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RELACIONES Y FUNCIONES
CAPÍTULO III
RELACIONES Y FUNCIONES
3.1 RELACIONES 1
Una relación R de un conjunto A a un conjunto B asigna a cada par (a,b)
en A x B exactamente uno de los enunciados siguientes:
“a está en relación con b”, escrito a R b
“a no está en relación con b”, escrito a R b
Una relación en A es una relación de un conjunto A al mismo conjunto A
Ejemplo 1
La relación “>” definida en un conjunto de números es un ejemplo típico,
puesto que para cualquier par ordenado (a,b) se tiene que:
a>b
o bien,
a>b
Ejemplo 2
En el conjunto de todas las rectas del plano podemos establecer las
siguientes relaciones:
“es perpendicular a”
“es paralela a”
Quedando establecido que dos rectas cualesquiera pueden o no ser
perpendiculares o paralelas.
3.2 RELACIONES COMO CONJUNTOS DE PARES
ORDENADOS 1
Una relación R de un conjunto A a un conjunto B define unívocamente un
subconjunto R* de A x B como sigue:
R* = {(a,b): a está en relación con b } = { (a,b) : a R b }
1 Seymour Lipschutz, MATEMÁTICAS FINITAS, Pag. 58 Edit. SCHAUM 1972
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ÁLGEBRA I
Por tanto podemos indicar que: una relación R de A a B es un subconjunto
del conjunto producto A x B
Ejemplo 3
Definamos una relación del conjunto A = { a, b, c, d } al conjunto
B = { x, y, z } definida como:
R = { (a,x), (a,y), (a,z), (b,y), (b,z), (c,y), (d,z) }
Se observa que:
a R x, a R y, a R z, b R y, b R z, c R y, d R z mientras que : b R x,
c R x, c R z, d R x, d R y
3.3 RELACIÓN IDÉNTICA
Una relación de un conjunto A sobre si mismo se denomina relación
idéntica y se define como:
ΔA = { (a,a) : a Є A }
La relación idéntica es también llamada diagonal en virtud de su posición
en un diagrama de coordenadas de A x A
3.4 RELACIÓN INVERSA R-1
Si se tiene una relación R de un conjunto A a un conjunto B, la relación
inversa R-1 se aplica del conjunto B al A
1
R
(b, a) : (a, b) R
Ejemplo 4
Sea el conjunto A = {a,b,c} en el cual se define la relación:
R
(a, b),(a, c),(b, c)
La relación inversa sera:
R
1
(b, a),(c, a),(c, b)
3.5 RELACIÓN REFLEXIVA
Una relación es reflexiva si a R a es decir; (a,a) ε R, para todo a ε A
RELACIONES Y FUNCIONES
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Ejemplo 5
En el conjunto de todas las rectas del plano sean las relaciones: “es
perpendicular a” y “es paralela a”. La primera no es una relación
reflexiva, pues una recta no es perpendicular a si misma, en cambio la
segunda si lo es, ya que toda recta se puede considerar paralela a si
misma.
En el conjunto de los números reales las relaciones “es mayor que” y “es
menor que” no son reflexivas puesto que un numero no se considera
mayor ni menor a si mismo, en cambio las relaciones “es mayor o igual
que” y “es menor o igual que”, si son reflexivas.
En el conjunto de todos los triángulos del plano la relación “es semejante
a”, es reflexiva pues, todo triángulo es semejante a si mismo.
3.6 RELACIÓN SIMÉTRICA
Una relación se dice simétrica si cuando a R b entonces b R a, es decir
si (a,b) ε R entonces (b,a) ε R
Ejemplo 6
En el conjunto de todas las rectas del plano sean las relaciones: “es
perpendicular a” y “es paralela a”. La primera es una relación simétrica,
pues si una recta a es perpendicular a una recta b, entonces recta b es
perpendicular a una recta a, la segunda también lo es.
En el conjunto de los números reales las relaciones “es mayor que” y “es
menor que” no son simétricas, las relaciones “es mayor o igual que” y “es
menor o igual que”, tampoco son simétricas aunque la relación se cumpla
cuando los números son iguales.
En el conjunto de todos los triángulos del plano la relación “es semejante
a”, es simétrica.
3.7 RELACIÓN TRANSITIVA
Una relación es transitiva si a R b y b R c entonces a R c
Ejemplo 7
En el conjunto de todas las rectas del plano sean las relaciones: “es
perpendicular a” y “es paralela a”. La primera no es una relación
transitiva, pues si una recta es perpendicular a una segunda y esta es
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ÁLGEBRA I
perpendicular a una tercera, la primera y tercera son paralelas, en cambio
la relación de paralelismo es claramente transitiva
En el conjunto de los números reales las relaciones “es mayor que” y “es
menor que” son transitivas y las relaciones “es mayor o igual que” y “es
menor o igual que”, también lo son.
En el conjunto de todos los triángulos del plano la relación “es semejante
a”, es transitiva.
3.8 RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
Una relación es de equivalencia si es a la vez, reflexiva, simétrica y
transitiva.
