Tarea 6
1. Hallar la ecuación de la recta 𝐿 que pasa por el punto (2,1,4) y es paralela al plano
𝜋1 : 𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 1 y que además la recta 𝐿 forma un ángulo de 30° con el plano
𝜋2 : 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1
2. Calcular la distancia mínima entre las rectas, una que pasa por el origen de coordenadas y
el punto (1,1,1) y la otra recta que pasa por el punto (1,2,-2) y es paralela al vector
2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗ .
3. Si el plano 𝜋 es generado por los vectores 𝑢
⃗⃗ = (2, −6, −3) y 𝑣⃗ = (4,3, −1), determine si
los siguientes vectores son ortogonales a 𝜋
a) 7𝑖⃗ − 3𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗
b) 𝑤 × 𝑞 , donde 𝑤 = 2𝑖⃗ − 3𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ y 𝑞 = −𝑖⃗ + 𝑗⃗ − 7𝑘⃗⃗
c) 3𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 6𝑘⃗⃗
𝐿1 : 3𝑥 + 4𝑦 + 50 = 0 y 𝐿2 : 3𝑥 + 4𝑦 − 75 = 0 son directrices de una elipse que pasa por
el punto (15/2,10) y que tiene centro en el punto (h,2). Calcular la ecuación
vectorial de la elipse.
4. Dado los puntos 𝑃 = (3, −1,2) y 𝑄 =(4,-2,-1) ,hallar la ecuación del plano que pasa por 𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
y es perpendicular al vector 𝑃𝑄
5.
La cubierta de una estructura tiene forma de un cuadrilátero, de dicha estructura
conocemos las coordenadas de los extremos de dos de los lados del cuadrilátero. Uno
empieza en el punto (0,0,40) sy termina en el punto (1,13,42). El otro empieza en el punto
(0,0,40) y termina en el punto (14,2,45). Encuentre la ecuación del plano que contiene la
cubierta.
6. Los puntos 𝑃 = (−1,3,4) y 𝑄 = (5,3, −2) son simétricas respecto a un plano. Calcule la
ecuación de este plano.
7. Hallar el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas son los vectores:
𝑎⃗ = 2𝑖⃗ − 3𝑗⃗ + 4𝑘⃗⃗ , 𝑏⃗⃗ = 𝑖⃗ + 2𝑗⃗ − 𝑘⃗⃗ ,
𝑐⃗ = 3𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗
8. Calcule el volumen de un tetraedro de vértices en (1,1,1), (4,5, 6), ( 1,2,5) y (-1,-2,-4).
TAREA 7:
I)
Calcule 𝐴 + 𝐵 , 𝐴 − 𝐵 , 𝐴 × 𝐵 en
2
0 1
𝐴=( 1
2 1) ,
−1 −2 1
II)
Analizar el rango de la matriz 𝐴 para cada valor de los parámetros 𝜆 y 𝜇
1
𝐴=( 2
−3
4
III)
0
−3
6
−3
−2
𝜆
4
1
4
1 )
𝜇
9
Calcule el valor de 𝑥 para que el determinante sea cero
9
0
|
−5
15
IV)
0 −1 1
𝐵 = (−1 0 −1)
1
4
1
1
8
3𝑥
3
2 −7
−5 5
𝑥
3|
2𝑥
5
Calcule la inversa de la matriz 𝐴 mediante Transformaciones elementales y
mediante la fórmula de la ADJUNTA de una matriz.
1
𝐴 = (1
1
1
2
4
4
4
3 4
6 8)
9 12
9 16
TAREA 8:
I)
1)
Encuentre el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
homogéneas:
𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 0
2𝑥1 + 10𝑥2 + 9𝑥3 + 5𝑥4 = 0
. . . . . .
. .
{ −𝑥1 − 5𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 = 0
𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 = 0
2𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥3 − 2𝑥4 = 0
3𝑥1 − 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
2)
5𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 0
{−𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 − 𝑥4 = 0
−𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 + 3𝑥5 − 2𝑥6 = 0
2𝑥1 + 5𝑥2 − 4𝑥3 − 5𝑥4 − 3𝑥5 + 3𝑥6 = 0
3) 𝑥1 + 10𝑥2 + 9𝑥3 + 5𝑥4 − 2𝑥5 + 3𝑥6 = 0
𝑥1 + 10𝑥2 + 9𝑥3 + 5𝑥4 − 2𝑥5 + 3𝑥6 = 0
{−𝑥1 − 5𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 + 3𝑥5 + 3𝑥6 = 0
3𝑥1 + 5𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 = 0
4)
2𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 = 0
. . . . . .
