compilacion diapos laplace y convolucion

ECUACIONES DIFERENCIALES
Unidad V: Transformaciones de Laplace
Tema: Definición, propiedades, transformada inversa y teoremas de traslación
June 9, 2020
Objetivo
Halla la transformada
de Laplace de una
función.
Halla la transformada
inversa.
Calcula la
transformada de una
derivada.
Definición
Si f (t) es una función definida para t ≥ 0, entonces a la integral
Z
∞
e −st f (t)dt = lim
Z
b
b→∞ 0
0
e −st f (t)dt
se llama transformada de laplace de f , siempre y cuando exista el
lı́mite.
Notación
Z ∞
L{f (t)} =
e −st f (t)dt = F (s)
0
L{f (t)} = F (t)
Ejemplo
Encuentre L{4}
Solución
Z
L{4} =
∞
4e
0
−st
Z
dt = lim
b→∞ 0
b
4e −st dt
b
1
1
1
− e −st
= 4 lim − e −sb +
b→∞
b→∞
s
s
s
0
L{4} = 4 lim
I
I
1
1
4
− e −sb +
=
b→∞
s
s
s
1
1
Si s < 0 entonces 4 lim − e −sb +
no existe
b→∞
s
s
Por consiguiente,
4
L{4} = , s > 0
s
Si s > 0 entonces 4 lim
Observación
La transfomada de laplace es una transformación lineal. Es decir;
L{αf (t) + βg (t)} = αL{f (t)} + βL{g (t)}
Definición
Se dice que una función f : [0, +∞[→ R es de orden exponencial si
existen números c, M > 0 y T > 0, tales que |f (t)| ≤ Me ct ,
∀t > T
Teorema
Si f (t) es continua por tramos en el intervalo [0, +∞[ y de orden
exponencial c para t > T . Entonces, existe L{f (t)} para s > c
Ejemplo
Encuentre L{t}
Solución
Z
L{t} =
∞
e
−st
lim
b→∞
1
t
− e −st − 2 e −st
s
s
b
0
I
b
te −st dt
b −sb
1 −sb
1
= lim − e
− 2e
+ 2
b→∞
s
s
s
I
tdt = lim
b→∞ 0
0
Z
b
Si s > 0 entonces lim − e −sb −
b→∞
s
b
Si s > 0 entonces lim − e −sb −
b→∞
s
1
Por lo tanto L{t} = 2 , s > 0
s
1 −sb
e
+
s2
1 −sb
e
+
s2
1
1
= 2
2
s
s
1
no existe
s2
Propiedades
a) L{k} =
d)
e)
f)
g)
k
s
n!
, n = 1, 2, 3, · · ·
s n+1
1
L{e at } =
s −a
k
L{senkt} = 2
s + k2
s
L{coskt} = 2
s + k2
k
L{senhkt} = 2
s − k2
s
L{coshkt} = 2
s − k2
b) L{t n } =
c)
'(/5DO,QYHUVR
YDU>NW@!>NV@
Ejemplos
a) Halle L{t 3 }
Solución:
3!
L{t 3 } = 4
s
b) Halle L{e −7t }
Solución:
1
L{e −7t } =
s +7
b) Halle L{sen8t}
Solución:
8
L{sen8t} = 2
s + 64
Transformada Inversa de Laplace
Si la Transformada de Laplace de una función f (t) es:
L{f (t)} = F (s)
Entonces, la transformada inversa de Laplace es:
f (t) = L−1 {F (s)}
Propiedades
k
=k
s
n!
−1
L
= t n , n = 1, 2, 3, · · ·
s n+1
1
−1
= e at
L
s −a
k
−1
L
= senkt
s2 + k2
s
−1
L
= coskt
s2 + k2
k
= senhkt
L−1
2
s − k2
s
−1
= coshkt
L
s2 − k2
a) L−1
b)
c)
d)
e)
f)
g)
75$16,19(56$
'(,QD5
GH>NV@!>NW@
Ejemplo
Observación
La transfomada inversa de laplace es una transformación lineal. Es
decir;
L−1 {αF (s) + βG (s)} = αL−1 {F (s)} + βL−1 {G (s)}
Ejemplo 3s + 4
s2 + 7
Solución
3s + 4
s
1
−1
−1
−1
L
= 3L
+ 4L
s2 + 7
s2 + 7
s 2 + 7(
)
√
3s
+
4
s
4
7
√
√
L−1
= 3L−1
+ √ L−1
s2 + 7
s 2 + ( 7)2
7
s 2 + ( 7)2
√
√
3s + 4
4
−1
√
L
7t)
+
7t)
=
3cos(
sen(
s2 + 7
7
Halle L−1
Primer Teorema de Traslación
Si L{f (t)} = F (s) entonces L{e at f (t)} = F (s − a), ∀a ∈ R Es
decir;
DW!DV
L{e at f (t)} = L{f (t)}s→s−a = F (s)s→s−a = F (s − a)
Su inversa es:
'D6!DW
L−1 {F (s − a)} = e at f (t)
Ejemplo
Halle L{e −2t cos4t}
Solución
L{e −2t cos4t}
= L{cos4t}s→s+2 =
=
s
2
s + 16
s +2
(s + 2)2 + 16
s→s+2
Ejemplo
Encuentre
L−1
s
s 2 + 6s + 11
L−1 {F (s − a)} = e at f (t)
Solución
f (t)} = L{f (t)}s-a →s = F (s)
s
s
L−1
= L−1
s 2 + 6s + 11
(s + 3)2 + 2
s +3−3
−1
=L
(s + 3)2 + 2
s +3
3
−1
−1
=L
−L
(s + 3)2 + 2
(s + 3)2 + 2
s
3 −3t −1
1
−3t −1
√
√
=e L
−√ e L
s + ( 2)2
2
s + ( 2)2
√
√
3
= e −3t cos( 2t) − √ e −3t sen( 2t)
2
Función escalón unitaria
La función U(t − a), definida como
U(t − a) =

