Física: Mediciones, Unidades y Errores - Curso IPN

CURSO DE INGRESO A NIVEL
SUPERIOR I.P.N.
ASIGNATURA: FÍSICA
TEMA 1: MEDICIONES, SISTEMAS DE UNIDADES
Y ERRORES
PROFESOR: JORGE GALICIA ROJAS
Tema 1: Sistemas de Unidades, Mediciones y Errores
Magnitud.
Se llama magnitud a todo aquello que puede ser medido, esto se refiere a las propiedades
que se presentan en los cuerpos y en los fenómenos. La longitud de un objeto o cuerpo
físico (ya sea largo, ancho, alto, su profundidad, su espesor, su diámetro externo o interno),
la masa, el tiempo, el volumen, el área, la velocidad, la fuerza, etc., son ejemplos de
magnitudes.
Medir.
Es comparar una magnitud con otra de la misma especie que de manera arbitraria o
convencional se toma como base, unidad o patrón de medida. Es decir, al medir estamos
comparando y cuantificando una propiedad o característica de los cuerpos y fenómenos
con respecto a una unidad patrón unidad de medida.
Unidad de Medida.
Recibe el nombre de unidad de medida o patrón de medida, toda magnitud de valor
conocido y perfectamente definido que se utiliza como referencia para medir y expresar el
valor de otras magnitudes de la misma especie. Una de las principales características que
debe cumplir un patrón de medida es que sea reproducible en cualquier parte del universo.
Sistema métrico decimal.
El primer sistema de unidades bien definido que hubo en el mundo fue el Sistema Métrico
Decimal, implantado en 1795 como resultado de la Convención Mundial de Ciencia
celebrada en París, Francia; este sistema tiene una división decimal y sus unidades
fundamentales son: el metro, el kilogramo-peso y el litro. Además, para definir las unidades
fundamentales utiliza datos de carácter general, como las dimensiones de la Tierra y la
densidad del agua.
A fin de encontrar una unidad patrón para medir longitudes se dividió un meridiano terrestre
en 40 millones de partes iguales y se le llamó metro a la longitud de cada parte. Por tanto,
definieron al metro como la cuarenta millonésima parte del meridiano terrestre. Una vez
establecido el metro como unidad de longitud, sirvió de base para todas las demás unidades
que constituyeron al Sistema Métrico Decimal, derivado de la palabra metro que quiere decir
medida. Una ventaja importante del Sistema Métrico fue su división decimal, ya que
mediante el uso de prefijos como deci, centi o mili, que son algunos de los submúltiplos de
la unidad, podemos referirnos a decímetro, como la décima parte del metro (0.1 m); a
centímetro, como la centésima parte (0.01 m); y a milímetro, como la milésima parte del
metro (0.001 m). Lo mismo sucede para el litro o el kilogramo, de manera que al hablar de
prefijos como deca, hecto o kilo, mismos que son algunos de los múltiplos de la unidad,
podemos mencionar al decámetro, hectómetro o kilómetro como equivalentes a 10 100 o 1
000 metros, respectivamente.
Sistema Cegesimal o CGS.
En 1881, como resultado del gran desarrollo de la ciencia y por supuesto de la Física, se
adopta en el Congreso Internacional de los Electricistas, realizado en París, Francia, un
sistema llamado absoluto: el Sistema Cegesimal o CGS propuesto por el físico alemán Karl
Gauss. En dicho sistema las magnitudes fundamentales y las unidades propuestas para las
mismas son: para la longitud el centímetro, para la masa el gramo y para el tiempo el
segundo. En ese entonces ya se observaba la diferenciación entre los conceptos de masa
y peso de un objeto o cuerpo físico, porque se tenía claro que el peso era el resultado de la
fuerza de atracción gravitacional ejercida por la Tierra sobre la masa de los cuerpos.
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Sistema MKS.
En 1935, en el Congreso Internacional de los Electricistas celebrado en Bruselas, Bélgica,
el ingeniero italiano Giovanni Giorgi propone y logra que se acepte su sistema, también
llamado absoluto, pues como magnitud fundamental se habla de la masa y no del peso de
los cuerpos; este sistema recibe el nombre de MKS, cuyas iniciales corresponden al metro,
al kilogramo y al segundo como unidades de longitud, masa y tiempo, respectivamente.
Sistema Internacional de Unidades (SI).
En virtud de que en el mundo científico se buscaba uniformidad en un solo sistema de
unidades que resultara práctico, claro y acorde con los avances de la ciencia, en 1960
científicos y técnicos de todo el mundo se reunieron en Ginebra, Suiza, y acordaron adoptar
el llamado: Sistema Internacional de Unidades (SI). Este sistema se basa en el llamado
MKS, cuyas iniciales corresponden a metro, kilogramo y segundo. El Sistema Internacional
establece que son siete magnitudes fundamentales mismas que se señalarán en seguida,
con sus respectivas unidades de medida: para longitud el metro (m), para masa el kilogramo
(kg), para tiempo el segundo (s), para temperatura el Kelvin (K), para intensidad de corriente
eléctrica el Ampere (A), para intensidad luminosa la candela (cd) y para cantidad de
sustancia el mol.
