Aplicaciones de la derivada -1

APLICACIONES DE LA DERIVADA (PRIMERA PARTE)
Actividad 1.
Para la siguiente función𝑓(𝑥)
i)
ii)
=
6𝑥 2 −𝑥 4
7
, se pide determinar :
Intervalos donde la función crece y/o decrece
Posibles máximos y/o mínimos
Solución:
f ( x) 
6x 2  x 4
1
1
 f ( x)  (12x  4 x 3 )  f ( x)  4 x(3  x 2 )  f ( x)  0  x  0  x   3
7
7
7
Luego confeccionamos una tabla con los puntos críticos
Factores
 3
x
3x
3x
f (x )
3
0
negativo
negativo
negativo
positivo
positivo
positivo
positivo
positivo
positivo
positivo
positivo
negativo
positivo
negativo
positivo
negativo
Con estos antecedentes y aplicando criterios de primera derivada, se responde parte i)


En intervalo  3,0 la función decrece
En intervalo 0, 3 la función, crece
En intervalo  3,la función decrece
En intervalo  , 3 la función, crece
Con estos antecedentes se responde parcialmente la parte ii)
En efecto , a partir de los signos de la función derivada , entorno a los puntos críticos,
tenemos que en x0   3 existiría un valor máximo, en x1  0 , existiría un valor
mínimo, en x2  3 en cambio, existiría un punto máximo; sin embargo podemos
confirmar , a partir del criterio de la segunda derivada , esto es:
f ( x) 
12 12 2
12 12
 x , f (  3 ) 
 (3)  0 , luego en x0   3 existe un máximo
7
7
7
7
f (0) 
12 12
12
 ( 0) 
 0 luego en x1  0 existe un mínimo
7
7
7
f ( 3 ) 
12 12
 (3)  0 luego en x2  3 existe un máximo
7
7
Actividad 2.
Analicemos la función f ( x)  x 3  6 x 2  9 x  6 , considerando:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
ix)
Dominio
Continuidad
Asíntotas
Puntos críticos
Máximos y Mínimos
Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento
Puntos de Inflexión
Concavidad
Gráfico
Solución:
i)
ii)
iii)
La función es una polinomial de tercer orden , por lo tanto su Dominio es
todo IR
Es continua en todo su dominio por tratarse de una función polinomial de
tercer orden
Asíntotas Horizontales : lim f ( x)   , lim f ( x)   , luego no existen
x 
x 
Asíntotas Verticales: La continuidad de la función, en todo IR, no permite, la
presencia de puntos de discontinuidad
Asíntotas Oblicuas: al calcular lim
x 
f ( x)
x3  6x 2  9x  6
 lim
  , luego
x 
x
x
no existen
iv)
A determinar puntos críticos: Si f ( x)  x 3  6 x 2  9 x  6 entonces
f ( x)  3x 2  12x  9  f ( x)  0  3x 2  12x  9  0  3( x 2  4 x  3)  0
( x  3)( x  1)  0  x  3  x  1 (puntos críticos)
v)
Si aplicamos , criterio de segunda derivada y evaluamos
En efecto: f ( x)  6 x  12 al evaluar se tiene: f (3)  0 , luego en x  3 ,
existe un mínimo de coordenadas (3,6).
Así también f (1)  0 , luego existe un máximo de coordenadas (1,10)
vi)
De acuerdo a lo expresado en el punto iv) donde
f ( x)  3x 2  12x  9  3( x  3)( x  1) se construye la tabla
1
x 1
x 3
negativo
negativo
positivo
f (x )
3
positivo
negativo
negativo
positivo
positivo
positivo
De acuerdo a los signos de la función derivada, a través de los puntos críticos, se tiene
que f (x ) crece en el intervalo  ,1 y 3, y decrece en el intervalo 1,3
vii)
Para reconocer los puntos críticos, establece f ( x)  6 x  12
Luego lo hacemos cero y obtenemos el candidato a punto de inflexión.
En efecto
f ( x)  6 x  12  0  x  2
Alrededor de x  2
2
negativo
positivo
Cóncavo
negativo
Cóncavo
positivo
En consecuencia en el punto
viii)
analicemos signos de f (x)
x  2 , existe punto de inflexión
De acuerdo al punto anterior x, x  2
la curva , presenta una
concavidad negativa, en cambio x, x  2 la curva presenta una
ix)
concavidad positiva
Gráfico
máximo
punto de inflexión
mínimo
Actividad 3
Realicemos el análisis de la función : f ( x ) 
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
x3
, destacando:
x2 1
Dominio
Continuidad
Asíntotas
Puntos Críticos
Máximos y/o Mínimos
Intervalos de Crecimiento
Puntos de Inflexión y Concavidad
Gráfico
Solución.
i)
ii)
Dom( f )     1,1
Continuidad : La función presenta continuidad en todo su dominio
x3
)  
x  1 x 2  1
x3
x3
lim (
)   , por lo tanto , no existe lim ( 2 )
x  1 x  1
x  1 x 2  1
x3
)  
En x  1, f (1), no existe , además lim ( 2
x 1 x  1
x3
x3
lim ( 2 )   por lo tanto, no existe lim( 2 )
x 1 x  1
x 1 x  1
En x  1, f ( 1) no existe , además lim (
iii)
Asíntotas Horizontales
 x3

