TEAS 2 MEDIO MATEMATICA (1)

Educación
Media
Talleres de Evaluación
de Aprendizajes
para el Simce
Matemática
S ANTILLANA
El Taller de Evaluación de Aprendizajes para el Simce, TEAS Matemática 2, Santillana,
es un texto que te permitirá reforzar y profundizar los aprendizajes que adquieres día a día, a
través de una serie de talleres orientados a evaluar el logro de las habilidades y conocimientos
contemplados en este sector de aprendizaje para tu nivel escolar. Por esta razón, en las páginas
siguientes encontrarás recursos y actividades de evaluación que podrás realizar tanto dentro
como fuera de la sala de clase.
TEAS está organizado en una serie de unidades temáticas asociadas a los distintos contenidos
y objetivos fundamentales definidos por el Marco Curricular. Al -término de cada unidad,
encontrarás una evaluación tipo Simce con el fin de conocer el logro de los aprendizajes
trabajados a lo largo de cada unidad y que podrás resolver utilizando las hojas de respuestas
al final de este texto.
Esperamos que a partir del material didáctico que ponemos a tu disposición, puedas encontrar
los desafíos que te motiven y permitan mejorar las habilidades y los conocimientos adquiridos
en Matemática.
Teas Matemática
El texto TEAS Matemática 2 está organizado en cuatro unidades. A continuación se detallan los tipos de páginas y las seccione
que encontrarás en cada unidad.
Páginas de inicio de la unidad
Se presentan los aprendizajes y contenidos que serán ejercitados en cada taller.
Páginas de talleres
En estas páginas encontrarás las actividades para ejercitar las habilidades y conocimientos evaluados por el currículum vigente.
Habilidades a ejercitar
Recursos
Conformados por distintos
tipos de estímulos (situaciones
cotidianas, gráficos, tablas,
imágenes y textos auténticos,
entre otros) que permiten
contextualizar la tarea
pedagógica y su objetivo de
evaluación.
^ S A N T llL A N A
Actividades
Compuestas por una gran
variedad de reactivos
(preguntas de alternativa,
desarrollo, completación,
verdadero o falso y términos
pareados, entre otros)
organizados bajo una
secuencia didáctica que
favorece la progresión de los
aprendizajes evaluados.
4
Páginas de evaluación
Evaluación tipo Simce que se presenta al final de cada unidad. Está compuesta por preguntas de alternativas y desarrollo.
Hojas de respuestas
Páginas en las que respondes las evaluaciones tipo Simce de cada unidad.
I ¡íWederespiwl».
| 'xlejad*respuestas
I'
Unidad 1
^
• Hinwr a»
■Hp1
¿r
^
Unidad 1: Números y sus operaciones
8
Taller 1:
Números-irracionales
10
Taller 2:
Aproximación de números irracionales
12
Taller 3:
Exploración de situaciones geométricas que involucran raíces
Taller 4:
Demostración de la irracionalidad de algunas raíces
Taller 5:
Raíces
111
Taller 6:
Operaciones con raíces
22
Taller 7:
Ecuaciones radicales
28
Taller 8:
Logaritmos
Taller 9:
Logaritmos y sus propiedades
*
18
30
.31
Taller 10: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
36
Taller 11: Resolución de problemas
38
Evaluación
44
Unidad 2: Datos y azar
48
Taller 1:
iÜ
Medidas de dispersión
Taller 2: ■ -Interpretálíó'n y análisis de indicadores estadísticos
56
Taller 3:
Comparación de conjuntos de datos
60
Taller 4:
Muestras^
64
taller 5:
Frecuencia relativa y probabilidad
66
Taller 6:
Diagrama de Venn
68
Taller 7:
Permutaciones y ®nb'mVefpnes
Taller 8:
Cálculo d§ probabilidades
72
Taller 9:
Variable aleatoria
78
Evaluación
SANTtllANA
_
1i?
E
70
82
6
Unidad 3: Geom etría
84
TallerHfc- Figuras semejantes
88
Taller 2: Cálculo de longitudes en polígonos semejantes
90
Taller 3: Teorema de Thates
•
•
'
92
Taller 4: División interior y exterior de un trazo
TallerS:
Aplicación de los teoremas de Eudides y Pitágoras
Taller 6: Ángulos y circunferencias
TalfetfTi
96
98
v
Cuerdas, secantes y tangentes
102
I
104
Taller,8: Homotecia de figuras
110
Taller 9: Resolución de problemas geométricos
112
Taller 10: Aplicación de las propiedades de los ángulos de una circunferencia
118
Evaluación
122
Unidad 4: Álgebra y funciones
126
Taller 1: Función exponencial
130
Taller 2: Función logarítmicá
132
Taller 3: Función/raíz cuadrada
134
Taller 4: Gráficos de funciones
136
Taller S:
140
Expresiones algebraicas fraccionarias
Taller é: Operatoria con expresiones algebraicas fraccionarias
142
TafP§í7:’ Ecuaciones fraccionarias
146
^1J¡¡8:
150
Sistemas de ecuaciones
ftóler 9: Resolución*d§ s/stémas de ecuaciones
152
Taller 10: Resolución dfe problemas que involucran dos variables
156
Taller 11: Modelación cprrfunciones
158
Evaluación
164
Hojas de respuestas
168
7
Teas Matemática
Números y sus
operaciones
L os aprendizajes asociados a esta unidad son:
• Reconocer Jos números irracionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver
problemas que no tienen solución en los números racionales,
• Aproximar el valor de un número irracional por defecto, por exceso y por redondeo.
• Establecer relaciones de orden en los números irracionales y ubicar raíces en la recta numérica,
• Explorar situaciones geométricas que involucran raíces cuadradas y cúbicas.
• Analizar la demostración de la irracionalidad de algunas raíces cuadradas.
• Reconocer la existencia de la raíz enésima en el conjunto de los números reales.
• Establecer la relación entre las raíces con Jas potencias de exponente racional.
• Relacionar los logaritmos con las potencias.
• Realizar operatoria con raíces.
• Calcular el valor de logaritmos y utilizar sus propiedades.
• Resolver ecuaciones que involucran raíces o logaritmos.
• Resolver problemas que involucran el uso de números reales.
• Resolver problemas que involucran el uso de logaritmos.
Contenidos clave
i
Número irracional. Es aquel número que no puede escribirse como un cociente entre dos números enteros.
M Raíz enésima de un real. rVa = b
b'rt^ a; añ = W
í Exponente racional. Si a > 0, entonces a^ =W
S m
% Existencia en R de la raíz enésima.
■ Si a > 0, entonces rVa siempre es un número real.
• Si a < 0, entonces rVa es un número real si y solo si n es impar.
Ü| Operatoria con raíces.
____
• Simplificación de raíces: rVaTTr = artyam""n
• Solo se pueden sumar raíces que tienen igual índice e igual cantidad subradical.
• Al multiplicar raíces de igual índice, se conserva el índice y se multiplican las cantidades subradicales.
• Al dividir raíces de igual índice, se conserva el índice y se dividen las cantidades subradicales.
• Logaritmos.
• logba = c <
=
>bc = a
• logba es un número real si y solo si
a> 0, b> 0, b^ 1.
•. Propiedades de los logaritmos.
•logbb=1
• log 1 = 0
• log a
••.•39.:'"
*
• log1Qa = loga
• log (xy)= log x + log y; x,y <=R +
■'.8V: |'
•8
8
• lo g J^ )= logax-logay;x,y e R +, y # ‘0.
log xn = n log x; x e M+
8
8
log “Vx ==—log x; x <=M+
a
n ya
:
log b
Cambio de báse: log b = -— £—
a
logca
Números irracionales
Cl a s i f i c a r
Determina en cada caso si el número es racional o irracional.
1 . -12 ► ..................................................... __________ —
2. V3 ► ______ _____________________________________
3. V i ► _________ _____________ ________ _____________
4. n
► ________________ ______,
5-1
------------------------------ —
_______
—
6 . 0,1101001000... ► ________ | __ :______________________
7. -0,45 * ”
A n a l iz a r
Determina si cada caso corresponde a un número racional o irracional.
9.
El cuadrado de 4
►__________________________________________
10.
El cubo de V2 ► ____________________________________________
11.
La raíz cuadrada de 4 ►___________________________
12. La raíz cuadrada de 5 ► _______________________________________
13.
El área de un cuadrado dVlado 6cm ► ...................................
14.
El lado de un cuadrado de aria 6 cm2► _________________________
15.
El perímetro de una circunferencia de radio 12 cm ►
16.
El radio dé una circunferencia de área 471cm2 ► __________________
^TS AN TILIA N A
... ..... ........
10
Eva lu a r
Verifica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. En caso de ser falsas escribe un contraejemplo.
17.
La suma de dos números racionales es siempre un número racional.
18.
La suma de dos números irracionales es siempre un número irracional.
19.
La mitad de un número irracional es siempre un'número irracional.
20.
El triple de un número irracional es siempre un número irracional.
21. El cuadrado de un número irracional es siempre un número racional.
22.
La raíz de un número racional es siempre un número irracional.
23.
El perímetro de una circunferencia de radio racional es siempre irracional.
24.
El área de una circunferencia de radio racional es siempre irracional.
Cr e a r
Determina un número que cumpla con las condiciones indicadas. Si no existe tal número, escribe NO EXISTE.
25.
Un número racional cuya raíz sea irracional ► ________________________________________________________
26.
Un número racional cuyo cuadrado sea irracional ► . , . . . . . . . v ..
27.
Un número irracional cuyo cuadrado sea irracional ► ___________________ ,______ _______________________
28.
Un número irracional que sumado con n sea racional ► ........
29.
Un número racional que sumado con n sea irracional ► ___________
30.
Un número racional que sumado con 2 sea irracional ► _______________________________________________
31.
Un número irracional cuyo doble sea racional ► _____________________________________________________
11
_________ -______________
_______________________
,. . . .....
_____________________
Teas Matemática
Aproximación de números irracionales
A p l ic a r
Realiza la siguiente actividad.
1. Completa la siguiente tabla aproximando cada uno de los números irracionales a do'stifras.decimalé's, según el método que se
especifica en cada columna.
Número
Aproximado por
exceso
Aproximado por
defecto
Redondeado
1,658324...
2,236068...
6,6143783...
14,696938...
25,980762...
2.
En una hoja de cálculo escribe en la columna A los números de la tabla anterior.
En la columna B, introduce la fórmula REDONDEAR.MENOS(A1;2) y cópiala hasta B5.
En la columna C, introduce la fórmula REDONDEAR.MAS(A1;2) y cópiala hasta C5.
En la columna D, introduce la fórmula REDONDEAR(A1;2) y cópiala hasta D5.
Co m p a r a r
Responde a partir de la tabla anterior.
3.
¿Cómo son los valores obtenidos en la planilla de cálculo comparados con los resultados de la tabla de la pregunta 11
I n f e r ir
En la siguiente tabla se calcularon, por diferencia, los errores cometidos en cada caso. Responde a partir de los datos de la
tabla.
Número
vT SANTILLANA
v. .
Por .defecto
: .. .. . .. J
c
Por exceso
\
Por redondeo
1,658324...
0,00832395í¿ *
2,236068...
0,0060679.8...
p—
6,6143783...
0,00437827...
0,0056217^.
•0>QP437827...
14,696938...
0,00693846...
0,00306154...
0¡00306154...
:25,980762..
0,00076211...
0,00923789...
0,00076211...
12
0,00167605.,
l
,,0,00393202...
4 . Si tuvieras que realizar otras operaciones con .los valores de la tabla, ¿qué tipo de aproximación usarías? Explica tu respuesta.
A p l ic a r
Aproxima por defecto y por exceso, con dos cifras decimales, los siguientes números irracionales.
5.
<V7 <
6.
|
1<VTT <
7.
|
1< V21" <
8.
<V23 <
9-
< V28 <
10.
1<V3T <
11. |
|< V33 <
12.
<V38 <
Realiza la siguiente actividad.
13.
Redondea el valor de V3 con dos cifras decimales.
14.
Eleva al cuadrado el valor obtenido en el ejercicio anterior.
13
Teas Matemática
15. Calcula el error si se usa el Valor obtenido anteriormente respecto del valor exacto de (V3 )2.
En una calculadora, el valor de V5 es 2,236067977..., de V7 es 2,645751311... y de V5 +V7 es 4,881819289... A partir de
esta información realiza lo siguiente.
16.
Redondea los valores de las raíces a tres cifras decimales y súmalos, luego calcula el error de tu resultado respecto del qué
entrega la calculadora.
17.
Repite el proceso anterior, pero ahora redondeando los números a dos cifras decimales.
I n f e r ir
Responde a partir de las preguntas 16 y 17.
18.
¿Qué puedes concluir respecto de los resultados obtenidos anteriormente?
ffS A N T lU A N A
14
A p l ic a r
Realiza lo pedido.
19.
Aproxima por defecto y con dos cifras decimales ¡os valores de Vl2 y de *f\9.
20. Con los resultados anteriores encuentra los valores de p = Vl~2 +VT9 y de q = *f\2 ■•¡V9
21. Los valores de p y q utilizando una calculadora son p = 7,82 y q = 15,10; redondeados a dos cifras decimales. Calcula el error de
los valores anteriores con respecto a los de p y q obtenidos con la calculadora.
I n f e r ir
Responde a partir de tu respuesta a la pregunta 21.
22. ¿Se obtiene el mismo error al sumar que al multiplicar?, ¿por qué?
15
TeasMatemática
involucran raíces
I d e n t if ic a r
Utilizando regla y compás, realiza lo siguiente.
1. ¿Qué número irracional se está construyendo en el siguiente esquema? Termina la construcción.
A p l ic a r
Usando regla y compás:
2.
Ubica en la recta numérica 45, VÍO y sus opuestos.
Y
—
—
\
~~1
z
j—---- 1r
r
—+
|
i
i
1
—
i
i......
i — 11
i
l------ i1..... i 1
i
\
i
0
ii
1
i...
i_ _ _ ii
i
i
5
-i1i _ _ 11....
I X
i
I n f e r ir
Responde.
3.
Usando el método de los ejercicios anteriores, ¿qué triángulo rectángulo podría construirse para ubicarVT3 en la recta numérica?
a
“ s a n t il l a n a
16
A n a l iz a r
Responde.
4.
¿Se puede utilizar el mismo método para ubicar en la recta numérica una raíz cúbica? Explica.
I d e n t if ic a r
A continuación se presentan algunos problemas geométricos. Para cada uno de ellos, determina si hay números
irracionales involucrados en su solución y, en caso afirmativo, justifica tu respuesta.
5.
Calcular el área de un triángulo rectángulo de catetos 2,8 cmy 3,4 cm.
6.
Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 7 y 3 centímetros.
7.
Calcular el volumen de un cubo cuya arista mide y m
.
8. Calcular la arista de un cubo cuyo volumen es de 34 cm3.
9.
El lado del cuadrado ABCDde la figura mide 2cmy
se debe determinar el área del cuadrado AEBF.
D
C
F
A
B
E
10.
Calcular la superficie de un cubo cuyo volumen es de 27 cm3.
Cr e a r
Inventa tres problemas geométricos que involucren números irracionales.
11.
Demostración de la irracionalidad
de algunas raíces
R e s u m ir
Realiza lo pedido.
1. Para demostrar la irracionalidad de V2 se puede utilizar el método de reducción al absurdo. En tres ideas, resume en qué consiste
este método.
Co m p r e n d e r
Responde.
2.
En la demostración por reducción al absurdo de la irracionalidad de V2 se plantea que V2 = -. ¿Qué condición debe cumplir q
para poder plantear esta igualdad? ► _____ _______ _____ _________ ___ — ------------------------------- — -
3.
Si fuera cierto que V2=-, ¿a qué conjunto numérico pertenecería V2? ►— ------- ------------------------- —
4.
En el planteamiento de la demostración se dice que - es una fracción irreductible. Explica qué significa esto y da un ejemplo
q
numérico. ► .................... ........... ... —
_____________ ___________________________________________________
E x p l ic a r
A continuación se presenta la demostración de la irracionalidad de V2; al lado de cada paso explica lo que se realizó.
5.
Sea: V2 = —y —fracción irreductible.
q q
______________________________________________________________
2 = E j ► p2= ?q2
q
-------------------
p = 2n (*)
6.
Por otra parte: V2 = — .
q
2=
► q2= 2n2
q
q = 2m (**)
7.
Luego, de (*) y (**), se tiene: - =
3
SANTILLANA
'
q 2m
18
I n f e r ir
Responde.
8. ¿Cuál es la contradicción que se presenta en el último paso?
A p l ic a r
A continuación se muestran algunos de los pasos de la demostración de la irracionalidad de V3 utilizando el mismo
método. Completa los pasos faltantes.
Sea V3 a#§ y ^ fracción irreductible.
q q
9.
Elevando al cuadrado a ambos lados, se obtiene
10.
,________________________________________________________
Luego, se puede deducir que p2es un múltiplo de _________________________________________________________
11. Por lo tanto, también p es un múltiplo de_____ _________________________________________________________
Por lo que se puede escribir p = 3n (*)
12 . Se remplaza en la primera ecuación y se tiene_________ ______________________________________________ _
13.
Se eleva al cuadrado y se obtiene___________ __________ _______________________________ ________________
Despejamos q2de la igualdad y se Obtiene q2= 3n2
14.
Luego, se puede deducir que q2es un
15.
Por lo tanto, también q es un....... ............. .............. - .
________________________________________ ____________
_______________________ ________________
Por lo que se puede escribir q = 3m (**)
16.
Se remplaza (*) y (**) en — y se tiene............. ........ ......-_________________________________________________ _
17.
Esto significa que — ____ __________una fracción irreductible.
18.
Por lo tanto, se llega a una _______ ____________ _______
q
q
_____________________ _______________
A n a l iz a r
Responde.
19.
¿Crees tú que es posible demostrar la irracionalidad de n usando este método? ¿Por qué?
19
Teas Matemática
S C I Raíces
In t er p r et a r
Escribe las siguientes potencias utilizando notación radical.
l.
é
► _________________ _____________________
2.
H
34
► ______ i_____
i
3. (-5)5
,
'
" ........-—
►-------------- j------
m
l
►_________ ,___ ____ — ----
4 .62
i
i
6. 0,438
►
i
Escribe las siguientes raíces utilizando notación exponencial.
9. Vs
►_____ ¡______ ____ __
10. VT7
►________ H _______
11. V I
►_
12.
►_
1Í36
fF s A N T lU A N A
20
Co m p a r a r
Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. En el caso de las falsas, escribe la igualdad correcta.
15. 34=W
16.
(~ 7 ? = 5f 7
17.
-I?=i5
18. V?=25
19. féf-H Ü f8
20. g - f 4 -|
C l a s if ic a r
Determina en cada caso si la raíz es racional, irracional o no pertenece a los números reales.
21. #
22.
$3
23. W
24. f f
25. VÍ2
26. V2T
27. l8
y7
28.
29.
