Estructuras de concreto I - Jorge Segura Franco-FREELIBROS.ORG

UNIVERSIDAD
NACIONAL
( /)
DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA
<
En la presente edición, como en las
anteriores, se ha m antenido el propósito
de las Directivas de la Facultad de
Ingeniería de la Universidad Nacional de
Colombia y del autor, de presentar un
texto que fa c ilite el trabajo de los
estudiantes y profesores en la form ación
de profesionales de la Ingeniería Civil con
un manejo apropiado de los fundamentos
del diseño de elementos estructurales de
concreto reforzado. Esta séptima edición
está de acuerdo con el Reglamento
C olom biano de C o n stru cció n Sism o
Resistente NSR-10 basado en la Ley 400
de 1997(Modificada Ley 1229 de 2008) y
los Decretos 926 del 19 de marzo de 2010 y
el Decreto 092 del 11 de Enero de 2011 y se
ha tenido en cuenta nuevas m etodologías
de utilización en el diseño del concreto
estructural y su refuerzo en barras de
ESTRUCTURAS
DE CONCRETO I
JORGE IGNACIO SEGURA FRANCO
Séptima Edición
De acuerdo con el Reglamento Colombiano de
Diseño y Construcción Sismo-Resistente NSR-10
N A CION A L
ESTRUCTURAS DE CONCRETO I
J O R G E IG N A C IO S E G U R A F R A N C O
P ro fe so r A so c ia d o
U n iv e rsid a d N a c io n a l d e C olom bia
U N IV E R S ID A D
NACIONAL
D E C O L O M B IA
FA C U LT A D D E I N G E N I E R IA
Estructuras de C oncreto I
Presentación
7 a. E d ició n . B o g o tá, 2 0 1 1 -0 3 -3 0
©
J o rg e Ig n a c io S eg u ra F ran co
©
U n iv e rsid a d N a cio n al de C o lo m b ia
F a c u lta d d e In g e n ie ría
©
A y a la A v ila & C ia F tda.
IS B N
9 7 8 -9 5 8 -9 9 8 8 8 -0 -0
G rá fica s: Ing. C am ilo C o n trera s R ojas.
D ia g ra m a c ió n y A rte s F in a le s : A y a la A v ila & C ia.
D e re c h o s E d ito ria le s R e se rv a d o s
E n el m arc o d e la c e le b ra c ió n de lo s c ien to c in c u e n ta añ o s, es u n in m en so
h o n o r p a ra el D e p a rta m e n to de In g e n ie ría C iv il y A g ríc o la de la F a c u lta d de
In g e n ie ría de la U n iv e rsid a d N a c io n a l d e C o lo m b ia, p re se n ta r la s é p tim a
ed ic ió n d el lib ro E stru c tu ra s d e C o n cre to I d el p ro fe s o r E m é rito J o rg e
Ig n a c io S eg u ra F ran co .
E l a u to r p re te n d e co n este lib ro tra s m itir y d e ja r u n le g a d o d e c o n o c im ie n to
a g e n e ra c io n e s fu tu ra s, q u ie n e s te n d rá n q u e d e se m p e ñ a rse en el m a ra v illo so
c a m p o d e la s e s tru c tu ra s d e co n c reto . L a e x p e rie n c ia d o cen te, in v e stig a tiv a
y p ro fe sio n a l d el in g e n ie ro S e g u ra es la m e jo r c a rta d e p re se n ta c ió n d e esta
n u e v a e d ic ió n d el lib ro . E l au to r se h a d e sta c a d o co m o d o c e n te d e la
U n iv e rsid a d N a c io n a l d e C o lo m b ia d e sd e el a ñ o 1967 y h a sid o g a n a d o r de
la M e n c ió n de H o n o r d el p re m io D ió d o ro S án ch e z. A s í m ism o , h a sid o
co a u to r d e las N o rm a s d e D iseñ o y C o n stru c c ió n S ism o R e siste n te en
C o lo m b ia.
E l le c to r e n c o n tra rá q u e en el co n te n id o d el lib ro se a n a liz a n co n d e ta lle lo s
c o n c e p to s re la c io n a d o s co n el d iseñ o e stru c tu ra l p a ra lo s m a te ria le s en
c o n c re to y re fu e rz o c o n ac ero . E l tex to h a sid o a c tu a liz a d o c o n las
d is p o s ic io n e s e sta b le c id a s en el R e g lam en to C o lo m b ia n o d e C o n stru c c ió n
S ism o R e siste n te N S R -1 0 e in c o rp o ra el u so d e n u e v a s te c n o lo g ía s y
m é to d o s m o d e rn o s de a n á lisis. E sta o b ra es fru to de a ñ o s d e trab ajo ,
p e rse v e ra n c ia y re p re s e n ta u n a h e rra m ie n ta v a lio s a de tra b a jo a la
c o m u n id a d a c a d é m ic a y a lo s e sp e c ia lista s q u e tra b a ja n en el área.
E n n o m b re d el D e p a rta m e n to de In g e n ie ría C iv il y A g ríc o la q u ie ro e x p resar
u n m ere cid o re c o n o c im ie n to y a g ra d e c im ie n to al p ro fe so r S eg u ra p o r su
p e rm a n e n te in iciativ a, c o n sta n c ia y d e d ic a c ió n co n m iras a im p u lsa r y
d e s a rro lla r la in fra e s tru c tu ra en u n p aís co m o el n u estro , q u e d e m a n d a de
su s p ro fe s io n a le s u n alto n iv el técn ic o .
C aro l A n d re a M u rillo F eo
D ire c to r d e D e p a rta m e n to d e In g e n ie ría C iv il y A g ríc o la
A v. N Q S (C arrera 30) N o 4 5 -0 3 E d ific io 453 O fic in a 201
T el 57 (1) 3 1 6 5 0 0 0 E xt. 14020
Estructuras de C oncreto I
A mi esposa, Maruja Franco y a
mis hijas Ana María y María Lucia.
IV
V
E structuras de C oncreto I
CONTENIDO
IN T R O D U C C I O N ...........................................
X III
C A P IT U L O 1
M a te ria le s
C o n cre to , R efu e rzo y C o n c re to R e fo rz a d o ...................................... 3
C a ra c te rístic a s de lo s m a te ria le s ............................................................ 4
D im e n sio n e s n o m in a le s de las b a rra s de re fu erz o ...........................11
C A P IT U L O 2
F le x ió n
M é to d o de lo s E sfu e rz o s A d m isib le s o M éto d o E lástico
G e n e ra lid a d e s .................................................................................................15
V ig a s re c ta n g u la re s c o n a rm a d u ra a la tra c c ió n ...............................18
M é to d o de la S e c c ió n T ra n s fo rm a d a u H o m o g é n e a p ara
v ig a s re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a la tra c c ió n ................................35
v ig a s ‘T ’ c o n a rm a d u ra a la tra c c ió n (rev isió n m ed ian te
S e c c ió n T ra n sfo rm a d a ) .............................................................................. 40
V ig a s re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a la tra c c ió n y a la
co m p re sió n ......................................................................................................48
A p lic a c ió n d el M é to d o d e la S e c c ió n T ra n sfo rm a d a p ara
v ig a s co n a rm a d u ra a la tra c c ió n y a la c o m p re sió n .......................52
C o n c lu sio n e s M é to d o E lástico ................................................................57
vil
Estructuras de C oncreto I
C A P IT U L O 4
L o n g itu d de D e sa rro llo y E m p a lm e s de R efu e rzo
M éto d o d e la R e siste n c ia U ltim a
G e n e ra lid a d e s ..............................................................................................
E sta d o s lím ites ............................................................................................
58
59
V ig a s re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a la tra c c ió n ............................
F a c to re s de se g u rid a d ...............................................................................
C o e fic ie n te de c a rg a y c o m b in a c io n e s d e c a rg a ............................
C o e fic ie n te d e re d u c c ió n d e re s iste n c ia ...........................................
R efu e rzo m ín im o d e e le m e n to s en flex ió n ......................................
V ig a s re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a la tra c c ió n y a la
co m p re sió n ...................................................................................................
60
72
72
75
77
85
R e d u c c ió n d e d e fle x io n e s a larg o p la z o ........................................... 96
V ig a s co n se c c ió n ‘T ’ - C a ra c te rístic a s y d ise ñ o co n
a rm a d u ra a la tra c c ió n ................................................................................ 1 0 2
D e fle x io n e s y co n tro l de d e fle x io n e s .................................................. 116
C A P IT U L O 3
C o rta n te y T o rsió n _________________________________
G e n e ra lid a d e s ................................................................................................173
D e sa rro llo d el re fu e rz o a fle x ió n ...........................................................173
D e sa rro llo d el re fu e rz o p ara m o m e n to p o sitiv o ............................ 174
D e sa rro llo d el re fu e rz o p a ra m o m e n to n e g a tiv o ........................... 175
E m p a lm e s de re fu e rz o ............................................................................... 176
G a n ch o e stá n d a r ...........................................................................................178
D e sa rro llo de b a rra s c o rru g a d a s y a la m b re c o rru g ad o
a tra c c ió n .........................................................................................................185
D e sa rro llo d e b a rra s c o rru g a d a s y a la m b re c o rru g ad o
a tra c c ió n (C aso g en eral) .......................................................................... 190
D e sa rro llo d e b a rra s c o rru g a d a s a c o m p re sió n ............................... 203
G a n c h o s e s tá n d a r a tra c c ió n ....................................................................205
D e sa rro llo d e las b arras c o rru g a d a s co n c a b e z a y a n c la d a s
m e c á n ic a m e n te en tra c c ió n .......................................................................... 2 1 1
D e sa rro llo d e m a lla e le c tro s o ld a d a d e a la m b re c o rru g a d o ....... 215
P ro b le m a re su e lto
....................................................................................... 216
E sfu e rz o C o rtan te
G e n e ra lid a d e s
.............................................................................................. 1 3 3
C A P IT U L O 5
S iste m a s de L o sa s A rm a d a s en U n a D ire c c ió n
__________________________
R e siste n c ia a la fu e rz a c o rta n te p ro p o rc io n a d a por
el co n c re to .................................................................................................... 1 3 5
R e siste n c ia a la fu e rz a c o rta n te p ro p o rc io n a d a p o r
el re fu erz o ..................................................................................................... 135
L ím ite s d e esp a c ia m ie n to p a ra el re fu e rz o a c o rta n te .................137
R e fu e rz o m ín im o d e c o rta n te ................................................................138
E strib o s p e rp e n d ic u la re s ..........................................................................139
R efu e rzo lo n g itu d in a l d o b la d o ............................................................. 141
G e n e ra lid a d e s ............................................................................................... 225
L o sas m a c iz a s ............................................................................................... 225
E sc a le ra s ......................................................................................................... 233
L o sas n e rv a d a s ............................................................................................. 237
C A P IT U L O 6
C o lu m n a s
T o rsió n
G e n e ra lid a d e s .............................................................................................. 158
P ro b le m a re su e lto .......................................................................................161
VIII
G e n e ra lid a d e s
_____________
............................................................................................... 267
IX
Estructuras de C oncreto I
D im e n sio n a m ie n to ...................................................................................... 268
R efu e rzo lo n g itu d in a l ................................................................................ 269
R efu e rzo tra n sv e rsa l .................................................................................... 272
C o lu m n a s c o n c a rg a a x ial ........................................................................ 281
C o lu m n a s co n c a rg a a x ial y m o m e n to ................................................286
P ro b le m a s re su e lto s ....................................................................................292
E fe c to s de e sb e lte z en e le m e n to s a c o m p re sió n ............................. 309
D iseñ o de c o lu m n as. P ro b le m a re su e lto ............................................ 314
E jem p lo . D ise ñ o de u n a lo sa m a c iz a ................................................384
E jem p lo . D ise ñ o de u n a lo sa a lig e ra d a ............................................403
C A P IT U L O 8
C im e n ta c io n e s
G e n e ra lid a d e s
C A P IT U L O 7
............................................................................................... 425
C im e n ta c io n e s su p e rfic ia le s o d ire c ta s
...............................................425
S iste m a s d e L o sa s en D o s D ire c c io n e s
C im e n ta c ió n p a ra m u ro s
G e n e ra lid a d e s
................................................................................................3 3 3
S iste m a s de lo sas en d o s d ire c c io n e s a p o y a d a s o
so p o rta d a s s o b re m u ro s o v ig a s ríg id a s ..............................................336
M é to d o s de lo s c o e fic ie n te s (N S R -10) ...............................................336
E jem p lo . D iseñ o d e u n a lo sa m a c iz a ................................................338
E jem p lo . D ise ñ o de u n a lo sa a lig e ra d a ............................................350
M é to d o s p lá stic o s de an á lisis y d ise ñ o ............................................... 3 5 7
M é to d o d e las lín e a s d e flu e n c ia ........................................................ 3 5 7
E jem p lo . D ise ñ o d e u n a lo sa m a c iz a ................................................359
E jem p lo . D ise ñ o de u n a lo sa a lig e ra d a ............................................363
...........................................................................428
C im e n ta c ió n a isla d a p a ra c o lu m n a s .....................................................433
Z a p a ta s a isla d a s c u a d ra d a s p a ra c o lu m n a s c u a d ra d a s ..................433
Z ap a tas a isla d a s re c ta n g u la re s p a ra c o lu m n a s c u a d ra d a s ........... 443
Z a p a ta s a isla d a s re c ta n g u la re s p a ra c o lu m n a s re c ta n g u la re s .... 449
Z a p a ta s c o n c a rg a ax ial y m o m e n to d e flex ió n ............................... 455
C im e n ta c ió n c o m b in a d a p a ra d o s c o lu m n a s .................................... 461
C im ien to c o m b in a d o p a ra d o s c o lu m n a s c o n sec ció n
en fo rm a d e “T ” in v e rtid a ........................................................................ 470
C im e n ta c ió n co n v ig a d e c o n tra p e so ...................................................482
C im e n ta c io n e s de p ro fu n d id a d .............................................................. 495
C im e n ta c ió n s o b re p ilo te s ........................................................................495
C im e n ta c ió n so b re c a jo n e s ...................................................................... 507
S iste m a s d e lo sas en d o s d ire c c io n e s a p o y a d a s o
so p o rta d a s en c o lu m n a s ............................................................................ 368
M é to d o D ire cto d e d ise ñ o .........................................................................370
E jem p lo . L o sa m aciz a .............................................................................370
E jem p lo . L o sa a lig e ra d a ........................................................................ 3 7 7
C A P IT U L O 9
M u ro s de C o n te n c ió n
G e n e ra lid a d e s
M éto d o d el P ó rtico E q u iv a le n te
X
................................................................................................517
............................................................382
XI
E structuras de C oncreto I
______________________________
M u ro s en v o la d iz o .......................................................................................518
E jem p lo . D ise ñ o de un m u ro en v o la d iz o .......................................522
C A P IT U L O 10
E d ific io s en e stru c tu ra de c o n c re to re fo rz a d o ____________________
G e n e ra lid a d e s
...........................................................................
P ro c e d im ie n to d e d iseñ o
539
...........................................................................539
A P E N D IC E S _____________________________________________________________
T a b la s p a ra d ise ñ o a la fle x ió n d e v ig a s re c ta n g u la re s co n
a rm a d u ra a la tra c c ió n p o r el m éto d o e lá stic o .................................. 5 5 5
T a b la s para d ise ñ o a la fle x ió n d e v ig a s re c ta n g u la re s co n
a rm a d u ra a la tra c c ió n p o r el m é to d o de la re siste n c ia ú ltim a .. 571
In d ic e A lfa b é tic o
......................................................................................... 581
R E F E R E N C I A S ........................................................................................................... 589
XII
INTRODUCCIÓN
E n la p re se n te ed ició n , co m o en las an terio res, se h a m an te n id o el p ro p ó sito
d e la D ire c tiv a s de la F a c u lta d d e In g e n ie ría d e la U n iv e rsid a d N a c io n a l de
C o lo m b ia y del au to r, de p re s e n ta r un tex to q u e fa cilite el tra b a jo d e los
e stu d ia n te s y p ro fe so re s en la fo rm a c ió n d e p ro fe sio n a le s de la In g e n ie ría
C iv il c o n u n m a n e jo a p ro p ia d o d e lo s fu n d a m e n to s d el d ise ñ o d e e le m e n to s
e s tru c tu ra le s de c o n c re to re fo rz a d o . E sta sé p tim a e d ic ió n está d e a c u e rd o
co n el R e g la m e n to C o lo m b ia n o d e C o n stru c c ió n S ism o R e siste n te N S R -1 0
b asa d o e n la L ey 400 de 1997 (M o d ifica d a L ey 1229 de 2008) y los
D e c re to s 926 d el 19 d e m arz o d e 2 0 1 0 y el D e c re to 092 d el 17 d e E n e ro de
2 0 1 1 y e n ella se h a ten id o en c u e n ta n u ev a s m eto d o lo g ía s d e u tiliz a c ió n en
el d ise ñ o d el co n c re to e stru c tu ra l y su re fu e rz o en b a rra s d e acero.
A lg u n o s d e lo s p rin c ip a le s c a m b io s y a c tu a liz a c io n e s p re se n te s en los
d e sa rro llo s te ó ric o s y lo s m o d e lo s d e a p lic a c ió n del p re sen te tex to se
re fie re n d esd e el d e ta lla d o d el re fu e rz o y la p ro tec ció n que le s u m in is tra el
c o n c re to h a sta la u tiliz a c ió n del m o d elo p u n ta l-te n s o r en u n d iseñ o de una
cim e n ta c ió n s o b re p ilo te s, p asa n d o p o r las c o n sid e ra c io n e s d e an á lisis y
d ise ñ o d el lo s e le m e n to s e stru c tu ra le s de c o n c re to re fo rza d o , lo s re q u isito s
p a ra la in te g rid a d e stru c tu ra l, la u tiliz a c ió n d e la s ca rg a s p re sc rita s en los
T ítu lo s A y B d el R eg lam en to , el m ó d u lo de e la sticid ad , lo s re q u is ito s de
re siste n c ia y fu n c io n a m ie n to d e re c ie n te a c tu a liz a c ió n , las s u p o s ic io n e s de
d ise ñ o y su a d e c u a c ió n a las e s p e c ific a c io n e s d e se c c io n e s c o n tro la d a s p or
tra c c ió n d e sp la z a n d o la lim ita c ió n de c u a n tía d e R e g la m e n to s an terio res, la
a c tu a liz a c ió n de las ta b la s d e d ise ñ o a la flex ió n p o r lo s m éto d o s e lá stic o y
d e la re siste n c ia , la d istrib u c ió n del re fu erz o en flex ió n en v ig a s y lo sas en
u n a d irec ció n , las d im e n sio n e s d e d iseñ o , lo s lím ites del re fu e rz o y los
e fe c to s d e e sb e lte z en e le m e n to s so m e tid o s a flex ió n y c a rg a ax ial, el
tra ta m ie n to de la re siste n c ia al c o rta n te y el d iseñ o d e lo s re fu erz o s
c o rre sp o n d ie n te s, las lo n g itu d e s de d esa rro llo y em p a lm e s d e re fu e rz o co n
ta b u la c io n e s a c tu a liz a d a s in clu y e n d o la s q u e c o rre sp o n d e n a las
d e n o m in a d a s b a rra s de re fu erz o co n cab eza, las m e to d o lo g ía s d e d ise ñ o de
a c u e rd o al u so e n el p aís p a ra el d iseñ o de lo sas en u n a y d o s d ire c c io n e s, la
a c tu a liz a c ió n en el d ise ñ o de las fu n d a c io n e s so b re za p atas, p ilo te s y c a jo n e s
XIII
Capítulo 1 M ateriales
E structuras de C oncreto I
d e c im e n ta c ió n , lo re la c io n a d o co n lo s m u ro s d e c o n te n c ió n y lo s re q u isito s
a c tu a le s p a ra el d ise ñ o d e e stru c tu ra s sism o re siste n te s, en tre otros.
A l té rm in o d e lo s tra b a jo s re la c io n a d o s c o n e sta ed ició n , e x p re so m is
a g ra d e c im ie n to s a las D ire c tiv a s de la F a c u lta d de In g e n ie ría
d e la
U n iv e rsid a d N a c io n a l de C o lo m b ia, a su D e c a n o el In g e n ie ro D ieg o
F e rn a n d o H e rn á n d e z L o sa d a p o r su p e rm a n e n te a p o y o y e stím u lo , al
C o n se jo D ire c tiv o y a la In g e n ie ra C aro l A n d re a M u rillo F eo , D ire c to ra del
D e p a rta m e n to de In g e n ie ría C iv il y A g ríc o la , q u ie n a su v e z tu v o a bien
h a c e r la p re se n ta c ió n del tex to co n g e n e ro sa s p a la b ra s q u e h o n ra n al autor.
Ig u a lm e n te e x p reso m i a g ra d e c im ie n to al In g e n ie ro C a rlo s E n riq u e V e le z
A y a la , q u ien d irig ió el e q u ip o d e e d ic ió n en la tra n sc rip c ió n d el m an u sc rito
al tex to fin al y su co rre c c ió n y al In g e n ie ro C a m ilo C o n tre ra s R o jas p o r su
c o la b o ra c ió n en la re v isió n y a c tu a liz a c ió n de las tab la s q u e a c o m p a ñ a n el
tex to , a m b o s ex alu m n o s d e m is c u rso s y d e e x c e le n te
d ese m p e ñ o
a c a d é m ic o y p ro fe sio n a l y u n e sp e c ia l a g ra d e c im ie n to al s e ñ o r G a b riel
A y a la B la n c o p o r su p a c ie n te y m u y m e tó d ic a la b o r en la p a rte ed ito rial.
T a m b ié n , co m o en las e d ic io n e s an te rio re s, h a g o u n p ú b lic o re c o n o c im ie n to
a lo s co leg a s, alu m n o s y e x -a lu m n o s y a la c o m u n id a d d e in g e n ie ro s
p ro c e d e n te s d e to d o s los rin c o n e s d el p aís, c u y a s s u g e re n c ia s re c ib id a s
so b re la e d ic io n e s a n te rio re s y las a n u n c ia d a s en la s p re se n ta c io n e s
e fe c tu a d a s c o n m o tiv o d e la a c tu a liz a c ió n d el T ítu lo C - C o n cre to
E stru c tu ra l - d el R e g la m e n to c o lo m b ia n o , fu e ro n e s p e c ia lm e n te ú tile s para
lle v a r a fe liz té rm in o el p re se n te trab ajo .
J o rg e Ig n a c io S e g u ra F ran co
XIV
Capítulo 1
MATERIALES
Capítulo 1 M ateriales
Estructuras de C oncreto I
CONCRETO, REFUERZO Y CONCRETO REFORZADO
D E F IN IC IO N E S
C o n cr eto
M ateria l e stru c tu ra l q u e se fo rm a p o r m e d io de la m e z c la h o m o g é n e a d e los
a g re g a d o s in e rte s fin o s o a re n a , a g re g a d o s g ru e so s o g ra v a, u n lig a n te q u e es
el ce m e n to h id rá u lic o y ag u a , c o n o sin ad itiv o s.
C o n cr eto liv ia n o
C o n c re to co n a g re g a d o fin o y g ru e so d e p e so liv ia n o y q u e c u m p le c o n lo
e sp e c ific a d o en N T C 4 0 4 5 (A S T M C 3 3 0 ).
A cero d e r e fu e r z o p a ra el co n cr eto
A c e ro en b a rra s c o rru g a d a s q u e c u m p le n co n la n o rm a N T C 2 2 8 9 (A S T M
A 7 0 6 M ), b a rra s d e a c ero in o x id a b le fa b ric a d a s b a jo la n o rm a A S T M
A 9 5 5 M sie m p re y c u a n d o q u e c u m p la n co n la n o rm a N T C 2 2 8 9 (A S T M
A 7 0 6 M ), re fu e rz o en b a rra s lisas d e a c u e rd o a la n o rm a N T C 161 (A S T M
A 6 1 5 M ) p e rm itid o só lo p a ra estrib o s, re fu e rz o de re tra c c ió n y te m p e ra tu ra o
re fu e rz o en esp ira l y c u a n d o c o n fo rm a m a lla s ele c tro so ld a d a s, a la m b re de
re fu e rz o e le c tro so ld a d o liso q u e d eb e c u m p lir la n o rm a N T C 1925 (A S T M
A 1 8 5 M ), a la m b re d e re fu e rz o e le c tro so ld a d o c o rru g a d o d e a c u e rd o a la
n o rm a N T C 2 3 1 0 (A S T M A 4 9 7 M ). E l a c ero de re fu e rz o se c o lo c a en el
c o n c re to p a ra a b s o rb e r e sfu e rz o s d e trac ció n , de c o m p re sió n de c o rta n te y
d e to rsió n . P a ra c o rta n te ta m b ié n se p u e d e n u tiliz a r lo s p e rn o s co n c a b e z a y
d e b e n c u m p lir la n o rm a A S T M A 1 0 4 4 M y las fib ra s d e a c ero d e fo rm a d a s
d isp e rsa s y d e b e n c u m p lir N T C 5 2 1 4 (A S T M A 8 2 0 M ).
C o n c r e to r e fo rz a d o
C o n c re to al cu a l se le h a a d ic io n a d o u n re fu e rz o d e a c ero en b a rra s , m a lla s
ele c tro so ld a d a s, p e rn o s co n c a b e z a y fib ras de a c ero d e fo rm a d a s d isp ersa s
p a ra a b s o rb e r los e sfu e rz o s q u e el co n c re to p o r su p ro p ia c o n d ic ió n n o lo
3
Estructuras de C oncreto I
C apitulo 1 M ateriales
p u e d e h a c e r, p e ro e n te n d ié n d o se q u e el tra b a jo d e los dos m a te ria le s es de
c o n ju n to , es d ec ir, a p a rtir d e la c o m p a tib ilid a d d e d e fo rm a c io n e s d e los dos
m ateria le s.
>o
« fe
C A R A C T E R IS T IC A S D E L O S M A T E R IA L E S
& 0°)
C
o l-l
o oG
o
o
o
tí
<u
E n u n c ia m o s las p rin c ip a le s c a ra c te rístic a s d e u so in m e d ia to en el d ise ñ o de
e le m e n to s e stru c tu ra le s d e co n c re to re fo rza d o :
CONCRETO:
-R e s iste n c ia e sp e c ific a d a d el c o n c r e to a la c o m p r e s ió n :(r c ): D e fin e la
c a lid a d d el m a te ria l y c o rre sp o n d e a la re sis te n c ia a la c o m p re sió n e n M P a
q u e se u tiliz a en el d ise ñ o d e los e le m e n to s e stru c tu ra le s y se d e te rm in a
co m o el p ro m e d io d e las re siste n c ia s d e al m e n o s d o s p ro b e ta s d e 150 p o r
3 0 0 m m o d e al m e n o s tre s p ro b e ta s d e 100 p o r 2 0 0 m m , p re p a ra d a s d e la
m ism a m u e stra d e c o n c re to y e n sa y a d a s a 28 d ías o a la ed a d de en say o
e sta b le c id a .
S eg ú n el R e g la m e n to C o lo m b ia n o N S R -1 0 , p a ra el c o n c re to e stru c tu ra l f'c
n o d e b e se r in fe rio r a 17 M P A .
E n la fig u ra 1.1, p re se n ta m o s c u rv a s típ ic a s e s fu e rz o -d e fo rm a c ió n u n ita ria a
la c o m p re sió n p a ra c o n c re to s de f e - 3 5 .2 M P a (3 5 2 k g f/c m 2 o 5 0 0 0 p si),
28.1 M P a (281 k g f/c m 2 o 4 0 0 0 p si) y 21.1 M P a (211 k g f/c m 2 o 3 0 0 0 psi);
se llam a la a te n c ió n d el le c to r so b re la p a rte in icial d e las m ism a s
a p ro x im a d a s a u n as re c ta s en las q u e se p u e d e c o n c lu ir la p ro p o rc io n a lid a d
e n tre las d e fo rm a c io n e s y los e sfu e rz o s q u e las p ro d u c e n . P o r e sta razó n ,
e sta p rim e ra p a rte ta m b ié n se d e n o m in a p o rc ió n e lá s tic a d e la curva.
D e fo rm a c ió n u n i t a r i a
F ig u r a l .l
-R e siste n c ia a la tra cció n : S u v a lo r es p o c o d e te rm in a d o y d e p e n d e del
tip o d e e n sa y o co n el cu al se tra b a ja y d el tip o de a g re g a d o s u tiliz a d o s. E n
cu a n to a los tip o s d e en sa y o s, e x iste n e n sa y o s d e te n sió n d irec ta, d e te n sió n
in d ire c ta y ta m b ié n se p u e d e d e te rm in a r en té rm in o s d el m ó d u lo d e ro tu ra
fr. L a re siste n c ia a la tra c c ió n es de e sp e c ia l im p o rta n c ia en la re s is te n c ia d el
c o n c re to al c o rta n te , to rsió n y o tras accio n es.
-C o e fic ie n te de d ila ta c ió n té rm ica : L o s e fe c to s d e los c a m b io s de
te m p e ra tu ra (e x p a n s ió n y c o n tra c c ió n ) en el v o lu m e n d el c o n c re to so n m u y
sim ilares a lo s d el a c ero d e re fu e rz o y se p u e d e n to m a r a p ro x im a d a m e n te
co m o :
a =
0.00001
p o r u n g ra d o ce n tíg ra d o
P o r ta n to , p a ra el c á lc u lo d e las d e fo rm a c io n e s p o r c a m b io s d e te m p e ra tu ra
p u e d e c o n s id e ra rs e a p ro x im a d a m e n te 0 . 0 1 m m p o r m e tro y p o r g rad o
ce n tíg rad o .
-P eso : v a ria b le seg ú n las p ro p o rc io n e s d e la m e z c la y la c a lid a d d e los
ag re g a d o s. D e a c u e rd o al R e g la m e n to N S R -1 0 (S e c c ió n B .3 .2 ) se p u e d e n
to m a r lo s sig u ie n te s v alo res:
4
5
E structuras de C oncreto I
Capítulo 1 M ateriales
C o n c re to sim p le :
23 k N /m 3
C o n c re to re fo rz a d o :
2 4 k N /m 3
-R e tr a c c ió n d e fr a g u a d o : d ism in u c ió n d e v o lu m e n d el c o n c re to p o r la
a c c ió n del p ro c e so d e fra g u a d o y la p é rd id a d e a g u a o sec ad o . A m e d id a q u e
el c o n c re to se seca, se re tra e en v o lu m en . Ig u a lm e n te si el c o n c re to se c o se
s u m e rg e en el ag u a , se ex p a n d e y e sto s p ro c e s o s p u e d e n c a u sa r
ag rie ta m ie n to s q u e es n e c e sa rio c o n tro la r. P o r lo ta n to , este p ro c e s o d ep e n d e
en alg u n a fo rm a d el g ra d o d e a b s o rb e n c ia d e los a g re g a d o s y su
c o rre sp o n d ie n te control.
-F lu e n c ia len ta : D e fo rm a c ió n ad ic io n a l a la e lá stic a a d q u irid a p o r el
c o n c re to so m etid o a c a rg a p e rm a n e n te y d e la cu a l n o se re cu p era.
-M o d u lo d e ela stic id a d o F lu jo P lá stic o (C r eep ): C o rre sp o n d e a l a
re la c ió n en tre el e sfu erzo y la d e fo rm a c ió n u n ita ria q u e este p ro d u c e
y es la p e n d ie n te del tra m o re c to in icial d e la c u rv a e s fu e rz o -d e fo rm a c ió n
u n ita ria y a u m e n ta co n la re s iste n c ia d el c o n c re to . S e g ú n el R e g la m e n to
N S R -1 0 (A rtíc u lo C .8 .5 .1 ), el m ó d u lo d e e la stic id a d , Ec, p a ra el c o n c re to
p u e d e to m a rse co m o w c ~ * 0 . 0 4 3 ^ (en M P a ) p a ra v a lo re s d e w c
c o m p re n d id o s e n tre 1440 y 2 5 6 0 kg/m~. P a ra c o n c re to s d e d e n sid a d n o rm al,
Ee p u e d e to m a rse co m o 4 7 0 0 ^
A m o d o d e g u ía, a c o n tin u a c ió n se p re se n ta n lo s re su lta d o s de u n a serie de
in v e stig a c io n e s e x p e rim e n ta le s n a c io n a le s re alizad a s en la U n iv e rsid a d
Ja v e ria n a de B o g o tá p o r m ed io d e las cu ales se lo g raro n co rrelac io n e s
e stad ísticas del m o d u lo d e e la stic id a d del c o n c re to Ec. E n estas
in v e stig a c io n e s se a p lic o el sesg o n e c e sa rio p a ra te n e r en cu e n ta q u e en las
e c u a c io n e s p a ra o b te n e r el m ó d u lo se in tro d u ce el v a lo r n o m in al d e fe de
a c u e rd o co n las re siste n c ia d e d ise ñ o y el co n c reto en la estru c tu ra en
re a lid a d te n d rá u n a re s is te n c ia m ay o r. El sesg o se o b tu v o de la m ism a
p o b la c ió n u s a d a p a ra c a lc u la r el m o d u lo d e e la stic id a d del co n c reto
u tiliza n d o la e sta d ís tic a de la d ife re n c ia en tre la re siste n c ia n o m in al y real
del co n c re to en sa y ad o . E l tra b a jo in v estig ativ o de a p lic a c ió n del sesg o lo
re alizó u n a e stu d ia n te d e p o stg ra d o d e la U n iv e rsid a d de los A n d e s de
B o gotá.
E n caso d e q u e n o se d isp o n g a d e este v a lo r e x p e rim e n ta l, p ara co n creto s
cu y a m asa u n ita ria v a rié e n tre 1440 y 2 4 6 0 k g /m 3, p u e d e to m a rse co m o :
P a ra a g re g a d o g ru e so d e o rig e n ígneo:
Ec= w
c ''5
tra z a d a d esd e u n e sfu erzo n u lo h a sta u n e sfu e rz o d e c o m p re sió n d e 0 . 4 5 f e .
E l m o d u lo d e e la stic id a d d el c o n c re to es s e n sib le al m o d u lo d e e la s tic id a d
d el a g re g a d o y p u e d e d ife rir d el v a lo r e sp e c ific a d o . L o s v a lo re s m ed id o s
v aría n típ ic a m e n te d e 120 a 80 p o r c ie n to d el v a lo r e sp e c ific a d o . L a N o rm a
N T C 4 0 2 5 (A S T M C 4 6 9 c 8 8) se d e sc rib e n m é to d o s p a ra la d e te rm in a c ió n
del m o d u lo d e e la s tic id a d del co n c reto . A llí se in d ica, ad e m á s co m o m e d ir
el M ó d u lo d e P o isso n . E n c a so d e q u e n o se d isp o n g a d e u n v a lo r
e x p e rim e n ta l el m ó d u lo de P o isso n p u e d e to m a rse co m o 0.20.
6
en M P a
P a ra a g re g a d o g ru e so d e o rig e n m etam ó rfico :
Ec = w
P o r c o n s id e ra rlo d e im p o rta n c ia p a ra el lecto r, tra n s c rib im o s el artíc u lo
C R 8 .5 .1 d el R e g la m e n to N S R -1 0 . “L o s e stu d io s q u e c o n d u je ro n a la
e x p re sió n q u e tra d ic io n a lm e n te h a c o n te n id o p a ra el m o d u lo d e e la s tic id a d
del c o n c re to el R e g la m e n to A C I 318 en C .8 .5 .1 . se re su m e n en la
R e fe re n c ia C .8 .7 en d o n d e E c se d e fin e co m o la p e n d ie n te d e la sec an te
* 0.047
c15
* 0 .0 4 1 7 ÍT
en M P a
P ara a g re g a d o g ru e so d e o rig e n sed im en tario :
Ec= w
, 15
* 0 .0 3 1 ^
en M P a
El v a lo r m e d io p a ra to d a la in fo rm a c ió n e x p e rim e n ta l n a c io n a l, sin
d is tin g u ir p o r tip o de a g re g a d o , es :
Ec = w
c 15
* 0 .0 3 4 ^
en M P a
C u a n d o n o se d isp o n g a d el v a lo r d e la m a sa u n ita ria del co n c reto ,
p u e d e u tiliza rse:
7
Capítulo 1 M ateriales
Estructuras de C oncreto I
P ara a g reg ad o g ru e so d e o rig e n ígneo:
en M P a
Ec= 5 5 0 0 ^
P a ra a g reg ad o g ru e so d e o rig en m e ta m ó rfíc o :
E c = 4700 J f J
en M Pa
P a ra a g re g a d o g ru e so d e o rig e n sed im en tario :
E c = 3600 V C
en M P a
E l v a lo r m ed io p a ra to d a la in fo rm a c ió n e x p e rim e n ta l n a c io n a l, sin
d is tin g u ir p o r tip o d e a g re g a d o , es:
Ec = 3
9
0
0
F ig u ra 1.2
en M P a”
ACERO DE REFUERZO PARA EL CONCRETO:
-R e siste n c ia n o m in a l a la flu e n c ia (p u n to d e flu e n c ia ) d el a ce ro de
r e fu erz o (fy): D e fin e la ca lid a d d el m a te ria l y c o rre sp o n d e a la re siste n c ia a
lo s e sfu e rz o s d e tra c c ió n y c o m p re s ió n en M P a en el lím ite o p u n to de
flu e n c ia fy y q u e se u tiliz a en el d ise ñ o d e los e le m e n to s e stru c tu ra le s. E n la
fig u ra 1 . 2 se p re se n ta n c u rv a s típ ic a s tra c c ió n -d e fo rm a c ió n p a ra ac e ro s
-R e siste n c ia a la F a tig a : P ara e le m e n to s e stru c tu ra le s d e co n c re to
re fo rz a d o so m e tid o s a u n a im p o rta n te re p e tic ió n de cic lo s d e e sfu e rz o s se
p re s e n ta el fe n ó m e n o d e la fa tig a . L a fa tig a de m e ta le s se m a n ifie s ta en
fisu ra s m ic ro sc ó p ic a s, u su a lm e n te en los p u n to s de c o n c e n tra c ió n de
e sfu e rz o s o en zo n a s d e d isc o n tin u id a d e s y p u e d e p ro d u c ir fa lla sú b ita o
frágil.
CO NCRETO REFO RZADO :
d e fy = 2 4 0 M P a (2 4 0 0 k g f/c m 2 o 3 4 0 0 0 p si), 3 5 0 M P a (3 5 0 0 k g f/c m 2 o
5 0 0 0 0 p si) y 4 2 0 M P a (4 2 0 0 k g f/c m 2 o 6 0 0 0 0 p s i) q u e c o rre sp o n d e n a u n a
c la s ific a c ió n m u y g e n e ra l d e ac ero s d e b a ja , m e d ia n a y alta re sisten c ia,
re sp e c tiv a m e n te .
A c o n tin u a c ió n se en u n c ia n a q u e lla s c a ra c te rístic a s de lo s m a te ria le s que
co n v ie rte n la c o m b in a c ió n c o n c re to y a c ero d e re fu e rz o en u n efic ie n te
m a te ria l estru c tu ral:
Se d e sta c a q u e e sto s e sfu e rz o s d e tra c c ió n y d e c o m p re sió n en el lím ite
e x p re sa d o so n g e n e ra lm e n te iguales.
L a n o ta b le re s is te n c ia a la c o m p re sió n del c o n c re to y a la tra c c ió n del
a c ero h a c e n p o sib le c o m b in a rlo s d e n tro de la se c c ió n e stru c tu ra l en
fo rm a tal q u e los d o s m a te ria le s se u tiliz a n d e u n a m a n e ra ó p tim a.
-M ó d u lo d e ela sticid a d : C o rre sp o n d e a la re la c ió n e n tre el e sfu e rz o de
tra c c ió n o d e c o m p re sió n y la d e fo rm a c ió n u n ita ria q u e este p ro d u c e. S eg ú n
el R e g la m e n to N S R -1 0 , el m ó d u lo d e e la stic id a d , Es, p a ra el a c ero de
re fu e rz o n o p re e sfo rz a d o p u e d e to m a rse com o:
Es = 200000 M Pa
L a re la tiv a s im ilitu d d e los c o e fic ie n te s de d ila ta c ió n té rm ic a d e am b o s
m a te ria le s p e rm ite su c o m b in a c ió n p a ra se r so m e tid a a d e fo rm a c io n e s
p o r c a m b io s d e te m p e ra tu ra n o rm a le s p a ra estru c tu ras.
E l c o n c re to a c tú a co m o p ro te c to r d el a c ero c u y a re s is te n c ia a la
c o rro sió n es m u y b aja.
9
E structuras de C oncreto I
C apítulo 1 M ateriales
L a b aja c o n d u c tiv id a d té rm ic a d el c o n c re to re s u lta útil p ro te g ie n d o al
a c e ro en el caso d e e stru c tu ra s e x p u e sta s tra n s ito ria o p e rm a n e n te m e n te
al fuego.
T abla 1.2 D im en sion es n om in ales de las barras de refu erzo, con d iám etros
basados en m ilím etros.
D IM E N S IO N E S N O M IN A L E S
D e s ig n a c ió n
C o m o c o m p le m e n to d e lo a n te rio rm e n te e x p u e sto , a co n tin u a c ió n se
p re s e n ta n a lg u n o s ejem p lo s d e c a lid a d e s d e c o n c re to co n su s ca rac te rístic as
y u n lista d o re su m e n d e las d im e n s io n e s n o m in a le s y los p e so s d e las b arras
de a c ero d e re fu e rz o , tal co m o fig u ra n en el R e g la m e n to N S R -1 0 .
Tabla 1.1 C alidades del concreto según su resistencia especificada a la
com presión, esfuerzo m áxim o adm isible de com presión por flexión, m ódulo de
elasticidad según el Reglam ento NSR-10 y la relación de los m ódulos de
elasticidad acero/concreto:
E s fu e rz o
m á x im o
R e s is te n c ia e s p e c ific a d a a la
c o m p r e s ió n f '
a d m is ib le de
c o m p re s ió n p o r
fle x ió n :
fc= 0 .4 5 f '
M Pa
M ó d u lo de
e la s tic id a d
Ec = 4 7 0 0 / ^ M
M Pa
14.1
2000
6.3
17.6
21.1
2 4 .6
28.1
2500
3000
3500
4000
17600
19700
21600
3 1 .6
3 5 .2
4500
5000
15.8
10
A re a s e c c ió n
mm2
P e rím e tro
mm
M asa
6M
6.0
2 8 .3
18.85
0 .2 2 2
8M
8.0
50.3
2 5 .1 4
0 .3 9 4
10M
10.0
78.5
3 1 .4 2
0 .6 1 6
12M
12.0
113.1
3 7 .7 0
0 .8 8 7
16M
16.0
201.1
5 0 .2 7
1.577
18M
18.0
2 5 4 .5
5 6 .5 5
1.996
20M
2 0 .0
3 1 4 .2
6 2 .8 3
2 .4 6 5
2 .9 8 2
k g /m
22M
2 2 .0
380.1
6 9 .1 2
25M
2 5 .0
4 9 0 .9
7 8 .5 4
3.851
32M
3 2 .0
8 0 4 .2
100.53
6 .3 0 9
45M
4 5 .0
1 5 9 0 .4
1 4 1 .3 7
1 2 .4 7 7
55M
5 5 .0
2 3 7 5 .8
172.79
1 8 .6 3 8
n=
e x p e rim e n ta c ió n
n a c io n a l
M pa
12.6
14.2
D iá m e tro
mm
V a lo r m e d io s e g ú n
p .s.i.
7.9
9.5
11.1
Pa
d e la b a rra
No
23300
24900
26400
27800
Tabla 1.3 D im ensiones nom inales de las barras de refuerzo, con diám etros
basados en octavos de pulgada.
11.4
10.2
9.3
8.6
8 .0
7.6
7.2
D e s ig n a c ió n
d e la b a rra
D iá m e tro de
re f e re n c ia en
No
p u lg a d a s
D IM E N S IO N E S N O M IN A L E S
D iá m e tro
mm
A re a s e c c ió n
mm
P e rím e tro
mm
M asa
k g /m
2
1/4
6.4
32
2 0 .0
0 .2 5 0
3
3 /8
9.5
71
3 0 .0
0 .5 6 0
4
1/2
12.7
129
4 0 .0
0 .9 9 4
5
5/8
15.9
199
5 0 .0
1.552
6
3 /4
19.1
284
6 0 .0
2 .2 3 5
7
7/8
2 2 .2
387
7 0 .0
3 .0 4 2
8
1
2 5 .4
510
80 .0
3 .9 7 3
645
9 0 .0
5 .0 6 0
6 .4 0 4
9
1-1/8
2 8 .7
10
1-1/4
32 .3
819
101.3
11
1-3/8
35 .8
1006
112.5
7 .9 0 7
14
1-3/4
4 3 .0
1452
135.1
11 .3 8 0
18
2 -1 /4
57.3
2581
180.1
2 0 .2 4 0
11
Capítulo 2 Flexión
Estructuras de C oncreto I
T abla 1.4 A lam bre de refuerzo estándar de la ASTM .
Tamaño MW y MD
Liso
MW 290
MW 200
MW 130
MW 120
MW 100
MW 90
MW 80
MW 70
MW 65
MW 60
MW 55
MW 50
MW 45
MW 40
MW 35
MW 30
MW 25
MW 20
MW 15
MW 10
MW 5
Diámetro
nominal
Corrugado
MD 200
MD 130
MD 120
MD 100
MD 90
MD 80
MD 70
MD 65
MD 60
MD 55
MD 50
MD 45
MD 40
MD 35
MD 30
MD 25
15.95
12.90
12.40
11.30
10.70
10.10
9.40
9.10
8.70
8.40
8.00
7.60
7.10
6.70
6.20
5.60
5.00
4.40
3.60
2.50
As - mm2 por metro
Espaciamiento centro a centro, mm
Masa
nominal
kg/m
50
75
100
150
200
250
300
1.5700
1.0204
0.9419
0.7849
0.7064
0.6279
0.5494
0.5102
0.4709
0.4317
0.3925
0.3532
0.3140
0.2747
0.2355
0.1962
0.1570
0.1177
0.0785
0.0392
4000
2600
2400
2000
1800
1600
1400
1300
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
2700
1700
1600
1300
1200
1100
930
870
800
730
670
600
530
470
400
330
270
200
130
67 |
2000
1300
1200
1000
900
800
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
1300
870
800
670
600
530
470
430
400
370
330
300
270
230
200
170
130
100
70
33
1000
650
600
500
450
400
350
325
300
275
250
225
200
175
150
125
100
75
50
25
1160
800
520
480
400
360
320
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
970
670
430
400
330
300
270
230
220
200
180
170
150
130
120
100
83
67
50
33
17
Capítulo 2
FLEXION
12
E structuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
F L E X IO N
E ste c a p ítu lo e stu d ia la fle x ió n p a ra las v ig a s d e c o n c re to re fo rz a d o
m e d ian te d o s p ro c e d im ie n to s q u e tra ta re m o s en su o rd en . In ic ia lm e n te el
p ro c e d im ie n to de d ise ñ o a la fle x ió n p o r el m é to d o d e lo s e sfu e rz o s
ad m isib le s, e sfu e rz o s de tra b a jo o m é to d o elástico , y p o s te rio rm e n te el
d en o m in ad o m éto d o d e re siste n c ia o d e la re siste n c ia ú ltim a.
M ETODO
DE
LOS
ESFU ER ZO S
A D M IS IB L E S
O
M ETODO
E L A S T IC O
Se p re sen ta el M é to d o d e los E sfu e rz o s A d m isib le s o M é to d o E lá stic o p o r
las sig u ien tes ra z o n e s, p rin cip a lm en te :
1.
2.
3.
4.
L o s R eq u isito s d e R e g la m e n to p a ra C o n c re to E stru c tu ra l (A C I 3 1 8 S 0 8 ), q u e es el d o c u m e n to b a se p a ra la e la b o ra c ió n d e l T itu lo C C o n cre to E stru c tu ra l - d el R e g la m e n to C o lo m b ia n o d e D ise ñ o y
C o n stru c c ió n S ism o R esiste n te s (N S R -1 0 ), in c lu y e , en el co m e n ta rio
R 1.1, la p o s ib ilid a d d e u s a r este m é to d o en lu g a r d e las se c c io n e s q u e
c o rre sp o n d a n en ese R eg lam en to .
E l R e g la m e n to N S R -1 0 en el c o m en ta rio C R 1.1 ta m b ié n a c e p ta su
u tiliz a c ió n co m o u n M é to d o A lte rn a tiv o d e D iseñ o p a ra e le m e n to s de
co n c re to n o p re -e s fo rz a d o s e m p le a n d o ca rg a s d e se rv ic io y e sfu e rz o s
a d m isib le s d e se rv ic io y sus re q u isito s se e n c u e n tra n en el T itu lo C ,
A p é n d ic e C -G .
U n n ú m e ro im p o rta n te d e e stru c tu ra s se h a n d ise ñ a d o y seg u irá n
d ise ñ a n d o c o n este m é to d o , p o r lo q u e se c o n sid e ra in d is p e n s a b le su
c o n o c im ie n to p o r p a rte d el p ro fe sio n a l en ejercicio .
S u e stu d io es d e e sp e c ia l im p o rta n c ia en la fo rm a c ió n a c a d é m ic a de los
e stu d ia n te s d e e sta área.
E x iste n do s h ip ó te sis fu n d a m e n ta le s en la te o ría e lá stic a y p o r c o n s ig u ie n te
en su a p lic a c ió n a la v ig a d e co n creto :
- L a se c c ió n d e u n a v ig a so m e tid a a fle x ió n es p la n a an tes y d e sp u é s de
c a rg a d a o d efo rm ad a. Se c o n c lu y e e n to n c e s q u e las d e fo rm a c io n e s de las
fib ras so n p ro p o rc io n a le s a su d ista n c ia al eje n eu tro .
15
Capítulo 2 Flexión
Estructuras de C oncreto I
- L as d e fo rm a c io n e s de las fib ra s son p ro p o rc io n a le s a los e sfu e rz o s q u e las
d e fo rm a n con u n a c o n sta n te d e p ro p o rc io n a lid a d q u e es el m ó d u lo de
ela stic id a d (L e y de H o o k e).
L a a p lic a c ió n d e e stas h ip ó te sis p a ra u n a se c c ió n re c ta n g u la r (b x h)
h o m o g é n e a y elá stic a en e q u ilib rio im p lic a ría d ia g ra m a s d e d e fo rm a c io n e s y
e sfu e rz o s seg ú n e sq u e m a s ad ju n to s:
f = ^
I
f* —
M = - ^
h
= i-fb h 2
6
2
que p e rm ite d is e ñ a r (o b te n e r b x h) en u n a se c c ió n h o m o g é n e a y e lá s tic a a
p a rtir d el m o m e n to a c tu a n te M , si se c o n o c e el e sfu e rz o a d m isib le o de
trab a jo f.
A l a p lic a r la te o ría a n te rio r a u n a v ig a de só lo c o n c re to c a rg á n d o la
g ra d u a lm e n te , m u y p ro n to se e n c u e n tra co n el a g rie ta m ie n to d el c o n c re to a
trac ció n , lo cu a l o b lig a a re e m p la z a rlo en el d iag ra m a d e e sfu e rz o s p o r un
re fu e rz o m e tá lic o en u n a p ro p o rc ió n tal q u e su tra b a jo c o rre s p o n d a a
e sfu e rz o s y d e fo rm a c io n e s ad m isib le s. P o r o tra p arte , a u n q u e las
d e fo rm a c io n e s d e l c o n c re to a la c o m p re s ió n n o so n p ro p o rc io n a le s a las
c a rg as q u e las p ro d u c e n , p a ra u n ra n g o d e e sfu e rz o s p e q u e ñ o s la cu rv a
e s fu e rz o s -d e fo rm a c io n e s se ac erc a a la re c ta y p u e d e a c e p ta rse la ley de
v a ria c ió n lin eal de lo s esfu e rz o s. D e e sta m a n e ra se tie n e e n to n c e s el
d e n o m in a d o m é to d o d e d ise ñ o elá stic o , m éto d o de lo s e sfu e rz o s d e tra b a jo o
de los e sfu e rz o s ad m isib le s.
F ig u ra 2.1
El m o m e n to in te rio r re sisten te , ig u al al e x te rio r a c tu a n te , será:
A l v a ria r la p ro p o rc ió n d el a c e ro en la se c c ió n se g e n e ra n las sig u ien tes
c lase s d e d is e ñ o d en tro d e l c ita d o m éto d o elástico :
D ise ñ o b a la n c e a d o
M = C * —h = T * —h
3
3
en d o n d e C = T = i * f b * — = - f b h
2
2
4
1
2
1
,
" ^ = —fbh * —h = - f b h ~ , e x p re sió n e sta sim ila r a la o b te n id a en
la a p lic a c ió n d e la fó rm u la d e la flex ió n :
L o s m a te ria le s se h a n p ro p o rc io n a d o de tal fo rm a q u e lo s e sfu e rz o s
o b te n id o s p a ra a m b o s, c o n c re to y re fu e rz o , so n los d e trab ajo .
D ise ñ o s o b r e r e fo rz a d o
L a p ro p o rc ió n d el re fu e rz o es e x c e siv a en la se c c ió n , d e tal m a n e ra q u e si se
lle v a ra a la fa lla , e sta se in ic ia ría en el co n c re to (falla sú b ita).
17
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
D ise ñ o su b -r e fo r z a d o
k = c o n sta n te m e n o r q u e la u n id a d q u e m u ltip lic a d a p o r la a ltu ra
efe c tiv a e q u iv a le a la p ro fu n d id a d (k d ) del e je n eu tro ;
L a p ro p o rc ió n del re fu e rz o es esc a sa en la sec ció n , d e tal m a n e ra q u e si se
lle v a ra a la falla, e sta se in ic ia ría en el a c ero (fa lla lenta).
j = c o n sta n te m e n o r q u e la u n id a d q u e m u ltip lic a d a p o r la a ltu ra
efe c tiv a e q u iv a le al b ra z o (jd ) d el p a r in te rio r re siste n te ;
D iseñ o ó p tim o
f
E s u n d ise ñ o su b -re fo rz a d o en d o n d e la p ro p o rc ió n fin al en los m a te ria le s
o b e d e c e a un e stu d io d e co sto s.
= e sfu erzo m á x im o a d m isib le o d e trab a jo d el c o n c re to a c o m p re sió n ;
f s = e sfu erzo m á x im o a d m isib le o d e tra b a jo d el a c e ro a trac ció n ,
V IG AS REC T A N G U L A R E S C O N A R M A D U R A A T R ACC IO N
se obtiene:
Se d e d u c irá n las p rin c ip a le s e x p re sio n e s u tiliz a b le s p a ra el d ise ñ o d e v ig as
re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a tra c c ió n , se g ú n el m é to d o elástico , y su fo rm a
d e tab u lac ió n .
a)
D el d ia g ra m a d e d e fo rm a c io n e s:
— = —
d -k d
kd
en d o n d e: £ s = — ;
Es
sc = —
Ec
y
n Ec
A p a rtir del fu n c io n a m ie n to d e la se c c ió n c o n su s d ia g ra m a s d e e sfu e rz o s y
d e fo rm a c io n e s se g ú n la figura:
y
f c = n * l-k
0)
e x p re sio n e s q u e re la c io n a n lo s e sfu e rz o s en los m a te ria le s c o n la
p ro fu n d id a d d el e je n eu tro .
f
L lam an d o r =
F ig u ra 2.2
r = n
1
_k
k
s
fe
se ob tien e:
y
k=
n + r
(2 )
en d o n d e se d en o m in a:
d - a ltu ra e fe c tiv a : d ista n c ia d e la fib ra m ás c o m p rim id a al c e n tro de
g ra v e d a d d e las á re a s d e re fu e rz o d e tra c c ió n en s e c c io n e s so m etid as a
flex ió n ;
18
o sea, la p ro fu n d id a d d el eje n e u tro p a ra el c a so en q u e se c o n o c e n los
e sfu e rz o s a lo s c u a le s está n tra b a ja n d o lo s m ate ria le s, co m o en el caso
d el d ise ñ o b ala n c e a d o .
19
E structuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
b ) D e l c o rte lo n g itu d in a l d e la viga:
jd = d - ’ kd
c)
j = í
(3)
- 1
A p a rtir d e la ig u a ld a d C = T:
As = f M
( )
f sJ d
P a ra el s e g u n d o caso : M = (1 /2 )* fckjbd 2 en d o n d e s i s e re e m p la z a fc y j en
fu n c ió n d e k y k en fu n c ió n d e p , se o b tie n e u n p ro g ra m a d e d ise ñ o c o n p en
fu n c ió n d el m o m e n to M .
C = - f ck d b = T = A sf s = p b d f s
en d o n d e:
P o r o tra p arte , lla m a n d o K = (1 /2 )* fck j, re s u lta u n a e x p re sió n ta b u la b le en
K de u tilid a d p a ra el d ise ñ o p o r e sta m o d alid ad :
„ „
j i ^
As
A re a d e l re fu e rz o
p = c u a n tía del re fu e rz o = —- =
:------bd
A re a ú til
M = K bd2
k
•■■P= 2r
(4)
e x p re sió n q u e re la c io n a la c u a n tía d el re fu e rz o c o n la p ro fu n d id a d d el
eje n e u tro y los e sfu e rz o s a los cu a le s e sta rá n tra b a ja n d o los m a te ria le s
así p ro p o rc io n a d o s en la secció n .
d)
(7)
1
M
= JJ —
—
D e aq u í se p u e d e o b ten er: d = ~ 7^ =
K \ b
d = k2
M
b
,
,
1= en to n ce s:
en
en ddoonnddee sisi k 2 -= —¡
—j =
VK
(8 )
E n el p ro c e so d e ta b u la c ió n an te s m e n c io n a d o se p ro c e d e a p a rtir d e p
D e (1 ) y (4) se obtiene:
ca lc u lan d o
P =
e)
kfc
2 fs =
2
k2
n (l-k )
2
k
+
2
" P k ~ 2 np =
0
k = -n p +
( n p )2 +
2 np
, j =
1-
^ , f c = ^S * 1 ^ k ’ K = | f ckJ Y k 2 =
'K
E x p re s a n d o la p ro fu n d id a d d el e je n e u tro en fu n c ió n d e la ca n tid a d de
re fu e rz o en la se c c ió n se tiene:
U n a m u e stra d e las ta b la s así o b te n id a s se e n c u e n tra a n e x a en el A p é n d ic e
k = - n p + \/( n p ) 2 +
A c o n tin u a c ió n se a p lic a rá n las fó rm u la s an tes d e d u c id a s en p ro b le m a s de
d iseñ o y re v isió n d e se c c io n e s re c ta n g u la re s d e c o n c re to re fo rz a d o co n
a rm a d u ra a tra c c ió n , e m p e z a n d o p o r lo s d e re v is ió n en a te n c ió n a
2 np
(5 )
F in a lm e n te , a p a rtir de M o m e n to e x te rio r a c tu a n te = M o m e n to in te rio r
re siste n te , se p lan tea :
c o n sid e ra c io n e s d id áctica s.
P ro b lem a 2.1
M = T jd = C jd
P a ra el p rim e r caso:
l.A d el p re s e n te texto.
M = A sf sj d ,
20
de d o n d e:
R e v isa r el d ise ñ o a fle x ió n p a ra m o m e n to m á x im o e n el c e n tro d e la lu z d e 8
m etro s
de
una
v ig a
sim p le m e n te
a p o y a d a so m e tid a a carg a
21
C apítulo 2 F le x ió n
Estructuras de C oncreto I
u n ifo rm e , d e te rm in a n d o el m o m e n to re sis te n te , la c a rg a w en k N /m q u e
p u e d e so p o rta r en c o n d ic io n e s d e s e g u rid a d y los e sfu e rz o s a q u e estarán
tra b a ja n d o los m ate ria le s, d e a c u e rd o a la s e c c ió n y d ato s ad ju n to s:
P a ra c a lc u la r esto s m o m e n to s se d eb e c o n o c e r a n te s k y j a p a rtir d e p :
A , = 4*0.000387 =QQ11727
P
C o n c re to :
=
R e fu e rz o : f y =
n =
21.1 M P a
bd
0 .3 0 * 0 .4 4
k = - n p + V (n p ) 2 +
2 np
120 M P a
k = - 9 .3 * 0 .0 1 1 7 2 7 + ^ ( 9 . 3 * 0 .0 1 1 7 2 7 )2 + 2 * 9 .3 * 0 .0 1 1 7 2 7
9.3
k = 0 .3 7 0 5 3 8
F igu ra 2.3
.-.
N ota:
P a ra la d istrib u c ió n d el re fu e rz o en la se c c ió n , se d e b e n te n e r en
c u e n ta las sig u ie n te s re c o m e n d a c io n e s d el R e g la m e n to N S R -1 0 so b re
re c u b rim ie n to d e las a rm a d u ra s y se p a ra c ió n lib re e n tre barras:
40 m m
J
k d (p ro fu n d id a d del eje n e u tro ) = 0 .163 m
k = 1 _ O 3 7 0 5 3 8 = 0 .8 7 6 4 8 7
3
3
1)
A rm a d u ra p rin c ip a l, e strib o s y e sp ira le s
2)
L a se p a ra c ió n lib re e n tre las b a rra s p a ra le la s c o lo c a d a s en u n a
fila o ca p a n o d eb e se r m e n o r q u e el d iá m e tro db d e la b a rra , ni
A hora:
m e n o r d e 25 m m , ni m e n o r d e 1.33 v e c e s el ta m a ñ o d el a g re g a d o
g ru e so , (v é a n se se c c io n e s C .7 .6 y C .7 .7 y su c o m p le m e n to e n C .3 .3 .2
del R e g la m e n to N S R -1 0 ).
M o m en to re siste n te a d m isib le , en u n id a d e s de kN -m , se g ú n el acero d e
S o lu ció n
S e tra ta d e o b te n e r los m o m e n to s re siste n te s p o r a c ero y p o r c o n c re to d e la
sec ció n , d e te rm in a r el a d m isib le y a p a rtir d e este, la c a rg a w en k N /m y los
e sfu e rz o s en los m ate ria le s, así:
.-.
j d (b ra z o d el p a r in te rio r re siste n te ) = 0 .3 8 6 m
re fu erz o a la tra c c ió n , M s :
M s = T * j d = A s f s * j d -4 * 0 .0 0 0 3 8 7 * 1 2 0 0 0 0 * 0 .8 7 6 4 8 7 * 0 .4 4
= 7 1 .6 4 kN -m
M o m en to re s is te n te a d m isib le , ta m b ié n en u n id a d e s d e kN -m , seg ú n
co n c re to a la co m p re sió n , M c :
1)
M o m e n to s re siste n te s p o r a c e ro y c o n c re to , M s y M c , y m o m en to
re siste n te d e la secció n .
Mc = c * j d = L ck jb d 2 =
M
= 8 9 .6 0 k N .m
* 9 5 0 0 * 0 .3 7 0 5 3 8 * 0 .8 7 6 4 8 7 * 0 .3 0 * 0 .4 4 2
el
E structuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
fe : se p u e d e c a lc u la r a p a rtir d el m o m e n to re siste n te ad o p ta d o , el cual
E l m o m e n to re siste n te d e la sec c ió n será el m e n o r d e los d o s c a lc u la d o s,
e sto es, el m o m e n to re siste n te ad m isib le seg ú n el a c e ro d e re fu e rz o a la
se ig u a la a M c :
tra c c ió n : M s = 7 1 .6 4 kN -m (d ise ñ o su b -re fo rz a d o ).
fc = 9.5 * - ^ - ^ = 7 .6 0 M P a
8 9 .60
L a c o n c lu s ió n so b re el d ise ñ o co m o s u b -re fo rz a d o se h u b ie ra p o d id o te n e r
co n a n te rio rid a d ev itá n d o n o s el c á lc u lo d e M c al c o m p a ra r la p a c tu a l co n
A m a n e ra d e c o m p ro b a c ió n , ta m b ié n se p u e d e u s a r la ex p resió n :
la p b alan c ead a :
=
Pbalanceada = ~ ~
d o n d e,
k = —5 — = ----- —^
2r
n +r
9.3 +
= 0 .4 2 4
n
1
2 * ---------
0 . 0 16789
9.3
0-37053_8_ = 7 6 Q M p a
1 - 0 .3 7 0 5 3 8
fc re s u lta in fe rio r a fe a d m isib le ra tific a n d o q u e el d ise ñ o es subre fo rza d o .
> Pactua, = 0 .0 1 1 7 2 7
4)
9.5
2)
»
120
9.5
0.4241
Pbalanceada =
j^Q =
1 -k
120
C a rg a a s o p o rta r e n c o n d ic io n e s d e seg u rid a d :
S o lu c ió n p o r tab las:
A p a rtir d e p = 0 .0 1 1 7 2 7 , se o b tie n e n d e las ta b la s re sp e c tiv a s p o r
in te rp o la c ió n lin eal los v a lo re s d e K y fc :
^ actuante — M resistente
K = 1233.1
W^ 2
f c = 7 .5 9 M P a
w *82
~ r ~ = — -— = 7 1 .6 4 k N - m .\ w = 8 .9 6 k N /m
o
y
5
M resis.en,e = K b d 2 = 12 3 3 . i * 0 .3 0 * 0 .4 4 2 = 7 1 .6 2 kN -m
w e x te rio r a c tu a n te = w to tal —p e so p ro p io d e la viga:
El v a lo r d e fs se rá ig u al al a d m isib le o 120 M P a , p u e sto q u e el d ise ñ o es
w e x te rio r a c tu a n te = 8.96 - 0 .3 0 * 0 .5 0 * 1 .0 0 * 2 4 = 5 .3 6 k N /m
su b -re fo rz ad o .
L a c a rg a e x te rio r a la v ig a q u e p u e d e so p o rta r en c o n d ic io n e s d e s e g u rid a d
re s u lta d e 5 .3 6 k N /m .
L a c a rg a a so p o rta r e n c o n d ic io n e s de s e g u rid a d se c a lc u la en la m ism a
fo rm a d el p u n to
2
.
P ro b lem a 2.2
3)
E sfu e rz o s d e trab a jo d e los m a te ria le s:
fs : p a ra el m o m e n to re siste n te ad o p ta d o , q u e es el del a c ero de
re fu e rz o tra b a ja n d o a su e s fu e rz o a d m isib le a la tra c c ió n , el v a lo r
d e f s será d e 120 M P a.
24
R ev isar el d ise ñ o a fle x ió n p a ra m o m e n to m á x im o en el c e n tro d e la lu z de 8
m etro s de u n a v ig a sim p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a c a rg a u n ifo rm e
d e te rm in a n d o el m o m e n to re siste n te , la c a rg a w en k N /m q u e p u e d e so p o rta r
25
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
en c o n d ic io n e s d e s e g u rid a d y los e sfu e rz o s a q u e e s ta rá n tra b a ja n d o los
m a te ria le s, d e a c u e rd o a la se c c ió n y d a to s ad ju n to s:
3201
p =
= 0 .0 2 5 2 9 0 ,
3 0 0 * 4 2 1 .9
c u a n tía su p e rio r a la b a la n c e a d a
( p b a l = 0 .0 1 6 7 8 9 ); p o r lo ta n to se
tra ta d e u n d ise ñ o so b re re fo rz a d o .
C o n cre to :
= 2 1 .1 M P a
Se ca lc u la e n to n c e s k:
R e fu e rz o : f s = 120 M P a
k = - n p + >/(np) 2 +2np = -9 .3 * 0 .0 2 5 2 9 0 + ^ 9 .3 *0.025290)2 +2*9.3*0.025290
n = 9.3
k = 0 .4 8 9 8 6 3
. \ k d - 2 0 6 .7 m m
N o ta :
P a ra la d istrib u c ió n d el re fu e rz o en la se c c ió n en m á s d e u n a fila,
se d eb e te n e r en c u e n ta la sig u ie n te re c o m e n d a c ió n d el R e g la m e n to N S R 10, S e c c ió n C .7.6.2:
“ C u a n d o el re fu e rz o p a ra le lo se c o lo q u e e n d o s o m ás ca p as, las b a rra s de
las c a p a s su p e rio re s d eb e n c o lo c a rse e x a c ta m e n te s o b re las d e las cap as
in fe rio re s, co n u n a d ista n c ia lib re e n tre ca p as n o m e n o r d e 25 m m .”
y j a p a rtir d e k :
= 0.836712 . \ j d = 3 5 3 .0 m m
F in a lm e n te , el m o m e n to re siste n te ad m isib le d e la sec c ió n e s ta rá d ad o p o r el
co n c reto a la c o m p re sió n :
S o lu ció n
M c = C jd = —f ck jb d 2 = — * 9 5 0 0 * 0 .4 8 9 8 6 3 * 0 .8 3 6 7 1 2 * 0 .3 0 0 * 0 .4 2 19:
Se tra ta , co m o e n el p ro b le m a a n te rio r, d e o b te n e r el m o m e n to re siste n te
a d m isib le de la se c c ió n , la c a rg a w e n k N /m y los e sfu e rz o s en los
m a te ria le s.
1)
j = l - j = l - ^ ’^ ^ ^
M o m e n to re siste n te d e la secció n :
S e c a lc u la in ic ia lm e n te p :
_ As
P - T T ; se o b tie n e d = h - y en d o n d e y es la d ista n c ia d el c e n tro id e
bd
d e las á re a s d e las b a rra s al b o rd e in fe rio r d e la viga.
M = 10 3 .9 6 k N -m
2)
C a rg a a so p o rta r e n c o n d ic io n e s d e seg u rid ad :
M
actuante
= M
resistente
w f 2 _ yv—
w * 8O2
—
= j03
4 * 5 1 0 * 6 0 + 3 * 3 8 7 *110
= 7 8 .1 m m
y = ------ ^
4*510 + 3*387
307/8"
d - 5 0 0 - 78.1 m m = 4 2 1 .9 m m
8
96
...w = i 2 .9 9 k N /m
8
w e x te rio r a c tu a n te = w to tal - p e so p ro p io d e la v ig a
w e x te rio r a c tu a n te = 12.99 - 0 .3 0 * 0 .5 0 * 1 .0 0 * 2 4 = 9 .3 9 k N /m
Figura 2.5
26
27
C apítulo 2 Flexión
E structuras de C oncreto I
N o ta :
S e d eb e a d v e rtir q u e n o o b sta n te q u e la a rm a d u ra ex iste n te es
a p ro x im a d a m e n te el d o b le d e la c o rre s p o n d ie n te al p ro b le m a a n te rio r, la
c a rg a n o es p ro p o rc io n a l a este a u m en to .
3)
E sfu e rz o s d e tra b a jo d e los m ateria le s:
fe :
S o lu ció n
Se trata, co m o en lo s c a so s a n te rio re s, d e o b te n e r el m o m e n to re siste n te
a d m i s i b l e d e la sec ció n , c o te já n d o lo c o n el c o rre sp o n d ie n te al p ro b le m a 2 .1
y d e te rm in a r ta m b ié n la c a rg a w e n k N p o r m e tro y lo s e sfu e rz o s e n los
m ateriales.
P a ra el m o m e n to re s iste n te a d o p ta d o , q u e e s el d el co n c reto
tra b a ja n d o a su e sfu e rz o a d m isib le d e c o m p re sió n , el v a lo r de fe
1)
M o m e n to re s is te n te d e la secció n :
será d e 9.5 M P a.
fs :
A
A p a rtir d e la ex p resió n : f s = n f c *
1
-k
S e tiene,
tiene- p = —
Se
^
se o b tien e:
4 * 9 8 4
= 3 0 0 * 450
- = 0 .0 0 8 4 1 5
k
fs = 9 .3 * 9 .5 * - — 0-489863
0.489863
^ ^ .0 1
M P a < f s a d m is ib le p o r se r u n
d ise ñ o so b re re fo rz a d o .
C o m o e je m p lo d e u tiliz a c ió n d e las ta b la s, p o r in te rp o la c ió n lin eal se
obtiene:
K = 1275.2
P r o b le m a 2.3
R e v is a r el d is e ñ o a fle x ió n p a ra m o m e n to m á x im o e n el c e n tro d e la lu z d e 8
m e tro s d e u n a v ig a sim p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a c a rg a u n ifo rm e ,
d e te rm in a n d o el m o m e n to re sis te n te , la c a rg a w en k N /m q u e p u e d e re sis tir
en c o n d ic io n e s d e s e g u rid a d y los e sfu e rz o s a q u e e sta rá n tra b a ja n d o los
m a te ria le s , d e a c u e rd o a la s e c c ió n y d a to s ad ju n to s.
. 0 .3 0
fn |i
lJa$i
C o n c re to : fe = 2 1 .1 M P a
0 .4 5 o
R e fu e rz o : fs = 170 M P a
n = 9.3
-!TV05.
P o r tanto:
M = K b d 2 = 1 2 7 5 .2 * 0 .3 0 * 0 .4 5 2 = 7 7 .4 7 kN -m
D e la c o m p a ra c ió n d e lo s m o m e n to s re siste n te s d e lo s p ro b le m a s 2.1 y 2 .3 ,
am b o s o b te n id o s p a ra el a c e ro d e re fu e rz o a la tra c c ió n , d e n tro d el p e río d o
del su b re fu e rz o , se p u e d e c o n c lu ir q u e se h a c o m p e n s a d o la d ism in u c ió n en
la a rm a d u ra co n u n a u m e n to en el e sfu e rz o d e la m ism a p a ra lo g ra r u n a
tra c c ió n s e m e ja n te , q u e co n b ra z o s d el p a r in te rio r re s is te n te p a re c id o s
p e rm ita o b te n e r re s u lta d o s e q u ip a ra b le s; esta a p lic a c ió n será ú til e n el caso
d e d ific u lta d e s en la a c o m o d a c ió n d el re fu e rz o e n u n a sec ció n
in m o d ifíc ab le.
33r/4"
P o r o tra p arte , es e v id e n te q u e p a ra este d ise ñ o su b -re fo rz a d o el v a lo r d e f s
Figura 2.6
será el a d m isib le o sea 170 M P a y el fc o b te n id o d e las ta b la s, d e 8 .7 9 M P a,
re su lta in fe rio r al fc a d m isib le .
2)
28
C a rg a a so p o rta r en c o n d ic io n e s d e seg u rid a d :
29
Capítulo 2 Flexión
E structuras de C oncreto I
wt ?2 w * 8 2
— = — r — = 7 7 .4 7 k N -m
o
8
w e 2 v e 3 .6 * 8 - 2 5 .6 * 8 onlX T
M o m e n to a c tu a n te = ------ + — = ---------- + ------------ = 80 kN -m
8
4
8
4
w = 9.68 k N /m
w e x te rio r a c tu a n te = w to ta l —p e so p ro p io d e la v ig a
P a ra m o m e n to s a c tu a n tes y re siste n te s ig u ales, la a rm a d u ra será
ta m b ié n , co m o e n “ a” : 2 § 1” + 2 <J>7 /8 ” .
w e x te rio r a c tu a n te = 9.68 - 0 .3 0 * 0 .5 0 * 1 .0 0 * 2 4 = 6 .0 8 k N /m
L os sigu ien tes so n problem as d e d iseñ o de sec cio n e s rectangulares de
con creto reforzado co n armadura a la tracción.
P r o b le m a 2.4
D is e ñ a r la a rm a d u ra n e c e sa ria a fle x ió n e n u n a v ig a d e 0 .3 0 x 0 .5 0 m ,
sim p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m e tro s, a rm a d a c o n c o n c re to de
fc — 21.1 M P a y a c e ro p a ra f s = 120 M P a, n = 9.3 y las sig u ien tes
c o n d ic io n e s d e carga:
a)
C a rg a u n ifo rm e to tal (in c lu y e n d o el p e so p ro p io ): w = 10 k N /m
xv
io * 8 2
M o m e n to a c tu a n te = ------- = ------------= 80 kN -m
8
P ro b lem a 2.5
C o n b ase e n el p ro b le m a a n te rio r, o b te n e r el d ise ñ o b a la n c e a d o , su p o n ie n d o
w en k N /m c o n sta n te y las sig u ien tes c o n d ic io n e s a d icio n a le s:
a) A n c h o d e la v ig a “b ” in v a ria b le e ig u al a 0 .3 0 m
b) A ltu ra útil “ d ” in v a ria b le e ig u al a 0 .4 4 m
S o lu ció n
a)
Si se m a n tie n e el m o m e n to a c tu a n te n o o b sta n te el p o sib le c a m b io d e la
sec ció n , se d e te rm in a la a ltu ra e fe c tiv a “d ” c o rre s p o n d ie n te a u n d iseñ o
b a la n c e a d o u tiliz a n d o el v a lo r d e k 2 re sp e c tiv o q u e se p u e d e c a lc u la r u
o b te n e r d e la ta b la c o rre sp o n d ie n te . Se p ro c e d e así:
8
A p a rtir d e e ste m o m e n to a c tu a n te , se p u e d e u tiliz a r la fó rm u la p ro g ra m a d e d ise ñ o (v é ase c o m ie n z o d el c a p ítu lo ) y d ire c ta m e n te
o b te n e r la c u a n tía p o u tiliz a r las ta b la s así:
k 2 = —j =
vK
en d o n d e K = j ^ * f c k j ( f c en k N /m 2). P a ra d iseñ o
b a la n c e a d o
se reem p laza:
M o m e n to a c tu a n te = M = K b d 2
.*. K = - ^ - = ____ — _____= 1377
b d 2 0 .3 0 * 0 .4 4 2
4
- n
n
9.3
+ r “ 9 3
+
= 0.4241
120
v
0 4741
y j = l ——= 1 ——
———= 0 .8 5 8 6
3
3
9.5
P a ra e ste v a lo r d e K se in te rp o la el v a lo r d e p = 0 .0 1 3 1 8 8
K = Y i * 9 5 0 0 * 0 .4 2 4 1 * 0 .8 5 8 6 = 1729.6
A rm a d u ra :
A s = p b d = 0 .0 1 3 1 8 8 * 3 0 0 * 4 4 0 = 1741 m m 2
R efu e rzo :
2 <j> 1” + 2 <j>7 /8 ” (A s = 1794 m m " - sie m p re p o r e x c eso )
b)
C a rg a u n ifo rm e to ta l w = 3.6 k N /m a d ic io n a d a a u n a c a rg a
co n c e n tra d a P = 2 5 .6 k N a p lic a d a e n el c e n tro d e la luz.
30
.*.
k2=
, 1
= 0 .0 2 4 0
Vi 7 2 9.6
T a m b ié n d e las ta b la s se o b tie n e k2 = 0 .0 2 4 0 y co n o c id o el m o m e n to
31
C apítulo 2 Flexión
Estructuras de C oncreto I
a c tu a n te = 80 k N -m se c a lc u la d = k 2 . / — - 0 .0 2 4 0 * J - — - ~ 0 .3 9 2 m
Vb
V 0.30
so lu ció n “b ” es c o m p a ra b le a la o rig in al d el p ro b le m a 2 .4 co n u n a m e jo r
u tiliz a c ió n d el c o n c re to en c o n tra p o s ic ió n co n u n a m a y o r d ific u lta d en la
co n stru c c ió n de la v ig a, o m itie n d o o tras c o n sid e ra c io n e s.
E l v a lo r p a ra “d ” ta m b ié n se p u e d e o b te n e r a p a rtir d e la fo rm u la de
P r o b le m a 2 .6
d iseñ o :
M = j / ¡ * fck jb d 2 = 1729.6 * 0 .3 0 * d 2= 80
2
d = 0 .3 9 2 m
D iseñ a r la a rm a d u ra n e c e s a ria a fle x ió n en u n a v ig a de 0 .3 0 x 0 .5 0 m ,
sim p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m e tro s, a rm a d a en c o n c re to de
f = 2 1 .1 M P a
P o r lo tanto:
A s = 0 .0 1 6 7 8 9 * 3 0 0 * 3 9 2 = 1974 m m 2
R efu e rzo :
2 (j>1X "+1 <t>1
C o n cre to :
b - 0 .3 0 m ; h = 0 .4 5 2 m
S o lu c ió n
80
M re siste n te = M = K b d 2
/.
1C = q
30
„0 ; ^ 7=
13774
P ara este v a lo r d e K se in te rp o la el v a lo r d e p = 0 .0 0 9 1 2 7
E n fo rm a se m e ja n te al caso an terio r:
.-.
D ise ñ o p a ra la se c c ió n p ro p u e sta :
M a c tu a n te = 80 kN -m
A ltu ra ú til “ d ” in v a ria b le e ig u al a 0 .4 4 m .
.'.
este
" (A s =2109m m =)
E sta so lu c ió n im p lic a d iv e rsa s a ltu ra s se g ú n los m o m e n to s ac tu a n te s y
re s u lta im p ra c tic a b le c o n la v a rie d a d d e m o m e n to s ex iste n te s e n u n a
v ig a y co n m a y o r ra zó n en el c a so e n q u e esta h ag a p a rte del siste m a de
v ig a s d e u n a estru c tu ra.
, , „ ¡M
d = k 2 ,—
Vb
a c ero p a ra f s = 170 M P a, n = 9.3 y u n a c a rg a u n ifo rm e
total (in c lu y e n d o el p e so p ro p io ) d e w = 10 k N /m . C o m p le m e n ta r
d iseñ o o b ten ie n d o el b a la n c e a d o p a ra la co n d ic ió n d e w c o n stan te .
a)
b)
y
A rm a d u ra:
,
k2=*M
0.0240= * 8 0 n „ 0
b = ------ t— = ------------;
= 0 .2 3 8 m
d
0.44=
A s = 0 .0 0 9 1 2 7 * 3 0 0 * 4 4 0 = 1205 m m 2
R efu e rzo :
1 (j) 7 /8 ” + 3 <J>3 /4 ” (A s = 1239 m m ')
C o n cre to :
b = 0 .3 0 m ; h = 0 .5 0 m
A s = 0 .0 1 6 7 8 9 * 2 3 8 * 4 4 0 = 1758 m m 2
R efu e rzo :
2<|>1 ' 8 "+l<|>r ( A s = 1 8 0 0 m m = )
N ota:
O b sé rv e se la d is m in u c ió n e n el á rea d e re fu e rz o n e c e s a ria co n
resp ecto al p ro b le m a 2 .4 c u a n d o se a u m e n ta el e sfu e rz o a d m isib le a la
C o n cre to :
b = 0 .2 3 8 m ; h = 0 .5 0 m
tra c c ió n en el a c ero al c a m b ia r la c a lid a d d el m aterial.
L o m ism o q u e en el caso a n te rio r, e sta so lu c ió n c o n d ife re n te s an c h o s seg ú n
lo s m o m e n to s ac tu a n te s re su lta ta m b ié n im p ra c tic a b le .
b)
D iseñ o b alan c ead o :
C o n la su p o sic ió n d e w c o n sta n te y el m ism o m o m e n to a c tu a n te , se
N o ta : E n las a n te rio re s so lu c io n e s te ó ric a s d el p ro b le m a se d eb e d e sta c a r la
in flu e n c ia d e la a ltu ra en la d e te rm in a c ió n d e la c a n tid a d d e a rm a d u ra ; así, la
32
o b tie n e n d y h p a ra b = 0 .3 0 m :
33
E structuras de C oncreto I
Capítulo 2 Flexión
M E T O D O D E L A S E C C IO N T R A N S F O R M A D A U H O M O G E N E A
d = k2 /—
Vb
= 0 .0 2 6 4 .1 —
= 0 .4 3 1 m
V 0.30
A c o n tin u a c ió n se d e d u c irá n las re la c io n e s c o rre sp o n d ie n te s al m é to d o de l a
secció n tra n sfo rm a d a u h o m o g é n e a p a ra la so lu c ió n d e lo s p ro b lem a s d e
A s = 0 .0 0 9 5 5 5 * 3 0 0 * 4 3 1 = 1235 m m 2
v ig as re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a trac ció n .
R efu e rzo :
1 <j>7 /8 ” + 3 <J>3 /4 ” (A s =
1239 m m 2) q u e es ig u al al
C o n cre to :
re fu e rz o e n “a ” d o n d e se co lo c ó c o n u n m a y o r ex ceso .
b = 0 .3 0 m ; h = 0.491 m
Se p arte d e u n a se c c ió n re c ta n g u la r c o n a rm a d u ra a tra c c ió n y se re q u ie re
o b ten er u n a sec c ió n o á rea d e c o n c re to te ó ric o q u e re e m p la c e el re fu e rz o
re sistien d o su s e sfu e rz o s, p a ra lo g ra r u n a sec c ió n h o m o g é n e a o
tran sfo rm ad a a la cu a l se le p u e d a a p lic a r la fó rm u la d e la flex ió n :
A h o ra se m a n tie n e la a ltu ra ú til “ d ” u sa d a en “ a ” y se c a lc u la b, co n el
m ism o m o m e n to ac tu a n te M :
-
, k 2 2 *M
b= — =
d2
As
0 .0 2 6 4 2 *80
= 0 .2 8 8 m
0.44
: 0 .0 0 9 5 5 5 * 2 8 8 * 4 4 0 = 1211 m m 2
R efu e rzo : 1 (J) 7 /8 ” + 3 ((>3 /4 ” (A s = 1239 m m ') q u e ta m b ié n se c o lo c a
en ex c e so en p ro c u ra d e sim etría.
C o n cre to : b = 0 .3 0 m ; h = 0 .5 0 m
E n el p ro b le m a 2.5 la so lu c ió n b a la n c e a d a im p lic a d iv e rsa s altu ra s o an ch o s
se g ú n los m o m e n to s ac tu a n te s y e sta c irc u n sta n c ia re strin g e su u tiliz a c ió n al
p la n o p u ra m e n te teó rico .
f = ^ c , en d o n d e:
f=
e s fú e rz o en la fib ra co n sid e ra d a
c=
d ista n c ia de la fib ra c o n s id e ra d a al e je
I=
C ontinuando co n el estudio sobre las sec cio n e s d e con creto reforzado co n
armadura a la tracción seg ú n el m étod o elá stico , ex p o n em o s ahora el
d enom inado M étod o de la S ecc ió n Transform ada u H om ogén ea, el cual
com plem en ta las exp resion es deducidas al co m ie n z o , está m u y de acuerdo
co n la form ación acad ém ica prelim inar sobre el tratam iento de las sec cio n e s
h om o g én eas y elásticas y tien e adem ás algunas ap licacion es de utilidad en
el estud io de las sec cio n e s “T” y sim ilares.
n eu tro
m o m e n to
d e in e rc ia
d e la se c c ió n
h o m o g é n e a y e stá tic a m e n te ú til c o n
re s p e c to al eje n eu tro
Lo a n te rio r es p o sib le si e n el d iag ra m a de d e fo rm a c io n e s se h a c e q u e la
d e fo n n a c ió n en el a c e ro re e m p la z a d o sea ig u al a la d el co n c re to te ó ric o q u e
lo reem p laza.
35
E structuras de C oncreto I
8S
C apítulo 2 Flexión
(d e fo rm a c ió n en el a c ero ) = e t (d e fo rm a c ió n en el c o n c re to teó ric o )
en d o n d e
Ia,
, m o m e n to d e in e rc ia d e At re s p e c to a su c e n tro id e , re s u lta de
p eq u e ñ a m a g n itu d y p o r ello n o se v a a to m a r en cu en ta.
f
~
f
=
1
(se g ú n la le y d e H o o k e)
A p lic a n d o la fó rm u la d e la flex ió n :
d e d o n d e: f s = n f t
(j)
Mx
f c= - ' —
I
M c = f c -J L J L ? en la cual:
, de d o n d e:
K -x
T a m b ié n se d eb e lo g ra r q u e la te n sió n e n el a c e ro re e m p la z a d o sea ig u al a la
te n sió n en el c o n c re to teó ric o q u e lo re em p laza :
fc = e sfu e rz o
de
c o m p re s ió n
m á x im o
a d m isib le
en
la fib ra m ás
c o m p rim id a.
M = m o m e n to re s is te n te p o r c o n c re to a la c o m p re s ió n = M c
T s (te n sió n en el ac ero ) = T t (te n sió n en el c o n c re to teó ric o )
De la m ism a fo rm a:
A s fs = A t ft
d e d o n d e:
x
nA s = A t
(2)
ft
M (d -x )
-
n M (d -x )
= — 1-------
, d e d o n d e: f s =
- ; p o r tan to :
Lx - x
lx - x
C u m p lid a s las c o n d ic io n e s an te rio re s, es d ec ir, q u e el e sfu e rz o d e tra c c ió n
en el co n c re to te ó ric o q u e re e m p la z a al a c e ro sea ig u al a fs/n y q u e el á rea
d e e ste c o n c re to sea n v e c e s el á re a del a c e ro re e m p la z a d o , se p u e d e a p lic a r
a la sec ció n h o m o g é n e a la fó rm u la d e la flex ió n , d e fin ié n d o le co n
a n te rio rid a d la p o s ic ió n d el eje n e u tro y su m o m e n to d e in erc ia, así:
T o m a n d o m o m e n to s d e las á re a s e s tá tic a m e n te ú tile s co n re s p e c to a la
p o s ib le situ a c ió n del e je n e u tro , re su lta:
M s=
fxs I‘ x - x
, en la cual:
n ( d - x)
f s = e sfu e rz o d e tra c c ió n a d m isib le en el acero
M = m o m e n to re siste n te p o r a c e ro a la tra c c ió n = M s
F in a lm e n te , a p a rtir d el d ia g ra m a de e sfu e rz o s en la se c c ió n h o m o g é n e a :
fc
y ~ n As (d - x )
—
f-f
n A s ( d - x ) = 0 , e c u a c ió n de
d - x
f s = n f c *-
7
se g u n d o g ra d o en x, q u e u n a v e z re s u e lta p e rm ite o b te n e r la p ro fu n d id a d del
eje n e u tro ; c o n o c id a ésta, se p u e d e c a lc u la r el m o m e n to d e in e rc ia re sp e c to
al e je n eu tro :
f„=k*
d-x
n
ex p re sio n e s
sim ila re s
o b te n id a s an terio rm en te.
V
I x-x=^ y - + I A,+ n A s( d - x ) 2
ft = fs /n
F ig u ra 2.8
36
x
d -x
37
a
las
Capítulo 2 Flexión
E structuras de C oncreto I
M o m en to d e in e rc ia (p o r fa c ilid a d en el m an ejo d e las cifras, se calcu la
P r o b le m a 2.7
in icialm en te en cm ):
R e s o lv e r el p ro b le m a 2.1 u tiliz a n d o el m éto d o d e la sec c ió n tra n s fo rm a d a u
h o m o g én ea .
= 3 0 ! l ^ l + 3 7 .2 71* 2 —
3
64
0 .3 0
I
C o n cre to : f c' =21.1 M P a
0 .4 4 0 .5 0
R efu e rzo : fs = 120 M P a
n = 9.3
x —x
+ 1 4 3 .9 6 * 2 7 .7 2
= 4 3 3 0 7 + 4 4 + 1 1 0 4 5 9 = 1 5 3 8 1 0 cm 4 ~ 0 .0 0 1 5 3 8 m 4
C ab e d e sta c a r el o rd e n d e m a g n itu d d el m o m e n to de in e rc ia d el área
tra n sfo rm a d a co n re sp e c to a su p ro p io ce n tro d e g ra v e d a d , q u e, co m o se
an o tó , h a c e p o sib le n o to m a rlo en cu en ta.
0 .0 6
; 4 0 7/8"
2) M o m en to s
F ig u ra 2.9
re siste n te s
por
c o m p re sió n
y tra c c ió n y ad m isib le de
la secció n :
S o lu ció n
Se o b te n d rá in ic ia lm e n te la se c c ió n h o m o g é n e a a la cu a l se le a p lic a rá la
fó rm u la d e la fle x ió n ca lc u la n d o los m o m e n to s re s is te n te s p o r co m p re sió n ,
tra c c ió n y el ad m isib le d e la se c c ió n co m o re q u isito p a ra d e te rm in a r la c a rg a
q u e d eb e so p o rta r en c o n d ic io n e s d e s e g u rid a d y , fin a lm e n te , a p a rtir del
d ia g ra m a d e e sfu e rz o s se c a lc u la rá n los e s fu e rz o s en los m ateria le s.
M o m e n to re siste n te a d m isib le p o r co n c re to a la co m p re sió n :
f _ M ^
•
Ic
••
I x-x
M
9 5 0 0 * 0 .0 0 1 5 38
c
x
= g 9 6 4
k N ,m
0.163
M o m e n to re s is te n te p o r a c e ro a la tracció n :
1)
O b te n c ió n d e la se c c ió n h o m o g é n e a :
A t = n A s = 9 .3 * 4 * 3 8 7 = 3 7 .2 (b a rra s d e <|>7/8")*387 = 14396 m m 2
T o m a n d o m o m e n to s d e las áreas e stá tic a m e n te
ú tile s c o n re sp e c to a la p o sib le situ a c ió n del eje
n eu tro , resu lta:
n M (d -x )
.
I x_s
"
5
_ f s * I x, x _
1 2 0 0 0 0 * 0 -0 0 1538
n (d -x )
9 .3 * 0 .2 7 7
M o m e n to re siste n te ad m isib le d e la secció n : 7 1 .6 4 k N -m
3)
C a rg a a so p o rta r en c o n d ic io n e s d e seg u rid a d
3 0 0 x * —- 1 4 3 9 6 * ( 4 4 0 - x ) = 0
0.44
M actu a n te = M resisten te
x 2 + 9 5 .9 7 x - 4 2 2 2 8 .2 6 = 0
x = 163 m m
d - x = 277 m m
Figura 2.10
38
w T = w * 8_ = 7 1 6 4 k N m
8
_■
W
= 8.96 k N /m
8
w e x te rio r a c tu a n te = w to tal - p e so p ro p io de la v ig a
39
= 7 1 6 4
^
C apítulo 2 Flexión
Estructuras de C oncreto I
w e x te rio r a c tu a n te = 8.96 - 0 .3 0 * 0 .5 0 * 1 .0 * 2 4 = 5 .3 6 k N /m
en c o n d ic io n e s d e se g u rid a d y los e sfu e rz o s a q u e e sta rá n tra b a ja n d o los
m ateriales, de a c u e rd o a la se c c ió n y d ato s ad ju n to s.
L a c a rg a e x te rio r a la v ig a q u e
s e g u rid a d re s u lta d e 5 .3 6 k N /m .
4)
p u e d e so p o rta r
en
c o n d ic io n e s de
E sfu e rz o s de tra b a jo d e los m a te ria le s
C o n cre to :
f s : P ara el m o m e n to re siste n te a d o p ta d o , q u e es el del a c e ro de re fu e rz o
= 2 1 .1 M P a
R efu e rzo : f s = 1 2 0 M P a
3 0 7 / 8'
tra b a ja n d o a su e sfu e rz o a d m isib le a la tra c c ió n , el v a lo r d e f s se rá de
n = 9.3
120 M P a.
f c : A p a rtir del d ia g ra m a d e esfu erzo s:
F ig u ra 2.12
f = 0 .1 6 3 * ! L ^ = 7 .5 9 M Pa
0 .2 7 7
x=o. 163
fc= 7 .5 9 M P a
d-x=o.277
p u e sto q u e fc < fc m á x im o ad m isib le
se c o n firm a el d ise ñ o su b -re fo rz a d o .
S o lu c ió n
P rim ero se d e b e re v is a r q u e la sec c ió n c u m p la lo s re q u isito s g e o m é tric o s del
R eg lam en to N S R -1 0 p a ra su c o n s id e ra c ió n co m o v ig a “T ” y lu eg o se
o b tie n e n la sec c ió n h o m o g é n e a , lo s m o m e n to s re siste n te s, la c a rg a a
so p o rta r y lo s e sfu e rz o s e n lo s m ateria le s.
f t= f s /n = 1 2 .9 0 M Pa
1)
F ig u ra 2.11
L a se c u e n c ia d e re su lta d o s p arc ia le s y el re s u lta d o fin al p e rm ite n c o n c lu ir
q u e so n ig u a lm e n te u tiliz a b le s e in te rc a m b ia b le s en fo rm a to tal o p a rc ia l los
d o s m éto d o s p ro p u e sto s e n los p ro b le m a s 2.1 y 2 .7 p a ra la re v is ió n de u n a
sec c ió n d ise ñ a d a a la flexión.
U na ap licación esp ecialm en te útil del m étod o de la sec ció n transform ada u
h o m o g én ea es la revisión de d iseñ o s a la fle x ió n d e v ig a s co n sec ció n en
form a de “T ” o sim ilares. A con tin uación se in clu yen algu n os ejem p los de
esta aplicación.
P ro b lem a 2.8
R e v isió n d e la sec c ió n “T ” se g ú n el R e g la m e n to N S R -1 0 “ E n v ig as
a islad a s, en las q u e s o la m e n te se u tilic e la fo rm a T p a ra p ro p o rc io n a r
co n el a la u n á rea ad ic io n a l d e co m p re sió n , el a la d eb e te n e r u n e s p e s o r
no m e n o r d e 1/2 d el a n c h o d el alm a, y u n a n c h o e fe c tiv o n o m a y o r d e 4
v ec es el an c h o del a lm a .” (v é a se artíc u lo C .8 .1 2 .4 ).
2)
E n este caso:
b (a n ch o e fe c tiv o d e ala) < 4 b '
b < 4 x 3 0 0 = 1200 m m
t (e s p e s o r d e ala) > b '/2
t = 3 0 0 -s- 2 = 150 m m
O b te n c ió n d e la sec c ió n h o m o g én ea :
A , = n A s = 9 .3 * (4 * 5 1 0 + 3 * 3 8 7 ) = 2 9 7 6 9 m m 2
R e v isa r el d ise ñ o a fle x ió n p a ra m o m e n to m á x im o en el ce n tro d e la lu z d e 8
m e tro s d e u n a v ig a “ T ” s im p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a c a rg a u n ifo rm e,
d e te rm in a n d o el m o m e n to re siste n te , la c a rg a w en k N /m q u e p u e d e so p o rta r
40
d = 4 2 1 .9 m m (v é ase p ro b le m a 2.2).
41
C apítulo 2 Flexión
E structuras de C oncreto I
O b te n c ió n d e x:
= ¡42 4 kN m .
^ ( x —1 5 0 )“
.
f
150 a
7 0 0 * 1 5 0 x ------- + 3 0 0 ----- — - = 2 9 7 6 9 * ( 4 2 1 . 9 - x )
8
w = 17 g0 kN/m
8
2
w e x te rio r a c tu a n te = w to tal —p eso p ro p io d e la viga
x " + 5 9 8 . 4 6 x - l 13730 = 0
/.
w e x te rio r a c tu a n te = 17.80 - 0 .2 1 * 1 .0 0 * 2 4 = 12.76 k N /m
x = 151.2 m m ; d - x = 2 7 0 .7 m m
L a c a rg a e x te rio r a la v ig a q u e p u e d e so p o rta r en c o n d ic io n e s de
M o m e n to de in e rc ia en c m 4, p o r la m ism a ra z ó n d el p ro b le m a an terio r:
I x_x
=
x
x
70*1 5 12 3
3 :
4 0 * 0 1? 3
:------ + 2 9 7 .6 9 * 2 7 .0 7 2 = 2 9 8 7 9 8 c m 4
3
5)
E sfu e rzo s d e trab a jo d e lo s m ateriales:
fs:
Ix-x = 2 9 8 7 9 8 c m 4 ~ 0 .0 0 2 9 8 8 m 4
3)
s e g u rid a d re s u lta d e 12.76 k N /m .
v a lo r d e fs será d e 120 M Pa.
M o m e n to s re sisten te s:
M o m en to re siste n te a d m isib le p o r c o n c re to a c o m p re sió n :
f
Mx
fc = - —
I x_x
P ara el m o m e n to re siste n te ad o p ta d o , q u e es el d el a c e ro de
re fu e rz o tra b a ja n d o a su e sfu erzo ad m isib le a la tra c c ió n , el
™
M
f A - x 9 5 0 0 * 0 .0 0 2 9 8 8
= c x x = -------------------------= 1 8 7 .7 kN -m
x
0 .1 5 1 2
fc:
A p a rtir d el d iag ra m a d e esfu erzo s:
fe
12 90
f = 1 5 1 . 2 * - ^ ^ = 7 .2 0 M P a
2 7 0 .7
M o m e n to re siste n te a d m isib le p o r a c e ro a trac ció n :
f _ n M (d -x )
I x_x
M
"
s
f s I„_x
1 2 0 0 0 0 * 0 .0 0 2 9 8 8
n (d -x )~
9 .3 * 0 .2 7 0 7
M s = 142.4 k N - m
M o m e n to re siste n te a d m isib le d e la sec ció n : 142.4 kN -m . (D ise ñ o sub
re fo rza d o ).
4)
C a rg a a so p o rta r en c o n d ic io n e s d e seg u rid a d :
^actuante ~ M resjstente
42
fc = 7 .2 0 M P a
f t = fs /n = 1 2 .9 0 MPa
p u e s to q u e fc < fc m á x im o
ad m isib le se c o n firm a el d iseñ o
su b -re fo rz ad o .
N o ta : A m a n e ra d e co n c lu sió n , se d e s ta c a el a u m e n to c o n sid e ra b le d e la
c o m p re sió n p ro p o rc io n a d o p o r la a le ta de la v ig a “T ” q u e c o n v ie rte al
d iseñ o s o b re -re fo rz a d o del p ro b le m a 2 . 2 en u n d ise ñ o su b -re fo rz a d o y que
a d e m á s h ac e e fe c tiv a , en c u a n to a m o m e n to re s is te n te d e la se c c ió n , la
a d ició n d e a rm a d u ra c o n re sp e c to al p ro b le m a 2 . 1
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
P ro b le m a 2 .9
a)
b)
R e v is a r el d ise ñ o a fle x ió n p a ra m o m e n to m á x im o e n el c e n tro d e la lu z de
12 m e tro s d e u n a v ig a d o b le “ T ” sim p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a c a rg a
u n ifo rm e , d e te rm in a n d o el m o m e n to re siste n te , la c a rg a w en k N /m q u e
p u e d e s o p o rta r e n c o n d ic io n e s d e se g u rid a d y los e sfu e rz o s a q u e e starán
tra b a ja n d o los m a te ria le s , d e a c u e rd o a la sec c ió n y d ato s ad ju n to s:
C o n c re to :
f c' =
R e f u e r z o : fs =
n =
v ec es el e s p e s o r d e lo sa, y
la m ita d d e la d is ta n c ia lib re a la sig u ie n te a lm a ” (v é ase el A rtíc u lo
8
C . 8 .12.2).
E n el p re se n te caso :
b (a n ch o e fe c tiv o d e ala) < ^ = 1 2 .0 0 /4 = 3 .0 0 m ; b = 1.00 m
b (a n ch o e fe c tiv o d e ala) < 16t + b ' = 16*0.15 + 0 .2 5 * 2 = 2 .9 0 m
21.1 M P a
b (a n ch o e fe c tiv o d e ala) < se p a ra c ió n ce n tro a ce n tro d el siste m a
120 M P a
9.3
= 1.00 m
2) O b te n c ió n d e la se c c ió n h o m o g én ea :
A , = n A s = 9 .3 * 1 5 * 5 1 0 = 7 1 1 4 5 m m 2
O b ten c ió n d e x:
2 0 0 0 * x7 _ ^ 0 q ( x - 1^5O)2 _ 7 1 i 4 5 ( g 4 Q _ x )
x 2 + 1 1 8 4 .6 x - 3 3 5 0 0 5 = 0 /.
F ig u ra 2.14
S o lu ció n
M o m en to d e in e rc ia (en cm 4):
= 2 0 0 * 2 3 .5 8 ;
P rim e ro se d e b e re v is a r q u e la sec ció n c u m p la lo s re q u isito s g e o m é tric o s del
R e g la m e n to N S R -1 0 p a ra su c o n s id e ra c ió n co m o u n siste m a d e v ig a s “T ” y
lu eg o se o b tie n e la se c c ió n h o m o g é n e a , los m o m e n to s re siste n te s, la c a rg a a
so p o rta r y los e sfu e rz o s en los m a te ria le s.
1) R e v isió n de la sec c ió n “T ” se g ú n el R e g la m e n to N S R 10 “ El an c h o
e fe c tiv o d e la losa u sad a c o m o ala d e las v ig a s T n o d eb e e x c e d e r 1/4
d e la lu z d e la v ig a, y el an c h o so b re sa lie n te e fe c tiv o d el ala a ca d a
lad o d el a lm a n o d e b e ex c ed er:
44
x = 2 3 5 .8 m m ; d - x = 7 0 4 .2 m m
_ 1 5 0 * ( 2 3 .5 8 - 1 5 ¿ +711 4 5 . 7042J
3
3
Ix x = 4 4 3 3 7 0 c m 4(0 .0 4 4 3 3 7 m 4)
3) M o m e n to s re siste n te s:
M o m e n to re s is te n te a d m isib le p o r c o n c re to a co m p re sió n :
45
Capítulo 2 Flexión
Estructuras de C oncreto I
f
Mx
f = ----Ix_x
»i
fc I x_x 9 5 0 0 * 0 .0 4 4 3 3 7 ^ 0 /r , 1XT
M = L x x=
= 1786.3 kN -m
x
0.2358
12 90
f = 2 3 5 .8 * — ^ - = 4 .3 2 M P a
7 0 4.2
fc = 4 .3 2 M P a
M o m e n to re siste n te ad m isib le p o r a c e ro a tracció n :
fs =
n M (d -x )
;
Ix_x
fs Ix_x
120000*0.044337 01„ „ 1XT
M = - ; x x = ------------------------ =812.4 kN -m
n (d -x )
9.3*0.7042
M o m e n to re siste n te a d m isib le d e la sec ció n : 8 1 2 .4 kN -m
(D ise ñ o su b -re fo rz a d o ).
4)
C a rg a a so p o rta r en c o n d ic io n e s d e seg u rid a d :
^actuante — M res¡stente
w í _ _ w — \ 1 _ = 8 1 2 .4 kN -m
w = 4 5 .1 3 k N /m
p u e sto q u e fc < fc m áx im o
ad m isib le se c o n firm a el
d iseñ o su b -re fo rz ad o .
f t = f s /n = 1 2 .9 0 M Pa
F ig u ra 2.15
Se finaliza esta breve incursión sobre el m étod o elá stico en su tratam iento
de la flexión , con las denom inadas v ig a s con armadura a com presión cuya
razón de ser radica en la im p osib ilid ad que ex iste en algunas o ca sio n es de
aumentar las d im en sion es de sec cio n e s som etidas a m om en tos flectores
m ayores que lo s resistid os por co n d icio n es de trabajo m áxim o adm isible.
Este caso se so lu cion a co n una armadura adicional a tracción y una
armadura en la zon a de com p resion es que le da su nom bre al sistem a.
w e x te rio r a c tu a n te = w to tal - p e so p ro p io de la v ig a
w e x te rio r a c tu a n te = 4 5 .1 3 - 0 .8 7 5 * 1 .0 0 * 2 4 = 24.13 k N /m
L a c a rg a e x te rio r a la v ig a q u e p u e d e so p o rta r en c o n d ic io n e s de
se g u rid a d re su lta d e 2 4 .1 3 k N /m .
5)
E sfu e rz o s de tra b a jo d e los m a te ria le s:
fs: P a ra el m o m e n to re s iste n te a d o p ta d o , q u e es el d el a c ero de
re fu e rz o tra b a ja n d o a su e s fu e rz o a d m isib le a la tra c c ió n , el v a lo r
d e fs será d e 120 M P a.
fc: A p a rtir del d ia g ra m a d e e sfu erzo s:
46
47
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
V IG A S R E C T A N G U L A R E S C O N A R M A D U R A A T R A C C IO N Y A
C O M P R E S IO N
La d ife re n c ia e n tre el m o m e n to a c tu a n te y el q u e to m a co m o sim p le m e n te
arm a d a es
y d eb e se r re s u e lta co n a rm a d u ra ad ic io n a l a tra c c ió n
y a rm a d u ra a c o m p re sió n , así:
A c o n tin u a c ió n se d e d u c irá n las p rin c ip a le s e x p re sio n e s u tiliz a b le s p a ra el
d ise ñ o d e v ig a s re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a tra c c ió n y a co m p re sió n ,
se g ú n el m é to d o elástico .
A rm a d u ra a d ic io n a l a tra c c ió n : A s, = —
A p a rtir del fu n c io n a m ie n to de la se c c ió n c o n su s d ia g ra m a s d e e sfu e rz o s y
d e fo rm a c io n e s seg ú n la figura:
A rm a d u ra to ta l a tra c c ió n : A si + A s 2 =pbd+^.
— , p o r lo que:
fs ( d - d )
AM
s ( d - d ')
P o r o tra parte:
A rm a d u ra a c o m p re sió n : A ' =
, , en d o n d e el v a lo r d e f ' p u e d e
s f s'( d - d ')
c a lc u la rse a p a rtir d el d ia g ra m a d e d e fo rm a c io n e s b a sa d o en las
h ip ó te sis de q u e la s e c c ió n es p la n a an tes y d esp u é s de d e fo rm a d a y que
las d e fo rm a c io n e s d e las fib ra s so n p ro p o rc io n a le s a su s d ista n c ia s al
eje n e u tro y a lo s e s fu e rz o s q u e las p ro d u cen :
f1 c
F ig u ra 2 .1 6
f‘ s'
f
xs
— = — — — = — —— , d e donde:
kd
k d -d ' d -k d
A la n o m e n c la tu ra c o n o c id a se ad icio n a :
,_
d'
=
d ista n c ia de la fib ra m ás c o m p rim id a al c e n tro d e g ra v e d a d de las
áreas d e re fu e rz o a la co m p re sió n ;
fs =
e sfu e rz o d e c o m p re sió n en el ac ero ;
Cc =
re su lta n te d e c o m p re sio n e s en el c o n c reto ;
Cs =
re su lta n te d e c o m p re sio n e s en el ac ero ;
A s; =
a rm a d u ra ad ic io n a l de tra c c ió n p a ra el m o m e n to fle c to r p o r e n c im a
d el c o rre sp o n d ie n te a la v ig a c o n só lo a rm a d u ra a trac ció n ;
A 's =
a rm a d u ra a c o m p re sió n .
S
~ kd— d_
C
i
i
Ka
^
,_
S
kd— d_
S
i
i
“
ja§ cu a jes son expresiones de
1
fg e lá stic a m e n te o b ten id as.
Sin e m b a rg o , te n ie n d o en c u e n ta q u e la c o n d ic ió n d e e la s tic id a d del
c o n c re to d ism in u y e a m e d id a q u e se au m e n ta n lo s e sfu e rz o s y sus
d e fo rm a c io n e s, q u e las d e fo rm a c io n e s e n el a c ero a c o m p re s ió n y el
c o n c re to q u e lo ro d e a d e b e n se r sim u ltá n e a m e n te ig u a le s y q u e la flu e n c ia
len ta en el c o n c re to a c o m p re sió n en co n tac to co n las b a rra s sig n ific a
d e fo rm a c io n e s a d ic io n a le s en el a c ero au m e n ta n d o su e sfu e rz o de
c o m p re sió n , se e s p e c ific a p a ra el d ise ñ o q u e el e sfu erzo d e c o m p re sió n en el
L a v ig a co n a rm a d u ra sim p le o só lo a tra c c ió n re siste u n m o m e n to
M ]= K b d “ y está p ro v is ta d e u n a c a n tid a d d e re fu e rz o A s i = p b d .
48
t
49
E structuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
a c ero se to m e c o m o dos v e c e s el c a lc u la d o e lá s tic a m e n te , p e ro n o m a y o r
q u e el v a lo r a d m isib le en trac ció n .
AM = M o m e n to a d ic io n a l so b re M \
2)
P o r tan to , se to m ará:
2 3 .0 3 k N -m
A rm a d u ras:
A rm a d u ra a tra c c ió n :
AM
A s = A si + A S2 = p bal -bd +
f s ( d - d ')
2 3 .0 3
Ac = 0 .0 1 6 7 8 9 * 0 .3 0 * 0 .4 2 +
1 2 0 0 0 0 * (0 .4 2 - 0 . 0 5 )
y la a rm a d u ra a c o m p re s ió n será:
A' =
2
A s = 0 .0 0 2 1 1 5 + 0 .0 0 0 5 1 9 = 0 .0 0 2 6 3 4 m~ (2 6 3 4 m m “)
AM
f ; ( d - d ')
S e c o lo c a n 4 (j) 1” en la fila in fe rio r y 2 <(>7 /8 ” en la se g u n d a fila.
e x p re sio n e s estas q u e se a p lic a rá n a co n tin u a c ió n .
A rm a d u ra a c o m p re sió n : A ' =
2 f s' (
P r o b le m a 2 .1 0
S e c a lc u la f = nf. ^
77,
si
2
f s' < f s
d - d ')
^ , en d o n d e k = 0 .4 2 4 1 ,
kd
D is e ñ a r la a rm a d u ra n e c e s a ria a fle x ió n en u n a v ig a d e 0 .3 0 x 0 .5 0 m
s im p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m e tro s, a rm a d a en c o n c re to de
k d = 178.1 m m y d ' = 50 m m
f c - 2 1 . 1 M P a y a c ero p a ra fs= 1 2 0 M P a, n = 9 .3 y u n a c a rg a e x te rio r d e
f ! = 9 .3 * 9 .5 *
10.72 k N /m . (N ó te se q u e la c a rg a so b re la v ig a es a h o ra el d o b le d e la q u e
so p o rta b a en c o n d ic io n e s d e se g u rid a d en el p ro b le m a 2 . 1 ).
1 7 8 .1 - 5 0
= 6 3 .61 M P a
2 f s' = 121.2 M P a > fs
178.1
a d m isib le
2 3 .03
P o r tan to : A ' =
S o lu ció n
= 0 .0 0 0 5 1 9 m ”(5 1 9 m m 2)
1 2 0 0 0 0 * ( 0 .4 2 - 0 . 0 5 )
S e d e b e o b te n e r el m o m e n to a c tu a n te se g ú n la c a rg a p ro p u e sta y h a c e r el
d ise ñ o c o rre sp o n d ie n te se g ú n las re la c io n e s d ed u c id a s.
1)
AM
3)
O b te n c ió n d e M a c tu a n te y c o m p a ra c ió n c o n M j :
C arg as: p eso p ro p io v ig a: 0 .3 0 * 0 .5 0 * 1 .0 0 * 2 4 =
c a rg a so b re la v ig a
=
w
M a c tu a n te
=
w f2
Se c o lo c a 3 <}>5 /8 ”
—
3 .6 0 k N /m
] q .72 k N /m
14.32 k N /m
L o c a liz a c ió n d e la a rm a d u ra tra n sv e rsa l y lo n g itu d in a lm e n te :
E n la sec ció n tra n s v e rs a l resu lta:
-+-Q-30 l
c h e q u e o d e d ':4 0 + 15.9/2 = 4 7 .9 5 ~ 50 m m
c h e q u e o de d:
z=
4*510*60 + 2*387*110
= 7 3 .8 ~ 8 0 m m
4*510 + 2*387
d = h - z = 500 - 80 = 4 2 0 m m
14.32 * 8 2
M , = K bai b d 2 = 1 7 2 9 .6 * 0 .3 0 * 0 .4 2 :
50
-
114.56 kN -m
=
91.53 kN -m
51
E structuras de C oncreto I
Capítulo 2 Flexión
O b ten c ió n d e la se c c ió n tra n sfo rm a d a :
E n la se c c ió n lo n g itu d in a l re su lta:
AM
M
, re e m p la z a n d o :
De la secció n co rre sp o n d ie n te : A t = n A s
4 2 *23.3
114.56
= 3.25 x = 1.80 m
•91.53
T e ó ric a m e n te , la a rm a d u ra a
=23.03 c o m p re s ió n es n e c e s a ria h asta
u n a d ista n c ia x = 1.80 m a ca d a
lad o d el c e n tro d e la viga.
F ig u r a 2.18
P ara c o m p u ta r el á rea te ó ric a d e c o n c re to a co m p re sió n , se to m a d o s v eces
el á rea d e la a rm a d u ra a c o m p re sió n sie m p re q u e el e sfu e rz o d e c o m p re sió n
re su ltan te en el a c e ro no sea m a y o r q u e el ad m isib le a tra c c ió n . C o n esto se
p re te n d e n o só lo o b te n e r u n a sec ció n h o m o g é n e a , sin o ta m b ié n , re c u p e ra r
sus c a ra c te rístic a s de e la stic id a d n e c e sa ria s p a ra la a p lic a c ió n d e este
m étodo.
A; = 2 n A ' - A ' = (2 n - 1 ) A '
c?m p rS n *
SeCCÍÓ"
transformada Para v ig a s con a r m a d u r a a
Para o b te n e r x se to m a n m o m e n to s d e las á re a s e stá tic a m e n te ú tile s co n
re sp ecto a la p o sib le situ a c ió n del eje n eu tro :
« n P^
r d e ,aS re la c i0 n e s c o rre sP ° n d ie n te s a la se c c ió n tra n sfo rm a d a y la
e sp e c ific a c ió n q u e p e rm ite el u so d e dos v e c e s el á rea d e la a rm a d u ra a
c o m p re sió n al c o m p u ta r el a rea d e la sec ció n tra n sfo rm a d a u h o m o g é n e a se
o b tie n e n las e x p re sio n e s n e c e sa ria s p a ra la re v isió n d e u n a sec ció n
re c ta n g u la r d o b le m e n te a rm a d a o co n a rm a d u ra a c o m p re sió n .
bx2
- ^ - + ( 2 n - l ) A ' ( x - d ' ) = n A s ( d - x ) , ec u a c ió n q u e re so lv e m o s p a ra x.
A p a rtir d e x se c a lc u la el m o m e n to d e inercia:
Se p a rte d e u n a sec ció n re c ta n g u la r c o n a rm a d u ra a tra c c ió n y a c o m p re sió n
y se re q u ie re re e m p la z a r el re fu e rz o p o r u n c o n c re to te ó ric o q u e re sista lo
q u e el re fu e rz o p a ra lo g ra r u n a s e c c ió n tra n sfo rm a d a u h o m o g é n e a a la cual
se le p u e d a a p lic a r la fó rm u la d e la flexión.
bx3
+ IA, ( a su C.G .) + A ¡ ( x - d ') + I A (a su C.G.) + A , ( d - x ) “
en d o n d e se p u e d e n o te n e r en c u e n ta lo s m o m e n to s de in e rc ia d e las áreas
tra n sfo rm a d a s co n re s p e c to a sus p ro p io s c e n tro s de g ra v ed ad .
D e fin id a la sec c ió n h o m o g é n e a , se a p lic a la fó rm u la de la flexión:
fc = e sfu e rz o d e c o m p re sió n en el c o n c re to =
ft = e sfu e rz o d e tra c c ió n e n el co n c re to teó ric o
M (d -x )
F igura 2.19
. -
x-x
52
n M (d -x )
••
I
s -
j
Ax-x
53
Estructuras de C oncreto I
C apitulo 2 Flexión
f t' = e sfu e rz o de c o m p re sió n en el c o n c re to teó ric o
S o lu c ió n
La secció n re su lta d o d el d ise ñ o a fle x ió n d el p ro b le m a 2 .1 0 y lo s m a te ria le s
M ( x - d ')
I x- x
2 n M ( x - d ')
5
resp ectiv o s so n lo s sig u ien tes:
I x -x
C o n cre to : f J = 21.1 M P a
S ien d o M e n las e x p re sio n e s a n te rio re s el M o m e n to a c tu a n te = M o m e n to
re siste n te
R efu e rzo : f s = 120 M P a
D e ig u al m anera:
M c = M re siste n te p o r c o m p re sió n
M s = M re siste n te p o r tra c c ió n
f I
= — x~ x
x
f T
= s x-x
n (d -x )
y
F ig u ra 2.21
F in a lm e n te , a p a rtir del d ia g ra m a d e e sfu e rz o s d e la se c c ió n h o m o g é n e a , se
p u e d e co n cluir:
En p rim e r té rm in o se d eb e o b te n e r la sec c ió n h o m o g é n e a a la cu a l se le
ap licará la fó rm u la de la flex ió n c a lc u la n d o los m o m e n to s re siste n te s p o r
co m p re sió n , tra c c ió n y el a d m isib le d e la sec ció n co m o re q u is ito p a ra
d eterm in a r la c a rg a q u e p u e d e so p o rta r en c o n d ic io n e s d e s e g u rid a d y
fin alm en te a p a rtir d el d ia g ra m a d e e sfu e rz o s se c a lc u la rá n los e sfu e rz o s en
los m ateriales.
f ’t= ff s
2n
f =
X
1)
n d -x
d'
X
y - x-d'
f,' =
Á
f s
2„
f —— — < f
d-x
A t = n A s = 9 .3 * (4 * 5 1 0 + 2 * 3 8 7 ) = 2 6 1 7 0 m m 2
A [ = ( 2 n - l ) A ' = 1 7 .6 * 3 * 1 9 9 = 10268 m m 2
X —
c\'
i ' = 2 í —— — < f
f t= í §
n
F ig u ra 2.20
O b te n c ió n d e la se c c ió n h o m o g é n e a :
d -x
s
E x p re sio n e s estas c o in c id e n te s co n
to d a s las a n te rio rm e n te e x p u e sta s.
P r o b le m a 2.11
R e v is a r el d ise ñ o a flex ió n p a ra m o m e n to m á x im o en el c e n tro d e la lu z d e 8
m efro s d e la v ig a sim p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a la c a rg a u n ifo rm e
u tiliz a d a en el p ro b le m a 2 . 1 0 .
54
55
E structuras de C oncreto I
Capítulo 2 Flexión
O b te n c ió n d e x:
x2
Mactuante
M res¡stente
3 0 0 y + 1 0 2 6 8 * (x - 5 0 ) = 2 6 1 7 0 * ( 4 2 0 - x )
w ^ = w * 8_ =
x 2 + 2 4 2 .9 x - 7 6 6 9 9 = 0
8
x = 181 mm
d - x = 239 mm
+ 1 7 .6 * 3 *
Tx - x =
3
7T*1 9 9 4
64
n*2 224
.
w = 14.86 k N /m
8
w e x te rio r a c tu a n te = 14.86 - 0 .3 0 * 0 .5 0 * 1 .0 0 * 2 4 = 11.26 k N /m
M o m en to d e in e rc ia en c m 4:
3 0 * 1 8 .13
8g k N m
w e x te rio r a c tu a n te = w to ta l - p e so p ro p io d e la v ig a
x - d ' = 131 m m
T
n 8
TV*A4
+ 1 0 2 .6 8 * 1 3 .1 2 + 9 .3 * 4 * —
64
L a c a rg a e x te rio r a la v ig a q u e p u e d e so p o rta r en c o n d ic io n e s de
s e g u rid a d re s u lta d e 11.26 k N /m , la cu al es u n p o c o m a y o r a la
c a rg a d e d ise ñ o d el p ro b le m a 2 . 1 0 p o rq u e en la c o lo c a c ió n d el
re fu e rz o d e d ich o p ro b le m a se p ro c e d ió p o r exceso .
+ 9 .3 * 2 * —— —— + 2 6 1 .7 0 * 2 3 .9 2
64
C o n clu sio n es
Ix_ x =
5 9 2 9 7 + 4 0 .6 2 + 17621 + 7 5 .9 6 + 2 2 .1 7 + 149486
Ix _x = 2 2 6 5 4 3 c m 4
2)
M o m e n to s re sisten te s:
M o m e n to re s iste n te a d m isib le p o r co m p re sió n :
fc Ix_x
La b re v e m u e stra d el tra ta m ie n to d e la fle x ió n p o r el m é to d o e lástico
p erm ite sa c a r alg u n as c o n c lu sio n e s:
9 5 0 0 * 0 .0 0 2 2 6 5
u
1) El m é to d o elá stic o , co m o su n o m b re lo in d ica, se b a s a en
c o n s id e ra c io n e s d e e la stic id a d , q u e só lo so n c o m p le ta m e n te v á lid a s
p a ra el a c ero ; en el c o n c re to el d iag ra m a d e fo rm a c io n e s -e s fu e rz o s n o
es u n a re c ta y la p ro p o rc io n a lid a d d e las d e fo rm a c io n e s co n re sp e c to
a los e sfu e rz o s q u e las p ro d u c e n só lo es a c e p ta b le p a ra p e q u e ñ a s
d e fo rm a c io n e s y e sfu e rz o s, p e ro a m e d id a q u e é sto s c re c e n la
p ro p o rc io n a lid a d v a d e ja n d o d e se r co rrecta.
M o m e n to re siste n te p o r a c e ro a la trac ció n :
L I -
m
‘
n(d-x)
-
1 2 0 0 0 0 * 0 .0 0 2 2 6 5 ...........................
9 3*0 .239
= 122 28 kN'm
2) E l m ó d u lo d e e la stic id a d d el c o n c re to E c só lo es v á lid o p a ra un
e sfu e rz o y u n a d e fo rm a c ió n ad m isib le s; si el e sfu e rz o v a ría , ta m b ié n
c a m b ia rá E c y p o r ta n to el v a lo r d e n = Es /Ec, q u e se h a co n sid e ra d o
M o m e n to re sis te n te a d m isib le d e la sec ció n : 122.28 kN -m .
L a d ife re n c ia e n tre los d o s m o m e n to s re siste n te s se d e b e a la
a p ro x im a c ió n en la ad o p c ió n del re fu e rz o en el p ro b le m a 2 . 1 0 .
3)
c o n sta n te en to d o s lo s caso s.
3) E n el m é to d o elástico el fa c to r d e s e g u rid a d d e un d ise ñ o n o se
d e te rm in a e x a c ta m e n te en fu n c ió n de c o n sid e ra c io n e s tales co m o
im p o rta n c ia o p ro b a b ilid a d d e p re se n ta c ió n de las c a rg a s, d e la
C a rg a a so p o rta r en c o n d ic io n e s d e seg u rid a d :
56
57
C apítulo 2 Flexión
E structuras de C oncreto I
in d e te rm in a c ió n d e u n d ise ñ o o d el fu n c io n a m ie n to d e la e s tru c tu ra así
d ise ñ a d a , del co n tro l d e c a lid a d d e los m a te ria le s y d e la c o n stru c c ió n .
S ó lo se su p o n e a d m isib le y así se p u e d e v e rific a r, p o r m e d io d el m é to d o
de la re siste n c ia ú ltim a q u e se e s tu d ia rá a co n tin u a c ió n .
L as c o n sid e ra c io n e s a n te rio re s, e n tre o tra s, so n las q u e h a n re le g a d o el
m é to d o e lá stic o a u n a sim p le a lte rn a tiv a d e d ise ñ o e n el A p é n d ic e C -G del
R e g la m e n to N S R -1 0 . S in e m b a rg o , d e la a n te rio r e x p o s ic ió n te ó ric a del
m é to d o y su e le m e n ta l a p lic a c ió n p re s e n ta d a p a ra alg u n o s ca so s d e n o rm al
o c u rre n c ia se ra tific a el c o n c e p to e x p re s a d o so b re la n e c e sid a d q u e tie n e n
lo s e stu d ia n te s del á rea d e su c o n o c im ie n to co m o p a rte e se n c ia l en su
fo rm a c ió n a c a d é m ic a y co n m a y o r ra z ó n si en a lg u n a p a rte d e su eje rc ic io
p ro fe sio n a l lo p u d ie ra n en c o n trar.
M E T O D O D E L A R E S IS T E N C IA U L T IM A
P o r el m é to d o e lástico o d e los e sfu e rz o s d e tra b a jo , el d ise ñ a d o r o b tie n e los
e sfu e rz o s y d e fo rm a c io n e s q u e se p re se n ta n en u n a e stru c tu ra so m e tid a a las
ca rg a s p a ra las cu a le s se d iseñ a, su p o n ie n d o p a rá m e tro s e lá stic o s d e los
m ateria le s.
P o r el m éto d o d e la re s iste n c ia ú ltim a , ta m b ié n lla m a d o so la m e n te m é to d o
d e la re siste n c ia , el d ise ñ a d o r p o d rá e stu d ia r el c o m p o rta m ie n to d e la
e stru c tu ra en el in stan te d e falla; p o r tan to , si este in stan te se h a c e lo
s u fic ie n te m e n te m a y o r q u e el d e su tra b a jo p a ra las ca rg a s q u e so p o rta
n o rm a lm e n te , se p o d rá te n e r u n d ise ñ o c o n fa c to re s d e se g u rid a d
a p ro p ia d o s.
E ste tra b a jo d e la e stru c tu ra en su ú ltim a re siste n c ia n o es p o sib le co n o c erlo
a p a rtir d el m é to d o elá stic o , en v ista d e q u e el c o m p o rta m ie n to d e los
m a te ria le s in e lá stic o s en el in stan te d e falla es d ife re n te al su p u e sto d en tro
d el p e río d o e lá stic o d e su fu n c io n a m ie n to , es d ecir, p a ra su trab a jo co n
ca rg as, e sfu e rz o s y d e fo rm a c io n e s ad m isib le s.
in stan te d e falla, se a n o ta q u e lo s e le m e n to s d e c o n c re to re fo rz a d o su je to s y
d iseñ ad o s a fle x ió n p o r c u a lq u ie r m é to d o a p ro p ia d o , d e b e n fa lla r c u a n d o el
acero a tra c c ió n a lc a n z a su lím ite elástico . E n o tras p a la b ra s, si
g ra d u alm en te se a u m e n ta la c a rg a h a s ta q u e fs = fy, el ele m e n to re s is tirá c a rg a
ad icio n al en la m e d id a en q u e se a u m e n ta el b ra z o d el p a r in te rio r re siste n te
y hasta q u e la fa lla d e fin itiv a se p re s e n te p o r ap la sta m ie n to d el c o n c re to a
co m p re sió n , a u n q u e in ic ia lm e n te la fa lla se d eb ió a la flu e n c ia d el acero .
A n tes de a c o m e te r el e stu d io d e las re la c io n e s q u e rig e n el M é to d o d e la
R esisten cia Ú ltim a n o s re fe rire m o s a lo s E stad o s L ím ite s e n el d ise ñ o de
co n creto re fo rz a d o p a ra e s ta b le c e r su re la c ió n c o n e sta m eto d o lo g ía .
E sta d o s L ím ites:
Se d en o m in a e sta d o lím ite d e u n a e stru c tu ra o e lem e n to estru c tu ra l cu a n d o
llega al lím ite d e su u so p ro g ra m a d o . P ara las e stru c tu ra s d e co n c re to
p o d em o s c o n sid e ra r lo s sig u ie n te s e sta d o s lím ites:
1.
2.
3.
E sta d o lím ite d e falla: C o rre sp o n d e al c o la p so p a rc ia l o to ta l d e u n a
e stru c tu ra co n c a ra c te rís tic a s co m o la p é rd id a d e e q u ilib rio to ta l o
p arcial, la ro tu ra d el ele m e n to o d e lo s e le m e n to s p rin c ip a le s o
b ásico s q u e c o n d u z c a n al co la p so , la fa lla p ro g re s iv a p o r d iferen tes
m o tiv o s, la fo rm a c ió n d e m e c a n ism o s p lá stic o s y la fa tig a del
m aterial.
E sta d o lím ite d e serv icio : C o rre sp o n d e a la in te rru p c ió n d el u so de
la estru c tu ra, sin q u e c o n lle v e al co la p so , p o r fa c to re s co m o
d e fle x io n e s e x c e siv a s, fisu ra s o g rie ta s im p o rta n te s o v ib ra c io n e s
ex cesiv as.
E sta d o s lím ite s esp ecia les: C o rre sp o n d e n a d añ o s o fa lla s d e b id o s a
c o n d ic io n e s e sp e c ia le s co m o m o v im ie n to s sísm ic o s a n o rm a le s,
in te rv e n c ió n d el fu e g o , e x p lo sio n e s, co lisio n e s d e d iv e rso tipo,
c o rro sió n , d e te rio ro p o r fa c to re s n o c o n te m p la d o s e n el d iseñ o .
C o m o u n a in tro d u c c ió n al e stu d io d el c o m p o rta m ie n to d e la e stru c tu ra en el
Para el d ise ñ o p o r e sta d o s lím ite s se p ro c e d e te n ie n d o en c u e n ta lo s p o sib le s
m o d o s de falla, d e te rm in a n d o lo s fa c to re s d e se g u rid a d ap ro p ia d o s p a ra
58
59
E structuras de C oncreto I
Capítulo 2 Flexión
c a d a e stad o lím ite y d ise ñ a n d o d e a c u e rd o al e stad o lim ite e sc o g id o . En
co n se c u e n c ia , se p u e d e id e n tific a r el d ise ñ o p o r el d e n o m in a d o M éto d o
E lá stic o o d e los E sfu e rz o s A d m is ib le s , a sí co m o el M é to d o d e la
R e siste n c ia d en tro d e a lg u n o s d e lo s e sta d o s lím ites m e n c io n a d o s.
E n esta o b te n c ió n se u tiliz a u n p ro c e d im ie n to a b re v ia d o co n p ro p ó sito s
d id áctico s, p a rtie n d o d e la se c c ió n lo n g itu d in a l y d e la tra n s v e rs a l p lan a
an tes y d e sp u é s de la d e fo rm a c ió n p o r flex ió n , c o n la sig u ien te
n o m en clatu ra:
A c o n tin u a c ió n e sta b le c e re m o s las re la c io n e s ex iste n te s en la s e c c ió n en el
in sta n te d e la fa lla p a ra v ig a s re c ta n g u la re s c o n a rm a d u ra a la trac ció n .
b , d:
ku:
d im e n sio n e s ú tile s de la secció n ;
fa c to r m e n o r q u e la u n id a d , q u e m u ltip lic a d o p o r “ d ” da
la p ro fu n d id a d d el eje n eu tro ;
c
■O
k j:
C8
M£
fa c to r q u e h a c e p ro m e d io s los e sfu e rz o s d e c o m p re sió n
c
•O
cC
en el co n c reto ;
'o
sS
I a
ü
c
•n °o
~
8
o
N
01
k2:
e
u
fa c to r m e n o r q u e la u n id a d q u e m u ltip lic a d o p o r k u d da
la p ro fu n d id a d d el p u n to de a p lic a c ió n d e la re s u lta n te de
—
U
c o m p re sio n e s.
U C
Se p u ed e d e c ir q u e en el in sta n te de la falla, la c o m p re sió n C u es ig u al a la
trac ció n T u, las cu a le s se ev alú an :
D e fo rm a c ió n u n i ta r ia
D e fo rm a c ió n %
F ig u r a 2.23
en d o n d e la e x p re s ió n 0.8 5 fc
c o rre sp o n d e al m á x im o v a lo r de
la c o m p re sió n co m o re s u lta d o de
la fle x ió n y su m a g n itu d o b e d e c e
a o b te n c ió n e x p e rim en tal.
C u = 0 .8 5 f c * k i * k u d * b ,
V ig a s r e c ta n g u la r e s co n a r m a d u r a a tr a c c ió n
S e trata, e n to n c e s, d e o b te n e r u n a e x p re s ió n d e m o m e n to re siste n te ú ltim o
p a ra v ig a s re c ta n g u la re s so m e tid a s a fle x ió n c o n a rm a d u ra a tra c c ió n , según
la te o ría d e la re siste n c ia ú ltim a y u n a e x p re sió n d e c u a n tía m á x im a de
re fu e rz o en el d ise ñ o b a la n c e a d o y su p o sib le lim ita c ió n p a ra d iseñ o s
a p ro p ia d o s.
Ig u a la n d o
T„ = A sf y = p b d f y
Cu
= Tu resu lta:
0 .8 5 f ;* k ,* k u = p f y
P o r tan to :
ku —
e x p re sió n
que
h ac e
p o sib le
c o n o c e r la p ro fu n d id a d d el eje
Pf>
n e u tro en fu n c ió n d e p
c a lid a d d e lo s m a te ria le s.
y
la
T a m b ié n e n el in stan te d e la falla, se p u e d e n e x p re s a r lo s m o m en to s
re siste n te s ú ltim o s co m o :
6y
F igura 2.24
60
M n = C u (d - k 2 * k u d ) = T u ( d - k 2 * k u d )
61
Estructuras de Concreto I
C apítulo 2 Flexión
A c e p ta n d o q u e los e le m e n to s d e c o n c re to re fo rz a d o d ise ñ a d o s a flex ió n
d eb e n fa lla r c u a n d o el acero d e tra c c ió n a lc a n z a su lím ite elá stic o , se to m a
el m o m e n to c o rre sp o n d ie n te a la tra c c ió n co m o el in icial y re siste n te ú ltim o
de la sección:
ku—
kud
£„„ + 8 ,
d - kud
en d o n d e s uc v a ria b le en tre
Suc 0.003
P fy
d -k .
M n = p b d * f
0 .8 5 fc'* k ,
o .003 y 0 .0 0 4 se to m a co m o
q u e se re ag ru p a :
0 .003 y
,
8
y = fy/E s
P o r o tra p arte , d e arrib a , co n
v
“ 2_____ * rP f y
1 -
M n = P * fv
0.85 * k ,
en d o n d e m =
0.85k,
bd:
C u = T u se to m a:
fc' j
S y = fy /E }
sus d iferen tes c a lid a d es y c u y a e v a lu a c ió n
n u m e ro so s en sa y o s dio co m o re su ltad o :
e x p e rim e n ta l a tra v é s
1 - 0 .5 9
b d 2,
f;
,
£uc
£uc + £y
de
m = 0.59, q u e se re e m p la z a e n la fó rm u la d e M n , o b ten ien d o :
M n = p f v
f'c
f'c
p = 0 .8 5 — * k,k„ = 0 .8 5 — * k- *■
F ig u r a 2.25
c o n stitu y e u n a p ro p ie d a d in trín se c a d el co n c re to en
e x p re s ió n é sta c o n o c id a co m o la
fó rm u la g e n e ra l d e la re siste n c ia
ú ltim a.
La a n terio r c o n s titu y e
una
e x p re sió n
de
c u a n tía
en
fú n c ió n
de
las
d efo rm acio n es, e n d o n d e k i se to m a co m o u n p ro m e d io d e 0.85 p ara
resisten cias a la c o m p re s ió n d el c o n c re to f c h a sta d e 28 M P a, ca rg a s b a ja s y
g ra d u alm en te ap lic a d a s. Si en esta e x p re sió n , co m o se d ijo an tes, se h ac e
sim u ltán e am en te £uc = 0 .0 0 3 y Sy= fy/Es, se c o n sig u e la p m á x im a en la
co n d ició n b a la n c e a d a .
A m an era d e e je m p lo , se c a lc u la a c o n tin u a c ió n p b a la n c e a d a p a ra las
S ecc ió n B a la n c ea d a :
co n d icio n e s d e m a te ria le s f c = 21.1 M P a y fy = 2 4 0 M P a:
A h o ra b ien , e n la d e d u c c ió n a n te rio r se p a rte d e la fa lla in icial p o r el acero
d e re fu e rz o , lo cu a l im p lic a se c c io n e s su b -re fo rz a d a s; p a ra p o d e r g a ra n tiz a r
esta situ ació n se d e b e o b te n e r an te s la c u a n tía n e c e s a ria p a ra u n a falla
sim u ltá n e a de a c ero y co n c reto , es d ec ir, la c u a n tía b a la n c e a d a y a p a rtir de
ella g a ra n tiz a r el su b -re fu e rz o ap ro p ia d o . D e a c u e rd o c o n el d ia g ra m a de
d e fo rm a c io n e s d e la fig u ra 2 .2 5 , y su p o n ie n d o q u e el a c ero falle p o r tra c c ió n
sim u ltá n e a m e n te co n el co n c reto a c o m p re sió n , se p u e d e al m ism o tiem p o
te n e r s uc y e y :
P
62
„
= 0 . 8 5 ^ * 0 . 8 5 * --------^
1
^
= 0 .045371
0 .003 + — — —
240
200000
D e ig u al fo rm a se c a lc u la p a ra las c o n d ic io n e s d e m a te ria le s f c = 21.1 M P a
y fy = 4 2 0 M P a. E n e ste c a so d eb e te n e rse en c u e n ta q u e el R e g la m e n to en
C. 10.3.3 p e rm ite fija r el lím ite d e d e fo rm a c io n e s u n ita ria c o n tro la d a p o r
co m p re sió n en
0 .0 0 2
.
63
C apítulo 2 Flexión
E structuras de C oncreto I
D is tr ib u c ió n
= 0 . 8 5 ^ * 0 . 8 5 * ^ ^ ^ = 0 .0 2 1 7 7 8
S e c c io n e s c o n tr o la d a s p o r c o m p r esió n :
S eg ú n el R e g la m e n to c o lo m b ia n o “ las se c c io n e s se d en o m in a n c o n tro la d as
p o r la c o m p re sió n si la d e fo rm a c ió n u n ita ria n eta de tra c c ió n en el acero
e x te rn o en t r a c c i ó n ,a , es igual o m e n o r q u e el lím ite d e d efo rm ació n
u n ita ria c o n tro la d a p o r c o m p re sió n c u a n d o el c o n c re to en c o m p re sió n
a lc a n z a su lím ite d e d e fo rm a c ió n s u p u e sto d e 0 .0 0 3 . E l lím ite de
d e fo rm a c ió n co n tro la d a p o r c o m p re s ió n es la d e fo rm a c ió n u n ita ria n e ta de
tra c c ió n del re fu e rz o en c o n d ic io n e s d e d e fo rm a c ió n u n ita ria b alac ead a .
P ara re fu e rz o G ra d o 4 2 0 y p a ra to d o s los re fu e rz o s p re -e sfo rz a d o s, se
p e rm ite fija r el lím ite d e d e fo rm a c ió n u n ita ria c o n tro la d a p o r c o m p re sió n en
0.002” .
S e c c io n e s c o n tr o la d a s p o r la tr a c c ió n y re g ió n d e tr a n sició n :
S eg ú n el R e g la m e n to c o lo m b ia n o “ la s se c c io n e s son c o n tro la d a s p o r
tra c c ió n si la d e fo rm a c ió n u n ita ria n e ta d e tra c c ió n en el re fu e rz o d e a c ero
ex tre m o en trac ció n , £ ,, es ig u al o m a y o r a 0 .0 0 5 , ju s to c u a n d o el c o n c re to
en c o m p re sió n a lc a n z a su lím ite d e d e fo rm a c ió n u n ita ria asu m id o d e 0.003.
L as se c c io n e s c o n s t e n tre el lím ite d e d e fo rm a c ió n u n ita ria c o n tro la d a p o r
co m p re sió n y 0.005 c o n stitu y e n u n a re g ió n d e tra n sic ió n e n tre sec cio n es
c o n tro la d a s p o r c o m p re sió n y se c c io n e s c o n tro la d a s p o r tra c c ió n ” .
P a ra d e fo rm a c io n e s u n ita ria s n e ta s de tra c c ió n en el a c e ro d e re fu erz o
ex tre m o en tra c c ió n ig u ales o m a y o re s a 0 .0 0 5 , la se c c ió n se d efin e
co n tro la d a p o r trac ció n . Ig u a lm e n te , c u a n d o la d e fo rm a c ió n u n ita ria n e ta de
tra c c ió n en el re fu e rz o d e a c ero ex te rn o en tra c c ió n es p e q u e ñ a, la sec ció n
p u e d e p re s e n ta r c o n tro l p o r c o m p re sió n .
64
E q u iv a le n t e
d el E sfu e r z o
de
C o m p r e s ió n .
M é to d o
de
W h itn e y
La d istrib u ció n d el e sfu e rz o d e c o m p re s ió n en el in stan te d e la fa lla p u e d e
su p o n erse co m o u n re c tá n g u lo , u n tra p e c io , u n a p a rá b o la o c u a lq u ie r d iseñ o
que cu m p la co n lo s re s u lta d o s re q u e rid o s. E l R e g la m e n to A C I y el
R eg lam en to c o lo m b ia n o a d o p ta ro n u n a d is trib u c ió n re c ta n g u la r e q u iv a le n te
de los esfu erzo s d e c o m p re sió n in ic ia lm e n te p ro p u e s ta p o r el in v e stig a d o r
C harles S. W h itn ey .
Se trata de o b te n e r u n a e x p re s ió n d e m o m e n to re siste n te ú ltim o p a ra v ig as
rectan g u lares so m e tid a s a fle x ió n c o n a rm a d u ra a tra c c ió n , su p o n ie n d o u n a
d istrib u ció n re c ta n g u la r d e lo s e sfu e rz o s d e c o m p re sió n co m o d ia g ra m a
eq u iv alen te co n u n e sfu e rz o u n ita rio d e 0 .8 5 f c , c o m p le m e n ta n d o c o n las
ex p resio n es u sa d a s a c tu a lm e n te en el d ise ñ o y su tab u lac ió n .
A p artir d e las se c c io n e s lo n g itu d in a l y tra n s v e rs a l ad ju n ta s en las c u a le s se
reem p laza el b lo q u e re a l d e c o m p re sio n e s p o r u n o e q u iv a le n te d e fo rm a
rectan g u lar, sie n d o to d o s lo s e sfu e rz o s d e c o m p re sió n ig u ales a 0.85f¿
resulta:
F ig u ra 2.26
P ara la c o m p re s ió n C u = T u e n el in stan te d e falla:
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
0.85 f^ab = A sf y = p b d f\
a =
Pf %
-d ,
0.8 5 f,
ex p re sió n q u e p e rm ite
kud = a / k i
Si se to m a k] = 0.85 p a ra re s is te n c ia s a c o m p re sió n
del c o n c re to f¿ m e n o re s o ig u ales a 28 M P a, resu lta:
c o n o c e r la p ro fu n d id a d d el b lo q u e re c ta n g u la r d e c o m p re sio n e s en
fu n c ió n d e p y los m ateria le s.
T a m b ié n en el in stan te de la falla, el m o m e n to re siste n te ú ltim o q u e, co m o
an te s se d ijo , está d e te rm in a d o p o r el a c ero de tra c c ió n al lle g a r a su lím ite
elástico , se e x p re sa com o:
P fv
M n = T u( d - a / 2 ) = pbdfy ( d - a / 2 ) = p b d f y d -
2 * 0 .8 5 f'
k u d = 1 .1 8 a
El R eg lam en to c o lo m b ia n o N S R -1 0 y el R e g la m e n to A C I-3 1 8 , ac ep tan
com o su p o sició n de d ise ñ o q u e la m á x im a d e fo rm a c ió n u n ita ria u tiliza b le
en la fib ra e x tre m a so m e tid a a c o m p re sió n d el c o n c re to sea 0 .003 y q u e el
esfu erzo en el c o n c re to d e 0.85 fc se d istrib u y a u n ifo rm e m e n te so b re u n a
zona e q u iv ale n te d e c o m p re sió n lim ita d a p o r lo s b o rd e s d e la sec ció n
tran sv ersal y p o r u n a lín ea re c ta p a ra le la al eje n e u tro a u n a d ista n c ia
a = p !c de la fib ra d e m á x im a d e fo rm a c ió n so m e tid a a c o m p re sió n .
pf
re a g ru p a n d o : M n = p f . 1 - 0 . 5 9 —^ b d 2 , q u e es la m ism a fó rm u la
f c' y
g en e ral de la re siste n c ia ú ltim a p re se n ta d a antes.
S ó lo co n el p ro p ó sito d e e s ta b le c e r u n a e x p re sió n lím ite d e “a ” en fu n c ió n
de “d ” , se tra b a ja co n el m o m e n to re siste n te ú ltim o p o r el c o n c re to en
co m p re sió n :
M n = C u (d - a / 2 ) = 0.85 f ' a b ( d - a / 2 ) = 0.85 — 1 d
f ' b d 2,
—
que
2d
ig u a la d o al p ro m e d io o b te n id o p o r el Sr. W h itn e y p a ra el c a so d e m o m e n to
m á x im o o d e fa lla p a ra la p b a la n c e a d a , d a rá el v a lo r m á x im o d e “a ” :
F ig u ra 2.27
M n = ^ f c'b d 2 = 0 . 8 5 Í ( l - ^ f ; b d 2
lmaxima = 0 .5 3 7 d
A d ic io n a lm e n te , y co n el p ro p ó sito d e e sta b le c e r c o m p a ra c ió n , se p u ed e
o b te n e r el v a lo r d e k u d , p ro fu n d id a d del e je n e u tro , en fu n c ió n d e “ a” . D el
p ro b le m a an terio r:
ku =
Pf v
0 .8 5 fc'k ,
pf
en d o n d e se re em p laza :
y
0.85f¿
66
Se resu m e esta a p ro x im a c ió n en la fig u ra en d o n d e el fa c to r p., q u e en este
texto h em o s lla m a d o k „ d eb e to m a rse co m o 0.85 p a ra re siste n c ia s a la
co m p resió n del c o n c re to fc h a sta 28 M P a in clu siv e. P ara re siste n c ia s p o r
en cim a d e 28 M P a, p, d eb e re d u c irse a ra zó n d e 0.05 p o r c a d a 7 M P a p o r
en cim a de 28 M P a, p e ro n o p u e d e se r m e n o r d e 0 .6 5 . P o r tanto:
a
d
Pl
= 0 .8 5 -0 .0 5
fc - 28
> 0 .6 5
67
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
E s c o n estas su p o sic io n e s q u e el R e g la m e n to c o lo m b ia n o p ro to c o liz a la
u tiliz a c ió n d e las e x p re sio n e s a n te s e stu d ia d a s d e l m é to d o d e la re siste n c ia
ú ltim a , lim itá n d o se a re g la m e n ta r su u so co n re q u isito s d e se g u rid a d
a p ro p ia d o s y q u e, a d e m á s, d e p e n d e n d e las se c c io n e s se g ú n sean
co n tro la d a s p o r la tra c c ió n o la c o m p re sió n .
c t = 0 .3 7 5 d t
a, = P,c, = 0 .3 7 5 p ,d ,
C t = 0.85fc'ba, =0.3190^1x1,
T = A sf y
A , = 0 .3 1 9 p ,f'b d , / f ;
L a fig u ra 2 .2 8 p re se n ta los e sfu e rz o s y d e fo rm a c ió n p a ra c o n d ic ió n de
d e fo rm a c ió n b a la n c e a d a p o r flex ió n :
pi = A s / ( b d , ) = 0 . 3 1 9 p , f ; / f y
M n , = P tf y (1 —0 .5 9 p , -5-)bd;
c
y el m o m en to n o m in a l p a ra d iseñ o , de a c u e rd o a e s p e c ific a c io n e s q u e se
estab lecen m á s a d e la n te co rresp o n d erá:
<j)Mnt = (j)ptf y (1 - 0 .5 9 p t j r ) b d f
c
En d o n d e (j)= c o e fic ie n te d e re d u c c ió n de re sisten c ia.
F ig u ra 2.28
L a fig u ra 2 .2 9 m u e stra los e sfu e rz o s y las d e fo rm a c io n e s p a ra u n a sec ció n
e n el lím ite d e la sec c ió n c o n tro la d a p o r tra c c ió n . E ste lím ite co rre sp o n d e ,
a d e m á s, al lím ite p a ra el u so d e
(j)
= 0 .9 0 c o m o v e re m o s m ás ad e la n te.
En la tab la sig u ie n te se e n c u e n tra n lo s v a lo re s d e pi p a ra los m a te ria le s de
co n creto y a c ero d e re fu e rz o m ás u su a le s en el m ed io c o lo m b ia n o y
c o rre sp o n d ie n te a la d e fo rm a c ió n u n ita ria n eta lím ite d e tra c c ió n d e 0.0 0 5
del a c ero de re fu e rz o en se c c io n e s c o n tro la d a s p o r trac ció n .
/;=
17.6
¿ ' = 21.1
/ c' = 24.6
¿•' = 28.1
¿ ' = 31-6
/ c' = 35.2
/?, =0.80
fc = 42-2
P =0.75
/?, = 0 .8 5
/?, = 0.85
P = 0 .8 5
/?, = 0.85
p x = 0.82
f y - 240 M Pa
0.01988
0.02384
0.02779
0.03175
0.03444
0.03743
0.04207
f y = A2QMPa
0.01136
0.01362
0.01588
0.01814
0.01968
0.02139
0.02404
p,
R e fu e rzo M á x im o p a ra M ie m b r o s en F lex ió n
F ig u r a 2.29
D e la fig u ra 2 .2 9 o b te n e m o s las e x p re sio n e s en el lím ite d e las sec cio n es
co n tro la d a s p o r tra c c ió n , u tiliz a n d o el su b ín d ic e t:
68
El R eg lam en to N S R -1 0 d e fin e el re fu e rz o m á x im o q u e p u e d e u sarse en u n a
secció n de c o n c re to re fo rz a d o co n so lo a rm a d u ra a la tra c c ió n , co m o u n a
69
E structuras de C oncreto I
Capítulo 2 Flexión
fu n c ió n de la d e fo rm a c ió n u n ita ria n eta d e tra c c ió n en el a c ero en tra c c ió n
£ t,e n lu g a r de la re la c ió n p / p . q u e se u s a b a en la N S R -9 8 . L a re la ció n
0.003 + ^ -
en tre p y e, se p u e d e o b te n e r a p a rtir de la fig u ra ad ju n ta:
si
E =
E^ - 0 .0 0 3
0 .0 0 3 =
c /d
^P_
Pb
P ara f, = 4 2 0 M P a y E = 200.000M P a
^ 0 .005 r
£y
T e n sio n -c o n tro la d a
f y /E y
B a la n c e a d a
F ig u ra 2.30
C
O
- = —
c b pb
_
c-
y
acero en tra c c ió n s, n o m e n o r a 0 .0 0 4 e n el e sta d o d e re siste n c ia n o m in al.
C on este lím ite, la c u a n tía d e re fu e rz o en v ig a s n o p re -e sfo rz a d a s se
m antiene m u y c e rc a n a al v a lo r q u e se e x ig ía en la N S R -9 8 . Si en la
exp resió n a n te rio r u tiliz a m o s
pmax = 0 .7 5 p b o b te n e m o s u n a d e fo rm a c ió n
unitaria n eta d e tra c c ió n en el a c ero p a ra el e stad o d e re siste n c ia n o m in a l de
0.0038, p o r lo q u e c o n c lu im o s q u e el lím ite ac tu a l es le v e m e n te m as
p fd
O.SSf'p,
w
d iv id ie n d o p o r
v
d : —= — x —
d pb d
co n serv ad o r.
Para la lim ita c ió n d e s, = 0 .0 0 4 , la ec u a c ió n g en e ral d e s, sería:
D e los trián g u lo s:
°-003
d
0.003 + 8 ,
El R eg lam en to N S R -1 0 lim ita el e sfu e rz o m á x im o p a ra m ie m b ro s en
flexión (con c a rg a a x ial m a y o ra d a m e n o r a O .lO fcA g ) co m o el q u e
co rresp o n d e a u n v a lo r d e la d e fo rm a c ió n u n ita ria n e ta d e tra c c ió n en el
A p a rtir d e la fig u ra 2 .3 0 y p a ra la sec ció n b alan c ead a :
y
-0 .0 0 3
P/ Pb
T=A sfy
a b _ p bf yd
~
--------p,
0 .8 5 f'P ,
y f v / E s = 0 .0 0 2 1
8,
1
Y
0-003
A
= ----------- 0.003
c /d
P_
Pb
0 .0 0 3 + f y/ E s
y p ara
f =420M Pa
0 .0 0 7
ig u alm en te:
0 .0 0 3 + 0.0021
P =
cb _
d
0 .0 0 3
.
c
0 .0 0 3 + —
E,
d
p cb
Pb d
p
0.003
Pb 0.0 0 3 + —
E
70
0.007
y p a ra este caso :
Pb “ 0 .7 2 9 p t
(j) = 0.65 + (s, - 0.002)(250 / 3)
71
C apítulo 2 Flexión
Estructuras de C oncreto I
v éa se C R 9 .3 .2 .2 d el R e g la m e n to C o lo m b ia n o
R esistencia de diseño > R esistencia requerida
<¡>= 0 .8 1 7 < 0 .9 0
(j) * R esistencia nom inal > U
P o r lo tan to co n sid e ra m o s m ás a p ro p ia d o tra b a ja r co n la d efo rm a c ió n
y debe in v e stig a rse
u n itaria n e ta d e tra c c ió n £t lim itá n d o la a u n v a lo r m ín im o d e 0 .0 0 5 , au n
cu a n d o la n o rm a p e rm ite m a y o re s c a n tid a d e s de re fu e rz o co n d e fo rm a c io n e s
u n ita ria s n e ta s de tra c c ió n m en o re s. C u a lq u ie r a u m e n to en la re siste n c ia con
ca n tid a d e s m ay o re s d e re fu e rz o se a n u la c o n la re d u c c ió n d e c o e fic ie n te de
re siste n c ia <|> y se c o n firm a m ás a p ro p ia d o el d ise ñ o p a ra sec cio n es
sim u ltán eam en te.
c o n tro la d a s p o r trac ció n .
efecto de las ca rg as m ay o ra d as.
P ara a c o m e te r el d ise ñ o a p a rtir d el m o m e n to ú ltim o re siste n te d e u n a
sec ció n , es e v id e n te q u e se p re te n d e q u e d ich o m o m e n to n o se p re se n te ,
co lo c á n d o se u n fa c to r d e se g u rid a d ap ro p ia d o . E l R e g la m e n to N S R -1 0
e sp e c ific a u n fa c to r d e se g u rid a d o b te n id o d e u n a p a rte , a u m e n ta n d o las
c a rg a s o los m o m e n to s q u e ellas p ro d u c e n p o r m e d io d e los llam ad o s
“ fa c to re s o co e fic ie n te s d e c a rg a (U )” y p o r o tra p a rte d ism in u y e n d o la
re siste n c ia de las se c c io n e s p o r m e d io d e los d e n o m in a d o s “ fa c to re s o
c o e fic ie n te s d e re d u c c ió n de re siste n c ia (<j>)
de uno
o m ás ca rg a s
que
no
a c tú a n
A c o n tin u a c ió n tra n sc rib im o s las c o m b in a c io n e s d e c a rg a m ín im a s m as
usab les e s p e c ific a d a s p o r el R e g la m e n to N S R -1 0 p a ra o b te n e r la re siste n c ia
req u erid a U , la cu al, c o m o se ex p reso a n te s, d eb e se r p o r lo m e n o s ig u al al
1.
F a c to r d e seg u rid a d
el e fecto
U = 1.4D , en do n d e:
D = c a rg a m u e rta o lo s m o m e n to s y fu e rz a s in tern a s
c o rre sp o n d ie n te s.
2
.
U = 1 .2 D + 1 .6 L + 0 .5 ( L r ó G ó L e), en do n d e:
L = ca rg a s v iv a s o m o m e n to s y fu e rz a s in te rn a s
co rre sp o n d ie n te s.
L r = ca rg as v iv a s d e c u b ie rta o m o m e n to y fu e rza s
in te rn a s c o rre sp o n d ie n te s.
F a c to r d e c o e fic ie n te de ca r g a (U )
G = ca rg a s p o r g ra n iz o o m o m e n to s y fu e rza s
in te rn a s c o rresp o n d ien tes.
E s u n fa c to r d e s e g u rid a d co n re sp e c to a las ca rg as a c tu a n te s. El titu lo B d el
R e g la m e n to N S R -1 0 lo d efin e co m o “ u n c o e fic ie n te q u e tien e en c u e n ta las
d esv ia c io n e s in e v ita b le s de las ca rg a s re a le s co n re sp e c to a las ca rg a s
n o m in a le s y las in c e rtid u m b re s q u e se tie n e n en el an á lisis estru c tu ra l al
tra n s fo rm a r las ca rg a s en e fe c to s in te rn o s de los e le m e n to s, y p o r la
p ro b a b ilid a d d e q u e m ás d e u n a c a rg a e x tre m a o c u rra sim u ltá n e a m e n te ” .
U n a c a rg a m a y o ra d a es, p o r c o n sig u ie n te , la c a rg a re su lta n te d e m u ltip lic a r
la c a rg a n o m in a l p o r un fa c to r o c o e fic ie n te d e carg a.
E n c o n s e c u e n c ia el re q u isito b á sic o p a ra el d ise ñ o p o r re s iste n c ia se e x p re sa
así:
72
L e = ca rg a s p o r em p o z a m ie n to d e a g u a o m o m e n to s
y fu e rz a s in te rn a s c o rre sp o n d ie n te s
3.
U =
1 .2
D + 1 .6 ( L r ó G ó L e) + ( 1 .0 L ó
0 .5 W )
en do n d e:
W = ca rg as p o r v ie n to o m o m e n to s y fu e rz a s in te rn a s
c o rre sp o n d ie n te s.
4.
U = 1 .2 D + 1 .0 W + 1 .0 L + 0 .5 (L r ó G ó L e)
73
Estructuras de C oncreto I
5.
Capítulo 2 Flexión
U - 1 .2 D + 1 .0 E + 1 .0 L e n donde:
E = e fecto s d e c a rg a p ro d u c id o s p o r el sism o o
m o m e n to s y fu e rz a s in te rn a s c o rre sp o n d ie n te s.
6
.
7.
U = 0 .9 D + 1 .6 W
U = 0 .9 D + 1 .0 E
Se p e rm ite re d u c ir en 0.5 el fa c to r d e c a rg o v iv a L en las e c u a c io n e s d e la
N o 3 a N o 5, ex c ep to p a ra e sta c io n a m ie n to s, á re a s o c u p a d a s co m o lu g are s
d e re u n io n e s p ú b lic a s y en to d a s las á re a s d o n d e L sea su p e rio r a 4 .8 k N /m 2
L a s fu e rz a s sísm ic as re d u c id a s d e d iseñ o , E, u tiliz a d a s en las co m b in a c io n e s
N o 5 a N o 7 c o rre sp o n d e n al e fe c to e x p re sa d o en té rm in o s d e fu erza, Fs; de
los m o v im ie n to s sísm ic o s d e d ise ñ o p re sc rito en el titu lo A , d iv id id a p o r
R (E = F s/R ). C u a n d o se
tra ta d e d is e ñ a r los m ie m b ro s, el v a lo r del
co e fic ie n te d e c a rg a q u e a fe c ta las ftierzas sísm ic a s, E , es 1.0, d ad o q u e
estas e stá n p re sc rita s al n iv el d e re siste n c ia . P a ra la v e rific a c ió n de las
d eriv a s o b te n id a s d e las d e fle x io n e s h o riz o n ta le s c a u sa d a s p o r el sism o de
d iseñ o , d e b e n u tiliz a rs e los re q u isito s del c a p ítu lo A . 6 , los c u a le s ex ig en
q u e las d e riv a s se v e rifiq u e n p a ra las fu e rza s sísm ic as, Fs, sin h a b e r sido
d iv id id a s p o r R. En las m ism a s e c u a c io n e s N o 5 a N o 7 se p u e d e n u s a r 1.4E
en lu g a r d e 1.0E c u a n d o los e fe c to s d e c a rg a p o r sism o s E se b asen en los
n iv eles d e se rv ic io d e las fu e rz a s sísm icas.
F actor o C o e fic ie n te d e R e d u c c ió n d e R e siste n c ia <j)
Es un co e ficien te q u e re d u c e la c a p a c id a d d e la sec ció n p a ra te n e r en c u e n ta
la p ro b a b ilid ad d e e x iste n c ia de e le m e n to s c o n u n a re siste n c ia b a ja d e b id o a
v ariacio n es en la re siste n c ia de lo s m a te ria le s y las d im e n sio n e s, las
a p ro x im acio n es en las e c u a c io n e s d e d ise ñ o q u e re fle ja n el g ra d o de
d u ctilid ad y c o n fía b ilid a d re q u e rid a p a ra el elem e n to so m etid o a la c a rg a
que le c o rre sp o n d e y p a ra te n e r en c u e n ta la im p o rta n c ia d el ele m e n to en la
estructura. P o r lo tan to , la re s is te n c ia d e d ise ñ o q u e tien e u n e le m e n to , sus
co n ex io n es c o n o tro s m ie m b ro s y c u a lq u ie r p a rte o sec c ió n d e el, en
térm inos de m o m e n to flec to r, c a rg a ax ial, c o rta n te y to rsió n , d eb e se r ig u al a
su re sisten c ia n o m in a l c a lc u la d a d e a c u e rd o co n lo s re q u isito s y
su p o sicio n es del títu lo C d el R e g la m e n to N S R -1 0 m u ltip lic a d a p o r u n
co eficien te de re d u c c ió n d e re s is te n c ia <j):
R esisten cia de d ise ñ o = (j) R e siste n c ia n o m in a l > R e siste n c ia re q u erid a.
El facto r d e re d u c c ió n d e re siste n c ia (|>p a ra el p re s e n te c a p itu lo , se rá 0.90.
Por tanto, el fa c to r d e se g u rid a d re su lta n te será:
F.S.= —
^
q u e p a ra el c a so de U = 1 .5 p a ra ca rg as v e rtic a le s en
e stru c tu ra s d e tip o co rrie n te re s u lta d e 1.7, q u e
p u e d e c o n s id e ra rs e a c e p ta b le p a ra n u e stro m ed io , en
té rm in o s g en e rales.
N ota:
1.
E n to d o s los ca so s se d e b e u tiliz a r el re su lta d o m ás d e sfa v o ra b le y
en n in g ú n c a so se tra b a ja rá c o n u n “ U ” in fe rio r al u tiliz a n d o p a ra ca rg a s
v ertic ales.
E x p resio n es p a ra el cá lc u lo y su ta b u la c ió n
2. P a ra tra b a ja r en las c o n d ic io n e s e sp e c ific a s del m e d io en el cu a l se
d is e ñ a rá y c o n stru irá la e stru c tu ra , el d ise ñ a d o r p u e d e e s c o g e r d e sd e los
fa c to re s a n te rio re s h a sta o tro s lig e ra m e n te su p e rio re s seg ú n su criterio .
74
75
C apítulo 2 Flexión
E structuras de C oncreto I
Expresando <j)Mn en fu n c ió n de “ a ” :
0 .8 5 f c
<t>Mn = <|>Asf
d—
2
P fy
, en d o n d e a = r\ n r r t d .
0.85f¿
Este v a lo r de “ a ” es ta b u la b le en la form a:
d - a /2 = jd
£ =
— , ta m b ié n en fu n c ió n d e p
d
0.8 5f¿
F ig u ra 2.31
De la fig u ra 2 .31:
N o ta c ió n :
M
U
(|)Mn =
L u eg o :
= M o m e n to d e fle x ió n o m o m e n to ac tu a n te
= C o e fic ie n te d e c a rg a
a
id = d — , este v a lo r d e j se p u e d e ta b u la r en la fo rm a de:
J
2
M o m e n to a c tu a n te ú ltim o o m o m e n to d e d iseñ o
Mn
= M o m e n to d e fa lla a la re siste n c ia ú ltim a o m o m e n to
(j>
N o m in a l
= C o e fic ie n te d e re d u c c ió n
b d 2,
1
a
- —
2d
R e f u e r z o m í n i m o d e e l e m e n t o s a f le x ió n
En cu a n to al re fu e rz o m ín im o d e e le m e n to s so m e tid o s a flex ió n , d ice el
R eg lam en to N S R -1 0 en la se c c ió n C . 10.5.1 “e n to d a se c c ió n d e u n e lem e n to
som etido a flex ió n c u a n d o p o r an á lisis se re q u ie ra re fu e rz o d e tra c c ió n ,
ex cepto lo e sta b le c id o en C . 10.5.2, C. 10.5.3 y C . 10.5.4, el A s p ro p o rc io n a d o
(j)Mn = M u = U M
1 -0 .5 9
•
j =
e x p re s ió n a p a rtir d e la cu a l se
no debe ser m e n o r q u e el o b te n id o p o r m ed io de:
f.:
c a lc u la la c u a n tía del re fu e rz o p en fu n c ió n del m o m e n to a c tu a n te
A s.min = ° ' 2 5r ^ L b w d
ú ltim o , de los m a te ria le s fy y f c' y d e la se c c ió n b d , p o r lo cual se
(C . 10-3)'
v
y
c o n stitu y e en u n sen c illo p ro g ra m a d e diseñ o .
p ero n o m e n o r a 1.4 b w d / f y
E sta e x p re sió n ta m b ié n p u e d e esc rib irse:
f >
(j)Mn = K b d " , en d o n d e K = <j)pfy 1 - 0 . 5 9 p — es ta b u la b le en
f C y fu n c ió n d e p
Lo esta b le c id o en el artic u lo C. 10.5.2 es q u e “p a ra lo s e le m e n to s
estática m e n te d e te rm in a d o s co n el a la en tra c c ió n , A S!m¡n n o d e b e rá ser
m en o r q u e el v a lo r d ad o p o r la e c u a c ió n (C .1 0 -3 ) re e m p la z a n d o b w p o r 2 b w,
o el an c h o d el ala, el q u e sea m e n o r” .
D e aquí:
d = - ^ y ^ ^ iL = k 2 1
(f)Mn
76
en d o n d e el v a lo r d e
ig u a lm e n te tab u lab le.
k2
es
77
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
R e s p e c to d el artic u lo C . 10.5.3 d ice “ los re q u is ito s d e C . 10.5.1 y C. 10.5.2 no
n e c e s ita n se r a p lic a d o s si en c a d a se c c ió n d e A s p ro p o rc io n a d o es al m en o s
u n te rc io su p e rio r al re q u e rid o p o r a n á lis is” .
E n el C. 10.5.4 d ice “ p a ra lo sas e stru c tu ra le s y z a p a ta s d e e s p e so r u n ifo rm e,
A Sjmjn en la d ire c c ió n d e la lu z d eb e se r el m ism o re q u e rid o p o r C .7 .1 2 .2 .1 .
E l e sp a c ia m ie n to m á x im o de este re fu e rz o n o d eb e e x c e d e r tres v ec es el
e sp e so r, ni 4 5 0 m m ” .
f'c = 2 1 .1 M P a y a c ero p a ra f> = 2 4 0 M P a y u n a c a rg a to ta l de 8.96 k N /m
(N ótese que esta c a rg a
es la o b te n id a co m o so p o rta d a en c o n d ic io n e s de
seguridad p o r la v ig a
d el p ro b le m a 2 . 1 , d e sec ció n , luz, tip o de carg a,
condiciones d e a p o y o y m a te ria le s id én tico s a este p ro b le m a , c u a n d o la
s e c c i ó n estab a re fo rz a d a co n 4 <|>7 /8 ”).
S o lu c ió n
Se trata de o b te n e r u n a c a rg a ú ltim a y u n m o m e n to a c tu a n te ú ltim o a p a rtir
del cual se o b tien e p .
D istr ib u c ió n de r e fu e r z o a fle x ió n en v ig a s
C o n el p ro p ó sito de lim ita r el a g rie ta m ie n to p o r fle x ió n en v ig a s el re fu erz o
d e tra c c ió n p o r fle x ió n d eb e d istrib u irse a d e c u a d a m e n te d e n tro d e la z o n a de
tra c c ió n m á x im a a fle x ió n d e la s e c c ió n tra n sv e rsa l d e u n e lem e n to de
ac u e rd o a los re q u e rim ie n to s d el R e g la m e n to en el artic u lo C. 10.6.4 q u e
d ice: “ el esp a c ia m ie n to del re fu e rz o m ás c e rc a n o a u n a su p e rfic ie en
tra c c ió n , s en m m , n o d eb e se r m a y o r q u e el d ad o por:
1)
O btención de w u , F. de S. y (j)Mn :
La a p lica ció n d el c o e fic ie n te d e c a rg a U = 1.2D + 1.6L im p lic a el
co n o c im ien to d e las p o rc io n e s de c a rg a to tal q u e c o rre s p o n d e n a c a rg a
m u erta y c a rg a v iv a. D el p ro b le m a 2 .1 , se ob tien e:
w u = 1.2 x 3.6 + 1.6 x 5.36 = 12.90 k N /m
U (c o e fic ie n te d e c a rg a p o n d e ra d o ) =
s = 380
12.90
■= 1.44
(C .1 0 -4 )
p e ro n o m a y o r q u e 3 0 0 ( 2 8 0 / fs), d o n d e Ce e n m m , es la m e n o r d ista n c ia
d e s d e la su p e rfic ie del re fu e rz o o a c e ro d e p re -e sfo rz a d o a la c a ra en
tra c c ió n . Si el re fu e rz o m as ce rca n o a la c a ra en tra c c ió n ex tre m a
c o rre s p o n d e a u n a so la b a rra o u n so lo a la m b re , el v a lo r d e s a u tiliz a r en la
ec u a c ió n (C .1 0 -4 ) es el an c h o d e la c a ra en tra c c ió n extrem a.
El e sfu e rz o c a lc u la d o
f s ( M P a ) en el re fu e rz o m ás ce rca n o a la ca ra en
tra c c ió n p a ra ca rg a s d e se rv ic io d e b e o b te n e rse co n b a se en el m o m e n to no
F a c to r d e S e g u rid a d (F. de S.) =
<t>Mn =
2)
1.44
= 1.60
12 90 * 8 2
- - — = 103.20 kN -m
A rm ad u ra: U san d o las fó rm u la s o la c a lc u la d o ra p ro g ram ad a:
m ay o ra d o . Se p e rm ite to m a r f co m o 2 /3 f ” .
<t>M„ =<)>pfy l - 0 . 5 9 p f b d
2
P ro b le m a 2.12
D is e ñ a r la a rm a d u ra n e c e s a ria a la flex ió n e n u n a v ig a d e 0 .3 0 x 0 .5 0 m ,
sim p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m e tro s, a rm a d a en c o n c re to de
..1 0 3 .2 0 = 0 .9 * p * 2 4 0 0 0 0 í 1 - 0 . 5 9 *
P
l
.-.
78
p 2 - 0 .1 4 9 0 1 l p + 0 .0 0 1 2 2 6 = 0
* 0 .3 0 * 0 .4 4 "
21100
C apítulo 2 Flexión
Estructuras de C oncreto I
P r o b le m a 2 .1 3
d e d o n d e se escoge:
p = 0 .0 0 8 7 4
/.
A s = 0 .0 0 8 7 4 * 3 0 0 * 4 4 0 = 1154 m m 2
R e s u lta in fe rio r al v a lo r d e la p p a ra el c a so d e la d e fo rm a c ió n u n ita ria
n e ta lim ite d e trac ció n .
L a so lu ció n p o r ta b la s a p a rtir d e (j>Mn :
K =
bd2
= — ^ .2 0
0 .3 0 * 0 .4 4
_
1775 9
o
p (p o r in te rp o la c ió n )= 0 .0 0 8 7 4
R evisar el d iseñ o a fle x ió n p a ra m o m e n to m á x im o en el ce n tro d e la lu z d e 8
m etros de u n a v ig a sim p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a c a rg a u n ifo rm e , co n
m ateriales y re fu e rz o c o m o a p a re c e en la sec c ió n ad ju n ta, d e te rm in a n d o su
m om ento re siste n te ú ltim o de d iseñ o , la c a rg a w en k N /m q u e p u ed e
so p o rtar cu a n d o el fa c to r d e s e g u rid a d sea de 2 . 0 y cu ál sería el fa c to r de
seg u rid ad re su lta n te si co n sid e ra m o s q u e la c a rg a to tal a c tu a n te es de
8.96 k N /m , o b te n id a en el p ro b le m a 2.1 co m o so p o rta d a en c o n d ic io n e s de
seg u rid ad p o r u n a v ig a s im ila r de a c u e rd o co n u n d ise ñ o p o r el m éto d o
elástico.
0 .3 0
C o n cre to : fc' = 21.1 M P a
A s = 0 .0 0 8 7 4 0 * 3 0 0 * 4 4 0 = 1154 m m 2, o b te n ié n d o s e el m ism o
re su ltad o
S e c o lo c a 3 § 7 /8 ” (A s= 1161 m m 2) u sa n d o <j> 7 /8 ” p a ra c o m p aració n ,
q u e es in fe rio r e n u n a b a rra a las c u a tro n e c e sa ria s p o r el m éto d o
elástico . U n a de las ra z o n e s d e esta d ife re n c ia es el fa c to r d e se g u rid a d
q u e a q u í es d e 1.60 y en el m é to d o e lá stic o el fa c to r de se g u rid a d se
asu m e p o r e n c im a d e 2 .0 . E sto se c o n firm a si se d ise ñ a el p ro b le m a
a n te rio r p a ra u n fa c to r d e s e g u rid a d d e 2 .0 , es d ecir, c o e fic ie n te de
c a rg a d e
1 .8
:
= 8 .9 6 * 8
* li8
4 0 7 /8 " \
Figura 2.32
S olu ción
Se trata d e o b te n e r el m o m e n to re siste n te ú ltim o de d ise ñ o a p a rtir d e la
cu an tía p e x iste n te , lu eg o , la c a rg a a so p o rta r p a ra u n fa c to r de se g u rid a d
su m in istrad o y, fin a lm e n te , el fa c to r d e s e g u rid a d cu a n d o la c a rg a w es
su m in istra d a co m o se g u ra en u n d ise ñ o elástico , o b te n ié n d o se así el fa c to r
de seg u rid a d d e este m é to d o p a ra el p ro b le m a an tes citad o .
= 12 9 .0 2 kN -m
1) O b ten c ió n d e p :
8
£
R efu e rzo : f = 2 4 0 M P a
0 .5 0
_ # 4 ^ _ — 129.02
_
bd2
0 .3 0 * 0 .4 4
^ 2 y 4
. p (p 0 r
P=
jn te rp o la c ió n )= 0 .1 1 1 1 4
2)
A s = 0 .0 1 1 1 1 4 * 3 0 0 * 4 4 0 = 1467 m m 2, q u e to d a v ía n o s re su lta p o r
d e b a jo d e las cu a tro b a rra s d e <f>7 /8 ” , p ero q u e sin e m b a rg o las
A_
4*387
bd
300*440
= 0 .0 1 1 7 2 7
O b te n c ió n d e (j>Mn :
A p a rtir de las fó rm u las:
p o d ría m o s c o lo c a r en u n a a c o m o d a c ió n d el re fu e rz o p o r ex ceso .
(j)Mn = c()As f y (d - a / 2 ), en do n d e:
80
81
E structuras de C oncreto I
a =
C apítulo 2 Flexión
P r o b le m a 2.14
P fy
, 0 .0 1 1 7 2 7 * 2 4 0 * _
d =
* 4 4 0 = 69.1 m m
0 .8 5 f¿
0 .8 5 * 2 1 .1
(|)Mn = 0.9 * 4 * 0 .0 0 0 3 8 7 * 2 4 0 0 0 0 * (0 .4 4 - 0 .0 6 9 1 0 /2 ) = 135 .5 7 k N .m
D iseñar la a rm a d u ra n e c e s a ria a fle x ió n en u n a v ig a de 0 .3 0 x 0 .5 0 m ,
sim p lem en te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m etro s, a rm a d a en c o n c re to de
f 2 = 2 1 .1 M P a y a c e ro p a ra fy= 2 4 0 M P a y co m o a lte rn a tiv a p a ra
fy = 4 2 0 M P a, si so p o rta u n a c a rg a u n ifo rm e to tal d e 10 k N /m , de la cu a l el
A p a rtir de las tab las:
80% es carg a m u e rta y el
20%
es c a rg a v iva.
<()Mn = K b d “ p a ra K c o rre s p o n d ie n te a p = 0 .0 1 1 7 2 7
S o lu c ió n
(j)Mn = 2 3 3 3 .4 * 0 .3 0 * 0 .4 4 2 = 135.52 kN-m, o b te n ié n d o se
Se trata d e o b te n e r u n m o m e n to a c tu a n te y , co n u n fa c to r d e ca rg a, q u e el
d iseñ ad o r p u e d e c o n s id e ra r a p ro p ia d o p a ra las c o n d ic io n e s e sp e c ific a s de
este p ro b lem a, u n m o m e n to ú ltim o d e d iseñ o , a p a rtir del cu al o b te n e m o s
re su lta d o s
iguales.
las arm a d u ras p a ra c a d a c a lid a d d e acero.
3) C a rg a w en k N /m q u e p u e d e so p o rta r p a ra u n fa c to r de se g u rid a d d e 2.0:
1) M o m en to a c tu a n te , c o e fic ie n te d e c a rg a y m o m e n to ú ltim o d e d iseñ o :
(j)Mn = 135.57 kN -m = W u /
= W“
8
8
8
w u = 16.94 k N /m
M o m en to a c tu a n te = M =
14 8
U = — — = 1.48
10
4 ) F a c to r d e S e g u rid a d p a ra u n a c a rg a to ta l a c tu a n te d e 8 .9 6 k N /m :
y
.-.
2.10
q u e se ría el c o rre s p o n d ie n te al d ise ñ o p o r
el m é to d o e lá stic o e n el p ro b le m a 2 . 1 .
2) A rm ad u ras: Se p u e d e n o b te n e r p o r la a p lic a c ió n d el p ro g ra m a
\
b d “ co n p en fu n c ió n d e <|)Mn o p o r in te rm e d io
fc J
de la tab u lac ió n e fe c tu a d a p a ra esta m is m a e x p re sió n . A sí:
a)
82
m u y a p ro x im a d o al fa c to r d e c a rg a c o n ju n to
re c o m e n d a d o a rrib a d e 1.5 (D + L).
<J)Mn = 1.4 8 * 8 0 = 118.4 kN -m
(|>M„ = <)>pf, 1 - 0 . 5 9 p
1.89
=
= 8 0 kN -m
8
w u = 1 .4 * 0 .8 0 * 1 0 + 1 .8 * 0 .2 0 * 1 0 = 14.8 k N /m
2 .0 .
F de S =
10 * 82
U tiliz an d o u n c o e fic ie n te de c a rg a U = 1.4D + 1.8L, resu lta:
c o n c lu y é n d o se
que
el
re su lta d o
o b te n id o en el p ro b le m a 2 . 1 im p lica
u n fa c to r d e s e g u rid a d p o r e n c im a de
16 94
Si w u = 16.94 k N /m , e n to n c e s U = — 1— = 1.89
8.96
=
8
Si el fa c to r d e se g u rid a d es 2 .0 ; U = 2 .0 * 0 .9 = 1 . 8
16 94
w = — :— = 9.41 k N /m ,
^
w f2
U tiliz a n d o f y = 2 4 0 M Pa:
83
E structuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
118.4
b d : “ 0 3 ^ 0 4 ? = 2038'6:
p = 0 .0 1 0 1 2 7
A s = 0 .0 1 0 1 2 7 * 3 0 0 * 4 4 0 = 1337 m m 2 - 2<j,7/8”+ 2 c(, 3 /4 ”
E sta a rm a d u ra , ta m b ié n p rin c ip a lm e n te p o r la d ism in u c ió n en
el ta c to r d e se g u rid a d , re su lta in fe rio r a la o b te n id a p o r el
m é to d o e lá stic o en el p ro b le m a 2 . 4 p a rte “ a ” .
b)
V IG A S R E C T A N G U L A R E S C O N A R M A D U R A
a
T R A C C IO N Y A
C O M P R E S IO N
Se trata de o b te n e r u n a e x p re sió n d e m o m e n to re siste n te ú ltim o p a ra v ig as
rectan g u lares so m e tid a s a fle x ió n co n a rm a d u ra a tra c c ió n y a c o m p re sió n ,
tam bién co n o c id a s s im p le m e n te co m o v ig a s co n a rm a d u ra a c o m p re s ió n o
vigas d o b le m e n te a rm a d a s, seg ú n la te o ría de la re s is te n c ia ú ltim a,
co m p lem en tan d o co n lo s re q u e rim ie n to s d el R e g la m e n to N S R -1 0 .
U tiliz an d o f y = 4 2 0 M P a :
A p a rtir d e K =
p = 0 .0 0 5 5 1 6
= 1 9 4 9 ■0 se o b tien e
q u e ta m b ié n en este caso re su lta in fe rio r a la cu an tía
c o rre sp o n d ie n te a la d e fo rm a c ió n u n ita ria n eta lim ite de
tracció n .
As -
0 .0 0 5 5 1 6 * 3 0 0 * 4 5 0 = 745 m m 2 ~ 2<|> 3 /4 ” + 1 <j>5 / 8 ”
a rm a d u ra in fe rio r a la o b te n id a c o n el a c ero d e b a iJ
re siste n c ia u tiliz a d o en “ a ” , p o r lo q u e el c a m b io en la calid ad
d el a c ero d e b aja a a lta re s iste n c ia p u e d e re p re s e n ta r una
so lu c ió n a la a c o m o d a c ió n d el re fu e rz o en se c c io n e s m u y
c o n g e stio n a d a s.
y
El refuerzo a c o m p re s ió n se u sa c u a n d o la se c c ió n e stá lim ita d a a u n as
d im en sio n es d e te rm in a d a s p o r re q u is ito d el p ro y e c to d el cu a l h a c e p arte.
O tra p o sib ilid a d d e u s o d e este re fu e rz o es c u a n d o se re q u ie re re d u c ir las
d eflex io n es a larg o p la z o y ta m b ié n en el caso en q u e se n e c e site so ste n e r
los estrib o s o fle je s d e te rm in a d o s p o r el d ise ñ o p a ra fu e rza s de co rte.
Aun cu a n d o se p u e d a c o n s id e ra r los c a so s en el d ise ñ o d e estas se c c io n e s
según que el re fu e rz o a c o m p re s ió n e ste o no en su lím ite elástico ,
tratarem os en este tex to so la m e n te el c a so m ás u su a l q u e c o rre s p o n d e a la
co n sid eració n d el re fu e rz o a c o m p re sió n en el lím ite elástico .
T am bién por el m étod o de la resisten cia últim a existe, en o ca sio n es la
im posibilidad d e aumentar las d im en sion es d e sec cio n e s som etida^ a
m om en tos H éctores ú ltim os o de d iseñ o m ayores que los resistidos por la
secció n , rem endóse que usar una armadura en la zona de com p resion es que
im p lica una armadura ad icional a tracción, produciendo en ton ces las
denom inadas v igas con armadura a com presión. S in em bargo hay ca so s de
r e s lÍ n d a ^ m " 8 ^
^ COmPresión sin que « tenga razones de
a s is te n c ia , com o cuando co n esta armadura se pretende reducir las flech as
por flu en cia lenta o retracción de fraguado o cuando tal armadura se usa
F ig u ra 2.33
L lam ando:
d fseñ o deTatem m ient° ^ eStrib° S' A continuación
relacion es para el
d iseñ o d e las vigas con armadura a com presión, tam bién llam adas v igas con
armadura d oble, por el m étod o de la resisten cia últim a.
S
As
=
A re a to ta l d el a c e ro en tra c c ió n
A'
=
A re a d el a c e ro en c o m p re sió n
As- A'
=
A rm a d u ra
a
tra c c ió n
c o rre s p o n d ie n te
c o m p re sió n en el co n c reto .
84
85
a
la
Estructuras de C oncreto I
C apitulo 2 Flexión
A
p a rtir de la c o n sid e ra c ió n d e q u e tan to
co m o
A s
A ;
lle g a n a su lím ite
A
elástico en el in stan te de la falla, se p lan tea:
la falla,
M n = m o m en to re siste n te ú ltim o o d e fa lla = M nl + M n 2 , en donde:
p ara
lo
cu al
se
e sp e c ific a
p - p ’=
- A 's
s
< p,
o
p max
y
co rresp o n d e a la d e fo rm a c ió n u n ita ria n e ta lím ite d e tra c c ió n de 0 .0 0 5 del
refuerzo en sec cio n es c o n tro la d a s p o r trac ció n .
M ni = ( A S - A ' ) * f y * ( d - a / 2 ) ,
q u e e s la p a rte del m o m en to
d e sa rro lla d o p o r la a rm a d u ra
a tra c c ió n (A s - A ' s ) y la
Por o tra p arte p - p ' ^ ( p - p ') min. que d e d u c im o s a p a rtir del d ia g ra m a de
defo rm acio n es ú ltim a s en el in stan te d e falla:
c o m p re s ió n en el co n c reto .
M n2 = A ' * f y * (d - d ' ) ,
q u e e s la p a rte del m o m en to
kud
d e sa rro lla d o p o r la s fu e rza s
en la a rm a d u ra a c o m p re sió n
y un á re a ig u al d e la
a rm a d u ra a tracció n .
d-kud
F ig u ra 2.34
S i se llam a:
se tien e que:
A
p = —i
bd
a =
A f
v
y
n' _ _
P
bd
En el cual:
(p -p ')fv
kud - d '
y d
kud
0 .8 5 f '
de donde:
El m o m e n to re siste n te ú ltim o será:
ku =
su
d'
(£u _ 8 s ) d
M n = (A s - A s ) f y ( d - a / 2 ) + A ' f y ( d - d ' )
Por o tra parte:
D e a c u e rd o co n la s p ro v isio n e s de se g u rid a d d el R e g la m e n to , el m o m e n to
d e d iseño:
^ M n = <{>{ (A s - a ; ) f y (d - a / 2 ) + a ; f y (d - d ' ) }
T o d o el d esa rro llo se b asa en la h ip ó te s is d e q u e tan to el re fu e rz o a trac ció n
co m o el re fu e rz o a c o m p re sió n a lc a n c e n su lím ite e lá stic o en el in sta n te de
86
ku =
( p - p 'X y
0 . 8 5 f 'k ,
Por tanto:
fl.
( p - p ' ) = 0 .8 5 - ^ k ,
f,
d'
8 ..
-
8
87
d
C apítulo 2 Flexión
E structuras de C oncreto I
Si en el in sta n te d e fa lla se h ac e s u = 0.003 y s ' =
f /
w í2
1 4 .3 2 * 8 2
M o m en to a c tu a n te = — — = -----= 114.56 kN -m
/
^ ,
n o cfc,
600 d'
( p - p jm in = 0.85 — k , --------------v
’
fy
6 0 0 -fy d
Para un factor de seguridad de 2 .0 se utiliza U - 1.8
en d o n d e ki = (3, del R e g la m e n to c o lo m b ia n o .
(j)Mn= 1 .8 * 1 1 4 .5 6 = 206.21 kN -m .
P o r tan to , p a ra u n a p ' m e n o r y p o r c o n sig u ie n te u n ( p - p ' ) m a y o r q u e el
o b te n id o p o r la e x p re sió n a n te rio r se g a ra n tiz a el cu m p lim ie n to d e la
h ip ó te sis b á sic a se g ú n la cu a l el re fu e rz o a tra c c ió n co m o el re fu e rz o a
c o m p re sió n a lc a n z a su lím ite e lá stic o en el in sta n te d e la falla.
A c o n tin u a c ió n ,
ex p u e sto s.
p ro b le m a s
de
a p lic a c ió n
s o b re
los
c o n c e p to s
Se co m p a ra
d esa rro llad o
co m p resió n ,
d efo rm ació n
antes
este
por
en
n e ta
re su lta d o c o n el <|>Mni, o sea, el m o m e n to m á x im o
la m á x im a a rm a d u ra a tra c c ió n y el c o n c re to a la
se c c io n e s c o n tro la d a s p o r la tra c c ió n c o n u n a
lim ite de tra c c ió n de 0 .0 0 5 en el refu erzo .
f A
(j)Mn l=(|> pfv 1 - 0 . 5 9 p —
bd;
P ro b le m a 2.15
que p a ra p m á x im a de d ise ñ o = 0 .0 2 3 8 4 , resu lta:
D is e ñ a r la a rm a d u ra n e c e sa ria a flex ió n en u n a v ig a d e 0 .3 0 x 0 .5 0 m ,
sim p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m e tro s, a rm a d a en c o n c re to de
fc = 2 1 .1 M P a y a c ero p a ra fy = 2 4 0 M P a y u n a c a rg a e x te rio r de
10.72 k N /m . (S e re s u e lv e el p ro b le m a 2 .1 0 p o r el m é to d o d e la re siste n c ia
ú ltim a, q u e p o r el m é to d o e lá stic o re q u irió a tra c c ió n 4 $ 1” + 2 <j>7 /8 ” y a
(j)Mnl = 0.9 * 0 .0 2 3 8 4 * 240000 * 1 -0 .5 9 * 0 .0 2 3 8 4
240000
21100
* 0 .3 0 * 0 .4 3 '
4>Mnl = 23 9 .9 4 kN -m , v a lo r s im ila r al o b te n id o p o r las tab las:
c o m p re s ió n 3 <{>5 /8 ” ).
<\Mn] = 4 3 2 5 .4 * 0 .3 0 * 0 .4 3 2 = 2 3 9 .9 3 kN -m
S o lu ció n
S e tra ta d e o b te n e r u n m o m e n to a c tu a n te ú ltim o y d o ta r a la se c c ió n d e un
m o m e n to re sis te n te e q u iv a le n te ; se tra b a ja c o n un fa c to r d e se g u rid a d d e 2 . 0
p a ra h a c e r m ás c o m p a ra b le s los re s u lta d o s c o n los o b te n id o s e n el p ro b le m a
2 .10.
Lo a n te rio r sig n ific a q u e en la p ro v isió n a la sec ció n d e u n m o m e n to
re siste n te ú ltim o ig u al a 206.21 kN -m , to d a v ía se e stá , p a ra el m éto d o
de la re siste n c ia , d e n tro del p e río d o d e v ig a s c o n só lo a rm a d u ra a
1) O b te n c ió n d e <j)Mn y c o m p a ra c ió n c o n <|>Mn l:
C arg as:
p. p ro p io v ig a:
0 . 3 0 x 0 . 5 0 x 1 .0 0 x 2 4
c a rg a so b re la v ig a:
= 3 .6 0 k N /m
= 10.72 k N /m
w = 14.32 k N /m
2) A rm ad u ra:
De ac u e rd o a la c o n c lu s ió n an terio r, d ise ñ a m o s esta v ig a c o n só lo
a rm a d u ra a la tra c c ió n , así:
89
E structuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
(
f
(j>Mn =<t>pfy 1 - 0 . 5 9 p -^i„
\
2
bd*
206.21 = 0 .9 * p * 2 4 0 0 0 0 * í 1 - 0 . 5 9 p ^ 5 ^ 2 2 1 * o .3 0 * 0 .4 3 2
v
21100 J
p = 0 ,0 1 9 8 6 2
1)
O btención de <j)Mn y com paración con (j)Mnl
Cargas: p. propio viga:
0 .3 0 * 0 .5 0 * 1.00*24
carga sobre la viga:
w
Ig u a lm e n te , p o r las ta b la s re su lta:
M
K =
actuante
=
=
=
3 .6 0 k N /m
2 1 .4 4 k N /m
=
2 5 .0 4 k N /m
25 0 4 * 8 2
— = 2 0 0 .3 2 kN -m
206.21
0~ 30*0 4 3 2 = 3 7 1 7 -5 ; P (in te rp o la d a ) = 0 .0 1 9 8 5 8
P ara un F. d e S. d e 2 .0 se u tiliz a U = 1 . 8
A s = 0 .0 1 9 8 6 2 * 3 0 0 * 4 3 0 = 2 5 6 2 m m 2 ~ 4 ( | . l ” + 2<t>7/8” (2 8 1 4 m m 2)
S e c o n c lu y e q u e p o r el m é to d o d e la re sis te n c ia ú ltim a y c o n fa c to r de
se g u rid a d d e 2 .0 , el d ise ñ o d e la v ig a d el p ro b le m a 2 . 1 0 sólo re q u ie re la
a rm a d u ra a tra c c ió n en c a n tid a d q u e se a p ro x im a a la o b te n id a p o r el
m éto d o elástico . L a d ife re n c ia c o n la a rm a d u ra a c o m p re sió n se debe,
p rin c ip a lm e n te , a los fa c to re s d e s e g u rid a d q u e se u saro n p a ra cada
d iseño.
<|>Mn = 1 .8 * 2 0 0 .3 2 = 3 6 0 .5 8 kN -m . Se c o m p a ra este re s u lta d o co n
(f)Mnl, o sea, el m o m e n to m á x im o d e sa rro lla d o p o r la m á x im a a rm a d u ra
a la tra c c ió n y el c o n c re to a co m p re sió n , en se c c io n e s c o n tro la d a s p o r
la tra c c ió n c o n u n a d e fo rm a c ió n n e ta lim ite d e tra c c ió n de 0 .0 0 5 en el
refu erzo :
<j)Mn] = <j>Pfy l1--00. .5599 p -—
y b d 2, q u e p a ra p m á x im a d e d iseñ o
f ' /,
v
= 0 .0 2 3 8 4 vale:
<j)Mnl = 0 . 9 * 0 . 0 2 3 8 4 * 2 4 0 0 0 0 * ^ l - 0 . 5 9 * 0 . 0 2 3 8 4 ^ ^ j * 0 . 3 0 * 0 . 4 1 2
P r o b le m a 2.16
D is e ñ a r la a rm a d u ra n e c e sa ria a flex ió n en u n a v ig a d e 0 .3 0 x 0 .5 0 m
sim p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m e tro s, u tiliz a n d o c o n c re to de
fe - 2 1 . 1 M P a y a c ero p a ra fy = 2 4 0 M P a y u n a c a rg a e x te rio r de
2 1 .4 4 k N /m . (S e d e sta c a q u e e sta c a rg a es el d o b le d e la c o rre sp o n d ie n te al
p ro b le m a 2 .1 5 y c u a tro v e c e s la d el p ro b le m a 2 .1 2 c o n m iras a c o m p a ra r
re s u lta d o s y fija r ó rd e n e s d e m a g n itu d d e c a rg a s c o n tra lu ces y sec cio n es).
(j)Mnl = 2 1 8 .1 4 k N -m
(se usa d = 0.41 m esp eran d o u n a arm ad u ra su p erio r a la del p ro b lem a
anterior).
E ste re s u lta d o sig n ific a q u e en la p ro v isió n a la se c c ió n d e u n m o m e n to
re sisten te ú ltim o , se re q u ie re la c o n trib u c ió n d e la a rm a d u ra a
c o m p re sió n p ro d u c ié n d o se u n d ise ñ o d e v ig a d o b le m e n te arm ad a.
S o lu ció n
.-.
S e tra ta d e o b te n e r u n m o m e n to a c tu a n te ú ltim o y d o ta r a la sec ció n d e u n
m o m e n to re siste n te e q u iv a le n te ; se m a n tie n e el fa c to r d e se g u rid a d d e 2 . 0
co n el fin d e c o te ja r re su ltad o s.
2)
a)
(t>Mn2 = (t)Mn —<|)Mnl = 3 6 0 .5 8 -2 1 8 .1 4 = 1 4 4 .4 4 kN -m
A rm a d u ra:
A rm a d u ra a trac ció n :
90
91
C apítulo 2 Flexión
E structuras de C oncreto I
A s = p m á x im a d e d ise ñ o * b d +
<t>M„2
7— 7 -
•
— 77
(|>f ( d - d )
0 002065
m “ (2 0 6 5 m m 2)
R efu e rzo : 3(j>r+l<|>l% "(2175m m 2)
144.44
A s = 0 .0 2 3 8 4 * 0 .3 0 * 0 .4 1 +
A ' = --------------- 1 4 4 A 4
=
5
0.9 * 2 2 2 0 0 0 * (0 .4 1 - 0 .0 6 )
0 .9 0 * 2 4 0 0 0 0 * (0 .4 1 - 0 . 0 6 )
c)
C h eq u eo d e cu an tías:
A s - 0 .0 0 4 8 4 3 m 2
p_p' = A s ~ ^ = 4863~ 2 — = 0 .0 2 1 8 5 < 0 .0 2 3 8 4
A s = 4843 m m 2
F
H
bd
300*410
R efu e rzo : 2<{)l% "+5<j)l% "(4863m m 2)
,
„
^
p '
(p-p
C hequeo de “d ” :
, CAA 2 * 8 1 9 * 6 0 + 2 * 6 4 5 * 6 0 + 3 * 6 4 5 * 1 2 0
d = 5 0 0 -----------------------------------------------------------2*819 + 5*645
d = 5 0 0 - 8 3 . 8 7 = 4 1 6 m m ~ 0.41m
p -p
r\
,
mm =
0 .8 5 f ;n
f
p,
y
16
600
d'
——
0 0 - f. d
y
,
0 .8 5 * 21.1 * A oc *
600
* 60
m i n = ---------------- * 0 . 8 5 * ---------------- * — 240
6 0 0 - 2 4 0 410
( p - p ') m í n = 0 .0 1 5 4 9 3
3 0 1 1/8"
J
A
P o r tan to re su lta : (p - p ') m ín < (p - p ') < (p - p ')m á x
2 0 1 1 / 4"+/4
2 0 1 1/ 8 "
N o t a : E sta so lu ció n p u e d e re s u lta r te ó ric a en n u e stro m ed io , e n tre o tras
F ig u ra 2.35
b)
A rm a d u ra a la c o m p re sió n :
A, _
'
144.44_____
4>r (d —d ’)
0 .9 * 2 4 0 0 0 0 * ( 0 .4 1 - 0 .0 6 )
razones p o r la p o sib le d ific u lta d d e c o n se c u c ió n en la a c tu a lid a d d e las
barras en lo s d iá m e tro s u s a d o s p a ra la a rm a d u ra a tra c c ió n . C o m p a ra n d o con
el p ro b lem a 2 .1 5 , se o b se rv a la a p ro x im a d a p ro p o rc io n a lid a d e n tre la c a rg a
y la a rm a d u ra a tra c c ió n c o rre s p o n d ie n te , p a ra u n m ism o fa c to r de
seg u rid ad . F in a lm e n te , el R e g la m e n to c o lo m b ia n o e s p e c ific a q u e el re fu e rz o
a co m p re sió n en e le m e n to s so m e tid o s a fle x ió n d eb e a se g u ra rse m e d ia n te
estribos en la m is m a fo rm a q u e el re fu e rz o a c o m p re sió n en co lu m n as.
A '. = 0.00191 lm 2 ( l 9 1 1 m n r )
el re fu e rz o , p a ra lo cu a l p la n te a n : f s' = f y - 0 . 8 5 f c' = 2 4 0 - 0 .85*21.1 =
A c o n tin u a c ió n u n a so lu c ió n al re s u lta d o c a lific a d o c o m o te ó ric o del
p ro b lem a an terio r, c o n siste n te en re e m p la z a r la a rm a d u ra d e b a ja re siste n c ia
por a rm a d u ra de a lta re s is te n c ia q u e p e rm ita u tiliz a r d iá m e tro s in fe rio re s de
norm al o c u rre n c ia y q u e ad e m á s m u e stre al le c to r la ju s tific a c ió n de este
222 M Pa
tipo d e re fu e rz o c o m o so lu c ió n a se c c io n e s c o n g e stio n a d a s.
A lg u n o s a u to re s c o n sid e ra n q u e se d eb e a u m e n ta r el A 's p o r la
d is m in u c ió n de la m is m a á rea d e c o n c re to a c o m p re sió n d e sa lo ja d o p o r
92
93
Estructuras de C oncreto I
C apitulo 2 Flexión
P ro b le m a 2 .1 7
R efu e rzo : 3 <j) 1” +3 <j) 7 /8 ” (2 6 9 4 m m ")
D is e ñ a r la v ig a d el p ro b le m a 2 .1 6 u tiliz a n d o a c ero p a ra fy = 4 2 0 M P a y el
m ism o fa c to r de seg u rid ad .
2
S o lu ció n
P ara
el
C h e q u e o d e “d ”
m ism o
fa c to r
de
se g u rid a d
y
m o m e n to
a c tu a n te
últim o
<j>Mn = 3 6 0 .5 8 kN -m , co m p a ra m o s c o n el <j)Mnl o b te n id o p a ra las
n u e v a s c o n d ic io n e s d e los m a te ria le s y se c o lo c a n a c o n tin u a c ió n las
a rm a d u ra s p o r u n p ro c e so sim ila r al u tiliz a d o en el p ro b le m a an terio r.
0
7
/
301"+ /
10 7 /s"
8
_ 3*510*60 + 1*387*110 + 2*387*110
2694
. 0 06
z = 74.3
d = 500 - 74.3 = 4 2 5 .7 m m ~ 0 .4 2 m
F ig u ra 2 .3 6
1) O b te n c ió n d e (|>Mnl y <j)Mn2:
b)
f
♦ M nj = < |> p f v
\
bd
1-0 .5 9 p —
f c'
w
é M n2
A rm a d u ra a c o m p re sió n : A s = ——
^ : ( d - d ')
en d o n d e f s' = f y - 0 .8 5 f; = 4 2 0 - 0 . 8 5 * 2 1 . 1 = 4 0 2 M P a
y
q u e p a ra p m á x im o d e d ise ñ o = 0 .0 1 3 6 2 vale:
A ' = ---------------- + + ! ------------------= 0 .0 0 0 9 8 4 m 2 (9 8 4 m m 2)
0 .9 * 4 0 2 0 0 0 * ( 0 .4 2 - 0 . 0 5 )
r
<j>Mnl = 0 .9 * 0 .0 1 3 6 2 * 4 2 0 0 0 0 * 1 - 0 .5 9 * 0 .0 1 3 6 2 * —
l
21.1
* 0 .3 0 * 0 .4 2
R e fu e rz o :3 ^ )3 /4 ”+ 1 4>5/8” (1051 m m 2)
<í>Mnl = 2 2 8 .8 7 k N -m
c)
<\>Mn2 = <j)Mn - < j ) M nl = 3 6 0 . 5 8 - 2 2 8 .8 7 = 131.71
2)
kN -m
A rm a d u ra:
a)
C h e q u e o d e cu an tías:
K
A rm a d u ra a tracció n :
A s = ( p m á x im o d e d is e ñ o )* b d +
^
n2
4>fy ( d - d
P a ra la sec c ió n p ro p u e sta el v a lo r ( p - p ') m í n su g ie re el
c a m b io d e la sec ció n p rin c ip a lm e n te en lo c o n c e rn ie n te a la
')
131.71
Ac = 0 .0 1 3 6 2 * 0 .3 0 * 0 .4 2 +
2 6 9 4 _ J 0 5 1 = o _ o i3 0 4 < 0 .0 1 3 6 2 0
300*420
K
a ltu ra q u e d e b e au m en ta rse.
,
\
,
0 .8 5 f '
600
0.9 * 4 2 0 0 0 0 * (0 .4 2 - 0 .0 5 )
A s = 0 .0 0 2 6 5 8 m ~ (2 6 5 8 m m 2)
94
95
d'
C apítulo 2 Flexión
Estructuras de C oncreto I
/
a
,
0 .8 5 * 2 1 .1
c *
600
p - p )m in =
* 0 .8 5 *
*
420
6 0 0 -4 2 0
50
- = 0 .0 1 4 4 0 4
420
1)
<j>Mnl, <|>Mn, :
<|>Mnl = 0 .9 * 0 .0 2 0 * 2 4 0 0 0 0 *
* 0 .3 0 * 0 .4 1 ;
1 - 0 . 5 9 * 0 .0 2 0 * —
21.1 y
S in e m b a rg o co m o se o b se rv a en los re su lta d o s , el c a m b io en la c a lid a d del
<j)Mnl = 188.62 kN -m
a c ero c u m p liría el o b je tiv o p ro p u e sto .
(j)Mn2 = 3 6 0 .5 8 - 188.62 = 17 1 .9 6 kN -m
E n o c a sio n e s se u sa el a c ero a c o m p re sió n p a ra c o n tro la r o red u cir
las
d e fle x io n e s
a
larg o
p lazo . A lg u n o s
a u to re s
re c o m ie n d a n la
u tiliz a c ió n d e ( p - p ' ) v a ria b le en tre 0 .1 8 * ( f c / fy) p a ra u n m á x im o co n tro l
y que no exceda
la c u a n tía m á x im a d e d iseñ o , sie m p re y c u a n d o el v alo r
2) Arm adura:
a)
d e (p - p ') = 0 . 18 * ( f c / fy) > ( p —p ') m ín im o . L a fo rm a co m o o p e ra este co n tro l
c o n siste en q u e al re d u c ir el v a lo r de (p - p '), re d u c im o s el v a lo r d e <{)Mnl y
p o r c o n sig u ie n te el tra b a jo d el c o n c re to y su d e fo rm a c ió n p o r flu e n c ia lenta.
A c o n tin u a c ió n se p re se n ta
un
e je m p lo d e la u tiliz a c ió n de este
p ro c e d im ie n to , p o c o fre c u e n te en el e je rc ic io p ro fe sio n a l, co n el p ro p ó sito
p rim o rd ia l d e fa m ilia riz a r al le c to r co n el d ise ñ o y tra b a jo de las v ig a s con
A rm a d u ra a trac ció n :
171.96
A s= 0 .0 2 0 * 0 .3 0 * 0 .41 +
= 0 .0 0 4 7 3 1 irf
0 .9 * 2 4 0 0 0 0 * (0 .4 2 - 0 .0 6 )
A rm a d u ra: 5(j)lX "+l<l>l% "(4740m m 2)
Ac = 4 7 4 0 m m '
a rm a d u ra a c o m p re sió n .
1 01 1/ 8 "
P r o b le m a 2.18
+ 101 1/4"
0.06
0.06
4 0 1 1/4"
D is e ñ a r la a rm a d u ra n e c e sa ria a fle x ió n en el p ro b le m a 2 .1 6 co n el crite rio
d e re d u c ir la d e fle x ió n p o r p la s tifíc a c ió n d el co n c reto , ad o p tan d o
una
c u a n tía (p - p ') = 0 .0 2 0 ,
a p ro x im a d a m e n te
eq u id ista n te en tre
Figura 2.37
( p - p ' ) = 0 .1 8 * ( f c'/ f y) = 0 .0 1 5 8 2 5 y ( p - p ') m á x . = 0 .0 2 3 8 4 (sin control
C h eq u eo d e “ d ” :
d e d efle x ió n ).
4 * 8 1 9 * 6 0 + 1*819*120 + 1*645*120
S o lu ció n
P a ra el
m ism o
fa c to r
de
s e g u rid a d
y
m o m e n to
a c tu a n te
ú ltim o
d = 500 - 80 = 4 2 0 m m = 0.42 m
<|>Mn = 3 6 0 .5 8 kN -m o b te n id o en el p ro b le m a 2 .1 6 , y co n el (|>Mnl ah o ra
c a lc u la d o p a ra
( p - p ')
=
0 .0 2 0 ,
se c a lc u la n
<j)Mn2
y
las arm a d u ra s
b)
co rre sp o n d ie n te s:
A rm a d u ra a c o m p re sió n : A ' = — 4 >f s (d —d ')
A ' = ----------------------------------
s
96
= 78.5 m m ~ 8 0 m m
4740
0 .9 * 2 2 2 0 0 0 * (0 .4 2 - 0 .0 6 )
= 0 002391
m 2 ( 2 3 9 1 m m 2)
Estructuras de C oncreto I
C apitulo 2 Flexión
R efu e rzo : 3(|>1%"+ l(j)r'(2 4 4 5 m m 2)
D e b e n o ta rse el a u m e n to e n la a rm a d u ra d e c o m p re sió n de
uniform e, d e te rm in a n d o el m o m e n to re siste n te ú ltim o d e d ise ñ o y la c a rg a
w en k N /m q u e p u e d e so p o rta r c u a n d o el fa c to r de se g u rid a d es d e 2 .0 ; de
acuerdo a la sec ció n y m a te ria le s sig u ien tes:
2 0 4 0 m m 2 te ó ric o s en el p ro b le m a 2 .1 6 a los 2 4 4 5 m m 2 d e ahora.
C h e q u e o d e cu an tías: en este c a so es m ás o b v io e ste c h e q u e o q u e en los
f¿
= 2 1 .1 M P a
p ro b le m a s a n te rio re s en d o n d e ( p - p ' ) se h a b ía c a lc u la d o m u y c e rc a n o a
c)
f .,
= 240 M Pa
( p - p ') m á x .
,
p_p
A -A '
4 7 4 0 -2 4 4 5
=
= 0.01821 < 0 . 0 2 0
bd
300*420
p o r las a p ro x im a c io n e s en la c o lo c a c ió n d e la arm ad u ra.
F ig u ra 2.38
S o lu c i ó n
Prim ero se v e rific a q u e (p - p ') e sté d en tro d e lo s lím ites a d m isib le s y lu eg o
S eg ú n lo ex p u e sto antes:
obtenem os 4>Mn2, el cu a l d e te rm in a a su v ez el v a lo r d e <j)Mnlp a ra q u e
( p - p ') m á x = 0 .0 2 3 8 0 y ( p - p ') m í n = 0 .0 1 5 4 9 3
P o r tan to : ( p - p ') m í n . < ( p - p ' ) < ( p - p ') m á x .
sum ados se te n g a el (f)Mn y p o r c o n sig u ie n te la c a rg a w.
1)
N o ta : S e e sp e ra q u e este a u m e n to en la a rm a d u ra d e c o m p re s ió n re d u z c a la
d e fle x ió n p o r p la stifíc a c ió n ; sin e m b a rg o , la n e c e sid a d d e este control
d e p e n d e rá d e u n e stu d io so b re las d e fle x io n e s e lá stic a s y a la rg o plazo ,
co m o se v e rá al final d el p re se n te cap ítu lo . P o r ú ltim o , se re ite ra la
n e c e sid a d d e a s e g u ra r el re fu e rz o a c o m p re s ió n m e d ia n te estribos.
Estos problem as de vigas rectangulares con arm adura a com presión se
finalizan con un problem a de rev isió n de la sección, utilizando el diseño del
p roblem a 2.16 del cual se m antiene la arm adura a la tracción y se m odifica,
aum entando, la arm adura a com presión.
V e rificac ió n d e (p - p ' ) :
( p - p ') VP
4863-2580
= 0 .018561
300*410
S eg ú n p ro b le m a 2 .16: ( p - p ') m í n . = 0 .0 1 5 4 9 3 y
( p - p ') m á x . = 0 .0 2 3 8 4
P o r tan to : ( p - p ') m í n < ( p - p ' ) < ( p - p ') m á x
2)
O b ten c ió n d el m o m e n to re siste n te ú ltim o <}>Mn = (j)Mnl + (j)Mn2
A p a rtir de
P r o b le m a 2.19
(J)Mn2 = (J)A'fy * ( d - d ') = 0.9 * 0.002580 * 240000 * (0.41 - 0.06)
R e v is a r el d ise ñ o a flex ió n p a ra m o m e n to m á x im o en el ce n tro d e la lu z d e 8
m e tro s d e u n a v ig a re c ta n g u la r s im p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a carg a
<t)Mn2 = 1 9 5 .0 5 k N .m
98
99
E structuras de C oncreto I
Capítulo 2 Flexión
se o b tie n e <j>Mnl = (|>(AS- A ' ) f y ( d - a / 2 ) , o sea, el re sto d e a rm a d u ra
S i F. d e S. =
2 .0 e n to n c e s
U = 1. 8
d e tra c c ió n tra b a ja n d o c o n el c o n c re to p a ra p ro d u c ir este m o m en to .
w - 4 6 .5 1 /1 .8
.-.
w = 2 5 .8 4 k N /m
q ue es u n p o c o su p e rio r a 2 5 .0 4 k N /m d e b id o n o so lo al a u m e n to del
re fu erz o de c o m p re sió n ,
sin o al ex c eso d e re fu e rz o co lo c a d o en el
a
'
( P ~ P ') f y i
0 .0 1 8 5 6 1 * 2 4 0 * 0 .4 1
A q uí: a = ' > d = --------------------------------= 0 .1 0 2 m
0 .8 5 fc
0 .8 5 * 2 1 .1
p ro b le m a o rig in a l s o b re el te ó ric o re q u e rid o .
(j)M ni = 0 . 9 * ( 0 . 0 0 4 8 6 3 - 0 . 0 0 2 5 8 0 ) * 2 4 0 0 0 0 * ( 0 . 4 1 - 0 . 1 0 2 / 2 )
<|>Mnl = 1 7 7 .0 3
kN -m
Nota: P ara c a so s co m o éste, es q u e re s u lta o b v ia la a p lic a c ió n de la
e s p e c ific a c ió n :
O tra fo rm a d e o b te n e r <|>Mnl es:
( p - p ') m í n . < ( p - p ,) < ( p - p ' ) m á x -
<t>M„, = < t> (p -p ') fy * í l - 0 . 5 9 * ( p - p ' ) f V
l C
bdy
d o n d e ( p - p ' ) = 0 .0 1 8 5 6 1 , re e m p la z a n d o :
(j)Mnl = 0 .9 * 0 .0 1 8 5 6 1 * 2 4 0 0 0 0 *
1 - 0 .5 9 * 0 .0 1 8 5 6 1 *
240
21.1
* 0 .3 0 * 0 .4 1 2
Una de las construcciones m ás frecuentes en estructuras de concreto son las
llamadas losas aligeradas o nervadas, que cuando no son prefabricadas,
están constituidas p o r sistem as m onolíticos de vigas “T ” en los cuales la
aleta es la losa de p iso y los nervios son la parte central de la viga “T ” .
A continuación, se estudian las relaciones de diseño y especificaciones de
las denom inadas vigas “T ” .
(j)Mnl = 1 7 7 .0 kN -m
(j)Mn -
177.03 +
195.05 — 3 7 2 .0 8 kN -m q u e se a p ro x im a al
m o m e n to
ú ltim o
<j)Mn = 3 6 0 .5 8 kN -m d el
p ro b le m a 2 .1 6
c o n c lu y e n d o q u e el a u m e n to e n la a rm a d u ra d e c o m p re sió n no
im p lic a u n a u m e n to e n la re siste n c ia d e la sec ció n ; se u s a en este
caso co m o d ism in u c ió n en el tra b a jo d el c o n c re to y p o r
c o n sig u ie n te en la d is m in u c ió n d e su d e fo rm a c ió n p o r flu e n c ia
lenta.
3) O b te n c ió n d e w u y w:
R
w f 2 w *82
= — u— = — ------- = 3 7 2 .0 8 kN -m
100
w u = 46.51 k N /m
101
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 2 Flexión
Vigas “T”
b < a la se p a ra c ió n c e n tro a ce n tro de v ig as ad y a cen tes
S e d e b e n o b te n e r las e x p re s io n e s d e m o m e n to re s iste n te ú ltim o p a ra vigas
“ T ” so m e tid a s a flex ió n co n a rm a d u ra a tra c c ió n , se g ú n la te o ría de la
re s is te n c ia ú ltim a, c o m p le m e n ta n d o co n las lim ita c io n e s d e c u a n tía p a ra el
d ise ñ o seg ú n la R e g la m e n to N S R -1 0 .
A n te s d e o b te n e r el m o m e n to re s iste n te ú ltim o p a ra se c c io n e s en “T ” ,
d eb e m o s c o n o c e r las e sp e c ific a c io n e s del R e g la m e n to so b re las m ism as.
b)
P ara v ig as c o n lo sa d e u n so lo lad o d el c u e rp o c e n tra l o n e rv io y que
h ac en p a rte d e u n s iste m a m o n o lític o de lo sa a b a se d e v ig a s “ T ” :
El an ch o e fe c tiv o d e aleta q u e se p ro y e c ta al lad o del c u e rp o c e n tra l n o
debe e x c e d e r 1 / 1 2 d e la lo n g itu d de la v ig a; en té rm in o s d e “b ” :
b <
a)
P a ra v ig a s c o n losa de a m b o s lad o s d el c u e rp o c e n tra l o n e rv io y que
h a c e n p a rte d e u n s is te m a m o n o lític o d e lo sa a b ase d e v ig a s “T ” :
1/12
lo n g itu d d e la v ig a + b '
T am p o co d eb e e x c e d e r
b <
6t
6
v ec es el e sp e so r de la aleta; en té rm in o s d e b':
+ b'
Y tam p o co d eb e e x c e d e r la m ita d d e la d ista n c ia h a s ta el sig u ien te
cu erp o ce n tral; en té rm in o s de b ';
b <
1
1/2
d e la d ista n c ia lib re h a sta la sig u ie n te v ig a + b '
b' l
F ig u ra 2.39
El an c h o e fe c tiv o “b ” n o d eb e e x c e d e r 1/4 d e la lo n g itu d d e la v ig a:
b < 1/4 lo n g itu d d e la v ig a
E l an c h o d e aleta q u e se p ro y e c ta a c a d a lad o del c u e rp o ce n tral no
d eb e e x c e d e r
8
v ec es el e sp e s o r de la a le ta “t ” ; en té rm in o s d e b':
F ig u ra 2.40
b < 16t + b '
c)
El an c h o d e a le ta q u e se p ro y e c ta a ca d a lad o del c u e rp o ce n tral no
d eb e e x c e d e r la m ita d d e la d ista n c ia h a sta el sig u ie n te c u e rp o cen tral;
en té rm in o s de b':
P ara v ig a s “ T ” a islad a s, en las cu a le s la fo rm a “T ” se u sa p a ra
p ro p o rc io n a r u n á rea ad ic io n a l de co m p re sió n , se d eb e te n e r un
esp e so r d e aleta n o m e n o r q u e la m ita d del an c h o d el alm a, t > X
A b' y
u n an c h o e fe c tiv o d e ala n o m a y o r q u e c u a tro v e c e s el an c h o del
alm a, b < 4 b '.
102
103
C apítulo 2 Flexión
E structuras de C oncreto I
i
y —
Eje n e u tr o
1
b'
j.
F ig u ra 2.43
F ig u ra 2.41
P a ra el e stu d io d e su m o m e n to re s iste n te ú ltim o , se e stá a n te d o s casos:
En este caso , el m o m e n to re siste n te ú ltim o o d e fa lla se c o m p o n e d e d o s
m om entos:
a)
Si la p ro fu n d id a d d el b lo q u e d e c o m p re s io n e s y el eje n e u tro qu ed an
d en tro d e la aleta , la sec c ió n p u e d e e stu d ia rs e co m o u n a secció n
re c ta n g u la r d e d im e n s io n e s b y d.
M n = M nw + M nf, en do n d e:
M nw =
m o m e n to re s is te n te ú ltim o d e la z o n a d el n e rv io
M ilif =
m o m e n to re s is te n te ú ltim o d e la z o n a d e aletas
los cu ales p o d e m o s c u a n tifíc a r se p a ra d a m e n te así:
M nw = 0.85fc’ ab' ( d - a / 2 )
M„„ = ( A S - A sf) f y ( d - a / 2 ) , e n do n d e:
F ig u ra 2.42
As =
a rm a d u ra to ta l a tracció n .
A sf =
a rm a d u ra a tra c c ió n c o rre sp o n d ie n te a la c o m p re sió n en
las aletas.
A s - A sf =
a rm a d u ra a tra c c ió n c o rre s p o n d ie n te a la c o m p re sió n en
la z o n a del n erv io .
b) Si la p ro fu n d id a d d el eje n e u tro es su p e rio r al e s p e so r d e la a le ta y
q u e d a d en tro d el n ervio:
^ ,
D e las e x p re sio n e s an te rio re s:
,
0 .8 5 ^ 3 0 '
C uw
A s - A sf = --------------- = — —
y
104
105
y
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
T a m b ié n p a ra M nf:
A d icio n alm en te a la a rm a d u ra p rin c ip a l c a lc u la d a seg ú n las e s p e c ific a c io n e s
anteriores, d eb e c o lo c a rse u n a a rm a d u ra en las a leta s en d ire c c ió n o rto g o n a l
a la luz p rin c ip a l, q u e p a ra u n s iste m a d e v ig as “ T ” (lo sas alig erad .. )
co rresponde a la a rm a d u ra n e c e s a ria en la lo sa d e re c u b rim ie n to ; en o tros
casos, las
aletas
deben
d ise ñ a rse
co m o
v o la d iz o s y
a rm a rlo s
co n v en ien tem en te.
M nf = 0 .8 5 fc' ( b - b ' ) t ( d - t / 2 )
M nf = A lf f y ( d —t / 2)
D e las e x p re sio n e s a n terio res:
A sf =
0 . 8 5 f '( b - b ') t
C uf
fy
fy
A co n tin u ac ió n p ro b le m a s d e a p lic a c ió n de los c o n c e p to s a n te s ex p u e sto s.
D e a c u e rd o co n las p ro v isio n e s d e s e g u rid a d del R e g la m e n to c o lo m b ia n o , el
m o m e n to d e d iseñ o es:
D iseñar la a rm a d u ra n e c e s a ria a la flex ió n en u n a v ig a d e sec c ió n “T ” seg ú n
la figura, s im p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z de 8 m e tro s, a rm a d a en co n c re to
de fe = 2 1 .1 M P a y a c e ro p a ra fy = 4 2 0 M P a, si so p o rta u n a c a rg a to ta l de
<|>Mn = <t>Mnw + ()>Mnf, es decir:
<t>Mn = 4 ) 0 .8 5 ^ { a b ' ( d - a / 2 ) + ( b - b ' ) t ( d - t / 2 )}
P r o b le m a 2 .2 0
y
25.04 kN /m . (L a c a rg a es ig u al a la u tiliz a d a en el p ro b le m a 2.17).
<j.Mn =<|.{(A s - A s f ) f y ( d - a / 2 ) + A sff y ( d - t / 2 ) }
b=Q .8Q
T a m b ié n en e stas v ig a s “ T ” es n e c e sa rio g a ra n tiz a r q u e la a rm a d u ra a
tra c c ió n esta rá en flu e n c ia an tes d e la fa lla d el c o n c re to a c o m p re sió n . P o r lo
tan to , si se llam a:
0 .1 5
l
’
A.
p = ——
b d
y
J
0.35
A_f
p f = — — , te n d re m o s que:
Ff
b 'd
1 0.25_
P a ra te n e r u n m a rg e n
c o m p re sió n el
d e s e g u rid a d
R e g la m e n to
c o n tra
C o lo m b ia n o
la fa lla d el c o n c re to
e sp e cifica:
0 .2 5
F ig u r a 2.44
p max = p, max para
Pw + Pmax Pa ra P f • E sto es q u e la p max n o d eb e e x c e d e r a la c o rre sp o n d ie n te
a la d e fo rm a c ió n u n ita ria p a ra el lím ite d e tra c c ió n d e 0 .0 0 5 d el a c e ro de
re fu e rz o en se c c io n e s c o n tro la d a s p o r tra c c ió n p a ra la z o n a d el n e rv io com o
p a ra la z o n a d e aletas.
Pmax d ise ñ o = p t + ( p , / p b) pf
h '= 0 .3 0
en
Solución
En p rim e r lu g ar, se d eb e re v is a r q u e la sec ció n c u m p la lo s re q u isito s
geo m étrico s d el R e g la m e n to N S R -1 0 p a ra su c o n sid e ra c ió n co m o v ig a “ T ”
y luego d o ta r la s e c c ió n d e u n m o m e n to re siste n te e q u iv a le n te al a c tu a n te
últim o, u san d o u n fa c to r d e se g u rid a d ap ro p ia d o .
1)
R ev isió n d e la “T ” se g ú n el R eg lam en to :
b (an ch o e fe c tiv o d e a leta )
< 4b'
.'. b < 4 * 3 0 0
= 1200 m m
t (e sp e so r d e a leta )
> bV2
.'. t > 3 0 0 /2
= 150 m m
107
C apítulo 2 Flexión
E structuras de C oncreto I
2)
M y
<|>Mn:
w
w¿
M = —
2
En el caso de u tiliz a r las ta b la s, el p ro c e d im ie n to se ría el sig u ien te:
2 5 .0 4 * 8 2
= --------------- =
8
, AA„ U I
2 0 0 .3 2 kN -m ;
3 2 0 51
n artir d e K =
:
7 = 2 0 6 9 .4 , se in te rp o la e n la tab la
A p
0 .8 0 * 0 .4 4
co rresp o n d ien te el v a lo r d e a /d = 0 .1 3 7 7 . P o r c o n s ig u ie n te a = 6 0 .6 m m y
a
8
p a ra F. d e S. = 1.78, c o rre sp o n d ie n te a U = 1 . 6
kud = 71.5 m m .
(J)Mn = 1 .6 * 2 0 0 .3 2 = 320.51 kN -m
En cu a lq u ie r caso , se c o n tin ú a el d ise ñ o co m o v ig a re c ta n g u la r, ca lc u la n d o
3) C o m p ro b a c ió n d e la p ro fu n d id a d d e l re c tá n g u lo d e c o m p re sio n e s y el
e je n e u tro , p a ra su fu n c io n a m ie n to co m o v ig a re c ta n g u la r:
la arm ad u ra c o rre s p o n d ie n te , así:
4)
S u p o n ie n d o u n a sec c ió n re c ta n g u la r d e a n c h o b = 0 .8 0 m y altura
e fe c tiv a d = 0 .4 4 m , c a lc u la m o s la c u a n tía n e c e s a ria p p a ra el m o m en to
a c tu a n te ú ltim o p ro p u e sto y en c o n se c u e n c ia la p ro fu n d id a d del
re c tá n g u lo d e c o m p re sio n e s y el eje n eu tro .
f 'l
(j)Mn = <(>pf, l - 0 . 5 9 p
]
A rm ad u ra:
Para la c u a n tía o b te n id a p = 0 .0 0 5 8 8 2 :
A s = 0 .0 0 5 8 8 2 * 8 0 0 * 4 4 0 = 2 0 7 0 m m 2
2
•
'
R efü erzo : 2<j> 1" + 2<f> 1 18 " (2 3 1 0 m m ') p a ra te n e r en c u e n ta la sim e tría
bd2
en su co lo ca ció n .
fc y
\
320.51 = 0 . 9 * p * 4 2 0 0 0 0 * f 1 - 0 .5 9 p * 4 2 0 0 0 0
P
A rm a d u ra ad icio n a l: en las aletas se d eb e c o lo c a r u n a a rm a d u ra
o rto g o n al a la lu z p rin c ip a l y c o rre s p o n d ie n te a u n d ise ñ o d e d ic h a s
* 0 .8 0 * 0 .4 4 '
21100
aletas co m o v o la d iz o s.
p = 0 .0 0 5 8 8 2
P o r tanto:
N ota: C o m p a ra n d o c o n el p ro b le m a 2 .1 7 , a u n q u e ah o ra u tiliz a m o s u n fa c to r
p fy d
0 .0 0 5 8 8 2 * 4 2 0 * 4 4 0
a = — -— = --------------------------------= 6 0 .6 m m
0 .8 5 f
0 .8 5 * 2 1 .1
y
k u d = 1.18 * a = 71.5 m m
E sto s re su lta d o s sig n ifican q u e ta n to la p ro fu n d id a d d el re c tá n g u lo de
c o m p re sio n e s, co m o la p ro fu n d id a d d el e je n eu tro , ca en d en tro d e la aleta,
g a ra n tiz a n d o q u e n o h a y c o m p re sio n e s en la p a rte c e n tra l d e la v ig a “T ”
b a jo la a le ta y q u e p o r lo ta n to se p u e d e d is e ñ a r co m o v ig a re c ta n g u la r de
b = 800 m m y d = 440 m m.
108
de seg u rid a d u n p o c o in fe rio r, se p u e d e d e c ir q u e se re m p la z a la a rm a d u ra a
co m p resió n p o r el c o n c re to d e las a leta s y se d ism in u y e la a rm a d u ra a
tracción p o r u n a u m e n to d el b ra z o d el p a r in te rio r re sisten te .
P r o b le m a 2 .2 1
D iseñar la a rm a d u ra n e c e s a ria a la flex ió n en u n a v ig a d e sec c ió n “ T ” , q u e
hace p arte d e u n s is te m a m o n o lític o d e lo sa b a sa d o e n v ig a s “T ” , seg ú n la
figura, sim p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m e tro s, a rm a d a e n c o n c re to de
f c' = 2 1 .1 M P a y a c e ro p a ra fy = 4 2 0 M P a, si so p o rta u n a c a rg a to ta l de
25.04
kN /m .
109
E structuras de C oncreto I
Capítulo 2 Flexión
C om o ru tin a de d iseñ o , ig u al q u e en el p ro b le m a 2 .2 0 , se su p o n e u n a
secció n re c ta n g u la r d e an c h o b = 0 .8 0 m y a ltu ra útil d = 0 .4 4 m y se
calcu la la c u a n tía n e c e sa ria p p a ra el m o m e n to a c tu a n te ú ltim o
p ro p u e sto y, en co n se c u e n c ia , la p ro fu n d id a d del re c tá n g u lo de
co m p re sio n e s y el eje n eu tro :
1 - 0 .59p —
f!
4>Mn = (}>p f
F ig u ra 2.45
b < Va lo n g itu d d e la v ig a
=
= l.lO m
d =
0 .0 0 5 8 8 2 * 4 2 0
* 4 4 0 = 6 0 .6 m m
0 .8 5 * 2 1 .1
0.851!
k u d = 1.1 8 *a = 1 .1 8 * 6 0 .6 = 71.5 m m
m
E stos re su lta d o s sig n ific a n q u e la p ro fu n d id a d d el re c tá n g u lo de
co m p re sio n e s y p o r c o n sig u ie n te del eje n eu tro , so n m a y o re s q u e el
esp e so r d e la aleta. L u e g o el tra ta m ie n to p a ra su d ise ñ o d eb e se r co m o
b < se p a ra c ió n c e n tro a c e n tro d e v ig a s a d y a c e n te s = 0 .8 0 m
v ig a
2)
P f y
P o r lo tan to : a =
R e v isió n de la “T ” seg ú n el R eg la m e n to :
b < 16t + b ' = 16*0.05 + 0 .3 0
* 0 .8 0 * 0 .4 4 2
21100
p = 0 .0 0 5 8 8 2
E n p rim e r lu g ar, se d eb e re v is a r q u e la se c c ió n c u m p la los req u isito s
g e o m é tric o s del R e g la m e n to N S R -1 0 p a ra su c o n sid e ra c ió n d el d ise ñ o com o
v ig a “ T ” , y lu eg o d o ta r la sec c ió n d e u n m o m e n to re siste n te últim o
e q u iv a le n te al a c tu a n te , u sa n d o u n fa c to r d e s e g u rid a d ap ro p ia d o .
2 .0 0
420000
320.51 = 0 .9 * p * 4 2 0 0 0 0 * | l - 0 . 5 9 p *
S o lu ció n
1)
bd:
T
.
M y (J)Mn:
4)
wC
25 04 * 8 2
M = —— =
8 = 2 0 0 .3 2 k N .m ;
p a ra F .d e S .= l .78, c o rre s p o n d ie n te a U = 1.6
D iseñ o co m o v ig a “ T ” :
a)
D e te rm in a c ió n d e M nf y A sf :
<|>Mnr =<j>*0.85ft' ( b - b ' ) t ( d - t / 2 )
4>Mnf = <|)*Asf * f y ( d - t / 2 ) , d e do n d e:
.-. <{>Mn = 1 .6 * 2 0 0 .3 2 = 320.51 kN -m
3) C o m p ro b a c ió n d e la p ro fu n d id a d d el re c tá n g u lo d e co m p re sio n e s, para
su fu n c io n a m ie n to co m o v ig a re c ta n g u la r:
0 . 8 5 f ; ( b - b ') t
!f ~
f
y
0 . 8 5 * 2 1 .1 * ( 0 . 8 0 - 0 . 3 0 ) * 0 .0 5
~~
420
A sf = 0 .0 0 1 0 6 8 m 2
110
111
C apítulo 2 Flexión
E structuras de C oncreto I
(J)Mnf = 0 . 9 * 0 . 0 0 1 0 6 8 * 4 2 0 0 0 0 * ( 0 . 4 4 - 0 . 0 5 / 2 ) = 167.54 kN -m
b)
D e te rm in a c ió n d e <|>Mnw y (A s - A sf):
(j)Mnw = <J)Mn - (|)Mnf = 320.51 - 1 6 7 .5 4 - 1 5 2 . 9 7 kN -m
P o r lo tan to , p a ra la z o n a c e n tra l re c ta n g u la r d e la v ig a “T ” se p lan tea :
P r o b le m a 2 .2 2
R ev isar el d ise ñ o a fle x ió n p a ra m o m e n to m á x im o en el c e n tro d e la lu z d e 8
m etro s d e u n a v ig a “ T ” s im p le m e n te ap o y a d a , so m e tid a a c a rg a u n ifo rm e,
que h ac e p a rte d e u n siste m a m o n o lític o de lo sa b a sa d o en v ig a s “ T ” , seg ú n
la figura, d e te rm in a n d o el m o m e n to re s is te n te ú ltim o d e d ise ñ o y la c a rg a w
en k N /m q u e p u e d e so p o rta r c u a n d o el fa c to r d e se g u rid a d sea d e 1.78.
b=0.80
C o n cre to : f c' = 2 1 .1 M P a
=<t>(p-Pf)fy| l - 0 . 5 9 ( p - p f ) Í - j b d 2
R efu e rzo : f y = 4 2 0 M P a
1 52.97 = 0 . 9 * ^ p - p f J* 4 2 0 0 0 0 * j l - 0 .5 9 * | p - p f j * - ^ y ^ j j j ^ j * 0 .3 0 * 0.44
( p - p f ) = 0 .0 0 7 6 5 9
0.25
A s - A s f = 0 .0 0 7 6 5 9 * 3 0 0 * 4 4 0 = 1011 m m 2
; b'=0.30j
0.25
l
F ig u ra 2.46
A rm a d u ra : A s = 1 0 1 1 + 1 0 6 8 = 2 0 7 9 m m 2 :2<|) 1 ' 8 " + 2(1)1" (2 3 1 0 m m 2)
p a ra u n a c o lo c a c ió n sim étrica.
c)
C o m p ro b a c ió n d e p < p m á x im a d e d ise ñ o
p m áx d ise ñ o = 0 .0 1 3 6 2 +
P™
P balanceada
*
S o lu ció n
En p rim e r lu g ar, se d eb e re v is a r q u e la sec ció n c u m p la los re q u isito s
g eo m étric o s d el R e g la m e n to N S R -1 0 p a ra c o n sid e ra c ió n co m o v ig a “ T ” , y
luego, o b te n e r <f)Mn se g ú n su fu n c io n a m ie n to estru c tu ral (p ro fu n d id a d del
eje n eu tro ) sea co m o v ig a re c ta n g u la r o co m o v ig a “ T ” .
1068
300*440
p m á x d ise ñ o = 0 .0 1 3 6 2 + 0 .6 2 5 * 0 .0 0 8 0 9 1 = 0 .0 1 8 6 7 7
1) R ev isió n d e la “ T ” se g ú n R e g lam en to : a u n q u e esta re v isió n se efectu ó
en el p ro b le m a a n te rio r, la re p e tim o s p a ra fijar el co n c e p to d e h ac erla
ru tin ariam en te:
2 * 5 1 0 + 2 * 645
p ac tu a l =
- ■= 0 .0 1 7 5 < p m á x d ise ñ o
300*440
d)
A rm a d u ra ad icio n a l: se d eb e c o lo c a r u n a a rm a d u ra en las aletas,
o rto g o n a l a la lu z p rin c ip a l y c o rre sp o n d ie n te al re fu e rz o p a ra
re p a rtic ió n d e c a rg as, re tra c c ió n de fra g u a d o y v a ria c ió n de
te m p e ra tu ra de lo sas m aciz as.
112
b < % lo n g itu d de la v ig a
=
b < 16t + b ' = 16*0.05 + 0 .3 0
= 1.10 m
2 .0 0
m
b < se p a ra c ió n ce n tro a ce n tro d e v ig a s a d y a c e n te s = 0 .8 0 m
2)
C h e q u e o d el c o m p o rta m ie n to co m o v ig a re c ta n g u la r de b = 0 .8 0 m
A
231 0
p = —- =
= 0 .0 0 6 5 6 3 ; p o r lo tan to :
bd
800*440
113
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
a =
p fy
,
— d =
0 .8 5 Lc
0 .0 0 6 5 6 3 * 4 2 0 ¿
* 4 4 0 = 6 7 .6 m m
0 .8 5 * 2 1 .1
/ _
♦ M ,. = < t> ( A ,- A ¡.r ) f y ( d - a / 2 ) e n d o n d e a = Pq ^
, yd
0 .0 0 9 4 0 9 * 4 2 0
R e m p la z a n d o : a = ----------------------- * 4 4 0 = 9 6 .9 m m
0 .8 5 * 2 1 .1
k u d = 1 .18*67.6 = 79.8 m m
E ste re su lta d o sig n ific a q u e la p ro fu n d id a d d el re c tá n g u lo de
c o m p re sio n e s y p o r c o n sig u ie n te , la d el eje n e u tro son m a y o re s q u e el
e s p e s o r de la aleta. L u e g o el fu n c io n a m ie n to e stru c tu ra l es co m o v ig a
(j)Mnw = 0.9 * 0 .0 0 1 2 4 2 * 4 2 0 0 0 0 * (0 .4 4 - 0 .0 8 6 4 / 2)
(f,Mnw = 1 8 3 .8 2 kN -m
c)
3)
w
(f)Mn y c h e q u e o de p ac tu a l < p m á x im a d e d iseñ o
D e te rm in a c ió n d e <j)Mn :
<j)Mn = 183.82 + 167.54 = 3 5 1 .3 6 kN -m
a)
<tiMnf y A ,f :
p m á x d ise ñ o = 0 .0 1 3 6 2 + 0 .625 * — -0 6 = 0 .0 1 8 6 7 7 donde
300*440
(|>Mnf =<J>*0.85fc' ( b - b ' ) t ( d - t / 2 )
0-625= p t/Pb
<t>Mnf = 4>* A sf * f y ( d
p a c tu a l =
- 1/
2 ),
d e d o n d e:
_ 0 .8 5 fc'( b - b ' ) t
0 .8 5 * 2 1 .1 * ( 8 0 0 - 3 0 0 ) * 5 0
A sf ~
7
~ -------------------- 7 7 7 ------------------ --- 1068 m m '
fy
420
2310
= 0 .0 1 7 5 0 < p m á x d iseñ o
300*440
4)
D e te rm in ació n d e M y w (c a rg a q u e p u e d e so p o rta r p a ra F. d e S. = 1.78)
Para F. d e S. = 1.78 se u tiliz a U = 1 .6
(|)Mnf = 0 .9 * 0 .0 0 1 0 6 8 * 4 2 0 0 0 0 * ( 0 .4 4 - 0 . 0 5 / 2 ) = 167.54 kN -m
M _ 35L36
_ 219
6Q
m .
1.6
w = 8 * 2 1 9 .6 0
= 2
k N /m
8
C ab e d e sta c a r q u e e sto s dos v a lo re s de A sf y (j)Mnf son c o n sta n te s
p a ra la m ism a sec c ió n d el p ro b le m a
b)
2 .2 1
<j>Mnwy ( A s - A sf):
(A s- A sf) = 2 3 1 0 -1 0 6 8 = 1 2 4 2 m m 2 .\ f p - p , ) = ---------------= 0 .0 0 9 4 0 9
v
’
300*440
La c a rg a w re s u lta u n p o co m a y o r q u e la c a rg a d e d ise ñ o d el p ro b le m a
an terio r, en v ista d e q u e h e m o s re v isa d o p a ra u n a a rm a d u ra m a y o r que
la te ó ric a allí re q u e rid a .
Al fin al d e l p ro b le m a 2 .1 8 , m o d e lo d e la u tiliz a c ió n d el a c e ro a la
co m p re sió n p a ra re d u c ir fle c h a s a la rg o p la z o , se h a b ló so b re la n e c e sid a d
de esta m e to d o lo g ía c o m o fu n c ió n d e u n e stu d io so b re las d e fo rm a c io n e s
elásticas y a la rg o p la z o , c u y o s fu n d a m e n to s y a p lic a c io n e s se e s tu d ia rá n en
el sig u ien te títu lo “D e fle x io n e s y c o n tro l d e d e fle x io n e s ” , el cu a l se p re s e n ta
com o u n a n e x o al p re s e n te ca p ítu lo .
114
115
C apitulo 2 Flexión
Estructuras de C oncreto I
D E F L E X IO N E S Y C O N T R O L D E D E F L E X IO N E S
NOTAS:
El R e g la m e n to N S R -1 0 en la se c c ió n C .9.5.1 d ice “ los e le m e n to s de
c o n c re to re fo rz a d o so m e tid o s a fle x ió n d e b e n d ise ñ a rse p a ra q u e te n g a n una
rig id e z a d e c u a d a co n el fin d e lim ita r c u a lq u ie r d e fle x ió n q u e p u diese
a fe c ta r a d v e rsa m e n te la re s iste n c ia o el fu n c io n a m ie n to de la e stru c tu ra ” .
Los valores d a d o s e n esta tab la se d eb en u s a r d irectam en te en ele m e n to s de c o n c re to de
peso n o rm al y re fu e rz o g ra d o 4 2 0 M P a. P ara otras co n d ic io n e s, los v a lo re s d eben
m odificarse co m o sigue:
(a ) Para c o n creto liv ian o estru c tu ra l co n d e n sid a d w c d en tro del ran g o d e 1440 a 1840
kg/m 3, los v alo res d e la tab la d e b e n m u ltip lic a rse p o r (1 .6 5 -0 .0 0 0 3 w c), p ero n o m e n o s de
1.09.
(b) P ara f y
d istin to de 4 2 0 M P a , los v alo res de esta tab la d eb en m u ltip lic a rse p o r
E le m e n to s r e fo r z a d o s en u n a d ir e c c ió n (n o p r e -e sfo r z a d o s)
(0.4 + fy / 7 0 0 )
E l R e g la m e n to c o lo m b ia n o e sp e c ific a los e sp e so re s m ín im o s q u e pu ed an
ap lic a rse p a ra los e le m e n to s q u e n o s o p o rte n o e sté n lig ad o s a p artic io n e s u
o tro tip o de e le m e n to s q u e p u e d a n s u frir d a ñ o p o r d e fle x io n e s sin te n e r que
c a lc u la r d e fle x io n e s q u e c o n fírm e n e sta h ip ó tesis. T ra n sc rib im o s la tabla
C .9 .5 . (a ) del R eg lam en to .
A d icio n alm en te, en el C o m e n ta rio , el R e g la m e n to in c lu y e el caso d e los
espeso res p a ra a q u e llo s e le m e n to s q u e so p o rta n m u ro s d iv iso rio s o
p articio n es frá g ile s q u e p u e d a n s u frir d añ o s c o n m o tiv o d e las d efle x io n es.
T ra n scrib im o s la ta b la C R .9 .5 .
T a b la C .9 .5 (a) A ltu r a s o e s p e s o r e s m ín im o s de v ig a s no p re -e sfo r z a d a s
o lo sa s r e fo r z a d a s en u n a d ir e c c ió n a m e n o s q u e se c a lc u le n las
d e fle x io n e s
T abla C R .9 .5 - A ltu r a s o e sp e so r e s m ín im o s r e c o m e n d a d o s p a ra v ig a s
no p r e -e sfo r z a d a s o lo sa s r e fo r z a d a s en u n a d ir e c c ió n q u e so p o rte n
m uros d iv iso r io s y p a r tic io n e s fr á g ile s su sc e p tib le s d e d a ñ a r se d eb id o a
d eflex io n es g r a n d e s, a m e n o s q u e se c a lc u le n la s d e fle x io n e s
E sp eso r m inim o, h
E s p e s o r m ín im o , h
Con un
Extremo
Simplemente
apoyados
Elementos
Losas macizas en una
dirección
Vigas o losas nervadas en
una dirección
continuo
Ambos
Extremos
continuos
Con un
Extremo
continuo
Simplemente
apoyados
En voladizos
En voladizos
Elementos que soporten o estén ligados a divisiones u otro tipo de
Elementos que N O soporten o estén ligados a divisiones u otro tipo de
elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes
£
£
£
£
20
24
28
10
£
£
£
£
16
18.5
21
8
Elementos
Losas macizas en una
dirección
Vigas o losas nervadas en
una dirección
elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes
£
£
£
£
14
16
19
7
£
i
£
£
11
12
14
5
L as N o tas son las m ism as d e la T a b la C .9.5 (a) del R eg lam en to .
117
116
Ambos
Extremos
continuos
E structuras de C oncreto I
Capítulo 2 Flexión
C o n tin ú a el R e g la m e n to N S R -1 0 s o b re el te m a d e las d e fle x io n e s en las
s e c c io n e s C .9 .5 .2 .2 a C .9 .5 .2 .6 q u e n o s p e rm itim o s tra n sc rib ir:
determ inarse m u ltip lic a n d o la d e fle x ió n in m ed iata ca u sa d a p o r la c a rg a
perm anente p o r el fa c to r X A
C .9 .5 .2 .2 C u a n d o se c a lc u le n las d e fle x io n e s, a q u é lla s
q u e o cu rran
in m e d ia ta m e n te co n la a p lic a c ió n d e la c a rg a d e b e n c a lc u la rse m e d ia n te los
m éto d o s o fo rm u la s u su a le s p a ra d e fle x io n e s elástica s, to m a n d o en
c o n sid e ra c ió n los e fecto s de la físu ra c ió n y del re fu e rz o en la rig id e z del
elem e n to .
C .9 .5 .2 .3 A m e n o s q u e los v a lo re s d e rig id e z se o b te n g a n m e d ia n te un
an á lisis m ás co m p le to , las d e fle x io n e s in m e d ia ta s d e b e n c a lc u la rse u san d o
el m ó d u lo d e e la stic id a d d el c o n c re to , E c, q u e se e sp e c ific a en C .8.5.1 (para
c o n c re to d e p e so n o rm a l o liv ia n o ) y el m o m e n to d e in e rc ia e fe c tiv o , le, que
r
3
Ie =
Í M cr
l M a„
> L+-
1
1-
8
3'
X
A
=— —
l + 50p'
(C .9 -1 1 )
D onde P ' es el v a lo r en la m ita d d e la lu z p a ra tra m o s sim p le s y c o n tin u o s
y en el p u n to de a p o y o p a ra v o la d iz o s. P u ed e to m a rse
£,, el fa c to r
d ep en d ien te d el tie m p o p a ra ca rg as so ste n id a s, ig u al a:
añ o s o m á s .............................................................. 2 . 0
12 m e s e s ......................................................................1.4
6 m e s e s ........................................................................ 1 . 2
3 m e s e s ........................................................................ 1 . 0
5
M cr
_Ma
J1
lcr
(C .9 -8 )
do n d e
C .9.5.2.6 L a d e fle x ió n c a lc u la d a d e a c u e rd o co n C .9 .5 .2 .2 a C .9 .5 .2 .5 no
debe ex c e d e r lo s lím ite s e sta b le c id o s en la ta b la C .9 .5 (b).
T ran scrib im o s la ta b la C .9 .5 (b ) d el R eg lam en to .
M„r = E k
(C .9 -9 )
y,
T abla C .9 .5 (b )-D e fle x ió n m á x im a a d m isib le ca lcu la d a
y p a ra c o n c re to de p eso n o rm al,
fr = 0 . 6 2 W ñ
(C .9 -1 0 )
C .9 .5 .2 .4 P a ra e le m e n to s c o n tin u o s se p e rm ite to m a r Ie c o m o el p ro m e d io de
los v a lo re s o b te n id o s d e la e c u a c ió n (C .9 -8 ) p a ra las s e c c io n e s c ritic a s de
m o m e n to p o sitiv o y n eg a tiv o . P a ra e le m e n to s p rism á tic o s, se p e rm ite to m a r
Ic co m o el v a lo r o b te n id o de la e c u a c ió n (C .9 -8 ) en el c e n tro de la lu z p a ra
tra m o s sim p le s y c o n tin u o s, y en el p u n to d e a p o y o p a ra v o lad izo s.
C .9 .5 .2 .5 A m e n o s q u e los v a lo re s se o b te n g a n m e d ia n te un an á lisis m as
co m p le to , la d e fle x ió n ad ic io n a l a larg o p la z o , re su lta n te d el flujo p lá stic o y
re tra c c ió n d e e le m e n to s en flex ió n (c o n c re to n o rm al o liv ia n o ), d eb e
118
T ip o de elem e n to
Cubiertas planas que no soporten ni estén
ligadas a elementos no estructurales
susceptibles de sufrir daños debido a
deflexiones grandes.
Entrepisos que no soporten ni estén ligados a
elementos no estructurales susceptibles de
sufrir daños debido a deflexiones grandes.
Sistema de entrepisos o cubierta que soporte
o esté ligado a elementos no estructurales
susceptibles de sufrir daños
debido a
deflexiones grandes.
Sistema de entrepisos o cubierta que soporte
o esté ligado a elementos no estructurales no
susceptibles de sufrir daños
debido a
deflexiones grandes.
D eflexión con sid er ad a
L im ite de
deflexión
Deflexión inmediata debida a la
carga viva, L
f/1 8 0 '
Deflexión inmediata debida a la
carga viva, L
f/3 6 0
La parte de la deflexión total que
ocurre después de la unión de los
elementos no estructurales (la suma
de la deflexión a largo plazo debida a
todas las cargas permanentes, y la
deflexión inmediata debida a
cualquier carga viva adicional)*
(./4 8 0 :
(./2 40§
E structuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
* E ste lím ite no tien e c o m o o b je to c o n stitu irse en u n resg u a rd o c o n tra el em p o z a m ie n to de
ag u as. E ste ú ltim o se d eb e v e rific a r m e d ia n te c á lc u lo s de d e fle x ió n a d e c u a d o s, incluyendo
las d e fle x io n e s d e b id as al a g u a e sta n ca d a, y c o n sid e ra n d o lo s e fe c to s a la rg o p la z o de todas
las ca rg a s p e rm a n e n te s, la c o n trafle c h a , las to le ra n c ia s de c o n stru c c ió n y la co n fía b ilid a d en
las m e d id as to m a d as p ara el d ren aje.
fL a s d e fle x io n e s a larg o p la z o d e b e n d e te rm in a rse d e ac u e rd o co n C .9 .5 .2 .5 ó C .9 .5.4.3,
p ero se p u e d e n re d u c ir en la c a n tid a d d e d e fle x ió n c a lc u la d a q u e o c u rra a n te s de u n ir los
ele m e n to s n o estru c tu rales. E sta c a n tid a d se d e te rm in a b a sá n d o se en d a to s d e ingeniería
ace p ta b le s c o rre sp o n d ie n te a las c a ra c te rístic a s tie m p o -d efle x ió n de e le m e n to s sim ilares
a los que se están c o n sid e ra n d o .
(a)
(b) L o sas co n á b a c o s co m o se d efin e en
C .1 3 .2 .5 ..........................................................................................100 m m
C .9.5-3-3 El e s p e s o r m ín im o h p a ra lo sas c o n v ig a s q u e se e x tie n d e n en tre
los ap o y o s en to d o s lo s lad o s d eb e ser:
(a)
J E s te lím ite se p u e d e e x c ed e r si se to m a n m e d id a s a d e c u a d a s p a ra p re v e n ir d añ o s en
e le m e n to s a p o y ad o s o u n id o s.
§ P e ro n o m a y o r q u e la to le ra n cia e sta b le c id a p a ra ele m e n to s n o e stru c tu ra les. E ste lím ite se
p u e d e e x c e d e r si se p ro p o rc io n a u n a c o n tra fle c h a de m o d o q u e la d e fle x ió n to ta l m e n o s la
co n tra fle c h a n o e x ce d a d ich o lím ite.
L o sas sin á b a c o s co m o se d efin e en
C .1 3 .2 .5 ..........................................................................................125 m m
(b)
P ara a fm ig u al o m e n o r a 0 .2 , se a p lic a n las d isp o sic io n e s d e C .9 .5 .3 .2.
Para a fm m a y o r q u e 0 .2 p e ro n o m a y o r q u e 2.0, h n o d eb e se r m e n o r
que:
L
0.8 +
—
1400
h =
E le m e n to s re fo rz a d o s en d os d ir e c c io n e s (n o p r e -e sfo r z a d o s)
—
(C .9 -1 2 )
3 6 + 5 P ( a fm - 0 . 2 )
El R e g la m e n to c o lo m b ia n o e sp e c ific a los e sp e so re s m ín im o s q u e p u ed e n
a p lic a rse p a ra los e le m e n to s re fo rz a d o s en d o s d ire c c io n e s d e a c u e rd o a la
se c c ió n C .9 .5 .3 en sus ap a rtes C .9.5.3.1 a C .9 .5 .3 .4 q u e n o s p e rm itim o s en
tran sc rib ir:
C .9 .5 .3 .1 D e b e e m p le a rse la se c c ió n C .9 .5 .3 p a ra d e fin ir el e s p e so r m ín im o
d e lo sas u o tro s e le m e n to s re fo rz a d o s en d o s d ire c c io n e s d ise ñ a d o s de
a c u e rd o c o n las d isp o sic io n e s d el C a p itu lo C .13 y q u e se a ju sten a los
re q u isito s C. 13.6.1.2. El e s p e so r d e las lo sas sin v ig a s in te rio re s q u e se
e x tie n d a n en tre los ap o y o s en to d o s se n tid o s d e b e n sa tis fa c e r los re q u isito s
C .9 .5 .3 .2 ó C .9 .5 .3 .4 . El e s p e so r d e las lo sas c o n v ig a s q u e se ex tien d a n
e n tre los a p o y o s en to d o s se n tid o s d e b e s a tisfa c e r los re q u isito s d e u n a de
C .9 .5 .3 .3 o C .9 .5 .3 .4 .
C .9 .5 .3 .2 El e sp e so r m ín im o d e las lo sas sin v ig a s in te rio re s q u e se
ex tie n d a n en tre los ap o y o s y q u e tie n e n u n a re la c ió n en tre lad o s n o m a y o r
q u e 2, d eb e c u m p lir co n lo re q u e rid o d e la ta b la C .9 .5 (c ) y n o d eb e ser
in fe rio r q u e los sig u ie n te s v alo re s:
120
pero no m e n o r q u e 125 m m
(c)
P ara a fm m a y o r q u e 0 .2 , h n o d eb e se r m e n o r que:
0 .8 h— —
1400
(C .9 -1 3 )
3 6 + 9P
pero no m e n o r q u e 9 0 m m
(d) E n b o rd e s d isc o n tin u o s d eb e d isp o n e rse d e u n a v ig a d e b o rd e q u e
tenga u n a re la c ió n d e rig id e z ctf n o m e n o r de 0 .8 0 , o b ie n a u m e n ta r el
esp eso r m ín im o re q u e rid o p o r las e c u a c io n e s (C .9 -1 2 ) ó (C .9 -1 3 ), p o r lo
m enos u n 1 0 p o r c ie n to en el p a n e l q u e te n g a u n b o rd e d isco n tin u o .
E structuras de C oncreto I
Capítulo 2 Flexión
T a b la C .9 .5 (c ) Espesores m ínim os de losas sin vigas interiores*
Sin áb a c o s +
C o n ábacos*
P an eles
e x te rio r
fy
M Paf
Sin
v ig as
de
b o rd e
1n
P an eles
in te rio r
C on
v ig as
de
b o rd e §
P a n e le s
e x te rio re s
Sin
v ig as
de
b o rd e
C on
v ig as
de
b o rd e 8
P an eles
in terio r
280
33
Ír
36
Ír
36
Ir
36
Ír
40
Ir
40
Ír
33
Ír
33
Í r
33
■'n
420
ín
30
36
ín _
36
520
ín _
28
ín _
31
Ír
31
Ír
31
ín _
34
ÍR
34
*P ara c o n stru c c ió n de d o s d ire c c io n e s,
fy
C 8.5.1- El m o m e n to d e in e rc ia e fe c tiv o , L , d eb e se r el o b te n id o p o r m ed io
de la ec u ació n (C .9 -8 ); se p e rm ite e m p le a r o tro s v a lo re s si lo s re s u lta d o s del
cálculo de la d e fle x ió n c o n c u e rd a n ra z o n a b le m e n te co n los re s u lta d o s de
ensayos de alca n ce ap ro p ia d o . L a d e fle x ió n ad ic io n a l a larg o p la z o d eb e
calcularse d e a c u e rd o co n C .9 .5 .2 .5 .
A co n tin u ac ió n a lg u n o s p ro b le m a s de a p lic a c ió n de las n o c io n e s an terio res.
P ro b le m a 2.23
(n,
es la lu z lib re en la d ire c c ió n larga, m edida
en tre c a ra de lo s a p o y o s en lo sas sin v ig a s y e n tre c a ra s de la s v ig as, p a ra lo sas co n v ig a s u
o tro s ap o y o s en o tro s casos.
fP a r a
calcularse to m a n d o en c u e n ta el ta m a ñ o y la fo rm a d el p a n e l, las
condiciones d e a p o y o y la n a tu ra le z a d e las re stric c io n e s en lo s b o rd e s d e la
losa. El m o d u lo de e la s tic id a d del co n c reto , E c , d eb e se r el e s p e c ific a d o en
En el p ro b lem a 2 .1 6 se d ise ñ ó u n a v ig a d e 0 .3 0 x 0 .5 0 m , sim p le m e n te
apoyada en u n a lu z d e 8 m e tro s, a rm a d a en co n c re to d e f 'c = 2 1 . 1 M P a,
refuerzo p a ra fy = 2 4 0 M P a y u n a c a rg a d e 2 5 .0 4 k N /m , o b te n ié n d o se los
resultados de la fig u ra ad ju n ta. A h o ra c a lc u la re m o s p a ra esta v ig a las
d eflexiones in m e d ia ta s c a u sa d a s p o r la c a rg a m u erta , las d e fle x io n e s
inm ediatas ca u sa d a s p o r la c a rg a v iv a y las d e fle x io n e s a d ic io n a le s a larg o
plazo ca u sad as p o r la re tra c c ió n d e frag u ad o y el flu jo p lástico .
e n tre lo s v a lo res d a d o s e n la ta b la , el e sp e so r m ín im o d eb e o b te n e rse por
in terp o la c ió n lineal,
íA b a c o , c o m o se d e fin e C. 13.2.5.
f ' = 2 1 .1 M P a
§L o sas c o n v ig as e n tre las c o lu m n a s a lo larg o de los b o rd e s ex terio re s. E l v a lo r de a r para
la v ig a de b o rd e n o d e b e s e r m e n o r q u e 0.8.
f y = 2 4 0 M Pa
0.06
E l te rm in o ^ n ,e n (b) y (c) c o rre sp o n d e a la lu z lib re en la d ire c c ió n larga
m e d id a c a ra a c a ra d e las v ig as. El te rm in o p en (b) y (c ) c o rre s p o n d e a la
0.35
( p - p ') m í n < ( p - p ’) <
0.50
( p - p ') m á x
re la c ió n d e la lu z libre en la d ire c c ió n larg a a la lu z lib re en la d irec ció n
co rta de la losa.
(se g ú n p ro b le m a 2 .1 6 )
201 1 / 4 ’
C .9 .5 .3 .4 P u ed e u tiliz a rse e sp e so re s d e lo sas m e n o re s q u e los m ín im o s
re q u e rid o s en C .9 .5 .3 .1 , C .9 .5 .3 .2 y C .9 .5 .3 .3 c u a n d o las d e fle x io n e s
c a lc u la d a s n o e x c e d a n los lím ites d e la ta b la C .9 .5 (b ). L a s d e fle x io n e s d eben
122
F ig u r a 2.47
123
Capítulo 2 Flexión
Estructuras de C oncreto I
S o lu ció n
L a s d e fle x io n e s in m e d ia ta s se c a lc u la rá n p o r las fó rm u la s de la te o ría de la
ela stic id a d , c o n s id e ra n d o los e fecto s q u e tie n e n la físu ra c ió n y el refuerzo
so b re la rig id e z d e la v ig a; las d e fle x io n e s a d ic io n a le s d e b e n d eterm inarse
m u ltip lic a n d o las d e fle x io n e s in m e d ia ta s c a u sa d a s p o r la c a rg a m u e rta p o r el
3 0 * 1 8 .9 0
+ 3 5 9 .0 4 * (l 8 .9 0 - 6 ) 2 + 4 5 2 .2 6 * ( 4 1 - 1 8 . 9 0 )2
L =
I = 3 4 8 1 4 9 cm 4
cr
Por o tra p arte , Ig = m o m e n to d e in e rc ia d e la sec ció n to ta l d e c o n c re to es:
fa c to r X A d el R e g la m e n to N S R -1 0 .
I =
P a ra el c á lc u lo d e las d e fle x io n e s in m e d ia ta s se d eb e d e te rm in a r la
p ro fu n d id a d d el e je n e u tro b a jo las c a rg a s d e serv ic io , u tiliz a n d o el m étodo
d e la sec c ió n tra n sfo rm a d a :
3 0 * 5 0 3/1 2 = 3 1 2 5 0 0 c m 4
yt =
y
d ista n c ia m e d id a d esd e el eje c e n tro id a l d e la s e c c ió n to tal,
d e s p re c ia n d o el re fu e rz o , h a sta la fib ra e x tre m a en trac ció n :
yt =
50 - 18.90 = 3 3 .1 0 cm
A co n tin u ació n , se c a lc u la el M cr = m o m e n to d e físu ra c ió n =
fllg / y t , en
donde
f r = 0 . 7 T ^ = 3 .2 1 M P a
3 2 1 0 * 0 .0 0 3 1 2 5
= ------------------------- = 3 2 .2 5 kN -m
0 .3 1 1 0
M
C on el m o m e n to m á x im o en el ele m e n to Ma p a ra el n iv e l d e c a rg a q u e se
Figura 2.48
está e v a lu a n d o , c a lc u la d o en el p ro b le m a 2 .1 6
calcu lar el m o m e n to d e in e rc ia e fe c tiv o Ie :
D e te rm in a c ió n d e la p ro fu n d id a d d el e je n eu tro :
bx2
— + ( 2 n - l ) A ; ( x - d ') = nA s ( d - x )
L =
M, ]3
1-
M,
150x2 + 3 5 9 04 * ( x - 60) = 4 5 2 2 6 * (4 1 0 -x )
d e 2 0 0 .3 2 kN -m , se p u e d e
/. x = 1 8 9 .0 m m
I =
1
8
f 3 2 .25 '
]
~ M pcrr "
3'
_M a ^
*312500 + < 1-
' 3 2 .25
* 3 4 8 1 4 9 = 3 4 7 9 9 9 crn
2 0 0 .3 2
[2 0 0 .3 2
P o r tan to , el m o m e n to de in e rc ia de la se c c ió n tra n sfo rm a d a A surada Icr es,
4
en cm :
le > Ig
I cr =
le = 3 1 2500 c n f
+ (2 n - l)A ; ( x - d ' ) 2 + n A s (d - x ) 2
T am bién d el R e g la m e n to , E c = 4 7 0 0 ^ /f^ = 2 1 5 7 3 M P a
125
124
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 2 Flexión
P o r lo tan to , la d e fle x ió n e lá stic a in m e d ia ta será:
§=
= J _ . ______ 25^
3 8 4 E Ie
384
_____
Si la viga del p ro b le m a h a c e p a rte de u n a c u b ie rta o lo sa q u e so p o rta o está
unida a e lem e n to s n o estru c tu ra le s q u e n o p u e d e n se r d a ñ a d o s p o r
deflexiones g ra n d es, se d eb e cu m p lir:
2 1 5 7 3 0 0 0 * 0 .0 0 3 1 2 5
p a ra w en k N /m , L en m , E en k N /m 2 e Ie en m 4
D e f l e x i ó n a larg o p la z o p o r c a rg a m u e rta m ás d e f l e x i ó n p o r c a rg a v iv a d e b e
,
Si d el to ta l d e la c a rg a (2 5 .0 4 k N /m ) se p u d ie ra c o n c lu ir q u e el 8 0 % (peso
p ro p io d e la v ig a y p a rte de la c a rg a so b re la v ig a) es c a rg a m u erta , se
estab lece:
t
ser m en o r de —
.
• 0.0 1 7 2 + 0 .0 0 4 0 = 0 .0 2 1 2 <
8 = 0 .0 3 3 3 m
240
Por lo tanto, el d ise ñ o p re se n ta d o en el p ro b le m a 2 .1 6 re su lta c o rrec to .
L a d e fle x ió n in m e d ia ta c a u sa d a p o r la c a rg a m u e rta es de:
P ro b lem a 2 . 2 4
0 .8 0 * 0 .0 1 9 8 = 0 .0 1 5 8 m (1 5 .8 m m )
L a d e fle x ió n in m e d ia ta c a u sa d a p o r la c a rg a v iv a es de:
0 .2 0 * 0 .0 1 9 8 = 0 .0 0 4 0 m (4.0 m m )
L a d e fle x ió n ad ic io n a l a larg o p la z o (5 añ o s o m ás), c a u sa d a p o r la
re tra c c ió n de fra g u a d o y el flujo p lá stic o , se d e te rm in a m u ltip lic a n d o la
d e fle x ió n c a u sa d a p o r la c a rg a m u e rta p o r el fa c to r X A, donde:
^
= — “—
1+ 50p'
No o b stan te el re su lta d o del p ro b le m a an terio r, en el p ro b le m a 2 .1 8 se
diseñó la a rm a d u ra p a ra la m ism a v ig a co n el c rite rio d e re d u c ir la d e fle x ió n
por p lastifícac ió n d el c o n c re to , ad o p ta n d o u n a c u a n tía ( p - p ') =
lo cual se o b tu v ie ro n lo s re su lta d o s d e
este d iseñ o las d e fle x io n e s in m e d ia ta s
d eflexiones in m e d ia ta s c a u sa d a s p o r
adicio n ales a larg o p la z o ca u sa d a s p o r
plástico, e v a lu a n d o si la d ism in u c ió n
ju stificab le.
f ' = 2 1 .1 M P a
(2445 mm
f y = 240 M Pa
=
( p - p )m ín < ( p - p ' ) <
( p - p ') m á x
(4740 mm^
5 0 i i / 4 " + i 0 i í/S "
:
= 1.09
1 + 5 0 * 0 .0 1 6 5 8 5
(s e g ú n p r o b | e m a 2 .1 8 )
F ig u r a 2.49
L u eg o la d e fle x ió n ad ic io n a l a la rg o p la z o será: 0 .0 1 5 8 * 1 .0 9 = 0 .0 1 7 2 m
(1 7 .2 m m )
126
Solución
Se utiliza el m ism o p ro c e d im ie n to d el p ro b le m a an terio r, así:
127
, con
la fig u ra. A h o ra se c a lc u la rá n p ara
ca u sa d a s p o r la c a rg a m u e rta , las
la c a rg a v iv a y las d e fle x io n e s
la re tra c c ió n d e fra g u a d o y el flu jo
de flec h a q u e se b u s c a es o no
301 l/8 " + 101
2040
c o n £, = 2 .0 y p ' = ---------------= 0 .0 1 6 5 8 5 ;
300*410
0 .0 2 0
C apítulo 2 Flexión
E structuras de C oncreto I
D e te rm in a c ió n d e la p ro fu n d id a d d e l eje n e u tro b a jo las ca rg a s d e servicio:
yt
= 50 - 18.39 = 31.61 cm
w
f rIg
3 2 1 0 * 0 .0 0 3 1 2 5
Q1_
El m o m ento d e fís u ra c io n M cr = —
= ------- Q 3 1 6 1 ------- =
IXT
Y el m o m en to m á x im o M a = 197.12 kN -m . P o r lo tan to :
3'
l3
1 -
i J * *
M.
I =
F ig u r a 2 .50
hx2
2
’ M pr"
cr
Icr
cr
_M a.
" 3 1 .73 " 3]
31.73 I ' * , . n n
* 3 7 3 9 8 0 = 3 7 3 7 3 6 cm"
* 3 1 2 5 0 0 + í,1 2 0 0 .32_
2 0 0 .3 2
i
J
1
+ ( 2 n - l ) A ; ( x - d ') = n A s ( d - x )
le > Ig
150x2 + 4 3 0 3 2 * ( x - 6 0 ) = 44082 * ( 4 2 0 - x )
x = 183.9 m m
L = 3 1 2 5 0 0 cm
E c = 4 7 0 0 ^ = 21573 M Pa
Por co n sig u ien te, la d e fle x ió n e lá s tic a in m e d ia ta será:
El m o m e n to d e in e rc ia d e la se c c ió n tra n s fo rm a d a físu ra d a es en c m 4:
c
5 wL4
5
2 5 .0 4 * 8 4
AA1AO
5 = ------------- = -------* --------------------------------- = 0 .0 1 9 8 m
384 E l
3 8 4 2 1 5 7 3 0 0 0 * 0 .0 0 3 1 2 5
I cr = b *
+ ( 2 n - l ) A 's ( x - d
') 2
+ nA s( d - x
)2
para w en k N /m , L en m , E en k N /m 2 e
I„ =
3 0 * ^ 8 '39
+ 4 3 0 .3 2 * (1 8 .3 9 -
6 )2
+ 4 4 0 .8 2 * (4 2 - 1 8 . 3 9 ) “
le
en m 4
Para los m ism o s p o rc e n ta je s d e c a rg a m u erta y c a rg a v iv a d el p ro b le m a
anterior, se o b tien e:
I„ = 3 7 3 9 8 0 c m 4
El m o m e n to de in erc ia d e la se c c ió n to ta l d e c o n c re to , Ig en c m 4:
Ig = 3 0 * 5 0 3/1 2 = 3 1 2 5 0 0 cm 4
y
L a d e fle x ió n in m e d ia ta p o r c a rg a m u erta :
0 .8 0 * 0 .0 1 9 8 = 0 .0 1 5 8 4 m
= (1 5 .8 m m )
L a d e fle x ió n in m e d ia ta p o r la c a rg a v iv a:
0 .2 0 * 0 .0 1 9 8 = 0 .0 0 4 0 m
= (4 .0 m m )
y t = d ista n c ia d e sd e el eje c e n tro id a l h a s ta la fib ra e x tre m a a trac ció n :
129
128
E structuras de C oncreto I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
L a d e fle x ió n ad icio n a l a la rg o p la z o (5 añ o s o m ás) será de: 0 .0 1 5 8 4
, en
do n d e:
X4 =
^
= ----------- 2 ,0
l + 50p'
1| 5Q*
2445
= 1 .0 2
300*420
L u e g o la d e fle x ió n ad ic io n a l será: 0 .0 1 5 8 4 * 1 .0 2 = 0 .0 1 6 m (16 m m )
C o n la m ism a c o n sid e ra c ió n d el p ro b le m a an terio r:
D e flex ió n a larg o p la z o p o r c a rg a m u e rta m ás d e fle x ió n p o r c a rg a v iv a debe
,
se r m e n o r d e
i
.
240
Capítulo 3
.-. 0 .0 1 6 + 0 .0 0 4 0 = 0 .0 2 0 <
= 0 .0 3 3 3 m (33.3 m m )
8
240
L a so lu c ió n d e este p ro b le m a n o s m u e s tra u n a d ism in u c ió n en la d efle x ió n
to ta l d e 0 . 0 0 1 2 m ( 1 . 2 m m ) p o r e fe c to d el a u m e n to en la a rm a d u ra de
• '
2
2
c o m p re sió n de 2 0 4 0 m m a 2 4 4 5 m m , lo cual n o s p a re c e p o co ju stific a b le ,
n o so la m e n te p o rq u e n o es e s tric ta m e n te n e c e sa rio d e sd e el p u n to d e vista
d e d e fle x ió n a d m isib le , sino p o rq u e im p lic a un so b re co sto p a ra una
so lu c ió n d e u n o rd en d e m a g n itu d m u y p e q u e ñ o y q u e ig u a lm e n te p o d ría
lo g ra rse si, p o r ejem p lo , se s u m in istra a la v ig a u n a c o n tra fle c h a ap ro p ia d a
en el m o m e n to de c o n stru irla .
130
CORTANTE Y TORSION
131
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
C O R T A N T E Y T O R S IÓ N
CORTANTE
Resistencia al cortante
Según el R e g la m e n to N S R -1 0 , el d ise ñ o d e las se c c io n e s tra n sv e rsa le s
som etidas a c o rta n te d eb e b a s a rs e en:
+Vn * v u
donde Vu es la fu e rza c o rta n te m a y o ra d a en la se c c ió n b a jo c o n s id e ra c ió n y
V„ es la re siste n c ia n o m in a l al c o rta n te q u e se c a lc u la co m o :
V„ = V . + V S
en la cual Vc es la
re s is te n c ia
n o m in a l al c o rta n te
p ro p o rc io n a d a p o r el
concreto y V s es la
re s is te n c ia
n o m in a l al c o rta n te
p ro p o rc io n a d a p o r el
refuerzo d e co rtan te.
Para efecto s d el d iseñ o , se tom a:
X = ^ X = 4>X + 4>V,
f y \ = Vu - <j)Vc , lo
d e d o n d e,
cu a l q u iere d e c ir q u e se p ro p o rc io n a rá re fu e rz o
a
cortante cu a n d o Vu e x c e d a la re s is te n c ia a c o rta n te d e d ise ñ o d el co n c reto .
El co eficien te d e re d u c c ió n fy se to m a rá ig u al a 0.75.
El cálculo de Vu d e b e e fe c tu a rse , p a ra e le m e n to s n o p re e s fo rz a d o s , en u n a
sección lo c a liz a d a a u n a d ista n c ia d (a ltu ra efe c tiv a ) m e d id a d e sd e la cara
del ap o y o y to d a s las se c c io n e s situ a d a s a m e n o s d e la d ista n c ia d se p o d rá n
diseñar p ara el m ism o c o rta n te V u .
A co n tin u ació n a n e x a m o s lo s ca so s típ ic o s p a ra la a p lic a c ió n d el re q u isito
anterior.
133
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
Para e lem en to s d e g ra n a ltu ra so m e tid o s a flex ió n , m én su las, m u ro s, lo sas y
zapatas, se a p lic a n d isp o sic io n e s e sp e c ia le s q u e se e stu d ia rá n en los
capítulos co rr esp o n d ie n tes q u e estén d e n tro del alca n ce del p re s e n te tex to ;
de todas m an eras, se re m ite al le c to r al R e g la m e n to N S R -1 0 , ca p ítu lo s C .l 1
y C .21, este ú ltim o co n lo s re q u isito s p a ra e stru c tu ra s co n c a p a c id a d de
disipación d e e n e rg ía m ín im a (D M I), m o d e ra d a (D M O ) y esp e cial (D E S ).
í
Resistencia a la fu e r z a cortante p roporcion ada por el concreto
Vu
Vu
d
Para elem e n to s so m e tid o s a c o rta n te y flex ió n ú n ic a m e n te , la re siste n c ia
F ig u ra 3.1a
E x c e p c io n e s d el re q u isito del c á lc u lo a la d ista n c ia d c o rre sp o n d e n a los
p ro p o rcio n ad a p o r el c o n c re to p a ra d ise ñ o será ig u al a:
<t,Vc =<t>0.17VfÚ>wd ,
a m e n o s q u e se h a g a u n c á lc u lo m ás d e tallad o
p o r la ecu ació n :
m ie m b ro s e n m a rc a d o s p o r un a p o y o en tra c c ió n , los m ie m b ro s en los cu ales
las ca rg as n o e stá n a p lic a d a s e n la c a ra su p e rio r, los m ie m b ro s en los cu ales
el c o rta n te d ifie re ra d ic a lm e n te e n tre el c a lc u la d o en el a p o y o y el o b ten id o
<t>vc = 4. jo . 16 ^ + 17p„ 5 ^ }
b »d
< <t>0 . 2 9 V
fX
d
a u n a d ista n c ia d, tal co m o el caso en q u e se sitú a u n a c a rg a c o n c e n tra d a
c e rca d el a p o y o , y en el c a so d e los v o la d iz o s co rto s y en las m én su las.
donde M u
es
el
sim u ltán e am en te co n
m o m e n to
fle c to r
se
p re sen ta
Vu en la se c c ió n d e d iseñ o , ( V ud ) / M u
n o d eb e
tom arse m a y o r q u e 1.0 al c a lc u la r (J)Vc y
fa c to riz a d o
que
Pw es la c u a n tía d el re fu e rz o
lo ngitudinal e ig u al a A s/ ( b wd ) y b w es el a n c h o del n erv io .
R esisten cia a la fu er za co r ta n te p r o p o r c io n a d a p o r el refu erzo
El refu erz o d e c o rta n te p u e d e c o n s is tir en:
F ig u r a 3.1b
134
a)
E strib o s p e rp e n d ic u la re s al eje del elem en to ;
b)
M a lla
e le c tro s o ld a d a
de
alam b re,
p e rp e n d ic u la rm e n te al eje d el elem e n to ;
135
co n
a la m b re s
lo caliza d o s
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
c)
E strib o s q u e fo rm e n u n án g u lo d e 4 5 ° o m ás co n el refu erzo
c)
C o m b in a cio n es d e e strib o s y re fu e rz o lo n g itu d in a l d o b lad o : en este
caso, co m o en to d o s en lo s q u e se u tilic e m ás d e u n tip o de re fu e rz o a
lo n g itu d in a l a trac ció n ;
co rtan te, la re s is te n c ia de d ise ñ o <|>VS se c a lc u la rá co m o la su m a d e los
d)
R efu e rzo lo n g itu d in a l c u y a p a rte d o b la d a fo rm e u n án g u lo d e 30°
v alo res d e 4>VS c a lc u la d o s p a ra lo s d ife re n te s tip o s d e re fu erz o .
o m á s co n el re fu e rz o lo n g itu d in a l a trac ció n ;
e)
C o m b in a c io n e s d e e strib o s y re fu e rz o lo n g itu d in a l d o b lad o ;
En todos los ca so s, la fu e rz a de flu e n c ia d e d ise ñ o d el re fu e rz o a c o rta n te no
debe ser m a y o r d e 4 2 0 M P a , e x c e p to m a lla e le c tro so ld a d a c u y o f y n o d eb e
f)
E sp ira le s, e strib o s c irc u la re s y e strib o s c e rra d o s d e c o n fin a m ie n to .
ser m ay o r d e 5 5 0 M P a y la re s is te n c ia a c o rta n te p a ra d iseñ o , p ro p o rc io n a d a
por el refu erzo , d e b e rá c u m p lir la co n d ició n :
C o m o se d ijo an tes, c u a n d o la fu e rz a c o rta n te fa c to riz a d a Vu e x c e d a la
re s is te n c ia a c o rta n te de d ise ñ o <|>Vc, se p ro p o rc io n a rá re fu e rz o a c o rta n te de
(tV < < j> 0 .6 6 V fX ,d
m a n e ra que:
(f)Vs = V u - <j)Vc, en d o n d e (j)Vs se c a lc u la rá d e a c u e rd o al tip o de
L ím ites d e e s p a c ia m ie n t o p a r a e l r e fu e r z o a c o r ta n t e
re fu e rz o a u tiliz a r, así:
Los estrib o s o la m alla ele c tro so ld a d a , am b o s p e rp e n d ic u la re s al e je del
a)
E strib o s p e rp e n d ic u la re s al eje d el e le m e n to o m a lla so ld a d a de
elem ento, n o se e sp a c ia rá n a m ás d e d /2 , n i a m ás de 6 0 0 m m . L o s e strib o s
ala m b re , c o n ala m b re s ta m b ié n p e rp e n d ic u la re s al m ism o eje:
inclinados y el re fu e rz o lo n g itu d in a l d o b la d o se esp a c ia rá n d e m o d o que
<j)A f d
<J>VS =
— ,
s
cualquier lín ea a 4 5 ° tra z a d a d e sd e la m ita d de la a ltu ra d el e le m e n to d /2 ,
en d o n d e
hacia el re fu e rz o lo n g itu d in a l e n tra c c ió n se c ru ce co n al m e n o s u n a lín e a de
refuerzo a co rtan te.
A v = A re a del re fu e rz o de c o rta n te d en tro d e u n a d ista n c ia s
C uando
b)
E strib o s
que
fo rm a n
un
án g u lo
de 45°
o m ás co n
el re fu erz o
(j)Vs > (j)0.33^/f 7b wd , los a n te rio re s esp a c ia m ie n to s se re d u c e n a la
mitad.
lo n g itu d in a l a tra c c ió n o re fu e rz o lo n g itu d in a l c u y a p a rte d o b lad a
fo rm e u n án g u lo d e 3 0 ° o m ás co n el re fu e rz o lo n g itu d in a l a trac ció n .
A dem ás, d e b e n te n e rse en c u e n ta los re q u isito s c o n te n id o s en el C a p ítu lo
C.21 del R e g la m e n to N S R -1 0 .
A„ f„ ( s e n a + eos a ) d
(j)Vs - <j>— ^
------------------ }— ,
s
en d o n d e
a = A n g u lo e n tre los e strib o s in c lin a d o s o las b a rra s lo n g itu d in a le s
d o b la d a s y el eje lo n g itu d in a l d el elem e n to .
136
137
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
R e fu e r z o m ín im o a co r ta n te
Algunos de estos valores lím ites para concretos de varias calidades:
E n to d o e lem e n to d e c o n c re to re fo rz a d o , en d o n d e la fu e rza d e corte
fa c to riz a d a Vu sea m a y o r q u e la m ita d de la re s is te n c ia d e d ise ñ o al cortante
al m e n o s sig u ie n d o la e s p e c ific a c ió n d e á rea m ín im a tra n sv e rsa l d ad a p o r la
ex p resió n :
A
= 0 .0 6 2 ^
0.3 5 b „ s / f y t,
yt
d o n d e b w y s se e x p re sa n en m ilím e tro s y f
om
<f>vt
p ro p o rc io n a d a p o r el c o n c re to <|>Vc, se c o lo c a rá re fu e rz o a la fu e rz a cortante
en M P a.
Jt
f ^ O
M
.3 3 #
fc
f*c'
p.s.i.
2000
2500
M Pa
M Pa
M Pa
M Pa
M Pa
14.1
17.6
0.478
0.239
3000
3500
4000
4500
5000
21.1
24.6
28.1
31.6
35.2
0.536
0.585
0.632
0.268
0.293
0.928
1.040
1.856
2.080
2.272
M
V
2
0.316
0.338
0.676
0.717
0.359
0.378
0.756
1.136
1.228
1.312
2.456
2 .624
1.391
1.468
2.782
2.936
E sta e x p re sió n p u e sta en fo rm a d e se p a ra c ió n d e estrib o s:
E stribos p e r p e n d ic u la r e s
-
A ' f,
0 .0 6 2 7 ÍX
„
Ayfy,
A
0 .3 5 b w
p artir de la e x p re sió n d el c o rta n te n o m in a l to tal p a ra el d ise ñ o V u , en u n a
viga re c ta n g u la r d e d im e n sio n e s b w y d q u e h a sid o d ise ñ a d a a flex ió n con
S e e x c e p tú a n del re q u isito a n te rio r las z a p a ta s y lo sas so lid as, los elem en to s
una a rm a d u ra a tra c c ió n
a lv e o la re s co n u n a a ltu ra to tal in fe rio r a 315 m m , las lo sas n e rv a d a s, las
d eterm in ará u n a e x p re s ió n p a ra la se p a ra c ió n de e strib o s y su v a lo r m áx im o
v ig a s c o n h n o m a y o r q u e 2 5 0 m m , las v ig a s in te g ra le s c o n lo sas c o n h
en fu n ció n d e d = a ltu ra efectiv a.
As
y q u e so p o rta u n c o rte a la fa lla
in fe rio r a 6 0 0 m m y n o m a y o r d e 2 .5 v e c e s el e s p e so r del ala ó 0.5 v ec es el
a n c h o d el a lm a y las v ig a s c o n stru id a s co n c o n c re to d e p e so norm al
1
re fo rz a d o co n fib ra d e ac ero , c o n f é igual o m e n o r a 4 0 M P a, h in fe rio r a
7
6 0 0 m m y Vu n o m a y o r d e <|)0.17-N/f^ b wd .
X
i
í
X - 45°
-
E n e stru c tu ra s d e c a p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e rg ía m o d e ra d a (D M O ) y
e sp e c ia l (D E S ) se d e b e c u m p lir lo s re q u is ito s a d ic io n a le s del C a p ítu lo C.21
S
d el R eg lam en to .
s
s
d
L a re siste n c ia a c o rta n te s u m in istra d a p o r el re fu e rz o d e b e c u m p lir la
F ig u ra 3.2
co n d ic ió n : <|>VS < (j)0.66^/fjbwd
138
139
s
s
Vn
se
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
S e su p o n e u n a p o rc ió n lo n g itu d in a l d e u n a v ig a re c ta n g u la r d e d im en sio n es
La sep aració n d e e strib o s d e b e g a ra n tiz a r q u e las p o sib le s g rie ta s fo rm a d as
b wd, co n a rm a d u ra a tra c c ió n As y q u e so p o rta u n c o rte d e fa lla V n ,
según el e sq u e m a d e la fig u ra , c o n u n án g u lo a p ro x im a d o co n la h o riz o n ta l
fo rm á n d o se la g rie ta m o stra d a e n la fig u ra 3.2.
de
S ie n d o n el n ú m e ro d e e s trib o s d e á re a Av q u e a tra v ie s a n la grieta,
c o n trib u y e n d o a re sis tir el co rte , se p la n te a :
v n = v c
+ n Ay f y ,
45
°> n u n c a p a se n d e la m ita d d e la a ltu ra e fe c tiv a d e la v ig a y p u e d a n
interesar la z o n a d e c o m p re sio n e s, e s d ecir:
s m áx im a = d/ 2
en d o n d e:
Refuerzo L o n g itu d in a l D o b la d o
Vn = c o rte d e falla
A partir d e la e x p re sió n d e la fu e rz a n o m in a l to tal d e c o rte p a ra el d is e ñ o Vu
Vc = re siste n c ia al c o rte s u m in istra d a p o r el c o n c re to
en una v ig a re c ta n g u la r d e d im e n s io n e s b w y d, q u e h a sid o d is e ñ a d a a la
flexión co n u n a a rm a d u ra a la tra c c ió n A s y so p o rta u n c o rte a la fa lla V n , se
n = n ú m e ro d e e strib o s = d /s q u e a tra v ie sa n la g rieta , d o n d e s es la
se p a ra c ió n d e los e strib o s
determ inará u n a e x p re s ió n p a ra el á rea d e h ie rro s a d o b la r y el m á x im o d e la
separación d e las b a rra s d o b la d a s a 45°.
P a ra (j)Vn :
Vn |
dA vfv
+ v n =4>ve + <|>. v y
s
••• v u =4>vc + f
s=
A v f yd
• K Íyd
( V „ - + V c)
F ig u r a 3.4
e x p re sió n d e la se p a ra c ió n d e e strib o s e n fu n c ió n la fu e rza co rta n te
e x c e d e n te so b re la re sis te n c ia a c o rta n te d el co n c reto .
Se supone u n a p o rc ió n lo n g itu d in a l d e u n a v ig a re c ta n g u la r d e d im e n sio n e s
bwd, co n a rm a d u ra a tra c c ió n A s q u e so p o rta u n c o rte a la fa lla V n , y en la
cual se fo rm a la g rie ta m o s tra d a en la fig u ra 3.4.
t
,
d/ 2
d/ 2
Siendo n el n ú m e ro d e b a rra s d o b la d a s d e á rea Av q u e re s is te n el c o rte V n ,
se p uede p lan tea r:
Vn = Vc + n A vf ysenct
F ig u r a 3.3
140
141
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
e n do nde:
Vn = c o rte de falla
A
Vc = re siste n c ia n o m in al al c o rte s u m in istra d a p o r el co n c re to
n = n ú m e ro d e b a rra s d o b la d a s _
^0
+ C Q ta )
s
m u ltip lic a n d o p o r <j>:
••• v u = <|>vc +
f ( v u - * v c) s
A " '= "
d (l + c o ta ) A f sena
------------ —
-------s
4>vn - + v c +
Ú v u- W ) s
=—
r— , y c o n el á n g u lo m ás u su a l a = 4 5 ° se tiene:
v'
4 >fy ( s e n a + c o s a ) d
4 .V 2
f yd
La sep aració n d e b a rra s d o b lad as d eb e g a ra n tiz a r q u e ca d a lín ea a 4 5 ° q u e
se extien d a h ac ia la re a c c ió n d esd e la m ita d de la altu ra del e le m e n to h acia
el refu erzo lo n g itu d in al en tra c c ió n , sea cru z a d a p o r lo m e n o s p o r u n a lín ea
A f ( s e n a + eos a ) d
------------------- > -
de refu erzo a c o rta n te ; p o r tan to , en el c a so d e b a rra s d o b la d a s a 4 5 ° su
separación m á x im a, se g ú n la F ig u ra 3 .6 , d eb e se r la a ltu ra e fe c tiv a d.
A. -
(V u - * V c )s
El R eg lam en to N S R -1 0 e s p e c ific a ad e m á s q u e “ ú n ic a m e n te las tre s cu a rtas
<j)f ( s e n a + c o s a ) d
( 3 / 4 ) p arte s ce n tra le s d e la p o rc ió n in clin ad a d e c u a lq u ie r b a rra lo n g itu d in al
doblada p u ed e n c o n sid e ra rse efe c tiv a s co m o e sfu e rz o a c o rta n te '’. Lo
an terior p u ed e in te rp re ta rse , p a ra el caso d e b a rra s d o b la d a s a 4 5 °, q u e su
V u -< ()V c
sep aració n m á x im a d eb e se r d e 3/4 d.
4>Vc
F ig u r a 3.5
Si e n el d ia g ra m a d e fu e rz a c o rta n te a d ju n to , d e lo n g itu d S, se d e sig n a p o r
A,
el á rea to tal d e las b a rra s n e c e s a ria s a d oblar:
X (v „ -4 > Y )A s
A.. =
V|
(j)fy ( s e n a + c o s a ) d
F ig u r a 3.6
q u e p a ra el c a so d e c a rg a u n ifo rm e y d ia g ra m a d e fu e rz a tria n g u la r, resu lta:
142
A co n tin u a c ió n a lg u n a s a p lic a c io n e s d e los c o n c e p to s an terio res.
143
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
P ro b le m a 3.1
V u = 1 .8 * 7 4 .2 9 = 13 3 .7 2 k N
L a v ig a d el p ro b le m a 2 .1 6 , d e se c c ió n 0 .3 0 x 0 .5 0 m , sim p le m e n te ap o y ad a
La re siste n c ia p ro p o rc io n a d a p o r el c o n c re to p a ra d iseñ o será:
en u n a lu z d e
8
m e tro s, p o r c o n stru irse e n c o n c re to d e fe = 21.1 M P a y
a c ero p a ra fy = 2 4 0 M P a, re su ltó d o b le m e n te a rm a d a c o n u n re fu e rz o a
tra c c ió n
d e 2<\>l/4 "+ 5({>1%"
y
un
re fu e rz o
a
c o m p re sió n
de
4(1)1",
<|,vc = <t>0.17 , / f X . d = 0.75 * 0 .1 7 * s ¡ 2 \7 \ * 0 .3 0 * 0.41 * 1 0 0 0 = 7 1 ,9 8 k N
C on esto s v a lo re s h a c e m o s el d ia g ra m a d e fu e rza s co rta n tes:
c o n stitu y é n d o se a sí en u n a v ig a e sfo rz a d a p o r e n c im a d e lo n o rm al. Con
esta p re m isa, se u tiliz a c o m o m o d e lo d e d ise ñ o a la fu e rz a c o rta n te p a ra los
d ife re n te s tip o s d e re fu e rz o así:
F ig u r a 3.7
Para las se c c io n e s lo ca liz a d a s a m e n o s d e la d ista n c ia “ d ” d e la c a ra del
a)
D ise ñ o p a ra e strib o s p e rp e n d ic u la re s al eje d el elem en to :
R e a c cio n es:
R A = R B = (c o rte e n el e je d e los ap o y o s)
R . = R „ = - 2 1 . 4 4 * 8 . 0 0 = 8 5 .7 6 k N
C o rte en u n a sec c ió n a la d ista n c ia “d ” d el b o rd e:
V = 8 5 .7 6 -
0.25
ap oyo el v a lo r es
V u —<t>Vc = 6 1 .7 4 k N . L a se p a ra c ió n d e e strib o s de
<j) 1/4”, 3 /8 ” y 1/2” será:
s (estrib o d e 1/4”):
s=
< t> A fd
0 .7 5 * 2 * 0 .0 0 0 0 3 2 * 2 4 0 0 0 0 * 0 .4 1
_
= --------------------------------------------------= 0.0765 ~ 0.07 m
(V u -cf>Vc)
61.74
7
+ 0.41 * 2 1 .4 4 = 7 4 .2 9 k N
s (e strib o s d e 3 /8 ” ): =
° - 0 7 6 5 * 71
= 0 .1 6 9 ~ 0 .1 7 m
32
U tiliz a n d o el m ism o c o e fic ie n te de c a rg a (U = 1.8) del p ro b le m a 2 .1 6 ,
que
p a ra
el
d ise ñ o
a c o rta n te
F. de S. = 1.8/ 0.75 = 2 .4 0 resu lta:
144
re p re se n ta u n fa c to r d e seg u rid a d
s (e strib o s d e 1/2”): =
0 0 765 *129
32
145
= 0 .3 0 8 m ~ 0 .3 0 m
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
R e v isió n d e la se p a ra c ió n m áx im a:
Si ad em ás d eb e c o lo c a rse re fu e rz o a c o rta n te en d o n d e la fu e rza
cortante m a y o ra d a Vu sea m a y o r q u e la m ita d d e la re siste n c ia
Si Vu —<t>Vc > <J)0.33-s/f ^ b wd = 0 .1 4 0 M P a ~ 140 k N
los esp a ciam ien to s
a n te rio re s se re d u c e n a la m itad.
su m in istrad a p o r el c o n c re to <|>Vc, la d ista n c ia to tal p a ra la c o lo c a c ió n
del refu erzo será:
S ep a ra c ió n m á x im a d e e strib o s = 0 .5 d = 0.5*0.41 = 0.205 ~
0 .2 0 m
L o s e strib o s c o lo c a d o s d e b e n c u m p lir la e x p re sió n d e área
m ín im a d e re fu e rz o a cortante:
D istan cia to tal d e s d e el b o rd e d el ap o y o : 2.01 + 1.865/2 = 2 .9 4 m
Para la c o lo c a c ió n d e lo s e strib o s se u tiliza u n p ro c e d im ie n to q u e se
basa en la d iv isió n d e la b a se del triá n g u lo d e 1.60 m en cu a n ta s p arte s
sea n ec esario se g ú n su ta m a ñ o y seg ú n la m a g n itu d d e la se p a ra c ió n
A
•
0 .0 6 2 ^
f
s
yt
^
f
'
yt
en tre estrib o s a c o lo c a r en c a d a p a rte , su p o n ie n d o e n ca d a u n a d e ellas
co n stan te la fu e rz a c o rta n te y p o r lo tan to la se p a ra c ió n d e lo s estrib o s,
así:
d e d o n d e:
A f .
7 * 37 * 7 4 0
Sm a x (# V 4 ) =
~T=
= ------------- 7 = -------- = 180 m m
0 .0 6 2 y f c'b w 0 .0 6 2 * V 2 1.1 * 300
Para estrib o s d e <j>= 1/4” :
Ia zona: d ista n c ia
= 0.95
- 1 5 8 4> 1/4” c/0 .0 7 q u e cu b re n 0 .9 8 m
2 a zona: d ista n c ia
= 0.53
-
3a zona: d ista n c ia
= 0.53
-
6 £ (1) 1/4” c/0 .1 0 q u e c u b re n 0 .6 0 m
4 8 1/4” c /0 .1 4 que c u b ren 0 .5 6 m
A d icional: d ista n c ia = 0.93
-
6 £
y su lim ite
r
A vf'yt
2*32*240
smax ( # 1 / 4 ) = ------- — = ----------------- = 146 m m
0 .3 5 b w
0 .3 5 * 3 0 0
= 0.41 + 0 .5 4
1/4” c /0 .1 4 que c u b ren 0 .8 4 m
a d o p tá n d o se 140 m m o 0 .1 4 m
T o tal:
2 .9 4 m
2 .9 8 m
P o r lo tan to , p a ra e<j) 3 /8 "
s ma* (s<t>3 /8 ) =
146*71
—
= 3 2 4 m m ~ 0 .3 2 m
l a zona
2 a zona
3 a zona
146*129
Smax( # 1 / 2 ) = -------------- = 588 m m ~ 0 .5 8 m
32
I
D ista n c ia S en la cu a l se n e c e sita re fu e rz o al co rtan te:
i
I
0.41 L 0 .5 4
|
0.53
|
0.53
s=2.01
S = 0.41 +
-0 .9 3 0
( 4 . 0 0 - 0 . 1 2 5 - 0 . 4 1 ) = 0 .4 1 + 1.60 = 2.01 m
1 3 3 .7 2 v
’
- 6 1 ’7 4
F igura 3.9
146
147
■K
0V c
^ =35.99
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
L a se p a ra c ió n d e los e strib o s en la se g u n d a z o n a co rre sp o n d e n a
3 /2 * 0 .0 7 = 0.105 m ~ 0 .1 0 m .
E n la te rc e ra zo n a , la se p a ra c ió n d e e strib o s d e u n m ism o d iá m e tro para
u n a fu e rz a c o rta n te e x c e d e n te so b re la re s iste n c ia d el c o n c re to de un
te rc io
(1 /3 )
del
se c o lo c a n c a d a
m á x im o
0 .1 4 m
de
d iseñ o ,
p o rq u e
la
se rá 3 * 0 .0 7 = 0.21 m ; pero
se p a ra c ió n
no
d eb e
ex c ed er
d/2 = 0 .2 0 m ni su p e rio r a la q u e c o rre sp o n d e al á rea m ín im a de
re fu e rz o , o sea 0 .1 4 m .
F ig u r a 3.10
E n la z o n a ad ic io n a l se c o lo c a n solo 6 e strib o s y a q u e en las zonas
No se co lo ca e strib o s (f) 1/2” p u e sto q u e s ex c ed e a d/2.
a n te rio re s se h a ex c e d id o la d is ta n c ia re q u erid a.
En esta v ig a re fo rz a d a a c o m p re sió n p o r flex ió n , se d eb e a s e g u ra r este
refuerzo co n e strib o s q u e c u m p la n lo e sp e c ific a d o e n el R e g la m e n to
P a ra e strib o s d e (j>3 /8 ” :
colom biano, C a p ítu lo C .7 , sie n d o su se p a ra c ió n m á x im a la m e n o r de:
I a zo n a : d ista n c ia
=
=
0.41 + 0.80
- 16 d iám etro s de la b a rra lo n g itu d in al:
1 6 * 2 5 .4 = 4 0 6 .4 m m ~ 0 .4 0 m
1.21 -
9 s <|> 3 /8 ” c /0 .1 7
=
0 .8 0 -
4 e <|> 3 /8 ” c/0 .2 0 q u e cu b re n 0 .8 0 m
A d ic io n a l: d ista n c ia =
0.93 -
4 e (j) 3 /8 ” c/0 .2 0 q u e c u b re n 0 .8 0 m
4 8 * 6 .4 = 3 0 7 .2 m m ~ 0 .3 0 m (p a ra e<j>1/4”)
2 .9 6 m
4 8 * 9 .5 = 4 5 6 .0 m m ~ 0.45 m (p a ra s<j) 3 /8 ”)
2 a zo n a : d ista n c ia
T otal:
2 .9 4 m
q u e cu b re n 1.36 m
Se a c la ra q u e e n la seg u n d a z o n a , la se p a ra c ió n d e e strib o s d e un
m ism o d iá m e tro p a ra u n a fu e rz a c o rta n te e x c e d e n te so b re la re sisten c ia
d el c o n c re to d e u n m e d io (1 /2 ) d el m á x im o d e d iseñ o , será 2 * 0 .1 7 =
- 48 d iám etro s d e la b a rra d el estrib o :
- m enor d im e n sió n de la v ig a:
0 .3 0 m
Por tanto, co n e strib o s d e 1/4” o 3 /8 ” , la se p a ra c ió n m á x im a a q u e se p u e d e n
colocar los e strib o s p o r este co n c e p to es de 0 .3 0 m .
0 .3 4 m ; p e ro se c o lo c a n ca d a 0 .2 0 m p o rq u e la se p a ra c ió n n o debe
e x c e d e r d/2 = 0 .2 0 m ni el á re a m ín im a d e re fu e rz o , o sea 0 .3 2 m .
b)
D iseñ o p a ra re fu e rz o lo n g itu d in a l d o b la d o fo rm a n d o u n án g u lo d e 45°
con la h o rizo n ta l.
Esta a lte rn a tiv a es só lo te ó ric a , y co m o tal se p re s e n ta a c o n tin u ac ió n :
148
149
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
c)
C o m b in ació n d e e strib o s p e rp e n d ic u la re s al eje d el elem e n to y re fu e rz o
lo n g itu d in al d o b la d o fo rm a n d o u n án g u lo d e 4 5 ° co n la h o rizo n ta l.
Se esc o g e u n a d istrib u c ió n d e e strib o s co n v e n ie n te , p o r ejem p lo ,
estribos Ó 1/4” c a d a 0 .1 4 m y a la fu e rz a su m in istra d a p o r el c o n c re to y
los estrib o s se su m a el sald o q u e d eb e se r re sistid o p o r los h ierro s
do b lad o s, así:
Los e strib o s (j) l / 4 ” c /0 .1 4 m su m in istra n u n a fu e rz a = V uestnbos = V ue
F ig u r a 3.11
A re a d e h ie rro s a d o b la r
A -,=
A v p a ra a = 45°:
^(V ,,-< t> V c) S
^ ( 1 3 3 . 7 2 - 7 1 . 9 8 ) *2.01
§ \Í 2 f d
0 .7 5 * V í * 2 4 0 0 0 0 * 0.41
A fd
0 .7 5 * 2 * 0 .0 0 0 0 3 2 * 2 4 0 0 0 0 * 0 .4 1
0 0 ^ IXT/ 7
V . = <b
— = ----------------------------------------------------= 33 .7 3 k N /m "
ue
s
0.14
= 0 .0 0 0 5 9 6 m 2
Se p u e d e c o lo c a r u n a so la b a rra <j)l X " d e las q u e v ie n e n d e la lu z y que
y a n o se n e c e sita n , a u n a d ista n c ia del b o rd e del a p o y o co rre sp o n d ie n te
al c e n tro id e del triá n g u lo d e b a se 2.01 m . S in e m b arg o , e sta p rim e ra
b a rra d e b e d o b la rse a 0 .4 1 * 0 .7 5 = 0 .3 0 m del b o rd e del ap o y o , y p o r lo
tan to p a sa rá a 0 .3 0 - 0 .2 0 = 0 .1 0 m del b o rd e d el a p o y o m e d id o s en el
eje d e la v ig a (v é ase F ig u ra 3.12).
D e to d a s m a n e ra s, e sta c o lo c a c ió n n o im p id e el a g rie ta m ie n to a p artir
**
i
d el d o b la je a 0 .3 0 m del b o rd e , p o r lo q u e te ó ric a m e n te d eb em o s
c o lo c a r el re fu e rz o lo n g itu d in a l d o b la d o h a sta 2 .9 4 m , así:
2
a b a rra d o b la d a a 0 .6 0 m del b o rd e
3 a b a rra d o b la d a a 0 .9 0 m d el b o rd e
4 a b a rra d o b la d a a 1.20 m del b o rd e
5a b a rra d o b la d a a 1.50 m del b o rd e
6 a b a rra
d o b la d a a 1.80 m d el b o rd e
ad icio n a d a d e 0.93 m p a ra c u m p lir el R e g la m e n to d e c o lo c a r re fu erz o
tran sv ersal d o n d e Vu > 0.5<j)Vc ; p o r c o n sig u ie n te , se re q u ie re n 22
estrib o s (j) 1/4” q u e c u b re n u n a lo n g itu d d e 2 .9 4 m . E l d ise ñ o d e los
hierro s d o b la d o s c o m p le m e n ta rio s se h a rá a p a rtir d el c á lc u lo d e la
8a
d istan cia Sd (F ig u ra 3 .1 3 ) en la cu a l es n e c e sa rio c o lo c a rlo s, así:
b a rra d o b la d a a 2 .4 0 m d el b o rd e
10a b a rra d o b la d a a 3 .0 0 m del b o rd e
150
Los e strib o s d e <})1/4 ” so n n e c e sa rio s en u n a d ista n c ia d e Se = 2.01 m
7 a b a rra d o b la d a a 2 .1 0 m d el b o rd e
9a b a rra d o b la d a a 2 .7 0 m d el b o rd e
F ig u r a 3.12
F ig u ra 3.13
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
28 01
S, = 0 .4 1 + ----- — (4 .0 0 —0 .1 2 5 —0 .4 1 ) = 1.14 m
d
1 3 3 .7 2 v
’
El á rea d e h ie rro s a d o b la r A
p a ra a = 45°:
La segunda b arra d eb e p a s a r a 0 .3 4 m d el b o rd e d el a p o y o m e d id o s e n el eje
de la viga y d o b la rse a 0 .5 4 m d el m ism o b o rd e.
La tercera b a rra d o b la d a d e b e p a s a r a 0 .7 0 m d el b o rd e del a p o y o m ed id o s
en el eje de la v ig a, p e ro su se p a ra c ió n co n la a n te rio r n o d e b e e x c e d e r
A
7 ( V U- V ue- ^ V C) S
2 * 2 8 .0 1 * 1 .1 4
=+
=
= ------------------------------------- = 0 .0 0 0 1 5 3 m 2
<|)v2 f yd
0 .7 5 * V 2 * 2 4 0 0 0 0 * 0.41
0 30m; lu ego d eb e p a s a r a 0 .6 4 m d el b o rd e del a p o y o m ed id o s en el eje y
doblarse a 0 .8 4 m del m is m o b o rd e.
No o b stante h a b e rse c o m p le ta d o la n e c e sid a d te ó ric a d e re fu e rz o en fo rm a
S e p u e d e c o lo c a r u n a so la b a rra d e (jdX" d e las q u e v ie n e n d e la lu z y que
de hierros d o b la d o s, se d eb e c o lo c a r u n o ad ic io n a l, así:
y a n o se n e c e sita , a u n a d ista n c ia d el b o rd e d el a p o y o ig u al al c e n tro id e del
triá n g u lo d e b a s e 1.14 m ; sin e m b a rg o , p a ra d ism in u ir el n ú m e ro d e barras
4 a b arra: se d e b e d o b la r a 1.14 m d el b o rd e
p o r c o lo c a r p a ra c u m p lir las e s p e c ific a c io n e s d e se p a ra c ió n y d ista n c ia en
las cu a le s es n e c e sa rio situ a r el re fu e rz o a la fu e rz a c o rta n te (v é a se punto
A m anera d e co n c lu sió n , esta a lte rn a tiv a d e c o m b in a c ió n p a ra el p re s e n te
“b ” an terio r), se p re fie re d iv id ir el área d el triá n g u lo m e n c io n a d o en tres
caso resu lta só lo te ó ric a , sie n d o p ra c tic a b le ú n ic a m e n te e n a q u e lla s v ig as
á re a s ig u a le s c o lo c a n d o e n el c e n tro id e d e c a d a á re a ig u al y c o in c id e n te con
especialm ente c a rg a d a s o e sfo rz a d a s y q u e ad e m á s te n g a n u n a sec c ió n lo
el eje d e la v ig a, u n á rea d e re fu e rz o d o b la d o e q u iv a le n te a u n terc io d el área
su ficientem ente a m p lia co m o p a ra h a c e r d e e sta so lu c ió n u n a a lte rn a tiv a
n e c e s a ria A v . P o r tanto:
aceptable p o r d ise ñ o y c o n stru c c ió n .
vt
Con fines co m p a ra tiv o s se re su e lv e el p ro b le m a a n te rio r p a ra u n a so lu c ió n
con estrib o s, u tiliz a n d o la e x p re sió n d e re siste n c ia a la fu e rz a c o rta n te
proporcionada p o r el c o n c re to c u a n d o se tien e en c u e n ta el e fe c to d e la
flexión.
Problem a 3.2
R esolver el p ro b le m a 3.1 p a ra u n a so lu ció n co n estrib o s, u tiliz a n d o la
expresión d e re s is te n c ia d e la fu e rz a c o rta n te p ro p o rc io n a d a p o r el co n c reto
<t>Vc =<|>jo . 1 6 ^ + 17 p w - ^ p j b wd < (|)0 .2 9 ^/fV b wd ,
su p o n ie n d o
que
la
F ig u ra 3 .14
arm adura a la tra c c ió n p o r flex ió n , 2<j)l%"+5(j)l%" p a sa sin in te rru p c ió n
L a p rim e ra b a rra d eb e p a s a r a 0 .1 0 m del b o rd e del a p o y o m e d id o s e n el eje
d e la v ig a y d o b la rse a 0 .3 0 m d el m ism o borde.
152
hasta el ap o y o .
153
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
S o lu ció n
P a ra la u tiliz a c ió n d e e sta e x p re sió n d e re sis te n c ia se d eb e c a lc u la r pw, V u y
M u
en v a rio s p u n to s d e la v ig a, o b te n ie n d o la c u rv a d e § V C q u e se compara
c o n V u p a ra d e te rm in a r el re fu e rz o n e c e sa rio y su lo caliza ció n .
C á lc u lo d e p w: p w 4863
= 0 .0 3 9 5 3 7
Pw 3 0 0 * 4 1 0
C á lc u lo d e V u: a p a rtir d e las re a c c io n e s R A = R B = 8 5 .7 6 k N , la carga
u n ifo rm e w = 2 1 .4 4 k N /m y el m ism o c o e fic ie n te d e carga
U = 1.8 d el p ro b le m a a n terio r; co n fin es c o m p a ra tiv o s, se
c a lc u la V u al b o rd e d el a p o y o y a la d is ta n c ia “ d ” d el m ism o
D is ta n c ia
Mu
Vu
V ud
V d
a l e je d e l
k N -m
kN
M u
* 1?P" M u
1.00
0.71
0.35
0.21
0.14
0 .504
0.358
0.176
0.106
0.071
0.12
0.09
0.05
0.05
0.060
0.045
0.025
0.025
0.03
0.00
0.015
0.000
ni
Ó J25
(1535
1.000
nóo
2.000
2.135
2.500
3.000
3.067
3.500
4.000
19.03
149.54
77.06
135.06
188.13
2 3 1 .5 4
241.61
265.31
28 9 .4 2
29 1 .9 2
133.71
115.77
96.47
303.90
30 8 .7 2
77.18
71.97
57.88
38.59
35.99
19.29
0.00
<f>Vc
+ vs
M Pa
kN
0.123
0.112
2 6 .5 4
21.71
0.089
0.081
26.77
15.47
0.18
0.00
0.00
0.0 0
0.00
0.077
0.075
0.073
0.071
0.071
0.070
0.068
0.00
0.00
borde:
w u = 1 .8 * 2 1 .4 4 = 3 8 .5 9 k N /m y V U( R A = R B ú ltim a s) = 154.36 kN
En la fig u ra se o b se rv a el d ia g ra m a de fu e rza s c o rta n te s
E n el b o rd e : V u (b o rd e ) = 154.36 - 0 .1 2 5 * 3 8 .5 9 = 149.54 kN .
Mu
y
Vu
al b o rd e d el ap o y o , a la
d ista n c ia “ d ” y c a d a 0 .5 0 m , h a sta la m ita d d e la luz, d e a c u e rd o a la
sig u ie n te tabla:
*Vc = + | o . l 6 ^ + 17pw^ | b wd ^ * 0 . 2 9 >/ffbwdS0.12 3
Figura 3.15
154
y el d e
<|>Vc
m arcando el e x c e d e n te y la zo n a p a ra la cu al n e c e sita m o s d ise ñ a r estrib o s:
A la d ista n c ia “d ” : V u(d ) = 154.36 - (0 .1 2 5 + 0 .4 1 )* 3 8 .5 9 = 133.71 kN
C á lcu lo d e 4>Vc: se c a lc u la rá n p a ra
Vu
155
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
D e la fig u ra se o b tie n e q u e p a ra las se c c io n e s lo c a liz a d a s a m e n o s de la
A dicionalm ente, p o r tra ta rs e d e u n a v ig a c o n re fu e rz o a c o m p re s ió n p o r
d is ta n c ia “ d ” d e la c a ra d el a p o y o , el v a lo r d e (Vu-(|>Vc) es 21.71 k N y para
flexión, se d eb e a s e g u ra r este re fu e rz o c o n e strib o s cu y a se p a ra c ió n m á x im a
la s e c c ió n lo c a liz a d a a 1.00 m d e la ca ra d el ap o y o , el v a lo r (V U-<|>VC) es
sea de 0.30 m (v é ase el p ro b le m a 3.1).
2 6 .7 7 k N ; p o r c o n sig u ie n te las se p a ra c io n e s d e e strib o s <j>1/4” y 3 /8 ” serán:
A m anera d e c o m p a ra c ió n , se h a c e n o ta r q u e la a rm a d u ra tra n sv e rsa l
P a ra e strib o s (j> 1/4” :
colocada d e a c u e rd o a la e x p re sió n d e re siste n c ia a la fu e rza d e co rte
proporcionada p o r el c o n c re to en fu n c ió n d e la flex ió n es in fe rio r a la q u e se
<t>Avf d
0 .7 5 * 2 * 0 .0 0 0 0 3 2 * 2 4 0 0 0 0 * 0 .4 1
s = 7 -------- — r = ---------------------------------------------------- = 0 .1 7 m
(V u —<t>Vc)
2 6 .7 7
necesita cu a n d o <j>Vc se
c a lc u la
co m o
( j ) 0 . 1 7 ^ b wd . S in e m b a rg o , se
com parte la o p in ió n co n a lg u n o s a u to re s en el se n tid o de q u e falta
investigación al re s p e c to y q u e p o r lo tan to el d ise ñ a d o r d eb e p ro c e d e r co n
L o s e strib o s c o lo c a d o s d e b e n c u m p lir el R e g la m e n to so b re sep aració n
m á x im a 0 .5 d = 0 .2 0 m y á rea m ín im a d e re fu e rz o a co rtan te:
prudencia en este tip o d e trab a jo s.
P a ra e strib o s (}> 1/4” :
s m á x im a =
2*32*240
= 146 m m ~ 0 .1 4 m
0 .3 5 * 3 0 0
P o r esta ra z ó n se c o lo c a rá n 23 ecj) 1/4” c /0 .1 4 a p a rtir d el b o rd e d el apoyo
q u e c u b rirá n 3.08 m . > 3 .0 6 7 m n e c e sa rio s.
P ara e strib o s <t> 3 /8 ” :
s=
(j)A f d
0 .7 5 * 2 * 0 .0 0 0 0 7 1 * 2 4 0 0 0 0 * 0 .4 1 _
— - = ----------------------------------------------------= 0 .3 9 m
( V„ - <t>Vc )
2 6 .7 7
L o s e strib o s c o lo c a d o s d e b e n c u m p lir el R e g la m e n to so b re sep a rac ió n
m á x im a 0 .5 d = 0 .2 0 m y á rea m ín im a d e re fu e rz o a co rtan te:
2*71*240
P a ra e strib o s ó 3 /8 ” s m á x im a = ----------------- = 3 2 4 m m ~ 0 .3 2 m
0 .3 5 * 3 0 0
P o r lo a n te rio r se c o lo c a rá n 17
3 /8 ” c/0 .2 0 a p a rtir d el b o rd e d el apoyo
q u e c u b rirá n 3 .2 0 m > 3 .0 6 7 m n e c e sa rio s.
156
157
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
T O R S IO N
Una vez se h a d e te rm in a d o q u e la to rsió n d eb e c o n sid e ra rse , se d eb e
A co n tin u a c ió n u n a b re v e p re s e n ta c ió n d e e ste tem a in clu y e n d o u n ejem plo
verificar que la sec c ió n sea su ficien te , p a ra lo cu al d eb e cu m p lirse que:
d e d iseño.
\2
+
Se p u e d e d e fin ir co m o el e fecto d e fu e rz a s e x te rio re s to rsio n a le s que
S e c o n sid e ra n dos cla se s d e to rsió n : to rsió n p rim a ria , lla m a d a tam bién
Vu =
to rs ió n de e q u ilib rio o to rs ió n e stá tic a m e n te d e te rm in a d a , y se presenta
p h = p e rím e tro
c u a n d o la c a rg a e x te rn a n o p u e d e s e r re s istid a sin o p o r la to rsió n , co m o por
ta m b ié n la to rsió n se c u n d a ria , lla m a d a ta m b ié n to rsió n p o r c o m p a tib ilid a d o
El p ro c e d im ie n to p re se n ta d o en el R e g la m e n to N S R -1 0 p a ra el d ise ñ o d e la
fu e rza c o rta n te m a y o ra d a en la sec ció n , en M P a;
A oh= á rea
d el
eje
del
re fu e rz o
tra n sv e rsa l
c e rra d o
e n c e rra d a
p o r el eje
d el re fu e rz o
tra n sv e rsa l
r
m as
c e rra d o
9
m as ex te rn o d isp u e sto p a ra re c ib ir to rsió n e x p re sa d a en m m ";
Vc = re siste n c ia n o m in a l al c o rta n te p ro p o rc io n a d a p o r el c o n c re to , en
M P a.
a d y a c e n te s de u n a e stru c tu ra , co m o p o r e je m p lo la to rsió n p ro v o c a d a en la
v ig a p e rim e tra l q u e so p o rta las c a rg a s d e las v ig u e ta s q u e allí term in an .
V
■+ 0 . 6 6 ^ } , en d o n d e:
b
.
d
V w
e x tern o d isp u e sto p a ra to rsió n en m m ;
to rsió n e stá tic a m e n te in d e te rm in a d a y se p re se n ta a p a rtir d e los requisitos
d e c o n tin u id a d o d e c o m p a tib ilid a d d e d e fo rm a c io n e s en tre las partes
< cj>
vM y
“ tie n d e n a re to rc e r al ele m e n to co n re sp e c to a su eje lo n g itu d in a l” .
e je m p lo la e x iste n te so b re la v ig a q u e so p o rta u n a lo sa en v o la d iz o ; existe
TuPh
Una vez se h a d e te rm in a d o q u e la sec ció n es su fic ie n te , se d e te rm in a el
refuerzo tran sv e rsal p a ra to rs ió n a p a rtir de:
a rm a d u ra a to rsió n c o n te m p la u n p rim e r p a so en el cual se d e te rm in a si la
to rsió n d e b e c o n sid e ra rse , d ic ie n d o q u e “ se p e rm ite d e s p re c ia r los efe c to s de
<j)Tn > Tu en d o n d e
la to rsió n si el m o m e n to to rsio n a l m a y o ra d o T u es m e n o r q u e :
f K
Tu < 4>0.083VfT
Tn =
i\
£p_
s
, en d o n d e:
v P Cp y
con:
Tu
= m o m e n to d e to rsió n m a y o ra d o en la secció n ;
A cp
= área
e n c e rra d a
por
el
p e rím e tro
= p e rím e tro e x te rio r d e
A cp, en
la s e c c ió n
Tn =
re siste n c ia n o m in a l a la to rsió n ;
Ao =
á rea b ru ta e n c e rra d a
e x te rio r d e la secció n
tra n sv e rsa l d e co n c reto , en m m 2;
PcP
c o t9 > — ,
4>
tra n sv e rsa l
de
e x p re sa d a en m m 2. Se p u e d e to m a r co m o 0 .8 5 ALoh
co n creto
A,
mm;
p o r la tra y e c to ria d el flu jo d e co rta n te,
=
área d e u n a ra m a d e u n estrib o c e rra d o q u e re siste la to rsió n ,
co n u n e sp a c ia m ie n to s, e x p re sa d a en m m ";
^
= fa c to r d e re d u c c ió n d e re siste n c ia ig u al a 0.75 p a ra to rs ió n ” .
158
159
.C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
=
re siste n c ia
e s p e c ific a d a
a
la
flu e n c ia
f y d el
refuerzo
f = re siste n c ia e s p e c ific a d a a la flu e n c ia f y del re fu e rz o lo n g itu d in a l
p ara to rsió n , e x p re s a d a en M P a, y
tra n sv e rs a l p a ra to rsió n , e x p re s a d a en M P a;
s
=
e sp a c ia m ie n to m ed id o c e n tro a ce n tro d el re fu e rz o a cortante
A ,/ s N o d eb e to m a rse m e n o r q u e 0 .1 7 5 b w/ f yt en d o n d e f yt se re fiere
al re fu e rz o tra sv e rsa l ce rra d o p a ra to rsió n .
o a to rsió n e n u n a d ire c c ió n p a ra le la al re fu e rz o longitudinal,
e x p re sa d o en m m ;
0
=
El refuerzo
án g u lo e n tre el eje d e la s d ia g o n a le s d e c o m p re sió n en la
a n a lo g ía d e c e lo s ía p a ra to rsió n , e n g ra d o s. N o d eb e tom arse
m e n o r d e 30° n i m a y o r d e 6 0 ° . Se p u e d e to m a r 0 = 45°
alrededor
lo n g itu d in a l p a ra to rsió n , así c a lc u la d o , d eb e
del
p e rím e tro
de
lo s
e strib o s
ce rra d o s
co n
d istrib u irse
un
m áx im o
espaciam iento en tre b a rra s de 3 0 0 m m . L as b a rra s lo n g itu d in a le s d eb e n
colocarse
d en tro de lo s e strib o s y p o r lo m e n o s u n a b a rra lo n g itu d in a l en
cada esq u in a del estrib o . L as b a rra s lo n g itu d in a le s d e b e n te n e r u n d iá m e tro
E l e sp a c ia m ie n to d el re fu e rz o tra n s v e rsa l p a ra to rsió n así c o lo c a d o , n o debe
de al m enos 0 .0 4 2 v ec es el d el e sp a c ia m ie n to en tre e strib o s y n o d e b e n ser
e x c e d e r el m e n o r v a lo r e n tre p h / 8 y 3 0 0 m m .
menores a la b a rra N ° 3 ( <j>3 /8 ” ) o 10 M (1 Omm).
D o n d e se re q u ie ra re fu e rz o p a ra to rsió n , el á rea m ín im a d e e strib o s cerrados
El refuerzo a to rs ió n ta n to lo n g itu d in a l co m o tra n sv e rsa l d eb e lle v a rse p o r
c o m b in a d a c o n la c o rre sp o n d ie n te a la fu e rz a c o rta n te d eb e cu m p lir:
una d istan cia m a y o r a (b t + d) m ás a llá del p u n to d o n d e y a n o se n e c e site
por análisis, en d o n d e “b ” es el an c h o d e la se c c ió n tra n s v e rs a l d el ele m e n to
A v + 2 A t = 0 .6 2 ^ /f7- ^ > (0 .3 5 b ws ) / f yt ,
e n donde:
yt
que con tien e los e strib o s c e rra d o s q u e re siste n la to rsió n .
A co n tin u ació n un e je m p lo d e a p lic a c ió n d e lo s c o n c e p to s an terio res.
A v= á re a del re fu e rz o d e c o rta n te c o n u n e s p a c ia m ie n to s, ex p resad o
P ro b lem a 3 .3
en m m 2;
La viga c o n tin u a d e 0.35 x 0.35 m d e la fig u ra , a p o y a d a en c o lu m n a s
b w = an c h o d el alm a, e x p re s a d o en m m .
cuadradas de lad o 0.35 m , so p o rta u n ático en m a n ip o ste ría d e lad rillo
A c o n tin u a c ió n se c a lc u la el re fu e rz o lo n g itu d in a l p a ra to rsió n c o n la
sig u ie n te e x p re sió n q u e e s p e c ific a el á re a m ín im a to ta l d e d ich o re fu erz o :
0-42^/f^A
A
í,min
fy
fA 1
s
Ph
f yt
f.
160
macizo de 1.20 m d e a ltu ra y u n a lero en lo sa m a c iz a de e s p e s o r 0 .1 4 m , que
sobresale 1.40 m c o n re sp e c to al b o rd e d e la v ig a o d e la fa ch ad a . C a lc u la r
la arm ad u ra n e c e sa ria a la fu e rza c o rta n te y la to rsió n , si se u tiliz a co n c re to
de fc = 21.1 M P a y a c ero d e re fu e rz o p a ra fy = 4 2 0 M P a en to d o s los
e n donde:
diám etros.
161
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
T. ^
Carga viva: (aunque se considera alero no accesible se utiliza este valor
a criterio del diseñador)
=
1.80 k N /m 2
Total:
=
6.41 k N /m 2
El alero cargará sobre
0 .3 5
la viga 6 .4 1 * 1 .4 0
= 8.97 k N /m , con una
excentricidad de 0 .8 7 5 m.
0.14
De la viga:
Peso propio de la viga:
0 .3 5 * 0 .3 5 * 1 .0 0 * 2 4
=
2 .9 4 k N /m
De pañete:
(0 .3 5 + 0.35 + 0 .2 1 )* 0 .0 2 * 1 .0 0 * 2 2
=
0 .4 0 k N /m
Del ático:
0 .2 5 * 1 .2 0 * 1 .0 0 * 1 8
=
5 .4 0 k N /m
=
8 .7 4 k N /m
0 .3 5
F ig u r a 3 .16
S o lu ció n
E n el d ise ñ o d e u n a v ig a co m o la p ro p u e sta se d eb e c o m e n z a r p o r el análisis
T otal:
d e c a rg a s d e la estru c tu ra, c o n tin u a r co n el an á lisis y d ise ñ o estru c tu ra l a
flex ió n , cu y a s á re a s d e re fu e rz o re q u e rid a s e n e ste p ro b le m a se asum en
Por tanto, la v ig a e s ta rá so m e tid a a u n a c a rg a u n ifo rm e to ta l p o r m etro
o b te n id a s co n an te rio rid a d , y te rm in a r c o n el d ise ñ o a c o rta n te y to rsió n .
de lo n g itu d d e 8 .9 7 + 8.74 = 17.71 k N /m y a u n m o m e n to to rs io n a l p o r
1)
m etro d e lo n g itu d en el eje d e la v ig a de 8 .9 7 * 0 .8 7 5 = 7.85 kN -m .
A n á lisis d e ca rg a s
2)
D e l alero:
P eso p ro p io d e la losa:
0 .1 4 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 4
=
3 .3 6 k N /m 2
D e a lista d o y d esn iv ele s:
0 .0 3 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 2
=
0 .6 6 k N /m 2
=
0.15 k N /m 2
=
0 .4 4 k N /m 2
=
4.61 k N /m 2
D e im p e rm e a b iliz a c ió n :
D e p a ñ e te c ielo raso:
0 . 0 2 * 1. 0 0 * 1. 0 0 * 2 2
S u b to ta l (c a rg a m u erta )
D iseño a flex ió n
De ac u erd o co n lo a rrib a e x p re sa d o , el re fu e rz o re q u e rid o a fle x ió n se
calculó en o tro c a p ítu lo y c o rre sp o n d e a la c u a n tía m ín im a , es d ecir:
A s = 0 .0 0 3 3 * 0 .3 5 * 0 .2 8 = 0 .0 0 0 3 2 3 m 2
3)
D iseño d el re fu e rz o a la fu e rza c o rta n te y la to rsió n
El co rte a u n a d ista n c ia “ d ” del b o rd e de las c o lu m n a s será:
V = — * 1 7 .7 1 * (3 .3 5 —0.35 —0 .5 6 ) = 21.61 kN
2
162
163
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
p h = 2 * (x i + y i )
U tiliz a n d o u n fa c to r d e se g u rid a d d e 2 .0 se o b tien e:
V u = 1.5*21.61 = 3 2 .4 2 k N
P a ra e strib o s d e (j> 1/2” :
E n la m ism a s e c c ió n d e c á lc u lo y co n el m ism o fa c to r de se g u rid a d , el
Xi = 3 5 0 - 80 - 12.7 = 2 5 7 .3 m m ~ 0.25 m
m o m e n to d e to rsió n to tal será:
yi = 350 - 80 - 12.7 = 2 5 7 .3 m m ~ 0.25 m
f 3.35
T
-0 .1 7 5 -0 .2 8
= 1.5*7.85*
= 14.37 kN -m
Ph
= 2 * (0 .2 5 + 0 . 2 5 ) = 1.00 m
E n e le m e n to s n o p re e s fo rz a d o s la to rsió n se c o n sid e ra si:
A•oh
oh = xi *y i = 0 .2 5 * 0 .2 5 = 0 .0 6 2 5 m 2 = 6 2 5 0 0 m m 2
Pcp
Ca 2 ^
T„ > < (> 0 .0 8 3 ^
cp
, en donde:
R eem p lazan d o :
V Pcp J
350
Acp
A ccp = 3 5 0 * 3 5 0 = 122500 m m 2
3 3 12 +
p cp = 2 * (3 5 0 + 3 5 0 ) = 1400 m m
1 4 .3 7 * 1 .0 0
\2
< 0 .7 5 * Í0 .7 8 + 0 .6 6 * \/2 lT T )* 1 0 0 O
,1 .7 * 0 .0 6 2 5 ; .
V
350
2 1 8 9 k N /m : < 2 8 5 8 k N /m 2
F ig u r a 3.17
luego, la secció n es su ficien te.
R e m p la z a n d o :
R efuerzo tr a n sv e r sa l p a ra la fu er za co r ta n te
i
kN
0 .7 5 * 0 .0 8 3 * V 2 1.1 * 1 0 0 0 — - *
m
2 ___4
0 .1 2 2 5 m
= 3.06 kN -m
1.40 m
El refu erzo tra n s v e rs a l p a ra la fu e rza c o rta n te se d e te rm in a a p a rtir d e .
(j)Vs > ( Vu - <j)Vc) E n este c a so ÓVc = 5 7 .3 5 , es m a y o r q u e V u , p o r lo q u e se
L u e g o T u > 3 .0 6 kN -m y p o r lo ta n to la to rsió n d e b e c o n sid e ra rse .
A c o n tin u a c ió n d eb e d e te rm in a rs e si la sec c ió n es su fic ie n te , p a ra lo
colocan
e strib o s
d/2 = 0 .1 4 m
cu a l d eb e c u m p lirse:
A
y.
\2
v M ,
+
/
\ 2
/
T uPh
< f
(j) 1/2” a la m e n o r
y
" ""2n I b s
o .3 5 h -
f
V,
— + 0 .6 6 - J fí \,
en d o n d e
1.7 A oh /
164
de las sig u ie n te s sep a rac io n e s:
165
d e d o n d e,
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
A f 129 4ZU_
7 * 1=2 1088
9 * 4 2 0m m _ 1 0 9 m
--------2
s
max
s
0.062-v/f ^ b w
=
max
> 0 .0 0 0 6 8 > 0 .0 0 0 8 3
350*65
0 .0 6 2 V 2 1 .1 * 3 5 0
0.0113 > 0 .0 0 0 8 3 ,
A vfyt
2*129*420
— = ------------------- = 885 m m ~ 0.88 m
0 .3 5 b w
0 .3 5 * 3 5 0
re su lta n d o c o rre c ta la se p a ra c ió n de 0 .065 m.
Se
d = 0 .2 8
d istrib u id a
2A A * f
S e c a lc u la a p a rtir de: Tn =
s
T
—c o t 9 > — ,
<j)
en
este
c a so
m uy
fre c u e n te d e c a rg a u n ifo rm e m e n te
¡t— f
R e fu e r z o tr a n sv e r sa l p a ra to rsió n :
o b se rv a
y
u n m o m e n to
de
to rsió n a p lic a d o y d istrib u id o de
en donde:
ig u al fo rm a , q u e tan to V u co m o
T u d ism in u y e n lin e a lm e n te h asta
an u la rse en la m ita d d e la luz.
A 0 se p u e d e to m a r c o m o 0 .8 5 * A oh = 0 .8 5 * 0 .0 6 2 5 = 0.0531 m 2 y 0
d e b e e s ta r e n tre 30° y 60°; p a ra e ste c a so se p u e d e to m a r 45°.
R e m p la z a n d o e ig u alan d o :
F ig u ra 3 .19
Por tanto, lo s re q u e rim ie n to s de re fu e rz o p a ra c o rta n te y to rsió n seg u irá n
2 * 0 .0 5 3 1 * 0 .0 0 0 0 1 2 9 * 4 2 0 0 0 0
_ 0 14.37
------------------------------------------- co t 45° = ------------s
0.75
una m ism a v a ria c ió n , lo cu al, si se p u e d e , sig n ific a ría u n a u m e n to en la
separación d e estrib o s, e n tre o tras p o sib ilid a d e s. S in e m b a rg o , en cu a lq u ie r
caso es p re ferib le re m itirse al c rite rio del d is e ñ a d o r p a ra la c o rrec ta
P o r ta n to s = 0 .3 0 m , p e ro n o d e b e e x c e d e r d e p h /8 = 1.00/8 = 0 .1 2 5 m , ni
colocación de e stas arm a d u ras. E n este caso , p o r e jem p lo , se co lo ca n
d e 0 .3 0 m . P o r c o n sig u ie n te se c o lo c a rá n £ (j> 1/2” c/0 .1 2 5 m.
estribos p ara la fu e rza c o rta n te sin q u e e stric ta m e n te se n e c e s ite n y re sp ecto
a
R e fu e r z o tr a n sv e r sa l c o m b in a d o p a ra la fu er za c o r ta n te y to r sió n :
(d
losestribos p a ra to rsió n ,
+ b) m ás a llá del
qued eb en
lle v a rse só lo h a sta u n a d ista n c ia
p u n to d o n d e y a n o so n te ó ric a m e n te
n e c e sa rio s, se
especifican e strib o s a to d o lo larg o d e la v ig a. A l d istrib u irlo s re su lta n
A v+1 = A v | 2 A , = 0 .0 0 0 2 5 8 |0 .0 0 0 2 5 8 = Q QQ391
s
s
s
0 .1 4
47 £<|> 1/2” c/0 .0 6 5 m.
0.125
Refuerzo lo n g itu d in a l
p a ra e strib o s (|> 1/2” : s = 0 .0 0 0 2 5 8 /0 .0 0 3 9 1 = 0 .0 6 6 a d o p ta m o s 0 .0 6 5 m
C orresponde a la sig u ie n te ex p resió n :
E ste e sp a c ia m ie n to d eb e cu m p lir:
A + 2A .
JF
0.35
--------------- > 0 .0 6 2
> ------- ,
b ws
fy,
re m p la z a n d o :
166
167
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n
A
en d o n d e 9 y —1 d e b e n to m a rs e co m o los c a lc u la d o s en
s
Detalle del refu erzo :
2A A .f
t
„ = —
^ ^ c o t e .
•y
Se d e b e n c o lo c a r 0 .0 0 0 4 3 0 n r lo n g itu d in a le s, c o n u n lím ite d e 3 0 0 m m para
la se p a ra c ió n en tre b a rra s, c o n u n d iá m e tro m a y o r o igual a 1/24 de la
se p a ra c ió n
e n tre
e strib o s (6 5 /2 4 = 2.71 m m ) y n o p u e d e n se r m en o re s a la
b a rra N ° 3.
R e su m e n d e la a r m a d u r a lo n g itu d in a l
A rrib a
0 .0 0 0 4 3 0
+ 0 .0 0 0 3 2 3 = 0 .0 0 0 4 6 6 n r -
1 <|> 1/2” + 2 <J>5 /8 ” (5 2 7 m n r )
__________________ 0 1 / 4 " L= 2 . 1 5 c / 0 . 1 1 _________________
3
165
0 .3 0
M ed io
J O .10
0 .0 0 0 4 3 0 = 0 0 0 0 1 4 3 m ~
_
2 <j> 1/2” (258 m m 2)
F ig u r a 3.20
A b a jo
0 .0 0 0 4 3 0
+ 0 .0 0 0 3 2 3 = 0 .0 0 0 4 6 6 m 2
-
1 <j) 1/2” + 2 if> 5 /8 ” (5 2 7 m m 2)
R e fu e rz o a fle x ió n en la lo sa m a c iz a d e l alero:
A p a rtir d e su d iseñ o , p re v ia m e n te e fe c tu a d o , se e sp e c ific a n <\>1/4” c /0 .1 1 m
p a ra el v o la d iz o y 11 <j> 1/4” c /0 .1 25 m d e re p artició n .
168
169
0~?0
E s tru c tu ra s d e C o n c re to I
C apítulo 4
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
Capítulo 4
LONGITUD DE DESARROLLO
Y EMPALMES DE REFUERZO
171
C apítulo 4
Estructuras de C oncreto I
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
L O N G IT U D d e d e s a r r o l l o y e m p a l m e s d e r e f u e r z o
En este cap ítu lo se h a rá re fe re n c ia a las d e fin ic io n e s y e sp e c ific a c io n e s q u e
trae el R eg lam en to N S R -1 0 so b re este tem a, ad ic io n a n d o ta b u la c io n e s de
longitudes de d e sa rro llo y g a n c h o s está n d a r, u n e sq u e m a m u y g e n e ra l de los
puntos de co rte del re fu e rz o co m o a y u d a d id á c tic a y u n e je m p lo de
aplicación.
L o n g i t u d de d e sa r r o llo d el r e fu erz o
La define el R e g la m e n to c o lo m b ia n o co m o la lo n g itu d d el re fu e rz o
em bebido d en tro d el c o n c re to , re q u e rid a p a ra d e s a rro lla r la re s is te n c ia de
diseño del re fu e rz o en u n a se c c ió n crítica . P o r tan to , la tra c c ió n o
com presión en el re fu e rz o c a lc u la d a en c a d a sec ció n de los e le m e n to s de
concreto re fo rza d o d eb e d e sa rro lla rse en c a d a lad o d e d ic h a secció n
m ediante lo n g itu d e m b e b id a en el co n c reto , p o r m e d io d e g a n c h o , b a rra
corrugada co n c a b e z a , d isp o sitiv o m e c á n ic o o u n a c o m b in a c ió n de los
anteriores. L os g an c h o s b a rra s y c o rru g a d a s co n ca b eza n o se d e b e n e m p le a r
para d esarro llar b a rra s en c o m p re sió n .
Desarrollo d el r e fu erz o a flex ió n
Las seccio n es c rític a s p a ra el d e sa rro llo d el re fu e rz o e n los e le m e n to s a
flexión co rre sp o n d e n a lo s p u n to s d e e sfu e rz o s m á x im o s, y en lo s sitio s
dentro de la luz d o n d e te rm in a o se d o b la el re fu erz o a d y a cen te.
El refuerzo d eb e e x te n d e rs e m ás a llá del p u n to en el cu a l y a n o se re q u ie ra
para resistir la flex ió n , p o r u n a d ista n c ia ig u al a la a ltu ra e fe c tiv a “ d ” del
elem ento, o 12db, la q u e sea m ay o r, e x c e p to en lo s a p o y o s d e lu c e s sim p le s
y en el ex trem o lib re d e lo s v o la d iz o s. A d e m á s, el re fu e rz o q u e se p ro lo n g a
debe ten er u n a lo n g itu d e m b e b id a n o m en o r q u e la lo n g itu d d e d esa rro llo
l d m ás allá del p u n to d o n d e se d o b la o te rm in a el re fu e rz o a tra c c ió n q u e y a
no se req u iera p a ra re s is tir flex ió n .
El refuerzo a flex ió n n o d eb e su sp e n d e rse en la z o n a d e tra c c ió n , a m en o s
que se cu m p la u n a d e las sig u ie n te s co n d icio n e s:
173
Estructuras de C oncreto I
•
•
_ C apitulo 4
Q u e el c o rta n te m a y o ra d o V u en el p u n to d e su sp e n sió n n o exceda
los 2/3 de la re siste n c ia de d ise ñ o a c o rta n te , (j>Vn in c lu y e n d o la
re siste n c ia a c o rta n te d el re fu e rz o p a ra c o rta n te su m in istrad o .
Q u e se p ro p o rc io n e u n á rea d e e strib o s ad ic io n a l a la que se
re q u ie re p a ra c o rta n te y to rsió n a lo la rg o d e ca d a term in ac ió n de
b a rra o a la m b re d e m a lla e le c tro so ld a d a , p o r u n a d ista n c ia igual a
3/4 d e la a ltu ra e fe c tiv a d el e le m e n to , a p a rtir d el punto de
te rm in a c ió n . El á rea d e e strib o s Av ad ic io n a l n o d eb e ser menor
qu e 0.41bws/fyt . El e s p a c ia m ie n to s n o d eb e e x c e d e r de d/8pb)
d o n d e p b es la re la c ió n e n tre el á rea del re fu e rz o in terru m p id o en
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
debe anclarse p a ra d e s a rro lla r la re siste n c ia n o m in al a la flu e n c ia fy a
tracción en la cara d el ap o y o .
En apoyos sim p les y en p u n to s de in flex ió n , el re fu e rz o a tra c c ió n p a ra
momento p o sitiv o d eb e lim itarse a u n d iá m e tro tal q u e id c a lc u la d a p a ra fy
cumpla la c o n d ició n d e la ex p resió n :
donde:
u n a se c c ió n y el á rea to tal del re fu e rz o a tra c c ió n en esa sección.
•
Mn =
re siste n c ia n o m in a l a m o m en to , o b te n id a su p o n ie n d o q u e to d o
el re fu e rz o de la se c c ió n está tra b a ja n d o a u n e sfu e rz o de
tra c c ió n ig u al a la re siste n c ia n o m in a l a la flu e n c ia f>;
Vu =
fu e rza c o rta n te m a y o ra d a en la secció n ;
ia =
en u n a p o y o es igual a la lo n g itu d d e a n c la je m ás allá del
Q u e p a ra b a rra s N °3 6 M y m e n o re s, el re fu e rz o q u e c o n tin ú a sea el
d o b le del á re a re q u e rid a p o r fle x ió n en el p u n to d e in te rru p c ió n y el
c o rta n te m a y o ra d o V u n o e x c e d a el 7 5 % d e la re siste n c ia de diseño
a c o rta n te (j)Vn .
Se d eb e d a r an c la je ex te rn o a d e c u a d o al re fu e rz o a tra c c ió n en elem entos
so m e tid o s a flex ió n d o n d e la tra c c ió n del re fu e rz o n o se a directam ente
p ro p o rc io n a l al m o m e n to , co m o es el c a so d e z a p a ta s inclinadas,
e sc a lo n a d a s o d e se c c ió n v a ria b le , e n m é n su la s, en e le m e n to s d e g ran altura
so m e tid o s a fle x ió n o e le m e n to s en los c u a le s el re fu e rz o a tra c c ió n no sea
p a ra le lo a la ca ra d e c o m p re sió n .
D e sa r r o llo d el r e fu erz o p a ra m o m e n to p o sitiv o
E l R e g la m e n to c o lo m b ia n o e sp e c ific a q u e p o r lo m e n o s 1/3 del refuerzo
p a ra m o m e n to p o sitiv o e n e le m e n to s sim p le m e n te a p o y a d o s y 1/4 del
re fu e rz o p a ra m o m e n to p o sitiv o en e le m e n to s c o n tin u o s, d eb e p ro lo n g arse a
lo larg o d e la m ism a c a ra d el ele m e n to d e n tro d el ap o y o , y en v ig as esta
e x te n sió n no d eb e s e r m e n o r d e 150 m m d e n tro d el apoyo.
C u a n d o u n ele m e n to a fle x ió n h a g a p a rte de u n siste m a p rim a rio resistente a
fu e rz a s h o riz o n ta le s, el re fu e rz o p o s itiv o q u e se e x tie n d e d e n tro d el apoyo
174
ce n tro d el ap o y o . E n el p u n to d e in fle x ió n d eb e lim ita rse a la
altu ra e fe c tiv a del ele m e n to d o a 12db, la q u e sea m ay o r.
En aquellos ca so s en lo s c u a le s el re fu erz o te rm in a d e sp u é s del ce n tro de u n
apoyo sim ple, co n u n g a n c h o e s tá n d a r en su ex tre m o , o se d isp o n g a un
anclaje m ecán ico e q u iv a le n te a u n g a n c h o están d a r, n o h a y n e c e sid a d de
cum plir la ecu ació n an terio r.
El valor de M n /V u p u e d e a u m e n ta rse en u n 3 0 % c u a n d o lo s e x tre m o s del
refuerzo estén c o n fin a d o s p o r u n a re a c c ió n de c o m p re sió n .
Desarrollo d el r e fu e r z o p a ra m o m en to n eg a tiv o
El R eglam ento c o lo m b ia n o e s p e c ific a q u e el re fu e rz o p a ra m o m e n to
negativo en un ele m e n to c o n tin u o , re strin g id o o en v o la d iz o , o en c u a lq u ie r
elem ento de un p ó rtic o ríg id o re siste n te a m o m e n to s, d eb e a n c la rse en el
Capítulo 4
Estructuras de C oncreto I
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
ele m e n to q u e le d a a p o y o o a tra v é s d e l m ism o , m e d ia n te la longitud
e m b e b id a , p o r m e d io d e g a n c h o s o co n an c la je m e c á n ic o .
donde id es la lo n g itu d d e d e sa rro llo a tra c c ió n p a ra b a rra s c o rru g a d a s,
alambres c o rru g a d o s, re fu e rz o e le c tro so ld a d o de a la m b re liso o c o rru g a d o o
torones de p re e sfu e rz o , p a ra la re siste n c ia n o m in a l a la flu e n c ia fy, sin el
A l m e n o s 1/3 d el re fu e rz o to ta l a tra c c ió n su m in istra d o p a ra m om ento
n e g a tiv o en u n a p o y o d eb e te n e r u n a lo n g itu d e m b e b id a , m ás a llá del punto
factor de m o d ificac ió n .
d e in fle x ió n , n o m e n o r q u e la a ltu ra e fe c tiv a d el ele m e n to d, 12db o 1/6 de la
lu z libre, la q u e sea m ay o r.
Los em p alm es p o r tra sla p o a tra c c ió n d e b a rra s c o rru g a d a s y alam b res
corrugados q u e fo rm e n p a rte d e m a lla s ele c tro so ld a d a s, d e b e n se r C lase B,
excepto q u e se p e rm ite n lo s d e C lase A c u a n d o el área d e re fu erz o
sum inistrado es al m e n o s el d o b le d el re q u e rid o p o r an á lisis en to d a la
longitud del e m p alm e y la m ita d o m e n o s del re fu e rz o to tal q u e se e m p alm a
dentro de la lo n g itu d d e tra sla p o , c o m o lo in d ica la ta b la sig u ien te.
E m p a lm e s d e refu erzo
L o s e m p a lm e s d el re fu e rz o p u e d e n se r p o r tra sla p o , e m p a lm e s m ecá n ico s y
em p a lm e s so ld a d o s y d e b e n d ise ñ a rse d e a c u e rd o a los re q u isito s del
R e g la m e n to co lo m b ian o .
T a b la 4.1
Em palm es a Tracción por Traslapo
L o s e m p a lm e s p o r tra sla p o n o p u e d e n u tiliz a rs e p a ra b a rra s m ay o re s de la
N °3 6 ; las b a rra s e m p a lm a d a s p o r tra sla p o s q u e n o e sté n en co n tac to , en
e le m e n to s a fle x ió n , n o d e b e n e sp a c ia rse tra n s v e rsa lm e n te a m ás d e 1/5 de
la lo n g itu d re q u e rid a p a ra el e m p a lm e tra sla p a d o , ni m ás d e 150 m m .
Porcentaje m áxim o de As, em palm ado
dentro de la longitud de traslapo
requerida
A s suministrado
A g requerido
T o d a c o n e x ió n m e c á n ic a to ta l d eb e d e sa rro lla r, a tra c c ió n o a com presión,
s e g ú n se re q u ie ra , al m e n o s u n 125% d e la re siste n c ia n o m in a l a la fluencia
M ayor o igual a 2
M enor que 2
f y d e la b a rra (1 .2 5 fy) .
50
100
Clase A
Clase B
Clase B
Clase B
E m palm es d e b a rra s c o r r u g a d a s a co m p r esió n
T o d o e m p alm e to ta lm e n te so ld a d o d e b e e sta r fo rm a d o p o r b a rra s soldadas
p a ra q u e d e sa rro lle a tra c c ió n al m e n o s u n 125% d e la re s iste n c ia n o m in a l a
la flu e n c ia f y d e la b a rra (1 .2 5 f ) .
La lo n gitud m ín im a p a ra e m p a lm e s tra sla p a d o s a c o m p re sió n es 0 .0 7 1 fydb
para
fy d e 4 2 0 M P a o m e n o s o
(0 .1 3 fy- 2 4 ) d b
p a ra
fy
m ayor
de
420M Pa y n o d eb e se r m e n o r de 300 m m . P ara fc m en o re s d e 21 M P a, la
E m p a lm e s a tr a c c ió n d e b a r r a s c o r r u g a d a s y d e a la m b r e s co rru g a d o s
d e m a lla s e le c tr o so ld a d a s
L a lo n g itu d m ín im a d e tra sla p o p a ra e m p a lm e s a tra c c ió n d e las clase s A y
B n o d eb e se r m e n o r d e 3 0 0 m m , donde:
E m p a lm e C lase A ............................. 1 . 0 i d
longitud de tra sla p o d eb e in c re m e n ta rse en u n terc io (1 /3 ).
Cuando se e m p a lm e n p o r tra sla p o a c o m p re sió n b a rra s d e d ife re n te
diám etro, la lo n g itu d d el e m p alm e p o r tra sla p o d eb e s e r L m a y o r d e fdc la
longitud d e d e sa rro llo d e la b a rra m a y o r o d e la lo n g itu d de tra sla p o d e la
barra m enor.
E m p a lm e C lase B ............................. 1 M d
176
177
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 4
E m p a lm e s en c o lu m n a s
D e b e n u tiliz a rse e m p a lm e s p o r tra sla p o , e m p a lm e s m e c á n ic o s, em palm es
s o ld a d o s a to p e, co n e x io n e s m e c á n ic a s o e m p a lm e s a to p e en el ex trem o y el
e m p a lm e d e b e c u m p lir los re q u isito s d ad o s p a ra to d as las c o m b in ac io n e s de
c a rg a en la co lu m n a. D e a c u e rd o al e sq u e m a d e la fig u ra 4 .1 , se requieren
em p a lm e s p a ra re fu e rz o en las b a rra s d e c o m p re sió n , e sfu e rz o en las barras
de tra c c ió n sin e x c e d e r 0 .5 fy , c la se A , y c u a n d o el e sfu e rz o en las barras
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
a)
U n d o b le z d e 180° m ás u n a e x te n sió n re cta de lo n g itu d m ín im a
igual a 4db, p e ro n o m e n o r d e 65 m m en el ex tre m o lib re d e la
barra.
b)
U n d o b le z d e 90° m ás u n a e x te n sió n d e lo n g itu d m ín im a ig u al a
12db en el e x tre m o lib re d e la barra.
c)
Para estrib o s:
U n d o b le z a 90° co n u n a e x te n sió n re cta de lo n g itu d m ín im a
ig u al a 6db p a ra b a rra s N o .5 (5 /8 ”) y 16M (16 m m ) o m en o re s.
e x c e d e en tra c c ió n 0 .5 fy , c la se B
U n d o b le z a 90° co n u n a e x te n sió n re c ta de lo n g itu d m ín im a
ig u al a 12db p a ra b arras N o .6 (3 /4 ” ) y 2 0 M (2 0 m m ) a N o .8
(1 ”) y 2 5 M (2 5 m m ).
P ara b a rra s N o .8 (1 ”) y 2 5 M (2 5 m m ) y m e n o re s co n g a n c h o s
de 135°, la lo n g itu d m ín im a d e la p a rte re cta en el e x tre m o
lib re es d e 6db.
E n los e strib o s d e c o n fin a m ie n to re q u e rid o s p o r el
R e g la m e n to en e stru c tu ra s d e c a p a c id a d de d isip a c ió n de
e n e rg ía m o d e ra d a (D M O ) y e sp e c ia l (D E S ), p a ra c o n s tru c c ió n
sism o -re siste n te , d e b e n e m p le a rse g a n c h o s sísm ic o s c o n u n
d o b le z d e 135° o m ás y u n a e x te n sió n re cta d e 6db p e ro no
m e n o r d e 75 m m , q u e a b ra z a el re fu e rz o lo n g itu d in a l del
ele m e n to y se p ro y e c ta h a c ia el in te rio r d e la sec ció n . E n los
estrib o s s u p le m e n ta rio s el d o b le z en los ex tre m o s d e b e s e r un
g an c h o sísm ic o d e 135° o m ás, co n u n a e x te n sió n re c ta d e 6db
p ero n o m e n o r d e 75 m m , y se p e rm ite q u e en u n o d e los
F ig u r a 4.1
G a n c h o s E stá n d a r
ex tre m o s se u tilic e un
e x te n sió n d e 6db.
g a n c h o d e 90° o m ás, co n
una
Diám etros m ín im o s de d o b la m ie n to
E l té rm in o “g a n c h o e stá n d a r” , sig n ific a u n d o b le z en el ex tre m o d e la barra
de re fu e rz o q u e c u m p le los sig u ie n te s re q u is ito s d el R eg lam en to
co lo m b ian o :
El diám etro in te rio r p a ra el d o b la m ie n to d e las b arras d el re fu e rz o p rin c ip a l,
no debe ser m e n o r q u e lo s v a lo re s m ín im o s d ad o s en la sig u ie n te tabla.
178
179
C apítulo 4
Estructuras de C oncreto I
T ab la 4.1a
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
T ab la 4.2
Diám etros m ínim os de doblam iento
Longitudes para ganchos estándar a 180° - fy = 240 y 420 M Pa
B arra
D iám etro m ínim o de doblam iento
N o.3 (1/4”) a N o .8 (1”)
10M (10 mm) a 25M (25 mm)
6db
D iám etro
barra
Barra No.
mm
E
D
C
B
A
mm
mm
mm
mm
mm
L o n g itu d ad icio n al
de b a rra (m m )
1 g an ch o 2 g an ch o s
2
6.4
65
38
45
135
110
100
200
3
9.5
65
57
67
169
131
130
260
4
12.7
65
76
89
205
154
155
310
5
15.9
65
95
111
240
176
175
350
6
19.1
76
115
134
286
210
225
450
7
22.2
89
133
155
333
244
250
500
8
25.4
102
152
178
381
279
275
550
E l d iá m e tro in te rio r d e d o b la m ie n to d e e strib o s d e b a rra s N o .5 (5 /8 ” ) ó 16M
9
28.7
115
230
258
521
377
375
750
(1 6 m m ) o m en o r, n o d e b e se r in fe rio r a 4db y p a ra b a rra s m a y o re s a la N°5
10
32.3
129
258
291
586
424
425
850
11
35.8
143
286
322
649
470
475
950
14
43.0
172
430
473
915
657
650
1300
18
57.3
229
573
630
1219
875
875
1750
N o .9 (l% " )a N o .ll( l% " )
8db
30M (30 mm ) a 36 M (36m m )
No. 14 (1 % ") y No. 18 ( 2 j / ¡ " )
10db
45M (45 mm) y 55M (55 mm)
(5 /8 ” ) ó 16M (1 6 m m ) se d e b e n c u m p lir los d iá m e tro s m ín im o s in d icad o s en
la ta b la an terio r.
T a b la s p a ra g a n c h o s está n d a r
T ab la 4.3
Longitudes para ganchos estándar a 90° - fy = 240 y 420 MPa
A c o n tin u a c ió n a p a re c e n dos ta b la s q u e c o n tie n e n , e n tre o tras, las longitudes
e n m m (B ) d e los g an c h o s e s tá n d a r (d o b le z a 180° y d o b le z a 9 0°) y lo que
es m á s ú til, la lo n g itu d ad ic io n a l d e la b a rra h a s ta el recubrim iento,
n e c e s a ria p a ra fo rm a r 1 o 2 g a n c h o s, p a ra los ac e ro s d e uso fre c u e n te en
n u e stro m ed io y a p ro x im a d a s en fo rm a co n v e n ie n te.
Barra No.
2
L o n g itu d ad icio n al
de b arra (m m )
D iám etro
barra
mm
E
D
C
B
A
mm
mm
mm
mm
mm
1 g an ch o
2 g an ch o s
6.4
77
38
22
112
86
100
200
3
9.5
114
57
33
166
128
125
250
4
12.7
152
76
44
222
171
175
350
5
15.9
191
95
56
278
215
225
450
6
19.1
229
115
67
334
258
250
500
78
388
300
300
600
7
22.2
266
8
25.4
305
152
89
444
343
350
700
9
28.7
344
230
129
547
404
400
800
133
10
32.3
388
258
145
616
454
450
900
11
35.8
430
286
161
683
504
500
1000
14
43 .0
516
430
237
887
629
650
1300
18
57.3
688
573
315
1183
839
850
1700
181
C apítulo 4
E structuras de C oncreto I
(9
A
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
Tabla 4.5
D
C
Longitudes de ganchos para estribos. Doblez a 135°
B
Figura 4.2
T a b la s p a ra g a n c h o s d e e str ib o s
A c o n tin u a c ió n se p re se n ta n las ta b la s q u e c o n tie n e n , e n tre o tras, las
lo n g itu d e s en m m (B ) d e los g a n c h o s p a ra e strib o s co n d o b le z d e 90° y
135°, y la lo n g itu d ad ic io n a l d e la b a rra h a s ta el re c u b rim ie n to , n ecesaria
p a ra fo rm a r 1 o 2 g a n c h o s, a p ro x im a d a en fo rm a co n v e n ie n te.
Tabla 4.4
Longitudes de ganchos para estribos. Doblez a 90°
B arra
No.
D iám etro
b arra
mm
E
D
C
B
A
mm
mm
mm
mm
mm
2
6.4
38
26
16
63
44
L o n g itu d ad icio n al
de b a rra (m m )
1 g an ch o
2 gan ch o s
50
100
3
9.5
57
38
24
95
67
75
150
4
12.7
76
51
32
126
88
100
200
250
5
15.9
95
64
40
158
110
125
6
19.1
229
115
67
334
257
250
500
7
22.2
266
133
78
389
300
300
600
8
25.4
305
152
89
445
344
350
700
182
Figura 4.4
183
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 4
T a b la p a ra g a n ch o s d e estrib o s d e c o n fin a m ie n to
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
L o n g i t u d de d e s a r r o llo d e b a r r a s c o r r u g a d a s y a la m b r e co r ru g a d o
a tracción
A c o n tin u a c ió n se p re se n ta u n a ta b la q u e c o n tie n e la lo n g itu d en m m (B) de
lo s g a n c h o s p a ra e strib o s d e c o n fin a m ie n to en e stru c tu ra s co n ca p acid ad de
d is ip a c ió n m o d e ra d a (D M O ) y e sp e c ia l (D E S ), c o n d o b le z a 135° y ]a
lo n g itu d ad ic io n a l d e la b a rra h a s ta el re c u b rim ie n to , n e c e sa ria p a ra formar
1 o 2 g a n c h o s, a p ro x im a d a en fo rm a co n v e n ie n te.
T ab la 4.6
La longitud d e d e sa rro llo id , en té rm in o s d e db p a ra b a rra s c o rru g a d a s y
alam bres c o rru g a d o s a tra c c ió n , d e b e c a lc u la rs e co m o el p ro d u c to d e la
longitud de d e s a rro llo b á s ic a y el fa c to r o fa c to re s de m o d ific a c ió n
aplicables, p ero id n o d eb e ser m e n o r q u e 3 0 0 m m .
A co n tin u ació n se d e fin e la n o m e n c la tu ra básica:
Longitudes de ganchos para estribos de confinam iento. Doblez a 135°
L o n g itu d adicional de
b a rra (m m )
\|/( = factor d e m o d ific a c ió n p a ra la lo n g itu d d e d e s a rro llo co n b a se e n la
lo calizació n d el re fu erz o .
B arra
N o.
D iám etro
b arra
mm
E
D
C
B
A
mm
mm
mm
mm
mm
3
9.5
75
38
24
132
104
100
200
R efuerzo h o riz o n ta l co lo c a d o d e tal m a n e ra q u e h a y a m ás d e 3 0 0 m m
de co n c reto fresco en el m o m e n to d e v a c ia r el c o n c re to , d e b a jo
de la
4
12.7
76
51
32
151
113
125
250
longitud d e d e sa rro llo o e m p a lm e
40
189
141
150
300
67
272
196
200
400
228
225
450
261
300
600
5
15.9
95
64
6
19.1
115
115
7
22.2
133
133
78
317
8
25.4
152
152
89
362
1 g a n ch o
2 ganchos
v|/t = 1.3
O tro r e f u e r z o .....................................................................................................y , = 1 . 0
v|i = facto r d e m o d ific a c ió n p a ra la lo n g itu d d e d e s a rro llo
re v estim ien to d el re fu erz o .
co n
b a s e en el
B arras d e re fu e rz o , o a la m b re s co n re c u b rim ie n to e p ó x ico , co n
re cu b rim ien to d e c o n c re to m e n o r q u e 3db, o se p a ra c ió n lib re en tre
barras m e n o r q u e 6db
..............................................................................\|/e = 1.5
T odos lo s o tro s c a so s d e b a rra s y ala m b re s c o n re c u b rim ie n to ep ó x ico
vj/e = 1.2
B arras y a la m b re s sin re c u b rim ie n to e p ó x ic o
............................ \|/e = 1.0
El p ro d u c to \j/,\|/c n o h a y n e c e s id a d d e q u e e x c e d a 1.7
F igura 4.5
184
E structuras de C oncreto I
C apitulo 4
y = fa c to r d e m o d ific a c ió n p a ra la lo n g itu d de d e sa rro llo co n b ase en el
ta m a ñ o d el refu erzo .
B a rra s N o. 6 ( % " ) o 2 0 M (20 m m ) o m en o s
y a la m b re c o rru g a d o
B arras N o. ( % " ) o 2 2M (22 m m ) y m a y o re s
.............................. y s = \ q
c b = la m e n o r d e (a) la d ista n c ia m e d id a d el ce n tro d e u n a b a rra o alam bre a
la su p e rfic ie m as c e rc a n a d el c o n c re to , o (b ) la m ita d d e la separación
ce n tro a ce n tro d e las b a rra s o alam b res q u e se d esa rro llan .
D e b e u tiliz a rse la d ista n c ia d e sd e el ce n tro d e la b a rra a la superficie
m ás c e rc a n a del c o n c re to , o la m ita d d e la se p a ra c ió n ce n tro a centro de
las b a rra s q u e se d e sa rro lla n , la m e n o r d e las dos.
K tr= ín d ice d e re fu e rz o tra n s v e rsa l =
40A
donde:
sn
A tr= á rea to tal de to d o el re fu e rz o tra n sv e rsa l en fo rm a de estribos,
d e n tro d e u n a d ista n c ia d e e sp a c ia m ie n to s y q u e c ru z a u n plano
p o te n c ia l d e h e n d im ie n to a d y a c e n te al re fu erz o q u e se desarrolla,
en m m 2.
s=
esp a c ia m ie n to , c e n tro a c e n tro , del re fu e rz o tra n sv e rsa l q u e existe
en la lo n g itu d d e d e sa rro llo £ d , e x p re sa d o en m m .
n =
anclaje o el d esa rro llo d e fy se re q u ie ra , o en e stru c tu ra s co n c a p a c id a d de
disipación esp e cial d e en e rg ía D E S .
.,
............................................................................. y s = q g
n ú m e ro d e b a rra s e n u n a m ism a fila o ca p a, q u e se em palm an o
d e sa rro lla n , a lo larg o d el p lan o d e fractu ra.
C o m o u n a sim p lific a c ió n d e d ise ñ o , se p e rm ite u s a r K [r = 0 a u n q u e haya
re fu e rz o tra n sv e rsa l p re sen te.
R e fu e rzo en ex ceso
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
j ,
.
.
.
.
La reducción p u e d e n a c e rs e en la sig u ie n te p ro p o rc ió n :
A c requerido
------------
A g su min istrado
Longitud de desarrollo de barras corru gadas o alam bres corru gados.
C asos sim plificados
Para barras c o rru g a d a s o a la m b re c o rru g a d o a tra c c ió n , el v a lo r U
calcularse así:
n a r r a s ixo. o
)i
2 0 M (20 m m ) o
m en o res, y
a la m b r e s c o r ru g a d o .
E s p a c ia m ie n t o y r e c u b r i m i e n t o
Espaciam iento libre en tre b arras o alam b res
que están siendo em p alm ad o s o d esarro llad as
no m enor que db, re c u b rim ie n to libre no
menor que d b , y estrib o s a lo largo de h no
menos que el m ín im o del T ítu lo C del
Reglamento N S R -10
o
f ,w t
[
iax
J F
a
j
d eb e
B ar ras N o. 7
(7 /8 ”) o 2 2 M
(22 m m ) y
m a y o res
í
fy V .V e
)
a b
espaciam iento libre en tre b arras o alam b res
que están siendo d e sarro llad as o em p alm ad as
no m enor a 2 db y re cu b rim ien to libre no
menor a d K
Otros casos (sep aració n m ín im a en tre barras
según el A rtícu lo C .7.6.1, re cu b rim ien to
mínimo según la S ecció n C .7 .7 y sin estribos
mínimos)______
í f> ,V e
A
Qb
[l.4 W ? J
, i -i W s J
A continuación, u n a ta b u la c ió n de las lo n g itu d e s d e d e sa rro llo d e b arras
corrugadas a tra c c ió n p a ra los ca so s s im p lific a d o s y d istin tas co m b in a c io n e s
V r V c ’ML y cby p a ra lo s ac ero s d e f v = 4 2 0 y 2 4 0 M Pa.
L a lo n g itu d d e d e sa rro llo p u e d e re d u c irse c u a n d o el re fu erz o en u n elem ento
a fle x ió n es m a y o r del q u e se re q u ie re p o r a n á lisis, e x c ep to cu a n d o el
187
E structuras de C oncreto I
C apítulo 4
Tabla 4.7
Tabla 4.8
Longitud de desarrollo para barras corrugadas a tracción
Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción
vj/t = 1.0
fy = 420 MPa
21.1
24.6
28.1
341
506
306
453
300
41 4
300
38 4
300
359
677
847
606
553
693
832
513
642
48 0
600
721
1035
1184
1018
1461
1672
759
911
1308
1496
1889
212 6
1691
1903
5
10
17.6
fy
31.7
35.2
38.7
42.2
£d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d (mm) Cfimm) ^d(mm)
2
3
4
6
7
8
9
1)/,= 1.0
V|/e — LO______________
14.1
f ' (M P a )
B a r r a No
1195
1367
1544
1738
771
1106
1266
1430
1609
1338
1506
300
338
452
565
679
975
1115
1260
1418
300
321
429
536
644
925
1058
1196
1346
300
306
409
512
615
882
1009
1140
1283
=420 MPa
fc' (MPa)
Barra No
300
300
392
490
589
845
967
1092
1229
14.1
£d(mm)
B a rra No
17.6
21.1
24.6
28.1
¿d(mm) £d(mm) £d(mm) ( d(mm) ¿d(mm)
300
3
4
300
387
5
484
300
300
346
43 4
31.7
£á(mm)
35.2
38.7
£d(mm) ¿d(mm)
24.6
28.1
31.7
35.2
38.7
(mm) £d (mm) £d (mm) ¿d (mm) ¿d(mm)
42.2
(mm)
512
458
418
388
363
342
324
309
300
3
680
621
575
538
507
481
459
439
4
1015
909
830
769
719
677
643
613
587
5
1271
1138
1039
962
900
848
804
767
735
6
1526
1366
1248
1156
1081
1018
966
922
883
7
2258
2021
1846
1709
1600
1506
1429
1363
1305
8
2583
2312
2112
1956
1830
1723
1635
1559
1493
1687
1899
9
2919
2613
2386
2210
2068
1947
1848
1762
10
3285
2940
2685
2487
2327
2191
2079
1983
240 MPa________ \j/c = 1.0
42.2
£d(mm) ¿d (mm) ¿d(mm)
30 0
300
300
300
300
300
300
30 0
30 0
300
300
30 0
30 0
343
300
323
300
300
300
307
41 2
388
368
316
396
21.1
759
f
(M P a)
B a rra No
2
17.6
vj/ ,= 1.0
Vj/e = 1.0
fy =
14.1
\KC= 1 .0
2
\|/t = 1-0
fy = 240 MPa
f ' (M P a )
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
14.1
17.6
21.1
24.6
28.1
3 1.7
35.2
£d(mm) ¿d(mm) ¿d(mm) £d(mm) ¿d(mm) Ci (mm) V ™ )
38.7
42.2
£d(mm) £d(mm)
300
300
2
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
3
434
389
355
329
308
300
300
300
300
300
300
4
580
519
474
439
411
387
367
350
336
351
337
5
594
550
515
485
460
439
420
6
582
521
47 6
367
441
726
650
7
8
835
748
683
632
592
557
529
504
483
6
872
781
713
661
618
582
552
527
505
955
855
637
605
577
1290
1155
1055
977
914
861
817
779
746
966
765
720
683
652
553
624
7
1080
723
817
677
9
10
781
883
8
1476
1321
1207
1118
1046
985
935
891
854
1215
1087
993
920
861
810
769
734
702
9
1668
1493
1364
1263
1182
1113
1056
1007
964
10
1877
1680
1535
1421
1330
1252
1188
1133
1085
Artículo C. 12. 2. 2. Casos simplificados
Separación libre entre barras, que se desarrollan o empalman, mayor o igual a db,
estribos a lo largo de h cumpliendo el mínimo requerido o separación libre entre
barras, que se desarrollan o empalman, mayor o igual a 2db. y recubrimiento libre
Artículo C. 12. 2. 2. Casos simplificados
Otros casos (separación mínima entre barras según el Artículo
recubrimiento mínimo según la Sección C.7.7 y sin estribos mínimos)
mayor o igual a db.
188
189
C.7.6.1,
Estructuras de C oncreto I
C apitulo 4
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
T a b la 4.9
L o n g itu d d e d e sa r r o llo d e b a rra s c o r r u g a d a s o a la m b res co r ru g a d o s a
tr a cció n
Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción
v|/t = 1.0
cb (mm) = 40
M/c = 1 .0
K tr=0
C a so g en er a l
fy = 420 MPa
P a ra b a rra s c o rru g a d a s o a la m b re c o rru g a d o el v a lo r í á d eb e calcularse
17.6
21.1
24.6
28.1
31.7
35.2
38.7
42.2
/ d|mm| ¿d(mm) ¿d(mm) Li (mm) (d(mm) ¿’d(mm) (d(mm) ¿d(mm) ¿d(mm)
Barra No
u tiliz a n d o la ecu ació n :
i-L ó
14.1
f' (MPa)
MLVeVs
(c b + K tr)
c b + K tr
db
y
<2.5
db
A co n tin u a c ió n , u n a ta b u la c ió n d e las lo n g itu d e s de d esa rro llo d e barras
c o rru g a d a s a tra c c ió n p a ra el caso g e n e ra l y d istin ta s c o m b in ac io n e s de
2
3
4
5
6
7
8
9
10
300
310
414
518
742
1253
1641
2094
2653
v|/t ,\j/e,\|/s y c by los ac e ro s d e fy = 4 2 0 y 2 4 0 M Pa.
300
300
370
464
665
1122
1468
1875
2374
300
300
338
423
607
1025
1341
1712
2169
300
300
313
392
562
949
1242
1586
2008
v|/t = 1.0
fy =240M Pa
vj/,e =
300
300
300
367
526
888
1162
1484
1879
300
300
300
346
495
836
1094
1397
1769
300
300
300
328
470
793
1038
1326
1679
300
300
300
313
448
757
990
1264
1601
300
300
300
300
429
725
948
1211
1534
cb (mm) = 40
1.0
K tr=0
17.6
21.1
24.6
28.1
31.7
35.2
3 8.7
42.2
fc' (MPa) 14.1
¿d(mm
)
¿d(m
m
)
^d
(m
m
)
¿d(mm
)
¿d(mm) ¿d(mm) ¿d(mm) L, (mm) (d(mm)
Barra No
2
3
4
5
6
7
8
9
10
300
300
300
300
424
716
938
1197
1516
300
300
300
300
380
641
839
1071
1357
300
300
300
300
347
586
767
979
1239
Artículo C. 12.2.3. C aso general
190
300
300
300
300
321
542
710
906
1148
300
300
300
300
301
508
664
848
1074
300
300
300
300
300
478
626
798
1011
300
300
300
300
300
454
594
758
960
300
300
300
300
300
433
566
723
915
300
300
300
300
300
414
542
692
877
C apítulo 4
E structuras de C oncreto I
T a b l a 4 .1 1
T a b la 4 .1 0
Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción
Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción
\|/t = 1.0
fy = 420 MPa
f ' (M P a )
B a r r a No
14.1
cb (mm) = 45
\|/e = 1.0
17.6
21.1
^ = 420 MPa
31.7
300
300
300
3
310
300
300
300
4
41 4
370
338
5
518
464
423
6
660
591
1114
997
300
300
300
300
300
3 00
300
300
3
310
300
300
300
300
300
300
300
300
300
4
414
370
338
313
300
300
300
300
300
518
464
423
392
367
346
328
313
300
346
500
468
440
418
399
382
911
844
789
743
705
673
644
6
622
557
509
471
441
415
394
376
360
923
880
843
7
1003
898
820
759
710
669
635
605
580
1178
1124
1076
8
1313
1175
1073
994
930
876
831
792
759
1363
9
1676
1500
1370
1269
1187
1118
1061
1012
969
10
2122
1900
1735
1607
1503
1416
1343
1281
1227
1928
1670
1785
1573
Vj/e = 1 .0
K tr = 0
24.6
28.1
1493
1423
fy = 240 MPa
3 1.7
35.2
38.7
f (MPa)
Barra No
6
377
338
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
14.1
17.6
21.1
24.6
28.1
3 1.7
35.2
38.7
Ci (m m > £d (mm) ¿d(mm) £d(mm) Ci (m m ) ¿d(mm) C i(mm) C ,(mm)
42.2
(mm)
2
300
300
300
300
300
300
300
300
300
3
300
300
300
300
300
300
300
300
300
3 00
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
4
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
356
318
300
300
300
300
300
300
300
309
300
300
300
300
300
300
5
403
385
368
6
528
503
482
7
573
513
469
434
406
382
363
346
332
8
750
672
613
568
532
501
475
453
434
9
958
857
783
725
679
639
606
578
554
10
1213
1086
992
918
859
809
768
732
701
637
570
521
482
451
834
746
681
631
591
556
1206
K tr = 0
300
8
1348
vj/e = 1.0
300
7
952
cb (mm) = 50
300
425
1064
\j/1 = 1.0
42.2
21.1
17.6
14.1
¿d(mm)
l d(mm) ¿d(mm) £d(mm) £d(mm) ¿d(mm) £d(mm) <d(mm) £d(mm)
300
10
313
540
cb (mm) = 45
300
9
328
5
\j/t = 1.0
5
42.2
300
1242
300
38.7
300
1319
300
35.2
300
1033
4
31.7
(mm) ¿d(mm) £d(mm) ¿d(mm) V m|n)
300
1410
300
28.1
300
1104
300
24.6
2
1522
3
21.1
(mm) £d(mm) í d (mm)
300
1192
300
17.6
300
1666
300
£d(mm)
300
1305
fy = 240 MPa
14.1
(MPa)
300
1862
2
f'
300
1458
B a rra No
42.2
300
9
2111
K tr = 0
300
8
2 358
\j/e = 1 .0
300
367
392
Cb (mm) = 50
300
300
313
vj/t = 1 .0
300
973
f ' (M P a )
3 8.7
B a rra No
2
10
35.2
£d(mm) í d(mm) £d(mm) ?á(mm) £d(mm) £¿ (mm) ¿d (mm) í d (mm) ¿ d(mm)
300
7
28.1
24.6
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
870
1102
806
754
710
674
642
615
1020
955
899
853
814
779
A rtícu lo C. 12.2.3. C aso general
Artículo C. 12.2.3. Caso general
192
193
Estructuras de C oncreto I
B a rra
No
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T abla 4.13
Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción
Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción
14.1
y , = 1.0
Cb(mm) = 55
y e = 1.0
K tr = 0
17.6
B arra
2
3
4
5
6
7
8
9
10
No
24.6
28.1
31.7
38.7
35.2
£d(mm)
í d(mm) £d(mm) £d (mm) i
300
310
414
518
622
912
1193
1523
1929
300
300
313
392
471
690
904
1153
1461
300
300
300
367
441
646
845
1079
1367
= 240 MPa
f ' (M P a )
21.1
fy = 4 2 0 MPa
C] (mm) £d(mm) £d(mm)
300
300
370
464
557
816
1068
1364
1727
Vt
fy
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
Tabla 4.12
fy = 420 MPa
f ' (M P a )
C apítulo 4
300
300
338
423
509
745
976
1245
1577
= 1.0
Cb
300
300
300
346
415
608
796
1016
1287
300
300
300
328
394
577
755
964
1221
d (mm)
300
300
300
313
376
550
720
920
1165
(mm)
300
300
300
300
360
527
690
881
1115
17.6
¿d(mm)
V™ )
td (mm) £d(mm)
Ci(mm)
£d(mm) í á(mm) í á(mm)
300
300
300
300
356
521
682
871
1103
300
300
300
300
318
467
611
779
987
300
300
300
300
300
426
558
712
901
300
300
300
300
300
369
483
617
781
300
300
300
300
300
348
455
581
736
300
300
300
300
300
395
517
659
835
A rtícu lo C. 12.2.3. C aso general
Barra No
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14.1
28.1
31.7
35.2
300
300
300
300
300
330
432
551
698
38.7
300
300
300
300
300
315
412
526
666
42.2
V “ )
300
300
300
300
300
301
394
503
638
f' (MPa)
Barra
2
3
4
5
6
7
8
9
10
No
cb (mm) = 60
y e = 1.0
K tr = 0
17.6
21.1
24.6
28.1
35.2
38.7
42.2
£d(mm)
300
310
414
518
622
903
1094
1396
1769
300
300
370
464
557
809
979
1250
1583
14.1
300
300
338
423
509
739
894
1142
1446
300
300
313
392
471
684
828
1057
1339
300
300
300
367
441
640
775
989
1253
300
300
300
346
415
603
730
931
1180
y, = 1.0
cb (mm) = 60
y e = 1 .0
K tr = 0
17.6
21.1
24.6
28.1
31.7
300
300
300
328
394
572
692
884
1120
300
300
300
313
376
546
660
843
1068
300
300
300
300
360
522
632
807
1023
35.2
38.7
42.2
í d(mm) Ci<mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) ¿d(mm) ¿d (mm) £d(mm)
300
300
300
300
356
516
625
798
1011
300
300
300
300
318
462
560
714
905
300
300
300
300
300
422
511
653
826
300
300
300
300
300
391
474
604
765
Artículo C. 12.2.3. C aso general
194
31.7
£ d(mm) £d (mm) í á(mm) ¿d(mm) í á(mm) ¿d (mm) £á(mm) Li (mm)
fy = 240 MPa
14.1
24.6
c (MPa)
(mm) = 55
L: t r = o
y e = 1.0
21.1
42.2
y, = 1.0
195
300
300
300
300
300
366
443
566
716
300
300
300
300
300
345
417
532
674
300
300
300
300
300
327
396
505
640
300
300
300
300
300
312
378
482
610
300
300
300
300
300
300
362
462
585
E structuras de C oncreto I
fy
f'
B arra N o
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabla 4.14
Tabla 4.15
Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción
14.1
v)/, = 1.3
cb (mm) = 40
v e = 1 .0
K lr=0
17.6
21.1
24.6
300
402
538
673
965
1629
2133
2723
3448
300
360
481
602
864
1458
1909
2437
3086
300
329
440
550
789
1332
1743
2226
2819
Barra No
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14.1
Ve =
17.6
300
300
381
477
684
1154
1511
1929
2443
300
305
407
510
731
1234
1615
2061
2611
1.0
21.1
300
300
359
449
644
1087
1422
1816
2300
35.2
3 8.7
42.2
V “ )
£á(mm) ^d(mm)
300
300
341
426
611
1031
1350
1723
2183
300
300
325
406
583
984
1287
1644
2082
300
300
300
344
494
834
1091
1393
1764
300
300
300
315
451
761
996
1272
1611
B a r r a No
2
3
4
5
6
7
8
9
10
300
300
311
389
558
942
1233
1574
1993
14.1
24.6
28.1
31.7
35.2
3 8.7
42.2
300
300
300
300
418
705
923
1178
1492
A rtícu lo C. 12.2.3. C aso general
A rtícu lo C. 12.2.4. Vt = 1.3
300
300
300
300
391
660
864
1102
1396
300
300
300
300
368
621
813
1038
1314
300
300
300
300
349
590
772
985
1247
300
300
300
300
333
562
736
939
1190
300
300
300
300
319
538
705
900
1139
f
(MPa)
Barra No
Vi = 1-3
Cb (mm) = 45
Ve =1-0
K tr=0
17.6
21.1
24.6
28.1
300
402
538
673
858
1448
1896
2420
3065
14.1
300
360
481
602
768
1296
1697
2166
2744
300
329
440
550
701
1184
1550
1978
2506
300
305
407
510
650
1097
1435
1832
2321
300
300
381
477
608
1026
1343
1714
2171
300
300
359
449
572
966
1264
1614
2044
Vi = 1.3
cb (mm) = 45
Ve = 1 .0
K tr = 0
17.6
21.1
24.6
35.2
3 8 .7
28.1
31.7
42.2
V " )
300
300
341
426
543
917
1200
1532
1940
300
300
325
406
518
874
1144
1461
1850
300
300
311
389
496
837
1096
1399
1772
35.2
38.7
42.2
¿d (mm) £ (l (mm) £A(mm) £d (mm) í d(mm) £A(mm) £d (mm) £A(mm) £A(mm)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
300
300
300
300
300
300
307
300
300
344
385
315
490
439
401
741
828
677
1083
970
886
1383
1238
1131
1752
1568
1432
Artículo C. 12.2.3. Caso general
300
300
300
300
371
627
820
1047
1326
Artículo C. 12.2.4. v . = 1.3
196
31.7
¿d(mm) £d(mm) £á(mm) ( d(mm) £A(mm) £¿ (mm) £á(mm) ¿d(mm)
fy = 240 MPa
£A(mm) ¿d(mm) £d (mm) Ai (mm) £d (mm) ¿d (mm) l d(mm) £á(mm) ¿d(mm)
300
300
307
385
552
931
1219
1556
1971
f ' (MPa)
c (mm) = 40
II
= 240 MPa
(M P a )
3 1 .7
o
f'
28.1
fy = 420 MPa
£á(mm) ¿d(mm) £A(mm) tá(mm) ¿d (mm) £á(mm)
M6 = 1.3
fy
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción
= 420 MPa
(M P a )
C apítulo 4
197
300
300
300
300
348
587
768
980
1241
300
300
300
300
327
552
723
923
1168
300
300
300
300
311
524
686
876
1109
300
300
300
300
300
500
654
835
1058
300
300
300
300
300
479
626
800
1013
Capítulo 4
E structuras de C oncreto I
Tabla 4.17
Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción
Tabla 4.16
Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción
fy = 420 M Pa
f ' (M P a )
Barra No
14.1
vj/, = 1.3
c b (m m ) = 50
vj/e = 1.0
K tr = 0
17.6
í d (mm) i d (mm)
2
300
3
21.1
¿d(mm)
300
300
24.6
28.1
i d (mm) í d(mm)
fv =420 M P a
31.7
35.2
38.7
42.2
t d (mm) ¿d(mm) í d(mm) í d(mm)
300
300
300
300
300
402
360
329
305
300
300
300
300
300
538
481
440
407
381
359
341
325
311
5
673
602
550
510
477
449
426
406
389
6
808
724
661
612
573
539
512
488
468
7
1303
1167
1066
987
923
869
825
787
754
1080
1030
986
8
1706
1527
1395
1292
1209
1138
9
217 8
1950
1781
1649
1543
1453
1379
1315
1259
10
275 9
2 46 9
2255
2 089
1954
1840
1746
1665
1595
fy = 240 M Pa
f ' (M P a )
Barra No
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14.1
c b (m m ) = 50
M/c = 1 . 0
K.tr = 0
17.6
21.1
24.6
28.1
300
300
300
344
414
667
873
1114
1411
300
300
300
315
378
609
797
1018
1289
300
300
300
300
350
564
738
943
1194
300
300
300
300
328
528
691
882
1117
Barra No
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fy =
31.7
35.2
3 8.7
42.2
í d(mm) í d ( mm ) l d (mm) Li (mm) i d (mm) Li(mm) t A(mm) L] (mm) ¿d(mm)
300
300
307
385
462
745
975
1245
1577
{ [ (MPa)
300
4
\j/t = 1.3
300
300
300
300
308
497
651
830
1052
300
300
300
300
300
472
617
788
998
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
300
300
300
300
300
450
589
752
952
300
300
300
300
300
431
564
720
912
14.1
Barra No
2
3
4
5
6
7
8
9
10
cb (m m ) = 55
v|/e=1.0
K t r =0
17.6
21.1
24.6
28.1
300
402
538
673
808
1185
1551
1980
2508
14.1
300
360
481
602
724
1061
1388
1772
2245
300
329
440
550
661
969
1268
1619
2050
300
305
407
510
612
897
1174
1499
1899
Vt = 1.3
Y|/c= 1.0
17.6
21.1
300
300
381
477
573
840
1099
1403
M il
Cb (mm)
K: tr
24.6
198
35.2
38.7
42.2
300
300
359
449
539
790
1035
1321
1673
300
300
341
426
512
750
982
1253
1587
300
300
325
406
488
715
936
1195
1514
300
300
311
389
468
685
897
1145
1450
35.2
38.7
42.2
= 55
=0
28.1
31.7
td (mm) y m m ) í d (mm) t d(mm) ( d(mm) í d(mm) t á(mm) í d(mm) í d(mm)
300
300
307
385
462
677
887
1132
1433
300
300
300
344
414
606
794
1013
1283
300
300
300
315
378
554
725
925
1172
300
300
300
300
350
513
671
857
1085
Artículo C. 12.2.3. Caso general
Artículo C. 12.2.4. \j/t = 1.3
A rtícu lo C. 12.2.3. C aso general
A rtícu lo C. 12.2.4. \j/, = 1.3
31.7
l &(mm) í d(mm) V m m ) L] (mm) í d(mm) í d(mm) í á(mm) í d(mm) Cd (mm )
240 MPa
fc' (MPa)
\|/,= 1.3
199
300
300
300
300
328
480
628
802
1015
300
300
300
300
308
452
591
755
956
300
300
300
300
300
429
561
716
907
300
300
300
300
300
409
535
683
865
300
300
300
300
300
392
513
654
829
C apítulo 4
Estructuras de C oncreto I
Tabla 4.18
Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción
fy = 420 M Pa
f ' (M P a )
B a r r a No
14.1
y , = 1.3
cb (m m ) = 60
y e =1.0
K .r = 0
17.6
£d (mm) £d(mm)
21.1
£d(mm)
28.1
24.6
Tabla 4.19
Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción
\j/( = 1.0
fy =
31.7
35.2
38.7
300
300
300
300
300
300
402
360
329
305
300
300
300
300
300
4
538
481
440
407
381
359
341
325
311
5
673
602
550
510
477
449
426
406
389
6
808
724
661
612
573
539
512
488
468
7
1174
1051
960
889
832
783
743
709
679
948
900
858
822
1049
300
8
1422
1273
1162
1077
1007
9
1815
1625
1484
1374
1286
1211
1149
1096
10
2299
205 8
1879
1741
1629
1533
1455
1388
fy = 240 M Pa
f ' (M P a )
B a r r a No
M Pa
f' (MPa)
B a rra No
300
3
420
42.2
£á(mm) £¿ (mm) £d(mm) £d(mm) £d (mm) ^d (mm)
300
2
14.1
vj/t = 1.3
cb (m m ) = 60
\)/e —1.0
K tr = 0
17.6
21.1
24.6
28.1
1329
2
14.1
Ye = 1 .0 __________(c b + K ,r) / d b = 2 .5
17.6
£d(mm) £d(mm)
21.1
24.6
28.1
31.7
35.2
38.7
42.2
£d(mm) £á(mm) £d (mm) £d(mm) £á(mm) £d (mm) ¿d(mm)
300
3 00
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
3
310
4
414
370
338
313
300
300
300
300
5
518
464
423
392
367
346
328
313
300
6
622
557
509
471
441
415
394
376
3 60
522
7
903
809
739
684
640
603
572
546
8
1034
925
845
783
732
690
654
624
598
9
1168
1045
955
884
827
779
739
705
675
10
1314
1176
1074
995
931
877
832
793
760
38.7
42.2
\|/,= 1.0
fy = 240 MPa
31.7
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
35.2
38.7
42.2
( d(mm) £d (mm) £d(mm) ¿d(mm) £d (mm) <?d (mm) £d(mm) £d (mm) V « )
fc' (MPa)
Barra No
14.1
vj/c = 1.0
17.6
21.1
( c b + K tr) / d b = 2.5
24.6
28.1
31.7
35.2
£d(mm) £d(mm) ¿d(mm) £d(mm) £d(mm) £d (mm) £d(mm) £d(mm) L|(mm)
2
300
300
300
300
30 0
300
300
300
300
2
300
300
300
300
3
300
300
300
300
30 0
300
300
300
300
3
300
300
300
4
307
300
300
300
300
300
300
300
300
4
300
300
300
5
385
344
315
300
300
300
300
300
300
5
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
6
356
318
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
6
462
414
378
350
328
308
7
671
601
549
508
47 6
44 8
425
405
388
7
516
462
422
391
366
345
327
312
300
8
813
727
664
615
576
542
515
491
470
8
591
529
483
447
419
394
374
357
342
9
1037
929
848
786
735
692
657
626
600
9
668
546
506
473
445
423
403
386
832
793
760
598
931
876
10
751
672
614
569
532
501
476
454
434
10
1314
1176
1074
995
A rtícu lo C. 12.2.3. C aso general
A rtícu lo C. 12.2.4. \|/t = 1.3
Artículo C. 12.2.3. C aso general
200
C apítulo 4
Estructuras de C oncreto I
Longitud de desarrollo de barras corrugadas a compresión
T a b la 4.20
Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción
\|/t = 1.3
fy = 420 M Pa
f ' (M P a )
B a rra No
14.1
\\ic = 1-0
17.6
21.1
28.1
3 1.7
35.2
t d(mm) £d(mm) t d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) í d(mm)
los factores de m o d ific a c ió n a p lica b le s, p ero h e n o p u e d e se r m e n o r de 200
42.2
¿ d (mm) ^d(mni)
300
300
300
300
329
305
300
300
300
300
440
407
381
359
341
325
u i0 P _ _
311
426
406
389
300
300
3
402
360
481
5
673
602
550
510
477
449
6
808
724
661
612
573
539
512
488
468
7
1174
1051
960
889
832
783
743
709
679
952
896
851
811
777
8
1344
1203
1098
1017
9
1518
1359
1241
1149
1075
1013
961
916
878
10
1708
1529
1397
1293
1210
1140
1081
1031
988
fy = 240 M Pa
f ' (M P a )
B a rra No
2
3
14.1
21.1
£d (mm) ¿d (mm) £d (mm)
300
300
24.6
£d(mm)
28.1
31.7
Cd (m m ) ¿ d (mm)
35.2
3 8.7
£d(mm) £d(mm)
42.2
¿d(mm)
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
300
4
307
300
300
300
5
385
344
315
300
300
300
300
300
300
6
46 2
414
378
350
328
308
300
300
300
7
671
601
549
508
476
448
425
405
388
444
8
768
687
628
582
544
512
486
464
9
868
777
709
657
615
579
549
524
502
739
692
651
618
590
565
976
874
798
W p 1- 0 .0 4 3 d bfy (la c o n sta n te 0 .0 4 3 tien e u n id a d e s de
' m m 2/N)
La longitud d e d e sa rro llo
coeficientes a p lica b le s para:
b ásica ,
h e , se
puede
A s re q u e rid o
A s su m in istra d o
b) E spirales y e s trib o s - R e fu e rz o e n c e rra d o d e n tro de re fu e rz o en e sp ira l
de d iám etro no m e n o r d e N ° 2 (1 /4 ”) o 6 M (6 m m ) y cu y o p a so n o sea
mayor de 100 m m o e s trib o s d e b a rra N ° 4 (1 /2 ”) o 13M (13 m m ) que
cum plan lo s re q u is ito s d e l R e g la m e n to (A rtíc u lo C .7 .1 0 .5 ) y e s p a c ia d o s
a m enos de 100 m m ce n tro a c e n t r o : ........................................................................0.75
A continuación, u n a ta b u la c ió n d e las lo n g itu d e s d e d e sa rro llo b á sic a s de
barras co rru g ad as a c o m p re sió n p ara lo s ac e ro s fy = 4 2 0 y 240 M P a
A rtícu lo C. 12.2.3. C aso general
A rtícu lo C. 12.2.4. \j/t = 1.3
202
m u ltip lic a r p o r lo s
a) R efuerzo en e x c eso
(c b + K tr) / d b = 2.5
300
10
^dc =
R efu erzo en e x c e so d el q u e re q u ie re el an álisis:
v|/t = 1.3
\|/c = 1.0
17.6
mm.
La longitud de d e sa rro llo b ásica, h e , es:
300
300
538
38.7
300
2
4
La longitud de d e sa rro llo h e en m m , p a ra b a rra s c o rru g a d a s a c o m p re sió n ,
debe calcu larse co m o el p ro d u c to d e la lo n g itu d de d e sa rro llo b á sic a h e , y
(c b + K tr) / d b = 2 .5
24.6
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
203
E structuras de C oncreto I
C apítulo 4
Tabla 4.21
Longitud de desarrollo básica para barras corrugadas a com presión
fy = 420 M Pa
_______________________________
f
(M P a )
B a rra No
14.1
21.1
24.6
3 1 .7
£d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm)
35.2
G a n c h o s está n d a r a tr a cció n
La longitud de d esa rro llo , íd h , en m m , p a ra b arras c o rru g a d a s en tra c c ió n
term inan en u n g a n c h o está n d a r, d eb e o b te n e rse co m o el p ro d u c to d e la
longitud de d esa rro llo p o r el fa c to r o fa c to re s d e m o d ific a c ió n ap lica b le s,
38.7
42.2
¿ d (mm) ¿ d (mm) ^d(mm)
ero no debe ser m e n o r q u e el m a y o r e n tre 8 db y 150 m m .
2
200
3
4
256
341
5
6
7
8
427
9
10
771
11
14
1155
18
17.6
28.1
200
229
306
383
200
200
200
200
200
209
279
200
259
324
200
242
303
364
200
230
288
345
200
230
200
200
230
423
483
401
288
345
401
288
345
401
611
690
349
420
488
558
630
868
777
709
962
861
786
1034
944
513
596
682
1539
459
534
1377
1258
389
452
517
584
459
519
459
519
459
519
657
615
584
584
584
584
728
681
647
647
647
647
874
818
777
777
777
777
1035
1035
1035
1035
=420
B a rra No
2
3
4
5
14.1
17.6
21.1
24.6
28.1
£d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm)
200
200
200
244
200
200
200
219
263
3 1 .7
35.2
f ,( m m ) A, (mm)
200
200
200
200
200
200
200
200
200
208
200
200
279
200
222
258
242
230
276
263
200
200
200
200
240
200
200
200
Aih, p a ra
una
b a rra
co n
g an c h o ,
co n
M P a, es:
0 .2 4 f y
db
La longitud de d e sa rro llo h h , d eb e m u ltip lic a rse p o r el fa c to r o fa cto res
apropiados sig u ien tes:
a)
42.2
£d(mm)
¿d(nim)
Para g a n c h o s d e b a rra s N o .36 y m e n o re s, co n
re c u b rim ie n to lateral (n o rm a l al p lan o del g a n c h o ) no
m en o r d e 65 m m , y para ganchos de 90° con recubrim iento
en la extensión de la barra m ás allá del gancho no m enor de
50 m m : ................................................................................................................0.7
b)
Para ganchos de 90° de barras N o .36 y m e n o re s q u e se
e n c u e n tra n c o n fin a d o s p o r e strib o s p e rp e n d ic u la re s a la
b arra q u e se está d esa rro lla n d o , e sp a c ia d o s a lo larg o de
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
230
230
230
263
263
263
d e 3db a lo larg o d e la lo n g itu d d e d e sa rro llo d el ex trem o
297
334
297
334
del g an c h o m as el d o b l e z ......................................................................... 0.8
293
341
390
349
319
295
9
441
360
334
312
297
10
496
395
444
406
351
334
11
14
550
660
492
591
449
540
376
416
297
334
500
390
468
370
444
370
44 4
370
444
370
444
18
879
787
719
666
623
592
592
592
592
A rtícu lo C. 12.3.2
d e sa rro llo
•dh
38.7
6
7
8
305
de
ly
^~345
401
459
519
1090
f
288
546
1165
La longitud
~200
~230
fy = 240 M Pa
f ' (M P a )
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
Idu a n o m ás 3db; o b ien , ro d e a d o c o n e strib o s p ara le lo s a
la b arra q u e se está d e sa rro lla n d o y e sp a c ia d o s a no m ás
1
c)
Para ganchos de 180° de barras N o . 11 (1 -3 /8 ”) o 36M
(3 6 m m ) y m en o re s q u e se e n c u e n tra n c o n fin a d o s co n
estrib o s p e rp e n d ic u la re s a la b a rra q u e se está
d esa rro lla n d o , e sp a c ia d o s a n o m ás d e 3db a lo larg o de
Id h ...................................................................................................................... 0.8
205
C apítulo 4
Estructuras de C oncreto I
d)
C u an d o n o se
re q u ie ra e s p e c ifíc a d a m e n te an c la je o
lo n g itu d de d e sa rro llo p a ra fy , y se d isp o n e d e una
c u a n tía
de
re fu e rz o
m ayor
a
la
re q u e rid a
6db
por
a n á lisis ..................................................................................................
No. 43 a No. 57
No. 2 9 , No. 3 2 , No. 36
No. 10 a No. 25
4db>65r
A; rrcporacnafe
P ara b a rra s q u e so n d e sa rro lla d a s m e d ia n te u n g a n c h o e stá n d a r e n extremos
d isc o n tin u o s d e e le m e n to s co n re c u b rim ie n to so b re el g a n c h o d e m enos de
65 m m en a m b o s lad o s y en el b o rd e su p e rio r (o in fe rio r), la b a rra con el
g an c h o se d eb e c o n fin a r co n estrib o s, p e rp e n d ic u la r a la b a rra en desarrollo,
e sp a c ia d o s en n o m ás d e 3db a lo larg o de fdh. El p rim e r estrib o debe
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
, db
Sección
C rítica
12db
c o n fin a r la p a rte d o b la d a d el g a n c h o d e n tro d e 2db d el e x te rio r d el doblez,
d o n d e db es el d iá m e tro de la b a rra co n g an c h o . E n este ca so , n o deben
db
a p lic a rse los fa c to re s (b) y (c).
F in a lm e n te , ca b e a c la ra r q u e los g a n c h o s n o se c o n s id e ra n efe c tiv o s en el
d e sa rro llo d e b a rra s en c o m p re sió n .
E n la fig u ra a d ju n ta , c o rre s p o n d ie n te a b a rra s c o n g a n c h o s som etidas a
tra c c ió n , a p a re c e la d e n o m in a d a lo n g itu d d e d e sa rro llo to tal, r í h , la cual se
m id e d e sd e la sec ció n c rític a h a sta el p u n to m ás d ista n te de la barra, en
d ire c c ió n p a ra le la a su p o rc ió n recta.
í dh
F ig u ra 4.6
A co n tin u ació n se p re s e n ta u n a ta b u la c ió n d e las lo n g itu d e s d e d esa rro llo ,
¿dh, en m m , p a ra b a rra s c o rru g a d a s en tra c c ió n q u e term in a n en u n g an c h o
estándar, p ara fy = 4 2 0 y 2 4 0 M P a y su a fe c ta c ió n p o r la m u ltip lic a c ió n p o r
algunos d e los c o e fic ie n te s a rrib a m en cio n a d o s.
206
Capítulo 4
E structuras de C oncreto I
T abla 4.22
Tabla 4.23
L o n g it u d d e d e s a r r o ll o p a r a b a r r a s c o r r u g a d a s e n tr a c c ió n q u e
L o n g itu d d e d e s a r r o ll o p a r a b a r r a s c o r r u g a d a s e n t r a c c ió n q u e
te r m i n a n e n u n g a n c h o e s t á n d a r
te rm in a n e n u n g a n c h o e s tá n d a r
fy = 4 2 0 M P a
fy =
y e = 1 .0
f ' (M P a )
14.1
Barra No
ym m )
17.6
21.1
24.6
28.1
31.7
35.2
38.7
42.2 |
¿d(mm) £d(mm) ( d(mm) ¿d(mm) ¿d (mm) ¿d(mm) ¿d(mm)
150
150
208
193
170
161
279
227
216
206
197
349
258
323
181
241
150
154
302
285
270
258
459
419
388
363
342
596
682
533
610
487
451
422
397
325
377
309
360
247
296
344
516
483
412
394
690
583
546
455
514
432
488
465
10
770
867
557
630
656
614
961
1154
860
1033
728
874
681
578
641
549
608
523
11
14
709
786
944
580
556
818
770
18
1538
1377
1257
1165
1090
1026
731
974
697
928
667
889
172
154
150
3
4
255
228
341
5
427
305
382
6
7
513
9
776
150
~ l5 Í T ~
~T50
445
501
B arra N o
17.6
21.1
£d(mm)
ym m )
í d(mm)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
14
18
150
179
239
299
359
417
477
539
607
673
808
1077
150
160
2 14
150
150
195
244
24.6
28.1
31.7
£d (mm) £d (mm) £d (mm)
150
150
181
226
272
150
150
169
212
254
296
338
382
4 30
267
321
373
427
483
293
341
390
441
316
361
408
543
602
723
964
496
550
661
880
460
509
612
815
150
150
159
199
35.2
3 8 .7
£d(mm) £d(mm)
150
150
151
189
227
264
150
150
150
180
217
252
302
341
42.2
¿ d (mm)
150
150
150
173
2 39
278
318
360
405
449
384
426
288
326
366
406
763
539
718
511
681
488
650
351
389
467
622
28.1
31.7
35.2
38.7
42.2
477
572
207
241
276
312
C o e fic ie n te u s a d o : 0 .7 ( lite r a l a)
fy = 4 2 0 M P a
14.1
21.1
17.6
£d(mm) t d(mm) £d(mm)
24.6
28.1
¿ d (mm) ¿ d (mm)
31.7
3 5.2
38.7
42.2
£d(mm)
£d (mm)
£d(mm)
^d (mm)
2
150
150
150
150
150
150
150
150
150
3
150
150
150
150
150
150
150
150
150
4
195
174
159
150
150
150
150
150
150
5
244
218
199
185
173
163
154
150
150
6
293
262
240
222
208
195
185
177
169
7
341
305
278
258
241
227
216
206
197
f' (MPa)
14.1
Barra No
¿d (mm)
2
3
4
5
6
7
8
9
8
390
349
319
295
276
260
247
235
225
9
440
394
360
333
312
294
279
266
254
10
495
443
405
375
351
330
314
299
286
11
549
492
449
416
389
366
348
331
317
14
660
590
539
499
467
440
417
398
381
10
11
14
508
18
18
14.1
(MPa)
A rtícu lo C . 1 2 .5.3
fv = 2 4 0 M P a
f ' (M P a )
f
420 M Pa
B arra No
150
2
8
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
879
787
719
665
623
586
556
531
150
204
273
341
410
477
545
616
694
769
923
1231
_____
17.6
21.1
£d (mm) £d(mm)
150
183
244
150
167
306
367
223
279
335
427
488
552
390
446
504
621
688
567
628
755
827
1101
1006
24.6
L, (m m )
150
154
206
259
311
361
413
467
525
582
699
932
A rtícu lo C . 1 2 .5 .3
A rtícu lo s C. 12.5.1 y C . 12.5.2
Coeficiente usado: 0.8 (literal b )
208
209
í d(mm) í d (mm)
150
150
193
242
291
338
386
437
491
545
654
872
¿ d (mm) L, (mm)
150
150
182
150
150
173
228
274
216
260
302
345
318
364
411
463
513
616
821
390
439
487
584
779
í d(mm)
150
150
165
206
150
150
158
197
248
288
329
372
237
276
315
356
419
464
401
444
557
743
534
711
C apítulo 4
Estructuras de C oncreto I
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
T a b la 4.24
T a b la 4.25
L o n g it u d d e d e s a r r o ll o p a r a b a r r a s c o r r u g a d a s e n tr a c c ió n q u e
L o n g itu d d e d e s a r r o ll o p a r a b a r r a s c o r r u g a d a s e n tr a c c ió n q u e
te rm in a n e n u n g a n c h o e s tá n d a r
te r m i n a n e n u n g a n c h o e s t á n d a r
fy = 2 4 0 M P a
fy = 4 2 0 M P a
14.1
f ' (M P a )
17.6
(mm) £A(mm)
B a rra No
150
2
3
4
5
6
150
150
171
205
7
8
9
10
11
14
18
150
150
150
153
184
238
273
308
347
384
213
244
462
615
413
551
276
310
344
21.1
24.6
£á(mm) £d(mm)
150
150
150
150
168
195
223
252
28 4
314
377
503
150
150
150
150
155
180
206
233
263
291
350
466
28.1
31.7
Li (mm) ¿d(mm)
150
150
150
150
153
178
203
150
150
150
150
153
178
203
230
35.2
3 8.7
42.2
f ' (M Pa)
£d(mm) £A(mm)
150
150
150
150
150
150
153
178
150
150
230
258
28 6
344
258
286
344
203
230
258
286
344
458
458
458
B arra No
150
150
150
150
153
153
178
203
178
203
230
258
286
344
230
258
286
344
458
458
■
2
r
4
5
6
7
8
9
10
11
14
18
14.1
í d (mm)
150
150
191
239
287
334
382
431
486
538
646
861
17.6
21.1
£A(mm) £d(mm)
150
150
171
214
257
299
342
386
435
482
579
771
24.6
£d (mm)
150
150
150
181
217
150
150
150
169
203
273
312
353
397
253
289
327
368
236
270
306
440
528
704
407
489
652
381
458
C o e f ic i e n te s u s a d o s : 0 .7 ( l it e r a l a)
fy = 2 4 0 M P a
fy = 2 4 0 M P a _________________________________
f ' (M P a )
B a rra No
14.1
17.6
150
150
150
156
5
6
7
195
234
150
150
175
210
244
11
14
18
24.6
28.1
31.7
35.2
38.7
42.2
¿d (mm) i (1(m m ) £d (mm) £A(mm) £d(mm) £A(mm) £á(mm) £á(mm) ¿d(mm)
2
3
4
8
9
10
21.1
272
312
352
396
439
528
703
279
150
150
150
160
192
223
255
288
324
315
355
393
472
359
431
629
575
150
150
150
150
177
206
236
267
300
333
399
532
150
150
150
150
166
193
221
249
281
311
374
498
150
150
150
150
156
182
208
235
264
293
352
469
150
150
150
150
150
150
153
150
150
153
178
203
178
203
230
f ' (M P a)
B a rra No
150
153
178
203
2
3
4
5
6
7
8
150
150
150
14.1
21.1
150
150
150
150
150
150
150
164
191
150
153
150
150
153
178
203
230
178
203
230
258
286
344
258
286
344
458
458
230
258
9
10
286
344
258
286
344
218
247
277
286
344
458
458
458
11
14
18
308
369
492
230
258
17.6
£d(mm) £A(mm) £A(mm)
150
150
24.6
í d (m m )
150
150
150
150
153
178
203
230
258
211
191
223
255
288
324
150
150
150
151
182
211
242
273
307
341
409
545
38.7
42.2
28.1
31.7
35.2
150
150
150
150
173
201
150
150
150
150
166
193
221
230
260
293
325
390
249
281
311
374
520
498
3 8.7
42.2
£á(mm) £A(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm)
150
150
150
150
150
150
150
150
153
178
203
153
178
458
A rtículo C . 12. 5. 3
150
150
150
159
610
458
C o e fic ie n te s u s a d o s : 0 .7 , 0 .8 ( lite r a le s a y b )
35.2
359
431
574
286
344
C o e f ic i e n te u s a d o s : 0 .8 ( lite r a l b )
210
344
230
258
286
344
A r tí c u lo C . 1 2 .5 .3
31.7
£A(mm) £á(mm) £¿(mm) £d(mm) £A(mm)
150
150
156
195
235
A rtículo C . 12 .5 .3
C o e fic ie n te s u s a d o s : 0 .7 * 0 .8 ( lit e r a le s a y b )
A r tí c u lo C . 1 2 .5 .3
28.1
203
230
150
150
150
150
150
150
153
178
150
150
153
203
258
286
344
230
258
286
344
458
458
178
203
230
258
286
344
458
150
150
150
150
153
178
203
230
258
286
344
458
C apítulo 4
Estructuras de C oncreto I
A c o n tin u a c ió n se p re se n ta , co n el a lc a n c e d e só lo u n e sq u e m a m u y general
lo s p o sib le s p u n to s d e c o rte p a ra u n a lu z e x tre m a co n el a p o y o exterior
co m o sim p le ap o y o , c o n u n a lu z in te rio r so p o rta d a en c o lu m n a s y Un
v o la d iz o en el o tro ex tre m o . L a s lu ces so n a p ro x im a d a m e n te ig u ales y la
c a rg a e n to d o s los ca so s es u n ifo rm e e igual.
f)
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
El esp a c ia m ie n to m ín im o d e las b a rra s n o d eb e s e r m e n o r de 4 d b.
para las b arras c o rru g a d a s c o n c a b e z a q u e c u m p le n c o n C .3 .5 .9 , la lo n g itu d
de desarrollo a tra c c ió n h \ , d eb e se r d e (0 .1 9 \|/e f J > /f^)db, d o n d e el v a lo r
de f c usado p a ra c a lc u la r ü x n o d eb e e x c e d e r de 4 0 M P a, y el fa c to r \|/e d eb e
tomarse com o 1.2 p a ra re fu e rz o s re c u b ie rto s c o n e p o x ic o y d e 1.0 p a ra o tro s
casos. D onde el re fu e rz o este en e x c e so so b re el re q u e rid o p o r el a n á lisis,
e x c e p to d o n d e el d e sa rro llo d e fy se re q u ie ra e sp e c ia lm e n te , se p e rm ite que
/di sea m u ltip licad o p o r (A s re q u e rid o )/(A s en tre g ad o ). L a lo n g itu d fd in o
debe ser m e n o r d el m a y o r e n tre 8 d b y 150 m m .
Las cabezas n o se c o n s id e ra n efe c tiv a s e n el d esa rro llo d e las b a rra s a
compresión.
F ig u r a 4.7
D e sa r r o llo d e las b a r r a s c o r r u g a d a s co n ca b e z a y a n cla d a s
Sección
Crítica
m e c á n ic a m e n te en tr a c c ió n
L a lo n g itu d d e d e sa rro llo en tra c c ió n d e las b a rra s c o rru g a d a s co n cabeza,
U , d eb e se r d e te rm in a d a c o n C . 12.6.2. E l u so d e c a b e z a p a ra d e sa rro lla r las
b a rra s c o rru g a d a s en tra c c ió n d eb e q u e d a r lim itad o a c o n d ic io n e s que
c u m p la n c o n (a ) h a sta la (f):
a)
El fy d e la b a rra n o d eb e e x c e d e r de 4 2 0 M P a.
b)
E l ta m a ñ o d e la b a rra n o d e b e se r m e n o r d e N o . 11(1 -3 /8 ” ) o 36M
(3 6 m m ).
c)
E l c o n c re to d eb e se r d e p e so norm al.
d)
El á rea d e a p o y o d e la c a b e z a A brg n o d eb e s e r m e n o r a 4 A b.
e)
El re c u b rim ie n to lib re p a ra la b a rra n o d eb e se r m e n o r de 2 d b , y
212
F ig u ra 4.8
213
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 4
T abla 4.26
Longitud de desarrollo para barras corrugadas con cabeza
A ncladas m ecánicam ente en tracción
fy = 420 M Pa
f ' (M P a )
Barra No
14.1
21.1
24.6
¿d(mm) í d (mm) td (mm) í d(mm)
28.1
31.7
í d (mm)
í d (mm)
2
3
4
150
202
27 0
150
181
242
150
166
221
150
153
205
150
150
192
5
338
406
472
540
610
303
364
277
332
386
442
256
308
358
409
462
240
288
335
383
6
7
8
9
10
11
14
687
761
914
18
1218
pesaíToll0 de m a lla e le c tr o so ld a d a de a la m b r e co r ru g a d o
\|/e= 1.0
17.6
423
484
546
615
681
818
1090
49 9
562
622
748
996
520
576
692
922
433
487
539
648
863
150
150
181
226
271
315
361
407
458
508
610
813
35.2
38.7
í d(mm) í d(mm)
150
150
171
214
257
299
342
387
435
482
579
771
150
150
163
204
246
285
326
369
415
460
552
736
42.2
^d(mm)
~150
150
157
196
235
273
313
~353
397
440
529
704
fy = 240 M Pa
f ' (M P a)
Barra
14.1
No í d (mm)
2
3
4
5
150
150
6
7
232
8
9
10
11
14
18
155
194
270
309
349
393
435
523
696
A rtícu lo s C. 12.6.2
longitud de d e sa rro llo id en m m , p a ra m alla e le c tro so ld a d a d e a la m b re
corrugado m ed id a d e sd e la se c c ió n c rítica h asta el ex tre m o d el alam b re,
debe calcularse co m o el p ro d u c to de la lo n g itu d d e d esa rro llo p a ra alam b re
corrugado an tes e x p u e sta y el fa c to r o fa c to re s d e m o d ific a c ió n a p lica b le s.
Se perm ite re d u cir la lo n g itu d d e d e sa rro llo p a ra el caso d e re fu e rz o en
ex ceso , A t u e n d o / A s s u m in is tra d o , p e ro id n o d eb e se r m e n o r d e 2 0 0 m m ex c ep to
al calcular los em p a lm e s p o r traslap o . E n este caso , la lo n g itu d m ín im a de
traslap o para em p a lm e s tra sla p a d o s d e m alla e le c tro so ld a d a d e alam b re
corrugado, m ed id a e n tre lo s e x tre m o s d e c a d a m alla, n o d eb e se r m e n o r que
1 3 id ni de 200 m m y el tra sla p o m e d id o e n tre lo s a la m b re s tra n sv e rsa le s
ex tre m o s de cad a m a lla n o d eb e se r m e n o r de 50 m m .
El coeficiente d e m alla e le c tro so ld a d a y w de a la m b re c o rru g a d o q u e te n g a
al menos un alam b re tra n sv e rsa l d e n tro d e la lo n g itu d d e d e s a rro llo a una
separación no m e n o r d e 5 0 m m del p u n to d e la sec ció n crítica, d eb e se r el
mayor de:
( fy - 240 ^
17.6
¿d (mm)
150
150
150
173
208
242
277
312
352
390
46 8
623
21.1
24.6
t d(mm) i d (mm)
150
150
150
150
150
150
158
190
221
253
150
176
205
234
264
285
321
356
427
569
297
330
396
527
28.1
f d (mm)
3 1 .7
150
150
150
150
150
150
150
165
150
155
180
191
219
247
278
308
370
493
35.2
í d(mm) í d(mm)
206
233
262
290
349
465
150
150
150
150
153
38.7
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
42.2
V
f
y
V
0
Í5 d rí
v sw y
(mm) ¿d(mm)
150
150
150
150
150
178
204
230
150
153
178
204
150
150
153
178
204
230
230
259
287
344
259
287
344
259
287
344
459
45 9
459
Donde s w es el e sp a c ia m ie n to d el a la m b re q u e v a a d e sa rro lla rse o a
empalmar, e x p re sa d o en m m . D e to d a s m a n e ra s, este c o e fic ie n te n o d eb e
exceder a 1.0.
Para m alla e le c tro so ld a d a d e a la m b re c o rru g a d o sin ala m b re s tra n sv e rsa le s
dentro de la lo n g itu d d e d e sa rro llo , o co n u n so lo a la m b re a m e n o s de
50 mm de la se c c ió n crítica , el a n te rio r c o e fic ie n te d eb e to m a rse co m o 1.0 y
la longitud d e d e s a rro llo d e b e se r la q u e se d e te rm in e p a ra alam b re
corrugado.
A continuación y co n u n a lc a n c e estric ta m e n te d id á c tic o , se p re se n ta un
ejemplo de d iseñ o d e u n a v ig a d e d o s lu ces y u n v o la d iz o co m o a p lic a c ió n
de los req u isito s y e sp e c ific a c io n e s a n te rio rm e n te ex p u e sto s.
C apítulo 4
E structuras de C oncreto
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
L a v ig a d e la fig u ra 4 .9 tien e u n a se c c ió n d e 0 .6 0 x 0.45 m y fue diseñada
p a ra c o n c re to de fc = 2 1 . 1 M P a y a c e ro d e re fu e rz o p a ra fy = 4 2 0 M Pa. En
punto de in flex ió n , n o m e n o r q u e la a ltu ra e fe c tiv a del elem e n to ,
(0.38 m ), 12 db (12 x * 7 /8 ” = 1 2 * 0 .0 2 2 2 = 0 .2 6 6 m ) o 1/16 d e la luz
libre ( ( 1/ 1 6 )* 6 .7 0 = 0 .4 2 m y (1 /1 6 )* 7 .7 0 = 0.48 m ). Se a d o p ta co m o
longitud d e an c la je 0 .4 2 y 0.48 m en c a d a luz.
la fig u ra 4 .9 se m u e s tra n los d ia g ra m a s d e c o rte y flex ió n , previam ente
c a lc u la d o s y el re fu e rz o co lo cad o .
L ongitud de d e sa rro llo de las b a rra s q u e se p ro lo n g a n (* 7 /8 ”):
P ro b le m a 4.1
(
w t = 25 k N /m
'i
'i
'i
0.45
S
-v
_ |U
0.30
7.00
1.85
7.70
6.70
0.30
0.30
8.00
2.0 0
1)
uWC
° b + K,f 1 < 2 . 5
c b + K Ir
db
V
donde:
Y|/.=
c o e fic ie n te re la c io n a d o co n la lo c a liz a c ió n d e la b a rra y
es 1.3 p a ra re fu e rz o su p erio r;
V|/e=
c o e fic ie n te re la c io n a d o co n el tip o d e su p e rfic ie del
re fu e rz o y es 1.0 p a ra re fu e rz o sin re c u b rim ie n to
ep ó x ico ;
VJ/s =
c o e fic ie n te d e e sc a la re la c io n a d o co n el d iá m e tro d e la
b a rra y es 0.8 p ara b a rra s N o . 6 o m en o re s y 1.0 p a ra
b a rra s N o . 7 y m ay o re s;
Ktr =
40Atr / s n ,
tra n s v e rs a l
s, sie n d o s
tra n s v e rs a l
F ig u r a 4.9
S o lu ció n
Se p re se n ta n los c á lc u lo s d e las lo n g itu d e s d e d e sa rro llo n e c e sa ria s para la
c o lo c a c ió n d e los re fu e rz o s p re v ia m e n te o b te n id o s a p a rtir d e los diseños a
fle x ió n y co rta n te. El d ise ñ o se e fe c tu ó co n d = 0.38 m .
V.VcVs
Según la N S R -1 0 : i d -
c.
II
'fi
R e fu e rz o n e g a tiv o
A poyo 2
M o m e n to d e diseñ o :
(j)Mn - 2 8 0 .2 kN -m
R e fu e rz o re q u erid o :
p = 0 .0 0 9 6 5 3
-
A s = 0 .002201 m
2
R e fu e rz o s u m in is tr a d o ^ (j) 7 /8 ” + 1 <J) 3 /4 ” (0 .0 0 2 2 1 9 m )
e x p re sa d o en m m . A tr= 1*2*71 = 142 m m ;
S =
L o n g itu d d e an claje:
A l m e n o s u n te rc io d el re fu e rz o to tal a tra c c ió n su m in istra d o para
m o m e n to n e g a tiv o d e b e te n e r u n a lo n g itu d d e an c la je m ás allá del
216
en la cu al Air es el á rea to tal d e re fu e rz o
en fo rm a d e estrib o s, d e n tro d e u n a d ista n c ia
el e sp a c ia m ie n to , ce n tro a c e n tro , d el re fu erz o
q u e ex iste en la lo n g itu d d e d e sa rro llo id ,
e s p a c ia m ie n to ce n tro a ce n tro del re fu e rz o tra n sv e rsa l
q u e e x iste en la lo n g itu d d e d e sa rro llo i d . E n este
p ro b le m a s = 90 m m ;
217
C apítulo 4
E structuras de C oncreto I
n =
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
Longitud de d esa rro llo :
n ú m e ro d e b a rra s, en u n a m ism a fila o capa, que Se
d e sa rro lla n : 3;
P ara ()>%":
cb =
d im e n sió n d el e s p a c ia m ie n to o d el re cu b rim ien to del
re fu e rz o = 4 0 m m
d
jr
420
1 3*1 0 * 0 8
1.1* V 2 L 4
2.5
420
1 3*1 0 * 0 8
1.1* V21TT
2.5
g . = -------- r^ = * —------ :------ — * 15.9 = 5 5 0 m m (íd e m ta b la 4 .2 0 )
, A 142*40
4 0 H-------------Para
R eem p la z a n d o :------—------ —= --------- — — = 2.75 > 2.5
db
2 2 .2
g . = -------- -------------------------- — * 1 2.7 = 4 4 0 m m (íd e m tab la 4 .2 0 )
d
L o n g itu d d e d esa rro llo :
A p o y o 1:
P ara ((>%":
420
*
1 .1 * a/ 2 L Í
1 3*1 0*1 0
:
* 2 2 .2 = 9 6 0 m m (íd e m ta b la 4.20)
2.5
-
£ d = 7—
Se
420
j =
1 .1 S /2 T I
*
re fu e rz o
n o m in a l
de
2 <J>5/ 8"+ 3 <J>l/2"
(A s= 0 .0 0 0 7 8 5 n r ) , q u e re s u lta a p ro x im a d a m e n te s im ila r al
'
m ín im o re q u e rid o (A s m ín im o 0 .0 0 3 3 * 0 .6 0 * 0 .3 8 = 0 .0 0 0 7 5 2 m 2)
y de d iá m e tro s en c o n c o rd a n c ia co n los c o lo c a d o s en el re sto d e la
viga.
y p o r lo tan to p a ra <|>%":
£á =
su m in istra u n
1 3*1 0 * 0 8
:
* 19.1 = 661 m m (íd e m ta b la 4.20)
2 .5
’
2)
R efuerzo p o sitiv o
Luz 1 - 2:
A p o y o 3:
M om ento de d iseñ o :
M o m e n to d e d iseñ o :
R e fu e rz o re q u e rid o :
(|)Mn = 8 5 .0 kN -m
p = 0 .0 0 3 3 (m ín im a ) - A s = 0 .0 0 0 7 5 2 m2
R efuerzo re q u erid o :
R efuerzo su m in istra d o :
(j)Mn = 139.1 kN -m
p = 0 .0 0 4 4 8 7
-
A s = 0 .0 0 1 0 2 3 m 2
5 (j)¡/2 " + 2 (j)%" (0 .0 0 1 0 4 3 m 2)
R e fu e rz o su m in istra d o : 2 <|>%" + 3 § Y 2 " (0 .0 0 0 7 8 5 m 2)
En los ap oyos:
L o n g itu d d e an c la je:
L a m a y o r en tre la a ltu ra e fe c tiv a (0.38 m ), 12db (12*0.0159
= 0 .1 9 m ) y j/¡6 d e
^u z ^ re (} i6 * 7 - 7 0 = 0-48 m ). S e adopta
0.48 m .
218
A l m en o s 1/3 d el re fu e rz o p a ra m o m e n to p o sitiv o en e le m e n to s
sim plem ente a p o y a d o s y 1/4 d el re fu e rz o p o s itiv o en elem e n to s
continuos, d eb e e x te n d e rs e a lo larg o d e la m is m a ca ra d el elem e n to
dentro d el ap o y o . E n v ig a s, tal re fu e rz o d e b e e x te n d e rs e d e n tro del
apoyo al m e n o s 0.15 m . E n v ig a s q u e h a c e n p a rte d el siste m a de
219
C apítulo 4
Estructuras de C oncreto I
Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo
re s iste n c ia sísm ic a se d eb e n c u m p lir los re q u isito s d el C a p ítu lo C.21
• C2SL + Í , =
— + 0 .3 8 = 1 .2 4 m
•• V u
a
118.2
d el R e g la m e n to C o lo m b ia n o .
E n el e je m p lo se e n tra y e x tie n d e e n el a p o y o (1): 2 (j)5 / 8" + 3 (j>l /2 "
y e n el a p o y o (2): 2 (j)5 /8 " + 2
(j)l/ 2 " . E n el a p o y o (1 ) el refuerzo
te rm in a d e sp u é s d el c e n tro d el m ism o co n u n g a n c h o e stá n d a r en su
e x tre m o , p o r tal ra z ó n h a y n e c e s id a d d e re v is a r la long itu d de
d e sa rro llo p a ra b a rra s c o rru g a d a s a trac ció n .
Luz 2 - 3 :
f
420
1 0*1 0 * 0 8
= ___ A _ = * — — —
-——— * 15.9 = 423 m m (íd e m ta b la 4 .1 9 )
1 .1 * V 2 U
2.5
cu m p lién d o se el re q u isito m en cio n a d o .
A continuación, la fig u ra 4 .1 0 q u e c o n tie n e lo s d ia g ra m a s y re fu erz o s
M o m e n to d e d iseñ o :
<\>Mn = 164.4 kN -m
R e fu e rz o re q u erid o :
p = 0 .0 0 5 3 6 0
R e fu e rz o su m in istra d o :
Por otra parte:
5 ( j)^ " + 3
anunciados.
-
A s = 0 .0 0 1 2 2 2 m2
(0 .0 0 1 2 4 2 m )
E n los ap o y o s:
E n el e je m p lo se e n tra y e x tie n d e e n los a p o y o s (2) y (3): 2 cj)5 / 8" +
2 (j)l / 2 " en lo n g itu d e s m a y o re s d e 0.15 m . P o r o tra p arte , para las
b a rra s q u e se e x tie n d e n m ás allá d el p u n to d e in fle x ió n h a c ia el apoyo
p o r u n a lo n g itu d n o m a y o r d e la a ltu ra e fe c tiv a d e la v ig a (d = 0.38 m)
o 12 v e c e s el d iá m e tro d e la b a rra db (1 2 * 0 .0 1 5 9 = 0 .1 9 m ), se debe
c u m p lir el re q u isito que:
donde:
M n = re siste n c ia n o m in a l a la fle x ió n del re fu e rz o 2 ( j ) j { " + 2
M n = 101.08 kN -m ;
V u= fu e rza c o rta n te m a y o ra d a en la sec c ió n = 118.2 kN ;
£ a = lo n g itu d d e a n c la je a d ic io n a l en el p u n to d e in fle x ió n = 0.38 m
220
221
Estructuras de C oncreto I
O
o
co
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
M VWLL'Tfl 3 1 N V 1 3 O 0 V Z 33H 3
o
o o o
O
O
O o
m
oN O
lo o
ín o m o
a <
—— m
00 10
o
m
m t>
-e-
Capítulo 5
1
SISTEMA DE LOSAS ARMADAS
EN UNA DIRECCION
-©•
C'i
Figura 4.10
223
222
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
E structuras de C oncreto I
SISTEM A D E L O S A S A R M A D A S E N U N A D IR E C IO N
En este cap ítu lo se tra ta rá n las lo sas a rm a d a s en u n a d ire c c ió n en su s dos
tipos, m acizas y a lig e ra d a s, a p o y a d a s en v ig a s o en m u ro s.
Se arm arán lo sas en u n a d ire c c ió n en el caso e v id en te en q u e só lo e x istan
apoyos en esa d ire c c ió n o c u a n d o el g ra d o d e re c ta n g u la rid a d d e la lo sa es
tai que la re la c ió n d e sus lu ces sea d e 0.5 o m en o s, en cu y o c a so la m a y o r
parte de la c a rg a será lle v a d a p o r fle x ió n a los a p o y o s en el se n tid o d e la luz
corta que p o r c o n sig u ie n te será la d e d iseñ o . E ste co n c e p to d e re p a rtic ió n de
la carga se e stu d ia co n m ás d eta lle en el C a p ítu lo 7, S iste m a s d e lo sas
armadas en d o s d irec cio n es.
La utilización de lo s d o s tip o s, m a c iz a o a lig e ra d a , es en b u e n a p a rte fu n c ió n
de la luz, sien d o m a c iz a la q u e c o rre sp o n d e a lu ces co rtas. A c o n tin u a c ió n
se presentan eje m p lo s d e d iseñ o de u n a y o tra, en lo s cu a le s se e n u n c ia n las
especificaciones a p lic a b le s en c a d a caso.
Losas m a ciza s
Problem a 5.1
Diseñar u n a lo sa m a c iz a d e d im e n sio n e s en p la n ta 4 .0 0 x 8 .0 0 m ., a p o y a d a
sobre m u ro s d e la d rillo to le te y a p ta p a ra so p o rta r u n a so b re c a rg a o c a rg a de
servicio de 1.8 k N /n T , si se u sa rá n p a rtic io n e s so b re la lo sa en lad rillo
bloque h u eco de a rc illa p a ra u n a c a rg a re p a rtid a d e 3 k N /m 2 y se c o n stru irá
en con creto d e
= 2 1 . 1 M P a y a c e ro co n u n lím ite d e
240 M Pa.
225
flu e n c ia
de
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
Estructuras de C oncreto I
375
t=
0.4 +
20
240^1
700
J
= 0 .1 3 9 m ~ 0 .1 4 m
Sin em bargo, el e s p e s o r fin al a d o p ta d o d e p e n d e rá de c o n sid e ra c io n e s
ligadas a la so b re carg a , re c u b rim ie n to d el re fu e rz o co m o p ro te c c ió n del
medio am b ien te, se g u rid a d y e c o n o m ía , y a u n e s p e s o r m ín im o , en to d o s los
casos, de 0.10 m . P a ra el e je m p lo q u e se e x p o n e se ad o p ta t = 0.15 m . P o r lo
tanto:
Se d eb e o b te n e r el e s p e s o r “ t” a fin d e c a lc u la r las c a rg a s d e d iseñ o de la
lo sa, u su a lm e n te p o r m e tro cu a d ra d o . P a ra este e fecto es p re c iso referirse a
Cargas:
la re c o m e n d a c ió n del R e g la m e n to N S R -1 0 , el cu a l e sp e c ific a en el cuerpo
0 .1 5 * 1.00* 1.00*24
3 .6 0 kN /m "
acabado en v in ilo :
0 .03* 1.00* 1.00*22
0 .6 6 kN /m "
Pañete c ielo raso :
0 .0 2 * 1.00* 1.00*22
0 .4 4 k N /m 2
d el R e g la m e n to y en su c o m e n ta rio los sig u ie n te s e sp e so re s m ín im o s para
Peso p ro p io d e la losa:
lo sas m a c iz a s n o p re e sfo rz a d a s q u e tra b a je n en u n a d ire c c ió n , a m en o s que
Piso en m o rte ro a fin a d o
u n c á lc u lo c u id a d o so de las d e fle x io n e s p e rm ita a d o p ta r e sp e so re s menores.
I
t = —
14
i
t=—
^
p a ra m u ro s d iv iso rio s y p a rtic io n e s frá g ile s y
p a ra m u ro s d iv iso rio s y p a rtic io n e s n o su sc e p tib le s d e dañarse
an te d e fle x io n e s g ra n d es
E sto s e sp e so re s se u sa rá n p a ra e le m e n to s cu y o re fu e rz o te n g a u n lím ite de
C arga p o r p a rtic io n e s:
3 .0 0 k N /m 2
S ubtotal (c arg a m u erta):
7 .7 0 kN /m "
C arga viva:
1.80 k N /m 2
Total
9 .5 0 kN /m "
flu e n c ia d e 4 2 0 M P a; p a ra o tro s tip o s de a c ero d e re fu e rz o los valores
El diseño de estas lo sas se e fe c tú a p o r m e tro d e an c h o ; p o r lo ta n to la c a rg a
de diseño será 9 .5 0 k N /m .
a n te rio re s se d eb e n m u ltip lic a r p o r
0.4 +
Por tratarse d e u n a lo sa a p o y a d a d ire c ta m e n te so b re m u ro s de la d rillo
700
cerámico no in teg ra le s c o n la m ism a , la lu z d e cá lc u lo p a ra flex ió n será la
luz entre ejes; si se co n stru y e in teg ra l c o n la lo sa u n a v ig a d e b o rd e p a ra su
E n este caso , sie n d o t la lu z d e la lo sa c e n tro a c e n tro de ap o y o s, resu lta:
apoyo (F ig u ra 5 .2 .a ) o si el m u ro se c o n tin ú a h a c ia a rrib a so b re ella (F ig u ra
5.2.b), se ten d rá u n a re stric c ió n d el lib re g iro d e la lo sa q u e sig n ific a un
t= ^
*
14
0.4 +
240
= 0 .1 9 8 m ~ 0 .2 0 m
700
226
y
momento n e g a tiv o en el a p o y o y u n a d ism in u c ió n d el m o m e n to p o s itiv o en
la luz, ju s tific á n d o s e el d ise ñ o p a ra u n m o m e n to p o sitiv o in fe rio r al
227
Estructuras de C oncreto I
c o rre sp o n d ie n te
a
la
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
lo sa
s im p le m e n te
apoyada
o
el
em p leo en
d e te rm in a c ió n de la lu z lib re, to d o a c rite rio d el d iseñ ad o r.
Luego
se
puede
d o b la r
aproximadamente a %
el
re fu e rz o
a
del
0 . 1 5£
e je
de
apoyo
o
de la luz libre.
Arm adura tr a n sv e r sa l
De acuerdo co n el R e g la m e n to c o lo m b ia n o , en lo sas m a c iz a s re fo rz a d a s en
una dirección d eb e c o lo c a rse u n re fu e rz o se c u n d a rio , p a ra e fe c to s de
retracción y te m p e ra tu ra , en d ire c c ió n p e rp e n d ic u la r al re fu e rz o p rin c ip a l.
La relación d e á rea d e re fu e rz o a á rea b ru ta de c o n c re to d e b e ten er, co m o
mínimo, los sig u ie n te s v a lo re s, lo s cu a le s so n a p lica b le s c u a n d o la lo sa
V IG A
puede ex p an d irse o c o n tra e rse
F ig u r a 5.2.a
F ig u ra 5 .2 .b
lib re m e n te , o cu a n d o
se a d m ite q u e se
presente físu ra ció n sin n in g ú n co n tro l, o c u a n d o el c o n tro l de fís u ra c ió n es
innecesario:
C o m o so lu c ió n a la tra c c ió n d e b id a a este m o m e n to n e g a tiv o , se acostumbra
d o b la r la m ita d d e los h ie rro s c o rre s p o n d ie n te s al re fu e rz o p a ra momento
p o sitiv o , d o n d e y a n o se n e c e s ita n p a ra este e fe c to (m o m e n to flector
Para b arras c o rru g a d a s c o n re siste n c ia a la flu en c ia
f y m en o r o ig u al a 3 5 0 M P a .........................................................................0 .0 0 2 0
p o sitiv o ig u al o m e n o r a la m ita d d el m á x im o d e d ise ñ o ) y p ro lo n g arlo s en
Para b arras c o rru g a d a s co n re s is te n c ia a la flu e n c ia fy ig u al
la p a rte su p e rio r h a sta el a p o y o , d e m a n e ra q u e la p a rte re c ta su p e rio r no sea
a 420 M P a o re fu e rz o e le c tro so ld a d o d e a la m b re ............................... 0 .0 0 1 8
in fe rio r a 0 .3 0 m.
Para re fu erz o co n re s is te n c ia a la f y flu e n c ia m a y o r de
P o r lo tanto:
420 M P a, c o rre sp o n d ie n te a u n a d efo rm a c ió n u n itaria
x
M
de flu en cia d e 0 .3 5 % p e ro n o m e n o r de 0 .0 0 1 4 .....................
_ (íí
x = —¡= ~ 0 .3 5 i
V8
M
0 .0 0 1 8
420
f y
Este refuerzo d e re tra c c ió n y te m p e ra tu ra , d eb e te n e r u n a se p a ra c ió n
máxima no m a y o r d e 5 v e c e s el e s p e s o r d e la lo sa o 5 0 0 m m , la q u e sea
menor.
\
/
M/2
M /2
0.150
0.350
X
0.150
í/2
0/2
F igura 5.3
228
Finalm ente,
ta m b ié n
de
ac u e rd o
al
R e g la m e n to
c o lo m b ia n o ,
recubrim iento del re fu e rz o p a ra
c o n c re to no ex p u e sto a la
ni en co n tacto
lo sas será de
c o n el su elo , en
20
el
in tem p erie,
m m , lo cu a l p erm ite
utilizar para el e je m p lo p ro p u e sto d = 0.15 - 0.03 = 0.12 m.
Hechas las c o n sid e ra c io n e s an te rio re s, se p ro c e d e al d iseñ o , u tiliz a n d o un
coeficiente de c a rg a q u e el d is e ñ a d o r c o n sid e re ap ro p iad o :
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
E structuras de C oncreto I
U san d o U = 1.4 D + 1.6 L, se o b tie n e w u = 1 .4*7.70 + 1.6*1.80 =
b)
La arm ad u ra d e las lo sas m a c iz a s g e n e ra lm e n te se in d ic a p o r el
diám etro d e la b a rra y su se p a ra c ió n o b te n id o s a p a rtir d el área de
1 3 .6 6 k N /m 2
refuerzo re q u e rid o p o r m e tro d e an c h o , así:
...
U = I l ^ L l . 4 4 ( D + L ),
9 .5 0
fd e S = —
= 1 .6 0 ,
0.9
A
s = 1 .0 —-
®
M =
Diseño a cortante:
= 1 6 .7 0 k N -m
2 4 .0 5 k N -m
(|)M„ = 1.44M
Reacciones
9 5 0 * 3 75
Vd (kN)
Vu =
A im a d u ra :
* / 2” c/0.26
c/0 .2 6
r / 2 " c/0 .2 6
^ in fe rio r
T ra n sv e rsa l
<f>K" c/0.26
<t>^H c/0.13
A s = 0 .0 0 2 0 * 1 .00*0.15 = 0 .0 0 0 3 m 2/m
= 17.81 k N
2
0 .0 0 0 9 8 2 m :/m
As
-
<i>vc=
1.44V d
R
b
== 17.81 kN
j 15.48
15.48
I 2 2 .2 9
2 2 .2 9
j 70.23
70.23
|vu<4>vc
VU<(|)VC
(j) % " c/0.235
El resultado o b te n id o p a ra la fu e rza d e co rte es n o rm al en e stas lo sas a las
N o ta s
a)
1
-
0 .0 0 8 1 8 2
P
< j)S u p e r io r
p o r m e tro de
an ch o ).
9 .5 0 * 3 .7 5 '
wt
(á re a d e la b a rra /á re a d e re fu e rz o re q u e rid o
cuales, p o r lo g e n e ra l, n o se les c o lo c a re fu e rz o p o r este c o n c ep to . E stas
S eg ú n el R e g la m e n to , el área m ín im a d el re fu e rz o en la d ire c c ió n de la
losas son e x c e p c ió n al re q u isito del R e g la m e n to d e c o lo c a c ió n d e un
lu z
refuerzo m ín im o d e c o rta n te d o n d e la fu e rz a c o rta n te m a y o ra d a V u sea
d eb e
se r la q u e se re q u ie ra p a ra re tra c c ió n
y v a ria c ió n de
te m p e ra tu ra ; sin e m b arg o , el e s p a c ia m ie n to m á x im o d e las b arras de
re fu e rz o n o h a d e e x c e d e r d el m e n o r d e tre s v ec es el e s p e s o r d e la losa
n i d e 4 5 0 m m . C u an d o se trate d e re fu e rz o re a lm e n te co lo c a d o para
mayor que la m ita d d e la re s is te n c ia s u m in istra d a p o r el co n creto .
En la F igura 5.4 se m u e s tra el re fu e rz o p a ra esta losa.
e fecto s d e re tra c c ió n y te m p e ra tu ra , la se p a ra c ió n d e las b arras de
re fu e rz o n o d eb e e x c e d e r d e c in c o v ec es el e sp e so r d e la losa,
m a n te n ie n d o ta m b ié n el m á x im o de 4 5 0 m m .
230
231
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
Escaleras
Uno de los elem e n to s e stru c tu ra le s m ás fre c u e n te s so n las esc a le ra s d e l tip o
de losa sim p le m e n te a p o y a d a , las cu a le s se c a lc u la n co m o la lo sa m a c iz a
CARGA
anterior co n u n a lu z d e c á lc u lo c o rre sp o n d ie n te a la p ro y e c c ió n h o riz o n ta l
entre apoyos. A c o n tin u a c ió n u n e je m p lo d e este tip o d e escalera.
P r o b le m a 5 .2
Diseñar u n a esc a le ra d e do s tra m o s in c lin a d o s y u n d e sc a n so d el tip o d e lo sa
maciza in ferio r s im p le m e n te a p o y a d a, típ ic a d e u n ed ific io de a ltu ra d e p iso
a piso term in ad o de 3 .5 0 m (a ltu ra lib re e n tre p iso s d e 2 .9 0 m , e s p e s o r de
losas de en tre p iso d e 0 .5 0 m y h o lg u ra p a ra a c a b a d o s d e 0 .1 0 m ) y
dim ensiones en p la n ta tal co m o a p a re c e en la fig u ra 5.9 si se u tiliz a c o n c re to
de f c' = 2 1 .1 M P a, a c e ro p a ra f s = 1 7 0 M P a y n = 9 .3 .
Antes de p ro c e d e r al d iseñ o , c a b e c o m e n ta r q u e las d im e n sio n e s m ás
usuales p ara las a ltu ra s o c o n tra h u e lla s y las h u e lla s o p a so s e m p le a d o s p o r
nuestros a rq u ite cto s en la a c tu a lid a d so n 0 .1 7 5 m en fu n c ió n d e la c o m o d id a d
de la escalera y u n m ín im o de 0 .2 8 m se g ú n el R e g la m e n to c o lo m b ia n o
respectivam ente. P o r o tra p arte , el d ise ñ o de las e sc alera s d e este tip o se
basa en la c o n sid e ra c ió n co m o lu z d e c á lc u lo la q u e c o rre sp o n d e a la
proyección h o riz o n ta l e n tre ap o y o s.
$ 3 / 8 c / 0 .2 3 5
|í 7 i m m « i i i / i » n n u i u i » i i i H ^
♦ l / 2 c / 0 . 1 3 (SON 621
0 .1 2 5
8.00
20í>3/8L =8.20(12(¡> 3/8C /0.235)
^ 3
—
±
0 .1 2 5
Figura 5.4
Figura 5.5
232
233
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
E structuras de C oncreto I
S e u tiliz a n , en este e jem p lo , las d im e n sio n e s u su a le s an tes enunciadasre sp e c to d el e sp e s o r d e la lo sa m a c iz a in fe rio r se p re d im e n sio n a :
t _ A 02 _ o
20
Descanso:
0 .2 0 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 4
peso p ro p io losa:
m
= 4 .8 0 k N /m 2
De acab ad o su p erio r
20
0 .0 4 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 2 = 0 .8 8 k N /m 2
en granito:
E n c u a n to a la p en d ien te :
De afin ad o in fe rio r en
0 .0 2 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 2 = 0 .4 4 k N /m 2
pañete:
tan a = ^iL Z £ = 0 .6 2 5
0.28
.\a ~ 3 2 °
Subtotal (carga m uerta):
= 6 .1 2 k N /m 2
C on e stas d im e n sio n e s y p e n d ie n te se a n a liz a n las ca rg a s en k N p o r m 2 de
C arga v iv a (se c o n sid e ra
área en p ro y e c c ió n h o rizo n ta l:
tam bién, su fic ie n te p a ra e ste caso):
= 3 .0 0 k N /m 2
Total:
= 9 .1 2 k N /m '
T r a m o in c lin a d o :
P eso p ro p io losa:
(0 .2 0 * 1 .0 0 * 1 .00*24)/cos<x = 5.66kN /m 2
D e p e ld a ñ o s:
E1 diagram a d e ca rg a s e n p ro y e c c ió n h o riz o n ta l p o r m e tro d e an c h o será:
(0 .1 7 5 * 0 .2 8 /2 * 1.0 0 * 2 4 )/0 .2 8 = 2.10kN /m 2
D e ac a b a d o en g ra n ito p a ra los
p e ld a ñ o s (0.28 h o riz o n ta l o en
p ro y e c c ió n y 0 .1 7 5 v ertic al
o ad icio n a l):
0 .0 4 * (0 .175 + 0 .2 8 ) /0 .2 8 * l.0 0 * 2 2 = 1.43kN/m 2
D e a fin a d o in fe rio r en p a ñ e te :(0 .0 2 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 2 )/c o s a = 0 .5 2 k N /n f
S u b to ta l (c arg a m u erta ):
-
Figura 5.6
9.71 kN/m"
Reacciones:
C a rg a v iv a (se c o n sid e ra
su fic ie n te p a ra este caso):
= 3.00kN /m
T o tal:
= 2.71 kN /m 2
234
R A = )< * 9 .1 2 * 4 .0 2 + 3 .5 9 * 2 .5 2 * 2 .7 6 /4 .0 2 = 2 4 .5 4 k N
R B = > í * 9 .1 2 * 4 .0 2 + 3 .5 9 * 2 .5 2 * 1 .2 6 /4 .0 2 = 2 1 .1 7 k N
M omento m áx im o M (+ )m á x =
R
A
o
, d o n d e x 0 = R a/12.71 = 1.93 m
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
E structuras de C oncreto I
P o r lo ta n to M (+ ) m á x = 2 3 .6 8 k N -m /m
D iseñ o :
p = 0 .0 0 5 2 9 4 - A s = 0 .0 0 0 9 0 0 m 2/m ~ 9 0 0 m m 2/m
A rm a d u ra tra n sv e rsa l: p a ra a c ero c o rru g a d o d e a lta re s is te n c ia se obtiene:
A s= 0 .0 0 1 8 * 1 .0 0 * 0 .2 0 = 0 .0 0 0 3 6 m 2/m - 3 6 0 m m 2/m
R e su m e n d e la arm ad u ra:
®
(jjsuperior
®
<\>y2" \ c /0 .2 8
<S>y2" !c/o.28
En la figura 5.9 se v e el d eta lle d el re fu e rz o d e esta escalera.
(^inferior
$ y 2n \ c/0 .2 8
<t) / 2" c/0 .1 4
<|>X"iC/0.28
<j)%" c/0 .1 9
(^transversal
Losas N e r v a d a s
Al aum entar la luz, las lo sas m a c iz a s re su lta n d e g ra n d e s e sp e so re s, c o n u n
considerable a u m e n to en el p e so d el ed ific io , ad e m á s d e u n a sec c ió n
C o rtan te:
V d (kN )
transversal m u y p o c o u tiliz a d a c o n s titu id a p o r el á rea de c o n c re to a
|
2 2 .3 8
19.62|
compresión y el á rea d e las b a rra s d e re fu e rz o a tra c c ió n . Se p re s e n ta
entonces, com o a lte rn a tiv a , la so lu c ió n c o n lo sa a lig e ra d a o co n n e rv a d u ra s,
V u = 1 .5 * V d
i
3 3 .5 7
29.4 3 |
*V C(kN )
!
9 9 .4 9
99.49!
concentrando el re fu e rz o a tra c c ió n en lo s n e rv io s y elim in a n d o b u e n a p a rte
del
concreto
a
tra c c ió n
que
no
se
c o n sid e re
e stá tic a m e n te
ú til,
reem plazándolo p o r u n a lig e ra m ie n to en b lo q u e d e co n c reto , p o lie stire n o ,
escoria, can astó n d e g u a d u a re c u b ie rto c o n u n a p e líc u la d e p o lie tile n o o lona
o sim plem ente u tiliz a n d o u n a fo rm a le ta re m o v ib le q u e d eja los n e rv io s o las
N o ta
viguetas a la vista.
El tra m o d e e sc a le ra d el d e sc a n so al sig u ie n te p iso tie n e la m ism a luz en
p ro y e c c ió n h o riz o n ta l y p o r lo tan to el m ism o d ise ñ o y arm a d u ra.
Figura 5.8
236
237
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
E structuras de C oncreto I
La losa alig erad a en u n a d ire c c ió n c o n siste, p o r c o n sig u ie n te , en la
com binación p re fa b ric a d a o fu n d id a en el sitio de n e rv a d u ra s o v ig u etas
esp a c ia d a s re g u la rm e n te y u n a lo se ta su p e rio r q u e ta m b ié n a c tú a e n u n a
dirección co n alg u n as e sp e c ific a c io n e s p ro p ia s d el siste m a o b te n id a s en el
Reglamento N S R -1 0 y q u e a c o n tin u a c ió n se co m en tan :
Los nerv io s o v ig u e ta s n o d e b e n te n e r u n an c h o in fe rio r a 100 m m en la
parte su p erio r c o n u n an c h o p ro m e d io n o in fe rio r d e 80 m m . S u a ltu ra
libre no d eb e se r m a y o r d e 5 v e c e s el e s p e s o r p ro m e d io d el n e rv io o
vigueta.
La loseta su p erio r, p a ra el c a so d e fu n d id a en el sitio , d eb e te n e r m ás de
45
m m de esp e so r, p e ro n o m e n o s d e /20 d e la d ista n c ia lib re en tre
nervios y d eb e e sta r p ro v is ta co m o m ín im o d el re fu e rz o d e re p a rtic ió n
y tem p eratu ra c o rre sp o n d ie n te , co lo c a d o en án g u lo re cto c o n las
viguetas. E n el caso en q u e se u tilic e n b lo q u es d e a lig e ra m ie n to
perm anentes d e c o n c re to o d e a rc illa c o c id a o lo setas p re fa b ric a d a s , la
loseta fu n d id a en el sitio p u e d e te n e r 4 0 m m . E n fo rm a m u y g e n e ra l se
recom ienda p a ra esta lo se ta u n e sp e so r m ín im o d e 50 m m .
La sep aració n m á x im a e n tre n e rv io s o v ig u e ta s m e d id a ce n tro a c e n tro ,
no debe ser m a y o r d e 2.5 v ec es el esp e so r to ta l d e la lo sa sin e x c e d e r de
1.20 m .
El re cu b rim ien to m ín im o d el re fu e rz o será de 2 0 m m y la d ista n c ia
libre en tre b a rra s p a ra le la s será d e 25 m m , p o r lo q u e la a rm a d u ra
d-
m áxim a p a ra u n a v ig u e ta de 0 .1 0 m d e an c h o es d e 2 b a rra s N o . 5
(2
4>X").
Se d eb en c o lo c a r v ig u etas tra n sv e rsa le s d e re p a rtic ió n e n sen tid o
ortogonal
a
las
de
d iseñ o ,
c o n v e n ie n te m e n te
d istrib u id a s
p a ra
arrio stram ien to d e la lo sa en este sen tid o , e sp e c ia lm e n te en el c a so de
F igu ra 5.9
238
alig eram ien to flex ib le, c o n u n a se p a ra c ió n lib re m á x im a d e
239
10
v ec es el
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
E structuras de C oncreto I
es p e so r to ta l d e la lo sa, sin e x c e d e r d e 4 m . E n el c a so de utili2ar
Momentos negativos
c a n a stó n d e g u a d u a se su g ie re u n e s p a c ia m ie n to d e e stas vigueta^
Cara exterior del p rim er apoyo interior:
lla m a d a s ta m b ié n rio stra s, n o m a y o r d e 3m , fa c ilitá n d o se así Ja
o 2
D os luces:
p re fa b ric a c ió n y m a n e jo d e este m a te ria l.
.......................................................................................... .yy
u 9
F in a lm e n te , en c u a n to a su an á lisis y d ise ñ o p a ra ca rg as v erticales, dice
M ás d e d o s lu ces:
........................................................................... w
u 10
el R e g la m e n to N S R -1 0 q u e las lo sas q u e tra b a ja n en u n a dirección,
m a c iz a s o a lig e ra d a s, c o n s tru id a s m o n o lític a m e n te c o n sus apoyos,
Apoyos interiores: .................................................................... w
u 11
p u e d e n a n a liz a rse y d ise ñ a rse c o m o lo sas c o n tin u a s so b re apoyos
sim p le s c o n lu ces ig u a le s a las lu ces e n tre los ejes de las vigas o con
Apoyos interiores de losas con luces m enores de
lu c e s ig u ales a las lu c e s lib res si es q u e se p u e d e n o te n e r e n cuenta el
3.50
£ 2
m o elem entos que llegan a apoyos m uy ríg id o s:..... y y
u 12
an c h o d e las v ig a s y su e fecto to rsio n a l. A g re g a ta m b ié n q u e en lugar
d e este an á lisis d e ta lla d o se p u e d e u tiliz a r u n an á lisis ap ro x im ad o con
Apoyo exterior de elem entos construidos integralm ente con sus apoyos:
los sig u ie n te s m o m e n to s y c o rta n te s, sie m p re y c u a n d o se cum plan los
A poyados sobre una viga: ........................................................ w
sig u ie n te s re q u isito s:
u 24
a.
b.
H a y a dos o m á s luces;
e n tre dos lu c e s a d y a c e n te s n o se a m ás d el
c.
d.
A poyados sobre una colum na:...................................................w
L as lu c e s se a n a p ro x im a d a m e n te ig u a le s y la d ife re n c ia máxima
20
u 16
Cortante
% d e la m en o r;
£
L as ca rg a s sean u n ifo rm e m e n te re p a rtid a s;
L uces fin ale s c a ra del p rim e r a p o y o :............................
L a c a rg a v iv a u n ita ria n o e x c e d a d e tre s v e c e s la c a rg a muerta
1 .1 5 * w u —
2
u n ita ria ; y
e.
£
O tros a p o y o s :........................................................................................
L o s e le m e n to s sean p rism á tic o s.
yy
— ¡l
u 2
donde:
M o m e n to s p o sitiv o s
¿n =
L u c e s ex terio res:
f n2
A p o y o e x te rio r n o re s trin g id o :....................................................... w u —
lo n g itu d d e la lu z lib re en la d ire c c ió n e n la cu a l se d e te rm in a n los
m o m en to s, m e d id a ca ra a ca ra d e lo s ap o y o s.
La luz que se u tiliz a en el c á lc u lo d e los m o m e n to s n e g a tiv o s d e b e se r el
A p o y o e x te rio r c o n stru id o in te g ra lm e n te
^
2
f
n2
co n el ele m e n to d e s o p o rte :............................................................. w u
-
L u ce s in te rio re s :..................................................................................... w u
lo
240
promedio de las lu ces a d y a cen tes.
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
Estructuras de C oncreto I
E s o p in ió n d el a u to r q u e la u tiliz a c ió n d e los an te rio re s m om entos y
Carga viva:
— 2 .0 0 k N /m “
Total:
= 7 .4 6 k N /m 2
c o rta n te s a p ro x im a d o s en los e le m e n to s e stru c tu ra le s q u e cum plan |as
c o n d ic io n e s p ro p u e sta s, c o rre sp o n d e a u n c rite rio d e c o m p a ra c ió n y límite
co n re sp e c to a u n d ise ñ o p o r u n m é to d o m ás e x a c to d e análisis. \
c o n tin u a c ió n , u n m o d e lo d e a n á lisis y d ise ñ o d e lo sa n e rv a d a para cargas
v e rtic a le s.
Carga p o r v ig u eta = 7 .4 6 * 1 .2 0 = 8 .9 5 k N /m
l os m om entos y c o rta n te s a p ro x im a d o s son:
P r o b le m a 5.3
P re d im e n sio n a r y d ise ñ a r la lo sa n e rv a d a d e tre s lu ces de 8 .0 0 , 8.50 y 8.00
/ 2
7 5752
M, = M 4 = w —^ = 8.95 * —-------- = 2 1 .4 0 kN -m
Ml
24
24
m e tro s re sp e c tiv a m e n te , e sp e s o r d e 5 0 0 m m y a lig e ra d a co n canastones de
p o lie stire n o (ic o p o r) re m o v ió le p a ra u n a se p a ra c ió n a p ro x im a d a d e nervios
de
1.20
w
p a rtic io n e s fijas d e m a m p o ste ria p a ra u n a c a rg a v a lo ra d a , se g ú n proyecto,
i 2
7 792
^ - = 8 .9 5 - l i l i - = 54.31 kN -m
10
m , q u e se c o n stru irá c o m o a d ic ió n a u n ed ific io d e o ficin a s, según el
d e ta lle ad ju n to en la fig u ra 5.11. L a lo sa d e b e so p o rta r u n p iso de vinilo y
en 2 .0
=
10
Mluz 1-2 = Mluz 3-4 =
k N /m 2. L o s m a te ria le s son c o n c re to de fc = 2 1 . 1 M P a y acero con
t 2
W
i 2
= 8 .95 *
7 5752
= 3 6 .6 8 kN -m
8002
fy = 4 2 0 M P a en to d o s los d iám etro s.
MiU7 7.3 = w — = 8 .9 5 * —------- = 3 5 .8 0 kN -m
16
16
S o lu c ió n
1
7575
v 1-d = v 4 - , - w * —
= 8 .9 5 * —-2— = 3 3 .9 0 k N
2
A p a rtir d e la d is trib u c ió n e stru c tu ra l p re v ista se g ú n el d etalle anexo, se
c a lc u la ro n a p ro x im a d a m e n te las ca rg a s v e rtic a le s y se a n a liz ó y diseñó
u tiliz a n d o los m o m e n to s y c o rta n te s a p ro x im a d o s d el R eg lam en to . A
c o n tin u a c ió n , se u s ó u n m é to d o m ás e x a c to d e an á lisis m a n te n ie n d o las
m is m a s
c a rg a s
a p ro x im a d a s
de
la p re d im e n sió n ,
a fin
de
V: _d = V3_. = w * - ^ = 8.95 * —
2
comparar
re su ltad o s.
= 3 5 .8 0 kN
2
A sum iendo c o m o n e c e sa rio el c o e fic ie n te d e c a rg a d e 1.4 p a ra carg a
C argas:
m uerta y
P eso p ro p io lo seta de re c u b rim ie n to : 0 .0 6 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 4 = 1.4 4 k N /n f
V ig u etas:
t
7575
V , : = V , , = 1 .1 5 * w * -s - = l . 1 5 * 8 .9 5 * = 3 8 .9 8 kN
2-t
2
2
1.6
p a ra c a rg a v iv a
w u= 1 .4 * 5 .4 6 + 1 .6 * 2 .0 0 = 10.84
(0 .1 2 * 0 .4 4 * 1 .0 0 * 2 4 )/1 .20 = 1.06kN /m 2
P iso y a listad o :
0 .0 3 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 2 = 0.66kN /m 2
P eso p ro p io d el c ielo raso d e sc o lg a d o
= 0.30kN /m
P a rtic io n e s fijas d e m a m p o ste ria :
= 2.00kN /m '
S u b to ta l (c arg a m u erta ):
= 5.46kN /m 2
: U = 1 0 . 8 4 / 7 . 4 6 = 1.45
F de S a la fle x ió n = 1.45 / 0 .9 0 = 1.61
F de S al c o rta n te = 1.45 / 0.75 = 1.93
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
cP
M (k N -m ) =
cP
9
2 1 .4 0
36.68
(t>Mn= 1 .4 5 M 31.03
5 3 .1 9
54.31
lo se ta su p erio r o d e re c u b rim ie n to se a rm a rá p e rp e n d ic u la rm e n te a las
3
3 5 .8 0
54 31
36.68
51.91
78.75
5 3.19
tas
sig u ien d o
la
e s p e c ific a c ió n
' m p e ra tu ra. 9 u e Para e s te t ^ P °
21.40:
de
re tra c c ió n
de
fra g u a d o
y
re fu erzo d e fy = 4 2 0 M P a re s u lta de
0 0 ig * i* 0 .0 6 = 0 .0 0 0 1 0 8 m 2/m , lo cu a l s ig n ific a <|>X"c/0.25 m y a q u e la
78.75
0.003219 0.005691
P =
0.005545
0.008763
0.008763
a ra c ió n m áx im a n o d e b e se r m a y o r de 5 v ec es el e s p e s o r d e la lo seta
21.03;
(0 ?5 ni) ó 0.45 m . P a ra e ste c a so p u e d e se r d e u tilid a d el e m p le o d e u n a
0.00569 1 0.0032l9¡
malla electro so ld ad a c o n A s = 0 .0 0 0 1 0 8 m 2/m ó la re fe re n c ia c o m e rc ia l
A s ( m m 2) =
182
313
494
321
(j) s u p e r i o r
24)
4<M
X'
182
321
\*y¿
2c(*%'
N otas
.
i<t| Yi + _
(j) in ferio r:
(1 + 1)
_
i*y2' +
0
i)
♦ /í
aproximada p o r exceso .
1
Se destaca q u e en las lu c e s se tie n e n v ig u e ta s “T ” d e 1 .2 0 x 0 .5 0 m
-estru ctu ralm en te
14-V i + _
■«♦X*
3 3 .9 0
38.98| 3 5 .8 0
35.80j 38.98
1 .0 8 x 0 .5 0
33.90
v d=
2 9 .6 9
34.77, 3 1 .5 9
3 1 .5 ^ 3 4 .7 7
29.69
V u = 1 .4 5 V d
4 3.05
50.42145.81
45.81 5 0 .4 2
43.05
.-. 5 3 .1 9 = 0 .9 * p * 4 2 0 0 0 0 *
P
>ü
33.01j 33.01
33.01 33.01
<t>v s =
10.04
17.4 lj 12.80
12.80 17.41
10.04|
S (m ) =
1.24
1.62! 1.46
1.46 1.62
1.24
E strib o s:
7 #2 c/0.23
ii
33.01
8 #2 c/0.23 9#2 c/0.23
D o n d e e x is ta re fu e rz o su p e rio r d e b e n c o lo c a rs e e strib o s
co n stru c ció n .
-
y
en
lo s
ap o y o s
* U j2
bd
l-0 .5 9 * p
l
420 x
* 1 .0 8 * 0 .4 7
21.1,
p = 0 .0 0 0 5 9 4 - A s = 0 .0 0 0 5 9 4 * 1 .0 8 * 0 .4 7
33.01
A s = 0 .0 0 0 3 0 2 m 2 ~ 302 m m 2
i
7 #2 c/0.23!
c /0 .3 0 por
Este re fu erz o es el re q u e rid o p o r an á lisis sin c o m p a ra r co n el m ín im o .
Para esta cu an tía:
p f v , 0 .0 0 0 5 9 4 * 4 2 0 . . . .
.
.
,. , ,
a = ----- — d = ----------------------- * 0 .4 7 = 0 .0 0 6 5 m y la p ro fu n d id a d
0 8 5 f'
0 .8 5 * 2 1 .1
A ,
c
d el eje n eu tro :
0 .0 0 6 5 * 1 .1 8 = 0 .0 0 8 m < t = 0 .0 6 m
Por lo tan to el d ise ñ o a n te rio r p re se n ta d o p u e d e se r ac ep tab le.
244
v ig u e ta s
y 2 com o “ T ” , resu lta:
4)Mn =<|>*pfy * l - 0 . 5 9 p fy
fc /
V
9 #2 c/0 .2 3 18 #2 c/0.23
m
rectangulares d e 0 .1 2 x 0 .50. P o r e je m p lo , al d ise ñ a r la lu z e n tre a p o y o s
>4>%'
1
V (k N ) =
de
E structuras de C oncreto I
Support
A d ic io n a lm e n te p a ra c o lo c a r 3 0 2 m m 2 se u s a la m ism a armadura
Span
(m)
Axis
u tiliz a d a a n te rio rm e n te c u a n d o se h iz o la c o n s id e ra c ió n aproxim ada de
2.
sec c ió n re c ta n g u la r d e 0 .1 2 x 0 .5 0 m : l(j)l/2 " + l(j) 5 /8 " , p o r lo que Se
1-2
8.00
p u e d e a c e p ta r co m o v á lid a a q u e lla su p o sició n .
2-3
8.50
3-4
8.00
P a ra los p e q u e ñ o s v a lo re s o b te n id o s d e <|>Vs se d eb e c o lo c a r estribos a
u n a se p a ra c ió n m á x im a d e d/2 = 0.23 m o la co rresp o n d ien te al
¡lODE
Ax i s
DATA
Floor
Axis
X
Floor
X
Y
re fu e rz o m ín im o d e c o rta n te, la m e n o r d e las dos. E stas losas son
e x c e p c ió n
d el R e g la m e n to d e c o lo c a c ió n d e re fu e rz o a la fuerza
c o rta n te d o n d e Vu sea m a y o r q u e la m ita d d e la re siste n c ia suministrada
A-l
A-3
0.00
0.00
0.00
A-2
1
0.00
8.00
0.00
0.00
16.50
0.00
A-4
1
0.00
24.50
0.00
MATERIALS
p o r el co n c re to <|>VC.
Number o f m a t e r i a l s
3.
E n los a p o y o s d o n d e n o sea n e c e sa rio c o lo c a r re fu e rz o a la fuerza
co rta n te, se re c o m ie n d a colocar<j) 1/4 " c a d a d / 2
ó a la separación
=
REINFORCED CONCRETE
Hat
Ñame
ca lc u la d a p a ra c u m p lir la c u a n tía m ín im a tra n sv e rsa l, la m e n o r de las
f ys2
f ysl
E
f 'c
(MPa)
(MPa)
(MPa;
(MPa)
(MPa)
(MPa)
21.1
420
420
420
21600
8640
12
13
(mm4)
j
(mm4)
7.20E+07
2 . 44E +08
fy
( N/ m3 )
d o s, en u n a d ista n c ia m e d id a d e sd e el b o rd e d e l a p o y o h a c ia el centro
de la lu z co m o m ín im o ig u al a la a ltu ra ú til d el elem e n to . En las
1
RConcretel
estru c tu ra s d e c a p a c id a d d e d is ip a c ió n d e e n e rg ía m o d e ra d a (D M O ) y
member
e sp e c ia l (D E S ), se re c o m ie n d a la c o lo c a c ió n d e e sto s e strib o s en una
Total number o f
d ista n c ia d e d o s v e c e s la a ltu ra ú til.
BEAM
A c o n tin u a c ió n se in c lu y e n el an á lisis d e ta lla d o y el d ise ñ o d e la losa
n e rv a d a
an terio r,
se g ú n
el
d ia g ra m a
e stru c tu ra l
y
c a rg a
uniforme
d a t a
beams
= 3
S E C T I O N S
Number o f p r i s m a t i c
Sec Ñame
24000.0
Shape
a p ro x im a d a a d ju n ta , u tiliz a n d o u n p ro g ra m a d e an á lisis (R C B E 8.0) y
b
(mm)
sections
h
(mm)
d ise ñ o p o r el m é to d o d e la re s is te n c ia ú ltim a , c o n los m ism o s m ateriales y
1 Beaml R e c t a n g 120 500
fa c to re s d e se g u rid a d e m p le a d o s en la p re d im e n sió n a fin de efectuar
BEAMS
tw
(mm)
= 1
tf
(mm)
-
P1
(mm)
-
P2
(mm)i
A
(mm2 )
(mm4)
60000 1.25E+09
co m p a ra c ió n :
Beam
Floor
GENERAL I NPUT DATA
S tru ctu re
type:
C ontinuous
Beam
Number o f
s p a n s ..................
= 3
Beam t o t a l
246
length.
= 24.50
(m)
L
C
Sec
Mat
(m)
Lu
(m)
(m)
-
-
-
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1
1
1
1
1
G&L
:
G&L
1
1
8.00
8.00
A(2-3)
8.50
8.50
A (3—4)
:
8.00
8.00
A(l-2)
AXES INFORMATION
a
(m)
247
System
G&L
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
E structuras de C oncreto I
G R O U N D
T otal
S U P P O R T
number o f
ground
D A T A
supports
K
=
4
=
Spring
C haracteristics
Valué
= K
constant(KN/mm)
for
Degrees
Uz
Type
Uy
1
Fixed
C
C
2
Hinge
C
C
3
Hinge
C
C
4
Fixed
C
C
Support
A ll
Dash = f r e e
o f Fr e e dom
C = constrained
TetX
F ig u ra 5.10
Linear A n a l y s i s -
L 0 A D S
T otal
KN,
number
of
load
cases
LOAD CASE
1
:
OTHER
LOAD CASE
2
:
1 . 4 5 (OT)
=
KN-m
2
(OT)
Beam
Number o f
nodal
Number o f
beam
Beam L o a d s
G:
G lobal
U nits
=
....=
M: M o m e n t
Force/M om ent
Force/M om ent
(1,
2,
3)
if
= D istrib u ted
C oncentrated
D istrib u ted
referred
System
referred
to
= L,
global
or
(X,
to
local
Z)
(KN),
Forcé/
C oncentrated
if
A (1-2)
A (2-3)
A (3-4)
Floor
1
1
1
X/L = 1 .0
Load
= G
A(2-3)
Sys
Axis
F
G
Z
F
G
Z
F
G
Z
248
A/L
0.00
0.00
0.00
1
2
(KN-m)
B/L
1.00
1 . 00
1.00
1
( KN- m/ m)
Moment
C lass
1
2
A( 3 - 4 )
Beam
X/L = 0 . 0
J
(X,Y,Z)
System
Moment:
Moment:
1
c o o r d i n a t e s (1,2,3)
coordinates
Y,
F o r c é : (KN/m ), D i s t r i b u t e d
Forcé:
I
END
0
A(l-2)
Forcé
Local
Floor
END
M 2 ( + ) max
M2
X/L
0.0
0.0
0.0
0.0
22.8
0.5
33.1
0.5
0.0
0.0
0.0
0.0
28.9
0.5
41.9
0.5
22.8
0.5
33.1
0.5
Axl
Shr2
Shr3
Torque
M2
M3
Axl
Shr2
Shr3
Torque
M2
M3
-45.7
= 3
(DL)
C lass
= F:
S y s t e m = L:
A xis
loads
loads
Beam E n d F o r c e s
Wi
Wj
8.95
8.95
8.95
8.95
8.95
8.95
1
i
2
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
-35.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
-38.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
36.6
-50.8
53.1
38.0
-55.1
55.1
-36.6
35.0
-53.1
50.8
249
0.0
0.0
0.0
0.0
-75.3
0.0
0.0
0.0
0.0
-51.9
-75.3
-75.3
0.0
0.0
0.0
0.0
-51.9
-66.3
-51.9
-51. 9
-45.7
-75.3
-66.3
0.0
0.0
0.0
0.0
E structuras de C oncreto I
DI SEÑO VTA PROB 5 - 3
MPa - U = 1 . 4 5
-
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
b = 1 2 0 mm -
h = 5 0 0 mm = f y l = 4 2 0
MPa -
fyt=240
2
La reiterad a re fe re n c ia q u e se h a c e a “ las ca rg a s a p ro x im a d a s d e la
p red im en sió n ” se d e b e p rin c ip a lm e n te a d o s asp ecto s:
9
M (kN)
45.7
9
51. 9 5 1 . 9
22.8
a) El p e s ° p ro p io d e Ia l ° sa> el c u a l en el d ise ñ o d e fin itiv o d eb e
5 1 . 9 151.9
28.9
22.8
45.7,
33.1
6 6 .3,
|
<J)Mn (kN-m)
66.3
Ast
(mm2)
7 5 . 3 175.3
41. 9
0.00833 0.00833
470 470
0.00723
p( - )
75.3 75.3
33.1
0. 008331 0 . 0 0 8 3 3
4 7 0 ¡ 470
calcu larse te n ie n d o en c u e n ta el p e so d e las v ig a s y de las v ig u e ta s de
repartición, o b te n ie n d o el v o lu m e n to tal d e la lo sa y d e sc o n tá n d o le el
peso de los a lig e ra m ie n to s;
0 . 00723,
b) La carga c o rre sp o n d ie n te a lo s m u ro s d iv iso rio s, la cu al se d eb e
I
(^superior
l(j)5/8 + l(J)3/4
1 (J)5/ 8 -f l<t>3 / 4
l<i>5/8n<t>3/4
calcu lar a p a rtir d e la c u b ic a c ió n d e lo s m ism o s, se g ú n su d istrib u c ió n
1 <J)5/ 8 +
y tipo de m a te ria l e sp e c ific a d o s en el p ro y e c to arq u ite c tó n ic o . S in
Ast
(mm2)
¿in ferio r
Vd
(kN)
l<t>l/2__ 1 4 ) 3 / 8 + ___(l<í)l¡/2_____ 2<J)l/2
1 <t>l / 2
+1 <t>l|/2)
29.2
Vu
(kN)
42.3
Ve
(kN/m2)
33
30.2
43.8
33
31.6
45.8
9.3
10.8 11. 8
S
1.19
1.30
1.38
em bargo, el R e g la m e n to c o lo m b ia n o e s p e c ific a q u e se p u e d e u tiliz a r
I
( l<j>l/[2___ 14)3/8+___ 14)1/2 !
+ 1 4>1 /{2 )
31.6
45.8
33
33
¿Vs(kN/m2)
(m)
0.00344
194
0.00441
249
0.00344
194
p( + )
14)1 / 2
30.2
43.8
33
11. 8 10.8
1.38
1.30
i d 7e<j>l/4c/0 . 2 3
i d 7e<}>l/4c/0.23
7e<j)l/4c/0 . 2 3
E stribos
ESTRIBOS CONSTRUCTIVOS ¿ 1 / 4 C / 0 . 3 0 HASTA DONDE EXISTA REFUERZO SUPERIOR
29.2!
|
42 . 3 ¡
com o c a rg a d is trib u id a en las lo sas u n m ín im o de 2 k N /m 2 p a ra
m u ro s-p articio n es fijo s d e m a n ip o stería.
Para efectos so lam en te ilu stra tiv o s, se d ise ñ a a c o n tin u a c ió n la v ig a V 2 d e la
planta estru ctu ral c o rre sp o n d ie n te al p ro b le m a 5 -3 , c o n s id e rá n d o la so m e tid a
11
331i
aislado de los p iso s a d y a c e n te s su p e rio r e in ferio r, co n e m p o tra m ie n to en
9 -3j
los extrem os le ja n o s d e las c o lu m n as. E ste p ro c e d im ie n to , a d e m á s de
solamente a carg as g ra v ita c io n a le s y a n a liz á n d o la co m o u n p ó rtic o d e p iso
ilustrar al le c to r s o b re los tem as a n te rio rm e n te tra ta d o s, p u e d e lle g a r a
1.19
1
íd¡
considerarse a p ro p ia d o en el p ro c e so d e d im e n sio n a m ie n to p re lim in a r d e u n
proyecto.
Problem a 5 -4
N o ta s :
Diseñar la v ig a V -2 (0 .5 0 x 0 .5 0 ) de la p la n ta estru c tu ra l c o rre sp o n d ie n te al
1.
L a d ife re n c ia d e a rm a d u ra en el re fu e rz o su p e rio r en los a p o y o s 1 y 4 se
problema an terio r, p a ra c a rg a s ú n ic a m e n te g ra v ita c io n a le s y lo s m ism o s
d e b e a la c o n sid e ra c ió n d e e m p o tra m ie n to u tiliz a d a en la versión
materiales y fa c to re s d e c a rg a y se g u rid a d em p lea d o s en ese p ro b lem a .
a n a liz a d a en c o m p a ra c ió n co n el s e m i-e m p o tra m ie n to correspondiente
al m éto d o de los m o m e n to s y co rta n te s a p ro x im a d o s d el Reglamento.
E sta situ a c ió n se re fle ja e n to n c e s en los re fu e rz o s p a ra flex ió n de las
lu ces 1-2 y 3-4 y en los re fu e rz o s p o r e sfu e rz o co rtan te.
250
251
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
Estructuras de C oncreto I
©
0 -
=
Solución
£1
análisis se re a liz ó co m o u n p ó rtic o d e p iso a isla d o u tiliz a n d o u n
procesador au to m ático cu y o s d ato s d e e n tra d a c o rre sp o n d e n a la F ig u ra 5.12
y cuyos re su lta d o s se a n e x a ; el d ise ñ o se re a liz ó p o r el m é to d o d e la
resistencia ú ltim a c o n fa c to re s d e c a rg a y s e g u rid a d allí en u n c ia d o s.
S ¥
Para efectos d el an á lisis d e c a rg a s se u tiliz a las re a c c io n e s d e las v ig u e ta s
obtenidas en la a lte rn a tiv a d e an á lisis e x p u e sta en el p ro b le m a a n te rio r y
que, aplicadas co m o ca rg a s c o n c e n tra d a s c a d a
1.20
m se a sim ila ro n a c a rg a
uniforme en k N /m . A c o n tin u a c ió n el e sq u e m a g e o m é tric o del p ó rtic o y los
resultados an u n ciad o s:
S|Vsfv*
5 [¿ ^ S Í
3 ? °3
v¡V
S8V
VMXsnnr
5C
A
A
¿Z sÍ
- 6 8 .1 7 k N / m
s i
0 .5 0 x 0 .5 0
A
A
-0 — 7
(0 9 0 »
©
F ig u ra 5.12
Cargas:
5 0
TOIOTIH
— 3¿S 0V30OI y01.il =
s
Peso p ro p io d e la v ig a:
0 .5 0 * 0 .5 0 * 1.00*24
Losa alig erad a:
7 2 .6 0 -rl.2 0
6 .0 0 k N /m
=
6 2 .1 7 k N /m
=
6 8 .1 7 k N /m
0 w
©
La hipótesis n ú m ero 1 es la c o rre sp o n d ie n te a ca rg a s g ra v ita c io n a le s y la
hipótesis n ú m ero
Figura 5.11
252
factorizadas.
2
c o rre sp o n d e a la c o m b in a c ió n ca rg as g ra v ita c io n a le s
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
Estructuras de C oncreto I
D ate:
Time:
5-10-2010
Company:
Engineer:
Project:
3:27:11
JORGE SEGURA FRANCO
Jo rg e I . Segura Franco
E s t r u c t u r a s de C on creto
R ectangular
DATA
ME M B E
Plañe
I
-
Problema
T o t a l num ber o f members
N u m b e r o f c o l u m n s ...............
N u m b e r o f b e a m s ....................
N u m b e r o f b r a c e s .................
5-4
C O L U M N
Frame
S E C T I O N S
Number o f p r i s m a t i c
| AXES INFORMATION
Sec
Number o f
Number o f
Axis
a x e s ..................
sto rie s....
2
2
=
=
Frame
Frame
to tal
to tal
7 -44 (m)
7 . 0 0 (m)
w id th ..
height.
H eight
(m)
Story
Bay
(m)
sections
=
1
|
c o l u mn l
Shape
b
(mm)
h
(mm)
Rectang
500
350
tw
(mm)
tf
(mm)
A
(mm2)
-
-
12
(mm4 )
13
( mm4 )
J
( mm4)
1 7 5 0 0 0 1 . 7 9 E + 0 9 3 . 65E+09 3. 99E+09
COLUMNS
ground
Col umn
3.50
7.44
!
Ñame
Story
L
(m)
Lu
(m)
a
(m)
3.50
3.50
3.50
3.50
3.25
3.25
3.25
3.25
0.25
2
C
Theta
(m)
(0)
0.00
90.0
90.0
90.0
90.0
Sec
—
Mat
1
1
1
1
“
System
“
3.50
DATA
N O D E
Axis
Floor
A-1
A-l
A-1
1
2
3
X
0.00
0.00
0.00
Y
z
0.00
0.00
0.00
3.50
7.00
Floor
Axis
0.00
0.00
0.00
0.00
1
2
A-2
A-2
A-2
3
Y
Z
7.44
7.44
7.44
0.00
X
3.50
7.00
M A T E R I A L S
A-2
A-2
A-l
A-l
2
1
2
1
BE AM
=
0.25
0.00
0.25
0.00
0.25
Ñame
Shape
1
1
1
1
1
1
G&L
G&L
G&L
G&L
S E C T I O N S
Number o f p r i s m a t i c
Sec
Number o f m a t e r i a l s
0.00
Beaml R e c t a n g
b
(mm)
h
(mm)
500
500
tw
(mm)
-
sections
tf
(mm)
-
A
(mm2)
=
1
12
(mm4)
13
(mm4)
250000
5.21E+09
5.21E+09
Sec
Mat
1
1
J
(mm4;
7.71E+09
REI NFORCED CONCRETE
Mat
1
Ña me
R C oncretel
f'c
(MPa)
21
fy
(MPa)
420
f ysl
(MPa)
420
f ys2
(MPa)
420
E
(MPa)
21600
G
(MPa)
w
(N/m3)
BEAM
Beam
8640
a
254
Floor
C-2)
2
L
Lu
(m)
(m)
7.44
7.09
a
c
(m)
(m)
0.18
0.18
255
System
G&L
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
E structuras de C oncreto I
G R O U N D
S U P P O R T
LOAD
D A T A
combinations
No
T otal
number o f
ground
supports
=
Load c o m b in a tio n
4
1
2
K
=
Spring
OT
1.450T
constant(KN/m m )
p-Delta A n a l y s i s -
C h a r a c t e r i s t i c s f o r A l l D e g ree s o f Freedom
Valué = K
Dash = f r e e
C = constrained
Floor
Type
Uy
Uz
TetX
Support
1
1
3
3
1
2
1
2
KN,
KN m
BOTTOM
TOP
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Fixed
Fixed
Fixed
Fixed
U nits:
Column End F o r c e s
c
c
c
Col umn
Stry
Load
A xial
A xial
Shear2
Shear2
Shear3
Shear3
Torque
Torque
Mom- 2
Mom- 2
1
-126.8
-126.8
-183. 9
-183.9
0.0
0.0
0.0
0.0
-54 . 6
-54 . 6
-79.2
-79.2
0.0
0.0
0.0
0.0
-115.3
62 .2
-167.2
90.2
126.8
126.8
183. 9
183. 9
0.0
0.0
0.0
0.0
-54 . 6
-54.6
-79.2
-79.2
0.0
0.0
0.0
0.0
- 6 2 .2
115.3
-90.2
167.2
-126.8
-126.8
-183.9
-183.9
0.0
0.0
0.0
0.0
54 . 6
54.6
79.2
79.2
0.0
0.0
0.0
0.0
115.3
-62.2
167.2
-90.2
0.0
0.0
0.0
126.8
126.8
183. 9
183.9
0.0
0.0
0.0
0.0
54 . 6
54 . 6
79.2
79.2
0.0
0.0
0.0
0.0
62.2
-115.3
90.2
-167.2
0.0
Mo m- 3
Mom- 3
L O A D S
T otal
number o f
load
cases
h 12
1
=
2
2
LOAD CASE
1
:
OTHER
A-2
1
0
0
1
:
2
A-l
2
1
(OT)
2
C lass
= F: F o r c é
M: M o m e n t
S y s t e m = L: L o c a l F o r c e / M o m e n t r e f e r r e d t o l o c a l c o o r d i n a t e s ( 1 , 2 , 3 )
G: G l o b a l F o r c e / M o m e n t r e f e r r e d t o g l o b a l c o o r d i n a t e s ( X , Y , Z )
A x i s = ( 1 , 2 , 3) i f S y s t e m = L , o r (X, Y, Z) i f S y s t e m = G
U n i t s = D i s t r i b u t e d F o r c é : ( K N / m ) , D i s t r i b u t e d M o m e n t : ( KN- m/ m)
C o n c e n t r a t e d F o r c é : ( K N ) , C o n c e n t r a t e d M o m e n t : (KN-m)
D istributed
Beam
Floor
Forcé/
C lass
0.0
0. 0
0.0
(OT)
Number o f n o d a l l o a d s . . . . =
Number o f c olum n l o a d s . . =
N u m b e r o f b e a m l o a d s ............. =
Beam L o a d s
0.0
A-l
1
1
2
Moment
Sys
A xis
A/L
B/L
Wi
Wj
257
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
Estructuras de C oncreto I
P-D elta
U nits:
KN,
A nalysis-
A (1-
Floor
2)
2
puntos de m o m e n to nulo:
KN-m
M = 2 4 1 .7 x - 68,12?X— 2 1 4 .6 = 0
END
END
Be a m
Beam E n d F o r c e s
I
J
M2
M2
Axl
Axl
Shr2
Shr2
Shr3
Shr3
Torque
Torque
1
0.0
0.0
0.0
0.0
-241.7
241. 7
0.0
0.0
214.6
214.6
0 .0
0 .0
213
2
0.0
0.0
0.0
0.0
-350.5
350.5
0.0
0.0
311.2
311.2
0 .0
0 .0
303
Load
P-D elta
A nalysis-
Support
.'.x = 1.041 m y 6.0 5 1 m
M 2 ( + ) ma x
X/L = 0 . 0
X/L = 1 . 0
M3
M3
M2
xa
.s
•8
.5
R eactions
2
Axis
Forcé
Load
Support
Floor
1
1
2
i
1
3
2
3
Fx
Fy
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
54.63
79.21
-54.63
-79.21
-54.63
-79.21
54 . 63
79.21
LdCase
1
2
1
2
1
2
I
2
Moment
(KN)
Fz
126.80
183.86
126.80
183.86
126.80
183.86
126.80
183.86
(KN-m)
Mx
My
Mz
62 . 2 4
90.25
-62.24
-90.25
62 . 2 4
90 . 2 5
-62.24
-90.25
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
^_________7
. 0
9
__________________
F ig u ra 5.13
A p a rtir d e las fu e rz a s in tern a s e n los e x tre m o s d e los e le m e n to s obtenem os
los d ia g ra m a s de c o rte y flex ió n , d ise ñ a n d o p a ra los a p o y o s y la lu z así:
Diseño de la lu z
T rab ajan d o co m o v ig a re c ta n g u la r d e 0 .5 0 x 0 .5 0 m , co n “ d ” = 0.43 m:
P u n to d e c o rte n u lo al b o rd e de la co lu m n a:
<j>Mn = 1 .4 5 * 2 1 3 .7 = 3 0 9 .9 k N -m
2 4 L 7 = 3 .5 4 5 m
x n = --------68.17
p = 0 .0 1 0 0 6
A rm adura:
M o m e n to p o sitiv o m á x im o (x = x 0):
.-.
A s = 0 .0 1 0 0 6 * 0 .5 0 * 0 .4 3 = 0 .0 0 2 1 6 3 m 2~ 2 1 6 3 m m 2
2(j)l”+3(t)7/8” (2181 m m 2 ab ajo ).
M(+)m áx = 213.70kN -m
258
259
C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección
Estructuras de C oncreto I
T ra b a ja n d o co m o v ig a “ T ” , el m á x im o a n c h o d e a le ta co rresp o n d e a la
A s = 0 .0 1 0 1 0 6 * 0 .5 0 * 0 .4 3 = 0 .0 0 2 1 7 3 m 2~ 2 1 7 3 m m 2
e sp e c ific a c ió n 16t + b ' = 16*0.06 + 0 .5 0 = 1.46 m . S u p o n ie n d o una viga
A rm ad u ra: 2<j)l”+3<j)7/8” (2181 m m 2 arrib a).
re c ta n g u la r d e 1.30 x 0 .5 0 b u sc a m o s la p o s ic ió n d e l e je n e u tro a p artir de:
(
tA
2
C
Esfuerzo co rta n te
bd2
<t>Mn =<|>*pfy * l - 0 . 5 9 p - '
J
Vd = 2 4 1 .7 -0 .4 3 * 6 8 .1 7 = 2 1 2 .3 9 k N
R e em p laz an d o :
V u = 1 .4 5 * 2 1 2 .3 9 = 3 0 7 .9 7 k N
3 0 9 .9 = 0 .9 * p * 4 2 0 0 0 0 * f 1 - 0 .5 9 p 42QQQQl * 1.46 * 0 .4 3 2
K
^
21100
)
(t,Vc = 0.75 * 0 .1 7 * V 2 L 1 > 0 .5 0 * 0 .4 3 * 1 0 0 0 = 12 5 .8 2 k N / m
2
d e donde:
. V u-(j)V c = 3 0 7 . 9 7 - 1 2 5 .8 2 = 1 8 2 .1 5 k N /m 2
p = 0 .0 0 3 1 5
D istancia to tal p a ra c o lo c a c ió n d e estrib o s:
a = _ P ^ .d =
0 .8 5 fc'
0
QQ3 1 5 ! ^ * 0 . 4 3 = 0 .0 3 1 7 m
0 .8 5 * 2 1 .1
S = 0.43 + - ^ ^ ( 3 . 5 4 5 - 0 . 4 3 ) + ^ ^
3 0 7 .9 7 v
’
2
= 2.91 m
L u e g o la p ro fu n d id a d d el eje n e u tro será k ud = 1.18a = 1.18*0.0317 =
0 .0 3 7 4 m < t (0 .0 6 m )
S ep aració n p a ra £(()% ":
P o r lo ta n to es fa c tib le el d ise ñ o co m o v ig a re c ta n g u la r de 1.46 m d e ancho:
s=
0 .7 5 * 2 * 0 .0 0 0 0 7 1 * 4 2 0 0 0 0 * 0 .4 3
_ 1A^ . 1A
= 0 .1 0 6 - 0 . 1 0 m
182.15
A s= 0 .0 0 3 1 7 * 1 .4 6 * 0 .4 3 = 0 .0 0 1 9 9 0 m 2 ~ 1990 m m 2 - 4<|>7/8”+l<|>l”
(2 0 5 8 m m 2)
E stribos: 13s(j)% " c /0 .1 0 +
Se tie n e e n to n c e s u n a a rm a d u ra te ó ric a u n p o c o in fe rio r a la d e la viga
c/0 .2 0 a p a rtir d el b o rd e e n ca d a
apoyo.
re c ta n g u la r in icial, a e s c o g e n c ia d el d iseñ ad o r.
S ep aració n m á x im a p a ra este caso
D ise ñ o d e los a p o y o s
S ólo es p o sib le la o p c ió n d e v ig a re c ta n g u la r d e 0 .5 0 x 0 .5 0 m .
d = O43 = 0.215 ó
2
2
4)Mn = 1 .4 5 * 2 1 4 .6 = 311.21 kN -m
. \ p = 0 .0 1 0 1 0 6
260
261
Estructuras de C oncreto I
A vf
s=
* 0 .3 5 b w
2*71*420
C ap ítu lo 5 S istem a de Losas a rm ad as en una dirección
. . . .
n _.
= 3 4 0 .8 m m ~ 0 .3 4 m
D etalle:
0 .3 5 * 5 0 0
E n la p a rte cen tral: £<)>%" c /0 .3 0
R e su m e n d el diseñ o :
$
M (k N -m ) =
2 1 4 .6
2 1 3 .7
214.6'
(J)M„ ( k N - m ) :
311.2
3 0 9 .9
311.2 !
P
0 .0 1 0 0 6
0 .0 0 3 1 7
O.OlOOó!
(se c c ió n “ T ” )
1990
A s (m m 2) =
2163
^ su p e rio r:
2(j>r+3(l>7/8_____
^ in fe rio r:
2<|>7/8+l(|)r______
V (k N ) =
2 4 1 .7
_
2
<j>1 ” _____
4(j)7/8”+ l( t> r
2163_ 2 ( | ) l ”+3(()7/8:
l<t)l,,+2(()7/8’<¡
47E((>3/8L=1.93
CORTE A-A
241.7!
F ig u ra 5.14
V d (k N ) =
2 1 2 .3 9
212.39!
Vu =
3 0 7 .9 7
307.97|
(j)Vs (k N ) =
182.15
182.15!
S to ta l (m ) =
2 .2 7 + 0 .6 4 = 2.91
E strib o s:
13e<J> 3 /8 ” C/ 0. 10+
2.91!
13s<j> 3 /8 ” C/0.10+!
e<t> 3 /8 ” c/0 .3 0
9s<J) 3 /8 ” c/0 .2 0
262
9e<t) 3 /8 ” c /0 .2 0 !
263
E structuras de C oncreto i
C apítulo 6 colum nas
Capítulo 6
COLUMNAS
C apítulo 6 colum nas
E structuras de C oncreto I
COLUM NAS
Las colum nas so n e le m e n to s e s tru c tu ra le s so m e tid o s p rin c ip a lm e n te a c a rg a
axial de c o m p re sió n o a c o m p re sió n y flex ió n , in clu y e n d o o n o to rs ió n o
esfuerzos co rta n tes y c o n u n a re la c ió n d e lo n g itu d a la m e n o r d im e n s ió n de
la sección de 3 o m ás.
Tipos
Distinguim os lo s sig u ie n te s tip o s d e co lu m n as:
1.
C olum nas re fo rz a d a s lo n g itu d in a lm e n te
tran sv e rsalm en te c o n e strib o s o esp ira le s.
con
b a rra s
re d o n d a s
y
F ig u ra 6.1
2.
C olum nas c o m p u e s ta s re fo rz a d a s lo n g itu d in a lm e n te c o n p e rfile s de
acero estru c tu ra l ro d e a d o s o n o p o r c o n c re to o c o n c re to lle n a n d o d ich o s
perfiles en o c a sio n e s co n b a rra s re d o n d a s lo n g itu d in a le s y a lg ú n tip o de
refuerzo tran sv e rsal.
Figura 6.2
C apítulo 6 colum nas
Estructuras de C oncreto I
D IM E N S IO N A M IE N T O
REFUERZO
D im e n s io n e s m ín im a s
Refuerzo lo n g itu d in a l
E l R e g la m e n to c o lo m b ia n o N S R -1 0 n o c o n te m p la la re stric ció n de
d im e n s io n e s m ín im a s p a ra las e s tru c tu ra s c o n c a p a c id a d m ínim a de
d isip a c ió n d e en e rg ía. U n ic a m e n te en la se c c ió n C R IO . 8 se m e n cio n a n con
el c a rá c te r d e in fo rm a tiv o . P a ra e s tru c tu ra s c o n c a p a c id a d d e disipación de
e n e rg ía m o d e ra d a (D M O ) y e sp e c ia l (D E S) se e sp e c ific a las dim ensiones
m ín im a s de c o lu m n a s en el c a p itu lo C .21 en las s e c c io n e s C .21.3.5.1 y
C .21 .6 .1.1 re sp e c tiv a m e n te , a lo s q u e n o s re fe rim o s a c o n tin u ac ió n :
E s tr u c tu r a s c o n c a p a c id a d m o d e r a d a d e d isip a c ió n d e e n e r g ía (DM O)
“L a d im e n sió n m e n o r d e la s e c c ió n tra n sv e rsa l, m e d id a e n u n a lín ea recta
q u e p a sa a tra v é s d el c e n tro id e g e o m é tric o , n o d eb e se r m e n o r d e 250 mm.
L a s c o lu m n a s en fo rm a d e T, C o I, p u e d e n te n e r u n a d im e n sió n m ínim a de
0 .2 0 m , p e ro su á rea n o p u e d e se r m e n o r d e 0 .0 6 2 5 m 2”. S e su g ie re que la
re la c ió n e n tre la d im e n sió n m e n o r d e la se c c ió n tra n s v e rsa l y la dim ensión
p e rp e n d ic u la r n o d eb e s e r m e n o r q u e 0.3.
E s tr u c tu r a s c o n c a p a c id a d e s p e c ia l d e d isip a c ió n d e e n e r g ía (D E S )
“L a d im e n s ió n m e n o r de la se c c ió n tra n sv e rsa l, m e d id a en u n a lín ea recta
q u e p a sa a tra v é s d e l c e n tro id e g e o m é tric o , n o d eb e se r m e n o r d e 300 mm.
L as c o lu m n a s en fo rm a d e T , C o I, p u e d e n te n e r u n a d im e n sió n m ínim a de
0.25 m , p ero su á re a n o p u e d e s e r m e n o r de 0 .0 9 m 2”. L a re la c ió n entre la
d im e n sió n m e n o r d e la s e c c ió n tra n sv e rs a l y la d im e n sió n p e rp e n d ic u la r no
d eb e s e r m e n o r q u e 0.4.
E n to d a s las e stru c tu ra s, D M I, D M O , y D E S la fu e rz a a x ial m ay o ra d a de
c o m p re sió n Pu, b a jo c u a lq u ie r c o m b in a c ió n d e ca rg a, d eb e exceder
0 .1 0 fc'A g .
268
El área de re fu e rz o lo n g itu d in a l d e la c o lu m n a, sin te n e r e n c u e n ta la
capacidad de d isip a c ió n d e e n e rg ía d e la e stru c tu ra a la cu al p e rte n e c e , no
debe ser m en o r de 0 . 0 1 n i m a y o r d e 0.04 v e c e s el á rea to ta l A gd e la sec ció n .
El núm ero m ín im o d e b a rra s d el re fu e rz o lo n g itu d in a l es de 4 p a ra b arras
colocadas d e n tro de e strib o s re c ta n g u la re s o c irc u lares, d e 3 d e n tro de
estribos trian g u lares y d e 6 p a ra b a rra s lo n g itu d in a le s c o lo c a d a s d e n tro de
espirales que c u m p la n lo s re q u isito s d el R e g la m e n to N S R -1 0 .
Pese a no estar e sp e c ific a d o en el R e g la m e n to c o lo m b ia n o , se re c o m ie n d a
como d iám etro m ín im o d e las b a rra s d e re fu e rz o lo n g itu d in a l el N o. 4 p ara
estructuras d e c a p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e rg ía m ín im a (D M I) y
moderada (D M O ): p a ra e s tru c tu ra s co n ca p a c id a d d e d isip a c ió n d e en e rg ía
especial (DES) se re c o m ie n d a co m o d iá m e tro m ín im o p a ra el re fu erz o
longitudinal el N o. 5.
Especifica el R e g la m e n to c o lo m b ia n o q u e e n las b a rra s lo n g itu d in a le s
dobladas en la s c o lu m n a s p o r c a m b io d e la s e c c ió n se d eb e c u m p lir q u e la
pendiente de la p arte in c lin a d a d e u n a b a rra d e este tip o no d eb e e x c e d e r de
1 a 6 con re sp e c to al e je de la c o lu m n a y las p a rte s de la b a rra q u e están
arriba y d eb a jo d e la z o n a d e d o b le z d e b e n se r p a ra le la s al eje d e la
columna. L as b a rra s e n lo s ca m b io d e se c c ió n , lo cu al so lo se h a ra e n las
losas de en tre p iso , se d e b e n d o b la r an te s de su c o lo c a c ió n en el e n c o fra d o y
nunca d esp u é s d e fu n d id o el c o n c re to y e sta r las b a rra s p a rc ia lm e n te
em bebidas en el c o n c re to e n d u re c id o . C u a n d o la ca ra d e u n a c o lu m n a esta
desalineada 75 m m o m ás p o r c a m b io d e sec ció n , las b a rra s lo n g itu d in a le s
no se deben d o b lar. Se d e b e n p ro p o rc io n a r esp ig o s e m p a lm a d o s p o r tra sla p o
con las b arras lo n g itu d in a le s a d y a c e n te s a las c a ra s d e sa lin e a d a s de la
columna.
269
E structuras de C oncreto I
E l R e g la m e n to e sp e c ific a q u e d eb e p ro p o rc io n a rse so p o rte horizom i
a d e c u a d o a la b a rra d o b la d a p o r c a m b io d e se c c ió n p o r m ed io de estribos
tra n sv e rsa le s, e sp ira le s o p o rc io n e s d el sis te m a de en tre p iso . El s o p o ^
C apítulo 6 colum nas
h o riz o n ta l d eb e d iseñ arse p a ra re s is tir 1.5 v e c e s la c o m p o n e n te horizontal de
la fu e rz a c a lc u la d a en la p o rc ió n in c lin a d a d e la b arra. L o s estribos
tra n sv e rsa le s o esp ira le s, e n caso d e u tiliz a rse , se d e b e n c o lo c a r a una
d ista n c ia no m a y o r d e 150 m m d e los p u n to s d e d o b lad o .
Cuando en las b a rra s lo n g itu d in a le s de la c o lu m n a lo s e sfu e rz o s
debidos a las ca rg as m a y o ra d a s y c a lc u la d o s p a ra las d iv e rsa s
co m b in acio n es de c a rg a no ex c e d e n d e 0.5 f y en trac ció n , lo s em p a lm e s
por traslap o d e b e n se r C lase B , en c u a lq u ie r s e c c ió n d o n d e se e m p alm a
m ás de la m ita d de las b arras, o C lase A d o n d e se e m p a lm a la m ita d o
m enos de las b arras y lo s e m p a lm e s e n tre b a rra s a ltern as se e sc a lo n a n a
una d istan cia al m e n o s ig u al a U .
E n c o lu m n a s co n e strib o s o co n re fu e rz o en esp ira l, la d ista n c ia libre entre
b a rra s lo n g itu d in a le s d e b e se r m a y o r o ig u al a 1.5db (db = d iám etro nominal
d e la b arra), 40 m m o 1.33 v e c e s el ta m a ñ o d el a g re g a d o gru eso .
C uando lo s e sfu e rz o s en las b arras lo n g itu d in a le s d e la c o lu m n a
debidos a las c a rg a s m a y o ra d a s so n m a y o re s d e 0.5 f y en trac ció n , lo s
em palm es p o r tra sla p o d e b e n se r C lase B.
E l re c u b rim ie n to m ín im o p a ra el re fu e rz o e n c o lu m n a s de c o n c re to vaciado
en el sitio se rá d e 40 m m p a ra la a rm a d u ra p rin c ip a l los e strib o s y los
esp ira le s; e n a m b ie n te s a g re siv o s d e b e n u tiliz a rs e re c u b rim ie n to s m ayores.
E m p a lm e d e b a r r a s lo n g itu d in a le s
S e p u e d e u tiliz a r e m p a lm e s p o r tra sla p o , e m p a lm e s m e c á n ic o s, empalmes
so ld a d o s a to p e, c o n e x io n e s m e c á n ic a s o e m p a lm e s a to p e con el
cu m p lim ie n to d e lo s re q u isito s c o n te n id o s en el R e g la m e n to N S R -10 y
sa tisfa c ie n d o lo s re q u e rim ie n to s p a ra to d a s las c o m b in a c io n e s d e carga de
las co lu m n as. P o r s e r los e m p a lm e s p o r tra sla p o lo s m á s u su a le s, se citan a
c o n tin u a c ió n a lg u n o s de lo s re q u is ito s m e n c io n a d o s p a ra este tipo de
em p alm e:
C u a n d o los e sfu e rz o s en la b a rra a e m p a lm a r, d e b id o s a la s cargas
m ay o ra d as, so n d e co m p re sió n , la lo n g itu d m ín im a p a ra em palm es
tra sla p a d o s a c o m p re s ió n es d e 0 .071fyd b p a ra f y d e 4 2 0 M P a o
m en o s, o (13fy - 2 4 ) d b p a ra f y m a y o r de 4 2 0 M P a, y n u n c a debe
s e r m e n o r d e 3 0 0 m m . P a ra f c' m e n o re s de 21.1 M P a la longitud
del tra sla p o d eb e in c re m e n ta rse e n u n tercio.
C u an d o p o r tra sla p o a c o m p re sió n se e m p a lm e n b a rra s de diferente
d iám etro , la lo n g itu d de tra sla p o d eb e s e r la m a y o r e n tre la lo n g itu d de
d e sa rro llo d e la b a rra m a y o r y la lo n g itu d de tra sla p o de la b a rra m enor.
Figura 6.3
Para e stru c tu ra s c o n c a p a c id a d d e d isip a c ió n de e n e rg ía m o d e ra d a y
esp ecial (D M O y D E S ), lo s e m p a lm e s p o r tra sla p o se p erm ite n
ú n icam e n te en la m ita d c e n tra l d e la lo n g itu d del ele m e n to y d eb e n
d iseñ arse co m o e m p a lm e s en tra c c ió n y d eb e n estar c o n fin a d o s d e n tro
del re fu e rz o tra n sv e rsa l c o rre sp o n d ie n te se g ú n el g ra d o d e d isip a c ió n
(véase c a p itu lo C .21 d el R e g lam en to ). S e in v ita al le c to r a la se c c ió n
C .1 2 .1 7 d el R e g la m e n to c o lo m b ia n o co m o a c la ra c ió n y a m p lia c ió n de
los re q u isito s an terio res.
271
Capítulo 6 colum nas
Estructuras de C oncreto I
R e fu e rzo T r a n sv e r sa l
E stá co n stitu id o p o r e strib o s o fleje s y re fu e rz o en esp ira l. A continuación
alg u n o s re q u isito s q u e d eb e n c u m p lir e sto s re fu erz o s:
D eben c o lo c a rse e strib o s a d ic io n a le s d en tro d e lo s n u d o s o co n e x io n e s
de v ig as y co lu m n as, a fin de c o n fin a r el co n c re to y g a ra n tiz a r su
fu n cio n am ien to . E l á rea d e re fu e rz o tra n s v e rs a l n o p u ed e se r m e n o r q u e
la dada p o r la ecu ació n :
E strib o s
0 .0 6 2 V f;b ws ^ 0 .3 5 b ws
A >
El R e g lam en to N S R -1 0 e s p e c ific a e strib o s d e b a rra N o .3 (<!>%") o 10M
( 1 0 m m ) cu a n d o las b arras lo n g itu d in a le s se a n ig u a le s o m en o res a la
N o .10 ( V A " ) o 3 2 M (32 m m ), y al m e n o s de b a rra N o .4 ( <|)/2") o 12M
( 1 2 m m ) cu a n d o las b a rra s lo n g itu d in a le s se a n m a y o re s o iguales a la
N o. 11 (1 % " ) o 3 5 M (35 m m ) o se trate d e b a rra s en paquete. En
estru c tu ras co n ca p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e rg ía m ín im a (DMI) se
p erm iten e strib o s de b a rra N o .2 (<t>X") 0 6 M
co lu m n as s o p o rta n ú n ic a m e n te u n o o d o s p isos.
(6
3f,
y se d eb e c o lo c a r en u n a d ista n c ia ig u al a la a ltu ra d el ele m e n to m ás
alto de los q u e lle g a n a las co lu m n as.
m m ) cuando las
El esp a c ia m ie n to v e rtic a l e n tre e strib o s se rá el m e n o r entre 16
d iám etro s de la b a rra lo n g itu d in al, 48 d iá m e tro s d e la b a rra d el estribo
o la m e n o r d im en sió n d e la co lu m n a.
4 b a r ra s
6 b a r ra s
L os e strib o s d eb e n d isp o n e rse d e tal fo rm a q u e to d a s las barras
lo n g itu d in ale s e sq u in e ra s y al m e n o s u n a d e p o r m ed io d e las q u e no lo
son, p u e d a n a m arrarse o so p o rta rse la te ra lm e n te c o n la e sq u in a de un
estrib o q u e h ag a c o n e lla s u n án g u lo in te rio r in fe rio r a 135°, y ninguna
b arra d e b e rá e sta r se p a ra d a m ás de 150 m m lib res m e d id o s a lo largo
del e strib o d e sd e u n a b a rra so p o rta d a co m o a n te s se dijo. C u an d o las
barras lo n g itu d in a le s e sté n lo c a liz a d a s a lo larg o d el p e rím e tro de un
círculo, p u ed e u tiliza rse u n estrib o c irc u la r co m p leto .
Máximo 135°
Distancias iguales o
menores de 150 mm
Distancias mayores
de 150 mm
F igura 6.4
272
Distancias mayores
de 150 mm y ram as del
estribo a más de 350 mm.
16 b a rra s
M uro C o lu m n a
F igura 6.5
2 73
C o lu m n a s E s q u in e ra
C apítulo 6 colum nas
Estructuras de C oncreto I
s
E sp ira le s
R e fu e rz o tra n sv e rs a l c o n siste n te en b arras c o n tin ú a s ig u a lm e n te espaciadas,
a lin e a d a s y firm e m e n te fija d a s en su lu g a r p o r m e d io de espaciadores
v e rtic a le s. Se d ise ñ a n d e m a n e ra q u e la d e n o m in a d a c u a n tía d el refu erzo en
e s p ira l p s no se a m e n o r q u e el v a lo r d ad o p o r la ex p resió n :
=
p aso o se p a ra c ió n e n tre esp ira s, e x p re sa d o en m m .
• voium en del n ú cleo , m ed id o p o r la p a rte e x te rio r d e la esp ira l, e x p re sa d o
enmm3. se calcu la por:
= rfL
* 1000
4
A,
Ps = 0-45
-1
A ch
IL
para una lo n g itu d d e
L
1000
m m de co lu m n a.
A continuación a lg u n o s re q u isito s q u e d eb e c u m p lir el re fu e rz o tra n sv e rsa l
en do nde:
ps
en espiral:
= re la c ió n d el v o lu m e n d el re fu e rz o en esp ira l al v o lu m e n total
d el n ú c le o c o n fin a d o p o r la e sp ira l (m ed id o p o r la parte
El d iám etro m ín im o d el re fu e rz o en e sp ira l c o rre sp o n d e a b arras
N°3 (<|>%") o 10M (10 m m ).
e x te rio r d e las esp irales) = V e / V c
A
El e sp a ciam ien to lib re e n tre h é lic e s n o d eb e e x c e d e r de 75 m m n i se r
m enor de 25 m m .
= á rea b ru ta de la se c c ió n de c o n c re to , e x p re sa d a en m m .
o
A .
Ch
= á rea del n ú cleo , m e d id a h a sta el d iá m e tro e x te rio r de
2
la
esp ira l, e x p re sa d a en m m .
f y,
= re siste n c ia n o m in a l e sp e c ific a d a a la flu e n c ia d el re fu erz o en
El an claje del re fu e rz o e n e sp ira l d eb e h ac erse m e d ia n te 1.5 v u eltas
adicionales en c a d a e x tre m o d e la u n id a d en esp ira l d en tro del ele m e n to
co rresp o n d ien te a llí lo caliza d o .
esp ira l, la cu a l n o d eb e s e r m a y o r d e 7 0 0 M P a.
E l v o lu m e n d el re fu e rz o en e sp ira l en m m 3 se p u e d e e x p re sa r por:
w
A
^
Los em p alm es del re fu e rz o en e sp ira l d eb e n se r tra sla p o s e n u n a
longitud m ín im a d e 48db, p a ra b a rra s c o rru g a d a s o 72db p a ra b arras
lisas o em p a lm e s m e c á n ic o s o so ld ad o s.
1000
Ve = A s 7lDc ------s
en do nde:
As =
á re a d e la b a rra q u e h ac e la esp ira l.
Dc =
d iá m e tro d el n ú c le o , m ed id o h a sta el d iá m e tro e x te rio r d e la
esp ira l, e x p re sa d o en m m .
El refu erzo en esp ira l d eb e e x te n d e rse d esd e la p arte su p e rio r d e la
zapata o lo sa h a s ta la a ltu ra d el re fu e rz o h o riz o n ta l m ás b ajo del
elem ento so p o rtad o .
En los c a so s en d o n d e a u n a o m ás c a ra s d e la c o lu m n a no lleg an v ig a s
o m én su las, d e b e n c o lo c a rse e strib o s p o r en c im a d e la te rm in a c ió n del
refuerzo en esp ira l h a sta la p arte in fe rio r de la lo sa o á b a c o o
d esco lg ad o p a ra co rtan te.
C apítulo 6 colum nas
E structuras de C oncreto I
E n c o lu m n a s co n ca p ite l, el re fu e rz o en esp ira l d eb e llev arse hasta el
p u n to e n d o n d e el d iá m e tro o a n c h o d el c a p ite l es el d o b le del de b
c o lu m n a .
.
1
la cu a n tía v o lu m é tric a d el re fu e rz o e n esp ira l, p s , o de e strib o s de
confinam iento circ u la re s, d e b e se r m a y o r que:
f'
E n e s tru c tu ra s de c a p a c id a d de d isip a c ió n d e e n e rg ía m ín im a (DMI), de
c a p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e rg ía m o d e ra d a (D M O ) y d e capacidad de
d is ip a c ió n d e e n e rg ía e sp e c ia l (D E S ), p a ra c o n stru c c io n e s sism o resistentes
d eb e c u m p lirse a d e m á s c o n o tro s re q u isito s c o n te n id o s en el Reglamento
a lg u n o s d e los cu a le s se m e n c io n a rá n a co n tin u a c ió n .
( A
-1
p = 0 .0 8 -^ > 0 .4 5
f,.
Cuando
V A
se u tilic e n e s trib o s re c ta n g u la re s, el á rea de lo s e strib o s p a ra un
(
A
A* =0.20Sb¿ '
f.
la m á x im a d im e n sió n d el ele m e n to en la ca ra d el n u d o .
y
de la lo n g itu d lib re d el ele m e n to
500 m m
ch
diámetro m ín im o N o .3 (<t>%") o 10M (10 m m ) no p u e d e se r m e n o r que:
C a p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e r g ía m ín im a (D M I)
N o o b sta n te n o e sta r e sp e c ific a d o e n el R eg lam en to , se sugiere la
sig u ie n te c o lo c a c ió n d e e s trib o s d e c o n fin a m ie n to d e d iám etro No.
(<(>%") o 10M (10 m m ) co n u n a re sis te n c ia n o m in a l a la fluencia del
a c e ro de m ín im o f yb d e 2 4 0 M P a y u n a se p a ra c ió n s de 150 m m , en una
lo n g itu d
m e d id a a lo larg o d el e je lo n g itu d in a l d el e lem e n to y desde
la c a ra d el n u d o , no m e n o r que:
fe'
^
g
VA
Ch
- 1
)
A.. = 0 . 0 6 ^
para las d o s d ire c c io n e s p rin c ip a le s d e la se c c ió n de la co lu m n a.
La separación m á x im a d el re fu e rz o tra n s v e rs a l d e c o n fin a m ie n to d eb e ser
menor que:
8 db
de la b a rra lo n g itu d in a l m ás p eq u eñ a.
16db d el d iá m e tro del estrib o .
S i la d ista n c ia h o riz o n ta l e n tre d o s ra m a s p a ra le la s de e strib o s e s mayor
q u e la m ita d d e la m e n o r d im e n sió n d e la se c c ió n de la colum na o
2 0 0 m m d e b e n u tiliz a rse e s trib o s s u p le m e n ta rio s d el m ism o diám etro y
y z d e la d im e n sió n m ín im a d e la s e c c ió n d el elem e n to .
150 m m .
ca lid a d .
C a p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e r g ía m o d e r a d a (D M O )
D e b e u tiliz a rse re fu e rz o en e sp ira l o e strib o s c e rra d o s d e c o n fin a m ie n to de
a c u e rd o a las sig u ie n te s e sp e c ific a c io n e s, a m e n o s q u e se requiera
c a n tid a d e s m a y o re s p a ra e sfu e rz o c o rta n te . C u an d o se u tilice re fu erz o en
A lternativam ente al re fu e rz o an terio r, p u e d e n c o lo c a rse e strib o s de
confinam iento d e d iá m e tro N o. (<)>%") o 10M (10 m m ) c o n fy, d e 420 M P a,
con una se p a ra c ió n s d e 100 m m . S i la d ista n c ia h o riz o n ta l e n tre d o s ra m a s
paralelas del estrib o e s m a y o r q u e la m ita d de la m e n o r d im e n sió n d e la
sección de la c o lu m n a o 2 0 0 m m , d eb e u sa rse e strib o s s u p le m e n ta rio s del
mismo d iám etro y ca lid a d .
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 6 colum nas
E l re fu e rz o d e c o n fin a m ie n to se lo c a liz a rá en u n a lo n g itu d 1 0 m ed id a a lo
la rg o d el eje lo n g itu d in a l d el ele m e n to y d e s d e la c a ra d el n u d o , no m enor
que:
¡/6 d e la lo n g itu d lib re d e l elem e n to ,
El refuerzo tra n sv e rsa l de c o n fin a m ie n to p u e d e e sta r co n stitu id o
sencillos o m ú ltip le s y ta m b ié n e strib o s s u p le m e n ta rio s d e
especificaciones. L o s e strib o s su p le m e n ta rio s, o las ra m a s de
múltiples, no d e b e n e sta r se p a ra d o s a m ás d e 350 m m ce n tro a
dirección p e rp e n d ic u la r al eje d el ele m e n to estru c tu ral.
p o r e strib o s
las m ism a s
lo s e strib o s
c e n tro en la
m a y o r d im e n sió n de la se c c ió n tra n sv e rs a l d e la co lu m n a.
E x te n s ió n d e 6db
500 m m.
6db
m in 7 .5 cm
E n la z o n a d o n d e n o se c o lo c a re fu e rz o tra n s v e rsa l p o r c o n fin a m ie n to , el
e sp a c ia m ie n to ce n tro a c e n tro d el re fu e rz o tra n sv e rsa l no d eb e s e r m ay o r a
d o s v e c e s el u tiliz a d o en la z o n a d e c o n fin a m ie n to .
C a p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e r g ía e sp e c ia l (D E S )
D e b e u tiliz a rse re fu e rz o en e sp ira l o e s trib o s c e rra d o s d e co n fin a m ie n to de
a c u e rd o a las sig u ie n te s e sp e c ific a c io n e s, a m e n o s q u e se requieran
c a n tid a d e s m a y o re s p a ra e sfu e rz o c o rta n te. C u an d o se u tilice re fu e rz o en
e sp ira l la c u a n tía v o lu m é tric a d el re fu e rz o en e sp ira l, p s, o d e e strib o s de
c o n fin a m ie n to circ u la re s, d eb e s e r m a y o r que:
A
p s = 0 . 1 2 ^ - > 0.45
Figura
6. 6
La separación d el re fu e rz o tra n s v e rs a l a lo larg o d el eje lo n g itu d in a l d el
elemento no d eb e e x c e d e r la m e n o r de:
f:
-1
V A ch
la c u a rta ^
Pa rte de Ia d im e n sió n m ín im a del elem e n to :
seis v e c e s el d iá m e tro de la b a rra lo n g itu d in a l m e n o r
d iá m e tro m ín im o N o .3 (((>%") o 10M (10 m m ) n o p u e d e se r m e n o r que:
s0, s e g ú n lo d e fin id o en la ec u a c ió n C .2 1 -5 d el R eg lam en to .
sb f '
A sh = 0 . 3 0 —^
( A
, A
(W
C u an d o se u tilic e n e strib o s re c ta n g u la re s, el á rea de los e strib o s p a ra un
ch
s =
>
100
+
3 5 0 -h .
-1
)
El valor de s 0 n o d eb e se r m a y o r d e 150 m m y no es n e c e sa rio to m arlo
menor a 1 0 0 m m
sb f '
A sh= 0 . 0 9 - ^
y
p a ra las d os d ire c c io n e s p rin c ip a le s de la se c c ió n de la co lu m n a.
278
Capítulo 6 colum nas
E structuras de C oncreto I
E l re fu e rz o d e c o n fin a m ie n to se lo c a liz a rá en u n a lo n g itu d 1 0 m edida a 10
Columnas co n ca r g a a x ia l
larg o d el eje lo n g itu d in a l d el ele m e n to y d e sd e la ca ra del n u d o , no menor
Obtener una e x p re sió n de d ise ñ o p a ra c o lu m n a s c o rta s c o n c a rg a ax ial p or
medio de la te o ría de la ela stic id a d , a c la ra n d o la e x p re sió n a c tu a lm e n te en
uso y su relació n co n la s d e n o m in a d a s ca rg a s de serv icio .
que:
la a ltu ra del e lem e n to en la c a ra d el n u d o o e n la sec ció n donde
p u e d e o c u rrir flu e n c ia p o r flex ió n ;
J/6 d e la lo n g itu d lib re d el elem e n to ;
Al som eter u n a c o lu m n a a u n a c a rg a P d e b e ría a c o rta rse e n A, q u e e n lo s
respectivos p e río d o s e lá stic o s d el c o n c re to y d el re fu e rz o sig n ifica:
450 m m
E n la z o n a d o n d e no se c o lo c a re fu e rz o tra n s v e rsa l p o r co nfinam iento, el
e sp a c ia m ie n to ce n tro a c e n tro d el re fu e rz o tra n s v e rsa l n o d e b e ser mayor
q u e el m e n o r de:
6 db
de las b a rra s lo n g itu d in a le s
150 m m
L a s c o lu m n a s q u e s o p o rta n re a c c io n e s d e e le m e n to s ríg id o s discontinuos
co m o m u ro s, d e b e n te n e r re fu e rz o tra n s v e rsa l en su a ltu ra total, en todos los
n iv eles. E l re fu e rz o tra n s v e rsa l d e b e e x te n d e rs e en el ele m e n to discontinuo
p o r u n a d ista n c ia al m e n o s ig u al a la lo n g itu d d e d e sa rro llo i d d e la barra de
la c o lu m n a lo n g itu d in a l m ay o r, d o n d e
se d e te rm in a por las
e sp e c ific a c io n e s co n te n id a s en C .2 1 .7 .5 d el R eg la m e n to . S i el extremo
in fe rio r d e la c o lu m n a te rm in a en u n m uro, el re fu e rz o tra n s v e rsa l requerido
d eb e e x te n d e rse d e n tro d el m u ro p o r lo m e n o s
d e la m a y o r barra
lo n g itu d in a l d e la c o lu m n a e n el p u n to en q u e term in a. S i la columna
te rm in a en u n a z a p a ta o u n a lo sa d e c im e n ta c ió n , el re fu e rz o transversal
re q u e rid o d eb e e x te n d e rs e p o r lo m e n o s 300 m m en la z a p a ta o losa de
cim en tac ió n .
F ig u ra 6.7
Si se d en om ina:
o
Ag :
á rea b ru ta d e la se c c ió n , e x p re sa d a en m
A g - A s t:
á re a d el c o n c re to en la sec ció n , e x p re sa d a en m 2
A st:
á re a to ta l d el re fu e rz o lo n g itu d in al, e x p re sa d a en m
o
A c o n tin u a c ió n se hará re fe re n c ia a las c o lu m n a s c o n c a rg a ax ial; luego,
c o lu m n a s c o n c a rg a ax ial y m o m e n to y se fin a liz a rá c o n el e stu d io de
e fe c to s d e e sb e lte z en c o lu m n a s, in c lu y e n d o el tra ta m ie n to para
e sfu e rz o s c o rta n te s en u n m o d e lo d e a p lic a c ió n (P ro b lem a 6 .6 ) d e
las
los
los
los
se puede p lan tear:
P = (A g - A s t) f c+ A stf s = ( A g - A st) f c + A stn f c
a n te rio re s co n c ep to s.
P = f c (A g + ( n - l ) A s t)
280
281
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 6 colum nas
E sta e x p re sió n , q u e p e rm itiría el d ise ñ o (o b ten c ió n de A g y A st) de Una
c o lu m n a en fu n c ió n de la c a rg a a x ia l P, h a sid o a b a n d o n a d a en la actualidad
p o r las sig u ie n te s c o n s id e ra c io n e s s o b re el m a te ria l c o n c re to que nos
im p id e n ig u a la r las d efo rm acio n es:
1.
2.
E l c o n c re to no es u n m a te ria l elástico .
L o s fe n ó m e n o s de re tra c c ió n de fra g u a d o , o sea, la d ism inución de
v o lu m e n d el c o n c re to p o r se c a m ie n to , y la flu e n c ia lenta, es decir,
la d e fo rm a c ió n ad ic io n a l a larg o p la z o p o r la a c c ió n d e cargas de
c o m p re s ió n p erm a n en tes.
E x p e rim e n ta lm e n te se h a lo g rad o e s ta b le c e r la c a rg a de fa lla de una
c o lu m n a c o rta so m e tid a a c a rg a a x ial se g ú n la ex p resió n :
Pn =
= F .d e S.* P = 0 .8 5 f ;( A g - A S1) + A stf y , en donde:
Pn = re sis te n c ia n o m in a l a c a rg a ax ial, e n kN
a este respecto, el R e g la m e n to N S R -1 0 , al ig u al q u e el R e g lam en to
A f 1-3 1 8 - l f l c o n sid e ra n el d ise ñ o p o r c a rg a a x ial a c o m p re sió n co m o u n a
condición h ip o tétic a de ca rg a, p u e sto q u e lim itan la re siste n c ia de los
miembros su jeto s a e sta c o n d ic ió n al 8 0 u 8 5 % d e la re siste n c ia a la carg a
axial de diseño a rrib a ex p resad a . A sí, p a ra e le m e n to s n o p re e sfo rz a d o s, co n
refuerzo tran sv ersal en fo rm a d e e strib o s ce rra d o s a p ro p ia d o s, la re siste n c ia
de diseño a fu e rza ax ial c()Pn, s e g ú n lo s R e g la m e n to s m e n c io n a d o s, n o será
mayor que:
(j)Pn (m áxim a) = 0.75(j>[o.85fc' ( A g - A st) + fyA st]
Para elem entos no p re e s fo rz a d o s c o n re fu e rz o en e sp ira l a p ro p ia d o , la
resistencia de d ise ñ o a fu e rz a ax ial (j)Pn, ta m b ié n se g ú n lo s R e g la m e n to s
antes citados, n o se rá m a y o r que:
(j)Pn (m áxim a) = 0.80<j)[o.85fc' ( A g - A st) + fyA st]
U = fa c to r de c a rg a
en donde:
f c' = re siste n c ia n o m in a l d el c o n c re to a la c o m p re sió n , ex p resad a en
<J)Pn (m áxim a) =
re s is te n c ia d e d ise ñ o a fu e rza a x ia l d e lo s e le m e n to s
so m e tid o s a co m p resió n .
(j>
c o e fic ie n te d e re d u c c ió n de re siste n c ia ig u al a 0.65
p a ra m ie m b ro s a c o m p re s ió n a x ia l co n o s in fle x ió n
y re fu e rz o tra n s v e rs a l en e strib o s; p a ra re fu erz o
tra n s v e rs a l en esp ira l el c o e fic ie n te v a ld rá 0.75.
k N /m 2
f y = re sis te n c ia n o m in al a la flu e n c ia del a c ero d e re fu erz o , expresada
en k N /m 2
T a l co m o se e x p re sa arrib a, si a la e x p re sió n d e fa lla se le ap lic a u n fa cto r de
se g u rid a d ap ro p ia d o , se te n d rá u n a e x p re sió n de d ise ñ o en fu n c ió n de la
c a rg a ax ial d e se rv ic io a p lic a b le a c o lu m n a s co rta s, es d ecir, n o afectadas
p o r la e sb e lte z. A sí, p o r ejem p lo , si se c o n sid e ra a p lic a b le u n fa c to r de
se g u rid a d de 3, resu lta:
=
De esta m an era, v a lo re s d e U a p ro x im a d o s a lo s e sp e c ific a d o s p a ra
estructuras co rrien tes, U = 1.5, e q u iv a le n a fa c to re s d e se g u rid a d elev a d o s
como p u ed en s e r 3.0 p a ra c o lu m n a s a rm a d a s co n e strib o s y 2.50 p ara
columnas a rm a d a s co n esp ira le s, así:
3P = 0 .8 5 f ;( A g - A st) + f yA st
en d o n d e P se rá la c a rg a d e se rv ic io o de tra b a jo de la co lu m n a.
282
283
Capítulo 6 colum nas
E structuras de C oncreto I
a)
P - 21 1 M P a = 2 1 1 0 0 k N /m 2 y f
= 2 4 0 M P a = 2 4 0 0 0 0 k N /m 2
1c"
p„=
3P
=
0 .8 5 f ;( A g - A st) + f yA s,
3 p = 0.85 * 2 1 1 0 0 (A b - 0 . 0 1 A g )+ 240000 * 0 .0 1 A g = 2 0 1 5 5 A g
E n lo s c o m e n ta rio s d el R eg la m e n to , se e x p lic a e sta re d u cció n de la
re s is te n c ia d e d ise ñ o de u n a s e c c ió n en só lo co m p re sió n , p a ra d e esta forma
te n e r en c u e n ta las p o sib le s e x c e n tric id a d e s a c c id e n ta le s n o co nsideradas en
el a n á lis is y el h ec h o p o r el cu a l la re s iste n c ia d el c o n c re to re su lte inferior
a fc p a ra c a rg a s a lta s p e rm a n e n te s; si é sta s so n las ra z o n e s de la reducción,
a d ic io n a d a s co n la d ific u lta d d e lo g ra r en la p rá c tic a la co n d ic ió n de sólo
c a rg a ax ial, se p re fie re la e sp e c ific a c ió n q u e n o a c e p ta el d ise ñ o para carga
ax ial so la m e n te , e x ig ie n d o q u e é ste se e fe c tú e p a ra la c a rg a a x ial obtenida
d el a n á lis is e stru c tu ra l c o rre s p o n d ie n te a u m e n ta d a de u n a excentricidad
m ín im a , d e a c u e rd o a las sig u ie n te s e x p re sio n e s:
- E x c e n tric id a d m ín im a p a ra c o lu m n a s co n e strib o s
- E x c e n tric id a d m ín im a p a ra c o lu m n a s co n e sp ira le s
■. A g = 0 .0 0 0 15P p a ra A g e n m 2 y P en k N
bj
Pn=
3P
3P
= 0 .8 5 f ;( A g - A st) + f yA st
= 0.85 * 2 1 1 0 0 (A g - 0 .0 1 A g )+ 420000 * 0 .0 1 A g = 21955 A g
.-. A g = 0 .0 0 0 1 4 P p a ra A g en m 2 y P en kN
c)
= O.lOt
= 0.05t
f c = 21.1 M P a y f y = 4 2 0 M P a
f c = 35.2 M P a = 3 5 2 0 0 k N /m 2 y f y = 2 4 0 M P a
P „ = 3P = 0 . 8 5 f '( A g - A st) + f yA st
en d o n d e t es la d im e n sió n de la c o lu m n a en el se n tid o de la excentricidad.
P o r tan to , es o p in ió n d el a u to r q u e la u tiliz a c ió n m ás a p ro p ia d a de
e x p re s ió n p a ra d ise ñ o c o n c a rg a ax ial so la m e n te , c o rre sp o n d e a
v e rific a c ió n d e las d im e n s io n e s m ín im a s co m o lím ite d e u n d iseñ o y
a lg u n o s ca so s p u e d e c o n s id e ra rs e co m o d im e n sio n a m ie n to p relim in ar.
c o n tin u a c ió n se v e rá su u tiliz a c ió n en p re d im e n sió n .
3P = 0 .8 5 * 3 5 2 0 0 (A g - 0 .0 1 A g ) + 2 4 0 0 0 0 * 0 .0 1 A g = 32021 A g
la
la
en
A
.-. A g = 0 .0 0 0 0 9 4 P -0 .0 0 0 1 0 P p a ra A g e n m 2 y P e n kN
d)
f c = 35.2 M P a y f y = 4 2 0 M P a
P „ = 3P = 0 . 8 5 f '( A g - A s t) + f yA st
P r o b le m a 6.1
3P = 0 .8 5 * 3 5 2 0 0 (A g - 0 .0 1 A g ) + 4 2 0 0 0 0 * 0 .0 1 A g = 33 8 2 1 A g
O b te n e r u n a e x p re sió n u tiliz a b le para la o b te n c ió n d e u n a p o sib le dim ensión
m ín im a o p a ra el d im e n s io n a m ie n to p re lim in a r, co n este crite rio , de
c o lu m n a s c o n la se c c ió n A g (en m 2) e n fu n c ió n de la c a rg a P de com presión
(en kN ) s u p u e s ta ax ial, si se u tiliz a u n a a rm a d u ra lo n g itu d in a l d e l 1 % de la
A g = 0 .0 0 0 0 8 9 P -0 .0 0 0 0 9 P p a ra A g e n m 2 y P e n kN
se c c ió n , fa c to r de se g u rid a d d e 3.0, c o n c re to p a ra P c = 21.1 M P a y 35.2
M P a y re fu e rz o d e las c a lid a d e s f y = 240 M P a y 420 M P a.
284
285
E structuras de C oncreto I
Capítulo 6 colum nas
E n la o b te n c ió n d e las e x p re sio n e s an te rio re s, se p u ed e observar la
im p o rta n te c o n trib u c ió n del c o n c re to a la re sis te n c ia de las colum nas en
c o m p re sió n y , p o r tan to , la in flu e n c ia d e la c a lid a d d e este m aterial en la
d e te rm in a c ió n d el ta m a ñ o de la se c c ió n ; p o r o tra p arte, la u tiliza ció n de las
fó rm u la s a n te rio re s co m o p re d im e n sió n en lo s c a so s de n o rm al ocurrencia
re s u lta rá m ás o m e n o s a p ro x im a d a d e p e n d ie n d o d el m e n o r o m ayor grado
de la e x c e n tric id a d d e la c a rg a re sp e c tiv a m e n te . P o r consiguiente, la
in te rp re ta c ió n d e los re su lta d o s d eb e h a c e rse co n p ru d e n cia.
T niendo en cu e n ta las c o n d ic io n e s de eq u ilib rio y c o m p a tib ilid a d de
Hformaciones Y ,o s re q u isito s c o n te n id o s en el R e g la m e n to c o lo m b ia n o
• com o que la m á x im a d e fo rm a c ió n u n ita ria en la fib ra e x tre m a en
compresión del c o n c re to d eb e s u p o n e rse ig u al a 0 .0 0 3 , q u e el e sfu e rz o de
compresión en el co n c re to se s u p o n e d e d istrib u c ió n re c ta n g u la r c o n un
v^or uniform e de 0.85 f 'c s o b re u n a z o n a e q u iv a le n te de c o m p re sió n
limitada por los b o rd e s de la s e c c ió n tra n sv e rsa l y p o r u n a lín ea re cta
paralela al eje n eu tro , lo c a liz a d a a u n a d ista n c ia a = p¡c de la fib ra de
máxima d efo rm ació n en c o m p re sió n y q u e el c o e fic ie n te p i d eb e to m a rse
C a r g a a x ia l y m o m en to
com o
E n esta sec c ió n se e n u n c ia n las e x p re sio n e s m ás u su a le s d e capacidad a
fle x o c o m p re sió n d e c o lu m n a s re c ta n g u la re s so m e tid a s a co m b in acio n es de
c a rg a ax ial y m o m e n to de fle x ió n in d ic a n d o los re q u isito s d e seg u rid ad del
R e g la m e n to N S R -1 0 , las p o sib ilid a d e s de d ia g ra m a c ió n en interacción
c o m p re s ió n -fle x ió n co m o a y u d a en el d ise ñ o y el em p le o de program as de
0.85 p ara re s is te n c ia s n o m in a le s d e c o m p re sió n d el c o n c re to de f c
hasta 28.1 M P a, re d u c ié n d o s e 0.05 p o r ca d a 7 M P a de re siste n c ia p o r
encima de 28.1 M P a, p e ro sin q u e p u e d a se r m e n o r de 0 .65, se p u ed e n
plantear los e sfu e rz o s y fu e rz a s de la fig u ra 6 . 8 .b. D e allí:
Pn = 0.85 f c' * ab + A ¡fy - A sfs
c o m p u ta c ió n co n el m ism o p ro p ó sito .
A p a rtir d e la e q u iv a le n c ia e n tre c a rg a e x c é n tric a y c a rg a a x ial y mom ento,
fig u ra 6 .8 .a, se d e fin e la fre c u e n c ia d e su p re se n ta c ió n en el diseño
e stru c tu ra l y su p e rm a n e n te n e c e sid a d d e so lu ció n .
Para el caso de la falla p o rq u e el a c ero d e tra c c ió n a lc a n z a su lím ite e lástico
al tiempo que el c o n c re to se ro m p e y el a c ero d e c o m p re sió n ta m b ié n lleg a a
su límite elástico , se ten d rá la c a rg a n o m in a l b a la n c e a d a d e falla.
P«b = 0 .8 5 f c'* a b + f y ( A ' - A s )
Para esta co n d ició n lla m a d a b a la n c e a d a ex iste u n a ex c e n tric id a d p a rtic u la r
llamada e b , y a p a rtir de e sta situ a c ió n se p re se n ta n d o s casos:
a)
P ara ca rg a s P n > P nb co n e x c e n tric id a d e s e < e b , la s e c c ió n e sta rá
co n tro la d a p o r la fa lla p o r c o m p re sió n .
b)
P ara ca rg a s Pn < P nb co n e x c e n tric id a d e s e > e b , la sec c ió n estará
c o n tro la d a p o r la fa lla p o r tracció n .
F igura 6.8.a
286
287
C apítulo 6 colum nas
E structuras de C oncreto I
Si f ' < 28.1 M P a:
600
^Pn b = r 0 . 7 2 2 5 * ^ T - * f ; b d .
e n do n d e:
(j, = co e ficien te de re d u c c ió n de la c a p a c id a d d e la secció n .
b=
an ch o
de
la ca ra
en
c o m p re sió n
de un
m ie m b ro s u je to
a
flex o c o m p resió n .
d=
d istan cia d e la fib ra e x tre m a en c o m p re s ió n al c e n tro id e del
refu erzo en ten sió n .
Figura 6 .8 .b
5)
P a ra e x c e n tric id a d e s g ra n d es, la fa lla se in icia p o r la flu e n c ia del acero
se g u id a p o r el d e sp la z a m ie n to d el eje n e u tro h a c ia la z o n a d e compresiones
h a sta c a u sa r la fa lla d el c o n c reto ; p a ra e x c e n tric id a d e s p eq u e ñ as, la falla es
p o r c o m p re sió n en el c o n c re to a u n q u e el a c ero esté lejo s de su fluencia. Por
tan to , ex istirá u n a e x c e n tric id a d de la c a rg a q u e p ro d u c irá la fa lla simultánea
p o r la flu e n c ia d el a c ero y la c o m p re s ió n en el c o n c re to y a e sta situación se
la llam a b a la n c e a d a co n la c a rg a co m o Pnb y la e x c e n tric id a d com o eb.
E n to n ce s, si la c a rg a Pn es m a y o r q u e Pnb co n e x c e n tric id a d m e n o r que e b la
fa lla se rá p o r c o m p re sió n ; si la c a rg a Pn es m e n o r q u e Pnb co n excentricidad
Igualm ente, de a c u e rd o co n lo a n te s ex p re sa d o , la c a p a c id a d o c a rg a de
diseño a la fa lla d e u n a c o lu m n a c o rta e sta rá c o n tro la d a p o r la tra c c ió n
cuando <|>Pn se a m e n o r q u e (j)Pnb, es d ecir, q u e e s e a m a y o r q u e e b, y
estará co n tro la d a p o r la c o m p re s ió n c u a n d o <|>Pn se a m a y o r q u e (j)Pnb, es
decir, que e s e a m e n o r q u e e b .
Por tanto, p ara la sec c ió n c o n tro la d a p o r la tra c c ió n c o n re fu e rz o sim étrico
en las dos caras, c a d a u n a p a ra le la al eje d e fle x ió n y to d o el re fu e rz o en
cada cara lo caliza d o a la m ism a d ista n c ia a p ro x im a d a d el eje d e flex ió n , la
capacidad o c a rg a d e d ise ñ o a la falla esta rá d ad a por:
m a y o r q u e e b , la falla se rá p o r trac ció n .
2
P ara la c a rg a b a la n c e a d a q u e los lim ita, así co m o p a ra lo s d o s casos antes
e n u n c ia d o s, se h a n d e d u c id o las sig u ie n te s ex p resio n es;
a)
L a c a rg a b a la n c e a d a d e d ise ñ o (j)Pnb, es d ecir, c u a n d o la carg a y su
e x c e n tric id a d p ro d u c e n la fa lla s im u ltá n e a d el a c ero a tracció n , del
c o n c re to a c o m p re sió n y d e la a rm a d u ra a c o m p re sió n , se puede
c a lc u la r u sa n d o la ex p resió n :
<t>Pn
= $ 0 .8 5 f ' bd l - e ' - pt +
d
2
600 + L,
288
p a ra f
y
en M P a.
dj
(
1-
d^
dy
+
e'
d
en donde:
e ' = ex c e n tric id a d d e la c a rg a m e d id a d e sd e el c e n tro id e d el re fu erz o
en trac ció n .
_ A st
(^P„b = r 0 . 8 5 * p 1 * - - ® 0 0 - * f ' b d ,
+ pt m'
1-
l
-
1
A„
á rea to ta l d el refu erzo
á rea de la sec ció n
289
Estructuras de C oncreto I
_
m =
C apítulo 6 colum nas
y
0 .8 5 1 '
0Pno
m'= m -l
0.80 ó
d ' = d ista n c ia de la fib ra e x tre m a en c o m p re s ió n al centroide del
re fu e rz o en c o m p re sió n .
Ig u a lm e n te , cu a n d o la s e c c ió n e stá c o n tro la d a p o r la com presión con
re fu e rz o sim é tric o en las d o s caras, c a d a u n a p a ra le la al eje de flexión y todo
el re fu e rz o en c a d a ca ra lo c a liz a d o a la m ism a d ista n c ia a p ro x im a d a del eje
de flex ió n , la ca p a c id a d o c a rg a de d ise ñ o a la fa lla e sta rá d ad a por:
<t>Pn = <l>
A sf y
+ 0.5
,
M
F ig u ra 6.9
Por tanto, en el d ise ñ o de u n a se c c ió n c u a lq u ie ra d e c o lu m n a d e co n c re to
reforzado, se p u e d e e s ta b le c e r u n d ia g ra m a d e in te ra c c ió n c a lc u la n d o lo s
bt*f'
3te
O.90Mno
puntos c o rresp o n d ien tes a (j)Pno, <|>Mno, <|>Pnb y a lg u n o s p u n to s a d ic io n a le s p or
+ 1.18
encima y p or d eb a jo d e 4>Pnb y de e sta m a n e ra e s ta b le c e r el fu n c io n a m ie n to
de dicha secció n p a ra d iv e rsa s c o n d ic io n e s de ca rg a s y m o m en to s.
d-d'
en d o n d e A ' = á re a d el re fu e rz o en c o m p re s ió n y la m ism a nom enclatura
u tiliz a d a en las e x p re sio n e s a n terio res.
L a in fo rm a c ió n a n te rio r se v is u a liz a m á s fá c ilm e n te si se c o lo c a en un
g rá fic o o d iag ra m a d e in te ra c c ió n , en d o n d e en las o rd e n a d a s se representan
las ca rg a s ax iales, en las a b sc isa s los m o m e n to s, y se llam a Pno la carga
ax ial de fa lla q u e p a ra d ise ñ o el R e g la m e n to la lim ita a 0 .8 0 o 0.85 de Pno, y
M no cu a n d o la c a rg a ax ial e s cero ; a este re sp e c to el R e g la m e n to colom biano
e sp e c ific a q u e “c u a n d o los v a lo re s de la c o m p re s ió n ax ial se a n bajos, el
v a lo r d el c o e fic ie n te d e re d u c c ió n de re sis te n c ia (J> p u e d e aum entarse
lin e a lm e n te h a sta 0 .9 en la m e d id a e n q u e <j)Pn d is m in u y a d e
0 .1 0 f c'A g ó
<j)Pnb, el m e n o r de los dos, h a sta c e ro ”. L a p a rte d e la c u rv a e n tre a y b ó
e n tre A y B c o rre sp o n d e a se c c io n e s c o n tro la d a s p o r la co m p re sió n ; el punto
b o B c o rre sp o n d e a la co n d ic ió n b a la n c e a d a y la p a rte de la c u rv a entre b y
c o e n tre B y C c o rre sp o n d e a se c c io n e s c o n tro la d a s p o r la tracció n .
Basados en lo a n te rio rm e n te e x p u e sto se h a n e lab o rad o n u m e ro s o s g rá fic o s
de ayuda para el d iseñ o , p u b lic a d o s e n tre o tro s p o r el In stitu to A m e ric a n o
del C oncreto. A d ic io n a lm e n te , en la a c tu a lid a d e x iste n n u m e ro so s
programas p ara u so en p ro c e sa d o re s a u to m á tic o s q u e fa c ilita n el tra b a jo de
diseño que en e d ific io s co n m u c h a s se c c io n e s d e c o lu m n a s p u e d e re su lta r
muy laborioso.
Entre estos p ro g ra m a s se d e sta c a el e la b o ra d o p o r lo s in g e n ie ro s E d g ar
Ardila R. y D a n ie l M o n ro y C. d e n o m in a d o “U N C O L ” co m o p a rte d e su
proyecto de g ra d o “A n á lisis y d iseñ o d e c o lu m n a s de c o n c re to re fo rz a d o ”
presentado en la U n iv e rsid a d N a c io n a l de C o lo m b ia en 1992. E n el p re sen te
texto tam bién u tiliz a re m o s el p ro g ra m a R C B E cu y o a u to r es el in g en iero
colombiano R ic a rd o E. B arb o sa.
Finalmente, y d e a c u e rd o c o n lo ex p u e sto p o r alg u n o s au to re s, se
recomienda u n fa c to r de se g u rid a d p ara el d ise ñ o d e c o lu m n a s v a ria b le en tre
2.5 y 3.0 de a c u e rd o al c rite rio d el d iseñ ad o r, q u e re s u lta su p e rio r al q u e se
obtiene si se a p lica n lo s fa c to re s d e c a rg a d el C a p ítu lo B .2 del R e g lam en to
colombiano, (1.2D + 1.6L ), q u e o b v ia m e n te , c o rre sp o n d e n a v a lo re s
291
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 6 colum nas
m ín im o s q u e a d e m á s n o tie n e n en c u e n ta la in flu e n c ia d e la retracción de
fra g u a d o y la flu e n c ia le n ta e n e le m e n to s ta n im p o rta n te s en la estabilidad
d e las e d ific a c io n e s.
que está d en tro d e lo s lím ite s p ro p u e sto s.
2
A c o n tin u a c ió n a lg u n o s e je m p lo s d e d ise ñ o d e c o lu m n a s c o rta s som etidas a
c a rg a a x ial y m o m e n to s d e flex ió n .
C hequeo d el c o n tro l d e la s e c c ió n p o r la fa lla a tra c c ió n o a c o m p re sió n
Se o b tien e a p a rtir de la c a rg a b a la n c e a d a <j>Pnb:
P r o b le m a 6.2
600
4 ^ = 4 ) * 0 .7 2 2 5
f c' b d p a ra f
en M Pa.
600 + f.
D ise ñ a r u n a se c c ió n re c ta n g u la r de c o lu m n a, p re d im e n sio n a d a de acuerdo
co n lo ex p u e sto en el p ro b le m a 6.1, c o n b = 0 .3 5 m y t = 0.45 m, si se
c o n s tru irá en c o n c re to d e f c' = 21.1 M P a y a c e ro d e re fu e rz o para f y = 240
M P a y d eb e so p o rta r las s ig u ie n te s c a rg a s y m o m en to s:
R em p lazan d o :
600
(j)Pnb = 0 .6 5 * 0 .7 2 2 5 *
* 2 1 1 0 0 * 0 .3 5 * 0 .3 8
6 0 0 + 240
C a rg a m u erta:
PD L =
800.21 k N ;
MDL =
3 9 .5 8 kN-m
C a rg a v iv a:
PLL =
2 0 0 .0 5 kN ;
M LL =
9.89 kN-m
T o tal:
1.
P
= 1 0 0 0 .2 6 k N
M
=
<j>Pnb = 9 4 1 .3 6 K n
4 9 .4 7 kN-m
de do n d e, si <j)Pn = Pu > 4>Pnb, la ca p a c id a d o c a rg a de d ise ñ o a la falla
de la c o lu m n a e sta rá c o n tro la d a p o r la co m p re sió n .
C o e fic ie n te d e c a rg a y fa c to r d e se g u rid a d
D e a c u e rd o c o n lo e x p re sa d o , se p u e d e u s a r u n fa c to r d e seguridad de
2.5 p a ra la c a rg a m u e rta y u n fa c to r de se g u rid a d d e 3 .0 p a ra la carga
v iv a, los cu a le s im p lic a n lo s sig u ie n te s c o e fic ie n te s d e carga:
C a rg a m u erta:
(j)Pn = Pu = 1 .6 2 5 * 8 0 0 .2 1
=
1300.34 kN
C a rg a v iv a:
(|)Pn = P u = 1 .9 5 * 2 0 0 .0 5
=
3 9 0 .1 0 kN
3.
S o lución p o r la ec u a c ió n
+ fy
*p„=p„=4
e
d-d'
(j)Pn = P u = U * 1000.26
=
^
,
C o e fic ie n te d e carg a:
tt
1690.44
t cn
U = - p —p - z p = 1 .b9
1000.26
F a c to r d e seg u rid a d :
F. d e S. =
1.69
L
6
0.65
292
r\ r
+ 0.5
3 te i i o
— + 1.18
d2
1690.44 kN
P o r tan to , el c o e fic ie n te de c a rg a y el fa c to r d e s e g u rid a d ponderados
re su lta n te s serán:
b t* f;
en do n d e:
4 9 .4 7 k N - m
e = --------------------- = 0.05 m
1 0 0 0 .2 6 kN
d
b
= 0 .3 8 m ;
= 0.35 m ;
d'
t
= 2.6
293
= 0 .0 7 m
= 0.45 m
E structuras de C oncreto I
1690.44
C apítulo 6 colum nas
A! *240000
= 0 .6 5 *
0.05
0 . 3 8 - 0 .0 7
+ 0.5
™
j
fy
240000
o ,m = 0 .3 0 en d o n d e m = — —— = --------------------- = 13.38
pt
0 .8 5 fc
0 .8 5 * 2 1 1 0 0
0 .3 5 * 0 .4 5 * 2 1 1 0 0
3 * 0 .4 5 * 0 .0 5
^
+ 1.18
0.38
Pt = 0 .0 2 2 4 y A st = 0 .0 2 2 4 * 0 .3 5 * 0 .4 5 = 0 .0 0 3 5 2 8 m 2
Ag = 0 .0 0 1 5 9 5 m 2; A s t : es u su a l c o n s id e ra rla co m o 2 A '
A rm ad u ra:
A s t = 2 A ; = 2 * 0 .0 0 1 5 9 5 = 0 .0 0 3 1 9 0 m 2 (3190 m m 2)
Tam bién se p u e d e c o n c lu ir del g ráfico , u tiliz a d o co m o el d ia g ra m a de
interacción q u e a n te s se ex p u so , q u e la sec c ió n e stá co n tro la d a p o r la
com presión.
A rm a d u ra : 4<j)l"+44>%" ( A st = 0 .0 0 3 5 8 8 m 2)
•
pt= 0 0 0 3 5 8 8 = 0 .0 2 2 8
p t 0 .3 5 * 0 .4 5
S e c o n c lu y e e n to n c e s q u e u tiliz a n d o lo s crite rio s p a ra u n a posible
p re d im e n sió n p re lim in a r e x p u e sto s e n el p ro b le m a 6 . 1 , y n o ob stan te usar
a h o ra u n fa c to r de s e g u rid a d in fe rio r al e m p le a d o en la o b ten ció n de las
d im e n sio n e s, re su lta u n a s e c c ió n in su fic ie n te p a ra las c o n d ic io n e s esperadas
cu a n d o se d ise ñ a p a ra c a rg a a x ial y m o m en to , co n firm á n d o se la
re c o m e n d a c ió n e n el se n tid o d e q u e su u tiliz a c ió n co m o p re d im e n sió n para
lo s c a so s d e n o rm al o c u rre n c ia n o es la m ás ap ro p ia d a.
4.
U tiliz a n d o p a ra la s o lu c ió n d el p re se n te p ro b le m a g rá fic o s com o los
q u e se m e n c io n a ro n , ta le s co m o los c o n te n id o s en la p u b lic a c ió n Guide
fo r U ltim a te S tre n g h t D e sig n fo r R e in fo rc e d C o n c re te p o r C. S.
W h itn e y y E. C ohén, resu lta:
44>1"+ 4<J>% " ( A st = 0 .0 0 3 5 8 8 m 2)
5.
U tilizando el p ro g ra m a U N C O L 2.6
COLUMNA
P ro b 6-2
UNCOL 2 .6
E.A.R
.35 m
H
=
rc=
2 1 .1 MPa
fy
=
Pu=
1 6 9 0 .4 4 kN
M ux
=
Pmáx =
yPn =
ro
1 6 9 0 .4 4 kN
B=
1 690 kN
.01 8 14
.45 m
=
8 2 ,8 8 k N * m
.0 0 2 8 9 5 m 2
CURUA DE INTERACCION
= 0.84 q u e se a p ro x im a al v a lo r in fe rio r u tiliz a n d o d/t=0.80
Pu
<j>fc'b t
K =
_
_
<j)fc' b t
UNCOL 2.6
E.A.R.
S e e n tra al g rá fico co n los v a lo re s e/t = 0 .0 5 /0 .4 5 = 0.111
K =
.0 7 m
2 4 0 MPa
S e id e n tific a el g rá fic o p o r u tiliz a r a p a rtir d el valor:
Y=
=
8 3 .6 0 k N * m
As to ta l =
yM n
d'
Pn
fc'b t
1690.44
n700C
= 0 .7 8 2 6 y se o b tien e:
0 .6 5 * 2 1 1 0 0 * 0 .3 5 * 0 .4 5
J
295
C apítulo 6 colum nas
E structuras de C oncreto I _______________
6
. U tiliz a n d o el p ro g ra m a R C B E 6 .5 .3
E n g S o lU tio n s R C B V e ts io n 6.5.3 - tíc e n s e N o: A25036 .A30545
C o m p an y: JORGE SEGURA FRANCO « CIA S .e n C.
P io je c t: U m ítle d
_
_
E n g in e e r: J ORGE SEGURA FRANCO
0 6 * 0 :2 8 p .m . 0 2 *3 3 Q n
C0LUHN: A - I ST 0 R Y : 1
P ro b lem a 6.3
Diseñar una s e c c ió n re c ta n g u la r de c o lu m n a p re d im e n sio n a d a p a ra
b = 0.35 m y t = 0.45 m , y q u e d eb e so p o rta r las sig u ie n te s ca rg a s y
momentos d istrib u id o s co m o sigue:
sscr
_
PHO
-
As
(to*Z)
2914
Top
Bot
1980
Bu cR li ng loai
0. 0185
LDCoab
cr itical
1
0. 0126
1
Rce = 8 8 3 8 KN
Pu
(KM)
1690.66
1690.66
Hu3
m z
Carga muerta:
Carga viva:
PD L =
2 0 0 .0 5 k N
MDL =
8 0 .1 0 kN -m
PLL =
50.01 k N
M LL =
2 0 .0 2 kN -m
Total:
P
(KN-*)
0.00
O. 00
(KW-fcl
83. 58
4S. S?
9
=
2 5 0 .0 6 k N
M
=
100.12 kN -m
y los sig u ien tes m ateria le s: c o n c re to p a ra f c = 21.1 M P a y a c ero d e re fu erz o
para fy = 240 M P a.
7.
R e fu e rz o tra n sv e rsa l
S u p o n ie n d o la c o lu m n a p e rte n e c ie n te a u n a e stru c tu ra c o n ca p acid ad de
d isip a c ió n d e e n e rg ía m ín im a (D M I), se c o lo c a n e strib o s <t>%" a una
s e p a ra c ió n m á x im a de la m e n o r d e las tre s sig u ie n te s e sp e cificac io n es:
-
16 d iá m e tro s d e la b a rra lo n g itu d in a l
= 16*19.1 = 3 0 5 .6 m m ~ 0.30 m
-
48 d iá m e tro s d e la b a rra d el estrib o
= 4 8 * 9 .5
- M e n o r d im e n sió n d e la s e c c ió n tra n sv e rsa l
= 456
m m ~ 0.45 m
= 350
m m ~ 0.35 m
P o r tan to , se c o lo c a rá n estrib o $ % " c /0 .3 0 m , si no se re q u ie re u n a cantidad
m a y o r p o r e sfu e rz o c o rta n te ; se c o n c e n tra rá n c e rc a de las v ig a s o losas en
u n a lo n g itu d ig u al o m a y o r a u n se x to d e la lu z lib re d el elem en to , la
m á x im a d im e n sió n d e la c o lu m n a o 0 .5 0 m ; en e stas zo n a s se colocarán
s <j>%" c /0 .1 5 m .
296
1.
C o eficien te de c a rg a y fa c to r de seg u rid a d
C on el o b je to de c o te ja r re su lta d o s se u tiliz a n lo s m ism o s d el p ro b le m a
6.2, es d ecir, c o e fic ie n te d e c a rg a = 1.69 y fa c to r de s e g u rid a d = 2.6.
Por tan to , (|)Pn = P u = 1 .6 9 * 2 5 0 .0 6 = 4 2 2 .6 0 kN .
2.
C h eq u eo d el c o n tro l d e la se c c ió n p o r la falla a tra c c ió n o a c o m p re sió n
C om o n o se h a n m o d ific a d o la se c c ió n n i lo s m a te ria le s, el v a lo r de
<j)Pnb se rá el o b te n id o en el p ro b le m a an terio r, es d ecir, 9 4 1 .3 6 k N , de
donde, si <j>Pn = Pu < (J)Pnb, la ca p a c id a d o c a rg a de d iseñ o a la falla d e la
co lu m n a e sta rá c o n tro la d a p o r la ten sió n .
297
Estructuras de C oncreto I
3.
C apítulo 6 colum nas
S o lu c ió n p o r la ec u ació n
En el g rá fico d /t = 0 .8 0 co n lo s v a lo re s e/t = 0 .4 0 /0 .4 5 = 0 .8 9 y
\ r) r)
2
f l1 — e ' "
<t>Pn=4) 0 .8 5 f¿ b d
d
2
l
m
+ Pt
dy
-
e 'l
f
í i - l
dy
K =
+ —
d
;
= 0 .1 9 5 6 se o b tien e:
0 .6 5 * 2 1 1 0 0 * 0 .3 5 * 0 .4 5
p tm = 0 .3 6 en d o n d e m = 13.38
en d o n d e:
e = 1 0 0 .1 2 /2 5 0 .0 6 = 0 .4 0 m;
p t = 0 .0 2 6 9 y A st = 0 .0 2 6 9 * 0 .3 5 * 0 .4 5 = 0 .0 0 4 2 3 7 m 2
e ' = e + (d - d ')/2 = 0 .4 0 + 0 .3 1 /2 = 0 .5 5 5 m
d = 0 .3 8 m ;
A rm ad u ra: 10 <() 1 ” ( A st = 0 .0 0 5 1 0 m 2) - a p ro x im a c ió n p o r e x c eso
d ' = 0 .0 7 m
5.
f»
240
m = — - — = ---------------- = 1 3 .3 8 ;
0 .8 5 f '
0 .8 5 * 2 1 .1
U tilizando el p ro g ra m a U N C O L 2.6
m ' = m - 1 = 12.38
P rob 6-3
COIUMNA
UNCOL 2.6
E.A.R
.35 m
H
=
fc =
21.1 MPa
fy
=
Pu =
4 2 2 ,6 0 kN
M ux =
B =
R e m p laza n d o :
422.60 = 0.65*0.85*21100*0.35*0.38*
0.555
pt ^
0.38
2
/
1-
x
0.555 x2
0.38
+ P,
0.07^ 0.555
+12.38 1 0.38
0.38
Pmáx =
1 92 3,2 2 kN
yPn
=
4 2 2 ,7 7 kN
ro
=
.032
yM n
.45 m
d’
=
.07 m
2 4 0 MPa
1 6 9 ,2 0 k N *m
=
169.5 k N * m
As t o t a l =
.0 0 5 0 4 5 m 2
SUGERENCIA : Coloque
En cada by =
En cada hx
3
b a rra s d e a p ro x /.
.0 0 0 5 0 4
a d icio n e 2 b a rra s d e a p ro x /.
m2
c /u
000504
m2
c /u
Concentración (R efu erzo p o r u n id a d d e lo n g itu d ) = 1
.-.
p t = 0 .0 2 9 8 4 , A s( = 0 .0 2 9 8 4 * 0 .3 5 * 0 .4 5 = 0 .0 0 4 7 0 0 m 2
CURUA DE INTERACCION
| UNCOL 2.6
eTáTrT
A rm a d u ra : 10 <j) 1” ( A st = 0 .0 0 5 1 0 m 2)
pt =
^
= 0 .0 3 2 3 8
U. OO U.T J
P ara este c a so d e g ra n e x c e n tric id a d co n u n a se c c ió n de columna
A g = 0 .0 0 0 6 3 P , la c u a n tía d el re fu e rz o lo n g itu d in a l re su lta b astan te más
alta d el 1 % , c o n firm á n d o se las re se rv a s so b re los criterio s de
p re d im e n sió n d el p ro b le m a 6 . 1 , e s p e c ia lm e n te a m e d id a q u e aum enta la
Colunna Probl 63
B= .35 n
H; .45 h
As - .00506? «2
po= .0322
tt b a rra s ; 10
f ' c ; 21.1 MPa
fy = 240 MPa
ex c en tricid ad .
4.
S o lu c ió n p o r lo s g rá fic o s de la G u id e fo r U ltím a te S tre n g h t D esign for
R ein fo rc e d C o n cre te p o r C. S. W h itn e y y E. C o h én
298
ííMn [ kN** I
299
Estructuras de C oncreto I _________________
6
.
C apítulo 6 colum nas
U tiliz a n d o el p ro g ra m a R C B E 6.5.3
E n gS olU tiO ns R C B V e rsió n 6.5.3 - L ite n s e N o: A25036-A30545
C o m p a n y : JORGE SEGURA FRANCO 6 C IA S .e n C.
P io je c t: U m itle d
E n g in e e i: JORGE SEGURA FRAÑrft'
06:08:25 p.n, 02 03 5 ,»
COLUJW: A - l STOBY: 1
DL
p » 0 . 03 11
1—
*
Li-u
B
*
»a‘—
“ i
_A
I
- 3.00
Lu - Z .78
c
= 0.23
a
Problem a 6.4
a
a
1SOO
a
1000
0.00 a
r~
5 00
JO
Sec: Coiuaml.
71
b * 2S0.0 nn
H * 4 S 0 . 0 ioí
100
J i D -- — ^
200
-500
Diseñar una c o lu m n a c irc u la r co n a rm a d u ra lo n g itu d in a l en b a rra re d o n d a y
transversal p rim e ro en e sp ira l y lu eg o en estrib o s, si fu e p re d im e n sio n a d a
para un d iám etro D = 0.45 m c u a n d o se c o n sid e ra so m e tid a a u n a c a rg a P de
1000.10
kN y a u n m o m e n to d e 4 9 .9 5 kN -m , u tiliz a n d o lo s sig u ie n te s
materiales: co n c re to p a ra f c = 21.1 M P a y a c ero de re fu e rz o p a ra fy = 240
TIES
MPa.
A
SÍCT
Toj>
Bot
As
RHO
L B Co ab
fu
(u>2)
-
criticar.
<K»>
4937
1S7S
Buckling load
7.
0 , 03 11
0.0100
0
Per = 8898
1
1
422,19
422.19
Muí
Ku3
Solución
Primero se d iseñ a p a ra a rm a d u ra tra n sv e rsa l en esp ira l y lu eg o p a ra estrib o s,
IKR-*>
16 9.SI
96.76
O 00
0.00
K»
a)
A rm ad u ra lo n g itu d in a l en b a rra re d o n d a y tra n sv e rsa l en esp iral
1.
C o eficiente de c a rg a y fa c to r de seg u rid a d : c o n sid e ra n d o q u e la
arm adura en e sp ira l p ro v e e a la c o lu m n a de u n a m a y o r s e g u rid a d e n su
fu n cio n am ien to , se u tiliz a n en este caso u n fa c to r de s e g u rid a d d e 2.5
que an tes se re c o m e n d ó co m o m ín im o p a ra el d ise ñ o d e c o lu m n as. P o r
tanto:
R e fu e rz o tra n sv e rsa l
D e a c u e rd o co n el p ro b le m a an terio r, se c o lo c a rá n e strib o s <\>%" c/0 .3 5 m, si
n o se re q u ie re u n a c a n tid a d m a y o r p o r e sfu e rz o c o rta n te y /o por
c o n fin a m ie n to , y se c o n c e n tra rá n c e rc a de las v ig a s o lo sas en u n a longitud
ig u al o m a y o r a u n sex to d e la lu z lib re d el elem e n to , la m á x im a dim ensión
d e la c o lu m n a o 0 .5 0 m ; en e stas z o n a s se c o lo c a rá n s
300
" c/0 .1 5 m.
U = F a c to r d e seguridad*(j) = 2 .5 * 0 .7 5 = 1.875
.-. <j)Pn = P u = 1 .8 7 5 * 1 0 0 0 .1 0 = 18 7 5 .1 9 kN
2.
Para el c á lc u lo de la a rm a d u ra lo n g itu d in a l se u tiliz a n lo s g rá fic o s y a
m en cio n ad o s de la G u id e fo r U ltim a te S tren g h t D e sig n fo r R ein fo rc ed
C oncrete.
301
Estructuras de C oncreto
C apítulo 6 colum nas
E n el g rá fic o d/D = 0 .6 0 < (d/D = 0 .3 1 /0 .4 5 = 0 .6 9 ) co n los valor
e/D = 0.111 y
este caso es n o to ria la d ife re n c ia en el re su lta d o del U N C O L 2.6 e n el
tratamiento de la s e c c ió n y m a te ria le s co n re sp e c to a o tro s p ro c e d im ie n to s
aproximados.
K=
1875.11
0.75 * 2 1 1 0 0 * 0.45
0 .5 8 5 2 , se o b tien e:
4
p (m = 0 .4 0 en d o n d e m = 13.38 .\ p t = 0 .0 3 0
A ., = 0 .0 3 0 *
Para el d iseñ o d e la a rm a d u ra tra n s v e rs a l en esp iral, se u tiliz a la
expresión de c u a n tía a n te s v ista
9
tt*0 452
-- - - - - - = 0 .0 0 4 7 6 9 m 2
4
A rm a d u ra : 13 <j)%" ( A st= 0 .0 0 5 0 3 1 m 2)
i’ - - “
S e d e sta c a q u e p a ra c a rg a s ig u a le s y se c c ió n re la tiv a m e n te semejante,
n o o b sta n te q u e se h a u sad o u n fa c to r de se g u rid a d in ferio r, la armadura
re su lta su p e rio r a la c a lc u la d a p a ra la s e c c ió n del p ro b le m a 6 . 2 .
3.
6 -4 ESP
I
1}
* Í í
-
“
8958
C om o p = — , en d o n d e
Vc
U tiliz a n d o el p ro g ra m a U N C O L 2.6
IC O LU M N A
{ b f -
w
» i~. * 1 0 0 0
V e = A s tcD c * --------, q u e p a ra <$>% resu lta:
s
UNCOL 2.62
E.A.R99
D iá m e tr o =
fc =
2 1 .1 M Pa
Pu =
Pm áx
.4 5 m
1 8 7 5 .1 9
=
yPn
=
ro
=
kN
d'
=
fy
=
.0 7 m
V. = 7 1 * ^ * 3 7 0 * —
y
e
s
r\ 2
^ o r7r\2
V = ^ * 1 0 0 0 = ” —
*1000 = 107521260 m m 3
4
4
240 M Pa
9 3 .6 6 k N * m
M ux =
2 0 3 2 .6 4 k N
l8 7 5 k N
.0 1 5 2
yM n
=
9 4 .1 3
.0 0 2 4 1 1
A s to ta l =
CURUA DE INTERACCION
kN *m
m2
s = 4 0 .4 9 m m , q u e se a p ro x im a a 0.04 m
I UNC0L 2 6
E.A.R.
A rm a d u ra tra n sv e rsa l: esp ira l $ % " co n p aso de 0.04 m .
b.
A rm ad u ra lo n g itu d in a l en b a rra re d o n d a y tra n sv e rsa l en e strib o s
1.
C o eficien te d e c a rg a y fa c to r d e seg u rid a d : se u tiliz a el m ism o fa c to r de
seg u rid ad d el p ro b le m a 6 . 2 co n el p ro p ó sito d e c o m p a ra r el d ise ñ o de
co lu m n as re c ta n g u la re s y c irc u la re s c o n a rm a d u ra tra n sv e rsa l en
estribos.
C o e fic ie n te d e carg a: U = 1.69;
F a c to r de seg u rid a d = 2.6
.-. (J)Pn = P u = 1 .6 9 * 1 0 0 0 .1 0 = 16 9 0 .1 7 kN
302
C apítulo 6 colum nas
E structuras de C oncreto i
CURVA DE INTERACCION
| UNCOL 2 .6
E.A.R.
2.
P ara el c a lc u lo d e la a rm a d u ra lo n g itu d in a l u tiliz a m o s los gráficos va
m e n c io n a d o s d e la G u id e for U ltím a te S tre n g h t D e sig n for Reinforced
C o n crete.
jiPn t kN 1
20 00
E n el g rá fic o d /D = 0 .7 0 < (d/D = 0.73) c o n los v a lo re s e/D = 0.11 y
Colunna Probl 64
1690.17
K = --------------------------0 .6 5 * 2 1 1 0 0 * 0 .4 5
.45 m
fls: .003104 m*
ro= .0195
* barras: 8
f 'o : 21.1 MPa
f s - 240 MPa
„ „ AOC
= 0 .6 0 8 6 , se o b tien e:
p .m = C.4U en d o n d e m = 13.38
p t = 0 .0 3 0
MMn I kN*n 1
tt*0 452
9
A* = 0 . 0 3 0 * = 0 .0 0 4 7 7 1 m 2
st
4
3.
A rm a d u ra: 13 <j> 7 /8 ” ( A st = 0 .0 0 5 0 3 1 m 2)
U tilizando el p ro g ra m a R C B E 6 .5.3
EngSolU tioriS R C B V e rs ió n 6.5.3 . L Icense No: A25036-A30545
C om pany: JORGE SEGURA FRANCO * C IA S .en C.
s e c c ió n re c ta n g u la r en el p ro b le m a
3.
6 .2
E n g ín e e i: JORGE SEGURA FRANCO
06:23:38 p .m . 02 03 2011
Pioject: Untltled
T a m b ié n en este c a so ca b e a n o ta r q u e p a ra ca rg as aproxim adam ente
ig u ales, á re a s s e m e ja n te s y u n fa c to r d e s e g u rid a d sim ilar, la armadura
p ara c o lu m n a c irc u la r re s u lta m u y su p e rio r a la c a lc u la d a para una
COLUMN: A-
.
U tiliz a n d o el p ro g ra m a U N C O L 2.6
CO LUMNA
UNCOL 2.6
6 -4 EST
.45 m
d'
=
.07 m
f ’c =
21.1 MPa
fy
=
2 40 MPa
Pu =
169 0.1 7 kN
Pmáx =
172 0.1 2 kN
yPrt
=
169 0.2 6 kN
ro
=
.0191
D iá m e tro =
8 4.4 2 k N *m
M ux =
yM n
SICT
As
RHO LI>CoBíb
f*x*2)
cricical
Top
30S4 0.0192
1
1
Bot
1852 0.0116
Buchlmg load O Per *
8 4.8 4 k N 'm
=
.0 0 3 0 4 4 m 2
As to ta l =
5.
304
Pu
<KN>
1690.22
1690.22
HuZ
<KVnil
84 8?
Ku3
(KM-ü)
0.00
A rm ad u ra tra n sv e rsa l: su p o n ie n d o la c o lu m n a ig u a lm e n te p e rte n e c ie n te
a una e stru c tu ra c o n c a p a c id a d de d isip a c ió n d e e n e rg ía m ín im a (D M I),
se co lo ca n e strib o s $ % " a u n a se p a ra c ió n m á x im a ig u al a la m e n o r de
las tres sig u ie n te s e sp e cificac io n es:
305
C apítulo 6 colum nas
E structuras de C oncreto I
- 16 d iá m e tro s de la b a rra l o n g i t u d i n a l 16*22.2 = 355.2 m m ~
0.35
^
- 48 d iá m e tro s de la b a rra d el estrib o = 4 8 * 9 .5 = 4 5 6
- M e n o r d im e n sió n d e la se c c ió n tra n sv e rs a l
= 0.45
0.45
m
mm ~
m
P o r tan to , se c o lo c a rá n e s trib o s s <|>%"c/0.35 m , si no se requiere una
ca n tid a d m a y o r p o r e sfu e rz o c o rta n te y /o c o n fin a m ie n to , y se
co n c e n tra rá n ce rca d e las v ig a s o lo sas en u n a lo n g itu d ig u al o mayor a
u n sex to de la lu z lib re d el e le m e n to , la m á x im a d im en sió n de la
c o lu m n a o 0 .5 0 m; en e stas z o n a s se c o lo c a rá e $ % " c /0 .1 5 m.
C olum nas p a ra u n a e stru c tu ra c o n ca rg as g ra n d e s en la b ase y de
localización en el in te rio r d e la p la n ta e stru c tu ra l d el e d ific io , a n iv e l de
la cim en tació n .
C olum nas p a ra u n a e stru c tu ra co n ca rg as p e q u e ñ a s en la b ase y de
localización p e rim e tra l en la p la n ta e stru c tu ra l del ed ificio , a n iv e l del
tramo m ás alto.
Solución
En ambos caso s, y te n ie n d o en c u e n ta q u e se tra ta de u n a p re d im e n sio n
aproximada, se a d o p ta u n fa c to r de se g u rid a d d e 3 y las c o n d ic io n e s
especiales m e n c io n a d a s de d ise ñ o q u e se fijan en c a d a o p o rtu n id ad : esto
significa que p a ra c u a lq u ie r c o lu m n a p o r p re d im e n sio n a rse se d eb e n fijar
estas co n d icio n es de a c u e rd o al p ro y e c to y a la lo c a liz a c ió n de la c o lu m n a
en el m ism o, así:
1.
Si la c o lu m n a tie n e ca rg a s g ra n d e s en la b a se (ed ificio s a lto s y /o lu ces
grandes) d e b e rá te n e r v a lo re s d/t c e rc a n o s a la u n id ad , p o r e je m p lo
d/t = 0.95; si a d e m á s su lo c a liz a c ió n es in te rio r en la p la n ta d el e d ific io ,
el v alo r de la e x c e n tric id a d e s p e q u e ñ o y p o r c o n s ig u ie n te el v a lo r de
e/t p o d ría s e r d e 0 .1 0 . P o r o tra p arte, si se u sa pt = 0 .0 1 0 , e n el c a so de
concreto p a ra f e = 21.1 M P a y a c ero co n fy = 240 M P a, se o b tie n e u n
F ig u ra 6.12
T e n ie n d o
en
c u e n ta
la
n e c e sid a d
de
e fe c tu a r u n
cuidadoso
p re d im e n sio n a m ie n to d e las c o lu m n a s y h a b ie n d o co n stata d o las
lim ita c io n e s d el s iste m a p ro p u e sto e n el p ro b le m a 6 . 1 , en el siguiente
p ro b le m a se e x p o n e u n p ro c e d im ie n to u n tan to m ás a p ro x im a d o , pero que
d e to d a s m a n e ra s e x ig e q u e lo s re s u lta d o s o b te n id o s se m an eje n con
p ru d e n cia.
valor d e p tm = 0 .1 3 3 8 . C o n estas e sp e c ific a c io n e s y d e lo s g rá fic o s
antes u tiliz a d o s d e la G u id e fo r U ltím a te S tre n g h t D e sig n fo r
R einforced C o n cre te , se ob tien e:
K = 0 .7 6 =
F deS * P
A gf '
=
3P
.-.
2110Q A g
A 2 = 0 .0 0 0 1 8 7 P ~ 0 .0 0 0 1 9 P
g
En la m ism a fo rm a , p a ra f e = 2 1 . 1 M P a co n fy = 420 M P a y u n v a lo r
de p t m = 0 .2 3 4 2 , se o b tie n e n de lo s m ism o s g rá fico s:
P r o b le m a 6.5
O b te n e r u n a e x p re sió n p a ra el p re d im e n sio n a m ie n to d e c o lu m n a s con
a rm a d u ra lo n g itu d in a l d el 1% de la se c c ió n , co n c re to p a ra f e = 2 1 . 1 M Pa y
re fu e rz o s p a ra fy = 240 y 420 M P a, p a ra las sig u ie n te s co n d icio n e s de
FdeS * P
3P
K = 0 .8 3 = ———— - —
A gf¿
2110Q A g
e stru c tu ra o b te n id a s a p a rtir d el a n te p ro y e c to a rq u ite ctó n ic o :
307
.-.
Ap = 0 .0 0 0 1 7 1P ~ 0 .0 0 0 1 8 P
8
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 6 colum nas
A sí q u e, p a ra u n a c o lu m n a c u a d ra d a de c a rg a p ro b a b le 5000 kN 1
d im e n sio n e s p re lim in a re s de su se c c ió n serán , en a m b o s caso*' h
0.9 5 x 0.95 m .
’ ae
2.
S i la c o lu m n a tie n e ca rg a s p e q u e ñ a s, en el tra m o m á s alto el valor d/t Se
ale ja rá de la u n id ad , p o r e je m p lo d /t = 0 .8 0 ; y si a d e m á s su localización
es p e rim e tra l en la p la n ta del ed ific io el v a lo r de la ex cen tricid ad será
g ra n d e y p o r c o n sig u ie n te el v a lo r d e e/t p o d ría se r de 0.5. Usando
pt = 0 .0 1 0 en el caso d e c o n c re to
p a ra f c = 21.1 M P a y acero para
fy = 240 M P a se o b tie n e u n v a lo r d e
p t m = 0 .1 3 3 8 p a ra el c u a l :
FdpS*P
K = a26 = ^
y
6
T
=
™
;
Ag =
0 .0 0 0 5 4 7 P ~ 0.00055P
5
c
capítulo.
Efectos d e e sb e lte z en e le m e n to s a c o m p r e sió n
continuación se tra n sc rib e n , ad ic io n a n d o co m en ta rio s, a lg u n o s d e los
requerim ientos q u e trae el R e g la m e n to c o lo m b ia n o en su se c c ió n C .1 0 .1 0
a
Se permite ig n o ra r lo s e fe c to s d e e sb e lte z en lo s sig u ie n te s casos:
a) En elem e n to s s o m e tid o s a c o m p re s ió n
d esp lazam ien to s la te ra le s cu an d o :
no
a rrio s tra d o s
c o n tra
M
íl
< 22
b) En elem en to s a c o m p re s ió n a riio s tra d o s c o n tra d e sp la z a m ie n to s laterales
cuando:
p t m = 0 .2 3 4 2 se o b tien e:
f T
d el p re sen te
5
E n la m ism a form a, p a ra f e = 2 1 . 1 M P a, a c e ro p a ra fy = 420 MP y
K = a33 = ^
d isc u tid a s al c o m ie n z o
3P
L
FdeS*P
uerdo con las e sp e c ific a c io n e s
kP
3P
= ¿ T lO Q A ;
Ag =
< 3 4 -1 2
D e m a n e ra q u e p a ra u n a c o lu m n a c u a d ra d a d e c a rg a p ro b a b le 200 kN
las d im e n sio n e s p re lim in a re s d e su se c c ió n serán , en a m b o s casos, de
0 .3 0 x 0 .3 0 m.
D e to d a s m a n e ra s y a u n q u e en a lg u n o s c a so s es p o sib le u tiliz a r los dos tipos
de c a rg a s p a ra el p re d im e n sio n a m ie n to d el p rim e ro y ú ltim o tramo,
in te rp o la n d o los in te rm e d io s, se re c o m ie n d a e sp e c ia l p ru d e n c ia en la
a d o p c ió n d e las d im e n sio n e s d e las c o lu m n a s a p a rtir d e é ste o d e cualquier
o tro p ro c e d im ie n to p o rq u e en la m a y o ría de lo s c a so s só lo se obtienen
re s u lta d o s a p ro x im a d o s.
P o r tan to , la v a lid e z de este p ro c e d im ie n to só lo lleg a h a sta las dim ensiones
p re lim in a re s q u e p e rm ita n a n a liz a r la e stru c tu ra y o b te n e r las solicitaciones
re a le s a p a rtir de las cu a le s e s p o sib le, u tiliz a n d o u n pro ced im ien to
a p ro p ia d o co m o u n p ro g ra m a p a ra p ro c e sa d o r, lle g a r a las soluciones
e sp e ra d a s, co n d istrib u c io n e s d el re fu e rz o en la se c c ió n q u e e sté n de
a
<40
v M 2y
0 .0 0 0 4 3 1 P ~ 0.00044P
5
Za,
M,
donde el térm in o M i/M 2 es p o sitiv o si la c o lu m n a está d e fle c ta d a en
cu rv atu ra s im p le y n e g a tiv o si el elem e n to tien e c u rv a tu ra doble.
A d icio n alm en te, M i /M 2 n o d eb e to m a rse m e n o r d e -0.5.
& debe to m arse co m o la d ista n c ia lib re en tre lo sas d e p iso , v ig a s u o tro s
elem entos ca p ace s de p ro p o rc io n a r a p o y o lateral en la d irec ció n
considerada. C u an d o e x ista n c a p ite le s o c a rte la s en las c o lu m n a s, L d eb e
medirse h a sta el e x tre m o in fe rio r d el ca p ite l o la ca rte la en el p lan o
considerado.
r, radio d e giro , se p u e d e to m a r c o m o 0 .3 v e c e s la d im e n sió n to ta l d e la
sección en la d ire c c ió n en la cu a l se e stá c o n sid e ra n d o la e sta b ilid a d p a ra el
caso de e le m e n to s re c ta n g u la re s y 0.25 v e c e s el d iá m e tro p a ra e le m e n to s
circulares en c o m p re sió n .
k, facto r de lo n g itu d efectiv a, se p u e d e e stim a r a p a rtir d e lo s á b a c o s de
alineam iento de J a c k s o n y M o re la n d (fig u ra C R .1 0 .1 0 .1 d el R e g la m e n to
colom biano) q u e p e rm ite n la d e te rm in a c ió n g rá fic a d e k p ara u n a c o lu m n a
309
E structuras de C oncreto I
C apítulo 6 colum nas
d e s e c c ió n tra n sv e rsa l c o n sta n te en u n p ó rtic o c o n v a rio s vanos. Como
a p ro x im a c ió n se p u d e to m a r co m o la u n id ad .
E l d iseñ o de los e le m e n to s a c o m p re sió n (c o lu m n a s y m u ro s), las vigas que
le d an so p o rte lateral y los o tro s e le m e n to s d e so p o rte , cu a n d o los efectos de
e sb e lte z no so n ig n o ra d o s, d eb e h a c e rse u tiliz a n d o la fu e rz a y los momentos
m a y o ra d a s d e te rm in a d o s m e d ia n te u n a n á lisis d e se g u n d o o rd en de la
estru c tu ra. E l a n á lisis d e se g u n d o o rd e n d eb e te n e r en c u e n ta la influencia
d e la n o lin e a lid a d d e lo s m a te ria le s, la fisu ra c ió n d e los elem entos, la
c u rv a tu ra d el elem e n to , las d e riv a s d e la e stru c tu ra , los efe c to s de duración
d e las carg as, la re tra c c ió n de fra g u a d o y el flu jo p lá stic o del concreto y la
in te ra c c ió n d e la e stru c tu ra c o n la c im e n ta c ió n s o b re la cu a l se apoya.
Se p e rm ite u sa r las sig u ie n te s p ro p ie d a d e s p a ra lo s e le m e n to s de la
estru c tu ra:
a)
M o d u lo d e e la stic id a d E c = 4 7 0 0 ^ ( s e c c ió n C .8.5.1)
b)
M o m e n to d e in ercia, I:
Si las d im en sio n es de las s e c c io n e s de lo s e le m e n to s u tiliz a d o s en el an á lisis
tienen v aria cio n es m a y o re s del 10% co n re sp e c to a las d im e n sio n e s q u e se
muestran en lo s p lan o s, el a n á lis is d eb e rep etirse.
por lo tanto, al d ise ñ a r lo s e le m e n to s so m e tid o s a c o m p re sió n p o r el
procedimiento d esc rito , lo s e fe c to s d e e sb e lte z en lo s siste m a s a c o m p re sió n
quedan ig u alm en te ev a lu a d o s. S in e m b arg o , el R e g lam en to a c ep ta, co m o
alternativa, u tiliz a r p a ra esta e v a lu a ció n , el p ro c e d im ie n to a p ro x im a d o
denominado “d e m a g n ific a c ió n de m o m e n to s ”.
procedim iento d e m a g n ific a c ió n d e m o m e n to s
Este p ro ced im ien to se b a sa en la d e sig n a c ió n de las c o lu m n a s y p iso s en u n a
estructura co m o h a c ie n d o p a rte d e e stru c tu ra s co n d e s p la z a m ie n to s laterales
(no arriostradas) o sin d e sp la z a m ie n to lateral (arrio strad as).
Se perm ite s u p o n e r co m o a rrio stra d o (sin d esp la z a m ie n to lateral) a u n piso
de una estru ctu ra si
E le m e n to s en co m p re sió n :
Q =
C o lu m n a s
0 .7 0 Ig
M u ro s no a g rie ta d o s
0 .7 0 Ig
ag rie ta d o s
0 .3 5 Ig
E le m e n to s a flex ió n :
0 .3 5 Ig
P la cas p la n a s y lo sas p la n a s
0 .2 5 Ig
u
A
0 < 0 .0 5
V
£
v us^c
en donde:
y Pu =
Vus
V ig a s
yp
A0 =
c a rg a v e rtic a l m a y o ra d a en el p iso b ajo c o n sid e ra c ió n .
= c o rta n te h o riz o n ta l m a y o ra d a d el piso.
d e fo rm a c ió n lateral re la tiv a (d eriv as d e p rim e r o rd en
e n tre la p a rte su p e rio r e in fe rio r d el p iso d e b id a a V us).
c)
A re a
E l R e g la m e n to p re se n ta u n a alte rn a tiv a , a e le c c ió n d el d ise ñ a d o r, en la
£c =
lo n g itu d del ele m e n to en c o m p re sió n en u n p ó rtico ,
m e d id o ce n tro a ce n tro d e lo s n u d o s.
sec c ió n C .10.10.4.1.
310
311
C apítulo 6 colum nas
E structuras de C oncreto I
P r o c e d im ie n to d e m a g n ific a c ió n d e m o m e n to s. E str u c tu r a sin
C
= 0 .6 + 0.4
M1
>0.4
v M 2y
d e sp la z a m ie n to la ter a l
L o s e le m e n to s a c o m p re sió n d e b e n d ise ñ a rse p a ra la fu e rz a a x ial mayorada
Pu y p a ra el m o m e n to m a y o ra d o a m p lific a d a M c así:
Mr = 8 M2
Donde el térm in o M i /M 2 es p o sitiv o si la c o lu m n a está d e fle c ta d a en
curvatura sim p le y n e g a tiv o si el ele m e n to tien e c u rv a tu ra d o ble. P ara
elementos co n c a rg a tra n s v e rs a le s e n tre lo s ap o y o s, Cm d eb e co n sid e ra rse
como 1.0
donde
El m om ento m a y o ra d o M 2, en la e c u a c ió n M c = 8 M 2 n o d eb e se r m e n o r
5= — ^
— >
y
1.0
de:
i-
M 2, mín= Pu (1 5 + 0 .0 3 h )
0.75P C
en cada eje se p a ra d a m e n te , d o n d e 15 y h e stá n en m m .
tt2EI
P. =
C
Procedim iento de m a g n ific a c ió n d e m o m e n to s. E str u c tu r a co n
desplazam iento la ter a l
M
E l d eb e to m a rse com o:
Los m om en to s M i y M 2 en lo s e x tre m o s de u n e lem e n to in d iv id u a l a
compresión d e b e n to m a rse com o:
m = 0 . 2 E cI g + E sIse
(l +Pdns)
EI =
M j = M lns + 8 SM ls
0 .4 E c I g
M 2 = M 2ns+ 6 sM 2s
(1+Pdns)
en donde:
E l term in o Pdns es la re la c ió n e n tre la m á x im a c a rg a a x ia l sostenida
m a y o ra d a d e n tro de u n p iso y la m á x im a c a rg a a x ial m a y o ra d a aso ciad a con
las m ism a c o m b in a c ió n d e ca rg a, p ero n o d eb e se r m a y o r de 1.0. En un
p ro c eso de s im p lific a c ió n dice el R e g la m e n to c o lo m b ia n o q u e se puede
s u p o n e r (3dns = 0.6 y en este caso E l en la ú ltim a e c u a c ió n q u e d a com o:
E l = 0 .2 5 E cIg
C o m o se e x p re so a n te s el v a lo r de k p a ra la lo n g itu d e fe c tiv a se puede
c o n s id e ra r co m o 1.0
P a ra
e le m e n to s
sin
c o n sid e ra rse co m o
c a rg a s
tra n s v e rs a le s
e n tre
lo s
apoyos
C m debe
Mins y M 2ns: so n lo s m o m e n to s m a y o ra d o s en lo s e x tre m o s d el ele m e n to en
com presión en lo s cu a le s a c tú a n M i y M 2 , d eb id o a ca rg as q u e n o cau san
un d esp lazam ien to lateral ap re c ia b le , c a lc u la d o s p o r m ed io de u n an á lisis
estructural e lá stic o de p rim e r o rd en .
Mis y M 2s : so n lo s m o m e n to s m a y o ra d o s en lo s e x tre m o s d e lo s e le m e n to s
en com presión en lo s c u a le s a c tú a n M i y M 2 , d e b id o s a ca rg a s q u e ca u san
un d esp lazam ien to lateral ap re c ia b le , c a lc u la d o s p o r m ed io d e u n an á lisis
estructural e lá stic o de p rim e r o rd en .
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 6 colum nas
M i: es el m e n o r m o m e n to m a y o ra d o de u n o de lo s e x tre m o s de u n elemento
en c o m p re sió n , el cual se to m a co m o p o sitiv o si el e lem e n to presenta
c u rv a tu ra sim p le y n e g a tiv o s i tien e c u rv a tu ra doble.
M 2 : es el m a y o r m o m e n to m a y o ra d o en lo s e x tre m o s de u n elem ento en
c o m p re sió n . E l v a lo r de M 2 es sie m p re p o sitiv o .
5 S: fa c to r d e m a g n ific a c ió n d el m o m e n to , d eb e c a lc u la rse co m o
cinco ejes e stru c tu ra le s en lo s d o s se n tid o s (A -B -C -D -E y 1-2 -3 -4 -5 ) y lu ces
¡guales en c a d a d ire c c ió n d e 10 y 9 m e tro s re sp e c tiv a m e n te , d iseñ ar,
utilizando co n c reto d e f c = 21.1 M P a y a c ero de a lta re siste n c ia p a ra
f = 420 M P a e n d iá m e tro s d e 3 /8 ” a l ”, las c o lu m n a s ig u ales B 2, B 4, D 2 y
p 4 en el tram o d e la c im e n ta c ió n al se g u n d o p iso , a p a rtir de lo s d ato s
especificados en c a d a e ta p a y q u e se o b tu v ie ro n d el an á lisis estru c tu ra l
c o rre s p o n d ie n te .
8 = — í— > 1 . 0
1 1-Q
y es el fa c to r d e a m p lific a c ió n d el m o m e n to en p ó rtic o s no arriostrados
c o n tra d e sp la z a m ie n to lateral p a ra te n e r en c u e n ta el d e sp la z a m ie n to lateral
c a u sa d o p o r las c a rg a s g ra v ita c io n a le s y la te ra le s. S i el v a lo r calculado
ex c ed e d e 1.5 el 5 S d eb e c a lc u la rse u sa n d o el a n á lisis e lá stic o de segundo
o rd e n ó
8
1-
0 .7 5 1 P
en donde:
X Pu = es la su m a to ria d e to d a s las c a rg a s v e rtic a le s m a y o ra d a s en u n piso.
£P
= e s la su m a to ria d e to d a s las ca rg as c rític a s de p a n d e o de las
c o lu m n a s q u e re sis te n el d e sp la z a m ie n to lateral d e u n piso.
F ig u r a 6.13
A c o n tin u a c ió n se p re se n ta u n e je m p lo d e a p lic a c ió n d e a lg u n o s de los
Solución
c o n c e p to s en u n c ia d o s arriba.
1)
P r o b le m a 6.6
E n u n a e stru c tu ra , co n c a p a c id a d m o d e ra d a d e d isip a c ió n de energía
(D M O ), p a ra e sta c io n a m ie n to d e a u to m ó v ile s en d o s n iv e le s que se
c o n s tru irá en lo sa a lig e ra d a e n d o s d ire c c io n e s so p o rta d a en c o lu m n a s y con
c a p ite le s (retic u lar c e lu la d o ), co n siste m a s de p ó rtic o s e sta b le c id o s en los
314
D e sp la zam ien to s h o riz o n ta le s, d e riv a d e d ise ñ o y lím ite d e la deriv a.
A u n q u e e s tric ta m e n te co n sid e ra d o , el tem a de la d e riv a n o es
in d isp en sab le en el d ise ñ o d e las c o lu m n a s p ro p u e sta s, se in c lu y e a q u í
porque su estu d io , ad e m á s d e se r u n a e x ig e n c ia d el R e g la m e n to
co lo m b ian o en c u a lq u ie r d e sa rro llo estru c tu ral, se c o n sid e ra a so c ia d o
con lo s e fecto s del s is m o re sp e c to de la d e fo rm a c ió n in e lá stic a d e los
elem en to s, la e sta b ilid a d g lo b al de la e stru c tu ra y el d añ o de los
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 6 colum nas
e le m e n to s n o e stru c tu ra le s
in sta la c io n e s, etc.
ta le s
co m o
p a rtic io n e s,
enchapados
Ao
(m m)
2PU
(kN)
(kN)
12^5
18506
4915
1 6 .5 8
18506
4915
pórticos
— Ó ^T ídólíterái
L a d e riv a m á x im a en c u a lq u ie r p u n to d el p iso i, se o b tien e como la
d ife re n c ia e n tre los d e sp la z a m ie n to s h o riz o n ta le s to ta le s m áxim os del
p u n to en el p iso i y lo s d e sp la z a m ie n to s h o riz o n ta le s to tales máximos
de u n p u n to lo c a liz a d o en el m ism o eje v e rtic a l en el p iso i - i t ^
m ed io d e la sig u ie n te ecu ació n :
^ ¿ ^ m é r ic o
Q
O bservaciones
4000
0 .0 1 2
4000
0 .0 1 6
Piso arriostrado
Piso arriostrado
(m m )
P o r lo tan to n o se tie n e n en c u e n ta lo s e fe c to s g lo b a le s de esb e lte z.
3)
Efectos locales de esbeltez
Para ten er en c u e n ta lo s e fe c to s de e sb e lte z en e le m e n to s so m e tid o s a
com presión se a n a liz a rá n lo s do s c a so s s e g ú n q u e se c o n sid e re n
E n el sig u ie n te c u a d ro se re su m e n los re s u lta d o s an terio res:
(mm)
6 .1 6
6 .1 6
Sentido numérico
8 .1 9
8 .1 9
(mm)
(mm)
10.25
40
B2-B4
D2-D4
1
Sección
kíu
(m)
(m)
0.55x0.65
3.25
K
M,
m2
(m)
r
( N-m)
( N-m)
0.195
16.67
-56.23
96.04
1
Columnas Piso
to
1% - (O.OlhpJ
Pórtico e n s e n tid o lit e r a l
£
Límite
deriva máxima
- 6.00
40.00
CM
(mm)
Sentido literal
D eriva m áxim a
Ai m áx
£
i
to
P órticos
D esp lazam ien tos
relativos
h orizon tales
CM
D esp lazam ien tos
totales h orizon tales
elásticos
arriostrados o n o a rrio stra d o s c o n tra d e s p la z a m ie n to s laterales:
Observaciones
E l lím ite d e la d e riv a se h a to m a d o d e la tab la A .6.4-1 d el Reglam ento
c o lo m b ia n o e n d o n d e el v a lo r hP¡ c o rre s p o n d e a la a ltu ra del piso i,
m e d id a d esd e la su p e rfic ie d el d ia fra g m a d el p iso i (2o piso) hasta la
su p e rfic ie d e l d ia fra g m a d el p iso in m e d ia ta m e n te in fe rio r (cim entación)
2)
Columnas Piso
B2- B4
D2-D4
1
Sección
(m)
K
(m)
(m)
r
M,
( N-m)
m2
( N-m)
0.65x0.55
3.25
0.165
19.70
-62.89
108.06
i -1 .
No o b stan te
In d ice d e estab ilid ad
/ ki
\
— “ <22
Se c a lc u la p o r la ex p resió n :
q
K
- 6.00
r?|J=
Pórtico en sen tid o n u m é r ic o
Observaciones
40.00
q u e las c o lu m n a s p ro p u e sta s m u e stra n u n v a lo r de
k/
y —
íl <
M
3 4 _ i 2 — L , p o r lo q u e
“se p u ed e ig n o ra r los
efectos de e s b e lte z ” , se c a lc u la rá n a c o n tin u a c ió n co m o u n a m u e stra de
Y P A
su ap licació n .
= ¿ f af k < 0,05
V US iv c
en d o n d e el v a lo r A0 se h a o b te n id o de u n an á lisis elástico de
Las c o lu m n a s d eb e n d ise ñ a rse p a ra la c a rg a a x ia l m a y o ra d a Pu y el
m o m en to a m p lific a d o p o r e fecto s d e p a n d e o lo cal Me, u tiliz a n d o el
p rim e r o rd e n u tiliz a n d o p a ra la lo sa en d o s d ire c c io n e s 0.25 Ig y
co e ficien te de a m p lific a c ió n p o r e fe c to s lo c a le s d e p a n d e o 5 :
p a ra las c o lu m n a s de so p o rte 0 .7 0 I g .
=8M .
316
317
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 6 colum nas
d o n d e el c o e fic ie n te lo cal d e a m p lific a c ió n , 5 , e stá d ad o por:
A co n tin u ació n , lo s c u a d ro s re su m e n p a ra el c á lc u lo del m e n c io n a d o
coeficiente.
5 = — % — > 1.0
10.75P C
Sentido literal: columnas: 0.55x0.65; pdns= 0.85; k = 1; h =4.00; £ u = 3.25 m;
L a c a rg a c rítica d e la c o lu m n a, P c, se d eb e c a lc u la r com o:
P
£,= 4 7 0 0 ^ MPa
cm
112e i
Tramo
' ■ ( w j
L a rig id e z E l p a ra el c á lc u lo de la c a rg a c rític a d eb e to m a rse como:
E I . °-2EA + E ^
1 + P fc
2Cimiento
oPiso "
Mi
M,
m2
^2
kN-m kN-m
-56.23 173.5 -0.13
Cm
0.47
Pu=
1.625P
kN
1285.2
0.40EcIg
kN-m2
108616
El
Pc
Pcrit
s/mat
kN
7849
kN- m2 kN
58711 54902
o.7g>c
0.78
5
8
adoptado
0.60
1.00
Sentido num érico: columnas:0.65x0.55;pdns= 0.85; k = 1; h =4.00; ^ u =3.25 m;
6
1 + Pdns
Ec=4700^/fJ MPa
en donde:
■
I se =
m o m e n to d e in e rc ia d el re fu e rz o co n re sp ecto al eje
c e n tro id a l d e la se c c ió n tra n sv e rsa l d el elem e n to :
e
c TI
Tramo
Mi
2oPiso Cimiento
-6 2 .8 9
m
2
M,
0 4 m ¿-
Cm
-0 .1 5
0.45
kN
kN-m kN-m
p dns=
re la c ió n e n tre la m á x im a c a rg a ax ial sostenida
m a y o ra d a d en tro d e u n p iso y la m á x im a carg a axial
m a y o ra d a a so c ia d a c o n las m ism a c o m b in a c ió n de carga,
p ero n o d eb e se r m a y o r de 1.0.
166.4
Pu=
0.40EcIg
El
kN-m2
kN- m2
77766
42036
1.625P
1232.7
Pcrit
Pc
kN
s/mat
kN
39239
7849
1—
0.73>c
8
0.79
0.57
8
adoptado
1.00
El v alo r P c se g ú n m a te ria le s c o rre sp o n d e a la re siste n c ia m á x im a de la
colum na p o r su s p ro p io s m a te ria le s, c a lc u la d a p o r la ex p re sió n
Pn = 0 .8 5 ^ (A g - A st) + A stf y p a ra u n a a rm a d u ra del 1% d e la secció n .
E n lo s e le m e n to s sin c a rg a s tra n sv e rsa le s e n tre ap o y o s, C m debe
to m a rse com o:
C
El v alo r de M 2 no d eb e se r m e n o r q u e M 2 mín = Pu (15 + 0 .0 3 h ) , c o n 15
y h en m m to m a d o c o n re sp e c to a ca d a eje in d e p e n d ie n te m e n te y
=0.6 + 0 . 4 ^
M2
Pu = c a rg a a x ial m ay o ra d a.
en d o n d e M i es el m e n o r d e lo s m o m e n to s m a y o ra d o s e n los extremos
d e la c o lu m n a , p o s itiv o si el ele m e n to se d e fo rm a e n c u rv a tu ra sim ple y
n e g a tiv o si se d e fo rm a co n c u rv a tu ra d o b le y M 2 es el m a y o r de los
m o m e n to s m a y o ra d o s en los e x tre m o s, sie m p re p o sitiv o . E n este caso
M 1/M 2 es n e g a tiv o , p o rq u e la c o lu m n a está d e fo rm a d a en curvatura
doble.
318
4)
D iseño d el re fu e rz o lo n g itu d in al
Para el d ise ñ o p o r flex ió n b ia x ia l se u tiliz a en p rim e r térm in o , y con
fines esp e c ia lm e n te d id á c tic o s, el m éto d o a p ro x im a d o d e sa rro lla d o p o r
B oris B resler, el cu a l c o n siste en d ise ñ a r la c o lu m n a p a ra su
ex c en tricid ad
en
ca d a
d irec ció n ,
c o lo c a r u n a a rm a d u ra
de
319
C apítulo 6 colum nas
E structuras de C oncreto I
c o m p e n s a c ió n y re v isa r p o r la fó rm u la d e in te ra c c ió n denominada
“e c u a c ió n de B re s le r”.
A c o n tin u a c ió n se p re se n ta n en c u a d ro s re su m e n los d ato s para el
d ise ñ o p ro p ia m e n te d ich o en c a d a d ire c c ió n y la re v isió n de Bresler:
D atos:
correspondiente (5 = 1 .0 en este ejem p lo ) y m u ltip lic a d a s p o r 0 .9 3 q u e es el
coeficiente q u e re la c io n a las p a rte s c o rre sp o n d ie n te s de las e c u a c io n e s C .9.5
(1 2D+1-0L) y C .9 .2 (1 .2 D + 1 .6 L ) en el e je m p lo p ro p u e sto , c o n la s fu e rza s
internas p ro d u c id a s p o r las fu e rz a s h o riz o n ta le s o b te n id a s del an á lisis
correspondiente y d iv id id a s p o r el c o e fic ie n te de ca p a c id a d d e d isip a c ió n de
energía R (2.5 p a ra el s is te m a re tic u la r ce lu la d o en D M O ). E stas fu e rza s así
obtenidas d eb e n c o m p a ra rse co n las c a lc u la d a s a p a rtir de las carg as
verticales m a y o ra d a s y am p lific a d a s.
P ó rtico se n tid o literal
Revisión p o r el m é to d o d e la s c a r g a s r e c ip r o c a s d e B resler
Columna
Tramo
Sección
Pu = 1.625P
B2-B4
D2-D4
P2 - Cto
0.55 x0.65
1285.2
m
2
173.5
8M2
Psu
Msu
173.5
3.6
196.9
Adoptando un re fu e rz o d e 18 <t> 1 ” d e la s cu a le s 5 se c o lo ca n en 0 .5 5 m y
aplicando:
P ó rtic o s e n tid o n u m é ric o
Columna
Tramo
Sección
Pu = 1.625P
B2-B4
D2-D4
P2 - Cto
0.65 x 0.55
1232.7
m
2
166.4
5M 2
Psu
Msu
166.4
3.5
194.3
P2 - Cto
0.55x0.65
Pu
1285.2
Mu
358.3
Pt
0.0100
A st
0.003575
Refuerzo
Sección
P2 - Cto
0.65x0.55
E n e sta s ta b la s las
in te rn a s d e b id a s a
d ise ñ a d o r c o n sid e re
a n á lisis e lá stic o d e
Tramo Sección
Arm.
8 <t>r
P2Cto 0.55x0.65 18 f r
P ó rtic o s e n tid o n u m é ric o
Tram o
1
P
1 nO
Pu
1285.2
a a
en donde:
= c a rg a n o m in a l de fa lla p a ra flex ió n b iax ial c o n e x c e n tric id a d e s
ex y ey;
Pnxo = carg a n o m in al de fa lla cu a n d o só lo e x iste ex c e n tric id a d en x : ex;
Pny0 = c a rg a n o m in al d e fa lla c u a n d o só lo ex iste e x c e n tric id a d en y : ey;
Pno = c a rg a n o m in a l d e falla p ara c a rg a axial.
P ó rtic o s e n tid o literal
Sección
1 = -----1 +^ —
1
—
P
P
P
rn
nxO
nyO
Pn
D iseñ o
Tram o
Consiste en o b te n e r <J>Pn a p a rtir d e d e la re la c ió n de ca rg as re c ip ro c a s así:
Mu
349.1
Pt
0.0100
A st
0.003575
Refuerzo
8<M"
ca rg a s Pu y Mu se o b tu v ie ro n su m a n d o las fuerzas
c a rg a s v e rtic a le s m a y o ra d a s p o r u n fa c to r que el
a p ro p ia d o (U = 1 .6 2 5 en este caso) y o b te n id a s de un
p rim e r o rd en , a m p lific a d a s p o r el c o e fic ie n te local
320
As
m2
0.00918
1
1
P
*PnxO
^nxO 1nyO ^nyO
kN
4548 0.000220 4072 0.000246
P„o
10102
1
Pn
kN
0.000099 2724
kN
1771
La rev isió n re s u lta a d m isib le . E n este caso, p o r trata rse de e x c e n tric id a d e s
grandes en a m b a s d irec cio n es, la a rm a d u ra a d o p ta d a re s u lta b astan te
superior a la q u e se c a lc u ló en c a d a d ire c c ió n co n la su p o sic ió n de la
existencia d e la flex ió n só lo en la d ire c c ió n c o n sid e ra d a . El m éto d o re su lta
m ucho m e n o s o n ero so , c u a n d o las e x c e n tric id a d e s en té rm in o s d e e/t so n
muy d e sig u a le s lle g a n d o h a sta la re c o m e n d a c ió n de a lg u n o s a u to re s en el
sentido d e u tiliz a r el m é to d o de d ise ñ o p a ra flex ió n b iax ial so lo si la m e n o r
excen tricid ad en té rm in o s d e e/t e x c e d e el 2 0 % d e la e x c e n tric id a d m ay o r.
Por o tra p arte, y a d isc re c ió n d el d iseñ ad o r, el R e g la m e n to c o lo m b ia n o
E structuras de C oncreto I
Capítulo 6 colum nas
UNCÜU.r
"TaíT —
P rob 6-6
.55 m
x
II
f 'c =
21.1 MPa
^
||
4 2 0 MPa
Pu =
1285.2 kN
1
B =
=
4 8 9 9 .0 3 kN
=
128 4.9 4 kN
ro . m in =
.01
d'
=
M uy =
II
Pmáx
yPn
.65 m
358 .3 k N *m
yM nox =
731 .89 k N *m
yM noy =
.0255
ro . m ax =
ro
=
Ecuación de B resler = .948
-
.0 7 m
s, =
y
o.20bcf;
f
Vg
-1
V^ch J
A sh%
s, =
0 .0 6 b cf '
349.1 k N *m
632.54 k N *m
.04
-------------------C O N T O R N O D E CU RCO, Pu= 12 85.2 kN
* f yt
i
COLUMNA
A
^ s h
1
ta m b ié n p erm ite tra b a ja r las c o lu m n a s “p a ra u n e sta d o de esfuerz0s
c a u sa d o p o r la c o n c u rre n c ia sim u ltá n e a d el 100% de las fu e rza s sísmicas
en u n a d ire c c ió n y el 3 0 % d e la s fu e rz a s s ís m ic a s en la dirección
p e rp e n d ic u la r”.
1 UNC0L 2 6
E.R.R.
en do n d e:
A . = 5 5 0 * 6 5 0 = 357500 m m 2
O
A ch = ( 5 5 0 - 8 0 ) * ( 6 5 0 - 8 0 ) = 2 6 7 9 0 0 m m ;
En el se n tid o x:
A sh = 3 * 7 1 = 213 m m 2
bc = 5 5 0 - 2 * 4 0 = 470 m m
213*420000
s, =
í 357500 ^
0.20*470*21100*
= 136.7 m m ~ 130 m m
-1
V2 6 7 9 0 0
213*420000
So =
5)
= 150.3 m m ~ 150 m m
0 .0 6 * 4 7 0 * 2 1 1 0 0
D iseñ o d el re fu e rz o tra n sv e rsa l
En el s e n tid o y .
R e q u isito s d e co n fin a m ie n to
A sh = 4 * 7 1 = 284 m m 2
S e g ú n C .2 1 .3 .5 .7 d el R e g la m e n to c o lo m b ia n o , d eb e u tiliz a rse refuerzo
en e strib o s de c o n fin a m ie n to d e a c u e rd o al sig u ie n te d iseñ o , a menos
q u e se re q u ie ra n c a n tid a d e s m a y o re s p o r e sfu e rz o s c o rta n tes.
