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ACREDITADA POR ACCREDITATION COUNCIL FOR BUSINESS SCHOOLS AND PROGRAMS (ACBSP),
EUROPEAN COUNCIL FOR BUSINESS EDUCATION (ECBE)
Y AXENCIA PARA A CALIDADE DO SISTEMA UNIVERSITARIO DE GALICIA (ACSUG)
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD Y FINANZAS
MANUAL:
MÉTODOS CUANTITATIVOS I
CICLO III
SEMESTRE ACADÉMICO 2013- I – II
Material didáctico para uso exclusivo de clase.
LIMA - PERÚ
1
UNIVERSIDAD DE SAN MARTIN DE PORRES
RECTOR
ING. JOSÉ ANTONIO CHANG ESCOBEDO
VICE RECTOR
ING. RAÚL EDUARDO BAO GARCÍA
FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, ECONÓMICASY FINANCIERAS
DECANO
DR. DOMINGO FÉLIX SÁENZ YAYA
DIRECTOR DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD Y FINANZAS
DR. JUAN AMADEO ALVA GÓMEZ
DIRECTOR ESCUELA DE ECONOMÍA
DR. LUIS CARRANZA UGARTE
DIRECTOR DEL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CONTABILIDAD, ECONOMÍA Y FINANZAS
DR. LUIS HUMBERTO LUDEÑA SALDAÑA
DIRECTOR DE LA SECCIÓN DE POSTGRADO
DR. AUGUSTO HIPÓLITO BLANCO FALCÓN
DIRECTOR DE LA OFICINA DE GRADOS Y TÍTULOS
DR. VICTOR LORET DE MOLA COBARRUBIA
DIRECTOR DE LA OFICINA DE EXTENSIÓN Y PROYECCIÓN UNIVERSITARIA
DR. REYNALDO ULADISLAO BRINGAS DELGADO
DIRECTOR DEL INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN
DR.SABINO TALLA RAMOS
SECRETARIO DE FACULTAD
DR. LUIS ANTONIO CUEVA ZAMBRANO
JEFE DE LA OFICINA DE REGISTROS ACADÉMICOS
SRA. BELINDA MARGOT QUICAÑO MACEDO
JEFE DE LA OFICINA DE BIENESTAR UNIVERSITARIO
LIC. MARÍA RICARDINA PIZARRO DIOSES
JEFE DE LA OFICINA DE ADMINISTRACIÓN
Mo. ABOG. LUIS FLORES BARROS
COORDINADOR ACADÉMICO DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD Y FINANZAS
TURNO MAÑANA
DRA. YOLANDA MAURINA SALINAS GUERRERO
COORDINADOR ACADÉMICO DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD Y FINANZAS
TURNO NOCHE
DR. ANTONIO AMILCAR ULLOA LLERENA
COORDINADOR ACADÉMICO DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE ECONOMÍA
TURNO MAÑANA Y NOCHE
MG. RENZO JAIR VIDAL CAYCHO
COORDINADOR DE LA SECCIÓN DE POSTGRADO DE CONTABILIDAD Y FINANZAS
DR. CRISTIAN YONG CASTAÑEDA
COORDINADOR DE LA SECCIÓN DE POSTGRADO DE ECONOMÍA
DR. VICTOR LORET DE MOLA COBARRUBIA
2
DERECHOS RESERVADOS
El texto de este trabajo o parte del mismo, no puede ser reproducido o
transmitido por métodos o forma alguna, sean estos electrónicos o mecánicos,
incluyendo copias fotostáticas, cintas magnetofónicas, acumulación en un
sistema de información con memoria, Internet u otra forma, sin autorización
escrita dela Escuela Profesional de Contabilidad y Finanzas. FCCEF. USMP.
Si desea un ejemplar, gestiónelo en la Facultad de Ciencias Contables,
Económicas y Financieras de la Universidad de San Martín de Porres.
3
INTRODUCCIÓN
El presente manual contiene el desarrollo teórico-práctico del sílabo de la
asignatura de Métodos Cuantitativos I del III Ciclo de la Facultad de Ciencias
Contables, Económicas y Financieras, ESCUELA PROFESIONAL
DE CONTABILIDAD Y FINANZAS de la USMP. Tiene como meta principal:
Combinar las bases teóricas y prácticas de los instrumentos metodológicos
cuantitativos en cada proceso de la Estadística Descriptiva e Inferencial,
establecer la relación coherente de las formas analíticas, aplicativas y por
computadora en la gestión empresarial, y así apreciar sus efectos en la
formación del educando.
Mediante el aprendizaje de los temas listados en la sumilla de la asignatura,
aplicados a la gestión empresarial, el educando al término del desarrollo
por competencias, logrará interpretar los resultados, y tomará las decisiones
pertinentes de los problemas que se le presenten, haciendo uso del software
estadístico, fundamental en el ejercicio profesional del Contador Público, así
como en la práctica de áreas conexas, como son La Administración, La
Economía y La Ingeniería aplicadas a las ciencias de la empresa.
El presente Manual de Métodos Cuantitativos I, está organizado en cuatro
unidades
didácticas :
Unidad
I
Estadística
Descriptiva
;
Unidad
II:
Probabilidades – Distribución de Probabilidades; Unidad III: La Distribución
Normal – Distribución de la Media Muestral, Muestreo y Unidad IV Estimación
con Intervalos de Confianza, Prueba JI CUADRADA ,Prueba de Hipótesis ,
donde se interpretarán
los resultados de los problemas resueltos , se
proponen problemas aplicados a la contabilidad, para que los alumnos puedan
desarrollarlos e interpretarlos, para tomar las decisiones pertinentes .
Cabe mencionar que al finalizar cada Tema de estudio, se presenta el Taller y
Software Estadístico, donde los alumnos pueden complementar la parte teórica
y práctica, así como el uso de la computadora y multimedia con los programas
estadísticos MINITAB Y SPSS respectivos.
4
ÍNDICE
PORTADA
INTRODUCCIÓN
INDICE DE CONTENIDO
OBJETIVOS
PAUTAS PARA EL ESTUDIO Y LOS TRABAJOS DE APLICACION
UNIDAD I : ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
TEMA 1: RECOLECCION Y PRESENTACIÓN DE DATOS
1. Concepto de los métodos cuantitativos, naturaleza
2. toma y presentación de datos, procedimiento
3. tablas y gráficas de frecuencias
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
9-26
TEMA 2 : MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
30-38
1. Concepto, métodos, procedimientos y técnicas para desarrollar las Medidas
de tendencia central ó de posición de los datos
2. La Media, Mediana, Moda
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
TEMA 3 DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
39-48
1. Concepto, métodos y aplicaciones de: Cuartiles.- Deciles.- Percentiles.
2. Media Geométrica.- Media Armónica.- Media Cuadrática
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
TEMA N° 4 : MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIACIÓN DE
LOS DATOS
1. El Rango y La Desviación Media
2. La Varianza y la Desviación Estándar
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
49-60
UNIDAD II : PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
TEMA N° 5 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO
EXCLUYENTES
1. Concepto, Análisis y Aplicación de Probabilidades
2. Adición de Probabilidades
ACTIVIDADES APLICATIVAS
61-67
5
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
TEMA N°6 MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES
1. Probabilidad Condicional
2. Eventos Dependientes e Independientes
3. Teorema de Bayes
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
67-73
TEMA N° 7 DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES
1. Concepto de Distribución de Probabilidades
2. Esperanza Matemática
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
75-76
TEMA N° 8 DISTRIBUCION BINOMIAL
1. Concepto de Distribución Binomial
2. Uso de las Tablas de Distribución Binomial
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
76-79
TEMA N° 9. DISTRIBUCIÓN POISSON
1. ¿Qué es la Distribución de Poisson
2. Uso de las Tablas de Distribución de Poisson
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
79-84
UNIDAD III. DISTRIBUCIÓN PARA VARIABLES CONTINUAS
TEMA N° 10 DISTRIBUCION NORMAL
1. ¿Qué es la Distribución Normal?
2. Uso de las Tablas de Distribución Normal
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
85-89
TEMA N° 11 DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL
1. Error Estándar
2. Factor de Corrección
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
90-94
6
TEMA N° 12 DISTRIBUCIÓN DE LAS PROPORCIONES
1. Proporción Muestral de Éxitos
2. Error Estándar de la Proporción
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
94-99
UNIDAD IV: ESTIMACIONES CON INTERVALOS DE CONFIANZA, PRUEBA
DE HIPÓTESIS
TEMA N°13 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
POBLACIONAL
1. Definición de Intervalos de Confianza
2. Estimación Puntual
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
TEMA N° 14 DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
1. Requisitos para usar la Distribución t
2. Uso de las Tablas t
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
100-103
103-105
TEMA N° 15 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA
ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES
105-109
1. ¿Qué es IC para la Diferencia entre dos medias Poblacionales?
2. Error Estándar para la Diferencia entre dos medias Poblacionales
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
TEMAN°16 PRUEBA DEHIPÓTESIS – PRUEBA JI CUADRADA 110-137
1. Aceptar la Hipótesis Nula
2. Rechazo de la Hipótesis Nula
3. Nivel de Significancia
ACTIVIDADES APLICATIVAS
AUTOEVALUACION
REFERENCIAS DOCUMENTALES
Tablas estadísticas
Ejercicios y Problemas Adicionales
7
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
-
Contribuir a la formación integral profesional de los futuros
Contadores, propiciando el conocimiento de los Métodos Cuantitativos
(Estadística I) para aplicarlos en las actividades educativas y
profesionales.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
-
Dominar la recolección que datos estadísticos directamente de la
comunidad y de registros de su especialidad y áreas conexos.
Ordenar y analizar datos estadísticos en distribuciones de frecuencias
y presentarlos en diversos tipos de diagramas.
Calcular las medidas de tendencia central y de dispersión de datas e
interpretar estos resultados.
Calcular la probabilidad de eventos naturales y de la empresa con
fines de proyección.
Analizar los diversos tipos de distribución de probabilidad de datos de
su especialidad.
Aplicar el muestreo de datos al estudio, análisis y cambios en la
empresa.
Hacer estimaciones puntuales y de intervalos de confianza así como
pruebas de hipótesis en poblaciones finitas e infinitas.
PAUTAS PARA
APLICACIÓN
EL
ESTUDIO
Y
LOS
TRABAJOS
DE
Después de la lectura comprensiva efectuada, deberás desarrollar las
Actividades de Aplicación (guías de Práctica) propuestas en el manual, Algunos
trabajos son individuales y otros son para desarrollarse en grupos. Pueden ser
desarrollados en aula, o requerir efectuarlo en el laboratorio de computo
(Software Estadístico) ambas modalidades fortalecen la capacidad de
autoaprendizaje del estudiante.
También deberás resolver los problemas planteados en la Autoevaluación,
desarrollo de las Guías de Prácticas (talleres) indicadas por el profesor. Si
tuvieras dificultad consulta a tu profesor, compañero o efectúa la investigación
conveniente.
8
METODOS CUANTITATIVOS I
ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA
PROBABILIDAD Y
DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDADES
DISTRIBUCIÓN PARA
VARIABLES
CONTINUAS
ESTIMACIÓN CON INTERVALOS
DE CONFIANZA
PRUEBA DE HIPÓTESIS
9
UNIDAD I: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
La rama de la disciplina estadística que se ocupa del desarrollo y utilización de
técnicas para la presentación eficaz de información numérica , con objeto de
poner de relieve los modelos que de otra forma quedarían ocultos en un
conjunto de datos ,se llama estadística Descriptiva.
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES
Elabora Tablas de frecuencias para muestras discretas y continuas. Elabora
Gráficas de frecuencias reconoce e identifica la situación problemática de
dichas medidas.
Formula preguntas relacionadas con el uso de las medidas de tendencia
central y de dispersión., intentan explicar los usos actuales.
Resuelve problemas estadísticos aplicados a la contabilidad.
CONTENIDOS ACTITUDINALES
Valora adecuadamente la utilidad de presentar e interpretar los datos
Acepta y toma parte con Eficiencia de los grupos asignados en actitud de
Ayuda mutua y responsabilidad.
Desarrolla en forma personal su trabajo del Software estadístico asignado
CONTENIDOS CONCEPTUALES
TEMA N°1: RECOLECCION Y PRESENTACIÓN DE DATOS
TEMA N°2: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
TEMA N°3: DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
TEMA N°4: MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIACIÓN DE LOS DATOS
10
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
RECOLECCIÓN Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
GRÁFICAS
MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL
MEDIDAS DE DISPERSIÓN Ó
VARIACIÓN DE LOS DATOS
COEFICIENTES DE VARIACIÓN
Y DE ASIMETRÍA
11
TEMA N° 01
RECOLECCION Y PRESENTACIÓN DE DATOS
PRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN.
Estadística es un término que es usado con mucha frecuencia para hacer
referencia a cualquier información o dato; sin embargo, la estadística es mucho
más que la simple colección de información ya que involucra todo un conjunto
de procesos, que tiene como objeto alcanzar un mayor conocimiento de una
realidad que es desconocida y sobre la cual se desea tomar decisiones.
ORGANIGRAMA DE LA PRIMERA UNIDAD
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS
PRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN
ROL DE LA
ESTADÍSTICA
Definiciones
DESCRIPCIÓN DE LOS
CONJUNTOS DE DATOS
Importancia
Del Muestreo
Población
Parámetros
Muestras
Distribución
De
Frecuencias
Estadística
Descriptiva
Estadística
Inferencial
Tablas
Estadísticas
Distribución
De Frecuencias
Relativas
Diseño
Tallo y
Hoja
Visualización
Grafica
Histograma
Polígono de
Frecuencias
Distribución
De Frecuencias
Acumuladas
Ojivas
Variables
Continua
Distribución
De Frecuencias
Relativas Acumuladas
Diagrama de
Barras
Grafica de Pastel
Circulares
Discretas
Grafica
Pictogramas
12
¿ALGUNA VEZ SE ENCONTRÓ CON EL HOMBRE “PROMEDIO”?
Peruano? Amable, su nombre es Roberto ( lo cual es el nivel nominal de
medición), tiene 30 años de edad ( que es el nivel de razón o cociente), tiene
1.82m de estatura, pesa 79Kg., usa zapatos talla 42, tiene una cintura de 65
cm., viste un traje talla mediana. Además, tal hombre promedio come 1.5 Kilos
de papas fritas, ve 2230 hrs. De televisión., recibe 470 piezas de correo y come
13 Kilos de plátanos al año. También duerme 7.5 horas por noche. ¿Realmente
este es un hombre promedio? ó sería mejor referirnos a él como un hombre “
típico “ ¿ Esperaría encontrar a un hombre con todas estas características?.
Actualmente, las empresas efectúan diversas transacciones locales e
internacionales como venta de líneas completas, diversidad de productos,
contratos de personal, diferencia de precios. A las Empresas les gustaría
desarrollar gráficas y cuadros que se puedan revisar mensualmente para
observar en donde tienden a acumularse los precios de venta, apreciar la
variación de los precios de venta y notar cualquier tendencia, en este tema se
presentan técnicas que serán útiles para que las personas, empresas y
entidades puedan utilizarlas.
1.1 GENERALIDADES (CONCEPTOS BÁSICOS)
Algunos de los conceptos más usados en la aplicación de la
estadística se describe a continuación:
Población
Es la totalidad de individuos sobre los cuales se desea hacer un
estudio; puede ser finita o infinita.
Es el conjunto de todas las unidades que tienen una característica común,
la cual se desea estudiar.
Por ejemplo:

Conjunto de familias de una ciudad.

Conjunto de bombillas eléctricas producidas en un día.
Muestra
Muestra: es una parte de la población, seleccionada para hacer el
estudio de dicha población; es finita.
Si la muestra es representativa de la población, las conclusiones de la
muestra se infieren a la población.
Es cualquier subconjunto de unidades elementales, elegidas de una
población. Por ejemplo:

200 familias elegidas de una cuidad.

80 bombillas eléctricas elegidas de las producidas en un día.
Dependiendo de la forma como se eligen dichas unidades elementales,
las muestras pueden ser:
13
Muestras Aleatorias ( Probabilísticas )
Son aquellas cuyos elementos son elegidos usando algún criterio
probabilístico.
Parámetro
Es una función de todas las observaciones de una población. Un
parámetro resume la información contenida de las observaciones que
comprenden a una población, por lo cual su valor es único y constituye
usualmente la incógnita que todo investigador desea conocer. Algunos de
los parámetros que estudiaremos son:

Media Poblacional, cuya notación es : 

Varianza Poblacional, cuya notación es: 2

Moda Poblacional, cuya notación es: Mo
1.2. DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA
Estadística.- es la ciencia que estudia los métodos científicos en la toma,
organización, presentación y análisis de datos, para la deducción de
conclusiones y/o toma decisiones razonables.
Estadística es la ciencia que se ocupa de la creación, desarrollo y
aplicación de las técnicas que permiten hacer un análisis confiable de una
población. En términos generales, se ocupa de la colección, resumen y
presentación de información, del análisis e interpretación de datos y
resultados, de modo tal que pueda evaluarse la confiabilidad y riesgos
asociados a las condiciones que se pueden derivar a partir de la
información captada.
Las dos grandes ramas en que se divide a la estadística son:
A.
Estadística Descriptiva
Es la parte de la estadística que estudia un grupo de datos dado, sin
inferir sus conclusiones a un grupo mayor.
B.
Estadística Inferencialo inductiva es la parte de la estadística que
estudia condiciones bajo las cuales las conclusiones de la muestra
son vàlidas para la población, la Estadìstica inferencial usa el
concepto de PROBABILIDAD, que es la medida de la incertidumbre.
IMPORTANCIA DE LA ESTADÍSTICA EN CONTABILIDAD
La estadística es un soporte en las siguientes acciones profesionales:
. Recolección, Organización, Presentación y Análisis de datos de la
especialidad (costos, precios, salarios, impuesto, etc.)
. Planificación en la alta dirección de las empresas, según los
resultados de la estadística.
. Control de la ejecución de lo planificado según la estadística de
resultados.
14
. Toma de decisiones y Gestión empresarial según los resultados de la
estadística.
. Investigación de temas de la especialidad.
1.3. TOMA DE DATOS
Variable
La variable es una característica de la población que se va a
investigar y puede tomar diferentes valores. Se clasifican en:
cualitativas y cuantitativas.
Variable Cualitativa
Se denomina así cuando está asociada a una característica
cualitativa que toma niveles de valorización.
Variable Cuantitativa
Se llama así cuando está asociada a una característica
cuantitativa. Estas variables se divide en discretas y continuas.
Variable Discreta
Se dice que una variable es discreta si sólo asume valores
enteros o mejor dicho que varían de uno en uno, Ejm: El número
de miembros de una familia o el número de personas que habitan
la casa; el número de alumnos aprobados en una asignatura.
Variable Continua
Una variable es continua cuando puede tomar cualquier valor
dentro de un intervalo, dependiendo éste principalmente de la
precisión con que se trabaje. Por Ejm: La talla de los individuos
medida con la precisión de un centímetro y expresada en metros:
1,69 m; 1,74 m; etc.
REDONDEOS DE DATOS.
Se usa generalmente para uniformizar datos de variable continua ,
aproximando a una determinada cifra: milésimas, centésimas, décimas,
unidades, decenas, centenas, millares, millones, etc. Con el fin de
minorizar los errores, sobre todo cuando con los datos se van a efectuar
operaciones.
Técnica:
. Si la cifra a eliminar es 0, 1, 2, 3,4: se desecha la cifra
. Si la cifra a eliminar es 6, 7, 8, 9: se desecha la cifra y se aumenta en
una unidad la cifra de orden superior.
15
. Si la cifra a eliminar es 5: se aplica el criterio del “par más cercano”.
-Si el digito precedente es par, este no se modifica.
-Si el dígito precedente es impar, este será aumentado en una unidad.
Ejem:
E1. 47.340 => 47.34 E2. 7.730 => 7.73
47.341
47.34
7.731 7.73
47.342
47.34
7.732 7.73
47.343
47.34
7.733 7.73
47.344
47.34
7.734 7.73
47.345
47.34
7.735 7.74
47.346
47.35
7.736 7.74
47.347
47.35
7.737 7.74
47.348
47.35
7.738 7.74
47.349
47.35
7.739 7.74
47.350
47.35
7.740 7.74
E3. Elimina la última cifra
72.8 =>73
72.814 =>72.81
183.575 =>183.58
Toma o recolección de datos: es la obtención de datos tal como se
encuentran en la realidad.
Puede ser directamente de la realidad, mediante conteos o medicines, o
de archivos, formatos,…….., encuestas, experimentos, etc.
Ordenación: es la colocación de los datos en orden creciente,
decreciente, u otro criterio necesario para el trabajo final.
Rango: es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.
Ejemplos de Toma de Datos
Ejemplo Nº 1
Corresponde a una muestra de 30 familias sobre el número de hijos por
familia:
A = {1,2,5,3,4,2,0,5,3,2,4,2,1,0,3,2,1,0,3,2,1,0,1,3,5,6,2, 5,4,2,}
Generalizando:
A = {x1, x2, x3, .................. xi .................., xn }
En este caso se tiene que n = 30. Tamaño de la muestra.
Ejemplo Nº2
Corresponde a una muestra de 100 observaciones sobre las tallas de los
alumnos, expresada en metros:
16
B=
1,60
1,78
1,65
1,78
1,69
1,60
1,71
1,71
1,70
1,59
1,70
1,74
1,69
1,77
1,70
1,63
1,75
1,70
1,72
1,58
1,55
1,65
1,59
1,69
1,71
1,64
1,74
1,72
1,76
1,61
1,68
1,63
1,68
1,71
1,76
1,65
1,71
1,79
1,75
1,65
1,72
1,55
1,70
1,70
1,71
1,68
1,70
1,78
1,70
1,69
1,70
1,68
1,73
1,75
1,72
1,70
1,69
1,82
1,71
1,71
1,63
1,69
1,74
1,76
1,74
1,70
1,68
1,80
1,69
1,75
1,76
1,74
1,76
1,77
1,69
1,72
1,73
1,79
1,68
1,74
1,54
1,80
1,75
1,68
1,58
1,75
1,72
1,71
1,60
1,70
1,71
1,66
1,69
1,64
1,59
1,58
1,74
1,71
1,62
1,78
En este caso n = 100. Tamaño de la muestra.
PRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Distribución de frecuencias: es distribuir los datos en clases,
determinando el número de datos pertenecientes a cada clase,
denominado frecuencia de clase (f).
Ejem:
Las alturas de 100 estudiantes, registradas con aproximación de
pulgadas.
Clases
(Alturas)
60 – 62
63 – 65
66 – 68
69 – 71
72 - 74
Frecuencia(f)
(Nº de estudiantes)
5
18
42
27
8
N = 100
Para determinar el número de clases hay varios criterios.
. generalmente varían de 5 a 20 dependiendo de los datos.
. Nº de clases = √n
. Nº de clases =1+3.322 log N
. Intervalos de clases y limites de clase.
60 – 62 es el intervalo de clases y 60,62 son los limites de clases
. Marca de clases. (x)
Es el punto medio del intervalo de clase. Se obtiene como la semi- suma de los
límites de clases.
17
los datos de cada
clase se consideran que coincide
correspondiente marca de clases.
-
con su
. Procedimientos para formar una distribución de frecuencia.
- Se determina al rango.
- se divide el rango en un numero conveniente de intervalos (5 a 20) o
usando alguno de los criterios mencionados.
- se determina el tamaño del intervalo y las clases con
C =_____R_____
Nº de clases
- se determina las marcas de clase
Ejem: Sean las alturas en cm. De 40 alumnos
1.2.-
138
164
150
132
144
125
149
157
146
158
140
147
136
148
152
144
168
126
138
176
163
119
154
165
146
173
142
147
135
140
135
161
145
135
142
150
156
145 128
153
R= 176 – 119 = 57
Nº de clases = √N = √ 40 = 6.3 = 6 ;
tamaño del int. C =_____R_____
Nº de clases = 9.5
Para facilitar la construcción de la tabla de frecuencias, por comodidad de
cálculo se eligió el tamaño del intervalo de 10.
3.Clases
Conteo
118 -127
128 - 137
138 - 147
184 - 157
158 – 167
168 - 177
III
IIIII I
IIIII IIIII IIII
IIIII IIII
IIIII
III
Frecuencia
(f)Nº niños
3
6
14
9
5
3
Nº 40
x
fR
122.5
7.5 %
132.5
15.0%
142.5
35.0%
152.5
22.0%
162.5
12.5%
172.5
7.5%
100.0%
fA
fAR
3
9
23
32
37
40
7.5%
22.5%
57.5%
50.0%
92.5%
100.0%
18
Histograma, polígonos y curvas de frecuencia
Histograma: rectángulos de bases en el eje x , sus centros coinciden con los
marcas de clases y de longitud igual , cada altura igual a su frecuencia f
Polígonos Frecuencia: Se obtiene uniendo los puntos medios de las bases
superiores
de los rectángulos del histograma y dos mascas de clases inferior y superior
de frecuencia cero.
Curvas de frecuencia: se obtiene suavizando los vértices de polígonos de
frecuencia
Frecuencia relativas (fR): fR
=
__f__ x 100 %
N
Frecuencia Acumulada (FA): FA
=
f1 + f2 +…………….fn
Frecuencia Acumulada Relativa (FAR): FAR =__ f A __ x 100 %
N
Fig. 1.1 Histograma y Polígono de Frecuencias
f
15
12
9
6
3
0
112,5
122,5
132,5
142,5
152,5
162,5
172,5
Marcas de Clase
19
Distribución de Frecuencia de una Muestra Discreta
La tabla de distribución de frecuencias que corresponde al ejemplo
Nro. 1 es el siguiente:
Clases
X
0 hijos
1 hijo
2 hijos
3 hijos
4 hijos
5 hijos
6 hijos
Conteo
IIII
IIIII
IIIIIIII
IIIII
III
IIII
I
Frecuencia
f
f1 = 4
f2 = 5
f3 = 8
f4 = 5
f5 = 3
f6 = 4
f7 = 1
f= n = 30
k=7
Metodología. podemos utilizar la siguiente
. Primero se determina el número de clases, de acuerdo a los datos
que se disponen, en este caso son 7 datos diferentes.
. En la primera columna se ordena en forma ascendente los datos u
observaciones que son diferentes.
. La segunda columna se utiliza para realizar el conteo de los datos
que se repiten (frecuencia)
. En la tercera columna, se indica el número de veces (frecuencia)
que se repite una clase.
Procedimiento alterno para Construir la Tabla de Frecuencias
en una Muestra Continua
1.
Se resta el mínimo valor del máximo valor de la muestra, esta
diferencia representa la anchura o tamaño de la muestra.
2.
La diferencia obtenida se divide entre el número de intervalos
que se considera en la distribución.
Una de las formas para determinar en cuantos intervalos se
debe clasificar una muestra, lo dá la regla de Sturges:
K = 1 + 3.332 log n
Donde:
K
Nro. De intervalos
n
Nro. De observaciones que
tiene la muestra.
20
3.
El cociente obtenido en la división realizada en el segundo
paso representa la anchura o tamaño del intervalo de clase (c).
Se recomienda que todos los intervalos deben ser del mismo
tamaño a fin de tener mejores resultados en los análisis de la
muestra.
4.
Conociendo la amplitud de cada intervalo y el número de los
mismos, se determina en orden ascendente los intervalos de
clase. Teniendo como límite inferior del primer intervalo al
menor valor de la muestra y como límite superior al valor
obtenido al sumar al límite inferior el valor de la amplitud del
intervalo. De esta forma sucesivamente se van formando los
intervalos.
5.
Los puntos medios de los intervalos de clase toman el nombre
de marcas de clase, que se obtiene sumando el límite inferior
y superior de cada intervalo y dividiendo entre dos.
Tabla de Frecuencias de una Muestra Continua
Ejemplo de Aplicación de una Muestra Continua
La tabla de distribución de frecuencias correspondiente al ejemplo
Nro. 2 es el siguiente:
Después de realizar el conteo y hallado la frecuencia por intervalo el
cálculo del Nro de intervalos (K): Por la regla de Sturges.
Para n = 100
k = 1 + 3,332 log n
k = 1 + 3,332 log 100
k = 7,7
Consideramos el valor:
k =7
q1 = 1.54
q2 = 1.82
q2 – q1
c =
k
1,82 – 1,54
c =
7
= 0,04,
21
TABLA DE FRECUENCIAS (EJM 2)
Con estos datos se construye la tabla de frecuencias siguiente
1,56
Clases
(Estaturas
[1,54 – 1,58]
IIIII I
Frecuencia
f
6
1,60
(1,58 – 1,62]
IIIII III
8
1,64
(1,62 – 1,66]
IIIII IIIII
10
1,68
(1,66 – 1,70]
IIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIII III
28
1,72
(1,70 – 1,74]
IIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIII I
26
1,76
(1,74 – 1,78]
IIIII IIIIIIIIII II
17
1,80
(1,78 – 1,82]
IIIII
5
Marcas
Conteo
f= 100
Gráfica de Frecuencias
.
Histograma y Polígono de Frecuencias
Ejemplo de Aplicación:
Con los datos del ejem Nro. 2. Hallar el Histograma y Polígono de
frecuencias respectivos.
Fig. 1.2 Histograma de Frecuencias
FA
rl
e u
cm
u n
e o
n s
c
i
a
s
28
30
26
25
20
17
15
10
6
8
10
5
5
1,56
1,60
1,64
1,68
1,72
1,76
1,80
Marcas de clase(Estaturas)
22
Distribución de Frecuencias Relativas
Ejemplo: En la muestra del Ejm. Nro. 2, la frecuencia relativa de la
segunda clase será:
f2
Remplazando por sus valores
f R2 = n
f R2 =
8
100
= 0,08 que puede expresarse como el 8%
Distribución de Frecuencias Acumuladas Absolutas y Relativas.
1.
Frecuencias Acumuladas Absolutas (FA).
Es la frecuencia total de todos los valores menores o iguales al límite
superior del intervalo de clase respectivo, se obtiene sumando las
frecuencias absolutas correspondientes a los intervalos inferiores.
Ejemplo: En la muestra de Ejm. Nro. 2, la frecuencia absoluta
acumulada hasta la tercera clase (FA ) será:
FA3 = f1 + f2 + f3
FA = f1 + f2 + f3 + .............. + fn
Reemplazando con los valores del ejemplo:
FA3 = 6 + 8 + 10 = 24
FA3 = 24
Interpretación:
Existen 24 observaciones cuyos estaturas son menores o iguales a
1.66 m.
2.
Frecuencias Acumuladas Relativas ( FAR )
Es la frecuencia relativa total de todos los valores menores o iguales
al límite superior del intervalo de clase respectivo, se obtiene
sumando las frecuencias relativas siguientes a los intervalos
inferiores.
Ejemplo:
En la muestra del Ejm Nro. 2, la frecuencia relativa acumulada hasta
la cuarta clase (FAR4) será:
23
FAR4= fR1 + fR2 + fR3 + fR4
Generalizando:
FAR= fRt = fR1 + fR2 + fR3+ ..............+ fRk
Reemplazando con los valores del ejemplo:
FAR4 = 0,06 + 0,08 + 0,10 + 0,28 = 0,52
FAR4 = 0,52
Interpretación:
Al multiplicar por 100 para obtener la respuesta en %:
Significa que el 52 % de observaciones tienen estaturas
menor o igual 1,70 m.
Gráfica de las Frecuencias Acumuladas, Ojiva.
La gráfica que muestra las frecuencias acumuladas “mayor que” o
las que son “menor o igual que” toman el nombre de Polígono de
Frecuencias Acumuladas u Ojivas.
Ejemplo:
Presentaremos las frecuencias acumuladas a partir de la muestra
del Ejm. Nro 2.
x
Clases(estaturas fi
)
fR
FA
FAR
1.56
[1.54 – 1.58]
6
0.06 ; 6%
6
0.06 ; 6%
1.60
(1.58 – 1.62]
8
0.08 : 8%
14
0.14 ; 14%
1.64
(1.62 – 1.66]
10
0.10 ; 10%
24
0.24 ; 24%
1.68
(1.66 – 1.70]
28
0.28 ; 20%
52
0.52 ; 52%
1.72
(1.70 – 1.74]
26
0.26 ; 26%
78
0.78 ; 78%
1.76
(1.74 – 1.78]
17
0.17 ; 17%
95
0.95 ; 95%
1.80
(1.78 – 1.82]
5
0.05 ; 5%
100
1.00 ;100%
n = 100 f R =1ó100%
24
Fig. 1.8
Gráfica de Frecuencias Acumuladas Ojiva
FA
100
100
100
95
94
86
80
78
76
“Menor oigual”
60
52
48
40
24
“Mayor que”
22
20
14
6
1,54
5
1,58
1,62
1,66
1,70
1,74
1,78
1,82
Intervalos de clase
TALLER 01
ACTIVIDAD APLICATIVA – AUTOEVALUACIÓN
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE
DATOS – PRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Estadística Descriptiva e Inferencia Estadística
1. Indique cuáles de los términos u operaciones siguientes se relacionan
con muestras (M) ó con una población (P): a) Grupos de medidas
llamadas parámetros, b) uso de inferencia estadística, c) hacer un
cerco, d) juzgar la calidad de un embarque de fruta inspeccionando
varias de las cajas, e) Universo, f) grupos de medidas denominadas
estadísticas, g) aplicación de conceptos de probabilidad.
Variables Discretas y Continuas
2. Por los siguientes tipos de valores, identifique si corresponde a
variables discretas (D) o variables continuas (C): a) el peso del
contenido de un paquete de cereales, b) el diámetro de un cilindro, c)
el número de artículos defectuosos que se producen, d) el número de
personas pensionadas en una área geográfica, e) El número
25
promedio de clientes de una empresa visitadas por un vendedor, f) el
total de ventas en soles.
3. Se encuestó a un grupo de 30 alumnos sobre el departamento del
Perú en el que nacieron y respondieron como se indica.
L T T C P T A A C L L P A AA
L LL P C A A T L T C L A L L
Donde L, A, T, C y P representa Lima, Arequipa, Trujillo, Cuzco, y Piura,
respectivamente. Organizar los datos en un cuadro de distribución de
frecuencias.
4. Se encuestó a 30 contadores sobre el número de balances
presentados el año pasado y se obtuvo la información siguiente.
614627245686532
525756146459236
Organizar los datos en un cuadro de distribución de frecuencias.
5. Construya una tabla de frecuencias para los datos siguientes,
correspondiente al número de faltas a clases en el primer semestre
del 2005 para estudiantes del curso de Economía.
9
2
1
7
2
6
3
6.
8
1
1
6
0
9
2
7
0
7
6
9
4
1
8
5
3
4
4
3
4
4
3
2
3
6
5
4
3
2
8
2
9
7
2
Un conjunto de datos tiene 100 observaciones, de las cuales la
mayor es 212 y la menor 42. Suponga que desea una tabla de
frecuencias con siete clases.
a) ¿Cuál es el intervalo de clase?
b) ¿Cuál es la marca de la primera clase si el límite inferior se fija en
40?.
7.
El Profesor Rojas puso un examen final consistente en 100
preguntas a su grupo de contabilidad I, los datos siguientes
representan el número de respuestas correctas en cada examen,
constrúyase una tabla de frecuencias agrupadas con 5 clases para
que, el profesor Rojas pueda analizar los resultados.
17
4
44
15
22
65
78
34
62
21
42
77
10
9
81
32
9
81
7
82
45
65
79
37
18
98
83
87
4
44
26
77 13 41
16
13
13
82
7 67 88
41
22
22
92
Distribución de Frecuencias, Intervalos de
Gráficos.
8.
37
5
54
16
67
85
Clase y Métodos
Los siguientes datos constituyen las vidas útiles, en horas de una
muestra aleatoria de 60 bombillas de luz de 100 watts.
Vida útil de 60 bombillas de luz.
807
660
881
766
1056
832
a)
b)
c)
d)
e)
9.
811
753
872
787
1076
863
620
1050
869
923
958
852
650
918
841
792
970
788
817
857
847
803
776
980
732
867
833
933
828
889
747
675
829
947
831
1030
823
880
827
717
781
897
844
878
822
817
1088
755
907
890
811
753
1082
891
Constrúyase una distribución de frecuencias con anchos de
clases iguales.
Trazar el histograma y polígono de frecuencias.
Trazar el Ojiva correspondiente “mayor que” y “menor que”.
Hallar la frecuencia Acumulada Relativa (Hi) de la cuarta y
sexta clase, interprete su respuesta.
Hallar la frecuencia Acumulada Absoluta y Relativa “mayor
que” de la primera y segunda clase, interprete su respuesta.
Las siguientes observaciones son los tiempos (en minutos) que
tardan 30 estudiantes en terminar su primer examen de matemáticas
financieras.
42,3
70,0
37,2
69,2
41,9
39,2
a)
b)
c)
d)
e)
67,7
52,6
63,2
39,2
58,9
45,5
53,3
61,9
45,7
42,7
69,1
55,5
63,9
41,7
38,9
52,4
68,3
61,2
70,1
39,2
68,3
52,5
64,9
69,8
Determinar el Nº de clases y el intervalo respectivo.
Construir la tabla de frecuencias. Marcar el recuento de las
observaciones y registrar la frecuencia de c/clase.
Construir una distribución de frecuencias acumuladas menor o
igual, mayor que.
Construir una distribución de frecuencias relativas acumuladas
menor o igual, mayor que.
Construir un histograma, un polígono de frecuencias una Ojiva.
Con los datos de tiempos invertidos por los estudiantes del
problema.
27
Uso de Computadoras para Generar Números Aleatorios.
AUTOEVALUACION
1.
Un analista económico desea obtener una muestra aleatoria simple
de 30 empresas de las 435 que están listadas en un área geográfica.
Las empresas están identificadas secuencialmente, con números del
001 al 435. Utilizando algún programa de computación, obtenga 30
números de identificación, que determinen las empresas que deben
incluirse en la muestra.
LISTADO OBTENIDO CON MINITAB 15
MTB >
SUBC >
MTB >
MTB >
RANDOM 30 C1;
INTEGER 1 435.
NAME C1 ’SAMPLE’
PRINT ’SAMPLE’
SAMPLE
277 170
240 351
260 339
377 199
2.
368
24
77
243
180
29
128
299
339
94
124
167
345
402
154
98
359
100
71
204
122
91
Un auditor desea obtener una muestra aleatoria simple de 50 de los
5250 cuentas por cobrar de una empresa grande.
Las cuestas están numeradas secuencialmente del 0001 al 5250.
Utilice algún programa de computadora para obtener un listado de
los 50 números aleatorios que se requieren.
Utilización de Computadora para formar una Distribución de
Frecuencias.
3.
Utilice un paquete de cómputo para formar una distribución de
frecuencias para producir un histograma de los datos no agrupados
de la tabla dada, que contiene una muestra de los tiempos que 30
empleados requieren para llevar a cabo una tarea de ensamble.
Tabla A: Tiempo de ensamble para 30 empleados (minutos)
10
16
15
9
12
11
14
12
18
15
10
19
15
14
9
11
17
12
13
11
14
13
16
14
17
13
14
11
12
15
28
Solución (Datos de entrada y resultados por computadora)
DATOS DE ENTRADA
MTB
DATA
DATA
DATA
DATA
MTB
>
>
>
>
>
>
SET C1
10 14 15 13 17 16
14 14 9 15 11 13
19 12 14 15
END
HISTOGRAM C1
12
11
14
12
11
10
13
17
15
16
18 9
12 11
LISTADO OBTENIDO CON MINITAB
Resultados ( desarrollamos en clase )
4.
Utilice algún paquete de cómputo para formar una distribución de
frecuencias y producir un histograma de los datos no agrupados de
la tabla siguiente, para las cantidades otorgadas en 40 préstamos
personales.
Resultados ( desarrollaràn los alumnos )
29
TEMA N° 2
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
ORGANIGRAMA
Tendencia Central
Datos no agrupados
Media Aritmética
Mediana
Moda
Media Aritmética Ponderada
Media Geométrica
Datos agrupados
Media Aritmética
Mediana
Moda
CONCEPTOS RELACIONADOS
Coeficiente de Variación
Coeficiente de Asimetría
30
LA MEDIA ARITMÉTICA
De un conjunto de datos numéricos es la suma de todas las
observaciones del conjunto, dividida entre el número de observaciones.
Simbología.-Fórmulas.
Dependiendo de la información disponible ( poblacional o muestral) se
puede tener:
Media o promedio poblacional (u):
u= 1
N

N
i=1
Xi = x
N
.............................. (2.1)
Media o promedio muestral( X ):
x= 1
n
Donde :

n
i=1
Xi = x
n
.............................. (2.2)
Xi = Valor de la i – enésima observación de la variable
(suma de todos los datos)
N = Tamaño de la población (Nro. De datos)
n = Tamaño de la muestra (Nro. De datos)
Propiedades:
1. La Media aritmética es un valor representativo debido a que es el
centro de gravedad o punto de equilibrio de un conjunto de
observaciones.
2. Si se sustituye el valor de cada observación por el valor del Promedio
Aritmético no varía la suma de todas las observaciones.
3. La suma de las desviaciones de las observaciones con respecto al
promedio aritmético es igual a cero.
4. Si cada observación de una muestra se le suma una constante el
promedio de las nuevas observaciones será igual al promedio de la
muestra original más la constante.
5. Si a cada observación de una muestra se le multiplica por una
constante, el promedio de las nuevas observaciones será igual al
promedio de la muestra original multiplicada por la constante.
31
Ejemplos:
E1 : Tenemos los salarios anuales (en soles) de 7 supervisores.
34,500; 30,700; 32,900; 36,000; 34,100; 33,800; 32,500. Calcular la
media (u).
u
34,500  30,700  32,900  36,000  34,100  33,800  32,500
7
u = S/. 33,500; u representa el salario medio anual para los miembros de
esta planilla.
LA MEDIA PONDERADA
Fórmula:
upó X P =
(px)
p
....................................
donde:
p = factor de ponderación.
x = datos
Ejemplos
E3: Una empresa comercializadora de teléfonos celulares dispone de tres
vendedores, c/u. de los cuales cobra diferente comisión por teléfono
vendido y realizan diferentes números de ventas. Calcule e interprete el
valor medio de la comisión.
Vendedor
Pedro
Juan
Pablo
XP 
Número de Telefs.
Vendidos ( p )
30
25
20
Comisión por
Venta S/. (x)
30
40
50
30(30)  25(40)  20(50) 2900

30  25  20
75
X P = S/. 38,67
Interpretación:
Si se elige al azar un vendedor se espera que cobre una comisión de: S/.
38.67 por cada teléfono vendido.
32
E4: suponga que los costos de producción y las cantidades producidas
por tres sucursales A, B y C son:
Sucursal
A
B
C
Costo de Producción (x)
1,20
1,60
1,05
Cantidad Producida (p)
500
200
900
Calcular el costo de producción promedio por unidad producida.
Solución
XP =
(px)
p
= 500(1,20) + 200(1,60) + 900 (1,05) =
500 + 200 + 900
1865
1600
X P = 1,16 soles
Interpretación:
El costo de producción promedio por artículo, para la empresa es de
1,16 soles por cada unidad producida.
LA MEDIANA
La mediana de un conjunto de observaciones ordenadas de acuerdo a
su magnitud, es el valor de la observación que ocupa la posición central
de dicho conjunto.
Características:
1. La mediana divide a un conjunto de observaciones en dos partes
iguales. El 50% con valores mayores a la mediana y el otro 50% con
valores menores a la mediana.
2. Como medida de posición, la mediana es influenciada por el número
de observaciones y no por los valores de las observaciones.
Cálculo de la Mediana:
Para determinar la posición de la mediana se usa la siguiente fórmula:
Med = X (n/2 + ½) ..............................................(2.4)
Si n es impar.
Para un grupo con un número par de elementos, la mediana se
encuentra a la mitad entre los dos valores adyacentes al centro es decir:
Med = X (n/2) + X(n/2 + 1)
2
Si n es par.
33
Ejemplos
E1 : Los siguientes datos se refieren al número de clientes atendidos
durante los últimos 11 días en una tienda de artefactos. Calcule e
interprete la mediana.
12, 10, 5, 15, 8, 11, 13, 8, 10, 17, 16
Solución
En este caso los datos ordenados son:
5, 8, 8, 10, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17 y con
n = 11 se tiene:
Med = X (n/2 + ½) = X(11/2 + ½) = X6 = 11
Interpretación:
Durante 5 días se atendieron a menos de 11 clientes, y durante 5 días se
atendieron a mas de 11 clientes.
E6: Si se tiene las observaciones: 5, 8, 7, 9, 6, 5, 4, 3. Calcular la
Mediana.
Solución
En este caso los datos ordenados son:
3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9 y con n = 8 se tiene:
Med 
X (n / 2)  X (n / 2  1) X (8 / 2)  X (8 / 2  1) X 4  X 5 5  6



 5,5
2
2
2
2
El valor de la mediana se encuentra entre los valores cuarto y quinto de
este conjunto ordenado, es decir 5 y 6 en este caso, la mediana es 5.5.
MODA
LA MEDIA ARITMÉTICAPARA DATOS AGRUPADOS
Los datos agrupados son datos dados en tablas de frecuencias.
Cuando se agrupan datos en una distribución de frecuencias, se utiliza el
punto medio de cada clase (xc) como aproximación de todos los valores
contenidos en ella.
Fórmulas Usadas:
Media o promedio Poblacional (u)
u=
fxi
f
fx
ó en forma simple u = N
................... (2.6)
34
Media o Promedio Muestral ( X )
X =
fxi
f
fx
ó en forma simple X n=
................... (2.7)
donde:
xi = x = Marca de clase (Punto medio) de cada clase.
f = frecuencia observada de valores en cada clase respectiva.
N = Nº de datos de la Población.
n = Nº de datos de la muestra.
Ambas fórmulas señalan que cada punto medio de cada clase (X c), se
multiplica por la frecuencia de clase correspondiente (f), luego se suman
estos productos () para después dividir esta suma entre el número total
de observaciones (f) representadas en la distribución de frecuencias.
Ejemplos
E9: La distribución de frecuencias siguiente, representa los puntajes
obtenidos en una evaluación del desempeño aplicado al personal técnico
de una empresa. El puntaje máximo de la prueba es 60. Calcule e
interprete en Media.
Tabla 2.1 Distribución de frecuencias de los puntajes por evaluación
de 60 Técnicos.
Desempeño
(Puntos)
12 – 16
17 – 21
22 – 26
27 – 31
32 – 36
Número de
Técnicos (f)
4
8
15
23
10
Total 60
Marca de
Clase (x)
14
19
24
29
34
(fx)
56
152
360
667
340
(fx)=1575
Solución
En la misma tabla calculamos la marca de clase (xc), es decir el valor
intermedio de cada clase ó intervalo, y (fx), obtenemos:
x =
fx
n
=
1575
60
= 26,25
x = 26,25
35
Interpretación:
Si se elige al azar un técnico se espera que tenga un puntaje de 26.25 en
su evaluación de desempeño.
E10: En la tabla siguiente se muestra una distribución de frecuencias de
salarios mensuales de 100 trabajadores. Calcule e interprete la Media.
Tabla 2.2 Salarios Mensuales de 100 trabajadores
Número de
Marca de
Trabajadores (f) Clase (x)
7
2499,50
20
2699,50
33
2899,50
25
3099,50
11
3299,50
4
3499,50
Salario Mensual
S/.2400 – 2599
2600 – 2799
2800 – 2999
3000 – 3199
3200 – 3399
3400 – 3599
Total : 100
(fx) =
(fx)
S/. 17496,50
53990,50
95683,50
77487,50
36294,50
13998,00
S/. 294950,00
Solución
En la misma tabla calculamos x y fx, obtenemos:
x =
fx
n
=
2949,50
100
= S/. 2949,50
Interpretación:
Si se elige al azar un trabajador se espera que tenga un salario mensual
de S/. 2949,50.
LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
Primero, se determina la clase (intervalo) que contiene el valor de la
mediana, luego determinar el valor de la mediana dentro de la clase.
La clase que contiene la mediana es la primera cuya frecuencia
acumulada iguala o excede la mitad del total de observaciones.
Fórmula Utilizada:
N/2 - faA
Med = LI + (fc
) i ..................................... (2,8)
Donde:
LI = Límite exacto inferior de la clase que contiene la mediana.
36
N = Número Total de observaciones.
faA= La frecuencia acumulada de la clase que precede (antes) a la clase
que contiene la mediana.
fc = Número de observaciones en la clase que contiene la mediana.
i = Tamaño del intervalo de clase.
Ejemplo
E11: la siguiente tabla muestra el salario mensual de 100 trabajadores.
Hallar la Mediana.
Tabla : Salarios Mensuales de 100 trabajadores
Salario Mensual
S/. 2400 – 2599
2600 – 2799
2800 – 2999
3000 – 3199
3200 – 3399
3400 - 3599
Número de
Trabajadores (f)
7
20
33
25
11
4
Total: 100
Frecuencia
(fa)
7
27
60
85
96
100
Acumulada
Solución
En la misma tabla calculamos (fa); la clase ó intervalo que contiene a la
mediana es la que incluye el valor N/2 = 100/2 =50. La Primera cuya
frecuencia acumulada es igual o superior a 50 es la clase que tiene los
límites 2800 – 2999 ( con límite exacto inferior 2799.50).
Para hallar el valor de la mediana en esta clase:
n/2 - faA
Med = LI +fc(
100/2 - 27
) i = 2799,50 + 33
(
) 200 =
Med = S/. 2938,89
Interpretación:
La mitad de los trabajadores gana menos o igual a S/. 2938,89 y la otra
mitad de trabajadores gana más o igual a S/. 2938,89.
LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
Para datos agrupados en una distribución de frecuencias con intervalos
de clases iguales, para hallar la moda, primero se identifica la clase que
contiene la moda determinando cuál de ellos tiene el mayor número de
observaciones, luego se aplica la fórmula de la moda.
37
Fórmula Utilizada:
d1
Mo = LI +d(1 + d2 ) i ............................................ (2.9)
Donde:
LI = Límite exacto inferior de la clase que contiene la moda.
d1 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la
clase precedente.
d2 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la
clase siguiente.
i = Tamaño de intervalo de clase.
Ejemplo
E12: Con referencia a los datos agrupados de la tabla 2.3. Hallar la moda.
Tabla : Salarios Mensuales de 100 trabajadores.
Salario Mensual
2400 – 2599
2600 – 2799
2800 – 2999
3000 – 3199
3200 – 3399
3400 - 3599
Número de
Trabajadores (f)
7
20
33
25
11
4
Total: 100
Frecuencia Acumulada
(fa)
7
27
60
85
96
100
Solución
La clase ó intervalo que contiene el mayor número de observaciones
(frecuencia), es el que corresponde a 2800 – 2999 (clase modal).
Para hallar el valor de la moda es esta clase:
Mo  LI  (
d1
13
)i  2799,50  (
)200  S / .2923,31
d1  d 2
13  8
Interpretación:
El salario de valor más frecuente es de S/. 2923,31
38
TEMA N°3
DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
Mientras que la mediana divide a una distribución de datos en dos
mitades.
Los Cuartiles los dividen en cuatro cuartos iguales.
Los Deciles los dividen en 10 décimas iguales.
Los Percentiles los dividen en 100 partes iguales.
Fórmulas Usadas para datos no agrupados:
Q1 (Primer Cuartil) = X[n/4 + ½] .................................. (2.11)
D3 (tercer Decil) = X [3n/10 + ½] ................................... (2.12)
P70 (Percentil 70) = X[70n/100 + ½] ................................ (2.13)
Ejemplos
E13: Los importes mensuales (en soles) de 15 personas en un
restaurante, en forma ascendente son:
1000, 1000, 2500, 2500, 2500, 3500, 4000, 5300, 9000, 12500, 13500,
24500, 27500, 30300 y 41000.
Determinar los valores de:
a) Segundo Cuartil.
b) Segundo Decil
c) Punto Percentil 40.
Solución
Siendo n = 15:
a) Q2 = X[2n/4 + ½] = X[2x15/4 + ½] = X8 = 5300
Por definición este valor es equivalente a la Mediana.
b) D2 = X[2n/10 + ½] = X[2x15/10 + ½] = X3,5 = 2500+2500 = 2500
2
X3,5 corresponde al valor de la mitad entre el 3ro y 4to ascendente.
c) P40 = X[40n/100 + ½] = X[40x15/100 + ½] = X6,5 = 3500 + 4000 = 3750
2
X6,5 corresponde al valor de la mitad entre el 6to y 7mo ascendente.
39
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS
Se utilizan algunos ejemplos de fórmulas como:
Q1 (Primer cuartil) = LI + ( n/4 – faA ) i .......................... (2.14)
fc
D3 (Terceldecil) = LI + (3n/10 – faA) i ............................ (2.15)
fc
P70 (Percentil 70) = LI + (70n/100 – faA) i ........................(2.16)
Fc
Donde:
LI = Límite exacto inferior de la clase que contiene Q, D ó P.
faA = Frecuencia acumulada de la clase que prescede (antes)a la clase
que contiene Q, D ó P.
fc = Número de observaciones en la clase que contiene Q, D ó P.
i = Tamaño del intervalo de clase.
Como podemos observar, la fórmula de la mediana (2,8) se modifica de
acuerdo con el punto fraccionario de interés (Q, D, P se encuentran en la
clase cuya frecuencia acumulada excede al valor del Q, D, P solicitado).
E14: Con referencia a la siguiente tabla la cual indica el tiempo requerido
para auditar saldos de cuentas.
a) Determinar el valor del Tercer Cuartil.
b) El Primer Decil.
c) El Punto Percentil 90.
Tabla : Tiempo requerido para auditar saldos de cuentas.
Tiempo de
Auditoría
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
Número de
Registros (f)
3
5
10
12
20
Total: 50
Frecuencia Acumulada
(fa)
3
8
18
30
50
Solución
En la misma tabla calculamos fa. En primer lugar, calculamos la clase que
tiene el punto de interés 3n/4 = 3x50/4 = 37,5 (Quinta clase) de acuerdo
con las frecuencias acumuladas.
40
Luego según fórmula:
a) Q3 = L1 + ( 3n/4 – faA ) i = 49.5 + ( 3x50/4 – 30 )10 = 53,25
fc
20
Conclusión:
49,5 es el límite exacto inferior de la clase que contiene la medición
3n/4 ó 37.5, por tanto el cuartil 3 se encuentra en el quinto intervalo y
su valor es 53,25 min.
b) La clase que contiene el punto de interés (primer decil) = 1xn/10 =
50/10 = 5, LI se encuentra en la clase (intervalo) cuya fa excede a
n/10 ó 5 x (8).
Luego según fórmula:
 n

 10  f aA 
D1  LI  
 i  19,5 
fc






 5

 10  3 

10  23,5 min .
5






Conclusión:
19,5 es el límite superior de la clase que contiene la medición n/10 ó
5, por tanto el decil 1 se encuentra en el segundo intervalo y su valor
es 23.5 min.
c) La clase que contiene el punto de interés (percentil 90) = 90xn/100 =
90x50/100 = 45
LI se encuentra en el intervalo cuya fa excede a 90n/100 ó 45x 50.
Luego según fórmula:
P90 = LI + ( 90xn/100 – faA)i = 49,5+ (9500/100 – 30) 10 = 57
fc
20
Conclusión:
El valor P90 = 57 min y se encuentra en el quinto intervalo.
9.5 – 19.5 – 29.5 – 39.5 – 49.5 – 59.5
1
2
3
4
5
LA MEDIA GEOMETRICA ( xg)
Se utiliza para calcular tasas medias de variación, como la tasa media de
crecimiento poblacional, la tasa media de inflación mensual, la tasa media
de mortalidad, entre otros.
Fórmula
xg =
n
x1 . x2 . x3 . x4 . .................... xn
....................... (2.17)
41
Donde:
x = n valores de una serie
x1, x2 ............... xn datos de la serie.
Ejemplo
E15: La siguiente tabla muestra la tasa de aumento en las ventas durante
los últimos meses. Calcule e interprete la tasa media mensual.
Meses
Aumento
de Ventas
Ene
Feb
Mar
Abril
Mayo
2.6 %
5.4 %
3.8 %
0.5 %
1.4 %
Solución
La tasa 2.6 % también se puede expresar como 0,026 y como se refiere a
un aumento a partir de 100%, el factor de variación será 1,026 (1
representa el 100%, aumento representa >1) para los otros datos se
procede igual.
Reemplazando en la fórmula:
xg =
n
xg =
5
xg =
5
x1 . x2 . x3 . x4 . .................... xn
; para n = 5
(1,026) (1,054) (1,038) (1,005) (1,014)
1,14390337
xg = 1,02725 (factor de Crecimiento o Medio)
Tasa Media de Variación = (Xg – 1) 100
= (1,02725 – 1)x 100 = 2,72 %
Interpretación:
Si se selecciona al azar un mes entre Enero y Mayo, se espera que las
ventas se hayan incrementado 2.72% con respecto al mes anterior.
LA MEDIA ARMÓNICA (Xh)
Se utiliza para calcular el tiempo medio, velocidad y aceleración media,
como el tiempo medio para realizar un proceso productivo.
42
Fórmula:
Xh 
1
1 / x
............................................ (2.18)
n
Donde:
xh = media armónica
n = n valores de una serie
1/xi = Suma de todos los datos a la inversa.
EJEMPLO
E16: Los siguientes datos registran el tiempo medio que utilizan 4 clientes
al realizar una compra de un artefacto doméstico. Calcule e interprete el
tiempo medio.
Cliente
Tiempo
(Minutos)
A
B
45
38
C
D
52
40
SOLUCIÓN
Para n = 4
Reemplazando en la fórmula
Xh 
4
4 x88920

1
1
1
1
1976

2340
 1710  2223



45
38
52
40
X h = 43,117953 min.
43
TALLER 02
ACTIVIDAD APLICATIVA – AUTOEVALUACIÓN
MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL O POSICIÓN DE LOS DATOS
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Media, Mediana Y Moda
1. De en una empresa que tiene 200 empleados, el ingreso promedio es S/.
1200,¿cual es la cantidad de dinero destinado al pago sueldos?
2. Una empresa tiene 100 trabajadores cuyo sueldo promedio es de S/. 900.
El próximo mes se piensa incrementar el sueldo de cada trabajador en S/.
100¿Con cuanto dinero se debe contar para poder pagar los nuevos
sueldos?
3.Una empresa tiene 100 trabajadores cuyo sueldo promedio es de S/. 900.
El próximo mes se piensa incrementar el sueldo de cada trabajador en
20% de su sueldo actual ¿Con cuanto dinero se debe contar para poder
pagar los nuevos sueldos?
4 Una empresa tiene 100 trabajadores cuyo sueldo promedio es de S/. 900.
El próximo mes se piensa incrementar el sueldo de cada trabajador en
20% de su sueldo actual y además da una bonificación de S/. 50 ¿Con
cuanto dinero se debe contar para poder pagar los nuevos sueldos?
5. Una muestra de 20 trabajadores de una compañía pequeña obtuvieron los
siguientes salarios para un mes determinado. (En dólares)
240, 240, 240, 240, 240, 240, 240, 240, 255, 255, 265, 265,
280, 280, 290, 300, 305, 325, 330 y 340.
Calcule: a) la media, b) la mediana y c) la moda, para este conjunto
de salarios.
6. Si estuviera usted en cada uno de las siguientes situaciones, señale qué
medida de “promedio” reportaría para los datos del problema anterior y en
qué sentido puede considerarse típico cada valor. a) Como Vicepresidente
responsable de las negociaciones colectivas con los trabajadores, b)
Como Presidente de los representantes de los trabajadores.
7. El número de accidentes ocurridos durante determinado mes en 13 áreas
de manufactura de una planta industrial fueron:
2, 0, 0, 3, 3, 12, 1, 0, 8, 1, 0, 5, 1. Calcule: a) la media, b) la mediana,
y c) la moda para el número de accidentes por área.
44
8. En una compañía que maneja 4 productos, los márgenes de utilidad
correspondientes a c/u de ellos durante el año fiscal anterior fueron:
producto A, 4,2 %; producto B, 5,5 %; producto C, 7,4 % y producto D,
10,1 %. Hallar el margen de utilidad promedio.
9. Supongamos que Ramiro el dueño de un grifo vende (en miles de soles)
5 tipos de combustibles. En la tabla siguiente se muestra c/u de ellos
junto con el costo por galón y el número de galones vendidos. Calcular
la media aritmética simple y la media ponderada del costo obtenido por
Ramiro.
Combustible
Diesel
84
90
97
95
Costo por
Galón
S/.2,00
3,50
5,00
7,50
6,00
Volumen de
Ventas en balones
3
7
15
12
15
La Media Ponderada
10. Suponga que los precios al menudeo de determinados artículos han
sufrido los cambios que se muestran en la tabla siguiente. Determine el
cambio porcentual promedio de los precios al menudeo con referencia al
promedio de gastos que se indica en la tabla.
Tabla (d) Cambios en los precios al menudeo de algunos artículos
durante un año.
Artículo
Aumento
Gasto Mensual Promedio
Porcentual
(Antes del Aumento)
Leche
10%
S/. 2000,00
Carne Molida
-6
3000,00
Ropa
-8
3000,00
Gasolina
20
5000,00
Media, Mediana y Moda Para Datos Agrupados
11. Con referencia a la tabla (c) la cual muestra la distribución de
frecuencias por el pago mensual alquiler de departamento.
Determinar el alquiler mensual promedio en termino de: 1) Media (u),
Mediana (Med), c) Moda (Mo), interprete su respuesta:
Solución
En la misma tabla calculamos el punto medio de clase (x), f(x) y fa
obteniendo:
45
Tabla (c). Distribución de Frecuencias para alquiler mensual por
departamento.
Punto
Alquiler
Medio de
Mensual
Clase (x)
350-379 364,50
380-409 394,50
410-439 424,50
440-439 454,50
470-499 484,50
500-529 514,50
530-559 544,50
560-589 574,50
590-619 604,50
620-649 634,50
1.-
u 
 ( fx)
N
Número de
Departamentos
(f)
3
8
10
13
33
40
35
30
16
12
Total 200

fx
1093,50
3156,00
4245,00
5908,50
15988,50
20580,00
19057,50
17235,00
9672,00
7614,00
(fx)=S/104550,00
Frecuencia
Acumulada
(fa)
3
11
21
34
67
107
142
172
188
200
104500
 S / .522.75
200
2.- Med = LI + ( (N/2) – faA) i = 499.50 + ( 100 – 67 ) 30
fc
40
= S/. 524.25
Nota:
S/. 499.50 es el límite exacto, inferior de la clase que contiene a la
medición N/2 es decir, la centésima medición.
3.- Mo = LI + ( d1 ) i = 499,50 + ( 7 ) 30 = S/. 517,00
d1 + d 2
7+5
S/. 499,50 es el límite exacto inferior de la clase que contiene la
frecuencia más alta.
12. Las siguientes cifras son los importes del consumo en dólares de
quince personas en un restaurante en orden ascendente; 10, 10, 25,
25, 25, 35, 40, 53, 90, 125, 135, 245, 275, 309, 410. Determinar:
a) La media, la mediana y la moda.
b) El segundo cuartil, el segundo decil y el percentil 40.
13. Una muestra de doce trabajadores sé probó en cuanto a su capacidad
de sostener firmemente un objeto; las medidas, ordenadas de menor
a mayor fueron:
80,6; 89,9; 101,4; 102,6; 115,0; 120,1; 123,4; 126,3; 131,8; 138,6;
151,6 y 160,5. Determine:
46
a) El primero, segundo y tercer cuantil.
b) El segundo decil.
14. Hallar la media geométrica de una serie 18, 21, 23, 24 y 22 tomada
en este orden.
15. La siguiente Tabla muestra la tasa de incremento en los pagos de
impuestos de una empresa durante los últimos meses. Calcule e
interprete la tasa media mensual.
Meses
Ago
Increm. 1,6%
Impuestos
Set
2,8%
Oct
Nov
Dic
2,2%
0,8%
2,5%
SOFTWARE ESTADÍSTICO (Aplicación por Computadora)
MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL O POSICIÓN DE LOS DATOS
Resultados por computadora de la Media y la Mediana
Ejercicios y Problemas
1. Utilice una computadora para calcular la media y la mediana de los
datos de la tabla A del primer capitulo, que contiene los tiempos que
una muestra de 30 empleados requieren para llevar a cabo un trabajo
de ensamble.
Solución
MTB
DATA > 10
DATA
DATA
DATA
MTB
MTB
> SET C1
14 15 13 17 16 12 14 11 13 15 18 9
> 14 14 9 15 11 13 11 12 10 17 16 12 11
> 16 12 14 15
> END
> NAME C1 ’TIME’
> MEAN ‘TIME’
MEAN = 13.3
MTB
>MEDIAN ’TIME’
MEDIAN = 13.5
Como puede observarse el tiempo medio de ensamble es 13.3
minutos, el tiempo mediano de ensamble es 13.5 minutos
2. Utilice una computadora para calcular la media y la mediana de los
datos de la tabla B del primer capítulo, que contiene los montos de 40
préstamos personales.
3. Utilice una computadora para calcular la media y la mediana de los
datos de la tabla siguiente, que contiene las utilidades combinadas en
47
millones de dólares, obtenidas en transacciones nacionales e
internacionales por las 100 empresas multinacionales con oficina
matriz en los E.U. Las columnas sucesivas de número corresponden a
la lista alfabética de las empresas en la tabla original.
Tabla: B Montos de 40 préstamos Personales (en miles de soles)
S/. 932
S/. 1000
S/. 356
S/.2227
515
554
1130
354
452
973
300
2112
1900
660
1610
445
1200
720
1525
784
1278
1388
1000
870
2540
851
1830
630
586
329
335
3000
1650
1423
532
334
1219
727
655
1590
TABLA C: UTILIDADES COMBINADAS EN MILLONES DE DÓLARES
DE 100 EMPRESAS AMERICANAS
1071
784
197
835
960
724
447
600
448
1159
457
283
405
254
473
2060
5423
258
119
119
722
2,276
312
772
803
499
3308
430
60
1576
81 - 353
579
708
1169 524
2433 535
754 1369
115
133
592
145
749
108
165
489
1177
791
441
1671
403
445
188
412
215
- 476
531
918
863
522
536
916
1467
370
-1060
1652
532
333
512
1231
1181
338
580
97
838
220
519
252
348 2762
339
668
627
409
437
98
2,227 1567
2380
1992
1281
1851
2310
458
580
729
257
598
48
TEMA N°4
MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIACIÓN DE LOS DATOS
ORGANIGRAMA
MEDIDAS DE VARIACIÓN (DISPERSIÓN)
DE LOS DATOS
VARIACIÓN (DISPERSIÓN)
Datos No Agrupados
Rango (Amplitud)
Desviación Media
Varianza y Desviación Estandar
Datos Agrupados
Rango (Amplitud)
Cuartiles, Deciles, Percentiles
Varianza y Desviación Estandar
CONCEPTOS RELACIONADOS
Coeficiente de Variación
Coeficiente de Asimetría (Sesgo)
49
Mientras que las medidas de Tendencia Central identifican el valor
“Típico” representativo en un conjunto de datos en contraste:
Las medidas de variación (dispersión) describen la medida de esta
variabilidad según sea grande o pequeña con respeto a una Medida de
Tendencia Central (Media) x o u.
Ejemplo:
Conocidos los porcentajes o notas (x) de 80 estudiantes de Métodos
Cuantitativos 1 se les puede disponer formando una distribución de
frecuencias que da una idea más ordenada de las características de la
variable x (calificación o puntos).
 1ro se le calcula la media de la variable x. Con este valor se puede
representar la distribución de frecuencias.
Si los puntajes (Notas) son muy altos con respeto a la media la
variabilidad será grande.
Si los puntajes (Notas) son muy próximos a la media, la variabilidad será
pequeña.
La Medida de esta variabilidad es lo que se llama Medidas de Variación
o Dispersión.
EL RANGO (AMPLITUD TOTAL) (R)
Es la diferencia entre los valores mayor y menor del conjunto de datos.
R = My – Mn
Donde:
R = Rango o Amplitud.
My = mayor valor del grupo.
Mn = Menor valor del grupo.
E1: Durante un mes determinado del verano, 8 vendedores de aparatos
eléctricos vendieron el siguiente Nº de ventiladores:
8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11.
Hallar el rango de unidades vendidas.
Solución
R = My – Mn = 16 – 5 = 11,0 unidades.
E2: Dos grupos de estudiantes (A y B) tienen la misma media = 70
puntos c/grupo.
Los puntajes más altos y más bajo de cada grupo son:
A: 93 y 25.
B: 73 y 66.
Hallar el Rango ó Amplitud.
Solución
Para A: 93-25 = 68 puntos
Para B: 73 – 66 = 7
Observamos: Que la Medida del Rango se funda sólo en los valores
extremos pero no se analiza la variabilidad de los datos internos por
consiguiente estudiaremos la Desviación Media.
50
LA DESVIACIÓN MEDIA
Incluye todos los datos. Es la media de las desviaciones a partir de algún
valor central. Tal como la media o la mediana de una distribución.
Cuando se refiere a la Media como valor central se tiene la Desviación
Media es decir alrededor de la Media.
E3: Para encontrar las fórmulas: Si tenemos las siguientes calificaciones
de alumnos (sobre 100 puntos)
50, 55, 60, 70, 75, 80.
Hallar al Desviación Media:
Solución
1ro Seleccionamos la Media.
2do Medimos la variabilidad a partir de la media.
3ro Se halla el promedio de variabilidad.
1) x 
x 50  55  60  70  75  80 390


 65
n
6
6
2) Los desvíos de este valor son:
-15, -10, -5, 5, 10, 15.
El signo (-) indica que la dirección de los desvíos es hacia la
izquierda.
3) La distancia de las desviaciones (Cantidad de Variabilidad):
Ignorando los signos (-) (Observamos que la suma algebraica de
los desvíos a partir de la media es siempre = 0).
Hallamos la media de las desviaciones:

15  10  5  5  10  5 60

 10
6
6
Entonces la Desviación media (DM) = 10.
Por Tanto: La fórmula empleada para hallar la desviación Media:
D M Poblacional =
DM Muestral =
 xu
N
xx
n
Donde:
x = datos del Problema.
u = media poblacional de los datos.
n,N = Nº de datos.
x = media muestral de los datos.
51
E4: Para los datos de ventas de aparatos eléctricos que se dieron en el
E1, hallar la Desviación Media (DM).
Solución
1ro u =
x 5  8  8  11  11  11  14  16

 10,5
n
8
X
x-u
x-u
5
5-10,5=-5,5
5,5
8
8-10,5=-2,5
2,5
8
8-10,5=-2,5
2,5
11
11-10,5=0,5
0,5
11
11-10,5=0,5
0,5
11
11-10,5=0,5
0,5
14
14-10,5=3,5
3,5
16
16-10,5=5,5
5,5
Total 21,0
 DM =
 xu
N

21,0
 2,625  2,6 unidades
8
Interpretación:
En Promedio, las ventas de ventiladores por vendedor difiere en 2,6
unidades de la media del grupo, en cualquier dirección.
LA VARIANZA.
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Debido a que se dificulta la interpretación del significado del valor de una
varianza, porque las unidades en que se expresa son valores al
cuadrado.
Surge la Desviación estándar (,s), que es la raíz cuadrada de la
varianza, representada mediante la letra griega  o s para una muestra;
su fórmula es:
Desviación Estándar Poblacional  
Desviación Estándar Muestral s 
( x  u ) 2
N
( x  x ) 2
n 1
E4: De acuerdo al ejemplo dado Donde:
8 vendedores vendieron el siguiente Nº de ventiladores 8, 11, 5, 14, 8,
11, 16, 11.
52
2do Tabla: Considerando estas ventas como población:
X
5
8
8
11
11
11
14
16
(x-u)2
30,25
6,25
6,25
0,25
0,25
0,25
12,25
30,25
86,00
x-u
-5,5
-2,5
-2,5
0,5
0,5
0,5
3,5
5,5

Total
( x  u ) 2
86

 10,75  3,3unidades
Desviación Estándar  
N
8
CÁLCULOS ABREVIADOS DE LA VARIANZA YLA DESVIACIÓN
ESTÁNDAR.
Para no realizar el cálculo de c/u de las desviaciones con respecto a la
Media Grupal, existen Fórmulas abreviadas equivalentes, las cuales son:
x 2  Nu 2
Varianza Poblacional:  2 
N
Desviación Estándar Poblacional:  
x 2  n x
Varianza Muestral: s 
n 1
x 2  Nu 2
N
2
2
x 2  n x
Desviación Estándar Muestral: s 
n 1
E5: Como verificación de resultados, calcular por fórmula abreviada la
desviación estándar respectiva del problema anterior, siendo x = u =
10,5.
x
x2
5
25
8
64
8
64
11
121
11
121
11
121
14
196
16
256
Total
968
2
53
x 2  Nu 2
968  8(10,5)2


 10,75  3,3 unidades
N
8
MEDIDAS DE VARIABILIDAD (DISPERSIÓN) ASIMETRÍA
CURTOSIS DE LOS DATOS.
Y
Formas de Curvas de frecuencias.
Después de haber dibujado el polígono de frecuencias y la curva ojiva
para la distribución de frecuencias acumuladas, también tenemos los
siguientes tipos de curvas:
En términos de ASIMETRÍA (Lados Laterales), una curva de frecuencia
puede ser:
(1) Asimétrica Negativa: Asimétrica con la cola hacia la izquierda.
(2) Asimétrica Positiva: Con la “cola” hacia la derecha.
(3) Simétrica.
FIG.3.1. ASIMETRÍA DE PEARSON
f
f
f
x
(1)
Asimétrica
Negativa
(Esta sesgada
hacia la izquierda)
(2)
Asimétrica
Positiva
(Sesgada hacia
la derecha)
x
(3)
Simétrica
(Insesgada)
x
En términos de Kurtosis (vértice superior), una curva de frecuencia
puede ser:
(1) Platikúrtica: Plana, con las observaciones distribuidas de manera
relativamente uniforme en todas las clases.
(2) Leptokúrtica: Puntiaguda, con las observaciones concéntricas en un
estrecho rango de valores.
(3) Mesocúrtica: Ni plana ni puntiaguda, en términos de la distribución
de los valores observados.
FIG. 3.2. KURTOSIS
f
f
f
x
(1) Platikúrtica
x
(2) Leptokúrtica
54
(3) Mesocúrtica
x
EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN (C.V.)
Indica la Magnitud relativa de la Media de la Distribución:
Su fórmula es:

Población: CV = x 100
u
s
Muestra: CV = x 100
x
Donde:
CV = Coeficiente de Variación
 = desviación estándar.
x , u = media.
Si consideramos 2 o más distribuciones con medios bastantes diferentes
o si se miden en unidades distintas, será peligroso extraer conclusiones
sobre la dispersión a partir de un único valor de la Desviación Estándar.
Es como comparar manzanas con naranjos: por tanto se recurre
frecuentemente al uso del C.V.
Se aplica para comparar la variabilidad de 2 conjuntos de datos con
respeto al nivel general de los valores de c/conjunto (y, por ello respeto a
la media).
E6: Para 2 Acciones Comunes de Empresas
(Telefónica A –Claro B)
El precio promedio de cierre en la bolsa de un mes fue:
Acción A = $15000 con desviación estándar de 500.
Acción B = $5000, con desviación estándar de 300.
Haciendo una comparación absoluta, resultó ser superior la variabilidad
en el precio de la acción A, debido a que muestra una mayor desviación
estándar. Pero con respecto al nivel de precios, deben compararse los
respetivos coeficientes de variación:
CV ( A) 

u

500
 0,033
15000
y
CV ( B) 
300
 0,060
5000
Interpretación: El Precio de la acción B ha sido casi 2 veces más
variable que la acción A.
(Con respecto al precio promedio para c/u de las 2).
COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON (SESGO)
Mide la desviación de la simetría, expresando la diferencia entre la
media y la mediana con respecto a la desviación estándar del grupo de
mediciones.
55
Su Fórmula:
Asimetría Poblacional:
3(u  Med )

3( x  Med )
Asimetría de la Muestra:
S
Para una distribución Simétrica, el valor del coeficiente de asimetría
siempre es = 0, porque la media y la mediana son iguales.
Para una distribución con asimetría (+), la x es siempre > que la Med.
=> Asimetría = (+).
Para una distribución con asimetría (-) la x es siempre < que la Med. =>
Asimetría = (-).
E8: Del ejemplo dado E1 de 8 vendedores que vendieron ventiladores.
 x  84  10,5
u = x =10.5 =
n
8
X  X5
Med = X (5 8 8 11 11 11 14 16) = 4
2
11  11
 11
Med =
2
 = 3,3
3(u  Med ) 3(10,5  11,0)
 Asimetría =

 0,45

3,3
(El grado en que están sesgados se refleja en este valor)
Así, la distribución de las unidades vendidas tiene una ligera asimetría
negativa, es decir, está sesgada hacia la izquierda.
FIG. 3.3. ASIMETRÍA DE PEARSON.
f
Asimetría Negativa
X
56
EL RANGO Y LOS RANGOS MODIFICADOS PARA DATOS
AGRUPADOS.
Para datos agrupados en una Dist. De frecuencias el Rango (R):
Limite Exacto Superior de la clase (intervalo) más alto Ls(A)
y el límite exacto inferior de la clase (Intervalo) más baja L I
(B)
Así: R= Ls (A)- LI (B)
E9: En los siguientes datos agrupados de las salarios mensuales de 100
trabajadores hallar el rango.
Salario Mensual
Límites Exactos
$
De Clase
2400 – 2599
2399,50 – 2599,50
2600 – 2799
2599,50 – 2799,50
2800 – 2999
2799,50 – 2999,50
3000 – 3199
2999,50 – 3199,50
3200 – 3399
3199,50 – 3399,50
3400 – 3599
3399,50 – 3599,50
R = Ls(A) – LI(B) = 3599,50 – 2399,50 = 1200
DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
Para los datos agrupados en una distribución de frecuencias, se asume
que el punto medio de cada clase (Intervalo), representa a todas las
mediciones incluídas en esa clase (intervalo); es igual que el cálculo de la
media para datos agrupados.
Fórmula Empleada:
DMPOBLACIONAL =
 ( f ) x  u 
N
E10: Para los datos de salarios diarios del Problema anterior calcular la
Desviación Media.
Solución
Salario
Mensual
2400 2599
2600 2799
2800 2999
3000 3199
3200 3399
3400 3599
Pto. Medio
de clase
(Intervalo) x
2499,50
2699,50
2899,50
3099,50
3299,50
3499,50
Total:
(f) Nº de
Trabajadores
7
20
33
25
11
4
100
f(x)
17496,50
53990,00
95683,50
77487,50
36294,50
13998,00
294950,00
| x u| f x u
450
250
50
150
350
550
Total:
3150
5000
1650
3750
3850
2200
19600
57
LA VARIANZA YLA DESVIACIÓN ESTANDAR PARA DATOS
AGRUPADOS.
Se asume que el punto medio de clase (intervalo) representa a todas las
mediciones incluidas en esa clase.
Fórmulas Empleadas:
2
f x  u 

2
Varianza Poblacional:  
N


  f x  x 

2
Varianza Muestral: S
2
n 1
  f x  u  
2
Desviación Estándar Poblacional:  
N
  f x  x 
2
Desviación Estándar Muestral: S 
n 1
E11: Para los datos de salarios diarios que se presentan a continuación.
Hallar la Desviación Estándarmuestral
Salario
Diario
2400 - 2599
2600 - 2799
2800 - 2999
3000 - 3199
3200 - 3399
3400 - 3599
Pto. Medio
(f) Nº de
2
2
de clase
f(x)
x  x x  x 
f x  x 
Trabajadores
(Intervalo)x
2499,50
7
17496,50 -450 202500 1417500
2699,50
20
53990,00 -250 62500
1250000
2899,50
33
95683,50 -50 2500
82500
3099,50
25
77487,50 150 22500
562500
3299,50
11
36294,50 350 122500 1347500
3499,50
4
13998,00 550 302500 1210000
Total:
100
294900,50 Total : 5870000
Solución
1ro: Cálculo del Pto. Medio de Intervalo
2do: Cálculo f x 
 f x   294950  2949,50
3ro: Cálculo de la media x 
n
100
4to: x  x  Tabla
5to: f x  x  Tabla
2
58
  f x  x   
2
6to:Reemplazo
de fórmula S 
n 1
5870000
 59292.93
99
S  243.50
3.12 FORMULAS ABREVIADAS PARA DATOS AGRUPADOS SON LOS
SIGUIENTES:
  f x 2   Nu 2
Varianza Poblacional:  2 
N

f x 2   Nu 2

Desviación Estándar Poblacional:  
N
 f x  nx

2
Varianza Muestral: S
2
n 1
2
  fx   n x
2
Desviación Estándar Muestral: S 
2
n 1
E12: Del problema anterior calcular la Desviación Estándar resultante
probando de esta manera la Respuesta, usando Fórmulas abreviadas.
Salario
Diario
2400 2599
2600 2799
2800 2999
3000 3199
3200 3399
3400 3599
Pto. Medio
de clase
(Intervalo)x
2499,50
2699,50
2899,50
3099,50
3299,50
3499,50
Total
(f) Nº de
x2
Trabajadores
7
20
33
25
11
4
100
6247500,25
7287300,25
8407100,25
9606900,25
10886700,25
12246500,25
Total:
fx2
43732501,00
145746005,00
277434308,25
240172506,25
119753702,75
48986001,00
875825025.00
875825025  1002949
 243,50
100  1
2
S
59
TALLER 03
ACTIVIDAD APLICATIVA – AUTOEVALUACIÓN
GUÍA DE PRACTICAS (Problemas Propuestos)
MEDIDAS DE VARIACIÓN (DISPERSIÓN) DE DATOS
RANGO – DESVIACIÓN MEDIA – VARIANZA – DESVIACIÓN
ESTANDAR – COEFICIENTES DE VARIACIÓN Y DE ASIMETRIA
MEDIDAS DE DISPERSIÓN (VARIACIÓN)
1. En un estudio contable, las utilidades de empresas son: 15, 9, 11,10
y 11 en millones de S/. Calcule la varianza y desviación estándar de
estas utilidades.
2. Una empresa fabrica clavos que se venden por cajas. Para una
muestra de 40 cajas, se observaron los siguientes números de clavos
por caja.
Nùmero de clavos 18
Nùmero de Cajas
4
19
9
20
15
21
10
22
2
Hallar la varianza y desviación estándar
3. Calcule la Desviación Media para los siguientes datos: 1000, 1000,
2500, 2500, 2500, 3500, 4000, 5300, 9000, 12500, 13500, 24500,
27500, 30900 y 41000.
4. Calcular la desviación estándar muestral para los datos del problema
anterior utilizando:
a) La Fórmula de Desviaciones y b) La Fórmula abreviada
alternativa, y demuestre que las respuestas son iguales.
5. Una muestra de 20 trabajadores calificados de una compañía
pequeña obtuvieron los siguientes salarios en un mes determinado:
$240000, 240000, 240000, 240000, 240000, 240000, 240000,
240000, 255000, 255000, 265000, 265000, 280000, 280000, 290000,
300000, 305000, 325000, 330000 y 340000.Determine: La
Desviación Media, La Varianza Muestral, La Desviación
EstándarMuestral, utilizando las fórmulas de desviación.
6. Determine el coeficiente de variación según datos del problema
anterior.
7. Calcule el coeficiente de asimetría para los datos del problema 3.
8. Para los siguientes datos de las rentas por departamento.
60
Renta Mensual
350-379
380-409
410-439
440-469
470-499
500-529
530-559
560-589
590-619
620-649
Nro. De Departamentos
3
8
10
13
33
40
35
30
16
12
TOTAL 200
Calcule: La Desviación Media y la Desviación Estándar utilizando las
fórmulas de desviaciones, las fórmulas abreviadas y demuestra que
las fórmulas son equivalentes.
9. En la siguiente tabla se reproducen los datos sobre el número
promedio de lesiones por millar de horas – hombre en una industria
especifica.
Número Promedio de Lesiones
1,5 – 1,7
1,8 – 2,0
2,1 – 2,3
2,4 – 2,6
2,7 – 2,9
3,0 – 3,2
Número de Empresas
3
12
14
9
7
5
Total:
50
Calcule:
a) La Desviación Media
b) La Varianza Muestral
c) La Desviación Estándar Utilizando las fórmulas abreviadas.
SOFTWARE ESTADÍSTICO (Aplicación por Computadora)
MEDIDAS DE VARIACIÓN (DISPERSIÓN)
Utilice una computadora para determinar el rango y la desviación
estándar para los datos dados sobre el tiempo de una muestra de 30
empleados en una tarea de ensamblaje.
MTB > SET C1
DATA > 10 14 15 13 17 16 12 14 11 13 15 18 9
DATA > 14 14 9 15 11 13 11 12 10 17 16 12 11
DATA >16 12 14 15
DATA > END.
MTB > NAME C1 ’ TIME ’
MTB >MAXIMUN ’ TIME ’ K1
61
MAXIMUN OF TIME
MAXIMUM of TIME = 18
MTB >MINIMIM ’ TIME ’ K2
MAXIMUN OF TIME
MINIMUM of TIME = 9
MTB > SUBTRACT K2 K1 K3
Answer = 9.0000
MTB >stdev ’ TIME ’
Standard Deviation of time
Standard deviation of time =
62
UNIDAD II
PROBABILIDADES, DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES
Formula serie de preguntas relacionadas con probabilidades.Elabora en un
cuadro las diferencias entre los sucesos de suma y multiplicación
Reconoce e identifica la situación problemática del promedio en probabilidades.
Elabora un resumen de la relación entre distribución Binomial y Poisson
Expresa su punto de vista sobre las distribuciones de Probabilidad estudiadas y
argumenta con propiedad sus ideas en la aplicación de los problemas para su
profesión. Elabora un cuadro de las aplicaciones informáticas.
CONTENIDOS ACTITUDINALES
Acepta formar parte de los grupos en el desarrollo de los problemas de
probabilidad para la contabilidad con actitud motivadora.2|
Evalúa las diferentes distribuciones de probabilidades bajo el contexto de
aplicación a su profesión.
Respeta las consideraciones emitidas por sus compañeros con actitud de
compresión
Asiste al laboratorio de Computo para comprobar y emitir resultados
informáticos.
CONTENIDOS CONCEPTUALES
TEMA N° 5 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES
TEMA N° 6 MULTIPLICACION DE PROBABILIDADES
TEMA N° 7 DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES
TEMA N° 8 DISTRIBUCION BINOMIAL
TEMA N° 9 DISTRIBUCION POISSON
63
PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDADES
SUMA DE PROBABILIDADES
EVENTOS MUTUAMENTE
EXCLUYENTES Y NO
EXCLUYENTES
MULTIPLICACIÓN DE
PROBABILIDADES
EVENTOS DEPENDIENTES E
INDEPENDIENTES
DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDADES
BINOMIAL Y DE POISSON
64
ORGANIGRAMA
PROBABILIDAD, DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
PROBABILIDAD
ENFOQUES DE LA
PROBABILIDAD
Clásico
Subjetivo
REGLAS DE LA
PROBABILIDAD
ÁRBOLES DE
PROBABILIDADES
Regla de
La Suma
Teorema
De Bayes
Regla de la
Multiplicación
Probabilidad
Condicional
CONCEPTOS RELACIONADOS
RELACIONES
ENTRE SUCESOS
Mutuamente
Excluyentes
Independientes
Y dependientes
Complementarios
65
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
Es un número real que expresa la confianza o incertidumbre de un
suceso o evento, cuyo resultado no se puede predecir con certeza.
EXPERIMENTO ALEATORIO (E)
ESPACIO MUESTRAL ()
EVENTO
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes si no tiene elementos
comunes es decir, si no pueden ocurrir al mismo tiempo. También, la
ocurrencia de un evento automáticamente impide la ocurrencia del otro(u
otros). Por ejm: supongan que se consideren dos posibles eventos “as” y
“rey” con respecto a la extracción de una carta de una baraja (52 cartas).
Estos eventos son mutuamente excluyentes porque ninguna carta puede
ser al mismo tiempo as y rey, otro ejemplo sería obtener un as y un cinco
al lanzar un dado.
EVENTOS NO EXCLUYENTES
Dos o más eventos son no excluyentes cuando es posible que ocurran al
mismo tiempo Ejm:
Evento A: masculino
Evento B: menor de 30 años
No son mutuamente excluyentes porque una persona elegida al azar
podría estar en ambas categorías .
 En los dos eventos “as” y “oros”, estos eventos no son mutuamente
excluyentes porque una carta determinada puede ser al mismo
tiempo as y oro, sin embargo, esto no indica que todo as sea oro o
todo oro sea as.
EVENTOS COMPLEMENTARIOS
Dos eventos A y B son complementarios si son mutuamente excluyentes
y su unión es el espacio muestral. Es decir si A  B =  y A  B =  A
y B son eventos complementarios, y se puede expresar que:
Ac
A =B
Bc = A
B
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
Es una fracción cuyo numerador es el No de casos favorables y cuyo
denominador es el número total de los casos posibles.
66
Fórmula:
N ( A)
P( A) 
N( S )
Donde P(A)= Probabilidad de Ocurrencia del Evento A
N(A)= N° de casos Favorables de ocurrencia del evento A.
N(S) = Todos los casos posibles en el evento A.
E4: En una cantidad de cartas bien barajadas que contiene 4 ases y 48
cartas de otras tipo, la probabilidad de obtener 1 (as) en una sola
extracción es:
P(A) =
N  A
N S 
= 4/52 = 1/13
E5: Aparte de los ejemplos dados tenemos:
Si se lanzan 3 monedas. Hallar:
a) El Espacio Muestral, b) P(A) = obtener exactamente 2 caras, c)
Exactamente 2 sellos y d) Exactamente 3 caras.
Solución
a) El Espacio Muestral () = {CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS}
1/8 cada uno.
b) Evento A: obtener exactamente 2 caras.
A= { CCS, CSC. SCC}
1/8 1/8 1/8
P(A)3/8
c) Exactamente 2 sellos?
3/8
d) Exactamente 3 caras
1/8
PROBABILIDAD SUBJETIVA
CONSIDERACIONES GENERALES
1.La Probabilidad de ocurrencia de cada Punto Muestral, debe estar
entre 0 y 1.
0  P(A)  1
67
2.La Suma de las Probabilidades de todos los puntos Muestrales debe
ser igual a 1.
P(A) + P(A’) = 1
Es decir en una observación o experimento dados, el evento debe ocurrir
o No. Por ello la suma de la probabilidad de ocurrencia + la Probabilidad
de no ocurrencia siempre es igual a 1.
REGLAS
DEPROBABILIDAD:SUMA
PROBABILIDADES
Ó
ADICIÓN
DE
1. Para eventos mutuamente excluyentes es decir cuando no tiene
elementos comunes.
(AB = ):
A
B

P(AB)=PA+PB
E6: Se extrae una carta de una baraja de 52, los eventos “as” (A) y “rey”
(R) son mutuamente excluyentes.
Hallar la probabilidad de extraer ya sea un as o un rey en una sola
extracción.
Solución
De: P(A o R) = P(A) + P(R) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13
2. Reglas de Adición para eventos que no son mutuamente
excluyentes.
E7: Un cliente ingresa a una panadería. La Probabilidad de que
compre (a) pan es 0,60, b) Leche es 0,50 y c) Pan y leche es 0,30.
¿Cuál es la Probabilidad de que compre pan, leche o ambos?.
Solución
P(P) = 0,60
P(L) = 0,50
P(PL) = 0,30
P(PL) = P(P) + P(L) – P(PL)
P(PL) = 0,60 + 0,50 – 0,30
P(PL) = 0,80
E8: Cuando se extrae una carta de un mazo de 52 cartas, los
eventos “as” y una espada no son mutuamente excluyentes.
Hallar la Probabilidad de obtener un AS (A) o una Espada (E) o
ambos en una sola extracción.
68
Solución
P(AoE)
= P(A) + P(E) – P(A y E)
= 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13
EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia
de uno, no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del
otro. Y son dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno si
afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento.
E9: El lanzamiento de una moneda por dos veces se considera eventos
independientes, porque el resultado del primer lanzamiento no tiene
ningún efecto sobre las respectivas probabilidades de que ocurra una
cara o sello en el segundo lanzamiento.
E10: La extracción de dos cartas sin reemplazo de un mazo de barajas
son eventos dependientes, por que las probabilidades asociadas con la
segunda extracción dependen del resultado de la primera extracción.
Específicamente si saliera un as en la primera extracción entonces la
probabilidad de que salga as en la segunda extracción, es la razón del
número de ases que sigue habiendo en las barajas con respecto al
número total de cartas, o 3/51.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Definición:
Una medida de la probabilidad de que ocurra un evento particular, dado
el hecho que otro ya ha ocurrido o de que hay certeza de que ocurra, se
llama probabilidad condicional.
Para dos eventos A y B, dicha probabilidad se denota, siempre por P
(A/B) o P (B/A), lo que se lee como “la probabilidad de A, dado B” o “la
probabilidad de B, dada A” ya que la línea vertical quiere decir “dada” ó
“dado”.
Cuando dos eventos son dependientes usamos la siguiente fórmula de
probabilidad condicional.
P( B / A) 
P( AyB) P( A  B)

P( A)
P( A)
Donde:
P(B/A) = Probabilidad de que ocurra el evento B dado que ocurre el
evento A.
<<B/A>> no es fracción.
P(AB) = Probabilidad conjunta de 2 eventos.
69
P(A) = Probabilidad simple no, condicional de un primer evento A.
PROBABILIDAD CONJUNTA:
Definición:
Una Medida de la Probabilidad del acontecer simultáneo de dos o más
eventos se llama probabilidad conjunta. Para los eventos A y B, esta
probabilidad se simboliza por P(AyB) o P(AB).
Solución
Consideramos los siguientes conjuntos.
 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 espacio muestral.
A = 2, 4, 6 conjunto de resultados pares.
B = 4, 5, 6 conjunto de resultados mayores que 3.
AB =  4, 6 conjunto de resultados pares mayores que 3.
Como el dado es no cargado, asignamos a cada punto muestral una
probabilidad de 1/6.
P(A) = 3/6, P(AB) = 2/6 = 1/3.
De la fórmula de Probabilidad Condicional podemos determinar la
probabilidad de obtener un número > que 3 dado que es par.
P A  B  2 / 6 2


P  A
3/ 6 3
Este resultado queda comprobado por el hecho que de los 3 resultados
pares 2, 4, 6 sólo 2 son mayores que 3.
P  B / A 
TEMA N° 6 MULTIPLICACION DE PROBABILIDADES
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN (AB) :
INDEPENDIENTES.
PARA
EVENTOS
Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia
de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia del otro (Ejm.
Lanzar dos veces una moneda al aire). Esto significa de que lo que haya
ocurrido en A, la probabilidad asignada a B es siempre la misma. Por
Tanto:
P(B/A) = P(B)
Obtenemos la Fórmula:
P(AB) = P(A) .P(B)
E13: Cuál es la probabilidad de que en una familia con 2 hijos ambos
sean varones.
P(V1) = 0.5
P(V2) = 0.5
P(V1V2)
= P(V1) . P(V2)
= (0.5) (0.5)
= 0.25 = 1/4
70
E14: Si se lanza dos veces una moneda la probabilidad de que ambos
eventos sean cara es:
P(AyB) = P(AB) = P(A). P(B) = ½ x ½ = ¼
Uso de Diagramas de árbol para eventos Independientes.
Útiles para ilustrar los posibles eventos asociados con observaciones o
ensayos secuenciales, del ejemplo anterior obtenemos:
Resultado
Primer Lanzamiento
1/2
1/2
C2
Probabilidad
Del Evento Conjunto
C1 y C2
1/4
C1 y S2
S1 y C2
1/4
1/4
C1
1/2
1/2
1/2
Evento
Conjunto
Resultado
2do.Lanz.
S2
C2
S1
1/2
S2
S1 y S2
1/4
4/4 = 1.00
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN: PARA EVENTOS DEPENDIENTES.
Esta dada por la fórmula:
P(AB)
=
P(A)
Probabilidad
Probabilidad
de ocurrencia
de A.
conjunta
de A y B.
P(B/A)
Probabilidad
de B dado A.
En Palabras: Expresa que la probabilidad de que ocurra A y B
es igual a la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad
de que ocurra B, dado que A ha ocurrido.
Uso del Diagrama de Árbol para Eventos Dependientes.
E17: Una urna contiene 6 bolitas blancas y 4 negras, se
extraen 2 bolitas sucesivamente y sin restitución.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolitas sean
blancas?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca y la
segunda negra?.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea negra y la
segunda blanca?.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean negras?.
71
Solución
P(B 1 B 2 )
=
=
P(B 1 ) . P(B 2 /B 1 )
6/10 . 5/9 = 30/90 = 1/3.
P(B 1 N 2 )
=
P(B 1 ) . P(N 2 /B 1 )
=
6/10 . 4/9 = 24/90 = 4/15.
P(N 1 B 2 )
=
P(N 1 ) . P(B 2 /N 1 )
=
4/10 . 6/9 = 24/90 = 4/15.
P(N 1 N 2 )
=
P(N 1 ) . P(N 2 /N 1 )
=
4/10 . 3/9 = 12/90 = 2/15.
Resumen de Resultados:
Resultado Probabilidad Probabilidad
Posible
Simple
Condicional
P(A  B)=P(A).P(B/A)
P(A)
P(B/A)
B 1 B 2
P(B 1 )=6/10
P(B 2 /B 1 )=5/9
B 1 N 2
P(B 1 )=6/10
P(N 2 /B 1 )=4/9
N 1 B 2
P(N 1 )=4/10
P(B 2 /N 1 )=6/9
N 1 N 2
P(N 1 )=4/10
P(N 2 /N 1 )=3/9
Probabilidad
Conjunta
6/10.5/9=30/90
6/10.4/9=24/90
4/10.6/9=24/90
4/10.3/9=12/90
1,00
Estos mismos resultados lo expresamos en el diagrama de
árbol siguiente.
Prob. Simple x Prob. Condicional =
Prob. Conjunta
P(B2/B1)=5/9
B1 y B2 (6/10 . 5/9)
=
30/90
B1 y N2 (6/10 . 4/9)
=
24/90
N2
N1 y B2 (4/10 . 6/9)
=
24/90
B2
N1 y N2 (4/10 . 3/9)
=
12/90
=
1,00
B2
B1
P(B1)=6/10
P(N2/B1)=4/9
P(N1)=4/10
P(B2/N1)=6/9
N1
90/90
P(N2/N1)=3/9
N2
72
TALLER 04
ACTIVIDAD APLICATIVA - AUTOEVALUACIÓN
GUÍA PRACTICA POR RESOLVER
Cálculo de Probabilidades
1. Se lanza un dado:
a) Enumérese los elementos del espacio muestral.
b) Enumérese los elementos de  contenido en el suceso de que el
resultado sea par.
c) Enumérese los elementos de  contenidos en el suceso de que el
resultado sea, mayor que 4.
2.
Un experimento consiste en lanzar dos monedas simultáneamente.
a) Enumérese los elementos del espacio muestral.
b) Enumérese los elementos de  contenidos en el suceso de que salga
exactamente una cara.
c) Enumérese los elementos de  contenidos en el suceso de que salga
al menos una cara.
3.
Se lanza un par de dados:
a) Enumérese los elementos del espacio muestral.
b) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que la suma de
los puntajes sea 9.
c) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que la suma
sea 4 ó 5.
4.
Un experimento consiste en seleccionar tres piezas en un proceso
manufacturero y observar si son defectuosos D o no son defectuosos D’.
a) Enumérese todos los elementos del espacio muestral.
b) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que el número
de piezas defectuosas sea 1.
c) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que los
números de piezas defectuosas sea al menos 1.
5.
Se lanza dos monedas. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener.
a) Exactamente una cara?.
b) Por lo menos una cara?.
c) No obtener una cara?.
6.
Se lanzan dos dados no cargados. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener?.
a) 7?.
b) 7 u 11?.
c) Suma divisible por 3?.
d) No obtener 7?.
73
7.
Se elige una carta de una baraja. ¿ Cuál es la probabilidad de que sea?.
a) Un as?.
b) Una espada?.
c) Un as o una espada?.
d) Un as o una carta roja?.
e) Una carta con una figura?.
8.
La probabilidad de que llueva el 12 de octubre es 0,10; de que truene es
0,05 y de que llueva y truene es 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que
llueva o truene en ese día?.
9.
En cierta zona de la ciudad, la probabilidad de que una persona tenga
televisor es 0,80; una máquina lavadora es 0,50 y que tenga ambos es
0,45. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tengan televisor o
máquina lavadora o ambas cosas?.
10. La probabilidad de que un vendedor de autos venda por lo menos 3 autos
en un día es 0,20. ¿ Cuál es la probabilidad de que venda 0, 1 ó 2 autos
en ese día?.
11. La probabilidad de que la señora hablantina reciba a lo más 5 llamadas
telefónicas en un día es 0,20; y por lo menos 9 llamadas telefónicas en un
día es 0,50. ¿Cuál es la probabilidad de que la señora hablantina reciba 6,
7 ú 8 llamadas en un día?.
12. Una caja contiene 100 tubos de televisor. La probabilidad de que haya al
menos un tubo defectuoso es 0,05 y de que tenga al menos dos tubos
defectuosos es 0,01. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga:
a) Ningún tubo defectuoso?.
b) Exactamente un tubo defectuoso?.
c) A lo más un tubo defectuoso?.
Cálculo de Probabilidades Regla de la Multiplicación
13. Dado que p(A) = 0,50 y p(AB) = 0,30, encontrar p(B/A) =
14. De los estudiantes de una universidad, el 35% son varones y el 8% son
varones que estudian contabilidad. Si se elige un estudiante al azar y éste
resulta ser varón. ¿Cuál es la probabilidad de que estudie contabilidad?.
15. Una urna contiene 7 bolas blancas y 5 negras, si se saca dos bolas.¿Cuál
es la probabilidad de que las dos sean blancas si:
a)
Se extrae sin restitución.
b)
Se extrae con restitución.
16. La urna A contiene 5 bolitas blancas y 7 rojas y la urna B contiene 3
bolitas blancas y 6 rojas. Se saca una bolita de la urna A y una de la urna
B. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolitas sean blancas?.
74
17. La urna A contiene 4 bolitas blancas y 6 rojas, la urna B contiene 3
bolitas blancas y 5 rojas y la urna C 7 blancas y 7 rojas. Se saca
una bolita de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean las
tres del mismo color?
18. Se sacan dos cartas , sin restitución, de una baraja de 52 cartas.
¿Cuál es la probabilidad de que:
a) La primera carta sea un as y la segunda un 5?.
b) Se obtenga un as y un 5?.
c) Ninguna de las dos cartas sea as?.
d) Ninguna de las cartas sea as ni 5?.
19. Se sacan dos cartas sin restitución de una baraja de la cual se han
eliminado previamente las cartas con figuras. ¿Cuál es la
probabilidad de que la suma de los puntos de las cartas sea 19?.
20. Se sacan 5 cartas sin restitución de una baraja. ¿Cuál es la
probabilidad de que:
a) Las primeras tres cartas sean reynas y las dos ultimas reyes?.
b) Sólo las tres primeras cartas sean reinas?.
c) Las tres primeras cartas sean reinas?.
21. Se extraen cartas sucesivas y sin restitución una baraja. ¿Cuál es la
probabilidad de que:
a) La primera reyna aparezca en la tercera extracción?.
b) Aparezca una reyna en la tercera extracción?.
22. Se lanza un dado tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) La suma de los puntos sea 3 ó 4?.
b) La suma de los puntos obtenidos sea mayor que 4?.
75
TEMA N° 7
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
VARIABLES
DISCRETAS
VARIABLES
CONTINUAS
Binomiales
Normal
Poisson
CONCEPTOS RELACIONADOS
Esperanza Matemática
Valor Esperado
76
ESPERANZA MATEMÁTICA (VALOR ESPERADO O PROMEDIO)
Así como en los conjuntos de datos muéstrales y poblacionales ya
estudiados; es útil también describir una variable aleatoria en términos
de su media
El Valor Esperado.Es la Media (A Largo Plazo) de una variable aleatoria x y se denota
mediante E(x). Usado también para analizar juegos al azar, esperar una
ganancia y otros.
Fórmula: E(x) = x P(x)
Donde: E(x) = Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
xP(x) = Valor Ponderado
E2: Considerando el Nº de caras que puede resultar al lanzar 3
monedas simultáneamente. Los ocho resultados posibles de este
experimento aparecen a continuación en el lado izquierdo.
Resultado
SSS
CSS
SCS
SSC
SCC
CSC
CCS
CCC
Nº de Caras
0
1
1
1
2
2
2
3
Probabilidad
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
Designando cada número posible de caras por x y su probabilidad por
P(x), enumeramos en la tabla de la derecha todos los números posibles
de caras con sus respectivas probabilidades. Observamos que hay
mayor posibilidad de obtener 1 o 2 caras que 0 y 3.
Supongamos ahora que las tres monedas se lanzan un número infinito
de veces. Si bien en este número infinito de ensayos esperamos obtener
un promedio de 1,5 caras por lanzamiento.
Este promedio “A largo plazo” de 1,5 caras por lanzamiento se llama
esperanza matemática.
X (número de caras)
0
1
2
3
P(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
xP(x)
0
3/8
6/8
3/8
12
xP( x) 
8
77
 E(x) = xP(x)
= 12/8
= 1,5 caras.
E3: Con base en la tabla del 1er. ejemplo, hallar el valor esperado de la
variable aleatoria. (Promedio de alquiler diario de camionetas)
Solución
Cálculo del valor esperado para la demanda de camionetas.
Demanda Posible
Probabilidad
Valor Ponderado
X
P(x)
xP(x)
3
0,06
0,18
4
0,14
0,56
5
0,24
1,20
6
0,28
1,68
7
0,20
1,40
8
0,08
0,64
1,00
E(x) = 5,66
Se espera alquilar diariamente en promedio 5,66 camionetas.
E4: Una caja contiene 3 bolitas negras y 7 blancas. Se saca una bolita
de la caja si ésta es negra Ud. gana $2, pero si es blanca usted pierde
$1. ¿Cuál es la esperanza matemática de este juego?
Solución
Designamos por x toda posible ganancia o pérdida y por P(x) la
probabilidad respectiva, calculamos la esperanza matemática:
X(Cantidad de ganancia
o pérdida)
+ $2
- $1
P(x)
xP(x)
3
10
7
10
6
10
7

10
xP(x) = 
1
= -0,1
10
Interpretación:
La esperanza matemática de este juego es una pérdida de $0,10.
Suponiendo que se haga este juego varios miles de veces. Cada vez se
ganará $2 o perderá $1. Sin embargo en esos miles de juegos se puede
esperar una pérdida promedio de $0,10 por juego.
78
5.3
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Es una distribución discreta de Probabilidad para aplicarla a diversos
modelos de toma de decisiones. Siempre y cuando se ajuste a un
proceso Bernoulli
Fórmula de Distribución Binomial:
Para determinar la Probabilidad de un Nº determinado de éxitos x.
P(x/n,p) = n Cxpxqn-x
=
n!
p xqn x
x!(n  x)!
Donde:
nCx = C xn = Coeficiente Binomial =
n!
x!( n  x )!
(x) = Nº específico de éxitos
(n) = Nº de ensayos u observaciones
(p) = Probabilidad de éxito en c/u de los ensayos.
q = 1-p = Probabilidad de fracaso en cualquier ensayo.
El Símbolo n! Se lee “n factorial” donde 0! = 1 => 3! = 3x2x1
E5:La Probabilidad de que un gerente de compras elegido al azar realice
una compra es de 0.20. Si un vendedor visita a 6 gerentes de compras,
hallar la probabilidad de que realice exactamente 4 ventas.
Solución
Datos:
P = 0.20
q = 1-0.20 = 0.80
n=6
x=4
P(x=4/n=6, p=0.20) = 6C4(0.20)4(0.80)6-4
=
6!
(0.20) 4 (0.80) 2
4!(6  4)!
=
6 x5 x 4 x3 x 2
(0.0016)(0.64)
(4 x3x 2)( 2)
= 0.01536 0.015
E6: En relación con el ejemplo anterior, hallar la probabilidad de que el
vendedor logre 4 o más ventas.
79
Solución
P(x  4/n = 6, P = 0,20) = P(x = 4) + P(x =5) + P(x=6)
= 0,01536 + 0,001536 + 0,000064
= 0,016360  0,017
En donde:
P(x=4) = 0,01536 (Ejemplo anterior)
6!
(0,20)5(0,80)
5! 1!
= 6(0,00032) (0,80) = 0,001536
P(x=5) = 6C5 (0,20)5 (0,80)1 =
6!
(0,000064)(1)
6! 0!
= (1) (0,000064) = 0,000064
P(x=6) = 6C6(0,20)6(0,80)0 =
Uso de las Tablas de Probabilidades Binomiales
Como el uso de la fórmula binomial implica una cantidad
considerable de cálculos cuando la muestra es relativamente
grande. Por tanto usamos las tablas de probabilidades binomiales.
E7: Si la probabilidad de que un gerente de compras elegido al azar
realice una compra es de 0,20.
Hallar la probabilidad de que un vendedor que visita a 15 gerentes
realice menos de 3 ventas:
Solución
Sabemos:
P(x < 3, n = 15, p = 0,20) = P(x  2)
= P(x = 0) + P(x =1) + P(x = 2)
= 0,0352 + 0,1319 + 0,2309 (Ver Apéndice 2)
= 0,3980  0,40
Ejemplo de Aplicación:
Según una revista estudiantil, el 45% de los que terminaron los
ciclos en la Universidad trabajan durante el verano con el objeto de
ganar dinero para pagar el importe de la enseñanza del curso
siguiente. Si se eligen al azar 30 estudiantes. ¿Cuál es la
probabilidad de que: a) 13 trabajan en el verano, b) ninguno trabaja,
c) mas de 23 trabajan.
Solución
a) Localizamos en la tabla el valor de n = 30, p = 0,45 y para x = 13
obtenemos un valor de 0,1433, es decir existen 14,33% de
80
probabilidad de que 13 de los 30 estudiantes trabajen en verano
para ganarse el dinero de la enseñanza.
b) Con n=30 y p=0,45, la tabla indica de que la probabilidad de que
no trabaje ninguno es p(x=0) = 0,0000.
c) Se observa que la probabilidad de que mas de 23 estudiantes
trabajen es de P(x >23) / n =30, p = 0,45 = 0000.
Interpretación: Es bastante imposible que no trabaje ninguno o
trabajen todos los estudiantes.
E8:Ejemplo caso en que p > 0,50
INSTALAR CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Considérese un caso en el que la probabilidad de éxito en cualquier
ensayo, p, es mayor de 0,50, que es el valor más alto del apéndice. Un
trabajador instala correctamente circuitos impresos con p = 0,95. Si se
instalan 20 circuitos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que precisamente 16 se instalen en forma
correcta?.
Solución
n  20 

x  16  no contiene valor para p  0,95
p  0,95

La respuesta deseada se puede encontrar si se modifica la
pregunta en términos de fracaso en lugar de éxito.
El trabajador no instala correctamente los circuitos el 5% del tiempo.
Si ahora leemos p como la probabilidad de fracaso en cualquier
ensayo. Podemos hallar en la columna p = 0,05 una probabilidad de
obtener precisamente cuatro circuitos defectuosos como 0,0133. Esto
implica también una probabilidad de obtener 16 circuitos perfectos.
Es decir:
n = 20
p( x=4/n=20, p=0,05) = 0,0133
x=4
b) Cuál es la probabilidad de obtener al menos cuatro circuitos instalados
incorrectamente. ¿Y la de obtener a lo sumo tres circuitos defectuosos?
Solución
Obtener al menos 4 circuitos defectuosos = P(x=4) + P(x=5) + ... +
P(x=20) circuitos defectuosos, ésto suma según tabla 0,0133 + 0,0022
+ 0,0003 = 0,0158, del mismo modo.
81
P(a lo sumo 3 circuitos defectuosos), se encuentra como la suma de
las probabilidades de obtener 0, 1, 2 y 3 circuitos defectuosos, es decir
0,3583 + 0,3774 + 0,1887 + 0,0596 = 0,9842.
Observamos que la suma de ambas respuestas suman 1,00.
Es decir: P(x4/n=20, p=0,05) = 1–P(x3/n=20, p=0,05)
5.4
LA DISTRIBUCIÓN POISSON
La Distribución Poisson se utiliza para determinar la probabilidad de que
ocurra un número designado de eventos, cuando éstos ocurren en un
continuo de tiempo o espacio. (Por ejemplo en un intervalo de tiempo) en
vez de ocurrir en ensayos u observaciones fijas como en el proceso
Bernulli.
Ejm. La entrada de llamadas en un conmutador telefónico.
Se consideran:
a) Los eventos son independientes
b) El proceso es estacionario (permanece constante de un ensayo a
otro)
Sólo se requiere un valor para determinar la probabilidad de que ocurra
un número designado de eventos en un proceso de Poisson:
Este es el número promedio a largo plazo de eventos para el tiempo o
dimensión específico de interés. Esta media es  la letra griega
“lambda”
La fórmula para determinar la probabilidad de un Nº determinado de
éxitos N en una distribución de Poisson es:
x e  
P(x/) =
x!
Donde: e = constante = 2.7183 (base de los logaritmos naturales)
e- = Valores de la tabla
x = Nº especifico de éxitos.
E9: Un departamento de reparación de maquinaria recibe un promedio
de cinco solicitudes de servicio por hora. La probabilidad de que se
reciban exactamente tres solicitudes en una hora seleccionada al azar
es:
Solución
53 e5 (125) (0.00674)

 0.1404
3!
3x 2 x1
E10: Puede determinarse la respuesta del ejemplo anterior utilizando el
apéndice 4 de probabilidades Poisson?.
P(x=3/=5.0) =
82
Solución
P(x=3/=5.0) = 0.1404
Nota 1: Cuando lo que interesa es la probabilidad de “x o mas” o “x o
menos”. Se aplica la regla de adición para eventos mutuamente
excluyentes.
E11: Si en un Dpto. de reparación de maquinaria se recibe un promedio
de 5 solicitudes de servicio por hora, hallar la probabilidad de que se
reciban menos de 3 llamadas en una hora elegida al azar.
Solución
P(x < 3/ = 5.0) = P(x  2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)
= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842
= 0.1246 Respuesta.
Donde:
P(x=0/=5.0) = 0.0067
P(x=1/=5.0) = 0.0337
Apéndice 4
P(x=2/=5.0) = 0.0842
Como se supone que un proceso Poisson es estacionario, se concluye
que la media del Proceso es siempre proporcional a la longitud del
continuo del tiempo o espacio.
Nota 2: Si se tiene disponible una media para una longitud de tiempo,
puede determinarse la media para cualquier otro periodo de tiempo que
se requiere.
Esto es importante porque el valor de  que se utiliza debe aplicarse al
periodo de tiempo pertinente.
 = Promedio por periodo de tiempo o espacio.
E12: En promedio, 12 personas hacen preguntas cada hora a un
consultor de decoración en una tienda de telas. Calcular la probabilidad
de que tres o más personas acudan a un periodo de 10 minutos (1/6 de
hora).
Solución
Dado x = Nº de Personas
Promedio por horas = 12
 = promedio por 10 minutos = 12/6 = 2.0
P(x  3/=2) = P(x=3/=2.0)+P(x=4/=2.0) + P(x=5/=2.0) + ...
= 0.1804 + 0.902 + 0.0361 + 0.0120 +0.0034 +
0.0009 + 0.0002 = 0.3232.
83
En donde: Del apéndice 4 obtenemos:
P(x=3)/ = 2.0 = 0.1804
P(x=4)/ = 2.0 = 0.0902
P(x=5)/ = 2.0 = 0.0361
P(x=6)/ = 2.0 = 0.0120
P(x=7)/ = 2.0 = 0.0034
P(x=8)/  = 2.0 = 0.0009
P(x=9)/  = 2.0 = 0.0002
-----------0.3232
También se puede calcular así: más corto
P(x  3)
= 1 – P(x < 3/=2.0)
= 1 – (P(x=2/=2.0)+ P(x=1/=2.0) + P(x=0/=2.0))
= 1 – (0.2707 + 0.2707 + 0.1353)
= 1 – (0.6767)
= 0.3233
TALLER 05
ACTIVIDAD APLICATIVA - AUTOEVALUACIÓN
GUÍA DE PRACTICAS (Problemas Propuestos)
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
A.
Valor Esperado
1. Se ha determinado que el número de camiones que llegan cada
hora a un almacén tiene la distribución de probabilidad que se
muestra en la tabla dada.
Calcule: a) El número esperado de llagada x, por hora.
Número de Camiones
Probabilidad P(x)
0
1
2
3
4
5
6
0.05 0.10 0.15 0.25 0.30 0.10 0.05
2. Las ventas por hora de una máquina automática pueden se 20,
21 o 22 cajetillas de cigarrillos con probabilidades de 0,3; 0,5; y
0,2 respectivamente. ¿Cuál es la venta por hora esperada para
esta máquina?
3. Una urna contiene 5 bolitas negras y 8 blancas. Se saca una
bolita de la urna si esta es negra usted gana 15 soles, pero si es
blanca usted pierde 13 soles. ¿Cuál es el Valor Esperado de
este juego?.
84
B.
Distribución Binomial
4. Dada la distribución binomial con p = 0,25 y n = 7, utilícese la
fórmula y la tabla de distribución binomial para determinar.
a)
b)
P(X  2)
P(X = 2)
c)
d)
P(X  4)
P(X = 4)
5. Dada la distribución binomial con p = 0,85 y n = 9, utilícese la
tabla de distribución binomial para determinar:
a)
b)
P(X  7)
P(X = 7)
c)
d)
P(X  5)
P(X = 5)
6. Dada la distribución binomial con p = 0,35 y n = 8, utilícese la
formula y la tabla de distribución binomial para determinar:
a)
b)
P(X = 0)
P(X = 3)
c)
d)
P(X < 3)
P(X  3)
7. Dada la distribución binomial con p = 0,70 y n = 20, utilícese la
tabla de distribución binomial para determinar:
a)
b)
P(X = 0)
P(X = 12)
c)
d)
P(X > 3)
P(X  3)
8. Debido a las elevadas tasas de interés, una empresa reporta
que el 30% de sus cuentas por cobrar de otras empresas están
vencidas. Si un contador toma una muestra aleatoria de cinco de
esas cuentas.
Determine la probabilidad de cada uno de los siguientes
eventos, utilizando la fórmula de la probabilidad binomial:
a. Ninguna de las cuentas está vencida
b. Exactamente 2 cuentas están vencidas.
c. La mayor parte de las cuentas están vencidas.
d. Exactamente el 20% de las cuentas están vencidas.
C.
Distribución Poisson
9. El número promedio de los homicidios en cierta metrópoli es de
2 por día. Utilizando la distribución de Poisson, determínese la
probabilidad de que en un día dado haya.
a. No más de 3 homicidios.
b. Exactamente 3 homicidios
10. El promedio anual de terremotos en Chile es de 0,5. Utilícese la
distribución de Poisson para determinar la probabilidad de que
no haya terremotos en Chile en los 3 años.
85
11. El Promedio mensual de incendios grandes en una ciudad es de
1.5. Utilícese la distribución de Poisson para determinar la
probabilidad de que haya exactamente un incendio grande en
un periodo de dos meses.
12. La mesa conmutadora del Gran Hotel Emperador recibe un
promedio de 10 llamadas telefónicas por minuto. Utilícese la
distribución de Poisson para determinar la probabilidad de que
lleguen exactamente 4 llamadas en un periodo de 30 segundos.
13. El número promedio de fallas en un rollo de un cierto tipo de
papel mural es de 2.5. Utilícese la distribución de Poisson para
determinar la probabilidad de que un rollo tenga 4 o más fallas.
86
UNIDAD III:
DISTRIBUCIÓN NORMAL, DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES
Formula y soluciona problemas de las Distribuciones Normal y Muestral
aplicadas a su profesión.
Interpreta gráficos de las Distribuciones respectivas
Formula preguntas relacionadas con su profesión , aplicaciones actuales y
futuras.
Elabora los datos de entrada y salida por computadora.
CONTENIDOS ACTITUDINALES
Evalúa adecuadamente las Distribuciones Relacionadas con sus usos . Asume
con actitud de colaboración y respeto al grupo asignado
Valora con propiedad las implicancias para el desarrollo de su profesión de las
distribuciones estudiadas
CONTENIDOS CONCEPTUALES
TEMA N° 10 DISTRIBUCION NORMAL
TEMA N° 11 DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL
TEMA N° 12 DISRRIBUCION DE LAS PROPORCIONES
87
DISTRIBUCIÓN PARA VARIABLES
CONTINUAS
DISTRIBUCIÓN NORMAL
DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA
MUESTRAL Y
DE PROPORCIONES
88
TEMA N°10
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES PARA VARIABLES ALEATORIAS
CONTINUAS
Distribución Normal
E13: Para la distribución continua de probabilidad de la figura dada,
la probabilidad de que un embargue seleccionado al azar tenga un
peso neto entre 6000 y 8000 kilogramos es igual a la proporción del
área total bajo la curva que se encuentre bajo el área sombreada.
Es decir se define que el área total bajo la función de densidad de
probabilidad es igual a 1, y se puede determinar la proporción de
esta área que se encuentra entre dos puntos determinados.
f(x)
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Peso, Kg
Existen diversas distribuciones continuas de probabilidades
comunes que son aplicables como modelos a una amplia gama de
variables continuas en determinadas circunstancias. Existen tablas
de Probabilidades para esas distribuciones estándar para
determinar las áreas bajo la curva de probabilidad para estas
distribuciones (con la distribución normal).
La Distribución Normal de Probabilidad
Es una distribución continua de probabilidad que es al mismo
tiempo, simétrica y mesokúrtica definidas en él capitulo 3. Se
describe a la curva de probabilidad que representa a la distribución
normal como una campana.
f(x)
x
89
Uso de las Tablas de Distribución Normales
Las tablas de las probabilidades normales se basan en una
distribución específica: la Distribución Normal Estándar.
Esta es una distribución normal en la que u = 0 y  = 1. Cualquier
valor x de una población con distribución normal estándar
equivalente, z, mediante la fórmula.
xu
Z

En el apéndice 5 se obtienen las posiciones de área para diversos
intervalos de valores para la distribución normal estándar, en donde
el límite inferior del intervalo es siempre la media.
Aquí se transforman los valores designados de la variable x en
valores normales estándar.
E14: Se ha ajustado el proceso de fabricación de un tornillo de
precisión de manera que la longitud promedio de los tornillos sea u
= 13.0 cm.
Por supuesto, no todos los tornillos tienen una longitud exacta de 13
centímetros, debido a fuentes aleatorias de variabilidad. La
desviación estándar de la longitud de los tornillos es  = 0,1 cm. y
se sabe que la distribución de las longitudes tienen una forma
normal. Determine la probabilidad de que: un tornillo elegido al azar
tenga una longitud de entre 13,0 y 13,2 cm., e ilustre la proporción
del área bajo la curva normal asociada con este valor de
probabilidad.
De la figura (a)
E15: Del problema anterior ¿Cuál es la probabilidad de que la
longitud del tornillo exceda de 13,25 cm?. Ilustre la proporción del
área bajo la curva normal correspondiente a este caso.
E16: Del problema anterior, ¿Cuál es la Probabilidad de que la
longitud del tornillo este entre 12,9 y 13,1. ¿Ilustre la proporción de
área bajo la curva normal correspondiente a este caso.
E17: Del problema E16, ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud
de los tornillos se encuentren entre 12, 8 y 13,1 cm.? Ilustre la
proporción del área bajo la curva normal para este caso.
90
Solución
u = 13,0
 = 0,1
P(12,8  x  13,1)
Si
Z
xu

12,8
De la figura:
X1  u
13,0
X1
13,1
X2
12,8  13,0
  2,0

0,1
X  u 13,1  13,0
Z2  2

  1,0

0,1
Z1 

P(12,8  X  13,1) = P(-2,0  Z  +1,0) = 0,4772 + 0,3413 = 0,8185
E18: Del Prob. E16: ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud del
tornillo este entre 13,1 y 13,2 cm.? Ilustre la proporción del área
bajo la curva normal muy importante para este caso.
E19:La Distribución Normal de trabajadores de una Industria tiene u
= 50 años y  = 5 años, 20 % de los trabajadores están bajo una
cierta edad. ¿Cuál es la edad?.
E20: La estatura media de los soldados de un regimiento es de 170
cm., 10% de estos soldados miden mas de 175 cm. Si tiene una
distribución Normal. ¿Cuál es ?
TALLER 6
ACTIVIDAD APLICATIVA AUTOEVALUACIÓN
Distribución Normal
14. La estatura de los soldados de un regimiento está distribuida
normalmente con una media de 69 pulgadas y una desviación
estándar de 2 pulgadas.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un soldado mida mas de 72
pulgadas?
b. ¿Cuál es el porcentaje de soldados cuyas estaturas están
entre 69 y 73 pulgadas?
c. Si para la realización de una cierta misión, un soldado debe
estar en el 20% de los de mayor estatura, ¿Cuál es la
estatura mínima para participar en esta misión?.
91
15. Un rodamiento es considerado defectuoso y por lo tanto es
rechazado si su diámetro es mayor que 2.02 pulgadas o menor
que 1,98 pulgadas. ¿Cuál es el número esperado de
rodamientos rechazados si los diámetros de una partida de
10,000 rodamientos están distribuidos, normalmente con una
media de 2 pulgadas y una desviación estándar de 0.01
pulgadas?.
16. Los puntajes finales en un curso de Psicología están distribuidos
normalmente con una media de 60 y una desviación estándar
de 10.
a. Si el puntaje mínimo para aprobar es 48, ¿Cuál es el
porcentaje de fracasos?
b. Si han de aprobar el 80% de los estudiantes, ¿Cuál debe
ser el puntaje mínimo aprobatorio?
17. En una industria alimenticia se comercializa harina en paquetes
de “PESO NETO 500 grs.”. El proceso automático de llenado
de los paquetes puede regularse de modo que la cantidad
media de harina por paquete puede ajustarse al nivel que se
desee. Suponiendo que la cantidad de harina por paquete se
distribuye normalmente con una desviación estándar de 0,2
onzas.
a. ¿A qué nivel debe ajustarse el llenado medio de modo que
solo el 0,001 de los paquetes tengan un peso neto inferior a
12 onzas?
b. ¿A qué nivel debe ajustarse el llenado medio de modo que
solo el 0,05 de los paquetes tengan un peso neto superior a
12,4 onzas?.
18. El peso medio de una piña en una partida grande es de 5 libras.
El 10% de las piñas pesan menos de 4 libras. Suponiendo que
los pesos están distribuidos normalmente. ¿Cuál es la
desviación estándar de la partida?.
19. Un estudio reporta los salarios iniciales anuales de los
contadores recientemente egresados, y los promediaba en
22500 soles, con una desviación estándar de 2250 soles. Si los
salarios siguen una distribución normal. ¿Cuál es la
probabilidad y los porcentajes de que un recién egresado gane:
a) más de 21,000 soles
b) menos de 25000 soles
c) entre 24000 y 26000 soles
d) como mínimo 20000 soles?
92
SOFTWARE ESTADÍSTICO (Aplicación por Computadora)
DISTRIBUCIÒN NORMAL
Caso Estudio 1:
LA TELEFÓNICA tiene un programa de entrenamiento para mejorar la calidad
de las habilidades de supervisión de los supervisores .Un estudio de los
participantes indica que el tiempo medio usado para completar el programa es
de 500 horas, y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una
desviación estándar de 100 horas.¿ Cuál es la probabilidad de que un
participante elegido al azar requiera entre 500 y 650 horas para completar el
programa de entrenamiento?
SOLUCIÓN UTILIZANDO EL PROGRAMA ESTADÍSTICO MINITAB 15
1.- Abrir el Minitab. Clic en Graph
2.- Colocarse en el siguiente Menú y opciòn: GraphProbability
DistributionPlot: Ver gráfica en clase
3.- Se despliega la ventana de ProbabilityDistributionPlots:
Clic en View Probability
Clic OK :Ver gráfica en clase
4.- Seleccionar Distribución Normal
Introducir los valores de la Media (Mean) y la Desviación Estàndar (Standard
deviation): Ver gráfica en clase
5.- Clic en ShadedArea,
Seleccionar X Value, clic en Middle y proporcionar los valores de X1 Y X2.
Clic OK: Ver gráfica en clase
6.- Minitab despliega la grafica de la distribución normal con el valor de la
probabilidad sombreado: Ver gráfica en clase
la probabilidad de que un participante elegido al azar se tome entre 500 y 650
horas para completar el programa de entrenamiento es de 0.433.
Caso Estudio 2
Una empresa Auditora realiza estudios especiales de Investigación Científica,
dichos estudios se distribuyen normalmente con una duración media de 820
horas (desde el inicio hasta el término de dichos estudios). Con una desviación
estándar de 42 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudio elegido al
azar requiera entre 820 y 855 horas para concluirlo?
93
TEMA N°11
DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL
ORG ANIGRAMA
DISTRIBUCIONES MUESTRALES
De Medias Muestrales
Distribución Muestral
dela Media
Error Estándar
Muestral
De la Media
Aplicación a
Distribución Normal
Factor de Corrección
por población finita
Teorema del
Limite Central
De Proporciones Muestrales
Regla de
proporciones
Muestrales.
Error Estándar de la
Proporción.
Aplicación a
Distribución Normal
Factor de
Corrección
Por población finita.
Teorema del Limite
Central.
94
Debido a factores como tiempo y costo, se estiman los parámetros
poblacionales desconocidos por ejemplo la media (u) examinando
la información de la muestra ( x ) de la población, la cual debe ser
representativa de la población objeto del estudio.
Por ejemplo, si deseamos hallar el interés hacia el estudió por
parte de los estudiantes universitarios de un facultad; en este caso
la población más importante es la recolecci ón de respuestas de los
estudiantes de la facultad sobre el interés hacia el estudio.
Aquí tomaremos una parte de esta población (muestra), y la
usaremos para normar el interés de los estudiantes hacia el
estudio.
Si nos basamos en las respuestas de miemb ros de otras fuentes u
otras instituciones obtendremos sobre todo respuestas sesgadas
(visión distorsionada de las actitudes de las actitudes de los
estudiantes en conjunto) o desviadas a favor del estudio.
CONSIDERACIONES GENERALES
Si obtenemos muestras aleatorias de una población, éstas por su
naturaleza propia no se pueden predecir, sólo se pueden hacer
afirmaciones probabilísticas sobre una población cuándo se usan
muestras representativas de la misma.
Para cualquier tamaño de muestra n, tomado de una misma población
con media (u), los valores de la media muestral x , varían de una muestra
a otra. Esta variabilidad sirve de base para la distribución muestral.
Si estudiamos un estadístico como la media muestral ( x ), a partir de las
medidas en muestras aleatorias, tendremos que enlistar la distribución
de los valores posibles de este estadístico asociados a su probabilidad
respectiva.
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA
E1: Si tenemos una población de N=4, que indican los ingresos anuales
de 4 analistas de sistemas 10, 20, 30 y 40 (en miles de soles)
a.- Calcular la media de la población (u)
b.- La desviación estándar poblacional ( )
c.- Si tomamos muestras aleatorias de tamaño n=2 hacer una lista de
todos los pares posibles de las diferentes muestras de la media.
95
Para cada uno de los pares identificados, calcule la media muestral x
con su respectiva probabilidad, y demuestre que la media de todas las
medias muestrales posibles (u x ) es igual a la media de la población (u)
de donde se seleccionaron las muestras.
ERROR ESTÁNDAR MUESTRAL DE LA MEDIA ( x ) S x
La Distribuciónmuestral de las medias Muestrales tiene una desviación
estándar, a esta desviación estándar de la distribución de todas las
medias Muestrales también se le denomina error estándar de la media
el cual mide la dispersión de las observaciones individuales (medias
muestrales) en torno a la media de las medias muestrales u x = u,
también indica la precisión de la media muestral.
Fórmula del error estándar:
x
 x

 
Ns  Ns 
x 
2
2
donde:
 x = error estándar de la media
Como la fórmula dada requiere mucho cálculo aritmético también
podemos hallar el error estándar así; para una población tenemos:
x 

n
Error Estándar Estimado
S
Sx 
n
MUESTRAS DE
CORRECCIÓN
POBLACIONES
FINITAS
–
FACTOR
DE
Cuando se muestra a partir de una población finita (no infinita) se debe
incluir un factor de corrección en la fórmula para el error estándar de la
media como regla general, la corrección es despreciable y puede
omitirse cuando n < 0,05 N es decir cuando el tamaño de la muestra es
menos del 5% del tamaño de la población.
Fórmula del error estándar de la media incluyendo el factor de corrección
por población finita:
x 

n
N n
N 1
96
E2: Del primer ejemplo demostraremos que al utilizar las dos fórmulas
del error estándar dadas, el resultado es el mismo.
INTERPRETACIÓN: las 6 medias Muestrales posibles tienen una media
= 25 = ux = u, las cuales tienden apartarse de 25 en 6,45.
E3: Un contador toma una muestra aleatoria de tamaño n =16 de un
conjunto de N = 100 cuentas por cobrar. No se conoce la desviación
estándar de los montos de las cuentas por cobrar para el total de las 100
cuentas. Sin embargo, la desviación estándar de la muestra es S =
$57.00. Hallar el error estándar para la distribución muestral de la Media.
Solución
sx 
s
n
N n
57

N 1
16
100  16 57 84

100  1
4 99
 14,25 0,8484  14,25(0,9211)  13,13
En el ejemplo dado se estima el error estándar de la media con base en
la desviación estándar muestral, y se requiere utilizar el factor de
corrección por población finita por que no es cierto que n < 0,05 N, es
decir 16 > 0,05(100)
El error estándar de la Media ofrece la base principal para la inferencia
estadística con respecto a la media de una población que se desconoce.
En este capítulo un teorema de la estadística usado para hallar la
utilidad del error estándar de la media es:
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL – DISTRIBUCIÓN NORMAL EN
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA
TALLER 8
E4: Un Contador – Auditor toma una muestra de tamaño n = 36 de una
población de 1000 cuentas por cobrar. El valor promedio de las cuentas
por cobrar de la población es u = $2600 con una desviación estándar
poblacional de  = $450. ¿Cuál es la probabilidad de que la media
muestral sea inferior a $2500?
E5: Con referencia al ejemplo anterior. ¿Cuál es la probabilidad de que
la media muestral se encuentre a no más de $150 de la media de la
población?
E6: En un estudio para comparar la producción promedio mensual en
miles de unidades producidas por COCA-COLA y KOLA REAL se
usará una muestra aleatoria de 20 y 25 trabajadores de c/u de las
97
empresas . Se sabe que la producción por trabajador siguen una
distribución normal. El promedio de la producción de todos los
trabajadores de COCA_COLA es de 100 unidades y su desviación
estándar es de 14.142, mientras que el promedio de la producción de
todos los trabajadores KOLA REAL es de 85 unidades y su desviación
estándar es de 12.247 unidades. Si
y
representan el promedio
muestral de la producción de los 20 y 25 trabajadores respectivamente.
Encuentre la probabilidad de que el promedio de las unidades
producidas por los 20 trabajadores sea al menos 20 unidades más que
el de los 25 trabajadores.
Solución:
Datos:
1 = 100 unidades;
2 = 85 unidades ;
1 = 14.142 unidades;
2
= 12.247
unidades ; n1 = 20 trabajadores; n2 = 25 trabajadores;
=?
Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de las unidades
producidas de la muestra de trabajadores de COCA-COLA sea al
menos 20 unidades más que el de la muestra de los trabajadores de
KOLAREAL es 0.1056.
98
TEMA N° 12
DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE PROPORCIONES
Las distribuciones Muestrales de proporciones son usadas en muchos
casos, sobre todo cuando se trata de hallar si una observación cumple o
no una determinada característica.
Por ejemplo, los políticos no siempre desean saber cuantas personas
votarán por ellos, sino que porcentaje de la gente lo hará, es decir en
lugar de medias Muestrales, nos encontramos con proporciones
Muestrales.
CALCULO DE UNA PROPORCIÓN MUESTRAL DE ÉXITOS – MEDIA
DE LAS PROPORCIONES MUESTRALES.
Utilizamos la siguiente fórmula:
S
p
n
donde :
p = proporción muestral de éxitos.
S = número de éxitos en una muestra.
n = datos de la muestra.
E6: Un político entrevista a 500 sufragantes, si sólo 200 de ellos votaron
por él, hallar la proporción muestral de éxitos.
Solución
S 200
 0,40
Sabemos: P  
n 500
Nota: Tal como estudiamos en distribución muestral donde u x (media de
todas las medias Muestrales) = u(media de la población).
En este caso: P = 
Donde:
= media de las proporciones Muestrales.
P

= proporción de la población.
CALCULO DEL ERROR ESTÁNDAR DE LA PROPORCIÓN
Utilizamos la siguiente fórmula:
 (1   )
P 
n
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL – DISTRIBUCIÓN NORMAL
P ARA PROPORCIONES MUESTRALES
La distribución de proporciones Muestrales se aproximará a
una Distribución Normal cumpliendo el Teorema del Límite
99
Central aplicado a la distribución de proporciones Muestrales.
Aquí se debe cumplir lo siguiente:
n> 50 y
Tanto n  como n(1-) son mayores que 5.
PARA UNA POBLACIÓN FINITA
Se debe cumplir que n > 0,10N, para utilizar el factor de corrección por
población finita:
P 
 (1   ) N  n
n
N 1
E7: Un médico administra un medicamento a N = 5 pacientes. Los
resultados de cada paciente son respectivamente muere, vive, vive,
muere, muere. Hallar la media de todas las proporciones Muestrales, si
se toman muestras de tamaño n = 2. También hallar el error estándar de
las proporciones muestrales.
Solución
Las muestras posibles de tamaño n = 2 y la proporción de
éxitos (vive), se indican en la tabla siguiente.
Se cumple también 5C2 = 10. M = muere, Vive = V.
Ns = Nº de muestras posibles = 10
S
Sabemos: p 
n
Donde:
p = proporción muestral de éxitos.
S = proporción de éxitos en una muestra.
n = 2.
Proporción de
Muestra
Éxitos P
M1 V2
0,5
M1 V3
0,5
M1 M4
0,0
M1 M5
0,0
V2 V3
1,0
V2 M4
0,5
V2 M5
0,5
V3 M4
0,5
V3 M5
0,5
M4 M5
0,0
P = 4,0
 P  4  0,40
P
Ns
10
donde:
p = proporciones.
p = media de todas las proporciones.
Ns = Nº de muestras posibles.
100
Es decir P (media de todas las proporciones ) es igual a u(media de la
población) = 0,40.
Cálculo del error Estándar de las Proporciones Muestrales.
P 
 (1   ) N  n
n
N 1

(0,4)(0,6) 5  2
 0,3
2
5 1
E8: Con referencia al problema E7. Si él médico administra el
medicamento a muchos pacientes, de los cuales viven  = 45%. Si se
elige una muestra de 80 pacientes. ¿Cuál es la probabilidad que vivan
mas de 40?.
APLICACIÓN ESTADÍSTICA
¿Podrá Pedro ir a Hawai?
Clairol vende un producto popular ideado para que las personas
parezcan más atractivas. Según la empresa el 75% de todos los clientes
potenciales con quienes se establece contacto por correo, compran el
producto.
Pedro envía 200 cartas en las que ofrece vender el producto. Tiene que
hacer 160 ventas. Como mínimo para financiar el viaje que tiene
programado a Hawai.
¿Cuál es la probabilidad de que lo consiga?
TALLER 9
ACTIVIDAD APLICATIVA – AUTOEVALUACIÓN
DISTRIBUCIONES MUESTRALES
1.
Se sabe que la vida útil promedio de los focos de transparencias
es  = 9000 horas, con una desviación estándar de 500 horas.
Determine el valor esperado y el valor estándar de la distribución
muestral de la media, con un tamaño de muestra de n = 25.
Interprete el significado de los valores calculados.
2.
Para una población grande de saldos de cuentas que tienen
distribución normal, se tiene un saldo promedio de  = $
150,000.00, con desviación estándar  = $ 35,000 cuál es la
probabilidad de que una cuenta muestrada al azar tenga un saldo
que excede de $ 160,000.
Con referencia al problema anterior, ¿cuál es la probabilidad de
que la media de una muestra aleatoria de n = 40 cuentas exceda
de $ 160,000?
3.
101
4.
De un estudio contable se toma alzar una muestra de 500
empleados de un número mayor a ellos. Los trabajadores realizan
labores a destajo y se encuentran que el producto medio de pago
por cliente es de 2000 nuevos Soles, con una desviación
estandarmuestral S=200 Nuevos Soles. Hallar el pago promedio a
destajo para todos los empleados de la empresa, con un intervalo
de confianza del 90%.
5.
El banco de Crédito toma una muestra n = 600 de una población
de
1200 clientes que cuentan con tarjeta de crédito, el valor
promedio de los créditos es de 3200 con una desviación estandar
poblacional de 600 Nuevos Soles . Hallar la probabilidad de que la
media muestral sea superior a 3350 Nuevos Soles.
6.
Para ilustrar el significado de la distribución muestral de la media
se hace referencia a una población altamente simplificada.
Suponga que una población consta solamente de cuatro valores: 3,
5, 7 y 8. Calcule (a) la media de la población , y (b) la desviación
estándar de la población .
7.-
Para la población que se describió en el problema anterior,
suponga que se toma muestras aleatorias simples de tamaño n =
2, de esa población. En cada una de las muestras, antes de elegir
el segundo elemento muestral, no se reemplaza el primer elemento
escogido.
a) Hacer una lista de todos los pares posibles que puede
constituir una muestra.
b) Para cada uno de los pares identificados en (a), calcule la
media muestral X y demuestre que la media de todas las
medias muestrales posibles  x es igual a la media de la
población de donde se seleccionaron las muestras.
8.
Para la situación de muestreo que se describió en los problemas
anteriores, calcule el error estándar de la media determinando la
desviación estándar de las seis medias muestrales posibles que se
identificaron en el problema anterior, con respecto a la media
poblacional . Después calcule el error estándar de la media con
base en la  que se conoce y, tratándose de un muestreo en una
población finita, utilice la fórmula apropiada y verifique que los dos
valores del error estándar sean iguales.
9.
Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos
de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A
tienen una vida media de 7.2 años con una desviación estándar de
0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7
años con una desviación estándar de 0.7. Determine la
probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la
compañía A tenga una vida promedio de al menos un año más que
la de una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B.
102
UNIDAD IV
ESTIMACIÓN CON INTERVALOS DE CONFIANZA, PRUEBA DEHIPÓTESIS
ORGANIGRAMA
ESTIMACIONES CON INTERVALOS
DE CONFIANZA – PRUEBA
DE HIPOTESIS
Intervalos
De Confianza
Prueba
De Hipótesis
Estimación
Puntual
Medias
Poblacionale
s
Medias
Poblacionales
Estadísticos
utilizados
Distribución
t de
Student
Entre
Dos Medias
Poblacionales
103
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES
Interpreta y aplica los intervalos de Confianza y Prueba de Hipótesis
Elabora un resumen de las principales aplicaciones en la toma de decisiones
de Empresa
Formula evidencias de las distintas formas de aplicar estas herramientas
estadísticas en el marco empresarial, contable y en el Desarrollo de Tesis.
En forma grupal determinan la regla de decisión en el Contraste de Hipótesis
CONTENIDOS ACTITUDINALES
Valora con propiedad, los resultados de la teoría y problemas expuestos de
Intervalos de Confianza y Prueba de Hipótesis en su profesión.
Distingue los métodos, procedimientos y técnicas del Contraste de Hipótesis,
Acepta formar parte del grupo asignado con actitud de ayuda en el desarrollo
de los problemas.
CONTENIDOS CONCEPTUALES
TEMA N° 13 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL
TEMA N° 14 DISTRIBUCION T DE STUDENT
TEMA N° 15 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE
DOS MEDIAS POBLACIONALES
TEMA N° 16 PRUEBA DE HIPOTESIS
104
ESTIMACIONES CON INTERVALOS DE
CONFIANZA, PRUEBA DE HIPOTESIS
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA
LA MEDIA POBLACIONAL,
DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
DIFERENCIA DE MEDIAS
PRUEBA DE HIPOTESIS
JI-CUADRADA
105
TEMA N° 13
INTERVALOSDE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL
En este capítulo aprenderemos a determinar intervalos de confianza de medias
poblacionales, proporciones poblacionales prueba de hipótesis, errores Tipo I y
II así como intervalos de confianza y prueba de hipótesis con dos poblaciones.
Los intervalos de confianza son utilizados para tomar numerosas decisiones
relacionadas con la empresa; del mismo modo se estudiará la probabilidad de
que una hipótesis sea cierta.
Muchos problemas de las empresas exigen comparar dos poblaciones con el
objeto de tomar decisiones correctas, estas se tomarán en las circunstancias
en las cuales es esencial efectuar las comparaciones y el modo adecuado de
efectuarlas.
ESTIMACIÓN PUNTUAL – INTERVALOS DE CONFIANZA.
E1: La dueña de una tienda, elige una muestra de n = 500 clientes, si x
= 37,30 soles (consumo medio de la muestra); este valor seria la
estimación puntual de la media poblacional.
Una estimación de intervalo es la que define un intervalo dentro del cual
puede estar el parámetro desconocido.
La dueña de la tienda puede pensar que el promedio (u) de la población
puede estar entre 36 y 39 soles. Donde el intervalo suele ir acompañado
de una afirmación sobre el nivel de confianza (95%) que se asigna a su
precisión. Por ello se llama intervalo de confianza.
Relación de Estimadores Puntuales Utilizados:
Parámetros de Población
Media, u
Diferencia entre las medias de 2 poblaciones u1 – u2
I.
Proporción, 
Diferencia entre las propiedades de
dos poblaciones; 1 - 2
Varianza, 2
Desviación Estándar, 
INTERVALO DE CONFIANZA PARA
UTILIZANDO LA DISTRIBUCION NORMAL
LA
MEDIA

x
 
x1  x2
p̂
 
p1  p2
s2
s
POBLACIONAL
E2: En una semana determinada, se elige al azar una muestra de 300
empleados de un número muy grande de ellos que trabajan en una
empresa manufacturera. Los trabajadores realizan una labor a destajo y
se encuentra que el promedio de pago por pieza trabajada es de x
=1800, con un desviación estándar muestral de S = $140. Hallar el pago
promedio a destajo para todos los empleados de la empresa, con una
106
estimación por intervalo que permite tener una confianza del 95% de que
ese intervalo incluye el valor de la media poblacional.
TALLER 10
ACTIVIDAD APLICATIVA – AUTOEVALUACIÓN
E3: En una encuesta política obtienen volantes que votaran por su
partido en las próximas elecciones, en la cual se recopila una muestra
aleatoria de 550 volantes, de un conjunto de 2000; el promedio del gasto
es S/5250, con una desviación estándar de S/2575, utilizando un
intervalo de confianza de 90%. hallar el monto promedio de gastos de
los 2000 volantes
E4: Si la desviación Estándar  de la vida útil de focos especiales es =
0,500, no conocemos el promedio de vida útil. Si la distribución de la
vida útil de los focos es normal. Para una muestra de n =15, la vida útil
promedio es x = 8900 hrs. Construir intervalos de confianza para
estimar la media de la población.
a) Con el 95%
b) Con el 90% de confianza.
E5: Un analista de investigación de mercados recopila datos de una
muestra aleatoria de 100 clientes, de un conjunto de 400 clientes que
adquirieron equipo especial”. Las 100 personas gastaron un promedio x
= $ 24570 en la tienda, con una desviación estándar de:
S = $6,600. Utilizando un intervalo de confianza del 95%. Estime:
a) El monto promedio de las compras para los 400 clientes.
b) El monto total en dólares para las compras realizadas por los 400
clientes.
TEMA N° 14
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA CON DESVIACIÓN
ESTANDAR () DESCONOCIDA – DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT.
Cuando hay que tomar una muestra pequeña (n<30), la distribución
normal no siempre es la adecuada; Aquí es donde utilizamos una
distribución alternativa, llamada distribución t de Student (o simplemente
distribución t), la que debe cumplir las siguientes condiciones.
 La muestra es pequeña.
 La  es desconocida.
 La distribución debe ser normal.
107
Así mismo, la distribución t, tiene una media igual a cero, es simétrica
respecto de la media y se extiende de -  a +  .
Cálculo del Estadístico (t)
Se calcula como el estadístico Z.
Su formula es:
xu
t
Sx
CALCULO DEL INTERVALO DE CONFIANZA PARA ESTIMAR LA
MEDIA DELA POBLACIÓN u PARA MUESTRAS PEQUEÑAS.
Despejando u de la fórmula dada obtenemos:
x  t gl S x  x  t gl
S
n
Donde los grados de libertad gl<>df = n-1
TALLER 11
ACTIVIDAD APLICATIVA – AUTOEVALUACIÓN
E5: Hallar t con un intervalo de confianza del 90, 95 y 99% y una
muestra de 20 observaciones.
E6: Un supervisor toma una muestra aleatoria de 12 sobres de cocoa en
una planta empaquetadora. El peso neto de los sobres de cocoa es el
que reporta la tabla siguiente:
Determinar:
a) El peso neto de la cocoa que se empaqueta en cada sobre.
b) La Desviación EstándarMuestral.
c) Si el peso de la cocoa empaquetado tiene distribución normal,
estimar el peso promedio por sobre de cocoa utilizando un intervalo
de confianza del 95%.
Gramos por 15,7
sobre
Número de sobres
1
15,8
15,9
16,0
16,1
16,2
2
2
3
3
1
Solución
x por sobre
15,7
15,8
15,9
16,0
16,1
Nº de sobres
1
2
2
3
3
Total x
15,7
31,6
31,8
48,0
48,3
X2 por sobre
246,49
249,64
252,81
256,00
259,21
X2 Total
246,49
499,28
505,62
768,00
777,63
108
16,2
1
16,2
n = 12
x=191,6
Reemplazando en las fórmulas:
a) x 
 x  191,6  15,97
b) S 
n  x 2  ( x ) 2
n
12
n(n  1)

 0,0224  0,15
c) x  t gl S x  15,97  t11
262,44
262,44
x2=3059,46
 x  15,97 gr
12(3059,46  (191,6) 2 )
12(11)
 S  0,15gr.
S
 0,15 
 15,97  2,201

n
 12 
 15,97  15,97  2,201(0,043)
 15,88 a 16,06 grs.
INTERPRETACIÓN:
El peso promedio por sobre se encuentra ente 15,88 y 16,06 grs
TEMA N°15
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS
POBLACIONALES UTILIZANDO LA DISTRIBUCION NORMAL.
Existen numerosas ocasiones en que las empresas tienen que tomar
decisiones las cuales se centran en las diferencias que puedan existir
entre dos poblaciones, por lo cual se han desarrollado procedimientos
estadísticos cuyo objetivo es contrastar la diferencia entre dos medias
poblacionales o dos proporciones poblacionales.
Por ejemplo, existe una diferencia significativa entre la duración media
de las baterías para autos fabricadas por BATERIAS CAPSA y las que
produce BATERIAS DELCO, así como la diferencia entre los niveles
saláriales en dos empresas. Como se indico anteriormente en 8,1, el
estimador no sesgado de (u1 – u2) es ( x1  x 2 ). El intervalo de confianza
se construye de manera similar como se estima el de la media, así el
error estándar de la distribución muestral que corresponde en este caso
es el de la diferencia entre medias. El uso de la distribución normal se
basa en las mismas condiciones que para el caso de la distribución
muestral de la media ( en este caso existen dos medias).
Fórmulas para estimar la diferencia entre las medias de dos
poblaciones, con intervalos de confianza.
u1 – u2 = ( x1  x 2 )  z x1  x2
109
u1 – u2 = ( x1  x 2 )  zS x1  x2
Fórmula del Error Estándar de la Diferencia entre dos medias.
Cuando se conocen las desviaciones estándar de las dos
poblaciones.
 x  x   x2   x2
1
2
1
2
Cuando no se conocen las desviaciones estándar de las dos
poblaciones, el error estándar estimado para distribución normal es:
S x1  x2  S x21  S x22
En éstas dos fórmulas dadas como hemos visto anteriormente, podemos
incluir la posibilidad de utilizar los factores de corrección por población
finita cuando sea apropiado.
E6: El salario anual promedio para una muestra de n = 30 empleados de
una empresa industrial grande es x = S/. 28000, con una desviación
estándar de S/. 1400. En otra empresa grande, una muestra aleatoria de
n =40 empleados tiene un salario promedio anual de S/. 27000, con
desviación estándar muestral de S = S/. 1000. Hallar el intervalo de
confianza del 99% para estimar la diferencia entre los niveles anuales de
salarios en las dos empresas.
Solución
Sabemos:
Int. del 99% = ( x1  x 2 )  Z S x  x
1
S x1  x2  S  S
2
x1
2
2
x2
En donde:
x1  x 2 = S/. 28000 – S/. 27000 = S/. 1000
Z = 2,58
S x1 
S1
1400 1400


 255,60
n1
30 5,477
S x2 
S2
1000 1000


 158,11
n2
40 6,325
110
S x1  x2  (255,60)2  (158,11)2  300,55
Reemplazando Tenemos:
Int. del 99% = S/. 1000  2,58 (300,55)
= 1000 – 775,4 a 1000 + 775,4
= 225 a 1775
Es decir:
225  u1 – u2 1775
INTERPRETACIÓN:
Puede estimarse que el salario anual promedio de la primera empresa
es mayor que el correspondiente a ala segunda en una cantidad que va
de S/. 225 a S/. 1775 con una confianza del 99% en una estimación por
intervalo.
TALLER 12
ACTIVIDAD APLICATIVA – AUTOEVALUACIÓN
E1: Una revista describía una prueba por Daniel S.A. para comparar la
eficacia de dos tipos de fertilizantes químicos. Se trataron 50 hectáreas
con cada uno de los tipos . Los incrementos de producción por hectárea
de trigo dieron medias de x1 = 14,2 litros para el fertilizante 1 y de x2 =
17,5 litros para el fertilizante 2. Las desviaciones estándar de ambos
fertilizantes eran de  1 =1,92 y  2 =2,05. Calcular el intervalo de
confianza del 99% para estimar la diferencia de la eficacia en los dos
fertilizantes.
E2 Un contador toma una muestra de 49 clientes de una empresa
industrial que pagan al crédito donde el valor promedio de estos son
$1750 con un desviación estándar de $630 , y en la otra empresa
comercial en una muestra de 64 clientes el promedio de personas que
pagan a crédito es de $1130 con una desviación estándar muestral de
$570 .
calcular el intervalo de confianza del 99% para estimar la diferencia entre
la cantidad de clientes que pagan al crédito.
SOFTWARE ESTADISTICO (APLICACIÓN POR COMPUTADORA)
CASO ESTUDIO 1.
En una Empresa Auditora un contador toma una muestra promedio de 36
cuentas por cobrar diferentes de valor 2.6 mill. de soles. Encuentre el intervalo
de confianza del 95% para la media poblacional suponiendo que la desviación
estándar de la población es de 0,3 mill. de soles.
SOLUCION CON MINITAD 15
1. - Se colocan los datos.(Ver grafico en clase)
2. - Poner en stat-basic statics-1-sample z.(Ver grafico en clase)
111
3. - Colocar los datos.(Ver grafico en clase)
4.- Luego aparecerán los resultados pedidos en la pregunta.(Ver grafico en
clase)
TEMA N°16
PRUEBA DE HIPÓTESIS
¿Qué es una hipótesis?
- Hipótesis: enunciado acerca de una población elaborada con el
propósito de ponerse a prueba.
- Ejemplos de hipótesis acerca de un parámetro de población son:
 La media mensual de ingresos para contadores es $ 3625
 El 20 % de los delincuentes juveniles son capturados y sentenciados
a prisión.
¿Qué es una prueba de hipótesis?
Prueba de hipótesis: procedimiento basado en la evidencia muestral y en
la teoría de probabilidad que se emplea para determinar si la hipótesis
es un enunciado razonable y no debe rechazarse o si no es razonable y
debe ser rechazado.
Prueba de Hipótesis.
Paso 1: Plantear la hipótesis nula y alterna
Paso 2 : Seleccionar un nivel de significancia
Paso 3: Identificar el valor estadístico de prueba
Paso: 4 Formular una regla de decisión
Paso 5 : Tomar una muestra, llegar a una decisión
No rechazar la hipótesis nula
Rechazar la hipótesis nula y
aceptar la alterna
Prueba de significancia de una cola
Una prueba es de una cola cuando la hipótesis alterna, H1, establece una
dirección, como:
H0: el ingreso medio de las mujeres es menor o igual al ingreso medio de
los hombres.
H1: el ingreso medio de las mujeres es mayor que el de los hombres.
112
Prueba de significancia de dos colas:
Una prueba es de dos colas cuando no se establece una dirección
específica de la hipótesis alterna H1, como:
H0:el ingreso medio de las mujeres es igual al ingreso medio de los
hombres
H1: el ingreso medio de las mujeres no es igual al ingreso medio de los
hombres.
E1: Un Fabricante de “Crispy”un nuevo alimento para el desayuno, esta
preocupando por el peso medio de cereales que se envasa en sus cajas.
Estas anuncian un peso neto de 36 onzas. Si el fabricante desea realizar
la prueba de hipótesis aun nivel de significancia del 5%. Si se elige al
azar una muestra de x = 37,6 onzas y una desviación estándar de S = 3
onzas. Determinar el sistema de hipótesis y realizar la prueba
Solución
u = 36 onzas
 = 5%
x = 37,6
S = 3 onzas
n = 100
Ho: u = 36
H1: u  36
Sabemos:
xCR  uH  ZSx
= 36  (1,96)(0,3)
= 36  0,588
35,41 hasta 36,59
95%
35,41
Rechazo
/2 = 0,025
uH=36 36,59
INTERPRETACIÓN.
Como la media muestral x = 37,6 la cual está sobre 36,59; entonces se
rechaza la hipótesis nula. Es improbable que u = 36, soló hay una
probabilidad del 2,5% de que una muestra diera un media mayor que
36,59.
TALLER 13
ACTIVIDAD APLICATIVA – AUTOEVALUACIÓN
E2: Un contador piensa que el número medio de días necesarios para
realizar un trabajo debe ser u = 27. Si la media es menor que 27, el
contador teme que el trabajo se ejecute con descuido de calidad,
mientras que una media por encima de 27 puede dar lugar a unos
gastos innecesarios. Se eligen al azar 50 trabajos con objeto de probar
(contrastar esta afirmación).
113
Se encuentra que la media es x =25,3 días, con una desviación estándar
S = 2,1 días. El contador desea probar (contrastar) la hipótesis con nivel
de significancia del 1% (99% de confianza). Determinar el sistema de
hipótesis y realizar la prueba. Si rechaza la Hipótesis nula, el contador
tendrá que volver a valorarel proceso de trabajo para garantizar que se
siguen procedimientos adecuados
Solución
u = 27
n = 50
x = 25,3
S = 2,1
 = 1%
Ho: u = 27
H1: u  27
Ho:0,99
26,23
Rechazo
/2 = 0,005
0,4950
uH=27
27,77
Z = 0,99:2 = 0,4950 = 2,58
E3. El Administrador de una comunidad informa a una empresa que para
construir un centro comercial el ingreso promedio por hogar es de $3000. si los
ingresos siguen distribución normal con S = $411.95, después de un previo
estudio, se encuentra que el ingreso promedio por hogar para una muestra
aleatoria de 15 hogares es $2910.pruebe la hipótesis con alfa = 5%
E4.
Si la vida útil de las focos de una marca específica es cuando menos
4200 hrs. La vida útil promedio para una muestra aleatoria de n = 10
focos es x  4000 hrs. con desviación estándar muestral S = 200hrs.
Si tiene vida útil D. normal – probar la hipótesis con alfa = 5%
Solución
n = 10
Ho:
 4200 hrs.
H1:
< 4200
tCRÍTICA (gl = 9, x = 0,05) = -1,833
Sx 
S
200 200


 63,3hrs.
n
10 3.16
 CAL 
x   0 4000  4200

 3,16
Sx
63.3
HO
Acepta
HI
114
tCAL = -3,16 tCRITICO = -1,833
Interpretación: Se rechaza Ho, se acepta H1 de que 1< 4200
LA PRUEBA ESTADÍSTICA DE JI – CUADRADA
PRUEBAS PARA LA INDEPENDENCIA DE DOS VARIABLES
CATEGÓRICAS (PRUEBAS PARA TABLAS DE CONTINGENCIAS)
Las “pruebas de independencia” implican dos variables categóricas y lo que se
prueba es la suposición de que las variables son estadísticamente
independientes. Pero el problema que nos interesa es saber si las dos
variables son estadísticamente dependientes o que están relacionadas.
Como se trabaja con dos variables, se anotan las frecuencias observadas (f o) y
esperadas (fe) en una tabla de clasificación doble o Tabla de contingencias.
Mediante la expresión r x c se definen las dimensiones de este tipo de Tablas,
en donde r indica el número de renglones (filas) y c el número de columnas.
Pero la Ji – cuadrada nos permite también comparar dos atributos (variables)
para determinar si hay alguna relación entre ellos. Consideremos, por ejemplo,
que un especialista en marketing quisiera determinar si hay alguna conexión
entre los niveles de renta de los consumidores y su preferencia por el producto
que él vende. Este procedimiento implicaría comparar dos atributos: rentas y
preferencias. La comparación de dos atributos para determinar si son
independientes se realiza analizando la diferencia entre frecuencias
observadas reales y frecuencias esperadas.
El cálculo de la JI cuadrada (x2) para el análisis de una tabla de contingencia
también es fácil de hallarla e interpretarla usando el programa apropiado de
alguno de los paquetes estadísticos como el SAS, Minitab, SPSS y otros.
PRESENTACIÓN: EJEMPLO PARA SER APLICAD CON LA PRUEBA
ESTADISTICA DE JI-CUADRADA
EJEMPLO DEL TIPO 1: Este es un ejemplo del formato mas resumido de
una tabla de contingencia donde se consideran las dos variables, se trata
de una tabla de contingencia de 2 x 2.
CUADRO 1
A1
Jabón
B1
40
B2
60
100
A2
110
90
200
Total
150
150
300
Ingresos
Total
En el Cuadro 1
115
Observamos en los totales de las filas (renglones) y columnas que:
150 + 150 = 300 personas
100 + 200 = 300 Personas
100 tienen ingresos A1, y
200 tienen ingresos A2
También
150 usan jabón B1, y
150 usan jabón B2
Resultando:
CUADRO 2
Ingresos
Jabón
B1
B2
Total
A1
100
A2
200
Total
150
150
300
Investigando (Por encuesta, entrevista)
Se encontró que 40 de los 100 tienen renta A1 y jabón B1, entonces sin
necesidad de investigar se halla automáticamente que 100 – 40 – 60
Del mismo modo se determina los valores de 110 y 90
frfc
Utilizando
fe =
n
ygl = (r – 1 ) (c – 1)
Donde:
fe = Frecuencia esperada
fr = Es la frecuencia total de una fila determinada
fe = Es la frecuencia total de una columna determinada
gl = Grados de libertad
fe1 =
frfc 100 x150

 50
n
300
fe2 =
frfc 100 x150

 50
n
300
fe3 =
frfc 200 x150

 100
n
300
fe4 =
frfc 200 x150

 100
n
300
Obtenemos:
CUADRO 3
Ingresos
Jabón
Total
116
A1
B1
40 (50)
B2
60 (50)
100
A2
110 (100)
90 (100)
200
Total
150
150
300
PRUEBA DE HIPÓTESIS NULA DE INDEPENDENCIA PARA LOS DATOS
DE LA TABLA ANTERIOR UTILIZANDO UN NIVEL DE SIGNIFICANCIA DEL
5%
FORMULADE JI CUADRADA:
( f  fe )
X2 =  0
fe
Donde:
fe = Frecuencia esperada
f0 = Frecuencia observada
Hipótesis nula = H0 = No existe una relación estadísticamente significativa
entre los ingresos de una persona y la clase de jabón que
usa. Por tanto son independientes.
Hipótesis alterna: HA = Existe una relación estadísticamente significativa entre
los ingresos de una persona y la clase de jabón que usa por tanto son
dependientes.
gl = (r – 1) (c – 1) = (2 – 1 ) (2 – 1) = 1
( f  fe )
X2 =  0
fe
X2 =
(40  50) 2 (60  50) 2 110  100) 2 (90  100) 2



