Tarea2

1
Tarea 2 Limites y Continuidad
Presentado por:
XXXXXXX
Presentado a:
XXXXXXXX
Tutor Cálculo Diferencial
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Curso: Cálculo Diferencial Código: XXXXX
Julio 2021
2
Ejercicio 1: Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, y de acuerdo con ella determinar
los límites laterales dados, presentar la gráfica y la respuesta a cada inciso.
Rta:
Comprobación en geogebra:
lim 𝑓(𝑥) = lim 2𝑥 + 1 = −∞
𝑥→−∞
𝑥→−∞
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑥 2 − 1 = ∞
𝑥→∞
𝑥→∞
lim 𝑓(𝑥) = lim− 2𝑥 + 1 = 2(2) + 1 = 5
𝑥→2−
𝑥→2
lim 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑥 2 − 1 = (2)2 − 1 = 3
𝑥→2+
𝑥→2
3
Ejercicio 2: Calcular el siguiente límite indeterminado de la forma 00 presentando el paso a paso
del desarrollo y su respuesta.
Rta:
lim
𝑥−9
𝑥→9 √𝑥
−3
0
Reemplazamos para comprobar que es indeterminada 0
𝑥−9
√𝑥 − 3
=
9−9
√9 − 3
=
0
0
Como el resultado fue indeterminado, ahora transformamos y lo resolvemos por racionalización.
Tenemos en cuenta la siguiente ecuación (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 , ya que en el denominador
tenemos una parte de la ecuación entonces ahora multiplicamos tanto numerador como
denominador por la parte restante de la ecuación que sería √𝑥 + 3, entonces:
lim
𝑥−9
𝑥→9 √𝑥
lim
𝑥→9
−3
.
√𝑥 + 3
√𝑥 + 3
(𝑥 − 9)( √𝑥 + 3)
(√𝑥)2 − (3)2
(𝑥 − 9)( √𝑥 + 3)
𝑥→9
𝑥−9
lim
lim √𝑥 + 3
𝑥→9
√9 + 3 = 3 + 3 = 6
4
Ejercicio 3: Calcular el siguiente límite al infinito y comprobar en GeoGebra que el límite existe,
presentar la gráfica de donde se evidencie la existencia del límite y el paso a paso del desarrollo
analítico del ejercicio.
Rta:
𝑥 3 + 5𝑥
lim
𝑥→∞ 2𝑥 3 − 𝑥 2 + 4
Reemplazando:
∞3 + 5(∞)
∞
=
3
2
2(∞) − (∞) + 4 ∞
Resolvemos la indeterminación. Para esto tomamos el grado más alto que para nuestro caso es 𝑥 3 ,
entonces dividimos toda la función en este valor para poder simplificar:
𝑥 3 5𝑥
3+ 3
lim 3𝑥 2𝑥
𝑥→∞ 2𝑥
𝑥
4
− 3+ 3
𝑥3
𝑥
𝑥
1+
lim
𝑥→∞
𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 lim
1 4
2− + 3
𝑥 𝑥
1+
lim
𝑥→∞
5
𝑥2
2−
𝑘
𝑥→∞ 𝑥 𝑛
5
𝑥2
1 4
+
𝑥 𝑥3
1
El resultado es 2
=0
5
Comprobación en geogebra:
Ejercicio 4: Evaluar el siguiente límite trigonométrico presentado el paso a paso del desarrollo y
su respuesta.
Rta:
cos 𝑥 − 1
lim (
)
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
Evaluando x en su valor 0:
cos 0 − 1
1−1 0
(
)
=
=
𝑠𝑒𝑛2 0
02
0
Como nos da una indeterminación, debemos transformar la función para hallar su valor
correspondiente. ya que en el numerador tenemos una parte de la ecuación (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 −
𝑏 2 , ahora multiplicamos tanto numerador como denominador por la parte restante de la ecuación
que sería 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1, entonces:
6
cos 𝑥 − 1
cos 𝑥 + 1
lim (
).(
)
2
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥 + 1
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1
lim (
)
𝑥→0 (𝑠𝑒𝑛2 𝑥)(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1
Ahora tenemos en cuenta la identidad pitagórica 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 para llevar el numerador y
simplificar entonces despejamos:
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
multiplico por -1 para que la expresión me quede igual al numerador y así poder reemplazar.
−𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = −1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
Ahora reemplazo en la ecuación:
(−1)(𝑠𝑒𝑛2 𝑥)
lim (
)
𝑥→0 (𝑠𝑒𝑛2 𝑥)(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1
−1
lim (
)
𝑥→0 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1
Ahora evalúo:
−1
−1
1
=
= − 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛.
cos 0 + 1 1 + 1
2
Ejercicio 5: Graficar en Geogebra cada función a trozos dada encontrando el valor de 𝒂 que hace
que la función sea continua. Demostrar Matemáticamente que la función es continua en el valor
hallado. Presentar la gráfica de comprobación en GeoGebra y el paso a paso con el desarrollo y su
respuesta.
7
Rta:
Para que una función y=f(x) sea continua en un valor x=a se deben cumplir las siguientes
condiciones:
1. Que f(x)=f(a) exista
2. Que lim 𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎, es decir el limite por la izquierda de el mismo valor que el límite por
𝑥→𝑎
la derecha.
3. Que lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
Para encontrar el valor de a, debemos garantizar:
lim 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥)
𝑥→2−
𝑥→2
lim 𝑎𝑥 3 − 2𝑥 + 1 = lim −𝑎𝑥 2 + 9
𝑥→2
𝑥→2
Evaluamos cuando x tiende a 2:
𝑎(2)3 − 2(2) + 1 = −𝑎(2)2 + 9
8𝑎 − 4 + 1 = −4𝑎 + 9
8𝑎 + 4𝑎 = 9 + 4 − 1
12𝑎 = 12
𝑎=
12
=1
12
𝑎 = 1 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.
