trigonometria-pre-san-marcos compreso para ti

INDICE
Semana 01
Teoría ............................... 005
Ejercicios
2020-1 ............................... 007
2019-2 ............................... 015
2019-1 ............................... 021
2018-2 ............................... 029
Semana 02
Teoría ............................... 039
Ejercicios
2020-1 ............................... 041
2019-2 ............................... 051
2019-1 ............................... 061
2018-2 ............................... 073
Semana 03
Teoría ............................... 085
Ejercicios
2020-1 ............................... 086
2019-2 ............................... 097
2019-1 ............................... 107
2018-2 ............................... 117
Semana 04
Teoría ............................... 128
Ejercicios
2020-1 ............................... 131
2019-2 ............................... 143
2019-1 ............................... 154
2018-2 ............................... 164
Semana 05
Teoría ............................... 175
Ejercicios
2020-1 ............................... 177
2019-2 ............................... 188
2019-1 ............................... 200
2018-2 ............................... 210
Semana 06
Teoría ............................... 221
Ejercicios
2020-1 ............................... 223
2019-2 ............................... 235
2019-1 ............................... 246
2018-2 ............................... 254
Semana 07
Teoría ............................... 265
Ejercicios
2020-1 ............................... 269
2019-2 ............................... 278
2019-1 ............................... 286
2018-2 ............................... 294
Semana 08
Teoría ............................... 303
Ejercicios
2020-1 ............................... 304
2019-2 ............................... 314
2019-1 ............................... 323
2018-2 ............................... 333
Semana 09
Teoría ............................... 344
Ejercicios
2020-1 ............................... 346
2019-2 ............................... 356
2019-1 ............................... 363
2018-2 ............................... 374
Semana 10
Teoría ............................... 386
Ejercicios
2020-1 ............................... 387
2019-2 ............................... 400
2019-1 ............................... 410
2018-2 ............................... 419
1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
Ángulo Trigonométrico
B
sentido
antihorario
Origen del rayo
(vértice)
O
lado final
m< es positiva
ladoinicial
A
sentido
horario
C
M< es negativa
lado final
Sistemas de Medición Angular
1.
Sistema Sexagesimal o Inglés (S)
Medida del ángulo de 1 vuelta = 360º
Equivalencias:
1° = 60
1 = 60
1° = 3600
2.
Sistema Centesimal o Francés (C)
Medida del ángulo de 1 vuelta = 400g
Equivalencias:
g
m
1 = 100
m
s
1 = 100
g
s
1 = 10000
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
5
Pág. 38
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2020-I
Sistema Radial o Circular (R)
Medida del ángulo de 1 vuelta = 2 rad
Relación entre Sistemas
g
1 vuelta = 360° = 400 = 2  rad
Equivalencias fundamentales:
 rad = 180°
g
 rad = 200
g
9° = 10
Fórmula de conversión:
Notación:
S = 180 k
C = 200 k
R=k
S es el número de grados sexagesimales
C es el número de grados centesimales
R es el número de radianes
equivalentemente:
S=9t
S
C
R


t
9 10
 / 20
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
C = 10 t
t
R=
20
6
Pág. 39
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
a
1
81

9
b 40
rad   40  30'



rad  
b
60'
2 180 40
a
9
g
 ba 


 1  50g 

rad
 31

g

b
a
4
200




Rpta.: A
3.
La suma de las medidas de dos ángulos es 29°730. Si uno de ellos mide

rad ,
8
halle la medida del otro en el sistema sexagesimal.
A) 6°2545
B) 5°3730
C) 4°3037
D) 6°3730
Solución:
 +  = 29°730
=
 rad 180

= 22°30
 rad
8
 = 29°730 – 22°30 = 6°3730
Rpta.: D
4.
Se muestra la vista lateral de la maqueta de una escalera eléctrica del centro
comercial Mi San Marcos, tal que BC y DE son paralelos a la horizontal y
C
S
 1
AB || CD ||EF . Si
, halle el ángulo de inclinación de EF con
10  S
C9
F
respecto a la horizontal.
Además, se sabe que S y C son números enteros.
R rad
D
E
A)

rad
3
B)

rad
20
C)

rad
10
D)

rad
6
Cg
B
C
S°
A
Solución:
Se deduce que
10
9
9
C  9  0  10K  9  k 
10
SyC enteros  k=1  S  9, C  10
10  S  0  9k  10  k 
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
8
Pág. 58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Satisfacen la ec:
C
S
 1
10  S
C9

 Rrad 
rad
20
Rpta.: B
5.
Para abrir la bóveda de un banco, se debe girar la palanca en un ángulo de medida
S
C
 (en sentido antihorario). Si   S  Cg  Rrad y 2
 2
 5R , halle la
2
C S
S  C2
medida del ángulo en el sistema radial.
A)

rad
4
B)
2
rad
5
C)

rad
10
D)
6
rad
25
Solución:
S
C
 2
 5R
2
C S
S  C2
S
C
 2
 5R
2
2
C S
C  S2
2
 C  S
 C  S  C  S 
 5 k

k
20

 5R
k2

Rrad 
 rad
10
Rpta.: C
6.
Si a y b representan el número de minutos sexagesimales y centesimales de un
mismo ángulo respectivamente, además, b  a  368 ; halle la medida de dicho
ángulo.
A)

rad
25
B)

rad
20
C)

rad
15
D)
rad
50
Solución:
a '  bm 

a 27

b 50
Semana Nº 1
a
b g  9 

60 100  10 g 
 b  50n ,a  27n
(Prohibida su reproducción y venta)
9
Pág. 59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Además, por dato se tiene que :
50n  27n  368  n  16
 1   rad   rad
a'  27.16' 

  25 .
 60'  180 
Rpta.: A
7.
Un militar crea un nuevo sistema de medición angular “milésima artillera”, tal que su
unidad (1)00 resulta de dividir en 6400 partes iguales el ángulo de una vuelta. Si los
ángulos  y miden 1,8° y 1,25g respectivamente; halle la medida de  +  en este
nuevo sistema.
A) 5200
C) 3200
B) 2000
D) 6200
Solución:
360 400g

6400 6400
9
1g
1 

160 16
 160 
 16 
    1,8 
+ 1, 25g  g   32  20  52

 9 
 1 
1 
Rpta.: A
8.
El siguiente gráfico muestra los resultados sobre los niveles de consumo de cuatro
productos integrales A, B, C y D.
g
7
 1700 
Si  
rad,   
y   83 59| 60|| , determine el porcentaje de consumo

18
 9 
del producto integral que tiene menor demanda.
A) 7%
B) 8%
C) 9%
D) 10%
Semana Nº 1
A
D
B




C
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.10
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
0,344
 rad al sistema
24
 1 , halle a  b  c  d  e .
10. Al hacer uso de una calculadora para expresar el ángulo
sexagesimal, resulta a bc ' de '' y sabiendo que a 
A) 16
B) 21

C) 12
D) 18
Solución:
S 20R
180R

S
9


Como
luego :
0,344
180  0,344   
rad 
24
  24 
 2.58
 2  (0.58  60)'
 2  34.8 '
 2  34' (0.8  60)''
 2  34' 48''
luego :
S 
0,344
rad
24

 2  34' 48''
a2
b3
c4
d4
e8
finalmente :
n  a  b  c  d  e  2  3  4  4  8  21
Rpta.: B
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Un alumno obtiene los siguientes datos para el ángulo :
i)
es positivo.
ii)
su medida en el sistema sexagesimal es A grados sexagesimales.
iii) su medida en el sistema centesimal es P minutos centesimales.
Si 2  A  P  2020 , halle la medida de
A)

rad
30
Semana Nº 1
B)

rad
8

en radianes.
3
C)

rad
15
(Prohibida su reproducción y venta)
D)
2
rad
15
Pág.12
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
  A ,
  Pm 
Pg
100
2018
P
, entonces 9k  1000k  2018  k 
2
1009
100
1

Por consiguiente,   18 
  6 
rad.
3
30
Luego, 9k  A
, 10k 
Rpta.: A
2.
El cuádruple del número de grados centesimales de un ángulo, disminuido en 62, es
igual a su número de grados sexagesimales. Halle la medida de dicho ángulo en
radianes.
A)

rad
30
B)

rad
10
C)

rad
15
D)
2
rad
15
Solución:
4C  62  S
40k  9k  62  k  2
rad
Rrad 
10
Rpta.: B
3.
Se ha creado un nuevo sistema de medición angular, cuya unidad de medida es el
3
grado Universal (1AL) que equivale a las
partes del ángulo de una vuelta. Calcule
4
7  rad
3 AL  12
el valor de
.
47º
A) 10
B) 9
C) 11
D) 15
Solución:
3
1AL   360   270
4
AL
7  rad
3  12
3(270)  105

 15
47º
47
Rpta.: D
4.
Sean S°, Cg y Rrad son las medidas de un ángulo no nulo en grados sexagesimales,
centesimales y radianes respectivamente, tal que
S4 C3 20R 2 12 3


=
(S  C2  R) . Halle la medida del ángulo en el sistema
9
10

5
radial.
A)

rad
4
Semana Nº 1
B)
2
rad
5
C)
3
rad
25
(Prohibida su reproducción y venta)
D)
6
rad
25
Pág.13
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
94 k 4 103 k 3 202k 2 12  3 3
k 


=  9 k  102 k 2 
9
10
400
5 
20 
  12k  3 2
 

k 2  93 k 2  102 k 

9 k  102 k 


20  5 
20 

12
12
3
k 
 Rrad 
rad 
rad
5
100
25
Clave: C
5.
La medida de un ángulo en el sistema centesimal es (5x)g y el complemento de
dicho ángulo en el sistema sexagesimal es (18x)°. Halle la medida de dicho ángulo
en radianes.
A)

rad
40
B)

rad
10
C)

rad
15
D)
2
rad
5
Solución:
 5x g  18x    100g
 10g 
g
5x
18x


       100g
 9 
25x  100

 5x g  20g  rad
10
Rpta.: B
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.14
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
x 180 
g 9
x
A   20  x ; B 
rad 
  30x ; C  10x  . g   9x 
6
6
10
En el triángulo A + B + C = 180°   20  x     30x     9x    180
4x  160  x  4
El ángulo BCA es 10x   40 .
g
g
 rad
g
200


rad.
5
Rpta.: B
3.
Al corregir la hora de un reloj de manecillas, se rota la aguja del horario desde 300 g
hasta 8640. ¿En cuántos radianes excede 300g a 8640?
3
5
2
B)
5
7
C)
10
9
D)
5
A)
rad
rad
rad
rad
Solución:
Si x es el número de radianes, entonces formalmente se tiene:
8640 + x = 300g
Factores de conversión
o
rad   8640   rad  7
x  300 


rad
 
g 
o 
 200   60   180  10
g
Rpta.: C
4.
Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el
número de sus grados centesimales es 222. Calcule la medida de dicho ángulo en
radianes.
A)
3
rad
20
B)

rad
7
C)
2
rad
5
D)
21
rad
13
Solución:
  So  Cg  Rrad  6S  2C  222
S C
R


 k  S  9k;
9 10  / 20
6(9k)  2(10k)  222  k 
C  10k; R 

k
20
222

3
3 
(3) 
rad
74
20
20
Rpta.: A
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.16
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-II
Desde el frente de un edificio se observa la parte más alta, si la suma del número de
grados sexagesimales con el número de grados centesimales de la medida del ángulo
 es 100. Halle el ángulo en el sistema sexagesimal.
A)
450
19
B)
700
19
C)
900
19
D)
800
19
Solución:
  So  Cg y S  C  100
S  9k
C  10k

19k  100
k
100
19
900
19
900

19
S
Rpta.: C
6.
Un instrumento de medición angular está diseñado como un nuevo sistema en el cual
la medida del ángulo de una vuelta es igual a 240b . Con dicho instrumento se mide
un ángulo tal que su medida en los sistemas sexagesimal y centesimal son S° y Cg.
S C
7S
, donde S y C son números enteros, calcule la medida de dicho
Si
 7
2 3
36
ángulo en el nuevo sistema.
A) 30b
B) 60b
C) 20b
D) 90b
Solución:
S = 9K, C = 10K
9K 10K
7(9K) 7K
7K

7

7
4K 6
2
3
36
6
4
Como S y C son enteros, K = 5 ; 2b = 3°
240b = 360º, entonces, S = 9K = 45°(2b/3°) = 30b
Rpta.: A
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.17
57
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
(1/10) [81(a) + 36] + 8(a) + 22 = 90  a = 4
 = 36° y  = (90 – 36) = 54°
Rpta.: A
10. En un experimento se miden tres ángulos diferentes, cada uno cinco veces y se
reporta el promedio de cada uno de ellos, para disminuir el error durante el proceso
2
de medición. Los resultados obtenidos son
rad, 240°, 120g . Calcule la suma de
3
dichos ángulos.
A) 720°
B) 440°
C) 648°
D) 468°
Solución:
(2/3) = 120° y 120g (9°/10g) = 108°
La suma de los ángulos es 120° + 240° + 108° = 468°
Rpta.: D
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura se muestra la vista superior de la puerta que da acceso a la entrada y
salida del Centro Preuniversitario de la UNMSM. En la mañana se abre desde OA
hasta OC, formando un ángulo de 150°, a partir de las 8:20 am se deja entreabierta
formando un ángulo °, la razón entre los números  y  es como 1 es a 5. Halle 11.
A) 120
B) 155
C) 300
D) 111
Solución:
(9)°/10 + ° = 150°
=5
Entonces  = (300/11) y (11) = 300
Rpta.: C
2.
La figura representa el recorrido de un atleta de competencia en carrera de mil
quinientos metros, en la última vuelta, en A tiene una rapidez uniforme y cuando llega
al punto B el ángulo AOB es °, luego incrementa su rapidez hasta C y de allí a la
meta. El ángulo BOC es rad, siendo ° + rad = 150° y  –  = 30°, determine
(180 + ).
A) 120 
B) 150 
C) 170 
B
A
O
D) 180 
Meta
C
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.19
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
 + (180)/ = 150
 –  = 30
Entonces
(180 + ) = 120
Rpta.: A
3.
Los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y
centesimal son S y C, respectivamente y S  C  180 . Determine el valor de 19S.
A) 1800
B) 1620
C) 2900
D) 2800
Solución:
S + C = 180  9k + 10k = 180  k = (180/19)
S = (180/19)(9)
19S = 9(180) = 1620
Rpta.: B
4.
Un jugador de Golf, golpea la pelota tal que el ángulo de salida respecto de la
horizontal es 30°. Siendo así, la pelota llega cerca del hoyo rebota y queda a 10 cm
de lograr ingresar. Se reporta el ángulo en el sistema X donde la medida del ángulo
de una vuelta corresponde a 100X. Determine la medida del ángulo de salida de la
pelota en el sistema X.
 25 
A) 

 3 
X
 3 
B) 

 25 
X
 100 
C) 

 3 
X
 133 
D) 

 3 
X
Solución:
360º = 100X, entonces 18° = 5X
30°(5X/18°) = (25/3)X
Rpta.: A
5.
Un disco gira con rapidez constante, alrededor de un eje que pasa por su centro
geométrico, tal que la razón entre el ángulo barrido y el tiempo transcurrido es
50 rad/s. Se desea expresar la razón utilizando un sistema H de medida angular
denominado “Hunter”, donde para una vuelta corresponde 150H.
A) 3500/ Hunter/s
C) 8500/ Hunter/s
B) 3750/ Hunter/s
D) 5500/ Hunter/s
Solución:
150H = 2 rad
H
3750H 3750 Hunter
 rad  150


La razón  = 50 



s
 s  2 rad
Rpta.: B
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.20
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
240u  120º
x  aº
x  2au
Rpta.: A
3.
Una profesora del CEPUSM le indica a sus alumnos que las medidas de un ángulo
positivo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial son Sº, C g y R rad. Si se
verifica que
A) 85g

10S
 3 R , calcule la medida del ángulo.
C
B) 90g
C) 80g
E) 100g
D) 50g
Solución:

R
10.9k
10S
3 
3
C
10k
93
20
k

k
20
 k  10    100g
Rpta.: E
4.
Sean S , C g y R rad las medidas de un ángulo positivo en los sistemas sexagesimal,
centesimal y radial respectivamente tal que C2  S2 
5R2

2

169
. Determine la medida
5
del ángulo en grados sexagesimales.
A) 9
Semana Nº 1
B) 24
C) 12
D) 10
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 18
Pág.22
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
Podemos expresar S  9k, C  10k, R 
k
20
2
5 k
169
5k 2 169
 19k 2 

Reemplazando
10k    9k   2   
5
400
5
  20 
2
1521k
169
16
4


 k2 
 k
5
9
3
80
2
2
Luego
  9º.
4
 12
3
Rpta.: C
5.
 5g 
6a
9b
 2º 4º 6º 
Si a  80 
.

rad , calcule
 y b g
g
g 
º 20 rad
1  2  3 
 12 rad 
A) 4
B)
C) 2
D)
1
2
E)
1
4
Solución:
 5g 

a  80 
     6a  º I
6
 12 rad 
 2º 4º 6º 
 20 
b g
rad    rad  9b  20 rad
g
g 
1  2  3 
9 
6a
9b

2

º 20 rad
II
Rpta.: C
6.
Con los datos de la figura y si Sº Cg   0,3  6' , calcule 9Sº 6º .
o
A)

rad
3
B)

rad
6
C)

rad
4
D)
2
rad
3
E)
5
rad
12
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.23
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
9S  9k , 10C  10k
Sº Cg   0,3  6'  kº  k g 
o
Entonces 9Sº 6º  30º 
3º
 6'  k  4
10

rad
6
Rpta.: B
7.
Si un ángulo mide a segundos sexagesimales y b segundos centesimales, halle el
3b  5a
valor de
3b  5a
A)
152
98
B)
169
52
C)
157
52
D)
230
69
E)
231
69
Solución:
Usando a" y bS
a
b
S C
10000
3600



9 10
9
10
a
b
a
b



36  9  1000
81 250
3b  5a


3b  5a
 81b 
3b  5 

 250   231b  231
69b
69
 81b 
3b  5 

250


Rpta.: E
8.
Un alumno de secundaria recorta una cartulina formando un pentágono cuyos ángulos

internos miden 6x , 10x g, rad, 30 y 150g . Halle el valor de x  3 .
4
A) 7
Semana Nº 1
B) 2
C) 5
D) 4
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 6
Pág.24
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
La suma de los ángulos internos de un pentágono es 540°, entonces

6x  10x g  rad  30  150g  540
4
9 180
9
6x  10x g. g 
 30  150g . g  540
10
4
10
6x  9x  45  30  135  540
15x  210  540
x  22
Luego el valor de x  3  5.
Rpta.: C
9.
La suma de las medidas de tres ángulos positivos, cuyas medidas están en progresión
aritmética, es 198 . Si el cuadrado del número de grados sexagesimales del menor
ángulo es igual al número de grados sexagesimales del mayor ángulo, halle el menor
ángulo en el sistema radial.
A)
11
rad
180
B)
11
rad
30
C)
17 
rad
180
D)
13 
rad
90
E)
7
rad
30
Solución:
Del enunciado:
     r      2r   198
   r  66
 2    2r
  2    132  0    11.
11
rad
Luego   11 
180
Rpta.: A
10. Sean dos ángulos positivos  y  tales que sus medidas en minutos sexagesimales
y minutos centesimales, respectivamente, son iguales. Si la diferencia de dichos
ángulos es
A) 15g
Semana Nº 1
46º
, halle la medida de  en grados centesimales.
3
B) 10g
C) 20g
D) 30g
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 35g
Pág.25
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2019-I
Con los datos de la figura y a  b  30 , calcule a  b .
A) 18
B) 25
C)
D) 24
E)
Solución:
aº  10bg  a  9b
a  b  30
9b  b  30
b  3  a  b  24
Rpta.: D
3.
La unidad de medida de un nuevo sistema es 1u  , que se obtiene de dividir el ángulo
15u  5o
.
de una vuelta en 300 partes iguales. Calcule el valor de
u
g
15

5
1
46
11
23
20
19
A)
B)
C)
D)
E)
27
27
27
27
27
Solución:
 18 
Tenemos 300u  360o  1u   
 15 
o
 15u  18o
15u  5o
18o  5o
46º 46



.
o
u
g
15  5
27º 27
9
o
18   
2
Rpta.: A
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.27
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Sea E 
A)
Ciclo 2019-I
1º 2º 3º ...  50º
. Determine el valor de 9E.
2  4g  6g  ...  100g
g
5
2
B) 5
C)
1
5
D)
E)
2
5
Solución:
E
E
1º 2º 3º ...  50º
2  4g  6g  ...  100g
1  2  3  ...  50  º
g
2 1  2  3  ...  50 
g
Aº A C
10A
;


C
g
2A
9 10
9
10A
10
E 9 
 9E  5
2A
2.9
E
5.
Rpta.: B
Con los datos de la figura y si 9a  2b  100 , calcule bº  ag .
A) 155º
B) 150º
C) 160º
D) 145º
E) 170º
Solución:
Como bº  90º ag y 9a  2b 100 , entonces 10b  900  9a y 9a  2b  100
Entonces 8b  1000  b  125  a 
Por lo tanto, bº  ag  125º 
350
9
350g
 125º 35º  160º
9
Rpta.: C
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.28
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
En la figura, se muestra una ventana con ciertas medidas. Si  
 20  a   rad
45
y
g
 440  5a 

 , halle la medida de  .
3


A) 150º
B) 120º
C) 135º
D) 112º
E) 145º
Solución:
De la figura,
68º   180º    112º
112 20
112.
28

RR 
R 
9

9.20
45
 20  a   rad  a  8
28
rad 
Luego,
45
45
g
g
 440  40   400 
Por consiguiente,   
  3 
3

 

400
3  S  400  S  S  120    120º
10
9
30 9
Rpta.: B
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.29
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2018-II
En la figura, se muestra un nuevo sistema de medición angular. Calcule la medida
del ángulo 120g en el nuevo sistema.
A) 90U
B) 105 U
C) 84 U
D) 74 U
E) 91 U
Solución:
70u  100g
x  120g
x
70.120
 x  84u
100
Rpta.: C
g
3.
 Mº Nº 
  rad 
Las medidas de los ángulos  y  son 
y 10  g
, respectivamente,

g 
M N 
 18º 
halle      2º  en el sistema radial.
A)

rad
18
B)

rad
10
C)

rad
20
D)

rad
12
E)

rad
15
Solución:
g
 Mº Nº 
  rad 
Las medidas de  y  son 
y 10  g
...(I)

g 
M N 
 18º 
g
g

 10M 
 10N 
18º  rad; Mº  
, Nº  

 ...(II)
10
 9 
 9 
Llevando (II) en (I):
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.30
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
g
 10M g 10N g 





 rad 
9
9 

 10º;   10 

g
g
 M N

  rad 


 10



 10 g
g
 9 M N
  10 
g
g
 M N



g
g

g


 10 
rad
  10    10º       2º   18º 
10
 9 


Rpta.: B
4.
En un campo deportivo, tres jugadores practican pases con el balón en una
formación triangular. Esta formación tiene ángulos internos en progresión geométrica
de razón 7. Determine la medida del ángulo mayor en el nuevo sistema kut, en el
cual, 57kut  1 rad .
A) 58
kut
kut
kut
B) 58
C) 49
D) 49
kut
E) 82
kut
Solución:
A  7A  49A  180º
 180 
57A  180º  A  

 57 
 
60 

 19 
49
 60 
49 A  49    49A 
rad
19.3
 19 
49
49A 
rad  49kut
57
Rpta.: C
5.
Las medidas del ángulo  son Sº, Cg y R rad. Si
ángulo
A) 60

 4º .
10
g
B) 58
g
C) 80
g
S  2C
 S , halle la medida del
R
D) 72
g
E) 82
g
Solución:
S C 20R
k


 k  S  9k, C  10k, R 
9 10

20
S  2C
9k  2.10k
20.29k
580
S
=9k 
 9k  k 
k
R
k
9
20

 580 
   580 
  9kº  9 

 4º   
 4º  54º  60 g


10
 9 
 10   
Rpta.: A
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.31
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2018-II
Las medidas del ángulo  son Sº , Cg y R rad . Si
SC
2
1
2
1
S 3   CS  3  C 3
 C 3  3 , halle la
medida de  .
A) 18º
B) 29º
C) 125º
D) 8º
E) 27º
Solución:
x3  y3
Usando el cociente notable
 x 2  xy  y 2 podemos escribir
xy
3
3
 31   31 
S   C 
2
2
1
     S 3  CS 3  C 3 , luego,
 
1
1
3
3
S C
1
1
SC
3
3
 S C
2
2
1
3
3
S   CS  3  C
Por consiguiente,
SC
2
1
2
1
S 3   CS  3  C 3
1
 C 3  S 3  3  S  27
Rpta.: E
7.
Los ángulos  y  son positivos y para ellos se cumple que la suma del número de
grados sexagesimales de  con el número de grados centesimales de  es 38. Si
     48'  es 37º, halle la medida de
A) 45º
B) 15º
C) 30º
.
D) 20º
E) 10º
Solución:
  Sº,   Mg
S  M  38
Sº Mg  48'  37º
Sº Mg  37º 0,8º  36,2º
g
 9M 
 Sº M  36,2º  Sº  
  36,2º
 10 
 10S  9M  362
g
 10S  9  38  S   362  S  20
Luego,   20º
Rpta.: D
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.32
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2018-II
Si E  10º 30' 5g50m , halle E en radianes.
A)
37
rad
1200
B)

rad
30
C)
13
rad
400
D)
11
rad
400
E)
11
rad
1200
Solución:
g
 11  99 
5 50  5  50      
 2   20 
g
m
g
m
 99 
 5g50m     4,95º  4º 0,95º  4º 57'
 20 
 111 
Luego, E  10º 30' 4º 57'  5º 33'  

 20 
37
rad
Por consiguiente, E 
1200
Rpta.: A
9.
María está muy preocupada por el poste cerca de su casa, cuyo ángulo de
inclinación es   73o21' . Si   agbm  0  b  100  , halle a  b .
A) 132
B) 115
C) 120
D) 130
E) 131
Solución:
  73o 21'
7   1467 
 21 
 7 

21'           73 

20   20 
 60 
 20 

1467
20  C  1467  C    81,5g  81g  0,5g  81g50m
9
10
20.9 10
g
m
  81 50  a  81, b  50  a  b  131
Rpta.: E
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.33
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
10. En la ecuación 10a  5b  2160, donde a y b representan los números de minutos
en los sistemas sexagesimal y centesimal de un mismo ángulo. Calcule la medida
del ángulo.
A) 25
g
B) 78
g
C) 54
g
D) 20
g
E) 27
g
Solución:
10a  5b  2160
  Sº  Cg
  60S'  100Cm  60S  a, 100C  b
10  60S   5 100C   2160
 10.60.9k  5.100.10k  2160
 5400k  5000k  2160
 k  5,4
  10k g  54g
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Ricardo levanta la tapa de su laptop, formando un ángulo obtuso   aº . Luego baja
la tapa de su laptop formando un ángulo   bg . Además, los ángulos son
suplementarios. Si a y b están en la relación de 27 a 10, calcule la medida del
ángulo menor.
A)

rad
4
B)

rad
3
C)

rad
6
D)
5
rad
12
E)

rad
10
Solución:
    aº  bg  180º
 9b 
    aº  
  180º
 10 
10a  9b

 180
10
10  27k   9 10k 

 180
10
 270k  90k  1800  k  5
  50g 

rad
4
Rpta.: A
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.34
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2018-II
De los ángulos  y  se sabe:
11
rad
180
ii.  mide M minutos sexagesimales y  mide T minutos centesimales
iii. M  T  1120 .
i. la suma de sus medidas es
Halle    , en grados sexagesimales.
A) 6º
B) 6,5º
C) 8º
D) 7º
E) 7,5º
Solución:
11
11
rad  M' T m 
rad
180
180
Mº T g
11
rad


60 100 180
M
T
11
rad
rad 
rad
60.180
100.200
180
1120  M  rad  11 rad
M
 
rad
60.180
100.200
180
M
M
14
11
 
rad
rad 
rad 
rad
60.180
100.200
50.5
180
M  1
1 
  11 14 


rad 

rad


100  6.18 200 
10  18 25 
M
92
  23 


 M  25


10  6.18.200   18.25 
   120'   1000m    2º   10 g  9º
    7º
 
Rpta.: D
3.
Las medidas del ángulo  son Sº y Cg .




g
 380C  S  Cº
CS

 Sº Cg
A) 180
Semana Nº 1
Calcule el valor de la expresión
g
.9
B) 181
C)
181
20
D)
181
2
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
180
2
Pág.35
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:

   380.10k  9k  10kº 



  10k  9k  9kº 10k 
9k  10kº 
 380C   S  Cº 
 200
CS

  Sº C 
9kº 10k 
 9k  10kº   2  81kº 100kº   2 181kº  181
20
18kº
9
18kº 
 9kº 10k 
 380C   S  Cº 
 9. 
 181

 C  S   Sº C 
g
 380C  S  Cº
CS

 Sº Cg
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
Rpta.: B
4.
Un móvil parte del reposo y realiza una trayectoria curvilínea. Cuando se detiene el
móvil, dos observadores A y B reportan lecturas del ángulo descrito por el móvil,
3x  9
y 160g , halle el valor de x 
A) 34
B) 51
x
.
3
C) 15
D) 43
E) 17
Solución:
 3x  9   160  3x  9  9.16
9
10
 3x  9.17  x  51 
x 
x
 17
3
x
 51  17  34
3
Rpta.: A
5.
Las medidas de un ángulo  en los sistemas sexagesimal y centesimal son A '' y
Bs . Si A  B  1655 , halle la medida de  .
A) 12
m
Semana Nº 1
B)
25
2
m
C) 125
m
D)
25
4
m
(Prohibida su reproducción y venta)
m
E) 12,5
Pág.36
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
A
B
Aº
Bg

 3600  10000
3600 10000
9
10
81B
A
250
81B
 B  1655
250
331B  1655.250  B  5.250  1250
Como A  B  1655 , entonces
   1250 s  12,5m
Rpta.: E
Semana Nº 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.37
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
SECTOR Y TRAPECIO CIRCULAR
Sector circular:
sector circular
r
0 <  < 2
 rad
O
r
arco de
circunferencia
Longitud de arco y Área del sector circular
A
O
 rad
S
L
 Si S u2 es el área del sector circular AOB 
r
B
Semana Nº 2
L = r
 Si L u es la longitud de AB 
r
S
(Prohibida su reproducción y venta)
1
2
r 2 
1
2
Lr 
1
2
L2
Pág.39
40
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trapecio circular:
A
O
 rad
 Si S
h
C
l
S
L
es el área del trapecio circular ABDC 
 l L
h
S= 
 2 
D
B
Número de vueltas
nv =
c
2 r
Donde:
 nv : número de vueltas que da la rueda al desplazarse, desde A hacia B.
 lc
: longitud recorrida por el centro de la rueda.
 r
: radio de la rueda.
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.40
41
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
La figura representa la parte superior de las dos porciones de pizza que le
corresponde comer a Lucía y a Ximena, respectivamente, una porción en forma del
sector circular AOB y la otra porción en forma del trapecio circular ABDC. Si las
áreas de dichas porciones se denotan por S1 u2 , S2 u2 y se sabe que OA  AC ,
determine
A)
2
3
B)
1
3
C)
4
3
D)
3
2
S1
.
S2
Solución:
A partir de la información proporcionada, se tiene:
S1 
1
1 2
2
r y S1  S2    2r 
2
2
Luego,
1 2
1
2
r  S2    2r 
2
2
Entonces S2 
3r 2
2
r 2
S
1
Finalmente, nos piden 1  2 2  .
S2 3r
3
2
Rpta.: B
2.
Ethel para celebrar su fiesta de cumpleaños elige una torta circular de 50 cm de
diámetro e invita muchos amigos. El número de invitados asciende a 35 personas, y
entre estos se reparte la torta equitativamente. Si Ethel desea comprar cajitas para
repartir la torta a sus invitados, ¿cuánto de área ocupa la base de cada una de estas
porciones?
A) 25 cm2
Semana Nº 2
B)
120
cm2
3
C)
125
cm2
7
(Prohibida su reproducción y venta)
D)
31
cm2
120
Pág.41
53
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
A partir de la información, se tiene la siguiente representación gráfica, la misma que
nos ayudará a resolver la situación planteada.
Notemos que el sector circular AOB representa la
porción de torta que recibe cada invitado.
Como se necesita saber el área que ocupa la
base de cada porción, para poder comprar las
cajitas, se tiene:
ÁreaSECTOR AOB 
1  2 
125
2
cm2 .
 25  


2  35 
7
Rpta.: C
3.
En la figura, se representa la vista superior de una pizza hawaiana. Si mi amigo
Mario toma la tajada que corresponde al sector AOB cuya área es de 40 cm2 y
2
AC 
cm , determine la medida del diámetro de dicha pizza.
3
A) 60 cm
B) 50 cm
C) 65 cm
D) 55 cm
Solución:
Consideremos
R : Radio
D : Diámetro  2R
2
AC 
cm
3
Área
Sector AOB
 40 cm2
Luego, a partir de la información proporcionada, se tiene:
40 
Además
2
 R
3
1
 4  R 2
2

20  R2
(1)
(2)
Reemplazando (2) en (1),
 2 
20  
R
 3 
Entonces R  30 cm
Finalmente, nos piden la medida del diámetro de la pizza, D  2R  60 cm .
Rpta.: A
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.42
54
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2020-I
El Sr. Campoverde quiere construir y cercar un campo que tiene la forma de un
sector circular con un alambre de 200 m de longitud. Determine la medida del radio
de dicho sector, si se desea obtener la máxima área posible.
B) 50 m
A) 40 m
D) 40 m
C) 50 m
Solución:
A partir de la información, se tiene la siguiente representación gráfica, la misma que
nos ayudará a resolver la situación planteada.
Sean
P : Perímetro
Sabemos
P  2r  L
Entonces
L  200  2r
Además,
Entonces
Es decir,
y
A : Área
1
Lr
2
1
A   200  2r  r
2
A
2
A  100r  r 2   r 2  100r  502  502    r  50   2500




Por lo tanto,
A  2500  r  50 
2
Finalmente, AMÁX  2 500 m2
y
r  50 m .
Rpta.: C
5.
El tío de Lucero desea adquirir un terreno que tiene forma de sector circular para
cultivar hortalizas, tal y como se representa en la figura. Si se sabe que el precio del
metro cuadrado es de 80 dólares y el perímetro de dicho terreno es de 28 m, ¿cuál
es el monto que tiene de depositar el tío de Lucero para adquirir el terreno de
cultivo?
A) 3 290 dólares
B) 3 430 dólares
C) 3 340 dólares
D) 3 920 dólares
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.43
55
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Sean
P : Perímetro
y
A : Área
A partir de la información dada, y como P  28 m , se tiene:
x  3  x  3   x  2 x  3   28
x2  3x  28  0
 x  7 x  4  0
Entonces x  4 m
1
2
Luego, A   2  7  m2  49 m2
2
Finalmente, el costo del terreno se obtiene de la siguiente manera:
C  49 80 dólares  3 920 dólares
Por lo tanto, el costo del terreno asciende a 3 920 dólares .
Rpta.: D
6.
Don Rafael les deja una herencia a sus tres hijos, cuyas superficies respectivamente
y en ese orden, están representados en la figura, por los sectores circulares AOB,
OE OC
BOC y el trapecio circular BDEC, tal y como se representa en la figura. Si

3
2
y DE  AC  2 BC , ¿qué porcentaje más le corresponde a los dos primeros hijos
respecto al tercer hijo?
400
%
3
100
B)
%
3
C) 33 %
200
%
D)
3
A)
Solución:
Nos apoyaremos en una representación gráfica, para poder comprender de una
mejor forma la situación que nos plantea el ejercicio:
Además, sabemos
DE  AC  2 BC y
L
Semana Nº 2
OE OC

t
3
2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.44
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
1
 2L  2t   2Lt u2 y
2
1
3Lt 2
  3L  t  
u
2
2
Luego, ÁreaSector AOC 
ÁreaTRAP. CIRC.
Finalmente, para saber qué porcentaje más reciben los dos primeros hijos respecto
al tercer hijo, basta proceder de la siguiente manera:
3Lt 

 2Lt  2 
100
%.

 .100 % 
3
 3Lt 
2


100
% más respecto al tercer hijo.
Por lo tanto, los dos primeros hijos reciben
3
Rpta.: B
7.
Harumi (H), Lucero (L), Cecilia (C) y Fabiana (F) se ubican en un determinado
instante en las esquinas de un parque tal y como se representa en la figura adjunta.
La municipalidad desea sembrar rosas en la región sombreada, para lo cual contrata
a un jardinero. Si CFH y CLH representan sectores circulares en ese instante y el
5
jardinero cobra
soles por metro cuadrado, ¿cuál es el monto que debe
2    2
pagar la municipalidad al jardinero por el trabajo realizado?
A) 500 soles
B) 400 soles
C) 400 soles
D) 500 soles
Solución:
Nos apoyaremos en una representación gráfica, para poder comprender de una
mejor forma la situación que nos plantea el ejercicio:
S1  S2
Notemos que:
Por lo tanto, el área de la región sombreada viene
dada por:
A SOM  2S1
Entonces,
1
1 

A SOM  2    202   202   200    2  m2
2
2 2

Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.45
57
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Finalmente, lo que tiene que pagar la municipalidad por sembrar las rosas se obtiene
de la siguiente manera:
5
C  200    2  
soles  500 soles .
2    2
Por lo tanto, el monto que la municipalidad le tiene que pagar al jardinero por su
trabajo realizado asciende a 500 soles .
Rpta.: A
8.
La Sra. Benita tiene en su chacra una parcela en forma de un sector circular tal y
como se representa en la figura. Se sabe que ella desea ampliar dicho terreno,
manteniendo su forma original cuya área es S u2 . Para ello, si su arco se disminuye
en 10% y su radio se incrementa en 30%, ¿cuál es el área del terreno ampliado de la
Sra. Benita?
A) 107% S u2
B) 115% S u2
C) 120% S u2
D) 117% S u2
Solución:
Como S es el número que representa
el área del terreno original, se tiene:
1
S  Lr
2
Luego, para comprender de mejor
forma la situación planteada, nos
apoyamos en una representación
gráfica, de donde obtenemos:
1  130  90 
 117 
S1  
Lr  
S  117 % S u2 .



2  100  100 
 100 
Por lo tanto, el área del terreno ampliado de la Señora Benita es 117% S u2 .
Rpta.: D
9.
Los piñones que enlazan la cadena de la bicicleta de Marco Antonio tienen 8 cm y 4
cm de radio, tal y como se muestra en la figura. ¿A cuántas revoluciones por
segundo gira el piñón pequeño si el piñón grande gira a 28 revoluciones por
segundo?
A) 58
4 cm
B) 56
8 cm
C) 48
D) 54
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.46
58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
A partir de los datos proporcionados, y con ayuda de una representación gráfica se
tiene:
Si Lc es la longitud recorrida por el centro
4 cm
del piñón grande y NV : número de vueltas,
8 cm
entonces NV 
Lc
2(8)
 Lc  nv (2)(8)  (28)(2)(8) cm
 Lc  448 cm
Como la longitud recorrida por el centro del piñón chico es igual a la longitud del
piñón grande; entonces, el número de vueltas del piñón chico es:
448
nv 
 56 vueltas  56 rev / seg .
2(4)
Rpta.: B
10. Luis Fabián se desplaza en su bicicleta siguiendo una trayectoria rectilínea. Si los
radios de las ruedas son  x  3 cm y  x  3  cm yademás, se sabe que en un
determinado momento las ruedas de mayor y menor radio dieron
 x  8  vueltas y
 x  3  vueltas respectivamente, determine la cantidad de vueltas que dieron ambas
ruedas.
B) 77
A) 55
C) 53
D) 61
Solución:
A partir de la información dada, donde
NV  Número vueltas rueda mayor radio
nV  Número vueltas rueda menor radio
L
NV 
 L  2 (x  3)(x  8)
2 (x  3)
x 8
nV 
x 3
L
2 (x  3)


L  2 (x  3)(x  3)


Luego, 2 x2  5x  24  2 x2  6x  9

Entonces, x  33
Finalmente, como la cantidad de vueltas que dan las dos ruedas se denota por N,se
tiene:
N  x  8  x  3  2x  11  55 vueltas .
Es decir, ambas ruedas dan 55 vueltas.
Rpta.: A
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.47
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Carmen quiere dedicarse a la venta de abanicos en forma de sector circular. Si la
medida del ángulo central es 4459'60'' y su radio mide 25 cm, determine la
superficie de los abanicos que Carmen tiene para vender.
A)
625
cm2
4
B)
625
cm2
8
C)
625
cm2
3
D)
625
cm2
2
Solución:
A partir de la información dada en el enunciado, se tiene:
Área 
1  
625
2
cm2 .
 25  


2 4
8
Rpta.: B
2.
Julián, diseñador de interiores desea recubrir el contorno de la escalera que se
muestra en la figura. Determine la longitud del recubrimiento, si se sabe que los
pasos tienen 35 cm (ancho de los peldaños), los contrapasos 25 cm (altura de los
 720 
peldaños) y la medida de su ángulo central es 
° .
 7 
A) 80  6  2 cm
B) 40  2  6  cm
C) 80    6  cm
D) 40  6  2 cm
Solución:
A partir de los datos proporcionados, se tiene:
 720   720  rad 4


rad .
°  
° 
 7   7  180 7
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.48
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
 4 
Además, L  
 140   80
 7 
Si lo que se desea es recubrir el contorno de lo que se muestra en la figura, nos
vamos a enfocar en calcular el borde, a lo cual vamos a denotar con CR :
CR  140  140  80  25  8   480  80 cm .
Por lo tanto, la longitud del recubrimiento que el diseñador de interiores necesita
para lograr su objetivo es 80    6  cm .
Rpta.: C
3.
Una mariposa se encuentra volando por encima de la cabeza de Natti. Si en un
determinado instante ella levanta la mirada y observa que la mariposa describe una
trayectoria curva de forma circular tal y como se muestra en la figura, determine la
longitud que recorre la mariposita para ir del punto A al punto B.
A)
100
cm
9
B)
9
cm
200
C)
200
cm
9
D)
9
cm
100
Solución:
A partir de los datos proporcionados y de la representación gráfica dada, se tiene:
50°  50° 
rad 5

rad .
180 18
Sea L la longitud que recorre la mariposita desde el punto A hasta el punto B
Luego,
200
 5 
80 cm 
cm .

9
 18 
L
Rpta.: C
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.49
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2020-I
En la figura se muestra un camino que consta de dos arcos. Si AOB y BCD son
sectores circulares, determine la longitud de dicho camino.
A)
25
m
3
B)
32
m
3
C)
52
m
3
D)
47
m
3
Solución:
A partir de la información dada, se tiene que:
Sea
LT  L1  L2
Entonces,
LT 
Por lo tanto, la longitud del camino es
20
32
 4 
m.
3
3
32
m.
3
Rpta.: B
5.
Antonella se traslada en su bicicleta sobre una pista rectilínea para recoger a su
hermana Alexa, desde su casa hasta su centro de estudios. Si la rueda delantera
que tiene como diámetro 70 cm recorre 18 hm y N representa el número de vueltas
7N
que da dicha rueda, determine
.
300
A) 60
B) 50
C) 70
D) 80
Solución:
A partir de la información dada, y teniendo en cuenta que N representa el número de
vueltas que da la rueda, se tiene:
L
1800
18000
Nv 

N
 N
2 r
2  0,35 
7
Luego,
7N
7  18000 

 60 .
300 300  7 
Rpta.: A
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.50
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
El Sr. Céspedes desea cercar con alambre un terreno que tiene forma de trapecio
circular, tal y como se representa en la figura. En base a la información dada, ¿cuántos
metros de alambre necesitará el Sr. Céspedes para cercar dicho terreno?
 9

A) 
 5 m
 2

 10

B) 
 2 m
 9

 5

C) 
 3 m
 4

6



D) 
 1 m
 5

Solución:
A partir de la información proporcionada en la gráfica, se tiene que la medida del
ángulo central es   40  40 
rad 2

rad .
180 9
Luego, hallamos las medidas de las respectivas longitudes de arco
L1 
2
4
.2m 
m
9
9
L2 
2
6
.3m  m
9
9
Denotemos con E a la cantidad de alambre que necesita el Sr. Céspedes para
cercar el terreno en mención.
E  L1  L2  1m  1m
4
6
E
m
m 2 m
9
9
 10

E
 2 m
 9

Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.51
57
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
 10

Por lo tanto, el Sr. Céspedes necesitará aproximadamente 
 2  m de alambre
 9

para cercar dicho terreno.
Rpta.: B
2.
El Sr. Sifuentes tiene un terreno en forma de sector circular en el cual siembra maíz.
Debido a la temporada de lluvias, el radio de su terreno ha disminuido 32 metros sin
que el ángulo central varíe. Si inicialmente el terreno es de radio 420 m y de longitud
de arco 105 m , determine la nueva longitud de arco después de la temporada de
lluvias.
A) 87 m
B) 85 m
C) 97 m
D) 95 m
Solución:
Sabemos que  
L
r
105 
 rad
420 4

 388    97 m .
4

Luego, LSECTOR RESULTANTE

Rpta.: C
3.
Antonio sujeta su arco de flecha de tal manera que se forme un sector circular, tal y
como se representa en la figura adjunta. Se sabe que la suma de la longitud del arco
y los dos radios es igual a 120 cm . En base a la información dada, determine la
longitud del arco de flecha, si el área de la región del sector circular es máxima.
A) 60 cm
B) 45 cm
C) 50 cm
D) 75 cm
Solución:
Consideremos
r : Radio
L : Longitud de arco
S : Área
Luego, a partir de la información proporcionada, se tiene:
L  2r  120

L  120  2r
Por lo tanto,
S
L.r 120  2r  r

 60r  r 2
2
2
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.52
58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2019-II

S   r 2  60r  900  900
S  900  r  30 
2
Para que el área sea máxima, la medida del radio es r  30 cm ,
Finalmente,
L  60 cm .
Rpta.: A
4.
Miguel observa en el reloj de pared de su sala, que son las 8 am cuando se dirige al
mercado para realizar las compras. Al retornar, se percata que la punta del minutero
cuya longitud es de 15 cm ha descrito un arco cuya longitud es de 20 cm. En base a
ello, determine a qué hora Miguel regresó a su casa.
A) 8:20 am
B) 8:50 am
C) 8:40 am
D) 8:30 am
Solución:
Sea  el ángulo que describe el minutero. En base a ello, tenemos que:
4
Luego,  
rad  240
3
5'
Como

15  20
30
Entonces
40'

240
Por lo tanto, son las 8.40 am
Rpta.: C
5.
En una empresa se fabrica tejas especiales de techo de 30 cm de largo cuyos
extremos son arcos de 4 cm de radio y ángulo central de 120°, tal y como se
representa en la figura. ¿A cuánto asciende el costo de producción de un millar y
medio de este tipo de tejas, si el precio por metro cuadrado es de 10 soles?
A) 130 soles
B) 150 soles
C) 140 soles
D) 120 soles
Solución:
A partir de la información, se tiene la siguiente representación gráfica, la misma que
nos ayudará a resolver la situación planteada.
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.53
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Sea L la longitud de la teja de techo
 2  8
L  4
cm

 3  3
Luego, el área de cada teja de techo
puede obtenerse de la siguiente forma:
8  2    2
 8 
S
 30  cm2  

 m   125  m
 3 
 1000 


Así, el costo de producción de un millar y medio de tejas de techo de este tipo se
obtiene de la siguiente manera:
  
C
 10 1500  soles  120 soles .
 125 
Por lo tanto, el costo asciende a 120 soles aproximadamente.
Rpta.: D
6.
En la figura se representa la vista frontal de un porta lapiceros, el mismo que está
compuesto por tres sectores circulares concéntricos, cuyas longitudes de arco son
iguales. Si se sabe que el diseñador lo elaboró de tal forma que 6OD  3OC  2OB,
determine la medida del ángulo  .
5
rad
22
3
B)
rad
22

C)
rad
22
5
D)
rad
11
A)
Solución:
Sabemos 6OD  3OC  2OB
Entonces OD 
OC OD

k
2
3
Nos apoyaremos en una representación gráfica, para poder comprender de una
mejor forma la situación que nos plantea el ejercicio:
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.54
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

 (3k)  L


 (2k)  L


 (k)  L




Ciclo 2019-II
L
3k
L

2k
L

k


2
L
L L 


 
3k 2k k 2
L 3


k 11
3
Por lo tanto,  
rad .
22
Como      
Rpta.: B
7.
La Sra. Benita observa el arco de la puerta de la iglesia de 12 metros de ancho, el cual
forma parte de un sector circular, ya que desea colocar algunos adornos en los puntos
M y H los cuales se representan en la figura. A partir de la información dada en la
gráfica, determine la longitud del arco de la puerta del punto M al punto H.
H
A) 4 m
B) 2 m
6m
M
6m
A
T
C) 6 m
D) 8 m
Solución:
A partir de la gráfica y de los datos proporcionados
en el enunciado, se tiene:
 2 
L  6    4 m
 3 
Por lo tanto, la longitud del arco de la puerta del punto
M al punto H es 4 m .
Rpta.: A
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.55
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2019-II
Lucas tiene dos monedas cuyas medidas de sus radios son R cm y r cm
 R  r  . Si
Lucas las hace rodar una sola vez por el perímetro de su mesa, la diferencia entre las
vueltas que dieron ambas monedas es igual al número de vueltas que daría la moneda
de su primo Julián al hacerlo girar una sola vez por el perímetro de dicha mesa. En
base a ello, determine el radio de la moneda de Julián.
A)
Rr
cm
Rr
B)
Rr
cm
Rr
C)
R
cm
Rr
D)
Rr
cm
Rr
Solución:
A partir de la situación dada, se desprende lo siguiente:
L: Perímetro de la mesa.
nR 
L
L
; nr 
2 R
2 r
Luego,
x: Radio de la moneda de Julián
nx 
x
L
L
L


2 x 2 r 2 R
Rr
cm .
Rr
Por lo tanto, el radio de la moneda de Julián es
Rr
cm .
Rr
Rpta.: B
9.
Marco Antonio debe recorrer el circuito que se representa en la figura adjunta. Los
puntos A, B, C y D son puntos donde Marco Antonio puede hidratarse, el punto P es
el punto de partida y la meta se ubica en el punto Q. Si BM  2MO  6 km , BOC es
11
un sector circular y la velocidad de Marco Antonio es
km / h , ¿cuánto tiempo tiene
2
que esperar Marco Antonio para volver a hidratarse después de pasar por el punto B?
A)
340
minutos
11
B)
350
minutos
11
C
D
B
N
370
C)
minutos
11
D)
360
minutos
11
Semana Nº 2
200
3
g
M
A
O
Q
P
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.56
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
A partir de los datos proporcionados, y con ayuda de una representación gráfica se
tiene que la longitud del arco BC es:
L BC 
9
 3
3
Como 3 
t
11
t , se tiene que
2
6
360
horas 
minutos .
11
11
Finalmente, para que Luis pueda volver a hidratarse después de pasar por el punto B,
360
debe transcurrir
min .
11
Rpta.: D
10. En la figura se representa un péndulo, cuyo punto de suspensión es el vértice formado
por las barras metálicas perpendiculares AB y AC. Determine el área barrida por el
péndulo, al moverse desde la posición D hasta la posición E, si se sabe que
DF  FE  6 m .
A) 30 m2
B) 16 m2
C) 32 m2
D) 15 m2
Solución:
En el sector circular DAF:
Sea AD  R u , entonces DF 
5R
12
Sabemos que DF  FE  6
 EF  6 
Semana Nº 2
5R
12
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.57
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
En el sector circular ECF

4
5R

 6 
 R  8 
12
4
R 5R
 6   2 

4
12
8R
 8 
 R  12
12
EF  R  8 
Área = Área ECF + Área DAF

4 12  5 

 32 m2 .
2
2
Finalmente, el área barrida por el péndulo es 32 m2 .
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Las áreas de los sectores circulares S1 y S2 son iguales. El ángulo central y el radio
de S1 miden 36 grados sexagesimales y 10 metros. Si el arco de S2 mide 4 metros,
halle la suma de los perímetros de S1 y S2 .
A)  32  8  m
B)  30  6  m
C)  32  6  m
D)  30  8  m
Solución:
De la representación gráfica dada y de los datos del enunciado, tenemos:
ÁreaS1 
1 
2
10   10


25
ÁreaS2  10 
1
 4  r
2
y

L

10   2
5
r 5
Además, sean
P1  Perímetro de S1  10  10  2   20  2  metros
P2  Perímetro de S1   5  5  4  10  4 metros
Por lo tanto, P1  P2   30  6 metros .
Rpta.: B
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.58
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2019-II
Lucero y Fabiana van de compras y encuentran un abanico que les agrada mucho.
Sin embargo, quisieran colocarle un estampado de forma circular como se representa
en la figura. Con los datos proporcionados, en la figura, determine el área del abanico
que quedaría sin estampar.
2
A) 36 u
B) 12 u2
2
C) 18 u
2
D) 30 u
Solución:
A partir de los datos proporcionados y de la representación
gráfica dada, se tiene:
3r  18

r 6
Además, ÁreaABANICO 
y
1  
2
18   54


23
ÁreaCÍRCULO    6  36
Entonces
2
Área SIN
ESTAMPAR
 18 u2 .
2
Finalmente, el área del abanico que queda sin estampar es de 18 u .
Rpta.: C
3.
Rafael y su prima Lucero están jugando con plastilina y moldes que tienen forma de
sector circular. Lucerito se percata que si a uno de esos moldes le duplican su ángulo
central y a su radio le aumentan 3 u , van a obtener un nuevo molde cuya longitud de
arco es el quíntuple de la longitud del arco inicial. Rafael le pide a Lucero que busque
un molde cuyo radio sea el quíntuplo del radio del molde inicial. ¿Cuánto mide el radio
del molde que debe buscar Lucerito?
A) 10 u
B) 5 u
C) 8 u
D) 7 u
Solución:
Sea L  .r
A partir de la información dada, se tiene que la longitud del nuevo sector circular
viene dada por: 5L   2r  3 
Entonces 5  r    2r  3 
Luego 5r  2r  6
Por lo tanto, r  2 u
Así, 5r  5  2 u  10 u .
Rpta.: A
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.59
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-II
Antonio diseña un juguete con las mismas características del “spinner” tal como se
representa en la figura. Si los tres discos tienen el mismo radio de longitud r cm,
determine el perímetro de la región sombreada en términos del radio r.
A) 2  r cm
B)
r
cm
3
C)  r cm
D)
r
cm
2
Solución:
A partir de la representación gráfica dada, se tiene que:

L1   r  L2  L3
3
Por lo tanto, PSOM  3L1   r cm .
Rpta.: C
5.
En la clase de Cecilia, la profesora de Matemática les ha mostrado el esquema que
se presenta en la figura adjunta. La profesora les menciona que la rueda mayor da 7
vueltas y que la rueda menor da 5 vueltas en las direcciones indicadas sobre una
superficie plana. Si se sabe que Cecilia resolvió la tarea, la cual consistía en
determinar la distancia que separa a los puntos P y Q luego de dar la cantidad de
vueltas que se indica, ¿cuál fue dicha distancia?
A) 314 cm
16 cm
B)  314  24  cm
O1
C)  314  14  cm
9 cm
O2
D)  224  24  cm
P
Q
Solución:
A partir de la información dada, y teniendo en cuenta que P' y Q' son las ubicaciones
de P y Q, luego de dar las vueltas indicadas, se tiene:
d P,P' 
d P,P' 
Nv 

7

d P,P'   224 cm
2 16 
2 16 
Nv 
d  Q,Q' 
2  9 
Luego,

5
d  Q,Q' 
2  9 

d  Q,Q'   90 cm
d P,Q  d P,P'   d P',Q'   d Q,Q' 
Entonces d P,Q  224  24  90  314  24  cm .
Rpta.: B
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.60
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
El Sr. Rojas desea cercar con alambre un terreno que tiene forma de sector circular,
tal que su ángulo central y radio miden 117 y 40 m respectivamente. En base a la
información dada, ¿cuántos metros de alambre necesitará el Sr. Rojas para cercar
dicho terreno?
C) 150  40  m
A)  40  13  m
B)  80  26  m
D)  80  13  m
E) 100  40  m
Solución:
De la información dada, se tiene la siguiente representación gráfica, la misma que
nos ayudará a resolver la situación planteada.
Sea
  117 
Luego,
L
Entonces,
13
rad
20
13
 40 m  26 m
20
P   80  26  m .
Por lo tanto, el Sr. Rojas necesitará aproximadamente  80  26 m de alambre para
cercar el terreno.
Rpta.: B
2.
Sea S un sector circular tal que su ángulo central mide  rad , el radio mide R u y la
longitud de arco mide L u . Teniendo en cuenta la información dada y si
R  L 
A) 32 u2
Semana Nº 2
100
, determine el área de S.
R
B) 40 u2
C) 25 u2
D) 30 u2
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 28 u2
Pág.61
57
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
A partir de la información dada, se tiene:
Como R  L 
100
, es claro que LR  50
R
De esta manera, el área del sector circular es 25 u2 .
Rpta.: C
3.
En la figura mostrada; AOB, COD y EOF son sectores circulares. Si OB  a u ,

AC  b u y DF  c u , determine el valor de 2 

A) 0
B) 2
C) 2
D) 4
E)
p  nn  m  m 
bc
a

.
1
2
Solución:
A partir de la representación gráfica, se tiene:
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.62
58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
  a  m ,    a  b  n ,    a  b  c   p
Luego,
a  b  n
Entonces
nm
m

b
a
De manera análoga, se obtiene

Luego, 2 

pn

c
p  nn  m  m   2 
a

bc
2     0 .


Rpta.: A
4.
La profesora de Trigonometría del Centro Pre Universitario de la UNMSM, le indica a
sus alumnos que S u2 es el área de un sector circular cuya medida de su ángulo

 ag  2a m 
5 17
 y la de su radio es
u . En base a la información dada,
central es 
m
17
  3a  
determine el valor de S.
A)
3
20
B)
4
5
C)
5
9
D)
36 
17
E)
5
36
Solución:


 ag  2a m 
102am 
17
Sabemos que:

 
 34 
rad
m
m 
90
  3a  
 3a 
1  17  25
5 2
Por lo tanto, el área del sector circular viene dado por:

u.


2  90  17
36
5
Así, S 
.
36
Rpta.: E
5.
La puerta de la cocina de la cafetería principal de la UNMSM es de tipo vaivén. En
base a ello, calcule el área de la región que determina el borde inferior de la puerta
cuando gira 150g si se sabe que dicho borde mide 1,2 m .
A)
27 2
m
50
Semana Nº 2
B)
9 2
m
50
C) 45 m2
D)
7 2
m
25
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
14 2
m
9
Pág.63
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
A partir de la información, se tiene la siguiente representación gráfica, la misma que
nos ayudará a resolver la situación planteada.
3
rad
4
Como el ángulo de giro es   150g 
Entonces, el área de la región que determina el
borde inferior de la puerta es:
S
1  3 
27 2
2
m .
1,2 


2 4 
50
Rpta.: A
6.
El profesor de Física le pide a sus alumnos que determinen la rapidez de un móvil, el
cual se desplaza con movimiento uniforme sobre un arco de circunferencia de
200 m de diámetro. Si el mejor alumno de la clase observa que en 20 s , el móvil
recorre un arco cuyo ángulo central es 50g , determine la rapidez de dicho móvil.
A)
3
m/s
5
B)
5
m/s
8
C)
2
m/s
5
D)
5
m/s
4
E)
4
m/s
5
Solución:
Nos apoyaremos en una representación gráfica, para poder comprender de una
mejor forma la situación que nos plantea el ejercicio:
Sabemos que L 

100   25 m
4
Por otro lado, como el móvil se desplaza con
movimiento uniforme, la rapidez viene dada por
5
m/s .
4
Rpta.: D
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.64
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2019-I
Harumi observa el gráfico que le han dejado en el colegio a su hermana Cecilia en
donde le indican que, AOB es un sector circular y CDB es una semicircunferencia
cuyo radio mide 4 u . Además, la medida del ángulo AOB es 45 y el perímetro de la
región sombreada es M u . Si Harumi resolvió adecuadamente la tarea de su
hermanita Cecilia, determine el valor de M.


A) 4  2 
B) 4  2
C) 4 2  
D) 8 2  2


E) 4 2  4  2 
Solución:
A partir de la gráfica y de los datos proporcionados en el enunciado, se tiene:
L1 
3
 4  3
4
L2 

4  4 2  1 2 
4

 



Por lo tanto, el perímetro de la región sombreada es: 4 2  4  2  u.
Rpta.: E
8.
En uno de los ejercicios de trigonometría, Miguel observa que si se duplican las
medidas del ángulo central y del radio de un sector circular se obtiene un nuevo
sector de área M u2 . Si el área del sector inicial es N u2 , determine
A) 4
Semana Nº 2
B) 16
C) 8
D) 12
(Prohibida su reproducción y venta)
M
.
N
E) 10
Pág.65
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
A partir de la situación dada, se desprende la siguiente representación gráfica:
2N  r 2 y 2M  8r 2
Luego:
Por lo tanto,
M
8.
N
Rpta.: C
9.
En la figura mostrada, AOB es un sector circular cuyo radio mide 8 cm. Si P, Q y R
son puntos de tangencia y S u2 denota el área de la región sombreada, determine el
valor de
S
 176 .

A) 82 2
B) 182 2
C) 128 2
D) 136 2
E)
152
2
Solución:
A partir de la representación gráfica y los datos proporcionados, se tiene:
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.66
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Luego,


r 1 2  8
Ciclo 2019-I


r 2  64 3  2 2

Entonces, el área de la región sombreada viene dada por




1  2
8  64 3  2 2    128 2  176 u2


2 2
S
Finalmente,
 176  128 2 .

S u2 
Rpta.: C
10. En la figura mostrada, la medida del radio de una rueda es 6 u y el diámetro de la
semicircunferencia es 2148 u. Además, si se sabe que la rueda pequeña se
desplaza desde A hasta B y sobre la semicircunferencia, determine la medida del
ángulo .
A)
B)
C)
D)
E)
2
rad
3

rad
3

rad
4
3
rad
4

rad
2
Solución:
Sabemos que nVueltas 
Por lo tanto,  
L
2r

60 
1080  
2  6 
2
rad .
3
Rpta.: A
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.67
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura mostrada, AOB y COD son sectores circulares. Si OC  3OB , calcule la
relación entre el área del trapecio circular ABDC y el área del sector circular AOB.
A) 16
B)
1
4
C) 4
D)
1
8
E) 8
Solución:
De la representación gráfica dada y de los datos del enunciado, tenemos:
1
1
1
  r 2 y N u2    9r 2    r 2  4  r 2
2
2
2
N
Por lo tanto,
8.
M
M u2 
Rpta.: E
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.68
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2019-I
En la figura; AOB, COD y EOF son sectores circulares. Si AB  m u y EF  n u ,
determine la longitud del arco CD en términos de m y n.
m 2  n2
A)
mn
C)
m 2  n2
mn
E)
2m2
mn
m 2  n2
B)
mn
D)
2mn
mn
Solución:
A partir de los datos proporcionados y de la representación gráfica dada, se tiene:
r  m ,  r  n  x ,  r  n  m  n
De la tercera ecuación, tenemos
Entonces

x  m  n
y
m  n  n  m
nm
nm
Por lo tanto, reemplazamos este resultado en la segunda ecuación:
nm
m  
 n  x
nm
Finalmente, se obtiene que:
x
m2  n2
.
mn
Rpta.: A
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.69
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-I
El Sr. Sifuentes traslada todos los días a su hija Cecilia a su centro de estudios una
distancia aproximada de 1,5 km a lo largo de una pista horizontal y plana. Si el
diámetro de una de las llantas es de 0,6 m y N representa el número de vueltas que
da dicha llanta, calcule el valor de
A)
1
10
N
.
5
C) 7
B) 10
D) 5
E)
1
5
Solución:
Sabemos que NVueltas 
Por lo tanto,
L
2r

NVueltas 
1500
60
N
 5.
5
Rpta.: D
4.
En la figura mostrada; AOB, OBC y OAD son sectores circulares. Si OA  15 cm ,
determine el perímetro de la región sombreada.
A) 10,5 cm
B) 10 cm
C) 12,5 cm
D) 12 cm
E) 15 cm
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.70
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
A partir de la representación gráfica dada, se tiene que:
OC 

 15  5 ,
3
CD 

5
 15 
6
2
OD 
Por lo tanto, PSOM  10 
5.

 15  5
3
y
5
 12,5 cm .
2
Rpta.: C
Un dibujante tenía como objetivo trazar un sector circular AOB de radio r u y longitud
de arco 2 u. Pero este dibuja el sector circular mostrado en la figura que tiene el
mismo ángulo central que el sector anterior y cuya área lo excede en 5 u2 . En base
a la información dada, ¿cuál es la medida del ángulo central?
A)

rad
6
B)
1
rad
2
C)

rad
5
D)
1
rad
5
E) 1 rad
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.71
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
A partir de la información dada, se tiene la siguiente representación gráfica:
Área
ABDC
Entonces
 5 u2
r  2
y
1
2  r  2    2  5
2
Por lo tanto,

1
rad .
2
Rpta.: B
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.72
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Con la información proporcionada en la figura adjunta y considerando que; AOB,
DOC y FOE son sectores circulares, calcule el área de la región del trapecio circular
ABCD.
A) 22 u2
B) 38 u2
C) 56 u2
D) 44 u2
E) 88 u2
Solución:
Sea
4  2
Sabemos

Luego,
(6  r)  18

(6  r)2  18
Entonces

  2 rad

r3
L CD  5(2)  10
S ABCD 
10  18  4  56
2
u2 .
Rpta.: C
2.
Si el péndulo de un reloj de pared mide 4 cm y su punta recorre un arco de
5 37' 30'' por segundo, ¿cuántos metros recorre en un minuto el arco que describe
la punta del péndulo?
A)

m
40
Semana Nº 2
B)
15
m
2
C)

m
8
D)
5
m
8
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
3
m
40
Pág.73
58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
De la información dada, se tiene la siguiente representación gráfica, la misma que
nos ayudará a resolver la situación planteada.
  537'30'' 
Sea

rad
32


.4 cm  cm
32
8

15
L  .60 
cm
8
2
15 1
3
L
.

m.
2 100 40
L
En 1 segundo:
Entonces en 1 minuto:
Luego en metros:
Rpta.: E
3.
Un jardinero quisiera construir y cercar un parque que tenga la forma de un sector
circular con un alambre de 20 m de longitud. En caso de que el jardinero pueda
satisfacer su anhelo, determine el área máxima que tendría dicho parque.
A) 35 m2
B) 50 m2
C) 30 m2
D) 45 m2
E) 25 m2
Solución:
A partir de la información dada, se tiene:
2R  L  20
L  20  2R.......(1)
LR
(20  2R)R
S
 S
2
2
S  (10  R)R
S  25  (R  5)2
Semana Nº 2

(Prohibida su reproducción y venta)
Smáx  25m2 .
Rpta.: E
Pág.74
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2018-II
Un maestro albañil por enchapar un piso que tiene la forma de un sector circular
 3S 
cobra 
 soles por metro cuadrado, siendo el área del sector circular AOB; S
  
metros cuadrados. Por cuestiones de presupuesto solo se pudo enchapar la parte
sombreada que se muestra en la figura adjunta. Teniendo en cuenta la información
proporcionada, ¿cuánto se pagará por enchapar la parte sombreada?
A) 192 2 soles
B) 190 soles
C) 207 soles
D) 190 2 soles
E) 600 soles
Solución:
Sea  el ángulo central del sector circular AOB el cual está dado en radianes.

4
1 
S AOB  . .82  8 m2
2 4
3
Se sabe que el costo del enchapado por m2 es :  8   24 soles.

2
Área de la región sombreada: 8 2 m .
Luego,
2    8 



Es así que lo que se pagará por enchapar la parte sombreada es: 192 2 soles.
Rpta.: A
5.
Tres jugadores de fútbol deben desplazarse describiendo una trayectoria curva
desde los puntos A, B y C hasta los puntos A’, B’ y C’ respectivamente, tal y como se
indica en la figura adjunta, para lograr cabecear el balón en el tiro libre indirecto
ejecutado por el jugador M ubicado en el punto O. Si OA  AB  BC y AOA’, BOB’,
COC’ son sectores circulares, halle
L1  L3
.
L1  L 2
A) 3
B) 4
C) 6
D) 2
E)
3
2
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.75
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
A partir de los datos proporcionados en el enunciado, se tiene:
De donde podemos notar:
L1.r
2S

 L1
2
r
L .(2r)
8S
8S  2

 L2
2
r
L (3r)
18S
27S  3

 L3
2
r
S
Luego, nos piden:
L1  L3

L1  L 2
2S 18S

r
r
 2.
2S 8S

r
r
Rpta.: D
6.
Cuando se abre una laptop, el punto P del borde superior de la pantalla forma un
arco de longitud 6 cm tal y como se muestra en la figura. Si el área de la pantalla
(incluido el borde) es de 600 cm2, calcule el ángulo formado entre la base del teclado
y la pantalla.
A) 58g
B) 60g
C) 50g
D) 45g
E) 72g
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.76
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Sea
6  .20 

6

20
3
 54  60g
10
Rpta.: B
7.
En la figura, AOB es un sector circular cuyo arco mide 39  cm. ¿En cuánto excede
el perímetro del sector circular COB al del sector circular AOC?
A) 14 cm
B) 10 cm
C) 11 cm
D) 12 cm
E) 13 cm
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.77
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Se sabe
g
39 
13
 260  13
rad , 
  30 rad
60
 3 
El ángulo central del sector circular mide:
Luego, 39 
13
rad
20
13
r  r  60 cm
20
13
.60  13 cm
60
 39  13  26 cm
L AC 
LBC
PAOC  120  13 , PCOB  60  26  60  120  26
Exceso: PCOB  PAOC  13 cm .
Rpta.: E
8.
Los radios de las ruedas delantera y posterior de un tractor que se desplaza por un
camino llano, miden 60 cm y 90 cm. Si la rueda delantera dio 8 vueltas más que la
rueda posterior, calcule la distancia que recorrió el tractor.
A) 30,4  m
B) 28,8 m
C) 20,6 m
D) 16,5 m
E) 15,6 m
Solución:
Sea
L: distancia recorrida por el tractor.
Del dato:
L
L

 8  L  2880 cm  28,8 m .
2(60) 2(90)
Rpta.: B
9.
Miguelito se traslada en su bicicleta de un punto A hacia un punto B, por un camino
en línea recta. Si los radios de las ruedas están en la relación de 2 a 5 y el ángulo
barrido por el centro de la rueda de mayor radio es 164  rad , calcule el número de
vueltas que da la rueda de menor radio en ese trayecto.
A) 32,8 vueltas
D) 200,5 vueltas
Semana Nº 2
B) 205 vueltas
E) 185,8 vueltas
(Prohibida su reproducción y venta)
C) 132 vueltas
Pág.78
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Sabemos de la segunda rueda que   164  rad , entonces el número de vueltas es
n2  82 vueltas .
Además, sabemos n1r1  n2r2 entonces n1  2k   82  5k   n1  205 vueltas
Rpta.: B
10. Una plantilla circular de cartulina, de 30 cm de radio se divide en 3 regiones
equivalentes que tienen forma de sector circular. Con cada sector circular se
construye la superficie lateral de un cono. Si se sabe que para construir la base del
cono que tiene forma circular se necesita de su radio, calcule la longitud del radio de
la base del cono resultante.
A) 25 cm
B) 15 cm
C) 10 cm
D) 30 cm
E) 20 cm
Solución:
Se divide en tres sectores equivalentes
Con cada sector, se forma un cono
En la base del cono que tiene forma circular la longitud de la circunferencia es igual
a la longitud del arco del sector circular, es decir:
20  2R  R  10 cm .
Rpta.: C
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.79
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura mostrada, AOB y COD son sectores circulares. Si el área de la región
sombreada es la mitad del área del sector circular AOB, calcule la longitud del arco
CD.
A) 4  2 2 u
B) 4  2 2 u
C) 4  2 6 u
D) 6  2 2 u
E) 6  2 6 u
Solución:
Del enunciado tenemos:
1
S AOB
2
L1  L 2
1  L21 
.2   
2
2 2 
ST 
L21
 2L 2  2
4


L2  6  2 6

L 2  L1  2
(L 2  6)2  24

L2  6  2 6
L2  6  2 6 no es posible ya que L1 sería negativo.
Rpta.: E
2.
Con los datos proporcionados en la figura adjunta, donde AOB y MON son sectores
circulares, determine el área de la región sombreada.

B) 3 8 3   u2


D) 3
C) 5 2 3   u2
E) 2


A) 8 3 3   u2

Semana Nº 2



3  8 u2

3  3 u2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.80
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
El área de la región sombreada es el área de la región triangular MOB menos el área
del sector circular MON.
A RS  SMOB  SMON
A RS 

4 3.12 1 
 . 4 3
2
2 3

2
A RS  24 3  8
Rpta.: A
3.
Lucerito está muy ansiosa esperando en la casa de su abuelito a su amiguita
Fabiana para poder ir al cine. Por tal motivo, está continuamente mirando la hora y
mientras tanto, se percata que el péndulo del reloj que tiene 84 cm de longitud se
balancea y se desplaza 15 a cada lado respecto a la vertical. Con la información
dada, determine la longitud de arco que describe.
A) 7 cm
B) 12 cm
C) 14 cm
D) 8 cm
E) 10 cm
Solución:
De la información proporcionada y como L  r , obtenemos

L  84.  14 cm .
6
Rpta.: C
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.81
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2018-II
El Sr. Rodríguez es el encargado de la etapa relacionada al acabado del piso de una
piscina que tiene la forma de un sector circular. Para ello, recopila información y se
entera que las medidas de su arco y radio (en metros), están representadas por 2
números enteros consecutivos y cuyo semiperímetro mide 5,5 m. En base a la
información proporcionada, determine la medida del ángulo central, si además se
sabe que la longitud del radio es mayor.
A) 0,75 rad
B) 0,9 rad
C) 1,1 rad
D) 0,8 rad
E) 2 rad
Solución:
L  a m r   a  1 m
Por dato, sabemos que: Perímetro  11 m , entonces 3a  2  11  a  3
3
Entonces L  3 m  r  4m    rad  0,75 rad .
4
Rpta.: A
5.
El mago Shazam realiza un truco que consiste en hacer rodar una pequeña llanta de
radio 2 cm sobre una regla de madera, alrededor de toda la regla; es decir esta
llantita primero recorre por encima y luego por debajo de la regla, tal y como se
muestra en la figura. Si la longitud de la regla es 36 cm y se desprecia la altura de
la regla, determine el número de vueltas que dio la llanta.
A) 13 vueltas
B) 14 vueltas
D) 18 vueltas
E) 19 vueltas
C) 16 vueltas
Solución:
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.82
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Analizando en los extremos de la regla:
nv 
LC
(2) 1
 nv 
 , se realiza media vuelta en cada extremo.
2r
2(2) 2
nv 
LC
36
 nv 
 9 , en la parte horizontal realiza 9 vueltas
2r
2(2)
Por lo tanto, la llanta realiza 19 vueltas en total.
Rpta.: E
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.83
68
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
03
semana
84
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. Sea el triángulo rectángulo ACB, definimos:
B
c
A
sen  
a
b
; cos   ;
c
c
tan  
b
a
; cot  
;
a
b
sec  
c
c
; csc  
a
b
a
b
C
PROPIEDADES:
i)
a² + b² = c²
ii)
0 < sen  < 1
iii)
sen  csc  = 1 ; cos  sec  = 1 ; tan  cot  = 1
Semana Nº 3
; 0 < cos  < 1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.85
42
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Según el área de zonificación de la municipalidad de Ancón, el precio por cada
metro cuadrado de cualquier terreno es de 200 dólares, se pone en venta el terreno
triangular ABC (que se muestra en la figura adjunta) cuyo perímetro es de 360 m. Si
12
, halle el precio de venta de dicho terreno.
AB  BC , tan A 
5
A) 1.200.000 dólares
B) 1.240.000 dólares
C) 1.160.000 dólares
D) 1.180.000 dólares
Solución:
Del gráfico adjunto tenemos
tan A 
12
5

AB  13k
Como, PerímetroABC  360 m
 36k  360

k  10
Además, área ABC  60k 2 m2  área ABC  6000 m2
Así, PrecioABC  200  áreaABC  dólares
Por tanto, PrecioABC  1.200.000 dólares
Rpta.: A
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.86
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2020-I
El costo por pintar un metro cuadrado de una plancha metálica triangular ABC,
(como se muestra en la figura) es ( 6 cot 2 ) soles . Halle el costo por pintar la
plancha mencionada.
A)
B)
C)
D) 180 soles
Solución:
Prolongamos el segmento BA, de tal modo AC = AD = 7. (Ver la figura)
De la figura cot  
120 soles
12
2 6
 cot   6
Luego,
140 2soles
Precio
 ( 6 cot 2 )
m
 160
Precio
 6 6 soles … (1)
soles
m2
Sea S el área de la plancha,
entonces S 
5(2 6)
2
 S  5 6 m2
Por tanto en (1), tenemos que PrecioABC  180 soles
Rpta.: D
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.87
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2020-I
Un agricultor quiere cercar su terreno de forma triangular (como se muestra en la
figura) con 3 hileras tensas de alambre de púas. ¿Cuántos metros de alambre se
necesitará, si la suma de la cotangente y secante de los ángulos agudos del terreno
es 5 y además su perímetro que está comprendido entre 1165 m y 1180 m? (Las
longitudes de sus lados son números enteros).
A) 1174 m
B) 1172 m
C) 1170 m
D) 1168 m
Solución:
Como cot C  sec B  5, de la figura tenemos
b a
 5
 a  b  5c
c c
Re solviendo el sistema de ecuaciones
a  b  5c

c  5(a  b)
se tiene :
B
a  13k, b  12k, c  5k, k  
luego el perímetro del terreno es P  ( 30k) m
Como 1165  P  1180  38,8...  k  39,3...
entonces, k  39
Por tanto, la cantidad de alambre de púas es 1170 m.
C
a
c
b
A
Rpta.: C
4.
En la figura, se muestra una cancha de fulbito cuyo arco tiene una altura de 2 m.
Miguel se encuentra ubicado inicialmente en A a 40 m de P. Luego, corre 20 m en
forma rectilínea hasta ubicarse en B, donde dispara de manera rectilínea impactando
en el punto Q. Halle el mínimo valor entero que toma 20 tan , donde m PBQ   .
A) 2
B) 1
C) 3
D) 4
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.88
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
De la figura, por resolución de triángulo rectángulo
PB  2cot  por existencia del triángulo APB
se tiene 20  2cot   60
 10  cot   30 
2
 20 tan   2
3
Por tanto, 20 tan min  1
Rpta.: C
5.
En la figura, se muestra el instante en el que un cóndor se encuentra a D m de altura
con respecto al suelo y observa a un conejo que está a una altura d m con respecto
al suelo. En ese instante se lanza sobre su presa mediante una trayectoria descrita
1
por la gráfica de la función f(x)  , con x  0 , llegando hasta su presa, determine
x
el valor de cot  .
A) Dd
B)
D
d
C)
Dd
Dd
D)
1
Dd
Solución:
De la figura tenemos
D
1
x1
1
x2

d

x2 
Entonces
x1 
1
D
1
d
1 1
d D

Luego, cot   
Dd

cot  
1
Dd
Rpta.: D
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.89
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2020-I
Luis hace volar su cometa tal como se muestra en la figura, donde M es punto de
trisección de BA. El perro de Luis está ubicado en la proyección ortogonal del punto
5
M con respecto al piso. Si sec  
y la altura de la cometa en el punto B con
2
respecto al suelo es de 4 m, halle la distancia entre Luis y su perro.
A) 2,4 m
B) 3,6 m
C) 1,8 m
D) 3,2 m
Solución:
Tenemos sec  
5
1
 tan  
2
2
De la gráfica
tan  
2,4
 AC  4,8
AC
Luego, d  3,2 m
Rpta.: D
7.
En la figura se muestra un croquis de una ciudad con sus avenidas, donde los
tramos BF = 120 m y AM = (70sec50°)m, además  +  = 230°. Si el pintado de las
líneas continuas divisorias de las avenidas tienen un costo de 6cos50° soles por
metro, halle el pintado del tramo AF.
A) 810 soles
B) 560 soles
C) 780 soles
D) 600 soles
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.90
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Como     230


130  B  180
B  180
Luego, MF  60sec 50  AF  130sec 50
Así, Precio  130sec 50 6cos50 soles .
Por tanto, Precio  780 soles
Rpta.: C
8.
Juan hace un pedido al carpintero para la elaboración de una lámina cuadrangular
(MBCN es un cuadrado), para el uso de una maqueta por el cual se cobra 1 sol por cada
metro cuadrado. Luego de unas horas, Juan modifica el modelo de la lámina como se
1
muestra en la figura, cuyo perímetro mide 56 m. Si csc   tan   , ¿cuánto pagó Juan
5
por su lámina?
A) 146 soles
B) 139 soles
C) 152 soles
D) 126 soles
Solución:
1
Como csc   tan   , de la figura tenemos
5
a c 1
b
 
 ac 
b b 5
5
Re solviendo el sistema de ecuaciones
b
ac 

5b  a  c
5
Se tiene a  13k, b  5k, c  12k, k 

.
Ahora P  56k m y áreaBAC  30k 2 m2
 k = 1, luego áreaBAC  30 m2 .
Entonces áreaMBCA  139 m2
Por tanto, Juan pagó 139 soles.
Rpta.: B
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.91
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2020-I
En la figura, se muestra la vista frontal de un túnel donde su interior tiene forma de
una semicircunferencia de diámetro 12,5 m. Para el mantenimiento de dicho puente
 3
se coloca un soporte metálico (como se muestra en la figura). Si tan  , halle la
2 4
altura del soporte metálico.
A) 2,56 m
B) 3,36 m
C) 3,64 m
D) 4,16 m
Solución:
De la figura tenemos
BC  12,5sen

CD  12,5sen cos 
De la figura, a2  (4  a)2  9
Como tan
 3

2 4

 8a  25
tan  
24
7
 24  7 
Así, CD  12,5   
 25  25 
Por tanto, 3,36 m
Rpta.: B
10. En la figura se muestra una rampa para practicar skateboard (deporte sobre una
tabla con ruedas). Dicha rampa está formada por un de arco de sector circular
equivalente a un sexto de circunferencia. Si AB  2 2 BC y CD  L m , halle la
longitud de la superficie de la rampa.
A) L tan  m
B) Lsen m
C) L tan  m
D) Lsen m
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.92
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
De la figura BC  L tan  m
Entonces AB  2 2L tan  m
Por el teorema de Pitágoras tenemos que
AC  3L tan  m
Como el arco AC (es la sexta parte de una
circunferencia), entonces su ángulo
central mide 60° por tanto el triángulo
AOC es equilátero, por tanto, el radio del
sector es AC.

