Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Ingeniería Económica Académico Conceptos Ingeniería Económica, Alternativa Ingeniería Económica: Colección de técnicas matemáticas que simplifican comparaciones económicas. Herramienta de decisión por medio de la cual se podrá escoger un método como el más económico posible. Alternativa: Es una solución única para una situación dada. Una alternativa comprende: -Costo de Compra -Vida del activo -Costo de Mantenimiento y operación -Valor de recuperación (costo de salvamento) -Tasa de Interés (tasa de retorno) Criterios de Evaluación de Alternativas Criterios de evaluación de Alternativas: -En el análisis económico el dinero se toma como base de comparación. De las formas que cumplen el objetivo se selecciona la de menor costo. -En el análisis de alternativas los casos involucran factores intangibles, como p.ej. efectos sobre la moral de los empleados. Interés, Ejemplo 1 Interés: Evidencia el valor del dinero en el tiempo. Interés = cantidad acumulada - Inversión original. (captación) Interés = cantidad debida - préstamo original. (colocación) Interés acumulado por unidad de tiempo Tasa de Interés 100% cantidad original Ejemplo1: Una compañía invierte $100 en mayo 1º y retiró $106 un año después. Calcular a) interés sobre la inversión y b)Tasa de interés. a) Interés = 106 - 100 = 6 6 b) Tasa de Interés 100% 100 Ejemplo 2 Ejemplo 2. Pedrito planea solicitar un préstamo de 20000 al 15% de Interés anual. Calcular a) el Interés b) la cantidad a pagar al final del año a) Interés 20000 15% $ 3000 b) Cantidad a pagar 20000 3000 $ 23000 Total a pagar capital (1 i) 20000 (1.15) Equivalencia del Dinero Equivalencia. Supongase que la tasa de interés es 12%. $100 hoy son 100 1 0.12 $ 112 un año después $100 hoy son 100 (1 0.12) $ 89.29 un año antes Consideremos distintos esquemas de prestamos y pagos. Plan 1: El interés y el capital se cobran al cabo de 5 años. El interés se aplica cada año sobre el acumulado del capital e interés causado. Plan 2: El interés acumulado se paga cada año y el capital es recuperado al final del 5º año. Plan 3: El interés acumulado y el 20% del capital se pagan anualmente. Como el préstamo decrece cada año, el interés también. Plan 4: Se hacen pagos iguales cada año en proporción del capital original y el remanente. Planes de Pago Planes de pago de 5000 al 15% en 5 años Plan 1 0 1 2 3 4 5 750 862.5 991.88 1140.66 1311.76 5750 6612.5 7604.38 8745.04 10056.8 0 0 0 0 10056.8 10056.8 0 1 2 3 4 5 750 750 750 750 750 5750 5750 5750 5750 5750 750 750 750 750 5750 8750 5000 5750 6612.5 7604.38 8745.04 0 Plan 2 5000 5000 5000 5000 5000 0 Plan 3 0 1 2 3 4 5 750 600 450 300 150 5750 4600 3450 2300 1150 1750 1600 1450 1300 1150 7250 5000 4000 3000 2000 1000 0 Plan 4 0 1 2 3 4 5 750 638.76 510.84 363.73 194.57 5750 4897.18 3916.44 2788.59 1491.58 1491.58 1491.58 1491.58 1491.58 1491.58 7457.9 5000 4258.42 3405.6 2424.86 1297.01 0 Interés simple e Interés compuesto •Interés simple. Se retiran los intereses a cada período Interés Capital nº de periodostasa de interes P n i Ej. $ 1000 a 3 años al 14% Interés total 1000 3 0.14 •Interés compuesto. Se reinvierten los intereses a c/período Interés capital 1 i capital n capital 1 i 1 n Potencias de un Binomio. Triangulo de Pascal. 1 1 1 1 1 1 2 4 5 6 1 3 15 1 3 6 10 1 4 10 20 1 x 1 x 1 1 x 2 1 x 3 1 x 4 1 x 5 1 x 6 0 1 1 5 15 1 6 1 Interes Simple V/S Interes Compuesto n 1 n i 1 i 0 1 1 1 1 2 1 2i 3 1 3i 1 3i 3i 2 4 1 4i 1 4i 6i 2 n i 1 i 1 2i i 2 i 3 4i 3 i 4 Simbolos En Ingeniería Económica se usan los siguientes símbolos: P = Valor de dinero en tiempo presente; dólares, pesos, etc. F = Valor de dinero en algún tiempo futuro; pesos, dólares, etc. A= Serie consecutiva de valores constantes en cada período. US$ por mes, pesos por mes, etc. n = Número de períodos; meses, años, etc. i = Tasa de Interés por período, % por mes, % por año, etc. P y F representan eventos discretos que suceden una vez en el tiempo, A ocurre en forma discreta con el mismo valor en un número determinado de períodos. Ejemplos Ejemplo 1 Ud. Solicita un préstamo de $2000 ahora y debe pagarlo en cinco años a una tasa del 12% anual. ¿ Identifique entre P, F, n, e i. Solución: P=2000, F=?, i=12%, n=5 años Ejemplo 2 Se piden prestados $2000 al 17% anual a 5 años, el crédito de pagarse en pagos iguales. P=2000, A= anual (5 años), i=17%, n=5 años Diagramas de Flujo de Caja Cada persona tiene Ingresos y egresos(pagos) de dinero que ocurren en momentos determinados. Flujo de Caja positivo: Representa un Ingreso Flujo de Caja negativo:Representa un Pago. Flujo de Caja neto = Entrada - Desembolsos. Supuesto :Todos los flujos de caja ocurren al final de cada período. Esto se conoce como convención fin de período. Un Diagrama de Flujo de Caja es una representación gráfica de un flujo de caja en el tiempo. t=0 representa el presente. Ejemplo 3 Comenzando desde ahora se hacen 5 depósitos de $1000 por año en una cuenta que paga el 7% anual.¿Cuanto dinero se habrá acumulado después del último depósito?. i=7% 0 1 2 3 F=? 4 año A=$1000 Figura 1. Diagrama de Flujo de caja del Ejemplo 3 Factores Fórmulas de pago único. Recordando las fórmulas de interés compuesto se plantea que si se invierte una cantidad P se tendrá: •al cabo de 1 año, F1 = P + Pi = P (1+i) •al cabo del segundo año, F2 = F1 + F1i = F1(1+i) = P (1+i)(1+i) = P (1+i)2 •al cabo del tercer año, F3 = P (1+i )3 En general al cabo de n años, Fn = P (1+i )n Ec. 1 FCCPU y FVPPU FCCPU: (1+i )n :Factor Cantidad Compuesta Pago Unico (FCCPU), dará la cantidad futura F, después de n años a una tasa de interés i. Despejando P de la Ec. 1 en términos de F, se obtiene: P = F [(1/(1+i )n] FVPPU: [(1/(1+i )n] :Factos Valor Presente Pago Unico (FVPPU), permite determinar el valor presente P de una cantidad futura F, n años antes a una tasa de interés i. fórmulas son de pago único pues está implicado un pago o entrada. Deducción del Factor valor presente serie uniforme y del factor de recuperación de capital. Sea el problema de determinar el valor presente de una serie uniforme de flujos, como de muestra en el diagrama de flujo de caja. P=? 0 1 i=7% 2 3 4 n-1 n año A = dado Figura 2. Diagrama de Flujo de caja para determinar el valor presente de una serie uniforme Se hará uso del Factor Presente Pago Unico, así se tiene: P = A[1/(1+i )1] + A[1/(1+i )2] +... + A[1/(1+i )n-1] +A[1/(1+i )n] los términos entre [] representan FVPPU para los años 1 hasta n. Ec2 Multiplíquese la ec. anterior por [(1/(1+i )] P [1/(1+i )] = A[1/(1+i )2] + A[1/(1+i )3] +... + A[1/(1+i )n] +A[1/(1+i )n+1] Ec3 Restando Ec2 de la Ec3, se obtiene: P [(1/(1+i )]-P = A[1/(1+i )n+1) - (1/(1+i )1)] [(1-1-i)/(i+1)]P = A[1/(1+i )] [1/(1+i )n - 1] -iP = A [1/(1+i )n-1] iP = A [1-1/(1+i )n] P i (1+i )n = A[((1+i )n -1) 1 i n 1 P A : FVPSU n i 1 i FVPSU, FRC, FFA 1 i n 1 P A n i 1 i i 1 i n A P n 1 i 1 1 i n 1 : FVPSU n i 1 i i 1 i n : FRC n 1 i 1 Factor Fondo de Amortización Se sabe que : i 1 i n A P , n 1 i 1 sustituyendo el FCCPU en P se tiene : 1 i 1 i n i A F F n n n 1 i 1 i 1 1 i 1 FFA: Factor de Fondo de Amortización i : FFA n 1 i 1 FCCSU Desp ejando F de la ecuación anterior se obtiene : 1 i n 1 F A , i 1 i n 1 : FCCSU i Notación Estándar Para Encontrar Dado P F F P P A A P A F F A Factor Nombre (P/F, i%, n) FVPPU (F/P, i%, n) FCCPU (P/A, i%, n) FVPSU (A/P, i%, n) FRC (A/F, i%, n) FFA (F/A, i%, n) FCCSU Ecuación P=F(P/F, i%, n) F=P(F/P, i%, n) P=A(P/A, i%, n) A=P(A/P, i%, n) A=F(A/F, i%, n) F=A(F/A, i%, n) Ejemplo 4 Ud. deposita $600 hoy, 300 dos años más tarde y $400 dentro de cinco años, la tasa de interés es 5% anual. ¿Cuanto tendrá en 10 años?. F=? i=5% 0 1 2 300 3 4 5 6 7 8 400 600 Diagrama de Flujo de Caja del Problema 4 9 10 P= 600 + 300(P/F, 5%, 2) + 400(P/F, 5%, 5) P= 600 + 300(0.9070) + 400(0.7835) P= 1185.5 Entonces, F= 1185.5 (F/P, 5%, 10) F= 1185.5 (1.6289) F=$1931.06 Cálculos con Notación Estandar Encontrar Dado Factor P F F Nombre Ecuación (P/F, i%, n) FVPPU P=F(P/F, i%, 1 P F n 1 i n) P (F/P, i%, n) FCCPU F=P(F/P, i%, n) P