 0 si

1 si
0≤t<a
t≥a
Segundo Teorema de Traslación
'HD7!DV
Si a > 0, entonces L{f (t − a)U(t − a)} = e −as L{f (t)} = e −as F (s)
su inversa es:
L−1 {e −as F (s)} = f (t − a)U(t − a)
'HD6!DW
Ejemplo
Halle
L−1
2e −3s
s2 + 3
L−1 {e −as F (s)} = f (t − a)U(t − a)
Solución:
−1
L
2e −3s
s2 + 3
= f (t − 3)U(t − 3)
(
)
√
√
2
3
−1
√
f (t) =
= 2L
= sen 3t
2
s +3
s 2 + ( 3)2
reemplazando
−3s √
2e
−1
L
=
sen(
3(t − 3))U(t − 3)
s2 + 3
L−1
−1
L
2e −3s
s2 + 3
√
= sen( 3(t − 3))U(t − 3)
finalmente, se tiene la solución
√
sen( 3(t − 3))U(t − 3) =


0 si

√
sen( 3(t − 3)) si
0≤t<3
t≥3
Observación
La función escalón unitaria, también nos permite representar en
forma conveniente las funciones continuas a tramos. Por ejemplo
I
Si
f (t) =

 f1 (t) si

f2 (t) si
0 ≤ t < t1
t ≥ t1
Entonces f (t) = f1 (t) + U(t − t1 )(f2 (t) − f1 (t))
I
Si

