TEMA 4. TRABAJO Y ENERGÍA 4.1.Trabajo 4.2. Energía cinética y teorema trabajo-energía 4.3. Trabajo y energía con fuerza variable 4.4. Potencia 4.5. Energía potencial y conservación de la energía mecánica 4.6. Fuerzas conservativas y fuerzas no conservativas 4.7. Energía en el M.A.S OBJETIVOS •Definir el trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo y cómo calcularlo •Definir la energía cinética y utilizar el teorema de las fuerzas vivas para resolver problemas de mecánica en distintos casos •Aprender a utilizar los conceptos de energía potencial gravitatoria y/o energía potencial elástica en problemas de mecánica •Conocer las diferencias existentes entre fuerzas conservativas y fuerzas no conservativas y cómo resolver problemas dónde actúen ambos tipos de fuerza sobre un cuerpo en movimiento utilizando el principio de conservación de la energía Introducción Aun sin ser necesarios ni esenciales para la resolución de los problemas que se plantean en el ámbito de la Dinámica, los métodos de análisis correspondientes a los conceptos del Trabajo y la Energía son aplicados con bastante frecuencia como alternativa a la aplicación de las leyes de Newton del movimiento. Dichos conceptos surgen de la necesidad de asentar la Dinámica sobre unas bases más intuitivas, que también serán de utilidad en otras ramas de la Física y de la Ingeniería, tales como la Termodinámica y la Mecánica de Fluidos. La energía mecánica es una magnitud escalar (integral primera de la ecuación del movimiento) y la aplicación de su ley de conservación normalmente sólo proporciona una parte de la información dinámica, por lo que frecuentemente se requieren métodos dinámicos adicionales para resolver el problema completo. DEFINICIONES: Concepto Magnitud MO U +U Unidades S.I. 4.1. Trabajo 4.1.1. Trabajo de una fuerza constante 1. 2. 4.1.1. Trabajo de una fuerza constante •Si F es constante puede realizar un trabajo positivo, negativo o nulo, dependiendo del ángulo que forme con el desplazamiento, s >0 <0 4.1.1. Trabajo de una fuerza constante Ejemplo 1. Fuerza gravitatoria W Si W 4.1.1. Trabajo de una fuerza constante Ejemplo 2. 4.1. Trabajo 4.1.2. Unidades Dimensiones: Unidades: (S.I.) (C.G.S) (Sistema técnico) (Sistema técnico Inglés) f 4.2. Energía cinética y el teorema trabajo - energía Consideremos el caso general de una fuerza que puede variar en función de la posición restringiendo el análisis al caso unidimensional, F(x) Modificando adecuadamente la ecuación diferencial de la aceleración Y sustituyendo en la definición del trabajo: se llega a: Donde la cantidad es denominada energía cinética de la partícula, Este resultado nos dice que el trabajo total realizado por la fuerza neta que actúa sobre una particula es igual a la variación de su energía cinética. (Teorema del trabajo y la energía cinética) Este teorema es válido para cualquier tipo de fuerza, dependiente o no de la posición, del tiempo o de la velocidad y para cualquier trayectoria Ejemplo 3: El resorte de la figura tiene una masa m unida a su extremo, como se muestra en la figura. La masa se mueve hacia la derecha una distancia a y después se suelta. Calcular su energía cinética cuando está a una distancia x de la posición de equilibrio. Ec -a ½ ka2 +a X 4.3 Trabajo y energía con fuerza variable 4.3.1. Trayectoria rectilínea Calcularemos ahora el trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de la dirección x cuando la partícula se mueve desde x1 hasta x2 Como ejemplo de fuerza variable consideraremos la fuerza que debe aplicarse a un resorte para estirarlo desde una cierta extensión x1 hasta otra mayor x2: El trabajo realizado sobre el resorte será: 4.3. Trabajo y energía con fuerza variable 4.3.2. Trayectoria curvilínea Desde un punto de vista más general, si la fuerza es variable y el cuerpo se desplaza a lo largo de un camino curvilíneo, desde un punto P1 hasta un punto P2, el trabajo elemental o infinitesimal será: Sumando ahora los trabajos elementales a lo largo de una trayectoria finita, resulta: Esta integral se denomina Integral de línea. Su cálculo, en un caso particular, requiere una descripción detallada del camino a seguir y de la forma en que F varía a lo largo de él. 4.4. Potencia Trabajo realizado para elevar la caja en 5 s: W = 100 J Potencia: W/t = 100/5 = 20 w • Levantamiento de un peso de 100 N a una altura de 1 m : Trabajo realizado para elevar la caja en 1 s: W = 100 J Potencia: W/t = 100/1 = 100 w 4.4. Potencia Como resulta: Cuando el trabajo es constante, se define la potencia media por: Si el trabajo no es constante, se define la potencia instantánea por: Dimensiones: Unidades: S.I.: ; S.Inglés: kilowatio-hora: corresponde al trabajo realizado durante una hora de funcionamiento de una máquina cuya potencia sea de 1 kw: 1Kwh = (103J/s)· 3600 s= 3.6·106 J 4.4. Potencia Ejemplo. 