DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA INGENIERÍA DE LA SALUD Hoja de Problemas No ¯ 1 4. Considérese el siguiente diagrama: 1 1. Un gabinete de trabajo ha realizado un estudio sobre la distribución de la renta per cápita 3/4 por municipio, construyéndose una tabla que posteriormente se extravió, quedando sólo la siguiente fotocopia con muchos datos borrados. Reconstruir a partir de ella la tabla original, y construir el histograma correspondiente: (Li−1 , Li ] (20, 50] ( , 60] (60, ] ( , ] ( , 100] xi 35 ni 2 Ni 2 10 75 fi Fi ai 0,125 0,425 10 1 80 1,4 se recoge en la siguiente tabla: (50,60] 12 (60,80] 18 (80,90] 20 7 b) Calcular dos medidas de tendencia central aplicables a esta distribución. 2. La cantidad de lluvia registrada en las estaciones meteorológicas de un determinado paı́s Precipitaciones Estaciones 3 a) A partir del diagrama obtener los datos originales sabiendo que el tamaño muestral es 20. 0,225 28 1/4 hi (90,100] 15 (100,120] 15 (120,130] 20 a) Representar el histograma y la curva acumulativa. b) Calcular media, moda, varianza, desviación tı́pica, coeficiente de variación y cuartiles. c) ¿Qué nivel de precipitaciones no es superado por el 60 % de las estaciones meteorológicas? 3. El siguiente gráfico representa la curva acumulativa de una variable X. 5. Sabiendo que y = 4 y que z = −3, ¿cuánto vale la media aritmética de la variable X, si sus valores son xi = 3yi + 9zi , i = 1, . . . , n? 6. Considerar la variable estadı́stica que toma los valores 0, 2, u. Estudie la evolución de la media y de la mediana cuando u varia. 7. Sea una distribución (xi ; ni ) con las siguientes caracterı́sticas: x̄ = 7, M o = 5, S 2 = 3, 4. Determinar estas medidas para: a) La distribución (xi + 2; ni ). b) La distribución (20xi ; ni ). 8. Una variable X tiene desviación tı́pica igual a 4 y media 6. Hallar la media y la varianza de Y = (X − 1)/2, Z = (X − 6)/4. Fi 9. Una población con n1 individuos tiene media aritmética X̄1 y varianza S12 . Otra población con n2 individuos tiene media aritmética X̄2 y varianza S22 . Halla la media y la varianza de los n1 + n2 individuos que conforman la población conjunta en función de las medias, las varianzas y el número de individuos de cada una de las subpoblaciones. 1 0.7 10. La siguiente tabla muestra la distribución del coeficiente intelectual, C.I., de 120 alumnos. 0.2 ! C.I ni ! ! !! 5 7 12 15 xi 60-70 2 70-80 3 80-90 25 90-100 46 100-110 35 110-120 5 120-130 3 130-140 1 Si se consideran bien dotados a aquellos alumnos cuya puntuación esté sobre el percentil P95 , ¿a partir de qué C.I. mı́nimo se considera bien dotado a un alumno? Siendo 40 el número de observaciones, hallar : a) Tabla estadı́stica : intervalos, marcas de clase, frecuencias. b) ¿Cuántas observaciones hay con valor inferior o igual a 10? ¿Cuántas superiores a 11? ¿Y superiores a 6? c) Hallar moda, mediana, cuartiles y coeficiente de variación. 