7‘lój§
30. ^085
21
Teas Matemática
O p e r a c io n e s
co n
r a íc e s
I d e n t if ic a r
Escribe un término que pueda ser sumado o restado a la expresión dada.
1. 3a/2
►_________________________________
2. -5V3
►...... ...-__.................... —...__
3. 8(V7+Vs)
►_________________________________
4. X^y
► .. ... ,............... ■
:....... .......;--_-----
5. |VTI
►___________ _________ _____ ______
\
A p l ic a r
Escribe las siguientes raíces de la forma aVb.
6. Vs
►_________________________________
7. V5Ó
►_________________________________
8. VÍ5
► _______________________________________________
9. V32
►_________________________________
10. ¡Ü f
►_________________________________
11. Vi47
►_________________________________
12. V ü ?
►_______________________;___________
Simplifica las siguientes expresiones.
13. 2V3 +5V3
►______________________________
14. 83
V7-53V7
►_____________ ________________
15. 2xVb+5V3?
►__ ___________________ _
16. íli+sVs
►_____________ ________________
17. 4V6 -3V24
►
^ S A N T I LLANA
_
22
18.
2VÍ50+V96
20. sVTo-h5V40-3V90 ►
21. 3
V54+VÍ6+3
V250
►
Completa las siguientes igualdades.
22. (2 —V3)2 =4-______.+3«*
23. (V2 +V3)(V2 - V3) =:2-__ _^_.=
24. (2+Vs)(2 +Vs) =4+______+5
Reduce las siguientes expresiones.
25. V2 +3+V8
V5x(V5x + 2-5xVx)
r
.......
1i
J
(fi+éY
1
l .
27. (3V5)(-2V7)(VTs )
G;? +
r
1
28. J p
32.
■17
23
3X ^ + 5 )
J
V3+V3+V3
V3
Teas Matemática
33
V48+VT2-V72
35. (Ve + 2Vd)(Vc - 2Vd)
m
34.
V5(V2+V8)
V2
36.
(2+VTq )2
(V6 + V8)2
Completa las igualdades de manera que el producto final no tenga raíces.
37. vs-.____ a»»__ __
38. H-___
39. (V2+1) '— — -=——
40. fex-_____ =_____
Racionaliza las siguientes expresiones.
41. =i
■Í5
r
42. 4= |
2V7
43. ^ f "
VI
^TSANTILLANA
24
45, A
46-^
Vxy
/*
47.
■
—
---------■
........... 1
......— ^.............“ ...
V E
V---------------------------------------------------------------------------- ____________________ ___- __
48.
49.
50.
__________-J
Vü?
Vp+ q
Vx +1
51.
ab
Va -Vb
52.
V2 +V3
V2^?3
Simplifica las siguientes expresiones.
53. 3VÍ8+5V5Ó-VÍ28+7VÍ4
25
Teas Matemática
54. 5V2Ó+V45 +6V8Ó+3V5
55
(£ ± l£
2
(V i^ s f
2
56. (x +Vy)2+(x +Vy)(x - Vy)
3 /5
7
57. 3/Vp2 q10
Vp q
CO
V2
V3
V3'V2
^S A N TIU A N A
61‘
¿•n
Vx + y +Vx
6Z
r
............................................... A
V ---------------------------------------------------------------------------------------------
63.
--------- J
2V2V2V2
/ --------
64.
Vi +Vx
27
Teas Matemática
7
Ecuaciones radicales
A p l ic a r
Resuelve las siguientes ecuaciones.
1. Vsx = 2VTo
2. V2X+ 1 = 3
o
3
_5
V2xTT
4.
2
V2x-3 = Vx+T
5. ¡ ¡ ¡ J ® * ^
Vx +3
6.
-t*2 —Vx+ 8
IrSA N T ILlA N A
28
7. W+7 =-2
8. 1ír:T+3=5
A n a l iz a r
Analiza y justifica por qué las siguientes ecuaciones radicales no tienen solución.
9. x-2=Vx2+6x+2
10. Vx-Vx+2=1
11. Vx +5 +Vx +4 = Vx+ 1
Sin resolver las ecuaciones, responde las siguientes preguntas.
12.
¿La ecuación radical Vx + 1= -3 tiene solución en los números reales? Justifica tu respuesta.
13.
¿Qué condición debe cumplir x en la ecuación V3-x = 5 para que tenga solución en ios números reales?
14.
¿Es x = 6 solución de la ecuación V4x + 12 + 7 = 1?, ¿por qué?
En los siguientes ejercicios se presenta un paso INCORRECTO para resolver las ecuaciones. Justifica por qué es erróneo.
15. Vx=25
----------------- -------
16. V3x+2 = 8
x= 5
----------------- --— ---
3x +4 = 64
29
Teas Matemática
E33EE9 I
V
L U
I
L o g a r it m o s
Interpretar
Determina si las siguientes igualdades pueden expresarse usando logaritmos.
1 . 32 = 9
► __________ _______________________________
I____
2. 4 +5=9
►
3. (-2)3=-8
►.... ........ .......... ___________________ _____
4. 42= 2
►____^
5. 2-3 = 6
►............ .............___________ _
6. 3 2= 1
» .................. .......... --------------- --------------------
7. 21= l
►
’ Tf
8.
( I f .i
________________j___,__
____________
-----------------------------------
Escribe las siguientes igualdades utilizando notación logarítmica.
9.
42= 16
►
10.
3S= 27
►
11. 53= 125
►
12. io4= 10.000
►
13. 6°= 1
►........... ................ .............. ..~............. ...........
14. 7' = 7
►
15. 3-2= I
Ir
....................... ........
« • ■ e f - f ------------------------------i
17. 92= 3
18- ( i f s f - 5
W
í
vSANTILLANA
►
— --------- ------------- ------ i ---------------
30
In t er p r et a r
Escribe las siguientes igualdades logarítmicas utilizando notación exponencial.
19.
log28 = 3
► ......................... ...............................................
20.
log 1.000 = 3
► ______________________________________________
21. log12 1= 0
► ________________________________________________
22.
log1919= 1
► _____________________________________________
23.
log42 = |
► ---------------------------------------
A p l ic a r
Despeja la incógnita x de las siguientes expresiones.
28. 3X= 7
►
29. 42x=5
►______________________
30. 53x+2=12
►______________________
31. ( I f - ’ -
f
----------------
32.
log2x =4
► ________ ______________
33.
log x = J
► ______________________
34.
logAmm0
► ______________________
2
35.
log3(x + 1) = 3
► ____ í_______ ._________
36.
log (2x - 4) =4
► ______________________
37.
log3(3x + 5) =6
► ______________________
38. log2(f+f) =|
►
i
31
Teas Matemática
El
C J i Logaritmos y sus propiedades
A p l ic a r
Calcula el valor de los siguientes logaritmos.
1. log2 8
2.
log3 27
3.
(og 100
4.
log 10.000
5.
log121
6.
log21 21
►
Usando ecuaciones exponenciales u otro método, determina el valor de los siguientes logaritmos.
11. log48
12.
logg27
13.
log1632
15.
log 0,01
16.
log 0,0001
^
antillana
32
A p l ic a r
Calcula el valor de cada logaritmo usando sus propiedades.
18.
log13 1
► _______________ ,,
19.
log71
► _________________________________
20.
log1515
► __________________________........... .
21.
log3737
► __________________________________
22.
log3(s 6)
► __________________________________
23. log2(s4)
►________________________
Determina el valor de x en las siguientes expresiones.
24.
log2x = 3
► __________________________________
25.
log4x = 2
► _____________________
26.
logx64 = 3
► .................. ................. . .........
27.
logx27 = 3
► ..... ........... ..............
28.
log2x = -1
I
► __________
29.
log9x=A
► ________________
....
...
..
-, ..... .
4
30. lo g J =2
31. logx|= -I . ------------- ------Descompon los siguientes logaritmos.
32.
log (3-2)
► __________________________________
33. log(|)
----------- ---------
34.
log 23
► __________________________________
35.
log (/¡7 )
► __________________________________
36.
log(23*34)
► __________________________________
33
Teas Matemática
37.
_
---------------------
38. logV? •75 ►......... ...... .......................... ..... .............
39. ,09^1
. ----- —
.........
..................
Escribe las siguientes expresiones utilizando un solo logaritmo y simplificándolas al máximo.
40.
log 4 + log 5
► __________ —------ .-------------------------
41.
log 12- log 3
► *----- — .............—___----------------------
42.
2 log 3 + 3 log 2
► - -■■■-<■
43.
3 log 4 - 4 log 2
► ________________________________________________
,—_ ——-------------------
44. ^log 16-^log8
►_____ __ __—
45.
l(log9 + 2 log 2)
► ______ __ _________ _____ ________________________
46.
-2logffij
► ....................... — ----------------------------
47.
4 log
►_
-3 log
--------- -------
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los logaritmos.
48.
log122 + log126
49.
log3 18—log3 2
50.
log69 + log64
51.
log575-log5 3
* SANTILLANA
► ___ ___
__
____________________________
34
A p l ic a r
Determina el valor numérico de las siguientes expresiones usando la propiedad de cambio de base.
56.
log23 •log32
► ________________ _ -
57.
log2m log38
► ________________
58.
59.
...... .................................
.
_____________________
log38
log32
log79
log73
A n a l iz a r
Determina si los valores de los siguientes logaritmos son positivos o negativos.
60.
log27
61.
log 345
62.
log32
63.
log 0,34
64. log^
65.
3
log74
66. ¡og5[ j
67. log4Í|
3
Determina entre qué números enteros consecutivos se encuentran los siguientes logaritmos.
68.
(_
I < log3 12 «1
69. Q
____ I < log 3.500 <
70. Q
I < log 1(0,3) <
2
71. Q
3 <lQ9 l(í)< l
35
teas Matemática
A p l ic a r
Resuelve las ecuaciones utilizando, si es necesario, las siguientes aproximaciones: log 2 ~ 0,3; log 3 ~ 0,5; log 5 ~ 0,7; log 7 ~ 0,8.
L
5X= 3
2. i
.(2x +1)
=2
3. p2xJHl-px-1=p’!+3
a
x+ 4
_ _
_ _2x+5
1v' - r'3^: 3
5.
33x " - 5x-16
6.
3x+2+ 3x+1-.48
6~
“ SANTILLANA
36
7.
V7 = 14
8.
log3 5 = x
9.
logv16
=2
X
10.
log3x = 4
11.
lo g (x - 2 ) + log(x + 6) = log(x2 + 2 x - 3 j
12. log x + 1 = log (2x - 1)
13.
logVx + 5 -^log(2x + 3) = 0
37
Teas Matemática
jm QI
rü
A p l ic a r
Resolución de problemas
y a n a l iz a r
Resuelve los problemas 1 a 4 utilizando el valor de V2 como 1,4 y el valor de V3 como 1,7.
Se tiene un rectángulo cuyos lados miden V2 cm y V3 cm.
1. Determina el área y el perímetro de este rectángulo.
Un triángulo equilátero tiene un lado que mide 4 cm. Con esta información, determina:
2. Su altura.
3.
Su área.
4.
Su perímetro.
Se tiene un triángulo rectángulo isósceles de cateto 4 cm. Con está información, calcula:
5.
ÍF
La hipotenusa del triángulo.
s a n t i l la n a
38
6.
Su perímetro.
7.
Una estimación de n que se usa comúnmente és n = 3,14. Utilizándola* determina el área y el perímetro de una circunferencia
de radio r = 10 cm.
8.
Una estimación de n frecuente en la antigüedad fue n = y . Usando esta estimación, calcula el área y el perímetro de una
circunferencia de radio r = 7 cm.
Resuelve los problemas 9 a 11, considerando que para un cubo de arista a, la fórmula del volumen es V = a3y la fórmula
del área total es A = 6a2.
9.
Si la arista de un cubo mide 3V7 cm, determina el valor exacto de:
a.
b.
el área total del cubo.
el volumen del cubo.
10. Si el volumen de un cubo es V = 6 cm3, calcula:
a.
b.
cuánto mide la arista del cubo.
el área total del cubo.
39
Teas Matemática
11.
Si el área total de un cubo es A = 18 cm2, determina el valorexacto de:
a.
b.
la medida de la arista del cubo.
el volumen del cubo.
12. El lado de un cuadrado mide (V3 + 1) cm. Determina el valor exacto del área y el perímetro del cuadrado.
13.
Los catetos de un triángulo rectángulo miden (*¡2 -1) cm y (V2 + 1) cm. Determina el valor exacto de:
a.
b.
la hipotenusa.
el perímetro.
C. el área.
14.
La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden, respectivamente, ( 2V2 +1) cm y (V2 + 2) cm.
Determina el valor exacto de:
a.
b.
el otro cateto.
el perímetro.
C. el área.
^rS A N T f LLANA
40
A p l ic a r
y a n a l iz a r
Resuelve los siguientes problemas utilizando la definición y las propiedades de los logaritmos.
Un modelo simplificado que relaciona la magnitud de un terremoto y la energía liberada es:
M = log(“ j
donde
1
M: magnitud en la escala de Richter. ¡
E ; energía liberada.
C: constante.
A continuación se señalan ia magnitud de algunos de los mayores terremotos de los que se tienen registros.
Magnitud Richter
Ubicación
9/5
Valdivia, Chile (1960)
9,1
Sumatra, Indonesia (2004)
9,0
Miyagi, Japón (2011)
8,8
Cobquecura, Chile (2010)
15.
¿Qué magnitud en la escala de Richter deberá tener un movimiento sísmico en el que se liberó la décima parte de la energía
que en el terremoto de Cobquecura?
16.
¿Cuántas veces más energía se liberó en el terremoto de Valdivia que en el de Cobquecura?
17.
Una de las réplicas del terremoto de Cobquecura ocurrió frente a Concepción el 11 de febrero de 2011 y tuvo una magnitud de
6,8 en la escala de Richter. ¿Cuántas veces más energía liberó el terremoto de Cobquecura que la réplica?
41
Teas Matemática
La acidez de un compuesto químico se mide con una unidad conocida como pH. Mientras menor sea el p|H, más ácido será el
compuesto. La relación que existe entre el pH del compuesto y su concentración de hidrógeno está dada por la siguiente fórmula:
pH = -iog(H)
donde
pH: nivel de p'trl del compuesto. ’
H: concentración de iones de hidrógeno del compuesto.
18.
El pH de la leche es 6,5. ¿Qué concentración de iones de hidrógeno tiene?
19.
El pH del jugo de limón es 2. ¿Cuál es su concentración de iones de hidrógeno?
20.
¿Qué pH tendrá un líquido cuya concentración de iones de hidrógeno es de 10 *?
21.
Respecto de la concentración de iones de hidrógeno, ¿cuántas veces más ácido es un líquido cuyo pH es de 5,8 que uno cuyo
pH es de 7,8?
v TSANTILLANA
42
Un modelo considerablemente simplificado que permite relacionar la edad de un niño de entre 2 y 16 años;con el porcentaje
alcanzado de la estatura que tendrá cuando adulto, está dado por la siguiente fórmula:
P = 42,8 log A + 37¿.1
donde
P: porcentaje alcanzado de la estatura de adulto.
A: edad del niño en años.
22.
¿Qué porcentaje de su estatura de adulto tendrá un niño de 5 años?
23.
¿Qué porcentaje de su estatura de adulto tendrá un joven de 15 años?
24.
¿A qué edad un niño alcanzará el 60% de su estatura de adulto?
25.
¿A qué edad un niño alcanzará el 80% de su estatura de adulto?
26.
Si un niño mide 1,5 m a los 12 años, ¿qué estatura podría alcanzar cuando adulto?
43
Teas Matemática
valuación
I.
Preguntas de alternativas.
Lee
a t e n t a m e n t e c a d a u n o de lo s e n u n c ia d o s y r e s p o n d e m a r c a n d o l a a l t e r n a t iv a c o r r e c t a
EN LA HOJA de RESPUESTAS DE LA PÁGINA 169 .
1 . ¿Cuál de los siguientes números es irracional?
B.
0,45
C. V4
D. V5
2.
¿En cuál de las siguientes opciones se muestra el número 4,58257... redondeado a tres cifras decimales?
A.
4,58
B.
4,59
C.
4,582
D.
4,583
3 . ¿Cuál de las siguientes alternativas es equivalente a 5V7 ?
A. 5
B. 57
D. 75
4.
Si log7 p = 3, ¿cuál de las siguientes expresiones es correcta?
A.
f =p
B.
37 = p
C.
p3 = 7
D.
p7 = 3
L
44
5. ¿Cuál es el factor que permite racionalizar la expresión ^1?
'
A. Í
.......... ......
v5
B. M
1
Vs
C . fVs
V3
fi|
V25
6. Al simplificar la expresión 3V20 + 2Vi 25 - 7V45 se obtiene:
A . -20
B . -sVs
C . -2V5
D . 3V5
7. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 2Vx -1 = 5?
A . 11
4
29
4
27
C.
2
7
D.
2
B.
8 . ¿Cuál es el valor de log4 8?
A. 2
B . 32
45
Teas Matemática
valuación
9. ¿Cuál de las siguientes alternativas es equivalente a 2 log 3 + log 2?
A. log 10
B. log 11
C. log 18
D. log 36
10.
Si log(x + 6) = log 20 - log 5, entonces x corresponde a:
A. -2
B. 2
C. 2,5
D. 9
11.
El valor de n con 5 decimales es n - 3,14159. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra la mejor estimacióndel área de
un círculo de radio 4 cm?
A . 48 cm2
B. 49,6 cm2
C. 51,2 cm2
D. 56cm2
12.
Si el volumen de un cubo es 8cm3, ¿cuál de las siguientes opciones corresponde a la superficie total del cubo?
A. 2 cm2
B. 12 cm2
C. 24 cm2
D. 6 •^2 cm'
13.
A continuación se muestra una lista de expresiones logarítmicas y su valor numérico. ¿Con cuál de estas opciones no es
posible deducir el valor numérico de log (503)?
A . log 2 = 0,301
B. log 5 = 0,699
C. log 3 = 0,477
D. log(53) = 2,097
vrS A N TILLA N A
46
Una fórmula que permite relacionar lamagnitud de un sonido en decibeles con la intensidad del mismo en
siguiente:
D = 10 log (- )
14.
donde:
vat¡os/cm2es la
D: es lá magnitud del sonido en decibeles.
I: es la intensidad del sonido en vatios/cm2.
Ir: es la intensidad del sonido más bajo que puede ser oído por un humano, lr= 10-12vatios/m2.
¿Cuál de las siguientes opciones permite determinar la intensidad xde un sonido cuya magnitud es de 120 decibeles?
A. 120 = 10log(x-10~12)
B. 120= 10 log (—3 \10
C. x = 10 log
120
sñ
D. x = 10 log í ——
120
II. Preguntas de desarrollo.
R e s p o n d e e n t u h o j a d e r e s p u e s t a s d e l a p á g in a
17 0 .
15.
Basándote en el enunciado de la pregunta 14, ¿cuál será la magnitud de un sonido cuya intensidad fue de 10 1
0vatios/m2?
16.
