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Ejercicio:
Para la viga de madera cargada que muestra la figura, dibuje los diagramas de
cortante y de momento flector y determine el esfuerzo normal máximo debido a la
flexión
Solución:
Primeramente, se calculan las reacciones de la viga:
Ecuación con sumatoria de fuerzas:
∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝑀 = 0
∑ 𝐹𝑥 = 𝐵𝑥 = 0
∑ 𝐹𝑦 = −20𝐾𝑁 + 𝐵𝑦 − 40𝐾𝑁 + 𝐷𝑦 = 0
∑ 𝐹𝑦 = −60𝐾𝑁 + 𝐵𝑦 + 𝐷𝑦 = 0
∑ 𝐹𝑦 = 𝐵𝑦 + 𝐷𝑦 = 60𝐾𝑁
𝐵𝑦 + 𝐷𝑦 = 60𝐾𝑁 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1
Ecuación con sumatoria de momentos:
∑ 𝑀 = 20𝐾𝑁(0𝑚) − 𝐵𝑦 (2.5𝑚) + 40𝐾𝑁(5.5𝑚) − 𝐷𝑦 (7.5𝑚) = 0
∑ 𝑀 = −2.5𝐵𝑦 + 220𝐾𝑁 − 7.5𝐷𝑦 = 0
∑ 𝑀 = −2.5𝐵𝑦 + −7.5𝐷𝑦 = −220𝐾𝑁
−2.5𝐵𝑦 + −7.5𝐷𝑦 = −220𝐾𝑁 𝐸𝑐. 2
Resolver sistemas de ecuaciones:
𝐵𝑦 + 𝐷𝑦 = 60𝐾𝑁 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1
−2.5𝐵𝑦 ± 7.5𝐷𝑦 = −220𝐾𝑁 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2
Determinantes:
1
1
) = −7.5 − (−2.5) = −7.5 + 2.5
−2.5 −7.5
𝐷∆ = (
𝐷∆ = −5
𝐷𝑥 = (
60
−220
1
) = −450 − (−220) = −450 + 220
−7.5
𝐷∆ = −230
1
60
𝐷𝑦 = (
) = −220 − (−150) = −220 + 150
−2.5 −220
𝐷∆ = −70
𝐵𝑦 =
𝐵𝑦 =
𝐷𝑥
𝐷∆
𝐷𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷∆
−230
−70
𝐷𝑦 =
−5
−5
𝐵𝑦 = 46 𝐾𝑁 𝐷𝑦 = 14 𝐾𝑁
Determinar las fuerzas cortantes y el momento flector:
Corte 1:
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = −20 − 𝑉1 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = −𝑉1 = 20
−𝑉1 = 20
𝑉1 = −20𝐾𝑁
+⃔ ∑ 𝑀 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = (20𝐾𝑁)(0𝑚) + 𝑀1 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = 𝑀1 = 0
𝑀1 = 0𝐾𝑁𝑚
Corte 2:
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = −20 − 𝑉2 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = −𝑉2 = 20
−𝑉2 = 20
𝑉2 = −20
+⃔ ∑ 𝑀 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = (20𝐾𝑁)(2.5𝑚) + 𝑀2 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = 50𝐾𝑁𝑚 + 𝑀2 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = +𝑀2 = −50𝐾𝑁𝑚
𝑀2 = −50𝐾𝑁𝑚
Corte 3:
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = −20𝐾𝑁 + 46𝐾𝑁 − 𝑉3 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 26𝐾𝑁 − 𝑉3 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = −𝑉3 = −26𝐾𝑁
−𝑉3 = −26𝐾𝑁
𝑉3 = 26𝐾𝑁
+⃔ ∑ 𝑀 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = (20𝐾𝑁)(2.5𝑚) − (46𝐾𝑁)(0𝑚) + 𝑀3 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = 50𝐾𝑁𝑚 − 0 + 𝑀3 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = 𝑀3 = −50𝐾𝑁𝑚
𝑀3 = −50𝐾𝑁𝑚
Corte 4:
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = −20𝐾𝑁 + 46𝐾𝑁 − 𝑉4 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 26𝐾𝑁 − 𝑉4 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = −𝑉4 = −26𝐾𝑁
−𝑉4 = −26𝐾𝑁
𝑉4 = 26𝐾𝑁
+⃔ ∑ 𝑀 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = (20𝐾𝑁)(5.5𝑚) − (46𝐾𝑁)(3𝑚) + 𝑀4 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = 110𝐾𝑁𝑚 − 138𝐾𝑁𝑚 + 𝑀4 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = −28𝐾𝑁𝑚 + 𝑀4 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = 𝑀4 = 28𝐾𝑁𝑚
𝑀4 = 28 𝐾𝑁𝑚
Corte 5:
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = −20𝐾𝑁 + 46𝐾𝑁 − 40𝐾𝑁 − 𝑉5 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = −14𝐾𝑁 − 𝑉5 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = −𝑉5 = 14𝐾𝑁
−𝑉5 = 14𝐾𝑁
𝑉5 = −14 𝐾𝑁
+⃔ ∑ 𝑀 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = (20𝐾𝑁)(5.5𝑚) − (46𝐾𝑁)(3𝑚) + (40𝐾𝑁)(0𝑚) + 𝑀5 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = 110𝐾𝑁𝑚 − 138𝐾𝑁𝑚 + 0 + 𝑀5 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = −28𝐾𝑁𝑚 + 𝑀5 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = 𝑀5 = 28𝐾𝑁𝑚
𝑀5 = 28 𝐾𝑁𝑚
Corte 6:
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = −20𝐾𝑁 + 46𝐾𝑁 − 40𝐾𝑁 − 𝑉6 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = −14𝐾𝑁 − 𝑉6 = 0
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = −𝑉5 = 14𝐾𝑁
−𝑉6 = 14𝐾𝑁
𝑉6 = −14 𝐾𝑁
+⃔ ∑ 𝑀 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = (20𝐾𝑁)(7.5𝑚) − (46𝐾𝑁)(5𝑚) + (40𝐾𝑁)(2𝑚) + 𝑀5 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = 150𝐾𝑁𝑚 − 230𝐾𝑁𝑚 + 80𝐾𝑁𝑚 + 𝑀6 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = −80𝐾𝑁𝑚 + 80𝐾𝑁𝑚 + 𝑀6 = 0
+⃔ ∑ 𝑀 = 0 + 𝑀6 = 0𝐾𝑁𝑚
𝑀6 = 0 𝐾𝑁𝑚
Esfuerzo normal máximo:
Ocurre en B, donde |M| es máximo. Se utiliza la ecuación planteada a continuación
para obtener el módulo de sección.
Sustituyendo este valor y |𝑀| = |𝑀𝐵 | = 50𝑋103 𝑁. 𝑚 en la ecuación siguiente.
𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎: 60.0 𝑀𝑃𝑎
Comparar resultados con el software de simulación de vigas MD SOLID: