MATEMATICAS segunda edición Francisco José Ortiz Campos Serie integral por competencias 1 Francisco José Ortiz Campos primera edición ebook 2014 Para establecer comunicación con nosotros puede utilizar estos medios: correo: Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, 02400, México, D.F. Grupo Editorial Patria® División Bachillerato, Universitario y Profesional Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Supervisión de preprensa: Miguel Ángel Morales Verdugo Diagramación: Juan Castro Salgado Ilustraciones: Carlos Enrique León Chávez y José Luis Mendoza Monroy Fotografías: Thinkstock Matemáticas 1. e-Mail: [email protected] Serie integral por competencias Derechos reservados: ©2014, Francisco José Ortiz Campos ©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. ISBN ebook: 978-607-438-980-7 Fax pedidos: (0155) 5354 9109 s 5354 9102 sitio web: www.editorialpatria.com.mx Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México / Printed in Mexico teléfono: (0155) 53 54 91 00 Primera edición ebook: 2014 Grupo Editorial Patria® Contenido BLOQUE 1 BLOQUE 2 BLOQUE 3 BLOQUE 4 BLOQUE 5 Introducción a la asignatura y a tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Competencias genéricas del Bachillerato General . . . . . . . . . . . . VIII Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Las secciones de tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Utilizas magnitudes y números reales Realizas sumas y sucesiones de números Realizas transformaciones algebraicas I Realizas transformaciones algebraicas II 1.1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 1.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 13 2.1 Números reales: representación y operaciones . . . . . . . . . . 2.2 Tasas, razones, proporciones y variaciones . . . . . . . . . . . . . . . 35 46 3.1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 3.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 68 4.1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 4.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 85 5.1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 102 5.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 III Contenido BLOQUE 6 BLOQUE 7 BLOQUE 8 BLOQUE 9 BLOQUE 10 Resuelves ecuaciones lineales I Resuelves ecuaciones lineales II Resuelves ecuaciones lineales III 6.1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 124 6.2 Uso de la calculadora, graficadora y/o una computadora . . 129 6.3 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.1 Representación de relaciones entre magnitudes.. . . . . . . . . 158 7.2 Modelos aritméticos o algebraicos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 8.1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 174 8.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 9.1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 195 9.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Resuelves ecuaciones cuadráticas I Resuelves ecuaciones cuadráticas II 10.1 Representación de relaciones entre magnitudes .. . . . . . . 217 10.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Vínculos en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 IV Grupo Editorial Patria® Introducción a la asignatura y a tu libro Francisco José Ortiz Campos El contenido temático de esta segunda edición de Matemáticas 1 se ha modificado y enriquecido para adecuarlo al programa vigente de la asignatura. Esta obra se desarrolla en diez bloques que son: Bloque 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Inicia con el planteamiento y resolución de problemas aritméticos. A través del lenguaje algebraico se busca generalizar la aritmética. Se proponen algunos problemas para cuya resolución se puede recurrir a su representación por medio de figuras geométricas o dibujos. Bloque 2 Utilizas magnitudes y números reales El concepto de valor absoluto se utiliza como antecedente de las operaciones con enteros. Se revisan las operaciones con racionales. Incluye múltiplos y divisores, mínimo común múltiplo y máximo común divisor. Las razones y proporciones aparecen como antecedente de la variación proporcional directa e inversa. Bloque 3 Realizas sumas y sucesiones de números Se trata lo relacionado con las sucesiones lineales y geométricas así como la determinación de la suma de sus series correspondientes. Bloque 4 Realizas transformaciones algebraicas I Trata lo relacionado con las operaciones de polinomios con una variable, algunos productos notables y su factorización, triángulo de Pascal y binomio de Newton. Bloque 5 Realizas transformaciones algebraicas II Trata lo relacionado con la factorización de trinomios de la forma x2 1 mx 1 n y ax2 1 bx 1 c V Introducción a la asignatura y a tu libro Para terminar el bloque, se desarrolla el tema de simplificación de fracciones algebraicas en la que tienen aplicación los conceptos antes estudiados. Bloque 6 Resuelves ecuaciones lineales I Aborda ecuaciones de primer grado con una incógnita; se establece la relación entre la ecuación de primer grado y la función lineal; se hace la interpretación gráfica de la función lineal y su relación con la ecuación de primer grado. Bloque 7 Resuelves ecuaciones lineales II Los sistemas de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas son resueltos por métodos algebraicos, también se utiliza el método gráfico y se hace una interpretación de los casos que se presentan. Bloque 8 Resuelves ecuaciones lineales III Los sistemas de ecuaciones simultáneas de tres ecuaciones con tres incógnitas se resuelven por reducción y con la regla de Cramer y se hace una interpretación de los casos en que es posible o no una solución. Bloque 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I Inicia con el planteamiento de problemas que dan lugar a una ecuación cuadrática con una incógnita como modelo matemático, se revisan los métodos algebraico y gráfico para resolverlos, así como la fórmula general y se analiza la naturaleza de las raíces de la ecuación. Bloque 10 Resuelves ecuaciones cuadráticas II Aborda ecuaciones de segundo grado con una incógnita; se establece la relación entre la ecuación de segundo grado y la función cuadrática; se hace la interpretación gráfica de la función cuadrática y su relación con la ecuación de segundo grado. Cada bloque inicia con su nombre e incluye: objetos de aprendizaje, las competencias a desarrollar y los desempeños por alcanzar; una introducción, una propuesta de trabajo, un conjunto de ejercicios y problemas como propuestas de situaciones didácticas. En esta obra se dan a conocer algunos lineamientos de carácter general sobre la metodología de trabajo de acuerdo al enfoque por competencias. Para ello se parte de ejemplos concretos en los que se explica cada una de las partes que integran la propuesta. A continuación se presentan problemas que se pueden considerar como situaciones didácticas para efectos del diseño de propuestas de trabajo con los alumnos. El enfoque por competencias considera la aplicación del conocimiento para resolver situaciones específicas. En ese proceso entran en juego las habilidades, capacidades, valores, etc., de los sujetos en quienes se desea desarrollar una competencia específica. La experiencia adquirida en la práctica educativa nos ha enseñado que debemos partir de lo que el alumno sabe para consolidar y aplicar su conocimiento. La propuesta de trabajo en esta obra consiste en presentar problemas concretos a resolver por el alumno. En el caso de que el estudiante no pueda resolver el problema planteado se le apoyará con teoría y ejemplos resueltos. Hecho lo anterior podrá regresar a resolver el problema planteado. Persiste el propósito de apoyar a docentes y estudiantes en sus respectivas actividades. Para el y la docente ofrece una metodología de trabajo acorde con el enfoque por competencias. Al inicio de cada bloque se presentan propuestas de actividades que incluyen los siguientes puntos: VI Grupo Editorial Patria® Competencia Es la competencia a desarrollar de acuerdo al programa. Situación didáctica Constituye la dificultad a resolver por el alumno, de manera que éste ponga en juego sus aptitudes, capacidades, habilidades, destrezas, valores, etc. Secuencia Se refiere a las acciones a realizar por el alumno tanto en forma individual como por equipo. Las preguntas que se incluyen para realizar la investigación pueden orientar al alumno sobre las acciones a desarrollar para resolver la situación didáctica. En el trabajo a realizar por el alumno, individual y por equipo, se describen las acciones a realizar. Estas acciones tendrán un peso en la evaluación. Evaluación por producto Aunque se pueden utilizar diferentes formas de evaluación, la evaluación por producto evidencia el grado de avance del alumno en el desarrollo de una competencia. Rúbrica de evaluación Incluye los elementos considerados para la evaluación. Se trata de hacer transparente los citerios de evaluación de manera que el alumno sepa cómo se le asignó una calificación. Los grupos de ejercicios y problemas que se proponen como situaciones didácticas son de dificultad creciente, debidamente seleccionados y jerarquizados para favorecer el avance en el proceso de aprendizaje y facilitar en el y la estudiante la autoevaluación. Esta obra proporciona la información teórica en un lenguaje accesible que induce al autoaprendizaje a través de la comprensión de los conceptos y su respectiva aplicación en la resolución de situaciones problemáticas concretas. Con ello se pretende que el y la estudiante adquieran la seguridad y confianza necesarias para enfrentar con éxito los retos que representan las situaciones didácticas propuestas, las cuales tienen cierta analogía con los ejemplos resueltos. Una vez que el y la estudiante puedan establecer relaciones entre el conocimiento que poseen y el nuevo que se les plantea, por ejemplo en un problema, estarán en condiciones de proponer el modelo matemático cuya solución resuelve el problema y, además, podrán analizar la estructura básica de los problemas que se les formulen, así como transitar el camino que conduce de una situación conocida a una nueva. A través de la obra se revisan y afirman conceptos del nivel medio básico que son antecedentes necesarios para introducir y desarrollar los conceptos que corresponden al nivel medio superior. Esperamos que esta segunda edición de Matemáticas 1 sea un apoyo y una herramienta para el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo mismo recibiremos con agrado todas las sugerencias que permitan mejorarla y enriquecerla. Francisco José Ortiz Campos Francisco Javier Ortiz Cerecedo Fernando José Ortiz Cerecedo VII Competencias genéricas del Bachillerato General Competencias genéricas del Bachillerato General Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una con- vivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc. por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato A continuación se enlistan las competencias genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludable. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de modelos, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica con acciones responsables. VIII Grupo Editorial Patria® Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas Competencias disciplinares básicas Bloques de aprendizaje 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. X X X X X X X X X X 2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. X X X X X X X X X X 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. IX Las Secciones deTu libro Conoce tu libro Inicio de bloque ¿Qué sabes hacer ahora? Realizas sumas y sucesiones de números Objetos de aprendizaje En los objetos de aprendizaje encontrarás los contenidos estructurados, integrados y contextualizados con una secuencia lógica y disciplinar, y que son de gran relevancia y pertinencia para el nivel educativo en el que te encuentras. 3 B LO Q U E Objetos de aprendizaje ¿Qué sabes hacer ahora? 1. Forma una progresión aritmética de 7 términos en la que el primer término sea 5 y la diferencia sea 3. 2. Agrega 5 términos a la progresión: 3, 8, 13, . . . 3. Calcula el enésimo término érmino y la suma de los términos térm de la progresión aritmética: 3, 7, 11, . . . (155 términos). 4. lementos de la progresión aritmética aritm aritmé a1 5 23, d 5 22, an Dados 3 de los 5 elementos o 2. 5 5 encuentra loss otros 5. méticos entre 21 y 33. Interpola tres medios aritméticos 6. Para la siguiente progresión geométrica 1, 2, 4, . . . , encuentra el décimo término. 7. Para la progresión geométrica 2, 24, 8, . . . , encuentra la suma hasta el séptimo término. 8. Interpola un medio geométrico entre 4 y 25. 3.1 1 Representación Represe Repres de relaciones entre magnitudes. 9. Dados tres de los cinco elementos de la progresión geométrica donde a1 5 2, r 5 3, n 5 5, encuentra an y Sn. 3.2 Modelos aritméticos o algebraicos. 10. Halla la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente: 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, . . . Competencias por desarrollar Se trata de una conjunción de competencias disciplinares a lograr en cada bloque, que te permiten demostrar la capacidad que tienes para aplicar tus conocimientos en situaciones de la vida personal o social, ya que al mismo tiempo pondrás en práctica tus destrezas, habilidades y actitudes. Esta sección constituye una propuesta de evaluación diagnóstica que te permitirá establecer las competencias y conocimientos con los que cuentas, para así iniciar la obtención de conocimientos y capacidades nuevas. Desempeños por alcanzar Desempeños por alcanzar Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos geométricos, variacionales, para la mientos aritméticos, algebraicos, al comprensión mprensión prensión y análisis de situaciones situacio situacion reales, hipotéticas o formales. Formula ormula y resuelve problemas matemáticos matem aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos obt obte mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos mod establecidos en situaciones reales. mode Analiza naliza aliza las relaciones entre dos o m más variables de un proceso social o natural para determinar eterminar o estimar su comportamiento. cco Estos desempeños son los que se espera que logres al finalizar cada bloque, te posibilitan poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes al realizar cada una de las actividades propuestas en este libro. Identifica y diferencia las series y sucesiones numéricas así como sus propiedades. de términos os dde las sucesiones. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos símbolosnuméricas matemáticos Clasifica lascon sucesiones en aritméticas y geométricas. y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas étiticas y reflexiva. el enésimo término y el valor de cualquier término en Realiza cálculoss obteniendo o sucesión aritmética aritméticica y geométrica tanto finita como infinita mediante las fórmulas correspondientes. Determina patrones de senos y sucesiones aritméticas y geométricas. Soluciona problem em aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas problemas y algebraicas.s. geométricas. Asume una actitud constructivista, congruente conlaloscalculadora conocimientos Emplea paray la verificación del resultado en los cálculos de obtención ónn habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Situación didáctica Rúbrica Grupo Editorial Patria® Situa Situac Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede de na ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una o, investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que ue adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a través de un reto. ¿Cómo lo resolverías? ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Un jardinero debee depositar una carretilla de tierra titie al pie de cada uno de los 30 árboles boles oles que están a un lado de un una calzada. Los árervalos de 6 metros y el montón de tierra está a boles están a intervalos rimer imer árbol. ¿Qué distancia habr 10 metros del primer habrá recorrido después de haber terminado minado su trabajo y regresado la carretilla al montón de tierra? Secuencia didáctica Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. nalizar las formas de reso resol Presenta los resultados en plenaria y analizar resolver el problema. Cada equipo debe investigar: es stigar: ¿Cuál es el primer término de la sucesión? ucesión? uc Secuencia didáctica Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño. Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos. ¿Qué tienes que hacer? Forma equipos para resolver el problema. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. rm mino? ¿Cómo se determina el n-ésimo término? Producto a elaborar ¿Qué fórmula debe utilizar para calcular lar ar el n-ésimo término? o? Determinación del primer término de la sucesión. ¿Cómo se determina la suma de los n términos?? ¿Qué fórmula debe utilizar para calcular la suma de los n términos? Fórmula y cálculos realizados para la obtención del n-ésimo término. Trabajo individual Fórmula y cálculos realizados para la obtención de la suma de los n términos. Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. ¿Qué tienes que hacer? Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar la distancia recorrida que se pide dee se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, zado ados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzoo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del ell procedimiento por estaación en clase, 2 puntos crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación alúúa. Todo ello suma un de tu calificación de la actividad que se evalúa. total de 10 puntos. La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los os conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología gía que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que ue por el análisis detallado facilitan tu actividad y tus resultados. encias ncias para la evaEsta actividad se integrará al portafolio de evidencias luación del mes. 57 Glosario Ejercicios Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o n, hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción, seguridad y soltura durante tu aprendizaje. Abscisa. Distancia de un punto P al eje vertical en un sistema coordenado rectangular. a2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b) Entonces, factorizar una diferencia de cuadrados significa buscar dos binomios conjugados cuyo producto sea la diferencia de cuadrados dada. Abscisa al origen. Abscisa del punto en que una recta corta al eje x. c) Cuando un polinomioo se puede expresar expr como una diferencia Baricentro. nando sus términos, térm de cuadrados reordenando como en: Punto de intersección de las medianas de un triángulo. También se le conoce como gravicentro o centroide. x 2 1 2xy 1 y 2 2 25z 5z 2 5 (x ( 1 y )2 2 25z 2Coordenadas. Distancias de un punto P a los ejes vertical y horizontal en un sistema coordenado rectangular. 5 [(x ( 1 y ) 1 5z ][(x 1 y ) 2 5z ] Actividad de aprendizaje ( 1 y 1 5z )(x 5 (x y2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 Lehmann, Charles H., Geometría analítica, Limusa, México, 2005. donde: Leithold, Louis, El cálculo con geometría analítica, Harper & Row, 1986. D = −4 a E = −2k y F = k 2 + 4 ah Forma general de la ecuación de una recta. La ecuación Ax 1 By 1 C 5 0 corresponde a la forma general de la recta. En esta ecuación los coeficientes A, B y C pueden tomar el valor cero, pero A y B no pueden ser cero simultáneamente. Middlemiss, Ross R., Marks, James R. John L. Smart, Geometría analítica, McGraw-Hill, México, 1990. Forma normal de la ecuación de una recta. x cos a 1 y sen a 2 p 5 0 es la expresión que corresponde a la ecuación de una recta en la forma normal. Swokowski, Earl W., Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry, 11th edition, Brooks Cole, 2007. Forma ordinaria de la ecuación de una circunferencia: Woods, Federico S. y Bailey, Federico H. Geometría analítica y cálculo infinitesimal, Unión tipográfica Editorial Hispano Americana (UTEHA), México, 1972. ( x − h)2 + ( y − k )2 = r 2 ( ) ( Rees, Paul, Geometría Analítica, Reverté, España, 2008. Rider, Paul R., Geometría analítica, Montaner y Simon, Barcelona, 1966. Wexler, Charles, Geometría analítica un enfoque vectorial, Montaner y Simon, Barcelona, 1968. ) 5 (x 2 1 y 2 1 xy )(x 2 1 y 2 2 xy ) Otras herramientas x 4 1 x 2y 2 1 y 4 5 (x 2 1 xy 1 y 2)(x 2 2 xy 1 y 2) 9x 2 16y 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y ) 2 A continuación se describe otra forma de determinar los binomios conjugados. Factorización de la suma y diferencia de cubos El cociente de a3 1 b3 entre a 1 b es: a 3 1b 3 5 a2 2 ab 1 b2 a 1b Obtén la raíz cuadrada principal (o positiva) de los términos cuadráticos: 1 9 x 2 5 3x 1 16 y 2 5 4y Los binomios conjugados se forman con la suma y la diferencia de las raíces, es decir: 4 ) (3x 1 4y ) y (3xx 2 4y entonces: 9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y ) torización orización de una diferencia de cuadraLos casos especiales de la factorización dos son: Así, en la factorización de x 8 2 y 8 se obtiene: entonces a 1 b 5 (a 1 b)(a 2 ab 1 b ) 3 3 x 4 2 (m 2 n)2 5 [x 2 1 (m 2 n )][x 2 2 (m 2 n )] 5 (x 2 1 m 2 n )(x 2 2 m 1 n ) 2 De manera semejante: a3 2 b3 5 (a 2 b)(a2 1 ab 1 b2) 1. Factoriza 27x 3 1 y 3 2. Factoriza 27x 3 2 8y 3 27x 3 1 y 3 5 (3x )3 1 y 3 5 (3x 1 y )(9x 2 2 3xy 1 y 2) 27x 3 2 8y 3 5 (3x )3 2 (2y )3 5 (3x 2 2y )(9x 2 1 6xy 1 4y 2) 5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 2 2 y 2) b) Cuando los cuadrados son polinomios, como en x4 2 (m 2 n)2, se considera (m 2 n) como un monomio y se factoriza de la siguiente forma: 2 Ejemplos x 8 2 y 8 5 (x 4 1 y 4)(x4 2 y 4) 5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 1 y )(x 2 y ) 3. Factoriza x 6 1 y 6 x 6 1 y 6 5 (x 2)3 1 (y 2)3 5 (x 2 1 y 2)(x4 2 x 2y 2 1 y 4) 4. Factoriza x 9 2 y 12 x 9 2 y 12 5 (x 3)3 2 (y 4)3 5 (x 3 2 y 4)(x 6 1 x 3 y 4 1 y 8) 91 X 2 2 Kindle, Joseph H., Geometría analítica plana y del espacio, McGraw-Hill, México, 1984. 5 (x 2 1 y 2)2 2 x 2y 2 Por tanto: mios ios conjugados es una diferencia dif d a) Cuando uno de los binomios de cuadrados es necesario continuar ntinuar tinuar la factorización. factorizaci factorizació Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás ás ar diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje. 2 2 Fuller, Gordon, Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Company, 1993. Forma general de la ecuación de la parábola: x 4 1 x 2y 2 1 y 4 5 x 4 1 2x 2y 2 1 y 4 2 x 2y 2 Factoriza la expresión 9x 2 2 16y 2. El primer término 9x 2, es el cuadrado de 3x, término común de los dos binomios conjugados que se buscan. El segundo término 216y 2, es el producto de 4y por 24y, términos simétricos de los binomios conjugados que se buscan. 2 Ejemplos Diagonal. Segmento de recta que une dos vértices no consecuti1vosyde2un polígono. 5z ) Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor expr d) Cuando un polinomioo se puede expresar como una diferencia coincidente con el eje x. nte el artificio de sumar y restar el mismox y de cuadrados mediante + =1 término. Por ejemplo:: en x 4 1 x 2y 2 1 y 4 se observa que q si ela b ra 2x 2y 2 se tendría un trinomio cuadrado segundo término fuera perfecto factorizado por (x ( 2 1 y 2)2. Si se agrega y se quita al polinomio el término x 2y 2, se obtiene: Al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen dos binomios conjugados en el que uno es _______________ y el otro es _________________ de las raíces. Por tanto: La experiencia que logres a través de los talleres, actividades es oexperimentales y de laboratorio te ofrece la posibilidad de desarrollar tus competencias y habilidades en la solución de problemas en situaciones cotidianas, además de estimular y fomentar tu aprendidizaje cooperativo durante el trabajo en equipo. Forma general de la ecuación de la circunferencia: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 Ejemplos Taller y actividad experimental Bibliografía Grupo Editorial Patria® Tu libro cuenta también con glosario, bibliografía, vínculos en Internet, líneas de tiempo, diagramas, mapas conceptuales, además de atractivas imágenes y otras muchas secciones y herramientas que te resultarán muy útiles y complementarán tu aprendizaje. Aplica lo que sabes BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I Hay una asombrosa imaginación, incluso en la ciencia de las matemáticas… Repetimos, hay mucha más imaginación en la cabeza de Arquímedes que en la de Homero. Voltaire Introducción La terminología y notación del lenguaje algebraico se aplica en la adición, sustracción, multiplicación y división de polinomios con una variable. Se trata lo relacionado con algunos productos notables y su respectiva factorización. Se hace una introducción al teorema del binomio de Newton donde se utiliza el triángulo de Pascal. 4.1 Representación de relaciones entre magnitudes Operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios en una variable Un polinomio es una expresión algebraica que se forma con variables y números reales que se relacionan mediante las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. Los signos 1 y 2 se utilizan para separar los términos de un polinomio. A los polinomios compuestos por un solo término se les llama monomios; a los que tienen dos términos, binomios, a los que tienen tres, trinomios. Cuando un polinomio tiene una sola variable se le puede clasificar nente ente de su ttérmi términ de acuerdo con el exponente término de mayor grado, así: mio de d quinto grado. 2x5 2 3x4 1 2x3 2 x2 1 1 es un polinomio Para tu reflexión n Anécdota de e Albert Einstein 5) (1879-1955) El joven Einstein esperaba erab aba en la antesala del director de la famosa osa sa Academia ademia Politécnica de Zurich, Suiza. Fue recibido cordialmente y el presidente le dijo que la Academia se honraría si aceptaba el puesto de profesor. Einstein recordó cuando fue rechazado por dicha Academia como estudiante, años atrás. Sin embargo, dicho nombramiento le brindabaa la oportunidad de continuar sus investigaciones científicas y aceptó. Einstein tenía una mente inquieta e inquisitiva paraa los temas que le interesaban. A la edad de cinco años lo fascinó la brújula rújula de su padre y no cesaba de cuestionarlo sobre ella. Posteriormente te un estudiante de d medicina, Max Talmey, visitó su casa y le prestó suss libros de ciencias ciencia naturales y matemáticas. Einstein los leyó con gran interés y descubr descubrió que había encontrado lo que le interesaba. Grupo Editorial Patria® El negocio de su padre no prosperaba y a Einsteinn no le interesaba interesaban los negocios, intentó la enseñanza mas no tuvo éxito, o, para entonces yya se había casado y tenía 2 hijos que sostener. Pudoo obtener el puesto puest de empleado en la oficina de patentes y aunque el puesto era mu muy tedioso, le permitió terminar su doctorado y escribirir algunos ensayos ensayo científicos. Aplica lo que sabes Ejemplos Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: En 1905, cuando todavía trabajaba en la oficina de patentes, publicó su s in descubrió que la primera versión de la teoría de la relatividad. Einstein velocidad de la luz es la única magnitud que se mantiene ntiene constante, lo s demás es relativo. Todo lo que está sobre la Tierra y en el Universo se encuentra en movimiento constante. Investiga cuándoo se fundó la comunidad dad donde da vives. Para Newton, el tiempo era constante e invariable.. Einstein demostró demostr que el tiempo era una variable, una cuarta dimensión ón que debía agreagre garse a las tres dimensiones aceptadas del espacio. o. Al acercarse uno un a la velocidad de la luz el tiempo se torna más lento. El tiempo depende depend eta Júpiter es má del lugar donde te encuentres. Un año en el planeta más largo que un año en la Tierra porque Júpiter necesita ta más tiempo para par girar alrededor del Sol. os transcu¿Cuántos años rrieron para quee la población se duplicara?? Diez años más tarde, en una segunda obra sobre loss aspectos de la re relatividad, Einstein ofreció un nuevo concepto de la gravitación. Declaró Declar que no hay una fuerza absoluta de gravedad que atraiga los objeto objetos, como había sostenido Newton, sino que toda masaa tiene dentro de sí una fuerza que está en proporción con su masa, la cual atrae los objeobje tos; por esta fuerza se da la curvatura del Universo y las variaciones en e las órbitas de los cuerpos celestes. Cuando tu escuela inició sus labores, ¿cuántos alumnos tenía? 2 2 Suma 5 x − 3x + 5 y 2 x + x − 3 Solución: (5 x 2 23x 1 5) 1 (2 x 2 1 x 23)5 (5x 2 1 2x 2 ) 1 (23x 1 x ) 1 (5 2 3) 2 5 (5 + 2)x + (− 3 + 1)x + 2 ¿Cuánta población bblación tenía en ese entonces? ncces? Como se puede observar, la operación de adición se realizó asociando términos semejantes y operando con sus coeficientes numéricos. Compara resultados con tus compañeros del salón de clases. El procedimiento se facilita cuando los términos de cada polinomio se disponen en orden decreciente y se colocan en la misma columna los términos semejantes. Investiga: ¿Cuántos alumnos de primer ingreso tienen actualmente? 1 Investiga cuál era la población de nuestro país en 1900. 5 x 2 − 3x + 5 2x 2 + x − 3 Investiga cuál era la población de nuestro país en el año 2000. Investiga cómo se ha dado el crecimiento de la población de nuestro país entre los años de 1900 y 2000. Elabora una gráfica en la que se ilustre el crecimiento, con intervalos de 10 años en el eje horizontal y de 10 millones de habitantes en el eje vertical. Durante la Primera Guerra Mundial se negó a ayudar udar a Alemania en e su esfuerzo bélico. Manifestó: “Esta guerra es unaa depravación y uun crimen salvaje, preferiría que me descuartizaran antes ntes que participar participa en cosa tan abominable”. Entonces tuvo que irse a EUA y aceptar un u puesto de investigador en el Instituto de estudios avanzados Princeanzados de Prince ton, Nueva Jersey. En 1939 escribió una carta al presidente residente Roosevelt Rooseve na bomba atómic advirtiendo las posibilidades científicas de crear una atómica. La decisión del presidente fue construir esa arma fantásticamente ntásticamente desdes tructora. Elabora en una cartulina o papel bond los resultados de tu investigación y compártelo, con tus compañeros. Una vez, cuando lo invitaron a visitar a la reina de Bélgica, se bajó del d tren y caminó hasta el palacio llevando una maleta y su violín. Cuand Cuando la reina le preguntó por qué no había usado la limusina aguarusina que le agua daba, Einstein le respondió: “Era muy agradable caminar minar majestad”. Dado que la variable del polinomio representa a un número real, se pueden aplicar las propiedades de las operaciones con estos números. 82 7x 2 − 2x + 2 Para la de sustracción de polinomios se debe tomar en cuenta que a 2 b 5 a 1 (2b); esto es, minuendo menos sustraendo equivale a sumar al minuendo el inverso aditivo (o simétrico) del sustraendo. Actividad de aprendizaje A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendizaje, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y je ccompetencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrrollo del bloque. Ejemplos (6x (6x Adición y sustracción de polinomios con una sola variable Tomada de Crowther, J. G. Six Great Scientists Actividad de aprendizaje A 5 7x 2 − 2x + 2 vió a duplicar? dupl ¿En cuánto tiempo se volvió A los 30 años de edad era famoso mundialmente. Grupo Patria® a Está diseñada para que puedas aplicar tusEditorial conocimientos ssituaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas een tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para hhacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos. 3 3 + 3x 2 − 7 x + 1) − ( 2 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5 ) = Para tu reflexión P + 3x 2 − 7 x + 1) + ( − 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5 ) 5 ( 6 − 2 ) x 3 + ( 3 + 2 ) x 2 + ( − 7 − 3 ) x + (1 + 5 ) 5 4 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 6 Para facilitar el procedimiento disponemos en orden decreciente y colocamos en la misma columna términos semejantes. 2 6 x 3 + 3x 2 − 7 x + 1 2 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5 Esta operación se puede transformar en una suma al cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta. En una sustracción, minuendo menos sustraendo s equivale a sumar al minuendo 1 6 x + 3x − 7 x + 1 3 2 − 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5 4 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 6 del sustraendo. 83 TTiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adquiriendo ccon lecturas adicionales, notas informativas e información relevante ppara el tema que estás considerando. Esta información además de ser úútil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma información. in Instrumentos de evaluación Lista de cotejo Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, sistematización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación evalu que realice tu profesor(a). Lista de cotejo Lista de cotejo para el reporte sobre el techo elipsoidal de un edificio que se encuentra en “Aplica lo que sabes” de la página 146. Nombre del alumno: cumple BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I Grupo Editorial Patria® a® Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Portafolio de evidencias Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Determina P (x ) 2 Q (x ) 5. Determina el producto (1 2 z )3 sin efectuar la operación. P (x ) 3x 4 + x 3 + 7 x 2 − 2 x − 6 El pportafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en: r Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, os, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso. r No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos bajos que realizaste; más bien, b se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son on los más significativos en el proceso de aprendizaje. diz izaje. Etapas para realizar tu portafolio de evidenciass Eta 6. Desarrolla por el teorema del binomio (x 2 2y )6. In Ins Instrucciones para seleccionar las evidencias 11. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio folio olio y su s relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre). te 1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras. 22. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje. si3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación. e2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, compeotencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello. 33. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas. Propósito del portafolio de evidencias Pr Semestre Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de penOb sa samiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente qu que te permita el uso óptimo de la información recopilada. As Asignatura 3. Determina el producto (x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3) sin efectuar la operación. sí Observaciones no 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o l di i d l bl r Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo mo fue tu desempeño durant durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas. Q (x ) 5 − 2 x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 6 x + 3 2. Determina el producto [(a 1 b) 1 c]2 sin efectuar la operación. Presentación Criterio 1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 7. Factoriza la expresión r 4 1 r 3s 2 r 2s 2. Número de bloques del libro. Nombre del alumno: Criterios de reflexión sobre las evidencias C Comentarios del estudiante: ¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿C ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio? ¿Q Es una poderosa herramienta de análisis que te posibilitará verificar si has logrado algún desempeño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus conocimientos, si has conseguido realizar un procedimiento de manera adecuada o si has obtenido soluciones correctas a un problema planteado. ¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas? ¿Q ¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el ¿L curso? cu Rúbrica Instrucciones para el llenado de la rúbrica. ido do Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido ¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? ¿Q Monitoreo de evidencias M 4. Determina el producto (3x 1 7)(3x 2 19) sin efectuar la operación. 8. Factoriza la expresión x 3 1 x 2y 1 x 1 y. # Título Fecha de elaboración Comentarios del profesor(a): Indicaciones: Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes tanto een forma individual como por equipo; asimismo, se pretende evaluar el grupo en el desarro ol de la secuencia didáctica y en la evaluación del producto: 4 Excelent participación de cada uno de los integrantes de del desarrollo 3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cadaa aspecto aparecen los lo niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada. 1 2 3 4 5 Nombre del estudiante:: 92 19 9 Criterios Ecuación de una Portafolio de evidencias En el libro encontrarás diferentes sugerencias y actividades que, una vez realizadas, te permitirán construir un gran número de evidencias, algunas escritas otras a través de la exposición de temas o presentación de productos. Es importante que recuerdes que además de presentar la información, la manera en que lo hagas determinará el nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor esfuerzo. Excelente (4) Identifica los elementos asociados a una elipse. Obtiene la ecuación de Bueno (3) Identifica los elementos asociados a una elipse. En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación de una Satisfactorio (2) Identifica los elementos asociados a una elipse. En algunos casos, obtiene la ecuación de una elipse Deficiente (1) No identifica los elementos asociados a una elipse. No obtiene la ecuación de Rúbrica Éstas te ayudan a verificar el desempeño logrado al realizar algún trabajo, producto o evidencia solicitados en cada bloque del libro. En general, es un listado de criterios o aspectos que te permiten valorar el nivel de aprendizaje, los conocimientos, habilidades, actitudes y/o desempeños alcanzados sobre un trabajo en particular. Puedes realizarlas de manera personal o como coevaluación. www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx Al haber elegido este libro tienes acceso a nuestro sitio web, donde encontrarás material extra como videos, animaciones, audios y documentos que tienen el objetivo de ampliar tus conocimientos, dejar más claros algunos procesos complejos y actualizar de forma rápida y dinámica la información de todos los temas del plan de estudios de la DGB. XI Resuelves problemas aritméticos y algebraicos 1 B LO Q U E Objetos de aprendizaje 1.1 Representación de relaciones entre magnitudes. 1.2 Modelos aritméticos o algebraicos. Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Establece la relación entre diversas magnitudes expresando ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Elabora modelos aritméticos o algebraicos sencillos de diversas situaciones o fenómenos sociales, naturales, económicos y administrativos asumiendo una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de su entorno social y/o natural. ¿Qué sabes hacer ahora? 1. Si n es un número natural, ¿2n es un número par? 2. Una cartulina mide 45 centímetros de ancho por 64 centímetros de largo. Calcula su área en pulgadas cuadradas. Considera que una pulgada es igual a 2.54 centímetros. 3. Expresa la fracción decimal 0.125 como fracción común e identifica el subconjunto de los números reales al que pertenece. 4. En la expresión 3 3 (4 1 5), ¿qué operación se ejecuta primero?, ¿cuál viene luego?, ¿cuál es el resultado?, ¿cuál es el valor de 3 3 4 1 5? 5. Efectúa las operaciones indicadas y obtén el resultado 6. Si por el consumo de 50 metros cúbicos de agua se cobra una cuota fija de $127.48 y por cada metro cúbico adicional se cobra $4.41, calcula el número de metros cúbicos consumidos si se debe pagar $189.00. 7. Efectúa la siguiente sustracción: (29) 2 (24) 5 y determina a qué subconjunto de los números reales pertenece la diferencia. 8. Escribe la expresión algebraica del perímetro de un triángulo isósceles en el que la base mide a y sus lados iguales miden b. 9. Expresa algebraicamente el cuadrado de la suma de dos números. 10. ¿Cómo se lee la expresión a2 1 b2? 2(2 2)2 5 12(2 3) Desempeños por alcanzar Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Resuelve problemas aritméticos o algebraicos proponiendo la manera de solucionar dicho problema, utilizando las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y de los demás números reales. Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas. Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas. Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones. Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados. Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos. 1 BLOQUE Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? En una refinería uno de sus depósitos tiene forma cilíndrica. Sus dimensiones son: 42 m de diámetro y 20 m de altura. Sus paredes interiores requieren ser cubiertas con una capa de pintura especial de 2 mm de grueso. Investiga cuántos litros de pintura se necesitan. Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se puede calcular la superficie total del interior del depósito? ¿Cómo se puede calcular el volumen de pintura a partir del valor de la superficie que se quiere pintar? ¿Qué tienes que hacer? tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo: ¿Cuántos litros de pintura se necesitan, considerando que un litro equivale a un decímetro cúbico? Presenta un modelo a escala del cilindro. Trabajo individual Modelo a escala del cilindro. Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Fórmulas y cálculos realizados para determinar el valor de la superficie a pintar y el volumen de pintura que se requiere, en litros Producto a elaborar Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep- Rúbrica Para determinar el número de litros de pintura que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 4 ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Grupo Editorial Patria® Situación didáctica El volumen de un cilindro recto es igual al producto de la base por la altura. Dos recipientes cilíndricos tienen, respectivamente, 75 y 100 mm de diámetro y 125 y 150 de altura. Un tercer recipiente Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cómo lo resolverías? cilíndrico de 175 mm de altura contiene la suma de los volúmenes de los dos primeros, determinar su radio. ¿Qué tienes que hacer? tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Evaluación por producto ¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro recto? A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. ¿Cuál es la fórmula? ¿Cuáles son los datos con los que se cuenta? ¿Cómo se puede determinar el valor de los datos que faltan? En este ejemplo: Presenta modelos a escala de los tres cilindros. Trabajo individual Producto a elaborar Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Presentación de las fórmulas utilizadas, cálculos realizados y obtención del valor buscado Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep- Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el radio de la base del cilindro que se pide debes anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 5 1 BLOQUE Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Calcula el valor del polinomio 3x5 1 2x4 2 8x3 – 2x2 1 x 2 9 para x 5 1, x 5 21, x 5 4. Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cuáles son las leyes de los signos en la multiplicación? ¿Qué tienes que hacer? tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Evaluación por producto ¿Cuál es el orden en las operaciones. A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. Trabajo individual En este ejemplo: Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Producto a elaborar Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep- Rúbrica Para determinar el valor numérico que se pide debes anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 6 Cálculo del valor numérico de una expresión algebraica. ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Grupo Editorial Patria® Propuestas de diseño para situaciones didácticas Parte I 1. Una tabla que mide 3 m se coloca verticalmente y proyecta sobre el suelo una sombra que mide 4 m. En ese mismo momento y lugar un edificio proyecta una sombra de 60 m, ¿cuál es la altura del edificio? 2. Considera que la distancia media de la Tierra al Sol es de 150 000 000 de km y la velocidad de la luz es de 300 000 km/s. ¿Cuánto tiempo, en minutos, tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra? 3. ¿Cuántos minutos tiene un año? 4. Una hoja de papel mide 8 pulgadas de ancho por 11 de largo. Calcula su área en centímetros cuadrados. 5. Un atleta recorre los 100 metros planos en un tiempo de 9.8 segundos, ¿cuál es su velocidad promedio en km por hora? 6. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 400 m/s, ¿a cuánto equivale esta velocidad en pies por s? 1 pie 5 30.48 cm. 7. Cuando un automóvil de carreras alcanza una velocidad de 300 km/h, ¿a qué velocidad equivale en millas por hora? 1 milla 5 1 609 m. 8. En un dibujo, ¿qué dimensión representan 5.6 cm a la escala 1:500? 9. En un mapa que tiene una escala de 1:400 000, ¿qué distancia en centímetros se debe utilizar para representar 100 kilómetros? 10. ¿Cuál es la medida real de un objeto que se representa por 5 cm en un dibujo hecho a la escala de 50:1? 11. Expresa como decimal cada uno de los siguientes números racionales: 2 5 7 b) c) a) 9 8 12 5 3 d) 3 e) 6 7 12. Expresa como cociente de dos enteros cada uno de los siguientes números decimales: a) 0.5 b) 1.7 c) 1.26 d) 2.345 e) 3.26 Parte II A) Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales: 1. La suma de dos números. 2. La diferencia de dos números. 3. El producto de dos números. 4. El producto de tres números disminuido en cinco unidades. 5. El triple de un número. 6. El producto de dos factores iguales. 7. El cociente de dos números. 8. El cociente de la suma de dos números entre otro número. 9. El cociente de la diferencia de dos números entre otro número. 10. La suma de dos números dividida entre su diferencia. 11. El cuadrado de un número aumentado en 13 unidades. 12. El cubo de un número disminuido en seis unidades. 13. El triple del cuadrado de un número. 14. El doble del cubo de un número. 15. La raíz del producto de dos números. 16. El cuadrado de la suma de dos números. 17. La suma de los cuadrados de dos números. 18. El cuadrado de la diferencia de dos números. 19. La diferencia de los cuadrados de dos números. 20. El cubo de la suma de dos números. 21. La suma de los cubos de dos números. 22. El cubo de la diferencia de dos números. 23. La diferencia de los cubos de dos números. 24. La mitad del cuadrado de un número. 25. El cuadrado de la mitad de un número. 26. La tercera parte del cubo de un número. 27. El cubo de la tercera parte de un número. 28. El perímetro p de un triángulo cuyos lados son a, b, y c. 29. La distancia d que recorre un móvil con movimiento rectilíneo uniforme es igual al producto de la velocidad v por el tiempo t. 30. El área A de un rectángulo es igual al producto de la base b por la altura h. 31. El área A de un trapecio es igual al producto de la semisuma de las bases B y b por la altura h. 32. ¿Cuál es el número que agregado a 3 da por suma 8? 33. ¿Cuál es el número que disminuido en 5 da por diferencia 13? 34. ¿Cuál es el número que aumentado en 4 es igual a 10 disminuido del mismo número? 35. El triple de un número es igual al doble del otro 7 1 BLOQUE Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Parte III B) Escribe en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas: Cualquiera que sobresale del nivel medio ha recibido dos educaciones: la primera, de sus maestros, la segunda, más personal e importante, de sí mismo. Edward Gibbon 1. 2a 1 b 2. abc 3. a 2 (b 1 c) 4. 3(a 2 b) 5. (a 1 b) (a 2 b) a 1b 6. 10 7. ab a 1b (a 1b)(a 2b) 8. ab 9. 3a2 (a 1b)2 2 3 11. a 2 b3 10. 12. P 5 3a P 5 perímetro a 5 lado de un triángulo equilátero d v t 5 tiempo d 5 distancia v 5 velocidad 13. t 5 14. P 5 2(a 1 b) P 5 perímetro a y b 5 lados de un rectángulo 15. A 5 a2 A 5 área a 5 lado de un cuadrado 8 Introducción En este bloque se proponen problemas para cuya resolución se puede recurrir a figuras geométricas o dibujos. Se utilizan distintas formas de representación de números enteros positivos así como de números decimales. Se hace una introducción al lenguaje algebraico, terminología y notación. 1.1 Representación de relaciones entre magnitudes Representación de números positivos Al resolver un problema aritmético se utiliza el sistema de numeración decimal que recibe este nombre porque tiene como base el número diez. En él se emplea el principio de posición y el cero. Los números positivos empleados en aritmética se representan en forma decimal. Para tu reflexión Anécdota de Arquímedes 287-212 (a.C.) De los que se reunieron en el muelle, nadie creía que cumpliría su promesa el joven y presuntuoso Arquímedes: “Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”. Con ello quería explicar que una pequeña fuerza, si se aplica apropiadamente como una palanca o con el uso de poleas, movería un objeto inmenso. ¿Cómo era posible que un mortal, sin ayuda de otro, levantara un buque completamente cargado, que pesaba miles de kilos? –se preguntaban todos. El rey tomóó el extremo de la cuerda que colgaba de las poleas construidas por Arquímedes. El otro extremo de la cuerda estaba atado a un pesado buque mercante que flotaba en ell muelle. Con poquísimo esfuerzo, el rey tiró ró de la cuerda. No sucedió nada. “Tirad dee nuevo majestad” –le pidió Arquímedes. es. Una vez más el rey tomó la cuerda, erda, y la proa del barco, como por arte de magia, se empezó a levantar del agua. Grupo Editorial Patria® Ejemplos “Has triunfado una vez más Arquímedes, las maravillas de la ciencia, en verdad, no tienen límite” –el rey felicitó al hombre de ciencia. Hierón, rey de Siracusa y pariente de Arquímedes, pidió en cierta ocasión que le hicieran una corona de oro, y sospechando que el orfebre no era honrado le pidió a Arquímedes que encontrara la manera de determinar si la corona estaba hecha totalmente de oro. Durante algún tiempo Arquímedes no supo qué hacer, pero un día, al meterse en una bañera el agua se desbordó, gritó ¡Eureka! Y olvidando su desnudez corrió hacia su casa por las calles de Siracusa; pensó en sumergir una cantidad de oro puro, cuyo peso fuera igual al de la corona, en un recipiente lleno de agua y luego medir el desbordamiento de ésta. Después sumergiría la corona de oro en el recipiente con agua y compararía el peso del segundo desbordamiento con el primero y finalmente encontró que la corona no estaba hecha de oro puro. Por órdenes del rey Hierón, Arquímedes inventó unos cuarenta aparatos distintos. Como un tornillo para desaguar las tierras bajas pantanosas, para sacar el agua de las calas de los barcos y para irrigar los campos áridos de Egipto. Gracias a sus inventos prolongó tres años el asedio romano. Construyó, por ejemplo, espejos cóncavos de metal y prendió fuego a algunos de los buques de madera de los romanos, provocando pánico entre los tripulantes de los demás y creó ganchos y grúas para quitar pesadas torres de guerra que habían puesto los romanos sobre las murallas de Siracusa. Entre sus principales contribuciones a las matemáticas se encuentran: el cálculo que demuestra que la relación que existe entre la circunfe1 7 rencia de un círculo y su diámetro es menor que 3 y mayor que 3 1 5 0.5 2 3 5 0.75 4 0.5 2 1.0 0 porque porque 1 5 0.125 8 0.75 4 3.0 20 0 porque 20 5 1.8181… 11 1 5 0.333… 3 5 5 0.8333… 6 0.125 8 1.0 20 40 0 porque porque porque 1.8181 11 20.0 90 20 90 20 9 0.3333 3 1.0 10 10 1 0.8333 6 5.0 20 20 20 2 10 . 71 Sus trabajos para encontrar las superficies de los segmentos parabólicos equivalen a un cálculo integral de nuestros días. Escribió un tratado de 32 proposiciones sobre los conoides y los esferoides, entre otros, y sus fórmulas y ecuaciones teóricas se convirtieron en la base para descubrimientos e inventos que por mortíferos que fueran en la guerra, enriquecieron la vida humana en la paz. Las fracciones comunes que tienen como denominador 10 o una potencia de 10 se llaman fracciones decimales, es decir, las fracciones decimales resultan de dividir una unidad entre 10, 100, 1 000, etc., partes iguales. Las unidades decimales son: 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, etc., y se leen: un décimo, un centésimo, un milésimo, un diezmilésimo, etc., respectivamente. Conversión de fracciones comunes en fracciones decimales Toda fracción común expresa un cociente de dos enteros; para convertir una fracción común en fracción decimal basta con efectuar la división indicada, con lo cual obtenemos un cociente exacto o aproximado de sus términos. En los ejemplos anteriores se observa que no siempre se obtiene un cociente exacto al convertir una fracción común en fracción decimal. En los primeros ejemplos el cociente es exacto, por eso se dice que su expansión decimal es finita. En los tres últimos el cociente no es exacto, pues ciertas cifras se repiten periódicamente, esto se debe a que el residuo es menor que el divisor y al suceder esto se limita el número posible de residuos distintos; de tal manera que al repetirse un residuo, también se repite la operación y en consecuencia las cifras del cociente. En los ejemplos anteriores 0.333…, 1.8181…, 0.8333…, son fracciones decimales periódicas; a la cifra o cifras que se repiten se les llama periodo. Cuando el periodo empieza a partir del punto decimal, a la fracción se le llama periódica pura; pero si entre el primer periodo y el punto decimal hay una o más cifras, a la fracción se le llama periódica mixta. En las fracciones decimales periódicas usualmente se indica un periodo, el cual se denota con un arco o una raya arriba de éste. 9 1 BLOQUE Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Ejemplos Ejemplos 2 5 0.666… 5 0.6 5 0.6 3 0.5 5 5 1 5 10 2 75 3 5 100 4 5 5 0.8333… 5 0.83 5 0.83 6 0.75 5 5 5 0.41666… 5 0.416 5 0.416 122 0.8 5 1 5 0.142857142857142857… 5 0. 142857 7 0.125 5 De las fracciones decimales finitas se dice que su periodo es cero pues al dividir el último residuo (cero) entre el divisor, se obtiene la cifra cero y así sucesivamente. Actividad de aprendizaje 8 4 5 10 5 125 1 5 1000 8 Para convertir una fracción decimal periódica en fracción común se procede de la siguiente forma: Ejemplos 1. 0.444… 5 0. 4 Designa con x a la fracción decimal periódica: x 5 0.444… ¿Por qué se dice que 1 5 0.25? 4 ¿Qué se debe hacer para representar 0.25 como porcentaje? como el periodo consta de una sola cifra, se multiplica por 10 a los dos miembros de la igualdad para obtener otra equivalente: 10x 5 4.444… a esta igualdad le restamos la primera, miembro a miembro: 2 ¿Cómo se representa 75% en forma decimal? ¿Cómo se representa 75% en forma de fracción común? ¿Cuándo se dice que una fracción decimal es periódica? ¿Cuándo es pura una fracción decimal periódica? ¿Cuándo es mixta una fracción decimal periódica? Números decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentaje) Para convertir una fracción decimal en fracción común se escribe como numerador el decimal sin el punto y como denominador la unidad fraccionaria que corresponda a la fracción decimal dada, si es posible se simplifica la fracción obtenida. 10 10x 5 4.444… x 5 0.444… 9x 5 4 4 despejando: x 5 9 0.444 Comprobación: 9 4.0 40 40 4 2. 2.453453453… 5 2. 453 x 5 2.453453453 1 000x 5 2453.453453… Se multiplicó a los dos miembros de la igualdad por 1 000 porque el periodo tiene tres cifras; en general, se multiplica por la potencia positiva de 10 que tenga tantos ceros como cifras tenga el periodo. Restando miembro a miembro la primera igualdad de la segunda se tiene: 1 000x 5 2453.453453… 2 x 5 2.453453… 999x 5 2 451 Grupo Editorial Patria® Geometría despejando: x 5 2 451 999 Actividad de aprendizaje La comprobación se deja al lector. 3. 0.8999… 5 0.8 9 x 5 0.8999… Puesto que en este caso se trata de una fracción periódica mixta, primero se transforma en una fracción decimal periódica pura; para hacer esto basta con recorrer el punto decimal un lugar a la derecha, lo que equivale a multiplicar la igualdad por 10, y después se sigue el procedimiento ya descrito. 2 10x 5 8.999… 100x 5 89.999… 100x 5 89.999… Expresa las 24 horas del día en segundos. Ejemplos Determina la longitud del segmento AB como la suma de las partes que lo integran. 10x 5 8.999… 90x 5 81 81 x5 90 75 La expresión 75% se puede escribir en la forma , si esta frac100 3 ción se simplifica queda como . También se puede partir de la 4 3 fracción y al realizar la división indicada se obtiene como co4 ciente 0.75 que se lee “setenta y cinco centésimos”. Si se desea expresar 0.75 como porcentaje se le multiplica por 100 y se le pone el signo %: 75%. 1 2 1 4 1 8 1 16 1 16 Solución: Para obtener la longitud del segmento AB, se requiere sumar las fracciones que corresponden a cada uno de los segmentos que lo integran, y para esto es necesario que cada una de ellas se exprese como una fracción equivalente, de manera que todas tengan la misma unidad fraccionaria, es decir, que todas tengan un denominador común. 1 1 1 1 1 AB5 1 1 1 1 2 4 8 16 16 81 4 121111 5 16 16 5 16 51 Operaciones numéricas De esta manera: 2 3 3 1 4 5 10 porque 2 3 3 5 6 y 6 1 4 5 10 1 cm 3 10 cm El orden en que se ejecutan las operaciones es el siguiente: potencias y raíces, multiplicaciones y divisiones (en el orden en que se indican) y sumas y restas. Mientras que: 2 3 (3 1 4) 5 14 porque 2 3 3 1 2 3 4 5 6 1 8 5 14 o bien 2 3 7 5 14. Problemas aritméticos 10 cm La resolución de algunos problemas se puede lograr a partir de la aplicación de las propiedades de la igualdad así como de las propiedades de las operaciones con números reales. A continuación se presentan algunos conocimientos que se irán ampliando de manera gradual. 10 cm Un decímetro cúbico es un cubo que mide 10 cm de arista. 11 1 BLOQUE Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Si cada uno de los cm3 que lo forman se colocara uno encima de otro formando una columna, ¿cuál sería la altura de la columna? Solución: Observa que la capa frontal del cubo tiene 10 columnas de 10 cm3 cada una, de manera que si se colocara cada columna encima de otra, se formaría una columna de 1 m de altura. Si se hiciera lo mismo con cada una de las capas posteriores y se colocara cada columna sobre la columna anterior, se podría formar una columna de 10 m de altura. Como puedes ver, se han representado las equivalencias como cocientes, de manera que las unidades a eliminar aparezcan como factores, tanto en el numerador como en el denominador, pues al dividir una cantidad entre sí misma el cociente es 1, por lo que de manera más simple se dice que los factores se cancelan. Es conveniente hacer notar que esto sólo se puede hacer cuando las cantidades, tanto del numerador como del denominador, se expresan como el producto de sus factores. Actividad de aprendizaje Aplica lo que sabes Al realizar una conversión de unidades de medida, ¿por qué se representan las equivalencias como cocientes? Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente. Investiga cuáles son las medidas reglamentarias de una cancha de fútbol, de básquetbol y de un campo de béisbol. Verifica si esas medidas corresponden a las de la cancha o campo que hay en tu comunidad o en tu escuela. Expón tu trabajo frente al grupo y menciona la importancia que tiene el respetar y hacer uso correcto de las medidas establecidas. Ejemplos Expresa en Física Solución: En física se utiliza, de manera frecuente, la conversión de unidades de medida, veamos algunos ejemplos. Ejemplos km Un móvil se desplaza a una velocidad de 108 , expresar la velocih m dad en . s Solución: Para resolver este problema es necesario utilizar equivalencias como 1 km 5 1 000 m, 1 hora5 60 min 5 60 3 60 s 5 3 600 s. También se debe recordar que 1 es el elemento neutro de la multiplicación, pues al multiplicar una cantidad por 1, la cantidad queda fija, no cambia, entonces 108 1h km km 1 000 m 5108 3 3 h h 1 km 3600 s 108 0 00 m 3600 s m 530 s 5 12 km m la velocidad de un avión que vuela a 1 000 . h s Utilizando las equivalencias 1 km 5 1 000 m y 1 hora 5 3 600 s, se tiene 1h km km 1 000 m 1 000 51 000 3 3 h h 1 km 36 0 0 s 1 000 000 m 5 3 600 s m 5 277 . 7 s Números reales y variables algebraicas Los números decimales son los números reales. Los números decimales periódicos corresponden a los números racionales que se pueden expresar como el cociente de dos números enteros. Los números decimales no periódicos corresponden a los números irracionales que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros. Grupo Editorial Patria® 1.2 Modelos aritméticos o algebraicos De la aritmética al álgebra En la aritmética generalmente los números se representan con cifras, mientras que las relaciones, leyes y reglas se expresan con palabras. De esta manera se dice que: el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por la altura. Utilizando el álgebra, el enunciado anterior se puede expresar: base 3 altura 2 si el área, base y altura se representan por las letras A, b, y h respectivamente, nos queda: área 5 A5 b3h 2 como en álgebra no se utiliza el signo de multiplicación entre factores representados por letras, la expresión se reduce a: A5 o bien bh 2 1 A 5 bh 2 Observa los siguientes enunciados con sus respectivas formas de expresión aritmética y algebraica. Actividad de aprendizaje ¿Qué diferencia observas entre las formas aritmética y algebraica para plantear y resolver un problema? Representando por m el valor de las n monedas de u unidades de dinero cada una, se tendrá: m5nu Si un avión viaja a una velocidad de k km por hora, en h horas recorrerá kh km. Representando por d la distancia total se tendrá d 5 k h. El volumen de una caja se obtiene multiplicando el largo por el ancho por la altura (o profundidad). Si el volumen se representa por V y las tres dimensiones por l, a y p se obtiene la expresión: V5lap El valor numérico de esta expresión algebraica se obtiene sustituyendo las letras por los valores que representan y efectuando las operaciones indicadas. Si las dimensiones de l, a y p son 30, 20 y 10 unidades, respectivamente, entonces V 5 30 3 20 3 10 V 5 6 000 unidades3 de manera que si la unidad está dada en centímetros entonces el resultado serán centímetros cúbicos. Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros del grupo para realizar la siguiente actividad. Consideren esta situación: Un automóvil, que está en buenas condiciones de uso, es sometido a una prueba de frenado sobre un tramo recto de carretera bien pavimentada. Para la prueba sólo se considera la velocidad a la que se desplaza el automóvil y la distancia necesaria para detenerlo. Después de varios intentos se obtiene como promedio, que para una velocidad de 56 km/h se necesitan 61 m para detenerlo. a ) Hagan una tabla parcial de valores, para la distancia de frenado, cuando la velocidad varía desde 50 hasta 120 km/h (utilicen intervalos de 10 km/h). b ) Tracen la gráfica velocidad-distancia de frenado. Si una moneda tiene un valor nominal de cinco unidades de dinero, entonces 6 monedas iguales tendrán un valor de 6 3 5 5 30 unidades de dinero. c ) Investiguen, de acuerdo con el reglamento de tránsito, ¿cuál es la velocidad máxima permitida en zona urbana? d ) Si tú manejaras este automóvil a la velocidad máxima permitida, ¿cuál sería la distancia que necesitarías para detenerlo? El valor de un cierto número de monedas de igual denominación es igual al de una de ellas multiplicado por el número de monedas. Si un avión va a una velocidad de 700 km por hora, en tres horas recorrerá 700 km por tres, o sea, 2 100 km. Es decir, la distancia recorrida se obtiene multiplicando la distancia recorrida en una hora por el número de horas. Si una moneda tiene un valor nominal de u unidades de dinero, entonces n monedas tendrán un valor de nu unidades de dinero. Ejemplos 1. El enunciado aritmético “el doble de un número aumentado en 7 unidades”, algebraicamente se expresa: 2x 1 7 13 1 BLOQUE Resuelves problemas aritméticos y algebraicos 2. A continuación se resuelven dos problemas en forma aritmética y en forma algebraica. a) Problema Si al doble de un número se agregan 7 el resultado es 3. Halla el número. Resolución aritmética: Como el doble del número aumentado en 7 da 33 significa que si a 33 se le resta 7 se obtiene el doble del número. Por tanto, el doble del número es 26 y en consecuencia el número buscado es 13, es decir, la mitad de 26. 