Institución Educativa “Virgen María” Av. Bolivia 752 – Breña 1.a Clase de Aritmética Para QUINTO DE SECUNDARIA Profesor: Juan Martín Capucho Huaman Fecha: 2 de abril de 2020 Concepto del Curso "Las matemáticas son (...) un juego, un juego maravilloso y poderoso: son lo que tienen que ser. Son el lenguaje que describe nuestro mundo, son una forma de razonar con lógica y elegancia. Son la forma de entender nuestro universo." La palabra "matemática" deriva del griego máthëma que significa "aprendizaje, conocimiento". Matemáticas es una ciencia formal que, partiendo de razonamiento lógico, estudia las entidades abstractas como números. Es la ciencia de la estructura, el orden y los patrones repetitivos que se basa en contar y medir cantidades. Mucha de la matemática que aprendemos actualmente en la escuela tiene como finalidad prepararnos para ser mejores ciudadanos, pues nos enseñan a pensar de forma razonada. En resumen, la principal razón para aprender matemáticas es mejorar nuestra capacidad de solucionar problemas. 1 Estándares de educación 1. Transcribir en el cuaderno los conceptos, explicaciones y ejercicios de este material de forma ordenada. 2. Visualizar las páginas web o videos propuestos en cada clase. 3. Enviar fotos al grupo del aula que verifiquen el cumplimiento de las tareas, para su revisión. Tema: LOGICA PROPOSICIONAL La lógica proposicional se encarga del estudio de las proposiciones del leguaje, así como sus relaciones por medio de los conectivos lógicos. ¿Por qué es necesario estudiar lógica? Es necesario aclarar desde un principio que las operaciones lógicas son practicadas continuamente, especialmente en nuestro lenguaje cotidiano, por todos nosotros en las distintas facetas de nuestro que hacer diario, aun cuando no tengamos plena conciencia de ello. Es decir, la lógica la venimos aprendiendo desde que hemos nacido. Ya que ésta se encuentra contenida implícitamente en todas las actividades. Sin embargo, esta realidad tiene un límite y llega un momento en que necesariamente debemos estudiar lógica para poder razonar con mayor rigor. Ya sea en el aprendizaje de un determinado curso (como el caso de aritmética), ya sea en el ejercicio de nuestra profesión, ya sea en la solución de un problema o ya sea en la actividad científica. El conocimiento de la lógica y el adiestramiento en el manejo de sus operaciones nos colocará en una situación de poder actuar con mayor eficacia, de pensar con más penetración y objetividad y de emprender después por nuestra propia cuenta, la resolución de problemas que nos plantea la vida diaria o la ciencia misma. 2 Proposición lógica Es aquella expresión u oración coherente que puede determinarse como verdadero (V) o bien como falso (F) y sin ambigüedad. Las proposiciones generalmente se denotan con letras minúsculas tales como p , q , r , s,…etc. Por ejemplo: p : Lima es la capital de Perú (V) q : El doble de 3 es 5 (F) Las preguntas, mandatos, exclamaciones y deseos no son proposiciones lógicas debió a que no se pueden calificar como verdaderas o falsas. Por ejemplo: ¿Como te llamas? Haz tu tarea. ¡Buenos días! Proposición simple o atómica Es aquella proposición que nos expresa una sola idea. Por ejemplo: p : El acero es un metal q : 5 x 3 = 15 3 Proposición compuesta o molecular Es aquella proposición que expresa más de una idea o la negación de una proposición. Por ejemplo: a) Miguel Grau fue marino y peruano. b) La carpeta es de madera o metal. Negación de una proposición Consiste en cambiar el valor de verdad de una proposición. Si la proposición es “ p ” su negación se denota por “ ~p “. Por ejemplo: p : El sol es un planeta ~p : No es cierto que el sol es un planeta 4 Conjunción (Λ) Dos proposiciones se pueden unir por medio de la palabra “ y “ para formar una nueva proposición. Se simboliza con Λ y se denota con “ y “ Por ejemplo: Miguel Grau fue peruano y Pablo Neruda chileno. p ∧ q 5 Disyunción inclusiva “débil” (V) Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra “ o “ para formar una nueva proposición. Se simboliza con “ V ” y se denota con “ y “ Por ejemplo: Lorena Ramos es cantante o bailarina. 