249372655-Linealizacion

LINEALIZACIÓN
1. Introducción:
Cuando se requiere realizar el análisis dinámico de sistemas nolineales, puede tomarse las siguientes alternativas:
1. Transformar el sistema no-lineal en uno lineal haciendo una
transformación apropiada de sus variables.
2.Simular el sistema no-lineal usando una computadora analógica
o digital y calcular su solución numéricamente.
3.Desarrollar un sistema lineal que aproxime el comportamiento
dinámico del sistema no-lineal alrededor del punto específico de
operación.
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2. LINEALIZACIÓN
Linealización es el proceso matemático que permite aproximar un
sistema no-lineal a un sistema lineal.
Esta técnica es ampliamente usada en el estudio de procesos
dinámicos y él en el diseño de sistemas de control por las
siguientes razones:
1. Se cuenta con métodos analíticos generales para la solución de
sistemas lineales. Por lo tanto se tendrá una solución general del
comportamiento del proceso, independientemente de los valores
de los parámetros y de las variables de entrada. Esto no es posible
en sistemas no-lineales pues la solución por computadora da una
solución del comportamiento del sistema valida solo para valores
específicos de los parámetros y de las variables de entrada.
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2. Todos los desarrollos significativos que conllevan al diseño de
un sistema de control ha sido limitado a procesos lineales.
3. VARIABLES DE DESVIACIÓN
Se define la variable de desviación, X (t), como la diferencia
entre el valor de la variable o señal x(t) y su valor en el punto de
operación.Matemáticamente se define:
X t   xt   x
donde
X(t): variable de desviación.
x(t): variable absoluta correspondiente
x : el valor de x en el punto de operación (valor base)
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Gráfico de las variables de desviación, variable absoluta y el
punto de operación.
El valor base, es el valor de la variable en estado estable y
generalmente describe el valor inicial del sistema dinámico y por
lo tanto es constante, implicando que:
dx
0
dt
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por lo tanto derivando n veces la ecuación, obtenemos:
d n X t  d n xt 

,
n
n
dt
dt
n  1,2,3...
El punto de operación generalmente está en estado estacionario,
entonces:
x(o)  x
por lo tanto:
,
X (o)  0
d n X 0
0
n
dt
para n  1,2,3...
n

d
X t  
n
y la transformada de Laplace es, L

s
X s 


n
 dt

Así la ecuación linealizada en función de las variables de
desviación no incluyen términos constantes.
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4. LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES DE UNA
VARIABLE.
Considérese la ecuación diferencial de primer orden:
dxt 
 f xt   k
dt
Donde f xt  es una función no-lineal de x, y k es una constante.
Expandiendo la función no-lineal f xt  en series de Taylor
alrededor del punto x , se obtiene:

 

 

2
df x
1 d2 f x
f xt   f x 
xt   x 
xt   x
2
dx
2! dx
3
1 d3 f x

xt   x  ...
3
3! dx
 
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
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Esta expansión se evalúa en el punto
x.
La aproximación lineal, consiste en eliminar todas las derivadas
de orden dos y mayores, entonces el valor aproximado de la
función será:
df x 
xt   x
f xt   f x  
dx
El error introducido en la aproximación es del mismo orden de la
magnitud del termino:

1 d2 f x
2


x t  x 
I
2
2 dx
Por lo tanto la aproximación lineal, dada en la ecuación, es
satisfactoria cuando x es muy cercano a x , pues en ese caso el
valor del termino "I " es muy pequeño.
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Geométricamente, la aproximación es una línea recta que pasa por
el punto de operación, generalmente corresponde al valor de
estado estacionario, entonces:
x0  x , X 0  0
Por lo tanto: d n X 0 
dt
n
0
para n  1,2,3...
por el punto x, f x , con pendiente df x  / dx y es por definición
tangente a la curva en el punto de operación. Por lo tanto, la
aproximación es exacta solo en el punto de operación.
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La aproximación linealizada, correspondiente a la ecuación
original, resulta ser:
dxt 
df x 
 f x  
X t   k
dt
dx
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Si las condiciones iniciales son:
x0  x , dx0 / dt  0,
X 0  0, entonces : 0  f x   k
Finalmente, la ecuación inicial, se ha transformado en:
df t  df x 

X t 
dt
dx
Puede observarse de la ecuación anterior, que los términos
constantes en la ecuación linealizada quedan eliminados cuando
el valor base es la condición inicial de estado estacionario.
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La aproximación lineal es tangente a la función no lineal en el valor
base, x
Línea
Tangente
f x(t )
1
df
dx
x
Función No Lineal
f (x )
x
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x(t )
5. LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOS O MÁS
VARIABLES
Considérese la función no-lineal de dos variables f xt , yt .
Si x es el valor en estado estable de x(t) y y es el valor en
estado estable de y(t) . La expresión lineal en serie de Taylor
alrededor del punto x, y  esta dada por:
         
 f x, y 
 f x, y 
xt   xyt   y ....
y(t )  y  


2
f x, y
f x, y
 2 f x, y
f xt , y t   f x, y 
xt   x 
y t   y 
xt   x
2
x
y
2!x
2
2
2
2!y 2
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xy
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La aproximación lineal consiste en eliminar los términos de orden
superior a partir del termino de segundo orden. Entonces la
expansión lineal de la función no-lineal f xt . yt , toma la
forma:
 
 

 
f x, y
f x, y
f xt , y t   f x, y 
xt   x 
y t   y
x
y
donde:
f x, y  f x, y 
y
se evaluan en el punto x, y 
x
y
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