. .
{ −𝑥1 + 6𝑥2 + 4𝑥3 − 𝑥4 = 0
2𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 − 𝑥5 = 0
−𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 − 𝑥4 + 𝑥5 = 0
2𝑥1 + 10𝑥2 + 9𝑥3 + 5𝑥4 + 𝑥5 = 0
5)
3𝑥1 + 6𝑥2 − 12𝑥3 + 3𝑥4 − 3𝑥5 = 0
{ −𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 + 6𝑥4 + 𝑥5 = 0
3𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 0
𝑥1 − 2𝑥2 + 9𝑥3 − 3𝑥4 + 2𝑥5 = 0
6) 2𝑥1 + 10𝑥2 + 9𝑥3 + 5𝑥4 + 3𝑥5 = 0
−𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 − 5𝑥4 + 4𝑥5 = 0
{ −𝑥1 − 5𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 + 5𝑥5 = 0
TAREA 9:
I)
1)
Encuentre el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
no homogéneas:
𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 2
2𝑥1 + 10𝑥2 + 9𝑥3 + 5𝑥4 = 3
. . . . . .
. .
{ −𝑥1 − 5𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 = 4
𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 = 4
2𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥3 − 2𝑥4 = −8
3𝑥1 − 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = −6
2)
5𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 3
{ −𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 − 𝑥4 = 2
−𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 + 3𝑥5 − 2𝑥6 = 3
2𝑥1 + 5𝑥2 − 4𝑥3 − 5𝑥4 − 3𝑥5 + 3𝑥6 = −8
𝑥1 + 10𝑥2 + 9𝑥3 + 5𝑥4 − 2𝑥5 + 3𝑥6 = 2
3)
𝑥1 + 10𝑥2 + 9𝑥3 + 5𝑥4 − 2𝑥5 + 3𝑥6 = 4
{ −𝑥1 − 5𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 + 3𝑥5 + 3𝑥6 = 5
3𝑥1 + 5𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 = 2
4)
2𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 = 4
. . . . . .
. .
{−𝑥1 + 6𝑥2 + 4𝑥3 − 𝑥4 = −6
2𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 − 𝑥5 = 6
−𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 − 𝑥4 + 𝑥5 = 8
5) 2𝑥1 + 10𝑥2 + 9𝑥3 + 5𝑥4 + 𝑥5 = 10
3𝑥1 + 6𝑥2 − 12𝑥3 + 3𝑥4 − 3𝑥5 = 3
{ −𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 + 6𝑥4 + 𝑥5 = −4
3𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 8
𝑥1 − 2𝑥2 + 9𝑥3 − 3𝑥4 + 2𝑥5 = −4
6) 2𝑥1 + 10𝑥2 + 9𝑥3 + 5𝑥4 + 3𝑥5 = −6
−𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 − 5𝑥4 + 4𝑥5 = 8
{ −𝑥1 − 5𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 + 5𝑥5 = 4
TAREA 10:
I) Analizar el sistema de ecuaciones lineales no homogéneas dependientes del
parámetro 𝜆 , 𝑎 , 𝑏:
1) {
𝜆𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
𝑥 + 𝜆𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 𝜆𝑧 = −4
(𝜆 + 2)𝑥 + 3𝜆𝑦 + (3𝜆 − 1)𝑧 = 𝜆 + 2
2) { (𝜆 − 3)𝑥 + 4𝜆𝑦 + (𝜆 − 1)𝑧 = 2
(3𝜆 + 1)𝑥 + 𝜆𝑦 + (𝜆 + 1)𝑧 = 𝜆 − 2
𝜆𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 1
𝑥 + 𝜆𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 1
3) {
−𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = −1
0. 𝑥 + 𝑦 + 0. 𝑧 + 𝜆𝑡 = 1
−𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = −2
0. 𝑥 + 𝑦 + 0. 𝑧 + 𝜆𝑡 = 1
4) {
𝜆𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 1
−2𝑥 − 𝜆𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 1
5)
{
3 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 1
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 1
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 𝑡 = 1
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 − 𝑡 = 1
5𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 2
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 + 4𝑡 = 1
−𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 1
𝑥 − 3𝑧 − 𝑡 = −1
6)
2𝑥 + 𝑧 + 5𝑡 = 2
{ 3𝑥 + 𝑎𝑦 + (3𝑎 + 6)𝑧 + 𝑏𝑡 = 3