Por tanto, LongitudAC   3L tan     m
3
LongitudAC   L tan  m
Rpta.: A
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura se muestra la vista frontal de la trayectoria de un teleférico que une dos
estaciones A y C, además la distancia de la estación A con respecto a la falda del
1
cerro ubicado en el punto D es de 6 km. Si sen 
y AB = DC, halle la distancia
3
de la cima de la montaña hacia la estación C.
A) 6 2 km
B) (2 2  3) km
C) 4 2 km
D) (2 2  1) km
Solución:
Como
1k
 AB  DC
3k
AB 3k

AC 9k
sen 

Luego, AC = 6 + 3k,
entonces k = 1
De la figura tenemos que
BC  6 2 km
Rpta.: A
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.93
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2020-I
Un agricultor adquiere un terreno rectangular de 3400 m de perímetro, con la
intención de sembrar dos cultivos: uno de papa y el otro de camote, trazando para
ello una linea divisoria en la diagonal AC, tal como se aprecia en la figura adjunta. Si
la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo ADC es 2,4, ¿cuántos kilómetros
mide la línea divisoria?
A) 2 km
B) 3 km
C) 3,2 km
D) 1,3 km
Solución:
Tenemos
C
12
5
 CD  5K , AD  12K
1) tan   2,4 

5k
2) Pitágoras en ACD :
 AC  13K
3) Perímetro del terreno : 2(12k)  2(5k)  3400
34K  3400  K  100
A
D
12 k
 AC  13K  1300m  1,3 km
Rpta.: D
3.
Un alpinista en Huaraz - Perú se encuentra en una montaña a 3064 msnm, ubicado
a solo 1248 metros de la cima de la montaña la cual tiene un ángulo de inclinación 
(como se muestra en la figura). Si va en línea recta hacia la misma cima y
13
, ¿a qué altitud se encuentra la cima de la montaña?
sec  
5
A) 4134 msnm
B) 4000 msnm
C) 3860 msnm
D) 4216 msnm
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.94
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
En la figura tenemos
13k  1248

Así, Altura  12k
k  96

Altura  1152
Por tanto, Altitud  1152  3064
Altitud  4216 msnm
Rpta.: D
4.
En la pizzería “LINDA ITALIA” por su aniversario se elaboran regalos para sus
clientes, cada regalo tiene como presentación una cajita triangular ABO (figura
adjunta) y en el interior de cada cajita contiene una tajada de pizza (sector circular
24 26
NOB). Si se coloca una cinta NB en la cajita triangular ABO de longitud
cm
13
12
y cos  
, halle el perímetro de la cajita.
13
A) 30 cm
B) 45 cm
C) 60 cm
D) 75 cm
Solución:
Tenemos que
cos  
24 26
12
y 2a 
cm
13
13
Entonces a 
 12 26 


 13 
12 26
cm
13
26  12k  k  2
Entonces como
Perímetro ABO  30k
Por tanto, Perímetro ABO  60 cm
Rpta.: C
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.95
69
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2020-I
En la figura se muestra, un dron ubicado en el punto A, que vuela a una altura de
150 m perpendicular al plano P. En ese instante un vigía ubicado en O observa que
el dron desciende en línea rectilínea y oblicua con un ángulo de inclinación de
90   respecto a la horizontal, cuando se encuentra en B a 86 m de altura lanza un
objeto verticalmente hacia el plano P. Si cos   0,8 , ¿a qué distancia se encuentra
el objeto del pie de la persona?
A) 178 m
B) 186 m
C) 173 m
D) 164 m
Solución:
Vemos que dist(O,M)  125
De la figura, dist(O,N)  dist(O,M)  dist(M,N)
Por tanto, dist(O,N)  173 m
Rpta.: C
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.96
70
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Dos caminos se cortan en un punto B, formando un ángulo de 120°. En un punto A
sobre un camino está un edificio a 8u de B, halle secθ .
A) 4 3
B) 4
C)
7
2
D)
3 7
2
Solución:
Por el teorema de Pitágoras:
A
(DC)2 = ( 4 7 )2 – ( 4 3 )2
(DC)2 = 16(4)
4 7u
43
 DC = 8

y sec  =
sec  =
7
2
4 7
8
8u
60º
D
4
120°
B

C
Rpta.: C
2.
Un chofer en estado de ebriedad choca su taxi con un poste de luz quedando este
inclinado como se observa en la figura. Si la parte alta del poste se encuentra a 7,2
m del suelo y el poste mide 9m, ¿cuál es la sombra que proyectaría el poste cuando
el sol se encuentra en su posición más alta?
A) 5.4 m
B) 3.6 m
C) 4.8 m
D) 5 m
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.97
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Sea  el ángulo formado entre el poste y el suelo
sen 
7,2 4

9
5
La sombra que proyectaría sería = 3k
siendo 4k  7,2  k  1,8
Sombra = 3(1,8) = 5,4 m.
Rpta.: A
3.
En el triángulo rectángulo ABC, mostrado en la figura, cot   2 y cot   3 .
Determine x.
A) 2u
B) 3u
C) 4u
D) 5u
Solución:
AB
 2  AB  2x
x
x  10
1
cot  
 3  AB  (x  10)
AB
3
Entonces
1
(x  10)  2x  x  2
3
cot  
Rpta.: A
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.98
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-II
Desde el punto A, un topógrafo con ayuda de un teodolito nota que un terreno (figura
adjunta) tiene la forma de dos cuadrados juntos (M y N) y que sus perímetros están
en relación de 2 a 3. Si cercar el cuadrado M cuesta sec  miles de soles ¿cuánto
costará (aproximadamente) cercar el cuadrado N?
A) S/. 300 26
B) S/. 150 22
C) S/. 300 22
D) S/. 300 22
Solución:
Perímetro M 2 8
 
Perímetro N 3 12
Lado cuadrado M=2u
Lado cuadrado N=3u( en la figura)
En la Figura
sec  
26
miles de soles
5
sec   200 26 soles,
Perímetro M 2 200 26
 
Perímetro N 3 costo N

5.
Costo N  300 26 soles.
Rpta.: A
Pedro, Carlos y Miguel se encuentran en los puntos A, B y C, respectivamente. Ellos
quieren llegar al punto E para esto se desplazan por 3 caminos AE, BE y CE, tal
como se muestra en la figura . Calcule tan x  cot x.
E

A) 2.4
B) 2.5
C) 2.15
D) 3

A
Semana Nº 3
x
8m
B
7m
(Prohibida su reproducción y venta)
C
1m
D
Pág.99
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
E
De la figura:
a
16
1
tan  
a

1
tan  
 2
a=4
Igualando
a 1

16 a

A

x
8
B
7
C
1
D
a4
4 8
Se pide tan x  cot x  
8 4

tan x  cot x  2,5.
Rpta.: B
6.
Un avión que vuela a 4km de altitud se aproxima al aeropuesto ubicado en el punto
A, según se indica en la figura. Si tan   4 tan  , ¿a qué distancia del aeropuerto se
encuentra el avión en ese instante?
A) 12 km
B) 2 3 km
C) 4 5 km
D) 3 3 km


A
Solución:
1) tan   4 tan  
a
b
 4    a2  4b2
b
a

d
b
2) Pitágoras: d2  a2  b2  d2  4b2  b2  d2  5b2

A
a
 d  5 b  d  4 5 km.
Rpta.: C
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
100
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2019-II
Se tiene una rampa en forma de un triángulo ABC. De la figura se construyen otras
1
A C
A
C
dos rampas con ángulos
y
tal que sec A  cot C  . Halle tan    cot   .
2
2
2
2
2
A)
4
3
5
3
B)
C) 3
D)
7
3
Solución:
sec A  cot C 
 2 b  a   c
c
2
b a 1
1
  
c c 2
2
 4  b  a   b2  a 2
2
 4b  4a  b  a
b 5k
 3b  5a  
a 3k
7
A
 C  3k 8k 1
 tan    cot   

 2
3
2
 2  9k 4k 3
Rpta.: D
8.
El costo por metro cuadrado de un terreno de forma triangular recto es de 85 dólares
Si la suma de la tangente de uno de los ángulos agudos con la cosecante del otro
ángulo agudo es
3
, ¿cuál será el costo del terreno si su área está comprendida
2
entre 269 m2 y 290 m2?
A) $ 23 238
B) $ 24 500
3
2
c a 3
    2a  2c  3b
b b 2
Resolviendo el sistema de ecuaciones
Semana Nº 3
D) $ 18 500
B
Solución:
tgC + cscB =
C) $ 22 950
c
A
a
b
(Prohibida su reproducción y venta)
C
101
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
a 2  b2  c2
2a  2c  3b
 3b  2c 
2
2
2
2

  b  c  9b  12bc  4b
2


12
 ab  12c  4b  5b  12c  b  c
5
13
hallando a : a  c
5
13
12
luego : a  c, b  c, c  c, c  R ( solución múltiple)
5
5
si c  15 m  a  39 m, b  36 m.
2
1
(36)(15 m 2 )  270 m 2
2
Cos to : 270  85 dólares  22 950 dólares
Área : A 
Rpta.: C
9.
Como se ve en la FIGURA, una tabla está sostenida por un caballete para que uno
de sus extremos descanse en el piso y el otro contra un muro. Exprese la longitud de
la tabla en términos de  .
A)  4 sec   3csc  pies
B)  3 sec   4csc  pies
C)  sec   3csc  pies
D)  4 sec   csc  pies
Solución:
En la horizontal se tiene: 4  3cot 
L es la longitud de la escalera
L
 sec 
4  3ctg
L   4 sec   3 csc   pies
Rpta.: A
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
102
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
10. Al hallar el área de un triángulo acutángulo en función de unos de sus ángulos resulta
 1  6cos   8cos2   2

 u , calcule el menor valor entero de dicha área.
cos2 


A) 15 u2
B) 16 u2
C) 14 u2
D) 17 u2
Solución:
1
6cos  8cos2 


cos2  cos2 
cos2 
E  sec2   6sec   8
E   sec2   6sec   32   1
E
E   sec   3  1
2
Por ser  agudo, entonces, sec   1,
2
luego sec   3  4   sec   3  16
  sec   3  1  15
 E  15
2
Rpta.: B
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se tiene que tg A + tg B =
5
.
2
2
 senA + senB 
Calcule 80ab 
 .
a +b


A) 30
B) 32
C) 30
D) 22
Solución:
a b 5
+ =
b a 2
B
c2 5

=
ab 2
c
a
2
 a+b 
80ab
80ab 
 = 2 = 32
c
 c (a + b) 
A
Semana Nº 3
b
(Prohibida su reproducción y venta)
C
103
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
2
 senA + senB 
80ab 
 = 32
a +b


Rpta.: B
2.
Una estatua se coloca sobre un pedestal, como se representa en la figura. Halle
 4x
2

.
 1 x2  1
x
.
A) sen
B) csc 
C) sec 
D) 1 sen
Solución:
A partir de los datos proporcionados y de la representación gráfica dada, se tiene:
Por áreas y pitágoras :
 2 1
x  4


2
resulta
 4x
2
x
2


1
sen 
1 x 
2  2 
  csc 
 1 x2  1
x
Rpta.: B
3.
Se desea construir unas banderitas en una hoja de papel, tal como se muestra en la
figura. Si el precio de cada banderita está dado por la expresión tan  . tan en
soles. Halle dicho precio, si E es punto medio de AB .
C
A) 50 céntimos
B) 1,50 soles
4S u
2
C) 2 soles

D) 1,30 sol
A
Semana Nº 3
2Su 
2
E
(Prohibida su reproducción y venta)
B
104
Pág.
69
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Del gráfico,
C
m
,
n
n
tan  
2m
m
tan  
n

Por lo tanto, tan  tan  
m n
1
.

n 2m 2
A
4Su
2Su
E
2
2
m
2Su 
2
B
Rpta.: A
4.
Los brazos de un compás miden 12 cm y forman un ángulo de 50°.¿Cuál es el radio
de la circunferencia que puede trazarse en esa abertura?
A) 12sen25 cm
B) 12cos50 cm
C) 12cos25 cm
D)  24cos25 cm
Solución:
Nos piden hallar el radio de la circunferencia
De la figura
sen25° 
x
12
 x  12sen25
Rpta.: A
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
105
Pág.
70
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-II
En una de las orillas de un río se encuentra un hotel de altura 48 m , en la azotea se
ubica una antena de radio de altura 16 m . Si desde un punto A en la orilla opuesta
frente al edificio se observa la antena con un ángulo igual que si se observase solo
la séptima parte de la altura del hotel; determine la distancia del pie del edificio al
punto A.
A) 48 m
B) 32 m
C) 64 m
D) 56 m
Solución:
Del enunciado:
48
x
ctg   48ctg     
7
1
 ctg       ctg 
7
Luego:
48
400
csc  
sen
1
7
7
 ctg 
400
7
cos 
7
3  sen2  cos2  
1

  tg   ctg 
25  sen  cos  
7
3
1
 tg   ctg   tg   ctg 
25
7
ctg   7
 x  48 m
Rpta.: A
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
106
Pág.
71
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
En el gráfico, 6AE =BD = DC = 6x. Calcule cosα + cscβ.
72
A) 15
75
13
Solución:
D)
B)
72
25
E)
71
23
65
13
C)
AC 2  AB 2  BC 2
12 x  1
2
  3 x  1  12 x 
2
2
144 x 2  24 x  1  9 x 2  6 x  1 144 x 2
18 x  9 x 2
9 x 2  18 x
x  9x  18   0  x  2
cos   csc  
7 13 72


25 5 25
Rpta.: B
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
107
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2019-I
En el triángulo ABC de la figura, se tiene que 3senA  senB  cos A  0 . Determine
el valor de
2 (tgA + cscB).
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Solución:
1°
De la condición
3senA  senB  cos A  0
3senA  1  0  senA 
1 k

3 3k
2° Usando el teorema de Pitágoras
b 2  9k 2  k 2  b  2 2 k
3°
Finalmente
2 (tg A + csc B) =
 1
2 
2 2

3 
 = 2
2 2
Rpta.: A
3.
En la figura, se muestra un poste sujetado a tierra por un
sen A  senC cosC 
cable tenso. Si


 csc C , halle sec C .
tgC
 csc A sec A 
A)
5
2
B) 2
D)
3
E) 4
Semana Nº 3
C)
3
2
(Prohibida su reproducción y venta)
108
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
A partir del enunciado, se tiene lo siguiente:
a a c a a c b
.  .  .
b c  b b b b  c
 a  2c
 b  5c
Luego,
sec C 
b
5

a
2
Rpta.: A
4.
En la figura mostrada, exprese L en función de . Si L es la longitud de la escalera.
3m

Escalera
4m
A)  3sec   4csc  m
B)  3csc   4cos m
C)  3tg  4ctg m
D)  3cos  4 tg  m
E)  3sen  4cos m
Solución:
3

sec  
x

y
4
x
 x  3sec  ... 1
3
y
csc  
 y  4csc  ...  2 
4
Luego, L  x  y
Reemplazando (1) y (2)
L   3sec   4csc  m.
Rpta.: A
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
109
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-I
En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 15u. Si sec = 1,5, halle tg.
A)
32 5
5
B)
3 5
4
C)
32 5
4
D)
3 5
4
E)
2 5
4
Solución:
DA = DE (son radios)
sec  =
DE
15
=
= 1,5 
DG
DG
(EG)
= 15 - 10  EG = 5
2
2
15
5
DC  DG
EF
GC
tg  =
=
=
BC  FC
BF
BF
Semana Nº 3

DG = 10
Por el Teorema de Pitágoras:
2
15
E
A
En el triángulo DGE:
(Prohibida su reproducción y venta)
B
F
15
5 5

D
10
C
G
110
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
tg
=
15  10
15  5 5
=
Ciclo 2019-I
3 5
4
i.e.
tg
=
3 5
4
Rpta.: B
6.
En la figura, los puntos A, B, C y D representan cuatro ciudades situadas a la misma
altura respecto del nivel del mar y D colineal con A y C. Si las distancias entre las
ciudades D y C es el doble que entre las ciudades A y B y AB=BD, calcule
sen (1 cos ) .
B
1
A) 1
B) 2
C)
2
10
D)
E) 3
7

A
Solución:
En BGD:
b
cos  
a
C
B

En ABC:
sen 

D
a
a
2a  2b
a

sen (1 cos )
A


b
G
b
D
2a
a
a
 b
ab 1
1  
 .


2(a  b)  a  2  a  b   a  2
Rpta.: C
7.
En la figura, ctg = 25ctg, determine el valor de
26 (sen + 3sen +
26 tg).
A) 146
B) 148
C) 145
D) 137
E) 128
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
111
Pág.
64
C
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
A
Solución:

1º
b
a
= 25
b
a

26 b
a = 5b

B
2º
Por Pitágoras c =
3º
Finalmente
26 (
+ 3.
26
5
+
C
a=5b
26 b
1
b
26 . 5 ) = 146
26
Rpta.: A
8.
Se ha construido una rampa en la entrada de un hospital para un escalón de 6 cm
de alto. Esta rampa tiene 8 cm de base, pero ante el reclamo de los pacientes de
tener mucha pendiente, ¿cuánto habría que aumentar a la longitud de la base para
que el ángulo de inclinación sea la cuarta parte de la primera rampa?

D) 3  2
 10  3 cm.
E) 3  2 5  6  cm.

10  8  cm.
A) 2 3 10  5 cm.
B) 6
C) 6


10  2 cm.
Solución:
Con los datos del problema:
cm
6 10
/4
cm
6 cm

/2
10 cm
6 10 cm
10
8 cm
d
Reemplazando


d  6 10  10  2 3 10  5 cm.
Rpta.: A
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
112
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2019-I
Desde una ciudad A, parten al mismo tiempo una moto y un auto con velocidades
constantes de 8 Km/h y 29 Km/h respectivamente, en dirección norte y ES , donde
cos  
21
. Después de transcurrida una hora, halle la distancia que separa a
29
dichos vehículos.
A) 39 Km
B) 35 Km
E) 49 Km
D) 24 Km
C) 42 Km
Solución:
B
De la figura tenemos AB  8 y AC  29
Como cos  
8
21
29
X
A
Entonces AD=20

29
Luego, por Teor. Pitágoras
20
x2  212 +282 ,

Por tanto, x  35 Km
C
21
Rpta.:B
10. En la figura AN = NC. Determinar el valor de sec   csc   tg  .
A) 1
B)
A
M
3
2


C) 4
D)
1
4
N
B
C
P
E) 2
Solución:
A
 2m   z   t 
sec   csc   tg   
    2
 z  t m

t
m
M

z

N
m

C
B
P
Rpta.: E
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
113
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura, se muestra una mesa rectangular de ping pong de 9 pies x 5 pies. Halle
la tangente del mayor ángulo mitad que forman las diagonales de dicha mesa.
5
9
B)
5
2
C) 2
D)
9
5
A)
E)
5
8
Solución:
9
 2 
De la figura tg 
 tg 

5
 2 
Rpta.: D
2.
En la figura mostrada, halle a.ctg  b.ctg 
A)
1
h
B)
1
h2
D) 2h
C) h
E)
ab
.
ab
h
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
114
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
ab
h
ab
ab
 a.ctg  b.ctg 
h
ab
a.ctg  b.ctg y
Rpta.: C
3.
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que
ctgA  csc A .
B) 5
A) 6
C) 3
D) 3,5
CosB
 4 ; calcule
1  Cos A
E) 4
Solución:
a
c  4  a  4b  4c  c  b  a
b
4
1
c
a
c b
c 2  b2  a2  (c  b).  a2    4
4
a a
 csc A  ctgA  4
CosB
4
1  Cos A
Rpta.: E
4.
Los
lados
(recto en C), miden
A
A
 2  r  cm, 2cm y  2  r  cm (r>0). Evalúe la expresión ctg    5sen   , donde A
2
2
es el mayor ángulo agudo.
A) 2
Semana Nº 3
de
B) 3
un
triángulo
rectángulo
C) 2,5
ABC
D) 3,5
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 1,5
115
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
De Pitágoras
2  r 
2
 22   2  r   r 
2
1
5
3
, luego AB= , AC=
2
2
2
y DC=4 y BD=2 5
 2 
A
A
 ctg    5sen    2  
3
2
2
2 5 
Rpta.: B
5.
En la figura, AF = FC y BF = BE, hallar
A)
C)
E)
tg 

2tg
2
sen

2sen
2
DE
.
FE
B
cos 


2 cos
 2 

B)
 sec 
D)
2 sec

2
E
D
A
csc 

2 csc
2
C
F
Solución:
B
Por ser AF = FC, BF es bisectriz. Por otra parte,
como BF = BE el triángulo BFE es isósceles y en
consecuencia BQ es bisectriz. Luego, se tiene
que:


2

2
c
1°
BF = c cos = BE
DE = c cos sen
2º
FE = 2c cos
3º
DE
=
FE
sen

2
c cos   sen

2c cos   sen
2
E
D
Q
=
sen

2sen
2
A
F
C
Rpta.: C
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
116
Pág.
69
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
De acuerdo a la figura, si tg 
A) 2,35
B) 2,25
C) 1,75
D) 1,25
9
y AC=CD , calcule
7
2tg.
E) 2
Solución:
En la figura
x 2  72  92
x4 2
2 tg  1,75
Rpta.: C
2.
En la figura se muestra una escalera apoyada
secθ.cosα = 3tgα.tgθ , halle la longitud de la escalera.
A) 2 10 m
B)
C) 4 10 m
D) 5 10 m
sobre
una
pared.
20 m
E) 4 5 m
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
117
Pág.
59
Si
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
h a
2 a
sec  cos   3tgtg  .  3. .  a  6
2 h
a 2
h2  62  42  h  2 10
Rpta.: A
3.
En la figura ABCD es un cuadrado. Si FGDE es un rectángulo y E es punto medio de
 1

AD , halle ctg    ctg  
2 2
2.
1
2
A) 
B)
1
9
C)
1
2
D) 
1
6
E) 2
Solución:
De la figura:
tg  2
tg=
5

2
2
5
5

2
1
A
2
2L

L
G
B
2L

L
1
F
5
2
1
2
E
2L
L
2L
D
2L
C
1
 1
   1 5  2  5 
ctg    .ctg   

  

2
2
2 2
2
 2 
Rpta.: A
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
118
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2018-II
Un hombre de 6 pies de altura camina con una rapidez de 5pies/s , alejándose de
una farola de 15 pies de altura, cuando el hombre está a 10 pies de la farola ¿con
que rapidez se mueve el extremo de su sombra?
A) 5pies/s
B)
25
pies/s
3
C) 25pies/s
D)
35
pies/s
3
E)
25
pies/s
2
Solución:
15
6

x = 10
z
Para el hombre: 10=5t entonces t =2seg
Para la sombra z=2v
15
6
50

z
pies
z z  10
3
50
pies
v  3  v  25
3
2
seg
tg 


Rpta.:B
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
119
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2018-II
En el triángulo BAC se cumple que 30sen(90  C).cscB  28cscB  5 . Calcule el
16b
valor de
 ab .
a
A)
B) 34
C) 5
D) 16
E) 9
Solución:
Se tiene
C
5  30senB.cscB  28cscB
5K
4K
35  28cscB
5
4
HallandoBM :
4
5
15
tgB  
 BM 
3 BM
4
HallandoMC
3
5
20
tgC  
 MC 
4 MC
3
16b

 ab  9  25  34
a
cscB 
A
B
3K
C
M
5
A
B
Rpta.: B
6.
En la figura se muestra el plano de un mercado de forma rectangular. Si AD=2DC,
2csc   sec 
halle el valor de
.
2sec  csc 


a
A) 

pqn
C)

1
p


2pqn
B)

1
a


2pqn
D)

1
a


4pqn
 2a 
E) 

pqn
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
120
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
AD  2DC
a  psen  qsen  nsen  2 pcos   qcos   ncos  
a
2
1


p  q  n sec  csc 
 2csc   sec 
1
a


2pqn
2sec  csc 
Rpta.: B
7.
En el triángulo ACB de la figura se cumple que 3a  c  4b  4c . Halle el valor de la
B

expresión sec  90    8 sec A
2

A) 8
B) 12
C) 15
D) 20
E) 10
Solución:
Tenemos a 2  b 2  c 2 y a  c 
4b
,
3
entonces
16b2
16 2
2
 c  a 
c  a2
9
9
16
c 25k
 c  a  c  a  
9
a 7k
Luego
c  a
csc
2



B
40
 25 
 8secA 
 8 
2
24
 24 
5 25 30
 

 10
3 3
3
Rpta.: E
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
121
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2018-II
Una torre está a borde de un acantilado, tal como se observa en la figura.

g

Si 4cos10.sec  100  .tg  9 y

9

ctg20°tgtg20°=2 .
Calcule
la
altura
del
acantilado.
A) 165 m
B) 163 m
C) 162 m
D) 150 m
E) 160 m
Solución:
4cos10.csc 80.tg  9
9
9
20  h
 tg=
 tg=

...(1)
4
4
x
h
tg70°tgtg20°=2  tg=2  tg=2= ...(2)
x
9 20  h
dividiendo
=
 h=160m
8
h
Rpta.: E
9.
Elvis y Carlos parten de un punto A en direcciones E    x  N y Este respectivamente.
Luego de un tiempo Elvis se encuentra en el punto P al norte de Carlos, momento en
el cual Carlos decide cambiar de rumbo, dirigiéndose a EN para encontrarse
ambos en el punto B. Si AP=PB, halle tgx .
A)
D)
sen cos 
1  cos 2 
sen cos 
1  cos 
Semana Nº 3
B)
sen   cos 
1  cos 2 
E)
sen
1  cos2 
(Prohibida su reproducción y venta)
C)
cos 
1  cos2 
122
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:

AT  asen cos  y RT=acos2  BT  a 1  cos2 
tgx 

sen cos 
1  cos2 
Rpta.: A
10. En la figura, si
3tg  6 , halle el valor de la expresión
sen  90     13 cos   3ctg .
A)
9
2
B) 8
C)
15
2
D) 4
E) 6
Solución:
tg  2 3
sen  90      13 cos   3ctg 
1
15
7 
2
2
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Las medidas de los lados de un terreno en forma de triángulo rectángulo T son a
metros, b metros y c metros siendo a, b, c números pares consecutivos. Calcular

ctg ( ) , si  es el mayor ángulo agudo de T.
2
A)
3
2
Semana Nº 3
B) 2
C)
5
4
D)
5
2
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
4
3
123
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
De la condición: a  x, b  x  2 y c  x  4 .
Luego usando el teorema de Pitágoras
(x + 4)2 = (x + 2)2 + x2
x+
4=
10
(x – 6) (x + 2) = 0
x =6

/2

16
 ctg ( ) =
2
8
2
x+2=8
10
x=6
Rpta.: B
2.
En la figura, el área de la región limitado por el rectángulo ABCD es 32 cm2 . Si
2tg  tg45 y ED=10 cm, halle el menor perímetro del rectángulo ABCD.
A) 22,8 cm
B)
68
cm
3
C) 30 cm
D) 36 cm
E) 24 cm
Solución:
Si BC  x cm, CD  y cm entonces EC  10 - y
1 10  y

2
x
20  2y  x 

xy  32

 20  2y  y  32  y 2  10y  16  0  y  8, x =4  y  2, x=16
tg 
Perímetro menor del rectángulo es 8+8+4+4=24 cm
Rpta.: E
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
124
Pág.
66
2
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2018-II
La región sombreada muestra una vista de un inyector hidráulico. Si HG 
CD=EF, sen 
2 13
y AH  5DE  40cm , determine ctg .
13
A)
B) 1,5
C) 1,6
D) 2,5
HF
,
3
E) 3,5
Solución:
AH=40, DE=8 entonces CD=EF=16
. sen 
2 13
2 EF
 tg  
 GF  24
13
3 GF
.HF=3AB y AB=HG entonces HG=12
Por lo tanto ctg 
36
 1,5
24
Rpta.: B
4.

2
2
Dado un triángulo ABC, recto en A, calcule el valor de b  a
A)

 sec CcscB 2
1 tg2C
.
c4
B) c
4
C) 1
D) 2
E)
c8
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
125
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
E
b2
a2
a a
b  b


1
2
2
b2  2a 
 
a2  b 
E
;T.P. : a2  b2  c 2
1
E4
b
2
 a2 
 secC cscB 2
1 tg2C
  b2  a2   c 8
4
Rpta.: E
5.
En la figura ABCD es un cuadrado. Si M es punto medio de BC y CN=au , ND=bu,
 sen  cos  
halle 
 a  b .
cos 


A)
b
ab
C) a
B)
a
ab
D) b
E) a  b
Solución:
En el trapecio MBCQ
MP 
CQ  BH  2a  b 

 sen
2
 2 
ab
HP  PQ  EC  
 sen
 2 
MP 2a  b
 tg 

  a  b  tg  1  a
HP
ab
Rpta.: C
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
126
Pág.
68
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
04
semana
127
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II
1.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
    90  RT()  CO  RT()
2.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES.
2.1. Razones trigonométricas del ángulo de 45°
2
 cos 45
2
sen45 
tan45  1  cot 45
sec 45  2  csc 45
2.2. Razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°
sen30 
1
 cos60
2
3
 cot 60
3
2
sec 30 
 csc 60
3
tan30 
2.3. Razones trigonométricas de los ángulos de 75° y 15°
sen15 
6 2
 cos75
4
tan15  2  3  cot 75
sec15  6  2  csc 75
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
128
Pág.
43
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2020-I
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
3.1. Área en función de dos lados y el ángulo comprendido
Determinando una altura del triángulo ABC
h
Si senC  , entonces h  bsenC
b
luego,
absenC
es el área de la región
S
2
triangular ABC.
3.2. Área del triángulo en función de sus lados
S
4.
p(p  a)(p  b)(p  c) , donde p 
abc
2
ÁNGULOS HORIZONTALES
Son aquellos ángulos que están contenidos
en un plano horizontal.
La Rosa Naútica, conocida también como la
Rosa de los Vientos, es un gráfico que
contiene 32 direcciones notables.
Direcciones Principales: Norte (N), Sur (S),
Este (E) y Oeste (O).
Direcciones
Secundarias:
Noreste(NE),
Noroeste (NO),Sureste (SE) y Suroeste
(SO).
4.1 Rumbo: Es la posición que tiene un punto con respecto
a la línea NORTE-SUR; tomando como referente el
ángulo agudo.
Ejemplo: El rumbo de Q respecto a P es de 35° al
Oeste del Norte (N35°O).
4.2 Dirección: Es la trayectoria que sigue un determinado
punto.
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
129
Pág.
44
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Ejemplo: La dirección de R respecto a P es de 30° al Este del Norte ó 60° al Norte
del Este (N30°E ó E60°N).
Nota: El rumbo N35°O puede ser considerado dirección, pero la dirección E60°N
no puede ser considerado rumbo.
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
130
Pág.
45
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
En un partido de fulbito Elvis corre con la pelota de Oeste a Este. En un instante se
detiene y observa Carlos en la dirección E50°N y realiza un pase en esa dirección
de 8 2  3 m, A su vez Carlos ubica a Miguel en la dirección E40°S y realiza un
pase hacia él en esa misma dirección ¿A qué distancia se encuentra Elvis de Carlos,
si Miguel observa a Elvis en la dirección N65°O?
A) 16m
B) 18 m
C) 16 2  3 m
D) 8 2  3 m
Solución:
N
Carlos
O
N
40°
k
50° E
3k
Elvis
+
2k
S
O
E
N
25°
65°
S
O
Miguel
E
S
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
131
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
De la figura se concluye que se forma un triángulo rectángulo de 15°y 75°.
La distancia de Elvis a Carlos es d  2k 2  3 m
Como k  8 2  3 m reemplazamos en la distancia anterior:
 d  2  8 2  3  2  3  16 m
Rpta.: A
2.
Un poste de teléfono de 30 m de longitud está inclinado 15° con respecto a la
vertical. Si el poste estuviera de forma vertical (sin inclinación) ¿en cuánto
aumentaría la altura de la parte superior de dicho poste ?
A) 15(4  6  2) m
B) 7.5(4  6  2) m
C) 15( 6  2) m
D) 7.5( 6  2) m
Solución:
x : aumento de h
En ABC
h
sen75 

30
 h  30sen75
como la altura vertical
es x  h, entonces
30sen75  x  30
 x  30  30sen75  1.02222521
 6 2
 x  30  30 


4


x  7.5(4  6  2) m  1.02222521
Rpta.: B
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
132
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2020-I
El Sr. Ruiz posee un terreno que tiene forma de triángulo rectángulo. Si el área de
dicho terreno dado por la expresión
5  6 2 sen  90   
5
ha , donde  es el mayor
ángulo agudo del triángulo que representa el terreno, determine la máxima cantidad
entera de hectáreas que podría vender el Sr. Ruiz.
A) 2 ha
B) 1 ha
C) 3 ha
D) 4 ha
Solución:
Del enunciado:
Área 
5  6 2 cos 
ha
5
Del dato:
45    90
0  cos  
2
2
 1 ha  Área 
11
ha
5
 Máxima cantidad entera de hectáreas  2 ha
Rpta.: A
4.
La figura muestra el plano de los corredores de un mercado, siendo sen  cos  .
Calcular   6 , si  es un ángulo ideal para colocar las cámaras de seguridad.
ABCD es un cuadrado, además tan2   5 3  5  tan  .
A) 73°
B) 82°
C) 81°
D) 77°
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
133
tan   5 3  5  tan 
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
sen  cos      90
m  HCA  30  HC  3,EC  2
Luego BH  2  3 .
tan   2  3
Entonces
Si tan2   5 3  5  tan 
Tenemos que tan   2  3
  75
Luego:   6  81
Rpta.: C
5.
Thiago parte de su casa caminando en la dirección N15°E, luego cambia de
dirección al S75°E, llegando de este modo a su Escuela que se sitúa al Este de su
casa. Si el recorrido total de Thiago es de 200 6 m ¿Qué distancia hay entre la
casa de Thiago y su Escuela?
A) 500 m
Semana Nº 4
B) 800 m
C) 600 m
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 400 m
Pág.
57
134
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
De la figura, el recorrido total de Thiago es: 2 6k  200 6  k  100 .
La distancia entre la casa de Thiago y la escuela es de 400 m.
Rpta.: D
6.
Luis desea construir un cartel de forma triangular, donde dos de sus lados midan
60 cm. Si uno de sus ángulos iguales es 30°, determine el área de dicho cartel.
A) 900 3 cm2
B) 400 3 cm2
C) 500 3 cm2
D) 600 3 cm2
Solución:
El Cartel sería de esta forma:
Luego el área del cartel sería de 900 3 cm2 .
Rpta.: A
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
135
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
7.
En la figura se representa la fachada de una casa, determine el área del muro
 4 
representado por la región rectangular ABCD, si uno de sus lados mide tan 
m
 3 
A) 2 6 m2
B) 2 3 m2
C) 2 5 m2
D)
6 m2
Solución:
tan75  tan60  2
tan15  tan60  2
Entonces   45
 4 
tan 
  tan60  3
 3 
Rpta.: A
8.
La siguiente figura representa una plaza cuadrangular ABCD, dentro de ella hay una
zona verde representada por la semicircunferencia AFD, Tres amigos Eduardo,
Daniel y Amelia ubicados en los puntos E, D y A, se dirigen a su encuentro en el
punto F si BE  1hm , y EC  ( 3  1) hm . Determine la mínima longitud que debe
recorrer Amelia para llegar al punto de encuentro.
A)
3
2
B)
C)
5
3
D)
Semana Nº 4
2
2
6
4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
136
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
De la figura como el triángulo AGF es equilátero
entonces: AG 
3
.
2
Rpta.: A
9.
Thiago observa la parte más alta de un árbol con un ángulo de elevación de 75°,
luego observa la base de este con un ángulo de depresión de 15°. Si Thiago
comienza a caminar en línea recta hacia el árbol que mide 20 m de alto con una
velocidad de 2..5 m / s ¿En cuánto tiempo Thiago llega hasta el árbol?
A) 2 s
B) 1,5 s
C) 2,5 s
D) 1 s
Solución:
La altura del árbol es:
h= atan75  atan15  4a  20  a  5
Como la
y la velocidad de Thiago es de
2.5 m/s entonces se demorará 2 segundos en
llegar al árbol.
Rpta.: A
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
137
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
10. Un ingeniero diseña una rampa como se
representa en la figura, que se construirá
con planchas de metal, la pendiente de la
rampa está determinada por el ángulo  ,
cuya medida es 60°.
Si el largo de la base de la rampa mide
2.8 metros y el ancho es 2 m ¿cuántos
metros cuadrados de la plancha inclinada
de metal se necesita para construir la
rampa?
A) 8m2
B) 6m2
C) 5m2
D) 12m2
Solución:
De la figura mostrada tenemos que el área de la
plancha inclinada es de 8 m2.
Rpta.: A
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura BC representa un poste inclinado de 8 m, que está a punto de caerse.
Desde el punto A Luka observa la parte más alta del poste con un ángulo de
elevación de 45° ¿A qué distancia de Luka cae la parte superior del poste?
A) 4( 3  1) m
Semana Nº 4
B) 2(2 3  1) m
C) 2( 3  1)m
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 3( 3  1)m
Pág.
57
138
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Si el poste teniendo como punto fijo al vértice C,
en la figura, como 8 metros son ocupados por el
poste desde C sobre AC, el resto es la distancia
que que habría entre Luka y la parte superior del
poste.


Como la distancia entre los puntos A y C, es 4 3  4 m


Entonces la distancia entre Luka y la parte superior del poste es 4 3  4 m .
Rpta.: A
2.
En la figura se representa a un ingeniero observando la parte más alta del edificio
con un ángulo de elevación 2 , luego observa un punto del segundo piso del edificio,
donde se colocará una cámara de vigilancia con un ángulo de elevación
edificio mide 21 m, ¿a qué altura
cámara?
respecto
al
suelo
se
. Si el
encuentra
la
A) (5 5  4) m
B) 5( 5  1) m
C) (5 5  3) m
D) 3( 5  2) m
Solución:
En la figura llega a visualizar un triángulo rectángulo
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
139
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Notamos que el triángulo ABD es
semejante al triángulo de abajo, luego:
tan  
AB
2
20

 AB 
5
10 1  5
5 1


5 1 m


Entonces la cámara se encuentra a una altura de 5 5  4 m .
Rpta.: A
3.
Un excursionista, que se encuentra alojado en el hotel donde su ubicación está
representado por el punto A, desea dirigirse a un pueblo llamado Ingenio donde su
ubicación está representado por el punto C, Se sabe que el hotel está a 3 kilómetros
hacia el Oeste de otro pueblo ubicado en el punto B, éste último se encuentra al Sur
de Ingenio, que está a 6 kilómetros del hotel, ¿Cuál es la distancia entre los pueblos
y en qué dirección se encuentra el hotel respecto al el excursionista cuando llegue a
Ingenio?
A) 2 3 km , N30°E
B) 3 3 km , O60°S
C)
D) 5 3 km , S30°O
3 km ,N30°O
Solución:
Deacuerdo a los datos obtenidos,
obtenemos un triángulo rectángulo de 30° y
60°, donde la distancia entre los pueblos es
de 3 3 km y la dirección del Hotel respecto
al excursionista cuando llegue a Ingenio es
O60°S.
Rpta.: B
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
140
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
4.
La figura muestra la sección transversal de un conductor trifásico. Calcule cot  ;
siendo O1 y O2 centros; P y Q son puntos de tangencia.
A)
3 /3
B)
3
C)
3 1
D)
3 1
Solución:
Uniendo los centros O1 y O2, tenemos un triángulo
notable de 30° y 60°, luego PO2= 3r ,
luego cot   3  1
Rpta.: C
5.
Las entradas para una función cinematográfica se imprimen en forma rectangular, tal
como se aprecia en la figura, costando cada una de ellas 25tg      15 soles.
Si al cine San Marcos asistieron 50 personas y todos los angulos considerados son
agudos, ¿cuánto dinero se recaudo?
A) 2500 soles
B) 3000 soles

2  35
ctg 
 3  u
 36

Cine San Marcos
Función estelar
C) 1250 soles
D) 1020 soles

csc   

Semana Nº 4
5  2 
17 
tg  3 
cos 15  u
12 
36 

(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
141
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
1) Desde que el boleto es rectangular se tiene que
5  2 
17 
 35


ctg2 
 3   csc   
tg  3 

 cos  15 
36
12
36






17  
 35
 
Como 
 3    3 

36  2
 36
 

17 
 35


ctg2 
 3   tg2  3 
36 
 36


5 
5 


 csc   
cos  15   1  sen   
 cos   15 

12 
12 


Como los ángulos son agudos:  
5
   15  90
12

    30
2) Costo de la entrada: 25tg      15  25tg45  25
 Recaudación  25  50  1250 soles.
Rpta.: C
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
142
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Un pájaro que está posado en el suelo se encuentra al Sur de un árbol de altura
2 6 m y al SE de otro árbol de altura 9 m que se encuentra al Oeste del anterior. Si
la trayectoria lineal de vuelo del pájaro hacia la cima de la copa del árbol pequeño
con su vertical forman un ángulo de 60 , calcule la longitud de la menor trayectoria
en vuelo que debe realizar el pájaro para ubicarse en la copa del árbol más alto.
A) 15 m
B) 12 m
C) 16 m
D) 18 m
Solución:
Del gráfico:
PC  6 2 m ;
AP  12 m
Debemos hallar BP
6 2m
 BP  15 m
Rpta.: A
2.
El costo por pintar un metro cuadrado de una plancha de forma triangular, como en
la figura, es  25 tan2   8  soles. Halle el costo por pintar la plancha mencionada.
A
A) 110 soles
B) 120 soles
C) 135 soles

6m
135°
D) 144 soles
B
4 2m
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
C
Pág.
57
143
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
A
De la figura: tan  
4
2

10 5

Luego:
S
6
135°
  2 2

E   25 tan   8    25    8   12 soles por m2
 5



4 2
45°
2
B
4
Sea S el área de la plancha
S
6  4
2
C
4
 S  12 m2
Finalmente, el costo por pintar la plancha es 144 soles.
Rpta.: D
3.
Un turista se dirige hacia un mirador y observa su parte más alta con un ángulo de
elevación de 30°. Si al avanzar 10 metros en la misma dirección el ángulo de
elevación se duplica, halle la altura del mirador.
A) 5 3 m
B) 10 3 m
C) 15 m
D) 3 5 m
C
Solución:
Aplicando las R.T. de 30° y 60°, tenemos
AB=3h
10+h=3h
h=5 m.
 BC=5 3 m
3h
60°
30°
10
A
h
D
B
Rpta.: A
4.
En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de los ángulos agudos es el triple de
la tangente de su complemento. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo.
A)
1
2
Semana Nº 4
B)
3
4
C)
2
5
(Prohibida su reproducción y venta)
D)
1
6
Pág.
58
144
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Si  y  son los ángulos agudos del triángulo rectángulo
    90o
Para ángulos complementarios: tan   cot 
En la información del problema: tan   3 tan 
3
tan   3cot  
 tan2   3  tan   3
tan 
Los ángulos agudos son:   60o y   30o
1
Para el ángulo mayor: cos(600 ) 
2
Rpta: A
5.
Un poste de luz de 15 m de longitud está inclinado 15° respecto a la horizontal
alcanzando su extremo superior una determinada altura. ¿Cuánto aumentaría dicha
altura si el poste estuviera inclinado 75°?
A)
15
2m
2
B) 7 2 m
C) 12 2 m
D) 8 2 m
Solución:
El gráfico adjunto ilustra las posiciones del poste
Altura inicial
E
DC = 15sen15°
Altura final
EB = 15sen75°
15 m
Aumento de altura:
D
H
EH = 15sen75° – 15sen15°
15 m
75°
15°
A
= 15(sen75° – sen15°)
B
C
 6 2
6  2 



4
4


= 15 
=
15
2m
2
Rpta.: A
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
59
145
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2019-II
Por la intensa lluvia el Ingeniero Don Hugo desea construir una canaleta (figura
adjunta) para colocarla en la azotea de su casa. Si la canaleta debe tener una
15 3R
m3 de agua y MN  NP  PQ  R m ,
2
determine la medida del ángulo  , que debería usar Don Hugo.
capacidad máxima para almacenar
A) 30
B) 15
C) 45
D) 60
Solución:
 2R  2R cos   3
Volumen  
 2 (10)
2


15
3
3R  R(1  cos )
(10)
2
2
3
 1  cos 
2
1
cos  
2
  60
Rpta.: D
7.
Un barco navega a 16 2 millas/hora. En ese instante se observan directamente
hacia el oeste los restos de un naufragio y hacia el este una torre de observación. El
barco navega en la dirección NO. Después de una hora el barco se encuentra al
norte del naufragio y a O30°N con respecto a la torre de observación. Halle la
distancia del barco y la torre de observación en el instante inicial.
A) 16


3  1 millas
C) 32 3 millas
Semana Nº 4
B) 16 3 millas
D) 32


3  1 millas
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
60
146
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
A: El naufragio y B: La torre de observación
En la figura tenemos que
D
30°
CD  16 2 millas
AC  16 millas
45°
AB  16 3 millas
Luego
h  AB  AC
 h  16


A
C
h
B
3  1 millas
Por tanto, la distancia es 16


3  1 millas
Rpta.: A
8.
En la figura se representan las medidas de dos ángulos de elevación, dirigidas a la
parte más alta de una montaña. Si los puntos donde se realizaron las medidas, se
encuentran distanciados medio kilómetro, calcule la altura de la montaña.
A)
 tan75  1 km
B)
C)
 tan60  1 km
D)
4
Semana Nº 4
4

2  tan 45
4

5  tan 45
4
(Prohibida su reproducción y venta)
 km
 km
Pág.
61
147
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
tan60 
1
2  3  1 1  1  2
h
2h
h
h


3 1  h 
2

1

3 1
h
3 1
4
Rpta.: C
9.
En la figura se representa un rectángulo de ancho a  1 cm y largo b  5 cm . Si se
circunscribe un rectángulo de área 18 cm2 alrededor del primero, determine el valor
de sen cos  .
A)
2
2
B) 1
C)
1
2
D)
3
3
Solución:
Área  18  b2sen cos   a2sen cos   ab
18  25sen cos   sen cos   5
13  26sen cos 
1
 sen cos 
2
Rpta.: C
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
62
148
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
10.
Ciclo 2019-II
En una caja rectangular, se traza la diagonal de una de sus caras y se une mediante
una cuerda una de sus diagonales formando un ángulo  , como se representan en
la figura. Si la altura de la caja es 6 2 tan(  30) u , determine el volumen de la
caja.
A) 342 6 u3
B) 628 3 u3
C) 648 6 u3
D) 348 3 u3
Solución:
  30  6 2 tan    30   6 6
,
luego por el teorema de Pitágoras la
base de la caja tiene forma cuadrada
cuyo lado mide 6 3 u.
Luego el volumen de la caja es:
V  6 6.6 3.6 3  648 6
Rpta.: C
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
63
149
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura se representan, el plano de un terreno triangular, que necesita ser
dividido por una cerca representada por CH . Calcule la longitud de la cerca.
A) 2 6 km
B) 2 3 km
C)
D) 2 7 km
6 km
Solución:
p  (6  7  5) / 2  9 , luego el área del
triángulo se puede expresar como:
S  9(9  6)(9  7)(9  5)  6 6
Pero también,
S
2.
5.6.sen
 6 6  5sen  2 6
2
Rpta.: A
3
Dos pueblos A y B, se encuentra distanciados de
3  2  3 km . Si de ellos se
2
observa la parte más alta de la montaña como indica la figura, determine la altura de
la montaña.

A) 1300 m
Semana Nº 4
B) 1200 m
C) 1500 m
(Prohibida su reproducción y venta)

D) 1600 m
Pág.
64
150
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
hcot15  htan75  h(2  3)
hcot(45 / 2)  h(1 2)
Luego del dato del enunciado, y de la figura:
d

3
3 2  3
2

y d  h(2  3  1  2)  h(3  3  2)  h 
3
2
Rpta.: C
3.
Si r es la razón en la que se encuentran las longitudes de los segmentos AB y DE,
calcule 2  3 r .


A) 4/3
B) 5/3
C) 2/5
D) 5/7
Solución:
De
la
figura,
DE  3 6.sen15 .
Luego:
AB  4 6.sen75
y
AB 4 6.sen75 4
4

 tg75  (2  3)
DE 3 6 cos75 3
3
4
4
(2  3)(2  3) 
3
3
Rpta.: A
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
65
151
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-II
En la figura se representa parte del mapa de un
excursionista, que se encuentra en el punto A. Él
desea dirigirse al punto C. Se sabe que el punto A
está a 1.25 kilómetros hacia el oeste del punto B.
Éste último se encuentra a 5 3 / 4 kilómetros del
punto C. Además el punto C está a 2.5 kilómetros del
punto A. ¿Cuál es el rumbo que debe tomar el
excursionista cuando esté de regreso ?
A) N30°E
C) N30°O
B) O60°S
D) S30°O
Solución:
De la figura triangular se observa que los
lados corresponden al de un triángulo
rectángulo de 30° y 60°. Esto quiere decir
que C está al norte de B.
Luego el rumbo que debe tomar para el
regreso el excursionista es S30°O para ir
del punto C al punto A.
Rpta.: D
5.
Dado un triángulo rectángulo ABC, recto en A, determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones en el orden indicado.
i. Si la razón entre los catetos opuesto a B y el adyacente a C es igual 1, entonces
el ángulo B mide 45°.
ii. Si la hipotenusa es al cateto adyacente B como 2 es a 1, entonces el ángulo B
mide 60°.
iii. Si tanB 
A) FVF
Semana Nº 4
3 1
3 1
entonces sen2B 
B) FVV
1
.
2
C) FFF
(Prohibida su reproducción y venta)
D) VFV
Pág.
66
152
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
i.
Falso, pues el cateto opuesto a B es también el cateto adyacente a C, por lo
tanto la razón siempre es 1, luego el ángulo B puede ser diferente a 45°.
a 2
ii. Verdadero, pues   csc C  2  C  30  B  60 .
c 1
3 1
6 2
1
iii. Verdadero, pues si tanB 

 B  15  sen2B  sen30  .
2
3 1
6 2
Rpta..: A
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
67
153
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 4
1.


Si tgα = 3 + tg75°  3 cos70°.csc20°  3cos75°.csc15° y
tgα=cscθ  α ,θ son agudos  , calcule cosθ .
1
2
A)
B)
3
2
C)
2
2
D) 1
E)
1
3
Solución:
.tgα = 5sen20°.csc20°  3cos75°.csc15°
 tgα = 5.1  3cos75°.sec75° = 5  3.1= 2
 tgα = 2
 .csc θ = 2  cosθ 
3
2
Rpta.: B
2.
De la figura mostrada, halle la longitud del segmento DB.
A)
3
u
2
C) 13 u
E)
B)
5
3 u
2
D) 2 13 u
3u
Solución:
BH : altura relativa a AC
3
5
 DH 
2
2
pitagoras
HC 
2
2
5 3 3 
x    
  13
 2   2 
H
Rpta.: C
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
45
154
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-I
Si α + 13° y β + 27° son ángulos agudos tal que tg(α+13°)∙tg(β+27°) = 1,
αβ

calcule cos (α+β+10°) + ctg2 
 5  .
 2
A) 3
B)
7
2
C)

3
2
D)
1
2
E)
5
2
Solución:
Como tg( + 13°). Tg( + 27°) = 1 ,entonces
Tg( + 13°) = ctg( + 27°)   + 13° +  + 27° = 90°   +  = 50°
1
7
αβ

 5   cos(60)  ctg2 (30)   3 
2
2
 2

Luego: cos( +  + 10°) + ctg2 
Rpta.: B
4.
De la figura mostrada, ABDC es un rectángulo; halle 13 AH .
A) 9 u
B) 4 u
C) 10 u
D) 8 u
E) 1 u
Solución:

En la pregunta
Semana Nº 4
1
1
1


h2 a 2 b 2
tg 
(Prohibida su reproducción y venta)
1
3

b 3b
Pág.
46
155
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
3  b  3b  b 



3
2
1
1
1
 2 
(AH)2
3
(3  b)2
1 4 13


9 81 81
13 AH  9
Rpta.: A
5.
Del gráfico, siendo AOB cuadrante, halle ctg  .
A)
3
2
Semana Nº 4
B) 2 3
C) 3
D)
3
3
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
2 3
3
Pág.
47
156
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
Del gráfico tenemos lo siguiente:
ctg 
3
2
Rpta.: A
6.
De acuerdo con la figura, calcular sen9C, si tg(100°–2C) – cscC =

5
C
.
36
18
A) 1
B)
C)
3
E)
2 3
3
D)
a
c
y
3
2
1
2
Solución:
3
ab 2 a
C
ctg
=
=
+ cscC
c
c
2
ctg
a
C
– cscC =
c
2
ctg
C
= ctg(2C – 10°)
2
20
C
= 2C – 10°  C =
3
2
 sen60° =
Rpta.: B
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
48
157
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
g
7.
Ciclo 2019-I
g
 200 
 100 
y 
Si   

 , halle 11 S, siendo S el área de la región triangular ABD.
 3 
 3 

B) 4  6 
C) 6  6 
D) 4  6 

2  cm
2  cm
3  cm
A) 8 6  3 cm2
2
2
2
E) 32 cm2
Solución:
Sea BD  x cm
Área(ABD)  Área(BCD)  Área(ABC)
g
g
 200 
 100 
 3   60   3   30, luego,




1
1
1
 4  x  sen60   x  2sen30   4  2
2
2
2
3
1
4x 
 2x   8  2x  3  x  8  x 2 3  1  8
2
2
8
 x
2 3 1

 Área(ABD) 
Área(ABD) 
8

8 3

1
3
4
2
2
2 3 1
2 3 1
2 3 1 2 3 1


8 6 3
11

  11S  8 6  3 cm


2
Rpta.: A


De la figura, halle sen  QBC  .Si AP = QC y O es el centro de la semicircunferencia.

8.

3
1

2
6
1
1

C)
3
6
A)
E)
B)
D)
2
6
2
3



1
3
1
6
3
6

2
3
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
49
158
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
AP = QC = a
TBO = 45°  BO =
BOT =
ASO y
OTC son congruentes


2r
SOA 
TOC  45
r a  2r  a 


2 1 r
Pitágoras: BQ2  BO2  OQ2  3r 2
 BQ  3 r
BC = 2r
Área QBC(trigonometría) = Área QBC(geometría) 
1
1
BQ(BC) sen(QBC)  QC(BO) 
2
2
2 3 r 2 sen(QBC) 
9.


23 1 r
2



3 r (2r)sen(QBC)  a 2 r
2 r  sen(QBC) 
2 1
6

1
3

1
6
Rpta.: C
En la figura, se muestra la casa del señor Carlos. Si se realizó la medida de la
escalera y se obtuvo que 2(a  b)  3PQ , siendo
el ángulo de inclinación de la
escalera ¿cuánto es el valor de sen  cos  ?
A)
5
8
B)
C)
1
2
D)
E)
4
7
1
2
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
50
159
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
Tenemos:
PQ2  a2  b2
además
3
a
b
3
9

  (a  b)2  PQ2
PQ PQ 2
4
9
PQ2  2ab 2 3PQ2
4
ab
5
5
2ab  PQ2  sen  cos  

2
4
8
PQ
Rpta.: A
10. Sean  y  dos ángulos agudos. Si la ecuación x2 senα  2xsenα  cosβ=0 tiene
 
solución única, halle tg 
  sec      30  .
 6 
B)  3
A)
C)
D) 2
E) 1
Solución:
sen · x2 + 2x · sen + cos = 0
sen · x2 + 2sen · x + cos = 0
 2sen  4sen2   4sen cos 
x=
2sen
 4sen2 = 4sencos  sen = cos
  +  = 90°

  sec      30   tg 15   sec  60    3
 6 
tg 
Rpta.: B
EVALUACIÓN Nº 4
1.
Si tgx + 2 tg(x + 45°)·tg(45° – x) – 6cos60°ctgx = 0,
2 (sen(90°–x ) + secx).
A) 2
Semana Nº 4
B) 4
C) 6
D) 3
(Prohibida su reproducción y venta)
x
agudo; calcule
E) 10
Pág.
51
160
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
tgx + 2– 6
1
ctgx = 0
2
1
+ 2 – 3ctgx = 0 entonces 1 + 2ctgx – 3ctg2x = 0
ctgx
3ctg2x – 2ctgx – 1 = 0
ctgx = 1  x = 45°
por lo tanto 2 2 (cos45° + sec45°)
 1

 2  = 3
2 
 2

Rpta.: D
2.
Con los datos de la figura, hallar sen (90° – ) .
A) 17
16
B
C) 14
B) 13
15
16
6cm
4cm
D) 13
15
E) 11
A 
16
C
8c
m
Solución:
t2 = 16 – x2
t2 = 36 – (8 – x)2 >
16 – x2 = 36 – (8–x)2
44 = 16x
44
x
16
11
=x
4
11
11
Sen (90° – ) = 4 
4
16
B
4 90°-
6
t
A 
x
C
8
-x
Rpta: E
3.
Si
x = 2° + 2,
y = 4 – 2° son ángulos agudos tal que secx.seny=1, halle
sec2β  tg(2α  β)
.
tg(2α  β) 
csc4α  ctg(2α  β)
A) 1
Semana Nº 4
B) 2
C)
1
4
D) 4
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
3
2
Pág.
52
161
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
secx = cscy  x + y = 90°
2° + 2 + 4 – 2° = 90°
2 + 4 = 90°
 + 2 = 45°
1
csc 4  1
sec2β  tg45°
=
+1=2
csc4α  ctg45°
csc 4  1
Rpta.: A
4.
Si sec33°tg – csc57° = 2sec33°sen( – 8°)sec(98° – ) – csc57°tg,  y ( – 8)° son

ángulos agudos; calcule 3 +( 13 – 2)ctg + sec2.
4
2
A) 7
B)
23
4
C)
27
4
D)
25
4
E) 6
Solución:
sec33°tg – sec33° = 2sec33°sen( – 8°)csc( – 8°) – sec33°tg
tg – 1 = 2 – tg
2tg = 3  tg =
3
2
 13+2  3
 13 

( 13 – 2) 
  + 

2
 3  4


2
=7
Rpta.: A
5.
En la figura, ABCD es un rectángulo, M es punto medio de CD y AC = 2CD.
Calcule 7tg.
1
2
A)
3
3
B)
C)
3
2
D) 3
E)
3
7
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
53
162
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
S: área del triángulo ACM
AM  13a
2S = 2a 3 a = 13 a 4 asen 
sen  =
tg =
3
2 13
3
7
 7tg =
3
Rpta.: D
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
54
163
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
En la figura mostrada, MN y PQ
representan dos postes de 8 m cada uno,
separados por una distancia de 4 m. Se colocan dos cuerdas MQ y MR, como se
indican en la figura. Si PR  3RQ , halle
65 cos .sen80.sec10 .
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Solución:
a  3a  8  a  2
Calculo del área de un triángulo MRQ
4 5.2 13.sen 2  4 
1
S

 sen 
2
2
65
Luego:
E  65 cos.sen80.sec 20
E8
Rpta.: B
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
164
Pág.
57
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2018-II
Una escalera de 4 3 metros de largo se apoya en una pared inclinada de 60°
respecto a la horizontal. Si la base de la escalera está siendo movida
horizontalmente a velocidad constante, ¿a qué altura se encuentra la parte superior
de la escalera cuando la base está a 4 metros de la pared?
A) 2 3 m
B) 4 3 m
C) 2m
D) 4m
E) 6m
Solución:

T.P. : (a  4)2  (a 3)2  4 3

2
a 2
luego h  2 3 metros
3.
Rpta.: A
Desde la azotea del edificio se tiende y templa dos cuerdas; una de forma horizontal
la cual ha sido sujetada en la baranda de un balcón de 1 m de altura del décimo piso
de otro edificio cercano, la otra cuerda de 160 m se sujeta a la azotea del mismo
edificio. Si se sabe que el ángulo entre las cuerdas es de 30° y la altura de cada piso
del edificio más alto es de 3 m, halle el número de pisos de este edificio.
A) 40
B) 52
C) 36
D) 48
E) 60
Solución:
81
 27  27 pisos
3
27 +9 = 36, entonces el edificio tiene 36 pisos.
Rpta.: C
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
165
Pág.
58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2018-II
Un padre deja un terreno que debe ser distribuido entre sus tres hijos como se
muestra en la figura, indique la inversión que debe hacer Pedro y Luis para construir
un muro que divide sus terrenos si el costo de un metro lineal de dicho muro cuesta
2 3 8
en miles de soles.
3
A) 56 000 soles
B) 29 000 soles
C) 64 000 soles
D) 45 000 soles
E) 82 000 soles
Solución:
Del gráfico se nota la siguiente relación entre las áreas
de los triángulos:
SABC  SABD  SDBC
12.48 12.x.sen60 x.48.sen30


2
2
2
12.24  6x.
96
34
3
1
 24.x.
2
2
x
 96   2 3  8 
Nos piden, costo total: C.T.  
  64 miles de soles.
.
3
 3  4  

Rpta.: C
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
166
Pág.
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2018-II
Un avión se encuentra a una altura de 1500 m, sufre un desperfecto y comienza a
descender tal y como se muestra en la figura. Luego, el piloto arregla el desperfecto
a una altura de 700 m y comienza a elevarse hasta alcanzar su altura inicial. Si
debido al desperfecto el avión se retrasó 8 segundos, calcule la velocidad del avión.
A) 100 m
s
B) 200 m
s
C) 150 2 m
s
D) 100

6 2 3 m
E) 100

6  2 2 3 m

s

s
Solución:
Sabemos que t 
1600  800
v
 v  100


e
,
v
6 2
  800


3  800 2  3
v
 8
6  2 2 3 m/s
Rpta.: E
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
167
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2018-II
Se hace un pedido de un par de aretes de forma triangular como se muestra en la
figura. Para cumplir con la entrega del pedido, se tiene que bañar de plata la región
sombreada. Si se sabe que cada milímetro cuadrado de plata cuesta 5 soles, ¿cuál
es el precio que se tiene que pagar para cumplir con la entrega de dicho pedido?
A) 155 soles
B) 150 soles
C) 75,5 soles
D) 75 soles
E) 105 soles
Solución:
g
 100 
 3   30


S  SABC  SMBN
1
1
S  .8.10.sen30  .3.6.sen30
2
2
31
S
2
Luego como son un par: seria 31 mm2, el precio del par sería: 5(31)=155 soles.
Rpta.: A
7.
Dos camionetas parten de un mismo lugar en direcciones N40°E y E10°S, con
velocidades de 60 km/h y 120 km/h respectivamente. Calcule la distancia que los
separa luego de dos horas.
A) 120 3 km
B) 240 km
C) 120 km
D) 150 3 km
E) 180 3 km
Solución:

d2  60 3

2
 1802  d  120 3
Rpta.: A
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
168
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2018-II
En la figura mostrada, se tiene un rectángulo ABCD. Si BN=NM, calcule el valor
de
sen  sen
.
cos   cos 
A) 2 3
B) 2  3
C) 2  3
D) 6  2
E) 8  2 3
Solución:
sen  sen
 tg15  2  3
cos   cos 
Rpta.: C
9.
En la figura, se tiene un cuadrado ABCD. Si el ángulo
que sen75.sec 75.sen  2sen30 cos  , calcule el área del cuadrado.

cumple


B)  2  3  u
C)  7  3  u
D) 12  3 3  u
E) 16  5 3  u
A) 6  3 3 u2
2
2
2
2
Solución:
sen75.sec 75.sen  2sen30 cos 
tg75  ctg    15
Luego en la figura se tiene, que la diagonal del
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
169
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
cuadrado es: 3  3 u, luego el área del cuadrado es:
3  3 
S
2

2
12  6 3
 63 3
2
Rpta.: A
10. En la figura se tiene el plano de un terreno circular de radio 10 2 m , donde la región
sombreada corresponde a una zona destinada para juegos de mesa. Si el ángulo  ,
es la mitad del ángulo que hay entre la diagonal del rectángulo y uno de sus lados,
calcule el área de dicha zona.
A) 100

2  1 u2
B) 200

2  1 u2

2  1 u2

2  1 u2
C) 200
D) 20
E) 100






2  1 u2
Solución:
De la figura tenemos: 2  45   
45
,
2
Luego el área de la región sombreada es:
20.20tg
S
 200tg  200 2  1 u2
2


Rpta.: C
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
170
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En un triángulo isósceles, donde  es la medida de los ángulos interiores iguales y
los lados iguales miden 2 cm. Si se cumple que sec   4cos45.sen60  2sen45 ,
determine el área de dicho triángulo.
A) 2 cm2
B) 3 cm2
C) 1 cm2
D) 5 cm2
E) 6 cm2
Solución:
Del enunciado tenemos
sec   4cos 45.sen60  2sen45
sec   6  2    75
Luego el área del triángulo
S
2.2sen30
 1 cm2
2
Rpta.: C
2.
Sea   2  3  90 , donde , y  son agudos. Determine la medida del ángulo
agudo x, si se cumple que:
 2tg         2sen  2  3  
   3

    ctgx .

  3tg 
ctg    2   cos 
 2



A)

rad
12
Solución:
B)

rad
6
C)
5
rad
12
D)

rad
3
E)

rad
4
 2tg         2sen  2  3  
   3

    ctgx

  3tg 
ctg    2   cos 
 2



como :  2  3  90 entonces :
tg         ctg    2 
sen  2  3   cos 
 2tg         2sen  2  3  

  2
ctg
2
cos









   3

   2  3 
tg 
    tg 
  tg45  1
2
 2



2  3  ctgx  x  15
Rpta.: A
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
171
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
m  n  30º ,
Si
m  2n
Ciclo 2018-II
2m  n
y
son
ángulos
agudos,
calcule
mn
sen m  2n  .ctg  2m  n  .ctg 

 2 .
cos  2m  n  .tg m  4n 
A) 2  3
B) 1
C)
1
2
D)
3
E)
3
3
Solución:
Como m  n  30º  3m  3n  90º
 m  2n   2m  n  90º   2m  n  m  4n  90º
mn
sen  m  2n  .ctg  2m  n  .ctg 

 2 
cos  2m  n  .tg  m  4n 
 30º 
sen  90º   2m  n   .ctg  90º  m  4n   .ctg 

 2 
cos  2m  n  .tg  m  4n 
cos  2m  n  .tg m  4n  .ctg 15º 
cos  2m  n  .tg  m  4n 
 ctg15º  2  3 .
Rpta.: A
4.
Los ángulos  2  40º  ,
   20º  ,  3  30º  y    30º  son agudos y satisfacen las
siguientes condiciones:
I.
sen  2  40º  .csc    20º   1
II.
cos  3  30º  .csc    30º   1.
En base a la información dada, calcule sen  2  4 .
A)
1
2
B)
1
2
C)
6 2
4
D)
3
2
E)
6 2
4
Solución:
i) sen  2  40º  .csc    20º   1  sen  2  40º   sen    20º 
 2  40º    20º    60º
ii) cos  3  30º   sen    30º   3  30º   30º  90º
 4  90º  2  45º
 sen  2  4   sen 120º 90º  
1
2
Rpta.: B
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
172
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Si el área de la región triangular ABC de la figura es
Ciclo 2018-II
30 u2 , calcule
1 
A

ctg  ctg  90º C   .

c.b 
2

A)
2
15
7
30
2
C)
15
1
D)
60
1
E)
30
B)
Solución:
ac
 30  ac  60
2
1 
A
1 b  c c  1 b
1

ctg  ctg  90º C   
 a  a   bc a  a.c
c.b 
2
b.c



1 
A
 1
ctg  ctg  90º C  

c.b 
2
 60
Rpta.: D
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
173
Pág.
66
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
05
semana
174
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
EN POSICIÓN NORMAL
1.1. ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Es el ángulo que tiene su vértice en el origen de un sistema coordenado
rectangular, su lado inicial en el semieje positivo OX.
1.2. ÁNGULOS COTERMINALES
Son ángulos en posición normal cuyos lados finales coinciden.
Sean  y  dos ángulos coterminales, entonces
   = 360° n = 2 n rad, n  Z
RT () = RT ()
Donde RT: Razón trigonométrica
1.3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
Y
x = abscisa
P(x,y)
y = ordenada
r=
x 2  y2 ;
Semana Nº 5
y
r
x

0
X
r >0
(Prohibida su reproducción y venta)
17542
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
sen  =
y
ordenada
=
r
radio vector
ctg  =
cos  =
x
abcisa
=
r
radio vector
sec  =
tg  =
ordenada
y
=
x
abcisa
csc  =
abcisa
x
=
ordenada
y
radio vector
abcisa
radio vector
ordenada
=
r
x
=
r
y
1.4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS
sen (   )  
y
r
  sen 
ctg (   )  
x
  ctg 
y
r
 sec 
x
cos (   ) 
x
 cos 
r
sec (   ) 
tg (   )  
y
csc (   )  
x
  tg 
r
  csc 
y
1.5. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUADRANTES
IC
II C
III C
IV C
Semana Nº 5
sen 
+
+
–
–
cos 
+
–
–
+
tg 
+
–
+
–
ctg 
+
–
+
–
(Prohibida su reproducción y venta)
sec 
+
–
–
+
csc 
+
+
–
–
17643
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Si tan    cot  y 2cos 3   4cos 2   cos   2  0 , donde   0,
7
, calcule el
4
valor de 3sec()  2sen .
B)  2 3
A)  2 2
C)
D)  2 5
2
Solución:
Siendo tan    cot   cot   0    IIC    IVC .
Tenemos:
1
1
  cot  
  cot   cot   1  cot   1
cot 
 cot 
Como

2cos 3   4cos 2   cos   2  0
(2cos2   1)(cos   2)  0
1
 cos2  
 2cos2   1  cos 2  0
2
 3 5 7
 3 5 7
 2  , , ,
  , , ,

2 2 2 2
4 4 4 4
Luego,   IIC  P  1,1  r  2

sec       2  sen 

3
4
1
2
E  3 sec(   )  2sen
E2 2
Rpta.: A
2.
En la figura se muestra parte de una instalación de agua, donde en O hay una
válvula que suministra agua a los puntos A, B y C. Si los ángulos  y -  son los
adecuados para una buena presión, calcule el valor de 25cos(90  )sen(360  )
A) 17
B) 12
C) 15
D) 10
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
177
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Sea L el valor buscado, entonces
L  25 cos(90   )sen(360  )
 3  4 
L  25      
 5  5 
L  12.
Rpta.: B
3.
En la figura se representa el croquis de un terreno en forma de cuadrado destinado
para la construcción de un hospital respecto a dos avenidas perpendiculares. Si se
considera como el origen de coordenadas la intersección de dichas avenidas,
calcule el valor de cot   tan .
A) 1
B) 2
C) – 1
D) – 2
Solución:
Del gráfico:
tan  
n m
n  m
 cot  
m
m
Sea E el valor buscado, entonces
n m n  m

m
m
E2
E
Rpta. D
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
178
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2020-I
En la figura adjunta, se muestra la posición de un submarino que se encuentra en
una misión científica recolectando información de distintas especies de animales y
13
vegetales. Si tg  ctg   , donde tg   1, determine a cuantos kilómetros de
6
profundidad se encuentra el submarino respecto al nivel del mar.

A) 5 km
3 km
a km
B) 2 km
C) 3 km
D) 1,5 km
Solución:
Como tg  ctg  

tg 
y
13
6
1
13

tg
6


6tg2   13tg  6  0
3
2
 tg    tg  
2
3
2
 tg  
3
a
De la figura: tg  
3
2
a
  
 a2
3
3
x
P(3, a)
Por lo tanto, la nave se encuentra a 2km de profundidad.
Rpta.: B
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
179
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2020-I
Juan se comunica con su amigo Marco a través del aplicativo whatsapp y le envía su
ubicación para acordar el lugar donde irán a almorzar juntos. Marco al ver la
ubicación de su amigo edita la imagen trazando su ruta y la que debe seguir Juan
(figura adjunta) y se lo envía para que se encuentren en el restaurante “Que Rico”,
halle la pendiente de la recta que representa la trayectoria de Juan para llegar al
restaurante.
A) 
15
128
B) 
128
15
5
12
D) 
12
5
C) 
Solución:
Del gráfico:
pendiente  tan   
30
256
Rpta.: A
6.
Una rueda de 45 cm de radio se desplaza por una pendiente con ángulo de
inclinación 180   respecto a la horizontal, como se muestra en la figura adjunta.
Si en un determinado instante el centro de la rueda se ubica a 72 cm de altura y a 21
cm de distancia de la vertical que pasa por el punto final de la pendiente, calcule
tan .
A) 
3
4
B) 
7
6
C)
20
7
D) 
1
2
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
180
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Del enunciado:
 x  21
2
  y  72   45 2
2
x 2  y 2  42x  144 y  3600  0
Del gráfico:
x 2  y 2  3600
Reemplazando:
24y  7x  1200
Luego:
x   48; y  36
 tan   
3
4
Rpta.: A
7.
Un móvil A sigue la trayectoria descrita por y  2x , mientras el móvil B la trayectoria
descrita por y   x  6 , encontrándose en el punto Q como se muestra en la figura,
calcule el valor de 8 cot   5 sen  .
A) 6
B) 1
C) 5
D) 2
Solución:
y   x  6  2x
 x  2  y   4
Como:
entonces Q    2,  4   r  2 5
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
181
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
M  8cot   5 sen 
 2 
 1
M  8   5  

5
2

M2
Rpta.: D
8.
Sean  y  ángulos coterminales con  perteneciente al cuarto cuadrante. Si
1
sen 2 
y cot  33     cot  27 donde  es agudo, calcule el valor de
csc   6
2 sen tan 
.
cot 
A) 2
B) 6
C) 1
D) 4
Solución:
sen 2 
Como
1
csc   6
 csc 2   csc   6
  csc   3 csc   2  0
 csc    2
cot 33     cot  27    33  27
   60
Luego,   IVC  P

M


3 , 1  r  2
sen   
1
1
 tan   
2
3
2sen tan 
cot 
 1  1 
2    

3
 2 
M
1
3
M1
Rpta.: C
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
182
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2020-I
El alcance del rifle de un cazador ubicado en P está determinado por la superficie
del sector circular APB como se muestra en la figura. Si un venado ubicado en O se
percata de la presencia del cazador e intenta alejarse corriendo en dirección a M
(punto medio del arco AB) donde es alcanzado por un proyectil disparado por el
cazador, calcule el valor de cot15 tan  .
A)
3 1
B) 2
C)
D)
3
1
3
Solución:
Del gráfico:
  IIIC

 M  m,m  m 3

 tan   3  1
M  cot15 tan 
M


3 1

3 1
M2
Rpta.: B
10. El Sr. Vizcarra repartirá su terreno de forma triangular OAB (figura adjunta) entre sus
dos hijos. Si la superficie del terreno a repartir es 320 m 2 , calcule el valor de 3cot .
A) - 9
B) 8
C) 5
D) 2
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
183
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Como:
a  a  24  640  a  16
Luego:
cot 180    

cot  
a  24 5

24
3
5
3
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Si
1
2
sen    sen  y cos  , calcule el valor de
9
2
Solución:
Como:
A) 
B)
2
3
C)
1
3
sen    sen 

  III C

  IV C
1
2

  IC

  IV C
cos  

Luego,   IVC  P 1,  3

E  3  sen   tan  
sen   
3  sen   tan  .
D)  5
  r 2
3
 tan    3
2


3
E  3 
 3
 2



9
E
2
Rpta.: A
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
184
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2020-I
Un climatólogo registró la temperatura de un pueblo en las alturas del departamento
de Puno, el 1 de enero de 2020 y lo modeló por la expresión
 4sen
2

  4sen   5 C donde  es el arco en posición normal cuyo punto
extremo del arco está representado por la posición del sol de Oriente a Occidente,
determine la diferencia entre la máxima y mínima temperatura de ese día.
B) 8 C
A) 9 C
C) 10 C
D) 11 C
Solución:
Como:
0    180

 1  sen  1

0   2sen  1  9
2

 1  2sen  1  3

 6   2sen  1  6  3
2
T
Por lo tanto Tmáx  Tmín  9 C
3.
Con la información de la figura, calcule el valor de
24  cot   tan  
34 cos 
Rpta.: A
.
A) 6
B) 4
C) 5
D) 2
Solución:
De la figura:
5
5
cot(   ) 
 cot   
3
3
5
5
cos(   ) 
 cos   
34
34
5
5
tan(  ) 
 tan  
4
4
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
186
Pág.
57
185
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
M
Ciclo 2020-I
24  cot   tan  
34 cos 
 5 5
24    
 3 4
M
5 

34  

34 

M2
Rpta.: D
4.
Si α es un ángulo que pertenece al tercer cuadrante y además se cumple que
tan  20o  5cot  70o
, calcule el valor de 3sec  csc  .
tan    
 200 g 
2tan  

9 




A) 2,5

B) 1,5
C) 10
D) 13
Solución:
Como:
tan    



tan  20o  5cot  70o
 200 g 
2 tan  

9 

 tan 20o  5 tan 20o

tan    

tan     3



 2 tan 20
o




Luego,   IIIC  P   1,  3   r  10

M  3 sec  csc 
sec    10  csc   
10
3
 10 
M  3  10  
 3 


M  10


Rpta.: C
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
187
Pág.
57
186
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Con la información de la figura, calcule el valor de
A)
cos    90º   sen 
.
sen 
1
3
B) 
C)
Ciclo 2020-I
2
3
4
3
D) 
1
3
Solución:
Del gráfico:
2
3

13
13
3

13

M
M
1
3
Rpta.: D
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
57
187
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Partiendo del punto O, un móvil avanza a lo largo de la línea mostrada hacia el
punto P. Considerando los datos de la figura, determine el valor de
20( sen  tan  ) .
A) 20
B) 28
C) 25
D) 27
Solución:
(90º ) en posición normal
r  (3)2  42  5
cos(90º ) 
 sen 
c o t (90º ) 
 tan 
3
3
 sen 
5
5
3
3
 tan  
4
4
Luego:
3 3 27
 
5 4 20
20(sen  tan )  27
sen  tan  
Rpta.: D
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
188
Pág.
57
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2019-II
Con la información de la figura, calcule el valor de
10 cos   2cot   1 .
A)  4
B) 2
C) 8
D)  10
Solución:
 está en P.N.  x  3, y  1, r  10
Luego:
E  10 cos   2cot   1
E  10 cos     2cot     1
 3 
E  10 
  2( 3)  1
 10 
E2
Rpta.: B
3.
Si  y  son coterminales,  cos   cos  y 6csc 2   11csc   7  0 , calcule
el valor de
10  tan   sec( ) .
B) –4
A) 3
C) –2
D) 2
Solución:

Como │- cos│= cos
cos > 0    IC    IVC
Como 6csc2 + 11csc – 7 = 0
Y
 (2csc – 1)(3csc + 7) = 0
 csc =
1
7
 csc = –
2
3

Así csc < 0    IIIC    IVC
De lo anterior   IVC
7
(2 10, 3)
luego
Semana Nº 5
X
(Prohibida su reproducción y venta)
189
Pág.
58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
A= 10 { tan + sec(–) }
A = 10 { tan + sec }
 3
A = 10 
 2 10


3 7
  2
2 2
2 10 
7
Rpta.: D
4.
Un técnico diseña un esquema de instalación eléctrica para dos ambientes contiguos
de una casa, el medidor de energía está ubicado en el punto O y los toma corrientes
están en los puntos A y B tal como se representa en la figura. Si  es el adecuado
para prevenir posibles fugas de corriente, ¿cuál es el valor de
13 cos   2cot  ?
A)  3
B) 6
C) 0
D)  6
Solución
Del gráfico:
3

 13 cos   3
cos( ) 
13

c ot( )  3
 2cot  3

2
 13 cos   2cot  0.
Rpta.: C
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
190
Pág.
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-II
Cuatro ciudades A, B, C y D están ubicadas de forma colineal como se representa
en la figura. Si la ciudad B se encuentra a 3 km al Este y 4 km al Norte de una
persona, la ciudad C se encuentra a 7 km al Este y 1 km al Sur de la misma
persona, calcule el producto entre la tangente del ángulo en posición normal donde
la ubicación de A es un punto perteneciente a su lado terminal y la cotangente del
ángulo en posición normal donde la ubicación de D es un punto perteneciente a su
lado terminal.
A)
33
2
B)
17
6
C)
20
7
D)
O
1
2
Solución:
Del gráfico:
3
a7
2

4
b 1
2
a1  b9
7
c 3
2

1
d 4
2
c  11  d   6
Luego
tan    9 ; cot   
 tan  .cot  
11
6
33
2
Rpta.: A
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
191
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2019-II
Andrés viaja en un auto por un camino rectilíneo con una aceleración de
(5sent  3) km/h2 (donde t está en horas), el cual pasa por la ciudad A rumbo a la
ciudad C; en este trayecto, después de  horas se detiene en la ciudad B a causa
de un desperfecto. Si la distancia de la ciudad A hacia la ciudad B es cos  km ,
determine la distancia de la ciudad B a la ciudad C la cual está dada por
4  sec   tan  km .
A) 2 km
B) 4 km
C) 8 km
D) 1 km
Solución:
Tenemos que cos   0 por ser distancia
Además , como el auto de detiene entonces
Luego,  IVc


5sen  3  0
sen  
3
5
P(4, 3)  r  5
5

4
Ahora d(B,C)  4  sec   tan  km

sec  
tan   
3
4
5 3
d(B,C)  4    km
4 4
Por tanto, la distancia es d(B,C)  2 km
Rpta.: A
7.
Por la noche, Paulo decide ir a dormir y en ese instante en el reloj de Paulo la
manecilla del horario forma un ángulo en posición normal positivo menor a una
vuelta de medida  (en el sistema de referencia cuyo origen de coordenadas es el
centro del reloj) tal que
cos   sen .tan2 

y tan    2 

3 ; determine a
qué hora Paulo decidió ir a dormir.
A) 10 : 15 pm
Semana Nº 5
B) 8 : 30 pm
C) 11: 30 pm
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 9 : 15 pm
192
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
De cos   sen .tan2  tenemos sen  0

 IIC 

Como tan    2 
12
 IC
3
11
 entonces
15°
 IIC   IVC

Así  IIC , luego de tg    2 
30°
3


tenemos que   105
De la figura como el horario avanzo 15° entonces
El minutero avanza 180°, por tanto, son las 11:30pm.
Rpta.: C
8.
En la figura se representa el croquis de un jardín el cual tiene la forma de la región
sombreada.
Diego y José parten del punto O (Origen de coordenadas) y se
encontrarán en el punto A siguiendo rutas diferentes. Diego sigue la trayectoria
definida por
y  x 2 , mientras José sigue una trayectoria rectilínea definida por
y   4x encontrándose en el punto A. Si las unidades de medida en este sistema
están en metros y la distancia del punto O al punto A es d metros, calcule el valor de
tan      4cot      17 d .
A) 74
B) 65
C) 71
D) 62
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
193
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Como :

entonces
y   4x  x 2
x  4

y  16
A    4,16 

d  (  4)2  162
M  tan      4cot      d 17
M   4  1  4 17. 17
M   3  68
M  65
Rpta.: B
9.
En la figura, el rectángulo OABC representa la vista frontal de un conteiner
marítimo flotando cerca de un puerto en un determinado instante. Si OA  3 AB ,
10 tan  cos   cos  sen.
calcule el valor de
A)  2,7
B)  2,5
C) 3,3
D) 2,5
Solución:
 OA  3 AB
 AH  3HB
 tan   3
cos   
y
1
10
 CP  3OP
 cos  
1
10
y
sen  
3
10
 Luego:
E  10 tan  cos   cos  sen
1  3 
 1  
E  10  3  
  
 

 10   10  10 
E   2,7
Rpta.: A
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
194
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
10.
Ciclo 2019-II
En la figura se representa el croquis de un terreno que tiene la forma de la región
sombreada, donde AOB es un sector circular y PF  FH.
Calcule
el
valor
de
tan   13 sen .
Y
A) 3,4
B
B) –1,5
P
F
H
C) –3,5

A
D) 2,1
X
O

Solución:
Y
De la figura, tenemos
(a  b)2  4a2  b2
B
a2  2ab  b2  4a2  b2
a
P
a 2
Entonces 
 a  2k  b  3k
b 3
F
a
r
a+b
Así tenemos F(a,b) y r  13 k
Luego M  tan   13 sen
a
H
b


45°
A
X
O
M  tan   13 sen() ;   : agudo
M
 2k 
3k
 13 

 13k 
2k


Por lo tanto M  3,5
Rpta.: C
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
195
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Si sen   sen  
1
2
y sec  sen   0 , calcule el valor de 4 15  cot   cos  .
A) 75
C)  45
B) 75
D)  45
Solución.
1
1
1
:
ó
sen    sen  
sen   sen  
2
2
2
1
Entonces sen  
y como sec   sen   0

sec   0
4
   IIC  x   15, y  1, r  4
De sen   sen  
Luego:
E  4 15  cot   cos  

15 
E  4 15   15 


4 

E   45
Rpta.: D
2.
Si
c
8 2 s e
3 1,
 12 A
m   cot 
y además la edad de Juan el año 2019 es de

5 años recién cumplidos, donde
A  sen  tan(  ) ;
¿cuántos años
cumplirá Juan el año 2020?
A) 45 años
B) 50 años
C) 51 años
D) 52 años
Solución:
Del dato: 82sec 3  1
Además: cot
sec =
Luego
+3 =0
, entonces
=
A=
La edad de Juan = 12
Semana Nº 5
2sec
= (-2
sec
=
II Q
+
y=
A=
) = 50 años
(Prohibida su reproducción y venta)
196
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Por lo tanto, Juan en el año 2020 cumplirá 51 años
Rpta.: C
3. En la figura se representa una tabla de longitud L metros, la cual está sostenida por
un caballete, para que uno de sus extremos descanse en el piso y el otro contra un
muro. Si  y  son ángulos coterminales, calcule el valor de
L
 sec  .
4  3 cot 
A) 1
B) 2
C) 3
3m
D) 0
4m
Solución:
En la horizontal se tiene: 4  3 cot 
De la figura: sec  
L
4  3 cot 
Como  y  son coterminales 
sec  sec
Luego
L
 sec   sec   sec   0
4  3cot 
Rpta.: D
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
197
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-II
La figura representa el instante en el que un auto de forma rectangular efectúa una
curva, en ese instante las ruedas de dicho auto forman los ángulos de viraje
 
y  . Si en el sistema de referencia local las unidades de medida están en metros,
tan   
41
40
y cot  
, determine la distancia del centro del auto al origen del
40
59
sistema de referencia.
1,8 m
A) 5 m
B)
29 m
C) 5,5 m
D)
26 m
B
H
Solución:
Como
tan(  ) 
cot  
41
40
40
59

 CH  40k y OH  59k 

  18k  1,8
 AB  40k y OB  41k 

Luego, si M es punto medio del auto: M OB  9k;20k 
Es decir M 50k;20k   M 5;2 
Distancia de M al origen del sistema de referencia es
52  22 metros .
Rpta.: B
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
198
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-II
En la figura se representa el croquis de un terreno que tiene la forma de una región
triangular OAB, el vértice A tiene coordenadas   5,1 . Si el precio del terreno está
dado por la expresión 400 80 tan   cot    45  en soles, ¿cuál es el precio de
y
dicho terreno?
B
A) 30 000 soles
45°
B) 40 000 soles
C) 50 000 soles

D) 60 000 soles
A
x
O
Solución:
y
Se observa: A   5,1 y B   4,6 
1 B
4
Luego
Q  400 80 tan   cot    45 
 6   5
Q  400 80 
   
 4   1 
Q  50 000 soles.
5

A
1
45°
5
x
O
Rpta.: C
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
199
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Si ctg  8sen   sen 3  1 y
6
2
es un ángulo en posición normal del tercer
2
cuadrante, halle el valor de la expresión
A) –8
C) –9
B) 9
D) –10
E) 10

Solución:
ctg  4  1 
 ctg 
53  sen  cos   .
1
7
 ctg 
2
2
7
2
 : P  7, 2 , d  53
Si E es el número buscado, entonces E 
  2   7  
53  

   9

53
53





Rpta.: C
2.
Con la información dada en la figura evaluar la expresión sec   tg .
A)
B)
C)
D)
2
2
E) 1
3
3
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
20059
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
El punto Q(4, 3) pertenece al lado terminal del ángulo    el cual está en posición
normal.
    : Q  4, 3  ; d  5
Si K es el número buscado, entonces,
K  sec     tg   
K
5  3 5 3
 
  2
4  4  4 4
Rpta.: B
3.
El ángulo  está en posición normal y para él se cumple que sen  sen  0 y

cos   0,8 ; halle ctg   .
4
A)
10  2
B)
10  1
D)
12  2
E)
10  3
C)
12  3
Solución:
sen  sen  0  sen  0, cos   0 entonces  es un ángulo del primer
cuadrante cuyo coseno es
 : P  4,3  d  5
4
.
5
   3 10  9
ctg   
 10  3
3
4
Rpta.: E
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
20160
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-I
El ángulo  está en posición normal siendo su seno positivo y su tangente negativa.
Si uno más el cuadrado de la tangente de  es igual a 1,25; halle el valor de la
expresión 5  sen  cos   .
A)  5
B)  3
C) 2
D)
5
E)
3
Solución:
Como sen  0 y tg  0 entonces  está en el segundo cuadrante.
 : P  ,   d
1 tg2  1,25  tg2  0,25  tg  0,5
1
1
, luego,
 tg   
2 2
 : P  2,1 d  5
 1  2  
 1 
E  5

  E  5  
 5
5

 5  5 
Rpta.: A
5.
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones
g
 200 
i. sen  60  º  sen 
 .
 3 
ii.
Si F  x  
cos x  sen2 2x
 5
entonces F   
.
2
tg 2x
 3  12
iii. Si  es un ángulo en posición normal para el cual sen  0 y cos   0
entonces existe  que pertenece al mismo cuadrante de  tal qué tg  5 .
A) VFF
B) FVF
C) FFF
D) VVF
E) VFV
Solución:
g
 200 
i. 
  60º  sen  60º   sen60º(Falso) .
 3 
2
 1  3 

2  2 

cos    sen      
5
3
3   2   2 




 (Verdadero)
ii. Si F   
2
12
 2 
3
 3
tg2  
 3 
iii. Si sen  0 y cos   0 entonces   IVC   IVC . Luego, tg  5 (Falso).