3 3 625 5 375 5 La diferencia es 625 2 375 5 250. Resolución algebraica: Sea x el número y la fracción La diferencia es x 2 3 x 5 250. 5 Multiplicando la igualdad por 5 nos queda así 5x 2 3x 5 1 250 Resolución algebraica: Sea x el número. El doble del número es 2x. 3 . 5 Efectuando la operación indicada 2x 5 1 250 El enunciado del problema se expresa por 2x 1 7 5 33. Restando 7 a los dos miembros de la igualdad se obtiene 2x 5 26. Dividiendo entre 2 dividiendo entre 2 a los dos miembros de la igualdad, se obtiene x 5 13. Comprobación: x 5 625 3 x 2 x 5250 5 Comprobación: 2(13) 1 7 5 33 b) Problema 3 La diferencia entre un número y los del número es 250. Halla 5 el número. Resolución aritmética: Considerando que el número representa la unidad, entonces la 3 fracción es de uno. 5 La diferencia es 3 5 3 2 12 5 2 5 5 5 5 5 2 5 está representando a 250 5 1 es la mitad de 250 5 es decir, y 250 5 125 2 5 , o sea la unidad, es un número 5 5 veces mayor: 5 3 125 5 625 Comprobación: Número: 625 3 de 625 son 5 14 625 2 3 (625) 5 250 5 625 2 375 5 250 Para estar en condiciones de pasar de la aritmética al álgebra se requiere establecer conceptos previos para su comprensión y, después de asimilados, poder construir modelos algebraicos aplicados a la resolución de problemas. Como se puede observar, una de las ventajas del álgebra es la brevedad y sencillez con que se pueden generalizar enunciados utilizando números y letras para establecer las relaciones. Es por ello que en esta obra se revisan y afirman conceptos de la aritmética que sirven para introducir y desarrollar los que corresponden al álgebra. Lenguaje algebraico El uso de símbolos para simplificar el lenguaje es de gran importancia en las matemáticas. El álgebra es la parte de las matemáticas que trata del cálculo de cantidades representándolas por medio de letras. La obra más antigua que se conserva sobre álgebra es la de Diofanto de Alejandría (s. iv d.C.). En Europa, esta ciencia fue introducida por los árabes en el siglo x. Grupo Editorial Patria® Las letras o literales se utilizan para representar números y cantidades cualesquiera. Ejemplos Para el cálculo del área de un triángulo se utiliza la fórmula: Expresión verbal bh A5 2 en la que A representa el área, b la base y h la altura. A, b y h varían según el triángulo de que se trate y por eso se les llama variables. El 2 no cambia; cantidades como ésta cuyo valor no cambia, ya sea que se representen por números o por letras, se llaman constantes. La fórmula para calcular la longitud de una circunferencia conociendo su radio es: C 5 2pr en la cual r y C son las variables, mientras que 2 y p son las constantes, ya que su valor no cambia. En las fórmulas anteriores se observa que bh indica “b multiplicado por h” y 2pr indica “2p multiplicado por r”, pues se ha convenido que entre factores literales o entre un factor numérico y uno literal, se suprima el signo de la multiplicación. En cambio, “3 multiplicado por 4” ha de expresarse: 3 3 4, 3 · 4, (3)4, pero nunca 34. En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en proposiciones con lenguaje algebraico. Recordemos el nombre del resultado de cada una de las cuatro operaciones fundamentales. De la adición, es suma; de la sustracción, es resta o diferencia; de la multiplicación, es producto; y de la división, es cociente. Algunas palabras que indican adición son: suma aumentar mayor que más incrementar más grande que Algunas palabras que indican sustracción son: Un número cualquiera x La suma de dos números x1y La diferencia de dos números x2y El producto de dos números xy El cociente de dos números x y La suma de dos números dividida entre su diferencia x1 y x2 y El cubo de un número x3 El doble del cubo de un número 2x 3 La suma de los cuadrados de dos números x2 1 y2 El cuadrado de la suma de dos números (x 1 y )2 La tercera parte del cubo de un número x3 3 El cubo de la tercera parte de un número ⎛ x⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ 3 ¿Cuál es el número que agregado a 3 suma 8? x1358 ¿Cuál es el número que disminuido en 5 da por diferencia 13? x 2 5 5 13 ¿Cuál es el número que disminuido de 20 da por diferencia 7? 20 2 x 5 7 menos menor que diferencia disminuir perder Ejemplos x2 y , 2 producto veces triple multiplicado doble cuádruple Algunas palabras que indican división son: cociente mitad razón dividido entre tercera x 3 3 Las expresiones algebraicas pueden enunciarse empleando el lenguaje común y es conveniente ejercitarlo para su correcta traducción. resta Algunas palabras que indican multiplicación son: Expresión algebraica puede expresarse como: “la mitad de la diferencia de dos números cualesquiera”, o “la semidiferencia de dos números cualesquiera”. (x 1 y ) 3, se puede enunciar como: “el cubo de la suma de dos números cualesquiera”. x 3 2 y 3, se puede expresar como sigue: “la suma de los cubos de dos números cualesquiera”. 3(x 2 y ), puede leerse así: “tres veces la diferencia de dos números cualesquiera”, o “el triple de la diferencia de dos números cualesquiera”. 15 1 BLOQUE (x 1 y) (x 2 y), Resuelves problemas aritméticos y algebraicos se puede expresar como: “el producto de la suma por la diferencia de dos números cualesquiera”. Terminología y notación En la expresión 2x, ¿qué expresa el 2? En la expresión x 2, ¿qué nombre recibe el 2? En la expresión x 2, ¿qué expresa el 2? Un término algebraico o monomio es un número o un producto de dos o más números. 3 Por ejemplo 7, 2x, mn, 5xy y xyz son monomios. 4 Cada uno de los números que al multiplicarse forman el término se llaman factores. Cualquier factor o grupo de factores de un término es coeficiente del producto de los factores restantes. Así, en 3xy, 3 es el coeficiente numérico de xy, mientras que xy es el coeficiente literal de 3. Si hacemos referencia al coeficiente de un término, generalmente consideramos al factor numérico que nos indica el número de sumandos iguales que han de tomarse en cuenta. Ejemplos Ejemplos Término Exponente Descomposición en factores x3 3 x 3 5 (x ) (x ) (x ) 4x 2 2 4x 2 5 (4) (x ) (x ) Actividad de aprendizaje Término Coeficiente Descomposición en sumandos 3x 3 3x 5 x 1 x 1 x 2x 3 2 2x 3 5 x 3 1 x 3 2(x 1 y ) 2 2(x 1 y ) 5 (x 1 y ) 1 (x 1 y ) En un triángulo equilátero de lado a, su perímetro (P ) se puede expresar así: P = a + a + a, o bien P = 3a, ¿qué representa el 3? En un cubo de arista a, su volumen (V ) se puede expresar así: V = a ? a ? a, o bien, V = a 3, ¿qué representa el 3? Cuando un factor se multiplica repetidamente por sí mismo, se puede expresar abreviadamente. Por ejemplo, (2)(2)(2) 5 23, donde el número 2 recibe el nombre de base y el 3 recibe el nombre de exponente. El resultado de multiplicar la base tantas veces como lo indica el exponente se llama potencia; así, 23 5 (2)(2)(2) 5 8, por eso se dice que 8 es la tercera potencia de 2, o bien, que dos al cubo es igual a ocho. Actividad de aprendizaje En la expresión 2x, ¿qué nombre recibe el 2? Expresión algebraica Cuando dos o más términos (monomios) se relacionan por los signos más (1) o menos (2) se forma una expresión algebraica que recibe el nombre de polinomio. Al polinomio de dos términos se le llama binomio, y al de tres, trinomio. Los monomios pueden considerarse como polinomios de un solo término. El grado de un término o monomio lo determina la suma de los exponentes de las literales que intervienen en él. 16 Grupo Editorial Patria® formal de las propiedades de campo del conjunto de los números reales. Dichas propiedades, como producto de la generalización de la experiencia, son susceptibles de ser demostradas a partir de ciertos axiomas, pero para efectos de este curso se considera suficiente que el lector conozca las propiedades y las sepa aplicar. Ejemplos Término Grado 3a 2 2 4a 1 xy 2 x 2y 3 5 Término Grado respecto de x Grado respecto de y Grado del término 2x 3y 3 1 4 5x 3y 2 3 2 5 x4 y 2 Números naturales (N) Si un punto P representa a un número n, a P se le llama gráfica de n y se dice que n es la coordenada de P. Se denota al punto cuya coordenada es n por P (n), que se lee “el punto P de n”. Tracemos una recta y localicemos en ella un punto al que asociaremos el cero y llamaremos origen (gráfica de 0), a partir de éste localicemos hacia su derecha un punto al que asociaremos el número 1 (gráfica de 1); al segmento cuyos extremos son 0 y 1 y le llamaremos unidad o segmento unitario. 0 1 2 3 4 5 6 Figura 1.1 4 1 5 El grado de un polinomio es el del término que tenga mayor grado, así: 5m3 2 2m2 1 m 1 1 es de tercer grado x 1 x2y 2 xy4 es de quinto grado El grado de un polinomio también puede considerarse respecto de una variable determinada, siendo entonces el mayor exponente de la misma. 3x3y 2 5x2y2 1 7 es de tercer grado respecto de x y de segundo grado respecto de y. Representación de números reales El conjunto de números reales lo empleamos de manera frecuente, sin embargo, cuando al lector se le pide que mencione cuáles son los números reales surge lo que para él es un obstáculo insalvable. Si a continuación se le muestra una representación geométrica de la recta real tiene dificultad para distinguir los números que son naturales, enteros, racionales o irracionales; a pesar de que son números conocidos y utilizados por él. La dificultad es aún mayor cuando se le pide que señale diferencias específicas entre los conjuntos señalados, ya sea de sus propiedades o de las relaciones que tienen entre sí. Este tema en particular será desarrollado a partir de los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; primero en forma intuitiva y después se dará una introducción al estudio Tomando con el compás la medida del segmento unitario y apoyándonos en la gráfica de 1, tracemos a su derecha una marca a la que asociaremos el número 2 (gráfica de 2), al repetir este proceso a partir del 2, obtendremos el punto asociado al número 3 (gráfica de 3), y así sucesivamente hasta donde nos lo permitan las dimensiones del papel (ver figura 1.1). Posteriormente lo haremos en nuestra mente, pensando que a partir del 1 obtenemos cada número sumando la unidad al anterior, lo cual constituye la ley de formación del conjunto de los números naturales; este proceso no termina nunca pues por grande que sea el número que pensemos, al agregarle la unidad obtendremos un número mayor. De esta manera, para verificar que los números naturales poseen una determinada propiedad, se puede utilizar el hecho de que cualquier número natural es una suma de unos, tantos como lo indique el número, ejemplos: 3511111 55111111111 (1) Los números naturales se denotan con el símbolo N y se definen así: N 5 {1, 2, 3, . . .} (2) donde los puntos suspensivos significan “y así sucesivamente”. (1) Al escribir estas expresiones, se ha utilizado la propiedad asociativa de la adición de los números reales, pues 1 1 1 1 1 5 (1 1 1) 11 (2) En este libro no se considera al cero como número natural. En algunos libros sí se incluye en el conjunto de los números naturales por lo que se hace necesario saber cuál es la convención en cada caso. 17 1 BLOQUE Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Números enteros (Z) Números racionales (Q) Si continuamos con el proceso de asociar números con puntos de la recta real veamos lo que ocurre con el conjunto de los números enteros. Los elementos de este conjunto son aquellos números que se pueden expresar como el cociente de dos números enteros, siendo el divisor diferente de cero. pás la medida del segmento unitario y con centro en el origen tra- Se denota por el símbolo Q guiente forma: a Q5 a Z, b Z, b | 0 b cual obtendremos en la recta un punto a la izquierda del origen y le asociaremos el número 21. Por la forma de obtenerlo, observamos que las coordenadas de 1 y 21 están en la misma distancia del origen pero en sentidos opuestos; por consiguiente, se dice que 21 22 0 1 ` - b Todo número entero puede representarse como un cociente, que se puede expresar en su forma más simple utilizando como divisor a la unidad así: 0 23 7 235 ; 75 ; 05 1 1 1 Por tanto, se puede decir que todo número entero es un número racional; en notación de conjunto dicha relación se expresa como sigue: 2 Z ,Q Figura 1.2 Al repetir el procedimiento tomando como medida la que existe de 2 y que se llamará –2. En igual forma se pueden obtener, hasta donde las dimensiones de la hoja lo permitan, los simétricos de los naturales que se indican, con lo cual la recta queda como se indica Ahora bien, para asociar un número racional como un punto de la recta real se hará uso de una construcción geométrica que se aceptará como válida sin hacer la demostración correspondiente. División de un segmento en n partes iguales Sea dividir el segmento MN en 7 partes iguales. 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 M N Figura 1.3 Se ha convenido que los números asociados a puntos situados a la derecha del origen se les llamará números positivos, en este caso naturales o enteros positivos; y los números asociados a puntos situados a la izquierda del origen se les llamará números negativos, en este caso, enteros negativos. De esta manera se ha generado un conjunto cuyos elementos son: los enteros positivos, los simétricos de éstos o enteros negativos y el cero. Este conjunto se denota con el símbolo Z Z 5 {. . . , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, . . .} También se puede expresar en las formas siguientes: Z 5 {. . . , 23, 22, 21 } < { 0 } < { 1, 2, 3, . . .} o bien, Z 5 {. . . , 23, 22, 21 } < { 0 } < N En la última expresión se observa que todo número natural es elemento del conjunto de los números enteros. Simbólicamente esta relación se puede expresar así: N,Z 18 Figura 1.4 Se traza por M una recta cualquiera y sobre ésta se marcan 7 segmentos consecutivos e iguales a partir de M séptimo segmento se une con el punto N, después se trazan líneas paralelas a éste que pasen por cada división marcada, con lo cual determinamos sobre el segmento MN siete segmentos congruentes. En la práctica, dadas las dimensiones del segmento que se ha tomado como unidad, se hace una localización aproximada de los números racionales sobre la recta real, recordando que el denominador de la fracción común indica la unidad fraccionaria, es decir, el número de partes iguales en que se divide la unidad o entero, mientras que el numerador indica el número de partes iguales que Grupo Editorial Patria® 1 indica que el 2 entero se divide en dos partes, de las cuales se toma una; en la recta real se puede representar así: se consideran. Por ejemplo, el número racional 0 12 1 2 3 4 5 6 Estos hechos se utilizarán posteriormente para hacer notar la importante relación que existe entre los números racionales y cierta clase de números decimales. Números irracionales (Q9) Figura 1.5 En general, si a y b son números enteros y b ? 0, en el número raa cional indica la unidad fraccionaria y a el número de unidades b fraccionarias que se toman. a número de unidades fraccionarias b unidad fraccionaria 3 indica que el entero se divide en cuatro par4 tes iguales de las cuales se toman tres: El número racional 0 34 1 2 3 4 5 5 indica cinco mitades, y como cada entero 2 sólo tiene dos, se necesitan dos enteros y la mitad del tercero para representarlo. El número racional 0 1 2 5 3 2 4 5 Aunque hemos representado los números racionales y a pesar de su propiedad de densidad, la cual establece que entre dos números racionales existe otro número racional quedan “huecos” en la recta real; éstos se “llenan” con los números irracionales que son aquellos cuya expresión decimal no es periódica. Ejemplo de estos números es 2 que representa la longitud de la diagonal de un cuadrado que mide una unidad por lado, en la recta real se puede representar de la siguiente forma: 2 VG 6 Figura 1.6 6 Figura 1.7 Es decir, se lee: “conjunto A es igual al conjunto B si y sólo si el conjunto A es subconjunto del conjunto B y el conjunto B es subconjunto del conjunto A”. 5 indica una división que al efectuarla queda así: 2 2.5 1 5 2 5 ; por lo que 5 2 1 5 2.5 2 2 10 0 En forma semejante se puede proceder en la parte negativa de la recta real para localizar los puntos asociados a números racionales negativos. Un teorema particularmente importante para este estudio establece que: “A todo número racional le corresponde una expresión decimal periódica y toda expresión decimal periódica es igual a un número racional”. En teoría de conjuntos se establece y demuestra que: dos conjuntos A y B son iguales cuando A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, relación que se expresa de la siguiente forma: 0 1 VG 2 Figura 1.8 Se traza un segmento unitario, perpendicular a la recta real por el uno. Aplicando el teorema de Pitágoras, se sabe que la longitud del segmento que une el origen de la recta con el extremo superior del segmento unitario perpendicular en uno, mide 2 . Números como 2 , 3 , 5, 7 y en general la raíz cuadrada de un número primo, son irracionales pues su expresión decimal no es periódica. También son números irracionales los siguientes: p 8 3.1415926535 . . . , e 8 2.71828 y desde luego los simétricos correspondientes a cada uno de ellos. (El signo 8 se lee: aproximadamente.) De todo lo expuesto, se concluye que los números decimales periódicos (racionales) junto con los decimales no periódicos (irracionales), forman el conjunto de los números decimales (reales). En notación de conjunto se resume así: {decimales periódicos} > {decimales no periódicos} 5 f {decimales periódicos} < {decimales no periódicos} 5 {decimales} {decimales} 5 {reales} Con el diagrama de Venn-Euler se pueden ilustrar las relaciones que guardan entre sí los conjuntos estudiados. A5B3A,B>B,A 19 1 BLOQUE Números Naturales Racionales Reales Resuelves problemas aritméticos y algebraicos (N) (Q) (R) Enteros Irracionales e5 (Z) (Q9) 10 cm 10 cm 1 5 5 (también se puede escribir 1:10) 1 m 100 cm 10 Esto significa que 1 cm en el dibujo representa 10 cm en el objeto real, de manera que 10 cm en el dibujo corresponden a 100 cm en el objeto, es decir 1 m. REALES Actividad de aprendizaje IRRACIONALES Escala RACIONALES En una escala 1:25 significa que 25 cm en el objeto real están representados por, ¿cuántos centímetros en el dibujo? ENTEROS NATURALES Ejemplos Figura 1.9 Valor numérico de una expresión algebraica Si en un rectángulo su base (o largo) mide 30 m y su altura (o ancho) mide 20 m su área se puede determinar con la expresión: A 5 bh Al sustituir b por 30 m y h por 20 m se obtiene A 5 (30 m)(20 m) Entonces A 5 600 metros cuadrados Esta cantidad es el valor numérico de la expresión algebraica. Cuando se dibuja un objeto se hace uso de una escala gráfica que se expresa generalmente como una fracción común en la que el numerador representa las medidas de las dimensiones de un dibujo y el denominador representa las medidas correspondientes de las dimensiones reales del objeto. dimensión del dibujo escala5 dimensión del objj eto d D Si el segmento AB, que mide 10 cm, representa un objeto que mide 1 m, entonces se dice que la escala es e5 20 Solución: Como lo que se quiere conocer es la distancia real entre las dos poblaciones, se despeja D de la relación e5 B d D en donde eD 5d o bien d e Sustituyendo los datos del problema D5 Escalas A En un mapa a la escala 1:450 000, se representa la distancia entre dos poblaciones por 5.75 cm, ¿cuál es la distancia real entre esas dos poblaciones? D5 5.775 cm 1 450 000 55.75 cm(450 000) 52 587 500 cm 525 875 m 525.875 km Grupo Editorial Patria® Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 1. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Si un atleta recorre los 100 metros planos en 9.6 segundos, ¿cuál es su velocidad en kilómetros por hora? 3. Expresa la fracción decimal 2.373737… como fracción común. 4. Efectúa la operación que se indica y obtén el resultado: 22 3 3 1 10 4 5 5 5. Escribe cómo se leerían las siguientes expresiones: a) x2 2 ⎛ x⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 2 6. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales: a) El cuadrado de la suma de dos números 2. De una hoja tamaño carta se utiliza como área de impresión 9 pulgadas por 6.5 pulgadas. Expresar el área de impresión en centímetros cuadrados. Una pulgada es igual a 2.54 centímetros. b) La suma de los cuadrados de dos números 21 1 BLOQUE Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Lista de cotejo Lista de cotejo para el reporte sobre la distancia de frenado de un automóvil del Bloque 1. Nombre del alumno: Presentación Criterio 1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente. Desarrollo 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas. Conclusiones Dominio del tema 10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 22 11. Calcula distancias de frenado para las velocidades que se indican. 12. Elabora una tabla de valores para la distancia de frenado con las velocidades que se indican. 13. Representa en el plano coordenado la gráfica velocidad-distancia de frenado. 14. Representa gráficamente las distancias de frenado para las velocidades que se indican. 15. Representa gráficamente distancias de frenado en función de la velocidad. 16. Representa gráficamente la distancia de frenado del automóvil como una función de la velocidad. cumple sí no Observaciones Grupo Editorial Patria® Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones: Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 1. Nombre del alumno: Excelente (4) Bueno (3) Regular (2) Deficiente (1) Representación de números positivos Conoce el sistema de numeración decimal. Representa números positivos en forma decimal. Convierte fracciones comunes en decimales periódicas. Conoce el sistema de numeración decimal. Representa números positivos en forma decimal. Convierte algunas fracciones comunes en decimales periódicas. Conoce el sistema de numeración decimal. Representa números positivos en forma decimal. No conoce el sistema de numeración decimal. No representa números positivos en forma decimal. No convierte fracciones comunes en decimales periódicas. Números decimales en distintas formas Expresa números decimales como enteros, fracciones o porcentaje. Convierte números decimales en fracciones comunes. Expresa números decimales como enteros, fracciones o porcentaje. Convierte la mayoría de números decimales en fracciones comunes. Expresa números decimales como enteros o fracciones. Convierte algunos números decimales en fracciones comunes. No expresa números decimales como enteros, fracciones o porcentaje. No convierte números decimales en fracciones comunes. Operaciones numéricas Efectúa las operaciones aritméticas en el orden que corresponde. Resuelve problemas aritméticos. Efectúa las operaciones aritméticas en el orden que corresponde. Resuelve la mayoría de los problemas aritméticos. Efectúa las operaciones aritméticas en el orden que corresponde. Resuelve algunos problemas aritméticos. No efectúa las operaciones aritméticas en el orden que corresponde. No resuelve problemas aritméticos. Números reales y variables algebraicas Identifica los números reales. Expresa enunciados de lenguaje común en lenguaje algebraico. Conoce la terminología y notación en una expresión algebraica. Identifica los números reales. Expresa enunciados de lenguaje común en lenguaje algebraico. Conoce casi toda la terminología y notación en una expresión algebraica. Identifica los números reales. Expresa enunciados de lenguaje común en lenguaje algebraico. Conoce poco de la terminología y notación en una expresión algebraica. No identifica los números reales. No expresa enunciados de lenguaje común en lenguaje algebraico. No conoce la terminología y notación en una expresión algebraica. Representación de números reales Conoce y representa en la recta a los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Conoce y representa en la recta a los números naturales, enteros y racionales. Conoce y representa en la recta a los números naturales y enteros. No conoce ni representa en la recta a los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Valor numérico de una expresión algebraica Calcula el valor numérico de una expresión algebraica. Calcula y representa escalas. Calcula el valor numérico de una expresión algebraica. Calcula escalas. Calcula el valor numérico de una expresión algebraica. No calcula el valor numérico de una expresión algebraica. No calcula ni representa escalas. Aspecto a evaluar Criterios Comentarios Generales 23 1 BLOQUE Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Escala de Rango A continuación se presenta la escala de rango, que es un instrumento de evaluación que posibilita la observación y el registro del aprendizaje de los alumnos y su desarrollo de competencias. Aspectos a evaluar 1 2 3 4 5 Explica claramente el problema Explica además de los pasos, sus ideas Presenta más de una solución Si recibe una respuesta incorrecta, la usa para crear una discusión Realiza buenas preguntas a la clase, tales como: ¿será esta la única manera de hacerlo?, ¿es esta la única respuesta posible?, ¿qué pasa si…? Responde las preguntas realizadas por sus demás compañeros(as) Está atento a la clase y respeta la participación de sus compañeros 1 5 Nunca; 2 5 Raramente; 3 5 Algunas veces; 4 5 Casi siempre; 5 5 Siempre Hoja de observación para el trabajo por equipos Criterios Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 Equipo 5 Intercambian ideas para buscar una alternativa de solución viable Colaboran en la discusión y puesta en marcha de la alternativa planteada y consensada Atienden y respetan las opiniones de los demás Utilizan los recursos adecuados Proponen explicaciones de lo que observan Aplican términos científicos en sus explicaciones Registran y sistematizan sus observaciones Clave: NS (No Suficiente), S (Suficiente), B (Bien), MB (Muy Bien) 24 Grupo Editorial Patria® Portafolio de evidencias El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en: r Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso. r No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son los más significativos en el proceso de aprendizaje. r Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas. Etapas para realizar tu portafolio de evidencias Instrucciones para seleccionar las evidencias 1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre). 1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras. 2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje. 3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación. 2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello. 3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas. Propósito del portafolio de evidencias Semestre Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada. Asignatura Número de bloques del libro Nombre del estudiante: Criterios de reflexión sobre las evidencias Comentarios del estudiante: ¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio? ¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas? ¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso? ¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? Monitoreo de evidencias # Título Fecha de elaboración Comentarios del profesor/a: 1 2 3 4 5 25 1 BLOQUE Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Lista de cotejo Con base en el documento Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011), el objetivo de las listas de cotejo es determinar la presencia de un desempeño, por tanto, es necesario identificar las categorías a evaluar y los desempeños que conforman cada una de ellas. Instrucciones: Marcar con una ✗, en cada espacio donde se presente el atributo. Estructura Sí No Sí No Sí No Sí No Sí No 1. Cuenta con una carátula con datos generales del estudiante. 2. Cuenta con un apartado de introducción. 3. Cuenta con una sección de conclusión. 4. Cuenta con un apartado que señala las fuentes de referencia utilizadas. Estructura interna 5. Parte de un ejemplo concreto y lo desarrolla hasta generalizarlo. 6. Parte de una situación general y la desarrolla hasta concretizarla en una situación específica. 7. Los argumentos a lo largo del documento se presentan de manera lógica y son coherentes. Contenido 8. La información presentada se desarrolla alrededor de la temática, sin incluir información irrelevante. 9. La información se fundamenta con varias fuentes de consulta citadas en el documento. 10. Las fuentes de consulta se contrastan para apoyar los argumentos expresados en el documento. 11. Jerarquiza la información obtenida, destaca aquella que considera más importante. 12. Hace uso de imágenes o gráficos de apoyo, sin abusar del tamaño de los mismos. Aportaciones propias 13. Señala en las conclusiones lo aprendido a través de su investigación y su aplicación a su vida cotidiana. 14. Las conclusiones desarrolladas son de autoría propia. 15. Elabora organizadores gráficos para representar de manera sintética grandes cantidades de información. Interculturalidad 16. Las opiniones emitidas en el documento promueven el respeto a la diversidad. Total 26 Grupo Editorial Patria® Escala de clasificación La escala de clasificación sirve para identificar la presencia de determinado atributo y la frecuencia que presenta. (Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje. DGB, 2011.) Este instrumento puede evaluar actividades de aprendizaje, ejercicios, talleres, prácticas de laboratorio, cualquier tipo de exposición, podrá ser adaptado a las necesidades específicas de cada tema. Instrucciones: Indica con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos durante la dinámica a realizar. Encierra en un círculo el número que corresponda si: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo; 3 siempre se presenta el atributo. Contenido 1. Desarrolla los puntos más importantes del tema. 0 1 2 3 2. Utiliza los conceptos y argumentos más importantes con precisión. 0 1 2 3 3. La información es concisa. 0 1 2 3 4. Relaciona los conceptos o argumentos. 0 1 2 3 5. Presenta transiciones claras entre ideas. 0 1 2 3 6. Presenta una introducción y conclusión. 0 1 2 3 7. Utiliza ejemplos que enriquecen y clarifican el tema. 0 1 2 3 8. Incluye materiales de elaboración propia (cuadros, gráficas, ejemplos) y se apoya en ellos. 0 1 2 3 0 1 2 3 10. La información la presenta sin saturación, con fondo y tamaño de letra idóneos para ser consultada por la audiencia. 0 1 2 3 11. Se apoya en diversos materiales. 0 1 2 3 12. Articulación clara y el volumen de voz permite ser escuchado por todo el grupo. 0 1 2 3 13. Muestra constante contacto visual. 0 1 2 3 14. Respeta el tiempo asignado con un margen de variación de más o menos dos minutos. 0 1 2 3 Coherencia y organización Aportaciones propias Material didáctico 9. El material didáctico incluye apoyos para presentar la información más importante del tema. Habilidades expositivas Total Puntaje total 27 Utilizas magnitudes y números reales 2 B LO Q U E Objetos de aprendizaje 2.1 Números reales: representación y operaciones. 2.2 Tasas, razones, proporciones y variaciones. Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su propio comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. ¿Qué sabes hacer ahora? 1. El número p, ¿a qué subconjunto de los números reales pertenece? 2. ¿Cuántos botes con capacidad de 3 de litro se pueden llenar con 45 litros de 4 pintura? 3. Resuelve y representa gráficamente: |x 2 1| < 5. Efectúa las operaciones indicadas y encuentra el resultado: (23)(2 4) 5 26 4. Un jet hace el vuelo entre dos ciudades empleando 4 5. y5 3 horas de ida 4 2 horas de regreso. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre la ida y 3 el regreso? 6. 3 ¿Cuántos litros de vino se pueden envasar en 75 botellas de de litro de ca4 pacidad cada una? Tres personas reciben una herencia. La primera recibe 7. 5 8 recibe del total, ¿cuánto le corresponde a la tercera? 1 del total, la segunda 4 8. Dos camiones del servicio urbano de la ciudad salen de la terminal a las 8 de la mañana. Si uno tarda 1 hora en hacer su recorrido y el otro tarda una hora con 20 minutos, ¿a qué hora volverán a coincidir en su salida? 9. Identifica si las magnitudes son directamente proporcionales o inversamente proporcionales. La calificación y el número de errores en un examen. 10. Si un mineral da 2% de metal puro, ¿cuántos kilogramos da por una tonelada (1 000 kg)? Desempeños por alcanzar Asume una actitud constructivista, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos. Asumen que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los contextos local, nacional e internacional. Ubica en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos. Combina cálculos de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, ganancias, pérdidas, ingresos, amortizaciones, utilizando distintas representaciones, operaciones y propiedades de números reales. Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de variación proporcional directa e inversa. Construye modelos aritméticos, algebraicos o gráficos aplicando las propiedades de los números reales. 2 BLOQUE Utilizas magnitudes y números reales Situación didáctica Un vehículo tiene un rendimiento de 18 km por litro y realiza un recorrido de 270 km. Si utiliza el mismo número de litros de combustible: Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Qué tipo de variación proporcional se expresa en el enunciado del problema? ¿Cómo se puede plantear el problema utilizando una razón?, ¿una proporción?, ¿una ecuación? Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep- Rúbrica Para determinar las respuestas del problema que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 30 ¿Cómo lo resolverías? a) ¿Qué distancia recorrería si su rendimiento fuera de 15 km por litro? b) ¿Cuál sería su rendimiento para una distancia de 240 km? ¿Qué tienes que hacer? tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica, con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo: Producto a elaborar Elabora la tabla y la gráfica de acuerdo con los valores de la situación didáctica. ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Grupo Editorial Patria® Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Una rueda de 48 dientes está engranada con una de 60 dientes. Cuando la primera gira 100 vueltas, ¿cuántas gira la segunda? Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Qué tipo de variación proporcional se expresa en el enunciado del problema? ¿Cómo se puede plantear el problema utilizando una razón? ¿una proporción? ¿Qué tienes que hacer? tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica, con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo: Trabajo individual Producto a elaborar Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Resuelve el problema con la aplicación del modelo de variación que corresponde y la utilización de los valores dados. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep- Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el número de vueltas que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 31 2 BLOQUE Utilizas magnitudes y números reales Propuestas de diseño para situaciones didácticas Parte II Selecciona dos números enteros a y b con las siguientes características: Parte I a) los dos son positivos; 1. Expresa en su forma más simple b) los dos son negativos; a) |2| c) a es positivo y b es negativo; b) |22| 5 d) a es negativo y b es positivo. c) 2|22| 5 Verifica en cada caso la propiedad conmutativa de la suma de enteros. d) 2|2| 5 2. Da la interpretación geométrica de: Parte III Selecciona dos números enteros a y b y obtén a 2 b en los siguientes casos: a) x , 2 4 b) |x| . 4 1. a < b son positivos y a < b c) |x| , 4 2. a < b son negativos y a < b d) |x| 5 4 (x es un número real) 3. a > 0, b < 0 y |a| > |b| 4. a > 0, b < 0 y |a| 5 |b| 3. Resuelve y representa gráficamente. 5. a < 0, b > 0 y |a| < |b| a) |x 2 1| . 5 b) |x 1 4| , 1 Parte IV c) |x 2 1| , 5 Efectúa las operaciones indicadas y encuentra el resultado. d) |x 1 4| $ 1 4. Calcula: a) |5 2 2| 5 b) |2 2 5| 5 c) |22 2 5| 5 d) |22 1 5| 5 5. Calcula: a) |23 2 |25| 5 b) |4 2 9| 2 | 24| 5 1. 2. 3. 4. 5. c) 18 1 | 23 2 2| 2 5 2 |27| 5 d) 2 |223 | 5 6. Sustituye las variables por sus valores y efectua las operaciones indicadas simplificando el resultado: a) x 2 |y| 1 |z 2 5|; x 5 22, y 5 3, z 5 1 b) |x 2 y 2 z 1 1|; x 5 22, y 5 23, z 5 5 c) 2|3x| 1 y 2 z 2 |3z|; x 5 4, y 5 1, z 5 2 d) |5 2 3x 1 4 2 2y| 23(x 2 y); x 5 23, y 5 22, z 5 4 32 6. (23)(2 4) 5 26 2 7 1(2 4)1 5 5 (28)(9) (23)(5)2( 2 2)( 4) 5 (28)(7) ⎡ (2 9)(2 9)(23) ⎤ ⎢ ⎥ 155 6 ⎣ ⎦ 3(11)2 5( 2 2) 5 2((23) 2(2 2)2 5 112(23) (2 4)(2 2)(23) 5 (2 5)(210) (2120)(131)(0) 8. 5 (2 5)(28)(2 9) 7. 9. (23)(26)(118) 5 (2 4)(26) 10. (11)(1 2)(13) 5 (2 4)(26) Grupo Editorial Patria® Parte V Resuelve los siguientes problemas. 1. Un automovilista hace un recorrido en tres etapas. Parte con el tanque lleno de combustible 1 y en la primera etapa gasta 3 1 de tanque; en la segunda, del 4 combustible original, y en la ter1 cera, del combustible inicial. 6 Al término de su recorrido, ¿qué parte del combustible original le queda? 2. Una familia distribuye sus ingresos anuales de la siguiente 1 manera: parte en el alquiler de su 4 2 partes en alimentos y vivienda, 5 1 1 recreación, parte en ropa, par2 10 te para ahorrar y el resto para viajar. ¿Qué parte del ingreso anual se utiliza para viajar? 1 gramos de harina por pieza de 2 pan. ¿Qué cantidad de harina necesitan para producir 3 200 piezas de pan? 1 3. En una empresa del total de 4 las acciones le pertenecen al se5 ñor Pérez, y a su esposa de las 6 que él tiene. ¿Cuántas acciones tienen los demás accionistas? 1 4. Para construir un mueble se requieren 27 metros lineales de ma5 2 dera recortados de la siguiente forma: del total en tramos de 2.5 11 8 metros, de lo que resta en tramos de un metro y lo que sobra 15 en tramos de medio metro. ¿Cuántos tramos de cada medida se necesitan? 2. En una panadería utilizan 9 Parte VII Resuelve los siguientes problemas: 3 1 1. Un ciclista recorre 35 km en 2 horas, ¿cuál es su velocidad 4 2 promedio por hora? 3. Se envían por correo cuatro paquetes que en conjunto pesan 4 kg. Si uno 3 7 1 pesa de kg, otro kg y un tercero pesa de kg, ¿cuál es el 4 8 2 peso del cuarto paquete? 3 4. Un jet hace el vuelo entre dos ciudades empleando 4 horas 4 2 de ida y 5 horas de regreso. ¿Cuál es la diferencia de tiempo 3 entre la ida y el regreso? 2. Un campesino tiene un terreno de 3500 m2 de superficie. 3 2 1 9 Siembra del área con alfalfa, con maíz, con verdura y 8 5 7 40 con cítricos. ¿Qué superficie ocupa para cada tipo de cultivo? 3. Tres personas reciben una heren1 cia. La primera recibe del total 4 5 y la segunda, del total, ¿cuánto le 8 corresponde a la tercera? Parte VI Resuelve los siguientes problemas. 1. ¿Cuántos litros de vino se pue3 den envasar en 75 botellas de 4 de litro de capacidad cada una? 4. Dos personas compran un juguete 1 1 aportando 1 y 2 unidades de 4 2 dinero respectivamente. Después 3 unidades de dinero. 5 ¿En cuánto se vendió el juguete? ¿Qué parte de la ganancia es para cada persona si se divide proporcionalmente de acuerdo con su aportación? lo venden y obtienen una ganancia de 33 2 BLOQUE Utilizas magnitudes y números reales Parte VIII Resuelve los siguientes problemas. 1. Dos camiones del servicio urbano de la ciudad salen de la terminal a las 8 de la mañana. Si uno tarda 1 hora en hacer su recorrido y el otro tarda una hora con 20 minutos, ¿a qué hora volverán a coincidir en su salida? 2. Se tienen tres fajos de billetes: en el primero hay $ 2 800 en el segundo $ 8 000 y en el tercero $ 4 600. Si todos los billetes son iguales y del mayor valor posible, ¿cuál es el valor de cada billete?, ¿cuántos billetes hay en cada fajo? 3. Un depósito de agua se puede llenar en un número exacto de minutos por una llave A que arroja 45 litros por minuto, por una llave B que arroja 60 litros por minuto o por una llave C que arroja 96 litros por minuto. ¿Cuál es la menor capacidad que debe tener el depósito para que se llene en un número exacto de minutos por cualquiera de las tres llaves? 4. Los alumnos A, B y C presentaron un examen con los siguientes resultados: A obtuvo 88 puntos, B 96 puntos y C 68 puntos. Si todas las preguntas del examen tienen el mismo valor y éste es el máximo posible, ¿cuál es el valor de cada pregunta? ¿Cuántas preguntas contestó correctamente cada alumno? 5. Dos camiones del servicio urbano de la ciudad salen de la terminal a las 8:00 a.m. En hacer su recorrido de ida y vuelta uno tarda 2 horas y el otro 1 hora 20 minutos, ¿a qué hora vuelven a coincidir en su salida? 6. Una superficie rectangular de 7.50 m de largo y 5.40 m de ancho se va a cubrir con loseta asfáltica cuadrada, de la mayor dimensión posible, de manera que haya un número entero de losetas tanto a lo largo como a lo ancho. ¿Cuál es la medida del lado de la loseta? ¿Cuántas losetas se pueden colocar a lo largo? ¿Cuántas a lo ancho? 7. Tres corredores entrenan en una pista que recorren en 12, 15 y 18 minutos respectivamente. Su en34 8. 9. 10. 11. trenamiento termina cuando vuelven a coincidir en la línea de meta. Si salieron de la meta a las 6 a.m., ¿a qué hora vuelven a coincidir? ¿Cuántas vueltas da cada uno? A cada alumno de un grupo escolar se le va a entregar en un paquete la misma cantidad de lápices y cuadernos. Si se dispone de 75 lápices y 100 cuadernos, ¿cuál es el mayor número de alumnos que puede recibir un paquete? ¿Cuántos lápices contiene cada paquete?, ¿cuántos cuadernos contiene cada paquete? Tres anuncios se encienden con intervalos de 12, 15 y 18 segundos respectivamente. Si los tres se encendieron a las 7 de la noche, ¿a qué hora vuelven a encenderse al mismo tiempo? Se dispone de 300 kg de frijol, 120 kg de arroz y 180 kg de harina de maíz para hacer despensas que contengan un número exacto de kilogramos de cada artículo. ¿Cuál es el mayor número de despensas que se pueden hacer? ¿Cuántos kilogramos de cada artículo lleva cada una? Los vuelos a las ciudades A, B y C se realizan cada 8, 12 y 15 días. Si los tres salieron el 15 de mayo, ¿cuántos días transcurrirán para que vuelvan a salir en la misma fecha? Parte IX Identifica si las magnitudes son directamente proporcionales o inversamente proporcionales. 1. La calificación y el número de aciertos en un examen. 2. La calificación y el número de errores en un examen. 3. La velocidad y la distancia recorrida en determinado tiempo. 4. La velocidad y el tiempo para una distancia determinada. 5. El volumen y la presión de una masa gaseosa a temperatura constante. 6. La presión y la temperatura de una masa gaseosa a volumen constante. 7. La iluminación y la distancia a una fuente luminosa. 8. Para un trabajo determinado, el tiempo y el número de obreros. 9. El número de artículos iguales y el costo total de ellos. 10. El importe del consumo de agua y el número de metros cúbicos consumidos. Grupo Editorial Patria® Parte X Plantea cada uno de los siguientes problemas con proporciones y resuélvelos aplicando la propiedad fundamental. 1. En una escuela, 780 alumnos que representan 63% son varones, ¿cuántas niñas hay? 2. Si un alumno contesta en forma correcta 39 preguntas de un total de 50, ¿qué tanto por ciento contestó correctamente? 3. En una escuela, 208 alumnos cursan el tercer año y representan 26%. ¿Cuántos alumnos tiene la escuela? 4. Un automovilista recorre 420 km que corresponden a 60% de su recorrido, ¿cuántos kilómetros le faltan por recorrer? 5. Cuarenta y dos kilogramos de una aleación contiene 6% de cobre. Halla la cantidad de cobre en kg. 6. Si un mineral da 2% de metal puro, ¿cuántos kilogramos da por una tonelada (1 000 kg)? 7. Si un mineral da 60 kg de metal por tonelada, ¿cuánto por ciento da? 8. Si se funden 20 kg de estaño con 60 kg de cobre? ¿Cuánto por ciento del peso del estaño es el peso del cobre? 9. El trigo pierde 18% de su peso al molerlo. Cuando se han perdido 360 kg, ¿qué cantidad de trigo se ha molido? 10. El agua, al helarse, aumenta su volumen en 10%. ¿Cuántos metros cúbicos de agua se necesitan para formar 508.2 metros cúbicos de hielo? Introducción El sistema de los números reales se explica a partir de sus subconjuntos más importantes. El concepto de valor absoluto se utiliza como antecedente de las operaciones con enteros. Las razones y proporciones aparecen como antecedente de la variación proporcional directa e inversa. 2.1 Números reales: representación y operaciones En este bloque se realizan operaciones con números reales de manera fundamental con enteros y racionales. Para tu reflexión Isaac Newton (1642-1727) Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo Difícilmente podría decirse que el camino de Newton a la fama estaba predestinado. Su nacimiento fue prematuro, y durante algún tiempo pareció que no sobreviviría debido a su debilidad física. El padre de Isaac murió tres meses antes de que éste naciera, y cuando tenía 2 años de edad su madre volvió a casarse y él se fue a vivir con su anciana abuela a una granja de Woolsthorpe. Fue probablemente aquí, en un distrito de Inglaterra en que era vigoroso el influjo puritano, privado de las relaciones normales con padres, hermanos y alejado de otros niños, donde adquirió las facultades de meditación y concentración que más tarde le permitieron analizar y encontrar la solución de problemas que desconcertaban a otros científicos. Cuando tenía 12 años ingresó a la escuela del rey en Grantham, donde vivió con un boticario llamado Clark, cuya esposa era amiga de la madre de Isaac, pasó cuatro felices años ahí, construyendo toda clase de molinos de viento, carros mecánicos, relojes de agua y cometas. Encontró un desván lleno de libros científicos que le encantaba leer y toda suerte de sustancias químicas y frascos de botica además de la compañía de la señorita Storey, hija adoptiva del matrimonio. Cuando Isaac tenía 17 años murió su padrastro y el muchacho volvió a su casa a fin de ayudar a su madre en la administración de su pequeña propiedad en Woolsthorpe, empero Newton no sentía inclinación por la vida de campo y pasaba el tiempo leyendo sus libros científicos, hasta que su madre lo comprendió y le permitió continuar su carrera académica e ingresó en el Colegio de la Trinidad en Cambridge. 35 2 BLOQUE Utilizas magnitudes y números reales Aunque Newton tenía un profundo conocimiento de los principios matemáticos, no le interesaban las matemáticas puras o filosóficas, sino su aplicación para comprender mejor el mundo científico y el universo. En 1664 se cerró provisionalmente la Universidad de Cambridge debido a una gran peste bubónica y Newton volvió a Woolsthorpe, donde pasó un año y medio. Durante ese tiempo hizo tres de sus grandes descubrimientos científicos: el primero fue el binomio de Newton y los elementos del cálculo diferencial, que denominó fluxiones. Poco después dijo que había encontrado el método inverso de las fluxiones, es decir, el cálculo integral. El segundo gran descubrimiento fue que se preguntó si la fuerza de gravedad afectaba también a masas tan grandes como la de los planetas y los satélites, y encontró que la fuerza que estaba difundida en el universo y mantenía a los planetas en sus órbitas efectivamente era la gravedad, y era una fuerza que podía medirse. Dedujo que la fuerza que mantiene a un planeta en su órbita debe ser inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que lo separa del centro alrededor del cual gira. Aplicó esta deducción al cálculo de la fuerza de gravedad ejercida sobre la Luna, y los resultados confirmaron su creencia. Su tercer gran descubrimiento corresponde al área de la óptica y la refracción de la luz. Sus trabajos en la fabricación de lentes y prismas revelaron que la luz está compuesta de rayos individuales con diferente refracción, y que los rayos de color no son modificaciones de la luz sino propiedades originales e innatas que existen en diferentes rayos y tienen sus características propias. saber: el positivo representa un punto a cierta distancia a la derecha del origen, y el negativo representa otro punto a la misma distancia, pero a la izquierda. El valor absoluto de cualquier número real x (que se denota por |x|) es x si x es positivo, 2x si x es negativo y cero si x es cero. Simplemente, se puede escribir como sigue: Actividad de aprendizaje Si un número 2x es positivo, ¿entonces cómo es x ? Ejemplos |2| 5 2 |22| 5 2 Ejemplos Resuelve para cada x una de las siguientes ecuaciones: |x | 5 4 Elementos de los subconjuntos de los números reales Los subconjuntos de los números reales con los que trabajamos en álgebra son: racionales e irracionales. x54 porque |4| 5 | 24| 5 4 o x 5 24 |x 1 1| 5 5 x1155 x54 o x 1 1 5 25 x 5 26 Los racionales corresponden a los números decimales periódicos. Incluyen a los números enteros, y éstos a los naturales. Recta numérica: números reales y sus simétricos, su valor absoluto y relaciones de orden Actividad de aprendizaje ¿Cómo se obtiene la distancia entre dos puntos en la recta numérica? A continuación se introduce el concepto de valor absoluto, que nos permitirá comprender el simétrico de un número y el establecimiento de las relaciones de orden: mayor que, menor que e igual. Valor absoluto Para cada número real x (x ? 0), hay un número 2x. si x es positivo, 2x es negativo; pero si x es negativo, entonces 2x es positivo. Estos dos números representan puntos sobre la recta numérica, a 36 Distancia entre dos puntos de la recta numérica Si P(x) es un punto de la recta numérica, entonces |x| es la distancia del origen a P(x). Para dos puntos cualesquiera de la recta nu- Grupo Editorial Patria® mérica: (P(a) y P(b), la distancia entre ambos es a – b si a > b, y b 2 a si b > a, es decir |a – b|. Este hecho permite visualizar la solución de ecuaciones o desigualdades cuyas expresiones tengan valores absolutos. Ejemplos 1. Halla la solución de |x | 5 4. Como |x | 5 |x 2 0|, entonces |x| 5 4 implica que |x 2 0| 5 4, por lo que la solución se puede interpretar así: Halla los puntos P (x ) cuya distancia al origen sea 4. En este caso, como P (4) y P (24) satisfacen la condición y, por tanto, 4 y 24 son la solución. 2. Halla la solución de | x | < 4. Como |x | < 4 implica que |x 2 0| < 4, la distancia del punto al origen es menor que 4, es decir, P (x ) es cualquier punto a la izquierda de P (4) y a la derecha de P (24) como se ilustra en la figura 2.1; los círculos alrededor de P (4) y P (24) indican que esos puntos no se incluyen como solución de la desigualdad. –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 Figura 2.1 3. Halla la solución de |x 1 4| ≥ 2 Como |x 1 4| 5 |x 2 (24),| entonces la solución de |x 2 (24)| ≥ 2 consiste en hallar los puntos P (x ) cuya distancia a P (24) sea mayor o igual a 2; por consiguiente, P (x ) puede ser P (22) o P (26), o cualquier punto a la derecha de P (22) o a la izquierda de P (26), como se ilustra en la figura 2.2 en la cual los puntos P (22) y (P26) están remarcados para indicar que también son solución de la desigualdad. –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 Figura 2.2 Propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas Las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas son las siguientes: Para la suma: cerradura, asociatividad, existencia del idéntico, existencia de los inversos, conmutatividad. Es de hacerse notar que al número 2a se le llama inverso aditivo o simétrico de a. Así, el inverso aditivo de 5 es 25, y el inverso aditivo de 25 es 5. Se puede demostrar que el inverso aditivo de un número es único. Para la multiplicación: cerradura, asociatividad, existencia del idéntico, existencia de los inversos, conmutatividad. 1 Es de notarse que el número se le llama inverso multiplicativo o a 1 1 recíproco de a. Así, el inverso multiplicativo de 4 es y el de es 4 4 4. Se puede demostrar que el inverso multiplicativo de un número es único. Dados dos números reales a y b puede ocurrir alguna de las siguientes situaciones: a > b, a 5 b, a < b. Operaciones con números enteros Al operar con este conjunto de números, además de su expresión numérica habrá que considerar su sentido. De esta manera, si dos personas parten del mismo punto y recorren un kilómetro en sentidos opuestos, es evidente que al término de su trayecto se hallarán en lugares diferentes, a pesar de haber recorrido la misma distancia. Si una persona gana $1 000 000 está en una situación distinta de la que tendría si hubiese perdido $1 000 000; aunque la cantidad es la misma, ganar y perder tienen significados opuestos. En el primer caso se considera positiva la distancia recorrida hacia la derecha (o al norte) del punto de partida, y negativa la que recorrió hacia la izquierda (o hacia el sur) del punto de partida. En el segundo caso ganar se considera positivo y perder, negativo. En determinadas magnitudes se ha convenido establecer el sentido positivo y negativo de las variaciones que pueden experimentar. Así, las distancias contadas hacia la derecha (o hacia el norte) se consideran positivas y las distancias hacia la izquierda (o hacia el sur) se consideran negativas. Las temperaturas sobre cero como positivas y las temperaturas bajo cero como negativas. Las ganancias como positivas y las pérdidas como negativas. También se ha convenido en anteponer el signo 1 a los números positivos y el signo 2 a los negativos. De esta manera, 2200 años, negativo, significa 200 años antes de Cristo, y 1 1987, positivo, significa 1987 años después de Cristo. Cuando no hay lugar a duda se puede suprimir el signo 1 delante de los números positivos, en vista de lo cual se deben considerar positivos aquellos números que no lleven signo antepuesto. Los signos 1 y 2 tienen un doble significado: pueden indicar la suma y la resta, y establecer el sentido positivo o negativo en que se ha considerado una cantidad; en consecuencia, han de considerarse asociados con el símbolo numérico, formando por así decirlo, parte del símbolo mismo. En ocasiones conviene expresar los números positivos y negativos encerrándolos en un paréntesis. 37 2 BLOQUE Utilizas magnitudes y números reales Actividad de aprendizaje Ejemplos En un estado de cuenta bancario de una tarjeta de crédito las compras aparecen con signo 1 y los pagos con signo 2, ¿cómo se debe interpretar esto? 1. (13) 1 (21) 1 (14) 1 (25) 1 (29) 5 (17) 1 (215) 5 28 2. (15) 1 (22) 1 (26) 1 (18) 5 (13) 1 (26) 1 (18) 5 (23) 1 (18) 5 15 Sustracción de números enteros Actividad de aprendizaje ¿Cómo se suman dos enteros con igual signo? ¿Cómo se suman dos enteros con distinto signo? Recordemos que dos números reales que tienen el mismo valor absoluto o diferente signo son simétricos o inversos aditivos uno del otro, con la propiedad de que su suma es cero, es decir a 1 (2a) 5 0. La sustracción es la operación inversa de la adición. a) Para sumar dos enteros con igual signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo común. Ejemplos Si conocemos la suma (minuendo) de dos sumandos, pero sólo a uno de ellos (sustraendo), entonces debemos encontrar el sumando que falta (diferencia). Para efectuar la sustracción de dos números enteros, se busca un número, que sumado con el sustraendo nos dé el minuendo; esto equivale a transformar la sustracción en una adición, sumando al minuendo el simétrico o inverso aditivo del sustraendo. Actividad de aprendizaje (1 3) 1 (1 5) 5 1 8 (24) 1 (28) 5 212 (112) 1 (113) 5 1 25 (27) 1 (216) 5 223 b) Para sumar dos enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y a la diferencia se le antepone el signo del número con mayor valor absoluto. ¿Cuál es el inverso aditivo de 25? Ejemplos (18) 2 (15) 5 (18) 1 (25) 5 13 Ejemplos (14) 2 (110) 5 (14) 1 (210) 5 26 (19) 1 (24) 5 1 5 (215) 1 (16) 5 29 (29) 1 (14) 5 25 (115) 1 (26) 5 19 (13) 2 (22) 5 (13) 1 (12) 5 15 (17) 2 (28) 5 (17) 1 (18) 5 115 (25) 2 (13) 5 (25) 1 (23) 1 28 (29) 2 (17) 5 (29) 1 (27) 5 216 c) Para sumar varios enteros, se procede de dos formas: sumando por separado los positivos y los negativos, restando después los valores absolutos de las dos sumas y a la diferencia anteponer el signo de la mayor en valor absoluto; o bien, se suman los dos primeros sumandos, el resultado se suma con el tercero y así sucesivamente. 38 (23) 2 (22) 5 (23) 1 (12) 5 21 (24) 2 (29) 5 (24) 1 (19) 5 15 Una expresión compuesta de sumas y restas combinadas recibe el nombre de suma algebraica. Grupo Editorial Patria® Ejemplos (2 7 2 3 1 4 2 1 1 12) 5 2 7 2 3 1 4 2 1 1 12 (19) 1 (23) 2 (14) 2 (25) 1 (210) La expresión anterior es una suma algebraica y, como ya se ha explicado, cada signo de restar se puede suprimir al sustituir cada sustraendo por su inverso aditivo. (9 1 4 2 5) 1 (2 7 1 3) 5 9 1 4 2 5 2 71 3 b) 2 (2 1 4 2 6 2 7 1 3) 5 2 2 2 4 1 6 1 7 2 3 2 (2 4 2 8 1 9 1 1 2 10) 5 4 1 8 2 9 2 1 1 10 Así: 2 (6 1 2 2 3 2 7 2 12) 5 2 6 2 2 1 3 1 7 1 12 (19) 1 (23) 2 (14) 2 (25) 1 (210) 5 (19) 1 (23) 1 (24) 1 (15) 1 (210) 2 (2 5 2 6 1 4) 2 (14 1 3) 5 5 1 6 2 4 2 14 2 3 5 (114) 1 (217) 5 23 Supresión de paréntesis En la adición de números enteros se ha convenido suprimir los paréntesis, escribiendo unos sumandos a continuación de otros enlazados por sus signos respectivos. Así: (17) 1 (24) 1 (22) 1 (16) 5 7 se puede escribir 724221657 entonces: (17) 1 (24) 1 (22) 1 (16) 5 7 2 4 22 1 6 5 7 Cuando el primer sumando es positivo se suprime el signo. De lo anterior se puede decir que todo paréntesis precedido de signo 1 debe ser considerado como un sumando, mientras que todo el que esté antecedido del signo 2 debe considerarse un sustraendo. De ahí que para la supresión de paréntesis se establece que: a) Todo paréntesis antecedido por el signo más se puede suprimir sin alterar los signos de los términos que encierra. b) Todo paréntesis precedido del signo menos se puede suprimir escribiendo los simétricos de los términos que encierra. Actividad de aprendizaje Suprime paréntesis: 2 (2 3 1 2 2 5 2 7) 1 (2 3 1 2 2 5 2 7). Ejemplos a) (4 2 6 1 7 1 5) 5 4 2 6 1 7 1 5 (2 3 1 5 2 9 1 8) 5 2 3 1 5 2 9 1 8 Aplicando estos dos criterios, se pueden suprimir los paréntesis en una suma algebraica. Multiplicación de números enteros Leyes de los signos del producto de enteros: El producto de dos números enteros positivos es un número entero positivo. El producto de dos números enteros negativos es un número entero positivo. El producto de un número entero positivo por un número entero negativo es un número entero negativo. El producto de un número entero negativo por un número entero positivo es un número entero negativo. Es por ello que al multiplicar números enteros se debe recordar que: a) El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. b) Si los dos factores tienen el mismo signo, el producto es positivo. Si tienen signos contrarios, el producto es negativo. Actividad de aprendizaje Si el producto de dos enteros es positivo, ¿qué se puede decir de sus factores? Ejemplos (18)(14) 5 132 (26)(25) 5 130 (17)(23) 5 221 (22)(19) 5 218 39 2 BLOQUE Utilizas magnitudes y números reales División de números enteros Operaciones con números racionales Dado cualquier número real a(a ? 0) existe otro número real que 1 1 se denota por o a21, tal que a ? 5 1. Cada uno es el recíproa a co o inverso multiplicativo del otro. La división es la operación inversa de la multiplicación. Conociendo el producto de dos factores (dividendo) y uno de ellos (divisor), se debe encontrar el otro factor (cociente). El producto del cociente por el divisor es, por tanto, igual al dividendo. Al dividir dos números enteros se debe recordar lo siguiente: a) El valor absoluto del cociente es igual al cociente de los valores absolutos del dividendo y del divisor. b) El signo del cociente es positivo si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo. Si tienen signos contrarios, el cociente es negativo. A continuación se reafirmarán los algoritmos para cada operación con números racionales, los cuales están representados por fracciones comunes. Actividad de aprendizaje Realizar la operación: ¿Qué signo tiene el cociente cuando el dividendo y el divisor tienen signos contrarios? 2 1 − = 3 2 Adición de números racionales La suma de dos fracciones se puede efectuar cuando tiene la misma unidad fraccionaria, es decir, el mismo denominador. En la adición de números racionales se presentan tres casos. 1. Suma de fracciones con el mismo denominador. Se suman los numeradores para obtener el numerador del resultado cuyo denominador es el denominador común. Actividad de aprendizaje Ejemplos Ejemplos (218) ÷ (16) 5 23 (12) ÷ (11) 5 12 (124) ÷ (28) 5 23 (26) ÷ (21) 5 16 (214) ÷ (27) 5 12 (18) ÷ (22) 5 24 Operaciones combinadas Al efectuar operaciones combinadas se debe tener presente el orden, es decir, primero se realizan las multiplicaciones y divisiones, y después las sumas y restas, a menos que los símbolos de agrupación establezcan otro orden. Ejemplos ⎡ (2 3)(5)2(12)4(2 4) ⎤ ⎡ 2 15 2(2 3) ⎤ 135 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 13 (2 2)(2 3) 6 ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎡ 2 15 13 ⎤ 5⎢ 13 ⎣ 6 ⎥⎦ 2 12 ⎤ 5 ⎡⎢ 13 ⎣ 6 ⎥⎦ 52 2 13 51 40 1 3 113 4 1 1 5 5 5 8 8 8 8 2 2 1 2 11 3 1 5 5 5 5 5 5 4 3 4 13 7 1 5 5 511 7 7 7 7 7 5 7 1 5 12 6 1 1 5 5 5 51 10 10 10 10 5 5 a c En general, si y son dos racionales, su suma es el número raa 1c b b . cional b a 1c a c 1 5 b b b 7 7 De restar 8 8 7 7 727 0 2 5 5 50 8 8 8 8 2. Sustracción de fracciones con distinto denominador. Primero se reducen a un común denominador, y después se procede como en el caso anterior. Grupo Editorial Patria® Ejemplos Multiplicación de números racionales 2 3 De restar 5 4 El producto de dos fracciones es otra fracción, cuyo numerador y denominador es el producto de los numeradores y de los denominadores, respectivamente. como el denominador común es 20, se tiene: 3 2 15 28 7 2 5 5 4 5 20 20 3. Sustracción de números mixtos. Se puede proceder de dos formas: a) Convirtiendo los números mixtos en fracciones impropias y después proceder como en el caso anterior. Actividad de aprendizaje Multiplicación de números racionales 2 3 1 × = , ¿por qué el producto es menor que cualquiera de los fac3 4 2 tores? Ejemplos 1 1 De 5 restar 2 4 2 Ejemplos 1 1 21 5 5 22 5 2 4 2 4 2 21210 5 4 11 5 4 3 52 4 b) Restando por separado los enteros y las fracciones y sumando después los resultados. Al hacerlo de esta forma se debe tener cuidado, pues en ocasiones la fracción del minuendo es menor que la del sustraendo, en cuyo caso es necesario transformarlo a fin de hacer posible la resta. 