Resuelve la ecuación
Vx+ 3 = Vx+ 27, mostrando todos los pasos.
V
47
Teas Matemática
U n id a d
Datos y azar
2
L os aprendizajes asociados a esta unidad son:
• Determinar medidas de dispersión.
• Analizar las características de uno o más conjuntos de datos utilizando medidas de tendencia
central, de posición y de dispersión.
fountains
:m
• Emplear elementos básicos de muestreo aleatorio simple, para calcular la media de muestras y
compararla con la media de la población.
• Explorar la ley de los grandes números y su aplicación a la asignación de probabilidades.
Indices continué test
• Obtener la cardinalidad de un espacio muestral, utilizando técnicas combinatorias.
• Resolver problemas que involucran el cálculo de probabilidades, usando lenguaje de conjuntos,
propiedades de la suma y producto de probabilidades, y técnicas combinatorias.
SÍOílis
fresh huju • Comprender el concepto de variable aleatoria.
Lu x u ry
V T SANTILLANA
48
Contenidos clave
i Medidas de tendencia central. Indican el comportamiento general de los valores de# muestra.
La moda
El valor con mayor frecuencia.
La mediana
El valor que se encuentra en la mitad de la muestra. Divide la muestra en dos grupos
de igual tamaño.
La media
n
S f.- x .
11 1
El promedio de los valores de la muestra. Su fórmula es: x = — --- .
n
La media para datos agrupados
Z f.x .
• 11 1
x = -—3--- , donde f. es la frecuencia correspondiente a la marca de clase x..
n
n
;
1
1
Medidas de posición. Indican una posición específica dentro de una muestra.
• Los cuartiles: dividen una muestra en 4 partes o grupos, de igual tamaño.
* Los percentiles: dividen una muestra en 100 grupos, de igual tamaño.
> Diagrama de caja con bigotes. Este gráfico se construye en un solo eje y con cinco indicadores de una muestra: el mínimo,
el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el máximo.
Ejemplo:
Se tiene una distribución de puntajes PSU, con los siguientes indicadores:
Mínimo
= 500
Primer cuartil (Q^ = 550
Mediana (Q2)
= 600
Tercer cuaÉi f (Q3) = 700
Máximo
—850
Entonces, el gráfico de caja será:
[
______________
i
500
q2
600
Qb
700
800
900
En cada uno de los intervalos de este gráfico, se encuentra el 25% de la muestra.
49
Teas Matemática
Contenidos clave
i Medidas de dispersión. Indican la dispersión o variabilidad de los valores de la muestra.
r = máx - mín
El rango
La varianza
n
La desviación estándar
La varianza para datos
agrupados
V (V » )!
n
La desviación estándar para
datos agrupados
(f¡: frecuencia correspondiente a la marca de clase x..)
Mientras mayor es el valor de una medida de dispersión, más dispersos están los datos de la muestra.
• Población. Totalidad dé las observaciones que interesa analizar:
• Muestra. Cualquier subconjunto de la población,
• Permutaciones y combinaciones.
Número de casos que se obtienen al combinar n elementos con m elementos.
n!
Número de permutaciones de n elementos.
Número de permutaciones circulares de n elementos.
(n -1)1
Número de combinaciones distintas que se pueden hacer con m elementos
seleccionados de entre n elementos.
V SANTILLANA
n •m
50
("Ucn
= n!
\m/
m (n-m)l-m!
Frecuencia relativa. Corresponde al cociente entre la frecuencia absoluta y el total de casos f = -. En un experimento, la
frecuencia relativa de un evento es igual a la probabilidad ele ocurrencia del mismo.
n
i Complemento de un conjunto A. Se representa por Ac y corresponde al conjunto formado por los elementos que están
fuera de A.
i Intersección de los conjuntos A y B. Se representa por A n B y corresponde al conjunto formado por los elementos que
A y B tienen en común.
i Unión de los conjuntos A y B. Se representa por A U B y corresponde al conjunto formado por todos los elementos de
A y de B.
Probabilidad del complemento de un evento.
s
¡
“O
5>
__________________
• Propiedades de las probabilidades.
3
n
I Cardinalidad de un conjunto A. Se representa por #A y corresponde ai número de elementos del conjunto A.
Probabilidad de la intersección de dos eventos independientes.
P(A n B) = P(A y B) = P(A) •P(B)
Probabilidad de la unión de dos eventos mutuamente exduyentes.
P(A U B) = P(A o B) = P(A) + P(B)
Probabilidad de la unión de dos eventos cualesquiera.
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B)
...... - ....................................
A Variable aleatoria. Representa los posibles sucesos que pueden ocurrir en un experimento aleatorio. Por ejemplo: al lanzar
un dado, los valores de la variable aleatoria X serían 1,2,3,'
I Función de probabilidad. Asigna la probabilidad de que i variable aleatoria X tome el valor x¡, P(X =x¡). Por ejemplo, en
el lanzamiento del dado se tiene P(X = 1) =
6
Cada fundón de probabilidad tiene una distribución que se puede representar en una tabla o un gráfico. Por ejemplo, en el
lanzamiento del dado:
Yi
II
_><
"O
X
x =x¡
1
2
3
4
5
1
6
1
6
' 1
6
1
6
1
6
6
■i
1
6
m
&
0,5
0,4 .
0,3
0,2
0,1
n
u
V_________
1
2
3
4
5
6 X
y
........................
i
Medidas de dispersión
A p l ic a r
Con la información de la tabla, responde las preguntas.
En la siguiente tabla se muestran las medias de las temperaturas máximas y mínimas mensuales durante un año en la ciudad de
Santiago. (Los datos fueron redondeados al entero más cercano),
■
Julio
Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
Mayo Junio
Enero Febrero Marzo Abril
T°C
Media
máx.
29
29
27 v
22
19
, ; 18
15
18
19
15
26
27
Media
mín.
13
12
12
9
1[ B
7
4
5
7
9
|
10
1. ¿Cuál es el rango de las temperaturas medias máximas durante ese año?
2.
¿Cuál es el rango de las temperaturas medias mínimas durante ese año?
3.
¿Cuál es la varianza de las temperaturas medias máximas?
4.
¿Cuál es la desviación estándar de las temperaturas medias mínimas?
v T SANTILLANA
52
A p l ic a r
Con la siguiente información, completa la tabla.
En un supermercado se efectuó una encuesta durante cinco días de una semana. Cada día se les preguntó a 20 clientes acerca
de la conformidad con la atención recibida en é! supermercado. Después de un mes, en que se realizaron diversos cambios en el
supermercado, se repitió la misma encuesta. Los resultados se resumen en la siguiente tabla.
Primera encuesta
Segunda encuesta
Conforme
No conforme
Conforme
No conforme
Lunes
7
13
12
8
Martes
5
15
10
f
Miércoles
Jueves
5.
''
8
12
15
5
T’
19
13
7
14
10
10
i
Viernes
10
'-J
Calcula los estadísticos de dispersión y completa la tabla.
Primera encuesta
Conforme
Rango
___
No conforme
l
t,
Varianza
Desviación estándar
I
Segunda encuesta
___ ...
-Conforme
No conforme
)
¡L
y
^
V
i
I n f e r ir
De acuerdo con la tabla anterior:
6.
¿Qué puedes concluir al comparar fas medidas de dispersión obtenidas en ambas encuestas?
53
Teas Matemática
A p l ic a r
y co m pa rar
A partir de la tabla, responde.
La tabla muestra los valores de la Unidad Tributaria Mensual (UTM) durante el año 2010.
o
CM
o
2010
UTM -36.000
$ 36.679
Julio
$. 37.23T
Febrero
$ 36.569
Agosto
$ 37.231
Septiembre
$ 37.454
$ 36.75211
UTM - 36.000
UTM
V ................... ...................... ......... ^
Enero
Marzo
7.
UTM
Abril
$ 36.862
Octubre
$ 37.417
Mayo
$36899
Noviembre
$ 37.567
Junio
$ 37.083
Diciembre
$ 37.605
t
Completa la tercera columna de cada tabla, restando 36.000 a cada valor de la UTM. Luego, calcula las rangos de la segunda y
tercera columna de cada tabla, considerando todos jos meses del año, y compáralos; ¿hay alguna diferencia?
8. Calcula la varianza para la segunda y tercera columna de cada tabla y compáralas: ¿cómo son los resultados obtenidos?
I n f e r ir
A partir de los resultados obtenidos en las preguntas 7 y 8, responde.
9.
¿Qué puedes concluir a partir de los resultados anteriores?
A p l ic a r
A partir del gráfico, calcula lo pedido.
En un curso se registró él número de hermanos de cada alumno;
los resultados se muestran en el siguiente gráfico.
10.
¿Cuál es el rango del número de hermanos? _
^ F I a n t iu a n a
........
54
1
11. Calcula la varianza y la desviación estándar de los datos del gráfico.
A partir de la tabla, calcula lo pedido.
í
Marca de clase
Longitud (cm)
Frecuencia
0-4
5
5-9
2Q
10-14
15
En una piscicultura se recolectan 200 salmones,
se miden y se devuelven al estanque. Las medidas
se resumieron en la siguiente tabla.
|
15-19
20,-24
25-29
30- 34
35-39
t...
A
30
)
40
]
50
I
í
18
22
■ 1
'S
12. Completa la tabla con la marca de clase de cada intervalo.
13. Calcula el rango de la longitud de los salmones. _ _ _ _ _
14.
Estima la varianza de la longitud de los salmones.
15. Estima la desviación estándar de la longitud de los salmones.
Introduce el código 2MMT055 y realiza la actividad.
En la tabla aparece parte de los datos que recolectó el INE en el lilimo censo poblacional (2002) sobre los pueblos originarios.
16. Completa la tabla con la varianza y desviación estándar, utilizando las funciones predefinidas en la planilla de cálculo.
55
Teas Matemática
Interpretación y análisis de indicadores
estadísticos
Cl a s i f i c a r
Clasifica los siguientes estadígrafos según si son de tendencia central, de dispersión o de posición.
1. Varianza
••
______ __________________
4. Cuartil
.......,.... ....... ... ...................
________ ____________________
5. Media
____ _____ _________ ____________
3. Mediana ' .......... ...................................
6. Rango
------ — —------ -— ---- -
2. Moda
Se l e c c io n a r
En cada una de las siguientes situaciones, elige los indicadores estadísticos que te parezcan más adecuados para obtener
la información requerida. Explica tu elección.
7. Describir si el rendimiento de una máquina es constante o no.
8.
Comparar la duración de dos productos.
9.
Ordenar los candidatos que rindieron una serie de pruebas.
10.
Elegir entre dos candidatos que deben realizar un trabajo específico.
Interpretar
De acuerdo con cada situación, responde.
11. La mediana de las notas de un curso fue de 5,0. ¿Cómo se interpreta esto?
12.
El rango de las notas de Matemática de Andrés es de 0 y su media es de 5,0. ¿Cómo se interpreta esto?
fpSANTlUANA
56
13. La media de las edades de los Integrantes de un taller musical es de 18 años. ¿Es posible determinar él porcentaje de
integrantes del taller que tienen 18 años o más?
14.
Daniela midió su estatura en clase de Educación Física y el profesor le dijo que eíla estaba en el percentil 85 según su edad.
¿Cómo se interpreta esto?
15. Se ha calculado que el tercer cuartil de los pesos de una producción de manzanas es 280 g. ¿Qué porcentaje de esta
producción pesa 280 g o más?
16.
En una fábrica de pastas se venden paquetes de ravioles que pesan, en promedio, 500 g,con una desviación estándar igual a
15 g. ¿Qué información entregan los dos datos?
17.
Una empresa declara que el sueldo promedio de sus empleados es $ 850.000, con una desviación estándar de $ 150.000 y
que un empleado con un sueldo de $ 900.000 está en el percentil 90. ¿Cómo se interpreta esta información?
E je m
p l if ic a r
Da un ejemplo para el cual sea útil calcular los indicadores nombrados en cada caso.
18.
Rango.
19.
Media y desviación estándar.
20.
Percentiles.
21. Media y mediana.
57
Teas Matemática
A p l ic a r
Responde las preguntas a partir del gráfico.
El siguiente diagrama de caja con bigotes muestra la dispersión de las estaturas de los alumnos de un curso.
Distribución de las estaturas de los alumnos de un curso
cT
1,50
1,60
q2
1,70
1,80
1,90
Estatura (m)
22 . ¿Cuál es la mediana de esta distribución?
23. ¿Cuál es el rango de esta distribución?
24.
¿Se puede saber la moda de esta distribución?
Si el curso tiene 40 integrantes, determina el número de estudiantes que:
25.
miden entre 1,65 my 1,90 m.
26.
miden más de 1,80 m.
27.
miden menos de 1,65 m.
28.
miden entre 1,70 m y 1,90 m.
V e r if ic a r
Verifica si las siguientes frases son verdaderas o falsas. Justifica.
29.
La varianza de un conjunto de datos es 2,34 y la desviación estándar es 3.
30.
El rango de un conjunto de datos es 0.
31.
La varianza de un conjunto de datos es -0,28.
VSANTI LLANA
58
32. Si se suma un número natural k a cada uno de los datos de una distribución, entonces el rango y la varianza también aumentan en k.
A n a l iz a r
Responde a partir del enunciado.
El profesor de Alicia le dijo que su nota en la prueba dé Inglés era 5,8, que la media del curso había sido 5,3, con una desviación
estándar de 0,4. Por otra parte, el profesor de Historia le dijo que su nota era 5,6 y que estaba en el percentil 48.
33. ¿Qué puedes decir sobre la información que recibió sobre su prueba de inglés?
34. ¿Qué puedes decir sobre la información que recibió sobre su prueba de Historia?
35. Si tú quisieras saber cómo te fue en la prueba, ¿qué estadísticos le pedirías a tu profesor?
Cr e a r
Responde en la tabla.
Se pesaron 50 cajas de galletas de la marca A y 50 cajas de la marca B. Los resultados obtenidos se registraron en una tabla.
36. Completa la columna de frecuencia de la marca B, de manera que esta muestra resulte más dipersa que la muestra
de la marca A.
Peso en gramos
Frecuencia marca A
[470-480]
8,
[480 -490]
17
[490 -500]
(
23
[500-510]
4
[51Q-520]
:T :
59
Frecuencia marca B
]
]
.
^
Teas Matemática
Comparación de conjuntos de datos
Co m p a r a r
Responde a partir de los gráficos.
Los gráficos presentan las notas de una prueba rendida por alumnos de dos cursos de Segundo Medio.
. ...
\
i
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
.á 1 i1 t1 i1 11 i1- 11 1i 11 i1 11 i1 1 ^W
1
2
1
4
5
t
Ü
^¡5 11
1
7
Segundo A
V
}
i1
11 Lt i1 i
3
2
i
i
m
i
Segundo B
1. ¿En cual de los cursos hubo mayor dispersión de las notas?
E je m p l if ic a r
Completa el gráfico.
2.
En el siguiente gráfico, coloca las notas de los-16alumnos del Segundo C, cuya dispersión estuvo entre la del Segundo A y la
del Segundo B.
SANTILLANA
60
Co m p a r a r
Responde a partir de los gráficos.
Los siguientes gráficos muestran la distribución de las alturas de 700 árboles en dos viveros distintos.
Vivero "Río Cruces"
Vivero "Los Girasoles"
Frecuencia
140 -
140-
120 -
120 -
100 -
100-
80-
80-
60-
60-
40-
40-
200
200
JJ
10 20 30 40 50
70 80 90 100
3.
¿Cómo son las medias entre sí?_____________________
4.
¿Cuál de las dos distribuciones tiene una mayor varianza?.
In t er p r et a r
1Q 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Altura (cm)
Altura (cm)
y co m parar
Responde según cada enunciado.
Se desea estudiar las estaturas de los alumnos de Segundo Medio.
5.
¿En cuál de los siguientes conjuntos se espera que haya más dispersión de estaturas: en un colegio cualquiera o en todos los
colegios de Chile?, ¿por qué?
Se tienen dos conjuntos de estudiantes: el conjunto A, que corresponde a los integrantes de la selección escolar de básquetbol de la
comuna, y el conjunto B, que corresponde a todos los alumnos de Educación Media de la comuna. Si se estudia la estatura de estos
dos grupos:
6. ¿en cuál de los dos la media sería mayor?
7.
¿en cuál de los dos habría mayor varianza? Justifica tu respuesta.
61
Teas Matemática
La fábrica de pilas A pone en su propaganda que la vida media de su producto es 100 horas; la fábrica de pilas B dice que la
vida media de su producto es 102 horas.
8. ¿Qué otro indicador estadístico pedirías para decidir qué marca comprar? Justifica tu respuesta.
Las notas de los alumnos del Segundo Medio A tienen una media de 5,0 y una desviación estándar de 1. Las notas de los del
Segundo Medio B también tienen una media de 5,0, pero su desviación estándar es de 0,5.
9. ¿Cuál de los dos cursos tiene notas más homogéneas?, ¿por qué?
A n a l iz a r
Responde a partir de cada enunciado.
El liceo Central tiene dos selecciones de fútbol. El año pasado, la selección A tuvo una media de 2 goles por partido, con una desviación
estándar de 0,3 goles. En cambio, la selección B tuvo una media de 3 goles por partido y una desviación estándar de 0,6 goles.
10. ¿Cuál tuvo un mejor rendimiento el año pasado?
11. ¿Cuál tuvo una mayor dispersión respecto de los goles?
Una empresa farmacéutica está realizando un estudio sobre un remedio para reducir el colesterol. Para ello, tomó 100 voluntarios,
con colesterol promedio de 200 y desviación estándar de 50. Después del tratamiento, el colesterol promedio fue de 160 con
desviación estándarde 100.
12. ¿Qué podrías decir acerca de los resultados del estudio?
(6»
V SANTILLANA
62
A n a l iz a r
A partir de los gráficos, responde las preguntas.
Los gráficos muestran las notas de cuatro cursos.
Frecuencia
Segundo Medio A
Frecuencia
Segundo Medio B
10H
10-
8642-
0
1 2 3 4 5
6 7
Nota
1 2 3 4 5
Segundo Medio C
6 7
Nota
Segundo Medio D
Frecuencia
Frecuencia
ion
1086-
42-
0
1 2 3 4 5
6 7
Nota
1 2 3 4 5
6 7
Nota
13.
¿Qué cursos tienen menor media?___________ ___________________________________ _____________.
14.
¿Qué cursos tienen mayor desviación estándar?_______________________________________________ . _______________
15.
La profesora de Nicolás le dijo que su curso había tenido un promedio muy alto y una muy baja desviación estándar. ¿De qué
curso es Nicolás?
____________
Responde.
Se analizan los minutos de duración de un viaje en dos líneas de locomoción colectiva. La línea N° 1tiene una media de duración de
26 minutos y una desviación de 1 minuto. La línea N° 2 tiene una media de duración de 26 minutos y una desviación de 3 minutos.
16.
¿En cuál de las dos líneas es más probable que un viaje dure más de 29 minutos? Justifica tu respuesta.
