Universidad Autónoma de Baja California Facultad de Ingeniería Resumen y ejercicios Alumno: José Antonio Cobaxis Vera Materia: Sísmica Docente: Arturo González Villareal Grupo: 62 Matrícula: 1156156 Mexicali, Baja California a 27 de abril de 2020 Capítulo 8 Respuesta espectral En este capítulo introducimos el concepto de respuesta espectral, que en los últimos anos ha tenido una amplia aceptación en la práctica de la dinámica estructural, particularmente en el diseño antisísmico. La respuesta espectral es un diagrama de la máxima respuesta como lo son el máximo de desplazamiento, la velocidad y aceleración máximo. A una función específica de la excitación para todos los sistemas posibles con un grado de libertad. La abscisa del espectro es la frecuencia natural o perdido del sistema y la ordenada. La curva de respuesta espectral para un sistema con un grado de libertad el máximo desplazamiento de la masa relativo al desplazamiento del apoyo. Construcción de la respuesta espectral Para ilustrar la construcción de un gráfico de respuesta espectral consideremos un oscilador simple sin amortiguamiento a la fuerza sinusoidal de medio ciclo. La duración del impulso sinusoidal se denota por ti, además se supone que el sistema esta inicialmente en reposo. La ecuación diferencial del movimiento se obtiene igualando a cero la suma de las fuerzas en el correspondiente diagrama de cuerpo libre La solución de la ecuación siguiente se puede obtener con el método de integración, así como con el método directo de integración de una ecuación lineal Al hacer el método por integración de una ecuación lineal la formula queda de la siguiente forma Debido a la simplicidad de la fuerza externa ha sido posible en este caso obtener una solución analítica y representar la respuesta espectral en función de razones adimensionales, lo que hace valida esta representación para cualquier fuerza impulsiva sinusoidal de medio ciclo. 8.2 Respuesta espectral para excitación del apoyo Un problema en dinámica estructural es el análisis de un sistema sometido a una excitación externa en el apoyo de un oscilador amortiguado, el cual sirve para modelar ciertas estructuras. La excitación, en este caso esta dada como una aceleración. La ecuación del movimiento, que se obtiene igualando a cero la suma de las fuerzas en el correspondiente diagrama de cuerpo libre es: O con la sustitución habitual: La función de aceleración que exista el apoyo del oscilador. La educación diferencial del movimiento de un oscilador amortiguador en función de su movimiento absoluto una formulación más conveniente para este problema es expresar la ecuación en función del movimiento relativo de la masa con respecto al movimiento del apoyo esto es en función de la deformación del resorte. El desplazamiento relativo se define como: La aplicación en la ecuación da. La formulación de las ecuaciones como función dl movimiento relativo entre la masa y el apoyo, es particularmente importante porque en el diseño de la estructura se requiere saber la deformación o la fatiga en el elemento resorte además el movimiento del apoyo esta generalmente especificado por medio de una función de aceleración La solución de la ecuación diferencial. Puede obtenerse por cualquiera de los métodos presentados en particular la solución puede ser fácilmente expresada por medio de la integral de Dúchamela que es: 8.3 respuesta espectral tripartita Usando escalas logarítmicas es posible construir un diagrama de la respuesta máxima en función de la aceleración del desplazamiento relativo y de una tercera cantidad conocida como seudovelocidad. La seudovelocidad no es exactamente la velocidad real, pero tiene una relación muy cercana y provee una sustitución conveniente a la verdadera velocidad. Estas tres cantidades, aceleración máxima absoluta desplazamiento máximo relativo y seudovelocidad máxima relativa son a veces conocidas respectivamente como la aceleración espectral, el desplazamiento espectral y la velocidad espectral. Es significativo que el desplazamiento espectral Se o sea el desplazamiento máximo relativo sea proporcional a la aceleración a la aceleración espectral Sa la aceleración máxima absoluta. Para demostrar este hecho consideremos la ecuación del movimiento, se transforma para un sistema amortiguado: Y para un sistema sin amortiguación es: La demostración de un diagrama tripartito es la siguiente: 8.4 Respuesta espectral para el diseño elástico En general los diagramas de respuestas espectrales se preparan calculando las respuestas a una excitación especifica. De un sistema con un solo grado de libertad con varios valores de amortiguación. Para determinar la respuesta del sistema se aplica un procedimiento de integración numérica con intervalos de tiempo cortos. El procedimiento de integración numérica con intervalos de tiempo cortos. El procedimiento de integración numérica se continua hasta completar el registro total del terremoto. El valor máximo de la función de interés es registrado como la respuesta espectral del sistema para esa excitación. Para cambiar la frecuencia natural el proceso se repite para registrar otro valor de la respuesta espectral, este proceso se continua, hasta que la región de todas las frecuencias de interés ha sido cubierta y los resultados representados. Debido a la diferencia del movimiento este proceso tendrá que repetirse para todos los que fueran de interés. 