1 1 En el ejemplo anterior es menor que , entonces se 4 2 5 1 4 1 transforma 5 en 4 1 1 5 4 , así: 4 4 4 4 1 5 1 1 5 22 5 4 22 2 4 2 4 ⎛ 5 1⎞ 5( 4 2 2)1⎜ 2 ⎟ ⎝ 4 2⎠ 522 521 4 3 521 4 3 52 4 Multiplica 3 4 por 6 5 4 3 4 3 3 12 2 3 5 5 5 5 6 5 36 30 5 Ejemplos Multiplica 3 7 por 4 8 Multiplica 4 por 3 4 7 3 7 3 3 21 3 5 5 8 4 8 3 4 32 4 3 4 33 12 3 5 5 53 1 4 134 4 a c y son dos números racionales su producto es el b d acc número racional . bd a c ac 3 5 b d bd En general, si División de números racionales El cociente de dos números racionales se obtiene al multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor. 41 2 BLOQUE Utilizas magnitudes y números reales ¿Cómo se procede para transformar en una multiplicación la división de dos racionales? Ejemplos Múltiplos y divisores. Divisibilidad 3 2 3 5 4 5 3 7 5 7 2 15 5 14 1 51 14 3 18 3 18 4 18 4 5 4 5 3 4 1 4 1 3 72 5 3 5 24 1 2 1 8 4 5 3 2 8 2 2 8 5 4 4 5 2 522 1 2 9 17 9 3 4 45 5 4 5 3 2 3 2 3 2 17 27 5 34 3 3 6 3 1 46 5 4 5 3 5 5 1 5 6 3 5 30 1 5 10 1 9 7 9 2 9 43 5 4 5 3 2 1 2 1 7 18 5 7 4 52 7 Se dice que un número es múltiplo de otro cuando contiene a ese otro un número exacto de veces. Así: 6 es múltiplo de 1 porque contiene a 1 seis veces, es decir, 1 × 6 5 6 6 es múltiplo de 2 porque contiene a 2 tres veces, es decir, 2 × 3 5 6 6 es múltiplo de 3 porque contiene a 3 dos veces, es decir, 3 × 2 5 6 6 es múltiplo de 6 porque contiene a 6 una vez, es decir, 6 × 1 5 6 Por tanto, 6 es múltiplo de 1, 2, 3 y 6. De manera semejante, 9 es múltiplo de 1, 3 y 9; 12 es múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6 y 12; 18 es múltiplo de 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Dado un número, sus múltiplos se obtienen multiplicándolo por los números naturales. Por ejemplo, los múltiplos de 6 son 6 × 1 5 6, 6 × 2 5 12, 6 × 3 5 18, 6 × 4 5 24, 6 × 5 5 30, etcétera. A los múltiplos de 2 se les llama números pares. A los que no son múltiplos de 2 se les llama números impares. Actividad de aprendizaje ¿El número cero es par? Fundamenta tu respuesta. Divisibilidad Ejemplos 14 12 14 1 2 4 412 5 4 5 3 3 1 3 12 3 14 5 36 7 5 18 42 a c y son dos números racionales, el cociente se b d obtiene transformando la división en una multiplicación que siempre tiene como uno de sus factores el recíproco del divisor. a c a d 4 5 3 (c y d son distintos de cero) b d b c a b 5 a 3d c b c d En general, si Actividad de aprendizaje Se dice que un número es divisible entre otro cuando el cociente del primero entre el segundo es exacto, o sea que el residuo es cero. Ejemplos 20 5 5, o sea que 4 × 5 5 20, y 4 20 a su vez 20 es divisible entre 5 porque 5 4 , ya que 5 × 4 5 20. 5 20 es divisible entre 4 porque Grupo Editorial Patria® La divisibilidad de un número entre otro se puede hallar a partir de ciertas reglas que se conocen como criterios de divisibilidad. Entre los más utilizados están los siguientes: 760 se piensa o se dice 152 quinta de 7, uno Divisibilidad entre 2 Un número es divisible entre 2 cuando la cifra de sus unidades es múltiplo de 2, es decir, cuando el número termina en cifra 0, 2, 4, 6, 8. quinta de 26, cinco quinta de 10, dos Divisibilidad entre 3 Ejemplos Un número es divisible entre 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es 3 o un múltiplo de 3. 270 es divisible entre 2 pues termina en 0. Ejemplos 86 es divisible entre 2 pues termina en 6. 547 no es divisible entre 2, ya que termina en cifra impar. En la práctica, para dividir entre 2, se saca mitad. 18 es divisible entre 3 porque 1 1 8 5 9 y 9 es múltiplo de 3. 54 es divisible entre 3 porque 5 1 4 5 9 y 9 es múltiplo de 3. 648 es divisible entre 3 porque 6 1 4 1 8 5 18 y 18 es múltiplo de 3. La división entre tres se realiza sacando tercera. Ejemplos Divide 270 entre 2. Ejemplos La operación se realiza de la siguiente forma: 270 135 se empieza por sacar mitad a la primera cifra de la izquierda y se dice o se piensa: mitad de 2, uno; se escribe 1 debajo de 2 mitad de 7, tres; se escribe 3 debajo de 7, la decena restante se convierte en unidades mitad de 10, cinco; se escribe 5 debajo de 0 así se obtiene 135, que es la mitad de 270. 648 4 3 648 216 5 418 4 3 5 418 1 806 Números primos En el conjunto de los números naturales se observa que hay un número que sólo tiene un divisor (el uno), otros que tienen sólo dos divisores (el dos, el tres, el cinco, etc.) y otros más que tienen más de dos divisores (el cuatro, el seis, el ocho, etcétera). Divisibilidad entre 5 Los números naturales que sólo tienen dos divisores se llaman números primos. Los números naturales que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos. Un número es divisible entre 5 cuando la cifra de sus unidades termina en 0 o en 5. A los números primos que son divisores de un número compuesto se les llama factores primos de dicho número. Ejemplos Descomposición de un número en sus factores primos 235 es divisible entre 5 porque termina en 5. 640 es divisible entre 5 porque termina en 0. La división de un número entre 5 se efectúa sacando quinta. Por ejemplo: 760 4 5 Todo número compuesto se puede expresar como el producto de sus factores primos en forma única. Para ello se divide el número entre el menor divisor primo posible; el cociente obtenido se vuelve a dividir entre el menor divisor primo posible; se repite el procedimiento hasta obtener un cociente igual a la unidad. El número dado es igual al producto de sus divisores primos. 43 2 BLOQUE Utilizas magnitudes y números reales Ejemplos Ejemplos Descompón 45 en sus factores primos. 45 : 3 5 15 15 : 3 5 5 5:551 Entonces: 45 5 3 × 3 × 5 5 32 × 5 Sean los números 2 y 3, sus múltiplos son: de 2 los números 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, . . . de 3 los números 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,. . . Como se puede observar, los múltiplos comunes de 2 y 3 son 6, 12, 18, 24; el menor de ellos es el 6, por lo que el mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6, que se acostumbra anotar así: La operación se dispone colocando el número compuesto a la izquierda de una línea vertical, debajo de él se colocan los cocientes y a la derecha de la línea los divisores primos. 45 15 5 1 3 3 5 m.c.m {2, 3} 5 6 Sean los números 12 y 18, sus múltiplos son: de 12 los números 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, . . . de 18 los números 18, 36, 54, 72, 90, . . . donde 36 es el menor de los múltiplos comunes y, por tanto, m.c.m {12, 18} 5 36 Una forma abreviada de obtener el m.c.m. consiste en disponerlos de la siguiente forma: Ejemplos Halla el m.c.m. de 2 y 3. Descompón 180 en sus factores primos. 2 3 2 180 2 1 3 3 90 2 1 1 45 3 15 3 5 5 por tanto: m.c.m. {2, 3} 5 2 × 3 5 6 1 Entonces, 180 5 2 3 2 3 3 3 3 3 5 5 2 3 3 3 5 2 2 Se dividen todos o algunos de los números entre el menor divisor común posible. Si todos son divisibles se anotan los cocientes debajo de ellos; si alguno no es divisible, se repite debajo. Se repite la operación hasta que los cocientes obtenidos sean iguales a 1. Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de dichos números. Ejemplos Halla el m.c.m. de 12 y 18. Actividad de aprendizaje ¿Cuál es el m.c.m. de 2, 3 y 4? por tanto, m.c.m. {12, 18] 12 18 2 6 9 2 3 9 3 1 3 3 1 1 52323333 5 22 3 32 5 36 44 Grupo Editorial Patria® Halla el m.c.m. de 3, 4 y 5. por tanto, m.c.m. {3, 4, 5} 3 4 5 2 3 2 5 2 3 1 5 3 1 1 5 5 1 1 1 Una forma abreviada consiste en proceder de manera semejante a la forma en que se explicó para el mínimo común múltiplo, con las siguientes observaciones: Ejemplos Halla el m.c.d. de 12 y 18. 12 18 2 52323335 6 9 2 5 22 3 3 3 5 3 9 3 5 60 1 3 3 1 1 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de dichos números. Observa que sólo en los renglones que se resaltan se tiene un divisor común de los números dados, por tanto, sólo esos divisores se toman en cuenta para determinar el máximo común divisor de 12 y 18, es decir, m.c.d. {12, 18} 5 2 × 3 Actividad de aprendizaje 56 ¿Cuál es el m.c.d. de 18, 54 y 72? Ejemplos Halla el m.c.d. de 32 y 48. Ejemplos Sean los números 12 y 18, los divisores son: de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6, de los cuales el mayor es 6; por tanto, el máximo común divisor de 12 y 18 es 6, en otras palabras: m.c.d. {12, 18] 5 6 Sean los números 12 y 24, los divisores son: 5 24 de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24 5 16 En este caso se observa que el menor de los números dados es el máximo común divisor de ambos. 16 24 2 8 12 2 4 6 2 2 3 2 1 3 2 1 1 m.c.d. {32, 48} 5 2 3 2 3 2 3 2 1, 2, 3, 4, 6, 12 m.c.d. {12, 24} 5 12 48 2 Observa que sólo en los cuatro primeros renglones se tiene un divisor común de los números dados, por lo cual el máximo común divisor de 32 y 48 es de 12: los divisores comunes son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, de los cuales el mayor es 12; por tanto, el máximo común divisor de 12 y 24 es 12, es decir, 32 Aunque el procedimiento abreviado empleado para obtener el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor son muy parecidos, es conveniente hacer notar que con el mínimo común múltiplo se busca encontrar el menor número que es divisible entre los números dados; mientras que con el máximo común divisor se busca encontrar el mayor número que divide a los números dados. 45 2 BLOQUE Utilizas magnitudes y números reales 2.2 Tasas, razones, proporciones y variaciones Ejemplos Halla el m.c.m. y el m.c.d. de 12 y 15. 12 15 2 6 15 2 3 15 3 1 5 5 1 1 Entonces el mínimo común múltiplo de 12 y 15 es La comparación por cociente entre dos números recibe el nombre de razón geométrica o por cociente. El divisor debe ser necesariamente distinto de cero. En general, si a y b son dos números (b ? 0), la razón entre el par ordenado de números a, b, es el coa ciente que se lee: “a es a b”. El número a recibe el nombre de b antecedente, y el número b se llama consecuente. Cuando la relación se establece entre dos números cuyas cantidades representan medidas de la misma especie, dichos números deben estar expresados en la misma unidad de medida. m.c.m. {12, 15} 5 2 3 2 3 3 3 5 5 22 3 3 3 5 5 60 Actividad de aprendizaje es decir, el menor número divisible entre 12 y 15 es 60. Expresar la razón de El máximo común divisor de 12 y 15 es 10 . 15 m.c.d. {12, 15} 5 3 es decir, el mayor número que divide a 12 y 15 es 3. Observa que únicamente en el tercer renglón se tiene un divisor común de los números dados. Ejemplos 1. Un recipiente A tiene una capacidad de 2 litros y otro B tiene una capacidad de 4 litros. Si se compara la capacidad de A con la de B Ejemplos la razón es Halla el m.c.m. y el m.c.d. de 12, 16 y 24. es 12 16 24 2 6 8 12 2 3 4 6 2 3 2 3 2 3 1 3 3 1 1 1 por tanto, m.c.m. {12, 16, 24} 5 2 3 2 3 2 3 2 3 3 1 de la capacidad de B. 2 Si se compara la capacidad de B con la de A la razón es 2 , es 4 decir 2, esto significa que la capacidad de B es el doble de la capacidad de A. 2. Juan tiene $200 y Pedro $1 000, la razón de lo que tiene Juan y lo 1 200 , o sea de lo que tiene Pedro. 5 1 000 1 000 La razón de lo que tiene Pedro y lo que tiene Juan es , o sea 200 que tiene Pedro es 5 24 3 3 5, esto denota que Pedro tiene 5 veces lo que tiene Juan. 5 16 3 3 Dada una razón, se puede obtener otra equivalente multiplicando o dividiendo sus términos por un mismo número (diferente de cero). 5 48 48 es el menor número divisible entre 12, 16 y 24. m.c.d. {12, 16, 24} 5 2 3 2 54 4 es el mayor número que divide a 12, 16 y 24. 46 2 1 , es decir , lo cual significa que la capacidad de A 4 2 3 332 6 5 5 4 432 8 3 3 3n ;n ≠ 0 5 4 4 3n Grupo Editorial Patria® Cuando la razón se establece entre cantidades de distinta especie, no es posible emplear la misma unidad de medida. De esta manera, la velocidad expresa la razón que existe entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla. A esto se le conoce como tasa. La igualdad de dos razones se llama proporción. Ejemplos 4 6 Para tu reflexión La razón de 4 a 6 es , es decir Investiga el consumo mensual de energía eléctrica en tu casa y en tu escuela y compáralos. ¿Qué medidas concretas se pueden adoptar para el ahorro de la energía eléctrica? La razón de 10 a 15 es 4 10 5 6 15 que se lee: “4 es a 6 como 10 es a 15”. La proporción también se puede escribir así: 4:6 5 10:15 que se lee de igual forma. a c En general, si y representan la misma razón, resulta la proporb d ción: Significado de razón, tasa y proporción 1. Un terreno de 420 m2 de superficie se divide en dos lotes, de 3 tal manera que uno es del otro. ¿Cuánto mide cada lote? 4 Pasos 1° 3 1 4 5 7 (Se suman los términos de la razón.) 420 560 7 (Se divide el número dado entre la suma de los términos de la razón.) 3° 3360 180 5 4 360 240 10 2 , es decir . 15 3 Puesto que las dos razones son iguales, se puede escribir, Compara los resultados que hayas obtenido y en grupo definirán las medidas que consideren más convenientes para ahorrar energía eléctrica. 2° 2 . 3 (Se multiplica cada término de la razón por el cociente obtenido.) 2 2 Por tanto, un lote mide 180 m y el otro, 240 m . 2. Dos grupos, A y B, tienen en total 105 alumnos. ¿Cuántos 7 alumnos tiene cada grupo si la razón de A y B es ? 8 1° 7 1 8 5 15 1055 57 15 7 3 7 49 3° 5 18 3 7 56 2° a c 5 b d Las cantidades a, b, c y d se llaman términos de la proporción. El primero y el cuarto (a y d) son los extremos, el segundo y el tercero (b y c) son los medios. Para tu reflexión Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros del grupo para resolver el siguiente problema. En una empresa procesadora de alimentos se ha diseñado una lata de forma cilíndrica de 11 cm de altura. Una vez eliminado el desperdicio, el material del que se dispone para cada lata es de 502.4 cm2, ¿cuánto debe medir el radio de la base? Organícense en equipos para encontrar la solución del problema. 1. Que cada equipo exponga el procedimiento que empleó para llegar a la solución. Por tanto, el grupo A tiene 49 alumnos y el grupo B, 56 alumnos. 47 2 BLOQUE Utilizas magnitudes y números reales Ejemplos 2. En caso de que se obtengan soluciones diferentes den argumentos a favor y en contra de cada una de ellas. 2 4 5 3 6 6 es cuarta proporcional de 2, 3 y 4. 3. En plenaria discutan cuál es la solución del problema. 4 es cuarta proporcional de 2, 3 y 6. 3 es cuarta proporcional de 2, 4 y 6. 2 es cuarta proporcional de 3, 4 y 6. Propiedad fundamental de las proporciones Cálculo de un término en una proporción Para obtener el valor de un término desconocido de una proporción, se aplica la propiedad fundamental y se efectúan las operaciones necesarias. La propiedad fundamental de las proporciones establece que: en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a c 5 si y sólo si ad 5 bc b d Actividad de aprendizaje Las proporciones cuyos medios o extremos son iguales, se llaman proporciones continuas. 3 x = x 27 Halla el valor de x en: Ejemplos 16 8 5 8 4 10 50 5 2 10 El término que se repite se llama media proporcional entre los otros dos. En los ejemplos anteriores: 8 es media proporcional entre 16 y 4. 10 es media proporcional entre 2 y 50. Cualquiera de los términos desiguales de una proporción continua, es tercera proporcional de los otros dos, es decir, entre el término que se repite y el desigual. En los ejemplos anteriores: 16 es tercera proporcional de 8 y 4. 4 es tercera proporcional de 8 y 16. 2 es tercera proporcional de 10 y 50. 50 es tercera proporcional de 10 y 2. Cualquiera de los términos de una proporción no continua (discreta) es cuarta proporcional de los tres términos restantes. 48 Ejemplos 12 18 5 6 x 5 24 x 5 15 12 18(x ) 5 12(6) 15(x ) 5 24(12) 18x 5 72 15x 5 288 x5 72 18 x54 x 2 5 32 x x (x ) 5 32(2) x 5 64 2 x5 288 15 x 5 19.2 x 18 5 18 36 36(x ) 5 18(18) 36x 5 324 324 36 x 5 64 x5 x58 x59 Grupo Editorial Patria® Variación directamente proporcional y su modelo 40x 5 23 040 Dadas dos cantidades, si a un aumento de una corresponde un aumento para la otra, o a una disminución de una corresponde una disminución de la otra, se dice que tales cantidades son directamente proporcionales. Cantidades directamente proporcionales son: a) La distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla cuando la velocidad es constante. b) El lado de un polígono regular y su perímetro. c) El radio y la longitud de una circunferencia. d) El interés que produce el dinero ahorrado en un banco y la cantidad de dinero depositada. e) El importe del consumo de electricidad y el número de kilovatios hora consumidos. Actividad de aprendizaje ¿Por qué se dice que dos cantidades varían de manera directamente proporcional? x5 23 040 40 x 5 576 km En una variación directamente proporcional el cociente es consy tante. Si x e y varían directamente proporcional entonces = k , o x bien y 5 kx, donde k es la constante o tasa de variación. Variación inversamente proporcional y su modelo Dadas dos cantidades, puede ocurrir que a todo aumento de una corresponda una disminución para la otra, o que a toda disminución de una corresponda un aumento para la otra. Cuando esto ocurre se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales. Cantidades inversamente proporcionales son: a) Para una misma obra, el número de obreros y el tiempo empleado para realizarla. b) Para una misma distancia, la velocidad de un móvil y el tiempo en recorrerla. c) A temperatura constante, el volumen de los gases y las presiones a las cuales se someten. d) Para una cantidad de víveres, el número de personas y el tiempo que tardarán en consumirlos. Ejemplos 1. Si por el consumo de 40 m3 se pagan 20.80 unidades de dinero, ¿cuánto se pagará por un consumo de 37 m3? 37 40 5 2 0 . 80 x En una variación inversamente proporcional el producto es constante. Si x y y varían inversamente proporcional entonces xy 5 k k o bien y = donde k es la constante o tasa de variación. x 40(x ) 5 37(20.80) 40x 5 769.60 x5 769 . 60 40 x 5 19.24 unidades de dinero 2. A 40 km/h, un tren recorre 320 km. ¿Qué distancia recorrerá en el mismo tiempo a 72 km/h? 40 72 5 320 x 40(x ) 5 72(320) Ejemplos 1. Para hacer una obra en 42 días, se emplean 23 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 7 días? 42 23 = ; como la variación es inversamente proporcional se in7 x 42 x = vierten los términos de la segunda razón 7 23 42(23) 5 7(x) 7x 5 966 49 2 BLOQUE Utilizas magnitudes y números reales x5 966 7 T x 5 138 obreros V K 2. Un grupo de 20 excursionistas llevan provisiones para 15 días. Si al momento de partir, el grupo aumenta a 24 excursionistas, ¿cuántos días les durarán las provisiones? 20 15 = 24 x ⎛ 20 x ⎞ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 24 15 K K K 5. Se dispone de una cantidad fija de dinero para comprar (m ) metros de tela a un precio (p ) por metro. Toma cinco precios por metro y calcula el número de metros de tela que se pueden comprar, si se cuenta con $5 000.00 20(15) 5 24(x ) $ 24x 5 300 x5 P K p m 5 000.00 300 24 5 000.00 x 5 12.5 días 5 000.00 3. En un movimiento uniforme, la velocidad (v ) de un móvil y el Tiempo(t ) en recorrer una distancia dada son inversamente proporcionales. 5 000.00 5 000.00 Considera que la distancia entre dos ciudades es de 300 km y construye una tabla que exprese velocidad y tiempo. 6. Una obra la realizan 50 obreros en 15 días, ¿cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 12 días? Utiliza cinco valores de velocidad y calcula los tiempos correspondientes. 7. Un grupo de 30 personas cuenta con provisiones para 15 días, si el grupo se incrementa a 35 personas, ¿durante cuántos días tendrán provisiones? d v t 300 km 300 km Actividad de aprendizaje 300 km 300 km 300 km 4. A temperatura constante, la presión (P ) de un gas y el volumen (V ) son inversamente proporcionales. Utiliza cinco valores de presión y calcula el volumen correspondiente cuando la temperatura se mantiene constante. 50 ¿Por qué se dice que dos cantidades varían inversamente proporcional? Grupo Editorial Patria® Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 2. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. De un cable que mide 18 1 2 m de largo se han utilizado 5 m, 4 3 7. Un terreno de 800 m2 se divide en dos lotes que están en la razón 3:5. ¿Cuánto mide cada lote? ¿qué cantidad de cable queda? 2. El radio de la Tierra mide aproximadamente 6 366.666 kiló- 8. En una proporción sus medios son 9 y uno de sus extremos es 27, ¿cuál es el otro? 2 metros, ¿cuánto mide el radio de la Luna si es del radio 7 de la Tierra? 9. Un automóvil tiene un rendimiento de 15 km por litro de gasolina, ¿cuántos litros se necesitan para recorrer 180 kilómetros? 7 3 − 3. Obtén el resultado de 8 5 = 1 2 10. Un cuadrado mide 15 cm por lado, si se duplica el lado, ¿por cuánto se multiplica su área? 4. Por medio de un diagrama representa la relación que existe entre los números reales, racionales, irracionales, enteros y naturales. 5. Resuelve y representa gráficamente x + 4 = 1 . 6. Tres anuncios luminosos se encienden con intervalos de 12, 15 y 18 segundos, respectivamente. Si los tres se encendieron a las 7 de la noche, ¿a qué hora volverán a encenderse al mismo tiempo? 51 2 BLOQUE Utilizas magnitudes y números reales Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones: Esta rúbrica es para evaluar plenaria. Nombre del alumno: Excelente (4) Bueno (3) Regular (2) Utiliza de manera convincente el tono de voz, Gestos o entusiasmo. Mantiene una buena postura frente al grupo. Utiliza de manera convincente Dos elementos de tono devoz, Gestos o entusiasmo. Mantiene una buena postura frente al grupo. Utiliza de manera convincente sólo un elemento en tono de voz, gestos o entusiasmo. Mantiene una postura aceptable ante el grupo. No utiliza de manera convincente el tono de voz, los gestos ni el entusiasmo. Mantiene mala postura y mala ubicación frente al grupo. Todo el tiempo expresa sus puntos de vista de manera clara y ordenada. Muestra organización en el intercambio de ideas. En algunos momentos expresa sus puntos de vista de manera clara y ordenada. Muestra organización en el desarrollo de ideas. En algunos momentos expresa sus puntos de vista de manera clara, pero no de manera ordenada. No muestra organización en el desarrollo de ideas No expresa sus puntos de vista. No hay organización en el intercambio de ideas. Ejemplificación Argumenta la posición de su equipo con información suficiente y refuerza la postura con ejemplos en todo momento. Argumenta la posición de su equipo pero con información insuficiente. Sólo refuerza con escasos ejemplos. Presenta algunas evidencias para defender la postura de su equipo. No maneja ningùn ejemplo de refuerzo. No presenta evidencias para la defensa de la postura de su equipo. no presenta ejemplos que refuercen las ideas. Calidad y Cantidad de Información Presenta información suficiente, adecuada y sustentable para rebatir las ideas y opiniones del equipo contrario. Presenta información adecuada y sustentable pero insuficiente para rebatir las ideas y opiniones del equipo contrario. Parcialmente presenta información suficiente para rebatir las ideas y opiniones del equipo contrario. No presenta información Suficiente o adecuada Para rebatir las opiniones Del equipo contrario. Muestra coherencia en sus comentarios, denota su conocimiento sobre el tema. Maneja los términos adecuados y correctos. Muestra coherencia en sus comentarios y denota conocimiento del tema. Maneja parcialmente los términos adecuados y correctos. Muestra parcial coherencia en sus comentarios. Denota mínimo conocimiento del tema. Maneja algunos términos adecuados y correctos. No muestra coherencia en sus comentarios. No maneja los términos correspondientes o adecuados. Respeta todo el tiempo las opiniones del equipo contrario. No interrumpe, ni critica a sus compañeros. La mayor parte del tiempo respeta las opiniones del equipo contrario. No interrumpe, ni critica a sus compañeros. Algunas veces no respeta la opinión del equipo contrario, y en varias ocasiones interrumpe ni crítica a sus compañeros. No respeta las opiniones del equipo contrario. Interrumpe ni crítica a sus compañeros. Aspecto a evaluar Presentación Organización y Claridad Coherencia Respeto Comentarios Generales 52 Deficiente (1) Grupo Editorial Patria® Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones: Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 2. Nombre del alumno: Excelente (4) Bueno (3) Regular (2) Deficiente (1) Distintas formas de representación y operaciones con números reales Determina el valor absoluto de un número real. Establece relaciones de orden entre números reales. Determina la distancia entre dos puntos de la recta numérica real. Determina el valor absoluto de un número real. Establece relaciones de orden entre números reales. Determina la distancia entre algunos pares de puntos de la recta numérica real. Determina el valor absoluto de un número real. Establece relaciones de orden entre números reales. No determina el valor absoluto de un número real. No establece relaciones de orden entre números reales. No determina la distancia entre dos puntos de la recta numérica real. Propiedades fundamentales de la operaciones aritméticas Realiza las operaciones básicas con enteros y racionales. Calcula el m.c.m. y m.c.d. Realiza por lo menos tres de las operaciones básicas con enteros y racionales. Calcula el m.c.m. y m.c.d. Realiza por lo menos dos de las operaciones básicas con enteros y racionales. Calcula el m.c.m. y m.c.d. No realiza las operaciones básicas con enteros ni racionales. No calcula el m.c.m. ni el m.c.d. Distintas formas de comparación y relación entre números reales Conoce los conceptos de: razón, tasa, proporción y variación. Conoce los conceptos de: razón, tasa, proporción. Conoce los conceptos de: razón y proporción. No conoce los conceptos de: razón, tasa, proporción o variación. Propiedad fundamental de las proporciones Conoce y aplica la propiedad fundamental de las proporciones. Calcula el valor de un término en una proporción. Conoce y aplica la propiedad fundamental de las proporciones. Calcula el valor de un término en la mayoría de las proporciones. Conoce y aplica la propiedad fundamental de las proporciones. Calcula el valor de un término en algunas proporciones. No conoce ni aplica la propiedad fundamental de las proporciones. No calcula el valor de un término en una proporción. Variación directa e inversamente proporcional Conoce y aplica los conceptos de variación proporcional directa e inversa. Calcula el valor de un término en una proporción directa o inversa Conoce y aplica los conceptos de variación proporcional directa e inversa. Calcula el valor de un término en una proporción directa o inversa, en la mayoría de los casos. Conoce y aplica los conceptos de variación proporcional directa e inversa. Calcula el valor de un término en una proporción directa o inversa, en algunos casos. No conoce ni aplica los conceptos de variación proporcional directa e inversa. No calcula el valor de un término en una proporción directa o inversa. Aspecto a evaluar Criterios Comentarios Generales 53 Realizas sumas y sucesiones de números 3 B LO Q U E Objetos de aprendizaje 3.1 Representación de relaciones entre magnitudes. 3.2 Modelos aritméticos o algebraicos. Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos en situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructivista, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. ¿Qué sabes hacer ahora? 1. Forma una progresión aritmética de 7 términos en la que el primer término sea 5 y la diferencia sea 3. 2. Agrega 5 términos a la progresión: 3, 8, 13, . . . 3. Calcula el enésimo término y la suma de los términos de la progresión aritmética: 3, 7, 11, . . . (15 términos). 4. Dados 3 de los 5 elementos de la progresión aritmética a1 5 23, d 5 22, an 5 5 encuentra los otros 2. 5. Interpola tres medios aritméticos entre 21 y 33. 6. Para la siguiente progresión geométrica 1, 2, 4, . . . , encuentra el décimo término. 7. Para la progresión geométrica 2, 24, 8, . . . , encuentra la suma hasta el séptimo término. 8. Interpola un medio geométrico entre 4 y 25. 9. Dados tres de los cinco elementos de la progresión geométrica donde a1 5 2, r 5 3, n 5 5, encuentra an y Sn. 10. Halla la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente: 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, . . . Desempeños por alcanzar Identifica y diferencia las series y sucesiones numéricas así como sus propiedades. de términos de las sucesiones. Clasifica las sucesiones numéricas en aritméticas y geométricas. Realiza cálculos obteniendo el enésimo término y el valor de cualquier término en sucesión aritmética y geométrica tanto finita como infinita mediante las fórmulas correspondientes. Determina patrones de senos y sucesiones aritméticas y geométricas. Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas y geométricas. Emplea la calculadora para la verificación del resultado en los cálculos de obtención Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas y algebraicas. 3 BLOQUE Realizas sumas y sucesiones de números Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Se disponen 100 pelotas en línea recta a intervalos de 90 centímetros. Sobre esa misma línea y a 90 centímetros de uno de sus extremos se pone un recipiente en el que se van a colocar las pelotas. Una persona parte del recipiente, recoge la primera pelota y la coloca en el recipiente, después recoge la segunda pelota y la coloca en el recipiente, y así sucesivamente hasta recoger las 100 pelotas. ¿Qué distancia ha recorrido cuando termina? Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. ¿Qué tienes que hacer? tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Cada equipo debe investigar: Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. ¿Cuál es el primer término de la sucesión? Evaluación por producto ¿Cómo se determina el n-ésimo término? ¿Qué fórmula debe utilizar para calcular el n-ésimo término? A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. ¿Cómo se determina la suma de los n términos? En este ejemplo: Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. ¿Qué fórmula debe utilizar para calcular la suma de los n términos? Producto a elaborar Trabajo individual Determinación del primer término de la sucesión. Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Fórmula y cálculos realizados para la obtención del n-ésimo término. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep- Fórmula y cálculos realizados para la obtención de la suma de los n términos. Rúbrica Para determinar la distancia recorrida que se pide debes anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es- 56 ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. Grupo Editorial Patria® Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Un jardinero debe depositar una carretilla de tierra al pie de cada uno de los 30 árboles que están a un lado de una calzada. Los árboles están a intervalos de 6 metros y el montón de tierra está a 10 metros del primer árbol. ¿Qué distancia habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y regresado la carretilla al montón de tierra? Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cuál es el primer término de la sucesión? ¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. ¿Cómo se determina el n-ésimo término? Producto a elaborar ¿Qué fórmula debe utilizar para calcular el n-ésimo término? Determinación del primer término de la sucesión. ¿Cómo se determina la suma de los n términos? ¿Qué fórmula debe utilizar para calcular la suma de los n términos? Fórmula y cálculos realizados para la obtención del n-ésimo término. Trabajo individual Fórmula y cálculos realizados para la obtención de la suma de los n términos. Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar la distancia recorrida que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 57 3 BLOQUE Realizas sumas y sucesiones de números Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Si una pelota cae de una altura de 10 metros y rebota hasta una de 5, cae y rebota 2.5 metros y así sucesivamente, ¿cuál es el límite de la distancia que recorrería? Secuencia didáctica ¿Qué tienes que hacer? Forma equipos para resolver el problema. Trabajo individual Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Cada equipo debe investigar: ¿Cuál es el primer término de la sucesión? ¿Cómo se determina el n-ésimo término? ¿Qué fórmula debe utilizar para calcular el n-ésimo término? ¿Cómo se determina la suma de los n términos? Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. ¿Qué fórmula debe utilizar para calcular la suma de los n términos? Producto a elaborar ¿Cuál es la parte fija y la parte variable en la fórmula para calcular la suma de los n términos? Determinación del primer término de la sucesión. ¿Cómo se obtiene el límite de cada parte de la fórmula? ¿Cómo se obtiene la suma de este tipo de progresión? Rúbrica Para determinar la distancia recorrida que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es- 58 Fórmula y cálculos realizados para la obtención del n-ésimo término. Fórmula y cálculos realizados para la obtención de la suma de los n términos. ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. Grupo Editorial Patria® Propuestas de diseño de situaciones didácticas Parte I 1. Forma una progresión aritmética de 7 términos en la que el primer término sea 5 y la diferencia sea 3. 2. Forma una progresión aritmética de 8 términos con 12 como primer término y la diferencia sea 23. 3. Agrega 5 términos a la progresión: 3, 8, 13, . . . 4. Calcula el n-ésimo término y la suma de los términos de las progresiones aritméticas: a) 3, 7, 11, . . . (15 términos) b) 5, 9, 13, . . . (20 términos) c) 40, 32, 24, . . . (12 términos) d) 12, 3, 26, . . . (18 términos) e) 21 4 , 172, , . . . 3 3 (16 términos) 11. En la progresión aritmética 15, 12, 9, . . . , ¿cuántos términos se deben tomar para que su suma sea 42? Escribe la progresión y explica por qué son dos las soluciones. 12. Trescientos soldados forman un triángulo. En la primera fila hay un soldado, dos en la segunda, tres en la tercera y así sucesivamente. ¿Cuántos soldados tiene la última fila? Parte II 1. Para cada una de las siguientes progresiones geométricas encuentra el término que se indica: a) 1, 2, 4, . . . décimo término b) 4, 12, 36, . . . décimo término c) 4, 216, 64, . . . séptimo término decimotercer término d) 23, 9, 227, . . . e) 1, a) a1 5 23, d 5 22, an 5 5 b) a1 5 3, n 5 13, d 5 2 c) a1 5 95, n 5 19, an 5 5 g) an 5 18, Sn 5 88, d 5 2 h) a1 5 2, an 5 18, Sn 5 90 i) a1 5 96, n 5 8, an 5 68 j) a1 5 2, an 5 24, Sn 5 156 6. Interpola 10 medios aritméticos entre 2 y 24, esto es, forma una progresión aritmética de 12 términos donde el primero sea 2 y el último 24. a) 2, 24, 8, . . . séptimo b) 3, 6, 12, . . . sexto c) 3, 29, 27, . . . noveno d) 4, 12, 36, . . . octavo e) 1, d) a1 5 3, an 5 39, Sn 5 210 f ) a1 5 3, d 5 2, Sn 5 120 octavo término 2. Para cada una de las siguientes progresiones geométricas encuentra la suma hasta el término que se indica: 5. Dados tres de los cinco elementos de una progresión aritmética encuentra los otros dos. e) n 5 100, an 5 199, Sn 5 10 000 1 1 , ,... 2 4 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1 1 , ,... 2 4 noveno Interpola un medio geométrico entre 4 y 25. Interpola un medio geométrico entre 7 y 63. Interpola tres medios geométricos entre 3 y 243. Interpola cuatro medios geométricos entre 243 y 1. Interpola dos medios geométricos entre 161 y 4347. Dados tres de los cinco elementos de una progresión geométrica, encuentra los otros dos. a) a1 5 2, r 5 3, n 5 5, encontrar an y Sn. b) an 5 384, r 5 2, n 5 8, encontrar a1 y Sn. 7. Interpola seis medios aritméticos entre 1 y 5. c) a1 5 5, an 5 1 280, n 5 9, encontrar r y Sn. 8. Interpola tres medios aritméticos entre 21 y 33. 1 , n 5 6, Sn 5 2 730, encontrar a1 y an. 4 1 e) an 5 3, r 5 , n 5 5, encontrar a1 y Sn. 7 9. En una progresión aritmética el primer y tercer término son 21 y 33, respectivamente, encuentra la suma de los cinco primeros términos. 10. En una progresión aritmética el primer término es 40 y la suma de los cinco primeros es 128. ¿Qué lugar ocupa el término 11.2? d) r 5 9. En una progresión la suma de sus términos es 381, el primer término es 3 y el último 192. Halla la razón y el número de términos. 59 3 BLOQUE Realizas sumas y sucesiones de números 10. En una progresión geométrica el primer término es 5 y la razón es 2. ¿Qué lugar ocupa el término 1 280? Largo es el camino de la enseñanza por medio de las teorías; breve y eficaz por medio de los ejemplos. Séneca Parte III 1. Halla la suma de los términos de las progresiones geométricas decrecientes: 1 1 a) 8, 4, 2, 1, , , . . . 2 4 b) 1 1 1 1 , , , ,... 2 4 8 16 c) 1, 1 1 1 , , ,... 4 16 64 d) 1, 21 1 21 1 , , , ,... 2 4 8 16 e) 32, 215, 8, 24, . . . 1 1 f ) 2, 1, , , . . . 2 4 g) 99, 33, 11, . . . h) 625, 250, 100, . . . i) 625, 125, 25, . . . j) 1, 21 1 21 , , ,... 9 81 729 2. Halla la fracción generatriz de la fracción decimal periódica. a) 0.272727. . . b) 0.520520520. . . c) 0.444444. . . d) 0.7656565. . . e) 0.1233333 3. En un cuadrado de lado a se unen los puntos medios de dos lados consecutivos para formar otro cuadrado, en éste se repite la operación para formar un nuevo cuadrado y así sucesivamente. Encuentra el límite de la suma de las áreas de todos los cuadrados así formados. Introducción Se parte de la representación de números mediante arreglos que sugieren un principio de formación que se puede expresar algebraicamente. Se introduce el concepto de sucesión y se aborda lo relacionado con las sucesiones aritméticas y geométricas así como con las series correspondientes para determinar la suma de sus términos. Finalmente, se trata lo relacionado con la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente infinita para obtener la fracción generatriz de una fracción decimal periódica. 3.1 Representación de relaciones entre magnitudes Sucesiones y series aritméticas Algunas colecciones de números se encuentran ordenadas, y de acuerdo con el lugar que ocupa cada una de ellas las podemos nombrar como primera, segunda, tercera, etcétera. Cada uno de los números de esas colecciones recibe el nombre de término. Los términos de una colección se obtienen con base en una relación constante entre dos términos consecutivos para formar una sucesión o progresión de números. Se llama razón a la relación entre dos términos consecutivos de una progresión. Cuando la razón corresponde a una cantidad que se aumenta a cada término para obtener al siguiente se trata de una progresión aritmética. Esto significa que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. En la progresión: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 Los términos son: 60 Primero 1 Segundo 3 Tercero 5 Cuarto 7 Quinto 9 Grupo Editorial Patria® Sexto 11 El quinto término es 71259 Séptimo 13 El sexto término es 9 1 2 5 11 El séptimo término es Se observa que la relación entre dos términos consecutivos es: 3 2 1 5 5 2 3 5 7 2 5 5 9 2 7 5 11 2 9 5 13 2 11 5 2 Por tanto la razón es 2. 11 12 5 13 La razón es 2, pues a partir del primer término los sucesivos se obtienen sumando 2 al anterior. En la progresión En la progresión: 88, 84, 80, 76, 72, 68, 64, 60 88, 84, 80, 76, 72, 68, 64, 60 El primer término es 88 y el último término es 60. Los términos son: Primero 88 Segundo 84 Tercero 80 Cuarto 76 Quinto 72 Sexto 68 Séptimo 64 Octavo 60 Se observa que la relación entre dos términos consecutivos es: 84 2 88 5 80 2 84 5 76 2 80 5 72 2 76 5 68 2 72 5 64 2 68 5 60 2 64 5 24 El primer término es 88 El segundo término es 88 1 (24) 5 84 El tercer término es 84 1 (24) 5 80 El cuarto término es 80 1 (24) 5 76 El quinto término es 76 1 (24) 5 72 El sexto término es 72 1 (24) 5 68 El séptimo término es 68 1 (24) 5 64 El octavo término es 64 1 (24) 5 60 La razón es 24, pues a partir del primer término los sucesivos se obtienen sumando 24 al anterior. En los conjuntos Por tanto, la razón es 24. Al tratar con números enteros consecutivos como los siguientes: 2, 3, 4, 5 . . . , n 1 1 (1) 4, 6, 8, 10, . . . , 2n 1 2 (2) 3, 5, 7, 9, . . . , 2n 1 1 (3) se observa que forman conjuntos ordenados de términos o elementos que se pueden obtener a partir de una ley de formación del conjunto. Dicha ley se expresa mediante un término general en el que n representa el número de orden del término en el conjunto. A éste se le conoce como el término n-ésimo. 2, 3, 4, 5 . . . , n 1 1 (1) 4, 6, 8, 10, . . . , 2n 1 2 (2) 3, 5, 7, 9, . . . , 2n 1 1 (3) se puede observar lo siguiente: En (1) el primer término es 2, ya que: 2 5 111 el segundo término es 3, ya que: 3 5 211 el tercer término es 4, ya que: 4 5 311 En (2) el primer término es 4, ya que: 4 5 2(1)12 Términos de sucesiones aritméticas el segundo término es 6, ya que: 6 5 2(2)12 En la progresión el tercer término es 8, ya que: 8 5 2(3)12 En (3) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 El primer término es 1 y el último término es 13. el primer término es 3, ya que: 3 5 2(1)11 El primer término es 1 el segundo término es 5, ya que: 5 5 2(2)11 El segundo término es 11253 el tercer término es 7, ya que: 7 5 2(3)11 El tercer término es 31255 El cuarto término es 51257 Este tipo de conjuntos son sucesiones aritméticas en las que se muestra su ley de formación a partir de sus términos. 61 3 BLOQUE Realizas sumas y sucesiones de números Algoritmos geométricos y aritméticos En algunos problemas, su representación a través de figuras geométricas o dibujos puede ayudar a comprender la relación entre los datos o elementos que se conocen y los que se desconocen. Ejemplos Un conjunto ordenado, de números enteros impares consecutivos, se puede representar de la siguiente forma, utilizando un cuadrito para cada unidad. tenía 10 años de edad su maestro solicitó a la clase que encontrara la suma de todos los números comprendidos del uno al cien, y quedó asombrado cuando Gauss levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta, primero el profesor creyó que un antiguo discípulo le había dado la respuesta, pero más se asombró cuando Gauss le demostró que había utilizado álgebra para resolverlo, planteó el problema de la n(n + 1) siguiente manera: S = , donde n es cualquier número entero, 2 luego puso 100 en lugar de n y encontró la solución, 5 050, por lo que Guillermo Federico, duque de Brunswick, lo ayudó a ingresar al colegio Carolino de su ciudad natal y en 1795 a la Universidad de Gotinga. Antes de cumplir 20 años Gauss descubrió su método de mínimos cuadrados, procedimiento con el cual se puede encontrar la ecuación de la curva que más se acerca a un número de observaciones y el error subjetivo es llevado al mínimo. A principios del siglo XIX, Gauss representó con exactitud las órbitas de dos planetoides, Ceres y Palas, recientemente observados, prediciendo su retorno a la visibilidad desde la Tierra. Actividad de aprendizaje Algoritmos geométricos y aritméticos ¿Qué es una sucesión? ¿Qué es una serie? Para tu reflexión Biografía de Karl Friedrich Gauss Brunswick, Alemania (1777-1855) Considerado, junto con Arquímedes y Newton, uno de los tres grandes matemáticos de la historia, Gauss legó a las matemáticas y a la astronomía una serie de extraordinarios descubrimientos. Hijo de un humilde albañil, desde muy pequeño reveló su extraordinaria capacidad para las matemáticas, cuando 62 En 1799, a los 22 años, recibió el título de doctor por parte de la Universidad de Helmstad por la demostración del teorema fundamental del álgebra, conocido como Teorema de Gauss. Su obra Disquisitiones arithmeticae, publicada en Leipzig, en 1801, sirvió como fundamento a su tratado sobre la teoría de los números. Encontró que cada ecuación algebraica tiene una raíz de la forma a 1 bi, donde a y b son números reales, mientras que i es la raíz cuadrada de 21. Los números expresados de la forma a 1 bi se llaman números complejos y Gauss demostró que éstos se podían representar mediante un punto en un plano. En 1807, a los 30 años de edad, fue nombrado profesor de matemáticas y director del observatorio astronómico de Gotinga, dos años más tarde publicó en Hamburgo su obra maestra Theoria motus corporum coelestium, la cual modificó sustancialmente la astronomía matemática. De 1820 a 1821 estuvo integrado a la comisión de Hannover para la medición del grado de meridiano terrestre y construyó un heliotropo, aparato de señales ópticas que servían para reflejar la luz solar a grandes distancias, y cuyos rayos servían para marcar líneas rectas sobre la superficie terrestre, con lo cual se pudieron lograr determinaciones trigonométricas exactas de la forma del planeta. El heliotropo contribuyó, en gran medida, para el progreso de la geodesia. A principios de 1830, la mecánica celeste del siglo XVIII estaba siendo reemplazada por la nueva teoría electromagnética; Gauss fue uno de los primeros científicos que trabajaron sobre esta nueva idea. En 1833 inventó un telégrafo eléctrico que usó en su casa y en el observatorio, a una distancia de 2 kilómetros. Inventó también un magnetómetro y construyó un observatorio no magnético. Gauss fue uno de los primeros matemáticos que dudó que la geometría euclidiana fuese inherente a la naturaleza y fue el fundador de la primera geometría no euclidiana. Se enfrascaba tanto en sus nuevas Grupo Editorial Patria® ideas que las anotaba en su diario y estaba explorando siempre nuevos conceptos, y sentía que perdía tiempo al prepararlos para su publicación, era tan modesto que no daba a conocer sus descubrimientos, por ello gran parte de su obra se dio a conocer después de su muerte. Cuando tenía setenta y siete años, Carl Friedrich Gauss murió en la ciudad de Gotinga el 23 de febrero de 1855. Su obra ha sido reconocida como una de las mayores contribuciones al campo de la ciencia durante los siglos XVIII y XIX. Relación entre una sucesión y una serie aritmética Una sucesión (progresión) de números es aquélla en la que la relación entre dos términos consecutivos es constante. En los conjuntos: 2, 3, 4, 5 . . . , n 1 1 (1) 4, 6, 8, 10, . . . , 2n 1 2 (2) 3, 5, 7, 9, . . . , 2n 1 1 (3) Se puede observar lo siguiente: Observa y responde: a) ¿Qué figura se forma? b) Cuando al primer número impar se le agrega el segundo, ¿cuántas unidades suman entre los dos? c) En la figura que representa la suma de los dos primeros números impares, ¿cuántas unidades tiene por lado? d) ¿Qué relación se puede establecer entre la suma de los dos primeros números impares y la cantidad de unidades que tiene por lado la figura que se forma? e) Cuando se agrega el tercer número impar, ¿se cumple la relación que se obtuvo en el inciso d? f ) Si se agrega el cuarto número impar, ¿se sigue cumpliendo la relación que obtuvo en el inciso d? g) ¿Qué relación se puede establecer entre la cantidad de números impares que se suman y el número de unidades por lado de la figura que se forma? h) ¿Qué lugar ocupa el número 15 en esta sucesión de números impares? i) ¿Cuántas unidades por lado tiene la figura cuando se agrega el número 15? j) ¿Cuántas unidades tiene la figura cuando se agrega el número 17? k) ¿Cuántas unidades tiene la figura cuando se agrega el número 21? l) Si n es un número entero cualquiera, un número par se representa por 2n, pues todo múltiplo de 2 es un número par. ¿Cómo se representa un número impar? m) Escribe la sucesión de números impares, empezando con el número 1 hasta el término n. n) Con los términos de la sucesión anterior, escribe la serie que representa la suma de los n números impares y su resultado. En (1) 322 5 423 5 524 5 . . . 5 (n 1 1) 2 n 5 1 en (2) 624 5 826 5 1028 5 . . . 5 (2n 1 2) 2 2n 5 2 en (3) 523 5 725 5 927 5 . . . 5 (2n 1 1) 2 (2n 2 1) 5 2 Actividad de aprendizaje ¿Cómo se obtiene la razón en una progresión aritmética? Una serie es la suma algebraica de los términos de una sucesión. Con los términos de la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 Se puede formar la serie 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 En la sucesión: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 El primer término es 1, el último término es 13 y el número de términos de la sucesión es 7. La suma S de los términos de la serie se puede disponer en forma ascendente: S 5 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 O en forma descendente: S 5 13 1 11 1 9 1 7 1 5 1 3 1 1 63 3 BLOQUE Realizas sumas y sucesiones de números Si se suman término a término las dos series, se obtiene: Actividad de aprendizaje S 5 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 S 5 13 1 11 1 9 1 7 1 5 1 3 1 1 2S 5 14 1 14 1 14 1 14 1 14 1 14 1 14 El doble de la suma de los términos de la serie se puede escribir así: ¿Qué es una progresión? ¿Cuándo es creciente una progresión aritmética? ¿Cuándo es decreciente una progresión aritmética? Argumenta tu respuesta 2S 5 7 (14) De donde: S5 7(14) 5 49 2 Que también se puede escribir así: S5 7(1113) 5 49 2 Aquí puedes ver un caso particular de como están relacionados los términos de la serie para determinar su suma. Más adelante encontrarás una generalización. Sucesiones aritméticas particulares Una progresión aritmética es aquélla en la que cada término, posterior al primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia de la progresión. Cuando la razón o diferencia es positiva, la progresión es creciente, y cuando la razón o diferencia es negativa, la progresión es decreciente. Una progresión aritmética se puede representar así: a1, a1 1 d, a1 1 2d, a1 1 3d, . . . Tipo de relación variacional en la fórmula del n-ésimo término de sucesiones aritméticas particulares La suma de los n términos de la progresión aritmética, del primero al último, se puede expresar así: S 5 a1 1 (a1 1 d) 1 (a1 1 2d) 1 (a1 1 3d) 1 . . . 1 (an 2 2d) 1 (an 2 d) 1 an, o bien S 5 an 1 (an 2 d) 1 (an 1 2d) 1 (an 2 3d) 1 . . . 1 (a1 1 2d) 1 (a1 1 d) 1 a1 en que a1 representa al primer término y d es la cantidad constante que se agrega, a partir del primer término, para obtener el siguiente. 2S 5 (a1 1 an) 1 (a1 1 an) 1 (a1 1 an) 1 . . . 1 (a1 1 an) 1 (a1 1 an) 1 (a1 1 an) A continuación se utilizará además la siguiente notación: de donde n 5 número de términos an 5 enésimo término 2S 5 n(a1 1 an) por tanto S5 Sn 5 suma de los n términos de la progresión En la progresión aritmética a1, a1 1 d, a1 1 2d, a1 1 3d, . . . el primer término es a1 5 a1 el segundo término es a2 5 a1 1 d el tercer término es a3 5 a1 1 2d el cuarto término es a4 5 a1 1 3d el quinto término es a5 5 a1 1 4d ... el n-ésimo término es an 5 a1 1 (n 2 1)d 64 n (a1 1 an) 2 Si se sustituye an 5 a1 1 (n21)d en la igualdad anterior se transforma en: S5 o sea n {a1 1 [a1 1 (n 2 1)d]} 2 S5 n [2a1 1 (n 2 1)d] 2 En una progresión aritmética cuando se conocen tres de las cinco cantidades: a1, d, an, n, Sn a1, las otras dos se pueden calcular con las fórmulas anteriores. Grupo Editorial Patria® Ejemplos 279 5 Encuentra el 20° número natural impar. 279 5 31n Solución: 279 5n 31 Los números naturales impares forman la progresión aritmética 1, 3, 5, 7, . . . donde: n (62) 2 a1 5 1, d 5 2 95n y n 5 20, entonces según la fórmula an 5 a1 1 (n 2 1)d a20 5 1 1 (20 2 1)2 a20 5 1 1 (19)2 Falta el valor de d, usando la fórmula: an 5 a1 1 (n 2 1)d a20 5 1 1 38 55 5 7 1 (9 2 1)d a20 5 39 55 2 7 5 8d 48 5d 8 Ejemplos 65d Encuentra la suma de los primeros 20 números naturales impares: Solución: Los números naturales impares forman la progresión aritmética 1, 3, 5, 7, . . . donde: a1 5 1, d 5 2 y n 5 20, entonces según la fórmula Sn 5 n [2a1 1 (n21)d ] 2 S20 5 20 [2(1) 1 (2021)(2)] 2 Entonces la progresión aritmética que se busca es: 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, . . . En una progresión aritmética donde a1 y an son el primer y último términos (o extremos) de la progresión, los términos comprendidos entre ellos se llaman medios aritméticos. Así en la progresión: 3, 5, 7, 9, 11, 13 los términos 5, 7, 9, y 11 son medios aritméticos entre los extremos 3 y 13. S20 5 10[2 1 (19)(2)] A continuación se presenta un ejemplo sobre la manera en que se interpola un número de medios aritméticos entre dos números dados. S20 5 10[40] S20 5 400 Actividad de aprendizaje Ejemplos ¿A qué se les llama medios aritméticos? Halla la progresión aritmética en la que su primer término es 7, su último término es 55 y la suma de sus términos es 279. Escribe los medios aritméticos que faltan en la progresión 1, 3, 5, __, __, __, 13 Solución: Los datos que se tienen son: a1 5 7, an 5 55 la fórmula: y Sn 5 279, según S5 n (a1 1 an) 2 279 5 n (7 1 55) 2 65 3 BLOQUE Realizas sumas y sucesiones de números Los términos son: Ejemplos Primero Interpola cinco medios aritméticos entre 13 y 25. Solución: Se buscan 5 números que junto con 13 y 25 forman una progresión aritmética que tiene 5 1 2 5 7 términos donde a1 5 13, an 5 25 y n 5 7 Utilizando an 5 a1 1 (n21)d 25 5 13 1 (721)d 25 2 13 5 6d 12 5 6d 12 5d 6 25d por tanto, la progresión que se busca es: 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25 Sucesiones y series geométricas En líneas anteriores se dijo que razón es la relación entre dos términos consecutivos de una progresión. Cuando la razón corresponde a una cantidad que se multiplica a cada término para obtener al siguiente se trata de una progresión geométrica. Esto significa que el cociente entre dos términos consecutivos es constante. En la progresión: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 Los términos son: Primero 1 Segundo 2 Tercero 4 Cuarto 8 Quinto 16 Sexto 32 Séptimo 64 Se observa que la relación entre dos términos consecutivos es: 2 4 8 16 32 64 5 5 5 5 5 52 1 2 4 8 16 32 Por tanto, la razón es 2. En la progresión: 1 1 1 1, , , , 2 4 8 66 Segundo 1 1 2 1 4 Tercero 1 8 Se observa que la relación entre dos términos consecutivos es: 1 1 1 2= 4 = 8 =1 1 1 1 2 2 4 1 Por tanto la razón es . 2 En la progresión 1 1 1 1, , , , 2 4 8 1 El primer término es 1 y el último término es . 8 El primer término es 1 Cuarto El segundo término es 1 1 1( )5 2 2 El tercer término es 1 1 1 ( )5 2 2 4 El cuarto término es 1 1 1 ( )5 8 4 2 1 La razón es , pues a partir del primer término los sucesivos se ob2 1 tienen multiplicando por al anterior. 2 Una sucesión (progresión) geométrica es aquélla en la que cada término, posterior al primero, se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante (no nula) a la que se le llama razón de la progresión. La progresión geométrica es creciente cuando la razón es mayor que 1 y decreciente cuando la razón es menor que 1. Ejemplos Progresión geométrica creciente 1, 2, 4, 8, 16, . . . Progresión geométrica decreciente 1, 1 1 1 1 , , , ,... 2 4 8 16 Grupo Editorial Patria® Actividad de aprendizaje donde a1 representa al primer término y r es la cantidad por la que se multiplica un término para obtener el siguiente. ¿Cómo se obtiene la razón de una progresión geométrica? Se utilizará además la notación: n 5 número de términos ¿Cuándo es creciente una progresión geométrica? an 5 enésimo término ¿Cuándo es decreciente una progresión geométrica? Sn 5 suma de los n términos de la progresión Términos de una sucesión geométrica Relación entre una sucesión y una serie geométrica De manera semejante a lo realizado con una sucesión aritmética, con los términos de la progresión geométrica 2, 4, 8, 16, 32, 64 En la progresión 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 Se puede formar la serie 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 El primer término es 1 y el último término es 64. Pero ahora la determinación de la suma da lugar a una generalización que se trata en la sección siguiente. El primer término es 1 El segundo término es 1 (2) 5 2 El tercer término es 2 (2) 5 4 El cuarto término es 4 (2) 5 8 El quinto término es 8 (2) 5 16 el primer término es a1 5 a1 El sexto término es 16 (2) 5 32 el segundo término es a2 5 a1r El séptimo término es 32 (2) 5 64 el tercer término es a3 5 a1r2 el cuarto término es a4 5 a1r3 el quinto término es a5 5 a1r4 La razón es 2, pues a partir del primer término los sucesivos se obtienen multiplicando por 2 al anterior. En la progresión 1 1 1 1, , , , 2 4 8 1 El primer término es 1 y el último término . 8 El primer término es 1 El segundo término es 1 1 1( )5 2 2 El tercer término es 1 1 1 ( )5 2 2 4 El cuarto término es 1 1 1 ( )5 8 4 2 1 La razón es , pues a partir del primer término los sucesivos se ob2 1 tienen multiplicando por al anterior. 2 Una progresión geométrica se puede representar así: 2 3 a1, a1r, a1r , a1r , . . . En la progresión geométrica a1, a1r, a1r2, a1r3, . . . ... el n-ésimo término es an 5 a1r(n21) Término n-ésimo de una sucesión geométrica La suma de los n términos de la progresión geométrica, del primero al último, se puede expresar así: Sn 5 a1 1 a1r 1 a1r2 1 a1r3 1 . . . 1 a1r(n22) 1 a1r(n21) (1) Si se multiplican los dos miembros de la igualdad (1) por r se obtiene: rSn 5 a1r 1 a1r2 1 a1r3 1 . . . 1 a1r (n21) 1 a1r n (2) si se resta (2) de (1) miembro a miembro y término a término se obtiene: Sn 2 rSn 5 a1 2 a1rn 67 3 BLOQUE Realizas sumas y sucesiones de números de donde Ejemplos n Sn (1 2 r) 5 a1 (1 2 r ) Halla la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica 2, 4, 8, 16, . . . Por tanto Sn 5 a1 (12 r ) ,r?1 (12 r ) n (3) Solución: Los datos del problema son: a1 5 2, r 5 2, n 5 10 Como Utilizando la fórmula para la suma de los n términos an 5 a1r(n21) si se multiplica la igualdad por r, se obtiene ran 5 a1rn a1 (12 r n ) (12 r ) 5 2(12 210 ) 12 2 5 2(2 1 023) 21 (4) sustituyendo (4) en (3) se transforma en Sn 5 Sn 5 a1 (12 r n ) a1 2 a1r n a 2 ran 5 5 1 (12 r ) 12 r 12 r Como las fórmulas para obtener el n-ésimo término y la suma de los n términos son independientes, los cinco términos de una progresión geométrica están relacionados, por lo que si se conocen tres los otros dos se pueden determinar. 5 2 046 Para tu reflexión Ejemplos Calcula el 6° término de la progresión geométrica 23 , 3, 212, . . . 4 Solución: Los datos del problema son: a1 5 3 12 23 , n 5 6, r 5 5 5 24 2 3 23 4 4 utilizando la fórmula para el n-ésimo término an 5 a1r (n21) ⎛ 23 ⎞ 621 ⎟ (24) 4 ⎠ a6 5 ⎜ ⎝ ⎛ 23 ⎞ a6 5 ⎜ (24)5 ⎝ 4 ⎟⎠ ⎛ 23 ⎞ ⎟ (21 024) 4 ⎠ a6 5 ⎜ ⎝ a6 5 768 68 Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: ■ Coloca en el suelo 20 objetos en línea recta. La distancia entre dos objetos consecutivos debe ser de un metro. ■ Alineada con los objetos y a un metro de distancia de un extremo de la línea, coloca una caja o algún otro recipiente. ■ A partir de la caja, que alguna persona vaya por el objeto más próximo, lo recoja y lo deposite en la caja. ■ Que repita esta acción con el siguiente objeto de la línea y los restantes. ■ Encuentra la distancia recorrida por la persona. ■ Explica, frente al grupo, de manera breve, el procedimiento que se utilizó para determinar la distancia recorrida por la persona. ■ Discutan en grupo de qué otra forma se puede hallar la distancia recorrida. 3.2 Modelos aritméticos o algebraicos Relación variacional en la fórmula del n-ésimo término de sucesiones geométricas particulares En una progresión geométrica donde a1 y an son el primer y último términos (o extremos) de la progresión, los términos comprendidos entre ellos se llaman medios geométricos. Así en la progresión: Grupo Editorial Patria® 2, 4, 8, 16, 32 Los términos 4, 8 y 16 son medios geométricos entre los extremos 2 y 32. Se conviene en que un medio geométrico entre los extremos a y b tenga el mismo signo que a y b. Así el medio geométrico entre 3 y 27 tiene signo positivo, mientras que el medio geométrico entre 23 y 227 tiene signo negativo 23, 29, 227 3, 9, 27 A continuación se presenta un ejemplo sobre la manera en que se interpola un número de medios geométricos entre dos números dados. por tanto, la progresión geométrica que se busca es 2, 6, 18, 54, 162 Actividad de aprendizaje ¿A qué se les llama medios geométricos? Escribe los medios geométricos que faltan en la progresión 3, 6, 12, __, __, __, 192 Ejemplos Interpola 3 medios geométricos entre 4 y 64. Solución: Se buscan 3 números que junto con 4 y 64 forman una progresión geométrica que tiene 3 1 2 5 5 términos donde a1 5 4, an 5 64, n 5 5 Utilizando an 5 a1r (n21) 64 5 4r 521 16 5 r 4 24 5 r 4 25r por tanto, la progresión geométrica que se busca es 4, 4(2), 4(2)2, 4(2)3, 64 4, 8, 16, 32, 64 Ejemplos Interpola tres medios geométricos entre 2 y 162. Solución: Se buscan tres números que junto con 2 y 162 forman una progresión geométrica que tiene 3 1 2 5 5 términos donde a1 5 2, an 5 162, n 5 5. Utilizando an 5 a1r (n21) 162 5 2r 521 162 5 2r 4 81 5 r 4 Progresión geométrica decreciente infinita En una progresión geométrica la suma de sus términos es: a 2 ar n ;r?1 12 r que se puede expresar como a ar n S5 2 12 r 12 r donde se puede observar que la suma se compone de una parte fija a 2ar n . y una parte variable 12 r 12 r S5 Como la progresión geométrica es decreciente, r es una fracción menor que uno y, por tanto, el factor r n es un valor cada vez más pequeño a medida que el valor de n aumenta. Por ello se dice que ar n tiende a cero cuando el valor de n crece indefinidamente y 12 r en consecuencia la suma de los términos de la progresión tiende a . hacia 12 r a Límite S 5 12 r Es decir, el límite de la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente es igual al primer término dividido entre uno menos la razón. 34 5 r 4 35r 69 3 BLOQUE Realizas sumas y sucesiones de números Ejemplos 1 998 1 453 999 2 451 5 999 Encuentra la fracción generatriz de la fracción decimal periódica 0.545454 . . . (Halla el límite de la fracción decimal periódica 0.545454 . . .) 5 Solución: La fracción 0.545454 . . . se puede escribir así 54 54 54 1 1 1. . . 100 10 000 1000 000 54 54 54 5 1 1 1. . . 1 00 100 2 1003 54 1 donde a 5 y r5 , por lo que el límite es 100 100 54 54 54 5 100 5 100 5 99 99 1 12 100 100 0.545454 . . . 5 Ejemplos Halla la fracción generatriz de la fracción decimal periódica 2.453453453. . . Solución: La fracción 2.453453453... se puede escribir así 2.453453453 . . . 5 2 1 453 453 453 1 1 1. . . 1000 1000 2 10003 5 2 1 453 ⎛⎜ 1 1 1 ⎞ 1 1 1. . . ⎟ 2 ⎝ 1000 1000 10003 ⎠ la cantidad entre paréntesis es la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente, donde la razón es 1 1 1 5 1000 5 1000 5 1 999 999 12 1000 1000 1 y su límite es 1000 sustituyendo este valor en la igualdad anterior ⎛ 1 ⎞ ⎝ 999 ⎟⎠ 2.453453453 . . . 5 2 1 453 ⎜ 521 70 453 999 Utiliza el procedimiento de los dos ejemplos anteriores para hallar la fracción generatriz a) 0,454545… b) 0,525525525… c) 0,7656565… d) 0,303030… e) 0,5425425425… f) 0,83241241241… g) 0,72232323… h) 0,15727272… i) 0,3281281281… j) 0,623151515… Grupo Editorial Patria® Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 3. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Forma una progresión aritmética de 8 términos con 12 como primer término y que la diferencia sea 23. 9. Halla la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente: 625, 125, 25, . . . 2. Calcula el n-ésimo término y la suma de los términos de la progresión aritmética: 10. Halla la fracción generatriz de la fracción decimal periódica 0.1233333. 1 1 4 , , . . . (16 términos) 3 2 3 2 , 11. Halla la suma de la progresión geométrica decreciente: 3. Dados 3 de los 5 elementos de una progresión aritmética encuentra los otros 2, n 5 100, an 5 199, Sn 5 10 000. 8, 4, 2, 1, ½ , … 12. Halla la suma de la progresión geométrica decreciente: 4. Interpola seis medios aritméticos entre 1 y 5. 10, 5, 2 ½ , … 13. Halla la suma de la progresión geométrica decreciente: 5. En la progresión aritmética 15, 12, 9, . . . ¿Cuántos términos se deben tomar para que su suma sea 42? Escribir la progresión y explicar por qué son dos las soluciones. 25, 5, 1, … 14. Halla la fracción común generatriz de la fracción decimal periódica 1.272727… 1 1 6. Para la progresión geométrica 1, , , . . . , encuentra el 2 4 octavo término. 15. Halla la fracción común generatriz de la fracción decimal periódica 3. 987987987… 7. Para la progresión geométrica 4, 12, 36, . . . , encuentra la suma hasta el octavo término. 8. Interpola cuatro medios geométricos entre 243 y 1. 16. Halla la fracción común generatriz de la fracción decimal periódica 0.83421421421… 71 3 BLOQUE Realizas sumas y sucesiones de números Lista de cotejo Lista de cotejo para el reporte sobre la distancia recorrida por la persona del Bloque 3. Nombre del alumno: Presentación Criterio 1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente. Desarrollo 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas. Conclusiones Dominio del tema 10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 72 11. Conoce y aplica el concepto y elementos de una progresión. 12. De acuerdo al tipo de progresión determina sus elementos. 13. Obtiene la distancia recorrida por la persona. 14. Representa en un dibujo las condiciones del problema. 15. Establece las relaciones entre los datos del problema. 