63
Teas Matemática
n
VCJH
Eje m
Muestras
p l if ic a r
Menciona tres ejemplos de selección de la muestra, para la siguiente situación.
1. En un colegio hay cinco Segundos Medios y cada uno de ellos tiene 30 alumnos. Para realizar un estudio, se requiere seleccionar
una muestra aleatoria de 20 alumnos.
I n f e r ir
Responde.
2. Teresa está realizando un estudio sobre la estatura de los alumnos de Segundo Medio de un colegio. Para ello mide a todos los
alumnos seleccionados de basquetbol del nivel. ¿Qué problema puede presentar la muestra de Teresa?
A p l ic a r
y e x p l ic a r
Ingresa el código web 2MMT064 y realiza la actividad.
Se entrevistó a todos los alumnos de Educación Media de un colegio. La pregunta que se les hizo fue: ¿Cuántas personas viven en sur
casa? En la página web encontrarás una lista con las 150 respuestas obtenidas.
3.
Selecciona cuatro muestras al azar, de 10respuestas y explica cómo lo hiciste en cada caso.
Muestra 1
Muestra 2
Muestra 3
* SANTI LLANA
Muestra 4
4.
Con la función PROMEDIO obtén este dato para la población y para cada una de las muestras y la media de las cuatro medias
obtenidas.
f
Media población
('
5.
Media muestra 1
Media muestra 2
' r' " " •
*>
1
r'
Media muestra 3
1
"■
Media muestra 4
.m
my■. nr¿> ui * .
Z
^>
> il .i li j
Media de las medias
|
Repite los pasos 3 y 4 y llena la siguiente tabla con los nuevos datos.
r
r
M edia
población
r
Media muestra 5
Media muestra 6
^
Media muestra 7
^
Media muestra 8
Media de las mediasj
1
^
Ar
l
6 . Calcula la media de las ocho medias obtenidas.
Medial
Media 2
Media 3
Media 4
Media 5
Media 6
Media 7
Media 8
í Media de las medias
A n a l iz a r
Responde a partir de lo anterior.
7.
¿Qué puedes decir si comparas las medias obtenidas en los ejercicios 4,5 y 6 con la media de la población?
8 . ¿Es necesario tener la media de la población si se puede calcular la media de las medias de varias muestras, elegidas
aleatoriamente de esa población? Justifica tu respuesta.
9.
Se eligieron aleatoriamente 6 muestras de una población y la media de las medias de todas ellas fue 3,8. ¿Qué puedes decir de la
media de esa población?
65
Teas Matemática
jjBgQinfc
Frecuencia relativa y probabilidad
Rec o r d a r
Completa las proposiciones.
—dividida por el número total de elementos de
1. La frecuencia relativa de un evento corresponde a la
la distribución.
2.
La frecuencia relativa de un evento'siempre es menor o igual a
3.
Al sumar la frecuencia relativa de todos los eventos distintos, se obtiene.— ----------------- -----------------—~
y mayor o igual a
Co m p r e n d e r
Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si son falsas, escribe la proposición correcta.
Julia tiene una bolsa con 10 pelotitas. Algunas son rojas, algunas son verdes y el resto son azules. Ella realiza el siguiente experimento:
extrae una pelotita, anota el color y luego la vuelve a depositar en la bolsa. Julia repite el experimento 100 veces, y confecciona el
siguiente gráfico circular que se muestra aquí.
Frecuencias relativas del experimento de Julia
Pelotita verde
Pelotita roja
Pelotita azgl
0,28
0,6Í
4.
La probabilidad de extraer una pelotita azul de ésta bolsa1es 0,28.
5.
La pelotita que más probabilidades tiene de salir es la roja.
6. Lo más probable es que la bolsa tenga 2 pelotitas azules.
7.
&
Lo más probable es que la bolsa tenga 6pelotitas rojas.
“ SANTILLANA
66
La tabla muestra las frecuencias relativas de los colores de las pelotitas que hay dentro de una bolsa.
Color
Frecuencia relativa
Azul
0,1
Negro
0,25
Rojo
0,3
Verde
0,35
Si se extrae una peiotita de la bolsa al azar, determina:
_________ _______________________
8.
¿cuál es la probabilidad de que sea azul?
9.
¿cuál es la probabilidad de que sea negra?_________ ______________________
10. ¿cuál es la probabilidad de que sea roja?
____ _____________________ _______
11. ¿cuál es la probabilidad de que sea verde? _______________ __________ ______
I n f e r ir
Responde.
12. ¿Es posible saber el número de pelotitas que hay en la bolsa? Justifica tu respuesta.
A p l ic a r
Responde.
13. Si se sabe que hay 4 pelotitas azules en la bolsa de la tabla anterior, ¿cuántas pelotitas habrá en la bolsa?
14.
La probabilidad de elegir una mujer de un curso es 0,3. Si el curso tiene 30 alumnos, ¿cuántos de ellos son hombres?
A n a l iz a r
Responde.
15.
En una familia, la probabilidad de elegir un adulto es
Si esta familia tiene menos de 15 integrantes, ¿cuántos niños y adultos
podría tener?
67
teas Matemática
Diagrama de Venn
Re c o n o c e r
Describe en cada caso el conjunto indicado.
1. AnB
2. AUB
3. Ac
-----------------------------------------______ ____________ ____________________________________
____ ______________ -___ _________ _______ ______________ —
4. BC
___________ __ _________- _____ ____________________ _____
5. (AnB)c
________________________________________ -—
6. (AUB)c
____________________ —----------------------------- ------- —-----------
------------
I d e n t if ic a r
Los siguientes diagramas de Venn muestran los elementos que hay en cada zona. Escribe el número de elementos que
tiene cada conjunto.
7. # A U B =
8.
#A n B =
9. #AC =
10. #BC =
11. #(A U B)c =
12. #A n B n C =
13. #A U B U C =
14. #AC =
15. #bS :
16. #A n B =
17. # A n C ¿ :‘ 1
18. #B u C =
« T SANTILLANA
68
In terpretar
Describe el listado de los elementos de cada conjunto, a partir del diagrama de Venn.
19. A U B =
20. A n B =
21. Ac =
22. Bc =
23. (A n B)c =
r@
24. A U B =
(Á V
25. A fl B =
a
26.
Ac—
27.
Bc =
/
e
1
c
\
f
\ j
d
28. (A U B)c =
b
29. A n B n C =
30. A u B u c =
31. Ac =
32. Bc =
33. A n B =
34. Anc =
A p l ic a r
Escribe el conjunto que corresponde a la zona sombreada de cada diagrama.
35.
Kü)
m
r
m
iv m
i
_ x _ /
69
Tfeas Matemática
Permutaciones y combinaciones
A p l ic a r
Resuelve los siguientes problemas, utilizando el principio multiplicativo.
1. En un restaurante, para escoger una empanada sé debe elegir el tamaño: pequeña, mediana o grande, y el relleno: queso,
champiñones, jamón o carne. ¿Cuántos tipos distintos de empanadas hay en el restaurante?
2.
Benjamín tiene 4 poleras, 2 pantalones y 3 pares de zapatillas. ¿De cuántas maneras distintas los puede combinar?
3.
En un curso de 20 estudiantes se desea elegir al azar una directiva compuesta por presidente, tesorero y secretario. ¿Cuántas
directivas distintas se pueden obtener?
Resuelve los siguientes problemas utilizando permutaciones.
4.
¿De cuántas maneras distintas pueden pararse 3 personas en una fila?
5.
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra CASO?
6. En una carrera, ¿de cuántas maneras distintas pueden llegar a la meta 5 niños, considerando que todos llegan en distinto lugar?
7.
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las íetras dé'íá palabra CAMINO?
8. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 5 personas en una mesa redonda?
9.
&
Camila y sus 4 amigas deben formarse en una fila. ¿De cuántas maneras distintas lo pueden hacer si Camila debe quedar al final?
^ T s a n t il l a n a
70
A p l ic a r
Resuelve los siguientes problemas, utilizando combinaciones.
10. En una familia de 6 integrantes se debe elegir una pareja para lavar los platos de la cena. ¿Cuántas parejas distintas se pueden
elegir?
11. En una heladería hay 15 sabores distintos de helados. Si cada helado debe tener 2 sabores diferentes, ¿cuántos helados distintos
se pueden formar?
12. En un curso de 20 estudiantes se debe elegir una comisión de 3 integrantes. ¿Cuántas comisiones distintas se pueden obtener?
13. ¿De cuántas maneras distintas se puede elegir un comité de 4 integrantes en un curso de 30 alumnos?
14.
En un colegio de 200 alumnos se debe elegir una pareja de representantes. ¿Cuántas parejas distintas pueden elegirse?
A n a l iz a r
Resuelve los siguientes problemas.
15.
En una pizzería hay 5 ingredientes para agregar a una pizza. Si cada pizza puede tener desde 1 a 5 ingredientes distintos,
¿cuántas pizzas distintas se pueden formar?
16.
En un curso hay 18 hombres y 12 mujeres. Se desea elegir una comisión formada por 3 hombres y 2 mujeres. ¿Cuántas
comisiones distintas se pueden elegir?
71
Teas Matemática
o
—
I
Cálculo de probabilidades
A p l ic a r
Resuelve los siguientes problemas utilizando operatoria básica de conjuntos aplicada al cálculo de probabilidades.
En un curso la probabilidad de elegir un hombre es y.
1. ¿Cuál es la probabilidad de elegir una mujer? --............ ........... — -----------------
En el colegio 'los Robles" la probabilidad de elegir un hombre del Segundo Medio A es ^ y de elegirlo en el Segundo Medio B
es
Si se elige un estudiante del Segundo Medio A y otro estudiante del Segundo Medio B, determina la probabilidad de que:
2» ambos estudiantes sean hombres.
►__ _____ __________________ — ----- —_
3.
ambos estudiantes sean mujeres.
►_______________________________________
4.
una sea mujer y el otro hombre.
►_______________________________________
La siguiente tabla muestra la distribución de los alumnos de un colegio.
Nivel
Cantidad de alumnos
Educación Parvularia
100
Educación Básica
400
Educación Media
200
Si se elige al azar un estudiante de este colegio:
5.
¿cuál es la probabilidad de que sea de Educación Básica o Media?
6. ¿cuál es la probabilidad de que sea de Educación Parvularia o de Básica?
vS A N T IL LA N A
72
Se tienen dos bolsas con pelotitas rojas y negras. La bolsa i contiene 4 pelotitas rojas y 2 pelotitas negras, y la bolsa B contiene
1 pelotita roja y 5 pelotitas negras. Si se extrae una pelotita de cada bolsa:
7.
¿cuál es la probabilidad de que ambas pelotitas sean rojas?
8. ¿cuál es la probabilidad de que ambas pelotitas sean negras?
9.
¿cuál es la probabilidad de que ambas pelotitas sean iguales?
En un curso, el 65% de los estudiantes practica deportes, el 40% estudia idiomas y el 10% está inscrito en deportes e idiomas.
Si se elige al azar un estudiante de este curso, determina la probabilidad de que:
10. no practique deportes.
11. no practique idiomas.
►
12. practique deportes o idiomas.
13. no practique ni deportes ni idiomas:
Juan está practicando tiro al blanco. Él sabe que la probabilidad que tiene de acertar un tiro al blanco es de
al blanco, determina la probabilidad de que:
14. acierte las tres veces.
►
15.
►
no acierte ninguna de las tres veces.
16. acierte al menos una de las tres veces.
Si él tira 3 veces
►
73
Teas Matemática
En una bolsa hay pelotitas rojas y negras. Algunas pelotitas tienen número y otras no. Si se sabe que la probabilidad de elegir
una pelotita roja es
la probabilidad de elegir una pelotita con número es
y la probabilidad de elegir una pelotita roja o con
g
número es — , determina la probabilidad de elegir una pelotita:
17. negra.
►________________________________________
18. sin número.
►________________________________________
19. roja y con número.
►___________________________________ :____
20. negra y sin número.
►____________________________________*___
Se hace una encuesta en un curso y se determina que la probabilidad de que a un estudiante le guste la música pop es j y la
probabilidad de que le guste la música rock es | . Si estas dos preferencias son independientes entre sí, determina la probabilidad
de que a un estudiante de este curso;
21. no le guste la música pop.
►_______________________________________ _
22. no le guste la música rock.
►_______________________________________
23. le guste la música pop y rock.
►_______________________________________
24.
le guste la música pop o rock.
►_______________________________________
25.
no le guste ni la música pop ni la música rock.
►_______________________________________
Se realiza una encuesta en un curso para conocer qué tipo de películas prefieren los estudiantes. Se determina que la
probabilidad de que a un estudiante le gusten las películas de acción es
Además, la probabilidad deque a un estudiante le
14
gusten las películas de acción o de terror es — . Si las preferencias de los tipos de películas son independientes:
26. ¿cuál es la probabilidad de que a un estudiante de este curso le gusten las películas de terror?
v S A N T IL lA N A
74
La siguiente tabla muestra la distribución de los estudiantes de un curso y sus prácticas de fútbol y basquetbol:
Practican básquetbol
27.
No practican básquetbol
Practican fútbol
3
12
No practican fútbol
15
ó
¿Cuántos estudiantes tiene este curso?
Si se elige al azar un estudiante de este curso, determina la probabilidad de que:
28. practique fútbol.
►
29. practique básquetbol.
►
30. no practique fútbol.
►
31. no practique básquetbol.
►
32. practique fútbol y básquetbol.
33. practique fútbol o básquetbol.
34. no practique ni fútbol ni básquetbol.
35. practique fútbol y no practique básquetbol.
36. practique básquetbol y no practique fútbol.
75
Teas Matemática
A p l ic a r
Resuelve los siguientes problemas utilizando técnicas combinatorias aplicadas al cálculo de probabilidades.
Daniéla'tiene 4 poleras: una roja, una verde, una azul y una negra. También tiene 3 pantalones: uno rojo, uno azul y uno verde. Si 1
con los ojos cerrados ella elige una polera y un pantalón:
37.
__ ________________________
¿cuál es la probabilidad de que ambos sean rojos?
38. ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean deí;mismo color?
I
....... ...................................
En un curso de 30 estudiantes se elige la directiva aleatoriamente, compuesta por presidente, vicepresidente, secretario y tesorero.
Si Francisca y Ernesto son dos estudiantes de este curso:
39. ¿cuál es la probabilidad de que Francisca salga presidenta?
.
40. ¿cuál es la probabilidad de que Francisca salga presidenta y Ernesto tesorero?
. . - ...
__________
4
_______ _________________ .-.J
Gabriel, Ignacia y Jorge hacen una carrera.
41.
¿Cuál es la probabilidad de que Gabriel llegue p
r
i m
e
42. ¿Cuál es la probabilidad de que Gabriel llegue primero y Jorge tercero?
r
o
?
_____________________________ J
__________ __________________
Se realizan todas las permutaciones de la palabra MESA y se elige una al azar.
43. ¿Cuál es la probabilidad de que comience con M?
______________________________
44. ¿Cuál es la probabilidad de que comience con M y termine con A?
V SANTILLANA
76
En una pizzería se preparan pizzas con tres ingredientes que se pueden elegir de entre los siguientes cihcó: jamón, tomate,
champiñones, cebolla y queso. Carlos pide que le traigan una pizza cuyos tres ingredientes sean seleccionados al azar.
45.
¿Cuál es la probabilidad de que tenga tomate?
__________________________
46. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga tomate y queso?
__________________________
47.
________ ___________ ______
¿Cuál es la probabilidad de que tenga tomate, queso y jamón?
A n a l iz a r
Resuelve el siguiente problema.
'Una familia está compuesta por 3 hombres y 5 mujeres. Para hacer el aseo el fin de semana, se seleccionará al azar un equipo
formado por 1 hombre y 2 mujeres. Karen y Leonardo son integrantes de esta familia. Determina la probabilidad de que:
48. Karen quede dentro del equipo.
►
49.
►
Leonardo quede dentro del equipo.
50. tanto Karen como Leonardo queden dentro del equipo.
►
51.
►
ni Karen ni Leonardo queden dentro del equipo.
Cr e a r
Inventa un problema que sea resuelto a través de técnicas combinatorias aplicadas al cálculo de probabilidades, según lo
pedido.
52.
Principio multiplicativo:
53.
Permutaciones:
54. Combinaciones:
77
Teas Matemática
Variable aleatoria
Interpretar
Completa la tabla.
En una oficina hay tres salas con termómetros, de tal manera que a veces uno, dos o los tres marcan las temperaturas correctas.
1 . Completa la siguiente tabla anotando todas las posibilidades del número de termómetros funcionando correctamente. Guíate
por la primera fila.
Termómetro 1
Termómetro 2
No
No
No
r ■1
i
ÍL.
.
Número de termómetros
funcionando correctamente
Termómetro 3
— ^
0
....... *
i
/■....................... .......... . ’ —N
.......... >
*
i
---
In
------ ------ -
f e r ir y a p l ic a r
Responde.
2.
Con los resultados de la cuarta columna de la tabla anterior, ¿qué pregunta se puede contestar?
3.
¿Qué variable aleatoria se puede definir con el ejemplo anterior?
“
SANTI LLANA
;
4 . ¿Qué valores puede tomar esa variable aleatoria? Escríbelos en la siguiente tabla.
'
><
IÍ
X
E je m
p l if ic a r
A continuación describe tres situaciones y la variable aleatoria que pueda relacionarse con cada una de ellas.
5. .............................................. ........ - -
____________________
:
6.
7.
In terpretar
y a p l ic a r
Responde.
Un grupo de cuatro amigos fueron a pescar durante varios fines de semana. La ley indica qué se puede capturar como máximo 12 peces.
8 . Define la variable aleatoria de la situación anterior.
9. ¿Qué valores puede tomar esa variable? Escríbelos en la tabla.
79
Teas Matemática
A p l ic a r
Responde a partir del gráfico.
En él siguiente gráfico se muestra el registro que la dueña de un almacén hizo con la cantidad de litros de leche que han comprado
sus clientes la última semana.
10.
¿Qué variable aleatoria se puede definíi?
11.
¿Qué valores puede tomar esa variable aleatoria? Escríbelos en la siguiente tabla.
X = x.
“
SANTI LLANA
80
An
a l iz a r
En cada caso, define la variable aleatoria y completa la tabla con la función de probabilidad correspondiente a cada
experimento.
12. Se lanzan 3 dados y se anota la cantidad de números pares que aparecen en las caras.
X:_______________________________ ....
.-A...____________________ ,_______ ___ ___________________
P(X = X¡)
13. En una bolsa hay 3 fichas negras y 5 fichas blancas, se sacan 2 y se cuenta el número de fichas blancas.
X:_______________________________________ ___ _______________________________________
X
j
_x
vilr.v
m m
............................. ...—
y
En las tablas se muestran funciones de probabilidad. En cada caso, ¿cuál es el valor de k?
14.
X
<---------------
x~
><
Q-
0
1
0 ,5 k
0,5 k
15.
X
, 0 ■
iiÉfÉí
- .....
