 300 𝑥 𝐹𝑦
𝐶2 = 𝑇2 = 118 𝑥 25 𝑥 𝐹𝑦
𝑀𝑝 = 𝐶1 𝑥 268 + 𝐶2 𝑥 118 = 2920900 𝑥 𝐹𝑦
173
300 mm
𝐹𝑦
32 mm
𝐶1
32 mm
𝐶2
268 mm
118 mm
𝑇2
118 mm
236 mm
300 mm
𝑥
𝑥
25 mm
118 mm
𝑇1
32 mm
𝐹𝑦
Figura 7.4. Dimensiones y distribución de esfuerzo plástico de la sección I.
7.4.
Clasificación de secciones de vigas
La resistencia de diseño de una viga a flexión se determina, en primer lugar, a partir de la
clasificación de los elementos individuales que la componen, es decir, si éstos son compactos, no
compactos o esbeltos. Los límites para la razón ancho-espesor de las partes constituyentes se
presentan en la Tabla 7.1 (Tabla B4.1b de la norma NCh427/1). Si la razón ancho-espesor es menor
que 𝜆𝑝 , el elemento es compacto. Cuando la razón es mayor que 𝜆𝑝 , pero menor que 𝜆𝑟 , es no
compacto y si es mayor que 𝜆𝑟 , el elemento se considera esbelto. Una vez que se conoce la
clasificación del elemento y luego de la sección completa, se puede aplicar la sección
correspondiente de la norma NCh427/1. Además, estos elementos también se pueden considerar
como atiesados o no atiesados. Un elemento atiesado está soportado a lo largo de ambos lados
paralelos a la dirección de la carga, mientras que uno no atiesado lo está solo en un lado paralelo a
la dirección de la carga. Ejemplos de esta última clasificación se muestran en la Figura 6.10 del
capítulo anterior.
Tabla 7.1. Razones ancho-espesor de elementos en compresión de miembros sometidos a flexión
Caso
Descripción
Razón
Límite anchoEjemplos
del elemento
Ancho
espesor
espeso 𝛌𝐩 (Compacta/ 𝛌𝐫 (Esbelto
r
/No
No compacta
esbelto)
Elementos No Atiesados
10
174
11
Flexión en alas
de perfiles I
laminados,
canales y tes.
𝑏
𝑡
0,38√
𝐸
𝐹𝑦
Alas
de
secciones
I
soldadas con
doble y simple
simetría.
𝑏
𝑡
0,38√
𝐸
𝐹𝑦
1,00√
0,95√
𝐸
𝐹𝑦
𝑘𝑐 𝐸
𝐹𝐿
12
13
14
15
16
Alas
ángulos
simples.
de
Alas de toda
doble T y canal
en torno a su
eje más débil.
Alas de tes.
Almas
de
doble
T
simétricas y
canales.
Almas
de
secciones
doble T con un
solo eje de
simetría.
𝑏
𝑡
0,54√
𝐸
𝐹𝑦
0,91√
𝐸
𝐹𝑦
𝑏
𝑡
0,38√
𝐸
𝐹𝑦
1,00√
𝐸
𝐹𝑦
𝑑
𝑡
0,84√
𝐸
𝐹𝑦
1,03√
𝐸
𝐹𝑦
ℎ
𝑡𝑤
3,76√
𝐸
𝐹𝑦
5,70√
𝐸
𝐹𝑦
ℎ𝑐
ℎ𝑐
𝑡𝑤
ℎ𝑝
(0,54
𝑀𝑝
𝑀𝑦
𝐸
√𝐹
𝑦
𝐸
2
5,70√
𝐹𝑦
− 0,09)
≤ λr
Elementos Atiesados
17
18
Alas
de
secciones
tubulares
y
secciones
cajón
de
espesor
uniforme.
Alas de sobre
planchas
y
planchas
diafragma
entre líneas de
conectores y
soldadura.
𝑏
𝑡
1,12√
𝐸
𝐹𝑦
1,40√
𝐸
𝐹𝑦
𝑏
𝑡
1,12√
𝐸
𝐹𝑦
1,40√
𝐸
𝐹𝑦
175
19
20
Almas
de
tubos
rectangulares
y
secciones
cajón.
Tubos
redondos
ℎ
𝑡
2,42√
𝐷
𝑡
0,07
𝐸
𝐹𝑦
𝐸
𝐹𝑦
5,70√
0,31
𝐸
𝐹𝑦
𝐸
𝐹𝑦
𝑘𝑐 = 4⁄√ℎ⁄𝑡𝑤 , para efectos de cálculo se debe considerar un rango de 0,35 a 0,76.
𝐹𝐿 = 0,7𝐹𝑦 , parala flexión del eje mayor en miembros de sección I compactos y no compactos, de almas
soldadas, con 𝑆𝑥𝑡 ⁄𝑆𝑥𝑐 ≥ 0,7.
𝐹𝐿 = 𝐹𝑦 𝑆𝑥𝑡 ⁄𝑆𝑥𝑐 > 0,5𝐹𝑦 , para la flexión del eje mayor en miembros de seccion I compactos y no
compactos, de almas soldadas, con 𝑆𝑥𝑡 ⁄𝑆𝑥𝑐 < 0,7.
Norma NCh427/1, Tabla B4.1b – Razones ancho-espesor: Elementos en compresión de miembros
en flexión.
7.5.
Resistencia de vigas con secciones compactas
En esta sección se presenta la resistencia a la flexión de vigas compactas con diferentes condiciones
de arriostramiento lateral, de manera que puedan o no sufrir pandeo lateral torsional. Su diseño se
rige por la sección F.2 de la norma NCh427/1. Una sección compacta se define como un perfil
suficientemente robusto tal que se desarrolle una distribución de tensiones completamente plástica
en su sección antes de pandearse.
Por otro lado, se entiende como arriostramiento lateral, un mecanismo de apoyo para las vigas que
impide su desplazamiento lateral. La distancia entre estos puntos de arriostramiento se define como
longitud no arriostrada lateralmente 𝐿𝑏 , y dependiendo de su magnitud se producen tres
comportamientos distintos en términos de resistencia. En la Figura 7.5 se muestran los momentos
resistentes nominales de una viga de acuerdo con una cierta condición de soporte lateral. La zona 1
presenta un comportamiento completamente plástico, donde el pandeo lateral torsional (PLT) no
ocurre y la viga se encuentra totalmente soportada (apoyo continuo) o a intervalos muy pequeños.
En la zona 2, se produce pandeo lateral torsional inelástico dado que se incrementa la separación
del soporte lateral, y si esta separación aumenta aún más ocurre pandeo lateral torsional elástico,
el cual se desarrolla en la zona 3. Estos modos de fallas se describen en las secciones siguientes.
176
𝑀𝑝
Zona 1
Zona 2
PLT no ocurre
𝑀𝑟
Zona 3
PLT elástico
PLT inelástico
𝐿𝑝
𝐿𝑟
Figura 7.5. Momento nominal en función de la longitud no arriostrada lateralmente del ala en compresión.
El arriostramiento lateral se debe proveer en la zona de compresión del perfil, por ejemplo, en el
ala a compresión cuando se trata de una sección I, ya que es el elemento propenso a sufrir pandeo.
El lado en compresión depende del signo del momento aplicado. Si éste es positivo, el bloque de
compresión se sitúa en la parte superior del perfil, y si es negativo, en la parte inferior, ambos con
respecto al eje neutro.
El primer elemento que restringe el movimiento lateral del ala a compresión es el ala en tracción,
ya que la tracción que se produce tiende a mantener recta el ala en compresión, sin embargo,
cuando el momento flector aumenta, la tendencia al pandeo se hace suficientemente grande y la
tracción no logra vencerla. Luego de esto, la sección se tuerce. Para evitar este fenómeno se
requiere conocer qué tipos de soporte permiten restringir el pandeo y cuáles no lo hacen
completamente.
Las vigas que se encuentran totalmente o sólo su ala en compresión embebidas en una losa de
hormigón están bien restringidas contra el pandeo lateral en toda su longitud. Si la losa de hormigón
se apoya sobre una viga de acero, como en la Figura 7.6a, en general la conexión entre ellas se
realiza mediante conectores de corte, lo que provee de un adecuado soporte lateral, y no se
considera que la fricción provea un apoyo lateral satisfactorio. En este sistema de viga con losa
colaborante se considera como condición de soporte lateral continuo.
Por otra parte, se puede proveer soporte lateral a intervalos por medio de elementos
perpendiculares, tales como vigas secundarias conectadas a una viga principal, diagonales de techo
o costaneras (Figura 7.6b, c y d). Así, 𝐿𝑏 corresponde a la distancia entre vigas adyacentes. Para que
esto sea efectivo se debe considerar que las vigas no se muevan en forma conjunta, y si lo hacen se
debe proveer arriostramiento de piso diagonal. Además, el elemento de soporte lateral debe estar
177
lo suficientemente próximo al ala comprimida, o en su defecto, se debe proveer un atiesador
apropiado.
También es frecuente encontrar situaciones dudosas, por ejemplo, vigas que soportan planchas
delgadas de acero, parrillas de piso o pisos de madera, elementos que si están adecuadamente
conectados a las vigas podrían entregar algún grado de restricción lateral. No obstante, se
recomienda en estas situaciones asumir que no hay arriostramiento lateral.
(a) estabilidad lateral completa (𝐿𝑏 = 0)
(b) estabilidad lateral parcialprovista por vigas
secundarias (𝐿𝑏 > 0)
Costanera de techo
Atiesador
Soldado o
apernado
Viga principal de
techo
Puntal
(c)
(d)
Figura 7.6. Soporte lateral para vigas (Ref.1 y 34, Figuras 6-4 y 9.2.1).
7.5.1. Comportamiento plástico (zona 1)
Cuando se provee de estabilidad lateral completa a una viga con sección compacta es posible
cargarla hasta que se alcance el momento plástico 𝑀𝑝 . Si se provee soporte lateral estrechamente
espaciado al ala en compresión, tal que la longitud sin soporte lateral 𝐿𝑏 no supere a 𝐿𝑝 , la viga
todavía es capaz de desarrollar ese momento plástico. En estos casos no se desarrolla pandeo lateral
torsional en la viga. El valor de 𝐿𝑝 (Ecuación F2-5 de la norma NCh427/1) se obtiene con la siguiente
expresión:
178
𝐸
𝐿𝑝 = 1,76𝑟𝑦 √
𝐹𝑦
(7.5)
Donde:
𝑟𝑦 = Radio de giro en el eje 𝑦 (mm)
𝐸 = Módulo de elasticidad del acero (200.000 MPa)
La resistencia nominal a la flexión de un miembro con respecto a su eje mayor y con 𝐿𝑏 ≤ 𝐿𝑝 se
representa por la siguiente expresión:
Ec. F2-1 de NCh427/1:
𝑀𝑛 = 𝑀𝑝 = 𝐹𝑦 𝑍𝑥
(7.6)
𝜙𝑏 = 0,9 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω𝑏 = 1,67 (𝐴𝑆𝐷)
Donde:
𝑍𝑥 = Módulo plástico de la sección en el eje 𝑥 (mm3)
Cuando se produzca redistribución de momentos en las vigas, 𝐿𝑝 se debe calcular de acuerdo con
las expresiones de la sección F.13-5 de la norma NCh427/1.
7.5.2 Pandeo inelástico (zona 2)
En esta zona, conforme se incrementa la longitud no arriostrada lateralmente, el momento que
resiste la viga va disminuyendo, por lo que la viga se flexiona hasta que algunas de las fibras en
compresión alcanzan la tensión de fluencia 𝐹𝑦 , pero no todas lo hacen antes que ocurra el pandeo
lateral, por lo cual no se produce una plastificación total de la sección. Este fenómeno se conoce
como pandeo inelástico. La longitud máxima para la cual aún se alcanza la fluencia es 𝐿𝑟 y se obtiene
por medio de la siguiente expresión (Ecuación F2-6 de la norma NCh427/1):
0,7𝐹𝑦 2
𝐸
𝐽𝑐
𝐽𝑐 2
√
√
𝐿𝑟 = 1,95𝑟𝑡𝑠
+ (
) + 6,76 (
)
0,7𝐹𝑦 𝑆𝑥 ℎ𝑜
𝑆𝑥 ℎ𝑜
𝐸
(7.7)
Donde:
√𝐼𝑦 𝐶𝑤
𝑆𝑥
𝑟𝑡𝑠 = √
𝑐=
ℎ𝑜 𝐼𝑦
√𝐶
2
𝑤
= Radio de giro efectivo (mm)
para canales y 𝑐 = 1 para secciones I
𝐽 = Constante torsional (mm4)
𝑆𝑥 = Módulo elástico de la sección en torno al eje 𝑥 (mm3)
ℎ𝑜 = Distancia entre los centros de gravedad de las alas de la sección (mm)
𝐼𝑦 = Momento de inercia en el eje y (mm4)
𝐶𝑤 = Constante de alabeo (mm6)
Como se dijo anteriormente, cuando se produzca un momento que haga alcanzar la fluencia en
alguna fibra, la viga se pandeará, sin embargo, la tensión que se aplica realmente es menor que 𝐹𝑦
debido a la presencia de tensiones residuales en la sección transversal. Este esfuerzo es 𝐹𝑦 −
𝐹𝑟 (donde 𝐹𝑟 es la tensión de compresión residual) y se estima que vale aproximadamente 0,7𝐹𝑦 .
179
Este término aparece en las ecuaciones de resistencia a la flexión de la norma NCh427/1 que se
reproducen en este texto.
La resistencia nominal a la flexión para un miembro con 𝐿𝑝 < 𝐿𝑏 ≤ 𝐿𝑟 se representa por la siguiente
expresión (Ec. F2-2 de NCh427/1):
𝑀𝑛 = 𝐶𝑏 [𝑀𝑝 − (𝑀𝑝 − 0,7𝐹𝑦 𝑆𝑥 ) (
𝐿𝑏 − 𝐿𝑝
)] ≤ 𝑀𝑝
𝐿𝑟 − 𝐿𝑝
(7.8)
Donde:
𝐶𝑏 =Factor de gradiente de momento
𝐿𝑏 = Longitud no arriostrada lateralmente (mm)
En la ecuación anterior, el término 0,7𝐹𝑦 𝑆𝑥 también se conoce como 𝑀𝑟 , el cual corresponde al
límite entre el pandeo inelástico y el pandeo elástico (ver Figura 7.5). Por otro lado, se utiliza el
factor 𝐶𝑏 , denominado factor de modificación de pandeo lateral-torsional, para diagramas de
momento no uniformes cuando los extremos del segmento sin soporte están arriostrados. Esto
quiere decir que la viga no estará sujeta al momento máximo en toda su longitud cuando este modo
de pandeo controle. Las ecuaciones de capacidad de momento tanto en pandeo elástico como
inelástico se dedujeron para vigas sin soporte lateral, con un 𝐶𝑏 = 1,0 en condición de curvatura
simple, pero esto normalmente no ocurre, por lo cual se debe determinar este factor con la
siguiente expresión, válida para miembros de simetría simple en curvatura sencilla y miembros de
simetría doble (Ecuación F1-1 de la norma NCh427/1):
𝐶𝑏 =
12,5𝑀𝑚á𝑥
2,5𝑀𝑚á𝑥 + 3𝑀𝐴 + 4𝑀𝐵 + 3𝑀𝐶
(7.9)
Donde:
𝑀𝑚á𝑥 =Valor absoluto del momento máximo del segmento no arriostrado
𝑀𝐴 =Valor absoluto del momento en el punto 1⁄4 del segmento no arriostrado
𝑀𝐵 =Valor absoluto Momento en el punto 1⁄2 del segmentono arriostrado
𝑀𝐶 =Valor absoluto Momento en el punto 3⁄4 del segmentono arriostrado
Para miembros con simetría simple sujetos a flexión de curvatura doble se debe verificar la
resistencia de pandeo lateral en ambas alas. Para más detalle se debe revisar la Sección F.1 de la
norma NCh427/1.
Las restricciones en los extremos y las condiciones de carga pueden afectar el pandeo lateral de una
viga, lo cual se refleja en los valores de 𝐶𝑏 . A modo de ejemplo, en la Figura 7.7 se deduce este factor
para una viga simplemente apoyada y arriostrada lateralmente en la mitad del vano para una carga
puntual (a) y para carga uniformemente distribuida (b).
En la FIgura 7.7c se muestra el desarrollo del factor para una viga empotrada sometida a una carga
uniformemente distribuida y sin arriostramiento lateral intermedio, obteniéndose un valor más
grande que los anteriores, debido al gradiente de momento. En la Figura 7.8 se entregan valores
típicos del factor 𝐶𝑏 calculados a partir de la Ecuación (7.9). Se debe notar que el símbolo ⦻
representa puntos de arriostramiento lateral de la viga.
180
𝑃
𝐿𝑏
𝐿𝑏
𝑃
2
𝐶𝑏 =
𝐿𝑏 3𝐿𝑏
2
4
𝑀𝐴 =
𝑃 𝐿𝑏 𝑃𝐿𝑏
𝑥 =
2 4
8
𝑀𝐵 =
𝑃 𝐿𝑏 𝑃𝐿𝑏
𝑥 =
2 2
4
𝑀𝐶 =
𝑃
2
𝑃𝐿𝑏
2
𝐿𝑏
4
𝑃 3𝐿𝑏 3𝑃𝐿𝑏
𝑥
=
2 4
8
12,5
𝑃𝐿𝑏
2,5
2
+3
𝑃𝐿𝑏
8
𝑃𝐿𝑏
2
+4
𝑃𝐿𝑏
4
3𝑃𝐿𝑏
+3
8
𝐶𝑏 = 1,67
(a)
𝑀𝑚á𝑥
𝑞
𝑀𝐴 =
𝑞𝐿𝑏
2
𝐿𝑏
4
𝐿𝑏 3𝐿𝑏
2 4
𝑞𝐿𝑏
𝑀𝐶 =
3𝑞𝐿𝑏
4
2
𝑀𝐵 =
𝑞𝐿2𝑏
1
𝑞𝐿2𝑏
= 𝑞𝐿𝑏 𝑥𝐿𝑏 =
2
2
𝑞𝐿𝑏 +
𝐿𝑏
𝐿𝑏
(b)
𝑃
𝐿
2 𝑏
𝑀𝑚á𝑥 =
𝑞𝐿𝑏 +
𝑞𝐿𝑏
𝐿𝑏 3𝑞𝐿2𝑏
𝑥 =
2
8
2
2
𝑞𝐿𝑏 +
𝑞𝐿𝑏
4
2
𝐿𝑏 7𝑞𝐿2𝑏
𝑥 =
4
32
𝑥
3𝐿𝑏 15𝑞𝐿2𝑏
=
4
32
12,5
𝐶𝑏 =
2,5
𝑞𝐿2𝑏
2
+3
7𝑞𝐿2𝑏
32
𝑞𝐿2𝑏
2
+4
3𝑞𝐿2𝑏
8
+3
15𝑞𝐿2𝑏
32
𝐶𝑏 = 1,30
181
𝑞
𝑀𝑚á𝑥 =
𝑞𝐿2𝑏
𝑀𝐴 = −
+
12
𝐿𝑏
𝑞𝐿𝑏
2
𝑞𝐿2𝑏
𝑀𝐵 = −
+
12
𝐿𝑏
4
𝐿𝑏
2
3𝐿𝑏
4
2
𝑞𝐿𝑏
4
𝑞𝐿𝑏
2
2,5
𝑞𝐿2𝑏
12
+3
𝑥
𝐿𝑏 𝑞𝐿2𝑏
=
4
96
+ 0 𝐿𝑏 𝑞𝐿2𝑏
𝑥
=
2
2
24
𝑞𝐿2𝑏
96
12,5
𝐶𝑏 =
𝑞𝐿2𝑏
+
2
𝑀𝐶 =
𝑞𝐿𝑏
2
𝑞𝐿2𝑏
𝑞𝐿𝑏
𝑞𝐿2𝑏
12
𝑞𝐿2𝑏
96
𝑞𝐿2𝑏
12
+4
𝑞𝐿2𝑏
24
+3
12
12
𝐶𝑏 = 2,38
(c)
Figura 7.7. Deducción del factor𝑪𝒃 para distintas condiciones de borde y carga.
𝐶𝑏 = 1,32
𝐶𝑏
= 1,67
𝐶𝑏
= 1,0
𝐶𝑏 = 1,67
𝐶𝑏
= 1,67
𝐶𝑏 = 1,30
𝐶𝑏 = 2,27
Figura 7.8. Valores de 𝑪𝒃 en vigas.
182
𝐶𝑏 = 1,14
𝐶𝑏
= 1,67
𝐶𝑏
= 1,11
𝐶𝑏
= 1,67
𝐶𝑏 = 1,14
𝐶𝑏
= 1,45
𝐶𝑏
= 1,01
𝐶𝑏
= 1,45
𝐶𝑏 = 1,92
𝐶𝑏 = 2,38
𝐶𝑏 = 2,38
𝑞𝐿2𝑏
96
7.5.3. Pandeo elástico (zona 3)
Si la longitud no arriostrada lateralmente de la viga crece aún más, tal que supere el valor de 𝐿𝑟
(Ecuación (7.7)), se produce pandeo lateral torsional elástico, lo cual implica que ninguna fibra de la
sección transversal alcanza la tensión de fluencia. A medida que aumenta 𝐿𝑏 el momento resistente
es cada vez más pequeño.
Por su parte, conforme crece el momento solicitante en la viga, ésta se flexiona alrededor de su eje
fuerte hasta un cierto momento crítico 𝑀𝑐𝑟 . Al pasar este umbral la parte en compresión de la
sección transversal se pandea lateralmente con respecto a su eje débil y luego se produce el
torcimiento de la viga con respecto a su eje longitudinal entre los puntos de soporte lateral. Por lo
tanto, el pandeo en la zona 3 ocurre combinación de flexión lateral y torsión.
La resistencia nominal a la flexión para un miembro de sección I con doble simetría y con 𝐿𝑏 > 𝐿𝑟
se representa por la siguiente expresión:
𝑀𝑛 = 𝐹𝑐𝑟 𝑆𝑥 ≤ 𝑀𝑝
Ec. F2-3 de NCh427/1:
(7.10)
Donde:
𝐹𝑐𝑟 = Esfuerzo de pandeo lateral torsional elástico (MPa)
A su vez, la tensión de pandeo lateral torsional elástico se representa por la siguiente expresión
(Ecuación F2-4 de la norma NCh427/1):
𝐹𝑐𝑟 =
𝐶𝑏 𝜋 2 𝐸
𝐿
2
(𝑟 𝑏 )
√1 + 0,078
𝐽𝑐 𝐿𝑏 2
( )
𝑆𝑥 ℎ𝑜 𝑟𝑡𝑠
(7.11)
𝑡𝑠
El desarrollo teórico de las expresiones de esfuerzo crítico de pandeo lateral torsional y de las
longitudes Lp y Lr está fuera del alcance del presente texto. El lector puede consultar diversos textos
en la literatura (por ejemplo Cap. 9 Ref. 34 y Cap. 6 Ref. 35) para profundizar estos conceptos.
7.6.
Resistencia de vigas con secciones no compactas y esbeltas
En esta sección se presentan las ecuaciones de resistencia para vigas con secciones no compactas y
esbeltas. Si bien la mayoría de los perfiles I del Manual ICHA [Ref. 22] tienen sección compacta,
también se pueden encontrar algunos con sección no compacta, principalmente por poseer alas no
compactas. En este manual no hay perfiles con almas esbeltas, incluso las secciones de mayor altura
(1000-1100 mm) con los espesores de alma menores indicados (10-12 mm) cumplen con el límite
de esbeltez para secciones compactas. No obstante, se debe tener precaución con perfiles soldados
de gran altura que se fabrican a pedido. Las secciones F.3 a la F.5 de la norma NCh427/1 contienen
las expresiones de todos los estados límites asociados a secciones no compactas y esbeltas. A
continuación se presenta la resistencia para el segundo caso más común luego de las secciones
compactas, que son la mayoría: miembro de sección I con alma compacta y alas no compacta o
esbelta. Para este caso rige la sección F3 de la norma.
183
La resistencia a la flexión debe ser el menor valor entre los estados límites de pandeo lateral
torsional (estudiado en la sección anterior) y de pandeo local del ala en compresión.
La resistencia nominal a la flexión por pandeo local del ala en compresión para secciones con alas
no compactas se representa por la siguiente expresión (Ec. F3-1 de NCh427/1):
𝑀𝑛 = [𝑀𝑝 − (𝑀𝑝 − 0,7𝐹𝑦 𝑆𝑥 ) (
𝜆 − 𝜆𝑝𝑓
)]
𝜆𝑟𝑓 − 𝜆𝑝𝑓
(7.12)
Donde:
𝑀𝑝 = Módulo plástico de la sección (mm3)
𝜆 = 𝑏𝑓 ⁄2𝑡𝑓 = Razón de esbeltez de acuerdo con la Tabla 7.1.
𝜆𝑝𝑓 , 𝜆𝑟𝑓 = Esbeltez límite para ala compacta y no compacta respectivamente de acuerdo con la
Tabla 7.1.
La resistencia nominal a la flexión por pandeo local del ala en compresión para secciones con alas
esbeltas se representa por la siguiente expresión:
Ec. F3-2 de NCh427/1:
Donde:
𝑘𝐶 =
4
√ℎ⁄𝑡𝑤
𝑀𝑛 =
0,9𝐸𝑘𝐶 𝑆𝑥
𝜆2
(7.13)
, con 0,35 < 𝑘𝐶 < 0,76
Para miembros de sección I con almas esbeltas se aplica la sección F5 de la norma. Para que el alma
de una sección sea esbelta, la viga debe ser suficientemente alta con un alma bastante delgada, lo
cual puede ser conveniente del punto de vista de ahorro de peso en el caso de vigas de grandes
luces, aunque al considerar un alma muy esbelta pueden controlar otros estados límites que se
presentan más adelante en este capítulo. En el ejemplo 7.2 se presenta la verificación de una viga
de este tipo.
7.7.
Corte en vigas
7.7.1. Resistencia en miembros con almas no atiesadas y atiesadas
En general, la tensión de corte no controla el dimensionamiento de una viga común de piso. Sin
embargo, cuando se presentan fuerzas concentradas de gran magnitud o grandes cargas en vanos
muy cortos, es posible que se presenten problemas de resistencia al corte. Se debe tener cuidado
al analizar vigas cortas o aquellas que contengan un alma esbelta, como en el caso de vigas de
puentes, ya que en perfiles I la mayor parte del corte es transmitido por el alma.
De la mecánica de materiales, la tensión de corte se representa por la siguiente expresión:
𝑉𝑄
(7.14)
𝑓𝑣 =
𝐼𝑏
Donde:
𝑓𝑣 = Tensión de corte en un punto (MPa)
𝑉 = Corte vertical en el punto en consideración de la viga (N)
𝑄 = Momento estático con respecto al eje neutro entre la fibra extrema y el punto donde se desea
calcular 𝑓𝑣 (mm3)
𝐼 = Momento de inercia alrededor del eje neutro (mm4)
𝑏 =Ancho de la sección en el punto en consideración (mm)
184
De la ecuación anterior se puede deducir que la tensión de corte en el ala es mucho más pequeña
que la tensión en el alma, debido a la variable 𝑏, lo cual se puede observar gráficamente en la Figura
7.9a. Así, es el alma el responsable de suministrar la resistencia al corte. Si se aplica un momento tal
que la fluencia por flexión llegue al alma de la viga, el área de alma capaz de resistir cortante será
cada vez menor, por lo cual, en vez de suponer que la tensión cortante nominal lo resiste una parte
del alma, se supone una distribución de esfuerzo cortante promedio en toda el área del alma 𝐴𝑤 ,
como se muestra en la Figura 7.9b.
𝑏𝑓
𝑓𝑣 = 0
𝑓𝑣 =
𝑉𝑄
𝐼𝑏
𝑡𝑓
𝑓𝑣 máximo
𝑑
Eje neutro
𝑡𝑤
(a) Variación de la tensión de corte en una sección I
𝑓𝑣 =
𝑑
𝑉
𝐴𝑤
Área de
esfuerzo de
corte
𝑡𝑤
(b) Aproximación de la tensión de cortante
Figura 7.9. Corte en una viga (Adaptado de Ref.1, Figura 6-7).
La resistencia nominal al corte en un alma sin rigidizar, donde la tensión de fluencia al corte es
aproximadamente 60% de la tensión de fluencia 𝐹𝑦 , se representa por la siguiente expresión:
Ec. G2-1 de NCh427/1:
𝑉𝑛 = 0,6𝐹𝑦 𝐴𝑤 𝐶𝑣
(7.15)
𝜙𝑣 = 0,9 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω𝑣 = 1,67 (𝐴𝑆𝐷)
185
Donde:
𝐹𝑦 = Tensión de fluencia mínima especificada (MPa)
𝐴𝑤 = 𝑑𝑡𝑤 = Área del alma (mm2)
𝐶𝑣 =Coeficiente de corte del alma
Cabe mencionar que para almas de miembros de sección I laminados, según la sección G.2-1a de la
𝐸
𝐹𝑦
norma NCh427/1, el límite de esbeltez para pandeo local del alma se define como ℎ⁄𝑡𝑤 ≤ 2,24√ .
Si este criterio se satisface, el pandeo local del alma no ocurre, por lo cual,𝜙𝑣 = 1,0 y 𝐶𝑣 = 1,0.