16. Realiza los cálculos para determinar la distancia recorrida por la persona. cumple sí no Observaciones Grupo Editorial Patria® Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones: Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 3. Nombre del alumno: Criterios Sucesiones y series aritméticas Aspecto a evaluar Relación entre una sucesión y una serie aritmética Tipo de relación variacional del n-ésimo término Sucesiones y series geométricas Relación entre una sucesión y una serie geométrica Término n-ésimo de una sucesión geométrica Excelente (4) Bueno (3) Regular (2) Deficiente (1) Conoce los conceptos de sucesión y serie aritmética. Identifica los términos de una sucesión aritmética. Conoce los conceptos de sucesión y serie aritmética. Identifica la mayoría de los términos de una sucesión aritmética. Conoce los conceptos de sucesión y serie aritmética. Identifica algunos de los términos de una sucesión aritmética. No conoce los conceptos de sucesión o serie aritmética. No identifica los términos de una sucesión aritmética. Establece la relación entre los términos de una sucesión y de una serie aritmética. Conoce los términos de una sucesión aritmética. Establece, en la mayoría de los casos, la relación entre los términos de una sucesión y de una serie aritmética. Conoce los términos de una sucesión aritmética. Establece, en algunos casos, la relación entre los términos de una sucesión y de una serie aritmética. Conoce algunos de los términos de una sucesión aritmética. No establece la relación entre los términos de una sucesión ni de una serie aritmética. No conoce los términos de una sucesión aritmética. Conoce y calcula el valor de los términos de una sucesión aritmética. Conoce y calcula, en la mayoría de los casos, el valor de los términos de una sucesión aritmética. Conoce y calcula, en algunos de los casos, el valor de los términos de una sucesión aritmética. No conoce ni calcula el valor de los términos de una sucesión aritmética. Conoce los conceptos de sucesión y serie geométrica. Identifica los términos de una sucesión geométrica. Conoce los conceptos de sucesión y serie geométrica. Identifica la mayoría de los términos de una sucesión geométrica. Conoce los conceptos de sucesión y serie geométrica. Identifica algunos de los términos de una sucesión geométrica. No conoce los conceptos de sucesión o serie geométrica. No identifica los términos de una sucesión geométrica. Establece la relación entre los términos de una sucesión y de una serie geométrica. Conoce los términos de una sucesión geométrica. Establece, en la mayoría de los casos, la relación entre los términos de una sucesión y de una serie geométrica. Conoce los términos de una sucesión geométrica. Establece, en algunos casos, la relación entre los términos de una sucesión y de una serie geométrica. Conoce algunos de los términos de una sucesión geométrica. No establece la relación entre los términos de una sucesión ni de una serie geométrica. No conoce los términos de una sucesión geométrica. Conoce y calcula el valor de los términos de una sucesión geométrica. Interpola medios geométricos. Conoce y calcula, en la mayoría de los casos, el valor de los términos de una sucesión geométrica. Interpola medios geométricos. Conoce y calcula, en algunos de los casos, el valor de los términos de una sucesión geométrica. No conoce ni calcula el valor de los términos de una sucesión geométrica. No interpola medios geométricos. 73 Realizas transformaciones algebraicas I 4 B LO Q U E Objetos de aprendizaje 4.1 Representación de relaciones entre magnitudes. 4.2 Modelos aritméticos o algebraicos. Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos en situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. ¿Qué sabes hacer ahora? 1. Determina P(x) 2 Q(x) P(x) x 3 + 3x 2 + 4 x − 2 2. Efectúa la división que se indica y comprueba el resultado obtenido. 3. Determina el producto (x 1 2)2 sin efectuar la operación. 4. Determina el producto (x 1 4)(x 2 4) sin efectuar la operación. 5. Determina el producto (x 1 9)(x 1 3) sin efectuar la operación. 6. Desarrolla por el teorema del binomio (a 2 1)7. 7. Factoriza la expresión x2 2 x. 8. Factoriza la expresión x2y 1 xy2 1 3x 1 3y. 9. Factoriza la expresión x2 1 2x 1 1. 10. Factoriza la expresión x3 1 23. (x 3 Q(x) 5 − x 3 − 3x 2 − 4 x + 1 + 3x 2 + 3x + 1) ÷ ( x + 1) Desempeños por alcanzar Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructivista, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicación de polinomios de una variable. Ejecuta sumas, restas, multiplicaciones con polinomios de una variable. Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicación de binomios. Comprende las diferentes técnicas de factorización como de extracción de factor común y agrupación de trinomios cuadrados perfectos y de productos notables a diferencia de cuadrados perfectos. Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de factorización. Utiliza los productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos. BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Escribe el cuadrado del binomio 5x 1 3y sin efectuar la multiplicación. Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Qué son los productos notables? ¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. ¿Cuáles son los productos notables más comunes? Evaluación por producto ¿Cómo se obtiene el cuadrado de un binomio? A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. ¿Cómo se llama el producto del cuadrado de un binomio? Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Rúbrica Para determinar el cuadrado de un binomio que se pide debes anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento Situación didáctica Obtén el producto de (x 1 y 2 z)2 sin efectuar la multiplicación. 76 En este ejemplo: Producto a elaborar Obtención del cuadrado de un binomio. ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. ¿Cómo lo resolverías? Grupo Editorial Patria® Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cómo obtener el producto de dos trinomios? ¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. ¿Cómo expresar el producto de dos trinomios como el producto de dos binomios? Evaluación por producto ¿Qué transformaciones se deben realizar y qué signos de asociación utilizar para expresar los trinomios como binomios? A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. Trabajo individual En este ejemplo: Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Producto a elaborar Rúbrica Para determinar el producto de dos trinomios que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi- Situación didáctica Producto de dos trinomios. ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. ¿Cómo lo resolverías? Expresa ax 1 ay 2 bx 2 by como el producto de dos factores binomios. 77 BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cuáles son los productos notables? ¿Qué transformaciones se pueden realizar para expresar una suma algebraica como un producto? ¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Evaluación por producto ¿Cómo se obtiene el factor común? A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. ¿Cómo se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación? En este ejemplo: Trabajo individual Producto a elaborar Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Transformación de una suma algebraica en un producto. Rúbrica Para determinar una suma algebraica como producto que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del 78 ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. Grupo Editorial Patria® Propuestas de diseño para situaciones didácticas 7. P(x) 5 x 4 + 3x 3 − 5 x 2 − x + 1 Parte I 8. P(x) x 4 + 6 x 3 − 7 x 2 + 6 x − 9 Q(x) 5 − x 3 + 2 x 2 + 1 Q(x) 5 x 4 − 4 x 3 + 3x 2 + 4 x − 2 Q(x) 5 2 x 3 + 3x 2 − 5 x − 3 Determina P(x) 1 Q(x). 9. P(x) 2 x 4 − 4 x 3 + 3x 2 − 4 x + 7 1. P(x) x 2 + x + 1 Q(x) 5 3x 4 + 2 x 2 − 5 Q(x) 5 x 2 − 2 x − 3 10. P(x) 3x 4 + x 3 + 7 x 2 − 2 x − 6 2. P(x) x 3 + x 2 + x + 5 Q(x) 5 − 2 x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 6 x + 3 Q(x) 5 2 x 3 − 3x 2 + 7 x − 6 3. P(x) 5 x 2 + 3x + 7 Parte II Q(x) 5 6 x 2 − 3x + 3 Efectúa la división que se indica y comprueba el resultado obtenido. 4. P(x) 3x + 5 x + 6 2 1. ( x 3 + 3x 2 + 3x + 1) ÷ ( x + 1) Q(x) 5 5 x 2 − 3x − 2 2. ( x 4 + x 3 − 9 x 2 − 16 x − 4 ) ÷ ( x 2 + 3x + 4 ) 5. P(x) 2 x 2 + 3x − 9 3. ( x 4 + 3x 3 − 4 x 2 − 6 x + 4 ) ÷ ( x 2 + 3x − 2 ) Q(x) 5 3x 2 − 7 x + 4 4. ( x 3 + 3x 2 + 3x + 1) ÷ ( x + 1) 6. P(x) 4 x 2 − 9 x − 8 5. ( 4 x 3 + 4 x 2 − 29 x + 21) ÷ ( 2 x − 3 ) Q(x) 5 2 x 2 − x − 1 6. ( x 4 + 8 x 3 + 24 x 2 + 32 x + 16 ) ÷ ( x + 2 ) 7. P(x) − 5 x 2 − 7 x + 9 Q(x) 5 − 10 x 2 − 14 x − 13 8. P(x) 5 x 4 + 3x 3 − 5 x 2 − x + 3 Q(x) 5 2 x 4 − x 3 + 7 x 2 − 2 x − 4 9. P(x) 2 x 4 − x 3 + 7 x 2 − 2 x − 5 Q(x) 5 x − 4 x + 3x + 4 x − 2 4 3 2 10. P(x) x − 4 x + 3x + 4 x − 2 4 3 2 Q(x) 5 9 x 4 − 2 x 3 + x 2 − x + 3 Determina P(x) 2 Q(x). 1. P(x) x 3 + 3x 2 + 4 x − 2 Q(x) 5 − x 3 − 3x 2 − 4 x + 1 2. P(x) 2 x 2 − 4 x + 7 Q(x) 5 2 x 2 − 4 x + 7 3. P(x) x 3 + 2 x 2 − 4 x + 5 Q(x) 5 7 x 3 − 12 x 2 + 15 x − 7 4. P(x) − 4 x 3 + 5 x 2 − 7 x + 9 Q(x) 5 − 2 x 3 + 11x 2 − 12 x + 3 5. P(x) 8 x 3 + 7 x 2 − 5 x + 5 Q(x) 5 − 2 x 3 + 3x 2 + 2 x − 3 6. P(x) 2 x 3 − 4 x 2 + 2 x − 5 7. ( 6 x 5 + 5 x 4 − 25 x 3 + 31x 2 − 13x + 2 ) ÷ ( 2 x 2 − 3x + 2 ) 8. ( x 5 − 4 x 4 + 3x 3 + 3x 2 − 3x + 2 ) ÷ ( x 2 − x + 2 ) 9. ( x 3 + 2 x 2 − 3x + 4 ) ÷ ( x 2 − x + 2 ) 10. (x 5 − 1) ÷ ( x + 1) Parte III Determina el cuadrado de 34 y 48 expresados como (30 1 4) y (50 2 2), respectivamente. Determina los siguientes productos sin efectuar la operación. 1. (x 1 2)2 11. (5x2y2 2 1)2 2. (x 2 6)2 12. (12x3y3 1 3)2 3. (4 1 m)2 13. (12x3y3 2 3)2 4. (9 2 y)2 14. (3 2 12x3y3)2 5. (7x 1 6)2 15. (x4y3 1 x3y4)2 6. (7x 2 6)2 16. (x4y3 2 x3y4)2 7. (5x2 1 9)2 17. (5x4y 2 7xy3)2 2 8. (5x2 2 9)2 1 18. ⎧⎪11 ⎫⎪ ⎩ x⎭ 9. (2a2 2 3b2)2 1 19. ⎧⎪ 21⎫⎪ ⎩x ⎭ 10. (5x2y2 1 1)2 2 20. [(a 1 b) 1 c]2 79 BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I Parte IV Determina los siguientes productos expresando los factores como binomios conjugados. 1. 32 × 28 2. 41 × 39 Determina los siguientes productos sin efectuar la operación. 1. (x 1 y)(x 2 y) 2. (x 1 4)(x 2 4) 3. (7 1 m)(m 2 7) 4. (5 2 2a)(2a 1 5) 5. (3x 1 8)(8 2 3x) 6. (2x2 1 1) (2x2 2 1) 7. (5x4 1 1)(5x4 2 1) 8. (3a 1 9b)(3a 2 9b) 9. (xmym 1 1)(xmym 2 1) 10. (3m2n 2 5m3n2)(3m2n 1 5m3n2) 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. (5a3b 1 3a2c)(5a3b 2 3a2c) (5x2y 2 3x3y2)(3x3y2 1 5x2y) (7x3y2 2 5x2y)(7x3y2 1 5x2y) (3x2y 2 5x3y2)(3x2y 1 5x3y2) (7a3b 1 5a2c)(7a3b 2 5a2c) [8 1 (m 2 n)][8 2 (m 2 n)] (a 1 b 1 5)(a 1 b 2 5) (x 1 y 1 7)(x 1 y 2 7) (m 1 n 1 9)(m 1 n 2 9) (x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3) Parte V Determina los siguientes productos sin efectuar la operación. 1. (x 1 9)(x 1 3) 2. (x 1 6)(x 1 2) 3. (x 1 2)(x 1 3) 4. (x 1 9)(x 1 3) 5. (a 1 7)(a 1 3) 6. (x 1 9)(x 1 3) 7. (a 1 7)(a 1 3) 8. (x 2 6)(x 2 2) 9. (3x 1 7)(3x 1 19) 10. (3x 1 7)(3x 2 19) 11. (3x 2 7)(3x 1 19) 12. (3x 2 7)(3x 1 19) 80 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. (5m 1 3n)(5m 1 11n) (7x 2 4y)(7x 1 9y) (6a 1 3b)(6a 1 7b) (7a 2 3b)(7a 1 9b) (3xy 1 7)(3xy 1 23) (7 2 pq)(9 2 pq) (5am 1 16)(5am 2 27) (ambn 1 4)(ambn 2 15) Parte VI Determina los siguientes productos sin efectuar la operación. 1. (x 1 y)3 11. (x2 1 1)3 2. (x 2 y)3 12. (x2 2 1)3 3. (r 1 x)3 13. (1 1 x2)3 4. (r 2 s)3 14. (1 2 x2)3 5. (x 1 1)3 15. (2x 1 y)3 6. (x 2 1)3 16. (7x 1 3y)3 7. (1 1 x)3 17. (23x 1 4)3 8. (1 2 x)3 18. (22x 2 3)3 9. (1 2 y)3 19. (4a 1 1)3 10. (1 2 z)3 20. (1 2 4a)3 Parte VII Desarrolla por el teorema del binomio. 1. (a 2 1)7 2. (x 2 2)5 3. (a 1 3)4 4. (1 2 2b)5 5. (x 2 2y)6 6. (3x 2 y)4 7. (x 1 3y)6 8. (a2 2 b3)4 9. (a2 2 2a)6 1⎞ ⎛ 10. ⎜ x 1 ⎟ ⎝ x⎠ 4 Parte VIII Factoriza las siguientes expresiones: 1. x2 2 x 4. 9x2 2 15x4 2. x 1 xy 5. 12a3 2 16a2 3. 6x2 1 18x3 6. 16a2 1 12a5 Grupo Editorial Patria® 7. x3y2 2 x3y 8. m3 1 m2 1 m Parte XI 9. m 1 5m 2 6m 10. r 1 r s 2 r s 11. (5xy ) 2 (5xy ) 12. x 2 5x 1 8x 13. 2a4 2 5a3 2 3a2 14. 10a2b 2 15ab2 1 5ab 3 2 4 5 4 4 4 5 3 2 2 4 3 15. 8x4y4 1 10x3y3 2 6x2y2 16. 12xyz 1 8x2y2z2 2 4x3y3z3 17. 3a3b3c3 1 6a2b2c2 1 9abc 18. 8x2y3 2 4x3y4 1 12x2y2 2 16x4y5 19. 219x2y2 1 76x3y3 2 95x4y 20. 84x5y4 2 108x4y5 1 420x6y3 Parte IX Factoriza las expresiones siguientes. 1. x2y 1 xy2 1 3x 1 3y 11. 28 2 16x 1 14x2 2 8x3 2. a5b2 2 a2b5 1 7a3 2 7b3 12. 15x3 2 12x2 1 35x 2 28 3. abc 1 bcx 1 a2 1 ax 13. m2y 1 mn2 2 mxy 2 n2x 4. mx 1 nx 2 my 2 ny 14. 6ab 1 9a 1 4b 1 6 5. x 1 x y 1 3x 1 3y 15. m3 1 m2n 1 m 1 n 6. x4 1 x3y3 1 xy 1 y4 16. x2 2 ax 1 x 2 a 2 3 7. 8. 9. 10. 2 2 2 2 x 4 2 x 3y 1 xy 2 2 y 3 m3 1 m2n 1 mn2 1 n3 6xy 1 9x 1 4y 1 6 x 3 1 x2y 1 x 1 y 17. 18. 19. 20. x2 1 ax 1 x 1 a a2b2 1 ab 1 abc 1 c x2 1 xm 1 xn 1 mn x3y3 1 xy 1 x2y2 1 1 Parte X Factoriza las expresiones siguientes. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. x 2 1 2x 1 1 x 2 2 2x 1 1 x 2 1 4x 1 4 x 2 2 4x 1 4 x 2 1 8x 1 16 x 2 2 8x 1 16 x 2 1 2xy 1 y 2 x 2 2 2xy 1 y 2 9x 2 2 30xy 1 25y 2 49a2 2 14ab 1 b 2 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 81x2 2 54xy 1 9y2 49x4y4 1 42x2y2 1 9 49x4y4 1 42x2y2 1 4 100x4 1 9y2 2 60x2y 220mn 1 4m2 1 25n2 4x2y3 1 25m2n2 2 20mnxy 9x4y2 2 12x3y4 1 9x2y6 9x4y6 2 24x3y5 1 16x2y4 49r4s2 1 64p6q2 1 112r2sp3q p8 1 36q2r 2 1 12p4qr Factoriza las expresiones siguientes. 1. x 2 2 y 2 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. x4 2 1 1 2 x4 49m2 2 1 25 2 4x 2 x 4 2 16 16 2 x 4 16x 2 2 25y 2 9a 6 2 4b 4 9a 2b 4 2 25a 4b 6 11. x4 2 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 1 16 y 4 .0625 2 y4 x4y6 2 x6y4 49m4n2 2 64m6n4 x8y8 2 1 (x 1 3y)2 2 4z2 1 2 x2 1 2xy 2 y2 4x2 1 y2 2 4xy 2 25 9m4 1 11m2 1 4 x4 2 7x2y2 1 y4 Parte XII Factoriza las expresiones siguientes. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. x 3 1 23 y 3 2 23 x 3y 3 1 1 x3y3 2 1 8x3 1 1 1 1 8x3 8x3 2 27 27 2 8x3 a3b3 1 64 16 1 54m3 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 125 2 27x3y3 m3 2 8n3 x12 2 y9 1 2 27x6 64x9 1 y3 a3b3 1 512 x15 2 y9 729 1 (m 1 n)3 m3n3 2 512(m 1 n)3 (x 1 y)3 1 512(m 1 n)3 81 BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I Hay una asombrosa imaginación, incluso en la ciencia de las matemáticas… Repetimos, hay mucha más imaginación en la cabeza de Arquímedes que en la de Homero. Voltaire Introducción La terminología y notación del lenguaje algebraico se aplica en la adición, sustracción, multiplicación y división de polinomios con una variable. Se trata lo relacionado con algunos productos notables y su respectiva factorización. Se hace una introducción al teorema del binomio de Newton donde se utiliza el triángulo de Pascal. 4.1 Representación de relaciones entre magnitudes Operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios en una variable Un polinomio es una expresión algebraica que se forma con variables y números reales que se relacionan mediante las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. Los signos 1 y 2 se utilizan para separar los términos de un polinomio. A los polinomios compuestos por un solo término se les llama monomios; a los que tienen dos términos, binomios, a los que tienen tres, trinomios. Cuando un polinomio tiene una sola variable se le puede clasificar de acuerdo con el exponente de su término de mayor grado, así: 2x5 2 3x4 1 2x3 2 x2 1 1 es un polinomio de quinto grado. Para tu reflexión Anécdota de Albert Einstein (1879-1955) El joven Einstein esperaba en la antesala del director de la famosa Academia Politécnica de Zurich, Suiza. Fue recibido cordialmente y el presidente le dijo que la Academia se honraría si aceptaba el puesto de profesor. Einstein recordó cuando fue rechazado por dicha Academia como estudiante, años 82 atrás. Sin embargo, dicho nombramiento le brindaba la oportunidad de continuar sus investigaciones científicas y aceptó. Einstein tenía una mente inquieta e inquisitiva para los temas que le interesaban. A la edad de cinco años lo fascinó la brújula de su padre y no cesaba de cuestionarlo sobre ella. Posteriormente un estudiante de medicina, Max Talmey, visitó su casa y le prestó sus libros de ciencias naturales y matemáticas. Einstein los leyó con gran interés y descubrió que había encontrado lo que le interesaba. El negocio de su padre no prosperaba y a Einstein no le interesaban los negocios, intentó la enseñanza mas no tuvo éxito, para entonces ya se había casado y tenía 2 hijos que sostener. Pudo obtener el puesto de empleado en la oficina de patentes y aunque el puesto era muy tedioso, le permitió terminar su doctorado y escribir algunos ensayos científicos. En 1905, cuando todavía trabajaba en la oficina de patentes, publicó su primera versión de la teoría de la relatividad. Einstein descubrió que la velocidad de la luz es la única magnitud que se mantiene constante, lo demás es relativo. Todo lo que está sobre la Tierra y en el Universo se encuentra en movimiento constante. Para Newton, el tiempo era constante e invariable. Einstein demostró que el tiempo era una variable, una cuarta dimensión que debía agregarse a las tres dimensiones aceptadas del espacio. Al acercarse uno a la velocidad de la luz el tiempo se torna más lento. El tiempo depende del lugar donde te encuentres. Un año en el planeta Júpiter es más largo que un año en la Tierra porque Júpiter necesita más tiempo para girar alrededor del Sol. Diez años más tarde, en una segunda obra sobre los aspectos de la relatividad, Einstein ofreció un nuevo concepto de la gravitación. Declaró que no hay una fuerza absoluta de gravedad que atraiga los objetos, como había sostenido Newton, sino que toda masa tiene dentro de sí una fuerza que está en proporción con su masa, la cual atrae los objetos; por esta fuerza se da la curvatura del Universo y las variaciones en las órbitas de los cuerpos celestes. A los 30 años de edad era famoso mundialmente. Durante la Primera Guerra Mundial se negó a ayudar a Alemania en su esfuerzo bélico. Manifestó: “Esta guerra es una depravación y un crimen salvaje, preferiría que me descuartizaran antes que participar en cosa tan abominable”. Entonces tuvo que irse a EUA y aceptar un puesto de investigador en el Instituto de estudios avanzados de Princeton, Nueva Jersey. En 1939 escribió una carta al presidente Roosevelt advirtiendo las posibilidades científicas de crear una bomba atómica. La decisión del presidente fue construir esa arma fantásticamente destructora. Una vez, cuando lo invitaron a visitar a la reina de Bélgica, se bajó del tren y caminó hasta el palacio llevando una maleta y su violín. Cuando la reina le preguntó por qué no había usado la limusina que le aguardaba, Einstein le respondió: “Era muy agradable caminar majestad”. Tomada de Crowther, J. G. Six Great Scientists Grupo Editorial Patria® Aplica lo que sabes Ejemplos Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: 2 2 Suma 5 x − 3x + 5 y 2 x + x − 3 Investiga cuándo se fundó la comunidad donde vives. Solución: (5 x 2 23x 1 5) 1 (2 x 2 1 x 23)5 (5x 2 1 2x 2 ) 1 (23x 1 x ) 1 (5 2 3) 2 5 (5 + 2)x + (− 3 + 1)x + 2 ¿Cuánta población tenía en ese entonces? ¿Cuántos años transcurrieron para que la población se duplicara? ¿En cuánto tiempo se volvió a duplicar? Compara resultados con tus compañeros del salón de clases. Investiga: Cuando tu escuela inició sus labores, ¿cuántos alumnos tenía? ¿Cuántos alumnos de primer ingreso tienen actualmente? 5 7x 2 − 2x + 2 Como se puede observar, la operación de adición se realizó asociando términos semejantes y operando con sus coeficientes numéricos. El procedimiento se facilita cuando los términos de cada polinomio se disponen en orden decreciente y se colocan en la misma columna los términos semejantes. 1 Investiga cuál era la población de nuestro país en 1900. Investiga cuál era la población de nuestro país en el año 2000. Investiga cómo se ha dado el crecimiento de la población de nuestro país entre los años de 1900 y 2000. Elabora una gráfica en la que se ilustre el crecimiento, con intervalos de 10 años en el eje horizontal y de 10 millones de habitantes en el eje vertical. Elabora en una cartulina o papel bond los resultados de tu investigación y compártelo, con tus compañeros. Adición y sustracción de polinomios con una sola variable Dado que la variable del polinomio representa a un número real, se pueden aplicar las propiedades de las operaciones con estos números. Actividad de aprendizaje En una sustracción, minuendo menos sustraendo equivale a sumar al minuendo del sustraendo. 5 x 2 − 3x + 5 2x 2 + x − 3 7x 2 − 2x + 2 Para la de sustracción de polinomios se debe tomar en cuenta que a 2 b 5 a 1 (2b); esto es, minuendo menos sustraendo equivale a sumar al minuendo el inverso aditivo (o simétrico) del sustraendo. Ejemplos (6x (6x 3 3 + 3x 2 − 7 x + 1) − ( 2 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5 ) = + 3x 2 − 7 x + 1) + ( − 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5 ) 5 ( 6 − 2 ) x 3 + ( 3 + 2 ) x 2 + ( − 7 − 3 ) x + (1 + 5 ) 5 4 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 6 Para facilitar el procedimiento disponemos en orden decreciente y colocamos en la misma columna términos semejantes. 2 6 x 3 + 3x 2 − 7 x + 1 2 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5 Esta operación se puede transformar en una suma al cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta. 1 6 x 3 + 3x 2 − 7 x + 1 − 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5 4 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 6 83 BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I Multiplicación y división de polinomios con una sola variable En la multiplicación y división de polinomios con una sola variable se utilizan las propiedades de la multiplicación y división de números reales así como las leyes de los exponentes. Para dividir un polinomio entre otro, se ordenan sus términos en forma decreciente de las potencias de la variable y se disponen de la siguiente manera: Ejemplos Divide x 2 − 5 x − 84 entre x 1 7 Actividad de aprendizaje x −12 x 1 7 x 2 5x 2 84 Al dividir un polinomio entre otro, para comprobar el resultado, 2 2x 2 2 7 x 112 x − 84 0 Ejemplos ( 2x 3 + 3x )( 3x 2 − 4 x ) = ( 2 x 3 + 3x )( 3x 2 ) + ( 2 x 3 + 3x )( − 4 x ) 3 2 2 3 5 2 x ? 3x 13x ? 3x 1 2 x (2 4 x )13x (2 4 x ) 5 6 x 5 + 9 x 3 − 8 x 4 − 12 x 2 Ordenando el resultado en forma decreciente 5 6 x − 8 x + 9 x − 12 x 5 4 3 2 Si se ordenan en forma decreciente los términos de los polinomios que se van a multiplicar, la operación también se puede disponer así: 3 Se divide el primer término del dividendo (x 2) entre el primer término del divisor (x) con la que se obtiene el cociente (x); luego se multiplica el divisor (x 1 7) por (x) y el resultado se escribe debajo del dividendo. Después se resta y se repite el procedimiento utilizando a − 12 x − 84 como nuevo dividendo. El cociente obtenido es x −12. Cuando el cociente es exacto, como en este caso, el residuo es cero; para verificar el resultado se multiplica el cociente por el divisor y el producto debe ser igual al dividendo. x −12 x17 2 x + 3x 3 3x 2 − 4 x 6x 5 2 8x x 2 − 12 x 3 1 9x 4 2 12x 2 7x 2 84 multiplica el primer polinomio por 3x 2 multiplica el primer polinomio por −4x 6 x 5 − 8 x 4 + 9 x 3 − 12 x 2 x 2 − 5 x − 84 suma Ejemplos Observa que en los productos parciales se ubica cada término en la columna que le corresponde de acuerdo con su grado. 2 x 2 + 3x + 4 Ejemplos 3x 3 − 2 x 2 − x + 5 x 2 − 3x + 2 3x 5 − 2 x 4 − x 3 + 5 x 2 − 9 x 4 + 6 x 3 + 3x 2 − 15 x 16 x 3 2 4 x 2 2 2 x 110 3x 5 − 11x 4 + 11x 3 + 4 x 2 − 17 x + 10 84 2 4 3 2 Divide 2 x + 13x + 15 x + 16 x − 3 entre x + 5 x − 2 x 2 + 5 x − 2 2 x 4 + 13x 3 + 15 x 2 + 16 x − 3 2 x 4 + 10 x 3 − 4 x 2 3x 3 + 19 x 2 + 16 x 3x 3 + 15 x 2 − 6 x 4 x 2 + 22 x − 3 4 x 2 + 20 x − 8 2x + 5 Grupo Editorial Patria® Por tanto, Para comprobar el resultado, se multiplica el cociente por el divisor y al producto obtenido se le suma el residuo, el resultado debe ser igual al dividendo. 2 x 2 + 3x + 4 x 2 + 5x − 2 3 2 x 4 + 3x 3 + 4 x 2 10 x 3 + 15 x 2 + 20 x 2 4x2 2 6x 2 8 (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2 Los términos a2 y b2 son siempre positivos porque el cuadrado de un número, positivo o negativo, es siempre positivo. El término 2ab puede ser positivo siempre que a y b tengan el mismo signo, o negativo cuando sus signos son contrarios. Sea el producto: (a 2 b) (a 2 b) 5 (a 2 b)2 Si se efectúa la multiplicación en la forma general se obtiene: 3 2 x 4 + 13x 3 + 15 x 2 + 14 x − 8 1 2x 1 5 a2 2 ab 2 ab 1 b2 2 x 4 + 13x 3 + 15 x 2 + 16 x − 3 4.2 Modelos aritméticos o algebraicos a2b a2b a2 2 2ab 1 b2 Por tanto: (a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2 Producto de binomios aplicando patrones de productos notables Estos resultados se pueden expresar de la siguiente forma: A ciertos productos que se pueden obtener de manera directa sin realizar la multiplicación por el procedimiento general, se denominan productos notables. Es decir, el cuadrado de un binomio es igual a la suma algebraica del cuadrado del primer término más (o menos) el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término. Cuadrado de un binomio Elevar un binomio al cuadrado significa que el binomio se multiplica por sí mismo. Sea el producto: (a 1 b) (a 1 b) 5 (a 1 b)2 (a ± b)2 5 a2 ± 2ab 1 b2 El cuadrado de un binomio recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. Actividad de aprendizaje Al efectuar la multiplicación en la forma general se tiene. a1b a1b Agrega el término que falta para que la siguiente expresión sea un trinomio cuadrado 36 x 2 + _____ + 25 y 2 . a2 1 ab ab 1 b2 a2 1 2ab 1 b2 Ejemplos Representación geométrica: b ab b2 (2a 1 3b)2 5 (2a )2 1 2(2a)(3b ) 1 (3b)2 5 4a 2 1 12ab 1 9b 2 (2a 2 3b)2 5 (2a )2 1 2(2a)(23b ) 1 (23b )2 5 4a 2 2 12ab 1 9b 2 (23x 1 4y )2 5 (23x )2 1 2(23x )(4y ) 1 (4y )2 5 9x 2 2 24xy 1 16y 2 a a2 ab a b (23x 2 4y )2 5 (23x )2 1 2(23x ) (24y) 1 (24y )2 5 9x 2 1 24xy 1 16y 2 Figura 4.1 85 BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I Producto de binomios conjugados Dos binomios son conjugados cuando tienen un término común y los otros dos términos son simétricos. Así, en: a1b y a2b 22a 1 3b y 2a 1 3b 25r 1 s y 25r 2 s El término común es: a es decir, el producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. El producto de dos binomios conjugados recibe el nombre de diferencia de cuadrados. Ejemplos (2x 1 3y )(2x 2 3y ) 5 (2x )2 2 (3y )2 5 4x 2 2 9y 2 (25a 1 3b) (25a 2 3b) 5 (25a)2 2 (3b)2 5 25a 2 2 9b 2 (x 2 y 1 z ) (x 1 y 2 z ) 5 [x 2 ( y 2 z )][x 1 (y 2 z )] 3b 5 (x )2 2 ( y 2 z )2 25r 5 x 2 2 ( y 2 2 2yz 1 z 2 ) 5 x 2 2 y 2 1 2yz 2 z 2 Los simétricos son: b y 2b 22a y 2a Producto de dos binomios que tienen un término común s y 2s Sea el producto (a 1 b) (a 2 b) Sean x 1 a y x 1 b dos binomios que tienen un término común x, en los cuales a y b representan términos algebraicos cualesquiera. Al efectuar la multiplicación en la forma general se tiene: Al realizar la multiplicación en la forma general se tiene: 3 a1b a2b x1a x1b 3 a2 1 ab x2 1 ax 2 ab 2 b2 bx 1 ab a2 2 b2 x2 1 (a 1 b)x 1 ab Representación geométrica: a–b Representación geométrica: 1 2 a b b bx ab x x2 ax x a Figura 4.2 b2 2 Figura 4.4 Por tanto, 1 a Figura 4.3 Por tanto (a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2 86 (x 1 a)(x 1 b) 5 x2 1 (a 1 b) x 1 ab En otras palabras, el producto de dos binomios que tienen un término común se obtiene sumando algebraicamente el cuadrado del término común, más el producto de este término por la suma algebraica de los términos no comunes, más el producto de estos dos últimos términos. Grupo Editorial Patria® En este producto se observa que si a es igual a b, entonces se trata del cuadrado de un binomio, con lo cual se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. Si a y b son simétricos, se obtiene como producto una diferencia de cuadrados. (23x 1 2y )3 5 (23x )3 1 3(23x )2(2y ) 1 3(23x )(2y )2 1 (2y )3 5 227x 3 1 54x 2y 2 36xy 2 1 8y 3 (25x 2 4y )3 Ejemplos 5 (25x )3 1 3(25x )2(24y) 1 3(25x )(24y )2 1 (24y )3 5 2125x 3 2 300x 2y 2 240xy 2 2 64y 3 (x 1 7)(x 2 3) 5 x 2 1 4x 2 21, pues (17) 1 (23) 5 4 y (17) (23) 5 221 (5a 1 5)(5a 1 7) 5 25a 2 1 60a 1 35, pues (15) 1 (17) 5 12 y (15)(17) 5 35 (x 2 9)(x 2 2) 5 x 2 2 11x 1 18, pues (29) 1 (22) 5 211 y (29)(22) 5 18 Cubo de un binomio Sea el binomio a 1 b, donde a y b representan términos algebraicos que pueden ser positivos o negativos. El cubo del binomio a 1 b se puede escribir así: (a 1 b)3 5 (a 1 b) (a 1 b) (a 1 b) 5 (a 1 b)2 (a 1 b) Al sustituir (a 1 b)2 por su producto a2 1 2ab 1 b2 se obtiene a 1 2ab 1 b a1b 2 3 2 a3 1 2a2b 1 ab2 a2b 1 2ab2 1 b3 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 Por tanto, (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 Es decir, el cubo de un binomio es igual a la suma algebraica del cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. Nota: el signo 1 de los términos del producto indica que cada uno se considera con el signo que le corresponde de acuerdo con las leyes de los signos para la multiplicación. 5 a3 1 3(a)2(2b) 1 3(a)(2b)2 1 (2b)3 5 a3 2 3a 2b 1 3ab 2 2 b3 (x 1 2)3 La expresión (a 1 x)n 5 an 1 nan21x 1 n(n 2 1)/2! an–2x2 1 . . . 1 n(n 2 1) . . . (n 2 r 1 2)/(r 2 1)! an–r11xr21 1 . . . 1 xn constituye el desarrollo del teorema del binomio o fórmula del binomio de Newton. El símbolo n! se lee “factorial de n” y significa que: n! 5rrrrn; así 2! 5r5 2; 3! 5rr5 6; 4! 5rrr5 24, etcétera. El desarrollo anterior se obtiene a partir del análisis combinatorio y se demuestra por inducción matemática. Ambos temas no corresponden a este curso, por ello únicamente se presentará una introducción a la fórmula del binomio, cuando n es un número entero y positivo, con base en resultados demostrables que se aplicarán sin hacer la demostración correspondiente. La fórmula del binomio nos permite escribir de manera directa los términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Por multiplicación directa podemos obtener el desarrollo de las potencias sucesivas del binomio a 1 b para: (a 1 b)1 5 a 1 b (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2 (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 (a 1 b)4 5 a4 1 4a3b 1 6a2b2 1 4ab3 1 b4 (a 1 b)5 5 a5 1 5a4b 1 10a3b2 1 10a2b31 5ab4 1 b5 De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en su formación. Ejemplos (a 2 b)3 Triángulo de Pascal y binomio de Newton 5 x 3 1 3(x )2(2) 1 3(x )(2)2 1 (2)3 5 x 3 1 6x 2 1 12x 1 8 1. Si el exponente del binomio es n, hay n 1 1 términos en el desarrollo. 2. Para cada valor de n, el desarrollo de (a 1 b)n empieza con an y termina con bn. En cada término los exponentes de a y b suman n. 87 BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I 3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del término. tercer término. De manera similar, a partir de este coeficiente se 3 obtiene 10 × 5 10 que es el coeficiente del cuarto término. A 3 2 partir de éste se obtiene 10 × 5 5, que es el coeficiente del quin4 to término. 4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar. Al aplicar lo anterior para n 5 6 y 7, se obtiene: (a 1 b)6 5 a6 1 6a5b 1 15a4b2 1 20a3b3 1 15a2b4 1 6ab5 1 b6 (a 1 b)7 5 a7 1 7a6b 1 21a5b2 1 35a4b3 1 35a3b4 1 21a2b5 1 7ab6 1 b7 Esta última observación no parece tan evidente como las anteriores y en razón de su importancia la veremos en detalle al aplicarla al desarrollo de (a 1 b)5. Otra característica del desarrollo del binomio constituye cierta simetría en los coeficientes de los términos. Esta simetría se puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden, que se conoce como triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de (a 1 b)n. El coeficiente del tercer término se obtiene del segundo término así: se multiplica el coeficiente 5 por el exponente 4 de a y el producto se divide entre 2 que es el número de términos anteriores 4 al que se quiere formar. Es decir, 5 × 5 10, el coeficiente del 2 n50 1 n51 1 n52 1 n53 1 n54 1 n56 n57 1 1 A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que en cada renglón se observa que el primer y el último elementos son 1 porque los coeficientes del primer y el último términos son iguales a 1. Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentran tanto a su izquierda como a su derecha en el renglón superior. Así, para n 5 6, el segundo coeficiente, 6, es la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y su derecha en el renglón superior; el tercer coeficiente, 15, se obtiene de la suma de los elementos 5 y 10 del renglón superior, y así sucesivamente. Aplicaremos lo expuesto para la obtención de algunos desarrollos. Ejemplos 1. Desarrolla por el teorema del binomio: (a 1 2b)4. Como n 5 4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir, 88 4 5 6 15 21 1 3 10 6 7 2 3 1 n55 1 4 10 20 35 1 1 5 15 35 1 6 21 1 7 1 (a 1 2b)4 5 1(a)4 1 4(a)3(2b)1 1 6(a)2(2b)2 1 4(a)1(2b)3 1 1(2b)4 efectuando las potencias, se tiene: (a 1 2b)4 5 1(a4) 1 4(a 3)(2b) 1 6(a 2)(4b 2) 1 4(a)(8b 3) 1 1(16b 4) realizando los productos: (a 1 2b)4 5 a4 1 8a 3b 1 24a 2b 2 1 32ab 3 1 16b 4 2. Desarrolla por el teorema del binomio: (3a 2 2b)4. Si procedemos de manera semejante al ejemplo anterior, se tiene: (3a 2 2b)4 5 1(3a)4 1 4(3a)3(22b) 1 6(3a)2(22b)2 1 4(3a)(22b)3 1 1(22b)4 efectuando las potencias: (3a 2 2b)4 5 1(81a4) 1 4(27a3)(22b) 1 6(9a 2)(4b 2) 1 4(3a) (28b 3) 1 1(16b 4) realizando los productos: (3a 2 2b)2 5 81a 4 2 216a3b 1 216a 2b2 2 96ab 3 1 16b 4 Grupo Editorial Patria® Actividad de aprendizaje Un terreno tiene la forma de un cuadrado que mide 45 metros por lado. Utiliza el cuadrado de un binomio para calcular su área. Expresa 45 5 40 1 5 y 45 5 50 2 5 y compara los resultados obtenidos. Un terreno que tiene forma rectangular mide 34 metros de largo y 26 metros de ancho. Calcula su área utilizando binomios conjugados. el cual será el coeficiente del factor común cuyas literales serán las comunes a todos los términos del polinomio con su menor exponente. Así, en: 12x4y3 2 8x3y2 1 4x2y El m.c.d. de los coeficientes es 4, las literales comunes con su menor exponente son x2y; por tanto, el factor común es 4x2y. Dividiendo el polinomio entre el factor común: En el desarrollo (x 1 y )5 , ¿cuántos términos se obtienen? ¿Cuál es la mayor potencia de y ? ¿Cuál es la menor potencia de x ? Factorización de un polinomio que tiene un factor común. En la factorización x 2 2 4x 2 21 para determinar los segundos términos de los factores binomios, se buscan dos factores de ____ que sumados den _____. Técnicas de extracción de factor común simple y por agrupación Factorizar una expresión algebraica significa convertirla en el producto indicado de sus factores. Factorización de un polinomio que tiene un factor común Sea el polinomio ax 1 bx en el cual x es el factor común de sus términos. Al dividir el polinomio entre el factor común, se obtiene: ax 1bx 5 a 1b x Por tanto: ax 1 bx 5 x(a 1 b) Ejemplos 1. 2. 12x4y3 2 8x 3 y2 1 4 x 2 y 5 3x2y2 2 2xy 1 1 2 4x y Por tanto: 12x4y3 2 8x3y21 4x2y 5 4x2y (3x2y2 2 2xy 1 1) En la práctica, obtener el m.c.d. de un polinomio como factor común facilita la simplificación de fracciones algebraicas. Factorización por agrupación Sea el polinomio ac 1 ad 1 bc 1 bd se observa que el factor común de los dos primeros términos es a y el de los dos últimos es b. Al agrupar los términos que tienen factor común se obtiene: (ac 1 ad) 1 (bc 1 bd) factorizando cada grupo nos queda así: a(c 1 d) 1 b(c 1 d) por tanto: (ac 1 ad) 1 (bc 1 bd) 5 a(c 1 d) 1 b(c 1 d) tomando c 1 d como factor común resulta: (ac 1 ad) 1 (bc 1 bd) 5 (a 1 b)(c 1 d) es decir: Factoriza 4a 3 1 6a 2b. Se observa que 2 y a 2 son comunes a todos los términos. 4a 3 1 6a 2b 5 2a 2 ? 2a 1 2a 2 ? 3b 5 2a 2 (2a 1 3b) ac 1 ad 1 bc 1 bd 5 (a 1 b)(c 1 d) Si el polinomio ac 1 ad 1 bc 1 bd se reordena, se puede escribir así: ac 1 bc 1 ad 1 bd Factoriza 5a 2bx 4 2 15ab 2x 3 1 20ab 3x 4. 3 Se observa que 5, a, b y x son comunes a todos los términos. 5a 2bx 4 2 15ab 2x 3 1 20ab 3x 4 5 5abx 3 ? ax 2 5abx 3 ? 3b 1 5abx 3 ? 4b 2x 5 5abx 3(ax 2 3b 1 4b 2x) De lo anterior se deduce que para factorizar un polinomio cuyos términos tienen un factor común, se multiplica ese factor común por el cociente que se obtiene al dividir el polinomio entre dicho factor. El factor común se puede obtener al localizar el máximo común divisor (m.c.d.) de los coeficientes de todos los términos del polinomio, o bien: (ac 1 bc) 1 (ad 1 bd) de donde se obtiene: (a 1 b)c 1 (a 1 b)d que se puede expresar como: (a 1 b)(c 1 d) o sea que: ac 1 ad 1 bc 1 bd 5 (a 1 b)(c 1 d) En ambos casos se puede efectuar la comprobación al multiplicar los factores indicados, o bien, dando valores a las letras. 89 BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I Ejemplos 1. Factoriza 3mx 1 4my 1 3nx 1 4ny 3mx 1 4my 1 3nx 1 4ny 5 m(3x 1 4y) 1 n(3x 1 4y) 5 (m 1 n)(3x 1 4y) 2. Factoriza ax 1 ay 2 bx 2 by ax 1 ay 2 bx 2 by 5 a(x 1 y ) 2 b(x 1 y ) 5 (a 2 b)(x 1 y) 3. Factoriza 18x 3 1 12x 2 2 15x 2 10 18x 3 1 12x 2 2 15x 2 10 5 6x 2(3x 1 2) 2 5(3x 1 2) 5 (6x 2 25)(3x 1 2) 4. El primer término 9x2, es el cuadrado de 3x; el tercer término 4y2, es el cuadrado de 2y, y el segundo término 212xy, es el doble producto de 3x por 2y donde uno de estos términos es negativo. Por tanto: 9x2 2 12xy 1 4y2 5 (3x 2 2y)2 Se sugiere al lector obtener (23x 1 2y)2. Actividad de aprendizaje Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se busca la raíz cuadrada positiva de los términos cuadráticos y se relacionan con el signo del “____________” Factoriza m 2x 1 n 2x 1 m 2 1 n 2 m 2x 1 n 2x 1 m 2 1 n 2 5 (m 2x 1 n 2x ) 1 (m 2 1 n 2) 5 x(m 2 1 n 2) 1 (m 2 1 n 2) 5 (x 1 1)(m 2 1 n 2) Ejemplos 1. Técnicas de factorización basadas en productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos Como se explicó antes, se llama trinomio cuadrado perfecto al producto que se obtiene al elevar un binomio al cuadrado. En consecuencia, factorizar un trinomio cuadrado perfecto significa encontrar el binomio que multiplicado por sí mismo dé como producto el trinomio cuadrado perfecto. Es decir, si (a 1 b) 5 a 1 2ab 1 b , entonces: a2 1 2ab 1 b2 5 (a 1 b)2 Antes de proceder a la factorización del trinomio, se debe verificar que es cuadrado perfecto. Sea el trinomio: x2 1 10x 1 25 Se observa que el primer término x2, es el cuadrado de x; el tercer término 25, es el cuadrado de 5. Si el segundo término 1 10x es el doble producto de x por 5, entonces el trinomio dado es cuadrado perfecto: 2(x)(5) 5 10x Por tanto, el binomio que elevado al cuadrado da x2 1 10x 1 25 es (x 1 5) cuyo signo es el mismo que el del segundo término del trinomio dado. En consecuencia: x2 1 10x 1 25 5 (x 1 5)2 Sea el trinomio 9x2 2 12xy 1 4y2, examinemos si es cuadrado perfecto. 2 90 2 Factoriza el trinomio x 2 1 6x 1 9 El cuadrado de x es x 2 El cuadrado de 3 es 9 2 (x )(3) 5 6x Por tanto: x2 1 6x 1 9 5 (x 1 3)2 2. Factoriza el trinomio 25x 2 2 20x 1 4 El cuadrado de 5x es 25x 2 El cuadrado de 2 es 4 2 (5x )(22) 5 220x Por tanto: 25x 2 2 20x 1 4 5 (5x 2 2)2 2 Se sugiere al lector obtener (25x 1 2)2 3. Factoriza el trinomio x 2 1 x 1 El cuadrado de x es x 2 El cuadrado de Por tanto: 1 1 es 2 4 1 4 1 2(x ) ⎛⎜ ⎞⎟ 5 x ⎝ 2⎠ x 2 1 x 11 ⎛ x 11 ⎞ 5⎜ ⎝ 2 ⎟⎠ 4 2 Factorización de una diferencia de cuadrados Sabemos que una diferencia de cuadrados se puede obtener a través del producto de dos binomios conjugados, es decir: Grupo Editorial Patria® a2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b) Entonces, factorizar una diferencia de cuadrados significa buscar dos binomios conjugados cuyo producto sea la diferencia de cuadrados dada. c) Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia de cuadrados reordenando sus términos, como en: x 2 1 2xy 1 y 2 2 25z 2 5 (x 1 y )2 2 25z 2 5 [(x 1 y ) 1 5z ][(x 1 y ) 2 5z ] Actividad de aprendizaje 5 (x 1 y 1 5z )(x 1 y 2 5z ) d) Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia de cuadrados mediante el artificio de sumar y restar el mismo término. Por ejemplo: en x 4 1 x 2y 2 1 y 4 se observa que si el segundo término fuera 2x 2y 2 se tendría un trinomio cuadrado perfecto factorizado por (x 2 1 y 2)2. Si se agrega y se quita al polinomio el término x 2y 2, se obtiene: Al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen dos binomios conjugados en el que uno es _______________ y el otro es _________________ de las raíces. Ejemplos x 4 1 x 2y 2 1 y 4 5 x 4 1 2x 2y 2 1 y 4 2 x 2y 2 Factoriza la expresión 9x 2 2 16y 2. El primer término 9x 2, es el cuadrado de 3x, término común de los dos binomios conjugados que se buscan. El segundo término 216y 2, es el producto de 4y por 24y, términos simétricos de los binomios conjugados que se buscan. 5 (x 2 1 y 2)2 2 x 2y 2 5 (x 2 1 y 2 1 xy )(x 2 1 y 2 2 xy ) Por tanto: x 4 1 x 2y 2 1 y 4 5 (x 2 1 xy 1 y 2)(x 2 2 xy 1 y 2) Por tanto: 9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y ) A continuación se describe otra forma de determinar los binomios conjugados. Factorización de la suma y diferencia de cubos El cociente de a3 1 b3 entre a 1 b es: a 3 1b 3 5 a2 2 ab 1 b2 a 1b Obtén la raíz cuadrada principal (o positiva) de los términos cuadráticos: 1 9 x 2 5 3x 1 16 y 2 5 4y Los binomios conjugados se forman con la suma y la diferencia de las raíces, es decir: (3x 1 4y ) y (3x 2 4y ) entonces: 9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y ) Los casos especiales de la factorización de una diferencia de cuadrados son: entonces a3 1 b3 5 (a 1 b)(a2 2 ab 1 b2) De manera semejante: a3 2 b3 5 (a 2 b)(a2 1 ab 1 b2) Ejemplos 1. 27x 3 1 y 3 5 (3x )3 1 y 3 a) Cuando uno de los binomios conjugados es una diferencia de cuadrados es necesario continuar la factorización. Así, en la factorización de x 8 2 y 8 se obtiene: Factoriza 27x 3 1 y 3 5 (3x 1 y )(9x 2 2 3xy 1 y 2) 2. Factoriza 27x 3 2 8y 3 27x 3 2 8y 3 5 (3x )3 2 (2y )3 x 8 2 y 8 5 (x 4 1 y 4)(x4 2 y 4) 5 (3x 2 2y )(9x 2 1 6xy 1 4y 2) 5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 2 2 y 2) 5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 1 y )(x 2 y ) b) Cuando los cuadrados son polinomios, como en x4 2 (m 2 n)2, se considera (m 2 n) como un monomio y se factoriza de la siguiente forma: x 4 2 (m 2 n)2 5 [x 2 1 (m 2 n )][x 2 2 (m 2 n )] 5 (x 2 1 m 2 n )(x 2 2 m 1 n ) 3. Factoriza x 6 1 y 6 x 6 1 y 6 5 (x 2)3 1 (y 2)3 5 (x 2 1 y 2)(x4 2 x 2y 2 1 y 4) 4. Factoriza x 9 2 y 12 x 9 2 y 12 5 (x 3)3 2 (y 4)3 5 (x 3 2 y 4)(x 6 1 x 3 y 4 1 y 8) 91 BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Determina P (x ) 2 Q (x ) 5. Determina el producto (1 2 z )3 sin efectuar la operación. P (x ) 3x 4 + x 3 + 7 x 2 − 2 x − 6 Q (x ) 5 − 2 x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 6 x + 3 2. Determina el producto [(a 1 b) 1 c]2 sin efectuar la operación. 6. Desarrolla por el teorema del binomio (x 2 2y )6. 3. Determina el producto (x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3) sin efectuar la operación. 7. Factoriza la expresión r 4 1 r 3s 2 r 2s 2. 4. Determina el producto (3x 1 7)(3x 2 19) sin efectuar la operación. 92 8. Factoriza la expresión x 3 1 x 2y 1 x 1 y. Grupo Editorial Patria® 9. Factoriza la expresión 9a 2b 4 2 25a 4b 6. 14. Determina el producto (2x 1 3y )3, sin efectuar la operación. 10. Factoriza la expresión (x 1 y )3 1 512(m 1 n )3. 11. Desarrollar por el sistema de Newton (3m 1 n 2)5. 15. Determina el producto (3x 2 1 4) (3x 2 2 5) sin efectuar la operación. 12. Determina el producto (x 2 y 1 1) ((x 2 y 2 1). 16. Determina el producto (7a 2 3b) (7a 1 9b) sin efectuar la operación. 13. Efectúa la división x 3 2 2 x 2 1 96 y comprueba el resultado. x 14 93 BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I Lista de cotejo Lista de cotejo para el reporte sobre la población de la comunidad del Bloque 4. Nombre del alumno: Presentación Criterio 1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente. Desarrollo 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas. Conclusiones Dominio del tema 10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 94 11. Investiga y obtiene los datos que se piden sobre la población de su comunidad. 12. Investiga y obtiene los datos que se piden sobre los alumnos de su escuela. 13. Investiga y obtiene los datos que se piden sobre la población del país. 14. Representa gráficamente la evolución de la población de su comunidad. 15. Representa gráficamente la evolución de la población de alumnos de su escuela. 16. Representa gráficamente la evolución de la población del país. cumple sí no Observaciones Grupo Editorial Patria® Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones: Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 4. Nombre del alumno: Excelente (4) Bueno (3) Regular (2) Deficiente (1) Operaciones de suma, resta, multiplicación y división de polinomios en una variable Realiza las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de polinomios en una variable. Realiza las operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios en una variable. Realiza las operaciones de suma y resta de polinomios en una variable. No realiza las operaciones de suma, resta, multiplicación o división de polinomios en una variable. Producto de binomios aplicando patrones de productos notables Aplica patrones de productos notables para obtener el cuadrado de un binomio, el producto de binomios conjugados, el producto de dos binomios que tienen un término común y el cubo de un binomio. Aplica el triángulo de Pascal y el binomio de Newton. Aplica patrones de productos notables para obtener el cuadrado de un binomio, el producto de binomios conjugados, el producto de dos binomios que tienen un término común. Aplica, en la mayoría de los casos, el triángulo de Pascal y el binomio de Newton. Aplica patrones de productos notables para obtener el cuadrado de un binomio, el producto de binomios conjugados. Aplica, en algunos casos, el triángulo de Pascal y el binomio de Newton. No aplica patrones de productos notables para obtener el cuadrado de un binomio, el producto de binomios conjugados, el producto de dos binomios que tienen un término común o el cubo de un binomio. No aplica el triángulo de Pascal ni el binomio de Newton. Técnicas de extracción de factor común simple y por agrupación Factoriza un polinomio que tiene un factor común. Factoriza un polinomio por agrupación. Factoriza un polinomio que tiene un factor común. Factoriza, en la mayoría de los casos, un polinomio por agrupación. Factoriza un polinomio que tiene un factor común. Factoriza, en algunos casos, un polinomio por agrupación. No factoriza un polinomio que tiene un factor común. No factoriza un polinomio por agrupación. Factorización de diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto Factoriza una diferencia de cuadrados. Factoriza una suma o diferencia de cubos. Factoriza una diferencia de cuadrados. Factoriza, en la mayoría de los casos, una suma o diferencia de cubos. Factoriza una diferencia de cuadrados. Factoriza, en algunos casos, una suma o diferencia de cubos. No factoriza una diferencia de cuadrados. No factoriza una suma o diferencia de cubos. Aspecto a evaluar Criterios Comentarios Generales 95 Realizas transformaciones algebraicas II 5 B LO Q U E Objetos de aprendizaje 5.1 Representación de relaciones entre magnitudes. 5.2 Modelos aritméticos o algebraicos. Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos en situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. ¿Qué sabes hacer ahora? 1. Factoriza las expresiones siguientes: x 2 1 5x 1 6 x 2 1 5x 2 14 2x 2 1 5x 1 3 15x 2 1 14x 2 8 Simplifica la siguiente fracción: 2. 3. 5a 2 x 2 10a 3 y 3 Reduce al menor común denominador: 1 2 3 , , x 1 y x 2 y x2 2 y2 Reduce a forma mixta las siguientes fracciones: 4. 3x 1 4 x13 4m2 2 m 2 7n Reduce a una sola fracción y simplifica: 5. 2x 1 3 2 2x 5 1 2 x 1 x2 2 x3 11 x Desempeños por alcanzar Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma x ² 1 bx 1 c y ax ² 1 bx 1 c con a Z 0, 1 como un producto de factores lineales y polinomios que requieren combinar técnicas. Expresa trinomios de la forma x ² 1 bx 1 c y ax ² 1 bx 1 c como un producto de factores lineales. Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes susceptibles de ser simplificadas. Utiliza varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en varios factores. Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores comunes y la división de polinomios. Obtiene factores comunes factorizando con las técnicas aprendidas y reduce éstos. Escribe expresiones racionales de forma simplificada utilizando factores comunes y la división de polinomios. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos. BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Expresa x2 1 5x 2 36 como el producto de dos factores binomios. Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se reconoce un trinomio cuadrado perfecto? ¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. ¿Cómo se reconoce un trinomio que no es cuadrado perfecto? Evaluación por producto ¿Cómo se factoriza un trinomio que no es cuadrado perfecto? A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. Trabajo individual En este ejemplo: Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Producto a elaborar Factorización de un trinomio. Rúbrica Para determinar la factorización del trinomio que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 98 ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Grupo Editorial Patria® Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Factoriza 9x2 2 24x 1 16. Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se reconoce un trinomio cuadrado perfecto? ¿Cómo se determina el signo de la suma algebraica que representa el binomio? ¿Cómo se obtiene el término central a partir de los términos cuadrático e independiente? Trabajo individual ¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo: Producto a elaborar Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Rúbrica Factorización de un trinomio cuadrado perfecto. ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar la factorización del trinomio cuadrado perfecto que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 99 BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Simplifica x2 1 mx 1 n. Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Qué significa simplificar una fracción algebraica? ¿Qué productos notables y sus respectivas factorizaciones puede utilizar? ¿Qué condiciones se deben cumplir para cancelar factores en el numerador y denominador de la fracción? ¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo: Trabajo individual Producto a elaborar Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Simplificación de una fracción algebraica. Rúbrica Para determinar la simplificación de la fracción algebraica que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 100 ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Grupo Editorial Patria® Propuestas de diseño para situaciones didácticas 11. x24 2 x 2 7 x 1 12 16. 6 x 2 2 5x 2 4 6 x 2 1 x 2 12 Parte I 12. x3 2 y3 2 2 x 2 3xy 1 y 2 17. 6 x 2 2 5x 2 4 12 2 x 2 6 x 2 13. 4 x 4 2 28 x 3 1 48 x 2 2 x4 2 8x3 1 6 x2 18. 2 x 2 1 13x 1 21 2 x 2 1 10 x 1 12 14. 4 x2 2 7x 1 3 5 x 2 2 3x 2 2 19. 5x 3 2 4 x 2 1 x 2 2 5 x 3 1 6 x 2 1 3x 1 2 15. x3 1 2 x2 1 2 x 1 1 x 3 1 3x 2 1 3x 1 2 20. x3 1 2 x2 1 2 x 11 x 3 1 3x 2 1 3x 1 2 Factoriza las expresiones siguientes. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. x2 1 5x 1 6 x2 2 5x 1 6 x2 1 x 2 6 x2 2 x 2 6 x2 1 5x 2 36 x2 2 9x 2 36 x2 1 13x 1 36 x2 1 5x 1 14 x2 2 13x 1 40 m2 2 2m 2 15 x2 1 5x 2 14 x2 1 5x 2 6 x2 1 2x 2 3 x2 2 2x 2 3 x2 2 x 2 20 x2 1 x 2 20 x2 1 2x 2 24 x2 1 3x 2 28 x2 1 3x 2 10 x2 1 7x 1 10 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. Parte II Factoriza las expresiones siguientes. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 2x2 1 5x 1 3 5y2 2 8y 1 3 4x2 1 12x 1 3 8x2 2 10x 1 3 2x2 1 7x 1 3 12x2 2 7x 1 1 3x2 1 4x 2 4 3x2 2 x 2 2 4x2 1 16x 1 7 6x2 2 x 2 2 15x2 1 14x 2 8 12x2 2 5x 2 2 6x2 1 7x 1 2 3x2 2 4x 2 5 3x2 1 4x 2 4 4x2 2 4x 2 3 4x2 1 11x 2 3 5x2 2 8x 1 3 6x2 1 17x 1 12 12x2 2 x 2 1 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. Parte III B) Reduce al menor común denominador. 1. 5, 2. 1 1 , x2 y x1 y 3. m n , x1 y x2 y 4. x x , x13 x23 5. a 1b a 2b , a 2 b a2 1 a b 1 b2 6. 1 2 3 , , x 1 y x 2 y x2 2 y2 7. xy 2 x xy 1 x , y 11 y 21 8. a 2b a a1b , , b 2 a (a 1 b)2 a 2 2 b 2 1 5m 2n , , 2 3 y 2 x x 1 xy 1 y 2 x 2y A) Simplifica las siguientes fracciones. a2b 2b 2 2 a 5a 2 x 2 1. 10a 3 y 3 6. 50 x 8 y 9 z 2 2. 75 x10 y10 z x2 y 7. 2 y 2 x2 9. 10. 3. a 21 a2 2 1 8. x 2y y3 2 x3 4. a 1b a3 1 b3 9. x4 2 y4 x6 2 y6 2 3 5. m 2 1 2mn 1 n2 m 2 2 n2 10. 2 x4 2 y4 y6 2 x6 a b 3 3x 2 x3 , , 3x 3 2 21x 2 x 2 2 5 x 2 14 x 3 2 343 C) Reduce a forma mixta las siguientes fracciones. 1. 3x 1 4 x13 2. 4m2 2 m 2 7n 101 BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II 3. x 1 3xy 1 y x1 y 4. x 2 2 3xy 2 y 2 x2 y 2 Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es sólo porque no se dan cuenta de lo complicado que es la vida. 2 John Von Neumann Introducción Se trata lo relacionado con la factorización de trinomios de las formas x 2 + mx + n y ax 2 + bx + c 2 5. 6 x 2 18 x 1 5 3x 2 4 Para terminar el bloque, se desarrolla el tema de simplificación de fracciones algebraicas en la que tienen aplicación los conceptos antes estudiados. x3 6. x1 y 7. x 2 1 4 yx 1 y 2 x1 y 8. m 2 2 13mn 1 4n2 m2n 9. 15 x 3 1 6 x 2 2 3x 2 8 3x 2 5 5.1 Representación de relaciones entre magnitudes Trinomios que no son cuadrados perfectos, como productos de factores lineales Sabemos que dos binomios que tienen un término común como (x 1 a) y (x 1 b) dan el producto: 1 2 x 1 5x 2 5 4x 11 2 10. (x 1 a) (x 1 b) 5 x2 1 (a 1 b)x 1 ab D) Reduce a una sola fracción y simplifica. 1. 2 x 1 3 2 2x 5 7x 1 4 3x x 3. x 2 x 21 Actividad de aprendizaje 4 y2 4. x 1 2 y 1 x 22y 2 6. 1 2 x 1 x 2 2 x3 11 x 7. 1 1 x 1 x 2 1 x3 12 x 8. x 4 2 x 3 1 x 2 2 x 1 1 2 2 Factoriza x + 13x + 36 . Describe el proceso que realizaste para llegar al resultado correcto. 2 x 11 4 2 2 x 1 x2 222 x 21x 10. 1 2 2 x 1 x 2 1 102 2 En un trinomio de la forma x + mx + n , ¿qué representan m y n? a 2b a 1 2b 2 9. x2 1 mx 1 n 5 (x 1 a)(x 1 b) Esto significa que el trinomio x2 1 mx 1 n se puede factorizar como el producto de dos factores binomios tales que su primer término es x, sus segundos términos son dos números cuya suma algebraica es m y cuyo producto es n. 2. 5 x 1 5. a 1 b 2 Si se sustituye (a 1 b) por m y ab por n, se puede escribir: 1 2 x4 1 1 2 x 1 x2 Ejemplos 1. Factoriza la expresión x 2 1 8x 1 15. El producto 1 15 indica que los factores tienen el mismo signo y como la suma es 1 8, entonces los dos son positivos. Grupo Editorial Patria® 5 2x (2x 1 3) 1 (2x 1 3) Los factores de 15 son 15 por 1 y 3 por 5. Estos dos últimos son los buscados, porque su suma es 3 1 5 5 8. Si se toma 2x 1 3 como factor común, se obtiene: 4x 2 1 8x 1 3 5 (2x 1 1)(2x 1 3) Por tanto: x 1 8x 1 15 5 (x 1 3)(x 1 5) 2 2. Como el producto es positivo, los factores tienen el mismo signo. Para que la suma sea negativa, los dos deben ser negativos. Factores de 15 son (15)(1), (215)(21), (3)(5) y (23)(25). Factores de 115 que sumados dan 28 son 23 y 25. Por tanto: Factoriza la expresión 6x 2 1 5x 2 4. En este caso se deben buscar dos números cuyo producto sea 224 y cuya suma sea 15. El producto es negativo, por tanto, los factores tienen diferente signo. Los factores de 210 que sumados dan 13 son 15 y 22. Por consiguiente: Los factores de 224 son 24 3 (21), 12 3 (22), 8 3 (23) y 6 3 (24). Los únicos factores cuya suma es 15 son 8 y 23. Con estos números, el polinomio se escribe así: 6x 2 1 5x 2 4 5 6x 2 1 8x 2 3x 2 4 Factoriza la expresión x 2 2 3x 2 10. 5 (6x 2 1 8x) 2 (3x 1 4) El producto es negativo, por tanto, los factores tienen diferente signo. Los factores de 210 que sumados dan 23 son 25 y 12. En consecuencia: 5 2x (3x 1 4) 2 (3x 1 4) x 2 2 3x 2 10 5 (x 2 5)(x 1 2) Factorización de un trinomio de la forma ax 2 1 bx 1 c La forma más general del trinomio de segundo grado es ax2 1 bx 1 c. Para factorizar esta expresión se puede recurrir a un procedimiento que consiste en ensayar con diferentes pares de binomios, lo cual a veces resulta laborioso. Un procedimiento abreviado que es comprobable a través de la multiplicación de los factores binomios obtenidos, se expone a continuación. Ejemplos 1. 2. Factoriza la expresión x 2 1 3x 2 10. x 2 1 3x 2 10 5 (x 1 5)(x 2 2) 4. (2x 1 1)(2x 1 3) 5 4x 2 1 6x 1 2x 1 3 5 4x 2 1 8x 1 3 El que su producto sea negativo significa que sus factores tienen signo diferente, y para que la suma sea positiva se requiere que el factor con mayor valor absoluto sea positivo. x 2 2 8x 1 15 5 (x 2 3)(x 2 5) 3. Comprobación: Factoriza la expresión x 2 2 8x 1 15. Factoriza la expresión 4x 2 1 8x 1 3. En este caso, el procedimiento consiste en buscar dos números cuyo producto sea 12 y cuya suma sea 8. Como el producto y la suma son positivos, los dos números buscados también son positivos. Los factores de 12 son 12 × 1, 6 × 2 y 3 × 4. Los únicos factores cuya suma es 8 son 6 y 2. Con estos números, el polinomio se escribe así: 4x 2 1 8x 1 3 5 4x 2 1 6x 1 2x 1 3 5 (4x 2 1 6x ) 1 (2x 1 3) Si se toma a 3x 1 4 como factor común, resulta: 6x 2 1 5x 2 4 5 (2x 2 1)(3x 1 4) Comprobación: (2x 2 1)(3x 1 4) 5 6x 2 1 8x 2 3x 2 4 5 6x 2 1 5x 2 4 5.2 Modelos aritméticos o algebraicos Expresiones racionales con factores comunes y no comunes, susceptibles de ser simplificadas Recibe el nombre de fracción algebraica toda expresión de la fora ma (a entre b) en la que a, b o ambas son expresiones literales. b y n 5 Por ejemplo: , m 1 2 n, x 1 son fracciones algebraicas. m 3 a La simplificación de fracciones algebraicas comprende principalmente las siguientes transformaciones: a) Simplificación de fracciones. b) Reducción de fracciones a un común denominador. c) Reducción de fracciones a forma mixta y viceversa. Simplificación de fracciones a Sea la fracción algebraica cuyo cociente es c, es decir: b a 5c b 103 BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II donde el dividendo es igual al producto del cociente por el divisor, o sea: a 5 cb multiplicando la igualdad por m resulta: am 5 cbm si se considera am como dividendo, bm como divisor y c como cociente, se obtiene: am a am 5 5 c o sea bm b bm De manera semejante se puede obtener: a 4m a 4m 1 5 c o sea a : 5 a b 4m b 4m Lo anterior también se puede expresar así: el valor de una fracción no se altera si tanto el numerador como el denominador se multiplican por el mismo factor o se dividen entre el mismo divisor (no nulo). Por ejemplo: a 4n an a 5 5 ; b 4n bn b a 1b a 1b 1 5 2 2 5 a 2a (a 1b)(aa 2b) a 2b Las fracciones así obtenidas reciben el nombre de equivalentes porque representan el mismo valor. Actividad de aprendizaje En la simplificación de fracciones algebraicas, ¿en qué consiste la transformación de reducción a un común denominador? _______ a+b Simplifica la fracción 3 3 , menciona qué errores tuviste antes de obtener el resultado. a + b 1835) y fue nombrado Astrónomo real (1835-1881), además, fungió como director del observatorio de dicha institución. También colaboró en el observatorio de Greenwich, al cual reorganizó y actualizó en aparatos. George Airy trató de calcular el peso de la Tierra y analizó la posible desviación de la brújula por los efectos del casco de hierro de las embarcaciones, además calculó diversas elipses y propuso una teoría completa sobre la formación del arco iris. Airy se adentró en temas especializados como la física matemática y la matemática aplicada a los cálculos astronómicos, aportando a la posteridad el “disco de Airy”. Es conocido, principalmente, por no reconocer la importancia de los cálculos de John Couch Adams para el descubrimiento del planeta Neptuno. Por otra parte, bautizaron en su honor los cráteres Airy, los cuales se encuentran en la Luna y en Marte. Además, las funciones de Airy toman su nombre gracias a los trabajos realizados en la ecuación también nombrada como él. Se convirtió en el tipo de científico excesivamente práctico, obsesionado por los cálculos matemáticos complejos y da poca importancia a las ideas científicas en general. Expresiones racionales en forma simplificada a partir de los factores comunes y la división de polinomios Una fracción se reduce a su más simple expresión cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, esto se logra al dividirlos entre sus factores comunes o bien entre sus máximos comunes divisores (m.c.d.). Si la reducción se hace por factorización, los factores comunes se van cancelando hasta que el numerador y el denominador de la fracción son primos entre sí. A este proceso se le llama simplificación. Ejemplos Para tu reflexión 1. Airy, George Biddell (1801-1892) Astrónomo y matemático inglés que dedicó sus investigaciones a la comprobación de la ley de la gravedad de Newton a través de observaciones con un péndulo dentro de una mina. Trabajó como profesor de astronomía en Cambridge (1826- 104 Simplifica 8a 2 b 3 c 4 12a 4 b 3 c 2 Si el numerador y el denominador de la fracción se expresan exhibiendo sus factores comunes, se escribe: 2 ? 4 ? a2 ? b3 ? c2 ? c2 3 ? 4 ? a 2 ? a 2 ? b 3 ? c2 cancelando los términos comunes con diagonales: 2 ⋅ 4/ ⋅ a/ 2 ⋅ b/ 3 ⋅ c/ 2 ⋅ c 2 3 ⋅ 4/ ⋅ a/ 2 ⋅ a 2 ⋅ b/ 3 ⋅ c/ 2 Grupo Editorial Patria® Ejemplos nos queda como resultado: 2c 2 3a 2 a 3 2b 3 2. Simplifica 4 a 2b 4 1. (b 2 a)(c 2 d ) (b 2 a)(d 2 c ) 5 (m 2 n)(q 2 p) (n 2 m)(q 2 p) a 3 2b 3 (a 2b)((a 2 1 ab 1b 2 ) 4 4 5 a 2b (a 2b)(a 1b)(a 2 1b 2 ) 5 2. a 1 ab 1b (a 1b)(a 2 1b 2 ) 2 (a 2b)(c 2 d ) (a 2b)(c 2 d ) 5 5 (m 2 n)( p 2 q) (n 2 m)(q 2 p) 2 (a 2b)(c 2 d ) (b 2 a)(c 2 d ) 5 5 (m 2 n)( p 2 q) (n 2 m)(q 2 p) (a 2b)(d 2 c ) (b 2 a)(c 2 d ) 5 (m 2 n)( p 2 q) (m 2 n)( p 2 q) 3x 3 1 5 x 2 1 4 x 1 2 3. Simplifica 3x 3 2 x 2 2 2 Reducción de fracciones a un común denominador En este caso se recurre a un procedimiento que se utiliza con frecuencia en las fracciones algebraicas. Si se resta el denominador del numerador se obtiene 6x 1 4x 1 4 que debe contener los factores comunes de ambos, ya que todo divisor común de dos expresiones es divisor de su diferencia. Dos o más fracciones tienen un común denominador cuando es el mismo para todas. Así: 2 La diferencia 6x2 1 4x 1 4 se puede escribir 2(3x2 1 2x 1 2), donde se observa que el 2 no es factor común. Probando con 3x2 1 2x 1 2 se encuentra que divide al numerador y al denominador de la fracción y sus respectivos cocientes son x 1 1 y x 2 1, de manera que: x 11 3x 3 1 5 x 2 1 4 x 1 2 ( x 11)(3x 2 1 2 x 1 2) 5 5 3 2 2 x 21 3x 2 x 2 2 ( x 21)(3x 1 2 x 1 2) p q 2r , , m m m tienen a m como común denominador. Actividad de aprendizaje Si dos fracciones simplificadas tienen diferente denominador, ¿cómo se obtiene el denominador común? Explícalo y argumenta tu respuesta. Por las leyes de los signos de la división se sabe que: a 2a 2a a 52 52 5 2b b 2b b Esto significa que el valor de una fracción no se altera si se cambian los signos tanto del numerador como del denominador, pero si se cambia sólo uno de ellos, el signo de la fracción se altera. Por ejemplo: x2 y y2x x2 2y y2x 5 52 52 m 2n m 2n n 2m n 2m Como consecuencia de lo anterior, se observa que cuando el numerador y el denominador tienen varios factores comunes se puede cambiar el signo de un número par de ellos sin que se modifique el signo de la fracción. En caso de que se cambie el signo de un número impar de factores, se altera el signo de la fracción. El menor común denominador de dos o más fracciones es el común denominador de menor grado posible. Las fracciones: ( x 1 y)2 x 2 13xy 1 2 y 2 y x 2 2 y2 x 2 2 y2 tienen como común denominador (x2 2 y2) que no es el menor, ya que las dos fracciones se pueden simplificar en las fracciones equivalentes: x1 y x 12 y y x2 y x2 y por lo que x 2 y es el menor común denominador. 