Subido por Ruth Oliva

TEORIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES PRIMER ORDEN

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Ecuaciones
Diferenciales
Capítulo 2
2.1.2 Ecuaciones
Diferenciales de
Primer Orden
Ecuaciones Diferenciales de
Primer Orden Autónomas
Una ecuación diferencial ordinaria en la
que la variable independiente no aparece
de manera explícita es autónoma. Si el
símbolo x denota la variable
independiente, entonces una ecuación
diferencial de primer orden autónoma se
puede escribir como f(y,y´)=0 o en forma
norma como
Puntos Críticos
Se dice que un número real c es un punto
crítico de la ecuación diferencial autónoma
si es un cero de f, es decir f(c)=0
Un punto crítico también se llama punto
de equilibrio o punto estacionario
Puntos Críticos
Si c es un punto crítico de la ecuación
diferencial autónoma, entonces y(x)=c es
una solución constante de la ecuación
diferencial autónoma.
Asintóticamente Estable
Cuando ambas puntas de flecha en
cualquier lado del punto marcado con c
apuntan hacia c, exhiben el
comportamiento asintótico, se dice que el
punto crítico c es asintóticamente estable.
Asintóticamente Inestable
Cuando ambas puntas de flecha en
cualquier lado del punto marcado con c
apuntan hacia fuera de c, exhiben el
comportamiento asintótico, se dice que el
punto crítico c es asintóticamente
inestable.
Asintóticamente Semiestable
Si c exhibe características tanto de
atractor como de repulsor, es decir, una
solución que empieza desde el punto
inicial (xo, yo) bastante cerca de c es
atraída a c desde un lado y repelida desde
el otro lado, se dice que el punto crítico c
es semiestable.
Ecuaciones
Diferenciales
Capítulo 2
2.2 Variables
Separables
Variables Separables
Se dice que una ecuación diferencial de
primer orden de la forma
es separable o que tiene variables
separables.
Variables Separables
Ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial
Variables Separables
Paso 1:
Se separan las variables con su
respectivo diferencial, recuerde que K es
constante.
Variables Separables
Paso 2:
Se integra a ambos lados,
Variables Separables
Paso 3:
Se despeja para Q en función de t.
Ecuaciones
Diferenciales
Capítulo 2
2.3 Factor
Integrante
Ecuaciones Lineales
Se dice que una ecuación diferencial de
primer orden de la forma
es una ecuación lineal en la variable
dependiente y.
Ecuaciones Lineales
Ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial
Ecuaciones Lineales
Paso 1:
Dividir toda la ecuación por la expresión
que acompaña a dy/dx
Ecuaciones Lineales
Paso 2:
Se calcula el factor integrante
Ecuaciones Lineales
Paso 3:
La solución de la ecuación diferencial es:
Ecuaciones Lineales
Paso 4:
Se integra y finalmente se despeja para y.
Ecuaciones
Diferenciales
Capítulo 2
2.4 Ecuaciones
Exactas
Ecuaciones Exactas
Una ecuación diferencial de primer orden
de la forma
es una ecuación exacta si la expresión del
lado izquierdo es una diferencial exacta.
Ecuaciones Exactas
Ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial
Ecuaciones Exactas
Paso 1:
Se identifica M y N y se calculan las
derivadas parciales, si éstas no son
iguales se calcula el factor integrante.
Ecuaciones Exactas
Paso 2:
Existe una función f(x,y) tal que
Ecuaciones Exactas
Paso 3:
Se integra la ecuación
y se obtiene
Ecuaciones Exactas
Paso 4:
Si se saca la derivada parcial con
respecto a y de
y luego se iguala el resultado con N(x,y),
se obtiene,
Ecuaciones Exactas
Paso 5:
Con el resultado
se puede observar que
Finalmente
Ecuaciones Exactas
Si
Se tiene que calcular el factor integrante:
Utilizando aquella que depende sólo de y.
Ecuaciones
Diferenciales
Capítulo 2
2.5 Sustituciones
Sustitución: ED homogénea
Si la ecuación de Bernoulli está escrita:
La sustitución es
Por consiguiente
Sustitución: ED homogénea
Ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial
Sustitución: ED homogénea
Paso 1:
Divida la ecuación diferencial por x
y se obtiene
Sustitución: ED homogénea
Paso 2:
La sustitución es :
Por lo tanto
Sustitución: ED homogénea
Paso 3:
Se sustituye y y dy/dx en la ecuación
original, teniendo:
Se multiplica la ecuación anterior por –u2
Sustitución: ED homogénea
Paso 4:
Simplificando se tiene
Se calcula el factor integrante
Sustitución: ED homogénea
Paso 5:
La solución es:
Integrando el lado derecho
Despejando para u
Sustitución: ED homogénea
Paso 6:
Finalmente se sustituye u por y
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