Para almas de todos los otros perfiles de simetría doble o simple y canales (excluyendo los tubos
circulares), de acuerdo con la sección G.2-1b de la norma NCh427/1, el coeficiente 𝐶𝑣 se define
como sigue:
Para
ℎ
𝑘𝑣 𝐸
≤ 1,10√
𝑡𝑤
𝐹𝑦
(Ec. G2-3 de NCh427/1)
𝐶𝑣 = 1,0
Para
𝑘𝑣 𝐸
ℎ
𝑘𝑣 𝐸
1,10√
≤
≤ 1,37√
𝐹𝑦
𝑡𝑤
𝐹𝑦
(7.16)
(Ec. G2-4 de NCh427/1)
𝑘 𝐸
𝐶𝑣 =
Para
ℎ
𝑘𝑣 𝐸
≥ 1,37√
𝑡𝑤
𝐹𝑦
1,10√ 𝐹𝑣
𝑦
(7.17)
ℎ
𝑡𝑤
(Ec. G2-5 de NCh427/1)
𝐶𝑣 =
1,51𝐸𝑘𝑣
(7.18)
ℎ 2
(𝑡 ) 𝐹𝑦
𝑤
El coeficiente de pandeo del alma, 𝑘𝑣 , es igual a 5 para almas sin atiesadores transversales y con
ℎ⁄𝑡𝑤 < 260 (excepto para perfiles T donde 𝑘𝑣 = 1,2). Por su parte, para almasatiesadas se
260 2
determina por medio de la Ecuación (7.19), pero 𝑘𝑣 = 5cuando 𝑎⁄ℎ > 3,0 o 𝑎⁄ℎ > [ℎ⁄𝑡 ] .
𝑤
5
𝑘𝑣 = 5 +
(𝑎⁄ℎ)2
(7.19)
Donde:
𝑎 = Distancia libre entre atiesadores transversales (mm)
ℎ =Altura del alma de la viga (mm)
En las ecuaciones anteriores el valor de ℎ depende del tipo de perfil que se utilice. Corresponde a la
distancia libre entre alas menos dos veces el filete o radio de las esquinas para perfiles laminados,
la distancia entre líneas adyacentes de pernos para perfiles armados apernados o la distancia libre
entre alas de perfiles soldados. Estas definiciones se muestran gráficamente en la Figura 7.10.
186
(a) sección laminada
(b)
sección
atornillada
compuesta (c)
sección
soldada
compuesta
Figura 7.10. Altura del alma 𝒉 según el tipo de perfil (Ref. 32, Figura 18.6).
De acuerdo con la sección G2.2 de la norma, no se requieren atiesadores transversales cuando
ℎ⁄𝑡𝑤 ≤ 2,46√𝐸 ⁄𝐹𝑦 o cuando la resistencia al corte obtenida con las ecuaciones previas para kv =
5 sea mayor a la demanda de corte. Cuando se requieran atiesadores, estos deben cumplir con el
momento de inercia indicado en la ecuación G2-7 de la norma.
No es necesario que los atiesadores intermedios estén en contacto con el ala tensionada, siempre
que no sea necesario el desarrollo de aplastamiento para traspasar las cargas concentradas o
reacciones de apoyo. La soldadura entre los atiesadores intermedios y el alma debe ser terminada
a una distancia del pie del filete entre alma y ala no menor de cuatro veces ni mayor de seis veces
el espesor del alma, como se ilustra en la Figura 7.11. Los atiesadores simples deben unirse al ala
comprimida si esta es una plancha rectangular, para resistir cualquier tendencia a levantamiento
ocasionado por torsión del ala. Para situaciones donde el atiesador sirve como plancha de conexión
para el arriostramiento lateral, la soldadura en el ala comprimida se diseña para transmitir el 1% de
la fuerza de compresión del ala. Si se usan filetes intermitentes, la distancia libre entre soldaduras
no debe ser mayor que 16 espesores del alma ni mayor que 250 mm.
187
Figura 7.11. Conexión de atiesador intermedio a ala y alma
7.7.2. Acción del campo de tracciones
De acuerdo con la sección G.3 de la norma NCh427/1, se permite el uso del campo de tensiones en
miembros con alas cuando la plancha del alma es soportada por sus cuatro lados por alas o
atiesadores, formando un panel. Esta resistencia extra es necesaria considerarla sólo para secciones
con almas muy esbeltas, propensas a sufrir pandeo por corte, donde para optimizar peso se decide
usar espesores pequeños de alma. Es el caso por ejemplo de vigas de puentes, aunque en rigor su
diseño se rige por las disposiciones AASHTO. Los paneles del alma de un miembro armado
delimitado superior e inferiormente por las alas y en cada lado por los atiesadores transversales,
son capaces de soportar bastante más carga de la correspondiente al pandeo por corte elástico del
alma. Luego de alcanzar el pandeo elástico, los desplazamientos fuera del plano del alma no son
significativos estructuralmente, ya que existen aún otros mecanismos de resistencia. Cuando los
atiesadores transversales están debidamente espaciados y son suficientemente rígidos para resistir
movimientos fuera del plano del alma post-pandeada, a medida que se sobrepasa la carga de
pandeo elástico se forma un campo de tensiones diagonal, que hace que alma actúe como un
enrejado Pratt formado por las diagonales en tracción y compresiones verticales soportadas por los
atiesadores (ver Figura 7.12). A partir de este se establece la resistencia al corte que no es
considerada por la teoría de pandeo lineal (Ref. 34).
188
Tensión
Compresión
Atiesadores
Figura 7.12. Acción del campo de tracciones en viga con atiesadores transversales (Ref. 34, Figura 11.8.2)
El requerimiento principal para el desarrollo de la acción del campo de tensiones es la capacidad de
los atiesadores de proveer suficiente rigidez flexural para estabilizar el alma. Además, los
atiesadores deben resistir compresión desde ambos lados del panel, lo cual es válido para los
paneles intermedios, sin embargo, las placas de los extremos que tienen sólo un par de atiesadores,
no pueden desarrollar esta tracción diagonal, por lo tanto, se analizan considerando un alma sin
rigidizar. Por otra parte, la resistencia adicional del campo de tensiones se reduce cuando la razón
de lados (a/h) del panel es muy grande. En especificaciones de AISC previas al 2005 se consideraba
la interacción flexión-corte cuando el alma se diseñaba usando el campo de tensiones. Sin embargo,
se ha demostrado que esta interacción es despreciable cuando se cumplen los requisitos de la
norma sobre proporciones máximas entre las alas y alma. Así, no se permite el uso del campo de
tensiones para miembros de sección I con alas relativamente pequeñas comparadas con el alma. En
base a estos conceptos, la norma no permite considerar la acción de campo de tensiones en los
siguientes casos:
(a) los paneles extremos en los miembros con atiesadores transversales
(b) cuando𝑎⁄ℎ > 3,0 o [260⁄(ℎ⁄𝑡𝑤 )]2
(c) cuando 2𝐴𝑤 ⁄(𝐴𝑓𝑐 + 𝐴𝑓𝑡 ) > 2,5
(d) cuando ℎ⁄𝑏𝑓𝑐 o ℎ⁄𝑏𝑓𝑐 > 6,0
Donde:
𝐴𝑓𝑐 = Área del ala en compresión (mm2)
𝐴𝑓𝑡 = Área del ala en tracción (mm2)
𝑏𝑓𝑐 = Ancho del ala en compresión (mm)
𝑏𝑓𝑐 = Ancho del ala en tracción (mm)
Se han desarrollado modelos analíticos validados experimentalmente para cuantificar la resistencia
del campo de tracciones (ver Comentarios Capítulo G AISC 360-10). La ecuación G3-2 de la norma,
replicada en la Ecuación (7.21) del presente texto, se basa en dicha investigación, donde su segundo
término representa el aumento relativo de resistencia a corte del panel debido a la acción del campo
de tensiones, es decir, la resistencia post-pandeo, y el primer término corresponde a la resistencia
al pandeo elástico del alma. La resistencia nominal al corte, considerando el campo de tracciones,
se representa por las siguientes expresiones de acuerdo con los límites de esbeltez respectivos:
189
Cuando
ℎ
𝑘𝑣 𝐸
≤ 1,10√
𝑡𝑤
𝐹𝑦
(Ec. G3-1 de NCh427/1)
𝑉𝑛 = 0,6𝐹𝑦 𝐴𝑤
Cuando
ℎ
𝑘𝑣 𝐸
> 1,10√
𝑡𝑤
𝐹𝑦
(7.20)
(Ec. G3-2 de NCh427/1)
𝑉𝑛 = 0,6𝐹𝑦 𝐴𝑤 (𝐶𝑣 +
1 − 𝐶𝑣
1,15√1 + (𝑎⁄ℎ)2
)
(7.21)
Finalmente, la sección G3 de la norma tiene requerimientos para los atiesadores transversales. Estos
requieren una rigidez tal que sirvan de apoyo al panel pandeado, y además deben tener un área
suficiente para resistir la reacción del campo de tensiones. Se ha comprobado en varios estudios
(ver Comentarios Capítulo G AISC 360-10) que los atiesadores transversales en vigas I diseñados
para la acción del campo de tensiones quedan solicitados predominantemente en flexión debido a
la restricción que proveen a la deflexión lateral del alma, y que el efecto de la compresión
transmitida por la placa post-pandeada es típicamente menor que el efecto de la carga lateral. Por
lo tanto, los requerimientos de área de la especificación AISC 360-05 [Ref. 8] se han sustituido por
limitaciones al momento de inercia. Las ecuaciones G3-3 y G3-4 de la norma NCh427/1 definen estas
limitaciones.
7.8.
Vigas sometidas a cargas concentradas
La sección J10 de la norma NCh427/1 establece la resistencia de alas y alma de miembros de sección
I sometidos a cargas concentradas para los siguientes estados límites: flexión local del ala, fluencia
local del alma, aplastamiento del alma, pandeo lateral del alma, pandeo del alma y corte en la zona
de panel del alma. Estas disposiciones se aplican a dos tipos de fuerzas concentradas normales a las
alas: 1) Fuerzas simples que pueden ser de tracción, como las transmitidas por un colgador, o
compresión, como las reacciones de una viga que se apoya directamente sobre un muro de
hormigón o albañilería (Figura 7.13a) o sobre otros miembros de acero (Figura 7.13b); 2) Fuerzas
dobles, una de tracción y la otra de compresión, que forman un par en el mismo lado del miembro
cargado, como las transmitidas a las alas de una columna en una conexión de momento (Figura 5.3).
190
Vista en planta
Viga de
acero
𝑏𝑓
Vista lateral
𝐵
Sección transversal
𝑡𝑝
(a) Viga sobre muro de albañilería
(b) Viga sobre otra viga
Figura 7.13. Tipos de cargas concentradas (Adaptado de Ref.1, Figura 6.21).
La flexión local del ala aplica sólo para fuerzas de tracción, la fluencia local del alma aplica a fuerzas
de tracción y compresión, y el resto de los estados límites aplican sólo para fuerzas de compresión.
Cuando la fuerza concentrada exceda la resistencia disponible determinada de acuerdo con estos
estados límites, se deben colocar atiesadores (también llamados planchas de continuidad) y/o
refuerzos para la diferencia entre la demanda y la resistencia correspondiente. Se debe evaluar si
fuera más económico elegir una sección más pesada que proveer este tipo de refuerzo. La demanda
puede determinarse del análisis estructural o también de la capacidad en tracción del elemento
soportado. Los requerimientos de detallamiento para atiesadores y planchas de refuerzo se
presentan en las secciones J10.7, J10.8 y J10.9 de la norma.
Por su parte, la placa de apoyo se debe verificar a flexión, para lo cual se definen sus dimensiones,
que se muestran gráficamente en la Figura 7.13a. 𝐵 debe ser igual o mayor al ancho del ala 𝑏𝑓 y ℓ𝑏
es usualmente como mayor o igual a 150 mm. El espesor de la placa se designa como 𝑡𝑝 . Finalmente,
se debe verificar el aplastamiento que se produce en el muro de hormigón o albañilería.
A continuación, se presenta la resistencia de cada elemento, de acuerdo con los estados límites
aplicables.
Flexión local del ala (sección J10.1):
Donde una fuerza de tracción se aplique mediante una placa soldada a través del ala (transversal al
alma de la viga), dicha ala debe ser suficientemente rígida de modo que no se deforme y ocasione
una zona de alta concentración de tensiones en la soldadura en línea con el alma. La resistencia
nominal para el estado límite de flexión local del ala se representa por la siguiente expresión:
191
Ec. J10-1 de NCh427/1:
𝑅𝑛 = 6,25𝑡𝑓2 𝐹𝑦
(7.22)
𝜙 = 0,9 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 1,67 (𝐴𝑆𝐷)
Donde:
𝑡𝑓 =Espesor del ala cargada (mm)
𝐹𝑦 = Tensión de fluencia mínima especificada (MPa)
Esta ecuación no se necesita verificar cuando la longitud de carga a través del ala del
miembro es menor que 0,15 veces el ancho de ala 𝑏𝑓 . Cuando la carga concentrada se aplica a una
distancia desde el extremo del miembro menor que 10𝑡𝑓 , se debe reducir la resistencia en un 50%.
Fluencia local del alma (sección J10.2):
Cuando una carga concentrada de tracción o compresión está más cerca del borde de la viga, la
distribución de tensiones es menor que la que se produce por una carga aplicada en el tramo
intermedio, por lo cual la resistencia a la fluencia del alma se determina para dos intervalos distintos.
Además, se asume que las tensiones tienen una distribución con una relación de 1:2,5 (ver
Comentarios Sección J10.2 Ref.12) a través del ala de la viga y el radio interno, lo cual se muestra
con líneas segmentadas en la Figura 7.14. Considerando lo anterior, la resistencia nominal a la
fluencia del alma se representa por las siguientes expresiones:
Para 𝑥 > 𝑑
𝑅𝑛 = (5𝑘 + ℓ𝑏 )𝐹𝑦 𝑡𝑤
Para 𝑥 ≤ 𝑑
𝑅𝑛 = (2,5𝑘 + ℓ𝑏 )𝐹𝑦 𝑡𝑤
𝜙 = 1 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 1,50 (𝐴𝑆𝐷)
Figura 7.14. Parámetros para la fluencia y aplastamiento del alma.
192
(Ec. J10-2 de NCh427/1)
(7.23)
(Ec. J10-3 de NCh427/1)
(7.24)
Donde:
𝑘 = Propiedad de la sección, distancia desde la cara exterior del ala hasta el pie del filete del alma
(mm)
ℓ𝑏 = Longitud de la placa de apoyo, no menor que 𝑘 para reacciones en los extremos de vigas (mm)
𝐹𝑦 = Esfuerzo de fluencia (MPa)
𝑡𝑤 = Espesor del alma de la viga (mm)
𝑑 = Altura de la viga (mm)
𝑥 = Distancia desde el extremo de la viga a la carga concentrada (mm)
Aplastamiento del alma (sección J10.3):
El aplastamiento ocurre cuando la carga concentrada de compresión provoca pandeo local en el
alma. Este fenómeno se localiza en la parte del alma adyacente al ala cargada y se puede impedir
atiesando el alma en esta área al menos la mitad de la altura de la viga. Al igual que el estado límite
de fluencia, la resistencia nominal al aplastamiento del alma se separa en intervalos y se representa
por las siguientes expresiones:
Para
𝑥≥
𝑑
2
(Ec. J10-4 de NCh427/1)
1,5
𝑅𝑛 =
Para
𝑥<
𝑑
2
y
2
0,8𝑡𝑤
[1 +
ℓ𝑏 𝑡𝑤
3( )( )
𝑑
𝑡𝑓
ℓ𝑏
≤ 0,2
𝑑
𝐸𝐹𝑦 𝑡𝑓
]√
𝑡𝑤
(Ec. J10-5a de NCh427/1)
1,5
𝑅𝑛 =
Para
𝑥<
𝑑
2
y
2
0,4𝑡𝑤
[1 +
ℓ𝑏
> 0,2
𝑑
ℓ𝑏 𝑡𝑤
3( )( )
𝑑
𝑡𝑓
𝐸𝐹𝑦 𝑡𝑓
]√
𝑡𝑤
(7.26)
(Ec. J10-5b de NCh427/1)
1,5
𝑅𝑛 =
(7.25)
2
0,4𝑡𝑤
4ℓ𝑏
𝑡𝑤
− 0,2) ( )
[1 + (
𝑑
𝑡𝑓
𝐸𝐹𝑦 𝑡𝑓
]√
𝑡𝑤
(7.27)
𝜙 = 0,75 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 2(𝐴𝑆𝐷)
Donde:
𝑡𝑓 = Espesor del ala de la viga (mm)
𝐸 = Módulo de elasticidad del acero (200.000 N/mm2)
Pandeo lateral del alma (sección J10.4):
El pandeo lateral del alma ocurre cuando una fuerza concentrada de compresión se aplica a la viga
y el movimiento lateral relativo entre el ala a compresión y el ala en tracción no se restringe en el
punto donde se localiza dicha fuerza.
La resistencia nominal por pandeo lateral del alma, de acuerdo con la condición de restricción de
giro, se representa por las siguientes expresiones:
193
Si el ala en compresión está restringida de rotar (como cuando se conecta a una losa):
Para
ℎ⁄𝑡𝑤
≤ 2,3
𝐿𝑏 ⁄𝑏𝑓
(Ec. J10-6 de NCh427/1)
3
3
𝐶𝑟 𝑡𝑤
𝑡𝑓
ℎ⁄𝑡𝑤
𝑅𝑛 =
[1 + 0,4 (
) ]
2
ℎ
𝐿𝑏 ⁄𝑏𝑓
Para
ℎ⁄𝑡𝑤
> 2,3
𝐿𝑏 ⁄𝑏𝑓
(7.28)
el pandeo lateral del alma no ocurre
Si la demanda excede la resistencia del alma, se debe proveer arriostramiento lateral en el ala
tensionada o un par de atiesadores.
Si el ala en compresión no está restringida de rotar:
ℎ⁄𝑡𝑤
≤ 1,7
Para
(Ec. J10-7 de NCh427/1)
𝐿𝑏 ⁄𝑏𝑓
3
3
𝐶𝑟 𝑡𝑤
𝑡𝑓
ℎ⁄𝑡𝑤
𝑅𝑛 =
[0,4 (
) ]
2
ℎ
𝐿𝑏 ⁄𝑏𝑓
Para
ℎ⁄𝑡𝑤
> 1,7
𝐿𝑏 ⁄𝑏𝑓
(7.29)
el pandeo lateral del alma no ocurre
𝜙 = 0,85 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 1,76 (𝐴𝑆𝐷)
Si la demanda excede la resistencia del alma, se debe proveer arriostramiento lateral en ambas alas
en el punto de aplicación de la carga.
En las ecuaciones anteriores, se aplican las siguientes definiciones:
𝐶𝑟 = 6,62 x 106MPa cuando 𝑀𝑢 < 𝑀𝑦 en la ubicación de la carga
= 3,31 x 106MPa cuando 𝑀𝑢 ≥ 𝑀𝑦 en la ubicación de la carga
𝑡𝑓 = Espesor del ala de la viga (mm)
ℎ =Altura del alma de la viga (mm), ver Figura 7.10
𝑡𝑤 = Espesor del alma de la viga (mm)
𝐿𝑏 = Longitud no arriostrada lateralmente más larga a lo largo de cualquier ala en el punto de carga
(mm)
𝑏𝑓 = Ancho del ala de la viga (mm)
𝑀𝑦 = 𝐹𝑦 𝑆𝑥
El pandeo lateral del alma se puede prevenir con un diseño apropiado de arriostramiento lateral o
atiesadores en el punto de carga. Se sugiere que el arriostramiento local en ambas alas se diseñe
para un 1% de la carga concentrada aplicada (Comentarios Sección J10.4 Ref.12). Si se usan
atiesadores, se deben extender desde el punto de la carga hasta al menos la mitad de la altura de la
viga. Además, el par de atiesadores debe diseñarse para soportar toda la carga. Los atiesadores no
son efectivos si se permite la rotación del ala cargada.
194
Finalmente, en los apoyos de vigas sobre otros elementos estructurales, se deben verificar los
siguientes estados límites:
Flexión de la placa de apoyo
La resistencia nominal a la flexión de la placa de apoyo de determina con la Ecuación (7.6):
𝑀𝑛 = 𝑀𝑝 = 𝐹𝑦 𝑍𝑥
𝜙 = 0,9 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 1,67 (𝐴𝑆𝐷)
Donde:
𝑁𝑡𝑝2
𝑍𝑥 = Módulo plástico de la placa de acero (mm3)
=
4
𝑅 𝑙2
De la Figura 7.15, se obtiene el momento máximo en la placa 𝑀𝑢 = 𝑢 . Combinado esta expresión
2𝐵
con la ecuación de resistencia por el método LRFD 𝜙𝑏 𝑀𝑛 > 𝑀𝑢 , y la Ecuación (7.6) se obtiene el
espesor mínimo que debe tener la placa para soportar las tensiones de flexión:
2𝑅𝑢 𝑙 2
𝑡𝑝 ≥ √
0,9𝐵ℓ𝑏 𝐹𝑦
(7.30)
Donde:
𝑡𝑝 = Espesor de la placa de apoyo (mm)
𝑅𝑢 = Reacción mayorada (N)
𝐵, ℓ𝑏 = Dimensiones de la placa de apoyo (mm)
𝐵−2𝑘
𝑙 = Brazo de momento para la flexión de la placa de acero (mm) = 2 1
𝑘1 = Propiedad de la sección (mm)
Figura 7.15. Parámetros para la flexión de la placa de apoyo
Aplastamiento del hormigón o albañilería (sección J.8)
La resistencia al aplastamiento del hormigón o albañilería soportante sobre el área 𝐴1 se representa
por la siguiente expresión:
𝜙𝑐𝑏 𝑃𝑝 = 𝜙𝑐𝑏 0,85𝑓𝑐′ 𝐴1
(7.31)
Si la placa de apoyo es menor que el área total del soporte de hormigón, la ecuación se modifica por
el área 𝐴2 como sigue:
195
𝐴2
𝜙𝑐𝑏 𝑃𝑝 = 𝜙𝑐𝑏 0,85𝑓𝑐′ 𝐴1 √ ≤ 1,7𝑓𝑐′ 𝐴1
𝐴1
(7.32)
Donde:
𝜙𝑐𝑏 𝑃𝑝 = Resistencia de diseño del por el método LRFD (𝜙𝑐𝑏 = 0,65, recomendado por ACI 318)
𝑓𝑐′ = Resistencia a la compresión del hormigón o albañilería (MPa)
𝐴1 = Área de acero de apoyo (mm2)= 𝐵ℓ𝑏 , ver Figura 7.16
𝐴2 = Máxima área de soporte, simétrica y concéntrica al área cargada (mm2)
= (𝐵 + 2𝑒)(ℓ𝑏 + 2𝑒), ver Figura 7.16
𝑒 = Distancia mínima del borde de la placa al borde del hormigón soportante (mm)
Figura 7.16. Parámetros A1 y A2 para aplastamiento del muro o apoyo (Adaptado de Ref.1, Figura 6-22)
7.9.
Diseño de atiesador de carga
Los atiesadores requeridos para resistir cargas concentradas de compresión, conocidos como
atiesadores de carga, se diseñan como columnas cortas, cuya sección transversal se ilustra en la
Figura 7.17. La norma NCh 427/1, en su sección J10.8, establece un factor de longitud efectiva
K=0,75 y además permite que una franja del alma se incluya en el cálculo de la resistencia a
compresión, de longitud 25tw para atiesadores interiores y de 12tw para atiesadores en el extremo
de un miembro. De acuerdo con la sección J4.4 de la norma, la resistencia nominal a compresión se
calcula como:
Para
𝐾𝐿
𝑟
≤ 25
𝑃𝑛 = 𝐹𝑦 𝐴𝑔
Cuando
𝐾𝐿
𝑟
(7.33)
𝜙 = 0,9 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 1,67 (𝐴𝑆𝐷)
> 25, se aplican las disposiciones del Capítulo E de la norma.
Los atiesadores se diseñan para resistir la diferencia entre la solicitación de compresión y la
resistencia del alma según el estado límite que controle. Los requisitos adicionales que deben
196
cumplir los atiesadores para cargas concentradas, tanto de soldadura como dimensionales, se
presentan en la sección J10.8 de la norma.
Figura 7.17. Sección transversal para diseño de atiesadores de carga.
En general, aunque la norma no lo exija, es común que los atiesadores de carga se extiendan hasta
el borde del ala. Además, se recomienda (ver sección 11.11 Ref. 34) que debido a la importancia de
𝑏
este elemento, los atiesadores no sufran pandeo local, por lo que su esbeltez se limita a 𝑡 𝑠𝑡 <
𝑠𝑡
𝐸
0,56√𝐹 ,
𝑦
que corresponde al límite 𝜆𝑟 para elementos no atiesados sometidos a compresión
uniforme (Caso 1 Tabla B4.1a de la norma).
Finalmente, aunque rara vez controle el diseño, se necesita verificar también el estado límite de
aplastamiento, de acuerdo con lo indicado en la sección J.7 de la norma, donde la resistencia al
aplastamiento está dada por:
𝑅𝑛 = 1,8𝐹𝑦 𝐴𝑝𝑏
(7.34)
𝜙 = 0,75 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 2 (𝐴𝑆𝐷)
Donde Apb es el área proyectada de apoyo (mm2)
7.10.
Serviciabilidad en vigas
Según el capítulo L de la norma NCh427/1, la serviciabilidad es un estado en el cual el
funcionamiento de un edificio, su apariencia, mantenimiento, durabilidad y comodidad de sus
ocupantes se mantienen controlados para una condición de uso normal. Las condiciones de servicio
que se consideran son: contraflecha, deflexión, desplazamiento lateral o drift, vibración,
desplazamiento de las conexiones, dilatación y contracción. El lector puede referirse a la Guía de
Diseño N°3 del AISC, Serviceability Design Considerations for Steel Building [Ref. 7] para profundizar
sobre estos conceptos aplicados en varios tipos de estructuras.
197
De acuerdo con la sección L.1 de la norma, la condición de serviciabilidad debe ser evaluada
utilizando combinaciones de carga apropiadas para los estados límites de servicio establecidos, que
son aquellas que actúan en la estructura en un instante arbitrario en el tiempo, y no son usualmente
las cargas nominales. Las consideraciones de servicio de estructuras que soportan o interactúan con
equipos industriales o instalaciones de uso especial, deben cumplir las exigencias que los
proveedores requieran para su buen desempeño. En general, no es necesario que las acciones
sísmicas de diseño se incluyan en las verificaciones de serviciabilidad en operación, ya que los límites
para estas deformaciones se incluyen en las normas respectivas.
El estado de servicio que se debe verificar comúnmente en vigas es la deflexión. Según la sección
L.3 de la norma, esta se debe limitar de modo que no se afecte la condición de servicio de la
estructura. Estas condiciones incluyen nivelación de pisos, alineamiento de miembros estructurales,
integridad de las terminaciones entre otros factores que afectan el uso y funcionamiento de la
estructura. Los límites tradicionalmente adoptados en la práctica nacional, presentados en la Tabla
7.2, provienen del International Building Code [Ref. 21]. Otros límites de deflexiones
tradicionalmente utilizados corresponden a los recomendados en la Tabla 15.3.1 del Manual ICHA
[Ref. 22].
Tabla 7.2. Deflexiones límites para vigas
Descripción del miembro
Carga
viva
Carga de nieve o
viento
Carga viva y
muerta
Vigas de techo:
Que soportan cielos de yeso
𝐿⁄360
𝐿⁄360
𝐿⁄240
Que soportan cielos no de yeso
𝐿⁄240
𝐿⁄240
𝐿⁄180
Que no soportan cielos
𝐿⁄180
𝐿⁄180
𝐿⁄120
Vigas de piso
Adaptado de Ref. 21. Table 1604.3.
𝐿⁄360
No aplica
𝐿⁄240
Por otra parte, la deflexión máxima que ocurre en la viga se determina a partir de las fórmulas de
deflexión para vigas con condiciones usuales de carga de la Tabla 7.3 , pero si se requieren otros
tipos de condiciones de carga o distintos tipos de apoyo, se puede consultar en tablas de fórmulas
y diagramas de vigas como las de la Sección 7.8 del Manual ICHA.
Finalmente, según la sección L.5 de la norma, se debe considerar el efecto de las vibraciones en la
comodidad de los ocupantes y el funcionamiento de la estructura, las que pueden provenir de cargas
peatonales, vibración de maquinarias u otras fuentes. Los límites aceptables para vibraciones de
vigas que soportan equipos rotatorios, vibratorios, de impacto y en general de toda acción dinámica
periódica, deben ser consistentes con las exigencias de los fabricantes. Como referencia, se pueden
adoptar criterios basados en límites de las velocidades o aceleraciones máximas, gráficos de
interacción entre la frecuencia de operación y los desplazamientos dinámicos, etc. Por medio de
análisis de vibraciones se deben verificar el comportamiento global de la estructura y de los
elementos que soportan directamente el equipo en cuestión.
198
Tabla 7.3. Fórmulas de corte, momento y deflexión para vigas.
Tipo de carga
Viga simplemente
apoyada
con
carga uniforme
Viga simplemente
apoyada
con
carga puntual en
la mitad del vano
Diagrama de carga
Corte máximo
𝑉=
Momento
máximo
Deflexión máxima
𝑤𝐿
2
𝑀=
𝑤𝐿2
8
𝛥=
𝑃
2
𝑀=
𝑃𝐿
4
𝛥=
𝑉=
Viga simplemente
apoyada
con
cargas puntuales
en el tercio del
vano
𝑉=𝑃
𝑀=
𝑃𝐿
3
Viga en voladizo
con
carga
uniforme
𝑉 = 𝑤𝐿
𝑀=
𝑤𝐿2
2
5𝑤𝐿4
384𝐸𝐼
𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
23𝑃𝐿3
648𝐸𝐼
𝑃𝐿3
≈
28𝐸𝐼
𝛥=
𝛥=
𝑤𝐿4
8𝐸𝐼
199
Viga en voladiza
con carga puntual
en el extremo
200
𝑉=𝑃
𝑀 = 𝑃𝐿
𝛥=
𝑃𝐿3
3𝐸𝐼
7.11.
