GUIA MATEMATICAS ONCE PRIMER PERIODO

1
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DEPARTAMENTAL
ANTONIO NARIÑO
GUÍA No. : 001
AÑO: 2016
ÁREA: Matemáticas
ASIGNATURA: Calculo
GRADO: Undécimo
PERIODO: Primero
TIEMPO ESTIMADO: Primer Periodo
TIEMPO DE INICIO: Enero 20
DOCENTE: Juan Carlos Perea Rey
FRASE DE REFLEXIÓN:
“la mitad de la vida es suerte, la otra disciplina; y esta es decisoria, ya que sin disciplina,
no se sabría por donde empezar con la suerte”
COMPETENCIAS:





Resolución de Problemas
El Razonamiento
La Comunicación
La Modelación
Ejercitación de Procedimientos
ESTÁNDAR
PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS
Establezco relaciones y diferencia entre
decidir sobre su uso en situación dada
diferentes notaciones de números reales para
PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS
Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las graficas de funciones
polinómicas y racionales y de sus derivadas
TÓPICO GENERATIVO:
Creerías que en el siglo XVII, surgió el cálculo diferencial e integraal y un siglo después
se logro dar el concepto de función. Lo cual es una contradicción a la forma de aprender
la matemática
EVALUACIÓN DIAGNOSTICA
1. Expresa la relación de orden contenida en las siguientes afirmaciones, usando los
símbolos
<, >, ≤ o ≥.
Guíate por el ejemplo.
El número de estudiantes n es superior a 15 entonces n > 15.
a. El precio de la entrada p no supera los $ 5000.
b. El promedio de edades x es por lo menos 24 años.
c. La ganancia que obtuvo g no fue menor de $ 28000.
d. La nota n de Pedro no alcanzó el 3,8.
2. Determina cuál o cuáles de las siguientes expresiones corresponden a la ecuación de
una línea recta; luego, grafícalas.
3. Completa siguiente la tabla, indicando el o los conjuntos a los que pertenece cada
número.
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
2
MARCO CONCEPTUAL:
DESIGUALDADES E INECUACIONES
En tres exámenes de matemáticas, un universitario obtuvo las siguientes calificaciones
4.5, 3.5 y 3.0 sobre 5.0. Suponiendo que aun le falta un examen y que la nota final se
halla promediando los cuatro exámenes, ¿Cuál debe ser la calificación mínima del ultimo,
si la materia se aprueba con 3.0?
Supongamos que la nota del examen final es x:
(4.5 + 3.5 + 3.0 + 𝒙)
4
Si quiere aprobar el examen el promedio debe ser por lo menos de 3.0
Esta situación puede representarse de la siguiente manera:
(4.5+3.5+3.0+𝒙)
4
≥ 3.0
Hemos obtenido una expresión que relaciona o compara dos cantidades por medio de
una desigualdad.
Por el hecho de tener una incógnita, esta desigualdad recibe el nombre de inecuación.
El propósito de esta lección es encontrar procedimientos para resolver inecuaciones de
diferentes tipos, las cuales permitirán darles solución a diferentes problemas y
situaciones como la mencionada.
Pero antes de comenzar es necesario hacer un estudio acerca de las relaciones de
orden y sus propiedades.
Sabemos que el conjunto de los números reales es ordenado. Por tal razón, dados dos
números reales a y b, solo puede presentarse una de las siguientes relaciones:
1. 𝒂 − 𝒃 < 0
2. 𝒂 − 𝒃 = 𝟎
3. 𝒂 − 𝒃 > 0
La primera afirmación significa que el valor a es menor que el valor b, es decir, a<b
La segunda afirmación indica que los valores de a y b son iguales, es decir, a=b.
La tercera afirmación determina que a es mayor que b, o sea, a>b
Gráficamente estas relaciones se pueden representar, así:
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
3
Ejemplo. Verifica las relaciones anteriores comparando 𝑎 − 𝑏, 𝑏 − 𝑎 𝑦 𝑎 − 𝑐, si 𝑎 = 7, 𝑏 =
5𝑦𝑐 = 7
Solución:
a. Al realizar 𝑎 − 𝑏, obtenemos la diferencia 7 − 5 = 2 lo cual implica que 7 − 5 > 0,
entonces se puede concluir que 𝑎 > 𝑏
b. Desarrollando 𝑏 − 𝑎 , deduciremos la diferencia 5 − 7 = −2 lo cual implica que 5 −
7 < 0, entonces se puede concluir que 𝑏 > 𝑎
c. Como 𝑎 − 𝑐 = 0, porque 7 − 7 = 0, entonces se concluye que 𝑎 = 𝑐
Las proposiciones 𝑎 > 𝑏, 𝑎 = 𝑐, 𝑎 < 𝑏 , equivalen a
𝑎 − 𝑏 > 0,
𝑎 − 𝑐 = 0,
𝑏−𝑎 <0
De lo anterior podemos generalizar que:
Dados dos números reales a y b, entonces:
𝒂 < 𝒃 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒂 − 𝒃 < 𝟎
𝒂 = 𝒃 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒂 − 𝒃 = 𝟎
𝒂 > 𝒃 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒂 − 𝒃 > 𝟎
Propiedades de las desigualdades.
Supongamos que m y n son dos números reales tales que m>n, gráficamente esto
desigualdad se representaría
¿Qué sucede si sumamos una cantidad c tanto a m como a n?
Observa en la siguiente figura el resultado de esta operación
Si notamos tanto al sumar como al restar la cantidad c, la relación de orden se mantuvo,
por lo tanto sea c, positivo, negativo o cero la desigualdad se mantendrá.
Si realizáramos el mismo procedimiento pero con la desigualdad m<n, obtendríamos la
misma relación
Si m,nR, tal que m>n, entonces m+c>n+c para todo cR
Responde
¿Se cumplirá también esta propiedad cuando se multiplica un valor cualquiera a ambos
lados de la desigualdad?
Realicemos un ejemplo sencillo, con la desigualdad 3<12 y multipliquemos a ambos
lados de la desigualdad por diferentes valores positivos de c.
El siguiente cuadro
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
4
c
3c
12c
Conclusión
2
6
24
6<24
5
15
60
15<60
De lo anterior podemos definir que sea cualquier valor positivo de c, la desigualdad se
mantiene, es decir que 3c<12c
Veamos que sucede si el valor de c que se va a multiplicar es negativo, con el siguiente
cuadro
c
3c
12c
Conclusión
–2
–6
–24
–6>–24
–5
–15
–60
–15>–60
Observamos que si el valor de c es negativo, la desigualdad cambia de sentido, se
invierte, es decir que se obtiene 3c>12c
Esta propiedad se cumple para cualquier desigualdad.
También es valida cuando
dividimos ambos lados de una desigualdad por la misma cantidad, dado que si
recordamos una división se puede definir como una multiplicación (dividir por c, es lo
mismo que multiplicar por
𝟏
𝒄
)
Si n,n  R y m<n, entonces:
mc<nc, si c>0
mc>nc, si c<0
𝒎
𝒏
<
, si c>0
𝒄
𝒄
𝒎
𝒄
𝒏
> 𝒄 , si c<0
Intervalos
El uso de subconjuntos de números reales es de gran utilidad en el estudio de las
inecuaciones.
Por ejemplo: el conjunto A={xR/ x>2, x<10}, se puede expresar con el conectivo lógico
“”
A={xR/ x>2  x<10}
Este conjunto además se puede expresar de diferentes formas, veamos cada una de
ellas:
A={xR/ 2< x<10}
A={xR/ x≥2  x≤10} ={xR/ 2≤x≤10}
Interpreta como el conjunto infinito que
contiene todos los números reales
comprendidos entre el 2 y el 10, pero no
incluye en el al 2 ni al 10.