A (P/A, i%, n) FVPSU P=A(P/A, i%, A P (A/P, i%, n) FRC A=P(A/P, i%, A F F Formula (A/F, i%, n) FFA A=F(A/F, i%, F P 1 i n 1 i n 1 P A n i 1 i n) i 1 i n A P n 1 i 1 n) i A F n 1 i 1 n) A (F/A, i%, n) FCCSU F=A(F/A, i%, n) 1 i n 1 F A i Definición y deducciones de las fórmulas de gradientes. Gradiente Uniforme: Es una serie de flujo de Caja que aumenta o disminuye de manera Uniforme. La cantidad de aumento o disminución es el gradiente. Por lo tanto, es una serie en progresión aritmética y la diferencia entre dos flujos consecutivos es el valor del gradiente. Gradiente convencional: Se considera que el gradiente en el flujo de caja comienza entre el primer período y el segundo. Cantidad base: Es el flujo constante que se sucede desde el primer período hasta el último. Figura Serie Gradiente Uniforme 0 1 2 3 4 5 n-1 n G 2G 3G 4G (n-2)G (n-1)G Serie de Gradiente Uniforme (sin cantidad base). Cálculo del Factor Valor Presente Gradiente Uniforme Existen varias maneras de resolver el problema. Llevando a valor presente los gradientes se obtiene la suma: P G( P / F , i %, 2) 2 G( P / F , i%, 3) 3 G( P / F , i %, 4) ... n 2 G P / F , i%, n - 1 n 1 G P / F , i%, n P G[( P / F , i %, 2) 2( P / F , i %, 3) 3( P / F , i %, 4) ... n 2P / F , i %, n - 1 n 1P / F , i %, n ] Reemplazando los factores se tiene: 1 2 3 P G ... 2 3 4 1 i 1 i 1 i n2 n 1 n 1 1 i 1 i n Ec.1 Se multiplica la Ec. 1 por (1+i) y se obtiene: 1 2 3 P 1 i G ... 1 2 3 1 i 1 i 1 i 1 n2 n 1 n2 1 i 1 i n1 Ec.2 Restando la Ec 1 de la Ec 2 se obtiene: 1 2 1 3 2 P 1 i P G ... 1 2 3 1 i 1 i 1 i 1 1 1 1 P i G ... 1 2 3 1 i 1 i 1 i G 1 1 1 P ... 1 2 3 i 1 i 1 i 1 i n 1 n 2 1 n n 1 n 1 i 1 i 1 1 n n 1 1 i 1 i n 1 1 Gn 1 i n1 1 i n i 1 i n FVPGU El valor entre paréntesis corchete es el FVPSU de 1 a n años, por lo tanto, n G 1 i 1 Gn P i i 1 i n i 1 i n n G 1 i 1 n P n n i i 1 i 1 i Esta relación convierte un gradiente uniforme G para n años a un valor presente en el año cero y se denomina VPGU. Y la notación es: n 1 1 i 1 n P / G, i%, n FVPGU n n i i 1 i 1 i Nota: El gradiente comienza el año 2. Serie Uniforme Equivalente a un Gradiente Uniforme Para obtener la serie uniforme equivalente del gradiente G, se multiplica el valor presente anterior por el FRC, se obtiene: n n 1 1 i 1 n i 1 i P / G, i%, n A / P, i%, n n n n i i 1 i 1 i 1 i 1 1 n A / G, i%, n n i 1 i 1 La anualidad de obtiene: 1 n A G A / G, i %, n G n i 1 i 1 Por lo tanto, 1 n A G n i 1 i 1 El factor entre paréntesis corchete se designa por FSAGU (factor serie anual gradiente uniforme) y se identifica por A / G, i%, n Así también puede obtenerse en Valor Futuro Gradiente Uniforme F / G, i%, n P / G, i%, n F / P, i%, n n 1 1 i 1 F G F / G, i %, n G n i i Figura Serie Escalera PE=? 0 1 2 3 4 5 n D D(1+E) D(1+E)2 D(1+E)3 D(1+E)n-1 Serie en Escalera. Cálculo del Valor Presente para una serie en escalera. Cuando el flujo aumenta con una proporción constante entre flujos consecutivos se está en presencia de una serie escalera. No es otra cosa que una serie geométrica y la proporción en que aumenta se designa por (1+E), siendo E la tasa de Escalera. Sea D la cantidad de dinero el año 1. D D 1 E D 1 E PE ... 1 2 3 1 i 1 i 1 i 2 2 1 1 E 1 E PE D ... 1 2 3 1 i 1 i 1 i D 1 E 1 i n n 1 n 1 1 E 1 i n Ec.1 Para obtener una expresión para PE se realizan dos pasos •Multiplicar la Ec.1 por (1+E)/(1+i). 2 3 1 E 1 E 1 E 1 E PE ... D 2 3 4 1 i 1 i 1 i 1 i • Restar la Ec.1 de la Ec.2 n 1 E 1 i n1 Ec.2 1 E n 1 1 E PE 1 D n 1 1 i 1 i 1 i 1 E n 1 E n 1 1 n 1 n 1 i 1 i 1 i PE D D E i 1 E 1 1 i Ei 1 E n 1 n 1 i PE D E i Ei Ec.3 Si E=i, entonces se debe aplicar el teorema de L´Hopital a la Ec.3 n 1 E 1 n E 1 i PE D E i E Ei n 1 E n 1 n 1 i n D PE D 1 1 E 1n 1 i n Ei Por lo tanto, para los casos E=i y Ei se tiene: n PE D 1 E 1 E n 1 n 1 i PE D E i Ei Ei Tasas de Interés nominal, efectiva y capitalización continua Tasa nominal y efectiva: La diferencia existe cuando el período de capitalización es menor a una año. Tasa de Interés Nominal (r): Es la tasa de interés por período de capitalización (o de interés) multiplicada por el número de períodos m. Por ejemplo: Una tasa de 1% mensual es de 3% nominal trimestral, a su vez es de 6% nominal semestral y es de 12% nominal anual. Esta tasa ignora el valor del dinero en el tiempo. Tasa de Interés Efectiva : Involucra el valor del dinero en el tiempo. Así para la tasa efectiva anual se tiene: 1 i 1 i 2 ef S 1 itr 1 im 4 12 Tasas de Interés nominal, efectiva y capitalización continua Para obtener la tasa efectiva de interés a partir de la tasa nominal se utiliza la siguiente fórmula: m r i 1 1 m i = tasa de interés efectiva por período r = tasa nominal de interés por período m= número de períodos de capitalización Ejemplo: a)Depósito de $100. Un banco paga 12% de interés capitalizable anualmente: F P 1 i 100 1 0.12 $112 n 1 Ejemplo: b)Depósito de $100. Un banco paga 12% de interés capitalizable semestralmente: F P 1 i 100 1 0.12 / 2 100 1 0.06 $112,36 n 2 2 c)Depósito de $100. Un banco paga 12% de interés capitalizable trimestralmente: F P 1 i 100 1 0.12 / 3 100 1 0.04 $112,55 n 4 4 Tasas de Interés nominal, efectiva y capitalización continua Lenguaje usual. •El período de capitalización no está dado. i=12% anual Tasa de 12% anual efectiva. Se compone anualmente Se asume que la tasa es la tasa efectiva del período enunciado •El período de capitalización está dado sin expresar si la tasa es nominal o efectiva. i=12% anual, compuesto mensualmente Tasa de 12% nominal anual . Se compone mensualmente Se asume que la tasa es la tasa nominal. El período de capitalización es el enunciado Tasas de Interés nominal, efectiva y capitalización continua Lenguaje usual. •La tasa de interés está expresada como efectiva. i=12% anual efectivo compuesto mensualmente Tasa de 12% anual efectiva. Se compone mensualmente Si la tasa está expresada como efectiva, es la efectiva i=6% semestral efectivo I=6% semestral efectiva, compuesto semestralmente Si el período de capitalización no está dado, este se asume coincidente con el tiempo expresado Payment (Pagos periódicos) Muchos depósitos o préstamos se realizan en cuotas iguales. Por lo que es necesario conocer algunas fórmulas que ahorrarán bastante tiempo: PMT 0 1 PMT 2 PMT PMT 3 n n PMT PMT PMT 1 1 i 1 VP ...... PMT PMT j n 1 i 1 1 i 2 1 i n 1 i 1 i i j 1 n Payment (Pagos periódicos) Despejando el PMT, tendremos: 1 i n i PMT VP n 1 i 1 En donde: 1 i n i F .R.C. Factor de recuperaci ón del capital n 1 i 1 Payment (Pagos periódicos) También se puede relacionar el PMT con el valor futuro: n i 1 i i VP PMT VF n n 1 i 1 1 i 1 Este término se conoce como SFF (Factor de amortización de capital) Ejemplo Pedrito tiene en mente comprarse un automóvil deportivo; un Ferrari rojo que cuesta $27.000.000 y él lo pagará en 36 cuotas iguales. ¿De qué valor será cada cuota si el interés es del 2% mensual? Solución Es necesario llevar a cuota un valor presente utilizando el factor de recuperación de capital. 1 i n i PMT VP n 1 i 1 Numéricamente se obtiene: 1,02 0,02 PMT 27.000.000 1.059.287 1,02 1 36 36 Pedrito deberá pagar cuotas de $1.059.287 Cálculo de Interés con ínter-períodos La idea es analizar que sucede si algunos pagos o retiros se realizan entre períodos de capitalización Interés ínter-periódico El cálculo del valor futuro o presente depende de las condiciones existentes para los ínter-periodos de capitalización, que en general corresponden a uno de siguientes dos casos: 1) No se paga interés sobre el dinero depositado (o retirado) entre períodos de capitalización. 2) El dinero depositado (o retirado) entre períodos de capitalización gana interés simple Interés ínter-periódico A través del siguiente ejemplo, veamos como se realizan los cálculos de los dos casos: El siguiente diagrama de flujos muestra los depósitos y giros que realizó una persona en su cuenta de ahorros durante 12 meses. Calcular la cantidad de dinero tiene dicho individuo al final de los 12 meses si el banco paga un interés del 3% trimestral y: a) No paga interés interperiódico. b) Paga interés interperiódico a los depósitos, pero no a los giros. Interés interperiódico (Giros) 50 0 1 2 90 20 3 70 4 90 5 70 6 7 8 50 30 30 9 40 10 11 (Depósitos) Solución: a) En este caso los depósitos se consideran como si se depositarán al comienzo del siguiente período de capitalización, mientras que los giros se consideran como efectuados al final del período de capitalización anterior. 