Rpta.: B
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
20261
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2019-I
Evaluar la expresión 5tg  4  6 .cos  4  2.sec 2.ctg2 siendo  y  ángulos
complementarios.
A) 5
B) 4
D) 5
C) 4
E) 3
Solución:
E  5tg  4  4  2  .cos 2  2  2  .sec 2.ctg2
E  5tg  2  2  .cos    2  .sec 2.ctg2
E  5tg  2  .  cos  2  .sec 2.ctg2
E  5tg2.ctg2.sec 2.cos 2
E  5
Rpta.: D
7.
De los ángulos  y  se sabe que:
i.
ii.
son coterminales,
la suma de sus medidas es  200  º y
20
radianes y 600 grados centesimales.
9
Calcule la medida del ángulo menor.
iii. la medida de  está entre
A)  620  º
B)  600  º
C)  610  º
D)  700  º
E)  640  º
Solución:
     200  º
    360º  k  Z
2   200  º 360ºk     100  º 180ºk
Por dato, 400º    540º , luego, 400º  180ºk  100º  540º

Otorgándole a k valores 0, 1, 2 la cadena de desigualdades es falsa.
Si k  3 , 400º  180ºk  100º  540º , luego,   440º
440º    200  º     640  º
Rpta.: E
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
20362
Pág.
1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2019-I
Los ángulos  y  son coterminales siendo  un ángulo del segundo cuadrante. Si
4cos2   4cos   1  0 , evaluar la expresión 3 sen  sec  .
1
2
A)
B)
3
2
C) 
1
2
D) 2
E)
Solución:
4cos2   4cos   1  0
 2cos   1
 : P  ,   d

2
 0  2cos   1  0  cos   
1
2

 : P 1,  3 d  2
 3  2 
1
Si E es el número buscado, entonces, E  3 


 2   1 
2


Rpta.: C
9.
En la figura se cumple que 3.BP  PA , halle el valor de la expresión
13  sen  cos   .
A)
1
2
B)
1
4
C)
3
2
D)
3
4
E) 1
Solución:
Calculo de las coordenadas del punto de división P  x,y  .
Como 3.BP  PA 
x
BP 1

razón de división
PA 3
 1
1
3     0 
6 3
9
3
3
 , y

1
1
2
4
1
1
3
3
0
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
20463
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
3 9
P  ,  .
2 4
   es un ángulo en posición normal y Q es un punto de su lado terminal.
 3 9
    : Q   ,  d 
 2 4
Finalmente,
3 13
.
4
3 
 9

 4
2   32 1
13  sen  cos    13 


 3 13 3 13 
4
4

Rpta.: E


10. El área del cuadrilátero ABCO, de la figura, es 6 23  4 3 u2 . Las coordenadas del



g

500 
,24cos  60º   . Halle la suma de las coordenadas


 3 

vértice A son  10.sen 
del vértice B.
A) 24
B) 23
C) 26
D) 27
E) 30
Solución:
g
 500 
 500 
sen 
 150º  sen 


 3 
 3 
1
 sen150º 
2
g
El cuadrilátero ABCO es un trapecio
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
20564
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO


Área  ABCD   6 23  4 3
 x  5  x  4 3  12


2
 6 23  4 3  6 2x  5  4 3


x9

Ciclo 2019-I
 

B 14,12 ;   14  12  26
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Del ángulo  se sabe que:
i. su seno es positivo,
ii. su coseno es negativo y

6
iii. el cuadrado de su tangente es sen .cos
Halle el valor de la expresión
A) 4
B) 2,5

3
5 csc   ctg .
C) 4,5
D) 3
E) 3,5
Solución:
sen  0  cos   0 , entonces  es del segundo cuadrante
 : P  ,   d
1 1 1
tg2  sen30º.cos 60º  . 
2 2 4
1
 tg  
2
1 1
Luego, tg   
2 2
 : P  2, 1 d  5
 5   2 
Si E es el número buscado, entonces E  5 

523
 1   1 


Rpta.: D
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
20665
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Con la información dada en la figura, halle el valor de
Ciclo 2019-I
sen
 1.
sen
A) 0
B)
1
2
C)
3
2
D)
4
3
E)
5
4
Solución:
 y  son ángulos en posición normal, luego
 : D  a,b  d  a2  b2
 : B  2a, 2b  d  2 a2  b2
b

sen
1
sen
a  b2  1  1  1  0
2b
2
2 a2  b2
Rpta.: A
3.
En la figura, P es el baricentro del triángulo ABO. Con la información dada en la
figura, halle el valor de la expresión 3  sec   tg  .
A) 1  10
B) 1  10
C) 2
D) 3
E) 4
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
20766
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
 6  0  3 0  0  3 
P
,
 , P  3, 1
3
3


   es un ángulo en posición normal, luego
   : P  3, 1, d  10
Si E es el número buscado, entonces
E  3 sec     tg    
 10  1  
E  3
      10  1
 3  3  
Rpta.: B
4.
En la figura, C es una circunferencia de ecuación x2  y2  6x  0 y L es una recta de
ecuación y  x . Halle el valor de sec   tg .
A)
3 1
B)
2 2
C)
2 1
D)
2 3
E)
3
2
Solución:
Cálculo de los puntos de intersección de C y L:
x2  x2  6x  0  2x2  6x  0   x  0 y  0    x  3 y  3 
 P  3,3 
   es un ángulo en posición normal
   : P 3,3 d  3 2 . Si E es el número buscado, entonces
E  sec     tg   
E
3 2 3
  2 1
3
3
Rpta.: C
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
20867
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-I
Con la información dada en la figura, halle el valor de 60  tg  sec   cos   sen .
A) 49
B) 50
C) –48
D) –49
E) –50
Solución:
   es un ángulo en posición normal y
Q  3, 4  es un punto de su lado terminal.
    : Q  3, 4 , d  5
Si E es el número buscado, entonces
E  60  tg    sec     cos    sen    
  3   5   4   4 
E  60                 49
  4   3   5   5  
Rpta.: D
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
20968
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Si sen  5cos  (  es una ángulo del segundo cuadrante), halle el valor de la
expresión
26  sen  sec   .
A) 21
C) 21
B) 20
E) 22
D) 20
Solución:
sen  5cos   tg 
5
1
 : P  1,5  d  26
 Si E es el número buscado, entonces
E
  5   26  
26  

   5  26  21
  26   1  



Rpta.: A
2.
Del ángulo  se sabe que:
i. su seno es igual a   3 

5
ii. el mayor valor de su tangente es a
iii. el mayor valor de su coseno es c.
Halle a  c.
A)
2
3
B)
31
20
C)
3
4
D)
29
20
E)
4
5
Solución:
Como sen  
3
entonces  es un ángulo del tercer cuadrante o del cuarto
5
cuadrante.
3
y   IIIC , entonces
5
3 3
4
 , cos  
 : P  4, 3  d  5  tg 
4 4
5
3
ii. Si sen   y   IVC , entonces
5
3
4
 : Q  4, 3  d  5  tg   , cos  
4
5
3
4
3 4 31
 a  , c  ; luego, a  c   
4
5
4 5 20
i. Si sen  
Rpta.: B
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
210
Pág.
57
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2018-II
Si A(a;4) y B( 8;b) son puntos que pertenecen al lado terminal del ángulo en



1/2
posición normal  , halle  64  b2 16  a2 
B) 32
A) 16
sen cos  .
D) 16
C) 64
E) 32
Solución:
Como A(a;4) y B( 8;b) son puntos que pertenecen al lado terminal del ángulo en
4 b
 a.b  32 .
posición normal  , entonces 
a 8



1/2
 64  b2 16  a2 





sen cos 
b
1/2
  64  b2 16  a2 
64  b
a
2
16  a2
 a.b  32
Rpta.: E
4.
En la figura, el triángulo ABO es equilátero. Halle
A)
1
5
B)
1
4
3sen  5 sec  .
C) 1
D)
1
7
E)
2
5
Solución:


Las coordenadas del punto B son a, 3a .
Además,    y    son ángulos en posición normal.

   :
  :

B a, 3a d  2a
P  2, 1 d 
5
Si E es el número buscado, entonces
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
211
Pág.
58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
E   3sen     5 sec   
 3a 
 5
E   3
 5
1
 2a 
 2 




Rpta.: C
5.
Dos autos parten desde un punto O.
i. El auto A se desplaza sobre la curva x   y .
ii. El auto B se desplaza sobre la recta y  x
iii. Los autos A y B se encuentran en el punto P.
Con la información que se da en la figura, halle tg  sec 2  .
B) 1
A) 1
C) 2
D) 2
E) 0
Solución:
x   y, y  x  y   y  y2  y  y  1 x  1
 : P  1,1 , d 
2
 Si E es el número buscado, entonces
2
 1   2
E  
 1
 1   1 
Rpta.: A
6.
En la figura se muestra un péndulo, sujeto a un hilo, el cual describe al pasar del punto
A al punto B un ángulo  . Calcule el valor de la expresión
3tg  90º    5sen  270º   .
A) 8
B) 6
C) 12
D) 6
E) 8
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
212
Pág.
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Sea H el número buscado, entonces
H  3tg  90º    5sen  270º  
 4
H  3tg  90º    5   
 5
 4 
 4
H  3    5   
 3 
 5
H  8
Rpta.: A
7.
cos   cos  y cos2   sen2 
Si sen   sen ,
A)
1
3
B)
C) 
3
1
3
1
, halle tg
2
D)  3
E) 1
Solución:
Como 1 cos2   1 cos2   sen2 y sen2  sen2 , entonces
1  cos2   sen2  1  cos2   sen2  2sen2
1
1
 2sen2    sen
2
2
1
Entonces tg  
3
Rpta.: C
8.
De los ángulos  y  se sabe que:
i. son coterminales
ii. la suma de sus medidas es
 700º 
iii. la medida de  está entre 4rad y
9
rad .
2
Halle la medida del ángulo mayor.
A) – 725º
Semana Nº 5
B) 730º
C) 740º
D) 735º
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 750º
213
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
    360º.k k entero 
    700º
2  360ºk  700º    180ºk  350º
Además, 720º    810º  720º  180ºk  350º  810º
k  6 : 720º  730º  810º
  730º
Rpta.: B
9. Una vara metálica se apoya en la pared tal como se muestra en la figura. Se coloca
una varilla en el punto B que está unida con la base de la pared, para evitar
desplazamientos. Halle tg  ctg , si AB  2.BC .
10
3
A) 
10
3
B)
C) 
1
3
D) 3
E)
2
3
Solución:
AB 2BC

 2  razón de división de un segmento  r
BC BC
2  0.r
2
0  2.3 6
 , y
 2
Sean  x,y  las coordenadas de B, entonces x 
1 2
3
1 2
3
 2 
 B   ,2  . B es un punto del lado terminal del ángulo  en posición normal, luego,
 3 

  2
 2  3 
10
si E es el número buscado, E  
.


3
  2   2 
 3 

Rpta.: A
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
214
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
10. Una lámina de forma cuadrangular se sostiene de los puntos A y B, tal como se indica
en la figura adjunta. Para fijarla al piso y la pared se colocan dos varillas por OC y
OD; calcule 12tg  17tg .
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
Solución:
D pertenece al lado terminal del ángulo
en posición normal  y C pertenece al
lado terminal del ángulo en posición normal 
D  17,5  y C  12,17 
Si E es el número buscado,
 17 
 5 
E  12 
 17 

  22 .
 12 
 17 
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
El área de la región limitada por el triángulo isósceles AOB (OA=OB) es igual a
15 2
u
2
 
; halle 3tg    .
 2
A) 1
B) 1,1
C) 1,2
D) 1,3
E) 2
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
215
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
1
15
Area  AOB   .5.5.sen    
2
2
15 3
25sen     15  sen    

25 5
   es un ángulo agudo, luego,
  3 1
 
 tg       3tg     1
 2 9 3
 2
Rpta.: A
2.
El ángulo  es negativo y está en posición normal. Si el lado terminal de  pasa por
el punto de intersección de las rectas L1 : 2x  y  0 y L2 : 3x  2y  14 , halle el valor
de la expresión
1
2
Solución:
A)
B)
5  sen  cos   .
2
3
C)
4
5
D) 1
E) 1
2 x y  0

x  2
  3x  2  2x   14  
3x  2 y  14 
y  4
 : P  2, 4  d  20
Si E es el número buscado, entonces,
4
2 

 2 
E  5 

  5
  1
20
20 

2 5
Rpta.: D
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
216
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2018-II
En la figura, P es punto medio de MN y AB  2.PA . Halle tg  tg .
A) 1
B) 1,5
C) 0
D) 1,2
E) 2
Solución:
 0  6 4  0 
P
,
, P  3, 2 
2 
 2
PA
PA
1

 r
AB 2.PA 2
Donde r es la razón de división de un segmento de recta
1
3  .a
2 a6
Si B(a,b): 4 
1
1
2
1
2  .b
2  b  4 , luego, B  6,4 
0
1
1
2
 2  4
Finalmente, si E es el número buscado, E         0
 3 6
Rpta.: C
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
217
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2018-II


Con la información dada en la figura, halle el valor de tg   .ctg   .
4
2
A) 2

10  3

B) 3

10  3

C) 3

10  2
D) 3

10  3
E)


1
3
Solución:
3
4
4
ctg 
3
tg 
 3 1
 
2 9 3

3
1
tg 

4 3 10  9
10  3
 9
ctg   3
2 3
tg
Por lo tanto, si E es el número buscado, entonces
1
3
10  3
E
.3 
.
 3 10  3
10  3
10  3 10  3


Rpta.: D
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
218
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2018-II
Tres automóviles P, Q y R viajan a la misma velocidad al pueblo O; si tg  
tg  
12
,
5
24
4
y ctg   , calcule la distancia a la que se encuentra el automóvil
7
3
que llegara más rápido al pueblo.
A) 50 u
B) 40 u
C) 39 u
D) 55 u
E) 45 u
Solución:
a
a
12
 tg  

15
15
5
 a  36  OP  39 u
48
ctg  90º    
b
48
24
 tg  

b
7
 b  14  OQ  50 u
32
32
tg  90º    
 tg  90º   
c
c
32
 ctg 
c
4 32
 
 c  24  OR  40 u
3 c
tg    
Rpta.: C
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
219
Pág.
66
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
06
semana
220
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
1.
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
1.1. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS MENORES QUE UNA VUELTA
r: es el ángulo agudo formado por el lado terminal de  y por el eje X.
Si   II C , r = 180º – 
r = rad – 
O
Si   III C , r =  – 180º
r =  – rad
O
Si   IV C , r = 360º – 
r = 2rad – 
donde la fórmula de reducción es
RT () =  RT (r)
el signo depende del signo de la razón trigonométrica en el cuadrante al cual
pertenezca el ángulo a reducirse.
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
221
Pág.
41
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
1.2. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS MAYORES QUE UNA VUELTA
Sean  y  dos ángulos coterminales
RT () = RT ()
pero  = 360º n + 
,nZ
 = 2 n + 
,nZ
entonces
RT () = RT (360º n +) , n  Z
RT () = RT (2 n +)
2.
,nZ
OTRAS FÓRMULAS DE REDUCCIÓN
RT (90º  )
RT (180º  )
RT (270º  )
RT (360º  )
=  CO – RT ()
=  RT ()
=  CO – RT ()
=  RT ()
donde  es considerado agudo y en todos los casos el signo del lado derecho de
las igualdades depende del signo de la razón trigonométrica del ángulo que aparece
a la izquierda.
3.
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DE ÁNGULOS CUADRANTALES
A.C.
0º
90º
180º
270º
360º
Sen
0
1
0
–1
0
Cos
1
0
–1
0
1
Tan
0

0

0
Cot

0

0

Sec
1

–1

1
Csc

1

–1

R.T
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
222
Pág.
42
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
En la figura, se muestra la posición inicial de un vagón ubicado en el punto A sobre
una ruleta de radio 5 m. En un instante dado, la altura del punto A sobre el suelo
está determinado por h(t)  8  5cos(t) en metros, donde t es el tiempo en minutos.
 28 
¿A qué altura se encontrará el punto A respecto al suelo después de   minutos ?
 3 
A) 12,5 m
B) 12 m
C) 10 m
D) 10,5 m
Solución:
Tenemos


 28 
 28 

  
 1
h
 8  5 cos 
 8  5 cos  9    8  5  cos     8  5  


3
 3 
 3 

 3 
2

 28 
 h
  10,5 m
 3 
Rpta.: D
2.
Juan se encuentra en el punto A y se dirige hacia el punto D pasando por los puntos
B y C tal que AB  BC  CD . Si la distancia del punto C hasta el punto D está dado
 42cot()sec(    30)
 
por el valor de la expresión 
 12csc(
)  en metros ,
3 
 csc(  180)cos(90   )
donde     270 , halle la longitud del recorrido que realizó Juan.
A) 96 m
B) 192 m
C) 288 m
D) 374 m
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
223
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Tenemos   270  

  180  90  
 42cot(270   )sec(270  30)

Entonces DCD  
 12csc(90)  m
csc(90   )cos(90   )


 42 tan(  ) csc(30)

DCD  
 12  m
sec( )sen(  )


Por tanto, RecorridoJuan  288 m

DCD  96 m
Rpta.: C
3.
En la figura, se representa un terreno triangular ABC. Si el costo por metro cuadrado
es 1300 sen.cos  soles, halle el costo del terreno.
A) S/. 140.000
B) S/. 160.000
C) S/. 180.000
D) S/. 200.000
Solución:
Sea C el costo por metro cuadrado
Asi,
C  1300 sen.cos 
De la figura   90  
Luego C  1300 sen  90    .cos  90   
C  1300  cos    sen 

20 
 30 
C  1300 
 
  600
 10 13  10 13 
Entonces, el costo por metro cuadrado es 600 soles.
Veamos, sea S  Área
ABC
entonces S 
30  20 
2
 S  300m2
Por lo tanto, el costo del terreno es 180.000 soles.
Rpta.: C
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
224
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
En la figura mostrada, calcule el valor de
A)




sen       cos     + 
3
4




tan      
6

2
3
B) 
C)
Ciclo 2020-I
6
4
6
4
D) 
2
3
Solución:
Del gráfico se tiene:
    270
    180
    360
Reemplazando en K tenemos:




sen  270   cos  180  
3
4


K


tan  360  
6


   
  
  cos  3     cos  4  
  
 
K

tan  
6

K
 1  1 

 2  
 
2
 K
1

3
6
4
Rpta.: B
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
225
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2020-I
Un islote se encuentra equidistante de un barco pesquero anclado en el punto D y
un faro portuario ubicado en F. En determinado instante aparece en escena un
helicóptero, que se ubica a cierta altura sobre el islote, con la misión de proveer de
vituallas al grupo de personas que van a realizar la instalación de un cable tenso AB
tal y como se aprecia en la figura. Si un buzo ubicado en D observa el punto B con
100 g
 13  2
un ángulo de elevación de
, calcule el valor de sen2 
  ctg  27    .
3
 2

A) 12
B) 18
C) 15
D) 9
Solución:
1) La situación se puede sintetizar en el siguiente gráfico
2) Desde que A es punto equidistante se tiene AD=AF=a
2a
3) El DFB es notable de 30° y 60°, entonces BF 
. Por Teorema de Pitágoras
3
en AFB hace que AB 
7
3
a
3
2
4) Los ángulos β y θ son coterminales  ctg  ctg 
2
 cos   cos  
3
7
2
 3  3
9
 13  2
  ctg  27     cos2 ctg2  
5) Así, sen2 
 
 

28
 2

 7  2 
 13

 28sen2 
   ctg2  27     9 .
 2

Rpta.: D
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
226
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2020-I
Dos automóviles parten al mismo tiempo de las ciudades A y B en dirección a la
ciudad C con velocidades constantes de 50 km/h y 88 km/h respectivamente. Si
tan  =
3
4
y tan  =  , halle el tiempo que le tomó al automóvil que llegó primero a
8
3
la ciudad C.
A)
73
h
88
B)
1
h
10
C)
1
h
5
D)
73
h
10
Solución:
Del gráfico tenemos:
tg 180    
a
3
tg 180    
3
ab
Como tg  

tg  

a
3
 tg  
4
3
y tg    
3
8
3
ab
a  4; b  4
Luego: AC  5 km ; BC  73 km
t1 
 t2 

1
73
h ; t2 
h
10
88
73
h
88
Rpta.: A
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
227
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2020-I
Dos hermanos heredan un terreno que tiene la forma cuadrangular ABCD, como se
muestra en la figura. Para repartirse el terreno, ambos hermanos acuerdan dividirlo
en dos partes triangulares y trazan una línea divisoria desde A hacia C tal que el
4
área ADC es el doble del área ABC. Si cos   , halle el mínimo perímetro del
5
terreno cuadrangular ABCD.
A)
4
B)
 20
10  300 m
C)
 40
15  300 m
D)
 40
10  300 m

15  300 m



Solución:
De la figura tenemos
Area
ADC

(100)(200)sen(360  )
2

Area
ADC
 a.b
ab  (100)(100)   sen()
Como cos  
4
3
entonces sen  
5
5
Luego
ab  6000
Perímetro ABCD  a  b  300  2 ab  300
Perímetro ABCD  40 15  300


 Perímetromin  40 15  300 m
Rpta.: C
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
228
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2020-I
El ingreso diario de una empresa que produce y vende polos está modelado por
5
 239 x 
miles de soles, donde 2  x  4 (x en miles de
I(x)  2sen 

 8sen

2
4
2


soles) es la capital invertido para la producción de polos en un día. Determine el
menor ingreso diario de dicha empresa.
A) S/. 6 000
B) S/. 1 500
C) S/. 2 000
D) S/. 8 000
Solución:
5
 239 x 
I(x)  2 sen 

 6sen

4 
2
 2
 3 x 
 x 
I(x)  2 sen 

6 
I(x)  2cos    6

4 
 2
 4 
Como 2  x  4

 x


2 4

 x 
 1  cos    0
 4 

 x 
6  6  2cos    8
 4 
 El minino ingreso es de S/.6 000
Rpta.: A
9.
En la figura, se muestra el asentamiento de un Moái realizado por una comunidad
nativa de la Isla de Pascua. Para realizar dicho asentamiento se necesita el 12 % de
habitantes de una comunidad nativa. Si dicha comunidad tiene una población de
 20

5 sec (cot   tan ) habitantes , ¿cuántos habitantes se necesitan para
dicho asentamiento?
A) 30 habitantes
B) 25 habitantes
C) 45 habitantes
D) 20 habitantes
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
229
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Tenemos dela figura
  180  
Sea
P  20 5 sec(180  )  cot(180   )  tan(180   )
 20 5   sec()  cot()  tan() 
1

 20 5   5    2 
2

 250 habitantes
Por tanto,
Total   250  12%
 Total  30 habitantes
Rpta.: A
10. Elena hace un pedido a una joyería para comprar un par de aretes como se muestra
en la figura para regalárselos a su sobrina en su cumpleaños. Si el precio por cada
 45 tan(A  2C  130) tan(B  C)

arete está dada por P  
 24  soles donde B y C
3csc(A  B C 50)


son ángulos agudos tales que C  B , ¿cuánto pago Elena por su pedido?
A) 39 soles
B) 36 soles
C) 78 soles
D) 72 soles
¨
Solución:
Tenemos que: A  B  C  140
 45 tan(A  2C  130) tan(B  C)

P
 24  soles
3csc(A  B C 50)


 45 tan(270  (B  C)) tan(B  C)

P
 24   P  15cot(B  C) tan(B  C)  24 
3csc(90)


P  39 soles
Por tanto, PagoTOTAL  78 soles
Rpta.: C
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
230
Pág.
69
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura se muestra el croquis de un tramo de la carretera interoceánica, donde
 y  son los ángulos adecuados considerados por los ingenieros encargados para
su construcción. Si la construcción de dicho tramo tiene un costo de
(9 cot   4 13 csc ) millones de soles, calcule el costo de dicho tramo.
A) 24 millones de soles
B) 28 millones de soles
C) 36 millones de soles
D) 32 millones de soles
Solución:
De la figura tenemos
  180  

  180  
Sea Costo  (9 cot   4 13 csc )
Costo  9 cot(180  )  4 13 csc(180  )
 9 cot()  4 13 csc()
 13 
2
 9    4 13 
 2 
3



Costo  32 millones de soles
Rpta.: D
2.
El costo anual (en millones de soles) para incautar el P% (donde P es el número de
grados en el sistema sexagesimal) de una droga ilegal está modelada por C  2M
11 
 33


cos 
 P  csc  P 
4
2 



M

dónde
. ¿Cuánto será el costo si se
 17

 23



sen 
 P  tan 
 P  cos   P 
 4

 2

2

incauta el 45% de la droga?
A) 1 millón
Semana Nº 6
B) 4 millones
C) 8 millones
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 2 millones
231
Pág.
70
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Hallando M



 11






cos  8   P    csc 
 P 
 cos   P  csc  6   P 
4
2


 2

4



M
 M

3






 3

sen  4   P  tan  10 
 P  s enP
sen   P  tan 
 P  senP
4
2




4

 2



csc   P 
sec P
2

M

M
 sec 2 P
cotP  senP
 3

tan 
 P  senP
 2

Costo de la incautación: C  2sec
3.
2
P
 2sec
2
(45 )
 2(
2 )2
 22  4 millones de soles
Rpta.: B
De la figura, se muestra una ruleta de juegos. Luis y Juan se disponen a jugar con
dicha rueda, ambos giran la rueda tal como se muestra en la figura, generando los
52
siguientes ángulos  
   51 , respectivamente, Finalizado el juego llega
3
Miguel un amigo de ambos y pregunta al administrador ¿Quién ganó el premio
mayor? Si la probabilidad de obtener el premio mayor está dada por cos(x) donde x
es el ángulo de giro realizado por la ruleta, ¿Cuál es la respuesta que obtuvo Miguel
del administrador?
A) Luis
B) Juan
C) Ambos
D) Ninguno de ellos
Solución:
Veamos primero la probabilidad de cada juego
Para Luis:
75
Si  
2
3 
 75 

 3 
 ProbabilidadLUIS  cos 
 cos  36 
 cos 


 0
2 
 2 

 2 
Para Juan:
Si   51  ProbabilidadJuan  cos  51   cos  50     cos     1
Por tanto, el administrador le dijo gano Juan
Rpta.: B
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
232
Pág.
71
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2020-I
El capitán de un velero trata de salir de un puerto para ese cometido gira el timón (como
muestra en la figura) un ángulo  
37
rad , debido a una ola y por temor de
10
ocasionar un choque, el capitán gira el timón rápidamente en sentido horario un ángulo

43
rad saliendo del puerto satisfactoriamente. Si la distancia entre el velero y
10
el puerto en ese instante está dado por
2
cos  sec 
en metros , halle dicha
2  tan    
distancia.
A) 0,5 m
B) 2 m
C) 3,5 m
D) 1,5 m
Solución:
Primero veamos lo siguiente
Si  
37
10
Si   
43
10
7 
 37 

 7 
 3 
 sec 
 sec  4 
  sec 
 sec 




10 
 10 

 10 
 10 
3 
 43 

 3 
 cos  
 cos  4 
 cos 



10 
 10 

 10 
 3 
 3 
cos   sec  
 10 
 10   2  1
Así, distancia  2 
2  tan  8 
2
 distancia  1,5 m
Rpta.: D
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
233
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2020-I
Luis tiene un terreno de forma rectangular el cual emplea para la siembra de maíz.
Por motivos de las lluvias, las longitudes x e y (en kilómetros) de los lados del
terreno, dependen de la variable t y están expresadas por las reglas de
correspondencia:
 97t  
9cot 2 
  1
24
 1
2
4

, donde t  0,  es el
x(t) 

y(t) 
36
 2
 97t   1
cot 2 
 
4 9
 2
tiempo transcurrido en años desde que se inicia la temporada de lluvias. Halle el
área de la región a los 2 meses de iniciado la temporada de lluvias.
A) 2 3 km2
B) 4 km2
C) 4 3 km2
D) 3 km2
Solución:
Sea S  Arearectan gular
Entonces




24


S

 cot 2  97t     1 
 2

4  9 


Para t 
  2  97t   1  
  
 9 cot 
4  9 
 97t   1
 2
 
 S  6 cot 2 
 


36
4 9
 2




  1
1
 97   1

 
 S  6 cot 2  8 


año , entonces S  6 cot 2 
12 4  9
6
 12 4  9

1 1
 1
 S6

Así, S  6 cot 2   
3 9
3 9
Por tanto, S  4 km2
Rpta.: B
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
234
Pág.
73
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
El seno del ángulo de giro de una rueda al dar una cantidad de vueltas menor a 10
1
vueltas y media , pero mayor a las 10 vueltas es igual a
. Determine el mayor
2
ángulo de giro de la rueda.
A)
123
rad
2
B)
125
rad
3
C)
125
rad
6
D)
121
rad
5
Solución:
Sea  el ángulo de giro, tal que 20    21 , y sen 
1
2
20    20    0    20  
Se sabe que
1

5
121
125
 sen  sen(  20)    20     20 


2
6
6
6
6
Rpta.: C
2.
Un terreno de forma rectangular tiene
3
80sen210 tan315 m de largo. Calcule el área de dicho terreno.
A) 500 m2
B) 560 m2

6 sec 225 cot150 m de ancho y
C) 620 m2
D) 720 m2
Solución:
Sea A el ancho y L el largo:
A  3 6 sec 225 cot150
S
L
AA
 3 6 sec 180  45  cot 180  30 
A    sec 45   cot 30 


A3 6  2  3

A  18
L  80sen210tg315
1
L  80sen 180  30  tan  360  45 
L  80  sen30   tan 45 
 1
L  80     1
 2
L  40
 2
Si S es el área del terreno, entonces : S=L.A
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
235
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
S  18  40 
S  720m2 .
Rpta.: D
3.
Roy tiene 320 soles, gasta cierta cantidad de dinero y le queda
(sen5  sen10  sen15  ...  sen345  sen350  sen355)soles .
¿Cuánto gastó Roy?
A) 130 soles
B) 320 soles
C) 325 soles
D) 300 soles
Solución:
M = sen5° + sen10° + sen15° +… + sen(360°-15°) + sen(360°-10°) + sen(360°-5°)
M = sen5° + sen10° + sen15° +… - sen15° - sen10° - sen5°
La cantidad de sumandos:
sen5.1° + sen5.2° + sen5.3° + sen5.4° + …+ sen5.71°
 355  5 
El termino central: sen 
  sen180  0
2


Por tanto Roy gastó los 320 soles.
Rpta.: B
4.
Si A, B y C, representan los vértices de un triángulo, simplifique
B
 A C
sec 
cos  2A  3B  2C   csc cot  A  B 

2
 2 
B
csc cos  A  2B  C   cot  A  B  2C  
2
A) –1
B
B) csc  
2
B
C) tan  
2
Solución:
Sea A  B  C  180  2A  2B  2C  360 
D) 1
A C
B
 90 
2
2
B
 A C
sec 
cos  2(A  B  C)  B   csc cot  A  B 

2
 2 
B
csc cos  (A  B  C)  B   cot (A  B  C)  C  
2
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
236
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
B
B

sec  90   cos  360  B   csc cot 180  C 
2
2


B
csc cos 180  B   cot 180  C  
2
B
csc  cosB  cot C 
2

 1
B
csc   cosB  cot C
2
Rpta.: A
5.
De las siguientes proposiciones, indique el valor de verdad, en el orden indicado.
I. sen(  x)  senx
 3

II. cos 
 x   senx
 2

III. tan(  x)  tan x
 3

IV. tan 
 x   cot x
 2

V. sec(  x)  sec x
A) VVVVF
B) VFVFV
C) FFFFV
D) FVFVF
Solución:
sen(   x)  senx ........................... (V)
IIQ,senx
cos(
3
 x)  senx ....................... (V)
2
IIIQ; senx
tan(   x)  tan x ............................ (V)
IIQ; tan x
tan(
3
 x)  cot x ......................... (V)
2
IIIQ; cot x
sec(   x)  sec x .......................... (F)
IIIQ; sec x
Rpta.: A
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
237
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2019-II
La tasa de crecimiento anual de la población de una ciudad (en miles) está dada por
sen(3x  y)  cos(5x  2y)
, donde 4x  2y  3 . ¿En cuánto aumentará la población
 3

sen 
 x
 2

en 10 años?
A) 20 mil
B) 30 mil
C) 15 mil
D) 18 mil
E) 12 mil
Solución:
Si 4x  2y  3  y 
3
 2x ,luego:
2



sen  3x  3  2x   cos(5x  3  4x)
sen(3x  y)  cos(5x  2y)
2


P

3

 cos x


sen 
 x
 2

 

sen  3  x   cos(3  x)
 cos x  cos x
2


P

2
 cos x
 cos x
Entonces:
El crecimiento anual es: 2 mil personas.
El crecimiento en 10 años será de 20 mil personas.
Rpta.: A
7.
En la figura, en el punto O está ubicado un teodolito con el cual se registran los
puntos A, B y C, donde B es el centro de la circunferencia; A y C son punto de
tangencia. El topógrafo determinó que cercar la región limitado por el cuadrilátero
OABC cuesta (4cos   sen  3) miles de soles. Si dicho monto se pagará en dos
partes iguales, ¿a cuánto corresponde el primer pago?
A) S/. 2000
B) S/. 1500
C) S/. 1000
D) S/. 800
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
238
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Del gráfico:
8 cos(180  )  2  2sen(180  )
 8 cos   2  2sen
0  1  sen  4 cos 
2  3  sen  4 cos 
La primera cuota es S/.1000.00
Rpta.: C
8.
Juan vuela su cometa tal como se muestra en la figura, donde C es el punto medio
de AB . El hermano de Juan está ubicado en la proyección ortogonal del punto C
con respecto al suelo. Si csc   5 y la altura alcanzada por el cometa respecto al
piso en el punto A es 4,2 m, halle la distancia entre Juan y su hermano.
A) 1,2 m
B) 0,8 m
C) 1m
D) 0,6 m
Solución:
En la figura tenemos que
3
 
2
 3

csc 
    5
 2

sec  5
Luego
Bʹ
DB  1.2 m , Como C es punto medio
HB  0.6 m
Rpta.: D
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
239
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2019-II
3
, calcule el valor de
5
tan(  180)  sec(  180)
.
csc(90  )  cot(270  )
Si  pertenece al tercer cuadrante y sen  
A) 4
B) 4
C) 8
D) 6
Solución:
3  5
 
tan(  180)  sec(  180) tan   sec  4  4 


 4
csc(90   )  cot(270   ) sec   tan   5  3
 4   4


Rpta.: A
10.
En un juego de billar (las trayectorias seguidas por las bolas son rectilíneas) se
lanza la bola A en dirección a la bola B, luego del impacto la bola A y B se
direccionan hacia las bolas D y C respectivamente. Si la distancia entre las bolas B
y C es 12 cm, calcule la suma del seno del ángulo obtuso formado por la dirección
inicial de la bola A con la dirección que toma B después del choque y la tangente
del ángulo obtuso formado por las direcciones de las bolas A y B después del
choque.
A) 
7
30
B) 
7
36
C)
5
24
D) 
1
7
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
240
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Del gráfico:
sen 180    

sen  
3
5
t an 180    

27
45
tan   
20
24
5
6
 sen  tan   
7
30
Rpta.: A
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura se representa un terreno triangular ABC, donde la parte sombreada,
corresponde al área de construcción de un jardín. Calcule el costo del terreno que
corresponde al jardín si el costo por metro cuadrado es de  4  5cos   soles.
A) 50.sen.cot  soles
B) 50.sen.cos  soles
C) 20.sen.cos  soles
D) 30.sec .csc  soles
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
241
Pág.
69
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Por la semejanza, de los triángulos tenemos:
5sen
x
20sen
 x
5cos   4 4
5cos   4
El área de la región sombreada es:
1
20sen
50sen cos 
S  (5cos )

2
5cos   4
5cos   4
Además
    180  sen  sen   cos   cos 
50sen cos 
5cos   4
Si por cada metro cuadrado de terreno cuesta 4  5cos  soles.
El terreno que corresponde al jardín cuesta 50sen cos  soles.
Luego el área S 
Rpta.: B
2.
En la figura se representa la
vista desde lo alto de un
drone cuando vuela por
encima de una torre grúa
ubicado en el punto O, éste
gira su brazo
en sentido
antihorario
formando
un
ángulo llevando una carga del
punto A al punto B, luego
estira su brazo recogiendo
otra carga en el punto C
llevándola hasta el punto D.
Si la cantidad de gasolina en
galones que la grúa consume
es igual a la suma de los
senos de los ángulos de giro
que realiza la grúa, ¿Cuántos
galones de gasolina consumió
la grúa?
A)
3
galones
2
B)
6
galones
2
C) 3 2 galones
D) 4 3 galones
Solución:
De la figura, tenemos que:
  15  180    180  15
sen  sen(180  15)  sen15 
Semana Nº 6
6 2
4
(Prohibida su reproducción y venta)
242
Pág.
70
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
  15  90    90  15
sen  sen(90  15)  cos15 
6 2
4
Luego: La Grúa consume sen  sen 
6
galones.
2
Rpta.: B
3.
Indique el valor de verdad en el orden indicado de las siguientes proposiciones:




i. Se cumple que tan  2020    cot  3015  
4
4


ii. Si     3 entonces sen  cos   sen  cos  .
iii. Si  es coterminal a  entonces
5 

 3

sec     
 tan  tan 
   6 .

12 

 2

A) VVV
B) VFV
C) FFV
D) FVF
Solución:
i.




tan  2020    cot  3015   
4
4





tan    cot    
4
4



tan    cot    1
4
4
ii.
(Verdad).
    3
   3    sen  sen(3  )  sen(   )  sen
   3    cos   cos(3  )  cos(  )   cos 
sen  cos   sen  cos 
(Verdad)
sen  cos   sen  cos 
5 

 3

sec     
 tan  tan 
 

12 

 2

5 

iii.     360 entonces sec  2n 
 2 tan    cot  
12 

5
sec
 2 tan  cot   sec 75  2  6  2  2  6
12
(Verdad)
Rpta.: A
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
243
Pág.
71
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-II
En la figura se representa un rectángulo ABCO, cuyo largo es el doble de su ancho,
sen(540    )
determine el valor de tan(270  ) 
sen(270    )
A)
13
12
B) 
13
5
C)
7
12
D) 
13
12
Solución:
sen(540    )
sen(270    )
sen(180    )
 cot  
sen(270    )
sen(  )
 cot  
 cos(  )
tan(270   ) 
 cot   tan(  ) 
2  7
13
    
3  4
12
Rpta.:D
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
244
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-II
En la figura A y B, representan los puntos de contacto de las ruedas de una
bicicleta con el suelo. Un día Thiago va manejando su bicicleta hasta que la rueda
trasera pasa por el punto C, recorriendo 33 metros. Si las calorías perdidas por
Thiago al manejar por dicho tramo son (2000  7cos ) calorías, donde  es el
ángulo de giro de la rueda, y los radios de las ruedas miden 20 centímetros cada
una, ¿cuántas calorías perdió Thiago en el trayecto?
A) 166 cal
B) 165 cal
C) 170 cal
D) 180 cal
Solución:
 100
Lc
3  3  500  250 vueltas
nv 

2
2r 2(0,2)
6
3
5
33 
250
500
2
(2) 
  166 
3
3
3
Las calorías que se quemaron son:
2 
2

200  70cos  166 
 200  70cos
 200  35  165

3 
3

Thiago quemó 165 calorías.
El ángulo de giro es entonces:  
Rpta.: B
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
245
Pág.
73
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Si J  sen540o  cos2520o  sen810o y P  cos1440º tg540º cos630 o , determine
J
el valor de la razón .
P
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) –3
Solución:
R
J sen540º cos2520º sen810º sen(1V  180º )  cos(7V  0º )  sen(2V  90º )


P
cos1440º tg540º cos630º
cos(4V  0º )  tg(1V  180º )  cos(1V  270º )
R
J sen(180º )  cos(0º )  sen(90º ) 0  1  1


2
P cos(0º )  tg(180º )  cos(270º ) 1  0  0
Rpta.: C
2.
De los ángulos , y  se sabe que:
I.
II.
III.
Son cuadrantales diferentes, positivos y menores o iguales a 360
1 sen  sen   1  1  cos 
sec   2  ctg   1
Halle     
A) 180
B) 540
C) 90
D) 360
E) 130
Solución:
1 sen   0

sen   1  0  sen   1    90
1 cos   0  cos   1    180
ctg   1  1  ctg   0  ctg    2    270
      180
Rpta.: A
3
- x)
t g(   x) sec(2 - x)
2


3. Reducir la expresión 
cos(2 - x) ct g(   x) csc( 3 - x)
2
2
sen(
A) –1
Semana Nº 6
B) 1
C) –2
D) 2
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 3
246
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
3
- x)
t g(   x) sec(2 - x)
2
K 


cos(2 - x) ct g(   x) csc( 3 - x)
2
2
sen(
K
 cos x t gx
sec x


 1 1 1  3
cos x tgx  sec x
Rpta.: E
4.
Una empresa de telecomunicaciones construye una antena de telefonía celular que
tiene la forma indicada en la figura. Si la frecuencia de la onda emitida está dada por


 169 

F   3  ctg 
    1  ctg  218    tg2  Hz . Halle el máximo valor de
 2



tg
A)  3
B) 2
C) 3
D)  2
E) 2 3
Solución:
i) F 



3  ctg  42V     
2


F
ii) F existe 
3  tg 
1  ctg 104V    tg2
1  ctg tg2 
3  tg 
1 tg
3  tg  0   1 tg  0   tg
tg  3 , positivo en IQ y IIIQ
Rpta.: C
5.
Los números que representan la medida del largo y ancho, respectivamente, de una
placa rectangular es A y B y si A  sen120ºcos240º tg300º y B  sec 225º . Si
A
F  , hallar el valor de 8F
B
A) 3 5
Semana Nº 6
B) 3 3
C) 2 3
D) 3 2
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 3 7
247
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
F
F
sen(90º 30º )cos(270º 30º )tg(360º 60º )
sen120º cos240º tg300º
 F
sec 225º
sec(270º 45º )
cos30º( sen30º )( tg60º )
 F
 csc 45º
(
3
1
)(  )(  3)
3 2
2
2

 8F  3 2
8
 2
Rpta.: D
6.
Una ruleta de casino es girada partiendo del eje horizontal positivo y en sentido
1287
horario, deteniéndose luego de girar un ángulo   
. Si la pelotita negra se
4



ubica a
de la posición inicial (eje positivo), calcule cos     .
6
6

A)
1
2
D) 
E) 
1
2
B)
6 2
4
C)
6 2
4
5
2
Solución:

1287 
7  
 



E  cos      cos(
 )  cos  160V 
   cos  2   
6
4
6
4 6
4 6



6 2
  
 
 cos     cos  5   cos 75o Entonces E  cos 75o 
4
4 6
 12 




Rpta.: C
7.
Se tiene un terreno ABCD que tiene la forma de una región cuadrangular, el vértice
B tiene coordenadas (7,12). Si el precio del terreno está dado por la expresión
P  800 193 sen  cos  en soles. ¿Cuál es el precio?
A) 1 000 soles
B) 2 000 soles
C) 3 000 soles
D) 4 000 soles
E) 5 000 soles
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
248
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
Se observa:     180 P  800 193 sen  cos 
P  800 193 sen 180     cos 180   
P  800 193 sen    cos  
P  800 193
7
193
P  4000 soles

12
193
Rpta.: D
8.
En un mapa del campus de la ciudad universitaria, en coordenadas rectangulares, el
local del centro pre universitario se ubica en el lugar de coordenadas P (–4,2). Si 
es el ángulo negativo que forma el rayo OP con el semieje negativo, calcule
5(cos   csc )
A) 7
B) 5
C) 8
D) 6
E) 9
Solución:
    180o  cos()  cos(180o  )   cos 
x
4
2
r  42  22  2 5  cos    cos     

r
2 5
5
También
r 2 5
csc( )  csc(1800  )  csc   
 5
y
2
2
 5)  7
csc    5  E  5(
5
Rpta.: A
9.
Indique el número de proposiciones que sean correctas:
i) tg(90  x)  ctgx
ii) ctg(270  x)  tgx
iii) sec(180  x)  secx
A) 1
Semana Nº 6
B) 3
iv) sen(180  x)  senx
v) cos(90  x)  senx
C) 2
D) 4
(Prohibida su reproducción y venta)
E) Todas
249
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
(i) (F)
Por tg(90  x)  ctgx
(ii) (F)
Por ctg(270  x)  tgx
(iii) (V)
Por sec(180  x)  secx
(iv) (V)
Por sen(180  x)  senx
(v) (F)
Por cos(90  x)  senx
Son correctas dos proposiciones
Rpta.: C
10. En el triángulo rectángulo ABC, BD  m , DC  n , halle el valor de
n2
.
m2
A) 8
B) 9
C) 16
D) 64
E) 81
Solución:
1
2 2
 cos(90  C) 
3
3
(2 2)2
1
Ley de proyecciones: m  cos(90  C)  senC   n  2 2 cosC 
3
3
2
n
F  2  64
m
BC  1  (2 2)  3 ; senC 
Rpta.: D
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Si  es la medida un ángulo en posición normal tal que: sen  0 , cos   0 ,
 
R  sec 2  y tg  cos(17  ) . Halle el valor de 4R
2 3
A) 3
Semana Nº 6
B) 5
C) 7
D) 9
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 4
250
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
sen  0    IIIQ ó IVQ
cos   0    IQ ó IVQ
   IVQ  tg  0
 
 

3
 )  cos(4V   )  sen  
2 3
2 3
3
2
3 2 7
 4R  7
) 
sec 2   1 tg2  R  1  ( 
2
4
tg  cos(17
Rpta.: C
2.
5sen  12cos   es un


169cos(  605 )sen(  903 )
2
2
Si
A) 10
B) 20
ángulo
C) 60
agudo.
Determinar
D) 40
el
valor
de
E) 50
Solución:



cos(  605 )  cos(605  )  cos(151v   )  sen
2
2
2


sen(  903 )  sen(3  )  cos 
2
2
12
12
5
De 5sen  12cos   tg 
;  agudo  IQ  sen 
y cos  
5
13
13


12(5)
E  169cos(  605 )sen(  903 )  169sen cos   169
 60
2
2
13(13)
Rpta.: C
3.
Con
la
información
dada

41(sen  cos(1245   )) .
2
en
la
figura,
calcule
el
valor
de
A) -2
B) 5
C) -6
D) 4
E) -9
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
251
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
Para P (-5,4) en (90o  ) ; r  41
5
;
cos(90o  )  sen 
41
Para Q (-4,-5) en ( 90o  ) ; r  41
4
4
 sen 
cos(90o   )  sen 
41
41

E  41[sen  cos(311V   )]
2

 41[sen  cos(   )]
2
5
4
E  41(sen  sen)  41(

)  9
41
41
Rpta.: E
4.
Daniela le dice a su padre que la cantidad de dinero que tiene ahorrado está
49
representada mediante el cociente de A y B, siendo A  640sen(
)cos(2019  )
6
203
y B  2sen(
 ) en soles. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado Daniela?
2
A) 160 soles
D) 120 soles
B) 320 soles
E) 180 soles
C) 240 soles
Solución:
49

)cos(2019  ) 640sen(4V  )cos(1009V    )
6
6
M

203
3
2sen(
 )
2sen(50V 
 )
2
2

640sen (  cos )
6
M
2(  cos )
M  160
640sen(
Rpta,: A
5.
   3


sen     tg 
   csc     
2  2


Reducir la expresión
ctg  540º   cos  810º   sec 1620º  
A) 1
Semana Nº 6
B) sen2
C) cos2
D) tg2
(Prohibida su reproducción y venta)
E) ctg2
252
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
   3


sen     tg 
   csc     
2  2


M
ctg  540º   cos  810º   sec 1620º  
(  cos )( ctg)( csc )
ctg(1V  180  )cos(2V  90o  )sec(4V  180o  )
(  cos )( ctg)( csc )
 cos ctg csc 
M

 ctg2
o
o
o
ctg(180  )cos(90  )sec(180  ) ctg(sen)( sec )
M
o
Rpta,: E
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
253
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Un joven realiza una acrobacia con su patineta iniciando en el punto Q y terminando
en el punto P, como se muestra en la figura. Si AB  BQ  4m , siendo BQ un
camino rectilíneo tal que la medida de la altura con respecto a la superficie del suelo
2

es 1m. Si la longitud PA es igual a  sen  m . Halle PA
3

1
m
6
B)
1
m
8
C) 1 m
D)
1
m
4
A)
E)
1
m
2
Solución:
De la figura     180o ;
sen  sen(180o  )  sen ;
1
sen  ;
4
1
2 1
PA  ( )  m
6
3 4
Rpta.: A
2.
En la generación de corriente eléctrica alterna, se presentan las denominadas
corrientes
parásitas,
que
está
representada
por
la
expresión
I()  (cos3  cos5  cos6  cos8 10) amperios y  es positivo. Si el costo de
operación del generador esta expresado por C()  [5000  100 I()] soles, siendo
C()  0 , calcular el valor de C( / 11) .
A) S/ 6000
Semana N.º 6
B) S/ 5000
C) S/ 4000
D) S/ 3000
(Prohibida su reproducción y venta)
E) S/ 3500
254
Pág.
63

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:

3
5
6
8
)  cos
 cos
 cos
 cos
 10
11
11
11
11
11
Ángulos suplementarios
8
6
3
5
3 8 5 6
; cos


  cos
  cos

  Entonces cos
11 11 11 11
11
11
11
11
Se tiene para I
I( / 11)  10A , finalmente el costo es: C( / 11)  [5000  100  10]  4000 Soles
Hallando I(
Rpta.: C
3.
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. tg[(45322  1)  ]   3
3
 
II. Si  y  son ángulos coterminales entonces tg(
) 1
4
III. Si  y  son ángulos en posición normal, talque     360o n , n   , entonces
cos2   sen2   1
A) FFF
B) VFV
C) FFV
D) VVF
E) VFF
Solución:




I. tg[( 45322  1)  ]  tg[45322     ]  tg[  ]  tg  3 (F)
3
3
3
3
 
 90o n , luego
II. Si  y  son coterminales     360o n , entonces
4

tg(
)  tg(90o n) , si n=2 tg(180o )  0 (F)
4
III. Se cumple que     360o n , luego cos()  cos(  360o n)  cos  . Entonces
(V)
cos2   sen2   1
Rpta.: C
Semana N.º 6
(Prohibida su reproducción y venta)
255
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2018-II
Un radar recoge la señal reflejada por un automóvil en movimiento. La diferencia (en
megaciclos por segundo) entre la señal original y reflejada se obtiene a través de la
 27

f . cos 
 x
 2
 , donde f es la frecuencia de la señal
siguiente expresión: g(x) 
 37

sen 
 x
 2

original (megaciclos por segundo), x es el valor de la velocidad del automóvil en
metros por segundo. Si un policía dirige el radar cuya frecuencia es 2 megaciclos por
segundo y observa que la diferencia de frecuencias es 3 sec x megaciclos por
segundo, ¿cuál es el valor de la velocidad del automóvil?
A)

m/s
3
B)  m / s
C) 2 m / s
D)

m/s
4
E) 1 m / s
Solución:
( 3 sec x )  10 6
3
sec x 
2
ciclos

s
(2  10 6
ciclos

) cos(27  x )
s
2

sen(37  x )
2
3
cos(  x )

senx
3

2

; senx 
 x  Entonces v  m / s

3
cos x
2
3
sen(  x )
2
Rpta.: A
5.
Se tiene un terreno ABCD que tiene la forma de una región cuadrangular cuya área
es 5 u2 . Si el precio del terreno está dado por la expresión
P  1000 13(senθ  cosθ) en soles, ¿cuál es el valor de dicho precio?
A) 4 000 soles
B) 5 000 soles
C) 6 000 soles
D) 7 000 soles
E) 8 000 soles
Semana N.º 6
(Prohibida su reproducción y venta)
256
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
L2  5 , entonces L  5
  ()  360o
     360o
P  103 13(sen(  360o )  cos(  360o ))
P  103 13(sen  cos )
BNA  DOA; BN=AO=2 y DO=AN=1
BNO: sen 
2
3
y cos  
13
13
Sustituyendo en P:
P  1000 13(5 / 13)  5000
Rpta.: B
6.
Un móvil se dirige del punto A hacia el punto B con velocidad constante y desde B
se observa dos puntos P y C, localizados a igual distancia de B. Hallar el área de la
región triangular formada por los puntos A, B y C sabiendo que el tiempo que
demoró en trasladarse de A hacia B fue el triple del tiempo cuando se trasladó de
BaC
A) 915 u2
B) 1036 u2
C) 838 u2
D) 936 u2
E) 963 u2
Solución:
 PQB   CNB
b  10 y a  24 ; (BC)2  (24)2  (10)2
BC  BP  26 ; AB  3 BC  3(26)  78
1
A ABC  (26)(78)sen( (  90 ))
2
Semana N.º 6
(Prohibida su reproducción y venta)
257
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
1
 24
(26)(78)( cos ) ; cos  
2
26
1
24
 (26)(78)( )  936u 2
2
26
A ABC 
A ABC
Rpta.: D
7.
Dos autos recorren por una pista circular de radio 2 km. Si se encuentran por
primera vez en el punto P, hallar la longitud recorrida por el auto A y la distancia que
se encuentra con respecto al diámetro de la circunferencia.
A)
B)
C)

D)
E)
2
km, 1km
3

km, 3 km
3
2
km, 3 km
3

km, 1km
3
2
km, 2 km
3
Solución:
, en posición normal
2  x 2  3x 2  x  1
PMO Notable 30º y 60º
2

d  3 km ;   60o  y   120o 
3
3
Longitud de arco AP

2
L AP  (2km)( ) 
km
3
3
2
Rpta.: C
Semana N.º 6
(Prohibida su reproducción y venta)
258
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2018-II
Durante una prueba de explosiones controladas, para conocer el efecto de estas, se
ha observado que tres partes del objeto de prueba salen disparados desde el origen
de coordenadas, en las direcciones mostradas en la figura. Calcule
tg(    )  41sen
A) 1
C)
13
3
E)
4
9
B)
2
3
D)
1
3
Solución:
    270o
E  tg(    )  (tg(270o  )
tg(    )  ctg
También
tg( 90o  )  
2
2
;  ctg  
3
3
Además
cos(90o   )  
 sen  
5
41
5
2
5
13
; E    41(
)
3
3
41
41
Rpta.: C
9.
Con la información presentada en la figura, calcule el valor de la expresión
25
cos(
 )  sen(323  )
2
A) 2
B)
3
2
C)
7
5
D)
6
5
E)
1
5
Semana N.º 6
(Prohibida su reproducción y venta)
259
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
PHO   ONQ; ON=3, NQ=4
PHO:  ω es agudo

E = cos(25 + α) + sen(323  ω)
2

E = cos( + α) + sen(   ω)  sen  sen
2
E = senα  sen(ω)
E = sen(α)  sen(ω) =
4 3 1
 =
5 5 5
Rpta.: E
10. El número de bacterias representado por y(x) que están presentes en un
x
300
experimento biológico, para cualquier instante del tiempo x, es y(x)  200 (5 ) .

ctg(   )  tg(    )
2
, siendo  la medida de un ángulo en posición
Halle el valor de
sen(48  )
normal, cuyo lado final pasa por el punto P(x,y) , cuando y  1000
A)
2 109
3
B)
109
6
C)
109
D)
109
3
E)
2 109
5
Solución:
x
Si y  1000 ; 1000  200(5 300 )
x  300 , r  100 109 ; Entonces P(300,1000)

ctg(   )  tg(    )
2
H
;
sen( 48   )
 tg  tg 2tg
2
H


 sen
sen cos 
x
300
2 109
cos   
; H
r 100 109
3
Rpta.: A
Semana N.º 6
(Prohibida su reproducción y venta)
260
Pág.
69

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Si
es la medida de un ángulo en posición normal con
5
S S  sen(12456  ) , halle el menor valor de tg .
6
A)
3
3
B) 
3
3
C) 
1
15
D)
15
15
S  sen
y
E)  15
Solución:
1
1
 1 2
sensen    , Luego sen   0    IQ ó   IIQ
2
2
1
3
1
ó tg  

tg  
3
3
3
Rpta.: B
2.
Si sen(  )  cos( 
agudo  .

 2k)  1, halle la secante del suplemento del ángulo
2
C)  2
B)  2
A)  1
Solución:
sen(  )  sen y cos(  
D)  3
E) 
2 3
3

 2k)  sen
2
sen  sen  1  sen  1/ 2  sec(   )   sec   
2 3
3
Rpta.: E
3.
Si  es la medida de un ángulo en posición normal tal que sen cos   0 y
2 ab
ab
sec  
, b  a  0 ; calcule el valor de
ab
ba
A)  tg
C) tg
B) ctg
D) 1
E) sec
Solución:
Como sen cos   0  tg  0

cos   0
De la identidad: 1 tg   sec  ;
2
tg 
2
2 ab
2 ab
y a  b  0  tg 
ab
ba
Rpta.: C
Semana N.º 6
(Prohibida su reproducción y venta)
261
Pág.
70
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
De acuerdo a la figura, calcule
Ciclo 2018-II
tg  sec 
tg   sec 
A) 1/ 5
B)  1
C) 5
D)  1/ 5
E)  1/ 25
Solución:
sen
1
sen  1
E  cos 

sen
 1 sen  1
cos 
      90o y sen  sen(90 o  )  cos 
En P: x  12,y  5, r  13
12
12
 cos  
cos(180o  )  
13
13

12
1
1
E  13

12
25
1
13
Rpta.: E
5.
Un ciclista recorre con rapidez constante una distancia dada por tg metros, luego
se detiene y continua girando 90o a la derecha también, recorriendo una distancia
dada por tg metros. Si R es el valor que representa la distancia recorrida en total,
calcule 12R
A) 24 m
B) 27 m
C) 37 m
D) 25 m
E) 35 m
Semana N.º 6
(Prohibida su reproducción y venta)
262
Pág.
71
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
4
3
3
  (180  37o )  tg(180  37o )  tg37o 
4
4 3 25
 12R  25
R  
3 4 12
  180  53o  tg(180o  53o )  tg53o 
Rpta.: D
Semana N.º 6
(Prohibida su reproducción y venta)
263
Pág.
72
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
07
semana
264
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
1.
2.
IDENTIDADES RECÍPROCAS. sen  . csc  = 1 ,
n
cos  . sec  = 1 ,
  (2n + 1 )
tan  . cot  = 1 ,

n
,
n
,
n
1
(2n + 1) ,
2
n

2
n
2
IDENTIDADES POR COCIENTE.tan  =
cot  =
3.
,
sen 
cos 
cos 
sen 
,

,
  n
,
n
1
(2n + 1) ,
2
n
IDENTIDADES PITAGÓRICAS.sen2 + cos2 = 1
4.
1 + tan2 = sec2
, 
1 + cot2 = csc2
,   n
,
n
IDENTIDADES AUXILIARES.sen4 + cos4 = 1  2 sen2 . cos2
sen6 + cos6 = 1  3 sen2 . cos2

n
, n
2
sec2 + csc2 = sec2 . csc2,  
n
, n
2
tan  + cot  = sec  . csc  ,
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
265
Pág.
40
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2020-I
OPERACIONES ALGEBRAICAS Y FACTORIZACIONES BÁSICAS.(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a2 – b2 = (a – b) (a + b)
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
EJERCICIOS
1.
Si x es un ángulo no cuadrantal, simplifique la expresión
1  senx  cos x senx  cos x  1
.

cos x  1  senx 1  senx  cos x
A) 2senx
2.
B) 6 km
Si  sec   tan 1 sec   7 y   0,
A) 3
4.
C) 2cscx
D) 2cos x
Con un automóvil se parte en dirección Norte llegando a la estación A. Saliendo de
esta estación se dirige en dirección E  S . Si se detuvo el automóvil para llenar
combustible en un grifo que se ubica a una distancia de 4 km y en dirección N E
del punto de partida, luego se continua con el recorrido llegando a la estación B
ubicado al Este del punto de partida, determine la mínima distancia entre las
estaciones A y B.
A) 12 km
3.
B) 2tanx
Si
B) 1
C) 4 km

2
D) 8 km
, calcule el valor de 6 sec   7 tan  .
C) 2
1 sen2x  31cos2 x , sec x   sec x y
D) 7
tan x  tan x , calcule el valor de
sec x  tan x  15 .
A) –5
Semana Nº 7
B) –6
C) –3
(Prohibida su reproducción y venta)
D) –4
266
Pág.
41
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2020-I
Una empresa dedicada al rubro de producción y venta de golosinas, estima que sus
ventas en el n-ésimo mes del año comercial 2020, ascenderán a E(n) millones de
 3n 
 3n 
3  sec 2 
 csc 2 


 4 
 4  , ¿en qué meses se tendrá la
soles . Si E  n   1 
 3n 
 3n 
tan4 
 cot 2 


 4 
 4 
máxima venta?
A) Julio y agosto
C) Abril, setiembre y diciembre
6.
B) Enero
D) Febrero, junio y octubre
Una mujer ubicada en un punto P de una isla desea llegar a un punto R, sobre una
playa recta. El punto P está situada a 9 millas de la costa y a 15 millas del punto R
como se muestra en la figura. Si la mujer rema en un bote de P hacia un punto Q en
tierra, después camina en línea recta hacia R en tierra y 4sen  cos   4 , calcule la
distancia que recorre la mujer para llegar al punto R.
Q
R
A) 50 millas
Q
B) 40 millas
9
15
C) 48millas
α
D) 46 millas
P
7.
La utilidad diaria de la empresa VINOS DULCES dedicada a la producción y venta
de vinos está dada por la expresión 4csc 2 x  24cot x  36 en cientos de soles,
donde x es agudo. Si la utilidad de la empresa está expresada por un número entero
de soles, determine la menor utilidad de dicha empresa.
A) S/ 4001
8.
B) S/ 4051
C) S/ 4049
D) S/ 3999
 cos x  tan x  2  2 tan x  1 
 años. Si x es la

4
sec
x
10senx


La edad de Vanessa en el 2020 es 50 
medida de un ángulo agudo, halle su edad en el año 2035.
A) 25 años
9.
B) 30 años
C) 35 años
D) 40 años
El ingreso trimestral de una empresa desarrolladora de software está determinada
4
2
por la expresión (1  cos x  sen x ) [ ( sen x  tan x )( cot x  cos x )] , en millones de
soles. Calcule el ingreso anual de la empresa.
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
267
Pág.
42
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
A) 8 millones
B) 12 millones
C) 16 millones
10. El costo de una laptop está de terminada por la expresión
D) 13 millones
tan3 x  cot3 x
sec x  csc x 
tan x  cot x
en miles de soles. ¿Cuánto se pagará por media docena de laptops?
2
A) S/ 15 000
B) S/ 18 000
2
C) S/ 12 000
D) S/ 21 000
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
La expresión 60(sen x  cos x )  45(sen x  cos x  2sen x  cos x) determina la
medida del ancho de un terreno rectangular en metros y su largo es el cuádruplo de
su ancho. Si el metro cuadrado cuesta S/ 100, halle el costo del terreno.
6
A) S/ 80 000
2.
6
B) S/ 100 000
4
4
2
C) S/ 90 000
2
D) S/ 95 000
El costo de una máquina de torno está determinada por la expresión
(1 tan2 x )3 (1 cot 2 x )3

tan x
cot x
2
2
en miles de soles, x agudo. Si tan x  cot x  7 , halle el costo del torno.
A) S/ 180 000
B) S/ 190 000
C) S/ 170 000
4
3.
4
 cos x
1   sen x
1 


El valor mínimo de la expresión 
 
 en miles de
 1 sen x cot x   1  cos x tan x 
dólares es el premio de una lotería. Halle a cuánto asciende dicho premio.
A) $16 000
4.
D) S/ 189 000
B) $15 000
C) $18 000
D) $14 000
2
4
Si cos x  sen x  a , halle el valor de la expresión
sen4x  cos4 x  3sen2x  cos2 x .
A) 5a  4
5.
B) 4a  5
C) 7a  5
D) 3a  2
2
2
La expresión cos x  cot x en miles de dólares determina el costo de una
camioneta. Si senx  csc x  6 , halle el costo de la camioneta.
A) $ 34 000
Semana Nº 7
B) $ 39 000
C) $ 30 000
(Prohibida su reproducción y venta)
D) $ 32 000
268
Pág.
43
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Si x es un ángulo no cuadrantal, simplifique la expresión
1  senx  cos x senx  cos x  1
.

cos x  1  senx 1  senx  cos x
A) 2senx
B) 2tanx
C) 2cscx
D) 2cos x
Solución:
M
1 senx  cos x 1 senx  cos x

1 senx  cos x 1 senx  cos x
(1 senx  cos x)2  (1 senx  cos x)2
(1 senx  cos x)(1  senx  cos x)
2(1  senx)(1 cos x)  2(1 senx)(1 cos x)

(1  senx)2  cos2 x
2(1 senx)[1 cos x  1 cos x]

1 2senx  sen2 x  (1 sen2 x)
2(1 senx)(2)

2senx  2sen2 x
2(1 senx)
2


 2csc x
senx(1 senx) senx

Rpta.: C
2.
Con un automóvil se parte en dirección Norte llegando a la estación A. Saliendo de
esta estación se dirige en dirección E  S . Si se detuvo el automóvil para llenar
combustible en un grifo que se ubica a una distancia de 4 km y en dirección N E
del punto de partida, luego se continua con el recorrido llegando a la estación B
ubicado al Este del punto de partida, determine la mínima distancia entre las
estaciones A y B.
A) 12 km
Semana Nº 7
B) 6 km
C) 4 km
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 8 km
269
Pág.
57
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Del gráfico:
d  A,B  4  tan   cot   km
Como  es agudo:
tan   cot   2
Luego:
d  A,B  8 km
 d  A,Bmin  8 km
Rpta.: D
3.
Si  sec   tan 1 sec   7 y   0,
A) 3
B) 1

2
, calcule el valor de 6 sec   7 tan  .
C) 2
D) 7
Solución:
Del dato:
1 sec  
7
sec   tan 
 1 sec   7  sec   tan  
 6sec   7 tan1.
Rpta.: B
4.
Si
1 sen2x 31cos2 x , sec x   sec x y
tan x  tan x , calcule el valor de
sec x  tan x  15 .
A) –5
Semana Nº 7
B) –6
C) –3
(Prohibida su reproducción y venta)
D) –4
270
Pág.
58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
1 sen x  31cos x  sec x 
2
2
2
sen2 x
2
cos x
Y
 31
 sec 2 x  tan2 x  31
Re solviendo el sistema de ecuaciones :

X
sec x  tan x  31
2
2
4
sec 2 x  tan2 x  1
 2 sec 2 x  32  sec x   4, xIIIC
(1, 15)
 sec x  tan x  15   4  15  15   4.
Rpta.: D
5.
Una empresa dedicada al rubro de producción y venta de golosinas, estima que sus
ventas en el n-ésimo mes del año comercial 2020, ascenderán a E(n) millones de
 3n 
 3n 
3  sec 2 
 csc 2 


 4 
 4  , ¿en qué meses se tendrá la
soles. Si E  n   1
 3n 
 3n 
tan4 
 cot 2 


 4 
 4 
máxima venta?
A) Julio y agosto
B) Enero
C) Abril, setiembre y diciembre
D) Febrero, junio y octubre
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
271
Pág.
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Solución:
(1) Denotando u 
Ciclo 2020-I
3n
, se tiene:
4

 
3  1 tan2 u  1 cot 2 u
3  sec 2 u  csc 2 u
1
 1
tan4 u  cot 2 u
tan4 u  cot 2 u
 1

tan4 u  tan2 u  1

tan4 u  cot 2 u
1 tan2 u  cot 2 u

tan4 u  cot 2 u


tan2 u tan4 u  tan2 u  1
tan6 u  1
tan2 u

tan2 u  1
 3n 
 E  n   sen 
 , n
 4 

tan4 u  tan2 u  1
1
tan4 u 
tan2 u
tan2 u
 sen2u  senu
2
sec u
+
 3n 
(2) E  n   1  sen 
 1 , n 
 4 
+
1  n  12
3n 3

 n2
4
2
3n 9

 n6
4
2
3n 15

 n  10
4
2
 máxima venta en los meses de febrero, junio y octubre.
Luego,
Rpta.: D
6.
Una mujer ubicada en un punto P de una isla desea llegar a un punto R, sobre una
playa recta. El punto P está situada a 9 millas de la costa y a 15 millas del punto R
como se muestra en la figura. Si la mujer rema en un bote de P hacia un punto Q en
tierra, después camina en línea recta hacia R en tierra y 4sen cos  4 , calcule la
distancia que recorre la mujer para llegar al punto R.
Q
R
A) 50 millas
B) 40 millas
9
15
C) 48millas
α
D) 46 millas
P
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
272
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
4sen  cos   4
4  4sen  cos 
4  4sen
1
cos 
4 sec   4tg  1
1
sec   tg 
4
 sec   tg  4
Luego,
9tgα
Q
12-9tgα
R
9secα
9
15
α
d P,Q   d  Q,R   12  9  sec   tg 
P
d P,Q   d  Q,R   12  9  4 
d P,Q   d  Q,R   48 millas
Rpta.: C
7.
La utilidad diaria de la empresa VINOS DULCES dedicada a la producción y venta
de vinos está dada por la expresión 4csc 2 x  24cot x  36 en cientos de soles,
donde x es agudo. Si la utilidad de la empresa está expresada por un número entero
de soles, determine la menor utilidad de dicha empresa.
A) S/ 4001
B) S/ 4051
C) S/ 4049
D) S/ 3999
Solución:
U(x)  4 csc 2 x  24 cot x  36  U(x)  4(1  cot 2 x)  24 cot x  36
 U(x)  4 cot 2 x  24 cot x  40  U(x)  (2cot x  6)2  4

como
0  x   6  2cot x  6  36<(2cot x  6)2
2
 40  (2cot x  6)2  4  4000  U
 U  S/ 4 001.
Rpta.: A
8.
 cos x  tan x  2  2 tan x  1 
La edad de Vanessa en el 2020 es 50 
 años. Si x es la
4 sec x  10senx


medida de un ángulo agudo, halle su edad en el año 2035.
A) 25 años
Semana Nº 7
B) 30 años
C) 35 años
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 40 años
273
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Sea E la edad de Vanessa.

 cos x 2 tan2 x  tan x  4 tan x  2
 cos x  tan x  2  2 tan x  1 
E  50 
  50 
4 sec x  10senx
4 sec x  10senx



 cos x 2 sec 2 x  5 tan x 

 50 
4 sec x  10senx


 2 cos x .sec 2 x  5 tan x .cos x 
 50 

4 sec x  10senx




 

  2 sec x  5senx  
 50 

 2  2 sec x  5senx  
 E  25.
Entonces, la edad de Vanessa en el 2020 es 25 años. Por lo tanto, su edad en el
año 2035 es 40 años.
Rpta.: D
9.
El ingreso trimestral de una empresa desarrolladora de software está determinada
4
2
por la expresión (1  cos x  sen x ) [ ( sen x  tan x )( cot x  cos x )] , en millones de
soles. Calcule el ingreso anual de la empresa.
A) 8 millones
B) 12 millones
C) 16 millones
D) 13 millones
Solución:
(1  cos x  sen x )4 [ ( sen x  tan x )( cot x  cos x )]2
 [(1  cos x  sen x )2 ]2 [ tan x (1  cos x )cot x (1  sen x )]2
 [ 2(1  cos x )(1 sen x )]2 [ (1  cos x )(1  sen x )]2
 22
4
Por consiguiente, el ingreso anual es de 16 millones de soles.
Rpta.: C
10. El costo de una laptop está de terminada por la expresión
sec 2 x  csc 2 x 
tan3 x  cot3 x
tan x  cot x
en miles de soles. ¿Cuánto se pagará por media docena de laptops?
A) S/ 15 000
Semana Nº 7
B) S/ 18 000
C) S/ 12 000
(Prohibida su reproducción y venta)
D) S/ 21 000
274
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
sec 2 x  csc 2 x 
tan3 x  cot3 x
(tan x  cot x)( tan2 x  1  cot 2 x )
 sec 2 x  csc 2 x 
tan x  cot x
tan x  cot x
 tan2 x  cot 2 x  2  ( tan2 x  1  cot 2 x )
 3 en miles de soles
Por lo tanto, media docena de laptops cuesta 18 mil soles.
Rpta.: B
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
La expresión 60(sen6x  cos6 x )  45(sen4x  cos4 x  2sen2x  cos2 x) determina la
medida del ancho de un terreno rectangular en metros y su largo es el cuádruplo de
su ancho. Si el metro cuadrado cuesta S/ 100, halle el costo del terreno.
A) S/ 80 000
B) S/ 100 000
C) S/ 90 000
D) S/ 95 000
Solución:
60(sen6 x  cos6 x )  45(sen4 x  cos 4 x  2 sen2x  cos2 x)
 15 [ 4 (1 3 sen2 x  cos2 x )  3 (1 4 sen2x  cos2 x )]
 15 ( 4  3 )
 15
Luego,elcosto del terreno  (15)(60)(100)  S/ 90 000.
Rpta.: C
2.
El costo de una máquina de torno está determinada por la expresión
(1 tan2 x )3 (1 cot 2 x )3

tan x
cot x
en miles de soles, x agudo. Si tan2 x  cot2 x  7 , halle el costo del torno.
A) S/ 180 000
Semana Nº 7
B) S/ 190 000
C) S/ 170 000
(Prohibida su reproducción y venta)
D) S/ 189 000
275
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
tan2 x  cot 2 x  7  ( tan2 x  1)  ( cot 2 x  1)  9  sec 2 x  csc 2 x  9
 sec 2 x  csc 2 x  9  sec x  csc x  3...(1)
Por otro lado :
(1 tan2 x )3 (1 cot 2 x )3 sec 6 x csc 6 x



tan x
cot x
tan x
cot x
1
1


sen x.cos5 x cos x  sen5x
1
1
1

(

)
sen x.cos x cos4 x sen4 x

sen4 x  cos4 x
sen5 x.cos5 x
 sec 5 x  csc 5 x (1 2 sen2x  cos2 x)
 sec 5 x  csc 5 x  2 sec 3 x  csc 3 x
 (3)5  2(3)3  33 (9  2)  189
De (1)
Luego, el costo del torno es de S/ 189 000.
Rpta.: D
4
3.
4
 cos x
1   sen x
1 
El valor mínimo de la expresión 


 
 en miles de
1

sen
x
cot
x
1

cos
x
tan
x

 

dólares es el premio de una lotería. Halle a cuánto asciende dicho premio.
A) $16 000
B) $15 000
C) $18 000
D) $14 000
Solución:
4
 cos x
1   sen x
1 



 

 1 sen x cot x   1  cos x tan x 
 cos x (1 sen x)
1 



2
cot x 
cos x

4
4
 sen x (1 cos x )
1 



tan x 
sen2 x

4
 sec 4 x csc 4 x  ( sec 2 x  csc 2 x )2
 ( tan2 x  cot 2 x  2)2
Luego, 2  tan2 x  cot 2 x  4  tan2 x  cot 2 x  2  16  ( tan2 x  cot 2 x  2 )2
 El premio que paga la lotería  $16000.
Rpta.: A
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
276
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2020-I
Si cos2 x  sen4x  a , halle el valor de la expresión
sen4 x  cos4 x  3 sen2x  cos2 x .
A) 5a  4
B) 4a  5
C) 7a  5
D) 3a  2
Solución:
cos2 x  sen4 x  a  a  cos2 x  (1 cos2 x )2  cos2 x  1 2cos2 x  cos 4 x
 1  cos2 x  cos4 x  1 cos2 x (1  cos2 x )  1 sen2 x  cos2 x
 1 sen2 x  cos2 x  a  sen2 x  cos2 x  1 a (1)
Luego, sen4 x  cos 4 x  3 sen2x  cos2 x 1  5 sen2x  cos 2 x 1 5(1 a )  5 a  4.
Rpta.: A
5.
La expresión cos2 x  cot2 x en miles de dólares determina el costo de una
camioneta. Si senx  csc x  6 , halle el costo de la camioneta.
A) $ 34 000
B) $ 39 000
C) $ 30 000
D) $ 32 000
Solución:
senx  csc x  6  (senx  csc x )2  36  sen2x  2  csc 2 x  36
 sen2 x  csc 2 x  34
(1)
Por otra parte cos2 x  cot 2 x  (1 sen2 x )( csc 2 x  1)
 sen2 x  csc 2 x  2
De (1)
 34  2  32.
Por consiguiente, el costo de la camioneta es de $ 32 000.
Rpta.: D
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
277
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Determine el máximo valor que puede tomar la expresión
cot x  tan x

 csc
cot x  tan x
6
A)
5
3
B)
4
3


 x .
6
3
,
C)
2
3
D)
5
2
Solución:
cos x sen x

 sen x cos x
 cos2 x  sen2 x

cot x  tan x
 csc 
 csc 
 csc
2
2
6 cos x sen x
6 cos x  sen x
6
cot x  tan x

sen x cos x


 x .
6
3

5
 Max.valor  2( cos2 )  1  .
6
2
 2cos2 x 1 2  2cos2 x 1,
Rpta.: D
2.
Un constructor desea colocar mayólicas en el patio de una residencia que tiene forma
circular cuyo radio en metros está determinado por la expresión
 1  cos x
sen x 
3 sen x 

 , donde x es agudo. Si el metro cuadrado de mayólicas
1 cos x 
 sen x
colocadas cuesta 40 soles, ¿cuánto debe pagar el propietario de la residencia al
constructor?
A) S/ 1240 
B) S/ 1420 
Solución:
 1  cos x
sen x
3 sen x 

1 cos x
 sen x
C) S/ 1440 
D) S/ 1460 

 1  cos x
sen x 

  3 sen x 

1 cos x 

 sen x

1 cos2 x
 3  1  cos x 

1 cos x

6



Luego el área  36 m2
 Costo de mayólicas  S / 36 (40)  S / 1 440 .
Rpta.: C
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
278 56
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-II
El laboratorio de una institución educativa adquiere la cantidad de x2  y2  67
computadoras, donde x cos   y sen   2 y y cos   x sen   3 . Si  es agudo
y cada computadora cuesta S/ 2 500, halle el costo total de las computadoras.
A) S/ 200 000
B) S/ 250 000
C) S/ 180 000
D) S/ 280 000
Solución:
 x 2 cos2   y 2 sen2   2 xy sen   cos   4
 x cos   y sen   2


2
2
2
2
 y cos   x sen   3
 x sen   y cos   2 xy sen   cos   9
 x 2  y 2  13  x 2  y 2  67  80
Costo total  S / 80( 2500)  S / 200 000.
Rpta.: A
4.
La cantidad de autos importados por una compañía automotriz está determinado por
la expresión ( 1 3 sec 2  )2 (1 3 tan2  )2 , donde
es agudo. Si cada auto cuesta
$ 30 000 y 1 sen4  9cos4  , ¿cuánto pagó la compañía por los autos importados?
A) $ 2 510 000
B) $ 2 700 000
C) $ 2 650 000
D) $ 2 610 000
Solución:
1 sen4  9 cos4   sec 4   tan4   9  sec 2   tan2   9
 1 2 tan2   9  tan   2
(1)
(1 3 sec 2  )2  (1 3 tan2  )2  6 ( sec 2   tan2  )  9 ( sec 2   tg2 )( sec 2   tan2  )
 6  9 (1 2 tan2  )
 6  81  87 autos, por (1)
Lo que paga la compañía  $ 87 ( 30 000)  $ 2 610 000
Rpta.: D
5.
El número de canicas que se encuentra en una caja está dada por la expresión
tan4 x  cot 4 x . Si tan x  cot x 5 , ¿cuántas canicas hay en la caja?
A) 729
B) 726
C) 727
D) 730
Solución:
tan x  cot x  5  ( tan x  cot x )2  25  tan2 x  cot 2 x  27
 ( tan2 x  cot 2 x )2  729  tan4 x  cot 4 x  727
Luego, 727 es el número de canicas que hay en la caja.
Rpta.: C
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
279 57
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2019-II
La cantidad de tornos que importa una empresa del rubro metalmecánica está dada
por la expresión
18[(1  sen2  )3  (1  cos2  )3 ]  162
. Si se paga 10 000 dólares,
2  sen2  cos2 
por cada torno, ¿cuánto se pagará por el total de los tornos importados?
A) $ 1 800 000
B) $ 1 720 000
C) $ 1 540 000
D) $ 1 620 000
Solución:
18(1  sen2  )3  18(1  cos2  )3  162
2  sen2 cos2 





18[(1  sen2  )3  (1  cos2  )3  9 ]
2  sen2 cos2 
18(1  3 sen2   3 sen4   sen6  1  3cos2   3cos4   cos6   9
2  sen2 cos2 
18[ 2  3( sen2   cos2  )  3( sen4   cos4  )  sen6  cos6   9 ]
2  sen2 cos2 
18( 9  9 sen2  cos2   9 )
2  sen2 cos2 
162( 2  sen2  cos2  )
2  sen2 cos2 
 162.
Luego, se pagará por número total de tornos = $ (162)(10 000)= $ 1 620 000
Rpta.: D
7.
Se está construyendo el primer piso de un hospital, para el techado se requiere la
cantidad de ( 1  sen   cos )4 (1  sen   cos )4 sec 4  csc 4  ladrillos de techo
en millares. Si cada millar de ladrillos cuesta S/ 1 500, ¿cuánto se debe pagar por los
ladrillos requeridos?
A) S/ 24 500
B) S/ 24 000
C) S/ 23 000
D) S/ 23 500
Solución:
(1  sen   cos  )4 (1  sen   cos  )4 sec 4  csc 4  
 [ 2( 1  sen  )(1 cos  ) ]2 [ 2( 1  sen  )(1 cos  ) ]2 sec 4   csc 4 
 16 (1  sen2  )2 (1 cos2  )2 sec 4   csc 4 
 16 sen4  cos4   sec 4   csc 4 
 16.
Luego el costo total  S/ (16)(1 500)  S / 24 000.
Rpta.: B
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
280 58
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2019-II
La propina diaria que recibe Juan es de 4a  2b  c soles, donde a, b y c se obtiene a partir
1
1

 a  b cotc x . ¿Cuánto de propina recibe Juan?
de la expresión
1  cos x sec x  1
A) S/ 10
B) S/ 15
C) S/ 5
D) S/ 8
Solución:
1
1
1
cos x
1  cos x  cos x  cos2 x




1  cos x sec x  1 1  cos x 1  cos x
(1  cos x)(1  cos x )

1  cos2 x
1  cos x
2

1  cos2 x
2
sen x
 csc 2 x  cot 2 x  1 2 cot 2 x
 1 2 cot 2 x  a  b cot c x  a  1, b  2 y c  2
 4a  2b  c  S /10.
Rpta.: A
9.
La expresión
25
25
25
25
, determina la mínima



csc x  1 sec x  1 csc x  1 sec x  1
cantidad de cocinas a gas que un distribuidor debe tener en stock. Si cada cocina
cuesta S/ 1 500, ¿cuál es la inversión mínima que debe hacer el distribuidor?
A) S/ 170 000
B) S/ 200 400
C) S/ 120 000
D) S/ 150 000
Solución:
25
25
25
25



csc x  1 sec x  1 csc x  1 sec x  1


1
1
1
1
 25 




 csc x  1 csc x  1 sec x  1 sec x  1 
 csc x  1 csc x  1 sec x  1  sec x  1 
 25 



csc 2 x  1
sec 2 x  1





2
2
2
2
 25 

 25 

 csc 2 x  1 sec 2 x  1 
 cot 2 x
tan2 x






 50( tan2 x  cot 2 x )  50(2)  100.
Por lo tanto, la inversión mínima que debe hacer el distribuidor es de S/. 150 000.
Rpta.: D
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
281 59
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
10. En el primer examen del Centro Preuniversitario de la UNMSM, el mayor y menor
puntaje obtenidos están dados por las expresiones
100[ ( 2  cos x )(12  sec x )  2 sec x (1 cos x )  6 cos x ]
3  2cos x
y
90( sec 4 x  tan4 x  1)cos2 x  cot 2 x ,
respectivamente. Halle la media aritmética del máximo y mínimo puntaje.
A) 640
B) 520
C) 540
D) 620
Solución:
100[( 2  cos x )(12  sec x )  2sec x (1 cos x )  6cos x ]

3  2cos x
100( 24  2sec x  12cos x  1  2sec x  2  6cos x)

3  2cos x
100( 27  18cos x ) 100( 9)(3  2cos x )


 900
3  2cos x
3  2cos x
Pmáx 
Pmín  90(sec 4 x  ta
4
x  1)cos2 x  cot 2 x  90 [(1  ta
2
x)2  tan 4 x 1]cos2 xcot 2 x
 90(2 tan2 x)(1 tan2 x)cos2 x cot 2 x
 90(2 tan2 x)sec 2 x  cos2 x cot 2 x 180
MA 
900 180
 540.
2
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Una fábrica determina que la producción de cierto artículo en el año 2019 está dada
t
t
 t 21
por la expresión sen4
, donde t denota los meses. En
 cos4
 2sen

12
12
12 2
base a la información dada, determine los meses en que la producción es mínima.
A) Febrero y octubre
C) Febrero y julio
Semana Nº 7
B) Enero y octubre
D) Mayo y octubre
(Prohibida su reproducción y venta)
282 60
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
t
t
 t 21
t
t
 t 21
 cos4
 2sen

 sen2
 cos2
 2sen

12
12
12 2
12
12
12 2
19
t
 t 19
t
t
)
 2sen2
 2sen

 2( sen2
 sen
12
12 2
12
12
2
t
 t 1 1 19
t 1 2
 2( sen2
 sen
  )
 2( sen
 ) 9
12
12 4 4
2
12 2
t 1
El mínimo valor se da cuando sen
 0
12 2
t 1
 t  5

sen


 ,

t  2, 10
12 2
12 6 6
Por lo tanto, los meses donde la producción es mínima de acuerdo al modelo
planteado por la fábrica son febrero y octubre.
Rpta.: A
sen4
2.
Simplifique la expresión
A) 2 cos2x
1 4 sen2x  cos2 x  1,
B) 2 sen2 x
3
x.
4
C) 2 sen x
D) 2 sen2 x
Solución:
, 1 4 sen2 x  cos2 x  1  1 4(1  cos2 x )cos2 x  1
 ( 2cos2 x  1)2  1  2cos2 x  2
Semana Nº 7
  2 sen2 x.
Rpta.: B
(Prohibida su reproducción y venta)
283 61
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-II
Las edades de un padre y su hijo están dadas por las expresiones
( sec x  csc x )2  6 y tan x  cot x  6 , respectivamente, donde x es agudo. Halle la
media geométrica de dichas edades.
A) 24
B) 16
C) 15
D) 18
Solución:
tan x  cot x  6  ( tan x  cot x )2  36  tan2 x  cot 2 x 34
Por otra parte :
( sec x  csc x )2  6  ( sec 2 x  csc 2 x  2sec x csc x )  6
 [1  tan2 x  1  cot 2 x  2( tan x  cot x )]  6
 [ tan2 x  cot 2 x  2  2( tan x  cot x )]  6
 48  6
 54
 MG  (54)(6)  18.
Rpta.: D
4.
Si sen2x  sen6 y  cos2 x  cos6 y  sen2x  cos6 y  cos2 x  sen6 y  cos2 y  cos4 y  a, a  1,
halle sec 2 y  csc 2 y .
A)
4
1 a
B)
4
1 a
C)
2
1  2a
D)
2
1 a
Solución:
sen2 x ( sen6 y  cos6 y)  cos2 x ( cos6 y  sen6 y )  cos2 y (1 cos2 y )  a
sen6 y  cos6 y  cos2 y  sen2 y  a
1 a
1  4 cos2 y  sen2 y  a 
 cos2 y  sen2 y
4
4
 sec 2 y  csc 2 y 
.
1 a
Rpta.: A
5.
La distancia entre dos ciudades es 32( 2  sen4 x  cos4 x  sen6x  cos6 x )
kilómetros. Si sen x  cos x 
A) 35 km
B) 40 km
2 , donde x es agudo, halle dicha distancia.
C) 50 km
D) 48 km
Solución:
sen x  cos x  2  1  2sen x  cos x  2  sen x  cos x 
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
1
2
(1)
284 62
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Luego,
32( 2  sen4 x  cos4 x  sen6 x  cos6 x )
 32( 2  1  2sen2 x  cos2 x  1  3 sen2 x  cos2 x )
 32( 5 sen2 x  cos2 x )
1
 32( 5 )( ) Por
4
 40.
(1)
Rpta.: B
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
285 63
Pág.
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
Si cos2 x  2 sen2x  3sen2x  ctg2y, halle sen2x  csc 2 y.
1.
A)
1
3
B)
2
3
C)
4
3
D)
3
4
E)
1
2
Solución:
1 sen2 x  2 sen2 x  3sen2 x  ctg2 y  1  3 sen2 x (1 ctg2 y)

1
 sen2 x ( csc 2 y).
3
Rpta.: A
2.
Simplificar la expresión
A) 2ctg x
tg2 x  ctg2x  2 
B) 2tg x
C) 2ctg x
tg2x  ctg2x  2 ,
D) tg x

 2x  .
2
E) ctgx
Solución:
( tg x  ctg x )2 
( tg x  ctg x )2  tg x  ctg x  tg x  ctg x ,

 2x  
2
 ( tg x  ctg x )  ( tg x  ctg x )
  2ctg x.
Rpta.: C
3.
Si
a
b
c


, halle la relación entre a, b y c.
sen x cos x ctg x
A) b( a2  b2 )  a2c 2
B) b2 ( a2  b2 )  ac
D) b( a2  b2 )  ac
E) b2 ( a2  b2 )  a2c 2
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
C) b2 ( a  b )  a2c 2
286
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
 a  k sen x (1)
a
b
c



 k  b  k cos x (2)
sen x cos x ctg x
 c  k ctg x (3)

De (1) y (3): a2 c 2  k 4 cos2 x
(4)
De (1) y (2): a2  b2  k 2
(5)
De (2): b2  k 2 cos2 x
(6)
De (5), (6) y (4): b2 ( a2  b2 ) k 4 cos2 x  a 2c 2.
 b2 ( a2  b2 )  a2c 2.
Rpta.: E
4.
Si 12sen x  5cos x 13, siendo x agudo, halle 12ctg x.
A) 4
B) 5
C) 3
D) 13
E) 12
Solución:
12 sen x  5 cos x  13  25(1 sen2 x ) 169  312 sen x 144 sen2 x
 169sen2 x  312 sen x 144  0  (13 sen x  12 )2  0
12
5
 cos x 
13
13
 12ctg x  5.
 sen x 
Rpta.: B
5.
Durante
la
campaña
escolar,
N  sen6 x  cos6 x  3 sen2 x cos2x  9
un
padre
cuadernos
de
familia
al
compra
precio
de


M  sen2x  cos2 x  sec  csc
soles cada uno. ¿Cuánto paga por los N
3
6
cuadernos?.
A) S/ 45
B) S/ 50
C) S/ 55
D) S/ 40
E) S/ 60
Solución:


NM  (sen6 x  cos6 x  3 sen2 x cos2 x  9)(sen2 x  cos2 x  sec  csc )
3
6
 (10)(5)
 S / 50
Rpta.: B
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
287
Pág. 63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2019-I
Cristóbal ayuda a su padre que está pintando la fachada de su casa, sosteniendo la
escalera apoyada sobre la pared formando un ángulo de inclinación x con el suelo. Si
tgx  senx  1, calcule senx.cos x  1.
A) 1
B)
1
2
C)
2 1
2
D)
2
E)
2
2
Solución:
tg x  senx  1 
senx
senx  senx cos x
 senx  1 
1
cos x
cos x
 senx  senx cos x  cos x  senx  cos x  senx cos x
 (senx  cos x )2  sen2 x  cos2 x  sen2 x  cos2 x  2senx cos x  sen2x cos2 x
1
 1  sen2 x cos2 x  2senx cos x
 2  sen2 x cos2 x  2senx cos x  1
 2   senx cos x  1
2
 senx cos x  1  2
Rpta.: D
7.
En la figura, se muestra un terreno de forma rectangular, cuya superficie es 9m 2 , si
para cercar con alambre el perímetro del terreno se utilizó la menor longitud posible
de alambre, calcule sec 2  .
A) 20
B) 15
C) 16
D) 18
E) 10
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
288
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
Del enunciado:
Recordar:
 x tg   9

x
 Perímetro  2 tg  

9
tg 
ax 
b
 2 ab ; si a,b 
x

; x0
18
 12
tg 
tg   3.
Luego:
sec 2   tg2  1  10 .
Rpta.: E
8.
Si csc3   sec5   0 y el ingreso trimestral de una empresa, en dólares, está dada
por la expresión


6000 tg10  2tg8  tg6 , donde  es ángulo agudo. Calcule el
ingreso anual de la empresa.
A) $ 4 000
B) $ 10 000
C) $ 15 000
D) $ 24 000
E) $ 26 000
Solución:
De la condición:
csc 3   sec 5 
sen3   cos5  ... 1
Sea I el ingreso trimestral de la empresa






I  6000 tg10  2tg8  tg6  6000 tg6 tg4  2tg2  1  6000 tg6 tg2  1
 sen3 
sen6
 6000 tg .sec   6000.