8.5 Respuesta espectral para sistemas no elásticos En ciertos casos extremadamente críticos, como explosiones nucleares o fuertes terremotos a veces es necesario diseñar estructuras para resistir fatigas y deformaciones mas altas que el límite elástico de los materiales Para diseñar estructuras para niveles de deformación mas altos que los limites elásticos de los materiales el concepto de respuesta espectral ha sido extendido a la región inelástica. La preparación de diagramas espectrales para sistemas inelásticos es más difícil que para un sistema elástico, sin embargo, la respuesta se cambia para admitir sistemas elastoplásticos para varias excitaciones. 8.6 Respuesta espectral para diseño no elástico El diagrama de un sistema elástico para varios valores de la razón de amortiguación. El mismo procedimiento de construcción de un diagrama espectral para diseño que representa el efecto promedio de varios terremotos registrados, se puede aplicar para el diagrama espectral para diseño en la región no elástica. El diagrama espectral para sistemas elastoplásticos, tiene la misma apariencia que el diagrama espectral para sistemas elásticos, pero las curvas están desplazadas hacia abajo en una cantidad relacionada con la razón de ductilidad. 8.7 Programa desarrollo de espectros sísmicos El uso del programa ESPECTRA es utilizado para obtener la respuesta espectral se sistemas elásticos, nos calcula el desplazamiento espectral, la velocidad espectral, la aceleración espectral. A continuación, se muestra en una tabla los valores a ingresar al programa seguidos de los valores calculados con los valores de entrada. Ejemplo 8.1 Una estructura modelada como un sistema con un solo grado de libertad tiene un periodo natural 𝑇 = 1 𝑠𝑒𝑔. Aplicar el método de respuesta espectral para determinar la aceleración máxima absoluta, el desplazamiento relativo máximo y la seudovelocidad relativa máxima para: Un movimiento del cimiento igual al movimiento registrado para el terremoto de El Centro en 1940 El movimiento de la cimentación correspondiente a la respuesta espectral para diseño con una aceleración máxima del terreno de 0.32 g. Suponer que la amortiguación del sistema es del 10% de la amortiguación crítica. Solución: Observando el gráfico de respuesta espectral, cuando 𝑓 = 1 𝑐𝑝𝑠, correspondiente a la curva 𝜉 = 0.1, leemos en las tres escalas los siguientes valores: En el eje de las x se ubica la frecuencia que fue igual a 1 y su curva de amortiguamiento correspondiente, el cual fue la de 10%. Para SD, es necesario buscar en la diagonal principal donde se ubica el desplazamiento: 𝑆𝐷 = 3.3 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 Para Sv, se busca en el eje de las x la velocidad correspondiente: 𝑆𝑣 = 18.5 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑠𝑒𝑔 Para Sa, se busca en la diagonal invertida el valor de la aceleración: 𝑆𝑎 = 0.3 𝑔 En el gráfico de respuesta espectral para diseño, 𝑓 = 1, y 10% de la amortiguación crítica, obtenemos, los siguientes resultados: Para SD, es necesario buscar en la diagonal principal donde se ubica el desplazamiento: 𝑆𝐷 = 9.5 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 Para Sv, se busca en el eje de las x la velocidad correspondiente: 𝑆𝑣 = 60 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑠𝑒𝑔 Para Sa, buscamos en la diagonal invertida el valor de la aceleración: 𝑆𝑎 = 0.95 𝑔 Todos estos valores se multiplican por un factor de 0.32, que es necesario para reducir valores espectrales obtenidos. 𝑆𝐷 = 9.5 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 ∗ 0.32 = 3.04 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 * 𝑆𝑣 = 60 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 0.32 = 19.2 𝑠𝑒𝑔 𝑠𝑒𝑔 𝑆𝑎 = 0.95 𝑔 ∗ 0.32 = 0.304 𝑔 Ejercicio 8.2 Calcular la respuesta de un sistema con un grado de libertad suponiendo que la estructura se ha diseñado para resistir movimientos sísmicos con comportamiento elastoplástico de razón de ductilidad 𝜇 = 4, considerar un 10% de la amortiguación crítica. Solución: a) Para SD es necesario buscar en la diagonal invertida donde se ubica el desplazamiento 𝑆𝐷 = 4 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 Para Sv se busca en el eje de las “x” la velocidad correspondiente: 𝑆𝑣 = 6.2 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑠𝑒𝑔 Para Sa buscamos en la diagonal principal el valor de la aceleración 𝑆𝑎 = 0.1 𝑔 b) Usando el diagrama espectral para diseño, empezaremos por construir el espectro requerido el cual está basado en el espectro elástico para el 10% de amortiguación critica. La construcción se lleva a cabo siguiendo las reglas dadas más arriba tomando f=1cps obtenemos los siguientes valores máximos para la respuesta: *nota ningún grafico da los resultados requeridos en este inciso
