Ingeniería asistida por ordenador. Mínimos cuadrados

APÉNDICE I:
MÍNIMOS CUADRADOS
En muchos problemas estamos interesados en aproximar un cierto conjunto de datos
por un tipo de funciones prefijadas (en este caso polinomios) pero sin que
necesariamente la función de aproximación deba coincidir con el valor de los datos en
todos los puntos. Esto ocurre por ejemplo cuando deseamos encontrar la recta que mejor
aproxima un conjunto de puntos.
Así pues, el problema de aproximación que nos planteamos es, dados m puntos
x1 ,..., x m y dados y1 ,..., y m los valores que una determinada función f toma sobre ellos,
buscamos un polinomio P de grado ≤n (donde debe ser n<m) que aproxime ‘bien’ a
dicha función. En este caso la ‘bondad’ de la aproximación se mide por el número
m
|| y i − P( xi ) || 2 = å ( yi − P( xi ) ) .
2
Es
decir,
buscamos
un
polinomio
i =1
P ( x) = a n x n + ... + a 0
para
m
m
el
(
S (a n ,..., a 0 ) = å ( y i − P ( xi ) ) = å a n xin + ... + a 0 − y i
2
i =1
i =1
que
)
2
el
número
sea mínimo.
Nuestro problema se reduce por tanto a minimizar una función de n+1 variables.
Planteando las condiciones de anulación de las derivadas parciales obtenemos
m
∂S
= å 2 xik a n xin + ... + a 0 − yi = 0
para
k=0,…,n,
o
equivalentemente,
∂a k i =1
(
)
m
m
m
m
i =1
i =1
i =1
i =1
a 0 å xik + a1 å xik +1 + ... + a n å xik + n = å xik y i para k=0,…,n.
Podemos escribir estas condiciones en forma de sistema lineal obteniéndose lo que se
conoce como ecuaciones normales
æ s 0 s1 ... s n öæ a 0 ö æ c0 ö
ç
÷ç ÷ ç ÷
ç s1 s 2 ... s n+1 ÷ç a1 ÷ ç c1 ÷
ç
÷ç ÷ = ç ÷
...
ç
÷ç ÷ ç ÷
çs s
÷ç ÷ ç c ÷
...
s
n +1
2 n øè a n ø
è n
è nø
m
m
i =1
i =1
donde s k = å xik y c k = å xik y i para k=0,…,n.
Teorema: El sistema dado por las ecuaciones normales tiene solución única.
Además dicha solución es la solución de nuestro problema de minimización.
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