f1 (t) si





f2 (t) si
f (t) =





f3 (t) si
0 ≤ t < t1
t1 ≤ t < t2
t ≥ t2
Entonces
f (t) = f1 (t) + U(t − t1 )(f2 (t) − f1 (t)) + U(t − t2 )(f3 (t) − f2 (t))
Teorema
Sea f (t) definida en [0, +∞[. Supongamos que a ≥ 0 y que existe
Lf (t). Entonces,
L{U(t − a)f (t)} = e −as L{f (t + a)}
Ejemplo
Calcule L{U(t − 1)(t 2 + 1)}
Solución
L{U(t − 1)(t 2 + 1)} = L{U(t − 1)f (t)}, f (t) = t 2 + 1
= e −s f (t + 1)} = e −s L{t 2 + 2t + 2}
2
2
2
−s
=e
+
+
s3 s2
s
Teorema
Para n = 1, 2, 3, · · ·
L{t n f (t)} = (−1)n
dn
L{f (t)}
ds n
Ejemplo
Halle L{te −t cost}
Slución
L{te −t cost}
s +1
d
d
−t
= − L{e cost} = −
ds
ds (s + 1)2 + 1
2
2−s
=
((s + 1)2 + 1)2
Teorema
Para n = 1, 2, 3, · · ·
L{y n (t)} = s n Y (s) − s n−1 y (0) − s n−2 y 0 (0) − · · · − y n−1 (0)
donde Y (s) = L{y (t)}
Nota: Este teorema sirve para resolver ecuaciones diferenciales
con condiciones iniciales
Dennis G. Zill, Michael R Cullen, Ecuaciones Diferenciales con
problemas de Valores en la Frontera, Sexta Edición,
Thomson,2006
Nagle – Saff – Zinder, Ecuaciones Diferenciales y Problemas
con Valores en la Frontera, Pearson Addison Wesley 2005
Edwards, C. Henry, Ecuaciones diferenciales y problemas con
valores en la frontera
ECUACIONES DIFERENCIALES
Unidad V
Transformada de Laplace
Tema:
• Teorema de convolución.
• Transformada de la función Delta Dirac.
• Transformada de funciones periódicas.
Semana
Objetivo
• Halla la transformada de Laplace de una función.
• Halla la transformada inversa.
• Resuelve ecuaciones diferenciales con condiciones iníciales usando
transformada de Laplace.
• Aplicar las transformadas de Laplace para resolver sistemas de
ecuaciones diferenciales
Convolución
f g 

t
0
NOTA
f g  g f
f u  g t  u du.
EJEMPLO
Teorema de la Convolución
Forma Inversa del Teorema de la Convolución
A veces, el teorema de la convolución es útil para determinar la
transformada inversa de Laplace de un producto de dos
transformadas de Laplace
L1F s G s   f * g 
t
 f u  g t  u du
0
FUNCIÓN DELTA DE DIRAC
FUNCIÓN DELTA DE DIRAC
La función Delta Dirac , también escrita como   Dirac , es la
función definida por
 t  t0   lim  a t  t0 
a 0
donde
1


 a t  to    2a

0
si t0  a  t  to  a
si
en otra parte
Equivalent e
PROPIEDAD


 0
 t  t0   
 
 t  t0  dt  1

si t  t0
si
t  t0
TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN
DELTA DE DIRAC
a s
i 
L t  a   e
ii 
L t  0   1
iii   t  a   L1ea s 
TRANSFORMADA DE FUNCIONES PERIODICAS
i 
Una función f continua en el int ervalo
de periodo T si
0, T 
se dice que es periódica
f t  T   f t  para todo t  0.
Sea f : 0,    una función continua a trozos y de orden exp onencial
en el int ervalo 0.   . Si f t  es periódica, con periódo T , entonces
L f t  
1
1  e s T

T
0
e s t f t  dt
EJEMPLO
L f t  
1
1  e s T

T
0
e s t f t  dt
Solución de Ecuaciones Lineales
75$16)250$'$'(/$'(5,9$'$
Solución de Ecuaciones Lineales
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
La Transformada de Laplace para resolver sistemas
de ecuaciones diferenciales
Se puede utilizar la transformada de Laplace para resolver sistemas
de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
Consiste, en convertir el sistema diferencial en un sistema
algebraico en el que las incógnitas son las transformadas de las
funciones solución del sistema original. Una vez resuelto el sistema
algebraico, las transformadas inversas proporcionan las soluciones
buscadas.
EJEMPLO 1
EJEMPLO 1
EJEMPLO 1
Se concluye que la solución del problema de valores iniciales es:
EJEMPLO 2
EJEMPLO 2
EJEMPLO 2
Bibliografía:
 515.35 Z945 2009 Ecuaciones Diferenciales con problemas de Valores en la
Frontera – Dennis G. Zill, Michael R Cullen – sexta edición - Thomson – 2006
 Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera - Nagle – Saff –
Zinder Pearson Addison Wesley 2005
 515.35 E26 Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la
frontera. Edwards, C. Henry.
Mexico D.F. Pearson Educación 2009.