12 50 Interés interperiódico En el diagrama de flujos: 50 0 1 20 2 70 3 90 4 5 90 70 6 7 8 50 30 30 9 40 10 11 12 50 Luego tendremos: 50 0 90 20+70 1 2 3 70+40 4 5 6 90+50 7 8 9 30+30 10 11 12 50 Interés interperiódico Ahora podemos calcular la cantidad de dinero que tiene el individuo al final de los 12 meses: VF12 40 (1 0,03) 4 90 (1 0,03)3 140 (1 0,03) 2 50 (1 0,03) 50 94 b) Aquí los depósitos efectuados en un ínter-período ganan interés simple, llevando el monto al comienzo del siguiente período de capitalización. Los giros, al igual que en la parte a) se consideran como efectuados al final del período de capitalización anterior. Interés interperiódico Análogo al caso anterior: 50 0 1 20 2 70 3 90 4 5 90 70 6 7 8 50 30 30 9 40 10 11 12 50 Pero ahora los depósitos interperiódicos ganan interés simple: 50 0 90 20+70 1 2 3 70+40 4 5 6 2 50 90 (1 0,03 ) 3 7 8 9 10 2 1 30 (1 0,03 ) 30 (1 0,03 ) 3 3 11 12 50 Interés interperiódico Ahora calcula de la siguiente manera la cantidad de dinero que tiene el individuo al final de los 12 meses: 2 2 0,03 VF12 40 (1,03) 4 90 (1,03)3 50 90 (1 0,03 ) (1,03) 2 30 (1 0,03 ) 30 (1 ) 110 (1,03) 50 3 3 3 Calculando: VF12 97 Amortización A la hora de cancelar un crédito en cuotas, existen dos alternativas en las formas de pago: a) Con cuotas iguales b) Con amortización constante Tabla de amortización Periodo Principal Amortización Interés Cuota 0 1 2 Deuda Amortización (continuación) Periodos de Gracia: Se entiende por período de gracia el período en el cual se cancelan sólo los intereses sin pagar el capital. Amortización en Cuotas Iguales Calculamos el Valor de la Cuota como un Payment de n períodos e interés i. O sea CUOTA = PMT Periodo Principal Amortización Interés Cuota 0 A 1 D=A-C 2 C=PMT-B B=A·i PMT PMT Amortizaciones constantes iguales o El valor de la amortización se fija dividiendo el monto de la deuda en el n° de cuotas pactadas:AMORT = A/n Tabla de Amortización Periodo Principal Amortización 0 1 2 Interés Cuota A C=A-AM AMORT AMORT B=A·i D=AM+B Ejemplo: Amortización Se piden prestados $1.000.000, a 2 años plazo pagaderos en cuotas anuales, con un interés anual del 10% y con 2 años de gracia. Calcule las cuotas y su composición de interés y amortización A) En cuotas Iguales, la cuota será: 1,1 0,1 PMT 1.000.000 576.190 1,1 1 2 2 B) En amortización constante la cuota será: 1.000.000 AMORT 500.000 2 Solución Amortización. En cuotas iguales Tabla de Amortización Periodo Principal Amortización Interés Cuota 0 1.000.000 1 1.000.000 100.000 100.000 2 1.000.000 100.000 100.000 3 523.810 476.190 100.000 576.190 4 0 523.809 52.381 576.190 Solución con amortización constante Tabla de Amortización Periodo Principal Amortización Interés Cuota 0 1.000.000 1 1.000.000 100.000 100.000 2 1.000.000 100.000 100.000 3 500.000 500.000 100.000 600.000 4 0 500.000 50.000 550.000 Bonos Es una obligación a largo plazo, emitida por una corporación o entidad gubernamental, con el propósito de conseguir el capital necesario para financiar obras importantes Los bonos se utilizan frecuentemente, cuando se hace difícil el préstamo de grandes cantidades de dinero de una sola fuente o cuando debe pagarse en un largo período de tiempo Condiciones de pago Estas condiciones se especifican en el momento de emitir los bonos e incluyen en Valor nominal de bono, La tasa de interés del bono, el período de pago de interés y su fecha de vencimiento. •Los intereses se pagan periódicamente •En la fecha de vencimiento se paga el Interés correspondiente más el valor nominal del bono Observaciones Los bonos pueden ser comprados y vendidos en el mercado abierto, por personas diferentes al beneficiario original del bono Ejemplo: A usted le ofrecen un bono de $10.000 cuya tasa de interés es de 6% y paga los intereses semestralmente. Si la fecha de vencimiento será en 15 años, ¿Cuánto pagaría hoy por el bono si desea ganar 4% de interés semestral? Solución (del ejemplo anterior) Los intereses pagados semestralmente ascienden a: 10.000 0,06 300 2 El diagrama de flujos será: I 0 300 300 300 300+10.000 1 2 3 30 P Continúa... Solución Luego (continuación) 1 i n 1 VN P I n 1 i n 1 i i Reemplazando, tendremos 1,0430 1 10.000 P 300 8.271 30 30 1,04 0,04 1 0,04 Por lo tanto, usted estaría dispuesto a pagar $8271 por el bono. Inflación El valor del dinero decrece con el tiempo, debido a esto con una cantidad de dinero fija se adquieren cada vez menos bienes o servicios. Este es el fenómeno de la inflación. La inflación se mide a través de un índice que refleja el nivel de precios de la economía conocido como IPC, el cual contempla una canasta de productos representativos de los patrones de consumo de los hogares chilenos. Cada precio es ponderado en su aumento de valor de acuerdo al consumo de este. El índice tiene base 100 en diciembre de 2009. http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/estadisticas_precios/ipc/metodologia/31_03_10/Manual%20Met odologico%20NIPC%20BASE%20ANUAL%202009.pdf Valor futuro considerando inflación En los cálculos de valor futuro, se debe reconocer que la suma de dinero futuro puede representar una de las cuatro diferentes cantidades: Cantidad Nominal y Real de Dinero Poder de Compra Número de pesos de entonces requeridos Ganancia de interés sobre inflación A continuación se analizará cada uno de estos casos... Cantidad nominal y real de dinero •Nominal toma en cuenta inflación y ganancia •Real, No toma en cuenta la existencia de la inflación. Se limita sólo a calcular la cantidad de dinero que se obtendría con un interés dado. El cálculo del valor futuro es a través de la fórmula tradicional: VF VP (1 i ) n Ejemplo Usted deposita $100.000 en una cuenta de ahorros con10% anual de interés por 8 años. ¿Cuál será la cantidad de dinero que obtendrá ? VF 100.000 (1 0,1)8 214.359 Por lo tanto en 8 años más usted tendría $214.359 El poder de compra En el ejemplo anterior, al cabo de 8 años usted tendría más del doble del dinero que depositó inicialmente. Sin embargo, probablemente no podrá comprar el doble de cosas que hubiera podido comprar en un principio. ¿Por qué?. La respuesta es simple, los precios se han incrementado, esto es por la inflación. El poder de compra (continuación) El dinero que recibiré ¿Cómo lo puedo comparar con el dinero inicial?, es decir, ¿Cómo puedo comparar el poder de compra del futuro con el actual? Una solución sería llevar a valor presente el valor futuro obtenido con la tasa de interés. Para llevar a valor presente se debe considerar la tasa de inflación (f), es decir, en la fórmula reemplazar el “i” por el “f”. En fórmulas... El poder de compra (continuación) Llevamos a valor futuro el depósito: VF VP (1 i) n Finalmente este valor lo llevamos a valor presente (en donde reemplazaremos “i” por “f”): VF VP 1 i V n 1 f 1 f n n El poder de compra (continuación) Para realizar este cálculo, podríamos utilizar la tasa de interés real (ir ), la cual representa la tasa a la cual el dinero presente se transformará en dinero futuro equivalente con el mismo poder de compra . La fórmula sería: VP 1 i n V VP 1 ir n 1 f n Donde: i f ir 1 f Ejemplo Usted deposita $100.000 en una cuenta de ahorros con10% anual de interés por 7 años. La tasa de inflación se espera de 8% anual. La cantidad de dinero que puede acumularse con el poder de compra de hoy sería: 100.000 1 0,1 V 113.706 7 1 0,08 7 Veamos lo que ocurre si utilizamos la tasa de interés real para realizar los cálculos: Ejemplo Calculamos la tasa de interés real: i f 0,1 0,08 ir 1,8519% 1 f 0,1 0,08 Luego: V VP (1 ir ) 100.000 1,018519 113.706 n 7 Tal como se esperaba, se obtuvo el mismo resultado. Números de pesos