6000


5
cos10 
 cos  
 I  6000
6
2
2
4
Luego, el ingreso anual de la empresa es 24 000 dólares.
Rpta.: D
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
289
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2019-I
El ancho de un terreno rectangular mide
4
1 4 sen x
2

16
4  csc x
2

8
1 8 cos x
2

64
8  sec 2 x
metros.
Si el largo del terreno es el doble del ancho y cada metro cuadrado cuesta S/ 800,
halle el costo del terreno.
A) S/ 230 400
B) S/ 235 400
D) S/ 230 300
E) S/ 230 500
C) S/ 220 300
Solución:
A
4
1 4 sen x
2

16
4  csc x
2

8
1 8 cos x

1
4
 4 

2
2
 1 4 sen x 4  csc x

1
4 sen2 x
 4

 1 4 sen2 x 1 4 sen2 x

 4  8  12
2

64
8  sec 2 x



1
8

  8 

2
2 

 1 8 cos x 8  sec x 


1
8 cos2 x 

  8 

2
2 

 1 8 cos x 1 8 cos x 
S  12(24)  288 m2
 Costo del terreno  S / (288)(800)  S / 230 400.
10. Una
empresa
que
ensambla
automóviles
compra
cada
Rpta.: A
motor en
( tg x  240 ctg x )2  ( tg x  240 ctg x )2 en dólares. ¿Cuánto pagará la empresa por
300 motores?.
A) $ 298 000
B) $ 258 000
D) $ 388 000
E) $ 288 500
C) $ 288 000
Solución:
( tg x  240 ctg x )2 ( tg x  240 ctg x )2  480  480  960 dólares
 Costo  ( 960)(300)  288 000 dólares.
Rpta.: C
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
290
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Si
sen2 cos2 
1
b2


, a  b , halle b sen2  a cos2  
.
b
a
ab
ab
A)
a
b
B) b
C) a
D)
b
a
E) ab
Solución:
sen2 cos2 
1
ab


 a sen2  b cos2  
b
a
ab
ab
 a sen2  b (1 sen2  ) 
 sen2  
b2
a2  b2
ab
ab
 ( a  b ) sen2 
b
ab
ab
y cos2   1
b2
a2  b2

a2
a2  b2
Luego
b sen2  a cos2  
b2
b2
a2
b2
b(  2 2 ) a( 2 2 )
ab
ab
a b
a b

a3  b3
a2  b2


b2
(a  b )( a2  ab  b2 )
b2


ab
(a  b )( a  b)
a b
a2  ab
 a.
ab
Rpta.: C
2.
Hallar el valor mínimo de la expresión ( 3  sen2x )2  ( 3  cos2 x )2.
A) 25,5
B) 25,4
D) 24,4
E) 24,5
C) 24,6
Solución:
( 3  sen2 x )2  ( 3  cos2 x )2  18  6( sen2 x  cos2 x )  sen4 x  cos4 x
1 49
 25  2 sen2 x cos2 x  25  
2 2
 El valor mínimo es 24,5.
Rpta.: E
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
291
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Simplificar la expresión
Ciclo 2019-I
(1 sec 2 x )(1 csc 2 x )
( tg x  sen x )( ctg x  cos x )
2
2
2
A) sec 2x
B) csc 2x
D) tg2 x
E) ctg2 x
2
 sec 2 x.
C) csc 2x  csc 2 x
Solución:
(1 sec 2 x )(1 csc 2 x )
( tg x  sen x )( ctg x  cos x )
2
2
2
2
 sec 2 x 
sec 2x (1 cos2 x )csc 2x(1 sen2x )
tg x (1  cos x )ctg x (1 sen x )
2
2
2
2
 sec 2 x
 sec 2 x  csc 2 x  sec 2 x
 csc 2 x.
Rpta.: B
4.
Un empresario invierte
10( csc3 x  sen3x ) en millones de soles en la pesca de
anchoveta. Si csc3 x  sen3x  6 , halle la inversión del empresario.
A) 25 millones de soles
B) 22 millones de soles
C) 18 millones de soles
D) 15 millones de soles
E) 20 millones de soles
Solución:
csc 3 x  sen3 x  6  ( csc 3 x  sen3 x )2  36  csc 6 x  sen6 x  38
 csc 6 x  sen6 x  2  40  ( csc 3 x  sen3 x )2  40
 csc 3 x  sen3 x  2 10

10 (csc 3 x  sen3 x )  20 millones de soles.
Rpta.: E
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
292
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-I
Si sen x  csc x  6 , halle la altura de un edificio que está determinada por
la
expresión cos2x  ctg2 x en metros.
A) 30 metros
B) 32 metros
C) 34 metros
D) 28 metros
E) 29 metros
Solución:
( sen x  csc x )2  36  sen2 x  csc 2 x  34.
2
2
 cos2 x 
 1 sen2 x 
Luego, cos x  ctg x  

 (csc x  sen x )2
 sen x 
 sen x 




2
2
 csc 2 x  sen2 x  2
 34  2  32metros.
Rpta.: B
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
293
Pág.
69
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
6
6
Si P  2  sen x  cos x , halle 2P  P2.
4
4
1 sen x  cos x
4
3
A)
B)
3
4
C)
2
3
D)
3
2
E)
1
4
Solución:
P
2  sen6 x  cos6 x
1 sen4 x  cos4 x
3
 P
2
6 9 3
 2P  P2    .
2 4 4

2  1 3sen2 x  cos2 x
1 1 2sen2 x  cos2 x

3(1 sen2 x  cos2 x )
2(1 sen2 x  cos2 x )
Rpta.: B
2.
2
2
2
Si csc x  sen x  M(1 sen x ) , halle M.
2
2
2
sec x  cos x
4
1  cos x
2
B) ctg x
A) tg x
2
C) sen x
2
D) tg x
4
E) ctg x
Solución:
M(1 sen2 x )
1  cos2 x



csc 2 x  sen2 x
sec 2 x  cos2 x

(1 sen4 x )cos2 x
(1 cos4 x )sen2 x
(1 sen2 x )(1 sen2 x )cos2 x
(1 cos2 x )(1 cos2 x )sen2 x
(1 sen2 x )cos4 x
(1 cos2 x )sen4 x
 ctg4 x
(1 sen2 x )
(1 cos2 x )
 M  ctg4 x.
Rpta.: E
3.
1
, donde  y  son ángulos agudos. Si la
5
expresión 5( 48sec   csc  )  5( ctg  48tg ) denota el costo mensual en soles del
mantenimiento de un motor, calcule dicho costo.
Sea sec   tg   3
A) 95 soles
Semana Nº 07
y
csc   ctg  
B) 110 soles
C) 120 soles
D) 115 soles
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 105 soles
294
Pág.
58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
sec   tg   3  sec   tg  
1
3
1
 csc   ctg   5
5
 5( 48 sec   csc  )  5( ctg   48 tg  )  240(sec   tg  )  5(csc   ctg  )
csc   ctg  
1
 240( )  5(5)
3
 105.
Rpta.: E
4.
Una plancha de aluminio tiene la forma de un sector circular de radio (4sen  ) m y
longitud de arco (1 sen  )m . Si el área de dicha plancha es de 2m 2 y el costo por
4
2
m2 en soles está dada por la expresión 500 sec  ctg  , determine ¿cuánto
cuesta la plancha?.
A) 2 000 soles
D) 1 400 soles
B) 1 000 soles
E) 1 200 soles
C) 1 500 soles
Solución:
Area del sec tor circular : 2 
4 sen  ( sen   1)
2
 sen2  sen   1  cos2   sen   sec 2   csc 
Luego, 500 sec 4   ctg2  500 csc 2   ctg2  500
 2(500)  1 000 soles.
Rpta.: B
5.
3
3
Si sen  cos  (1 cos  sen  ) y la utilidad de una empresa, en miles de dólares,
12
4
4
está dada por la expresión 4(2sen   sen   cos  ),  ángulo agudo; calcule
dicha utilidad.
A) $ 2 500
D) $ 5 000
Semana Nº 07
B) $ 3 500
E) $ 4 500
(Prohibida su reproducción y venta)
C) $ 4 000
295
Pág.
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
sen3 (1 cos2  )  cos   cos   sen5  cos2   sen10
Luego, 4(2sen12  sen4  cos4  )  4(2sen10 sen2  sen4  cos4  )
 4(2cos2  sen2  1 2sen2 cos2  )
 4.
 La utilidad es de $ 4 000.
Rpta.: C
6.
Dos ciudades A y B están unidas mediante una autopista rectilínea. Un automóvil
sale de la ciudad A hacia la ciudad B con velocidad constante de
3( sec 4 x  tg4 x  1) km/h, donde x es un ángulo agudo, y después de
( 4cos2 x) horas sufre un desperfecto. Si la distancia entre las ciudades A y B es
30km, ¿a qué distancia de la ciudad B se produjo el desperfecto?.
A) 8 km
B) 4 km
C) 5km
D) 6 km
E) 7km
Solución:
Sea AB  AC  CB, donde C es el lugar donde se produce el desperfecto
 30  4cos2 x [ 3( sec 4 x  tg4 x  1)]  CB
 CB  30  12cos2 x [ ( sec 2 x  tg2 x)( sec 2 x  tg2 x )  1]
 CB  30  12cos2 x ( sec 2 x  tg2 x  1)
 CB  30  12cos2 x ( 2sec 2 x )
 CB  30  24  6km.
Rpta.: D
7.
Una empresa de telefonía móvil predice que sus utilidades mensuales están dadas
por la expresión sen t  cost, 0  t 12 , para el t-ésimo mes del año comercial 2019.
¿En qué mes o meses obtendrá las mayores utilidades?
2
A) Marzo y abril
C) Febrero, junio, agosto y diciembre
E) Enero, agosto, noviembre y diciembre
Semana Nº 07
B) Enero, abril y mayo
D) Febrero, marzo, julio y setiembre
(Prohibida su reproducción y venta)
296
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
sen2 t  cos t  1 ( cos2 t  cos t )  1 ( cos2 t  cos t 

1 1
 )
4 4
5
1
 ( cos t  )2 , t [ 0, 12]
4
2
1
La expresión toma su valor máximo cuando cos t  .
2
 
 3  1,014, que corresponde al segundo mes.

 5  5,23, que corresponde al sexto mes.

3
 t 
 7  7,322, que corresponde al octavo mes.
 3
11

 11,506, que corresponde al doceavo mes.
 3
 La mayor utilidad se obtiene en los meses de febrero, junio,
agosto y diciembre.
Rpta.: C
8.
16(1 sen x  cos x )4 (tg2 x  ctg2 x  2)
, donde x es
Hallar el valor de la expresión
( sec x  sen x  sec x )( csc x  cos x  csc x )
un ángulo agudo.
A) sec x  csc x
D) 7
B) 8
E) 6
C) senx  cos x
Solución:
16(1 sen x  cos x )4 (tg2 x  ctg2 x  2) 4(1 sen x  cos x )2 sec 2 x  csc 2 x

( sec x  sen x  sec x )( csc x  cos x  csc x )
(1 sen x )(1  cos x )sec x csc x
4  2(1 sen x )(1 cos x )
(1 sen x )(1  cos x )
 8.

Rpta.: B
Semana Nº 07
(Prohibida su reproducción y venta)
297
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2018-II
El precio de lista y el descuento en miles de dólares de un producto en un centro
comercial
están
determinadas
por
las
expresiones
sen6  cos6 
y
5


(sen3  cos3  ) respectivamente, siendo    . Halle el precio de venta de
8
4
2
dicho producto si el precio de lista es de 0,52 en miles de dólares.
A) $ 420
B) $ 249
C) $ 345
D) $ 348
E) $ 396
Solución:
Denotamos por :
Pr ecio de lista  PL, Descuento  D y Pr ecio de venta  PV
 PV  PL  D
(1) PL  sen6  cos6   1  3 sen2  cos2   0,520
 0,480  3 sen2  cos2   0,4  sen  cos 
(2) D 
5
5
(sen3  cos3  )  (sen  cos  )(1 sen cos  )
8
8

5
( sen  cos  )2 ( 1 sen cos  )
8

5
1  2sen  cos  (1 sen cos  )
8
5
5 1
1  2( 0,4) (1 0,4 ) 
(1,4 )  0,175
8
8 5
 PV  0,520  0,175  0,345 miles de dólares  345 dólares.

Rpta.: C
10. El
ingreso
trimestral
de
o
o
3
o
2
3csc 20  3sec 20  ctg 20 (1 sec 20o )
anual de la empresa.
una
empresa
minera
es
millones de soles. Calcule el ingreso
A) 24csc3 20o millones de soles
B) 24sec3 20o millones de soles
C) 23csc3 20o millones de soles
D) 25ctg3 20o millones de soles
E) 24 tg3 20o millones de soles
Semana Nº 07
(Prohibida su reproducción y venta)
298
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
3csc 20  3 sec 20  ctg 20 (1 sec 20 )  3[ csc 20 
o
o
3
 3(csc 20  csc 20 
o
3
o
o
2
cos2 20o
3
sen 20
o
)  3(
o
o
cos3 20o (1  cos2 20o )
sen2 20o  cos2 20o
3
o
sen 20
cos3 20o  sen3 20o
]
 csc 3 20o )
 6 csc 3 20o ingreso trimestral  24 csc 3 20o millones de soles es el ingreso anual.
Rpta.: A
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Si tgx  3 , halle el valor de la expresión
3
A)
3
2
B)
4
3
sen6 x  7cos6 x
sen6 x  cos6 x
C) 4
D) 2
.
E) 3
Solución:
sen6 x  7cos6 x
sen6 x  cos6 x

tg6 x  7
tg6 x  1

97
 2.
9 1
Rpta.: D
2.
Un terreno de cultivo de forma rectangular tiene (1  ctgx  csc x )m de largo y
[40(1  ctgx  csc x )tgx ]m de ancho, donde el ángulo x es agudo. Si cada metro
cuadrado del terreno cuesta 1 800 soles, calcule el precio del terreno.
A) S/ 140 000
D) S/ 160 000
B) S/ 144 000
E) S/ 130 000
C) S/ 145 000
Solución:
(1  ctg x  csc x )[40(1  ctg x  csc x )tg x ]  40tg x[( 1  ctg x )2  csc 2 x ]
 40tg x ( 1  ctg2 x  2ctg x  csc 2 x )  40tg x  2ctg x  80
Luego, precio del terreno  80(1800 )  144 000 soles.
Rpta.: B
Semana Nº 07
(Prohibida su reproducción y venta)
299
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Para
el
primer
cumpleaños
Ciclo 2018-II
de
Pablito
se
compra
la
cantidad
de
400( sen x  cos x  1 )
6
6
chupetines, donde x es un ángulo agudo. Si cada
cos4 x  sen4 x  1
docena de chupetines cuesta 6 soles, ¿cuánto se pagó por la compra?.
A) S/ 300
B) S/ 250
Solución:
400( sen6 x  cos6 x  1 )
cos4 x  sen4 x  1

C) S/ 330
D) S/ 280
E) S/ 310
400(1  3 sen2 x  cos2 x  1 )
1  2sen2 x  cos2 x  1
3
 400( )  600 que equivale a 50 docenas
2
 50(6 soles )  300 soles.
Rpta.: A
 sen x  cos x 
100 
 N( sen3 x  cos3 x  sen4 x  cos4 x )( sen x  cos x ) , donde
 sec 3 x  csc3 x 


x es un ángulo agudo. Si N denota la cantidad de lapiceros que compra un
comerciante y cada lapicero cuesta cinco soles, ¿cuánto pagó el comerciante por la
compra de los N lapiceros?.
6
4.
6
Sea
A) S/ 520
B) S/ 550
C) S/ 450
D) S/ 480
E) S/ 500
Solución:
 sen6 x  cos6 x 
N( sen x  cos x  sen x  cos x )( sen x  cos x )  100 
 sec 3 x  csc 3 x 


 sen3 x  cos3 x ( sen3 x  cos3 x )( sen3 x  cos3 x ) 
 100 


sen3 x  cos3 x


3
3
4
4
 100 sen3 x  cos3 x ( sen x  cos x )(1  senx  cos x )
 100( sen x  cos x )( sen3 x  cos3 x  sen4 x  cos4 x )
 N  100
 El precio de los N lapiceros  5(100 )soles  500 soles.
Rpta.: E
5.
Si 0  x 
A) 2 tg x
Semana Nº 07

, simplificar la expresión
4
sec 2 x  csc 2 x  1 

B) 2ctgx
1  4 sen2 x  cos2 x  .

C)  2 tg x
D) 2ctg x
(Prohibida su reproducción y venta)
E) ctg2 x
300
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
sec 2 x  csc 2 x  1 

 sec x  csc x 
1  4 sen2 x  cos2 x  

sec 2 x  csc 2 x 1 

1  4 sen2x  cos 2 x 

sec 2 x  csc 2 x  4 sec 2 x  csc 2 x  sen2x  cos 2 x
 tg x  c tg x 
1  tg2 x  1  ctg2 x  4
 tg x  c tg x 
( tg x  ctg x )2
 tg x  c tg x  tg x  ctg x
 tg x  c tg x  tg x  ctg x
 2ctg x.
Rpta.: D
Semana Nº 07
(Prohibida su reproducción y venta)
301
Pág.
65
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
08
semana
302
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
SEMANA Nº 8
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
COMPUESTOS

1.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE ÁNGULOS
sen      sen cos   sen cos 
cos       cos  cos   sensen
tan      
2.
3.
tan   tan 
1  tan  tan 
; tan  tan  1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS
sen     
sencos  sencos
cos     
coscos  sensen
tan      
tan   tan 
1 tan tan 
; tan tan  1
cot      
cot  cot  1
cot   cot 
; cot  
cot 
IDENTIDADES AUXILIARES
sen  A  B sen  A  B  sen2 A  sen2B
cos  A  B cos  A  B  cos2 A  sen2B
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
303
Pág.
38
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Geometría
EJERCICIOS
1.
En la figura, L1 y L2 son paralelas y representan las orillas de un río. Para poder
cruzar de una orilla a otra se han construido caminos AD y BC secantes en P. Una
persona recorre los tramos CP y PB cuyas longitudes son 30 m y 36 m
respectivamente y otra persona recorre el tramo AP de longitud 24 m. Halle la
longitud del tramo PD .
A) 22 m
B) 20 m
C) 26 m
D) 28 m
Solución:

A
B
Por Thales:
24
24 36

x
30
30
 x = 20 m
36
P
x
D
C
Rpta.: B
2.
En la figura, PQ // AC , AP = MB, QL = 3MQ y QC = 12 cm. Halle BQ.
B
A) 16 cm
B) 15 cm
M
P
C) 14 cm
Q
D) 18 cm
A
L
C
Solución:

AML: T. Thales
B
MP = k y AP = 3k

3k
M
ABC: T. Thales
4k
x

3k 12
 x = 16 cm
k
P
x
a
Q
3k
12
A
C
3a
L
Rpta.: A
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
304
Pág.
39
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2020-I
En la figura, BC = 2AB y AH = 2 cm. Halle HC.
A) 11 cm
B
B) 9 cm
3

C) 10 cm
D) 12 cm
A
C
H
Solución:

B
ABC isósceles
 
 AH = HD = 2 cm

2
2a
a
ABC: TBI
a
4

2a x  2
2
A
x2
2
H
D
C
x
 x = 10 cm
Rpta.: C
4.
En un triángulo escaleno ABC, mABC = 120° y numéricamente
1
1
1

 . Halle
AB BC 8
la longitud de la bisectriz interior BD en centímetros.
A) 8 cm
B) 7 cm
C) 6 cm
D) 9 cm
Solución:

ABC: TBI
B
AD = ak y DC = bk

a
ABC: TBE
a (a  b)k

x
bk
1 1 1
 
x b a
 x  8 cm
60°
60° 60°
b
x
A
ak
bk
D
C
Rpta.: A
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
305
Pág.
40
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2020-I
En la figura, el triángulo ABC representa un terreno de cultivo dividido por el lindero EF
tal que EF // AC , los linderos del terreno son AB = 16 m y BC = 32 m, AC = 24 m. Si
los perímetros de los cultivos de mango y ciruela son iguales, halle la longitud del
lindero EF .
B
A) 15 m
B) 16 m
MANGO
C) 17 m
F
E
CIRUELA
D) 18 m
Solución:
 EBF ~ ABC (A-A)
BE = y, BF = 2y


C
A
Condición:
3y + x = 72 – 3y + x
y = 12
B
32
y
2y
16
E
EBF ~ ABC (A-A)
Semejanza:
12
x

16 24
 x = 18 m
x
F
16 y
32 2y
A
C
24
Rpta.: D
6.
La figura muestra un pino y un eucalipto perpendiculares al suelo cuyas alturas de
B y C son 15 m y 20 m respectivamente, debido a los constantes vientos los troncos de
ambos árboles están sujetos con cables tensados a una estaca en P. Si 3AP = 4PD y
A, P y D son colineales, halle PC.
A) 22 m
B) 24 m
C) 25 m
D) 20 m
Solución:

BAP ~


C
PDC
20
15
CP = 5(5)  CP = 25 m
Semana Nº 8

B
15 4k

3k 20

A
4k
P
P
(Prohibida su reproducción y venta)
3k
D
Rpta.: C
306
Pág.
41
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2020-I
En la figura, ABCD representa el borde de un terreno cuyo perímetro es 50 m y
PQRC el borde de una caseta de vigilancia. Si las diagonales de los rectángulos
ABCD y PQRC están en relación de 5 a 2. Halle el perímetro de la caseta.
A) 25 m
P
B
C
Q
B) 20 m
R
C) 28 m
D) 30 m
A
Solución:

D
P
B
Por semejanza de rectángulos:
C
n
Q m R
AC a b
 
QC m n
5 2(a  b)
50


2 2(m  n) (2p)
 (2p)  20 m
b
A
a
D
Rpta.: B
8.
La figura muestra la vista de un parque limitado por tres avenidas tal que AB = 30 m y
BC = 24 m. Halle el perímetro del parque ABC.
A) 95 m
B
2
B) 80 m
PARQUE
C) 90 m

A
D) 100 m
C
Solución:

ADB isósceles:
AD = DB = 30k

B


ADB ~ BCD
30
30 54k
2

k 
30k
24
3
30k


2
AC = 54   = 36 m
3

2pABC = 36 + 24 + 30 = 90 m
A
24
2
30k
D 24k C
Rpta.: C
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
307
Pág.
42
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2020-I
La figura muestra un espejo esférico convexo, donde C es el centro, F es el foco, O es
el objeto, I es la imagen, VF = FC y la ecuación de los focos conjugados para convexos
1 1 1
es   . Si un objeto de ho = 30 cm de altura se encuentra a o = 60 cm del espejo y
i f o
el radio es R = 60 cm, halle la altura de la imagen hi.
A) 12 cm
ZONA
REAL
B) 11 cm
ZONA
VIRTUAL
h
o
hi
V
C) 10 cm
O
o
I
i
C
F
f
R
D) 14 cm
Solución:

Reemplazando en:
1 1 1
 
i f o
1 1
1
 

 i  20 cm
i 30 60

30
Semejanza:
30 120

hi
40
hi
O
I
60 + i
60  i
C
 hi = 10 cm
Rpta.: C
10. En la figura, los árboles están en posición vertical respecto al suelo. Para cada árbol,
los puntos A y C están a 3 m y 9 m del suelo, respectivamente, de modo que se
unen con un cable tensado AC . Si una paloma se ubica en el punto B del cable
tensado, halle la altura que se encuentra la paloma respecto al suelo.
A) 5,0 m
B) 6,0 m
C) 5,5 m
D) 6,5 m
Solución:

ASB ~
C
ATC
2m
B
m
a
 a2
3m 6

m
a
A
Altura = BH = 2 + 3 = 5 m
3
3
S
H
Semana Nº 8
6
(Prohibida su reproducción y venta)
T
3
Rpta.: A
308
Pág.
43
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
11. En el triángulo acutángulo ABC, las cevianas AD y BF se intersectan en E, D en
BC y F en AC . Si FC = 3AF, BE = 2EF y BC = 24 cm, halle BD.
A) 6 cm
B) 7 cm
C) 8 cm
Solución:
 Trazar FN // AD

B
2x
Por T. Thales:
D
2b
BD = 2x, DN = x y NC = 3x

D) 9 cm
x
E
2x + x + 3x = 24
N
3x
b
2x = 8
a
A
3a
F
C
 BD = 8 cm
Rpta.: C
12. En la figura se muestran las pistas L1 , L2, TS y una circular, dos móviles parten
simultáneamente desde los puntos T y S siguiendo tangencialmente L1 y L2. Si una
persona ubicada en P está directo a 40 m y 90 m de L1 y L2, respectivamente, halle la
distancia de dicha persona a la pista TS .
A) 55 m
2
1
E
B) 60 m
T
C) 65 m
F
P
S
H
D) 70 m
Solución:



TEP ~
a 40

b
x
SHP
THP ~
a
x

b 90
SFP
2
1
E
T
40 P 90
 a x

b
F


H
S
40
x

x
90
 x = 60 m
Rpta.: B
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
309
Pág.
44
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
13. En la figura se muestra un espejo plano AB de 1 m de altura perpendicular al piso y
una torre de 31 m de altura, tal que se desea fotografiar la torre con una cámara
situada a 58 m de la torre. Si la imagen real está a igual distancia que la imagen
virtual, halle la distancia entre el espejo y la cámara de modo que la torre se observe
en todo el espejo.
A) 1 m
IMAGEN
VIRTUAL
IMAGEN
REAL
B) 2 m
PISO
B
C) 1,5 m
A
TORRE
C
TORRE
ESPEJO CÁMARA
D) 2,5 m
Solución:

Dato:

DEC ~
G
D
EA = AF = x + 58
BAC
31
31 2x  58

1
x
x = 2 m
31
B
1
x + 58
E
A
x
58
C
F
Rpta.: B
14. En la figura, MN // AC . Si BO = 6 cm, MO = ON y EF = 4 cm, halle AC.
A) 24 cm
B
B) 22 cm
O
M
C) 20 cm
E
D) 18 cm
Solución:
A
C
F

Propiedad:
MO = ON = BO = 6 y AF = FC = 10 + x

MEO ~ CEF (A-A)
6
x

10  x 4

N
x + 10x – 24 = 0
x=2
 AC = 2(10 + 2) = 24 cm
B
6
M
6 O

x
4 E
2
A
10 + x
F
6

10 + x
N

C
Rpta.: A
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
310
Pág.
45
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Dos postes de luz ubicados en A y en B tienen alturas de 4,5 m y 5 m respectivamente
y producen una sombra sobre el suelo de CB y DC como muestra la figura. Si CB = 6 m
y DC = 4 m, halle AD.
A) 3 m
N
M
B) 3,5 m
P
C) 4 m
2m
sombra
sombra
A
D) 5 m
C
D
B
Solución:

MHP ~
PCB (A-A)
N
M
2,5 
2,5 x  4

2
6

H
2
7
x=
= 3,5 m
2
P
x+4
A
x
2
D

6
C
4
B
Rpta.: B
2.
En la figura, AB // CD y BC // DE . Si OA = 9 cm y OE = 36 cm, halle AC.
D
A) 9 cm
B) 10 cm
B
C) 11 cm
D) 8 cm
O
A
C
E
Solución:

Por teorema de Thales:
D
OB = 9k y BD = xk

xk
Por teorema de Thales:
B
9k
9x

xk 27  x
243 – 9x = 9x + x2
0 = x + 18x – 243
2
9k
O
9
A
x
C
27  x
E
36
 AC = 9 cm
Rpta.: A
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
311
Pág.
46
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2020-I
En un triángulo obtusángulo ABC obtuso en B se trazan las cevianas BD y BE (D
en AE ) tal que AD = 3 cm, DE = 2 cm y mABD = mDBE = mEDC = 45°. Halle EC.
A) 10 cm
B) 11 cm
C) 12 cm
D) 13 cm
Solución:
B
45°
45°
3k
45°
xa
45°
2k
2a
3
A
D
2

ABE: TBI: AB = 3k, BE = 2k

DBC: TBE:
 x = 10 cm
x
E
C
xa 3  2  x

2a
3
Rpta.: A
4.
En cierto momento, Nancy, María y Daniel se encuentran juntos en el punto H,
según la figura, luego se dirigen cada uno a N, M y D respectivamente. Si NQ = 3 m
y QM = 2 m, halle la distancia entre Daniel y María.
D
A) 12 m
B) 8 m
B
C) 9 m
H
M
D) 10 m
Q
A
Solución:

AHMC y
N
C
AHIN: inscriptibles
 mMAC = mMHC = mNHI = 

HD es bisectriz exterior

NHM: T.B.E.
3k 5  x

2k
x
 x = 10 m
Rpta.: D
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
312
Pág.
47
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2020-I
En un triángulo acutángulo ABC se trazan las cevianas concurrentes AH , BP y CF ,
H en BC , P en AC y F en AB , tal que AP = 2 cm, AF = 3 cm, BF = 6 cm, BH = 4 cm
y PC = 8 cm. Halle HC.
A) 7 cm
B) 8 cm
C) 9 cm
Solución:

D) 6 cm
B
ABC: T. de Ceva
4
348=6x2
H
6
 x = 8 cm
x
F
3
A 2P
6.
C
8
Rpta.: B
En la figura, AM = 40 cm, BM = MC y AQ = QS = SC. Halle FH.
A) 15 cm
B
B) 14 cm
M
C) 13 cm
F
H
D) 12 cm
A
Solución:

Q
C
S
BCQ: MS // BQ
B

SAM: T. Base media
m
AF = FM = 20

20–x
CAM: Teorema de Menelao
20
a  (20 + x)  m = 2a  (20 – x)  2m
 x = 12
A
a
F
Q
M
x
H
a
m
S
a
C
 FH = 12 cm
Rpta.: D
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
313
Pág.
48
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 8
1.
En la figura adjunta se representa el triángulo rectángulo ABC. En base a la
información dada, determine sen 135  x  y  .
24
3
24
B)
6
2 24
C)
3
2 3
D)
6
A)
Solución:
A partir de la información brindada en la representación gráfica, se obtiene la
medida del segmento AC aplicando el Teorema de Pitágoras; esto es:
AC  3 u .
Nos piden H  sen 135  x  y   sen 180   45  x  y   sen  45   x  y  
Entonces H 
2  2 2   1 2 4
2 4 2
 

.

   
2  3  3 2
6 6
6
Rpta.: B
2.
Se sabe que 7N representa la cantidad de años que le falta a Valentina para
obtener la mayoría de edad, de acuerdo a las leyes peruanas. Si
sen      8sen       0 y N  tan   cot  , determine la edad actual de
Valentina.
A) 8
B) 11
C) 9
D) 10
Solución:
A partir de la información brindada, se tiene que:
sen      8sen       0
Entonces sen      8sen     
Entonces 9sen cos   7sen cos 
9
Luego,  tan   cot 
7
9
Por lo tanto, 7N 
EDAD de VALENTINA
Luego, la edad actual de Valentina es de 9 años.
Rpta.: C
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
314
Pág.
52
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-II
Con la información dada en la figura, halle


3  2 tan  x    si se sabe, además,
que el área de la región triangular BCD es 4 5 m2 .
A) 2 3  1
B) 2 3  1
C) 2 2  1
D)
2 3
Solución:
En el triángulo ABC, por el Teorema de Pitágoras, se obtiene que: CB  2 5 m
1
Luego, Área (BCD)  2 5  8sen   4 5
2
1
Entonces, sen 
2

Por lo tanto,  
6
1
2
3 2 3 1

Por consiguiente, tan  x    
2
3 2
1
3

Por lo tanto,



3  2 tan  x     2 3  1 .
Rpta.: A
4.
Se sabe que 2R representa la cantidad de dinero en dólares que Antonio gastó en
dulces. Si R  4cos2 x  4sen2 y  8senxcos ycos xseny  8cos2 xsen2y , donde
3x y 3y son ángulos agudos y cos  720  3y   sen 1440  3x  ; determine la
cantidad de dinero que Antonio gastó en dulces.
A) $ 4
B) $ 8
C) $ 6
D) $ 10
Solución:

Sea R  4 cos2 x  cos2 xsen2 y  sen2 y  cos2 xsen2 y  2senx cos y cos xseny

Entonces R  4 cos2 x 1 sen2 y   sen2 y 1 cos2 x   2senx cos y cos xseny 

Entonces R  4 cos2 x cos2 y  sen2 ysen2 x  2senx cos y cos xseny
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)

315
Pág.
53
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Entonces R  4  cos x cos y  senxseny 
Ciclo 2019-II
2
Entonces R  4cos2  x  y 
Como cos  720  3y   sen 1440  3x  , entonces cos3y  sen3x
Por lo tanto, x  y 

6
3
Luego, R  4cos2  x  y   4    3 .
4
Finalmente, Antonio gastó en dulces 6 dólares.
Rpta.: C
5.
En la figura, se representa un terreno en litigio de forma rectangular. Después de
diversos trámites judiciales, llegaron al acuerdo de que este sea repartido entre los
tres accionistas mayoritarios Juan, Andrés y Marco. Si se sabe que Juan y Marco
34
recibieron partes iguales, calcule DG2 
DG .
3
A) 50
B) 30
C) 45
D) 25
Solución:
A partir de la información brindada y del gráfico se tiene que:
5BF 3DG

2
2
 BF 
3
DG
5
Además, se tiene que: tan  
Semana Nº 8
BF 3

DG
5
25

tan  
DG
3
(Prohibida su reproducción y venta)
316
Pág.
54
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
3DG DG

3
Por lo tanto, tan30  tan       25
DG2
1
25
2
Finalmente, nos piden: 3  25  DG   34DG .
Entonces
DG2 
34
3
DG  25 .
Rpta.: D
6.
El Sr. Alejandro Leyva decide vender el terreno de forma rectangular que se
representa en la figura adjunta a  900 tan   soles el metro cuadrado. Determine la
cantidad de dinero que recibe el Sr. Leyva, si se sabe que solo logra vender la
región de forma triangular BAE.
A) S / . 50 000
B) S / . 70 000
C) S / . 60 000
D) S / . 80 000
Solución:
A partir de la representación gráfica, podemos notar que:

Entonces
tan   tan     
tan   tan  7

1 tan  .tan  9
Por lo tanto, el pago que recibe el Sr. Alejandro Leyva por la venta del área vendida
es de S/. 70 000.
Rpta.: B
7.
Un terreno que tiene la forma de sector circular tiene las siguientes medidas: el
ángulo central mide  cos   rad, el radio  cos   u y el arco de circunferencia m u. Si
sen  ncsc  , ¿cuál es la relación entre cos     y cos     ?
mn
A)
mn
Semana Nº 8
m 2  n2
B)
mn
C)
m  2n
n  2m
(Prohibida su reproducción y venta)
D)
mn
n 1
317
Pág.
55
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
A partir de la información dada, se tiene que m  cos  cos 
Por otro lado, como sen  ncsc   sensen  n
Luego,
sensen  n y cos  cos   m
m  n  cos  cos   sensen

 
m  n  cos  cos   sensen

m  n  cos     

 

m  n  cos     
cos     

cos     

mn
.
mn
Rpta.: A
8.
Las
1,3

estaturas
de
Fabiana
y
Lucero
son


1,2 cos20º  3sen20º m

y
3 cos10º sen10º m , respectivamente. Determine la razón entre las edades
de Fabiana y Lucero.
A)
13
11
B)
11
12
C)
12
13
D)
10
13
Solución:
A partir de la información brindada, denotamos:
F  Estatura de Fabiana
L  Estatura de Lucero
R  Razón entre las estaturas de Fabiana y Lucero
Luego, nos piden la razón entre las estaturas de Fabiana y Lucero.
1

3
2,4  cos 20º 
sen20 
1,2 cos 20º  3sen20º
2
2

Por lo tanto, R 

 3

1
1,3 3 cos10º sen10º
2,6 
cos10º  sen10º 
2
 2

2,4  sen50º  12
Entonces R 
.

2,6  sen50º  13




Rpta.: C
9.
En el año 1965, el puntaje máximo obtenido en el Examen de Admisión a la carrera
de Matemática de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos fue 2M . Si se
sabe que Raúl Moisés ingresó en primer lugar a Matemática ese año y que M es el
máximo valor que asume esta expresión 24cos x  7senx  35 , determine el
puntaje que obtuvo Raúl Moisés.
A) 120 puntos
Semana Nº 8
B) 126 puntos
C) 110 puntos
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 116 puntos
318
Pág.
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
A partir de la información brindada, consideremos:
P  x   24cos x  7senx  35
7
 24

Entonces P  x   25  cos x 
senx   35
25
 25

Entonces P  x   25sen    x   35
Como 1  sen    x   1

 25  25sen    x   25
Luego 25  35  25sen    x   35  25  35
Entonces 10  P  x  
60
Máximo Puntaje
Por lo tanto, en el Examen de Admisión a la Universidad Nacional Mayor de San
Marcos, Raúl Moisés obtuvo 120 puntos en su ingreso a la carrera de Matemática.
Rpta.: A
10. En la figura adjunta, se representa una ventana de forma rectangular, en la cual se
han colocado unos banderines de forma triangular hechos de papel metálico
(región sombreada). Si AD  BC  20 cm y cos       sen cos  , determine la
cantidad de papel metálico que se utilizó para elaborar dichos banderines.
A) 0,15 m2
B) 0,5 m2
C) 0,02 m2
D) 0,25 m2
Solución:
A partir de la información dada en la representación gráfica, se tiene:
x
 ctg 
20cos 
x
20cos2 
sen
y
 tg
20sen
y
20sen2
cos 

Luego,
Área 

20cos  
20cos2   20sen  20sen2
20sen


 20cos  



2
sen 
2

 cos 

 cos      
 cos  sen 
2
2

 200 
  200 cm  0,02 m .

 sen cos  
 sen cos  
Área  200 
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
319
Pág.
57
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Por lo tanto, para elaborar dichos banderines se utilizó 0,02 m2 de papel metálico.
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Las edades de los hijos de mi hermana son  6 tan   años y  7 tan   años. Si se
sabe que    
A) 6 años

1
y tan   , determine la diferencia de sus edades en años.
6
4
B) 4 años
C) 8 años
Solución:
A partir de la información brindada, se tiene:
 
D) 7 años

4
Entonces tan       1
1
 tan 
Luego, 6
1
1
1  tan 
6
Por lo tanto,
1
tan 
 tan   1
6
6

7 tan  5

6
6

7 tan   5
Luego, las edades de mis sobrinos son 1 año y 5 años. Por lo tanto, la diferencia de
sus edades es de 4 años.
Rpta.: B
2.
En la figura, el cuadrado representa un parque. Luisa (L), Maggie (M), Nora (N) y
Pierina (P) se encuentran ubicadas en las esquinas de dicho parque, como se
indica en la figura. Si Víctor (V) se encuentra ubicado a 2 metros de Maggie y a 5
metros de Nora, calcule cot  .
A) 6
B) 5
C)
1
6
D)
1
5
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
320
Pág.
58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
A partir de la representación gráfica, se tiene:
45      180
Luego, tan  

    180  45
7 7 tan 

1
5
5
Entonces cot 
2tan  12

5
5

1
.
6
Rpta.: C
3.
Si la edad de mi mejor amigo Mario es el máximo valor de la expresión
2
B   3sen  4cos    12 y la cantidad de años que no lo veo viene a ser el
máximo valor de T  sen  3 cos   1, determine la edad que tenía mi mejor
amigo la última vez que lo vi.
A) 34 años
B) 36 años
C) 38 años
D) 32 años
Solución:
A partir de la información brindada, se tiene:
2
 3
4

B   3sen  4cos    12  5  sen  cos     12
5

 5
2
Entonces B  25sen    x   12
2
Como 1  sen    x   1

0  25sen2    x   25
Luego 12  25sen2    x   12  25  12
Entonces 12  B 
37
EDAD DE MARIO


Asimismo, T  sen  3 cos   1  2sen      1
3

Entonces 1  T 
3
AÑOS QUE NO VEO A MARIO
Por lo tanto, la última vez que vi a mi mejor amigo, él tenía 34 años de edad.
Rpta.: A
4.
El número de hermanos que tiene Cristóbal viene dado por el valor de la expresión
1 cot 501 tan5 . En base a la información dada, determine la cantidad de
hermanos que tiene Cristóbal.
A) 3
Semana Nº 8
B) 1
C) 2
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 0
321
Pág.
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
A partir de la información brindada, se tiene:
1 cot 501 tan5  1 tg401 tan5  1 tan5  tan40  tan40 tan5  2
1
Por lo tanto, Cristóbal tiene 2 hermanos.
Rpta.: C
5.
El profesor de Tomás, al hallar el valor aproximado de la expresión sen2 obtiene
0,16 . Si se sabe que Tomás obtiene el valor real de dicha expresión considerando
que tan (765°  θ)  tan(405°  θ)  3 , determine el error porcentual.
Sugerencia: Considere que el error porcentual se define de la siguiente manera:
 Valor Exacto  Aproximación 
Error Porcentual  
  100%
Valor Exacto


A) 6 %
B) 8 %
C) 5 %
D) 4 %
Solución:
Como
tan(765°  θ)  tan(405°  θ)  3  tan  2  360°  45°  θ  tan(360°  45°  θ)  3
Entonces
tan  45°  θ   tan  45°  θ   3
Es decir,
tan  45°  θ   tan  45°  θ  

1  tanθ 1  tanθ

1  tanθ 1  tanθ
1  2tanθ  tan2θ  1  2tanθ  tan2θ
3
1  tan2θ
Luego, 5tan2θ  1
Por lo tanto, 5sen2θ  cos2 θ
De donde se puede obtener que: sen2 
1
6
1

 6  0,16 
Finalmente, Error Porcentual  
  100%  4%
1


6


Por lo tanto, el error porcentual es de 4 %.
Rpta.: D
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
322
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Un arquitecto utiliza un compás en el trazo de sus planos. En un momento dado, los
extremos B y O forman con la superficie un triángulo ABO según el gráfico. Si la
tangente del ángulo BAO es 11/10 y la altura trazada desde A divide BO en dos
segmentos de longitudes 3 cm y 7 cm, ¿cuál es el área de la región triangular ABO?
A
B
A) 100 cm2
B) 56,5 cm2
C) 60 cm2
D) 50 2 cm2
E) 55 cm2
Solución:
Al trazar la altura AH = h, sobre BO divide el ángulo ABO en x e y
tg  x  y  
11
3
7
, tg x 
, tg y 
10
h
h
3 7

h
h  11

3 7 10
1 
h h
 0  11h2  100h  21 11
11h  21h  11  0
Área 
 h  11
11 10
 55 cm2
2
Rpta.: E
2.
En un triángulo ABC, simplifique
cos  A  B 
senA senB
A) 2
Semana Nº 8
B) 1

cos  A  C 
senA senC
C) 2

cos B  C 
senBsenC
D) 1
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 3
323
Pág.
57
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
M 
cos A cosB  senA senB cos A cosC  senA senC cosBcosC  senB senC


senA senB
senA senC
senB senC
 ctgA ctgB  1  ctgA ctgC  1  ctgBctgC  1
 ctgA ctgB  ctgA ctgC  ctgBctgC  3

1 1
1 1
1 1


3
tgA tgB tgA tgC tgB tgC

tgC  tgB  tgA
 3  1  3  2
tgA tgB tgC
Rpta.: A
3.
Determine el valor de la siguiente expresión:
cos(45  ) 2
 ctg
sen
A) 1
B) -1
C) 0
D) 2
E) -2
Solución:
(cos 45 cos   sen45sen) 2 cos 

sen
sen
1
 cos   sen  2 cos 
2
U

1
sen
sen
U
Rpta.: A
4.
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
tg15  tg90
1  tg15tg90
i.
tg(15  90) 
ii.
sen30  sen78 cos72  sen12 cos18
iii. sen(x  30)  cos x.cos30  senx.sen30, para algún ángulo x.
A) VVV
Semana Nº 8
B) VFV
C) FFV
D) FVV
(Prohibida su reproducción y venta)
E) VVF
324
Pág.
58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
i.
tg90 no existe. (F)
sen30  sen78 cos72  sen12 cos18
ii.
sen30  cos12sen18  sen12 cos18
(V)
sen30  sen12 cos18  cos12sen18
iii.
sen(x  30)  cos x.cos30  senx.sen30
sen(x  30)  cos(x  30)
luego, para x  15 cumple. (V)
Rpta.: D
5.
Al simplificar la expresión (tg25  tg35  3tg25tg35)2  tg55  tg20 se obtiene:
A)
3  csc 50
D) 3  csc 40
B)
C) 3  csc 50
3 sec 40
E) 3  sec 50
Solución:
2
 tg25  tg35 

sen50 sen20


 1  tg25tg35   3tg25tg35 
1

tg25

tg35

cos50

cos20




sen50 cos 20  sen20 cos50
  tg60(1  tg25tg35)  3tg25tg35 


cos50 cos 20
2
3
sen70
 3  sec 50  3  csc 40
cos50 cos 20
Rpta.: D
6.
En la figura, se muestra el perfil de las instalaciones de tuberías de agua hacia las
viviendas A, B, C y D. Calcule la longitud de tubería que se utilizó para la instalación
de agua en la vivienda A.
A) 2 66 m
B) 16 m
C) 18 m
D)
247 m
E) 20 m
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
325
Pág.
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
Del gráfico:
 tg  
3
;
x
tg      
11 3

16
 x x

11 3
x
1 .
x x

11
;
x
tg    2  
16
x
x  264  2 66
Rpta.: A
7.
La función P(x)  12senx  5cos x  20 , modela el costo de producción en soles de
un producto ferretero. Si se vende 5 docenas a 40 soles por unidad, ¿cuál será la
máxima ganancia del fabricante?
A) S/. 1980
B) S/. 1640
C) S/. 2100
D) S/. 1860
E) S/. 1760
Solución:
Costo de producción por unidad
P(x)  12senx  5cos x  20
5
 12

P(x)  13  senx  cos x   20
13
 13

P(x)  13sen(x  )  20 ; donde  es un ángulo agudo con tg 
5
12
Como
1  sen(x  )  1  13  13sen(x  )  13
 7  13sen(x  )  20  33  7  P(x)  33
Costo de producción mínimo: 7 soles por producto.
Costo de producción de 5 docenas: 60x7 soles =420 soles
Ganancia máxima:
G  (60  40  60  7) soles.
G  1980 soles
Nota : G  PV  PC
PV :Precio de venta
PC :Precio de costo
Rpta.: A
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
326
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2019-I
Si el costo por pintar el metro cuadrado de la región
cuadrangular ABCD (tal como se muestra en la figura
adjunta) es  8tgx  33  soles.
Calcule el costo por pintar la región triangular BAN.
A) S/. 500
B) S/. 600
C) S/. 720
D) S/. 800
E) S/. 900
Solución:
Del gráfico tenemos que:
x     , luego:
tgx  tg(  ) 
tg  tg 27

1  tgtg 8
Luego el costo por 1 m2 es  8tgx  33  soles,
es decir 60 soles.
El área de la región triangular BAN es 12 m2,
por lo tanto el costo por pintarlo es 720 soles.
Rpta.: C
9.
Ryu
y
Ken
postularon

a
San


640 2sen  x   senx  3 cos x
4

R

 senx  cos x  cos   x 
6

Marcos

y
y
K
sacaron
los
puntajes
de
750  tg1   tg44   tg1 .tg44  
,
 49 
sen 

 6 
respectivamente. Halle la diferencia de puntajes entre ambos postulantes.
A) 220
Semana Nº 8
B) 200
C) 170
D) 120
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 180
327
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:



640 2sen  x   senx  3 cos x
4

R

 senx  cos x  cos   x 
6






640 2sen  x   2 sen  x  
4
3


R




2sen  x   cos   x 
4

6

R  1280
K
K
750  tg1  tg44  tg1.tg44 
 49 
sen 

 6 
750.tg45

sen  
6
K  1500
K  R  1500  1280  220
Rpta.: A
N  cos20º  3sen20º
10. Si
y
D  3 cos10º sen10º
son
dos
números
que
representan las medidas de los lados de una ventana rectangular, tal que la razón de
estos está dado por F, donde F 
A) 1
B) 1/2
N
, hallar el valor de F.
D
C) 1/3
D) 1/4
E) 1/5
Solución:
F
N cos20º  3sen20º

D
3 cos10º sen10º
Multiplica y divide por
1
2
1
3
cos 20º 
sen20º
N 2
sen30º cos 20º  cos30º sen20º
2
F 

D
cos30º cos10º sen30º sen10º
3
1
cos10º  sen10º
2
2
F
sen(30º 20º ) sen50º sen50º


1
cos(30º 10º ) cos 40º sen50º
Rpta.: A
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
328
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Un automóvil parte de una ciudad A en dirección NO y recorre 1 km hasta llegar a la
ciudad B, de ahí toma rumbo EN recorriendo 1 km hasta llegar a la ciudad C que se
ubica al norte de A, si el automóvil viaja a 2  cos  cos   sensen  km/h y el
csc   6  2 (  es agudo), determine el tiempo que demoraría si recorre en línea
recta al ir de la ciudad A a la ciudad C.
A)
2 h
B) 2 h
C)
3 h
D) 4 h
E) 5 h
Solución:
De la figura y el dato, tenemos:
  45 y   15 , la velocidad del auto es
2cos(  ) km/h es decir 1 km/h, además la
distancia entre A y C es
2 km, luego el tiempo
estimado en recorrer de A hacia C es
2 horas.
Rpta.: A
2.
Si a y b son números positivos tal que el máximo de la expresión a.senx  b.cos x
es 2, determine el valor de
A) 2
B) 4
a 2  b2 .
C)
2
D) 1
E) 3
Solución:
h  a2  b2
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
329
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
b
a

E  a.senx  b.cos x  h  .senx  .cos x 
h
h

E  h  cos senx  sen cos x   h sen(x  )  h  2
máx 1
Rpta.: A
3.
En la figura, determine el menor valor que puede tomar a, siendo MN  2 u .
A) 5
B) 2
C) 7
D) 3
E)
1
3
Solución:
i)
QP=PG
ii)
PR  acos tg
 RG  asen  acos tg
iii) RM  2  acos  sec 
iv) En MRG:
sen 
2  a cos  sec 
asen  a cos  sec sen
 sen 
2cos   a cos 
2cos   a cos 

cos   asen  a cos  sec sen  a  sen cos   sen cos  
 sen 
2cos   a cos 
 a.sen sen       2cos   a cos (  )   
asen     
 a.sensen       2cos   a cos(  )cos   a.sen(   )sen
 a cos(  )cos   2cos 
 a  2 sec(  )  2
1
Rpta.: B
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
330
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-I
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
i.
tg(x  y)  tgx  tgy , para algunos ángulos positivos x e y.
ii.
sen10 cos20  cos10sen20  sen10 .
iii.
senx  3 cos x
cos x  3senx
A) VVV
 ctg(30  x) .
B) FFF
C) FFV
D) FVF
E) VFV
Solución:
i.
Si x  y   entonces tg(x  y)  tg2  0  tg  tg  tgx  tgy
(V)
sen10 cos20  cos10sen20  sen10
ii.
sen(10  20)  sen10
(F)
sen( 10)  sen10
senx
cos x
 3
cos x  tgx  3
E
 cos x
cos x  3senx cos x  3 senx 1  3tgx
iii.
cos x
cos x
tgx  tg60
E
 tg(60  x)  ctg(30  x)
1  tg60tgx
senx  3 cos x
(V)
Rpta.: E
5.
En la figura mostrada se tiene el plano de un terreno triangular ABC, dividido en dos
3
5
regiones triangulares ABM y MBC. Si tg  y tg 
, calcule el área de la región
4
12
triangular ABC.
A)
196 2
u
13
B)
126 2
u
15
C)
296 2
u
11
D)
136 2
u
15
E)
176 2
u
13
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
331
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
De la figura,  y  son agudos
Si tg 
3
5
5
3
4
12
y tg 
entonces sen   cos  
y sen 
 cos  
13
5
12
4
5
13
El área de la región triangular ABC, se puede determinar por:
5.7.sen(  ) 35

 sen cos   cos sen 
2
2
35  3 12 4 5  35  56  7.28 196
S 
.  .



2  5 13 5 13  2  5.13 
13
13
S 
Rpta.: A
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
332
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
En la figura se tiene un triángulo ABC, tal que su área es 3 m2 . Determine el valor de
sen110.sen  cos470.cos  .
A)
1
2
B)
3
2
C)
1
3
D)
3
5
E)
2
2
Solución:
De la figura mostrada: S 
3.4.sen(20  )
1
 3  sen(20  ) 
2
2
sen110.sen  cos 470.cos 
 sen70sen  cos(360  110).cos 
 sen70sen  cos70 cos 
 cos(70  )  sen(20  ) 
1
2
Rpta.: A
2.
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
cos22  sen22
 tg .
cos22  sen22
I.
Para algún ángulo agudo , se cumple que
II.
El valor de sen168 cos342  sen78sen162 es
III.
La expresión tg16  tg29  tg16tg29 es mayor que 1.
A) VVV
Semana Nº 8
B) VFV
C) FFV
1
.
2
D) VVF
(Prohibida su reproducción y venta)
E) FFF
333
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
I.
M
cos 22  sen22 1 tg22 tg45  tg22


cos 22  sen22 1 tg22 1 tg45tg22
(V).
M  tg(45  22)  tg23
II.
A  sen168 cos342  sen78sen162
A  sen12 cos18  cos12sen18  sen30 
(V)
1
2
III.
E  tg16  tg29  tg16tg29
E
tg16  tg29
.(1  tg16tg29)  tg16tg29 (F)
1  tg16tg29
E  tg45(1  tg16tg29)  tg16tg29  1
Rpta.: D
3.
Las medidas de tres ángulos agudos son ,  y  . Si la suma de las medidas de
dichos ángulos es igual a la mitad de la medida de un ángulo llano, calcule la mitad
del valor de sec  sen sec   tgtg .
A)
1
3
B)
2
2
C) 1
D)
1
2
E)
3
2
Solución:



 sen  sen   (  )   sen  cos(  )
2
2

 sen  cos  cos   sen sen
 
E  sec  sen sec   tgtg
sen
sensen

cos  cos  cos  cos 
sen  sensen cos  cos   sen sen  sen sen
E

1
cos  cos 
cos  cos 
E
Rpta..: D
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
334
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2018-II
Sean las medidas de dos ángulos  y  que suman 225°, donde a  tg  1 y
b  tg  1 . Calcule el valor de ab  1.
A) 4
B) 3
C) 2
D) 5
E) 6
Solución:
    225  tg(  )  tg225  tg(180  45)  1
 tg(  )  1
tg  tg

1
1  tgtg
Nos piden:
ab  1   tg  1 (tg  1)  1  (tgtg  tg  tg  1)  1
ab  1  tgtg 
tg  tg
1  tgtg   2  3
1  tgtg
Rpta.: B
5.
Si
las
expresiones
sen(  30)sen(  30)  cos(60  )cos(60  )
y
sen(   )cos(   ) están en la misma relación que 2sen60 y 1, determine la
medida del ángulo agudo    .
A) 45°
B) 30°
C) 60°
D) 15°
E) 75°
Solución:
sen(  30)sen(  30)  cos(60  )cos(60  ) 2sen60

sen(  )cos(  )
1
sen2  sen2 30  cos2 60  sen2
 3
sen(  )cos(  )
sen(  )sen(  )
 3
sen(  )cos(  )
tg(  )  3
    60
Rpta.: C
6.
Si     150 y tg  tg 
A)
1
3

a 2
Semana Nº 8
B)
2
3

a 2
a
, exprese el valor de cos(  ) en términos de a.
2
C)
2
3

a 3
D)
2
3

a 2
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
2
2

a 2
335
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
tg  tg 
a
2
1
sen sen a
sen(  ) a
a
1
2

 
 
  cos  cos  
cos  cos  2
cos  cos  2
cos  cos  2
a
cos(150)  cos(  )  cos  cos   sensen

3
1
1
3
 cos  cos   sensen   sensen  sensen  
2
a
a
2
cos(  )  cos  cos   sensen 
2
3

a 2
Rpta.: D
7.
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación de la recta. Si los
ángulos de inclinación de las rectas L y M son 50º y 10º, halle m1  m2 donde m1 y m2
son las pendientes de las rectas.
A) csc70°
B) csc80°
C) sec20°
D) tg10°
E) ctg10°
Solución:
sen50 sen10

cos50 cos10
sen50 cos10  cos50 sen10

cos50 cos10
tg50  tg10 
sen(50  10)
cos50 cos10
sen40
cos50


 sec10
cos50 cos10 cos50 cos10

 csc 80
Rpta.: B
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
336
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2018-II
En la figura mostrada, se tiene que DC  BC , M es punto medio de AB .
Calcule el valor tg .
A)
63
34
B)
53
34
C)
23
14
D)
72
25
E)
23
17
Solución:
De la figura tenemos:
      tg  tg(  ) 
tg  tg
1  tgtg
3 6

tg  tg
4
13  63

1  tgtg 1  3 . 6
34
4 13
Rpta.: A
9.
3
, la relación de las longitudes de los segmentos AD y BD son
2
como 2 es a 3 respectivamente. Determine el valor de tg(  )  tg(  ) .
De la figura, csc  
A)
6 5
7
B)
5
7
C) 
D)
2 5
7
3 5
7
E) 
5 5
7
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
337
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
E  tg(  )  tg(  ) 
tg  tg
 tg(  )
1  tgtg
1
2
1


5  5 
5  5  5  56 5
E 5
1 2
7
7
7
5
5
1
.
5
5 5
Rpta.: A
10. De la figura se tiene que 4AE  4CF  AB  AD y M es un punto equidistante de los
vértices del rectángulo ABCD, calcule tan(  ) .
A) 2
B) -3
C) 4
D) -5
E) 6
Solución:
tan(  )  tan(  45) 
1  tg 1  2

 3
1  tg 1  2
Rpta.: B
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
338
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
De la figura mostrada. Si CH  au , HE  bu y DE  ku , calcule el valor de
csc(  ) 
k
.
ab
A) 1
B) 2
C) 0
D) -3
E) -5
Solución:
De la figura:
a  k cos sen
b  ksen cos 
E  csc(  ) 
E
k
ab
1
k

0
sen(  ) k cos sen  ksen cos 
Rpta.: C
2.
En la figura se tiene una de las vistas de perfil de un trofeo, formado por cuatro piezas,
una de las piezas es de vidrio templado, donde el lado de esta pieza tiene la forma de
la región limitada por el triángulo rectángulo ABC. Las otras piezas son de madera,
que desde la perspectiva de la figura se ven como dos triángulos y un rectángulo. Si
D es punto medio de AB , AB=10 cm y AE  3 5 cm , calcule el área del lado triangular
de la pieza de vidrio.
A) 315cm2
B) 275cm2
C) 255cm2
D) 375cm2
E) 265cm2
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
339
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
4 1
11

tg  tg
11
      tg  tg(  ) 
 3 2  6 
1
1  tgtg 1  4 . 1
2
3 2
3
10.10tg
11
Area 
 50.  275cm2
2
2
Rpta.: B
3.
Con los datos de la figura mostrada, y si tg.tg20  ctg70.tg36  tg.ctg54  1;
calcule x.
A) 100°
B) 90°
C) 105°
D) 98°
E) 120°
Solución:
tg.tg20  ctg70.tg36  tg.ctg54  1
tg.tg20  tg20.tg36  tg.tg36  1
tg.tg20  tg20.tg36  1  tg.tg36
tg20(tg  tg36)  1  tg.tg36
tg20 
1  tg.tg36
tg  tg36
tg20 
1
 ctg(  36)
tg(  36)
20    36  90 x  90
Rpta.: B
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
340
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2018-II
Con los datos de la figura mostrada, y si ABC es un triángulo rectángulo, recto en B;
calcule el valor de 27tg(  2  ) .
A) –42
B) 35
C) –38
D) 36
E) 45
Solución:
A  tg(  2  )  tg((  )  (  ))
A
tg(  )  tg(  )
1  tg(  )tg(  )
De la figura se tiene:
tg(  ) 
5
4
tg(  ) 
7
2
5 7
19

tg(  )  tg(  )
38
A
 4 2  4 
1  tg(  )tg(  ) 1  5 . 7  27
27
4 2
8
Rpta.: C
5.
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I.
El máximo valor de sec 60.senx  2tg60.cos x es 4
II.
La expresión
III.
Para algún ángulo agudo  , se cumple que
A) VVV
Semana Nº 8
cos(  )
es igual a ctg  tg .
sen.cos 
B) FVF
C) FFV
1  3tg
3  tg
D) FFF
(Prohibida su reproducción y venta)
 2 3 .
E) VVF
341
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
I.
sec 60.senx  2tg60.cos x  2senx  2 3 cos x  4sen(x  60)
el máximo valor de la expresión es 4.
II.
(V)
cos(  ) cos  cos   sensen

 ctg  tg
sen.cos 
sen cos 
III. 2  3 
1  3tg
3  tg

(V)
1  tg60tg
1

 ctg(60  )  tg(30  )
tg60  tg tg(60  )
No existe tal ángulo agudo 
(F)
Rpta.: E
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
342
Pág.
69
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
09
semana
343
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS MÚLTIPLOS
I.
II.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE
1)
sen 2 = 2 sen  cos 
3)
2 tan 
tan 2 =
1  tan 2 
cos 2 = cos²  sen²
4)
cot 2   1
cot 2 =
2 cot 
FÓRMULA DE DEGRADACIÓN DEL ÁNGULO DOBLE
1)
III.
2)
2 sen²  = 1  cos 2
2)
2 cos²  = 1 + cos 2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD
1)

sen    
2
3)
 
tan    
2
1 cos 
2
1 cos 
1  cos 

2) cos    
2
 
2
4) cot    
1 cos 
2
1 cos 
1  cos 
Observaciones:
El signo (+ ó ) se determina de acuerdo al cuadrante al que pertenece el ángulo
IV.
IDENTIDADES ESPECIALES
1)
cot  + tan  = 2 csc 2 
2)
cot   tan  = 2 cot 2
3)
cot  = csc 2 + cot 2
4)
tan  = csc 2   cot 2
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
344
Pág.
41

2
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE
I.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE
sen 3 = 3 sen   4 sen³ 
cos 3 = 4 cos³  3 cos 
3 tan   tan3 
tan 3 =
1  3 tan 2 
II.
FÓRMULAS DE DEGRADACIÓN DEL ÁNGULO TRIPLE
sen3 =
3 sen   sen 3
4
cos3  =
3 cos   cos3
4
tan3  = 3tan – tan3 (1 – 3 tan2)
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
345
Pág.
42
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
El departamento de contabilidad de la empresa “PERÚ CHOMPAS” determinó que
q
q
q
q

csc 4 30  2cos3 sen  sen cos 
8
8
8
8

su ingreso mensual esta modelada por I  q 
q
q
1  8sen2 cos2
8
8
 
decenas de miles de soles, donde q  0,  es la cantidad (en miles) de chompas
 2
que produce y vende en dicho mes ¿A Cuánto asciende el máximo ingreso de dicha
empresa?
A) S/. 64 000
B) S/. 49 000
C) S/. 40 000
D) S/. 50 000
Solución:
q
q 
q 

8  2sen cos  2cos2  1
8
8 
8 
I  q  
2
q
q

1  2  2sen cos 
8
8

q
q
4.2sen  cos 
4
4
I  q 
q
1  2sen2
4
q
I  q  4 tan
2

como 0  q 
2
q 
0 
2 4
q
0  4 tan  4
2
Imáx  S / .40 000
Rpta.: C
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
346
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2020-I
El largo y ancho de un local comercial son expresados (en metros) como 1 A y
 3
csc 2 respectivamente, para cierto   ,
. Si otro instrumento de medición
8 8
indica que el área de dicho local está dado por la expresión
1  sen2  cos2 2
m . Halle el valor de A.
1  sen2  cos2
B) sen 
A) sen2
C) cos 
D) cos2
Solución:
Área  Área
1  sen2  cos 2
csc 2 1  A  
1  sen2  cos 2
1 A
2sen cos   2cos2 

sen2 2sen cos   2sen2
2cos   sen  cos  
1 A

2sen cos  2sen  sen  cos  
A  2cos2   1
A  cos 2
Rpta.: D
3.
Don Hugo vendió un terreno de forma rectangular ABCD, como se representa en la
figura adjunta a 1000tan2 soles el metro cuadrado. Si la longitud del largo del
terreno es el mínimo posible. ¿Cuánto dinero recibió Don Hugo por el terreno?
A) S/. 576 000
B) S/. 240 000
C) S/. 180 000
D) S/. 300 000
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
347
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
MA  MG
12cot  6 tan 
 12cot.6 tan 
2
12cot  6 tan   12 2
L  12 2
2 tan 
tan2 
1  tan2 
4
tan2 
2
4 

Paga  144 2  1000.

2

Paga  S / .576 000


Rpta.: A
4.
Un topógrafo usando un teodolito observó un terreno de forma triangular ABC,
obteniendo los siguientes datos: la medida del ángulo B es de 90°, BC  3 hm y
5 cos 2A  3sen2A  5 . ¿Cuánto es el área de dicho terreno?
2
A) 8,5 hm
2
B) 8,25 hm
2
C) 7,25 hm
2
D) 7,5 hm
Solución:
5cos 2A  3sen2A  5
1  tan2 A
2 tan A
3
5
2
1  tan A
1  tan2 A
3
tanA  0  tanA 
5
2
Á rea  7,5 hm
5
Rpta.: D
5.
La siguiente figura representa un terreno de forma triangular ABC donde
AD  2DC  40 m . Si el costo total por cercar dicho terreno es de 2cos2x miles de
soles y se pagarían en dos cuotas iguales ¿Cuánto corresponde la primera cuota?
A) S/. 3 000
B) S/. 2 500
C) S/. 1 000
D) S/. 1 500
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
348
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
h  20 tan3x

 h  40 tan x
20 tan3x  40 tan x
senx  2cos2x  1 cosx
cos x  2cos2x  1 senx
2
cos2 x  1,5 miles de soles
Rpta: D
6.
Cuatro
socios
compraron
un
camión
de
carga
que
costó
x
x


senx.tan  cot .cos  x  
2
2
2

miles de soles. Si todos los socios aportaron la
sen2x
misma cantidad de dinero y además se cumple que tanx  cotx  80 , ¿cuánto
aportó cada socio?
A) S/. 16 000
C) S/. 20 000
B) S/. 25 000
D) S/. 18 000
Solución:
 tan x  cotx  80
2csc 2x  80
x
x
senx tan  senx cot
2
2
C 
2senx cos x
C  2csc 2x
C
 20 miles de soles
4
Rpta: C
7.
Un atleta recorrió en línea recta una pista representada por el segmento AD en un
mapa, donde en los puntos B y C recibió bebidas rehidratantes. Si A, B, C y D son
puntos consecutivos tal que AB  sec
CD  csc
2
km, ¿cuánto mide el largo de la pista?
9
A) ctg10° km
Semana Nº 9



km, BC  2csc  cot km y
9
9
18
B) tg10° km
C) sec10° km
(Prohibida su reproducción y venta)
D) csc10° km
349
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
AD  AB  BC  CD km
AD  sec10  2csc 20  cot20  csc 40 km
AD  sec10  2csc 20  csc 80  cot 80 km
AD  cot10 km
Rpta.: A
8.
Una ventana se diseñó de tal manera que está formada por un rectángulo ABCD
junto con un triángulo AEB (figura adjunta) donde AE  EB , DC  2 m y la bisectriz
del ángulo BAE corta a EB en M MB  1 m . Si el costo de una ventana es de
sen
B
cientos de soles ¿Cuánto costaría media docena de dichas ventanas?
2
A) S/. 400
B) S/. 450
C) S/. 300
D) S/. 350
Solución:
AB  AN  NB
2  senBcot
B
 cosB
2
B
3B
 sen
2
2
B
B
B
2sen  3 sen  4sen3
2
2
2
B 1
sen 
2 2
B
6sen  3 cientos de soles
2
2sen
Rpta.: C
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
350
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2020-I
Un topógrafo utilizando un teodolito divide en dos partes un terreno de forma
triangular ABC, representado en la figura, para ello desde el punto B se traza el
bisectriz BD que intersecta a AC en D. Si se sabe que BD  CB  25 m y
7
. ¿Cuánto mide el lado AB ?
tan  
3
A) 50 m
B) 60 m
C) 64 m
D) 49 m
Solución:


BH  25cos 2

BH  x cos 3

2

3
25cos  x cos
2
2




25cos  x  4cos3  3cos 
2
2
2

25  x  2cos   1
 3 
25  x  2.  1
 4 
x  50 m
Rpta: A
10.
Un ingeniero debe construir tres rampas de concreto todas de igual medida, en la
figura se muestra la vista lateral de una de ellas. Usando un teodolito nota que sus
lados están en progresión aritmética y el mayor de sus ángulos agudos mide 6 . Si
el costo por cada una es de 6 tan   3 tan2   2 tan3  cientos de soles ¿Cuánto es


el costo por construir todas las rampas?
A) S/. 300
B) S/. 800
C) S/. 600
D) S/. 400
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
351
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
  a  r   a2   a  r 
2
2
4r  a
1
2
3
3 tan   tan  1

1  3 tan2 
2
3
2
2 tan   3 tan   6 tan   1  0
 3 cientos de soles.

tan3 
Rpta.: A
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En un experimento, un equipo multidisciplinario modelo que la cantidad de abejas
t
t
t
t
obreras de una colonia está dada por C(t)  cos5
sen  sen5 cos  1 miles
16
16
16
16
aproximadamente, donde t indica el número de días desde el inicio del experimento.
En los primeros quince días del experimento ¿Cuánto fue la máxima cantidad de
abejas que había?
A) 1 250 abejas
B) 1 500 abejas
C) 2 250 abejas
D) 1 750 abejas
Solución:
C(t)  sen
t
t 
t
t 
 sen4   1
cos  cos4
16
16 
16
16 
1
t 
t 
sen  cos   1
2
8
8
t
1
C(t)  sen  1
4
4
como 0  t  15
t
 1  sen  1
4
t
3 1
5
 sen  1 
4 4
4
4
Imáx  1250 abejas
C(t) 
Rpta.: A
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
352
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2020-I
Se tiene un ángulo  en posición normal tal que
3 

5
. Halle
  2 y tan  
2 2
2
2
6561
sen4.
79
A) 12 5
C) 16 5
B) 12 5
D) 16 5
Solución:
2 tan 
tan  
4 5 0
1  tan2 
6561
6561
sen 4 
.2.sen2 cos 2
79
79
6561
2 tan  1  tan2 

.2.
79
1  tan2  1  tan2 
6561
sen 4  16 5
79
Rpta.: C
3.
Una hormiguita inicialmente se encuentra en el origen de coordenadas de un
sistema XY, luego hace un recorrido hasta ubicarse en un punto que pertenece al
lado final de un ángulo en posición normal . Si tan   0 y sen

2 2
, halle

2
2
2 2  2.sen.
A) 2
C) –3
B) 3
D) –2
Solución:
cos   1  2sen2

2
 2 2

cos   1  2 
 2 


cos   1  2  0
2

2 2  2.sen  2 2  2.  2 2  2

2 2  2.sen  2
Rpta.: D
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
353
Pág.
69
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2020-I
En la figura se representa la vista superior de un terreno de forma triangular ACB
donde AM y CN son bisectrices de los ángulos CAB y BCA respectivamente.
¿Cuánto es el área de la región sombreada?
 

A)  1  tan  hm2
2

 

B)  1  sen  hm2
2

 

C)  1  sen  hm2
2

 

D)  1  tan  hm2
2

Solución:


2  Hcot  45    H
2

2
H


1  cot  45  
2

2
H

2
1

1  tan
2


Área   1  tan  hm2
2

1  tan
Rpta.: D
5.
Un árbol medido desde el suelo hasta la cima tiene una altura de 9cot3 m . Si a la


mitad de dicha altura se pone un letrero colgante y se cumple que tan 
   2
12


¿A qué altura se encuentra dicho letrero?
A) 6,5 m
.
Semana Nº 9
B) 7 m
C) 6,5 m
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 6 m
354
Pág.
70
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:


12
3 tan   tan3 
 tan3 
1  3 tan2 
2
tan3 
11


 tan3  tan   3 
4

2 1  tan3

11 1  tan3
4,5cot  6,5 m
Sea  
Rpta.: C
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
355
Pág.
71
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
En un triángulo BAC se cumple que
 3B 
 3B 
B
B 
cos 
 4cos   cos A cosC y sen 
 4sen  cos(A  C) .


 2 
 2 
2
2
Determine que tipo de triángulo es BAC.
A) Rectángulo de 45o
C) Acutángulo
B) Equilátero
D) Rectángulo de 30o y 60o
Solución:
B
B
cos   (2cosB  1)  4cos   cos A cosC
2
2
o
 A  B  C  180  cosB   cos(A  C)
2cos AcosC  2senAsenC  1  4cos AcosC
A  C  60o
También
B
B
sen   (2cosB  1)  4sen   cos(A  C)  A  C  120o
2
2
1
1
Finalmente A  (120o  60o )  90o y C  (120 o  60 0 )  30 o  B  60o
2
2
Rpta.: D
2.
Tres móviles parten siguiendo trayectorias rectilíneas desde el punto A hacia los
puntos C, D y B, tal como se muestra en la figura. Si DB=2u, determine el triple de la
distancia de separación entre los puntos C y D
A) 10 u
B) 13 u
C) 5 u
D) 8 u
Solución:
ABD : tg 
x  2 2(1/ 2)
2 1
  ABC : tg2 

1
4
4 2
1  ( )2
2

x2 4
  3x  10
4
3
Rpta.: A
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
356
Pág.
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-II
sen8  cos8 
representa la altura de un edificio en metros,
sen4 cos2   sen2 cos4 
donde  es el ángulo de elevación de una persona en el suelo a la azotea del
edificio, halle la altura del edificio para   22o30'
Si H() 
A) 3 m
B) 4 m
C) 5 m
D) 6 m
Solución:
sen8  cos8 
(sen4  cos4  )(sen4  cos4  )

sen4 cos3   sen2 cos4 
sen2 cos2 (sen2  cos2  )
(sen4  cos4 )(sen2  cos2  )(sen2  cos2  ) 1 2sen2 cos2 


sen2 cos2 (sen2  cos2  )
sen2 cos2 
4
Entonces
H() 
2
2
4sen  cos2 
4
H(22o30´) 
2  6
1/ 2
H() 
Rpta: D
4.
Un ingeniero desea calcular el área de un terreno de forma triangular ABC, con la
ayuda de un teodolito situado en el punto A obtiene los siguientes datos AB=40m,
AC  (40  20 12)m y la medida del ángulo B es el triple de C, calcule el área de
dicho terreno.
A) 400(3  3)m2
B) 200(3  3)m2
C) 400(5  3)m2
D) 100(3  3)m2
Solución:
h  40sen3x  (40  20 12)senx
h  40senx(2cos2x  1)  (40  20 12)senx
2cos2x  1  1  3  cos2x 
Semana Nº 9
3
 x  15o y A=120o
2
(Prohibida su reproducción y venta)
357
Pág.
57
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Area  A 
Ciclo 2019-II
1
(40)(40  20 12)sen120o  400(3  3)m2
2
Rpta.: A
5.
En la figura, se tiene un poste BD sujetado por dos cables AC y AD. Si BC=1 m y
AB=3 m , halle la longitud del poste BD.
11
m
4
B) 2 m
A)
C)
13
m
5
D)
13
m
3
Solución:
Sea x la longitud del poste BD. tg  
y tg3 
1
3
x
3
3
 1  1
3    
3
3 tg   tg  x
x
3
3
     2 
2
1  3 tg 
3
3
 1
1 3  
3
13
BD  x 
m
3
Rpta.: D
6.
Carlos le dice a su amiga Mariana que su edad es 16sen(6) años. Si
sen  cos  
A) 11
5
, ¿cuál es la edad de Mariana si es mayor en 1 año que Carlos?
2
B) 21
C) 12
D) 15
Solución:
sen  cos  
5
5
1
 (sen  cos )2   sen2 
2
4
4
3
11
 1
 1
sen6  3    4   
 16sen6  11, la edad de Mariana es 12 años
4
 4  16
Rpta: C
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
358
Pág.
58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2019-II
Si un profesor escribe en la pizarra la expresión sec 20o  n y su alumno escribe en
su cuaderno expresión A  2cos2 40o  1, el profesor le pide expresar A en términos
de n. Dar como respuesta dicho resultado.
A)
C)
3 n2  1
n2
3 n2  1
n2
B)
1
3 n2  1

2n
n3
D)
1
3 n2  1

2n
2n
Solución:
1
n2  1
o
sec 20  n  cos 20   sen20 
n
n2
o
o
sen10o  sen(30o  20o ) 
2cos2 40o  1  sen10o 
1
n2  1 3 1  3 n 2  1


2n
2n
2n
1
3 n2  1

2n
2n
Rpta: D
8.
El salario semanal de Luis es de 500 soles más el 15% de comisión sobre las ventas
semanal que realice; si ésta llega a 600(sen54° – sen18°) soles; ¿cuál es el salario
semanal de Luis?
A) 524 soles
B) 555 soles
C) 545 soles
D) 654 soles
Solución:
M  sen54o  sen18o  cos36o  sen18o
Sea =18o  2  3  90o  sen2  cos3
2sencos=4cos3   3cos   4sen2   2sen  1  0
2  20
5 1

8
4
o
2
o
cos36  1  2sen 18  M  cos36o  sen18o  1  2sen2 18  sen18o
sen  sen8o 
2
 5  1  5  1 1
15
1
 1 2 

  Luis recibe 500+
(600)( )  545


 4   4  2
100
2

 

Rpta.: C
9.
tan16o sen32o  2sen216o cot 32o
 sen2 32o
o
o
csc 32 tan16
1
1
B) 2sen64o
C) sen32o
D) sen64o
2
2
Simplificar la expresión
A) sen64o
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
359
Pág.
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
o
sen16o
o
2
o cos32
sen32  2sen 16
o
sen32o  sen2 32o
K  cos16
o
1
sen16
o
sen32 cos16o
sen16o sen2 32o  2sen216cos16o cos32o
cos16o sen32o

 sen2 32o
sen16o
sen32o cos16o
 sen2 32o  2sen16o cos16o cos32o  sen2 32o
1
 sen32o cos32o  sen64o
2
Rpta: D
10. Desde los puntos C y A se observan los puntos más altos de dos postes de
alumbrado público de 4m y 3m respectivamente. La altura del poste AB =AC. Halle
tan(  )
A) 1
B) 7
C) 3
D) 4
Solución:
3
tan    tan   1 y       
4
tan   tan 
tan(   )  tan(  ) 
1  tan  tan 
3
1
tan   4
7
3
1  (1)
4
Rpta.: B
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Un terreno de forma triangular, cuyos ángulos son , ,  , y un dato importante para
valorizar dicho terreno está dado por el número M. Si tan   tan   tan  y
sensen  Mcos  cos  , halle M2  1.
A) 5
Semana Nº 9
B) 21
C) 10
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 15
360
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
En el triángulo        y tan(   )  tan(   )   tan 
tan   tan 
  tan   tan   tan   tan   tan  tan  tan   tan  tan   2
1  tan  tan 
tan 
Acomodando: tan  tan   2  sensen  2cos  cos   M  2
E  M2  1  4  1  5
Rpta.: A
2.
Sea A el punto inicial de una pendiente, cuya inclinación respecto del horizonte es
 , la razón entre las longitudes CB y AB es como h es a d. Si h  2sen cos 
, d  cos2   sen2 y  es agudo, halle  en términos de  .
A) 3
B) 2

C)
3

D)
2
Solución:
h
2sen cos 
sen2

tan   

 tan2    2   
2
2
d cos   sen  cos2
2
Rpta.:D
3.
Los números a  sen cos  , b  cossen , c  tan   tan  , d  tan   tan  y
a  b c(1  e)
, con     p y    q , p  q .

e  tan  tan  , determine
a  b d(1  e)
senp tanp
senq tanp
senp
tanp
senp tanp
A)
B)
C)
D) 2


2

senq tanq
senp tanq
senq
tanq
senq tanq
Solución:
sen(p)
H
a  b c(1  e) sen cos   cos sen (tan   tan )(1  tan  tang)



a  b d(1  e) sen cos   cos sen (tan   tan )(1  tan  tang)
sen(q)
p
tan   tan 
senp 1  tan  tan 
senp tan(  )
senp tanp






senq tan   tan 
senq tan(  )
senq tanq
q
1  tan  tan 
Rpta.: A
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
361
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-II
La suma y diferencia entre las alturas de dos mesas en metros es 2csc 2 y

2cot 2 , respectivamente. Si 0    , determine la mayor altura en metros de las
8
mesas.
A) cot 2  2csc 2
C) 2cot 2  csc 2
B) cot 2  csc 2
D) 2cot 2  3csc 2
Solución:
Sea h1: altura mesa mayor
h2: altura mesa menor
Entonces:
h1 + h2 = 2csc 2
h1 – h2 = 2cot 2
 h1 = csc 2 + cot 2
Rpta.: B
5.
Un alambre flexible y con restitución muy buena, se dobla dos veces en dos de sus

puntos, tal que los ángulos que se forman son  y  que sumados dan rad. Si
4
E  tan   tan   tan  tan  y E representa un índice que indica la estabilidad de los
ángulos frente a la restitución, halle E.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 1
Solución:

tan   tan 

 tan(  )  tan 
1
4
4
1  tan  tan 
tan   tan   tan  tan   1
 
Rpta.: D
Semana Nº 9
(Prohibida su reproducción y venta)
362
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Margarita le pide a su mejor amigo Alonso que la ayude con un ejercicio que no ha
podido resolver. El ejercicio dice lo siguiente: “Si se sabe que la suma de la tg
tg
2
y
9
5
1
4
es m , determine una expresión equivalente a
”. Además, Alonso
sen2
18
4
9
pudo ayudar a Margarita. En ese sentido, ¿cuál es el resultado al cual ha llegado
Alonso?
A)
1 m
m2
B)
1
m2
C)
1
m 1
D)
m 1
m2
E)
m 1
2m
Solución:
Sabemos
tg
2
5
 tg
m
9
18
Entonces
tg
2
2
 ctg
m
9
9
Entonces
csc
4 m

9
2
Luego
E
1
4 1  4  1
sen2
  2 2 .
4
9
4m  m
Rpta.: B
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
363
Pág.
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2019-I
El profesor de Trigonometría les pide a sus alumnos que a partir del siguiente dato:
2  3tg  sec 2  , determinen el valor de la cotangente del ángulo cuádruple de  . Si
Juan, alumno de dicha clase responde adecuadamente, ¿cuál será el valor al cual
ha llegado Juan?
A)
7
12
B)
3
4
C)
5
12
D)
12
7
E)
13
12
Solución:
Sabemos que: 2  3tg  sec 2 
Entonces 2cos2 x  1  3senx  cos x
Luego tg2x 
2
3
2
2 
12
3
Por lo tanto, tg 4x    
4
5
1
9
De esta manera, se obtiene que ctg 4x 
5
.
12
Rpta.: C
3.
Lucero le comenta a su hermano mayor que en el curso de Trigonometría, le han
dejado un ejercicio en donde le piden encontrar una expresión equivalente a
sec 4  cos4
y
en
términos
de
k;
si
se
sabe
que
 5

tg 
    2k  tg  2019    donde k  1. En base a la información dada,
 2

determine la expresión a la cual debe llegar Lucero.
A)
4k 2
k4  1
B)
3k 2
k3  1
C)
k2
k2  1
D)
2k 2
k2  1
E)
3k 2
k 1
Solución:

Sabemos que : tg      tg       2k
2

Entonces ctg  tg  2k
Entonces ctg2  k
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
364
Pág.
57
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Además,
Ciclo 2019-I
cos 4  2cos2 2  1
Entonces cos 4 
k2  1
k2  1
sec 4  cos 4 
Por lo tanto,
k2  1 k2  1
4k 2
.


k2  1 k2  1 k4  1
Rpta.: A
4.
Si H representa el máximo valor de cos5 t  sent  sen5 t  cost y M  32H2 , donde M
representa el número de sobrinas que tiene Miguel, determine el valor de M.
A) 5
B) 1
C) 4
D) 3
E) 2
Solución:
Sabemos que: E  cos5 t  sent  sen5 t  cos t  sent cos t(cos2 t  sen2 t) 
Como

1
sen4t
4
1 1
1
 sen4t 
4 4
4
H
1
4
Es decir,
H
Entonces
 1
M  32    2 .
 16 
Por lo tanto, Miguel tiene dos sobrinas.
Rpta.: E
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
365
Pág.
58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-I
En la figura, se muestra como están ubicadas Alejandra (A), Belén (B), Ethel (E),
Diana (D) y Carolina (C) . Asimismo, Diana se ubica aproximadamente a
Alejandra y a
3 m
de Carolina. Si
m BCE  m ECD ,
2 m de
m EAD  45 ,
m ADB  90 y m ABD   ; calcule 2csc 2  .
A) 74
B) 54
C) 60
D) 62
E) 72
Solución:
A partir de la información dada, y con la siguiente representación gráfica, se tiene
que:
 2
2

 3 6 2 x 2

tg2  

2
3
3
1
3

x5 2
Por lo tanto, ctg  6
Entonces, 2csc 2   2(1 36)  74 .
Rpta.: A
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
366
Pág.
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2019-I
Marco Antonio está muy emocionado pues dentro de M meses será mayor de edad.
1 
tg
2 2 , determine cuántos meses faltan para que Marco Antonio sea
Si M 
1 
tg  ctg
2 2
csc  
mayor de edad de acuerdo a nuestras leyes peruanas.
A) 2
B) 1
C) 6
D) 5
E) 3
Solución:
1 
tg
2 2 
M
1 
tg  ctg
2 2
csc  
Sea
1

2csc   tg 

2
2
1 

tg  2ctg 

2 2


2  1.
Entonces
M

ctg
2
Por lo tanto, falta 1 mes para que Marco Antonio sea mayor de edad.
ctg
Rpta.: B
7.
Con los datos de la figura adjunta, determine la medida del ángulo  .
A) 10
B) 40
C) 30
D) 25
E) 20
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
367
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
A partir de la información dada, y con la siguiente representación gráfica, se tiene
que:
En el triángulo AHB: ctg20 
mctg10
mctg  ctg40
Luego, tg  tg10  tg50  tg70
De donde, se obtiene que: tg  tg3 10  tg30
Por lo tanto, la medida del ángulo  es 20 .
Rpta.: E
8.
Si
Asen4x  Bcos2x
 sen3x  ctgx  cos3x  tgx es una identidad trigonométrica,
senx  cos x
determine el valor de B  A  .
A
A) 4
B) 2
C) 9
D) 1
E) 25
Solución:
Asen4x  Bcos2x
 sen3x  ctgx  cos3x  tgx es una identidad.
senx  cos x
Asen4x  Bcos2x
 cos x 
 senx 
 sen3x 
 cos3x 


senx  cos x
 senx 
 cos x 
Sabemos que:
Entonces
Luego,
Asen4x  Bcos2x
 2cos2x  senx  cos x    cos x  senx 
senx  cos x
Entonces Asen4x  Bcos2x  2cos2x  senx  cos x    cos2 x  sen2 x 
2
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
368
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Entonces Asen4x  Bcos2x  2cos2x 1  sen2x   cos2x  3cos2x  sen4x
Por lo tanto, A  1
Finalmente,
B3
y
B  A 
A
 4.
Rpta.: A
9.
Con los datos de la figura mostrada, determine el área de la región triangular ABE.
A)
9 63 2
u
2
B)
11 63 2
u
2
C)
15 63 2
u
2
2
D) 5 63 u
E)
13 63 2
u
2
Solución:
A partir de la información dada, y con la siguiente representación gráfica, se tiene
que:
tg 
3
7
7
6m
 2
, tg 2 
entonces
m
m
m m 9
Por lo tanto, m  63
Por
otro
lado,
63  9   27
tg3 
63 63
36
63

x7

x8
63
Finalmente, el área de la región triangular es:
15 63 2
u .
2
Rpta.: C
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
369
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
10. Para algún ángulo  , se cumple que la media aritmética y la media geométrica de
los números
sen y
cos son sen y
cos , respectivamente. En base a la
información dada, calcule cos14 .
A)
1
4
B)
1
2
C) 1
D) 1
E) 0
Solución:
A partir de la información dada, se tiene:
sen  
sen   cos 
2
y
cos  
sen    cos   
2
Entonces,
 sen   cos  
sen   cos   
 
2


2
2
1
1  sen  2  
4

sen    cos   

2
 sen    cos   
sen  2    1 
2  2n 

2
Luego:
 
 
 7 
cos 14   cos 7  2n     cos  
2 
 2 
 
 7 
 cos14  cos    0 .
 2 
Rpta.: E
EJERCICIOS
1.
Si ctg   
A)
5 2
1


y  pertenece al cuarto cuadrante, determine el valor de tg  45   .
2
2

B) 3
C) 3  5
D) 3  5
E) 1
Solución:
Por dato, sabemos que: ctg   
1
, donde  pertenece al cuarto cuadrante
2
Además,
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
370
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I




M  tg  45º    ctg  45    csc(90  )  ctg(90  ) (Identidades especiales)
2
2


M  sec   tg
Como tg  2    IVC  sec   5
 tg  2
 M 5 2
Rpta.: A
2.