Ejemplos de verificación y diseño de vigas
Ejemplo 7.1
Una viga simplemente apoyada de 8 m de longitud, de sección H 350x250x109,9 soporta una carga muerta
𝑤𝐷 = 12 𝑘𝑁/𝑚 y una carga viva wL = 28 𝑘𝑁/𝑚. Determine la resistencia de diseño a flexión,𝜙𝑀𝑛 ,
considerando las siguientes condiciones: a) arriostramiento lateral continuo; b) arriostramiento lateral en
la mitad del vano; y c) sin arriostramiento lateral. Verifique para todos los casos si el diseño es adecuado.
Considere acero calidad ASTM A36.
SOLUCION:
Dimensiones y propiedades de la sección se obtienen de la Tabla 2.1.1 del Manual ICHA.
𝑡𝑓 = 25 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 5 𝑚𝑚
La carga uniformemente distribuida mayorada se calcula por medio de la combinación indicada en la
sección 2.2.
𝑤𝑢 = 1,2𝑤𝐷 + 1,6𝑤𝐿 = 59,2 𝑘𝑁/𝑚
La demanda de momento es 𝑀𝑢 =
𝑤𝑢 𝐿2
8
= 473,6 kN-m
Se debe primero clasificar la sección de acuerdo con la Sección B4.1 de la norma, Tabla B4.1b. Para las alas
aplica el Caso 11 y para el alma el Caso 15.
𝑏
𝑡𝑓
=
250⁄2
25
= 5,0 < 0,38√
𝐸
𝐹𝑦
= 0,38√
200000
248
= 10,79 →Compacta
Alma atiesada
ℎ
𝑡𝑤
=
350−2𝑥25
5
= 60,0 < 3,76√
𝐸
𝐹𝑦
= 106,78 → Compacta
La sección clasifica como compacta, y se aplica la sección F.2 de la norma.
Caso (a), arriostramiento continuo.
En esta condición, 𝐿𝑏 ≈ 0 y no aplica el estado límite de pandeo lateral torsional. La resistencia a la flexión
se calcula como:
𝑀𝑛 = 𝑀𝑝 = 𝐹𝑦 𝑍𝑥 = 248 𝑥 2144𝑥103 = 531712000 𝑁 − 𝑚𝑚 = 531,7 𝑘𝑁 − 𝑚
𝜙𝑀𝑛 = 0,9𝑀𝑛 = 478,5 𝑘𝑁 − 𝑚 > 𝑀𝑢
Caso (b), 𝐿𝑏 = 4 𝑚
𝐿𝑝 = 1,76𝑟𝑦 √
𝑟𝑡𝑠 2 =
𝐸
200000
= 1,76 𝑥 68,2 𝑥 √
= 3409 𝑚𝑚
𝐹𝑦
248
𝐼𝑦 ℎ𝑜 (65,1𝑥106 ) 𝑥 (350 − 25)
=
= 5413,89 ∴ 𝑟𝑡𝑠 = 73,58 𝑚𝑚
2𝑆𝑥
2 𝑥 (1954𝑥103 )
201
𝐿𝑟 = 1,95𝑟𝑡𝑠
0,7𝐹𝑦 2
𝐸
𝐽𝑐
𝐽𝑐 2
√
+ √(
) + 6,76 (
)
0,7𝐹𝑦 𝑆𝑥 ℎ𝑜
𝑆𝑥 ℎ𝑜
𝐸
2
(262𝑥104 ) 𝑥 1
(262𝑥104 ) 𝑥 1
200000
0,7 𝑥 248 2
√
√
= 1,95 𝑥 73,58 𝑥
+ (
) + 6,76 (
)
(1954𝑥103 ) 𝑥 325
0,7 𝑥 248 (1954𝑥103 ) 𝑥 325
200000
= 15531 𝑚𝑚
De la Figura 7.8, 𝐶𝑏 = 1,3
𝑀𝑛 = 𝐶𝑏 [𝑀𝑝 − (𝑀𝑝 − 0,7𝐹𝑦 𝑆𝑥 ) (
𝐿𝑏 − 𝐿𝑝
)] ≤ 𝑀𝑝
𝐿𝑟 − 𝐿𝑝
4000 − 3409
𝑀𝑛 = 1,30 [531712000 − (531712000 − 0,7 𝑥 248 𝑥 (1954𝑥103 )) (
)]
15531 − 3409
≤ 531712 𝑥103
𝑀𝑛 = 679024980𝑁 − 𝑚𝑚 = 679 𝑘𝑁 − 𝑚 > 531,7 𝑘𝑁 − 𝑚
𝑀𝑛 = 𝑀𝑝 = 531,7 𝑘𝑁 − 𝑚 → 𝜙𝑀𝑛 = 478,5 𝑘𝑁 − 𝑚 > 𝑀𝑢
Caso (c), 𝐿𝑏 = 8 𝑚
De la Figura 7.8, 𝐶𝑏 = 1,14
𝑀𝑛 = 𝐶𝑏 [𝑀𝑝 − (𝑀𝑝 − 0,7𝐹𝑦 𝑆𝑥 ) (
𝐿𝑏 − 𝐿𝑝
)] ≤ 𝑀𝑝
𝐿𝑟 − 𝐿𝑝
8000 − 3409
𝑀𝑛 = 1,14 [531712000 − (531712000 − 0,7 𝑥 248 𝑥 (1954𝑥103 )) (
)] ≤ 531712000
15531 − 3409
𝑀𝑛 = 522996923 𝑁 − 𝑚𝑚 = 523,0 𝑘𝑁 − 𝑚 < 531,7 𝑘𝑁 − 𝑚
𝜙𝑀𝑛 = 470,7 𝑘𝑁 − 𝑚 < 𝑀𝑢
Se concluye que para el caso de arriostramiento lateral continuo y en la mitad del vano la resistencia es
adecuada. Sin embargo, si la viga no tuviera apoyo lateral en toda su longitud, su resistencia es menor a la
solicitación.
Finalmente se debe verificar la deflexión ante carga viva y la combinación de servicio de carga muerta y
viva.
𝛥𝐿 =
𝛥𝐷+𝐿 =
5𝑤𝐿 𝐿4
5 𝑥 28 𝑥 80004
𝐿
8000
=
= 21,8 𝑚𝑚 <
=
= 22,2 𝑚𝑚 𝑂𝐾
6
384𝐸𝐼
384 𝑥 200000 𝑥 342𝑥 10
360
360
5𝑤𝐷+𝐿 𝐿4
5 𝑥 40 𝑥 80004
𝐿
8000
=
= 31,2 𝑚𝑚 <
=
= 33,3 𝑚𝑚 𝑂𝐾
6
384𝐸𝐼
384 𝑥 200000 𝑥 342𝑥 10
240
240
Verificación de resistencia al corte:
𝑤 𝐿
La demanda de corte es 𝑉𝑢 = 𝑢 = 236,8 kN/m
2
Se aplica la sección G2.1b) de la norma por ser una sección con simetría doble y soldada.
ℎ
300
=
= 60
𝑡𝑤
5
202
Para almas sin atiesadores y
Como
ℎ
𝑡𝑤
𝑘𝑣 𝐸
< 1,10√
𝐹𝑦
ℎ
𝑡𝑤
< 260, 𝑘𝑣 = 5
= 69,85 , 𝐶𝑣 = 1
Según la sección G1 de la norma, 𝜙𝑣 = 0,9. La capacidad se calcula con la ecuación G2-1.
𝜙𝑣 𝑉𝑛 = 𝜙𝑣 0,6𝐹𝑦 𝐴𝑤 𝐶𝑣 = 0,9 𝑥 0,6 𝑥 248 𝑥 350 𝑥 5 𝑥 1 = 234,36 𝑘𝑁 < 𝑉𝑢 = 236,8 𝑘𝑁
La resistencia de corte del perfil es menor que el corte en el apoyo. La solución sería aumentar localmente
el espesor del el alma de la viga por medio de planchas de refuerzo o fabricándola con un espesor de alma
mayor (6mm) sólo en la cercanía del apoyo, lo que podría encarecer los costos de fabricación. Es importante
notar entonces los problemas que se pueden generar al realizar diseños muy optimizados del punto de
vista de peso de la estructura.
203
Ejemplo 7.2
Verificar si la viga de la figura, de sección I 1500x500x45x8, resiste las solicitaciones indicadas tanto en
flexión como en corte. El acero es de calidad ASTM A572 Gr50. En los apoyos y puntos de carga se provee
arriostramiento lateral al ala comprimida. Diseñar, si fuera necesario, los atiesadores del alma.
P
P
P
q
6m
6m
6m
6m
Figura 7.18. Viga ejemplo 7.2.
𝑞𝐿 = 40
𝑘𝑁
𝑚
; 𝑞𝐷 = 20
𝑘𝑁
𝑚
(incluye peso propio de la viga); 𝑃𝐷 = 300𝑘𝑁
𝑃𝑢 = 1,2𝑥300 = 360𝑘𝑁
𝑞𝑢 = 1,2𝑥20 + 1,6𝑥40 = 88
𝑘𝑁
𝑚
Fy=345 MPa, Fu=448 MPa
SOLUCION
Los diagramas de corte y momento para cargas mayoradas se calculan por estática de vigas, y se presentan
en la siguiente figura:
204
Corte (kN)
Momento (kN-m)
Figura 7.19. Diagrama de corte y momento mayorados
Se indican en el diagrama de momento los valores en los cuartos del vano arriostrado interior.
H=1500mm, B=500mm, tf=45mm, tw=8 mm
Propiedades requeridas de la sección:
ℎ = 1500 − 2𝑥45 = 1410 𝑚𝑚
ℎ𝑜 = 1500 − 45 = 1455 𝑚𝑚
𝐴 = 56280 𝑚𝑚2
𝐵 𝑥 𝑡𝑓 3
𝑡𝑤 𝑥 ℎ3
𝐻 𝑡𝑓 2
𝐼𝑥 =
+[
+ 𝐵𝑥 𝑡𝑓 𝑥 ( − ) ] 𝑥 2 = 25692939000 𝑚𝑚4
12
12
2 2
3
3
𝑡𝑓 𝑥 B
h 𝑥 𝑡𝑤
𝐼𝑦 =
+2
= 937560160 𝑚𝑚4
12
12
𝑆𝑥 =
𝐼𝑥 25692939000
=
= 34257252 𝑚𝑚3
𝑐
1500⁄2
1
𝐽 ≈ (2𝐵𝑡𝑓 3 + ℎ𝑡𝑤 3 ) = 30615640 𝑚𝑚4
3
Utilizando las fórmulas exactas para rectángulos de razón de lados finita, se puede comprobar que un valor
más preciso para la constante torsional es:
𝐽 = 28892517 𝑚𝑚4
ℎ𝑜 2
𝐶𝑤 = 𝐼𝑦
= 4,9621 𝑥 1014 𝑚𝑚4
4
205
Clasificación de la sección:
𝑏
𝑡𝑓
=
500⁄2
45
= 5,56 < 0,38√
𝐸
𝐹𝑦
= 0,38√
200000
345
= 9,15 →Compacta
Alma atiesada
ℎ
𝑡𝑤
=
1500−2𝑥45
8
= 176,25 > 5,7√
𝐸
𝐹𝑦
= 137,24 →Esbelta
Al ser el alma esbelta, aplica la sección F.5 de la norma.
Estado límite fluencia del ala en compresión:
ℎ 𝑡
1410𝑥8
𝑎𝑤 = 𝑐 𝑤 =
= 0,501 (según Ecuación F4-12 de la norma)
𝑏𝑓𝑐 𝑡𝑓𝑐
𝑅𝑝𝑔 = 1 −
𝑅𝑝𝑔 = 1 −
500𝑥45
𝑎𝑤
1200+300𝑎𝑤
(
ℎ𝑐
𝑡𝑤
𝐸
− 5,7√ ) ≤ 1,0 (según Ecuación F5-6 de la norma)
𝐹𝑦
0,501
1410
200000
(
− 5,7√
) = 0,986
1200 + 300𝑥0,501
8
345
𝑀𝑛 = 𝑅𝑝𝑔 𝐹𝑦 𝑆𝑥𝑐 = 0,986 𝑥 345 𝑥 34257252 = 11647,6 𝑘𝑁 − 𝑚
Estado límite pandeo lateral torsional:
𝐿𝑏 = 6000 𝑚𝑚
Según Ecuación F4-11 de la norma,
𝑏𝑓𝑐
500
𝑟𝑡 =
=
ℎ
1
ℎ2
1455
1
√12 ( 𝑜 + 𝑎𝑤
) √12 (
+ 𝑥 0,501 𝑥
𝑑
6
ℎ 𝑑
𝑜
1500
6
14102
1455𝑥1500
= 141,12 𝑚𝑚
)
𝑟𝑡 también se puede aproximar conservadoramente para secciones I por medio de la ecuación indicada en
la nota de la sección F4.2.
Lp se define por la ecuación F4-7.
𝐿𝑝 = 1,1𝑟𝑡 √
𝐸
200000
= 1,1 𝑥 141,12 𝑥 √
= 3737,55 𝑚𝑚
𝐹𝑦
345
Lr se define por la ecuación F5-5.
𝐿𝑟 = 𝜋𝑟𝑡 √
𝐸
200000
= 𝜋 𝑥 141,12 𝑥 √
= 12758,36 𝑚𝑚
0,7𝐹𝑦
0,7𝑥345
Como Lp < Lb =6000 mm < Lr , aplica la Ecuación F5-3 de la norma)
𝐶𝑏 =
12,5𝑀𝑚á𝑥
2,5𝑀𝑚á𝑥 + 3𝑀𝐴 + 4𝑀𝐵 + 3𝑀𝐶
𝐶𝑏 =
12,5 𝑥 10656
= 1,081
2,5 𝑥 10656 + 3 𝑥 8955 + 4 𝑥 9720 + 3 𝑥 10287
𝐹𝑐𝑟 = 𝐶𝑏 [𝐹𝑦 − (0,3𝐹𝑦 ) (
𝐿𝑏 − 𝐿𝑝
)] ≤ 𝐹𝑦
𝐿𝑟 − 𝐿𝑝
6000 − 3737,55
𝐹𝑐𝑟 = 1,08 [345 − (0,3 𝑥 345) (
)] = 344,81 𝑀𝑃𝑎 ≤ 345 𝑀𝑃𝑎
12758,36 − 3737,55
𝑀𝑛 = 𝑅𝑝𝑔 𝐹𝑐𝑟 𝑆𝑥𝑐 = 0,986 𝑥 344,81 𝑥 34257252 = 11641,2 𝑘𝑁 − 𝑚
206
Estado límite pandeo local del ala en compresión:
No aplica este estado limite porque el ala es compacta (Sección F5.3 de la norma)
Estado límite fluencia del ala en tracción:
No aplica este estado limite ya que 𝑆𝑥𝑡 = 𝑆𝑥𝑐 (Sección F5.4 de la norma)
Finalmente,
𝜙𝑏 𝑀𝑛 = 0,9 𝑥 11641,2 = 10477,0 𝑘𝑁 − 𝑚 ≈ 𝑀𝑢 = 10656 𝑘𝑁 − 𝑚
Si bien la capacidad es apenas menor que la máxima solicitación, se acepta el diseño.
Diseño al corte
Se aplica la sección G2.1b) de la norma por ser una sección con simetría doble y soldada. El coeficiente 𝐶𝑣
se calcula como sigue:
ℎ
Para almas sin atiesadores y < 260, 𝑘𝑣 = 5
𝑡𝑤
ℎ
= 176,25
𝑡𝑤
1,10√
𝑘𝑣 𝐸
5 𝑥 200000
= 1,10√
= 59,22
𝐹𝑦
345
1,37√
𝑘𝑣 𝐸
5 𝑥 200000
= 1,37√
= 73,76
𝐹𝑦
345
Como
𝐶𝑣 =
ℎ
𝑘𝑣 𝐸
> 1,37√
𝑡𝑤
1,51𝑘𝑣 𝐸
(
ℎ 2
) 𝐹𝑦
𝑡𝑤
=
,
𝐹𝑦
1,51 𝑥 5 𝑥 200000
176,32 𝑥 345
= 0,141 (Ecuación G2-5 de la norma)
Según la sección G1 de la norma, 𝜙𝑣 = 0,9. La capacidad se calcula con la ecuación G2-1.
𝜙𝑣 𝑉𝑛 = 𝜙𝑣 0,6𝐹𝑦 𝐴𝑤 𝐶𝑣 = 0,9 𝑥 0,6 𝑥 345 𝑥 1500 𝑥 8 𝑥 0,141 = 315,0 𝑘𝑁 < 𝑉𝑢 = 1596 𝑘𝑁
Como la resistencia de diseño es menor que el corte en el apoyo, se requieren atiesadores. Según la sección
G3 de la norma, para este caso no se puede considerar la resistencia del campo de tensiones (post-pandeo).
Por lo tanto, se debe determinar la distancia a desde el extremo al primer atiesador de manera de kv
calculado con la ecuación G2-6 aumente y también lo haga Cv.
[
260 2
260 2
] =[
] = 2,176
ℎ⁄𝑡𝑤
176,3
Para el primer panel con 𝑉𝑢 = 1596𝑘𝑁, probar con 𝑎 = 600 𝑚𝑚
𝑎
600
=
= 0,426
ℎ 1410
𝑘𝑣 = 5 +
1,10√
5
5
=5+
= 32,61
2
(𝑎⁄ℎ )
0,4962
𝑘𝑣 𝐸
32,61 𝑥 200000
= 1,10√
= 151,25
𝐹𝑦
345
207
1,37√
𝑘𝑣 𝐸
32,61 𝑥 200000
= 1,37√
= 188,37
𝐹𝑦
345
𝑘 𝐸
1,10√ 𝑣
𝐹𝑦
𝐶𝑣 =
ℎ
𝑡𝑤
1,10√
=
32,61 𝑥 200000
345
176,25
= 0,858
(Ecuación G2-4 de la norma)
𝜙𝑣 𝑉𝑛 = 𝜙𝑣 0,6𝐹𝑦 𝐴𝑤 𝐶𝑣 = 0,9 𝑥 0,6 𝑥 345 𝑥 1500 𝑥 8 𝑥 0,858 = 1918,5 𝑘𝑁 > 𝑉𝑢 = 1596 𝑘𝑁
 Colocar primer atiesador a 600 mm del apoyo. El lector puede comprobar que si se aumenta levemente
esta distancia, por ejemplo a 700 mm, la resistencia no sería suficiente.
Para el segundo panel, 𝑎 = 1500 𝑚𝑚, y se calcula el corte al comienzo del panel (ver Figura 7.20).
𝑉𝑢 = 1596 − 88𝑥0,6 = 1543,2 𝑘𝑁
Ahora se puede considerar la resistencia del campo de tensiones, según la sección G3.2 de la norma.
𝑎 1500
=
= 1,064
ℎ 1410
5
5
𝑘𝑣 = 5 +
=5+
= 9,42
2
(𝑎⁄ℎ )
1,0642
1,10√
𝑘𝑣 𝐸
9,42 𝑥 200000
= 1,10√
= 81,28
𝐹𝑦
345
1,37√
𝑘𝑣 𝐸
9,42 𝑥 200000
= 1,37√
= 101,23
𝐹𝑦
345
Como
𝐶𝑣 =
ℎ
𝑘𝑣 𝐸
> 1,37√
𝑡𝑤
1,51𝑘𝑣 𝐸
2
ℎ
=
( ) 𝐹𝑦
𝐹𝑦
,
1,51 𝑥 9,42 𝑥 200000
= 0,265
176,32 𝑥 345
𝑡𝑤
Como
ℎ
𝑡𝑤
𝑘𝑣 𝐸
> 1,1√
𝐹𝑦
,
𝜙𝑣 𝑉𝑛 = 𝜙𝑣 0,6𝐹𝑦 𝐴𝑤 (𝐶𝑣 +
1−𝐶𝑣
1,15√1+(𝑎 ⁄ℎ )2
)(Ecuación G3-2 de la norma)
𝜙𝑣 𝑉𝑛 = 0,9 𝑥 0,6 𝑥 345 𝑥 1500 𝑥 8 𝑥 (0,265 +
1 − 0,265
1,15√1 + (1,064)2
) = 1571,4 𝑘𝑁 > 𝑉𝑢
Finalmente se propone para verificación mediante el mismo procedimiento la siguiente distribución de
atiesadores. Se debe notar que los atiesadores requeridos para aumentar la resistencia al corte del alma se
ubican de tal manera que además queden bajo los puntos de aplicación de las cargas puntuales en el vano.
600
1500
1800
2100
3000
3000
3000
Figura 7.20. Distribución de atiesadores (distancias en mm).
208
3000
2100
1800
1500 600
En la siguiente tabla se resumen los resultados de la verificación:
Sección
1
2
3
4
5
6
x (mm)
0
600
2100
3900
6000
9000
𝑉𝑢 (𝑘𝑁)
1596
1543,2
1411,2
1252,8
708
444
a (mm)
600
1500
1800
2100
3000
3000
𝜙𝑣 𝑉𝑛 (𝑘𝑁)
2054,5
1571,4
1434,5
1319,1
1069,2
1069,2
Diseño de atiesador en el apoyo
Para los atiesadores, se puede utilizar un acero de menor resistencia que el utilizado en la viga, por ejemplo
acero ASTM A36.
Según sección J10.8 de la norma, el ancho mínimo del atiesador es:
𝑏𝑏 𝑡𝑤 500 8
𝑏𝑠𝑡_𝑚𝑖𝑛 ≥
−
=
− = 162,7 𝑚𝑚
3
2
3
2
Sin embargo, se recomienda (ver sección 11.14 Ref. 34) que los atiesadores se extiendan hasta el borde del
ala. De esta forma, el ancho del atiesador se establece como :
𝑏 −𝑡
500−8
𝑏𝑠𝑡 = 𝑏 𝑤 =
= 246 𝑚𝑚 → Usar 𝑏𝑠𝑡 = 240 𝑚𝑚
2
2
El espesor mínimo la según sección J10.8 de la norma es:
𝑡𝑠𝑡_𝑚𝑖𝑛 ≥
𝑏𝑠𝑡 240
=
= 15 𝑚𝑚
16
16
Además, para prevenir pandeo local, el espesor mínimo es:
𝑡𝑠𝑡 >
𝑏𝑠𝑡
0,56√
𝐸
𝐹𝑦𝑠𝑡
=
240
0,56√
=
200000
240
= 15,1 𝑚𝑚
15,9
248
→ Usar 𝑡𝑠𝑡 = 16 𝑚𝑚
Se debe notar que el requerimiento de la sección J10.8 de la norma relativo a la mitad del espesor del ala,
se relaciona con atiesadores para conexiones de momento, por lo tanto, en este contexto no se refiere al
ala de la viga apoyada (ver sección 11.14 Ref. 34).
Se propone entonces inicialmente la siguiente sección transversal del atiesador, lo que se verifica a
continuación.
tst=16 mm
488 mm
tw=8
12tw=96
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
12𝑡𝑤2
+ 2(𝑡𝑠𝑡 𝑏𝑠𝑡 ) = 8448 𝑚𝑚
2
209
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝑟=√
16 𝑥4883 (96 − 16) 𝑥83
+
= 154955776 𝑚𝑚4
12
12
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
= 135,4 𝑚𝑚
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Según la sección J4.4 de la NCh427/1
𝐾𝐿 0,75ℎ 0,75 𝑥 1410
=
=
= 7,8 < 25
𝑟
𝑟
135,4
𝜙𝑐 𝑃𝑛 = 𝜙𝑐 𝐹𝑦 𝐴𝑠𝑡 = 0,9 𝑥 248 𝑥 8448 = 1885,6 𝑘𝑁 > 𝑅𝑢 = 1596 𝑘𝑁
Cabe señalar que usualmente en vigas de almas esbeltas se diseña el atiesador para resistir toda la carga
en el apoyo. En este caso, al ser la resistencia del atiesador mayor que la reacción de apoyo, no fue
necesario calcular la resistencia del alma según los estados límites correspondientes.
Se chequea también la resistencia al aplastamiento según la sección J7 de la norma. En este caso, Apb
corresponde al área de los atiesadores.
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙1,8𝐹𝑦 𝐴𝑝𝑏 = 0,75 𝑥 1,8 𝑥 248 𝑥 480 𝑥 16 = 2571,3 𝑘𝑁 > 𝑅𝑢
Finalmente se debe determinar la soldadura requerida en el atiesador. Se considera electrodo E70XX. El
tamaño mínimo de soldadura de filete que se permite, de acuerdo con la Tabla 4.7, considerando el espesor
más pequeño entre el alma (8 mm) y atiesador (16 mm), es 5 mm, y el tamaño máximo es 8 – 2 = 6 mm.
Por lo tanto, se elige un tamaño de filete de soldadura de 5 mm.
Luego se verifica el espesor mínimo del alma para dicho filete de soldadura, por medio de la ecuación
(4.24).
𝑡𝑚𝑖𝑛 =
√2𝐹EXX 𝑤𝑓
𝐹u
=
√2𝑥 482 𝑥 5
448
= 7,6 𝑚𝑚 < 8 𝑚𝑚 OK
El largo total de soldadura requerido se obtiene re-ordenando la Ecuación (4.18), donde la resistencia que
se desea proveer es igual a 𝑃u .
𝐿𝑚𝑖𝑛 =
𝑃u
=
1596000
= 2081 𝑚𝑚
√2
√2
𝜙0,60𝐹𝐸70 𝑤𝑓 0,75 𝑥 0,6 𝑥 482 𝑥
𝑥5
2
2
El largo total de soldadura disponible, considerando que van soldados en toda su altura, corresponde al
alto del alma multiplicado por cuatro filetes (dos atiesadores soldados a cada lado), lo que da 5640 mm. Se
comprueba que la soldadura resiste con holgura la solicitación.
Diseño de atiesadores intermedios
De acuerdo con la Sección G3.3 de la norma, los atiesadores sometidos a la acción del campo de tensiones
deben cumplir los requerimientos de la sección G2.2 más las limitaciones de las ecuaciones G3-3 y G3-4.
Para el primer atiesador intermedio, es decir, el ubicado a 600 mm del apoyo, a=1500 mm. Luego,
𝑏 = 𝑚𝑖𝑛{𝑎, ℎ} = 𝑚𝑖𝑛{1500,1410} = 1410 𝑚𝑚
2,5
𝑗=
− 2 ≥ 0,5
(𝑎⁄ℎ)2
2,5
𝑗 = max {
− 2 ; 0,5} = max{0,209 ; 0,5} = 0,5
0,4962
3
𝐼𝑠𝑡_𝑟𝑒𝑞 ≥ 𝑏𝑡𝑤 𝑗 = 1410 𝑥 83 𝑥 0,5 = 360960 𝑚𝑚4 (Ecuación G2-7 de la norma)
210
𝐼𝑠𝑡_𝑟𝑒𝑞 ≥ 𝐼𝑠𝑡1 + (𝐼𝑠𝑡2 − 𝐼𝑠𝑡1 ) [
𝑉𝑟 −𝑉𝑐1
𝑉𝑐2 −𝑉𝑐1
] (Ecuación G3-3 de la norma)
Donde los términos de la ecuación se definen en la sección G3.3 de la norma.
𝐼𝑠𝑡1 = 360960 𝑚𝑚4
1.3 𝐹
1.5
ℎ4 𝜌𝑠𝑡
𝑦𝑤
𝐼𝑠𝑡2 =
( )
40
𝐸
𝑉𝑟 = 1543,2 𝑘𝑁
345 1.3
=
14104 (248)
40
(
345 1.5
𝐸
)
= 10873710 𝑚𝑚4 (Ecuación G3-5 de la norma)
𝑉𝑐1 corresponde a la resistencia al corte considerando el efecto del atiesador pero no el campo de
tensiones, según la ecuación G2-1 de la norma. Se procede de manera similar a la verificación realizada
previamente de capacidad de corte en el apoyo. En este caso, a=1500 mm.
𝑎
=
260 2
1500
= 1,064 < [ ⁄ ] = 2,176 y
ℎ 𝑡𝑤
5
𝑘𝑣 = 5 +
= 9,418
(𝑎⁄ℎ )2
ℎ
1410
𝑘𝑣 𝐸
1,10√
𝐶𝑣 =
𝐹𝑦
𝑘𝑣 𝐸
= 81,28 ; 1,37√
1,51𝑘𝑣 𝐸
ℎ
2
=
( ) 𝐹𝑦
𝐹𝑦
𝑎
ℎ
= 101,23 ;
<3
ℎ
𝑡𝑤
= 176,25
1,51 𝑥 32,61 𝑥 200000
= 0,265
176,32 𝑥 345
𝑡𝑤
𝑉𝑐1 = 𝜙𝑣 0,6𝐹𝑦 𝐴𝑤 𝐶𝑣 = 593,3 𝑘𝑁
𝑉𝑐2 corresponde a la resistencia al corte en el segundo panel considerando el efecto del campo de
tensiones, según la ecuación G3-2 de la norma. Este valor ya fue calculado previamente.
𝑉𝑐2 = 1571,4 𝑘𝑁
𝐼𝑠𝑡_𝑟𝑒𝑞 ≥ 360960 + (10873710 − 360960) [
1543,2 − 593,3
] = 10570448 𝑚𝑚4
1571,4 − 593,3
Probar con par de atiesadores de 10 mm de espesor y 130 mm de ancho.