Metro patrón.
La definición actual del metro patrón corresponde a la longitud recorrida por la luz en el
vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299 792 458 de segundo. Esta nueva definición
más precisa del metro patrón elimina la anterior que correspondía a 1 650 763.73 veces la
longitud de la onda emitida por el átomo de criptón de masa atómica 86, durante el salto de
un electrón entre los niveles 2
y 5 y a lo largo de una descarga eléctrica.
Kilogramo patrón.
Primero se definió como la masa de un decímetro cúbico de agua pura en su máxima
densidad (4 C). Su definición actual es la siguiente: un kilogramo patrón equivale a la masa
de un cilindro hecho de platino e iridio, el cual se conserva como modelo en la Oficina
Internacional de Pesas y Medidas localizada en París, Francia.
Segundo patrón.
Se definió como la 1/86 400 parte del día solar medio y como la 1/31 556 962 parte del
primer año trópico del siglo XX (1 900). Actualmente se define como la duración de 9 192
631 770 ciclos de la radiación de cierta transición del electrón en el átomo de cesio de masa
atómica 133.
Magnitudes Fundamentales y Derivadas.
Reciben el nombre de magnitudes fundamentales aquellas que no se definen en función de
otras magnitudes físicas y, por tanto, sirven de base para obtener las demás magnitudes
utilizadas en la Física y que reciben el nombre de magnitudes derivadas. Así pues, las
magnitudes derivadas resultan de multiplicar o dividir entre sí las magnitudes
fundamentales. Por ejemplo: al multiplicar la magnitud fundamental longitud por sí misma
nos da como resultado longitud al cuadrado ( ∙ = ) equivalente a la magnitud derivada
llamada área o superficie. Al multiplicar longitud por longitud por longitud obtenemos
longitud al cubo ( ∙ ∙ = ), la cual corresponde a una magnitud derivada que es el
volumen. Si dividimos la longitud entre el tiempo, obtenemos la magnitud derivada llamada
velocidad ( =
⟹ ). Lo mismo sucede con la aceleración, fuerza, trabajo y energía,
presión, potencia, densidad, etc., que reciben el nombre de magnitudes derivadas porque
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se obtienen a partir de las fundamentales. En el Sistema Internacional existen siete
magnitudes fundamentales: longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad de corriente
eléctrica, intensidad luminosa y cantidad de sustancia, a continuación, en la siguiente tabla
se ilustran las unidades, magnitudes y simbología:
A continuación, se muestran algunas de las unidades derivadas en el Sistema internacional:
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Sistemas de Unidades Absolutos.
Reciben el nombre de Sistemas de Unidades Absolutos aquellos que como una de sus
magnitudes fundamentales utilizan a la masa y no al peso, ya que éste es considerado una
magnitud derivada. En el cuadro siguiente se tienen algunas magnitudes y sus unidades en
el Sistema Internacional (SI), el Sistema CGS y el Sistema Inglés, todos ellos sistemas
absolutos. Observemos que en este cuadro sólo se trabaja con tres magnitudes
fundamentales: longitud, masa y tiempo, y todas las demás son derivadas de ellas, pues se
obtienen al multiplicar o dividir entre sí a esas tres magnitudes.
Como se puede observar los símbolos de las unidades se escriben con minúsculas a menos
de que se trate de nombres propios, en tal caso será con mayúsculas; los símbolos se
anotan en singular y sin punto. Por tanto, debemos escribir para kilogramo: kg y no Kg; para
kilómetro: km y no Km; para gramo: g y no gr; para newton: N y no n ni Nw. Mediante el
empleo de prefijos y sus respectivos símbolos, aceptados internacionalmente, podemos
obtener múltiplos y submúltiplos para las diferentes unidades de medida. En el cuadro
siguiente se presentan algunos de los prefijos más usados por el Sistema Internacional, así
como su símbolo y equivalencia respectiva.
De manera que, si decimos kilogramo, kilómetro, kilosegundo y kilopié, nos referimos a mil
gramos, mil metros, mil segundos y mil pies, respectivamente. Si mencionamos nanómetro,
nanogramo, nanosegundo y nanopié, hablamos de mil millonésimas de metro, mil
millonésimas de gramo, mil millonésimas de segundo y mil millonésimas de pie,
respectivamente
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.
Sistemas Técnicos o Gravitacionales.
