Guía de Matemáticas: Del Lenguaje Numérico al Literal

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.
Ambiente Cualificar. Formación de docentes y equipos de dirección.
Del lenguaje numérico al literal
Área: Matemáticas
Guía N°: 73
Duración: 13 horas
Año: 2019
Meta (s) de Aprendizaje:
Explico fenómenos de la vida real que involucran variación y cambio, selecciono
correctamente reglas generales para hacer deducciones y resuelvo problemas de la
cotidianidad y distintos campos disciplinares basado en la investigación realizada través de
herramientas digitales y establezco la pertinencia y utilidad de la solución adoptada.
Preguntas Esenciales:
¿Como las expresiones algebraicas me permiten comprender situaciones de mi contexto
que involucran el uso de sumas y restas?
¿Cómo crees que las expresiones algebraicas ayudan a ciencias diferentes a la
matemática (física, química, astronomía entre otras), para dar respuesta a interrogantes
y teorías propias de esas disciplinas?
¿Cómo los programas creados para cálculos numéricos y modelación le han ayudado a los
científicos de la NASA y a científicos de otras especialidades, a cumplir con sus
proyectos, como por ejemplo llevar un robot a marte?
¿En qué situaciones puede surgir la necesidad de expresar un problema a través de
expresiones algebraicas?
Evidencias
Construyo expresiones algébricas equivalentes a una expresión algebraica dada.
Grafica la información que brinda un enunciado o situación por medio de expresiones
algebraicas.
Utiliza herramientas tecnológicas para realizar ejercicios de aplicación de expresiones
algebraicas.
Comunica información por medio de expresiones algebraicas.
Infiere a partir de una gráfica compuesta por varias figuras, y conociendo algunas
medidas, la expresión algebraica que la representa.
Actividad 1
Actividad 2
Actividad 3
Actividad 4
Actividad 5
Actividad 6
Desarrollando
mis
competencias
¿Cuánto sé?
Amplio mis
conocimientos
Aplico lo
aprendido
Aprendo y me
divierto
Descompongo
expresiones
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.
Ambiente Cualificar. Formación de docentes y equipos de dirección.
Actividad 1: desarrollando mis competencias.
Sabías que…
El lenguaje algebraico sirve para expresar situaciones relacionadas con la vida cotidiana,
utilizando letras y números de forma combinada. La realización de estas operaciones ha de
hacerse al principio paso a paso, pero después se agilizarán y simplificarán las distintas
fases en la resolución de ecuaciones. El estudio de las expresiones algebraicas fomentará
la agilidad en las operaciones aritméticas con números naturales y enteros, así como el
empleo de técnicas de resolución por tanteo, ensayo-error y específicas, como la
transposición y reducción de términos.
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras relacionadas por los
signos de las operaciones aritméticas. Las letras se llaman variables, incógnitas o
indeterminadas.
Ejemplo:
Longitud de la circunferencia:
= 2 , donde
es el radio de la circunferencia. Área del
cuadrado: = 2, donde es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: = 3, donde es la arista del cubo.
Expresiones algebraicas1.
En la vida cotidiana puedes encontrarte con expresiones como:
a) Un número cualquiera
b) El doble de un número
c) La mitad de una cantidad
d) Ya tengo el triple de la edad de mi hijo
1. Como ves, aunque todas se refieren a un número, ninguna lo presenta, entonces, ¿cómo
podrías representar una cantidad que desconoces?
Un número cualquiera, que no conozco, lo puedo expresar con una letra cualquiera, por
ejemplo M. Si eso es así, aplícalo a la siguiente situación:
¿Cómo calculas la mitad de 10? _____________________________
http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/ContenidosAprende
r/G_8/M/MG/MG_M_G08_U02_L01.pdf
1
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.
Ambiente Cualificar. Formación de docentes y equipos de dirección.
¿Cómo calculas el triple de 10? ____________________________
¿Cómo calculas el doble de 10? ____________________________
Pero si no sabemos que el número es el 10, y por ello lo reemplazamos por una letra, por
ejemplo, la M, ¿cómo expresarías las operaciones anteriores?