11. En una región se observó el precio del vino X y la producción Y , obteniéndose la siguiente tabla: X Y 35 100 31 140 42 110 60 110 52 200 49 200 61 110 50 160 a) Calcule las rectas de regresión de X sobre Y y de Y sobre X. 55 160 58 200 12. Al observar dos variables estadı́sticas X e Y sobre un conjunto de 20 individuos, se han 16. En un examen de estadı́stica, se pide el cálculo de la recta de mı́nimos cuadrados asociada obtenido los siguientes valores: a una nube de puntos. El alumno contesta que las rectas de regresión son: (5, 1) (5, 0) (5, 0) (8, 0) (5, 0) (5, 1) (8, 1) (5, 0) (5, 0) (8, 2) (5, 1) (5, 1) (8, 0) (5, 0) (5, 1) (5, 2) (5, 2) (8, 0) (8, 1) (5, 0) n rY /X ≡ rX/Y ≡ y = 5 + 8x y = 3 − 2x ¿Admitirı́a esta respuesta como válida? a) Construya la tabla de frecuencias conjunta. b) Determine la distribución relativa de Y condicionada a X = 5 y calcule su media. 17. De una variable estadı́stica bidimensional se conoce:la recta de regresión de Y sobre c) ¿Son independientes las variables? Razone la respuesta. X: a) b) c) d) Determine qué valor de X cabe esperar para un valor de Y igual a 3. e) Valore si es fiable la predicción realizada. y = 21 x + 2, la recta de regresión de X sobre Y : x = 2y − 4 y SX = 3. Se pide: Determinar si es posible el centro de gravedad. Hallar r y SY . P 2 P 2 P xy . y , Si x̄ = 2, determinar ȳ, x , ij i j j j i i 13. Los datos sobre la concentración de estrona en la saliva (X) y la concentración en plasma libre (Y ), en pg/ml, de 15 individuos son los siguientes X Y 7.5 26 8 35 8.3 34 7.5 27 8.9 43.5 12 25.8 11.2 45 10 46 14.4 50.7 16.5 43.2 15.1 54 18 68 17.9 68.5 22 53.1 22.3 60 Para R 18. Las puntuaciones obtenidas por 50 personas que se presentaron a una prueba de selección han sido: a) Construir la tabla de frecuencias conjuntas y marginales agrupando los valores de la X en los intervalos: 7-9, 9-15, 15-20,20-25 y los de la Y en los intervalos: 25-40, 40-50 y 50-70. 174 175 197 147 184 b) Calcule las medias marginales e indique qué significa cada una de esas medidas estadı́sticas. c) Calcule la moda y la mediana de la concentración de estrona en saliva para aquellos individuos en los que la concentración en plasma libre no sobrepasa los 50 pg/ml. d) ¿En qué variable presentan los datos una mayor dispersión? 14. Sea (X, Y ) una variable bidimensional de la que se conocen los siguientes datos: Y X 1 3 5 7 9 0 1 0.03 0.06 0.09 0.06 0.06 0.07 0.14 0.21 0.14 0.14 185 158 181 178 173 166 156 151 176 169 176 156 161 142 165 145 187 153 170 172 191 172 162 158 187 177 193 179 167 168 164 183 188 178 148 171 173 179 180 173 a) Histograma agrupando los datos en intervalos de amplitud 5, tomando L0 = 140. b) Polı́gono acumulativo de frecuencias relativas. 19. La distribución de los alumnos matriculados en la Facultad de Ciencias de una cierta Universidad, por secciones, es: SECCIÓN Quı́mica Matemáticas Fı́sica Biologı́a Geologı́a Calcula la media, mediana y moda de X y de X|Y =1 . ¿Son independientes X e Y ? 166 162 172 171 181 N o DE MATRICULADOS 1500 750 1000 500 250 Realiza un diagrama de rectángulos y el gráfico de sectores. 20. Las calificaciones obtenidas por un grupo de alumnos en Filosofı́a y Literatura son: 15. La siguiente tabla muestra las frecuencias relativas conjuntas de la distribución de una F L variable bidimensional (X, Y ). Y X 0 1 2 -1 0 1 4z z z t t 3z/2 t 3z 3z/2 Determina los valores de t y z sabiendo que la media de Y condicionada a X = 1 es 1/2. ¿Son X e Y independientes? ¿Son incorreladas? a) b) c) d) 3 5 4 5 6 8 7 7 5 7 8 9 7 10 3 4 5 7 4 4 8 10 5 5 5 7 8 9 8 10 8 5 ¿Cuántos alumnos tiene el grupo? Hallar la tabla de frecuencias. Hallar las distribuciones marginales, media y varianza de las mismas. Calcula la covarianza. 5 7
