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ECUACIONES DIFERENCIALES
SEMANA 5
APLICACIONES DE LAS EDO DE PRIMER ORDEN
SESIÓN 2:
 MEZCLAS– LEY DE LA CONTINUIDAD
Clase # 14
Orlando Raúl Pomalaza Romero
Propósito de la Clase
Plantea y formula modelos
matemáticos de mezclas
mediante ecuaciones
diferenciales y su
resolución
Mezclas
Mezclas Una ecuación de continuidad es una ecuación de la física
matemática que expresa la ley conservación ya sea de forma
integral o bien de forma diferencial; con ella se construyen modelos
de fenómenos en diferentes áreas del conocimiento que dependen
del tiempo, dando como resultado una o varias Ecuaciones
Diferenciales. La ecuación de continuidad nos dice que la tasa de
acumulación de una variable x en un recipiente (el cual puede ser un
tanque, un órgano humano, una ciudad, un banco, un sistema
ecológico, etc.) es igual a su tasa de entrada menos su tasa de salida;
tanto la tasa de entrada como la tasa de salida pueden ser constantes
o variables.
Mezclas
Una Salmuera (solución de sal en agua), entra en un tanque a una velocidad v1
litros de salmuera/minuto y con una concentración de c1 gramos de sal por litro de
salmuera (gr sal/ l de salmuera).
Inicialmente un tanque tiene Q litros de salmuera con P gr de sal disuelta. La
mezcla bien homogenizada abandona el tanque a una velocidad de v2 litros de
salmuera/min.
Figura. Dilución de
una salmuera
Mezclas
Sean x(t) los gramos de sal disueltos en el tanque en cualquier
instante t. Entonces
dx
 tasa de acumulación = Tasa de entrada de soluto - Tasa de salida de soluto
dt
dx
 l de sol.   g de soluto 
 l de sol.   g de soluto 
 v1 
 c1 
  v2 
 c2 

dt
min
l
de
sol
min
l
de
sol

 


 

x
 v1c1  v2
Q   v1  v2  t
dx
x
Para obtener la ED de la forma: dt  v1c1  v2 Q   v  v  t
1
2
Mezclas
Ejemplo Una solución de salmuera fluye a razón constante de 4L/min hacia el interior de un depósito
que inicialmente contiene 100L de agua. La solución contenida en el depósito se mantiene bien agitada
y fluye hacia el exterior a razón de 3L/min. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el
depósito es de 0,2kg/L, determina la cantidad de sal presente en el depósito al cabo de ”t” minutos. ¿En
qué momento la concentración de sal contenida en el depósito será de 0,1kg/L?
Ejercicio N°1
Un tanque de 400 galones de capacidad contiene la cuarta parte de
su capacidad de salmuera, en la que se han disuelto 500kg de sal.
Se inyecta salmuera al tanque con concentración de 1 kg/gal y a razón de 5 gal/min. La salmuera,
debidamente agitada y homogeneizada en el tanque, fluye a razón de Q gal /min. Si se sabe que al cabo de
dos horas y media el tanque alcanza su máxima capacidad, determine el caudal de salida Q y la
concentracion de la solución cuando alcanza su máxima capacidad
Solución:
Ejercicio N°2
Un depósito de 3000 litros de capacidad contiene 400 litros de agua
pura, en un momento dado entrará agua que contiene sal a razón de
1/8 kg/l, a la vez que saldrá por su parte inferior la nueva mezcla a razón de 4 litros /minuto; si la mezcla de
agua con sal la hace a razón de 8 litros/minuto, calcular:
a) La cantidad de sal cuando la mezcla tenga 500 litros
b) La concentración al cabo de una hora de iniciado el proceso
Solución:
Ejercicio N°3
Un recipiente de 120 litros de capacidad contiene 90 litros de salmuera con una
concentración de 1g/L. Al recipiente Ingresa salmuera de 2g/l de concentración
a una rapidez de “V” litros/minuto. La mezcla debidamente agitada y homogenizada fluye hacia el exterior con
una rapidez de 3 litros/minuto. Si el contenido del recipiente comienza a desbordarse exactamente a los 30
minutos, determine,
a) El valor de “V”
b) La cantidad de sal en el recipiente cuando se llena
Solución:
Ejercicio N°4
Un tanque contiene 50 litros de agua. Al tanque entra salmuera que contiene
k gramos de sal por litro, a razón de 1.5 litros por minuto. La mezcla bien
homogenizada, sale del tanque a razón de un litro por minuto. Si la concentración es 20 gr/litro al cabo de 20
minutos. Hallar el valor de k
Solución:
¿Qué aprendimos hoy?
• Mezclas
Referencias Bibliográficas
• Larson, R. y Edwards, B. (2016). Cálculo. México: Cengage Learning.
• Zill Dennis (2015). Ecuaciones Diferenciales.
Tempranas. México. Editorial Mc Graw Hill.
Trascendentes
• Stewart James. (2008) Cálculo: Trascendentes Tempranas 6ta ed.
México. Cengage Learning