lá fórmula de newton interpolación - OCW UPM

Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
INTERPOLACIÓN:
INTERPOLACIÓN:
LÁ
LÁ FÓRMULA
FÓRMULA DE
DE NEWTON
NEWTON
Prof. Alfredo López Benito
Prof. Carlos Conde Lázaro
Prof. Arturo Hidalgo López
Marzo, 2007
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
46
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OBJETIVOS
OBJETIVOS
1º. Conocer el concepto de diferencia dividida de orden k definida
en k puntos de un soporte.
2º. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange de una función
utilizando la fórmula de Newton en diferencias divididas.
3º. Conocer las principales propiedades de las diferencias
divididas.
4º. Particularizar la fórmula de Newton al caso de soportes
equidistantes: Fórmulas en diferencias finitas.
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NOTACIÓN
NOTACIÓN
Soporte de interpolación formado por los (n+1) puntos distintos:
{x0, x1, …, xn}
Valores de una función f(x) en los (n+1) puntos del soporte:
{f0, f1, …, fn}
PROBLEMA
Calcular el polinomio p(x) que interpola en el sentido de
Lagrange a la función f(x) sobre el soporte {x0, …, xn}
1ª forma de resolverlo: Usando la fórmula de Lagrange
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48
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2ª
2ª forma
forma de
de calcular
calcular el
el polinomio
polinomio interpolador
interpolador
Si se considera el polinomio escrito en la forma:
p(x) = a0 + a1·x + a2·x2 + …… + an·xn
Pueden obtenerse los coeficientes resolviendo el sistema:
En (x0, f0): a0 + a1·(x0) + a2·(x0)2 + …… + an·(x0)n = f0
En (x1, f1): a0 + a1·(x1) + a2·(x1)2 + …… + an·(x1)n = f1
En (x2, f2): a0 + a1·(x2) + a2·(x2)2 + …… + an·(x2)n = f2
…………………………………………………………………………………………………….
En (xn, fn): a0 + a1·(xn) + a2·(xn)2 + …… + an·(xn)n = fn
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3ª
3ª forma:
forma: El
El Método
Método de
de Newton
Newton
Si se considera el polinomio escrito en la forma:
p(x) = c0 + c1·(x-x0) + c2·(x – x0)·(x – x1) + …… +
+ cn·(x – x0)·(x – x1)·….·(x-xn-1)
pueden obtenerse los coeficientes resolviendo el sistema:
En (x0, f0): c0 +
= f0
En (x1, f1): c0 + c1·(x1-x0)
= f1
En (x2, f2): c0 + c1·(x2-x0) + c2·(x2 –x0)·(x2-x1)
= f2
…………………………………………………………………………………………………….
n
( i − 1)
i =1
j =0
En (xn, fn): c0 + ∑ ci ·∏ ( x n − x j )
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= fn
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Método
Método de
de Newton
Newton
Que conduce a: c0 = f0
c1 =
c2 =
Diferencia dividida f[x0]
(f1 – f0)
(x1 – x0)
Diferencia dividida f[x0, x1]
(f2 – f1) (x2 – x1)
……………..