Representa el conjunto infinito que contiene
todos los números reales comprendidos
entre 2 y 10, incluyéndolos a ambos.
(2,10)
Intervalo Abierto
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
[2,10]
Intervalo Cerrado
5
A={xR/ x>2  x≤10}
{xR/ 2<x≤10}
A={xR/ x≥2  x<10}
{xR/ 2≤x<10}
Representa el conjunto infinito que
contiene todos los números reales
comprendidos entre 2 y 10, sin incluir el 2
pero incluyendo el 10.
Representa el conjunto infinito que
contiene todos los números reales
comprendidos entre 2 y 10, incluyendo el 2
pero no el 10.
(2,10]
[2,10)
Intervalo Abierto a la Izquierda
Intervalo Abierto a la Derecha
Los conjuntos de la forma {xR/ x≤8}, {xR/ x≥8}, {xR/ x<8}, {xR/ x>8}, se llaman
intervalos infinitos y se denotan respectivamente, así:
(–∞, 8], [8,+∞), (–∞, 8), (8,+∞)
El conjunto de los números reales R se puede representar como el intervalo abierto, así
(–∞,+∞).
Como los intervalos son conjuntos, es posible realizar operaciones de unión, intersección
y diferencia entre ellos.
Ejemplo: resuelve las siguientes operaciones entre intervalos
a. (2,4)(3,7]
b. [2,4)(3,7]
c. [–3, 8) – (6,12]
Recordemos que si A y B son dos conjuntos, entonces:
AB = { x: xA  xB }
AB = { x: xA  xB }
AB = { x: xA  xB }
Solución
GRÁFICAMENTE
a. (2,4)(3,7] = {x: x(2,4)  x(3,7]
} = (2,7]
b. [2,4)(3,7] = {x: x[2,4)  x(3,7]
} = (3,4)
c. [–3, 8) – (6,12] =
{ x: x[–3, 8)  x(6,12] }= [–3,6)
(Realiza la actividad 1de competencias)
Solución de inecuaciones
Recordemos la Notación de las inecuaciones
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Matemáticas
Grado Undécimo
6
Inecuaciones de primer grado
Se resuelven igual que las ecuaciones de primer grado. La diferencia esta en las
soluciones.
1. 2𝑥 + 1 ≤ 𝑥 + 3
Despejamos la x en el lado izquierdo y pasamos los números al lado derecho aplicando
las propiedades de las desigualdades
2𝑥 + 1 ≤ 𝑥 + 3
(−𝒙) + 2𝑥 + 1 + (−𝟏) ≤ 𝑥 + (−𝒙) + 3 + (−𝟏)
(−𝒙 + 𝟐𝒙) + (𝟏 − 𝟏) ≤ (𝒙 − 𝒙) + (𝟑 − 𝟏)
(𝒙 ) + (𝟎) ≤ (𝟎) + ( 𝟐)
𝒙≤𝟐
Ahora graficamos dicha solución en la recta
numérica y de la cual concluimos que el
conjunto solución es 𝑺: (−∞, 𝟐]
2.
𝑥
2
+
𝑥+1
7
<𝑥−2
Reducimos a común denominador para quitar los denominadores, realizando la suma de
fracciones algebraicas
𝑥 𝑥+1
+
<𝑥−2
2
7
7𝑥 + 2(𝑥 + 1)
<𝑥−2
14
7𝑥 + 2𝑥 + 2
<𝑥−2
14
(7𝑥 + 2𝑥 ) + 2 < 14(𝑥 − 2)
9𝑥 + 2 < 14𝑥 − 28
Luego de reducir los denominadores, despejamos la x del lado izquierdo y pasamos los
números al lado derecho aplicando las propiedades de las desigualdades
9𝑥 + 2 < 14𝑥 − 28
(−14𝑥 ) + 9𝑥 + 2 + (−2) < 14𝑥 + (−14𝑥 ) − 28 + (−2)
(−14𝑥 + 9𝑥 ) + (2 − 2) < (14𝑥 − 14𝑥 ) + (−28 − 2)
(−5𝑥 ) + (0) < (0) + (−30)
−5𝑥 < −30
Cuando al final nos quedan las x negativas, debemos cambiar todo el signo incluido el
signo de la inecuación, esto se aplica por las propiedades de las desigualdades
−5𝑥 < −30
5𝑥 > 30
Dividimos la inecuación por el número acompañante de la x y graficamos el resultado en
la recta numérica, para obtener el conjunto solución
5𝑥 > 30 →
5𝑥 30
>
→𝑥>6
5
5
(Realiza la actividad 2 de competencias)
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Matemáticas
Grado Undécimo
7
Inecuaciones Simultáneas
Analicemos esta forma de inecuaciones solucionando la siguiente:
𝟑 < 2𝒙 − 𝟏 ≤ 𝟕
Podemos expresarla como:
𝟑 < 2𝒙 − 𝟏  𝟐𝒙 − 𝟏 ≤ 𝟕
Resolvemos por separado cada inecuación lineal y graficamos en una misma recta las
soluciones. Veamos:
𝟑 < 𝟐𝒙 − 𝟏
𝟑 + (+𝟏) < 𝟐𝒙 − 𝟏 + (+1)
(𝟑 + 𝟏) < 𝟐𝒙 + (−1 + 1)
(𝟒) < 𝟐𝒙 + (0)
𝟒 < 𝟐𝒙
𝟒 𝟐𝒙
<
𝟐
𝟐
𝟐<𝒙
𝒙>2
𝟐𝒙 − 𝟏 ≤ 𝟕
𝟐𝒙 − 𝟏 + (+𝟏) ≤ 𝟕 + (+𝟏)
𝟐𝒙 + (−𝟏 + 𝟏) ≤ (𝟕 + 𝟏)
𝟐𝒙 + (0) ≤ (𝟖)
𝟐𝒙 ≤ 𝟖
𝟐𝒙 𝟖
≤
𝟐
𝟐
𝒙≤𝟒
Por lo tanto la sección de la grafica en
donde se ve interceptado las dos
líneas o respuestas, es el conjunto
solución, el cual es 𝑺: (𝟐, 𝟒]
Inecuaciones con denominadores
Ejemplo:
𝑥−4
𝑥+3
≤0
Primero resolvemos cada porción independiente y graficamos en una recta las soluciones
parciales
𝑥−4≤0
𝑥 − 4 + (4) ≤ 0 + (4)
𝑥 + (−4 + 4) ≤ (0 + 4)
𝑥 + (0) ≤ (4)
𝑥≤4
𝑥+3≤0
𝑥 + 3 + (−3) ≤ 0 + (−3)
𝑥 + (3 − 3) ≤ (0 − 3)
𝑥 + (0) ≤ (−3)
𝑥 ≤ −3
Nuevamente nuestra grafica queda dividida en tres trozos

Primer trozo el intervalo (–∞, –3]
Tomemos a x= –8 y remplacemos
𝑥−4
−8 − 4
−12
12
≤0→
≤0→
≤0→
𝑥+3
−8 + 3
−5
5

Segundo trozo el intervalo [–3, 4]
Tomemos a x= 1 y remplacemos
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
0
8
𝑥−4
1−4
−3
≤0→
≤0→
≤0
𝑥+3
1+3
4

Tercer trozo el intervalo [4, ∞)
Tomemos a x= 7 y remplacemos
𝑥−4
7−4
3
3
≤0→
≤0→ ≤0→
𝑥+3
7+3
8
8
0
De los tres trozos solo el segundo es parte de la solucion, pero como es intervalos
cerrado debemos probar con los extremos
𝑥 = −3,
𝑥−4
−3 − 4
−7
≤0→
≤0→
≤ 0, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
𝑥+3
−3 + 3
0
𝑥 = 4,
𝑥−4
4−4
0
≤0→
≤0→ ≤0→0≤0
𝑥+3
4+3
7
Por lo anterior el conjunto solución de la inecuación
𝑥−4
𝑥+3
≤ 0,
es 𝑺: (−𝟑, 𝟒]
(Resuelve la actividad 3 de competencias)
Inecuaciones con valor absoluto
Matemáticamente el valor absoluto se define como:
|𝒂| = 𝒂, 𝒔𝒊 𝒂 > 𝟎
|𝒂| = { |𝒂| = 𝟎, 𝒔𝒊 𝒂 = 𝟎 } 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂 ∈ 𝑹
|𝒂| = −𝒂. 𝒔𝒊 𝒂 < 𝟎
Para dar solución a una inecuación que presenta el símbolo de valor absoluto, debemos
tener en cuenta las siguientes propiedades, las cuales son el primer paso en la desarrollo
Propiedades de valor absoluto
|𝒙| ≤ 𝒂 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 − 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒂 > 𝟎
|𝒙| ≥ 𝒂 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒙 ≤ −𝒂  𝒙 ≥ 𝒂, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂 ∈ 𝑹
Ejemplo 1. |6𝑥 + 5| ≤ 8
Por la propiedad de valor absoluto:
−8 ≤ 6𝑥 + 5 ≤ 8
Resolviendo esta ecuación simultanea, obtenemos:
−8 ≤ 6𝑥 + 5 ≤ 8
(
)
−8 + −5 ≤ 6𝑥 + 5 + (−5) ≤ 8 + (−5)
(−8 − 5) ≤ 6𝑥 + (5 − 5) ≤ (8 − 5)
(−13) ≤ 6𝑥 + (0) ≤ (3)
−13 ≤ 6𝑥 ≤ 3
−13 6𝑥 3
≤
≤
6
6
6
−13
1
≤𝑥≤
6
2
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
al representarlo, obtenemos el conjunto
solución, de la siguiente manera
𝑆: [−
13 1
, ]
6 2
9
Ejemplo 2. |3𝑥 − 6| > 9
Aplicando la propiedad, tenemos que:
3𝑥 − 6 < −9  3𝑥 − 6 > 9
3𝑥 − 6 + (+6) < −9 + (+6)  3𝑥 − 6 + (+6) > 9 + (+6)
3𝑥 + (−6 + 6) < (−9 + 6)  3𝑥 + (−6 + 6) > (9 + 6)
3𝑥 + (0) < (−3)  3𝑥 + (0) > (15)
3𝑥 < −3  3𝑥 > 15
3𝑥 −3
3𝑥 15
<

>
3
3
3
3
𝑥 < −1  𝑥 > 5
De acuerdo a la
conjunto solución es
grafica,
el
𝑺: (−∞, −𝟏) ∪ (𝟓, +∞)
(Realiza la actividad 4 de competencias)
Funciones
Una relación física muy conocida es la que nos permite hallar la posición de un cuerpo
que cae libremente al tiempo de caída (es decir, en función del tiempo). Esta relación es
𝒚=
𝟏𝟎𝒕𝟐
𝟐
,
donde 10 es el valor aproximado de la gravedad.
Así, para t=1, se tiene que
𝒚=
𝟏𝟎𝒕𝟐
𝟐
=
𝟏𝟎(𝟏𝟐 )
𝟐
=
𝟏𝟎
𝟐
= 𝟓 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
la distancia recorrida es de 5 metros y únicamente 5
metros.
Es decir, que al cabo de 1 minuto el cuerpo no puede
ocupar dos posiciones diferentes:
Para t=1 segundos, el cuerpo se desplaza 5 metros
Para t=2 segundos, el cuerpo se desplaza 20 metros
Existe una relación entre el tiempo t transcurrido y la
posición y del cuerpo. Esta relación asigna a cada
valor de t una y solo una posición. La posición y del
cuerpo depende del tiempo t transcurrido.
Identificamos a y como variable dependiente y a t como variable independiente.
Generalizando: para cada valor de la variable independiente corresponde un único valor
par la variable dependiente.
A las relaciones que cumplen esta característica se les denomina funciones.
Una función f definida de A en B, (f: A→B) es una correspondencia
que asigna a cada elemento xA, un único elemento yB.
El elemento yB es el valor x al aplicarle f y se denota por f(x), que
es la imagen de x.
Analicemos la siguiente relación:
Sea
𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) =
1
√𝑥−1
una función con xR
En este caso la relación tiene las características requeridas para que sea función, ya que
cualquier valor posible de x tiene solo una imagen.
Como toda función es una relación, podemos hallar su dominio, su rango, sus intersectos
y su grafica
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
10
Dominio
Hallamos el valor de y y analizamos los valores de x para los cuales y=f(x) queda bien
definida:
𝑦=
1
√𝑥 − 1
El denominador de esta relación debe ser diferente de cero, ya que no se puede dividir
nunca por cero; y además el denominador debe ser mayor de cero, porque no existen las
raíces cuadradas de números negativos, es decir
Como 𝑥 − 1 > 0
Implica 𝑥 > 1
Por lo tanto el dominio de la función es el conjunto (1,+) o Df(x)={xR/ x>1}
Rango
Observemos que el cociente
1
√𝑥−1
no puede ser negativo.
Hallemos el valor de x para lo cual hay que despejarla de la relación
𝑦=
1
√𝑥 − 1
1
𝑦2 =
𝑥−1
𝑦 2 (𝑥 − 1) = 1
𝑥𝑦 2 − 𝑦 2 = 1
𝑥𝑦 2 = 1+𝑦 2
1+𝑦 2
𝑥=
𝑦2
Ahora como el denominador debe ser diferente de cero, entonces el rango de la función
es Rf(x)= {yR/ y>0}
Intersectos
Ahora miremos en que puntos de los ejes x y y, la grafica corta, para lo cual hay que
hallar los valores cuando x=0 y y=0
𝑥 = 0,
𝑦=
𝑦=
1
1
√𝑥 − 1
√0 − 1
1
𝑦=
√−1
Ahora como el denominador no es numero
real, entonces la función no corta al eje x
Grafica de la Función
X
f(x)
1,5
1,41
2
1
2,5
0,81
3
0,70
3,5
0,63
4
0,57
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
𝑦 = 0,
0=
𝑦=
1
1
√𝑥 − 1
√𝑥 − 1
Ahora como como se establece que 0=1 y
esto es un absurdo la grafica no corta en el
eje de las y
11
(Realiza la actividad 5 de competencias)
Tipos de Funciones
 FUNCIONES POLINÓMICAS
Recordemos que cada una de las siguientes expresiones es un polinomio en la variable x:
4𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 + 6 ; 𝑥 2 − 5𝑥 + 3; 𝑥 + 4
Cada una de las funciones polinómica, se pueden identificar por el mayor exponente
(grado) que tenga la variable x.
Es decir:
Una función polinómicas es una función de la forma:
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 𝒙𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟎
De dotas las funciones polinómica, las más usadas son:
Función Lineal
Polinomio de Grado 1
𝑓(𝑥 ) = 𝑚𝑥 + 𝑏
Función Cuadrática
Polinomio de Grado 2
Función Cubica
Polinomio de Grado 3
𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
donde a≠0
con a≠0
 FUNCIONES RACIONALES
Recordemos que los números racionales son aquellos que se pueden expresar como el
𝑎
cociente de dos números enteros, es decir de la forma , 𝑐𝑜𝑛 𝑏 ≠ 0
𝑏
De similar forma, las funciones racionales son aquellas que se pueden escribir como el
cociente de dos funciones polinómicas, e decir:
Si f(x) y g(x) son funciones polinómicas y g(x)≠0, entonces:
ℎ (𝑥 ) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
h(x) representa una función racional cuyo dominio son los números reales, excepto
aquellos donde g(x) se hace igual a cero.