que se requerirán Comprar algo en una fecha futura requerirá más pesos que los requeridos ahora para la misma cosa. El cálculo del valor futuro se efectúa por medio de la siguiente fórmula: VF VP (1 f ) n Notar que este caso también reconoce que los precios se incrementan durante los períodos inflacionarios Ejemplo Se desea comprar auto dentro de tres años más. ¿Cuánto le costará si actualmente cuesta 1.000 y se espera que el precio se incremente en 5% anual? Solución Podemos calcular fácilmente el valor futuro del auto usando la formula VF VP (1 f ) n Reemplazando, tenemos VF 1.000 (1,05)3 1.158 Por lo tanto, se deberá juntar 1.158 pesos 4) Ganancia de interés sobre Inflación Mantiene el poder de compra y la ganancia de interés. Para mantener el poder de compra podemos utilizar la fórmula del caso 3, es decir, calculamos “el número de pesos de entonces requeridos”. Luego, a este valor se de debe agregar la ganancia de interés, este cálculo es análogo al caso 1. La formula quedaría: VF VP (1 f ) n (1 i) n Ganancia de interés sobre Inflación También podemos usar la llamada tasa de interés inflada (if ): if i i f f En donde se cumple que: VF VP (1 f ) n (1 i) n VP (1 i f ) n Ganancia de interés sobre Inflación También podemos usar la llamada tasa de interés inflada (if ): if i i f f En donde se cumple que: VF VP (1 f ) n (1 i) n VP (1 i f ) n Ejemplo Se depositan $5.000 en un banco, se espera un año y se retira todo el dinero para comprar un bien. Si el banco lo protegió de la inflación (que fue 0,5% mensual) y ganó un 1% mensual de interés . ¿Cuánto le costo el bien? Ejemplo El depósito en el banco hizo que el dinero mantuviera el poder de compra y además que ganara interéses, luego nos enfrentamos a un ejercicio del tipo 4, es decir, ganancia de interés sobre inflación. Calculemos la tasa de interés inflada: i f i i f f 0,01 0,005 0,01 0,005 0,01505 VF VP (1 i f ) n 5000 (1,01505)12 5982 Por lo tanto el bien costó 5.982 Depreciación Los activos comprados por la empresa van perdiendo su valor a lo largo del tiempo. Este efecto se materializa con una disminución del valor del activo en los libros de las empresas. Depreciación (continuación) ¿Por qué las empresas deprecian? Porque les sirve de Escudo Fiscal (disminuye la base imponible, o sea, el valor sobre el cual se les aplican los impuestos. Depreciación (definiciones) Dt = Depreciación en el período t P Dt 0 Vt VA VA = Valor Inicial del Activo 1 D1 V1=VA-D1 Vt = Valor del activo en el período t 2 D2 V2=V1-D2 VS = Valor de Salvamento o Valor Residual del activo al fina del su vida util n Dn VS Tipos de depreciación VA VS Dt n Depreciación Línea Recta Depreciación Acelerada Solo aplicable si n mayor o igual a 5 n T 3 VA VS Dt T Redondeado hacia abajo Tipos de depreciación (continuación) Depreciación Saldos decrecientes Dt d VA 1 d t 1 Vt VA 1 d ¿Cuánto vale d? t 1,5 S .D. d n 2 S .D.D. d n Ejemplo Si se comprara un camión para la empresa, por un valor de 11.000 y la vida útil es de 10 años, al término de la cual, el valor de salvamento será de 1.000, Apliquense todos los métodos de depreciación vistos Ejemplo (continuación) Depreciación Línea Recta P Dt 0 Vt 11.000 1 1.000 10.000 2 1.000 9.000 10 1.000 1.000 11.000 1.000 Dt 1.000 10 Ejemplo (continuación) Depreciación Acelerada Como 10 es mayor o igual que 5, se puede aplicar P Dt 0 Vt 10 T 3,3 3 3 11.000 1.000 Dt 3.333 3 11.000 1 3.333 7.667 2 3.333 4.334 2 3.334 1.000 La última depreciación cambia por el efecto de los decimales perdidos Ajustes en la ultima Depreciación En el sistema de Saldos Decrecientes, es posible que el último Valor del activo no coincida con el Valor de Salvamento establecido originalmente Por lo tanto, la(s) última(s) depreciación(es) se acomodan para hacer coincidir el último Valor del Activo con el Valor de Salvamento Ejemplo (continuación) Depreciación Saldos decrecientes (S.D.D.) 2 d 0,2 10 D1 0,2 11.000 1 0,2 2.200 V1 11.000 1 0,2 8.800 D2 0,2 11.000 1 0,2 21 1.760 V2 11.000 1 0,2 7.040 D3 0,2 11.000 1 0,2 31 1.408 V3 11.000 1 0,2 5.632 11 1 2 3 Ejercicio (continuación) El cálculo continua hasta el periodo 10 donde: V9 11.000 1 0,2 1.476 9 D10 0,2 11.000 1 0,2 101 295 V10 11.000 1 0,2 1.181 10 Valor final 1.181 1.000 por lo que se corrige la D10 de forma de dejar V10 en 1.000 D10 = 476 Flujos de Caja Es la forma de representar los ingresos y egresos de una actividad económica, con el objetivo de determinar los flujos netos que ésta entrega (o absorbe) en cada período Especial énfasis pondremos en el estudio de los Escudos Fiscales Flujo de Caja (continuación) + = = Ing. Ventas Costo Venta + - Ing. No Operacional. = Perd.Ejerc. Anterior - Impuesto = Ut después de Impto Utilidad. Bruta Egresos Operacional Ut. Operacional Depreciación Int C. y L. Plazo Ut. Antes Impuestos + + - Depreciación + Inversión Perd.Ejerc. Anterior Amort. C y L Plazo = Venta Activos Imp. Venta Activos Total Anual + = Monto Crédito Flujo Neto (FN) Escudos Fiscales Aquellos términos que se restan antes de aplicar el impuesto, para luego sumarlos al flujo. Su efecto es simple: Disminuyen la cantidad de impuesto a pagar •Intereses de Corto y Largo Plazo •Depreciación •Perdidas del Ejercicio Anterior Las empresas harán lo posible para maximizar dichos escudos. Ejemplo Usted desea hacer algo distinto con su plata, para lo cual se ha decidido a instalar un negocio de venta de softwares de computadores dado que le otorgaron las licencias para poder copiar y vender los programas en CD’s. Necesita comprar un computador para administrar el negocio además de otro que sirva como lector y grabador de los CD’s, todo lo cual se estima en $6.000.000. Estas máquinas tienen estimada una vida útil de 5 años y se deben depreciar con el método Línea Recta. Como usted no tiene todo el dinero logra conseguir un crédito que le financia el 75% del total de la inversión a una tasa de 10% anual, pagadero en 5 cuotas anuales con amortización fija. El negocio se debe evaluar a 5 años plazo. Los ingresos por ventas se estiman en $4.000.000 el primer año, los cuales tendrán un incremento uniforme de $500.000 cada año hasta el año 5. Los costos de producción se estiman en $3.000.000 el primer año y crecerán en $300.000 cada año hasta el año 5. El impuesto anual a las utilidades es de un 15% y la tasa a la cual usted debe evaluar su proyecto es de un 15%. • Determine la tabla de amortización del crédito y Determine la tabla de depreciación • Calcule el flujo de caja para cada año Proyecto con financiamiento En M$ Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 + Ingreso por Ventas 4.500.000 5.000.000 5.500.000 6.000.000 6.500.000 - Costos Producción -3.000.000 -3.300.000 -3.600.000 -3.900.000 -4.200.000 = Utilidad Bruta 1.500.000 1.700.000 1.900.000 2.100.000 2.300.000 - Egreso Oper. = Ut.ilidad Oper. 1.500.000 1.700.000 1.900.000 2.100.000 2.300.000 - Depreciación -1.200.000 -1.200.000 -1.200.000 -1.200.000 -1.200.000 - Interés L.P. -450.000 -360.000 -270.000 -180.000 -90.000 -150.000 -10.000 -10.000 420.000 720.000 1.010.000 -63.000 -108.000 -151.500 -10.000 357.000 612.000 858.500 150.000 10.000 -900.000 -900.000 -900.000 -900.000 -900.000 1.200.000 1.200.000 1.200.000 1.200.000 1.200.000 150.000 440.000 667.000 912.000 1.158.500 150.000 440.000 667.000 912.000 1.158.500 Interes CP - Pérdida Ejercicio Anterior = Ut. Antes de Imp. - Impuesto ( 15%) = Ut. Después de Imp. + Pérdida Ejercicio Anterior + Capital de trabajo - Inversión - Amort. L.P. -150.000 -150.000 -6.000.000 Amort CP + Depreciación + Valor Residual - Impto Vta Activos = Total Anual + Crédito = Flujo Total Anual 4.500.000 -1.500.000 15% 499.119,53 Indicadores Económicos Herramientas para evaluar la viabilidad económica de un proyecto Valor Actual Neto (VAN) Consiste en actualizar a tiempo presente todos los flujos de un proyecto Es uno de los indicadores económicos más utilizados, por su simpleza de cálculo e interpretación. Calculo VAN n VAN j 0 FN j 1 i j Donde: FNj = Flujo Neto período j i = Tasa de Interés Efectiva en el período. n = Número de períodos ¿Qué tasa de interés se ocupa? Tasa de Descuento Existen varias formas de entenderla Es el interés que se le exige a una alternativa de inversión para ser considerada rentable Corresponde al Costo de Oportunidad del evaluador Por ahora: Interés que me ofrece mi alternativa de inversión mas cercana Por lo tanto, la tasa de descuento es distinta para cada inversionista Interpretación > 0 Alternativa Recomendable VAN = 0 Alternativa No Recomendable < 0 Alternativa No Recomendable Mientras mayor sea el VAN de una alternativa, mejor es desde el punto de vista económico Ejemplo Sean los flujos netos de caja que me entregará un proyecto de inversión. Mi alternativa es una cuenta de ahorro que me da un 7% anual efectivo 85 100 150 200 Tasa de descuento = 7% 0 500 1 2 3 4 VAN 500 85 100 150 200 1,07 1 1,07 2 1,07 3 1,07 4 VAN 500 79,4 87,3 122,6 152,6 58,2 Observaciones sobre el VAN Si lo uso para comparar dos alternativas: •A ambas se les debe aplicar la misma tasa de descuento. •Ambas evaluadas con el mismo numero de períodos. ¿Que pasa con proyectos de distinta duración? ¿Como los comparo vía VAN? VAN para alternativas diferente duración Flujos Alternativa 1 FN0 FN1 FN2 FN3 -525 110 300 400 Flujos Alternativa 2 FN0 FN1 FN2 -200 50 200 Se calculan los VAN prolongando la vida de los proyectos al Mínimo Común Múltiplo de sus duraciones. MCM 2 y 3 = 6 Es equivalente a repetir el mismo proyecto una y otra vez VAN para alternativas diferente duración -525 110 300 400 -525 110 300 400 -525 110 300 -125 110 300 400 0 1 -200 50 -200 50 2 3 4 5 6 200 -200 50 200 -200 50 200 0 50 0 50 200 Alternativa 1 (Se hace 2 veces) Suma año a año 7 8 9 10 Alternativa 2 (Se hace 3 veces) Suma año a año VAN para alternativas diferente duración Ocupando una tasa de descuento del 10% VAN 1 525 110 1,1 VAN 2 200 1 50 1,1 1 300 1,1 2 0 1,1 2 125 1,1 3 50 1,1 3 110 1,1 4 0 1,1 4 300 1,1 5 50 1,1 Por lo tanto la alternativa 1 es la mejor 5 400 216,2 1,1 6 200 1,1 6 27 Costo de Capital Promedio Ponderado Se llamará Costo de Capital Promedio Ponderado de una Empresa (C.C.P.P.) al costo Promedio Ponderado de las dos fuentes de Financiamiento (Deuda y Patrimonio) de los activos de la Empresa. Rd Ra Activos Pasivos (Inversiones) (deuda) Patrimonio (aporte de los dueños) Re Rd: Costo de Financiamiento con Pasivos (%). Re: Costo de Financiamiento con Patrimonio (%). Deuda Patrimonio C.C.P.P. Rd 1 C E R e Activos Activos C : Tasa de Impuesto Ejemplo C.C.P.P. Sea la empresa con la estructura siguiente: Rd=10% Ra Activos Pasivos (Inversiones) =$4.000 =$10.000 Patrimonio =$6.000 Re=16% 4.000 6.000 C.C.P.P. 10% 1 0,15 16% 10.000 10.000 C.C.P.P. 13% Supuesto: Impuesto de 15% Significado del VAN 1. Suponga el proyecto con los siguientes flujos de caja: 1600 1800 0 1 Inv=2000 2 Significado del VAN 2. Suponga la estructura de financiamiento sgte: Deuda $1.000 Patrimonio $1.000 Rd 10% anual antes de Impto. E(Re) 11,5% anual c 15% Significado del VAN 1.000 1.000 C.C.P.P. 10% 1 0,15 0.115% 2.000 2.000 C.C.P.P. 10% Flujo de Caja Neto Año 1 1600 0.15 1600 1360 Flujo de Caja Neto Año 2 1800 0.15 1800 1530 1360 1530 Valor Pte VAN 2.000 $500,83 2 1,1 1,1 Significado del VAN AÑO 1 AÑO 2 Flujo Caja Op.(antes de Impto) 1.600 1800 - pago intereses =Util. afecta a Impto (100) 1.500 (42) 1.758 - Impto. (15%) =Remanente 1 - costo op. Dueño (11,5%) Remanente 2 - Amortización deuda - Devolución dueño =Remanente final (225) 1.275 (115) 1.160 (580) (580) 0 (263,7) 1.494,3 (48,3) 1.446 (420) (420) 606 Nos Quedan $ 606 el año 2, ¿cuánto será al año “0”?. 10% de 420 15% de 1758 11.5% de 420 Bco. Dueño Significado del VAN Nos Quedan $ 606 el año 2, ¿cuánto será al año “0”?. 0 1 2 Respuesta: 606 Valor Pte ¡¡ 500.83 VAN 2 1.1 Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE) •El CAUE es otro método que se utiliza comúnmente en la comparación de dos alternativas •A diferencia del VAN, el CAUE no requiere que la comparación se realice sobre el mínimo común múltiplo de los años cuando las alternativas tienen diferentes vidas útiles. Sólo se necesita que las Tasas sean iguales. •El CAUE nos indica cuál alternativa es mejor, sin embargo, no nos indica cuánto es una mejor a la otra. Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE) El CAUE significa que todos los ingresos y desembolsos deben convertirse en una cantidad anual uniforme equivalente que es la misma cada período. La alternativa seleccionada será aquella que presente el menor CAUE Cálculo del CAUE Sabemos que el CAUE es la “transformación” de los ingresos y desembolsos en una cantidad anual uniforme equivalente. Por ejemplo, el siguiente flujo: 500 0 1 8000 900 2 3 900 900 8 900 Si consideramos una tasa de interés del 20% anual, el CAUE será: 0 1 2 3 2955 2955 2955 8 2955 Cálculo del CAUE Existen varios métodos para calcular el CAUE, sin embargo, el procedimiento general consiste en calcular el VAN y luego llevar éste a un PAYMENT. Analicemos el Ejemplo anterior: 500 0 1 8000 900 VAN 8000 2 3 900 900 8 900 900 900 900 400 11337 1 2 7 8 1,2 1,2 1,2 1,2 Cálculo del CAUE Ahora solo llevamos el VAN a un PAYMENT: 1,28 0,2 2955 CAUE 11337 8 1 , 2 1 El diagrama de flujo será: 0 1 2 3 2955 2955 2955 8 2955 CAUE de gastos recurrentes Algunos proyectos de vida indefinida poseen gastos recurrentes. Para calcular el CAUE de ellos podemos seguir el siguiente procedimiento: 1) Los flujos deben ser convertidos a cantidades anuales uniformes. 2) Se debe modificar el flujo, de tal manera que el PMT empiece del período nº1. CAUE de gastos recurrentes (ejemplo) Calculemos el CAUE del siguiente flujo (de vida indefinida), asumiendo un interés del 10% anual. 0 1 2 500 3 4 500 5 6 7 500 Según el procedimiento señalado, necesitamos convertir el flujo a cantidades anuales uniformes: Podemos considerar que desde el 2do año el flujo esta compuesto por infinitos subflujos de 2 años c/u CAUE de gastos recurrentes (ejemplo) Siguiendo el consejo de Bart... 1,12 0,1 288 PMT 500 2 1 , 1 1 Luego, nuestro flujo será: 0 1 2 3 4 5 288 288 288 n 288 CAUE de gastos recurrentes (ejemplo) Finalmente, modificamos el flujo de tal manera que el PMT empiece en el año nº1: V1 0 V3 288 238 2 2 (1 i ) 1,1 V2 1 2 3 4 238 238 238 238 V4 288 238 2 2 (1 i ) 1,1 ... CAUE=238 238 Nota: Es necesario calcular el monto del año nº1, y luego éste se repetirá indefinidamente cada año CAUE de una inversión perpetua ¿Cómo se calcula el CAUE de un proyecto de vida indefinida que además de tener gastos recurrentes tiene algunos gastos no recurrentes? Para estos proyectos el cálculo del CAUE se debe realizar de la siguiente manera: CAUE de una inversión perpetua 1) Los gastos no recurrentes deben convertirse a valor presente y luego multiplicarse por la tasa de interés: CAUE1 VP * i 2) Luego calculamos el CAUE de los gastos recurrentes CAUE2 3) CAUE=CAUE1+CAUE2 CAUE de una inversión perpetua (Ejemplo) Un proyecto posee el siguiente diagrama de flujo: (Asumir interés del 10% anual) 0 1 7000 300 2 4 3 300 5 6 300 300+800 7 8 300 300 300+800 300+4000 ¿Cuál será el CAUE del proyecto? Primero calculamos el CAUE de los gastos no recurrentes: 9 300+800 CAUE de una inversión perpetua (Ejemplo) 4000 CAUE1 7000 0,1 973 4 1,1 Luego necesitamos encontrar el CAUE de los gastos recurrentes: Existe un gasto periódico anual de 300, luego CAUE2=300 Además cada 3 años se gastan 800 adicionales.Entonces, debemos calcular el CAUE3 CAUE de una inversión perpetua (Ejemplo) Podemos hacer un diagrama con $500 que se gastan cada 3 años: 0 1 2 3 4 5 800 6 7 8 800 9 800 Calculando el CAUE3 de gastos recurrentes de este flujo: 0 1 2 3 4 242 242 242 242 ... 