105 BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II Cuando dos o más fracciones están simplificadas y se quiere encontrar el menor común denominador, es necesario multiplicar tanto el numerador como el denominador de cada una por una misma cantidad. Dicha cantidad debe ser múltiplo común de los denominadores primitivos de las fracciones, esto significa que el menor común denominador de varias fracciones es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores de las fracciones. Este tipo de fracciones se obtiene a partir de divisiones donde el dividendo no es múltiplo del divisor, es decir, queda un residuo, por lo que el resultado tiene forma mixta. Así, para reducir: Actividad de aprendizaje p r x , , q s y al menor común denominador, el numerador y denominador de la primera se multiplican por sy, los de la segunda por qy y los de la tercera por qs, con lo cual se transforman en: psy rqy xqs , , qsy sqy yqs Por ejemplo: x1 m n y x1 ¿En qué caso la simplificación de una fracción algebraica se expresa en forma mixta? ¿Por qué? donde el numerador y el denominador de cada fracción original se han multiplicado por el producto de los denominadores de las demás fracciones. Ejemplos Antes de hallar el menor común denominador de varias fracciones es conveniente que primero se simplifiquen. Reduce a forma mixta la fracción Así, en: x2 y x y 2 2 2 2 x 13xy 1 y 2 x 13xy 1 2 y los denominadores se pueden escribir así: por lo que el menor común denominador es: (x 1 y)(x 1 2y)(2x 1 y) entonces el numerador y el denominador de la primera fracción se deben multiplicar por (2x 1 y) y en la segunda por (x 1 2y), con lo cual las fracciones quedan de la siguiente forma: x2 y ( x 2 y)(2 x 1 y) 2 5 x 13xy 1 2 y ( x 1 y)( x 1 2 y)(2 x 1 y) 6x 2 218 x 1 5 3x 2 4 La división da como cociente 2x 2 3 con el residuo 2x 2 7, por lo que el resultado es: 2x 2 3 1 2x 2 7 3x 2 4 2x 2 3 2 x 17 3x 2 4 o bien: x2 1 3xy 1 2y2 5 (x 1 y)(x 1 2y) 2x2 1 3xy 1 y2 5 (x 1 y)(2x 1 y) m 2n p2q donde esta última expresión es la común. El procedimiento inverso para transformar una expresión mixta en fraccionaria consiste en multiplicar el denominador de la fracción por la parte entera, después se suma algebraicamente el producto obtenido con el numerador de la fracción y a este resultado se le agrega el denominador de la fracción. 2 x( x 1 2 y) x 5 ( x 1 y) (2 x 1 y) ( x 1 y)(2 x 1 y)( x 1 2 y) Si se trata de dos fracciones simplificadas con diferente denominador el menor común denominador es el producto de sus denominadores. Reducción de fracciones a forma mixta y viceversa Se llama expresión mixta a la suma algebraica de una expresión entera y una fraccionaria. 106 Ejemplos (a 1 x )(a 1 x )2(2ax 2 x 2 ) 2ax 2 x 2 a1x2 5 a1x a1x a 2 1 2ax 1 x 2 2 2ax 1 x 2 5 a1x a2 22x 2 5 a1x Grupo Editorial Patria® Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 5. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Factoriza las expresiones siguientes: x 2 2 13x 1 40 x 2 1 3x 2 10 m 2 2 2m 2 15 2. Factoriza las expresiones siguientes: 12x 2 2 x 2 1 6x 2 2 x 2 2 4. Reduce al menor común denominador: a 1b a 2b , 2 a 2b a 1 ab 1b 2 5. Reduce a forma mixta las siguientes fracciones: 12 x 2 2 5 x 2 5 4 x 21 15xx 3 16 x 2 23x 28 3x 2 5 3. Simplifica la siguiente fracción: 4 x 4 2 28 x 3 1 48 x 2 2 x 4 28 x 3 16 x 2 6. Reduce a una sola fracción y simplifica: 1 1 2x 1 x 2 1 12 x 4 11 2 x 1 x 2 107 BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II Lista de cotejo Lista de cotejo para el reporte sobre la simplificación de fracciones del Bloque 5. Nombre del alumno: Criterio Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente. Desarrollo 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas. Conclusiones Dominio del tema 10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 108 11. Conoce y aplica la simplificación de fracciones algebraicas con factores comunes y no comunes. 12. Conoce y aplica la simplificación de fracciones algebraicas a un común denominador. 13. Conoce y aplica la reducción de fracciones algebraicas a forma mixta y viceversa. 14. Simplifica fracciones algebraicas con factores comunes y no comunes. 15. Reduce fracciones algebraicas a un común denominador. 16. Reduce fracciones algebraicas a forma mixta y viceversa. cumple sí no Observaciones Grupo Editorial Patria® Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones: Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 5. Nombre del alumno: Excelente (4) Aspecto a evaluar Criterios Bueno (3) Regular (2) Deficiente (1) Factorización de trinomios que no son cuadrados perfectos Factoriza un trinomio de la forma ax 2 1 bx 1 c, que no es trinomio cuadrado perfecto. Factoriza, en la mayoría de los casos, un trinomio de la forma ax2 1 bx 1 c, que no es trinomio cuadrado perfecto. Factoriza, en algunos casos, un trinomio de la forma ax 2 1 bx 1 c, que no es trinomio cuadrado perfecto. No factoriza un trinomio de la forma ax 2 1 bx 1 c, que no es trinomio cuadrado perfecto. Factorización de expresiones racionales susceptibles de ser simplificadas Simplifica expresiones racionales por: simplificación de fracciones, reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa. Simplifica, en la mayoría de los casos, expresiones racionales por: simplificación de fracciones, reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa. Simplifica, en algunos casos, expresiones racionales por: simplificación de fracciones, reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa. No simplifica expresiones racionales por: simplificación de fracciones, reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa. Factorización de expresiones racionales en forma simplificada Simplifica expresiones racionales por: reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa. Simplifica expresiones racionales, en la mayoría de los casos por: reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa. Simplifica expresiones racionales, en algunos casos, por reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa. No simplifica expresiones racionales por: reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa. Te presentamos una propuesta de hoja de observación que te posibilitará evaluar el trabajo por equipos. Criterios Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 Equipo 5 Intercambian ideas antes de hacer las pruebas Colaboran en la elaboración de las pruebas Atienden y respetan las opiniones de los demás Utilizan los materiales con precaución Proponen explicaciones de lo que observan Aplican términos científicos en sus explicaciones Registran y sistematizan sus observaciones Claves: D (Deficiente), R (Regular), B (Bueno), E (Excelente) 109 Resuelves ecuaciones lineales I 6 B LO Q U E Objetos de aprendizaje 6.1 Representación de relaciones entre magnitudes. 6.2 Uso de la calculadora, graficadora y/o una computadora. 6.3 Modelos aritméticos o algebraicos. Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos en situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. ¿Qué sabes hacer ahora? 1. Establece el modelo matemático que describe cada problema: a) Encuentra tres números enteros consecutivos cuya suma sea 189. b) Las edades actuales de un padre y su hijo son P y H. Si la edad del padre es 20 años mayor que la del hijo y la suma de sus edades es de 50 años, ¿cuál es la edad de cada uno? 2. Encuentra el valor de x en 3. En C = 2πr, ¿cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente? 4. Dos agricultores pueden arar un campo en 12 y 10 horas, respectivamente. Si trabajan juntos usando dos arados, ¿cuánto tardarán en arar todo el campo? 5. Una florista vende un ramo de dos docenas de flores en $750. El ramo está formado por rosas, cuyo precio es de $500 la docena, y por claveles, a $300 la docena. ¿Cuántas flores de cada especie debe poner para formar el ramo? Sugerencia: Llama x al número de rosas y 24 2x al de claveles. 6. Determina el conjunto solución de la ecuación: 7. Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante, en el caso siguiente: Si un examen tiene 20 preguntas, halla la calificación C cuando el número de aciertos n es n = 1, 2, 3,..., 20. 8. Aplica el concepto de función como regla de correspondencia para determinar si la relación g que asocia a cada planeta del Sistema Solar con su respectiva distancia media al Sol es o no es una función. Fundamenta tu respuesta. 9. Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos A(26, 6), B(3, 6). 10. Traza en el plano cartesiano la siguiente función: f (x) 5 3x 1 2. Determina si es creciente o decreciente. Fundamenta tu respuesta. x x = 12 − . 2 4 y 1 6 5 5. 4 Desempeños por alcanzar Identifica lo que es una ecuación lineal en una variable y una función lineal, así como la relación entre ellas. Redacta y resuelve problemas relativos a situaciones que requieren el uso de ecuaciones lineales en una variable y/o funciones lineales. Usa diferentes técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable. Reconoce a y 5 mx 1 b como una ecuación de dos variables como la forma de una función. Describe el comportamiento de las variables y/o resultados al solucionar problemas de ecuaciones y/o funciones lineales; tanto de manera algebraica como gráfica. Aplica diversas técnicas para graficar una función lineal. Aplica diferentes técnicas para continuar la gráfica de una función lineal. Modela situaciones para escribirlas como una ecuación lineal y/o una función lineal. Describe el comportamiento de la gráfica de una función lineal. Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones. BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Se tienen 360 g de plata de ley 0.820. ¿Cuántos gramos de plata de ley 0.500 se deben agregar para que la liga tenga una ley de 0.700? Secuencia didáctica ¿Qué tienes que hacer? Forma equipos para resolver el problema. Trabajo individual Que cada equipo represente, con dibujos, las condiciones del problema. Cada participante debe registrar lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos y efectuar de las rectificaciones que procedan. Cada equipo debe investigar: ¿Cómo representar con una letra la cantidad de gramos en plata que se busca? ¿Cómo representar la cantidad de plata de la liga? ¿Cómo establecer el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema? ¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del problema? Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Producto a elaborar Representación de la cantidad de plata que se necesita. Modelo matemático del enunciado del problema. Cálculos y obtención de los valores buscados. Rúbrica Para determinar la cantidad de plata que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es- 112 ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. Grupo Editorial Patria® Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? El tanque de gasolina de un automóvil tiene una capacidad de 40 litros. Si su rendimiento es de 15 km por litro, la función que describe la cantidad de gasolina que queda en el tanque después de 1 recorrer una distancia x es F(x) = 40 – . Si el tanque está lleno 15 determina: a) ¿Cuántos litros quedan en el tanque cuando se han recorrido 0, 15, 30, 45, 60, 90, 150, 300 y 600 km? b) La gráfica de la función. c) Si la función es creciente o decreciente. d) El dominio, contradominio e imagen de la función. e) El cero de la función. Secuencia didáctica ¿Qué tienes que hacer? Forma equipos para resolver el problema. Trabajo individual Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. Cada participante debe registrar lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para efectuar las rectificaciones que procedan. Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se calcula la gasolina que queda en el tanque? ¿Cómo se traza la gráfica de la función? ¿Cómo se determina que la función sea creciente o decreciente? ¿Cómo se determina el dominio, contradominio e imagen de la función? ¿Cómo se interpreta el cero de la función? Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Producto a elaborar Representación gráfica de la función que describe la situación didáctica. Rúbrica Para determinar las respuestas del problema que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 113 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I Propuestas de diseño para situaciones didácticas Parte I Establece el modelo matemático que represente cada problema y resuélvelo. 1. Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 189. 2. Determina tres números enteros consecutivos, tales que la suma del primero más el segundo sea igual al tercero más 27. 3. Encuentra tres números enteros pares consecutivos cuya suma sea 42. 4. Halla tres números enteros impares consecutivos cuya suma sea 45. 5. Determina tres números enteros pares consecutivos tales que 3 de la suma del primero más el segundo sea igual al tercero 2 menos 9. 6. Encuentra tres números enteros consecutivos cuya suma sea 48. 7. Halla tres números enteros consecutivos, tales que la suma del primero más el tercero sea igual al doble del segundo. 8. Determina tres números enteros pares consecutivos, tales que la suma del primero más el tercero sea igual al doble del segundo. 9. Encuentra tres números enteros pares consecutivos, tales que el primero sea igual a la suma del segundo más el tercero. 10. Halla tres números enteros impares consecutivos cuya suma sea 33. Parte II Establece el modelo matemático que represente cada problema y resuélvelo. 7 1. Encuentra dos números consecutivos donde del menor ex8 3 cede en 17 a del mayor. 5 2. Se tienen tres números consecutivos, tales que la diferencia en3 3 1 tre del mediano y del menor exceden en 1 a del mayor. 7 10 11 Halla los números. 3. Determina tres números enteros consecutivos, cuya suma de la mitad del primero más la tercera parte del segundo, más la cuarta parte del tercero sea igual a este último. 4. Encuentra el número cuya tercera parte aumentada en cuatro quintas partes del mismo, pero disminuida en 5 unidades es mayor en 15 unidades al valor del número. 5. A tiene $1 000 más que B. Si B gastara $8 000, tendría $4 000 4 menos que las partes de lo que tiene A. ¿Cuánto tiene cada uno? 5 114 6. Halla tres números enteros consecutivos, tales que la suma de la 5 mitad del primero más la tercera parte del tercero sea igual a del 7 segundo aumentado en 4 unidades. 7. Determina tres números enteros consecutivos, tales que la suma del primero más el segundo sea igual al doble del tercero menos 3 unidades. 8. Encuentra tres números enteros consecutivos, tales que el doble del tercero sea igual al triple de la suma de los dos primeros más 21. 9. Determina tres números enteros impares consecutivos, tales que la suma de los dos primeros sea igual al triple del tercero menos 19. 10. Encuentra tres números enteros consecutivos, tales que el doble de la suma de los dos primeros sea igual al triple de la suma de los dos últimos. Parte III Establece el modelo matemático que represente cada problema y resuélvelo. 1. Encuentra dos sumandos de 74, de modo que el mayor tenga 10 unidades menos que el quíntuplo del menor. 2. Un grupo de 17 estudiantes tiene 10 varones menos que el doble de mujeres. Determina cuántos estudiantes hay de cada sexo. 3. Representadas por P y H las edades actuales de un padre y su hijo, halla sus edades sabiendo que el padre tiene 20 años más que el hijo y que la suma de sus edades es de 50 años. 4. Ángulos complementarios son dos ángulos que suman 90 grados. Determina dos ángulos complementarios si uno es el cuádruplo del otro. 5. Ángulos suplementarios son dos ángulos que suman 180 grados. Determina dos ángulos suplementarios si uno es 20 grados menor que el triple del otro. Parte IV Establece el modelo matemático que represente cada problema y resuélvelo. 1. Dos agricultores pueden arar un campo en 12 y 10 horas, respectivamente. Si trabajan juntos usando dos arados, ¿cuánto tardarán en arar todo el campo? Grupo Editorial Patria® 2. Una válvula vacía un depósito en 10 horas y otra lo hace en 6 horas. Calcula el tiempo en que se vaciará el depósito si ambas válvulas se abren simultáneamente. 3. Un albañil puede hacer un trabajo en 9 horas y su ayudante en 12 horas. Si trabajan juntos, ¿cuánto tardarán en hacer la obra? 4. Una piscina se puede llenar en 6 horas y vaciar en 8 horas. Si se abren simultáneamente las dos llaves (la que la llena y la que la vacía), ¿en cuánto tiempo se llenará la piscina? Sugerencia: identifica como V el volumen inicial de la solución a 4% y proporciona el resultado en términos de V. 3. Una lechería compró 100 litros de leche que contiene 4.5% de grasa de mantequilla. ¿Cuánta leche descremada (0% de grasa) debe agregarse para que quede a 4%? 4. Un químico tiene 80 litros de una solución de ácido acético a 65%. ¿Cuántos litros de agua deben agregarse para que la concentración sea de 40%? 5. ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a un litro de alcohol de 95% de concentración para que la solución resultante tenga una concentración de 75%? 6. ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a un litro de solución de 20% de concentración para reducirla a 2%? 5. A puede efectuar cierto trabajo en 4 días, y B en 5. ¿Cuánto tiempo emplearán si trabajan juntos? 6. Cierta obra puede ser realizada por A en 4 días, por B en 5 y por C en 6. ¿En cuánto tiempo realizarán la obra si trabajan los tres juntos? 7. Un depósito de agua puede llenarse por un tubo en dos horas y por otro en tres horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito por los dos tubos? 8. Un depósito puede llenarse por un tubo en 2 horas y por otro en 3 horas, y vaciarse por uno de desagüe en 4 horas. Si los 3 tubos se dejan abiertos, ¿en cuánto tiempo se llenará el depósito? Parte V Establece el modelo matemático que represente cada problema y resuélvelo. 1. Una enfermera preparó 60 onzas de un desinfectante que contenía 15% de ácido fénico. ¿Cuántas onzas de agua deben agregarse para reducir la concentración en 6%? 7. ¿Cuántos litros de una solución de 5% de concentración deben agregarse a un litro de una solución de 35% de concentración para formar una solución cuya concentración sea de 25%? 8. ¿Cuánto por ciento de agua debe evaporarse de una solución salina de 6% de concentración para aumentar la concentración a 10%? Parte VI Establece el modelo matemático que represente cada problema y resuélvelo. 1. Una florista vende un ramo de dos docenas de flores en $750. El ramo está formado por rosas, cuyo precio es de $500 la docena, y por claveles, a $300 la docena. ¿Cuántas flores de cada especie debe poner para formar el ramo? Sugerencia: llama x al número de rosas y 24 2 x al de claveles. 2. Se desea mezclar un perfume que cuesta $41 000 la onza, con otro de $25 000, para obtener una mezcla de 40 onzas con valor de $30 000 la onza. ¿Cuántas onzas del perfume de $41 000 deben usarse? 2. ¿Qué cantidad de agua debe evaporarse de una solución salina de 4% para hacer que la concentración aumente a 6%? 115 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I 3. ¿Cuántas onzas de plata de 100% de pureza deben agregarse a 18 onzas de 60% de pureza para hacer una aleación de plata a 76%? 4. ¿Cuántos litros de solución de sal a 25% deben mezclarse con 10 litros de otra solución a 15% para producir una tercera solución a 17%? 5. ¿Cuántos gramos de plata deben fundirse con 75 g de una aleación de plata de 0.750 para obtener una aleación de 0.900? 6. ¿Cuántos gramos de oro puro deben fundirse con 20 g de oro 16 de 16 quilates ( de oro puro) para obtener oro de 20 qui24 lates? 8. 2x 2 3(x 2 4) 5 25 9. 12(5x 2 2) 1 6 5 229 2 3(x 2 7) 10. x2 2 (x 1 4)2 5 4 Parte VIII Determina el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones. 1. 2. 30 5 25 2 3. 7. ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a un litro de vinagre de 85% para reducirlo a vinagre de 50%? 4. 8. Un litro de una solución contiene 20% de alcohol. ¿Cuánto alcohol debe agregarse para que la concentración sea de 30%? 5. 6. 7. 8. 9. 10. 9. ¿Cuántos kilogramos de agua pura deben agregarse a 25 kg de agua de mar que contiene 3½% de sal para que la solución resultante contenga 2% de sal? 10. En 90 g de una aleación de plata y cobre hay 6 g de plata. ¿Cuántos gramos de cobre deben agregarse para que 50 g de la nueva aleación contengan 2 g de plata? Parte VII Determina el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones. y 1655 4 11. 12. y 3 2x 1856 5 2x x 16 5 5 5 1 3x 2 5 2x 1 3 7 x x 512 2 2 4 4 x 5x 2 5 22 3 3 x 4x 10 2 5 7 7 7 1 521 a a x 2 2 x 11 2 54 3 4 x 22 x 1 4 2 55 4 3 d 18 9 22 5 4 d 22 Parte IX Determina el conjunto solución de cada ecuación literal para la variable indicada. 1. a2 1 b2 5 c2 despejar a 2 2. V 5 πr h despejar h despejar t 4. 3x 1 4 5 217 3. PV 5 5t k 4. F 5 2 d despejar d 5. 3x 1 5 5 x 1 2 5. P 5 fd t despejar t 1 2 despejar b 1. 6x 5 24 2. 7x 2 11 5 22 3. 5x 1 8 5 6 6. 4x 2 15 5 3x 2 2 7. 25x 1 8 5 23x 1 16 116 6. V 5 bh Grupo Editorial Patria® 1 2 7. y 5 gt 2 s2 4 9. v 5 πR2H 2 πr2h 1 10. S 5 (a 1 rL ) 2 1 2 11. S 5 gt 1 vot 2 8. A 5 12 rL 12. S 5 12 r despejar t despejar s despejar h despejar L despejar g despejar r 9. Un automóvil tiene un tanque de combustible con capacidad de 40 litros. Si el rendimiento es de 10 km por litro, halla la cantidad de combustible que queda en el tanque cuando ha recorrido una distancia d de 0, 10, 100 y 200 kilómetros. 10. La población P de una ciudad se duplica cada n años, determina P cuando han transcurrido 2n, 3n y 4n años. Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante (o constantes) en cada una de las expresiones siguientes. 1. At 5 6a2, donde At es el área total y a es la arista del cubo. Parte X 2. V 5 4 πr3, donde V es el volumen de una esfera de radio r. 3 Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante, en cada uno de los casos siguientes. 3. °C 5 1. Si un examen tiene 20 preguntas, halla la calificación C cuando el número de aciertos n es n 5 1, 2, 3,..., 20. 5 (°F 2 32), donde °F es la temperatura Fahrenheit y 9 °C la temperatura Celsius (centígrada). 9 °C 1 32. 5 2. Un móvil se desplaza a una velocidad de 60 km por hora, ¿qué distancia recorre en 1, 2, 3, 4 y 5 horas? 4. °F 5 3. Una fuente luminosa tiene una potencia de 250 watts, determina la intensidad de iluminación a una distancia de 1, 5, 10, 15 y 25 m de la fuente. 5. S 5 180(n 2 2), donde S es la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados. 4. Determina el costo total C de n artículos iguales que tienen un precio de 50 unidades de dinero. 6. y 5 x3, donde x y y son números reales. 7. A 5 4πr2, donde A es el área total de una esfera de radio r. 8. V 5 a3, donde V es el volumen de un cubo de arista a. gt 2 , donde h es la altura de un cuerpo que cae libremente, 2 g es la constante de gravedad y t es el tiempo. 9. h 5 10. A 5 2πrh, donde A es el área lateral de un cilindro de radio r y altura h. Parte XI Aplica el concepto de función como regla de correspondencia para determinar cuáles son y cuáles no son funciones. En cada caso fundamenta tu respuesta. 5. Determina el perímetro P de un polígono regular de n lados cuando su lado l mide 3, 5, 7 y 11 metros. 1. Sea f la relación que asocia cada entidad federativa de la República Mexicana con su respectiva capital. 6. Para una misma distancia (d), la velocidad (v) de un móvil y el tiempo (t) que emplea en recorrerla. 2. Sea g la relación que asocia a los alumnos regulares de una escuela secundaria con el grado que cursan. 7. ¿Cuál es el interés que produce un capital C cuando se invierte durante un tiempo t de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 meses? 8. Determina el importe t del consumo de electricidad de k kilovatios hora que cuestan p unidades de dinero por kilovatio hora. 3. Sea h la relación que asocia a cada mujer que es madre con sus respectivos hijos. 117 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I c) C(0, 1) d) D(4, 1) e) E(5, 3) 4. Sea F la relación que asocia a cada habitante de una población con su respectivo tipo de sangre. 5. Sea G la relación que asocia a cada habitante que tiene teléfono en una ciudad con los números telefónicos de esa misma ciudad. 6. Sea H la relación que asocia a los autores literarios latinoamericanos con sus respectivas obras. 7. Sea f la relación que asocia cada número real no negativo con su respectivo cuadrado. 8. Sea g la relación que asocia cada planeta del Sistema Solar con su respectiva distancia media al Sol. 9. Sea h la relación que asocia a cada persona con sus respectivas huellas digitales. 10. Sea F la relación que asocia los pasaportes con las personas que tienen pasaporte. De los siguientes conjuntos de pares ordenados identifica cuáles son y cuáles no son funciones. Fundamenta tu respuesta. En el caso de los que son funciones determina su dominio y su imagen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} {(1, a), (2, b), (2, c), (1, d)} {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)} {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 2)} {(4, a), (3, b), (2, a), (3, b)} {(1, 4), (2, 8), (3, 12), (4, 16)} {(2, 3), (3, 7), (5, 15), (2, 5), (10, 35)} {(1, 7), (2, 7), (3, 7), (4, 7), (5, 7), (6, 7)} {(1, 0), (2, 4), (3, 5), (2, 4), (3, 6), (4, 3)} {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)} 2. Construye una tabla de valores de coordenadas de la ecuación dada y traza su gráfica. a) x 1 y 5 1 b) x – y 5 21 c) x 5 y d) x 1 2y 5 5 e) x 2 2y 5 5 f ) 2x 1 3y 5 26 g) 5x 2 3y 5 22 h) 3x 2 5y 5 15 i) 2x 1 y 5 5 j) 2x 1 3y 5 0 3. Determina las coordenadas en el origen de cada ecuación dada y traza su gráfica. a) x 1 2y 5 6 b) x – y 5 26 c) 2x 1 y 5 1 d) x 1 y 5 22 e) x 2 y 5 4 f ) 4x 1 y 5 23 g) 2x 1 3y 5 7 h) 3x 1 2y 5 9 i) 5x 2 2y 5 24 j) x 1 y 5 0, ¿qué sucede en este caso?, ¿cómo se puede obtener otro u otros puntos? Parte XIII Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos. 2. C(6, 5), D(1, 4) 1. A(26, 6), B(3, 6) 4. G(22, 3), H(6, 22) 3. E(5, 0), F(27, 21) 6. K(2, 25), L(2, 2) 5. I(0, 25), J(6, 27) 8. P(23, 26), Q(4, 3) 7. M(25, 24), N(25, 5) 10. T(22, 6), U(1, 23) 9. R(24, 21), S(5, 21) Parte XII 1. Determina cuáles de los puntos dados satisfacen la ecuación: 22x 1 5y 5 5 a) A(25, 21) b) B(23, 0) 118 Parte XIV Expresa las siguientes ecuaciones en la forma y 5 mx 1 b. 1. 3x 2 2y 1 2 5 0 2. 4x 1 3y 1 6 5 0 Grupo Editorial Patria® 3. x 1 2y 2 6 5 0 y 4. 3x 1 5y 1 10 5 0 5. 3x 2 4y 1 8 5 0 6. 2x 1 5y 1 15 5 0 7. x 1 2y 1 8 5 0 8. 5x 2 2y 1 6 5 0 x 9. 4x 1 5y 5 0 10. 2x 1 3y 5 0 Traza las gráficas de las ecuaciones obtenidas como respuesta en los ejercicios uno a diez anteriores. Parte XV c) 1. De las siguientes figuras menciona cuáles representan una función y cuáles no. Fundamenta tus respuestas. y y x x d) y a) y x x e) b) 119 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I y y x x f) i) y y x x -2 g) j) y y x h) 120 x k) Grupo Editorial Patria® y y x x l) b) y y x x m) 2. Para cada una de las siguientes representaciones de funciones determina su dominio e imagen respectivos. c) y y x x d) a) 121 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I y y x x e) h) y y x x f) i) y y x x g) 122 j) Grupo Editorial Patria® 3. Consideremos el siguiente problema: El costo de un aparato electrodoméstico es de 200 unidades de dinero si se compra al contado, pero si se compra en abonos se cobra un interés mensual fijo de 10 unidades de dinero. a) ¿Cuánto debe pagarse si se compra al contado o en 1, 2, 3, 4, 5 o 6 meses? b) Tabula y construye una gráfica. c) Encuentra la expresión algebraica que determina la función. d) Determina el dominio y la imagen. Parte XVI 1. El equipo de oficina en una empresa se deprecia cada año 10% de su costo de adquisición, que fue de 15 000 unidades de dinero. a) Determina el valor contable del equipo en el año de adquisición y después de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 años. b) Tabula y representa en el plano coordenado. c) Encuentra la expresión algebraica que determina la función que describe el problema. d) Determina el dominio, el contradominio e imagen. 2. En el contrato anual de renta de un televisor se cobra un depósito de 500 unidades de dinero y una renta semanal de 75 unidades de dinero. Halla la expresión algebraica de la función que se describe. 3. Traza en el plano cartesiano las siguientes funciones. a) f (x) 5 3x 1 2 9 4. Si un grado Fahrenheit equivale a de un grado Celsius más 5 32: a) Determina la expresión algebraica de la función que describe la equivalencia. b) Identifica la ecuación con la función haciendo y 5 f (c). c) Calcula los grados Fahrenheit que equivalen a 10, 20 y 50 grados Celsius bajo cero, 5, 10, 20 y 30 grados Celsius sobre cero, y représentalos en el plano. d) Encuentra el cero de la función y su interpretación en el problema. 5. Una empresa de electrodomésticos tiene 500 refrigeradores en existencia al iniciar el mes, de los cuales vende 15 diarios. Expresa algebraicamente la función que describe el número de aparatos para cualquier día del mes. 6. De las siguientes funciones, determina cuáles son crecientes y cuáles son decrecientes. Fundamenta tu respuesta. a) f(x) 5 7 2 3x b) f(x) 5 6x 1 3 c) f(x) 5 3 d) f(x) 5 23(2 2 x) e) f(x) 5 2x 2 1 b) f (x) 5 25x 2 3 2 3 c) f (x) 5 x 1 3 4 1 1 d) f (x) 5 2 x 2 2 3 f ) f(x) 5 22x 1 3 e) f (x) 5 7 i) 3 f ) f (x) 5 2 2 x 4 g) f (x) 5 24x 2 1 f(x) 5 2 1 x 5 3 j) f(x) 5 2 x 1 2 g) f(x) 5 2⎛⎜ 2 x 1 ⎞⎟ ⎝ 3⎠ h) f(x) 5 5x 2 2 1 4 2 h) f (x) 5 x 13 5 i) f (x) 5 5 2 x j) f (x) 5 2x 1 1 123 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo Arquímedes Introducción A partir del lenguaje algebraico, la terminología y notación del tercer bloque se procede al planteamiento del modelo matemático de problemas con una ecuación lineal. Se conceptualiza la ecuación de primer grado con una incógnita y se resuelve aplicando las propiedades de la igualdad así como de los números reales. Los problemas que al inicio de la unidad fueron planteados con un modelo matemático se retoman para resolverlos. El concepto de función se trata como una relación de dependencia entre dos variables, como una regla de correspondencia y como un conjunto de pares ordenados. Posteriormente se procede a representarla en el plano cartesiano y se le relaciona con la ecuación de primer grado, señalando la diferencia entre una y otra. Para tu reflexión 6.1 Representación de relaciones entre magnitudes Ecuaciones lineales Todas las ecuaciones de primer grado, con una o dos variables, se pueden representar en el plano con una línea recta, motivo por el cual también se les conoce como ecuaciones lineales. Concepto de ecuación lineal con una incógnita Una ecuación es una igualdad que se verifica para un determinado valor de la variable o variables desconocidas que reciben el nombre de incógnitas. Actividad de aprendizaje ¿A qué se le da el nombre de raíz o solución de una ecuación? Argumenta tu respuesta. Aguilon o Aguilonius, François D´ (1566-1617) Matemático belga, escritor del importante libro: Opticorum Libri VI, en donde expone algunos principios de óptica, también publicó una introducción al estudio de las matemáticas. Está claro que François d’Aguilon, también se ajusta plenamente a la tradición de Aristóteles, y que utiliza el arco como un complemento a la clásica, la división lineal para especificar las posibilidades que surgen de la mezcla de colores. Es importante señalar que en su óptica de libros de texto, que apareció entre 1606 y 1611, Anguilonius no sólo se interesó en la pictórica “concreti colores”, estaba más interesado en la parte visible de color que se puso de manifiesto a sus cualidades. Ejemplos x 1 3 5 8 es una igualdad que sólo es cierta cuando x es igual a 5; por tanto, x 1 3 5 8 es una ecuación en la que la variable x recibe el nombre de incógnita, cuyo valor 5 es la raíz o solución de la ecuación. 2y 1 3 5 15 es una igualdad que sólo es cierta cuando y es igual a 6; por consiguiente, 2y 1 3 5 15 es una ecuación, la variable o incógnita es y, y la raíz o solución de la ecuación es 6. Toda ecuación consta de dos miembros: el primero está formado por todos los términos escritos antes del signo igual y el segundo, por todos los términos escritos después del signo igual. Ejemplos En la ecuación: 5y 1 6 5 3y 1 12 5y 1 6 es el primer miembro y 3y 1 12 es el segundo miembro 124 Grupo Editorial Patria® Ecuaciones de primer grado con una incógnita Una de las aplicaciones importantes del álgebra es la descripción matemática de situaciones concretas utilizando expresiones algebraicas como modelos. Problemas que llevan al planteamiento de ecuaciones lineales x 1 (3x ) 1 (2x 1 6) 5 5 010 o bien 6x 1 6 5 5 010 La solución del modelo matemático permite responder la pregunta. 3. Encuentra cuatro números enteros consecutivos cuya suma aumentada en el doble del primero sea 5 010. Para resolver este problema tenemos que si x representa a un entero cualquiera, entonces x 1 1, x 1 2 y x 1 3 son los tres enteros consecutivos siguientes, de tal manera que: Ejemplos 1. de donde x 1 (x 1 1) 1 (x 1 2) 1 (x 1 3) 1 2x 5 5 010 El largo de un terreno rectangular mide el doble de su ancho más 3 metros. Si el perímetro mide 5 010 m, determina las dimensiones del terreno. 6x 1 6 5 5 010 o En los tres problemas planteados, el modelo matemático que los describe es el mismo; sin embargo, los valores que toma la variable son específicos para cada problema. Planteamiento: Recordemos que los lados opuestos del rectángulo son iguales y que el perímetro de la figura se obtiene sumando la medida de sus cuatro lados. Si x representa el ancho del rectángulo, entonces el largo se expresa por 2x 1 3 (figura 6.1). Por tanto: La mayor dificultad para resolver un problema consiste en el planteamiento del mismo mediante una expresión algebraica (modelo matemático). Es por ello que a continuación se presentan diversos ejemplos y se pide al lector que obtenga el modelo matemático de los ejercicios análogos a cada ejemplo de referencia. x 1 (2x 1 3) 1 x 1 (2x 1 3) 5 5 010 o bien, Ejemplos 6x 1 6 5 5 010 1. Planteamiento: x Recuerda que la forma de representar un número par es: x 5 2n. 2x + 3 Figura 6.1 Se distribuye un trabajo a tres mecanógrafas (A, B y C ) para escribir a máquina un informe de investigación. A escribió x cuartillas; B el triple (3x ), y C 6 cuartillas más que el doble de A (2x 1 6). Si el informe ocupó 5 010 cuartillas, ¿cuántas escribió cada mecanógrafa? Planteamiento: el primer número par es 2n el segundo número par es 2(n 1 1) 5 2n 1 2 el tercer número par es 2(n 1 2) 5 2n 1 4 entonces, la ecuación que proporciona la solución del problema es: Esta última expresión es el modelo matemático que describe el problema. 2. Encuentra tres números enteros pares consecutivos cuya suma sea 228. 2n 1 2(n 1 1) 1 2(n 1 2) 5 228 2n 1 (2n 1 2) 1 (2n 1 4) 5 228 6n 1 6 5 228 2. Encuentra tres números enteros impares consecutivos cuya suma sea 135. Planteamiento: El trabajo realizado por las mecanógrafas A, B y C fue de 5 010 cuartillas, es decir: A 1 B 1 C 5 5 010 Un número x es impar si y sólo si se puede expresar de la forma x 5 2n 1 1. su primer consecutivo x 1 2 es 2n 1 3 125 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I su segundo consecutivo x 1 4 es 2n 1 5 Planteamiento: entonces, la ecuación que proporciona la solución del problema es: Consideramos M el número de monedas que tiene Juan, entonces Enrique tiene M – 12. (2n 1 1) 1 (2n 1 3) 1 (2n 1 5) 5 135 6n 1 9 5 135 3. La suma de ambas cantidades de monedas es 78, lo cual se expresa como: Encuentra dos números cuya suma sea 105, si se sabe que el mayor es el séxtuplo del menor. M 1 (M 2 12) 5 78 Planteamiento: 7. Número menor 5 x Número mayor 5 6x El modelo matemático es x 1 6x 5 105 4. La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan, el triple de la de Enrique, y la de Eugenio, el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años, ¿qué edad tiene cada uno? Planteamiento: 2x 5 edad de Pedro La ecuación que proporciona la solución es: x 1 2x 1 3x 1 6x 5 132 Establece un modelo matemático que represente el siguiente problema: encuentra tres números consecutivos tales que, si el menor se divide entre 20, el mediano entre 27 y el mayor entre 41, la suma de los cocientes es 9. Planteamiento: Sean x, x 1 1, x 1 2, los números consecutivos, entonces: x 5 el menor se divide entre 20 20 x11 5 el mediano se divide entre 27 27 x1 2 5 el mayor se divide entre 41 41 Una ecuación que proporciona la solución para este problema es: modelo matemático Establece el modelo matemático que represente el siguiente problema. Juan tiene 12 monedas más que Enrique y entre ambos tienen 78. Determina cuántas monedas tiene cada uno. 126 Planteamiento: La ayudante efectúa 2(3x ) 5 edad de Eugenio 6. A una empleada se le asigna un trabajo que hace en 8 horas. Si se le proporciona una ayudante que puede hacer el mismo trabajo en 10 horas, ¿cuánto tardarán en hacerlo juntas? La empleada puede efectuar 3x 5 edad de Juan x x 11 x 1 2 1 1 59 20 27 41 Establece el modelo matemático que represente el siguiente problema. Llamamos x al trabajo realizado, entonces: Sea x 5 edad de Enrique 5. modelo matemático x del trabajo por hora 8 x del trabajo por hora. 10 Trabajando juntas, ejecutan la suma de las fracciones en cada hora, y todo el trabajo lo ejecutan en T horas. ⎛x x ⎞ T ⎜ 1 ⎟ 5x ⎝ 8 10 ⎠ (1) Por ser un problema especial, dado que aparecen las variables T y x, le daremos solución, ya que el lector podría inferir que este problema conduce a una ecuación de primer grado, pero con dos variables, lo cual es falso. ⎛ 10 x 18 x ⎞ 5x T⎜ ⎝ 80 ⎟⎠ T (10 x 18 x )580 x T (18 x )580 x 18T x 580 x 18T 580 4 80 T 5 54 9 18 El tiempo que ambas tardarán en desarrollar el trabajo encomendado es de 4 4 horas. 9 La comprobación se le deja al lector, quien debe llegar a una identidad si sustituye el valor de T 5 40 en la ecuación (1). 9 Grupo Editorial Patria® 8. Establece el modelo matemático que represente el siguiente problema. ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a 40 litros de una solución de alcohol a 15% para reducir la concentración a 12%? Planteamiento: Sea x la cantidad de agua en litros que debe agregarse a la solución. La cantidad de alcohol contenida en la mezcla es: 0.15(40). El porcentaje de la concentración es el cociente del volumen de alcohol entre el total de la mezcla. Por tanto, el modelo matemático es: 0.12 5 9. 0.15(40) 401x 2. Propiedad simétrica. Si un número es igual a otro, éste es igual al primero. También se puede enunciar así: los miembros de una igualdad pueden permutar sus lugares. 3. Propiedad transitiva. Si un número es igual a otro y éste a su vez es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero. También se puede enunciar así: si dos igualdades tienen un miembro común, los otros dos miembros son iguales. Un criterio general, que también se utiliza para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, es el siguiente: Toda igualdad se conserva siempre que se realice la misma operación y con los mismos números en ambos miembros, con excepción de la división entre cero, que carece de sentido. Actividad de aprendizaje Establece el modelo matemático que represente el problema: ¿Cuántos kilogramos de dulce, cuyo precio es de $1 000 cada uno, deben mezclarse con 6 kg de otro dulce que vale $750 el kilogramo, para vender la mezcla al precio de $900 por kilogramo? Resuelve la ecuación 3x 1 5 5 x 1 2. Aplica lo que sabes Planteamiento: Llámese x al número de kilogramos del dulce que tiene un valor de 1 000x Lo que cuestan los 6 kg de dulce a $750 cada uno, se expresa como: 750(6) La suma de los precios debe ser igual al costo de la mezcla resultante que es 6 1 x. Esto se expresa por: Investiga cómo se paga el impuesto predial en tu comunidad. ¿Cuánto se cobra por metro cuadrado de suelo (terreno)? ¿Cuánto se cobra por metro cuadrado de construcción? Escribe una expresión algebraica que describa el impuesto predial como una función del número de metros cuadrados de suelo y el número de metros cuadrados de construcción. 1 000x 1 750(6) 5 900(6 1 x ) modelo matemático Ejemplos Técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable Una ecuación lineal con una incógnita, también llamada ecuación de primer grado con una incógnita, es aquella que una vez simplificada sólo tiene una incógnita. Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita hacemos uso de las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva de la igualdad. 1. Propiedad de identidad o reflexiva. Todo número es igual a sí mismo. Encuentra el conjunto solución de las siguientes ecuaciones (sólo en los primeros ejemplos se da el nombre de la propiedad aplicada). x1453 x14–45324 x 1 0 5 21 Inverso aditivo Idéntico aditivo x 5 21 Conjunto solución {21} 127 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I 2(x 2 7) 5 6 2x 2 14 1 14 5 6 1 14 3x 515 4 Distributiva 2x 1 0 5 20 3x 5 60 Inverso aditivo 2x 5 20 x5 2 x 20 5 2 2 Conjunto solución {20} x 5 10 Inverso multiplicativo Conjunto solución {10} 3(2x 2 6) 5 2(x 2 5) 6x 2 18 5 2x 2 10 6x 2 2x 5 210 1 18 4x 5 8 x5 8 52 4 Conjunto solución {2} 2x x 2 5 26 5 5 2x 2x 5 26 5 2x 5 x 2 17 2x 2 x 5 217 2x – x 5 230 x 5 230 x 5 217 Conjunto solución {230} x x 2 57 2 3 3x 2 2 x 57 6 30x 2 60 1 20 5 258 – 2x 2 14 30x 2 40 5 272 2 2x 30x 1 2x 5 272 1 40 3x 2 2x 5 42 x 5 42 32x 5 232 x5 232 5 21 32 Conjunto solución {21} x 2 2 (x – 1)2 5 13 x 2 2 (x 2 – 2x 1 1) 5 13 x 2 – x 2 1 2x 2 1 5 13 2x 2 1 5 13 2x 5 13 1 1 2x 5 14 x5 Conjunto solución {7} 128 14 57 2 28 54 7 Conjunto solución {4} 2x 1 10 5 x 2 7 15(2x 2 4) 1 20 5 258 2 2(x 1 7) 7x 23 511 2 7x 51113 2 7x 514 2 7 x 5 28 x5 2(x 1 5) 5 x 2 7 Conjunto solución {217} 60 5 20 3 Conjunto solución {42} x 22 x 17 2 54 3 4 4( x 2 2)23( x 11) 54 12 4 x 28 23 x 23 54 12 4x 2 8 2 3x – 3 5 48 x 2 11 5 48 x 5 48 1 11 x 5 59 Conjunto solución {59} Grupo Editorial Patria® z 26 4 z 116 1z5 5 5 z 2 6 1 5z 5 4z 1 16 6z – 6 5 4z 1 16 6z 2 4z 5 16 1 6 2z 5 22 z5 22 511 2 Conjunto solución {11} Ejemplos Determina el conjunto solución de las siguientes ecuaciones literales. A 5 P 1 Prt para la variable t P 1 Prt 5 A Propiedad a 5 b b 5 a 6.2 Uso de la calculadora, graficadora y/o una computadora Utiliza los medios de que dispones para resolver lo siguiente. 1. Considera la función y 5 2x 1 b y asigna a b valores en el intervalo: 210 # b # 10. Observa las variaciones en la posición de la gráfica de la función. 2. En la función y 5 mx 1 3 Asigna a m valores en el intervalo: 21 # m # 1. Observa las variaciones en la posición de la gráfica de la función. 3. Para la ecuación x1y51 encuentra los valores correspondientes a y cuando x varía entre 23 y 3. Traza su gráfica. 4. Dada la ecuación 2x 1 3y 5 6 obtén los valores de y cuando varía de 23 a 3. Traza su gráfica 2P 1 P 1 Prt 5 A 2 P Inverso aditivo 0 1 Prt 5 A – P Idéntico aditivo Actividad de aprendizaje Inverso multiplicativo En ν 5 Prt 5 A 2 P Ptr A 2 P 5 Pr Pr t5 Conjunto solución S5 { A 2P Pr t P 5 A2 t Pr } a 2 rL 1 2r 6.3 Modelos aritméticos o algebraicos para la variable L (1 2 r )S 5 a 2 rL 2rL 5 (1 2 r )S 2 a Solución: (12 r )S 2 a L5 2r ⎧ L (12 r )S 2 a ⎫⎪ Conjunto solución ⎪ ⎬ ⎨ 5 2r Problema sobre números enteros consecutivos Encuentra tres números enteros consecutivos, tales que la suma del primero más el triple del tercero sea igual al doble del segundo aumentado en 20 unidades: a – rL 5 (1 – r )S ⎩⎪ L d despeja t. t ⎭⎪ Sean x, x 1 1 y x 1 2 los números consecutivos. La suma del primero más el triple del tercero se expresa: x 1 3(x 1 2) El doble del segundo aumentado en 20 se expresa como: 2(x 1 1) 1 20 Como ambas expresiones deben ser iguales se tiene que: x 1 3(x 1 2) 5 2(x 1 1) 1 20 (1) 129 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I es el modelo matemático o la ecuación que proporcionará la solución. x 1 3x 1 6 5 2x 1 2 1 20 x 1 3x 2 2x 5 2 6 1 2 1 20 2x 5 16 x58 La solución de este ejercicio son los números 8, 9 y 10. Comprobación: Sustituye el valor encontrado para x en la ecuación (1) o modelo matemático. 8 1 3(8 1 2) 5 2(8 1 1) 1 20 8 1 30 5 18 1 20 38 5 38 Tal identidad comprueba la veracidad de la solución x 5 8, en consecuencia se tiene x 1 1 5 9 y, finalmente, x 1 2 5 10. Problemas de monedas 1. Juan tiene 12 monedas más que Enrique y entre ambos suman 78. Determina cuántas monedas tiene cada uno. Solución: Consideramos M como las monedas que tiene Juan, entonces Enrique tiene M 2 12. La suma de ambas cantidades de monedas es 78, que se expresa como: M 1 (M 2 12) 5 78 (1) Quitando el paréntesis M 1 M 2 12 5 78 Asociando términos M 1 M 5 12 1 78 2M 5 90 Reduciendo 90 Despejando M5 2 M 5 45 monedas y M 2 12 5 33 monedas Juan tiene 45 monedas y Enrique 33. Comprobación: Sustituyendo el valor de M, en la ecuación (1) se tiene: 45 1 (45 2 12) 5 78 45 1 33 5 78 78 5 78 Tal identidad comprueba la veracidad de la solución encontrada. 2. En una alcancía hay monedas de $50, $100 y $200 que hacen un total de $9 600. El número de monedas de $100 es 130 el triple que las de $200, y el número de las de $50, el doble de las monedas de $100. ¿Cuántas monedas de cada denominación hay en la alcancía? Solución: Llamamos C al número de monedas de $100. Si el número de monedas de $50 es E y éste es el doble de las de $100, se expresa como: E 5 2C (2) Si el número de monedas de $200 es D y éste es un tercio de las de $100, se expresa: C D5 (3) 3 La suma del número de monedas por su valor nominal debe ser igual a lo ahorrado. Esto es: ⎛C⎞ (1) 50(2C) 1 100C 1 200⎜ ⎟ 5 9 600 ⎝ 3⎠ que es el modelo matemático. Multiplicado por 3 150(2C) 1 300C 1 200C 5 28 800 Efectuando productos 300C 1 300C 1 200C 5 28 800 Sumando términos semejantes 800C 5 28 800 Despejando 28 800 C5 800 C 5 36 Al sustituir este resultado en las ecuaciones (2) y (3) manifiestan la solución siguiente: 36 monedas de $100, 72 de $50 y 12 de $200. Problema de interés simple Un comerciante compró una mercancía en $800 000. Al venderla, su utilidad fue de 40% sobre una parte de aquélla y de 30% sobre el resto. El monto de su utilidad fue de $290 000. Determina la fracción de los $800 000 originales en los que ganó 40%. Solución: Si a la fracción de los $800 000 que ganó 40% se le llama x, entonces a la otra fracción se le llama 800 000 2 x: Si x produce una utilidad de 40% se expresa como: 0.40x 800 000 2 x produce una utilidad de 30% que se expresa como: 0.30(800 000 2 x) Grupo Editorial Patria® La suma de ambas utilidades será igual a los $290 000 indicados en el texto. 0.4x 1 0.3(800 000 2 x) 5 290 000 (1) Multiplicando por 10 ambos miembros 4x 1 3(800 000 2 x) 5 2 900 000 Quitando el paréntesis 4x 1 2 400 000 2 3x 5 2 900 000 Asociando términos 4x 2 3x 5 2 900 000 2 2 400 000 Reduciendo x 5 500 000 La fracción de los $800 000 en que se gana 40% son $500 000. Comprobación: Al sustituir el valor de x en la ecuación (1) se tiene: 0.4(500 000) 1 0.3(300 000) 5 290 000 200 000 1 90 000 5 290 000 290 000 5 290 000 Tal identidad comprueba la veracidad de la solución encontrada. Problema de distribuciones A una empleada se le asigna un trabajo que puede hacer en 8 horas. Si se le proporciona una ayudante que hace el mismo trabajo en 10 horas, ¿cuánto tardarán en hacerlo juntas? Solución: Si se le llama x al trabajo ejecutado, entonces: x La empleada puede ejecutar del trabajo por hora. 8 x La ayudante ejecuta del trabajo por hora. 10 Trabajando juntas, ejecutan la suma de las fracciones anteriores en cada hora, y todo el trabajo lo realizan en T horas. ⎛x x ⎞ T ⎜ 1 ⎟ 5x (1) ⎝ 8 10 ⎠ Sumando (10 x 18 x ) 5x 80 Multiplicando por ochenta T T(18x) 5 80x Dividiendo entre x 18T 5 80 Despejando 80 18 4 T 54 9 El tiempo que ambas tardarán en desarrollar el trabajo encomen4 dado es de 4 horas. 9 Comprobación: Se deja al lector llegar a una identidad si sustituye el valor de T 5 40 en la ecuación (1). 9 T5 Problema de mezclas ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a 40 litros de una solución de alcohol a 15% para reducir la concentración a 12%? Solución: Llámese x a la cantidad de agua en litros que debe agregarse a la solución. La cantidad de alcohol contenida en la mezcla es 0.15(40). El porcentaje de la concentración es el cociente del volumen de alcohol entre el total de la mezcla. Por tanto, el modelo matemático es: 0 . 15( 40) (1) 0 . 12 5 40 1x Quitando denominador 0.12(40 1 x) 5 0.15(40) Multiplicando por cien 12(40 1 x) 5 15(40) Ejecutando operaciones 480 1 12x 5 600 12x 5 600 2 480 12x 5 120 Despejando 120 x5 510 12 Se deben agregar 10 litros de agua a la mezcla original para reducir su concentración a 12%. Comprobación: Se deja al lector llegar a una identidad si sustituye x 5 10 en la ecuación (1) de este problema. Problema de costos y mezclas ¿Cuántos kilogramos de dulce, cuyo precio es de $1 000 cada uno, deben mezclarse con 6 kg de otro dulce que vale $750 el kilogramo, para vender la mezcla al precio de $900 por kilogramo? 131 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I Solución: Sabemos que la velocidad uniforme es aquella que no varía con el tiempo, y también que la velocidad es el cociente que resulta de dividir la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrerla, es decir: velocidad 5 v5 o bien: Solución: Llámese x al número de kilogramos de dulce que cuesta $1 000 el kilogramo: 1 000x Lo que cuestan 6 kg de dulce a $750 el kilogramo, se expresa como: 750 (6) La suma de ese dinero debe ser igual a lo que cuestan los kilogramos totales (6 1 x) de la mezcla resultante. Esto se expresa así: 1 000x 1 750(6) 5 900(6 1 x), (1) que es el modelo matemático. Multiplicando 1 000x 1 4 500 5 5 400 1 900x Transponiendo términos 1 000x 2 900x 5 5 400 – 4 500 Reduciendo términos 100x 5 900 x59 Comprobación: Se sustituye el valor x 5 9 en la ecuación (1). 1 000(9) 1 750(6) 5 900(6 1 9) 9 000 1 4 500 5 13 500 13 500 5 13 500 Tal identidad comprueba la solución dada. Función Este concepto es muy importante dentro de las matemáticas. Los dos problemas que se analizan a continuación nos permitirán comprenderlo para después formalizarlo y estudiarlo con mayor amplitud. Ejemplos 1. 132 Si un vehículo se mueve a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora, determina la distancia que recorre en 1, 2, 3, 4, 5 y 6 horas. distancia tiempo 80 5 de donde: 80 5 80 5 80 5 80 5 80 5 d t d , por tanto d 5 80 1 d , por tanto d 5 160 2 d , por tanto d 5 240 3 d , por tanto d 5 320 4 d , por tanto d 5 400 5 d , por tanto d 5 480 6 Con los valores dados y los obtenidos se puede construir la tabla linealmente: t 1 2 3 4 5 6 d 80 160 240 320 400 480 en la cual se observa que la velocidad es una constante, es decir: d 80 160 240 320 400 480 5 5 5 5 580 v5 5 5 2 3 4 5 6 t 1 También se observa que los valores que toma la distancia dependen de los valores que toma el tiempo, de manera que a menor tiempo corresponde menor distancia, a mayor tiempo corresponde mayor distancia. Por tanto, la distancia y el tiempo son variables. La variable a la que se asignan valores, en este caso el tiempo, se denomina variable independiente; la variable cuyo valor se determina por el que toma aquélla, la distancia en este caso, se llama variable dependiente o función. En este problema, en consecuencia, diremos que la distancia es una función del tiempo. Los valores de la tabla se pueden representar en el plano coordenado para trazar la gráfica correspondiente. Dichos valores también se pueden disponer en una tabla en forma vertical. Los valores de la tabla se colocan de manera que en el primer renglón (o primera columna) queden los que corresponden a la variable independiente, y en el segundo renglón (o segunda co- Grupo Editorial Patria® lumna) los que corresponden a la variable dependiente o función (figura 6.2). En el plano coordenado los valores de la variable independiente se localizan en el eje x o eje de las abscisas, mientras que los de la variable dependiente (o función) se ubican en el eje de las y o eje de las ordenadas. y DISTANCIA t d 1 80 560 2 160 480 3 240 400 4 320 320 5 400 6 480 Al representar los valores de la tabla en el plano coordenado se puede trazar la gráfica (figura 6.3). Perímetro 80 240 60 160 80 1 2 3 4 5 6 7 TIEMPO x Figura 6.2 2. También se observa que los valores que toma el perímetro dependen de los valores que toma la longitud del lado, de manera que a menor longitud del lado corresponde menor perímetro, y a mayor longitud del lado corresponde mayor perímetro. Por tanto, el perímetro y la longitud del lado son las variables: a es la variable independiente y P es la variable dependiente o función. En otras palabras, el perímetro P es una función de la longitud del lado a. 40 20 Se desea cercar un terreno que tiene forma cuadrada. Calcula el número de metros lineales de malla ciclónica que se necesitan para cada caso si la longitud del lado mide 10, 12, 14, 16, 18 y 20 metros. Solución: Por geometría sabemos que el perímetro del cuadrado se obtiene sumando las longitudes de sus lados, que tienen la misma medida. Por consiguiente si designamos el perímetro con P y la longitud del lado igual con a, entonces: P5a1a1a1a o bien: P 5 4a de donde: P 5 4(10), por tanto, P 5 40 P 5 4(12), por tanto, P 5 48 P 5 4(14), por tanto, P 5 56 P 5 4(16), por tanto, P 5 64 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Longitud del lado Figura 6.3 En los dos problemas anteriores, la función se ha representado por una ecuación con dos variables, por una tabla de valores que satisfacen la ecuación y por una gráfica en el plano coordenado. La ecuación nos proporciona información completa y precisa en general; pero cuando se desea conocer un caso particular, algunos valores expresados en una tabla nos dan información de su comportamiento, y si esos valores se representan con puntos en el plano se obtiene el bosquejo de una gráfica del problema que se quiere resolver. Gradualmente se incorporarán más elementos en el estudio de la ecuación, la función y sus respectivas gráficas. P 5 4(18), por tanto, P 5 72 Una variable es un símbolo que representa un elemento cualquiera de un conjunto específico de números. P 5 4(20), por tanto, P 5 80 Una constante es un símbolo al que sólo se le puede asignar un valor. Con los valores obtenidos se puede construir la tabla: a 10 12 14 16 18 20 P 40 48 56 64 72 80 en la que se observa que si se divide el perímetro entre la correspondiente longitud de lado se obtiene 4 como constante, que es el número de lados de la figura. p 40 48 56 64 72 80 5 5 5 5 5 5 54 a 10 12 14 16 18 20 Actividad de aprendizaje ¿A qué se le llama variable independiente? ¿A qué se le llama variable dependiente o función? Una función es 133 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I Un precio: un número de inventario, un volumen, etcétera. Para representar la gráfica de una función en el plano cartesiano, ¿los valores de qué variable van en el eje x? ¿los valores de qué variable van en el eje y? A cada país se le asocia: Un régimen socioeconómico, una superficie, una altura sobre el nivel del mar, un clima, etcétera. ¿De qué formas se puede representar una función? ¿Qué es una variable? Este tipo de relaciones también se establece entre las variables que intervienen en el estudio de un determinado fenómeno de la naturaleza, social, etc., ya sea para calcular un valor preciso o para hacer una estimación de los valores entre los cuales se espera un resultado. ¿Qué es una constante? Ejemplos 1. La longitud C de una circunferencia de radio r se puede determinar con la fórmula C 5 2π r, donde 2 y π son constantes mientras que C y r son variables, y como el valor de C depende del valor que toma r, se dice que la longitud de una circunferencia es una función de su radio. 2. El área A de un cuadrado de lado l se puede obtener con la fórmula A 5 l 2 en la que 2 es una constante, A y l son las variables, y como el valor de A depende del valor que tome l se dice que el área de un cuadrado es una función de su lado. Relación Una relación es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos de un primer conjunto, llamado dominio, con los elementos de un segundo conjunto, denominado contradominio, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos en el contradominio. Una función es una relación en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. En consecuencia, toda función es una relación, pero algunas relaciones no son funciones. Para distinguir entre unas y otras veamos los ejemplos siguientes: 2. Una relación establece la correspondencia o asociación entre los elementos de dos conjuntos de objetos. Actividad de aprendizaje Contradominio País Capital Canadá Ottawa Estados Unidos Washington Francia París Inglaterra Londres En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre cada país y su respectiva capital. Como a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio, la relación es una función. ¿Qué es una relación? ¿Cómo se define una función a partir del concepto de relación? Dominio 3. Dominio Contradominio Marca de automóvil País Fiat Italia Renault Francia Citröen Ejemplos 1. A cada persona se le asocia: Una edad, una estatura, un peso, etcétera. A cada automóvil se le asocia: Un modelo, un número de motor, un número de placas (matrícula), etcétera. En un almacén, a cada artículo se le asocia: 134 Toyota Japón En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre una marca de automóvil y el país al que pertenece. Observa que dos elementos del dominio están relacionados con un mismo elemento del contradominio; sin embargo, a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio, por tanto, esta relación es una función. Grupo Editorial Patria® 4. Dominio Contradominio País Idioma oficial la función f”, o simplemente “y igual a f de x”. Dado que y 5 f (x), el par ordenado (x, y) se expresa de la siguiente forma: (x, y) 5 (x, f (x)). Francia francés Actividad de aprendizaje inglés A partir del concepto de conjunto de pares ordenados, ¿cómo se define una relación?, ¿cómo se define una función? Canadá Inglaterra La regla de correspondencia de esta relación se establece entre cada país y el idioma oficial que se habla en cada uno. Se observa que un elemento del dominio (Canadá) está relacionado con dos elementos del contradominio (francés e inglés). Esta relación no es una función porque no se cumple el criterio de que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio. 5. Dominio Contradominio x x2 2 0 1 1 0 21 4 22 En esta relación la regla de correspondencia se establece entre un número y su respectivo cuadrado. Se observa que los elementos del dominio 2 y 22 están relacionados con un mismo elemento del contradominio: 4; lo mismo ocurre con el 1 y el 21 que están relacionados con el 1. Sin embargo, se cumple el criterio de que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio, por lo cual esta relación es una función. La mayoría de los dominios y contradominios a que haremos referencia son conjuntos de números cuyos elementos estarán asociados mediante una regla de correspondencia expresada como una ecuación con dos variables. Notación de función Si en una función al dominio se le llama conjunto A y al contradominio se le llama conjunto B, entonces la función se simboliza: f: A→B f o bien: A ⎯→ B que en ambos casos se lee: “función de A en B”. Un elemento cualquiera del dominio se representa con la letra x (variable independiente). Un elemento cualquiera del contradominio se representa con la letra y (variable dependiente o función). El elemento y de B correspondiente a un elemento x de A recibe el nombre de imagen de éste. El elemento y de B que es imagen de un elemento x de A se simboliza de esta manera: y 5 f (x) que se lee “y es imagen de x según Ejemplos En el ejemplo anterior (5) se establece la relación entre un número y su respectivo cuadrado. La regla de correspondencia se puede expresar así: y 5 x2 f (x ) 5 x 2 o bien: El dominio de esta función es A 5 {2, 1, 0, 2l, 22}, de manera que las imágenes de los elementos de A se obtienen o expresan como sigue: f (2) 5 22 5 4 “4 es la imagen de 2” f (1) 5 1 5 1 “1 es la imagen de 1” fv (0) 5 0 5 0 “0 es la imagen de 0” 2 2 f (21) 5 (21) 5 1 “1 es la imagen de 21” f (22) 5 (22) 5 4 “4 es la imagen de 22” 2 2 Con estos valores se obtienen los pares ordenados (2, 4), (1, 1), (0, 0), (21, 1) y (22, 4), por lo cual la función f también se puede expresar como un conjunto de pares ordenados así: f 5 {(2, 4), (1,1), (0, 0), (21, 1), (22, 4)} Como se observa, el primer componente de cada par ordenado es un elemento del dominio, y el segundo componente o imagen es un elemento del contradominio. Sin embargo, no todo conjunto de pares ordenados representa una función en la cual, por definición, a cada elemento del dominio le corresponde una y sólo una imagen. Si al aplicar este criterio en un conjunto de pares ordenados se observa que no existen dos pares diferentes con el mismo primer elemento, entonces es una función. En caso de que en un conjunto de pares ordenados existan dos diferentes con el mismo primer elemento, significará que un elemento del dominio tiene dos imágenes y, por tanto, no es una función. Antes se dieron los conceptos de relación y de función como una regla de correspondencia. Con base en la información adicional podemos definir cada una de manera equivalente como un conjunto. Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados de elementos. Una función es una relación en la que no hay dos pares ordenados diferentes con el mismo primer elemento. 135 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I Relación entre funciones y ecuaciones lineales. Ecuación en dos variables y 5 mx 1 b como forma de la función lineal, y ecuaciones en una variable a 5 mx 1 b como casos particulares La representación gráfica de una ecuación de primer grado con una o dos incógnitas es una línea recta. Por ello, también se le denomina ecuación lineal. Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es de la forma: Ax 1 By 1 C 5 0 Con estos valores se obtiene la tabla: x y Puntos 6 A 2 22 2 3 23 4 C Al representar en el plano coordenado los puntos A, B y C se observa que son colineales, es decir, que están sobre una misma recta que representa a la ecuación (figura 6.4). donde A, B y C son constantes, en tanto que x y y son las variables: A y B no pueden ser iguales a cero simultáneamente. y Una solución de la ecuación es todo par ordenado (x, y) que satisface a esta última, de tal manera que para cada valor real de x se obtiene uno de y. Por consiguiente, la ecuación tiene un número infinito de soluciones con las que se forma el conjunto solución. C (-3,4) x' Si se denota a éste con S entonces: S 5 {(x, y)|Ax 1 By 1 C 5 0} Para representar en el plano coordenado la gráfica de una ecuación de primer grado con dos variables, se procede a asignar valores arbitrarios a x y se calculan los que corresponden a y. Así se determinan algunos pares ordenados del conjunto solución, que al localizarse en el plano coordenado determinan la posición de la recta que representa a la ecuación. Por geometría sabemos que dos puntos del plano determinan una recta, sin embargo, es conveniente obtener las coordenadas de por lo menos un tercer punto como comprobación. Traza la gráfica de la ecuación 2x 1 3y 5 6. Solución: Se despeja la variable y : 2x 1 3y 5 6 3y 5 6 2 2x y5 622x 3 Se asignan a x tres valores arbitrarios que faciliten el cálculo de y, como los siguientes: para x 5 6 para x 5 2 para x 5 23 136 B(2, 2 ) 3 2x + A (6,-2) x 3y = 6 0 y' Figura 6.4 La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos. Las coordenadas de cualquier punto de la recta satisfacen la ecuación, es decir, cumplen la relación de igualdad que la ecuación establece; si un punto no pertenece a la recta, sus coordenadas no satisfacen la ecuación, e inversamente. Otra forma de trazar la gráfica de la ecuación 2x 1 3y 5 6 es por medio de sus coordenadas en el origen. Ejemplos 1. B 6 2 2(6) 6 212 26 y5 5 5 5 22 3 3 3 6 2 2(2) 6 2 4 2 y5 5 5 3 3 3 6 2 2(23) 6 16 12 5 5 54 y5 3 3 3 Las distancias del origen a los puntos de intersección de la recta con los ejes se denominan coordenadas en el origen. La intersección de la recta con el eje xx’ determina la abscisa en el origen. En dicho punto la ordenada es y 5 0, por lo que sus coordenadas son (x, 0). La intersección de la recta con el eje yy’ determina la ordenada en el origen. En dicho punto la abscisa es x 5 0, por lo que sus coordenadas son (0, y ). Por tanto, en la ecuación 2x 1 3y 5 6: Si x 5 0, el término en x se anula y la ecuación se reduce a 3y 5 6 de donde y 5 2, con lo cual se obtiene el punto de coordenadas (0, 2). Si y 5 0, el término en y se anula y la ecuación se reduce a 2x 5 6, de donde x 5 3, así se obtiene el punto de coordenadas (3, 0). Estos dos puntos determinan la recta que representa la ecuación (figura 6.5). Ordenada en el origen Grupo Editorial Patria® 2. Traza la gráfica de la ecuación 3x 2 4y 5 7 por medio de: a) Una tabla de valores de coordenadas. b) Sus coordenadas en el origen. y Solución: a) Despejando y en la ecuación: 3x 3x 2 4y 5 7 x' 3x 5 7 1 4y 3x 2 7 5 4y x y Puntos 5 2 P 1 21 Q 23 24 R Q(1, -1) y' y 3x x' 4y =7 x 0 (0, 2) } x' (3, 0) 2x + Abscisa 3y = en el origen 6 } 0 y' x Figura 6.7 Ax 1 By 1 C 5 0 Cuando en la ecuación: A 5 0, la ecuación se reduce a: y' Figura 6.5 b) En la ecuación 3x 2 4y 5 7 Si x 5 0 Si y 5 0 x 0 Figura 6.6 y Ordenada en el origen = 7 P(5, -2) R(-3, -4) 3x 2 7 5y 4 3x 2 7 y5 4 o bien: 4y 27 3 521 4 4 7 1 x5 5 2 3 3 y5 7 4 (0, 2 ) ⎛7 ⎞ ⎜⎝ , 0 ⎟⎠ 3 Como era de esperarse, la gráfica de la ecuación es la misma en las figuras 6.6 y 6.7. By 1 C 5 0 2C B que también se puede expresar así: y5 o bien: y 5 k (k constante) cuya representación en el plano coordenado corresponde a una recta paralela al eje xx’ si k ≠ 0, o bien al eje xx’ si k 5 0. 