¿Cómo calculas la mitad de M? ___________________________
¿Cómo calculas el triple de M? ___________________________
¿Cómo calculas el doble de M? ___________________________
2. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes
La suma de tres números consecutivos.
La suma de tres números pares consecutivos
Área de un cuadrado de lado
Área de un triángulo de base y altura
Perímetro de un rectángulo de lados y .
3. El largo y ancho de una piscina son datos desconocidos, pero se sabe que el largo
es el doble que el ancho.
Escribe las expresiones algebraicas que dan el perímetro y el área
de la piscina
Enlaces de interés:
Ver los siguientes videos y realiza un resumen sobre el lenguaje algebraico.
https://www.youtube.com/watch?v=z902TyTcC2Y
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.
Ambiente Cualificar. Formación de docentes y equipos de dirección.
Actividad 2: ¿Cuánto sé?
Recordemos que:
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras (variables) que se relacionan
con los signos de las operaciones aritméticas, donde las letras representan cantidades
desconocidas.
En una expresión algebraica las letras también se denominan variables, ya que al ser
cantidades desconocidos pueden tomar cualquier valor. Por el contrario, aquello valores que
son conocidos dentro de la expresión, se llaman constantes, ya que son valores dados, así: en
las expresiones
1. Con base en lo anterior resuelve el siguiente ejercicio:
En la siguiente expresión algebraica identifica cuáles son las constantes, cuáles las
variables y cuáles son los signos de las operaciones aritméticas que se encuentra en la
expresión algebraica. Escribe tus respuestas dentro de los recuadros de la imagen teniendo
en cuenta lo que señalan las flechas en la misma
2. En las expresiones algebraicas que se presentan en la siguiente tabla, identifica las
variables, las constantes, y las operaciones que hay en las expresiones. Escríbelas en
los espacios de la tabla.
Expresión
Variables
Constantes
Operaciones que hay en la
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.
Ambiente Cualificar. Formación de docentes y equipos de dirección.
algebraica
3a +4
y
expresión
ab-4c+
3xy-5y+2+3x
-2a
+x
+4cd+3ac
3abcxyz
3. Ahora responde:
a) ¿Qué características tienen las letras que se presentan en una expresión algebraica?
b) De acuerdo con sus características, dichas letras reciben el nombre de ____________.
c) Aquellas magnitudes que representan cantidades conocidas se denominan ___________
Clasificación y grado de los polinomios algebraicos
Los polinomios algebraicos se clasifican en las siguientes categorías, así:
 Monomio
Es una expresión algebraica que representa el producto de un número por una o varias
variables, elevadas a distintos exponentes.
Partes del monomio:
4. Del monomio - 4
5
2
9
, identifica cada una de las partes de este. Para ello escribe
cada una de las partes dentro del siguiente cuadro, en la fila que corresponda.
Partes del monomio
monomio - 4
5
2
9
Signo
Coeficiente numérico
Parte literal
Exponentes
Para una mejor comprensión de los elementos del monomio, veamos los siguientes ejemplos:
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.
Ambiente Cualificar. Formación de docentes y equipos de dirección.
http:/
/tananyag.geomatech.hu/m/2137469
Además si en la expresión algebraica la parte literal no tiene exponente o coeficiente, es
porque ambos valores son iguales a uno.
 Polinomios
Se puede definir como:
Expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios, los cuales
reciben el nombre de términos algebraicos.
Ejemplos:
Están conformados por términos algebraicos, los cuales están separados por el signo más (+)
o el signo menos (-).
Su clasificación depende del número de términos que tenga, ejemplo:
5a2b+3ab= binomio
3x5 + 4xy3z4 - 5x5y= Trinomio
Lo que significa que en este caso tenemos un polinomio de dos términos, y un polinomio de
tres términos respectivamente.
Para la clasificación de los polinomios utilizamos los sufijos: mono = un término, bi = 2
términos, tri = tres términos, y terminamos con la palabra nomio. Cuando hay más de tres
términos se le llama polinomio, simplemente.
5. Ahora resuelve:
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.
Ambiente Cualificar. Formación de docentes y equipos de dirección.
Completa la siguiente tabla, escribiendo los datos que se solicitan en cada columna de la
tabla. En la columna titulada Términos escribe cuántos términos tiene el polinomio.