242 Finalmente: CAUE 973 300 242 1515 Para tomar en cuenta... El análisis anterior (CAUE) también se puede utilizar cuando en vez de estudiar COSTOS se estudia flujos positivos, en cuyo caso el análisis suele llamarse VAE (Valor anual equivalente),aunque en ocasiones se sigue utilizando el término CAUE. Lógicamente la alternativa seleccionada será la de mayor VAE VAE (Ejemplo) Se tienen dos proyectos con sus respectivos flujos. Si la tasa del inversionista es del 10%, ¿Cuál será la mejor alternativa utilizando el método del VAE (CAUE)? Pr oyect o A B Año 0 - 1000 - 2000 Año 1 600 700 Año 2 700 800 Año 3 850 900 Año 4 Año 5 950 1000 Primero calculamos el VAN de cada proyecto: VAN A 763 VAN B 1243 Ejemplo Ahora llevamos cada VAN al PAYMENT correspondiente: 1,13 0,1 307 VAE A 763 3 1 , 1 1 1,15 0,1 328 VAE B 1243 5 1 , 1 1 Como VAEB>VAEA, este método nos indica que se debe escoger el proyecto B. Comentarios del ejemplo Anterior Nota que para el análisis del VAE no se necesitó usar el mismo período de tiempo de vida de los proyectos (M.C.M.de los períodos) ¿Cuál sería el resultado si se analizara por el método del VAN? Resolvamos la pregunta: ...Usando el método del VAN El M.C.M. de los períodos de ambos proyectos es 15, luego debemos prolongar la vida de los proyectos a 15 años: El flujo del proyecto A será: 0 -1000 600 700 850 600 700 850 1 2 3 4 5 6 -1000 -1000 850 15 Modificando los flujos... Pero como ya calculamos el VAN individual de cada Proyecto, podemos aprovechar esto y así modificar los flujos para ahorrar cálculos: Proyecto A: VAN A 763 763 763 763 763 0 3 6 9 763 12 15 763 763 763 763 2334 3 6 9 12 1,1 1,1 1,1 1,1 Finalmente... 1243 1243 1243 Proyecto B: 0 VAN B 1243 5 10 15 1243 1243 2494 5 10 1,1 1,1 Por lo tanto la elección por el método del VAN también favorece al Proyecto B Costo Capitalizado Costo capitalizado se refiere al valor presente de un proyecto que se supone tendrá vida indefinida Cálculo del costo capitalizado En general, se debe seguir el siguiente procedimiento: 1) Dibujar un diagrama de flujo que muestre todos los gastos (o ingresos) no recurrentes y al menos dos ciclos de todos los gastos o ingresos recurrentes. 2) Hallar el VP (al año cero) de los gastos (o ingresos) no recurrentes. 3) Hallar el CAUE de los gastos recurrentes (desde el año 1 hasta el infinito) 4) Calcular costo capitalizado: Paso (3) Costo capitalizado Paso (2) i Costo capitalizado (Ejemplo) Se planea construir una carretera en dos etapas, la primera tendrá una inversión de $100.000, 5 años después se ampliará y el costo de inversión será $70.000. Si se espera que el costo anual de mantención sea de$4.000 durante los primeros 7 años, y luego ascienda a $6.000 anuales de allí en adelante, calcule el costo capitalizado. Asuma i=10% anual. Solución: Siguiendo los pasos descritos anteriormente, dibujamos primero el diagrama de flujos Costo capitalizado (Ejemplo) 0 1 2 5 6 7 8 9 6000 6000 4000 4000 70.000 100.000 Hallamos el VP (al año cero) de los gastos no recurrentes: 70.000 VP 100.000 143.464 5 1,1 n 6000 Costo capitalizado (Ejemplo) Para calcular el CAUE desde el año 1 hasta infinito podemos dividir los flujos recurrentes en 2 flujos: 0 1 2 4000 4000 0 1 2 5 4000 5 6 7 8 9 4000 4000 4000 4000 6 7 8 9 2000 2000 2000 CAUE 4000 7 5026 1,1 n 4000 n 2000 Costo capitalizado (Ejemplo) Luego, Costo capitalizado 143464 5026 193724 0,1 Note que al calcular el VP de los gastos no recurrentes se pueden incluir los gastos anuales hasta el séptimo período y del octavo en adelante considerar como único gasto recurrente los 8000 anuales Veamos que sucede si usamos este procedimiento: Costo capitalizado (Ejemplo) Hallamos el VP (al año cero) de los gastos no recurrentes: VP 100.000 70.000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 2 3 4 5 6 7 162938 5 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 El CAUE de los flujos recurrentes serán: 0 1 2 5 6 6000 CAUE 3079 7 1,1 Costo capitalizado 162938 7 8 9 6000 6000 3079 193728 0,1 n 6000 Tasa Interna de Retorno (TIR) El TIR es la tasa que “entrega” un proyecto suponiendo que todos los flujos son reinvertidos a esta tasa. Se calcula buscando la tasa que hace el VAN igual a cero. Otros nombres para el TIR son: •Método del Inversionista •Método de flujo de efectivo de descuento •Índice de rentabilidad Tasa Interna de Retorno (TIR) Para que el TIR sea positiva: •Deben estar los ingresos como las erogaciones. •La suma de los ingresos debe exceder a la de las erogaciones o flujos salientes. VAN(i) i% i% El TIR es la rentabilidad de un proyecto siempre que los flujos liberados en cada período sean re-invertidos a la tasa TIR. Si los flujos son re-invertidos a una tasa XTIR, entonces, La rentabilidad de un Proyecto es Flujo Final I 0 Rent 100 % I0 Rent nPeriodos 1 Rent 1Periodo 1 n Rent 1Periodo Rent nPeriodos 1 1 n 1 FFinal Fn Fn 1 1 x ... F1 1 x n 1 n n 1 Re nt Periodo 1 Fj 1 x n j j 1 I0 n n Re nt Periodo 1 Fj 1 x n j j 1 Re nt Periodo I0 1 I0 n n I0 Fj 1 x n j j 1 I0 1 n F j 1 x j 1 n j VAN I 0 1 x n a. Calcule la Rentabilidad por período del siguiente proyecto, que está expresado como flujos de caja, con X=10%. 15 0 1 2 10 Flujo Final 15 15 1 0.1 15 1 1 0.1 31.5 Re nt 2 Periodos 31.5 10 2.15 215% 10 Re nt 2 Periodos 1 Re nt1Periodo 1 2.15 1 1 2 2 Re nt1Periodo 1 Re nt1Periodo 1.7748 1 0.7748 77.48% Tasa 10% Cálculo del TIR: 15 15 2 10 VAN 0 / 1 x 2 1 x 1 x 2 10 1 x 15 1 x 15 0 /10 2 1 x 1.51 x 1.5 0 z 2 z 1.5 0 con z 1 x 1.5 4 1.5 1.5 z 0.75 1.4636 2 2 z 2.18614 x 1.18614 TIR 118.614% 2 Cálculo de la Rentabilidad si los Flujos son reinvertidos a tasa X= TIR: Re nt Periodo 2 15 1 1.1864 15 1 2.1862 1 1.1862 118.62% 10 Re nt Periodo ¡¡ 118.62% Coincide con el TIR Moraleja: Cuando los flujos son reinvertidos a tasa TIR, la rentabilidad del proyecto es la TIR, y sólo en ese caso. Para toda otra tasa el TIR NO es la rentabilidad del proyecto. TIR Modificada Es la tasa que “entrega” un proyecto suponiendo que todos los flujos son reinvertidos a la tasa costo capital, la cual generalmente es la tasa atractiva de retorno (TMAR) Cálculo de la TIR Modificada 1) Hallar el Valor presente de las inversiones (en valor absoluto). I0 2) Calcular de VFn de los flujos (usando la tasa del costo capital, generalmente TMAR) 3) Calcular la TIR Modificada, despejando t’ de la fórmula: VF I 0 (1 t ' ) n Cálculo de la TIR Modificada Al calcular el VAN de un proyecto se incluyen (restan) las inversiones, en el cálculo de la TIR Modificada le sumamos al VAN la inversión. VAN I 0 * (1 i) n I 0 (1 t ' ) n Despejando: VAN t' n 1 * (1 i ) 1 I0 Donde i es la tasa costo capital, generalmente TMAR Análisis incremental Cuando se realiza un proyecto, lógicamente se busca que su inversión sea la menor posible. Pero si un proyecto de mayor inversión se presenta, éste deberá justificar el incremento de capital. De esta manera si la tasa de retorno sobre la inversión adicional no iguala o supera nuestra TMAR el proyecto de mayor inversión (Proyecto retador) debe desecharse, en caso contrario debe aceptar este último y desechar el proyecto de menor inversión. A continuación se mostrará el proceso de análisis Análisis incremental El procedimiento para realizar el análisis incremental es el siguiente: 1) Ordenar las alternativas de menor a mayor inversión. 2) Calcular la TIR del proyecto con más baja inversión. Si TIR<TMAR entonces se desecha el proyecto y se continúa con el siguiente hasta que TIRTMAR, este proyecto se llamará DEFENSOR. 3) Se igualan los períodos (M.C.M.) entre el DEFENSOR y el RETADOR (proyecto que le sigue en inversión) Análisis incremental 4) Calcular el Flujo incremental: Flujo Incremental FN M .C . M i 0 Retador i FN Defensor i 5) Calcular la TIR del flujo incremental. Si esta TIRTMAR entonces el RETADOR se convierte en el nuevo DEFENSOR (en caso contrario se mantiene el defensor) 6) Se vuelve al paso 3) hasta que quede solo una alternativa. Análisis incremental (Ejemplo) Utilizando el análisis incremental, determinar cuál proyecto se debería seleccionar si la TMAR es 10%: Pr oyect o A B C D Año 0 - 1500 - 1000 - 2000 - 800 Año 1 450 300 450 240 Año 2 550 320 600 240 Año 3 570 400 800 250 Año 4 600 400 900 260 Siguiendo el procedimiento indicado, primero ordenamos las alternativas en forma ascendente según las inversiones: Pr oyect o D B A C Año 0 - 800 - 1000 - 1500 - 2000 Año 1 240 300 450 450 Año 2 240 320 550 600 Año 3 250 400 570 800 Año 4 260 400 600 900 Análisis incremental (Ejemplo) 2) Calculamos la TIR del proyecto con más baja inversión: 240 240 250 260 800 0 2 3 4 (1 t ' ) (1 t ' ) (1 t ' ) (1 t ' ) Despejando obtenemos t’=8,97% Como TIR<TMAR (8,97%<10%) entonces se desecha el proyecto “D” y se continúa con el siguiente (“B”): 1000 300 320 400 400 0 2 3 4 (1 t ' ) (1 t ' ) (1 t ' ) (1 t ' ) t 'B 14,74% Análisis incremental (Ejemplo) Como TIRBTMAR el proyecto “B” será el DEFENSOR 3) Igualar los períodos de los proyectos “B” (defensor) y “A” (retador). Ambos proyectos ya tienen el mismo número de períodos (4). 