Si a  sen4  1   cos4 y a  0 , determine el valor de ctg   2  .
4

A) 2a
B) a
C)
a
2
D)
1
2a
E)
1
a
Solución:
Como a  sen4  1   cos 4  sec 4  tg4 
1
 sec 4  tg4  a
a






Además, sabemos ctg  2   csc  4   ctg  4 
2

4

2




ctg   2   sec 4  tg4  a .
4

Rpta.: B
3.
Simplifique la expresión cos6 12 
A) sen24
B) cos12
5
 sen612 .
2
sec 12°  csc 12°
2
C) cos 48
D) sen48
E) cos24
Solución:
Sea
5
 sen6 12
2
sec 12°  csc 12°
2
M  1  3sen 12 cos2 12  5cos2 12sen2 12
M  cos6 12 
2
M  1  8sen212 cos2 12  1  2(sen2 24)  1  2sen2 24  cos 48 .
Rpta.: C
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
371
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-I
Si el ángulo  mide 7º 30' , determine el valor de Y  16  cos3 sen  sen3 cos   , el
mismo que representa el precio de un chocolate en soles. En base a la información
dada, determine el monto a pagar si se compran 10 chocolates.
A) 21 soles
B) 25 soles
C) 30 soles
D) 20 soles
E) 35 soles
Solución:


Sea
Y  16 cos3 sen  sen3 cos 
Entonces
Y  16cos sen(cos2   sen2)
Luego,
Entonces
 2sen2 cos2 
 2cos sen(cos2) 
 sen4 
Y  16 
 16 
 16 



2
2(2)


 4 


 sen30o 
 sen4 
Y  16 
  16  4   2 .
 4 


Finalmente, 10 chocolates cuestan 20 soles.
Rpta.: D
3
5.


sen2x . cos x
Un terreno de forma rectangular tiene 20 
 metros de largo y
 1  cos 2x 1  cos x  
x
3x
x
csc 3  cos
 3cos  metros de ancho, donde el ángulo x es agudo. Si cada
2
2
2
metro cuadrado del terreno está valorizado en 1000 soles, determine el precio del
terreno.
A) 60 000 soles
B) 100 000 soles
D) 90 000 soles
E) 80 000 soles
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
C) 70 000 soles
372
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
Sea
S: Área


sen2x . cos x
L  20 

 1  cos 2x 1  cos x  


 2senx.cos x.cos x 
L  20 
x 
 2cos2 x.2cos2 

2 
3
3
S
A
3
x
x

 2sen 2 . cos 2 
L  20 

x
 2cos2


2

x
L  20tg3
1
2
x
3x
x
A  csc 3  cos
 3cos 
2
2
2
L
x
x
x
x
4cos3  3cos  3cos 

2
2
2
2
x
A  4ctg3
 2
2
A  csc 3
Luego S  L.A

S  80m2
 El cos to del terreno es 80 000 soles.
Rpta.: E
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
373
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Harumi le cuenta a su hermana mayor que en el curso de Trigonometría, le han
dejado un ejercicio en donde le piden encontrar una expresión equivalente a 1  8C2 ;
si se sabe qué C  2sen cos3   2sen3 cos  . Determine la expresión a la cual
debe llegar Harumi.
A) sen 4
D) 8cos 2
B) cos 8
E) 3cos 4
C) 4sen 8
Solución:
Sabemos
C  2sen cos3   2sen3 cos 
Entonces
C  2sen cos  cos2   sen2
Luego
C
Luego
1 8C2  1 2sen2 4  cos8 .


1
sen4
2
Rpta.: B
2.
Las medidas, en metros, del largo y ancho de una pared son
12sec t 1 cos2t 
cos t
y
 2  2sen2t  2cos2t 

  ctg2t  csc 2t  respectivamente. Si se sabe que el costo por
 1  sen2t  cos2t 
empastar cada metro cuadrado es 25 soles, determine lo que se pagaría por
empastar dicha pared.
A) 600 soles
D) 1 500 soles
Semana N.º 9
B) 1 200 soles
E) 720 soles
(Prohibida su reproducción y venta)
C) 1 000 soles
374
Pág.
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Sabemos que: LPARED 
12sec t 1  cos2t 
cos t
 12sec 2 t  2cos2 t  24 metros
 2  2sen2t  2cos2t 
APARED  
  ctg2t  csc 2t 
 1  sen2t  cos2t 
 2sen2 t  2sent cos t  cos t
APARED  2 

2
 2cos t  2sent cos t  sen t
APARED  2 metros
Entonces APARED  48 m2
Luego, P  48  25   1 200 soles
Es decir, por empastar dicha pared se pagará 1 200 soles.
Rpta.: B
3.
La esquina inferior derecha de una hoja rectangular se dobla hasta alcanzar el lado
izquierdo, tal y como se muestra en la figura adjunta. Si el ancho de la página es de
6 pulgadas, halle la longitud del pliegue en términos de a.
a
pulgadas
a3
B)

a 
 pulgadas
D) a 
 a3 


E)
A)
Semana N.º 9
2a
pulgadas
a3

a 
 pulgadas
C) a  2
 a 3 


a
pulgadas
a3
(Prohibida su reproducción y venta)
375
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Del gráfico tenemos que:
sen  
a
y
6a
a
y cos 2 
a
6a
 1 2  
a
y
Entonces
2
6  2a 2a2
 2
a
y
Luego
a  3 a2
 2
a
y
Entonces
y
Luego

a 
 a
 pulgadas.
 a3 
a3


a a
Rpta.: D
4.
Si H 
sen14  2cos7
ctg 14cos28  2cos2 14 tg 28
y C
, determine una
2  2sen7
sec 28 ctg 14
expresión equivalente a
A) cos2 14
D) sen2 7
Semana N.º 9
1  C2
.
H
B) 2sen 7
E) sen 14
(Prohibida su reproducción y venta)
C) 2cos 14
376
Pág.
61
H
sec 28 ctg 14
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
ctg 14 cos28  2cos2 14 tg 28
sec 28 ctg 14
Sabemos que:
H
Entonces
cos 14
sen 28
cos 28  2cos2 14
cos 28
H  s en 14
1
cos 14

cos 28 s en 14
Luego
H
cos 14 cos2 28  2cos2 14 sen 28sen 14
1
cos 14
Además, se sabe que: C 
sen14  2cos7 2cos7 1  sen7 

 cos7 .
2  2sen7
2(1  sen7)
1  C2
Finalmente, nos piden
 1  cos2 7  sen2 7 .
H
Rpta.: D
5.
Sea  un ángulo agudo. Si se sabe que el producto de la secante de dicho ángulo y
el coseno del triple del ángulo en mención es
A) 
5
32
B) 
23
32
C) 
7
32
1
, determine el valor de cos 4 .
4
D)
15
32
E)
17
32
Solución:
Sabemos
cos3 1

cos 
4
Entonces
4cos3   3cos  1

cos 
4
Luego
4cos2   3 
Semana N.º 9
1
4
(Prohibida su reproducción y venta)
377
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
13
8
5
cos 2 
8
2
7
5
.
cos 4  2    1  
32
8
2cos2  
Entonces
Entonces
Luego
Rpta.: C
6.
Lucero, la hija mayor del Sr. Cárdenas, está muy entusiasmada pues dentro de E
meses se celebrará su quinceañero. Si E viene dada por la siguiente expresión:
3cos2 2x  sen2 2x
, determine cuántos meses aproximadamente faltan
E




cos   2x  sen  2x  
3
6


para que se lleve a cabo la fiesta tan esperada por Lucero.
B) 6 meses
A) 8 meses
C) 3 meses
D) 5 meses
E) 4 meses
Solución:
E
Sea
Entonces E 
3cos2 2x  sen2 2x




cos   2x  sen  2x  
3
6


3cos2 2x  sen2 2x




sen   2x  sen  2x  
3
3




2
3cos2 2x  sen2 2x 4 3  4sen 2x
E

 4.
3  4sen2 2x
2 
2
sen  sen 2x
3
Luego
Por lo tanto, faltan aproximadamente 4 meses para que Lucero celebre su fiesta.
Rpta.: E
7.
Si ctg
3
A) 121
Semana N.º 9
x
2 , determine el valor de 44 ctg6x .
B) 132
C) 121
D) 117
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 117
378
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Sabemos que tg
1
2
x
3
3tg
Luego tg 3
3
Entonces tg3x
x
3
tg3
x
1 3tg2
3
x
x
3
11
2
11
2
Por lo tanto, tg6x
2tg3x
1 tg2 3x
tg 2 3x
Finalmente, 44 ctg6x
44
117
117 .
Rpta.: D
8.
En un plano, la distancia de la casa de Cecilia a su centro de estudios es de
8sen   2sen3 csc   8cos
3
3
plano es E 
A) 1,2 km

  2cos3 sec  cm. Si se sabe que la escala del
1
, ¿cuál sería la distancia real en kilómetros?
104
B) 0,12 km
C) 0,6 km
D) 1,8 km
E) 2,1 km
Solución:
Sabemos que la distancia de la casa de Cecilia a su centro de estudios, es:



D  2  4sen   sen3  csc   2  4cos

  cos3  sec  cm
D  8sen3  2sen3 csc   8cos3   2cos3 sec  cm
3
D  2  3   2  3   12 cm
3
Por otro lado, sabemos que el plano ha sido elaborado a escala. Como E 
tiene
1
, se
104
1
12 cm
.

4
10
x
Por lo tanto, la distancia real de la casa de Ceci a su centro de estudios es 1,2 km .
Rpta.: A
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
379
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2018-II
Con los datos de la figura adjunta, determine la razón entre la medida del segmento
MC y la medida del segmento AM.
A)
5
23
B)
17
9
C)
23
9
D)
41
23
E)
9
23
Solución:
Del gráfico, notemos que: 23sen
Entonces
23
9
23
9
3
Luego
Luego 2cos 2
Finalmente,
9sen 3
sen3
sen
2 1 cos2
14
9
MC
AM
9cos3
23cos
9 14
23 9
1
9 5
23 9
5
.
23
Rpta.: A
10. Carlos se encuentra ubicado a cierta distancia y en dirección N 90
3 O respecto a
Bertha, quien a su vez se encuentra a 4 metros y al Este de Olga. Si Arturo está
ubicado a 3 metros y al norte de Olga, pero al Sur de Carlos y el ángulo que se forma
entre Carlos, Bertha y Arturo es
A)
25
m
9
Semana N.º 9
B)
47
m
9
; determine la distancia entre Carlos y Olga.
C)
52
m
9
D)
59
m
9
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
44
m
9
380
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Del gráfico, notemos que:
3
tg 3
x
4
2tg
1 tg2
tg 2
Entonces tg
Luego
,
3
4
1
3
3tg
tg3
1 3tg2
Por lo tanto x
3
x
4
25
9
Finalmente d(C,O)
3
25
9
52
m.
9
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
La profesora de Trigonometría les pide a sus alumnos que a partir del siguiente dato:


ctg      3 , determinen el valor de la tangente del ángulo doble de  . ¿Cuál será
8

el valor que la profesora espera que sus alumnos encuentren?
A) 
1
5
B) 
1
7
C) 3
D) 1
E) 5
Solución:


ctg      3
8



2tg    


8

Entonces tg 2     
8
 1  tg2     
8



2



3 3
Entonces tg   2  
4
 1 1 4
9
1  tg2 3

Entonces
1  tg2 4
1
Por lo tanto, tg 2   .
7
Por dato, sabemos que:
Rpta.: B
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
381
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
4tg 1  tg2 

0;
, simplifique la expresión
.
4
sec 4   2  sec 2  
2
2.
Si se sabe que  
B) 2cos 
A) sen 2
D) 2cos 4
C) sen 4
E) 4sen 2
Solución:
2

sen2 
2
4tg

cos

1



4tg 1  tg2 
cos2  


Consideremos H 
1
sec 4   2  sec 2  
2
cos2 
 cos2 2 
4sen cos5  

cos4  

 2sen2 cos2  sen4 .
Entonces H 
cos2
4
Rpta.: C
3.
Si 3sen3 cos   7sen cos3 
B) 11
A) 16
1
sen2 , determine el valor de 16cos6 .
2
C) 13
D)
1
13
E) 
1
16
Solución:
Entonces
1
sen2
2
3sen3 cos   7sen cos3  sen cos 
Entonces
3 3  4sen2  7 4cos2   3  1
Entonces
9  6 1 cos2  14 1 cos2   21  1
3sen3 cos   7sen cos3 
Sabemos
Luego


cos 2 


1
4
  1 
 1 
Finalmente, nos piden R  16cos 6  16 4    3     11 .
 4 
  64 
Rpta.: B
4.
Si x  0,
A) cos 4x
Semana N.º 9

8
27
 127

y H  1  sen4x  cos2 
, determine 2H2  1 .
 2x   ctg2
2
2


B) sen 4x
C) 2cos 4x
D) 4sen 2x
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 2sen 4x
382
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
27
 127

Sea H  1  sen4x  cos2 
 2x   ctg2
2
 2

Entonces H 
 sen2x  cos 2x 
2
3



 cos2  62 
 2x   ctg2
2
2


Entonces H  sen2x  cos2x  sen2x
Entonces H  sen2x  cos2x  sen2x  cos2x
Nos piden 2H2  1  2cos2 2x  1  cos4x .
Rpta.: A
5.
Tres barcos A, B y C salen de un puerto al mismo tiempo con direcciones SO , S y
S  2  E respectivamente. Después de un tiempo, las posiciones tanto de B como
de C se ubican al Este de A. Si se sabe que en ese instante los barcos A y C
cambian sus direcciones hacia ES y OS respectivamente para llegar a otro puerto
y al mismo tiempo que B; calcule sen  .
A)
2 cos 
B)
2 sen 
C)
1
sen 2
2
D)
3 tg 
E)
3 sec 
Solución:
A partir de la información dada, tenemos la siguiente representación gráfica:
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
383
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Del gráfico, podemos notar que:
Entonces
Luego
Ciclo 2018-II
tg ctg  ctg tg2
tg2  tg2 tg
sec 2   1  tg2 
sen2 sen
1
cos2 cos
cos 
 sec 2
cos2 cos
Entonces
sec 2  
Entonces
cos2   cos2
Entonces
sen 
2 sen  .
Rpta.: B
Semana N.º 9
(Prohibida su reproducción y venta)
384
Pág.
69
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
10
semana
385
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
I.
TRANSFORMACIONES EN PRODUCTO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE
SENOS Y COSENOS
 A B
 A B 
senA  senB  2sen 
cos 


 2 
 2 
 A B
 A B 
senA  senB  2cos 
sen 


 2 
 2 
 A B
 A B 
cos A  cosB  2cos 
cos 


 2 
 2 
 A B
 A B 
cos A  cosB  2sen 
sen 


 2 
 2 
II.
TRANSFORMACIONES EN SUMAS O DIFERENCIAS DEL PRODUCTO DE
SENOS Y COSENOS
2senA cosB  sen  A  B   sen  A  B 
2cos A senB  sen  A  B   sen  A  B 
2cos A cosB  cos  A  B   cos  A  B 
2senA senB  cos  A  B   cos  A  B 
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
386
Pág.
48
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Ricardo tiene un terreno rectangular ABCD destinado para el cultivo de papas, tal
como indica la figura. Si las longitudes de AB y BC son  cos38  sen28  km y
 cos52  sen62 km , respectivamente. Si se coloca una cerca
AC
para dividir el
terreno, calcule x.
B
C
A) 50°
B) 30°
C) 40°
x
D) 20°
D
A
Solución:
Del gráfico
tan x 
tan x 
cos38  sen28
cos52  sen62
B
C
sen52  sen28
cos52  cos 28
cos38°+sen28°
x
2sen40 cos12
tan x 
2cos 40 cos12
tan x  tg40
x  40.
D
A
cos52°+sen62°
Rpta.: C
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
387
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2020-I
Sean M y N los valores máximo y mínimo de la
csc 30 cos2x  cos6x  sen2x  sen6x  respectivamente, halle MN .
A) 11
B) 16
C) 9
expresión
D) 25
Solución:
E  csc 30  cos2x  cos6x  sen2x  sen6x 
E  2  2sen4xsen2x  2sen4x cos2x 
E  2  2sen4xsen4x  2sen2x cos 2x 
E  4sen3 4x
Se sabe que para cualquier valor real de x es cierto que
1  sen4x  1
1  sen3 4x  1
4  E  4
Luego M  4, N  4
Por lo tanto MN  16.
3.
Rpta.: B
Una fábrica para vender leche evaporada necesita latas de aluminio con tapa que
tenga la forma de un cilindro circular recto. Si el radio de la base mide
 sen70  sen10  cos 20 

 m y la altura de la lata de aluminio es 10cm, halle su
25 3 cos10


volumen.
A) 120 cm3
Semana Nº 10
B) 130cm3
C) 146cm3
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 160cm3
388
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Sea r el radio
r
r
r
r
r
sen70  sen10  cos 20
25 3 cos10
2cos 40sen30  cos 20
25 3 cos10
cos 40  cos 20
25 3 cos10
2cos30 cos10
25 3 cos10
m
m
10 cm
m
r
r
m
v: volumen
1
m  r  4cm
25
Entonces V   A base  h   r 2  h
V    4  10 
2
Rpta.: D
V  160 cm3 .
4.
Un topógrafo utilizando un teodolito anotó que las medidas de los ángulos interiores
de un terreno de forma triangular ABC cumplen que sen2B  sen2C  sen2A.
¿Cuánto mide el mayor ángulo interior de dicho terreno?
A) 90°
B) 75°
C) 80°
D) 85°
Solución:
sen2B  sen2C  sen2A
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
389
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2020-I
2sen B  C  cos B  C   2senA cos A
senA cos B  C   senA cos A

 senA  cos B  C   cos A   0
 senA  0
cos A  cos B  C 

A BC
Como
A  B  C  180
 B  C  B  C  180
 B  90
Rpta: A
5.
Si la edad de Luis el próximo año será equivalente al máximo valor que tome la
 

 3

sen    7x   cos  3  5x   cos 
 3x   sen 1080  x 
 2

 2

expresión R. Si R 
,
2
2
cos x cos x  sen x


¿qué edad tiene Luis el presente año?
A) 10 años
B) 8 años
C) 4 años
D) 3 años
Solución:
 

 3

sen    7x   cos  3  5x   cos 
 3x   sen 1080  x 
 2

 2

R
2
2
cos x cos x  sen x

R
sen7x  sen5x  sen3x  senx
cos x  cos 2x 
R
2sen4x cos3x  2sen4x cos x
cos x.cos 2x
R
R

2sen4x  cos3x  cos x 
cos x.cos 2x
2sen4x  2cos 2x.cos x 
cos 2x.cos x
R  4 sen4x
1
Rmáximo  4 1  4.
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
390
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
La edad de Luis el próximo año es 4 años.
Entonces en el presente tiene 3 años
Rpta.: D
6.
Si senx  sen3x  sen5x  asen5 x  bsen3 x  csenx . Calcule
A) – 3
B) – 5
C) – 4
a  b 1 c .
D) – 1
Solución:
senx  sen3x  sen5x  asen5 x  bsen3 x  csenx
2sen3x cos 2x  sen3x  M
sen3x  2cos 2x  1  M
sen2 3x
M
senx
 3senx  4sen x 
3
senx
2
M
9sen2 x  24sen4 x  16sen6 x
M
senx
16sen5 x  24sen3 x  9senx  asen5 x  bsen3 x  csenx
Entonces a  16
Luego
b  24
c 9
a  b 1 c  4 .
Rpta: C
7.
x
5x
De la siguiente igualdad 4cos sen cos x  senAx  senBx  senCx  senDx .
2
2
Si A, B, C y D son números naturales y A < B < C < D, calcule  A  B C  D.
A) 19
Semana Nº 10
B) 21
C) 23
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 20
391
Pág.
69
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
x
5x
4cos sen cos x  senAx  senBx  senCx  senDx
2
2
5x
x

2 2sen cos  cos x  M
2
2

2cos x  sen3x  sen2x   M
2sen3x cos x  2sen2x cos x  M
sen4x  sen2x  sen3x  senx  M
senx  sen2x  sen3x  sen4x  senAx  senBx  senCx  SenDx
Entonces:
A 1 B  2
C3
D4
Luego  A  BC  D  21.
Rpta.: B
8.
Un móvil recorrió los caminos rectilíneos desde el punto A hasta el punto B
 28cos80 km


y luego de B a C 7 3 cot 80 km como indica la figura. Si en el
punto C se detuvo debido a una falla mecánica. Halle la distancia que recorrió dicho
móvil.
C
A) 4 km
B) 3 km
B
C) 7 km
D) 2 km
A
Solución:
Sea d la distancia recorrida
d  28 cos80  7 3 cot 80
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
392
Pág.
70
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

d  7 4sen10  3 tan10
Ciclo 2020-I


3 sen10 
d  7  4sen10 



cos10



 2sen20  2sen60sen10 
d  7

cos10


 2sen20  cos50  cos70 
d  7

cos10


 cos70  cos50 

d  7
cos10




 2cos 60 cos10 
d  7

cos10


d  7km.
Rpta.: C
9.
y
sec A  sec B  csc 30
A  B  60 ,
A B
 A B .
expresión  3 cos 
 sec 60 cos2 


 2 
 2 
Si
A) 0,2
B) 0,5
calcule
C) 1
el
valor
de
D) 1,5
Solución:
 A  B  60
sec A  sec B  csc 30
1
1

2
cos A cosB
cos A  cosB  2cos A cosB
 A B
 A B
2cos 
cos 

  cos  A  B   cos  A  B 
 2 
 2 
 A B
2cos 30 . cos 
  cos 60  cos  A  B 
 2 
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
393
Pág.
71
la
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
 A B 1
 A B
3 cos 
  2cos2 

 1
 2  2
 2 
1
 A B
 A B
 2cos2 
 3 cos 


2
 2 
 2 
 A B
 A B
  3 cos 
 sec 60 cos2 

  0,5 .
 2 
 2 
Rpta.: B
10. Un carpintero visita una tienda especializada en materiales para casas prefabricadas
de madera y compra una plancha de caoba de forma trapecial tal y como se indica
en la figura. Si el metro cuadrado de aquella plancha cuesta 20 soles además
 2
¿cuánto gastó el carpintero?
x ,
3 3
1+sen(x 120°) m
A) 210 soles
B) 245 soles
4m
C) 290 soles
D) 200 soles
Solución:
4+senx+sen(x+120°) m
Sea S el área de la plancha de caoba.
 4  sen x  sen  x  120   1  sen  x  120  
S
4
2



 x  120   x  120  
 x  120  x  120 
S   5  sen x  2sen 
cos




2
2






 2

S   5  sen x  2sen x cos120  2

S  5  sen x  2sen x

 1 
2
  2   2  S  10m


Luego, el gasto del carpintero es
 S / 20 
10m2 . 
 200 soles
2 
 1m 
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
Rpta.: D
394
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
3sen3  2sen  sen5
1
Si tan   , calcule el valor de
.
3cos3  4cos   cos5
3
A)
1
2
B)
7
4
C)
3
4
D)
5
6
Solución:
tan  
E
E
E
E
1
3
1
3sen3  2sen  sen5
3cos3  4cos   cos5
3  sen3  sen    sen5  sen 
3  cos3  cos     cos5  cos  
3  2sen2 cos    2cos3sen2
3  2cos 2 cos    2cos3 cos 2
2sen2  3cos   cos3 
2cos 2  3cos   cos3 
E  tan2
E
2 tan 
1  tan2 
Reemplazando de (1)
 1
2 
3
E   2
 1
1  
3

E
3
.
4
Rpta: C
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
395
Pág.
73
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Simplifique
A) 3
Ciclo 2020-I
sen2120  cos2 80  cos2 40
cos120 cos80sen50
B) 5
C) 2
D) 1
Solución:
E
sen2 120  cos2 80  cos2 40
cos120 cos80sen50
E
sen2 60  sen2 10  sen2 50
cos120 cos80sen50
sen70sen50  sen2 50
E
cos120 cos80sen50
E
E
sen50  sen70  sen50 
cos120 cos80sen50
sen50  2cos 60sen10 
 1
  2  cos80sen50


E  2.
Rpta.: C
3.
Si 2 tan 4x  3 5 , donde 4x es la medida de un ángulo agudo, calcule el valor de la
expresión sec 2 60 cos x cos3x  6 tan 45sen3xsenx 
A)
15 14
14
Semana Nº 10
B)
11 6
6
C)
2
.
7
8 7
7
(Prohibida su reproducción y venta)
D)
15 11
11
396
Pág.
74
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
0° < 4x < 90°
3 5 CO

2
CA
tan 4x 
3 14
7
3 5
4x
2x
7
2
Luego
P  4cos3x cos x  6sen3xsenx 
2
7
P  2  cos 4x  cos 2x   3  cos 2x  cos 4x  
P  5cos 2x  cos 4x 
2
7
2
7
 9  2 2
P  5
 
 3 14  7 7
P
15

P
14
15 14
.
14
Rpta.: A
4.
El rotor de un molino en cada vuelta que da muele 100g de trigo, dicho rotor gira
uniformemente
t
a
razón
de
una
vuelta
por
 cos x  cos3x  cos5x  cos9x  sec 2x , además 0 <
 cot x  2 tg2x  tg x  sen11x  sen5x 
x<
t
segundos
donde

. Calcule el tiempo
12
que se demorará en moler 50kg de trigo.
A) 125 s
Semana Nº 10
B) 200 s
C) 250 s
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 300 s
397
Pág.
75
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
 t
t
2cos 4x  cos5x  cos x  .sec 2x
 4 csc 4x  2 sen8x cos3x 
cos 4x  2cos3x cos 2x  .sec 2x
4 csc 4x.2 sen 4x cos 4x cos3x
1
4
 t
 1 
 4s 
1
1
1 vuelta   s  
Kg  50Kg 
  125 s
4
10
 1 Kg 
 10

 Se demorará 125 s
Rpta.: A
5.
En la figura mostrada, se observa a Carlos que levanta una caja mediante una
polea. Si la distancia de la polea con respecto al suelo mide (csc 20°) m, halle la
distancia entre Carlos y la proyección ortogonal de la caja con respecto al suelo.
A)

3 sec 20 m
B)

5 sec 80 m
C)

2 sec 25 m
D)




Carlos

50°
caja
(sec20°)m
6 sec 70 m
Polea
Solución:
Sea d la distancia
d   csc 20  sec 20  ctg50

1
1 
d

 ctg50
 sen20 cos 20 
csc20°
Carlos
sec20°
50°
sec20°
 sen70  sen20  cos50
d  2

 2sen20 cos 20  sen50
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
d
398
Pág.
76
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
d
Ciclo 2020-I
2  2cos 45 s en 25  cos50
sen 40 sen50
 2
4 
 sen 25
2 

d
2 sen 25 cos 25
d


2 sec 25 m
Rpta.: C
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
399
Pág.
77
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Si
x  (2  3)  tan15

1
 3  tan rad , halle sen5  sen3 , donde sen  , (, agudo).
x
3
x  (2  3)  cot 75
A) 1,5
B) 1,4
C) 1,3
D) 2,5
Solución:
x  (2  3 )(2  3 )
 3  tan 60
x  (2  3 )(2  3 )
x 1
x 1
 3 3 
3x2
x 1
x 1
1
Luego, sen  de donde   30
2
sen5  sen3  2sen4  cos 
 2sen120  cos30
 2sen60  cos30
 2

3 3

2 2
3
 1,5
2
Rpta.: A
2.
Se descompone un ángulo x en otros dos, cuyos senos son proporcionales a los
números 4 y 5, siendo b el menor de estos dos ángulos. Calcule el valor de
x
x

tan cot   b  .
2
2

A) 2
B) 3
C) 1
D) 10
Solución:
Siendo x  a  b y a  b  a  x  b
Por condición :
senb 4
senb
4
 

sena 5
sen(x  b) 5
Aplicando proporciones :
sen(x  b)  senb 5  4 9


sen(x  b)  senb 5  4 1
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
400
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
x
x

2sen cos   b 
2
2
 9
x
x

2cos sen   b 
2
2

x
x

tan cot   b   9
2
2

x
x

tan cot   b   3
2
2

E3
Rpta.: B
3.
Simplifique la siguiente expresión
A) 2cot5x
cos8x tan3x  cos2x tan3x
B) cot5x
sen2 4x  sen2 x
C) 2tan5x
.
D) tan3x
Solución:
Sea E la expresión que vamos a simplificar, esto es,
E
E
cos8x tan3x  cos 2x tan3x
sen2 4x  sen2 x
tan3x(cos8x  cos 2x)
sen2 4x  sen2 x
tan3x  2cos5x  cos3x
E
sen5x  sen3x
E  2 tan3x  cot5x  cot3x
 E  2cot5x
Rpta.: A
4.
Determine el valor de verdad en el orden indicado de cada una de las siguientes
proposiciones:
i)
Se cumple que
senA  senB
 A B
 cot 

cosB  cos A
 2 
ii) Se verifica cos2 50  cos2 10 
iii) Se verifica
A) VVV
Semana Nº 10
3
 sen40
2
3  2cos50  4cos40 cos10
B) VFF
C) FFV
(Prohibida su reproducción y venta)
D) VFV
401
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
i)
senA  senB
 A B
 cot 

cosB  cos A
 2 

 A B
 A B  
 2cos  2  sen  2  



 

 2sen  A  B  sen  A  B  
 2 
 2 





 A B
cos 

 2   cot  A  B  . Proposición falsa (F).

 2 
 A B


sen 

 2 
ii)


 A  B  2 no se cumple

la igualdad




3
 sen40
2
 (2cos30 cos 20)( 2sen30sen20)
cos2 50  cos2 10 

  1 

3
 2
 cos 20   2   sen20 

  2 
2



 3  cos 20  ( sen20)

iii)
3
sen40. Proposición falsa (F)
2
3  2cos50  4cos40 cos10
 3 2

 2
  cos50 
 2 2



 2(cos30  cos50)
 2(2cos 40  cos10)
 4cos 40  cos10.
Proposición verdadera (V)
Rpta.: C
5.
Juan debe caminar, en línea recta, del punto A al punto B. La distancia de A a B es
300 metros y C es un punto que está entre A y B. Si Juan se toma un descanso en C
(10)  625 


sen4  cos   2   metros, siendo 
después de haber caminado

39
2


3
agudo y sen  , ¿cuánto le falta por caminar a Juan para llegar a B?
5
A) 60 metros
Semana Nº 10
B) 62 metros
C) 58 metros
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 54 metros
402
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:


Sea E  sen4  cos   2 
2

E  sen4  sen2
E  2sen3  cos 
E  2(3sen  4sen3 )  cos 
E  2(3  4sen2 )  sen  cos 
2

 3    3  4 
E  2 3  4       
 5    5  5 

(2)  39  12
E
625
Hasta el punto C Juan caminó :
(10)  625 (2)  39  12

 240 metros, por lo tanto, le falta caminar 60 metros.
39
625
Rpta.: A
6.
¿Cuál es el máximo valor de la expresión trigonométrica cos(10  x)  cos(130  x) ?
A)
3
B)
2
C)
3
2
D)
4
3
Solución:
Sea F la expresión trigonométrica cuyo máximo valor debemos encontrar, esto es,
F  cos(10  x)  cos(130  x)
Por comodidad, consideremos que A = 10°– x y B = 130°– x
Por consiguiente,
F  cos A  cosB
 A B
 A B 
F  2sen 
sen 


 2 
 2 
 10  x  130  x 
10  x  (130  x) 
Luego, F  2sen 
sen 


2
2




F  2sen(70  x)  sen( 60)
F  2sen(70  x)  sen60
F  2sen(70  x) 
3
2
F  3 sen(70  x)
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
403
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Sabemos que para cualquier valor real de x es cierto que 1  sen(70  x)  1,
luego,
 3  3 sen(70  x)  3
 3 F 3
Por lo tanto, el valor máximo de F es
3.
Rpta.: A
7.
Un terreno de forma rectangular se vende a razón de 1000 soles el metro cuadrado. Si
el largo del terreno mide (20  3  csc 50  E) metros y el ancho es un tercio del largo;
¿cuál es el precio del terreno si E  cos2 5  sen2 55  1?
A) 300 000 soles
B) 280 000 soles
C) 320 000 soles
D) 260 000 soles
Solución:
E  sen2 55  sen2 5
E  (sen55  sen5)(sen55  sen5)
E  (2sen30 cos 25)(2cos30sen25)
E  sen60  sen50 
3
 sen50
2
3
sen50 , esto es, 30 metros y por
2
lo tanto el ancho es de 10 metros. Finalmente, el área del terreno es 300 metros
Luego, el largo del terreno es 20  3  csc 50 
cuadrados y el precio del terreno es 300 000 soles.
Rpta.: A
8.
Con la información dada en la figura, halle el valor de la expresión

 5

125 sen5  cos 
   .
Y
 2


P( 1,2)
A) 60 5
X
B) 66 5
 O
C) 66 3
D) 70 3
Solución:
El punto M de coordenadas (2,1) pertenece al lado terminal del ángulo , luego:
: M(2,1), d =
Semana Nº 10
5 … (I)
(Prohibida su reproducción y venta)
404
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
 5

Sea E  sen5  cos 
 
 2

E  sen5  sen
E  2sen3  cos 2
E  2(3sen  4sen3 )(2cos2   1)
E  2sen(3  4sen2 )(2cos2   1)
De (I) : sen 
E  2
E
5
5
1
5

5
2
2 5
, cos  

5
5
5

 5     20  
3  4  25   2  25   1

  
 

66 5
125
 66 5 
Finalmente, el valor de la expresión dada es 125 
 66 5
 125 


Rpta.: B
9.
 

 

 

 

Si sen  5  x   sen  9  3x   sen  5  5x   sen  9  7x   AsenBx csc Cx
 2

 2

 2

 2

una identidad trigonométrica, halle 2(A + B + C).
A) 19
B) 15
C) 17
es
D) 20
Solución:
 

 

 

 

 sen  5  x   sen  9  3x   sen  5  5x   sen  9  7x 
 2

 2

 2

 2









 sen   x   sen   3x   sen   5x   sen   7x 
2

2

2

2

 cos x  cos3x  cos5x  cos7x
 (cos x  cos7x)  (cos3x  cos5x)
 2cos 4x cos3x  2cos 4x  cos x
 2cos 4x(cos3x  cos x)
 2cos 4x(2cos 2x  cos x)
 2senx cos x cos 2x 
 2cos 4x 

senx


2cos 4x  sen2x  cos 2x

senx
cos 4x  sen4x 1

 sen8x csc x  AsenBx csc Cx
senx
2
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
405
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
1
luego, A  , B  8, C  1
2
2(A  B  C)  19
Rpta.: A
10. En la figura, se tiene un terreno de forma cuadrangular ABCD, dividido por una cerca
recta BD que mide 80 m. Si cada metro cuadrado del terreno está valorizado en
(8 3 csc 50) soles, determine el precio del terreno.
C
A) S/ 32 000
B) S/ 33 500
C) S/ 38 400
D
40°
D) S/ 40 500
10°
A
B
Solución:
(80sen10)(80cos10)
2
M  1600sen20...(1)
M
C
(80sen40)(80cos 40)
2
N  1600sen80...(2)
80cos40°
N
80sen40°
N
M  N  1600(sen80  sen20)
D
80sen10°
40°
M
A
M  N  (1600 3sen50) m2
80
10°
80cos10°
B
Luego, el precio del terreno es
(1600 3sen50) m2 
(8 3 csc 50) soles
1 m2
 38 400 soles.
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Resolver la ecuación x + a = 4, donde a =
8(sen2 40  cos2 80)
.
1  sen50
A) 2sec220°
C) 2csc220°
Semana Nº 10
B) sec220°
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 3sec240°
406
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
a
a
a
a
a
4(2sen2 40  2cos2 80)
sen90  sen50
4[1  cos80  (1  cos160)]
2sen70  cos 20
4(  cos80  cos160) 4(cos80  cos160)

2cos2 20
2cos2 20
4(cos80  cos 20) 4( 2sen50sen30)

2cos2 20
2cos2 20
2sen50
cos2 20

2cos 40

cos2 20
2(2cos2 20  1)
cos2 20
a  4  2sec 2 20
 x  4  2sec 2 20  4 
x  2sec 2 20
Rpta.: A
2.
Juan compra un terreno que tiene la forma de un triángulo rectángulo cuyos catetos
miden (sen40°) u y (2sen70° – cos40°) u. ¿Cuánto mide el lado mayor del terreno?
A) 2sen40° u
B) sen40° u
C) 2cos40° u
D) cos20° u
Solución:
Sea d el lado mayor, entonces
d2  sen2 40  (2sen70  cos 40)2
 sen2 40  4sen2 70  4sen70 cos 40  cos2 40
 1  2  2cos140  2sen110  2sen30
 2  2(cos140  cos 20)
 2  4cos80 cos 60
 2  2cos80  2(1  cos80)
 2  2sen2 40
 d  2sen40 u
Por lo tanto, la medida del lado mayor es d = 2sen40° u.
Rpta.: A
3.
cos(13x)  cos(14x)
, si la edad de
cos(4x)  cos(5x)
Juan está dada por la suma de A y B años, determine la edad de Juan.
Sea la identidad trigonométrica A  Bcos(9x) 
A) 3 años
Semana Nº 10
B) 5 años
C) 10 años
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 12 años
407
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Del enunciado:
 27x 
 x
2sen 
sen   

 2 
 2
A  Bcos(9x) 
 9x 
 x
2sen   sen   
 2 
 2
 9x 
sen   [2cos(9x)  1]
 2 
A  Bcos(9x) 
 9x 
sen  
 2 
A  Bcos(9x)  1  2cos(9x)
 La edad de Juan es 3 años.
Rpta.: A
4.
 sen4  sen2 
En la figura, AB = 2 u, halle el valor de la expresión 625 
.
sen2


Y
A) 220
A(3,4) B
B) 320
C) 264


O
D) 300
X
C(9,0)
Solución:
4
, tg  1    45
5
sen4  sen2
Si E 
, entonces,
sen2
2sen3  cos 
E
sen90
sen 
Y
A
5
4
4

O
E  2sen3  cos 
B
2
3
D
2
E

4
X
C(9,0)
E  2(3  4sen2 )cos   sen
2

4 
E  2 3  4   
 5  

264
E
625
Semana Nº 10
 3  4 
 5  5 
  
(Prohibida su reproducción y venta)
408
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
 El valor de la expresión dada es
 264 
625 
  264
 625 
Rpta.: C
5.
Si A + B = 30°, ¿por cuánto se debe multiplicar a la expresión
cos(A  B)
para
1  sen(A  B)
obtener tan(A  30)  cot(B  30) ?
A) 3
B) 2
C) 4
D)
3
2
Solución:
sen(A  30) cos(B  30)

cos(A  30) sen(B  30)
sen(A  30)sen(B  30)  cos(B  30)cos(A  30)

cos(A  30)sen(B  30)
[ 2sen(A  30)sen(B  30)]  2cos(A  30)cos(B  30)

2cos(A  30)sen(B  30)
[cos(A  B  60)  cos(A  B)]  cos(A  B  60)  cos(A  B)

sen(A  B  60)  sen(A  B)
[cos90  cos(A  B)]  cos90  cos(A  B)

sen90  sen(A  B)
[0  cos(A  B)]  0  cos(A  B)

1  sen(A  B)
cos(A  B)  cos(A  B) 2cos(A  B)


1  sen(A  B)
1  sen(A  B)
2cos(A  B)
 tan( A  30)  cot(B  30) 
1  sen(A  B)
Se debe multiplicar por 2.
tan(A  30)  cot(B  30) 
Rpta.: B
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
409
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
La edad de Pedro en el año 2012 fue 10 3.sec 20º  sen40º  cos10º  años. ¿Qué


año nació Pedro?
A) 1984
B) 1983
C) 1982
D) 1981
E) 1980
Solución:
10 3.sec 20º  sen40º sen80º  


 10 3.sec 20º  2sen60º cos 20º  


 10 3.sec 20º.cos 20º.2sen60º  10. 3.2.
3
 30
2
Año de nacimiento de Pedro es 1982
Rpta.: C
2.
Si E   sen2º sen6º   sec 2 10º ctg2 80º  y Q  sen10º cos76º , halle E+Q.
A) 2cos2º.cos4º.cos82º
C) 4cos4º.cos8º.cos10º
E) 4cos4º.cos10º.cos12º
B) 2cos6º.cos8º.cos10º
D) 4cos2º.cos4º.cos82º
Solución:
E   sen2º sen6º 1  2sen4º cos 2º
Q  sen14º sen10º  2sen12º cos 2º
 E  Q  2sen4º cos 2º 2sen12º cos 2º
E  Q  2cos 2º  sen12º sen4º 
E  Q  2cos 2º  2sen8º cos 4º 
 4cos 2º.cos 4º.cos82º
Rpta.: D
3.
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
i. 1 sen20º  2sen2 55º
ii. 3  2  4.sen  52,5  º.cos 7,5  º
iii. cos40º  cos20º  cos10º
A) VFF
Semana Nº 10
B) VVF
C) FVF
D) FVV
(Prohibida su reproducción y venta)
E) FFF
410
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
i. 1 sen20º  sen90º sen20º  2sen55ºcos35º  2sen2 55º Verdadera (V)
 3 2
ii. 3  2  2 
  2  sen60º sen45º   4sen  52,5  º cos  7,5  º Verdadero

2


(V)
iii. cos40º  cos20º  2cos30ºcos10º  3 cos10º
 3 cos10º  cos10º  3  1 Falso (F)
Rpta.: B
4.
Si sen20º  a , halle tg65º.ctg85º , en términos de a.
A)
1  2a
1  2a
B)
1  2a
1  2a
C) 1  2a
D) 1  2a
E)
1 a
1 a
Solución:
sen65º sen5º

cos 65º cos5º
sen20º  1 2 
2sen65º.sen5º
cos70º  cos 60º



2cos 65º.cos5º   cos70º  cos 60º    sen20º  1 2  
tg65º.ctg85º  tg65º.tg5º 
1
1
a
1  2a
2
2



1 1

 a 1  2a
a  
2 2

a
Rpta.: B
5.
El sueldo mensual de Juan es 1000x 2  soles donde x es la raíz de la ecuación
sen16º  cos16º  x.sen61º . ¿Cuánto gana Juan en un trimestre?
A) 4500 soles
B) 2400 soles
D) 6000 soles
E) 5500 soles
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
C) 1200 soles
411
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
sen74º sen16º  x.sen61º
2sen45º.cos 29º  x.sen61º
2.
2
xx 2
2
 
2
En un mes, Juan gana 1000 2  soles  2000 soles.


En un trimestre, Juan gana 2000.3=6000 soles
Rpta.: D
6.
Con la información dada en la figura y si E  sen
5
3
, halle 125E .
 sen
2
2
A) 96 5
B) 96 3
C) 96 2
D) 90 5
E) 86 5
Solución:
E  sen
5
3

 sen
 2sen2.cos
2
2
2
Usando un artificio geométrico para hallar cos
E  2sen2.cos

.
2

2
96 5
 4 3 8
E  2  2. .  .

 125E  96 5
125
 5 5 4 5
Rpta.: A
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
412
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2019-I
La hipotenusa de un triángulo rectángulo T mide 10 metros y uno de sus catetos
  cos2 12º sen218º  
mide 10 
  metros. ¿Cuál es la razón entre las medidas de los
cos 6º

 
catetos de T (la razón es mayor que 1)?
A) 2 6
C) 2 3
B) 2
D)
6
2
E)
3
Solución:
  cos2 12º sen218º  
 2cos2 12º 2sen218º  
10 
   5 

cos 6º
cos 6º


 

  1  cos 24º  1  cos36º   
 cos36º  cos 24º 
5 
  5 

cos 6º
cos 6º


 
 
3
 2cos30º cos 6º 
 5
 10.
5 3

cos 6º
2


5 3
Finalmente, la razón buscada es
 3
5
Rpta.: E
8.
Del ángulo  se sabe que:
i. es positivo, menor que 360º y está en posición normal,
ii. su seno es igual a  0,5  y
iii. su coseno es positivo.
5

Halle el valor de 8.sen .cos .
2
2

A) 2  3
B)  2  3


C) 2 2  3


D) 2 2  3

E) 2  2
Solución:
Si E es el número buscado, entonces
5


E  4  2sen
.cos   4  sen3  sen2 
2
2

(I)
Siendo sen  0  cos   0 ,  pertenece al IVC sen  
 : P

Semana Nº 10

1 1

2 2
3, 1 d  2
(Prohibida su reproducción y venta)
413
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
3
 1
 1
sen3  3sen  4sen   3     4     1 (II)
 2
 2
3
 1  3 
sen2  2sen cos   2    
(III)
  

2
 2  2 
Llevando (II) y (III) en (I):


3
3
E  4  1 
 4  1 

  2 2  3



2
2




3


Rpta.: C
9.
En la figura, BD  3.AD
cos       cos     
.
sen
y
BC  2.AM . Halle el valor de la expresión
A) 1
B) 1,5
C) 1,8
D) 2
E) 2,5
Solución:
Sea E el número buscado, entonces,
cos       cos      2cos .cos 
E

sen
sen
E  2cos  ctg  I
Si AD  x entonces BD  3x
BC  4x.cos   4 x.cos   2.AM II
AM
 x.tg  AM III
x
Llevando (III) en (II): 4x.cos   2x.tg
tg 
2cos   tg
IV 
Llevando (IV) en (I): E  tg.ctg   1
Rpta.: A
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
414
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
10.
Ciclo 2019-I
Si E  2 sec   sen5.cos3  cos6.sen2  , halle el producto del valor máximo de
E con su valor mínimo.
A) 2
C) 3
B) 2
E) 4
D) 3
Solución:
2E  2 sec   2sen5.cos3  2cos6.sen2 
2E  2 sec   sen8  sen2   sen8  sen4  
2E  2 sec   sen4  sen2 
2E  2 sec   2sen3.cos  
2E  2 2 sec .cos .sen3
 E  2 sen3
Sabemos que para cualquier valor real de  se tiene:
1  sen3  1   2  2sen3  2   2  E  2
 Valor máximo de E valor mínimo de E  


2  2  2
Rpta.: A
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Si E 
sen3º sen6º sen9º
, halle E2  1.
cos3º  cos6º  cos9º
A) 2sec 2 6º
B) 2tg2 6º
C) 3sec 2 6º
D) sec 2 6º
E) sec 2 9º
Solución:
Agrupando convenientemente
 sen9º sen3º   sen6º  2sen6º cos3º  sen6º
E
 cos9º  cos3º   cos6º 2cos6º cos3º  cos6º
E
sen6º  2cos3º 1
cos 6º  2cos3º 1
 tg6º  E2  tg2 6º
 E2  1  1  tg2 6º  sec 2 6º
Rpta.: D
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
415
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2019-I
si E  5 cos  2x  50º   cos  2x  10º  , ¿en cuánto excede el valor máximo de E a
su valor mínimo?
B) 10 2
A) 8 3
C) 8 2
D) 6 3
E) 10 3
Solución:
E  5 2cos  2x  20º  .cos30º 

3
E  5 2.cos  2x  20º  .
  5 3.cos  2x  20º 
2 

Sabemos que para cualquier valor real de x se cumple
1  cos  2x  20º   1
5 3  5 3 cos  2x  20º   5 3
5 3  E  5 3


Máx E   mín E   5 3  5 3  10 3
Rpta.: E
3.
El
a
precio
de
un
terreno
T
es
 600000.a 
2
soles,
donde
sen10º sen20º sen30º sen40º sen50º
. ¿Cuál es el valor de T?
cos10º  cos20º  cos30º  cos 40º  cos50º
A) 210000 soles
D) 250000 soles
B) 220000 soles
E) 240000 soles
C) 200000 soles
Solución:
Agrupando convenientemente:
sen10º sen20º sen30º sen40º sen50º
a
cos10º  cos 20º  cos30º  cos 40º  cos50º
 sen50º sen10º    sen40º sen20º   sen30º
a
 cos50º  cos10º    cos 40º  cos 20º   cos30º
 2sen30º cos 20º    2sen30º cos10º   sen30º
 2cos30º cos 20º    2cos30º cos10º   cos30º
sen30º  2cos 20º 2cos10º 1
a
 tg30º
cos30º  2cos 20º 2cos10º 1
a
1
3
3
Por lo tanto, precio de E es 200000 soles
a
1
 a2 
Rpta.: C
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
416
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-I
Si A  B  30º , halle el valor de la expresión
A)
3 1
B)
2 1
C)
cos  A  30º   cos B  30º 
sen  A  60º   sen B  60º 
2 1
D)
3 2
E)
.
3 1
Solución:
Si E es el número buscado, entonces
 A B

 A B 
2cos 
 30º  cos 

 2

 2   cos 45º 
E
 A B

 A  B  sen75º
2sen 
 60º  cos 

 2

 2 
E
2

4 2
6 2


2 2
6 2

2
2
6 2

4
 3 1
Rpta.: E
5.
En
la
figura,
AC  10m ,
DC  20m ,
EB  8  sen3  sen 
metros
y
AB   4sen2  metros;  es un ángulo agudo. Halle el área de la región sombreada.
A) 80 m2
B) 84 m2
C) 78 m2
D) 76 m2
E) 88 m2
Solución:
Por semejanza de triángulos rectángulos,
8  sen3  sen  20
EB DC



AB AC
4sen2
10
8  2sen2 cos  
1

 2  cos      60º
4sen2
2
3
AB  4sen120º  4sen60º  4.
 2 3 , luego BC  2 5  3
2

Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)

417
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
3
4 3
2
El cuadrilátero BCDE es un trapecio, luego el área de la región sombreada es
 4 3  20 

 2 5  3  2 3  5 .2 5  3  4  22   88
2


Rpta.: E
EB  8  sen180º sen60º   8.

Semana Nº 10
 
 

(Prohibida su reproducción y venta)
418
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.

5
7
Halle el valor de la expresión sen  sen
.
 sen
9
9
9
A)
1
2
B) 0
C) 1
D) 2
E)
1
3
Solución:
Sea E el número buscado, luego, E  sen20º sen100º sen140º
E   sen140º sen20º   sen100º
1
E  2sen80º.  sen80º  sen80º sen80º  0
2
Rpta.: B
2.
Si cos10º  n , halle el valor de la expresión sen2A  sen2B  sen2C en términos de
n.
A) 2n  3
B) n 
3
2
C) 3n  3
D) n  3
E) n  2 3
Solución:
sen2A  sen2B  sen2C  sen160º sen140º sen60º
3
3
 sen20º sen40º 
 2sen30º cos10º 
2
2
3
3
3
 1
 2   cos10º 
 cos10º 
n
2
2
2
2
Rpta.: B
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
419
Pág.
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2018-II
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
i. 2  2sen35º  2sen40º.cos5º
ii. 2sen 10º  x  cos  5º x   sen15º sen  2x  5º 
iii. sen9º.cos39º  cos51º.cos9º 
A) VVV
B) FFF
1
2
C) VVF
D) FVV
E) FVF
Solución:
i.
 2

2  2sen35º  2 
 sen35º 
 2



 2  sen45º sen35º   2  2sen40º cos5º   4sen40º cos5º (F)
ii.
2  2sen35º 
2
2


2sen 10º  x  cos  5º x   sen15º sen  2x  5º  (V)
iii.
E  sen9º.cos39º  cos51º.cos9º
2E  2sen9º.cos39º 2cos51º.cos9º
2E  sen48º  sen30º  cos 60º  cos 42º
1 1
1
2E  sen48º    cos 42º  1  E   (F)
2 2
2
Rpta.: E
4.
Si A  sen2 x  sen2 120º  x   sen2 120º x  , halle 2A  1.
A) 4
B) 6
C) 5
D) 2
E) 3
Solución:
2A  2sen2 x  2sen2 120º  x   2sen2 120º x 
2A  1  cos2x  1  cos  240º 2x   1  cos  240º 2x 
2A  3  cos2x  cos  240º 2x   cos  240º 2x 
2A  3  cos2x  2cos240º cos2x
 1
2A  3  cos 2x  2    cos 2x
 2
2A  3  cos 2x  cos 2x  3  A 
3
 2A  1  4
2
Rpta.: A
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
420
Pág.
57
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2018-II
En la figura, DC  10 m , AC  5 m , EB 
4
8
 sen3  sen  m y AB  sen2 m .
3
3
Halle BC siendo  un ángulo agudo.
A) 2,5 m
B) 2,6 m
C) 3m
D) 3,2m
E) 3,5m
Solución:
Usando semejanza de triángulos rectángulos:
EB DC

AB AC
8
 sen3  sen  10
3
3

 cos  
   30º
4
5
2
sen2
3
 BC  5  AB  5  2  3
Rpta.: C
6.
Si sen20º  cos20º  1 tg20º   a.sec 20º.cos25º.c os2 10º , halle el valor de a .
A) 2 2
B)
2
C) 3 2
E) 3 3
D) 2 3
Solución:
sen20º 

 cos 20º sen20º 
sen20º  cos 20º   1 
 sen20º  cos 20º  


cos 20º
 cos 20º 


1 

 cos 20º 1 
  sen20º  cos 20º   1 
  sen20º  cos 20º  


 cos 20º 
 cos 20º 



 sec 20º  sen70º  sen20º  2cos2 10º  sec 20º  2sen45º cos 25º  2cos2 10º


2
 sec 20º  2.
.cos 25º  2cos2 10º  2 2.sec 20º cos 25º cos2 10º
 2








a  2 2
Rpta.: A
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
421
Pág.
58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2018-II
Halle el valor de un terreno limitado por un triángulo rectángulo cuyos catetos miden
 sen10º sen20º sen30º 
12 
 metros y 10ctg20º  metros, si se sabe que el precio
 cos10º  cos20º  cos30º 
de un metro cuadrado es 1000 soles.
A) 58 000 soles
D) 72 000 soles
B) 62 000 soles
E) 70 000 soles
C) 60 000 soles
Solución:
 sen10º sen20º sen30º 
 2sen20º cos10º sen20º 
12 
 12 


 cos10º  cos20º  cos30º 
 2cos20º cos10º  cos20º 
 sen20º  2cos10º 1 
 12 
 12tg20º
 cos20º  2cos10º 1 


1
Área  .12tg20º.10.ctg20º m2
2
Área  60 m2
Valor del terreno es 60 000 soles
Rpta.: C
8.
El ángulo  está en posición normal siendo su seno igual a 
4
y su tangente es
5
 3 

positiva. Halle el valor de 50sen 
sen   .

 2 
2
A) –6
B) 6
C) 8
D) –5
E) –8
Solución:
4
5
 : P  3, 4  , d  5
  IIIC , sen  
Sea E el número buscado, entonces,

3

 3 
  
E  50sen
sen  E  25  2sen 
sen   

2
2
 2 
 2 


E  25  cos2  cos    25 2cos2   1 cos 

  3 2
3
 3 
 18
E  25  2    1       25 
 1    8
 5

5
 5 
 25

Rpta.: E
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
422
Pág.
59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2018-II
 3

Si sen4  3sen  0 , evaluar la expresión cos   sen 
 3  .
 2

A) 1
2
2
B)
C)
3
2
D)
3
3
E)
3
4
Solución:
Sea E el número buscado, esto es,
 3

E  cos   sen 
 3 
 2

E  cos   cos3  2cos2.cos  I
Del dato, sen4  3sen
2sen2 cos2  3sen
4sen cos  cos2  3sen
2  2cos 2 cos    3
2cos 2 cos  
3
2
II
3
2
Llevando (II) en (I): E 
Rpta.: C
10.
Si 32  sen3  sen3 cos2    a.sen  b.sen3  c.sen5 , (a, b y c son constantes),
halle a  b  c .
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 8
Solución:





32sen3 1  cos2   4 4sen3 2sen2  4  3sen  sen3 1 cos2 
 12sen  12sen cos2  4sen3  4sen3 cos2
 12sen  6  2sen cos2   4sen3  2  2sen3 cos2 
 12sen  6  sen3  sen   4sen3  2  sen5  sen 
 20sen  10sen3  2sen5
 a  20, b  10, c  2  a  b  c  12
Rpta.: B
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
423
Pág.
60
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Si sen20º sen40º sen60º sen80º  A , calcule A.tg10º .
A)
1
3
B)
1
5
C)
1
2
D)
1
7
E)
1
6
Solución:
 sen20º sen80º    sen40º sen60º   A
 2sen50ºcos30º    2sen50ºcos10º   A
2sen50º  cos30º  cos10º   A
 2sen10º cos10º 
2sen50º  2cos20º cos10º   A  2sen50º cos20º 
  A.tg10º
cos10º


2sen50º cos 20º sen20º
 A.tg10º
cos10º
2sen50º sen 40º
2sen50º cos50º
 A.tg10º 
 A.tg10º
2cos10º
2cos10º
sen100º
sen80º
1

 A.tg10º 
 A.tg10º  A.tg10º 
2cos10º
2cos10º
2
Rpta.: C
2.
Dos automóviles con velocidades constantes de 30sen7x m s y 40sen5x m s
recorren la misma distancia en 4 minutos y 7 minutos, respectivamente. Calcule
25tg2 x  4tg2 6x .
A)
1
3
B)
5
3
C) 0
D)
1
7
E)
7
3
Solución:
sen7x 7

sen5x 3
sen7x  sen5x 5
2sen6x cos x 5

 

sen7x  sen5x 2
2cos6xsenx 2
 2tg6x  5tgx  4tg2 6x  25tg2 x  25tg2 x  4tg2 6x  0
120.sen7x  280sen5x 
Rpta.: C
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
424
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2018-II
En un triángulo rectángulo T, su hipotenusa mide a metros y uno de sus ángulos
agudos mide  . Halle el perímetro de T en términos de a y  .


 
A)  2 2a sen    cos  m
2
4 2



C)  3 2a sen  m
2




E) 2a.sen cos  m
4
2



B)  2a.sen  m






 
D) 2a.sen    cos  m
2
4 2

Solución:
Perímetro de T  p  a  acos   asen
 2
 2



p  a 1  cos   sen   a 
  sen  cos     a 
 2sen     
 2
 2

4
 



 1






 a 2
 sen       a 2  sen  sen     
4
4

4

 2



 
 2a 2.sen    cos  m
2
4 2

Rpta.: A
4.
La edad de una persona está dada por la expresión E  10  8a.b  años donde




sen3  cos3   a.sen      b.sen  3   . ¿Cuál es la edad de la persona?
4
4


A) 10 años
B) 12 años
C) 13 años
D) 14 años
E) 15 años
Solución:
Sabemos que: 4sen3  3sen  sen3 y 4cos3   3cos   cos3 , entonces en el
dato:
1
1


 3sen  3cos    cos3  sen3  asen      b.sen  3  
4
4
4
4


3
  1 







 2sen        2sen   3    asen      b.sen  3  
4
4  4 
4
4

4



3 2
2
, b
, luego,
4
4
 3 2 
2
E  10  8a.b  10  8 

 10  3 ; edad=13 años

 4  4 



a 
Rpta.: C
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
425
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2018-II
Panchito sube una pendiente tal como se muestra en la figura dejando un banderín
en los puntos B y C de la cuesta. Si Panchito llega a la cima luego de dos horas,
halle la razón entre la altura escalada y la distancia horizontal que se ha desplazado.
A) tg 
B) tg2
C) ctg3
D) tg3
E) ctg2
Solución:
Nos piden calcular
DH psen  qsen2  psen3

AH pcos   qcos2  pcos3
DH p  sen3  sen   qsen2

AH p  cos3  cos    qcos2
DH p  2sen2 cos    qsen2

AH p  2cos2 cos    qcos2
DH p  2sen2 cos    qsen2

AH p  2cos2 cos    qcos2
DH sen2 2pcos   q

AH cos2 2pcos   q

DH
 tg2
AH
Rpta.: B
Semana Nº 10
(Prohibida su reproducción y venta)
426
Pág.
63
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
11
semana
427
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometria
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
I.
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES ( Vp = valor principal)
1)
sen ( Ax + B ) = a
,
  
Vp =     ,  ,
 2 2
2)
cos (Ax + B) = a
Vp =   [ 0,  ],
3)
4)

,
 
,
,
2 2
cot (Ax + B) = a
Semana Nº 11
aR
tan  = a
,
aR
cot  = a
sec (Ax + B) = a


Vp =    0 ,

2

a  [  1, 1 ]
cos  = a
Vp =   0,  ,
5)
sen  = a
,
tan (Ax + B) = a
Vp =  
a  [  1, 1 ]
,

a    ,  1 ]  [ 1,  
 
,  ,
2 

sec  = a
(Prohibida su reproducción y venta)
428
Pág.
41
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6)
csc (Ax + B ) = a
,
a    ,  1 ]  [ 1,  


Vp =     , 0
 2

II.
SOLUCIÓN
GENERAL
Ciclo 2020-I
PARA

0,
LAS

 ,
2

csc  = a
ECUACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
ELEMENTALES
1)
Para seno y cosecante
senx  a 

csc x  a 
2)
x = n + (  1)n Vp, n 
Para coseno y secante
cos x  a 

sec x  a 
3)


x = 2n  Vp, n 
Para tangente y cotagente
tan x  a 

cot x  a 
Semana Nº 11

x = n + Vp, n 
(Prohibida su reproducción y venta)
429
Pág.
42
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometria
EJERCICIOS
1.
Halle el conjunto solución de la ecuación tan 3 x  cot 3 x  8csc 3 2x  1.
  4n  3  
/ n
A) 
2

C) n  / n 



 (2n  1) 

B) 
/ n 
4


n 

D) 
/ n 
3


Solución:
Como tan 3 x  cot 3 x  8 csc 3 2x  1

sen 3 x cos 3 x
8


6
cos 3 x sen 3 x sen 3 2x

sen 3 x cos3 x
8


6
cos3 x sen3 x ( 2 sen x cos x)3

sen 3 x cos 3 x
1


6
3
3
3
cos x sen x sen x cos 3 x
 sen6 x  cos6 x  1  6 sen3 x cos3 x
 1  3sen2 x cos2 x  1  6 sen3 x cos3 x
 6 sen3 x cos3 x  3sen2 x cos2 x  0
 sen 2 x cos 2 x ( 6 senx cos x  3)  0
1
 sen 2 2x  3 sen2x  3   0
4
 sen 2 2x  0  sen2x   1
 sen2x   1
 2x  2n  
3
, n
2
 x
 4n  3   , n 
4
Rpta.: A
2.
La nota que obtuvo Luis en su examen final del curso de trigonometría está


representado por el valor de la expresión 5 3 tan      3 donde ω es la menor
12 

2 sen x
solución positiva de la ecuación
 1, halle la nota que obtuvo Luis en
3 sen x  cos x
su examen.
A) 16
Semana Nº 11
B) 18
C) 12
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 14
430
Pág.
61
2 sen x
3 sen x  cos x
1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Como
2 sen x
3 sen x  cos x

sen x
1
1

sen x
1


sen  x  
6


 

2sen cos  x    0
12
12 

3
1
sen x  cos x
2
2


 sen  x    sen x  0 
6

 
 

 cos  x    0  x 

12 
12 2

5
 xmín 
12
Sea E el valor buscado, entonces
 5  
E  5 3 tan 
 3
 12 12 
E  18
Rpta.: B
3.
Un atleta en su preparación para los juegos Olímpicos de Tokio 2020, recorrió en
línea recta las distancias de una a otra de las cuatro estaciones cuyas ubicaciones
están representadas por los puntos consecutivos A, B, C y D. Si
AB  24sen 4  2x  km , BC  24cos 4  2x  km , CD  24sen 2  2x  km y AD  24 km
donde x  0,

, halle la distancia que recorrió el atleta de la estación C a la
4
estación D.
A) 16 km
Semana Nº 11
B) 18 km
C) 12 km
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 14 km
431
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
sen4 2x  cos4 2x  sen2 2x  1
Como

sen4 2x  1  sen2 2x  cos4 2x

sen4 2x  cos2 2x  cos4 2x

sen4 2x  cos2 2x(1  cos2 2x)


sen 2 2x(cos2 2x  sen2 2 x)  0
c os 4x  0


 x

4x 
2
8

 CD  24sen2 2( ) km  12 km
8
Rpta.: C
4.
Un ciclista se desplazó con rapidez constante por una carretera, y la distancia que
recorrió está dado por 2  tg  2  t  1  sen  2  t   cos  2  t   10 kilómetros, donde
1
7
denota el tiempo transcurrido en horas. Si el ciclista recorrió una distancia
t
8
40
de 10 kilómetros, halle el tiempo que empleó en recorrer dicha distancia.
A) 10 min
B) 12 min
C) 18 min
D) 14 min
Solución:
2  tan  2  t   1  sen  2  t   cos  2  t   10  10
cos  2  t 
2  tan  2 t  
1  sen  2  t 
Como

1
sec  2  t   tan  2  t 

2  tan  2 t  

2  tan  2 t   sec  2  t   tan  2  t 
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
432
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

sec  2 t   2

2t 

3

Ciclo 2020-I
1
hrs
6
t
Por lo tanto, el automóvil empleó 10 minutos en recorrer dicha distancia.
Rpta.: A
5.
Para un dia nublado los cientificos llegaron a la conclusión que la instensidad de la
 t 
luz solar está modelado por I  I M sen 2   donde 0  t  D es el tiempo en horas,
D
I M es la intensidad máxima de la luz solar y D es el número de horas de la luz
diurna. Si D=12, determine el número de veces al día donde la intensidad de la luz
es igual a la cuarta parte de la intensidad máxima.
A) 6
B) 1
C) 2
D) 4
Solución:
 t 
Como I  I M sen2  
D
lM
 t 

 I M sen2  
4
 12 
1
 t 

 2sen 2  
2
 12 


 t  1
cos   
 6 2
 t  5
 ,

6 3 3
 I
IM
4

0 t D

D  12
t  2, 10
Por lo tanto, el número de veces es 2.
Rpta.: C
6.
La parte administrativa de una empresa determinó que el costo total y el costo
variable están representados por las expresiones
millones de soles respectivamente, donde x  0,

2
 sen x  cos x 
2
y cos x en
denota el tiempo en años. Si el
costo fijo de la empresa es cos2 millones de soles, halle el doble del costo
variable de la empresa.
A) √3 millones de soles
C) 1,2 millones de soles
Semana Nº 11
B) 2 millones de soles
D) 4 millones de soles
(Prohibida su reproducción y venta)
433
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Como
 sen x  cos x 
2
 cos2  cos x

sen 2 x  2sen x cos x  cos 2 x  1  cos x

cos x  2senx  1  0

sen x 

x
1
2

6
 Cos to var iable  cos

3
millones 
millones
6
2
Rpta.: A
7.
Un climatólogo modeló la temperatura del 6 de Agosto del 2020 de la ciudad de Lima
 t 5 
por la expresión 12  4cos 

 en °C, donde t  0, 24 es el tiempo
 24 2 
transcurrido en horas a partir de la media noche del 5 de Agosto del 2020, determine
a qué hora por segunda vez la temperatura fue de 14 °C.
A) 4:00 a.m.
B) 6:00 p.m.
C) 4:00 p.m.
D) 8:00 p.m.
Solución:
 t 5 
Como 12  4cos 

  14
 24 2 
 t 
 12  4 sen    14
 24 
 t  1
 sen   
 24  2
t  5

 ,
 t  4, 20
24 6 6
Rpta.: D
8.
El ingreso y el costo total de producción de una empresa en China que se dedica a
la fabricación y venta de mascarillas están modelado por las expresiones
3  cos  2  x  y 1  3 sen  2  x  en decenas de miles de soles respectivamente,
1 5
,  representa la cantidad de mascarillas fabricadas en docenas de
12 12 
donde x  
miles, determine la mínima cantidad de mascarillas (en miles de unidades) que debe
producir la empresa para recuperar lo invertido.
A) 2
Semana Nº 11
B) 6
C) 1
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 4
434
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Como 1  3 sen  2  x   3  cos  2  x 

3 sen  2  x   cos  2  x   2

3
1
sen  2  x   cos  2  x   1
2
2


sen  2  x    1
6

 
1
2x  
 x
6 2
3


Por lo tanto, la mínima cantidad que debe producir y vender es 4000 mascarillas.
Rpta.: D
9.
Halle el número de soluciones de la ecuación x 2  x  sen x  1, x 
A) 1
B) 0
C) 2
.
D) 3
Solución:
Como x 2  x  1  sen x
 0  sen x  1

x 2  x  1  0,  x 

 
: sen     0   /  
6
 6
 C.S.  
Para x  
Rpta.: B
10. Pedro tiene un terreno de forma triangular (figura adjunta) destinado para el sembrío
de plantas medicinales. Si α es la menor solución positiva de la ecuación

1  sen2 x  cos 2 x  cos , halle el área de dicho terreno.
2
A) 600 m2
B) 1600 m2
C) 800 m2
D) 400 m2
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
435
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Como 1  sen2 x  cos 2 x  0





2 cos  2x     1
4


1

cos  2 x    
4
2

2x 
 3

4 4

x mín 

4
Por lo tanto, la superficie del terreno es 800 m 2 .
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
 7 11 
Halle la menor solución de la ecuación 2cot 2 x  3csc x  0, x   ,
.
3 3 
A)
19 
6
B)
17 
6
C)
19 
3
D)
17 
3
Solución:
2cot 2 x  3csc x  0
Como



2 csc 2 x  1  3csc x  0

2csc 2 x  3csc x  2  0

 2csc x  1 csc x  2  0

csc x   2

x  n     1
n

, n
6

x mín 
19 
6
Rpta.: A
2.
En una clase del curso de Trigonometría de la CEPREUNMSM, el profesor planteó la
siguiente ecuación en la pizarra: 8sen 3 x  1  6 sen x y solicitó a sus estudiantes la
menor solución positiva que satisface dicha ecuación. Josué, un estudiante, consigue
resolverla correctamente y da su respuesta, ¿cuál fue la respuesta que obtuvo Josué?
A)

18
Semana Nº 11
B)

6
C)

9
(Prohibida su reproducción y venta)
D)

3
436
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
8sen 3 x  1  6 sen x
Como



2 3 sen x  4sen 3 x  1

sen3x 

3x 

6
1
2

x

18
Rpta.: A
3.
Halle la suma de soluciones de la ecuación cos 2 3 x  cos2x  sen 2x, x  0,  .
A) 3
B) 2
C)
3
2
D)
5
2
Solución:
Como cos 2 3 x  sen 2 x  cos 2x
 cos 2x cos 4x  cos 2x  0

cos 2x  cos 4x  1  0

cos 2x  0

x


 2n  1  ,
cos 4x  1
n
4
 3 
x  , ,0, , 
4 4
2

x
n
, n
2
Por lo tanto, la suma de soluciones es
5
.
2
Rpta.: D
4.
La altura respecto al suelo a la que se encuentra un paracaidista desde que abre el
paracaídas
está
determinado
por
el
valor
de
la
expresión
en
 t 
  t 
 t  
6000cos   cos  
cos 
  metros, donde t  0,9 es el tiempo

 54 
 3 54 
 54 3 
transcurrido en minutos, determine el tiempo en el cual el paracaidista se encontró a
una altura de 750 m.
A) 2,5 min
B) 4 min
C) 6 min
D) 8 min
Solución:
Como
Semana Nº 11
 t 
  t 
 t  
6000cos   cos  
cos 
   750

 54 
 3 54 
 54 3 
(Prohibida su reproducción y venta)
437
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO



Ciclo 2020-I
 t 
  t 
  t  1
4cos   cos  
cos  


 54 
 3 54 
 3 54  2
 t  1
cos   
 18  2
t 

 t6
18 3
Rpta.: C
5.
Halle el número de soluciones de la ecuación
x  0,  .
A) 1
B) 2
6  sen2 x  cos2 x   10sen4 x  8,
C) 3
D) 4
Solución:
Como
6  sen2 x  cos 2 x   8  10 sen 4 x

6 1  sen 4x   64  160 sen 4x  100 sen 2 4x

50 sen 2 4x  83 sen 4x  29  0

 25 sen 4x  29  2sen 4x  1  0

sen 4 x 

x
1
2
n
n 
   1
, n
4
24

x
 5 13 17
, ,
,
24 24 24 24
Rpta.: D
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
438
Pág.
69
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
En la ecuación
1
F  (1 cos  ), 0     ,
2
la fracción F representa la medida astronómica de la superficie de la Luna iluminada
por el Sol. Determine la suma de los ángulos correspondientes para las fases de luna
nueva y cuarto creciente.
A)

4

3
B)
C)
7
4
3
4
D)
Solución:
1
F  (1 cos  ), 0    
2
1
(1) Luna nueva : (1 cos  )  0  cos   1    0
2
1
1
1

(2) Cuarto creciente :  (1 cos  ) 
 cos  
 
2
4
2
3
 
0  .
3 3
Rpta.: B
2.
El desplazamiento del amortiguador de un automóvil está modelado por la ecuación
1
, donde t denota el número de segundos después de
2
iniciado el desplazamiento. Halle la suma de los tiempos cuando el amortiguador está
en posición de equilibrio.
D  20,2t sen 4t, 0  t 
A)
5
s
6
B)
4
s
7
C)
3
s
4
D)
6
s
7
Solución:
D  20,2t sen 4t, 0  t 
1
2
Posición de equilibrio D  0  sen 4t  0  4t  0, , 2  t  0,

1 1
,
4 2
3
.
4
Rpta.: C
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
439
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Las
ondas
modeladas
por
Ciclo 2019-II
las
 x

y1  1,5 sen 
 3t  ,
 5

ecuaciones:
 x

y 2  1,5 sen 
 3t  están viajando a lo largo de una misma cuerda de 30 pies de
 5

largo, donde x denota un punto de la cuerda. Si el movimiento de la cuerda está
determinado por y  y1  y2 para cualquier valor de t, halle la suma de los valores de
x cuando y  0 (tales puntos son llamados nodos).
A) 105
B) 95
C) 115
D) 120
Solución:
 x

 x

 3t  , y 2  1,5 sen 
 3t 
y1  1,5 sen 
 5

 5

 x

 x

 x 
 y  1,5 sen 
 3t   1,5 sen 
 3t   3 sen    cos3 t
 5

 5

 5 
x
 x 
 x 
 y  0  3 sen    cos 3 t  0  sen    0 
 n , n  Z
5
 5 
 5 
 x  5n, n  Z  x  0, 5, 10, 15, 20, 25, 30.
 0  5  10  15  20  25  30  105.
Rpta.: A
4.
Determine  , ángulo formado por dos de los lados de un terreno de forma triangular
que miden (40.cos  ) m y (60) m, si su área es igual a  600 sen4 m2 .
A)

rad
8
B)

rad
4
C)

rad
6
D)

rad
3
Solución:
1
(60)(40cos )sen
2
S  600sen2=600sen4  sen2  sen4  2sen2 cos 2
S
sen2  0  cos2=
1

 menor  rad.
2
6
Rpta.: C
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
440
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-II
En una ciudad donde el frío es intenso, la temperatura del día está determinado por la
 t 
expresión 12  16cos   en C , donde t denota el tiempo en horas. Si el registro de
6
la temperatura se inicia después de la medianoche, ¿a qué hora la temperatura
alcanza los 4C por tercera vez?
A) 1 p.m.
B) 2 p.m.
C) 3 p.m.
D) 4 p.m.
Solución:
 t 
 t 
12  16 cos    4  16 cos    8
6
6



1
 t 
cos    
2
6
t 2 4 8

, ,
 t  4,8,16
6
3 3 3
La temperatura alcanza los 4C por tercera vez a las 16 hrs., esto es 4:00 pm
Rpta.: D
6.
Halle el conjunto solución de la ecuación cot( 2x 
 ( 4n  1)

/ n Z 
A) 
16


 ( 4n  1)

/ n Z 
C) 
 16



)  cot(  2x )  2 .
4
4
 ( 4n  1)

/ n Z 
B) 
8


 ( 4n  1)

/ n Z 
D) 
8


Solución:




cot( 2x  )  cot(  2x ) 2  cot( 2x  )  tan( 2x  ) 2
4
4
4
4



 2cot( 4x  )  2  tan 4x   1  4x n   x  ( 4n  1) , n  Z
2
4
16

 {( 4n  1) / n  Z }.
16
Rpta.: C
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
441
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2019-II
t
3 tan t  tan , siendo t una de las
2
2
3 tan x  3, x [ 0, ] .
Determine el mayor valor que toma la expresión
soluciones de la ecuación 2tan x 
A)
3 1
B)
3 1
C)
2 1
D) 3 2  1
Solución:
Re solvienso la ecuación : 2 tan x  3 tan2 x  3, x [ 0, ]
 2 tan x  3(1  tan2 x )  2 tan x  3(1  tan2 x )
 2 tan x  3(1  tan2 x )  2 tan x  3(1  tan2 x )  tan 2x  3
 4
 2
 2x  ,
 x ,
3 3
6 3
Luego :



1
(1) Q( )  3 tan( )  tan( )  3 (
)  (2  3 )  3  1
6
6
12
3
2

(2) Q( 3 )  3 tan( )  tan( )  3 (  3 )  ( 3 )   3  3
3
3
El mayor valor que puede tomar Q es 3  1.
Rpta.: B
8.
 
Las edades de Juan y Pedro son 25 x 2 y 15 tan2  2  años, respectivamente. Si
x 
cos35  sen65  x cos5 , halle la diferencia de ambas edades.
A) 35 años
Semana Nº 11
B) 30 años
C) 33 años
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 40 años
442
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
cos 35  sen 65  x cos 5  cos 35  cos 25  x cos 5
 2cos 30 cos 5  x cos 5  x  3
 

Luego : 25 x 2  15 tan2  2   25( 3)  15 tan2    75  45  30.
x 
3
Rpta.: B
9.


Dado M  32 tan  sen 4x y N  32cos  sen 2x , calcule tan2 2 , siendo  la menor
3
6
M
 2.
solución positiva de la ecuación
N
A) 1
B)
2
3
C) 2
D) 3
Solución:

32 tan  sen 4x
M
32( 3)  sen 4x
3
2 
2 
2

N
3
32 cos  sen 2x
32( ) sen 2x
6
2
32( 3)  sen 4x
1



 2  cos 2x   2x   2 
2
3
3
3
32( ) sen 2x
2
2
 tan 2  3.
Rpta.: D
10. En qué año nació Carlos si su edad está determinada por la solución de la ecuación
t
t
5t
cos4
 sen4
 cos
 0 , donde t   14, 18  denota el número de años.
24
24
12
A) 2003
Semana Nº 11
B) 2002
C) 2004
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 2005
443
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
t
t
5t
t
t
5t
cos4
 sen4
 cos
 0  cos2
 sen2
 cos
0
24
24
12
24
24
12
t
5t
t
t
 cos  cos
 0  2 cos  cos  0, 14  t  18
12
12
4
6
t
t
t
t
 cos  cos  0  cos  0  cos  0
4
6
4
6
t  3 5 7 9
t  3 5 7

 ,
,
,
,

 ,
,
,
4 2 2 2 2 2
6 2 2 2 2
 t  2, 6, 10, 14, 18  t  3, 9, 15, 21
 t  15
Carlos nació en el año 2004.
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.

7 200 t
 2 )( cos
) representa la distancia en kilómetros que
3
7 841
recorre un maratonista en los Juegos Panamericanos y t denota el tiempo en horas.
Si Cristian Pacheco recorrió 42 kilómetros, halle el tiempo que empleó para recorrer
dicha distancia.
La expresión (10 sec 2
A) 2h : 15m : 41s
B) 2h : 20m : 10 s
C) 2h : 01m : 41s
D) 2h : 10m : 41s
Solución:

7 200 t
7 200 t
(10 sec 2  2 )( cos
)  42  cos
1
3
7 841
7 841
7 200 t
7 841

 2  t 
horas
7 841
3 600
Luego el tiempo empleado es : 2h : 10m : 41s
Rpta.: D
2.
La garantía de funcionamiento de una máquina está determinada por la ecuación
t
t 7
sen6
 cos6
 , donde 9  t  25 denota el tiempo en trimestres. ¿Cuántos
48
48 16
años de garantía tiene la máquina?
A) 4 años
Semana Nº 11
B) 5 años
C) 6 años
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 3 años
444
Pág.
69
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
t
t 7
t
t 7
sen6
 cos6

, 9  t  25  1 3 sen2
 cos2

48
48 16
48
48 16
t
t 3
t 3
t 3
 4 sen2
 cos2
  sen2
  2sen2

48
48 4
24 4
24 2
t 3
t
1
t 2 4
 1  cos
  cos
 
 ,
 t  8, 16.
12 2
12
2
12 3
3
 t  16 trimestres  4 años.
Rpta.: A
3.
Si  es agudo y es solución de la ecuación tan2 x  2 3 tan x  3  0 , halle el valor
sen 
sen 

 2 tan  ) .
de la expresión 50 3 (
1 cos  1 cos 
A) 500
B) 400
C) 600
D) 300
Solución:
tan2 x  2 3 tan x  3  0  (tan x 
Luego, 50 3 (
3 )2  0  tan x 
3  x  

3
sen 
sen 
2sen   cos 

 2 tg  )  50 3 (
 2 tan  )
1 cos  1 cos 
1 cos2 
 100 3 ( cot   tan  )  100 3 (
1
3

3)  400.
Rpta.: B
4.
La corriente que fluye por un circuito de corriente alterna está modelada por la
expresión 2cos3t  sent  cos3t , donde t  0,  es el tiempo en segundos. ¿Cuántas
veces la corriente se hace cero?
A) 3 veces
B) 2 veces
C) ninguna vez
D) 4 veces
Solución:
2cos3t  sent  cos3t  0
cos3t(2sent  1)  0
cos3t  0
 sent 
 3 5 7
, , ,
2 2 2 2
   5 
C.S.   , , 
6 2 6 
3t 
1
2
 t
 5
,
6 6
Rpta.: A
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
445
Pág.
70
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Halle el conjunto solución de la ecuación

/ n Z }
18

/ nZ}
C) {[ 3n  ( 1)n 1]
18
A) {[ 6n  ( 1)n1 1]
Ciclo 2019-II
3 sen3x  cos3x  1.

/ n Z }
18

/ n Z }
D) {[ 6n  ( 1)n 1]
18
B) {[ 6n  ( 1)n ]
Solución:
3
1 1
 cos3x  
2
2 2

1


 sen( 3x  )   3x   n  ( 1)n , n  Z
6
2
6
6
 

 3x  n  ( 1)n  n  Z  x  [ 6n  ( 1)n  1] , n  Z
6 6
18

 {[ 6n  ( 1)n  1]
/ n Z }
18
3 sen3x  cos3x  1  sen3x 
Rpta.: D
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
446
Pág.
71
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 11
1.
Hallar el número de soluciones de la ecuación trigonométrica
2senx  csc x 1, x [0, 2 ].
A) 5
B) 3
C) 2
D) 4
E) 6
Solución:
2sen x 
1
2sen2 x  sen x  1
1 
0
sen x
sen x
 2sen2 x  sen x  1  0  sen x  0
 (2senx  1)( sen x  1)  0, x [0, 2]
1
7 11

 senx  
 sen x  1  x  ,
 x
2
6 6
2
Luego, el número total de soluciones es 3.
Rpta.: B
2.
La temperatura en la ciudad de Lima, durante el mes de enero del año 2017, en
t 
grados o C , se modela mediante la ecuación T  29  2sen(  ) , donde t
6 3
representa el día del mes. ¿Cuál es el primer día del mes de enero donde se registra
una temperatura de 30o C ?
A) 05/01/17
Solución:
T  29  2sen(
B) 02/01/17
C) 03/01/17
D) 04/01/17
E) 06/01/17
1
t 
t 
t 
 )  30  29  2sen(  )   sen(  )
6 3
6 3
2
6 3
 t 
   t  3.
6 6 3
Luego, el tercer día del mes de enero la temperatura fue 30o C .