4. Cada uno de los cuatro motores de un avión Boeing 707 desarrolla un empuje de 197,000 N ( 44,300 lb). Cuando el avión está volando a 250 m/s (900 km/h o 560 mi/h), ¿Cuántos caballos de potencia desarrolla cada motor) Solución: 4.5. Energía potencial y conservación de la energía mecánica 4.5.1. Energía potencial gravitacional • El concepto de energía potencial gravitatoria está asociado a la posición que ocupa la partícula en el campo gravitatorio • Se considera como una medida de la posibilidad de que un trabajo pueda realizarse • Ahora dispondremos de dos alternativas para describir lo que sucede cuando un cuerpo se encuentra en caída libre, sin resistencia del aire: 1. La energía potencial gravitatoria disminuye y la energía cinética aumenta a medida que el cuerpo cae 2. La energía cinética del cuerpo aumenta debido a que la fuerza de gravedad terrestre realiza un trabajo sobre el mismo • A partir de §4.1.1 (Ejemplo 1), podemos deducir que el trabajo realizado por la fuerza peso cuando el cuerpo cae desde una altura y1 hasta otra y2 , será: • Es decir, el peso y el desplazamiento van en la misma dirección y sentido, por lo que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es positivo 4.5. Energía potencial y conservación de la energía mecánica 4.5.1. Energía potencial gravitacional • queda definida como la energía potencial gravitatoria • Por tanto podemos expresar el trabajo realizado como: • El signo negativo delante de ΔU es esencial: (é) Cuando el cuerpo sube, la coordenada “y” aumenta, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es negativo y la energía potencial gravitatoria aumenta ΔU>0 (ê) Cuando el cuerpo cae, la coordenada “y” disminuye, la fuerza gravitatoria hace un trabajo positivo y la energía potencial disminuye ΔU<0. 4.5.2. Energía Potencial elástica • La energia potencial también se asocia con la fuerza elástica F= -kx ejercida por un resorte ideal, donde x es la distancia de estiramiento o compresión. • Primero se mueve el bloque, estirando o comprimiendo, y luego soltamos. Al moverse de una posición x1 a otra x2 , queremos saber cuánto trabajo realiza la fuerza elástica del resorte sobre el bloque • Trabajo sobre el resorte • Trabajo efectuado por el resorte sobre el bloque • • W<0 sobre el bloque (se estira) W>0 sobre el bloque (se relaja) es la energía potencial elástica En términos del cambio en la E. potencial elástica, el trabajo elástico efectuado sobre el bloque por el resorte es: W>0 sobre el bloque (se descomprime) 4.5.2. Energía Potencial elástica 4.5.3 Conservación de la energía mecánica Supongamos un cuerpo en caída libre sin que exista rozamiento del aire. Sea v1 la velocidad que lleva a una altura y1 y v2 en y2. El teorema del trabajo y la energía nos dice: Si la única fuerza que actúa es la de la gravedad, entonces se cumplirá también que: Igualando ambas expresiones se llega a : Y reordenando esta última expresión, escribimos: O, lo que es igual: A la suma Y concluimos: la denominamos energía mecánica del sistema lo que constituye el Principio de conservación de la energía mecánica 4.5.3 Conservación de la energía mecánica Si tenemos fuerzas tanto gravitacionales como elásticas, como en un bloque conectado al extremo inferior de un resorte que cuelga verticalmente, o bien otras fuerzas que no pueden describirse en términos de energía potencial, como el rozamiento del aire, entonces: O también: Y reordenando esta última expresión, escribimos: Donde: Esta ecuación es la forma más general de la relación entre energía cinética, energía potencial y trabajo realizado por otras fuerzas. Si Wotras es positivo, E=K+U aumenta y si Wotras es negativo, E disminuye. Si las fuerzas elástica y gravitacional son las únicas que efectúan trabajo sobre el cuerpo, entonces Wotras = 0 y la energia mecánica total se conserva. Ejemplo. 5. Ejemplo. 5. Solución: 4.6. Fuerzas conservativas y no conservativas • El trabajo realizado por una fuerza conservativa depende sólo de los extremos de la trayectoria, no de la trayectoria seguida por esos puntos. Dicho trabajo tiene las siguientes propiedades: 1. Puede expresarse como la variación de una función de energía potencial entre los puntos inicial y final • Ejemplos: Fuerza peso : Fuerza elástica: 2. Es reversible 3. Es independiente del camino seguido y sólo depende de los puntos de partida y llegada 4. Cuando los puntos de partida y llegada coinciden, el trabajo es cero • Si todas las fuerzas que actúan son conservativas, entonces la energía mecánica se conserva Ejemplo. 