Gráfica de logaritmos

Representar la función:
y=ln(x2-1)
1. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA FUNCIÓN
1) Dominio
 El ln de x2-1 no existe desde -1 a 1, ya
que sólo existe el logaritmo de los
números positivos, luego la función está
definida en (-,-1) y en (1,)
2) Cortes con los ejes y signo

Con el eje OY: cuando x=0 la función no
está definida luego no tiene corte con
este eje.
Con el eje OX: resolvemos la ecuación
ln(x2-1)=0, es decir (x2-1)=1
resultando las soluciones x=-2, y
x=2
Cambia el valor de x en la
escena o arrastra el punto rojo
con el ratón, podrás ver los
valores que toma y=f(x).
Observa como en el intervalo [1,1] la función no alcanza
ningún valor.
x
(-,2)
y
+
(-2,2 1)
0
-
[1,1]
(1,2) 2 (2,)
-
0
+
3) Simetría

Se trata de una función PAR ya que
f(-x)=ln((-x)2-1)=f(x) por tanto es
simétrica respecto al eje de ordenadas.
4) Asíntotas
Cambia el valor de x o arrastra
el punto rojo con el ratón

VERTICALES, las rectas x=-1 y x=1 ya
que

HORIZONTALES, no hay puesto que

En este caso tampoco hay OBLICUAS
acercándote a 1 o a -1, para
comprobar que cuando x-1y; y que cuando x1+
y
2. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA
5) Crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos



Calculamos la derivada y'=2x/(x21)
La ecuación: 2x/(x2-1)=0 tiene
como solución x=0 que no pertenece
al dominio de la función, por lo que
ésta no tendrá extremos relativos.
Ahora bien:
o Si x<-1 f'(x)<0
o Si x>1 f'(x)>0
luego la función es decreciente antes
de -1 y creciente después de 1.
x (-,-1) [-1,1] (1,)
y'
-
+
\
/
En la escena aparece representada
y=f'(x). ¿Qué signo presenta
según los valores de x?. Observa
que en este caso el intervalo [-1,1]
no pertenece al dominio. Cambia el
valor de x pulsando sobre las
flechas o arrastrando el punto rojo
con el ratón.
3. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA
6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión



Calculamos la segunda derivada
y''=(-2x2-2)/(x2-1)2
Observamos que la ecuación y''=0 no tiene soluciones reales
por lo que la función no tendrá puntos de inflexión.
Por otra parte y''<0 para cualquier valor de x, luego siempre
presenta la concavidad hacia abajo.
x (-,-1) [-1,1] (1,)
y''
-
-


Observa la
gráfica de
f''(x)
¿corta al
eje de
abscisas?,
¿qué signo
presenta
en todo su
dominio?.
También
puedes
comprobar
los
resultados
cambiando
el valor de
x en la
escena
4. REPRESENTAR LA CURVA
7) Dibujar la gráfica

Resumir en una tabla los resultados
anteriores ayudará a reflejarlos en la
gráfica
x  -2 -1- [-1,1] 1+ 2 
y 
0

 0 
y'
-
+
y''
-
-
\
/


En la escena está resumida la
información anterior. Da a
"¿dibujar?" valor 1 para ver la
gráfica de la función.
4. Obtenida la información, REPRESENTAR LA CURVA
7) Dibujar la gráfica




Distinguir en el plano coordenado las zonas en las que la función no está
definida y las regiones en que se dibujará, a partir del dominio y del signo.
Considerar la simetría si existe.
Dibujar las asíntotas y averiguar en el caso de las horizontales y oblicuas si
la función se aproxima por encima o por debajo de la recta, y en el caso de
las verticales si tiende a - ó +
Situar los extremos relativos y los puntos de inflexión
Completar la gráfica teniendo en cuenta el crecimiento o decrecimiento y la
curvatura, y haciéndola pasar por los puntos ya conocidos. En ocasiones, si
los datos obtenidos no resultan suficientes, siempre podemos ampliarlos con
una tabla de valores.
Resumir la información obtenida en una tabla nos ayudará a reflejarla en la
gráfica.

x
A la vista de la gráfica completa la tabla en tu cuaderno:

(-,-1)
y
y'
y''
-1
(-1,0)
0
AV
-
0
+
(0,1)
1
(1,+)
AV
+
-
Da a función valor 1 y escribe una tabla semejante para la función
representada ahora.
1. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA FUNCIÓN

1) Dominio

Conjunto de números reales que tienen imagen, es decir, donde está
definida la función.
2) Cortes con los ejes y signo de f(x)



Con el eje OY: hacemos x=0 en la fórmula de la función y calculamos el
valor de y resultante.
Con el eje OX: aquí debe ser y=0, luego resolvemos la ecuación f(x)=0
Estudiar el SIGNO de f(x) puede servirnos para determinar las regiones
donde se dibujará la gráfica. Consideramos los intervalos determinados por
los puntos de corte con el eje OX y los puntos de discontinuidad si los
hubiera, y estudiamos el signo de la función en cada uno de ellos.
Dando a función valor 1, se dibujará una función y=f(x). Cambiando el valor
de x ó arrastrando el punto rojo con el ratón podrás ver los valores que toma

Escribe el dominio de la función de la figura

¿En qué puntos corta a los ejes coordenados?