{
JX
"O
X
II
A
h -- p 1
T-- ~
k
k
--------
k
2
' "i»
k
•o-i
16.
X
P(X = x¡)
0
i
%
L
0,5 k
2
J
0,2 k
81
Teas Matemática
valuación
I. Preguntas de alternativas.
Lee
a t e n t a m e n t e c a d a u n o d e l o s e n u n c ia d o s y r e s p o n d e , m a r c a n d o l a a l t e r n a t iv a c o r r e c t a
EN LA H O JA DE R ESPU EST A S DE LA PÁGINA
17 1.
1. Si un conjunto de datos es: 8,13,17,29,5,12,25,7 y 14, ¿cuál es su rango?
A. 6
B. 13
C. 24
D. 29
2. ¿En cuál de los siguientes gráficos se muestra el conjunto de datos con menor varianza?
A.
D.
C.
B.
-....... •
---é
-t
Xt
-•— é
3. Si se sabe que en la distribución de las notas de la primera prueba de matemática el primer cuartil es 4,0 y el tercer cuartil
es 5,5, ¿qué porcentaje de los alumnos sacó entre un 4,0 y un 5,5?
A. 25%
B. 50%
C. 75%
D. 100%
Media
Desviación estándar
Segundo Medio A
5,0
o
00
4. Se aplicó una prueba a cursos con igual cantidad de estudiantes y se obtuvieron los siguientes resultados:
Segundo Medio B
5,0
0,4
¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?
A. El Segundo Medio A tuvo mejor rendimiento en la prueba.
B. El Segundo Medio B tuvo mejor rendimiento en la prueba.
C. Ambos cursos tuvieron igual rendimiento, pero el Segundo Medio A es más homogéneo que el Segundo Medio B.
D. Ambos cursos tuvieron igual rendimiento, pero el Segundo Medio B es más homogéneo que el Segundo Medio A.
a n t il l a n a
82
5. El equipo encargado de las publicaciones de un colegio tiene 7 miembros. Si se desea elegir un coordinador y un tesorero
al azar, ¿cuántas directivas distintas se pueden elegir?-
A. 13
B. 14
C. 21
D. 42
6. Si en un curso de 30 alumnos la probabilidad de elegir un hombre al azar es 0,4, ¿cuál es la frecuencia relativa de las
mujeres?
A. 0,4
B. 0,6
C. 12
D. 18
7. En un colegio, la probabilidad de elegir un hombre en el Segundo Medio A es de 0,6 y en el Segundo Medio B es de 0,3.
Si se elige un alumno de cada curso al azar; ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres?
A. 0,18
B. 0,45
C. 0,72
D. 0,90
8. Marcela tiene 3 bufandas: una verde, una negra y una blanca, y 2 sombreros: uno negro y uno rojo. Si elige al azar una
bufanda y un sombrero para usar, ¿cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?
A .¿
B .1
C .1
D .I
II. Preguntas de desarrollo.
R e s p o n d e e n t u h o j a de r e s p u e s t a s d e l a p á g in a
9.
17 2 .
En una familia la probabilidad de ser adulto es - y la probabilidad de ser mujer es -. Si ambos eventos son
independientes y se elige un miembro de esta familia al azar,
a. ¿cuál es la probabilidad de que sea adulto y mujer?
b. ¿cuál es la probabilidad de que sea adulto o mujer?
10. De una población se eligieron aleatoriamente 8 muestras, cuyos promedios fueron:
4,8 - 4,2 - 4,6 - 4,0 -3 ,9 - 4,1 -3 ,8 - 4,2
¿Qué se puede inferir sobre la media de la población?
83
Teas Matemática
JLos aprendizajes asociados a esta unidad son:
Comprender él concepto de semejanza de figuras planas a través de situaciones presentes en el ■
entorno.
Aplicar el concepto de semejanza para calcular medidas desconocidas en figuras planas.
Aplicar el teorema deThales para determinar la longitud de trazos proporcionales.
Dividir interior y exteriormente un segmento en una razón dada.
Aplicar el teorema de Euclides, el téórema de Pítágoras y el teorema recíproco de Pitágoras para
determinar longitudes desconocidas,: ;
Aplicar el concepto de semejanza en la homotecia de figuras planas.
Utilizar los criterios de semejanza en la resolución de problemas y en la demostración de
propiedades. Utilizar el teorema deThales y la división de un trazo en la resolución de problemas.
.Utilizar los teoremas dé Euclides, Pitágoras y recíproco de Pitágoras en la resolución de problemas;
determinar las medidas de elementos-linéales de una circunferencia:
J5etermjnar la medida de ángulos en unájcircunferencia.
Utilizar lásfelaciones entré1o€ Mementos* lineales de una circunferencia en la resolución de
probténñas.'
Utilizar lasTéfepnés^entFé los .ángulos de una circunferencia en lá*resolución de problemas.
cr
V SANTJLLANA
84
Contenidos clave
Semejanza de polígonos. Dos polígonos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados
correspondientes son proporcionales. Si los lados de dos polígonos semejantes están en la razón k, entonces sus áreas
están éh la razón k2.
Teorema particular de Thales. Si 1^//L2, entonces ^
% Teorema general de Thales. Si L, //L2//1_3 entonces ^ - ^j.
® Teorema de Pitágoras. En el triángulo rectángulo se cumple que a2+ b2=c2.
# Recíproco del teorema de Pitágoras. Si en un triángulo se cumple que a2+ b2=c2, entonces el triángulo es rectángulo
de hipotenusa c.
Teorema de Eudides. En el siguiente triángulo se cumple que:
h = p •q
a =p-c
b =q -c
85
Teas Matemática
C ontenidos clave
Ángulos en la circunferencia. En la circunferencia, 3 AOC es un ángulo del centro y el 3 ABC es un ángulo inscrito.
Entonces, se cumple que:
<ÍABC = i<XAOC
2
Sector circular. AOBes un sector circular.
La medida del arco AB es arco(AB) = ——-■2 •7t •r.
360
El área del sector circular es área (AOB) = -7 360
n r2.
Relación entre dos cuerdas que se cruzan dentro de una circunferencia. Si dos cuerdas se cruzan dentro de una
circunferencia, el producto entre los segmentos de cada una de ellas es constante.
AE •BE = CE •DE
Distancia de una cuerda al centro de la circunferencia. La distancia desde una cuerda hasta el centro de una
circunferencia siempre se mide desde el punto medio de la-cuerda. Dicho segmento es perpendicular a la cuerda;
AB _L OC y C es el punto medio de AB.
V 5ANTILLANA
86
Cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Si el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia, entonces se tiene
que:
c
3DAB+ <BCD = <ABC + <ÍCDA = 180°
D
Relaciones métricas entre tangentes y secantes en la circunferencia
» P es un punto externo a la circunferencia, AP y BP son tangentes a la circunferencia. Entonces, se cumple que:
A
Á P IO Á y B P 1 0 B
» Pes un punto externo a la circunferencia, AP es tangente y BP es secante a la circunferencia. Entonces, se cürhple que:
AP2= BP •CP
► P es un punto externo a la circunferencia, AP y BP son secantes a la circunferencia. Entonces, se cumple que:
p
AP r a l BP ■CP
87
Teas Matemática
Co m p r e n d e r
Responde a partir de la fotografía.
1. Si se dice que las caras de las pirámides son semejantes, ¿qué significa eso? Explica.
I d e n t if ic a r
Marca con una cruz dos polígonos que te parezcan semejantes y explica por qué los elegiste.
2.
^ F sA N T I LLANA
88
Cl a s i f i c a r
Responde las preguntas 3 y 4 a partir de los cuadriláteros semejantes ABCD y PQRS.
3.
Escribe todas las parejas de lados proporcionales.
P,------------------- tS
4.
Escribe tres parejas de ángulos congruentes.
A p l ic a r
En cada ejercicio, determina si los triángulos son semejantes y escribe el criterio de semejanza que utilizaste. Si no lo son,
justifica tu respuesta.
5.
6.
7.
8.
89
Teas Matemática
ESIQ9I
Cálculo de longitudes en polígonos
semejantes
A p l ic a r
Responde las preguntas 1 y 2 a partir de los polígonos semejantes ABCDEF y PQRSTU.
S
D
F
3 cm
x
A
C
B
R
P
Q
1. ¿Cuál es la razón de semejanza?
------------------------ -------
2.
----------------------
Encuentra la medida de x.
Resuelve el problema.
3.
Dos triángulos rectángulos son semejantes. Un cateto, del más pequeño de ellos mide 3 cmy el cateto no correspondiente, del
más grande, mide 12cm. Las hipotenusas están en la razón 1:3. ¿Cuál es la suma de sus perímetros?
I n f e r ir
Responde según las medidas de los triángulos anteriores.
4.
Supongamos que de los dos triángulos anteriores, se sabe el área del más pequeño y se quiere saber el área del más grande.
Patricia dice que para calcular el área del más grande es necesario obtener los catetos, ¿existe otra forma? Si la hay, explícala y
aplícala.
Í F Í a n t ilia n a
E je m
p l if ic a r
Inventa un problema en la siguiente situación.
5. Vas a estudiar con un compañero y se supone que tú le explicarás dibujos a escala. Crea un ejemplo de un problema y resuélvelo
indicando cada paso.
A p l ic a r
y a n a l iz a r
Responde a partir de cada enunciado.
Dos polígonos son semejantes en la razón 2:3.
6. Si el perímetro del más pequeño es 12 cm, ¿cuál es el perímetro del más grande?
7.
Pedro dice que si el área del más grande es 24 cm2entonces el área del más pequeño es 16 cm2.¿Está en lo correcto? Justifica tu
respuesta.
En los planos para construir las piezas de un juguete se señala que por cada centímetro en el plano hay 6 cm en la pieza real.
8. Si en el plano una pieza mide 3 cm, ¿cuánto mide la pieza real?
9.
Si la pieza real mide 1cm,¿cuánto mide esa pieza en el plano?
10. El área, en el plano, de una de las piezas es de 4 cm2. ¿Cuánta superficie se cubre con 6 de esas piezas?
A n a l iz a r
Responde.
11. Tu compañera te pide que nombres dos pares de figuras que siempre son semejantes. ¿Cuáles mencionarías? Justifica tu respuesta.
91
Teas Matemática
fBSSSSB^i
Teorema de Thales
Reco rd ar
Completa la proporción correcta para cada uno de los siguientes casos, sabiendo que L, //1_2 y L, // L2// Ly según
corresponda.
1.
a
b
C B.
CA'
a
v SANTILLANA
92
Co m p r e n d e r
Escribe la proporción que permite determinar el valor de la incógnita en cada uno de los siguientes casos, sabiendo que
1^// L2y L, // L2// L3.
4.
93
Teas Matemática
A p l ic a r
Calcula la incógnita en cada caso.
7. En la figura Lj //1_2// L3. ¿Cuál es el valor de x?
8. En la siguiente figura, se tiene que L, // L2, AD = 3 cm, DE = 4 cm y CB = AB + 2. ¿Cuál es la medida de AC ?
a
9. En la siguiente figura, se tiene que L, // L2, RM = 9 cm, PQ = 4 cm y RP = MN. ¿Cuál es la medida de RP ?
R
94
vTSANTILLANA
\
En la figura ^ // L2// L3// L4. Además, A B: BC: CD = 2:3 :5, EF = x +1 y GH = 3x +1.
10.
¿Cuál es el valor dé x?
11.
¿Cuál es la medida de FG?
12.
¿Cuál es la medida de EH ?
A n a l iz a r
Indica en cada caso si las rectas son paralelas.
13.
y
14.
L
'\ ^
L-2
6 cm
■^3 cm
' - ' 2 cm
-''-'''4 cm
95
Teas Matemática
División interior y exterior de un trazo
Co m p r e n d e r
Completa cada dibujo con la división del trazo. Escribe si es interior o exterior y la razón correspondiente.
1. E! segmento AB se divide . ....... ......... ... .. ....... ...... ................ — en la razón.—.— --------,—
------- 1¡v ‘
|
__
/
2.
El segmento AB se divide ...
r —
L
_
-B
_____ ________ ___ ____ ______ _—,— en la razón-------- -
_i_1
1
r
1
B
_i
V e r if ic a r
Marca con una cruz la proposición correcta, a partir de la figura.
3.
El punto P dividirá exteriormente al segmento AB en la razón 2:3.
íí
/k
SANTILLANA
96
]
El punto P se encuentra a la izquierda de A.
El punto P se encuentra a la derecha de A.
El punto P se encuentra entre A y B.
A p l ic a r
Resuelve los siguientes problemas.
4.
El punto P divide interiormente el segmento AB que mide 18 cm, en la razón 3:2. ¿Cuánto mide AP y PB, si AP es el segmento
mayor?
5.
El segmento AB mide 68 cmy se divide interiormente en tres partes, en la razón 2:3:5. ¿Cuánto mide cada parte?
6. El segmento AB se dividió interiormente en el punto P. Si A P: AB = 3:7, ¿en qué razón están AP y PB?, ¿y en qué razón están PB
yAB?
7.
Cuando un segmento se divide interior y exteriormente en la misma razón se dice que la división es armónica. El segmento AB
que mide 21 cm se divide armónicamente en la razón 3:4. Si P es el punto de división interna y Q el punto de división externa,
encuentra la medida de los siguientes segmentos.
AP = _______ ___ ___
PQ = ______________
PR =.. .
97
________
AO =
________
QB = ______________
Teas Matemática
\
jpilll
Aplicación de los teoremas de
Euclides y Pitágoras
Reco rdar
Usando de referencia la figura, escribe los teoremas de Euclides y de Pitágoras.
Teoremas de Euclides
1 ______________________ _____ ___ ....____ -
2.
_________
a .
3.
Teorema de Pitágoras
4. —
_______________________________
;----------- ¡
V e r if ic a r
Usando de referencia la figura, indica si las expresiones son o no igualdades. En caso de que no lo sean, escribe la igualdad
correspondiente.
5. t2 = u •w
-----------------------------
6. m2+12= w2
________________ _____ __________ , . . .
7. n2=u •(u +w)
________________________________ __
8. m •n =t •(u +w)
__________________________________
9. m2=w •u
_________________ . , - - -
10. m2+ n2= u2+w2
_______ __________________________
u
w
V e r if ic a r
y a p l ic a r
Determina si los siguientes triángulos son rectángulos.
Co m p r e n d e r
Escribe la ecuación que permite determinar el valor de x en los siguientes triángulos.
14.
15.
16.
A p l ic a r
Determina el valor de x en los siguientes triángulos.
99
Teas Matemática
18 .
X =.
•R cm
19.
\x
r
V5 cm
2y5 cm
3cm /
g
4s cm
X
X-
21.
x=
22.
T t s a n t ju a n a
100
A p l ic a r
Determina el área y el perímetro de los siguientes triángulos.
1"
f
23.
8cm
/
.............
V
\ócm
r
l
j
A=
25.
- ■.
_______
P=
A=
Pé
A =_____________
P=
A =_____________
P=
I
2cm/
V3 cm
□_____________ X
A n a l iz a r
Determina el valor de x y de y en la siguiente figura.
101
Teas Matemática
Ángulos y circunferencias
Co m p r e n d e r
Clasifica las siguientes frases como verdaderas o falsas. En caso de ser falsas, justifica.
1. El diámetro es la mayor de las cuerdas en una circunferencia.
2. Cada lado de un polígono inscrito en una circunferencia es una cuerda.
3. Todas las cuerdas de una circunferencia son congruentes.
4.
Un ángulo inscrito y un ángulo del centro que subtienden el mismo arco son congruentes.
5.
El ángulo inscrito en un semicírculo mide 180°.
6. Si un cuadrilátero se inscribe en una circunferencia, entonces sus ángulos opuestos son complementarios.
A p l ic a r
En cada figura, encuentra las medidas pedidas.
7.
a=
SANTILLANA
p=
p
102
*.
x=
a=----
P=----
X
..
« =----
P=----
X=
A n a l iz a r
Resuelve los siguientes problemas.
11. Encuentra la medida del ángulo agudo formado por una tangente y una cuerda s¡ la razón entre las medidas de los arcos
determinados por la cuerda es 1:5.
12 . Dos tangentes a una circunferencia trazadas desde un punto fuera de ella son perpendiculares. Encuentra las medidas de los
dos arcos.
13.
La diferencia entre un ángulo inscrito y un ángulo del centro que subtienden el mismo arco es 25°. Encuentra la medida de
ambos ángulos.
103
Teas Matemática
M rM
^
"
1 L H I Cuerdas, secantes y tangentes
R eco rd ar
Responde las preguntas 1 a 2 a partir de la figura 1, considerando AC y BD cuerdas.
1. ¿Es el A AED semejante a ACEB? Justifica tu respuesta utilizando el criterio de semejanza correspondiente.
I n f e r ir
Responde a partir de lo anterior.
2.
“
Si los triángulos de la figura 1son semejantes, ¿qué relación se puede establecer entre los segmentos AE, BE, CE y DE?
s a n t il l a n a
104
Co m p r e n d e r
En la circunferencia se trazaron las secantes EC y AC.
3.
Esteban dice que para encontrar el valor de x se puede establecer que 4 •x = 1 •7, ¿es correcto? Justifica tu respuesta y encuentra
el valor de x.
A p l ic a r
Resuelve.
4.
Si en la figura 1, AE = 3 cm, EB = 5 cmy DE = 6cm,¿cuánto mide CE?
En la figura 1 de la página 104, DB mide 16 cm, EB mide 4 cm y se tiene que A E: EC = 3:1.
5.
Encuentra las medidas de ÁE y EC.
M N _______ ,.....-.. -
e c =______________
6. En el problema anterior, ¿en qué razón están los segmentos DE y EB?
105
Teas Matemática
A p l ic a r
Utilizando la figura 2, responde las preguntas 7,8 y 9.
7. Si AC = 25 cm, ED = 15 cm y DC = 5 cm, ¿cuánto mide BC ?
8. Si CD = 4 cm, DE = 7 cm y BC = 6 cm, ¿cuánto nmd.e AB ?
9. Si DC = 6 cm, BC = 4 cm y AB = 6 cm, ¿cuánto mide EC?
vSANTIULANA
106
A p l ic a r
En la circunferencia de centro O de la figura se dibujaron dos secantes. Con esta información responde.
c
10. ¿Cuál es la medida de AC?
Encuentra el valor de x en las siguientes figuras.
107
Teas Matemática
A p l ic a r
La figura muestra un triángulo equilátero circunscrito a una circunferencia.
13.
Encuentra el perímetro y el área del triángulo.
El triángulo de la figura está circunscrito a la circunferencia y se sabe que AB = 6 cm, BC = 7 cm y AC = 10 cm.
14.
Encuentra la medida de los segmentos AP, CQ y BR.
c
v SANTILLANA
108
A n a l iz a r
Resuelve los siguientes problemas.
15.
Una secante y una tangente se dibujan desde un punto fuera de una circunferencia. La razón entre la parte externa y la interna
de la secante es 1:4. La tangente mide 12 cm. Encuentra la longitud de la secante.