4) Calculamos el Flujo incremental: Año 0 - 500 Año 1 150 Año 2 230 Año 3 170 5) Calculamos la TIR del flujo incremental: Año 4 200 Análisis incremental (Ejemplo) 150 230 170 200 500 0 2 3 4 (1 t ' ) (1 t ' ) (1 t ' ) (1 t ' ) Despejando obtenemos t’=17,89% Como TIRTMAR (17,89%>10%) el proyecto “A” pasa a ser el nuevo DEFENSOR. 6) Volvemos al paso 3), en donde obtenemos que el nº de períodos es nuevamente 4. 4) Calculamos el Flujo incremental: Año 0 - 500 Año 1 0 Año 2 50 Año 3 230 Año 4 300 Análisis incremental (Ejemplo) 5) Calculamos la TIR del flujo incremental: 0 50 230 300 500 0 2 3 4 (1 t ' ) (1 t ' ) (1 t ' ) (1 t ' ) Despejando obtenemos t’=4,43% Como TIR<TMAR (4,43%<10%) entonces “A” sigue como defensor y como no quedan más proyectos con quien enfrentarse, “A” es el ganador. Por lo tanto se debe seleccionar el proyecto “A” Relación Beneficio/Costo Tal como su nombre lo indica, el método B/C se basa en la relación de los beneficios a los costos asociados con un proyecto particular. Se utiliza un valor equivalente de los beneficios y un valor equivalente de los costos, los que pueden ser valores presente, valores anuales equivalentes o valores finales. Debe considerarse el valor del dinero en el tiempo, por lo que es una razón de beneficios descontados sobre costos descontados Relación Beneficio/Costo Existen diversas fórmulas para calcular la relación B/C se mostrarán dos de ellas, con los métodos de Valor Presente y VAE. Razón B/C convencional con VP: B VP Beneficios del Proyectosin rebajar costos C VP Costos Totales del Proyecto B VP Beneficios C I VP Operación y M antención Relación Beneficio/Costo Razón B/C modificada con VP: B VP Beneficios del Proyecto rebajando costos C VP Inversiones B VP Beneficios del Proyecto VP Operación y M antención C I Inversión Inicial Un proyecto es económicamente aceptable cuando la relación B/C es mayor o igual a 1 Relación Beneficio/Costo Ambas definiciones, convencional y modificada conducen a la misma decisión. Si bien el valor del cuociente es diferente en ambas, en el valor “1” son ambas relaciones iguales y al aumentar los costos ambas disminuyen, al aumentar los beneficios ambas crecen, aunque de forma distinta. Relación Beneficio/Costo Las fórmulas anteriores para calcular la relación B/C por el método del VAE son: Razón B/C convencional con VAE: B VAE Beneficios del Proyectosin rebajar costos C VAE Costos Totales del Proyecto B VAE Beneficios C I FRC VAE Operación y M antención Siendo I FRC la recuperación de capital por la inversión Descontando subsidios si los hay. Relación Beneficio/Costo Razón B/C modificada con VAE: B VAE Beneficios del Proyecto rebajando costos C I FRC Inversiones B VAE Beneficios del Proyecto VAE Operación y M antención C I FRC Inversión Inicial Siendo I FRC la recuperación de capital por la inversión Descontando subsidios si los hay. Las razones así definidas son consistentes con las anteriores y los proyectos se aceptarán con B/C mayor o igual a 1. IVAN Es la relación entre el Valor actual neto de un proyecto y su inversión: VAN IVAN I Da una medida de la rentabilidad sobre la inversión Payback (Período de recuperación) Es el año (o período) en el que la suma de los Flujos Netos es mayor o igual a cero Se puede calcular con los flujos NO actualizados. O con Flujos actualizados min i FN i 0 i Payback i años Payback (Tiempo de pago) El cálculo del Payback considerando los flujos NO actualizados se realiza simplemente sumando algebraicamente los Flujos Netos (sin incluir ninguna tasa de interés) hasta que esta suma sea mayor o igual que cero. En cambio si se quiere calcular con flujos actualizados, se debe tomar en cuenta una tasa de interés. Ejemplo: Payback (Tiempo de pago) Se tienen dos proyectos con sus respectivos flujos. ¿Cuál proyecto debe seleccionarse según el Payback si los flujos no son actualizados? ¿Qué pasa si se considera flujos actualizados a una tasa del 15% anual? Pr oyect o A B Año 0 - 1000 - 1200 Año 1 480 500 Año 2 530 550 Año 3 550 850 Año 4 560 950 Año 5 560 1000 Flujos no actualizados: 1 Proyecto A: FN i 250 i 0 2 FN i 0 i 10 0 PayBack 2años Payback (Tiempo de pago) Proyecto B: 2 1 FN i 0 3 FN i 0 i i 700 FN i 0 i 150 1200 500 550 820 700 0 PayBack 3años Por lo tanto, según el método del Payback y considerando flujos no actualizados, conviene realizar el proyecto A. Veamos que ocurre si usamos flujos actualizados: Payback (Tiempo de pago) Proyecto A: 2 FN 1 480 FN i 100 583 1,15 i 0 i 0 i 182 3 480 530 550 FN i 1000 180 0 2 3 1,15 1,15 1,15 i 0 PayBack 3años Proyecto B: 1 500 FN 1200 765 i 1,15 i 0 3 2 FN i 0 i 349 500 550 820 FN i 1200 210 0 2 3 1,15 1,15 1,15 i 0 PayBack 3años Payback (Tiempo de pago) Como el Payback de A es igual al Payback de B (3 años), entonces según método del Payback estos proyectos son indiferentes (para flujos actualizados con una tasa del 15% anual) Si calculan el VAN de cada Proyecto obtendrán que el proyecto B es el mejor. Tasa de Descuento Tasa de Descuento Objetivo • La tasa de descuento o actualización de los flujos netos de caja generados por el proyecto, es una de las variables que, a nivel conceptual y de aplicación, más confusión a causado en la evaluación de proyectos y además es una de las variables que más influyen en el resultado de la evaluación de un proyecto. • La fijación de la tasa de descuento, para muchos, es una variable poco relevante dentro de la evaluación, por lo que la estimación de ella adolece de una falta de estudio y congruencia con las restantes variables del proyecto. Tasa de Descuento Objetivo • La tasa de descuento representa el retorno mínimo exigido por el inversionista a la inversión del proyecto, debido a que tiene renunciar a un uso alternativo de recursos, los cuales pueden ser invertidos en su mejor alternativa de negocio. • Cuando el riesgo de la alternativa es similar al riesgo de invertir en el proyecto, esta tasa de descuento coincide con el costo de capital de la alternativa o empresa. Por lo tanto, la tasa de descuento se mide con respecto al costo de capital. • El costo de capital se puede entender como la tasa mínima aceptable para que se justifique el uso de los fondos aportados por la estructura de financiamiento utilizada en el proyecto: capital propio y préstamo. Tasa de Descuento Objetivo • El costo de cada fuente de financiamiento individual, capital propio y préstamo, se determina en forma independiente y luego se pondera de acuerdo a los pesos relativos de cada una de ellas, con respecto al total del valor de los activos, para obtener así, una tasa promedio (Costo Medio Ponderado de Capital). • Esta es una forma de estimar el costo de capital, también se puede determinar a través del Modelo de Valuación de Activos de Capital (CAPM). • Todo proyecto de inversión involucra una cuantía de recursos conocidos hoy a cambio de una estimación de mayores recursos a futuro, sobre los cuales existe un alto grado de incertidumbre. Tasa de Descuento Objetivo • Por ello, en el costo de capital o tasa de descuento se incluye usualmente un factor de corrección por el riesgo al cual se ve enfrentado el inversionista. En otras palabras, al costo de capital se le adiciona una prima por riesgo, exigiéndole, por tanto, una mayor rentabilidad al proyecto. • El riesgo de un proyecto se puede definir como la variabilidad de los flujos de caja reales con respecto a los estimados. Mientras más grande es está variabilidad, mayor es el riesgo. La variabilidad de los flujos de caja futuros puede estar asociada a errores en las