2.1 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva. INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CAJEME

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CALCULO DIFERENCIAL
2.1 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
Esta clasificación obedece a la forma en que están relacionados los elementos del dominio con los del codominio. Conviene utilizar la
notación:
f : Df  C f
“Función que mapea al dominio
Df
en el codominio
Cf
Función Inyectiva (uno a uno)
Definición. Una función :
f : Df  C f
es inyectiva o uno a uno y se denota como
1  1 , si a diferentes elementos del dominio le
corresponden diferentes elementos del codominio. En esta función, para dos valores cualesquiera
x1 y x2
de su dominio se cumple
que:
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
Ejemplo. La función
f ( x)  3 x  1
es
1  1 ya que si se define como f : R  R
entonces se tendrá que a diferentes elementos
del dominio les corresponden diferentes elementos del codominio.
Ejemplo. Sea la función
f :R  R
dada por
f ( x)  x 2
Para comprobar analíticamente si una función es
términos de la variable dependiente
11
.
se despeja, cuando esto es posible, la variable independiente
" y" y se comprueba que para cada valor de " y" exista un solo valor de " x"
Para comprobar gráficamente que una función es
1  1 basta con comprobar que toda recta paralela al eje " x"
la función en un solo punto.
Si en el ejemplo anterior se limita el dominio de la función es evidente que se obtienen funciones inyectivas:
f : R  R dada por f ( x)  x 2
o bien
f : R  R dada por f ( x)  x 2
" x" en
.
corta a la gráfica de
Ejemplo. Sea la función:
  
f :  ,   R ; f ( x)  Cos x
 2 2
Si se grafica se observa que no es
1  1 . Sin embargo, si se cambia su dominio y ahora se define como:
f :0,    R ; f ( x)  Cos x
se verá que cualquier recta horizontal corta a la gráfica en un solo punto por lo que sí es
1  1.
Función Suprayectiva (sobre)
Definición. Una función es suprayectiva o sobre si todo elemento de su Codominio es imagen de por lo menos un elemento de su
Dominio, lo que se expresa como:
Sea
f : Df  C f
Si
entonces
f
b  C f , existea Df tal que f (a)  b
es sobre
Otra forma de expresar que una función es sobre es decir que debe cumplir con que su Codominio y su Recorrido sean iguales, esto
es, R f  C f
f ( x)  3x  1 definida como f : R  R En este caso se ve que todo número real es imagen de algún
otro número real bajo la función f . Esto significa que el recorrido es igual al codominio y por lo tanto la función dada es suprayectiva
Ejemplo 1. Sea la función
o sobre.
Ejemplo 2. Analizar si la función definida como
f :RR
dada por
f ( x)  x 2
determina si es suprayectiva
Función Biyectiva
Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen
una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de
salida.
Dados dos conjuntos
e
finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si
mismo número de elementos.
En el siguiente diagrama se puede ver cuando la función es biyectiva:
Funciones
Inyectiva
Sobreyectiva
Biyectiva
No sobreyectiva
No inyectiva
e
tienen el