EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIÓN MUÉSTRALES 1 Suponga que una máquina produce tornillos, cuyos diámetros se distribuyen normalmente, con media igual a 0.5 pulgadas y desviación estándar de 0.01 pulgadas. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro medio esté comprendido entre 0.49 y 0.51 pulgadas, para una muestra de 4 tornillos? R/ Datos: x 1=0,49 x 2=0,51 μ=0,5 σ =0.01 n=4 P ( 0,49< x< 0,51 )=P (−1< Z< 1 ) Z= x−μ σ 0.01 ⇒σ x́ = = =0.005 σx √n √4 Para 0,49 Z 1= 0,49−0,5 −0,01 = =−2 0,005 0,005 Z 1=−2 Para 0,51 Z 2= 0,51−0,5 0,01 = =2 0,005 0,005 Z 2=2 P (−2< Z< 2 )=P ( Z <2 )−P ( Z<−2 ) P (−2< Z< 2 )=0,9772−0,0228 P (−2< Z< 2 )=0,9544 2 Se desea estudiar una muestra de 49 personas para saber la proporción de ellas que tienen más de 40 años; sabiendo que la proporción en la población es de 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea menor que 0.5, si se trata de una población muy grande? R/ Datos: n=49 ṕ=0.5 P=0,4 q=1−P=1−0,4=0,6 √ √ Z= ( 0,4 )( 0,6 ) p−P Pq ⇒ σ x́ = = =0,07 σ x́ n 49 Z= 0.5−0,4 0,1 = =1,43 0,07 0,07 Z =1,43 P ( ṕ< 0,5 )=P ( Z <1,43 ) =0,9236 3 Se sabe por experiencia que el 65% de los estudiantes universitarios de cierta ciudad, prefieren cierta marca de crema dental. Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 100 universitarios de dicha ciudad encontremos que como máximo el 68% son usuarios de este tipo de crema. R/ Datos: P=65 =0,65 n=100 q=1−P=1−0,65=0,35 P ( ṕ< 0,68 ) Z= Z= √ √ ( 0,65 ) ( 0,35 ) p−P Pq ⇒ σ x́ = = =0,047 σ x́ n 100 0,68−0,65 0,03 = =0,63 0,047 0,047 Z =0,63 P ( ṕ< 0,68 )=P ( Z <0,63 )=0,7357 4 Para elegir presidente de un sindicato, un candidato obtuvo el 40% de los votos. Determinar la probabilidad de que entre 200 de los electores elegidos aleatoriamente entre un total 800 afiliados, se hubiera obtenido la mayoría de los votos para dicho candidato. Asumamos que la mayoría es un porcentaje superior al 51%. R/ Datos: P=0,40 ṕ=0,51 n=200 1 1 1 = = =0,0025 2 n 2∗( 200 ) 400 Entonces Z= Z= Z= Z= ( ( 0.50−0.0025 ) −0.40 ) √ ( 0.40 )∗( 0.60 ) 200 0.4975−0.40 √ 0.24 200 0.0975 0.24 200 √ 0.0975 =2.81 √ 0.0012 Z =2.81→ A ( 0.4975 ) P=0.5−0.4975=0.0025 P=0.25 5 Si se obtienen todas las posibles muestras de tamaño 25 en una distribución normal con media 20 y desviación estándar 4; dentro de que límites se encuentra el 90% central de las medias muéstrales. R/ Datos: n=25 μ=20 σ =4 P ( x1 < Z< x2 ) =0.9 P ( x1 > Z )−P ( x 2< Z )=0.9 1−P ( x 1< Z )−P ( x 2 <Z ) =0.9 → Z 2=−Z 1 1−P ( Z2 ) −P ( Z 2 )=0.9 1−2 P ( Z )=0.9 1−0.9=2 P ( Z ) 0.1=2 P ( Z ) P ( Z )= Z 2= 0.1 =0.05 2 Lo que indica que Z2 =0.64 x−μ 20−μ 20−μ = = =0.64 σx 4 4 5 √ 25 Conla formula de Z tenemos Despejamos μ ,tenemos 4 20−μ= ∗( 0.64 ) 5 ( 45∗( 0.64 ) )=20−0.512=19.488 μ=20− En forma similar para el valor de−Z tenemos μ=20+ ( 45 ∗( 0.64 ))=20+0.512=20.512 6 Con el fin de estimar la