Expresión
Clase de
algebraica
polinomio
Grado absoluto
Grado relativo
del polinomio
del polinomio
Términos
3 x2 + 5xy 3
2 abc 2d 5
5 x4+ y3 + 4a 5
-2 a 2y 2
3 + a
5 x2 - 7ax 3 + 4x 2
2a5
3 a 3-2c 3 + 4abc
Actividad 3: Amplio mis conocimientos.
Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio se obtiene al realizar las operaciones que indica el
polinomio, una vez se reemplazan las variables o letras por un valor numérico asignado.
1. Teniendo en cuenta el valor numérico de las variables y los signos de agrupación,
determina cuál es el valor de los siguientes polinomios, si el valor de cada variable es:
a) 2a2 x3-[3az-(5xz-3x3) +2bx2] = _________________________
b) 2a2 x3-3az- [-5xz-(3x3 +2bx2)] = _________________________
2. Observa que los polinomios tienen los mismos términos, pero los signos de agrupación
están ubicados en diferentes posiciones, ¿el resultado será igual? Escribe tu respuesta.
___________________________________________________________________
_________________________________________________________________
3. Halla el área sombreada de las siguientes dos figuras, si a= 6; b=2,54; c =
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.
Ambiente Cualificar. Formación de docentes y equipos de dirección.
 Para la figura A, primero define:
a) ¿Cuál es el área de uno de los cuadrados pequeños de la figura? ____________
b) ¿Cuánto suma el área de los cuatro cuadrados pequeños? ____________
c) Con base en la pregunta anterior ¿cuánto suma el área de los cuatro cuadrados pequeños?
__________________________________________________________
d) ¿Cuál es el área del rectángulo mayor? ____________
e) ¿Qué área da la resta de las áreas? ________________
f) El área resultante de la pregunta anterior ¿a qué corresponde? ________________
 Para la figura B, determina
a) ¿Cuál es el área total del rectángulo? ______________
b) ¿Cuál es el área del triángulo en blanco? _____________
c) Ahora con las medidas anteriores, determina, ¿cuál es el área de la parte sombreada?
____________
A) Área del rectángulo= b. h
B) Área del triángulo= (b•h) /2
a+
b
C
C
C
C
C
C
b+
c
a
C
a+b+
c
Ingresa al enlace para ampliar tus conocimientos y socializa con tu docente
lo observado en el video.
https://www.youtube.com/watch?v=zRlJgiDVcPo&t=39s
Actividad 4: Aplico lo aprendido
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.
Ambiente Cualificar. Formación de docentes y equipos de dirección.
El álgebra ha sido de gran ayuda para generalizar situaciones en cualquier ámbito o ciencia,
contrario a la aritmética que habla de casos específicos. Con el uso de las expresiones
algebraicas podemos pasar de un lenguaje común a un lenguaje algebraico. Teniendo en
cuenta la información de la imagen resuelve los siguientes ejercicios:
1. Lee la siguiente conversación:
Tomado: Libro editorial Santillana
Entonces la expresión algebraica con la que podríamos representar lo dicho en el diálogo
anterior podría ser:
3X +
Y = 500 o
3X +
= 500, donde las variables son X y Y.
En este caso X, representa la producción del juguete uno, y Y representa la producción del
juguete dos.
Ten en cuenta lo siguiente:
La expresión algebraica del ejemplo pudo ser también, por ejemplo: 3L + (½) A = 500,
dependiendo de las variables que hayan elegido, que bien pudieron ser letras o símbolos.
También ten en cuenta que las dos variables elegidas se colocaron en este orden, por la
forma como se presenta el diálogo entre las personas, pero también se pudieron organizar
así:
Y + 3X = 500
Ahora haz tú lo mismo con las siguientes oraciones:
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.
Ambiente Cualificar. Formación de docentes y equipos de dirección.
