UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE AGUASCALIENTES Teoría del control Nombre y matrícula de los estudiantes: Mendoza Llaven Oscar UP170107 Padilla Velasco Carolina UP170134 Vadillo Sánchez José Ramón UP160339 Ingeniería Mecatrónica Profesor(a): Anahí de Loera Figueroa Fecha: 13 de abril del 2020 Abstract The following research presents the basics to understand how models in state space work. Using real examples where we identify inputs, outputs and state variable related to differential equations that as a group determine the way a system works. This information can be applied to different control systems to achieve determined result and design a control system successfully. From basic concepts explained to the representation needed to work with the differential equations the report shows the information we found and the way this can be applied to a subject like Theory of Control. Introducción Dentro de las teorías de control podemos encontrarnos con muchos métodos para el modelado matemático y representación de un sistema. En este caso nos estamos enfocando en el modelado en espacio de estado que es un método en el cual se puede representar un sistema como un conjunto de entradas, salidas y variables de estado. Las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas como matrices. También se le conoce como aproximación en el dominio del tiempo y es un modelo que es conveniente para analizar sistemas con múltiples entradas y salidas. Además no está limitado a sistemas lineales o con condiciones iniciales iguales a cero. El espacio de estado se refiere al espacio de dimensiones cuyos ejes coordenados están formados por variables de estados. Entender este tema puede ser muy útil porque es una nueva herramienta de las teorías de control para poder entender el funcionamiento de un sistema y controlarlo. Un ejemplo real será presentado a continuación y mostrarán la manera en que puede esto ser aplicado de manera sencilla para obtener resultados. Estos métodos son aplicables para los procesos industriales actuales que son tan complejos que pueden ser difíciles de controlar. Dichos procesos los podemos ver en diferentes industrias en la creación de automóviles, robots, circuitos entre otros. Todos aplicables a nuestra carrera y enfocados en los retos que muy probablemente encontraremos al graduarnos. Marco teórico Para poder analizar el comportamiento de un sistema es necesario que se encuentre un modelo matemático que represente el comportamiento del mismo y así identificar las características de comportamiento para adaptar su control para obtener el resultado deseado. Las teorías de control moderno nos dan una pauta para poder controlar estos sistemas de manera eficiente. En este caso vamos a estar revisando la representación de espacios de estado. Esta es la representación moderna que se tiene para describir el comportamiento de s istemas dinámicos de diferentes áreas de la ingeniería, como ingeniería electrónica, mecánica, química, mecatrónica o control. El modelado de espacios de estado es básicamente la creación de una matriz a partir de ecuaciones diferenciales con entradas, salidas y variables de estado que como conjunto representan el comportamiento de un sistema. Las variables se expresan como vectores y las ecuaciones como matrices. Img 1. Variables de estado Las variables de estado de un sistema dinámico son las que forman el conjunto más pequeño de variables las que forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico. La cantidad de variables de estado que se necesiten determinarán el tamaño del vector llamado vector de estado. Img 2. Ecuaciones del sistema Img 3. Representación de ecuaciones del sistema Img 4. Ecuaciones de la salida Img 5. Representación de ecuaciones de la salida Representación de espacio-estado de un sistema de control dinámico Para poder entender la teoría es necesario verlo reflejado en un ejercicio es por esto que vamos a considerar un robot con una única articulación flexible. Para ejemplificar tenemos la siguiente imagen: Img 6. Robot de una articulación q 1 , q 2 , D y J son las posiciones y las inercias del actuador y del elemento terminal respectivamente. El par τ genera un movimiento que se transmite al elemento terminal mediante un resorte con constante elástica K s . Ahora se obtendrá el modelo de espacio de estado de este sistema de control dinámico. Se establecen dos ecuaciones, una para la parte del actuador y la segunda para para la parte del elemento terminal. Se considera que el par es generado por la intensidad de la corriente del motor de CD y esto depende de la tensión aplicada. Con estas ecuaciones diferenciales ahora podemos modelar al robot en el espacio de estados considerando que las variables de estado son las posiciones y velocidades del actuador y del elemento terminal. Así obtenemos: Por lo tanto, la ecuación del estado del robot será: Para obtener la ecuación de salida debemos tener en cuenta que la posición final del robot será la suma de las posiciones del actuador y del elemento, por lo tanto: Si por ejemplo consideramos que en las salidas tenemos dos posiciones tendríamos como ecuación de salida lo siguiente: Definición de controlabilidad y observabilidad de un sistema de control Las condiciones de controlabilidad y observabilidad determinan si existe una solución viable y completa al