diferencia de proporciones entre dos poblaciones A y B, se tomaron muestras de ambas poblaciones de tamaños 70 y 90 respectivamente. Se pide calcular el error estándar de la diferencia de las proporciones muéstrales, si se sabe que éstas últimas fueron 35% y 41% respectivamente. R/ Datos: n1=7 n2=90 p1=0,35 p2=0,41 σ =( p1 p 2)= σ= √ √ p1 ( 1−p 1 ) n1 + p2 ( 1− p2 ) n2 ( 0,35 ) ( 1−0,35 ) ( 0,41 )( 1−041 ) + 70 90 σ= √ √ ( 0,35 ) ( 0,65 ) ( 0,41 ) ( 0,59 ) 0,2275 0,2419 + = + 70 90 70 90 σ =√ 0.00594=0,077. 7 En una población normal con media igual a 72.0 y desviación estándar igual a 3.0, hallar la probabilidad que en una muestra de 90, la media sea menor 71.70. R/ Datos: μ=72,2 σ =3,0 n=90 P( x́ <71,70) Z= x−μ σ 3,0 ⇒σ x́ = = =0,31 σ x́ √ n √ 90 Z= 71,70−72,0 −0,3 = −0,96 0,31 0,31 P ( x́ <71,70 ) =P ( Z<−0,96 ) Z =−0,96 P ( Z <−0,96 )=0,1685 8 En cierta región los salarios diarios de los mineros del carbón están normalmente distribuidos, con una media de $ 1.650.00 US y una desviación estándar de $ 150.00 US. La población de mineros es superior a 1500. Cuál es la probabilidad de que en una muestra representativa de 25 de esos mineros, el salario medio sea inferior a $1.575.00 US. R/ Datos: μ=1650 σ =150 n=25 P( x́ <1575) Z= x−μ σ 150 ⇒σ x́ = = =30 σ x́ √ n √25 Z= 1575−1650 −75 = =−2,5 30 30 P ( x́ <1575 ) =P ( Z<−2,5 ) P ( Z <−2,5 )=0.0062 EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTERVALOS DE CONFIANZA 1 Se sabe por experiencia que la desviación estándar de la duración de cierto tipo de fusibles producidos por una compañía es de 24,8 horas. Se toma aleatoriamente una muestra de 100 unidades de dicho tipo de fusible y se encuentra que la misma presenta una media de 1685,2 horas. Determine el intervalo de confianza de confianza para estimar la media de la duración con un nivel de confianza de 99%. R/ Datos: σ =24.8 n=100 x́=1685.2 Conf =99 =0.99 α 1 = =0.5 =0.005 2 2 0.99+0.005=0.9950 →2.575 en latabla x́−Z α ∗σ x́ ≤ μ ≤ x́+ Z α ∗σ x́ 2 1678.8 ≤ μ ≤1691.6 2 Z α =2.575 2 σ x́ = σ 24.8 = =2.48 √ n √ 100 1685.2−( 2.575∗2.48 ) ≤ μ ≤1685.2+ ( 2.575∗2.48 ) Se estima con un 99% de confianza que la duración promedio de los fusibles que produce la compañía oscila entre 1678.8 y 1691.6 2 Con relación al problema 1 cuál es el error máximo en la estimación. R/ Datos: Z α =2.575 2 σ x́ =2.48 E=Z α ∗σ x́ 2 E=2.575∗2.48 E=6.386 3 Con relación al problema 1 suponga que la muestra fue de tamaño 20 cuya media es 1685,2 horas y desviación estándar 24,8 horas. Calcule el intervalo de confianza de 99%. R/ Datos: n=20 x́=1685.2 σ =24.8 Conf =99 =0.99 α 1 = =0.5 =0.005 2 2 0.99+0.005=0.9950 →2.575 en latabla x́−Z α ∗σ x́ ≤ μ ≤ x́+ Z α ∗σ x́ 2 2 Z α =2.575 2 σ x́ = σ 24.8 = =5.545 √n √20 1685.2−( 2.575∗5.545 ) ≤ μ ≤1685.2+ ( 2.575∗5.545 ) 1670.93≤ μ ≤1699.47 Se estima con un 99% de confianza que la duración promedio de los fusibles que produce