U tiliz a n d o e strib o s re c ta n g u la re s, el á re a to ta l d e los e strib o s de
c o n fin a m ie n to d e d iá m e tro m ín im o N o .3 d eb e s e r m a y o r de la que se
o b tie n e p o r m ed io de las e c u a c io n e s sig u ie n te s, p a ra la s direcciones
p rin c ip a le s de la se c c ió n d e la co lu m n a:
322
b c = 6 5 0 - 2 * 4 0 = 570 m m
s, =
284*420000
0.20*570*21100*
f 357500 ^
1 267900 y
323
= 150.3 m m ~ 150 m m
-1
E structuras de C oncreto I
s„
2
C apítulo 6 colum nas
284*420000
1C, Q
---------------------------- = 165.3 m m ~ 160 m m
0 .0 6 * 5 7 0 * 2 1 1 0 0
gl refuerzo d e c o n fin a m ie n to d e b e c o lo c a rse d e n tro de u n a d ista n c ia L
a p a rtir d e la c a ra d el n u d o en a m b o s e x tre m o s de la c o lu m n a y en
cualquier lu g a r d o n d e p u e d a p ro d u c irse p la stific a c ió n p o r flex ió n a so c ia d a
m ed id a
P o r tan to , la s e p a ra c ió n de lo s e s trib o s de c o n fin a m ie n to n o p u ed e ser mayor
a 130 m m . E sto s e strib o s p u e d e n s e r se n c illo s o m ú ltip le s y se debe utilizar
e s trib o s s u p le m e n ta rio s d el m ism o d iá m e tro d e b a rra y co n el mismo
esp a c ia m ie n to . L o s e s trib o s s u p le m e n ta rio s n o d e b e n e s ta r sep arad o s o las
ra m a s de lo s e strib o s m ú ltip le s n o d e b e n e sta r se p a ra d a s a m ás de 350 mm
ce n tro a cen tro , en la d ire c c ió n p e rp e n d ic u la r al eje longitudinal del
con los d esp la z a m ie n to s in e lá stic o s d el p ó rtico . L a lo n g itu d L n o p u e d e se r
ele m e n to estru c tu ral.
. 500 m m
Por co n sig u ien te, se
650 m m a p a rtir de
columnas, esta z o n a
la losa de co n tra p iso
A d ic io n a lm e n te , el R e g la m e n to c o lo m b ia n o e sp e c ific a q u e el refuerzo
tra n sv e rsa l d e c o n fin a m ie n to d eb e c o lo c a rse a u n esp a c ia m ie n to que no
ex ceda:
8 db d e la b a rra lo n g itu d in a l
co n fin a d a d e m e n o r d iám etro :
8*25.4
= 203.2 mm
16 d b de la b a rra d el estrib o c e rra d o
de c o n fin a m ie n to :
16*9.5
= 152 mm
1/3 d e la m e n o r d im e n sió n de la
se c c ió n tra n sv e rsa l d e la co lu m n a:
X*550
menor que:
. la m á x im a d im e n sió n d el ele m e n to en la ca ra d el n u d o o e n el sitio
d o n d e p u e d e o c u rrir la p la stific a c ió n p o r flex ió n . E n este p ro b le m a
es 6 5 0 m m .
.
d e la lu z lib re d e la co lu m n a: } { * 3 2 5 0 = 542 m m
c o n sid e ra u n a z o n a d e c o n fin a m ie n to de p o r lo m e n o s
la c a ra d el n u d o . E n el caso d el p rim e r tra m o d e las
d eb e p ro lo n g a rs e p a ra te n e r en c u e n ta la in flu e n c ia de
s o b re la co lu m n a.
Cuando el re fu e rz o d e c o n fin a m ie n to no se c o lo c a en to d a la lo n g itu d d e la
columna, la z o n a d o n d e n o se c o lo c a d eb e te n e r re fu e rz o en e strib o s c o n la
misma d isp o sic ió n , d iá m e tro d e b a rra y re siste n c ia a la flu e n c ia fy y su
espaciam iento c e n tro a ce n tro no d eb e se r m a y o r d e do s v e c e s el
espaciam iento u tiliz a d o en la z o n a d e c o n fin a m ie n to (260 m m en este caso)
o 16 d b de la b a rra lo n g itu d in a l m ás p e q u e ñ a (406.4 m m ) o 48 d b d e la b arra
de estribos (456 m m ) o la m e n o r d im e n sió n d e la sec c ió n d e la c o lu m n a
(550 m m ).
150 m m
L u eg o , la se p a ra c ió n c a lc u la d a de 130 m m es co rrec ta .
C o m o u n a a lte rn a tiv a al d ise ñ o an terio r, d ice el R e g la m e n to N S R -1 0 que se
p u e d e c o lo c a r e strib o s d e c o n fin a m ie n to de d iá m e tro N o .3 co n fyt =420 MPa
y u n a se p a ra c ió n s d e 100 m m ; s i la d ista n c ia h o riz o n ta l e n tre dos ramas
p a ra le la s d el estrib o es m a y o r q u e la m itad de la m e n o r d im e n sió n de la
s e c c ió n de la c o lu m n a ó 200 m m , d e b e n u tiliz a rse e strib o s suplem entarios
d el m ism o d iá m e tro y c a lid a d q u e s e a n n e c e sa rio s p a ra q u e e sta separación
e n tre ra m a s p a ra le la s n o e x c e d a d e la m ita d d e la d im e n sió n m e n o r de la
c o lu m n a ó 200 m m . E ste p ro c e d im ie n to so lo p u ed e e m p le a rse en columnas
cu y o c o n c re to te n g a u n
f
Para el p ro b le m a q u e se ex p o n e , se u san lo s e strib o s de co n fin a m ie n to d e la
alternativa, es d ecir, e strib o s d e b a rra N o .3 co n fy t = 420 M P a c o lo c a d o s
cada 100 m m en u n a lo n g itu d d e m ín im o 6 5 0 m m , y d o n d e n o se c o lo c a
refuerzo de c o n fin a m ie n to se p o n d rá n lo s m ism o s e strib o s a u n a se p a ra c ió n
de 200 m m , co m o u n d ise ñ o p re lim in a r a la re v isió n p a ra co rtan te.
c m e n o r o ig u al a 35 M P a.
324
325
E structuras de C oncreto I
C apítulo 6 colum nas
Cortante en la dirección x:
R e q u isito s p a ra co rta n te
E l <j>Vn d e las c o lu m n a s q u e re sis te n e fe c to s sísm ic o s, E, n o d eb e ser menor
q u e el m e n o r de:
a) L a su m a d el c o rta n te a so c ia d o c o n el d e s a rro llo d e lo s m om entos
n o m in a le s d el ele m e n to e n ca d a e x tre m o re strin g id o d e la lu z libre y el
c o rta n te c a lc u la d o p a ra ca rg as g ra v ita c io n a le s m ay o ra d as.
C ortante en
la colum na
Para un d ia g ra m a d e c o rta n te c o n stan te , se ca lc u la § V s p a ra la z o n a no
confinada o p a rte c e n tra l de la c o lu m n a co n lo s e strib o s c o lo c a d o s a la
m ism a se p a ra c ió n d e la z o n a de c o n fin a m ie n to .
A
1 ‘v
= 3 * 0 .0 0 0 0 7 1 = 0 .0 0 0 2 1 3 m 2
bw = 0 . 5 5 m
d
= 0 .5 8 m
s
= 0 .1 0 m
w
w
nr
0 .7 5 * 0 .0 0 0 2 1 3 * 4 2 0 0 0 0 * 0 .5 8
oonirllvT
♦v, = v u - 4.VC = -------------------- — ---------------------= 3 8 9 .15 k N
,j>Vc = <j>0.17^/Cbwd * 1000 = 0.75 * 0 .1 7 * V 2 L 1 * 0.55 * 0.58 * 1000 = 186.69kN
,j,Vs + (|>Vc = 5 7 5 .8 4 kN
Con la m ism a se p a ra c ió n y e strib o s N o 4 se o b tien e
w ^_ IWit +
u'
IVhb
4)VS = 70 7 .0 5 k N
T»
(j)Vs +(j>Vc = 8 9 3 .7 4 k N > V ex
Pu
F ig u r a 6.15
P o r lo tan to , p a ra la c a rg a P u ó <pPn = 1285.2 kN , o b te n e m o s de los
d ia g ra m a s d e in te ra c c ió n lo s sig u ie n te s m o m en to s:
(j)Mnox
=
7 3 1 .8 9
kN -m
M nox = 1125.98 kN -m y
y
<j)Mnoy
=
6 3 2 .5 4
b) El co rtan te m á x im o o b te n id o de las c o m b in a c io n e s d e c a rg a de d iseñ o
que in clu y e E, c o n sid e ra n d o E co m o el d o b le d e l p re sc rito p o r el títu lo
A del R e g lam en to N S R -1 0 .
En este caso, p o r e jem p lo , la co m b in a c ió n d e c a rg a d e fin id a p o r la
ecuación
kN -m .
Luego
M noy = 9 7 3 .1 4 kN -m . L o s v a lo re s de Vex y
U = 1 .2 D + 1 .0 E + 1 .0 L
Vey se c a lc u la n p a ra la a ltu ra lib re 3.25 m:
queda:
Vex = (1125.98 + 1 1 2 5 .9 8 )^ 3 .2 5 = 6 9 2 .9 1 kN
Vey = (9 73.14 + 9 7 3.14) - 3 . 2 5 = 5 9 8 .8 5 k N
U = 1 .2 D + 2 .0 E + 1 .0 L
donde E es el v a lo r e sp e c ific a d o a rrib a m en cio n a d o
Por lo tanto:
326
327
C apítulo 6 colum nas
Estructuras de C oncreto I
f .or7 0
Vex = 1 .2 * 1 7 .0 + 2 .0 * 8 8 .7 + 1 .0 * 7 .6 = 205.4
R esu lta n d o este v a lo r d e V ex m e n o r q u e 8 9 3 .7 4 p o r lo q u e se considera
q u e el d ise ñ o allí e fe c tu a d o es v álid o .
C o rta n te en la d ire c c ió n y
A v = 4 * 0 . 0 0 0 1 2 9 = 0 .0 0 0 5 1 6 m 2
tra n sv e rsa l no d eb e s e r m e n o r q u e
el re q u e rid o
ur b s
, ,
0 .3 5 b s
= 0 062-v/fc —5— p e ro no d eb e se r m e n o r a —
.
V-mi"
‘
fy,
fyt
por lo tanto, p ara u n e s p e s o r en el n u d o de 0 .4 0 m
2*129*420
= 586 m m
s = ------------- .-----0 .0 6 2 * V 2 U * 650
bw =0.65 m
s=
d
=0.48 m
s
= 0.10 m (se p arac ió n d e te rm in a d a en la d ire c c ió n V x)
2*129*420
p ero
= 476 m m
0 .3 5 * 6 5 0
= 0 .7 5 * 0 .0 0 0 5 1 6 * 4 2 0 0 0 0 * 0 .4 8 = 7 8 0 19
v 5
por
u v c
0.10
Se debe co lo car 2 e strib o s a 160 m m .
Igualmente d en tro de la c im e n ta c ió n se c o lo c a n e strib o s
co n e sp a c io s ig u ales
y m enores a 476 m m , p a ra este caso e s c o g e m o s e strib o s N o 4 c/0 .2 2 5 .
<()VC = * 0 . 1 7 ^ b wd * 1000 = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 U * 0.65 * 0.48 * 1000
<j)Vc = 1 8 2 .5 9 k N
4,Vs + 4)Vc = 9 6 2 .7 8 kN > V ey
P o r o tra p a rte co n sid eran d o :
U = 1 .2 D + 2 .0 E + 1 .0 L ,
resu lta:
Vey = 1 .2 * 1 9 .1 + 2 .0 * 8 8 .8 + 1 .0 * 8 .6 = 209.1
y Vey es m e n o r q u e 9 6 2 .7 8 p o r lo q u e se c o n sid e ra q u e el diseño allí
e fe c tu a d o es v álid o .
R e q u isito s d el re fu e rz o tra n s v e rsa l en los n u d o s
E l R e g la m e n to c o lo m b ia n o e s p e c ific a q u e en los n u d o s d e u n p órtico debe
c o n fin a rse el co n c re to m e d ia n te la c o lo c a c ió n d e e strib o s adicionales,
e sp ira le s o c o n c re to ex tern o . P a ra p ó rtic o s in te rm e d io s resistentes a
m o m e n to c o n c a p a c id a d m o d e ra d e d isip a c ió n d e e n e rg ía (D M O ), el área de
Figura 6.16
329
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 7 Sistem as de Losas Arm adas en Dos D irecciones
Capítulo 7
SISTEMAS DE LOSAS ARMADAS
EN DOS DIRECCIONES
330
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
S IS T E M A S D E L O S A S A R M A D A S E N D O S D I R E C C I O N E S
Tipos de lo sas
Las losas se cla sific a n de a c u e rd o a su fo rm a d e a p o y o y c a ra c te rístic a s en
dos grandes g ru p o s y su s c o rre sp o n d ie n te s su b g ru p o s, así:
i
- A poyadas
o so p o rta d a s e n lo s b o rd e s
II - A poyadas o so p o rta d a s en c o lu m n a s
L o sa s m a c iz a s
L o sa s m aciz as c o n áb a c o s
o s o b re e sp e so re s y /o
ca p ite le s de c o lu m n a
L o sas a lig e ra d a s o
re tic u la re s
En las fig u ras 7 .1 .a y 7 .1 .b se m u e stra n lo s d ife re n te s tip o s d e lo sas, sin
incluir aq u ellas a p o y a d a s s o b re el te rre n o u tiliz a d a s co m o cim e n ta c io n e s.
333
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
E structuras de C oncreto I
L o sa m a c iz a a rm a d a en d o s d irec cio n es
s o p o rta d a en c o lu m n a s sin ca p ite le s
L o sa m a c iz a a rm a d a en d o s d ire c c io n e s
so p o rta d a p o r v ig a s en sus c u a tro b o rd e s
L o sa m a c iz a a rm a d a en d o s d irec cio n es
so p o rta d a en c o lu m n a s co n c a p ite le s y á b a co s
L o sa a lig e ra d a a rm a d a en d o s d ire c c io n e s
so p o rta d a en c o lu m n a s (retic u lar ced u lad o )
L o sa a lig e ra d a a rm a d a en dos d ire c c io n e s
so p o rta d a p o r v ig a s en sus cu a tro b o rd e s
F igura 7.1.b
Figura 7.1.a
334
335
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
Estructuras de C oncreto I
A c o n tin u a c ió n se tra ta rá el p rim e r g ru p o d e lo sas d o n d e su s paneles están
a p o y a d o s en su s cu a tro b o rd e s so b re m u ro s o v ig a s ríg id a s an te deflexiones
A
v ertic ales.
S istem a s de lo sa s e n d o s d ir e c c io n e s a p o y a d a s o so p o rta d a s sobre
m u ro s o v ig a s ríg id a s
A l so m e te r a c a rg a u n a lo sa c u a d ra d a o re c ta n g u la r so p o rtad a en su
c o n to rn o , d ic h a c a rg a será lle v a d a a su s cu a tro b o rd e s pro d u cién d o se una
su p e rfic ie d e fo rm a d a c u y a e x p re sió n m a te m á tic a -a p a rtir de la cual se
p o d rían o b te n e r m o m e n to s flec to res, e s fu e rz o s d e c o rte y momentos
to rsio n a le s- h a sid o o b te n id a p a ra d iv e rsa s c o n d ic io n e s d e borde, pero
b a sá n d o se en h ip ó te sis de h o m o g e n e id a d y e la stic id a d q u e el concreto
re fo rz a d o no cu m p le. P o r e sta ra zó n , p a ra el a n á lis is de e stas losas los
m é to d o s e n u so se a p a rta n de la so lu c ió n m a te m á tic a elástica ; p o r una parte,
se u sa n c o e fic ie n te s a p ro x im a d o s d e d u c id o s a p a rtir de an á lisis elásticos y
d e re d istrib u c ió n in e lá stic a en lo s d e n o m in a d o s m é to d o s de los coeficientes
y, p o r otra, se e stu d ia el c o m p o rta m ie n to in e lá stic o d el co n c re to reforzado
en los d e n o m in a d o s m é to d o s p lá s tic o s d e a n á lisis y d iseñ o . L o anterior está
de a c u e rd o co n la d is p o sic ió n d el R e g la m e n to q u e s o b re este tem a permite
el an á lisis y d ise ñ o p o r c u a lq u ie r p ro c e d im ie n to q u e c u m p la las condiciones
d e e q u ilib rio y c o m p a tib ilid a d g e o m é tric a , d e m o stra n d o a d e m á s que la
re siste n c ia d e d ise ñ o es p o r lo m e n o s ig u al a la re siste n c ia re q u erid a.
D e a c u e rd o c o n el a lc a n c e p re v isto d el p re s e n te tex to , só lo se expondrán
b re v e m e n te las b a se s d e e sto s m é to d o s, re m itie n d o al le c to r co n necesidad
d e p ro fu n d iz a r en su te o ría a la b ib lio g ra fía p re sen tad a.
' h
Figura 7.2
La losa de la fig u ra 7.2, a rm a d a en d o s
uniforme “q ” en k N /m 2, se c o n sid e ra
franjas p aralelas en ca d a d ire c c ió n y d e
intersecarse s o p o rta n p a rte d e la c a rg a q
d ire c c io n e s y so m e tid a a u n a c a rg a
c o n fo rm a d a p o r d o s c o n ju n to s de
a n c h o u n itario , d o s de las cu a le s al
en x y p arte en y , de m a n e ra que:
q=qx+qy
Las d eflex io n es m á x im a s d e las fran jas en el p u n to c o m ú n d e b e n s e r ig u ales
y corresponder a e x p re s io n e s com o:
Ax = k x(!.A .._.
El
A y = k yq / y _.
J
El
en donde k x y k y c o rre s p o n d e n a las co n d ic io n e s de ap o y o , E es el m ó d u lo
de elasticidad e I es el m o m e n to de in ercia.
De las e x p re sio n e s a n te rio re s e ig u alan d o lo s m o m e n to s d e in e rc ia p ara
ambas d irec cio n es se o b tien e, en fo rm a ap ro x im a d a:
M é to d o s d e lo s c o e fic ie n te s
L a m a y o r p a rte de e sto s m é to d o s se b a sa n en c o n sid e ra c io n e s com o la
sig u ien te:
km 4
q x = q -¡— i — ?
k x + k ym
y
en d o n d e m =
336
337
< iy= % —
kx
f— *
k x + k ym
Estructuras de C oncreto i
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
U tiliz a n d o estas e x p re sio n e s p a ra id é n tic a s c o n d ic io n e s de borde v 1
c u a d ra d a co n m = 1 . 0 se o b tie n e q u e la c a rg a se re p a rte en p artes ig u a le s ^
c a d a d irec ció n ; d e la m ism a m an era, p a ra u n a lo sa d e ig u ales c o n d ic io n e s^
c a rg a p e ro de fo rm a re c ta n g u la r co n m = 0 .5 el 9 4 % de la carga ser*
so p o rta d a en la lu z c o rta y só lo el 6 % en la lu z larga; en o tro s térm inos la
lo sa id eal p a ra el arm a d o en dos d ire c c io n e s es la d e p a n e le s cuadrados y Su
c o n v e n ie n c ia v a d ism in u y e n d o a m e d id a q u e a u m e n ta su rectangularidad de
tal m a n e ra q u e para m = 0 .5 se d eb e a rm a r en u n a d ire c c ió n y en el sentido de
la lu z co rta. P o r o tra parte, se rá m á s o b v io el a rm a d o en dos direcciones
c u a n d o se a d e in te ré s re p a rtir la c a rg a o su s efecto s.
El ra c io c in io a n te rio r es a p ro x im a d a m e n te v á lid o si se tra ta de franjas
c e n tra le s a isla d a s; sin e m b arg o , la e x is te n c ia d e o tra s fra n ja s paralelas a los
b o rd e s y a las c o n sid erad as, h a c e q u e éstas se a p o y e n n o so lo en los bordes
sin o ta m b ié n en las fra n ja s o rto g o n a le s y en las p a ra le la s, dism inuyéndose
su d e fle x ió n y p o r c o n sig u ie n te lo s m o m e n to s de flex ió n . P o r eso se puede
d e c ir q u e la c a rg a en u n a lo sa d e e sta s c a ra c te rís tic a s la re su elv en no solo
lo s m o m e n to s fle c to re s en a m b a s d ire c c io n e s sin o ta m b ié n lo s m om entos de
to rsió n re su lta n d o los m o m e n to s m á x im o s re d u c id o s y facilitán d o se una
re d is trib u c ió n in e lá stic a . A c o n tin u a c ió n u n e je m p lo d e ap lica ció n .
B
C
Figura 7.3
Solución
Como una p rim e ra a lte rn a tiv a p a ra la o b te n c ió n de u n esp e so r m ín im o de la
losa se usa la ex p resió n :
P r o b le m a 7.1
t _ p erím e tro lib re del p an e l > q Q9 m
180
D ise ñ a r u n a lo sa m a c iz a a rm a d a en d o s d ire c c io n e s a p o y a d a so b re vigas
ríg id as.
m
t = 2 * ( 7 -55 + 8 . 4 0 ) _ Q 1 7 7 m ^ Q 1 8 m
E n un p ro c eso d e só lo e v a lu a c ió n p re lim in a r, se tra ta de d ise ñ a r el tablero o
p an e l in te rio r d e la fig u ra en lo sa m a c iz a a rm a d a en d o s direcciones
so p o rta d a en to d o su c o n to rn o p o r v ig a s ríg id a s s o b re co lu m n as, si se
c o n sid e ra q u e este p an e l h a c e p a rte de u n siste m a e stru c tu ra l m o n o lítico de
c u b ie rta a c c e sib le d e u n s a ló n m ú ltip le p a ra u n c o n ju n to habitacional
m u ltifa m ilia r de v a ria s luces, u tiliz a n d o c o n c re to de f c = 21.1 M P a y acero
de re fu e rz o d e b aja re siste n c ia p a ra f y = 2 4 0 M P a.
338
180
Como o tra p o sib ilid a d en la o b ten ció n d el e sp e so r m ín im o de la lo sa, se
pueden u tiliza r las s ig u ie n te s e x p re sio n e s d el R eg lam en to :
a)
Para a fm < 0 .2 se d eb e n c u m p lir lo s re q u isito s d e C .9 .5 .3 .2,
c o rresp o n d ien tes al e s p e s o r m ín im o d e lo sas sin v ig a s in te rio re s en tre
apoyos.
339
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
Estructuras de C oncreto I
b)
T a b la C.9.5(c)
Espesores m ínim os de losas sin vigas interiores'
P a ra 2 .0 > a fm > 0 .2 el e sp e s o r n o d eb e se r m e n o r que:
h=
S in á b a c o s (
P an eles ex terio res
^í°-8+¿ ]
^----------------¿ r > 125 m m
36 + 5 p [ a fm - 0 . 2 ]
C.9-12
f,
MPa (1)
Sin v ig as
de borde
C o n v ig as
de b orde
(3)_____
c)
P a ra a fm > 2.0 el e sp e s o r n o d e b e s e r m e n o r que:
Ua8+¿,
h = -A
d)
280
420
- —2- > 90 m m
36 + 9P
C.9-13
S i en los b o rd e s d isc o n tin u o s n o se c o lo c a u n a v ig a de b o rd e con una
re la c ió n d e rig id e z a m a y o r d e 0.8, h a y n e c e sid a d d e au m en ta r en un
d ie z p o r c ien to el e sp e so r re q u e rid o p o r la s e c u a c io n e s C .9 -1 2 o C.9-13
en el p a n e l co n el b o rd e d isco n tin u o .
£n
=
lu z lib re e n la lo n g itu d larg a, en m m ;
p
=
re la c ió n d e la lu z lib re la rg a a la corta;
ay
=
re la c ió n de la rig id e z a la fle x ió n de la se c c ió n d e viga con
re sp e c to a la rig id e z d e u n s e c to r de lo sa d e fin id o lateralmente
p o r los e je s c e n tra le s d e lo s p a n e le s a d y a c e n te s (en caso de
520
733
y
V'
7 30
728
V
y
y
736
733
731
C on ábacos (
P a n e le s ex terio res
P an eles
in terio res
S in v ig as
de b o rd e
y
y
y
y
y
y
736
736
733
733
731
/3 1
C o n v ig as
de borde
(3)
y
y
y
/ 40
736
734
P an eles
in terio res
y
y
y
740
736
734
♦Para construcción en dos direcciones, £ a, es la luz libre en la dirección larga,
medida entre cara de los apoyos en losas sin vigas y entre caras de las vigas, para
losas con vigas u otros apoyos en otros casos.
(1) Para fy entre los valores dados en la tabla, el espesor m ínim o debe obtenerse
por interpolación lineal.
(2) Abaco, com o se define en C. 13.2.5.
(3) Losas con vigas entre las colum nas a lo largo de los bordes exteriores.
El valor de a f para la viga de borde no debe ser m enor que 0.8.
Por tanto:
q u e ex istan ) a a m b o s la d o s d e la viga;
<xfm =
v a lo r p ro m e d io d e a f p a ra to d a s las v ig a s ex iste n te s en los
t _ luz lib re en la lo n g itu d la rg a _
36
b o rd e s d e l pan el.
S in e m b a rg o , co m o su u tiliz a c ió n im p lic a la ad o p c ió n d e u n a primera
d im e n sió n , es p o sib le u sa r la T a b la C .9 .5 (c) d el R eg la m e n to , co m o si no
e x istie ra n v ig a s in te rio re s, p a ra o b te n e r u n a d im e n sió n te n ta tiv a máxima
e x istie n d o sie m p re la p o sib ilid a d , ta m b ié n co m o a lte rn a tiv a , d e comparar
c o n las d e fle x io n e s m á x im a s p e rm is ib le s e sp e c ific a d a s en la T a b la C.9.5(b).
340
t=—
36
” 36
= 0 .2 3 3 ~ 0 .2 4 m
El espesor fin al q u e se ad o p te ta m b ié n te n d rá q u e v e r co n la m a g n itu d d e la
carga v iv a y las cu a n tía s d e re fu e rz o esp e rad a s. P ara este e je m p lo se ad o p ta
en form a p re lim in a r t = 0.21 m . P o r c o n sig u ie n te , las ca rg as a p ro x im a d a s
serán:
341
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
Refuerzo:
C argas:
P eso p ro p io d e la losa:
0 .2 1 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 4
A lista d o s y d esn iv ele s:
0 .0 4 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 2
Im p e rm e a b iliz a c ió n (c u b ie rta ):
A fin a d o y cielo raso :
0 .0 2 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 2
=
=
=
=
5.04
0 .8 8
0.15
0.44
S u b to ta l c a rg a m u erta:
=
6.51 k N /m 2
C arg a v iv a:
=
T o tal:
=
kN /m 2
kN /m 2
k N /m 2
k N /m 2
D irección luz m enor:
C onstantes para diseño: b = 1 .0 0 ; d = 0 .18;
(?)
d)
M (kN-m) =
26.05
11.65
26.05
1.80 k N /m 2
(j)Mn = 1-5M =
39.08
17.48
39.08
8.31 k N /m 2
P=
0.005812
0.002543
0.005812
A s (m 2/m ) =
0.001046
0.000458
0.001046
U tiliz a n d o el p ro c e d im ie n to d e la S e c c ió n C .1 3 .9 - L o sa s en d o s direcciones
a p o y a d as so b re m u ro s o v ig a s ríg id a s - d el R e g la m e n to v ig e n te (m étodo de
lo s co e fic ie n te s), se d iv id e el p a n e l en c o n sid e ra c ió n e n c a d a dirección, en
fran jas c e n tra le s cu y o an c h o es la m ita d d el p a n e l y m e d ia s franjas de
c o lu m n a s c o n un an c h o ig u al a u n c u a rto d el p an e l, se g ú n la fig u ra 7.4.
F ra n ja s cen trales:
0.0020*1.00*0.21 = 0.00042 m 2/m
A s (m ínim o) =
S uperior:
Inferior:
<j) l/2"c/0.12 (36)
<j) 1/2” c/0.12 (36)
(j> 3/8” c/0.155 (j> 3/8” c/0.155 (2 8 )
<}>3/8” c/0.155
D irecció n lu z m ay o r:
/
7 55
P a ra u n a re la c ió n m = — = —— = 0 .8 9 9 ~ 0 .9 0 se calcula:
£h
8.40
C o n sta n te s p a ra d iseñ o : b = 1 .0 0 ; d = 0 .17;
®
©
M o m e n to s n e g a tiv o s en lo s b o rd e s (T ab la C .13.5)
M a (negativo) = 0 .0 5 5 * 8 .3 1 * 7 .5 5 2 = 26.05 kN- m
M (kN-m) =
21.70
9.22
21.70
<J)Mn = 1.5M =
32.55
13.83
32.55
P=
0.005412
A s (m 2/m ) =
A s (m ínim o) =
0.000920
S uperior:
Inferior:
4> l / 2 ”c/0.14 (28)
<J> 1/2” c/0.14 (28)
(j> 3 /8 ” c/0.16___ <j>3/8” c/0.16 (2 4 )___ <}>3/8” c/0.16
M b (negativo) = 0 .0 3 7 * 8 .3 1 * 8 .4 0 2 = 2 1 .7 0 kN -m
M o m e n to s p o sitiv o s (T ab las C .1 3 .6 y C. 13.7)
M a (p o sitiv o c a rg a m u erta)
=
0 .0 2 2 * 6 .5 1 * 7 .5 5 2
=
8.16 kN-m
M a (p o sitiv o c a rg a viva)
=
0 .0 3 4 * 1 .8 0 * 7 .5 5 2
=
3.49 kN-m
M a (p o sitiv o total)
= 11.65 kN-m
M b (positivo c a rg a m u erta)
=
0 .0 1 4 * 6 .5 1 * 8 .4 0 2
=
6 .4 3 kN-m
M b (p o sitiv o c a rg a viva)
=
0 .0 2 2 * 1 .8 0 * 8 .4 0 2
=
2 .7 9 kN-m
M b (p o sitiv o total)
=
342
0.002250
0.005412
0.000382
0.000920
0.0020*1.0*0.21 = 0.000420 m 2/m
9.22 kN-m
343
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
E structuras de C oncreto I
Refuerzo:
8.70
8 .4 0
Dirección lu z m enor:
©
©
Superior:
Inferior:
M ed ia fr a n ja d e c o lu m n a s
<1) l / 2 ”c/0 .1 7 (13 + 13)
<t> 3 /8 ” c /0 .1 6 5
4> 1/2" c /0 .1 7 (13 +13)
m ín: <j) 3 /8 ” c/0 .1 6 5 (12+ 12)
4> 3 /8 ” c/0 .1 6 5
Dirección lu z m ayor:
F ra n ja
©
C e n tra l
Superior:
Inferior:
<j> 1 /2 ”c /0 .2 1 (10 +10)
<{) 3 /8 ” c/0 .1 6 5
<t> 1 /2 ” c/0.21 (10 +10)
m ín: <j> 3 /8 ” c/0 .1 6 5 (10+ 10)
<J) 3 /8 ” c/0.165
Esfuerzo cortante:
M ed ia fr a n ja d e c o lu m n a s
V (0.3 0 X 0.60)
2.10
2 .1 0
4 .2 0
Para el cálcu lo d e las re a c c io n e s, se u tiliz a la T a b la C .1 3 .8 en d o n d e p ara
m = 0.90 en el c a so 2, el 6 0 % d e la c a rg a se tra n sm ite en la d ire c c ió n d e la
luz m enor y el 4 0 % en la d ire c c ió n de la lu z m ay o r. El d ise ñ o d el e sfu erzo
cortante p ara este e je m p lo d e lo sa m a c iz a se re d u c e a v e rific a r q u e p a ra el
mayor esfu erzo n o se re q u ie re refu erzo .
D irección lu z m en o r:
F ig u r a 7.4
F r a n ja s d e co lu m n a :
V (kN /m ) =
0 .6 0 * " ' 3 1 * 7-55 = 1 8 .8 2
18.82
L o s m o m e n to s en las fra n ja s d e c o lu m n a se re d u c e n lin e a lm e n te de su valor
to ta l M a o M b en el lím ite de la fra n ja c e n tra l a X de e sto s v a lo re s en el
b o rd e d el p an e l. E l re fu e rz o se c o lo c a rá a u n e s p a c ia m ie n to uniforme
u tiliz a n d o u n m o m e n to p ro m e d io de % el c o rre sp o n d ie n te a las franjas
ce n trales. P o r tan to , el á rea d e re fu e rz o se rá % d e la c o lo c a d a en la franja
ce n tral, y p a ra las b arras d el m ism o d iá m e tro el e s p a c ia m ie n to será de /z i el
u tiliz a d o en la fra n ja ce n tral, sie m p re y c u a n d o n o se e x c e d a el lím ite de
esp a c ia m ie n to m á x im o y se te n g a e n c u e n ta la e sp e c ific a c ió n d e armadura
V(d) (kN /m ) =
17.92
17.92
Vu = 1.5V =
26.88
26.88
105.34
105.34
Vu <c|)Vc
m ín im a.
344
345
C dp itulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
Estructuras de C oncreto I
D ire c c ió n lu z m ayor:
V (k N /m )=
10. 40*
V (d) (kN /m ) =
j 13.36
0 01*0 4Q
2 — = 13.96
13.961
13.36:
P a ra esta fu e rza de co rte, la
fu e rz a c o rta n te re su lta inferior al
o b te n id o en la d ire c c ió n d e la lu z m en o r. P o r tanto, las fuerzas
c o rta n te s m a y o ra d o s re su lta n in fe rio re s a los re sistid o s p o r la losa.
A m a n e ra d e ev a lu a c ió n d el e s p e so r ad o p ta d o , y sin te n e r en cuenta otras
c o n sid e ra c io n e s in h e re n te s al p ro y e c to , se o b se rv a que éste resultó
ap ro p ia d o , sin n in g ú n in c o n v e n ie n te d esd e el p u n to d e v ista de la fuerza
c o rta n te y se o b tu v o u n a a rm a d u ra m u y p ró x im a a la m ín im a para el
m o m e n to m e n o r en las fra n ja s c e n tra le s. S in em b arg o , al co lo ca r el refuerzo
en las fra n ja s de c o lu m n a s se p re s e n ta la p o sib ilid a d d e h ab e r trabajado con
u n esp e so r m en o r, lo q u e p o d ría sig n ific a r u n a u m e n to en la s deflexiones y
p o s ib le m e n te en el to ta l d el re fu e rz o re q u e rid o . E n consecuencia, se
m a n tie n e el e sp e s o r a d o p ta d o y , a m a n e ra de m u estra, se detalla la
c o lo c a c ió n d el re fu e rz o , te n ie n d o en c u e n ta a lg u n a s especificaciones
La c o lo ca ció n del re fu e rz o y su in te rru p c ió n o d o b laje d eb e h ac erse
siguiendo lo s d ia g ra m a s d e fle x ió n y su s p u n to s de in fle x ió n
respectivos. S in e m b arg o , p a ra te n e r en c u e n ta la p o sib le
in d eterm in ació n en su o b te n c ió n , se re c o m ie n d a e sp e c ia l p ru d e n c ia en
el d etallad o d el re fu e rz o a p a rtir de las n o rm a s u su a le s p a ra su
colocación.
El refu erzo p a ra m o m e n to p o sitiv o y el re fu e rz o p a ra m o m e n to
negativo p e rp e n d ic u la re s a u n b o rd e n o c o n tin u o d e b e n e x te n d e rse en
el ap o y o y a n c la rs e c o n o sin g a n c h o e n la s v ig a s, c o lu m n a s o m u ro s.
En los p a n e le s e sq u in e ro s d eb e p ro p o rc io n a rs e u n re fu e rz o su p e rio r e
inferior a lo larg o de u n a d ista n c ia e n c a d a d ire c c ió n ig u al a / 5 d e la lu z
m ás larg a y d el m ism o c a lib re y esp a c ia m ie n to d el re fu e rz o p a ra el
m áxim o m o m e n to p o sitiv o en el p an e l; el re fu e rz o su p e rio r d eb e ser
paralelo a la d ia g o n a l d e sd e la e sq u in a y el re fu e rz o in ferio r,
p erp en d icu lar a d ic h a d iag o n al. A lte rn a tiv a m e n te , el re fu e rz o d eb e
co locarse en do s c a p a s p a ra le la s a lo s b o rd e s de la lo sa tan to en la p arte
su p erio r co m o en la p a rte in fe rio r d e la losa.
i
/5
p artic u la res:
1/5
1-
L a c o lo c a c ió n d el re fu e rz o se h ac e co n b a rra s paralelas y
p e rp e n d ic u la re s a los b o rd e s. E l re fu e rz o p o sitiv o c o n sta de dos capas,
p o r lo q u e se su g ie re d e ta lla r e s p e c ia lm e n te su p o sició n a fin de
\
p re v e n ir la c o lo c a c ió n in d isc rim in a d a de u n a y o tra.
2 -
P ara el re fu e rz o n e g a tiv o en lo s b o rd e s no c o n tin u o s se considera el
m o m e n to n e g a tiv o co m o u n terc io d el m o m e n to p o sitiv o en la misma
d ire c c ió n , y el re fu e rz o así co lo c a d o so lu c io n a rá la p o sib le restricción
F ig u r a 7.5
e x iste n te en e sto s bo rd es.
3 -
As s e g ú n C. 13.3.6
b a r r a s s u p e rio re s e in ferio res
El á rea de re fu e rz o en c a d a d ire c c ió n no d eb e se r m en o r que la
n e c e sa ria p a ra re tra c c ió n de fra g u a d o y v a ria c ió n d e tem p eratu ra, y su
e sp a c ia m ie n to n o d eb e se r m a y o r d e d o s v e c e s el e sp e s o r de la losa.
346
347
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
so
CN NJ
B-B Franja de C olum nas (luz m ay o r)
©
Sección
©
©
i
o
CO
Ntco
ó
o
O
LO
co
o
o
o
o
LO
CO
CN
CN
0
+
0
v£>
+
vO
II
J
II
J
o
-4
O
o
CO
CO
S
F igura 7.6 a
Figura 7.6 b
348
349
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
El peso de la losa será:
(7.55 * 8.40 * 0.35 - 90 * 0.71 * 0.71 * 0.26) * 24 = 249.60 kN
P r o b le m a 7.2
D iseñar una losa aligerada arm ada en dos direcciones apoyada sobre vigas
por lo tanto, las cargas aproxim adas serán:
C on el m ism o alcance de sólo evaluación prelim inar, resolver el problema
7.1 utilizando un sistem a de losa aligerada con bloques de concreto
en dos direcciones, utilizando el m ism o concreto de f c = 21.1 M Pa y acero
de refuerzo de alta resistencia para f y = 420 M Pa, a fin de tener en cuenta la
concentración de refuerzo en las nervaduras.
Afinado y c ie lo raso:
S o lu ció n
A partir del espesor obtenido en el problem a anterior, se adopta un espesor
tentativo teniendo en cuenta el tam año de los aligeram ientos que define la
separación de las viguetas.
armada
=
=
=
=
3.94
0.88
0.15
0.44
Sub total carga m uerta:
=
5.41 kN /m 2
C arga viva:
=
1.80 kN /m 2
=
7.21 kN /m 2
Peso propio de la losa:
Alistado y d e sn iv e le s:
249.60 -^-(7.55*8.40)
0.04*1.00*1.00*22
Im perm eabilización (cubierta)
0.02*1.00*1.00*22
Total:
kN /m 2
kN /m 2
kN /m 2
kN /m 2
©
0 .3 d
4
Para el procedim iento del problem a anterior, se divide el panel en
consideración en cada dirección, en franjas centrales cuyo ancho es la m itad
del panel (4 viguetas) y m edias franjas de colum nas con un ancho igual a un
cuarto del panel (2 vig u etas).
8 .4 0
1
s
1
------VTA B
r©
o R
o R R|
” o
B
O.IO 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 o.io 0.10
0.75 0.75 0.75 . 0.75 . 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 .0.75 .
|3----VTA A
o R
VTA A
VTA
VTA
VTA
A
VTA
B
VTA
<
B 01
<
f,
1
6
t
« I-
o R
A_
1
«H r-
f-
<
$ %
<
<
S
-
5E
0.10
CORTE 1-1
A
1
-
o
<
<
0.10
M om entos negativos en los bordes (Tabla C.13.5)
M a (negativo)
M b (negativo)
= 0.055*0.85*7.21 *7.552 = 19.21 kN-m
= 0.037*0.85*7.21 *8.402 = 16.00 kN-m
<
%
i y
i
7 55
Para una relación m = — = —— = 0.899 ~ 0.90 se calcula:
£b 8.40
J'JO.
*
0.3 0
©
°
r
Franjas ce n tra les
0.3C
i
A
0.10
0.75
L
0.10
0.75
0.30
M om entos positivos (Tablas C .13.6 y C.13.7)
r-.
M a (positivo carga m uerta) = 0.022*0.85*5.41*7.552 = 5.77 kN-m
Ma (positivo carga viva)
= 0.034*0.85*1.80*7.552 = 2.97 kN-m
PLANTA
F igura 7.7
350
M a (positivo total)
= 8.74 kN-m
351
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
E structuras de C oncreto I
M b (positivo carga m uerta)
M b (positivo carga viva)
0.014*0.85*5.41 *8.402
0 .0 22*0.85*1.80*8.402
M b (positivo total)
= 4 -54 kN-m
Franjas de co lu m n a :
= 2.38 kN.m
= _M 2 k Ñ ^
R efuerzo:
Los m om entos en las franjas de colum na se reducen linealm ente de su valor
total Ma o M b en el lím ite de la franja central a X de estos valores en el
borde del panel. El refuerzo se colocará para un m om ento prom edio de % el
correspondiente a las franjas centrales.
Refuerzo:
D irección luz m enor:
C onstantes para diseño: b = 0.10; d = 0.32; <|)Mn (máx) = 50.3 kN-m
Dirección luz m enor:
0)
©
8.74
13.11
(|)Mn = 1.5M =
19.21
28.82
P=
0.008246
0.003537
0.008246
A s (m2) =
0.000264
0.000113
0.000264
Superior
Inferior
1 <J>5/8” + 14> 1/2”
M (kN-m) =
1 4> 1/2” ________
28.22
1
1 4> 1/2”
5/8” + 14> 1/2”
1 4>1/2"
4>Mn = 1.5M =
b.000176
0.000176
o.jjGetífs
As (mín) = 0.000106 m2
4> Superior:
4> Inferior:
14>l/2”+14>3/8”
14>l/2”+14>3/8’
1 4) 1/2’
1 4> 1/2” _____
1 4> 1/2”
D irección luz m ayor:
A s (m2) =
©
6.92
10.38
0.000149
0.000149
o m m i
As (míriD=0.000102 m2
<§>
16.00
24.00
As (m2) =
©
D irección luz m ayor:
C onstantes para diseño: b = 0.10; d = 0.31; 4>Mn (máx) = 47.2 kN-m
M (kN-m) =
<D
O
19.21
16.00
24.00
4>Superior:
4>Inferior:
1 4> 1/2” + 1 4> 3 /8 ”
1 4> 1 /2 ”
1 4> 1/2” + 1 4> 3 /8 ”
14) 1 /2 ”
1 4) 1 /2 ’
Fuerza co rta n te:
P =
0.007221
A s (m2) =
0.000224
Superior:
Inferior:
2 4) 1/2”
1 4> 1/2”
0.002961
0.007221
0.000092
0.000224
1 4> 1/2”
352
2 4) 1/2”
1 4) 1/2”
Para el cálculo de las reacciones se utiliza la T abla C .13.8 en donde para
m = 0.90 en el caso 2, el 60% de la carga se transm ite en la dirección de la
luz m enor y el 40% en la dirección de la luz m ayor.
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
D irección luz m enor:
O
0 .8 5 - 7 .2 1 * 7 .5 5 = 1 1
=
V (d)(kN ) =
12.70
12.70
V u = 1.5V =
19.05
19.05
+VC =
18.73
18.73
Estribos:
6 e (j) Va ”c/0.15
ídem
t- e <|) Va ” c/0.35 hasta donde ex ista refuerzo superior
(luz me n o r )
43.88
de Col umnas
V (kN)
©
=
V(d) (kN) =
1.5V =
V u =
ii
£
Estribos
0.40* 0-85*7.21*8.40 = 10 30
9.54
10.30
9.54
14.31
14.31
18.14
18.14
6
Vigueta
<§>
V (kN)
2 - Franja
D irección luz m ayor:
ídem
” c/0.15
+ e (J>V a” c/0.35 hasta donde exista refuerzo superior
A partir de los resultados anteriores, se concluye en principio que el espesor
adoptado es apropiado. A l efectuar el diseño definitivo es posible tener en
cuenta otros factores que perm itan ratificar o cam biar este espesor.
A continuación el detalle del refuerzo obtenido.
Figura 7.8a
354
355
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
gn este capítulo, y para el tipo de losas apoyadas o soportadas en los bordes
sobre m uros o vigas rígidas, el R eglam ento colom biana acepta com o
métodos plásticos de análisis y diseño apropiados, el m étodo de las líneas de
fluencia (m étodo cinem ático de frontera superior), y el m étodo de las franjas
(método estático de frontera inferior), en los cuales, los principios de
equilibrio y com patibilidad de deform aciones pueden verificarse
directamente a partir del análisis o indirectam ente a partir de la capacidad de
deformación en los sitios donde se presentan las articulaciones plásticas o la
fluencia. En el uso de estos m étodos debe tenerse en cuenta la capacidad de
rotación de las secciones y las cuantías m áxim as de refuerzo longitudinal
que se pueden em plear y que el R eglam ento lim ita a una deform acin unitaria
neta a tracción s, m enor de 0.0075. Por tratarse de un m étodo de frontera
superior, en com paración con el denom inado m étodo de los coeficientes,
solamente se expondrá en el presente texto el m étodo de las líneas de
fluencia.
V ig u e ta
B - Franja
de
C o lu m n a s
(luz
m ayor)
IVÍétodos p lá stic o s d e a n á lisis y d ise ñ o
M étodo de la s lín e a s d e flu e n c ia
En los capítulos anteriores estudiam os el cálculo de losas de concreto
reforzado con base en sus m om entos y esfuerzos obtenidos a partir del
comportam iento elástico de los m ateriales y el diseño por el m étodo de la
resistencia últim a que tiene en cuenta las deform aciones inelásticas que se
presentan en estos m ism os m ateriales en el instante de la falla. E sta aparente
incongruencia, que con factores de seguridad apropiados constituye un
método generalizado de cálculo, ha m otivado el estudio de procedim ientos
que obtengan los m om entos teniendo en cuenta el com portam iento
inelástico de los m ateriales, y a este grupo pertenece el denom inado m étodo
de las líneas de fluencia.
Consecuentem ente con lo expresado al principio de este capítulo sobre el
alcance del presente texto, sólo se hará una breve referencia a las bases de
este m étodo, deteniéndose en su aplicación para un m odelo de diseño. Por
tanto, al estudiar el com portam iento de una losa sim plem ente apoyada en
una dirección, se encuentra que el acero de tracción entra en fluencia a lo
Figura 7.8b
356
357
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
largo de la línea transversal correspondiente al m om ento positivo máximo
aum entándose allí la deform ación en una m agnitud m uy superior a lá
deform ación elástica de la losa, por lo que a esta deform ación en la línea de
fluencia se la denom ina deform ación plástica. Para una estructura
indeterm inada, com o puede ser la m ism a losa anterior em potrada en sus
apoyos y suponiéndola igualm ente reforzada para m om entos positivos y
negativos, las prim eras líneas de fluencia se producen a lo largo de los
apoyos, y el hundim iento de la losa sólo se presentará al form arse una
tercera línea de fluencia coincidente con la línea transversal del momento
positivo m áxim o. P or tanto, la relación de 1:2 inicialm ente existente entre
los m om entos positivos y negativos elásticam ente obtenidos ha variado,
lográndose una redistribución inelástica de los m om entos debida a la
deform ación tam bién inelástica que se presenta en la losa y que en buena
parte depende de la cuantía relativam ente baja de la arm adura que le permite
giros y deform aciones antes de la falla por com presión en el concreto.
p r o b le m a 7 . 3
gesolver el problem a 7.1 utilizando el m étodo de las líneas de fluencia.
Solución
Se utiliza el m ism o predim ensionam iento con un espesor de t = 0.21 m y,
por consiguiente, la m ism a carga q = 8.31 kN /m 2. Para entrar a las tablas
mencionadas se calcula el valor de k:
7 85
k = — 7 = 0.9023. Con este valor y en la tabla para el Caso 2, al cual
8.70
se asim ila el panel que se diseñó, se obtiene:
qk2L2 = 5 1 2 .0 8
m
q k 2L2
U na vez supuestas las posibles líneas de fluencia de acuerdo a elementales
criterios de funcionam iento estructural, su situación exacta y la carga de
falla de la losa se obtienen por dos procedim ientos universalmente
aceptados: el m étodo del equilibrio que, com o su nom bre lo indica, se basa
en el equilibrio de los segm entos de losa resultantes estudiados para las
cargas aplicadas, los m om entos a lo largo de las líneas de fluencia y las
reacciones en los apoyos, y el m étodo de los trabajos virtuales, que se basa
en la relación existente entre el trabajo externo que produce un pequeño
aum ento en las cargas y sus correspondientes deform aciones, y el trabajo
interno efectuado por la losa, es decir, una relación entre las cargas y los
m om entos resistentes.
C om o y a se anotó, el presente texto se lim ita a hacer las breves referencias
anteriores, con un m odelo de aplicación utilizando las tablas anexas al texto
publicado por la U niversidad N acional, Introducción al análisis plástico de
estructuras de concreto reforzado, del profesor E nrique K erpel K., con la
advertencia del m ism o autor en el sentido de que las soluciones allí
tabuladas corresponden a una de las m últiples soluciones correctas del
problem a propuesto. C om o m odelos, se utilizarán los problem as 7.1 y 7.2
antes estudiados.
358
qk L‘
= 0.02349; m = 12.03; m3,
qk L‘
= 0.01381 pm = 7.07; ^
= -0 .0 3 3 9 8 ;m', = m i = -1 7 .4 0
2 ^ 2 = -0 .0 2 0 0 1 ; m¡ = m', = -1 0 .2 5
qk L‘
Diseño sentido kL:
Constantes para diseño: b = 1.00; d = 0.18; (j)Mn (máx) = 183.8 kN-m
(D
(D
M (kN-m) =
17.40
<j)Mn = 1.5M = 26.10
12.03
18.04
17.40
26.10
P =
0.003829
0.002626
0.003829
As (m2/m) =
As m ínim o =
0.000689
0.000473
0.0020*1.0*0.21 = 0.000420 m2/m
0.000689
<{>Superior:
<|>Inferior:
<j) 1/2" c/0.18 (46)
<f) 1/2” c/0.18 (46)
<j) 3/8” c/0.15_____ <J>3/8” c/0.15 (55)______ <j>3/8” c/0.15
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
E structuras de C oncreto I
D iseño sentido L:
C onstantes para diseño: b = 1.00; d = 0.17; <¡>Mn (máx) = 163.9 kN-m
M (kN-m) =
ii
2
LO
>4
II
c
s
-e-
10.25
15.38
Xi=
^
10.25
15.38
1
8.70 V8.31
XjL =
P =
A s (m2/m) =
A s m ínim o =
0.000426
(j) Superior:
<j) inferior:
({>3/8” c/0.165 (45)
(j>3/8” c/0.165
(j) 3/8” c/0.165 (45)
m:)=X2
X,=J - J — (7 .0 7 + 10.25) = 0.4069
7.07
10.60
0.002508
) W
0.001720
0-002508
0jm ZÍ2
0.000426:
x3 =
= 3.54 m
^ -—
+ m 3'
0.0020*1.00*0.21 = 0.00042 m7m
<}) 3/8” c/0.165 (45)
(J) 3/8” c/0.165
x 2L
3
,
que para este caso resulta:
+
x 3 = 0.5
X3kL = 3.925 m
P o sic ió n d e la s lín e a s d e flu e n c ia y e sfu e r z o co r ta n te
A partir de los m om entos, se obtiene la posición exacta de las líneas de
fluencia positivas en el panel bajo consideración y adem ás las cargas que
v an a los diferentes apoyos a partir de las cuales se podría diseñar para
esfuerzo cortante. L as ecuaciones de equilibrio deducidas en el texto
m encionado son:
Por tanto, y aunque se desconoce la exacta distribución del corte, se
comprueba la
fuerza cortante para el caso que pudiera ser el m ás
desfavorable.
V m áxim o
= 3.925*8.31 = 32.62 kN
V borde
= 31.37 kN
V „ = 1 .5 V borde
= 47.06 kN
<j)Vc = cj>* 0 .1 7^/fJbwd * 1000
<t>vc = 0.75 * 0.17
1.00 *0.18 *1000 = 105.34 kN
A continuación se detalla el refuerzo correspondiente a este problem a:
360
1
Capítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
p r o b l e m a 7 .4
Resolver el problem a 7.2 utilizando el m étodo de las líneas de fluencia.
Solución
Se utiliza el m ism o predim ensionam iento y distribución del problem
con un espesor de t = 0.35 m y la m ism a carga q = 7.21 kN /m 2.
m ayor)
q k 2L 2
S e c c ió n
A-A
Fra n ja
C e n tra l
q k 2L2 = 444.30
(luz
Para entrar a las tablas m encionadas se em plea el m ism o valor de k = 0.9023
del problema 7.3 y en la tabla para el caso 2 se obtiene:
m
= 0.02349; m = 10.44; - -V y " 1* = -0 .0 3 3 9 8 ; m i = m'a = -1 5 .1 0
qk L'
_H 5L = 0.01381; qm = 6.14; m ‘ ,
qk L
qk L
Diseño sentido kL:
Constantes para diseño: b = 0.10;
= -0 .0 2 0 0 1 ; m¡ =m' = - 8 .8 9
1
2
d = 0.32;
<j)Mn (máx) = 50.3 kN-m
O
(3 )
M (kN-m) =
15.10
10.44
15.10
M/vta = 0.85M
(|)M„ = 1.5M =
12.84
19.26
8.87
12.84
13.31
19.26
P=
0.005309
0.003593
0.005309
As (m2) =
0.000169
0.000115
0.000169
<}) Superior:
CNI
363
-er-H
4>Inferior:
1 <t> 1/2” + l(j) 3/8”
1(1) 1/2”
1<1) 1/2” + 1 ({>3/8”
ló 1/2”
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
Estructuras de C oncreto I
D iseño sentido L:
C onstantes para diseño: b = 0.10; d = 0.31; <()Mn (máx) - 47.2 kN-m
O
%
8.89
6.14
8.89:
M /vta = 0.85M
<j)Mn = 1.5M =
7.56
11.34
5.22
7.83
7.56 í
P=
0.003248
0.0Ó2281
(mín = 0.0033)
0.003248:
A s (m2) =
0.000102
0.000102
0.000102
(J) Superior:
(j) Inferior:
l(j) 1/2”
l(j) 1/2”
1<J) 1/2”
l<t> 1/2"
1(1) 1/2"
M (kN-m) =
Xl= l ^ m
11.341
X ,
1
=
—
+ m ;)=x2
. —
8 .7 0 V 7 .2 1
(6.14 + 8.89) = 0 .4 0 6 9
’
XlL = x2L = 3.54 m
x3kL = 3.925 m
Por tanto, y con la m ism a observación del problem a anterior sobre el
desconocimiento de la exacta distribución del corte, se diseña el esfuerzo
cortante para el caso que pudiera ser el m ás desfavorable en cada sentido y
como una m uestra del lím ite superior en la colocación del refuerzo
correspondiente.
P o sic ió n d e la s lín e a s d e flu e n c ia y fu e r z a co r ta n te
(2 )
(D
V (kN)
de las cuales se podría
V borde (kN) = 23.13
23.13
V u = 1.5V
34.70
34.70
<l>vc=
18.73
18.73
15.97
15.97
1.69
1.69
diseñar
para fuerza cortante. L os resultados allí
obtenidos corresponden a la figura 7.11.
=
S (m)
=
Estribos:
ii
£i
>3
De igual m anera que en el problem a 7.3, a partir de los m om entos se obtiene
la posición exacta de las líneas de fluencia positivas en el panel bajo
consideración y adem ás las cargas que v an a los diferentes apoyos a partir
3.925*0.85*7.21
13 e
=24.05
24.05
(j)14 ”c/0.15
+ s <j>V \
"
c/0.35 hasta donde exista refuerzo superior
365
ídem
Estructuras de C oncreto I
3.54*0.85*7.21 = 21.69
V borde (kN) = 20.77
Estribos:
II
1
>°
>3
S (m) =
31.16
0. 80
20.77
li © ■
31.16
3-
18.14
18.14
13.02
13.02
1.48
□
}
1.48
Vigueta luz mayor
V u = 1.5V
21.69
11 s <j> l/4 ' c/0.15
ídem
+ e <j> 1/4” c/0.35 hasta donde exista refuerzo superior
A continuación se detalla el refuerzo correspondiente:
0
d
-
F ig u ra 7.12
366
367
10.80
V (kN) =
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
E structuras de C oncreto I
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
N o ta s
1.
2.
3.
En los ejercicios anteriores se han aplicado indiscrim inadam ente U
m étodos de diseño tanto a las losas m acizas com o a las losas nervadas o
aligeradas, con el m antenim iento en este últim o caso de la l0Sela
superior integral con los nervios que se considera un elemento
estructural indispensable para su funcionam iento com o losa.
Para efecto del análisis y diseño estructural de las vigas portantes de la
losa en todo su contorno, su trabajo será el corriente para este tipo de
elem entos estructurales y solo se aclara que las cargas corresponderán a
los diagram as que m uestran la posición exacta de las líneas de fluencia
positivas en los m ódulos bajo consideración.
Finalm ente, y m ientras se avanza en la investigación sobre su
com portam iento estructural, el autor recom ienda para el diseño de losas
de este tipo el em pleo de los dos m étodos antes expuestos, que, unidos
al buen criterio del diseñador, le perm itirán adoptar el detallado final
del refuerzo m ás conveniente.
Losa
'A b a co o sobreespesor
'C ap itel (Tron co de p irám ide o tron co de cono)
^ C o lu m n a
F ig u ra 7.13
A partir de la deform ada de un m ódulo del sistem a, se considera de
particular im portancia el esquem a adjunto con el signo de los m om entos
flectores y su variación en una y otra dirección, observándose que son
siempre negativos (refuerzo superior) alrededor de las colum nas y siem pre
positivos (refuerzo inferior) en el centro de los m ódulos; en los puntos
intermedios será positivo en un sentido y negativo en el sentido ortogonal.
S iste m a s d e lo sa s e n d o s d ir e c c io n e s a p o y a d a s o so p o r ta d a s en
co lu m n a s
C om prende las losas m acizas con o sin capiteles y /o ábacos (fíat píate y fíat
slab) y aligeradas (reticular celulado) que, com o su nom bre lo indica,
transm iten su carga directam ente a las colum nas; para este efecto resulta
m ás apropiado adicionarle a las colum nas un engrasam iento superior
denom inado “c a p itel”, el cual facilita, entre otras funciones, la “captaciónde la carga de la losa por la colum na. Esta característica del sistem a permite
concluir que su funcionam iento y, por tanto su estabilidad, dependen de la
relación losa-colum na, relación esta que en la actualidad todavía se
encuentra en investigación, y que por consiguiente am erita especial
prudencia del diseñador en el tratam iento de este tipo de losas.
368
F ig u ra 7.14
A continuación se tratarán los dos m étodos que trae el R eglam ento
colombiano para el diseño de estos sistem as de losas, en su orden: m étodo
directo de diseño y m étodo del pórtico equivalente, con algunas lim itaciones
y variaciones que debe tener su utilización.
i
E structuras de C oncreto I
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
M é to d o d ir e c to d e d ise ñ o
j
predim ensión del espesor y cargas:
El autor considera que, independientem ente de las lim itaciones que e 1
R eglam ento colom biano para su aplicación, la utilización de este m étorP ^
dirigida a la predim ensión y lím ite del diseño de estos sistem as de I Va
desde el punto de vista de la flexión. C onsiste, entonces, en la obtenció
m edio de una expresión, de la sum a de los valores absolutos del mom P° F
positivo y del prom edio de los m om entos negativos m ayorados para 0 *!!°
dirección; a continuación la repartición de la sum a antes m encionada do i
sistem a de coeficientes en m om entos m ayorados positivos y negativU
finalm ente la distribución por tablas de los m om entos m ayorados negativ ^
y positivos para ser resistidos por las zonas denom inadas franjas dp
colum nas o viguetas de capitel y franjas o viguetas centrales, cuyos anchos
y dem ás especificaciones necesarias para su utilización se detallarán en los
m odelos correspondientes.
U tilizando la T abla C.9.5 (c) del R eglam ento:
P r o b le m a 7.5
Carga viva:
Con el único alcance de un predim ensionam iento, trabajar el módulo
interior típico del esquem a para la utilización de un sistem a de losa maciza
en dos direcciones soportada en colum nas con capiteles (fíat slab), si se
considera que, com o en el problem a 7.1, este m ódulo hace parte de un
sistem a estructural de cubierta de un salón m últiple para un conjunto
habitacional m ultifam iliar con varios m ódulos en am bas direcciones,
utilizando concreto de f c = 21.1 M Pa y acero de refuerzo para f = 420 MPa
en todos los diám etros.
y
Total:
t (mínimo)
33
33 = 0.255 m ~ 0.25 m. Por lo tanto;
Cargas:
Peso propio de la losa:
Alistado y desniveles:
Im perm eabilización:
Afinado cielo raso:
0.25*1.00*1.00*24
0.04*1.00*1.00*22
0 . 0 2 * 1 . 0 0 * 1 . 00* 22
6.00
0.88
0.15
0.44
kN /m 2
kN /m 2
k N /m 2
kN /m 2
7.47 kN /m 2
Sub total carga m uerta:
1.80 kN /m ¿
9.27 kN /m 2
Con esta carga y utilizando un capitel, C, de un 20% de la luz
L(C/L = 0.20) se em plea la siguiente guía, proveniente de R eglam entos
anteriores:
w
t = 0.106L
+ 0.0381
3 L J V fé -*-141
en donde:
L y C estarán en m etros
w en kN /m 2
f c en k N /m 2
t en m etros
.-. t = 0 .1 0 6 * 8 .7 0 * 1
2
—
—
*
0.20
3
t = 0.237m ~ 0.24 m
F igura 7.15
370
371
x
9.27
21100/141
+ 0.0381
Capítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
E structuras de C oncreto I
2.
E sfuerzo cortante
(j)Vc = 0 .7 5 * 0 .0 8 3
Se procede en segundo térm ino, y antes de aplicar el m étodo directo
chequeo del esfuerzo cortante porque en el caso de que los resultad
del m ism o no sean satisfactorios, la solución sería cam biar la
este cam bio se debería acom eter antes del estudio de la flexión.
' 40* 0 .2 1
+ 2 V 2 L Í* 7 .5 4 * 0 .2 1 * 1 0 0 0
7.54
(|)VC= 1407.03 kN
(C) ^,VC = ((> * 0 .3 3 * 7 f;b od = 0 .7 5 * 0 .3 3 * V 2 U * 7 .5 4 * 0 .2 1 * 1 0 0 0
4>VC = 1 7 9 8 .7 8 kN
C hequeo a “d /2 ” del borde del capitel “com o losa en dos direcciones"Por lo tanto <|>VC > V u
A sum iendo d = 0.21 m y un capitel de 1.75 x 1.60 en form a de tronco
de pirám ide, resulta (véase figura 7.16.a):
V = 9.27*8.70*7.85 - 9.27*1.96*1.81 = 600.20 kN
V u = 1.5*600.20 = 900.30 kN
Chequeo a “d ” del borde del capitel “com o v ig a ”:
V = 1/2*8.70*9.27 - (0.875 + 0.21)*9.27 = 30.26 kN
V u = 1.5*30.26 = 45.39 kN
<|>VC debe ser el m enor de:
(j)Vc = <J)* 0 .17-s/ f j b 0d = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 E 1 * 1.00 *0.21*1000
(j)Vc = 122.90 kN
(a) <t>V = 4»* 0.17
,1 + P
donde p= es la relación del lado largo al lado corto de la columna,
la carga concentrada o el área de reacción y b 0 es el perím etro de la
sección critica para cortante:
1/ 2 1 3 * 7 . 5 4 * 0 . 2 1 * 1 0 0 0
4)VC- 0 .7 5 * 0 .1 7 * 1 +
1.96-5-1.81
4)VC= 2640.9 kN
(b) <j)Vc =<l)* 0.083
oyi
Flexión
Con el alcance del enunciado, se estudia la flexión por m edio de la
expresión del R eglam ento a partir de la cual se obtiene “la sum a de los
valores absolutos del m om ento positivo y del prom edio de los
m om entos negativos m ay o rad o s”; para este caso únicam ente en la
dirección de la luz m ayor, por tratarse de sólo una predim ensión:
M _
•+ 2 l / f / b 0d
M0 =
V bo
donde a s es 40 para colum nas interiores, 30 para columnas de
borde y 20 para colum nas esquineras:
n / / 2
9u 2 _n_
en donde:
8
m om ento estático m ayorado total;
qu = carga m ayorada por unidad de área;
i 2 = longitud de la luz transversal a £lf m edida centro a centro de
apoyos;
372
373
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
E structuras de C oncreto I
t n = longitud de la luz libre en la dirección en la cual se
determ inan los m om entos, m edida cara a cara de l0s
apoyos, colum nas, capiteles, m énsulas o m uros.
T eniendo en cuenta que la predim ensión corresponde a un diseño en el
cual se deben considerar cargas gravitacionales y adem ás cargas de
sism o, se recom ienda una variación al significado de £ a , tomándola
com o la distancia entre las intersecciones de la línea central de la losa
con la diagonal a 45° que pasa por el punto de unión entre la columna y
el borde inferior de la losa (figura 7.16.b).
Este m om ento estático total M 0 debe distribuirse com o sigue:
M om ento m ayorado negativo:
M om ento m ayorado positivo:
0.65*884.50 = 574.93 kN-m
0.35*884.50 = 309.57 kN-m
A su vez, estos m om entos deben ser resistidos por las denom inadas
franjas de colum nas y franjas centrales, que para el caso de la losa
maciza en consideración corresponden al esquem a de la figura.
se cció n crític a
Media franja de colum nas
u
Franja
C
o
O
Central
Media franja de colum nas
Figura 7.16.a
Figura 7.16.b
De todas m aneras, este valo r de
P o rta n to :
£n no debe ser m enor que 0.65 t v
q u = 1 .5 *9.27 = 13.91 k N /m 2
i 2 = 7.85 m
£n = 8.70 - 2 * 0 .3 2 5 = 8.05 m
w
Figura 7.17
Para la franja de colum nas las porciones de m om entos m ayorados
negativos y positivos corresponden a los porcentajes establecidos en la
Tabla C. 13.6.4 del R eglam ento colom biano. El resto de los m om entos
m ayorados negativos y positivos se le adjudican a la franja central.
1 3 .9 1 * 7 .8 5 * 8 .052 OG, c n l M
= --------------------------- = 884.50 kN-m
374
375
Capítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
E structuras de C oncreto I
F ranjas de colum nas: b = 3.925;
d = 0.21;
(§>
©
(J)Mn (kN-m) = 0 .7 5 * 5 7 4.93 = 431.20
431.20
0.60*309.57 = 185.74
P=
A s (m2) =
fy sup:
fy inf:
0.002941
0.007201
0-007201
0.002424
0.005935
(15 + 1 5 ) <)>5 /8 ” c /0 .1 3
(15+15) <(, 5/8" c/
d = 0.22;
0.13
4>Mn (máx) = 933.6 kN-m
fyMn (kN-m) =
0 .2 5 * 5 7 4 .9 3 = 143.73
0.40*309.57 = 123.83
P =
0.002052
A s (m2) =
A s m ín =
0.001771
143.73
0.001763
0.002052
QX)Q¥$22
0.001771
0.00 1 8 * 3 .9 2 5 * 0 .2 5 = 0 .0 0 1 7 6 6 m 2
1
con el único alcance de un predim ensionam iento, solucionar el
7.5 para la utilización de un sistem a de losa en dos direcciones,
con bloques de concreto, soportada en colum nas (reticular
con los m ism os m ateriales allí especificados.
predim ensión del espesor y cargas
U tilizando las m ism as norm as que se aplicaron en el problem a anterior
y estim ando un aum ento apreciable del espesor allí obtenido, por
tratarse ahora de una losa nervada, se adopta t = 0.40 m.
Para este espesor de la losa, se escoge una separación de viguetas
dentro de las posibilidades de uso de los bloques de concreto
com erciales, es decir, bloques de 0.85x0.85x0.175 dejando un
recubrim iento de 0.05 m.
En el proceso de efectuar la distribución (figura 7.18) y para el diseño,
se denom ina franja de colum nas la conform ada por las vigas que llegan
al capitel, una de las cuales debe pasar por la colum na, y franja central
la conform ada por las viguetas que no llegan al capitel. La sum a de los
anchos de las vigas que llegan al capitel debe ser aproxim adam ente
igual a la sum a de los anchos de las viguetas que no llegan al capitel.
2 6 4> 3 /8 ” c/0.145
26 4> 3 /8 ” c /0 .1 4 5
25 4> 3 /8 ” c /0 .1 5 __
También
roblema
aligerada
celulado)
0-005935
(10+10)4)1/2 ”c /0 .1 9 5 ____ (10+10)4)1/2 ”c /0 .1 9 5 ____ (10+10)4>l/2"c/0.195
Franja central: b = 3.925;
fy sup =
fy in f =
problem a 7.6
<J)Mn (máx) = 850.7 kN
254» 3 /8 ” c /0 .1 5 .
25 4> 3 /8 ” c/0.15
A l térm ino de la predim ensión se concluye que el espesor de losa
adoptado es apropiado y a que funciona correctam ente la fuerza
cortante, y por flexión la arm adura positiva de la franja central resulta
m uy próxim a a la arm adura m ínim a; sin em bargo, se debe tener en
cuenta que la predim ensión se trabajó únicam ente en el sentido de la
luz m ayor.
377
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
Estructuras de C oncreto I
Distribución de bloques y viguetas en el sentido 2-3:
, v ‘gasde
columnas o franj.
de columnas
3 viguetas de capitel x 0.20 m
6 viguetas centrales x 0.10 m
8 bloques de 0.85 x 0.85 x 0.175 (tapa y fondo)
1 bloque de 0 .7 0 x 0 .8 5 x 0 .1 7 5 (tapa y fondo)
T otal
=
=
=
=
0.60 m
0.60 m
6.80 m
0.70 m
=
8.70 m
Peso total del m ódulo:
v ‘guetas
centrales o
franja central
[8.70*7.85*0.4 0 -(5 6 -4 ) *0.81 * 0 .8 1 * 0 .3 1 -8 * 0 .7 6 * 0 .8 1 * 0 .3 1 7*0.66* 0 .8 1 * 0 .3 1 - 1*0.66*0.76*0.31]*24 = 333.36 kN
Por tanto:
Cargas:
Vigas de
colum nas o franja
de columnas
Vigas de
co lu m n as o
franja de
co lu m n as
V iguetas
c en tra les o
fran ja c en tra l
Vigas de
co lu m n as o
fran ja de
colum nas
F ig u r a 7.18
D istribución de bloques y viguetas en el sentido B-C:
3 viguetas de capitel x 0.20 m
5 viguetas centrales x 0.10 m
7 bloques de 0.85 x 0.85 x 0.175 (tapa y fondo)
1 bloque de 0.80 x 0.85 x 0.175 (tapa y fondo)
Total
Peso propio de la losa:
Alistado y desniveles:
Im perm eabilización:
Afinado cielo-raso:
3 3 3 .3 6 /(8 .7 0 * 7 .8 5 )
0.04*1.00*1.00*22
0.02*1.00*1.00*22
=
=
=
=
4.88 kN /m 2
0.88 kN /m 2
0.15 kN /m
0.44 kN /m 2
Subtotal carga m uerta:
=
6.35 kN /m 2
Carga viva:
=
1.80 kN /m 2
Total:
=
8.15 kN /m 2
Fuerza cortante
=
=
=
=
0.60 m
0.50 m
5.95 m
0.80 m
Por las m ism as razones expuestas en el problem a anterior, se procede
en segundo térm ino a la revisión de la fuerza cortante.
=
7.85 m
Chequeo a “d /2 ” del borde del capitel “com o losa en dos direccio n es”:
A partir de un capitel de 2.30 x 2.30 y asum iendo d = 0.35 m, resulta:
378
379
C ap itulo / sistem as de losas arm adas en dos direcciones
Estructuras de C oncreto I
V = 8.15*8.70*7.85 - 8.15*(2.65*2.65) = 499.37 kN
£ 2 = 7.85 m
V u = 1.5*499.37 = 749.06 kN
£n = 8.70 - 2*0.40 = 7.90 m
1 2 .2 3 * 7 .8 5 * 7 .902 _ . Q
M
M 0 = ---------------------------= 748.96 kN-m, el cual se distribuye asi:
Para el caso de capiteles cuadrados, el cortante debido a las cargas
ultim as en losas som etidas a flexión en las dos direcciones está limitado
por:
8
M om ento m ayorado negativo: 0.65*748.96
M om ento m ayorado positivo: 0.35*748.96
<})Vc = (})*0.33*^/fJbod = 0 .7 5 * 0 .3 3 * V 2L 1 *12*0.20*0.35*1000
= 486.82 kN-m
= 262.14 kN-m
(})VC = 9 5 4 .2 6 kN
Por lo tanto <j)Vc > Vu
C hequeo a “d ” del borde de la colum na “com o v ig a ”:
V = —*8.70 *8.15 * 7 .8 5 -
0.40
+ 0.35
8 .1 5 * 7 .8 5 = 243.11 kN
2
A su vez, estos m om entos deben ser resistidos por las denom inadas
franjas de colum nas y franjas centrales, que para el caso de la losa
aligerada (reticular celulado) se consideran correspondientes a las vigas
o viguetas de capitel y a las viguetas centrales respectivam ente. Por
tanto:
Franjas de colum nas:
C onstituida por 3 vigas de capitel de b = 0.20,
V u = 1.5*243.11 = 364.67 kN
d ’ = 0.05 y (j)Mn (máx) = 94.20 kN-m respectivam ente
©
í()Vc = (j)*0.17*A/fJ b wd = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2TTT * 1 2 * 0 .2 0 * 0.35 * 1000
<j)Vc = 491.59 kN
Por lo tanto
U tilizando el m ism o procedim iento del problem a anterior, resulta:
OuVn2
121.71
<\>VC> Vu, lo cual significa que es m anejable y esto es
Flexión:
M =
©
<j)Mn (kN-m) = 1/3*0.75*486.82 = 121.71
1/3*0.60*262.14 = 52.43
lo que se pretende dem ostrar en un análisis con el sólo alcance de
una predim ensión.
3.
d = 0.33 y 0.35,
en donde:
qu = 1.5*8.15 = 12.23 k N /m 2
380
0.006099
P=
27.51
AM (kN-m) = 27.51
Asi (m2) =
A s2 (m2) =
0.000899
0.000260
A s total =
0.001159 m2
<|>sup:
4) inf:
l<|>r+2<j>7/8”
l<j>3/4”+l<j>5/8”
0.000899
0.000260
0.000427 m2
2<j)l/2”
l(j)3/4”+l(j)5/8”
381
0.001159 m2
l<j>l”+2<l)7/8”
l<{)3/4 ”+14)5/8”
1
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
Estructuras de C oncreto I
Franja central:
C onstituida por 5 viguetas centrales de b = 0.10, d = 0.36 y <j)Mn (má v
= 56.05 kN-m
<3>
<|)Mn (kN-m) = 1 /5* 0 .2 5 * 4 86.82 = 24.34
24.31:
1/5*0.40*262.14 = 20.97
P=
0.005301
0.004524
0.005301
A s (m2) =
0.000191
0.000163
0.000191
<|>sup:
<}>inf:
l(j)l/2 ”+ l(j)3/8”
14>l/2”+ 14)3/8"
14) 1 / 2 ” ________
14)1/2” + 14)3/8”
14)1/2”
A l térm ino de la predim ensión se concluye que tanto el espesor de la losa
com o los anchos adoptados de los elem entos son apropiados, no solamente
por las revisiones del esfuerzo cortante, sino porque perm iten una
colocación correcta del posible refuerzo por flexión. Sin em bargo, como en
el caso de la losa m aciza, puede com pletarse la predim ensión trabajándola
tam bién en el sentido de la luz m enor y de esta m anera tener una visión más
am plia sobre la conveniencia de las secciones y de las cuantías o cantidades
de refuerzo así com o del m ayor o m enor grado de dificultad en su
construcción.
, jaCjo de la colum na. El m om ento de inercia de las vigas-losa en
Ca lauier sección transversal fuera de los nudos o capiteles de colum na se
Clmará como el correspondiente al área bruta de concreto: el m om ento de
101 ia de las v igas-losa desde el centro de la colum na hasta la cara de la
iumna, m énsula o capitel se tom ará igual al m om ento de inercia en la cara
¡je la columna, m énsula o capitel, dividido por la cantidad (1- c2/ ¿ 2 )2 donde
se m iden transversalm ente a la dirección de la luz para la cual se
determinan los m om entos. R especto de las colum nas, su m om ento de
inercia en cualquier sección localizada fuera de los nudos o capiteles se
tomará como el correspondiente al área bruta de concreto: el m om ento de
inercia de la colum na dentro de la viga-losa puede suponerse com o infinito.
Una vez obtenidos los m om entos de las secciones críticas de la viga-losa
para cada pórtico, se distribuirán para la franja o vigas de colum nas y para la
franja o viguetas centrales utilizando los porcentajes establecidos en las
secciones C. 13.6.4, C. 13.6.5, C. 13.6.6, del R eglam ento si se cum ple con los
requisitos de C. 13.6.1.6.
Respecto de las secciones críticas se sugiere una variación para los
momentos m ayorados negativos los cuales no se tom en en el borde de los
apoyos rectilíneos, sino a una distancia del eje de la colum na obtenida
como la intersección de la línea central de la losa con la diagonal a 45° que
pasa por el punto de unión entre la colum na y el borde inferior de la losa,
pero a no m ás de 0 .1 7 5 ^ , m edido desde el centro de la colum na, donde t x
es la distancia entre ejes de colum nas (figura 7.19).
45°
M é to d o de d ise ñ o d e l p ó r tic o e q u iv a le n te
C onsiste en la consideración de la estructura constituida por pórticos
equivalentes tom ados longitudinal y transversalm ente en el edificio sobre
los ejes de las colum nas: cada pórtico está conform ado por una fila de
colum nas o apoyos equivalentes y franjas de losa-viga limitadas
lateralm ente por la línea central de la losa a cada lado del eje de las
colum nas o apoyos. D ebe suponerse que las colum nas o apoyos estén
unidos en la franja de viga-losa m ediante elem entos torsionales
transversales a la dirección del vano para el cual se esta determ inando los
m om entos extendiéndose hasta los ejes centrales a los paneles adyacentes a
382
sO. 175¿i
F ig u ra 7.19
A continuación un ejem plo de aplicación de lo anteriorm ente expuesto.
383
E structuras de C oncreto I
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
P r o b le m a 7.7
Pórtico E jes 2-3:
D iseñar el m ódulo interior típico del esquem a correspondiente al problema
7.5 para la utilización de un sistem a de losa m aciza en dos direcciones
soportada en colum nas con capiteles (fíat slab), si se considera que hace
parte de una estructura de cubierta de un salón m últiple para un conjunto
habitacional m ultifam iliar con tres m ódulos en am bas direcciones
utilizando concreto de f'c = 21.1 M Pa y acero de refuerzo para f y = 420 MPa
en todos los diám etros, y suponiendo que se utilizará un sistem a estructural
de pórticos con capacidad m oderada de disipación de energía (DMO) en una
zona de am enaza sísm ica interm edia.
12,27x0,25
le
|
12,27x0,25 12,27x0,25
El
(D
\n
0.40x0,40
□
Ó
0,875
.
12,27x0,25 12,27x0,25
0,875
.
© © ©
12,27x0,25
PU
ID
40x0,40
Ó
6,95
|- lo I
ÚU
ID
0,40x0,40
. 0,875
O ©
I
PU
O
6,95
|g
HD
. 0,875
0,875
.
6,95
© O ©
.
0,875
Ó
© 0
F ig u ra 7.20
S o lu ció n
Se utiliza la predim ensión del problem a 7.5 con el m ism o espesor de 0.25 m
para el diseño por la aplicación del m étodo del pórtico equivalente.
w = 9.27*7.85 = 72.77 kN /m
Inercia luz
Cargas
Peso propio losa:
alistado y desniveles:
im perm eabilización:
afinado cieloraso:
0.25*1.00*1.00*24
0.04*1.00*1.00*22
=
=
0 .02 * 1.0 0 * 1.00*22
=
=
7.85x0.25
6.00 kN/m2
0.88 kN/m2
0.15 kN/m2
0.44 kN/m2
Inercia capitel
7.85
^capitel
/-
7.47 kN/m2
Sub total carga m uerta:
I luz: C orrespondiente a una viga-losa de sección
\2
C arga viva:
1.80 kN/m2
Total:
9.27 kN/m2
f x 1.75
i - —
V
7.85
xO. 25 =
\2
xO. 25 = 1 2 .2 7 x 0 .2 5
8.70
^2 J
Pórtico E jes B-C:
2)
O ~ ~ © 8 .7 to 0 .2 5
13,59x0,25
fc I
A nálisis estructural
13,59x0,25 13,59x0,25
El
U tilizando un m étodo apropiado de análisis estructural, se
procesan los pórticos equivalentes correspondientes a los ejes 2-3
y B-C con inercias variables para la viga-losa, de acuerdo con los
esquem as siguientes:
ID
El
0,40x0,40
|?
Ó
0
O
s
13,59x0,25 13,59x0,25
I
LJ
E]
.
6,10
0,875
0,875
7,85
@
0,875
0
©
©
385
------ Q
13,59x0,25
E
[4 ^ ]
6,10
0,875
O
7,85
F ig u ra 7.21
384
0,875
7,85
©
lio I
0,40x0,40
©
6,10
^ 0 ,2 5 ©
El
ID
I 0,40x0,40
0,40
©
0,875
Q
|q
0
©
©
O
"
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
2
w = 9.27*8.70 = 80.65 kN /m
-24.3
-24.3
399.1
399.1
295.0
295.0
343.6
343.6
3
I luz: C orrespondiente a una viga-losa de sección 8.70 x 0.25
4
8.70
,
capitel
n2
8.70
x 0 .2 5 =
'
5
x 0 .2 5 = 13.59x0.25
1
2
R esultados:
3
4
C o m p a n y : JORGE SEGURA FRANCO
P r o j e c t : E s t r u c t u r a s de C o n c re to
I - P r o b 7 . 7 - P o r t 2y 3
10:38:38
5
22- 01-2011
386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386
386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386
386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386
386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386
2
-
1
b
2
3
L O A D
C O M B I N A T I O N S
4
No
Load c o m b i n a t i o n
ÁÁÁÁÁA
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
5
OT
EQ
1 . 50T
1 . 2 0 T + EQ
1 . 2 0 T - EQ
KN,
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
-130.5
112.1
119.0
-233 . 0
-35.3
-74.3
225.7
-298.6
-18.1
-18.1
-72.3
-72 .3
-27.1
-27 .1
-94 . 0
-94.0
50.6
50.6
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
-23.8
46.4
-143.3
137 . 0
-35.7
69.6
-171.8
192.6
114.8
-81.4
68 3 . 6
6 83 . 6
-11.7
-11.7
1025.3
1025.3
808.6
808.6
831.9
831.9
18.1
18.1
- 7 2 .3
- 7 2 .3
27 . 1
27 . 1
-50.6
-50.6
94.0
94.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
23.8
-46.4
-143 .3
137.0
35.6
-69.5
-114 . 8
81.4
171.8
-192.7
266.1
266.1
24.3
24 . 3
399.1
399.1
343 .6
343 .6
295.0
295.0
-60.6
-60.6
-62.6
-62.6
-90 . 8
-90.8
-135.3
-135.3
-10.1
-10.1
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
-79.3
155.4
-130.5
11 2 . 1
-119.0
233.1
-225.7
298.6
35.3
74.3
1
2 - A
2
4
- Column End F o r c e s
5
Units:
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
68 3 . 6
68 3 . 6
11.7
11.7
1025.3
1025.3
831.9
831.9
808.6
808.6
3
]? L i n e a r A n a l y s i s
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
L60'
7.85
^2 y
-62.6
-62.6
90. 8
90. 8
10.1
10.1
135.3
135.3
KN-m
BOTTOM
TOP
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAAAA
Column
Stry
Load
Axial
Axial
Shear2
Shear2
Shear3
Shear3
Torque
Torque
Mom-2
Mom-2
Mom-3
Mom-3
Linear Analysis
U nits:
KN,
- Be a m E n d F o r c e s
KN-m
ÁÁÁAAAAÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁAÁAÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁÁAAA
2 - D
1
1
266.1
266.1
60.6
60.6
0.0
0.0
386
0.0
0.0
0.0
0.0
79.3
-155.4
END
END
I
J
X/ L = 0 . 0
X/ L = 1 . 0
387
M2 ( + ) ma x
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
Estructuras de C oncreto I
2(BD'cI)
ÁÁÁÁAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAÁÁÁÁÁÁÁÁAÁA £
Beam
F l o o r Load Axl
Shr2
Shr3 Torque
M2
M3
Axl
Shr2
Shr3 Torque
M2
M3
2
2
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁÁÁÁAAAAA
2 (A-AD)
2
1
2
3
4
5
60
60
58
58
90
90
13 0
130
14
14
.6
.6
.1
.1
.8
.8
.8
.8
.6
.6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
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-251 .5
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- Column End F o r c e s
KN-m
2
C o m p a n y : JORGE SEGURA FRANCO
P r o j e c t : E s t r u c t u r a s de C o n c r e t o I - P r o b 7 . 7 - P o r t
05-08-1999
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29.1
391
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
E structuras de C oncreto I
5
- i
22 . 2
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-53 .9
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837.8
263 . 0
263.0
27 . 4
27.4
394.5
394.5
343.0
343.0
288.2
288.2
-47.7
-47.7
- 63 .3
- 63 .3
-71. 5
-71. 5
-120.5
-120.5
6.1
6.1
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
1
2
3
4
5
1
'56.9
117.9
90.9
154.5
■182.0
0.0
0.0
0.0
0.0
2
3
4
'62.5
12 2 . 3
' 130. 2
H5 . 1
' 93.7
183. 4
5
B(2-2D)
2
1
-205. 2
261. 9
2
55. 3
31 . 7
3
4
Linear
Units:
KN,
Analysis
-
Beam End F o r c e s
5
KN- m
END
END
I
J
M2( + )max
X/L = 0 . 0
X/L = 1 . 0
B( 2D- 3I )
2
2
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAA
Beam
F l o o r Load
Axl
Shr2
Shr3 T o r q u e
M2
M3
M2
x/L
Axl
Shr2
Shr3 T o r q u e
M2
M3
3
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁA
B(1-1D)
2
1
2
3
4
5
B( 1D-2I)
2
1
2
47. .7
47. .7
58, .3
58. .3
71. .5
71. .5
115. .5
115. . 5
- 1 . .1
- 1 . .1
0 .0
0. 0
0. 0
0. .0
0 ..0
0. . 0
0. . 0
0. .0
0 .0
0..0
-246. 9
-192 . 4
-27 . 4
-27. 4
- 3 7 0 . .3
-288 . 7
- 3 2 3 ..7
-258. 3
- 2 6 8 . .8
- 2 0 3 .. 5
0. 0
0. 0
0. 0
0. .0
0 ..0
0 ..0
0 .. 0
0. .0
0. .0
0. .0
- 7 7 ..2
71. . 0
- 1 1 7 ..5
- 9 9 . ,0
- 1 1 5 . .9
106. .5
- 2 1 0 . .2
-13 . 8
24 . 8
184 ..2
.7
.7
0..0
0 ,.0
0.. 0
0.. 0
0.. 0
0.. 0
0 .0
0 .0
0 .0
0 .0
- 1 9 2 ..4
299 . 5
- 2 7 ..4
- 2 7 . .4
- 2 8 8 . .6
0..0
0 ,. 0
0.. 0
0..0
0..0
0..0
0.. 0
0.. 0
0 .0
0 .0
71. .0
- 25 5. .6
- 99. .0
68 .2
106 . 5
- 3 8 3 .4
47
47
18
18
3
4
5
71
75
75
38
38
.3
.3
.5
.5
.5
.5
.9
.9
449. . 3
- 2 5 8 .3
332 . 0
- 203 .5
386 . 8
392
0. 0
0. .0
0. .0
0. .0
0. .0
0. . 0
0 ..0
0. .0
0. .0
0 .. 0
1
4
71. 0
1.0
0. .0
0.0
106. .5
1.0
0..0
0.0
2
184. .2
1.0
3
5
B( 3I -3)
2
1
4
- 13
-238
184
-374
.8
.5
.2
.9
0.,0
0.. 0
0..0
0..0
0..0
0..0
0.. 0
0 .0
0 .0
0 .0
300 .5
0.4
5
68 .2
1.0
450 . 7
0.4
330 .7
0.45
2
398 . 1
0.35
3
B (3 - 3 D)
2
1
0
0
0
0
- 2 5 5 . .6
- 4 7 6 . .2
68. .2
86. ,7
-383 .4
- 7 1 4 ..3
- 2 3 8 .,5
- 4 8 4 . .7
- 3 7 4 . .9
- 6 5 8 . .1
0. .0
0..0
0. .0
0. .0
0..0
0. .0
0. .0
0. .0
0. .0
0. 0
- 3 0 0 . .4
- 2 4 6 . .0
- 1 3 ..6
- 1 3 ..6
- 4 5 0 .. 6
-369..0
-374..1
- 3 0 8 ..8
-347..0
-281..6
0. 0
0. 0
0.0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. .0
- 4 4 7 ..1
- 2 6 2 ..7
-50., 5
- 4 1 . ,3
- 6 7 0 . .7
-394.
- 5 8 7 . .0
-356., 5
- 4 8 6 . .0
- 2 7 3 ., 9
0. .0
0..0
0. .0
0. .0
0. .0
0..0
0 ..0
0 ..0
0. . 0
0. .0
0. .0
0 ..0
0. . 0
0. .0
0. .0
0. ,0
0. .0
0. ,0
0..0
0..0
- 2 4 6 . .0
2 4 6. .0
- 1 3 . .6
- 1 3 ..6
- 3 6 9 . ,0
369. .0
- 3 0 8 .,7
2 8 1. .6
- 2 8 1 . .6
308 ,. 7
0. .0
0. .0
0 ..0
0 ..0
0. . 0
0. .0
0. .0
0. . 0
0. .0
0. .0
- 2 6 2 . ,7
- 2 6 2 ,.7
0..0
0..0
0..0
0..0
0..0
0.. 0
0.. 0
0.. 0
0 .0
0 .0
246. .0
300. .4
-13 . 6
- 1 3 . .6
369. . 0
450. . 6
281 . 6
347 . 0
308 .7
374 . 1
47 . 7
47 . 7
-21. 6
-21. 6
71 . 5
71 . 5
35 . 6
35 . 6
78 . 9
78 . 9
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0 .0
2 9 9 . .5
3 5 4. .0
- 2 7 . .4
- 2 7 . .4
44 9 ..3
5 3 1. .0
3 3 2. .0
3 9 7. .4
32 . 9
32 . 9
40 . 0
40 . .0
49 . .3
49 ..3
79 ..4
79 . .4
- 0 . .5
-0..5
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. .0
0 ..0
32. . 9
32. .9
0. .0
0. .0
49 ..3
49. .3
39. ,4
39. .4
39. .4
39. .4
32 ..9
32. .9
- 4 0 . .0
- 40. .0
49. .3
49 .3
-0 . 5
- 0 .5
79 . 4
79 . 4
47
47
21
21
71
71
.7
.7
.6
.6
.5
.5
0
0
0
0
0
0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
38 6 ..8
452 ..2
-354
-299
- 27
- 27
-531
-449
.0
.5
.4
.4
.0
.3
393
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0
0
0
0
0
0
0. .0
0. 0
86 . 7
1. 0
0. .0
0. .0
0.
0.
0.
0.
0. .0
0. 0
0. .0
0. .0
0. .0
0. .0
0. .0
0. .0
0. .0
0 ..0
0. .0
0. .0
0 ..0
0. .0
0. . 0
0. .0
112. .5
0. .5
- 4 1 . ,3
41. .3
- 3 9 4 . .0
- 3 9 4 ..0
-356,. 5
- 2 7 3 ..9
- 2 7 3 ..9
- 3 5 6 . .5
0..0
0. .0
0..0
0..0
0..0
0..0
0.. 0
0.. 0
41. .3
.0
168. .7
0., 5
134 ..9
0..5
134. .9
0 ..5
0..0
0.. 0
0..0
0 .0
0..0
0..0
0.. 0
0.. 0
0..0
0..0
- 2 6 2 . .7
- 447. . 1
41. .3
50. .5
- 394 .0
-670 . 6
- 273 .9
- 486 .0
-356 . 5
-587 . 0
0.. 0
0.. 0
0..0
0. .0
0..0
0..0
0.. 0
0.. 0
0.. 0
0.. 0
0..0
0..0
50. . 5
1. .0
0.. 0
0..0
0 .0
0..0
0 .0
0.. 0
0.. 0
0.. 0
0.. 0
0.. 0
0 .0
0 .0
-476
-255
-86
-68
-714
- 383
0 .0
0 .0
0 .0
0 .0
0 .0
0 .0
.2
.6
.7
.2
.3
.4
0
0
0
0
0
0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
Estructuras de C oncreto I
4
1
47 ,.7
47 , 7
2
- 1 8 ..3
- 1 8 . .3
71. . 5
71, . 5
38. . 9
38. , 9
75. .5
75. .5
3
4
5
2
3
4
5
£ Linear
Support
0.. 0
0.. 0
0..0
47 ..7
47. .7
- 5 8 . ,3
- 5 8 . .3
71 . 5
71. . 5
-1
-1
115 . 5
11.5 . 5
1
B ¡41-4'
0..0
0.. 0
0. . 0
0, ,0
78 .. 9
78 ..9
35. .6
35. .6
5
B ( 3D-4I
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
- 4 5 2 . .2
-386., 8
- 3 9 7 ..4
- 3 3 2 . ,0
-299.. 5
192 .,4
- 2 7 ..4
- 2 7 .,4
0..0
0.. 0
0. ,0
0. .0
0., 0
0.. 0
0..0
0 .. 0
0 .. 0
0., 0
0.. 0
0. . 0
0..0
- 4 4 9 ,.3
28 8 .. 6
-386.. 8
203 .. 5
-332.. 0
25 8 . 3
0..0
0,.0
0.,0
0. . 0
0.. 0
0 ..0
0.,0
0 ,. 0
0.. 0
0..0
0..0
0.. 0
0..0
0.. 0
0..0
0.. 0
0.. 0
0 . .0
192 ..4
246. .9
- 2 7 ..4
- 2 7 ..4
288. . 6
370. .3
203 . 5
268. . 8
258. .3
323. .7
0.. 0
0..0
0 ,. 0
0.. 0
0.. 0
0..0
0..0
0.. 0
0 . .0
0 . .0
Analysis
Load
-
Support
Forcé
- 6 5 8 . .1
- 3 7 4 . .9
-484. 7
- 2 3 8 .. 5
0..0
0..0
0. .0
0. 0
0. .0
0. .0
0.0
0.0
- 2 5 5 . ,6
71. .0
- 6 8 .,2
99. .0
- 3 8 3 . .4
106. . 5
- 3 7 4 ..9
184 .,2
- 2 3 8 . ,5
- 1 3 .. 8
0..0
0..0
0..0
0..0
0..0
0 ..0
0. .0
0 ..0
0. .0
0 ..0
300. .5
n c
u.6
99. .0
1
n
1 -0
450. .7
0 •í0;
u
71, .0
- 7 7 , ,2
99. .0
117 ..5
106 .. 5
- 1 1 5 .. 9
184 ..2
24. . 8
-13 . 8
- 2 1 0 , .2
0..0
0. .0
0 .,0
0. .0
0..0
0..0
0.. 0
0 ..0
0 . .0
0 . .0
71 .0
398. .1
330. .7
Stry
LdCo mb
Fx
Fy
Mx
2
3
Gr ound
117 .5
1.0
106 . 5
1.0
184 .2
1.0
0 .0
0.0
(KN-m)
My
Ground
Gr ound
686.65
-13.86
1029.97
810.12
837.84
0. 00
0. 00
0. 00
0. 00
0. 00
-19.43
141.20
- 2 9 . 14
117.89
-164.52
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
686.65
13.86
1029.978
0. 00
0. 00
0. 00
19.43
141.20
29.14
0.00
0.00
0.00
1
2
3
4
5
-14.80
71.65
- 2 2 . 21
55.88
-89.41
0. 00
0. 00
0. 00
0. 00
0. 00
1
2
3
14.80
71.65
22 . 21
0. 00
0. 00
0. 00
394
0 . 00
1
2
3
4
5
- 4 7 , . 67
63. . 31
- 7 1 . . 51
- 6 . . 10
- 1 2 0 . . 50
0. , 00
0. . 00
0. . 00
0. 00
0. 00
263 .. 01
- 2 7 . . 41
3 9 4. .52
288 .. 19
343 ..02
0. . 00
- 6 2 .. 47
130. . 25
- 9 3 .. 71
55. .29
- 2 0 5 ..21
0. .00
0. .00
0. 00
0. 00
0., 00
0. , 00
0. . 00
0. . 00
0..00
D iseño Estructural:
Ms =
-5 3 0 .0 1-491.5
135.2
9
-491.5 1-530.0
86.31-52.3
52.31-86.3
Muv = 1.5M v
-795.0 1-737.3
-737.3 í -795.0
1.2M v+ M s =
-5 4 9 .7 1-642.1
-537.5 j -722.3
1.2M v—M s =
-722.31-537.5
-642.1! -549.7
Se adopta (j)Mn =
795.0
795.0
Mz
0. 00
0. 00
0. 00
63 . 31
71.51
120.52
-6.10
0. 00
0. . 00
0. . 00
(§ )
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
263.01
27.41
394.52
343.02
288.19
47.67
164 . 52
- 1 1 7 . . 88
1.0
62 . 47
130 . 25
93.71
205.21
-55.29
0. 00
0. 00
0. 00
0. 00
0. 00
1
2
3
4
5
0 . 00
0.. 00
a. Sentido B -C (Pórtico equivalente ejes 2-3):
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
1
837 . 84
810. . 12
Mv =
Mo me nt
Fz
0.. 00
0.. 00
0.55
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁMÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁMÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ
Axis
3)
89. . 41
- 5 3 . . 89
0.65
Reactions
( KN)
G ro u n d
4
5
M v en sección
de diseño =
419.3
135.2
419.3
<j>Mn =
629.0
202.8
629.0
i
Vv =
352.5 |-3 0 2 .0
302.0! -352.5
j
Vs =
-24.31-12.6
-12.6 í-24.3
V u v = 1 .5 V v =
528.8,1-453.0
453.0; -528.8
|
0 .7 5 x l.5 V v + 2 V s = 348.0 -1365.0
395
3 1 4 .6 Í -445.2
i
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
Estructuras de C oncreto I
©
0 .7 5 x l.5 V v -2 V s =
445.2
Se adopta Vu =
314.6
365.0 -348.0
453.0
453.0
Vv en sección
de diseño =
272.2
272.2
Vu =
408.3
408.3
(p>
. ^ n (kN-m) =
P=
0.001146
0.002252
0.001944
0.0J>f209
0.001944
As mín = 0.0018*3.925*0.25 = 0.001766
Superior:
Inferior:
28 (J>3/8 c/0.135
25 (J. 3/8,” c/0.15______25 <|>3/8” c/0.15
28 <j) 3/8” c/0.135
_ 25 (j) 3/8” c/0.15
dos direcciones.
0.60*202.8 = 121.7
471.8
0.00190
0.007954
15¿3
Revisión de la fuerza cortante a “d /2 ” del borde del capitel com o losa en
<j)Mn (máx) = 748.6 kN-m
0.75*629^0 = 471.8
0.40*202.8 = 81.1
0.002252
As (m2) =
9
(j)Mn (kN-m) =
0.25*629.0 = 157.3
Ps
4
Franja de colum nas
b = 3.925;
d = 0.21;
©
Aunque esta verificación y a se había efectuado al predim ensionar en el
problema 7.5, ahora se hace com o una rutina del diseño utilizando el m ism o
capitel de 1.75 x 1.60 m etros.
O.OÓ7954
V = 9.27*8.70*7.85 - 9.27*1.96*1.81 = 600.20 kN
A s (m2) =
0.006556
0.Q&Í566
0.0Ó6553
S A, mín = 0.0018*3.925*0.25 = 0.001766
(j) Superior:
33 <|>5/8” c/0.12
<\>Inferior:
14 <j) 1/2” c/0.30
V u (kN) =
408.3
18 <{>3/8” c/0.24
14 <j) 1/2”c/0 .3 0
V u = 1.5*600.20 = 900.30 kN
33 <j>5/8 c/0.12
(f>Vc debe ser el m enor de:
14 <|> 1/2’ c/0.30
( a H V c = < r 0 . 1 7 * [ u j f ) V C b od
408.3
(|)VC = 4 )*0.17V fJb d = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 0 * 3 .9 2 5 * 0 .2 1 * 1 0 0 0 = 482.37 kN
donde p= es la relación del lado largo al lado corto de la colum na, la
carga concentrada o el área de reacción y b 0 es el perím etro de la
sección critica para cortante:
*VC> V U
V 2TTT * 7 .5 4 * 0 .2 1 * 1000
<t>Vc = 0.75 * 0 .1 7 ; 1+
1.96-5-1.81
Franja central
b = 3.925;
d = 0.22;
<\>Mn (máx) = 821.6 kN-m
396
d>V = 2640.9 kN
397
Estructuras de C oncreto I
(b) <t)Vc = r
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
0.083 * í ^ ¿ + 2 W b 0d
l b«
(?)
)
donde cts es 40 para colum nas interiores, 30 para colum nas de borde
20 para colum nas esquineras:
(W = 0 .7 5 * 0 .0 8 3 :
40* 0 .2 1
7.54
+ 2 v 2 L l * 7.54 *0.21*1000
<j)Vc = 1407.03 kN
(c) <J)VC = (()*0.33*^ /fjb 0d = 0 .7 5 * 0 .3 3 * V 2 L l * 7.54*0.21 *1000
Q
Vv =
354.0 -300.4
300.4 -354.0
Vs =
-27.4 -13.6
-13.6 -27.4
Vuv = 1.5V v =
531.0 -450.6
450.6 -531.0
0 .7 5 x 1 .5 V v + 2 V s=
343.5 -365.2
310.8 -453.1
0 .7 5 x 1 .5V v - 2 V s =
453.1 -310.8
365.2 -343.5
<j>V = 1 7 9 8 .7 8 kN
Se adopta V u =
P or lo tanto <})VC > Vu
b)
450.6
de diseño =
267.3
267.3
Vu =
401.0
401.0
Vv en sección
Sentido 2-3 (Pórtico equivalente ejes B-C)
0)
Mv =
450.6
(3 )
-476.2 -447.0
112.5
-447.0 -476.2
<jjVc = <|)*0.17v/f jb d = 0 .7 5 * 0 .1 7 * \ / 2 L Í * 4 .3 5 * 0 .2 1 * 1 0 0 0
Ms =
50.5 -86.7
86.7 -50.5
M uv = 1 .5 M v =
-714.2 -670.6
-670.6 -714.2
1 .2 M v + M s =
-484.7 -587.0
-486.0
1 .2 M v —M s =
-658.1 -486.0
-587.0 -484.7
71 4.2
714 .2
<(iVc = 534.60 kN
♦Vc > Vu
Se adopta <t>Mn =
658.1
Franjas de colum nas
b = 4.35; d = 0.21;
<|>Mn (máx) = 829.7 N-m
q>
M v en sección
112.5
365 .2
(|)Mn (kN-m) = 0.75*547.8 = 410.9
547 .8
168.8
547 8
p=
ii
365 .2
c
S
-e
9
de diseño =
398
0.006105
0.60*168.8 = 101.3
0.001424
399
410.9
0.006105
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
E structuras de C oncreto I
Q)
A s (m2) =
(3 )
O.OfXm
0.005577
0.005577
I As mín = 0.0018*4.35*0.25 = 0.001958
|
(f Superior:
28 <j>5/8” c/0.16
14 <j>3/8”c/0.32
28 <j>5/8” c/0.16
<\>Inferior:
16<j> 1/2”c/0.29
16 (j> 1/2”c/0.29
16 <(> l/2 ” c/0.29
V u (kN ) =
1401.0
401.0
F ranja central
b = 4.35;
Franja de Columnas Luz M enor
<1>VC > V U
<j)Mn (máx) = 910.6 kN-m
d = 0.22;
Q>
<j>M„ ( k N - m )
p =
= 0.25*547.8
=
137.0
0.40*168.8
0.001760
=
67.5
0.000855
137.0
0.001760
A s (mz) =
0.001684
0.090618
0.001684
As mín = 0.0018*4.35*0.25 = 0.001958
(j) Superior:
(j> Inferior:
28 <{>3/8” c/0.15
28 <{) 3/8” c/0.15
28 4>3/8” c/0.15 ___ 28 (j) 3/8” c/0.15 ___ 28 <j>3/8 c/0.15
A continuación el detalle del refuerzo:
Figura 7.22a
400
401
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
de C oncreto I
p ro b lem a 7 .8
Resolver el diseño del módulo interior típico del problema 7.7, mediante la
tilizaciónde un sistema de losa aligerada en dos direcciones soportada en
U
0lumnas (reticular celulado), empleando los mismos materiales allí
especificadosy suponiendo lamismazonade amenazasísmica.
Solución
Seusa la predimensión del problema 7.6 para una carga total de w = 8.15
kN/m2yluego se aplica el método del pórtico equivalente.
1
) Análisis estructural
Utilizando un método apropiado de análisis estructural, se procesan los
pórticos equivalentes correspondientes alos ejes 2-3 y B -C con inercias
variables paralaviga-losa deacuerdo alos esquemas siguientes:
Pórticos Ejes 2-3:
23,'2,— >
2,20x0,40
0
2,20x0.40 2,20x0,40
2,20x0,40 2,20x0,40
0
ID
lio
D
GO
Ó
nr~10,40:
□
1,15
6,40
6,40
1,15
1,15
0
0
©
ID
0
0,40x0,40
Ó
6,40
1,15
1,15
8,70
8,70
8,70
0
ID
0,40x0,40
o
Ó
2,20x0,40
11 2 |
D
0
0
©
©
©
F ig u ra 7.23
w=8.15*7.85 =63.98 kN/m
I (luz): Iluz:correspondiente aunaviga-losadesección 1.10x 0.40
I (capitel): Icapitel =
1. 10
1-
„
-x0.40
=
1.10
/ 1_2.3°
c2
V
2y
403
7.85
x0.40 =2.20x0.40
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
Estructuras de C oncreto I
]? L i n e a r A n a l y s i s
Pórticos E jes B-C:
231.21
ynits:
Ig
2,18x0.40
2,18x0,40 2,18x0,40
El
0,40x0,40
O
|q
El
E
El
0,40x0,40
o
1,15
.
5,55
,
1,15
1,15
1,15
5,55
© 0 ©
2,18x0,40
El
0,40x0,40
El
4.00
0.40x0.40
KN,
KN-m
BOTTOM
TOP
.xí^jy^AÁAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAÁÁAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAÁÁÁÁÁAÁ
Column
S t r y Load
Axial
Shear2
Shear3
Torque
Mom-2
Mom-3
Axial
Shear2
Shear3
Torque
Mom-2
Mom-3
^ ^ J iJ iA Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á
1,15
j
7,85
7,85
O ©
,
El
2,18x0,40 2,18x0,40
|
E l El
LJ
E
□
I
5,55
j
U5
o - D
7,85
0 © ©
0©
1
i
2
F ig u r a 7.24
3
4
w = 8.15*8.70 = 70.91 kN /m
5
I (luz): I luz: correspondiente a una viga-losa de sección 1.20 x 0.40
2 -
1 20
C
1-
^ 2
1
1 20
I (capitel): I capW = —- - — - y x 0 .4 0 = - — — — yxO .40 = 2.18 x 0.40
/
\ 2
'
2.30
C2
V
2
3
8.70
J
4
R esultados:
5
C o m p a n y : JORGE SEGURA FRANCO
P r o j e c t : E s t r u c t u r a s de C o n c re to
I - P r o b 7 . 7 - P o r t 2y3
2 - B
1
2
404404404404404404404404404404404404404404404404404404404404404
404404404404404404404404404404404404404404404404404404404404404
404404404404404404404404404404404404404404404404404404404404404
404404404404404404404404404404404404404404404404404400400400400
3
4
C O M B I N A T I O N S
5
No
Load c o m b i n a ti o n
ÁÁAÁÁÁ
ÁÁAÁÁÁÁÁÁAÁÁÁÁÁÁ
2 - A
1
2
3
4
5
OT
EQ
1 . 5 0T
1 . 2 0 T + EQ
1 . 2 Q T - EQ
1
2
3
404
238.4
238.4
-20.3
-20.3
357.7
357.7
265.8
265 . 8
306.4
306.4
74.1
74.1
-52.0
-52.0
111.1
111.1
36.9
36.9
140.9
140.9
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
96.5
-185.1
-110.1
87 . 5
144.7
-277 . 6
5.7
-134.6
225.9
-309.6
596.5
596 . 5
8.7
8.7
89 4 . 8
89 4 . 8
724.5
724.5
707 .1
707 .1
-21.3
-21.3
-63 .6
-63.6
-31.9
-31.9
-89.1
-89.1
38.1
38.1
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
-28.0
52 . 9
-125.3
116.4
-41. 9
79.4
-158.9
179.9
91.8
-52.9
596.5
596.5
-8.7
-8.7
894.8
894.8
707.1
707.1
724.5
724.5
21.3
21.3
-63.6
-63 . 6
31.9
31.9
- 3 8 .1
-38.1
89.1
89.1
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
28.0
-52.9
-125.3
116.4
41. 9
-79.4
-91.8
52.9
158.9
-179.9
238.4
238.4
20.3
20.3
357 .6
357.6
-74.1
-74.1
-52.0
-52.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
-96.5
185.1
-110.1
87.5
-144.7
277.6
10:38:38
22- 01-2011
L O A D
- Column End F o r c e s
- 111. 1
-111.1
405
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
Estructuras de C oncreto I
306.4
306.4
265.8
265.8
-140.9
-140.9
-36.9
-36.9
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
1
2
3
fc> L i n e a r
Units:
KN,
Analysis
-
Beam End F o r c e s
4
5
KN- m
END
END
I
J
X/L = 0 . 0
X/L = 1 . 0
(+)max
AIBD-CI)
2
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAAA
Beam
F l o o r Load
Axl
Shr2
Shr3
Torque
M2
M3
M2
x /l
Axl
Shr2
Shr3
Torque
M2
M3
2
3
á á á á á á á á á á á á á á á á á á á a a á á á á á á á a á á á á á á á á á á á a á á á á á á á á á á á á á á á á á a á á a á á á AAA
2 ( A- AD)
2
1
2
3
4
5
2(AD-BI)
1
2
3
4
5
2 (BI-B)
1
2
3
4
5
74. 1
74. 1
46. . 9
46. .9
111, 1
111,
135. .8
135. .8
42. .0
42 ,.0
0. .0
0. .0
0. ,0
0. .0
0. ,0
0. .0
0. .0
0.. 0
0., 0
0.,0
- 2 2 5 . ,6
- 1 6 4 . .9
- 2 0 . ,3
- 2 0 . ,3
- 3 3 8 . ,5
- 2 4 7 . ,3
-291. , 1
- 2 1 8 . .2
-250., 5
- 1 7 7 ..6
0. . 0
0. .0
0. .0
0. . 0
0. .0
0. .0
0. .0
0 ..0
0. .0
0. .0
- 1 5 3 . .5
32, .0
- 9 3 . .9
- 7 4 . .6
- 2 3 0 . .3
48 ..0
- 2 7 8 .,1
- 3 6 . .2
- 9 0 . .3
113 ..0
0.,0
0.,0
0..0
0..0
0,.0
0,.0
0.,0
0..0
0.,0
0..0
74. .1
74. .1
13 ..5
13 ,.5
111. .1
111. ,1
102 ..4
102 ..4
75. .4
75. .4
0..0
0 .. 0
0 .. 0
0. . 0
0..0
0,. 0
0. . 0
0 . .0
0..0
0 . .0
- 1 6 4 . .9
244 ..6
- 2 0 ..3
- 2 0 . .3
- 2 4 7 ..3
366 ,.9
- 2 1 8 ..2
273 ..2
- 1 7 7 ..6
313 ..8
0. .0
0. .0
0. , 0
0 . .0
0. .0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0 ..0
32. . 0
- 2 2 3 . ,2
- 7 4 . .6
55, .2
48. . 0
- 3 3 4 . .8
- 3 6 . .2
- 2 1 2 ..6
113. .0
- 3 2 3 . .0
0.,0
0. . 0
0. . 0
0 ,,0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0,. 0
0. . 0
0 . .0
74. .1
74. .1
- 20. .0
- 20 .0
111. .1
111. . 1
68 . 9
68 . 9
108 . 9
108 . 9
0 . .0
0..0
0.. 0
0. .0
0. .0
0. .0
0. . 0
0. . 0
0. . 0
0. . 0
244. .6
305. .4
- 2 0 . .3
- 2 0 . .3
366. .9
458. . 1
273. .2
346. .2
313. . 8
386. . 8
406
0 . .0
0 ,.0
0 . .0
0 . .0
0,.0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
- 2 2 3 ..2
-484 .4
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0 ..0
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C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
E structuras de C oncreto I
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75.4
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-
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COn^ e c t -
JORGE SEGURA FRANCO
E structuras
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48 . 0
M B I
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3
4
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(KN-m)
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No
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no40 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9
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Reactions
( KN)
d e C o n c r e t o I - P r o b 7 . 7 - P o r t ByC
8-1999
OT
EQ
1 ; 50T
1 . 2 0 T + EQ
1 . 2 0 T - EQ
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Stry
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Fy
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b
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A
B
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KN,
KN-m
BOTTOM
TOP
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Column
Stry
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Axial
Axial
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Shear2
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Shear3
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Mom- 3
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B- 4
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408
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236.0
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125.1
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898.4
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409
o
D
Gr ound
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3
4
5
Analysis
o
C
Ground
Linear
Estructuras de C oncreto I
4
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C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
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729
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598 . 9
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898. .4
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18. . 1
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27 .. 1
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'62.2
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2
3
4
5
B( 2-2D)
2
1
2
3
£> L i n e a r
Units:
KN,
Analysis
-
Beam End F o r c e s
4
KN- m
5
END
END
I
J
X/L
X/L
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Load
Axl
Axl
Shr2
Shr2
Shr3
Shr3
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2
1
Torque
Torque
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M2
M3
M3
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3
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-96.1
-74.3
-175.9
92 . 2
-236.8
-0.5
-44 . 6
148 . 1
0
5
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0
4
0
3
0
2
60.5
60.5
46.9
46.9
90.7
90.7
119.5
119.5
25.6
25.6
0
2
0
X /L
1
0. .0
0. .0
0 . .0
0 . ,0
- 1 5 4 . .5
239. ,1
- 2 3 ..0
- 2 3 ,. 0
-231, ,7
358. , 7
- 2 0 8 . .3
263 . 9
- 1 6 2 ..4
309. ,8
0 ..0
0.,0
0..0
0..0
0..0
0..0
0. .0
0..0
0. .0
0. ,0
61, .5
- 1 7 3 ..3
- 7 4 ..3
53 . 1
92 ..2
-259.. 9
- 0 . .5
- 1 5 4 , .9
148. 1.
-261. 1
0 . .0
0 , ,0
0..0
0 . ,0
0 . ,0
0 . ,0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
2 3 9. . 1
306. ,4
- 2 3 .,0
-23 . 0
358. , 7
4 5 9. .7
- 1 7 3 . .3
- 4 3 2 . .4
53 ..1
74 . 9
- 2 5 9 . .9
- 6 4 8 . .6
- 1 5 4 . ,9
- 4 4 4 . .0
- 2 6 1 . ,7
- 5 9 3 ..8
0 . .0
0. .0
0. .0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0. .0
0..0
0 . .0
0 . .0
86. . 6
58. , 5
58. .5
0 . .0
0 . .0
0. .0
0 . .0
0 . .0
0. .0
60. . 5
60 .. 5
- 1 8 .. 8
- 1 8 .. 8
90. .7
90 ..7
53 . 7
53 ..7
91. .4
91. .4
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0 ..0
0 ..0
0 ..0
0 . .0
0 ..0
0 . .0
0 .. 0
2 6 3. ,9
344 ..7
3 0 9. ,9
390. .7
0 . ,0
0. .0
0. . 0
0 . .0
0 . .0
0..0
0. . 0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
42 ..4
42 ..4
32 ..9
32 .. 9
63 .. 6
63 .. 6
83. .7
83 .,7
18 . 0
18. .0
0 ..0
0 .. 0
0. .0
0..0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0. .0
- 2 6 4 .,1
- 1 9 6 . ,8
- 1 2 .. 6
- 1 2 . ,6
- 3 9 6 . ,2
- 2 9 5 . ,2
-329., 5
- 2 4 8 . .7
- 3 0 4 ,.4
- 2 2 3 ..6
0 . .0
0 . .0
0..0
0 . .0
0..0
0 . .0
0 . ,0
0 . .0
0. .0
0. .0
- 3 9 2 ..3
- 1 7 3 . .4
- 4 6 . .8
- 3 4 . ,9
- 5 8 8 . .5
- 2 6 0 . .0
- 5 1 7 . .6
- 2 4 2 ..9
- 4 2 4 . ,0
- 1 7 3 .,2
0..0
0 . .0
0 . .0
0..0
0. .0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0 ..0
0. .0
42 ..4
42 .,4
0. ,0
0. .0
63 . 6
63 ., 6
50. ,9
50. .9
50. .9
50. .9
0. .0
0 . .0
0. ,0
0. .0
0 . .0
0 . .0
0..0
0 . .0
0 . ,0
0..0
- 1 9 6 . .8
196, .8
- 1 2 . .6
- 1 2 ..6
- 2 9 5 . ,2
295. .2
-248.,7
223 ..6
- 2 2 3 . .6
248. .7
0 .,0
0. .0
0. .0
0..0
0. .0
0. .0
0..0
0..0
0 . ,0
0 . .0
- 1 7 3 ..4
- 1 7 3 ..4
-34 . 9
34. .9
- 2 6 0 . .0
- 2 6 0 . .0
-242 . 9
- 1 7 3 ..2
- 1 7 3 . .2
- 2 4 2 , ,9
0 ..0
0 . .0
0 . .0
0..0
0. .0
0..0
0. . 0
0 . .0
0.,0
0. . 0
42 ,.4
42 ..4
- 3 2 . .9
- 3 2 ..9
63. .6
63. .6
0 . .0
0..0
0,.0
0. . 0
0 . .0
0 . .0
196. .8
264. ,1
- 1 2 ..6
- 1 2 . .6
295. .2
396. .2
0 . ,0
0 . .0
0,.0
0 ., 0
0 . .0
0 .. 0
-173 . 4
-392 ,3
34. .9
46. .8
- 2 6 0 .. 0
- 5 8 8 . .4
0 ,,0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0..0
0 . .0
229 ..7
0.4
53 ..1
1.0
344. .5
0.4
2 5 4. .4
0.45
303 .. 0
0.35
0 . .0
0.0
74. .9
1.0
0 ,, 0
0.0
0. . 0
0.0
0 .. 0
0.0
0..0
0.0
0.. 0
0.0
0. . 0
0.0
0 . .0
0.0
0 . .0
0.0
99. .7
0.5
34. . 9
1.0
149 . 5
0.5
119. . 8
0.55
119. . 8
0.45
0. . 0
0.0
46. . 8
1.0
0. . 0
0.0
M2 ( + ) max
= 0.0
= 1.0
ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁA
Beam
60. . 5
60 .. 5
14. .0
14 ..0
90. .7
90. .7
86. .6
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
61.5
1.0
4
0. 0
0.0
5
92.2
1.0
0. 0
0.0
148.1
1.0
B ( 31 - 3 )
2
1
2
3
411
Estructuras de C oncreto I
4
5
B ( 3 - 3 D)
1
2
3
4
5
B(3D-4i;
1.
2
3
4
5
B (41-4'
1
2
3
4
5
Capítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
329. . 5
0. . 0
0..0
0..0
0..0
- 1 7 3 ..2
- 42 4. .0
-242 . 9
- 5 1 7 . .6
0..0
0..0
0.. 0
0..0
0.,0
0,.0
0. , 0
0.,0
0. .0
0 .,0
0..0
0 ..0
0. .0
0. .0
- 30 6. .4
- 2 3 9 . .1
- 2 3 .. 0
- 2 3 . .0
- 4 5 9 . .6
- 3 5 8 . .7
- 3 9 0 . .7
- 3 0 9 . .8
-344,. 8
- 2 6 3 .. 9
0.. 0
0.,0
0. ,0
0. ,0
0. .0
0. ,0
0. .0
0. .0
0. , 0
0. .0
- 4 3 2 . .4
-173 . 3
- 7 4 . .9
- 5 3 ..1
- 6 4 8 ..6
- 2 5 9 , .9
-593.. 8
- 2 6 1 . .0
- 4 4 4 . .0
- 1 5 4 ..9
0. . 0
0,,0
0..0
0.,0
0..0
0. ,0
0.,0
0.,0
0. .0
0 ..0
60. .5
60. . 5
- 1 4 . .0
- 1 4 . .0
90. .7
90. 7
58. . 5
58. . 5
86. . 6
86. .6
0. .0
0. . 0
0. .0
0..0
0 ..0
0. .0
0. .0
0. .0
0 ..0
0 ..0
- 2 3 9 . .1
154 ..5
- 2 3 ..0
-23 . 0
- 3 5 8 .,7
2 3 1, ,7
-309.. 8
162. .4
- 2 6 3 ., 9
2 0 8. .3
0 ..0
0. .0
0. .0
0 ..0
0 ..0
0. .0
0. .0
0..0
0. 0
0. 0
- 1 7 3 .,3
61. , 5
-53 . 1
74 .,3
- 2 5 9 . .9
92. .2
- 2 6 1 . .0
148 ..1
- 1 5 4 . ,9
- 0 . .5
60. .5
60 ..5
- 4 6 . .9
- 4 6 . .9
90. 7
90. 7
25 . .6
2 5 . .6
1 1 9. .5
1 1 9. .5
0. .0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
154. . 5
2 2 1. .8
- 2 3 .,0
- 2 3 ..0
2 3 1. , 7
3 3 2. .8
162 ..4
2 4 3. ,2
2 0 8. ,3
2 8 9. ,2
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0. 0
0.0
0. 0
0. 0
0. 0
61. . 5
- 1 1 7 ..3
74 ..3
96. ,1
92 ..2
- 1 7 5 ..9
1 4 8. 1
- 4 4 . .6
- 0 ..5
- 2 3 6 . .8
18 . 0
18. .0
83. .7
83. .7
0. . 0
0..0
0 ..0
0 ,.0
223 . 6
304. . 4
248. . 7
60. .5
60. .5
18. .8
18 ..8
90. ,7
90. 7
91. .4
91. ,4
53 ..7
53 .. 7
p Linear
Analysis
-
Support
0, .0
o. o
0. .0
n n
u.o
0. .0
0
v .n
U
0. .0
0
w • \J0
0. .0
0 0
0..0
0. 0
0. .0
o. o
0. .0
0. ,0
0. . 0
0. .0
0. .0
0. .0
0. .0
0 .. 0
0 ..0
0. .0
229. .7
0. 6
74. .3
1.0
344. .5
0.6
0. .0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
0 . .0
61 .5
1.0
Mv =
-484.4 -435.2
96 .1
1.0
Ms =
74.5 -48.3
92 .2
1.0
G ro u n d
G ro u n d
303. .0 0.65
1
2
3
4
5
60.45
52.58
90.68
125.12
19.97
0. 00
0. 00
0. 00
0. 00
0. 00
412
2)
I
2
3
4
5
- 1 8 . ,07
63 .. 03
- 2 7 ,, 11
41. ,34
- 8 4 . .72
0. .00
0. .00
1
2
3
4
5
18. . 07
63 ..03
27 ,. 11
84. . 72
- 4 1 . . 34
0.. 00
0.. 00
0,. 00
0,. 00
0 .. 00
1
2
3
4
5
- 6 0 . . 45
52. . 58
- 9 0 . . 68
- 1 9 . 97
- 1 2 5 . 12
0. , 00
0. . 00
0. . 00
0. , 00
0. .00
0. ,00
0.. 00
0. . 00
0. 00
0. 00
0. . 00
0. . 00
0. . 00
- 2 3 .. 72
123 .. 32
- 3 5 . . 58
94. . 86
- 1 5 1 . . 78
598 .. 95
10 .. 39
898. . 42
729. . 13
708. . 34
0. . 00
0. . 00
0. . 00
23 .. 72
123 .. 32
35. . 58
151. . 78
- 9 4 . 86
236. . 02
- 2 2 . . 96
354. . 03
260 . 27
306. . 18
0. . 00
598. . 95
- 1 0 . . 39
898. , 43
7 0 8. . 34
7 2 9. . 13
148 .1
0.0
0 .0
1.0
0..0
0. 0
0 .. 00
0. . 00
0.. 00
0 .. 00
0 .. 00
0. . 00
-78
109
-118
15
-204
. 77
. 59
. 15
. 07
. 12
0.