Ahora demostramos la continuidad cuando x=a
1. Que f(x)=f(a) exista
𝑓(1) = 𝑎𝑥 3 − 2𝑥 + 1
Ahora reemplazamos:
𝑓(1) = 1(1)3 − 2(1) + 1
8
𝑓(1) = 1 − 2 + 1 = 0
2. Que lim 𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎, es decir el limite por la izquierda de el mismo valor que el límite por
𝑥→𝑎
la derecha.
lim 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥)
𝑥→1−
𝑥→1
lim 𝑎𝑥 3 − 2𝑥 + 1 = lim 𝑎𝑥 3 − 2𝑥 + 1
𝑥→1
𝑥→1
1(1)3 − 2(1) + 1 = 1(1)3 − 2(1) + 1
1−2+1= 1−2+1
0=0
3. Que lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
Comprobando en geogebra:
9
Podemos observar en las siguientes gráficas cuando el valor de a es mayor o menor a 1 se pierde
la discontinuidad.
Problemas de aplicación:
Apreciados estudiantes, a continuación, se presentan los enunciados que usted deberá resolver y
sustentar por medio de video. Recuerde también apoyarse en GeoGebra y la gráfica de las funciones
que aborda cada problema para apoyar la sustentación de la solución.
Enlace video de sustentación solución problemas de aplicación.
10
Rta:
Limites:
𝑣(𝑡) =
√𝑡 + 3 − 2
𝑡−1
𝑡 = 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
√1 + 3 − 2 √4 − 2 0
=
=
1−1
0
0
Como el resultado fue indeterminado, ahora transformamos y lo resolvemos por racionalización.
Tenemos en cuenta la siguiente ecuación (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 , ya que en el numerador
tenemos una parte de la ecuación entonces ahora multiplicamos tanto numerador como
denominador por la parte restante de la ecuación que sería √𝑡 + 3 + 2, entonces:
√𝑡 + 3 − 2
√𝑡 + 3 + 2
lim (
) .(
)
𝑥→1 √𝑡 + 3 − 2
√𝑡 + 3 + 2
11
lim
(√𝑡 + 3)2 − (2)2
𝑥→1 (𝑡
− 1)(√𝑡 + 3 + 2)
𝑡+3−4
lim
𝑥→1 (𝑡
− 1)(√𝑡 + 3 + 2)
𝑡−1
lim
𝑥→1 (𝑡
− 1)(√𝑡 + 3 + 2)
1
lim
𝑥→1 √𝑡
+3+2
Reemplazamos cuando t tiende a 1:
1
√1 + 3 + 2
=
1
√4 + 2
=
1
1
= = 0,25
2+2 4
El volumen de vaciado al cabo de una hora es de 0,25𝑚3.
Comprobando en geogebra:
Continuidad:
Iniciamos hallando el límite cuando x tiende a 2 tanto a la izquierda como a la derecha:
lim 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥)
𝑥→2−
𝑥→2
12
lim 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 4 = lim −4𝑎 − 𝑥 2
𝑥→2
𝑥→2
Evaluamos cuando x tiende a 2:
𝑎(2)2 + 𝑏(2) − 4 = −4𝑎 − (2)2
4𝑎 + 2𝑏 − 4 = −4𝑎 − 4
4𝑎 + 4𝑎 + 2𝑏 = −4 + 4
Obtenemos la
ecuación 1
8𝑎 + 2𝑏 = 0
ahora hallamos el límite cuando x tiende a 4 tanto a la izquierda como a la derecha:
lim 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥)
𝑥→4−
𝑥→4
lim −4𝑎 − 𝑥 2 = lim 𝑏 − 𝑎𝑥
𝑥→4
𝑥→4
Evaluamos:
−4𝑎 − (4)2 = 𝑏 − 𝑎(4)
−4𝑎 − 16 = 𝑏 − 4𝑎
−4𝑎 + 4𝑎 − 16 = 𝑏
𝑏 = −16
Ahora reemplazamos el valor de b en la ecuación 1 para hallar el valor de a:
8𝑎 + 2𝑏 = 0
8𝑎 + 2(−16) = 0
8𝑎 = 32
𝑎=
32
=4
8
En los puntos a=4 y b=-16 existe la continuidad.
Comprobando en geogebra:
13
Podemos observar que al cambiar los valores de a y b se pierde la continuidad.
14
CONCLUSIÓN
El presente trabajo nos permitió poner en práctica lo recopilado del tema de límites y continuidad
en los ejercicios propuestos. A través de ellos se revisa nuevamente variada información que quizás
se nos va olvidando poco a poco, pero el implementarlo en estos ejercicios nos ayuda a recordar.
Además, también se va aprendiendo un poco más a trabajar con el programa geogebra que es muy
interesante, pero aún falta mucho por aprender.
15
Referencias
Camacho, A. (2008). Cálculo diferencial. Límite de una función. Pág. 147-156. Recuperado
de: https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/53182
Llopis, J. (2010). MatesFacil. Recuperado
de: https://www.matesfacil.com/BAC/limites/laterales/limites-laterales-ejemplosproblemas-resueltos-graficas-ejemplos.html
Rogawski, J. (2016). Cálculo: Una variable (2da ed.). Límites indeterminados, Límites al infinito
y Límites Trigonométricos Pág. 71-87. Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46777
Rogawski, J. (2016). Cálculo: Una variable (2da ed.). Límites y continuidad. Pág. 62-68,
teorema de los valores intermedios. 87-90. Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46777