𝐼𝑝𝑟𝑜𝑣 =
10 𝑥2683
12
= 16040693 𝑚𝑚4 > 𝐼𝑠𝑡_𝑟𝑒𝑞 → OK
(𝑏⁄𝑡)𝑠𝑡 ≤ 0,56√
𝐸
𝐹𝑦𝑠𝑡
(Ecuación G3-3 de la norma)
0,56√
𝐸
200000
= 0,56√
= 15,9
𝐹𝑦𝑠𝑡
248
(𝑏⁄𝑡)𝑠𝑡 = (130⁄10) = 13 → OK
De la misma forma se procede para diseñar el resto de los atiesadores intermedios. Asumiendo que se
mantiene el mismo atiesador intermedio previamente diseñado, se debe verificar también si es aceptable
como atiesador de carga para las fuerzas concentradas. Para esto, se calcula la capacidad axial de la sección
cruz formada por el atiesador y un ancho efectivo de alma igual a 25t w. Los cálculos se presentan a
continuación:
211
tst=10 mm
268 mm
tw=8 mm
25tw=200 mm
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 25𝑡𝑤2 + 2(𝑡𝑠𝑡 𝑏𝑠𝑡 ) = 4200 𝑚𝑚2
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝑟=√
10 𝑥2683 (200 − 10) 𝑥83
+
= 16048800 𝑚𝑚4
12
12
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
= 61,8 𝑚𝑚
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝐾𝐿 0,75ℎ 0,75 𝑥 1410
=
=
= 17,1 < 25
𝑟
𝑟
61,8
𝜙𝑐 𝑃𝑛 = 𝜙𝑐 𝐹𝑦 𝐴𝑠𝑡 = 0,9 𝑥 248 𝑥 4200 = 937,4 𝑘𝑁 > 𝑃𝑢 = 360 𝑘𝑁
Al ser la resistencia del atiesador mayor que la carga puntual mayorada, no es necesario calcular la
resistencia del alma.
212
Ejemplo 7.3
Diseñar a flexión la viga de piso de la Figura 7.21. Utilizar acero ASTM A572 Gr. 50, perfiles soldados de la
serie H del Manual ICHA, y de preferencia elegir una sección de alas y alma compacta. Verificar deflexión y
corte. Considerar los siguientes casos:
a) Soporte lateral en los extremos y puntos de aplicación de cargas
b) Soporte lateral sólo en los extremos
P
P
q
3,8 m
4,5 m
4,5 m
Figura 7.21. Viga ejemplo 7.3.
𝑞𝐿 = 17,5
𝑘𝑁
𝑚
; 𝑞𝐷 = 7,3
𝑘𝑁
𝑚
(incluye peso propio de la viga); 𝑃𝐷 = 𝑃𝐿 = 54 𝑘𝑁
SOLUCION:
𝑃𝑢 = 54 𝑥 (1,2 + 1,6) = 151,2 𝑘𝑁
𝑘𝑁
𝑚
𝑞𝑢 𝐿2
𝑀𝑢 =
+ 𝑃𝑢 𝑥 4,5 = 1433,245 kN-m
𝑞𝑢 = 1,2𝑥7,3 + 1,6𝑥17,5 = 36,76
8
Caso a)
Se puede asumir en principio, como Lb es pequeño, que la sección puede desarrollar M p, considerando
además que es una sección compacta. En ese caso,
𝜙𝑀𝑛 = 𝜙𝑀𝑝 = 0,9𝐹𝑦 𝑍𝑥 ≥ 𝑀𝑝
1433,245 𝑥 106
𝑍𝑥 ≥
= 4616𝑥 103 𝑚𝑚3
0,9 𝑥 345
Por otro lado, el momento de inercia de la sección debe ser suficiente para satisfacer los requisitos de
serviciabilidad. La deflexión máxima se puede calcular como la suma de la contribución de la carga
distribuida y las cargas puntuales. En la Tabla 7.3 se entrega una expresión para la deflexión debido a cargas
puntuales iguales en los tercios de la luz. Como primera aproximación se puede ocupar esta fórmula,
considerando que por estar las cargas más cercanas entre sí, el valor real de desplazamiento debiera ser
levemente mayor.
𝛥𝑚𝑎𝑥 ≅
𝛥𝐿 =
5𝑤𝐿 𝐿4
𝑃𝐿3
+
384𝐸𝐼 28𝐸𝐼
5 𝑥 17,5 𝑥 128004 54000 𝑥 128003 12800
+
<
= 35,6 𝑚𝑚
384 𝑥 200000 𝑥 𝐼 28 𝑥 200000 𝑥 𝐼
360
→ 𝐼 > 1428,92 𝑥 106 𝑚𝑚4
213
𝛥𝐷+𝐿 =
5 𝑥 24,8 𝑥 128004 128000 𝑥 128003 12800
+
<
= 53,3 𝑚𝑚
384 𝑥 200000 𝑥 𝐼
28 𝑥 200000 𝑥 𝐼
240
→ 𝐼 > 1570,99 𝑥 106 𝑚𝑚4
Se escoge inicialmente la sección H 700x300x135,6 de la Tabla 2.1.1 del Manual ICHA. Las propiedades
resistentes de la sección en el presente ejemplo se calculan mediante una planilla de cálculo, por lo que se
pueden observar algunas diferencias mínimas en sus valores con respecto a los tabulados.
𝑡𝑓 = 20 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 8 𝑚𝑚
𝑍𝑥 = 4951200 𝑚𝑚3
𝐼𝑥 = 1579264000 𝑚𝑚4
𝑟𝑦 = 72,2 𝑚𝑚
ℎ𝑜 = 680 𝑚𝑚
𝑆𝑥 = 4512183 𝑚𝑚3
𝐽 = 1712640 𝑚𝑚4
Se debe primero clasificar la sección de acuerdo con la Tabla B4.1b de la norma. Para las alas aplica el Caso
11 y para el alma el Caso 15.
𝑏
𝑡𝑓
ℎ
𝑡𝑤
=
=
300⁄2
20
= 7,5 < 0,38√
700−2𝑥20
8
𝐸
𝐹𝑦
= 9,149 → Ala compacta
= 82,5 < 3,76√
𝐸
𝐹𝑦
= 90,53 → Alma compacta
La sección clasifica como compacta, y se aplica la sección F.2 de la norma.
𝑀𝑝 = 𝐹𝑦 𝑍𝑥 = 1708,164 𝑘𝑁 − 𝑚
𝐿𝑏 = 3800 𝑚𝑚
𝐿𝑝 = 1,76𝑟𝑦 √
𝑟𝑡𝑠 = √
𝐸
= 3058,7 𝑚𝑚
𝐹𝑦
𝐼𝑦 ℎ𝑜
= 82,36 𝑚𝑚
2𝑆𝑥
𝐿𝑟 = 1,95𝑟𝑡𝑠
0,7𝐹𝑦 2
𝐸
𝐽𝑐
𝐽𝑐 2
√
+ √(
) + 6,76 (
) = 8141,8 𝑚𝑚
0,7𝐹𝑦 𝑆𝑥 ℎ𝑜
𝑆𝑥 ℎ𝑜
𝐸
De la Figura 7.8, 𝐶𝑏 = 1,14 tanto para carga uniformemente distribuida como para cargas puntuales iguales
en los tercios del vano. Como una aproximación levemente conservadora, se puede utilizar este valor, ya
que al estar las cargas más cercanas, el gradiente de momento y el coeficiente Cb debido a cargas puntuales
serán levemente mayores a 1,14.
Se escoge una sección mayor que en el caso anterior, procurando tener un mayor ancho de ala lo que
permite disminuir Lr. Probar con sección H 700x400x197,8:
𝑀𝑛 = 𝐶𝑏 [𝑀𝑝 − (𝑀𝑝 − 0,7𝐹𝑦 𝑆𝑥 ) (
214
𝐿𝑏 − 𝐿𝑝
)] ≤ 𝑀𝑝
𝐿𝑟 − 𝐿𝑝
𝑀𝑛 = 1617,97 𝑘𝑁 − 𝑚 < 1708,16 𝑘𝑁 − 𝑚
𝜙𝑀𝑛 = 1456,17 𝑘𝑁 − 𝑚 > 𝑀𝑢 OK
Caso b)
𝐿𝑏 = 12800 𝑚
De la Figura 7.8, 𝐶𝑏 = 1,14 tanto para carga uniformemente distribuida como para cargas puntuales iguales
en los tercios del vano. Como una aproximación levemente conservadora, se puede utilizar este valor, ya
que al estar las cargas más cercanas, el gradiente de momento y el coeficiente Cb debido a cargas puntuales
serán levemente mayores a 1,14.
Se escoge una sección mayor que en el caso anterior, procurando tener un mayor ancho de ala lo que
permite disminuir Lr. Probar con sección H 700x400x197,8:
𝑡𝑓 = 25 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 8 𝑚𝑚
𝑍𝑥 = 7595000 𝑚𝑚3
𝐼𝑥 = 2462250000 𝑚𝑚4
𝑟𝑦 = 102,9 𝑚𝑚
ℎ𝑜 = 675 𝑚𝑚
𝑆𝑥 = 7035000 𝑚𝑚3
𝐽 = 4277600 𝑚𝑚4
𝑏
𝑡𝑓
ℎ
𝑡𝑤
=
=
400⁄2
25
= 8 < 0,38√
𝐸
𝐹𝑦
700−2𝑥25
8
= 9,149 → Ala compacta
= 81,25 < 3,76√
𝐸
𝐹𝑦
= 90,53 → Alma compacta
La sección clasifica como compacta, y se aplica la sección F.2 de la norma.
𝑀𝑝 = 𝐹𝑦 𝑍𝑥 = 2620,275 𝑘𝑁 − 𝑚
𝐿𝑝 = 1,76𝑟𝑦 √
𝑟𝑡𝑠 = √
𝐸
= 4359,4 𝑚𝑚
𝐹𝑦
𝐼𝑦 ℎ𝑜
= 113,11 𝑚𝑚
2𝑆𝑥
𝐿𝑟 = 1,95𝑟𝑡𝑠
0,7𝐹𝑦 2
𝐸
𝐽𝑐
𝐽𝑐 2
√
+ √(
) + 6,76 (
) = 11791,5 𝑚𝑚
0,7𝐹𝑦 𝑆𝑥 ℎ𝑜
𝑆𝑥 ℎ𝑜
𝐸
La resistencia nominal se calcula por medio de las ecuaciones F2-3 y F2-4 de la norma.
𝐹𝑐𝑟 =
𝐶𝑏 𝜋 2 𝐸
𝐿
( 𝑏)
2
√1 + 0,078
𝐽𝑐 𝐿𝑏 2
( ) = 242,207 𝑀𝑃𝑎
𝑆𝑥 ℎ𝑜 𝑟𝑡𝑠
𝑟𝑡𝑠
𝑀𝑛 = 𝐹𝑐𝑟 𝑆𝑥 = 1703,93 𝑘𝑁 − 𝑚 ≤ 𝑀𝑝
𝜙𝑀𝑛 = 1533,53 𝑘𝑁 − 𝑚 > 𝑀𝑢 OK
215
Como el momento de inercia de esta sección es mayor que el de la viga de la parte (a), no es necesario
volver a verificar la serviciabilidad. Por otra parte, la verificación de corte de ambas vigas es muy similar, ya
que ambas poseen el mismo espesor del alma. Se muestra a continuación el cálculo de resistencia al corte
de la viga del caso (a).
La demanda de corte es 𝑉𝑢 =
ℎ
= 82,5
𝑡𝑤
Para almas sin atiesadores y
Como
𝐶𝑣 =
ℎ
𝑡𝑤
1,51𝐸𝑘𝑣
(
𝑘𝑣 𝐸
> 1,37√
ℎ 2
) 𝐹𝑦
𝑡𝑤
𝐹𝑦
𝑞𝑢 𝐿
2
ℎ
𝑡𝑤
+ 𝑃𝑢 = 386,46 𝑘𝑁
< 260, 𝑘𝑣 = 5
= 73,76 , Cv se calcula por medio de la ecuación G2-5 de la norma.
=0,643
𝜙𝑣 𝑉𝑛 = 𝜙𝑣 0,6𝐹𝑦 𝐴𝑤 𝐶𝑣 = 0,9 𝑥 0,6 𝑥 345 𝑥 700 𝑥 8 𝑥 0,643 = 670,89 𝑘𝑁 > 𝑉𝑢 OK
216
Ejemplo 7.4
Para la viga de la figura, de hacero ASTM A992, se pide determinar:
a) La resistencia de diseño bajo la carga puntual Pu por fluencia local del alma, aplastamiento del alma y
pandeo lateral del alma.
b) La resistencia de diseño en el apoyo por fluencia local del alma y aplastamiento del alma.
1800 mm
Pu
300 mm
200 mm
H 700x300x108,1
Ru
Figura 7.22. Viga ejemplo 7.3.
SOLUCION
Dimensiones de la Tabla 2.1.1 Manual ICHA
tf = 14mm ; tw = 8 mm
h = 700 – 2x14 = 672 mm
k = s + tf = 19 mm (s corresponde al filete de soldadura indicado en la última columna de la tabla referida)
Parte a)
Fluencia local del alma
x=1800 mm > d=700mm → Ecuación J10-2 de la norma
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙(5𝑘 + ℓ𝑏 )𝐹𝑦 𝑡𝑤 = 1,0 𝑥(5𝑥19 + 300)𝑥345𝑥8 = 1090,2 𝑘𝑁
Aplastamiento del alma
x=1800 mm > d/2 =350mm → Ecuación J10-4 de la norma
1,5
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙0,8𝑡𝑤2 [1 + 3 (
𝐸𝐹𝑦 𝑡𝑓
ℓ𝑏 𝑡𝑤
)( ) ]√
𝑑
𝑡𝑓
𝑡𝑤
300 8 1,5 200000𝑥345𝑥14
𝜙𝑤𝑐 𝑅𝑛 = 0,75 𝑥 0,8 𝑥82 [1 + 3 (
)( ) ]√
= 656,3 𝑘𝑁
700 14
8
Pandeo lateral del alma. Se asumen los siguientes datos para este ejemplo:
𝑀𝑢 < 𝑀𝑦 en la ubicación de la carga
Lb = 12 m
217
ℎ⁄𝑡𝑤
672⁄8
=
= 2,1 ≤ 2,3
𝐿𝑏 ⁄𝑏𝑓 12000⁄300
𝐶𝑟 = 6,62𝑥106
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙
3𝑡
𝐶𝑟 𝑡𝑤
𝑓
ℎ2
𝜙𝑅𝑛 = 0,85 𝑥
[1 + 0,4 (
ℎ ⁄𝑡𝑤
𝐿𝑏 ⁄ 𝑏𝑓
3
) ] (Ecuación J10-6 de la norma)
6,62𝑥106 𝑥83 𝑥14
[1 + 0,4(2,1)3 ] = 420,2 𝑘𝑁
6722
Parte b)
Por ser carga en el extremo de la viga, se puede considerar 𝑥 < 𝑑 y 𝑥 < 𝑑 ⁄2 .
Fluencia local del alma
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙(2,5𝑘 + ℓ𝑏 )𝐹𝑦 𝑡𝑤 = 1,0 𝑥 (2,5 𝑥 19 + 200)𝑥345𝑥8 = 683,1 𝑘𝑁
Aplastamiento del alma
ℓ𝑏
200
=
= 0,286> 0,2
𝑑
700
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙0,4𝑡𝑤2 [1 + (
4ℓ𝑏
𝑑
𝑡
1,5
− 0,2) ( 𝑤) ] √
𝑡𝑓
𝐸𝐹𝑦 𝑡𝑓
𝑡𝑤
(Ecuación J10-5b de la norma)
4 𝑥 200
8 1,5 200000𝑥345𝑥25
𝜙𝑅𝑛 = 0,75 𝑥 0,4𝑥 82 [1 + (
− 0,2) ( ) ] √
= 296,9 𝑘𝑁
300
25
8
218
Ejemplo 7.5
Determinar si el diseño del apoyo de la viga de la figura es adecuado. La viga es de acero ASTM A992 y la
placa de apoyo de acero ASM A36. El hormigón tiene una resistencia f’ c=25 MPa.
130 mm
PL 130x220x12
H 200x150x30,6
Ru =110 kN
Figura 7.23. Viga ejemplo 7.5.
SOLUCION
Dimensiones de la Tabla 2.1.1 Manual ICHA
tf = 10mm ; tw = 5 mm
h = 200 – 2x10 = 180 mm
k = s + tf = 14 mm
Dimensiones de la placa: 𝐵 = 220 𝑚𝑚 , ℓ𝑏 = 130 𝑚𝑚
Por ser carga en el extremo de la viga, se puede considerar 𝑥 < 𝑑 y 𝑥 < 𝑑 ⁄2 .
Fluencia local del alma
𝜙𝑅𝑛 = 𝜙(2,5𝑘 + ℓ𝑏 )𝐹𝑦 𝑡𝑤 = 1,0 𝑥(2,5 𝑥 14 + 130)𝑥345𝑥5 = 284,6 𝑘𝑁 > 𝑅𝑢 OK
Aplastamiento del alma
ℓ𝑏
130
=
= 0,65> 0,2
𝑑
200
1,5
𝜙𝑅𝑛 =
𝜙𝑅𝑛 = 0,75 𝑥 0,4𝑥52 [1 + (
4 𝑥 130
200
𝜙0,4𝑡𝑤2
𝐸𝐹𝑦 𝑡𝑓
4ℓ𝑏
𝑡𝑤
[1 + (
− 0,2) ( ) ] √
𝑑
𝑡𝑓
𝑡𝑤
5 1,5
200000𝑥345𝑥10
− 0,2) ( ) ] √
10
5
= 162,9 𝑘𝑁 > 𝑅𝑢 OK
Aplastamiento en el hormigón
𝜙𝑃𝑝 = 𝜙0,85𝑓𝑐′ 𝐴1 = 0,65 𝑥 0,85 𝑥 25 𝑥(130 𝑥 220) = 395,0 𝑘𝑁 > 𝑅𝑢 OK
Flexión en la placa de apoyo
𝑘1 = 𝑠 +
𝑡𝑤
= 4 + 2,5 = 6,5
2
219
𝑙=
𝐵 − 2𝑘1 220 − 2𝑥6,5
=
= 103,5 𝑚𝑚
2
2
𝑡𝑝 ≥ √
2𝑅𝑢 𝑙 2
2𝑥110000 𝑥 103,52
=√
= 16,3 𝑚𝑚 < 12 𝑚𝑚
0,9𝐵ℓ𝑏 𝐹𝑦
0,9𝑥220𝑥130𝑥345
Se debe aumentar el espesor de placa de apoyo a 18 mm.
220
221
8.1.
Introducción
Se conoce por construcción compuesta a un sistema de elementos estructurales de acero y
hormigón armado que trabajan en conjunto para resistir las solicitaciones aplicadas a una
estructura. Debido a las múltiples ventajas que presenta este tipo de construcción, su uso ha
aumentado en el último tiempo, siendo aplicada en la construcción de edificios, plataformas de
estructuras industriales y puentes.
En la construcción de edificios de acero esta metodología se utiliza en los sistemas de piso,
específicamente en el diseño de vigas de acero y losas de hormigón armado, ya que esta
combinación puede llegar a soportar hasta un tercio más que la carga que soportan los elementos
trabajando por sí solos.
Los pisos compuestos aprovechan las características del hormigón para resistir tensiones de
compresión, de manera que toda o gran parte de la losa trabaje bajo esta condición, al mismo
tiempo que las vigas trabajen en tracción, comportamiento idóneo de las estructuras de acero.
Las secciones compuestas presentan mayor resistencia y rigidez, así como también menores
deflexiones, lo que permite que la altura de la sección de acero disminuya y por consiguiente se
tengan menores espesores de piso, menor carga hacia las columnas y ahorro en el recubrimiento
de la estructura contra el fuego.
La conexión entre los materiales es fundamental para que se produzca la acción compuesta, por lo
que en este capítulo también se estudia el dimensionamiento de los conectores de corte.
8.2.
Sistemas de piso
Existen diferentes configuraciones de pisos compuestos, en los que las vigas de acero pueden estar
o no embebidas en el hormigón; en el caso que no estén embebidas se debe disponer de conectores
de corte. La configuración de la Figura 8.1a se utiliza con frecuencia en la construcción de edificios
de acero. En este sistema la losa de hormigón armado descansa sobre el perfil de acero, pero
además es soportada por una placa acanalada de acero, la que sirve de moldaje para el hormigón
fresco y proporciona resistencia al sistema de piso. Otro ejemplo se muestra en la Figura 8.1b, en
donde la losa de hormigón armado actúa sin la placa acanalada de acero. Por su simplicidad este
sistema se usa comúnmente en la construcción de puentes. Un último caso se observa en la Figura
8.1c, en el cual la viga de acero queda completamente embebida en el hormigón y la transferencia
de la fuerza cortante se realiza por la adherencia y fricción entre los materiales. En este caso se
brinda además una mayor protección contra el fuego a la estructura de acero.
222
a) Viga con placa acanalada b) Losa colada directamente c) Viga embebida
de acero
sobre la viga
Figura 8.1. Tipos de vigas compuestas.
Placa acanalada de acero
Losa de hormigón armado
Viga secundaria
Malla electrosoldada
Viga principal
Figura 8.2. Sistema de piso compuesto.
En un sistema de piso compuesto típico de edificios, las vigas secundarias descansan en las vigas
principales, formando un entramado de vigas en el que se apoya el piso propiamente tal, que suele
ser de hormigón colado in situ sobre una placa colaborante de acero, como se observa en el
esquema de la Figura 8.2. Para brindar mayor resistencia al sistema entrepiso se dispone una malla
electrosoldada en la losa de hormigón. El peso de todo el sistema estructural se transmite hacia las
columnas del edificio por medio de las vigas principales.
8.3.
Acción compuesta
Cuando el sistema de piso no compuesto se carga verticalmente, la fibra inferior de la losa se
tensiona y por lo tanto se alarga, mientras que la fibra superior de la viga se comprime, acortándose,
lo que genera una discontinuidad en el plano de contacto, como se observa en la Figura 8.3
(izquierda). Como la fricción entre la losa y la viga se desprecia, sólo las fuerzas verticales internas
actúan entre ellas.
La acción compuesta se desarrolla cuando la losa y viga se conectan íntegramente, de manera que
se deformen como una sola unidad, como se observa en la Figura 8.3 (derecha). La acción
compuesta puede ser parcial o completa, lo que depende de cuánto se asegure la variación lineal
223
de la deformación (hipótesis de Bernoulli) desde la fibra superior de la losa hasta la fibra inferior de
la sección de acero. Cuando la losa y viga actúan como un elemento compuesto se generan
tensiones de corte horizontales (esfuerzos de Jourawski) que comprimen la superficie inferior de la
losa y alargan la parte superior de la viga, de manera que desaparece el desplazamiento relativo
entre ellas.
Figura 8.3. Viga en acción no compuesta (izquierda) y en acción compuesta (derecha).
8.4.
Resistencia nominal de secciones compuestas
De acuerdo con el Capítulo I.1.2 de la norma NCh427/1 la resistencia nominal de secciones
compuestas debe estimarse de acuerdo con el método de distribución de tensiones plásticas o al
método de compatibilidad de deformaciones.
El método de distribución de tensiones plásticas consiste en el cálculo de la capacidad plástica de la
sección considerando que toda la sección de acero alcanza la tensión de fluencia 𝐹𝑦 y que el bloque
rectangular de compresión del hormigón es igual a 0,85𝑓𝑐′ .
En el método de compatibilidad de deformaciones se debe suponer una distribución lineal de las
deformaciones en la sección, con una deformación unitaria máxima del hormigón en compresión
de 0,003.
8.5.
Ancho efectivo
El ancho de losa efectivo en la sección compuesta es función del largo de la viga 𝐿, y del
espaciamiento entre vigas adyacentes, 𝑆. La sección I.3.1a de la norma indica que el cálculo se
realiza sumando los anchos efectivos a cada lado del eje longitudinal de la viga, los cuales no deben
exceder:
1.- Un octavo del vano de la viga, medido entre centros de los apoyos
2.- La mitad de la distancia entre ejes de vigas adyacentes
3.- La distancia del eje longitudinal de la viga al borde de la losa (en el caso de una viga de borde)
En la Figura 8.4 y Figura 8.5 se muestra el ancho efectivo de la losa para el caso de una viga
intermedia y una viga de borde, respectivamente.
224
𝐿⁄8 ó 𝑆1 ⁄2
𝐿⁄8 ó 𝑆2 ⁄2
𝑆2
𝑆1
Figura 8.4. Ancho efectivo en viga intermedia.
𝑏𝑒𝑓𝑓
𝐿⁄8 ó 𝑆1 ⁄2
𝑆1
𝐿⁄8 ó 𝐸𝑠
𝐸𝑠
Figura 8.5. Ancho efectivo en viga de borde.
Cabe destacar que incluso si se considera un ancho colaborante menor al indicado en la norma, su
efecto es muy favorable tanto para reducir tensiones, especialmente de compresión, como para
incrementar la inercia de las vigas.
8.6.
Espesor de la losa
Al determinar las propiedades de la sección compuesta, particularmente el espesor de la losa, se
debe evaluar la condición de apoyo de la placa colaborante sobre la viga de acero. Generalmente
en vigas secundarias la placa se encuentra perpendicular al eje de la viga, y paralela en vigas
principales, por lo que resulta importante precisar la configuración que se está utilizando.
Cuando los nervios de la placa colaborante de acero se orientan en la dirección perpendicular al eje
de la viga, como se muestra en la Figura 8.6, el hormigón situado bajo el nivel superior de la lámina
acanalada se desprecia. De esta manera, el espesor de la losa se calcula como la altura total de la
losa, 𝑌𝑐𝑜𝑛 , menos la altura del nervio, ℎ𝑟 .
225
𝑌𝑐𝑜𝑛
ℎ𝑟
𝑡𝑐 = 𝑌𝑐𝑜𝑛 − ℎ𝑟
Figura 8.6. Nervaduras perpendiculares a la viga.
En la Figura 8.7 se muestra el caso en que los nervios de la placa colaborante de acero se orientan
en la dirección paralela al eje de la viga, donde el hormigón bajo las nervaduras se incluye y el
espesor de la losa se determina restando la mitad de la altura del nervio a la altura total de la losa.
𝑌𝑐𝑜𝑛
ℎ𝑟
𝑡𝑐 = 𝑌𝑐𝑜𝑛 − ℎ𝑟 ⁄2
Figura 8.7. Nervaduras paralelas a la viga.
8.7.
Conectores de corte
Para que la interfaz de la losa de hormigón y la sección de acero trabajen como una sola unidad
debe existir algún elemento que impida el deslizamiento relativo entre la losa y la viga, lo que se
consigue por medio de conectores de corte, los que se disponen a intervalos regulares de manera
que resistan adecuadamente las fuerzas cortantes horizontales. Los conectores más comunes que
se utilizan para generar la acción compuesta son de tipo canal y tipo perno, como se observa en la
Figura 8.8 y Figura 8.9 respectivamente. Se puede apreciar que en los conectores tipo canal el ala
superior queda completamente embebida en la losa de hormigón y el ala inferior del perfil soldada
a la viga de acero. Por otra parte, el conector tipo perno corresponde a una barra de sección
transversal circular, cuyo extremo inferior queda soldado a la viga, mientras que el extremo superior
tiene una cabeza que impide la separación vertical entre la losa y la viga.
226
Conectores de
corte tipo canal
Conectores de
corte tipo perno
Losa de hormigón
Losa de hormigón
Viga de
acero
Figura 8.8. Conector tipo canal.
Viga de
acero
Figura 8.9. Conector tipo perno.
En el diseño de una sección compuesta con placa colaborante de acero sólo se permite el uso de los
conectores tipo perno.
8.7.1.
Resistencia nominal de los conectores de corte
La resistencia de los conectores depende del tipo de hormigón que los rodea, así como también de
su forma y tamaño. La resistencia nominal de un perno de corte embebido en una losa de hormigón
o en una losa compuesta con placa colaborante de acero, se determina según las especificaciones
del Capítulo I.8.2a de la norma, con la siguiente ecuación:
Ec. I8-1 de NCh427/1:
𝑄𝑛 = 0,5𝐴𝑠𝑎 √𝑓′𝑐 𝐸𝑐 ≤ 𝑅𝑔 𝑅𝑝 𝐴𝑠𝑎 𝐹𝑢
(8.1)
Donde:
𝐴𝑠𝑎 = Área de la sección transversal del conector de corte
𝐹𝑢 = Resistencia mínima a la tracción del conector de corte
𝐸𝑐 = Módulo de elasticidad del hormigón =0,043𝑤𝑐 1,5 √𝑓′𝑐
Los factores 𝑅𝑔 y 𝑅𝑝 toman los valores de la Tabla 8.1 , dependiendo de la disposición de la placa
colaborante sobre la viga de acero.
227
Tabla 8.1. Valor de factores Rg y Rp
𝑹𝒈
Condición
Sin placa colaborante de acero
Placa colaborante orientada paralelamente al
perfil de acero
Placa colaborante orientada
perpendicularmente al perfil de acero
𝑹𝒑
1,0
0,75
𝑤𝑟
≥ 1,5
ℎ𝑟
1,0
0,75
𝑤𝑟
< 1,5
ℎ𝑟
0,85**
0,75
1 conector
1,0
0,6*
2 conectores
0,85
0,6*
3 conectores o más
0,7
0,6*
Número de conectores
ocupando el mismo nervio
Donde:
𝑤𝑟 = Ancho promedio del nervio, mm
ℎ𝑟 = Altura nominal del nervio, mm
* el valor puede aumentar a 0,75 cuando 𝑒𝑚𝑖𝑑−ℎ𝑡 ≥ 51 𝑚𝑚
** para perno individual
𝑒𝑚𝑖𝑑−ℎ𝑡 = distancia desde el borde del conector con cabeza hasta el alma de la placa colaborante, medida
a media altura al nervio de la placa, y en la dirección de carga del conector (en otras palabras, en la dirección
de momento máximo para una viga simplemente apoyada).
