Polinomios I

Matemática 3° Sec
FICHA DE TRABAJO Nº 5
Nombre
Bimestre
Ciclo
Tema
Nº orden
II
III
3ºgrado - sección
A
Fecha:
- 05 - 12
Área
POLINOMIOS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es un conjunto de letras y números donde las variables están
relacionadas con cualquiera de las 6 operaciones aritméticas
(+; –; ; ; ( )n;
); en un número limitado de veces.
n
Ejemplos:
P(x)  x3 – 2x 
3
x
, P(x;y) 
2xy  3x
y –1
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es una expresión algebraica donde no están presentes las
operaciones de adición y sustracción.
B
C
Matemática
D
TÉRMINOS SEMEJANTES
Dos o más monomios son semejantes o bien son términos
semejantes, cuando presentan la misma parte literal, es decir se
diferencian solo por el coeficiente.
Ejemplo:
P(x; y) = 4x2y7 ; Q(x; y) = –2x2y7 ; R(x; y) = –y7x2
POLINOMIO
Un polinomio es una expresión algebraica en la cual los
exponentes de sus variables son números naturales (enteros no
negativos).
GRADO DE UN MONOMIO
1. Grado Relativo:
Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el
exponente que afecta a dicha variable.
Profesor: Javier Trigoso
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Ejemplo:
Sea P(x; y; z) = 12x5y3z
GR(x) = 5
GR(y) = 3
GR(z) = 1
2. Grado Absoluto:
Es la suma de los grados relativos.
Ejemplo:
Sea R(x; y; z) = 2x4y5z3
GA = 12
GRADOS DE UN POLINOMIO
1. Grado Relativo:
Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el
valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada
término.
Ejemplo:
Sea P(x; y) = 3x3y5 – 7x2y9 + 5x7
GR(x) = 7
GR(y) = 9
2. Grado Absoluto:
O grado del polinomio, es el mayor de los grados absolutos de
cada término.
Ejemplo:
Sea P(x; y) = 2x2y3 – 7x6y + 4x4y4
GA = 8
Profesor: Javier Trigoso
POLINOMIOS ESPECIALES
1. Polinomio Homogéneo
Es aquel en el que todos sus términos tienen igual grado.
Ejemplo:
P(x; y; z) = x3y2 – x5 + x2yz2
Es un homogéneo de grado 5.
2. Polinomio Ordenado
Un polinomio será ordenado con respecto a una de sus variables,
si los exponentes de dicha variable están aumentando o
disminuyendo según sea el orden ascendente o descendente.
Ejemplos:
P(x) = x5– 2x3 + 7x
Está ordenado descendentemente con respecto a x.
P(x; y) = x4y7 – x8y10 + x5y24
Está ordenado ascendentemente con respecto a y.
3. Polinomio Completo
Un polinomio será completo con respecto a una de sus variables
si contiene todos los elementos de dicha variable desde el mayor
hasta el cero inclusive.
Ejemplos:
P(x) = 3x – 1 + x3 + 5x2
Es completo con respecto a x.
P(x; y) = xy8 – y8 + x3y7 + x2y8
Es completo con respecto a x.
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Propiedad:
En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de
términos es equivalente al grado aumentado en uno. Es decir:
Número de términos = Grado + 1
Ejemplo:
P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2
Como es completo  número de términos = 6
VALOR NUMÉRICO (V.N.)
Es el valor que se obtiene en una expresión algebraica al realizar
las operaciones que en ella se indica, luego de haber asignado a
sus variables, valores determinados.
En particular deberemos recordar:
 Término independiente: (T. I.)
T. I. (P) = P(0)
4. Polinomios Idénticos
Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico
para cualquier valor asignado a sus variables. En dos polinomios
idénticos los coeficientes de sus términos semejantes son
iguales.
Ejemplo: P(x; y) = ax + by + cz Ξ Q(x; y) = 8x + 2x – 5y
Entonces: a = 8; b = –5, c = 2
 Suma de coeficientes ( coef.)
5. Polinomio Idénticamente Nulo
Un polinomio será idénticamente nulo, cuando al ordenarlo y
reducirlo, sus coeficiente son iguales a cero.
Ejemplo: P(x; y; z) = ax + by + cz
Entonces: a = 0; b = 0; c = 0
01.
Halla el grado de la expresión M(x) = 3a4x7y2z
A) 14
B) 7
C) 10
D) 11
6. Polinomio Mónico
Es aquel cuyo coeficiente principal es 1
Ejemplo: P(x) = x2 + 3x + 1
Es mónico porque el coeficiente de x2 es igual a 1
Profesor: Javier Trigoso
 coef. (P) = P(1)
PARA LA CASA:
02.
Halla el grado de: P(x; y) = 5abxm+3 y2m+1 zm+3
A) 3m + 4
B) m + 3
d) 4m + 7
e) 2m + 1
03.
Halla el grado de: P(x;y;z) = 3x5y7z6
A) 18
B) 15
C) 7
D) 6
E) N.A.
C) m
E) 5
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04.
Halla el valor de “b” para que el grado del monomio:
M(x; y) = 13abx3b+3y2 sea 20
A) 5
B) 8
C) 10
D) 3
E) 12
10.
05.
A) 3
Dado el monomio: M(x;y)  4mn x2m3n y5n m , se sabe que:
GA (M) = 10 y GR(x) = 7. Señala su coeficiente
A) 2
B) 4
C) 8
D) 64
06.
A) 24
E) 16
C) 19
D) 21
E) 23
07.
Halla el valor de n si el término algebraico
M(x;y;z)  7xn 3 y5zn 2 es de grado 12.
A) 1
08.
B) 2
C) 3
Si el siguiente monomio M(x;y;z)  9x y z
G.R.(y) = 16 y G.A. = 20, halla “m . n”
A) 5
B) 20
C) 12
n
D) 10
11.
B) 5
C) 6
D) 4
Calcula el valor de “m – n” en el monomio:
3
xmn .yn 6
2
x 3 .y1–n
si es de 2do grado respecto a “x” y de 7mo grado absoluto.
A) 5
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
Si los polinomios P(x) y Q(x) son idénticos:
P(x)  a  x  1   b  x – 2   2
mn
tiene
E) 24
Q(x)   x – 2  x  1    x  3 x  2 
Calcular: “a + b”
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
13. Si el polinomio
P(x; y)   m  n  x3 y5  3x5 y3 – 11x3 y5  n – m  x5 y3
idénticamente nulo. Calcula el valor de n . m
A) 12
B) 14
C) 16
D) 24
14.
E) 28
Si el polinomio: P(x;y)  7xa5 yb–1  2xa2 yb1 – xa3yb2
tiene GA = 16 y GR(x) = 12, halla a – b
A) 6
B) 2
C) 4
Profesor: Javier Trigoso
E) 1
2
1
Halla “m” en: M(x; y)    .9m.x3m 2n y5m–n , si su grado
2
absoluto es 20 y el grado relativo a x es 14.
A) 1
B) 2
C) 4
D) 3
E) 5
09.
, se reduce a un
2
E) 5
4n
–1
M(x; y;z)  m n x12 3 y2m .z m
12.
D) 4
3
m
monomio, halla el grado absoluto de la expresión:
M(x; y) 
Calcula el grado absoluto de:
P(x;y)  9x7 y12 – 3x9 y12  2x11 y13
B) 18
n
Si la expresión: M(x; y)  xn –1 .y26  x3 .ym
D) 5
E) 3
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15.
Si:

P(x; y)  3xm2 yn 1 x7  y2n 3
 es homogéneo y cuyo
grado de homogeneidad es 16, halla m . n
A) 12
B) 25
C) 15
D) 35
16.
E) 50
2 a 1
Halla a . b si el G.A. del monomio P(x; y)   a  b  x   y3b
es igual a 17, y su coeficiente tiene el mismo valor que el G.R. (x)
A) 3
B) 5
C) 15
D) 10
E) 25
3
2
17.
Si P(x) = x + ax – bx + c , y además se sabe que: P(0) = 5,
P(1) = 9, P(2) = 25, halla el valor de R = a.b.c
A) 15
B) 75
C) 225
D) 30
E) 0
18.
Calcula el grado de Q si se sabe que P es homogéneo y de
5to grado.


P(x; y;z)  x m1 yn 1  z m n

Q(x; y;z)  x m 1 yn 1  z m n
A) 4
19.
B) 5
Si:
C) 6

P(x; y)  x y
m
n –1
x

y
n
 x
n 1
y
m 3
–x
m n –1
 es de
20.
Halla “m + n + p” para que el polinomio:
P(x)  5an xm 10 – 4bm xm  p5  7cxn  p 6 sea completo y ordenado en
Profesor: Javier Trigoso
B) 36
C) 38
D) 40
E) 32
Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio

 
 

completo: P(x)  c x a  xb  a xb  xc  b x a  xc  abc
A) 6
22.
B) 12
C) 15


P(x)  4x3  3 5x7 – 3
de “n” será:
A) 7
23.
D) 18
E) 20
La suma de coeficientes del polinomio:
B) 8

n–4
  8x – 9 
10
C) 9
es 449, entonces el valor
D) 10
E) 11
Determina el valor de “m.p” si el polinomio:
P(x; y)  mx m2n y3  2nmx2m y2n –  xy 
A) 3
B) 9
Siendo:
p n
C) 18
es homogéneo.
D) 27
E) 36
P(x)  a  x – 1  x – 2   b  x – 1   c
E) 8
grado 15 y el grado relativo de “x” es igual al grado relativo a “y”.
Hallar: m – n.
A) 5
B) –3
C) 3
D) –4
E) 4
forma descendente.
21.
24.
D) 7
m–1
A) 34
Q(x)  x2 – 5x  1
Dos polinomios idénticos, encuentra el valor de: “a + b + c”
A) –1
B) –2
C) –3
D) –4
E) –5
25.
Dado el polinomio homogéneo:


2
P(x; y)  a2  1 x a
2
coeficientes.
A) 12
B) 20
y a   a – 1  x2a y a
2
C) 26
–2
. Halla la suma de sus
D) 30
E) 35
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