Ejemplo:
𝑥−2
𝑓 (𝑥) = 𝑥+1
La función es racional, ya que es el cociente de las funciones y=x-2 y y=x+1
El dominio de esta función depende de que el valor de x+1≠0, es decir que x≠–1
Por lo tanto Df(x)={ xR–{–1}}
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12
El rango, es observar el comportamiento de y, por lo cual
𝑥−2
𝑥+1
𝑦(𝑥 + 1) = 𝑥 − 2
𝑦𝑥 + 𝑦 − 𝑥 = −2
𝑥 (𝑦 − 1) = −2 − 𝑦
−2 − 𝑦
𝑥=
𝑦−1
𝑦=
Donde y≠1, para que y-1≠0; de esta manera Rf(x)={ xR–{1}}
Para determinar los intersectos, se establece x=0 y y=0, así:
𝑥 = 0,
𝑦=
𝑥−2
𝑥+1
𝑦 = 0,
0−2
0+1
−2
𝑦=
= −2
1
De tal forma los intersectos son (0,-2) y(2,0)
𝑦=
𝑦=
𝑥−2
𝑥+1
𝑥=2
𝑥−2
𝑥+1
0=
Su grafica se realiza con una tabulación
x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
f(x)
2
2,5
4
NE
–2
–0,5
0
0,25
0,4
(Realiza la actividad 6 de competencias)
 FUNCIONES TRASCENDENTES
Dentro de este tipo de funciones reales encontramos las siguientes:
a. Funciones Trigonométricas
Recordemos que las funciones trigonométricas son basadas en las seis razones
trigonométricas en los diferentes ángulos, como se observan a continuación
Seno
𝑓(𝑥) = sin 𝑥
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
Coseno
𝑓(𝑥) = cos 𝑥
Tangente
𝑓 (𝑥) = tan 𝑥
13
Cosecante
𝑓(𝑥) = csc 𝑥
Secante
𝑓(𝑥) = sec 𝑥
Cotangente
𝑓 (𝑥) = cot 𝑥
Pero las gráficas de funciones trigonométricas se pueden realizar ciertas
transformaciones básicas, como desplazamiento horizontal o vertical y ampliación o
reducción horizontal o vertical.
Funciones exponencial y logarítmica
Benjamín Franklin, famoso científico y estadista, dejó un legado de 1000 libras a las ciudades
de Boston y Filadelfia para que se prestasen a jóvenes aprendices al 5% anual. Según
Franklin al cabo de 100 años se habrían convertido en 131000 libras de las cuales 100000
serían para obras públicas los 31000 restantes volverían a utilizarse como prestamos otros
100 años. ¿Calculó bien?
Funciones exponenciales
La función exponencial es de la forma y=ax, siendo a un número real positivo.
En la figura se ve el trazado de la gráfica de y=2 x.
X
y
•
•
•
•
•
•
-3
0,125
-2
0,25
-1
0,5
0
1
1
2
2
4
3
8
0,5
-2
El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivos.
Es continua.
Si a>1 la función es creciente y si 0<a<1 es decreciente.
Corta al eje OY en (0,1).
El eje OX es asíntota.
La función es inyectiva, esto es si am=an entonces m=n.
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
14
En los gráficos inferiores se puede ver como cambia la gráfica al variar a. Observa que las
gráficas de y=ax y de y= (1/a)x =a-x son simétricas respecto del eje OY.
Crecimiento exponencial
La función exponencial se presenta en multitud de fenómenos de crecimiento animal,
vegetal, económico, etc. En todos ellos la variable es el tiempo.
En el crecimiento exponencial, cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por
una cantidad constante a. Donde k es el valor inicial (para t=0), t es el tiempo transcurrido y a
es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempo.
Si 0<a<1 se trata de un decrecimiento exponencial.
• El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivos.
• Es continua.
• Si a>1 la función es creciente y si 0<a<1 es decreciente.
• Corta al eje OY en (0,1).
• El eje OX es asíntota.
• La función es inyectiva, esto es si am=an entonces m=n.
En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano, si su peso se multiplica por 2 cada día, ¿cuál
es su crecimiento si el peso inicial es 3 gr?
Peso inicial: 3 gr
Peso inicial: 3 gr
Crecimiento: por 2
x
f(x)
0
3*1=3
1
3*2=6
2
3*4=12
3
3*8=24
4
3*16=48
x
0
1
2
3
4
f(x)
3
6
12
24
48
170
Aplicaciones
La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de
modo que el aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
15
proporcional a lo que había al comienzo del mismo. A continuación se ven tres aplicaciones:
• Crecimiento de poblaciones.
• Interés del dinero acumulado.
• Desintegración radioactiva.
� Interés compuesto
En el interés compuesto los intereses producidos por un capital, C0 se van acumulando a
éste, de tiempo en tiempo, para producir nuevos intereses.
Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital, se
llaman periodos de capitalización o de acumulación. Si son t años, r es el rédito anual
(interés anual en %) el capital final obtenido viene dado por la fórmula:
CF = Co*(1 + r/100)t
Si se consideran n periodos de tiempo, (n=12 si meses, n=4 si trimestres, n=365 si días,...) la
fórmula anterior queda:
CF = Co*(1 + r/n*100)nt
Ejemplo 1
Se colocan $5000 al 6% anual. ¿En cuánto se convertirán al cabo de 5 años?
• Si los intereses se acumulan anualmente
CF $5000*(1+6/100)5 = $6691,13
• Si los intereses se acumulan mensualmente
CF $5000*(1+6/1200)12*5 = $6744,25
• Si los intereses se acumulan trimestralmente
CF $5000*(1+6/400)4*5 = $ 6734,27
� Crecimiento de poblaciones
El crecimiento vegetativo de una población viene dado por la diferencia entre nacimientos y
defunciones.
Si inicialmente partimos de una población P0, que tiene un índice de crecimiento i
(considerado en tanto por 1), al cabo de t años se habrá convertido en:
P=P0· (1+i)t
Ejemplo 2
Un pueblo tiene 600 habitantes y su población crece anualmente un 3%. ¿Cuántos
habitantes habrá al cabo de 8 años?
P = 600 *(1+3/100)8 ≈ 760
� Desintegración radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo. La cantidad de una cierta
sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada por:
M=M0·at M0 es la masa inicial, 0<a<1 es una constante que depende de la sustancia y de la
unidad de tiempo que tomemos.
Ejemplo 3
La rapidez de desintegración de las sustancias radiactivas se mide por el “ periodo de
desintegración” que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad.
Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 años, si en el año 2000 teníamos 20 gr
y tomamos como origen de tiempo el año 2000.
• La función es:
M(x) = 20 * 0,5 = 20x/28 = 20* 0,9755x
• En el año 2053 quedará:
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
16
M = 20 * 0,975553 = 5,38 gr
Funciones logarítmicas
La función inversa de la exponencial
Dada una función inyectiva, y=f(x), se llama función inversa de f a otra función, g, tal que
g(y)=x. En la figura adjunta se puede ver la inversa de la función exponencial.
Para cada x se obtiene ax. Al valor obtenido lo llamamos y o f(x). La función inversa de la
exponencial es la que cumple que g(y)=x. Esta función se llama función logarítmica y,
como puedes observar, es simétrica de la función exponencial con respecto a la bisectriz del
primer y tercer cuadrantes.