𝑉
𝒆𝒎𝒊𝒅−𝒉𝒕
ℎ𝑟
0,5ℎ𝑟
8.7.2.
Número requerido de conectores de corte
La sección I.8.2c de la norma establece que el número de conectores de corte, 𝑁𝑠 , requeridos entre
la sección de momento máximo, positivo o negativo, y la sección adyacente de momento nulo, es
igual a la fuerza de corte horizontal dividido por la resistencia nominal de un conector de corte:
228
𝑁𝑠 =
𝑉´
𝑄𝑛
(8.2)
Según la sección I3.2d de la norma, el corte horizontal entre la viga de acero y la losa de hormigón
𝑉´, específicamente entre el punto de máximo momento positivo y el punto de momento cero se
calcula como el menor valor entre los siguientes estados límites:
a) Aplastamiento del hormigón:
Ec. I3-1a de NCh427/1:
𝑉´ = 0,85𝑓′𝑐 𝐴𝑐
(8.3)
𝑉´ = 𝐹𝑦 𝐴𝑠
(8.4)
c) Resistencia de los conectores de corte:
Ec. I3-1c de NCh427/1:
𝑉´ = Ʃ𝑄𝑛
(8.5)
b) Fluencia del perfil de acero:
Ec. I3-1b de NCh427/1:
Donde:
𝐴𝑐 = Área de la losa de hormigón
𝐴𝑠 = Área de la sección transversal de acero
Ʃ𝑄𝑛 = Sumatoria de la resistencia nominal de los conectores entre el punto de máximo momento
positivo y el punto de momento igual a cero.
En el caso de una viga con carga uniformemente distribuida, el máximo momento se encuentra en
el centro del vano, como se observa en la Figura 8.10, y por lo tanto se debe proporcionar una
cantidad de conectores igual a 2𝑁𝑠 en la longitud total de la viga.
𝐿
𝑀=0
𝑀=0
𝑁𝑠
𝑀𝑚á𝑥
𝑁𝑠
Figura 8.10. Viga uniformemente cargada.
En la Figura 8.11 se muestra el caso de una viga con dos cargas concentradas, en la que se requieren
𝑁𝑠 conectores de corte desde el extremo de la viga hasta la posición de la carga concentrada. Se
observa que en la parte intermedia de la viga el momento tiene un valor constante máximo, con
corte igual a cero, por lo que, en teoría, no se requieren conectores de corte.
229
L
𝑀=0
𝑀=0
𝑀𝑚á𝑥
𝑁𝑠
Figura 8.11. Viga con cargas concentradas.
𝑀𝑚á𝑥
𝑁𝑟𝑒𝑞 = 0
𝑁𝑠
Cabe tener en consideración que si bien el objetivo primario de los conectores de corte es lograr
que la sección compuesta trabaje como una sola unidad, también ellos cumplen otras funciones,
como transferir las fuerzas inerciales sísmicas de la plataforma, debidas a la masa de la losa, los
equipos apoyados sobre ella y la fracción de la sobrecarga presente, a la estructura resistente
lateral.
De acuerdo con el número de conectores proporcionados se puede determinar el porcentaje de la
losa de hormigón que actúa en combinación con la viga de acero. Los sistemas de piso en que se
proporciona una cantidad menor de conectores de corte son llamadas parcialmente compuestos ya
que sólo una parte de la losa de hormigón está comprometida. Un sistema completamente
compuesto es aquel en que los conectores de corte comprometen completamente la losa. En este
caso hay un límite superior de conectores que puede proveerse, ya que al proporcionar conectores
más allá de este límite no se contribuye a la resistencia del sistema de piso.
La posición ideal de los conectores de corte en una placa colaborante de acero es en el centro del
nervio. Sin embargo, para mejorar la adherencia entre el hormigón y la placa de acero,
generalmente las placas se fabrican con una costilla rigidizadora en el centro del nervio, por lo que
se debe movilizar el conector a un costado. La posición más adecuada o posición fuerte del conector
es aquella en la que el perno se ubica lo más cerca posible del extremo de la viga (en el caso de vigas
simplemente apoyadas), como se observa en la Figura 8.12, puesto que se transmite mayor carga al
perno. Cuando se ubican en la posición débil la resistencia al corte se reduce hasta en un 25%.
230
Posición fuerte
Posición fuerte
Posición débil
Posición débil
Línea central de la viga
Figura 8.12. Posición correcta de conectores de corte.
8.7.3. Especificaciones de diseño
En la siguiente sección se presenta un listado de los requisitos establecidos por la norma NCh427/1
para el diseño de una viga compuesta con placa colaborante de acero. Las especificaciones aquí
mencionadas se resumen en la Figura 8.13.
𝑠 ≥ 6𝐷𝑠
≤ 8𝑌𝑐𝑜𝑛
≤ 900 𝑚𝑚
ℎ𝑟 ≤ 75 𝑚𝑚
𝐷𝑠 ≤ 2,5𝑡𝑓
≤ 19 𝑚𝑚
≥ 4𝐷𝑠
≥ 13 𝑚𝑚
≥ 38 𝑚𝑚
𝑌𝑐𝑜𝑛 ≥ 4𝐷
𝑠
𝑤𝑟 ≥ 50 𝑚𝑚
𝑡𝑓
Figura 8.13. Dimensiones requeridas para conectores de corte.
231
•
•
•
•
•
•
•
•
•
La altura nominal del nervio, ℎ𝑟 , no debe ser mayor que 75 mm, mientras que el ancho promedio
del nervio, 𝑤𝑟 , no debe ser menor que 50 mm (Sección I3.2c NCh 427/1)
La losa de hormigón debe ser conectada a la viga de acero con conectores tipo perno de
diámetro igual o menor que 19 mm (3/4”). Los conectores de corte pueden ser soldados a través
de la placa colaborante o pueden soldarse directamente a la sección de acero. Posterior a su
instalación los conectores deben tener una distancia no menor a 38 mm por sobre el borde
superior de la placa colaborante de acero y tener por lo menos 13 mm de recubrimiento de
hormigón por sobre la cabeza del conector (Sección I3.2c NCh 427/1)
El espesor de la losa sobre la placa colaborante de acero no debe ser menor que 50 mm (Sección
I3.2c NCh 427/1)
La placa colaborante de acero debe quedar anclada a todos los miembros soportantes con un
espaciamiento menor a 460 mm (Sección I3.2c NCh 427/1).
A menos que sea soldado al ala directamente sobre el alma, el diámetro de los conectores de
corte, 𝐷𝑠 , no debe ser mayor a 2,5 veces el espesor del metal base al cual es soldado, 𝑡𝑓 (Sección
I8.1 NCh 427/1).
La longitud de los conectores de corte no debe ser inferior a 4 diámetros del perno, desde la
base al extremo de la cabeza del perno (Sección I8.1 NCh 427/1).
Excepto para conectores instalados en los nervios de las láminas de acero, el mínimo
recubrimiento lateral de hormigón en la dirección perpendicular a la fuerza de corte es igual a
25 mm (Sección I8.2d NCh 427/1).
El espaciamiento mínimo de conectores, medido centro a centro, debe ser seis diámetros a lo
largo del eje longitudinal de la viga y cuatro diámetros en la dirección transversal, excepto
dentro de los nervios de la placa orientada perpendicularmente a la viga, donde el
espaciamiento mínimo debe ser cuatro diámetros en cualquier dirección (Sección I8.2d NCh
427/1).
El espaciamiento máximo de conectores de corte no debe exceder 8 veces el espesor total de
losa,𝑌𝑐𝑜𝑛 , ni 900 mm (Sección I8.2d NCh 427/1).
8.8.
Resistencia a flexión positiva
Según las especificaciones de la sección I.3.2a de la norma, en los casos que la esbeltez del alma de
la viga de acero no supere el límite
ℎ
𝑡𝑤
𝐸
≤ 3,76√𝐹 , el momento nominal, 𝑀𝑛 , se debe determinar
𝑦
de acuerdo con la distribución de tensiones plásticas en la sección compuesta para el estado límite
de fluencia (momento plástico). Por otra parte, cuando
ℎ
𝑡𝑤
𝐸
> 3,76√𝐹 , el momento nominal se
𝑦
determina por la superposición de tensiones elásticas, considerando los efectos de alzaprimado,
para el estado límite de fluencia (momento de primera fluencia).
En secciones plastificadas que trabajan en acción compuesta, la posición del eje neutro plástico
(PNA) depende de la resistencia de la losa y la viga de acero. Como las fuerzas interiores horizontales
son equivalentes a un par, la compresión y la tracción totales en la sección son numéricamente
iguales. En este método se deben considerar tres posibles posiciones del eje neutro plástico:
i.
En la losa de hormigón
ii.
En el ala superior de la viga de acero
iii.
En el alma de la viga de acero
232
Cuando la resistencia en compresión de la losa es mayor o igual a la capacidad en tracción de la viga
de acero, el PNA se ubica en la losa (ver Figura 8.14), y así una parte de ella no contribuye a la
resistencia. El momento resistente para este caso se determina por medio de las siguientes
ecuaciones, donde se desprecia la contribución de la armadura longitudinal en compresión de la
losa.
0,85 𝑓′𝑐
𝑏𝑒
𝑡𝑐
𝑎
PNA
𝐶
ℎ𝑟
𝑦
𝑑
𝑇
𝐹𝑦
Figura 8.14. PNA en la losa.
La profundidad del bloque de compresión se calcula como:
𝑎=
𝐴𝑠 𝐹𝑦
0,85𝑓´𝑐 𝑏𝑒
(8.6)
Donde:
𝐴𝑠 = Área de la sección de acero
𝐹𝑦 = Tensión de fluencia
𝑓′𝑐 = Resistencia del hormigón
𝑏𝑒 = Ancho efectivo de la losa
El momento nominal desarrollado por la sección se estima de acuerdo con la siguiente ecuación:
𝑀𝑛 = 𝑇𝑦 ( ó 𝜙𝐶𝑦)
(8.7)
𝜙 = 0,9 (𝐿𝑅𝐹𝐷); Ω = 1,67(𝐴𝑆𝐷)
Donde:
𝑇 = Fuerza de tracción del acero
𝐶 = Fuerza de compresión en el hormigón
𝑦 = Distancia entre T y C
Al reemplazar en la ecuación anterior la fuerza de tracción del acero, la expresión se escribe
de la siguiente forma:
𝑑
𝑎
(8.8)
𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 𝐹𝑦 ( + ℎ𝑟 + 𝑡𝑐 − )
2
2
Donde:
𝑑 = Altura de la viga
ℎ𝑟 = Altura del nervio de la placa colaborante de acero
𝑡𝑐 = Espesor de la losa sobre el nervio de la placa colaborante de acero
233
Cabe señalar que el espesor 𝑡𝑐 indicado en la Figura 8.14 y por ende el momento nominal de la
Ecuación (8.8) corresponden al caso de nervios orientados perpendicularmente a la viga,
cumpliéndose que 𝑌𝑐𝑜𝑛 = ℎ𝑟 + 𝑡𝑐 , ya que como lo estipula la norma en su sección I3.2c, en esta
situación se desprecia el hormigón ubicado bajo el borde superior de la placa colaborante tanto para
la determinación de las propiedades compuestas como para el cálculo de 𝐴𝑐 . Cuando los nervios se
orientan paralelamente a la viga, se puede considerar el hormigón esta porción de hormigón para
las propiedades de la sección compuesta y se debe considerar al calcula 𝐴𝑐 . Usualmente se toma el
espesor promedio para este caso, de manera que 𝑡𝑐 = 𝑌𝑐𝑜𝑛 − ℎ𝑟 ⁄2.
Por otro lado, cuando la fuerza de compresión en el hormigón es menor que la fuerza de tracción
del acero, puede ocurrir que el PNA se encuentre en el ala superior de la viga, como se muestra en
la Figura 8.15. En este caso, las ecuaciones que rigen son las siguientes:
𝐶𝑐 = 0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐
𝐶𝑓𝑙 = 𝑏𝑓 𝑌1 𝐹𝑦
(8.9)
(8.10)
Donde:
𝑏𝑓 = Ancho del ala de la viga
𝑌1 = Distancia del PNA a la fibra superior del ala de la viga
0,85 𝑓′𝑐
𝑏
a
𝑡𝑐
PNA
𝑌2
𝑌1
𝐶𝑐
𝐶𝑓𝑙
𝑑
𝑇𝑏
𝑡𝑤
𝑡𝑓
𝑏𝑓
𝐹𝑦
𝐹𝑦
Figura 8.15. PNA en el ala de la viga de acero.
Como la viga completa está en fluencia, para encontrar la fuerza de tracción en el acero se debe
restar la porción que trabaja en compresión:
𝑇𝑏 = 𝐴𝑠 𝐹𝑦 − 𝑏𝑓 𝑌1 𝐹𝑦
(8.11)
Además del equilibrio de fuerzas en la sección compuesta se tiene que:
𝑇𝑏 = 𝐶𝑐 + 𝐶𝑓𝑙
234
(8.12)
Al combinar las ecuaciones anteriores es posible determinar el valor de 𝑌1 :
𝐴𝑠 𝐹𝑦 − 𝑏𝑓 𝑌1 𝐹𝑦 = 0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 + 𝑏𝑓 𝑌1 𝐹𝑦
𝑌1 =
𝐴𝑠 𝐹𝑦 − 0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐
2𝐹𝑦 𝑏𝑓
(8.13)
Al sumar momentos con respecto al PNA, el momento nominal de la sección compuesta queda
determinado por:
𝑌1
𝑑
𝑀𝑛 = [0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 (𝑌1 + 𝑌2 ) + 2𝐹𝑦 𝑏𝑓 𝑌1 ( ) + 𝐴𝑠 𝐹𝑦 ( − 𝑌1 )]
2
2
(8.14)
El procedimiento de análisis cuando el PNA se encuentra en alma de la viga de acero es análogo al
caso anterior, ya que la losa se encuentra completamente comprimida, de la misma forma que el
ala superior de la viga de acero, pero en este una parte del alma de la viga debe trabajar en
compresión para mantener el equilibrio.
0,85 𝑓′𝑐
𝑏
a
𝑡𝑐
𝑌2
PNA
𝐶𝑐
𝐶𝑓𝑙
𝐶𝑤
𝑌1
𝑑
𝑇𝑏
𝑡𝑤
𝑡𝑓
𝑏𝑓
𝐹𝑦
𝐹𝑦
Figura 8.16. PNA en el alma de la viga de acero
La fuerza de compresión en el hormigón 𝐶𝑐 se calcula con la Ecuación (8.9). La fuerza de compresión
en el ala se calcula como:
𝐶𝑓𝑙 = 𝑏𝑓 𝑡𝑓 𝐹𝑦
La fuerza de compresión en el alma de la viga se calcula como:
(8.15)
𝐶𝑤 = 𝑡𝑤 𝐹𝑦 (𝑌1 − 𝑡𝑓 )
La fuerza de tracción en la porción inferior de la viga es:
(8.16)
𝑇𝑏 = 𝐴𝑠 𝐹𝑦 − 𝑏𝑓 𝑡𝑓 𝐹𝑦 − 𝑡𝑤 𝐹𝑦 (𝑌1 − 𝑡𝑓 )
(8.17)
235
De la Figura 8.16, del equilibrio de fuerzas horizontales se obtiene:
𝑇𝑏 = 𝐶𝑐 + 𝐶𝑓𝑙 + 𝐶𝑤
(8.18)
Al combinar las ecuaciones anteriores se obtiene el valor de 𝑌1 :
𝐴𝑠 𝐹𝑦 − 𝑏𝑓 𝑡𝑓 𝐹𝑦 − 𝑡𝑤 𝐹𝑦 (𝑌1 − 𝑡𝑓 ) = 0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 + 𝑏𝑓 𝑡𝑓 𝐹𝑦 + 𝑡𝑤 𝐹𝑦 (𝑌1 − 𝑡𝑓 )
𝑌1 =
𝐴𝑠 𝐹𝑦 − 0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 − 2𝑏𝑓 𝑡𝑓 𝐹𝑦
+ 𝑡𝑓
2𝑡𝑤 𝐹𝑦
(8.19)
Finalmente, tomando momentos alrededor del PNA se obtiene la expresión para el momento
nominal:
𝑀𝑛 = ⌊0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 (𝑌1 + 𝑌2 ) + 2𝑏𝑓 𝑡𝑓 𝐹𝑦 (𝑌1 −
𝑡𝑓
)
2
𝑌1 − 𝑡𝑓
𝑑
) + 𝐴𝑠 𝐹𝑦 ( − 𝑌1 )⌋
+ 2𝑡𝑤 𝐹𝑦 (𝑌1 − 𝑡𝑓 ) (
2
2
8.9.
(8.20)
Alzaprimado
En la construcción compuesta adquiere relevancia el proceso de aplicación de las cargas. Se puede
proveer de alzaprimas bajo las vigas de piso y principales para permitir que el hormigón de la losa
fragüe y alcance su resistencia de diseño antes de imponer cualquier carga sobre las vigas. Cuando
las alzaprimas se remuevan, la viga tendrá una deflexión instantánea debido al peso de la losa, la
cual dependerá de la rigidez de la sección compuesta. Por otra parte, en una construcción sin
alzaprimas, el peso del hormigón fresco lo soporta la viga de acero antes que el hormigón endurezca,
cuando aún no hay acción compuesta. Hay que considerar además que si las vigas están muy
separadas, puede provocar que la placa requiera alzaprimas a su vez, lo que es en general
indeseado, ya que hace que el sistema constructivo pierda una de sus ventajas con respecto al
sistema de losas tradicional.
De un punto de vista constructivo, es preferible no usar alzaprimado ya que se evita el trabajo de
instalar y remover las alzaprimas. También es deseable que las vigas no requieran alzaprimas,
especialmente en las construcciones en que la altura entre pisos es grande, como por ejemplo, en
edificios industriales o puentes. Sin embargo, la desventaja de la construcción sin alzaprimas es que
debido a la deflexión de las vigas por el peso del hormigón fresco, se produce apozamiento y se
requiere hormigón adicional para alcanzar una superficie plana, el cual puede alcanzar entre un 10%
a 15% del volumen inicial. Una forma de mitigar el apozamiento es proveer a las vigas de
contraflecha, la cual no debe ser sobreestimada, ya que la losa podría quedar muy delgada en el
centro del vano de la viga y no habría suficiente recubrimiento para los conectores. Por esta razón,
cuando se especifica contraflecha se sugiere que sea equivalente a un 75% de la deflexión debida al
peso del hormigón. Esta reducción toma en cuenta la posibilidad de sobreestimar el peso propio y
el hecho que la deflexión calculada considera condiciones de borde ideales (viga rotulada en los
extremos). Sin embargo, no es frecuente indicar contraflechas en las vigas de piso, ya que es una
labor costosa por repetirse en muchos miembros. En general es mejor usar vigas de mayor altura,
recordando que la estructura más económica no necesariamente es la más liviana, cuando se
236
consideran los costos adicionales de fabricación y montaje que pueden surgir de un diseño
orientado principalmente a la reducción de peso de acero. Así, para minimizar el efecto de
apozamiento, se recomienda limitar la deflexión debida a peso propio durante la construcción de
vigas sin contraflecha a L/360.
En construcción sin alzaprimas, las vigas deben diseñarse para soportar la losa de hormigón y otras
cargas temporales de construcción. Así, la sección I.3.1b de la norma establece que la viga de acero
por sí sola debe tener la resistencia suficiente para soportar las cargas aplicadas antes que el
hormigón alcance el 75% de su resistencia. En sistemas de piso con placa de acero colaborante, la
placa se considera adecuada para arriostrar contra el pandeo lateral torsional el ala superior de la
viga de piso, ya que se orienta en su dirección fuerte con los nervios perpendiculares a la viga. Sin
embargo, para las vigas principales no se considera que la placa de acero limite el pandeo lateral ya
que los nervios van paralelos a ésta. De esta forma, para el diseño de las vigas principales se debe
considerar la longitud no arriostrada.
En construcción con alzaprimas, todos los cálculos de resistencia y deflexión se basan en la condición
de sección compuesta, y no es necesario verificar la viga por sí sola cuando el hormigón está fresco.
Para evitar agrietamiento sobre las vigas, el cual es más probable que ocurra cuando se utilizan
alzaprimas, es agregar barras de refuerzo en la parte superior de la losa sobre las vigas de apoyo.
Otra forma de mitigar el agrietamiento sobre las vigas es ubicar las alzaprimas a una distancia de
L/5 desde los extremos de las vigas, de manera de permitir cierta deflexión minimizando al
apozamiento.
8.10.
Deflexiones
Debido a que los módulos de elasticidad de los materiales son diferentes, se debe transformar la
sección de hormigón en una sección de acero equivalente. De esta forma es posible determinar las
propiedades de la sección compuesta, y en consecuencia las deflexiones de la viga. El área de
hormigón se transforma a una sección equivalente de acero, como se observa en la Figura 8.17, al
dividir el área de hormigón por la razón modular:
𝐴𝑐𝑡 =
𝐴𝑐
𝑛
Donde:
𝐴𝑐𝑡 = Área de hormigón transformada
𝐴𝑐 = Área de hormigón ( = 𝑏𝑒𝑓𝑓 𝑡𝑐 )
𝐸
𝑛 = 𝑠⁄𝐸
𝑐
𝐸𝑠 = Módulo de elasticidad del acero
𝐸𝑐 = Módulo de elasticidad del hormigón
237
𝑏𝑒𝑓𝑓
𝐴𝑐𝑡 =
𝐴𝑐
𝑛
𝑡𝑐
𝐴𝑐
Figura 8.17. Sección transformada de hormigón.
La ubicación del eje neutro se determina como:
𝑦̅ =
∑ 𝐴𝑦
∑𝐴
El momento de inercia de la sección compuesta, denominado también momento de inercia
transformado ya que el hormigón es un área de acero equivalente, se calcula en general como:
𝐼𝑡𝑟 = Ʃ(𝐼 + 𝐴𝑑2 )
Al considerar las propiedades de la sección transformada calculadas usando el espesor total de la
losa se asume que existe una acción compuesta total y que se proveen suficientes conectores de
corte para alcanzar esta condición. Para que esto ocurra, la resistencia de los conectores de corte,
∑ 𝑄𝑛 , debe ser igual o mayor que la fuerza de compresión de la losa. Sin embargo, en algunos casos
puede ser económico proveer sólo los conectores suficientes para obtener parcialmente una acción
compuesta, siendo la resistencia de los conectores menor que la capacidad de compresión de la
losa. En el comentario de la sección I3.2 del AISC 360-10 [Ref. 12] se presenta una breve discusión
sobre la inercia requerida para estimar apropiadamente deflexiones. Comúnmente no es práctico
calcular de manera muy precisa la rigidez de vigas compuestas. Las comparaciones con ensayos de
corta duración indican que el momento de inercia efectivo, 𝐼𝑒𝑓𝑓 , es entre un 15 a 30% menor que el
calculado basado en comportamiento elástico-lineal, 𝐼𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 . Por lo tanto, para cálculos de deflexión
más realistas, Ieff debe tomarse como 0.75𝐼𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 . Otra alternativa es utilizar el límite inferior del
momento de inercia, 𝐼𝐿𝐵 , de acuerdo con la Ecuación C-I3-1.
∑ 𝑄𝑛
(8.21)
𝐼𝐿𝐵 = 𝐼𝑠 + 𝐴𝑠 (𝑌𝐸𝑁𝐴 − 𝑑3 )2 + (
) (2𝑑3 + 𝑑1 − 𝑌𝐸𝑁𝐴 )2
𝐹𝑦
Donde:
𝐴𝑠 = Área de la sección de acero (mm2)
𝑑1 = Distancia desde la fuerza de compresión en el hormigón a la fibra superior de la viga de acero
(mm)
𝑑3 = Distancia desde la fuerza resultante de tracción en el acero para fluencia de la sección
completa a la fibra superior de la viga de acero (mm)
238
𝐼𝑠 = Momento de inercia del perfil de acero (mm4)
∑ 𝑄𝑛 = Suma de las resistencias nominales de los conectores de corte entre el punto de máximo
momento positivo y el punto de momento cero en cada lado de la viga (N)
El término 𝑌𝐸𝑁𝐴 se calcula con la Ecuación C-I3-2 del AISC 360-10:
𝐴𝑠 𝑑3 +
𝑌𝐸𝑁𝐴 =
∑ 𝑄𝑛
𝐹𝑦
(2𝑑3 + 𝑑1 )
𝐴𝑠 +
∑ 𝑄𝑛
(8.22)
𝐹𝑦
Para el caso que se requiera las propiedades elásticas de una viga parcialmente compuesta, el
momento de inercia elástico y el módulo de sección efectivo, 𝑆𝑒𝑓𝑓 , referido al ala tensionada se
pueden aproximar como:
∑ 𝑄𝑛
𝐼𝑒𝑓𝑓 = 𝐼𝑠 + √
(𝐼 − 𝐼𝑠 )
𝐶𝑓 𝑡𝑟
(8.23)
∑ 𝑄𝑛
𝑆𝑒𝑓𝑓 = 𝑆𝑠 + √
(𝑆𝑡𝑟 − 𝑆𝑠 )
𝐶𝑓
(8.24)
Donde:
𝐼𝑠 = Momento de inercia del perfil de acero (mm4)
𝐼𝑡𝑟 = Momento de inercia de sección compuesta completa (mm4)
𝐶𝑓 = Menor valor entre 0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 y 𝐹𝑦 𝐴𝑠 (N)
𝑆𝑠 = Módulo de la sección de acero referido al ala en tracción
𝑆𝑡𝑟 = Módulo de la sección transformada no agrietada totalmente compuesta, referida al ala en
tracción (mm3)
En las ecuaciones anteriores, ∑ 𝑄𝑛 ⁄𝐶𝑓 representa el grado de acción compuesta de la sección, cuyo
valor no debe ser menor a 0,25. Esta restricción es para prevenir un deslizamiento excesivo y la
consiguiente pérdida de rigidez. Sin embargo, es recomendable que el grado de acción compuesta
sea mayor a 50%, para alcanzar cierta ductilidad y además debido a que una baja acción compuesta
resulta en un alejamiento temprano del comportamiento elástico de la viga y los conectores. Las
disposiciones actuales, que se basan en resistencia última, han eliminado las verificaciones para
asegurar comportamiento elástico bajo combinaciones de servicio, y esto puede ser un problema si
se usa un grado de acción compuesta muy bajo.
Con respecto a los límites para la deflexión, en el caso de una construcción apuntalada, la deflexión
límite está dada por:
𝐿
∆𝐿𝐿 ≤
360
𝐿
(8.25)
∆ 𝑇𝐿 ≤
240
Donde:
∆𝐿𝐿 = Deflexión por carga viva
∆ 𝑇𝐿 = Deflexión por carga total (carga viva más carga muerta)
𝐿 = Largo del vano de la viga
239
Para construcción no apuntalada, el límite se estima considerando el proceso constructivo y se
incluye la deflexión debido a la sobrecarga:
∆ 𝑇𝐿 = ∆𝑆𝐷𝐿 + ∆𝐿𝐿 + ∆𝐶𝐷𝐿
∆𝑆𝐷𝐿 = Deflexión por sobrecarga
∆𝐿𝐿 = Deflexión por carga viva
∆𝐶𝐷𝐿 = Deflexión de cargas muertas en fase constructiva
240
(8.26)
8.11.
Ejemplos de vigas compuestas
Ejemplo 8.1
Determinar las propiedades elásticas de la sección compuesta de la Figura 8.18, formada por una viga de
acero de sección I y una losa colaborante de hormigón, instalada con los nervios perpendiculares a la viga.
La carga muerta total es 4 kN/m2 y la carga viva es 4 kN/m2. Luego, calcular las tensiones que se producen
bajo la aplicación de las cargas de servicio, considerando:
a) La construcción sin apuntalamiento temporal
b) La construcción con apuntalamiento temporal
La viga de acero tiene una longitud total de 9 m, con una separación entre vigas adyacentes igual a 2 m. Las
características del perfil de acero y de la losa de hormigón armado se presentan en la Tabla 8.2.
𝑏𝑒𝑓𝑓 =2000 mm
50 mm
63,5 mm
𝑦
𝑦𝑏
H 350x150x34,6
350 mm
Figura 8.18. Sección compuesta para Ejemplo 8.1.
Tabla 8.2. Propiedades de los materiales.
Propiedades Hormigón armado
𝐸𝑐 = 23500 𝑁/𝑚𝑚2
𝑓′𝑐 = 25 𝑀𝑃𝑎
𝑝𝑝 = 24 𝑘𝑁/𝑚³
Propiedades sección de Acero
𝐸𝑠 = 200000 𝑁/𝑚𝑚2
𝐴𝑠 = 4404 𝑚𝑚2
𝐼𝑜 = 88.8 𝑥 106 𝑚𝑚4
𝑆𝑥 = 508 𝑥 103 𝑚𝑚3
𝑤𝑣𝑖𝑔𝑎 = 34,6 𝑘𝑔𝑓/𝑚
SOLUCIÓN
La relación entre los módulos elásticos de los materiales está dada por:
𝑛=
𝐸𝑠 200000
=
= 8,51
𝐸𝑐
23500
De esta forma se puede estimar el área de la losa que se transforma en una sección equivalente de acero:
241
𝐴𝑐 2000 𝑥 50
=
= 11751 𝑚𝑚2
𝑛
8,51
Posteriormente se determinan las propiedades de la sección transformada que se presentan en la Tabla
8.3, considerando que el momento de inercia de la losa y la viga están dados por:
𝑏𝑒𝑓𝑓 𝑡𝑐 3 2000 𝑥 503
𝐼𝑜 (𝑙𝑜𝑠𝑎) =
=
= 2448100 𝑚𝑚4
12𝑛
12 𝑥 8,51
𝐼𝑜 (𝑣𝑖𝑔𝑎) = 88.8 𝑥 106 𝑚𝑚4
𝐴𝑐𝑡 =
Tabla 8.3. Propiedades de la sección transformada.