3. Traza la gráfica de la ecuación 2y 2 3 5 0. Solución: La ecuación 2y 2 3 5 0 puede expresarse como 0x 1 2y 2 3 5 0, donde se observa que A 5 0. Si en la ecuación 2y 2 3 5 0 se despeja y, se obtiene: 2y 5 3 y5 3 2 137 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I y entonces, los puntos de la recta tienen las coordenadas (x, 3 ); 2 3 . Esto significa que la recta es paralela al eje xx’ por donde la 2 3 ordenada es 2 (figura 6.8). 2x + 8 = 0 es decir, que para cualquier valor de la abscisa, la ordenada vale x' x 0 y y' Figura 6.9 2y - 3 = 0 x' x 0 Pendiente de una recta Si representamos en el plano coordenado los puntos P(25, 21), Q(1, 3) y R(4, 5), observaremos que los tres son colineales (figura 6.10). y' Figura 6.8 Cuando en la ecuación: Ax 1 By 1 C 5 0 B 5 0, la ecuación se reduce a: Ax 1 C 5 0 que también se puede expresar así: x 5 o bien: Veamos la relación que guardan entre sí las coordenadas de dos puntos cualesquiera de una recta, sin importar el orden en que tomemos los dos puntos considerados. Si tomamos las coordenadas de los puntos P y Q en ese orden, tenemos: 2C A P(25, 21), Q(1, 3) y x 5 k (k constante) cuya representación en el plano coordenado corresponde: a una recta paralela al eje yy’ si k ≠ 0, o bien al eje yy’ si k 5 0. 4. R(4, 5) Q Traza la gráfica de la ecuación 2x 1 8 5 0 (figura 6.9). Solución: V x 0 La ecuación 2x 1 8 5 0 se puede expresar así 2x 1 0y 1 8 5 0 en donde se puede observar que B 5 0. P(-5, -1) S T Si en la ecuación 2x 1 8 5 0 se despeja x, se obtiene: 2x 5 28; x 5 2 8 ; x 5 24 2 entonces los puntos de la recta tienen como coordenadas (24, y ), es decir, que para cualquier valor de la ordenada, la abscisa vale –4. Esto significa que la recta es paralela al eje yy’ por donde la abscisa es 24. Figura 6.10 diferencia de ordenadas 5 3 2 (21) 5 3 1 1 5 4 5 2 diferencia de abscisas 12 (25) 1 1 5 6 3 Si tomamos como primer punto a Q y como segundo punto a P, se tiene: 138 Grupo Editorial Patria® diferencia de ordenadas 5 21 23 5 24 5 2 diferencia de abscisas 25 21 26 3 Consideremos ahora los puntos Q(1, 3) y R(4, 5) en ese orden: diferencia de ordenadas 5 5 2 3 5 2 diferencia de abscisas 4 2 1 5 3 Si R es el primer punto y Q es el segundo punto: diferencia de ordenadas 5 3 2 5 5 22 5 2 diferencia de abscisas 1 2 4 23 3 Cualquier recta horizontal tiene una inclinación de 0° y como tan 0° 5 0, se dice que su pendiente es cero. Si procedemos de manera semejante con las coordenadas de dos puntos distintos de una recta no vertical, obtendremos siempre un mismo número que denominaremos pendiente. ¿Cuál es la pendiente de una recta paralela al eje x ? Cualquier recta vertical es perpendicular al eje x, por tanto, su ángulo de inclinación es de 90° y como tan 90° no está definida, entonces la pendiente de una recta perpendicular al eje x, no existe. Actividad de aprendizaje ¿Por qué se dice que no existe la pendiente de una recta paralela al eje y ? La pendiente de una recta se simboliza con la letra m y se le define así: dados los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y 2y m5 2 1 x 2 2 x1 x1 ≠ x2 es decir, para los puntos P1 y P2, m es el cociente de la diferencia de las ordenadas entre la diferencia de las abscisas correspondientes o tomadas en el mismo orden. La pendiente expresa una inclinación, ésta es, precisamente, la tangente de un ángulo a formado por la recta con el eje x, o sea: m 5 tan a El ángulo a se mide a partir del eje x en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj y su valor puede variar entre 0° y 180°. Por trigonometría sabemos que en un triángulo rectángulo la tangente de un ángulo agudo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, por tanto: y tan a 5 5 m x Observa en la figura 6.10 que los segmentos PT y QV son paralelos al eje x, en consecuencia, el ángulo que forman éstos con la recta es el mismo que forma el eje x con la recta. En el triángulo rectángulo QVR la tangente del ángulo a es: VR y 2 tan ∞5 5 5 QV x 3 esto significa que el punto R se encuentra 2 unidades hacia arriba y 3 unidades hacia la derecha respecto al punto Q. De manera similar, en el triángulo rectángulo PSQ la tangente del ángulo a es: SQ y 4 2 tan ∞5 5 5 5 PS x 6 3 y para el triángulo rectángulo PTR: TR y 6 2 tan ∞5 5 5 5 PT x 9 3 Ejemplos Para cada par de puntos traza la recta que determinan y calcula su pendiente. a) P (23, 21), Q (2, 3) b) P (21, 3), Q (2, 22) c) P (24, 2), Q (2, 2) d) P (3, 5), Q (3, 23) y Q(2, 3) x 0 P(-3, -1) Figura 6.11 m5 32( 21) 4 5 2 2( 23) 5 m 139 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I y y P(3, 5) P(-1, 3) x 0 x 0 Q(2, -2) Q(3, -3) Figura 6.14 Figura 6.12 m5 32( 2 2) 5 5 2 2( 21) 3 m5 23 2 5 28 (no existe) 5 3 23 0 y Parámetros m y b para determinar el comportamiento de la gráfica de una función lineal Q(2, 2) P(-4, 2) 0 x Dentro de las diferentes formas de expresar la ecuación de una recta, la expresión Ax 1 By 1 C 5 0 se conoce como la forma canónica. Si de ésta se despeja la variable y se obtiene: Ax 1 By 1 C 5 0 By 5 2Ax 2 C y 5 2 Ax/B – C/B Figura 6.13 m5 140 222 0 5 50 2 2(2 4) 6 Esta ecuación tiene la forma y 5 mx 1 b a la que se le da el nombre de pendiente-ordenada en el origen, donde m es la pendiente y corresponde al número –A/B, y b es la ordenada en el origen y corresponde al número –C/B. Para expresar la ecuación de una recta en la forma pendiente-ordenada en el origen a partir de la forma canónica, se observa que la pendiente se obtiene dividiendo el simétrico del coeficiente de x entre el coeficiente de y. La ordenada en el origen se obtiene dividiendo el simétrico de C entre el coeficiente de y. Forma canónica Forma pendienteordenada en el origen a) 2x 1 y 1 1 5 0 a) y 5 22 1 x2 1 1 y 5 22x 2 1 Grupo Editorial Patria® 24 6 x1 2 2 2 y 5 22x 2 3 ( 2 7) 23 c) y 5 x1 2 4 4 23 7 y5 x1 4 4 b) 4x 1 2y 1 6 5 0 b) y 5 c) 3x 1 4y 2 7 5 0 Actividad de aprendizaje Se localiza en el eje y a la ordenada en el origen, es decir al punto (0, 2). A partir de este punto se toman tres unidades hacia arriba y cuatro hacia la derecha, pues tanto y como x son positivas; o bien, a partir del punto se toman tres unidades hacia abajo y cuatro hacia la izquierda, considerando a y y a x como negativas (figura 6.15). Al trazar la recta que pasa por dos de los puntos localizados, se observa que también contiene al tercero. 2. Traza la gráfica de la ecuación y 5 2x 2 3. 2 22 y m 5 2 5 5 5 , b 5 23 1 21 x Expresa la ecuación 2x 1 3y 2 1 5 0 en la forma y 5 mx 1 b. Se localiza el punto (0, 23) y a partir de él se toman dos unidades hacia arriba y una a la derecha, o bien dos hacia abajo y una a la izquierda. Técnicas para graficar la función lineal Los tres puntos son colineales y la recta que los contiene representa a la ecuación dada (figura 6.16). Para trazar en el plano coordenado la recta que representa a una ecuación de la forma y 5 mx 1 b se hace lo siguiente: 3. Traza la gráfica de la ecuación y 5 22 x 21. 3 Solución: Ejemplos m5 3 4 Traza la gráfica de la ecuación y 5 x 1 2. Se localiza el punto (0, 21) y a partir de él se toman dos unidades hacia abajo y tres a la derecha, o bien, dos unidades hacia arriba y tres hacia la izquierda, con lo cual se determinan tres puntos que permiten trazar la gráfica de la ecuación dada (figura 6.17). y 3 x+ y= 4 y 2 (0, 2) 0 x x 2x 3 0 (0, -3) y= 1. 22 22 2 5 5 , b 5 21 3 3 23 Figura 6.15 Solución: Se identifica la pendiente y la ordenada en el origen: 3 23 y 5 , b 52 m5 5 4 24 x Figura 6.16 141 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I y y= 2 3 x-1 0 x (0, -1) By 5 2Ax 2 C A C y 5 2 x 2 si B ≠ 0 B B que es de la forma y 5 mx 1 b, en la que la variable y está expresada en función de la variable x, es decir, y es la variable dependiente y x es la variable independiente. Figura 6.17 4. Traza la gráfica de la ecuación y 5 m5 Una función es una terna compuesta por: Un primer conjunto no vacío llamado dominio de la función. Un segundo conjunto no vacío llamado contradominio de la función. Una regla de correspondencia que cumple con las siguientes condiciones: A cualquier elemento del dominio, por medio de la regla, se le puede asociar un elemento del contradominio. Ningún elemento del dominio queda sin su asociado en el contradominio. Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el contradominio. Si de la ecuación de la recta en su forma canónica se despeja la variable y se obtiene Ax 1 By 1 C 5 0: 22 x. 5 22 22 2 5 5 5 5 25 Como en este caso la ordenada en el origen es cero, significa que la recta pasa por el origen. A partir de éste se toman dos unidades hacia arriba y cinco a la izquierda, o bien, dos unidades hacia abajo y cinco a la derecha, con lo cual se tienen tres puntos que están contenidos en la recta que representa a la ecuación (figura 6.18). y A C Como y 5 f (x) entonces la ecuación y 5 2 x 2 se puede B B expresar como una función: A C f ( x )5 2 x 2 B B y, en general, la ecuación lineal y 5 mx 1 b se puede expresar como una función lineal: f (x) 5 mx 1 b A este respecto es conveniente precisar la diferencia entre una ecuación lineal y una función lineal. y=- 2 5 x 0 x Figura 6.18 Representación gráfica de la función lineal y su relación con la ecuación de primer grado Recordemos la definición y la notación de función que se trataron anteriormente. 142 Una ecuación es una igualdad que contiene uno o más números indeterminados, mientras que función es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto con uno y sólo un elemento de otro conjunto. En la ecuación x 1 3 5 7 se establece la condición de que si a x se le suma 3 se obtiene como resultado 7, en consecuencia x 5 4. En cambio, en una función podemos elegir cualquier valor dentro de su dominio y determinar el que le corresponde en el contradominio. Así, en la función f (x) 5 x 1 3, la regla de correspondencia establece que para cualquier valor de x dentro de su dominio al sumarle 3 se obtiene su asociado en el contradominio. Si el dominio de la función es el conjunto de los números reales, entonces algunos pares ordenados de la función son: f (2) 5 2 1 3 5 5 (2, 5) f (0) 5 0 1 3 5 3 (0, 3) f (23) 5 23 1 3 5 0 (23, 0) Grupo Editorial Patria® ⎛ 1 7⎞ ⎜⎝ , ⎟⎠ 2 2 1 ⎛ 1⎞ 1 f ⎜ ⎟ 5 13 53 ⎝ 2⎠ 2 2 Como el dominio y contradominio de la función están constituidos por el conjunto de los números naturales, tomaremos a los cuatro primeros: Actividad de aprendizaje f (1) 5 2(1) 1 1 5 2 1 1 5 3 f (2) 5 2(2) 1 1 5 4 1 1 5 5 f (3) 5 2(3) 1 1 5 6 1 1 5 7 f (4) 5 2(4) 1 1 5 8 1 1 5 9 ¿Cuál es la diferencia entre una ecuación lineal y una función lineal? con los que se obtienen los pares ordenados: (1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9) que pueden representarse geométricamente en la figura 6.19. Los puntos representados solamente son cuatro de la infinidad de puntos de la gráfica de la función. Observa que son colineales, es decir, están sobre una misma línea recta pero no se traza la línea sugerida por los puntos porque el dominio de la función es el conjunto de los números naturales y entre dos consecutivos no existe otro número natural, por consiguiente, tampoco existe su respectiva imagen bajo la función. Gráfica de una función lineal La representación gráfica de una función lineal nos permite identificar, según el trazo, algunas de sus características y propiedades. En el plano coordenado un punto cualquiera está asociado con un par ordenado, e inversamente, a un par ordenado le corresponde un punto; por consiguiente, si una función se define como un conjunto de pares ordenados entonces se puede representar su gráfica en el plano cartesiano. 2. Sea la función: Z Recuerda que f: A → B denota una función cuyo dominio es el conjunto A y su contradominio es el conjunto B. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Ejemplos 1. Representa en el plano coordenado la función f :N → N, tal que f (x ) 5 2x 1 1. N 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Z Figura 6.20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N Figura 6.19 Solución: Se determinan algunos puntos cuyas coordenadas son pares ordenados que pertenecen a la función. f :Z → Z, f (x ) 5 2x 1 1 Representando en el plano algunos de los puntos de su gráfica se tiene: f (24) 5 2(24) 1 1 5 28 1 1 5 27 f (23) 5 2(23) 1 1 5 26 1 1 5 25 f (22) 5 2(22) 1 1 5 24 1 1 5 23 f (21) 5 2(21) 1 1 5 22 1 1 5 21 f (0) 5 2(0) 1 1 5 0 1 1 5 1 f (1) 5 2(1) 1 1 5 2 1 1 5 3 f (2) 5 2(2) 1 1 5 4 1 1 5 5 f (3) 5 2(3) 1 1 5 6 1 1 5 7 f (4) 5 2(4) 1 1 5 8 1 1 5 9 143 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I por tanto, los pares ordenados son (24, 27), (23, 25), (22, 23), (21, 21), (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7) y (4, 9) que se representan en la figura 6.20. Esta función y la anterior son diferentes, pues aunque su regla de correspondencia es la misma tienen distinto dominio y contradominio. En la figura 6.19 tampoco se unen los puntos colineales, ya que entre dos enteros consecutivos cualesquiera no hay otro número entero, consecuentemente no existe su imagen bajo la función (figura 6.20). 3. Sea la función: Q 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 R 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 R Figura 6.22 Q Actividad de aprendizaje Para determinar si una gráfica representa o no una función se utiliza el criterio de la vertical, ¿en qué consiste ese criterio? Figura 6.21 f :Q → Q, f (x ) 5 2x 1 1 Esta función tiene la misma regla de correspondencia que las anteriores, pero su dominio y contradominio son distintos. Siguiendo un razonamiento análogo a los casos anteriores, en la representación geométrica de la gráfica de la función se observa mayor número de puntos colineales, los cuales permiten trazar la recta que los une casi de manera completa, pero todavía quedan los “huecos”, que corresponden a los números irracionales que no pertenecen al dominio de definición de la función (figura 6.21). 4. Si se considera f :R → R, f (x ) 5 2x 1 1, diferente a las tres anteriores por su respectivo dominio y contradominio, su representación geométrica será una línea recta. Los puntos suspensivos de la línea recta indican que la gráfica continúa. Una función se define por tres elementos: el dominio, el contradominio y la regla de correspondencia, de tal manera que al modificar uno de ellos se obtiene una función diferente (figura 6.22). 144 Función real Una función real de variable real, o sencillamente función real, es aquélla cuyo dominio y contradominio son subconjuntos de los números reales. En lo sucesivo, cuando se haga referencia a una función deberá entenderse que se trata de una función real. Criterio de la vertical Al definir una función como un conjunto de pares ordenados, se ha establecido que dos pares diferentes no tienen el mismo primer componente. Esto significa que al representar geométricamente la gráfica de una función a cada punto le corresponde diferente abscisa, de manera que al trazar rectas paralelas al eje de las y por cualquier valor del dominio, cada una corta a la representación geométrica en un punto. Si sólo se da la representación geométrica de una gráfica para determinar si representa o no a una función, por su dominio se trazan rectas paralelas al eje de las y, y si una de ellas la corta en más de un punto entonces no corresponde a una función, pues existe al menos un elemento del dominio que tiene más de una imagen. Grupo Editorial Patria® Ejemplos A 5 {x ∈ R|25 < x ≤ 5} 1. Representa a una función porque cualquier paralela al eje y corta a la curva en un solo punto (figura 6.23). Su dominio es el conjunto de los números reales y su imagen son los reales no negativos, es decir, A 5 R, C 5 R1 ∪ {0} El dominio de la función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la x, y el conjunto imagen está formado por todos los valores que puede tomar y bajo la función. C 5 {y ∈ R|23 < x ≤ 3} Como podrás observar en la gráfica, la representación geométrica de la función lineal es una línea recta. Sin embargo, es conveniente aclarar que no todas las líneas rectas representan funciones lineales, de hecho, las rectas que son paralelas al eje de las y ni siquiera representan funciones. y 2. No representa una función porque al trazar paralelas al eje de las y se observa que cada una de ellas corta a la curva en dos puntos, es decir, cada elemento del dominio tiene dos imágenes, excepto el cero (figura 6.24). 3 5 -5 y x -3 x Figura 6.25 Actividad de aprendizaje En una función creciente, ¿qué signo tiene la pendiente? Figura 6.23 y En una función decreciente, ¿qué signo tiene la pendiente? x Función creciente Figura 6.24 3. Representa una función porque los puntos (25, 0) y (0, 23) no pertenecen a la gráfica, el dominio e imagen de la función son, respectivamente, los conjuntos (figura 6.25): Si los puntos x1, x2 son tales que x1 < x2, como se ilustra en la figura, y se obtienen sus respectivas imágenes que mantienen la siguiente relación: f (x1) < f (x2), entonces la representación geométrica corresponde a una función creciente, es decir, cuando x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). En la figura 6.26 también se puede observar que el ángulo de inclinación de la recta es agudo, en consecuencia la pendiente es positiva, m > 0. Por tanto, decir que una función lineal es creciente significa que tiene pendiente positiva y viceversa. 145 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I f (x) Actividad de aprendizaje f (x3 ) Si la ecuación de una recta se expresa en la forma y 5 mx 1 b, ¿qué representa la m? ¿Qué representa la b? f (x2 ) Traza en el plano cartesiano la función f (x ) 5 2 5x 2 3. x1 x2 x3 x f (x1 ) Ejemplos A continuación se muestran los posibles casos de la representación geométrica de una función lineal. Figura 6.26 1. Función decreciente Cuando los puntos x1, x2 son tales que x1 < x2 y sus respectivas imágenes guardan entre sí la relación f (x1) > f (x2), de manera que x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2), entonces se trata de una función decreciente. Dicho de otra manera, cuando al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de sus respectivas imágenes se trata de una función creciente; pero si al aumentar el valor de x disminuye el de sus respectivas imágenes, entonces la función es decreciente. En la figura 6.27 el ángulo de inclinación de la recta es obtuso, en consecuencia, la pendiente es negativa, m < 0. Por tanto, decir que una función lineal es decreciente significa que tiene pendiente negativa y viceversa. Cuando la recta es paralela al eje x, su ángulo de inclinación es 0°, por ello su pendiente es cero. Esto significa que la función correspondiente no es creciente ni decreciente. Lo ya expuesto nos permite, mediante una simple inspección de la expresión algebraica de la función lineal, identificar cuando es creciente (m > 0) o decreciente (m < 0). y x Figura 6.28 m > 0, b 5 0, creciente 2. y f (x) f (x3 ) x f (x2 ) x1 x2 x3 x f (x3 ) Figura 6.29 m > 0, b > 0, creciente Figura 6.27 146 Grupo Editorial Patria® 3. y 6. y x x Figura 6.30 m > 0, b < 0, creciente Figura 6.33 7. 4. m < 0, b < 0, decreciente y y x x Figura 6.31 m < 0, b 5 0, decreciente Figura 6.34 8. 5. m 5 0, b > 0, constante y y x x Figura 6.32 m < 0, b > 0, decreciente Figura 6.35 m 5 0, b < 0, constante 147 BLOQUE 9. 6 Resuelves ecuaciones lineales I En una empresa, un obrero gana cinco unidades de dinero por cada hora de trabajo en una jornada de 40 horas a la semana, el tiempo extra se le paga al doble con un máximo permisible de 10 horas a la semana. La expresión algebraica que describe el sueldo semanal es f (x ) 5 200 1 10x (figura 6.36). Solución: a) f (0) 5 200 1 10(0) 5 200 1 0 5 200 f (1) 5 200 1 10(1) 5 200 1 10 5 210 f (2) 5 200 1 10(2) 5 200 1 20 5 220 a ) Determina el sueldo semanal cuando el obrero trabaja 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10 horas extras. f (3) 5 200 1 10(3) 5 200 1 30 5 230 f (4) 5 200 1 10(4) 5 200 1 40 5 240 b ) Construye la gráfica. f (5) 5 200 1 10(5) 5 200 1 50 5 250 c ) Decide si la función es creciente o decreciente. f (6) 5 200 1 10(6) 5 200 1 60 5 260 d ) Determina el dominio, contradominio e imagen de la función. f (7) 5 200 1 10(7) 5 200 1 70 5 270 f (8) 5 200 1 10(8) 5 200 1 80 5 280 f (9) 5 200 1 10(9) 5 200 1 90 5 290 f (10) 5 200 1 10(10) 5 200 1 100 5 300 b) 300 200 100 1 Figura 6.36 c ) Creciente d ) A 5 {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 10} C 5 {y ∈ R|200 ≤ y ≤ 300} B5C 148 2 3 4 5 6 7 8 9 10 horas Grupo Editorial Patria® Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 6. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Determina tres números enteros impares consecutivos, tales que la suma de los dos primeros sea igual al triple del tercero menos 19. 2. ¿Cuánto por ciento de agua debe evaporarse de una solución salina de 6% de concentración para aumentar la concentración a 10%? 6. Expresa la ecuación 2x 1 5y 1 15 5 0 en la forma y 5 mx 1 b. 7. En el contrato anual de renta de un televisor se cobra un depósito de 500 unidades de dinero y una renta semanal de 75 unidades de dinero. Halla la expresión algebraica de la función que se describe. 8. Traza en el plano cartesiano la función f (x ) 5 5 2 x 3. ¿En 90 gramos de una aleación de plata y cobre hay 6 gramos de plata. ¿Cuántos gramos de cobre deben agregarse para que 50 gramos de la nueva aleación contengan 2 gramos de plata? 9. Determina si la función f (x ) 5 23(2 2 x ) es creciente o decreciente. Fundamenta tu respuesta. 4. Determina el conjunto solución de la ecuación 2x 2 3(x 2 4) 5 25. 10. El equipo de oficina en una empresa se deprecia cada año 10% de su costo de adquisición, el cual fue de 15 000 unidades de dinero. 5. Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos T(22, 6), U(1, 23). a ) Determina el valor contable del equipo en el año de adquisición y después de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 años. b ) Tabula y representa en el plano coordenado. c ) Encuentra la expresión algebraica que determina la función que describe el problema. d ) Determina el dominio, el contradominio e imagen. 149 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I Lista de cotejo Lista de cotejo para el reporte sobre el impuesto predial del Bloque 6. Nombre del alumno: Criterio Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente. Desarrollo 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas. Conclusiones Dominio del tema 10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 150 11. Investiga y obtiene datos acerca de cuánto se paga de impuesto predial por metro cuadrado de suelo. 12. Investiga y obtiene datos acerca de cuánto se paga de impuesto predial por metro cuadrado de construcción. 13. Obtiene la expresión algebraica del pago de impuesto predial en función del número de metros. 14. Calcula y obtiene la cantidad a pagar por concepto de impuesto predial por metro cuadrado de suelo. 15. Calcula y obtiene la cantidad a pagar por concepto de impuesto predial por metro cuadrado de construcción. 16. Calcula y obtiene la cantidad a pagar por concepto de impuesto predial en función del número de metros cuadrados de suelo y el número de metros cuadrados de construcción. cumple sí no Observaciones Grupo Editorial Patria® Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones: Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 6. Nombre del alumno: Excelente (4) Bueno (3) Regular (2) Ecuaciones lineales Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. Plantea y expresa el modelo matemático de un problema. Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. En la mayoría de los casos, plantea y expresa el modelo matemático de un problema. Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. En algunos casos, plantea y expresa el modelo matemático de un problema. No conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. No plantea ni expresa el modelo matemático de un problema. Resolución de ecuaciones lineales en una variable Aplica las propiedades de la igualdad. Resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación. Aplica las propiedades de la igualdad. En la mayoría de los casos, resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación. Aplica las propiedades de la igualdad. En algunos casos, resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación. No aplica las propiedades de la igualdad. No resuelve ecuaciones lineales en una variable ni problemas. No conoce los conceptos de función o relación. Relación entre funciones y ecuaciones lineales Representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables. Determina la distancia entre dos puntos del plano. En la mayoría de los casos, representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables y determina la distancia entre dos puntos del plano. En algunos casos, representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables y determina la distancia entre dos puntos del plano. No representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables. No determina la distancia entre dos puntos del plano. Influencia de los parámetros en la gráfica de una función lineal Conoce la influencia de los parámetros m y b en la representación gráfica de la función y 5 mx 1 b. Establece la relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado. Conoce la influencia de los parámetros m y b en la representación gráfica de la función y 5 mx 1 b. Establece la relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado. Conoce la influencia de los parámetros m y b en la representación gráfica de la función y 5 mx 1 b. Establece la relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado. Conoce la influencia de los parámetros m y b en la representación gráfica de la función y 5 mx 1 b. Establece la relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado. Técnicas para graficar la función lineal Traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes. En la mayoría de los casos, traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes. En algunos casos, traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes. No traza la gráfica de una función lineal. No distingue funciones crecientes ni decrecientes. Aspecto a evaluar Criterios Deficiente (1) Comentarios Generales 151 Resuelves ecuaciones lineales II 7 B LO Q U E Objetos de aprendizaje 7.1 Representación de relaciones entre magnitudes. 7.2 Modelos aritméticos o algebraicos. Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con distintos símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. ¿Qué sabes hacer ahora? 1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por reducción: 5x 2 2y 5 17 8x 1 5y 5 19 4x 2 3y 5 5 3x 1 5y 5 11 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por sustitución. 2. 2x + 3 y = 8 x − 2 y =1 2x + 3 y = 7 x − 6 y =1 3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por igualación. 3x 1 5y 5 11 4x 2 3y 5 5 2x 1 y 5 5 3x 1 3y 5 21 4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la regla de Cramer. x1456 x 2 2y 5 18 5. Representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones. Identifica cada sistema como compatible, incompatible o indeterminado. x1y57 x2y53 6. Resuelve el siguiente sistema utilizando un método algebraico. 5x 2 2y 5 17 8x 1 5y 5 19 7. Resuelve con el método gráfico el sistema. x1y57 x2y51 Desempeños por alcanzar Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de dos incógnitas mediante métodos: Numéricos: determinantes; Algebraicos, eliminación por igualación, reducción (suma y resta) y sustitución, Gráficos. Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Identifica gráficamente si un sistema de ecuaciones simultáneas tiene una, ninguna o infinitas soluciones. Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos. Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. 7 BLOQUE Resuelves ecuaciones lineales II Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Una lancha se desplaza a 39 kilómetros por hora en la dirección de la corriente de un río y a 21 kilómetros por hora en la dirección opuesta. ¿Cuál es la velocidad de la lancha en aguas tranquilas y cuál es la velocidad de la corriente del río? Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. ¿Qué tienes que hacer? preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Cada equipo debe investigar: Evaluación por producto ¿Cómo representar la velocidad de la lancha en aguas tranquilas? A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. ¿Cómo representar la velocidad de la corriente del río? ¿Cómo representar la velocidad de la lancha cuando viaja en favor de la corriente? ¿Cómo representar la velocidad de la lancha cuando viaja en contra de la corriente? ¿Cómo establecer el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema? ¿Cómo resolver el sistema de ecuaciones que representa el modelo matemático? En este ejemplo: Producto a elaborar Representación de las velocidades de la lancha en favor y en contra de la corriente del río. Modelo matemático del enunciado del problema. Cálculo y obtención de los valores buscados. ¿Cómo comprobar el resultado obtenido en el enunciado del problema? Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es Rúbrica Para determinar las velocidades de la lancha y de la corriente del río que se solicitan se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La des154 ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? cripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. Grupo Editorial Patria® Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? En agua el cobre pierde 0.112 de su peso y el estaño, 0.137. ¿Cuánto cobre y estaño contiene un cuerpo de 10 kilogramos de peso que en agua pierde 1.195 kilogramos? Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se representa la cantidad en kilogramos de cobre y estaño? ¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. ¿Cómo se representa la cantidad de cobre y estaño en el cuerpo? Evaluación por producto ¿Cómo se representan las cantidades que pierden en agua el cobre, el estaño y el cuerpo? A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. ¿Cómo se establece el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema? En este ejemplo: ¿Cómo resolver el sistema de ecuaciones que representa el modelo matemático? ¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del problema? Producto a elaborar Representación de las cantidades de cobre y estaño en el cuerpo. Modelo matemático del enunciado del problema. Cálculos y obtención de los valores buscados. Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Rúbrica Para determinar las cantidades de cobre y estaño que se solicitan se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi- ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 155 7 BLOQUE Resuelves ecuaciones lineales II Propuestas de diseño para situaciones didácticas 5. 5 x − 10 y = − 6 Parte I 6. 2 x + 3 y = 7 x − 6 y =1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por reducción. 1. 5x 2 2y 5 17 8x 1 5y 5 19 2. 4x 2 3y 5 5 3x 1 5y 5 11 3. 8x 1 3y 5 13 3x 1 2y 5 11 4. 3x 2 4y 5 13 26x 1 3y 5 221 5. 23x 1 4y 5 26 5x 2 6y 5 8 6. 4x 2 y 5 1 6x 1 y 5 79 7. 6x 2 7y 5 7 2x 1 7y 5 28 8. x 2 y 5 2 3x 1 4y 5 20 9. x 2 3y 5 11 4x 2 5y 5 30 10. 5x 2 8y 5 8 x 1 y 5 12 10 x + 5 y = 6 7. 3x + 2 y = 0 2 x − 3 y = 13 8. 2 x − 3 y = − 3 6 x + y = 34 9. 4 x − 3 y = 5 2x + 5 y = − 4 10. 6 x + 3 y = 8 4 x − 6Y = 8 Parte III Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por igualación. 1. 3x 1 5y 5 11 4x 2 3y 5 5 2. 2x 1 y 5 5 3x 1 3y 5 21 3. 23x 1 4y 5 26 5x 2 6y 5 8 4. 5x 2 2y 5 17 8x 1 5y 5 19 Parte II Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por sustitución. 5. 7x 2 5y 5 15 2x 2 y 5 9 x 4 1 5 27 2 3 6. 6x 2 3y 5 63 x y 2 5 24 3 2 7. 7x 2 3y 5 23 2. 4x 1 3y 5 17 8. 2x 1 5y 5 44 1. 22x 1 5y 5 215 3. 7x 1 3y 5 22 22x 1 5y 5 218 4. 2 x + 3 y = 8 x − 2 y =1 156 5x 2 9y 5 85 22x 2 3y 5 5 6x 2 5y 5 28 9. 8x 2 5y 5 9 6x 2 7y 5 10 10. 10x 2 9y 5 18 2x 1 6y 5 1 Grupo Editorial Patria® Parte IV Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la regla de Cramer. 1. x 1 4 5 6 x 2 2y 5 18 2. 2x 1 y 5 4 3x 2 y 5 21 3. 2x 2 y 5 5 3x 1 3y 5 21 4. 2x 1 5y 5 44 6x 2 5y 5 28 5. 6x 1 12y 5 7 8x 2 15y 5 21 6. 8x 2 3y 5 1 8x 2 9y 5 21 7. 4x 1 y 5 1 x 2 2y 5 8 8. x 1 3y 5 1 22x 2 4y 5 2 9. x 2 2y 5 1 x 2 3y 5 3 10. 3x 2 2y 5 2 2x 1 y 5 8 11. x 1 y 1 2z 5 3 3x 2 y 1 z 5 1 2x 1 3y 2 4z 5 9 12. 2x 2 y 1 z 5 3 x 1 3y 2 2z 5 11 3x 2 2y 1 4z 5 1 13. x 1 2y 2 3z 5 27 2x 2 y 1 z 5 5 3x 2 y 1 2z 5 8 15. 3x 1 y 1 z 5 5 x 1 3y 2 2z 5 11 3x 2 2y 1 4z 5 1 16. x 1 y 2 z 5 6 x 2 2y 2 3z 5 21 3x 2 y 1 2z 5 1 17. x 1 y 1 z 5 7 x 2 3y 1 z 5 3 2x 1 y 1 z 5 1 18. 2x 2 y 1 z 5 3 x 2 2y 1 z 5 24 x 1 y 2 z 5 23 19. x 1 y 2 z 5 6 x 1 2y 1 z 5 22 2x 1 y 1 2z 5 2 20. 2x 2 3y 2 z 5 4 x 1 2y 1 2z 5 6 x 1 4y 1 z 5 1 21. x 1 y 1 z 5 11 x2y1z51 x 1 y 2 2z 5 5 22. x 1 y 1 z 5 10 x2y1z52 x1y2z58 23. x 2 y 1 z 5 6 x 1 y 2 z 5 24 x1y1z52 24. x 1 y 1 z 5 24 x1y2z52 2x 2 3y 2 z 5 24 25. 3x 2 2y 2 z 5 11 x1y1z56 x 1 3y 2 2z 5 25 14. x 1 y 1 2z 5 3 x 2 y 1 z 5 21 x1y2z59 157 7 BLOQUE Resuelves ecuaciones lineales II La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes Introducción Se toma como base problemas que conducen al establecimiento de un sistema de ecuaciones con dos variables para tratar los métodos algebraicos que lo resuelven; y también se utiliza el método gráfico, cuya representación en el plano cartesiano ilustra los casos en que las ecuaciones del sistema representan dos rectas que se cortan, dos rectas paralelas o dos rectas coincidentes. 7.1 Representación de relaciones entre magnitudes Solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 3 2) mediante las gráficas de funciones lineales Un sistema de ecuaciones simultáneas es aquél en el que el valor de cada variable es el mismo en cada ecuación que lo integra. De manera particular, si en un sistema simultáneo de dos ecuaciones de primer grado con dos variables, x y y, se obtiene un par de valores que satisface las dos ecuaciones, se dice que se tiene una solución del sistema. Si dicha solución es única, entonces se puede obtener por alguno de los métodos tratados en esta unidad. Gran cantidad de problemas se pueden resolver a partir de su planteamiento como un sistema simultáneo de dos ecuaciones con dos variables. Para tu reflexión Alembert, Jean Le Rond D´ (1717-1783) Escritor, físico y matemático francés, autor de diversos libros de física, óptica, acústica, mecánica, literatura, filosofía y astronomía. Colaboró con Diderot en la organización de la Enciclopedia. Sus investigaciones en matemáticas, física y astronomía lo llevaron a formar parte de la Academia de Ciencias a la edad de 25 años; estudios de tal relevancia que aún conservan su nombre. 158 D’Alembert redactó, en 1751, Discurso preliminar, donde se aborda el enfoque general de la obra con la filosofía de las Luces. Su pensamiento resulta una síntesis entre el racionalismo y el empirismo, pues se subraya la unidad del saber y la fe en el progreso de la Humanidad a través de las ciencias, las cuales están unificadas por una filosofía desprendida de mitos y creencias trascendentales. Cuando la campaña de los reaccionarios contra la Enciclopedia consiguió que se prohibiera continuar su edición (1759), se retiró de la obra, dejando a Diderot como único director, pero siguió sosteniendo el pensamiento crítico, humanista y reformista en su función como secretario perpetuo de la Academia Francesa (1772). Alembert, entre los años de 1743 y 1754, publicó sus obras científicas más importantes, el Tratado de dinámica (1743), en el que expuso la mecánica de los cuerpos rígidos basándose en el principio que lleva su nombre y que establece la existencia de equilibrio entre las acciones y las reacciones internas de un sistema rígido. Dicho estudio propició la creación del Tratado del equilibrio y movimiento de los fluidos (1744), y desarrolló aspectos que hacían referencia al movimiento del aire en la Théorie générale des vents (1745). En este último trabajo se enfrentó con la demostración del llamado Teorema fundamental del álgebra, para el cual halló una demostración parcial. En 1747 aplicó el cálculo diferencial al análisis del problema físico de la cuerda vibrante, lo cual le condujo a la resolución de una ecuación diferencial en derivadas parciales para la que encontró una solución. En las Investigaciones sobre la precesión (1749) estableció las ecuaciones del movimiento de la Tierra en torno a su centro de gravedad y abordó el problema de los tres cuerpos: relaciones entre las fuerzas y los movimientos correspondientes al Sol, la Tierra y la Luna. Identificar si un sistema 2 3 2 posee una, ninguna o infinitas resoluciones La solución del sistema es el par de coordenadas que corresponde al punto común de las dos rectas, es decir, su punto de intersección. Ejemplos 1. Resuelve gráficamente el sistema formado por las ecuaciones x 1 2y 5 7, 2x 2 y 5 21. y5 (x, y ) 72 x 2 y 5 2x 1 1 (x, y ) A (1, 3) D (21, 21) B (3, 2) E (0, 1) C (5, 1) F (1, 3) Grupo Editorial Patria® y El ejemplo anterior representa un sistema sin solución, por consiguiente, es incompatible. Como representación de las ecuaciones corresponde a dos rectas que no se cortan. AF En este ejemplo el sistema está formado por dos ecuaciones independientes, pero no son simultáneas ya que las variables no tienen el mismo valor. En la primera ecuación y 5 3 2 x y en la segunda y 5 5 2 x. Un sistema como éste recibe el nombre de sistema inconsistente o incompatible. B C E x D 3. Figura 7.1 Solución: Resuelve gráficamente el sistema formado por las ecuaciones y 5 x 1 2, 3y 5 3x 1 6. (x, y ) (x, y ) A (0, 2) D (24, 22) B (21, 1) E (1, 3) C (22, 0) F (2, 4) y x51 y53 Este sistema está formado por dos ecuaciones simultáneas e independientes. F Cuando un sistema como el anterior tiene una solución, se dice que es compatible, consistente o determinado. 2. Resuelve gráficamente 1 y 5 3, x 1 y 5 5. y532x (x, y ) A (1, 2) B (0, 3) C (21, 4) B C el sistema formado por las ecuaciones x A E x D y552x (x, y ) D (1, 4) E (0, 5) F (3, 2) y Figura 7.3 E D C B F A x Figura 7.2 Un sistema como el anterior tiene infinitas soluciones, debido a que las dos ecuaciones son dependientes, ya que todo par de valores que satisface a una también satisface a la otra. Si dos ecuaciones son dependientes, una es consecuencia de la otra; en este caso, 3y 5 3x 1 6 se obtiene al multiplicar por 3 la ecuación y 5 x 1 2. En este ejemplo, el sistema está formado por dos ecuaciones simultáneas, pero no independientes y recibe el nombre de sistema indeterminado. En consecuencia, para que un sistema de dos ecuaciones tenga solución única requiere que sus dos ecuaciones sean simultáneas e independientes a la vez. El método gráfico tiene la ventaja de ilustrar geométricamente la posición de las rectas que representan a las ecuaciones y el punto de intersección que es la solución del sistema. Sin embargo, no 159 7 BLOQUE Resuelves ecuaciones lineales II Actividad de aprendizaje siempre se puede determinar el valor exacto de la solución, y en ecuaciones más complicadas es laborioso y poco práctico, por lo cual recurrimos al método algebraico. ¿En qué consiste el método de eliminación por reducción? Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: Ejemplos 1. En una pizzería se compran dos pizzas y una orden de alitas de pollo por $270.00, y por tres pizzas (como las del otro pedido) y dos órdenes de alitas de pollo se pagan $420.00. Determina cuál es el precio de cada pizza y de cada orden de alitas de pollo. Cuando los coeficientes de la variable a eliminar son iguales en valor absoluto. Halla dos números tales que su suma sea 7 y su diferencia uno. Solución: Sean x y y los números que se buscan. El problema se puede plantear con el siguiente sistema. x1y57... x2y51... (1) (2) 7.2 Modelos aritméticos o algebraicos La variable y se puede eliminar si se suman miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2), es decir: x1y57 x2y51 Solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 3 2) de donde: 2x 5 8 x5 Para resolver un sistema de este tipo se utilizan diversos métodos algebraicos como los siguientes: ■ Eliminación por reducción (suma o resta) ■ Eliminación por sustitución ■ Eliminación por igualación ■ Determinantes También se utiliza el método gráfico. A continuación se explica cada uno de estos métodos con el propósito de aplicarlos a la resolución de problemas. x54... Sustituyendo (3) en (1) se obtiene: x1y57 41y57 por tanto: y5724 y53 Comprobación: Se sustituyen las dos variables por los valores hallados: x 1 y 5 7 . . . (1) x 2 y 5 1 . . . (2) 41357 42351 757 151 Métodos algebraicos Método de eliminación por reducción A este método se le conoce como de reducción por suma o resta. El procedimiento consiste en realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones para obtener una sola ecuación con una variable. A este proceso se le llama eliminación, pues mediante multiplicaciones adecuadas se iguala el valor absoluto de los coeficientes de una misma variable en ambas ecuaciones y después se suman o restan miembro a miembro para eliminar dicha variable. 160 8 2 2. (3) Cuando los coeficientes de las variables a eliminar son diferentes en valor absoluto. Por 5 plumas y 3 lapiceros se pagaron 136 unidades de dinero, y por 3 plumas y 4 lapiceros se pagaron 108 unidades de dinero. Halla el valor de cada pluma y de cada lapicero. Grupo Editorial Patria® Actividad de aprendizaje Solución: Si se representan las plumas por p y los lapiceros por l, el problema se puede plantear con el siguiente sistema: 5p 1 3l 5 136 . . . (1) 3p 1 4l 5 108 . . . En un sistema de ecuaciones simultáneas, ¿cómo es el valor de cada una de las variables? (2) Si queremos eliminar la variable p, se requiere que sus respectivos coeficientes sean iguales en valor absoluto. Esto se consigue si la ecuación (1) se multiplica por 3 y la ecuación (2) se multiplica por 5 para obtener las ecuaciones equivalentes (3) y (4). Actividad de aprendizaje 3 (5p 1 3l 5 136) 5 (3p 1 4l 5 108) 15p 1 9l 5 408 . . . (3) 15p 1 20l 5 540 . . . (4) ¿En qué consiste el método de eliminación por sustitución? La variable p se elimina restando miembro a miembro la ecuación (4) de la (3), es decir: 15p 1 9l 5 408 Método de eliminación por sustitución 15p 1 20l 5 540 211l 5 2132 de donde: 132 l52 2 11 l 5 12 . . . (5) El valor de p se obtiene al sustituir (5) en cualquiera de las ecuaciones del sistema original o del sistema transformado. El proceso consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones. La expresión así obtenida se sustituye en la otra ecuación para obtener una nueva ecuación con una sola variable. Se encuentra el valor de ésta y se sustituye en la expresión despejada de la otra variable para determinar su valor. Ejemplos Sustituyendo (5) en (1) se obtiene: 5p 1 3l 5 136 1. 5p 1 3(12) 5 136 despejando p: 5p 1 36 5 136 5p 5 136 2 36 5p 5 100 p5 Solución: 100 5 Sean x y y el número de boletos de 20 y 30 unidades de dinero, respectivamente. Entonces: p 5 20 Comprobación: x 1 y 5 300 . . . Se sustituyen las dos variables por los valores hallados: 5p 1 3l 5 136 . . . Para un espectáculo se vendieron 300 boletos de 20 y 30 unidades de dinero. ¿Cuántos boletos se vendieron de cada precio si el total de venta fue de 8 000 unidades de dinero? (1) 3p 1 4l 5 108 . . . 5(20) 1 3(12) 5 136 3(20) 1 4(12) 5 108 100 1 36 5 136 60 1 48 5 108 136 5 136 108 5 108 (2) 20x 1 30y 5 8 000 . . . Despejando y en (1): x 1 y 5 300 y 5 300 2 x . . . Sustituyendo (3) en (2): 20x 1 30y 5 8 000 (1) (2) (3) 20x 1 30(300 2 x ) 5 8 000 161 7 BLOQUE Resuelves ecuaciones lineales II 8 800x 1 180 (16 150 2 50x ) 5 2 882 000 Efectuando el producto indicado: 20x 1 9 000 2 30x 5 8 000 Reduciendo términos semejantes: 9 000 2 10x 5 8 000 Transponiendo términos: 9 000 2 8 000 5 10x de donde: 1 000 5 10x por tanto: 100 5 x . . . Sustituyendo (4) en (3): y 5 300 2 x y 5 300 2 100 y 5 200 Comprobación: x 1 y 5 300 . . . 20x 1 30y 5 8 000 . . . (1) 100 1 200 5 300 20(100) 1 30(200) 5 8 000 300 5 300 2 000 1 6 000 5 8 000 2. Efectuando operaciones y simplificando: 8 800x 1 2 907 000 2 9 000x 5 2 882 000 2 907 000 2 2 882 000 5 200x 25 000 5 200x 25 000 5x 200 (4) 125 5 x . . . Sustituyendo (4) en (3): y 5 Un ganadero vendió 50 terneras y 220 ovejas por 16 150 unidades de dinero; con los mismos precios vendió 40 terneras y 180 ovejas por 13 100 unidades de dinero. Encuentra el precio de cada ternera y de cada oveja. 16 150 2 50 x 220 y5 16 150 2 50(125) 220 y5 16 150 26 250 220 y5 9 900 220 (2) (4) y 5 45 Por tanto, el precio de cada ternera es de 125 unidades de dinero y el de cada oveja es de 45 unidades de dinero Actividad de aprendizaje Solución: Sea x el precio de cada ternera y y el precio de cada oveja. Por tanto: 50x 1 220y 5 16 150 . . . (1) 40x 1 180y 5 13 100 . . . (2) 50x 1 220y 5 16 150 Despejando y en (1): 220y 5 16 150 2 50x y5 16 150 2 50 x . . . (3) 220 Sustituyendo (3) en (2): 40x 1 180y 5 13 100 40x 1 180 16 150 2 50 x 5 13 100 220 Multiplicando la ecuación por 220: 220 [40x 1 180 162 16 150 2 50 x 5 13 100] 220 Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es compatible (consistente o determinado) y tiene solución _____________ cuando las ecuaciones son a la vez ______________________ e ______________________. Su representación gráfica corresponde a dos rectas que _______________________. Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es incompatible (inconsistente) y no tiene solución porque las ecuaciones son ____________________ pero no son ____________________. Su representación gráfica corresponde a dos rectas que __________________________. Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es indeterminado y tiene ________________ soluciones porque las ecuaciones son _____________________ pero no son _________________________. Su representación gráfica corresponde a ___________________________. Método de eliminación por igualación El proceso consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones. Las expresiones así obtenidas se igualan para tener otra Grupo Editorial Patria® ecuación con una sola variable. Se encuentra el valor de ésta y se sustituye en la expresión despejada de la otra variable para determinar su valor. P 1 H 5 66 51 1 15 5 66 2. ¿En qué consiste el método de eliminación por igualación? La suma de las edades actuales de una persona y su hijo es de 66 años. Determina sus edades sabiendo que dentro de tres años, la edad del padre será el triple de la edad de su hijo. Solución: Si se representan con P y H las edades actuales del padre y su hijo, el problema se plantea con el siguiente sistema: P 1 H 5 66 (1) P 1 3 5 3(H 1 3) 54 5 54 El precio de una mezcla de dulces de 1 unidad de dinero el kilogramo con otros de 1.40 unidades el kilogramo es de 17 unidades de dinero pero si se toma el doble de dulces del segundo tipo, el precio de la mezcla es de 24 unidades de dinero. Encuentra el número de kilogramo de cada tipo de dulces. (2) El problema se puede plantear así: 100D 1 140d 5 1 700 P 1 H 5 66 (3) P 2 3H 5 6 (4) P 5 66 2 H (5) De (4) P 5 6 1 3H (6) Igualando (5) y (6) se obtiene 66 2 H 5 6 1 3H por lo que 66 2 6 5 3H 1 H por tanto: 60 5 4H (3) (4) De (3) 140d 5 1 700 2 100D d5 De (4) 1 700 2100 D 140 (5) 280d 5 2 400 2 100D d5 2 400 2100 D 280 (6) Igualando (5) y (6) se obtiene 1 700 2100 D 2 400 2100 D 5 140 280 Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones 60 5H 4 15 5 H (2) Si se quiere eliminar la variable d, se despeja ésta en (3) y (4). Si se quiere eliminar la variable P, se despeja ésta en (3) y (4). De (3) (1) 100D 1 140 (2d ) 5 2 400 Al hacer la operación indicada en (2) el sistema queda así 100D 1 140d 5 1 700 100D 1 280d 5 2 400 Efectuando las operaciones indicadas en (2) y ordenando sus términos, el sistema nos queda así o sea: 54 5 3(18) Solución: Sean D el número de kilogramo de dulces del primer tipo y d el número de kilogramo de dulce del segundo tipo. Ejemplos de donde: (2) 51 1 3 5 3(15 1 3) 66 5 66 Actividad de aprendizaje 1. P 1 3 5 3(H 1 3) (1) 280(1 700 2 100D ) 5 140(2 400 2 100D ) (7) El valor de P se obtiene al sustituir (7) en (5) o en (6), Sustituyendo (7) en (5) P 5 66 2 H P 5 66 2 15 de donde: P 5 51 Comprobación: Se sustituyen las dos variables por sus respectivos valores en (1) y (2). Se divide la igualdad entre 140 2 (1 700 2 100D ) 5 (2 400 2 100D) Se suprimen paréntesis 3 400 2 200D 5 2 400 2 100D por tanto: 3 400 2 2 400 5 2100D 1 200D o sea: 1 000 5 100D de donde: 1000 5D 100 10 5 D . . . (7) 163 7 BLOQUE Resuelves ecuaciones lineales II Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden resolver al emplear el concepto de determinante de una matriz de segundo orden. El valor de d se obtiene al sustituir (7) en (5) o en (6). Sustituyendo (7) en (5) 1 700 2100(10) 140 21000 1 7002 d5 140 Ejemplos d5 Resuelve el sistema: 2x 2 y 5 16 700 d5 140 Los coeficientes de x y y, dispuestos como en las ecuaciones dadas, forman el determinante de los coeficientes que suele representarse por la letra griega delta (D). d55 Comprobación: Se sustituyen las dos variables por sus respectivos valores. 100D 1 140d 5 1 700 (1) 100(10) 1 140 (5) 5 1 700 1 000 1 700 5 1 700 1 700 5 1 700 100D 1 280d 5 2 400 100(10) 1 280 (5) 5 2 400 1 000 1 1 400 5 2 400 2 400 5 2 400 (2) Método numérico por determinantes y sistemas de ecuaciones lineales a1 b1 formado por los cuatro números a1, b1, a2, b2, a 2 b2 ordenados en una matriz de dos filas y dos columnas, representa un determinante de segundo orden o determinante de orden dos. El símbolo Los cuatro números anteriores se denominan elementos de la matriz o del determinante. Por definición, el determinante de una matriz de segundo orden es el polinomio siguiente: a1 b1 a1 b2 3x 1 5y 5 11 5 a1b2 2b1a2 D5 3 5 5(3)(2 1)2(5)(2)52 3 210 52 13 2 21 Para calcular el valor de cada variable se escribe: 11 5 16 2 1 (11)(2 1)2(5) (16) 2 11280 x5 5 5 3 5 D 2 13 2 21 5 2 91 57 2 13 3 11 (3) (16)2(11)(2) 48 2 22 2 16 5 y5 5 3 5 D 2 13 2 21 26 5 52 2 2 13 Como se observa, al calcular x y y, el denominador en ambos casos es la determinante de los coeficientes (D) y el numerador correspondiente a cada incógnita se forma a partir de D, al sustituir la columna de los coeficientes de la incógnita que se despeja por la columna de términos independientes de las ecuaciones. Actividad de aprendizaje ¿A qué se le llama regla de Cramer? Por ejemplo, 3 5 5(3)(2 1)2(5)(2) 2 21 Los elementos 3 y 5 constituyen la primera fila y los elementos 2 y 21, la segunda fila. Los elementos 3 y 2 forman la primera columna y los elementos 5 y 21, forman la segunda columna. 164 El método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes se llama regla de Cramer. El símbolo a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 Grupo Editorial Patria® formado por nueve números ordenados en una matriz de tres filas y tres columnas representa el determinante de una matriz de tercer orden. Por definición, el valor de esta determinante lo da el polinomio: a1b2c3 1 b1c2a3 1 c1a2b3 2 c1b2a3 2 a1c2b3 2 b1a2c3 que se llama desarrollo del determinante. Con objeto de recordar fácilmente cómo se obtiene este desarrollo, se propone la siguiente norma: a1 b1 c1 a1 b1 a2 b2 c2 a2 b2 Método gráfico a3 b3 c3 a3 b3 Antes de explicar este método, recordemos lo que es un sistema de coordenadas rectangulares, también llamado de coordenadas cartesianas, el cual consiste en dos rectas numéricas que se intersecan perpendicularmente en un punto llamado origen del sistema y que se denota por 0. Las rectas perpendiculares se llaman ejes de coordenadas. El horizontal se puede llamar eje x, eje de las x o eje de las abscisas; el vertical se puede llamar eje y, eje de las y o eje de las ordenadas. Los puntos del eje x a la derecha del origen se consideran positivos y a la izquierda, negativos. De la misma forma, los puntos del eje y arriba del origen son positivos y los que están abajo del origen son negativos. Los ejes x y y dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, las cuales se numeran en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 7.4. 2 2 2 1 1 1 Se multiplican los elementos de cada diagonal y el producto obtenido se multiplica por el signo que indica la flecha, es decir, si la flecha indica más (1) el producto conserva su signo y si indica menos (2) el producto cambia su signo. La suma algebraica de los seis productos es el desarrollo del determinante. La regla de Cramer también se aplica en la resolución de sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Ejemplos x 1 2y 2 z 5 23 3x 1 y 1 z 5 4 x 2 y 1 2z 5 6 1 2 21 D5 3 1 1 5 2 1 2 131111212 52 3 1 21 2 x5 23 2 4 6 1 21 D 1 3 y5 1 1 2 23 6 18 1 9 131 4 236 2 6 1 4 5 52 5 23 3 21 6 D Interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales: punto de intersección de las rectas y casos en que son paralelas Se escriben al lado del determinante las dos primeras columnas del mismo: Resuelve el sistema: z5 1 3 Cada punto del plano tiene asociado un par de números, e inversamente, a cada par (ordenado) de números le corresponde un punto. Actividad de aprendizaje En un sistema de ecuaciones simultáneas, ¿cómo es el valor de cada una de las variables? 21 1 2 6 112 1 4 16 16 23216 23 5 5 52 1 23 23 2 23 23 8 23 218 1 4 26 118 2 3 4 4 5 5 52 1 23 23 6 2 D Para determinar un punto P(x, y), que se lee “punto P de coordenadas equis ye”, localizamos sobre el eje de las x la primera componente (x), y sobre el eje de las y la segunda componente ( y); después trazamos líneas perpendiculares a los ejes en los puntos localizados y donde éstas se cortan encontramos el punto P. 165 7 BLOQUE Resuelves ecuaciones lineales II y Actividad de aprendizaje Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es compatible (consistente o determinado) y tiene solución __________ cuando las ecuaciones son a la vez ______________________ e ______________________. Su representación gráfica corresponde a dos rectas que _______________________. I II x' x III IV Una ecuación de primer grado con dos variables tiene infinitos pares de valores que la satisfacen, cada uno de los cuales se puede representar por un punto. Como los puntos resultantes están alineados, se unen mediante una recta, que es la gráfica de la ecuación dada; debido a ello recibe el nombre de ecuación lineal. y' Para trazar dicha recta basta hallar dos puntos de ella, es decir, dos pares de valores correspondientes a x, y; pero en la práctica conviene obtener un tercer punto como comprobación. Figura 7.4 Ejemplos Localiza los puntos A (3, 4); B (22, 5); C (23, 22) y D (5, 23). Al considerar que trabajamos con rectas perpendiculares, podemos decir que el punto A respecto al origen está tres unidades a la derecha y a partir de éste cuatro unidades hacia arriba. De igual forma, B está dos unidades a la izquierda y cinco hacia arriba, C tres unidades hacia la izquierda y dos hacia abajo, D cinco unidades a la derecha y tres hacia abajo. y B A C 166 Actividad de aprendizaje Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es incompatible (inconsistente) y no tiene solución porque las ecuaciones son ____________________, pero no son ____________________. Su representación gráfica corresponde a dos rectas que __________________________. Ejemplos x Figura 7.5 Gráfica de una ecuación de primer grado con dos variables D Representa gráficamente la ecuación 2x 1 y 5 5. Se despeja la variable y : y 5 5 2 2x Se dan valores a x para calcular los de y. Estos pares de valores se ordenan en una tabla; cada par de valores es solución de la ecuación. Grupo Editorial Patria® x y puntos 2 1 A (2, 1) 0 5 B (0, 5) 1 3 C (1, 3) Interpretación de diversas situaciones utilizando sistemas 232 Representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones. Identifica cada sistema como compatible, incompatible o indeterminado. y 1. x 1 y 5 7 x2y53 2. 2x 1 y 5 210 x 2 2y 5 0 3. x 2 y 5 1 2x 2 2y 5 2 4. 3x 1 4y 5 4 3x 1 4y 5 28 5. x 1 y 5 1 x 2 2y 5 10 6. x 1 2y 5 26 x 1 2y 5 2 7. x 2 2y 5 21 24x 1 8y 5 4 8. x 1 y 5 6 x2y52 9. 2x 2 3y 5 23 2x 2 3y 5 9 10. 2x 1 y 5 7 4x 2 y 5 11 x 2 3y 5 11 B C A x Figura 7.6 Actividad de aprendizaje Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es indeterminado y tiene ________________ soluciones porque las ecuaciones son _____________________, pero no son _________________________. Su representación gráfica corresponde a ___________________________. Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Nombre del alumno: Excelente (4) Bueno (3) Regular (2) Deficiente (1) Solución de un sistema de 2 3 2 mediante las gráficas de funciones lineales Resuelve un sistema de 2 3 2 mediante las gráficas de funciones lineales. Determina si un sistema de 2 3 2 tiene una, ninguna o infinitas soluciones. Resuelve un sistema de 2 3 2 mediante las gráficas de funciones lineales. Determina si un sistema de 2 3 2 tiene una, ninguna o infinitas soluciones. Resuelve un sistema de 2 3 2 mediante las gráficas de funciones lineales. Determina si un sistema de 2 3 2 tiene una, ninguna o infinitas soluciones. Resuelve un sistema de 2 3 2 mediante las gráficas de funciones lineales. Determina si un sistema de 2 3 2 tiene una, ninguna o infinitas soluciones. Solución de un sistema de 2 3 2 Resuelve un sistema de 2 3 2 por: reducción, sustitución, igualación y determinantes. Resuelve un sistema de 2 3 2 por tres de los cuatro métodos. Resuelve un sistema de 2 3 2 por dos de los cuatro métodos. No resuelve un sistema de 2 3 2 por: reducción, sustitución, igualación o determinantes. Aspecto a evaluar Criterios 167 7 BLOQUE Resuelves ecuaciones lineales II Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 7. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por reducción: 4x 2 5y 5 30 5x 2 8y 5 8 5. Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones. Identifica si es un sistema compatible, incompatible o indeterminado. 2x 1 y 5 7 4x 2 y 5 11 x 1 y 5 12 2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por sustitución. 4x 3 y " 5 2x 5 y " 4 6 x 13 y58 4 x26y 5 8 6. Utiliza un método algebraico para resolver el sistema 23x 1 4y 5 26 5x 2 6y 5 8 7. Usa el método gráfico para resolver el sistema 2x 1 y 5 7 4x 2 y 5 11 3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por igualación. 8x 2 5y 5 9 10x 2 9y 5 18 6x 2 7y 5 10 2x 1 6y 5 1 4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la regla de Cramer. x 2 2y 5 1 3x 2 2y 5 2 x 2 3y 5 3 2x 1 y 5 8 168 Grupo Editorial Patria® Lista de cotejo Lista de cotejo para el reporte sobre la cantidad a pagar por cada pizza y cada orden de alitas de pollo del Bloque 7. Nombre del alumno: Presentación Criterio cumple sí no Observaciones 1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente. Desarrollo 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas. Conclusiones Dominio del tema 10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 11. Representa algebraicamente una pizza y una orden de alitas de pollo. 12. Establece la relación entre el número de pizzas y el número de órdenes de alitas de pollo con la cantidad que se paga por ellas. 13. Establece el sistema de ecuaciones simultáneas que representa las condiciones del problema y obtiene el valor unitario de cada pizza y orden de alitas de pollo. 14. Comprende el problema y lo expresa algebraicamente. 15. Expresa las condiciones del problema mediante un sistema de ecuaciones simultáneas. 16. Calcula el valor de cada pizza y de cada orden de alitas de pollo. 169 Resuelves ecuaciones lineales III 8 B LO Q U E Objetos de aprendizaje 8.1 Representación de relaciones entre magnitudes. 8.2 Modelos aritméticos o algebraicos. Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con distintos símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. ¿Qué sabes hacer ahora? Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas: x1y1z53 1. x2y2z51 x 2 y 1 z 5 23 2. x1y2z52 x 2 y 2 z 5 24 2x 1 y 1 z 5 4 3. x1y1z54 x 1 2y 1 z 5 1 x2y2z56 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer. x1y1z57 4. 3x 1 y 2 z 5 3 2x 1 4y 1 z 5 12 5. 3x 1 y 2 2z 5 2 x 1 3y 2 z 5 3 2x 2 y 1 4z 5 5 Desempeños por alcanzar Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas. Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de tres incógnitas mediante métodos: Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos. Numérico: Determinantes Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Algebraicos: Eliminación reducción (suma y resta), sustitución Gráficos BLOQUE 8 Resuelves ecuaciones lineales III Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Utiliza dos métodos diferentes para resolver el siguiente sistema: 2x 2 y 1 2z 5 2 8 x 1 2y 2 3z 5 9 3x 2 y 2 4z 5 3 Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. ¿Cuáles son los diferentes métodos para resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas? Evaluación por producto ¿Cuándo se dice que un sistema de tres por tres es compatible, incompatible, indeterminado? A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. ¿Cuál es la interpretación geométrica de un sistema de tres por tres cuando es compatible, incompatible o indeterminado? ¿Cómo se interpreta la solución del sistema de tres por tres cuando es compatible, incompatible o indeterminado? Trabajo individual En este ejemplo: Producto a elaborar Solución de un sistema de tres por tres utilizando diferentes métodos. Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Rúbrica Para determinar la solución del sistema que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento 172 ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. Grupo Editorial Patria® Propuestas de diseño para situaciones didácticas Parte I Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas. 1. x 1 y 1 z 5 3 x2y2z51 x 2 y 1 z 5 23 2. x 1 y 2 z 5 2 x 2 y 2 z 5 24 2x 1 y 1 z 5 4 3. x 1 y 1 z 5 4 x 1 2y 1 z 5 1 x2y2z56 4. x 1 2y 1 2z 5 24 x 1 y 2 2z 5 4 2x 1 2y 2 3z 5 3 5. 3x 1 2y 2 4z 5 21 x 2 3y 1 2z 5 4 2x 2 y 2 5z 5 11 6. x 2 2y 2 2z 5 8 3x 2 4y 2 z 5 5 22x 2 3y 2 5z 5 4 7. 4x 2 3y 1 2z 5 225 5x 1 2y 2 3z 5 24 6x 2 4y 2 5z 5 211 8. 3x 2 2y 2 4z 5 6 5x 2 3y 1 6z 5 46 8x 1 5y 2 4z 5 226 9. 2x 2 3y 2 4z 5 21 4x 2 3y 1 12z 5 4 6x 1 3y 2 8z 5 2 10. 3x 1 2y 1 4z 5 8 9x 2 2y 2 4z 5 26 Parte II Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer. 1. x 1 y 1 z 5 7 3x 1 y 2 z 5 3 2x 1 4y 1 z 5 12 2. 3x 1 y 2 2z 5 2 x 1 3y 2 z 5 3 2x 2 y 1 4z 5 5 3. x 1 y 2 6z 5 9 x 2 y 1 4z 5 5 22x 1 3y 2 z 5 4 4. 2x 2 y 1 z 5 3 x 1 2y 1 z 5 12 4x 2 3y 1 z 5 1 5. 2x 1 3y 1 4z 5 53 3x 1 5y 2 4z 5 2 4x 1 7y 2 2z 5 31 6. 2x 2 y 1 3z 5 14 23x 1 y 2 z 5 210 x1y1z54 7. 2x 1 3y 1 4z 5 61 3x 1 2y 1 z 5 54 5x 2 2y 1 3z 5 58 8. 3x 1 2y 2 4z 5 15 5x 2 3y 1 2z 5 60 2x 1 4y 2 3z 5 45 9. 4x 2 3y 1 2z 5 28 3x 1 2y 2 5z 5 16 2x 1 y 2 3z 5 10 10. x 1 y 1 z 5 13 3x 1 y 2 3z 5 5 x 2 2y 1 4z 5 10 3x 2 4y 1 8z 5 2 173 BLOQUE 8 Resuelves ecuaciones lineales III Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura. Bertrand Russell 8.1 Representación de relaciones entre magnitudes Se resuelve el sistema formado por (4) y (5) 17x 2 11z 5 104 (4) 2 x 1 z 5 24 (5) Se puede eliminar x sumando a (4) el resultado de multiplicar (5) por 17. Se presentan sistemas de ecuaciones simultáneas de tres ecuaciones con tres incógnitas que se resuelven por reducción y por la regla de Cramer. Finalmente se interpretan los posibles casos que se pueden presentar en la resolución de un sistema de tres por tres. 8.2 Modelos aritméticos o algebraicos 17x 2 11z 5 104 17x 2 11z 5 104 17(2x 1 z 5 24) 217x 1 17z 5 268 6z 5 36 z5 36 6 z56 Para encontrar el valor de x se sustituye el valor de z en (5), también se puede hacer en (4). Método algebraico por reducción 2x 1 z 5 24 Cuando se tiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, por lo general se reduce a uno de dos ecuaciones con dos incógnitas, eliminando una de las variables entre una ecuación y cada una de las otras dos. Veamos los ejemplos siguientes. 