La función logarítmica
Es la función inversa de la función exponencial y se denota de la siguiente manera:
y = logax, con a>0 y distinto de 1. En la figura se representa la gráfica de y=log2x de forma
similar a como se hizo con la exponencial. Sus propiedades son
"simétricas".
x
f(x)
0,125
-3
0,25
-2
0,5
-1
1
0
2
1
4
2
8
3
En los gráficos inferiores se puede ver como cambia la gráfica al variar a.
En las gráficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=k·logax
cambia la rapidez con que la función crece o decrece (k<0). Al sumar (o restar) una
constante b la gráfica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
17
unidades, cambiando el punto de corte con el eje de abscisas.
Funciones logarítmicas
La función inversa de la exponencial
Dada una función inyectiva, y=f(x), se llama función inversa de f a otra función, g, tal que
g(y)=x. En la figura adjunta se puede ver la inversa de la función exponencial.
Para cada x se obtiene ax. Al valor obtenido lo llamamos y o f(x). La función inversa de la
exponencial es la que cumple que g(y)=x. Esta función se llama función logarítmica y,
como puedes observar, es simétrica de la función exponencial con respecto a la bisectriz del
primer y tercer cuadrantes.
La función logarítmica
Es la función inversa de la función exponencial y se denota de la siguiente manera:
y = logax, con a>0 y distinto de 1. En la figura se representa la gráfica de y=log2x de forma
similar a como se hizo con la exponencial. Sus propiedades son
"simétricas".
x
f(x)
0,125
-3
0,25
-2
0,5
-1
1
0
2
1
4
2
8
3
En los gráficos inferiores se puede ver como cambia la gráfica al variar a.
En las gráficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=k·logax
cambia la rapidez con que la función crece o decrece (k<0). Al sumar (o restar) una
constante b la gráfica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b
unidades, cambiando el punto de corte con el eje de abscisas.
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Matemáticas
Grado Undécimo
18
•
•
•
•
•
•
El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los reales.
Es continua.
Si a>1 la función es creciente y si 0<a<1 es decreciente.
Corta al eje OX en (1,0).
El eje OY es asíntota.
La función es inyectiva, esto es si am=an entonces m=n.
Los logaritmos
Dados dos números reales positivos, a y b (a≠1), llamamos logaritmo en base a de b al
número al que hay que elevar a para obtener b. La definición anterior indica que: logab=c
equivale a ac=b
Fíjate en los ejemplos
log2128 =7 ←→ 27 = 128
log3 (1/243) =-4 ←→ 3-4 = 1/243
log1/28=-3 ←→ (1/2)-3=8
log1/3 1/9 =2 ←→(1/3)2 = 9.
Propiedades de los logaritmos
Sean: x=logab
ax=b
y=logac
ay=c
z=loga(b·c) az=b·c
• ax·ay=ax+y=az , entonces z=x+y
• ax/ay=ax- y=az , entonces z=x–y
• (ax)m=ax*m=az , entonces z=x*m
• Logaritmo del producto: loga(b·c)=logab+logac
• Logaritmo del cociente: loga b/c =logab– logac
• Logaritmo de una potencia: loga(bm)=m·logab
• En cualquier base: loga1=0 ya que a0=1
logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimales
Son los de base 10, son los más usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando
se utilizan.
log 10 = log 101=1
log 100 = log 102=2
log 1000 = log 103 = 3
log 10000 = log 104 = 4 , …etc
Observa que entonces el log de un número de 2 cifras, comprendido entre 10 y 100, es 1,... ;
el log de los números de 3 cifras será 2,... ; etc. Por otra parte:
log 0,1 = log 10-1 = -1
log 0,01 = log 10-2 = -2
log 0,001 = log 10-3 = -3, …etc
Entonces el log de un número comprendido entre 0,01 y 0,1 será -1,...; el de uno
comprendido entre 0,001 y 0,01 será -2,..., etc.
Cambio de base
Las calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos: decimales (base=10) y
neperianos o naturales (base=e), que se estudian en cursos posteriores. Cuando queremos
calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la fórmula del cambio de
base:
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
19
(Realiza la actividad 7 de competencias)
ACTIVIDADES DE COMPETENCIAS
Actividad 1.
a) Ejercitación de Procedimientos. Dada la desigualdad –8 > -10 , determina la
desigualdad final si:
1. Se suma 2 a ambos lados de la igualdad
2. Se suma (–4) a ambos lados
3. Se multiplica por 3 ambos lados
4. Se multiplica por (–3) ambos lados
5. Se divide por 2 a ambos lados
6. Se multiplica por
−1
2
ambos lados
b) El Razonamiento. Responde a las siguientes preguntas
1. ¿Qué sucede con una desigualdad si ambos lados se multiplica por cero?
2. ¿Es posible dividir por cero en ambos lados de la desigualdad?
c) La Comunicación. Representa gráficamente los siguientes conjuntos
1. (3,6)U(-2,2)
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
1
2. [−2, 2] ∩ (1,5)
3. (−∞, 2) ∪ (3, +∞)
20
d) La Modelación. Escribe el intervalo de las siguientes operaciones y represéntalas
gráficamente; si:
𝐴 =]-2,4[
1. 𝐴 ∪ 𝐵
2. 𝐶 ∩ 𝐷
3. 𝐴 − 𝐸
4. 𝐵 ∪ 𝐷
5. 𝐶 ∩ 𝐸
6. 𝐵 − 𝐶
7. 𝐶 − 𝐵
8. 𝐷 − 𝐵
𝐵 = [1,9[
𝐶 =] − 4,4[
𝐷 = [−6,5]
𝐸 =] − ∞, 3]
e) La Comunicación. Expresa las siguientes desigualdades en forma de intervalo y
represéntalos gráficamente
1. 𝑥 < −3  x >- 4
5
4. 𝑥 < 4
2. 𝑥 ≥11
1
3. 𝑥 ≤ 0  𝑥 > 2
5. 𝑥 < 0  𝑥 >6
2
3
6. 𝑥 ≤ 3  𝑥 > 2
Actividad 2.
a) La Comunicación.
Expresa los siguientes enunciados como inecuaciones y
determina el conjunto solución.
1. La mitad de un numero menos cuatro es mayor que 3
2. El triplo de un numero mas cinco es por lo menos a 7
3. Tres cuartos de un numero menos diez no excede a  11
4. Cuatro tercios de un numero mas siete es meno que  6
b) El Razonamiento. Encuentra el intervalo solución de cada inecuación de la columna
A con las de la columna B
COLUMNA A
COLUMNA B
2 − 4𝑥 < 34
(−∞, 4]
2−𝑥 <5
(−8, +∞)
𝑥 − 6 ≤ −13
(−∞, −7]
𝑥+2>5
(−∞, +7]
2𝑥 − 6 ≤ −2
(6, +∞)
3𝑥 + 5 > 29
(3, +∞)
−3 − 𝑥 ≥ 4
(8, +∞)
c) Ejercitación de Procedimientos. Halla el conjunto solución de las siguientes
inecuaciones y represéntalas gráficamente.
1. 𝑥 − 6 > 4 − 𝑥
2. 2 − 6𝑥 ≤ 32
4. 4𝑥 + 2 < 6𝑥- 2
5. −2𝑥 + 3 ≤ 𝑥
1
2
4
3. 𝑥 − 3 > 2𝑥 + 3
𝑥
6. 5 −
2𝑥
3
𝑥
≥5
d) Solución de Problemas. Soluciona los siguientes problemas.
1. El desplazamiento de un móvil esta dado por la ecuación 𝑠(𝑡) =24t+16, donde t es el
tiempo en minutos y s es la posición en metros. ¿Para qué valores de t, la posición es
de 1000 metros?