16. Completa la información del dibujo con las medidas de los otros lados del cuadrilátero, de manera que en él se pueda inscribir
Cr e a r
La figura muestra un círculo en el que se dibujó una secante y una tangente.
17.
Inventa y resuelve un ejercicio utilizando la figura.
109
Teas Matemática
Homotecia de figuras
Co m p r e n d e r
Realiza la transformación.
1. En la figura se muestra un triángulo. Realiza una homotecia con k= 2, explicando paso a paso el procedimiento.
Responde.
2.
Explica qué sucedería con la imagen del triángulo de la pregunta anterior si 0 < k<1.¿Y si k<0?
A p l ic a r
Resuelve los siguientes problemas.
3.
“
Si el centro de homotecia es O y se tiene que OA = 2 cmy OA' = 5 cm, ¿cuál es la razón de la homotecia?
SANTILLANA
110
4 . Al triángulo de área 12 cm2 se le aplica una homotecia de razón
5.
¿cuál es el área del nuevo triángulo?
A un cuadrado de área 16 m2se le aplica una homotecia de razón - % ¿cuál es el perímetro del nuevo cuadrado?
6. Los vértices de un triángulo son A(3,2), B(5,2) y C(5,3), los vértices de su imagen son A'(4,3), B'(8,3) y C(8,5). Grafica los
triángulos y encuentra las coordenadas del centro de homotecia y la razón.
A n a l iz a r
Determina si las siguientes frases son SIEMPRE verdaderas. Si no lo son, indica en qué casos son verdaderas.
7.
Sea kla razón de homotecia de una figura. Si kes negativo, entonces la imagen de la figura después de realizada la homotecia es
más pequeña.
8. El área de una figura a la que se le aplicó una homotecia es igual al área de la figura original multiplicada por la razón de
homotecia.
9.
Los ángulos de un polígono son iguales a los ángulos del polígono resultante luego de aplicarle una homotecia.
lll
Teas Matemática
EFERE5S5
Co m p r e n d e r
En cada caso, haz el dibujo y escribe la ecuación que permite encontrar la incógnita.
1. Se desea cortar un trozo de madera que mide 10 cm en la razón 2:3. ¿Cuál es la medida del trozo menor?
2.
En un triángulo ABC se traza un segmento DE paralelo a la base AB. Si se sabe que AD =4 cm,CD = 6 cmy CB = 20 cm,¿cuál es
la medida de CE?
3.
A cierta hora del día un hombre que mide 1,8 m proyecta una sombra de 30 cm. ¿Cuánto medirá un árbol que proyecta a esa
misma hora una sombra de 75 cm?
4.
En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa mide 4 cmy la proyección de uno de los catetos sobre la
hipotenusa mide 2 cm.¿Cuánto mide la otra proyección?
5.
Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 8 cmy la diferencia entre la hipotenusa y el otro cateto es de 4 cm.¿Cuánto
mide la hipotenusa?
C ^ A N T IL IA N A
112
6. Dos cuerdas se intersecan dentro de una circunferencia y los segmentos de la cuerda menor miden 4 cmy 7 cm. Si uno de los
segmentos de la cuerda mayor mide 2 cm, ¿cuánto mide el otro segmento?
A p l ic a r
Responde a partir de cada enunciado.
El plano de un pueblo muestra las calles y las distancias entre algunas de ellas. Con esta información, determina las distancias de los
recorridos que se indican a continuación.
7.
Desde Calle Norte hasta Los Sauces por Las Camelias.
8. Desde Los Alerces hasta Los Sauces por Los Girasoles.
113
Teas Matemática
9.
Desde Los Alerces hasta Los Abedules por Las Camelias.
La figura muestra dos postes rectos y de igual tamaño afirmados al piso en un mismo punto por cables formando un ángulo recto.
10. ¿Cuánto mide cada poste?
11. ¿Cuánto cable se utilizó para sujetar ambos postes al piso?
En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa están en la razón 1:3 y la altura correspondiente a la
hipotenusa mide 2V3 cm.
12. Haz un dibujo del triángulo.
13.
“
¿Cuánto mide cada proyección?
SANTILLANA
114
14.
¿Cuánto mide el área del triángulo?
Don Andrés tiene un terreno en forma de triángulo rectángulo como muestra la figura. Desde el ángulo recto nace un camino
interior que mide 1,6 km y llega perpendicularmente al otro lado. Este camino divide el terreno en dos partes más pequeñas cuyas
áreas están en la razón 1 :4.
15.
¿Cuánto mide la hipotenusa de este terreno?
16.
¿Cuál es el perímetro de este terreno?
Se tiene un poste atado ai piso por dos cables que forman un ángulo recto, a 2 m y 8 m de distancia del poste, como muestra la figura.
17.
¿Cuál es la altura del poste?
115
Teas Matemática
18. ¿Cuánto cable se está usando para afirmar al piso este poste?
Se realiza un plano de una habitación utilizando la escala 1 m : 5 cm.
19.
¿Cuál es el factor de homotecia que convierte el plano en la habitación real?______________
20. Si una de las paredes de la habitación mide 15 cm de ancho en el plano, ¿cuál es la medida real?
21. Si el área de la habitación es de 250 cm2 en el plano, ¿cuál es el área real?
Juan sacó la fotografía de un paisaje en la que un árbol de 4 m se redujo a 10 cm.
22. ¿Cuál es el factor de homotecia que convierte el paisaje en la fotografía?__
23. Si otro árbol en la foto mide 5 cm, ¿cuánto mide en el paisaje real?
La distancia desde una cuerda de 8 cm al centro de una circunferencia es de 3 cm.
24.
¿Cuál es el radio de esta circunferencia?
SANTILLANA
116
En el centro de un parque hay una fuente circular. Desde un punto del parque, la distancia hasta el punto de tangencia con la fuente
es de 6 m y la distancia hasta el centro de la fuente es de 6,5 m.
25.
¿Cuál es el radio de esta fuente?
A n a l iz a r
Responde a partir de cada enunciado.
A partir del triángulo rectángulo ABC y utilizando los criterios de semejanza, determina si las expresiones son verdaderas o falsas. En
caso de las falsas, escribe ía igualdad correcta.
26
=
—
* DC ~ DB
27.
CB •AB = CD •AC
no
DB _ CB
* CB " AB
90
. AC -A(-
AB _ AD
_______________________
....
------ ;----- ---- -•
. ..... , ......
_______ ,________
...
Alberto, Beatriz y Carlos quieren calcular el área de un jardín triangular que construyeron con tres lados que miden 12 m, 16 m y
20 m. Alberto dice que no es posible, pues solo tienen la medida de sus lados y no de sus alturas. Beatriz piensa que sí se puede y
que es A =
30.
= 96 m2. Carlos asegura que sí, pero que es A = 12^
= 120 m2
¿Cuál de los tres amigos tiene razón? Justifica tu respuesta.
117
Teas Matemática
IB
Aplicación de las propiedades de los
ángulos de una circunferencia
Co m p r e n d e r
En cada caso, haz el dibujo y escribe la ecuación que permite encontrar la incógnita.
1. El ángulo del centro que subtiende un arco mide 40° más que el ángulo inscrito correspondiente. ¿Cuál es la medida del ángulo
inscrito?
Ecuación ►_______________________________________________________________________________________________
2.
Dos ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia tienen una diferencia de 20°. ¿Cuánto mide el ángulo
menor?
Ecuación ►
^ S A N T IL L A N A
118
A p l ic a r
Responde a partir de cada enunciado.
Don Luís tiene un terreno circular de 12 m de diámetro. Él quiere utilizar un sector circular que corresponda a ^ del total de su
terreno para plantar gladiolos.
3.
¿Qué ángulo central tendrá este terreno?
4.
¿Cuál es el área de este sector?
5.
¿Cuánto mide el arco correspondiente a este sector?
6. Si quiere cercar este sector del terreno, ¿cuál será la longitud de la cerca?
119
Teas Matemática
Una milla náutica corresponde a la longitud de un arco de un meridiano terrestre equivalente a ^ de grado (1 minuto),
como muestra la figura.
7. Si un meridiano terrestre mide aproximadamente 40.000 kilómetros, ¿a cuántos metros equivale una milla náutica? Entrega tu
respuesta aproximada al metro.
Se sabe que un barco recorrió 333 kilómetros sobré un meridiano en el mar.
8. ¿Cuántas millas náuticas recorrió? Entrega tu respuesta aproximada a la milla.
9. ¿Cuántos grados se desplazó sobre el meridiano?
vS A N T IL L A N A
120
A n a l iz a r
Completa los datos faltantes en la siguiente demostración.
Se tiene una circunferencia cualquiera de centro O.
10. Se inscribe el triángulo______________ en la semicircunferencia de manera que uno de sus lados contenga al centro.
11. Por lo tanto, AB es el
_________de la circunferencia.
12.
Luego, el ángulo BOA mide______________
13.
El ángulo BOA es un ángulo______________
14.
El ángulo BOA subtiende el arco______________
15.
El ángulo inscrito que subtiende este mismo arco es el ángulo______________
16.
Si un ángulo inscrito subtiende el mismo arco que un ángulo del centro, entonces el ángulo inscrito mide------------ del
ángulo del centro.
17.
Por lo tanto, el ángulo ACB mide_______________
18.
Finalmente, el triángulo ABC es un triángulo .
19.
_____ .en C.
La conclusión es que siempre que se inscribe un triángulo en una semicircunferencia, de manera que uno de sus lados coincida
con el diámetro, este triángulo será
■_
.........
.
20. Además, la hipotenusa de este triángulo coincidirá con el________ ________________ de la circunferencia.
121
Teas Matemática
valuación
I. Preguntas de alternativas.
Lee a t e n t a m e n t e c a d a u n o d e l o s e n u n c ia d o s
EN LA HOJA DE RESPUESTAS DE LA PÁGINA 173 .
y r e s p o n d e m a r c a n d o l a a l t e r n a t iv a c o r r e c t a
1. Si los polígonos ABCD y PQRS de la figura son semejantes, entonces un par de lados proporcionales son:
2.
3.
A.
B.
AByAD
C
D.
RQy CB
4ET
RQy AD
El punto P divide interiormente el segmento AB, que mide 27 cm, en la razón 4:5. ¿Cuánto mide el trazo menor?
A.
B.
3
C.
D.
12
9
15
En un mapa, la escala es 1 :200.000 cm. Si en el mapa dos ciudades están separadas por 2,3 cm, ¿cuál es la distancia real
entre las ciudades?
A.
B.
C.
D.
4.
ABySR
0,46 km
1,15 km
2,3 km
4,6 km
Si en la figura L, //1_2// L3, ¿cuál es la medida de AB?
A.
3 cm
B.
4cm
C.
D.
11 cm
x +1
12 cm
V T S A N T IL L A N A
122
\4 cm
\
A partir del enunciado, responde las preguntas 5 y 6.
Se tiene el siguiente triángulo rectángulo, con BC =4 cm y BD = 3 cm.
5. ¿Cuál es la medida de CDf
A. 1cm
B. 5 cm
C. •¡7 cm
D. 1/T2 cm
6. ¿Cuál es la medida de AD ?
A.
ím
B. | «
C. |cm
D.
7. Desde un punto externo a una circunferencia se trazan dos secantes. En la primera secante, el segmento externo mide
8 cm y el segmento interno mide 1 cm. En la segunda secante tanto el segménto externo como el interno son
congruentes. ¿Cuánto mide la segunda secante?
^
V8cm
2V8cm
C. 6cm
D. 12 cm
123
Teas Matemática
valuación
La figura muestra cómo se forma la imagen de una fotografía dentro de una cámara fotográfica antigua.
2cm
Usando esta información, ¿cuál de las siguientes proporciones permite determinar la altura del árbol?
A X Jfc
* x 10
B. 2Xx . 10
C
D.
9.
x
8
2
10
x
6
Una figura de 30 cm2de área es.transformada por una homotecia a una de 120 cm2de área. ¿Cuál será el factor de la
homotecia que permita transformar posteriormente la figura más grande en la más pequeña?
B -2
c. i
D. 4
10. Sea P(1,2) y Q(3,4). Usando P como centro, se aplica una homotecia de razón k = 3 sobre Q. ¿Cuáles son las
coordenadas de la imagen de Q?
A. (3, 6)
B. (6,7)
C. (7, 8)
D. (9,12)
W SANTILLANA
124
11. Según la figura, ¿cuánto mide el ángulo x?
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 90°
12 . En un queque de 12 cm de diámetro se corta un trozo cuya área es de 6 n cm2. ¿Cuál es el ángulo del centro de este
trozo?
A. 2o
B . 15?
C. 24°
D. 60°
II.
Preguntas de desarrollo.
Respo n d e
13.
e n t u h o j a d e r e s p u e s t a s d e l a p á g in a
174.
Se necesita hacer un entramado de madera para el techo de una casa, como muestra la figura:
__________________□
3 cm
¿Cuántos metros lineales de madera se necesitan para cada uno de estos entramados?
14.
En una circunferencia de radio 6 cm se traza un diámetro AB y una cuerda PQ, la cual interseca a AB en el punto C. Se
sabe que PC = 4 cm y CQ = 5 cm. ¿Cuánto mide ÁC?
125
Teas Matemática
Álgebra y funciones
L os aprendizajes asociados a esta unidad son:
Analizar modelos que utilizan funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada.
íj^ntfícar las variaciones que se producen por la modificación de los parámetros de las
funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada.
Interpretar expresiones algebraicas fraccionarias.
Determinar tos valores de la variable que ¡ndefine una expresión algebraica fraccionaria.
Realizar operaciones que involucran expresiones algebraicas fraccionarias.
Resolver ecuaciones fraccionarias.
► Resolver problemas que involucran el uso de ecuaciones fraccionarias:
► Representar situaciones utilizando sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas,
t Graficar un sistema de ecuaciones lineales en el plano cartesiano.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, gráficamente o algebraicamente.
Resolver problemas que involucran el modelamiento de situaciones a partir de las funciones
exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada.
^ F s a n t il l a n a
126
Contenidos clave
Función raíz cuadrada. Esta fundón es del tipo f(x) = Vx. Su gráfico siempre es Creciente y pasa por el punto (0,0).
Y
0
Dom(f(x)) = [0,+oo[
Rec(f(x)) = [0,+oo[
X
Función exponencial. Esta función es del tipo f(x) = ax. Solo está definida para a positivo y distinto de 1. Es una función
creciente si a > 1y decreciente si 0 <a < 1. Su gráfico Siempre pasa por el punto (0,1) y el eje X es una asíntota de la curva.
Dom(f(x)) = R
Rec(f(x)) =]0,+oo[
f(x) = ax, con a > 1
f(x) = ax, con 0 < a < 1
Función logarítmica. Esta función es del tipo f(x) = logax. Solo está definida para a positivo y distinto de 1. Es una función
creciente si a > 1y decreciente si 0 <a < 1. Su gráfico siempre pasa por el punto (1,0) y el eje Y es una asíntota de la curva.
Dom(f(x)) =]0,+oo[
Rec(f(x)) = R
f(x) = log x, con a > 1
f(x) = log x, con 0 < a < 1
Expresiones algebraicas fraccionarias. Una expresión algebraica fraccionaria se indefine en aquel o aquellos valores que
ai remplazados en el denominador da cero.
Ejemplo: La expresión algebraica fraccionaria
a +1
se indefine en los valores de a = 0 y a = 7.
a (a - 7)
Valorización de una expresión algebraica fraccionaria. Se remplaza el valor indicado en la fracción.
Ejemplo: evaluar — +_1 en x = 4. Se obtiene 3 4 * 1 = -+^ =— .
x-2
4-2
2
2
127
Teas Matemática
Contenidos clave
Término general de una sucesión de fracciones. Se identifica el patrón y se expresa en una fórmula.
Ejempio:
Para obtener el término general de la sucesión
es necesario observar que los numeradores son números
naturales consecutivos, partiendo de 2, por lo que su generador es n + 1 y los denominadores son números impares
consecutivos partiendo de 3, por lo que su generador es 2n + 1. Luego,término general de esta Sucesión es
Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias. Se factoriza tanto el numerador como el denominador, si es
posible, y luego se simplifican los factores iguales.
.Jw IH
JÍx-t'Tf(x + 1) (x + 1)
Ejempl0- 7 r ¡ - ^ =- ( ^ ñ ^ r - ( ^ )
Multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias. Se factorizan numerador y denominador de las fracciones, se
simplifican al máximo los factores y luego se multiplican como fracciones numéricas.
r:___ x2+ 2x x2-9
Ejemplo.
x(x l 2) J^ 3 f(x + 3J
---- .
(x + 2)(x + 3)
x2 I 5x l 6
División de expresiones algebraicas fraccionarias. Se multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda
fracción. Nuevamente, si es posible, se factorizan numeradores y denominadores, se simplifican al máximo los factores y
luego se multipilcan.
p.
J
I
a
I
a
_
a
a .ifeóa -f-8 _
P : a2+4a a2+ 6a + 8 _ a2+ 4a
a3
(a +
" a ía W
_ a + 2>I
a^
"
a2
Adición y sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias. Se determina el mínimo común múltiplo de
los denominadores, se amplifican las fracciones de manera que el denominador se transforme en el mínimo común
denominador, y luego se suman o restan como fracciones numéricas.
a
a b a b
a b
Ecuación algebraica fraccionaria. Se multiplica toda la expresión por el mínimo común denominador de todas las
fracciones de la ecuación, convirtiéndola en una ecuación sin denominadores, y luego sevresuelve.
Ejemplos:
s-1
I § 1 1 „6
/ (x - lX x í í ) '
x+1 x2 _ 1
,.;v
3(x -f-1) + 2(x -1) = 6
3X + 3 + 2x-2 = 6
5x +1=6
5x = 5 =>x=1
^ S A N TILL A N A
*
| I
a
' x+2
4 -
x-3
6
x2 _ x _
2(x - 3) - 4(x + 2) = 6
r ■2>£-6-4x-8 = 6
■B
fc|j
128
-2x - 14= 6
-2x-20
I B M W
6
Verificación de la solución. Se remplaza la solución en los denominadores de las fracciones originales para verificar que no
se indefinan. En el primer ejemplo, se indefine la primera y la tercera fracción. Por lo tanto, esta ecuación no tiene solución.
En cambio, en el segundo ejemplo, no se indefine ninguna fracción, por lo tanto la ecuación tiene solución.
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Son de la forma:
ax + by = c
dx + ey = f
Ldonde x e y son incógnitas y a,
b, c, d, e, y f son parámetros reales. Los sistemas de ecuaciones pueden tener;
• una solución. Geométricamente se interpreta como dos rectas que se intersecan en un punto.
• infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.
• ninguna solución, las rectas son paralelas.
Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones son:
• Gráfico. Se grafican ambas rectas y se determina el punto de intersección, si lo hay, de las rectas.
Ejemplo:
x+y = 4
Solución ► (2,2)
3x - 2y = 2
Sustitución. Se despeja una délas incógnitas sustituyendo la expresión obtenida en la otra ecuación.