00
0 . 00
0 .. 00
0. . 00
0. . 00
0. . 00
0. . 00
0. . 00
0. . 00
0 .. 00
0. , 00
0. , 00
0. . 00
0. . 00
0. . 00
Diseño E structural
a.
Sentido B -C (Pórtico equivalente ejes 2-3):
254 .4 0.55
©
115.7
-435.2 -484.4
48.3 -74.5
Muv = 1 .5 M v =
-726.6 -652.8
-652.8 -726.6
1.2M v+ M s =
-506.8 -570.5
-474.0 -655.8
1.2M v—M s =
655.8 -474.0
-570.5 -506.8
0. 0
Reactions
Support
Load
F o r c é ( KN)
Mo me nt (KN-m)
ÁÁÁÁÁÁÁÁM ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁAÁÁ
Mv
Mz
Axis
Stry
LdCo mb
Fx
Fy
Fz
Mx
My
AAÁÁÁÁÁÁÁÁAÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁAÁÁÁÁAÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAAAAÁ
Ground
Ground
236.02
22.96
354.03
306.18
260.27
0. 00
0. 00
0. 00
0. 00
0. 00
78 . 7 7
109.59
118.15
204.12
-15.07
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Se adopta (|)Mn =
Mv en sección
726.6
726.6
i
de diseño =
367.4
115.7
367.4
<t>Mn =
551.1
173.6
551.1
Vv =
265.5 Í-305.4
305.4 -265.5
413
E structuras de C oncreto I
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
Vu Por v i 8 a: se distribuye la fuerza de corte proporcionalm ente a las
inercias de los elem entos resistentes que son 3 vigas de capitel y 5
viguetas centrales y aceptando que las vigas de capitel pueden tom ar un
33% m ás de carga que las viguetas centrales. P or lo tanto:
<?>
Vs =
-20.3
V uv = 1 .5 V v =
458.1 -398.3
1- 1 1 . 6
Vu/viga (kN) =
0 .7 5 x l.5 V v + 2 V s = 303.0 -321.9
0 .7 5 x 1 . 5V v - 2 V s = 384.2 -275.5
Se adopta V u =
83.76
- * 3 4 5 .5 * — = 83.76
3
110
4>VC= <(>* 0.17 ^ fjb d = 0.75*0.17*V 2L1 *0.20*0.33*1000 = 38.62 kN
398.3
43.14
4>vs = v u - v c =
43.14
S total (m) =
0.33 + 2.19 + 0.81 = 3.33
V v en sección
de diseño =
230.3
345.5
Vu =
Estribos:
3.33
10 e <}>3/8” c/0.08
ídem
+ s <j>3/8” c/0.16 en el resto de la longitud del elemento
F ranja de colum nas
C onstituida por 3 vigas de capitel de b = 0.20, d = 0.33 y 0.35,
d ’ = 0.05 y (j)Mn (máx) = 94.20 kN-m y 106.0 kN -m respectivamente
Franja central
Constituida por 5 viguetas centrales de
b = 0.10,
d = 0.36
y
<j)Mn (máx) = 56.1 kN-m
(j)Mn (kN-m) =
1/3*0.75*551.1 = 137.8
1/3*0.60*173.6 = 34.7
AM =
A si =
A s2 =
43.6 (para d = 0.33)
0.000899
0.000412
A st =
0.001311
(() Inferior:
V u (kN) =
0.000275
2 <t>5/8”
1 <|>7/8” +2 <)> 1”
1 <j>3/4”+l (}) 5/8”
l<t> 3/4”+ 14> 5/8”
43.6
0.000899
0.000412
414
P =
0.006067
As (m2) =
As m ín (m2) =
0.000218
0.002940
0.000106
0.0033*0.10*0.36 = 0.000119
27.6
0.006067
0.000218
0.001311
(j) Superior:
2 (J) 1 /2 ”
<j>Inferior:
1 (j> 1/2”
2 <|) 1/2”
1 <(>7/8” +2 <i>1”
1 (j>3/4”+ld>5/8
345.51
¡345.5
©
(j)M„ (kN-m) = 1/5*0.25*551.1 =27.6
1/5*0.40*173.6 = 13.9
0.003929 (para d = 0.35)
p =
<j) Superior:
137.8
Vu (kN) =
1 (j) 1/2’
1 <j) 1/2”
345.5
345.5
415
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
E structuras de C oncreto I
V u por vigueta: de acuerdo a la distribución de la fuerza de corte que
presentó para las vigas de la franja de colum nas o capitel, a las vigueta^
de la franja central les corresponde el com plem ento. Por tanto:
V u/vigueta (kN) =
4
60
345.5 — * 3 4 5 .5 * ----3
110
= 18.9
18.9
4>VC= <(>*0.177f;bd = 0.75 * 0.17 * V 2 U * 0 .1 0 *0 .3 6 *1000 = 2 1 .lk N
4V > v u
Estribos:
5 s (j> 1/4” c/0.18
ídem
h e <j> 1/4” c/0.35 h asta donde exista refuerzo superior
A continuación, el refuerzo.
C O R T E A -A
8 .7 0
AiC 2 0 1 / 2
2 0 1 /2
U -------------------------------------------------------------------------- - L --------------
--mu
...................... l i l i
E 0 1 /4
6 C /0 .3 5
t J Al>
5 C /0 .1 8
5 C /0 .1 8
111
111
n
E 0 1 /4
\
1 0 1 /2
i .................... r m i.. i u n í
E 0 1 /4
6 C /0 .3 5
'
'
3 .0 0
L
i ------
6 C /0 .3 5
1 0 1 / 2 L -6 .0 0
1 0 1 / 2 L=6.00
1 0 1 / 2 L = 3.00 '
1 .5 0
1 0 1 /2
___ ;
L
*
300
1 0 1 / 2 L -3 .0 0
L
1.50
*------------------- ’
1 0 1 / 2 L -9 .5 0
j. 0. O j.
|, O.
F r a n ja c e n t r a l (v ig u e ta s c e n t r a l e s 0 .1 0 x 0 .4 0 )
M alla e le c tro s o ld a d a ó
Figura 7.25
416
L
i
*i E 0 , / 4
5 C /0 .1 8 5 C /0 .1 8
6 C /0 .3 5
417
1 0 1 /2
ii
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
E structuras de C oncreto I
Franjas de colum nas
Sentido 2-3 (Pórtico equivalente E jes B-C)
©
Mv =
Ms =
Q )
-432.4 ¡-392.3
99.7
74.9 -46.8
-648.6 -588.4
-588.4|-648.6
1.2Mv+Ms=
-444.01-517.6
-424.01-593.8
1.2M v-M s =
-593.8¡-424.0
-517.61-444.0
648.6
Mv en sección
de diseño =
315.5
99.7
315.5
Mu =
473.3
149.6
473.3
Vv =
306.4Í-264.1
-12.6-23.0
459.6 j-396.2
396.2 -459.6
0.75x1.5 Vv+2Vs = 298.71-322.3
271.9 ¡-390.7
0.75x1.5V v-2V s = 390.7Í-271.9
322.3 ¡-298.7
V uv= 1.5Vv =
Se adopta Vu =
Vv en sección
de diseño =
Vu =
0.35,
©
©
óMn (kN-m) = 1/3*0.75*473.3 = 118.3
i
1/3*0.60*149.6 = 29.9
p =
I
0.003355 (para d = 0.35)
AM=
Asi =
As2 =
18.3
0.000926
0.000167
Ast =
0.001093
118.3
18.3
0.000926
0.000167
0 000235
0.001093
<j) Superior:
3<{) 7/8” _____________ 2 <J>5/8”
3(f> 7/8”
(j>Inferior:
2<j> 5/8” ______________ 2 <j) 5/8”
2<j> 5/8”
264.1Í-306.4
-23.P -12.6
Vs =
d = 0.34 y
tj’ = 0.05 y <j)Mn (máx) = 100.0 y 106.0 kN-m respectivam ente
46.8 -74.9
648.6
b = 0.20,
-392.31-432.4
Muv = 1.5Mv
Se adopta <j)Mn =
Constituidas por 3 vigas de capitel de
Vu (kN) =
¡337.7
337.7 |
Vu/viga (kN) =
! - * 337 .7 *— = 75.04
i 3
1.20
75.04 I
5
(t)V = (|)* 0 .1 7 © 'b d = 'p.75*0.17* V2L1 *0.20*0.33*1000 = 38.62 kN;
(j)Vs = Vu - V c =
¡36.38
36.38 j
S total (m) =
¡0.34 + 1.73 + 0.83 = 2.90
Estribos:
110 s <f) 3/8” c/0.08
ídemj
+ s <j) 3/ 8 ” c/0.17 en el resto de la longitud del elemento
396.2
396.2
225.1
225.1
¡337.7
337.71
418
419
2.90 j
E structuras de C oncreto I
C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones
F ranja central
Refuerzo loseta superior o de recubrim iento:
Utilizando refuerzo para f y = 420 M Pa, resulta:
C onstituida por 6 viguetas centrales de
b = 0 . 10 ,
d = 0.36
(j)Mn (máx) = 56.1 kN-m
As = 0.0018*1.00*0.05 = 0.00009 m 2/m etro.
Arm adura: <|> 1/4” c/0.25 en am bas direcciones.
(D
(D
19 7
<j)M„ (kN-m) = 1/6*0^25*473.3 = 19.7
i
1/6*0.40*149.6 = 10.0
p =
As (m2) =
0.004229
0.002094
0.000152
0.004229
0.090073
0.000207
0.0033*0.10*0.36 = 0.000119
(j) Superior:
l<j)l/2”+ 1^3/8”
Para este caso resultaría útil el em pleo de una m alla electrosoldada, que
tuviera un área m ínim a de alam bre por m etro cuadrado de 90
mm2/m etro en am bas direcciones.
Nota:
Aunque no es aplicable al m ódulo interior típico de los problem as
propuestos, cabe hacer notar al lector la necesidad de tener en cuenta el
análisis y diseño de la torsión en aquellos elem entos que por su
localización sean susceptibles de resistir tales esfuerzos.
l<j>l/2”+ 14)3/8"
A continuación se presenta el detalle con el refuerzo obtenido.
()) Inferior:
1 §1/2” ____
V u (kN) =
V u/vigueta (kN) =
(j)V = <í)*0.17N/fJb d
1 <j> 1 / 2 ”
1 <j>1/ 2"
337.7
337.7
3 3 7 .7 - - * 3 3 7 .7 * —
3
1.20
= 18.76
18.76
0.75 * 0.17 * V 2 U *0.10 *0.36 *1000 = 21.lk N
<t>vc > v u
Estribos:
5 e (j) 1/4” c/0.18
ídem
+ e 4> 1/4” c/0.35 hasta donde exista refuerzo superior
420
421
E structuras de C oncreto I
.
_ 0 .4 0
C apítulo 8 C im entaciones
0.40
Capítulo 8
CIMENTACIONES
M alla e l e c t r o s o l d a d a ó
F igura 7.26
422
Capítulo 8 C im entaciones
E structuras de C oncreto I
C IM E N T A C IO N E S
c denomina cim entación al conjunto de elem entos estructurales
construidos en la base de una estructura con el objeto de transm itir las
cargas de la m ism a al subsuelo de soporte.
Los dos objetivos fundam entales que se buscan en el diseño de una
cimentación son la obtención de asentam ientos lim itados a cantidades
admisibles y que los asentam ientos diferenciales sean m ínim os; esto se
logra si se apoya la estructura en un estrato apropiado y si el tam año de la
fundación es suficiente, todo de acuerdo al estudio de suelos y
recomendaciones de cim entación del especialista correspondiente.
Cuando el estrato de apoyo se localiza inm ediatam ente abajo de la
estructura, se tendrá una cim entación superficial o directa basada en zapatas,
vigas o losas de fundación; en otro caso se tendrá la denom inada
cimentación de profundidad constituida por pilotes o pilares que transm iten
o disipan la carga en estratos profundos. En este capítulo se tratarán estos
dos tipos de cim entaciones, en este orden y sólo desde el punto de vista del
diseño estructural que tales elem entos im plican y con el alcance que
corresponde a los propósitos del presente texto.
C im entaciones s u p e r fic ia le s o d ir ecta s
En el prim er tipo de cim entación, o sea, cim entaciones superficiales o
directas, su diseño se hará a partir de la carga de la colum na o m uro, que si
se considera sim étricam ente distribuida con respecto al cim iento, es decir,
coincidentes el centro de gravedad de las cargas a cim entar con el centro de
gravedad del cim iento el área de cim entación se puede obtener de la división
de la carga total por la presión adm isible adjudicada al terreno. Esta
suposición de uniform idad en la reacción del suelo no es estrictam ente
exacta y variará en una u otra form a dependiendo en parte de las
características del suelo e influyendo especialm ente en la adopción y
aproxim aciones del diseño estructural.
Por otra parte, si el centro de cargas y el del cim iento no coinciden, la
reacción del terreno ya no se puede asim ilar a la uniform e, sino que variará
según la excentricidad, de acuerdo con la figura 8 . 1.
425
____________________________________________________Capítulo 8 C im entaciones
E structuras de C oncreto
En este caso se puede considerar que no solam ente llega al cim iento una
carga vertical P sino tam bién un m om ento M = P-e. Las reacciones del
terreno pueden evaluarse según la expresión:
y Cim entación aislada para colum nas (zapatas):
p
a™* = —
A
L
en donde se denom ina:
A = área de cim entación;
L = dim ensión en el sentido de la excentricidad o flexión.
F ig u ra 8 .2.b
c) C im entación com binada para dos colum nas:
L as clases de cim entaciones superficiales o directas contem pladas en el
presente texto son:
a)
d) Cim entación con viga de contrapeso:
C im entaciones en concreto reforzado para muros:
A continuación se hará referencia a cada una de estas cim entaciones.
Figura 8.2.a
426
Capítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
.
P
Arpa necesaria de cim entación: A = “ ^
a
C im e n ta c ió n en c o n c r e to r e fo r z a d o p a ra m u ro s
U na vez coincidentes los centros de gravedad de las cargas del muro v dei
peso propio del cim iento con el centro de gravedad del cim iento, se dise'
éste com o una viga invertida som etida a la reacción uniform e del terreno
descontándole la reacción correspondiente al peso propio del cimiento no*
considerarse íntegram ente apoyado sobre el estrato de fundación y n0r
tanto, no productor de flexión y cortante. A unque el m om ento Héctor
m áxim o se presenta en el eje del m uro, por la consideración de rigidez del
m uro, el R eglam ento colom biano especifica que el m om ento de diseño debe
calcularse en la cara del m uro para m uros de concreto y en la mitad de la
distancia entre el centro y el borde del m uro para m uros de manipostería
Para determ inar la fuerza de corte se debe calcular a una distancia “d" del
borde del m uro. A continuación un ejem plo de lo anteriorm ente expuesto:
132.0 kN
_ 1Q9
2
in n kN „ T ~ L Ó ¿ m / m
100 k N - m
de l0ngitud
Ancho de cim entación = 1.32 m que se aproxim a a 1.35 m.
Reacción en kN /m 2 productora de flexión y cortante:
Corresponde a la reacción total a la cual se le descuenta la correspondiente
al peso propio del cim iento por considerarlo íntegram ente apoyado sobre el
estrato de fundación y la denom inam os a neta:
a neta = ___— — = ----- 12Q'°—
= 88.89 k N /m 2
a
A rea real 1 .3 5 m * 1 .0 0 m
Flexión:
P r o b le m a 8.1
U n m uro de carga de 0.25 m de espesor en ladrillo tolete macizo de
cerám ica, que conform a una m anipostería confinada, soporta una carga,
incluido su peso propio, de 120 kN /m etro lineal al nivel de la cimentación.
Si la presión adm isible del estrato de fundación es de 0.1 M Pa (100 kN/m2),
diseñar su cim iento utilizando concreto de fc = 21.1 M Pa, acero de refuerzo
para f s = 1 7 0 M Pa en todos los diám etros y n = 9.3.
S o lu c ió n
Inicialm ente se dim ensiona según lo antes expuesto, procediendo luego a su
diseño por flexión y al chequeo de cortante.
Cargas:
C arga del m uro (incluido su peso propio):
Pm
Peso propio del cim iento (se asum e aproxim adam ente
com o el 10% de Pm ):
Total:
P
=
=
=
120.0 kN/m
12.0 kN/m
132.0 kN/m
Se debe calcular en la m itad de la distancia entre el centro y el borde del
muro para un m etro de longitud:
m = 88 .8 9 * 1 .0 0 * 0 .6 1 2 5 2 = 1 6 67 k N .m
2
En la suposición de que no hay lim itación de altura, se adopta la
correspondiente a una arm adura m enor, que para este caso con acero de alta
resistencia puede ser de p = 0 .0020 .
Por tanto:
d = R2 p í Vb
d = 0 . 0 5 5 9 * . = 0 .2 2 8 m ~ 0.23 m.
V 1.00
Utilizando la especificación del recubrim iento en 75 m m para concreto
colocado directam ente sobre el suelo, el espesor resulta de 0.31 m que se
aproxima a 0.35 m.
428
con k2 = 0.0559 para p = 0.0020
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 8 C im entaciones
x
0 1 0 * 0 29 = 0.058 m ~0.06 m .
0.50
d = 0 . 2 6 - (0 .1 0 - 0 .0 6 ) = 0 .2 2 m
^
= <)>0.17 N/ f J b 0d = 0 . 7 5 * 0 . 1 7 * \ / 2 L l * 1 .0 * 0 .2 2 * 1 0 0 0 = 128. 7 5 kN
v„ < * v c
1.35
1
X
!
Figura 8.3
u—
Por consiguiente, el nuevo “d ” resulta de 0.26 m, que im plica un refuerzo
m enor de A s = 0.0020*1.00*0.26 = 0.00052 m 2. Sin em bargo, esta armadura
no puede ser inferior al requerim iento para arm adura m ínim a en losas de
espesor uniform e, que para este tipo resulta de:
A s m ínim o = 0.0018*1.00*0.35 = 0.00063 m 2/m ~ 630 m m 2/m
.-. A rm adura transversal:
<|>3 /8 ” c /0 .1 1 m
C om o arm adura longitudinal se colocarán pasadores constructivos, antes
que arm adura de repartición, contracción de fraguado o tem peratura:
A rm adura longitudinal: 4 (j>3 /8 ” igualm ente espaciadas.
Se dism inuye el espesor de la losa de 0.35 m a 0.25 m, que es una
aproxim ación por exceso de la especificación del R eglam ento NSR-10
según la cual “ ...la altura de la zapata sobre el refuerzo inferior no debe ser
m enor de 150m m para zapatas apoyadas sobre el s u e lo ...”.
C ortante:
1
Uj
lb .2 1 ¡ 0 . 2 9
0.55
Figura 8.4
En el diseño de este tipo de cim ientos se trata de evitar la colocación de
refuerzo a cortante, trabajando con espesores de cim entación apropiados.
Una m ejora sustancial en el funcionam iento del cim iento anterior se logra si
se especifica, en conjunto con el ingeniero consultor de suelos y
fundaciones, su trabajo com o puente de la carga en una luz de falla, la cual
tendría que relacionarse con las características del estrato portante: en este
caso, se trabajaría com o una viga T invertida adicionándole al diseño
anterior el nervio necesario. S uponiendo en el diseño anterior una luz de
falla de 1.50 m y un funcionam iento transversal sem ejante al calculado,
desde el punto de vista longitudinal se tiene:
E 0 3 / 8 C / O.23
0 3 /8 c /O .ll
Se calcula a una distancia “d ” a partir del borde del m uro (figura 8.4).
V(d) = 88.89*0.29*1.00 = 25.78kN
Vu = 1.5*25.78 = 38.67kN
Se corrige la nueva altura efectiva en la sección de cálculo:
430
Figura 8.5
C apítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
Flexión:
=
max
..
1 3 2 .0 * 1 .502 0 /1 7 C lM
M = -------------------= 24.75 kN-m
A
■f
0.35bw
2*71 *420
= 682 m m ~ 0.68 m
0 .3 5 * 2 5 0
12
Se adopta la altura necesaria para tener p m ínim a = 0.0033:
24 75
d - 0 .0 4 3 7 ./—— — = 0 .4 3 5 m ~ 0.44 m.
V 0.25
Por lo tanto se colocara
e cj) 3 /8 ”c/0.23 (d/2 = 0.23 m) en toda la
longitud del cim iento.
Cimentación aislada para colum nas
Por lo tanto h = 0.53 m que se aproxim a a 0.55 m y d = 0.46 m.
Zapatas aisladas cuadradas
C on este valor de “d ” se obtiene:
Las zapatas para colum nas cuadradas o circulares con carga axial se harán
cuadradas y su com portam iento estructural se acepta com o el de losas con
voladizos en dos direcciones som etidas a carga uniform e del terreno hacia
arriba. Para efectos de diseño, se tendrán los siguientes aspectos:
p = 0.002957, que se aproxim a a 0.0033 (m ínim a).
A s = 0.0033*0.25*0.47 = 0.000388 m 2~ 388 m m 2. Se coloca
2 (j> 5/8 ” en la parte sup erior del nervio de la viga de cimentación;
en la parte inferior y por tratarse de la cuantía m ínim a se coloca
tam bién la m ism a arm adura: 2 (j> 5/8 ”.
C ortante:
Se calcula al borde del apoyo supuesto:
V = - * 1 3 2 .0 * 1 .5 0 = 99 kN ;
V = 1.5*99 = 148.5 kN
2
Flexión:
El momento m áxim o para una zapata se calculará en una sección localizada
en la cara de la colum na; por tanto, el m om ento externo en el plano “c e ” se
determinará calculando el m om ento de las fuerzas que actúan sobre la
totalidad del área de la zapata “a b c e ”. Igualm ente, el m om ento externo en el
plano “fg ” se calculará a partir de las fuerzas que actúan sobre el área
“bfgh”. Debe notarse la porción de área tom ada dos veces para efectos de
esta determ inación del m om ento.
<t>Vc = 0 .7 5 * 0 .1 7 * \Í2Ll * 0.25 * 0.46 * 1000 = 67.30 kN
<|>V5 = Vu -<()Vr = 148.5 - 67.30 = 81.20 kN
U tilizando estribos (J) 3 /8 ”:
0 .7 5 * 2 * 0 .0 0 0 0 7 1 * 4 2 0 0 0 0 * 0 .4 6
_ oco
s = ------------------------------------------------- = 0.253 m
81.20
Figura 8.6
Para refuerzo m ínim o al cortante y un concreto fc' = 21.1 M Pa :
432
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 8 C im entaciones
C ortante:
Existen dos m aneras de revisar el esfuerzo cortante:
a) Para zapatas y tam bién para losas con com portam iento en dos direcciones
con una sección critica perpendicular al plano de la losa localizada en una
distancia d /2 del borde de la colum na puede calcularse com o el área de la
corona correspondiente (fig 8.7) som etida a las fuerzas que actúan en ella v
sus respectiva sección resistente. El valor de (j)Vc será el m enor de las
siguientes expresiones:
<j>Vc = <¡> 0 .1 7 ^ /f ^ l + j j j b 0d
donde p es la relación del lado largo al lado corto de la colum na, la carga
concentrada o el área de reacción y b 0 es el perím etro de la sección crítica
para cortante,
r A
N
<|)VC= <{>0.083
í B+d i
bo=2(C+B)+4d
A rea c o n tr ib u y e n te a c c ió n c o m o lo s a
e n d o s d ir e c c io n e s
F ig u ra 8.7
VÍM
v bo
y
Transmisión de los esfuerzos en la colum na a la zapata.
D onde a s es 40 para colum nas interiores, 30 para colum nas de borde y 20
para colum nas esquina, y
<t>vc= <|>0.33VfXd
Esta transm isión se efectúa en dos aspectos: la resistencia al aplastam iento
en la base de la colum na de la parte de la zapata en com presión bajo ella y la
transmisión del esfuerzo que traen las barras al concreto de la zapata.
a) Resistencia al aplastam iento:
b) La llam ada acción com o viga con una sección crítica que se extiende en
un plano a través del ancho total y localizada a una distancia “d ” del borde
de la colum na.
Puede calcularse com o el área rectangular “fghi" (fig. 8.7) som etida a las
fuerzas que actúan sobre ella y una sección resistente de ancho igual a “fg”.
Para este chequeo, las especificaciones de resistencia sum inistrada por el
concreto corresponden a las usadas en vigas.
El Reglam ento colom biano especifica que “la resistencia de diseño al
aplastamiento del concreto no debe exceder ^(O.SSf^Aj) excepto cuando la
superficie de soporte sea m ás ancha en todos los lados que el área cargada,
en cuyo caso se perm ite que la resistencia de diseño al aplastam iento en el
área cargada sea m ultiplicada por
yj A 2/ A l , pero no m ás que 2 ”
Por lo tanto, la resistencia al aplastam iento <j>Pnb es:
+Pnb= iK 0 .8 5 fcíA 1)
434
435
Capítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
sísmicos, el refuerzo debe extenderse dentro de la zapata, losa de
cimentación o cabezal de pilotes y debe estar desarrollado por tracción en la
interfaz y, si se requiere ganchos, deben proporcionarse ganchos de 90
arados cerca del fondo de la cim entación con el extrem o libre de las barras
orientado hacia el centro de la colum na.
en donde A, es el área cargada y (j>= 0.65.
Para el caso de la zapata:
‘t’Pnb =<l, (0 -8 5 fc'A 1) N/ A z / A 1 < 24»(0.85fc'A ,)
en donde A 2 es el área de la base inferior del tronco m ayor de la pirámide
cono o cuña abusada, contenida en su totalidad dentro del apoyo y que tenga
por base superior el área cargada y pendiente laterales de 1 vertical por 2
horizontal, en m m 2.
E sta revisión es obvia cuando el concreto de la colum na es de mayor
resistencia que el de la zapata.
Al
Figura 8.8b
A continuación un ejem plo de diseño.
Problem a 8.2
Figura 8.8a
b)
L ongitud de desarrollo del refuerzo de la colum na.
P or otra parte, los hierros de la colum na deben transm itir el esfuerzo que
traen a la zapata por m edio de suficiente longitud de anclaje de estos hierros
en la zapata; esta longitud debe ser m ayor que la longitud de desarrollo
necesaria para barras en com presión y en algunos casos se convertirá en un
factor determ inante de la altura de estos elem entos de cim entación. Los
extrem os de las barras deben term inarse en ángulo recto con el eje de las
barras, sin que la parte horizontal sea com putable en el cálculo de la
longitud de anclaje arriba m encionada. Sin em bargo, en las colum nas y
m uros estructurales que resisten las fuerzas inducidas por los efectos
436
Diseñar la zapata para una colum na de 0.40 x 0.40 m. que soporta una carga
axial de 1000 kN estando reforzada con 8 § 5/8 ” en un estrato de fundación
cuya presión de trabajo es de 0.1 M Pa, em pleando concreto de f'c = 2 1 .1
MPa para la colum na y la zapata y refuerzo para f = 240 M Pa.
Solución
Se dim ensiona la zapata en planta para diseñarla luego a flexión y cortante,
y finalmente confirm ar la transm isión de los esfuerzos de la colum na a la
zapata.
Dimensionamiento en planta:
C apítulo 8 C im entaciones
E structuras de C oncreto I
Cargas:
D e colum na
=
1000 kN
Peso propio zapata (supuesto 11%)
=
110 kN
La armadura m ínim a para esta losa corresponde a la especificación de
retracción y variación de tem peratura, que se calcula así:
As m ínim a = 0.0020*3.35*0.60 = 0.04020 m 2~ 4020 m m 2
Se coloca 23 (j> 5/8 ” c/0.145 en cada dirección.
T otal
=
A rea necesaria de cim entación
aproxim a a 3.35 m
= ^
1110 kN
2 3 0 5 /8
= 11.1 m 2. Lado: 3.33 m que se
N ota: T e rm in a c ió n del
re fu e rz o d e u n a c o lu m n a
e n c o m p re s ió n
2 3 0 5 /8 .
2 3 0 5 / 8 C / O .1 4 5
________0 .0 5
0 .0 5 __________
1 .4 2 5
t W
l
3 .3 5
1 .4 2 5
t
2 3 + 2 3 0 5 / 8 L = 3 .5 5 c / 0 .145
3 .3 5
F ig u ra 8.10
Cortante:
F ig u ra 8.9
Presión neta = a neta = reacción que produce flexión
a) Acción en dos direcciones para sección crítica a “d /2 ” del borde de la
columna:
y cortante =
= 8 9 .1 1 k N /m 2
J
3 .3 5 * 3 .3 5
Flexión:
w
J J
,
8 9 .1 1 * 3 .3 5 * 1 .4 7 5 2
M al borde de la colum na:
= 324.7 kN-m
0 .3 5
'0 .2 5
0.91
0.05TLJ 1-22
2
0 .2 0 5
1.475
(j)Mn = 1.5*324.7 = 487.05 kN-m
Con el criterio de adoptar un espesor para la zapata de m anera que el
refuerzo a colocar sea aproxim adam ente el m ínim o, se puede usar una
cuantía p = 0.0025 para la cual resulta d = 0.52 m
P or tanto, para una altura h de 0.61 m
d = 0.51 m, resulta:
que aproxim am os a 0.60 m y
A s = 0.002636*3.35*0.51 = 0.004504 m 2~ 4504 m m 2
438
F ig u ra 8.11
v ( 'f ) = 89.11* —(0.91 + 3 .3 5 )* 1 .2 2 * 4 = 926.24 kN
V = 1.5*926.24 = 1389.36kN
439
0 .6 0
Capítulo 8 C im entaciones
E structuras de C oncreto
d = 0 .5 1 - 0 .3 5 -
0.35*1.22
(j,Vc = <t>0. 1 7 , / C M = 0.75 * 0.17 * 7 2 U * 3.35 * 0.40 * 1000 = 784.20 kN
= 0.46 m
1.425
V„ < <t>Vc
Para p = 1, <|>VC= 0 .7 5 * 0 .3 3 ^ b „ d
Transmisión de los esfuerzos de la colum na a la zapata
ij)Vc = 0 . 7 5 * 0 . 3 3 * V 3 L Í * 3 . 6 4 * 0 . 4 6 * 1 0 0 0 = 1 9 0 2 . 1 6 k N > V,
a) Resistencia al aplastam iento:
A sum iendo que la colum na es interior con a s=40
¿V
i
= 0 .7 5 * 0 .0 8 3 * V 2 U *
( 40 *0 46
l
Se presenta aquí solo com o una m uestra de su cálculo, puesto que su
apropiada corresponderá al caso de una colum na con el concreto
de mayor resistencia al de la zapata.
u tiliz a c ió n
+2
* 3 .6 4 * 0 .4 6 * 1 0 0 0
3.64
Para las condiciones del ejem plo, se revisa la transferencia en la interface de
la columna y la zapata:
(|)VC = 3372.88 kN
Por lo tanto, Vu < (j)Vc
b)
A cción com o viga para sección crítica a “d ” del borde de la columna:
fc' (columna) = 21.1 M Pa
fy = 240 M Pa
fc' (zapata)
Pu = 1.5 * 1000 = 1500 kN
= 21.1 M Pa
Resistencia al aplastam iento en la base de la colum na:
(j, pnb = ^ ( 0 . 8 5 ^ , ) = 0 .6 5 *(0.85 * 2 1 1 0 0 * 0 .4 0 * 0 .4 0 ) = 1865 kN > Pu
Resistencia al aplastam iento de la zapata:
0 .3 5
0 .2 5
0 .0 5 " S , o . 4 6
3.35
0.60
.
-i-
0 .9 6 5
1 .4 7 5
F ig u ra 8.12
V ( d ) = 89.11 * 0.965 * 3.35 = 288.07 kN
V = 1.5*288.07 = 432.1 lk N
d = 0 .5 1 - 0 .3 5 -
0.3 5 * 0 .9 6 5
1.425
= 0.40 m
/
440
441
1
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 8 C im entaciones
La resistencia al aplastam iento de la zapata se aum enta por un factor
ylA 2/A j < 2 debido al área m ayor correspondiente a la base inferior del
tronco m ayor de la pirám ide, para este caso, contenida en su totalidad dentro
del apoyo y que tenga por base superior el área cargada y pendientes
laterales de 1 vertical por 2 horizontal:
b)
L o n g itu d d e d e s a r r o llo d e l r e f u e r z o d e la c o lu m n a :
La longitud de anclaje de estos hierros en la zapata debe ser m ayor que la
longitud de desarrollo necesaria para las barras en com presión, que para
barras corrugadas es:
r
A 2 = (1.20+ 0 .4 0 + 1.20) *(1.20+ 0 .4 0 + 1.20) = 7 .8 4 m 2 .
0 .2 4 fy
d h > (0.043f )d.
Ve
Por lo ta n to ^ A z/ A l = ^ 7 .8 4 /0 .1 6 = 7.0 > 2 . Se debe usar 2.
L a presión de aplastam iento en el concreto de la colum na será prioritaria
hasta exceder dos veces la del concreto de la zapata.
En este caso para <J> 5 /8 ” con f y = 240 M Pa y fc'= 21.1M Pa se obtiene
/ (Jc= 200 m m (véase tabla 4.21), ae m anera que para el espesor adoptado de
la zapata se tiene un buen m argen en cuanto a la necesidad de longitud de
anclaje.
R esistencia al aplastam iento del área cargada de la zapata
(j)Pnb - <|>(0.85fc,A 1)2 - 0.65 * (0.85 * 21100 * 0.40 * 0.40) * 2 = 3730 kN > Pu
Por otra parte el requisito contenido en la sección C. 15.8.1.2 del
R eglam ento colom biano en el sentido del refuerzo requerido o los
conectores m ecánicos entre los elem entos apoyados, en este caso columna y
zapata, “deben ser adecuados para transm itir:
a)
T oda la fuerza de com presión que exceda de la resistencia al
aplastam iento del concreto de cualquiera de los elem entos.
b) C ualquier fuerza de tracción calculada a través de la in terfaz”
Los conectores
prefabricadas.
m ecánicos
se
usan
principalm ente
para
estructuras
Este resultado significa que no se necesita pedestal. En caso de necesitarse,
su dim ensionam iento se efectuaría a partir de una sección conveniente para
una presión adm isible y la sobre-altura sería igual al sobre-ancho con la
suposición de la repartición de la carga con un ángulo de 45°.
442
Finalmente, y com o en el problem a anterior, se aclara que se ha dism inuido
el espesor de la zapata de 0.65 m a 0.25 m con la aproxim ación por exceso
de la especificación del R eglam ento según la cual el espesor del concreto
por encima del refuerzo debe ser superior a 0.15 m.
Zapatas aisladas rectangulares
Se presentan dos casos de zapatas aisladas rectangulares: cuando por
limitación de espacio en la cim entación no es posible hacer zapatas
cuadradas aunque la colum na sea cuadrada o circular y cuando la colum na
es rectangular.
A continuación se tratarán estos dos casos:
Zapata a is la d a r e c ta n g u la r p a r a c o lu m n a s c u a d r a d a s o c ir c u la r e s
En este caso, se tienen dos voladizos diferentes en las dos direcciones, por
lo que teóricam ente debe hacerse el diseño por flexión y cortante en cada
dirección colocando el refuerzo en el sentido m ayor uniform em ente
espaciado, en tanto que en el sentido m enor debe colocarse de acuerdo a una
especificación del R eglam ento que se tratará en el siguiente ejem plo:
443
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 8 C im entaciones
P r o b le m a 8.3
D iseñar la zapata para la colum na del problem a 8.2, si la dim ensión de la
zapata en una dirección, por lim itación de espacio en la cim entación, no
puede ser m ayor de 2.75 m.
S o lu c ió n
Se obtiene el área de la cim entación en form a idéntica al problem a 8.2
dim ensionándola de m anera que uno de sus lados no exceda de 2.75 m y
luego se diseña a flexión y cortante.
Cargas
F ig u ra 8.14
De colum na
=
Peso propio zapata (supuesto 11%)
=
T otal
=
A rea necesaria de cim entación =
100
= 1 1 .1 m 2.
1000 kN
110 kN
1110 kN
Flexión:
Aunque teóricam ente se debería diseñar para am bos voladizos, con el
criterio de adoptar un espesor de la zapata de m anera que el refuerzo a
colocar sea aproxim adam ente el m ínim o, se utiliza el voladizo m ayor que
corresponde al sentido m ayor:
w fl
90.91* 2 .7 5 * 1 .8 0 2
m M
M flexión = ---------------------------= 405.0 kN-m
Para una dim ensión de 2.75 m, se obtiene la otra com o:
<t>Mn = 1.5*405 = 607.5kN m
L = 11,10 = 4 .0 4 m ~ 4.00 m
2.75
y la altura efectiva para p = 0.0025 resulta de “d ”=0.64m .
a neta = reacción que produce flexión y cortante
T om ando h = 0.75m y
d
As = 0.002387*2.75*0.66
= 0.66 m, resulta, en form a aproxim ada:
= 0.004332 m 2~ 4332 m m 2
= 9 0 .9 1 kN /m 2
a neta =
2 .7 5 * 4 .0 0
La arm adura m ínim a para esta losa corresponde a la especificación de
retracción y variación de tem peratura, que se calcula así:
A s = 0.0020*2.75*0.75 = 0.004125 m 2~ 4125 m m 2
A rm adura en el sentido m ayor: 22 ({>5/8 ” c/0 .1 25
444
445
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 8 C im entaciones
2 .7 5
en donde p es la relación del lado largo al lado corto de la zapata
p"
"
0: K Í 5 F - ! f 7 !
de donde x = 27 barras
Estas 27 barras se distribuyen uniform em ente en una franja centrada sobre
el eje de la colum na de un ancho igual a 2.75 m, es decir, se coloca 27 <í>5 /8 ”
separadas 0.105 m y el resto del refuerzo requerido se ubica uniform em ente
distribuido por fuera de la franja central, es decir, 3(f)5/8” c/0.185 a cada
4 .0 0
(------
2 2 0 5 / 8 L = 4 .3 0 c /0 .125
3.85
(26+6)05/8L=3.O5 s/fígura
5 /8 ”
—>
___
lado.
C = ________________ =D
2.60
F ig u ra 8.15
Sentido m enor:
Para la altura adoptada de acuerdo con el voladizo m ayor, en el sentido del
voladizo m enor se coloca la m ism a arm adura o la arm adura m ínim a, según
el caso:
0 .6 2 5
2 .7 5
0 .6 2 5
F ig u ra 8.16a
A s = 0.002387*4.00*0.65 = 0.006206 m 2 (6206 m m 2)
A smm = 0.0020*4.00*0.75 = 0.0060 m 2 (6000 m m 2)
Esfuerzo cortante:
a)
Se coloca 32<j> 5 /8 ”.
Este refuerzo se distribuye siguiendo el requisito del Reglamento
colom biano que específica para una parte del refuerzo total una separación
uniform e en una franja centrada sobre el eje de la colum na igual a la
longitud del lado corto de la zapata y para el resto del refuerzo requerido en
la dirección corta una distribución uniform e por fuera del ancho de la franja
central, en un todo de acuerdo a la expresión:
A cción en dos direcciones para sección crítica a “d /2 ” del borde de la
colum na:
A d/2 del borde de la colum na bi será = 0.40 + 2*0.215 = 0.83 m
b 2 será = 0.40 + 2*0.505 = 1.41 m
v ( | ) = 9 0 .9 1 * |[ ( 0 .8 3 + 2 .7 5)*1.47 + (1.41 + 4 )* .8 4 5 ]* 2
V ( | ) = 893.64 kN
Re fuerzo a colocar en la franj a central _
Re fuerzo total en el sentido menor
446
2
(3+1
Vu = 1.5*893.64 = 1340.46kN
447
_ C apítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
d = 0 .6 6 -
0 .5 0 -
0.50*1.47
gesistencia
aplastam iento en la zapata:
0 .7 5
= 0.58 m
0 .5 0
1.75
4 .0 0
Para (3 = 1,
2 .7 5
<j>Vc = <]> 0 .3 3 N/fJb od = 0 . 7 5 * 0 . 3 3 * V 2 lTT* (0 . 8 3 + 1 .4 1 ) * 2 * 0 .5 8 * 1 0 0 0
<|)VC = 2951.85 kN
Vu < <1>VC
0 .5 0
0 .2 5
b)
A cción com o viga para sección crítica a “d ” del borde de la columna:
F ig u ra 8.1 6 b
V ( d ) = 90.91*1.14 *2.75 = 285.00 kN
<t»Pnb = <t> (0 .8 5 fc'A 1) N/ A z/ A 1 < 2ij>(0.85f['A 1)
V = 1.5*285.00 = 427.5kN
d = 0 .6 6 -
0.50
0.50*1.14 \
A z = (1.50 + 0 .4 0 + 1.50) * (1.175 + 0 .4 0 + 1.175) = 9 .3 5 m 2
= 0.49 m
1.75
Por lo tanto
<|>VC = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 U * 2 .7 5 * 0 .4 9 * 1 0 0 0 = 788.60 kN
yj A J A ] =
<t>Pnb = 0 .6 5 * ( 0 .8 5
^ 9 .3 5 / 0 .1 6
=1.6 >2
*2 1100 * 0 .4 0 * 0 .4 0 ) *2 = 3 7 3 0 kN > Pu
b) Longitud de desarrollo del refuerzo de la colum na:
Vu < <^VC
T ransm isión de los esfuerzos de la colum na a la zapata
a) R esistencia al aplastam iento: igualm ente se presenta sólo com o una
m uestra de su cálculo ya que el concreto en este caso, es de igual resistencia
en la colum na y en la zapata.
Pu = 1 5 0 0 kN
R esistencia al aplastam iento en la base de la colum na:
(f>Pnb = <})(0.85fc'A 1) = 0.65 * (0.85 * 21100 * 0.40 * 0.40) = 1865 kN > Pu
448
Para este tem a, el resultado obtenido en el problem a 8.2 es aplicable.
Como conclusión de la presente solución, y con base en la especificación de
colocación del refuerzo para resolver una posible repartición de los
esfuerzos que no está acorde con la solución de zapata rectangular cuando la
columna es cuadrada o circular, se recom ienda que se adopte esta solución
sólo cuando sea estrictam ente necesario.
Zapatas a isla d a s r e c ta n g u la r e s p a ra co lu m n a s r e c ta n g u la r e s
Siendo las colum nas rectangulares las m ás frecuentes, este tipo de zapata
resulta de m áxim a ocurrencia en la construcción de edificios. Para su
diseño, se trata de igualar los voladizos en am bas direcciones, así:
449
C apítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
| ( L - a) = ^ ( L! - ai)
Siendo A = área =
yp
o
L-L, = a-a,
-asCargas-
= L-Lj
■i A
• • L - r = a - ai
D e colum na:
-
Peso propio (supuesto 11%)
=
110 kN
C arga total:
=
1110 kN
1110
¿ rea n e c e s a r i a d e c i m e n t a c i ó n
=
2
1t ,
= 1 1 .1
1000 kN
m
L2 - ( a - a 1) * L - A = 0
A p li c a n d o l a e x p r e s i ó n o b t e n i d a a r r i b a :
L = - ( a - a i ) + J —(a-a¡)2 +A
L = |( 0 .6 5 - 0 .2 5 ) + j i ( 0 . 6 5 - 0 . 2 5 ) 2 + l l . l
1 /2 (Lr a,)
EM
al
1/2 ( Lj-a,)
L=
3 .5 4
L, = —
1
m,
=
de donde:
3.14m
3 .5 4
Se adopta L = 3.50 m y Lj = 3.10 m
1000
. 1 /2
( L-a)
a
L
1 /2 (L-a)
a n e ta = - 10° ^ - - = 92.17 kN /m 2
3 .1 0 * 3 .5 0
Figura 8.17
U na vez igualados los voladizos, se hará el diseño para uno de ellos
colocando igual arm adura en am bos, de acuerdo al siguiente ejem plo.
1.425
P r o b le m a 8-4
1.425
0.25
D iseñar la zapata para la colum na del problem a 8.2, si ahora se supone de
0.25 x 0.65 m e iguales condiciones de terreno y m ateriales.
S o lu c ió n
Se obtiene el área de la cim entación en form a idéntica al problem a 8.2,
dim ensionándola de m anera que se igualen los voladizos en ambas
direcciones.
Figura 8.18
Flexión
M borde colum na
450
451
3.10
Estructuras de C oncreto I
C apítulo 8 C im entaciones
Esfuerzo cortante
<j)Mn = 1.5*290.10 = 435.15kN -m
A cción en dos d irecciones para sección crítica a “d /2 ” del borde de la
columna:
C on el m ism o criterio de adoptar un espesor para la zapata de m anera que el
refuerzo a colocar sea aproxim adam ente el m ínim o, se usa:
A d/2 del borde de la colum na bi será: 0.25 + 2*0.51/2 = 0.76 m
b 2 será: 0.65 + 2*0.51/2 = 1.16 m
p = 0.0025 y se obtiene d = 0.51 m
Por lo tanto, h = 0.60 m:
V (d/2)= 92.17* 1/2* [(0.76+3.10) *1.17+(1.16+3.5) *1.17] *2 = 918.93kN
As = 0.002543*3.10*0.51 = 0.004020 m -4 0 2 0 miró
Vv u = 1.5*918.93 = 1378.40kN
La arm adura m ínim a para esta losa corresponde a la especificación de
retracción de fraguado y variación de tem peratura, que se calcula así:
d = 0.51 — 0 . 3 5 -
0 .3 5 * 1 .1 2 ^
= 0.44 m
1.375
As = 0.0020*3.10*0.60 = 0.00372 m -3 7 2 0 m m ‘
.-. A rm adura:
21
(
0 65
<j,Vc = <t>0.17yfJ^l + | J b od donde p = ^
= 2.60
§ 5 /8 ” c/0.145 en el sentido de 3.50 m
24 4> 5 /8 ” c/0.145 en el sentido de 3.10 m
1+ —
«j>Vc = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 U
P or consiguiente, igualados los voladizos, se hace el diseño para uno de
ellos y se coloca igual arm adura en am bos.
ad
(j)Vc - 4>0.083VfJ
V bo
0.35
+ 2 b 0d
J
0 .6 0
(j)Vc = 0.75* 0.083 * V 2 U *
0 .2 5
* 3 .8 4 * 0 .4 4 * 1 0 0 0 = 1750.17 kN
2.6
donde a s = 40
/ 4 0 * 0 .4 4
x
+ 2 * 3 .8 4 * 0 .4 4 * 1 0 0 0
3.84
<(>VC = 3 1 7 6 .5 9 kN
<|)VC = <t)0.33VfJ b 0d = 0.75 * 0.33 * V 2L 1 * 3.84 * 0.44 * 1000
3.50
<|>VC = 1919.43 kN
2 1 0 5 /8 L = 3 .7 O c /0 .145
3.35
.-. Por lo tanto Vu «j)Vc
2 4 0 5 /8 L = 3 .3 O c /0 .145
2.95
Acción com o viga para sección crítica a “d ” del borde de la colum na:
F igura 8.19a
V(d) = 92.17*0.915*3.10 = 261.44 kN
453
452
i
E structuras de C oncreto I
Capítulo 8 C im entaciones
V = 1.5*261.44 kN = 392.16 kN
A 2 = (1.20 + 0.65 + 1.20) * (1.20 + 0.25 + 1.20) = 8 .0 8 m 2
'
c 0 .3 5 * 0 .9 1 5 ^
= 0.39 m
d = 0 .5 1 - U.35 —
1.37 5
por lo tanto
^ A 2/ A l = ^ 8 .0 8 /0 .1 6 = 7.1 > 2
(j,Pnb = 0.65 * (0.85 * 21100 * 0.25 * 0.65) * 2 = 3788 kN > Pu
4>VC= 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 L 1 * 3 .1 0 * 0 .3 9 * 1 0 0 0 = 707.53 kN
b) Longitud de desarrollo del refuerzo de la colum na:
Por lo tanto Vu <(j)Vc
Para este tem a, el resultado obtenido en el problem a 8.2 es aplicable.
T ransm isión de los esfuerzos de la colum na a la zapata
a) R esistencia al aplastam iento: tam bién, en este caso, se m uestra como una
rutina del proceso
Pu=1500 kN
R esistencia al aplastam iento en la base de la colum na:
cj)PIlb = + ( 0 . 8 5 ^ , ) = 0 .6 5 * (0 .8 5 * 2 1 1 0 0 * 0 .2 5 * 0 .6 5 ) = 1894 kN > Pu
R esistencia al aplastam iento en la zapata:
En los ejem plos anteriores se ha trabajado la cim entación aislada para
columnas en el evento de sólo carga axial com o una introducción al lector a
este tema. A continuación se tratará el caso usual de cim entaciones para
columnas con carga axial y m om ento flector.
Zapatas con carga axial y m om ento de flexión
En la m ayoría de los casos la carga axial de las colum nas v a acom pañada de
un momento flector en la base y a veces tam bién de una fuerza horizontal,
produciéndose una excentricidad que se evalúa así:
M + H -h
e = -------------
d b
1.20
0 .2 2 5
0 .6 5 _ 1.20
'
‘
0 .2 2 5
F ig u r a 8.1 9 b
= (t»(0.85fc'A 1)V A 2/ A 1 < 2<t>(0.85fc'A,)
454
F igura 8.20
455
C apítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
En este caso, las reacciones del terreno se calculan:
m ax _
^ mín
L -B
1±
Area cim entación =
342
. ,0 2
= 3.42 m
.*. L = 1.85 m
6 e^
por un proceso de ensayos sucesivos se llega a L = 2.30 m
L
La diferencia entre las reacciones m áxim as y m ínim a dependerá de la
excentricidad.
P ara el caso de edificios de norm al ocurrencia, la excentricidad debe
esencialm ente considerarse y con m ayor razón en aquellas construcciones
con una carga P poco considerable que im plica una m ayor excentricidad.
P r o b le m a 8.5
D iseñar la zapata para una colum na de 0.30 x 0.30 m que soporta una
carga axial de 300 kN y un m om ento de 60 kN-m, estando reforzada con
4 (j> 5 /8 ”+4 <j) 1/2”, en un estrato de fundación cuya presión de trabajo
es de 0.1 M Pa, em pleando concreto de fc' = 2 1 .1 M Pa y refuerzo para
f y = 240 M Pa.
De donde:
máx _
^mín
342
/
2 .3 0 * 2 .3 0
6 * 0 .2 0 ^
2.30
a max = 98.27 kN /m 2 y a min = 3 1 .0 3 kN /m 2
Flexión
Se considera el caso m ás desfavorable adm itiendo la posibilidad de la
inversión del sentido del m om ento y descontándole el peso propio del
cimiento, resulta:
a f = 3 1 .0 3 + ^ - ( 9 8 . 2 7 - 31.03) = 69.04 kN /m 2
2.30
S o lu ció n
D im ensionam iento en planta:
C argas
D e colum na:
=
Peso propio del cim iento (supuesto
en el 14% para ten er en cuenta el
sobredim ensionam iento con m otivo
de la consideración de la excentricidad)
C arga total:
EP
300 kN
=
42 kN
=
342 kN
F ig u ra 8.21
E xcentricidad = e =
60
= 0.20 m
300
M borde colum na
=
6 9 .0 4 * 2 .3 0 * 1 .0 0 z
S uponiendo reacción uniform e del terreno:
456
457
1
+ - ^ ( 9 8 .2 7 - 6 9 .0 4 )* 2.30 * - * 1 .0 0
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 8 C im entaciones
1 .........
0.45*1.00* 2.30*24 -* 1 .0 0 --* 0 .2 0 * 0 .9 5 * 2.30*24* -*0.95+ 0.05
2
2
M borde colum na= 92.96 kN-m
2.30
(j)Mn = 1.5*92.96 = 139.44kN-m
Con el criterio antes utilizado de adoptar un espesor de zapata para un
refuerzo m enor, se obtiene para p = 0.0025 un “d ” de 0.34 m.
0.18
A proxim ando la altura h a 0.45 m se tiene d = 0.36 m y resulta:
A s = 0.002199*2.30*0.36 = 0.001821 m 2
ü(d/2)=74.44 kN/m"
La arm adura m ínim a será:
98.27 kN/m"’
F ig u ra 8.22
A s = 0.0020*2.30*0.45 = 0.002070 m 2
.-. A rm adura por colocar: 17
1/2” c/0.135 en cada dirección.
Vu = 1.5*94.62*4 = 567.72kN
Para (3 = 1.0 - <|>VC = 0 .7 5 * 0 .3 3 *
C ortante
<f,Vc = 0.75 * 0.33* n/ 2 Ü * 4 * 0.66 *0.33* 1000 = 989.70 kN
a)
A cción en dos direcciones para sección crítica a “d /2 ” del borde de la
colum na:
a ( | ) = 31.03 + ^ ^ ( 9 8 . 2 7 - 3 1 . 0 3 ) = 74.44 kN /m 2
2
( 9 8 .27+
74.44) *
(J)VC= 0.75 * 0 .0 8 3 ,/?;
f ocaA
X
■+ 2
vb0
(|)VC = 0 .7 5 * 0 .0 8 3 V 2 L Í
P rom ediando los cortes:
V Í ^ j = t
A sum iendo que la colum na es interior con a s = 40
t ( 2 . 3 0 + 0 .6 6 ) * 0 . 8 1 5 - — ( 2 . 3 0 + 0 .6 6 ) * 0 .8 1 5 *
2
bd
( 4 0 * 0 .3 3
+ 2 2 .5 2 * 0 .3 3 * 1 0 0 0
2.52
4)VC= 1 7 2 0 .3 0 kN
2
Por lo tanto Vu < <|)VC
0.33*24 = 94.62 kN
b) A cción com o viga para sección crítica a “d" del borde de la colum na:
a (d ) = 31.03 + — (98.27 - 31.03) = 79.85 kN /m 2
v 7
2 .3 0 v
458
C apítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
Resistencia al aplastam iento en la zapata:
Prom ediando los cortes:
<j)Pnb =(J)(0.85fc'A 1)^/A 2/ A 1 < 2<t>(0.85fc'A 1)
V ( d ) = - ( 9 8 .2 7 + 79.85) * 0 .6 4 * 2 . 3 0 - - ( 0 . 2 5 + 0.38) *0.64 *2.30*
2
2
A 2
V ( d ) = 119.97 kN
V = 1.5*119.97 = 179.96kN
d = 0 .3 6 - 0.20
Por lo tanto ^/A 2/A , = ^ 4 .4 1 /0 .0 9 = 7 > 2
0 .2 0 * 0 .6 4
0.95
= (0.90 + 0.30 + 0.90)* (0.90 + 0.30 + 0.90) = 4.41m 2
= 0.29 m
(j,Pnb = 0.65 * (0.85 * 21100 * 0.30 * 0.30) * 2 = 2098 kN > Pu
y
(J)VC= 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 l T * 2 .3 0 * 0 .2 9 * 1 0 0 0 - 3 9 0 .3 5 kN
5) Longitud de desarrollo del refuerzo de la colum na:
Vu <<f>Vc
Para este tem a, es tam bién aplicable el resultado obtenido en el problem a
8 .2 .
Cimentación com binada para dos o más colum nas
T ransm isión de los esfuerzos de la colum na a la zapata
a)
Se denom ina cim entación com binada o continua cuando se tiene una zapata
para dos o m ás colum nas. Su utilización depende de condiciones tales com o
la de lim itación de espacio, cuando se pretende hacer cim entaciones aisladas
para cada colum na, o cuando se com binan sus cim entaciones para
solucionar la asim etría que representaría la zapata para una colum na de
lindero. En cualquiera de los casos, se debe lograr que la reacción del
terreno se pueda considerar uniform e bajo el cim iento, para lo cual se debe
hacer coincidir el centro de gravedad de las cargas de las colum nas con el
centro de gravedad del cim iento. En el caso de dos colum nas, para las
condiciones anteriores, se tendrían los siguientes esquem as estructurales:
R esistencia al aplastam iento
Pu = 450 kN
R esistencia al aplastam iento en la base de la colum na:
(j>Pnb = ( ^ ( 0 . 8 5 ^ ) = 0 .6 5 * (0 .8 5 * 2 1 1 0 0 * 0 .3 0 * 0 .3 0 ) = 1049 kN > Pu
461
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 8 C im entaciones
Solución
$e procede a dim ensionar en planta haciendo coincidir el centro de gravedad
de las cargas de las colum nas con el centro de gravedad del cim iento.
Luego, se diseña longitudinalm ente y posteriorm ente en sentido transversal,
de acuerdo con condiciones que se enunciarán en su oportunidad.
pimensionam iento en planta.
Centro de gravedad de las cargas de las colum nas:
850*5.00 = (850 + 400)-x
.\
x = 3.40 m.
Coincidencia d el ce n tro d e ca rg a s co n el c e n tro id e d el cim ien to :
L = 7.05 m.
- L = 3.40 + 0,25 = 3.525m .
2
2
F ig u ra 8.24
A continuación, algunos ejem plos de cim entaciones com binadas.
P r o b le m a 8.6
D iseñar una cim entación com binada para una colum na exterior o de lindero
de 0.35x0.25m , que carga Pi = 400 kN y una colum na interior adyacente de
0.65 x 0.25 m, que carga P 2 = 850 kN , si los ejes de las colum nas están
separados i = 5.00 m y el terreno tiene una carga de trabajo de 0.1 MPa,
em pleando concreto de fc' = 21.1 M Pa y refuerzo para f y= 420M Pa en todos
los diám etros.
Cargas:
IP
C arga total:
* • ' = 1460 = 1l 4i .6
e m2
A rea cim entación
100
B=
14 6
= 2.07 ~ 2.05 m
7.05
462
1250 kN
210 kN
De colum nas:
Peso propio cto (17%):
463
1460 kN
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 8 C im entaciones
fom entos:
= 8 6 .4 9 kN /m 2
a neta =
7 .0 5 * 2 .0 5
Ma =
D ise ñ o lo n g itu d in a l
177.30
* 0 .1 2 5 2
5----------- = 1.39 kN-m
C arga bajo el cim iento, en kN /m : 86.49*2.05 = 177.30 kN /m
M b = 177-30*1.9 2 5 2 _ 328 5 0 k N .m
r>
©
2
Diagrama de Cortante
M luz = 377 8^ * 2 13 - 1.39 = 4 0 1 .0 1 k N m
La altura del cim iento se determ ina de acuerdo a los siguientes criterios:
1. Que no se requiera refuerzo al corte:
Suponiendo, y únicam ente dentro del alcance de una predim ensión, el corte
Bi a la distancia “d ” del borde del apoyo com o un 85% del corte al eje:
Diagrama de Momento
401.01
V(d) ~ 0.85*508.70 = 432.40 kN
Vu = 1.5*432.40 = 648.60kN
<j)Vc = 4)0.17A/f J b wd = 648.60 kN ., de donde:
3 2 8 .5 0
F ig u ra 8.26
d = ----------------- 648^60------------------ _ o 54 m
0 .7 5 * 0 .1 7 * v 2 U l * 2 .0 5 * 1 0 0 0
R eacciones:
Ai
Ad
Bi
Bd
= - 177.30*0.125
= 4 0 0 - 22.16
= 3 4 1 .3 0 - 850
= 1.925*177.30
=
=
=
=
-2 2 .1 6
377.84
-5 0 8 .7 0
341.30
kN
kN
kN
kN
a
i
*
377.84
x 0 = punto de anulación corte =
= 2.13 m
177.30
464
2. Que la arm adura por flexión
aproxim adam ente la m ínim a:
para
un
m om ento
prom edio
sea
U tilizando Pmin= 0.0033 para M = 364.76 kN-m y U = 1.5 se obtiene
d = 0.47 m.
Sin em bargo, se aproxim a a d = 0.56 y h = 0.65 m para tener en cuenta
el esfuerzo cortante en el diseño correspondiente.
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 8 C im entaciones
A continuación el diseño:
A rm adura longitudinal:
1) Viga bajo colum na exterior o de lindero
M (kN-m) =
1.39
401.01
328.5Q
A ncho de la viga: 0.25 + 0.56 = 0.81 m
<J)Mn (kN-m) =
2.01
601.52
492.75
q = 400 = 195.12kN /m
41 2.05
0.0033*2.05*0.56 = 0.003788 m 2
A s mín
V borde = 195.12*0.85 = 165.85 kN
(¡) superior:
10 <}>5/8"c/0.20_____ 20 (f) 5/8”c/0.10____ 10(j> 5/8”c/0.20
V„= 1.5*165.85 = 248.78kN
(j>inferior:
13 <J) 1/2” c/0.155
20 <j>5/8”c/0.10j
4>VC= 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 U * 0 .8 1 * 0 .5 6 * 1 0 0 0 = 265.46 kN
V (kN) =
22.16 377.84
508.7 0 | 341.30
V(d) (kN) =
387.25j
Vu =
580.88
+vc =
671.84
V. < <t>vc
1 9 5 .1 2 * 0 .8 5 2
M borde —--------------------- = 70.49 kN-m.
.-. <j)Mn = 1.5*70.49 = 105.74 kN-m
Vu <(j)Vc
N o ta : Sólo se colocará arm adura constructiva en form a de “U ”, de acuerdo
a la figura 8.29, para sostener la arm adura superior en su sitio antes de
fundir.
D ise ñ o tr a n sv e rsa l:
A unque el diseño longitudinal debería ser suficiente para transm itir la carga
de las colum nas al cim iento y al terreno, la m ayor parte de los autores
coinciden en la necesidad de colocar vigas transversales bajo las columnas
con el objeto de repartir su carga en el cim iento: uno de los criterios más
usados a este respecto considera la repartición de la carga de las colum nas a
45° con la vertical, lo cual exige que el ancho de la viga se determ ine como
el de la colum na m ás la altura necesaria del cim iento a cada lado.
F ig u ra 8.27
Nuevamente, para d = 0.55 m se obtiene com o arm adura m ínim a
p = 1.33*0.001159 = 0.001541
As = 0.001541*0.81*0.55 = 0.000687 m 2
466
C apítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
A rm adura:
Detalle del refuerzo
6 ({> 1/2” c/0.15 m.
©
2)
V iga bajo colum na interior:
A ncho de la viga = 0.25 + 2*0.56 = 1.37 m
Sección
8 0 1 / 2 c / O.19
1 2 0 0 5 /8
0 .7 0
I 0 .6 5 t
2.05
Q.70 '
_801/2L =2.25c/O .195
T 90
Corte A-A
=
F ig u ra 8.28
©
0
0.81
q = 850 = 414.63 kN /m
Ht
2.05
..0.685
1.24
1
1.37
V borde
= 414.63*0.70
= 290.24 kN
Vu
= 1.5*290.24
= 435.36kN
i
|
1
11
i
4 .7 5
l O 0 5 / 8 c /O.2O
r f g g
1.80
0 .2 5
L -7 .0 5
C on el m ism o “d" anterior:
5 .0 0
L
1.925
6 0 1 / 2 C / 0 . 15
1—
1O05/8C/O.2O
4>VC = 0.75 * 0.17 * V 2T T * 1.37 *0.55 *1000 = 440.97 kN
lO 0 5 /8 c /O .2 O
1301 / 2 C / 0 . 155
a
2.05
6 0 1 / 2 L ” 2 .2 5 c / 0 .15
es trib o s en "U"
1.90
2 O 0 5 / 8 c / 0 .10
0.50
v u < <t>0
[0.
0 .1
.125
25
00.12
.1 2 5
E s trib o si e n "U"
"U" 0 3 /8 L1 = 1 .8 5 c /O .5 O
8 0 1 /2 c /O .1 9 5
W l 6 0 1 / 2 c / 0 . 15
..
4 1 4 .6 3 * 0 .7 0 2
Ka , . T
M borde = ---------------------- = 101.58 kN-m.
2
.-. (j)Mn = 1.5*101.58 = 152.37kN-m
Cl o r t e B -B
2 O 0 5 / 8 c / 0 .10
\1 3 0 1 / 2 c / O .1 5 5
1O05/8C/O.2O
4 .7 5
C o r t e C -C
1 0 0 5 / 8 L -6 .2 5 c / 0 .2 0
6 .0 2 5
8 0 1 /2 C /O .1 9 5
L_
1 0 0 5 / 8 L -3 .0 0 c / 0 .2 0
2 O 0 5 / 8 C / 0 . 10
2 .0 5
8 0 1 / 2 L * 2 .2 5 c / 0 ,195
p = 1.33*0.00098 = 0.00130
.'.A s = 0.00130*1.37*0.55 = 0.000980 m 2
A rm adura:
1.55
0.55J
8 <j) 1/2” c/0.195
468
1 3 0 1 / 2 L -1 .5 0 C /0 .1 5 5
1 0 0 5 /8 L-3.00C /0.20
' 1 7 7 5 --------1 0 0 5 / 8 L - 4 .5 0 c /0 .2 0
4:275-------
Figura 8.29
469
1.90
0 .5 0
0 .5 5 J
0 .1 2 5
|0 .5 5
0 .1 2 5
E s trib o s e n "U” 0 3 /8 L = 1 .8 5 c /O .S O
Estructuras de C oncreto
Capítulo 8 C im entaciones
En el problem a anterior se utilizó el sistem a tradicional de viga con sección
rectangular. P orque en opinión del autor parece de un m ejor funcionamiento
estructural, se propone la solución de este problem a utilizando una viga de
sección T invertida con las aletas actuando en sentido transversal
reaccionando sobre el nervio que actúa en sentido longitudinal. Respecto a
los costos, se pueden considerar sem ejantes para una u otra solución. Sin
em bargo, en la elección de la alternativa m ás apropiada debe hacerse una
cuidadosa evaluación de los parám etros funcionam iento y costo antes de
optar por alguna de las posibilidades presentadas.
5.00
4.75
J. J.
1.80
L=7.05
P r o b le m a 8.7
R esolver el problem a 8.6 utilizando un cim iento com binado con sección en
form a de “T ” invertida.
S o lu c ió n
F ig u ra 8.30
El dim ensionam iento en planta es sim ilar al del problem a anterior; la
longitud del cim iento depende de la localización del centro de gravedad de
las cargas de las colum nas y por lo tanto resulta igual; en cuanto al ancho,
que es una función del peso propio del cim iento, siendo un poco m enor en
este caso, resulta tam bién igual por aproxim ación, así:
A rea de cim entación =
B=
14 25
1425
100
= 14.25 m
2
= 2 .0 2 m ~ 2.05 m
7.05
Cargas:
C argas de colum nas:
=
1250 kN
Peso propio cto (14% ):
=
175 kN
C arga total:
1425 kN
L = 7.05 m; B = 2.05 m
a neta = 86.49 kN /m 2
q £ = 177.30 kN /m
a) D iseño transversal (aletas):
M borde =
86.49 * 0 .7 7 5 2
Cj
ocn71M
= 25.97 kN-m
<j)Mn = 1.5*25.97 = 38.96 kN-m
Para este m om ento y una cuantía cercana a 0.0020 se obtiene: d = 0.23 m.
Se adopta h= 0.30 m y por tanto d = 0.21 m.
470
471
l
Capítulo 8 Cim entaciones
Estructuras de C oncreto I
C o n b = 0 .5 0 m y p = 0 .0 0 3 3 se o b tie n e
h= 1 -05 m y d = 0 .9 6 m.
p = 0 .0 0 2 4 0 8 y A s = 0 .0 0 2 4 0 8 * 1 .0 0 * 0 .2 1 = 0 .0 0 0 5 0 6 m 2
A , m ín im a = 0 .0 0 1 8 * 1 .0 0 * 0 .3 0 = 0 .0 0 0 5 4 0 m 2
d = 0 .9 5 m y se ad o p ta
A c o n tin u a c ió n se d ise ñ a p a ra q l = 17 7 .3 0 k N /m
R e fu e rz o : <})3/8c/0.13
(A )
V b o rd e = 8 6 .4 9 * 0 .7 7 5 = 6 7 .0 3 kN
M
Vu = 1 .5 * 6 7 .0 3 = 100.55kN
(kN-m) =
(kN-m ) =
4 ,M n
4)VC = 0 . 7 5 * 0 .1 7 * \ Í 2 \ A * 1 .0 0 * 0 .2 1 * 1000 = 122.90 kN
P =
v u < <t>vc
A s ( m 2) =
A rm a d u ra :
54 (j> 3 /8 ” c /0 .1 3 m.
(§ )
401.01
3 2 8 .5 0
60 1 .5 2
49 2 .7 5
0 .0 0 3 6 0 9
0 . 0 0 3 3 ( m ín )
0 .0 0 1 7 3 2
0 .0 0 1 5 8 4
(j>superior:
3 (> 7/8"
4 <j)7/8" + 1 4>3/4”
<j) inferior:
2 <{>7/8"
2 <j) 7/8"
i
3 <{>7/8" 2 <j>7/8”
3 4>7/8" 2
<(. 3/4"
2 <J) 3 /8 ” lo n g itu d in a le s: u n a a c a d a lado d e la viga.
V
(kN)
V
borde c o lu m n a =
=
vu=
<J)VC
(k N /m 2) =
vu-<t>vc=
S
(m) =
2 2 .1 6
3 7 7 .8 4
5 0 8 .7 0
3 4 1 .3 0
35 5 .6 8
48 6 .5 4
3 1 9 .1 4
5 3 3 .5 2
729.81
4 7 8 .7 1
2 8 0 .9 1
280.91
280.91
448.91
197.80
2 5 2 .6 1
1.68 + 0 .9 6
0 .9 5 + 0 .9 6
= 2 .6 4
=1 .9 1
Estribos:
8s(j)
0.7 4 + 0 .9 6
=
1.70
17e 4> 1/2" c/0.17 £ <J) l/2 ”c/0.39
1/2" c/0 .3 0
~ aprox.
,
5 4 0 3 / 8 L = 2 . 1 5 c / 0 . 13
1.90
—>
Notas:
Figura 8.31
1.
b)
D iseñ o lo n g itu d in al:
A p a rtir d el d ia g ra m a d e m o m e n to s de flex ió n del p ro b le m a anterior, y
p a ra u n m o m e n to p ro m e d io d e 3 6 4 .7 6 kN -m y U = 1.5 se d eterm ina la
a ltu ra de la v ig a de m a n e ra q u e la a rm a d u ra p o r flex ió n sea
a p ro x im a d a m e n te la m ín im a:
472
T e n ie n d o en c u e n ta la in d e te rm in a c ió n en su trab ajo , p a ra la o b ten ció n
del n ú m ero d e e strib o s se p re fie re la e s p e c ific a c ió n d e l R e g la m e n to que
ex ig e su c o lo c a c ió n h a sta u n a d ista n c ia “d ” - a ltu ra e fe c tiv a - m ás allá
del p u n to d o n d e y a n o so n te ó ric a m e n te n e c e sa rio s y sin v a ria r su
sep a rac ió n .
473
Estructuras de C oncreto
2.
— Capítulo 8 C im entaciones
D e p e n d ie n d o d e la a ltu ra y p a ra h m a y o r de 9 0 0 m m en elem entos
e s tru c tu ra le s so m e tid o s a fle x ió n d eb e c o lo c a rse u n re fu erz o superficial
lo n g itu d in a l u n ifo rm e m e n te d istrib u id o en a m b a s c a ra s laterales del
e lem e n to d en tro d e u n a d ista n c ia h / 2 en la z o n a de tracció n , con el fin
de c o n tro la r el a g rie ta m ie n to .
c)
Detalle del refuerzo:
©
0.125
1.925
5.00
3 0 7 /8
6 0 1 /2 (ver corte)
4 0 7 /8 + 1 0 3 /4
,2 0 7 /8
)5 4 0 3 /8 c /0 .13
2 0 7 /8
A p a rtir d e la ex p resió n :
280
s = 380
-2 .5 c ,
en d o n d e
< 300
V fs ,
V fs ,
E 0 1 /2 _____________ | | |
11
1
8c/0 .3 0
fs= % f y = 2^*420 = 280
*
Se c o lo c a n 3 b a rra s N o 3 en ca d a cara
se p a ra d a s 0 .1 9 m m e d id o s ce n tro a centro
en tre c a d a b a rra y la b a rra a tracció n ya
ex isten te.
1 11
E 0 1 /2
6c/0 .3 9
*
1 0 7 /8 L=6.00
5.70
570
1 0 7 /8 + 1 0 3 /4 L=3.00
6 0 3 /8 L=7.15
6.90
207/8L=7.5O
6.90
1 0 7 /8 + 2 0 3 /4 L=4.10
3.85 ó 3.80
,4-
280 7
h/2 = 1.05/2 = 0 .5 2 5 m
1.00 ,
ü_
- 2 . 5 * 7 5 = 192 m m < 3 0 0 m m
17C/0.17
2 0 7 /8 L=7.50
6.90
í—
280
0.25
L=7.05
cc = es la m e n o r d ista n c ia d esd e la su p e rfic ie d el re fu e rz o a la cara
en tracció n : 75 m m
s = 380*
\ 3 0 7 /8+ 2 0 3 /4
—’
—,
Figura 8.32.a - R efuerzo longitudinal del nervio
3 0 7 /8 + 3 0 3 /4
3 0 3 / 8 c / 0 . 19
3 0 3 /8 c /O .1 9
'10 3 / 8
0 .0 5
0 .2 5
1 0 3 /8
7
CORTE A-A
5 4 0 3 / 8 c / 0 . 13
2 .0 5
t
5 4 0 3 /8 L = 2 .1 5 c /0 .13
t
1.90
>
2 0 3 /8 L = 7 .1 5
6 .9 0
Figura 8.32.b - Sección transversal viga T invertida
474
E 01/2L = 3.O 5
Capítulo 8 C im entaciones
E structuras de C oncreto I
E n el caso en q u e a m b a s c o lu m n a s so n in te rio re s, n o e x iste la lim itación de
la lo n g itu d L y p o r c o n sig u ie n te d el an c h o B, ad o p tán d o se estas
d im e n sio n e s d e m a n e ra q u e re su lte n a p ro p ia d a s, de a c u e rd o al siguiente
ejem p lo .
.-. B =
1 7 '6 7
= 2 . 3 2 5 - 2.35 m
7.60
Presión neta:
Problem a 8.8
a neta =
1550
= 8 6 .7 9 k N /m 2
7 .6 0 * 2 .3 5
D is e ñ a r u n a c im e n ta c ió n c o m b in a d a p a ra u n a c o lu m n a in te rio r de 0.50 x
0 .2 5 m q u e c a rg a P i = 7 0 0 k N y u n a c o lu m n a in te rio r a d y a c e n te de 0.65 x
0 .2 5 m q u e c a rg a P 2 = 8 5 0 k N , si los ejes d e las c o lu m n a s están separados
£ = 5 .0 0 m y el te rre n o tie n e u n a c a rg a de trab a jo de 0.1 M P a, em pleando
c o n c re to de f c = 21.1 M P a y re fu e rz o p a ra f y = 4 2 0 M P a en todos los
d iám etro s.
Solución
Se p ro c e d e a d im e n sio n a r en p la n ta h a c ie n d o c o in c id ir el c e n tro de gravedad
de las c a rg a s de las c o lu m n a s co n el c e n tro d e g ra v e d a d d el cimiento.
L u eg o , se d ise ñ a rá p a ra u n a s e c c ió n en fo rm a d e v ig a “T ” in v ertid a.
a)
D im e n sio n a m ie n to en p lan ta:
C e n tro d e g ra v e d a d de las c a rg a s d e las co lu m n as:
8 5 0 * 5 .0 0 = (850 + 700) x
. \ x = 2 .7 4 m
F igura 8.33
C o in c id e n c ia d el ce n tro d e g ra v e d a d de las c a rg a s co n el cen tro id e del
cim ien to :
- L - 2.74 + 1.06 = 3 .8 0
C arg a b a jo c im ie n to en kN /m : 8 6 .7 9 * 2 .3 5 = 2 0 3 .9 6 k N /m
L = 7 .6 0 m
2
b) D iseñ o lo n g itu d in al:
R eaccio n es:
C arg as:
C a rg a s d e co lu m n as:
=
1550 kN
P eso p ro p io (~ 14% ):
=
217 kN
=
1767 k N
T o tal:
A re a cim e n ta c ió n = A =
EP
1767
Ai
= - 2 0 3 .9 6 * 1.06
=
Ad
=
7 0 0 . 0 0 - 2 1 6 .2 0
=
4 8 3 .8 0 k N
Bi
Bd
=
=
3 1 4 . 1 0 - 8 5 0 .0 0
1.54 * 2 0 3 .9 6
=
=
- 5 3 5 .9 0 k N
3 1 4 .1 0 k N
1
= 17.67 m 2
j ,
*
P u n to d e a n u la c ió n d el corte: x 0 =
4 8 3 -8 0
477
OQ-7
— = 2 .3 7 m
/ I I
100
476
- 2 1 6 .2 0 k N
M n
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 8 C im entaciones
M o m en to s:
M
a
=
MR =
2 0 3 .9 6 * 1 .0 6 2
2 0 3 .9 6 * 1 .5 4 2
<D
= 114.58 kN -m
0 íl1 0 P l„T
= 2 4 1 .8 6 kN -m
,,
4 8 3 .8 0 * 2 .3 7
1 1/1C. Q
/1, 0 7 9 , M
M luz =
- 1 1 4 .5 8 = 4 5 8 .7 2 kN -m
2
A)
( B
M (kN-m) =
1 1 4 .5 8
4 5 8 .7 2
24 1 .8 6
(J,Mn = 1.5M
171.87
6 8 8 .0 8
3 6 2 .7 9
P=
0 . 0 0 3 3 ( m ín )
0 .0 0 4 6 5 3
A s (m 2) =
0 .0 0 1 5 0 2
0 .0 0 2 1 1 7
<|>su p erio r:
2 <t> 7/8 ",.2 <)) 7/8" +2 tf) 1”
(j) inferior:
4 <}>7/8"
2 «() 1”+ 3
2 ó 7/8”
4)
0 . 0 0 3 3 (m ín
0 .0 0 1 5 0 2
7/8"
2 <}>7/8”+2 4» 1" .2 ((. 7/8"
4 ó 7/8”
D ia g ra m a d e C o rta n te
4 8 3 .8 0
3 1 4 .1 0
V (kN) =
2 1 6 .2 0
4 8 3 .8 0
5 3 5 .9 0 3 1 4 .1 0
Vborde =
190.70
4 5 8 .3 0
5 1 0 .4 0
2 8 8 .6 0
vu
2 8 6 .0 5
6 8 7 .4 5
7 6 5 .6 0
4 3 2 .9 0
2 6 6 .2 8
2 6 6 .2 8
2 6 6 .2 8
2 6 6 .2 8
19.77
4 2 1 .1 7
4 9 9 .3 2
166 .6 2
1.5 Vborde =
=
S (m) =
ii
1
-5 3 5 .9 0
c<
D ia g ra m a de M om ento
158.72
-en<
<t>vc=
0 .0 6 + 0 .8 7 5
= 0 .9 3 5
1 1 4 .5 8
2 4 1 .8 6
E stribos:
1 .3 8 + 0 .9 1
1.6 3 + 0 .9 1
= 2 .2 9
e(f> 1 /2 ” c/0 .4 6 15e
= 2.54
(j)l/2 " c / 0 .1 7
F igura 8.34
2 0e <j) 1/2" c/0 .1 45
0 .5 4 + 0 .8 7 5
= 1.415
e(j)l/2 " c/0 .3 5
s/criterio de
separación)
A p a rtir d el d ia g ra m a d e m o m e n to s, se d e te rm in a la a ltu ra de la v ig a de
m a n e ra q u e la a rm a d u ra p o r fle x ió n s e a a p ro x im a d a m e n te la m ín im a; para
Notas:
u n m o m e n to p ro m e d io en la lu z y el a p o y o B de 3 5 0 .2 9 kN -m y u n an cho de
0 .5 0 m re s u lta d = 0 .9 3 m .
1.
C o m o en el p ro b le m a an terio r, se p re fie re c o lo c a r e strib o s h a sta u n a
d ista n c ia “d ” - a ltu ra efe c tiv a - m ás a llá d el p u n to d o n d e y a n o so n
te ó ric a m e n te n ec esario s.
2.
E l re fu e rz o su p e rfic ia l lo n g itu d in a l se c o lo c a co n el m ism o c rite rio del
p ro b le m a a n te rio r re su lta n d o 3 b a rra s N o 3 en ca d a ca ra se p a ra d a s
0 .1 9 m m e d id o s ce n tro a ce n tro e n tre c a d a b a rra y la b a rra a tra c c ió n y a
ex isten te.
Se ad o p ta h = 1.00 m y d = 0.91 m.
478
479
i
Capítulo 8 C im entaciones
E structuras de C oncreto I
c)
(j) D eta lle d e l refu erzo :
D iseñ o tra n s v e rsa l (aletas):
j
8 6 .7 9 * 0 .9 2 5 z
M b o rd e = ---------------------- = 3 7 .1 3 k N -m
(j)Mn = 1 .5 * 3 7 .1 3 = 5 5 .70kN -m .
P a ra este m o m e n to y u n a c u a n tía c e rc a n a a 0 .0 0 2 0 se o b tien e
d = 0 .2 7 m.
Se a d o p ta h = 0.35 m y d = 0 .2 6 m
.-.
p = 0 .0 0 2 2 4 1
- A s = 0 .0 0 2 2 4 1 * 1 .0 0 * 0 .2 6 = 0 .0 0 0 5 8 3 m 2
A smín = 0 .0 0 1 8 * 1 .0 0 * 0 .3 5 = 0 .0 0 0 6 3 0 m 2
V b o rd e = 8 6 .7 9 * 0 .9 2 5 = 8 0 .2 8 kN
2 0 7 /8 L=8.05
7.45
0.25
201" L=5.50
1 0 7 /8 L=3.00
Vu = 1 .5 * 8 0 .2 8 = 120.42kN
6 0 3 /8 L=7.70
7.45
(j)Vr = 0 .7 5 * 0 .1 7 * \ / 2 L T * 1 .0 0 * 0 .2 6 * 1 0 0 0 = 152.16 kN
207/8L=8.O 5
7ÁT
V U <<1>VC
2 0 7 /8L=3.45
3.15
2 0 7 /8L=2.45
2.15
A rm a d u ra :
CORTE A-A
2 <j>3 /8 ” lo n g itu d in a le s: u n a a c a d a lad o de la viga.
69 (j> 3 /8 ” c/0.11
, 0.50
2 0 1 "+ 2 0 7 /8
30 3 / 8 c / 0 . 19
3 0 3 / 8 c / 0 . 19
;0.10
0.25
■8 /
2.35
2.20
203/8L=7.7O
T 45
Figura 8.35
480
0.93
0.93
0.42
E1/2L=3.05
'4 0 7 / 8
6 9 0 3 /8 L = 2 .4 5 c /0 .11 .
220
1.00
1 0 3 /8
1-----------
6 9 0 3 / 8 L=2.45 c / O . l l
0.175
0.65
0.57
6 9 0 3 /8 c /O .l 1
0.42
Figura 8.36
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 8 C im entaciones
C im entación con viga de contrapeso
S e u s a m u y fre c u e n te m e n te co m o s o lu c ió n p a ra la c im e n ta c ió n aislada
e x c é n tric a d e u n a c o lu m n a de lin d ero y c o n siste en u n ir e sta cim entación a
u n c im ie n to a d y a c e n te o c o n tra p e so p o r m ed io d e u n a v ig a llam ada de
c o n tra p eso , co n el o b je to d e v o lv e r u n ifo rm e s las re a c c io n e s d el terreno bajo
la z a p a ta a isla d a ex c én trica .
pam bién, de a c u e rd o co n la fig u ra an terio r:
Rj = a * b c =
+AR
R 2 = a * a 2 = Z P 2 - AR
que so n las e x p re sio n e s q u e sirv e n d e b ase p a ra el d im e n sio n a m ie n to d e las
zapatas del sistem a.
En cu an to a la v ig a d e co n tra p e so , se a d o p ta el c rite rio de c o n s id e ra r la
sección c rític a p a ra fle x ió n al b o rd e d e la z a p a ta ex terio r, to m á n d o la h a c ia el
contrapeso:
Md = A R (f-d )
A c o n tin u a c ió n u n e je m p lo de c im e n ta c ió n co n v ig a de co n tra p eso .
P ro b le m a 8.9
R esolver el p ro b le m a
8 .6
, u tiliz a n d o el siste m a d e cim e n ta c ió n co n v ig a de
contrapeso.
S u p o n ie n d o q u e se ha lo g ra d o c o n v e rtir en u n ifo rm e la re a c c ió n d el terreno
b ajo la za p a ta a isla d a e x c é n tric a , la re su lta n te de e sta s re a c c io n e s R j estaría
a p lic a d a en el ce n tro de b y p o r lo tan to la c a rg a d e la c o lu m n a P i produciría
S olución
Se p ro c ed e a d im e n s io n a r en p la n ta el siste m a d e z a p a ta s y v ig a s de
contrapeso. L u e g o se d ise ñ a la v ig a de c o n tra p e so y fin a lm e n te las z a p a ta s
u n m o m e n to d e v o lc a m ie n to P r e q u e se c o m p e n sa co n u n a carg a de
de las co lu m n as.
c o n tra p e so AR, q u e p u e d e se r p arte de la c a rg a de la c o lu m n a a d y a c e n te P 2 o
u n c o n tra p e so in d e p e n d ie n te v in c u la d o p o r m ed io d e la v ig a a sí llam ad a de
c o n tra p e so y q u e te n d ría u n b ra zo (£ - e ) .
L la m a n d o E P j y S P 2 las ca rg as d e las c o lu m n a s a d ic io n a d a s al respectivo
p eso p ro p io de su s c im ie n to s y a la re a c c ió n del terren o b a jo ca d a u n o de
eso s cim ien to s, se p u e d e p lan tea r, u tiliz a n d o u n m a rg e n ad icio n a l de
se g u rid a d , la sig u ie n te e x p re sió n b á sic a de eq u ilib rio :
£ P ,- e = A R (¿ -e )
A R = ^ A
e x p re sió n a p a rtir de la cu a l se d im e n sio n a el c o n tra p e so n e c e sa rio para
e q u ilib ra r el sistem a.
Figura 8.38
482
483
Capítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
D im ensionam iento en planta:
C arg as:
P 2 (de c o lu m n a)
Z a p a ta de la c o lu m n a e x te rio r o d e lindero:
S e a d o p ta n las d im e n sio n e s de la z a p a ta p a ra la c o lu m n a ex terio r o de
lin d e ro d e m a n e ra q u e “b ” e sté a p ro x im a d a m e n te e n tre u n 40 y 50% de V y
d eb e te n e rse en c u e n ta o tras c o n s id e ra c io n e s p ro p ia s d el p royecto que
p u e d a n m o d ific a r el re q u isito an terio r.
C arg as:
P, (de co lu m n a)
=
400 kN
P eso p ro p io z a p a ta (13% )
=
52 kN
T o tal:
=
4 5 2 kN
=
8 5 0 kN
P eso p ro p io z a p a ta (9% )
=
77 kN
T o tal:
=
927 kN
IP
2
gn este caso se u sa p a ra el p e so p ro p io d el c im ie n to u n 9 % , p re v ie n d o que
esta za p a ta re su lte a liv ia d a en el p eso d el co n tra p eso .
J
.
,,
.
X P 2 “ AR
9 2 7 -6 1 .6 4
. __
2
A re a de c im e n ta c ió n : A = —
= ----- ——
= o.bo m
a
100
, . L , i Z i j ! i z £ Í tA . 0 65 -0.25 + 1(0 65 ~ °'25
IP ,
S e u sa p a ra el p e so p ro p io d el c im ie n to u n 13% , p re v ie n d o q u e esta zapata
s o p o rta rá ad e m á s el p eso d el c o n tra p eso , d e a c u e rd o a lo anteriorm ente
v isto .
S u p o n ie n d o u n a z a p a ta c u a d ra d a , re su lta:
2
V
4
V
2
4
L = 3 .1 5 m
A
8.65
a
L, = — = --------= 2.75 m .
1
L
3.15
la d o = 2 .1 3 m
Por tanto, las d im e n sio n e s d e la z a p a ta en p la n ta serán : 2.75 x 3.15 m etro s.
P o r tan to , en p rin c ip io se ad o p ta:
b = 1.45 m , lo cual im p lic a q u e e = 0 .6 0 m y d = 1.325 m .
X R. e
4 5 2 * 0 .6 0 fi1 C, 1M ,
,
,
A R = —— -— = ---------------- = 6 1 .6 4 k N de d o n d e
t-e
5 . 0 0 - 0 .6 0
= X V AR = 452 + 6 1 .6 4 =
ab
3
^
_
3
5Q m
2
R especto d e la v ig a d e c o n tra p eso , se ad o p ta, en p rin c ip io ,
apropiado p ara la c o lu m n a e x te rio r o d e lin d e ro d e 0.4 5 m .
u n an ch o
Diseño viga de contrapeso
1 0 0 * 1 .4 5
R e su lta n d o b = 0 .4 1 c, lo cual u n id a a o tras c o n sid e ra c io n e s de
G e o te c n ia y lo c a liz a c ió n en el p ro y e c to p a ra u n tra b a jo de conjunto,
p u ed e a su m irse a c e p ta b le p a ra este p ro b lem a .
a n e ta i=
8 5 0 - 6 1 .6 4
, M/
a n e ta 2 = ------------------= 9 1 .01 k N /m
2 .7 5 * 3 .1 5
4 0 0 + 6 1 .6 4
nn
2
= 9 0 .9 6 k N /m
F lex ió n :
C o n el c rite rio d e an c h o a n te s e n u n c ia d o y se c c ió n a p ro p ia d a p ara
d iseñ o a flex ió n :
M d = A R ( ¿ - d ) = 6 1 .6 4 * ( 5 .0 0 - 1 .3 2 5 ) = 2 2 6 .5 3 k N -m
1 .4 5 * 3 .5 0
á>M = 1 .5M d = 3 3 9 .8 0 k N -m
P a ra el c a so d e la z a p a ta d e la c o lu m n a in te rio r ad y a cen te:
484
485
Capítulo 8 C im entaciones
E structuras de C oncreto I
P a ra este m o m e n to , y c o n el c rite rio d e a rm a d u ra m ín im a se o b t i d i
d = 0 .7 9 m .
ne
2 6 7 .2 9
S e a d o p ta h = 0 .9 0 m y d = 0.81 m . ~ p min = 0.0033
A s = 0 .0 0 3 3 * 0 .4 5 * 0 .8 1 = 0 .0 0 1 2 0 3 n i 2
2 1 3 .3 1
A rm a d u ra :
3 § 3/4 ” + 2 <{>5 /8 ”
C o rtan te:
C a rg a lo n g itu d in a l b ajo la z a p a ta e x te rio r = 9 0 .9 6 * 3 .5 0 = 318.36 kN/m
F igura 8.39
R e ac cio n es:
Ai
=
0 .1 2 5 * 3 1 8 .3 6
=
Ad
=
400 -
= 3 6 0 .2 0 kN
3 9 .8 0
V b o rd e d e la c o lu m n a
3 9 .8 0 kN
= 3 6 0 .2 0 - 0 .1 2 5 * 3 1 8 .3 6 = 3 2 0 .4 0 kN
Utilizando e strib o s d o b le s (J> 3 /8 ”:
s=
<l>Avf yd
v u- * v c
V (d) = 3 6 0 .2 0 - 1 .3 2 5 * 3 1 8 .3 6 = - 6 1 .6 3 kN ~ A R (61.64 kN)
p a ra ss(j)3/8, s
0 .7 5 * 4 * 0 .0 0 0 0 7 1 * 4 2 0 0 0 0 * 0 -8 1 = ( ) ? 7 m
267 29
q u e se p re s e n ta co m o u n v a lo r d e re v isió n d el p ro c e so con un
re s u lta d o co rrec to
x 0 = p u n to d e a n u la c ió n d el c o rte =
= 1 .1 3 m
F
3 1 8 .3 6
También en este caso , p o r la in d e te rm in a c ió n q u e im p lic a el tra b a jo d e la
cim entación a n te rio rm e n te ex p u e sta , p a ra la o b te n c ió n d el n u m e ro de
estribos se p re fie re la e sp e c ific a c ió n d e su c o lo c a c ió n h a s ta u n a d ista n c ia
"d" sie n d o “d ” la a ltu ra e fectiv a, m ás a llá d e l p u n to d o n d e y a no so n
teóricam ente n e c e sa rio s (0.56 + 0.81 = 1.37 m ); p o r tan to se c o lo c a 7
Vu = 3 2 0 .4 0 * 1 .5 0 = 4 8 0 .6 0 kN
estribos d o b le s * 3 /8 ” c /0 .2 7 (S = 1.62 m > 1.37 m re q u erid o s).
D ise ñ a n d o lo s e strib o s al b o rd e d e la co lu m n a , resu lta:
(j)Vc = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 TT1 * 0 .4 5 * 0 .8 1 * 1 0 0 0 = 213.31 kN
(|)VS = 4 8 0 .6 0 - 2 1 3 .3 1 = 2 6 7 .2 9 k N
x = 2 6 7 .2 9
4 8 0 .6 0
1 3 _ Q 125) =
v
Q 56
Dado q u e se c o n s id e ra d e e sp e c ia l im p o rta n c ia p a ra la c o lo c a c ió n del
refuerzo, se p re se n ta n a c o n tin u a c ió n lo s d ia g ra m a s d e c o rta n te y m o m e n to
a que re s u lta so m e tid a la v ig a de c o n tra p e so d ise ñ a d a y lu eg o u n d eta lle de
su a rm a d u ra c o rre sp o n d ie n te .
m
'
486
487
Capítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
petalle d el refu erzo :
A rm a d u ra:
(5)
0.125
0.125
Tr
(j> S u p erio r:
3<j) 3 /4 " + 2(f> 5 / 8 ”
. 2<j) 3 / 4 ”
2
(j> In ferio r:
3 (j> 3 / 8 ” __________
3 (j> 3 / 8 ”
3 (1)3/8"
3 /4 ”
2 0 3 /4
3 0 3 /4 + 2 0 5 /8
0.90
\3 0 3 /8
0.25 0.125
E dobles 0 3 /8
7 s e 4) 3 /8 ” c /0 .2 7 a p a rtir del b o rd e d e la co lu m n a
E strib o s
7 c /0 .2 7
+ ee<f) 3 /8 ” c /0 .5 0 co n stru c tiv o s, en el re sto d e la longitud.
0.80 I
1
7 c /0 .5 0
0155
0.25
7/0 .78
0.25
E3/8L=2.31
®
D ia gra m a de C o rta n te (kN)
0.125
0.78
3 0 3 /4 L=6.45_________
5.15
1 0 3 /4 +205/8L=4.5O
4.25 ó 4.275
303/8L=5.4O
5.15
360.20
\
F igura 8.41
IJ61.63 ~AR=61.64 kN
39.80
Diseño de Zapatas:
2
Z a p a ta b a jo c o lu m n a ex terio r:
a n e ta i = 9 0 .9 6 k N /m
1.13 m
Diagrialma de M om en to (kN m)
M
M d = 226.53
525
Figura 8.42
F igura 8.40
F lex ió n :
Se c o n sid e ra n v o la d iz o s en el se n tid o larg o , so p o rta d o s en la v ig a
d e c o n tra p eso :
489
488
Capítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
..
9 0 .9 6 * 1 .4 5 * 1 .5 2 5 2
M = ------------------------------- = 153.36 kN -m
D e ta lle del refu erzo :
2
(j)Mn = 1 .5 *153.36 = 2 3 0 .0 4 k N -m
C o n sid e ran d o u n esp e so r a p ro p ia d o p a ra a rm a d u ra m ín im a, resulta para
p = 0 .0 0 2 0 u n a “d ” = 0 .4 6 m.
P o r lo tan to h = 0.55 m ; d = 0 .4 6 m ; h m ín im a = 0 .2 5 m
.-.A s = 0 .0 0 2 0 * 1 .4 5 * 0 .4 6 = 0 .0 0 1 3 3 4 m 2
A s m ín im a = 0 .0 0 1 8 * 1 .4 5 * 0 .5 5 = 0 .0 0 1 4 3 6 m 2
A rm a d u ra:
1201/2L=3.7Oc/O.12
12 4> 1 /2 ” c /0 .1 2 e n el se n tid o de 3.50 m
3.35
2 ({>3/8” se p a ra d o s 0 .7 2 5 m a cada lado de
(2+2)03/8L=1.55 (2 a cada lado de la viga)
la v ig a en el se n tid o d e 1.45 m.
1.30
C ortante:
Figura 8.43
R ev isió n al b o rd e de la viga:
Zapata bajo colum na interior:
V borde v ig a = 9 0 .9 6 * 1 .4 5 * 1 .5 2 5 = 2 0 1 .1 4 kN
Vu =
1.5*201.14 = 3 0 1 .7 1 k N
a n e t a 2 = 9 1 .01 k N /m 2
F lex ió n :
(|>VC = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 U * 1 .4 5 * 0 .4 6 * 1000 = 3 9 0 .3 5 kN
M b o rd e d e c o lu m n a =
Vu < 4>Vr
<j)Mn = 1 .5 * 2 2 3 .9 7 = 3 3 5 .9 6 k N -m
9 1 -0 1
* 3.15 * 1 ,2 5 z = m
Figura 8.44
490
491
g ? fcN m
Capítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
C o n sid e ra n d o u n esp e so r a p ro p ia d o p a ra a rm a d u ra m ín im a, resu lta para
p = 0 .0 0 2 0 u n a “d ” = 0 .3 8 m.
(|)VC = 0 .7 5 * 0 .8 3 * V 2 L 1 *
f 4 0 * 0 .3 8
+ 2 * 3 .4 4 * 0 .3 8 * 1 0 0 0
3.44
S e a d o p ta h = 0 .5 0 m; d = 0.41 m ; h m ín im a = 0.25 m
<|)VC= 2 3 9 7 3 .6 8 k N
.-.
A s = 0 .0 0 1 7 5 5 * 3 .1 5 * 0 .4 1 = 0 .0 0 2 2 6 7 m 2
A s m ín im a = 0 .0 0 1 8 * 3 .1 5 * 0 .5 0 = 0 .0 0 2 8 3 5 m 2
A rm a d u ra:
••• VU<(|)VC
22 <|> 1/2" c / 0 .145 e n el se n tid o d e 2.75 m.
(a.3) <t>Vc =(|) 0 . 3 3 ^ /fJb od =
0 .7 5
* 0 . 3 3 * V 2 L 1 * 3 .4 4 * 0 .3 8 * 1 .0 0 0
19 4> 1 /2 ” c/0 .1 4 5 e n el se n tid o d e 3.15 m.
4)Vc = 1 4 8 5 .2 4 kN
C o rtan te:
V u <(j>Vc
a) A c c ió n en d o s d irec cio n es:
E sta re v isió n ta m b ié n se p u ed e e fe c tu a r a p a rtir de:
V (d/2) = 9 1 .0 1 * 1 /2 * [(3 .1 5 + 1.06) * 1 .0 4 5 + (2 .7 5 + 0 .6 6 ) * 1.045] *2
'0 .1 7 * (1 + 2 /p ) = 0 .1 7 * (1 + 0.77) = 0 .3 0
V (d/2) = 7 2 4 .4 4 k N
(t)Vc
V = 1 .5 *724.44 = 1 0 8 6 .6 6 k N
d = 0 .4 1 - 0 .2 5 -
0 .2 5 * 1 .0 4 5 \
^
0.83(ccsd / b o + 2) = 0 .8 3 * 6.94 = 5.76
b od
/. <|)VC c o rre sp o n d e a $ 0 . 1 7 ^ (1 + 2 /p ) b 0d
= 0 .3 8 m
1.20
b)
(a .l) <t>Vc = (|)0 .1 7 ^ fJ
A c c ió n co m o v ig a:
V (d) = 9 1 .0 1 * 0 .8 4 * 3 .1 5 = 2 4 0 .8 1 k N
v
Py
V
4>VC =
0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 lT I*
1+
0.65
0.25
(J)Vc = 1 3 5 4 .0 6 kN
(j)Vc = ( ( > 0 .8 3 ^
= 1.5 * 2 4 0 .8 1 = 3 6 1 .2 2 k N
* 3 .4 4 * 0 .3 8 * 1 .0 0 0
0 .2 5 * 0 .8 4
d = 0 .4 1 - 0 .2 5 -
\
= 0 .3 3 5 m
1.20
(J)VC= 4)0.17VfJbwd*1000
••• V U<(^VC
(a.2)
0 .33
<j)Vc = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 Ü * 3 .1 5 * 0 .3 3 5 * 1 0 0 0 = 6 1 7 .5 6 kN
a ¿
+2 b d
P o r lo tan to V u < <j)Vc
v bo
492
493
Capítulo 8 C im entaciones
E structuras de C oncreto I
D e ta lle d el refu erz o :
/d térm in o d e e s ta b re v e m u e s tra d e C im e n ta c io n e s S u p e rfic ia le s o D ire ctas,
eS p reciso a g re g a r q u e a u n q u e c a d a c a so d e c im e n ta c ió n tie n e u n a so lu c ió n
que p a re c e la m ás a p ro p ia d a , e n s u e le c c ió n y ad o p c ió n d eb e p ro c e d e rse
siem pre d e co m ú n a c u e rd o c o n el In g e n ie ro d e S u e lo s y F u n d a c io n e s, y si
en alg ú n c a so p a rtic u la r se p re s e n ta ra n d o s o m á s tip o s d e fu n d a c io n e s
aceptables, la e le c c ió n fin a l d e p e n d e e n m u y b u e n a p arte , e n tre o tro s
factores, d e lo s p re s u p u e s to s p a ra c a d a a lte rn a tiv a .
Cimentaciones de profundidad
3.00
2201/2L=2.95c/O.145_
2.60
F igura 8.45
T ra n sm isió n d e los e sfu e rz o s d e la c o lu m n a a la z a p ata
a)
R e siste n c ia al ap la sta m ie n to
Pu = 1275 kN
R e siste n c ia al ap la sta m ie n to en la b a se de la co lu m n a:
<l>Pnb = < (> (0 .8 5 ^ ,) = 0 .6 5 * (0.85 * 21100 * 0.25 *0.65) = 1894 kN > Pu
R e siste n c ia al a p la sta m ie n to en la zap ata:
Como se m e n c io n o al c o m ie n z o d e este cap ítu lo , se d en o m in a n de esta
m anera las c im e n ta c io n e s q u e tra n sm ite n o d isip a n su c a rg a en e stra to s
profundos, p rin c ip a lm e n te p o r m ed io d e p ilo te s o ca jo n e s de c im en tac ió n .
Desde el p u n to d e v is ta e stru c tu ra l, q u e c o rre sp o n d e al a lc a n c e ú n ico d e este
texto, d is tin g u im o s d o s p artes: el d ise ñ o d el p ilo te o ca jo n e s de cim e n ta c ió n
propiam ente d ich o y el d ise ñ o d e la lla m a d a cim e n ta c ió n s o b re el p ilo te o
cajón d e cim e n ta c ió n c u y a fu n c ió n es la d e tra n sm itir la c a rg a d e la c o lu m n a
a los e le m e n to s a n te s m e n c io n a d o s. E n este m ism o o rd e n se tra ta ra n a
continu ació n las c im e n ta c io n e s s o b re p ilo te s y lu eg o so b re c a jó n de
cim entación.
Cimentación sobre pilotes
Se d istin g u e n d o s g ra n d e s cla se s d e p ilo te s, d e p e n d ie n d o d e su fu n c ió n y de
su fa b ricació n :
(|>Pllb = <j>(0.85fc'A , )-v/A 2 / A , < 2<t,(0.85fc'A ,)
A 2 = (1.00 + 0.25 + 1 .0 0 ) * (1.00 + 0 .6 5 + 1 .0 0 ) = 5 .9 6 n r
T ra b a jo d e p u n ta
T ra b a jo p o r fric ció n
T ra b a jo co m b in ad o
I. P o r su fu n c ió n
P o r lo tan to V T 7 T = 7 5 .9 6 /0 .1 6 2 5 = 6 .0 6 > 2
<t>Pnb = 0 .6 5 * (0 .8 5 * 2 1 1 0 0 * 0 .2 5 * 0 .6 5 ) * 2 = 3788 k N > Pu
b)
TT „
P
,
II. P or su fa b ric a c ió n
P re fa b ric a d o s
F u n d id o s en e , ^
L o n g itu d d e d e sa rro llo d el re fu e rz o d e la co lu m n a:
S u p o n ie n d o la c o lu m n a re fo rz a d a c o n <f>5/8" de fy = 420 M P a:
^ db = 349 m m < d (adoptado)
49 4
D esde el p u n to d e v is ta e stru c tu ra l, in te re sa la fo rm a co m o el p ilo te
transm ite o d isip a la ca rg a, p a ra d e te rm in a r lo s e sfu e rz o s a q u e estará
som etid a c u a lq u ie r s e c c ió n d el m ism o y p o r tan to d e fin ir su d iseñ o : ta m b ié n
es p re c iso te n e r en c u e n ta la fo rm a co m o fue fa b ric a d o , en la b ú sq u e d a de
495
Capítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
lo s e sfu e rz o s c a u sa d o s d u ra n te su m a n e jo (izado e h in cad o ) y, d esd e luego,
d u ra n te su v id a útil.
P a ra el d iseñ o d e los p ilo te s se p ro c e d e b á s ic a m e n te a tra ta rlo s com o
co lu m n as, y su c o n sid e ra c ió n co m o c o rta s o e sb e lta s d e p e n d e rá d el grado de
c o n fin a m ie n to q u e les im p a rta n lo s estra to s a tra v e sa d o s p o r el pilote; asi
m ism o , la lo n g itu d d el re fu e rz o se rá u n a fu n c ió n , en tre otras
c o n sid e ra c io n e s, d e la d isip a c ió n de la c a rg a del p ilo te p o r fric ció n con el
te rre n o q u e lo ro d e a del g ra d o d e h o m o g e n e id a d d el m ism o terren o y de la
lo c a liz a c ió n d el re fu e rz o tra n sv e rsa l q u e se re q u ie ra . Ig u alm en te, la
a rm a d u ra tra n sv e rsa l, ad e m á s de su s p ro p ia s e sp e c ific a c io n e s, d eb e ser apta
p a ra las fu e rz a s de co rte d e fin id a s p o r el in g e n ie ro a s e s o r d e su elo s y
fu n d a c io n e s y c u m p lir las e sp e c ific a c io n e s c o n te n id a s en el C a p ítu lo C .15 y
el T ítu lo H d el R eg la m e n to . S i a d ic io n a lm e n te se tra ta d e p ilo te s hincados,
es d e v ita l im p o rta n c ia p re c isa r la fo rm a co m o se rá n m a n e ja d o s y el tipo de
m a rtillo q u e se u tiliz a rá e n su hin ca, p a rá m e tro s e sto s q u e d eterm in a rán la
ca n tid a d , lo c a liz a c ió n y d e ta lla d o d el re fu e rz o c o rre sp o n d ie n te . Se
re c o m ie n d a a lo s le c to re s p ro v e e rse d el ca tá lo g o d e los e q u ip o s d e hincado
q u e e n m u c h o s c a so s re su lta d e e sp e c ia l im p o rta n c ia p a ra lo g ra r u n buen
problema 8.10
D iseñar la c im e n ta c ió n s o b re p ilo te s d el tip o d e z a p a ta aislad a , si se
utilizarán p ilo te s de co n c re to fu n d id o s en el sitio d e 0 .6 0 m d e d iá m e tro
com o s o lu c ió n p ara u n a c o lu m n a de 0 .4 0 x 0 .7 5 m (20 4>5/8" p ara
fy = 240 M P a) q u e c a rg a 2 0 0 0 kN , y s i d e ac u e rd o co n el in fo rm e d e su elo s
y re c o m e n d a c io n e s d e c im e n ta c ió n , lo s p ilo te s se lo c a liz a rá n c o n u n a
sep aració n de u n a y m ed ia v e c e s el d iám etro (0.90 m) y su c a rg a d e trab a jo
será d e 6 0 0 k N p o r p ilo te, u tiliz a n d o c o n c re to de fe = 21.1 M P a y a c ero
para f y = 240 M P a.
Solución
Una v e z c o n o c id a s las c a ra c te rís tic a s y c a rg a s de las c o lu m n a s al n iv el de
cim entació n , se d eb e p ro c e d e r a o b te n e r de lo s c o n tra tista s d el p ilo ta je la
solución p re su p u e sta l m ás c o n v e n ie n te p a ra el p ro y e c to en d iseñ o ;
establecid a ésta, de c o m ú n a c u e rd o co n el in g e n ie ro a se so r de su e lo s y
fundaciones, se d e fin irá n las e sp e c ific a c io n e s d el p ro y e cto , n o so la m e n te de
los p ilo te s p ro p ia m e n te d ich o s, sin o d e la cim e n ta c ió n s o b re lo s m ism o s.
1) D iseñ o d el pilote:
d iseñ o .
C arg as:
E n lo re la tiv o a las d e n o m in a d a s c im e n ta c io n e s so b re p ilo te s, e x isten las
m ism a s cla se s q u e en las lla m a d a s c im e n ta c io n e s d irectas, en d o n d e si a
p a rtir de la c a rg a d e la c o lu m n a o m u ro se b u sc a su c o in c id e n c ia co n el
c e n tro de g ra v e d a d de las re a c c io n e s d e los p ilo te s a p lic a d a s en el ce n tro de
lo s m ism o s, se ten d rá n c im e n ta c io n e s s o b re p ilo te s en v ig a s p a ra m u ro s, en
z a p a ta s a isla d a s p a ra c o lu m n a s c e n tra le s, c im e n ta c io n e s c o m b in a d a s y
c im e n ta c io n e s co n v ig a d e c o n tra p e so co n las m ism a s e s p e c ific a c io n e s y
p ro c e d im ie n to s d e d ise ñ o q u e a n te s se a n a liz a ro n en este c a p ítu lo , y co n la
ü n ic a d ife re n c ia q u e sig n ific a no te n e r c a rg a s u p u e sta u n ifo rm e b a jo los
e le m e n to s de c im e n ta c ió n , sin o c a rg a s c o n c e n tra d a s en las ca b eza s de los
p ilo te s. A m a n e ra de ilu stra c ió n d e lo a n te rio rm e n te e x p u e sto se p re sen ta un
e je m p lo d e d ise ñ o d e u n a cim e n ta c ió n so b re p ilo te s en z a p a ta a isla d a para
u n a c o lu m n a cen tral.
D e co lu m n a:
P
P eso p ro p io cim ien to : (7% de P)
T o tal:
IP
2 0 0 0 kN
=
140 kN
=
2 1 4 0 kN
En el a n á lis is d e ca rg a s a n te rio r, se h a c o n sid e ra d o q u e el p e so p ro p io d e la
cim entació n es so p o rta d o p o r lo s p ilo te s. P o r tan to :
N o. de p ilo te s =
v
= 3 .5 7 ~ 4 p ilo tes.
600
Se a c la ra a q u í ta m b ié n q u e en la c a rg a d e tra b a jo d el p ilo te d e te rm in a d a p or
el In g e n ie ro de S u e lo s y F u n d a c io n e s se ha in v o lu c ra d o el d en o m in ad o
factor de e fic ie n c ia d e g ru p o . P o r tan to :
C arg a p o r p ilo te = Ü Í 2 . =
496
=
535
kN
Capítulo 8 C im entaciones
E structuras de C oncreto I
A c e p ta d a la c o n d ic ió n de c o n fin a m ie n to d el te rre n o q u e ro d e a al pilote y de
u n e fic ie n te tra b a jo p o r fric c ió n q u e rá p id a m e n te d isip a la carg a, a partir de
las n o rm a s e x p u e sta s en el c a p ítu lo 6 d e este tex to y la e sp e cificac ió n que
p erm ite la u tiliz a c ió n d e u n á re a e fe c tiv a re d u c id a h a sta la m ita d del área
to tal c u a n d o la se c c ió n tra n sv e rsa l e s m a y o r q u e la re q u e rid a por las
c o n s id e ra c io n e s d e carg a, así co m o las e s p e c ific a c io n e s d el C ap ítu lo C.15
d el R e g la m e n to (C im en tacio n es), es p o sib le u n a so lu c ió n d e d iseñ o com o la
q u e se d e ta lla a co n tin u a c ió n , p a ra e s tru c tu ra s co n c a p a c id a d esp e cial (DES)
y m o d e ra d a (D M O ) de d isip a c ió n de en erg ía.
gn este caso, p a ra cu a tro p ilo te s resu lta:
Flexión:
S e d ise ñ a p a ra el s e n tid o m á s d esfav o rab le :
M b o rd e d e la c o lu m n a = 2 * 5 3 5 * 0 .5 5 = 5 8 8.5 kN -m
(J)Mn = 1 .5 * 5 8 8 .5 = 8 8 2 .7 5 k N -m
1.00
n «n
7 0 5 /8
E strib o s 0 3 / 8 colocados e n form a de
e sp iral con u n a s ep a ra c ió n de: 75m m
e n los 1 .20 m su p e rio re s y 16 d iám etros
d e la b a rra lo n g itu d in al (0.25 p a ra este
caso) a lo largo d e la z o n a reforzada.
Figura 8.47
Con el m ism o c rite rio y a u tiliz a d o de a d o p ta r u n e sp e so r d e la z a p a ta de
m anera q u e el re fu e rz o a c o lo c a r sea a p ro x im a d a m e n te el m ín im o , se
0.60
Figura 8.46
C ab e a d v e rtir q u e esta so lu c ió n d e d iseñ o , q u e c o rre s p o n d e a u n a de las
a lte rn a tiv a s m ás u tiliz a d a s en n u e stro m ed io , es só lo p o sib le en aquellos
ca so s e n q u e se v e rifiq u e el c u m p lim ie n to d e las p re m isa s e x p re s a d a s arriba.
2)
D iseñ o d e la za p ata:
obtiene p a ra p = 0.0 0 2 5 :
h = 1.00 m y d = 0.84 m.
.-.
A s = 0 .0 0 2 5 * 2 .4 0 * 0 .8 4 = 0 .0 0 5 0 4 0 m 2
A s m ín im a = 0 .0 0 2 0 * 2 .4 0 * 1 .0 0 = 0 .0 0 4 8 0 0 m 2
D im e n sio n a m ie n to en planta:
A rm a d u ra :
18 (j) 3 /4 ” c /0 .13 m en ca d a d irec ció n .
E s u n a fu n c ió n del n ú m ero d e p ilo te s, d e su d iá m e tro y su se p a ra c ió n y en
c ierto m o d o in d e p e n d ie n te de la fo rm a y ta m a ñ o d e la co lu m n a.
498
499
Capítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
£n el p re se n te p ro b lem a , la in te rp o la c ió n c o n re sp e c to a la sec c ió n re siste n te
en cad a c a so d e la v e rific a c ió n , se p u e d e re s u m ir en el e sq u e m a q u e a p a rec e
en la fig u ra 8 .49, en d o n d e la re a c c ió n d el p ilo te q u e e sté d pii0te/2 = 0 .3 0 m o
más d e n tro de la s e c c ió n no se tien e en c u e n ta co m o p ro d u c to ra d e co rta n te
en esa s e c c ió n y la re a c c ió n d el p ilo te q u e e stá dPiiote/2 = 0 .3 0 m o m ás p o r
fuera d e la s e c c ió n se c o n sid e ra en su to ta lid a d co m o p ro d u c to ra d e co rtan te.
D e ta lle d el refu erzo :
2.25
Figura 8.48
C o rtan te:
M á s q u e u n d iseñ o , es u n a v e rific a c ió n p a ra la a c c ió n en d o s d ireccio n es y
p a ra la a c c ió n co m o v ig a, ig u al q u e en las z a p a ta s a n te rio rm e n te diseñadas.
S in e m b a rg o , p a ra te n e r en c u e n ta las p e q u e ñ a s d ife re n c ia s q u e puedan
e x istir e n tre los p la n o s y la lo c a liz a c ió n en o b ra d e los pilotes, el
R e g la m e n to c o lo m b ia n o c o n tie n e p a ra el c á lc u lo d e l c o rta n te la s siguientes
e s p e c ific a c io n e s del A rtíc u lo C. 15.5.4 q u e a c o n tin u a c ió n se tran sc rib e en
su s a p a rte s c o rre sp o n d ie n te s:
Figura 8.49
De ac u erd o co n la fig u ra , só lo es p o sib le la v e rific a c ió n d el c o rta n te p a ra el
denom in ad o c o m p o rta m ie n to en d o s d ire c c io n e s a la d ista n c ia d / 2 d el b o rd e
de la co lu m n a. L a in te rp o la c ió n lin eal de la re a c c ió n d e lo s d o s p ilo te s en
cada d ire c c ió n re s u lta ra en:
a) S e d eb e c o n sid e ra r q u e la re a c c ió n to ta l d e to d o p ilo te co n su centro
lo c a liz a d o dpii0te/ 2 o m ás h a c ia al la d o de a fu e ra de la sec c ió n produce
c o rta n te en d ich a sec ció n .
b) S e d eb e c o n sid e ra r q u e la re a c c ió n de c u a lq u ie r p ilo te c o n su centro
lo c a liz a d o dPiiote/ 2 o m ás h a c ia al la d o in te rio r d e u n a se c c ió n no produce
c o rta n te en d ic h a secció n .
0 43
P a ra la c o lu m n a en el s e n tid o d e 0.75 : —— * 535 = 3 8 3 .4 2 kN
0 .6 0
P a ra la c o lu m n a en el se n tid o de 0 .4 0 :
0.60
* 535 = 2 4 0 .7 5 kN
V (d/2) = 2 * (3 8 3 .4 2 + 2 4 0 .7 5 ) = 1 2 4 8 .3 4 k N
c) P a ra las p o sic io n e s in te rm e d ia s d el c e n tro d e l p ilo te, la p arte de la
re a c c ió n d el p ilo te q u e p ro d u c e c o rta n te en la se c c ió n d eb e b a sa rse en una
in te rp o la c ió n lin eal e n tre el v a lo r to ta l a d Piiote/ 2 h a c ia a fu e ra de la secció n y
el v a lo r cero c o rre sp o n d ie n te a d piiote/ 2 h a c ia a d e n tro d e la sec ció n .
500
V
= 1 .5 * 1 2 4 8 .3 4 = 1 8 7 2 .5 1 k N
(j>Vc =(t)0.17Vf;
b 0d d o n d e p = —
= 1 -875
0.40
,1 + P.
501
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 8 Cim entaciones
1+
<t>Vc = 0 . 7 5 * 0 .1 7 * V 2 U *
* 5 .6 6 * .8 4 * 1 0 0 0
Por lo tan to
A 2 / A j = ^ 5 .7 6 /0 .3 0 = 4.38 > 2
1.875
(j,Pnb = 0 .6 5 * (0 .8 5 * 2 1 1 0 0 * 0 .4 0 * 0 .7 5 ) * 2 = 69 9 4 .6 5 kN > Pu
(|>VC - 5 7 5 9 .5 6 k N
b) L o n g itu d d e d e sa rro llo d el re fu e rz o de la co lu m n a:
•• VU<^)VC
ctrd
(|)VC= * 0 . 0 8 3 ^
v bo
+2
b d en d o n d e a r = 40
y
<|>VC = 0 .7 5 * 0 .0 8 3 * V 2 U *
4 0 * 0 .8 4
5.66
+2
* 5 .6 6 * 0 .8 4 * 1 0 0 0
<|)VC = 1 0 7 8 6 .1 9 kN
••• V U<^)VC
(|)VC = (j)0.33^/fJbod = 0 .7 5 * 0 .3 3 * V 2 U * 0 .8 4 * 5 .6 6 * 1000
<|>VC = 5 4 0 1 .1 2 k N
Vu <(t)Vc
T ra n s m is ió n d e los e s fu e rz o s d e la c o lu m n a a la zapata:
a)
R e siste n c ia al ap la sta m ie n to
gl so b re sa lie n te e s p e s o r q u e n o rm a lm e n te se o b tie n e en el d ise ñ o d e este
tipo de c im en tac io n e s, s u m in is tra u n b u e n m a rg e n en cu a n to a la n e c e sa ria
longitud d e an c la je de lo s h ie rro s d e la co lu m n a. E n este caso , u n a b rev e
revisión al p ro b le m a 8 . 2 p erm ite c o rro b o ra r lo a q u í ex p resad o .