Ejemplo 8
En el conjunto de todas las rectas del plano sean las relaciones: “es
perpendicular a” y “es paralela a”. La primera no es una relación de
equivalencia por que no es reflexiva ni transitiva, en cambio la relación
de paralelismo si es una relación de equivalencia.
En el conjunto de los números reales las relaciones “es mayor que”, “es
menor que”, “es mayor o igual que” y “es menor o igual que”, no son
relaciones de equivalencia
En el conjunto de todos los triángulos del plano la relación “es semejante
a”, es una relación de equivalencia.
3.9 PARTICIÓN
Una partición de un conjunto A es una subdivisión del mismo en varios
conjuntos disjuntos tales que su unión es el mismo conjunto y su
intersección es el conjunto vacío.
Si A es el conjunto y A1, A2, A3, A4,…….. An, son los subconjuntos
disjuntos de la partición, entonces
A1
A2
A3
A4
......... An
A1
A2
A3
A4
......... An
A
Ejemplo 9
Determinar cuales de los siguientes conjuntos constituyen una partición
del conjunto de los números naturales N
A = {x / x es un dígito}
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RELACIONES Y FUNCIONES
B = {x / x > 0 y x es par}
C = {x / x=2a+1; a ε N}
D = {1}
E = {x / x es impar}
El conjunto B representa a todos los pares positivos, mientras que el
conjunto C representa a todos los impares positivos, excepto el uno,
como el conjunto D contiene al uno estos tres conjuntos constituyen una
partición del conjunto de los números naturales, es decir:
N = {B, C, D}
3.10
B C
D
B C
D
N
FUNCIONES
Supongamos que a cada elemento de un conjunto A se le asigna un
único elemento de un conjunto B; la colección f de tales asignaciones
se llama función de A en B y se escribe:
f :A
B
o
A
f
B
E elemento único de B asignado a a ε A por f, se representa por f(a),
y se llama la imagen de a bajo f o el valor de f en a. El dominio de f
es A, el codominio B. El recorrido de f, representado por f[A], es el
conjunto de imágenes.
f es una función o aplicación de A en B si y sólo si f es una relación
entre A y B tal que todo elemento de A tiene un único correspondiente
en B.
f es una función o aplicación de A en B si y sólo si f es un
subconjunto de A x B que satisface las siguientes condiciones de
existencia y unicidad.
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ÁLGEBRA I
i) a A, b B /(a, b)
ii) (a, b) f (a, c) f
f2
b c
Ejemplo 10
Sea la función f que asigna elementos del conjunto A sobre el conjunto
B de modo que:
A
1
2
3
4
f
B
a
b
c
d
e
f
La figura muestra una función f que asigna elementos del conjunto A
sobre el conjunto B, de modo que:
f(1) = c ; f(2) = e ; f(3) = a ; f(4) = f
El dominio de la función está constituido por todos los elementos del
conjunto A, El codominio por todos los elementos del conjunto B,
mientras que el recorrido esta formado por todos los elementos de B
que son imagen de algún elemento de A, esto es, { a,c,e,f }, los
elementos b, d no forman parte del recorrido.
Ejemplo 11
Sea la función f : R → R definida en el conjunto de los números reales
sobre el mismo conjunto y sea la función que asigna a cada elemento del
primer conjunto su cuadrado mas uno, es decir, f(x) = x2 + 1
El dominio y el codominio de la función es R mientras que el recorrido
está formado por los números reales positivos y el cero.
2 ROJO ARMANDO, Álgebra I, Edit El Ateneo, 1975 Pag. 103
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RELACIONES Y FUNCIONES
3.11
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN3
A cada función f : A → B corresponde la relación en A x B dada por
{ ( a, f(a) ) : a ε A }
A este conjunto lo llamamos la gráfica de f
Ejemplo 12
Sea una función definida en el conjunto de los números reales sobre el
mismo conjunto ( en el futuro en R2 ) de tal manera que:
f(x) = - x +2
Algunos de los pares ordenados que corresponden a la gráfica son (0,2) y
(2,0), como la ecuación representa una recta, son suficientes estos dos
pares ordenados para obtener la gráfica correspondiente:
(0,2)
(2,0)
Ejemplo 13
En R2 sea la función f(x) = x2 - x – 6 Dibujar la gráfica de la función
3 Seymour Lipschutz, MATEMÁTICAS FINITAS. Edit. Schaum 1966 Pag. 67
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ÁLGEBRA I
La función corresponde a una parábola que abre hacia arriba y que corta a
los ejes cartesianos en (0, -6) y (x - 3)(x + 2) = 0 → (3, 0) y (-2,0)
Ejemplo 14
Sea A ={-3, -2, -1, 0, 1, 2} y sea una función definida en el conjunto A
sobre el conjunto de los números naturales f: A →N tal que:
f ( x)
x
2
Entonces la función estará compuesta por el siguiente conjunto de pares
ordenados
f = { (-3, 5),(-2, 0),(-1, 3),(0, 2),(1, 3),(2, 2)}
cuya representación grafica es la siguiente:
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RELACIONES Y FUNCIONES
3.12 FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y
BIYECTIVAS
Una función es inyectiva (uno a uno), si elementos diferentes del dominio
tienen imágenes distintas.