🇻 p q Disyunción exclusiva “fuerte” (∆) Se simboliza por (∆) y se lee “ o… o… ” . Por ejemplo: La puerta está abierta o cerrada. p ∆ q Presten atención, que, a diferencia de la disyunción débil, aquí podemos observar que en este caso solo una proposición puede ser verdadera y la otra falsa, no pueden ser ambas verdaderas o ambas falsas. 6 Condicional (➝) Estas proposiciones son de la forma “ si p entonces q “ tales proposiciones se denominan condicionales y se les denota por p ➝ q Por ejemplo: Si llueve entonces me mojare. ➝ p q p es antecedente y q es consecuente Bicondicional (↔️) Se aplica en el caso “ p si solo si q “ y se denota por p ↔️ q Por ejemplo: Iré a la fiesta si solo si tengo ropa nueva. p ↔️ q Veamos lo siguiente y formalicemos la expresión: “Si recibió su pago entonces comprara una tv, pero no recibió su pago y se fue triste.” La respuesta es ( p ➝ q ) ∧ ( ~p ∧ r ) 7 Así usando los conectivos lógicos podemos obtener proposiciones compuestas, entre ellas veamos los casos de tautología, contradicción y contingencia a través de las tablas de verdad: Tautología Es toda expresión cuyo valor de verdad es siempre verdadero. Por ejemplo: La proposición p ➝ ( p 🇻 q ) Como vemos es siempre verdadera, es una tautología. Contradicción Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre falso. Por ejemplo: La proposición ( p 🇻 q ) ∧ ~q 8 Como podemos apreciar es siempre falso, es una contradicción. Contingencia Es la proposición lógica cuyo valor de verdad tiene al menos un (V) y un (F) Por ejemplo: La proposición ( p 🇻 q ) ➝ ~q Es contingencia puesto que tiene en su tabla de verdad verdarero y falso. 9 Leyes de algebra proposicional Circuitos lógicos El valor de verdad de una proposición puede asociarse con interruptores que controlan el paso de la corriente. Así si una proposición es verdadera el interruptor estará cerrado y la corriente pasará. Si la proposición es falsa el interruptor estará abierto y la corriente no pasará. 10 Los interructores pueden estar en serie o en paralelo y tambien de forma convinada. Hasta aqui la teoria sobre proposiciones logicas, la proxima clase veremos ejercicios de logica proposicional. 11 Tarea domiciliaria Indica cuál de los enunciados son proposiciones: 1) Perú es un país sudamericano 2) ¿Cómo lo hago? 3) No entiendo tu respuesta 4) 7 y 11 son números primos 5) El ángulo central del hexágono regular mide 120º 6) Hola compañero 7) La familia está compuesta por el padre, la madre y los hijos. 8) Miguel Grau es el caballero de los mares. 9) La medicina es una ciencia fáctica Simboliza las siguientes expresiones: 1) Juan cumplió con la tarea, pero no aprobó el examen, entonces no tendrá su premio. 2) Está lloviendo o hace mucho frio. Luego no es verdad que este lloviendo y haga mucho frio. 3) Si tanto la comida como la atención son buenas, entonces el restaurante es mi favorito. 4) No es cierto que el clima es agradable y vayamos de día de campo. 12 Enlaza cada proposición con su formalización: Elabora en tu cuaderno 5 proposiciones de negación, 5 de conjunción, 5 de disyunción débil, 5 de disyunción fuerte, 5 de condicional y 5 de bicondicional. 13 Actividad Lógica proposicional. https://www.youtube.com/watch?v=lrnmYWx9NNM Tablas de verdad, introducción a la próxima clase. https://www.youtube.com/watch?v=YHeMRwSF1gM 14 15 16