Rpta.: C
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
447
Pág.
50
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-I
La ecuación cos2t  cost describe el desplazamiento de un insecto, donde t
denota el tiempo en segundos. ¿Cuál es el menor valor de t que satisface la
ecuación?.
4
2
2
A) 4
B)
C)
D) 2
E)
3
5
3
Solución:
cos2t  cos t 2cos2 t  1  cos t  (2cos t  1)( cos t  1 )  0
1
2
 cos t  1  t 
 t 0
2
3
2
Luego, el menor tiempo es
.
3
 cos t  
Rpta.: E
4.
Halle la mayor solución negativa de la ecuación
sen sencos2  2sen2 .
3



B) 
C) 
D) 
E) 
2
2
3
4
Solución:
sen   sencos 2  2sen2  sen(1 cos 2 )  2sen2  0
A) 
 sen2cos2   2sen2  0  sen2 ( cos  2 )  0

 sen2  0  cos   2  2        .
2

Luego, 
es la mayor solución negativa.
2
Rpta.: A
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
448
Pág.
51
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-I
3
) , donde  (agudo) es una solución
2
7
de la ecuación trigonométrica cos2 2 x(1  tg2 2x )  sen x  cos
.
18
Resolver la ecuación z  sec 3  5  2sen(
A) 2
B) 2,5
C) 3
Solución:
cos2 2 x  sec 2 2x  sen x  cos
E) 4
7
7

 sen x  cos
 VP 
18
18
9

 .
9
Reemplazando el valor de  
tiene z  sec
D) 3,5

3
en la expresión z  sec 3  5  2sen( ) se
9
2


 5  2sen  z  3.
3
6
Rpta.: C
6.
El ingreso total, el gasto total y la ganancia de una empresa están dadas por

4cos2 x , csc x y  cos  respectivamente, en millones de soles. Si x   0,  ,
2
halle el ingreso total.
A) 1,5
B) 2
C) 2,5
D) 3
E) 3,5
Solución:
Ingreso total  Gastos totales  Ganancia
4cos2 x  csc x   cos   4cos2 x sen x  1  sen x
 4sen x  4sen3 x  sen x  1  3sen x  4sen3 x  1
 sen3x  1  3x 


 x
2
6
Luego, Ingreso total  4cos2 x  4cos2
3

 4( )  3 millones de soles.
6
4
Rpta.: D
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
449
Pág.
52
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2019-I
Halle la suma de las soluciones de la ecuación trigonométrica
sen2x  2 sen x  4 cos x  4  0, x  [ , 3] .
A) 4
C) 6
B)
E) 7
D)
Solución:
2 sen x  cos x  2 sen x  4 cos x  4  0
2 sen x cos x  2 sen x  4 cos x  4  0
 sen x  2 cos x
 1   0  sen x  2  cos x  1
 cos x  1  cos x   1, x  [ , 3]
 x  , 2, 3 
 x    2  3  6.
Rpta.: C
8.
tg2x  ctgx  8cos2 x .
Halle la menor solución positiva de la ecuación
A)

6
B)

24
C)
D)

12
E)
5
12
Solución:
sen2x cos x

 8cos2 x
cos 2x sen x
 sen2x  sen x  cos 2x  cos x  8cos2 x  cos 2x  sen x
 cos x (1 8cos x  cos 2x  sen x)  0
 cos x (1 2sen 4x)  0  cos x  0  sen 4x 
 x


 x
2
24
Por lo tanto, la mínima solución positiva es
1
2

.
24
Rpta.: B
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
450
Pág.
53
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2019-I
Halle la suma de las soluciones de la ecuación trigonométrica
sec 2 x  tg2 x  ctg2 x  csc 2 x  1,   x  0.
B) 
A)
C)
D)
E)
3
2
Solución:
sec 2 x  1  tg2 x  1 ctg2 x  csc 2 x  3
2
4
1
 1  cos 2x 
 cos 2x 
3
3
3


 2x   ,  (2   )  x   ,   
2
2
  x   .
 2sec 2 x  3  cos2 x 
Rpta.: D
10. Halle el conjunto solución de la ecuación
sec 2x  ctgx  4csc 2x  sec 2x  tgx .
A) { n  ( 1)n
D) {n 

/ n }
6

/ n }
6

/ n }
3
2
/ n }
E) {n 
3
B) {n 
C) { 2n  
Solución:
sec 2x  tg x  sec 2x  ctg x  4csc 2x  sec 2x (tg x  ctg x )  4csc 2x
2
/ n }
3

 2csc 2x  sec 2x  4csc 2x  csc 2x ( sec 2x  2)  0
 csc 2x  0( no es posible)  sec 2x  2  sec 2x  2
 2x  2n 
 {n 

, n
3
 x  n 

, n
6

/ n }
6
Rpta.: D
EVALUACIÓN Nº 11
1.
2
csc 2  ) años, siendo un
5
ángulo agudo. Si la suma de ambas edades es setenta años, calcule el producto de
ambas edades.
La edad de un niño es ( ctg ) años y la de su padre (
A) 695
Semana Nº 11
B) 690
C) 585
D) 596
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 696
451
Pág.
54
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
2
4
csc 2   ctg   70  2( ctg2  1)  5ctg   350
5
 (2ctg   29 )( ctg   12)  0  ctg   12.
Luego, la edad del padre es 58 años y el producto de ambas edades es 696.
Rpta.: E
2.
Si sen2 2x  cos2 4y  1 , halle la suma de los dos menores valores positivos de “x”
y los tres menores valores positivos de “y” que satisfacen la ecuación.
A)
B)
7
8
C)
17
8
D)
E)
Solución:
Despejando,
sen2 2x  1  cos2 4y  1  cos2 4y  1

Pero sen2 2x  1  1  cos2 4y  1  cos2 4y  0  4y  (2k  1) , k 
2

 3 5
 y  (2k  1) , k   y  ,
,
(1)
8
8 8 8
Además


 3
sen2 2x  1  2x  (2n  1) , n  x  (2n  1) , n  x  ,
(2)
2
4
4 4
17
Luego, de (1) y (2) la suma es
.
8
Rpta.: C
3.
Halle el número de soluciones para la ecuación

sen2 x  sen3x  sen7x  cos2 x, 0  x  .
2
A) 3
B) 5
C) 4
D) 7
E) 6
Solución:
sen3x  sen7x  cos2 x  sen2 x  2sen5x  cos 2x  cos 2x  0
1

 cos 2x (2sen5x  1)  0  cos 2x  0  sen5x  , 0  x 
2
2

 5 13

 5 13
 2x   5x  ,
,
 x
 x ,
,
2
6 6
6
4
30 30 30
Luego, el número total de soluciones es cuatro.
Rpta.: C
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
452
Pág.
55
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-I
Determine la suma de la menor solución con la mayor solución de la ecuación
trigonométrica
A)
5
3
B)
cos2x  sen x 1
 17
 0, x [ ,
].
csc 2x
6 6
11
5
C)
D)
E)
6
6
Solución:
cos 2x  sen x  1  0 , csc 2x  0  2sen2 x  sen x  0 , sen2x  0
1
 sen x  0  sen x   , sen x  0
2
1
 17
 sen x   , x [  ,
]
2
6 6
 7 11
 x  ,
,
6 6 6
 11 5

Luego, la suma pedida es  
.
6 6
3
Rpta.: A
5.
Hallar el conjunto solución de la ecuación trigonométrica
2cos x  tg x  sec x .
2
/ n }
3

C) { n  ( 1)n (  ) / n }
6

E) { n  ( 1)n / n }
6
A) { 2n  

/ n }
6

D) {n   / n  }
2
B) { 2n  
Solución:
sen x
1
2cos x 

 2cos2 x  sen x  1  0, cos x  0
cos x cos x
 2(1  sen2 x )  sen x  1  0  ( 2 sen x  1)(sen x  1 )  0
1
 sen x  1 ( no puede ser pues cos x  0 )
2

 x  n  ( 1)n (  ), n
6

 { n  ( 1)n (  ) / n }.
6
 sen x  
Rpta.: C
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
453
Pág.
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Halle la solución de la ecuación
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: D
2.
Halle la suma de las dos menores soluciones positivas de la ecuación
4 sen x 4 sen 3x
cos3x cos x
A)
Semana Nº 11
B)
C)
tg
49
3
.
D)
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
454
Pág.
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Rpta.: A
3.
En un viaje de excursión al sur, se compran caramelos, la primera vez se paga
soles y en una segunda oportunidad se paga
soles, donde x es un
ángulo agudo. Si la diferencia entre la primera compra y la segunda es de dos soles,
¿cuánto se pagó en total?.
A) S/ 3,00
B) S/ 2,50
C) S/ 3,50
D) S/ 2,80
E) S/ 3,20
Solución:
Rpta.: B
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
455
Pág.
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2018-II
En la ciudad de Puno, la temperatura en el mes de agosto, en grados centígrados,
está determinada por la expresión
, donde t denota el tiempo en
días. Halle los días en que la temperatura promedio en la ciudad es de 14 oC.
A) 5, 10 y 26
B) 2, 15 y 26
D) 2, 10 y 16
E) 2, 10 y 26
C) 4, 10 y 26
Solución:
Rpta.: E
5.
En un campo de entrenamiento se lanza un misil con un ángulo de elevación de
, a una velocidad de
. Si después de 20 segundos el misil
se encuentra a una distancia horizontal de
del punto de lanzamiento,
calcule la medida de .
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: C
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
456
Pág.
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2018-II
Si dos ángulos agudos x e y satisfacen la ecuación
,
calcule el valor de la expresión
A) 70
B) 78
.
C) 88
D) 75
E) 82
Solución:
Rpta.: B
7.
Una investigación realizada por un grupo de biólogos que estudia los efectos
nutricionales de un alimento balanceado, suministrado a pollos en una granja
determina que si se suministran x kilogramos (
del pollo aumenta en
) de dicho alimento el peso
gramos. Cuantos kilogramos de dicho
alimento como mínimo se debe suministrar para que el pollo aumente de peso 10
gramos.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: C
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
457
Pág.
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2018-II
Cuando la luna gira alrededor de la tierra, el lado que da la cara a la tierra por lo
general está solo parcialmente iluminado por el sol. Las fases de la luna describen
cuánto de la superficie parece estar a la luz del sol; una medida astronómica está dada
por
, donde F denota la fracción iluminada del disco lunar y
es el ángulo entre el sol, la tierra y la luna. Determine los ángulos que
corresponden las fases cuarto creciente y cuarto menguante (
A)
B)
C)
D)
).
E)
Solución:
Rpta.: D
9.
con un ángulo de
Un proyectil es disparado con una velocidad inicial
elevación
. Si la altura de la trayectoria del proyectil está modelada por
, encuentre el ángulo
cuando el proyectil alcanza una altura de 625
pies.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: C
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
458
Pág.
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
10. Un constructor realiza una obra en 120 días, los días t de entrega de los pedidos de
ladrillos satisfacen la ecuación
. ¿Cuántas veces durante el
tiempo que demora la construcción de la obra se realiza la entrega de ladrillos?.
A) 4 veces
B) 6 veces
C) 8 veces
D) 7 veces
E) 5 veces
Solución:
Rpta.: E
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Halle la diferencia entre la mayor y menor solución de la ecuación
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: A
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
459
Pág.
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2018-II
Halle el conjunto solución de la ecuación
A)
B)
D)
E)
C)
Solución:
Rpta.: C
3.
En un laboratorio se construye un drone para recabar información sobre un evento
deportivo en un estadio, a los t segundos de iniciado el vuelo. La altura que alcanza
dicho drone está dada por la expresión
en metros, con
en segundos. ¿Después de cuantos segundos el drone se encontrará a una
altura de 100 metros?.
A)
Semana Nº 11
B)
C)
D)
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
460
Pág.
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Rpta.: D
4.
La edad en años de una persona es igual al número de grados sexagesimales de un
ángulo, tal que la tangente de dicha edad aumentado en
es igual a dos unidades
aumentado el triple de su cotangente y disminuido seis veces la cotangente de su
doble. Determine la edad factible de dicha persona.
A) 35 años
B) 30 años
C) 28 años
D) 33 años
E) 31 años
Solución:
Por lo tanto, la edad factible es de 30 años.
Rpta.: B
5.
La inversión que hace un empresario y el ingreso que obtiene están dadas por las
expresiones
y
, respectivamente, en miles de soles. Si t
denota el tiempo en años, halle el menor tiempo en que el empresario recupera su
capital invertido.
A) 9 meses
Semana Nº 11
B) 8 meses
C) 7 meses
D) 6 meses
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 5 meses
461
Pág.
56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Por la condición del problema:
Rpta.: D
Semana Nº 11
(Prohibida su reproducción y venta)
462
Pág.
56
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
12
semana
463
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
1)
LEY DE SENOS
B
c
En todo triángulo, las longitudes de
los lados son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos
a
a
b
c


sen A sen B sen C
A
b
C
NOTA: Todo triángulo se puede inscribir en una circunferencia y cumple
a
b
c


 2R , donde R es el radio de la circunferencia circunscrita
sen A sen B sen C
al triángulo ABC.
2.
LEY DE COSENOS
En un triángulo cualquiera, el
cuadrado de la longitud de uno de
sus lados es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los
otros dos lados, menos el doble
producto de ellos multiplicado por el
coseno del ángulo que forman.
B
c
A
a
C
b
Es decir, de la figura se tiene
Semana Nº 12
:
a² = b² + c²  2bc cos A
b² = a² + c²  2ac cos B
c² = a² + b²  2ab cos C
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
47
464
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2020-I
LEY DE TANGENTES
En todo triángulo, la suma de dos de
sus lados es a su diferencia, como la
tangente de la semisuma de los
ángulos que se oponen a dichos
lados es a la tangente de la
semidiferencia de los mismos. Así,
en la figura, se tiene:
C
a
b
B
A
c
 A B 
tan 

 2 
ab
=
 A B 
ab
tan 

 2 
 AC 
tan 

ac
 2  ,
=
ac
 AC 
tan 

 2 
4.
y
 BC 
tan 

bc
 2 
=
bc
 B C 
tan 

 2 
LEY DE PROYECCIONES
En todo triángulo, cualquiera de sus
lados se puede expresar como la
suma de las proyecciones de los
otros dos sobre este.
B
c
a
Es decir:
A
b
C
b = a cos C + c cos A
a = c cos B + b cos C
c = a cos B + b cos A
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
47
465
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2020-I
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN
a)
Ángulo de elevación
Línea visual: es la semirecta OQ
trazada del punto de observación O
hacia el punto observado Q.
b)
Ángulo de depresión
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
48
63
466
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
En la siguiente figura se representa una plazuela circular de centro O cuyo radio
25
dam , se sabe lo siguiente: En la región sombreada se colocarán plantas
4
ornamentales cuyo costo es 625 sen2 A  sen2B  sen2C soles. Si la parte
mide


triangular ABC tiene un perímetro de 32 dam y la suma de sus productos de los
lados tomados de dos en dos es 340 dam2 ,¿cuánto es el costo por colocar las
plantas ornamentales?
A) S/. 1 475
B) S/. 1 350
C) S/. 1 450
D) S/. 1 376
Solución:
a  b  c 
 32 
2
 a2  b2  c 2  2  ab  bc  ac 
2
2
 25 
 4   sen2 A  sen2B  sen2C
 4 


1376  625 sen2 A  sen2B  sen2C


Rpta.: D
2.
Un topógrafo usando un teodolito analizó un terreno de forma triangular ABC (figura
adjunta) y observó que 2BC  6  2 AM y m CAB  2m MCA  50 . ¿Cuánto


es la medida del ángulo ABC?
A) 65°
B) 55°
C) 60°
D) 70°
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
63
467
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:

6 2
x
 m
2


sen75
 sen
 m
x


 sen50 sen25
sen75
sen25


 6  2  2sen25 cos 25
sen 

2


   65    115
Rpta.: A
3.
La empresa “CAJAS PERÚ” diseña y vende cajas que tienen la forma de un prisma
rectangular, como se representa en la figura adjunta. Si el precio unitario es de
13 2 cos  soles y se venden 50 cajas, ¿cuánto es el ingreso de la empresa?
A) S/. 640
B) S/. 480
C) S/. 660
D) S/. 550
Solución:
 17    13   
2
2
26

2
 
 2 13

26 cos 
11
13
Ingreso  11 50   550
2 cos  
Rpta.: D
4.
Dos hermanos se reparten un terreno que tiene forma de un cuadrilátero inscriptible
ABCD, donde BC = 4 dam, AD = 6 dam, AB = 3 dam y CD = 5 dam . Si para ello
2
hacen un muro recto que une los puntos A y C cuyo costo es de 7  AC  decenas
de soles, ¿a cuánto asciende dicho costo?
A) S/. 2 640
Semana Nº 12
B) S/. 2 850
C) S/. 2 300
(Prohibida su reproducción y venta)
D) S/. 2 470
Pág.
63
468
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:

x 2  32  42  2  3  4  cos 
 2
2
2
 x  6  5  2  6  5  cos 180   
9  16  24c os   36  25  60cos 
3
 c os   
7
2
 7x  247

70x 2  2 470
Rpta.: D
5.
Un ingeniero usando un odómetro observó un terreno de forma triangular,
representado por el triángulo ABC, anota que AB  16 m , AC  14 m y
cot
B
 A C
 33 tan 
 . Si el costo por metro lineal para enrejar el perímetro del
2
 2 
terreno es de S/. 70, ¿cuánto costará enrejar el terreno?
A) S/. 3 290
B) S/. 4 410
C) S/. 4 550
D) S/. 3 570
Solución:
A  B  C  180
B
 A C
 90  

2
 2 
 A C
tan 

ac
 2 


ac
 A C
tan 

 2 
B
cot
a  16
2

1
B
a  16
cot
33
2
a  17
cos to   47  70   S / .3 290
Rpta.: A
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
63
469
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2020-I
Dos socios compraron un terreno de forma triangular ABC, como se representa en la
figura a un precio de
12cos AsenA  11cosCsenA
decenas de miles de
12senAsenB  13senAsenC  senB
soles. Si ambos aportaron la misma cantidad de dinero, ¿cuánto aportó cada uno?
A) S/. 60 000
B) S/. 58 000
C) S/. 52 000
D) S/. 55 000
Solución:
P
P
12cos AsenA  11cosCsenA
12senAsenB  13senAsenC  senB
12cos A  11cosC  senA
12senB  13senC  senA  senB
P  13
11
decenas de miles
13
P
 S / .55 000
2
Rpta.: D
7.
Una plancha de aluminio tiene la forma de un triángulo ABC, como se representa en
la figura adjunta, en el mercado cada plancha tiene un precio de
 42

 5 cos A  7cosB  6cosC  en decenas de soles. ¿Cuánto costará adquirir una


decena de planchas?
A) S/. 1 000
B) S/. 1 250
C) S/. 1 100
D) S/. 1 300
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
63
470
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
 0,7 
2
  0,6    0,5   2  0,6  0,5  cosC
2
2
1
5
 cos A cosB cosC 
P  42 


decenas de soles
6
7 
 5
cosC 
 6cos A  5cosB cosC 
P  42 

decenas de soles
30
7 

P  110 soles  Una decena deplanchas :
cos tará  S / .1 100
Rpta.: C
8.
Sean A, B y C tres edificios ubicados de forma colineal (en ese orden), B tiene una
altura de 10 m, C tiene una altura de 13 m y desde las partes más altas de A y C se
observa la parte más alta del edificio B con ángulos de depresión  y 
respectivamente donde tan  
13
3
, sec  
además AB  BC . Halle la altura
2
4
del edificio A.
A) 18 m
B) 15 m
C) 16 m
D) 19 m
Solución:
3m  3  m  1
2k  4  k  2
Edificio A  10  6  16m
Rpta.: C
9.
Don Hugo observó la azotea de un edificio con un ángulo de elevación  , luego
avanzó hacia el edificio las cuatro quintas partes de la distancia que había
inicialmente y volvió a observar la azotea ahora con un ángulo de elevación de 3 ,
calcular 7tan2 .
A) 2
Semana Nº 12
B)
1
2
C)
1
3
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 1
Pág.
63
471
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
h

tan   5m

tan3  h

m
1
tan   tan3
5
1  3 tan   tan3  
tan   

5  1  3 tan2  
tan   0  7 tan2   1
Rpta.: D
10. Un atleta realizó el siguiente recorrido, partió de la estación A con dirección N70°E
avanzando 20 3 km hasta llegar a la estación B y finalmente recorrió cierta
distancia en la dirección S5°E hasta llegar a la estación C, donde allí observó su
posición inicial en la dirección N65°O. ¿Qué distancia hay desde la estación A hasta
la estación C?

C) 12 
A) 10

2  km
6  2 km
5

D) 12 
B) 10

2  km
6  2 km
5
Solución:
x
20 3

sen75 sen60
x  10


6  2 km
Rpta.: A
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
63
472
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Desde la estación A se observan en las direcciones N30°E y oeste a las estaciones
B y C respectivamente. Si desde A hasta C hay una distancia de 1500 m y B se
encuentra respecto de C en la dirección N75°E, ¿cuánto mide la distancia de A
hasta B?


3 1 m
B) 750( 3  1) m
C) 800( 3  1) m
D) 750( 3  1) m
A) 800
Solución:
x
1500

sen15 sen45
x  750


3 1 m
Rpta.: B
2.
Dos embarcaciones partieron simultáneamente del mismo puerto, siguiendo las
direcciones NθE y S2θE; luego de recorrer distancias de 48 km y 15 km
respectivamente. Si se encuentran distanciadas 57 km, determine el rumbo seguido
por la segunda embarcación.
A) S60°E
B) S30°E
C) S20°E
D) S40°E
Solución:
 57 
2
 15    48   2 15  48  cosx
2
2
1
2
x  120
  20
S40E
cos x  
Rpta.: D
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
63
473
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2020-I
Un
terreno
tiene
la
forma
de
una
región
triangular
ABC
 AB  c u, BC  a u, AC  b u . Halle el perímetro del terreno, si se cumple que
acos2
B
A
 bcos2  6cos 40 csc 30 csc 50 .
2
2
A) 12 u
B) 18 u
C) 24 u
D) 26 u
Solución:
B
A
acos2  bcos2  12
2
2
 cosB  1 
 cos A  1 
a
 b

  12
2
2




a  b  c  24 u
Rpta.: C
4.
Desde un punto P en la parte más alta de un edificio se observa un punto M en el


suelo con un ángulo de depresión de 45° a una distancia de 40 2 2  6 dam ,
también se observa (en el mismo lado) otro punto N en el suelo con un ángulo de
depresión de 15°. Si P, M y N son puntos coplanares, ¿cuánto mide la distancia
desde M hasta N?

C) 20 
A) 40

D) 40 

3  1 dam
3  1 dam
Solución:

MN  40  40 2  3
MN  40


B) 20

3  1 dam
3  1 dam

3  1 dam
Rpta.:A
5.
Un móvil partió del punto A con dirección S75°E, avanzando 90 6 km hasta llegar al
punto B, luego avanzó cierta distancia en la dirección S60°O hasta el punto C, que
está situado al sur de A. ¿Cuánto mide la distancia desde A hasta C?
A) 160 km
Semana Nº 12
B) 200 km
C) 180 km
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 210 km
Pág.
63
474
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
x
90 6

sen45 sen60
x  180 km
Rpta.: C
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág.
63
475
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Marcelo y John observan la copa de un árbol con ángulos de elevación  y 
respectivamente, ubicándose en posiciones opuestas respecto al árbol y en un mismo
plano con el árbol. Además, Marcelo y John se encuentran a una distancia de cot x y
cot 3x en metros respectivamente de la copa del árbol (3x agudo), sabiendo que
k
cos2x 
(k  1) , determine el valor de sen csc  en términos de k.
2
A)
k 1
k 1
B)
k 1
k 1
C)
2k  1
k 1
D)
k 1
2k  1
Solución:
Ley de senos
cot 3x cot x
sen cot x 2cos(2x)  1 k  1





sen sen
sen cot 3x 2cos(2x)  1 k  1
Rpta.: B
2.
Un satélite que orbita la tierra pasa arriba de las estaciones de observación en las
ciudades de Phoenix y Los Ángeles, separadas 340 millas. En un instante cuando el
satélite está entre estas dos estaciones, es observado de manera simultánea desde
Phoenix y Los Ángeles con ángulos de elevación de 60 y 75 respectivamente.
Determine la distancia entre el satélite y Los Ángeles en ese instante.
A) 170 6 millas
B) 150 3 millas
C) 160 5 millas
D) 180 7 millas
Solución:
Ley de senos
d
340
340sen60

d
sen60 sen45
sen45
 3
340 
 2 


d
 2


 2 
Satélite
45
d
60
Phoenix
340
75
Los Angeles
 d  170 6 millas.
Rpta.: A
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
476
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-II
El coseno del mayor ángulo de un triángulo cuyas longitudes de sus lados están
1
Calcule el
representados por tres números enteros y consecutivos, es igual a
5
perímetro de dicho triangulo.
A) 28 m
B) 20 m
C) 25 m
D) 18 m
Solución:
Ley de cosenos, sea  el mayo ángulo, con cos  
1
y los lados (n  1), n ,(n  1)
5
(n  1)2  (n  1)2  n2  2(n  1)ncos 
 3n2  18n  0  n(3n  18)  0  n  6  perímetro  5  6  7  18
Rpta.: D
4.
Carlos ubicado en el punto A observa la parte más alta de un poste con un ángulo de
elevación de 45° (el poste DB está inclinado). Andrés que se encuentra al otro lado
del poste en el punto C, colineal con el punto A observa también la parte más alta del
poste con un ángulo de elevación de 30°. Si AB = DC, halle G  5 tan  .
A) 2 2  3
B) 2 3  2
C) 2 2  3
D) 2 2  3 3
Solución:
Ley de senos
a
b
a
DBC :

 a  2bsen  sen 
o
sen sen30
2b
a
b
2a
ABC :

 sen(  30o ) 
o
o
sen(  30 ) sen45
2b
2 /2
a
2b
3
1
2a
(2 2  3)a
)  cos ( ) 
 cos  
2
2
2b
2b
1
1
2 2 3
2b
 G  5tan   2 2  3
tan  


5
2 2 3 2 2 3
2b
sen (
Rpta.: A
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
477
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-II
Nandito está frente a un edificio y observa la parte más alta con un ángulo de elevación
 , se acerca al edificio y nuevamente observa la parte más alta con ángulo de
elevación que es el doble del anterior, la distancia horizontal hacia el edificio de la
observación inicial es a la distancia horizontal hacia el edifico de la segunda
observación como 3 es a 1. Halle tan .
A)
3
6
B)
3
3
C)
3
2
D)
3
4
Solución:
AC  3n  AB  2n y BC=n ;
DBC  2 DAB  ABD : isóseles
BCD de 30o y 60o y tan  
3n
3

3n
3
Rpta.: B
6.
El pueblo A está a 2 km al norte del pueblo B, la orientación del pueblo C desde A y B
es N42°E y N28°E respectivamente. Si un automóvil parte de A hacia B haciendo
escala en C, ¿qué distancia ha recorrido?
A) 2cos55°csc7°
C) 2sen55°sec14°
B) 2sen46°
D) 2cos50°sec28°
Solución:
Ley de senos: CAB  138o y BCA  14o
2
AC
BC


o
o
sen14
sen28
sen138o
2sen28o
2sen138 o
o
y
AC 

4cos14
BC

sen14o
sen14o
Distancia recorrida d  AC  CB
2sen138o 4sen14o cos14o  2sen138o
d  4cos14o 

sen14o
sen14o
2(sen28o  sen138o ) 4sen83o cos55o

sen14o
sen14o
4cos7o cos55o

 2cos55o csc 7o
2sen7o cos7o
Rpta.: A
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
478
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2019-II
En el punto A de la figura mostrada se encuentra un topógrafo con su teodolito, este
(2a  2bcosC)tanBsenC
registra que el área del terreno triangular ABC es
km2 . Si
2
bsen (A  B)
dicho terreno se dividirá en dos partes iguales. Halle el área de cada parte.
A) 1 km2
B) 2 km2
C) 3 km2
D) 4 km2
Solución:
Ley de proyecciones: a  bcosC  c cosB
Ley de senos:
b
c
(2a  2bcosC)tanBsenC

y S
senB senC
bsen2 (A  B)

2(a  bcosC) tanBsenC 2c cosB tanBsenC

bsen2 (A  B)
bsen2 (A  B)

2c senB sen C 2 csenB

 2  S  2km2  Cada parte S1  1km2
2
b sen (A  B)
bsenC
sen 2 C
csenB
Rpta.: A
8.
Los lados de un triángulo ABC, son tales que AB=cu, BC=au, CA=bu. Si
csenA  asenA  asenC  bsenB senC
 A B C

 sen2 
 , halle cos A .
csenB
senB
6


A)
1
4
B) 
1
2
C) 
1
4
D)
1
8
Solución:
Ley de senos
a
b
c


 asenB  bsenA  csenA  asenC
senA senB senC
senC c senA a
csenB  bsenC 
 

senB b senC c
Entonces
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
479
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
asenA  bsenB c
1
asenA bsenB c
1
  

 
csenB
b
4
bsenC bsenC b
4
bsenC
2bc cos A

aa bb cc
1
a  b2  c 2
1
1


 
   cos A 
bc cb bc
4
bc
4
8
2
Rpta.: D
9.
En una plazoleta de forma triangular ABC, cuyos lados miden BC=30 m, CA=50 m y
AB=70 m. Si por pintar cada metro cuadrado se paga 10 soles, ¿cuánto se paga por
pintar toda la superficie de la plazoleta?
A) 3750 3 soles
B) 3900 3 soles
C) 3509 3 soles
D) 3590 3 soles
Solución:
Ley de cosenos
302  502  702
70  30  50  2(30)(50)cos   cos  
2(30)(50)
2
2
2
1
3
   1200  sen120o  sen60o 
2
2
soles 1
3 2
Gasto  10
 (30)(50)
m  3750 3 soles
2
m
2
2
cos   
Rpta.: A
10. Un helicóptero viaja de una ciudad a otra, distantes entre sí, en 40 Km. En un
determinado momento, los ángulos que forman las visuales, desde el helicóptero
hacia las ciudades con la horizontal, primera ciudad 26º y segunda ciudad 14º. ¿Qué
distancia hay en ese momento entre el helicóptero y la primera ciudad en ese instante?
20sen26o
sen40o
40sen26o
B)
sen40o
20sen14o
C)
sen40o
40sen14o
D)
sen40o
A)
Semana Nº 12
m
m
m
m
(Prohibida su reproducción y venta)
480
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
ABC  140o
Ley de senos
40
p
n


o
o
sen140
sen14
sen26o
Entonces
40sen14o
AB  p 
sen40o
Rpta.: D
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Se ha recortado una cartulina en forma de un triángulo ABC como se muestra en la
 A C
 A C
figura,
se
definen
los
números
y
N  tan 
 tan 


 2 
 2 
 A C
 A C
. Si x satisface la siguiente expresión x2  10x  25  0 ,
D  tan 
 tan 


 2 
 2 
determine la razón entre N y D.
2
5
2
B)
5
5
C)
3
2
D)
3
A)
Solución:
x2  10x  25  0  (x  5)2  0  x  5  AB  3;BC  5,CA  7
Ley de tangentes
A C
AC
A C
tan
 tan
2  53  4  N 
2
2 5
A C 53 1
A

C
A
C 3
D tan
tan
 tan
2
2
2
tan
Rpta.: C
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
481
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2019-II
Desde un helicóptero se localizan en un instante en los puntos A y C a dos personas,
con ángulos de depresión 25° y 40° como se ilustra en la figura. Si los observadores
están separados entre sí 100 pies y el helicóptero está sobre la línea que los une, ¿a
qué altura está el helicóptero?
100
cot 40  cot 25o
100
B)
tan 40o  cot 25o
200
C)
o
cot 40  cot 25o
100
D)
o
cot 40  cot 25o
A)
o
pies
pies
pies
pies
Solución:
AD  hcot 40o  DC  hcot 25o
hcot 40o  hcot 25o  100
h
100
cot 40  cot 25o
o
Rpta.: A
3.
Desde una superficie horizontal base de una colina, Claudio observa y mide el ángulo
que forma su visual con el punto más alto de la colina con respecto a la horizontal y
obtiene 43º; retrocede 10 m en trayectoria recta, se detiene y mide un nuevo ángulo
para el mismo punto, obteniendo un resultado de 35º, determine la altura de la colina.
A) 20sen35o csc 8o sen43o m
B) 10csc 35o csc 8o sen43o m
C) 30sen35o csc 8o sen43o m
D) 10sen35o csc 8o sen43o m
Solución:
DB  hcsc 43o
10
hcsc 43o
10sen35o


h

sen8o
sen35o
sen8o csc 43o
h  10sen35o csc 8o sen43o
Rpta.: D
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
482
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-II
Desde un acantilado en un instante se observa un barco en el punto con un ángulo de
depresión de º. Cuando el barco se ha alejado 200 m adicionales, el nuevo ángulo
de depresión es de 38º. Halle el triple de la distancia a la que se encontraba el barco
5

del acantilado originalmente.  sec   
3

A) 120( 6  2)sen38o m
B) 1200( 6  2)sen38o m
C) 360


6  2 sen38 m
D) 100( 6  2)sen38o m
Solución:
Sea DC  x  DB  xsec 
Ley de senos
x sec  200
200sen38o

x

sen38 sen15o
sen15o sec 
x  200sen38o csc15o cos 
4

 3
 200sen38o  

 6 2 5
3x  1000( 6  2)sen38o
Entonces x  120
Asi 3x  360



6  2 sen38

6  2 sen38
Rpta.: C
5.
En un terreno de forma triangular ABC, tiene como medidas AB=30m, BC=50m, y
sen(A  B) sen(A  C) sen(B  C)


CA=70m. Si P 
, determine el valor de P.
senA
senC
senB
A)
383
105
B)
105
383
C)
383
150
D)
383
103
Solución:
A  B  C  180o
Ley de senos
30
50
70
senC 3 senB 7 senA 5



 
 

senC senA senB
senA 5 senC 3 senB 7
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
483
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
sen(A  B) sen(A  C) sen(B  C)


senA
senC
senB
senC senB senA



senA senC senB
3 7 5 383
   
5 3 7 105
P
Rpta.: A
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
484
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Un avión vuela horizontalmente, en el instante mostrado observa los puntos A y B al
nivel del suelo con ángulos de depresión de 56º y 32º respectivamente. Si los puntos
A y B están separados por 4,3 km. Determinar la distancia desde el punto A hacia el
sen32º
avión en el instante mostrado. Si
 1,3
sen24º
A) 5,59 km
B) 6,15 km
C) 5,61 km
D) 6,51 km
E) 6,55 km
Solución:
OAB : Ley de senos
x
4,3

sen32º sen24º
x  4,3
sen32º
sen24º
x  4,3(1,3)  5,59 km.
Rpta.: A
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
485
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2019-I
Desde lo alto de un faro a 300m de altura, se observa un barco que se aleja con
ángulo de depresión  y media hora más tarde se observa en la misma dirección al
12
15
barco con un ángulo de depresión  . Si sen 
y cos  
, determine la
13
17
rapidez del barco en km/h
A) 5,60 km/h
D) 9,00 km/h
B) 7,00 km/h
E) 1,12 km/h
C) 7,50 km/h
Solución:
15
15 300
 tg 

 a  160
17
8
a
12
5 300
Si cos  
 tg 

 b  720
13
12
b
e 720  160 560m
v 

t
0,5h
0,5h
km
v  1,12
h
Si sen 
Rpta. : E
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
486
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-I
En la figura, una persona de altura h ubicada en el punto P observa los puntos A y C
con ángulos de depresión  y  respectivamente, luego observa el punto B con
ángulo de elevación , calcule tg x
A)
1  ctg tg
ctg  ctg
B)
tg  tg
ctg  ctg
C) ctg  ctg  tg 
D)
ctg  tg
ctg  ctg
E) tg  tg  ctg 
Solución:
PE  h  PA  hctg 
EHC : HC  h ; HE  hctg 
AC  h  ctg   ctg 
EHB :
HB  hctg  tg
BC  h 1  ctg  tg  
tg x 
BC 1  ctg  tg 

AC ctg   ctg 
Rpta.: A
4.
En el triángulo ABC, AC=BD. Si 2sen7 cos3  sen10  sen4 , halle el valor de 
A) 10º
B) 30º
C) 50º
D) 18º
E) 36º
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
487
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
c
b

sen6 sen3
b
c
ABC :

o
sen(180  7) sen4
b sen3 sen7
 

c sen6 sen4
sen3sen4  sen7sen6
sen3sen4  sen7s(2sen3 cos3)
sen4  2sen7scos3  sen10  sen4
sen10  0  10  180o    18o
ABD :
Rpta: D
5.
Determinar la altura de un acantilado sabiendo que desde un punto en el plano de la
base se ve la parte mas alta con un ángulo de elevación de 45º y a 30m más cerca
de la base, el ángulo de observación es 60º
A) (45  15 3)m
B) (15  2 3)m
D) (20  15 3)m
E) (25  3)m
C) (45  20 3)m
Solución:
h
h
 3 x
x
3
h
tg45o 
 1  h  x  30
x  30
1
h
)  30
h
 30  h(1 
3
3
30 3 3  1
h
(
)  45  15 3
3 1 3 1
tg60o 
Rpta.: A
6.
En el triángulo ABC AB=cu, BC=au, CA=bu. Hallar el valor de la expresión
a3bcosC  b4  a3c cosB
c 2  2abcosC
A) a2  b3
Semana Nº 12
B) a2  b3
C) a2  b2
D) a3  b3
(Prohibida su reproducción y venta)
E) a2  b3
488
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I

Solución:
a3bcosC  b4  a3c cosB a3 (bcosC  c cosB)  b4

c 2  2abcosC
c 2  2abcosC
Ley de cosenos: c 2  a2  b2  2abcosC y ley de proyecciones a  bcosC  c cosB
a4  b4 (a2  b2 )(a2  b2 )
E 2

 a2  b2
a  b2
a2  b2
Rpta.: C
E
7.
Una antena de telefonía celular de 20 m se instala en la meseta de una montaña.
Después de una semana de vientos muy fuertes, esta sufre una inclinación como se
aprecia en la figura, de tal manera que AD//BC y BC  10 m. Si desde la base técnica
ubicada en A, se divisa el punto más alto de la antena con un ángulo de elevación
de 60°, halle el valor de ( 13  1)csc  , donde
es el ángulo de inclinación de la
antena, respecto del horizonte.
A) 2
B) 8
C) 4
D) 6
E) 7
Solución:
1
202  102  4h2  2(10)(2h)( )
2
2
4h  20h  (30)(10)  0  h2  5h  3(25)  0
5
5
 (h  )2  ( )2  3(25)  0
2
2
5 2
13
5
(h  )  25( )  h  ( 13  1)
2
4
2
20
20
8
csc  


5
h
( 13  1) ( 13  1)
2
E=( 13  1)csc   8
Rpta.: B
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
489
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
En el triángulo ABD halle el valor de: E  9
Ciclo 2019-I
Sen
; si AB=5cm, BD=3cm, AC=3cm,
Sen
CD=4cm
A) 10
B) 30
C) 45
D) 20
E) 40
Solución:
Ley de senos
3
5
5
 sen  sen
ABC :

3
sen sen
4
3
3
 sen  sen
CBD :

4
sen sen
o
     180
 sen  sen(180o   )  sen
5
3
sen
 sen  sen  E  9
 20
3
4
sen
Rpta.: D
9.
En un triángulo ABC, se cumple que (a  b  c)(b  c  a)  3bc . Calcule la medida del
ángulo “A”.
A) 45º
B) 60º
C) 150º
D) 75º
E) 15º
Solución:
De la condición: ([b  c]  a)([b  c]  a)  3bc
 [b  c]2  a2  3bc  b2  2bc  c 2  a2  3bc
 b2  c 2  a2  bc
Ley de cosenos
a2  b2  c 2  2bc cos A
 2bc cos A  b2  c 2  a2  bc
1
cos A   A  60o
2
Rpta.: B
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
490
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
10. Considerando el triángulo ABC de la figura, determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones
i) tg(A  B)  tgC
ii) sen(B  C)  senA
iii) Si c  3cm, a  5cm, b  9cm entonces el triángulo no existe
A) VVV
D) VFV
B) FFF
E) FVF
C) FFV
Solución:
A  B  C  180o
i) tg(A  B)  tg(180o  C)  tgC
ii) sen(B  C)  sen(180o  A)  senA
iii) El triángulo existe si a  c  b  a  c
2  b  8 , el triángulo no existe
F
F
V
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En el triángulo ABC, AB=5 cm y BC = 4cm. Halle el área de la región sombreada
ACD
A) 152,5 cm2
B) 122,5 cm2
C) 125,5 cm2
D) 112,5 cm2
E) 102,5 cm2
Solución:
DB
5

sen(45  ) sen(45  )
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
491
Pág.
69
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
1
1
cos  
sen )
(cos   sen )
2
2
5
1
1
cos   sen
(
cos  
sen )
2
2
5
4

)
41
41  45
5
4

)
41
41
45(5) 4(5) 205


 102,5cm2
2
2
2
5(
 DB 
(
DB  5
(
SACD 
Rpta.: E
2.
Los rayos del sol hacen un ángulo de 23º con la horizontal, cual es longitud de la
sombra que proyecta un árbol de 20 pies de altura?
A) 20ctg23o
B) 10ctg23o
C) 23ctg20o
D) 20ctg46o
E) 5ctg23o
Solución:
tg23o 
AC 20
 x  20ctg23o

BC
x
Rpta.: A
3.
En el triángulo ABC. Determine el valor de la expresión
17(sen  cos )
A) 1
B) 5
C) 3
D) 2
E) 4
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
492
Pág.
70
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
2
3


sen sen(45o  )
sen 
1
17
y cos  
2(
4
17
1
2
cos  
 E  17(
1
2
sen)  3sen  ctg  4
1
17

4
17
)5
Rpta.: B
4.
En el triángulo ABC, el lado AB=17 cm, BC=15 cm. Si E 
tg  tg
, halle el valor de
tg  tg
R  15E
A) 10
B) 15
C) 16
D) 20
E) 17
Solución:
17
15

sen(  ) sen(  )
 17(sen cos   cos sen)  15(sen cos   cos sen)
2sen cos   32cos sen 
tg  tg 16  1 17
tg


 15E  17
 16 
tg  tg 16  1 15
tg
Rpta.: E
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
493
Pág.
71
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-I
Desde la parte más alta de su casa Ángel observa a un ave reposando sobre un
poste de alumbrado con un ángulo de elevación de 40° a una distancia de 30
metros, desde el mismo punto observa también a un auto estacionado con un ángulo
de depresión de 20° a una distancia de 40 metros. Calcule la distancia entre el ave y
el auto, si Ángel, el ave y el auto se encuentran en un mismo plano.
A) 10 13 m
B) 91 10 m
C) 91 5 m
D) 13 10 m
E) 5 31 m
Solución:
Ley de cosenos
d2  302  402  2(30)(40)cos60o
 1300
d  1300  10 13
Rpta.: A
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
494
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Un trapecista quiere saber cuántos metros de cuerda necesita como mínimo para
sujetarlo de sus extremos en los puntos A y B de los hoteles mostrados en la figura.
Para ello, desde el punto P que está a un metro de altura del suelo, observa con un
ángulo de elevación de 45º al punto A y al punto B con 75º. Hallar la longitud de la
cuerda.
A) 20 13 m
B) 28 13 m
C) 40 13 m
D) 45 13 m
E) 50 13 m
Solución:
De la figura
ANP: AP  40
PMB: BM  10( 6  2 )ctg15o
6 2
6 2
BM  10( 6  2) ; PB  160m
BM  10( 6  2 )
L2  402  1602  2(40)(160) cos 60o
L  40 13m
Rpta.: B
2.
Dos antenas de radio tiene alturas de 45 m y 55 m, respectivamente, y la recta que
une sus puntos más altos, forma un ángulo de 30° con la horizontal. Halle la
distancia que separa a ambas antenas.
A) 14 3 m
Semana Nº 12
B) 10 3 m
C) 5 3 m
D) 15 3 m
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 12 3 m
495
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
OP  45ctg30o  45 3
OQ  55ctg30o  55 3
OQ  OP  10 3 m
Rpta.: B
3.
 A C
En la figura, a > c. Si 2a2 + 5c2 = 11ac, calcule tg 
.
 2 
A)
3 3
2
C) 3 +
E)
3
2(2  3 )
3
2 3
D)
3
B)
2 3
3
Solución:
2a2  11ac  5c 2  0  (2a  c)(a  5c)  0 ; c  2a  a  5c
 A  C
 A  C
tg 
 tg 

2 
2  a  c 4c 2
 A  C  2(2  3 )





 ;  tg 


tg75
a  c 6c 3
2 
3
 A  C

tg 

 2 
Rpta.: B
4.
En una base militar, sobre su espacio aéreo, se detecta un avión desconocido en la
dirección NO a una distancia de 5 km respecto del centro de control; después de
dos minutos, nuevamente el avión es detectado en la dirección EN a una distancia
7
7 km respecto al centro de control. Si csc   5 y sec   , determine la rapidez
5
del avión que se desplaza en línea recta horizontal, con velocidad constante.
A) 180 km/h
Semana Nº 12
B) 150 km/h
C) 120 km/h
D) 100 km/h
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 200 km/h
496
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Ley de proyecciones
AB  5 cos(90o  )  7 cos
AB  5sen  7 cos 
Del dato: csc   5 y sec 
7
5
1
5
AB  5( )  7( )  6 km ; AB  vt
5
7
AB
6km
km

 180
 v
h
t
h
2 min
60 min
Rpta.: A
5.
Desde la azotea de un edificio de 150m de altura, se observa un avión en la
dirección N25o O con un ángulo de elevación  y que se encuentra a 750 m respecto
del suelo; también un automóvil en la dirección N65o E , con un ángulo de depresión
5
5
y tg  . Determine la distancia que separa al avión del automóvil
 , si tg 
12
4
en el instante de la observación.
A) 150 41 m
B) 150 41 m
D) 200 5 m
E) 1200 m
C) 900 m
Solución:
De la figura
DMC : MC  150ctg  150(
12
)  360m
5
DQA :
4
DQ  MP  600ctg  600( )  480m
5
PMC recto en M: (PC)2  (MP )2  (MC )2
(PC)  4802  3602  600
APC, recto en C: x 2  (PA ))2  (PC)2
=> x  (750) )2  (600)2
x  150 41m
Rpta.: A
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
497
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2018-II
Desde el punto más alto de un edificio de 50 m de altura se observa un automóvil
con un ángulo de depresión de 30º cuando está pasando por el punto A y, luego de
( 3  1) minutos, se observa el mismo automóvil con un ángulo de depresión de 15º
cuando pasa por el punto B. Si el automóvil viaja con rapidez constante, ¿cuál es su
valor expresado en m/min.?
A) 100
m
min
m
min
m
C) 100( 3  1)
min
m
D) 50( 3  1)
min
m
E) 50 3
min
B) 100( 3  1)
Solución:
tg30o 
1
3
; tg15o 
1
2 3
ADC
AD  50ctg30o  50 3
CDB
DB  50ctg15o ; DB  50(2  3)
AB  AD  DB  100( 3  1)
AB  vt  v 
AB 100( 3  1)m
m

 100
t
min
( 3  1)min
Rpta.: A
7.
En un partido de fútbol, la calificación de los pases realizados se mide por
Q  13sec  expresado en porcentaje. La trayectoria que sigue la pelota se inicia en
el punto A, llega al punto B y termina en el punto C. Si se considera la menor
abertura entre dos lados del triángulo formado por los puntos A, B y C para la
trayectoria, donde AB = 3 m, BC = 5 m, y la distancia entre el punto inicial y final es
7 m, ¿cuánto le falta a la calificación para alcanzar valor ideal?
A) 68%
B) 14%
C) 86%
D) 41%
E) 32%
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
498
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Ley de Cosenos: 3 2  5 2  7 2  2(5)(7) cos  => cos  
La calificación de los pases es: Q  13 sec  14%
La calificación ideal es 100%; Si F es lo que falta
F  100%  14%  86%
13
14
Rpta.: C
8.
Una silla plegadiza tiene las patas formando ángulos como los que se muestran en
la figura. ¿A qué distancia x en pulgadas, medido desde un extremo del asiento
debe estar el cruce de las patas (barras metálicas), y cuál es el valor aproximado del

4
ángulo  ? , si ABCD es un rectángulo, sen 
. Usar sen53o  0,789  0,8
2
80
A) 10,50 pulg.; 75o
B) 10,62 pulg.; 74o
C) 10,65 pulg. ; 74o
D) 10,49 pulg. ; 75o
E) 10,26 pulg. ; 75o
Solución:
sen

4
4
 sen  ;

5
2
80
  90o  
Ley de proyecciones
(2x)cos(90o  )  17
x
17
17

 10,625
2sen 2(4 / 5)
  180o  2(53o )  73,74o
Rpta.: B
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
499
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2018-II
Con frecuencia los topógrafos se enfrentan a obstáculos, como los árboles, cuando
miden los límites de un terreno. Una técnica para obtener una medición precisa es el
llamado método de triangulación. Consiste en construir un triángulo alrededor del
obstáculo y medir uno de sus ángulos y dos de sus lados. Determine la longitud de
1
la línea de frontera AB . Si se conoce que cos2   cos    . (dato: 183  13,52 )
4
A) 45, 52 pies
B) 42,25 pies
C) 45,25 pies
D) 42,52 pies
E) 44,55 pies
Solución:
cos2   cos  
1
1
 0  (cos   )2  0    60o
2
4
Ley de cosenos
x2  132  142  2(13)(14)cos   x  132  142  2(13)(14)(1/ 2)  13,52
AB  13,52  14  18  45,52
Rpta.: A
10. El asta de una bandera tiene una posición vertical en una ladera que hace un ángulo
de 30° con la horizontal, tiene unidos dos alambres de apoyo que lo sostienen, como
lo muestra la figura. Si a  15pies , calcule la suma de los cuadrados de los números
que determinan las medidas de las longitudes de los alambres.
A) 1508 pies2
B) 1890 pies2
C) 1908 pies2
D) 2008 pies2
E) 2250 pies2
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
500
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Ley de Cosenos
c 2  152  302  2(15)(30)cos60o  675
d2  152  302  2(15)(30)cos(90o  30o )  1575
k  c 2  d2  2250
Rpta.: E
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Una bandera en un asta de 8 pies está montada sobre el edificio a un ángulo  ,
como se muestra en la figura. Determine la longitud del soporte, si   135o , y
  2 .
A) 3 8 pies
B) 6 2 pies
C) 2 8 pies
D) 2 3 pies
E) 8 2 pies
Solución:
135o      180o , con   2    30o
Ley de senos: SI x es la longitud del soporte
8sen(90  45o )
x
8
 x
 16cos 45  8 2

1/ 2
sen135 sen30o
Rpta.: E
2.
Un árbol creció inclinado con un ángulo de   15o desde la vertical. Desde un punto
a 7 metros de la parte inferior del árbol, el ángulo de elevación a la parte más alta

1
es  , si tg 
y h es la altura del árbol, calcule el valor de R  6h .
2 1 2
A) 21  7 3
B) 7  21 3
C) 21  3 7
D) 7  3 21
E) 22  7 3
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
501
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
tg 
1
1 2
;   45o
 ABC Ley de senos
7
AB
BC


o
o
sen60
sen45
sen75o
7sen45o 7 6
AB 

sen60o
3
h  ABsen75o 
7 6
3
6 2
; R  6h  21 7 3
4
Rpta.: A
3.
Un peso está soportado por cables unidos a ambos extremos de una barra de
balance, como se muestra en la figura. Cual es valor de 36cos   48cos  .
A) 71
B) 74
C) 72
D) 75
E) 73
Solución:
Ley de cosenos
602  452  902  2(45)(90)cos   cos  
602  452  902
29
29
; cos  

2(45)(90)
36
36
452  902  602
43
43
45  90  60  2(60)(90)cos   cos  

; cos  
48
2(60)(90)
48
2
2
2
R  36cos   48cos   29  43  72
Rpta.: C
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
502
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2018-II
Desde un avión que sobrevuela el océano, el ángulo de depresión a un submarino
es  . En ese mismo momento, el ángulo de depresión desde el avión a un buque es
 . Como se muestra en la figura La distancia desde el avión al buque es de 5120
pies. Determine la distancia entre el buque y el submarino. Asumir que el avión, el
1
submarino y el buque están en un plano vertical. Si sen cos    cos sen , y
2
cos   1/ 2
A) 2065 2 pies
B) 2506 2 pies
C) 2605 2 pies
D) 2560 2 pies
E) 2650 2 pies
Solución:
sen cos   cos sen 
1
1
; sen(  ) 
2
2
De cos   1/ 2    45o
Ley de senos
x
5120
x
5120



sen(  ) sen(180  )
sen(  ) sen
 x
5120(1/ 2)
1/ 2
 2560 2 pies
Rpta.: D
5.
Dos estaciones de policía están en una recta este-oeste separadas una distancia de
110 km. Un incendio forestal está ubicado en un rumbo de N30°E desde la estación
occidental en A y en un rumbo de N15°E desde la estación oriental en B. ¿A qué
distancia de la estación occidental se localiza el incendio?
A) 55(4  3) km
B) 55(2  3) km
C) 55(2  3) km
D) 55(4  3) km
E) 4(55  3) km
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
503
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
  300 ;   15o ; ctg15o 
6 2
6 2
Ley de senos: ABC ;
110(cos15o )
b
110

b

 110 tg15o  55(4  3)

sen15o
sen(90o  15o ) sen15o
Rpta.: D
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
504
Pág.
72
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
13
semana
505
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I
LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Y SUS ELEMENTOS
Es una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 1. Sirve para
representar las líneas trigonométricas.
Observación:
La ecuación canónica de la circunferencia de radio 1 es C: x2 + y2 = 1.
En la circunferencia trigonométrica se distingue los siguientes elementos:
1)
O(0,0), origen de la circunferencia
2)
A(1,0), origen de arcos
3)
B(0,1), origen de complementos
4)
A(– 1,0), origen de suplementos
5)
B(0,– 1), no tiene denominación específica
6)
P(x,y), extremo del arco AP de medida 
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
506
Pág.
49
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
I.
Línea seno
Es la ordenada del punto extremo del arco.
Análisis de la línea seno
– 1  sen  1
II.
Línea coseno
Es la abscisa del punto extremo del arco.
Análisis de la línea coseno
– 1  cos  1
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
507
Pág.
50
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
En la figura, se muestra una rampa para practicar skateboard (deporte sobre una
tabla con ruedas). Dicha rampa está formada por un arco de sector circular de radio
1 dam, halle la suma de coordenadas del punto T.
A) tan
B) cot
C) 2 + cot
D) 1 + tan
Solución:
T(x;y) coordenadas de T
De la figura y siendo  ángulo agudo
y  1
x  1  cot 
x  y  cot 
Rpta.: B
2.
Una partícula P sigue una trayectoria circular como se muestra en la figura, si partió
2
desde el origen de arcos con una rapidez constante de
unidades por segundo,
3
halle la suma de las coordenadas de P cuando han transcurrido los primeros 5
segundos.
A) 1  3
B) 1  3
1
2
C)  
D)
3
2
1
3

2 2
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
508
Pág.
61
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Y
Como E  v  T
10
rad
3
10
10 

Coordenada de P  cos
,sen
3
3 


4 
4  
4
4 



P  cos  2 
,sen  2 
  P  cos ,sen 


3 
3 
3
3 




 E  2 rad / seg  5 seg  E 
A
O
X
P
 1
3
1
3
P  ,
  Suma S   
 2
2 
2 2

Rpta.: C
3.
En la figura,
C
es la circunferencia trigonométrica. Si el área de la región
3

sombreada es  cos  u2 , determine 2cos(2).
4

A) 1
B) – 1
C)
1
2
D)
1
3
Solución:
De la figura tenemos
3
3
 1  sen 
cos   1  sen 
 4 cos  
2
2


1
 sen      30  2cos 2  1
2
Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
509
Pág.
62
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2020-I
En la figura, se muestra la vista frontal de un túnel, cuyo interior tiene forma de una
semicircunferencia de diámetro 2 dam. Para el mantenimiento de dicho túnel, se
colocan los soportes metálicos MP, MN y NQ, halle el área máxima (siendo esta un
número entero) del rectángulo MPQN.
A) 99 m2
B) 89 m2
C) 100 m2
D) 79 m2
Solución:
De la figura tenemos lo siguiente:
MP  sen2  PQ  2cos 2
S  2sen2 cos 2  sen4
figura
90  2  180
'0  sen4  1  0  S  100 m2
El mayor valor entero de S es 99 metros cuadrados.
Rpta.: A
5.
Se desea construir un corral en forma de trapecio MCDN de tal manera que
MC + ND = CD y C es la circunferencia trigonométrica, halle la relación entre
 y  para dichos requerimientos.
A)     270 
B)     240 
C)     260 
D)   90  
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
510
Pág.
63
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
ND  MC sen  sen

CD
cos   cos 


2sen 
cos 


ND  MC
 2 
 2 

CD


2sen 
sen 


 2 
 2 
ND  MC

 ctg 
 1
CD
 2 

 135      270
2
Rpta.: C
6.
La aplicación “Perú en tus manos” nos muestra las posibles zonas afectadas por el
Covid19 en un radio de 1 km de cierto distrito limeño (figura adjunta). Si el área de la
región sombreada representa una zona de riesgo muy alta, y siendo O el centro de
la circunferencia con 5OP = 4OA, halle el área de dicha zona de riesgo.
A)
2
 sen  sen  km2
5
B)
4
 sen  sen  km2
5
2
C)  sen  sen  km
D)
2
 sen  sen  km2
5
Solución:
Notemos del gráfico que
A
OQP
A
OQP
1 4 
   sen
25
1 4 
    sen
25
Luego, A TOTAL 
2
 sen  sen 
5
Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
511
Pág.
64
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2020-I
Un ingeniero construye una región triangular B´MT (observa la figura adjunta) de tal
manera que B’M = tan15 km, donde C es una circunferencia de radio 1 km
centrada en O; determine el valor de  que satisfaga los requerimientos de dicho
ingeniero.
A)

rad
4
B)

rad
3
C)

rad
6
D)

rad
12
Solución:
Sea B'S  1  sen y
B'M  cos2   1  sen 
2
B'M  2  2sen
2
2
tan15  2  2sen
2  3  2  2sen
sen 

3
2

rad
3
Rpta.: B
8.
En la figura, C es una circunferencia de 2 km de radio centrada en O. Determine el
área de la región sombreada, sabiendo que el arco  parte desde el punto (0;–2).
y
A) 2 km2
B) (3tan) km2
C) (sencos) km2
D) (2cot) km2
Semana Nº 13
x
o

(Prohibida su reproducción y venta)
512
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Al hacer 1u = 2 km, podemos considerar
C
como un C.T.
1) De la figura :
y
    90      90
2) tan   tan    90 
tg 
tan    tan  90   
1u
x
o
tan    cot 
tg 

3) Area sombreada 

  tan  1 u2

2
cot  2
u  2cot  Km2
2
Rpta.: D
9.
La utilidad diaria de la microempresa POLPERÚ que produce y vende polos está
  5 
modelado por U(x)  4 tg  2 cos x  miles de soles, donde x   ,  representa
 4

4 4 


los polos (en cientos de unidades aproximadamente) que se producen y venden al
día. Halle la máxima utilidad diaria de dicha microempresa.
A) 4 mil soles
B) 5 mil soles
C) 6 mil soles
D) 7 mil soles
Solución:

5
x
Como
4
4
1
 1  cosx 
2

2
2

cosx 
4
4
4

 2

2 
 tg  
 tg 
cosx   1


 4

4 




 2

2 
 4tg  
 4tg 
cosx   4


 4

4 



 Um á x  4.

Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
513
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
10. Un agricultor tiene un terreno de forma circular de radio 1u representado en la figura.
Si en la región triangular OAB construye un establo para sus caballos, donde B es
punto de trisección de AP, halle el área de dicho establo.
A)
1
sen u2
6
B)
1
cos  u2
2
C)
1
sen u2
3
D)
1
cos  u2
6
Solución:
Sean

 x,y  las coordenadas de B .
1 x
1
2  cos 

; x
1  cos x 3
3
Además
Luego A
y
1
1

; y  sen
sen 3
3
OBA

1
sen u2 .
6
Rpta.: A
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. cos4 < cos5
II. sen1 > sen4
III. cos5 < sen5
A) VVV
Semana Nº 13
B) VFF
C) VFV
(Prohibida su reproducción y venta)
D) VVF
514
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
4  IIIC y 5  IVC
cos4  cos5
1 IC y 4  IIIC
sen1  sen4
5  IVC
cos5 > sen5
I) V
II) V
III) F
Rpta.: D
2.
  
4
5
2
, si a es el máximo valor de E  2  senx  cos x  ,
 4x 

5
3
 3a 
Halle tan 
A) 2  3
B)
2
C) 1
D) 2  3
Solución:
E  2 1  sen2x   2  2sen4x
2
5
 2x 
5
6
Observando la CT tenemos
1
escribir  sen2x  1
2
Entonces, 3  E  4
Luego, el valor máximo de E es 4.
Como
 
 
 tan    2  3

 3a 
 12 
Entonces, tan 
Rpta.: D
3.
En una plaza circular de radio 1 dam se va habilitar un área de recreación para niños
(región sombreada) y siendo C la circunferencia trigonométrica, halle el área
destinada para tal fin.
A)
1
(  2sen   2cos ) dam2
4
2
B)    2sen  2cos  dam
C)
1
   2sen  2cos  dam2
2
D)
1
   2sen  2cos  dam2
8
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
515
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
 cos  2
u,
2
sen 2
S2 
u y
2

S3  u2
4
S1 
S  S1  S2  S3 
1
   2sen  2cos  
4
Rpta.: A
4.
Un arquitecto desea hallar el valor de  de tal manera que el área de la región
tan60 2
sombreada (en la figura) sea
u y C es una circunferencia trigonométrica,
2
halle dicho ángulo.
A) 150°
B) 135°
C) 125°
D) 120°
Solución:
Sea
A SOM  sen
3
2
Entonces
sen 
Luego
 = 120°
Rpta.: D
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
516
Pág.
69
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2020-I
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si el área de la región
sombreada es M u2, calcule 2M + sen.
A) 1 + cos
B) 1 – cos
C) (2sen)
D) 2cos
Solución:
Sea ASOMBREADA  ACUADRILÁTERO PCOB  A
A SOMBREADA  A
A SOMBREADA 
POB
 A
1  cos  
2

POC
11
2
 A

BCO
BCO
1 sen
2
1  cos   sen
 M
2
2M  sen  1  cos 

Rpta.: B
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
517
Pág.
70
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica, si el área de la región sombreada
es
3 2
u , halle el valor del ángulo θ .
4
A)
11
12
B)
5
6
C)
3
4
D)
2
3
Solución:
sen
3
S AOD 

2
4
3
2
 sen 

2
3
Rpta.: D
2.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. El área de la región sombreada es
1 S
.
Su2 , determine
2
A) sen
B) cos

2
C) cos2

2
D) sen2

2
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
518
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Se tiene que S1  S2 
cos  2
u
2
Así el área de la región sombreada es:
S  S1  S2  cos u2
1 S

 sen2 .
2
2
Rpta.: D
3.
En la figura, se muestra un aro de radio 1 m, si el aro se desplaza una distancia de
R m, determine la diferencia de alturas a la que se encuentran los puntos P y Q
respectivamente.
A) sen R   sen R  b m
B) sen R   sen R  b  m
C) sen R   sen R  b  m
D) sen R   sen R  b  m
Solución:
Del enunciado:
R  recorrido  1 
Semana Nº 13
recorrido  R
(Prohibida su reproducción y venta)
519
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Las alturas de P y Q, sin importar el cuadrante son
Ciclo 2019-II
1 senR m
y
1  sen R  b  m respectivamente.
 La diferencia de alturas es sen R   sen R  b m
Rpta.: A
4.
En la figura, En la circunferencia trigonométrica C mostrada, si P es el perímetro del
triángulo BHC, hallar P – sena + cosa – 1.
A)
a
a

2  sen  cos 
2
2


B) 2  sen

a
a
 cos 
2
2
a
a
cos
2
2
C)
2 sen
D)
2 sena cos a
Solución:
En el BCH
HC = – cosa
BH = 1 + sena
BC  (1  sena )2  cos2 a
 2 1  sena
a
a

 2  sen  cos 
2
2

 2 sen
2
a
a
 cos ,
2
2
a
a
a
a

 BC  2  sen  cos  ; cos  sen
2
2
2
2

Perímetro
a
a

P   cos a  1  sena  2  sen  cos 
2
2

a
a

 P  sena  cos a  1  2  sen  cos 
2
2

Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
520
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-II
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si el área de la región triangular
MPL es 0,5u2 ,halle 6
A) 
B) 5
C) 2
D) 3
Solución:
Como OPH  OSL

y
PH  SL  cos(90  )
h
 sen
P
 sen
h

90°+ 
O
Áreas :
Como A MPL  A OPM  A OML
 AMPL
H
1
1
 OM  h  OM  h
2
2
1
1
 (1) sen  (1) sen
2
2
1

 sen      6  
2
6
S
M
x
h
L
Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
521
Pág.
69
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2019-II
En la En un laboratorio biológico se analizó durante una semana el comportamiento
de un caracol moro dentro de una incubadora circular de radio 1m. Si dicho caracol
partió desde M y recorrió el borde en sentido anti horario llegando hasta N (tal como
muestra la figura). Halle la suma de las coordenadas del punto N.
A) sen  cos 
B) cos   sen
C) sen2
D) 2sen2
Solución:
Del gráfico:
1ro Parametrizamos en M
2do Reflexión respecto Y
3ro Reflexión respecto a X
4to Rotación
N  (sen,  cos )
 Suma de coordenadas: sen  cos  .
Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
522
Pág.
70
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2019-II
Una partícula P se desplaza sobre esa circunferencia de radio 1u y cuyo centro tiene
coordenadas O (0.0), en sentido horario y con velocidad constante, da 4 vueltas por
segundo. Si en el instante t = 0 la partícula se encuentra en el punto A (1,0), en un
instante t cualquiera, halle la distancia de la partícula con respecto al punto A.
A)
2(1  cos(8t)
B)
(1  cos(4t)
C)
2(1  cos(4t)
D)
2(1  cos(4t)
Solución:
Es claro que es una circunferencia trigonométrica, así para la partícula P en un
instante “t” genera un ángulo en sentido horario  tiene las siguientes coordenadas:
Q(cos ,sen ) … (1)
Veamos la siguiente relación:
Como es el primer día de observación, entonces
t seg. 

,
1 seg.   8
Así
  8t De (1) tenemos
Así,
Q  cos  8t  ,sen  8t    Q  cos  8t  ,  sen  8t  
Luego d  dist(A,Q)

d
 cos(8t)  1
Por tanto, la distancia de P en el instante “t” es
2
  sen(8t)  0 
2
2(1  cos(8t) .
Rpta.: A
8.
Dos atletas que participaron en los Juegos Panamericanos Lima 2019 están sobre
una pista circular cuyo radio mide 1hm. Si ambos atletas parten del punto A en sentido
horario y después de un tiempo el atleta más rápido ha recorrido un arco 2 llegando
al punto Q, mientras que el más lento llegó al punto B |. Halle la distancia final entre
ambos atletas.
A)
2 1  cos2  hm
B)
2 1  sen2  hm
C)
2 1  cos2  hm
D)
2 1  sen2  hm
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
523
Pág.
71
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Sea d la distancia final entre ambos atletas.
y
 2  IIC
Teorema de Pitágoras
cos2
Q
d2  1  sen2    cos 2 
2
2
d  1  sen2     cos 2 
2
2
2
2
sen2
x
O
d
1
d2  1  2sen2  sen2 2  cos2 2
B
d2  2 1  sen2 
d  2 1  sen2  hm.
Rpta.: D
9.
Halle el mayor valor de la expresión 4  senx  cos x   4;
2
B) 3
A) 2
C) 4

5
.
x
5
12
D) 1
Solución:
Sea A  4 1  sen2x   4  4sen2x
Como

5
x
5
12

2
5
 2x 
5
6
Observando la CT podemos escribir
1
 sen2x  1
2
Entonces 2  A  4
Luego el valor máximo de A es 4.
Rpta.: C
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
524
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
 db
10. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si 
  1 , halle el valor
ac 
de a .
A) 
B)

4

4
C) 

6
D) 

3
Solución:
Del gráfico
2sena
 db
 a  c    2cos a  1



tga  1  a  
4
Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
525
Pág.
73
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si   a 
de
MC  ND
.
CD
A)
1
2
3
, determine el valor
2
B) 2
C) 1
D)
1
4
Solución:
ND  MC sen  sena

CD
cos   cos a
a
a
2sen 
cos 


ND  MC
 2 
 2 

CD
a
a
2sen 
sen 


 2 
 2 
 270 
 (  a ) 
ND  MC
 ctg 
 1
CD
 2 


  ctg(135)  1
Rpta.: C
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
526
Pág.
74
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2019-II
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica, determine el perímetro de la región
sombreada.
A) 2sen 1 sen  cos  u
B) 2 1  sen  cos  u
C)
sen2
u
2
D)
1  cos2
u
2
Solución:
Así el perímetro de la región sombreada es:
2sen  sen2  1  cos 2
 2sen  2sen  sen  cos  
 2sen 1  sen  cos  
Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
527
Pág.
75
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-II
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si el área de la región sombreada
Su2 y 2S.csc 2
es
A)
2
3
B)
5
6
C)
11
12
D)
3
4
a

 sen , halle el valor de a .
2
2
Solución:
1
1  cos a  sena
2
1
a
S   2sen2  sena
2
2
a
1
S.csc 2  sena 
2
2
S
a
5
6
Rpta.: B
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
528
Pág.
76
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-II
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si 3BE  4CD , calcule el área del
trapecio ABCO, donde 2tga  a.
A) (a  3)
a 2
u
6
B) (a  1)
a 2
u
2
C) ( 2a  1)
a 2
u
4
D) (a  1) a u2
Solución:
DC  tga  BE 
S
4
2a
a
tga 
y CD=
3
3
2
1  2a
a
a
 1  1  (a  3) u2

2 3
6
2
Rpta.: A
5.
3
,  , hallar el menor valor entero de 3  sen  cos  .
4
Si  
A) 4
B) 2
C) 3
D) 5
Solución:
A  3  sen  cos  


 3 2sen    
4

Como
Semana Nº 13
3

 3
     
4
2
4 4
(Prohibida su reproducción y venta)
529
Pág.
77
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Entonces
2


<sen      1
2
4

1
2

2

<
sen     
3
2
2
4
2



2sen      3 2
4

Menor valor entero es 4
Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
530
Pág.
78
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Halle el área de la región
triangular APQ.
1
1

sen  sen2  u2

2
2

A)
B)  sen  sen2 u2
C)
1
sen2 u2
2
D) 2sen2 u2
E) sen2 u2
Solución:
PQ  sen, OQ   cos , QA  1 cos 
1
Área RS   AQ.QP
2
1
1
 1  cos   .sen   sen  sen.cos  
2
2

1
2
1
 1

sen  sen.cos     sen  sen2  u2

2
2
2
 2

Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
531
Pág.
65
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2019-I
En la figura C es la circunferencia trigonométrica. Halle el área de la región
sombreada.
A)
3 2
u
3
B)
2 2
u
2
C)
3 2
u
2
D)
3 u2
E)
3 2
u
4
Solución:



Las coordenadas del punto P son  cos ,sen 
6
6

 3
 3 1
 3
P 
,  ; luego, RS  2  OS   2 
 2 
 2 2




Como el cuadrilátero RSPQ es un rectángulo, el área de la región sombreada es
1
3 2
3. 
u
2
2
Rpta.: C
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
532
Pág.
66
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-I
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica, halle el área de la región BDOC.
3
A)  sen u2
2
B) 3sen2 u2
C)
3
sen2 u2
2
D)
3
sen2 u2
4
3
E)  sen u2
4
Solución:
1
 sen  2sen   cos  
2
3
A  sen2
4
A
Rpta.: D
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
533
Pág.
67
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-I
En una plaza de forma circular de radio 1 dam, se realiza un evento cada año. Para
ello, se ubica un espacio para el público (ver figura). Determine el área de la tribuna.
A) sen cos  dam2
1
B)  sen cos  dam2
2
C) sen2 dam2
D) 2sen2 dam2
1
E)  sen sec  dam2
2
Solución:
Los puntos son
B  0,1, C  cos ,sen y D cos ,  sen 
Entonces
A BCD
ABCD
0
1
sen
1 cos 

2 cos  -sen
0
1
1
  2sen cos    sen cos 
2
Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
534
Pág.
68
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-I
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Halle el área de la región
sombreada.
1

A)  sen2  u2
7

B)  sen2  u2
1

C)  sen3  u2
4

 1

D)   sen2  u2
 4

1

E)  sen2  u2
3

Solución:
El arco AM corresponde al número real      , luego
OC  cos     
CM  sen     
1
cos      sen     
2
1
   cos   sen 
2
1
  sen cos 
2
1
  2sen cos 
4
 1

Área    sen2  u2
 4

Área RS  
Rpta.: D
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
535
Pág.
69
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2019-I
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Halle el área de la región
sombreada.
A)
2 2  3 u
B)
 3
C)
 2 9 u
D)
 2
E)
2
2 u2
2
2 u2
 2 3 u
2
Solución:
Área(RS)=Área(AOP)+Área(POB)…(I)
2
5
2
 5 
, OM  sen

 PE
PM   cos   
4
2
 4  2
1
2
2
1. 
II
2
2
4
1
2
2
Área POB   1 .

III
2
2
4
 Área  AOP  
Llevando (II) y (III) en (I): Área RS  
2
2
2 2


u
4
4
2
Rpta.: D
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
536
Pág.
70
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2019-I
Si el área de la región sombreada es S u2 , halle el valor de S.csc  (C es la
circunferencia trigonométrica).
A)
1
3
B)
1
2
C)
1
4
D)
1
5
E)
1
6
Solución:
AM  tg, PD   cos 
AB OB
2
1
1



 OC   tg
ABM  OBC , luego
AM OC
tg OC
2
1
1 1

1

 Área de la RS  .OC.PD    tg    cos     tg.cos   u2
2
2 2

4

S
1
1 sen
1
Por consiguiente, S  4 tg.cos   4 cos  .cos   4 sen .
1
1.
Finalmente S.csc   4 sen.csc   4
Rpta.: C
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
537
Pág.
71
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2019-I
La municipalidad pretende colocar en un parque una zona para flores ornamentales,
la cual está representada por la parte sombreada de la figura. Si el parque circular
tiene radio 1 decámetro, calcule el área de la zona destinada para las flores
ornamentales.
 1  sec   tg 
2
A) 
 dm
2


 1  cos   sen 
2
B) 
 dm
2


 1  sec   tg 
C) 
dm2

2


 1  c tg  sen 
D) 
dm2

2


 1  tg  ctg 
2
E) 
 dm
2


Solución:
cos 
d

1 1  sen
d
 cos 
1  sen
d   sec   tg
1
d.1 1.1

2
2
Re emplazando de 1
Pide A1  A 2 
 1  sec   tg 
2
 A1  A 2  
 dm .
2


Rpta.: C
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
538
Pág.
72
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2019-I
En la circunferencia trigonométrica, determine el área del cuadrilátero ABPQ, si A
es punto de tangencia.
1
A)  sen3 sec  u2
2
1
B)  sen2 sec  u2
2
1
C)  sen3 sec 2  u2
2
1
D)  sen3 sec 3  u2
2
1
E)  sen3 csc  u2
2
Solución:
AB  1 cos 
1
ABP : S1  (1  cos )(sen)
2
1
APQ : S2  (1  cos )(tg)
2
S  S1  S2
1
1
S  (1  cos )( sen)  (1  cos )( tg)
2
2
1
S   (1  cos )sen  tg
2
1
1  cos  
S   (1  cos )sen 

2
 cos  
1
1  cos  
S   (1  cos )sen 

2
 cos  
1
S   sen3 sec 
2
Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
539
Pág.
73
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
10. En la figura, se muestra una pista circular de radio 1hm donde hay dos ciclistas A y
B que parten simultáneamente en la misma dirección. En un determinado momento
A y B se encuentran a NO y S45O del punto de partida, respectivamente. Si
AD=BD, calcule el área de la región triangular OAC.
A)
2
1  sen  2  hm2
4
B)
2
1  sen  2  hm2
4
C)
1  cos  2  hm2
D)
1
1  cos  2  hm2
2
E)
1
sen  2   cos  2  hm2
2
Solución:
Del enunciado:
d  A;D  

1
d  A;B 
2
2
1
cos2  2    1  sen  2   
2
d  A;D  
2
2
1  sen  2   hm
Luego:
AreaAOC 
2
4
1  sen  2   hm 2
Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
540
Pág.
74
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Halle el área de la región limitada
por el cuadrilátero PMTQ.
A)  sen2  u2
 1

B)   sen2  u2
 2

C)   cos2  u2
 3

D)   sen  u2
 2

 3

E)   sen2  u2
 2

Solución:
SO   cos , SP  sen, ML  LT   cos   MT  2cos 
PS  SM  PM  2sen
El cuadrilátero PMTQ es un trapecio, por lo tanto,
   cos     2cos   
Área PMTQ   
  2sen    3cos   sen
2


3
 3

   2sen.cos      sen2  u2
2
 2

Rpta.: E
2.
Si E  6cos2 2x  6 sen2  25  2x  ,


 x  , halle la diferencia entre el valor
12
6
máximo de E y su valor mínimo.
A) 4
Semana Nº 13
B) 0
C) 6
D) 8
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 2
541
Pág.
75
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
E  6cos2 2x  6sen2 2x
E  6  cos2 2x  sen2 2x 

2
 4x 
3
3
Observando la circunferencia
trigonométrica C, podemos afirmar que si

2
 4x 
entonces
3
3
1
1
  cos 4x   3  6cos 4x  3
2
2
 máx E   mín E   3   3   6
E  6.cos 4x,
Rpta.: C
3.
En la figura, C
sombreada.
es la circunferencia trigonométrica, halle el área de la región
A)
1
1 sen  cos   u2
2
B)
1
1 sen  cos   u2
2
C)
1
1 sen  cos   u2
2
D)
1
 sen  cos   1 u2
2
E) 1  sen  cos   u2
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
542
Pág.
76
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
1
0
-cos
1 sen
A
2 cos  sen
1
0
A
1
1  sen  cos  
2
Rpta.: B
4.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica, calcule el área de la región
sombreada.
A)
1  sen  2
u
2  sen2  
B)
1  sen2  2

 u
4  sen2  2 
C)
1  sen2  2

 u
8  sen2  2 
D)
1  sen  2

 u
2  sen2  2 
E)
1  sen2  2
u
4  sen2  
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
543
Pág.
77
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
a
sen

1 1  cos 
A
1  sen 
  cos  
2  1  cos  
A
1  sen2 


8  sen2  2 
Rpta.: C
5.
En la figura, se muestra una vía principal circular, de 1km de radio y centro O, y vías
alternas de una ciudad. Si en el punto P se encuentra una estación de servicios,
calcule la distancia de la estación con la vía alterna OA.
tg 
A) 
 km
 1  sen 
2

B) 
 km
 1  sec  
C)  tg2  km

1 
D) 
 km
 1  ctg 
1

E) 
 km
 2  csc  
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
544
Pág.
78
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
PD  x
La solución del problema es x Km.
En la figura     90º     
En el triángulo OMR: MR  sen OR  cos 
En el ODP : OD  xctg

, luego,
2

QR

tg 
 QR  sen.tg
2 sen
2
En el MQR : QMR 
OD  DQ  QR  OR , entonces
xctg  DQ  sen.tg

 cos  
2

DQ  cos   sen.tg  xctg
2
OQ  OR  QR  cos   sen.tg
BOQ  PDQ 
1

2
OB
x


OQ DQ

x



cos   sen.tg
cos   sen.tg  xctg
2
2



x  cos   sen.tg   cos   sen.tg  xctg
2
2




x  cos   sen.tg   cos   sen.tg  xctg
2
2




sen 
sem
x  cos   sen.
 xctg
  cos   sen.
2  
2 

2cos 
2cos
2
2


sen 
sem
x  cos   sen.
 xctg
  cos   sen.
1  cos  
1  cos 

 cos   cos  cos   sensen  cos   cos  cos   sensem
x
 xctg

1  cos 
1  cos 


Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
545
Pág.
79
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
 cos   cos       cos   cos       sensem
x 
 xctg
 
1

cos

1

cos



 cos  
cos 
x
 xctg

 1  cos   1  cos 
 cos 

cos 
cos  cos 


x
 ctg  
 x  cos  

cos    cos  
sen sen


 1  cos 
 1  cos 
1


x 1
 ctg   1
 sen

sen
x
1  sen  cos 
sen
sen
1
1
x



1
1  2sen 1  2sen
2  csc 
2
sen
Rpta.: E
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
546
Pág.
80
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Con la información dada en la figura, donde C es la circunferencia trigonométrica,
halle el valor de la expresión
.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Sea E el número buscado, luego,
Rpta.: D
2.
Si el área de la región limitada por el triángulo ABT es
., donde C es la circunferencia trigonométrica.
, halle el valor de
A)
B)
C)
D)
E)
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
547
Pág.
78
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Área de la región triangular ABT:
Llevando (II) en (I):
Rpta.: A
3.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si S
sombreada, halle
.
es el área de la región
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Finalmente,
Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
548
Pág.
78
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2018-II
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica y M es el punto medio de
Halle la suma de las coordenadas de M, si
.
.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
; luego,
. Por consiguiente,
; luego,
, siendo
, entonces la suma buscada es:
Rpta.: A
5.
Si
,
; halle el valor de x para el cual E asuma su
valor mínimo.
A)
Semana Nº 13
B)
C)
D)
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
549
Pág.
78
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
,
Observando la circunferencia trigonométrica, podemos afirmar que
,
, luego, el valor mínimo de E es 1
¿Dónde lo toma?
Rpta.: A
6.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica, halle OE.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
CMP
COE
v
Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
550
Pág.
78
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si S
limitada por el cuadrilátero PMNO, halle el valor de
Ciclo 2018-II
es el área de la región,
.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
El cuadrilátero PMNO es un trapecio rectangular cuyas bases son
(mayor) y su altura mide una unidad. Luego,
(menor),
Por consiguiente,
Rpta.: A
8.
En la circunferencia trigonométrica C mostrada, halle el área de la región
sombreada.
A)
B)
C)
D)
E)
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
551
Pág.
78
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Rpta.: A
9.
Dos atletas y su entrenador están sobre una pista circular cuyo radio mide 1 hm. El
entrenador se ubica en el punto B como lo muestra la figura. Si ambos atletas parten
del punto A, en sentido antihorario, y después de un tiempo el atleta más rápido ha
recorrido un arco . Halle la distancia del atleta más lento con respecto al
entrenador (los atletas se han ubicado al final en los puntos P y Q).
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
552
Pág.
78
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Como
, luego, siendo
Ciclo 2018-II
agudo, tendremos, finalmente, que
Rpta.: E
10. Sobre una plaza de forma circular de radio 1 dam, se desea ubicar un espacio de
forma triangular, para el patio de comidas (ver figura). Si el área de dicho espacio es
., halle el valor de
.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: A
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
553
Pág.
78
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Halle la suma de las coordenadas del punto M el cual pertenece al segmento de
recta PQ para el cual es cierto que
A) 2 cos
sen
(C es la circunferencia trigonométrica).
1
B)
C)
D)
E)
Solución:
Sea
(razón de división del segmento PQ)
Rpta.: E
2.
En un sistema rectangular de coordenadas cartesianas, tres de los siguientes puntos
pertenecen
a
la
circunferencia
trigonométrica:
.
Halle el área de la región triangular cuyos vértices
pertenecen a la circunferencia trigonométrica.
A)
Semana Nº 13
B)
C)
D)
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
554
Pág.
78
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
, luego,
Finalmente,
.
Rpta.: A
3.
Si
,
, halle el producto del valor máximo de E con su
valor mínimo.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
; luego,
Si
y teniendo en cuenta la circunferencia trigonométrica, podemos
afirmar que
,
Rpta.: D
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
555
Pág.
78
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2018-II
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Con la información que se da en
la C , halle MN, si
.
A)
B)
C)
1
u
3
D)
E)
Solución:
, luego MA=MN
MA=
Rpta.: A
5.
En un parque de forma circular (su radio mide un hectómetro), se coloca gras
sintético sobre toda la región triangular QRN para recreación de los niños tal como
se muestra en la figura. Halle el área de la región QRN.
A)
B)
C)
D)
E) sen
Semana Nº 13
1 cos
hm2
(Prohibida su reproducción y venta)
556
Pág.
78
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Por lo tanto, área del triángulo
Rpta.: D
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
557
Pág.
78
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
14
semana
558
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II
III.
Línea tangente
Es la ordenada del punto de intersección entre la tangente trazada por el origen de
arcos A y la prolongación del radio que pasa por el punto extremo del arco AP.
T(1,y1 )
Y
B
C
tan = y1

O
A
X
Análisis de la línea tangente
–  < tan  < + 
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
560
Pág.
38
559
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
IV.
Ciclo 2020-I
Línea cotangente
Es la abscisa del punto de intersección entre la tangente trazada por el origen de
complementos B y la prolongación del radio que pasa por el punto extremo del arco AP.
cot  = x1
Y
B
T(x1,1)
C

O
A
X
Análisis de la línea cotangente
–  < cot  < + 
V.
Línea secante
Es la abscisa del punto de intersección entre la tangente trazada por el extremo del
arco AP y eje de abscisas.
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
561
Pág.
39
560
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Análisis de la línea secante
sec  – 1  sec  1
VI.
Línea cosecante
Es la ordenada del punto de intersección entre la tangente trazada por el extremo
del arco AP y el eje de ordenadas.
Análisis de la línea cosecante
csc  – 1  csc  1
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
562
Pág.
40
561
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
EJERCICIOS
Si  es un arco del cuarto cuadrante, determine el conjunto formado por todos los
6a − 4
valores de a para los cuales cot  =
no existe.
3
1.
A)
3
; +
2
B)
2
; +
3
C)
2
D)  ; + 
3
1
; +
3
Solución:
Se tiene
3
6a − 4
2
   2 , entonces cot   0 
0a
2
3
3
2
2
Entonces a  −;  , luego a  ; + 
3
3
Rpta.: B
2.
En la circunferencia trigonométrica, si

 x1  x 2   , determine el valor de verdad
2
de las siguientes proposiciones:
I.
sec x1  sec x 2 .
II.
csc x1  csc x 2 .
III. tan x1  tan x 2 .
A) FVF
B) VFF
C) VVF
D) FFV
Solución:
Y
Y
Y
x1
O
X
O
C
sec x1  sec x 2
O
X
tan x2
sec x 2
sec x 1
x2
x2
C
csc x1  csc x 2
C
X
tan x1
x1
x2
csc x1
csc x2
x1
tan x1  tan x 2
Rpta.: A
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
563
Pág.
61
562
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2020-I
Halle el sueldo de un médico que está determinado por el valor mínimo de la expresión
5
3cos2  + 2cos  + 1
en miles de soles, si
   2 .
2
3
cos 
A) S/ 8000
B) S/ 5000
C) S/ 6000
D) S/ 9000
Solución:
3 cos2  + 2cos  + 1
2
= sec 2  + 2 sec  + 3 = ( sec  + 1) + 2
2
cos 
5
Pero
   2  1  sec   2  2  sec  + 1  3
3
2
2
 4  ( sec  + 1)  9  6  ( sec  + 1) + 2  11
Luego, el sueldo del médico es S/ 6000.
Rpta.: C
4.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si M es el punto de trisección de
OA más cercano al origen, halle el área de la región triangular MPQ.
P
A)
3
B) tan u2
2
C) 3tan u2
D)
Y
4
tan u2
3

C
Q
O
M
A
X
2
tan u2
3
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
564
Pág.
62
563
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
P
Y
El área de la región triangular MPQ:
SMPQ =

C
1 1
2
1 +  tan  u2 = tan  u2

2 3
3
tan
Q
1
O 1/3 M
A
X
Rpta.: D
5.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si PQ = QR , halle la suma de
coordenadas del punto R.
Y
A)
C
B)
O
C)
A
X
D) 2cot  − 2

Solución:
R
Q
P
De la figura PQ = QR , además las coordenadas de Q ( − cot , −1) ,
Entonces
2cot  +R1( −2cot , −1) . Luego la suma de las coordenadas del punto R es
−2cot  − 1 .
Rpta.: B
−2cot  − 1
cot  − 1
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
565
Pág.
63
564
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2020-I
La figura muestra un patio circular (circunferencia trigonométrica) de 1 dam de radio y
el cuadrilátero OPTR está destinado a un área de seguridad. Calcule el área de la
zona de seguridad.
Y
A)
1

tan   sen dam2
2
2
C
B) tan .sen dam2
C) tan .sen2
R
O

dam2
2
1
D) tan .sen2 dam2
2
M
X
A
P

T
Solución:
Y
De la figura, el área de la región del
cuadrilátero OPTR es:
C
1
1
SOPTR = ( tan  − sen ) .1 = tan  (1 − cos  )
2
2
1


= tan .2sen2 = tan .sen2 dam2
2
2
2
1
R
O
A
X
-sen
tan
M
P

T
Rpta.: C
7.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si OA = AR , halle el área de la
región limitada por el cuadrilátero PQRA.
A)
1
tan . ( 4 − cos  ) u2
2
B)
1
tan . ( 2 − cos  ) u2
2
C)
1
tan . ( 4 − sen ) u2
2
D) tan . ( 4 − cos ) u2
Semana Nº 14
Y
Q

O
P
(Prohibida su reproducción y venta)
A
R
X
C
566
Pág.
64
565
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Y
Área de la región del cuadrilátero PQRA:
1
1
SPQRA = (2).2 tan  + (1) ( −sen )
2
2
1
= tan  ( 4 − cos  ) u2

2
Q
2tan
1
1
A
O
-sen
P
X
R
C
Rpta.: A
8.
En la figura adjunta se muestra el recorrido de Pedro, donde C es la circunferencia
trigonométrica. Pedro inicia su recorrido en el punto B, pasando por los puntos R y T
para finalizar en el punto S, siendo T un punto de tangencia. Si la distancia recorrida
por Pedro es d u, halle 1− cot  − d.
Y
R
B
A) cot 
B) tan

