Álgebra Lineal Numérica Franklin Camacho, PhD Universidad Yachay Tech [email protected] Semestre I-2020 Motivación Consideremos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .. .. . . . an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn (1) Una solución de (1) es una n-upla (α1 , · · · , αn ) que satisface cada una de las ecuaciones del sistema. Problema numérico: I De ser posible, encontrar una aproximación de la solución. (1). Ejemplo 1.1 3x1 + 2x2 = 18 −x1 + 2x2 = 2 I La solución del sistema es x1 = 4 y x2 = 3; I La representación gráfica del sistema son dos rectas en el plano con el punto (4, 3) en común (punto de intersección de las rectas); Consideremos el sistema Ejemplo 1.2 1. −0.5x1 + x2 = 1 −0.5x1 + x2 = 0.5 Este sistema no tienen solución, las rectas no se intersectan. 2. −0.5x1 + x2 = 1 −x1 + 2x2 = 1 Las rectas tampoco se intersectan, no hay solución. 3. −0.5x1 + x2 = 1 −0.49x1 + x2 = 0.5 Si hay solución. El punto (−50, −24) es la intersección. En los sistemas lineales de 2 ecuaciones y 2 incógnitas, encontrar o no la solución es relativamente fácil. Consideremos a11 x1 + a12 x2 = b1 (1) a21 x1 + a22 x2 = b2 (2) multiplicamos por a21 y por a11 las ecuaciones (1) y (2), respectivamente. Despejamos, x2 , x2 = b1 a21 − b2 a11 a12 a21 − a11 a22 la sustituimos en (1) y obtenemos: x1 = b2 a12 − b1 a22 a12 a21 − a11 a22 Siempre que a12 a21 − a11 a22 6= 0 Sea un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .. .. . . . an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn (2) Recordemos: I Dos sistemas son equivalentes cuando tiene el mismo conjunto solución; I Operaciones elementales en sistemas de ecuaciones: Intercambio el orden de las ecuaciones puede cambiarse; Escalado multiplicar una ecuación por una constante no nula; Sustitución una ecuación puede ser reemplazada por la suma de ella misma por un multiplo de otra ecuación. I Cualquiera de las operaciones elementales produce sistemas equivalentes. Ejemplo Determinar la parábola de ecuación y = A + Bx + Cx 2 que pasa por los puntos (1, 1); (2, −1) y (3, 1) Sustituyendo los puntos en la ecuación obtenemos A+B +C A + 2B + 4C A + 3B + 9C = = = 1 −1 1 Aplicando operaciones elementales, obtenemos el sistema A+B +C = 1 B + 3C = −2 2C = 4 Luego, y = 7 − 8x + 2x 2 Un sistema de n ecuaciones con n incógnitas a11 x1 + a12 x2 · · · a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 · · · a2n xn = b2 .. .. .. . . . an1 x1 + an2 x2 · · · ann xn = bn Tiene una representación matricial de la forma: Ax = b donde a11 a21 A= . .. a12 a12 .. . ··· ··· .. . an1 an2 ··· a1n x1 b1 x2 b2 a2n x = .. y b = .. . . ann xn bn Nociones básicas I Definición 1.1 Una matriz A de orden m × n es un arreglo rectangular de números ubicados en m filas por n columnas. a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A= . .. .. .. . . am1 am2 · · · amn Veamos a continuación algunas matrices especiales: Observación 1.1 Nociones básicas II Sea A un matriz. I A se dice cuadrada, si es de orden n × n. I A se dice diagonal, si es cuadrada y [A]ij = 0 siempre que i 6= j. I Se dice que A es triangular superior, si es cuadrada de orden n y [A]ij = 0 siempre que i > j. I Se dice que A es triangular inferior, si es cuadrada de orden n y [A]ij = 0 siempre que i < j I A es triangular si es triangular inferior o superior. Definición 1.2 La matriz identidad de orden n, denotada por In , es la matriz diagonal tal que [In ]ii = 1 para todo i = 1 : n. Observación 1.2 Nociones básicas III Denotemos por Mn (R) el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n. 1. Toda matriz diagonal en Mn (R) es triangular ; 2. La matriz identidad en Mn (R) es triangular. Definición 1.3 Una matriz cuadrada A de orden n, se dice que es no singular o invertible, si existe una matriz cuadrada de orden n, denotada por A−1 , tal que AA−1 = A−1 A = In . Observación 1.3 La matriz A−1 se llama la inversa de A. Una matriz que no tenga inversa se llama singular o no invertible. Nociones básicas IV Denotemos por Mm×n (R) el conjunto de todas las matrices de orden m × n. Definición 1.4 Sea A en Mm×n (R). La traspuesta de A, denotada por At , es una matriz en Mn×m (R) definida como: [A]tij = [A]ji para todo i y j con 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Definición 1.5 Una matriz A se dice simétrica si, es cuadrada y A = At . (3) Nociones básicas V Operaciones elementales a una matriz : Intercambio El orden de las filas puede cambiarse; fi ↔ fj Escalado Multiplicar una fila por una constante no nula; fbi ↔ αfi Sustitución Una fila puede ser reemplazada por la suma de esa fila más un múltiplo de cualquier otra fila. fbi ↔ fi + αfq Nociones básicas VI Definición 1.6 Sea A ∈ Mm×n (R), decimos que A está en forma escalonada por filas si: 1. Si hay filas que solo tienen ceros, ellas están en la parte de abajo de la matriz. 2. Si una fila es no nula, su primera entrada distinta de cero es llama pivote. 3. Si la fila i está por encima de la fila j y ambas son no nulas, entonces el pivote de la fila j está hacia la derecha del pivote de la fila i 4. Debajo del pivote de una fila no nula, solamente hay ceros. Más aún, A está en forma escalonada reducida por filas si, A esta en forma escalonada y encima de cada pivote solo hay ceros. Ejemplo 1.3 Nociones básicas VII Las siguientes matrices están en color rojo): 0 5 −3 I A= 0 0 0 0 0 0 −2 0 1 I B= 0 1 2 0 0 1 están en forma escalonada (los pivotes 2 1 0 1 0 0 0 I C = 0 1 0 2 0 0 1 1 Solo C está en forma escalonada reducida por filas. Definición 1.7 Una matriz elemental es una matriz cuadrada que se obtiene a partir de la matriz identidad aplicando exactamente una operación elemental de filas. Ejemplo 1.4 Nociones básicas VIII Las siguientes son 0 0 I A= 0 1 1 0 1 0 I B= 0 1 0 0 matrices elementales 1 1 0 0 0 1 I C = 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 1 0 2 0 0 1 Nociones básicas IX Determinante Teorema Sean A, B en Mn (R). 1. Si A tiene una fila o una columna nula, entonces det(A) = 0. 2. Si A tiene dos filas o dos columnas iguales entonces det(A) = 0. 3. Si B es obtenida de A mediante la operación fi ↔ fj entonces det(B) = −det(A). 4. Si B es obtenida de A mediante la operación fbi ↔ αfj entonces det(B) = αdet(A). Nociones básicas X 5. Si B es obtenida de A mediante la operación fbi ↔ fi + αfq entonces det(B) = det(A). Otras propiedades Teorema Sean A, B en Mn (R). Entonces 1. det(AB) = det(A)det(B); 2. det(At ) = det(A); 3. det(In ) = 1; 4. si A−1 existe, entonces det(A−1 ) = 1/det(A) = (det(A))−1 ; 5. si A es una matriz triangular, entonces det(A) = [A]11 [A]22 · · · [A]nn Nociones básicas XI Teorema 1.1 Teorema(existencia y unicidad) Sea A en Mn (R), entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. Ax = b tiene solución única para cada vector b de tamaño n; 2. A es invertible; 3. La única solución del sistema Ax = 0 es la solución trivial; 4. A es equivalente por filas a la matriz identidad; 5. A puede escribirse como un producto de matrices elementales; 6. det(A) 6= 0; 7. La forma escalonada de A tiene n pivotes.