Escribe la expresión algebraica que representa cada oración, y define cuales son las
variables de dicha expresión, e indica que representan las variables inmersas en ellas, según
el contexto de la frase:
1. El perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 2XY3.
Expresión algebraica _________________ variables_________________ que
representan_________________
2. Compré 3 jeans y 7 camisetas por un valor de $230.000
Expresión algebraica __________________variables_________________ que
representan_________________
Actividad 5: Aprendo y me divierto
1. Identifica los elementos que se piden:
Los términos de 5r +s
Los términos de 5xy2 +2y –7w
Los factores de 5z
La base en 3xy2
El coeficiente numérico en 2xy
2. Considerando que un monomio es un número variable o producto de números y variables,
explique por qué las siguientes expresiones no son monomios:
a) 5 +
b) 7xy3+h
c) x- 2y
3. Considere las siguientes expresiones y completa.
a) 14x + 10 y –3
d) x + y
b) –17x5y3z2
e) 5x4z –1/2 x2 z2 + xz3 –7z6
c) 7x5y
f) x+4
De acuerdo con las expresiones algebraicas anteriores, completa:
Identifique los polinomios:
Identifique los monomios:
Identifique los binomios: _
Para cada
polinomio, que no sea monomio, especifique los términos
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.
Ambiente Cualificar. Formación de docentes y equipos de dirección.
4. Dados los polinomios
A: 2b2c –3b + 6c
B: 4b - c2b + 12 b2c
C: 4 – 2c
Ejecute las siguientes operaciones:
a)
A + B=
b) A - C=
c) B - A=
5. Calcular el perímetro de la siguiente figura:
x2 +x
2x2 +x
x
3x2 +x –3
6. El perímetro de un rectángulo es 8x –6 y un lado es 3x +7 ¿Cuánto mide el otro
lado?
Actividad 6: Descompongo expresiones
Sabías que… los términos de un polinomio tienen un factor común.
Ejemplos: a) 3 a + 5 ab - 4 ac = a (3 + 5 b – 4 c)
b) a2 + 2 a = a (a + 2)
c) 10 a2 – 5 a + 15 a3 = 5 a (2 a – 1 + 3 a2) d) x4 + x3 - x2 = x2(x2 + x – 1)
1. De acuerdo con los ejemplos del recuadro, resuelve:
a. 3x2-15
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.
Ambiente Cualificar. Formación de docentes y equipos de dirección.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
8x3 - 8x2 - 16x
3mn3 + 3mn -6m
3x3-9xy+3x2y2-3x2y
3a2b + 6ab – 5a3b2 + 8a2bx + 4ab2m
34ax2 + 51a2y – 68a y2
4x2 – 8x + 2
Sabías que…. Ahora vas a ver como se soluciona un Trinomio cuadrado perfecto.
Pero antes Pide a tu ayuda a tú tutor y soluciona los ejercicios planteados.
Ejemplos:
a) m2 + 2m + 1 = (m + 1) (m + 1) = (m + 1)2
b) 4x2 – 20xy + 25y2 = (2x – 5y) (2x- 5y) = (2x – 5y)2
2. Ahora, practica:
9 – 6x + x2
a2 – 10a + 25
16 + 40x2 + 25x4
4x2 – 12xy + 9y2
9b2 – 30a2b + 25a4
9a2+6a+1
25m2-70mn +49n2
Vamos avanzado ahora seguimos con el Trinomio de la forma x2 + bx +c.
Observa el ejemplo: x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)
Ahora, resuelve:
1) x2 – 5x – 14
2) x2 – 13x + 40
3) y2 – 9y + 20
4) n2 – 6n – 40
5) x2 – 7x – 30
6) n2 – 14n + 5
7) x2 + 4x – 21
8) x2 + 7x – 60
9) x2 + x – 240
10) x4 + 5x2 + 4
Para ampliar tus conocimientos, también puedes tener como punto de referencia los
siguientes libros:
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.
Ambiente Cualificar. Formación de docentes y equipos de dirección.
Secuencias matemáticas 8°. Editorial Libros y libros. 2016.
Saberes matemáticas 8°. Editorial Santillana.
Busca a 2 compañeros que hayan terminado esta guía, luego
realiza preguntas sobre las temáticas y contenidos que
aprendiste luego de resolver la guía. Una vez termines de
socializar con tus compañeros busca al docente para
realizar la sustentación.
MUCHOS EXITOS