Guía 19 Integrales Triples Aplicaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL DE
INGENIERÍA
Facultad de Ingeniería Mecánica
Cálculo Vectorial
Lista de Ejercicios 19
la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 y los planos y = x ;
y = 3 x ; z = 0 en el primer octante.
3
Rpta:
8
02.
Docente: Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez
Tema : Integrales Triles
COORDENADAS CILÍNDRICAS
Si f : U  3 → es una función continua sobre U ,
entonces la transformación de la integral triple
 f ( x; y; z) dV en coordenadas cilíndricas está dado
U
por:
 f ( x; y; z) dV =  f (r cos ( ); r sen ( ); z) r dz dr d
U
04. Mediante coordenadas esféricas. Calcule la integral
d ( x; y; z )
=r
d (r ; ; z )
1) Calcule la integral
 ( x
2
 
−2
Rpta:
está
E,
x2 + y2
; z = 8.
4
2) Calcule el volumen de la parte del cilindro
x 2 + y 2 = 6 x , comprendido entre el paraboloide
x 2 + y 2 = 6 z , y el plano XY . Rpta: 81 / 4 u 3

x 2 + y 2 dx dydz .
Donde E , es el sólido limitado por: z = x 2 + y 2 , z = 1
Rpta:  / 6
2 x− x 2
2
 
0
0

1
0
z x 2 + y 2 dz dy dx
S
x2 + y2 + z2
coordenadas
esféricas.
dV

05. Calcule
x + y2 + z2
2
U
, Donde U es el sólido
que está sobre el cono 3 z 2 = x 2 + y 2 y debajo de la
14 
esfera 4 z = x 2 + y 2 + z 2 . Rpta:
3
06. Sea S el sólido ubicado en el primer octante
comprendido entre las esferas con centro en el origen de
radio 1 y 2 respectivamente y los planos
y = 0; z = 0; y = 3x .
 z dV . Mediante Coordenadas Cilíndricas.
E
b) Calcule
5
Rpta:
8
cartesianas
ENTRETENIMIENTO 1

3
 z dV . Mediante Coordenadas Esféricas.
E
07. Considere la siguiente integral triple en coordenadas
Rpta: 8/9
Mediante
dx dy dz
( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 dz dy dx
x2+y 2
 (2 − 2) 2 7
a) Calcule
E
4) Calcule

+ y ) dx dydz . Donde el
limitado por las superficies
3) Calcule la integral triple
0
8− x 2 − y 2
2
E
dominio
4− x 2
2
MISCELÁNEA
01.
03. Mediante coordenadas esféricas. Calcule el volumen
de la región limitada por la superficie
( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = 27 x
Rpta: 18  u 3
E
Donde J (r ; ; z ) =
z=
Mediante coordenadas esféricas. Calcule
z 2 dx dy dz
, Donde S es la región por arriba del

x2 + y2 + z2
S
plano XY , y entre las esferas de radios respectivamente
2 y 4 centradas en el origen.
224 
Rpta:
9
Calcule
, Donde S es el sólido limitado por
4− x 2
2
 
0
0

16 − x 2 − y 2
0
x 2 + y 2 dz dy dx
a) Modele la integral dada a coordenadas cilíndricas y
evalúe.
b) Modele la integral dada a coordenadas esféricas y
evalúe.