Ejemplo:
y = 2x-l
3x-y = 5
•3x- (2x - 1) =5 =* X +1 =5 =>x =4;y =7
Solución ► (4,7)
Igualación. Se despeja una délas incógnitas en cada ecuación, se igualan las ecuaciones y se resuelven las expresiones
obtenidas.
Ejemplo:
y = 2x -|§!
y = 2x - t
3x - y = 5
y = 3x - 5
•2x-1 = 3x- 5=>x =4;y = 7
Solución ► (4,7)
Reducción. Se realizan las operaciones aritméticas adecuadas de manera de igualar los coeficientes de una de las
incógnitas, para luego sumar (ó restar) miembro a miembro las ecuaciones eliminando esa incógnita.
Ejemplo:
2x - y = 9
x - 3y = 2 (
2x - y = 9
2x - y = 9
2(x-3y) = 2-2 ^ 2x-6y = 4
5y = 5 =>y = 1;x =5
129
Solución ► (5,1)
.Teas Matemática
Función exponencial
I d e n t if ic a r
Marca con una
1.
(
las funciones exponenciales.
I ------------ |
|
I --------
m
m
g
i
y
f« = f
Co m p r e n d e r
Observa los valores de la tabla y responde.
1
i
i
3
2,3
X
3,1
r
4
8
16
24,251.., -
64
73,516...
2.
¿Qué expresión pondrías en el recuadro ubicado bajo la x?
3.
Si xpuede ser cualquier número real, escribe la expresión encontrada en la pregunta anterior como una función.
4.
¿Cuál sería el dominio de esa función?, ¿y su recorrido?
Completa las siguientes igualdades.
5.
Si f(x) = 3X, entonces f(3) = .
6. Si f(x) = 2 •4X, entonces f(1)
7. Si f(x) =|~j , entonces f(4) =:
8 . Si f(x) = l||jjlentonces f(3) =^.-...
GT
* SANTILLANA
130
A p l ic a r
A partir de cada enunciado responde las preguntas.
En un pueblo se ha detectado una plaga de cucarachas que sigue un patrón de crecimiento según la función P(n) = 500 •20,3n/
donde P es la población de cucarachas y n es la cantidad de sémárías que han pasado desde que se comenzó a estudiar el
fenómeno.
9.
¿Cuántas cucarachas se detectaron cuando comenzó el estudio?
10. ¿Cuántas cucarachas edosionan a las 10 semanas, si no se interviene?
Para eliminar a las cucarachas se toman medidas, las que afectan el modelo original, transformándolo en P(n) = 500 •20,3n - 3n.
11.
¿Cuántas semanas se demorarán en eliminar a las cucarachas?
El peso del moho que se va depositando sobre una pieza metálica obedece al modelo P(t) = 100-2 ,1t, donde P es el peso del moho
en gramos y t es la cantidad de años.
12. ¿Cuál fue originalmente el peso del moho en la pieza metálica?
13.
¿Cuál será el peso del moho en la pieza metálica a los 6meses?
14.
¿Cuál será el peso del moho en la pieza metálica a los 10 años?
15.
¿Cuál será el peso del moho en la pieza metálica a los 100 años?
A n a l iz a r
Resuelve el siguiente problema.
16.
Se tiene una función exponencial de la forma f(x) = a•bxy se sabe que f(1) = 1y f(2) = 2. Encuentra Jos valores de ay b.
131
Teas Matemática
Función logarítmica
Co m p r e n d e r
Encuentra una expresión para x en cada una de las siguientes ecuaciones.
1. 2 =3X
►x=
2. 4 =3X
► x=
3.
3 = 3*
► X-
4.
5 = 3X
►I -
Con la calculadora, aproxima los valores obtenidos para x en el problema anterior y completa la tabla.
5.
x
log3x
1
í
)v
)
2
J
3
(—.......-\
(
4
)
5
7
6
8
9
(
r
f " ...... )
Dada la función f(x) = log3x, determina lo siguiente:
6.
Dominio de f(x)
►________ ________
7.
Recorrido de f(x)
►_________________
I d e n t if ic a r
Marca con una ) ( las funciones logarítmicas.
8. |— | ------------ 1
f(x) - log 3 + x
V T SANTILLANA
I
|— | --------f(x) = 3log x
log 3
132
f(x) = log 3x
10
......
)
A p l ic a r
Determina lo pedido a partir del enunciado.
Una población de bacterias obedece al siguiente modelo de crecimiento: P = 500 •1,03Vdonde P es el número de bacterias y t es el
tiempo (en horas) de cultivo de las bacterias.
9.
Calcula la cantidad de bacterias nuevas a las 3 horas.
10. Calcula cuánto tiempo ha pasado si hay 580 bacterias nuevas.
11. Calcula cuánto tiempo ha pasado si hay 672 bacterias nuevas.
12. Escribe un modelo que informe el tiempo que ha pasado para una cantidad dada de bacterias nuevas.
A n a l iz a r
Resuelve el siguiente problema.
13.
Se tiene la función f(x) = alogb x; se sabe que f(10) = a y f(1.000) = 6. Encuentra los valores de a y b.
133
Teas Matemática
H SBÜ
R
K
I d e n t if ic a r
ljl
Ü
X
a íf B
'
«NÜE
A p l ic a r
Realiza lo pedido a partir del siguiente enunciado.
Un triángulo rectángulo tiene un cateto 2 unidades mayor que el otro.
2. Si el cateto menor mide 5 cm, ¿cuánto miden el otro cateto y ía hipotenusa?
3. Si el cateto menor mide x cm, ¿cuánto miden el otro cateto y la hipotenusa?
4 . Escribe una función que modele el valor de la hipotenusa para un valor cualquiera del cateto menor.
* SANTILLANA
134
04
:.ll
<12
X
V4—
X
Marca con una } ( las funciones raíz cuadrada.
5. ¿Qué restricción se debe imponer al valor de x?
6.
Con la información obtenida en la pregunta 4 completa la siguiente tabla.
X ) ¡ 1 2
f(x)
i
3
4
5
6
)
? ) 8) 9
___J
A n a l iz a r
En cada uno de los siguientes casos indica el dominio de las funciones.
7. f(x) =Vx
______________________ ___ _____ I____ __
8. f(x) = Vx^ü
► _______________________________________________________
9. f(x) = V2x - 3
► ______________________________ „_______ __________________
10. f(x) = V3-5X
► _______________________________________________________
Resuelve el siguiente problema.
11. Se tiene la función f(x) - Vax + b; encuentra los valores de a y bsi se sabe que f(0) - 2 y el dominio dé la función es x > -2.
135
Teas Matemática
Gráñcos de funciones
I d e n t if ic a r
Une con una línea cada gráfico con su respectiva función.
1.
Y.
1
Función raíz cuadrada
Función logarítmica
Función exponencial
A p l ic a r
En los ejes coordenados bosqueja las siguientes funciones.
2. f(x) = 2*
ÍYj
£0-
3- g(x) =(l)X
1u
4 . h(x) = -(2x)
\Z
LftNH
_Ii- 1 1 1
kJLd[fij L2_l 1 P ~ \ _4 im
¡
fi;rLo
~"
10pr
ju
ÉSh
® S A N T IU A N A
136
i— 1 —l 1— ii— 1
W iM M H uy M QÜLxJ
X
I n f e r ir
Responde a partir de los gráficos de las funciones anteriores.
5.
¿En qué punto se intersecan las gráficas de las fundones f(x) y g(x)? ►___________________________
6.
¿Cómo describirías la función g(x) comparada con la función f(x)?
7.
¿Cómo describirías la función h(x) comparada con la fúnció'n f(x)?
8. Sin necesidad de graficar y utilizando alguno de los gráficos anteriores, ¿cómo describirías el gráfico de j(x) =- í^ j
A p l ic a r
El siguiente gráfico muestra f(x) = Vx. En el mismo plano bosqueja los gráficos de:
9. g(x)--Vx
10. h(x) = V-X
I n f e r ir
Responde a partir de los gráficos 9 y 10.
11.
Compara los gráficos de f(x), g(x) y h(x). ¿A qué conclusión llega#
?
A p l ic a r
En los ejes coordenados bosqueja las siguientes funciones.
Y
l£>-
12. g(x) = Vx+2
13. h(x) =Vx-2
rg -
wé
14. j(x) =Vx-2
A -
bá—
15. k(x) =Vx+2
-1m¡ bj
4 ...
H
|0
lo
!_4_
¡-6Uu
ro
iA .
F
I n f e r ir
Responde a partir del gráfico de f(x) = Vxy de los gráficos 12 a 15.
16.
Compara los gráficos de f(x), g(x) y h(x). ¿A qué conclusión llegas?
17.
Compara los gráficos de f(x),j(x) y k(x).¿A qué conclusión llegas?
A n a l iz a r
Responde a partir de cada gráfico.
18.
¿Qué puedes afirmar respecto délos valores de ay b?
í* S ANTILLANA
138
>
iL j
M
H L jH Q--u J
19. ¿A qué fundón corresponde el siguiente gráfico?
Y
—A—
_Q
O.-.
7
/.
_JLO_
hst_A .
b 3"
T.
z
1
1 ¡
_n
"“"r_*
>
i■
(
I
s0
11
11
ii
X
En un procesador geométrico puedes graficar la función logaritmo en base 10 y en base e. Para graficar, por ejemplo,
y =log, x, debes realizar el cambio de base y = !°^ X.
7
log 2
A partir de esto, grafica simultáneamente: y = log2x; h = log x; j = log5x, y luego responde.
20. ¿En qué punto del eje X se intersecan todos los gráficos? ¿Por qué crees que sucede esto?
21. ¿Qué sucede Cón la rama de cada una de las funciones cuando se cambia la base? Escribe una conjetura.
22. ¿Qué sucede con el gráfico de k = log (x) + 2, comparado con el de I =log x? Propon una conjetura y luego compruébala
grañcando.
139
Teas Matemática
Expresiones algebraicas fraccionarias
Co m p r e n d e r
Escribe la expresión algebraica fraccionaria correspondiente en cada caso.
1. I
Determina qué fracción de un curso son mujeres, si en el curso hay mhombres y nmujeres,
2.
1
Determina la fracción si se sabe que el numerador es xy el denominador es 3 unidades menor que
el numerador.
3.
|
Determina qué fracción de un curso son hombres si el curso tiene palumnos, de los cuales q son mujeres.
4.
|
Determina qué fracción de las pelotitas de una bolsa no son negras si se sabe que en la bolsa hay
m pelotitas rojas, npelotitas verdes y ppelotitas negras.
5.
I
Determina qué fracción de un colegio son alumnos de Educación Básica si los alumnos de Educación
Parvularia son x y los alumnos de Educación Media son 20 menos que lós1de Básica y 30 más qué los de
Educación Parvularia.
I d e n t if ic a r
Marca con una } ( la o las expresiones algebraicas fraccionarias que se indefinen en x = -2.
wm
x
x+2
i
I;
x-2
x+2
*
X-3
X-2
2+x
x2 - 4
Marca con una } ( la o las expresiones algebraicas fraccionarias que se indefinen en a = -3.
a +3
a
V SAN TI LLANA
a
a2-9
a-3
a +5
140
u
L
2a
m#
a +3
a- 3
A p l ic a r
Determina el mínimo común denominador entre las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias. Entrega tu respuesta
factorizada al máximo.
- __________________________________ .______________________
a + 3 a2+ 5a + 6
9.
. rn +
2
y
m
10. M (Z P .y i P
2p2
4q3
11. _
L _ J_ y _ 6 b _
3b-6 2b-4 5b-10
c +4
. c24c_ 1'3c2c+ 3 ../ 2c-2
12
13.
y2 - 9y + 20* y2 - 7y + 12 y2 - 8y +15
14.
z(z 2) z2(z + 3) z 3(
y
z -
4
3) z4(z + 2)
Determina el o los valores que indefinen las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias. Si no se anula en ningún
valor, escribe NO SE INDEFINE.
15. #
q -n
i
16.
rv
_l_ 1
m\ +1
17.
^-P“I" y
18. - ¿z í.
IpB - 4p
A
A n a l iz a r
En la sucesión — + 1, n es natural. Determina:
n
19.
los 6 primeros términos de la sucesión.
20. el rango de valores en que se encuentra la sucesión.
141
Teas Matemática
Operatoria con expresiones algebraicas
fraccionarias
Co m p r e n d e r
Completa cada oración con: sumar, restar, multiplicar o dividir, según corresponda.
1. Para.
. expresiones algebraicas fraccionarias se factoriza y luego se simplifica al máximo posible.
2.
Para.
. expresiones algebraicas fraccionarias se obtiene el mínimo común denominador.
3.
Pará.
. expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica por el recíproco de la segunda fracción
algebraica.
4.
Para _______________«___
. expresiones algebraicas fraccionarias se amplifica por el mínimo común denominador de
cada una de las fracciones.
A p l ic a r
Simplifica al máximo las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias.
5.
1 3m2n
8.
'
x3 - 8x2+1
6x
9.
x2 - 3x 2
1-x
X■fca
6.
ja\ I
>
jjt:
6n3
3X + 24
2x2 - 32.' .
+
____________________________________________
x —x-6
+
10.
^TSANTILLANA
X:
x2 - 5x 6
3 i m
r
X - 5x
+6x
ü
HXKS
as
7.
142
J
A p l ic a r
Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.
15.
X+1
14. | J — i »
x2-x
x + 1 x +3
-
17. I —— -- +-3
13.1 -,4 +^ =
x -1
—
I
]
I
x2-7x + 12 x _3
18.1-K—
x
5
x' 4
H ^ t
-x*-Í25
x+s
Resuelve los siguientes ejercicios de multiplicaciones y divisiones.
19.
3ab2 4bc2 _
,.. '5
5 y ■ó
c
6a
2 !.
20.
2x + 4
3x3
x2 12x + 24
22.
143
r
1q1 10pt3 _
5p
t
q
r x2 - 9.,x + 3 _
x2 -4 x + 2
Teas Matemática
23.
2x + 6 9x - 27. 6x + 18
3 x -9 ' 4x + 8 x? + 2x
x2 - 4x + 3 . x2 -9
x2 -5x + 4 x2 -16
Resuelve los siguientes ejercidos entregando tu respuesta simplificada al máximo.
2 5 .1
1+1.1=
z z w
26.
x+3
4
^ _ 9 2
27.
X-2
X-3
28.
/ x + x \ x2 + 5x + 6
Vx + 2 x + 3/ 8x + 20
29. i
Í1+1 W l
\a a + 2/'\a
30.
—
m2 _ 9
3
m -3/'Vm + 3
31.
m
32.
1
X - 1 *2- i
2IB
SU X+1
VTSANTILLAN A
144
a +2
A n a l iz a r
Resuelve los siguientes problemas utilizando expresiones algebraicas fraccionarias.
33.
¿Qué expresión hay que sumarle a
para obtener
34.
¿Qué expresión hay que restarle a
Para obtener 4?
35.
¿Qué fracción se debe multiplicar por — +4 para obtener —^— ?
m- 3
m- 2
36.
¿Por qué fracción hay que dividir - + 2 para obtener — ?
a
3_4
37.
Determina el área y el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide — .
2
El área de un cuadrado es —-——---- . Determina:
m -8m + 16
38.
una expresión algebraica correspondiente a su lado.
39.
una expresión algebraica correspondiente a su perímetro.
145
Teas Matemática
Ecuaciones fraccionarias
V e r if ic a r
Verifica ia solución de las siguientes ecuaciones.
1. Í
2.
—L .+ U .5
x+1 2 6
*±| =2 ».x = 1
x+3
2
|
I
3.
4.
f
I
x+1
I
-7T
x +1
x-1
x
= f »-x = 3
4
6
►ÍH Í
Co m p r e n d e r
Encuentra la expresión por la que hay que multiplicar cada una de las siguientes ecuaciones para convertirla
ecuación lineal.
5
i+
i=i
x 3 2
9.
||^NhH¡éí
_
x +3 x ? 3
q
6-
10-
7.
11. 9 9
x —1
x+1
x-5
8.
x 1 x+ 1
«TS A N T IL IA N A
4
3 =_5 _
x + 3 x-7
1 2 . — !---- +— 1
----- — H
x2+ 5x + 6 x2+ 3x + 2 x2+ 4x + 3
146
In terpretar
Plantea la ecuación correspondiente para cada uno de los siguientes problemas.
13.
Determina un número x tal que su recíproco sumado con 2 es
Ecuación
-i
► ________________________________________________________
2
a
4
14. Determina un número x tal que su recíproco multiplicado por - es -.
Ecuación
15.
Determina cuántas horas (x) se demora Beatriz en pintar una pared si Andrés se demora 3 horas y juntos se demoran 2 horas en
hacerlo.
Ecuación
16.
► ............................................. ....... ................................ .....
► _________________________________________________________
Determina el número de personas (x) que componen un grupo que debe pagar una cuenta de $ 2 0 .0 0 0 , si se sabe que dos de
las personas del grupo no pagarán y el resto deberá pagar cada uno $ 2.000.
Ecuación
► _________________________________________________________
A p l ic a r
Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias.
x 4
18.
8
I
í
19-1rm
x 4 3
20.
147
2x + 6 _ c
x+3
Teas Matemática
I
21.
2 _ 13
x X
x -1
23.
24.
22.
A n a l iz a r
Justifica por qué las siguientes ecuaciones no tienen solución real.
25. 2í ±8 =5
„ _____________________________
x +4
26.
x+3
x+6
►
Justifica por qué las siguientes ecuaciones tienen infinitas soluciones.
2 7 . M ± J0 = 5
x +2
28.
x
3
v : SANTILLANA
► ___________________________
.....
3x
148
x _ x+2
x+2 x + 4
x 2H
6
x +4
x-4
A n a l iz a r
Resuelve los siguientes problemas.
29.
La suma del recíproco de un número con ^ es
¿Cuál es el número?
30. Claudio y Daniela desean limpiar un terreno. Si lo limpian por separado, Claudio tarda 4 horas y Daniela 5 horas. ¿Cuánto se
demorarán juntos?
31.
32.
La llave A llena una tina en 4 horas y la llave A junto con la llave B la llenan en 3 horas. ¿Cuánto se demora en llenar la misma tina
solo la llave B?
El numerador de una fracción es 2 unidades menor que el denominador, y si se le suma 1 al numerador y al denominador, se
obtiene una fracción equivalente a
33.
¿Cuál es la fracción?
Ernesto recorrió 240 kma velocidad constante. Si hubiera ido a 10 km/hmás rápido habría recorrido en el mismo tiempo 270 km.
¿A qué velocidad viajó Ernesto?
149
Teas Matemática
Sistemas de ecuaciones
In terpretar
Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente a cada uno de los siguientes problemas.
1 . i José tiene en su bolsillo 14 monedas de $ 100 y de $ 10, y en total tiene $ 1.040.
I ¿Cuántas monedas de cada clase tiene?
