7.Para un circuito RCL sin fuente de tension externa, L = 20,R = 0 y C = 0 1 , determine la 60 corriente en el momento t dadas las condiciones iniciales: I(0) = 100,I (0) = 25. Grafique la solución determinada y analizar el comportamiento a largo plazo de la corriente. Suponga unidades consistentes en todas las constantes 1 L = 20 R=0 C= 60 0 cond.i I(0) = 100 I (0) = 25 VR = I × R → RESIST EN CIA 0 VL = L × I → IN DU CT OR 1 VR = × q → CAP ACIT OR c 0 q = I → RELACION : CARGA − CORRIEN T E Por Ley de tensiones de Kirchhoff se establece que: VR + VL + VC = VT (1) En el ejercicio no se considera una fuente de tension externa VT = 0 0 I ×R+L×I + 1 ×q =0 c (2) Usando la relacion de carga corriente y derivando con respecto a t: 00 0 L×I +R×I + 00 I + 1 ×I =0 c R 0 1 I + I=0 L cL (3) (4) Procedemos a resolver la EDO homogénea y de coeficientes constantes λ2 + √ R 1 λ+ = 0 → λ = 3i L cL (5) √ √ I = C1 cos 3t + C2 sin 3t (6) √ √ √ √ 0 I = − 3C1 sin 3t + 3C2 cos 3t (7) Aplicando las condiciones iniciales encontramos la ecuación que describe la corriente:C1 = 100 y 25 C2 = √ 3 √ √ 25 I = 100 cos 3t + √ sin 3t (8) 3 1 8.Para un circuito RCL sin fuente de tension externa, L = 10,R = 40 y C = 0 1 , determine la 50 corriente en el momento t dadas las condiciones iniciales: I(0) = 100,I (0) = 25. Dibuje la solución determinada y analizar el comportamiento a largo plazo de la corriente. Suponga unidades consistentes en todas las constantes. L = 10 R = 40 cond.i I(0) = 100 1 50 0 I (0) = 25 C= Por Ley de tensiones de Kirchhoff se establece que: VR + VL + VC = VT (9) En el ejercicio no se considera una fuente de tension externa VT = 0 00 I + R 0 1 I + I=0 L cL (10) Procedemos a resolver la EDO homogénea y de coeficientes constantes λ2 + R 1 λ+ = 0 → λ = −2 + ±i L cL (11) I = e−2t [C1 cos t + C2 sin t] (12) I = e−2t [(C2 − 2C1 ) cos t + (−C1 − 2C2 ) sin t] (13) 0 Aplicando las condiciones iniciales encontramos la ecuación que describe la corriente:C1 = 100 y C2 = 225 I = e−2t [100 cos t + 225 sin t] 2 (14) 3