Una función es sobreyectiva (o simplemente sobre), si todos los
elementos del segundo conjunto son imagen de algún elemento del
dominio, en este caso el recorrido resulta igual que el codominio.
Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo 15
Dadas las funciones f, g, h
sobreyectivas y biyectivas.
determine cuales son: inyectivas,
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ÁLGEBRA I
A
B
f
a
1
C
g
b
2
c
e
4
i
D
x
p
y
q
z
r
u
s
d
3
h
La función f es una función inyectiva puesto que los elementos del
conjunto A se corresponden con los elementos del conjunto B en una
relación uno a uno, no es sobreyectiva por que los elementos a, i no son
imagen de ningún elemento del conjunto A, por lo tanto, tampoco es una
función biyectiva.
La función g no es inyectiva, pero si es sobreyectiva ya que el
codominio es igual al recorrido de la función, por lo tanto, no es biyectiva
La función
biyectiva
h
es claramente, una función inyectiva, sobreyectiva y
La función del ejemplo 12 es también una función, inyectiva,
sobreyectiva y biyectiva.
Ejemplo 16
Sea la función f ( x ) e x definida en el conjunto de los números reales
sobre si mismo. Determinar si la función es: a) Inyectiva b) Sobreyectiva
c) Biyectiva
a) Sean dos elementos x1 y x2 ε R, tales que f(x1) = f(x2) entonces:
e
Por tanto, f ( x )
e
x
x1
e
x2
en inyectiva.
x1
x2
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RELACIONES Y FUNCIONES
b) Si y e x si y sólo si x
ln y , puesto que los números negativos
y el cero no tienen definido el logaritmo, la función no es sobreyectiva
c) Al no ser sobreyectiva no puede ser biyectiva.
3.13 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Considere las siguientes funciones:
A
a
b
c
d
f
B
1
g
C
2
x
3
y
4
5
z
6
u
Si a ε A; entonces su imagen f(a) está en B, el dominio de g. Por
tanto, podemos encontrar la imagen de f(a) bajo la función g , es decir,
g(f(a)). La función de A en C que asigna a todo elemento del conjunto
A un elemento g(f(a)) ε C se llama la composición de f y g y se
representa por g ◦ f
(g ◦ f)(a) = g(f(a))
Así tenemos que
(g ◦ f)(a) = g(f(a)) = g(4) = y
(g ◦ f)(b) = g(f(b)) = g(5) = z
(g ◦ f)(c) = g(f(c)) = g(2) = y
(g ◦ f)(d) = g(f(d)) = g(3) = z
Ejemplo 17
En el conjunto de los números reales R sean las funciones:
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ÁLGEBRA I
f(x) = x2 - 2x + 1
Hallar a) f ◦ g
;
b) g ◦ h
g(x) = cos(x) – x
c) h ◦ f
;
h(x)= x3 – 1
d) h ◦ (g ◦ f)
e) f ◦ (h ◦ g)
a) f ◦ g
f ◦ g = f (g(x)) = f (cos(x) –x)= (cos(x) –x)2-2(cos(x) –x)+1
b) g ◦ h
g ◦ h = g (h(x)) = g (x3 -1) = cos(x3-1)- x3 + 1
c) h ◦ f
h ◦ f = h (f(x)) = h (x2 -2x +1) = (x2 -2x +1)3 + 1
d) h ◦ (g ◦ f)
(g ◦ f) = g (f(x)) = g (x2 - 2x + 1) = cos(x2 - 2x + 1) - x2 + 2x - 1
Sea: (g ◦ f) = u(x)= cos(x2 - 2x + 1) - x2 + 2x - 1
h ◦ u = h (u(x))= h(cos(x2 - 2x + 1) - x2 + 2x – 1)
h ◦ (g ◦ f)= (cos(x2 - 2x + 1) - x2 + 2x – 1)3 - 1
e) f ◦ (h ◦ g)
(h ◦ g) = h (g(x)) = h (cos(x) – x)=(cos(x) – x)3 – 1= u(x)
f ◦ u = f (u(x)) = f [(cos(x) – x)3 – 1]
f ◦ (h ◦ g) = [(cos(x) – x)3 – 1]2 - 2[(cos(x) – x)3 – 1] + 1
3.14 FUNCIONES INVERSAS
La función f : A→B es una relación compuesta de pares ordenados de la
forma (a,b) la relación inversa f -1:B→A con pares ordenados (b,a)
puede no ser una función, para que la función inversa exista, es necesario
que la función directa sea biyectiva.
Ejemplo 18
Sea la función
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RELACIONES Y FUNCIONES
B
A
f
a
x
y
b
z
c
w
La relación inversa f -1 no es una función por que el elemento x no tiene
imagen
B
x
y
z
w
A
f
-1
a
b
c
54
ÁLGEBRA I