T - FCEIA

Teoría de Sistemas y Señales
Problemas Propuestos – Serie 5
Descripción: Análisis de Sistemas Lineales Estacionarios en TC en el dominio
Transformado de Laplace
1.
Obtenga la Transformada de Laplace de las siguientes señales:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
(
(
)
x(t ) = 1 − e −2t µ (t )
x(t ) = e −2t − e−10t µ (t )
x(t ) = µ (t ) − µ (t − 10)
x(t ) = δ (t ) − δ (t − 10)
x(t ) = cos 200πt
x(t ) = sin 200πt
x(t ) = (t + 1) 2
x(t ) = sin(t ) sin(3t )
x(t ) = sinh(t )
)
2. Grafique las siguientes señales y obtenga la Transformada de Laplace. Dé la región de convergencia
en cada caso.
a. x (t ) = δ (t ) − δ (t − 1) + δ (t − 2)
b.
c.
3.
x(t ) = µ (t ) + e −3t µ (t )
x(t ) = e −4t µ (t ) − e −4( t −1) µ (t − 1)
Encuentre las señales cuyas transformadas de Laplace unilaterales son las siguientes:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
TeSyS
1
1
+
s ( s + 10)
1
1
X ( s) = 1 + +
s ( s + 2)
1
1
X ( s) =
−
( s + 5) ( s + 10)
s + 10
X ( s) = 2
s + 8s + 20
s+3
X ( s) = 2
s + 4s + 5
s
X ( s) = 2
s + 6 s + 18
10
X ( s) = 2
s + 10 s + 34
7 s 3 + 20 s 2 + 33s + 82
X ( s) = 2
( s + 4)( s + 2)( s + 3)
X ( s) =
2s 3 + 9s 2 + 22s + 23
X ( s) =
( s + 1) 2 + 4 ( s + 1)( s + 3)
[
X ( s) =
]
s ( s + 9)
( s + 3)3 ( s + 1)
2
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4.
k.
X ( s) =
7 s 2 + 15s + 10
( s + 1) 2 ( s + 3)
l.
X ( s) =
s 4 + 8s 2 + s + 17
( s 2 + 4) 2 ( s + 1)
m.
X ( s) =
[(s + 1)
n.
X ( s) =
1
s ( s + 2) 2
o.
X ( s) =
3s 2 + 9 s + 12
( s + 2)( s 2 + 5s + 11)
c.
]
2
+ 4 ( s + 1)
&x&(t ) + 6 x& (t ) + 5 x(t ) = e −7t µ (t ) ,
con
x(0) = 0 , y x& (0) = 0
 x& (t ) + 3 x(t ) + 2 y (t ) = µ (t )

y& (t ) − x(t ) = 0

con
x ( 0) = y ( 0) = 0
con
x(0) = α , y x& (0) = β
&x&(t ) + x& (t ) = sin(t )
Calcule el valor inicial y el valor final de las señales cuyas transformadas de Laplace son:
a.
b.
c.
6.
2
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias usando la Transformada de Laplace.
a.
b.
5.
s2 + 3
s+5
s + 10 s + 34
1 − e −2 s
X ( s) =
s+4
1
X (s) =
( s + 1) 2
X ( s) =
2
a. Calcule la función transferencia para el diagrama de bloques mostrado en la figura.
a. Escriba la ecuación diferencial ordinaria que describe la relación entrada-salida.
b. Escriba tres ecuaciones diferenciales de primer orden simultáneas en la variables x1 (t ), x2 (t ), y
x3 (t ) indicadas en la figura. Escriba las ecuaciones en forma matricial, definiendo el vector
x(t ) = [x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )] .
T
Nota: Estas ecuaciones se denominan Ecuaciones de Estado, y las variables variables
x1 (t ), x2 (t ), y x3 (t ) se denominan Variables de Estado (El conocimiento de las variables de
estado y de la entrada en el instante t permite determinar cualquier otra variable dependiente del
sistema en ese instante).
N.B.: Note que los mismos parámetros constantes aparecen en la función transferencia, la
ecuación diferencial ordinaria, y las ecuaciones de estado. La estructura particular representada
en la figura se denomina Forma Canónica de Control.
AA502-TeSyS
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7. Usando Algebra de Bloques, calcule las funciones transferencias de los DB representados en la figura.
a.
b.
c.
d.
TeSyS
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e.
f.
g.
h.
8.
La figura representa esquemáticamente un motor de corriente contínua con excitación independiente
constante, alimentado por armadura con una tensión u(t). La conversión electromecánica puede
modelarse con las ecuaciones
AA502-TeSyS
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ε = Kω
τ = ki
donde
ε : fuerza contra-electromotriz inducida en la armadura
ω : velocidad angular de rotación
τ : torque electromagnético
i : corriente de armadura
Se tiene además que
R : resistencia de armadura
L : inductancia de armadura
J : momento de inercia en el eje del motor
b : coeficiente de rozamiento (rozamiento de tipo viscoso
τ L : torque externo de carga
a.
b.
⇒ torque de rozam. ∝ velocidad ω )
Haga un diagrama de bloques tomando como salida la velocidad
Calcule las siguientes funciones transferencia
ω.
ω (s)
U (s)
ω (s)
H 2 ( s) =
τ L (s)
H1 ( s ) =
TeSyS
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