3
x3
lim( 2 )  lim 2 x
x  x  1
x  x
  1
 x 3 x 3



 1
  lim
 x   1  1

 x x 3


   por lo tanto no tiene


Asíntotas Verticales
Donde hay discontinuidades irreparables que son en x  1,
x 1
Asíntotas Oblícuas
La ecuación toma la forma de la recta : y  mx  b , donde
 x3 
 2

f ( x)
x3
m  lim
 lim x  1   lim 3
1
x 
x 
x
 x  x  x  x


Además
b  lim( f ( x)  mx)  lim(
x 
x 
x3
x3  x3  x
x

x
)

lim
 lim 2
0
2
2
x 
x  x  1
x 1
x 1
Luego la ecuación corresponde a: y  1x  0  x asíntota oblícua
iv)
Existencia de puntos críticos.
x 4  3x 2
x 2 ( x 2  3)
0
 0  x  0 x   3  x  3
( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
Además f (x ) no existe en puntos como x  1, x  1
f ( x)  0 
v)
Luego los puntos críticos asociados a la curva son: x  0, x   3, x  3
Para concluir , quienes postulan ser máximos y/o mínimos, aplicamos
criterio de segunda derivada
En efecto: f ( x) 
f ( x) 
f ( x) 

(4 x 3  6 x)( x 2  1) 2  ( x 4  3x 2 )(2( x 2  1)(2 x)
( x 2  1) 4

( x 2  1) (4 x 3  6 x)( x 2  1)  4 x( x 4  3x 2 )

( x 2  1) 4
4 x
5

 4 x 3  6 x 3  6 x  4 x 5  12x 2
2 x3  6 x

( x 2  1) 3
( x 2  1)3
De este modo se tiene :
f ( 3 ) 
f (0) 
( 9  1) 3
 0 + existe un máximo
0
 0 no existe máximo ni mínimo
1
f ( 3 ) 
vi)
 2 27  6 3
2 27  6 3
( 9  1) 2
 0 existe un mínimo
Calculados los puntos críticos la función derivada , nos permite originar
los intervalos de crecimiento y decrecimiento esto es:
 3
1
0
1
3
( x  3)
_
_
_
_
_
+
( x  3)
_
+
+
+
+
+
x2
( x 2  1) 2
f (x )
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
_
_
_
_
+
 , 3  
Por lo tanto la función crece en el intervalo

La función decrece , en el intervalo  3, 3
vii)
3,


Si Hacemos f ( x )  0 entonces
2x 3  6x
2 x( x 2  3)
0
0 x0
( x 2  1) 3
( x 2  1) 3
Además f (x) , no existe en x  1
y
x  1 pero no están contenidos en el
dominio de la función .
En x  0 , se cumple que f (0.5) es positivo y f (0.5) es negativo , luego se
viii)
concluye que alrededor del cero, la segunda derivada cambia de signos, es decir
cambian las concavidades , lo que señala que en x  0 existe un punto de inflexión
Gráfico aproximado
mínimo
- 3
máximo
Punto de Inflexión
3