2x 1 6 5 24 6145x 10 5 x Para encontrar el valor de y se sustituyen los valores x 5 10, z 5 6 en la ecuación (1), (2) o (3). Si se sustituyen en (1) se obtiene 4x 2 3y 1 2z 5 28 Ejemplos 4(10) 2 3y 1 2(6) 5 28 52 2 3y 5 28 Resuelve el sistema: 4x 2 3y 1 2z 5 28 (1) 3x 1 2y 2 5z 5 16 (2) 2x 1 y 2 3z 5 10 (3) La comprobación se realiza al sustituir x 5 10, y 5 8, z 5 6, en las ecuaciones del sistema, verificando que satisfagan cada una. se multiplica (1) por 2, (2) por 3 y se suman los resultados. 8x 2 6y 1 4z 5 56 3(3x 1 2y 2 5z 5 16) 9x 1 6y 2 15z 5 48 17x 2 11z 5 10 (4) Se elimina y de (2) y (3) de la siguiente forma: se suma a (2) el resultado de multiplicar (3) por 2 2. 3x 1 2y 2 5z 5 16 22(2x 1 y 2 3z 5 10) 3x 1 2y 2 5z 5 16 24x 2 2y 1 6z 5 220 2x1 z 5 24 (5) 174 24 =y 3 85y Se puede eliminar y de (1) y (2) de la siguiente forma: 2(4x 2 3y 1 2z 5 28) 52 2 28 5 3y Actividad de aprendizaje ¿En qué consiste el método de reducción para resolver un sistema de tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas? Grupo Editorial Patria® Ejemplos 2x 2 2y 1 3z 5 16 2x 2 2(1) 1 3(4) 5 16 Resuelve el sistema 2x 2 2y 1 3z 5 16 (1) 2x 2 2 1 12 5 16 3x 1 5y 2 2z 5 6 (2) 2x 1 10 5 16 4x 1 3y 2 4z 5 21 (3) 2x 5 6 Se puede eliminar x de (1) y (2) de la siguiente forma: se multiplica (1) por 3 y (2) por 22 y se suman los resultados. 3(2x 2 2y 1 3z 5 16) x5 6x 2 6y 1 9z 5 48 22(3x 1 5y 2 2z 5 6) 2x 5 16 2 10 x53 26x 2 10y 1 4z 5 212 216y 1 13z 5 36 6 2 (4) La comprobación se realiza al sustituir x 5 3, y 5 1, z 5 4, en las ecuaciones del sistema, verificando que satisfagan cada una. A continuación, para eliminar x se multiplica (2) por 4 y (3) por 23 y luego se suman los resultados. 4(3x 1 5y 2 2z 5 6) 12x 1 20y 2 8z 5 24 23(4x 1 3y 2 4z 5 21) En los ejemplos anteriores se observa que para resolver por reducción un sistema de tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas: 212x 2 9y 1 12z 5 3 11y 1 4z 5 27 (5) Se resuelve el sistema formado por (4) y (5). 216y 1 13z 5 36 (4) 11y 1 4z 5 27 (5) Se puede eliminar y multiplicando (4) por 11, (5) por 16 y sumando los resultados. 11(216y 1 13z 5 36) 2176y 1 143z 5 396 16(11y 1 4z 5 27) 176y 1 64z 5 432 207z 5 828 z5 828 207 z54 Para encontrar el valor de y se sustituye el valor de z en (4). 216y 1 13z 5 36 216y 1 13(4) 5 36 216y 1 52 5 36 216y 5 36 2 52 216y 5 216 y5 − 16 − 16 y51 Para encontrar el valor de x se sustituyen los valores y 5 1, z 5 4, en alguna de las ecuaciones (1), (2) o (3). ■ se elimina una de las incógnitas, a partir de dos de las ecuaciones del sistema, mediante la reducción por suma o resta para obtener la ecuación (4) ■ se elimina la misma incógnita utilizando el procedimiento anterior con una pareja diferente de ecuaciones para obtener la ecuación (5) ■ con (4) y (5) se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que se resuelve para encontrar el valor de dos incógnitas ■ se sustituyen los dos valores encontrados en una de las ecuaciones del sistema de tres por tres para encontrar el valor de la tercera incógnita ■ se hace la comprobación al sustituir los tres valores encontrados en las tres ecuaciones del sistema. Como ya se ha visto, para que un sistema simultáneo de dos ecuaciones (de primer grado) con dos incógnitas tenga solución única, se requiere que ambas ecuaciones sean independientes. En un sistema simultáneo de tres ecuaciones (de primer grado) con tres incógnitas, para que tenga solución única se requiere que las tres ecuaciones sean independientes. También se ha observado que, en un sistema simultáneo de dos ecuaciones (de primer grado), independientes, con dos incógnitas, se puede eliminar una de las variables; mientras que en un sistema de tres por tres se pueden eliminar dos variables. Si se sustituyen en (1) 175 BLOQUE 8 Resuelves ecuaciones lineales III Para tu reflexión Si se escribe el sistema utilizando cero como coeficiente de cada variable que falta en la ecuación, nos queda así: 2x 2 2y 1 3z 5 16 Neuman, John von (190321957) Matemático húngaro que realizó contribuciones en diversos aspectos de la matemática avanzada, mecánica cuántica, mecánica ondulatoria y mecánica matricial. Desarrolló la teoría de los juegos, la cual tuvo un impacto en la economía. John Von Neuman nació en Budapest, Hungría, y desde niño se destacó por ser un prodigio. En el periodo de la Primera Guerra Mundial realizó estudios en las universidades de Berlín y Zurich. En 1930 se trasladó a EUA y fungió como profesor de físico-matemáticas en la Universidad de Princeton. En sus investigaciones en la mecánica cuántica encontró que la mecánica ondulatoria de Schrödinger y la mecánica matricial de Heinsenberg eran matemáticamente equivalentes. Además, elaboró una nueva rama de las matemáticas, denominada La teoría de juegos, tema que abordó en diversos artículos a partir de 1928, pero fue hasta 1944 en The Theory of Games and Economic Behaviour donde la desarrolló de forma completa y definitiva. Dicha teoría fue llamada así, pues se basa en el análisis de algunos procedimientos de juegos simples como el lanzamiento de una moneda. A pesar de estar compuesta de procedimientos que, aparentemente, son sencillos, pueden ser utilizados en problemas bélicos, financieros, entre otros. Este matemático utilizó sus reflexiones para dirigir la elaboración de computadoras gigantes que ayudaron a elaborar cálculos para la construcción de la bomba. Neuman fue reconocido miembro de la Atomic Energy Commission, y en 1956 se le adjudicó el premio Fermi debido a su participación científica. Falleció el 8 de febrero de 1957 en Washington D.C., EUA. Método numérico por determinantes En el segundo ejemplo por reducción, 2x 2 2y 1 3z 5 16 3x 1 5y 2 2z 5 6 4x 1 3y 2 4z 5 21 El sistema se resolvió realizando operaciones con las ecuaciones para obtener sistemas equivalentes hasta llegar a uno de forma triangular como el siguiente: 2x 2 2y 1 3z 5 16 216y 1 13z 5 36 z54 176 0x 2 16y 1 13z 5 36 0x 1 0y 1 z 5 4 Las operaciones efectuadas con las ecuaciones generaron cambios tanto en los coeficientes de las variables como en los términos independientes. Dichos cambios se pueden registrar de forma más sencilla si se utilizan únicamente los números que corresponden tanto a los coeficientes como a los términos independientes. Matriz Se da el nombre de matriz a un arreglo de números dispuestos en forma rectangular por renglones y columnas. A cada número se le llama elemento. Una matriz con m renglones y n columnas es una matriz de dimensión m 3 n. Actividad de aprendizaje ¿A qué arreglo numérico se le da el nombre de matriz? Ejemplos ⎡5 3 2⎤ ⎢ 4 − 1 3 ⎥ una matriz de dimensión 2 3 3. ⎣ ⎦ 2⎤ ⎡4 ⎢ ⎥ ⎢ − 3 4 ⎥ una matriz de dimensión 3 3 2. ⎢⎣ 5 − 1⎥⎦ ⎡⎣ 3 − 7 5 1⎤⎦ una matriz de dimensión 1 3 4 (también llamada vector renglón). ⎡−3⎤ ⎢2⎥ ⎢ ⎥ una matriz de dimensión 4 3 1 (también llamada vector ⎢5⎥ ⎢ ⎥ columna). ⎣4⎦ Matriz cuadrada De una matriz cuyo número de renglones (m) y de columnas (n) es igual (m 5 n) se dice que es una matriz cuadrada de orden n. Grupo Editorial Patria® ⎡2 3⎤ ⎢ 5 7 ⎥ una matriz cuadrada de orden 2 ⎣ ⎦ ⎡2 −3 5 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 6 − 1⎥ es una matriz cuadrada de orden 3 ⎢⎣ 3 − 2 1 ⎥⎦ En una matriz, un elemento cualquiera se representa por aij (i 5 1, 2, 3, . . . , m) (j 5 1, 2, 3, . . . , n) donde i señala el renglón, y j la columna en que se encuentra el elemento. Los elementos a11, a22, a33, . . . , amn, pertenecen a la diagonal principal de una matriz. Matriz de coeficientes La resolución de un sistema, se puede hacer por matrices. A partir de la matriz aumentada se realizan operaciones con los renglones y se obtiene la matriz de un sistema equivalente. Esto se repite las veces necesarias hasta obtener la matriz de un sistema triangular, es decir, aquél en el que sean cero los elementos que se encuentren por debajo de la diagonal principal. La matriz así obtenida recibe el nombre de matriz escalonada. Un sistema de ecuaciones como el siguiente: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a21 x 2 + a22 x 2 + ... + a2 n x n = b2 En un sistema de ecuaciones, como los del apartado anterior, los coeficientes de las ecuaciones se pueden disponer como una matriz. . . . Actividad de aprendizaje am1 x1 + am 2 x 2 + ... + amn x n = bm ¿Cómo se forma una matriz de coeficientes? ¿A qué se le llama matriz aumentada? ¿A qué se llama matriz escalonada? Ejemplos En el sistema 2x 2 2y 1 3z 5 16 3x 1 5y 2 2z 5 6 4x 1 3y 2 4z 5 21 los coeficientes de las variables se pueden representar en la siguiente forma: ⎡ 2 −2 3 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 3 5 −2 ⎥ ⎢⎣ 4 3 − 4 ⎥⎦ que se conoce como matriz de coeficientes. Si en esta matriz se incluyen también los términos independientes como cuarta columna, la matriz queda de la siguiente forma: ⎡ 2 − 2 3 16 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 3 5 −2 6 ⎥ ⎢⎣ 4 3 − 4 − 1⎥⎦ por lo que a esta matriz se le llama matriz aumentada Con matrices se puede expresar así: A x 5 b, con ⎡ a11 a12 . . . a1n ⎤ ⎢a a22 . . . a2 n ⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢ a31 a32 . . . a3 n ⎥ A ⎢ ⎥ x5 ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ am1 am 2 . . . amn ⎥⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ ⎥ b5 ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ x n ⎥⎦ ⎡ b1 ⎤ ⎢b ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ b3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ bm ⎥⎦ Donde la matriz A es la matriz de los coeficientes, la matriz columna o vector columna x es la matriz de las incógnitas, y la matriz columna b es la matriz de los parámetros o términos independientes. Determinante A la matriz cuadrada se le asocia un número real llamado determinante de la matriz y se representa por D A la matriz cuadrada de orden 2 ⎡ a1 ⎢a ⎣ 2 b1 ⎤ b2 ⎥⎦ se le asocia el determinante de orden 2 a1 b1 D5 5 a1b2 2 a2 b1 a 2 b2 cuyo valor se obtiene restando el producto de los elementos de la diagonal secundaria al producto de los elementos de la diagonal principal. 177 BLOQUE 8 Resuelves ecuaciones lineales III Ejemplos Solución: Calcula el valor de los determinantes: Aplicando la regla de Sarrus, repitiendo filas: D5 2 1 2(3) 2 5(1) 5 6 2 5 5 1 5 3 D5 2 2 2(22) 2 1(2) 5 24 2 2 5 26 1 −2 D5 3 2 3(23) 2 2(2) 5 29 2 4 5 213 2 −3 A la matriz cuadrada de orden 3 ⎡ a1 ⎢ ⎢ a2 ⎢⎣ a3 b1 b2 b3 c1 ⎤ ⎥ c2 ⎥ c 3 ⎥⎦ se le asocia el determinante de orden 3 a1 D5 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c 2 5 a1b2 c 3 2 a1b3 c 2 1 a3b1c 2 2 a2 b1c 3 1 a2 b3 c1 2 a3b2 c1 c3 este valor también se obtiene con la regla de Sarrus (que sólo se aplica a matrices de tres por tres), la cual consiste en: t Repetir la primera y segunda filas después de la tercera fila ⎡5 ⎢3 ⎢ D5 ⎢ 3 ⎢ ⎢5 ⎢⎣ 3 21 2 ⎤ 21 1 ⎥ ⎥ 2 2 1⎥ 5 5(2 1) (2 1)13(2)(2)13(2 1)(1)23( ⎥ 2 1 2 ⎥ 3(2 1)(2)2 5(2)(1)23(2 1)(2 1) 2 1 1 ⎥⎦ 5 [ 5 + 12 − 3 − ( − 6 + 10 + 3 )] 5 14 2 7 D57 Aplicando la regla de Sarrus, repitiendo columnas: ⎡ 5 21 2 5 21⎤ ⎢ ⎥ D5 ⎢ 3 21 1 3 21⎥55(21)(21)1(21)(1)(3)12(3)(2 ⎢⎣ 3 2 21 3 2 ⎥⎦ (2)23(21)(2)22(1)(5)2(21)(3))(21) 5 [ 5 + (− 3) + 12 − ( − 6 + 10 + 3 )] 5 14 2 7 D57 Como era de esperarse, el valor del determinante calculado en las dos formas es el mismo. (también se puede repetir la primera y segunda columnas después de la tercera columna). t A continuación se multiplican los elementos de las diagonales que contienen tres elementos, que van de izquierda a derecha, de arriba abajo y se obtienen sus productos. t Después se multiplican los elementos de las diagonales con tres elementos, que van de izquierda a derecha, de abajo arriba y se obtienen sus productos. t Finalmente, a la suma de los primeros productos se resta la suma de los segundos productos con lo cual se obtiene el valor del determinante de la matriz. Regla de Cramer A un sistema de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y en el cual el determinante de la matriz de los coeficientes es diferente de cero, se llama sistema de Cramer. Un sistema de Cramer siempre es compatible y determinado. Un sistema de ecuaciones lineales se puede resolver utilizando un conjunto de fórmulas que se conoce como regla de Cramer. Ejemplos Calcula el determinante de la matriz: ⎡5 −1 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢3 −1 1 ⎥ ⎢⎣ 3 2 − 1⎥⎦ 178 Solución de un sistema de 3 3 3 por la regla de Cramer Al aplicar la regla de Cramer a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, el valor de cada incógnita se obtiene a partir del cociente de dos determinantes. El determinante del numerador es el de la matriz de los coeficientes, en el que se sustituye la columna de la incógnita cuyo valor se busca por la columna de los términos independientes, y el determinante del denominador corresponde a la matriz de los coeficientes. Grupo Editorial Patria® Actividad de aprendizaje 5 ¿A qué se llama determinante? y5 ¿En qué consiste la regla de Sarrus? z5 Ejemplos 2 2 2 1 15 1 3 22 21 5 21 2 21 3 3 2 1 21 5 21 2 2 1 3 15 3 2 22 5 21 2 21 3 3 2 1 21 5 2 147 2 147 5 53 D 2 49 5 2 245 2 245 5 55 D 2 49 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer. 5x 2 y 1 2z 5 2 Ejemplos 2x 1 3y 1 z 5 15 3x 1 2y 2 z 5 22 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer. Solución: 2x 1 3y 1 4z 5 20 El determinante de la matriz de los coeficientes es: 3x 1 4y 1 2z 5 17 5 21 2 5 21 2 5 21 D5 2 1 3 1 5 21 3 1 21 3 3 2 21 3 2 21 3 2 5 5(3)(21) 1 (21)(1)(3) 1 2(21)(2) 2 3(3)(2) 2 2(1)(5) 2 (21)(21)(21) 5 215 2 3 2 4 2 18 2 10 1 1 D 249 ? Como el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero, el sistema tiene solución única. x5 2 21 2 15 3 1 22 2 21 5 21 2 21 3 3 2 1 21 4x 1 2y 1 3z 5 17 Solución: El determinante de la matriz de los coeficientes es: 2 3 4 2 3 4 2 3 D5 3 4 2 5 3 4 2 3 4 4 2 3 4 2 3 4 2 5 2(4)(3) 1 3(2)(4) 1 4(3)(2) 2 4(4)(4) 2 2(2)(2) 2 3(3)(3) 5 24 1 24 1 24 2 64 2 8 2 27 D 527 ? 0 Como el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero, el sistema tiene solución única. 5 49 49 5 52 1 D − 49 x5 20 3 4 17 4 2 17 2 3 2 3 4 5 2 27 5 2 27 51 2 27 3 4 2 4 2 3 179 BLOQUE 8 Resuelves ecuaciones lineales III La solución del sistema es el conjunto ordenado de valores de x, y y z, que satisface las tres ecuaciones. 2 20 4 y5 z5 3 17 4 17 2 3 2 3 4 5 2 54 2 54 5 52 D 2 27 3 4 2 4 2 3 ■ Los tres planos se intersecan en un solo punto, el sistema tiene solución única. 2 3 20 3 4 17 4 2 17 ■ Los tres planos coinciden, el sistema tiene como solución un plano. 2 3 4 ■ Los tres planos se intersecan en una recta común la solución del sistema es una recta. 5 2 81 2 81 5 53 D 2 27 3 4 2 4 2 3 Diversas soluciones utilizando sistemas 3 3 3 Anteriormente se estableció que para que un sistema simultáneo de tres ecuaciones con tres incógnitas tenga solución única se requiere que el determinante de la matriz de coeficientes sea diferente de cero. Esta condición nos conduce a interpretar geométricamente los casos en que un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas no tiene solución única. Sea a1 x 1b1 y 1 c1 z 1 d1 5 0 a 2 x 1 b2 y 1 c 2 z 1 d 2 5 0 a3 x 1b3 y 1 c 3 z 1 d3 5 0 un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas en el que los coeficientes de las variables de cada ecuación no son cero simultáneamente. Actividad de aprendizaje ¿Qué condiciones reúne un sistema de Cramer? Al aplicar la regla de Cramer, ¿cómo se sabe que un sistema tiene solución única? 180 Una ecuación de la forma ax 1 by 1 cz 1 d 5 0 representa un plano en el espacio tridimensional, por lo que el sistema anterior representa tres planos, entre los cuales pueden ocurrir situaciones como las siguientes: ■ El sistema no tiene solución cuando: ■ Los tres planos son paralelos entre sí. ■ Dos de los planos coinciden y el tercero es paralelo al plano común. ■ Dos de los planos son paralelos y el tercero los interseca en dos líneas paralelas. ■ Los tres planos se intersecan dos a dos en tres rectas paralelas. En consecuencia, el sistema puede: ■ Tener solución única, un punto. ■ Tener todos los puntos de una recta como solución. ■ Tener todos los puntos de un plano como solución. ■ No tener solución alguna. Actividad de aprendizaje Al resolver un sistema de tres por tres, ¿qué posibles situaciones se pueden presentar en su solución? Si un sistema de tres por tres no tiene solución única, ¿qué posibles situaciones se pueden presentar? Grupo Editorial Patria® Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 8. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. A ) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas: 4. x 12y 2 z 5 0 x 1 y 1 z 5 10 x2y1z52 x1y2z58 x 1 y 2 2z 5 13 x 2 3y 2 z 5 2 3 x 2 y 1 4z 5 2 17 x 1 2y 1 2z 5 11 3x 1 4y 1 z 5 14 2x 1 2y 1 z 5 7 B ) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer. x1y2z51 x21z53 2x1y1z57 x 1 y 1 2z 5 3 3x 2 y 1 z 5 1 2x 1 3y 2 4z 5 9 1. x 1 y 1 z 5 11 2x 2 y 1 2z 5 2 5. 3x 1 2y 1 z 5 4 5x 2 y 2 z 5 3 2x 1 y 12z 5 7 3. 2x 1 7y 2 11z 5 10 5x 210y 1 3z 5 215 26x 112y 2 z 5 31 6. 3x 2 2y 1 5z 5 28 4x 1 5y 1 4z 5 9 5x 2 4y 2 3z 5 26 7. 5x 1 3y 2 6z 5 4 3x 2 y 1 2z 5 8 x 2 2y 1 2z 5 2 8. 2x 2 3y 1 4z 5 8 3x 2 2y 1 3z 5 8 4x 1 4y 1 2z 5 6 9. 2x 2 y 1 z 5 5 3x 1 24 1 z 5 24 2. 2x 1 y 1 z 5 3 4x 2 5y 1 2z 5 6 2x 1 3y 2 z 5 20 7x 2 4y 1 3z 5 35 10. 8x 1 4y 2 3z 5 6 x 1 3y 2 z 5 7 4x 2 5y 1 4z 5 8 5x 1 4y 1 4z 5 3 3x 1 7y 1 5z 5 5 6x 1 2y 1 5z 5 7 181 BLOQUE 8 Resuelves ecuaciones lineales III Lista de cotejo Lista de cotejo para el reporte sobre la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas eliminación por reducción del Bloque 8. Nombre del alumno: Criterio Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente. Desarrollo 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas. Conclusiones Dominio del tema 10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 182 11. Representa algebraicamente un problema que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 3 2). 12. Resuelve un sistema de 2 3 2, cuando los coeficientes de la variable a eliminar son iguales en valor absoluto. 13. Resuelve un sistema de 2 3 2, cuando los coeficientes de la variable a eliminar son diferentes en valor absoluto. 14. Resuelve algebraicamente un sistema de 2 3 2 para obtener la solución de un problema. 15. Resuelve un sistema de 2 3 2 por el método de eliminación por reducción. 16. Obtiene la solución de un sistema de 2 3 2. cumple sí no Observaciones Grupo Editorial Patria® Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones: Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 8. Excelente (4) Aspecto a evaluar Criterios Bueno (3) Regular (2) Deficiente (1) Método para resolver sistemas de 333 Resuelve un sistema de 3 3 3 por: reducción, determinantes y regla de Cramer. Resuelve un sistema de 3 3 3 por dos de los tres métodos. Resuelve un sistema de 3 3 3 por uno de los tres métodos. No resuelve un sistema de 3 3 3 por: reducción, determinantes ni regla de Cramer. Diversas soluciones utilizando sistemas 3 3 3 Interpreta las diversas soluciones de un sistema de 3 3 3 en el espacio tridimensional. Interpreta siete de las ocho situaciones posibles. Interpreta cinco de las ocho situaciones posibles. No interpreta las diversas soluciones de un sistema de 3 3 3 en el espacio tridimensional. En las diferentes actividades que se te pide realices a lo largo de la obra, podrás utilizar el siguiente modelo de registro anecdótico, que te posibilitará anotar tus experiencias de manera ordenada. Intégralo a tu portafolio de evidencias cuando tu profesor lo solicite. Registro anecdótico Fecha: Tarea: Docente: Registro de actividades Recuperación de avances, dificultades y apoyos requeridos Nombre de los estudiantes: 183 Resuelves ecuaciones cuadráticas I 9 B LO Q U E Objetos de aprendizaje 9.1 Representación de relaciones entre magnitudes. 9.2 Modelos aritméticos o algebraicos. Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con distintos símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. ¿Qué sabes hacer ahora? 1. Si a un número se le agrega su cuadrado se obtiene 90. Halla el número. 2. Resuelve por factorización x 2 + 7 x + 12 = 0 . 3. Resuelve por la fórmula general x 2 − x − 20 = 0 . 4. Resuelve gráficamente x 2 + 2 x − 3 = 0 . 5. Encuentra un número cuyo doble de su cuadrado aumentado en 5 es igual a 455. Desempeños por alcanzar Identifica el modelo algebraico de una ecuación cuadrática con una variable: Completa: ax ² 1 bx 1 c 5 0, con a Z 0,1 o: x ² 1 bx 1 c 5 0 Incompleta: ax ² 1 bx 5 0, con a Z 0,1 o: ax ² 1 c 5 0 Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta. Resuelve ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta por los métodos: Por extracción por factor común y fórmula general para ecuaciones incompletas. Por factorización, completando trinomio o cuadrado perfecto y fórmula general para ecuaciones cuadráticas con una variable completa. Interpreta la solución de la ecuación cuadrática completa e incompleta para reales, complejas e imaginarias. Interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas con una variable. Resuelve problemas o formula problemas de su entorno por medio de la solución de ecuaciones cuadráticas. Interpreta la solución de los problemas para cuando tiene soluciones inadmisibles. BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Un comerciante vendió un artículo en $96 y obtuvo como utilidad un tanto por ciento igual al precio de costo del artículo. Hallar el precio de costo del artículo. Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se representa el precio de costo del artículo? ¿Cómo se representa la utilidad obtenida? ¿Cómo se establece el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema? ¿Qué tienes que hacer? tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo: ¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del problema? Producto a elaborar Trabajo individual Representación de la utilidad obtenida. Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Modelo matemático del enunciado del problema. Representación del precio de costo del artículo. Cálculos y obtención de los valores buscados. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep- Rúbrica Para determinar el precio de costo del artículo que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 186 ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Grupo Editorial Patria® Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? De una hoja de papel con forma cuadrangular se recorta una tira de 2 cm de ancho. El área que queda es de 63 cm2. Hallar el lado del cuadrado. Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se representa con una letra el lado del cuadrado? ¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. ¿Cómo se representa el lado al que se le recortan 2 cm? Evaluación por producto ¿Cómo se establece el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema? A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. ¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del problema? En este ejemplo: Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Rúbrica Producto a elaborar Representación de las medidas del cuadrado. Modelo matemático del enunciado del problema. Cálculos y obtención de los valores buscados ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar la longitud del lado del cuadrado que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 187 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Dos personas salen de un mismo lugar a la misma hora. Una va hacia el norte a una velocidad de 4 kilómetros por hora, y la otra hacia el este a una velocidad de 3 kilómetros por hora. ¿En cuánto tiempo se hallarán a 15 km una de otra? Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se representa la distancia recorrida por cada persona? ¿Cómo se establece el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema? ¿Cómo se resuelve la ecuación cuadrática que se obtiene a partir del modelo matemático? ¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del problema? ¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo: Producto a elaborar ¿Cómo se interpreta la solución negativa? Representación de las distancias recorridas por cada persona. Trabajo individual Modelo matemático del enunciado del problema. Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Rúbrica Para determinar el tiempo que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es188 Cálculos y obtención de los valores buscados. ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. Grupo Editorial Patria® Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? ¿Cuántos metros de tela se compraron con $240, sabiendo que si el metro hubiera costado tres pesos menos, se hubieran comprado cuatro metros más? Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cómo representar el número de metros de tela? ¿Cómo representar el precio del metro de tela en el primer y segundo caso? ¿Cómo representar la equivalencia entre los dos precios? ¿Cómo establecer el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema? ¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo: ¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del problema? Producto a elaborar ¿Cómo interpretar la solución negativa del modelo matemático? Representación de los precios que se buscan. Trabajo individual Modelo matemático del enunciado del problema. Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Rúbrica Representación del número de metros de tela. Cálculos y obtención de los valores buscados. ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el número de metros de tela que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 189 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Una cadena de tiendas departamentales va a publicar su catálogo de artículos con sus respectivos precios. ¿En qué porcentaje debe incrementar el precio de compra para fijar el precio de catálogo, de manera que al aplicarle a un artículo 20% de descuento la cadena obtenga 20% de utilidad sobre el precio de compra? Secuencia didáctica ¿Qué tienes que hacer? Forma equipos para resolver el problema. cabo las rectificaciones que procedan. Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cómo representar el precio de compra y de venta de un artículo para obtener 20% de utilidad? ¿Cómo representar el precio de catálogo de ese mismo artículo y su precio de venta con 20% de descuento? Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo: Producto a elaborar ¿Cómo establecer el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema? Representación del precio de compra y de venta de un artículo. ¿Cómo resolver la ecuación que representa el modelo matemático? Cálculo y obtención de los valores buscados. Ecuación del modelo matemático del enunciado del problema. ¿Cómo comprobar el resultado obtenido en el enunciado del problema? Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a Rúbrica Para determinar el precio de catálogo que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento 190 ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. Grupo Editorial Patria® Propuestas de diseño para situaciones didácticas 19. En un octágono regular la apotema excede en 2 cm al lado del polígono. Si el área es de 320 cm2, halla las medidas del lado y de la apotema. Parte I 1. Si a un número se le agrega su cuadrado se obtiene 90. Halla el número. 20. El área de un trapecio es de 84 cm2. La base mayor es el doble de la menor y la altura excede en 1 cm a la base menor. Determina la medida de cada una. 2. Halla el número cuyo cuadrado disminuido en el doble del número da 15. 3. Encuentra el número cuyo duplo de su cuadrado disminuido en el número es igual a 45. 4. Halla dos números que sumados den 12 y multiplicados den 35. 5. La suma de dos números es 14 y la suma de sus cuadrados es 106. ¿Cuáles son esos números? 6. La suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos es 110. ¿Qué números son? 7. El producto de dos números enteros consecutivos es 600. Halla los números. 8. Encuentra el número cuyo quíntuple aumentado en 500 es igual a su cuadrado. 9. Halla dos números pares consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados sea 116. 10. Halla un número tal que la mitad de su cuadrado disminuida en 8 dé 120. 11. El perímetro de un rectángulo es de 140 m y su área es de 1 200 m2. Halla sus dimensiones. 12. Un lado de un rectángulo excede al ancho en 10 m y el área es de 2 000 m2. Halla sus dimensiones. 13. Si al largo de un rectángulo se le restan 3 m se obtiene un cuadrado de 225 m2 de área. Halla las dimensiones y el área del rectángulo. 14. La base de un rectángulo es el doble de su altura y su área es de 288 m2. Calcula sus dimensiones. 15. En un triángulo rectángulo el cateto mayor excede en 2 cm al menor, y la hipotenusa supera en 2 cm al cateto mayor. Calcula la medida de cada lado. 16. Calcula el lado de un cuadrado cuya área disminuida en el producto del lado por 5 es igual a 126 m2. 17. La banqueta que rodea a un jardín rectangular es de 3 m de ancho. El jardín tiene 10 m más de largo que de ancho. Si el área del jardín es de 1 496 m2, ¿cuál es la longitud del lado exterior de la banqueta? 18. Halla el lado de un cuadrado; si su área se aumenta en el producto de dicho lado por 5 se hace igual a 500 m2. Parte II A) Resuelve por factorización las siguientes ecuaciones. 1. x2 1 3x 5 0 2. 3x2 2 6x 5 0 3. x2 2 5x 5 0 4. x2 1 7x 5 0 5. 2x2 1 8x 5 0 6. 5x2 2 15x 5 0 7. 3x2 2 5x 5 0 8. 2x2 2 4x 5 0 9. 2x2 1 5x 5 0 10. 3x2 1 x 5 0 11. x2 2 4 5 0 12. x2 2 9 5 0 13. 3x2 2 12 5 0 14. 2x2 2 72 5 0 15. 3x2 2 147 5 0 16. 9x2 2 4 5 0 17. 4x2 2 100 5 0 1 18. x 2 – = 0 4 x2 2 0.25 5 0 x2 2 0.0196 5 0 x2 1 6x 1 9 5 0 x2 2 6x 1 9 5 0 x2 1 10x 1 25 5 0 x2 2 12x 1 36 5 0 x2 1 22x 1 121 5 0 x2 2 20x 1 100 5 0 x2 1 16x 1 64 5 0 x2 2 14x 1 49 5 0 9 29. x 2 13x 1 5 0 4 2 1 30. x 2 – x + = 0 3 9 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 191 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I 31. x2 17x 1 12 5 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 32. x2 2 7x 1 12 5 0 33. x2 1 x 2 30 5 0 34. x2 2 x 2 30 5 0 35. x2 1 13x 1 36 5 0 36. x2 2 7x 2 60 5 0 37. x2 2 12x 1 35 5 0 38. x2 1 x 2 42 5 0 39. x2 2 3x 2 54 5 0 40. x2 2 5x 2 14 5 0 B) Resuelve las siguientes ecuaciones por complementación de cuadrados. 1. x 2 2x 5 0 2 2. x2 1 8x 1 15 5 0 3. x2 1 2x 2 3 5 0 4. x2 1 6x 1 5 5 0 5. x2 1 5x 2 14 5 0 6. x2 2 5x 1 4 5 0 7. x2 1 3x 2 18 5 0 8. x 2 7x 2 18 5 0 2 9. x2 1 7x 1 12 5 0 10. x2 2 13x 1 36 5 0 C) Resuelve las siguientes ecuaciones por fórmula general. 1. x2 2 x 20 5 0 2. x 2 7x 2 18 5 0 2 3. x 1 11x 1 24 5 0 2 4. x 2 – 2 x – 24 = 0 5. x2 1 7x 1 10 5 0 4 4 6. x 2 – x + = 0 3 4 7. 6x2 1 5x 2 6 5 0 8. 2x2 1 6x 1 4 5 0 Parte III Determina la naturaleza de las raíces de cada ecuación. 1. x2 22x 2 3 5 0 3. x2 24x 1 8 5 0 5. x2 1 6x 2 3 5 0 7. x2 2 3x 2 2 5 0 9. x2 1 4x 1 4 5 0 Parte IV 2. 4. 6. 8. 10. x2 1 2x 1 1 5 0 x2 2 2x 1 2 5 0 x2 2 3x 1 1 5 0 x2 1 x 1 3 5 0 x2 1 6x 2 9 5 0 Resuelve gráficamente cada una de las siguientes ecuaciones 1. 3. 5. 7. x2 1 2x 2 3 5 0 x2 2 4x 1 8 5 0 x2 1 6x 2 3 5 0 x2 2 3x 1 2 5 0 9. x2 1 4x 1 4 5 0 x2 1 2x 1 1 5 0 x2 2 2x 1 2 5 0 x2 2 4x 1 8 5 0 2x2 1 x 1 3 5 0 1 10. x 2 + x + = 0 4 2. 4. 6. 8. Parte V 1. Encuentra un número cuyo doble de su cuadrado aumentado en 5 es igual a 465. 2. Halla un número tal que la mitad de su cuadrado disminuido en 12 sea igual a 150. 3. Si al triple de un número se le suma su cuadrado se obtiene 108. Encuentra el número. 4. A un número se le aumenta el triple de su cuadrado y el resultado es 154. ¿Cuál es el número? 9. 5x2 1 10x 1 5 5 0 5. Si al triple del cuadrado de un número se le resta 15 veces el mismo número la diferencia es cero. Obtén el número. 10. 3x2 1 3x 2 18 5 0 6. Encuentra dos números que sumados dan 17 y multiplicados dan 42. D) Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización mediante agrupamiento de términos. 192 2x2 2 6x 2 8 5 0 2x2 2 4x 2 30 5 0 2x2 2 3x 1 1 5 0 3x2 1 10x 2 25 5 0 5x2 2 3x 2 36 5 0 2x2 1 5x 2 3 5 0 2x2 2 7x 2 15 5 0 4x2 1 7x 1 3 5 0 6x2 2 3x 2 18 5 0 7x2 2 9x 1 2 5 0 7. ¿Cuáles son los números que restados dan 5 y multiplicados dan 36? Grupo Editorial Patria® 8. La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 481. Encuentra los números. 26. El perímetro de un rectángulo es de 54 m y su área es de 180 m2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 9. Halla un número cuyo cuadrado disminuido en 77 es igual a menos el cuádruplo del número. 27. El perímetro de un rectángulo mide lo mismo que la circunferencia de un círculo. El largo del rectángulo es 3 m mayor que su ancho, y el área es de 270 m2. Determina las dimensiones del rectángulo así como el diámetro, la longitud de la circunferencia y el área del círculo. Toma 10. El producto de un número disminuido en 3 unidades y el mismo número aumentado en 4 unidades es igual a 78. Obtener el número. 11. Encuentra dos números enteros consecutivos, tales que el cuadrado del mayor excede en 57 al triple del menor. 12. En un triángulo, la altura es igual a la mitad de la base. Si el área del triángulo es de 256 m2, ¿cuánto mide la base y la altura del triángulo? 13. En un triángulo, la base es 3 m mayor que la altura. Si el área del triángulo es de 90 m2, ¿cuáles son sus dimensiones? 14. La base y la altura de un triángulo son iguales. Si a cada una se le aumentan 2 m se obtiene un triángulo de 50 m2 de área. Halla las dimensiones originales. 15. Calcula la medida del lado de un cuadrado de área igual a 1 225 metros cuadrados. 16. Si se duplican los lados de un cuadrado se obtiene otro cuadrado de 324 m2 de área. ¿Cuánto mide el lado del primer cuadrado? 17. La base de un rectángulo es el doble de su altura y su área igual a 240 m2. Calcula sus dimensiones. 18. Determina las dimensiones de un rectángulo de área igual a 240 m2 sabiendo que el largo mide 8 metros más que el ancho. 19. El ancho de un rectángulo es 9 metros menor que su largo y su área es de 400 m2. ¿Cuáles son sus dimensiones? 20. Halla los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que uno de ellos mide 5 metros más que el otro y la hipotenusa mide 25 m. 21. Los catetos de un triángulo rectángulo son dos números enteros consecutivos. Si el área del triángulo es de 6 m2, ¿cuánto miden los dos catetos? 22. Los catetos de un triángulo rectángulo son números enteros pares consecutivos. Determina la medida de cada lado. 23. En un rombo de 285 cm2 de área, la diagonal mayor excede a la menor en 4 cm, ¿cuánto mide cada diagonal? 24. La suma de dos lados consecutivos de un rectángulo es de 24 m, y el área del rectángulo es de 135 m2. Halla las dimensiones del rectángulo. 25. En un terreno rectangular de 450 m2 de área, el largo es el doble del ancho. Calcula las dimensiones del terreno. 22 7 28. Un terreno rectángular tiene un perímetro de 380 m y el largo es 10 m mayor que el ancho. El terreno está rodeado por una calle cuya área es igual a la del terreno. Calcula el ancho de la calle. p= 29. Con una lámina cuadrada se construye una caja cortando en las esquinas cuadrados de 5 cm por lado y doblando hacia arriba las partes para formar la caja. Si la caja ocupa un espacio de 8 000 cm3, ¿cuánto mide el lado de la lámina? 30. Un círculo está inscrito en un cuadrado, es decir, el círculo está dentro del cuadrado y es tangente a los lados de éste. El área del cuadrado menos el área del círculo es igual a 42 cm2, ¿cuánto mide el radio del círculo? Toma 22 7 31. Jorge es 5 años mayor que Luis, y la suma de los cuadrados de sus edades es 193. ¿Qué edad tiene cada uno? p= 32. Ana tiene 3 años menos que María, y la suma de los cuadrados de sus edades es 369. Encuentra las edades de Ana y María. 33. Fernando es 3 años menor que Francisco, y la suma de los cuadrados de sus edades es 149. ¿Cuál es la edad de cada uno? 34. La edad de una madre es el triple de la de su hija, y el cuadrado de la edad de la hija es igual a cuatro veces la de la madre. Halla la edad de cada una. 35. Un avión vuela 800 millas contra el viento y luego regresa al punto de partida empleando un total de 9 horas. Encuentra la velocidad del avión en aire tranquilo si la velocidad del viento es de 20 millas por hora. Sugerencia: utiliza t= d v 36. Una lancha de motor viaja 36 millas río arriba (contra la corriente y regresa al punto de partida). En el recorrido tardó 193 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I 5 horas. La velocidad de la lancha en aguas tranquilas es de 15 millas por hora. ¿Cuál es la velocidad de la corriente del río? 44. Se compra cierto número de libros por 169 unidades de dinero. Si el número de libros es igual al precio de cada uno, ¿cuántos libros se compraron? 45. Se reparten 60 unidades de dinero entre cierto número de niños. Si a cada niño se le dieran 2 unidades de dinero menos, el reparto alcanzaría para 8 niños más. ¿Qué cantidad se dio a cada niño? 37. Un tren recorre 800 kilómetros en cierto tiempo. Al regreso viaja con una velocidad de 16 km por hora menos que la ida y tarda 2 horas y media más. Calcula el tiempo de ida y el regreso. 38. Una carretera y una vía del tren se cruzan perpendicularmente. Un tren se encuentra a 15 km del cruce al tiempo en que el automóvil está a 12 km del mismo. Los dos van a una velocidad de 1.5 km por minuto. ¿Al cabo de cuántos minutos se hallarán a una distancia de 3 km uno de otro? Explique las dos soluciones. Sugerencia: utiliza d 5 vt y el teorema de Pitágoras. 46. Con 192 unidades de dinero se compra cierto número de artículos de igual precio. Si se compraran 2 artículos menos quedarían 8 unidades de dinero. ¿Cuántos artículos se compraron? 39. Un depósito de agua se llena por dos llaves A y B en 12 minutos. Si B lo llena en 10 minutos más que A, ¿en qué tiempo lo puede llenar cada una? 40. Dos tubos A y B llenan un depósito en 20 minutos. El tubo B lo llena en 9 minutos menos que A. ¿En cuánto tiempo lo llena A? 41. Un obrero cobra cierta cantidad de dinero por hora de trabajo. Para hacer una obra cobra 500 unidades de dinero y al realizarla se tarda 5 horas más por lo que gana 5 unidades de dinero menos por hora. ¿Cuántas horas empleó en hacer la obra? 42. Un obrero puede hacer una obra en 24 horas menos que su ayudante. Si trabajan juntos pueden hacer la obra en 22.5 horas. ¿Cuánto tarda cada uno si trabajan por separado? 43. En una farmacia se compra cierto número de artículos iguales en 729 unidades de dinero, y resulta que el precio de cada artículo es igual al número de artículos. ¿Cuántos artículos se compraron? 194 47. Un cuerpo se arroja desde una altura de 735 m con una velocidad de 24.5 metros por segundo. ¿En cuánto tiempo llega el cuerpo al suelo? Sugerencia: usa e 5 vt 1 4.9 t2. 48. Si en el problema anterior el cuerpo no se arroja sino que se deja caer, entonces la velocidad v 5 0. ¿En qué tiempo llega el cuerpo al suelo? 49. Desde el suelo se lanza un proyectil hacia arriba con una velocidad de 39.2 metros por segundo, ¿al cabo de cuánto tiempo estará a 58.8m metros de altura sobre el suelo? Sugerencia: usa e 5 vt 2 4.9 t2. 50. Se invierten 8 000 unidades de dinero a un tanto por ciento anual. Un año después se retiran el capital y el interés producido y se invierten a un tanto por ciento que es 3% mayor que el anterior con lo cual se obtiene un interés anual de 856 unidades de dinero. ¿Cuál era el primer tanto por ciento? Grupo Editorial Patria® Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad. Einstein de primer grado o lineal y c es el término independiente o constante. Introducción Para tu reflexión Se procede al planteamiento de problemas que conducen a una ecuación de segundo grado con una incógnita como modelo matemático. Abel, Niels Henrik (1802-1829) Posteriormente se utilizan métodos algebraicos para resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita. También se usa la fórmula general así como el discriminante de la misma para analizar la naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado con una incógnita. Se representa en el plano cartesiano a la ecuación de segundo grado con una incógnita y se interpreta su solución en forma gráfica. Para concluir, se aplica la ecuación cuadrática en la resolución de problemas. 9.1 Representación de relaciones entre magnitudes Métodos algebraicos Una ecuación cuadrática, una vez resuelta, tiene como raíces o soluciones valores que la satisfacen, pero que requieren ser verificados y, en su caso, interpretados en el enunciado de un problema. Una ecuación de segundo grado con una incógnita se expresa por: ax2 1 bx 1 c 5 0, a ? 0 Actividad de aprendizaje Si ab 5 0, entonces a 5 ____, b 5 _____ o a y b son iguales a. Matemático noruego que aportó las ecuaciones abelianas. En 1824 probó que no hay ninguna fórmula para hallar los ceros de todos los polinomios generales de grado mayor al cuarto, dando paso a la creación de la doble periodicidad de las funciones elípticas. Niels comprobó que las ecuaciones algebraicas generales no pueden ser resueltas en forma algebraica cuando son de grado mayor al cuarto; también analizó las funciones algebraicas, las elípticas, las integrales definidas y las trascendentes. En 1824 comprobó que no hay ninguna fórmula para hallar los ceros de todos los polinomios generales de grados n $ 5 en términos de sus coeficientes y en el de las funciones elípticas, ámbito en el que desarrolló un método para la construcción de funciones periódicas recíprocas de la integral elíptica. En 1815 ingresó a la escuela de la Catedral de Cristianía –hoy Oslo– donde tres años después probaría sus aptitudes para las matemáticas con sus brillantes soluciones a los problemas propuestos por Bernt Holmboe. En 1826 Abel viajó a París, donde conoció a los matemáticos franceses más importantes, aunque ni él ni su trabajo fueron valorados. A ello contribuyó también su modestia, que lo llevó a no hacer públicos los resultados de sus investigaciones. La prematura muerte, a los 27 años, de este genio de las matemáticas terminó con una brillante y prometedora carrera. Sus investigaciones aclararon algunos de los aspectos más oscuros del análisis y abrieron nuevos campos de estudio, posibilitando numerosas ramificaciones en el conocimiento matemático y alcanzando un notable progreso. Actividad de aprendizaje Ecuaciones de segundo grado de una variable Si una ecuación tiene tantas raíces o soluciones como su grado, ¿cuántas raíces o soluciones tiene una ecuación de segundo grado? Si en la ecuación: ax2 1 bx 1 c 5 0, b 5 0, entonces se anula el término lineal y la ecuación queda: ax2 1 c 5 0. Si c 5 0, entonces la ecuación se reduce a: ax2 1 bx 5 0. Estas dos últimas expresiones corresponden a ecuaciones de segundo grado con una incógnita que son incompletas, en el primer caso por carecer del término lineal y en el segundo caso por carecer del término independiente. donde a, b y c son constantes y x es la incógnita que tiene a 2 como su mayor exponente; ax2 es el término cuadrático, bx es el término 195 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I Recuerda que resolver una ecuación significa encontrar los valores que la satisfacen. A este respecto se debe observar que: Este tipo de ecuaciones tienen dos raíces o soluciones. Si el producto de dos factores es cero, entonces por lo menos uno de ellos es cero. (0) 2 0 5 0 3 1 2 50 9 3 050 1 1 2 50 3 3 Por factorización Al multiplicar dos o más números se obtiene un producto. Los números que se multiplican se denominan factores o divisores del producto. 2. Solución: En esta ecuación 5x es el mayor divisor común de los dos términos de la ecuación, es decir, 5x es el factor común de los dos términos por los que la ecuación se puede expresar como: Una ecuación de segundo grado con una incógnita se puede expresar como el producto de los factores, a este proceso se le llama factorización. Como el producto de los dos factores es igual a cero, se iguala cada uno de ellos con cero para obtener las dos raíces o soluciones (r1 y r2) de la ecuación. 5x (x 1 2) 5 0 Igualando cada factor con cero, se obtiene: 5x 5 0 x1250 Extracción de factor común de donde: x 5 Factorización de una ecuación del tipo ax 2 1 bx 5 0 0 5 x1 5 0 para x 5 0 5(22) 1 10(22) 5 0 5(0) 1 0 5 0 5(4) 2 20 5 0 01050 20 2 20 5 0 050 050 Resuelve la ecuación 3x 2 x 5 0. 2 Solución: En esta ecuación x es el mayor divisor común de los dos términos, por tanto, x es el factor común de los dos términos y la ecuación se puede escribir así: x (3x 2 1) 5 0 Resuelve la ecuación 3x 2 12x 5 0. Solución: Sacando factor común 3x (x24) 5 0 de donde: x1 5 0, 3x 2 1 5 0 2 2 Igualando a cero cada factor: 3x 5 0 Igualando cada factor con cero, se obtiene: de donde: x1 5 0, x2 5 3. para x 5 22 5 (0) 1 10(0) 5 0 2 x50 x2 5 22 Comprobación: Ejemplos 1. Resuelve la ecuación 5x 2 1 10x 5 0. x2450 x2 5 4 Comprobación: 1 . 3 Comprobación: 3(0)2 2 120(0) 5 0 3(4)2212(4) 5 0 3(0) 2 0 5 0 3 (16) 2 48 5 0 02050 48 2 48 5 0 Se sustituyen los valores de las raíces en la ecuación original. para x 5 0 para x 5 1 3 2 196 3(0)2 2 0 5 0 ⎛ 1⎞ 1 3⎜ ⎟ 2 5 0 ⎝ 3⎠ 3 3(0) 2 0 5 0 ⎛ 1⎞ 1 3⎜ ⎟ 2 5 0 ⎝ 9⎠ 3 Actividad de aprendizaje 2 Una ecuación del tipo ax 2 + bx = 0 tiene la propiedad de que una de sus raíces o soluciones Grupo Editorial Patria® Una ecuación de segundo grado con una incógnita del tipo ax2 1 bx 5 0 es incompleta porque le falta el término independiente. Este tipo de ecuación tiene la propiedad de que una de sus raíces o soluciones es cero. Transponiendo el término independiente: x 2 5 49 de donde: x 5 6 o sea: x 5 6 7 Despeje de la variable cuadrática Factorización de una ecuación del tipo ax2 1 c 5 0, a 0 49 por tanto: x1 5 7 2. x2 5 27 Resuelve la ecuación 3x 2 108 5 0. 2 Solución: Sacando a 3 como factor común: 3(x 2 236) 5 0. El factor binomio es una diferencia de cuadrados, por tanto: 3 (x16)(x26) 5 0. Actividad de aprendizaje Igualando cada factor binomio con cero: x 1 6 5 0 x 2 6 5 0 Una ecuación del tipo ax 2 1 c 5 0 tiene la propiedad de que sus raíces o soluciones de donde: x1 5 26, x2 5 6 Comprobación: 3(6)2 2 108 5 0 3(26)2 2 108 5 0 3(36) 2 108 5 0 108 2 108 5 0 050 3(36) 2 108 5 0 108 2 108 5 0 050 Una ecuación del tipo ax 2 1 bc 5 0 tiene la propiedad de que una de sus raíces o soluciones 3. Resuelve la ecuación x 2 2 12 5 0. Solución: Extrayendo la raíz cuadrada principal de x 2 y 12: + x 2 = x , + 12 = + Ejemplos 1. Un factor binomio es la suma y el otro la diferencia de las raíces: Resuelve la ecuación x 2 2 49 5 0. Solución: Como se puede observar esta ecuación es una diferencia de cuadrados, por lo que sus factores son dos binomios conjugados. Extrayendo la raíz cuadrada principal (positiva) de x 2 y 49: + x2 = x + 49 = 7 Un factor binomio es la suma y el otro la diferencia de las raíces de sus términos: x 2 2 49 5 (x 1 7)(x 2 7) 5 0 Igualando cada factor binomio con cero: x 1 7 5 0 x 2 7 5 0 de donde x1 5 27, x 2 – 12 = ( x + 2 3 )( x – 2 3 ) = 0 Igualando cada factor con cero: x + 2 3 = 0 x – 2 3 = 0 de donde x1 + 2 3 , x 2 = 2 3 Comprobación: x 2 2 12 5 0 (22 3 ) 2 2 12 5 0 4(3) 2 12 5 0 x 2 2 12 5 0 (2 3 ) 2 2 12 5 0 4(3) 2 12 5 0 12 2 12 5 0 12 2 12 5 0 050 050 x2 5 7 Comprobación: (27)2 2 49 5 0 722 49 5 0 49 2 49 5 0 49 2 49 5 0 050 050 La ecuación x 2 49 5 0 también se puede resolver así: x 2 2 49 5 0 2 4–3 =+ 2 3 Una ecuación de segundo grado con una incógnita del tipo ax2 1 c 5 0 es incompleta porque le falta el término lineal. Este tipo de ecuaciones tiene la propiedad de que sus raíces o soluciones son valores simétricos. Ecuaciones cuadráticas incompletas Algunos problemas dan lugar a una ecuación cuadrática incompleta como modelo matemático. 197 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I Ecuaciones cuadráticas completas Ejemplos 1. Un triángulo tiene un área de 648 m2. Si la altura y la base son iguales, determine la longitud de cada una. Factorización de una ecuación del tipo x2 1 bx 1 c 5 0 Solución: Ejemplos El área A de un triángulo de base b y altura h se obtiene por la fórmula: 1. A5 bh 2 Solución: Esta ecuación se puede expresar como el producto de dos factores binomios. El primer término de cada binomio son los factores x y x de x2. Para determinar los segundos términos de cada binomio se buscan dos números cuyo producto sea 15 y que sumen 8. Los números cuyo producto es 15 son: 15 y 1 , 215 y 21, 3 y 5, 23 y 25. El producto 15 es positivo, esto significa que sus factores deben tener igual signo. Para que la suma de los factores sea positiva se requiere que ambos sean positivos. Los factores de 15 que cumplen con las condiciones son 3 y 5, pues (3) (5) 5 15 y 3 1 5 5 8. por tanto: x2 1 8x 1 15 5 (x 1 3) (x 1 5) 5 0 Sea x la longitud que se busca, entonces b 5 h 5 x. Por tanto: de donde: o sea: A5 x?x 2 1 296 5 x 2 x 2 5 1 296 Extrayendo raíz cuadrada a los dos miembros: x56 1 296 x 5 6 36 por lo que: x1 5 36, x2 5 236 De las dos soluciones sólo es válida la positiva, pues el problema pide una longitud y no existen longitudes negativas. 2. Igualando a cero cada factor, se obtiene: x 1 3 5 0, x1550 de donde: x1 5 23, x2 5 25 El área de un rectángulo es de 392 m2, si la base es el doble de la altura, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? Solución: estos valores se pueden determinar por simple inspección de los factores binomios, ya que cada uno es el simétrico del segundo término de cada factor. Comprobación: (23)2 1 8 (23) 1 15 5 0 (25)2 1 8 (25) 1 15 5 0 El área A de un rectángulo de base b y la altura h está dada por: A 5 bh si la altura se representa por x entonces la base es 2x: De acuerdo con el enunciado del problema: 9 2 24 1 15 5 0 24 2 24 5 0 050 392 5 2x 3 x o sea: 392 5 2x 2 es decir: 2x 2 5 392 o bien: donde; por tanto x 2 5 196 196 5 x x 5 6 14 x1 5 14, x2 5 214 De las dos soluciones sólo es aceptable la positiva, ya que el problema pide dimensiones que son longitudes y no existen longitudes negativas. Resuelve la ecuación x2 1 8x 1 15 5 0. 2. 25 2 40 1 15 5 0 40 2 40 5 0 050 Resuelve la ecuación x 2 2 7x 1 12 5 0. Solución: Factores x y x de x2. Números cuyo producto es 12 son: 12 y 1, 3 y 4, 6 y 2, 2 12 y 21, 23 y 24, 26 y 22. Se buscan dos factores de 12 que sumen 27. Como el producto (12) es positivo significa que los factores deben tener igual signo, para que la suma (27) sea negativa se requiere que los dos factores sean negativos. Por tanto, los factores buscados son 23 y 24, pues (23) (24) 5 12 y (23) 1 (24) 5 27, entonces: x 2 2 7x 1 12 5 (x 23) (x 24) 5 0 de donde: x1 5 3, x 2 5 4 198 Grupo Editorial Patria® Comprobación: 3. 32 27(3) 1 12 5 0 42 27(4) 1 12 5 0 9 2 21 1 12 5 0 16 2 28 1 12 5 0 21 2 21 5 0 28 2 28 5 0 050 050 Resuelve la ecuación x 2 4x 2 21 5 0. 2 Solución: Factores x y x de x 2. Se buscan dos números cuyo producto sea 221 y que sumen 24. Como el producto es negativo los factores tienen diferentes signos. Para que la suma sea negativa al mayor en valor absoluto se le asocia el signo menos y al otro el signo más, por tanto, los factores buscados son 27 y 3, pues (27)(3) 5 221 y (27) 1 (3) 5 24. por tanto: x 2 2 4x 2 21 5 (x 2 7) (x 1 3) 5 0 de donde x1 5 7, x2 5 23 Comprobación: 72 24 (7) 2 21 5 0 49 2 28 2 21 5 0 49 2 49 5 0 050 (23)2 24 (23) 2 21 5 0 9 1 12 2 21 5 0 21 2 21 5 0 050 Es conveniente hacer notar que no todas las ecuaciones de este tipo se pueden factorizar mediante el procedimiento descrito, por lo que para resolverlas se debe proceder en otra forma, misma que se explicará más adelante. Factorizar trinomios cuadrados perfectos para resolver ecuaciones completas de segundo grado en una variable Cuando los términos de la ecuación x2 1 bx 1 c 5 0, forman un trinomio cuadrado perfecto, su factorización corresponde a dos binomios que son iguales por lo que también se puede expresar como el cuadrado de un binomio. Recuerda que el cuadrado de un binomio es un trinomio cuadrado perfecto, es decir, (x 1 y)2 5 (x 1 y) (x 1 y) 5 x2 12xy 1 y2 (x 2 y)2 5 (x 2 y) (x 2 y) 5 x2 2 2xy 1 y2 Por tanto, los factores o divisores de un trinomio cuadrado perfecto son dos binomios iguales que se pueden obtener por el procedimiento expuesto. Ejemplos 1. Resuelve la ecuación x 2 2 6x 1 9 5 0. Solución: Factores de x 2 son x y x. Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: Supongan que en tu comunidad se va a utilizar un terreno para construir un parque deportivo. Se buscan dos números cuyo producto sea 9 y que sumen 26. El producto es positivo, por lo que los dos factores deben tener igual signo y para que la suma sea negativa, los dos deben ser negativos. Los números buscados son 23 y 23, pues (23) (23) 5 9 y (23) 1 (23) 5 26. En consecuencia: x 2 2 6x 1 9 5 (x 23)(x 2 3) 5 (x 2 3)2 5 0 Las condiciones son las siguientes: de donde: x1 5 3 El parque debe tener forma rectangular. Comprobación: El área del parque será la que se pueda delimitar con una malla ciclónica que mide 3 600 metros lineales. Organícense por equipos para elaborar propuestas. ¿Cuáles pueden ser las posibles dimensiones del parque? Que cada equipo exponga sus propuestas para que en plenaria se haga un análisis y se elija la que se considere más viable. Si la propuesta del grupo es que se utilice la máxima área posible, ¿cuáles serían las dimensiones del parque? x2 5 3 32 2 6 (3) 1 9 5 0 9 2 18 1 9 5 0 18 2 18 5 0 050 Para saber que x 2 2 6x 1 9 5 0 es un trinomio cuadrado perfecto, se debe observar que el primer y tercer término son el cuadrado de un número y que el término central (26x ) es el doble producto de las raíces cuadradas principales de los términos cuadráticos. 199 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I (2)( x )(3) { El término que falta es el término central que corresponde al doble producto de las raíces cuadradas positivas de los términos cuadráticos, es decir: x 2 – 6x + 9 = 0 x2 entonces: x 3 9 2 ( + 9 signo del término central 2 ⎛ – 14 x ⎞ ⎛ – 14 x ⎞ 2 2 ⎜⎝ (2)(7) ⎟⎠ = ⎜⎝ 14 ⎟⎠ = x Solución: Por inspección de la ecuación se observa que sus términos forman un trinomio cuadrado perfecto, pues el primer y tercer término son el cuadrado de un número y el término central (x ) es el doble producto de las raíces cuadradas principales de los términos cuadráticos, es decir: b ) x 2 + 8 x + ____________ Como el término central es el doble producto de las raíces cuadradas positivas de los términos cuadráticos y una de ellas es x, entonces 8 es el doble de la raíz del tercer término, por lo que el cuadrado de la mitad de 8 es el término buscado, esto es: ⎛ 1⎞ 2 ⎜ ⎟ (x) = x ⎝ 2⎠ 1 1 = , 4 2 2 ⎡ 1 (8) ⎤ = ( 4)2 = 16 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 2 c ) x – 5 x + _____________ 2 por tanto: 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ x2 + x + = ⎜ x + ⎟ = ⎜ x + ⎟ ⎜ x + ⎟ = 0 4 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 1 x1 5 , 2 de donde: 25 ) = 2( x )(5) = 10 x El término que falta se obtiene a partir del término central que es el doble producto de las raíces cuadradas positivas de los términos cuadráticos y el tercer término, pues el primer término es el cuadrado del cociente que resulta de dividir el término central entre el doble de la raíz cuadrada positiva del tercer término, o sea: + x2 1 2. Resuelve la ecuación x 2 1 x 1 5 0. 4 x )( a ) _________ – 14 x + 49 x 2 – 6 x + 9 = ( x – 3)2 = 0 + x2 = x, x2 x2 5 En forma semejante al ejemplo anterior, se tiene que: 1 2 2 2 ⎡ 1 (2 5) ⎤ 5⎛ 5 ⎞ 5 25 ⎢⎣ 5 ⎥⎦ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 Comprobación: 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⎜⎝ – ⎟⎠ + ⎜⎝ – ⎟⎠ + = 0 2 2 4 1 1 1 – + =0 4 2 4 2 1 – =0 4 2 0=0 Una ecuación de la forma x2 1 bx 1 c 5 0, también se puede resolver por el procedimiento que consiste en completar un trinomio cuadrado perfecto. Para resolver una ecuación de segundo grado de la forma x2 1 bx 1 c 5 0 por el procedimiento de completar el trinomio cuadrado perfecto se hace lo siguiente: 4. Resuelve la ecuación x 2 2 4x 1 3 5 0. Solución: x 2 2 4x 1 3 5 0 Restando 3 a los dos miembros de la ecuación: x 2 2 4x 5 23 3. A continuación se ilustra la forma de obtener el término que falta para que la expresión sea un trinomio cuadrado perfecto. x2 200 1 25 Completando el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro de la ecuación y sumando la misma cantidad al segundo miembro: x 2 2 4x 1 4 5 23 1 4 Grupo Editorial Patria® Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo: (x 22)2 5 1 Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo: 2 ⎛ 3 ⎞ 169 ⎜⎝ x – ⎟⎠ = 2 4 Obteniendo la raíz cuadrada de cada miembro: x 2 2 5 6 1 Sumando 2 a los dos miembros de la ecuación x 5 2 6 1 de donde: x1 5 2 1 1 5 3 x2 5 2 2 1 5 1 Comprobación: 5. 32 2 4(3) 1 3 5 0 12 24(1) 1 3 5 0 9 2 12 1 3 5 0 1241350 12 2 12 5 0 42450 050 050 Resuelve la ecuación x 1 6x 2 27 5 0. 2 Sumando 3 13 3 a los dos miembros: x5 6 2 2 2 3 13 16 = = 8, 2 2 2 por tanto: x1 = + 13 2 3 13 10 x2 = – = – = – 5 2 2 2 Comprobación: 82 2 3(8) 2 40 5 0 Solución: 64 2 24 2 40 5 0 x 2 1 6x 2 27 5 0 64 2 64 5 0 Sumando 27 a los dos miembros de la ecuación: 050 x 2 1 6x 5 27 (25) 23(25) 2 40 5 0 2 Completando el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro y sumando la misma cantidad al segundo miembro: x 2 1 6x 1 9 5 27 1 9 25 1 15 2 40 5 0 40 2 40 5 0 050 Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo: (x 1 3)2 5 36 Obteniendo la raíz cuadrada de los dos miembros de la ecuación: x 1 3 5 6 6 Por fórmula general de donde x1 5 23 1 6 5 3, x2 5 23 2 6 5 29 Si se aplica el procedimiento anterior a la ecuación ax2 1 bx 1 c 5 0, (a ? 0), se obtiene lo que se conoce como la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Comprobación: Sea: ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 Restando 3 a los miembros de la ecuación: x 5 23 6 6 6. 3 2 Obteniendo la raíz cuadrada de cada miembro: x – = ± 32 1 6(3) 2 27 5 0 (29)2 1 6(29) 2 27 5 0 9 1 18 227 5 0 81 2 54 2 27 5 0 27 2 27 5 0 81 2 81 5 0 050 050 Resuelve la ecuación x 2 3x 240 5 0. 2 Solución: x 2 2 3x 240 5 0 Sumando 40 a los dos miembros de la ecuación: x 2 2 3x 5 40 Completando el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro y sumando la misma cantidad al segundo miembro: 2 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ x 2 – 3x + ⎜ – ⎟ = 40 + ⎜ – ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ o sea: 9 9 x 2 – 3x + = 40 + 4 4 2 c b Dividiendo la ecuación entre a: x 2 + x + = c a a b x 5 2c/a a Se suma la misma cantidad a los dos miembros de la ecuación para completar el trinomio cuadrado perfecto en el primero, esta cantidad es: 2 2 b2 ⎛ 1 b⎞ ⎛ b ⎞ ⎜⎝ ⋅ ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ = 2 2 a 2a 4a Sumando 2c/a a los dos miembros x2 1 entonces: b2 b2 c b x2 + x + 2 = 2 − a 4a 4a a Factorizando el primer miembro y sumando términos en el segundo miembro: 2 b ⎞ b 2 – 4 ac ⎛ ⎜⎝ x + ⎟⎠ = 2a 4a2 201 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I Obteniendo la raíz cuadrada de los dos miembros de la ecuación: x1 Se sustituyen los valores de a, b y c en la fórmula general, se efectúan las operaciones y se simplifican resultados. b 2 2 4 ac b 2 2 4 ac b 5± 5 ± 2a 4a2 2a b a los dos miembros de la ecuación: 2a –b ± b 2 – 4 ac x= 2a Restando Sumando términos en el segundo miembro: x = –b ± b 2 – 4 ac 2a Ejemplos 1. –(– 2) ± (– 2)2 – 4(1)(1) 2(1) 2± 4–4 x= 2 2± 0 2 = =1 x= 2 2 x= Resuelve la ecuación x 2 1 7x 1 10 5 0 por fórmula general. Solución: Cuando, como en este caso, el valor del radical es cero, se obtiene sólo un valor para x y como la ecuación debe tener dos soluciones, entonces dicho valor se repite, por lo que se dice que la ecuación tiene una raíz de multiplicidad 2, o sea: x1 5 1, x2 5 1 Comprobación: 12 22(1) 1 1 5 0 Se expresa la ecuación en la forma ax 1 bx 1 c 5 0 y se identifican a, b y c. 2 1221150 22250 En este caso a 5 1, b 5 7 y c 5 10. 050 Se sustituyen los valores de a, b, y c en la fórmula general, se efectúan las operaciones y se simplifican resultados: – 7 ± 7 2 – 4(1)(10) 2(1) – 7 ± 49 – 40 x= 2 –7 ± 9 x= 2 –7 ± 3 x= 3 – 7 + 3 –4 = = – 2, x1 5 x1 = 2 2 Al resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita empleando la fórmula general, se puede llegar a la necesidad de obtener la raíz cuadrada de un número negativo, esto da como resultado números que no pertenecen al conjunto de los números reales sino al conjunto de los números complejos, por ello se introducen lo siguientes conceptos. x= por tanto x2 = La unidad de los números imaginarios es con la letra i, por lo que: i = –1 de manera que: i2 5 21 – 7 – 3 – 10 = = –5 2 2 en consecuencia: i3 5 i2 ? i 5 (21) i 5 2i; i4 5 i2 ? i2 5 (21) (21) 5 1 Comprobación: (22)2 1 7 (22) 1 10 5 0 (25)2 1 7 (25) 1 10 5 0 4 2 14 1 10 5 0 25 2 35 1 10 5 0 14 2 14 5 0 35 2 35 5 0 050 050 2. Resuelve la ecuación x 22x 1 1 5 0 por fórmula general. 2 Solución: Se expresa la ecuación en la forma ax 2 1 bx 1 c 5 0 y se identifican a, b y c ; por tanto, a 5 1, b 5 22, c 5 1. 202 –1 que se representa Un número complejo es de la forma: a 1 bi donde a € R, b € R e i 5 –1 a es la parte real y b es la parte imaginaria. Si a 5 0 entonces el número se llama imaginario puro, y si b 5 0 entonces el complejo se reduce al número real a, por lo que los números reales y los números imaginarios puros son subconjuntos del conjunto de los números complejos. Dos números complejos de la forma a 1 bi y a 2 bi que sólo difieren en el signo se dice que son conjugados. Grupo Editorial Patria® Ejemplos se obtiene el producto ac es decir, 2(6) 5 12. 1. Resuelve la ecuación x 2 2x 1 2 5 0 por fórmula general. 2 Solución: En la fórmula general se sustituyen los valores a 5 1, b 5 22 y c 5 2. x5 –(– 2) ± (– 2)2 2 4(1)(2) Se buscan dos números cuyo producto sea 12 y que sumen 7, estos números son 4 y 3, pues 4(3) 5 12 y 4 1 3 5 7. Se expresa 7x como la suma de 4x 1 3x, por lo que la ecuación se transforma en: 2x 2 1 4x 1 3x 1 6 5 0 (2x 2 1 4x ) 1 (3x 1 6) 5 0 2x (x 1 2) 1 3(x 1 2) 5 0 (2x 1 3) (x 1 2) 5 0 agrupando términos: Sacando factor común: por lo que: 2(1) 2± 4 –8 2 2 ± –4 x5 2 2 ± 4(– 1) x5 2 2 ± 2 –1 x5 2 2 ± 2i 2(11 i ) 5 51 ± i x5 2 2 x1 511 i , x 2 512 i x5 Igualando cada factor con cero: 2x + 3 = 0 3 2 x1 = – 2 x+2=0 x2 = – 2 La ecuación transformada se pudo haber expresado así: 2x 2 1 3x 1 4x 1 6 5 0. Agrupando términos: (2x 2 1 3x ) 1 (4x 1 6) 5 0 Sacando factor común: x (2x 1 3) y 2(2x 1 3) 5 0 por lo que: (x 1 2) (2x 1 3) 5 0 cuyos factores son los mismos que se encontraron anteriormente. Comprobación: (1 1 i )2 2 2(1 1 i ) 1 2 5 0 (1 2 i )2 22 (1 2 i ) 1 2 5 0 12 1 2i 1 i 2 2 2 2 2i 1 2 5 0 12 2 2i 1 i 2 2 2 1 2i 1 2 5 0 1 1 2i 2 1 2 2 2 2i 1 2 5 0 1 2 2i 2 1 2 2 1 2i 1 2 5 0 050 050 2. Resuelve la ecuación 2x 1 7x 1 6 5 0. 2 Actividad de aprendizaje Un número complejo es de la forma ____________ donde ______ es la parte real y ______ es la parte imaginaria. Solución: Se sustituyen en la fórmula general los valores a 5 2, b 5 7 y c 5 6. – 7 ± 7 – 4(2)(6) 2(2) – 7 ± 49 – 48 x= 4 –7 ± 1 x= 4 –7 ±1 x= 4 –7 +1 –6 3 = =– ; x1 = 4 4 2 x= 2 Raíces reales y complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es: x= x2 = –7 –1 –8 = = –22 4 4 Esta ecuación también se puede resolver mediante factorización por agrupamiento de términos, el procedimiento consiste en lo siguiente: 2x 2 1 7x 1 6 5 0 –b ± b 2 – 4 ac 2a La expresión b2 2 4ac contenida en el radical, es el subradical al que se le concoce como discriminante, ya que por medio de él se puede determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación con base en los criterios siguientes: Si b2 2 4ac . 0 las raíces son reales y diferentes. Si b2 2 4ac 5 0 las raíces son reales e iguales. Si b2 2 4ac , 0 las raíces son complejas. 203 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I Solución de una ecuación cuadrática Ejemplos Determina la naturaleza de las raíces de la ecuación. x 2 2 8x 1 15 5 0 1. Solución: Se calcula el valor descriminante: b 2 2 4ac 5 (28)2 2 4 (1) (15) 5 64 2 60 54.0 por tanto, las raíces de la ecuación son reales y diferentes. x 1 14x 1 49 5 0 2 2. Solución: Se calcula el valor del discrimante: b 2 2 4ac 5 142 24(1)(49) 5 196 2 196 50 por tanto, las raíces de la ecuación son reales e iguales. x 2 2 2x 1 2 5 0 3. Solución: Se calcula el valor discriminante: b 2 2 4ac 5 (22)2 2 4 (1) (2) 5428 5 24 , 0 por tanto, las raíces de la ecuación son complejas. Obtención de una ecuación cuadrática a partir de sus raíces En el primer ejemplo anterior, la ecuación x2 2 8x 115 5 0 tiene dos raíces reales diferentes, sus raíces son x1 5 3 y x2 5 5. A partir de éstas se puede escribir la ecuación de la siguiente manera (x 2 3) 5 0 y (x 2 5) 5 0, y como el producto de estos factores es cero, entonces (x 2 3)(x 2 5) 5 0 Al desarrollar el producto se obtiene x2 2 8x 1 15 5 0 En el segundo ejemplo, la ecuación x2 1 14x 1 49 5 0 tiene dos raíces reales iguales que son x1 5 7 y x2 5 7, y como el producto de estos factores es cero, entonces (x 2 7)(x 2 7) 5 0 Al desarrollar el producto se obtiene x2 1 14x 1 49 5 0 204 Su interpretación gráfica Una ecuación de segundo grado con una incógnita tiene como representación en el plano coordenado a una línea curva que recibe el nombre de parábola. Si la incógnita es x la curva es cóncava hacia arriba (abre hacia arriba), cuando a . 