Modelo puntal - tensor
M term ino d e la p re se n te s o lu c ió n de cim e n ta c ió n s o b re p ilo te s, en d o n d e la
transmisión de la c a rg a de la c o lu m n a a lo s p ilo tes, o v ic e v e rsa , se e fe c tú a
por m ed io de la fle x ió n e n el cim ien to , se su g ie re al lecto r u tiliz a r
procedim ientos q u e c o m p ru e b e n o lim ite n el d iseñ o p re sen tad o , tal co m o el
denominado “m o d e lo d el p u n ta l-te n s o r” , ta m b ié n d e n o m in a d o “m éto d o de
las b ie la s ”, d e sc rito en el a p é n d ic e C -A d el R e g la m e n to N S R -1 0 , el cual
supone q u e las ca rg as lle g a a las c a b e z a s d e lo s p ilo te s p o r m ed io de u n o s
puntales e n c o m p re s ió n q u e se c o n sid e ra n fo rm a d o s d en tro de la za p a ta y
que a su v e z re q u ie re n de u n o s tira n te s o te n so re s en la b a se q u e les im p id e n
abrirse. P ara el d iseñ o lo s p u n ta le s s o n g e n e ra lm e n te id e a liz a d o s co m o
elementos p rism á tic o s e n c o m p re s ió n q u e p u ed e n se r id e a liz a d o s co m o de
ancho v aria b le. A c o n tin u a c ió n se p re s e n ta u n a m u e stra d e su
funcionam iento co m o u n a s o lu c ió n ad ic io n a l o d e c o m p a ra c ió n p ara el caso
de la z a p ata de cu a tro p ilo te s en estu d io :
Pu = 3000 kN
R e siste n c ia al a p la sta m ie n to en la b a se d e la co lu m n a:
<J)Pnb = + ( 0 . 8 5 ^ ) = 0 .6 5 * (0.85 * 2 1 1 0 0 * 0 .4 0 * 0 .7 5 ) = 3 4 9 7 .3 2 kN > Pu
R e siste n c ia al a p la sta m ie n to d e la zapata:
<t>P„b = <t>(0.85fc'A ,) 7 A 2/ A , < 24>(0.85fr'A ,)
J & 4 ____51L50—
A 2 = 2 .4 0*2.40 = 5 .76m 2
A
502
Jo a
$1
Sección A-A
Figura 8.50
503
Capítulo 8 C im entaciones
Estructuras de Concreto
esfu erzo s so n ig u a le s en to d a s las caras. L a d im e n sió n m ín im a se o b tie n e a
p artir del v a lo r fce=
k N /m 2:
Se tra ta d e e s ta b le c e r u n m o d e lo d e c e rc h a co n p u n tales y tensores
c o n e c ta d o s en los n o d o s, c a p a c e s de tra n sfe rir las carg as m ay o rd as a las
ca b e z a s de los p ilo te s. L o s n o d o s c o in c id e n co n los ejes de la colum na y de
lo s p ilo te s y e stá n lo c a liz a d o s co m o ap a re c e n en la figura. E l m odelo está
c o n stitu id o p o r d o s p u n ta le s (A -C y B -C ) y u n ten so r (A-B) y tres nodos (A
B y C ). A d ic io n a lm e n te la c o lu m n a y lo s p ilo te s c o rresp o n d en a las
re acc io n e s.
17935
La lo n g itu d d e la ca ra h o riz o n ta l en la z o n a n o d a l C c o rre sp o n d e a:
onnn^ 1 c
= £z
la sec c ió n d e la c o lu m n a es de
q u e p e rm ite la u b ic a c ió n de la cara.
:—
0.75*17935
^=0.470.40x0.65
La lo n g itu d de la s o tras c a ra s p e rp e n d ic u la re s a lo s p u n ta le s se p u ed e n
obtener:
804 *
= £2
q u e se p u e d e c o n sid e ra r lo c a liz a d a
d e n tro d e la z a p ata
L a lo n g itu d de los p u n ta le s = V o . 8 4 2 + 1 .0 6 2 = 1 .3 5
1:—
5
0.75*17935
P Í2 e v 2 )
2 0 0 0 * 4 24
L a fu e rza de tra c c ió n en los te n so re s = —
= ------------:— = 631 kN
16d
1 6 * 0 .8 4
P 1 35
L a fu e rz a en el p u n tal = — * —— = 804 kN
4 0.84
/
084 j
E l án g u lo e n tre el p u n tal y el te n so r en el n o d o A = arctg
= 38° > 25°
1.06
se g ú n el R eg lam en to .
|=0.30
la re siste n c ia efe c tiv a del c o n c re to (fce) para el puntal, a su m ie n d o un puntal
de sec c ió n tra n sv e rsa l u n ifo rm e a lo largo de su longitud.
Figura 8.51
f ce = 0 .8 5 p ,f c' = 0.85 * 1 .0 0 * 2 1 1 0 0 = 17935 k N /m 2
El cen tro d e la z o n a n o d al esta c e rc a d e la p a rte su p e rio r d e la z a p ata. L a
d e term in a ció n del n u d o A c o n firm a su fu n c io n a m ie n to y se d e sa rro lló en
este p ro b le m a c o n el p ro p ó sito d e e x p lic a r al le c to r su o b ten ció n .
L a re siste n c ia e fe c tiv a del c o n c re to para la zo n a nodal C co rresp o n d ien te a
u n a z o n a C -C -C , c o n p n = 1 .0
f ce = 0 .8 5 * 1 .0 0 * 2 1 1 0 0 = 17935 k N /m 2
N odo A
L a re siste n c ia en las zo n a s n o d a le s A y B c o rre sp o n d ie n te a u n a z o n a C-CT, co n p n = 0 .8 0
A p a rtir d e fce= 14348, el ta m a ñ o m ín im o d e la ca ra v e rtic a l d e la z o n a n o d al
A es:
6 3 1 *1.5
n i_
--------------------------- = 0.15 m
0 .7 5 * 1 4 3 4 8 * 0 .6 0
f ce = 0.85 * 0 .8 0 * 2 1 1 0 0 = 14348 k N /m 2
N odo C
El ce n tro d el te n so r se c o lo c a ra a 0.0 7 5 m de la c a b e z a de lo s p ilo tes.
A su m ie n d o u n a z o n a n o d al h id ro stá tic a en el nodo C, las c a ra s de la zona
n o d al so n p e rp e n d ic u la re s a lo s ejes d e lo s re sp ectiv o s p u n tales y los
El an c h o d el n o d o en A.
505
504
i
Capítulo 8 C im entaciones
E structuras de C oncreto
— —
=
0 .7 5 * 1 4 3 4 8 * 0 .6 0
0 .1 2
para el a n c la je de estas b a rra s se d eb e m e d ir su lo n g itu d d esd e el p u n to q u e
corresponde al té rm in o de la z o n a n o d a l e x te n d id a co m o se m u e stra en la
m
siguiente g ráfica:
F igura 8.52
R e siste n c ia d e los p u n tales:
L a re siste n c ia n o m in a l a la c o m p re s ió n d e u n p u n ta l
lo n g itu d in al; F ns, d eb e to m a rse co m o el m e n o r v a lo r de:
sin
refuerzo
Fns = f ce A es
e n lo s d o s e x tre m o s del p u n tal, d o n d e A cs es el á re a de la se c c ió n transversal
en u n e x tre m o del p u n tal y fce, es p a ra este caso, la re sis te n c ia e fe c tiv a a la
c o m p re sió n en el p u n tal
Longitud ex iste n te p a ra el d esa rro llo de las b arras: 0 .0 9 5 + 0 .0 6 + 0 .4 5 .075=0.53 q u e es su fic ie n te p a ra el c a so de b a rra s c o rru g a d a s en tra c c ió n
Fns = 1 4 3 4 8 * 0 .6 0 * 0 .3 0 = 2 5 8 3 kN ;
que term in an en u n g an c h o están d ar.
(j)Fns = 0 .7 5 * 2 5 8 3 = 1938 kN
Cimentación sobre cajones:
A partir de su fa b ricac ió n , se d istin g u e n d o s cla se s de ca jo n e s: lo s
excavados m e c á n ic a m e n te (e stab ilizad o s) y a q u e llo s c u y a e x c a v a c ió n se
efectúa d e m a n e ra m an u al. L o s p rim e ro s se co m p o rta n , d e sd e el p u n to de
vista de su d ise ñ o y fu n c io n a m ie n to estru c tu ra l, co m o lo s p ilo te s fu n d id o s
en sitio q u e se ex p u so an tes, c o n la o b v ia d ife re n c ia q u e im p lic a su g ran
sección. R e sp e c to de lo s seg u n d o s, a u n q u e b á sic a m e n te su c o m p o rta m ie n to
es igual, e x isten a lg u n a s e s p e c ific a c io n e s de d ise ñ o d irig id a s p rim e ro a su
construcción y lu e g o a su trab a jo , q u e se c o m e n ta rá n p o r c o n s id e ra rla s de
y se d eb e c u m p lir q u e <j)Fn > Fu en do n d e
Fu = 1 .5 * 8 0 4 = 1206 kN
R e siste n c ia de los tensores:
L a re s is te n c ia n o m in a l de lo s te n so re s se ca lc u la
F,„ = A Bf y
interés p a ra el lecto r.
D e donde : A s
631*1 5
:------= 0 .0 0 5 2 5 8 m 2 0 .7 5 * 2 4 0 0 0 0
506
11 b arras N ”
8
507
Capítulo 8 C im entaciones
Estructuras de C oncreto I
A d ic io n a l a lo an terio r, los p ila re s e x c a v a d o s a m an o se ju stific a n en
a q u e llo s c a so s en q u e los estra to s q u e se d e b e n a tra v e s a r im piden su
e x c a v a c ió n m e c á n ic a y su p ro c eso c o n stru c tiv o c o n siste en ex c a v a r tramos
de a p ro x im a d a m e n te u n m e tro de p ro fu n d id a d , re v e stir la ex cav ació n con
a n illo s d e c o n c re to co n o sin re fu e rz o de a p ro x im a d a m e n te un m etro de
lo n g itu d y u n esp e so r en tre 0 .1 0 y 0.15 m y lu e g o re lle n a rla co n un material
estru c tu ral c a p a z de re s istir c o m p re sió n , tal c o m o el c o n c re to ciclópeo. La
e v e n tu a lid a d de c o lo c a r o no re fu e rz o en lo s a n illo s d ep e n d erá de la
h o m o g e n e id a d d e los estra to s a tra v e s a d o s y, d e sd e lu eg o , d e la m agnitud de
lo s e sfu e rz o s a q u e se so m e te el a n illo e n fu n c ió n d el te rre n o q u e lo rodea y
la p ro fu n d id a d d e los m ism o s; en cu a n to a la c a lid a d d el m a te ria l de relleno
ésta se rá u n a fu n c ió n de la c a rg a de la c o lu m n a y p o r c o n sig u ien te de los
e sfu e rz o s q u e g en e re. A m a n e ra de ilu stra c ió n de los c o n c e p to s anteriores,
se re su e lv e el sig u ie n te p ro b lem a .
fc
=
0 .1 8 f c u tiliz a b le p a ra co n c re to cicló p eo ;
DP
=
d iá m e tro d e l pilar;
P
=
c a rg a de la co lu m n a. El p eso p ro p io d el pilar,
en este caso se c o n sid e ra so p o rta d o p o r la fric ció n
c o n el terren o q u e lo ro d ea.
•
"
T) =
p
4P
_
=
y 7 i* 0 .1 8 fc'
I
D iseñ a r la cim e n ta c ió n so b re u n pilar, p a ra u n a c o lu m n a d e 0 .4 0 x 0.75 m
(20 (j) 5 /8 ” de fy = 240 M P a) q u e c a rg a 2 0 0 0 k N , si se g ú n el inform e de
su elo s y re c o m e n d a c io n e s de c im e n ta c ió n el e stra to de cim e n ta c ió n está a
15 m etro s de p ro fu n d id a d co n u n a c a rg a d e tra b a jo d e 0.4 MPa,
co n sid e ra n d o d en tro d el p ro y e c to la c o lo c a c ió n d e v ig a s de a m arre en ambas
V
S i se a c e p ta u n d iá m e tro n e to m ín im o , p o r fa c ilid a d co n stru c tiv a , de
1.20 m y se u sa n a n illo s d e e s p e s o r 0 .1 0 m , re su lta ría Dp = 1.40 m.
D iá m e tro de la b ase:
Problem a 8.11
4*2000
. nn
------------------------ = 1 . 0 0 m
7 1 * 0 .1 8 * 1 4 1 0 0
I
P=
g
ttD 2
——
4
en do n d e:
o
=
C a rg a d e tra b a jo d el terren o .
Db
=
D iá m e tro de la b ase.
d irec cio n es. L o s a n illo s se c o n stru irá n en c o n c re to d e f c = 21.1 M P a y el
14
re lle n o se h a rá en c o n c re to c ic ló p e o c o n fo rm a d o p o r u n 6 0 % de triturado y
* 2 0 0 0 = 2 . 5 2 - 2.50 m.
40071
un 4 0 % d e c o n c re to de f c = 14.1 M P a.
L a tra n sic ió n e n tre el d iá m e tro de 1.40 m d el p ila r p ro p ia m e n te d ich o y
la b a se de 2.50 m d eb e h a c e rs e co n u n a p en d ie n te cu y o á n g u lo co n la
Solución
E n p rim e r térm in o se d ise ñ a el p ila r p ro p ia m e n te
c im e n ta c ió n s o b re el m ism o .
d ich o y
luego la
v e rtic a l n o sea su p e rio r a 30° y re m a ta rse co n u n s e g m e n to v e rtic a l
c u y a a ltu ra m ín im a s e a d e 0 .3 0 m . E sta tra n sic ió n y el se g m e n to
v e rtic a l se d e b e n re lle n a r c o n c o n c re to de f c = 21.1 M P a.
1)
D iseñ o d el pilar:
D iá m e tro d el pilar:
en do nde:
ttD 2
P = fc — -
A n illo s:
P a ra el c á lc u lo d e lo s e sfu e rz o s de c o m p re sió n , lo s a n illo s se
c o n sid e ra n co m o u n tu b o de p ared d e lg a d a en el cu a l la p re s ió n es u n a
fu n c ió n d e la p ro fu n d id a d , d el tip o d e terren o y d e la s o b re c a rg a q u e a
509
1
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 8 C im entaciones
n iv el su p e rfic ia l se c o n sid e re a p lic a d a s o b re el m ism o . E stas tres
c o n s id e ra c io n e s se re su m e n en la ex p resió n :
■■■
P „ = Y k Ah + w k A
en donde:
f -
ch
*
p
2t
do nde:
y
= 1 8 k N /m 3
Ka
= 1/3
Ph
=
p re s ió n en el a n illo a la p ro fu n d id a d co n sid erad a:
h
= 13.75 m
t
=
e sp e s o r del an illo ;
w
= 3 k N /m 2
DP
=
d iá m e tro d el pilar.
Ph = 1 8 * 1 /3 * 1 3 .7 5 + 3 * 1 / 3 = 83.5 k N /m 2
E n el c á lc u lo de la p re sió n en el an illo , ad e m á s d e la p ro fu n d id a d y de
la s o b re c a rg a so b re el te rre n o q u e s o n e sp e c ific a c io n e s d el proyecto,
in te rv ie n e n el p eso u n ita rio y d el te rre n o y la c o n sta n te de em puje
ac tiv o k A q u e d eb e m o s e x tra c ta r del in fo rm e d e su elo s y
re c o m e n d a c io n e s d e cim en tac ió n .
w
w
R eem p laz an d o en fc:
8 3 .5 * 1 .4 0
c
= 5g4 5
k N /m 2„
0 58
M Pa
2*0.10
P or tan to , lo s a n illo s se h arán en c o n c re to de f c= 2 1 .1 M P a, 0 .1 0 m de
esp e so r y en p rin c ip io sin n in g ú n re fu erz o . N o o b stan te, se re c o m ie n d a
co n sid e ra r la p o sib ilid a d d el re fo rz a m ie n to d e lo s a n illo s en to d o s los
caso s p a ra p re v e n ir la p o sib ilid a d de u n e m p u je d ife re n te en u n an illo
con p ro d u c c ió n d e fle x ió n y p o r tan to d e e sfu e rz o s de tra c c ió n en el
anillo.
2). C im e n ta ció n s o b re el pilar:
P ara este p ro p ó sito se u tiliz a n u n o o d o s de lo s a n illo s su p e rio re s del
pilar, re lle n á n d o lo s c o n c o n c re to de
= 2 1 .1 M P a y d e sd e lu eg o de
a c u erd o a d e te rm in a n te s tales co m o el ta m a ñ o de la c o lu m n a o
co lu m n as q u e se cim ie n ta n y la m a g n itu d d e la lo n g itu d de an claje
n ec esaria p a ra q u e lo s h ierro s de la c o lu m n a tra n sm ita n su c a rg a al
pilar. E n el p ro b le m a se c o n sid e ra su fic ie n te la u tiliz a c ió n d e u n so lo
anillo p o r el ta m a ñ o d e la c o lu m n a y p o rq u e la lo n g itu d de d esa rro llo
de las b a rra s en c o m p re sió n d e d iá m e tro <j) 5 /8 ” d e la m ism a, es m ás que
su ficien te. S ó lo a m a n e ra d e re p a rtic ió n d e la c a rg a de la c o lu m n a en el
Figura 8.54
510
511
Capítulo 8 C im entaciones
E structuras de C oncreto I
p ila r se re c o m ie n d a la c o lo c a c ió n d e u n a p a rrilla (j) 3 /8 ” c/0.15 m en el
D etalle:
fo n d o d el a n illo u tiliz a d o p a ra la c im e n ta c ió n .
Notas:
1.
E n alg u n o s casos, p o r c o n s id e ra c io n e s esp e c ia le s, co m o la localización
d el p ila r en la p la n ta d e la e d ific a c ió n o la m a g n itu d de los esfuerzos
d e b id o s a u n sism o , es n e c e sa rio c o m p ro b a r el fu n c io n a m ie n to del pilar
p a ra e sto s efecto s. E n este caso , su c o m p ro b a c ió n d eb e efectu arse como
u n a c o lu m n a d e c o n c re to sim p le p a ra la c o n d ic ió n m ás desfavorable
d ep e n d ie n d o d e la d ire c c ió n en q u e a c tú a el sism o . E n el problema
p re se n ta d o , si se s u p o n e lo c a liz a d o en el in te rio r de la construcción y
a m a rra d o p o r v ig a s en las d ire c c io n e s, el d ise ñ o presentado es
d e m o stra b le co m o su ficien te .
2.
E s im p o rta n te v e rific a r los e sfu e rz o s de co rte e sp e cificad o s por el
in g e n ie ro a se so r d e su e lo s y fu n d a cio n es.
3.
Si el d iá m e tro d e la b a se re su lta m u y su p e rio r al d el p ila r propiam ente
d ich o , se a c o stu m b ra a d ic io n a r u n a p a rrilla d e re fu e rz o en el fondo con
el p ro p ó sito de re p a rtir los e sfu e rz o s d e c o m p re sió n y so lu cio n ar las
tra c c io n e s q u e p o d ría n in d u c irse p o r ca u sa d el v o la d iz o a llí form ado.
Figura 8.55
F in a lm e n te , en el asp e cto d e lo s d e ta lle s p a ra la co n stru c ció n , se d eb e c o n tar
co n la a se so ría d el in g e n ie ro de su e lo s y fu n d a c io n e s p a ra la s o lu c ió n d e lo s
asp e c to s q u e le co rre sp o n d a . E n el cad o de u n n iv el freático su p e rfic ia l se
d eb e p ro v e e r a lo s an illo s d e lo s d e ta lle s re q u e rid o s p a ra su fa b ric a c ió n y
u tiliza ció n .
512
513
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 9 M uros de C ontención
Capitulo 9
MUROS DE CONTENCION
Capítulo 9 M uros de C ontención
E structuras de C oncreto I
M UROS DE CONTENCION
Son e le m e n to s e s tru c tu ra le s d ise ñ a d o s p a ra c o n te n e r m a te ria le s. D e u so
m últiple en in g en iería , se u tiliz a n e n c a rre te ra s a m e d ia lad era, en
ed ific acio n es co n stru id a s en te rre n o s co n d ife re n c ia s d e n iv el, en so p o rte s
de tu b ería s e in sta la c io n e s esp e c ia le s, etc...
D e p en d ien d o d e su fu n c io n a m ie n to y p o r lo tan to d e su p erfil, lo s h a y d e lo s
sig u ien tes tipos:
a)
M u ro s d e g ra v ed ad
C om o su n o m b re lo in d ic a s o n e stru c tu ra s c u y a e sta b ilid a d d e p e n d e d e su
peso p ro p io . P o r lo tan to , s o n e stru c tu ra s p esa d as, d e g ra n d e s s e c c io n e s que
exigen la u tiliz a c ió n d e m a te ria le s p o co c o s to s o s p ara q u e se a n p ra cticab les:
esta c irc u n sta n c ia im p lic a q u e en su d ise ñ o se d eb e g a ra n tiz a r q u e n o h ay a
esfuerzo s d e tra c c ió n e n n in g u n a de su s seccio n es.
En c o n stru c c ió n de ed ific io s, su a ltu ra se lim ita a p e q u e ñ a s c o n te n c io n e s de
alturas no m a y o re s a 3 m etro s.
517
Estructuras de C oncreto I
b)
Capítulo 9 M uros de C ontención
M u ro s en v o la d iz o
p e a c u e rd o co n el a lc a n c e p re v isto p a ra este tex to , só lo se a n a liz a rá n lo s
S o n m u ro s cu y o fu n c io n a m ie n to es el d e lo sas en v o la d iz o co n stru id as en
c o n c re to re fo rz a d o co n p e rfil q u e p u e d e s e r “T ” o “L ”. R eem p laz a la
e stru c tu ra p e sa d a d el m u ro d e g ra v e d a d p o r u n a e stru c tu ra esbelta
s u sc e p tib le de re sis tir e sfu e rz o s d e trac ció n .
muros en v o lad izo .
llu ros en Voladizo
por lo g e n e ra l, están c o n stitu id o s p o r tre s v o la d iz o s, así:
E n re a lid a d e sto s m u ro s está n c o n s titu id o s p o r dos o tre s voladizos
d e p e n d ie n d o de su p erfil, y su a ltu ra , p o r ra z o n e s p rá cticas, n o d eb e exceder
de 6 m etro s.
F igura 9.4
Figura 9.2
c)
M u ro s c o n c o n tra fu e rte s
P a ra g ra n d e s a ltu ra s, los v o la d iz o s típ ic o s d el m u ro a n te rio r se co n v ie rte n en
lo sas a p o y a d a s en la b ase y en u n o s c o n tra fu e rte s c o n v e n ie n tem en te
e sp a ciad o s.
Su fa lla in ic ia l p u e d e o c u rrir p o r v o lc a m ie n to c o n re sp e c to al p u n to A o p or
d eslizam ien to a lo la rg o d e su b ase d e su ste n ta c ió n . E l e stu d io d e e stas d o s
prim eras c o n d ic io n e s d e fa lla c o n stitu y e el d e n o m in a d o a n á lis is de
estabilidad. U n a v e z q u e se h a v e rific a d o q u e el m u ro d e c o n te n c ió n es
estable, se p ro c e d e al a n á lis is y d ise ñ o estru c tu ra l d e c a d a v o la d iz o
in d iv id u alm en te co n sid e ra d o , e s d ecir, al d e n o m in a d o an á lisis estru c tu ral.
En c u a lq u ie ra de lo s d o s ca so s, e s in d isp e n sa b le la ev a lu a c ió n de las fu e rza s
que a c tú a n s o b re el m u ro , la s cu a le s se p u e d e n d iv id ir en d o s clases: las
fuerzas v e rtic a le s q u e c o rre s p o n d e n al p eso del m u ro , al p eso d el m ateria l
contenido, a la s so b re c a rg a s, etc. y las fu e rz a s h o riz o n ta le s que
co rresp o n d en al e m p u je d el m a te ria l co n ten id o , d e las so b re c a rg a s, d e lo s
requisito s del d ise ñ o sísm ic o re siste n te , etc...
Figura 9.3
518
Por el a lc a n c e d el p re se n te tex to , no se ex p lic a rá n las te o ría s p a ra la
d eterm in a ció n d e lo s e m p u je s, re m itie n d o al le c to r a lo s e stu d io s de su e lo s y
cim en tac io n e s c o rre s p o n d ie n te s y a d ic io n a lm e n te a lo s te x to s d e m e c á n ic a
519
Capítulo 9 M uros de C ontención
E s tru c tu ra s de C oncreto I
d e su e lo s q u e trata n esto s te m a s y ta m b ié n al títu lo H d el R e g la m e n to NSR1 0 ; ú n ic a m e n te se a c la ra rá el p ro c e d im ie n to u tiliz a d o m ás a d e la n te en el
m o d e lo d e d ise ñ o del m u ro p a ra la c o n sid e ra c ió n d e estas
fuerzas
h o riz o n ta le s, así:
E n este caso p ' = w k A y p o r co n sig u ien te:
E ' = w k Ah
E l e m p u je d el co n g lo m e ra d o co n te n id o se a s im ila a u n em p u je hidrostático;
p o r tan to , p a ra u n a a ltu ra h, la p re sió n vale:
A lgun o s a u to re s asim ila n la so b re c a rg a a p lic a d a s o b re el re lle n o a u n a
so b realtu ra d el m ism o re lle n o , d e a c u e rd o c o n la sig u ie n te figura:
Ph = y k Ah
h'
en do n d e:
y
=
kA =
5
<t>
p e so u n ita rio d el m a te ria l co n ten id o ;
fa c to r m e n o r q u e la u n id ad q u e in v o lu c ra v a lo re s de
=
talud;
=
án g u lo de fric c ió n in tern a.
5
y <t>
\\
~X~ Ph
P(h+h')
P o r tan to :
Figura 9.7
E = - y k Ah 2
Por tan to :
E n la m a y o ría d e los c a so s se p re se n ta u n a s o b re c a rg a a p lic a d a so b re el
m ateria l co n ten id o :
p ' = p h. = w k A = y k Ah '
de do n d e:
h' =
w
y
520
521
Capítulo 9 M uros de C ontención
Estructuras de C oncreto I
y d o n d e h ' es la s o b re -a ltu ra e q u iv a le n te a la so b re c a rg a ap licad a.
L ueg °
P,h-h-| = YkA ( h + h ')
y
p re sió n de tierras, e sta d o ac tiv o k A = 0 .3 3 c o n sid e ra n d o u n talu d h o rizo n ta l.
El te rre n o de fu n d a c ió n es, ta m b ié n d e a c u e rd o al e stu d io a rrib a citad o , de la
m ism a n a tu ra le z a q u e el m a te ria l d e re lle n o y c o n las sig u ie n te s
ca ra c te rístic a s a d icio n a le s: c a p a c id a d p o rta n te a = 0.1 M P a y c o e fic ie n te de
fric ció n co n el co n c re to d e la b a se f = 0.50. S e d eb e u tiliz a r c o n c re to
E t = | Yk A ( h 2 + 2 h h ')
de f c = 2 1 .1 M P a y re fu e rz o p a ra f y = 2 4 0 M P a.
ap lic a d o en el ce n tro d e g ra v e d a d de u n tra p e c io d e p re sio n e s.
Solución
S in em b arg o , el p ro c eso n o rm a l d e u n d ise ñ o c o m ie n z a co n la su p o sició n de
las d im e n s io n e s d el m uro, las cu a le s se v e rific a rá n co n lo s an á lisis de
esta b ilid a d y e stru c tu ral; a c o n tin u a c ió n se tra n sc rib e u n a de las guías
u su a le s p a ra este p ro c e d im ie n to , en el caso en q u e co m o el del p ro b lem a 9 .1
se a a p lic a b le , co n la n e c e sid a d d e a ju sta rla en ca d a caso p articu lar:
S egún lo a n te rio rm e n te e x p u e sto , in ic ia lm e n te se d im e n sio n a el m u ro y
luego se v e rific a este d im e n sio n a m ie n to a p a rtir d e lo s a n á lisis de
estab ilid ad y estru c tu ral.
1)
P re d im e n sio n a m ie n to
Se u tiliz a la g u ía a n u n c ia d a tra b a ja n d o co n alg u n a h o lg u ra d e p e n d ie n d o de
la m a g n itu d d e la estru c tu ra.
w
ri
\
\
_\J
.25
\
\
*
Ps
/
\/
4 .05
A c o n tin u a c ió n u n m o d e lo d e u n m u ro d e c o n te n c ió n en v o lad izo .
Problem a 9.1
4.50
P+K
/P4\
+ 0 .5 0
D is e ñ a r u n m u ro d e c o n te n c ió n en v o la d iz o p a ra u n a a ltu ra d e 4 .5 0 m etros
d e te rm in a d a a p a rtir d e las co ta s a rq u ite c tó n ic a s d el p ro y e c to y de la
n e c e sid a d d e c im e n ta r el m u ro so b re un e stra to a p ro p ia d o . El relleno
co n te n id o se rá u n m a te ria l s e le c c io n a d o s u sc e p tib le d e se r co m p actad o ,
so m e tid o a u n a so b re c a rg a q u e se e stim a en p n m ín im o d e 10 k N /m 2 y de las
sig u ie n te s c a ra c te rístic a s s e g ú n el e stu d io d e su e lo s c o rre sp o n d ie n te : peso
v ~i
rsü & M i
__L .....- ........
0 .4 5 v
\
L
^ 1 .0 0
Ai- A i
1.55
0.45
3 .0 0
u n ita rio y = 18 k N /m 3, án g u lo d e fric c ió n in te rn a <|> = 30° y c o e fic ie n te de
Figura 9.9
522
523
Capítulo 9 M uros de C ontención
E s tru c tu ra s de C oncreto I
A u n q u e la d ife re n c ia d e co tas d el p ro y e c to q u e a m e rita la c o lo c a c ió n del
m u ro d e c o n te n c ió n es d e 3 .5 0 m e tro s (+ 0 .5 0 a + 4.00), se su p o n e que la
lo c a liz a c ió n del e stra to p o rta n te o b lig a a c im e n ta r el m u ro a u n nivel de
E l b ra zo d e este e m p u je c o rre sp o n d e al c e n tro id e d el tra p e c io de
p re sio n e s ad ju n to :
- 0 .5 0 m p a ra u n a a ltu ra to tal d e 4 .5 0 m . N o se tien e en c u e n ta la carg a del
re lle n o s o b re la b ase p o r su p o sib le c a rá c te r d e tem p o ra l, e sta n d o dentro de
la s e g u rid a d p o r s e r ésta u n a c a rg a e sta b iliz a n te .
2)
A n á lisis de e sta b ilid a d
1.65
C o n te m p la d o s asp e cto s: el del v o lc a m ie n to c o n re sp e c to al p u n to A y el del
d e sliz a m ie n to a lo la rg o de la b ase d e su ste n ta c ió n
p (h + h ')
F igura 9.10
a)
V o lc a m ie n to
E n donde:
E v a lu a c ió n d e las ca rg as v e rtic a le s y su m o m e n to c o n tra v o lcam ien to
co n re sp e c to al p u n to A:
Brazo (A)
(m)
Cargas (kN)
Pi =
P2 =
P3 =
P4 =
P5 =
1/2*0.20*4.05*1.00*24 =
0.25*4.05*1.00*24
0.45*3.00*1.00*24
1.55*4.05*1.00*18
1.55*1.00*10
Totales
9.72
24.30
32.40
113.00
15.50
194.92
1.130
1.325
1.500
2.225
2.225
M om ento
(kN-m)
10.98
32.20
48.60
251.43
34.49
377.70
E v a lu a c ió n d e la s c a rg a s h o riz o n ta le s y su m o m e n to de v o lcam ien to
c o n re sp e c to al p u n to A:
S e u tiliz a a q u í el p ro c e d im ie n to d e a s im ila c ió n d e la so b re carg a
a p lic a d a so b re el re lle n o a u n a s o b re a ltu ra d el m ism o re lle n o , la cual se
ca lc u la así:
w
10
h' =
=
= 0 .5 6 m .
P o r tanto:
y
18
E, = - t y k A ( h z + 2 h h ') = —* 1 8 * 0 .3 3 * ( 4 .5 0 2 + 2 * 4 .5 0 * 0 .5 6 )
2
2
p ' = y k Ah ' = 1 8 * 0 .3 3 * 0 .5 6 = 3 .3 3 k N /m 2
P(h+h) = ykA(h + h') = 1 8 * 0 .3 3 * ( 4 .5 0 +
kN/m2
4 .5 0 * 3 0 .0 6 + 2 * 3 .3 3
. ..
B ra z o = -------* ------------------------ = 1.65 m
3
3 0 .0 6 + 3.33
M a = 7 5 .1 1 * 1 .6 5 = 12 3 .9 3 kN -m
El fa c to r de s e g u rid a d al v o lc a m ie n to se r á : a = 3 7 7 . 7 0 / 1 2 3 . 9 3 = 3 .0 5 el
cu al d eb e se r m a y o r o ig u al a 3.0.
A d ic io n a lm e n te , el m u ro p u e d e v o lc a rs e si el estra to d e so p o rte b a jo la
b a se de s u s te n ta c ió n fa lla ra; lu eg o se d eb e v e rific a r q u e las re a c c io n e s
d el te rre n o b a jo e sta b a se e sté n d e n tro de lím ites ad m isib le s.
L a su m a d e m o m e n to s c o n re sp e c to a A resu lta:
XM
a = 3 7 7 . 7 0 - 1 2 3 . 9 3 = 2 5 3 .7 7
kN -m
P u n to d e a p lic a c ió n de la re su lta n te co n re sp e c to al p u n to A:
x A=
£M A XFv
2 5 3 7 ^ = 1.30 m
1 9 4 .9 2
E, = 75.11 kN
524
0 .5 6 ) = 3 0 .0 6
525
Capítulo 9 M uros de C ontención
Estructuras de C oncreto I
lo cual sig n ific a q u e la re su lta n te cae d e n tro d el te rc io m ed io de la base
P o r tan to , las re a c c io n e s d el te rre n o serán :
_^máx
^mín —
Z F v fi±
6e
BL
L
B = 1.0 m ;
aür =
,
en donde:
L = 3.0 m;
194.92
(
1 .0 0 * 3 .0 0
e = —
2
- 1 . 3 0 = 0 .2 0 m.
6 * 0 .2 0 ^
3.00
= 9 0 .9 6 k N /m 2
a mín = 3 8 .9 8 k N /m 2
C o n u n a re a c c ió n m á x im a d el te rre n o de 9 0 .9 6 k N /m 2 se d eb e co n c lu ir que
la b ase y el taló n del m uro, q u e en la v e rific a c ió n d el v o lc a m ie n to parecían
u n tan to h o lg a d o s, p o r este co n c e p to d el tra b a jo d el te rre n o e stá n apenas
d e n tro d el lím ite a d m isib le . P o r tan to , este fa c to r de la in flu e n c ia del terreno
es d e g ra n im p o rta n c ia en el c rite rio d e a p lic a c ió n de la g u ía de
p re d im e n sió n .
b)
fric ció n en tre el c o n c re to y el te rre n o en la llav e y el taló n , y d e fric c ió n
entre el te rre n o y el te rre n o a n te s de la llav e, y a q u e el d e sliz a m ie n to im p lic a
la ro tu ra d el su elo . L a v a lo ra c ió n d e lo q u e d e n o m in a m o s fric c ió n e n tre el
terren o y el te rre n o co n ro tu ra d el te rre n o d eb e se r c o n su lta d a c o n el
in g en iero d e s u e lo s y fu n d a c io n e s y p a ra el p ro b le m a q u e n o s o c u p a la
h em o s c o n sid e ra d o co m o ta n g e n te 3 0 ° p o r la c o rre sp o n d ie n te re acc ió n . P o r
o tra p arte, se p u e d e c o n sid e ra r u n e m p u je p a siv o d el te rre n o d e la n te d e la
llav e y se p u e d e e x te n d e r a c o n sid e ra rlo d e la n te de la b ase sie m p re q u e se
p u ed a g a ran tizar, e x p re sa m e n te p o r el c o n stru c to r, q u e el te rre n o d e la n te de
esto s e le m e n to s n o se rá re m o v id o y ta m p o c o se rá a lte ra d o d u ra n te la
c o n stru c ció n d e la estru c tu ra . P a ra el c á lc u lo d el e m p u je p a siv o se d eb e,
tam b ién , c o n su lta r c o n el in g e n ie ro d e su e lo s y fu n d a c io n e s so b re las
p o sib les a lte rn a tiv a s d el d ise ñ o (base y llav e o so lo llave) y la e v a lu a c ió n y
a d o p c ió n del lla m a d o K P, c o e fic ie n te de p re sió n de tie rra s, e sta d o p asiv o .
P ara el p re s e n te caso se su p o n e ig u al a 3 , y d e a c u e rd o co n la fig u ra 9 . 1 1 se
calcula:
s a_b = 3 8 .9 8 +
R j
R
D e sliz a m ie n to
=
2
=
3“
* (9 0 -9 6 -3 8 .9 8 )
^ (7 3 .6 3 + 9 0 .9 6 ) * 1.00 * 1.00
1 (38.98
+
73.63)*
2.00
7 3 .63 k N /m 2
=
8 2 .3 0 kN
= 112.61 kN
*1.00
2
L a v e rific a c ió n p o r este c o n c e p to c o n siste en o b te n e r el fa c to r d e seg u rid ad
re su lta n te d e la o p o sic ió n e n tre la fu e rz a d e fric ció n en la b ase de
su s te n ta c ió n y la c o m p o n e n te h o riz o n ta l d el em p u je.
XFv
F = fu e rz a d e fric c ió n = f £ F v = 0 .5 0 * 1 9 4 .9 2 = 9 7 .4 6 kN
E l fa c to r d e se g u rid a d al d e sp la z a m ie n to se rá d e p =
q u e e stá p o r d eb a jo d e
=
2 .0
= 1.28
q u e se c o n s id e ra el m ín im o p a ra esta co n d ició n .
L a s o lu c ió n a este p ro b le m a e stá en la c o n stru c c ió n d e u n a ‘lla v e ’ o
p ro lo n g a c ió n d el m u ro p ro p ia m e n te d ic h o p o r d e b a jo d e la b a se y el talón.
E n este caso , el fu n c io n a m ie n to co n re sp e c to al d e sliz a m ie n to se rá de
526
Figura 9.11
527
= 194.91
kN
Capítulo 9 M uros de C ontención
E structuras de C oncreto I
n
"
0 .5 0 * 1 1 2 .61 + t g 30° * 8 2 .3 0 + ^ * 18 * 3 .0 0 * h^ave+baie)
_
P
'
75.87
h (llave+base) —1-33 m
P a ra un e sp e so r d e la b a se d e 0.45 m y ad o p ta n d o u n a p ro fu n d id a d de la
llav e de 0 .9 0 m , se o b te n d rá u n p > 2.0 q u e es lo q u e se b u sca. P or su
d im e n sió n y carg as, en este e je m p lo n o es n e c e s a ria la re v isió n d e la llave
p a ra c o rta n te y flex ió n . P ara o tro s c a so s se re c o m ie n d a al le c to r tener en
c u e n ta esta p o sib ilid ad .
Figura 9.12
F in a lm e n te se c o n c lu y e , a p a rtir d el e stu d io de e stab ilid ad , que la
p re d im e n sió n es co rrec ta ; en caso co n tra rio se d eb e a ju sta r las dim ensiones
y v o lv e r a an a liz ar.
3)
C o rtan te:
V a c = 6 2 .0 9 kN ;
Vu = 1 .5 * 6 2 .0 9 = 9 3 .1 4 kN
<t>Vr = <|>0.17^Cbd = 0 .7 5 * 0 .1 7 * y Z T l * 1.00 * 0 .3 6 * 1000 = 2 1 0 .6 8 kN
A n á lisis estru c tu ra l
Se a n a liz a n los tre s v o la d iz o s, el d el m u ro p ro p ia m e n te d ich o , el d e la base y
el d el talón, así:
V„ < 4»VC
F lex ió n :
M a_c = 4 8 .7 2 * 1 * 4 .0 5 + 1 3 .3 7 * 1 * 4 .0 5 = 9 2 .8 4 kN -m
a)
M u ro
3
3
(J)Mn = 1 .5 * 9 2 .8 4 = 139.26 kN -m
Se ev a lú a n las c a rg a s h o riz o n ta le s co m o la
c o n g lo m e ra d o y de la so b re c a rg a so b re el m ism o .
su m a
de
p re sio n e s
del
p = 0 .0 0 5 1 8 4 ;
A s re p a rtic ió n =
E = —y k Ah 2 = —* 1 8 * 0 .3 3 * 4 .0 5 2
= 4 8 .7 2 kN
E ' = w k Ah = 1 0 * 0 .3 3 * 4 .0 5
= 1 3 .3 7 kN
2 1 A
2
A s = 0 .0 0 1 8 6 6 m 2/m
0 .0 0 2 0
* 1 .0 0 * 1 /2 * (0 .2 5 + 0.45) = 0 .0 0 0 7 r n / m
A rm a d u ra lo n g itu d in a l:d e l la d o d el re llen o :
d el la d o ex terio r:
E to tal
<j) 3/4
c /0 .1 5
<j) 3 /8 ” c /0 .2 0
= 6 2 .0 9 kN
A rm a d u ra tra n sv e rsa l: d el lad o del re llen o :
d el la d o e x terio r:
528
529
(j) 3/8
c /0 .2 0
<j> 3 /8 ” c /0 .2 0
Capítulo 9 M uros de C ontención
E structuras de C oncreto I
P or tan to , la fle x ió n de este v o la d iz o será h a c ia arrib a co n a rm a d u ra de
trac ció n ab ajo .
P ara la fle x ió n y el c o rta n te se re sta d el d ia g ra m a de re a c c io n e s d el terren o
el p e so p ro p io de la b a se q u e se a p o y a so b re el m ism o terren o .
C o rtan te:
Va_5 =
0 .1 5
0 .1 5
1
(90.96 + 7 3 .6 3 )* 1.00 - 0 . 4 5 * 1 .0 0 * 24 = 7 1 .5 0 kN
2
0 .1 5
V u = 1 .5 * 7 1 .5 0 = 107.25 kN
0 .1 5
0 .1 5
0 .1 5
<t>vc = <t>0.17Tf;bd = 0 . 7 5 * 0 . 1 7 * , / 2 n * 1 . 0 0 * 0 . 3 6 * 1 0 0 0 =
2 1 0 .6 8
kN
Figura 9.13
V„ < <t>Vc
E n el e sq u e m a d e c o lo c a c ió n d el re fu erz o , se o b se rv a q u e tra tá n d o se de una
c a rg a trap e z o id a l y p o r lo tan to d e u n d ia g ra m a de m o m e n to s en fo rm a de
p a rá b o la de te rc e r g rad o , es p o sib le d iv id ir la a ltu ra del m u ro en dos o tres
p a rte s d ism in u y e n d o la a rm a d u ra en u n o o d o s te rc io s o a la m itad , se g ú n el
caso.
F lex ió n :
M a_b = 7 3 .6 3 * 1 .0 0 * L ° ° + 1 ( 9 0 .9 6 - 7 3 .6 3 )* 1 .0 0 * 2 *1 .0 0
2
2
3
- 0 .4 5 * 1.00 * 24 *
b)
V o la d iz o d e la base
1 00
2
= 3 7 .2 0 kN -m
4>Mn = 1 .5 * 3 7 .2 0 = 5 5 .8 0 kN -m
E stará so m e tid o al sig u ie n te e sq u e m a de ca rg as, estan d o d e n tro de la
se g u rid a d al no te n e r en c u e n ta el p eso d el re lle n o s o b re la base:
p = 0 .0 0 2 0 2 1 ;
A s = 0 .0 0 2 0 2 1 * 1 .0 0 * 0 .3 6 = 0 .0 0 0 7 2 8 m 7 m
A s m ín im a = 0 .0 0 2 0 * 1 .0 0 * 0 .4 5 = 0 .0 0 0 9 m 7 m
A rm a d u ra :
<f>3/4" c/0 .3 1 5 abajo.
Se e stá d e n tro de la se g u rid a d si se d o b la u n a de d o s b a rra s del re fu e rz o del
m uro lle v á n d o la en el v o lad izo .
gO.gókN/m2
R esp ecto d e la a rm a d u ra o rto g o n a l a la an terio r, só lo se c o lo c a rá n u n o s
p asa d o res co n stru c tiv o s. V é a s e el d e ta lle d el refu erzo .
3 8 .g 8 k N /m
a .-b = 7 3 .6 3 k N /m 2
Figura 9.14
530
531
Capítulo 9 M uros de C ontención
Estructuras de C oncreto
V = 1 .5 * 6 4 .0 0 = 9 6 .0 0 kN
<j)Vc = < j> 0 .1 7 ,/f+ d = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 L 1 * 1 .0 0 * 0 .3 6 * 1 0 0 0 = 2 1 0 .6 8 kN
Vu < 4>VC
F lexión:
M,
= 1 2 8 .5 0 *
1.55
3 8 .9 8 * 1 .5 5 z
1
+ -^ - (6 5 .8 4 - 3 8 .9 8 ) *1.55
F igura 9.15
c)
1
1 55
* - * 1 . 5 5 - 0 . 4 5 * 1 .5 5 * 2 4 * —
3
2
V o la d iz o del taló n
E sta rá so m e tid o al sig u ie n te e sq u e m a d e c a rg as, p re d o m in a n d o m uy
p ro b a b le m e n te las ca rg as d el re lle n o h a c ia ab a jo , p o r lo q u e la flex ió n de
este v o la d iz o será h a c ia ab ajo , c o n a rm a d u ra d e tra c c ió n arriba.
4>Mn = 1 .5 * 5 4 .9 8 = 8 2 .4 7 kN -m
T a m b ié n p a ra la fle x ió n y el c o rta n te re sta m o s d el d ia g ra m a d e reacciones
d el te rre n o el p eso p ro p io del taló n q u e se a p o y a so b re el m ism o terreno.
A rm ad u ra:
p = 0 .0 0 3 0 0 6 -
= 5 4 .9 8 kN -m
A s = 0 .0 0 3 0 0 6 * 1 .0 0 * 0 .3 6 = 0 .0 0 1 0 8 2 m 2/m
<J>5 /8 ” c /0 .1 8 arrib a
C o m o a rm a d u ra o rto g o n a l a la a n te rio r só lo se co lo c a rá n u n o s p a sa d o re s
c o n stru c tiv o s. V é a se el d etalle d el refu erzo .
(9 0 .9 6 —38.98) *1.55
cjc-e - 38.98 +
TOO
cjc_e = 6 5 .8 4 k N /m
Figura 9.17
C o rtan te, se g ú n fig u ra 9.16:
1
Vc_e = 1 1 3 .0 0 + 1 5 .5 0 - - ( 6 5 .8 4 + 3 8 .9 8 ) * 1 .5 5 - 0 .4 5 * 1 .5 5 * 2 4 = 64.00 kN
532
533
Capítulo 9 M uros de C ontención
Estructuras de C oncreto I
4)
E n o c a sio n e s, la u b ic a c ió n d el m u ro d e c o n te n c ió n se p re s e n ta de
a c u e rd o a la fig u ra 9 .1 9 . E n este caso, d eb e o b te n e rse la d e fin ic ió n del
án g u lo d e tra n sm isió n d e la s o b re c a rg a en el re lle n o so b re el cu a l actúa;
D e ta lle d el re fu erz o
0.2 5
0 .125
si se ac e p ta a 45°, co m o en el e sq u e m a ad ju n to , su in c id e n c ia s o b re el
m u ro se p re se n ta rá a p a rtir d e la lín ea p u n te a d a . L o s d em ás p ará m e tro s
de d ise ñ o se rá n s im ila re s al m o d e lo p re se n ta d o te n ie n d o en c u e n ta que
d eb e tra b a ja rse p a ra flex ió n y c o rta n te en el m u ro p ro p ia m e n te d ich o
co n las co m p o n e n te s h o riz o n ta le s d e lo s em p u je s d eb id o s al re lle n o y a
la s o b re c a rg a so b re el m ism o .
Sobrecarga
1.35
0 .125
2 .5 2 5
F igura 9.18
Notas
1
Figura 9.19
E n la a u se n c ia de lim ita c io n e s de esp a cio , se p u ed e d ism in u ir el
re fu e rz o lo n g itu d in a l del lad o d el re lle n o a u m e n ta n d o el esp e so r del
m u ro p ro p ia m e n te d ich o ; sin e m b arg o , se d eb e s e r p ru d e n te en este
a u m e n to p u e sto q u e c o n lle v a u n a u m e n to en el e sp e so r d e la b ase y el
taló n q u e co n la d im e n sió n a c tu a l tra b a ja n c o rre c ta m e n te . L a g u ía de
p re d im e n sió n a q u í u tiliz a d a re s u lta u n p o co in su fic ie n te en este aspecto
p a ra m u ro s d e c o n te n c ió n co n a ltu ra su p e rio r a 3 .5 0 m.
534
535
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 10 Edificios en Estructura de C oncreto Reforzado
Capítulo 10
E d if ic io s e n e s t r u c t u r a
DE CONCRETO REFORZADO
Estructuras de C oncreto I
Capítulo 10 Edificios en Estructura de C oncreto R eforzado
C o m o c a p ítu lo fin al de este p rim e ro y b re v e re c o rrid o p o r lo s e le m e n to s
e stru c tu ra le s de c o n c re to re fo rz a d o , se p re s e n ta u n a e n u m e ra c ió n de lo s
p aso s a s e g u ir en el d ise ñ o d e las e s tru c tu ra s d e este m ateria l c u a n d o h a c e n
p arte d e e d ific io s p a ra u so m ú ltip le , en u n to d o d e ac u e rd o al R e g la m e n to
c o lo m b ia n o N S R -1 0 , só lo p a ra a q u e lla s e s tru c tu ra s en d o n d e lo s c o n c ep to s
an tes e n u n c ia d o s se a n a p lic a b le s. P o r tan to , n o cu b re las c o n stru c c io n e s a
b ase d e m u ro s de c a rg a o m a n ip o s te ría e stru c tu ra l, co n c re to p re e sfo rz a d o ,
acero e stru c tu ra l y to d a s a q u e lla s e s tru c tu ra s c u y o s m a te ria le s no
c o rre sp o n d e n a lo s d e sc rito s en el p re s e n te tex to y q u e m u y seg u ra m e n te
h ac en p a rte de o tro s c u rso s d e s a rro lla d o s p a ra le la m e n te d en tro del p én su m
de In g e n ie ría C iv il en la U n iv e rsid a d N a c io n a l d e C o lo m b ia. E l au to r
c o n sid e ra q u e es su fic ie n te la s o la e n u m e ra c ió n de lo s p a so s a seg u ir, en
v ista d e q u e el p re se n te tex to v a p rim o rd ia lm e n te d irig id o a lo s e stu d ia n te s
de u n p rim e r cu rso d e e s tru c tu ra s d e c o n c re to re fo rz a d o , d e n tro del cu al
d eb e n e la b o ra r en su to ta lid a d p la n o s y m e m o ria s ju s tific a tiv a s c o m p le ta s de
un p ro y e c to e stru c tu ra l p a ra u n ed ific io p lan tea d o , d irig id o en su d ise ñ o y
re v isa d o p o r el p ro fe s o r re sp e c tiv o y , p o r c o n sig u ie n te , co n m u ch as
o p o rtu n id a d e s p ara c o m e n ta r y a m p lia r lo s c o n c e p to s d e la e n u m e ra c ió n
m en cio n a d a.
Procedim iento de diseño de edificaciones nuevas:
1.
P re d im e n sió n
A p a rtir d el a n te p ro y e c to a rq u ite c tó n ic o y u n a v e z e s ta b le c id a la
lo c a liz a c ió n de lo s e je s e stru c tu ra le s, se e sc o g e rá la e stru c tu ra m ás
a p ro p ia d a a p a rtir de c o n sid e ra c io n e s ta le s co m o lu ces, re siste n c ia a carg as
v e rtic a le s y h o riz o n ta le s, c a lid a d d e lo s m a te ria le s a e m p lea r, fa c ilid a d d e su
c o n se c u c ió n y c o n stru c c ió n , in flu e n c ia del tip o de su e lo y c la se de
cim e n ta c ió n y la p re s e n c ia d e c o rte s y ta lu d e s q u e in flu y e n e n el
c o m p o rta m ie n to d e la e stru c tu ra q u e se d iseñ ará. E n u n a o tra fo rm a , e sto s
p ro c e so s d e b e n s e r c o o rd in a d o s co n lo s p ro fe sio n a le s de las á re a s a que
co rresp o n d an . A sí, p o r e jem p lo , a p a rtir de lo s ejes e stru c tu ra le s d e la
fig u ra s an e x as, p a ra u n ed ific io q u e se c o n stru irá en la ciu d ad d e B o g o tá
D .C ., y te n ie n d o en cu e n ta , e n tre o tras co sas, las c o n s id e ra c io n e s an tes
e n u n c ia d a s, es p o sib le e s ta b le c e r las tres d istrib u c io n e s e stru c tu ra le s
539
Capítulo 10 Edificios en Estructura de C oncreto Reforzado
Estructuras de C oncreto I
p re s e n ta d a s p a ra el siste m a d e p ó rtic o , c o n e le m e n to s estru ctu rales
p re d im e n sio n a d o s sig u ie n d o los p la n te a m ie n to s d e los c a p ítu lo s anteriores.
E s d e a d v e rtir q u e e stas tre s n o so n la s ú n ic a s so lu c io n e s y ad e m á s su
e sc o g e n c ia fin al o b e d e c e rá a c o n s id e ra c io n e s a d ic io n a le s s o b re co sto s y
se g u rid a d , tie m p o s y fa c ilid a d e s p a ra la c o n stru c c ió n , lo c a liz a c ió n y fyación
-
L a a m e n a z a s ísm ic a c o rre sp o n d ie n te a lo s p a rá m e tro s A a y
A v, o Ad q u e re p re s e n ta n la a c e le ra c ió n h o riz o n ta l pico
e fe c tiv a y la v e lo c id a d h o riz o n ta l p ico e fe c tiv a en fu n c ió n de
la a c e le ra c ió n d el sis m o de d iseñ o .
de d u c to s y tu b ería s, etc.
-
L a s c a ra c te rís tic a s de la e s tra tific a c ió n d el su elo su b y a c e n te
en el sitio p o r m ed io d e lo s c o e fic ie n te s de sitio F a y F v,
-
El c o e fic ie n te de im p o rta n c ia I y su n e c e sid a d d e p re s e rv a r la
co n stru c ció n .
2.
S o lic ita c io n e s
L as s o lic ita c io n e s v e rtic a le s y h o riz o n ta le s se p u ed e n e v a lu a r d e ac u erd o a
lo s sig u ie n te s re q u erim ien to s:
L o s m o v im ie n to s sísm ic o s d e d ise ñ o se ex p re sa n p o r m ed io del
esp e c tro e lá stic o d e d iseñ o . E l R e g la m e n to c o n tie n e d e sc rip c io n e s
a lte rn a tiv a s d el sism o d e d ise ñ o y ta m b ié n se p u ed e n o b te n e r d e los
e s tu d io s d e m ic ro z o n ific a c ió n sísm ic a. A p a rtir de lo s m o v im ie n to s
sísm ic o s d e d ise ñ o se o b tie n e las fu e rz a s sísm ic a s Fs.
C a rg a s m u erta s s e g ú n el C a p itu lo B .3 d el R e g la m e n to y su s s e c c io n e s B.3.2
- M a sa y p e so s de los m a te ria le s, B .3 .3 - c a rg a s m u erta s m ín im as; B .3.4 E le m e n to s n o e stru c tu ra le s y B .3 .5 - E q u ip o s.
C a rg a s v iv a s se g ú n el C a p itu lo B .4 y su s s e c c io n e s B .4 .2 - C arg a s vivas
u n ifo rm e m e n te re p a rtid a s, B .4 .4 - Im p ac to , B .4 . 6 - P u en te g rú a s, B .4 .7 E fe c to s d in á m ic o s y B .4 .8 - C arg a s e m p o z a m ie n to de a g u a y g ra n iz o . En el
C a p itu lo B .5 se e n c u e n tra lo re la c io n a d o co n el e m p u je de tierras y
p re s io n e s h id ro s tá tic a y en el C a p itu lo B . 6 las fu e rz a s de v ien to .
A d ic io n a lm e n te se d eb e d e te rm in a r las d e fo rm a c io n e s ca u sa d a s p o r efectos
re o ló g ic o s d e lo s m a te ria le s e stru c tu ra le s y lo s p o sib le s a se n ta m ie n to s del
su e lo s o b re la cual se c im e n ta rá la c o n stru c c ió n .
E n c u a n to al d ise ñ o sísm ic o , se c o n sid e ra las sig u ie n te s etapas:
a.
O b te n c ió n d e la a m e n a z a s ísm ic a y lo s v a lo re s d e A a y A v a partir
d el lu g a r d o n d e se c o n stru irá la e d ific a c ió n de a c u e rd o a los m apas
d e z o n ific a c ió n s ísm ic a d el C a p itu lo A .2 d el R eg lam en to . En el
A p é n d ic e A -4 se p re sc rib e u n lista d o d e m u n ic ip io s co n los valores
A a y A v.
b.
D e fin ic ió n de los m o v im ie n to s sís m ic o s de d ise ñ o d e ac u e rd o a los
re q u isito s del C a p itu lo A -2 así:
540
3.
S iste m a s e stru c tu ra le s, g ra d o s d e irre g u la rid a d d e la estru c tu ra,
p ro c e d im ie n to d e a n á lis is y c a ra c te rís tic a s d e lo s m a te ria le s estru c tu rales.
A p artir de lo s g ra d o s d e re g u la rid a d o irre g u la rid a d d e la c o n fig u ra c ió n de
la e d ific a c ió n tan to co m o en p la n ta co m o en altu ra, su g ra d o de re d u n d a n c ia
o de a u se n c ia de ella, su altu ra, las c a ra c te rís tic a s d el su e lo d e so p o rte y el
nivel d e a m e n a z a s ís m ic a se d e fin e el siste m a e stru c tu ra l d e re siste n c ia
sísm ica d e a c u e rd o a lo s s is te m a s c o n te m p la d o s en el C a p itu lo A .3:
S iste m a
S iste m a
S iste m a
S iste m a
d e m u ro s d e carg a
co m b in a d o
de p ó rtico
dual.
Los m a te ria le s e s tru c tu ra le s ta le s co m o el c o n c re to e stru c tu ra l, e stru c tu ra
m etálica, m a n ip o ste ría e stru c tu ra l o e stru c tu ra de m a d e ra está n d e alg u n a
form a lig a d o s a lo s s is te m a s e stru c tu ra le s a p ro p ia d o s y su s e le m e n to s
estru ctu rales d e a c u e rd o a la re siste n c ia re q u e rid a p a ra lo s m o v im ie n to s
sísm icos de d ise ñ o c o rre sp o n d ie n te s.
541
Capítulo 10 Edificios en Estructura de Concreto Reforzado
Estructuras de C oncreto I
6.
4.
A n á lisis sísm ic o de la e stru c tu ra y d e sp la z a m ie n to h o rizo n ta le s y
d eriv a s
E l an á lisis sísm ic o d e la e stru c tu ra se re a liz a a p lic a n d o los m ovim ientos
sísm ic o s de d ise ñ o a u n m o d e lo m a te m á tic o a p ro p ia d o d e la estru c tu ra. Los
m é to d o s d e a n á lis is a u tiliz a r son, de a c u e rd o al C a p ítu lo A .3:
M é to d o
M éto d o
M é to d o
M é to d o
de la fu e rza h o riz o n ta l e q u iv a le n te
d el an á lisis d in á m ic o e lástico
d el a n á lis is d in ám ico in e lá stic o
d el an á lisis n o lin eal e lá stic o d e p la stific a c ió n progresiva.
E sto s an á lisis se re a liz a n p a ra los m o v im ie n to s s ísm ic o s de d ise ñ o sin ser
d iv id id o s p o r el c o e fic ie n te d e c a p a c id a d de d isip a c ió n d e e n e rg ía R y deben
o b te n e rse lo s d e sp la z a m ie n to s m á x im o s c o rre sp o n d ie n te s, los efectos
to rs io n a le s y las d eriv a s, las c u a le s n o d e b e n e x c e d e r los lim ite s expresados
en el C a p itu lo A . 6 .
5.
D ise ñ o d e lo s e le m e n to s e stru c tu ra le s
E l d ise ñ o se d eb e e fe c tu a r p a ra la c o m b in a c ió n d e las diferentes
so lic ita c io n e s o b te n ie n d o las fu e rz a s in tern a s d e d ise ñ o d e la estru c tu ra de
a c u e rd o co n los re q u isito s del C a p itu lo B .2 d el R eg lam en to . P a ra te n e r en
c u e n ta la c a p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e rg ía d el s is te m a estru c tu ral se
re d u c e n lo s e fe c to s sísm ic o s, E, d iv id ie n d o las fu e rz a s s ís m ic a s F s por el
c o e fic ie n te de c a p a c id a d de d isip a c ió n de en e rg ía, R, (E = F S/R ). Este
co e fic ie n te se d e te rm in a seg ü n la c la sific a c ió n d el siste m a d e resistencia
s ís m ic a d el C a p itu lo A .3, del g ra d o d e irre g u la rid a d d e la ed ific ació n , del
g ra d o d e re d u n d a n c ia o a u se n c ia d e ella en el s is te m a y d e los re q u isito s de
d ise ñ o y d e ta lla d o d el m a te ria l p a ra el c o rre sp o n d ie n te g ra d o de disipación
de e n e rg ía (D M I, D M O o D E S ). U n a v e z e sta b le c id a s la s fu e rza s in tern a s de
d iseñ o , éste se d eb e e fe c tu a r para lo s v a lo re s m ás d e sfa v o ra b le s que se
o b te n g a n d e las c o m b in a c io n e s m e n c io n a d a s.
D ise ñ o de la c im en tac ió n .
El d iseñ o d e lo s e le m e n to s e s tru c tu ra le s q u e co m p o n e n la c im e n ta c ió n se
re a liz a u tiliz a n d o lo s re s u lta d o s d e las c o m b in a c io n e s m e n c io n a d a s en el
p u n to a n te rio r e m p le a n d o las ca rg as q u e c o rre sp o n d a y las fu e rz a s sísm ic a s
re d u c id a s d e d iseñ o , E, d e a c u e rd o a lo s re q u isito s p ro p io s d el m a te ria l
e stru c tu ra l y d el títu lo H d el R eg la m e n to .
En cu a n to a lo s e sfu e rz o s s o b re el su e lo d e c im en tac ió n , se e m p le a n las
c o m b in a c io n e s de c a rg a p a ra el m é to d o d e los e sfu e rz o s de tra b a jo d e la
sec ció n B .2 .3 y las fu e rz a s s ís m ic a s re d u c id a s, E. ig u a lm e n te d eb e ten erse
en c u e n ta lo s re q u isito s d el T itu lo H.
7.
D ise ñ o d e lo s e le m e n to s no e stru c tu ra le s
El d ise ñ o d e lo s e le m e n to s n o e s tru c tu ra le s d eb e efe c tu a rse p a ra c u m p lir el
g rad o d e d ese m p e ñ o su p e rio r, b u en o o b ajo en u n to d o de a c u e rd o al
C ap itu lo A .9 y se g ú n el g ru p o d e u so al cu al p e rte n e c e la e d ific a c ió n . E n
c u a n to a e le m e n to s n o e s tru c tu ra le s d ise ñ a d o s e in sta la d o s p o r su fa b ric a n te
o c u y a in sta la c ió n se h a c e se g ú n s u s in stru c c io n e s, se d eb e c u m p lir lo
in d icad o en A . 1.5.1.2. E l p ro fe s io n a l c o n s tru c to r q u e su sc rib e la lic e n c ia de
c o n stru c c ió n d eb e su m in is tra r a la C u ra d u ría las m e m o ria s de d ise ñ o y lo s
d etalles de lo s e le m e n to s n o e stru c tu ra le s, s u sc rito s p o r él m ism o , co m o u n a
g a ra n tía d e su c o n stru c c ió n d e a c u e rd o a lo d iseñ ad o .
543
542
Estructuras de C oncreto I
m a lla e l e c tr o s o l d a d a M .0 6 4 ó s im i l a r
CORTE A-A
0
0
0
0
PLANTA DE DISTRIBUCION PARA SOLUCION DE LOSA ALIGERADA EN DOS DIRECCIONES SOPORTADA O APOYADA EN LOS BORDES
m a lla e le c tr o s o ld a d a M .0 6 4 ó s im ila r
CORTE A-A
o
0
©
O
PLANTA D E DISTRIBUCION PARA SOLUCION D E LOSA ALIGERADA EN D O S D IRECCIONES APOYADA EN COLUM NAS (RETICULAR CELULADO)
Apéndice M étodo Elástico
APENDICES
Estructuras de C oncreto I
A péndice M étodo Elástico
Apéndice 1.A
M E T O D O E L A S T IC O
V IG A S R E C T A N G U L A R E S C O N A R M A D U R A A T R A C C IO N
fs /n
E sq u em a
M o m e n to en kN -m .
D im e n sio n e s en m.
E sfu e rzo s en M Po a.
A rm a d u ra en m .
P=
As
k = - n p + -\j (n p ) 2 +
bd
f
J= l-
= fs *
c
n
k
1- k
K = b ckj
M = Kbd2
k2 =
d = k2
M
K
553
2 np
Estructuras de C oncreto I
A péndice M étodo Elástico
D iagram a de flujo para el diseño de vigas a la flexión por el m étodo elástico
Calidad de materiales en MPa, dimensiones de la sección en metros y momentos en kN-m
ingresar:
M, fs,fCi n, b, d
/
p=
0.00001
Calcular:
n, r, pb,jb
M M. < 0 .0 01
i
i
* k = -p n + ^(np) + 2np
l
M. = p - f •
i
p s H )
•bd2
A péndice l.B
p = p + 0.0 0 0 0 1
T A B L A S P A R A D IS E Ñ O M É T O D O E L Á S T IC O
V IG A S C O N A R M A D U R A A L A T R A C C IÓ N
si
¿ —
1
calcula
AM=M-Mr
calcula:
Ac =
AM
2000f's ( d - d j
imprimir:
refuerzo a tracción = At
refuerzo a compresión = Ac
554
555
Estructuras de C oncreto I
A péndice M étodo Elástico
fc = 21.1 MPa
f c = 14.1 MPa
Ec = 17600 MPa
fs = 120 MPa
Es = 200000 Mpa
fs = 120 MPa
n = 11.4
Cuantía balanceada = 0.009828
k
p
Ec = 21600 MPa
n = 9.3
Cuantía balanceada = 0.016785
Cuantía mínima = 0.005833
fc (MPa)
K (kN/m2)
AK
k2
Es = 200000 MPa
Cuantía mínima = 0.005833
fc (MPa)
K (kN/m2)
AK
k2
P
k
j
0.0010
0.0020
0.1274
0.9575
1.88
114.7
0.0599
0.1752
0.9416
2.74
226.0
111.3
0.0665
54.2
0.0548
0.0025
0.1936
0.9355
3.10
280.7
54.7
0.0597
437.8
104.9
0.0478
0.0030
0.2100
0.9300
3.43
334.9
54.2
0.0546
4.20
542.3
104.5
0.0429
0.0040
0.2381
0.9206
4.03
441.7
106.8
0.0476
0.8986
4.60
628.7
86.4
0.0399
0.0050
0.2620
0.9127
4.58
547.6
105.9
0.0427
0.3077
0.8974
4.68
646.1
17.4
0.0393
0.005833
0.2796
0.9068
5.01
635.1
87.5
0.0397
0.0070
0.3276
0.8908
5.13
748.5
102.4
0.0366
0.0060
0.2829
0.9057
5.09
652.1
17.0
0.0392
0.0080
0.3455
0.8848
5.56
849.8
101.3
0.0343
0.0070
0.3016
0.8995
5.57
755.5
103.4
0.0364
0.0090
0.3619
0.8794
5.97
950.0
100.2
0.0324
0.0080
0.3185
0.8938
6.03
858.3
0.009828
0.3744
0.8752
6.30
1032.2
82.2
0.0311
0.0090
0.3339
0.8887
6.47
959.9
102.8
101.6
0.0323
0.0100
0.0110
0.0120
0.3482
0.8839
6.89
1060.3
100.4
0.0307
0.3615
0.8795
7.31
1162.1
101.8
0.0293
0.3738
0.8754
7.70
1259.8
97.7
0.0282
0.0130
0.3855
0.8715
8.09
1359.0
99.2
0.0271
k2
0.0140
0.3964
0.8679
8.47
1457.0
98.0
0.0262
0.0934
0.0150
0.4068
0.8644
8.85
1556.0
99.0
0.0254
j
0.0010
0.0020
0.1400
0.9533
1.71
114.1
0.1920
0.9360
2.50
224.6
110.5
0.0667
0.0025
0.2119
0.9294
2.83
278.7
54.1
0.0030
0.2296
0.9235
3.14
332.9
0.0040
0.2598
0.9134
3.69
0.0050
0.2854
0.9049
0.005833
0.3042
0.0060
f c = 17.6 MPa
fs =
Ec = 19700 MPa
120 MPa
0.0936
Es = 200000 MPa
n = lOMPa
Cuantía balanceada = 0.013067
k
P
j
Cuantía mínima = 0.005833
fc (MPa)
AK
K (kN/m2)
0.0934
0.0341
0.0010
0.0020
0.1318
0.9561
1.82
114.7
0.1810
0.9397
2.65
225.4
110.7
0.0666
0.0160
0.4167
0.8611
9.22
1654.2
98.2
0.0246
0.0025
0.2000
0.9333
3.00
280.0
54.6
0.0598
0.016785
0.4240
0.8587
9.50
1729.4
75.2
0.0240
0.0030
0.2168
0.9277
3.32
333.9
53.9
0.0547
0.0040
0.0050
0.2457
0.2702
0.9181
0.9099
3.91
4.44
441.0
545.8
107.1
104.8
0.0476
0.0428
0.005833
0.0060
0.2882
0.2916
0.9039
0.9028
4.86
4.94
633.0
650.2
87.2
17.2
0.0397
0.0392
0.0070
0.3107
0.8964
5.41
753.4
103.2
0.0364
0.0080
0.3279
0.8907
5.85
854.3
100.9
0.0342
0.0090
0.3437
0.8854
6.28
955.5
101.2
0.0324
0.0100
0.0110
0.0120
0.3583
0.8806
6.70
1057.0
101.5
0.0308
0.3718
0.8761
7.10
1156.4
99.4
0.0294
0.3844
0.8719
7.49
1255.2
98.8
0.0282
0.0130
0.3962
0.8679
7.87
1353.1
97.9
0.0272
0.013067
0.3970
0.8677
7.90
1360.7
7.6
0.0271
556
557
A péndice M étodo Elástico
Estructuras de C oncreto I
f c = 24.13 MPa
Ec = 23300 MPa
fs = 120 MPa
n=
Cuantía balanceada = 0.020491
P
0.0010
0.0020
k
0.1228
0.1691
f c = 28.1 MPa
Es = 200000 MPa
8.6
0.9591
0.9436
fc (MPa)
1.95
2.84
K (kN/m2;
AK
114.8
226.6
k2
0.0933
111.8
0.0664
0.0025
0.1870
0.9377
3.21
281.4
54.8
0.0596
0.0030
0.2028
0.9324
3.55
335.6
54.2
0.0546
0.0040
0.2301
0.9233
4.17
443.0
107.4
0.0475
0.0050
0.005833
0.2534
0.2705
0.9155
0.9098
4.74
5.17
549.8
636.2
106.8
86.4
0.0426
0.0396
P
2.93
226.6
3.32
282.3
55.7
0.0595
0.0030
0.1964
0.9345
3.67
336.8
54.5
0.0545
108.1
0.0474
0.0040
0.2230
0.9257
4.31
0.0050
0.2457
0.9181
4.89
551.5
106.6
0.0426
0.005833
0.2624
0.9125
5.34
639.3
87.8
0.0396
0.0060
0.2655
0.9115
5.42
655.8
16.5
0.0390
0.0070
0.2833
0.9056
5.93
760.7
104.9
0.0363
864.1
103.4
0.0340
0.2995
0.9002
6.41
0.0090
0.3142
0.8953
6.87
966.3
0.3279
0.8907
7.32
1068.9
102.2
102.6
0.0322
0.0100
0.0110
0.0120
0.3407
0.8864
7.75
1170.2
101.3
0.0292
0.8825
8.17
1271.1
100.9
0.0280
0.0080
0.0070
0.2920
0.9027
5.75
757.8
103.5
0.0363
0.0090
0.0100
0.0110
0.0120
0.0130
0.0140
0.3236
0.3376
0.8921
6.68
0.8875
0.3505
0.8832
0.3627
0.8791
0.3741
0.3849
0.8753
0.8717
0.0150
0.3951
0.8683
0.0160
0.4047
0.8651
7.11
7.53
7.94
8.34
8.73
9.11
9.49
964.2
1065.1
1165.5
1265.8
1365.5
1464.5
1562.7
1661.3
102.0
100.9
100.4
100.3
99.7
99.0
98.2
98.6
0.0322
0.0306
0.3526
0.0306
0.0293
0.0130
0.3638
0.8787
8.58
1371.4
100.3
0.0270
0.0281
0.0140
0.3744
0.8752
8.98
1471.3
99.9
0.0261
0.0271
0.0150
0.3844
0.8719
9.37
1570.2
98.9
0.0252
0.3939
0.8687
9.75
1668.1
97.9
0.0245
1767.1
99.0
0.0238
0.0261
0.0160
0.0253
0.0170
0.4030
0.8657
10.13
0.0245
0.0180
0.4116
0.8628
10.49
1862.6
95.5
0.0232
0.0190
0.4199
0.8600
1960.8
98.2
0.0226
0.0200
0.0210
0.0220
0.4279
0.8574
10.86
11.22
2058.2
97.4
0.0220
0.4355
0.8548
11.57
2153.6
95.4
0.0215
0.4429
0.8524
11.93
2252.0
98.4
0.0211
0.0230
0.4499
0.8500
12.27
2346.1
94.1
0.0206
0.023967
0.4565
0.8478
12.60
2438.2
92.1
0.0203
0.0170
0.4140
0.8620
9.86
1759.4
98.1
0.0238
0.0180
0.4227
0.8591
10.22
1855.7
96.3
0.0232
0.0190
0.4312
0.8563
10.58
1953.3
97.6
0.0200
0.4392
0.8536
10.93
2048.8
95.5
0.0221
0.020491
0.4431
0.8523
11.10
2096.0
47.2
0.0218
558
0.0664
444.9
0.0391
0.0341
k2
0.9397
18.1
104.4
AK
0.9455
654.3
862.2
K (kN/m2)
0.1810
5.26
6.23
fc (MPa)
0.1636
0.9087
0.8972
j
0.0025
0.2738
0.3085
k
Cuantía mínima = 0.005833
0.0020
0.0060
0.0080
Es = 200000 MPa
n = 8.0
Cuantía balanceada = 0.023967
Cuantía mínima = 0.005833
j
Ec = 24900 MPa
fs = 120 MPa
0.0226
559
Estructuras de C oncreto I
fc =
fs
A péndice M étodo Elástico
31.6 MPa
Ec = 26400 MPa
= 120 MPa
Cuantía balanceada = 0.028015
p
Es = 200000 MPa
k
fc (MPa)
K (kN/m2)
Cuantía balanceada = 0.032038
k
P
AK
k2
Es = 200000 MPa
n = 7.2
fs = 120 MPa
Cuantía mínima = 0.005856
j
Ec = 28000 MPa
f c = 35.2 MPa
n = 7.6
j
Cuantía mínima = 0.006180
K (kN/m2)
AK
fc (MPa)
k2
0.0010
0.0020
0.1130
0.9623
2.12
115.3
0.1559
0.9480
3.08
227.6
112.3
0.0663
0.0025
0.1726
0.9425
3.48
283.1
55.5
0.0594
0.9375
3.84
337.3
54.2
0.0544
0.0931
0.0010
0.0020
0.1159
0.9614
2.07
115.3
0.1598
0.9467
3.00
226.9
111.6
0.0664
0.0030
0.1874
0.0025
0.1769
0.9410
3.39
282.2
55.3
0.0595
0.0040
0.2129
0.9290
4.51
446.0
108.7
0.0474
0.0030
0.1920
0.9360
3.75
337.0
54.8
0.0545
0.0050
0.2347
0.9218
5.11
552.8
106.8
0.0425
0.0474
0.0060
0.2539
0.9154
5.67
658.9
106.1
0.0390
0.2571
0.9143
5.77
678.2
19.3
0.0384
0.0362
0.0931
0.0040
0.2180
0.9273
4.40
444.7
107.7
0.0050
0.2403
0.9199
4.99
551.5
106.8
0.005856
0.2571
0.9143
5.46
641.7
90.2
0.0395
0.0070
0.2711
0.9096
764.4
0.0060
6.20
86.2
0.2598
0.9134
5.54
657.3
15.6
0.0390
0.0080
0.2867
0.9044
6.70
868.6
104,2
0.0339
0.0070
0.2773
0.9076
6.06
762.6
105.3
0.0362
0.3010
0.8997
7.18
972.2
103.6
0.0321
0.0080
0.0090
0.2932
0.9023
6.55
866.4
103.8
0.0340
0.8953
7.64
1074.6
102.4
0.0305
0.0090
0.3077
0.8974
7.02
0.0100
0.0110
0.0120
969.2
0.3266
8.08
1175.8
0.8929
7.47
1071.2
0.0306
0.3382
0.8873
8.52
1278.4
101.2
102.6
0.0292
0.3212
0.3338
0.8887
7.91
1173.2
0.0292
0.0130
0.3491
0.8836
8.94
1378.8
100.4
0.0269
0.3455
0.8848
8.34
1274.8
102.8
102.0
102.0
101.6
0.0100
0.0110
0.0120
0.3142
0.0280
0.0140
0.3594
0.8802
9.35
1478.9
100.1
0.0260
0.0270
0.0150
0.3691
0.8770
9.75
1578.0
99.1
0.0252
0.0426
0.0321
0.006180
0.8911
0.0280
0.0130
0.3566
0.8811
8.75
1374.6
99.8
0.0140
0.3670
0.8777
9.15
1473.7
99.1
0.0260
0.3784
0.8739
10.15
1678.2
100.2
0.0150
0.0160
0.0244
0.3769
0.8744
9.55
1573.7
100.0
0.0252
0.3873
0.8709
10.54
1777.6
99.4
0.0237
0.0160
0.0170
0.3863
0.8712
9.94
1672.6
98.9
0.0245
0.3958
0.8681
10.92
1876.0
98.4
0.0231
0.0170
0.0180
0.3953
0.8682
10.32
1770.9
98.3
0.0238
0.0190
0.8654
11.29
1973.1
97.1
0.0225
0.0180
0.4039
0.4039
0.8654
10.70
1870.0
99.1
0.0231
0.4116
2070.4
97.3
0.0220
0.4121
0.8626
11.07
0.0200
0.0210
0.0220
1967.6
97.6
0.0225
0.4199
0.8600
11.43
2063.8
96.2
0.0220
0.4275
0.0200
0.0210
0.0220
0.8628
0.0190
0.8575
11.79
2161.0
97.2
0.0215
0.0230
0.4348
0.8551
12.15
2258.7
97.7
0.0210
0.0240
0.4399
0.0230
0.4418
0.8527
12.50
2354.5
95.8
0.0206
0.4464
0.0240
0.0250
0.4485
0.8505
12.84
2448.9
94.4
0.0202
0.0260
0.4527
0.0250
0.4551
0.8483
13.19
2546.1
97.2
0.0198
0.0270
0.4587
0.0195
0.0280
0.4646
0.4191
0.8603
11.66
12.02
2166.9
96.5
0.0215
0.4263
0.8579
12.38
2263.8
96.9
0.0210
0.4333
0.8556
12.74
2361.6
97.8
0.0206
0.8534
13.09
2457.1
95.5
0.0202
0.8512
13.44
2553.4
96.3
0.0198
0.8491
13.79
2650.4
97.0
0.0194
0.8471
14.12
2743.3
92.9
0.0191
0.8451
14.46
2838.7
95.4
0.0188
0.0260
0.4614
0.8462
13.53
2641.3
95.2
0.0270
0.4675
0.8442
13.86
2735.0
93.7
0.0191
0.4703
0.8432
14.80
2934.5
95.8
0.0280
0.0290
0.0185
0.4734
0.8422
14.19
2828.8
93.8
0.0188
0.4758
0.8414
15.13
3028.6
94.1
0.0182
1.028015
0.0300
0.4735
0.8422
14.20
2831.4
2.6
0.0188
0.0310
0.4812
0.8396
15.46
3123.0
94.4
0.0179
0.0320
0.4865
0.8378
15.79
3217.9
94.9
0.0176
0.032038
0.4867
0.8378
15.80
3221.3
3.4
0.0176
560
561
Estructuras de C oncreto I
Apéndice M étodo Elástico
f c = 42.2 MPa
Ec = 30500 MPa
fs = 120 MPa
n=
uantía balanceada = 0.040454
k
P
0.0010
0.0020
0.0030
0.0040
0.0050
0.0060
0.006767
0.0070
0.0080
0.0090
0.0100
0.0110
0.0120
0.0130
0.0140
0.0150
0.0160
0.0170
0.0180
0.0190
0.0200
0.0210
0.0220
0.0230
0.0240
0.0250
0.0260
0.0270
0.0280
0.0290
0.0300
0.0310
0.0320
0.0330
0.0340
0.0350
0.0360
0.0370
0.0380
0.0390
0.0400
0.040454
0.1085
0.1498
0.1802
0.2049
0.2260
0.2446
0.2575
0.2613
0.2764
0.2904
0.3033
0.3153
0.3266
0.3372
0.3473
0.3569
0.3659
0.3746
0.3829
0.3909
0.3985
0.4058
0.4129
0.4197
0.4263
0.4327
0.4388
0.4448
0.4506
0.4562
0.4617
0.4670
0.4722
0.4772
0.4821
0.4869
0.4915
0.4961
0.5005
0.5049
0.5091
0.5110
j
0.9638
0.9501
0.9399
0.9317
0.9247
0.9185
0.9142
0.9129
0.9079
0.9032
0.8989
0.8949
0.8911
0.8876
0.8842
0.8810
0.8780
0.8751
0.8724
0.8697
0.8672
0.8647
0.8624
0.8601
0.8579
0.8558
0.8537
0.8517
0.8498
0.8479
0.8461
0.8443
0.8426
0.8409
0.8393
0.8377
0.8362
0.8346
0.8332
0.8317
0.8303
0.8297
Es = 200000 MPa
f c = 14.1 MPa
6.6
Cuantía mínima = 0.006767
K (kN/m2)
fc (MPa)
AK
2.21
3.20
4.00
4.69
5.31
5.89
6.31
6.43
6.95
7.44
7.92
8.37
8.82
9.25
9.67
10.09
10.49
10.89
11.28
11.67
12,05
12.42
12.79
13.15
13.51
13.87
14.22
14.57
14.91
15.25
15.59
15.93
16.27
16.60
16.92
17.25
17.57
17.90
18.22
18.54
18.86
19.00
562
115.6
227.7
338.7
447.7
554.8
661.6
742.7
766.9
872.0
975.7
1079.6
1180.8
1283.5
1384.3
1484.7
1586.3
1685.0
1784.9
1884.0
1983.7
2082.1
2179.1
2277.2
2373.5
2470.5
2568.1
2663.4
2759.8
2854.7
2949.4
3045.1
3140.5
3236.7
3330.6
3423.1
3517.9
3610.6
3705.7
3799.0
3892.7
3986.1
4027.8
112.1
111.0
109.0
107.1
106.8
81.1
24.2
105.1
103.7
103.9
101.2
102.7
100.8
100.4
101.6
98.7
99.9
99.1
99.7
98.4
97.0
98.1
96.3
97.0
97.6
95.3
96.4
94.9
94.7
95.7
95.4
96.2
93.9
92.5
94.8
92.7
95.1
93.3
93.7
93.4
41.7
Ec = 17600 MPa
fs = 170 MPa
k2
0.0930
0.0663
0.0543
0.0473
0.0425
0.0389
0.0367
0.0361
0.0339
0.0320
0.0304
0.0291
0.0279
0.0269
0.0260
0.0251
0.0244
0.0237
0.0230
0.0225
0.0219
0.0214
0.0210
Es = 200000 MPa
n = 11.4
Cuantía balanceada = 0.005503
Cuantía mínima = 0.003333
k2
P
k
j
fc (MPa)
K (kN/m2;)
0.0010
0.1400
0.9533
2.43
162.2
0.0020
0.1920
0.9360
3.54
318.1
155.9
0.0030
0.2296
0.9235
4.44
470.7
152.6
0.0461
0.003333
0.2403
0.9199
4.72
521.7
51.0
0.0438
0.0040
0.2598
0.9134
5.23
620.5
98.8
0.0401
0.0050
0.2854
0.9049
5.96
769.6
149.1
0.0360
0.005503
0.2970
0.9010
6.30
842.9
73.3
0.0344
f c = 17.6 MPa
Ec = 19700 MPa
AK
0.0785
0.0561
Es = 200000 MPa
n = 10.2
fs = 170 MPa
Cuantía balanceada = 0.007472
Cuantía mínima = 0.003333
k2
P
k
J
fc (MPa)
K (kN/m2)
0.0010
0.0020
0.1330
0.9557
2.56
162.7
0.1826
0.9391
3.72
319.0
156.3
0.0560
0.0030
0.2187
0.9271
4.67
473.4
154.4
0.0460
0.003333
0.2290
0.9237
4.95
523.5
50.1
0.0437
0.0040
0.2478
0.9174
5.49
624.0
100.5
0.0400
0.0050
0.2724
0.9092
6.24
772.7
148.7
0.0360
AK
0.0205
0.0201
0.0197
0.0194
0.0190
0.0187
0.0184
0.0181
0.0178
0.0176
0.0173
0.0171
0.0169
0.0166
0.0164
0.0162
0.0160
0.0158
0.0158
0.0784
0.0060
0.2940
0.9020
6.94
920.2
147.5
0.0330
0.0070
0.3132
0.8956
7.60
1065.9
145.7
0.0306
0.007472
0.3216
0.8928
7.90
1134.1
68.2
0.0297
563
Estructuras de C oncreto I
Apéndice M étodo Elástico
f c = 21.1 MPa
fs = 170 MPa
Ec = 21600 MPa
n = 9.3
Cuantía balanceada = 0.009555
0.0010
0.0020
J
fc (MPa)
K (kN/m2)
0.1274
0.9575
2.67
162.9
0.1752
0.9416
3.88
320.0
0.2100
0.0030
fc = 28.1 MPa
Cuantía mínima = 0.003333
k
p
Es = 200000 MPa
0.9300
4.86
AK
474.6
154.6
0.0559
0.0459
0.003333
0.2199
0.9267
5.15
524.7
50.1
0.0437
0.0040
0.2381
0.9206
5.71
625.8
101.1
0.0400
150.2
0.0359
147.7
0.0329
0.0050
0.2620
0.0060
0.9127
0.2829
0.9057
6.49
776.0
7.21
923.7
0.0070
0.3016
0.8995
7.89
1070.2
146.5
0.0306
0.0080
0.3185
0.8938
8.54
1215.6
145.4
0.0287
143.5
0.0271
80.2
0.0264
0,0090
0.3339
0.009555
0.8887
0.3420
0.8860
9.16
1359.1
9.50
f c = 24.6 MPa
1439.3
Ec = 23300 MPa
f,= 170 MPa
n=
Cuantía balanceada = 0.011740
P
k
0.0010
0.0020
0.0030
Es = 200000 MPa
8.6
Cuantía balanceada = 0.013794
Cuantía mínima = 0.003333
k
j
fc (MPa)
0.0010
0.0020
0.1187
0.9604
2.86
163.0
0.1636
0.9455
4.16
321.7
158.7
0.0558
0.0030
0.1964
0.9345
5.19
476.3
154.6
0.0458
0.003333
0.2058
0.9314
5.51
528.1
51.8
0.0435
0.0040
0.2230
0.9257
6.10
629.6
101.5
0.0399
0.1228
0.9591
2.77
163.1
0.1691
0.9436
4.02
320.7
157.6
0.0558
0.2028
0.9324
5.03
475.6
154.9
0.0459
0.003333
0.2125
0.9292
5.33
526.2
50.6
0.0436
0.0040
0.2301
0.9233
5.91
627.8
101.6
0.0399
0.0050
0.2534
0.9155
6.71
778.3
150.5
0.0358
0.0060
0.2738
0.9087
7.45
926.8
148.5
0.0328
0.0070
0.2920
0.9027
8.15
1074.1
147.3
0.0305
0.0080
0.3085
0.8972
8.82
1220.6
146.5
0.0286
0.0090
0.3236
0.8921
9.46
1365.5
0.0100
0.0110
144.9
0.0271
0.3376
0.8875
10.07
1508.6
143.1
0.0257
0.3505
0.8832
10.67
1651.5
142.9
0.0246
0.011740
0.3596
0.8801
11.10
1756.5
105.0
0.0239
564
K (kN/m2)
AK
K (kN/m2)
AK
0.0783
0.0050
0.2457
0.9181
6.92
780.5
150.9
0.0358
0.0060
0.2655
0.9115
7.68
929.3
148.8
0.0328
0.0305
0.0070
0.2833
0.9056
8.40
1077.5
148.2
0.0080
0.2995
0.9002
9.09
1225.4
147.9
0.0286
0.0090
0.3142
0.8953
9.74
1369.9
144.5
0.0270
0.0100
0.0110
0.0120
0.3279
0.8907
10.37
1514.3
144.4
0.0257
0.3407
0.8864
10.98
1658.0
143.7
0.0246
0.3526
0.8825
11.57
1800.1
142.1
0.0236
0.0130
0.3638
0.8787
12.15
1942.0
141.9
0.0227
0.013794
0.3722
0.8759
12.60
2053.9
111.9
0.0221
k2
fc (MPa)
k2
P
Cuantía mínima = 0.003333
J
Es = 200000 MPa
n = 8.0
k2
0.0784
157.1
Ec = 24900 MPa
fs = 170 MPa
0.0783
565
A péndice M étodo Elástico
Estructuras de C oncreto I
f c = 31.6 MPa
Ec = 26400 MPa
fs = 170 MPa
fc = 35.2 MPa
Es = 200000 MPa
Cuantía balanceada = 0.016218
Ec
fs = 170 MPa
n = 7.6
Cuantía balanceada = 0.018630
Cuantía mínima = 0.003346
K (kN/m2)
k2
322.2
158.5
0.0557
5.45
478.7
156.5
0.0457
5.96
560.1
81.4
0.0423
0.0398
k
0.0783
0.0010
0.0020
0.1130
0.9623
3.01
163.7
0.1559
0.9480
4.36
0.0457
0.0030
0.1874
0.9375
0.2015
0.9328
j
fc (MPa)
0.0010
0.0020
0.1159
0.9614
2.93
163.2
0.1598
0.9467
4.25
321.5
158.3
0.0558
0.0030
0.1920
0.9360
5.32
478.0
156.5
MPa
AK
P
k
Es = 200000
Cuantía mínima = 0.003532
k2
p
AK
= 28000 MPa
n = 7.2
J
fc (MPa)
K (kN/m2)
0.0782
0.003346
0.2015
0.9328
5.64
530.0
52.0
0.0434
0.003532
0.0040
0.2180
0.9273
6.24
630.7
100.7
0.0398
0.0040
0.2129
0.9290
6.39
631.9
71.8
0.0050
0.2403
0.9199
7.08
782.5
151.8
0.0357
0.0050
0.2347
0.9218
7.24
783.2
151.3
0.0357
0.0060
0.2598
0.9134
7.85
931.4
148.9
0.0328
0.0060
0.2539
0.9154
8.03
933.2
150.0
0.0327
0.0070
0.2773
0.9076
8.58
1079.7
148.3
0.0304
0.0070
0.2711
0.9096
8.78
1082.5
149.3
0.0304
0.0285
0.0080
0.2867
0.9044
9.49
1230.3
147.8
0.0285
0.0270
0.0090
0.3010
1377.1
146.8
0.0269
0.3142
0.8953
10.82
1521.9
144.8
0.0256
0.3266
0.8911
11.45
1666.2
144.3
0.0245
0.0235
0.0100
0.0110
0.0120
0.3382
0.8873
12.07
1811.0
144.8
0.0235
0.0130
0.3491
0.8836
12.66
1952.6
141.6
0.0226
0.0080
0.2932
0.9023
9.28
1227.5
147.8
0.0090
0.3077
0.8974
9.94
1372.4
144.9
0.0100
0.0110
0.0120
0.3212
0.8929
10.58
1517.2
144.8
0.0257
0.3338
0.8887
11.21
1662.7
145.5
0.0245
0.3455
0.8848
11.81
1805.1
142.4
0.8997
10.17
0.0130
0.3566
0.8811
12.40
1948.0
142.9
0.0227
0.0140
0.3670
0.8777
12.97
2088.9
140.9
0.0219
0.0140
0.3594
0.8802
13.25
2095.8
143.2
0.0218
0.3691
0.8770
13.81
2235.2
139.4
0.0212
0.0150
0.3769
0.0160
0.3863
0.016218
0.3883
13.53
2229.5
140.6
0.0212
0.0150
0.8712
14.08
2369.3
139.8
0.0205
0.0160
0.3784
0.8739
14.37
2376.0
140.8
0.0205
0.8706
14.20
2400.2
30.9
0.0204
0.0170
0.3873
0.8709
14.93
2517.9
141.9
0.0199
0.0180
0.3958
0.8681
15.47
2657.7
139.8
0.0194
0.018630
0.4009
0.8664
15.80
2744.0
86.3
0.0191
0.8744
566
567
E s tru c tu ra s de C oncreto I
A p én d ice M étodo de la R esistencia Ultima
f c = 42.2 MPa
Ec = 30500 MPa
fs = 170 MPa
n=
Cuantía balanceada = 0.023723
A p é n d ic e 2 . A
Es = 200000 MPa
6.6
Cuantía mínima = 0.003867
k2
p
k
0.0010
0.0020
0.1085
0.9638
3.13
163.7
0.1498
0.9501
4.54
323.1
159.4
0.0556
0.0025
0.1659
0.9447
5.12
401.2
78.1
0.0499
J
fc (MPa)
K (kN/m2)
AK
M E T O D O D E L A R E S IS T E N C IA Ú L T IM A
V IG A S R E C T A N G U L A R E S C O N A R M A D U R A A L A T R A C C IÓ N
0.0782
0.0030
0.1802
0.9399
5.66
479.3
78.1
0.0457
0.003867
0.2018
0.9327
6.51
612.7
133.4
0.0404
0.0040
0.2049
0.9317
6.64
633.8
21.1
0.0397
0.0050
0.2260
0.9247
7.52
785.8
152.0
0.0357
0.0060
0.2446
0.9185
8.34
936.9
151.1
0.0327
0.0070
0.2613
0.9129
9.11
1086.6
149.7
0.0303
0.0080
0.2764
0.9079
9.84
1234.6
148.0
0.0285
0.0090
0.2904
0.9032
10.54
1382.3
147.7
0.0269
0.0100
0.0110
0.0120
0.3033
0.8989
1528.1
145.8
0.0256
0.3153
0.8949
11.21
11.86
1673.2
145.1
0.0244
0.3266
0.8911
12.49
1817.5
144.3
0.0235
0.0130
0.3372
0.8876
13.10
1960.4
142.9
0.0226
0.0218
0.0140
0.3473
0.8842
13.71
2105.1
144.7
0.0150
0.3569
0.8810
14.29
2246.6
141.5
0.0211
0.0160
0.3659
0.8780
14.86
2387.0
140.4
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2529.1
142.1
0.0199
0.0180
0.3829
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139.9
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140.8
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0.0210
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17.06
2947.8
138.0
0.0184
0.4058
0.8647
17.59
3086.1
138.3
0.0180
0.4129
0.8624
18.11
3224.3
138.2
0.0176
0.0230
0.4197
0.8601
18.63
3362.6
138.3
0.0172
0.023723
0.4245
0.8585
19.00
3462.1
99.5
0.0170
E sq u em a
M o m e n to ú ltim o en kN -m .
D im e n sio n e s en m.
E sfu e rz o s e n M P
a.
•y
A rm a d u ra en m .
P=
As
Pf;
bd
0 .8 5 f;
jd = d
PÚ
j = l -
d
2d
f
K = «.pf,
1 - 0 . 59p
fAc' y
<i)Mn = K b d
k2 =
1
K
d = k2
568
♦M n
569
0 .8 5 f '
Estructuras de C oncreto I
A p én d ice M étodo de la Resistencia Ultima
Diagram a de flujo para el diseño de vigas a la flexión por el
m étodo de la resistencia última
C a lid ad de m a te ria le s en M P a, d im e n s io n e s d e la se c c ió n en m etro s y
m o m e n to s en kN -m .
Apéndice 2 B
T A B L A S P A R A D IS E Ñ O .
M É T O D O D E L A R E S IS T E N C IA Ú L T IM A
V IG A S R E C T A N G U L A R E S C O N A R M A D U R A A L A T R A C C IO N
570
571
E s tru c tu ra s de C oncreto I
A péndice M étodo de la Resistencia Ultima
f c = 14.1 MPa
fv = 240 MPa
Cuantía mínima = 0.005833
p
a/d
pl =
0.85
Cuantía máxima de diseño = 0.01593
K (kN/m2)
j
AK
k2
f c = 17.6 MPa
fv = 240 MPa
pl = 0.85
Cuantía mínima = 0.005833
Cuantía máxima de diseño = 0.01988
P
a/d
j
K (kN/m2)
0.0 0 10
0.0160
0.0321
0.0401
0.0481
0.0642
0.0802
0.0936
0.0963
0.1123
0.1283
0.1444
0.1604
0.1765
0.1925
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0.2246
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0.9840
0.9800
0.9760
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0.9532
0.9519
0.9439
0.9359
0.9278
0.9198
0.9118
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0.8556
0.8476
0.8406
214.3
425.0
529.1
632.4
836.2
1036.6
0.0 020
0 .0 0 10
0.0 20 0
0 .0 020
0.0401
0.0501
0.0601
0.0801
0.0025
0.0030
0.0040
0.0050
0.005833
0.0060
0.0070
0.0080
0.0090
0 .0 10 0
0 .0 110
0 .0 12 0
0.0130
0.0140
0.0150
0.015930
0 .10 0 1
0.1168
0 .12 0 2
0.1402
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0.9700
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572
213.8
423.3
526.4
628.5
829.3
1025.8
1186.1
1217.9
1405.7
1589.2
1768.3
1943.1
2113.5
2279.6
2441.4
2598.8
2751.9
2890.4
209.5
103.1
10 2 .1
2 0 0 .8
196.5
160.3
31.8
187.8
183.5
179.1
174.8
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12 0 0 .8
1233.4
1426.8
1616.8
1803.2
1986.2
2165.7
2341.8
2514.3
2683.4
2849.0
3011.1
3169.8
3324.9
3476.6
3607.3
573
AK
k2
210.7
104.1
103.3
203.8
200.4
164.2
32.6
193.4
190.0
186.4
183.0
179.5
176.1
172.5
169.1
165.6
162.1
158.7
155.1
151.7
130.7
0.0683
0.0485
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0.0285
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0.0224
0.0215
0.0207
0.0199
0.0193
0.0187
0.0182
0.0178
0.0173
0.0170
0.0166
A péndice M étodo de la Resistencia Ultima
Estructuras de C oncreto I
f c =21.1 MPa
fv = 240 MPa
Pl =0.85
Cuantía mínima = 0.005833
Cuantía máxima de diseño = 0.02384
p
0 .0 0 10
0 .0 020
0.0025
0.0030
0.0040
0.0050
0.005833
0.0060
0.0070
0.0080
0.0090
0.0 10 0
0 .0 110
0 .0 12 0
0.0130
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0.0160
0.0170
0.0180
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0 .0 20 0
0.0 210
0.0 220
0.0230
0.023840
a/d
j
K (kN/m2)
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0.9833
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426.2
530.9
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840.8
1043.8
12 10 .6
1243.8
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1635.2
1826.6
2015.0
2200.6
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3418.3
3580.7
3740.2
3896.7
4050.4
4201.2
4325.6
574
AK
2 11.6
104.7
104.1
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203.0
166.8
33.2
197.2
194.2
191.4
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185.6
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168.2
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124.4
k2
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0.0157
0.0154
0.0152
pi = 0.85
f c =24.6 MPa
fv = 240 MPa
Cuantía mínima = 0.005833
Cuantía máxima de diseño = 0.02779
P
a/d
j
K (kN/m2)
0 .0 0 10
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427.0
532.2
636.8
844.1
1048.9
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1251.2
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1843.3
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2225.6
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2597.9
2780.3
2960.3
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4150.2
4310.3
4467.8
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5042.4
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575
AK
2 12 .2
105.2
104.6
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204.8
168.7
33.6
199.9
197.3
194.9
192.4
189.9
187.4
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180.0
177.4
175.0
172.5
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162.5
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157.5
155.1
152.6
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k2
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0.0155
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0.0150
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0.0145
0.0142
0.0141
E structuras de C oncreto I
Apéndice M étodo de la Resistencia Ultima
f c = 28.1 MPa
fv = 240 MPa
pl = 0.85
Cuantía mínima = 0.005833
Cuantía máxima de diseño = 0.03175
P
0.0010
0.0020
0.0025
0.0030
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576
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AK
212.7
105.6
105.0
208.4
206.2
170.1
33.9
201.9
199.6
197.5
195.4
193.1
191.0
188.8
186.6
184.4
182.3
180.0
177.9
175.8
173.5
171.4
169.2
167.0
164.8
162.7
160.5
158.3
156.2
153.9
151.8
149.6
110.8
k2
0.0682
0.0484
0.0433
0.0396
0.0344
0.0308
0.0286
0.0282
0.0262
0.0246
0.0232
0.0221
0.0211
0.0203
0.0195
0.0189
0.0183
0.0177
0.0173
0.0168
0.0164
0.0160
0.0157
0.0154
0.0151
0.0148
0.0146
0.0143
0.0141
0.0139
0.0137
0.0135
0.0133
0.0132
(31 =0.82
fc =31.6 MPa
fy = 240 MPa
Cuantía mínima = 0.005856
P
0.0010
0.0020
0.0025
0.0030
0.0040
0.0050
0.005856
0.0060
0.0070
0.0080
0.0090
0.0100
0.0110
0.0120
0.0130
0.0140
0.0150
0.0160
0.0170
0.0180
0.0190
0.0200
0.0210
0.0220
0.0230
0.0240
0.0250
0.0260
0.0270
0.0280
0.0290
0.0300
0.0310
0.0320
0.0330
0.0340
0.03444
a/d
0.0089
0.0179
0.0223
0.0268
0.0357
0.0447
0.0523
0.0536
0.0625
0.0715
0.0804
0.0894
0.0983
0.1072
0.1162
0.1251
0.1340
0.1430
0.1519
0.1608
0.1698
0.1787
0.1876
0.1966
0.2055
0.2144
0.2234
0.2323
0.2413
0.2502
0.2591
0.2681
0.2770
0.2859
0.2949
0.3038
0.3077
Cuantía máxima de diseño = 0.03444
K (kN/m2)
215.0
428.1
534.0
639.3
848.5
1055.8
1231.7
1261.2
1464.6
1666.1
1865.6
2063.2
2258.9
2452.6
2644.4
2834.3
3022.2
3208.2
3392.3
3574.4
3754.6
3932.8
4109.2
4283.5
4456.0
4626.5
4795.1
4961.7
5126.4
5289.2
5450.0
5608.9
5765.8
5920.9
6074.0
6225.1
6291.0
j
0.9956
0.9911
0.9889
0.9866
0.9822
0.9777
0.9739
0.9732
0.9688
0.9643
0.9598
0.9553
0.9509
0.9464
0.9419
0.9375
0.9330
0.9285
0.9241
0.9196
0.9151
0.9107
0.9062
0.9017
0.8973
0.8928
0.8883
0.8839
0.8794
0.8749
0.8705
0.8660
0.8615
0.8571
0.8526
0.8481
0.8462
577
AK
k2
213.1
105.9
105.3
209.2
207.3
175.9
29.5
203.4
201.5
199.5
197.6
195.7
193.7
191.8
189.9
187.9
186.0
184.1
182.1
180.2
178.2
176.4
174.3
172.5
170.5
168.6
166.6
164.7
162.8
160.8
158.9
156.9
155.1
153.1
151.1
65.9
0.0682
0.0483
0.0433
0.0396
0.0343
0.0308
0.0285
0.0282
0.0261
0.0245
0.0232
0.0220
0.0210
0.0202
0.0194
0.0188
0.0182
0.0177
0.0172
0.0167
0.0163
0.0159
0.0156
0.0153
0.0150
0.0147
0.0144
0.0142
0.0140
0.0138
0.0135
0.0134
0.0132
0.0130
0.0128
0.0127
0.0126
Estructuras de C oncreto I
A péndice M étodo de la Resistencia Ultima
f c = 35.2 M P a
fy = 240 M P a
(31 = 0.80
C u an tía m ín im a = 0 .0 0 6 1 8 0
C u an tía m áx im a de d ise ñ o = 0 .03743
p
a/d
0.0010
0.0020
0.0025
0.0030
0.0040
0.0050
0.0060
0.006180
0.0070
0.0080
0.0090
0.0100
0.0110
0.0120
0.0130
0.0140
0.0150
0.0160
0.0170
0.0180
0.0190
0.0200
0.0210
0.0220
0.0230
0.0240
0.0250
0.0260
0.0270
0.0280
0.0290
0.0300
0.0310
0.0320
0.0330
0.0340
0.0350
0.0360
0.0370
0.03743
0.0080
0.0160
0.0201
0.0241
0.0321
0.0401
0.0481
0.0496
0.0561
0.0642
0.0722
0.0802
0.0882
0.0963
0.1043
0.1123
0.1203
0.1283
0.1364
0.1444
0.1524
0.1604
0.1684
0.1765
0.1845
0.1925
0.2005
0.2086
0.2166
0.2246
0.2326
0.2406
0.2487
0.2567
0.2647
0.2727
0.2807
0.2888
0.2968
0.3002
(31 = 0.75
f c = 42.2 M Pa
fv = 240 M Pa
K (kN /m 2)
j
0.9960
0.9920
0.9900
0.9880
0.9840
0.9800
0.9760
0.9752
0.9720
0.9679
0.9639
0.9599
0.9559
0.9519
0.9479
0.9439
0.9399
0.9359
0.9318
0.9278
0.9238
0.9198
0.9158
0.9118
0.9078
0.9038
0.8998
0.8957
0.8917
0.8877
0.8837
0.8797
0.8757
0.8717
0.8677
0.8637
0.8597
0.8556
0.8516
0.8499
215.1
428.5
534.6
640.2
850.1
1058.3
1264.7
1301.7
1469.4
1672.4
1873.6
2073.1
2270.9
2466.9
2661.2
2853.7
3044.5
3233.6
3420.9
3606.5
3790.3
3972.4
4152.8
4331.4
4508.3
4683.5
4856.9
5028.6
5198.6
5366.8
5533.2
5698.0
5861.0
6022.2
6181.8
6339.5
6495.6
6649.9
6802.5
6867.5
578
AK
213.4
106.1
105.6
209.9
208.2
206.4
37.0
167.7
203.0
201.2
199.5
197.8
196.0
194.3
192.5
190.8
189.1
187.3
185.6
183.8
182.1
180.4
178.6
176.9
175.2
173.4
171.7
170.0
168.2
166.4
164.8
163.0
161.2
159.6
157.7
156.1
154.3
152.6
65.0
C uantía m áxim a de diseño = 0.04207
C uantía m ínim a = 0.006767
k2
0.0682
0.0483
0.0432
0.0395
0.0343
0.0307
0.0281
0.0277
0.0261
0.0245
0.0231
0.0220
0.0210
0.0201
0.0194
0.0187
0.0181
0.0176
0.0171
0.0167
0.0162
0.0159
0.0155
0.0152
0.0149
0.0146
0.0143
0.0141
0.0139
0.0137
0.0134
0.0132
0.0131
0.0129
0.0127
0.0126
0.0124
0.0123
0.0121
0.0121
P
a/d
j
< (kN/m2)
0.0010
0.0020
0.0067
0.0134
0.9967
0.9933
0.9900
0.9866
0.9833
0.9800
0.9774
0.9766
0.9733
0.9699
0.9666
0.9632
0.9599
0.9565
0.9532
0.9498
0.9465
0.9432
0.9398
0.9365
0.9331
0.9298
0.9264
0.9231
0.9197
0.9164
0.9130
0.9097
0.9064
0.9030
0.8997
0.8963
0.8930
0.8896
0.8863
0.8829
0.8796
0.8762
0.8729
0.8696
0.8662
0.8629
0.8595
0.8593
215.3
429.1
641.5
852.4
1061.9
1269.9
1428.5
1476.5
1681.6
1885.3
2087.5
2288.3
2487.6
2685.5
2881.9
3076.9
3270.5
3462.5
3653.2
3842.4
4030.1
4216.4
4401.2
4584.6
4766.5
4947.0
5126.1
5303.6
5479.8
5654.5
5827.7
5999.5
6169.8
6338.7
6506.2
6672.1
6836.7
6999.8
7161.4
7321.6
7480.4
7637.6
7793.5
7804.3
0.0030
0.0040
0.0050
0.0060
0.006767
0.0070
0.0080
0.0090
0.0100
0.0110
0.0120
0.0130
0.0140
0.0150
0.0160
0.0170
0.0180
0.0190
0.0200
0.0210
0.0220
0.0230
0.0240
0.0250
0.0260
0.0270
0.0280
0.0290
0.0300
0.0310
0.0320
0.0330
0.0340
0.0350
0.0360
0.0370
0.0380
0.0390
0.0400
0.0410
0.0420
0.04207
0.0201
0.0268
0.0335
0.0401
0.0453
0.0468
0.0535
0.0602
0.0669
0.0736
0.0803
0.0870
0.0937
0.1004
0.1071
0.1137
0.1204
0.1271
0.1338
0.1405
0.1472
0.1539
0.1606
0.1673
0.1740
0.1807
0.1873
0.1940
0.2007
0.2074
0.2141
0.2208
0.2275
0.2342
0.2409
0.2476
0.2543
0.2609
0.2676
0.2743
0.2810
0.2815
579
AK
k2
213.8
212.4
210.9
209.5
208.0
158.6
48.0
205.1
203.7
0.0682
0.0483
0.0395
0.0343
0.0307
0.0281
0.0265
0.0260
0.0244
0.0230
0.0219
0.0209
202.2
200.8
199.3
197.9
196.4
195.0
193.6
192.0
190.7
189.2
187.7
186.3
184,8
183.4
181.9
180.5
179.1
177.5
176.2
174.7
173.2
171.8
170.3
168.9
167.5
165.9
164.6
163.1
161.6
160.2
158.8
157.2
155.9
10.8
0.0200
0.0193
0.0186
0.0180
0.0175
0.0170
0.0165
0.0161
0.0158
0.0154
0.0151
0.0148
0.0145
0.0142
0.0140
0.0137
0.0135
0.0133
0.0131
0.0129
0.0127
0.0126
0.0124
0.0122
0.0121
0.0120
0.0118
0.0117
0.0116
0.0114
0.0113
0.0113
Estructuras de C oncreto I
R eferencias
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R eferencias
E structuras de C oncreto I
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fo r
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582
C o n c re te
*****************************
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A m e ric a n
C o n cre te
583
In stitu te ,
Indice Alfabético
Estructuras de C oncreto I
INDICE ALFABETICO
A b a c o (figura): 369
A n c la je , lo n g itu d de: 173, 174, 217
B resler, m éto d o de: 319, 32 0 ,3 2 1
C ajo n es: 507, 513 (figura)
C a p ite l (figura): 3 3 5 , 369
v ig u e ta s de: 377, 378 (figura), 382
C arg a (s)
c o e fic ie n te de: 72
c rític a d e c o lu m n a s: 312, 318, 319
d e fa lla p a ra c o lu m n a s co rtas: 282
d e tra b a jo p a ra c o lu m n as: 282
h o riz o n ta le s: 540
m u e rta s: 540
v iv a s: 540
C im e n ta c ió n , d e fin ic ió n de: 425
p ro fu n d id a d , de
p ilo te s: v e r p ilo te s
ca jo n e s: v e r c a jo n e s
su p e rfic ia le s
p a ra c o lu m n a s
aislad a s: 426 (figura), 433, 443, 449, 455
co m b in ad a s: 427 (figura), 461, 476
co n v ig a de c o n tra p eso : 482
p a ra m u ro s: 426 (fig u ra), 428
C o e fic ie n te (s)
de a m p lific a c ió n d e m o m en to s: 312, 313, 314, 317, 3 1 8 ,3 1 9
de d ila ta c ió n térm ica : 5
M éto d o de los: 336, 344
p a ra d e fle x ió n a la rg o p lazo : 119, 126
de c a p a c id a d de d isip a c ió n de en e rg ía: 542
585
Indice Alfabético
E structuras de C oncreto I
d e lo n g itu d efe c tiv a (co lu m n as): 312, 313
de re d u c c ió n de re siste n c ia , d e fin ic ió n : 75
p a ra co m p re sió n , 283
p a ra co rta n te: 133
p a ra flex ió n : 75
p a ra p re sió n de co n tac to : 436
p a ra to rsió n : 158
lo n g itu d de d esa rro llo , a fe c ta c ió n de: 177, 185, 203, 205, 212, 215,
217
C o lu m n a s
c o n fin a m ie n to
e strib o s de: 2 7 6 -2 8 0 , 3 2 2 -3 2 8
lo n g itu d de: 2 7 7 -2 8 0 , 324, 325
d efin ic ió n : 267
d ia g ra m a de in te ra c c ió n p ara: 290
d im e n sio n a m ie n to : 268
esb e lte z, e fe c to s de: 309, 310, 317
e sfu e rz o c o rta n te en: 3 2 2 -3 2 9
re d u c c ió n d e sec ció n : 269
re fu e rz o lo n g itu d in al: 269, 319
re fu e rz o tra n sv e rsa l
e sp ira le s: 2 7 4 -2 7 6
estrib o s: 272, 322, 327
n u d o s, re q u isito s en: 273, 328
tip o s de: 267
C o n c re to
c o m p re s ió n -d e fo rm a c ió n (fig u ra): 5
d efin ic ió n : 3
d ilatació n , c o e fic ie n te de: 5
e lasticid ad , m ó d u lo de: 6 , 1 0
e sfu e rz o d e trab a jo : 17
flu e n c ia lenta: 6
frag u ad o , re tra c c ió n de: 6
p eso u n itario : 5
re fo rza d o : 3, 9
re siste n c ia n o m in al a la c o m p re sió n : 3
586
C o n ten ció n , m u ro s de: 517
co n c o n tra fu e rte s (figura): 518
de g ra v ed ad : 517 (figura)
en v o lad izo : 518 (figura), 519, 522
e stab ilid ad , a n á lis is de: 524
e stru c tu ra l, an á lisis: 528
p re d im e n sio n a m ie n to : 523
re fu erz o , c o lo c a c ió n del: 534
C o rtan te, fu erza: 132
n o m in a l to tal, fu erza: 132
re fu e rz o m ín im o de: 138 (vigas)
re siste n c ia p ro p o rc io n a d a p o r el co n c reto : 135
re siste n c ia p ro p o rc io n a d a p o r el refu erzo : 135
a c c ió n en d o s d ire c c io n e s p a ra lo sas aéreas: 372, 374 (figura)
a c c ió n en d o s d ire c c io n e s p a ra za p atas: 4 3 3 (figura), 434
C u an tía
b alan c ead a : 24 (M éto d o E lá stic o ), 63 (M éto d o d e la R esisten cia)
d efin ic ió n :
20
e sp e c ific a c ió n p a ra p -p ': 8 6 , 87
m á x im a de d ise ñ o (v ig a s): 69
m ín im a p a ra fle x ió n (vigas): 77
m ín im a p a ra flex ió n (losas m acizas): 77, 229, 230
p a ra v ig a s "T": 106
D e flex io n es
co n tro l de: 96, 116
e v a lu a ció n : 123
larg o p lazo : 119
lím ite s p a r a : 119
D eriv a
d e fin ic ió n : 311, 316
lím ite de: 316
D e sa rro llo , lo n g itu d de: 185, 207 (fig u ra), 212, 2 1 5 ,2 1 7
D iseño
b ala n c e a d o , d e fin ic ió n : 17
587
Estructuras de C oncreto I
Indice Alfabético
e le m e n to s e stru c tu ra le s, de: 542
M é to d o D ire c to de: 369, 370
ó p tim o , d e fin ic ió n : 18
so b re -re fo rz a d o , d efin ic ió n : 17
su b -re fo rz a d o , d efin ic ió n : 18
F lu e n cia, m é to d o d e las lín e a s de: 357, 358
F ra n ja s, d iv isió n d e lo sas en: 3 4 4 , 351
a n á lis is de: 342, 343, 351, 352, 3 7 4 -3 7 6
F rag u a d o , re tra c c ió n de: 6 , 118, 126
fs, e s fu e rz o m áx im o a d m isib le d el a c ero a trac ció n , 19
fy, re siste n c ia n o m in a l a la flu e n c ia d el acero : 8
G a n c h o están d a r: 178, 180, 205
E fe c tiv a , altu ra: 18
E je n eu tro
G iro, ra d io d e (e le m en to s a co m p re sió n ): 309
H o o k e , ley de: 16
L o sas
d e fo rm a c io n e s re sp e c to al: 16
p ro fu n d id a d se g ú n M é to d o E lástico : 19, 35, 53
p ro fu n d id a d se g ú n M é to d o d e la R esiste n c ia : 61, 62
n e rv a d a s en u n a d irec ció n : 237
E lástico , m éto d o : 15
e sp e c ific a c io n e s: 239
e sp e so r m ín im o : 116, 117
an á lisis a p ro x im a d o : 240
a rm a d a s en d o s d irec cio n es: 333
a p o y a d a s en co lu m n as: 369,
a p o y a d a s en lo s b o rd e s: 336, 344, 357
re fu e rz o en m aciz as: 346, 347
tip o s de: 333, 3 3 4 -3 3 5 (figuras)
e sp e so re s m ín im o s p ara: 116, 117, 122, 226, 339, 340, 341
m a c iz a s en u n a d irec ció n : 225
E q u iv a le n te , M é to d o del P ó rtico : 369, 382, 403
E m p a lm e , lo n g itu d de: 176
en co lu m n as: 270, 271
E m p u je
s o b re m u ro s: 5 2 0 -5 2 2 , 525, 527
E sb eltez , e fecto s de:
en co lu m n as: 309
e v a lu a c ió n : 309
lo cales: 317
E sta b ilid a d
e s p e s o r m ín im o : 116, 117, 122
re fu e rz o m ín im o : v e r c u a n tía
re c u b rim ie n to m ín im o : v e r r e fu e r z o
M ó d u lo
ín d ice de: 311, 316
an á lisis d e (m uros d e c o n te n c ió n ): 524
d e e la stic id a d del co n c reto : 6 ,
d e e la stic id a d d el refu erzo : 8
de ru p tu ra del c o n c reto : 118
M o m e n to in te rio r re siste n te
E stru c tu ra l (es)
a n á lisis (m uros d e c o n te n c ió n ): 528
m é to d o s d e an á lisis: 542
no, d ise ñ o de e le m e n to s: 543
siste m as: 541
se g ú n M é to d o E lástico : 16, 20, 37, 42
se g ú n M é to d o d e la R e sisten cia: 62, 76,
M o m en to
fc, e sfu e rz o m á x im o a d m isib le de c o m p re sió n p o r flex ió n ,
f c, re siste n c ia n o m in a l del c o n c re to a la c o m p re sió n :
F le x ió n , fó rm u la de la: 15
F lu e n c ia lenta: 6 , 96
588
10
4
10,
19
86
, 99, 105, 113
d e fisu ra ció n : 118
d e in e rc ia (según s e c c ió n tra n sfo rm a d a ): 3 5 , 5 3
d e in e rc ia e fe c tiv o (p ara el cá lc u lo d e d efle x io n es): 118
m a g n ific a c ió n de: 3 1 1 ,3 1 2
589
Indice Alfabético
Estructuras de C oncreto I
P e d e sta l (figura): 442
P ilo tes: 495, 4 9 8 (figura)
P u n ta l ten so r, m éto d o : 503
R efu e rzo
c u a n tía del: 2 0
d efin ic ió n : 3
d e sa rro llo d e la re sisten c ia: 173
d im e n sio n e s n o m in a le s d e las b arras: 11
d istrib u c ió n en la sec ció n : 22, 26, 77
e la sticid ad , m ó d u lo de: 8
e m p a lm e s del: 176, 177, 270 (colu m n as)
en esp ira l: 267, 274
e sfu erzo de flu en cia: 8
e s fu e rz o -d e fo rm a c ió n (fig u ra): 9
e sfu e rz o d e trab a jo : 19
esp a c ia m ie n to m áx im o e n losas: 77, 78, 229, 230
e strib o s p erp e n d ic u la re s: 139
lím ite s d e e s p a c ia m ie n to p a ra c o rta n te : 137 (vigas), 272 (colum nas)
lo n g itu d in a l d o b lad o : 141
lo n g itu d in a l p a ra to rsió n : 159
p a ra c o lu m n as: 2 6 8 -2 8 0 , 3 1 9 -3 2 9
re c u b rim ie n to m ín im o : 22 (vigas), 2 2 9 (losas), 270 (colum nas),
429, 443 (cim ientos)
tra n sv e rsa l co m b in a d o p a ra c o rta n te y to rsió n : 165, 166
tra n sv e rsa l p a ra co rta n te: 135
tra n sv e rsa l p a ra to rsió n : 160
R e la c ió n m o d u lar: 10
R e sisten cia
al a p la sta m ie n to : 441, 435
de d iseñ o : 75 (flex ió n ), 282 (c o lu m n a s)
M é to d o d e la: 58
R io stra s en lo sa alig erad a: 239, 252 (figura)
S e g u rid a d , fa c to r de:
7 2 -7 5 (flexión), 283, 292 (co lu m n as)
T o rsió n
re fu e rz o p ara: 150, 166, 167
re s is te n c ia n o m in a l a la: 150
T ra sla p o , lo n g itu d de: 176, 270
V ig as
d e ca p ite l: 377, 3 7 8 (fig u ra), 381
re c ta n g u la re s: 18, 48, 58, 85
"T": 40, 101
V ig u e ta s
e sp e c ific a c io n e s: 239
diseñ o : 246
W h itn ey , M é to d o de: 65
definición: 158
590
591
Estructuras de C oncreto I
La 7a. E dición de E structuras de C oncreto I se term inó
de im prim ir en los talleres de A yala A vila y Cia Ltda
a los30 días del m es de A bril de dos m il once
594