CÁLCULO DIFERENCIAL CONCEPTOS DE LÍMITES, ASÍNTOTAS Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN. En matemáticas, los limites se utilizan para describir o examinar el comportamiento de una función, es decir, para analizar lo que ocurre con la altura de la variable dependiente cuando la variable independiente se acerca a un valor especifico. Sea f(x) una función que está definida (existe) en todos los valores cercanos a un valor “a”, con la excepción de este mismo. Se dice que “L” es el límite de la función “f(x)” cuando la variable “x” tiende al valor “a”, si la diferencia entre “f(x)” y “L” puede hacerse tan pequeña como se desee con sólo restringir los valores que toma “x” a estar lo suficientemente cerca del valor “a”. La forma de expresar matemáticamente este concepto es la siguiente: LÍMITES DE UNA FUNCIÓN. Es importante notar que la definición de límite señala que, para determinar el valor “L” del límite de una función “f(x)”, se debe operar sobre la expresión matemática estudiada como si el valor de la variable “x” para el valor “a” investigado no existiera; para hacerlo se puede realizar el mayor acercamiento posible, sin tomar el valor preciso “a”. Se resalta esta situación debido a que comúnmente, al evaluar un límite, se dice que se debe sustituir directamente el valor de “a” en la ecuación estudiada; sin embargo, esto es un error y hacerlo así puede llevar a obtener resultados incongruentes con el planteamiento del problema. Por último, el concepto de límite toma verdadero sentido para expresiones que se relacionan con su definición; sin embargo su generalidad también permite aplicarlo a ecuaciones que se puedan ajustar a la metodología indicada en secciones posteriores que se revisarán en este tema. PROPIEDADES DE LOS LIMITES. El concepto de límite viene a resolver una serie de problemas sobre inconsistencias en los resultados de las expresiones matemáticas que se plantean en diversos análisis que involucran características sobre cardinalidades que decrecen indefinidamente, o también en sentido inverso, ya que el álgebra no proporciona elementos que puedan lidiar con ellas. Sin embargo una vez que esta situación se ha resuelto por el concepto, es posible enunciar propiedades algebraicas para los límites con base en el concepto de función, las cuales permiten simplificar el cálculo de límites de expresiones matemáticas más complejas. A continuación, se enlistan dichas propiedades. PROPIEDADES DE LOS LIMITES. Cuadro 1. Propiedades de los límites; para su aplicación, se debe considerar que “f(x)” y “g(x)” son funciones con límites conocidos “L” y “M”, correspondientemente, para la condición “a” propuesta ASÍNTOTAS. Las asíntotas de una función son rectas a las cuales la función se acerca cada vez más, pero sin llegar a tocarlas. Podríamos decir que la función toca a la asíntota en el infinito. Hay 3 tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas. Asíntotas verticales. La recta de ecuación x = a es una asíntota vertical de la función 𝑓 𝑥 cuando: Buscaremos las asíntotas verticales entre los puntos que no pertenecen al dominio, por ejemplo los puntos que anulan el denominador en una función racional. Una función puede tener una, ninguna o varias asíntotas verticales. ASÍNTOTAS. Asíntotas horizontales. La recta de ecuación es una asíntota horizontal de la función El resultado del límite puede ser cero o cualquier número (si diese infinito, no hay asíntota horizontal). La asíntota horizontal, si existe es única (sólo puede haber una). Sin embargo, es posible que haya dos asíntotas horizontales distintas (una cuando y otra distinta cuando cuando: Asíntotas horizontales. Cuando una función no tenga asíntota horizontal, puede tener asíntota oblicua. La asíntota oblicua de una función las expresiones siguientes: es una recta de ecuación , donde m y n vienen dadas por ASÍNTOTAS. Asíntotas oblicuas. Cuando una función no tenga asíntota horizontal, puede tener asíntota oblicua. La asíntota oblicua de una función por las expresiones siguientes: es una recta de ecuación , donde m y n vienen dadas FUNCIONES CONTINUAS. Después de revisar el concepto de límite y sus propiedades, ahora se presenta una primera aplicación para determinar el comportamiento de una curva que, como indica el concepto, “sea una función ‘f(x)’ definida (existe) en todos los valores cercanos a un valor ‘a’, con la excepción de este mismo”. De esta manera, es posible pensar que la curva se “corta” en ese valor específico; aunque en el razonamiento lógico indica que la curva se interrumpe, aquí el concepto matemático de límite viene a dar claridad suficiente a la situación y compensa la falta de experiencia práctica dentro del campo de lo muy pequeño o lo muy grande a través de la formalidad que la disciplina matemática provee y a partir del siguiente enunciado: “Si la diferencia entre ‘f(x)’ y ‘L’ puede hacerse tan pequeña como se desee…”. Por ende, es posible decir que la función f(x) continúa (es decir, es continua) para el punto “a” si se cumplen las tres condiciones siguientes: La aplicación del concepto se ilustra a continuación. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS. El concepto de límite viene a resolver una serie de problemas sobre inconsistencias en los resultados de las expresiones matemáticas que se plantean en diversos análisis que involucran características sobre cardinalidades que decrecen indefinida DEF.- f es continua en ( a,b ) si y sólo si es f es continua en todos los puntos del intervalo, DEF.- f es continua en [ a, b] TEOREMA DE WEIERSTRASS. “ Toda función continua en un intervalo cerrado [ a, b ] alcanza el Máximo y el mínimo ( por lo menos una vez)” TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS ( PROPIEDAD DE DARBOUX ) “ Toda función continua en [ a ,b ] toma todos los valores comprendidos entre el Máximo y el mínimo.( por lo menos una vez). Geométricamente , si una función verifica Bolzano, es decir, si es continua en [ a, b ] y cambia de signo f(a)·f(b) corta el eje X (por lo menos una vez). FUNCIONES DISCONTINUAS. Una función es discontinua si tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad. Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos: Puntos en los que la función no está definida, es decir, los puntos que no pertenecen al dominio de la función. Puntos en los que la gráfica presenta un salto. FUNCIONES DISCONTINUAS. Una función se dice que es discontinua en a si f(x) no es continua para x=a Cuando una función es discontinua interesa distinguir dos posibilidades: Si no existe el Si existe el , se dice que la discontinuidad es esencial. , se dice que la discontinuidad es evitable. En este caso, se presentan dos posibilidades: que f(a) no exista o que