(f1 – f0)
(x1 – x0)
(x2 – x0)
Diferencia dividida f[x0, x1, x2]
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Cálculo
Cálculo de
de los
los coeficientes
coeficientes del
del polinomio
polinomio
{x0}
p0(x) = c0
p0(x) = f0 = f[x0]
( p1(x 0 ) = f0 )
{x0, x1}
p1(x) = c0 + c1·(x-x0)
f1 − p0 (x1)
c1 =
= f[x0, x1]
( p1(x1 ) = f1 ) (x1 − x 0 )
p0(x)
p1(x) = f[x0] + c1·(x-x0)
p1(x) = f[x0] + f[x0, x1] ·(x-x0)
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Cálculo
Cálculo de
de los
los coeficientes
coeficientes del
del polinomio
polinomio
{x0, x1 , x2}
c0 = f0 = f[x0]
p2(x) = c0 + c1·(x-x0) + c2·(x-x0)·(x-x1)
( p2 (x 0 ) = f0 )
( p2 (x1 ) = f1 )
p1(x)
a1 = f [ x 0 ,x1 ] =
f1 − p0 (x1 )
(x1 − x 0 )
p2(x) = f[x0] + f[x0, x1] ·(x-x0) + c2·(x-x0)·(x-x1)
p2(x2) = f2
c2 =
f2 − p1(x 2 )
(x 2 − x 0 )·(x 2 − x 1)
f[x0, x1, x2]
p2(x) = f[x0] + f[x0, x1]·(x-x0) + f[x0, x1 , x2]·(x-x0)·(x-x1)
(i −1)
2
fi − pi−1(xi )
f [ x 0 ,...,xi ] = (i−1)
p2 (x ) = f [ x 0 ] + ∑ f [ x 0 ,...,xi ]·∏ x − x j
i=1
j= 0
∏ xi − x j
(
)
j= 0
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(
)
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Fórmula
Fórmula de
de interpolación
interpolación de
de Newton
Newton
{x0, x1 ,..., xn}
pn(x) = c0 + c1·(x-x0) + .... + cn·(x-x0)·... ·(x-xn-1)
(i = 0, 1, ..., n-1)
ci = f [ x 0 ,..., xi ] =
( pn (xi ) = fi )
pn-1(x)
fi − pi−1(xi )
i
∏ (x
j= 0
i
− xj)
pn(x) = f[x0] + ...+ f[x0,..., xn-1] ·(x-x0)·...·(x-xn-2) + cn·(x-x0)·...·(x-xn-1)
pn(xn) = fn
cn =
fn − pn−1(x n )
(n−1)
∏ (x
j= 0
n
(i−1)
i=1
j= 0
(
pn (x ) = f [ x 0 ] + ∑ f [ x 0 ,...,xi ]·∏ x − x j
)
n
− x j)
f[x0, x1,..., xn]
f [ x 0 ,...,xi ] =
Fórmula de interpolación de Newton
fi − pi−1(xi )
(i−1)
∏(x
j= 0
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i
− xj
)
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Diferencias
Diferencias divididas:
divididas: Definición
Definición
Definición
Se denomina diferencia dividida de orden k de la función f(x)
en los puntos {x0, x1, ..., xk} al valor:
f [ x 0 ,...,xk ] =
fk − pk −1 (xk )
(k −1)
∏ (x
j= 0
k
− xj)
donde fk = f(xk) y pk-1(x) es el polinomio interpolador de
Lagrange de f(x) sobre el soporte {x0, x1, ..., xk-1}.
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Diferencias
Diferencias divididas:
divididas: Propiedades
Propiedades
Soporte inicial:
{x ,..,x
0
Extracción de (k+1) valores:
Reordenación de los (k+1) puntos:
i0
,...,xi1 ,...,xik ,...,xn
{x
{x
}
...
}
,...,x }
i0
,xi1 ,...,xik
j0
,x j1
jk
Propiedad 1ª
Siendo {i0, i1, ..., ik} un subconjunto de { 0, 1, ..., n} y denotando por {j0, j1, ..., jk} una permutación de {i0, i1, ..., ik} se
verifica que:
f ⎡⎣ xi0 ,xi1 ,..., xik ⎤⎦ = f ⎡⎣ x j0 ,x j1 ,...,x jk ⎤⎦
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Diferencias
Diferencias divididas:
divididas: Propiedades
Propiedades
Demostración:
Según la fórmula de Newton el polinomio interpolador de Lagrange
sobre el soporte xi0 ,xi1 ,...,xik es:
{
(
}
)
(
) (
⎤⎦·( x − x )·...·( x − x )·( x − x )
)
pk (x ) = f ⎡⎣ xi0 ⎤⎦ + f ⎡⎣ xi0 ,xi1 ⎤⎦· x − xi0 + .... + f ⎡⎣ xi0 ,..., xik−1 ⎤⎦· x − xi0 ·...· x − xik−2 +
+ f ⎡⎣ xi0 ,...,xik−1 ,xik
Y sobre el soporte
{x
j0
i0
,x j1 ,...,x jk
(
}
ik −2
ik −1
es:
)
(
) (
⎤⎦·( x − x )·...·( x − x )·( x − x )
)
qk (x ) = f ⎡⎣ x j0 ⎤⎦ + f ⎡⎣ x j0 , x j1 ⎤⎦· x − x j0 + .... + f ⎡⎣ x j0 ,..., x jk−1 ⎤⎦· x − x j0 ·...· x − x jk−2 +
+ f ⎣⎡ x j0 ,..., x jk−1 , x jk
j0
jk −2
jk −1
Por la unicidad del polinomio interpolador: pk(x) = qk(x).