6. Ejemplo. 6. Solución: De (0,0) á (L,0) De (L,0)á (L,L) De (L,L)á (0,L) De (0,L)á (0,0) 4.6. Fuerzas conservativas y no conservativas 4.6.1. Cálculo de la fuerza a partir de la energía potencial • Conocida la expresión de energía potencial, es posible determinar la fuerza conservativa correspondiente. • Consideremos un movimiento rectilíneo en X, a lo largo del cual tanto F cómo U sean funciones de la posición. Para un desplazamiento Δx, podremos escribir: • Tomando límite cuando Δx → 0 : Fuerza a partir de la energía potencial en una dimensión • El signo negativo evidencia el hecho de que una fuerza conservativa siempre trate de de llevar al sistema hacia un menor nivel de energía potencial 4.6. Fuerzas conservativas y no conservativas 4.6.1. Cálculo de la fuerza a partir de la energía potencial Ejemplo 7: Función energía potencial elástica: Fuerza elástica: Función energía potencial gravitatoria: Fuerza peso: Ejemplo. 8. Solución: 4.6. Fuerzas conservativas y no conservativas 4.6.1. Cálculo de la fuerza a partir de la energía potencial • En tres dimensiones: ; • ; Tomando límites cuando ∂U − = Fx ∂x y ; ∂U − = Fy ∂y ; − ∂U = Fz ∂z • (En derivadas parciales ya que sólo una coordenada cambia cada vez) • La expresión vectorial de la fuerza queda entonces: Fuerza a partir de la energía potencial en tres dimensiones • Que también puede escribirse cómo: • Finalmente, comprobamos la expresión con la energía potencial gravitacional: Ejemplo. 9. Solución: 4.6. Fuerzas conservativas y no conservativas 4.6.1. Cálculo de la fuerza a partir de la energía potencial •En resumen: •Si una fuerza es conservativa, existe un campo escalar U llamado función potencial que cumple que su gradiente negativo es igual a la fuerza. •En coordenadas cartesianas: ; o también: •Matemáticamente se puede comprobar que una fuerza es conservativa si su rotacional es nulo. En coordenadas cartesianas: es conservativa Si Fx Fy Fz 4.6. Fuerzas conservativas y no conservativas 4.6.2. Cálculo de la energía potencial a partir de la fuerza Si F es conservativa y su expresión vectorial es conocida, entonces también es posible determinar la función potencial de la que dicha fuerza deriva : Si F es conservativa: Utilizando esta propiedad, el trabajo realizado por la fuerza conservativa sobre una partícula que se traslada de un punto a otro es: Y su trabajo será completamente independiente del camino: De aquí, la energía potencial U(r) de una partícula en un punto del campo vendrá dada por: La expresión integral obtenida implica que la energía potencial absoluta está indeterminada 4.6. Fuerzas conservativas y no conservativas 4.6.2. Cálculo de la energía potencial a partir de la fuerza 1. Energía potencial gravitatoria debida a la fuerza peso. Si el origen de potencial es la superficie terrestre, e “y” la altura, : Ug(z)= m·g·y 2. Energía potencial de gravitación universal, producida por un cuerpo fijo sobre otro, tomando como origen de potencial el infinito, U(r)= -G (Mm)/r 3. Energía potencial elástica, tomando el origen de potencial en el punto de equilibrio: UK(r)= (1/2) k·x2 4.7. Energía en el M.A.S. La energía cinética en el modelo simplificado masa-resorte es: La energía potencial elástica de este sistema se debe al muelle y, dado que ω2= k/m, para cualquier posición dada x de la partícula es: 4.7. Energía en el M.A.S. Sumando ambos términos de energía, la energía mecánica del oscilador armónico se expresa: Lo que nos dice que la energía de un oscilador armónico simple aislado es una constante del movimiento 4.7. Energía en el M.A.S. U 4.7. Energía en el M.A.S. Ejemplo 10: Determinar el ángulo de inclinación mínimo requerido para que un cuerpo de masa m deslice por un plano inclinado de longitud L. Calcular asimismo la velocidad del cuerpo al alcanzar el punto más bajo. DATOS: Coeficiente de rozamiento estático: µs; Coeficiente de rozamiento cinético: µk A L B α Ejemplo 11 Una masa de 2 kg se deja deslizar por un plano inclinado 30º. Cuando ha recorrido una distancia d = 4 m sobre el plano, choca con un muelle cuya constante elástica tiene un valor de 100 N/m. Si el coeficiente de rozamiento dinámico entre la masa y el plano inclinado es 0.2, calcular: a) la compresión máxima del muelle; 2 El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo b) ¿hasta que punto subirá la masa de nuevo por el plano inclinado, después de abandonar el muelle? Solución: (a) x = 0.78 m; (b) x´=2.32 m