2

C) 2cot
2

D) cot
2
X
A
O
C
T

S
Solución:
Y
La distancia recorrida por Pedro es:
R
-cot 
B
d = 1− 2cot  − csc   csc  + cot  = 1− cot  − d
1
-csc
Luego:
1 − cot  − d = cot

2
A
O
X
1
-csc 

T
C
-cot 
S
Rpta.: D
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
567
Pág.
65
566
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2020-I
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si S u2 es el área de la región
triangular PQR, halle −2S.tan  .
Y
A) (1 − cos  )
B) (1 − sen )
C) (1 − tan  )
R
Q
B
2
2
D) (1 + sen )
C
2
P

Solución:
Y
R -cot 
Área de la región triangular PQR:
1
(1 − sen )( cos  − cot  )
2
1
1 

S = (1 − sen )  1 −
 cos 
2
 sen 
SPQR =
B cos Q
1
O
2S = − (1 − sen ) cot 
2
−2S tan  = (1 − sen )
X
A
O
2
1
X
A
-sen
2
C

P
Rpta.: B
10. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si T es punto de tangencia, halle
el área de la región triangular PTR.
Y
B
P
1
2
A) (1 + csc ) cot  u
2
C
B)
1
(1+ csc ) tan  u2
2
1
C) (1 − csc ) cot  u2
2
D)
O
A

X
T
1
(1− sec ) tan  u2
2
R
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
568
Pág.
66
567
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Y
Área de la región triangular PTR:
 SPRT
cot 
B
1
= (1 − csc  ) cot  u2
2
C
-csc 
1
O

P
A
1
X
T
-csc 
cot 
Rpta.: C
R
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
23
11
11

Dado los siguientes números : tan , tan
, tan
y tan
, indique el menor
18
18
6
9
de los números.
A) tan
11
18
B) tan

9
C) tan
Solución:
11
18
De la figura se tiene:
tan
23
18
D) tan
tan 23 
18
Y
11
11

23
 tan
 tan  tan
18
6
9
18

9
O
C
23
18
11
6
11
6
tan 
9
X
tan 11
6
tan 11
18
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
Rpta.: A
569
Pág.
67
568
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2020-I
En la circunferencia trigonométrica, determine el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
11
11
 sec
18
9
25
25
II. tan
 cot
18
18
10
13
III. tan
 tan
9
9
I.
sec
A) VVF
B) VFV
C) FVV
D) FVF
Solución:
cot 25
18
11
18
tan25
18
tan13
9
C
C
tan10 
9
sec11
9
O
sec 11
18
11
9
sec
O
O
C
11
11
 sec
18
9
10 
9
25
18
cot
25
25
 tan
18
18
13
9
tan
10
10
 tan
9
9
Rpta.: A
3.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica de radio 1 dam. Si OA = AP, halle
el área de la región triangular OPR.
Y
R
2
A) 2tan4 dam
B) tan4 dam2
C)
1
tan 4 dam2
2
D) 4 tan4 dam2
O
A
P
X
4 rad.
C
Solución:
En la figura OP = 2 dam. PR = 2tan(4)dam , entonces el área de la región triangular
OPR:
1
S =  2  2tan(4) = 2tan4 dam2
2
Rpta.: A
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
570
Pág.
68
569
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2020-I
En la figura se muestra un pequeño jardín circular de radio 1 dam, en la región
triangular PRT se sembrarán girasoles. Determine el área destinada a la siembra de
girasoles.
Y
R
A) sec  dam2
T
B) tan  dam2

C) csc  dam2
X
O
P
D) cot  dam2
C
Y
Solución:
R
Área de la región triangular PRT:
1
S =  (2).cot  = cot  dam2
2
cot
T
csc

1
X
O
1
P
C
Rpta.: D
5.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si T es punto de tangencia, halle
el área de la región del cuadrilátero OPRS.
Y
A) (1− sen) csc 2 u
2
B
S
O
R
C
B) (1− sen) sec 2 u2
X
C) ( sen − 1) csc 2 u2
D) (1+ sen2) csc 2 u2
Semana Nº 14

T
P
(Prohibida su reproducción y venta)
571
Pág.
69
570
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Y
Solución:
B
Área del cuadrilátero OPRS
1
1
S = (1).sec  − sec .csc 
2
2
1
S = sec  (1 − csc  )
2
1
S = sec .csc . ( sen − 1)
2
S = ( sen − 1) csc 2 u2
C
1
sec
O
R
X
-csc

T
P
Semana Nº 14
S
(Prohibida su reproducción y venta)
Rpta.: C
572
Pág.
70
571
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
En la figura, C
sombreada.
es la circunferencia trigonométrica. Halle el área de la región
Y
A) csc  u2
P
C
B) sec  u2
C) sen 2 u2
A
O
D) csc 2 u2
X

Q
R
Solución:
S  Área  OAP  Área  ORQ
1
1
 (1) t an   (1)cot 
2
2
1
 ( tan   cot  )
2
1

2 sen  cos 
 csc 2.
Y
P
C
tan 
O
1
Q
cot
A
1
X

R
Rpta.: D
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
573
Pág.
61
572
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
2. Ricardo parte del punto A recorriendo un arco  en sentido antihorario sobre una pista
circular de radio 1dam llegando hasta el punto Q (punto de tangencia) y luego se
desplaza en línea recta hacia el punto N, tal como se muestra en la figura. Si en el punto
M está su hermano Carlos, calcule la distancia entre Carlos y Ricardo que está en el
punto N.
Y
A)  1  cos2   cos  dam
M
B)  1  tan  s en dam
2
A
C)  1  sen2 csc  dam

D)  1  csc 2  ctg dam
X
O
Q
C
Solución:
N
TR  RQ  sen
Del gráfico
Y
Sea L la distancia entre Carlos y Ricardo.
T
  IIIC
M
L  sen  csc 
sen 
L   sen     csc  
O

1 

L    sen 
sen 

X
csc 
Q
C
 1  sen2 
L  

 sen 

A
R

 L   1  sen2 csc  dam.
N
Rpta.: C
3.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si Mu es el perímetro del triángulo
OPT, halle M – 1.
Y
A) cot

2
B) 1 cot
C


2

C) 1 tan
2
O
X
T
P
D) 1 cot 
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
574
Pág.
62
573
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Del gráfico
OP  csc(180   )   csc   csc   csc 
Y
Luego,
PT  csc 2   1  cot 2   cot  , cot   0
 cot 
Perímetro
M  1  csc   cot   1  cot
 M  1  cot
(cos,sen)
C


2
X
O

2
T
(-cos,-sen)
P
Rpta.: A
4.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si T es punto de tangencia, halle
el área de la región sombreada.
Y
A)  tan   sec  u2
B
P
C
1
B)  tan   sec   u2
2
1
C)  tan   csc   u2
2
D)
1
 tan   sec  u2
2
Semana Nº 14
R
A
O
X
T

(Prohibida su reproducción y venta)
575
Pág.
63
574
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Y
Área de la región sombreada :
1
S  tan  (1 csc  )
2
1
 ( tan   sec  )u2 .
2
cot
B
C
R
1
P
-csc
A
-sec
X
O
tan
1
T

Rpta.: D
5. En la figura adjunta se muestra una plazuela circular de radio 1 dam. En la región
sombreada MNOP se instalará una carpa del MINSA para desarrollar la campaña “Tu
caserito anti anemia”. Si QN  NO ¿Cuánto es el área que ocupará dicha carpa?
A)
1
(2cot   3 sec )dam2
4
B)
1
(2cot   3 sec )dam2
2
1
C) (3cot   2sec )dam2
4
D)
Y
M
P
Q
N
X
O
C
1
(2cot   3 sec )dam2
2

Solución:
Del gráfico:
M
1
sec 
(cot   sec  
)(1)
2
2
1
3 sec 
Área  (cot  
)
2
2
1
Área  (2cot   3 sec )dam2 .
4
Y
-sec
cot
P
Área 
1
-sec
2
-sec
2
Q
N
X
O
C

Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
Rpta.: A
576
Pág.
64
575
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2019-II
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
sec 4  tan 4  0 .
tan 4  cot 4  0
III. tan1  tan 4  0
I.
II.
A) VFV
B) VVV
C) FVV
D) FFF
Solución:
Del enunciado:
I. sec 4  tan4 
1  sen4
 0 ; 1 sen4  0
cos 4

cos 4  0
II. tan 4  cot 4  0
III. tan1 tan 4  0
tan1
tan4
Y
tan4
Y
cot4
1
C
1
C
1 rad
X
O
X
O
4
4 rad
Rpta.: A
7. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Determine el área de la región
Q
sombreada QNP.
A)
B)
C)
D)
1  tanθ   cosθ  u2
Y
2
C
1  tanθ  1-cosθ  u2
2
 2  tanθ  1  cosθ  u2
O
X
2
 tanθ 1  cosθ  u2
Semana Nº 14
N
3
P

(Prohibida su reproducción y venta)
577
Pág.
65
576
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Q
Base Altura
2
QP HN

2
Area Δ QNP 
Y
C
2
Se nota que el área Δ QNP es:
1
O
 2  tanθ  1  cosθ  u2
X
1
2
-tan 
H
cos
N
P
-tan  =tan

HN=1- cos  =1+cos
Rpta.: C
8.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si Q es punto de tangencia y Su 2
es el área de la región triangular PQR, halle S( csc   1) .
1
A) cot 2 
2
Y
P
C
1
B)  cot 3 
2
A
O
X
C)  cot3 
Q
D)  sec 3 

R
Solución:
Y
cot
Semana Nº 14
P
C

sc
-c
1
A
O
X
1
-csc
Área de la región triangular PQR:
1
S  (1 csc  )cot 
2
Luego,
1
S(1  csc  )  (1 csc  )(1  csc  )cot 
2
1
 (  cot 2 )cot 
2
1
  cot 3 .
2
Q

cot
(Prohibida su reproducción y venta)
R
578
Pág.
66
577
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Rpta.: B
9.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si Q es punto de tangencia y
Mu2 es el área de la región sombreada, halle 2M  tan  .
A) tan  csc 
Y
B
S
C
B) cot  sec 
O
A
P
X
C) tan  sec 
Q
D) cot  csc 

R
Solución:
Área de la región sombreada :
1
1
S  (  cot  )(  csc  )  (  sen )( sec  )
2
2
 2S  cot  csc   tan 
Y
 2S  tan   cot  csc 
-cot
B
S
C
sec
O
P
A
X
-sen
-csc
Q

R
Rpta.: D
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
579
Pág.
67
578
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
10. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si Q es punto de tangencia y Su2
es el área de la región triangular APR, halle S  sen2 .
P

A) 4 sen4
2
B)  cos4
Y

2
C) 4 sen4

Q

2
R

2
D) 4 cos4
X
A
O
C
Solución:
Semejanza de triángulos :
AP
csc 
AP  cos 
cos 



1  sec   sec 
cos   1
sen 
 AP  
cos   1
1  cos 
 AP 
sen 
sen 
P
Luego,área de la región triangular APR :
1
1  cos 
S  (1 sec  )(
)
2
sen 
Y
(1 cos  )
2sen  cos 

( 2 sen2 )2
2

sen 2

2
 S  sen 2   4 sen4

Q
csc 

.
2
R
-sec 
O
1
A
X
C
Rpta.: C
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
580
Pág.
68
579
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
EJERCICIOS PROPUESTOS
11. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Halle el área de la región triangular
PQR, siendo OA  AP .
Q
Y
A)
3
tan  u2
2
C
B) 3 tan  u2
C)
R
3
sen 2 u2
4
O
A
X

3
D)
tan  u2
4
Solución:
1
3
S  ( 3 ) tan   tan  .
2
2
P
Q
Y
C
tan
R
O
1
A
1
1
P
X

Rpta.: A
12. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si T es el punto de tangencia,
halle el área de la región sombreada.
Y
1
( tan   cos  )u2
2
1
B) ( cot   sen  )u2
2
1
C) ( tan   sen  )u2
2
1
D) ( tan   cos  )u2
2
A)
Semana Nº 14
T

O
P
(Prohibida su reproducción y venta)
A
X
C
581
Pág.
69
580
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Solución:
Área de la región sombreada :
1
S  (1  sec  )(  sen  )
2
1
 ( sec   1)( sen  )
2
1
 ( tan   sen  )u2 .
2
Ciclo 2019-II
Y
T

-sen
1
X
-sec 
O
P
C
Rpta.: C
13. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si T es el punto de tangencia y
OP  PQ , halle el área de la región limitada por el cuadrilátero OPRS.
Y
3
A) csc 2 u2
2
S
C

3
sec 2 u2
2
C)
R
T
B) 3csc 2 u2
A
O
Q
P
X
D) 3 sec 2 u2
Solución:
Semejanza de triángulos :
csc 
x
1

 x  csc 
2 sec  sec 
2
Y
S
Luego,el área del cuadrilátero OPRS :
1 csc 
(
 csc  ) sec 
2
2
1 3 csc   sec 
 (
)
2
2
1
 ( 3 csc 2 )
2
3
 csc 2u2.
2
S
C
csc
T
R

x
A
O
sec
P
sec 
Q
X
Rpta.: A
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
582
Pág.
70
581
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
14. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si Q es el punto de tangencia,
halle el área de la región sombreada.
Y
2
A) 2cot  u
B
B)
1
cot  u2
2
P

C) cot  u2
A
O
D) tan  u2
Q
X
C
Solución:
R
Área de la región sombreada :
S  Área de  OBP  Área de  OQR
1
1
 (1)cot   (  cos  )(  csc )
2
2
1
 ( cot   cot )
2
 cot  u2 .
Y
cot 
B
P
1

Q
X
A
O
-cos
-csc 
C
R
Rpta.: C
15. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si OQ  PQ , halle el área de la
región limitada por el cuadrilátero OTPR.
Y
A)
1
( cot   sec  )u2
2
C
T
B) ( tan   sec  )u2
1
C) ( tan   csc  )u2
2

O
Q
P
R
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
583
Pág.
71
582
X
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
1
( sec   csc  )u2
2
Solución:
D)
S  Área  OTP  Área  OPR
1
1
( 2 sec  )( sen  )  (1)( 2 sec  )
2
2
 sec  sen   sec 

 ( tan   sec ) u2.
Y
C
T

O
sen
sec
Q
sec
P
X
1
R
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
Rpta.: B
584
Pág.
72
583
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si Au2 es el área de la región
a  b  2A
triangular POM, halle
.
cd
A) sen.cos 
B)  c tg
O
M(c;d)

C) ctg
D) tg
P(a;b)
E) sec 
Solución:
b  1 , a   c tg ,c  1 , d  0
1
 2A  1
2
a  b  2A
Luego
 ctg
cd
A
Rpta.: B
2.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica y M es punto de tangencia. Halle
el área de la región sombreada.
A)
1 2
u
2
M

θ
B) 1u2
C) senu2
R
π
2
O
D)  cos u2
E) 1.5u2
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
585
Pág.
65
584
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
En la figura
Sea S el área de la región sombreada

S
S
  sec    sen   


 

2  
2
1
2
Rpta.: A
3.
En la figura, C
sombreada
es la circunferencia trigonométrica, determine el área de la región
y
A)
ctg
2
B)
tg
2
C)
ctg
4
D)
1
2
O
x
1
E)
4

Solución:
En la figura
  
S area de la reg sombreada
   
ctg 2
S=
u
2



ct
g

D
Rpta.: A
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
586
Pág.
66
585
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
En la figura, C
Ciclo 2019-I
es la circunferencia trigonométrica. Si
tangencia, determine
d.sen
.
2
 3  2 
A)  cos 

 4 
 3  2 
B) cos 

 4 
 3  2 
C) sen 

 4 
 3  2 
D) sen 

 4 
PQ=d y T punto de
Y
R
P

X
O
T
 3   
E)  cos 

 4 
Q
Solución:
PQ  2m
 OPQ
Y
Isósceles 
m   cos .csc 
3
3  2
  2 

2
4
El valor de d es:
 3  2 
d  2cos 
 csc 
 4 
R
P

dsen
 3  2 

  cos 

2
 4 
X
2 O
T
csc

m
Q
Rpta.: A
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
587
Pág.
67
586
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
En la figura, C
Ciclo 2019-I
es la circunferencia trigonométrica, determine a qué es igual
M  tg  ctg siendo Mu el perímetro de la región triangular AOC y D punto de
tangencia.
Y
A) csc   sec 
B) 2csc 
B

P
C) sen  cos 
O
X
D) sec   csc 
A
C
D
E) csc   sec 
Solución:
AC  tg 180     ctg 180   
Y
AC  2csc  360  2 
AC  2csc 2
AO  sec 180      sec 
OC  csc 180     csc 
M  2csc 2  csc   sec 
B

P
M  2csc 2  csc   sec 
O
X
18 0
°

180° 
A
1
180° 
tg(180° )
D
ctg(180°  )
C
Rpta.: A
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
588
Pág.
68
587
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2019-I
Una persona parte del punto A y recorre un arco  en sentido horario sobre sobre
una pista circular de radio 1dm llegando hasta el punto P y luego se desplaza hacia
el punto T en línea recta, tal como se muestra en la figura. Calcule la distancia
recorrida por la persona desde el punto P( punto de tangencia) hasta el T
Y
A)  ctg  csc  dm
B)  tg  sec  dm
T
C)   sec   csc  dm
A
D)  ctg  sen dm
O
E)  tg  cos  dm }
X
P 
Solución:
Del gráfico: PT=TB=L
Y
sec 
L

1  csc  csc 
T
L
B
 sec 
L

1  csc   csc 
1
A
sec
O
L
 tg
1  csc 
P 
X
csc
 L   tg  sec   dm.
Rpta.: B
7.
Carlos está ubicado el punto R (-3,-4) y se dirige hacia una plaza de armas que tiene
forma circular de centro O (0,0) y con un diámetro que mide 1 km. Además se sabe
que por el punto B(0,-1) pasa una avenida rectilínea de forma tangencial a la plaza.
Si Carlos sigue una trayectoria rectilínea que pasa por el centro de la plaza e
intercepta a la avenida y a la circunferencia por segunda vez en los punto P y Q
respectivamente ; halle la distancia entre P y Q.
A) 2,5 Km
D) 1,75 Km
Semana Nº 14
B) 2,25 Km
E) 1,5 Km
(Prohibida su reproducción y venta)
C) 1,25 Km
589
Pág.
69
588
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
|ctg
Tenemos PQ  1 | csc  |
Q
PQ  1  csc 
O(0,0)
 5
entonces PQ  1    
 4
|csc
9
PQ  Km
4

P
|ctg B(0,-1)
PQ  2,25 Km
Así
1
(-3,-4)
Rpta.: B
8.
En la figura,
C
es la circunferencia trigonométrica y C es punto de tangencia. Halle
el área de la región sombreada.
A) 0,5  sec   tg u2
C
B
B) 0,5tgu2
C) 0,5csc u2
A
O
D) 0,5  c tg   cos  u2
E) 0,5sec   csc   1 u2

Solución:
De la figura
S
C
1
 ctg  cos  
2
ctg 
B
1
A
O
cos 

Rpta.: D
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
590
Pág.
70
589
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
En la figura, C
Ciclo 2019-I
es la circunferencia trigonométrica. Si el área de la región
 1  Bsen 
2
sombreada es A 
 , halle (A+B+C)
 1  C.tg 
A)
1
4
B) 1
C) 4
D) 9
E) 3
Solución:
A R  S1  S2


OA   cos  
2
y

OA  ctg 
A
2
C
1
S2
OA
 ctg  cos  
2
S1
θ
OA
1

1
1  ctg

ctg θ
o
ctg θ
cos θ
1
1  1  sen 
 ctg  cos    

2 1  ctg 
2  tg  1 
A
1
2
B  1
C 1
 A  B  C
2

1
4
Rpta.: A
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
591
Pág.
71
590
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
10. Una empresa de ventas virtual
determina que en el año comercial
2019 el ingreso mensual en miles de
dólares en el n-ésimo mes asciende a
g n 
n
24  csc n  ctg n .
n
24
24
1  cos
24
1  cos
¿En qué mes del año se obtiene el
menor ingreso?
A) Enero
D) Abril
B) Agosto
E) Mayo

24
O
C) Diciembre
Solución:
1) 1  n  12
g n 
n
24  csc n  ctg n
n
24
24
1  cos
24
1  cos
g  n   tg
n
n
n
 ctg
 2csc
48
48
24
2) 1  n  12

n




24
24
2
Analizando la línea cosecante vemos que:
n

1  csc
 csc
24
24
n
 2  2csc
24
 2  g  n  . Así el menor ingreso es de
2 mil dólares
n
n
n 
g  n   2csc
 2  csc
1 

24
24
24 2
 n  12.
El menor ingreso se obtiene en el mes de Diciembre.
Rpta.: C
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
592
Pág.
72
591
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
C
es la circunferencia trigonométrica y S u2 es el área de la región

sombreada. Determine S  , siendo T punto de tangencia.
4
1
A)  sec 2
2
En la figura,
T
B) sen2
C) sec 2
D) cos2
E) csc 2
Solución:
1
1 
(sec )(csc )  ( )(1)2
2
2 2
 1
S   (sec )(csc )
4 2
1
1


 csc 2
2sen cos  sen2

Q  S   csc 2
4
S
Rpta.: E
2.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si OP=a, halle 2a2  1.
A) cos
B) sen
C) 2cos
D) 4cos
E) 1
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
593
Pág.
73
592
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
m PAO 

2

OP  a  cos  
2

 2a2  1  2cos2    1  cos 
2
Rpta.: A
3.





Si E = csc  29    ;     , hallar 2M – 3m donde M y m es el máximo y
3
4
 2

mínimo valor de E respectivamente.
A) 1.5
B) 1
C) 2
D) 0.8
E) 1.4
Solución:
Reduciendo E
y
 

E  csc  29   
2





 csc  14    
2




 csc    
2



 E  sec ,     del gráfico
3
4
1  sec   2
O

 
 1

A
B C
2
x
2
luego M  2, m  1
2M  3m  (2)(2)  3(1)
 43
1
Rpta.: B
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
594
Pág.
74
593
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-I
1
, determine la cantidad de valores enteros
x


que pude asumir la expresión 4 sen    
3

Si x  0,      0, tal que 4 sen  x 
B) 3
A) 2
C) 4
D) 5
E) 6
Solución:
Sabemos:
x
1
 2
x
Tenemos:
4 sen   2


 1  sen   
1
2
5


6
6
Luego:


 
  
2
3 6


 4  4 sen      2
3


Rpta.: E
5.
Hallar los valores de  que satisfacen la desigualdad :
2sen  1  2cos   1 . en
en 0;2
 
A)  ; 
4 3
Semana Nº 14
 
B)  ; 
6 4
 
C)  ; 
6 3
D)
 
;
6 4
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
 
;
4 3
595
Pág.
75
594
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
2sen  1  2 cos   1 ... (*)
1

 sen  1    
2
6
1
.2 cos   1  0   cos   1  0   
2
.2sen  1  0 
5
...(a)
6
 5

   2...(b)
3 3
de (*)elevando al cuadrado
2sen  1  2 cos   1  2sen  2 cos 
coseno es positivo

...(c)
4
 
(a)  (b)  (c )   ; 
6 4
tg  1  0   
Rpta.: B
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
596
Pág.
76
595
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
En la figura, C
OTM es igual a
es la circunferencia trigonométrica, si el área de la región triangular
. Halle el valor de
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
El área de la región es:
Rpta.: D
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
597
Pág.
76
596
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si se sabe que OA=a , AB=b, halle
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
De la figura,
Rpta.: B
3.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si se sabe que el área de la región
sombreada es
A)
, hallar el valor de 2Msen
B
ctg
D
B)
A
C)
D)
E)
Semana Nº 14
C
(Prohibida su reproducción y venta)
598
Pág.
76
597
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Rpta.: A
4.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si T es punto de tangencia y CP=a.
Halle el valor de
.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Teorema de Pitágoras en el triángulo HPC
Luego
Rpta.: E
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
599
Pág.
76
598
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
En la figura, C
determine
es la circunferencia trigonométrica. Si M es punto de tangencia,
.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Por tanto
Rpta.: C
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
600
Pág.
76
599
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2018-II
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Determine la distancia entre
PyQ
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: E
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
601
Pág.
76
600
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
En la figura C es una circunferencia trigonométrica, el área de la región triangular PBC
es
.Halle el valor de
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
El área de la región triangular es:
Rpta.: B
8.
Si
y
. ¿A qué intervalo pertenece la
expresión
A)
Semana Nº 14
B)
C)
D)
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
602
Pág.
76
601
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Solución:
Reduciendo
Además
. Por tanto
,
.
Rpta.: E
9.
En la figura, C
es la circunferencia trigonométrica. Si
es el área de la región
sombreada y ON=NM, halle
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
De la figura,
Rpta.: A
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
603
Pág.
76
602
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
10. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si la coordenada del baricentro
del triángulo TMO es
, halle 3(a-b).
A)
B)
C) sec - cos + sen
D)
E)
Solución:
Por Teorema de coordenadas
Rpta.: A
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica, halle el producto de los lados del
triángulo sombreado (T es punto de tangencia).
A) tg csc
2
2
B) ctg sec
2
2
C)
D)
E)
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
604
Pág.
76
603
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Rpta.: A
2.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si T es punto de tangencia, halle
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: C
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
605
Pág.
76
604
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si
sombreada y T punto de tangencia, halle
es el área de la región
.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: A
4.
Con los datos de la circunferencia trigonométrica C de la figura, hallar el área de la
región trapezoidal ODCB
A)
B)
C)
D)
E)
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
606
Pág.
76
605
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Solución:
En la figura
Rpta.: C
5.
Un corredor parte del punto M y recorre un arco
en sentido horario sobre una pista
circular de radio 1 m hasta llegar al punto P. En ese instante, otro corredor se ubica
en el punto C, tal y como se muestra en la figura, determine la distancia en línea recta
del corredor que se ubica en el punto C y el corredor que se ubica en el punto P
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Por Teorema de Pitágoras
Por tanto
Rpta.: A
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
607
Pág.
76
606
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
15
semana
607
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometria
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
Función Seno
La función seno f :
a)
Dom  f  
b)
Ran  f    1,1
c)
Período 2

es impar, definida por f  x   senx
Función Coseno
La función coseno f :

es par, definida por f  x   cos x
Y
a)
b)
c)
Dom  f  
1
Ran  f    1,1

2

2
Período 2
O
3
2

2
5
2
X
1
Función Tangente
Es la función f :
a)
Dom  f  
b)
Ran  f  
c)
Período 
Semana Nº 15

es impar, definida por f  x   tan x



  2k  1
/ k 
2


(Prohibida su reproducción y venta)
609
Pág.
39
608
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
d)
Es creciente en cada uno de los intervalos
Ciclo 2020-I
 2k  1


 x   2k  1
2
2
, k
Propiedades de Funciones Sinusoidales y Cosenoidales
Siendo A, B, y k números reales fijos (constantes).
Se llama función sinusoidal, si su regla de correspondencia es de la forma:
f(x)  A.Sen B(x  )  k, Dom(f) 
Y se llama función cosenoidal, si su regla de correspondencia es de la forma:
f(x)  A.Cos B(x  )  k, Dom(f) 
Para cualquiera de estas funciones se tiene las siguientes propiedades:
a. La amplitud es A
b. El ángulo de desfase (desplazamiento horizontal) es  .
Si   0 , el desfase es  unidades a derecha del origen de coordenadas.
Si   0 , el desfase es  unidades a izquierda del origen de coordenadas.
c. Desplazamiento vertical es k
Si k>0 el desplazamiento |k| unidades hacia arriba del origen de coordenadas.
Si k<0 el desplazamiento |k| unidades hacia abajo del origen de coordenadas.
d. Periodo T 
2
B
e. El Alcance o Rango de f es k  A ;k  A  .
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
610
Pág.
40
609
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometria
EJERCICIOS
1.
Según el gráfico de la función real f mostrada, cuya regla de correspondencia es
x
f(x)  1  sen   ; x  [ 2,4] . Halle a  b  c  d  e  f  g  A  T donde A es la
2
amplitud y T el periodo.
A)
B)
C)
D) 5  3
Solución:
Del gráfico
12  4
a  2 , b   , c   , d  2 , e  3 , f  4,g  2
 3 4
A 11
1, T
Suma
10:  6
S  2      2  3  4  2  1  4
S  11  3
Rpta.: B
2.
Un bloque que está colgado del extremo de un resorte es jalado 20 cm por debajo
de su posición de equilibrio. La distancia en centímetros del bloque respecto a su
posición de equilibrio en el instante t en segundos está modelado por la función real f


3
11
definida por f  t   20cos  t    ,

,     . Siendo esta positiva
4
12
2
2
si el bloque está por debajo del posición de equilibrio y negativa si el bloque está por
encima.
Si a los 8 segundos de iniciado el movimiento armónico simple el bloque se
encuentra a 10 3 centímetros sobre su posición de equilibrio, calcule la distancia
después de 24 segundos de la anterior observación y la posición del bloque respecto
al posición de equilibrio.
A) 10 cm por encima
B) 14,1 cm por debajo
C) 10 cm por debajo
D) 14,1 cm por encima
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
611
Pág.
59
610
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Consideraremos distancia positiva cuando el bloque este por debajo del punto de
equilibrio.
20  f  0   20cos  
 0
Luego:
 10 3  20cos  8  cos  8  
8 
41
6


3
2
41
48
Calculando:
 41
f  32   20cos 
32    10
 48

 El bloque se encuentra a 10 cm por encima de la posición de equilibrio.
Rpta.: A
3.
En la figura se representa
la gráfica de una función
cosenoidal, que modela la
altura respecto al suelo de
un insecto en un instante
de tiempo ―t‖ donde
  6 
t   ;  , si el insecto
5 5 
describe
un
comportamiento periódico
en el tiempo. Indique a que
distancia del suelo se
encuentra dicho insecto en
11
el segundo
.
5
A) 2 m
B) 4 m
Semana Nº 15
C) 3 m
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 5 m
612
Pág.
60
611
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Se observa que la gráfica corresponde al opuesto del Coseno (Grafica Invertida), por
consiguiente, su ecuación será de la forma: y  A.Cos(Bx  C)  D
Los valores lo buscamos en la gráfica:
El eje es y =
=7
D=7
La amplitud es 11 – 7 = 4
El periodo de la curva es
A=4
=
El desfase de la curva es
además : Bt + C = 0
B=2
2 +C=0
C = -2
2 

7
La curva es y  f  t   4cos  2t 
5 

Piden:
 11 
 11 2 
f
 4cos  2

7

5 
 5 
 5
 11 
f
  4(1)  7  3
 5 
El insecto se encontrará a 3 m
del suelo.
Rpta .: C
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
613
Pág.
61
612
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2020-I
La afluencia de personas en miles, que abordan la línea 1 del tren eléctrico después de
las 6 am, hasta antes de las 9 am, el 15 de marzo del año 2020 se estima mediante la
 23 t 
  , donde el tiempo t son las horas transcurridas
3
 2
función F(t)  6  5sen 
desde la medianoche del día anterior. Determine el mínimo número de personas que
abordarían el tren eléctrico.
A) 1001
B) 1009
C) 1000
D) 1006
Solución:
Se deduce que
3 t 
t
 23 t 

F(t)  6  5sen 
   6  5sen 10 
   6  5 cos
3
2
3
3
 2

Como
6t9

2 
t
 3
3
t
1 
3
t
 1  6  5 cos  11
3

 1  cos

cos3  cos
 5  5 cos
t
 cos 2
3
t
5
3
F(t )
Luego  Fmín  1,001 personas
Rpta.: A
5.
La cantidad de personas inscritas al recién inaugurado gimnasio ―Ponte en Forma‖
 
2
2
está modelada por P(x)  4sen2xcos x  4sen xsen2x en cientos, donde x  0, 
 8
denota la cantidad de días (en centenas aproximadamente) después de su gran
inauguración. Durante ese tiempo, ¿cuántas personas como máximo fueron
inscritas?
A) 200 personas
C) 250 personas
Semana Nº 15
B) 300 personas
D) 350 personas
(Prohibida su reproducción y venta)
614
Pág.
62
613
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
P(x)  4sen2x cos2 x  4sen2 xsen2x
P(x)  4sen2x(cos2 x  sen2 x)
P(x)  2sen4x
como : 0  x 

8

2
 0  sen4x  1
 0  2sen4x  2
 0  4x 
 Pm á x  2.
Rpta.: A
6.
Determinar la razón entre el máximo valor de la función decreciente y el mínimo
valor de la función creciente, si dichas funciones reales están dadas por

8

2
g  x   cos x  3senx ,
x
6
3
f  x   cos 2x  sen2x , 0  x 
A) 3
B) 1
D) 1
C) 0
3
Solución:

4



4


1) f  x   cos2x  sen2x  2  sen cos2x  cos sen2x 


 f  x   2sen  2x   ;
4

0 x 


 0  2x 
8
4


 
 2x   . Como seno es creciente en
4
4 2
 
 4 , 2  , también lo es f, y vemos que


2sen

 f x 
4
2sen

 1  f x 
2
2.
Así, mín f(x)  1 .



3

3




2) g  x   cos x  3senx  2  cos cos x  sen senx   2cos  x 
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)

;
3 
615
Pág.
63
614
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
 

2


x

 x    . Como coseno es decreciente en  ,   , entonces
6
3
2
3
2 
también lo es g.


Además cos   cos  x 
 Máx g  x   0.

Máx g  x 
Mín f  x 





 cos
  1  cos  x    0   2  g  x   0

3
2
3

0
 0.
1
Rpta.: C
7.
En la figura se representa una ola pasando por un pilote rompeolas, donde el nivel
del agua respecto al nivel medio del mar, está modelada por la función
  
  
h(t)  5sen  t   12cos  t  , en metros, en el tiempo t segundos.
 10 
 10 
Encuentre la altura de la ola, es decir, la distancia vertical entre el valle y la cresta de
la ola.
A) 26 m
B) 13 m
C) 24 m
D) 12 m
Solución:
 5
  
  
   12
  
h(t)  5sen  t   12cos  t   13  sen  t  
cos  t  
 10 
 10 
 10  13
 10  
 13

 
  
  

h(t)  13  cos sen  t   sen cos  t    13sen   
t
10 
 10 
 10  


La altura de la ola es de 26 m.
Rpta.: A
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
616
Pág.
64
615
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2020-I
Las estrellas variables son aquellas cuyo brillo varían periódicamente. El modelo del
brillo de una de estas estrellas se realiza mediante la función
  
b(t)  8.9  3.1cos 
t;
 192 
donde t denota el tiempo en días. ¿Cuánto días pasan desde que la estrella tuvo su
brillo mínimo, hasta que obtuvo su brillo máximo?
A) 192 días
B) 184 días
C) 176 días
D) 162 días
Solución:
El brillo mínimo de la estrella se alcanza cuando

  
cos 
t   1
t  0;2  t  0;384; ..
192
 192 
Luego el registro del brillo de la estrella comienza cuando la estrella tiene un brillo
mínimo, y luego después de 384 días, que es el periodo del brillo de la estrella.
El brillo máximo de la estrella se alcanza cuando

  
cos 
t   1 
t    t  192
192
 192 
Luego el primer registro del brillo máximo es luego de 192 días, luego se va
intercalando entre el máximo y el mínimo cada 192 días.
Rpta.: A
9.
Cada vez que late nuestro corazón, la presión sanguínea primero aumenta y
después disminuye a medida que el corazón descansa entre una pulsación y otra.
La
presión
sanguínea
de
Luka
está
modelada
por
la
función
p(t)  116  24sen(192t) donde p(t) es la presión en mmHg (milímetros de
mercurio), en el tiempo t medida en minutos. Determine el número de pulsaciones
por minuto de Luka.
A) 96 pulsaciones
B) 72 pulsaciones
C) 98 pulsaciones
D) 81 pulsaciones
Solución:
Determinaremos primero el periodo, pues este representará una pulsación
T
2
1
, entonces 1 pulsación dura 1 min, entonces 96 pulsaciones

192 96
96
ocurren durante 1 min.
Rpta.: A
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
617
Pág.
65
616
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
10. Un músico que toca el saxofón hace sonar la nota SI varias veces con la misma
intensidad, sosteniendo el sonido en cada vez. Observándose que para la nota SI
pura, la variación de la presión normal del aire está dada por
1 
 t  
 t   
V(t) 
 Sen     Cos     donde V se mide en kilogramos por
2 2
 3 4
 3 4 
centímetro cuadrado y la variable del tiempo t se mide en segundos.
¿Cuánto dura la nota SI antes de que se repita?
A) 3 s
B) 4 s
C) 6 s
D) 8 s
Solución:
V(t) 
1 
 t  
 t   
 Sen     Cos    
2 2
 3 4
 3 4 
  t     
1 
 2Sen       
2 2
 3 4  4 
1
 t 
V(t)  Sen  
2
3
2
6
T

3
V(t) 
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura se representa la pantalla de un monitor que registra parte de la intensidad
sonora del cantar de una ballena azul. Si la función f que modela la intensidad del
canto del cetáceo, tiene como regla de correspondencia f(t)  A.sen(Bt)  C ; donde t
es el tiempo transcurrido en segundos. Según la gráfica ¿en qué instante de tiempo
en segundos la intensidad sonora del canto de la ballena es mínima por primera vez?
A) 1 seg
3
Semana Nº 15
B) 3 seg
8
C) 4 seg
7
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 3 seg
5
618
Pág.
66
617
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
Al ser f una función cosenosoidal, donde: f(t)  A.sen(Bt)  C
El desplazamiento vertical entonces C  3 , la amplitud entonces A  2
Luego: f(t)  2.sen(Bt)  3 , de la figura y la regla tenemos que:
T
2 1
 B  4
B 2
Luego: f  t   2.sen(4t)  3
Si la intensidad es mínima entonces
f(t)  1  2.sen(4t)  3  1
sen(4t)  1  4t 
3
3
t
2
8
Rpta.: C
2.
Un niño sube a un ascensor, donde la altura del niño respecto al suelo se modela
mediante la función f , cuya regla de correspondencia es f(t)  5


 t 
2  1 tan   en
 16 
metros; en el instante de tiempo t en segundos donde 0  t  4 ¿En qué instante el
niño está a 5 metros del suelo?
A) 3 s
B) 4 s
C) 5 s
D) 2
Solución:
f(t)  5  5  5


 t 
2  1 tan  
 16 
t 

16 4
 t 
tan    2  1
 16 
t 
 t2
16 8
0
Rpta.: D
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
619
Pág.
67
618
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2020-I
En la figura se representa la sección transversal de un túnel, que está representada
por la gráfica de la función f; donde para cada punto (x; y), x denota la distancia
horizontal en metros respecto al punto O, e y representa la distancia vertical en
metros respecto a O. Si una hormiga pasa por un punto P en el suelo del túnel, que
está a 10/6 metros del punto O. ¿A qué altura se encuentra el punto más alto del
túnel que está sobre la hormiga?
A) 3 m
B) 3,5 m
C) 3,6 m
D) 3,7 m
Solución:
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
620
Pág.
68
619
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
El punto más alto del túnel sobre la hormiga, está definido como
 
  10 
 10 
6   6Sen     3

f    6Sen
 
 6 
6
 10 


Rpta.: A
4
En la siguiente figura, se representa la gráfica de una función f. Si f cumple que
f(x)  cos(Ax)  B , determine la suma de
A) 3
B) 4
A B .
C) 5
D) 6
Solución:
De la figura se tiene que el periodo de f es T=1, luego si f(x)  cos(Ax)  B ,
entonces A=2 y el desplazamiento vertical es B=3.
Luego A  B  5 .
Rpta.: C
5.
El ingreso mensual de una empresa que se dedica a la venta de una gran variedad
de papel tapiz se modela mediante la función f, cuya regla de correspondencia está
 t 
 t 
 2sen3    3; 0  t  12 . Si f(t) está en miles de

6
6
6
dado por f : f(t)  sen 
soles, mientras que t representa el tiempo en meses transcurridos desde el primer
día del mes del año.
¿En qué mes la empresa logra su máximo ingreso?
A) Junio
Semana Nº 15
B) Marzo
C) Mayo
(Prohibida su reproducción y venta)
D) Diciembre
621
Pág.
69
620
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
 t 
 t 
f(t)  sen6    2sen3    3
6
6
2

 t  
f(t)   sen3    1  2
6 

Si 0  t  12  0  t  2
6
Entonces
 t 
1  sen3    1
6
 t 
0  sen3    1  2
6
2

 t  
0   sen3    1  4  2  f(t)  6
6 

 t 
  1 t  3
6
El máximo ingreso de la empresa se logra, cuando sen 
El máximo ingreso de la empresa es de S/. 6 000 y esto se logra en el mes de Marzo
Rpta.: B
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
622
Pág.
70
621
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
El número de habitantes en millones de personas después de x años transcurridos a
partir del año 2000, está determinada por la función real P definida por
 x 
P(x)  sen    30 . ¿Cuántas veces se alcanzará el número máximo de habitantes,
 4 
en el periodo 2005 a 2020?
A) 1 vez
B) 2 veces
C) 3 veces
D) 4 veces
Solución:
El
máximo
número
de
habitantes,
se
logra



x
x
 
  2n  x  2  8n  x  2  8n .
sen    1 
4 2
 4 
Si n = 0, transcurren 2 años, entonces en el 2002 se alcanza el máximo.
Si n = 1, transcurren 10 años, entonces en el 2010 se alcanza el máximo.
Si n = 2, transcurren 18 años, entonces en el 2018 se alcanza el máximo.
cuando
Rpta.: B
2.
La variación de la temperatura en el cuerpo humano es un proceso biológico que se
repite aproximadamente cada 24 horas. La temperatura del cuerpo es máxima a las
5 pm y mínima a las 5 am. Si la función F  t   98,6  asen bt  c , a, b  0 modela
la temperatura del cuerpo en grados Fahrenheit y t denota el tiempo en horas
transcurridos desde la medianoche. Además, la máxima y mínima temperatura del
cuerpo son 98,9  F y 98,3 F , Si c el mínimo valor positivo, determine el valor de
24
20a 
b  c  .

A) 4
Semana Nº 15
B) 6
C) 10
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 12
623
Pág.
54
622
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Del enunciado, el proceso que se repite está relacionado con el periodo, es decir:
2

 24  b 
b
12
Tenemos:
 t

 a  98,6  98,6  a sen 
 c   a  98,6
 12

98,3   a 98,6

a  0,3
Cuando t  5 :
 5

sen 
c 1 
 12

24
 20a 
b  c   10

5


c  c 
12
2
12
Rpta.: C
3.
  
La función real h definida por h  t   36  30cos 
t  representa la profundidad de
 6,2 
las mareas de un determinado océano en pies, donde t denota el tiempo en horas. Si
t  0 corresponde a las 00:00 horas. ¿A qué hora la profundidad es la máxima posible
por primera vez, si esta se da en la mañana y en el lapso de un día?
A) 5:15 am
B) 7:10 am
C) 6:12 am
D) 9:45 am
Solución:
  
h  t   36  30cos 
t
 6,2 
  
La profundidad máxima del océano ocurre cuando cos 
t   1
 6,2 


t    t  6,2 horas  t  6h  0,2h  t  6h  12min
6,2
 La profundidad máxima del océano se da a las 6:12 am.
Rpta.: C
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
624
Pág.
55
623
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-II
La fuerza electromotriz o voltaje inducido por un generador eléctrico en un instante de
tiempo t en segundos es representado por E(t)  Eoe2t cos2t  2 voltios, donde t es
el tiempo en segundos transcurridos desde que el generador se enciende y “e” es el
número de Napier. Halle el máximo voltaje cuando ha transcurrido 2 segundos.
A) 2(e4  1) V
B) (2e4  1) V
Solución:
E(t)  Eoe2t cos2t  2
C) 2e2 V
D) (e4  1) V
cuando t  0, E(t)  0; no hay corriente eléctrica
E(0)  Eoeo cos0  2  0 de donde Eo  2
Luego E(t)  2e2t cos2t  2
como  1  cos2t  1 y e2t  0
 e2t  e2t cos 2t  e2t
 2e2t  2e2t cos 2t  2e2t
 2  2e2t  2e2t cos 2t  2  2e2t  2
 2  2e2t  E(t)  2e2t  2
Luego, el máximo voltaje es cuando t  2 , entonces Máx(E(t))  2e4  2  2(e4  1)
Rpta.: A
5.
Se estima que el número de crímenes en miles de una ciudad para el próximo año
1
está modelada por la función real C definida por C(x)  2sen4 x  2sen2 x  , donde x
2
denota los meses después del inicio del próximo año. ¿Cuántos crímenes como
máximo puede esperarse que se cometan?
A) 500
B) 800
C) 1000
D) 400
Solución:
1
1
 2(sen2 x  )2
2
2
1
1 1
1
1
como 0  sen2 x  1    sen2 x    0  (sen2 x  )2 
2
2 2
2
4
1
1
 0  2(sen2 x  )2 
2
2
C(x)  2sen4 x  2sen2 x 
C(x)
Rpta.: A
6.
La presión sanguínea de Luis se modela por la siguiente expresión P definida como
P(t)  20sen(160 t)  130 , donde t es el tiempo en minutos desde que se le tomo la
presión a Luis, durante el primer periodo. ¿En qué instantes se da la presión sistólica
es decir la presión máxima de Luis?
A)
1
min
160
Semana Nº 15
B)
1
min
240
C)
5
min
120
(Prohibida su reproducción y venta)
D)
1
min
320
625
Pág.
56
624
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
1
2
, entonces T 
80
160
1
luego 0  t 
80
Primero vemos el periodo de P(t), T 
 1
En el primer periodo t  0, 
 80 
Entonces 0  160t  2
Así, para que se dé la presión sístole se tendría que sen(160 t)  1
 5 9
,
,
,...
2 2 2
1
5
9
t
,
,
,...
320 320 320
1
Luego
t
min
320
160t 
Rpta.: D
7.
Determine el dominio de la función real definida por f(x) 



A) (2n  1) / n  
14


C) (2n  1) / n 

sen7x  1 .



B) (2n  1) / n  
7


 n

D)  / n  
14

Solución:
sen7x  1  0  sen7x  1  sen7x  1  7x   2n  1
 x  (2n  1)

2

14
Rpta.: A
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
626
Pág.
57
625
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2019-II
En la figura se tiene la gráfica de
la función f. cuya regla de
correspondencia
es
f(x)  a.sen(bx)  c y una recta
horizontal L : y = 3. Si b es
positivo, determine su valor.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Solución:
De la figura mostrada, la amplitud de la función es 1 es decir a = 1, la traslación vertical
de la función seno es 3 es decir c  3 . Luego tenemos, que la regla de
correspondencia se puede definir de la siguiente manera:
f(x)  sen(bx)  3 , notamos también que, el valor del periodo esta entre 2 y 3

 b 
2
2
f    2  sen    3  2  b  4n  3 , luego el periodo es T 

b
4n  3
2
 2 
Entonces, de la figura 2  T  3
2
2
 3  8n  6  2  12n  9  4n  3    6n  4,5 , entonces h = 0; luego, el
4n  3
2
periodo es T 
y b  3.
3
Rpta.: C
9.
Si en la figura se representa parte de la gráfica de la función real f definida como
x
f(x)  3 tan   , determine las coordenadas del punto medio de A y B.
2
 3 
A)  ,3 
 4 
 3 
B)  ,3 
 2 
L
 5 
C)  ,3 
 2 
 7 
D)  ,3 
 2 
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
627
Pág.
58
626
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Claramente observamos que las ordenadas de los puntos A y B son iguales a 3, es
x 

x
x
decir y  f(x)  3 tan    3  tan    1    x 
2 4
2
2
2
El periodo de esta función es T  2 , entonces la otra solución para la ecuación es
 3 

5
, luego el punto medio entre A y B es  3;  .
 2 
2
2
 2 
Rpta.: B
10. En la figura se representan las gráficas
de las funciones f y g. Determine el
valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
i.
Af y Bg
ii.
 
 4 ,0   f  g


iii. Las abscisas de A y B, son
soluciones
de
la
ecuación
sen(4x)  cos(2x) .
A) VVV
B) VFV
C) FFV
D) VVF
Solución:
i.
ii.
De la figura tenemos que A y B pertenecen tanto a f como a g. (V)

 2 
 
 
f    cos 
 cos    0   ,0   f

4
 4 
2
4 
   

 
g    sen  4     sen  0   ,0   g
4
4 
  4 
 
Luego:  ,0   f  g . (V)
4 
iii. A   x A ,y A   f  g  f(x A )  y A  g(x A )  y A  g(x A )  f(x A )
Luego, sen(4x A )  cos(2x A ) , análogamente con el punto B. (V)
Rpta.: A
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
628
Pág.
59
627
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
La distancia en kilómetros a la que se encuentra un mensajero motorizado de
computadoras de su centro de abastecimiento, está modelada por la función
 t 
D(t)  5sen2   , donde t denota las horas transcurridas desde las 6 de la mañana
4
hasta las 10 de la noche. Determine cuántas veces salió el mensajero de su centro de
abastecimiento en un día para realizar las entregas.
A) 5
B) 2
C) 3
D) 4
Solución:
Cuando salga y regrese el mensajero al centro de abastecimiento la distancia respecto
al punto de partida será igual cero, esto indica que:
t
 t 
 t 
D(t)  5sen2    0  sen    0   n  t  4n
4
4
4
Entre las 6 am y 10 pm transcurren 16 horas.
El mensajero salió cuatro veces.
Rpta.: D
2.
Halle la intersección del dominio y el rango de la función f definida como
f(x)  sen 42  x 2 .
A) 0,1
B)  2,1
C)  1,1
D)  , 
Solución:
Hallando el Dominio: 42  x2  0  2  x  2  Dom(f )  2,2
Hallando el Rango: 0  42  x2  42  0  42  x2  2  1  sen 42  x2  1
Luego la intersección es: Dom(f )  Ran(f )   1,1
Rpta.: C
3.
 
 

7
Si f es una función definida como f(x)  5sen  3  x     6,  x 
, determine
6 
6
6
 
el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
i.
El mínimo de f es 1,
2
,
3
 2 7 
iii. f es creciente en  ,  .
3 6
ii.
El periodo de f es
A) VFV
Semana Nº 15
B) VFF
C) VVV
(Prohibida su reproducción y venta)
D) FFF
629
Pág.
60
628
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
i.
Si
7

entonces
x
6
6
 

 

0  3  x    3  1  sen  3  x     1  1  f(x)  11 (V)
6
6 

 
ii.
iii.
 7

 T  con T > 0. (F)
La función f no es periódica, ya que no está definida f 
 6

2
7


3


x
  x 
 3  x    3 ,
3
6
2
6
2
6



5
si el ángulo w  3  x   , varía de
a 3 , es decreciente. (F)
6
2

Rpta.: B
4.
En la figura se representa la gráfica de una función f, que modela la altura de un avión
que partió al mediodía en miles de metros, después de x horas transcurridas desde la
2 de la tarde. Determine a qué hora el avión está a 1500 metros de altura y si éste
asciende o desciende.
A) 9:00 pm.
desciende.
 x 
  2, (0  x  10)
 6 
f(x) = sen 
B) 10:00 pm.
desciende
C) 8:00 pm.
asciende
D) 7:00 pm.
desciende
Solución:
1
x 7 11
 x 
 x 
f(x)  1.5  sen    2  1.5  sen     
: ,
 x  7;11
2
6 6 6
 6 
 6 
Luego como 0  x  10 entonces x  7 .
Rpta.: A
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
630
Pág.
61
629
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-II
El nivel del agua en metros de dos
piscinas, en las primeras tres horas se
modela con las funciones f y g, donde x
representa las horas transcurridas
desde el mediodía. Si Luka desea
entrar a una de las piscinas justo
cuando tienen el mismo nivel agua. ¿A
qué hora es más recomendable entrar
a la piscina si se sabe que Luka no
sabe nadar y no es muy alto?
A) 2:00 pm
B) 3:30 pm
C) 2:00 pm
D) 2:30 pm
Solución:
Si el nivel del agua es el mismo entonces
 x 
 x 
 x 
f(x)  g(x)  sen    2  cos    2  tan    1
 2 
 2 
 2 
x 
x 5
1
5



x  x
2
4
2
4
2
2
Media hora o dos horas y media después del mediodía, las piscinas tienen el mismo
nivel de agua.
Menor nivel del agua es lo mejor, así que a la 2:30 pm es más recomendable.
Rpta.: D
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
631
Pág.
62
630
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Halle el dominio de la función real f definida por f  x  

/ n }
12

 {(2n  1) / n }
3
 {(4n  1)
A)
D)
B)
E)
sen5x
.
( sen3 x  cos3 x)2
n
/ n }
4

 {(3n  1) / n }
8
{

 {(4n  1) / n }
6
C)
Solución:
f x 
sen5x
sen5x

2
( sen3 x  cos 3 x) 1 sen 6x
x  Dom(f )  sen 6x   1  6x  ( 4n  1)

2
 x  ( 4n  1)

, n .
12
Rpta.: A

 cos 8x
3
Si c, d  es el rango de la función real f definida por f  x  
, halle el
cos 4x  sen 4x
sec 2
2.
valor de
2 ( d c ) .
A) 18
B) 15
C) 16
D) 14
E) 19
Solución:

 cos 8x
3
f x 
 4 ( cos 4x  sen 4x ) si tg 4 x  1.
cos 4x  sen 4x
sec 2
tg 4 x  1  4x  n  





 4x 
 n    sen(4x  )  sen( n   )
4
4
2
4
2

)  cos( n  )   1
(1)
4

1
1
f  x   4 2(
cos 4x 
sen 4x )  4 2 sen( 4x  )
(2)
4
2
2


 1 sen( 4x  )  1   4 2  4 2 sen( 4x  )  4 2 de (1) y (2)
4
4
 sen(4x 
 Ran(f )    4 2 , 4 2    c , d 

2( d  c )  16.
Rpta.: C
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
632
Pág.
65
631
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-I
Una empresa que se dedica a la venta de cierta clase de teléfonos móviles, llega a la
conclusión, después de un estudio de mercado, que la función de demanda para ese
producto es f  p  
sen  2cosp 
sen  cosp 
en miles de unidades y p es el precio en dólares del
producto. ¿Cuál es la mínima cantidad demandada?
A) 7 000 unidades
C) 2 000 unidades
B) 1 000 unidades
D)  2cos1 miles de unidades
E)  2cos2 miles de unidades
Solución:
1) f p  

sen  2cosp 
sen  cosp 

f p  
2sen  cosp  cos  cosp 
f p   2cos  cosp  , p   2n  1
2) 1  cosp  1 , cosp  0
sen  cosp 

,n
2
Teniendo en cuenta la gráfica de coseno, tenemos que:
cos1  cos  cosp   1  2cos1  2cos  cosp   2
 2cos1  f  p   2
 mínima cantidad demandada =  2cos1 miles de unidades.
Rpta.: D
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
633
Pág.
66
632
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-I
La función real h definida por h  t   7  3cos(
t
) , donde t denota el tiempo en
48
segundos, representa la altura de una montaña rusa en metros, ubicada en un parque
de diversiones. Halle la altura máxima de la montaña rusa y cuál es su periodo, en
ese orden.
A) 14m ; 96
B) 14m ; 48
C) 10m ; 96
D) 20 m ; 96
E) 40 m ; 48
Solución:
 t 
h(t)  7  3cos  
 48 
 t 
 t 
sabemos  1  cos    1   3  3cos    3 
 48 
 48 
4  h(t)  10
h(t)max  10  T 
 t 
4  7  3cos    10
 48 
2
 96.

48
Rpta.: C
5.
La temperatura T expresada en grados centígrados en una ciudad esta descrita por la
función T  t   4cos bt   3sen bt   20. Calcule la suma de la temperatura máxima y
mínima.
A) 10°C
B) 20°C
C) 30°C
D) 40°C
E) 50°C
Solución:
T  t   4 cos  bt   3sen  bt   20
 
 4
2
 3
2
 4 cos  bt   3sen  bt  

 5  4 cos  bt   3sen  bt   5

15  4 cos  bt   3sen  bt   20  25

15  T  t   25

TMÍN  15C

4
2
 3 
2
TMÁX  25C
Luego la suma de ambas temperaturas es 40°C.
Rpta.: D
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
634
Pág.
67
633
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2019-I
El voltaje E de un circuito eléctrico se modela por la función definida por
E(t)  7sen 120t  , donde t es el tiempo medido en segundos. Si
1
5
t
, halle
240
720
la diferencia entre el máximo y mínimo voltaje.
A)
3
V
2
B)
7
V
4
C)
7
V
8
D) 4V
E)
7
V
2
Solución:
Consideremos
1
5

5
t

 120t 
240
720
2
6
5

1
sen  sen 120  t    sen

 sen 120  t    1
6
2
2
7

 7sen 120t    7
2
De donde se obtiene
Emax  Emin  7 
7 7
 voltios
2 2
Rpta.: E
7.
La demanda de agua de una comunidad en la temporada de verano está determinada
por la función real f definida por f  t   2000 sen
t
 4 000 en metros cúbicos por
100
día, donde t denota el tiempo en días. Halle el día en que se produce la demanda
máxima de agua por primera vez en el año.
A) Día 51
B) Día 50
C) Día 40
D) Día 60
E) Día 55
Solución:
f  x   2 000 sen
t
 4 000
100
Para la máxima demanda se debe tener sen
t
1
100
t


 t  50
100 2
 La máxima demanda se produce el día 50.

Rpta.: B
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
635
Pág.
68
634
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2019-I
Las alturas de olas causadas por un tsunami están modeladas por la función real f
definida por f(t)  25 cos
t
en pies y t en minutos. Calcule el número de veces en
15
la que las olas alcanzan una altura de 12,5 pies, en un intervalo de 45 minutos.
A) 3 veces
B) 4 veces
C) 2 veces
D) 5 veces
E) 1 vez
Solución:
t
t
t 1
t  5 7 11
 25 cos
 12,5  cos


 ,
,
,
15
15
15 2
15 3 3 3
3
 t  5, 25, 35.
f(t)  25 cos
Rpta.: A
9.
Sea la función real f definida por f(x)  8 sen(
x 
 ) . Halle la suma de la amplitud,
2
4
periodo y desplazamiento de fase de f.
A) 10,5
B) 11,5
C) 12,5
D) 13,5
E) 9,5
Solución:
x 
 )
2
4
Amplitud : A  8
2
Periodo : T 
4

2
f(x)  8 sen(
x 
 x 9
1
9
  2 



x 
2
4
4 2
4
2
2
1
D
2
Desplazamiento de fase : 0 
 A  T D8  4 
1
 12,5
2
Rpta.: C
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
636
Pág.
69
635
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
10. La superficie de la capa de nieve en el hemisferio norte está modelada por
S(t)  25  21cos[

( t  5 )] en millones de kilómetros cuadrados, donde t denota el
26
tiempo en semanas a partir del primero de enero. Halle el mes en que la capa de nieve
sea mínima.
A) Julio
B) Octubre
C) Junio
D) Agosto
E) Setiembre
Solución:
S(t)  25  21cos[

( t  5 )]
26
La capa de nieve mínima ocurre cuando cos[


( t  5 )]  1
26

( t  5 )    t  31 semanas, que corresponde al mes de agosto.
26
Rpta.: D
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Halle el dominio de la función real f definida por f  x  
A)
D)
n
/ n }
12
n
{
/ n }
6
{
B)
E)
tg2x
 ctg2x .
cos 4x
n
/ n }
5
n
{
/ n }
8
{
C)
{
n
/ n }
4
Solución:
tg2x
 ctg2x
cos 4x
x Dom(f )  cos 4x  0  sen 2x  0  cos 2x  0
 cos 4x  0  sen 4x  0  sen 8x  0  8x  n, n 
n
 x , n
8
f x 
Rpta.: E
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
637
Pág.
70
636
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2019-I
Halle el rango de la función real f definida por
f(x)  4 sen 2x  cos 2x  cos 8x, 
3
A) [  ,
2
1
D) [  ,
2
1

2
1

2
3
B) [  ,
2
1
E) [  ,
2


.
x
24
24
1
]
2
1
]
2
3 1
C)  ,

2 2
Solución:


x
24
24
 f(x)  4 sen 2x  cos 2x  cos 8x  f(x)  2 sen 4x  1  2 sen2 4x
1
3
 f(x)  2( sen 4x  )2 
2
2


1
1
1
Luego,   4x 
   sen 4x   0  ( sen 4x  )2  1
6
6
2
2
2
3
1
3 1
   2( sen 4x  )2  
2
2
2 2
3 1
 Ran(f )  [  ,
.
2 2
f(x)  4 sen 2x  cos 2x  cos 8x, 
Rpta.: A
3.
Las oscilaciones de una pesa está determinada por la función real f definida por
f(t)  10 cos
t
en centímetros, t en segundos. Para una distancia de 5 centímetros,
6
halle el número de oscilaciones en un intervalo de 30 segundos.
A) 2 oscilaciones
D) 5 oscilaciones
B) 4 oscilaciones
E) 6 oscilaciones
C) 3 oscilaciones
Solución:
t
t
t 1
t  5 7 11 13
 10 cos  5  cos 

 ,
,
,
,
6
6
6 2
6 3 3
3
3
3
 t  2, 10, 14, 22, 26
f(t)  10 cos
Luego, en 30 segundos se producen 5 oscilaciones.
Rpta.: D
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
638
Pág.
71
637
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-I
Halle el periodo de la función real f definida por f  x  
A) 2
B) 3
C)
3
2
D)
2 sen 4x
.
sec 2x
5
3
E) 
Solución:
f x 
2sen 4x
 4 sen2x  cos2 2x  2sen2x (1  cos 4x )
sec 2x
 2sen2x  2cos 4x  sen2x  2sen2x  sen6x  sen2x
 sen2x  sen6x
Luego, T1  n , T2 
m
, n, m .
3
 T  .
Rpta.: E
5.
Sea la función real f definida por f(x)  9 cos(
3x 
 ) . Halle la suma de la amplitud,
4
3
periodo y desplazamiento de fase de f.
A)
107
9
B)
101
9
C)
109
9
D)
103
9
E)
113
9
Solución:
3x

4
Amplitud : A  9
2
Periodo : T 

3
4
f(x)  9 cos(

)
3
8
3
3x 
 3x 7
4
28
  2 



x 
4
3
3
4
3
9
9
4
D
9
8 4 109
 A  T D9   
.
3 9
9
Rpta.: C
Desplazamiento de fase : 0 
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
639
Pág.
72
638
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
El proceso rítmico de respiración consiste en intervalos alternos de inhalación y
exhalación. Según estudios realizados, un ciclo completo dura 5 segundos. Si la
función
modela el volumen de la circulación del aire en el instante t en
litros por segundo y si el volumen máximo es 0,6 litros por segundo, determine el
valor de
.
A) 30
B) 29
C) 32
D) 31
E) 28
Solución:
Rpta.: D
2.
Si
es
el
rango
de
la
función
real
, halle el valor de c
A) 28
B) 25
C) 27
D) 24
f
definida
por
d 4 3.
E) 26
Solución:
Rpta.: E
3.
La trayectoria que recorre una partícula está descrita por la función real
. Halle la distancia entre los puntos O(0, 0) y A( 6T, 0), donde T
denota el periodo de f.
A)
Semana Nº 15
B)
C)
D)
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
640
Pág.
72
639
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
El periodo es
Rpta.: C
4.
La presión sanguínea de una persona en milímetros de mercurio se modela por la
función
, donde t es el tiempo en segundos y A > 0. Si la
presión sanguínea oscila entre 80 y 120 milímetros por segundo; además tiene un
periodo de
1 segundo, halle el tiempo en el que la presión sanguínea fue
mínima durante el primer segundo.
A) 0,75 s
B) 0,60 s
C) 0,90 s
D) 0,50 s
E) 0,65 s
Solución:
Periodo:
Además
Rpta.: A
5.
La función real h definida por
, donde t denota el tiempo en
segundos, representa la altura de una rueda de la fortuna instalada en un soporte de
12 metros de altura. ¿Cuánto tiempo se demorará la rueda en dar una vuelta
completa?.
A) 70 s
B) 60 s
C) 84 s
D) 72 s
E) 65 s
Solución:
Periodo:
,
Por consiguiente, la rueda demora en dar una vuelta completa 72 segundos.
Rpta.: D
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
641
Pág.
72
640
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2018-II
Un cuerpo de peso igual a W kg es desplazado a lo largo de un piso horizontal a
una velocidad constante por una fuerza de magnitud
y dirigida en un ángulo
de
radianes con respecto al plano del piso. Si
, donde
es un ángulo agudo, ¿cuál es la mínima fuerza que se puede aplicar al cuerpo?.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: B
7.
Halle el dominio de la función real f definida por
A)
B)
D)
E)
C)
Solución:
Rpta.: A
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
642
Pág.
72
641
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo 2018-II
La temperatura expresada en grados centígrados en una ciudad, está descrita por la
función T definida por
, a > 0. Calcule la temperatura
mínima.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: C
9.
La función real f está definida por
.
Si M es el valor máximo que puede tomar f, calcule el valor de
A) 30
B) 32
C) 28
D) 25
E) 35
Solución:
y
Rpta.: A
10. El número de horas de luz solar en una época del año se determina por la función
, para t en días, y
corresponde al 1 de enero.
Halle el día más largo.
A) El día 170 del año
C) El día 171 del año
E) El día 173 del año
Semana Nº 15
B) El día 172 del año
D) El día 169 del año
(Prohibida su reproducción y venta)
643
Pág.
72
642
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
La población de conejos en el tiempo
t
en años está dado por la función
. Si la población de conejos fluctúa durante ciclos de 10
años, halle el valor de t donde por primera vez su población es mínima.
A) Al cuarto año
D) Al quinto año
B) Al tercer año
E) Al sexto año
C) Al séptimo año
Solución:
Rpta.: D
2.
La fuerza electromotriz, en voltios, en cierto circuito de corriente alterna está dada
por la función real E definida por
, donde t se mide en
segundos. Si T y M denotan el periodo y el máximo valor que toma la función E,
respectivamente, calcule
.
A)
B) 4
C)
D) 3
E) 2
Solución:
Rpta.: E
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
644
Pág.
72
643
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2018-II
Sean A y T la amplitud y el periodo, respectivamente de la función real f definida
por
A)
. Halle
B)
C) 7
.
D) 9
E) 6
Solución:
Rpta.: C
4.
Halle el dominio de la función real f definida por
A)
B)
C)
D)
.
E)
Solución:
Rpta.: E
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
645
Pág.
72
644
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2018-II
Sea la función real f definida por
. Si
.es el rango de f,
halle
A) 8
B) 5
C) 7
D) 9
E) 6
Solución:
Rpta.: A
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
646
Pág.
72
645
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
16
semana
646
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
FUNCIÓN COTANGENTE
Dom  f   x 
se define por f  x   cot x 

La función cotangente f :
/ x  k , k 


 k ,k 

cos x
senx
Ran  f  
PROPIEDADES
1)
f  x   cot x es una función periódica y su periodo mínimo es T   , es decir,
cot  x     cot x , para todo x en su dominio.
2)
f  x   cot x es una función decreciente en cada intervalo de su dominio.
GRÁFICA
Construimos la tabla
x
0
f  x   cot x

6
3

4
1

3
3
3

2
0
2
3
3

3
3
4
5
6
1
 3
FUNCIÓN SECANTE
La función secante f :
Semana Nº 16

se define por f  x   sec x 
(Prohibida su reproducción y venta)
1
cos x
648
Pág.
64
647

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

Dom  f   x 

/ x   2k  1
Ciclo 2020-I


,k  
2




  2k  1 ,k  
2


/ y   1  y  1   , 1  1, 
sec x   1  sec x  1
Ran  f   y 
PROPIEDAD
f  x   sec x es una función periódica y su periodo mínimo es T  2 , es decir,
sec  x  2  sec x , para todo x en su dominio.
GRÁFICA
Construimos la tabla

x

2
f  x   sec x


3

2
x
2
3
3
4
f  x   sec x
2
 2

4
2
5
6
2 3

3

6
2 3
3


1
0

6
1
2 3
3
7
6
2 3

3

4

3

2
2
2
5
4
4
3
 2
2
3
2
FUNCIÓN COSECANTE
La función cosecante f :
Dom  f   x 
Semana Nº 16

/ x  k , k 
se define por f  x   csc x 


 k ,k 

(Prohibida su reproducción y venta)
1
senx
649
Pág.
64
648
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
/ y   1  y  1   , 1  1, 
csc x   1  csc x  1
Ran  f   y 
PROPIEDAD
f  x   csc x es una función periódica y su periodo mínimo es T  2 , es decir,
csc  x  2  csc x , para todo x en su dominio.
GRÁFICA
Construimos la tabla

6
0
x
f  x   csc x

4
2
2
x
7
6
5
4
f  x   csc x
2
 2
Semana Nº 16
4
3
2 3

3

3

2
2 3
3
1
3
2
1
2
3
2 3
3
5
3
2 3

3
(Prohibida su reproducción y venta)
3
4
5
6

2
2
7
4
11
6
 2
2
2
650
Pág.
64
649
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Dada la función real f definida por f  x   sec 2x  csc 2x , halle el complemento
del dominio de f.
 n
/ n  
4

 n
/ n  
2

A) 

C)  2n  1

B) 

/ n  
4

 n
/ n  
5

D) 
Solución:
f  x   sec 2x  csc 2x
2x   2n  1

2
2x  n
Luego 2x 
n
2
 x
n
4
 El complemento del dominio de f es
n
.
4
Rpta.: A
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
651
Pág.
64
650
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2020-I
La función real f está definida por f  x   csc 2 2x  4cot2x  9 . Halle el menor
valor entero que pertenece al rango f.
A) 4
B) 3
C) 7
D) 6
Solución:
f  x   csc 2 2x  4 cot 2x  9
f  x   1  cot 2 2x  4cotgx  9
f  x   cot 2 2x  4cot2x  10
f  x    cot2x  2   6
2
 cot 2x  2 2
 0
 cot 2x  2 2  6
 6
y  6
El menor valor entero del rango de f es 6.
Rpta: D
3.
En una ciudad la temperatura del día está dada por la función T definida por

 t 
 t 
T  t   cot    tan   , t  0,
donde t es el tiempo en horas. Si el registro de
6
2
2
la temperatura es después de la medianoche ¿a qué hora la temperatura será de
2°C?
A) 00:20 am
B) 00:10 am
C) 00:15 am
D) 00:40 am
Solución:
 t 
 t 
T  t   cot    tan  
2
2
T  t   2cot  t   2
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
652
Pág.
64
651
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
cot  t   1
t 

1
 t h
4
4
La hora es 00:15 am.
Rpta.: C
4.
La fábrica ―MEMORY‖ produce y vende semanalmente chip de memoria que está
modelada por la expresión V  x   400 3  csc 2x  cot2x  en miles de unidades


 x  . ¿Cuántos chip de memoria se produjeron y
6
3
vendieron en dicha semana?
aproximadamente, donde
A) 400 mil unidades
B) 350 mil unidades
C) 200 mil unidades
D) 450 mil unidades
Solución:
V  x   400 3  csc 2x  cot 2x 
V  x   400 3 tan x
Como


 x 
6
3
 tan

1


 tan x  tg
6
3
 tan x 
3
3
 400  400 3 tan x  1200
 Vmin  400.
Rpta.: A
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
653
Pág.
64
652
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
La función f  t   2 3 csc
Ciclo 2020-I
t
t
 cot
8
8
modela la producción de cajas de
chocolates en miles de unidades diariamente.
 40 
Sabiendo que t  8,
 . ¿Cuál es la máxima producción?
 3 
A) 6000
B) 5000
C) 3000
D) 2500
Solución:
Simplificando f(t) usando:
A
csc A  cot A  cot  
2
 t 
 f  t   2 3 cot  
 16 
De: 8  t 
40
3

...
1

t
5


2
16
6
 t 
  0 
 16 
Luego:  3  cot 
Por 2 3 :
 t 
3  cot    0
 16 
6  f t  0
 La producción máxima será de 6000 cajas de chocolates.
Rpta: A
6.
   t  4 
La función real f definida por f  t   60  30cot 2 
 describe la trayectoria
16


de un insecto en cm, donde t denota el tiempo en minutos. Si 8  t  16 ,
calcule la diferencia entre la máxima y mínima altura que alcanza el insecto con
respecto al suelo en ese lapso de tiempo.
A) 50 cm
Semana Nº 16
B) 20 cm
C) 30 cm
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 40 cm
654
Pág.
64
653
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
   t  4 
f  t   60  30 cot 2 

 16 
8  t  16
  t  4

3


4
16
4
cot
   t  4 

3
 cot 
  cot
4
4
 16 
   t  4 
1  cot 
  1
 16 
   t  4 
0  cot 2 
  1
 16 
   t  4 
0  30 cot 2 
  30
 16 
60  f  t   90
 La diferencia entre la máxima y mínima altura es 30 cm.
Rpta: C
7.

Sea f la función real definida por f  x   2  csc  2x 




 cot  2x   . Si

2
2

  7 
x   ,  , halle la diferencia entre el máximo y mínimo valor de la función f.
3 6 
A) 4  2 3
Semana Nº 16
B) 4  2 3
C) 4
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 4 3
655
Pág.
64
654
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:


 




f  x   2   csc  2x    cot  2x     2  cot  2x  
2
2 
4





7

 11
 x 

 x 
Como
aplicamos cot (decreciente)
3
6
12
4
12
 




 cot      cot  x    cot
12 
4
12




  2  3  cot  x    2  3
4



  3  2  cot  x    4  3
4



Luego la diferencia es 4  3   3  4  2 3 .
Rpta: B
8.
Una población de bacterias P  t  (en millones) es introducido en un cultivo de
laboratorio y es modelada por la función
 

 
  

P  t   500 3 cot  t    tan  t    , t   , 
 12 6 
 12  
  12 
donde t es el tiempo en horas, ¿cuál será la población máxima de bacterias en el
intervalo de tiempo indicado?
A) 3000 millones
B) 1500 millones
C) 4000 millones
D) 2000 millones
Solución:
Como






cot  t    tan  t    2csc  2t  
6
 12 
 12 

entonces


P  t   1000 3 csc  2t  
6

Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
656
Pág.
64
655
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Luego:
si





 t 

 2t 
12
6
6
3



 2t  
3
6
2




 csc    csc  2t    csc  
6
2

3

2

 1  csc  2t   
6

3
 2 


 1000 3  1000 3 csc  2t    1000 3 

6

 3
 1000 3  P  t   2000
Población máxima: 2000 millones
Rpta: D
9.


Si la función real f definida por f  t   12sec  Bt   modela el movimiento
4

periódico de una partícula, donde t denota el tiempo en segundos. Si


f 1  24 tan
y
 B   , determine el periodo de la función f.
4
4
A)
21
5
B)
24
7
C)
16
5
D)
19
4
Solución:

2

f 1  12sec  Bt    T 
4
B

f 1  24
1


24  12sec B 1  
4



sec  B    2
4

Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
657
Pág.
64
656
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
B
Ciclo 2020-I
 
7

 B
4 3
12
En 1 : T 
24
.
7
Rpta: B
senx
x
 csc 2    1, 0  x  2 .
x
2
2sen2  
2
Determine el intervalo para el cual la función es negativa.
10. Sea la función real f definida por
A)  ,
3
2
B)
3
,2
2
f x 
C)

,
2
D) 0,

2
Solución:
Del enunciado:
x
x
2sen   cos  
2
 2   cot 2  x 
f x 
2
x
 
2sen2  
2
 

 x 
x
f  x   cot    cot    1 
 2
2

Luego:
 x   x  
x
cot   cot    1  0   1  cot    0
 2  2 
2

x
3
3


   x 
2
2
4
2
 El int ervalo buscado es ,
3
.
2
Rpta: A
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
658
Pág.
64
657
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Sea la función f definida por f(x) 
sen(2020x)
 cos 4x. Halle el dominio de f
csc 6x  cot 6x
A)
 n


/ n 
7

B)
 n


/ n 
6

C)
 n


/ n 
4

D)
 n


/ n 
3

Solución:
Sea f(x) 
f(x) 
sen(2020x)
 cos 4x
csc 6x  cot 6x
sen(2020x)
 cos 4x
tan3x
Cálculo del dominio de f
sen3x  0  cos3x  0  sen6x  0
x
n
, n
6
Por lo tanto Dom(f) =
 n


/ n 
6

Rpta: B
2.
Si a,b es
el
rango
de
f(x)  2csc 2x  csc 2 2x  3cos
A) 1
la
Solución:
f(x)  2csc 2x  csc 2 2x  3cos
real
f
definida
por
5
 
5
,
 x 
. Calcule  a  b  .
2 8
12
C) 4
B) 1
función
D) 6

2
f(x)  csc 2 2x  2csc 2x
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
659
Pág.
64
658
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
f(x)   csc 2x  1  1
2
5

 x 
8
12
5

 2x 
4
6
1  csc 2x  2
0  csc 2x  1  1
0   csc 2x  1  1
2
1  y  0  a  1 , b  0
Luego:  a  b   1
5
Rpta: A
3.
Halle el periodo de la funcion real f definida por f(x)  1  tan2 3x  csc 2 3x
A)

5
B)

3
C)

4
D)

6
Solución:
f(x)  1  tan2 3x  csc 2 3x
f(x)  sec 2 3x csc 2 3x
f(x) 
4
 2 sen3x cos3x 
2
f(x)  4 csc 2 6x
Luego : T 

6
Rpta: D
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
660
Pág.
64
659
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2020-I
El número de personas contagiadas diariamente en decenas del Covid 19 en un
país sudamericano está modelada por la función real f definida por
 t 
 t 
 t 
f(t)  9csc 2 
 6 sen   csc 2 

  5 , donde t denota el tiempo en días. Si
 24 
 12 
 24 
6  t  8 , ¿Cuántas personas contagiadas como máximo se espera
diariamente?
A) 200
B) 250
C) 300
D) 340
Solución:
 t 
 t 
 t 
f(t)  9csc 2 
 6 sen   csc 2 

5
 24 
 12 
 24 

1
 t  
 t 
 t 
f(t)  9 1  tan2 
cos 
.
 6. 2sen 
5




 24  
 24 
 24  sen2  t 

 24 




 t 
f(t)  3cot 
 2

 24 


2
6  t  8


 t 
 


4
3
 24 
3
 t 
1  cot 


3
 24 
 t 
3  3 cot 
 
 24 
3
 t 
5  3 cot 
2 
 24 

3 2

2
3 2
 f(t)  25
Por lo tanto, el número de personas contagiadas como máximo es 250.
Rpta: B
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
661
Pág.
64
660
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2020-I
La cantidad de pantalones que produce una empresa textil está dada por la función
f definida por f(x)  tan x  cot x  sec 2 x  csc 2 x en miles de unidades donde
n
x
/ n  . ¿Cuál es la mínima cantidad de pantalones que produce dicha
2
empresa?
A) 1500
B) 1800
C) 2000
D) 2500
Solución:
n
/ n
2
f(x)  tan x  cot x  sec 2 x  csc 2 x
x
f(x)  tanx  cot x  1  tan2 x  1  cot 2 x
f(x)   tan x  cot x    tan x  cot x 
2
2
1
1

f(x)   tan x  cot x    ..........(1)
2
4

Se sabe que: tan x  cot x   2  tan x  cot x  2
tan x  cot x 
1
3
1
5
 
 tan x  cot x  
2
2
2
2
2
2
1
9
1
25


 tan x  cot x  2   4   tan x  cot x  2   4




2
1
9

 tan x  cot x  2   4


f(x)  2
Por lo tanto, la empresa produce 2000 pantalones como mínimo.
Rpta.: C
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
662
Pág.
64
661
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
La función F es real y está definida por F(x)    4sec 2 x . Halle T + M, donde T es el
periodo de F y M es el menor número entero que pertenece al rango de F.
A)  + 7
B)  + 8
C) 2 + 7
D)

7
2
Solución:
T
sec 2 x  1  4 sec 2 x  4    4 sec 2 x    4
F(x)    4
Rango de F     4,   M  8
T  M    8
Rpta.: B
2.
La función real F está definida por F(x)  2csc 2x  x 1  4  2x . Si el dominio de
F es [a,b]  {c} , halle c  ba .
A) 
B)

2
C)
3
2
D) 2
Solución:
2
F(x) 
 x  1  4  2x
sen2x
Si sen2x  0, x  1  0 y 4  2x  0,
entonces x pertenece al dominio de F
x  1 x  2  1  x  2
k
,
2
(estos valores de x no pertenecen al dominio)
Si sen2x  0, entonces, 2x  k  x 
k
k  0, x  0, k  1, x 

2

 Dom(F)  [1,2]   
2
Finalmente, como a  1, b  2 y c 
c  ba 

2
 1
2  
2
Rpta.: A
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
663
Pág.
64
662
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-II
  5 
3 + cotx, x   ,  . Si a es el mayor entero
6 6 
que pertenece al rango de f y b es el menor entero en el rango de f, halle a – b.
La función real f está definida por f(x) =
A) 3
B) 2
C) 1
D) 4
Solución:
  5 
f(x)  3  cotx, x   , 
6 6 
  5 
La función cotangente es decreciente en el intervalo  ,  , entonces,
6 6 


5
5
x
 cot  cotx  cot

6
6
6
6
3  cotx   3   3  cotx  3 
0  3  cotx  3  0  F(x)  2 3
 Ran(f )  0, 2 3 


Números enteros que pertenecen al Ran(f): 0, 1, 2 y 3
mayor entero: 3  a
menor entero: 0  b, entonces, a  b  3  0  3
4.
Rpta.: A
2

1  2
Una empresa minera exporta M(x)   tan x 
   miles de toneladas de
3  3 


 
minerales procesadas en x meses  x  0,   . ¿Cuál fue la máxima cantidad de
 6

minerales procesados qué exportó?
A) 2000 t
B) 3000 t
C) 2500 t
D) 1500 t
Solución:
Como 0  x 
 0  tan x 

1
3

6
1
3
 tan x 
1
3

2
3
2

1 
1 
4
  tan x 


3 
3
3
2
1 
2

1   tan x 
 3 2
3

M(x)
Exportó 2000 toneladas.
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
Rpta.: A
664
Pág.
66
663
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-II
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
I.
Si x  , f(cos x)  senx  f es una función.
1 
II. El periodo de la función real f, definida por f(x) = 5cot  x  , es igual a 2.
2 
III. Si x  k, h(cotx)  csc 2 x  h es una función.
A) FVV
B) VFV
C) VVV
D) FVF
Solución:
Del enunciado:

I. Para x  , tenemos f (0)  1.
2
3
Para x 
, tenemos f (0)  1.
2
II. Periodo es 2
III. Tenemos:
h(y)  y2  1, y  .
Rpta.: A
6.

5
t
, donde t denota el tiempo
4
6
en segundos, describe la altura en centímetros a la que se encuentra una partícula
con respecto al suelo. Calcule la suma de la mínima y máxima altura que puede
alcanzar la partícula.
La función real F definida por f(t) = 11cot 2t  80,
A) 160 cm
B) 198 cm
C) 150 cm
D) 193 cm
Solución:
F(t)  11cot 2 t  80

5

5
t
 cot  cot t  cot
4
6
4
6
1  cot t   3
0  cot 2 t  3
0  11cot 2 t  33
80  cot 2t  80  113
80  f(t)  113
Luego, la suma de la mínima y máxima altura que puede alcanzar la partícula es
193 cm.
Rpta.: D
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
665
Pág.
67
664
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2019-II
Hallar el número N del cual se sabe que su 75% es igual a (900∙A) donde A es el valor
4  cotx
 
, x ,  .
máximo de la función real F definida por F(x) =
2  cotx
6 4
A) 2000
B) 1800
C) 1600
D) 1900
Solución:
2  (2  cotx)
2

1
2  cotx
2  cot x
2
F(x) 
1
2  cotx




Por dato :  x   cot  cotx  cot  3  cotx  1  2  3  2  cotx  3 
6
4
6
4
1
1
1
2
2
2
2
2
5

 

 
 1
 1 
2  cotx
3
2  3 2  cotx 3
2  3 2  cotx 3
2 3
F(x) 
F(x)
Por lo tanto, el valor máximo de F es
5
5
, luego, A =
3
3
5
75% de N = 900   = 1500 de donde N = 2000
3
Rpta.: A
8.


  2 
La función F es real y está definida por F(x) = 3  cos  csc x , x   ,  . Halle la
6 3 
2

suma de los números enteros que pertenecen al rango de la función F.
A) 4
B) 5
C) 3
D) 6
Solución:

2
 
i) Si  x 
entonces 1  csc x  2    csc x  
6
3
2 2
 
ii) Enel intervalo  ,   la función coseno es localmente decreciente, luego,
2 



cos    cos   csc x   cos  
2
2



0  cos   csc x   1 
2



 1  cos   csc x   0 
2



2  3  cos   csc x   3 
2

2  F(x)  3 
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
666
Pág.
68
665
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Por lo tanto, Ran(F)  [2,3]
Enteros que pertenecen al rango de F: 2 y 3 cuya suma es 5.
Rpta.: B
9.
Determine la suma de las abscisas de los puntos de intersección de los gráficos de
las funciones reales F y G definidas por:
F( x )  senx  sec x, x  [, ]
G( x )  cos x  csc x, x  [, ]
A) 1
B) 0
C) 2
D) 3
Solución:
F(x)  tan x, x  [ , ]
G(x)  cotx, x  [ , ]
tan x  cotx  tan x  1 
2
sen2 x
2
cos x
 1  2sen2 x  2cos2 x 
1  cos 2x  1  cos 2x  cos 2x  0  2x  (2k  1)

2

 x  (2k  1) ,k 
4

3
5
k  0, x  ; k  1,x 
; k  2,x 
(no sirve)
4
4
4

3
5
k  1, x   ; k  2, x   ; k  3, x   (no sirve)
4
4
4
Son 4 puntos de intersección cuyas abscisas son
 3 
3
, , y 
4 4
4
4
 3     3 
La suma de las abscisas es 
 
 
0
4 4  4   4 
Rpta.: B

 
3  2senx, x   2 ,  



10. Sea F la función real definida por F(x) = 
. Halle la suma de los
5



3  5 tan x, x  ,
 4




números enteros que pertenecen al rango de la función F.
A) 30
Semana Nº 16
B) 31
C) 32
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 33
667
Pág.
69
666
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:


i)
 x    sen  senx  sen 
2
2
1  senx  0  0  senx  1 
0  2senx  2  3  3  2senx  5 
5
5
 tan   tan x  tan

4
4
0  tan x  1  0  5 tan x  5 
ii)   x 
3  3  5 tan x  8  3  F(x)  8
Por consiguiente, el rango de F es [3,8] y los números enteros en su rango son 3, 4,
5, 6, 7 y 8 cuya suma es 33.
Rpta.: D
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
La función real F está definida por F(x) = 3 csc(2x)  5 ; halle la suma de los números
enteros que no pertenecen al rango de F.
A) 25
B) 27
C) 33
D) 35
Solución:
csc 2x  1  csc 2x  1
3 csc 2x  3  3 csc 2x  3
3 csc 2x  5  8  3 csc 2x  5  2
 F( x )  8  F( x )  2
2
8
Los números enteros que no pertenecen al rango de F son 3, 4, 5, 6 y 7 cuya suma
es 25.
Rpta.: A
2.
 2x 
cot  
 3   5 . Halle la suma de los números
La función real F está definida por F(x) =
4  cos 2x
 3 
,3 y no están en el dominio de F.
que pertenecen al intervalo 
 2

A) 3
B) 2
C) 0
D) 
Solución:
 2x 
cot  
 3   5 . Para cualquier valor de x, 4 + cos2x  0
y  F(x) 
4  cos 2x
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
668
Pág.
70
667
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
2x
3k
 2x 
 k  x 
Si sen    0 x no pertenece al dominio de F;
,k
3
2
 3 
 3k

 Dom(F)  R  
,k  
 2

k  0, x  0
3
2
k  2, x  3
k  1, x 
9
(no sirve)
2
3
k  1, x  
2
k  2, x  3 (no sirve)
k  3, x 
3
3
 3

, 8 y no pertenecen al
, 0,
y 3 pertenecen al intervalo 
2
2
 2

dominio de F; la suma de los números mencionados es 3.
Rpta.: A
Los números 
3.
La edad de Juan es (2A) años y la de Pedro es (3B) años. Si A y B representan el
valor máximo y el valor mínimo, respectivamente, de la función real F definida por
  
F(x)  9 tan2 x  5 , x   ,  ; ¿en cuánto excede la edad de Juan a la de Pedro?
 6 4
A) 13 años
B) 12 años
C) 14 años
D) 15 años
Solución:
Observando el gráfico de la función tangente podemos afirmar que ella es localmente
  


 

creciente en el intervalo  ,  , luego,   x   tan     tan x  tan  
6
4
 6
4
 6 4
1

 tan x  1  0  tan2 x  1  0  9 tan2 x  9  5  9 tan2 x  5  14  5  F(x)  14
3
máx(F)  14  A, mín(F)  5  B
Edad de Juan  2(14)  28 años
Edad de Pedro  3(5)  15 años
Exceso  28 años  15 años  13 años
Rpta.: A
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
669
Pág.
71
668
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-II




La función real F está definida por F(x)  8sen   tgx   4,   x  . Si [a,b] es el
4
4
6

rango de F, hallar ba .
A) 1
B)
1
2
C)
3
2
D) 2
Solución:
  
En el intervalo   ,  la función tangente es localmente creciente, esto es,
 4 4


 

  x   tan     tan x  tan  
4
4
 4
4
 

 1  tan x  1    tan x 
6 6
6




En el intervalo   ,  la función seno es localmente creciente, luego,
 6 6
 


 


  tan x   sen     sen  tan x   sen
6 6
6
6
 6
6


1

 1


 sen  tan x    4  8sen  tan x   4 
2
6
 2
6



0  8sen  tan x   4  8  0  F(x)  8
6

 Ran(F)  [0,8], por consiguiente,
ba  8 0  1
Rpta.: A
5.
1 
El gráfico de la función real F(x)  2csc  x  se muestra en la figura adjunta, halle a
2 
+ b + c + d + e + h.
y
A) 10
y=e
B) 10 – 2
x
C) 8 + 2
O
a
b
c
d
y= h
D) 910
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
670
Pág.
72
669
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Solución:
Ciclo 2019-II
y
Periodo T = 4
Del gráfico:
a
b  2
c  3
d  4
e2
h  2
Luego: a + b + c + d + e + h = 10
y=2
O

x
2 3 4
y= 2
Rpta.: A
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
671
Pág.
73
670
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Dada la función real f definida por
f(x)  5[ tg( 5x 
3

)  ctg( 5x  ) ] ,
2
2
halle el complemento del dominio de f.
n
/ n }
4
n
D) {
/ n }
8
n
/ n }
5
n
E) {
/ n }
12
A) {
B) {
C) {
n
/ n }
10
Solución:
3

)  ctg( 5x  ) ]   5( ctg5x  tg 5x )
2
2
f(x)  10 csc10 x
f(x)  5[ tg( 5x 
x Dom(f )  sen10x  0  10x  n, n 
 ( Dom(f ) )'  {
n
/ n
10
 x
n
, n
10
}.
Rpta.: C
2.
Halle el rango de la función real f definida por f(x)  12ctg3x  csc 6x .
A) [ 6,   
B)  1,   
C) [1,   
D)  6,   
E)  3,   
Solución:
f(x)  12ctg3x  csc 6x 
12cos 3x
6

 6 csc 2 3x, 6x  n, n 
2
2
2 sen 3x  cos 3x sen 3x
 csc 2 3x  1  6 csc 2 3x  6
 Ran(f )   6,   .
Rpta.: D
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
672
Pág.
67
671
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-I
Halle el dominio de la función real f definida por


f(x)  cos 1 x 2  csc 4x  ctg2x sec 4x .