la compañía oscila entre 1670.93 y 1699.47 4 Con relación al problema 1 si se quiere tener un máximo error en la estimación de 2 horas cual debe ser el tamaño de la muestra. R/ Datos: E=2horas Z α =2.575 σ =24.8 2 n=? E=Z α ∗σ x́ 2 Z α ∗σ Z α ∗σ √ n= 2 E 2 E= √n Z α ∗σ 2 ( ) 2 n= E ( n= 2 2 2.575∗24.8 63.86 = =1019,5 2 2 ) ( ) n=1019,5 Entonces si queremos tener un máximo error en la estimación de 2 horas el tamaño para la mustra deberá ser de 1019.5 5 Una industria de muebles compro un lote de piezas de madera de 1 metro de longitud según el vendedor. La industria con el fin de comprobar la exactitud de dicha medida tomo una muestra aleatoria de dicho lote y encontró las siguientes medidas: 0.99, 1.04, 0.98, 0.97, 1.05, 1.02, 1.01, 1.00, 0.99, 0.95, 1.03, 1.02. Calcule el intervalo de confianza del verdadero promedio de longitud del lote con un nivel de confianza del 90%. R/ Datos: n=12 x́=1.0041 S=0.029 S x́ = S 0.029 = =0.0083 √ n √ 12 Conf =90 =0.90 α 10 = =5 =0.05 2 2 gl=n−1=12−1=11 x́−t α ∗S x́ ≤ μ ≤ x́+ t α ∗S x́ 2 2 ( α2 )=t ( 11 :0.05) =1.796 t gl : 1.0041−( 1.796∗0.0083 ) ≤ μ ≤ 1.0041+ ( 1.796∗0.0083 ) 0.9891≤ μ ≤1.0190 Se estima con un 90% de confianza que el verdadero promedio de longitud del lote de piezas de madera oscila entre 0.9891y 1.0190 6 Una muestra aleatoria de 5400 obreros de una ciudad arrojo que 188 de ellos eran hombres que vivían en unión libre. Calcular el intervalo de confianza del 90% para la verdadera proporción de este tipo de unión entre la totalidad de obreros de la ciudad. R/ Datos: n=5400 x=188 Hombres viven en∪libre Conf =90 =0.90 α 10 = =5 =0.05 2 2 0.900+0.050=0.950 →1.645 en latabla x 188 ṕ= = n 5400 σ ṕ = √ pq = n σ ṕ =0.0025 ṕ−Z α ∗σ ṕ ≤ P ≤ ṕ+Z α ∗σ ṕ 2 0.030 ≤ P ≤ 0.038 2 √ Z α =1.645 2 188 ) ( 5400 )∗( 5212 5400 =0.0025 5400 188 188 − (1.645∗0.0025 ) ≤ P ≤ + ( 1.645∗0.0025 ) 5400 5400 3 ≤ P ≤ 3.8 Se estima con un 90% de confianza que la proporción de hombres que trabajan en esa empresa y viven en unión libre escila entre 3% y 3.8%. 7 En una empresa dedicada al engorde de pollo para la venta se toma una muestra de 400 con una edad de 3 meses y el 60% de ellos presentan un peso de más de 3 libras. Un año después la empresa decide introducir unos cambios en la alimentación y en algunas técnicas recomendadas por una casa veterinaria y más tarde cuando los cambios de suponía que habían hecho efecto, tomo una muestra aleatoria de 600 pollos con una edad de 3 meses y encontró que el 40% de ellos pesaban más de 3 libras. Se pide calcular un intervalo de confianza del 95% para la verdadera diferencia de proporciones antes y después del nuevo tratamiento. R/ Datos: n1=400 p1=60 =0.6 q1 =1− p=0.4 n2=600 p2=40 =0.4 q 2=1− p=0.6 IC=95 =0.95 α 5 = =2.5 =0.025 2 2 0.95+0.025=0.9750 →1.96 en latabla σ ṕ = √ Z α =1.96 2 √ p1 q 1 p2 q2 0.6∗0.4 0.4∗0.6 + = + =√ 0.0006+0.0004=0.0316 n1 n2 400 600 ṕ ṕ ¿ 1− ṕ (¿ 2)+ Z α ∗σ ṕ 2 (¿ ¿ 1− ṕ2 )−Z α ∗σ ṕ ≤ p1 −p 2 ≤ ¿ 2 ¿ ( 0.6−0.4 ) −( 1.96∗0.0316 ) ≤ p1− p2 ≤ ( 0.6−0.4 ) +(1.96∗0.0316) 0.1380 ≤ p1− p 2 ≤ 0.2619 13.8 ≤ p 1−p 2 ≤ 26.19 Se estima con un 95% de confianza que la diferencia de proporciones entre el tratamiento de antes y el de después de aplicar el nuevo tratamiento oscila entre 13.8 y 26.19%. 