Además de los tres Sistemas de Unidades Absolutos ya señalados, existen los Sistemas
de Unidades Técnicos, también llamados Gravitacionales o de Ingeniería, mismos que se
caracterizan porque utilizan el peso como magnitud fundamental y a la masa la consideran
una magnitud derivada. El Sistema MKS Técnico o Gravitacional (MKSg) y el Sistema
Británico Gravitacional (Sbg) o Sistema Inglés Técnico son los más utilizados; ambos
tienden a desaparecer por la complejidad de su manejo, dando paso al Sistema
Internacional de Unidades (SI) de cuyas ventajas cada día se convencen más los británicos
y los estadounidenses, quienes aún no lo adoptan por completo. En el cuadro siguientes se
enlistan algunas magnitudes y sus respectivas unidades en los sistemas MKSg y Sbg. La
equivalencia entre la unidad de peso o fuerza en el MKSg y el Sbg es la siguiente:
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Transformación de unidades de un sistema a otro.
En virtud de la existencia de varios sistemas de unidades, todos ellos de uso actual,
frecuentemente es necesario transformar unidades de un sistema a otro; para ello, es
indispensable tener presentes las siguientes equivalencias:
Metodología:
1. Se escribe la cantidad con la(s) unidad(es) de medida que se desea transformar, en
forma de fracción.
2. Colocamos la equivalencia de unidades en forma de fracción, como factor de la cantidad
del paso anterior.
3. Realizamos el producto de cantidades y de unidades de tal manera que al multiplicar
quede la unidad trasformada y se eliminen o cancelen las unidades originales.
Ejemplos:
1. Convertir 2.25
a
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2. Convertir 0.25 ℎ a
3. Convertir 72
ℎa
⁄
4. Convertir 219 a
5. 100
6. 108
a
a
Ecuaciones y análisis dimensional
Como sabemos, los valores de las magnitudes físicas dependen del sistema de unidades
utilizado; sin embargo, hay diferentes sistemas de unidades, por ello cualquier magnitud
física puede expresarse en distintas unidades según la escala en que esté graduado el
instrumento de medición. Así, una distancia se puede expresar en metros, kilómetros,
centímetros o pies, sin importar cuál sea la unidad empleada para medir la cantidad física
de distancia, pues todas ellas se refieren a una dimensión fundamental llamada longitud,
representada por . De igual manera, para expresar cantidad de materia se puede utilizar
al ,
o
, ya que todas estas unidades se refieren a la dimensión fundamental
llamada masa, representada por . La otra dimensión que se utiliza para el estudio de la
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mecánica es el tiempo, la cual se representa por . La combinación de estas dimensiones
fundamentales nos lleva a la obtención de varias de las llamadas dimensiones derivadas.
El buen manejo de las dimensiones de las magnitudes físicas en una ecuación o fórmula
física nos permite comprobar si son correctas y si se trabajaron debidamente. Al
aplicar una ecuación o fórmula física, debemos recordar dos reglas:
1. Las dimensiones de las magnitudes físicas a ambos lados del signo de igualdad deben
ser las mismas.
2. Sólo pueden sumarse o restarse magnitudes físicas de la misma dimensión.
Partiendo de las dimensiones: longitud ( ), masa ( ) y tiempo ( ), obtendremos las
ecuaciones dimensionales de algunas magnitudes físicas. Los corchetes los usaremos para
indicar dimensiones.
Ejemplos:
1. Determina las ecuaciones dimensionales de las siguientes cantidades:
a) Velocidad.
b) Aceleración:
c) Fuerza:
d) Trabajo:
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e) Densidad:
f)
Densidad relativa:
g) Potencia:
Error.
Entre el valor verdadero o exacto que tiene una magnitud cualquiera y el valor que se
obtiene al medirla, siempre habrá una diferencia que recibe el nombre de error de medición
o también el de incertidumbre de la medición. Por tanto, al no ser posible una medición
exacta debemos procurar reducir al mínimo el error, empleando técnicas adecuadas y
aparatos o instrumentos cuya precisión nos posibilite obtener resultados satisfactorios,
mientras más precisa es la medición, menor será el error o incertidumbre de la medición.
Una manera de acercarnos al valor real es repetir el mayor número de veces posible la
medición y obtener la media aritmética o valor promedio de las mediciones, ya que el
promedio de las mediciones es el valor representativo y más probable de dicho conjunto de
mediciones. Así pues, no obstante que el valor real de una magnitud siempre será imposible
precisarla con exactitud; cuando se le asigna un valor al error o incertidumbre que puede
existir en una medición, se podrá tener la confianza de que el valor real se encuentra dentro
del intervalo de la incertidumbre absoluta del valor promedio o desviación media. Es por
ello, que se necesita determinar dicha incertidumbre absoluta, para poder tener una idea
del grado de confiabilidad de los datos obtenidos al realizar las mediciones de una
magnitud.