B) [  1, 1 ]  { 0,  , 
}
8
24


D) [  1, 1 ]  { 0,  ,  }
12
4
3

, }
16
4


C) [  1, 1 ]  { 0, 
, }
24
4


E) [  1, 1 ]  { 0,  ,  }
8
4
A) [  1, 1 ]  { 0, 
Solución:


f(x)  cos 1 x 2  csc 4x  ctg2x sec 4x
x Dom(f )  1 x 2  0  sen 4x  0  sen 2x  0  cos 4x  0
x [  1, 1 ]  sen 8 x  0  x [  1, 1 ]  8 x  n, n 


 x [  1, 1 ]  x  0,  , 
8
4


 Dom(f )  [  1, 1 ]  { 0,  ,  }
8
4
Rpta.: E
4.
En una ciudad, la temperatura del día en °C está dada por la función real T definida

3
por T  t   4ctg2 t  11,
, donde t es el tiempo en horas. Calcule la suma
 t 
3
4
de la máxima y mínima temperatura en °C.
A) 22°C
B) 23°C
C) 26°C
D) 25°C
E) 24°C
Solución:

3
 t 
3
4

ctg

3
 ctgt  ctg
3
4
3
 ctgt   1  0  ctg2 t  1  0  4ctg2t  4
3
 11  4ctg2 t  11  15
 11  T  15
Luego, la suma de la máxima y mínima temperatura es 26°C.
Rpta.: C
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
673
Pág.
68
672
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-I
El nevado Alpamayo que se encuentra en el Parque Nacional Huascarán, en la Región
Ancash, es considerado el más bello del mundo. Calcule la altura del nevado si está
modelada por la función real f definida por f(x)  5948  sec x en metros, donde

 x 
  .
8 2 6
A) 5 945 m
B) 5 947 m
C) 5 950 m
D) 5 942 m
E) 5 949 m
Solución:
 x 


    x 
 1 sec x  2   2   sec x   1
8 2 6
4
3
 5 946  5948  sec x  5 947

La altura del nevado es 5 947m.
Rpta.: B
6.


2  cos  4t  
3

La función real f definida por f(t) 
determina la altura (en metros)

2
sen  2t  
6

 
de un dron con respecto al suelo en el cual t  0,  representa el tiempo en minutos.
 6
¿Cuál es la altura máxima que alcanza el dron?
B) 5 m
A) 4,75 m
C) 7,5 m
E) 6 m
D) 7 m
Solución:
Tenemos


2  cos  4t  
3

f(t) 


sen2  2t  
6


f(t) 
1


sen2  2t  
6

Como 0  t 



6

2


1  1  cos  4t  
3

f(t) 


sen2  2t  
6





1  2sen2  2t  
6

f(t) 


sen2  2t  
6



f(t)  csc 2  2t    2
6


 
 2t  
6
6 2



1  csc  2t    2
6



3  csc 2  2t    2  6
6

Luego, la altura máxima que puede alcanzar el dron es de 6m.
Rpta.: E
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
674
Pág.
69
673
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2019-I
Las oscilaciones de una pesa está determinada por la función real f definida por
t
 10 en centímetros, t en segundos. Para una distancia de 30
6
centímetros, halle el número de oscilaciones en un intervalo de 30 segundos.
f(t)  20 sec
A) 3 veces
B) 5 veces
C) 4 veces
D) 6 veces
E) 2 veces
Solución:
t
t
 10  30  sec  2
6
6
t  5 7 11 13
  ,
,
,
,
 t  2 , 10, 14, 22, 26
6 3 3 3
3
3
f(t)  20 sec
Luego, el número de oscilaciones en 30 segundos es 5.
Rpta.: B
8.
El mínimo valor de la función real f definida por f(x)  tg2 x  ctg2 x  8 en metros es
el ancho de un terreno de forma rectangular y el valor de la función real g definida
por g(x)  6( sec 2 2x  csc 2 2x )sen2 4x en metros es el largo del mismo terreno. Si
el costo de cada metro cuadrado es 600 soles, halle el precio del terreno.
A) S/ 144 000
B) S/ 145 000
D) S/ 130 000
E) S/ 160 000
C) S/ 150 000
Solución:
Ancho : 2  tg2 x  ctg2 x  10  tg2 x  ctg2 x  8
Luego el ancho es 10 m
L argo: g(x)  6 ( sec 2 2x  csc 2 2x ) sen2 4x  6 ( sec 2 2x  csc 2 2x ) sen2 4x
 6 ( 4 )csc 2 4x  sen2 4x  24
Luego el largo es 24 m
El cos to del terreno  10 ( 24 )( 600 )  144 000 soles.
Rpta.: A
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
675
Pág.
70
674
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2019-I
El voltaje instantáneo para un sistema eléctrico está dada por la función real


2 2
E(t)  
voltios; t en segundos. ¿Después de cuántos segundos el
 sen2t  cos2t 


voltaje tomará su valor mínimo?
A)

s
5
B)

s
2
C)
3
s
2
D)

s
8
E)

s
6
Solución:
Expresando E(t) en forma simple

sen2t  cos 2t  2 sen2t 


sen2t  cos 2t  2sen  2t 

invirtiendo :
1

sen2t  cos 2t
1
2






cos 2t   2 sen2t  cos  sen cos 2t 
4
4
2



1

4 
1
2 2



 2csc  2t  

sen2t  cos 2t
4


2 sen  2t  
4



 E(t)  2csc  2t  
4





Como csc  2t    1  csc  2t    1
4
4


 E(t)  2  E(t)  2
por la naturaleza del fenómeno eléctrico, solo se da


E(t)  2csc  2t    2
4



csc  2t    1
4



mínimo cuando csc  2t    1
4

 

2t    t  seg.
4 2
8
Rpta.: D
10. Las funciones reales f, g definidas por f(t)  3 et sec
2
t
2
y g(t)  5 et tg t , t tiempo en
horas, modelan el crecimiento de dos tipos de bacterias en miles. Halle la razón de
crecimiento del primer tipo de bacterias con respecto al segundo tipo, después de 8
horas.
A)
3 6
e
5
Semana Nº 16
B)
3 5
e
5
C)
3 8
e
5
D)
3 4
e
5
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
3 2
e
5
676
Pág.
71
675
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
2
f(8) 3 e8 sec 8 3 8 (sec2 8 

 e
2
g(8)
5
5 e8 tg 8
tg2 8 )

3 8
e .
5
Rpta.: C
EJERCICIOS
1.
Halle el complemento del dominio de la función real f definida por
f(x)  tg2 2x  ctg2 2x  tg4x .
n
/ n }
4
n
D) {
/ n }
6
n
/ n
8
n
E) {
/ n
2
A) {
B) {
}
C) {
n
/ n
3
}
}
Solución:
f(x)  tg2 2x  ctg2 2x  tg 4x
x Dom(f )  cos 2x  0  sen 2x  0  cos 4x  0
 sen 4x  0  cos 4x  0  sen 8x  0
 8x  n, n
 ( Dom(f) )'  {
n
/ n
8
 x
n
, n
8
}
Rpta.: B
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
677
Pág.
72
676
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2019-I
Halle el rango de la función real f definida por f(x)  sec 2
A) [ 2,   
B) [1,   
C) [ 3,   
x
x
 csc 2 , x [ , 2 .
4
4
D)  2,   
E) 1,   
Solución:
f(x)  sec 2
x
x
x
x
 csc 2  sec 2  csc 2 
4
4
4
4
x
, x [  , 2  
2
 x
x
  x  2 
    1  csc
2 2
2
 Ran(f )  [ 2,   .
4

x
x
( 2 sen  cos )2
4
4
4 csc 2
x
2
f(x)  2 csc
 2  2 csc
x
2
Rpta.: A
3.


 t  , donde t denota
6
3
el tiempo en segundos, describe la altura en centímetros a la que se encuentra una
partícula con respecto al suelo. Halle la máxima altura que puede alcanzar la partícula.
La función real f definida por f(t)  4csc 4 t  16ctg2t  64,
A) 150 cm
B) 158 cm
C) 176 cm
D) 174 cm
E) 170 cm
Solución:


 t
6
3
4
2
f(t)  4 csc t  16 ( csc t  1)  64  4 csc 4 t  16 csc 2 t  48
f(t)  4 csc 4 t  16 ctg2t  64,
f(t)  4 ( csc 2 t  2)2  32


2
4
10
Luego,  t  
 csc t  2   csc 2 t  4   csc 2 t  2  6
6
3
3
3
3
100
400
 ( csc 2 t  2 )2  36 
 4( csc 2 t  2 )2  144
9
9
688

 4( csc 2 t  2 )2  32  176
9
La máxima altura que puede alcanzar la partícula es 176 cm.

Rpta.: C
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
678
Pág.
73
677
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-I
La edad de Miguel es el triple de la edad de Mateo. Si la edad de Mateo está
determinado por el valor que toma la función real
f
definida por
2
2
f(x)  4( ctg2x  tg2x )  16ctg 4x , halle la edad de Miguel.
A) 30 años
B) 60 años
C) 45 años
D) 48 años
E) 36 años
Solución:
f(x)  4( ctg2x  tg2x )2  16 ctg2 4x  4( 4 csc 2 4x)  16 ctg2 4x  16
Edad de Miguel  3(16 )  48 años.
Rpta.: D
5.
Halle el complemento del dominio de la función real f definida por
f(x) 
sen 2x  cos 2x
.

sec 3x  csc
6

A) { ( 6n  1) / n }
3

C) { ( 3n  1) / n }
3

E) { ( 6n  1) , n }
9

B) { ( 6n  1) / n }
6

D) { ( 2n  1) / n }
6
Solución:
f(x) 
sen 2x  cos 2x

sec 3x  csc
6
x  Dom(f )  sec 3x  2  0  3x  2n 


 x  ( 6n  1) , n 
3
9

 ( Dom(f ) )'  { ( 6n  1) , n  }.
9
Rpta.: E
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
679
Pág.
74
678
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Si
es el rango de la función real
f definida por
,
halle
.
A) 10
B) 11
C) 14
D) 12
E) 13
Solución:
Rpta.: D
2.
Sea la función real f definida por
.
periodo de f, calcule el valor de
A) 8
B) 7
. Si T es el
C) 9
D) 6,5
E) 7,5
Solución:
Rpta.: B
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
680
Pág.
74
679
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
En una ciudad, la temperatura del día en
definida
oC
está dada por la función real T
, donde t es el tiempo en horas. Calcule la
diferencia entre la máxima y mínima temperatura en oC.
A) 11 oC
B) 7 oC
C) 8 oC
D) 10 oC
E) 9 oC
Solución:
Rpta.: E
4.
La edad de Willy es el triple de la edad de Pedro. Si la edad de Pedro está
determinada por el mínimo valor que toma la función real f definida por
en años, halle la edad de Willy.
A) 21 años
B) 18 años
C) 24 años
D) 27 años
E) 15 años
Solución:
El mínimo valor que toma f es 8 que es la edad de Pedro, en consecuencia, la edad
de Willy es de 24 años.
Rpta.: C
5.
El desplazamiento de una partícula está determinada por la función real f definida
por
en metros, donde t denota el tiempo en minutos tal que
. ¿Cuál es la diferencia entre la máxima y mínima distancia que se puede
alejar la partícula con respecto al eje horizontal?
A) 1 m
Semana Nº 16
B) 2 m
C) 0,5 m
D) 1,5 m
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 2,5 m
681
Pág.
74
680
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Solución:
Rpta.: A
6.
La fuerza electromotriz (en voltios) aplicada a un circuito eléctrico está dada por la
función real
, donde
t
denota el tiempo en segundos. Si
, ¿cuál será la mínima fuerza electromotriz aplicada al circuito eléctrico?,
A) 225 voltios
B) 215 voltios
C) 210 voltios
D) 222 voltios
E) 220 voltios
Solución:
Entonces, la mínima fuerza electromotriz aplicada al circuito eléctrico es de 222
voltios.
Rpta.: D
7.
Halle el complemento del dominio de la función real f definida por
.
A)
B)
D)
E)
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
C)
682
Pág.
74
681
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Solución:
Rpta.: B
8.
Halle el rango de la función real f definida por
A)
B)
D)
E)
C)
Solución:
Luego,
Rpta.: E
9.
En una ciudad la temperatura del día en grados centígrados está dada por la función
T definida por
, donde t es el tiempo en horas. Si el registro
de la temperatura se inicia desde la medianoche, ¿a qué hora la temperatura será
de
?.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: D
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
683
Pág.
74
682
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
10. Halle el rango de la función real f definida por
.
A) [ 1,
B)
C)
[
D)
9,
E)
[ 9,
Solución:
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Halle el dominio de la función real f definida por
.
A)
B)
D)
E)
C)
Solución:
Rpta.: E
2.
Halle el rango de la función real f definida por
.
A)
Semana Nº 16
B)
C)
D)
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
684
Pág.
74
683
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Solución:
Rpta.: A
3.
Si
es el rango de la función real f definida por
,
halle
A) 30
.
B) 28
C) 32
D) 34
E) 29
Solución:
Rpta.: C
4.
En un laboratorio de biología la función real P definida por
representa el número de bacterias en miles y t el tiempo en días. Si
inicio de la observación, ¿cuál es la población de bacterias al octavo día?.
A) 13 000
B) 9 000
C) 10 000
D) 11 000
es el
E) 12 000
Solución:
Rpta.: D
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
685
Pág.
74
684
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
La función real f definida por
describe la oscilación de una pesa en
centímetros, donde t denota el tiempo en segundos. Halle el periodo de f.
A) 15
B) 16
C) 14
D) 18
E) 13
Solución:
Rpta.: B
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
686
Pág.
74
685
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
17
semana
686
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS I
FUNCIÓN INVERSA DEL SENO (O ARCO SENO)
  
Es la función f: [ – 1, 1]   ,  definida por y = arc senx si y solo si x = seny
 2 2
x
y = arc senx
Dom(f) = [ – 1, 1]
  
Ran(f) =  , 
 2 2
–1
x
–
y

2
3
–
–
2

3
–
–
2
2

4
–
1
2
–

6
0
0
1
2
3

2

2


6
4
3
2
2
1
FUNCIÓN INVERSA DEL COSENO (O ARCO COSENO)
Es la función f: [ – 1, 1]  [0, ] definida por y = arc cosx si y solo si x = cosy
x
y = arc cosx
Dom(f) = [ – 1, 1]
Ran(f) = [0, ]
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
688
Pág.
39
687
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
–1
x

y
3
–
2
–
Ciclo 2020-I
–
1
2
0
1
2
2
3
2

6
2
5
2
3
2


2

6
4
3
2
3
4
1
0
FUNCIÓN INVERSA DE LA TANGENTE (O ARCO TANGENTE)
Es la función f : R 
x
 
 ,
2 2
definida por y = arc tgx si y solo si x = tgy
y = arc tgx
Dom(f) = R
y = arc tgx
 
Ran(f) =  ,
2 2
x
y
Semana Nº 17
– 3
–

3
–1
–

4
–
–
3
3

6
0
0
3
1
3

3


6
4
3
(Prohibida su reproducción y venta)
689
Pág.
40
688
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Halle la suma de las soluciones positivas de la ecuación
arctan(x)  arctan(1  x)  2arctan( x  x2 ) .
A)
3
2
B) 2
C)
1
4
D)
1
2
Solución:
  arctan x  tan   x
  arctan(1  x)  tan   1  x

  2arctan( x  x 2 )  tan    x  x 2
2

2 tan  
2
2  2 x x
 tan  
2 2

1  tan2   1  ( x  x )
2
 tan  
2 x  x2
x2  x  1
Como :       tan(  )  tan  
tan   tan 
 tan 
1  tan  tan 
x  (1  x) 2 x  x 2
 1  2 x  x 2  1  4x  4x 2
 2
1  x(1  x) x  x  1
1
 (2x  1)2  0  x  (raíz repetida)
2

Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
690
Pág.
54
689
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-II
1
  de las soluciones  .
2
Rpta.: D
2.
Simplifique la expresión



3
3   arc cos0
sen arccos  arctan
 arcsen  arccos
.

  



3
2
arcsen1






A) 1
B)

2
C) 2
D)
3
2
Solución:



3
3   arccos0
sen arccos  arctan
 arcsen  arccos


 


3 
2  
arcsen1






   2
 sen arccos    arcsen    
6
 6  

2

 sen    1
2
 2.
Rpta.: C
3.
Una regadera automática de agua en un parque se desplaza inicialmente un ángulo
 para poder mojar el césped, luego es modificado aumentando un ángulo . Si


3
 1 

cot   tan arcsen  
 arccos 





y
, determine tan .


 2 
6
13







A) 2 3
B) 2 2
C)
3
3
D)
3
2
Solución:


3
 1 
cot   tan arcsen  
 arccos 


 2 
 13  




3

1
 1 
arcsen  

 arccos 

 cos 


 2 
3
13
13




2 3
 3
3 3
 

1
cot   tan      

5
 3
 1  (  3 ).2 3
Luego:
5
1

3 2 3
     tan   3 3
5
1
6
1
.
3 3 3

Rpta.: A
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
691
Pág.
55
690
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2020-II
Una estatua está ubicada sobre un pedestal de 25 pies de altura. En el suelo, sobre
el mismo plano, desde un punto situado a 35 pies del pie del pedestal, la base de la
estatua con su parte más alta subtiende un ángulo igual a arc sen(0,6) . Calcule la
altura de la estatua.
A)
1110
pies
13
B)
1100
pies
13
C)
1110
pies
17
D)
1100
pies
17
Solución:
Sea   arcsen(0,6)  sen  
6 3
3
  tan  
10 5
4
25 5

35 7
Sea h la altura de la estatua, entonces
3 5

25  h 41
tan(    )  4 7 

 325  13h  1435
3 5
35
13
1 
4 7
1110
 h
pies
13
Por otra parte tan  
Rpta.: A
5.
Calcule el valor de la expresión

1
 1 
 40  
17cos2 arctan      5 tan  arcsen    .
 4 
 41  

2
A) 17
B) 22
C) 15
D) 20
Solución:

1
 1 
 40  
17cos2 arctan      5 tan  arcsen 

 4 
 41  

2
1
4
 1
Sea   arctan     tan    ,   IVC  cos  
4
17
 4
40
 4
 40 
  arcsen 
  sen   41  tan 2  5
 41 
 16 
4
Luego, 17    5    20.
 17 
5
Rpta.: D
6.
Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
  3 
Si x   ,
 , entonces arcsen(sen x )    x .
2 2 

 
ii. arc sen    arccos   
3
3 2
iii. arctan2x  2arctanx , x  0.
i.
A) VFV
Semana Nº 17
B) FVV
C) FFV
(Prohibida su reproducción y venta)
D) VFF
692
Pág.
56
691
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-II
Solución:
i. sen( x   )   sen x
 arcsen( sen( x   ))  arcsen(  sen x )
 x     arcsen(sen x )
   x  arcsen(sen x ) (V)


 
ii.  1  Dom(arcsen)  arcsen   no existe
3
3
3
 la proposición es falsa (F)

iii. Para x  1 se tiene arctan 2  2arctan1 
,
2

pero arctan no puede tomar el valor .
2
 la proposición es falsa (F).
Luego de i), ii) y iii) se tiene VFF.
Rpta.: D
7.
La función real f definida por f(x) 
A
 x

arccos   2  , x  10, 30 verifica f(25)  10 .

 10

 2A 
 A 
 arccos 
Determine el valor de arcsen 

 60  .
 60 


A)
5
12
B)
7
12
C)

2
D)
5
3
Solución:
10 
A
A
A  
 25

 1
arccos 
 2   10  arccos    10     A  30


 3
 10

2
 2A 
 2    5
 A 
 1
Luego, arcsen 
 arccos 
 arcsen    arcos 
   .


 60 
 2  6 4 12
2
 60 






Rpta.: A
8.
 3x  4 
Sea la función real f definida por f(x)  7arcsen 
  10csc (3x) . Si su dominio
 2 
6c
es [a,b]  {c} , calcule el valor de 3a  b 
.

A) 8
Semana Nº 17
B) 4
C) 6
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 5
693
Pág.
57
692
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-II
Solución:
x  Dom(f )   2  3x  4  2  3x  n, n  Z
2
n

 x 2  x , n Z
3
3
2 

 x   , 2   
3 
3 
 3a  b 
6c
6 
2
 3    2     6.

3
3
Rpta.: C
9.
Un tráiler se dirige de Sur a Norte tal como se muestra en la gráfica, ocurriendo un
accidente en el punto R. Un investigador determina que la trayectoria que sigue el
tráiler desde el punto R hasta el punto T, lugar donde se detiene el vehículo está
determinada por la función real f definida por f(x)  A arccos(Bx) , donde A y B son
positivos. Determine el valor de la expresión A  2B .
A) 6
(NORTE)
Y
4
B) 5
y= f(x)
C) 4
R
(OESTE)
2
D) 3
O
(ESTE)
2
(SUR)
Solución:
Evaluando el dominio de la función:
2  x  2   2B  Bx  2B   2B   1  B 
1
x
 f(x)  A  arccos  
2
2
Evaluando la función para x   2
f( 2)  A  arccos( 1)  4  A  arccos( 1)  4   A   4  A  4
x
Luego, f(x)  4  arccos  
2
 1
 A  2B  4  2    5.
2
Rpta.: B
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
694
Pág.
58
693
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-II
10. Las medidas de los lados de un terreno de forma rectangular son 5x y 10x en
metros, donde x es solución de la ecuación
 2
 2 
arctan(x  4)  arccos 
 arccos 
.
 2 
 13 


Si cada metro cuadrado del terreno cuesta 100 soles, halle el costo del terreno.
A) S/ 74 200
B) S/ 72 200
C) S/ 72 000
D) S/ 41 500
Solución:
 2

 2 
arctan(x  4)  arccos 
 arccos 
 arctan(x  4)   


 2 
4
 13 


2
3
 2 
donde   arccos 
 tan  
  cos  
2
13
 13 
3
1
1




2  2   1  x  19
Luego, x  4  tan     
5
5
5
4
 1 3
2
2
 19 
 19 
 Costo del terreno  5    10    100  S / 72200.
 5 
 5 
Rpta.: B
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
La distancia entre dos ciudades es 60x kilómetros, siendo x la solución de la
 2 
ecuación arctan( 2x  3 )  arctan(1)  arc sen 
 . Si un bus viaja con velocidad
 13 
constante de 60 kilómetros por hora, halle el tiempo en recorrer la distancia que
separa ambas ciudades.
A) 4 horas
B) 5 horas
C) 3 horas
D) 6 horas
Solución:

 2 
arctan( 2x  3 )  arctan(1)  arc sen 
  arctan( 2x  3 )  4  
 13 
2
2
 2 
donde   arc sen 
 tan  
  sen  
3
13
 13 
2
1
Luego, 2x  3  3  2x  3  5  x  4
2
1
3
La distancia entre las dos ciudades es 60x  240 km.
e 240
t 
 4 horas.
v 60
Rpta.: A
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
695
Pág.
59
694
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2020-II
Dada la función real f definida por f(x)  5arccos(sen6 x  cos6 x) , determine el
rango de f.


 1 

4 
A) 1 , 5 arccos 
 1 

 4 
B) 0, 5 arccos 


 1 
C) 0, 3 arccos   
4 



 1 
D) 0, 6 arccos   
 4 

Solución:
3
sen2 2x
4
3
3
1
3
Para x 
 0  sen2 2x  1     sen2 2x  0   1  sen2 2x  1
4
4
4
4
 3

 1
2
Así; 0  arccos  1  sen 2x   arccos  
 4

4
 3

 1
 0  5 arccos  1  sen2 2x   5  arccos  
 4

4

 1 
Ran(f)  0, 5  arccos   
 4 

Rpta.: B
sen6 x  cos6 x  1  3 sen2 x  cos2 x  1 
3.
Si
[ c, d]
es
el
rango
de
 4  x2
 1 

f(x)  arctan 

arctan


2
2 3 

A) 1
B)

4
la
función
real
f
definida
como

 sen 2c  cos d 
 , halle el valor de arcsen 
.

2



C)

3
D)

6
Solución:
 4  x2
 1 

f(x)  arctan 

arctan


2
2 3 

 4  x2 
5


 arctan 

12
2 


Por otra parte 4  x 2  0  4  x 2  0

 4  x2
  arctan( 2  3 )  arctan 


2


  4   x2  0  0  4  x2  4
 4  x2
4  x2
 0  4  x2  2  0 
 1  0  arctan 

2
2

 4  x 2  2
5 5



 arctan 

 3
12 12
2


 5  2 
 [ c, d]   , 
 12 3 
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)




 

 4

696
Pág.
60
695
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-II
5
2 

sen
 cos

 sen 2c  cos d 
6
3   arcsen  1    .
 arcsen 
 arcsen 


2 6
2
2


 




Rpta.: D
4.
En la fábrica de chocolates CHOCO, el ingreso diario está modelado por
tan(3arcsenx)  cot(3arccosx)
en decenas de miles de soles donde
I(x)  tanx 
tan(5arcsenx)  cot(5arccosx)
x  0,

. ¿Cuánto es el máximo ingreso semanal de dicha fábrica?
4 
A) S/ 65 000
B) S/ 70 000
C) S/ 77 000
D) S/ 63 000
Solución:
Como arcsenx  arccos x 

2
3
2
3
3arcsenx 
 3 arccos x
2
 3

tan  3arcsenx   tan 
 3 arccos x   tan  3arcsenx   cot  3 arccos x 
 2

5
 5arcsenx  5 arccos x 
2
5
5arcsenx 
 5 arccos x
2
 5

tan  5arcsenx   tan 
 5 arccos x   tan  5arcsenx   cot  5 arccos x 
 2

 I(x)  tanx

Como 0  x 
 0  tgx  1
4
Imáx  S / 10 000.00
 3arcsenx  3 arccos x 
 El ingreso semanal es de S / 70 000.
Rpta.: B
5.
Calcule el área de un sector circular de radio 20 cm y ángulo central  rad tal que
3
1
.
  arccos
 arcsen
10
5
A) 30  cm2
Semana Nº 17
B) 30 cm 2
C) 50  cm2
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 55  cm2
697
Pág.
61
696
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-II
Solución:
 cos  
10
10
1
y   arcsen
, sen 
1
5
5
, entonces
; con  y  ángulos agudos.
  
sen  sen     
10
2)
3
3
sen  sen cos   sen cos 
1

5
1) Sea   arccos
1

3
2
2
3
5
2
 1  2   1  3 
sen  







2
 10   5   5   10  5 2 5 2 5 2
2

3
 
 
2
4
4
1
2
1
2
como

 arcsen
 arcsen
pues " arcsen" es
2
2
5
5
1


creciente, entonces arcsen

  
4
4
5
3

 0   
. Así,  
4
4
 sen 
3)
Área AOB 
2
2
1
1 
  20      20   50 cm2.
2
24
Rpta.: C
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
698
Pág.
62
697
Ciclo 2019 – II
UNMSM - CENTRO PREUNIVERSITARIO
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
El
radio
de un sector circular está determinado por la expresión
2
5
tan( arcsen
+ arccos
) en metros. Si el ángulo central mide 15o , halle el
2
34
área del sector circular.
 2
3 2
2 2
5 2
u
u
u
u
A)
B)
C)
D)
3
2
3
4
Solución:
Sea  = arcsen
2
5
, entonces
  = arccos
2
34
3
1+
2
5
tan  + tan 
5 =8= 4
tan( arcsen
) = tan(  +  ) =
+ arccos
=
2
1− tan   tan  1 − 3 2
34
5
Luego,el área del sec tor circular es
1 
2 2
S = ( )(4 )2 =
u.
2 12
3
Rpta.: C
2.
La curva que describe el contorno de una caverna funeraria está determinada por la
x
30
arccos( − 2) , donde x denota la longitud en metros. Un grupo de
función f(x) =

10
arqueólogos desean preservar dicha caverna para lo cual deben colocar un soporte
rectilíneo horizontal cuyos extremos están apoyados en los puntos P y Q a
10 metros del suelo (véase la figura, la cual es simétrica con respecto al eje Y). Si
dicho soporte metálico cuesta 800 soles el metro, ¿cuánto costará todo el soporte?
A) 44 000 soles
B) 48 000 soles
C) 56 000 soles
D) 40 000 soles
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
699
Pág.
64
698
Ciclo 2019 – II
UNMSM - CENTRO PREUNIVERSITARIO
Solución
De la figura por la simetría x   −30, −10  10,30 tenemos f(t) = 10
Entonces
x
x
30

1 x
10 =
arccos( − 2)  = arccos( − 2)  =
− 2  x =  25

10
3
10
2 10
Como Long.soporte = 2 x  Long.soporte = 50 m.
Así, el precio del soporte = 40 000 soles.
Por consiguiente, se tiene que pagar 40 000 soles
Rpta.: D
3.
1
12
13 E
Sea E = sen( 3 arccos − arctan ) . Si 26E y
metros son las medidas del
2
5
2
largo y el ancho de un terreno rectangular, respectivamente, halle el costo del
terreno si el metro cuadrado cuesta $ 100.
A) $14000
B) $14 400
C) $15200
D) $14500
Solución:
1
12
12
12 12
E = sen( 3 arccos − arctan ) = sen(  − arctan ) = sen( arctan ) =
2
5
5
5
13
13E
 Área = (26E )(
) = (24)(6) = 144 m2
2
 El costo del terreno es de :$14 400.
Rpta.: B
4.
Si [ c, d] es el rango de la función real f definida por
f(x) = 2arcsen(
A) 2
2
) + arccos 4 − x 2 , halle el valor de 2c + d .
2
B) 3
C) 
D)
2
3
Solución:
0  4 − x2
Luego, 0  4 − x 2  1  0  4 − x 2  1  arccos(1)  arccos 4 − x 2  arc cos(0)

 

 + arccos 4 − x 2  
2
2 2



 f(x)    [ c, d ] = [ ,  ]  2 c + d = 2.
2
2
 0  arccos 4 − x 2 
Rpta.: A
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
700
Pág.
64
699
Ciclo 2019 – II
UNMSM - CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Una escalera de 8 metros se apoya sobre la fachada de un edificio formando un
ángulo  . Si la parte inferior de la escalera está a 2( 6 − 2) metros de la base

del edificio, calcule el valor de tan .
2
6+ 3
6+ 2
6+ 2
6− 2
A)
B)
C)
D)
4+ 6 − 2
8+ 6 − 2
4+ 6 + 2
4+ 6 + 2
Solución:
sen  =
2( 6 − 2)
6− 2

  = arcsen(
)  =
8
4
12

6− 2
Luego, tan =
.
2 4+ 6 + 2
Rpta.: D
6.
En la figura, se muestra cuatro ciudades P, Q, R y O, que están interconectadas por
las carreteras cuyas trayectorias están determinadas por parte de las gráficas de las
funciones F ( x ) = 2 arctan 3 x y G ( x ) = arccos ( a x − b ) ; a  0 , donde x denota
(
)
la distancia en kilómetros. Halle la distancia de Q respecto a la proyección de la
ciudad R sobre el eje X.
A) 3 km
B) 2 km
C) 2.5 km
D) 3.5 km
Solución:
Del enunciado:
0x4
→
− b  a x − b  4a − b
→ b =1  a =
1
2
Luego:
(
)
(
)
1
1

arccos  x − 1 = 2 arctan 3 x →
x − 1 = cos 2 arctan 3 x 


2
2

2
1 − tg 2 arctan 3 x 
1

 → x − 1 = 1 − 3x
x −1=
→ x = 1.
2
2
1 + 3x 2
1 + tg 2 arctan 3 x 


 2 
Las coordenadas de R  1;
.
3 

(
(
Semana Nº 17
)
)
(Prohibida su reproducción y venta)
Rpta.: A
701
Pág.
64
700
Ciclo 2019 – II
UNMSM - CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
El metro cuadrado de un terreno rectangular destinado para la construcción de una
vivienda cuesta S/ 400. Si (7 − x )m y 12m son las medidas del ancho y largo del

terreno, satisfaciendo x la ecuación 3arc senx + 2arccos x = , halle el valor del
2
terreno.
A) S/ 33 000
C) S/ 38 400
B) S/ 51 000
D) S/ 41 500
Solución:
3arc senx + 2arccos x =

2

 
3arc senx + 2  − arcsenx  =
2
 2

3arcsenx +  − 2arcsenx =
2

 
arcsenx
=−
 sen  −  = x
A: Área
2
 2

x = −1.
7 X
A
12
Luego: A = ( 8m)(12m)  A = 96m2
Por lo tanto el valor del terreno es 96m2 .
S / 400
= S / 38400 .
1m2
Rpta.: C
8.
Calcule la diferencia entre el máximo y mínimo valor que puede tomar la función real

f definida por f ( x ) = (arccosx)2 + (  − 2arccosx) .
2
A)
2
4
B)
3 2
4
C)
2
2
D)
5 2
8
Solución:
2

2
−  arccosx  f ( x ) = (arccosx − )2 +
2
2
4

 
como 0  arccos x    −  arccos x − 
2
2 2
2
2
 2 

 2 2 2
 0  (arccosx − ) 

 (arccosx − ) +

2
4
4
2
4
2
2
2
2




−
=
.
2
4
4
f ( x ) = (arccosx)2 +
Rpta.: A
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
702
Pág.
64
701
Ciclo 2019 – II
UNMSM - CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Halle el producto de todos los números enteros que pertenecen al dominio de la
función real f definida por f(x) = 3arccos(x− 3) + arctan 16 − x2
A) 20
B) 100
C) 24
D) 34
Solución
Dominio :
( − 1  x − 3  1  16 − x 2  0 )  (2  x  4  x 2  16 )
 (2  x  4  − 4  x  4)  (2  x  4)
Pr oducto de enteros del dominio = (2)(3)(4) = 24
Rpta.: C
10. A partir de la expresión cos( 2x + arcsen y ) = y , halle y = f(x) .
A)
2
( cos x + sen x )
2
B)
2
( cos x − sen x )
2
C)
2
( sen x − cos x )
2
D)
3
( cos x − sen x )
2
Solución
Analizando se observa: − 1 y  1  arccos(cos( 2x + arcsen y ) ) = arccos y
 2x + arcsen y = arccos y  2x = arccos y − arcsen y



 2x = ( − arc sen y ) − arcsen y  2 arcsen y = − 2x  arcsen y = − x
2
2
4

2
 y = sen ( − x )  y =
( cos x − sen x )
4
2
2
 y = f(x) =
( cos x − sen x ).
2
Rpta.: B
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
703
Pág.
64
702
Ciclo 2019 – II
UNMSM - CENTRO PREUNIVERSITARIO
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
3

Si M = tan  2arctan 4 + arc sen  , halle el valor de 84M .
5

A) 15
B) 20
C) 45
D) 13
Solución:
3
3
=   4 = tan  y sen =
5
5
8 3
− +
tan 2 + tan 
15 4 = −32 + 45 = 13
 M = tan ( 2 +  ) =
=
1− tan 2  tan  1− ( − 8 )( 3 )
60 + 24 84 ,
15 4
 84M = 13.
Considerando arctan 4 =  y arc sen
Rpta.: D
2.
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
1
i. arctan1 = − arcsen( −1) .
2
x+y
) +  ,  x, y  tal que xy  1
ii. arctan x + arctan y = arctan(
1− xy
1
iii.  x  / arcsen x + arcsen( ) =  .
x
A) FVV
B) VFV
C) FFV
D) FFF
Solución:
1
1 

i. − arcsen( −1) = − ( − ) = = arctan1 Verdadero.
2
2 2
4
x+y
) +  ,  x, y  tal que xy  1
ii. arctan x + arctan x = arctan(
1− xy
1
Considerando x =
, y = 1 se tiene
3
1
5
arctan
+ arctan1=
(*)
12
3
1
+1
3 +1
3
Por otro lado : arctan(
) +  = arctan(
)+ 
1
3
−
1
1−
3
17
= arctan(2 + 3) +  =
(**)
12
De (*) y (**) la proposición es falsa.
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
704
Pág.
64
703
Ciclo 2019 – II
UNMSM - CENTRO PREUNIVERSITARIO
1
iii.  x / arcsen x + arcsen( ) =  Verdadero. Tomar x=1.
x
Rpta.: B
3.
Sean las funciones
reales f, g definidas por f ( x ) =arcsen x
y g ( x ) =arccos x ,
respectivamente. Si ( a, b) es el punto de intersección de las gráficas de f y g,
calcule el valor de arcsen( (4b)−1 ) + arctan( 2 a ) .
A)

3
B)
2
3
C)

2
D)
3
4
Solución:
Para calcular la intersección : f ( x ) = g(x)  arcsen x = arccos x
Por otro lado, como arcsen x + arccos x =
 x=



 2arcsen x =  arcsen x =
2
2
4
2
2 
2 
2 
, y = arcsen
=  G(f )  G(g) = { (
, ) }  (a, b) = (
, )
2
2 4
2 4
2 4

2
 arcsen( (4b)−1  ) + arctan( 2 a ) = arcsen( (4( ) )−1  ) + arctan( 2 (
))
4
2
  3
= arcsen(1) + arctan(1) = + =
.
2 4 4
Rpta.: D
4.
La distancia en kilómetros entre dos ciudades está determinada por la suma de los
valores máximo y mínimo que toma la función real f definida por
360
2x 2
f(x) =
arccos (
) . Si la distancia es recorrida por un bus con una velocidad

4 + x4
de 60 kilómetros por hora, halle el tiempo que emplea el bus para recorrer dicha
distancia
A) 5 horas
B) 4, 5 horas
C) 5, 5 horas
D) 6 horas
Solución:
(x 2 − 2)2  0  x 4 − 4x 2 + 4  0  x 4 + 4  4x 2 
1
2x 2
 4
0
2 x +4
1
2x 2

2x 2

 arccos( )  arccos( 4
)  ar cos(0)   arccos( 4
)
2
x +4
3
x +4
2
360
2x 2
arccos( 4
)  180

x +4
Luego la dis tan cia = 120 + 180 = 300 km.
300 km
Por lo tanto, t =
= 5 horas.
60 km / h
 120 
Rpta.: A
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
705
Pág.
64
704
Ciclo 2019 – II
UNMSM - CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Halle el dominio de la función real f definida por
x
f(x) = 2arc sen( + 3 ) + arc cos( x + 4) + csc x + sec x .
2
A) [ − 5, − 3 ] − { − , −
C) [ − 5, − 4 ] − { −
3
}
2
3
}
2
3
}
2
3

D) [ − 5, − 1] − { − , − }
2
2
B) [ − 7, − 4 ] − { − 2, −
Solución
x
n
+ 3  1  − 1 x + 4  1  x  , n )
2
2
n
 ( − 8  x  − 4  − 5  x  − 3  x  , n )
2
n
 ( − 5  x  − 4  x  , n )
2
3
 Dom(f) = [ − 5, − 4 ] − { − }.
2
x Dom(f )  ( − 1
Rpta.: C
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
706
Pág.
64
705
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.

es solución de la ecuación arcsen x  2arccos x  , determine el valor de
2
arctg .
Si 
A)

3
B)

6
C)

4
D) 

4
E) 

6
Solución:

 arcsen x  2 arccos x  arcsen x  arccos x
2
 arccos x  0  x  1  .
arcsen x  2 arccos x 
 arctg   arctg1 

.
4
Rpta.: C
2.
Si [ c, d] es el rango de la función real definida por
f(x) 
2
 2x  3  
arcsen 
,

3
 5  6
halle el valor de dc .
A) 2
B) 3
C) 4
D) 0
E) 1
Solución:
2 
2

 2x  3  
 2x  3  2   
 arcsen 

     arcsen 

  
2
3 2
3
 5  2
 5  32 
2
 
 2x  3    
    arcsen 
  
3 6
3
 5  6 3 6
Como 

2
2

 2x  3   
 2x  3  
 0
 arcsen 
arcsen 
 




3
2
6
3
 5  6 2
 5  6


 0  f(x) 
 [ c, d ]  [ 0, ]
2
2
c
 d  1.
 
Rpta.: E
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
707
Pág.
64
706
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-I
Si [ a, b ] es el dominio de la función real f definida por
f(x)  3 arcsen(
x
x
 2)  4 arccos(3  )  5 arctg 36  x 2 ,
5
2
halle a b .
A) 13
B) 7
C) 10
D) 11
E) 8
Solución:
x
x
 2  1   1  3  1  36  x 2  0
5
2
 5  x 15  4  x  8   6  x  6
xDom(f )   1 
Luego, [ a, b ]  [ 5, 6 ]
 a  b 11.
Rpta.: D
4.
Halle el dominio de la función real f definida por
f(x) 
5
)]
4
4
D)  , tg( ) ]
5
A)  , tg(
Semana Nº 17
4arctg2 x  7arctg x 15 .
B)  , tg(
5
)
4
C) [tg(
5
),   
4
4
E) [ tg( ),   
5
(Prohibida su reproducción y venta)
708
Pág.
65
707
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
f(x) 
4 arctg2 x  7 arctg x 15
xDom(f )  4 arctg2 x  7 arctg x 15  0
 (4 arctg x  5 )( arctg x  3 )  0
5

5
 arctg x   tg( )  x
4
2
4
5
 Dom(f )  [ tg( ),   .
4

Rpta.: C
5.

3
2


 arcsen  x    arccos  x   ,
5
2
2


Dada la ecuación
determine el valor de
 10x 
arccos 
.
 11 
A)
2
3
B) 
Solución:
3
1 x   1 
2


3
1 x 
C)

3
D)
5
6
E)

6
2
1
5
3
1
x
5
2
Luego:
3
2
3
2
11



arcsen  x     arcsen  x    x     x    x  
2
5
2
5
20



Por lo tanto:
 10x 
 1  2
arccos 
 arccos    

 11 
 2 3
Rpta.: A
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
709
Pág.
66
708
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2019-I
Como resultado del estudio de la población de un determinado tipo de insectos, un
entomólogo modela el número de insectos en miles por la función real P definida por
t
arc se n
60  5, 0  t  60 , donde t denota el tiempo en minutos. Determine la
P t 
t
arccos
60
mínima población de insectos.
A) 4 500
B) 8 000
C) 1 000
D) 3 000
E) 5 000
Solución:
t
60  5
P t 
t
arccos
60
arc sen
1)

t
 4arccos
60
Pt  2
t
arccos
60
2)
Luego,
0  t  60


P t 
arcsen

2
Pt 
arccos

0
t
t
t
 arccos
 4 arccos
60
60
60
t
arccos
60
t
60
4
t
1
60
t
 arccos 0
60
t

2
1
 0  arccos

 0

t
60
2

arccos
60


2
2
 0  1 
 5 
4 
t
t
arccos
arccos
60
60
 menor número de insectos = 5 000.
 arccos1  arccos
5  P t
Rpta.: E
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
710
Pág.
67
709
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo 2019-I
Calcule el valor de la expresión
1
9
arctg 4  arctg( )  arctg( ) .
2
2
A) 0
B)
3
4
C)

D) 
E) 
3
4
Solución:
 1 9
 22
1
9
arctg 4  arctg( )  arctg( )  arctg 4  arctg 
2
2
 1 1  9

2 2


 k 


 arctg 4  arctg(  4)  , donde k  1 pues
1 9
 1
2 2
 .
Rpta.: C
8.
Un terreno de forma rectangular tiene 4( 33  3 )m de largo y 6x m de ancho. Si
1 
x
x satisface la ecuación arcsen( x  )   arccos( ) , halle el valor del terreno si el
2 6
2
metro cuadrado cuesta S/ 500.
A) S/40 000
B) S/58 000
C) S/50 000
D) S/48 000
E) S/45 000
Solución:
1 
x
1

x
arcsen( x  )   arccos( )  x   sen[  arccos( ) ]
2 6
2
2
6
2
 x
1 1 x
3
x
3
1 x
sen[ arccos( ) ]  x   
 ( )
2 2 2
2
2
2 4 2
 4x  2  x  3
 6x  3 
1
x2
4
4  x 2  3x 2  3x  2  0
33
 Costo del terreno  500 [ 4 ( 33  3 )]( 33  3)  S / 48 000.
Rpta.: D
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
711
Pág.
68
710
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2019-I
Calcule el valor de la expresión 5  sec 2 (arctg 2)  csc 2 (arctg
A) 12
B) 10
C) 15
D) 20
1
3
).
E) 25
Solución:
R  5  (1 tg2 (arctg 2))  (1 ctg2 (arcctg 3))
R  7  (tg(arctg 2))2  (ctg(arcctg 3))2
R  7  ( 2)2  ( 3)2  7  2  3  12
Rpta.: A
10. Calcule el valor de la expresión 6x  3y , si x e y satisfacen el siguiente sistema de
ecuaciones:
arctg(x  y)   / 4
arctg(x  2y)   / 4 .
A) 3
B) 2
Solución:
arctg( x  y )   / 4
C) 4
D) 6
E) 5
 x  y  1……… (i)
arctg( x  2y )   / 4  x  2y  1 …..(ii)
Resolviendo (i) , (ii):
3y  2  y  2 / 3
x  1 y  1 (2 / 3)  1/ 3
1
2
 6 x  3 y  6( )  3( )  4.
3
3
Rpta.: C
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
712
Pág.
69
711
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Calcule el valor de la expresión arccos(
A)

12
B)
7
12
C)
5
12
3
)  arc sec( 2) .
2
D)
12
7
E)
12
5
Solución:
  arccos
3
2
cos  
cos   2   
  arc sec 2
E   

6

3

 
2
6

4

5
.
12

4
Rpta.: C
2.
1
1
Determine el valor de la expresión 2arc tg( )  arc tg(  ) .
3
7
A)
B)
C)
D) 

3
E)
Solución:
 1 1 



1
1
1
1
y  arc tg ( )  arc tg ( )  arc tg ( )  y  arc tg  arc tg  3 7 
3
3
7
3
 1 1  1 
3 7

 1 1 
 32 
1
1

y  arc tg ( )  arc tg ( )  y  arc tg 
y  arc tg (1) 

3
2
4
 1 1  1 
3 2

Rpta.: C
3. Los brazos de un compás miden 12cm y forman un ángulo de 50°. Si el radio de la
 x 
circunferencia que puede trazarse en esa abertura es x cm, halle 36arc sen   .
 12 
A) 5
B) 2
5
2
D) 3
C)
E)
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
713
Pág.
70
712
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
De la figura
sen25° 
x
12
 x  12sen25
 x  5
arc sen   
 12  36
36arc sen x  5 
Rpta.: A
4.
 | x  4 |
Halle el dominio de la función real f definida por f ( x )    3 arccos
.
 3 
B) [ 0, 7]
A) [ 1, 7]
C) [1, 5]
D) [ 7, 1]
E) [  1, 6]
Solución:
Tenemos  1 
| x4|
 1   3 | x  4 | 3 | x  4 | 3  | x  4 | 3
3
 x  R   3  x  4  3  x  R  1 x  7
Luego, x  (R  [1, 7])  [1, 7]  Dom(f )
Rpta.: A
5.
Si [a, b] y [c, d] denotan el dominio y rango, respectivamente de la función f definida
por f(x)  3arcsen(2x  3)  arcsen1 , halle el valor de (a  b)  c  d .
A) 6
B) 3
C) 2
D) 5
E) 4
Solución:
Dom(f ) :  1  2x  3  1  2  2x  4  1  x  2
Luego Dom(f )  [1, 2]
Ran( f ) : 


3
3
 arcsen(2x  3)   
 3 arcsen(2x  3) 
2
2
2
2
    3 arcsen(2x  3) 

 2     f ( x )  2
2
Luego, Ran(f )  [, 2]
 (a  b)  c  d  3    2  4
Rpta.: E
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
714
Pág.
71
713
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Halle el rango de la función real f definida por
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Tenemos,
entonces
.
Como
Por consiguiente
Rpta.: A
2.
Sea f la función real definida por
Si el rango de f es
A)
, calcule
B)
C)
.
D)
E)
Solución:
Como
Luego,
.
Rpta.: C
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
715
Pág.
71
714
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
3.
, es
Si el rango de la función real f definida por
halle
.
A) 8
B) 9
C) 11
D) 6
,
E) 12
Solución:
Como
, entonces
. Luego,
Rpta.: D
4.
Evaluar la expresión
A)
B)
C)
D)
E) 3
Solución:
Se E la expresión buscada
Rpta.: C
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
716
Pág.
71
715
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Debido a que la Luna orbita la Tierra, se observan diferentes fases de la Luna durante
el periodo de un mes. En la figura, t se llama ángulo de fase. La fase de la Luna se
modela por
y da la fracción de la cara de la luna que esta iluminada
por el Sol. Evaluar
A)
D)
B)
E)
.
C)
Solución:
Rpta.: A
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
717
Pág.
71
716
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Se encontró que la temperatura promedio en una ciudad, expresada en ºC se puede
determinar mediante la función real f definida por
, donde x
denota el tiempo en meses. ¿Cuál es la temperatura promedio en el mes de enero?.
A)
B)
c)
D)
E)
Solución:
Si x=1 , enero
Entonces
.
Rpta.: A
7.
Si c, d es el rango de la función real f definida por
,
halle
A)
.
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: B
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
718
Pág.
71
717
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Si
es el rango de la función real f definida por
, halle
A)
B)
C)
D)
.
E)
Solución:
Rpta.: C
9.
En la ecuación arcsen
5
x
arcsen
12
x
2
,
x denota la longitud del lado de un
cuadrado en metros. Halle el área de la región limitada por el cuadrado.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: B
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
719
Pág.
71
718
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
10. Si
es el dominio de la función real f definida por
halle
,
.
A) 7
B) 6
C) 5
D)
E)
Solución:
Rpta.: B
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
El
área
de
una
plancha
de
aluminio
. Si el intervalo
Semana Nº 17
está
dada
por
la
expresión
denota el dominio de la función real g
(Prohibida su reproducción y venta)
720
Pág.
71
719
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
definida por
, y cada metro cuadrado de la plancha cuesta 200 soles,
¿cuánto se debe pagar por la plancha de aluminio?.
A) S/ 900
B) S/ 700
C) S/ 800
D) S/ 600
E) S/ 1 000
Solución:
Rpta.: C
2.
Si
es el dominio de la función real f definida por
,
halle
A) 17
.
B) 15
C) 19
D) 18
E) 20
Solución:
Rpta.: C
3.
Calcule el valor de la expresión
A)
Semana Nº 17
B)
C)
D)
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
721
Pág.
71
720
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Solución:
Rpta.: E
4.
Si
es el rango de la función real f definida por
,
halle
A)
.
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: A
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
722
Pág.
71
721
Ciclo 2018-II
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Para una exposición en un simposio de ciencias, se presenta una gigantografía de
forma
rectangular
cuyas
dimensiones
son
y
L y P en cm. ¿Cuál es el número que representa
A) 5
B) 4
C) 3
D) 6
?
E) 7
Solución:
Rpta.: C
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
723
Pág.
71
722
TRIGONOMETRÍA
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
18
semana
723
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS II
FUNCIÓN INVERSA DE LA COTANGENTE (O ARCO COTANGENTE)
Es la función f : R 
0,
definida por y = arccotx si y solo si x = coty.
Dom(f) = R
Ran(f) = 0,
FUNCIÓN INVERSA DE LA COSECANTE (O ARCO COSECANTE)
Es la función f:
,1
1,
 
   ,0
 2

0,  definida por y = arc cscx si y
2
solo si x = cscy.
Dom(f) = ,1
1,
 
Ran(f) =   ,0
 2

0, 
2
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
725
Pág.
64
724
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
FUNCIÓN INVERSA DE LA SECANTE (O ARCO SECANTE)
Es la función f:
, 1
1, 
 
 0,
 2
 
,  definida por
2 
y = arcsecx
si y
solo si x = secy.
Dom(f) = , 1
 
Ran(f) = 0,
 2
Semana Nº 18
1, 
 
,
2 
(Prohibida su reproducción y venta)
726
Pág.
64
725
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Si arc csc   x  , arc sec   x  y arc sec x  son términos consecutivos de una
progresión aritmética en el orden mencionado, determine la razón de dicha
progresión.
A)

2
B)
3
4
C)

4
D)

3
Solución:
Del enunciado:
2arc sec   x   arc csc   x   arc sec  x  , Sabemos que: arc csc(x)  arc sec  x  
2   arc sec  x    arc csc  x   arc sec  x 
2    arc sec  x   2arc sec  x  

2
 arc sec  x  

2
5
8
Luego:
r  arc sec  x   arc sec   x 
r  2arc sec  x   
 La razón es

4
Rpta.: C
2.
Si se cumple que
arctan  x   arc sec  x  2  k , k   , calcule el valor de
cot arctan  x  4  .
A)
3
14
Semana Nº 18
B)
4
15
C)
3
11
(Prohibida su reproducción y venta)
D)
4
13
727
Pág.
64
726
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
arctan  x   arc sec  x  2   k  , k  
(x  2  1 
x  2  1)

x R
x   ; 3 U  1 ;  
Del enunciado:
tan arctan  x   tan  k  arc sec  x  2
x   tan arc sec  x  2
x 2  sec 2 arc sec  x  2   1   x  2   1
2

x
3
4
Luego:


 13  
 4 
E  cot arctan     cot arc cot   
 4 
 13  


4
E
13
Rpta.: D
3.
Dos de los lados de un triángulo T miden
4cos 2arcsen(0,75)  arccos(0,75) dam y


4
 1 
6  2 csc  2arc tan 
)  dam.
  3  arcsec(
6 2 
 3



Si el ángulo formado por estos dos lados es

, calcule el área de la región
3
triangular T.
A) 3 3 dam2
B)
4 3
dam2
3
C)
15
dam2
2
D)
20 3
dam2
3
Solución:
Resolvemos calculando el primer lado:


4cos  arcsen(0,75)  arcsen(0,75)  arccos(0,75)  4sen  arcsen(0,75)  3 dam.


2


Calculando el segundo lado



4
 1 
6  2 csc  2arc tan 
)
  3  arcsec(
6 2 
 3


4

 
7
 1  
arc tan 
)
 sen(  )  sen( )
  6  arc sec(
12
3 4
12
6 2
 3
 

6 2
 sen(  )  cos( ) 
2 12
12
4
4
 6 2 
 4 dam.
6 2

Semana Nº 18

(Prohibida su reproducción y venta)
728
Pág.
64
727
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Luego
Área 
3  4  sen
2
Ciclo 2020-I

3  3 3 dam2 .
Rpta.: A
4.
Juan compró un automóvil en 12 000 soles y después de un año lo vendió en
100a  9800 soles. Si el valor de a satisface la ecuación
 1 
arccot 
  a.arccot 3 , determine la cantidad de dinero que perdió Juan en
 3
dicha venta.
A) 1500 soles
C) 1900 soles
B) 2000 soles
D) 1800 soles
Solución:
 1 


arccot 
  a.arccot 3   a   a  2
3
6
 3
Luego, el precio venta es de (100a  9800 )  200  9800  10000 soles
 Perdió12000  10000  2000 soles.
Rpta.: B
5.
 1
Determine el valor de arc cot1  arc cot     arc cot 2 .
 3
A) 5
B) 3
C) 0
D) 
Solución:
 1
E  arc cot1  arc cot     arc cot 2
 3

 1
E     arc cot    arc cot 2
4
3

1
E    (  arctan(3)  arctan( ))
4
2
1 



E      (arctan(3)  arctan( ))       (  ) 
2 
4
4

  arctan3

 1
  arctan    tan(  )  1,  y  agudos entonces    
4
2
 
E      
4 4
Rpta.: D
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
729
Pág.
64
728
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo 2020-I
Determine el rango de la función real f definida por
f  x    arc cot x  arc tan x   arc cot x  arc tan x  .
2
A)
2 
 2 ,

4 
C)
2 
 2 ,

2 
2
2
2
B)
2 
 ,

4 
D)
2 
 ,

2 
2
2
Solución:
f  x    arc cot x  arc tan x    arc cot x  arc tan x 
2
2


f  x   4.arc cot x  arc tan x  4   arctan x  arctan x
2


2
f(x)  4(arc tan x  )2 
4
4
2
Como



3
 

9 2

 arctan x   
 arctan x  
 0   arctan x   
2
2
4
4 4
4
16

2
9 2



 4  arctan x    0
4
4

  22  f(x) 
2
4
Rpta.: A
7.
Calcule el valor de arc csc ( 10A ) , siendo A  cos[ arccot ( 
A)

2
B) 

3
C) 

4
1
)] .
3
D) 

2
Solución:
1
1
1
1
)  cot     cos   
 A 
3
3
10
10

 arc csc ( 10 A )  arc csc (  1)   .
2
Sea   arccot ( 
Rpta.: D
8.
Un escolar para ir a su colegio de lunes a viernes, recibe de su padre la cantidad
de 3x  12y  4 soles semanalmente, donde x e y satisfacen el siguiente sistema
de ecuaciones:
3
arc cot( 2x  y ) 
4 .

arc sec ( x  y ) 
3
Si gasta las cuatro quintas partes del dinero que le da su padre, cuánto ahorra el
escolar a la semana.
A) 4 soles
Semana Nº 18
B) 5 soles
C) 3 soles
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 6 soles
730
Pág.
64
729
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
Solución:
3
 2x  y   1 (1)
4

arc sec ( x  y ) 
 x y  2
(2)
3
Re solviendo simultáneamente el sistema de ecuaciones
1
5
x  y
3
3
1
5
R ecibe : 3( )  12(  )  4  25 soles
3
3
1
Luego, ahorra : (25)  5 soles.
5
arc cot( 2x  y ) 
Rpta.: B
9.
En la figura, se muestra el perfil de la estructura de un tobogán que está descrita
por la función real f definida por f(x)  A arc csc B x  C ; B  0 . Si se considera la
base de la escalera como el origen de coordenadas, determine el valor de
A  3(B  C) .
A) 10
B) 6
C) 8
D) 9
Solución:
Sea y  A arc csc B x  C la función buscada.
Como:
1 C
1 C
Bx  C 1  x 

 0  C 1
B
B
Luego:
6
3  A arc csc 1  A 

6
2 3
2 3 3
2  arc csc B  1  B  1 
 B
.

3
3
6
2
Por consiguiente A  3( B  C)   ( )  3 [(
 1)  1]  6  2  8 .

3
Rpta.: C
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
731
Pág.
64
730
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2020-I
10. Si  c, d  es el rango de la función real f definida por
5
2,
f(x) 
arc cot ( 2 x  3 )  3
halle 4c  3d .
A) 22
B) 25
C) 24
D) 28
Solución:
0  arc cot ( 2x  3 )    3  arc cot ( 2x  3 )  3   4 


1
1
1
5
5
5





4 arc cot ( 2x  3 )  3 3
4 arc cot ( 2x  3 )  3  3
13
5
11

2 
4 arc cot ( 2x  3 )  3 
3
13 11
,    c, d 
4 3
13
11
 4c  3d  4( )  3( )  24.
4
3
 Ran(f )  
Rpta.: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

i. arcsec( 1)   arc cot(0) .
2
ii. arc csc(   5 )    arc csc ( 5 ) .

iii. Existe x R tal que arctan x  arc cot(  x ) 
2
A) VFV
B) FVV
C) FFV
D) VFF
Solución:

 
 arc cot(0)     . ……(V)
2
2 2
ii. arc csc(   5 )    arc csc ( 5 )    5  5 … .. (F)
 
iii. Para x  0, arctan0  arc cot 0  0  
……(V)
2 2
i. arcsec( 1) 
Rpta.: A
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
732
Pág.
64
731
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Ciclo 2020-I
 1  tan2  
Si   arc csc ( 6  2 ) y   arc csc 
 , calcule sec 2 .
 2 tan  
A)
2 3
3
B)
2
C) 2
D) 1
Solución:
se tiene que csc   6  2   
Por otra parte

12
 1  tan2  
1  tan2 

 csc 2    arc csc 
  2   
2 tan 
6
 2 tan  

 sec 2  sec  2.
3
Rpta.: C
3.
 c, d  es el complemento del dominio de la función real f definida por

f(x)  arc sec  x  2   5 , determine el valor de c + d.
3
Si
A) 5
B) 4
C) 3
D) 5
Solución:
x Dom(f )  x  2  1  ( x  2   1  x  2  1)  ( x  1  x  3 )
(Dom(f ))'   1, 3    c, d 
 c  d  4.
Rpta.: B
4.
Si  a , b  es el complemento del dominio de la función real f definida por
 x 2
 x 3 
f(x)  5arc sec 
 3 arc csc 

  senx ,
 2 
 4 
Halle el valor de la expresión a2  b2 .
A) 30
B) 60
C) 40
D) 50
Solución:
x 2
x 2
x 3
x 3
 1 
 1)  (
 1 
 1)
2
2
4
4
 ( x  0  x  4 )  ( x  1  x 7 )
 ( x  0  x  4 )  ( x  1  x 7 )
Dom(f )    , 1]  [ 7,     ( Dom(f ) )'    1 , 7    a , b 
x Dom(f )  (
 a2  b2  1 49  50.
Rpta.: D
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
733
Pág.
64
732
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2020-I
6x 2
arcsec( 2) años, donde x es la solución de la

 x 1 
 x 1 
ecuación arc cot 
 arc cot 

  . Halle la edad de Pedro para el año
 x 3
 x3 4
2052.
La edad actual de Pedro es
A) 62 años
B) 60 años
C) 52 años
D) 65 años
Solución:

 x 1 
cot  arc cot 
  1

x 1
 x 1 
x3 

Se tiene que
 cot   arc cot 

x3

 x 1 
x3 
4
cot  arc cot 
  1
x3 

x 1
1

x
3

x 1
1
x3
x  1 2x  4
x 1



  ( x  2 )  1 x  ( x  2 )(x  3)
2
x3
x 3
 x 2  7.
Luego, la edad de Pedro:
6(7) 2
6x 2
( )  28 años la edad actual
arc sec( 2) 

 3
Para 2052, Pedro tendrá 60 años.
Rpta.: B
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
734
Pág.
64
733
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Calcule el valor de la expresión


 3 
 4
 25
  arc sec 2
.
arc cot 
cos  arc cot  −  + arc tan  −    +
2arc csc1
 3
 4 



 7
A)

2
B) 

4
C)
D)
3
4
Solución:
 3
 4
Considerando: arc cot  −  =  y arc tan  −  = 
 4
 3
4
3
3
y cos  = −

  IVC : sen = −
   IIC : sen =
5
5
5
Si:
 25

 3 
 4

  arc sec 2
A = arc cot 
cos  arc cot  −  + arc tan  −    +
2arc csc1
 3
 4 
 7



y
cos  =
4
5
 
 
4
 25

A = arc cot 
cos   +    +  
 7
 2  
2
 
7
 4  4   3  3 
cos   +   =  −   −   −  = −
25
 5  5   5  5 
,
 25  7   
A = arc cot 
−   +
 7  25   4
A=
Rpta.: B
2.
Si n es el número de soluciones de la ecuación
arc csc ( senx ) = x , y  es una de
sus soluciones; calcule el valor de cos  + n sen2 .
A) 0
Semana Nº 18
B) 1
C) 2
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 3
735
Pág.
64
734
arc csc ( senx ) = x
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Como:
Sea
a = senx
…….
(1)
……
(2)
Reemplazando en (1):
arc csc ( a ) = x

De (2) y (3):
a = csc x
……
(3)
senx = csc x
sen2 x = 1
 x=

2
y
cos x = 0
Luego:
E = cos  + n sen2 = 0 + 2(1) = 2
Rpta.: C
3.
Halle la suma de todos los enteros que pertenecen al dominio de la función real f,
definida por f(x) = arc csc(2 x+ 6) + arcc o t 9 − x2 .
A) 3
B) 2
C) 1
D) 0
Solución
Dominio :
(2x + 6  −1  1  2x + 6)  (9 − x 2  0)
( 2x  −7  − 5  2x)  (0  x 2 − 9)
7
5
(x  −  −  x)  ( −3  x  3)
2
2
5
→− x3
2
suma de enteros = 3.
4.
Rpta.: A
7
Juan observa la base de un edificio con un ángulo de depresión  = arccsc( ) . Si
3
Juan mide 1,80 cm; halle la altura del edificio si el ángulo de observación es de 90°.
A) 9,8 m
Semana Nº 18
B) 8,8 m
C) 10,8 m
(Prohibida su reproducción y venta)
D) 12,8 m
736
Pág.
65
735

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Solución:
Ciclo 2019-II

7
Tenemos  = arccsc( )
3
Por otro lado, tenemos que
AC = (1,8)csc m
csc =
7
3
B

AC = 4,2 m
C
Luego
altura = AC.csc m

1,8
A
Entonces
altura = 9,8 m
Por tanto, la altura del edificio es 9.8 m.
Rpta.: A
5.
Juan observa un pedestal con retrato (como se muestra en la figura) con un ángulo
 11
de elevación arc cot   . Si la distancia de Juan al pedestal es 8 u, halle la tangente
3
del ángulo de observación  .
A)
1
5
B)
1
7
C) 7
D) 5
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
737
Pág.
66
736
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
 11
Sea  = arc cot  
3

11
3
cot =
Asi, tenemos:
 = −
Entonces
cot( ) = cot(  −  )
cot() cot(  ) + 1
cot( ) =
cot( ) − cot()
 11 
 3 8 +1
=
cot() =  
11
8−
3
cot( ) = 7
tan() =
Luego:
6.
91
3
13
3
1
.
7
Rpta.: B

Si w es la solución de la ecuación: arccot(−x) + arc sec(−1) = 2x − arccot(x) , calcule
el valor de 2arc sec ( sec 2w ) .
A) 0
B) 2
C)
D) 4
Solución:
arccot(−x) + arccot(x) + arc sec(−1) = 2x
Como:

+

= 2x
Luego: w = 

2arc sec ( sec 2w ) = 2arc sec ( sec 2) = 2arc sec (1) = 0
Rpta.: A
7.
Se desea construir una rampa para discapacitados en la entrada de un hospital. Si el
ángulo de inclinación de dicha rampa está determinado por la función
(x) =
A)
1
arc cot
4
7
12
Semana Nº 18
(
)
x−2 +
B)

24

, halle el máximo ángulo de inclinación.
6
C)
7
24
(Prohibida su reproducción y venta)
D)
5
12
738
Pág.
67
737
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
Veamos su dominio x − 2  0
x  2 , Dom( ) = 2, 

Ahora, como x   2, 
tenemos:
0  arc cot
(
(
(

2
)
)
1

arc cot x − 2 
4
8
1
 7
 arc cot x − 2 + 
4
6 24
7
 (x) 
24
0

6

6
)
x−2 
Entonces
max (x) =
8.
7
24
Rpta.: C
 3 3
En la figura, la gráfica de f(x) = 2arccot(Ax) +  ; x   −
;
 , representa el
 2 2 
recorrido de un auto al cambiar de carril en una carretera. Si OM = ON ,
 1 
B  − ;y 
 2 
y un
policía de tránsito se encuentra ubicado en el origen de coordenadas (el sistema de
referencia local se encuentra en metros), determine el doble de la distancia entre el
punto B del recorrido de dicho auto y el policía de tránsito.
A)
252 + 1 m
B)
52 + 1 m
C) 5 2 + 1 m
D)
25 + 1 m
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
739
Pág.
68
738
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
De la figura:
Luego:

4
3
= 2arc cot  A
+
 2 
3




3
= arc cot  A
 2 
6


cot

3
=A
6
2
2=A
 1
y = f − 
 2
y = 2arc cot ( −1) + 
 3 
y = 2  + 
 4 
 1 5 
 B − ; 
 2 2 

y=
5
2
2
 f(x) = 2arc cot(2x) + 
 1   5 
 d (B;O ) =  −  +  
 2  2 
2
 2d (B;O ) = 1 + 252 m
Rpta.: A
9.
En la figura se representa la sección transversal de la parte superior de una copa
con vino (región sombreada). Si la sección transversal de dicha copa está
determinada por la función f(x) = A + Barc cot x ; x   − 3 ; 3  , calcule la altura


del nivel del vino (con respecto del eje X). El sistema de referencia está dado en
decímetros.

6

B)
3

C)
4

D)
2
A)
dm
dm
dm
dm
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
740
Pág.
69
739
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Solución:
y = A + Barc cot x , de la figura se tiene:
Como:
i) 0 = A + Barc cot 0
0 = A + B.

2
ii)
..... (1)
( )

= A + Barc cot 3
3


= A + B.
..... (2)
3
6
Resolviendo (1) y (2):
A=

2

B = −1

f(x) =

− arc cot x
2
Luego:
 1  
 1    
H= f
 = 2 − arc cot 
= − =
 3
 3 2 3 6
Rpta.: A
10. Se tienen dos automóviles A y B los cuales siguen las trayectorias descritas por las
 t+4

t 
gráficas de las funciones d(t) = arc sec 
 y m(t) = arctan 
 donde t es
 2 
 t+2
el número de horas después de las 11 a.m. Si ambos automóviles parten a las
11 a.m., ¿A qué hora se encontrarán otra vez?
A) 12 pm
B) 2 pm
C) 1 pm
D) 3 pm
Solución:
 vez
Sea t el tiempo en que se encuentran por primera
 t+4

t 
Entonces arc sec 
 = arctan 
 , t  0
 2 
 t+2
 t+4


t 
Sea,  = arc sec 
 y  = arctan 

 2 
 t+2
tenemos:
1+ tan2  = sec2 
Entonces

t   t+4
1+ 
=
 t + 2   2 

 

2
sec  =
t+4
y tan  =
2
t
t+2
2
t2 − 2t = 0
 t=0  t=2
Por tanto, se encontrarán a la 1pm.
Rpta.: C
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
741
Pág.
70
740
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones, en el orden indicado:
  3 
i) Si x   ;  , entonces arcsen(senx) =  − x .
2 2
ii) Si f(x) =  + arccosx + arc sec x , entonces Dom ( f ) =  .
iii) Si g(x) = arc sec x ; x  2; + , entonces Ran ( g) =
A) VFV
B) VVV
 
;
3 2
.
C) VFF
D) FFV
Solución:
Del dato:
i)
3

x
2
2
(V) Como :


−


 −x 
2
2
arcsen ( sen   − x ) =  − x
 arcsen ( senx ) =  − x
ii)
(F) x  Dom(f )

(
x   −1;1 
)

(x 
−; −1
1; +
)

x = 1
Luego Dom(f)  
iii) (V) Como:
2 x


arc sec 2  arc sec x 

2


 arc sec x  .
3
2
Rpta.: A
2.
Sean f y g dos funciones reales definidas por f(x) = arc csc x y g(x) = arccot x .
Si n es el número de puntos de intersección de las gráficas de f y g, calcule el valor
de 2n + 1.
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
Solución:
Como:
La gráfica de g es:
Semana Nº 18
y la gráfica de f es:
(Prohibida su reproducción y venta)
742
Pág.
71
741
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-II
Para determinar los puntos de intersección de las gráficas:
arc csc x = arc cot x
Entonces
Sea:
Entonces
(Por la información de las gráficas x  1)
arc csc x = arc cot x
arc csc x = arc cot x = 
x = csc  = cot 

1
cos 
=
sen sen

cos  = 1
y
sen  0
(  )
Luego, las gráficas de las funciones f y g no se intersectan en ningún punto, es decir
n=0 .

2n + 1= 1.
Rpta.: A
3.
Luis compró un terreno en 40 000 soles y después de tres años lo vendió en

25 000
soles. Si x satisface la ecuación arc sec ( 2x + 1) − arc csc ( 2x + 1) =
,
6
x
¿cuánto ganó Luis en la venta de dicho terreno?
A) 15 000 soles
B) 14 000 soles
C) 12 000 soles
D) 10 000 soles
Solución:
Del dato:
arc sec ( 2x + 1) − arc csc ( 2x + 1) =

6


− arc csc ( 2x + 1) − arc csc ( 2x + 1) =
2
6


1
arc csc ( 2x + 1) =
 2x + 1 = csc
 x=
6
6
2
Luis compró el terreno en 40 000 soles y lo vendió en
25000
soles, es decir 50 000
x
soles.
Por lo tanto, ganó 10 000 soles.
Rpta.: D
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
743
Pág.
72
742
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2019-II
En la figura se muestra la vista lateral de la costa de una ciudad. La función
f(x) = arc cot ( x − a ) + k modela el contorno de la plataforma continental en donde x
está en Km. Un barco zarpa de la costa y después de transcurrido a Km, esta se

encuentra a una altura de
u con respecto a la plataforma. ¿A qué altura se
4
encuentra el barco después de 1 Km?
A)  u

B)
u
2
2
C)
u
3

D)
u
3
Y
X
0
Solución:
Tenemos
f(a) = arccot(0) + k  k=0 ,
f(0) = arccot(−a)  a=1
Entonces f(x) = arc cot ( x − 1)
Luego
f(2) = arc cot (1)  f(2)=

4
Así:
d=
Semana Nº 18
3  
− =
4 4 2
u
(Prohibida su reproducción y venta)
Rpta.: B
744
Pág.
73
743
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo 2019-II
La figura representa el perfil de la estructura de un tobogán el cual es descrito por la
función f(x) = A arccsc(Bx + C) ; donde A y B son constantes positivas. Si
consideramos a la base de la escalera como el origen de coordenadas, determine la
regla de correspondencia de la función que describe a la estructura del tobogán.
A) y =
2 3 −3

6
arc csc 
x + 1 ; 0  x  8



3


B) y =
6
arc csc ( x − 1) ; 0  x  8

C) y =
2 3 −3

6
arc csc 
x − 1 ; 0  x  8



3


D) y =
2 3 +3

6
arc csc 
x + 1 ; 0  x  8



3


Solución:
Sea y = A arc csc (B x + C) la función buscada.
→
1− C
=0
B
6
2 3
arc csc (B + 1) → B + 1 =

3
→ B=
Bx + C 1 →
Como:
x
1− C
B
→
C =1
Luego:
3 = A arc csc (1)
2=
→
A=
La función buscada es y =
6

2 3 −3
.
3
2 3 −3

6
arc csc 
x + 1 ; 0  x  8 .



3


Rpta.: A
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
745
Pág.
74
744
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
2

Si R  ctg  2arctg3  arcctg  , halle 14R .
5

A) 20
D)24
B) 21
E) 25
C) 23
Solución:
Considerando arctan3   y arccot
R  ctg  2    ,
2
2
   3  tan  y cot  
5
5
tan2  tan 
1  tan2 tan 
5
2 tan 
2(3)
3
y tan   , reemplazando en M tenemos:
tan2 


2
4
2
1  tan  1  9
14
23
M
R 
 14R  23
23
14
Sea M  tan(2  ) 
Rpta.: C
2.
Juan compró un automóvil en 12 000 soles y después de un año lo
vendió en
 1 
arccot 
100a  9800 soles. Si a está determinada por
  a.arccot 3 .
 3
¿Cuánto perdió Juan en la venta mencionada?
A) 1500 soles
D) 1800 soles
B) 1600 soles
E) 2000 soles
C) 1900 soles
Solución:
1


arccot
 a.arccot 3   a.  a  2
3
6
3
Juan vendió su auto en (100(2)  9800) soles, es decir 10 000 soles.
Juan perdió 12 000 – 10 000 = 2000 soles.
Rpta.: E
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
746
Pág.
59
745
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2019-I
Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
i. arcctg0  arcsen(1) .
 1
ii. arcctg x  arctg   , x  0 .
x
 1 
iii. arctg2  arctg    .
2 2
A) VFV
B) FVV
C) FFV
D) VFF
E) FFF
Solución:
i. arcctg0  arcsen( 1) 



2
2
Falso.
1
, si x>0 Falso.
x
1

iii. arctg2  arctg  arctg2  arcctg2 
2
2
ii. arcctg x  arctg
Verdadero.
Rpta.: C
4.
Sea la función real F definida por
x
x
F(x)  2arcsen    3 arccos    tgx
2
3
Halle el dominio de F.
 2,2
B)  3,3
C) 2,2
D) 3,3
 
E)  2,2   ,  
2 2
Solución:
De los dominios de arcoseno y arcocoseno tenemos que:
x
x
1   1  2  x  2 y  1   1  3  x  3 , además del tercer sumando
2
3

 
x  (2n  1) . Por lo tanto el dominio de F es  2,2   ,   .
2
2 2
Rpta.: E
5.
Sea F es una función real definida por
 6 2
F(x)  2arcctg(x  2)  arcsen 
 ,  2  x  1

4


Halle la suma de los números enteros que pertenecen al rango de F.
A) 6
Semana Nº 18
B) 4
C) 5
D) 3
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 7
747
Pág.
60
746
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
Por dato,
2  x  1  0  x  2  1  arccot(0)  arccot(x  2)  arccot(1)



 arccot(x  2)    2arccot(x  2)  
2
2
2
 


7
13

 2arccot(x  2) 
 

y
 1,83  y  3,40
2 12
12
12
12
12
Con   3,14 aprox.
Luego 2 y 3 están en el rango de F. : 2  3  5 .
Rpta.: C
6.
En lo que sigue F representa a la función real definida por
F(x)  5arctan2x  arccot 2x . Si a,b es el rango de F, halle
A)
5
3
B)
5
2
C) 
5
2
D) 2
b
.
a
E) 
5
3
Solución:
F(x)  4arctan2x  (arctan2x  arccot 2x)
F(x)  4arctan2x 

2


 arctan2x  , entonces 2  4arctan2x  2 , luego
2
2



3
5
2   4arctan2x   2   
y
2
2
2
2
2
5
b
5
Por lo tanto  2   .
a  3
3
2
Sabemos que 
Rpta.: E
7.
Luis es un empleado público cuyo sueldo mensual es de (1000x) soles, él recibe al
año tres gratificaciones de (150x) soles en cada una de ellas. Si x es la raíz de la
 3
 1 
ecuación arcsen 
 arccot 
  (arcsec 2).x ¿cuánto dinero recibe al año
 2 
 3


Luis?
A) 25 000 soles
D) 26 900 soles
Semana Nº 18
B) 26 000 soles
E) 24 900 soles
(Prohibida su reproducción y venta)
C) 25 900 soles
748
Pág.
61
747
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
Solución:
 3
 1 
arcsen 
 arccot 
  (arcsec 2).x
 2 
 3


  
  x2x
3 3 3
Sueldo mensual: (1000x2) = 2000 soles.
Sueldo anual: 24 000 soles.
Gratificación: 900 soles.
Ingreso anual: 24 000 + 900 = 24 900 soles.
Rpta.: E
8.
Calcule el valor de la expresion:

n
n1
 2 
cos  arcsec  1 .2  arcsec  1 .2  arccos    , n  .




 9 

A) 
5
9
2
9
B)
C) 
2
9
D)
1
9
E) 
1
9
Solución:
i) Si n es impar:
n1
n
arcsec  1 .2  arcsec  1 2  arcsec 2  arcsec  2  




ii) Si n es par:
arcsec  1

n1
n
.2  arcsec  1 2  arcsec  2  arcsec 2  





2
 2 
 2 
Entonces cos    arccos      cos  arccos     
9
 9 
 9 


Rpta.: C
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
749
Pág.
62
748
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
9.
Ciclo 2019-I
En la figura se muestra la grafica de la función f  x   A arcsc kx  . Si A  0 , calcule
k
ar cos   .
A
A) 
B)

2
C) 0
D)

3
E)

6
Solución:
f  x   A arcsc kx 
Dom  f  : kx  1  1  kx   k  2 v k  2
 1
Como f     y A  0 entonces k  2 y A  2
2
Rpta.: A
 1  tg2 
 1 
10. Si   arc csc 
 y   arcsen 
 , calcule sen .
 7
 2tg 
A)
6
7
B)
2 6
7
6
7
C)
D)
7
7
E)
6
14
Solución:
Como sen 
1
7
y
1  tg2
 csc 2 entonces   2
2tg
Luego, sen  sen2  2sen cos   2
1
6
7
7

2 6
7
Rpta.:B
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
750
Pág.
63
749
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2019-I
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.




 6A 
Si A  arc ctg 2  3  arc ctg 1  2 , calcule cos 
.
 13 
A)
2
2
B) 
2
2
C)
3
2
D)
1
2
E) 
3
2
Solución:
Como ctg
5

 2  3 y ctg  1  2 entonces
12
8




5 
  arc ctg 2  3  arc ctg 1  2  A
12 8
2
 6A 

cos 
 cos   

2
 13 
4
Rpta.: A
2.
Sea la función real f definida por f  x  =arccsc  4  x   arc sec  2x  1 . Determine
Dom  f   0;4 .
A) 1;1
B) 0;1
C) 0;4
D) 0;2
E) 0;3
Solución:
 4  x  1 1  4  x    2x  1  1 1  2x  1
 x  5  3  x    2x  2  0  2x 
 x  5  x  3   x  1 0  x 
Entonces Dom  f   ; 1  0;3  5;   Dom  f   0;4  0;3
Rpta.: E
3.
Si F es una función real definida por F(x) 
A) 2,4
B) 0,3
C) 2;3
2
arc csc  x   2 , halle el rango de F.

D) 2,4  3
E) 0,4  3
Solución:
2
arc csc  x   2 entonces


1  x  0  arc csc  x  
2
Como F(x) 
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
751
Pág.
64
750
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
0  2arc csc  x     2 
Ciclo 2019-I
2
arc csc  x   2  3

Rpta.: C
4.
Halle la suma de las soluciones de la ecuación
 csc x  12 arcctg 2  3  0,0  x  

A) 2
B)
4
3
C)


2
D) 
E)
3
2
Solución:


 csc x  12 arcctg 2  3  0,0  x  
 5 
 csc x  12   ,0  x  
 12 
csc x  5,0  x      
Rpta.: D
5.
Halle
el
valor
minino

de

1 x 
F(x)  arcsec x  arc ctg 1  2 ,
A)

8
B)

2
la
C)

16
función
4
6 2
real
F
definida
por
.
D)
5
16
E)
5
8
Solución:




Como F(x)  arcsec x  arc ctg 1  2 y arc ctg 1  2 


, entonces
8


 
 arc sec x  arc ctg 1  2 

8
12 8
Luego el valor minino de F es

.
8
Rpta.: A
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
752
Pág.
65
751
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Trigonometría
EJERCICIOS
1.
Evaluar la expresión trigonométrica
A)
B)
.
C)
D)
E)
Solución:
Sea E el número buscado, luego
Rpta.: D
2.
Si
, halle el valor de
A) 0,9
B) 1,2
C) 0,8
D) 1,5
.
E) 1
Solución:
i) En el primer sumando de E hagamos:
, entonces,
En el segundo sumando de E, consideremos:
Finalmente
Rpta.: E
3.
Halle el mayor entero que pertenece al dominio de la función real f definida por
.
A) 4
Semana Nº 18
B) 0
C) 6
D) 1
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 2
753
Pág.
65
752
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
f está definida, si
Rpta.: E
4.
Sea la función f definida por
. Determine el
número de elementos del conjunto A
A) 0
B) 4
a
a Domf .
C) 3
D) 1
E) 2
Solución:
Los enteros que pertenecen al dominio de f son -4 y -2
Rpta.: E
5.
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
i.
ii. Existe
.
tal que
iii. El valor de
A)
.
es
B)
.
C)
D) FFF
E)
Solución:
i.
ii. Si
iii.
(F)
, tenemos
(V)
(F)
Rpta.: C
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
754
Pág.
65
753
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Si
A) 0
, evaluar
B) 1
C)
Ciclo 2018-II
.
D) 1
E)
Solución:
Entonces
Entonces
Rpta.: A
7.
Sea f la función real definida por
. Halle el rango de la
función f.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
755
Pág.
65
754
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Entonces el rango de la función es
Rpta.: C
8.
En la figura se muestra la gráfica de la función
Calcule Ak.
,
.
A) 1
B) 2
C)
D) 1
E)
Solución:
Como
entonces
Rpta.: A
9.
Si
el
conjunto
solución
de
la
ecuación
. Halle
A)
Solución:
Como
Semana Nº 18
B)
C)
trigonométrica
es
.
D)
E)
entonces el conjunto solución es
(Prohibida su reproducción y venta)
756
Pág.
65
755
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Entonces
Rpta.: B
10. Dos lados de un triángulo T miden
unidades y
unidades. Si el ángulo formado por los lados mencionados mide
30°, halle el área de la región limitada por T.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Cálculo de
:
Hagamos
; luego,
Finalmente,
.
Área T
Rpta.: E
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Si
A) 10
Semana Nº 18
, halle
B) 12
C) 11
.
D) 13
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 14
757
Pág.
65
756
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
Cálculo de
Llevando (ii) en (i):
.
Rpta.: C
2.
, halle el
Si F es una función real definida por
dominio de F.
A)
B)
D)
E)
C)
Solución:
Rpta.: C
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
758
Pág.
65
757
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Si
Ciclo 2018-II
, halle 4E.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
i)
ii)
Rpta.: C
4.
Resolver la siguiente ecuación
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: A
5.
Halle el valor máximo de la función real F definida por F(x) arcctgx arc sec 2,
.
A)
Semana Nº 18
B)
C)
D)
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
759
Pág.
65
758
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2018-II
Solución:
, teniendo presente que la función arcctg es decreciente en su
dominio, podemos escribir:
Luego el Máximo de F es:
.
Rpta.: A
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
760
Pág.
65
759