2. I
Una cuerda de 10 metros de largo se corta en dos trozos que están en la razón 2:3.
I ¿Cuánto mide cada trozo?
3.
| Un número es 15 unidades mayor qué otro. Si sé resta 7 veces el menor del mayor
I resulta 1. Encuentra los números.
Repr esen ta r
En cada uno de los planos cartesianos grafica los siguientes sistemas de ecuaciones.
4.
3x + 2y = 7
Y
5.
_a1Ir\r .
po r„
5x - 2y = 1
3x-y = 7
r
i
iU *
x-y = 1
Q,
O
tr
A
0
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0.
Z
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L j Iq 1
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o
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L|0~
O
La
V SANTI LLANA
-
150
i gi
L413
A n a l iz a r
Escribe el sistema de ecuaciones que aparece graficado en cada caso.
Cr e a r
A partir de la pregunta, escribe un problema que pueda resolverse con el sistema de ecuaciones propuesto.
0
o . Pregunta: ¿Cuáles son las edades de María y de Patricia?
9.
m + p = 76
' Sistema:
I '
,m -p = 28
Pregunta: ¿Cuántos profesores y alumnos hay en el colegio?
10.
Sistema:
Sistema:
Pregunta: ¿Cuáles son los dos números?
151
8p - a
p-t-a = 468
2x-y = 17
x-3y = -5
Teas Matemática
Resolución de sistemas de ecuaciones
A p l ic a r
Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones en el plano cartesiano.
1.
4x +y = 5
► X=
3x-y - 9
2.
y=-
.
y = -2x +1í
3x - 2y = 6
► x =.
y=-
p
11u
0
oA .
A.
n
i
i
i
Z
_„1ijQj
8
¡Si1 A
hJ
r
@Tr2
i—
L l j ) \ ip ¡xj
_1
Resuelve cada sistema utilizando el método indicado.
3x-y =&
SANTILLANA
V=
o
4X-’J ; í='5
Por reducción.
1
y = 2x- 3
5.
U1
Por igualación.
4x - y = 7
► X =L___
“
4.
Por sustitución.
X
3.
x + 2y = 2
► x =___
152
A p l ic
a r
Resuelve los siguientes sistemas con el método que creas más adecuado.
6.
7.
8.
9.
x +y = 6
x-y =4
2x + y = 6
5x - 2y = 3
4x - y = 7
5x + 3y = 1
► x=
y=
► x=
y=
► x=
y=
► x=
y=
5x - 2y = 1
2x + y = 4
153
Teas Matemática
A p l ic a r
Resuelve cada uno de los siguientes sistemas literales.
10.
11.
ax —3ay
ay = x - b¡
ax+y = 0
x +y = b
x =_
► x =.
y= ~
im
A n a l iz a r
Determina el número de soluciones de cada uno de los siguientes sistemas sin resolverlos. Justifica tus respuestas.
12.
4x -3y = 7 j
13.
2x-4y = 3
8x-5 = 6y
4x -8y = 6
v T SANTI LLANA
14.
3y = -2x + 2
15.
y =x + M
154
3x—% = 6
6x - 2y - 3
A n a l iz a r
Marca con una } ( el sistema correspondiente a la solución dada.
Solución ► x = 2,y=1
y + 3 = 2x
II
x - y-.£Jl1
i
'vi
Bx- y = 5
¡t
16.
•yí-5x =50?
y = 2x + 3
V h m É ' ' 'VlÉBM *
H 3
Resuelve los siguientes sistemas.
-+ -.= r
17. 3x y2
► x®
y=v
► x= .
¡H
---=11
x y
^ - 3
18. Vx^T y
=7
5« y I
Vx - 1
155
Teas Matemática
HE
||
Resolución de problemas que involucran
dos variables
A p l ic a r
Resuelve los siguientes problemas utilizando sistemas de ecuaciones.
1 . En un restaurante sirven dos tipos de menú para el almuerzo. Si tres menús tipo A y dos del tipo B cuestan $ 16.500 y cuatro del
tipo A y tres del tipo B cuestan $ 23.000, ¿cuánto cuesta cada uno de los menús?
2.
En un estacionamiento hay 123 vehículos entre automóviles y motos. Si en total se pueden observar 446 ruedas, ¿cuántos
automóviles y cuántas motos hay?
3.
La suma de dos números es 20 y su diferencia es 16. Encuentra ambos números.
4.
El ancho de un rectángulo mide la cuarta parte de su largo y su perímetro mide 20 centímetros. ¿Cuál es el área del rectángulo?
v T SANTILLANA
156
5.
Un paquete con chocolates y trufas de un cuarto de kilo cuesta $ 3.300. Si el kilo de trufas cuesta $ 12.000 y el kilo de
chocolates, $ 14.000, ¿cuántos gramos de cada tipo vienen en el paquete?
6. Se tiene un número formado por dos dígitos, y la suma de ellos es 9. Si se invierten los dígitos, el nuevo número es 63 unidades
mayor que el antiguo. ¿Cuál es el número?
7.
La suma de las edades de un padre y su hijo es igual a 74 años. Hace 5 años atrás, la edad del padre era cuatro veces la edad del
hijo menos un año. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo?
8. Don Julio tiene invertidos $ 3.500.000 en fondos mutuos y en depósitos a plazo. El fondo mutuo paga un interés anual del 3% y el
depósito a plazo, del 2%. Si don Julio recibió un total de $ 90.000 de intereses, ¿qué cantidad tiene invertida en cada instrumento
financiero?
-
157
Teas Matemática
Modelación con funciones
In terpretar
Responde las preguntas a partir del gráfico que muestra la relación entre el área y el perímetro de una circunferencia.
1. ¿A qué tipo de función corresponde este modeló?
2. ¿Cuál es la variable independiente en este caso?
3. ¿Cuál es la variable dependiente en este caso?
4 . ¿Cuál será la medida aproximada del perímetro de una circunferencia si su área es de 4 cm2?
5. ¿Cuál será el área aproximada de una circunferencia si su perímetro es de 10 cm?
6. ¿Cómo se interpreta el punto P?
7. ¿Es posible determinar, utilizando este gráfico, el perímetro de una circunferencia de área 15 cm2?
* SANT! LLANA
158
In t e r p r e ta r
Responde las preguntas a partir del gráfico que muestra la evolución de la población de una ciudad a lo largo de los años.
8.
¿A qué tipo de función corresponde este modelo?
9.
¿Cuál es la variable independiente en este caso?
10. ¿Cuál es la variable dependiente en este caso?
11. ¿Cuál fue la población de la ciudad el año 1950?
12. ¿En qué año la ciudad tuvo una población de 30.000 habitantes?
13.
¿Cómo se interpreta el punto Q?
14.
¿Qué población tendrá esta ciudad el año 2020?
15.
¿Es posible determinar, utilizando este gráfico, qué población tendrá esta ciudad el año 2030?
159
Teas Matemática
A p l ic a r
Usando la información de cada enunciado responde las preguntas.
La siguiente función relaciona el área y el perímetro dé un triángulo equilátero.
P(A) = 3 •Jp = , donde A corresponde al área del triángulo equilátero y P(A) al perímetro del triángulo equilátero.
VV3
16.
¿A qué tipo de función corresponde este modelo?
17.
¿Cuál es el perímetro de un triángulo equilátero cuya área es A = 4-V3 cm2?
18.
¿Cuál es el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro es P = 18 cm?
19.
¿Qué ventajas ofrece tener la fórmula en vez del gráfico de un modelo?
La siguiente función relaciona el dinero depositado en una cuenta de ahorros con los años transcurridos.
A(c) = 24(log c - 4), donde c corresponde a la cantidad de dinero en la cuenta y A(c) a los años transcurridos.
20. ¿A qué tipo de función corresponde este modelo?
vrSANTILLANA
160
21. ¿Cuál será la cantidad de dinero en el inicio?
22.
¿Cuántos años deberán pasar para que haya $ 100.000en la cuenta?
La siguiente función relaciona el número de amebas y el tiempo transcurrido en un experimento.
(«
N (t) = 100 •2 , donde t corresponde al tiempo transcurrido (en horas) y N(t) al número de amebas que habrá.
23.
¿A qué tipo de función corresponde este modelo?
24.
¿Cuál será la población inicial de este experimento?
25.
¿Cuántas amebas nuevas habrá luego de transcurridas 12horas?
161
Teas Matemática
26.
¿Cuántas horas tendrán que transcurrir para que haya 3.200 amebas nuevas?
27.
¿Cada cuánto tiempo sé duplicará la población de amebas?
A n a l iz a r
El siguiente gráfico relaciona el área con el perímetro de una familia de polígonos semejantes. Con esta información
responde las preguntas 28 a 31.
28. ¿A qué tipo de función corresponde este gráfico?
29.
Determina el valor de a si se sabe que el modelo correspondiente a este gráfico es de la forma f(x) =a-Vx.
* SANTI LIANA
162
30. ¿Cuál será el modelo final?
31.
Si Se sabe que este polígono tiene 4 lados, ¿es posible deducir con la información dada qué tipo de cuadrilátero es?
El siguiente gráfico relaciona la población de una ciudad con los años trascurridos a contar de 1950. Con esta información
responde las preguntas 32 a 34.
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 X
Años transcurridos desde 1950
32.
Determina el valor de ay bsi se sabe que el modelo correspondiente a este gráfico es de la forma f(x) = a•2 .
33.
¿Cuál será el modelo final?
34. ¿Cada cuántos años se duplica la población de esta ciudad?
163
Teas Matemática
valuación
I. Preguntas de alternativas
Lee
a t e n t a m e n t e c a d a u n o d e l o s e n u n c ia d o s y r e s p o n d e m a r c a n d o l a a l t e r n a t iv a c o r r e c t a
e n l a h o j a d e r e s p u e s t a s d e l a p á g in a
175.
1 . La población de mariposas, objeto de un estudio, se puede modelar con la función P(x) = 125 ■5°'5T, donde P es el
número de mariposas y T es el tiempo en semanas que dura el estudio. ¿Cuál era la población de mariposas al Comienzo
dél estudio?
A. 0
B. 25
C. 125
D. 625
2. ¿Cuál es el recorrido de la función y = log2x?
A. Todos los reales.
B. Todos los reales positivos.
C. Todos los reales positivos y el 0.
D. Todos los reales mayores o iguales a 2.
3. ¿Cuál es el dominio de f(x>M2V3 -x?
A. X < 3
B. X
z.
C. X >3
D. X >0
ñ
4 . ¿A qué función corresponde el gráfico?
A. y = 3X
B.
y = -3X
C. y - i r
X
D. y=-(l)X
^TSANTILLANA
164
5.
¿Cuál de las siguientes fracciones algebraicas se indefine en x = -4?
A.
x- 4
m
x- 4
m.
C.
fm
X2-16
X +16
13 5
6. Si se mantiene el patrón, ¿cuál es el quinto término de la sUcesiór^S,
...?
2 4 8
A.
B.
C.
D.
7.
7_
10
_7_
16
12
9_
32
3
1
¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a ——- - -?
a-1
* a(2a- T)
a fe - 1 )
D. ,a+1 ,
a(2a 1)
¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a — +— •—?
m m p
A. —
m
9.
B. —
..
C.
mp
mp
¿Cuál de las siguientes proposiciones es correcta con respecto a las soluciones de la ecuación
D.
3x
2^
x
mp
= 4?
A. No tiene soluciones.
B. Tiene una única solución real.
C . Tiene dos soluciones reales.
D . Tiene infinitas soluciones reales.
165
Teas Matemática
valuación
10. Pedro tarda x minutos en cortar el pasto de su jardín y Juan se demora el doble. Si juntos tardan 20 minutos, ¿cuál de las
siguientes ecuaciones permite determinar lo que se demora Pedro trabajando solo?
A JU JÜ íl. '
* 2x x
B.
20
L&mJL
2x x 20
C. 2x - x =20
D. 2x-fX—20 .
11. El perímetro de un rectángulo mide 24 cm y el largo es el doble más 3 cm que el ancho. ¿Cuál.es el largo del rectángulo?
A. 3
B. 7
C. 9
D. 10
12.
¿Cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones
^ I
6
4x + y = 11
A. o
B. 1
C. 2
D. infinitas.
13.
¿Cuál es el sistema de ecuaciones que resuelve el siguiente problema?
Fernando y Patricia son hermanos. Fernando es cuatro años mayor que Patricia. Hace tres anos, el doble de la edad de
Patricia menos un año era igual a la edad de Fernando. ¿Cuál es la edad de Patricia?
A f+4 =P
2p-1 = f¡
T t s a n t il l a n a
B.
f- p = 4
f-2p = -4
c.
166
p - f =4
2p-2 = f
D.
f -4 = p
2p + 1 = f
14.
La siguiente función permite determinar la población de una ciudad en un año determinado desde 1980 en adelante.
P(t) = 10.000 •220, donde t corresponde a los años transcurridos desde 1980 y P(t) es la población de la ciudad
¿Cuál de las siguientes opciones permite calcular la población que tendrá esta ciudad el año 2020?
A. 10 000 22
B. 10.0 00 - 22020
C. (10.000•2)2
D. (10.000 •2)2020
.
II.
-
Preguntas de desarrollo.
Respo n d e
e n t u h o j a d e r e s p u e s t a s d e l a p á g in a
176.
15. Tomás y Nicolás convirtieron 14 penales durante la última temporada. Nicolás anotó el doble de los penales que Tomás
menos cuatro. ¿Cuántos penales convirtió cada uno?
16.
El siguiente gráfico relaciona la capacidad de un grupo de estanques cilindricos de altura constante con el radio de los
estanques:
¿Cuál es la altura constante de estos cilindros? (Recuerda que el volumen de unálindro se calcula con la fórmula
V = ít -r2 -h).
167
Teas Matemática
oja de respuestas
A ntes
d e c o n t e s t a r l a s e v a l u a c io n e s d e c a d a u n i d a d , lee a t e n t a m e n t e l a s in s t r u c c i o n e s .
Instrucciones
•
Las evaluaciones tienen entre 10 y 16 preguntas.
•
En las evaluaciones hay preguntas de alternativas y de desarrollo.
• Ambos tipos de preguntas se contestan en la hoja de respuestas correspondiente a la unidad.
•
La hoja de respuestas se completa de la siguiente forma:
[floja de respuestas
Debes escribir tu nombre,
curso y fecha.
Las preguntas de alternativas
se contestan marcando con
una equis (X) en la celdilla de la
alternativa que consideres correcta.
SJoJa derespuestas
Las preguntas de desarrollo se contestan
escribiendo la respuesta al reverso de la
hoja de respuestas.
•
U sa
•
T
s o l o l á p iz g r a f it o p a r a c o n t e s t a r y s i t e e q u iv o c a s u s a g o m a d e b o r r a r
e n p r e s e n t e q u e p a r a l a e v a l u a c ió n s e c o n s id e r a r á n e x c l u s iv a m e n t e l a s r e s p u e s t a s m a r c a d a s
en la h o ja d e r esp u esta s
•
.
Cu
.
id a l a h o j a d e r e s p u e s t a s
d e l o s r e s id u o s d e g o m a
v S A N T IL L A N A
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o l a d o b l e s n i l a m a n ip u l e s in n e c e s a r ia m e n t e
.
168
. Si
b o r r a s , l im p ía l a
pjoja de respuestas____________ ___ __ Evaluación Unidad 1
Nombre:............... ...... ..................., ____________ ________ _ . .alCurso:_______ Fecha:________
Preguntas de alternativas (Páginas 44 - 47)
1.
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DO
2.
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3.
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4.
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7.
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10.
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12.
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13.
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14.
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•
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L
169
Teas Matemática
fltbja de respuestas
Evaluación Unidad 1
Preguntas de desarrollo (Página 47)
15. Basándote en el enunciado de la pregunta 14, ¿cuál será la magnitud de un sonido cuya intensidad fue de
10“10vatios/m2?
16. Resuelve la ecuación Vx+3 =Vx+27, mostrando todos lis pasos.
V____
<
MÉ
vT SANTILLANA
170
moja de respuestas__________
___________ Evaluación Unidad 2
Nom bre:_______________________________________________________ Curso:________Fecha:________
Preguntas de alternativas (Páginas 82 y 83)
1
Ad
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CO
DO
2.
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3.
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4.
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5.
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6.
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7.
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8.
AO
BO
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.
|A
Á
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,
171
Teas Matemática
m oja de respuestas
Evaluación Unidad 2
Preguntas de desarrollo (Página 83)
9.
En una familia la probabilidad de ser adulto es ^ y la probabilidad de ser mujer es
independientes y se elige un miembro de esta farhília al azar;
a. ¿cuál es la probabilidad de que sea adulto y mujer?
b. ¿cuál es la probabilidad de que sea adulto o mujer?
10. De una población se eligieron aleatoriamente 8 muestras, cuyos promedios fueron:
4,8 - 4,2 - 4,6 - 4,0 - 3,9 - 4,1 - 3,8
¿Qué se puede inferir sobre la media de la población?
V____
SANTI LLANA
172
Si ambos eventos son
¡floja de respuestas
____________ Evaluación Unidad 3
Nom bre:______________________________________________________ Curso:_______ Fecha:
Preguntas de alternativas (Páginas 122 -125)
A
1.
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DO
2.
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DO
3.
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4.
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5.
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6.
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7.
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8.
AO
BO
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9.
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10.
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11.
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DO
12.
AO
BO
CO
DO
173
' DO
DO
Teas Matemática
loja de respuestas
v
SANTILLANA
Evaluación Unidad 3
174
loja de respuestas
Evaluación Unidad 4
Nombre:
Curso:
Fecha:
Preguntas de alternativas (Páginas 164 -167)
i
175
Teas Matemática
Preguntas de desarrollo (Página 167)
15. Tomás y Nicolás convirtieron 14 penales durante la última temporada. Nicolás anotó el doble de los penales de Tomás
menos cuatro. ¿Cuántos penales convirtió cada uno?
16. El siguiente gráfico relaciona la capacidad de un grupo de estanques cilindricos de altura constante con el radio de lo!
estanques:
¿Cuál es la altura constante de estos cilindros? (recuerda que el volumen de un cilindro se calcula con la fórmula
V = n •r2 •h).
* SANTILLANA
176
La evaluación es parte de la vida estudiantil. También lo es de quienes
trabajan, practican un deporte o, simplemente, planifican una actividad
familiar. En todos los casos, ponemos en juego nuestras capacidades
intelectuales, emocionales, técnicas y sociales. El desarrollo de estas
contribuye al progreso de las personas.
TEAS Matemática evalúa las capacidades relacionadas con los ejes: Números,
Datos y Azar, Álgebra y Geometría. Por ejemplo, de representar y
operar con cantidades, medir objetos geométricos básicos en dos y tres
dimensiones, organizar y analizar datos obtenidos en diversas fuentes
de información. En el SIMCE los estudiantes deben demostrar que han
adquirido estas capacidades.
La familia, el colegio y Santillana
acompañan tu formación
La salud y la seguridad
también son parte de tu educación
^SAN TILLAN A