¿En qué intervalos f(x)>0?, ¿dónde es f(x)<0?
Utiliza el botón LIMPIAR, después da a función valor 2, se dibujará otra
función y=g(x)

Contesta a lo mismo para y=g(x)
3) Simetría y periodicidad

Una función y =f(x) es PAR si f(-x)=f(x). En este caso la gráfica es
simétrica respecto al eje de ordenadas

Una función y=f(x) es IMPAR si f(-x)=-f(x). En este caso es simétrica
respecto al origen.

Una función es PERIÓDICA de periodo P si f(x+P)=f(x). Su gráfica se repite
cada cierto intervalo de amplitud P.

Da a función valor 1, comprueba, cambiando el valor de la x ó
arrastrando el punto rojo con el ratón, que la función que se dibuja es
IMPAR. Observa la simetría respecto al origen.

Si das a función valor 2 se dibujará otra función, ¿es PAR o IMPAR?
4) Asíntotas

VERTICALES: Si

HORIZONTALES: Si
la recta y=b es asíntota horizontal.

OBLICUAS: Cuando
y=mx+n, donde
puede haber asíntota oblícua, la recta

la recta x=a es asíntota vertical.
Observa la función de la escena. Comprueba, cambiando el valor de x,
que cuando x-1 y cuando x1, y. ¿Cuáles son las asíntotas
verticales?. ¿Qué ocurre cuando x ó cuando x?,
Utiliza el botón LIMPIAR, después da a función valor 1, se dibujará de nuevo
y=f(x). Cambia el valor de x o arrastra el punto rojo.

¿Qué asíntotas tiene esta función?, escríbelas.
2. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA
5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos
Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f'(x)=0 y los
puntos de discontinuidad

Si f'(x)>0 en (a,b) la función es CRECIENTE en (a,b)

Si f'(x)<0 en (a,b) la función es DECRECIENTE en (a,b)

Si f'(x)=0 en x0 y además
o la función pasa de ser creciente a ser decreciente hay un MÁXIMO
relativo en x0
o la función pasa de ser decreciente a ser creciente hay un MÍNIMO
relativo en x0
También podemos aplicar el criterio de la derivada segunda:
o
o
f'(x0)=0 y f''(x0)<0 MÁXIMO en (x0,f(x0))
f'(x0)=0 y f''(x0)>0 MÍNIMO en (x0,f(x0)
En la escena aparece representada la gráfica de la función derivada de otra
y=f'(x)


Observa en qué puntos corta al eje de abscisas.¿Cuál es el signo de f´(x)
antes y después de esos valores?.
Escribe los intervalos de crecimiento y decrecimiento de y=f(x). ¿Tiene
máximos o mínimos esta función?
Para comprobarlo cambia el valor de x. Si das a ¿dibujar?, valor 1, aparecerá
la gráfica de y=f(x)
Utiliza el botón INICIO y dando a función valor 2, se dibujará otra función
derivada y=g'(x)

Repite los pasos anteriores en este caso.
3. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA
6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión
Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f''(x)=0 y los
puntos de discontinuidad

Si f''(x)>0 en (a,b) la función presenta su concavidad hacia arriba (), es
CONVEXA en (a,b)

Si f''(x)<0 en (a,b) la función presenta la concavidad hacia abajo (), es
CÓNCAVA en (a,b)

Si f''(x)=0 en x0 y además la función cambia su concavidad hay un PUNTO
DE INFLEXIÓN en x0
Ahora en la escena está representada y=f''(x)

¿Dónde se hace 0?, ¿para qué valores de x es f''(x)>0 ó f''(x)<0?, ¿los
puntos donde f''(x) cambia el signo son de inflexión?
Como antes si cambias el valor de x y das a ¿dibujar?, valor 1, aparecerá la
gráfica de f(x) y podrás comprobarlo.
Utiliza el botón INICIO y da a función valor 2, se dibujará y=g''(x). Observa
esta nueva función.

Escribe los intervalos de concavidad ó convexidad de y=g(x), ¿hay
puntos de inflexión?. Puedes comprobarlo en la escena también.