factorizacion

Factorización
Estrategia
Factor común y
por agrupación
Factorización
Factorización de
diferencia de
cuadrados
y cubos
Factorización
de trinomios
Factor
a bx z
a bx z
ab
y x z
b y x z
Factorización
Operación necesaria para re-escribir una expresión
algebraica como producto de factores simples
2
2
ma  mb  m(a  b)(a  b)
Son factores
Expresión algebraica que multiplica a otra expresión,
Esos factores pueden ser también numéricos
Caso I. Factor Común
Esta formado por el divisor común en todos los
términos de una expresión algebraica.
2
2
ma  mb
2
3x y  x
2
2
2
4
24a xy  36x y
a(x 1)  b(x 1)
Como Factorizar:
•Identificar el máximo término
común. Se tomara el máximo
común divisor ,en el caso de un
potencia la que tenga el menor
exponente
. Dividir cada término de la
expresión algebraica original
entre el máximo término común
Caso I. Factor Común
Resolviendo los ejemplos:
Ejemplo
2
ma
2
 mb
3x2 y  x
Máx.
factor
común
m
x
24a2 xy2  36x2 y 4
12xy 2
a(x 1)  b(x 1)
x 1
Segund Factorización
o factor
2
b
m(a2  b2 )
3xy 1
x(3xy 1)
2
a
2
2
2
2a2  3xy2 12xy (2a  3xy )
a b
(x 1)(a  b)
Factorización por
agrupación de términos
Ocurre cuando no existe un máximo común divisor para todos los
términos , pero al agrupar convenientemente , los términos
Algebraicos de cada grupo si lo tienen. Requiere factorizar dos
veces de manera consecutiva
ax abx b
2
3m 6mn 4m8n
2am n 12an 2a m
•Agrupar términos con factores comunes,
usando la propiedad asociativa, se puede
Conmutar si es necesario
• Factorizar en cada grupo, los factores
comunes
• Identificar el máximo término común
polinomio, como en el último ejemplo.
•Dividir la expresión algebraica entre el
máximo término común
Factor común por
agrupación de términos
Resolviendo los ejemplos:
ax  a  bx  b
(ax  a)  (bx  b)
(a  b)(x 1)
a(x 1)  b(x 1)
procedimiento
trinomio cuadrado perFecto
(Conocimiento previo)
Resultado del siguiente producto notable:
2
(a b)
2
2
 a  2ab  b
o,
2
(a b)
2
2
 a  2ab  b
trinomio de la Forma
(Conocimiento previo)
2
x
cx  d
Resultado del siguiente producto notable:
2
(x  a)(x  b)  x  (a  b)x  ab
Donde:
c  a b
y
d  ab
Factor Común por
Agrupación de Términos
Resolviendo los ejemplos:
3m2  6mn  4m  8n
(3m  4)(m  2n)
(3m2  6mn)  (4m  8n)
3m(m  2n)  4(m  2n)
procedimiento
Factor común por
agrupación de términos
Resolviendo los ejemplos:
2am  n 1 2an  2a  m
(2a 1)(m  n 1)
(2am  2an  2a)  (m  n 1)
2a(m  n 1)  (m  n 1)
procedimiento
caso ii. Factorización de
trinomios
Trinomio Cuadrado Perfecto

Determinar si es
Trinomio cuadrado
perfecto

Obtener la raíz
cuadrada del primer y
tercer términos
2
2
a 2ab b
2
x  2x 1
 Observar
el signo del
segundo término
2
2
4a x 12ax 9 • Escribir el binomio al cuadrado
Factorización de trinomios
Resolviendo ejemplos:
2
2
a  2ab  b
¿ es TCP ?
Sí
a2  a
b2  b
 2ab
2
(a b)
procedimiento
Factorización de trinomios
Resolviendo ejemplos:
¿ es TCP ?
2
2
4a x
12ax  9
Sí
4a2 x 2  2ax
93
12ax
2
(2ax 3)
procedimiento
Factorización de trinomios
Trinomio de la forma
2
x 12x 20
2
2
9a x  39ax  30
3ax
-10
3ax
-3
(3ax-10) (3ax-3)
2
x
 cx  d
•Obtener la raíz cuadrada
del primer término
•Determinar dos números
que sumados sean igual a c
y que multiplicados sean
igual a d
•Escribir el producto de
binomios
Factorización de trinomios
Resolviendo ejemplos:
2
x 12x 20
x2  x
10  2  12
(10)(2)  20
(x 10)(x  2)
procedimiento
Factorización de trinomios
Resolviendo ejemplos:
2
2
9a x  39ax  30
9a2 x 2  3ax
10  3  13
(10)(3)  30
(3ax  3)(3ax 10)
3(ax 1)(3ax10)
procedimiento
diFerencia de cuadrados
(conoocimiento previo)
Resultado del siguiente producto notable:
(a  b)(a  b)  a 2  b2
(a  b) (a  b) =
(a  b) (a  b)
2
a
2
b =
Factorización de la
diFerencia de cuadrados
2
2
a b
2
a 1
9 16x
2
•Identificar la diferencia
de cuadrados
•Obtener la raíz cuadrada
del primer y segundo
términos
6
x  2x 1 y
2
•Escribir el producto de
binomios conjugados
Factorización de la
diFerencia de cuadrados
Resolviendo ejemplos:
6
9 16x
93
16x6  4x 3
3
3
(3  4x )(3  4x )
procedimiento
Factorización de la
Diferencia de Cuadrados
Resolviendo ejemplos:
(x 1)2  x 1
2
2
x  2x 1 y
y2  y
(x 1 y)(x 1 y)
procedimiento
suma y diFerencia de cubos
(Conocimiento previo)
Resultado del siguiente producto notable:
3
3
2
2
(a  b)(a  ab  b )  a  b
o bien,
2
2
(a  b)(a  ab  b )
3
3
 a b
Factorización de
la suma o diFerencia
de cubos
3
3
a b
•Identificar si es suma o
diferencia de cubos
3
a 1
•Obtener la raíz cúbica
del primer y segundo
términos
6
27 64x
•Escribir el producto del
binomios por trinomio
correspondiente
Factorización de la
suma o diFerencia de cubos
Resolviendo ejemplos:
3
a 1
diferencia
3 3
a
a
3 1 1
2
(a 1)(a  a1)
procedimiento
Factorización de la
suma o diFerencia de cubos
Resolviendo ejemplos:
6
27  64x
suma
3 27 3
3
64x6  4x 2
2
2
4
(3  4x )(9 12x 16x )
procedimiento
estrategia general
1.
2.
Factorizar todos los factores comunes.
Observar el número de términos entre
paréntesis (o en la expresión original).
Si hay:
I.
II.
Cuatro términos: factorizar por agrupación.
Tres términos: probar si es tcp y factorizar
así; si no es tcp, emplear el caso general.
III. Dos términos y cuadrados: buscar la
diferencia de cuadrados y factorizarla.
IV. Dos términos y cubos: buscar la suma o
diferenica de cubos y factorizar.
3.
Asegurarse de que la expresión está
factorizada completamente.