Causas de error en las mediciones
Los errores que se cometen al hacer una medición tienen su origen en diferentes causas,
veamos:
Errores sistemáticos.
Estos errores se presentan de manera constante a través de un conjunto de lecturas
realizadas al hacer la medición de una magnitud determinada. Las fuentes o causas
de este tipo de errores son:
a) Defecto en el instrumento de medición.
Se produce, por ejemplo, al determinar el tiempo con un cronómetro que marche más
rápido o más lento de lo debido.
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b) Mala calibración del aparato o instrumento usado.
Se da por fallas de fabricación o por un gran uso del instrumento.
c) Error de escala.
Se produce por el rango de precisión del instrumento empleado, lo que provocará una
incertidumbre en la medición.
Errores circunstanciales (estocásticos o aleatorios).
Este tipo de errores no se repiten regularmente de una medición a otra, sino que varían y
sus causas se deben a los efectos provocados por las variaciones de presión, humedad y
temperatura del ambiente sobre los instrumentos. Así, por ejemplo, con la temperatura la
longitud de una regla puede variar ligeramente de una medición a otra; o una balanza
sensible puede dar variaciones pequeñas al medir varias veces la masa de un cuerpo. Los
errores circunstanciales pueden llamarse estocásticos, ya que son difíciles de apreciar
debido a que son muy pequeños y se producen en forma irregular o estocástica de una
medición a otra, es decir, azarosa. También se les da el nombre de error aleatorio porque
son resultado de factores inciertos y, por tanto, tienen la misma posibilidad de ser positivos
o negativos. Otro ejemplo de error circunstancial es el error de paralaje. Éste se comete por
una incorrecta postura del observador, la cual le impide hacer una adecuada lectura de la
medición. Para evitar este error, la posición del ojo del observador debe estar justo sobre
la lectura que realiza.
Precisión de los aparatos o instrumentos
La precisión de un aparato o instrumento de medición es igual a la mitad de la unidad más
pequeña que pueda medir. También recibe el nombre de incertidumbre o error del
instrumento o aparato de medida. Por ejemplo, si se realiza la medición de la masa
utilizando una balanza que está graduada para leer valores hasta de décimas de gramo
(0.1 g), la precisión, incertidumbre o error de la balanza será de: 0.05 g, ya sean de más o
de menos (60.05 g o 59.05 g). Si se utiliza un cronómetro construido para medir tiempos de
centésimas de segundo (0.01 s), su precisión será de: 60.005 s o de 59.005 s.
Cuantificación del error en las mediciones
Para cuantificar el error que se comete al medir una magnitud, se consideran los siguientes
tipos de errores:
a) Valor promedio.
Se define como la media aritmética de todos los valores medidos.
̅=
∑
Donde:
̅ =Valor promedio
=Valor medido
=Número de valores medidos
∑ =Suma
Ejemplo:
Se pide a 6 alumnos que midan la longitud de una varilla de acero y se obtienen los
siguientes valores medidos:
= 12.3
,
= 12.4
,
= 12.2
,
= 12.1
,
= 12. 4
y
= 12.3
A partir de estos datos, determina el valor promedio de las mediciones.
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b) Error.
Es la diferencia entre el valor medido y el valor promedio.
− ̅
=
Donde:
=Error
=Valor medido
̅ =Valor promedio
Ejemplo:
Determina el error que se presenta entre las mediciones
y
, del ejemplo anterior:
c) Error absoluto o desviación absoluta, también recibe el nombre de incertidumbre
absoluta.
Es el valor absoluto de la diferencia entre el valor medido y el valor promedio, es decir
es el valor absoluto del error.
=| |
=|
− ̅|
Donde:
=Error absoluto
=Error
=Valor medido
̅ =Valor promedio
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Ejemplos:
Calcula el valor absoluto de las medidas
ejemplo de esta sección:
y
, con respecto a los datos del primer
d) Error relativo.
Es el cociente entre el error absoluto o incertidumbre absoluta, y el valor promedio.
=
̅
=
=
|
| |
̅
− ̅|
̅
Donde:
=Error relativo
=Error absoluto
=Error
=Valor medido
̅ =Valor promedio
Ejemplo:
Determina el error relativo de las medidas
y
:
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e) Error porcentual.
Es el error relativo multiplicado por 100, con lo cual queda expresado en por ciento.
=
%
%
%
=
%
=
=
|
(100%)
̅
(100%)
| |
(100%)
̅
− ̅|
(100%)
̅
Donde:
% =Error porcentual de la i-ésima medición
=Error relativo
=Error absoluto
=Error
=Valor medido
̅ =Valor promedio
Ejemplos:
Determina el error porcentual de los valores medidos
y
.
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