Elemento
A (mm²)
y (mm)
Ay (mm³)
d (mm)
Io + Ad² (mm⁴)
Losa
11751
25
293775
71,8
63027325
Viga
4404
288,5
1270554
191,7
250442112
Ʃ
16155
1564329
313469437
Con los datos de la tabla anterior se encuentra la posición el eje neutro, medido desde la fibra superior de
la losa de hormigón:
∑ 𝐴𝑦 1564329
𝑦̅ =
=
= 96,8 𝑚𝑚
∑𝐴
16155
El momento de inercia de la sección transformada queda dado por:
𝐼𝑡𝑟 = Ʃ(𝐼 + 𝐴𝑑 2 ) = 313469437 𝑚𝑚4
Así, el módulo elástico de la sección, en la fibra superior de la losa es:
𝐼𝑡𝑟 313469437
𝑆𝑡𝑜𝑝 =
=
= 3238321 𝑚𝑚3
𝑦̅
96,8
El módulo elástico de la sección, en la fibra inferior de la viga de acero es:
𝐼𝑡𝑟
313469437
𝑆𝑏𝑜𝑡𝑡𝑜𝑚 =
=
= 854839 𝑚𝑚3
𝑦´ 463,5 − 96,8
a) Construcción sin apuntalamiento temporal
𝑤𝐷 = 4 𝑥 2 = 8
𝑘𝑁
𝑚
𝑤𝐿 = 7 𝑥 2 = 14
; 𝑀𝐷 =
𝑘𝑁
𝑚
𝑤𝐷 𝐿2
; 𝑀𝐿 =
8
𝑤𝐿 𝐿2
8
=
=
8 𝑥 92
8
= 81 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
14 𝑥 92
8
= 141,75 𝑘𝑁 ∙ 𝑚.
En la construcción sin apuntalamiento temporal, las cargas aplicadas durante la primera etapa son
resistidas unicamente por la viga de acero. Para determinar las tensiones se debe utilizar el modulo elástico
de la viga.
𝑓𝑡𝑜𝑝 = 𝑓𝑏𝑜𝑡 =
𝑀𝐷
𝑆𝑥(𝑣𝑖𝑔𝑎)
=
81 𝑥 10002
= 159,5 𝑀𝑃𝑎
508 𝑥 103
Una vez que el hormigón alcanza el 75% de su resistencia se considera que la sección trabaja en conjunto
y por lo tanto las tensiones se estiman utilizando el módulo elastico de la seccion compuesta:
𝑓𝑡𝑜𝑝 =
𝑀𝐿
=
𝑛𝑆𝑡𝑜𝑝(𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎)
𝑀𝐿
𝑓𝑏𝑜𝑡𝑡𝑜𝑚 =
𝑆𝑏𝑜𝑡(𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎)
242
141,75 𝑥 10002
= 5,1 𝑀𝑃𝑎
8, 51 𝑥 3238321
141,75 𝑥 10002
=
= 165,8 𝑀𝑃𝑎
854839
Finalmente, la tensión máximo de tracción en el perfil de acero es
𝑓 = 𝑓(𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎) + 𝑓(𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎) = 159,5 + 165,8 = 325,3 𝑀𝑃𝑎
b) Construcción con apuntalamiento temporal
En este caso las cargas se consideran aplicadas a la sección compuesta, de esta forma las tensiones quedan
determinados por:
𝑓𝑡𝑜𝑝 =
𝑀𝐷 + 𝑀𝐿
𝑛𝑆𝑡𝑜𝑝(𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎)
𝑓𝑏𝑜𝑡𝑡𝑜𝑚 =
=
(81 + 141,75) 𝑥 10002
= 8,1 𝑀𝑃𝑎
8,51 𝑥 3238321
𝑀𝐷 + 𝑀𝐿
𝑆𝑏𝑜𝑡𝑡𝑜𝑚(𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎)
=
(81 + 141,75) 𝑥 10002
= 260,6 𝑀𝑃𝑎
854839
243
Ejemplo 8.2
Determinar la resistencia de diseño a flexión de la sección compuesta del Ejemplo 8.1, asumiendo acción
compuesta total y acero calidad ASTM A572 Gr.50.
SOLUCIÓN
Ya que hay acción compuesta total, la fuerza de compresión en el hormigón es el menor valor entre
0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 (aplastamiento del hormigón) y 𝐴𝑠 𝐹𝑦 (fluencia de la viga de acero)
0,85𝑓𝑐′ 𝐴𝑐 = 0,85 𝑥 25 𝑥 2000 𝑥 50 = 2125000 𝑁
𝐴𝑠 𝐹𝑦 = 4404 𝑥 345 = 1519380 𝑁
Como controla la fluencia del acero, la profundidad del bloque de Whitney es menor que el espesor de la
losa. De esta forma:
𝑎=
𝐴𝑠 𝐹𝑦
0,85𝑓´𝑐 𝑏𝑒
= 35,75 mm
La distancia entre la resultante de compresión y tracción es:
350
𝑎
𝑦=
+ 63,5 + 50 − = 270,62
2
2
Por otra parte, se comprueba que el alma de la sección es compacta:
ℎ
350 − 2𝑥8
𝐸
=
= 55,7 ≤ 3,76√ = 90,5
𝑡𝑤
6
𝐹𝑦
Por lo tanto, la capacidad de la sección se puede calcular en base a la distribución de tensiones plásticas.
Así,
𝜙𝑀𝑛 = 𝜙𝑇𝑦 ( ó 𝜙𝐶𝑦) = 0,9𝑥1519380𝑥270,6 = 370,06 𝑘𝑁 − 𝑚
Se puede comparar esta capacidad con la resistencia de la sección de acero sin acción colaborante. La
esbeltez del ala es apenas superior al límite 0,38√𝐸 ⁄𝐹𝑦 , por lo que para efectos prácticos se asume que la
sección es compacta. De esta manera,
𝜙𝑀𝑛 = 0,9𝑍𝑥 𝐹𝑦 = 0,9𝑥578000𝑥345 = 179,47 𝑘𝑁 − 𝑚
244
Ejemplo 8.3
Determinar las propiedades de la sección y resistencia de diseño a flexión de la viga del Ejemplo 8.1,
asumiendo que se proveen ocho conectores de corte de diámetro 3/4 pulgadas y calidad ASTM A108 desde
el apoyo hasta el centro del vano, los cuales se instalan en su posición fuerte, como se indica en la Figura
8.19.
305 mm
196 mm
50 mm
ℎ𝑟 =63,5 mm
130 mm
H 350x150x34,6
Figura 8.19. Dimensiones losa colaborante.
SOLUCIÓN
El corte horizontal entre la viga de acero y la losa de hormigón (𝑉´) es el menor de los siguientes valores:
𝑉´ = 0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 = 2125000 𝑁
𝑉´ = 𝐴𝑠 𝐹𝑦 = 1519380 𝑁
De la Tabla 8.1, para un conector por nervio, placa colaborante perpendicular a la viga y pernos en la
posición fuerte (𝑒𝑚𝑖𝑑−ℎ𝑡 ≥ 51 𝑚𝑚):
𝑅𝑔 = 1,0 ; 𝑅𝑝 = 0,75
𝜋𝑑 2 𝜋(0,75𝑥25,4)2
𝐴𝑠𝑐 =
=
= 285 𝑚𝑚2
4
4
𝐹𝑢 = 65 𝑘𝑠𝑖 ≈ 450 𝑀𝑃𝑎 (ver Tabla 2-5 Ref. 9)
𝑄𝑛 = 0,5𝐴𝑠𝑐 √𝑓´𝑐 𝐸𝑐 ≤ 𝑅𝑔 𝑅𝑝 𝐴𝑠𝑐 𝐹𝑢
𝑄𝑛 = 0,5 𝑥 285 𝑥 √25 𝑥 23500 ≤ 1 𝑥 0,75 𝑥 285 𝑥 450
= 109,2 𝑘𝑁 > 96,2 𝑘𝑁
𝑉 ′ = ∑ 𝑄𝑛 = 8𝑥96,2 = 769,6 𝑘𝑁
El grado de acción compuesta de la sección se calcula como:
∑ 𝑄𝑛
𝐶𝑓
=
769,6𝑥1000
1519380
= 0,51 = 51% > 50% OK
El momento de inercia elástico de la sección parcialmente compuesta se calcula como:
𝐼𝑒𝑓𝑓 = 𝐼𝑠 + √
∑ 𝑄𝑛
(𝐼 − 𝐼𝑠 ) = 88.8 𝑥 106 + √0,51(313469437 − 88.8 𝑥 106 ) = 248698108 𝑚𝑚4
𝐶𝑓 𝑡𝑟
Ya que ∑ 𝑄𝑛 < 𝐴𝑠 𝐹𝑦 , debe haber una fuerza de compresión adicional en la sección de la viga y por lo tanto
el PNA cae en alguna parte de la viga. La profundidad del bloque de compresión se puede calcular como:
𝐶
769600
𝑎=
=
= 18,108 𝑚𝑚
0,85𝑓´𝑐 𝑏𝑒 0,85𝑥25𝑥2000
245
Con este valor se puede determinar la distancia d 1, requerida para calcular el límite inferior del momento
de inercia, el cual se utiliza para el cálculo de deflexiones, como se presenta a continuación:
𝑑1 = 63,5 + 50 − 𝑎⁄2 = 104,4 𝑚𝑚
∑𝑄
𝐴𝑠 𝑑3 + 𝑛 (2𝑑3 + 𝑑1 ) 4404𝑥175 + 769600 (2𝑥175 + 104,4)
𝐹𝑦
345
𝑌𝐸𝑁𝐴 =
=
= 268,96 𝑚𝑚
769600
∑ 𝑄𝑛
4404 +
𝐴𝑠 +
𝐹𝑦
𝐼𝐿𝐵
345
∑ 𝑄𝑛
= 𝐼𝑠 + 𝐴𝑠 (𝑌𝐸𝑁𝐴 − 𝑑3 )2 + (
) (2𝑑3 + 𝑑1 − 𝑌𝐸𝑁𝐴 )2
𝐹𝑦
769600
= 8.8 𝑥 106 + 4404(269 − 175)2 + (
) (2x175 + 104,4 − 269)2 = 204390776𝑚𝑚4
345
Finalmente, para determinar el momento de diseño de la sección compuesta, se parte asumiendo que el
PNA se encuentra en el ala, como se presentan en la Figura 8.15. Así,
𝐴𝑠 𝐹𝑦 − 0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 4404𝑥345 − 0,85𝑥25𝑥18,1𝑥2000
=
= 7,24 𝑚𝑚 < 𝑡𝑓 = 8 𝑚𝑚
2𝐹𝑦 𝑏𝑓
2𝑥345𝑥150
Se comprueba que el PNA cae en el ala.
𝑌2 = d1 = 104,4 𝑚𝑚
𝑌1 =
Así, el momento resistente desarrollado por la sección compuesta queda determinado por:
𝑌1
𝑑
𝜙𝑀𝑛 = 0,9 [0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 (𝑌1 + 𝑌2 ) + 2𝐹𝑦 𝑏𝑓 𝑌1 ( ) + 𝐴𝑠 𝐹𝑦 ( − 𝑌1 )]
2
2
7,24
= 0,9 [0,85𝑥25𝑥18,1𝑥2000𝑥(7,24 + 104,4) + 2𝑥345𝑥150𝑥7,24 (
)
2
350
+ 4404𝑥345 (
− 7,24)] = 309,13 𝑘𝑁 − 𝑚
2
Este valor equivale a un 83% de la resistencia obtenida con acción compuesta total.
246
Ejemplo 8.4
Determinar la resistencia de diseño a flexión de la viga de la Figura 8.20. 𝑓´𝑐 = 25 MPa, 𝐹𝑦 = 345 MPa.
Asumir un 25% de acción compuesta.
𝑏𝑒𝑓𝑓 =1300 mm
100 mm
50 mm
H 450x150x50,6
Figura 8.20. Detalle para Ejemplo 8.4.
SOLUCIÓN
𝐴𝑠 = 6440 𝑚2
El corte horizontal entre la viga de acero y la losa de hormigón (𝑉´) es el menor de los siguientes valores:
𝑉´ = 0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 = 0,85𝑥25𝑥1300𝑥100 = 2762500 𝑁
𝑉´ = 𝐴𝑠 𝐹𝑦 = 6440 𝑥 345 = 2221800 𝑁 ← Controla
Considerando un 25% de acción compuesta, 𝐶𝑐 = 0,25 𝑥 2221800 = 555450 𝑁
𝐶𝑐
𝑎=
= 20,1 mm
0,85𝑓´𝑐 𝑏𝑒
𝑌2 = 50 + 100 − 𝑎⁄2 = 140 𝑚𝑚
Se asume que el PNA cae en el alma de la viga. La distribución de tensiones corresponde a la mostrada en
la Figura 8.16.
𝐴𝑠 𝐹𝑦 − 0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 − 2𝑏𝑓 𝑡𝑓 𝐹𝑦
+ 𝑡𝑓 =
2𝑡𝑤 𝐹𝑦
6440𝑥345 − 0,85𝑥25𝑥1300𝑥20,1 − 2𝑥150𝑥10𝑥345
+ 10 = 124,4 𝑚𝑚
2𝑥8𝑥345
𝑌1 =
Como 𝑌1 es mayor que el espesor del ala de la viga, se comprueba que el PNA cae en el alma. La resistencia
de diseño se calcula por medio de la Ecuación (8.20).
𝑡𝑓
𝑌1 − 𝑡𝑓
𝑑
) + 2𝑡𝑤 𝐹𝑦 (𝑌1 − 𝑡𝑓 ) (
) + 𝐴𝑠 𝐹𝑦 ( − 𝑌1 )⌋
2
2
2
10
= ⌊0,85𝑥25𝑥1300𝑥20,1(124,4 + 140) + 2𝑥150𝑥10𝑥345𝑥 (124,4 − )
2
124,4 − 10
450
+ 2𝑥8𝑥345(124,4 − 10) (
) + 6440𝑥345𝑥 (
− 124,4)⌋
2
2
𝑀𝑛 = ⌊0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 (𝑌1 + 𝑌2 ) + 2𝑏𝑓 𝑡𝑓 𝐹𝑦 (𝑌1 −
𝑀𝑛 = 530,02 𝑘𝑁 − 𝑚
𝜙𝑀𝑛 = 0,9𝑥530,02 = 477,02 𝑘𝑁 − 𝑚
247
Ejemplo 8.5
Dado el sistema de piso de la Figura 8.21a, diseñar la viga típica de piso y la viga principal. El piso está
formado por una losa colaborante de hormigón de peso normal, con 𝑓´𝑐 = 25 MPa. La placa colaborante
es de acero galvanizado de 0,8 mm de espesor, de calidad ASTM A-653 Gr.37, con la geometría mostrada
en la Figura 8.21b. El espesor de hormigón sobre el trapecio es de 80 mm. Utilizar para las vigas acero ASTM
A572 Gr.50. La carga viva 𝑄𝑙 es 7 kPa y la carga muerta adicional correspondiente a tabiquería y
terminaciones, 𝑄𝑠𝑑 , es 1,2 kPa. Asumir que durante la etapa de construcción se implementa un sistema de
alzaprimas adecuado. La combinación de diseño es 1,2D + 1,6L.
Viga principal
6m
Viga de piso
9m
9m
(a)
109
196
109
196
109
63,5 mm
130
175
175
130
175
Avance útil 950 mm
(b)
Figura 8.21. Detalle para Ejemplo 8.5.
SOLUCIÓN
Diseño de la viga de piso
Las dimensiones de la placa colaborante, así como también las sobrecargas admisibles en función del
espesor y espaciamiento entre apoyos se obtienen de catálogos de fabricantes. También se puede
encontrar el peso por unidad de área del hormigón más la placa. Por ejemplo, para un espesor sobre el
trapecio de 80 mm, es decir, un espesor total de losa de 143,5 mm, el peso total es 284 kg/m 2.
Se asume inicialmente un peso propio de la de viga de 40 kg/m. El ancho tributario es 2m.
Carga muerta de servicio: 𝑞𝐷 = (1,2 + 0,284𝑥9,81)𝑥2 + 0,04𝑥9,81 = 8,36 𝑘𝑁/𝑚
Carga viva de servicio: 𝑞𝐿 = 7𝑥2 = 14 𝑘𝑁/𝑚
𝑞𝑢 = 1,2𝑞𝐷 + 1,6𝑞𝐿 = 32,44
𝑘𝑁
𝑚
𝑞𝑢 𝐿2
𝑀𝑢 =
= 328,43 𝑘𝑁 − 𝑚
8
𝑞𝑢 𝐿
𝑉𝑢 =
= 145,97 𝑘𝑁
2
248
Para estimar inicialmente la viga, en base a la experiencia de los ejemplos previos, la razón entre la
resistencia de diseño de la sección compuesta y la sección sólo de acero varía aproximadamente entre 1,7
a 2 para un rango de acción compuesta entre 50 y 100%. Asumiendo en primera instancia acción compuesta
completa y que la sección de acero sea compacta, se puede el módulo plástico requerido de la sección de
acero como:
𝑍𝑟𝑒𝑞 =
𝑀𝑢 ⁄2 328,4𝑥106 ⁄2
=
= 528824 𝑚𝑚3
0,9𝐹𝑦
0,9𝑥345
Se propone una sección H 350x150x34,6 (Z=578000 mm3)
𝐴𝑠 = 4404 mm2
𝐼 = 88.8 𝑥 106 𝑚𝑚4
ℎ = 334 mm, 𝑡𝑤 = 6 mm, 𝑏𝑓 = 150 mm, 𝑡𝑓 = 8 mm
ℎ
334
𝐸
200000
=
= 55,7 < 3,76√ = 3,76√
= 90,53
𝑡𝑤
6
𝐹𝑦
345
Como la esbeltez del alma no supera el límite establecido por la norma, la resistencia de la viga se determina
de acuerdo con el método de distribución de tensiones plásticas.
El ancho efectivo de la losa de hormigón es el menor de:
𝐿
9000
𝑥2 =
𝑥2 = 2,25 𝑚
8
8
𝑠
𝑥2 = 2 𝑚
2
Por lo tanto, el ancho efectivo de la losa es igual a 2000 mm. Como los nervios de la placa colaborante de
acero son perpendiculares al eje longitudinal de la viga, el espesor efectivo de hormigón es 80 mm. Luego
se compara la capacidad del hormigón y del acero para conocer la posición del eje neutro plástico (PNA).
𝑇 = 𝐴𝑠 𝐹𝑦 = 4404 𝑥 345 = 1519,38 𝑘𝑁
𝐶 = 0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 = 0,85 𝑥 25 𝑥 2000 𝑥 80 = 3400 𝑘𝑁
Como la fuerza de compresión es mayor que la fuerza de tracción, el PNA se encuentra en la losa de
hormigón. Antes de proseguir con el cálculo de capacidad de la sección, se determina la cantidad requerida
de conectores de corte para establecer el porcentaje de acción compuesta que se puede proveer. Se
utilizan pernos de 3/4 pulgada, ASTM A108, con 𝐹𝑢 = 450 𝑀𝑃𝑎.
De la Tabla 8.1, para un conector por nervio, placa colaborante perpendicular a la viga y pernos en la
posición fuerte (𝑒𝑚𝑖𝑑−ℎ𝑡 ≥ 51 𝑚𝑚):
𝑅𝑔 = 1,0 ; 𝑅𝑝 = 0,75
𝜋𝑑 2 𝜋(0,75𝑥25,4)2
𝐴𝑠𝑐 =
=
= 285 𝑚𝑚2
4
4
𝐹𝑢 = 65 𝑘𝑠𝑖 ≈ 450 𝑀𝑃𝑎 (ver Tabla 2-5 Ref. 17)
𝑄𝑛 = 0,5𝐴𝑠𝑐 √𝑓´𝑐 𝐸𝑐 ≤ 𝑅𝑔 𝑅𝑝 𝐴𝑠𝑐 𝐹𝑢
𝑄𝑛 = 0,5 𝑥 285 𝑥 √25 𝑥 23500 ≤ 1 𝑥 0,75 𝑥 285 𝑥 450
= 109,2 𝑘𝑁 > 96,2 𝑘𝑁
El número requerido de conectores de corte entre el apoyo y la mitad del vano es:
𝑇
1519,38
𝑁=
=
= 15,8
𝑄𝑛
96,2
249
Del detalle de sección transversal de la placa colaborante, se observa que la distancia entre centros de los
nervios es 305 mm. Así, en un largo de 9 m caben aproximadamente 29 a 30 nervios. Esto quiere decir que
desde el apoyo a la mitad del vano con seguridad puede haber 14 nervios apoyados en la viga, y si utiliza
un perno por nervio, la resistencia a corte horizontal en la interface viga-losa sería apenas menor que la
requerida para desarrollar el 100% de la acción compuesta. Por otra parte, sería excesivo colocar dos
pernos por nervio. Para mayor rigurosidad en el presente desarrollo, se trabaja con el porcentaje de acción
compuesta provisto por un perno por nervio. Así,
𝑉 ′ = ∑ 𝑄𝑛 = 14𝑥96,2 = 1346,8 𝑘𝑁
El grado de acción compuesta de la sección se calcula como:
∑ 𝑄𝑛
𝐶𝑓
=
1346,8
1519,38
= 0,886 = 88,6% > 50% OK
Ya que los conectores de corte no pueden transferir toda la capacidad en tracción de la viga de acero, la
resultante de compresión en la losa de hormigón puede ser como máximo V’. De esta forma, para que haya
equilibrio de fuerzas con una distribución de tensiones plástica, la única alternativa es que el PNA se
desplace desde la interfase viga-losa hacia abajo cuando se considera un porcentaje de acción compuesta
inferior al 100%.
Se determina entonces la profundidad del bloque de compresión:
𝐶 = ∑ 𝑄𝑛
1346,8𝑥1000
𝑎=
=
= 31,7 𝑚𝑚
0,85𝑓´𝑐 𝑏𝑒 0,85𝑥25𝑥2000
Asumiendo que el PNA se encuentra en el ala, como se presentan en la Figura 8.16,
𝐴𝑠 𝐹𝑦 − 0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 4404𝑥345 − 0,85𝑥25𝑥31,7𝑥2000
=
= 1,67 𝑚𝑚 < 𝑡𝑓 = 8 𝑚𝑚
2𝐹𝑦 𝑏𝑓
2𝑥345𝑥150
Se comprueba que el PNA cae en el ala.
𝑌2 = 80 + 63,5 − 𝑎⁄2 = 127,7 𝑚𝑚
𝑌1 =
El momento resistente desarrollado por la sección compuesta se calcula como:
𝑌1
𝑑
𝜙𝑀𝑛 = 0,9 [0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 (𝑌1 + 𝑌2 ) + 2𝐹𝑦 𝑏𝑓 𝑌1 ( ) + 𝐴𝑠 𝐹𝑦 ( − 𝑌1 )]
2
2
= 0,9 [0,85𝑥25𝑥31,7𝑥2000𝑥(1,67 + 127,7) + 2𝑥345𝑥150𝑥1,67 (
= 393,9 𝑘𝑁 − 𝑚 > 𝑀𝑢 = 328,43 𝑘𝑁 − 𝑚 OK
1,67
350
) + 4404𝑥345 (
− 1,67)]
2
2
Luego se calcula la deflexión utilizando el límite inferior del momento de inercia.
d1 = 𝑌2
𝐴𝑠 𝑑3 +
𝑌𝐸𝑁𝐴 =
∑ 𝑄𝑛
𝐹𝑦
(2𝑑3 + 𝑑1 )
𝐴𝑠 +
∑ 𝑄𝑛
𝐹𝑦
𝐼𝐿𝐵 = 𝐼𝑠 + 𝐴𝑠 (𝑌𝐸𝑁𝐴 − 𝑑3 )2 + (
=
4404𝑥175 +
1346800
345
4404 +
(2𝑥175 + 127,7)
1346800
= 317,2 𝑚𝑚
345
∑ 𝑄𝑛
) (2𝑑3 + 𝑑1 − 𝑌𝐸𝑁𝐴 )2
𝐹𝑦
1346800
= 88.8 𝑥 106 + 4404(317,2 − 175)2 + (
) (2x175 + 127,7 − 317,2)2
345
= 278358606 𝑚𝑚4
250
5(𝑞𝐷𝐿 + 𝑞𝐿𝐿 )𝐿4
5 𝑥 14 𝑥 9000⁴
=
= 21,5 𝑚𝑚
384𝐸ILB
384 𝑥 200000 𝑥 278358606
4
5(𝑞𝐷𝐿 + 𝑞𝐿𝐿 )𝐿
5 𝑥 (8,36448 + 14) 𝑥 9000⁴
∆𝐷𝐿+𝐿𝐿 =
=
= 34,3 𝑚𝑚
384𝐸ILB
384 𝑥 200000 𝑥 278358606
∆𝐿𝐿 =
La deflexión admisible se obtiene de la Tabla 7.2.
𝐿
9000
∆𝐿𝐿 ≤
=
= 25 𝑚𝑚
360
360
∆𝐷𝐿+𝐿𝐿 ≤
𝐿
9000
=
= 37,5 𝑚𝑚
240
240
Se comprueba que las deflexiones de la sección compuesta no superan los límites establecidos.
Diseño de la viga principal
P
P
Apoyo de viga se considera
punto de arriostramiento
lateral
6m
Se propone una sección H 450x150x59,5
𝐴𝑠 = 7576 𝑚𝑚2
𝐼 = 250 𝑥 106 𝑚𝑚4
ℎ = 422 mm, 𝑡𝑤 = 8 mm, 𝑏𝑓 = 150 mm,𝑡𝑓 = 14 mm
La viga principal interior recibe las reacciones de apoyo de las vigas de piso llegando a cada lado más su
peso propio. Así,
𝑃𝑢 = 2𝑥𝑉𝑢 = 2𝑥145,97 = 291,94 𝑘𝑁
(0,0595𝑥9,81)𝐿2
𝑀𝑢 = 𝑃𝑢 𝑥 2 + 1,2𝑥
= 587,03 𝑘𝑁 − 𝑚
8
ℎ
422
𝐸
=
= 52,8 < 3,76√ = 90,53
𝑡𝑤
8
𝐹𝑦
Como la esbeltez del alma no supera el límite establecido por la norma, la resistencia de la viga se determina
de acuerdo con el método de distribución de tensiones plásticas.
El ancho efectivo de la losa de hormigón es el menor de:
𝐿
6000
𝑥2 =
𝑥2 = 1,5 𝑚
8
8
𝑠
𝑥2 = 9 𝑚
2
Por lo tanto, el ancho efectivo de la losa es igual a 1500 mm. Como los nervios de la placa colaborante de
acero son paralelos al eje longitudinal de la viga, el espesor efectivo de hormigón se define como:
ℎ𝑟
63,5
𝑡𝑐 = 𝑌𝑐𝑜𝑛 −
→ 𝑡𝑐 = 80 +
= 111,8 𝑚𝑚
2
2
251
Luego se compara la capacidad del hormigón y del acero para conocer la posición del eje neutro plástico
(PNA).
𝑇 = 𝐴𝑠 𝐹𝑦 = 7576 𝑥 345 = 2613,72 𝑘𝑁
𝐶 = 0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 = 0,85 𝑥 25 𝑥 1500 𝑥 111,8 = 3562,03 𝑘𝑁
Como la fuerza de compresión es mayor que la fuerza de tracción, el PNA se encuentra en la losa de
hormigón para el caso de 100% de acción compuesta. Al igual que el caso de la viga de piso, primero se
determina la cantidad requerida de conectores de corte para establecer el porcentaje de acción compuesta
que se puede proveer. Se utilizan pernos de ¾ pulgadas, ASTM A108, con 𝐹𝑢 = 450 𝑀𝑃𝑎.
De la Tabla 8.1, para un conector por nervio y placa colaborante paralela a la viga:
𝑤𝑟 163
=
= 2,57 ≥ 1,5
ℎ𝑟 63,5
𝑅𝑔 = 1,0 ; 𝑅𝑝 = 0,75
𝑄𝑛 = 0,5𝐴𝑠𝑐 √𝑓´𝑐 𝐸𝑐 ≤ 𝑅𝑔 𝑅𝑝 𝐴𝑠𝑐 𝐹𝑢
𝑄𝑛 = 96,2 𝑘𝑁
El número requerido de conectores de corte entre el apoyo y el punto de máximo momento, es decir, en
el tercio del vano es:
𝑇
2809,68
𝑁= =
= 29,2 pernos
𝑄𝑛
96,2
Espaciamiento entre conectores = 𝑠 =
𝑠 ≥ 6𝐷𝑠 = 6𝑥0,75𝑥25.4 = 114 𝑚𝑚
2000
30
= 66,7 𝑚𝑚
El espaciamiento requerido es muy pequeño, por lo que sería necesario usar dos pernos por fila. Para
realizar un diseño más económico, se opta por una sección parcialmente compuesta. Se considera colocar
18 pernos entre el apoyo de la viga principal y la conexión de la viga de piso, de manera que el
espaciamiento será aproximadamente de 120 mm, mayor que el mínimo exigido.