diseño de control. Previo al diseño de un controlador, es útil verificar algunas propiedades del sistema que nos darán idea del grado de performance al que podemos aspirar. Controlabilidad y observabilidad son propiedades que nos indican en qué grado las variables internas de nuestro sistema (las variables de estado) se vinculan con las variables externas, es decir la excitación y la variable controlada. Controlabilidad de un sistema de control: Hace referencia a que el control del sistema está ligado a la excitación que puede modificar el comportamiento transitorio de las variables de estado. Se dice que un sistema es completamente controlable si existe una señal u(t) que permite transferir los estados iniciales del sistema x0 =x( t0 ) a cualquier otro estado xtf =x (tf ) en un tiempo finito. T= tf − t0 El estudio de la controlabilidad de un sistema determina los puntos del espacio de estado que pueden ser alcanzados por un sistema actuando sobre las entradas de éste; puntos que determinan los denominados estados controlables. Este estudio abarca dos cuestiones a tener en cuenta: 1. Considerando un sistema, un estado inicial y un estado final, se desea determinar la existencia de una entrada que lleve al sistema entre ambos en un tiempo finito. 2. Si un sistema no es controlable, la siguiente cuestión que surge es determinar los puntos del espacio de estado que pueden ser alcanzados partiendo de un estado inicial dado. Un sistema de control es completamente controlable o de estado completamente controlable, si es posible transferir al sistema desde un estado inicial arbitrario a cualquier estado deseado en un tiempo finito, también puede decirse que será completamente controlable, si cada variable de estado se puede controlar en un tiempo finito por una señal de control que no esté sujeta a ningún tipo de restricción. Observabilidad de un sistema de control: Hace referencia a que el control del sistema está ligado a los cambios de las variables internas que pueden ser detectados desde la salida. A su vez se dice que el sistema es completamente observable si en ausencia de excitación es posible determinar el valor de sus estados iniciales x0 =x (t0 ) a partir de la observación de la salida y(t) durante un período finito de tiempo. tf − t0 >0 La idea de observabilidad se relaciona con la posibilidad de conocer el valor del estado de un sistema, a partir del conocimiento de la evolución de la entrada y de la salida que genera, de esta manera se puede argumentar que la observabilidad es la capacidad que existe en un sistema para poder estimar sus variables de estado. El sistema se dice ser completamente observable si cualquier estado inicial x(0) puede determinado a partir de la observación de y[nT)] sobre un número finito de períodos de muestreo, por lo tanto, es completamente observable, si cualquier transición del estado de manera eventual afecta a todos los elementos del vector de salida. Diseño de controladores mediante variables de estado Cuando se trata de estudiar el control de un sistema mediante la realimentación de sus variables de estado, se trata de orientar al sistema poniendo de manifiesto la potencia de esta estructura de control para fijar las características del comportamiento dinámico de un sistema. Las variables de estado son el subconjunto más pequeño de variables de un sistema que pueden representar su estado dinámico completo en un determinado instante. Primeramente se realiza un análisis de la dinámica del sistema cuando se efectúa la realimentación de sus variables de estado, mediante una matriz constante, para actuar sobre las variables de entrada del sistema, de esta manera se aborda el diseño de la matriz de realimentación del estado con objeto de fijar el comportamiento dinámico del sistema, justificándose la asignación directa de todos los polos de la parte controlable del sistema. De tal manera, cuando ubicamos o posicionamos los polos, consideremos la planta representada en espacio de estado por: Img 7. Representación de la planta en espacio estado x′ = Ax + B u y = Cx En un sistema de control realimentado típico, la salida, y, es llevado hacia la entrada a la unión suma, es aquí que la topología del diseño cambia ya que en vez de realimentar y hacia atrás, se realimentan todas las variables de estado. Si cada variable de estado se devuelve al control, u, a través de una ganancia, ki, habría n ganancias, ki, que podrían ajustarse para obtener los valores de polo de bucle cerrado requeridos. De acuerdo a la figura anterior se determina un polinomio característico del sistema original, el cual se denomina: a(s) = det(sI − A) = sn + a1 sn−1 + a2 sn−2 + ...an El cual representa el comportamiento dinámico de nuestro sistema, de esta manera , después de verificar el tipo de comportamiento de nuestro sistema, ahora se busca modificar el comportamiento del sistema (A,B,C) por medio de la realimentación del estado: () = −() + () Donde podemos observar que K = [k1 k2 k3 .. kn ] es un vector fila y v (t) es una nueva entrada, a fin de obtener un sistema de lazo cerrado con el polinomio característico deseado. a(s) = sn + a1 sn−1 + a2 sn−2 + ...an Por lo tanto, la realimentación a través de las ganancias, ki, está representada en la siguiente figura por el vector de realimentación K: Img 8. Representación del sistema modificado por realimentación del estado x′ = Ax + B (v − K x), x′ = Ax + B v + B Kx ⇒ x′ = (A − B K)x + B v , y = C x El polinomio característico de la anterior ecuación de estado es: ak(s) = det(sI − A + B K) Dando como representación por medio del control: () = −() + () Siendo que el polinomio característico modificado se iguale al polinomio característico deseado obtenemos que: 𝒂𝒌 𝒔 = 𝜶(𝒔) Por lo tanto, la estabilidad y las características de la respuesta transitoria están determinadas por los valores (raíces) de la matriz A – BK , ya que si la matriz K se escoge apropiadamente los valores del sistema pueden ser colocados en el lugar deseado. Aplicación real Aplicando lo aprendido, consecuentemente se realizará una aplicación del modelo de control en espacio de estado de los parámetros eléctricos de un motor dc, ya que los sistemas tipo servo, mejor conocidos como servomecanismos, son aquellos que implementan una acción de seguimiento de la variable de salida respecto a una referencia. Las ecuaciones que describen el comportamiento de motor DC son relativas al par en el eje (Tm) y a la fuerza contra electromotriz que se genera en sus bornes como reacción a la excitación en su armadura: Las variables involucradas K1, K2 son constantes y F(t) es el flujo magnético en el campo de excitación, dependiente de la tensión de, campo ef(t), el campo magnético de excitación dc puede estar alimentado por la corriente que circula en la armadura, puede tener alimentación separada o bien puede provenir de un imán permanente, esta parte corresponde al caso más general de excitación separada y variable en el tiempo. Img 9. Representación del diagrama eléctrico Si la excitación del campo es constante (e igual a una tensión dc) o proviene de imanes permanentes, el flujo magnético F, también será constante; por lo que el funcionamiento del motor depende exclusivamente de la corriente que circula por su armadura, en este caso se implementa un control de armadura. Si, al contrario, se mantiene constante la corriente de armadura, el control puede lograrse manipulando el campo magnético de excitación, a través de la variable ef(t). Se habla entonces de un servomotor Controlado por campo. El control de armadura es mucho más usado que el control por campo, esto se debe a la dificultad que implica implementar una fuente de corriente constante, contra la facilidad relativa de hacer lo propio para una fuente de tensión constante. Sin embargo, el control de campo encuentra aplicaciones prácticas en algunos sistemas donde se busca regular la velocidad de giro en el eje del motor, por esa razón se procede a continuación con el estudio de ambos. El momento de inercia: La figura muestra la aplicación de un torque sobre un cuerpo que posee un momento de inercia J, a través de una barra que representa el eje de un servomotor. Img 10. Representación del modelo de inercia El resultado es un desequilibrio que se manifiesta como un cambio en la posición, la velocidad y la aceleración, angulares (0, w y a). La sumatoria de torques determina que el único estímulo existente (Tm) es directamente proporcional a la aceleración angular del eje: Resistencia por rigidez. En la figura se ilustra el caso extremo de una barra empotrada sobre la que se aplica un torque externo. La propiedad de la barra, de recuperar su posición angular original, luego de la torsión que se le causa, se define como un torque de restitución, este torque es directamente proporcional al ángulo girado Img 11. Modelo estático Si Kr es la constante de restitución del sistema, se tiene que Resistencia por amortiguamiento. En la figura se nota la colocación de un elemento acoplado al eje del motor, que desliza sobre un líquido viscoso, lo que determina la existencia de un torque resistivo que es proporcional a la velocidad angular con la cual se efectúa el movimiento del eje. Img 12. Representación de torque bajo acoplamiento mecánico En la ecuación B es la constante de proporcionalidad entre la velocidad angular del eje y la resistencia que ofrece la sustancia viscosa sobre la que este se desliza. El sistema completo de un servomotor controlado por armadura se muestra en la siguiente figura. Img 13. Sistema completo del servomotor El control de armadura se implementa manteniendo constante la excitación del campo y manipulando la tensión de armadura ea que se encuentra a la entrada del circuito. Es decir: La ecuación extraída del circuito de armadura mostrado es la siguiente: En el sistema rotacional que existe sobre el eje del motor, se obtiene la ecuación: A través del método de la representación en variables de estado, se deben definir las ecuaciones que relacionan sus entradas y salidas; las cuales se identificarán con la tensión aplicada a la armadura (ea) y la posición angular del eje del motor (θm), respectivamente. Sobre esta base se procede a manipular las ecuaciones planteadas anteriormente, quedando como resultado: Si se seleccionan como variables de estado a la posición angular (θ), la velocidad (ω) y la corriente de armadura (im), se tiene: La representación en espacio de estado resulta en: Referencias bibliográficas Bolton, W. (2008). Mecatrónica: Sistemas de control electrónico en Ingeniería Mecánica y eléctrica . EUA: Pearson Prentice Hall. Nise, N. (2005). Sistemas de Control para Ingeniería . México: CECSA. Ogata, K. (2010). Ingeniería de Control Moderna . EUA: Prentice Hall.