8 Un profesor de estadísticas realiza un idéntico cuestionario a dos grupos de estudiantes de dos universidades diferentes de la misma ciudad. En una muestra aleatoria de 9 estudiantes de la universidad A, el promedio de notas fue de 7,5 y desviación estándar de 0,4. En otra muestra aleatoria de 9 estudiantes de la universidad B la media de las notas fue de 6,7 y desviación estándar de 0,6. Calcular los límites de confianza de 95% para la diferencia de medias de las notas entre las dos universidades. Se sabe que la escala de calificación es de 0 a 10. R/ Datos: n A =9 x́ A=7.5 S A =0.4 n B=9 x́ B=6.7 S B =0.6 IC=95 =0.95 α 5 = =2.5 =0.025 2 2 gl=( n A −1 ) + ( nB −1 )=( 9−1 ) + ( 9−1 )=16 ( α2 )=t ( 16 :0.025) =2.120 t gl : S= √ ( n A −1 )∗S 2A + ( n B−1 )∗S2B (n A +n B)−2 2 0.6 ¿ ¿ ¿(9+ 9)−2 2 0.4 ¿ + ( 9−1 )∗¿ ( 9−1 )∗¿ ¿ S=√ ¿ √ ( x́ A− x́ B )−t α ∗ 2 ( √ S2 S2 S 2 S2 + ≤ p A − pB ≤ ( x́ A− x́ B ) +t α ∗ + n A nB nA nB 2 √ ) ( √ ( 0.5099 )2 ( 0.5099 )2 ( 0.5099 )2 ( 0.5099 )2 ( 7.5−6.7 )− 2.120∗ + ≤ p A − p B ≤ ( 7.5−6.7 ) + 2.120∗ + 9 9 9 9 0.8− ( 2.120∗0.24 ) ≤ p A − pB ≤ 0.8+ ( 2.120∗0.24 ) 0.8−0.5088≤ p A − pB ≤ 0.8+0.5088 0.2912≤ p A − pB ≤ 1.3088 Se estima con un 95% de confianza que la diferencia de las medias de las notas entre la universidad A y la universidad B oscilan entre 0.2912 y 1.3088 9 Se quiere estimar el peso promedio de 500 peces listos para exportación. Si para ello se va a tomar una muestra aleatoria, ¿Cuál deberá ser el tamaño de esta, si se desea un máximo error en la estimación de 2 onzas con un nivel de confianza del 90%? Se sabe que la desviación estándar poblacional es de 10. R/ Datos: 10 Una muestra aleatoria de 8 pedidos que le hacen a una compañía, nos muestra que los mismos demoraron en ser atendido así: 10, 12, 19, 14, 15, 18, 11, 17 y 13 días. Construir el intervalo de confianza del 99% para la desviación estándar del tiempo que tarda la compañía en atender la orden. ) EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE PRUEBAS DE HIPÓTESIS 1 Se somete a prueba a la totalidad de los integrantes del magisterio para enseñanza básica primaria de un país y un experto en educación afirma que el promedio de la calificación, sobre una base de 100. Fue de 76. Un representante del alto gobierno pone en duda dicha afirmación, por lo cual se toma una muestra aleatoria de 400 maestros cuya media fue de 74 con desviación estándar de 16. Probar la hipótesis con un nivel de significación de 1%. R/ 2 Una muestra aleatoria de 40 bandas para motores de ciertas