estimaciones y/o cambios de las condiciones de las variables internas y externas del proyecto. Tasa de Descuento Fijación y Variación de la Tasa de Descuento • Usualmente la tasa de descuento se fija por encima del costo de capital, cuando la medida de riesgo puede ser considerada. Esta medida del riesgo corresponde a una de las formas de incluir el riesgo en la evaluación del proyecto. • El ajuste de la tasa de descuento mediante una prima por riesgo, es un método muy subjetivo de incluir el riesgo, en donde la pericia administrativa y la experiencia son ingredientes fundamentales. La forma de considerarla es el ajuste de la tasa de descuento por riesgo. Tasa de Descuento Fijación y Variación de la Tasa de Descuento • Cuando se analiza la factibilidad de una cartera de proyectos alternativos es común separarlos por categoría de riesgo y establecer la tasa de descuento relativa al costo de capital de cada categoría. • La tasa de descuento no es una variable estática, pues varía de un proyecto a otro y a través del tiempo debido a diversas causas, entre ellas se pueden mencionar: Tasa de Descuento Fijación y Variación de la Tasa de Descuento • El riesgo del proyecto. Mientras, mayor sea el riesgo que se juzgue asociado a un proyecto, mayor será la tasa de descuento y también el costo de capital. • La sensibilidad del área del proyecto. Por ejemplo, si la administración desea centralizar sus inversiones en un área determinada, para ello, podría hacerlo disminuyendo la tasa de descuento. Esto puede provocar confusión en un estudio económico. • Métodos de financiación de capital. Si se limita la oferta de capital financiero y la demanda de este capital excede la oferta, la tasa de descuento sube. • Cambio de las condiciones del mercado financiero. • Cambio de la cartera de proyectos a lo largo del tiempo. • Cambio de la estructura financiera de la empresa. Tasa de Descuento Fijación y Variación de la Tasa de Descuento Pocentaje(%) Tasa de descuento estimada para un proyecto de inversión Prima por Riesgo Costo de Capital Retorno de una inversión libre de riesgo Tasa de Descuento Costo de Capital • El costo de capital obedece a un mecanismo racional de evaluar distintas alternativas financieras de inversión. • Representa la rentabilidad mínima que se exigirá a los proyectos, según su riesgo, de manera tal que el retorno esperado permita cubrir la totalidad de la inversión inicial en cada uno de ellos, los egresos de operación, los intereses que deberá pagarse por aquella parte de la inversión financiada con préstamos y la rentabilidad que el inversionista le exige a su propio capital invertido. Tasa de Descuento Costo de Capital • Representa el precio que se paga por los fondos requeridos para cubrir una inversión. • Cuando el proyecto es medido por criterios de evaluación, el costo de capital es un parámetro racional por el cual un proyecto se acepta o se rechaza. Así es importante la definición de una adecuada estructura de financiamiento y el correcto cálculo de él. Tasa de Descuento Costo de Capital • El costo de capital debe considerar el conjunto fuentes de financiamiento de la empresa como un todo. Es decir, que este costo no se determina para cada proyecto particular, según sus fuentes financiamiento, sino que se considera la totalidad de las fuentes de financiamiento de la cartera de proyectos de la empresa, analizando tanto el capital propio de la empresa y las deudas totales. • Lo que interesa es poder determinar el costo medio ponderado de la mezcla de fuentes de financiamiento repartidas entre capital propio y deudas. Para esto es necesario determinar el costo efectivo de cada una de las fuentes. Tasa de Descuento Costo de Capital • El costo efectivo se puede definir como la tasa de rendimiento que iguala el valor actualizado de todos los fondos “realmente recibidos” por la empresa, con el valor actualizado de todos los egresos en el tiempo que se supone provocará la operación financiera. • Estos egresos pueden ser por el capital retenido en préstamo, los intereses, la amortización o bien por los dividendos asociados con una emisión de acciones, etc. Tasa de Descuento Ajuste de la Tasa de Descuento por Riesgo • Esto corresponde a uno de los métodos de considerar el riesgo del proyecto en los flujos de caja. • Se efectúa una corrección de la tasa de descuento o costo de capital. Pues a mayor riesgo, mayor debe ser la tasa para castigar la rentabilidad del proyecto. Por lo tanto, un proyecto evaluado en función de la tasa de costo de capital puede resultar no rentable, al usar una tasa ajustada por riesgo. • Este método se puede mirar desde la perspectiva de que al proyecto se le exige asegurarse, de tal forma de garantizar los beneficios netos esperados Tasa de Descuento Ajuste de la Tasa de Descuento por Riesgo • • • Existen dos tipos de riesgos operacionales: los riesgos asegurables y los riesgos no asegurables. Los primeros son riesgos susceptibles de ser incluidos en los costos del proyecto como primas que se pagan a las compañías de seguro por la contratación de distintos tipos de seguros: contra incendio, robos, explosiones, accidentes, etc. Los segundos riesgos son los que le dan el carácter de incertidumbre a la estimación de las variables del proyecto, ya que están relacionados con las variaciones de las condiciones en las cuales fue evaluado el proyecto, como por ejemplo, por una lado, las relacionadas con la inversión (vida útil y cambio tecnológico) y por otro lado, aquellas situaciones imprevistas como condiciones climáticas adversas (diluvio o sequía), cambios en los gustos, preferencias del mercado objetivo, etc. Tasa de Descuento Ajuste de la Tasa de Descuento por Riesgo • La prima por riesgo con la cual se castigará aún mas la rentabilidad del proyecto es por concepto de solo aquellos riesgos no asegurables que hacen que el proyecto sea de mayor riesgo que el de la empresa, manifestado en el grado de incertidumbre. • Es decir, la prima por riesgo corresponde a la rentabilidad adicional exigida por el inversionista para compensar los retornos inciertos. • En consecuencia, este seguro que supuestamente está representado parcialmente por la prima por riesgo, va a depender principalmente del monto de la inversión y del grado de incertidumbre asociado al proyecto. Tasa de Descuento Ajuste de la Tasa de Descuento por Riesgo • Por otro lado, el valor de la prima por riesgo va a depender de la fracción de la inversión recuperable si el proyecto es terminado repentinamente, de la incertidumbre de las proyecciones técnicas y económicas del proyecto y del grado de riesgo asociado al proyecto. • Luego, a los recursos invertidos en el proyecto se le exigirán dos pagos: • 1. Pago por el costo de capital(r) • 2. Pago por la prima de riesgo(p) Tasa de Descuento Ajuste de la Tasa de Descuento por Riesgo • Con lo cual la tasa mínima atractiva de retorno con la cual se descontarán los flujos netos de caja es: Tasa de Descuento = r + p • Este método es una forma bastante intuitiva de considerar la incertidumbre del proyecto. Es una forma sencilla y práctica de considerar el riesgo asociado a una inversión, pero su principal desventaja es el carácter subjetivo que posee, pues las preferencias personales pueden hacer diferir la tasa adicional por riesgo entre distintos inversionistas para un mismo proyecto particular. Tasa de Descuento Ajuste de la Tasa de Descuento por Riesgo Nivel de riesgo Prima por riesgo (p%) Alto Sobre 20% Ejemplo de proyectos Desarrollo de nuevos productos Proyectos que usan conceptos muy novedosos Contratos internacionales Proyectos algo fuera del giro de la empresa Mediano 10% - 20% Promedio 5% - 10% Procesos nuevos que no han sido investigados Incremento de la capacidad de producción completamente Implementación de una nueva tecnología conocida Proyectos con información de mercado incompleta Mejoramiento de la productividad Bajo 1% - 5% Muy bajo 0% - 1% Expansiones en un mercado en donde es líder y lo conoce bien Reducción de costos Proyectos relativos de seguridad