𝑉 ′ = ∑ 𝑄𝑛 = 18𝑥96,2 = 1731,6 𝑘𝑁
El grado de acción compuesta de la sección se calcula como:
∑ 𝑄𝑛
𝐶𝑓
=
1731,6
2613,72
= 66,3 % > 50% OK
Se determina la profundidad del bloque de compresión:
𝑎=
𝐶=∑ 𝑄𝑛
0,85𝑓´𝑐 𝑏𝑒
=
1731600
0,85𝑥25𝑥1500
= 54,3 𝑚𝑚
Asumiendo que el PNA se encuentra en el ala, como se presentan en la Figura 8.16,
𝐴𝑠 𝐹𝑦 − 0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 4404𝑥345 − 0,85𝑥25𝑥31,7𝑥2000
=
= 8,5 𝑚𝑚 < 𝑡𝑓 = 14 𝑚𝑚
2𝐹𝑦 𝑏𝑓
2𝑥345𝑥150
Se comprueba que el PNA cae en el ala.
𝑌2 = 80 + 63,5 − 𝑎⁄2 = 116,3 𝑚𝑚
𝑌1 =
El momento resistente desarrollado por la sección compuesta se calcula como:
𝑌1
𝑑
𝜙𝑀𝑛 = 0,9 [0,85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 (𝑌1 + 𝑌2 ) + 2𝐹𝑦 𝑏𝑓 𝑌1 ( ) + 𝐴𝑠 𝐹𝑦 ( − 𝑌1 )]
2
2
252
8,5
350
= 0,9 [0,85𝑥25𝑥54,3𝑥1500𝑥(8,5 + 116,3) + 2𝑥345𝑥150𝑥8,5 ( ) + 7576𝑥345 (
− 8,5)]
2
2
= 707,2 𝑘𝑁 − 𝑚>𝑀𝑢 = 587𝑘𝑁 − 𝑚 OK
Luego se calcula la deflexión utilizando el límite inferior del momento de inercia.
d1 = 𝑌2
𝐴𝑠 𝑑3 +
𝑌𝐸𝑁𝐴 =
𝐼𝐿𝐵
∑ 𝑄𝑛
𝐹𝑦
(2𝑑3 + 𝑑1 )
𝐴𝑠 +
∑ 𝑄𝑛
=
7576𝑥225 +
𝐹𝑦
1731600
345
7576 +
(2𝑥225 + 116,3)
1731600
= 361,0 𝑚𝑚
345
∑ 𝑄𝑛
= 𝐼𝑠 + 𝐴𝑠 (𝑌𝐸𝑁𝐴 − 𝑑3 )2 + (
) (2𝑑3 + 𝑑1 − 𝑌𝐸𝑁𝐴 )2
𝐹𝑦
1731600
= 250 𝑥 106 + 7576(361,0 − 225)2 + (
) (2x225 + 116,3 − 361,0)2
345
= 601750043 𝑚𝑚4
Las cargas puntuales de servicio son:
𝑃𝐷𝐿 = 8,36448 ∗ 4,5 ∗ 2 = 75,28 kN
𝑃𝐿𝐿 = 14 ∗ 4,5 ∗ 2 = 126 kN
𝑃𝐿𝐿 𝐿3
126 𝑥 60003
=
= 8,1 𝑚𝑚
28𝐸ILB 28 𝑥 200000 𝑥 601750043
4
3
5𝑞𝐷𝐿 𝐿
𝑃𝐷𝐿+𝐿𝐿 𝐿
5 𝑥 (0,0595𝑥9,81) 𝑥 6000⁴ (126 + 75,28)𝑥1000 𝑥 60003
∆𝐷𝐿+𝐿𝐿 =
+
=
+
384𝐸ILB
28𝐸ILB
384 𝑥 200000 𝑥 601750043
28 𝑥 200000 𝑥 601750043
= 12,9 𝑚𝑚
∆𝐿𝐿 =
La deflexión admisible se obtiene de la Tabla 7.2.
𝐿
6000
∆𝐿𝐿 ≤
=
= 16,7 𝑚𝑚
360
360
∆𝐷𝐿+𝐿𝐿 ≤
𝐿
6000
=
= 25 𝑚𝑚
240
240
Se comprueba que las deflexiones de la sección compuesta no superan los límites establecidos.
253
Ejemplo 8.6
Verificar la resistencia y deflexión máxima durante la fase de construcción de las vigas del Ejemplo 8.5,
considerando que no se dispone de alzaprimas.
SOLUCIÓN
Viga de piso
La deflexión de la sección no compuesta se calcula considerando la carga muerta durante la fase de
construcción, que corresponde al peso de la placa colaborante, el hormigón fresco, y el peso propio de las
vigas. Por otro lado, la demanda de momento durante la construcción se determina agregando a la carga
muerta anterior la sobrecarga de construcción, para la que se recomienda un valor de 1 kN/m2 (100 kg/m2).
Carga muerta en fase de construcción:
𝑞𝐶𝐷𝐿 = (0,284𝑥9,81)𝑥2 + 0,0346𝑥9,81 = 5,91 𝑘𝑁/𝑚
5,91𝑥9
𝑅𝐶𝐷𝐿 =
= 26,6 𝑘𝑁
2
Carga viva en fase de construcción:
𝑞𝐿𝐶 = 1𝑥2 = 2 𝑘𝑁/𝑚
Carga mayorada en fase de construcción:
𝑘𝑁
𝑞𝑢𝐶 = 1,2𝑞𝐶𝐷𝐿 + 1,6𝑞𝐿𝐶 = 10,29
𝑚
𝑞𝑢𝐶 𝐿2
𝑀𝑢𝐶 =
= 104,22 𝑘𝑁 − 𝑚
8
𝑞𝑢 𝐿
𝑉𝑢𝐶 =
= 46,32 𝑘𝑁
2
Como la sección se puede considerar compacta (ver Ejemplo 8.1) y además la placa colaborante restringe
el pandeo lateral torsional (𝐿𝑏 = 0), la resistencia de diseño de la sección se calcula como:
𝜙𝑀𝑛 = 0,9𝑍𝑥 𝐹𝑦 = 0,9𝑥578000𝑥345 = 179,47 𝑘𝑁 − 𝑚 > 𝑀𝑢𝐶 OK
La deflexión por carga muerta en la fase de construcción se calcula como:
∆𝐿𝐿 =
5𝑞𝐷𝐶𝐿 𝐿4
5 𝑥 5,91 𝑥 9000⁴
𝐿
=
= 28,4 𝑚𝑚 >
= 25 𝑚𝑚
384𝐸𝐼
384 𝑥 200000 𝑥 88.8 x 106
360
Ya que la deflexión se considera excesiva, se debe fabricar la viga con contraflecha o simplemente proveer
de alzaprimas, si es que no se quiere aumentar el tamaño de la sección.
Viga principal
Para sección H 450x150x59,5
ℎ = 422 mm, 𝑡𝑤 = 8 mm, 𝑏𝑓 = 150 mm, 𝑡𝑓 = 14 mm
𝑆𝑥 = 1110𝑥103 mm3
𝑍𝑥 = 1272𝑥103 mm3
𝐼𝑦 = 7,89𝑥106 mm4
𝑟𝑦 = 32,3 𝑚𝑚
𝐽 = 34,9𝑥104 mm4
𝑃𝑢𝐶 = 2𝑥𝑉𝑢𝐶 = 2𝑥46,32 = 92,64 𝑘𝑁
254
(0,0639𝑥9,81)𝐿2
= 188,43 𝑘𝑁 − 𝑚
8
= 2 𝑥 26,6 = 53,2 𝑘𝑁
𝑀𝑢𝐶 = 𝑃𝑢𝐶 𝑥 2 + 1,2𝑥
𝑃𝐶𝐷𝐿
5𝑞𝐷𝐿 𝐿4 𝑃𝐶𝐷𝐿 𝐿3 5 𝑥 (0,0595𝑥9,81) 𝑥 6000⁴
53,2 𝑥 1000 𝑥 60003
+
=
+
= 8,4 𝑚𝑚
384𝐸I
28𝐸I
384 𝑥 200000 𝑥 250 x 106 28 𝑥 200000 𝑥 250 x 106
∆𝐶𝐷𝐿 =
𝐿
∆𝐶𝐷𝐿 <
360
= 16,7 𝑚𝑚 OK
Para calcular la resistencia de la sección de acero no compuesta, primero se clasifica la sección de acuerdo
con la sección B4 de la norma.
𝑏
𝑡𝑓
ℎ
𝑡𝑤
=
=
150⁄2
14
422
8
𝐸
= 5,4 < 0,38√
𝐹𝑦
= 52,8 < 3,76√
𝐸
𝐹𝑦
200000
= 0,38√
345
= 9,15 →Ala compacta
= 90,53 →Alma compacta
La sección clasifica como compacta, y se aplica la sección F.2 de la norma.
La distancia entre arriostramientos contra el pandeo lateral torsional se puede considerar como la distancia
entre vigas de piso, siempre y cuando estas últimas se conecten lo más cercano posible al ala superior.
𝐿𝑏 = 2 𝑚
𝐿𝑝 = 1,76𝑟𝑦 √
𝑟𝑡𝑠 2 =
𝐸
200000
= 1,76 𝑥 32,3 𝑥 √
= 1369 𝑚𝑚
𝐹𝑦
345
𝐼𝑦 ℎ𝑜 (7,89𝑥106 ) 𝑥 (450 − 14)
=
= 1549,6 ∴ 𝑟𝑡𝑠 = 39,4𝑚𝑚
2𝑆𝑥
2 𝑥 (1110𝑥103 )
𝐿𝑟 = 1,95𝑟𝑡𝑠
0,7𝐹𝑦 2
𝐸
𝐽𝑐
𝐽𝑐 2
√
+ √(
) + 6,76 (
)
0,7𝐹𝑦 𝑆𝑥 ℎ𝑜
𝑆𝑥 ℎ𝑜
𝐸
2
= 1,95 𝑥 39,4 𝑥
(34,9𝑥104 ) 𝑥 1
(34,9𝑥104 ) 𝑥 1
200000
0,7 𝑥 345 2
√
√(
+
)
+
6,76
(
)
(1110𝑥103 ) 𝑥 436
0,7 𝑥 345 (1110𝑥103 ) 𝑥 436
200000
= 3995 𝑚𝑚
De la Figura 7.8, 𝐶𝑏 = 1
𝑀𝑝 = 𝑍𝑥 𝐹𝑦 = 438,84 kN − m
𝑀𝑛 = 𝐶𝑏 [𝑀𝑝 − (𝑀𝑝 − 0,7𝐹𝑦 𝑆𝑥 ) (
𝐿𝑏 − 𝐿𝑝
)] ≤ 𝑀𝑝
𝐿𝑟 − 𝐿𝑝
2000 − 1369
𝑀𝑛 = 1,0 [438840000 − (438840000 − 0,7 𝑥 345 𝑥 (1110𝑥103 )) (
)] ≤ 531712 𝑥103
3995 − 1369
𝑀𝑛 = 397,8𝑘𝑁 − 𝑚 < 438,8 𝑘𝑁 − 𝑚
𝜙𝑀𝑛 = 358,0 𝑘𝑁 − 𝑚 > 𝑀𝑢𝐶
Se verifica que no se requiere contraflecha ni alzaprima para la viga principal.
255
256
9.1.
Introducción
Tradicionalmente se ha llamado “vigas-columnas” a los elementos que presentan simultáneamente
esfuerzos de flexión y axiales. El caso más obvio de interacción de flexión con axial corresponde a
columnas de marcos rígidos resistentes a cargas horizontales, pero son varios elementos en que
este efecto puede ser relevante, como cuerdas de enrejados, columnas de marcos arriostrados
sometidas a cargas distribuidas en su longitud, diagonales de techo, entre otros. El comportamiento
de las vigas-columnas no sólo depende de la interacción por resistencia de los esfuerzos
individuales, sino de los efectos de segundo orden que afectan al elemento. Cuando la flexión se
combina con tracción, la probabilidad de inestabilidad se reduce y la fluencia generalmente
gobierna el diseño. Para flexión combinada con compresión, la posibilidad de inestabilidad aumenta,
ya que aparecen momentos secundarios iguales a la fuerza axial por la deflexión.
9.2.
Ecuaciones de diseño
Hasta el momento en el presente texto se han estudiado miembros sometidos a sólo un tipo de
solicitación: tracción axial, compresión axial, flexión y compresión, cuyas ecuaciones de diseño se
presentan en los capítulos D, E, F y G de la norma NCh 427/1, respectivamente. El Capítulo H de la
norma cubre los miembros sometidos a combinación de dos o más de las solicitaciones definidas
previamente, así como también solicitaciones de torsión. Las disposiciones caen en dos categorías:
la mayoría de los casos que pueden tratarse por ecuaciones de interacción que involucran sumas de
razones demanda/capacidad (sección H.1); y los casos donde los esfuerzos debidos a las
solicitaciones se suman y comparan con tensiones de pandeo o fluencia. El diseñador sólo en raras
ocasiones tendrá que consultar las disposiciones de las secciones H.2 y H.3.
Las ecuaciones de interacción para miembros con simetría doble y simple sometidos a flexión y
compresión se presentan en la sección H.1 de la norma NCh 427/1, y se muestran a continuación:
𝑃𝑟
⁄𝑃 ≥ 0,2
𝑐
Ec. H1-1a de NCh427/1:
Cuando
𝑃𝑟
⁄𝑃 < 0,2
𝑐
Ec. H1-1b de NCh427/1:
𝑃𝑟 8 𝑀𝑟𝑥 𝑀𝑟𝑦
+ (
+
) ≤ 1,0
𝑃𝑐 9 𝑀𝑐𝑥 𝑀𝑐𝑦
(9.1)
𝑃𝑟
𝑀𝑟𝑥 𝑀𝑟𝑦
+(
+
) ≤ 1,0
2𝑃𝑐
𝑀𝑐𝑥 𝑀𝑐𝑦
(9.2)
Cuando
Donde:
𝑃𝑟 , 𝑀𝑟 = Resistencia requerida de compresión axial y flexión (demanda), respectivamente, usando
combinaciones de carga LRFD o ASD.
𝑃𝑐 , 𝑀𝑐 = Resistencia de compresión axial y flexión disponible, respectivamente, ya sea de diseño
para LRFD o admisible para ASD.
x, y = subíndice que indica flexión en torno al eje fuerte o débil, respectivamente.
Las resistencias 𝑃𝑐 , 𝑀𝑐 se determinan de acuerdo con los capítulos E y F de la norma, con los factores
𝜙 y Ω correspondientes. Las demandas de momento deben incluir el efecto de esbeltez de los
miembros en compresión, es decir, los efectos P-delta que se discuten en las siguientes secciones.
257
9.3.
Ecuación diferencial para compresión axial y flexión
Se considera el caso general de la Figura 9.1, donde la carga lateral w(z) combinada con momentos
en los extremos M1 y M2 constituyen el momento flector primario Mi que es función de z. Este
momento primario causa que el miembro tenga una deflexión, lo que provoca el momento
secundario 𝑃𝑦. La ecuación de flexión de vigas se puede escribir como:
𝑤(𝑧)
𝑀1
𝑀2
𝑦
𝑃
𝑃
𝑧
𝑧
𝐿
𝑦
w(z)
Figura 9.1. Flexión de vigas-columnas.
𝑀𝑧 = 𝑀𝑖 + 𝑃𝑦 = −𝐸𝐼
𝑑2 𝑦
𝑑𝑧 2
Dividiendo por EI, en el caso de secciones contantes, se obtiene:
𝑑2 𝑦 𝑃
𝑀𝑖
+ 𝑦=−
2
𝑑𝑧
𝐸𝐼
𝐸𝐼
(9.3)
(9.4)
Para propósitos de diseño, la expresión general de momento Mz es de mayor importancia que la
deflexión, y. Diferenciando dos veces da:
𝑑4𝑦 𝑃 𝑑2 𝑦
1 𝑑 2 𝑀𝑖
+
=−
𝑑𝑧 4 𝐸𝐼 𝑑𝑧 2
𝐸𝐼 𝑑𝑧 2
(9.5)
De la ecuación 9.3,
𝑑2 𝑦
𝑑𝑧 2
𝑀
= − 𝐸𝐼𝑧 y
𝑑4 𝑦
𝑑𝑧 4
1 𝑑2 𝑀𝑧
= − 𝐸𝐼
(9.6)
𝑑𝑧 2
Sustituyendo en la ecuación 9.5 da:
−
1 𝑑2 𝑀𝑧 𝑃
𝑀𝑧
1 𝑑2 𝑀𝑖
+
(−
)
=
−
𝐸𝐼 𝑑𝑧 2
𝐸𝐼
𝐸𝐼
𝐸𝐼 𝑑𝑧 2
Simplificando y definiendo k = P
2
EI
,
𝑑2 𝑀𝑧
𝑑 2 𝑀𝑖
2
+ 𝑘 𝑀𝑧 =
𝑑𝑧 2
𝑑𝑧 2
258
(9.8)
(9.7)
La solución de esta ecuación diferencial es de la forma:
𝑀𝑧 = 𝐴 sin 𝑘𝑧 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑧 + 𝑓1 (𝑧)
Donde los dos primeros términos corresponden a la solución homogénea y f 1 (z) es la solución
particular. A y B son constantes que se determinan aplicando las condiciones de borde adecuadas.
Se puede probar que el máximo momento Mz se puede calcular como:
𝑀𝑧 𝑚𝑎𝑥 = √𝐴2 + 𝐵2 +
𝑓1 (𝑧)
Esta ecuación puede ser resuelta analíticamente para varios casos de carga y condiciones de apoyo.
A continuación, se presentan las soluciones de momento máximo para una viga simplemente
apoyada sometida a carga axial de compresión combinada con momentos en los extremos y carga
uniformemente distribuida. El desarrollo completo puede encontrarse en el capítulo 12 de la
Referencia 29.
Caso 1: Momentos en los extremos diferentes sin carga transversal.
𝑀1
𝑀2
𝑦
𝑃
𝑧
𝑃
𝑧
Figura 9.2. Miembro sometido a compresión y momento en los extremos.
𝑀
𝑀𝑧 𝑚𝑎𝑥
𝑀
2
1
1
√1 − 2 (𝑀2 ) cos 𝑘𝐿 + (𝑀2 )
= 𝑀2
𝑠𝑖𝑛2 𝑘𝐿
(9.9)
Si M1=M2=M,
1
)
𝑀𝑧 𝑚𝑎𝑥 = 𝑀 (
cos (𝑘𝐿⁄2)
(9.10)
Caso 2: Viga simplemente apoyada con carga transversal uniforme.
𝑤
𝑃
𝑃
𝐿
Figura 9.3. Miembro sometido a compresión y carga transversal uniformemente distribuida.
Mz max =
wL2
8
kL
(
) (sec − 1)
2
8 (kL)
2
(9.11)
259
Se puede observar que a medida que P se acerca a Pcr de Euler =𝜋 2 𝐸𝐼⁄ 2 , el momento Mz tiende a
𝐿
indeterminarse.
Varias soluciones analíticas de vigas-columnas sometidas a otras configuraciones de carga se
pueden encontrar en la literatura (consultar por ejemplo Capítulo 1 Ref. 35 y Capítulo 3 Ref.18).
9.4.
Efectos P-delta y amplificadores de momento B1 y B2
Se estudió en la sección anterior que cuando una viga-columna apoyada en sus extremos se somete
a compresión y tiene además deflexión causada por carga transversal, se generan momentos
adicionales. Este es el primer tipo de efecto P-delta (P-δ). Por otra parte, cuando se aplica
compresión a una viga-columna que está sujeta a un desplazamiento lateral relativo de sus
extremos, también se producen momentos adicionales debido al efecto desestabilizador de la carga
axial, lo que define el segundo tipo de efecto P-delta (P-Δ). Ambos efectos P-delta se ilustran en la
Figura 9.4.
Δ
𝑃
P-δ = Efecto de la carga axial actuando sobre la deformada
de un miembro entre nodos
δ
P-Δ = Efecto de la carga axial actuando sobre el
desplazamiento relativo de los extremos de un miembro
𝑃
Figura 9.4. Efectos P-δ y P-Δ en vigas-columnas.
Resolver el problema de segundo orden a través de la solución analítica de la ecuación diferencial
es en general poco práctico y limitado a ciertos casos particulares. Es común recurrir a métodos
numéricos basados en principios energéticos, tales como el principio de los trabajos virtuales o de
energía potencial, que permiten aproximarse a la solución mediante análisis matricial. La mayoría
de los programas computacionales de análisis de marcos incorporan esta formulación. Sin embargo,
previo al auge de los programas computacionales, se disponía de un método basado en la
amplificación de los momentos de primer orden, conocido como Análisis amplificado de primer
orden o Método de la longitud efectiva, el cual está prescrito en el Anexo 8 de la norma NCh 427/1
como una alternativa a un análisis riguroso de segundo orden. Este método surge del siguiente
razonamiento que simplifica el análisis de miembros con curvatura simple y extremos fijos, como se
explica a continuación.
260
Sea una viga-columna sometida a carga transversal w(z) que provoca una deflexión δ0 en el centro
del vano, como se muestra en la Figura 9.5. El momento flector secundario se puede asumir que
varía como una curva sinusoidal, lo cual es relativamente correcto para miembros en que el
momento primario y la deflexión son máximas en el centro de la luz.
𝑤(𝑧)
𝑃
𝑃
𝑦
δ0
𝑧
𝑀𝑧 𝑚𝑎𝑥 = 𝑀𝑜 + 𝑃𝑦𝑚𝑎𝑥
𝑧
𝑦1
Momento primario 𝑀𝑖
𝑀𝑜
𝑀𝑖
𝑃(δ0 + 𝑦1 )
𝑃𝑦
))
Momento secundario 𝑃𝑖
Centroide del área sombreada
𝐿⁄
𝜋
𝐿⁄
2
Figura 9.5. Momentos primario y secundario.
La porción de la deflexión en el centro y1 debida al momento secundario es igual al momento de
área del diagrama M/EI entre el apoyo y el centro (porción sombreada) tomado con respecto al
apoyo, de acuerdo con el teorema de momento-área.
𝑃
𝐿 2 𝐿
𝑃𝐿2
𝑦1 = (𝑦1 + 𝛿0 ) ( ) ( ) = (𝑦1 + 𝛿0 ) 2
𝐸𝐼
2 𝜋 𝜋
𝜋 𝐸𝐼
Utilizando la definición de carga crítica de Euler:
𝑃
𝑦1 = (𝑦1 + 𝛿0 ) 𝑃 ; 𝑃𝑒 = 𝜋 2 𝐸𝐼⁄𝐿2
𝑒
Resolviendo para y1,
𝑃⁄𝑃
𝛼
𝑦1 = 𝛿0 [1−𝑃⁄𝑒𝑃 ] = 𝛿0 [1−𝛼]; 𝛼 = 𝑃⁄𝑃
𝑒
𝑒
Así, la deflexión máxima se calcula a partir de la deflexión de primer orden como:
𝛼
𝛿0
(9.12)
]=
1−𝛼
1−𝛼
Por otra parte, el máximo momento flector incluyendo el efecto axial se calcula como:
𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝛿0 + 𝛿0 [
𝑀𝑧 𝑚𝑎𝑥 = 𝑀𝑜 + 𝑃𝑦𝑚𝑎𝑥
261
Sustituyendo la expresión de 𝑦𝑚𝑎𝑥 de la ecuación 9.12 y considerando que 𝑃 = 𝛼𝑃𝑒 , el momento
𝑀𝑧 𝑚𝑎𝑥 se puede escribir como el momento primario multiplicado por un factor de amplificación
𝐵1 :
𝑀𝑧 𝑚𝑎𝑥 = 𝑀0 𝐵1
(9.13)
𝐵1 =
𝐶𝑚
1−𝛼
𝜋2 𝐸𝐼𝛿0
𝑀0 𝐿2
; 𝐶𝑚 = 1 + (
𝐶𝑚 = 1 + (
− 1) 𝛼
(9.14)
𝜋 2 𝐸𝐼𝛿0
− 1) 𝛼
𝑀0 𝐿2
Esta fórmula del factor de amplificación es equivalente a la presentada en la ecuación A-8-3 del
Anexo 8 de la norma NCh 427/1. En la sección 8.2 de dicho anexo se establece además que el
coeficiente 𝐶𝑚 para vigas-columnas con carga transversal se puede adoptar conservadoramente
igual a 1,0 o se puede determinar mediante análisis, lo que corresponde a utilizar la ecuación 9.14
o valores tabulados, como los mostrados en la Tabla C-A-8.1 de los comentarios del AISC 360-10
[Ref. 12].
Para miembros sometidos a compresión y momento en los extremos sin carga transversal, a partir
de la ecuación 9.9, se puede establecer una fórmula general para el coeficiente Cm:
𝐶𝑚 = √
(𝑀1 ⁄𝑀2 )2 − 2(𝑀1 ⁄𝑀2 ) cos 𝑘𝐿 + 1
2(1 − cos 𝑘𝐿)
(9.15)
Sin embargo, esta ecuación no considera completamente el caso de curvatura doble. El AISC ocupa
una expresión aproximada, adoptada por la norma NCh 427/1 (Ec. A-8-4), dada por:
𝐶𝑚 = 0,6 − 0,4(𝑀1 ⁄𝑀2 )
(9.16)
Donde 𝑀1 y 𝑀2 son el momento menor y mayor de primer orden, respectivamente, en los extremos
del tramo del miembro en el plano de flexión. El cuociente 𝑀1 ⁄𝑀2 es positivo cuando el miembro
se flexiona en curvatura doble, y negativo en el caso de curvatura simple.
Para marcos rígidos (no arriostrados), donde los extremos de los miembros sufren desplazamiento
relativo, el método previamente descrito no conduce a soluciones simplificadas para el factor de
amplificación debido. En la sección 14.4 de la Referencia 34 se puede encontrar el desarrollo de una
expresión de los momentos en columnas de marcos rígidos considerando el efecto de la carga axial
de compresión, lo que conduce a una expresión bastante extensa. Para efectos prácticos, de manera
similar al caso de miembros con nudos fijos, se define un factor de amplificación, 𝐵2 , que amplifica
los momentos de primer orden producidos por el desplazamiento lateral de la estructura dado por
la siguiente ecuación (Ec. A-8-6 de la norma NCh 427/1):
𝐵2 =
1
𝛼𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜
1 − 𝑃 𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜
≥1
Donde:
∑ 𝑃𝑢 = Carga vertical total soportada por el piso, a nivel LRFD.
262
(9.17)
𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 = Carga vertical total soportada por el piso empleando las combinaciones de carga LRFD o ASD,
incluyendo las cargas en las columnas que no sean parte del sistema resistente a cargas laterales.
𝛼 = 1 para LRFD; 𝛼 = 1,6 para ASD;
𝑃𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜 = Resistencia a pandeo elástico del piso, en la dirección de traslación considerada. Se puede
determinar por análisis de pandeo del marco o por medio de la ecuación A-8-7 de la norma (ver
Ejemplo 9.4).
Finalmente, una vez determinados los coeficientes B1 y B2, las demandas de momento y
axial se calculan mediante las ecuaciones A-8-1 y A-8-2 de la norma:
𝑀𝑟 = 𝐵1 𝑀𝑛𝑡 + 𝐵2 𝑀𝑙𝑡
𝑃𝑟 = 𝑃𝑛𝑡 + 𝐵2 𝑃𝑙𝑡
(9.18)
(9.19)
Donde:
𝐵1 = Factor que amplifica los efectos P-δ, determinado para cada miembro solicitado a compresión
y a flexión, y cada dirección de flexión del miembro, de acuerdo con la sección 8.2.1 de la norma.
𝐵1 se toma como 1,0 para miembros no solicitados a compresión.
𝐵2 = Factor que amplifica los efectos P- Δ, determinado para cada piso de la estructura y para cada
dirección de traslación lateral, de acuerdo con la sección 8.2.2 de la norma.
𝑀𝑙𝑡 , 𝑃𝑙𝑡 = Momento y fuerza axial de primer orden, respectivamente, usando las combinaciones
LRFD o ASD, originado sólo por el desplazamiento lateral de la estructura (lt = “lateral translation”).
𝑀𝑛𝑡 , 𝑃𝑛𝑡 = Momento y fuerza axial de primer orden, respectivamente, cuando en la estructura se
restringe el desplazamiento lateral, usando las combinaciones LRFD o ASD (nt = “no translation”).
𝑀𝑟 , 𝑃𝑟 = Resistencia requerida (demanda) de segundo orden a flexión o fuerza axial usando las
combinaciones LRFD o ASD.
Cabe señalar que tradicionalmente en Chile los análisis a cargas laterales (viento o sismo) no
incorporan el efecto P-Δ, no existiendo casos conocidos de fallas atribuibles a este fenómeno. Este
efecto ha quedado cubierto mediante la fijación de deformaciones laterales y el establecimiento de
un corte basal mínimo. Por ejemplo, la norma NCh 2369 de Diseño Sísmico de Edificios Industriales
fija un límite de deformación de entrepiso 0.015H/R1 para que no sea necesario realizar un análisis
P-Δ, en que H es la altura entrepiso y R1 es el factor de modificación de respuesta efectivo. En cuanto
a la norma NCh 433, se puede comprobar que al cumplir con las deformaciones de entrepiso exigidas
(0,002H calculadas con sismo reducido por R*) el coeficiente 𝐵2 apenas podría superar la unidad.
Así, parece racional no exigir el análisis P-Δ para el común de estructuras diseñadas apropiadamente
para solicitaciones sísmicas.
En los ejemplos del capítulo de la siguiente sección se presentan inicialmente el cálculo de momento
y deflexión debido a efecto P-delta en casos simples, como una columna simplemente apoyada y
una columna en voladizo con carga transversal, con el fin de introducir al lector no familiarizado con
el tópico de análisis de segundo orden. Luego se presenta un ejemplo cálculo de efecto P-delta por
diferentes métodos de un marco de momento sometido a carga gravitacional y sísmica diseñado de
manera que cumpla los drift de la norma.