sierras circulares presentaron un promedio de duración de 1.08 años con una desviación estándar de 0.5 años. Se sabe por experiencia que dichas bandas duran en promedio 1.28 años. ¿Existe razón para considerar tal disminución, como una pérdida de calidad? Nivel de significación 1%. R/ http://www.buenastareas.com/ensayos/Prueba-De-Ipotesh/51999923.html 3 Un estudio de 29 de los pagos hechos por comisiones mensuales hechas a los vendedores de una compañía arroja una media mensual de $50.800 y desviación estándar de $600. Docimar la hipótesis de que el verdadero promedio es de $50.000, frente a la hipótesis alternativa de que no es de $50.000, con un nivel de significación del 5%. 4 Una compañía estima que tiene una participación en el mercado de un 80% para su producto estrella. Mediante una muestra aleatoria de 400 posibles consumidores se encuentra que el 75% de los mismos consumen el referido producto. ¿Con un nivel de significación del 5% puede concluirse a través de los resultados que dicha proporción es menor? https://www.yumpu.com/es/document/view/1675350/variacion-normal-yexponencial/245 5 Se quiere comprar una maquina troqueladora y se adquirirá si la proporción de piezas defectuosas producidas por la maquina es 10% o menos. Se examina una muestra aleatoria de 40 piezas y se encuentra que 7,5% resultaron defectuosas. ¿Con un nivel de significación del 4%, puede concluirse que la maquina satisface los requerimientos? 6 Una compañía de trasporte de carga intermunicipal, asegura que solo el 6% de sus servicios de carga sufren reclamos. Una muestra aleatoria de 200 servicios revela que el 8,5% de ellos sufren reclamos. Con un nivel de significación del 1% probar la hipótesis nula de que P=0,06, contra la alternativa de que P>0,06. 7 Una muestra aleatoria de tamaño n1=25 tomada de una población normal con desviación estándar σ 1=4,8 . Tiene una x́ 1=75 . Una segunda muestra aleatoria de tamaño n2=36 , tomada de una población normal con desviación estándar σ 2=3,5 , tiene una media x́ 2=70 . Pruebe la hipótesis nula μ1=μ2 en contraposición a la alterna μ1 > μ2 . Nivel de significación del 5%. 8 Dos máquinas diferentes A y B se utiliza para producir pernos idénticos que deben tener 2 pulgadas de longitud. Se toma una muestra aleatoria de 25 penos de la producción de la maquina A y otra muestra aleatoria de 25 pernos de la maquina B, las cuales arrojan varianza de 0,0 y 0,04 pulgadas respectivamente. ¿evidencian los anteriores datos que la varianza de B es mayor que la de A? Utilice un nivel de significación del 1%. 9 La desviación típica de la tensión de rupturas de ciertos cables producidos por una empresa es de 240 libras. Tras un cambio en el proceso de producción, una muestra de 8 cables dio una desviación típica de 300 libras. Investigar si es significativo ese incremento en la variabilidad. Con un nivel de significación del 4%.