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
21
𝑉
2. La ley de Ohm (𝐼 = ) en teoría eléctrica denota a R como la resistencia de un objeto,
𝑅
la cual se mide en ohmios (); la V es la diferencia de potencial medido en voltios (v)
y la I como la corriente medida en amperios (A). si el voltaje es de 110v ¿Qué
valores de resistencia producirán una corriente que no exceda los 10A?
3. La formula ℃ =
5
9
(℉ − 32) relaciona las lecturas de temperatura en las escalas
Fahrenheit y Celsius ¿Qué valores de ºF corresponden a los valores de ºC tales que
℃ ≤ 30?
e. Practiquemos para el icfes
En cada una de los siguientes puntos elige
correcta.
sólo una respuesta que consideres que es la
1. El intervalo solución de la inecuación
3X + 2 > 2X + 4 es:
A. (-∞,-2)
B. (2,+∞)
C. (-∞,2)
D. (-2,+∞)
2. El intervalo solución de la inecuación :
(X + 2) / 2 > (X + 1) / 3 es:
A. (4,+∞)
B. (-∞,4)
C. (-∞,-4)
D. (-4,+∞)
3. El intervalo solución de la inecuación :
(3X - 1) / 2 ≤ X + 4 es:
A. (-∞,9)
B. (-∞,-9)
C. (9,+∞)
D. (-9,+∞)
4. El intervalo solución de la inecuación
X + 1 ≥ (X + 1) / 2 es:
A. (-∞,1)
B. (-∞,-1)
C. (1,+∞)
D. (-1,+∞)
Actividad 3.
a. Ejercitación de Procedimientos.
Determina el conjunto solución para las
siguientes inecuaciones simultáneas y represéntalas gráficamente.
1. −2 < 4𝑥 + 1 < 7
3. −6 ≤ 2𝑥 + 1 < 16
1
2. −8 ≤ 3𝑥 + 1 < 19
4. 100 > 400 − 6𝑥 > 10
5.
4<2− 𝑥 ≤6
6. −1 ≤ 3 − 7𝑥 < 6
7.
1
8. 12 ≥ 5𝑥 − 3 > −7
2
2
1
3
2
4
≤ 2𝑥 − ≤
b. El Razonamiento. Encuentra el conjunto solución para las siguientes inecuaciones
1. −1 <
3−7𝑥
4
≤6
2. 12𝑥 ≥ 5𝑥 − 3 > −7
3. 2𝑥 < 𝑥 < 3
4. 𝑥 ≤ 3 − 𝑥 < 0
5. −3𝑥 + 1 < 𝑥 < 5
6. −𝑥 < 𝑥 ≤ 0
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
22
c. La Comunicación. Determina el valor de k para que la solución de la inecuación sea
validad
1. 0 ≤ 5𝑥 − 𝑘 ≤ 10 𝑆: [1,3]
2. 2 < 4𝑥 − 2𝑘 ≤ 10
3. 6 ≥ 2𝑥 + 2𝑘 > −2
4. 4 > 4𝑥 + 𝑘 > 1
𝑆: (−6, −2]
d. Ejercitación de Procedimientos.
una de las siguientes inecuaciones.
1.
3.
5.
𝑥−3
𝑥+2
𝑥+5
𝑥−3
1 1
𝑆: (− 4 , 2)
Determina los valores de x que satisfacen cada
>0
2.
>0
4.
𝑥
2𝑥+6
𝑆: [2,4)
6.
≤0
3𝑥−2
3𝑥+2
𝑥−1
3𝑥+2
2𝑥−3
5𝑥+2
< −2
>0
≥ −2
e. Solución de Problemas. Resuelve el siguientes problemas
1. Para que un medicamento tenga un efecto beneficioso, su concentración
sanguínea debe ser mayor que cierto valor llamado nivel terapéutico mínimo.
Supón que la concentración c (en mg/l) de un fármaco, t horas después de su
ingestión, esta dada por:
𝒄=
𝟐𝟎𝒕
𝒕𝟐 + 𝟒
Si el nivel terapéutico mínimo es de 4 mg/l ¿Cuándo se rebasa el nivel?
2. Después que un astronauta es lanzado al espacio, su peso disminuye hasta que
alcanza un estado de ingravidez.
El peso de un astronauta de 140 libras a una altitud de x km sobre el nivel del mar
esta dado por:
6400 2
)
𝑊 = 140 (
6400 + 𝑥
¿A qué altitud su peso será menor de 10 libras?
Actividad 4.
a. Ejercitación de Procedimientos. En cada uno de los siguientes ejercicios, resuelve
la inecuación dada.
1
1. |𝑥 − 2| < 1
2. |6 − 5𝑥| <
5. |2𝑥 + 1| ≥ 5
6. |2𝑥 + 7| ≤ 11
2
3
𝑥
3. |𝑥 − 10| < 10
4. |3 − 2| > 4
7. |25𝑥 − 8| ≥ 7
8. |4𝑥 − 5| ≤ 3
b. La Comunicación. Expresa cada enunciado en términos de una desigualdad con
valor absoluto
1. El radio r de un componente no debe variar mas de 0,1 cm de 1 cm
2. La diferencia entre las edades de dos personas tiene que estar entre 0 y 4 años
3. La distancia entre dos valores en la recta real debe estar entre 5 y 27 unidades
c. El Razonamiento. Determina los valores de k para que la solución sea validad
1. |𝑥 + 𝑘| < 2
𝑆: (−7, −3)
2. |𝑘 − 𝑥 | < 1 𝑆: [2,4]
3. |2𝑥 − 𝑘| ≥ 1 𝑆: (−∞, 3] ∪ [4, +∞)
4. |√2𝑘 + 𝑥| ≥ 3
5. |√3𝑘 − 𝑥| ≤ 4
6.
𝑆: (−∞, −7] ∪ [−1, +∞)
3
| 𝑥 + 𝑘| < 3
5
d. La Modelación. Resuelve el siguiente anima-plano
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
𝑆: (−∞, 5] ∪ [1, +∞)
𝑆: (−5,25)
23
16. La desigualdad de la inecuación
3𝑥 − 6 > 180 es 𝑥 > ___
17. La anterior solución menos 10 unidades
R___
18. La desigualdad de la inecuación
2
5
𝑥 + 6 > 30 es 𝑥 > ____
Soluciona la inecuación 88 < 𝑥 − 2 ≤ 91
19. El extremo izquierdo del intervalo
solución es R____
20. El extremo derecho del intervalo solución
es R____
𝑥
Soluciona la inecuación 40 ≤ 2 + 8 < 45
21. El extremo derecho del intervalo solución
R____
22. El extremo izquierdo del intervalo
solución R____
1. Si la desigualdad −49 < −28, se divide en ambos
lados por (−7). El dato mayor es R___
2. Si la desigualdad −87 > −90, si se divide en
ambos extremos por (−3). El dato menor es
R___
3. En los intervalos abiertos, se incluyen sus
extremos
Falso [58]
Verdadero [57]
4. En los intervalos semi-abierto, solo se incluye
un extremo
Falso [46]
Verdadero [48]
5. La desigualdad 𝑥 ≥ 9, representa un intervalo
infinito
Falso [35]
Verdadero [37]
6. Sean los intervalos 𝐴 = (42,37] y 𝐵 = [37, +∞)
entonces 𝐴 ∩ 𝐵 = {_____}
7. Sean los intervalos 𝐴 = (30,34] y 𝐵 = [33, +∞)
entonces 𝐴 ∩ 𝐵 = {_______}, la suma de los enteros
del intervalo es R___
8. Al ejercicio anterior sumar una unidad R__
9. Sean los intervalos 𝐴 = [75,90] y 𝐵 = [76, +∞)
entonces 𝐴 − 𝐵 = {_____}
10. Sean los intervalos 𝐴 = (−∞, 66] y 𝐵 = (45,67]
entonces 𝐵 − 𝐴 = {_____}
11. La unión de dos intervalos, se define como el
conjuntos de elementos que están en ambos
intervalos
Falso [47]
Verdadero [57]
12. Una inecuación es una desigualdad con un dato
desconocido
Falso [58]
Verdadero [45]
13. La edad de juan mas 5 no excede los 15 años,
la inecuación correspondiente es
A: 𝑥 + 5 ≤ 15 [95]
B: 𝑥 + 5 < 15 [90]
14. La mitad de la edad de María menos 3 por lo
menos es 7, la inecuación correspondiente es
A:
2
𝑥
− 3 > 7 [73]
𝑥
B: − 3 ≥ 7 [74]
2
15. La desigualdad de la inecuación
96 es 𝑥 ≤ ____
Actividad 5.
