LOGARITMOS Y RADICALES Definición. a

LOGARITMOS Y RADICALES
Definición.
Sea a un real positivo fijo,
y sea x cualquier real positivo, entonces:
La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en
base
,
denotada por
número
,se llama: función logarítmica de base a, y, el
se llama logaritmo de x en la base a.
La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de
un número, en una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar
la base para obtener el número.
En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los
logaritmos.
2.2.1 Teorema ( Propiedades de los logarítmos )
Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :
.
.
Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces,
.Es decir ,la función
logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio.
Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces,
.Esto es la función
logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio.
Para todo número real , existe un único número real
tal que
Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva .
.
.
Si
, y, a != 0 , entonces,
. (Invarianza)
RADICALES
A continuación definiremos la principal raíz enésima de un numero real.
Definición de
Sean n un numero entero positivo mayor de 1 y a , un numero real.
1) Si
, entonces
2) Si
, entonces
3) a) Si
que
es el número real positivo b tal que
.
y n es non, entonces
es el numero real negativo b tal
y n es par, entonces
no es un número real.
.
b) Si
Si n=2 se escribe
en lugar de
y
se llama raíz cuadrada principal de
o simplemente raíz cuadrada de a. El número
es la raíz cúbica de a.
Ilustraciones:
Observa que
porque , por definición, las raíces de números reales
positivos son positivas. El símbolo
se lee "más o menos".
Para completar nuestra terminología, la expresión
es un radical, el
número a se llama radicando y n es el índice del radical. El símbolo
signo radical.
Si
, entonces
; esto es,
es el
.
Reglas generales para el uso de exponentes y radicales:
1.
Ejemplo:
2.
Ejemplo:
3.
Ejemplo:
4.
Ejemplo:
5.
(Esta es una definición, más que una regla, pero puede derivarse de la
regla 2 cuando a y b son iguales)
Ejemplo:
6.
Ejemplo:
7.
Ejemplo:
8.
(Esta es una definición que permite usar las reglas de exponentes para
los radicales).
9.
Ejemplo:
10.
Ejemplo:
11.
Ejemplo:
12.
Ejemplo:
13.
Ejemplo:
14.
Ejemplo:
Demostración.
Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición
y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección
anterior.
A manera de ilustración , se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las
restantes como ejercicio para el lector.
Sea
.De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9
del teorema 3 ,se tiene :
.
Esto es ,
(1)
En segundo lugar , nuevamente por la definición ,
Es decir ,
. 0
( 2 ).
De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que
Sea
y
.
, entonces :
( 1 ).
( 2 ).
De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que
:
.
Es decir ,
.
7.Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean :
que
y
.Se prueba
.
En efecto ,si
,y como a > 1 ,se tendría por la propiedad 7 del teorema 3
que
, es decir ,
en contradicción con la hipótesis.
Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1.
Observaciones.
i ) La igualdad
0.
, dada en la propiedad 1, es también válida para b <
ii) Las propiedades 7 y 8 de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades
7 y 8 de los exponentes, ponen
de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones
exponenciales y logarítmicas en una misma
base .Es decir, si una de ellas es continua y creciente ( continua y
decreciente ) , la otra también lo es.
iii) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y
logarítmicas es el llamado número
e (número de EULER ).Los logaritmos de base e son llamados logaritmos
Naturales o Neperianos y se
denotan por Ln .Sin embargo ,los que más a menudo se encuentran
tabulados y que se utilizan en la practica son
los correspondientes a la base 10 ,los cuales son llamados
logaritmos decimales o vulgares y se denotan
por
o, simplemente, Log x.
Para resolver ecuaciones logarítmicas hay que transformarlas en ecuaciones
algebraicas:
Veamoslo con un ejemplo:
1. Transformamos los números en logaritmos usando
2. Aplicamos las propiedades de los logaritmos para dejar un único
logaritmo en cada miembro de la ecuación
3. Quitamos los logaritmos y resolvemos la ecuación algebraica resultante
Las soluciones son
y
4. Comprobamos las soluciones (ver que no se obtienen logaritmos de
número negativos o el logaritmo de 0 al sustiruir las soluciones en la
ecuación original)
es solución y
no lo es porque aparecería
Sabiendo que
calcula
1.
Buscamos potencias de 2 (que es el dato) y de 10 (que es la base)
2.
3.
4.
5.
Cacula
Resuelve
Es una ecuación con suma de exponenciales y la resolveremos mediante
un cambio de variable:
. el cambio de varible va a ser
Las soluciones de la ecuación de segundo grado son
y
Deshacemos el cambio de variable:
entonces,
. En este caso no podemos aplicar la igualación de base y lo que
hacemos es tomar logaritmos en base 2 a ambos lados del igual:
y
Desarrollos logarítmicos
1.
Tomamos logaritmos y aplicamos la propiedad del cociente
Aplicamos la propiedad del producto
Aplicamos la propiedad de la potencia
2.
Tomamos logaritmos en ambas partes del igual
Aplicando la propiedad del cociente
Aplicando la propiedad del producto
Quitando parentesis y aplicando las propiedades de la potencia y de la
raiz
3.
Tomando logartimos y aplicando las propiedades correspondientes
Reduciendo nos queda
4.
Aplicamos la propiedad del producto
Aplicamos la propiedad de la raiz
Volvemos a aplicar la propiedad del producto y la de la potencia
Logaritmos naturales o neperianos
Los logaritmos naturales o logaritmos neperianos son los que
tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
Los logaritmos neperianios deben su nombre a su
descubridor John Neper y fueron los primeros en ser utilizados.
El logaritmo neperiano de x (ln x) es la potencia a la que se
debe elevar e para obtener x.
ln 1 = 0
e0 = 1
Propiedades de los logaritmos naturales
ln 1 = 0
ln e = 1
ln e n = n
ln (x · y) = ln x + ln y
(ln x) / (ln y) = ln x - ln y
ln x n = n ln x
Ejemplo
2.2.2. Gráfica de La Función Logarítmica
En las figuras 3 y 4 , aparecen las gráficas de las
funciones
e
, en concordancia con las propiedades
establecidas en el teorema inmediatamente anterior.
En la figura 5, se han trazado conjuntamente las
curvas
e
.Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en
la observación ii). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con
respecto a la recta y = x.
fig 3
fig 4