Identificando los coeficientes en xk: f ⎡⎣ xi0 ,xi1 ,..., xik ⎤⎦ = f ⎡⎣ x j0 ,x j1 ,...,x jk ⎤⎦
c.q.d.
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Diferencias
Diferencias divididas:
divididas: Propiedades
Propiedades
Propiedad 2ª
Siendo {i0, i1, ..., ik} un subconjunto de { 0, 1, ..., n} se verifica
que:
f ⎡⎣ x i1 , x i1 ,..., x ik ⎤⎦ − f ⎡⎣ xi0 , x i1 ,..., x ik −1 ⎤⎦
f ⎡⎣ x i0 , x i1 ,..., x ik −1 , xik ⎤⎦ =
x −x
ik
i0
con: f[xj] = f(xj) = fj.
WxÅÉáàÜtv|™Ç
( ver las 2 diapositivas siguientes)
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Diferencias
Diferencias divididas:
divididas: Propiedades
Propiedades
Según la fórmula de Newton el polinomio interpolador de Lagrange sobre
el soporte xi0 ,xi1 ,...,xik
es:
{
}
(
)
)
(
) (
+ f ⎣⎡ x ,...,x ,x ⎤⎦·( x − x )·...·( x − x )·( x − x )
Y sobre el soporte { x ,x ,...,x } es:
q ( x ) = f ⎡⎣ x ⎤⎦ + f ⎡⎣ x ,x ⎤⎦·( x − x ) + .... + f ⎡⎣ x ,...,x ⎤⎦·( x − x )·...·( x − x ) +
+ f ⎣⎡ x ,...,x ,x ⎤⎦·( x − x )·...·( x − x )·( x − x )
pk (x ) = f ⎡⎣ xi0 ⎤⎦ + f ⎡⎣ xi0 ,xi1 ⎤⎦· x − xi0 + .... + f ⎡⎣ xi0 ,...,x ik−1 ⎤⎦· x − xi0 ·...· x − xik−2 +
i0
ik −1
ik
k
ik
ik
ik
i0
ik −1
ik −1
i0
ik −1
ik
ik −2
ik
i1
i0
ik
ik
i1
i2
ik
i2
i1
Por la unicidad del polinomio interpolador: pk(x) = qk(x).
Identificando los coeficientes en xk-1 :
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Diferencias
Diferencias divididas:
divididas: Propiedades
Propiedades
(
)
f ⎣⎡ xi0 ,...,xik−1 ,xik ⎦⎤· − xi0 − xi1 − xi2 − ... − xik−1 + f ⎡⎣ xi0 ,xi1 ,...,xik−1 ⎤⎦ =
(
)
= f ⎡⎣ xik ,..., xi1 ,xi0 ⎤⎦· − xik − xik−1 ... − xi2 − xi1 + f ⎡⎣ xik ,xik−1 ...,xi1 ⎤⎦
f ⎡⎣ xi1 ,xi2 ,...,xik ⎤⎦
Son iguales (ver propiedad 1ª)
(
)
f ⎡⎣ xi0 ,...,xik−1 ,xik ⎤⎦· xik − xi0 = f ⎡⎣ xi1 ,...,xik ⎤⎦ − f ⎡⎣ xi0 ,...,xik−1 ⎤⎦
f ⎡⎣ xi0 ,...,xik−1 ,xik ⎤⎦ =
f ⎡⎣ xi1 ,...,xik ⎤⎦ − f ⎡⎣ x i0 ,...,xik−1 ⎤⎦
(x
ik
− xi0
)
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c.q.d.