0 y la curva es cóncava hacia abajo (abre hacia abajo) cuando a , 0. Para representar la parábola en el plano coordenado, en la ecuación ax2 1 bx 1 c 5 0 se sustituye el cero por y : ax2 1 bx 1 c 5 y y 5 ax2 1 bx 1 c o bien: b c⎞ ⎛ Si a es factor común en el segundo miembro: y = a ⎜ x 2 + x + ⎟ ⎝ a a⎠ Se suma y resta la misma cantidad en el segundo miembro para completar un trinomio cuadrado perfecto (véase la deducción de la fórmula general): ⎛ b2 c b2 ⎞ b y = a⎜ x2 + x + 2 + – 2 ⎟ ⎝ a 4a a 4a ⎠ 2 b ⎞ 4 ac – b 2 ⎛ de donde: y = a ⎜ x + ⎟ + ⎝ 2a ⎠ 4a 2 b⎞ b ⎛ y es positiva para toLa cantidada ⎜ x + ⎟ es cero si x = – ⎝ 2a ⎠ 2a dos los demás valores de x. Con este valor de x se determina el valor mínimo de y cuando a . 0 y el valor máximo cuando a , 0. En consecuencia, el punto de coordenadas: ⎛ b 4 ac – b 2 ⎞ ⎜⎝ – 2a , 4 a ⎟⎠ Es el punto más bajo o el punto mínimo de la curva cuando a . 0 y el punto más alto o el punto máximo de la curva cuando a , 0. A este punto se le llama vértice de la parábola. b recibe el nombre de eje 2a de simetría de la parábola y contiene el vértice de la misma. La recta que tiene por ecuación x = – Actividad de aprendizaje ¿Cómo se determina el vértice de la curva? ¿Cuándo se obtiene un punto mínimo? ¿Cuándo se obtiene un punto máximo? _______ Al representar ax + bx + c = 0 en el plano coordenado, las soluciones reales corresponden a los puntos en que la curva ______________ al eje x. 2 Grupo Editorial Patria® Ejemplos 2. Resuelve gráficamente la ecuación x 2 2 4x 1 3 5 0. y Solución: Se sustituye el cero por y en la ecuación: x 2 2 4x 1 3 5 y b –(– 4) 4 5 5 52 2a 2(1) 2 b Se eligen valores por encima y por debajo x 52 y se cons2a truye una tabla de valores de y : 2 x x 2 2 4x 1 3 5y 5 4 52 2 4(5) 1 3 5 8 42 2 4(4) 1 3 5 3 3 32 2 4(3) 1 3 5 0 b 52 2a 1,61 2 4 (0, 6) Se determina el valor de x 52 (-1, 4) (2, 4) (-2, 0) (3, 0) x 0 22 2 4(2) 1 3 5 21 1 12 2 4(1) 1 3 5 0 Solución: 0 02 2 4(0) 1 3 5 3 21 (21) 2 4(21) 1 3 5 8 Se sustituye el cero por y en la ecuación 2x2 1 x 1 6 5 y 2 Con los valores de x y y se forman los pares ordenados que se localizan en el plano coordenado y se unen con trazo continuo. y Se determina el valor de x = –b (-1, 8) (5, 8) (0, 3) (4, 3) (3, 0) x 0 x 2x 2 1 x 1 6 5 y 3 232 1 3 1 6 5 0 2 222 1 2 1 6 5 4 1 212 1 1 1 6 5 6 0 Solución: x2 5 3 Las raíces o soluciones de la ecuación son los puntos que la parábola tiene en común con el eje x. En estos puntos la y 5 0, como se puede observar tanto en la tabla como en la gráfica. La parábola abre hacia arriba pues a . 0 y, por tanto, su vértice es el punto más bajo o mínimo de la curva. La recta x = –b o x=2 2a 2 1 ⎛ 1⎞ 1 –⎜ ⎟ + +6=6 ⎝ 2⎠ 2 4 –b 1 = 2a 2 (2, -1) x1 5 1 –b –1 –1 1 = = = 2a 2(– 1) – 2 2 Se eligen valores por encima y por debajo de x = y se cons2a truye una tabla de valores de y : x=2 1. Resuelve gráficamente la ecuación 2x2 1 x 1 6 5 0. 202 1 0 1 6 5 6 21 2(21)2 1 (21) 1 6 54 22 2(22)2 1 (22) 1 6 5 0 Con los valores de x y y se forman los pares ordenados que se localizan en el plano coordenado y se unen con trazo continuo para obtener un bosquejo de la curva. La parábola abre hacia abajo pues a , 0 y, por tanto, su vértice es el punto más alto o máximo de la curva. La recta x 52 la parábola. 1 1 o x 5 o x 5 1 es el eje de simetría de 2(2 1) 2 Solución: x1 5 3 x2 5 22 es el eje de simetría de la parábola de la cual sólo se ha trazado una parte. 205 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I Las raíces o soluciones de la ecuación son los puntos que la parábola tiene en común con el eje x. En estos puntos y 5 0, lo cual se puede observar tanto en la tabla como en la gráfica, es por ello que también se dice: resolver la ecuación o encontrar los ceros de la función. Ejemplos 2b 52 1 2a (2 1)2 1 2(2 1)1 2 51 22 (22)2 1 2(22) 1 2 5 2 23 (23)2 1 2(23) 1 2 55 24 2(24)2 1 2(24) 1 2 5 10 y 1. Resuelve la ecuación x 2 2 2x 1 1 5 0. (-2, 9) (1, 9) Solución: x=1 Se procede en la misma forma que en los dos ejemplos anteriores, es decir: (-1, 4) x 2 – 2x + 1 = y donde –b 2a = (9, 4) (0, 1) (2, 1) 0 –(– 2) 2 = =1 2(1) 2 (1, 0) x por tanto, x x 2 2 2x 1 15y 4 42 2 2(4)1 1 5 9 3 32 2 2(3) 1 1 5 4 2 22 2 2(2) 1 1 5 1 –b =1 2a 0 Con estos valores de x y y se hace un bosquejo de la curva. 12 – 2(1) + 1 = 0 02 2 (0) 1 1 5 1 21 (21)2 2 2(21) 1 1 54 22 (22)2 2 2(22) 1 1 5 9 Como se puede observar, la gráfica de x 2 1 2x 1 2 5 y no tiene puntos en común con el eje x. Esto significa que no existe un valor real de x para el cual y 5 0, en consecuencia, las raíces de x 2 1 2x 1 2 5 0 son complejas y se pueden determinar usando la fórmula general. y Con los valores de x y y se hace un bosquejo de la curva. (-4, 10) (2, 10) Solución: x1 5 1 2. x2 5 1 Resuelve gráficamente la ecuación x2 1 2x 1 2 5 0. Solución: De manera semejante a los ejemplos anteriores se tiene: x 2 1 2x 1 2 5 y donde: –b – 2 – 2 = = = –1 2a 2(1) 2 por tanto: 206 x x 2 1 2x 1 2 5 y 2 22 1 2(2) 1 2 5 10 1 12 1 2(1) 1 2 5 5 0 02 1 2(0) 1 2 5 2 (-1, 5) (1, 5) (-2, 2) (0, 2) (-1, 1) 0 x Grupo Editorial Patria® Actividad de aprendizaje Solución: Si uno de los números buscados es x entonces el otro es 15 2 x. Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado con una incógnita: Si b 2 2 4ac > 0 las raíces o soluciones son _________________. De acuerdo con las condiciones del problema: x 1 (15 2 x ) 5 15 x 2 1 (15 2 x )2 5 117 Si b 2 2 4ac 5 0 las raíces o soluciones son _________________. Efectuando el producto indicado: x 2 1 225 2 30x 1 x 2 5 117 Si b 2 4ac < 0 las raíces o soluciones son _________________. simplificando: 2 Una ecuación de segundo grado con una incógnita se representa en el plano coordenado con una curva que recibe el nombre de _________________. x 2 2 15x 1 54 5 0 Comprobación: 9 1 6 5 15 9.2 Modelos aritméticos o algebraicos Problemas de números Ejemplos 1. El cuadrado de un número más el triple del mismo número nos da 54, ¿cuál es ese número? Solución: Sea x el número buscado El cuadrado del número es x 2. x 2 1 3x 5 54 Según el enunciado del problema: que se pueda expresar así: y factorizar como: (x 1 9)(x 2 6) 5 0 por tanto, las soluciones son : Comprobación: (29)2 1 3(29) 5 54 81 2 27 5 54 54 5 54 2. x 2 1 3x 2 54 5 0 x1 5 29, x2 5 6 6 1 3(6) 5 54 36 1 181 5 54 54 5 54 2 La suma de dos números es 15 y la suma de sus cuadrados es 117. Hallar esos números. (x 2 9)(x 2 6) 5 0 x1 5 9, x2 5 6 Factorizando: donde: Al representar ax 2 1 bx 1 c 5 0 en el plano coordenado, si a . 0 la curva abre ___________, y si a , 0 la curva abre ___________. Hay problemas cuyo planteamiento conduce a una ecuación cuadrática como modelo matemático. Los métodos algebraicos y gráficos se utilizan para resolver una ecuación de segundo grado. Una ecuación cuadrática con una incógnita, como ya se ha dicho, tiene dos raíces o soluciones que la satisfacen, pero que requieren ser verificadas e interpretadas, pues hay valores que resuelven la ecuación pero no resuelven el problema. 2x 2 2 30x 1 108 5 0 2x 2 2 30x 1 108 5 0 9 1 62 5 117 81 1 36 5 117 117 5 117 2 3. Obtén tres números enteros consecutivos, tales que el cuadrado del segundo es igual a cuatro veces la suma de los otros dos. Solución: Representado a los tres números enteros consecutivos por: x11 x12 el enunciado del problema se puede x expresar así: (x 1 1)2 5 4(x 1 x 1 2) Efectuando operaciones: x 2 1 2x 1 1 5 8x 1 8 Transponiendo términos y simplificando: x 2 2 6x 2 7 5 0 Factorizando: (x 2 7)(x 1 1) 5 0 donde: x1 5 7, x2 5 21 Si el número es 7 entonces los enteros consecutivos son 7, 8 y 9, de manera que: 82 5 4(7 1 9) 64 5 4(16) 64 5 64 Si el número es 21 entonces los enteros consecutivos son 21, 0 y 1, por lo que: 02 5 4(1 1(21)) 0 5 4(1 21) 0 5 4(0) 050 En los tres ejemplos anteriores los valores que resuelven la ecuación también son solución del problema que representa. 207 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I Problema sobre figuras geométricas Problema sobre desplazamiento Ejemplos Ejemplos En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 7 m más que el cateto mayor y 14 m más que el cateto menor. Calcula la medida de cada lado. Dos personas parten del mismo lugar al mismo tiempo, una camina hacia el norte a una velocidad de 4 kilómetros por hora y la otra camina hacia el este a una velocidad de 3 kilómetros por hora. ¿En qué tiempo se encontrarán a 15 kilómetros una de la otra? Solución: Sea x la medida de la hipotenusa. x 2 7 es la medida del cateto mayor y x 2 14 es la medida del cateto menor. Aplicando el teorema de Pitágoras en el problema se tiene que: (x 2 7)2 1 (x 2 14)2 5 x 2 Efectuando operaciones: x 2 2 14x 1 49 1 x 2 2 28x 1 196 5 x 2 de donde: 2x 2 2 42x 1 245 5 x 2 Solución: Sea x el tiempo en horas 4x es la distancia que se recorre al norte en x tiempo 3x es la distancia que se recorre al este en x tiempo Las direcciones en que se camina forman un ángulo recto y después de x tiempo la distancia que separa a los dos personas es 15 kilómetros, por lo que al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene: (4x )2 1 (3x )2 5 152 o sea: x 2 42x 1 245 5 0 Factorizando: (x 2 35)(x 2 7) 5 0 por tanto: x1 5 35, x2 5 7 es decir: 16x 2 1 9x 2 5225 o sea: 25x 2 5225 La solución del problema es 35, pues con el otro valor los catetos serían 0 y 27. por lo que: x = ± 9 2 Problemas sobre edades x2 5 9 o bien x1 5 3, x2 5 23 Esto significa que tres horas después de su salida las personas han recorrido 4(3) 5 12 y 3(3) 5 9 kilómetros, respectivamente, con lo cual: 122 1 92 5 152 144 1 81 5 225 225 5 225 Ejemplos Juan es tres años mayor que Pedro y la suma de los cuadrados de sus edades es 89. Encuentra la edad de cada uno. Solución: Sean: x la edad de Pedro Problema sobre trabajo x 1 3 la edad de Juan De acuerdo con las condiciones del problema: (x 1 3)2 1 x 2 5 89 Efectuando operaciones: El valor 23 se puede interpretar en el sentido de que tres horas antes de partir del mismo lugar las personas se hallaban a 15 km una de la otra, en los puntos simétricos a los de su llegada. x 2 1 6x 1 9 1 x 2 5 89 es decir: 2 x 2 1 6x 1 9 5 89 o sea: 2x 1 6x 2 80 5 0 2 x 2 1 3x 2 40 5 0 Factorizando: (x 1 8)(x 2 5) 5 0 de donde: x1 5 28, x2 5 5 En consecuencia, la edad de Pedro es de 5 años y la edad de Juan es de 5 1 3 5 8 años. Ejemplos Un obrero puede hacer un trabajo en 9 horas menos que las requeridas por su ayudante. Si trabajan juntos pueden hacer el trabajo en 20 horas, ¿cuánto tiempo tardaría cada uno si hiciera el trabajo solo? Solución En este tipo de problemas el planteamiento se puede hacer considerando la misma unidad de tiempo. De esta manera, la suma de las partes del trabajo que realiza cada persona en una unidad de tiempo es igual a la parte de trabajo que pueden hacer trabajando juntas en la misma unidad de tiempo. Si el obrero solo puede realizar el trabajo en 9 horas menos que su ayudante, significa que en 1 hora puede efectuar 208 1 parte del trabajo. x–9 Grupo Editorial Patria® Trabajando juntos pueden hacer el trabajo en 20 horas por lo que en 1 hora pueden realizar Por tanto, el planteamiento es: 1 parte del trabajo. 20 Multiplicando la ecuación por x(x 2 5) se obtiene: 5 000 (x 2 5) 5 5 000x 2 50 x (x 2 5) 1 1 1 En consecuencia: + = . x x – 9 20 Efectuando operaciones y simplificando: 5 000x 2 25 000 5 5 000x 2 50x 2 1 250x x–9+ x 1 Sumando en el primer miembro de la ecuación: = x( x – 9) 20 50x 2 2250x 2 25 000 5 0 Factorizando: cada uno hubiera pagado x 2 2 49x 1 180 5 0 1 1 1 + = 45 36 20 4+5 1 = 180 20 9 1 = 180 20 1 1 = 20 20 una tuvo que pagar 2. 5 000 , es decir, 50 unidades de dinero más. 20 Un comerciante vende un artículo en 96 unidades de dinero y obtiene como utilidad un tanto por ciento igual al precio de costo del artículo. Halla el precio de costo del artículo. Solución: Sea x el precio de costo del artículo. La utilidad es un tanto por ciento igual al precio de costo del artículo, es decir, el x por ciento de x : x x2 x5 100 100 Según el enunciado del problema: x 1 Problemas sobre costos x 2 1 100x 2 9 600 5 0 Solución: Sea x el número de excursionistas. El costo por personas es de 5 000 5 000 en el primer caso y de x x–5 en el segundo caso; pero entonces el costo por persona es de 50 unidades de dinero más, sobran pues 50 unidades de dinero al cociente (x 1 160) (x 2 60) 5 0 Factorizando: Los gastos de una excursión son 5 000 unidades de dinero. Si al momento de partir faltan 5 personas, entonces cada una de las que asisten tendrán que pagar 50 unidades de dinero más. ¿Cuántas personas van en la excursión y cuánto paga cada una? x2 5 96 100 Multiplicando la ecuación por 100: 100x 1 x 2 5 9 600 de donde: Ejemplos 1. 5 000 5 200 . Pero como faltaron 5, 25 entonces sólo salieron 25 2 5 5 20 personas, por lo que cada Factorizando: (x 2 45) (x 2 4) 5 0 por tanto: x1 5 45, x2 5 4 Esto significa que el ayudante puede realizar el trabajo en 45 horas trabajando solo, mientras que el obrero puede hacer el mismo trabajo en 45 2 9 5 36 horas si lo hace solo, pues: x1 5 25, x2 5 220 Por tanto, el número original de excursionistas era 25, con lo cual x 2 2 9x 5 40x 2 180 es decir: (x 2 25)(x 1 20) 5 0 de donde: Igualando el producto de los medios al producto de los extremos: 1(x 2 2 9x ) 5 20 (2x 2 9) o sea: x 2 2 5x 2 500 5 0 o sea: 2x – 9 1 = x 2 – 9 x 20 de donde: 5 000 5 000 5 2 50 x x–5 x1 5 2160, x2 5 60 de donde: Por tanto, el precio de costo del artículo es de 60 unidades de dinero, pues: 60 + 60 (60) = 96 100 60 + 36 = 96 96 = 96 5 000 5 000 para igualar x–5 x 209 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I Problema sobre caída libre En física se demuestra que si un objeto cae libremente habiéndose lanzado con una velocidad v, el espacio e que recorre en t segundos está dado por la fórmula: 1 e = vt + gt 2 2 donde e se mide en metros, v en metros por segundo y g es la constante de gravedad que se toma con un valor de 9.80 metros por segundo al cuadrado. Si el objeto se lanza verticalmente hacia arriba, la fórmula es: 1 e = vt + gt 2 2 Tomando en cuenta el valor de g, las fórmulas se pueden expresar así: e = vt + 4 . 9 t 2 e = vt – 4 . 9 t 2 Ejemplos Desde el suelo se lanza un proyectil hacia arriba con una velocidad de 34.3 metros por segundo. ¿Dentro de cuánto tiempo estará a 49 metros de altura sobre el suelo? Solución: Sea t el tiempo buscado, en segundos. 2 La altura del proyectil está dada por la fórmula: e = vt – 4 . 9 t . Sustituyendo los datos del problema: o sea: 0 5 249 1 34.3t 2 4.9 t 2 o bien: 24.9t 2 1 34.3t 2 49 5 0 49 5 34.3t 2 4.9t 2 Dividiendo la ecuación entre 24.9: t 2 2 7t 1 10 5 0 Factorizando: (t 2 2) (t 2 5) 5 0 de donde: t1 5 2, t2 5 5 Por tanto, las soluciones del problema son 2 y 5 segundos. Esto se explica por el hecho de que el proyectil asciende hasta alcanzar su altura máxima y luego cae, por lo que en su trayectoria de subida (a los 2 segundos) y de bajada (a los 5 segundos) el proyectil se encuentra a una altura de 49 metros sobre el suelo. Problemas de mezclas ¿Qué cantidad de agua se debe agregar a 40 litros de una solución de alcohol al 15% para reducir la concentración al 12%? Solución: Llámese x a la cantidad de agua en litros que debe agregarse a la solución. 210 La cantidad de alcohol contenida en la mezcla es 0.15(40). El porcentaje de la concentración es el cociente del volumen del alcohol entre el total de la mezcla. Por tanto el modelo matemático es: 0.15(40) (1) 0.12 5 40 1 x Quitando el denominador 0.12(40 1 x ) 5 0.15(40) Multiplicando por cien 12(40 1 x ) 5 15(40) Ejecutando operaciones 480 1 12x 5 600 12x 5 600 2 480 12x 5 120 Despejando 120 x5 5 10 12 Se deben agregar 10 litros de agua a la mezcla original para reducir su concentración al 12%. Comprobación: Se le deja al lector llegar a una identidad si substituye x 5 10 en la ecuación (1) anotada arriba. Problemas de costos y mezclas ¿Cuántos kilogramos de dulce, cuyo precio es de $100 cada uno deben mezclarse con 6 kilogramos de otro dulce que vale $75 por kilogramo, para vender la mezcla al precio de $90 por kilogramo? Solución: Llámese x al número de kilogramos de dulce que cuesta $100 el kilogramo. $100x Lo que cuestan 6 kilogramos de dulce a $75 el kilogramo, se expresa como: $75(6) La suma de ese dinero debe ser igual a lo que cuestan los kilogramos totales (6 1 x ) de la mezcla resultante. Esto se expresa por: 100x 1 75(6) 5 90(6 1 x ) (1) Que es el modelo matemático. Multiplicando 100x 1 450 5 540 1 90x Transcribiendo términos 100x 2 90x 5 540 2 450 Reduciendo términos 10x 5 90 x59 Comprobación: Se sustituye el valor x 5 9 en la ecuación (1) 100(9) 1 75(6) 5 90(6 1 9) 900 1 450 5 1350 1350 5 1350 tal identidad comprueba la solución dada. Grupo Editorial Patria® Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 9. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Resuelve por factorización las ecuaciones a) b) c) d) e) x + 22 x + 121 = 0 x 2 + 13x + 36 = 0 x 2 + x − 42 = 0 x 2 + 3x − 54 = 0 x 2 − 5 x − 14 = 0 2 2. Resuelve por diferencias de cuadrados la ecuación x 2 − 5x + 4 = 0 . 3. Resuelve mediante la fórmula general la ecuación 6x 2 + 5x − 6 = 0. 4. Resuelve por factorización mediante agrupamiento de térmi2 nos la ecuación 7 x − 9 x + 2 = 0 . 5. Determina la naturaleza de las raíces de la ecuación x 2 − 3x + 1 = 0 . 6. Resuelve en forma gráfica la ecuación x 2 − 3x + 2 = 0 . 7. La base y la altura de un triángulo son iguales. Si a cada una se le aumentan dos metros se obtiene un triángulo de 50 metros cuadrados de área. Halla las dimensiones originales. 8. Con una lámina cuadrada se construye una caja cortando en las esquinas cuadrados de 5 centímetros por lado y doblando hacia arriba las partes para formar la caja. Si la caja ocupa un espacio de 8 000 centímetros cúbicos, ¿cuánto mide el lado de la lámina? 9. Fernando es tres años menor que Francisco y la suma de los cuadrados de sus edades es 149. ¿Cuál es la edad de cada uno? 10. Se compra cierto número de libros por $169.00. Si el número de libros es igual al precio de cada uno, ¿cuántos libros se compraron? 211 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I Lista de cotejo Lista de cotejo para el reporte sobre las dimensiones de un parque del Bloque 9. Nombre del alumno: Criterio Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente. Desarrollo 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas. Conclusiones Dominio del tema 10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 212 11. Comprende el problema y lo puede plantear. 12. Representa en un dibujo las condiciones del problema y establece las relaciones entre los datos. 13. Obtiene la expresión algebraica del modelo matemático que plantea el problema y lo resuelve. 14. Plantea las condiciones del problema. 15. A partir de los datos del problema expresa el modelo matemático por medio de una ecuación cuadrática. 16. Resuelve el modelo matemático y obtiene las dimensiones del parque. cumple sí no Observaciones Grupo Editorial Patria® Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones: Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 9. Nombre del alumno: Aspecto a evaluar Criterios Excelente Bueno Regular Deficiente Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas por factorización, extracción de un factor común y por despeje de la variable. Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas por dos de los tres métodos. Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas por uno de los tres métodos. No resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas por factorización, extracción de un factor común ni por despeje de la variable. Ecuaciones cuadráticas completas Resuelve ecuaciones cuadráticas completas por factorización, extracción de un factor común y por despeje de la variable. Resuelve ecuaciones cuadráticas completas por dos de los tres métodos. Resuelve ecuaciones cuadráticas completas por uno de los tres métodos. No resuelve ecuaciones cuadráticas completas por factorización, extracción de un factor común ni por despeje de la variable. Raíces reales y complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas Obtiene una ecuación cuadrática a partir de sus raíces. Resuelve gráficamente una ecuación cuadrática. En la mayoría de los casos, obtiene una ecuación cuadrática a partir de sus raíces y resuelve gráficamente una ecuación cuadrática. En algunos casos, obtiene una ecuación cuadrática a partir de sus raíces y resuelve gráficamente una ecuación cuadrática. Obtiene una ecuación cuadrática a partir de sus raíces. Resuelve gráficamente una ecuación cuadrática. Ubicación de ecuaciones cuadráticas completas Resuelve problemas que dan lugar a una ecuación cuadrática como modelo matemático. En la mayoría de los casos, resuelve problemas que dan lugar a una ecuación cuadrática como modelo matemático. En algunos casos, resuelve problemas que dan lugar a una ecuación cuadrática como modelo matemático. No resuelve problemas que dan lugar a una ecuación cuadrática como modelo matemático. Comentarios Generales Nombre del profesor o la profesora: Fecha: 213 Resuelves ecuaciones cuadráticas II 10 B LO Q U E Objetos de aprendizaje e 10.1 Representación de relaciones entre magnitudes. 10.2 Modelos aritméticos o algebraicos. Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con distintos símbolos matemáticos y científicos. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de equidad, de igualdad de dignidad y derechos de todas las personas y rechaza toda froma de discriminación. ¿Qué sabes hacer ahora? 1. Descompón el número 30 en dos números cuyo producto sea el máximo. 2. Esboza la gráfica de la función: f : R → R, f (x) 5 3x ². Desempeños por alcanzar Identifica la relación entre ecuaciones y funciones cuadráticas. Reconoce la ecuación cuadrática en dos variables y 5 ax 2 1 bx 1 c como una función cuadrática. Identifica que toda función cuadrática es una parábola, que puede ser cóncava hacia arriba o abajo. Transforma la función cuadrática y 5 ax2 1 bx 1 c a la forma estándar y 5 a (x 2 h)2 1 k1, así obteniendo las coordenadas del V(L, k) para trazar su gráfica. Interpreta que las intersecciones de la parábola con el eje de las “x” son la solución cuadrática, y que dependen de la naturaleza del discriminante √bb—2-4ac 4 tienen soluciones reales, imaginarias o complejas. Visualiza que al cambiar los parámetros de “a, b y c” en la función cuadrática cambia el ancho, el vértice y el sentido de la parábola vertical. Elabora o interpreta gráficas y tablas a partir de situaciones diversas e interpretando sus soluciones para cuando son o no admisibles. 10 BLOQUE Resuelves ecuaciones cuadráticas II Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías? Se desea cercar un terreno de forma rectangular, de manera que su área sea la máxima posible. Considerar que un río, aproximadamente recto, corre a lo largo de uno de los lados, y al cual no se pondrá cerca, si se dispone de 300 metros lineales. a) Determinar la expresión algebraica de la función que describe el problema. b) Encontrar el valor del dominio para el cual el valor de la función es el máximo posible. c) Representar en el plano coordenado la gráfica de la función en el intervalo 0 < x < 150. Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente con dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se representan los lados del rectángulo? ¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos y efectuar las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje. ¿Cómo se representa el perímetro del rectángulo? Evaluación por producto ¿Cómo se expresa un lado en función de los otros dos? A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. ¿Cómo se expresa el área del terreno? ¿Cómo se expresa el área del terreno como una función? En este ejemplo: ¿Cómo se determina el dominio y contradominio de la función? Producto a elaborar ¿Cómo se determina el valor del dominio para el cual se obtiene el valor máximo en el contradominio? ¿Cómo se tabula la función y construye su gráfica? Modelo matemático del enunciado del problema. Valor del dominio para el cual el área es máxima. Representación gráfica de la función. Trabajo individual Cada participante debe registrar lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Rúbrica Para determinar el área máxima que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es216 ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. Grupo Editorial Patria® Propuestas de diseño para situaciones didácticas “La matemática es la reina de las ciencias, y la teoría de números es la reina de las matemáticas.” Johann Carl Friedrich Gaus (1777-1855) Matemático, astrónomo y físico alemán Parte I 1. Descompón 30 en dos números cuyo producto sea el máximo. 2. Obtén dos números tales que sumen 50, y la suma de sus cuadrados sea mínima. 3. Para que no haya pérdidas en un espectáculo se requiere que asistan 300 espectadores que paguen 500 unidades de dinero. Se ha observado que por cada espectador de más se puede cobrar 1 unidad de dinero menos. ¿Con cuántos espectadores adicionales se pueden obtener las máximas ganancias? 4. Se dispone de 600 metros de malla para cercar un terreno rectangular, de manera que su área sea máxima. ¿Cuáles son las dimensiones de este terreno? 5. Desde lo alto de un edificio de 36 metros de altura se lanza hacia arriba un proyectil con una velocidad de 12 metros por segundo. La altura del proyectil a los t segundos está dada por la función f (t) 5 23t2 112t 1 36. Encuentra el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo. Parte II Esboza la gráfica de la función: f: R→ R, 1. f (x) 5 3x2 21 x2 2 3. f (x) 5 x223x 2. f (x) 5 4. f (x) 522x2 24x 5. f (x) 5 x2 24 6. f (x) 5 2x2 1 8 7. f (x) 5 x2 1 2x 1 1 8. f (x) 5 2 x2 2 2x 21 9. f (x) 5 2x2 1 4x 1 2 10. f (x) 5 x2 1 2x 1 4 Introducción Se procede al planteamiento y resolución de problemas que conducen a una función cuadrática. Se representa en el plano cartesiano a la gráfica de una función cuadrática, se analizan los casos en que a > 0 y a < 0, y se interpreta su solución en forma gráfica. 10.1 Representación de relaciones entre magnitudes Relación entre la función y la ecuación cuadrática De manera semejante a la relación que existe entre la función y la ecuación lineal, se puede decir que la gráfica de la función cuadrática: f (x) 5 ax2 1 bx 1 c y de su correspondiente ecuación y 5 ax2 1 bx1c es la misma x2 1 2x 1 1 5 0 Si la ecuación: se multiplica por –1, se obtiene: 2x2 2 2x 2 1 5 0 y si se multiplica por 2 se obtiene: 2x2 1 4x 1 2 5 0 Estas tres ecuaciones son equivalentes, pues al resolverlas se obtienen las mismas raíces o soluciones. Si en estas ecuaciones se sustituye el 0 por y se transforma en: x2 1 2x 1 1 5 0 o bien y 5 x2 1 2x 1 1 2 x2 2 2x 2 1 5 0 y 5 2 x22 2x 2 1 2x2 1 4x 1 2 5 0 y 5 2x2 1 4x 1 2 y como y 5 f (x) entonces: f (x) 5 x2 1 2x 1 1 f (x) 5 2 x2 22x 2 1 f (x) 5 2x2 1 4x 1 2 que corresponden a funciones diferentes. Sea x 5 5, entonces: f (5) 5 52 1 2(5) 1 1 5 36 f (5) 5252 2 2(5) 21 52 36 f (5) 5 2(5)2 1 4(5) 1 2 5 72 217 10 BLOQUE Resuelves ecuaciones cuadráticas II Como se puede observar, para un mismo valor de x se obtienen diferentes imágenes con cada función. Esto se puede hacer más evidente al trazar sus respectivas gráficas. En consecuencia, si una ecuación cuadrática se multiplica por una constante, diferente de cero, se obtiene otra ecuación que es equivalente a la primera, pero sus correspondientes funciones son diferentes. Para tu reflexión Aronhold, Siegfried Heinrich (1819-1884) Matemático alemán. Investigó la teoría de los constantes de las formas algebraicas y algunos aspectos del cálculo en la geometría algebraica. Aronhold hizo importantes contribuciones a la teoría de invariantes, fue el primer alemán para trabajar en este tema. Algunas ecuaciones diferenciales parciales, que se encontraron en su trabajo son características invariables de la teoría y llevan su nombre. Si en la función se dan valores a x se obtienen valores de y con los que se determinan los pares ordenados, que localizados en el plano son puntos que pertenecen a la parábola que representa gráficamente a la función cuadrática. Forma estándar de la función cuadrática y 5 a (x 2 h)2 1 k En el bloque 9 se empleó un procedimiento para representar gráficamente una ecuación de segundo grado con una variable. Hay otro procedimiento que consiste en utilizar la expresión algebraica de una función cuadrática en su forma estándar. Esta forma es: y 5 a(x – h)2 1 k que corresponde a una parábola vertical. Si a es positiva la parábola abre hacia arriba, y si a es negativa la parábola abre hacia abajo. El punto de coordenadas (h, k) es el vértice de la parábola. Cuando la parábola abre hacia arriba el vértice es el punto mínimo y cuando abre hacia abajo el vértice es el punto máximo. Ejemplos Traza la gráfica de y 5 x 2 – 2x – 3. Actividad de aprendizaje ¿Qué significa que dos o más ecuaciones cuadráticas sean equivalentes? Si varias ecuaciones cuadráticas equivalentes se expresan como funciones y éstas son evaluadas en un mismo valor, ¿qué ocurre? Como el coeficiente del término cuadrático es positivo entonces la parábola abre hacia arriba. Para obtener la forma estándar se completa el trinomio cuadrado perfecto con los términos lineal y cuadrático de la función: y 5 [x 2 – 2x 1 (– 1)2] – 3 – (– 1)2 Observa que la cantidad que se sumó para completar el trinomio también se restó. Esto equivale a sumar cero a la expresión algebraica de la función. De donde y 5 (x 2 – 2x 1 1) – 3 – (1) Por tanto Ecuación en dos variables y 5 ax 2 1 bc 1 c, como la forma de la función cuadrática, y las ecuaciones en una variable d 5 ax 2 1 bx 1 c, como casos particulares de la anterior Dada la función y 5 ax2 1 bx 1 c su ecuación correspondiente es 0 5 ax2 1 bx 1c. 218 y 5 (x – 1)2 – 4 Por lo expresado líneas arriba, las coordenadas del vértice son (1, – 4). Si en y 5 (x – 1)2 – 4 se evalúa la función en x 5 – 1 se obtiene y 5 0, por lo que el punto es (– 1, 0) Grupo Editorial Patria® Con estos tres puntos se puede hacer un bosquejo de la curva. Parámetro a en el ancho y concavidad de la parábola, y asocia las intersecciones 2x de ésta con las raíces de ax2 1 bx 1 c 5 0 Los puntos en los que la parábola corta al eje x se llaman los ceros de la función porque en esos puntos y 5 0. Ejemplos y si se evalúa en x 5 3 se obtiene y 5 0, por lo que el punto es (3, 0). y -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y V (21, 2 4) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Puntos (22, 0) (0, 0) -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x y 5 4(x 1 1)2 2 4 x Figura 10.2 Figura 10.1 y y 5 (x 1 1) 2 4 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 V (21, 2 4) Actividad de aprendizaje Puntos (23, 0) Representación gráfica de la función cuadrática (1, 0) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 ¿Qué se hace para expresar una ecuación cuadrática como función cuadrática? y 5 (x 1 1)2 2 4 ¿Qué nombre recibe la curva que representa gráficamente a una función cuadrática? -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x Figura 10.3 ¿Qué ocurre con la gráfica de una función cuadrática cuando a > 0? y 5 0.50(x 1 1) 2 4 2 V(21, 2 4) ¿Qué ocurre con la gráfica de una función cuadrática cuando a < 0? ¿En qué caso se dice que la gráfica de una ecuación cuadrática tiene un punto máximo? y Puntos 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1⎫ ⎧ ⎪⎩24 , ⎪⎭ 2 ⎧ 1⎫ ⎪⎩ 2 , ⎪⎭ 2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 ¿En qué caso se dice que la gráfica de una ecuación cuadrática tiene un punto mínimo? ¿A qué se le llama cero de una función cuadrática? 1 ( x11)2 2 4 2 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x Figura 10.4 219 10 BLOQUE Resuelves ecuaciones cuadráticas II y 2 1 ⎫ 25 ⎧ y5 24 ⎪x 2 ⎪ 1 ⎩ 2⎭ 4 ⎧ 1 25 ⎫ V⎪ , ⎩ 2 4 ⎪⎭ 1⎞ 25 ⎛ 20 . 5 ⎜ x 2 ⎟ ⎝ 2⎠ 4 Puntos 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 ⎧3 9⎫⎧ 1 9⎫ ⎪⎩ , ⎪⎭ ⎪⎩2 , ⎪⎭ 2 4 2 4 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x y 1⎞ 25 ⎛ 24 ⎜ x 2 ⎟ ⎝ 2⎠ 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Figura 10.7 Si el valor de a > 1, la curva se hace más estrecha a medida que aumenta el valor de 0 < a < 1, la curva se hace más ancha a medida que disminuye el valor de a. -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x 10.2 Modelos aritméticos o algebraicos Fórmula cuadrática La fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas, estudiada en el bloque 9, tiene una parte llamada discriminante, que corresponde al subradical. Figura 10.5 y 2 1⎞ 25 ⎛ y 5 2⎜ x 2 ⎟ 1 ⎝ 2⎠ 4 ⎛ 1 25 ⎞ V⎜ , ⎟ ⎝2 4 ⎠ -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Puntos (22, 0) (3, 0) 25 ⎛ 1⎞ 2⎜ x 2 ⎟ ⎝ 4 2⎠ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 El discriminante nos permite saber cuál es la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática. -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Figura 10.6 2 1 ⎫ 25 ⎧ y 5 2 0 . 50 ⎪ x 2 ⎪ 1 ⎩ 2⎭ 4 ⎧ 1 25 ⎫ V⎪ , ⎩ 2 4 ⎪⎭ Puntos 25 ⎫ ⎧ 25 ⎫ ⎧ ⎪⎩22 , ⎪ ⎪3, ⎪ 8 ⎭⎩ 8 ⎭ 220 x A saber, las posibilidades son tres, que el valor del discriminante sea: mayor que cero: las raíces son reales y diferentes, igual a cero: las raíces son reales e iguales, o bien, menor que cero: las raíces son complejas. Problemas que conducen a una función cuadrática Ejemplos 1. Se desea cercar un terreno de forma rectangular, de manera que su área sea la máxima posible. Se dispone de 300 metros lineales de cerca, y un río corre a lo largo de uno de los lados, que es aproximadamente recto, en el que no se pondrá cerca. a ) Determina la expresión algebraica de la función que describe el problema. Grupo Editorial Patria® b) c) Encuentra el valor del dominio para el cual el valor de la función es el máximo posible. Representa en el plano coordenado la gráfica de la función en el intervalo 0 < x < 150. gitud del lado debe ser menor que que los valores de x se pueden tomar del conjunto. A 5 {x € R | 0 # x # 150} Solución: a) 300 5150 , de manera 2 El segundo conjunto se llama contradominio de la función (B) y está formado por todos los valores que corresponden a las posibles áreas del terreno; dichos valores pertenecen al conjunto de los números reales positivos, R1, o sea: Para cercar los tres lados del terreno se tienen 300 m de cerca. Si el lado paralelo al río se designa con y y a los otros dos lados con x, entonces: 2x1y 5 300 (1) B 5 R1 Cuando se estudió la gráfica de la ecuación cuadrática, ax 2 1 bx 1 c 5 0, se indicó que si a < 0 la curva abre hacia abajo y el vértice de la misma, o punto máximo, se obtiene x en x 5 2b . Aplicando esto en la expresión algebraica de la 2a función que describe el problema: y terreno f (x ) 5 300x – 2x 2 río Se observa que a 5 22(a < 0) y b 5 300, por lo que x x5 Figura 10.8 por tanto, el valor máximo de la función se obtiene cuando x 5 75, esto es: por tanto: y 5 300 – 2x (2) El área A del terreno se obtiene por el producto de sus dos dimensiones, es decir. A 5 xy (3) Sustituyendo(2) en (3): A 5x (30022x ) o sea: A 5 300x – 2x ² donde el área queda expresada en función de uno de los lados, por lo que: A 5 f (x ) en consecuencia: f (x ) 5 300x – 2x ² Corresponde a la expresión algebraica de la función que describe el problema. b) En este inciso se pide encontrar el valor del dominio para el cual el valor de la función es el máximo posible. Esto significa que debemos determinar dos conjuntos y obtener una relación entre ellos. El primer conjunto se llama dominio de la función (A) y está formado por todos los valores que corresponden a las posibles longitudes del lado designado con x. Toda longitud es mayor que cero y como sólo se dispone de 300 m de cerca, la lon- 2b 2300 2300 5 75 5 5 2a 2(2 2) 2 4 f (x ) 5 300x –22 f (75) 5 300(75) –2(75)² 5 22 500 – 2(5 625) 5 22 500 – 11 250 5 11 250 En consecuencia, el área máxima del terreno es de 11 250 m². Sustituyendo x 5 75 en (2): y 5 300 – 2x 5 300 –2(75) 5 300 –150 5 150 Esto significa que el terreno rectangular de área máxima tiene 75 m de ancho y 150 m de largo. c) En el inciso b se obtuvo el par ordenado (75, 11 250) que corresponde a las coordenadas del vértice o punto máximo de la parábola. Una parte de ésta se puede bosquejar en el intervalo 0 ≤ x ≤ 150. 221 10 BLOQUE Resuelves ecuaciones cuadráticas II x f (x ) 5 300x – 2x ² 0 f (0) 5 300(0) – 2(0)² 25 f (25) 5 300(25) – 2(25)² 6 250 50 f (50) 5 300(50) – 2(50)² 10 000 75 f (75) 5 300(75) – 2(75)² 11 250 100 f (100) 5 300(100) – 2(100)² 10 000 125 f (125) 5 300(125) – 2(125)² 6 250 150 f (150) 5 300(150) – 2(150)² 0 Observa que los ceros de la función son 0 y 150. Como la longitud de la cerca es de 300 m, los ceros de la función se pueden interpretar así: cuando el ancho es cero, el largo es de 300 m y el área es 0(300) 5 0; cuando el ancho es de 150, se tiene que dos veces el ancho más una vez el largo es igual a 300, es decir: 2x 1 y 5 300 2(150) 1 y 5 300 300 1 y 5 300 y 14000 12000 (75, 11250) 10000 f (x ) 0 En este problema se ha utilizado A para designar el área del terreno y el dominio de la función. También se ha designado el largo del terreno y los valores de la función con y. En ambos casos la diferencia se obtiene del contexto, pues corresponden a conceptos que tienen significados definidos. 2. Desde una plataforma situada a 80 m bajo el suelo se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 48 m por segundo. La altura h, en metros, del proyectil a los t segundos está dada por: h 5 24 t 2 1 48t – 80 a) Determina el tiempo en que el proyectil alcanza su máxima altura. b) Encuentra la máxima altura que alcanza el proyectil. c) Traza la gráfica de la función. d) Interpreta el significado físico de las intersecciones de la curva con los ejes coordenados. 8000 6000 Solución: 4000 a) 2000 75 150 225 En la expresión algebraica de la función se observa que a < 0, por lo que se trata de una parábola que abre hacia abajo y tiene un punto máximo cuando t 5 x t5 Figura 10.9 Por tanto, y 5 0 El conjunto imagen (C ) es el conjunto de valores que puede tomar la función dentro de su dominio de definición, es decir: C 5 { y € R | 0 # x # 11 250} 222 2 48 2 48 56 5 2(2 4) 28 por tanto, el proyectil alcanza su altura máxima a los 6 segundos. Entonces el área es 150(0) 5 0. En la gráfica de la función se observa que el dominio (A) es el conjunto de valores que puede tomar la x, es decir, que son válidos para el problema porque el área que corresponde es un número real positivo, entonces: A 5 {x € R | 0 # x # 150} El contradominio (B) de la función es el conjunto en el que se puede encontrar el área que se busca, por lo que: B 5 R1 2b , es decir. 2a b) La altura del proyectil es una función del tiempo, es decir: h 5 f (t ) por lo que: f (t ) 5 24t 2 1 48t 2 80 La altura máxima se alcanza a los 6 segundos, entonces: f (6) 5 2 4(6)2 148(6) – 80 5 24(36) 1288 – 80 5 2 144 1288 – 80 5 64 Grupo Editorial Patria® c) Esto significa que la altura máxima del proyectil es de 64 metros. El contradominio de la función es: De los incisos a y b se obtiene el par ordenado (6, 64) que corresponde a las coordenadas del vértice o punto máximo de la parábola. Para bosquejar una parte de ésta vamos a encontrar los ceros de la función. La imagen de la función es: B 5 { y € R | y $ 2 10} C 5 {x € R | 280 # y # 64} d) Como el proyectil se lanza desde una plataforma subterránea, habrá dos momentos en que el proyectil se encuentra al nivel del suelo, cuando h 5 f (t ) 5 0, por tanto: El punto de coordenadas (2, 0) significa que 2 segundos después del disparo el proyectil pasa a la altura del suelo. 0 5 24t 2 148t –80 El punto (6, 64) indica que a los 6 segundos el proyectil alcanza una altura máxima de 64 metros. 24t 1 48t – 80 5 0 2 o sea: El punto (10, 0) significa que después del disparo, el proyectil tarda 10 segundos en recorrer su trayectoria que termina al llegar al suelo. Dividiendo la ecuación entre24: t 2 – 12t 1 20 5 0 Factorizando de donde: El punto de coordenadas (0, 280) indica que cuando el tiempo t 5 0, aún no se ha disparado el proyectil que se encuentra a 80 m bajo el suelo. (t – 2)(t – 10) 5 0 t1 5 2, t2 5 10 3. Se construye una tabla para f (t ) en el intervalo 0 < t < 10: La distancia entre dos lugares A y B es de 200 km. Dos móviles parten al mismo tiempo de A y B en las direcciones que se indican. El que parte de A lleva una velocidad de 40 km/h y el que parte de B lleva una velocidad de 30 km/h. t f (t ) 5 24t 2 148t – 80 0 f (0) 5 24(0) 148(0) – 80 280 2 f (2) 5 24(2)2 148(2) – 80 0 4 f (4) 5 24(4)2 148(4) – 80 48 f (6) 5 24(6)2 148(6) – 80 b) 6 64 c ) Determina el dominio e imagen de la función. 8 f (8) 5 24(8)2 148(8) – 80 48 10 f (10) 5 24(10)2 148(10) – 80 0 2 f (t ) a) ¿Al cabo de cuánto tiempo la distancia entre los dos móviles es mínima? Encuentra la distancia mínima entre los dos móviles. Traza la gráfica de f (t ) para 1≤ t ≤ 5. B En la gráfica se observa que el dominio de la función es: P A A 5 {x € R | 0 # x # 10} y 80 (6, 64) 60 40 Q 20 (2, 0) (10, 0) x Figura 10.11 Solución: a) Sea t el tiempo buscado. La distancia recorrida por cada móvil después de t horas es: (0, -80) -80 40 t km para el que parte de A y llega a la posición P 30 t km para el que parte de B y llega a la posición Q Figura 10.10 223 10 BLOQUE Resuelves ecuaciones cuadráticas II Aplicando el teorema de Pitágoras: PQ² 5 PB² 1 BQ² donde: PB 5 (200 – 40t ) y BQ 5 30t por lo que: PQ 5 PB 1 BQ 2 5 horas. Antes de iniciar el movimiento la distancia entre los móviles es de 200 km. En consecuencia, t debe estar en el intervalo 0 < t < 5 por lo que el dominio de la función es: A 5 {x € R | 0 # x # 5} y DISTANCIA 2 PQ 5 (200 2 40tt)2 1(30 )2 Efectuando operaciones y reduciendo términos: PQ 5 40 000 216 000t 1 2 500 2 200 Esta raíz cuadrada tiene un mínimo en el mismo valor de t para el cual la expresión subradical: 120 100 A 5 2500t ² – 16 000t 1 40 000 es mínima, esto es en: 1 2b 2(216 000) 5 53.2 horas t5 2a 2(2 500) 2 3 4 5 6 7 TIEMPO x Figura 10.12 para este valor de t : Tomando en cuenta los valores de t dentro de su dominio, la imagen de la función es: PQ 5 [200 2 40(3.2)]2 1[30(3.2)]2 C 5 { y € R | 120 # y # 200} PQ 5 (200 2128)2 1( 9 6) PQ 5 72 2 1 96 2 PQ 5 5 184 1 9216 Representación gráfica de la función cuadrática PQ 5 14 400 PQ 5 120 Esto significa que 3.2 horas (3 horas 12 min) después de su salida los móviles se encuentran a una distancia mínima de 120 km uno del otro. b) c) 224 La distancia mínima PQ es una función del tiempo t, es decir: PQ 5 f (t ). Se construye una tabla para f (t ) en el intervalo 0 # t # 5. En el bloque 9 se resolvió una ecuación cuadrática en forma gráfica. El procedimiento consiste en sustituir el cero por y en la ecuación: ax2 1 bx 1 c 5 0 con lo cual se obtiene: ax2 1 bx 1 c 5 y que corresponde a una función en la que y es la variable dependiente o función y x es la variable independiente, es decir: y 5 f (x) t f (t ) 1 162.79 por tanto: 2 134.16 3 120.42 4 126.49 5 150.00 f (x) 5ax2 1 bx 1 c b Después se determina el valor de x 5 2 , y a partir de éste se 2a eligen valores por encima y por debajo de él para construir una tabla de valores de y 5 f (x). Así se obtienen pares ordenados que pertenecen a la función, los cuales una vez localizados en el plano coordenado se unen en forma consecutiva mediante un trazo continuo, así se obtiene un subconjunto de puntos de la curva llamada parábola. El móvil que parte de A tarda 5 horas en recorrer los 200 km que lo separa de B; en ese mismo tiempo el móvil que parte de B habrá recorrido 150 km, y como se busca la distancia mínima entre los dos móviles, el tiempo debe ser menor que o bien: ax2 1 bx 1 c 5 f (x) Grupo Editorial Patria® En el apartado de referencia también se estableció que si a > 0 la curva es cóncava hacia arriba (abre hacia arriba) y si a < 0 la curva es cóncava hacia abajo (abre hacia abajo). En el primer caso se dijo que la parábola tiene un punto mínimo (el punto más bajo), mientras que en el segundo caso la parábola tiene un punto máximo (el punto más alto). El punto mínimo (o máximo) recibe el nombre de vértice de la parábola y sus coordenadas son Solución: a) 2b 2 0 5 50 2a 2(1) es decir: x 5 0 que es la ecuación de eje y. El vértice de la parábola es: x 5 2b 4 ac 2b 2 , 2a 4a 2b 4 ac 2b , 5(0 , 0) 2a 4a o sea que el vértice de la parábola es el origen del sistema coordenado. b) En la expresión algebraica de la función se observa que a > 0, por tanto, la curva es cóncava hacia arriba. c) Se construye una tabla para y 5 f (x ) Aplica lo que sabes En una comunidad se va a construir un parque recreativo. Si se dispone de 3 600 metros lineales de malla ciclónica para cercar el terreno y éste debe ser de forma rectangular, investiga cuáles deben ser las dimensiones del terreno para que el área cercada sea la máxima posible. El eje de simetría de la parábola es x 5 x f (x ) 5 x f (x ) Puntos 3 f (3) 5 32 9 (3, 9) 2 f (2) 5 22 4 (2, 4) 1 f (1) 5 12 1 (1, 1) 2b 50 2a f (0) 5 02 0 (0, 0) 21 f (21) 5 (21)2 1 (21, 1) 22 f (22) 5 (22)2 4 (22, 4) 23 f (23) 5 (23)2 9 (23, 9) Como el dominio y contradominio de la función son los números reales, la figura 10.13 es sólo un subconjunto del conjunto de puntos de la parábola . Se observa en la figura que y es el eje de simetría de la parábola y su vértice, o punto mínimo, es el origen. La curva decrece en el intervalo < 2∞, 0] y crece en el intervalo [0, ∞>. El cero de la función se obtiene cuando x 5 0. y x=0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Ejemplos 1. Dada la función f: R → R f (x ) 5 x 2 a) Encuentra el eje de simetría y el vértice de la parábola. b) Indica si es cóncava hacia arriba o hacia abajo. c) Esboza la gráfica de la función, encuentra el intervalo en que la función crece y el intervalo en el que la función decrece. -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x Figura 10.13 225 10 BLOQUE 2. Resuelves ecuaciones cuadráticas II Sea la función: f: R → R, f (x ) 52x 2 En esta figura se representa un subconjunto del conjunto de puntos de la parábola. El eje de simetría de la curva es el eje y y su vértice, o punto máximo, coincide con el origen. La parábola crece en el intervalo < 2 ∞, 0] y decrece en el intervalo [0, ∞ >. a) Encuentra el eje de simetría y el vértice de la parábola. b) Di si es cóncava hacia arriba o hacia abajo. c) Esboza la gráfica de la función y determina los intervalos en que crece o decrece. El cero de la función se obtiene cuando x 5 0. 3. Solución: a) El eje de simetría de la parábola es Esboza la gráfica de la función: f: R → R, f (x ) 5 2x 2. Solución: 2b 20 0 5 50 5 x5 2a 2(21) 2 a ) El eje de simetría de la parábola es: x 5 o sea: x 5 0 o sea: x 5 0, que es la ecuación del eje y. b ) Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ). El vértice de la parábola es: x f (x ) 5 2x 2 f (x ) Puntos 3 f (3) 5 2(3)2 18 (3, 18) que es el origen del sistema coordenado . 2 f (2) 5 2(2)2 8 (2, 8) La parábola es cóncava hacia abajo porque en la expresión algebraica de la función, a < 0. 1 f (1) 5 2(1)2 2 (1, 2) f (0) 5 2(0)2 0 (0, 0) 2b 4 ac 2b 2 5 5(0 , 0) 2a 4a b) c) 2b 50 2a Se construye una tabla para y 5 f (x ). x f (x ) 52 x 2 f (x ) Puntos 21 f (21) 5 2(21)2 2 (21, 2) 3 f (3) 5 232 29 (3, 29) 22 f (22) 5 2(22)2 8 (22,8) 2 f (2) 5 222 24 (2, 24) 23 f (23) 5 2(23)2 18 (23,18) 1 f (1) 5 212 21 (1, 21) f (0) – 0 0 21 f (21) 5 2(21)2 21 (21, 21) 22 f (22) 5 2(22)2 24 (22, 24) 23 f (23) 5 2(23)2 29 (23, 29) y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (0, 0) X=0 2b 50 2a -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X=0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Figura 10.14 226 2b 2 0 0 5 5 50 2a 2(2) 4 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x Figura 10.15 x Observa que esta parábola es menos abierta que las anteriores. 4. Esboza la gráfica de la función: f : R →, f (x ) 5 Solución: El eje de simetría de la parábola es: x 5 x2 . 3 2b 2 0 5 50 2a 2 2 1 3 Grupo Editorial Patria® entonces su ecuación es: x 5 0. Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ). x2 f ( x )5 3 21 2 f (3)5 (3) 3 21 f (2)5 (2)2 3 21 f (1)5 (1))2 3 x 3 2 1 2b 50 2a 21 22 23 Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ). f (x) Puntos 23 (3,23) 24 3 21 3 21 f (0)5 (0)2 3 21 f (21)5 (21)2 3 21 f (2 2)5 (2 2)2 3 f (23)5 ⎡ 24 ⎤ ⎢⎣ 2 , 3 ⎥⎦ ⎛ 21⎞ ⎜⎝1, ⎟ 3 ⎠ 0 21 3 21 (23)2 3 24 3 23 (23, 23) f (x ) 5 x225x f (x ) Puntos 5 f (5) 5 5225(5) 0 (5, 0) 4 f (4) 5 4225(4) 24 (4, 24) 3 f (3) 5 3225(3) 26 (3, 26) ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ f ⎜ ⎟ 5⎜ ⎟ 2 5 ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 25 4 ⎛ 522 25 ⎞ ⎜⎝ , ⎟ 2 4 ⎠ 2 f (2) 5 2225(2) 26 (2, 26) 1 f (1) 5 1225(1) 24 (1, 24) 0 f (0) 5 0225(0) 2b 5 5 2a 2 (0, 0) ⎛ 21⎞ ⎜⎝21, ⎟ 3⎠ 2 4⎞ ⎛ ⎜⎝2 2 , ⎟ 3⎠ x X=0 2 (0, 0) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x 5 X=_ 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 y y -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x Figura 10.17 Los ceros de esta función se obtienen en x 5 0 y x 5 5, o sea que (0, 0) y (5, 0) son los únicos puntos que la parábola tiene en común con el eje x. 6. Figura 10.16 Esboza la gráfica de la función f : R → R, f (x ) 5 23x ²19x. Solución: Esta parábola es más abierta que las anteriores, y en las cuatro su vértice coincide con el origen. El eje de simetría de la parábola es: x 5 Estas parábolas son del tipo: y 5 ax 2 Entonces su ecuación es: x5 . 2b 29 3 5 5 2a 2(23) 2 3 2 donde el cero de la función se obtiene cuando x 5 0, es decir, el origen es el único que la parábola tiene en común con el eje x. 5. 5 2 Por lo que su ecuación es: x5 Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ) Esboza la gráfica de la función: f: R → R, f (x ) 5 x 2 –5x 5 0. x f (x ) 5 23x 229x f (x ) Puntos Solución: 4 f (4) 5 23(4)219(4) 212 (4, 212) 3 f (3) 5 23(3)219(3) 0 2b 2(2 5) 5 El eje de simetría de la parábola es: x 5 5 5 2a 2(1) 2 (3, 0) 227 10 BLOQUE Resuelves ecuaciones cuadráticas II f (2) 5 23(2)2 19(2) 6 (2, 6) 21 f (21) 5(21)2 29 28 (21, 28) ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ f ⎜ ⎟ 523 ⎜ ⎟ 1 9 ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 27 4 ⎛ 3 27 ⎞ ⎜⎝ , ⎟⎠ 2 4 22 f (22) 5 (22)2 29 25 (22, 25) 1 f (1) 5 23(1)2 19(1) 6 (1, 6) 23 f (23) 5 (23)2 29 0 (23, 0) 0 f (0) 5 23(0)2 19(0) 0 (0, 0) 24 f (24) 5 (24)2 29 7 (24, 7) f (21) 5 23(21)2 19(21) 212 2 2b 3 5 2a 2 21 2 (21, 212) y En esta función los ceros se encuentran cuando x 5 3 y x 5 23. 8. Esboza la gráfica de la función: f : R → R, f (x ) 5 22 x ²14 18 16 14 12 10 8 6 4 2 X=0 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 3 X= _ 2 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Figura 10.18 Los puntos que la parábola tiene en común con el eje x son (0, 0) y (3, 0), o sea que los ceros de la función se obtienen cuando x 5 0 y x 5 3. Solución: 2b 20 50 5 2a 2(2 2) En los ejemplos 5 y 6 las parábolas son del tipo: y 5 ax 1bx. Donde los ceros de la función se obtienen cuando x 5 0 y x 5 Se constituye una tabla de valores para y 5 f (x ). 2b a 7. Esboza la gráfica de la función: función f : R → R, f (x ) 5 x 29. 2 Solución: 2b 2 0 El eje de simetría de la parábola es: x 5 5 50 2a 2(1) por tanto, su ecuación es: x 5 0. Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ). x Figura 10.19 El eje de simetría de la parábola es x 5 : x 5 2 228 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 o sea que su ecuación es: x 5 0. x f (x ) 5 22x 2 14 f (x ) 3 f (3) 5 22(3)2 14 214 (3, 214) 2 f (2) 5 22(2)2 14 24 (2, 24) 1 f (1) 5 22(1)2 14 2 (1, 2) 2b 50 2a f (0) 5 22(0)2 14 4 (0, 4) Puntos x f (x ) 5 x 2 29 f (x ) Puntos 4 f (4) 5 42 29 7 (4, 7) 21 f (21) 5 22(21)2 14 2 (21, 2) 3 f (3) 5 3 29 0 (3, 0) 22 f (22) 5 22(22)2 14 24 (22, 24) 2 f (2) 5 2 29 25 (2, 25) 28 (1, 28) f (23) 5 22(23)2 14 214 (23, 214) 1 f (1) 5 1 29 23 2b 50 2a f (0) 5 02 29 29 (0, 29) 2 2 2 Grupo Editorial Patria® y En consecuencia, los ceros de la función se obtienen cuando 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X=0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x 2 5 2 y x 2 52 2 En los ejemplos 7 y 8 se observa que los ceros de la función son valores simétricos de x. Estas funciones son del tipo: f (x ) 5 ax 2 1 c. -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x Cuando a > 0 y b 2 – 4ac < 0, el punto mínimo de la parábola está por encima del eje x, por tanto los ceros de la función no son números reales, sino complejos. De manera similar cuando a < 0 y b 2 –4ac < 0 el punto máximo de la parábola queda por debajo del eje por lo que los ceros de la función no son números reales sino complejos. Cuando la función es el tipo: f (x ) ax 2 1bx 1 c se pueden presentar los casos ya estudiados. Figura 10.20 Los ceros de la función se encuentran cuando f (x ) 5 0, es decir: 0 5 22x 2 14 o bien: de donde: 22x 2 14 5 0 22x 2 524 x2 5 24 22 x 2 52 x 2 5± 2 Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 10. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Desde lo alto de un edificio de 36 metros de altura se lanza hacia arriba un proyectil con una velocidad de 12 metros por segundo. La altura del proyectil a los t segundos está dada por la función f (t ) 5 23t 2 112t 1 36. Encuentra el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo. 2. Esboza la gráfica de la función: f : R → R, f (x ) 5 x 2 1 2x 1 4. 229 10 BLOQUE Resuelves ecuaciones cuadráticas II Lista de cotejo Lista de cotejo para el reporte sobre la resolución del problema que da lugar a una ecuación de segundo grado con una incógnita del Bloque 10. Nombre del alumno: Criterio Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente. Desarrollo 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas. Conclusiones Dominio del tema 10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 230 11. Conoce y aplica la teoría para resolver ecuaciones cuadráticas con una incógnita. 12. Puede plantear problemas que dan lugar a una ecuación de segundo grado con una incógnita. 13. Resuelve problemas que dan lugar a una ecuación de segundo grado con una incógnita. 14. Resuelve problemas que dan lugar a una ecuación de segundo grado con una incógnita en forma algebraica o gráfica. 15. Plantea problemas que dan lugar a una ecuación de segundo grado con una incógnita, mediante un modelo. 16. Obtiene la solución de un problema que da lugar a una ecuación de segundo grado con una incógnita. cumple sí no Observaciones Grupo Editorial Patria® Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones: Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del bloque 10. Nombre del alumno: Excelente (4) Bueno (3) Regular (2) Relación entre la función y la ecuación cuadrática Establece la relación entre la función y la ecuación cuadrática. Expresa en la forma estándar a la función cuadrática. En la mayoría de los casos, establece la relación entre la función y la ecuación cuadrática y expresa en la forma estándar a la función cuadrática. En algunos casos, establece la relación entre la función y la ecuación cuadrática y expresa en la forma estándar a la función cuadrática. No establece la relación entre la función y la ecuación cuadrática. No expresa en la forma estándar a la función cuadrática. Influencia del parámetro a y relación entre intersecciones y raíces Conoce la influencia del parámetro a en el ancho y la concavidad de la parábola. Asocia las raíces de la ecuación cuadrática con las intersecciones de la parábola con el eje x. En la mayoría de los casos, conoce la influencia del parámetro a en el ancho y la concavidad de la parábola y asocia las raíces de la ecuación cuadrática con las intersecciones de la parábola con el eje x. En algunos casos, conoce la influencia del parámetro a en el ancho y la concavidad de la parábola y asocia las raíces de la ecuación cuadrática con las intersecciones de la parábola con el eje x. No conoce la influencia del parámetro a en el ancho y la concavidad de la parábola ni asocia las raíces de la ecuación cuadrática con las intersecciones de la parábola con el eje x. Fórmula cuadrática Resuelve problemas sencillos de máximos y mínimos. Representa gráficamente a la función cuadrática. En la mayoría de los casos, resuelve problemas sencillos de máximos y mínimos, y representa gráficamente a la función cuadrática. En algunos casos, resuelve problemas sencillos de máximos y mínimos, y representa gráficamente a la función cuadrática. No resuelve problemas sencillos de máximos o mínimos ni representa gráficamente a la función cuadrática. Aspecto a evaluar Criterios Deficiente (1) Comentarios Generales Nombre del profesor o la profesora: Fecha: 231 Grupo Editorial Patria® Glosario Función. Es una regla de correspondencia en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. Es una relación de dependencia entre dos variables. Binomio. Polinomio de dos términos. Función creciente. Es la función lineal de pendiente positiva. Cero de la función. Es un punto de intersección de la gráfica de la función con el eje x. Función cuadrática en x. Es aquella que en la que su mayor exponente es 2. Coeficiente. Factor que indica el número de sumandos iguales. Función decreciente. Es la función lineal de pendiente negativa. Cóncava hacia arriba (abre hacia arriba) o cóncava hacia abajo (abre hacia abajo). Se refiere a la posición de la gráfica de una función cuadrática cuya incógnita es x. Función lineal. Es una regla de correspondencia que se representa geométricamente por un conjunto de puntos en línea recta. Constante. Es un valor que no cambia ya sea que se represente por un número o por una letra. Imagen. Es el conjunto de valores que puede tomar la función dentro de su dominio de definición. Contradominio. Es el conjunto de valores que toma y. Intervalo. Es un conjunto de valores de la recta numérica comprendidos entre dos valores extremos. Criterio de la vertical. Se utiliza para determinar si la representación geométrica de una gráfica corresponde o no a una función. Matriz aumentada. Está formada por los coeficientes de las variables y los términos independientes. Determinante. Es el valor que corresponde a una matriz. Dominio. Es el conjunto de valores que toma x. Matriz cuadrada. Es aquélla en la que el número de renglones es igual al número de columnas. Ecuación de segundo grado con una incógnita. Es aquélla en la que el mayor valor de su única incógnita es 2. Matriz de coeficientes. Está formada por los coeficientes de las variables del sistema. Ecuación lineal o de primer grado. Tiene como representación gráfica una línea recta. Matriz escalonada. Es aquélla en la que son cero los valores que están por debajo de la diagonal principal. Eje de simetría de una parábola: Es su eje focal. Máximo común divisor de 2 o más números. Es el mayor de los divisores comunes de dichos números. Exponente. Indica el número de veces que la base se repite como factor. Factorización de una expresión algebraica. Es convertirla en el producto indicado de sus factores. Formas de la ecuación de una recta. Se refiere a las distintas expresiones algebraicas de la ecuación. Fracción decimal periódica. Es aquélla en la que una o varias cifras se repiten formando un periodo. Medio aritmético. Es uno o varios términos comprendidos entre los extremos de una progresión aritmética. Medio geométrico. Es uno o varios términos comprendidos entre los extremos de una progresión geométrica. Mínimo común múltiplo de 2 o más números. Es el menor de los múltiplos comunes de dichos números. 233 Glosario Múltiplo de un número. Es aquel que contiene a ese otro un número exacto de veces. Regla de Cramer. Es un conjunto de fórmulas que se utilizan para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado con una incógnita. Se refiere al tipo de raíces que se obtienen cuando el discriminante es mayor, igual o menor que cero. Regla de Sarrus. Se aplica sólo a matrices de 3 3 3. Notación de función. Es la expresión algebraica que relaciona el dominio y contradominio de una función. Número complejo. Es un número de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es igual a la raíz cuadrada de –1. Número primo. Es un número natural que sólo tiene dos divisores. Parábola. Es la representación geométrica de una ecuación de segundo grado con una incógnita. Pendiente de una recta. Expresa la tangente del ángulo de inclinación de formado por la recta con el eje x. Polinomio. Es una expresión algebraica en la que dos o más términos se relacionan por los signos más (+) o menos (–). Productos notables. Son ciertos productos que se pueden obtener de manera directa sin llevar a cabo la multiplicación por el procedimiento general. Progresión aritmética. Es un conjunto ordenado de valores en los que la diferencia entre dos valores consecutivos es constante. Progresión geométrica. Es un conjunto ordenado de valores en los que la razón entre dos términos consecutivos es constante. Proporción. Es la igualdad entre dos razones. Punto máximo. Es el vértice de la parábola cuando es cóncava hacia abajo. Punto mínimo. Es el vértice de la parábola cuando es cóncava hacia arriba. Razón. Es la comparación por cociente entre dos números. Recíproco o inverso multiplicativo de un número. Es aquel que multiplicado por su recíproco da como producto la unidad. 234 Relación. Es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos del dominio y contradominio de la relación. Representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables. Corresponde a la representación geométrica del sistema. Simétrico o inverso aditivo de un número. Es aquel que sumado con su simétrico da como suma cero. Simplificación de fracciones algebraicas. Comprende las siguientes transformaciones: simplificación de fracciones, reducción de fracciones a un común denominador, reducción de fracciones a forma mixta o viceversa. Sistema de ecuaciones simultáneas. Es aquél en el que el valor de cada una de las variables es el mismo en cada una de las ecuaciones que lo integran. Sucesión. Es un conjunto de valores en el que la relación entre dos términos consecutivos es constante. Teorema del binomio. Expresa la ley de formación de los términos del desarrollo del binomio de Newton. Término algebraico o monomio. Es un número o un producto de dos o más números. Triángulo de Pascal. Consiste en la disposición ordenada de los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton. Trinomio. Polinomio de tres términos. Valor máximo. Es el mayor valor de la parábola cuando ésta es cóncava hacia abajo. Valor mínimo. Es el menor valor de la parábola cuando ésta es cóncava hacia arriba. Variable. Representa un conjunto de valores dentro de su dominio. Vértice. Es el punto mínimo (o máximo) de una parábola. Grupo Editorial Patria® Bibliografía Barnett, Raymond A. Álgebra y trigonometría, McGraw-Hill, México, 1986. Britton, Jack R. e Ignacio Bello. Álgebra y trigonometría contemporáneas, Harla, México, 1982. Carpinteyro Vigil, Eduardo y Rubén B. Sánchez Hernández. Álgebra, Publicaciones Patria Cultural, México, 2002. Cuéllar, José A. Matemáticas I para bachillerato, McGraw-Hill, México, 2003. Gobran, Alfonse. Álgebra elemental, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1990. Leithold, Louis. Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Oxford University Press México, México, 1994. Oteyza, Elena et al. Álgebra, Pearson Educación, México, 2003. Peterson, John C. Matemáticas básicas. Álgebra, trigonometría y geometría analítica. Compañía Editorial Continental (CECSA), México, 1998. Phillips, Elizabeth P., Thomas Butts y Michael Shaughnessy. Álgebra con aplicaciones, Harla, México, 1988. Smith, Stanley A et al. Álgebra, Adisson-Wesley Iberoamericana, México, 2001. Vínculos en Internet http://www.matworks.com http://www.wolframreseareh.com http://www.geoan.com 235