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Práctico - ejercicios formas cuadraticas
Álgebra (Universidad de Las Palmas de Gran Canaria)
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ÁLGEBRA
ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA
Hoja de ejercicios
Formas Cuadráticas
Diagonalización
Clasi…cación
1. Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas wa : R3 ! R, de…nida por:
wa (x; y; z) = ax2 +
13
a
4
2 y 2 + (6a
10) z 2 + 3axy
2axz + (a
8) yz; 8a 2 R
(a) Diagonalizar la forma cuadrática por la búsqueda de una base de vectores conjugados.
(b) Clasi…car la forma cuadrática según los valores de a.
(c) Para a = 4 , calcular, si es posible, el ángulo que forman los vectores v 1 = (1; 0; 1) y
v 2 = (2; 1; 1).
(d) Para a = 4, diagonalizar por congruencia.
2. Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas wa : R3 ! R, de…nida por:
wa (x; y; z) = 2x2 + ay 2 + 10z 2
4xy + 8xz
20yz; 8a 2 R
(a) Diagonalizar la forma cuadrática encontrando una base de vectores conjugados.
(b) Clasi…car la forma cuadrática según los valores de a.
(c) Para a = 8, diagonalizar por congruencia.
(d) Para a = 0. Diagonalizar por búsqueda de cuadrados perfectos.
3. Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas wa : R3 ! R, de…nida por:
wa (x; y; z) = x2 + 2xy + 2axz + 2y 2 + 2yz + az 2 ; 8a 2 R
(a) Diagonalizar la forma cuadrática encontrando una base de vectores conjugados.
(b) Determinar para que valores de a de…ne un producto escalar.
(c) Para a = 0. Diagonalizar por búsqueda de cuadrados perfectos y clasi…carla según el
resultado.
(d) Para a = 2. Diagonalizar por congruencia o matrices elementales.
(e) Para a = 43 . Comprobar que los vectores v = (1; 1; 1) y w = (2; 2; 1) son ortogonales.
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4. Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas wa : R3 ! R, de…nida por:
wa (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2axz + 2ayz; 8a 2 R
(a) Diagonalizar la forma cuadrática encontrando una base de vectores conjugados.
(b) Determinar para que valores de a se de…ne un producto escalar.
(c) Para a =
1
2
, calcular el ángulo que forman los vector v 1 = (1; 0; 1) y v 2 = (0; 1; 1).
(d) Para a = 2. Diagonalizar por búsqueda de cuadrados perfectos y clasi…carla.
5. Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas wa : R3 ! R, de…nida por:
wa (x; y; z) = x2 + (2a + 1) y 2 + (a + 1) z 2 + 2axy + 2xz; 8a 2 R
(a) Diagonalizar la forma cuadrática encontrando una base de vectores conjugados.
(b) Determinar para que valores de a de…ne un producto escalar.
(c) Para a = 1, calcular el ángulo que forman los vectores v 1 = (1; 1; 1) y v 2 = (2; 3; 2).
(d) Para a = 2. Diagonalizar por congruencia y clasi…carla.
6. Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas wa : R3 ! R, de…nida por:
wa (x; y; z) = x2 + 2xy + 2xz + ay 2 + 2ayz + 3z 2 ; 8a 2 R
(a) Diagonalizar la forma cuadrática encontrando una base de vectores conjugados.
(b) Clasi…car la forma cuadrática según los valores de a.
(c) Para a = 2. Diagonalizar por búsqueda de cuadrados perfectos.
7. Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas w
w
;
;
: R4 ! R, de…nida por:
(x; y; z; t) = x2 + 3y 2 + 4z 2 + t2 + 2 xy; 8 ;
2R
(a) Diagonalizar la forma cuadrática por la búsqueda de una base de vectores conjugados.
(b) Clasi…car la forma cuadrática según los valores de ; .
(c) Para
=1y
= 1 , calcular, si es posible, el ángulo que forman los vectores v 1 = (1; 1; 1; 1)
y v 2 = (1; 1; 1; 2).
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