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Diferencias
Diferencias divididas:
divididas: Propiedades
Propiedades
Caso particular: Denotando por: f[xi] = fi (i = 0, 1, ...., n)
se verifica:
f [ xi+1,...,xi+k −1,xi+k ] − f [ xi ,xi+1,...,xi+k −1 ]
f [ xi ,xi+1 ,...,xi+k −1,xi+k ] =
xi+k − xi
(i = 0, 1, ...., n-k)
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Diferencias
Diferencias divididas:
divididas: Propiedades
Propiedades
f [ xi ,xi+1,...,xi+k −1,xi+k ] =
x0
x1
f0
f1
x2
f2
f [ xi+1,...,xi+k −1,xi+k ] − f [ xi ,xi+1,...,xi+k −1 ]
xi+ k − x i
f [ x 0 ,x1 ]
f [ x 0 ,x1,x 2 ]
f [ x 0 ,x1,x 2 ,x 3 ]
f [ x1,x 2 ]
f [ x1,x 2 ,x 3 ]
f [ x 0 ,x1,x 2 ,x 3 ]
f [ x 2 ,x 3 ]
f [ x 2 ,x 3 ,x 4 ]
f [ x 0 ,x1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ]
f3
f [ x 3 ,x 4 ]
x4
f4
p4(x) = f0 + f[x0, x1]·(x-x0) + f[x0, x1 , x2]·(x-x0)·(x-x1) +
x3
+ f[x0, x1 , x2 , x3]·(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) +
+ f[x0, x1 , x2 , x3 , x4]·(x-x0)·(x-x1)·(x-x2)·(x-x3)
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Diferencias
Diferencias divididas:
divididas: Ejemplo
Ejemplo
Obtener el polinomio interpolador de Lagrange de la
función f(x) = sen(x) sobre el soporte formado por los
puntos:
⎧ π π⎫
⎨0, , ⎬
⎩ 4 2⎭
Solución:
x00
f(x00)
π
x1
4
1
f(x1)
2
π
x2
2
f(x12)
f[x
2·0, 2x1]
π
− 2)
f[x8·(1
0, x1 , x2]
π2
11
1
−
−0
2·(2
−
2)
−
f
f
−
f
f
2 1 10
f[x1, x2]
2[ x2,x ]
f
x
,x
−
f
[
]
=
f[x
,
x
]
=
=
1
2
0
1
f[x
,
x
]
=
1 0 ,x
2 1 ] =x − x
π
f[x0,x
π
π
x2 1 − x1 0
π
1
2
x 2 − x−0− 0
24 4
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Diferencias
Diferencias divididas:
divididas: Ejemplo
Ejemplo
0
0
2· 2
π
π
4
1
2·(2 − 2)
π
π
2
2
8·(1 − 2)
π2
1
p2(x) = f(x0) + f [x0,x1]·(x - x0) + f [x0,x1, x2]·(x - x0)(x-x1) =
=0
2· 2
8·(1 − 2)
+
+
·(x-0)·(x-π/4)
·( x – 0)
2
π
π
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Diferencias
Diferencias divididas:
divididas: Ejemplo
Ejemplo
f(x) = sen(x)
p2(x)
|ε(x)| = |f(x) – p2(x)|
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Diferencias
Diferencias divididas:
divididas: Ejemplo
Ejemplo 2º
2º
Obtener el polinomio interpolador de Lagrange de la
función f(x) = sen(x) sobre el soporte formado por los
puntos:
⎧ π π π π⎫
⎨0, , , , ⎬
⎩ 6 4 3 2⎭
Tabla
del
ejercicio
anterior
0
0
π
4
0.90
2· 2
π
1
0.707
2
2·(2
− 2)
0.373
π
π
2
1
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8·(1
− 2)
−0.336
π2
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Diferencias
Diferencias divididas:
divididas: Ejemplo
Ejemplo 2º
2º
0
0
0.90
−0.336
f[x-0.121
0,x1,x2,x3]
π
4
0.707
0.373
f[x-0.399
1,x2 ,x3]
f[x1-0.091
,x2,x3,x4]
π
2
1
f[x
0.477
2,x3]
f[x-0.423
2,x3 ,x4]
π
x3
6
π
x4
3
f[x0,x0.0288
1,x2,x3 ,x4]
p4(x) = p2(x) +
f(x
0.53)
0.867
f(x4)
f[x
0.699
3,x4]
+ f[x0,x1,x2,x3]·(x-0)·(x-p/4)·(x-p/2)
+
(-0.121)
+ f[x0,x
0.0288
1,x2,x3,x4]·(x-0)·(x-π/4)·(x-π/2)·(x-π/6)
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Diferencias
Diferencias divididas:
divididas: Ejemplo
Ejemplo 2º
2º
π
p 4 (x ) 0 + 0.90 ⋅ (x − 0) − 0.336 ⋅ (x − 0) ⋅ (x − ) −
4
π
π
π
π
π
−0.121⋅ x·(x - )·(x - ) + 0.0288·x·(x − )·(x − )·(x − )
4
2
6
2
6
|ε(x)| = | f(x) – p4(x)|
f(x) = sen(x)
p2(x)
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