263
9.5.
Ejemplos análisis de segundo orden y flexo-compresión
Ejemplo 9.1
Calcular el momento y deflexión máxima en la viga-columna simplemente apoyada de la Figura 9.6,
sometida a carga axial de compresión combinada con carga transversal uniformemente distribuida,
incluyendo el efecto P-delta. El perfil corresponde a una sección laminada W 14x48.
8530 mm
2,92 kN/m
𝑃
Figura 9.6. Viga-columna ejemplo 9.1.
SOLUCIÓN
Este ejemplo corresponde a un problema benchmark recomendado en el Comentario del Capítulo C del
AISC 360-10 (Ref. 12), con el fin de determinar la validez del procedimiento de análisis o programa
computacional utilizado para incorporar los efectos de segundo orden. Este problema contiene sólo efecto
P-δ ya que no hay desplazamiento relativo entre los extremos. En la siguiente tabla se presentan los valores
de referencia de momento y desplazamiento máximos para diferentes valores de carga axial.
Fuerza axial P, (kN)
Mmax (kN-m)
0
26,6
[26,6]
Δmax (mm)
5,13
[5,02]
Nota: Los resultados de la fila superior incluyen
corchetes no incluyen deformaciones por corte.
667
30,5
[30,4]
5,86
[5,71]
deformación axial,
1334
2001
35,7
43,0
[35,4]
[42,4]
6,84
8,21
[6,63]
[7,91]
flexural y de corte. Los valores entre
En primer lugar, se comparan los momentos máximos con los que se pueden calcular mediante la ecuación
9.11, que corresponde a la solución analítica de la ecuación diferencial de viga-columna bajo la teoría de
vigas de Euler-Bernoulli.
E = 200000 MPa
I = 484 in4 =201456010 mm4
L = 8530 mm
q = 2,92 kN/m = 2,92 N/mm
2
𝑃𝑒 = 𝜋 𝐸𝐼⁄𝐿2 =5465274 N
P (kN)
k
Mmax (kN-m)
264
0
26,56
667
1334
2001
0,000129 0,000182 0,000223
30,35
35,38
42,35
Como era de esperar, los momentos máximos son prácticamente iguales a los mostrados como valores de
referencia. Ahora se aplica el método de análisis amplificado de primer orden, para lo cual se requiere
calcular la razón entre la carga axial aplicada y la carga crítica de Euler, 𝛼, el coeficiente 𝐶𝑚 y el factor de
amplificación 𝐵1 , con las ecuaciones 9.12 a 9.14.
5𝑞𝐿4
= 5,00 𝑚𝑚
384𝐸I
2
𝑞𝐿
𝑀𝑜 =
= 26,56 𝑘𝑁 − 𝑚
8
𝛿𝑜 =
P (kN)
a
ymax (mm)
0
0,00
5,00
667
0,12
5,69
1334
0,24
6,61
2001
0,37
7,88
Cm
1,000
1,003
1,007
1,010
B1
1,000
1,143
1,332
1,594
Mmax (kN-m)
26,56
30,35
35,37
42,33
Se observa que los valores de deflexión y desplazamiento son muy similares a los de referencia. Por otra
parte, se comprueba que el coeficiente 𝐶𝑚 es muy cercano a 1,0 tal como recomienda la norma.
265
Ejemplo 9.2
Calcular el momento y deflexión máxima en la viga-columna de la Figura 9.7, sometida a carga axial de
compresión combinada con carga lateral en su extremo libre, incluyendo el efecto P-delta. El perfil
corresponde a una sección laminada W 14x48.
𝑃
8530 mm
𝐻 = 4,45𝑘𝑁
Figura 9.7. Viga-columna ejemplo 9.2.
SOLUCIÓN
Este ejemplo también corresponde a un problema benchmark recomendado en el Comentario del Capítulo
C del AISC 360-10 (Ref. 12). Este problema contiene tanto efecto P-δ como P-Δ. En la siguiente tabla se
presentan los valores de referencia de momento y desplazamiento máximos para diferentes valores de
carga axial.
Fuerza axial P, (kN)
Mmax (kN-m)
0
38,0
[38,0]
Δmax (mm)
23,1
[22,9]
Nota: Los resultados de la fila superior incluyen
corchetes no incluyen deformaciones por corte.
445
53,2
[53,1]
34,2
[33,9]
deformación axial,
667
890
68,1
97,2
[67,7]
[96,2]
45,1
66,6
[44,6]
[65,4]
flexural y de corte. Los valores entre
La solución analítica bajo la teoría de Euler-Bernoulli para el momento y deflexión máxima se puede
encontrar en el Apéndice 7 del estándar AISC 360-05 (Ref. 8).
tan 𝛼
𝑃𝐿2
𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝐻𝐿 (
) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛼 = √
, 𝑀𝑜 = 𝐻𝐿
𝛼
𝐸𝐼
𝛿𝑚𝑎𝑥 =
𝐻𝐿3 3(tan 𝛼 − 𝛼)
𝐻𝐿3
(
)
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
𝛿
=
𝑜
3𝐸I
𝛼3
3𝐸I
En primer lugar se comparan el momento y deflexión máximos de la solución analítica con los valores de
referencia, obteniendo valores:
𝑀𝑜 = 𝐻𝐿 = 37,96 𝑘𝑁 − 𝑚
266
𝛿𝑜 =
𝐻𝐿3
= 22,85 𝑚𝑚
3𝐸I
P (kN)
a
d max (mm)
Mmax (kN-m)
0
22,85
445
0,90
33,74
667
1,10
44,34
890
1,27
64,95
37,96
52,97
67,54
95,76
Ahora se aplica el método de análisis amplificado de primer orden, de acuerdo con la ecuación 9.18. Ya que
el momento 𝑀𝑛𝑡 es igual a 0, sólo se debe determinar el factor de amplificación 𝐵2 , según la ecuación 9.17.
Como la columna está en cantiléver, el valor de K es igual a 2 (ver Figura 6.4).
𝜋2 𝐸𝐼
𝑃𝑒 = ∑ 𝑃𝑒2 = (𝐾𝐿)2 = 1366,318 𝑘𝑁
1
𝐵2 =
∑𝑃
1−∑ 𝑢
𝑃𝑒2
𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝐵2 𝑀𝑙𝑡 = 𝐵2 𝑀𝑜
P= SPu (kN)
0
445
667
890
1,0
1,483
1,954
2,868
37,959
56,293
74,163
108,884
B2
Mmax (kN-m)
Se observa cierta correlación, aunque los valores calculados por el método simplificado son levemente
mayores a los teóricos. Por otra parte, se puede comprobar que el error disminuye si se calcula la
resistencia al pandeo elástico del piso, ∑ 𝑃𝑒2 , de acuerdo con la ecuación A-8-7 de la norma, como se
presenta a continuación:
𝐻𝐿
∑ 𝑃𝑒2 = 𝑃𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜 = 𝑅𝑀
(Ec. A-8-7 NCh 427/1)
Δ𝐻
𝑃𝑚𝑓
𝑅𝑀 = 1 − 0,15
(Ec. A-8-8 NCh 427/1)
⁄𝑃
𝑝𝑖𝑠𝑜
Para este ejemplo, 𝑃𝑚𝑓 = 𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 , por lo que 𝑅𝑀 = 0,85. Además, 𝐻𝐿 = 𝑀𝑜 y Δ𝐻 = 𝛿𝑜 . Así,
𝑃𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜 = 1412,06 𝑘𝑁
Con este valor se calcula nuevamente el factor 𝐵2 y luego el momento máximo:
P= SPu (kN)
B2
Mmax (kN-m)
0
445
667
890
1,0
1,460
1,895
2,705
37,959
55,425
71,940
102,670
267
Ejemplo 9.3
Para el marco no arriostrado de la Figura 9.8, correspondiente a una estructura industrial, se pide:
a) Calcular las fuerzas laterales en cada nivel para realizar análisis sísmico estático mediante la norma NCh
2369.Of2003 (Ref. 24). Considere zona sísmica 2, suelo tipo II, coeficiente de importancia I=1 y que toda la
sobrecarga de uso contribuye a la masa sísmica.
b) Verificar que los desplazamientos laterales cumplan los límites de la norma.
c) Determine los factores de amplificación B1 y B2 necesarios para realizar el análisis P-delta mediante
análisis amplificado de primer orden. Considere la combinación de cargas gravitacionales y sísmicas
(método LRFD), sin sismo vertical.
d) Comparar los resultados con un análisis de segundo orden mediante programa computacional.
e) Verificar la columna más solicitada a flexo-compresión.
Se utilizan perfiles I soldados de acero calidad ASTM A-36. La sección de las columnas es un perfil especial
(no tabulado en manual ICHA) HE 500x300x173,7 (500x300x28x12), y la sección de las vigas es H
400x300x139,7 (400x300x25x8). Las uniones viga-columna son rígidas y las columnas se encuentran
rotuladas en sus apoyos.
wDL= 9 kN/m
wLL= 12 kN/m
3,6m
wDL= 30 kN/m
wLL= 15 kN/m
3,6m
wDL= 30 kN/m
wLL= 15 kN/m
3,6m
8m
8m
Figura 9.8. Marco no arriostrado ejemplo 9.3, cargas gravitacionales y dimensiones.
SOLUCIÓN
Propiedades de las secciones:
2
4
A (mm ) Ix (mm4)
Sección
Iy (mm4) rx (mm) ry (mm) Zx (mm3) Zy (mm3) J (mm ) Sx (mm3)
HE 500x300x28x12
22128 1024318784 126063936
215,2
75,5 4556208 1267992 4646144 4097275
H 400x300x25x8
19552 609448789 126014677
176,6
80,3 3361472 1262752 4449109 3047244
a)
Primero se calcula el peso sísmico de cada piso, considerando el total de la sobrecarga de uso (LL) y el peso
propio de los perfiles.
𝑃1 = 𝑃2 = 16 𝑥 (30 + 15) + 16 𝑥 139,7 𝑥
268
9,81
9,81
+ 3,6 𝑥 3 𝑥 173,7 𝑥
= 760,3 𝑘𝑁
1000
1000
𝑃3 = 16 𝑥 (9 + 12) + 16 𝑥 139,7 𝑥
9,81
9,81
+ 1,8 𝑥 3 𝑥 173,7 𝑥
= 367,1 𝑘𝑁
1000
1000
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑠í𝑠𝑚𝑖𝑐𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃 = 1887,8 𝑘𝑁 (equivale a una masa sísmica de 192,4 T)
El coeficiente sísmico se obtiene de la ecuación 5-2 de la norma NCh 2369, el cual no debe ser menor que
0.25Ao/g. Los parámetros de la ecuación se definen a continuación.
𝑛
𝐶=
2.75𝐴0 𝑇′
0,05′
( ∗) (
)
𝑔𝑅
𝑇
𝜉
0,4
Ao = 0.3g (Zona sísmica II)
R =5, Tabla 5.6 de la norma, marcos dúctiles de acero.
ξ = 0,03, Tabla 5.5 de la norma, marcos de acero con uniones apernadas
T’ = 0.35, n = 1.33, de Tabla 5.4 de la norma para suelo tipo II.
El período fundamental, T*, debe obtenerse mediante análisis modal de la estructura, para lo que se
recomienda el uso de algún programa de análisis estructural. El periodo fundamental obtenido con el
programa SAP 2000 es T1=0,892 s, con un factor de masa acumulada igual a 0.94.
T*= 0,892 s
0,25𝐴0
𝐶 = 0,058 < 𝐶𝑚𝑖𝑛 =
= 0,075 → Controla el corte mínimo
𝑔
𝐶 = 0,075
Luego se calcula el corte basal horizontal de acuerdo con la ecuación 5-1 de la norma.
𝑄0 = 𝐶𝐼𝑃 = 0,075 𝑥 1 𝑥 1887,8 = 141,58 𝑘𝑁
Las fuerzas sísmicas en el método estático se distribuyen en altura según las ecuaciones 5-3 y 5-4 de la
norma NCh2369. La definición de las variables involucradas se encuentra en la sección 5.3.5 de la norma.
𝐹𝑘 =
𝐴𝑘 = √1 −
Nivel
Peso sísmico nivel
Z (m)
Ak
Aj P j
Fk (kN)
1
760,3
3,6
0,184
139,52
37,04
𝐴𝑘 𝑃𝑘
𝑄
∑ 𝐴𝑗 𝑃𝑗 0
𝑍𝑘−1
𝑍𝑘
− √1 −
𝐻
𝐻
2
760,3
7,2
0,239
181,83
48,27
3
367,1
10,8
0,577
211,96
56,27
Suma
1,0
533,32
141,58
Tales son las fuerzas sísmicas que se deben aplicar al modelo de la estructura, como muestra en la Figura
9.9.
269
Figura 9.9. Cargas sísmicas (kN) marco ejemplo 9.3.
b)
Se calculan a continuación los desplazamientos laterales producidos por la carga sísmica mediante
programa computacional. En la Figura 9.10 se muestra la deformada de la estructural con los
desplazamientos de cada nivel.
Figura 9.10. Deformada para carga sísmica reducida por R.
De acuerdo con la sección 6.1 de la norma NCh 2369Of.2003, cuando el análisis se hace con solicitaciones
reducidas por el factor R, los desplazamientos se determinan mediante la ecuación 6-1 de la norma.
𝑑 = 𝑑0 + 𝑅1 𝑑𝑑
Según las definiciones de la sección 6.1, 𝑑0 es igual a 0 y 𝑅1 = 𝑅. Por otra parte, los desplazamientos
amplificados relativos entre piso, de acuerdo con la sección 6.3 de la norma, no deben superar a 0.015h,
siendo h la altura del piso. En este caso, para el drift del primer piso se obtiene:
𝑑 = 5 𝑥 10,8 = 54 𝑚𝑚 = 𝑑𝑚𝑎𝑥 = 0,015 𝑥 3600 = 54 𝑚𝑚 OK
Se verifica correctamente entonces las deformaciones sísmicas de la estructura.
270
c)
Para el método amplificado de primer orden según las ecuaciones A-8-1 y A-8-2 de la norma NCh 427/1, se
requieren los factores B1 y B2. Para una estructura simétrica como la del ejemplo, que prácticamente no
sufre desplazamientos laterales ante cargas gravitacionales, el factor B 1 básicamente amplifica los
momentos debido a cargas verticales en función de cuan cercana sea la carga axial en las columnas
comparada con la resistencia al pandeo de Euler en el plano de flexión. Por otra parte, el factor B2 amplifica
los momentos y carga axial debidos a la carga lateral.
El factor B1 se calcula con la ecuación A-8-3 de la norma:
𝐶𝑚
≥1
𝑃
1 − 𝑟⁄𝑃
𝑒1
En la ecuación, la fuerza Pr puede tomarse como la carga axial del análisis de primer orden, y Pe1 es la carga
de pandeo de la columna considerando como apoyada en sus extremos (K=1). Cm se define en la ecuación
A-8-4 de la norma NCh 427/1 para miembros sin carga transversal.
𝑀
𝐶𝑚 = 0,6 − 0,4 1⁄𝑀
2
Donde M1 y M2 son el momento menor y mayor en los extremos del tramo del miembro. En el caso de las
columnas del primer piso, al estar rotuladas en el apoyo, 𝑀1 = 0 y 𝐶𝑚 = 0,6.
𝐵1 =
𝑃𝑒1 =
𝜋 2 𝐸𝐼 𝜋 2 𝑥 200000 𝑥 1024318784
=
= 156012,7 𝑘𝑁
𝐿2
36002
Pr debe determinarse del análisis estructural. Para ello debe establecerse primero la combinación de cargas
adecuada, de acuerdo con la sección 4.5 de la norma NCh 2369. Considerando la sobrecarga de uso sin
reducción y, para este ejemplo, eliminando la acción del sismo vertical, la combinación de carga para el
método LRFD es 1,2𝐶𝑃 + 𝑆𝐶 + 1,1𝑆𝑋, en que CP corresponde a las cargas permanentes, SC la sobrecarga
de uso y SX el sismo. El análisis estructural realizado con el programa SAP 2000 entrega el diagrama de
fuerza axial de la Figura 9.11, de donde se observa que la columna central del primer nivel soporta una
carga axial de compresión Pr = 1083,4 kN. Ahora se puede calcular el valor de B1 como sigue:
𝐶𝑚
0,6
𝐵1 =
=
= 0,604 < 1 ∴ 𝐵1 = 1
𝑃𝑟
1083,4
1−
⁄156012,7
1 − ⁄𝑃
𝑒1
Figura 9.11. Diagrama de fuerza axial (kN) para combinación 1,2CP+SC+1,1SX.
271
Era de esperarse este valor, es decir, que no haya efecto P-δ, ya que no hay cargas transversales y la rigidez
flexural de las columnas en el plano de flexión es tan alta que su carga teórica de pandeo en el eje fuerte
es considerablemente mayor que la carga solicitante. Más aún, la carga de pandeo elástico, 𝑃𝑒1 , pareciera
no tener siquiera sentido físico. Esto ocurre debido al cumplimiento de la exigencia de deformaciones
sísmicas de la norma.
El factor B2 se determina mediante la ecuación A-8-6 de la norma NCh 427/1:
1
𝐵2 =
𝛼𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 ≥ 1
1−
𝑃𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜
La carga total sobre el piso, 𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 , para la combinación LRFD indicada previamente se puede determinar
manualmente, ya que corresponde a la suma de las cargas permanentes y sobrecarga mayoradas aplicadas
sobre la estructura, y el sismo horizontal no genera globalmente una carga vertical.
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙𝑒𝑠 = 139,7 𝑥 16 𝑥 3 + 173,7 𝑥 3 𝑥 10,8 = 10098 𝑘𝑔 = 121 𝑘𝑁
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 = 32 𝑥 (1,2 𝑥 30 + 15) + 16 𝑥 (1,2 𝑥 9 + 12) + 1,2 𝑥 121 = 2142,0 𝑘𝑁
Este valor corresponde lógicamente a la suma de las fuerzas axiales indicadas en la Figura 9.11. La
resistencia a pandeo elástico del piso, 𝑃𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜 , en la dirección de traslación considerada, se puede calcular
mediante análisis al pandeo por desplazamiento lateral o por medio de la ecuación A-8-7 de la norma, que
se basa en la formulación basada en la rigidez de piso descrita en el Comentario del Anexo 7 del AISC 36010 (ver ecuaciones C-A-7-5 y C-A-7-6). Para el análisis de pandeo se puede recurrir a la ayuda de algún
programa computacional. Por otra parte, la especificación AISC 360-05 en su sección C2 ofrecía una fórmula
basada en la resistencia al pandeo de cada columna, aplicable sólo a edificios en que la rigidez lateral se
provee completamente por los marcos de momento:
𝜋2 𝐸𝐼
∑ 𝑃𝑒2 = ∑
(𝐾
2
2 𝐿)
(Ecuación C-A-8-1 AISC 360-10)
Dicha ecuación fue eliminada del AISC 360-10 y por lo tanto no incluida en la norma NCh 427/1 ya que su
aplicabilidad era limitada y requería calcular el coeficiente K2 correctamente.
En el presente ejemplo, con el fin de ilustrar estos métodos, se calcula 𝑃𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜 primero utilizando el programa
SAP 2000, luego como la suma de las resistencias de las columnas, y finalmente según la ecuación A-8-7 de
la norma. Para cada resultado se presenta además el valor del factor B2.
Análisis de pandeo mediante análisis matricial (con programa computacional):
En este análisis se consideran las cargas distribuidas * de peso propio y sobrecarga, y se utiliza la
combinación de cargas gravitacionales mayoradas. La carga de pandeo de la estructura, y por lo tanto del
primer piso, se calcula como el peso total determinado previamente multiplicado por el factor obtenido
(valor propio) del primer modo de pandeo:
𝑃𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜 = 2142 𝑥 25,4 = 54406,5 𝑘𝑁
1
1
𝐵2 =
𝛼𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 =
1 𝑥 2142 = 1,041
1−
1−
𝑃𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜
272
54406,5
Figura 9.12. Resultados análisis de pandeo.
La carga de pandeo global de la estructura depende en parte de la distribución de la carga. Usualmente las
soluciones analíticas de carga de pandeo de marcos se plantean para columnas con cargas puntuales, para
que todas las columnas tengan la misma carga. En el ejemplo mostrado, la columna central soporta
aproximadamente el doble de carga que las columnas exteriores. Al resolver computacionalmente el
problema de pandeo de la estructura aplicando cargas puntuales iguales en el nivel superior de las
columnas (como en la Figura 6.15), se obtuvo un valor de carga de pandeo de 48987 kN.
Análisis de pandeo mediante ecuación C-A-8-1 AISC 360-10:
Se requiere calcular el coeficiente K2 de cada columna del primer piso por el método de la longitud efectiva,
descrito en el comentario del Anexo 7 del AISC 360-10 (ver Sección 6.7 del presente texto). Para efectos de
comparación con los valores obtenidos del análisis matricial, se considera el valor teórico de G en los
apoyos, es decir, GA→∞.
Para columna interior:
∑ 𝐼𝑐 ⁄𝐿𝑐 2 𝑥 1024,3 𝑥106 ⁄3600
=
= 4,09
∑ 𝐼𝑔 ⁄𝐿𝑔
2 𝑥 556,7 𝑥106 ⁄8000
De la Ecuación (6.12), 𝐾 = 3,2
𝜋 2 𝐸𝐼
𝑃𝑒2 =
= 15235,6 𝑘𝑁
(𝐾2 𝐿)2
𝐺𝐵 =
Para columna exterior:
2 𝑥 1024,3 𝑥106 ⁄3600
= 8,18
556,7 𝑥106 ⁄8000
De la Ecuación (6.12), 𝐾 = 4,1
𝜋 2 𝐸𝐼
𝑃𝑒2 =
= 9280,9 𝑘𝑁
(𝐾2 𝐿)2
𝐺𝐵 =
273
𝜋2 𝐸𝐼
∑ 𝑃𝑒2 = ∑
= 33797,5 𝑘𝑁
(𝐾2 𝐿)2
1
1
𝐵2 =
𝛼𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 =
1 𝑥 2142 = 1,068
1−
1− ∑
33797,5
𝑃𝑒2
Análisis de pandeo mediante ecuación A-8-7 de la norma:
𝑃𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜 = 𝑅𝑀
𝐻𝐿
Δ𝐻
(Ec. A-8-7 NCh 427/1)
𝑃𝑚𝑓
(Ec. A-8-8 NCh 427/1)
⁄𝑃
𝑝𝑖𝑠𝑜
Para este ejemplo, 𝑃𝑚𝑓 = 𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 = 2142,0 𝑘𝑁, por lo que 𝑅𝑀 = 0,85.
𝐿 = 3600 𝑚𝑚
H=𝑄0 = 141,58 𝑘𝑁
Δ𝐻 = 𝑑𝑑 = 10,8 𝑚𝑚
𝑅𝑀 = 1 − 0,15
𝑃𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜 = 40114,3 𝑘𝑁
1
1
𝐵2 =
𝛼𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 =
1 𝑥 2142 = 1,056
1−
1−
𝑃𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜
40114,3
Si bien se observa cierta discrepancia entre los tres valores calculados de 𝑃𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜 , se comprueba que esta
variabilidad no afecta mayormente al factor de amplificación B2.
d)
En las Figuras 9.13, 9.14 y 9.15 se comparan los desplazamientos laterales, diagrama de fuerza axial y de
momento para el análisis de primer orden y para el análisis P-delta realizado con el programa SAP 2000,
para la combinación de carga 1,2CP+SC+1,1SX. Para mayor claridad se muestran sólo las fuerzas y
momentos del primero piso.
Figura 9.13. Deformada para combinación 1,2CP+SC+1,1SX.
274
Análisis de primer orden
Análisis de segundo orden
Figura 9.14. Diagrama de fuerza axial (kN) para combinación 1,2CP+SC+1,1SX.
Análisis de primer orden
Análisis de segundo orden
Figura 9.15. Diagrama de momento (kN-m) para combinación 1,2CP+SC+1,1SX.
Puede observarse que los resultados de ambos análisis son muy similares, debido a la poca relevancia de
los efectos P-delta. Los desplazamientos laterales y momentos aumentan en una razón de
aproximadamente 1.04, muy similar al factor B2 obtenido mediante análisis de pandeo del marco. Estos
resultados son consistentes con lo establecido en la sección 6.4 de la norma NCh2369.Of2003, que indica
que el efecto P-delta se debe considerar cuando las deformaciones sísmicas sean mayores que 0,015h. Lo
usual en la práctica nacional es limitar los desplazamientos a este valor y no recurrir al análisis no lineal.
275
e)
Las solicitaciones de diseño en la columna central del primer piso, para la combinación de cargas
1,2CP+SC+1,1SX sin considerar efecto P-delta, son:
Pu = 1083,44 kN
Mu = 227,69 kN-m
Capacidad axial de diseño:
Para el eje 𝑋(eje fuerte), Kx= 3,2, determinado en la parte c)
𝐾𝑥 𝐿𝑥 3,2 𝑥 3600
=
= 53,54
𝑟𝑥
215,2
Para el eje 𝑌 (eje débil), asumiendo que la estructura está arriostrada en la dirección longitudinal,
𝐾𝑦 𝐿𝑦 1,0 𝑥 3600
=
= 47,7
𝑟𝑦
75,5
Controla el pandeo en el eje fuerte. Además para ambos ejes de la columna se cumple con el criterio de
esbeltez global, es decir, 𝐾𝐿⁄𝑟 ≤ 200.
4
𝑘𝑐 =
ℎ
√𝑡
𝑤
4
=
√
500−2 𝑥 28
= 0,658; 0,35 < 𝑘𝑐 < 0,76
12
La esbeltez local de ala (elemento no atiesado) de acuerdo con el caso 2 de la Tabla 6.1 es:
300
𝑏
𝑘𝑐 𝐸
0,658 𝑥 200000
= 2 = 5,36 < 𝜆𝑟 = 0,64√
= 0,64√
= 14,74
𝑡𝑓
28
𝐹𝑦
248
La esbeltez local de alma (elemento atiesado) de acuerdo con el caso 5 de la Tabla 6.1es:
ℎ
444
𝐸
200000
=
= 37 < 𝜆𝑟 = 1,49√ = 1,49√
= 42,31
𝑡𝑤
12
𝐹𝑦
248
Ambos elementos tienen razón ancho espesor menor al valor límite, por lo tanto el perfil se considera no
esbelto y rige la sección E.3 de la norma NCh427/1 para calcular la resistencia a la compresión.
La tensión crítica de pandeo de Euler (Ecuación E3-4 de NCh427/1) es:
𝜋 2𝐸
𝜋 2 200000
𝐹𝑒 =
=
= 688,52 𝑀𝑃𝑎
𝐾𝐿 2
(53,54)2
( )
𝑟
Límite que define si la columna presenta pandeo elástico o inelástico:
4,71√
𝐸
200000
= 4,71√
= 133,76
𝐹𝑦
248
Como 𝐾𝑦 𝐿𝑦 ⁄𝑟𝑦 = 53,54 ≤ 133,76 el esfuerzo de pandeo por flexión 𝐹𝑐𝑟 es:
𝐹𝑦
248
𝐹𝑐𝑟 = [0,658 𝐹𝑒 ] 𝐹𝑦 = [0,658 688,52 ] 248 = 213,3 𝑀𝑃𝑎
La resistencia de diseño de la columna a es:
𝜙𝑐 𝑃𝑛 = 𝜙𝑐 𝐹𝑐𝑟 𝐴𝑔 = 0,9 𝑥 213,3 𝑥 22128 = 4247,87 𝑘𝑁
Capacidad de diseño a flexión en el eje fuerte:
𝑏
𝑡𝑓
= 5,36 < 0,38√
276
𝐸
𝐹𝑦
200000
= 0,38√
248
= 10,79 → Ala compacta
ℎ
𝑡𝑤
= 37 < 3,76√
𝐸
𝐹𝑦
= 106,78 → Alma compacta
La sección clasifica como compacta, y se aplica la sección F.2 de la norma.
𝐿𝑏 = 3600 𝑚𝑚
𝐿𝑝 = 1,76𝑟𝑦 √
𝐸
200000
= 1,76 𝑥 75,5 𝑥 √
= 3773 𝑚𝑚
𝐹𝑦
248
Como 𝐿𝑏 < 𝐿𝑝 , no hay PLT.
𝜙𝑀𝑛 = 𝜙𝑀𝑝 = 𝜙𝐹𝑦 𝑍𝑥 = 0,9 𝑥 248 𝑥 4556208 = 1016,95 𝑘𝑁 − 𝑚
Razón de interacción (demanda/capacidad) según sección H.1.1 de la norma NCH 427/1:
𝑀𝑟𝑥 = 227,69 𝑘𝑁 − 𝑚
𝑀𝑟𝑦 = 0 𝑘𝑁 − 𝑚
𝑃𝑐 = 𝜙𝑐 𝑃𝑛 = 4247,87 𝑘𝑁
𝑀𝑐𝑥 = 𝜙𝑀𝑛 = 1016,95 𝑘𝑁 − 𝑚
Como
𝑃𝑟
𝑃𝑐
𝑃𝑟
⁄𝑃 > 0,2 aplica la ecuación H1-1a de la norma:
𝑐
8 𝑀𝑟𝑥
+ (
9 𝑀𝑐𝑥
+
𝑀𝑟𝑦
𝑀𝑐𝑦
)=
1083,44
4247,87
8
+ (
227,69
9 1016,95
+
0
𝑀𝑐𝑦
) = 0.454 ≤ 1,0 OK
Se verifica que el diseño de la columna es satisfactorio. Como era de esperar en una estructura
relativamente flexible de marcos rígidos con columnas rotuladas, el diseño queda controlado por
desplazamientos más que por capacidad resistente.
277
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