6
50
50
100
100
En la tabla de la Ji cuadrada (X2), y para un nivel de significancia de 5 por
ciento hallamos 3.841 entonces como la estadística de prueba de 6 excede el
valor crítico de 3.841. Por ello se rechaza la hipótesis Nula de independencia y
se concluye que existe una relación estadísticamente significativa entre
los ingresos de una persona y la clase de jabón que usa.
TALLER 14
ACTIVIDAD APLICATIVA AUTOEVALUACION
ESTIMACIONES CON INTERVALOS DE CONFIANZA – PRUEBA DE
HIPOTESIS
COMPLEMENTARIOS CON EL TALLER ANTERIOR.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL
UTILIZANDO LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
1. Un fabricante desea estimar el nivel mensual medio de producción de
su empresa, si toma una muestra de n = 100 y una media muestralde
117
x = 112 toneladas, con  = 50 toneladas y un intervalo de confianza
del 95%. Este promedio mensual será.
2. Si la media muestral es 42,5, construir un intervalo de confianza del
90% para la media poblacional si n = 81 y  = 15,3.
3. Con la información del problema anterior, construir un intervalo de
confianza del 99%. ¿Por qué es diferente?
4. Una muestra de 100 observaciones tiene una media de 16,3 ¿cuál
será el intervalo de confianza de 95% si = 3,7?
5. Construir el intervalo de confianza del 95% con la información del
problema anterior si ahora  = 5,7.
Explicar la diferencia.
6. Si la desviación estándar S de la vida útil de focos especiales es 500,
con distribución normal, para una muestra de n = 15, la vida útil
promedio x = 8900 hrs.
a) Constrúyase el intervalo de confianza del 95% para estimar la
media de la población y compare ese intervalo con la respuesta
que obtuvo en el problema E3 (a).
b) Constrúyase el intervalo de confianza del 90% para estimar la
media de la población y compare este intervalo con la respuesta
dada al problema E3(b).
7. El JaponésTaguchi inventó el concepto de función de pérdida de
calidad (FPC), que establece una relación directa entre el costo de la
calidad y la varianza del proceso de producción. IBM y otras
empresas norteamericanas han adoptado la enseñanza de Taguchi
para reducir costos sin disminuir la calidad del producto. Una muestra
de medidas de costo para nuevo coprocesador de IBM ha arrojado
una pérdida de 212,10 dólares con una desviación estándar de 57,10
dólares.
a) Construir e interpretar un intervalo de confianza del 99% si el
tamaño muestral era de 500 coprocesadores.
b) Construir e interpretar un intervalo de confianza del 99% si el
tamaño muestral era de 100.
c) Explicar por que el segundo intervalo es más extenso si el nivel de
confianza de los 2 es de 99%.
8. En una empresa constructora, un contrato establece que en un
determinado tipo de trabajo se debe gastar una media de 1150
dólares. Para ahorrar tiempo, el tribunal sólo convocó a los directores
de 12 agencias gubernamentales para declarar en relación con las
cuentas de gasto de la empresa. Si de las declaraciones se dedujo
una media de 1275 dólares y una desviación estándar de 325 dólares
118
¿apoyaría un intervalo de confianza del 95% la postura de la
empresa? (La cual fue causada por inflar los gastos de contratos de
construcción).
Las cuentas de los gastos siguen distribución normal.
PRUEBA DE HIPÓTESIS
9. Un auditor desea probar el supuesto de que el valor promedio de toda
las cuentas por cobrar en una empresa determinada es 260 000 soles,
tomando una muestra de n = 36 y calculando la media muestral, desea
rechazar el valor supuesto de 260 000 soles solo si la media muestral lo
contradice en forma clara, por lo que debe (darse el beneficio de la
duda) al valor hipotético en el procedimiento de prueba. Hallar las
hipótesis nula y alternativa para esta prueba.
10.Con referencia al problema 9, determinar los valores críticos de la
media muestral para probar la hipótesis con un nivel de significancia del
5%. Sabiendo que a la desviación estándar de las cuentas por cobrar es
 = 43 000.
11.Con referencia a los 2 problemas anteriores suponga que la x = 240
000.
Determine si se debe aceptar o rechazar la hipótesis nula.
12 Con referencia a los problemas anteriores partimos de la hipótesis
nula que la media de todas las cuentas por cobrar es de cuando menos
260 000 soles, probar la hipótesis con un nivel de significancia del 5%.
119
APENDICE II: DISTRIBUCION BINOMIAL
120
APENDICE II: DISTRIBUCION BINOMIAL (CONT)
121
122
APENDICE II: DISTRIBUCION BINOMIAL (CONT)
123
APENDICE II: DISTRIBUCION BINOMIAL (CONT)
124
APENDICE II: DISTRIBUCION BINOMIAL (CONT)
125
APENDICE II: DISTRIBUCION BINOMIAL (CONT)
126
APENDICE IV: DISTRIBUCION DE POISSON
127
APENDICE IV: DISTRIBUCION DE POISSON
128
APENDICE IV: DISTRIBUCION DE POISSON (CONT)
129
DISTRIBUCION DE POISSON (CONT)
130
APENDICE IV: DISTRIBUCION DE POISSON (CONT)
131
APENDICE IV: DISTRIBUCION DE POISSON (CONT)
132
APENDICE V: DISTRIBUCION NORMAL
133
APENDICE VI DISTRIBUCION t DE STUDENT
134
EJERCICIOS Y PROBLEMAS ADICIONALES
Aproximaciones.
0.9845
3.9855
1,445
aproximar a milésimos:………………………..
aproximar a milésimos:………………………..
aproximar a centenas con un decimal:…………
El Número de habitantes de cada una de 40 viviendas son:
5, 6, 1, 7, 3, 1, 4, 8, 2, 3,5,7,1,3,4,5,6,8,3,4,5,2,5,4
6,7,2,3,5,4,6,4,3,2,6,4,3,4,5,6.
Determinar su media aritmètica, su mediana y su moda.
3. Para la siguiente distribución
CLASES
(Alturas cm.)
118-127
128-137
138- 147
148-157
158-167
168-177
178-187
FRECUENCIAS f
(Nº Niños)
4
7
16
19
5
6
3
Determine: a) Los límites reales de clase.
b) Las frecuencias acumuladas relativas porcentuales.
c) La clase media
d) La curva de frecuencia acumuladas menor o igual.
4. Para la distribución de frecuencia de la pregunta 3 determine:
a) La media aritmetica.
b) El decil 9.
5.- En la tabla se enlistan los tiempos requeridos para la conclusiòn de una
tarea de ensamble para una muestra de 30 empleados que presentaron su
solicitud de ascenso a un puesto de ensamble de preciciòn . Supongamos que
nos interesa organizar estos datos en cinco clases de igual tamaño. Determine
el tamaño del intervalo correspondiente, redondeando el intervalo a enteros y
elabore la distribución de frecuencias para toda las clases y fijando en 9
minutos el limite nominal inferior de la primera clase.
135
136
Tiempos de ensamble de 30 empleados, en minutos
10 14 15 13 17 16 12 14 11 13 15 18 9 14 14 9 15 11
13 11 12 10 17 16 12 11 16 12 14 15.
6.- Elabore una distribución de frecuencias acumuladas, con la distribución
obtenida en la pregunta 1, empleando limistes exactos para identificar cada
clase e incluya en la tabla tanto frecuencias acumuladas como porcentajes
acumulados y trace la ojiva de porcentajes acumulados y determine:
a)¿En que punto percentil se encontraría un tiempo de ensamblé de 15
minutos?
b)¿Cuál es el tiempo de ensamble de 20º Percentil de la distribución?
7.- Un experto en normas laborales observa, en una muestra, la cantidad de
tiempo requerida para la elaboración de 10 cartas comerciales en una oficina,
con los siguientes resultados, enlistados en orden ascendente de acuerdo con
el minuto mas cercano: 5, 5, 5, 7, 9, 14, 15, 15, 16, 18. Determine a) Rango, b)
El Rango del 70% central y c) La desviación media.
8.- Con la distribución obtenida en la pregunta 1. Determine la media y la
varianza.
9.- Con distribución obtenida en la pregunta 1 determine la coeficiente de
asimetría de Pearson
10.- Los pesos en libras de 40 estudiantes están en la distribución:
CLASES
118 – 126
127 – 135
136 – 144
145 – 156
154 – 162
163 – 171
172 – 180
Determine:
f
3
5
9
12
5
4
2
a) La desviación estándar
b) El coeficiente de variación
11.- Se tienen las Siguientes notas de 38 estudiantes:
1
5
1
0
1
7
1
5
1
4
1
3
0
8
1
2
1
0
0
9
1
5
1
6
1
3
1
2
1
8
0
9
1
1
1
0
0
9
0
8
1
2
1
1
1
5
1
4
1
7
1
6
1
0
1
3
1
7
1
2
1
0
2
0
0
5
0
8
1
9
1
2
137
0
8
1
0
Programe por MINITAB:
a) La construcciòn de un histograma
b) El calculo de la mediana
12.- de 50 focos, la probabilidad de que haya al menos uno quemado es 0.06;
de que al menos dos focos estén quemados es 0.02. Determina la probabilidad
de que:
a) Ningún foco quemado
b) Exactamente dos focos quemados
13.-La ventas por hora de una maquina automática pueden ser de 5, 8, 11, 13,
15 o 20
Gaseosas de ½ litro con las probabilidades de 0.4, 0.3, 0.1, 0.1, 0.005, 0.05
Respectivamente. Determine la venta esperada a liquidar de las 14:00 horas a
las 22:00 horas.
14.- Debido a la elevada tasa de interés, una empresa reporta que el 20% de
sus cuentas por cobrar están vencidas. Si un contador toma una muestra
aleatoria de 6 de estas cuentas. Determine la probabilidad de cada uno de los
siguientes eventos con la distribución Binomial:
a) Exactamente 3 cuentas están vencidas
b) Exactamente el 100% de las cuentas están vencidas
15.- Se ha determinado que el número de clientes que llegan cada hora a una
tienda tiene la distribución de probabilidad que se muestra en la tabla:
Numero clientes X 0
Probabilidad P(X)
1
2
3
4
5
6
0.03 0.07 0.10 0.15 0.25 0.20 0.20
Calcule el número de clientes esperando promedio que llegue a la tienda por
hora.
16.- El promedio anual de incendios grandes es una ciudad es de 8. Utilice la
distribución de Posición para determinar la probabilidad de que haya
exactamente dos incendios grandes en un periodo de tres meses.
17.-Las remuneraciones de los trabajadores de una empresa se distribuyen
normalmente, con una media de S/1250.00 mensual y una desviación
estándar de S/150.00. Determine que porcentaje de los trabajadores que tienen
sus remuneraciones entre S/900.00 y S/1500.00 mensuales.
18.- Durante una semana determinada, se estima que la probabilidad de que el
precio de una acción especifica aumente0 es 0.30, permanezca sin cambios es
0.20 y se reduzca es 0.50.
a) Determina la probabilidad de que el precio de la acción
aumente o permanezca sin cambio.
138
b) Determina la probabilidad de que el precio de acción cambie
durante la semana.
19.- El diámetro medio interior de una muestra de 300 tubos producidos por
una fabrica es de 0.530 pulgadas y la desviación estándar es de0.0005
pulgadas. El uso de los tubos permitirá una tolerancia de 0.522 a 0.538
pulgadas; de otro moto se considera defectuosos. Determina el porcentaje de
tubos defectuosos suponiendo que los tubos producidos se distribuyen
normalmente.
20.- En unas elecciones, una de los candidatos obtuvo el 45 % de los votos.
Halla la probabilidad de que en un muestreo de 300 votantes elegidos al azar,
saliera mayoria a su favor.
21.- Con referencia a la siguiente tabla determina la probabilidad que una
familia elegida al azar tenga ingresos,
a) Entre S/. 23000 y S/. 29999
b) Menores S/. 39999.5
Categoría
Ingreso anual de
Familias
Rango de Ingreso
1
2
3
4
5
Menor de S/. 1800
S/. 1800 – S/. 22999
S/. 23000 – S/. 29999
S/. 33000 – S/. 39999
S/. 40000 y mas
500
Numero
Familia
60
100
160
140
40
de
22.- Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción negativa ante
una inyección de cierto suero es 0.002.
¿Halla la probabilidad de entre 3000 individuos, más de 3 de ellos sufran
reacciones negativas, suponiendo una distribución de poisson?
23.-Las lámparas que fabrica cierta empresa tiene una vida media de 1500
horas y una desviación estándar de 100 horas.
¿Halla la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 lámparas tenga una
vida media entre 1450 y 1600 horas?
24.- ¿Cual es la probabilidad de que un elemento elegido entre un inventario de
cinescopios tenga una vida en almacén entre 3 y 9 semanas? Se sabe que las
vidas siguen una distribución normal con una media de 5 semanas y una
desviación estándar de 3 semanas.
25.- La distribución normal del peso de los estudiantes de una universidad es
en promedio 65 Kg., con una desviación estándar de 5 Kg.
¿Determina los pesos límites del 90 % central alrededor del peso promedio?
139
26.- en un Bufete de abogados hay 6 socios. A continuación se indica el
numero de casos que cada miembro llevo a la corta en el mes pasado.
Números de
Casos
Socios
Ruud
Austin
Sass
Palmer
Wilhelms
Schueller
3
6
3
3
0
1
a) Determina la media y el error estándar poblacionales.
b) Determina la distribución de muestreo de medias de tamaño 2,
el valor medio y error estándar de las medias muéstrales.
27.- Suponiendo que usted en un agente de compras de un supermercado y
que toma una muestra aleatoria de 12 alubias en una planta envasadora. el
peso neto de las alubias al vació de cada lata aparece en la tabla. Determine:
a) El peso neto medio de las alubias envasadas en cada lata de
esta muestra.
b) La desviación estándar de la muestra.
c) Suponiendo que los pesos netos por lata tiene una distribución
normal, estime el peso medio por lata de alubias envasadas
con un intervalo de confianza de 90 %.
Onzas por latas
Números de latas
15.7
1
15.8 15.9
2
2
16.0
3
16.1
3
16.2
1
28.- Un contador piensa que el número medio de días necesarios para realizar
un trabajo debe ser U = 27 si la media es menor que 27, el contador teme que
l trabajo se ejecuta con descuido de calidad, mientras que una media por
encima de 27 puede dar lugar a unos gastos innecesarios.
Se Eligio al azar 50 trabajos con objeto de probar (contrastar esta afirmación).
Se encuentra que la media es x = 26.7 días, con una desviación estándar S
=2.1 días, el contador desea probar (contraste) la hipótesis con nivel de
significancia de 10% (90% de confianza). Determina el sistema de hipótesis y
realizar la prueba. Si rechaza la hipótesis nula, el contador tendrá que volver a
valorar el proceso de trabajo para garantizar que se siguen procedimientos
adecuados.
140
APLICACIÓN CON EL PROGRAMA DE MINITAB
DISTRIBUCION NORMAL
1. Un contador quiere saber el porcentaje de los costos de los insumos que
tiene una empresa en el proceso de producción. El costo promedio esta
estimado en $ 26234 dólares anuales. Suponga que se aplica una
distribución a los costos y que la desviación estándar es de $ 5000
dólares. ¿Cuál es el porcentaje que se obtiene al tener costos
mayores a $ 3500 dólares?
 Abrir el Minitab. Clic en Graph (Grafica).
 Colocarse
en
el
siguiente
Menú
y
opción:
GraphProbabilityDistributionPlot (Grafica de distribución de
Probabilidad).
 Se despliega la ventana de ProbabilityDistributionPlots (parcelas de
distribución de probabilidad).
 Clic en View Probability (ver probabilidad).
 Clic en Ok.
 Seleccionar Distribucion Normal
 Introducir los valores de la Media (mean), en este caso la Media es
de $ 26234 dólares
 Y la desviación estándar (Standarddesviation), este caso la
desviación estándar es de $ 5000 dólares.
 Al introducir estos datos tanto la Media y la desviación estándar se
desplego una grafica.
Gráfica de distribución
Normal, Media=26234, Desv.Est.=5000
0.00009
0.00008
0.00007
Densidad
0.00006
0.00005
0.00004
0.00003
0.00002
0.00001
0.00000
0.05
26234
X
34458
 Double-click en Shaded Area (area sombreada).
 SelccionarXvalue (valor X), además hacer clic en “cola a la” y
proporcionar los valor de X, es decir $ 35000dólares.
 Clic en Ok.
141
 Minitab despliega la grafica de la distribución normal con el
valor de la probabilidad sombreado. En este caso la grafica
muestra que la probabilidad es 0.03978 ó 3.978%
Gráfica de distribución
Normal, Media=26234, Desv.Est.=5000
0.00009
0.00008
0.00007
Densidad
0.00006
0.00005
0.00004
0.00003
0.00002
0.00001
0.00000
0.03978
26234
X
35000
2. Un contador quiere saber el porcentaje de los costos de los insumos que
tiene una empresa en el proceso de producción. El costo promedio esta
estimado en $ 26234 dólares anuales. Suponga que se aplica una
distribución a los costos y que la desviación estándar es de $ 5000
dólares.
 Abrir el Minitab. Clic en Graph (Grafica).
 Colocarse
en
el
siguiente
Menú
y
opción:
GraphProbabilityDistributionPlot (Grafica de distribución de
Probabilidad).
 Se despliega la ventana de ProbabilityDistributionPlots (parcelas
de distribución de probabilidad).
 Clic en View Probability (ver probabilidad).
 Clic en Ok.
 Seleccionar Distribución Normal.
 Introducir los valores de la Media (mean), en este caso la Media
es de $ 26234 dólares
 Y la desviación estándar (Standard desviation), este caso la
desviación estándar es de $ 5000 dólares.
 Al introducir estos datos tanto la Media y la desviación estándar
se desplego una gráfica.
142
Gráfica de distribución
Normal, Media=26234, Desv.Est.=5000
0.00009
0.00008
0.00007
Densidad
0.00006
0.00005
0.00004
0.00003
0.00002
0.00001
0.03978
0.00000
26234
X
35000
 Double-click en Shaded Area (area sombreada).
 SelccionarXvalue (valor X), además hacer clic en “cola a la” y
proporcionar los valor de X, es decir $ 20000 dólares.
 Clic en Ok.
 Minitab despliega la grafica de la distribución normal con el valor
de la probabilidad sombreado. En este caso la grafica muestra
que la probabilidad es 0.1062 ó 10.62%
Gráfica de distribución
Normal, Media=26234, Desv.Est.=5000
0.00009
0.00008
0.00007
Densidad
0.00006
0.00005
0.00004
0.00003
0.00002
0.00001
0.00000
0.1062
20000
26234
X
3. El área de contabilidad de una empresa tiene registrada $25000 dólares
en promedio de cuentas por cobrar con una desviación estándar de
$3000 dólares. Suponga que se hace distribución normal. ¿Cuál es la
probabilidad por lo menos cobre $30000 dólares de las cuentas por
cobrar?
143
 Abrir el Minitab. Clic en Graph (Grafica).
 Colocarse
en
el
siguiente
Menú
y
opción:
GraphProbabilityDistributionPlot (Grafica de distribución de
Probabilidad).
 Se despliega la ventana de ProbabilityDistributionPlots (parcelas de
distribución de probabilidad).
 Clic en View Probability (ver probabilidad).
 Clic en Ok.
 Seleccionar Distribución Normal
 Introducir los valores de la Media (mean), en este caso la Media es
de $ 25000 dólares
 Y la desviación estándar (Standard desviation), este caso la
desviación estándar es de $ 3000 dólares.
 Al introducir estos datos tanto la Media y la desviación estándar se
desplego una grafica.
Gráfica de distribución
Normal, Media=25000, Desv.Est.=3000
0.00014
0.00012
Densidad
0.00010
0.00008
0.00006
0.00004
0.00002
0.00000
0.05
25000
X
29935
 DobleClic en Shaded Area (áreasombreada).
 SelccionarXvalue (valor X), además hacer clic en “cola a la” y
proporcionar los valor de X, es decir $ 30000 dólares.
 Clic en Ok.
 Minitab despliega la grafica de la distribución normal con el valor
de la probabilidad sombreado. En este caso la grafica muestra
que la probabilidad es0.04779 ó 4.779%
144
Gráfica de distribución
Normal, Media=25000, Desv.Est.=3000
0.00014
0.00012
Densidad
0.00010
0.00008
0.00006
0.00004
0.00002
0.00000
0.04779
25000
X
30000
4. El área de contabilidad de una empresa tiene registrada $25000 dólares
en promedio de cuentas por cobrar con una desviación estándar de
$3000 dólares. Suponga que se hace distribución normal. ¿Cuál es la
probabilidad de que cobre entre $25000 dólares y 27500 dólares de
las cuentas por cobrar?
 Abrir el Minitab. Clic en Graph (Grafica).
 Colocarse
en
el
siguiente
Menú
y
opción:
GraphProbabilityDistributionPlot (Grafica de distribución de
Probabilidad).
 Se despliega la ventana de ProbabilityDistributionPlots (parcelas
de distribución de probabilidad).
 Clic en View Probability (ver probabilidad).
 Clic en Ok.
 Seleccionar Distribución Normal
 Introducir los valores de la Media (mean), en este caso la Media
es de $ 25000 dólares Y la desviación estándar (Standard
desviation), este caso la desviación estándar es de $ 3000
dólares.
 Al introducir estos datos tanto la Media y la desviación estándar
se desplego una grafica.
145
Gráfica de distribución
Normal, Media=25000, Desv.Est.=3000
0.00014
0.00012
Densidad
0.00010
0.00008
0.00006
0.00004
0.00002
0.00000
0.05
25000
X
29935
 DobleClic en Shaded Area (áreasombreada).
 SelccionarXvalue (valor X), además hacer clic en middle (medio) y
proporcionar los valor de X1 y X2, es decir $25000 y $27500
dólares respectivamente.
 Clic en Ok.
 Minitab despliega la grafica de la distribución normal con el valor
de la probabilidad sombreado. En este caso la grafica muestra
que la probabilidad es 0.2977 ó 29.77%
Gráfica de distribución
Normal, Media=25000, Desv.Est.=3000
0.00014
0.2977
0.00012
Densidad
0.00010
0.00008
0.00006
0.00004
0.00002
0.00000
25000
X
27500
5. El monto de dinero que se les pide en las solicitudes de préstamos en
Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de
$70,000 y un desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió
146
una solicitud de préstamos. ¿Cuál es la probabilidad de que el monto
solicitado sea 80,000 o mayor?
𝜇 = 70,000
𝑧=
𝑥−𝜇
𝜎
𝜎 = 20,000
𝑝(𝑥 ≥ 80,000)
80,000−70,000
10,000
𝑧=
= 20,000 = 0,50 =La probabilidad acumulada es de 0,1915
20,000
𝑝(𝑥 ≥ 80,000) = 0.5000 − 0,1915 = 0,3085
Rpta: 𝑝(𝑥 ≥ 80,000)z=0,50 entonces por la tabla de distribución normal
es igual a 0,1915 de manera que 0,500-0,1915=0,3085 es la
probabilidad de que z sea mayor a 0,50 y por lo tanto de que x sea
mayor a 80,000.entonces 61,7% de los recibirá en prestamos
los$80,000.

Abrir el Minitab, y clic en Graph.

Colocarse en el siguiente menú y opción:
GraphProbabilityDistributionPlot
147

Se despliega la ventana de probalityDistributionPlots
Clic en View probability
Clic OK

SelccionarX Distributions normal
Introducir los valores de la media(Mean) y la desviación estándar
(standardderivation)
148

Clic en ShadedArea
Seleccionar x vakue, clic en Middle. y proporcional los valores de x ₁ y x₂
Clic en OK

Minitab despliega la grafica de Minitab con el valor de la probabilidad
sombreada
Distribution Plot
Normal, Mean=70000, StDev=20000
0.000020
Density
0.000015
0.000010
0.000005
0.000000
0.3085
7000080000
X
6. Tel ComSatellite presta servicios de comunicación a los negocios del
area metropolitana de Chicago los funcionarios de la compañía han
aprendido que la transmisión satélite promedio es de 150 segundos,
con la desviación estándar de 15 segundos los tiempos parecen estar
distribuidos normalmente.
Para estimar de manera apropiada la demanda del cliente por sus
servicios y establecer una estructura de tarifa que maximice la
utilidades corporativas. TelCom debe determinar que tan probable es
que algunas llamadas se presentan. El director de servicios desea que
usted proporcione estimados de la probabilidad de que una llamada
dure entre 125 y 150 segundos.
Resolución
149
𝜇 = 150 Segundos
𝜎 = 15 Segundos
𝑝(125 ≥ 𝑥 ≥ 150)
125−150
𝑍=
=-1,67
15
Rpta : 𝑝(125 ≤ 𝑥 ≤ 150)Z=-1,67 pero por la tabla de distribución
da una área de 0,4525. Por tanto la probabilidad de que una
transmisión dure entre 125 y 150 segundos es 45,25%
Solucion utilizando programa minitab 16

Abrir el Minitab,y clic en Graph.

Colocarse en el siguiente menú y opción:
GraphProbabilityDistributionPlot
150

Se despliega la ventana de probalityDistributionPlots
Clic en View probability
Clic OK

SelecionarDistribucion normal
Introducer los valores de la media(Mean) y la desviaciones andar
(standardderivation)

Clic en ShadedArea
Seleccionar x vakue, clic en Middle. y proporcional los valores de x ₁ y x₂
Clic en OK
151

Minitab despliega la grafica de minitab con el valor de la probabilidad
sombreada
Distribution Plot
Normal, Mean=150, StDev=15
0.030
0.025
Density
0.020
0.4522
0.015
0.010
0.005
0.000
125
150
X
7. La compañía Grear Tire Company ha fabricado un nuevo neumático
que será vendido por una cadena nacional de tiendas de descuento.
Como este neumático es un producto nuevo, los directivos de Grear
piensan que la garantía de duración será un factor importante en la
aceptación de neumático. Antes de finalizar la póliza de garantía, los
directivos necesitan información probabilística acerca de x=duración
del neumático en numero de millas.
De acuerdo con las pruebas realizadas al neumático. Los ingenieros de
Grear estiman que la duración media en millas es 𝜇 = 36500 millas y que
las desviaciones estándar es 𝜎 = 5000. Además, los datos recogidos
indican que es razonable suponer una distribución normal. ¿Qué porcentaje
de los neumáticos se espera que duren más de 40000 millas?
Solución
𝜇 = 36500 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝜎 = 5000 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑝(𝑥 ≥ 40000)
Para que x=40000, se tiene
𝑥 − 𝜇 40000 − 36500 3500
𝑧=
=
=
= 0,70
𝜎
5000
5000
152
Rpta:𝑝(𝑥 ≥ 40000),z=0,70 entonces por la tabla de distribución normal es
igual a 0,7580 de manera que 1000-0,7580=0,2420 es la probabilidad de
que z sea mayor a 0,70 y por lo tanto de que x sea mayor a
40000.entonces 24,2% de los neumáticos durara más de 40000 millas.
Solución utilizado el programa minitab 16

Abrir el Minitab,y clic en Graph.

Colocarse en el siguiente menú y opción:
GraphProbabilityDistributionPlot
153

Se despliega la ventana de probalityDistributionPlots
Clic en View probability
Clic OK

SelecionarDistribucion normal
Introducir los valores de la media(Mean) y la desviación estándar
(standardderivation)

Clic en ShadedArea
Seleccionar x vakue, clic en ightTail.y proporcional los valores de x
Clic en OK

Minitab despliega la grafica de minitab con el valor de la probabilidad
sombreada
154
Distribution Plot
Normal, Mean=36500, StDev=5000
0.00009
0.00008
0.00007
Density
0.00006
0.00005
0.00004
0.00003
0.00002
0.2420
0.00001
0.00000
36500 40000
X
DISTRIBUCION MUESTRAL
1. Un asistente contable necesita conocer la probabilidad de que la media
muestral de los precios de carpetas sea mayor que 10.5 soles,
considerando que el tamaño muestral es 25 y la población es de 2000.
Sabiendo que los precios se distribuyen (poblacionalmente) con u = 10
soles con una desviación estándar poblacional de  = 1.5 soles.
Solución
La media muestral se distribuye con media=10 y desviación= 1.5/5= 0.3
(formula)
Grafica
Gráfica de distribución de probabilidad
Ver probabilidad
Media 10, desviación 0.3
Área sombreada. Valor de x
Cola derecha
Escribir 10.5
Aceptar
Respuesta: 0.04779= 4.779%
155
Gráfica de distribución
Normal, Media=10, Desv.Est.=0.3
1.4
1.2
Densidad
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.04779
0.0
10
X
10.5
2. Un supervisor necesita evaluar si los productos terminados no presentan
defectos en el momento de llevarlos al inventario. Él sabe que el
porcentaje de fallas se distribuye normalmente con media 5 y desviación
de 1 (ambos en porcentajes). Determine la probabilidad que una
muestra recogida al azar de los inventarios presente en promedio menos
del 4.5% de defectos, sabiendo que la muestra que se desea vender es
de tamaño 16 y que la población en el inventario es de 10000 productos.
Solución
La media muestral se distribuye con media=5 y desviación= 1/4= 0.25
(formula)
Grafica
Gráfica de distribución de probabilidad
Ver probabilidad
Media 5, desviación 0.25
Área sombreada. Valor de x
Cola izquierda
Escribir 4.5
Aceptar
Respuesta: 0.02275= 2.75%
156
Gráfica de distribución
Normal, Media=5, Desv.Est.=0.25
1.8
1.6
1.4
Densidad
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.02275
4.5
5
X
3. Un analista de crediticio desea conocer la situación financiera de un
grupo de potenciales clientes. Sabe que el promedio de ingresos de la
población es de 2000 soles y se tiene una desviación de salarios de 600
soles. Determine la probabilidad de que el salario promedio de un grupo
de 36 personas escogidas al azar de toda la población (N= 1000 000)
sea superior a 2100 soles.
Solución
La media muestral se distribuye con media=2000 y desviación= 600/6=
100 (formula)
Grafica
Gráfica de distribución de probabilidad
Ver probabilidad
Media 2000, desviación 100
Área sombreada. Valor de x
Cola derecha
Escribir 2100
Aceptar
Respuesta: 0.1587= 15.87%
157
Gráfica de distribución
Normal, Media=2000, Desv.Est.=100
0.004
Densidad
0.003
0.002
0.001
0.1587
0.000
2000
X
2100
4. La empresa ABC recoge información acerca de sus clientes y determina
que en conjunto el volumen de ventas presenta un valor promedio de
4000 soles y una desviación de 2400 soles y el número total de clientes
es de 4000. Sin embargo, en un incendio se quemó mucha
documentación y solo se pudo recoger esa información, un asistente
contable necesita determinar cuál es la probabilidad de que las ventas
promedio hechas a 100 clientes escogidos al azar esté entre 3900 y
4200 soles.
Solución
La media muestral se distribuye con media=4000 y desviación=
2400/10= 240 (formula)
Grafica
Gráfica de distribución de probabilidad
Ver probabilidad
Media 4000, desviación 240
Área sombreada. Valor de x
Centro
Escribir 3900 4200
Aceptar
Respuesta: 0.4592= 45.92%
158
Gráfica de distribución
Normal, Media=4000, Desv.Est.=240
0.0018
0.4592
0.0016
0.0014
Densidad
0.0012
0.0010
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0.0000
39004000
X
4200
5. Un estudio determinó que el promedio de los activos de un grupo de
empresas que listan en la Bolsa de Valores de Lima asciende a 45
millones de soles con una desviación de 9 millones. Se sabe que hay
169 empresas que listan en bolsa, determine la probabilidad que el
promedio de los activos de una muestra de tamaño 25 esté entre 42 y
44.5 millones.
Solución
La media muestral se distribuye con media=45 y desviación= (9/raíz
(25))* raíz ((169-25)/(169-1))= 1.667 (formula con factor de corrección)
Grafica
Gráfica de distribución de probabilidad
Ver probabilidad
Media 45, desviación 1.667
Área sombreada. Valor de x
Centro
Escribir 42 44.5
Aceptar
Respuesta: 0.3462= 34.62%
159
Gráfica de distribución
Normal, Media=45, Desv.Est.=1.667
0.25
Densidad
0.20
0.15
0.3462
0.10
0.05
0.00
42
44.545
X
6. Una empresa de contadores auditores realiza estudios de investigación
,con una duración media de 520 horas(desde el inicio hasta culminar
dichos estudios),si están distribuidos normalmente con una desviación
estándar de 37 horas ¿Cuál es la de que un estudio elegido al azar
requiera entre 520 a 570 horas para completarlo ?
 Abrir el minitab – click en graph
 Colocarse en el siguiente Menú y opción :graphprobability
distributionplot
 Tenemos la ventana de probabilitydistributionplots
- Click view probability
- Clik en ok
160
 Seleccionar Distribución Normal
- Introducir los valores de la media (mean)
- Introducir la desviación estándar
Gráfica de distribución
Normal, Media=520, Desv.Est.=37
0.012
0.010
Densidad
0.008
0.006
0.004
0.002
0.05
0.000

520
X
580.9
Click en shaded área
-Seleccionar X value
-Click en centro
-Click en middle y proporcionar los valores de X1 Y X2
- Click en OK

En minitab se despliega la grafica de la distribución normal con el valor
de la probabilidad sombreada
161

Obtemos la probabilidad
162
FUENTES DE INFORMACIÓN
Básica
1. - Anderson, D., Sweeney, D. y Willians, T. (2008). Estadística para
administración y economía (10a. ed.). México: Thomson Learning.
2.- Berenson, M.yLevine. D. (1991). Estadística para administración y
economía: conceptos y aplicación. México: McGraw-Hill.
3.- Kazmier,L. (2006). Estadística aplicada a la administración y a la economía
(4a. ed.). México: McGraw-HiIl.
4.- Levine, R. (2004). Estadística para administración y economía(7a. ed.).
México: Pearson Educación.
Complementaria
5.- Anderson, D., Sweeney y D., Willians,T. (2009). Estadística para
administración y economía. México: Thomson.
6.- Arnaldos, F. (2003). Estadística descriptiva: para economía y administración
de empresas. Madrid: Thomson Editores.
7.-Avila, R. (2000). Estadística elemental. Lima: RA.
8.-Kohler, H. (1996). Estadística para negocios y economía, México:
Continental.
9.-Martínez, C. (2002). Estadística y muestreo. Bogotá: ECOE.
10.- Romero, F. (2000). Estadística para ti: aplicada a la investigación. Lima:
(s.n.).
11.- Spiegel, R. (2009).Estadística (4a. ed.). México: McGarw-Hill.
12.- Webster , A. (2000). Estadística aplicada a los negocios y la economía.
Bogotá: McGraw-Hill.
FUENTES ELECTRONICAS:
Curso virtual: estadística (s.f.), de http://www.iific.edu.pe/
SOFTWARE ESPECIALIZADO:
MINITAB - SPSS – EXCEL
LIBROS CUYA COMPRA SE ESTÀ SOLICITANDO A LA USMP:
1.-Fadil, Z. (2004).
Interamericano
Estadística
general
aplicada.:
Fondo
Educativo
2.-Hanke, J. y Reitsch, A. (2004). Estadística para negocios. Madrid: McGrawHill
3.-Levin, R. y Rubin, D. (2004). Estadística para administración y economía (7a.
ed.) México: Pearson Educación
163