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
𝑥 + 23 ≤
Soluciona la inecuación −97 > 2𝑥 + 9 < −95
23. El extremo derecho del intervalo solución
es R____
24. El extremo izquierdo del intervalo
solución es R____
Completa el conjunto solución de la
inecuación
𝑥−40
> 0 → 𝑆: (−∞. ⟨25⟩) ∪ (⟨26⟩ , +∞)
2𝑥−90
3𝑥−75
Soluciona la inecuación
<0
𝑥−23
27. El extremo derecho del intervalo solución
R____
28. El extremo izquierdo del intervalo
solución R____
29. El valor absoluto, es la distancia de un
numero real hacia el cero
Falso [10]
Verdadero [13]
Hallar el conjunto solución de |2𝑥 − 74| ≤ 11
30. El extremo izquierdo del intervalo R____
31. El extremo derecho del intervalo R____
Completa el conjunto solución de la
inecuación
|2𝑥 − 37| > 9 → 𝑆: (−∞.
) ∪ (⟨32⟩ , +∞)
⟨33⟩
Completa el conjunto solución de la
inecuación
|6𝑥 − 123| > 33 → 𝑆: (−∞.
) ∪ (⟨34⟩ , +∞)
⟨35⟩
Hallar el conjunto solución de |4𝑥 − 42| ≤ 14
36. El extremo derecho del intervalo R____
37. El extremo izquierdo del intervalo R____
24
Practiquemos para el icfes
a. La Comunicación. Responde las preguntas 1 - 2 - 3 y 4 de acuerdo con las
siguientes gráficas la que no corresponde a una función es:
A = 1.
B = 2.
C = 3.
D = 4.
E = 5.
F = 6.
2. El dominio D= (-R,0] corresponde a la gráfica
A = 1.
B = 2.
C = 3.
D = 4.
3. El rango R=[-1, 1] corresponde a la gráfica
A = 5.
B = 3.
C = 6.
D = 2.
4. La función que se encuentra clasificada como transcendente es:
A =1.
B = 3.
C = 2.
D=6
b. La
comunicación: justifica cada opción elegida en los puntos anteriores: 1 2. - 3. Y 4.
c. El Razonamiento. Dada las imágenes, encuentra el valor de x correspondiente
1. 𝑓 (𝑥) = 2, 𝑐𝑜𝑛 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2
2. 𝑔(𝑥) = −1, 𝑐𝑜𝑛 𝑔(𝑥) = 4𝑥
1
3
3. ℎ(𝑥) = 2 , 𝑐𝑜𝑛 ℎ(𝑥) = − 2 𝑥
4. 𝑚(𝑥) = 2, 𝑐𝑜𝑛 𝑚(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 11
5. 𝑤 (𝑥) = 10, 𝑐𝑜𝑛 𝑤(𝑥) = 𝑥 2 + 1
d. Ejercitación de Procedimientos. De las siguientes funciones determina el dominio,
el rango, los intersectos y realiza la grafica.
1. 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + 1
2. 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 − 1
3. 𝑓 (𝑥 ) = √𝑥
4. 𝑓 (𝑥 ) =
5. 𝑓 (𝑥 ) =
1
𝑥+1
Actividad 6.
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
6. 𝑓 (𝑥 ) =
1
𝑥
1
√𝑥
25
a. Ejercitación de Procedimientos.
Clasificar las siguientes funciones, hallar el
dominio, rango, intersectos y realizar la grafica
1.
𝑓 (𝑥) = 3𝑥 + 1
2
1
1
2.
𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 + 1
3.
𝑓 (𝑥) = 𝑥 2
2
2
4.
𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 5
5.
𝑓 (𝑥) = 2 − 𝑥
6.
𝑓 (𝑥) = 1 − 𝑥 3
7.
𝑓 (𝑥) = 3𝑥 2 − 1
8.
𝑓 (𝑥) = 5
9.
𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 − 2
b. El Razonamiento.
representa en un solo plano cartesiano cada una de las
siguientes grupo de funciones
𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑔(𝑥) = 𝑥 2
1. {𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1}
2. {𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1}
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1
c. Solución de Problemas. Resuelve cada una de las siguientes problemas
1. Cuando se tomo en arriendo un apartamento se paga por anticipado el primer
mes. Si el valor del arriendo de un apartamento es de $500.000 mensuales.
Hallar la ecuación que relacione la variable costo con la variable meses.
Determina cuanto debe pagar por 1, 6 y 8 meses
2. El numero Q de litros de agua que hay en un estanque, t minutos después de
haber empezando a vaciarlo, está dado por: 𝑄(𝑡) = 200 (30 − 𝑡)2 ¿Cuál es la
capacidad del tanque? ¿Cuánto tiempo se tarda en vaciar el tanque?
d. La Comunicación. Escribe la ecuación de las siguientes graficas, teniendo en cuenta
que son funciones cubicas
e. Practiquemos para el icfes
Responde los puntos 1 - 2 - 3 y 4 de acuerdo a la siguiente situación.
1.La función f(x) = 2x+4/x+2 recibe el nombre de:
A. Polinómica.
B. Cúbica.
C. Racional.
D. Trascendente
2. El dominio de la función anterior es:
A. R - (-2).
B. R - (2).
C. R+.
3. El rango de la función es:
A. R - (2)
B. R - (-2).
C. (-2,2).
D. RD. R
4. La gráfica de la función anterior en el eje (y ) no pasa por:
A. 2.
B. -2.
C. 0.
D. 1
Actividad 7
a. Ejercitación de Procedimientos Realiza la grafica de las siguientes funciones.
1. 𝑓 (𝑥) = log 2 𝑥
2. 𝑓 (𝑥) = log 3 [𝑥 + 2]
4. 𝑓 (𝑥) = 2 + cos 𝑥
5. 𝑓 (𝑥) = (2)
6. 𝑓 (𝑥) = − cos 𝑥
7. 𝑓 (𝑥) = 3 𝑥
8. 𝑓 (𝑥) = 1 − sec 𝑥
9. 𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥
10. 𝑓 (𝑥) = 2 + log 3 𝑥
11. 𝑓 (𝑥) = 4 𝑥−3
12. 𝑓 (𝑥) = ln 𝑥
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
1 𝑥
3. 𝑓 (𝑥) = 3 sin 𝑥
26
b.RESOLUCION DE PROBLEMAS
1.Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales. Escribe la función que
relaciona el número de botellas y su capacidad.
2. Un móvil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante. Escribe la función
velocidad→tiempo, calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50km/h, y la velocidad si el
tiempo ha sido 5 horas.
3. Un grifo con un caudal de 8 litros/min tarda 42 minutos en llenar un depósito.
¿Cuánto tardaría si el caudal fuera de 24 litros/min? Escribe la función caudal→tiempo.
4. Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es una hipérbola como la de la
figura con el centro de simetría desplazado al punto (2,-1).
5. Los costes de edición, en euros, de x ejemplares de un libro vienen dados por
y=21x+24 (x>0). ¿Cuánto cuesta editar 8 ejemplares?, ¿y 80 ejemplares?. Escribe la función
que da el coste por ejemplar. Por muchos ejemplares quese publiquen, ¿cuál es el coste
unitario como mínimo?.
7. En qué se convierte al cabo de 15 años un capital de 23000€ al 5,5% anual?
8. Un capital colocado a interés compuesto
al 2% anual, se ha convertido en 3 años en 9550,87€. ¿Cuál era el capital inicial?
9. Un capital de 29000€ colocado a interés compuesto se ha convertido al cabo de
4 años en 31390,53 €. ¿Cuál es el rédito (interés anual) a que ha estado colocado?
10. Un capital de 7000€, colocado a interés compuesto del 2% anual, se ha convertido al
cabo de unos años en 8201,61€. ¿Cuántos años han transcurrido?
11. ¿Cuántos años ha de estar colocado cierto capital, al 3% anual, para que se
duplique?.
12. El periodo de desintegración del Carbono 14 es 5370 años. ¿En qué cantidad se
convierten 10 gr al cabo de 1000 años?
13. ¿Cuántos años han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en
20,86 gr.? (Periodo de desintegración del C14 5370 años).
14. Una muestra de 60 gr. de una sustancia radiactiva se convierte en 35,67 gr en
30 años. ¿Cuál es el periodo de desintegración?.
15. El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos. Si
suponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias, ¿dentro de cuántas
horas tendrá 320 millones de bacterias?.
16. El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos, si
al cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias, ¿cuántas había en
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
27
C.
El Razonamiento. Usando como referencia el grafico siguiente:
Escribe la ecuación que representa cada uno de los siguientes gráficos trigonométricos
d. La Modelación. Une con flechas la expresión indicada
FORMA LOGARÍTMICA
FORMA EXPONENCIAL
log 2 64 = 6
24 = 16
ln 𝑦 = 3
𝑒𝑛 = 𝑦
log 5 625 = 𝑚
𝑎5 = 𝑚
log 𝑎 𝑚 = 5
5𝑚 = 625
log 2 16 = 4
𝑎5 = 𝑚
log 𝑎 𝑚 = 5
26 = 64
1
2
𝑒3 = 𝑦
log 𝑚 𝑐 =
1
ln 𝑦 = 𝑛
𝑚2 = 𝑐
e. La Comunicación. Encuentra las diferente clases de funciones en la siguiente sopa
de letras
L
P
C
T
S
L
G
G
B
U
F
U
N
C
I
O
N
O
I
S
I
D
B
G
T
Z
I
U
I
N
G
W
D
E
G
E
N
M
O
L
B
R
Z
E
N
U
D
X
G
R
R
A
G
T
E
U
N
O
I
P
E
O
X
I
B
N
A
X
R
D
C
I
A
C
W
G
S
I
C
B
B
Z
B
R
E
I
N
U
N
T
L
P
O
L
I
N
O
M
I
C
A
S
T
M
E
W
B
S
B
N
U
F
L
B
O
Z
C
C
G
M
X
S
I
E
X
P
O
N
E
N
C
I
A
L
I
O
I
S
Z
S
F
L
M
M
U
I
T
M
S
B
Z
O
E
C
D
T
R
A
S
C
E
N
D
E
N
T
E
S
N
G
A
I
F
O
B
U
T
T
T
I
O
N
W
I
G
A
O
Z
W
P
I
B
G
I
R
D
E
E
C
P
B
T
L
E
E
B
F
I
G
X
O
I
U
M
W
I
M
G
N
S
O
R
P
C
I
R
N
I
C
G
R
C
P
F
R
F
B
F
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
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M
A
I
O
B
C
U
A
D
R
A
T
I
C
A
S
R
X
C
E
S
G
X
E
S
P
O
B
P
U
E
X
P
O
E
S
N
E
A
D
M
A
D
I
N
X
U
O
E
I
A





FUNCIÓN
POLINÓMICAS
LINEAL
CUADRÁTICA
CUBICA





RACIONAL
TRASCENDENTES
TRIGONOMÉTRICAS
EXPONENCIAL
LOGARÍTMICA
ACTIVIDAD DE SÍNTESIS
Encuentra una solución a los siguientes problemas, aplicando los temas de la guía
 En el patio de su casa, la señora Elena tiene un gallinero rectangular de 3 m por 2 m.
Ella desea ampliarlo, alargando el largo y el ancho de él en una misma cantidad x. Si
la señora Elena no quiere que el área del gallinero exceda los 24m2, ¿qué rango de
valores puede tomar x?
 En el salón comunitario de la municipalidad se debe cubrir un ventanal de 2 m de alto
por 4 m de ancho con una cortina que lo cubra totalmente, pero que sea un poco más
larga y ancha que el ventanal. Asumiendo que el excedente de cortina respecto del
ventanal es el mismo a lo ancho que a lo alto, y que se dispone de solo 24 m2 de tela
para la cortina, determina las posibles dimensiones para esta.
 Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja rectangular de cartón de 16
cm de ancho y 21 cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando
los lados hacia arriba:
1. Calcular el volumen en términos de la longitud del lado del cuadrado recortado y
las dimensiones de la hoja de cartón
2. Si se construye la tapa ¿Cuál es la cantidad total de cartón que utiliza?
CRONOGRAMA:
ACTIVIDAD
FECHA
AUTOEVALUACIÓN
Actividad 1
Actividad 2
Actividad 3
Evaluación 1
Actividad 4
Actividad 5
Evaluación 2
Actividad 6
Actividad 7
Evaluación 3
Proyecto
Síntesis
DIRECCIONES SITIOS WEB DE INTERÉS:
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo
EVALUACIÓN
COEVALUACION
HETEROEVALUACIÓN
29
Inecuaciones de primer grado
http://www.youtube.com/watch?v=zOfON0QKJ-U&feature=fvwrel
http://www.youtube.com/watch?v=7J-buWhv1d4
http://www.youtube.com/watch?v=jSZWvCh2PqI&feature=related
Inecuaciones dobles
http://www.youtube.com/watch?v=YVMTgdhJLUw
http://www.youtube.com/watch?v=SwR--qyRNKI&feature=related
Inecuaciones racionales
http://www.youtube.com/watch?v=V5Y92aeEQos
http://www.youtube.com/watch?v=y7MIdX0wbSE&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=lIdMCU0ABzY&feature=related
Inecuaciones de valor absoluto
http://www.youtube.com/watch?v=HA3Vgrb3U-c&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=Ogxr5wwVMAw&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=kqRQvcoh9aI&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=iD8YpnONpMU&feature=related
BIBLIOGRAFÍA
Ricardo Alejandro Díaz, Nelson Jiménez, Faberth Alberto Díaz, Gustavo Centeno y Marco
Fidel Robayo. Nuevo Pensamiento Matemático 11. Editorial Libros & Libros S.A. Bogotá
2004
Roland E. Larson, Robert P. Hostetler. Matemáticas McGraw – Hill Undécimo Grado.
Segunda Edición. Editorial Mc Graw – Hill Latinoamericana S.A. Santa fe de Bogotá
1998
Mónica Sofía Dimate Castellanos, Luis Pompilio Beltrán Beltrán, Benjamín Plinio
Rodríguez Sáenz. Matemáticas con tecnología aplicada 11. Editorial Prentice Hall de
Colombia. Santa fe de Bogotá 1997
Guía 001
Matemáticas
Grado Undécimo